materi statistika matematika

MODUL STATISTIKA MATEMATIKA I (MA493530)

Oleh : I Wayan Sumarjaya, S.Si.

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS UDAYANA 2010

KAT KATA PENGAN PEN GANT TAR

Modul singkat ini membahas tentang perkuliahan Statistika Matematika I (MA493530) yang membahas tentang peubah acak dan distribusinya, fungsi peubah acak, sifat peubah acak, limit distribusi, distribusi, dan statistik dan distribusi pengambilan pengambilan sampel. Mata kuliah ini merupakan merupakan pendalaman terhadap mata kuliah Pengantar Ilmu Peluang plus tambahan-tambahan tentang fungsi pembangkit momen dan distribusi pengambilan sampel. Akhir kata kata semoga modul singkat singkat ini dapat bermanfaat. bermanfaat. Segala Segala kritik dan saran guna perbaikan modul ini harap dikirim via email ke [email protected] atau [email protected].

Bukit Jimbaran, Februari 2009

Penulis

i

DAFTAR ISI

Kata Pengantar

i

DAFTAR ISI

ii

DAFTAR GAMBAR

iv

DAFTAR TABEL

v

BAB 1.

1

1.1

1.2 BAB 2.

2.1

2.2

2.3 2.4 BAB 3.

3.1

3.2 3.3

PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA

Peubah Acak . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Peubah Acak Diskrit . . . . . . . 1.1.2 Peubah Acak Kontinu . . . . . . 1.1.3 Beberapa Sifat Nilai Harapan . . 1.1.4 Batas-batas Peluang . . . . . . . Momen dan Fungsi Pembangkit Momen

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS

Distribusi-distribusi Diskrit Khusus . 2.1.1 Distribusi Bernoulli . . . . . 2.1.2 Distribusi Binomial . . . . . . 2.1.3 Distribusi Hipergeometrik . . 2.1.4 Distribusi Geometrik . . . . . 2.1.5 Distribusi Binomial Negatif . 2.1.6 Distribusi Poisson . . . . . . 2.1.7 Distribusi Seragam Diskrit . . Distribusi-distribusi Kontinu Khusus 2.2.1 Distribusi Seragam . . . . . . 2.2.2 Distribusi Gamma . . . . . . 2.2.3 Distribusi Eksponensial . . . 2.2.4 Distribusi Normal . . . . . . 2.2.5 Distribusi Weibull . . . . . . 2.2.6 Fungsi pembangkit momen . Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . Latihan Soal Teoretis . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

4

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

PEUBAH ACAK BERGANDA

Distribusi Bersama dan Marginal . . . . . . . . . 3.1.1 Distribusi Diskrit Bersama . . . . . . . . 3.1. 3.1.22 Distr istrib ibus usii Hype Hyperg rgeeom omeetrik trik yang ang Dipe Diperl rlua uass 3.1.3 Distribusi Multinomial . . . . . . . . . . . 3.1.4 Distribusi Kontinu Bersama . . . . . . . . Peubah Acak Bebas . . . . . . . . . . . . . . . . Distribusi Bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . . ii

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 6 7 7 7 8 14 15 19 20 20 21 23

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

23 23 24 24 27 29 30

iii

DAFTAR DAFTAR ISI

3.4 BAB 4.

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 BAB 5.

5.1 5.2

5.3

5.4

5.5 BAB 6.

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 BAB BA B 7.

7.1 7.2

7.3 7.4

3.3.1 Distribusi Bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SIFAT-SIFAT PEUBAH ACAK

Sifat-sifat Nilai Harapan . . . . . . . Kovarians dan Korelasi . . . . . . . . Harapan Bersyarat . . . . . . . . . . 4.3.1 Distribusi Normal Bivariat . Fungsi Pembangkit Momen Bersama Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . Latihan Soal Teoretis . . . . . . . . .

. . . . . . .

33

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK

Teknik Fungsi Distr stribusi Kumulatif . . . . . Metode Transformasi . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Transformasi Satu-satu . . . . . . . 5.2.2 Transformasi yang Tidak Satu-sat satu . 5.2.3 Transformasi Bersama . . . . . . . . Jumlah Peubah Acak . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Formula Konvolusi . . . . . . . . . . 5.3.2 Metode ode Fungsi Pembangkit Momen . Statistik Terurut . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Penarikan Sampel pel Tersensor . . . . . 5.4.2 Pengambilan Sampel pel Tersensor . . . Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

46 48 49 52 55 58 58 59 60 60 67 68 70

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

STA STATIS TISTIK TIK DAN DISTR ISTRIB IBU USI PE PENG NGA AMBIL MBILA AN SA SAMP MPEL EL

Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distribusi-d si-diistr stribusi Pengambilan Sampel pel . . . . 7.2. 7.2.11 Kom ombi bina nasi si Lin Linear ear Peubah ubah-p -peeubah ubah Norma ormall 7.2.2 Distribusi Khi Kuadrat . . . . . . . . . . 7.2. 7.2.33 Distr Distrib ibus usii Student t . . . . . . . . . . . . 7.2.4 7.2.4 Distri Distribus busii Snedec Snedecor or F . . . . . . . . . . . 7.2.5 Distribusi Beta . . . . . . . . . . . . . . . Pendekatan-pen pendekatan Sampel pel Bes Besar . . . . . . Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

DAFTAR PUSTAKA

34 36 39 41 42 42 44 45

LIMIT DISTRIBUSI

Barisan Peubah Acak . . . . . . . . Teorema Limit Pusat . . . . . . . . Pendekatan Distribusi Binomial . . Distribusi Normal Asimtotik . . . . Sifat-sifat Konvergensi Stokastik . Teorema-teorema Limit Tambahan Latihan Soal . . . . . . . . . . . .

30 32

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

70 73 75 75 76 76 77 78

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

78 80 80 80 83 83 84 84 84 87

DAFTAR GAMBAR

iv

DAFTAR TABEL

Tabe abel 3.1 3.1

Nila Nilaii fun fungsi gsi dens densit itas as bers bersma ma dua dua peub peubah ah acak acak . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

30

BAB 1 PEUBAH ACAK ACAK DAN DAN DISTRIBUSINY DISTRIBUSINYA A

Kompetensi Dasar

Menggunakan konsep-konsep ilmu peluang. Indikator Pencapaian

Menggunakan konsep-konsep ilmu peluang. Materi Pokok

1.1 Peubah Peubah Acak Acak 1.1.1 Peubah Peubah Acak Diskrit Diskrit 1.1.2 Peubah Acak Acak Kontinu Kontinu 1.1.3 Beberapa Beberapa Sifat Nilai Harapan 1.1.4 Batas-batas Batas-batas Peluang Peluang 1.2 Momen dan Fungsi Fungsi Pembangki Pembangkitt Momen

Bab ini meninjau kembali konsep tentang peluang dan distribusinya seperti yang telah dipelajari pada mata kuliah Pengantar Ilmu Peluang.

1.1 1.1

Peuba eubah h Acak cak

Definisi 1.1. Suatu peubah acak, katakanlah X , adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada

ruang sampel Ω, yang mengasosikan suatu bilangan real, X (ω) = x, dengan masing-masing hasil yang mungkin ω di Ω. 1.1.1 1.1.1

Peuba Peubah h Acak Diskri Diskritt

Definisi 1.2. Jika Jika himpunan himpunan semua hasil yang mungkin mungkin dari peubah acak X adalah himpunan

terhitung x1 , x2 , . . . , xn atau x1 , x2 , . . . ,, ,, maka X disebut peubah acak diskrit. Definisi 1.3. Fungsi

f X (x) = P ( P (X = x), x = x1 , x2 , . . .

(1.1)

yang menugaskan peluang untuk masing-masing nilai yang mungkin x disebut fungsi densitas peluang diskrit.

1

BAB 1.

2

PEUBAH PEUBAH ACAK DAN DAN DISTRIBUSI DISTRIBUSINY NYA A

Teorema 1.1. Suatu fungsi f X (x) adalah fungsi densitas peluang diskrit jika dan hanya jika countably infinite ) x1 , x2 , . . . memenuhi untuk paling banyak himpunan tak berhingga terhitung ( countably

kedua kedua sifat berikut b erikut:: 1. untuk untuk semua semua xi , fungsi f X (xi ) 2. untuk untuk semua semua xi ,



≥ 0,

f X (xi ) = 1.

Definisi Definisi 1.4. Fungsi distribusi kumulatif peubah acak X didefinisikan untuk semua bilangan

real x sebagai F X (x) = P ( P (X

≤ x).

(1.2)

Teorema 1.2. Suatu fungsi F X (x) adalah fungsi distribusi kumulatif untuk beberapa peubah

acak X jika dan hanya jika memenuhi sifat: (a). limx→−∞ F X (x) = 0, 0, (b). limx→∞ F X (x) = 1, 1, (c). limh→0+ F X (x + h) = F X (x), (d). jika jika a < b maka F X (a)

≤ F X (b).

Definisi 1.5. Jika X adalah peubah acak diskrit dengan fungsi densitas peluang f X (x), maka

nilai harapan X didefinisikan sebagai E(X E(X ) =



xf X (x).

(1.3)

x

1.1.2 1.1.2

Peuba Peubah h Acak Acak Kont Kontin inu u

Definisi Definisi 1.6. Suatu fungsi f X (x) dikatakan fungsi densitas peluang untuk beberapa peubah

acak kontinu X jika dan hanya jika ia memenuhi sifat f X (x) untuk semua x, dan

≥0

(1.4)

∞



−∞

f X (x) dx = 1. 1.

(1.5)

Definisi 1.7. Fungsi distribui kumulatif peubah acak kontinu X dinyatakan sebagai x

F X (x) =



f X (x) dx.

(1.6)

−∞

Definisi 1.8. Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi densitas peluang f X (x), maka

nilai harapan X didefinisikan sebagai ∞

E(X E(X ) =



−∞

1.1.3 1.1.3

xf X (x) dx.

(1.7)

Beberap Beberapa a Sifa Sifatt Nila Nilaii Harap Harapan an

Definisi 1.9. Momen ke-k ke-k di sekitar titik asal ( moment about the origin ) peubah acak X adalah

µk = E( E (X k ),

(1.8)

dan momen ke-k ke- k di sekitar rata-rata ( moment about the mean ) adalah µk = E[X E[X

− E(X E(X )] )]k = E(X E( X − µ)k .

(1.9)

Definisi 1.10. Variansi peubah acak X didefinisikan sebagai

var(X var(X ) = E[(X E[(X

− µ)2]

(1.10)

BAB 1.

1.1.4 1.1.4

3

PEUBAH PEUBAH ACAK DAN DAN DISTRIBUSI DISTRIBUSINY NYA A

BatasBatas-bat batas as Pelua Peluang ng

Teorema 1.3. Jika X adalah suatu peubah acak dan u(x) adalah fungsi bernilai non-negatif,

maka untuk sembarang konstanta positif c > 0, P ( P (u(X )

E(u(X )) )) ≥ c) ≤ E(u . c

(1.11)

Chebychev). Jika X adalah suatu peubah acak dengan rata-rata Teorema 1.4 (Ketidaksamaan Chebychev) µ dan variansi σ 2 , maka untuk sembarang k > 0, 1 | − µ| ≥ kσ) kσ ) ≤ 2 . k

P ( P ( X

1.2

(1.12)

Momen Momen dan dan Fung Fungsi si Pem Pemban bangki gkitt Momen Momen

Definisi 1.11. Misal X adalah peubah acak, maka nilai harapan

M X (t) = E(e E(etX )

(1.13)

disebut disebut fungsi pembangkit pembangkit momen dari X jika nilai harapan ini ada untuk semua nilai t dalam beberapa interval dengan bentuk h < t < h untuk untuk beberapa h > 0.

−

Teorema 1.5. Jika fungsi pembangkit momen peubah acak X ada, maka r E(X E(X r ) = M X (0), (0), untuk semua r = 1, 2, . . .

dan

∞

M X (t) = 1 +

 r=1

E(X E(X r )tr . r!

(1.14)

(1.15)

BAB 2 DISTRIBUSI-DIST DISTRIBUSI-DISTRIBUSI RIBUSI PELUANG KHUSUS

Kompetensi Dasar

Membedakan peubah acak diskrit, peubah acak kontinu, dan distribusi keluarga eksponensial. Indikator Pencapaian

Mampu memisahkan peubah acak diskrit, kontinu, dan distribusi keluarga eksponensial. Materi Pokok

2.1 DistribusiDistribusi-distri distribusi busi Diskrit Khusus Khusus 2.2 Distribusi-distribusi Kontinu Kontinu Khusus Khusus 2.3 Latihan Latihan Soal 2.4 Latihan Latihan Soal Teoretis Teoretis

Bab ini membahas membahas beberapa distribusi distribusi khusus, baik diskrit diskrit maupun maupun kontin kontinu, u, yang telah dipela jari dalam mata kuliah Pengantar Pengantar Ilmu Peluang.

2.1 2.1.1 2.1.1

Distri Distribus busi-d i-dist istrib ribusi usi Diskri Diskritt Khusu Khususs Distri Distribus busii Bernou Bernoulli lli

Dalam suatu percobaan tunggal terdapat dua kejadian yang menjadi daya tarik, katakanlah K and komplemennya K  . Kejadi Kejadian an K dan K  menyatakan menyatakan kejadian munculnya”muka” munculnya”muka” atau ”belakang” ”belakang” pada pelemparan pelemparan satu mata uang atau ”rusak” atau ”bagus” pada barang yang yang diproduksi atau ”sukses” atau ”gagal” pada kejadian kejadian lainnya. lainnya. Misal peluang K terjadi dengan peluang  P ( P (K ) = p dan K terjadi dengan peluang P ( P (K  ) = q = 1 p. p. Suatu peubah acak, X , yang menganggap hanya nilai 0 atau 1 disebut peubah Bernoulli, dan percobaa dengan dua hasil yang mungkin disebut percobaan Bernoulli ( Bernoulli trial ). ) . Jik Jika  suatu percobaan menghasilk menghasilkan an hanya hanya ”sukses” (K ) dan ”gagal” (K ( K ), maka peubah Bernoulli yang bersesuaian adalah 1, jika k K ; X (k) = (2.1) 0, jika k K  .

−



∈ ∈

Fungsi densitas (massa) peluang X diberikan oleh f X (0) = q dan f X (1) = p. Distri Distribus busii yang bersesuaian, bersesuaian, disebut disebut distribusi distribusi Bernoulli Bernoulli ( Bernoulli distribution ), ), dan fungsi densitasnya dapat

4

BAB 2.

5

DISTRIBUSI DISTRIBUSI-DISTR -DISTRIBUSI IBUSI PELUANG PELUANG KHUSUS KHUSUS

dinyatakan sebagai f X (x) = px q 1−x , x = 0, 0 , 1. 2.1.2 2.1.2

(2.2)

Distri Distribus busii Binomi Binomial al

Apabila percobaan Bernoulli dilakukan secara bebas sebanyak n kali dengan peluang sukses p pada masing-masing percobaan, dan peubah acak X menyata menyataka kan n banyakn banyaknya ya sukses. Fungsi densitas densitas peluang diskrit X diberikan oleh f X (x; n, p) =



n x n−x p q , x = 0, 0 , 1, . . . , n; n; 0 < p < 1; q = 1 x

− p.

(2.3)

∼

Peubah acak X berdistribusi berdistribusi binomial binomial dengan dengan parameter parameter n dan p dinotasikan sebagai X BIN(n, BIN(n, p). Distribusi Distribusi Bernoulli yang merupakan merupakan kejadian kejadian khusus dari distribusi distribusi binomial dinotasikan sebagai X BIN(1, BIN(1, p).

∼

Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Binomial

Beberapa Beberapa hasil penting: penting: 1. Nilai harapan harapan:: E(X E(X ) = np; np; 2. Variansi: ariansi: var(X var(X ) = npq; npq ; 3. Fungsi pembangkit pembangkit momen : M X (t) = ( p ( p et +q )n , 2.1.3 2.1.3

−∞ < t < ∞.

Distri Distribus busii Hiperge Hipergeome ometri trik k

Misal suatu populasi terdiri dari beberapa jumlah item tertentu, katakanlah N , N , dan terdapat M item tipe 1 dan sisanya N M item item berti bertipe pe 2. Misa Misall n item diambil secara acak tanpa menyatakan an banyakn banyaknya ya item tipe 1 yang diambil. diambil. Fungsi densitas pengembalian , dan misal X menyatak peluang diskrit X diberikan oleh

−

f X (x; n,M,N ) =

  −   − M x

N n N n

M x

; x = 0, 0 , 1, . . . , n; n; n = 1, 1 , . . . , N ; M = 0, 0 , 1, . . . , N .

(2.4)

Bentuk Persamaan (2.4) merupakan fungsi densitas peluang dari distribusi hipergeometrik, dinotasikan X HYP(n,M,N HYP(n,M,N ).

∼

Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Hipergeometrik

Beberapa Beberapa hasil penting: penting: 1. Nilai harapan harapan:: E(X E(X ) = 2. Variansi: ariansi:

nM ; N

(2.5)

 −  − 

M var(X var(X ) = n 1 N

M N

3. Fungsi pembangkit pembangkit momen : M X (t) = ( p ( p et +q )n ,

N N

−

n ; 1

−∞ < t < ∞.

(2.6)

BAB 2.

2.1.4 2.1.4

6


Distri Distribus busii Geome Geometri trik k

Misal kita tertarik untuk mengetahui banyaknya percobaan yang diperlukan untuk memperoleh sukses pertama dan notasikan ini dengan X , maka fungsi densitas peluang diskritnya dinyatakan oleh f X (x; p) p) = pqx−1 , x = 1, 1 , 2, 3, . . . ; 0 < p < 1; q = 1 p. (2.7)

−

Bentuk Bentuk Persamaan Persamaan (2.7) merupak merupakan an fungsi fungsi densitas densitas peluang peluang dari distribusi geometrik, geometrik, dinotasikan X GEO( p) p).

∼

Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Geometrik

Beberapa Beberapa hasil penting: penting: 1. Nilai harapan harapan:: E(X E(X ) = 1/p. /p. 2. Variansi: ariansi: var(X var(X ) = q/p 2 . 3. Fungsi pembangkit pembangkit momen : M X (t) = p et /(1 2.1.5 2.1.5

− q et).

Distri Distribus busii Bino Binomia miall Negat Negatif if

Dalam Dalam percoba percobaan an Bernou Bernouli li bebas bebas yang yang diulan diulang, g, misal misal X menyatakan menyatakan banyaknya banyaknya percobaan yang diperlukan untuk memperoleh r sukses. Distribusi Distribusi peubah peubah acak X merupakan distribusi binomial negatif ( negative binomial ) yang diberikan oleh f X (x; r, p) = dengan x = r, r + 1, . . . , ; 0 < p < 1; q = 1 X NB(r, NB(r, p).

∼

− x r

−

1 r x−r p q ; 1

(2.8)

− p. p. Bentuk Bentuk Persamaan Persamaan (2.8) dapat pula dinotasikan dinotasikan

Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Binomial Negatif

Beberapa Beberapa hasil penting: penting: 1. Nilai harapan harapan:: E(X E(X ) = r/p. r/p. 2. Variansi: ariansi: var(X var(X ) = rq/p2 . 3. Fungsi pembangkit pembangkit momen : M X (t) = 2.1.6 2.1.6



p et 1 q et

−

r



.

(2.9)

Distri Distribus busii Poiss Poisson on

Suatu peubah acak diskrit X dikatakan memiliki distribui Poisson dengan parameter λ > 0, dinotasikan X POI(λ POI(λ) apabila ia memiliki fungsi densitas (massa) peluang dengan bentuk

∼

f X (x; λ) =

e−λ λx ; x = 1, 2, . . . . x!

(2.10)

BAB 2.


7

Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Poisson

Beberapa Beberapa hasil penting: penting: 1. Nilai harapan harapan:: E(X E(X ) = λ. 2. Variansi: ariansi: var(X var(X ) = λ. 3. Fungsi pembangkit pembangkit momen : M X (t) = exp(λ exp(λ(exp(t (exp(t) Teorema 2.1. Jika X

p

− 1)). 1)).

(2.11)

∼ BIN(n, BIN(n, p), maka untuk setiap nilai x = 0, 1, 2, . . . , dan sebagaimana

→ 0 dengan np = λ konstan, maka lim

n→∞

2.1.7 2.1.7



n x p (1 x

n−x

− p) p)

e−λ λx = . x!

(2.12)

Distri Distribus busii Serag Seragam am Diskri Diskritt

∼

Suatu peubah acak diskrit X dikatakan memiliki distribusi seragam diskrit, dinotasikan X DU(N DU(N )), jika untuk setiap bilangan bulat 1, 2, . . . , N ia ia memiliki memiliki fungsi densitas densitas peluan p eluangg dengan dengan bentuk 1 f X (x) = , 1, 2, . . . , N . (2.13) N Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Poisson

Beberapa Beberapa hasil penting: penting: 1. Nilai harapan harapan:: E(X E(X ) = (N + 1)/ 1)/2. 2. Variansi: ariansi: var(X var(X ) = (N ( N 2

− 1)/ 1)/12 12..

3. Fungsi pembangkit pembangkit momen : +1)t 1 et e(N +1)t M X (t) = . N 1 et

−

2.2

−

(2.14)

DistribusiDistribusi-distr distribusi ibusi Kont Kontin inu u Khusus Khusus

Pada sub bab ini akan dibicarakan beberapa distribusi kontinu khusus. 2.2.1 2.2.1

Distri Distribus busii Seraga Seragam m

Suatu peubah acak X dikatakan memiliki distribusi seragam pada selang (a, b) , dinotasikan X UNIF(a, UNIF(a, b), dengan fungsi densitas peluang

∼

1

 −  −  −

f X (x; a, b) = Fungsi distribusi kumulatif X

b a 0,

,

untuk a < x < b; b; untuk x lainnya. lainnya.

∼ UNIF(a, UNIF(a, b) memiliki bentuk 0, jika x ≤ a;

F X ;a,b =

x b 1,

a , a

(2.15)

jika a < x < b; b; jika b

≤ x.

(2.16)

BAB 2.

8


Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Seragam Kontinu

Beberapa Beberapa hasil penting: penting: 1. Nilai harapan harapan:: E(X E(X ) = (a + b)/2. 2. Variansi: ariansi: var(X var(X ) = (b (b

− a)2/12 12..

3. Fungsi pembangkit pembangkit momen : M X (t) = 2.2.2 2.2.2

ebt (b

− eat . − a)t

(2.17)

Distri Distribus busii Gamma Gamma

Definisi Definisi 2.1 (Bain and Engelhardt (1992)) . Fungsi gamma, dinotasikan Γ(κ Γ(κ) untuk semua

κ > 0, didefinisikan sebagai

∞

Γ(κ Γ(κ) =



tκ−1 e−t dt.

(2.18)

0

Jika κ = 1 maka ∞



Γ(1) =

e−t dt

0

=

−t

−e

=e

∞

 

0

−∞

−(− e0)

=0+1 = 1. 1.

(2.19)

Fungsi gamma dan sifat-sifatn sifat-sifatnya ya dapat dilihat pada teorema teorema berikut. berikut. Teorema 2.2. Fungsi gamma memiliki sifat-sifat berikut:

− 1)Γ(κ 1)Γ(κ − 1), 1), untuk k > 1; 2. Γ(n Γ(n) = (n ( n − 1)!, 1)!, untuk n = 1, 1 , 2, . . . ; √ 3. Γ(1/ Γ(1/2) = π . 1. Γ(κ Γ(κ) = (κ (κ

Akan ditunjukka ditunjukkan n sifat 1 dengan integral integral bagian. Misal u = tκ−1 , du = (κ Bukti: Akan

−

dv = exp( t) dan v =

− exp(−t). Sehingga Γ(κ Γ(κ) = (κ ( κ − 1)Γ(κ 1)Γ(κ − 1), 1), untuk k > 1

menjadi Γ(κ Γ(κ) = t =

κ−1

−t

∞

 − − −     − −t

( e )

κ−1 −t

0

∞

e

∞

+

e−t (κ

0

0

= 0 + (κ (κ

( e−t )(κ )(κ

∞

1)

= (κ (κ

1)tκ−2 dt − 1)t

tκ−2 e−t dt

0

1)Γ(κ − 1), 1), − 1)Γ(κ

κ > 1.

1)tκ−2 dt − 1)t

− 1)t 1)tκ−2 , (2.20)

BAB 2.

9


Selanjutnya akan ditunjukkan sifat 2. Bila n adalah bilangan bulat maka

− 1)Γ(n 1)Γ(n − 1) = (n ( n − 1)(n 1)(n − 2)Γ(n 2)Γ(n − 2) = ··· = (n ( n − 1)(n 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1Γ(1) = (n ( n − 1)(n 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1

Γ(n Γ(n) = (n (n

= n!.

Kemudian akan ditunjukkan sifat 3. ∞

Γ(1/ Γ(1/2) =

  0

=

∞

t1/2−1 e−t dt t−1/2 e−t dt.

(2.21)

0

(2.22)

Misal x = t1/2 , dx = (1/ (1/2)t 2)t−1/2 dt atau dt = 2t1/2 dx = 2x dx. Dengan Dengan substit substitusi usi ini, maka maka Persamaan (2.21) menjadi ∞

 

Γ(1/ Γ(1/2) =

0

=

∞

2

x−1 e−x 2x dx 2

2 e−x dx.

(2.23)

0

(2.24)

Menggandakan Persamaan (2.23) diperoleh [Γ(1/ [Γ(1/2)]2 =

∞

  

2 e−x dx

0 ∞

=

0

2

∞

∞



2

2 e−y dy

0

2

4 e−(x

+y 2 )

dx dy

 (2.25)

0

Untuk menyelesaikan integral pada Persamaan (2.25), lakukan transformasi koordinat kutub. Misal x = r cos θ dan y = r sin θ; sehingga x2 + y2 = r2 cos2 θ + r2 sin2 θ = r 2 (cos2 θ +sin2 θ) = r2 . Kemudian turunan parsial masing-masing peubah terhadap r dan θ adalah sebagai berikut b erikut ∂x = cos θ, ∂r ∂y = sin θ, ∂r

∂x = r sin θ, ∂θ ∂y = r cos θ. ∂θ

−

Dengan demikian diperoleh Jacobian, J =

 

cos θ

−r sin θ

sin θ

r cos θ

= r cos2 +r sin2 θ = r.

 

Sehingga integral Persamaan (2.25) menjadi 2

[Γ(1/ [Γ(1/2)] =

π/2 π/2

∞

  0

0

2

4 e−r rdr dθ.

BAB 2.

10


Untuk menyelesaikan integral ini, misalkan u = r2 , du = 2r 2 r dr. Dengan demikian π/2 π/2

2

[Γ(1/ [Γ(1/2)] = 2

∞

   −     −    0

0

π/2 π/2

=2

−u

∞

e

0

dθ

0

π/2 π/2

=2

e−u du dθ

( e−∞ + e0 ) dθ

0

π/2 π/2

=2

dθ

0 π/2 π/2

= 2θ 2θ

0

=π

−0

= π. Jadi diperoleh diperoleh Γ(1/ Γ(1/2) =

√π .

Suatu peubah acak kontinu X dikatakan berdistribusi gamma dengan parameter θ > 0 dan κ > 0 jika jika memiliki memiliki fungsi densitas densitas peluang peluang dengan dengan bentuk bentuk f X (x; θ, κ) = dan dinotasikan X

1 xκ−1 e−x/θ , κ θ Γ(κ Γ(κ) 0,

   

untuk 0 < x <

∞;

untuk x lainnya; lainnya;

∼ GAM(θ, GAM(θ, κ). Bentuk (2.26) juga dapat direparameterisasi sebagai θκ κ−1 −xθ x e , untuk 0 < x < ∞; Γ(κ) f (x; θ, κ) = Γ(κ X

0,

(2.26)

(2.27)

untuk x lainnya; lainnya;

Lihat Rice (2007), halaman 53 untuk bentuk fungsi densitas peluang persamaan(2.27). Diskusi: Tunjukkan bahwa persamaan (2.27) adalah fungsi densitas peluang. Parameter κ disebut parameter bentuk ( shape parameter ) karena menentukan bentuk dasar grafik fungsi densitas densitas peluang. Secara Secara umum ada tiga bentuk bentuk dasar bergantung bergantung pada apakah apakah κ < 1, κ = 1, atau κ > 1. Sementara itu, parameter θ disebut parameter skala ( scale parameter ). Mengubah nilai θ bersesuaian dengan mengubah-ubah unit-unit pengukuran (katakanlah dari detik ke menit). Untuk Untuk memeriksa memeriksa apakah integral integral persamaan persamaan (2.26) adalah fungsi densias peluang peluang gunakan gunakan teknik teknik substitusi. substitusi. Dengan Dengan kata kata lain, untuk memeriksa memeriksa ∞

 0

1 xκ−1 e−x/θ dx = 1 κ θ Γ(κ Γ(κ)

(2.28)

lakukan substitusi dengan t = x/θ, x/θ, dt = (1/θ (1/θ)) dx, dengan batas-batas pengintegralan tidak berubah. Sehingga ∞

 0

∞

θκ (θt) θt)κ−1 e−t dt Γ(κ Γ(κ) 0 ∞ 1 = θκ−1 tκ−1 e−t θ dt θ Γ(κ Γ( κ ) 0 θκ−1 Γ(κ Γ(κ)θ = θκ Γ(κ Γ(κ) = 1. 1.

1 xκ−1 e−x/θ dx = κ θ Γ(κ Γ(κ)

 

(2.29)

BAB 2.

11


Fungsi Distribusi Kumulatif

Fungsi distribusi kumulatif X

∼ GAM(θ, GAM(θ, κ) adalah x

F X (x; θ, κ) =

 0

1 θκ Γ(κ Γ(κ)

xκ−1 e−x/θ dt.

(2.30)

Integral bentuk (2.30) secara umum tidak dapat diselesaikan secara eksplisit, namun bila κ adalah bilangan bulat positif, katakanlah κ = n, maka integralnya dapat dinyatakan sebagai penjumlahan. Teorema 2.3. Jika X

∼ GAM(θ, GAM(θ, n), dengan n adalah bilang bulat positif maka fungsi distribusi

kumulatifnya dapat ditulis

n−1

F X (x; θ, n) = 1

−

 i=0

(x/θ) x/θ)i −x/2 e x/2 . i!

(2.31)

Bukti: Stone (1996) Akan ditunjukkan Persamaan (2.31) dengan induksi. Untuk n = 1: 0 −x/θ



−e i=0 −x/θ =1 −e .

F X (x; θ, 1) = 1

(x/θ) x/θ)0 0! (2.32)

∼

[Catatan: jika jika n = 1 maka X EXP(θ EXP(θ), sehingga F X (x) = 1 Selanjuntya akan ditunjukkan benar untuk n + 1: 1: x

F X (x; θ, n + 1) = =

    0

0

=

0

=

x

x

x

0

=

−

+1−1 tn+1− e−t/θ dt n +1 θ Γ(n Γ(n + 1) tn e−t/θ dt n +1 θ (n + 1 1)! n t e−t/θ dt n +1 θ n! tn d e−t/θ n θ n!

−

−     −

tn −t/θ e θn n! n −x/θ

=

− x θenn!

=



x

x/θ)]. − exp(−x/θ)

0

x

+

0 x

t=0

0+

0

ntn−1 θn n!

t=x

e−t/θ dt

−

ntn−1 −t/θ e dt θ n n!

ntn−1 −t/θ e dt θn n! xn e−x/θ . θ n n!

(2.33)

Dengan Dengan hipotesis hipotesis induksi induksi n−1

F X (x; θ, n) = 1 =1

  − −

i=0 n

i=0

(x/θ) x/θ)i −x/2 e x/2 i!

n −x/θ

− x θenn!

(x/θ) x/θ)i −x/2 e x/2 . i!

(2.34)

BAB 2.


12

Rata-rata dan Varians

Nilai tengah atau rata-rata dari X

∼ GAM(θ, GAM(θ, κ) diperoleh diperoleh sebagai sebagai berikut: berikut: ∞



E(X E(X ) =

x

0

1 θκ Γ(κ Γ(κ) ∞

1 = κ θ Γ(κ Γ(κ)



xκ−1 e−x/θ dx

(1+κ)−1 −x/θ x(1+κ e dx

0

∞

(1+κ (1+κ)−1 1+κ Γ(1 + κ) θ1+κ 0 x = e−x/θ dx κ 1+κ 1+ κ θ Γ(κ Γ(κ) θ Γ(1 + κ) 1+κ 1+ κ θ Γ(1 + κ) = κ θ Γ(κ Γ(κ) θκΓ( θκΓ(κ κ) = Γ(κ Γ(κ) = θκ.



(2.35)

dan ∞

2

E(X E(X ) =



1 xκ−1 e−x/θ dx θκ Γ(κ Γ(κ)

x2

0

1 = κ θ Γ(κ Γ(κ)

∞



(2+κ)−1 −x/θ x(2+κ e dx

0

∞

(2+κ (2+κ)−1 2+κ Γ(2 + κ) θ2+κ 0 x = e−x/θ dx κ 2+κ 2+ κ θ Γ(κ Γ(κ) θ Γ(2 + κ) 2+κ Γ(2 + κ) θ2+κ = θκ Γ(κ Γ(κ) 2 θ (1 + κ)Γ(1 + κ) = Γ(κ Γ(κ) θ2 (1 + κ)κΓ(κ Γ(κ) = Γ(κ Γ(κ) = θ2 (1 + κ)κ.



(2.36)

Dengan demikian var(X var(X ) = E(X E(X 2 )

− [E(X [E(X )] )]2 = θ 2 (1 + κ)κ − [θκ] θκ]2 = θ 2 (κ2 + κ) − θ2 κ2 = θ 2 κ2 + θ 2 κ − θ 2 κ2 = θ 2 κ.

(2.37)

Fungsi pembangkit momen

Fungsi pembangkit momen X

∼ GAM(θ, GAM(θ, κ) dapat dihitung sebagai berikut. berikut. M X (t) = =

∞

etx xκ−1 −x/θ e dx θκ Γ(κ Γ(κ)

∞

(1−tθ) tθ)/θ xκ−1 e−x(1− dx Γ(κ) θκ Γ(κ

  0

0

(2.38)

BAB 2.

13


Untuk Untuk menyel menyelesaik esaikan an integral integral persamaan persamaan (2.38) lakukan lakukan substitusi substitusi u = x(1 t < 1/θ atau x = θu(1 θu(1 θt) θt) sehingga dx = (θ/ ( θ/(1 (1 θt)) θt)) du. Dengan demikian

−

−

κ−1 θ θu M X (t) = e−u du κ θ Γ(κ Γ(κ)(1 θt) θt) 1 θt 0 ∞ θθ κ−1 uκ−1 = e−u du κ κ − 1 Γ(κ)(1 θt)(1 θ Γ(κ θt)(1 θt) θt) 0 ∞ uκ−1 = e−u du κ Γ(κ Γ(κ)(1 θt) θt) 0 ∞ κ−1 1 u = e−u du κ (1 θt) θt) 0 Γ(κ Γ(κ) 1 Γ(κ Γ(κ) = (1 θt) θt)κ Γ(κ Γ(κ) 1 = (1 θt) θt)κ = (1 θt) θt)−κ , t < 1/θ. ∞

  

− θt) θt)/θ dengan

 

−

−

−

−

 −

−

− − −

(2.39)

Dengan mengetahui fungsi pembangkit momen, kita juga dapat menghitung momen pertama dan kedua, yakni E(X E(X ) dan E(X E(X 2 ). Menurunk Menurunkan an persamaan persamaan (2.39) terhad terhadap ap t diperoleh  M X (t) = ( κ)(1

−

− θt) θt)−κ−1 (−θ)

(2.40)

dan  M X (t) = ( κ)( κ

− − − 1)(1 − θt) θt)−κ−2 (−θ)(−θ).

Selanjutnya

 E(X E(X ) = M X (0) = ( κ)(1

−

= θκ

− θ · 0)−κ−1(−θ)

(2.41)

(2.42)

dan (2.43)  E(X E(X 2 ) = M X (0) = ( κ)( κ

− − − 1)(1 − θ · 0)−κ−2(−θ)(−θ) = ( −κ)(−κ − 1)θ 1)θ2 = κ(κ + 1)θ 1)θ2

= θ2 κ(κ + 1). 1).

(2.44)

Dengan Dengan menggu menggunak nakan an hasil hasil dari dari Persa Persamaa maan n (2.42) (2.42) dan (2.44) (2.44) maka maka akan akan diperol diperoleh eh varians arians seperti pada Persamaan Persamaan (2.37). Turunan ke-r ke-r dapat dihitung sebagai berikut (r)

− ··· −

M X (t) = (κ ( κ + r 1) (κ + 1)κθ 1)κθ(1 (1 Γ(κ Γ(κ + r) r = θ (1 θt) θt)−κ−r . Γ(κ Γ(κ)

− θt) θt)−κ−r (2.45)

(r)

Momen ke-r ke-r dihasilkan dari M X (0), (0), yakni Γ(κ Γ(κ + r ) r θ (1 Γ(κ Γ(κ) Γ(κ Γ(κ + r ) r = θ . Γ(κ Γ(κ)

E(X E(X r ) =

− θ · 0)−κ−r (2.46)

BAB 2.


14

Sebagai contoh momen ketiga, yakni Γ(κ Γ(κ + 3)θ 3)θ3 E(X E(X ) = Γ(κ Γ(κ) (κ + 2)(κ 2)(κ + 1)κ 1)κΓ(κ Γ(κ)θ3 = Γ(κ Γ(κ) = (κ ( κ + 2)(κ 2)(κ + 1)κθ 1)κθ2 3

(2.47)

Diskusi:Bagaimana cara menghitung fungsi gamma? Program R memiliki fungsi gamma untuk untuk menghitung menghitung fungsi gamma, baik untuk bilangan

bulat maupun pecahan. Perhatikan contoh berikut: > gamma(4) gamma(4) [1] 6 > gamma(5/3) gamma(5/3) [1] 0.9027453 0.9027453

Distribusi gamma dengan parameter θ = 2 dan κ = 1 disebut distribusi khi kuadrat ( chi). Distribusi ini banyak berperan dalam teknik pengambilan sampel. Selanjunya apabila square ). X GAM(θ, GAM(θ, 1) maka X dikatakan berdistribusi eksponensial dengan parameter θ, dinotasikan X EXP(θ EXP(θ).

∼ ∼

Aplikasi

Menuru Menurutt Rice Rice (2007), (2007), Wacke ackerly rly et al. (2002) (2002),, dan Hog Hoggg and Craig Craig (1995) (1995) distri distribus busii gam gamma ma cocok digunakan digunakan untuk memodelkan memodelkan peubah acak non negatif. negatif. Lebih lanjut Wack Wackerly erly et al. (2002) menambahk menambahkan an bahwa bahwa distribusi distribusi ini cenderung cenderung miring miring ( skewed ) ke kan kanan an.. Distr Distrib ibus usii gamma biasanya biasanya digunak digunakan an untuk untuk memodelk memodelkan an lama waktu antara antara kerusak kerusakan an ( malfunction ) mesin pesawat terbang, memodelkan antrian pada saat pembayaran di kasir supermarket, dan lama waktu perawatan ( maintenance ) mobil. Selanjutnya Rice (2007) mencontohkan pencarian pola dalam penentuan penentuan gempa bumi dalam kaitannya aitannya dengan waktu, waktu, ruang, ruang, dan magnitudo. magnitudo. Selain Selain itu Hog Hoggg and Craig Craig (1995) (1995) menam menambah bahk kan bahwa bahwa distri distribus busii gam gamma ma sering sering diguna digunak kan sebagai model untuk waktu tunggu ( waiting time ) dalam reliabilitas. reliabilitas. 2.2.3 2.2.3

Distri Distribus busii Ekspone Eksponensi nsial al

Suatu peubah acak X dikatakan berdistribusi eksponensial dengan parameter θ > 0, dinotasikan X EXP(θ EXP(θ) jika jika memiliki memiliki fungsi densitas densitas peluang dengan bentuk bentuk

∼

f X (x; θ) =

 

1 −x/θ e , θ 0,

jika 0 < x; 0 < θ; θ;

(2.48)

jika x lainnya. lainnya.

Distribusi Distribusi eksponensial eksponensial dengan dengan parameter parameter θ, yakni yakni EXP(θ EXP(θ) adalah adalah kejadian kejadian khusus dari distribusi gamma dengan parameter κ = 1 , yakni GAM(θ, GAM(θ, 1). 1). Dengan Dengan demiki demikian an sifat-sif sifat-sifat at distribusi distribusi gamma berlaku untuk untuk distribusi distribusi eksponensial. eksponensial. Fungsi distribusi kumulatif

Fungsi distribusi kumulatif X dapat dinyatakan sebagai F X (x; θ) = 1

− e−x/θ , jika 0 < x.

(2.49)

BAB 2.

15


Hasil ini diperoleh dari Teorema 2.3 dengan kasus n = 1 atau dengan menghitung langsung integral persamaan (2.49), yakni x

F X (x) = =

1 −t/θ e dt θ 1 θd e−t/θ θ

  −   −   −  0

x

0

x

=

e−t/θ

d

0

=

e

−t/θ

x 0

− e −(− e0) = 1 − e−x/θ . =

x

(2.50)

Rata-rata dan varians

Rata-r Rata-rata ata dan varians arians juga juga merupa merupak kan hasil hasil khusu khususs dari dari distri distribus busii GAM(θ, GAM(θ, 1). 1). Lih Lihat Per Per-samaan (2.35) dan (2.37) untuk rata-rata dan varians distribusi gamma. Dengan memanfaatkan kedua hasil ini serta mensubstitusikan κ = 1 maka diperoleh E(X E(X ) = θκ = θ 1 = θ dan 2 2 2 var(X var(X ) = θ κ = θ 1 = θ .

·

·

Diskusi: Carilah E(X E(X ), E(X E(X 2 ), dan var(X var(X ) dengan mengintegralkan secara langsung kemudian bandingkan hasilnya. Fungsi pembangkit momen

Dengan analogi yang sama maka fungsi pembangkit momen untuk distribusi eksponensial adalah fungsi pembangkit pembangkit momen momen dari distribusi GAM(θ, GAM(θ, 1) sehingga diperoleh M X (t) = (1

− θt) θt)−1 .

(2.51)

Diskusi: Carilah M X (t) dengan mengintegralkan secara langsung.

2.2.4 2.2.4

Distri Distribus busii Normal Normal

Distribusi normal pertama kali dipublikasikan oleh Abraham de Moivre pada tahun 1733 sebagai suatu pendekatan pendekatan terhadap distribusi jumlah peubah acak binomial. binomial. Suatu peubah acak X dikatakan berdistribusi normal (atau Gauss) dengan rata-rata µ dan varians σ 2 , dinotasikan X (µ, σ 2 ) jika ia memiliki fungsi densitas peluang dengan bentuk

∼ N

f X (x; µ, σ ) =

√ 21πσ e−

(x

− µ)2

2σ 2

−∞ < x < ∞, −∞ < µ < ∞, 0 < σ < ∞.

,

(2.52)

Misal didefinisikan ∞

I =

  0

=

0

f X (x; µ, σ ) dx

∞

[(x−µ)/σ] /σ] /2 √ 21πσ e−[(x dx 2

(2.53)

Untuk memeriksa apakah fungsi integral fungsi densitas peluang ini sama dengan 1, gunakan teknik substitusi, misal z = (x µ)/σ dengan dx = σ dz . Perhatik Perhatikan an bahwa bahwa f ( f (z ) =

−

BAB 2.

16


(1/sqrt (1/sqrt 2π ) exp( exp( z 2 ) adalah fungsi genap, yakni f ( f (z ) = f ( f ( z ). Dengan demikian

−

−

∞

I =

  √  √

f ( f (x; µ, σ ) dx

−∞ ∞

=

1 2 e−z /2 dz 2π 1 2 e−z /2 dz. 2π

−∞ ∞

=2

0

(2.54)

√ 2w dan dz = (w √ 2), sehingga ( w−1/2 / 2), sehingga √2 ∞ −1/2 w √ 2π e−w dw

Apabila dimisalkan w = z 2 /2, maka z = I =

  0

∞

w −1/2 −w = e dw π 0 Γ(1/ Γ(1/2) = π Γ( π ) = Γ( π ) = 1. 1.

√

√ √ √

(2.55)

Lihat kembali sifat-sifat fungsi gamma untuk memahami hasil integral pada persamaan (2.55). Fungsi distribusi kumulatif normal standar

Integran yang diperoleh dengan substitusi z = (x (x standar, dinotasikan φ(z ), yakni φ(z ) =

− µ)/σ disebut fungsi densitas peluang normal

√12π e−z /2, −∞ < z < ∞. 2

(2.56)

Jika peubah acak Z memiliki fungsi densitas peluang dengan bentuk (2.56), maka Z Fungsi distribusi kumulatif normal standar diberikan oleh

∼ N (0, (0, 1). 1).

z

Φ(z Φ(z ) =



φ(t) dt.

(2.57)

−∞

Berikut ini sifat-sifat geometrik fungsi densitas peluang normal standar.

−

1. Untuk Untuk semua bilangan bilangan real z , fungsi φ(z ) adalah fungsi genap, yakni φ(z ) = φ( z ). Dengan kata lain distribusi normal standar simetrik pada z = 0. 0. 2. Berdasark Berdasarkan an sifat khusus pada sifat 1, diperoleh diperoleh φ (z ) =

−zφ( zφ (z )

(2.58)

dan φ (z ) = (z ( z2

− 1)φ 1)φ(z ).

(2.59)

3. Sebagai Sebagai konsekue konsekuensi nsi φ(z ) memiliki nilai maksimum tunggal ( unique maximum ) pada z = 0 dan titik infleksi pada z = 1. Perhatikan juga bahwa φ(z ) 0 dan

±

φ (z ) = sebagaimana z

→ ±∞.

−z √2π exp(z →0 exp(z 2 /2)

→

(2.60)

BAB 2.

17


Rata-rata dan varians

Dengan menggunakan sifat-sifat penting fungsi densitas peluang normal standar dapat dihitung E(Z E(Z ) dan E(Z E(Z 2 ): ∞

  −

E(Z E(Z ) =

zφ( zφ (z ) dz

−∞ ∞

=

φ (z ) dz

−∞

 

−φ(z)

=

∞ −∞

= 0, 0 , (lihat sifat 3)

(2.61)

dan ∞

 

2

E(Z E(Z ) =

−∞ ∞

=

z 2 φ(z ) dz [φ (z ) + φ(z )] dz

−∞ 

∞

∞

  

= φ (z )

+

−∞

φ(z ) dz

−∞

=0+1 = 1. 1.

(2.62)

Dengan demikian var(Z var(Z ) = E(Z E(Z 2 ) [E(Z [E(Z )] )]2 = 1 0 = 1. Selanjutnya untuk X (µ, σ 2 ) maka E(X E(X ) dan E(X E(X 2 ) juga dapat dihitung dengan terlebih dahulu melakukan substitusi z = (x µ)/σ atau x = σz + µ sehingga dx = σ dz . Kita peroleh

−

−

∼ N

−

∞

E(X E(X ) =

−∞ ∞

=

−∞ ∞

=

−∞ ∞

=

x 1 x µ 2 exp dx 2 σ 2πσ (σz + µ) exp( z 2 /2)σ 2)σ dz 2πσ (σz + µ) exp( z 2 /2) dz 2π

 √ −  −    √ −  √ −      (σz + µ)φ(z ) dz

−∞ ∞

=

∞

σzφ σz φ(z ) dz + µ

−∞ ∞

=σ

φ(z ) dz

−∞ ∞

zφ( zφ (z ) dz + µ

−∞

·

φ(z ) dz

−∞

= 0+µ 1 = µ.

(2.63)

BAB 2.

18


Selanjutnya E(X E(X 2 ) =

x2 1 x µ 2 exp dx 2 σ 2πσ (σz + µ)2 exp( z 2 /2)σ 2)σ dz 2πσ (σz + µ)2 exp( z 2 /2) dz 2π

∞

     

√

−∞ ∞

=

−∞ ∞

=

−∞ ∞

=

−∞ ∞

=

=σ

−

√

−

(σ 2 z 2 + 2σz 2σzµ µ + µ2 )φ(z ) dz ∞

2 2

σ z φ(z ) dz +

−∞ 2

√

(σz + µ)z φ(z ) dz

−∞ ∞

=

−  −  

∞

2σzµφ( σzµφ(z ) dz +

−∞

∞





2

z φ(z ) dz + 2σµ 2σµ

−∞

−∞

∞





zφ( zφ (z ) dz + µ

2

−∞

= σ 2 1 + 0 + µ2 1

·

·

= σ 2 + µ2 .

µ2 φ(z ) dz ∞



φ(z ) dz

−∞

(2.64)

Dengan demikian diperoleh var(X var(X ) = E(Z E(Z 2 )

[E(Z )] )]2 − [E(Z = σ 2 + µ2 − µ2 = σ 2.

(2.65)

∼ N (µ, σ2), maka (a). peubah acak Z = (X ( X − µ)/σ ∼ N (0, (0, 1), 1),

Teorema 2.4. Jika X

(b). fungsi distribu distribusi si X F X (x) = Φ

− x

µ

σ

.

(2.66)

Bukti: Akan dibuktikan sifat (a) menggunakan definisi fungsi distribusi

 ≤− ≤   ≤ √ −  − 

F Z P (Z Z (z ) = P ( = P

z)

X

µ

= P ( P (X

µ + σz) σz )

µ+zσ

=

z

σ

1 exp 2πσ

−∞

−

1 x µ 2 σ

dx.

Dengan substitusi w = (x µ)/σ atau x = µ + 2σ 2 σ diperoleh batas-batas untuk x = w= dan untuk x = µ + zσ diperoleh w = z . Sehingga z 1 2 F Z e−z /2 σ dz Z (z ) = 2πσ −∞ z 1 2 = e−z /2 dz 2π −∞

−∞

  

√ √

z

=

φ(z ) dz

−∞

= Φ(z Φ( z ).

−∞ maka

BAB 2.

19


 Dengan menurunkan menurunkan f Z Z (z ) = F Z (z ) = ( Selanjutnya untuk sifat (b)

√ 2π)−1 e−z /2. 2

− µ)/σ ∼ N (0, (0, 1). 1).

 ≤− ≤ −  −

F X (x) = P ( P (X

x)

X

= P =Φ

Jadi Z = (X

µ

σ

x

x

µ

σ

µ

σ

Fungsi pembangkit momen

Untuk menentukan fungsi pembangkit momen distribusi normal terlebih dahulu diperhatikan fungsi pembangkit pembangkit momen momen distribusi distribusi normal standar. standar. ∞

M Z Z (t) = =

 

√12π exp(tz exp(tz)) exp( exp(−z 2 /2) dz

−∞ −∞ −∞

√12π exp[−(z − t)2/2 + t2/2] dz ∞

2

= exp(t exp(t /2)



−∞

2

√12π exp[−(z − t)2/2] dz

·

= exp(t exp(t /2) 1 = exp(t exp(t2 /2). 2). Kita tahu bahwa Z = (X ( X

(2.67)

− µ)/σ ∼ N (0, (0, 1) sehingga X = Zσ + µ. Dengan demikian M X (t) = M σZ + σZ +µ (t) = exp(µt exp(µt))M Z σt ) Z (σt) = exp(µt exp(µt)) exp[ exp[((σt) σt )2 /2] = exp[µt exp[µt + (σ (σ 2 t2 )/2]

2.2.5 2.2.5

(2.68)

Distri Distribus busii Weibull eibull

Distribusi Weibull merupakan salah satu distribusi yang banyak digunakan dalam bidang pengu jian tahan hidup benda. Distribusi ini diberi nama setelah fisikawan fisikawan W. Weibull, menyarankan menyarankan penggunaannya pada berbagai aplikasi, terutama uji kelelahan dan kekuatan material. Peubah acak kontinu X dikatakan memiliki distribusi Weibull dengan parameter θ > 0 dan β > 0 untuk x > 0, dinotasikan WEI(θ, WEI(θ, β ), bila memiliki fungsi densitas peluang dengan bentuk f X (x; θ, β ) =

 

β β −1 −(x/θ) β x e x/θ) , β θ 0,

jika x > 0;

(2.69)


Parameter β disebut parameter bentuk ( shape parameter ). Seperti halny halnya a pada distribusi distribusi gamma, maka akan ada tiga bentuk dasar bergantung pada β < 1, β = 1, atau β > 1. Fungsi distribusi kumulatif Rata-rata dan varians

Untuk menghitung E(X E(X ) dan E(X E(X 2 ) dapat memanfaatkan sifat-sifat fungsi gamma.

BAB 2.

20


∞

E(X E(X ) =



β β −1 −(x/θ) x/θ)β xx e dx θβ

0

β = β θ

∞



β

(1+β )−1 −(x/θ) x(1+β e x/θ) dx

(2.70)

0

Untuk menyelesaikan menyelesaikan Persamaan (2.70) lakukan substitusi (x/θ) x/θ)β = u, sehingga dx = [(θu [(θu1/2−1 )/β] /β ] du. Dengan demikian ∞

β E(X E(X ) = β θ β = β θ β = β θ

     

=θ

0

0

∞

1+β −1 −u (θu1/β )1+β e

(θu1/β )β e−u

∞

0 ∞

θβ u e−u

θ 1/β− u /β−1 du β

θ 1/β− u /β−1 du β

θ 1/β− u /β−1 du β

(1+1/β))−1 −u u(1+1/β e du

0

= θΓ 1 +

1 . β

(2.71)

Selanjutnya untuk menghitung E(X E(X 2 ) lakukan substitusi seperti pada waktu menghitung E(X E(X ). 2

∞

E(X E(X ) =

β 2 β −1 −(x/θ) x/θ)β x x e dx θβ

 0

β = β θ β = β θ β = β θ =θ

2

∞

      0

∞

β

(2+β )−1 −(x/θ) x(2+β e x/θ) dx

θ 1/β− u /β−1 du β 0 ∞ θ (1/β− (1+1/β −1) (θβ +1 u(1+1/β )) e−u u(1/β du β 0 ∞

(θu1/β )β +1 e−u

(2/beta+1) +1)− −1 −u u(2/beta e du

0

= θ2Γ 1 +

2 . β

(2.72)

Berdasarkan Persamaan (2.70) dan (2.72) diperoleh var(X var(X ) = E(X E( X 2 ) 2

[E(X )] )]2 − [E(X 2 1+ − θΓ β

=θ Γ

= θ2 Γ 1 + 2.2.6 2.2.6

2

        −   1 1+ β 1 θΓ2 1 + β

2 β

.

(2.73)

Fungsi ungsi pem pembangki bangkitt momen momen

Fungsi pembangkit momen distribusi Weibull menghasilkan bentuk yang tidak terlacak ( not tractable ).

2.3 2.3

Lati Latiha han n Soal Soal

2-1 Waktu tahan hidup hidup ( survival survival time ) dalam hari suatu tikus putih yang bergantung pada tingkat radiasi sinar X adalah peubah acak X GAM(5, GAM(5, 4). 4). Hitunglah:

∼

BAB 2.

21


a) P ( P (X

≤ 15); 15);

b) P (15 P (15 < X < 20); 20); c) Nilai harapan harapan tahan hidup, hidup, E(X E(X ). [Petunjuk: gunakan teorema tentang sifat fungsi distribusi gamma] 2-2 Waktu (dalam menit) sampai pelangg p elanggan an ketiga memasuki supermarket supermarket adalah peubah acak X GAM(1, GAM(1, 3). 3). Jika toko buka jam 08.00, hitunglah peluang bahwa:

∼

a) pelanggan pelanggan ketiga datang datang antara jam 08.05 dan 08.10; b) pelanggan pelanggan ketiga datang setelah setelah jam 08.10. 2-3 Jika Jika X

∼ GAM(1, GAM(1, 2) hitunglah modusnya.

2-4 Misal peubah peubah acak X berdistribus berdistribusii gamma dengan fungsi densitas densitas peluang f X (x; β ) =

1 x e−x/β , β2 0,

 

untuk 0 < x <

∞;

untuk x lainnya. lainnya.

Jika x = 2 adalah modus tunggal ( unique mode ) dari distribusi, distribusi, hitunglah hitunglah parameter β . 2-5 Jika Jika fungsi pembangkit pembangkit momen peubah acak W adalah M W W (t) = (1

− 7t)−20,

carilah fungsi densitas peluangnya, nilai tengah (rata-rata), dan varians W . W .

∼ N (10, (10, 16). 16). Hitunglah: a) P ( P (X ≤ 14); 14); b) P (4 P (4 ≤ X ≤ 18); 18); c) P (2 P (2X X − 10 ≤ 18); 18);

2-6 Misal Misal X

2-7 Misal Misal suatu suatu LCD proye proyekto ktorr mengha menghasil silk kan jumlah jumlah cahay cahayaa (dalam (dalam lumens lumens)) dan diangg dianggap ap 2 berdistribusi normal dengan rata-rata µ = 350 dan varians σ = 400. 400. a) Hitunglah Hitunglah P (325 P (325 < X < 363). 363). b) Carilah Carilah nilai c sehingga jumlah cahaya yang dihasilkan 90% cahaya LCD melebihi c lumens.

∼ N (1, (1, 2). 2). a) Hitung Hitung E(X E(X − 1)4 .

2-8 Misal Misal X

b) Hitung Hitung E(X E(X 4 ).

2.4

Latiha Latihan n Soal Soal Teoreti eoretiss

2-1* Jika Jika κ > 1, tunjukkan bahwa densitas gamma memiliki nilai maksimum pada (κ

− 1)/θ 1)/θ..

2-2* Fungsi gamma adalah fungsi faktorial faktorial yang diperumum diperumum ( generalized factorial function ). ). a) Tunjukkan bahwa bahwa Γ(x Γ(x + 1) = xΓ(x Γ(x).

BAB 2.


22

√ π untuk menunjukkan bahwa jika n adalah bilangan √ π(n − 1)! Γ(n/ Γ(n/2) 2) = . n − 1 2n−1 !

b) Gunakan fakta bahwa bahwa Γ(1/ Γ(1/2) = bulat ganjil maka

  2

2-3* Tunjukkan unjukkan dengan teknik pengubahan pengubahan variabel variabel ( change of variable ) bahwa ∞

 

Γ(x Γ(x) = 2

0 ∞

=

−∞

2

t2x−1 e−t dt t

ext e− e dt.

BAB 3 PEUBAH ACAK ACAK BERGAND BERGANDA A

Kompetensi Dasar

Membedakan sifat-sifat nilai harapan dan fungsi pembangkit momen. Indikator Pencapaian

Mampu memisahka memisahkan n sifat-sifat sifat-sifat nilai harapan, harapan, harapan harapan bersyarat, bersyarat, dan fungsi pembangkit pembangkit momen. Materi Pokok

3.1 Distribusi Distribusi Bersama Bersama dan Marginal 3.2 Peubah Peubah Acak Acak Bebas 3.3 Distribusi Distribusi Bersyarat Bersyarat 3.4 Latihan Latihan Soal

Dalam Dalam banya banyak k aplik aplikasi asi biasan biasanya ya terdap terdapat at lebih lebih dari dari satu satu peubah peubah acak acak yang yang menjad menjadii objek penelitian, katakanlah X 1 , . . . , Xk . Secara matematis akan lebih mudah mengganggap peubahpeubah peubah ini sebagai sebagai kompone komponen n dari dari vektor vektor dimens dimensii k, X = X 1 , . . . , Xk , dan juga nilai-n nilai-nila ilaii x = (x ( x1 , . . . , xk ) dalam ruang Euclid Euclid berdimensi berdimensi k . Nilai amatan x dapat merupakan hasil dari pengukuran karakteristik-karakteristik karakteristik-karakteristik sebanyak k , atau hasil dari pengukuran satu karakteristik sebanyak k kali (hasil dari k kali percobaan yang diulang pada satu peubah saja).

3.1 3.1.1 3.1.1

Distri Distribus busii Bers Bersama ama dan Margin Marginal al Distri Distribus busii Disk Diskrit rit Bersam Bersama a

Definisi 3.1 (Fungsi densitas peluang bersama) . Fungsi densitas peluang bersama ( joint probaproba( X 1 , . . . , Xk ), didefinisikan bility distribution function ) dari peubah acak diskrit dimensi k , X = (X

sebagai f X1,...,Xk (x1 , . . . , xk ) = P ( P (X 1 = x1 , X 2 = x2 , . . . , Xk = xk ) untuk semua nilai yang mungkin X = (x1 , . . . , xk ) dari X. Dalam konteks ini, notasi (X 1 = x1 , X 2 = x2, . . . , Xk = xk ) menyatakan irisan k kejadian (X 1 = x1 ), (X 2 = x2 ) (X k = xk ).

∩···∩

Contoh Contoh 3.1. Sebuah kotak berisi 1000 bola, 500 berwarna merah, 400 berwarna putih, dan

100 berwarn berwarnaa biru. biru. Jika Jika sepulu sepuluh h bola dipili dipilih h secara secara acak acak tanpa tanpa pengend pengendali alian, an, maka maka jumlah jumlah 23

BAB 3.

24

PEUBAH PEUBAH ACAK ACAK BERGAN BERGANDA DA

bola merah, X 1 , dan jumlah bola putih, X 2 , dalam sampel adalah peubah acak diskrit yang berdistribusi berdistribusi bersama. Fungsi densitas bersam b ersamaa pasangan pasangan (X 1 , X 2 ) dinyatakan dinyatakan oleh

f X1 ,X2 (x1 , x2 ) =

untuk semua 0 3.1.2

    − 500 x1

400 x2

100 10 x1 x2 1000 10

−



≤ x1, 0 ≤ x2, dan x1 + x2 ≤ 10 10..

Distribus Distribusii Hyperge Hypergeomet ometrik rik yang yang Diperluas Diperluas

Misal suatu koleksi terdiri dari suatu jumlah item tertentu N , N , dan terdapat k + 1 jenis berbeda; M 1 jenis 1, M 2 jenis jenis 2, dan seteru seterusn snya ya.. Pilih Pilih n item secara acak tanpa pengembalian pengembalian,, dan misal X i adalah adalah jumlah jumlah item item jenis jenis i yang yang terpili terpilih. h. Vektor ektor X = (X 1 , . . . , Xk ) berdistribusi hipergeometrik diperluas ( extended dengan fungsi densitas densitas peluang extended hypergeom hypergeometric etric distribution ) dengan dalam bentuk M 1 M 2 M k M k+1 x1 x2 xk xk+1 f X1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ) = N n

   · · ·     − −

≤ ≤

k i=1 M i

untuk semua 0 xi M i , dengan M k+1 = N khusus khusus untuk untuk distribusi distribusi ini adalah X

dan xk+1 = n

k i=1 xi .

Nota No tasi si

∼ HYP(n, HYP(n, M 1 , M 2 , . . . , Mk , N ) N ).

Apabila pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian, maka vektor X akan berdistribusi multinomial. 3.1.3 3.1.3

Distri Distribus busii Multi Multinom nomial ial

Misal terdapat k +1 kejadian saling lepas ( mutually exclusive ) dan exhaustive , yakni, E 1 , E 2, . . . , Ek , E k+1, yang dapat terjadi pada setiap percobaan, dan misal pi = P ( P (E i ) untuk i = 1, 2, . . . , k + 1. Pada Pada setiap n kali percobaan percobaan bebas, misalkan misalkan X i adalah banyakn banyaknya ya kejadian kejadian E i . Vekto ektorr X = (X 1 , . . . , Xk ) dikatakan memiliki distribusi multinomial, dengan fungsi densitas bersama dalam bentuk n! xk+1 f X1,...,Xk (x1 , . . . , xk ) = px1 1 px2 2 pk+1 (3.1) x1 !x2 ! xk+1 !

···

···

≤ ≤ n, dimana xk+1 = n − ki=1 xi dan pk+1 = 1 − MULT(n, p1 , p2 , . . . , pk ). X ∼ MULT(n,

untuk semua 0 xi distribusi distribusi ini adalah



k i=1 pi .



Notasi Notasi untuk untuk

Persamaan (3.1) mirip dengan distribusi binomial. Untuk terjadinya E i sebanyak xi kali, diperlukan permutasi E 1 sebanyak x1 , E 2 sebanyak x2 , dan seterusnya. Banyaknya permutasi untuk kejadian-kejadian tersebut adalah n! , (x1 !)(x !)(x2 !) (xk+1 !)

···

dan masing-masin masing-masingg permutasi permutasi terjadi terjadi dengan dengan peluang px1 1 px2 2

· · · pkx+1 . k+1

Contoh Contoh 3.2. Sebuah Sebuah dadu dadu bermata bermata empat empat dilemp dilempark arkan an seban sebanya yak k 20 kali, ali, dan muncu munculn lnya ya

masing masing-ma -masin singg sisi dicatat. dicatat. Pelua Peluang ng mendap mendapatk atkan an empat empat mata mata 1, enam enam mata mata 2, lima lima mata mata 3, dan lima mata 4 serta nilai pi = 0,25 adalah 20! (0, (0,25)20 = 0, 0 ,0089 0089.. (4!)(6!)(5!)(5!)

BAB 3.

25


Teorema 3.1. Suatu fungsi f X1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ) adalah fungsi densitas peluang bersama untuk beberapa peubah acak bernilai vektor X = (X 1 , . . . , Xk ) jika dan hanya jika sifat-sifat berikut

dipenuhi: f X1 ,...,Xk (x1, . . . , xk ) dan

≥ 0 untuk semua nilai yang mungkin (x1, . . . , xk )

··· x1

f ( f (x1 , . . . , xk ) = 1. 1.

xk

Dalam kasus dua dimensi, akan lebih mudah menyajikan fungsi densitas bersama dalam bentuk tabel, lebih khusus lagi, jika bentuk fungsional untuk fungsi densitas bersama f X1 ,X2 (x1 , x2 ) tidak diketahui diketahui.. Misal (X 1 , X 2 ) MUL MULT(3; T(3; 0,4, 0,4). 4). Bentuk tabel untuk nilai fungsi densitasnya nya adalah sebagai beriku b erikut: t:

∼

x1

0 1 2 3

0 0,008 0,048 0,096 0,064 0,216

x2 1 0,048 0,192 0,192 0,000 0,432

2 0,096 0,192 0,000 0,000 0,288

3 0,064 0,000 0,000 0,000 0,064

0,216 0,432 0,288 0,064 1

Dengan Dengan melihat melihat tabel diatas, kita tertarik untuk menghitung menghitung peluang "marjinal", "marjinal", yakni yakni P ( P (X 1 = 1), 1), tanpa memperhatik memperhatikan nilai X 2 . Relatif terhadap ruang sampel bersama, X 2 mempunyai pengaruh pada partisi kejadian, katakanlah A, bahwa X 1 = 1; penghitungan peluang marjinal P ( P (A) = P ( P (X 1 = 1) menjadi 3

P ( P (A) =

  

1 , X 2 = j ) P ( P (X 1 = 1,

j=0 j =0 3

=

f X1 ,X2 (1, (1, j )

j=0 j =0

=

f (1 f (1,, x2 )

x2

= 0, 0 ,432 432.. Definisi 3.2 (Fungsi densitas marjinal) . Jika pasangan peubah acak diskrit (X 1 , X 2 ) memiliki

fungsi densitas bersama f X1 ,X2 (x1 , x2 ), maka fungsi densitas peluang marjinal X 1 dan X 2 adalah f X1 (x1 ) =

 

f X1 ,X2 (x1 , x2 )

x2

dan f X2 (x2 ) =

x1

f X1 ,X2 (x1 , x2 ).

BAB 3.

26


Contoh 3.3. Misal (X 1 , X 2 )

f X1 (x1 ) =

 

∼ MULT(n, MULT(n, p1 , p2 ), maka fungsi densitas marjinal X 1 adalah

f X1 ,X2 (x1 , x2 )

x2 n−x1

=

f X1 ,X2 (x1 , x2 )

x2 =0

n! = px1 1 x1 !(n !(n x1 )!

n−x1

n! = px1 1 x1 !(n !(n x1 )!

n−x1

− −

= =

 

x1 )! p px2 2 [(1 x2 ![(n ![(n

 −  −  (n

x2 =0

n

x1

x2

x2 =0

− p1) − p2](n−x )−x − x1) − x2]!

px2 2 [(1

1

2

− p1) − p2](n−x )−x 1

2

n x1 p [ p p2 + (1 p1 ) p2 ]n−x1 x1 1 n x1 p1 (1 px1 )n−x1 . x1

−

−

−

(3.2)

Persamaan (3.2) merupakan bentuk distribusi dari binomial(n, binomial(n, p1 ), dengan kata lain X 1 binomial(n, binomial(n, p1 ).

∼

Definis Definisii 3.3 (Fungsi (Fungsi distribusi distribusi kumulatif kumulatif bersama) bersama) . Fungsi ungsi distribus distribusii kumulatif kumulatif bersama ersama k

peubah acak X 1 , . . . , Xk adalah fungsi yang didefinisikan oleh F X1 ,...,Xk (x1, . . . , xk ) = P ( P (X 1

≤ x1, X 2 ≤ x2, . . . , Xk ≤ xk).

Teorema 3.2 (Fungsi distribusi kumulatif bivariat) . Suatu fungsi F X1 ,X2 (x1 , x2 ) adalah fungsi

distribusi kumulatif bivariat jika dan hanya jika:

−∞, x2) = 0 untuk semua x2; (ii) limx →−∞ F X ,X (x1 , x2 ) = F X ,X (x1 , −∞) = 0 untuk semua x1 ; (iii) limx →∞ F X ,X (x1 , x2 ) = F X ,X (∞, ∞) = 1; 1; x →∞ (iv) Untuk Untuk semua semua a < b dan c < d berlaku: F ( F (b, d) − F ( F (b, c) − F ( F (a, d) + F ( F (a, c) ≥ 0; (i) limx1 →−∞ F X1 ,X2 (x1 , x2 ) = F X1 ,X2 ( 2

1 2

1

1

2

2

1

1

2

2

(v) limh→0+ F X1 ,X2 (x1 + h, x2 ) = limh→0+ F X1 ,X2 (x1 , x2 + h) = F X1 ,X2 (x1 , x2 ) untuk semua x1 dan x2 . Contoh 3.4. Misal suatu fungsi didefinisik didefinisikan an sebagai sebagai berikut: berikut:

F X1 ,X2 (x1 , x2 ) = Jika a = c =



−1; ≥ −1.

0, jika x1 + x2 < 1, jika x1 + x2

−1 dan b = d maka F (1 F (1,, 1) − F (1 F (1,, −1) − F ( F (−1, 1) + F ( F (−1, −1) = 1 − 1 − 1 + 0 = −1.

Dengan kata lain sifat (iv) dalam Teorema 3.2 tidak dipenuhi.

BAB 3.

3.1.4 3.1.4

27


Distri Distribus busii Kont Kontin inu u Bersam Bersama a

Definisi 3.4 (Fungsi peluang bersama kontinu) . Suatu vektor peubah acak berdimensi berdimensi k, X = (X 1, . . . , Xk ) dikatakan kontinu jika terdapat suatu fungsi f X1,...,Xk (x1 , . . . , xk ) disebut fungsi densitas bersama dari X, sedemikian hingga fungsi distribusi kumulatif bersama dapat ditulis

sebagai

xk

x1

−∞

−∞

 · · · 

F X1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ) =

f T T1 ,T 2 ,...,T k (t1 , . . . , tk ) dt1

· · · dtk

(3.3)

untuk semua x = (x ( x1 , . . . , xk ). Seperti halnya dalam kasus satu dimensi, fungsi densitas bersama dapat diperoleh dari fungsi distribusi kumulatif bersama dengan menurunkan F X1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ) pada Persamaan (3.3), yakni ∂ k f X1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ) = F X1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ). ∂x 1 ∂x k

···

bilamana turunan parsialnya ada.

Teorema 3.3 (Syarat fungsi densitas bersama) . Sembarang fungsi f X1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ) adalah

fungsi densitas bersama dari peubah acak berdimensi k jika dan hanya jika f X1,...,Xk (x1 , . . . , xk dan

∞

∞

−∞

−∞

 · · · 

≥ 0) untuk semua x1, . . . , xk

f X1,...,Xk (x1 , . . . , xk ) dx1

· · · dxk = 1.1 .

Contoh Contoh 3.5. Misal X 1 menyatak menyatakan an konsentr konsentrasi asi substansi substansi dalam suatu percobaan percobaan pertama

dan X 2 menyata menyataka kan n konsentr konsentrasi asi substansi substansi dalam percobaan kedua. Dianggap Dianggap fungsi densitas bersama diberikan oleh f X1 ,X2 (x1 , x2 ) =



5x1 x2 0

untuk 0 < x1 < 1, 0 < x 2 < 1; untuk x yang lain. lain.

Fungsi distribusi kumulatif bersama diberikan oleh F X1 ,X2 (x1 , x2 ) = =

x2

x1

−∞ x2

−∞ x1

0

0

            

5t1 t2 dt1 dt2

x2

=

0

= = = =

f T T 1 ,T 2 (t1 , t2 ) dt1 dt2

5 2 t 2 1

x1

t2 dt2

0

5 2 x2 x t2 dt2 2 1 0 5 2 1 2 x2 x t 2 1 2 10 5 21 2 x x 2 12 2 5 2 2 x x 4 1 2

untuk 0 < x 1 < 1, 0 < x 2 < 1. Menghitung peluang bersama dengan mengintegralkan fungsi densitas bersama peluang pada daerah daerah yang bersesuaian bersesuaian juga dimungkin dimungkinka kan. n. Misalnya, Misalnya, kita akan akan menghitung menghitung peluang untuk kedua percobaan, bahwa "rata-rata konsentrasi kurang dari 0,5". Kejadian ini dapat dinyatakan

BAB 3.

28


{

}

oleh [(X [(X 1 + X 2 )/2 < 0,5], 5], atau apabila himpunan A = (x1 , x2 ) : (x1 + x2 )/2 < 0,5 maka dapat dinyatakan sebagai [(X [(X 1 + X 2 ) A]. Denga demikian,

∈

  ∈         −  −  −  − − 

P [( P [(X X 1 + X 2 )/2 < 0,5] = P [( P [(X X 1 , X 2 ) =

A

f X1 ,X2 (x1 , x2 ) dx1 dx2

1

=

1−x2

5x1 x2 dx1 dx2

0

0

1

=

5 2 x 2 1

x2

0

1

=

0

1

=

0

1

=

A]

0

1−x2

dx2

0

5 x2 (1 x2 )2 dx2 2 5 x2 (1 2x2 + x22 ) dx2 2 5 (x2 2x22 + x32 ) dx2 2

5 1 2 2 3 1 4 1 = x x + x 2 2 3 2 4 0 5 1 2 1 = + 2 2 3 4 5 = . 24 Secara umum untuk peubah acak kontinu X = (X ( X 1 , . . . , Xk ) dimensi k dan kejadian A dimensi k kita punya P ( P (X

∈ A) =

 · · · 

f X1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ) dx1

A

 

· · · dxk .

Definisi 3.5 (Fungsi densitas marjinal) . Jika pasangan peubah acak kontinu (X 1 , X 2 ) memiliki fungsi densitas peluang bersama f X1 ,X2 (x1 , x2 ), maka fungsi densitas peluang marjinal X 1 dan

X 2 adalah ∞

f X1 (x1 ) =



f X2 (x2 ) =



−∞

f X1 ,X2 (x1 , x2 ) dx2

dan ∞

−∞

f X1 ,X2 (x1 , x2 ) dx1 .

Jika kita tinjau lagi Contoh 3.5, maka fungsi densitas marjinal X 1 adalah 1

f X1 (x1 ) =

 0

= 5x 5 x1

5x1 x2 dx2 1

    

x2 dx2

0

= 5x 5 x1

5 = x1 , 2 untuk setiap 0 < x 1 < 1 dan nol untuk yang lain.

1 2 x 2 2

1 0

BAB 3.

29


Definis Definisii 3.6 (Fungsi (Fungsi distribusi distribusi kumulatif kumulatif marjinal) marjinal). Jika X = (X 1 , . . . , Xk ) adalah peubah

acak dimensi k dengan fungsi distribusi bersama F X1,...,Xk (x1 , . . . , xk ), maka fungsi distribusi kumulatif marjinal X j adalah F Xj (x j ) =

li m

xj →∞ semua i=  j

F X1,...,Xk (x1 , . . . , x j , . . . , xk ).

Lebih lanjut, jika peubah acak X diskrit, maka fungsi densitas peluang marjinalnya adalah f Xj (x j ) =

···  semua

f X1 ,...,Xk f ( f (x1 , . . . , x j , . . . , xk )

i=  j

dan jika X kontinu maka f Xj (x j ) =

 · · · 

semua

f X1,...,Xk f ( f (x1 , . . . , x j , . . . , xk ) dx1

· · · dxk .

i=  j

Contoh 3.6. Misal X 1 ,X 2 , dan X 3 adalah peubah-peubah acak kontinu dengan fungsi densitas

bersama dalam bentuk bentuk f X1 ,X2 ,X3 (x1 , x2 , x3 ) =



c, untuk 0 < x1 < x 2 < x 3 < 1, 0, untuk x yang lain, lain,

(3.4)

Nilai konstanta c dapat dihitung berdasarkan Teorema 3.3, yakni c = 6. 6 . Dengan demikian x3

f X3 (x3 ) =

x2

           

6 dx1 dx2

0

0

x2

x3

=6

x1

0

0

x3

=6

dx2

x2 dx2

0

6 2 = x 2 2

x2 0

= 3x 3 x23 , jika 0 < x 3 < 1 dan nol untuk yang lain.

3.2 3.2

Peuba eubah h Acak cak Be Beba bass

Definisi 3.7 (Peubah acak bebas) . Peubah-peubah acak X 1 , . . . , Xk dikatakan bebas jika untuk

setiap ai < b i

k

P ( P (a1

≤ X 1 ≤ b1, . . . , ak ≤ X k ≤ bk) =



i=1

P ( P (ai

≤ X i ≤ bi).

(3.5)

≤

Pernyataan pada sisi kanan Persamaan (3.5) merupakan perkalian peluang marjinal P ( P (a1 X 1 b1 ), . . . , P ( ak X k bk ). Dalam konteks ini disebut pula bebas secara stokastik ( stochas). Jika Jika syarat pada Persamaan Persamaan (3.5) tidak dipenuhi untuk untuk semua ai < bi , tically independent independent ). maka peubah acak tersebut disebut tidak bebas ( dependent ).

≤

≤

≤

Contoh 3.7. Misal X 1 dan X 2 adalah peubah acak diskrit dengan peluang bersama diberikan

tabel berikut: berikut: Pada Tabel Tabel 3.7, nilai fungsi f X1 ,X2 (1, (1, 1) = 0, 0,2 = f X1 (x1 )f X2 (x2 ). Namun, nilai f X1 ,X2 (1, (1, 2) = 0,1 = f X1 (1)f (1)f X2 (2). (2). Dengan demikian peubah acak X 1 dan X 2 tidak bebas.



BAB 3.

30


Tabel 3.1: Nilai fungsi densitas bersma dua peubah acak

0 1 2

x1 f X2 (x2 )

0 0 ,1 0 ,1 0 ,1 0 ,3

x2 1 0 ,2 0 ,2 0 ,1 0 ,5

2 0 ,1 0 ,1 0 0, 2

f X1 (x1 ) 0 ,4 0 ,4 0 ,2

Teorema 3.4. Peubah acak X 1 , . . . , Xk adalah bebas jika dan hanya jika salah satu dari sifat

berikut dipenuhi:

· · · F X (xk ), atau (ii) f X ,...,X (x1 , . . . , xk ) = f X (x1 ) · · · f X (xk ), (i) F X1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ) = F X1 (x1 ) 1

k

1

k

k

dimana F Xi (xi ) dan f Xi (xi ) adalah fungsi distribusi kumulatif marjinal dan fungsi densitas dari X i . Teorema 3.5. Dua peubah acak X 1 dan X 2 dengan fungsi densitas bersama f X1 ,X2 (x1 , x2 )

dikatakan bebas jika dan hanya jika:

{

}

(i) himpunan himpunan pendukung, pendukung, (x1 , x2 ) : f X1 ,X2 (x1 , x2 ) > 0 , adalah produk Cartesius, A dan

× B,

(ii) fungsi densitas densitas bersama dapat difaktorkan difaktorkan menjadi menjadi produk dari fungsi-fungsi fungsi-fungsi x1 dan x2 , f X1 ,X2 (x1 , x2 ) = gX1 (x1 )hX2 (x2 ). Contoh 3.8. Fungsi densitas bersama dari pasangan peubah acak X 1 dan X 2 dinyatakan dinyatakan oleh

f X1 ,X2 (x1 , x2 ) =



8x1 x2 0

untuk 0 < x 1 < x 2 < 1; untuk x lainnya.

{

|

}

Dalam kasus ini himpunan pendukungnya adalah (x1 , x2 ) 0 < x1 < 1 dan 0 < x2 < 1 dapat dinyatakan dinyatakan sebagai A B , dimana A dan B keduanya selang terbuka (0, (0, 1). 1). Bagian kedua pada Teorema 3.5 dipenuhi karena x1 x2 bisa difaktorkan sebagai gX1 (x1 )hX2 (x2 ). Dengan demikian, X 1 dan X 2 bebas.

×

Contoh 3.9. Fungsi densitas bersama dari pasangan peubah acak X 1 dan X 2 dinyatakan dinyatakan oleh

f X1 ,X2 (x1 , x2 ) =



x1 + x2 0

untuk 0 < x 1 < 1, 0 < x2 < 1; untuk x lainnya.

{

|

}

Dalam kasus ini himpunan pendukungnya adalah (x1 , x2 ) 0 < x1 < 1 dan 0 < x2 < 1 dapat dinyatakan dinyatakan sebagai A B , dimana A dan B keduanya selang terbuka (0, (0, 1). 1). Namun, bagian kedua pada Teorema 3.5 tidak dipenuhi karena x1 + x2 tidak bisa difaktorkan sebagai gX1 (x1 )hX2 (x2 ). Dengan demikian, X 1 dan X 2 tidak bebas.

×

3.3 3.3.1 3.3.1

Distri Distribus busii Bersy Bersyara aratt Distri Distribus busii Bersy Bersyara aratt

Konsep kebebasan juga berhubungan dengan peluang bersyarat dan hal ini menyarankan bahwa definisi peluang bersyarat dari kejadian dapat diperluas untuk konsep peubah acak bersyarat.

BAB 3.

31


Definisi 3.8 (Fungsi densitas peluang bersyarat) . Jika X 1 dan X 2 adalah peubah acak diskrit

atau kontinu dengan fungsi densitas peluang bersama f X1 ,X2 (x1 , x2 ) maka fungsi densitas peluang bersyarat dari X 2 diketahui X 1 = x1 didefinisikan sebagai

|

f X2 |X1 =x1 (x2 x1 ) =

f X1 ,X2 (x1 , x2 ) f X1 (x1 )

untuk nilai x1 sedemikian hingga f X1 (x1 ) > 0 dan nol untuk yang lain. Dengan cara yang sama, fungsi densitas peluang bersyarat X 1 diberikan X 2 = x2 adalah

|

f X1 |X2 =x2 (x1 x2 ) =

f X1 ,X2 (x1 , x2 ) f X2 (x2 )

untuk nilai x2 sedemikian hingga f X2 (x2 ) > 0 dan nol untuk yang lain. Untuk kasus diskrit fungsi densitas peluang bersyarat sebenarnya adalah peluang bersyarat. Sebagai misal, jika X 1 dan X 2 adalah diskrit, maka f X1 ,X2 (x1 , x2 ) adalah peluang bersyarat ke jadian (X 2 = x2 ) diberikan kejadian (X 1 = x1 ). Namun, dalam kasus kontinu interpretasi pada fungsi densitas peluang bersyarat tidak jelas karena P ( P (X 1 = x1 ) = 0. Meskipu Meskipun n f X1 ,X2 (x1 , x2 ) tidak dapat diinterpretasikan sebagai peluang bersyarat dalam hal ini, namun dapat dianggap sebagai penugasan "densitas peluang" bersyarat untuk selang kecil sembarang [x2 , x2 + ∆x ∆ x2 ], seperti halnya fungsi densitas peluang marjinal f X2 (x2 ) menugaskan densitas peluang marjinal. Dengan demikian untuk kasus kontinu, peluang bersyarat kejadian dengan bentuk a X 2 b diberikan X 1 = x1 dinyatakan sebagai

≤

≤

b

P ( P (a

≤ X 2 ≤ b|X 1 = x1) = =

   a

|

f X2 |X1 =x1 (x2 x1 ) dx2

b a f X1 ,X2 (x1 , x2 ) dx2 . ∞ −∞ f X1 ,X2 (x1 , x2 ) dx2

Contoh 3.10. Misal X 1 ,X 2 , dan X 3 adalah peubah-peubah acak kontinu dengan fungsi densitas

bersama berbentuk f X1 ,X2 ,X3 (x1 , x2 , x3 ) =



6, untuk 0 < x1 < x 2 < x 3 < 1, 0, untuk x yang lain. lain.

Maka peluang bersyarat X 3 diketahui (X 1 , X 2 ) = (x ( x1 , x2 ) adalah f X1 ,X2 ,X3 (x1 , x2 , x3 ) f X1 ,X2 (x1 , x2 ) 6 = 6(1 x2 ) 1 = untuk 0 < x1 < x 2 < x 3 < 1 1 x2

|

f X3 |X1 =x1 ,X2 (x3 x1 , x2 ) =

−

−

dan nol untuk x lainnya.

Teorema 3.6. Jika X 1 dan X 2 adalah peubah-peubah acak dengan fungsi densitas bersama

f X1 ,X2 (x1 , x2 ) dan fungsi densitas peluang marjinal f X1 (x1 ) dan f X2 (x2 ), maka

|

|

f X1 ,X2 (x1 , x2 ) = f X1 (x1 )f X2 |X1 =x1 (x2 x1 ) = f X2 (x2 )f X1 |X2 =x2 (x1 x2 ) dan jika X 1 dan X 2 saling bebas, maka maka

|

f X2 |X1 =x1 (x2 x1 ) = f X2 (x2 ) dan

|

f X1 |X2 =x2 (x1 x2 ) = f X1 (x1 ).

BAB 3.

3.4 3.4

32



3-1 Misal X 1 dan X 2 adalah adalah peubah acak diskrit dengan fungsi peluang densitas densitas (massa) peluang bersama dengan bentuk f X1 ,X2 (x1 , x2 ) = c(x1 + x2 ) untuk x1 = 0, 0 , 1, 2; x2 = 0, 1, 2; dan nol untuk x1 dan x2 lainnya. Hitunglah konstanta c. 3-2 Misal X 1 dan X 2 adalah adalah peubah peubah acak acak diskri diskritt dengan dengan fungsi fungsi densit densitas as peluang peluang bersama bersama f X1 ,X2 (x1 , x2 ) diberikan diberikan oleh tabel berikut:

x1

1 2 3

1 1 /1 2 0 1 /1 8

x2 2 1/6 1/9 1/4

3 0 1 /5 2/15

a) Carilah Carilah fungsi densitas peluang marjinal marjinal X 1 dan X 2 . b) Apakah Apakah X 1 dan X 2 saling bebas? Jelaskan!

≤ 2). 2). d) Hitung Hitung P ( P (X 1 ≤ X 2 ). c) Hitung Hitung P ( P (X 1

|

|

e) Tabulasikan fungsi densitas peluang bersyarat f X2 |X1 =x1 (x2 x1 ) dan f X1 |X2 =x2 (x1 x2 ).

3-3 Misal X 1 dan X 2 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi densitas peluang bersama dengan bentuk f X1 ,X2 (x1 , x2 ) =



2e−(x1 +x2 ) 0

jika 0 < x 1 < x 2 dan x2 > 0; untuk x1 dan x2 lainnya. lainnya.

a) Hitung Hitung f X1 (x1 ) dan f X2 (x2 ).

|

|

b) Hitung Hitung f X1 |X2 =x2 (x1 x2 ) dan f X2 |X1 =x1 (x2 x1 ). c) Apakah Apakah X 1 dan X 2 bebas?

3-4 Misal X dan Y memiliki memiliki fungsi densitas bersama f X,Y X,Y (x, y ) =



(2/ (2/3)(x 3)(x + 1) 0

untuk 0 < x < 1, 0 < y < 1; untuk x dan y lainnya. lainnya.

a) Hitung Hitung fungsi distribusi distribusi kumulatif kumulatif bersama F X,Y X,Y (x, y ).

| c) Hitung Hitung f X |Y = Y =y (x|y ). d) Hitung Hitung P ( P (x ≤ 0,5|Y = 0,75). 75). e) Hitung Hitung P ( P (x ≤ 0,5|Y ≤ 0,75). 75). b) Hitung Hitung f Y | Y |X =x (y x).

BAB 4 SIFA SIFAT-SIFA T-SIFAT PEUBAH PEUBA H ACAK

Kompetensi Dasar

Menghasilkan transformasi peubah acak. Indikator Pencapaian

Membuat transformasi peubah acak dengan menggunakan teknik fungsi distribusi, metode transformasi, formula konvolusi, dan fungsi pembangkit momen. Materi Pokok

4.1 Sifat-sifat Sifat-sifat Nilai Harapan Harapan 4.2 Kova Kovarians rians dan Korelasi 4.3 Harapan Harapan Bersyarat Bersyarat 4.4 Fungsi Pembangkit Pembangkit Momen Bersama 4.5 Latihan Latihan Soal 4.6 Latihan Latihan Soal Teoretis Teoretis

Penggunaan peubah acak dan distribusi peluangnya telah dibicarakan sebagai suatu cara untuk mengekspresikan suatu model matematika untuk suatu fenomena fisikal nondeterministik. Peubah acak mungkin berasosiasi dengan beberapa karakteristik numerik dari populasi sebenarnya atau konsep dari item-item dan fungsi densitas peluang mewakili distribusi populasi terhadap terhadap semua nilai yang mungkin mungkin dari karakter karakteristikn istiknya. ya. Seringk Seringkali ali densitas populasi yang sesungguhnya tidak diketahui. Salah satu kemungkinan adalah mempertimbangkan suatu keluarga fungsi densitas peluang yang diindeks oleh suatu parameter yang tidak diketahui sebagai suatu model yang mungkin dan berkonsentrasi pada memiliki suatu nilai untuk parameter tersebut. Penekanan utama dalam statistika adalah mengembangkan pendugaan ( estimates ) parameter eter yang yang tidak tidak diketa diketahu huii berdasar berdasark kan data data sampel. sampel. Pada Pada beberapa beberapa kasus asus suatu suatu parame parameter ter mungkin mewakili suatu kuantitas yang berarti secara fisika, misalnya rata-rata atau nilai tengah dari populasi. Dengan Dengan demikian, demikian, sangatlah bermanfaat untuk mendefinisik mendefinisikan an dan mempelajari mempelajari beragam sifat peubah acak yang mungkin berguna dalam mewakilkan dan menginterpretasikan populasi sesungguhnya ( original population ), ), begitu b egitu pula berguna dalam pendugaan atau pemilihan model yang sesuai. Pada beberapa kasus, sifat-sifat khusus dari suatu model (misalnya sifat no memory distribusi eksponensial) mungkin cukup membantu dalam mengindikasikan jenis asumsi fisika yang 33

BAB 4.

34

SIFA SIFAT-SIFA T-SIFAT PEUBAH ACAK

konsi konsiste sten n dengan dengan model, model, meskip meskipun un implik implikasi asi dari dari model model biasan biasanya ya kurang kurang jelas. jelas. Pada Pada kasus seperti ini kebergantungan lebih banyak didasarkan pada ukuran-ukuran deskriptif seperti varians ians dari dari suatu suatu distri distribus busi. i. Pada Pada bab ini, ini, ukuran ukuran-uku -ukuran ran deskri deskripti ptiff tambah tambahan an dan sifat-s sifat-sifa ifatt peubah acak akan dikembangkan.

4.1 4.1

Sifa Sifatt-si sifa fatt Nil Nilai ai Har Harap apan an

Saat membicarakan nilai harapan kita sering tertarik dengan fungsi dari satu atau lebih peubah acak. Sebagai contoh, suatu studi melibatkan suatu vektor dari k peubah acak, X = (X ( X 1 , . . . , Xk ) dan kita ingin menghitung nilai harapan dari beberapa fungsi dari X, katakanlah Y = u(X). Notasi yang digunakan dapat berupa E(Y E(Y )), E[u E[u(X)], )], atau EX [u(X)]. )]. Teorema 4.1 ( Bain and Engelhardt (1992)) . Jika X = (X 1 , . . . , Xk ) memiliki suatu fungsi densitas peluang bersama f X (x1 , . . . , xk ) dan jika Y = u(X 1 , . . . , Xk ) adalah fungsi dari X,

maka E(Y E(Y )) = E X [u(X 1, . . . , Xk )], )], dengan EX [u(X 1 , . . . , Xk )] =

 · · ·   · · · 

xk u(x1 , . . . , xk )f X (x1 , . . . , xk ), ∞ −∞ u(x1 , . . . , xk )f X (x1 , . . . , xk ) d x1

x1 ∞ −∞

· · · d xk ,

jika X diskrit; diskrit; jika X kontinu. kontinu. (4.1)

Teorema 4.2. Jika X 1 dan X 2 adalah peubah-peubah acak dengan fungsi densitas peluang

bersama f X1 ,X2 (x1 , x2 ) maka E(X E(X 1 + X 2 ) = E(X E(X 1 ) + E(X E(X 2 ).

(4.2)

Catatan: nilai harapan harapan pada sisi kiri dari persamaan persamaan (4.2) adalah relatif relatif terhadap fungsi Bukti: Catatan: densitas peluang bersama X = (X 1 , X 2 ) sementara suku-suku pada sisi kanan relatif terhadap fungsi densitas bersama atau marjinal. Dengan kata lain, persamaan yang lebih tepat untuk (4.2) adalah EX (X 1 + X 2 ) = EX (X 1) + E X (X 2 ) = EX1 (X 1 ) + E X2 (X 2 ). Akan dibuktikan untuk kasus kontinu: E(X E(X 1 + X 2 ) = EX (X 1 + X 2 ) = =

∞

∞

−∞ ∞

−∞ ∞

      

(x1 + x2 )f X1 ,X2 (x1 , x2 ) d x1 d x2

−∞ ∞

=

∞

x1

−∞ ∞

=

−∞

−∞

∞

x1 f X1 ,X2 (x1 , x2 ) d x1 d x2 +

−∞

f X1 ,X2 (x1 , x2 ) d x2 d x1 +

x1 f X1 (x1 ) d x1 +

= EX1 (X 1) + E X2 (X 2 ) = E(X E(X 1) + E(X E(X 2 ).

∞



−∞

∞

    −∞ ∞

−∞

x2 f X1 ,X2 (x1 , x2 ) d x1 d x2 ∞

x2

−∞

x2 f X2 (x2 ) d x2

−∞

f X1 ,X2 (x1 , x2 ) d x1 d x2

BAB 4.

35


Selanjutnya untuk kasus diskrit adalah sebagai berikut: E(X E(X 1 + X 2 ) = E X (X 1 + X 2 ) ∞

=

∞

       

(x1 + x2 )f X1 ,X2 (x1 , x2 )

x2 =−∞ x1 =−∞ ∞ ∞

=

∞

x1 f X1 ,X2 (x1 , x2 ) +

x2 =−∞ x1 =−∞ ∞ ∞

=

x1

x1 =−∞ ∞

=

x2 f X1 ,X2 (x1 , x2 )

x2 =−∞ x1 =−∞ ∞ ∞

f X1 ,X2 (x1 , x2 ) +

x2 =−∞

x2

x2 =−∞

∞

x1 f X1 (x1 ) +

x1 =−∞

∞

   

x1 f X1 ,X2 (x1 , x2 )

x1 =−∞

x2 f X1 (x2 )

x2 =−∞

= E X1 (X 1 ) + E X2 (X 2 ) = E( E (X 1 ) + E(X E(X 2 ).

Dengan Teorema Teorema 4.2 kasus dapat diperluas dip erluas sampai k peubah. Jika a1 , . . . , ak adalah konstantakonsta dan jika X 1 , . . . , Xk adalah peubah-peubah acak yang berdistribusi secara bersama-sama, maka k

k

  

E

ai X i

=

i=1

E(X E(X i ).

(4.3)

i=1

Teorema 4.3. Jika X dan Y adalah peubah-peubah acak saling bebas dan g (x) dan h(y ) adalah

fungsi-fungsi maka E[g E[g(X )h(Y )] Y )] = E[g E[g (X )]E[h ) ]E[h(Y )] Y )].. Bukti: Akan dibuktikan untuk kasus kontinu: ∞

E[g E[g (X )h(Y )] Y )] = = =

∞

    

g(x)h(y)f X,Y X,Y (x, y ) dx dy

−∞ ∞

−∞ ∞

−∞ ∞

−∞

g(x)h(y)f X (x)f Y Y (y ) dx dy ∞

g(x)f X (x) dx

−∞



f Y Y (y ) dy

−∞

= E[g E[ g (X )]E[h ) ]E[h(Y )] Y )].. Selanjutnya untuk kasus diskrit: ∞

E[g E[g(X )h(Y )] Y )] =

∞

   

g (x)h(y )f X,Y X,Y (x, y )

y =−∞ x=−∞ ∞ ∞

=

g (x)h(y )f X (x)f Y Y (y )

y =−∞ x=−∞ ∞

=

∞

g(x)f X (x)

y =−∞

−∞

= E[g E[ g(X )]E[h ) ]E[h(Y )] Y )]..

h(y )f Y Y (y )

(4.4)

BAB 4.

36


Dengan Dengan teorem teoremaa ini dimung dimungkin kink kan untuk untuk mengem mengemban bangk gkan an lebih lebih dair dair dua peubah. peubah. Jika Jika X 1 , . . . , Xn adalah peubah acak bebas dan u1 (x1 ), . . . , uk (xk ) adalah fungsi maka E[u E[u1 (X 1 )

4.2

E[u1 (X 1 )] · · · E[u E[uk (X k )]. )]. · · · uk (X K K )] = E[u

(4.5)

Kovari ovarians ans dan Korel Korelasi asi

Sifat-sifat tertentu nilai harapan memberikan hubungan antara dua peubah acak. Definisi 4.1 (Bain and Engelhardt (1992)) . Kovar Kovarians ians dari pasangan peubah-peubah peubah-peubah acak X

dan Y didefinisikan oleh

{ − E(X E(X )][Y )][Y − E(Y E(Y )] )]}.

cov(X, cov(X, Y ) Y ) = E [X

(4.6)

Notasi lain untuk cov(X, cov(X, Y ) Y ) adalah σXY ; demikian pula, E(X E(X ) dan E(Y E(Y )) dinotasikan berturutturut µX dan µY . Teorema berikut memberikan sifat-sifat yang berhubungan dengan kovarians. Teorema 4.4. Jika X dan Y adalah peubah acak dan a serta b adalah konstanta- konstanta,

maka cov(aX,bY cov(aX,bY )) = ab cov(X, cov(X, Y ) Y ),

(4.7)

cov(X cov(X + + a, Y + b) = cov(X, cov(X, Y ) Y ),

(4.8)

cov(X,aX cov(X,aX + + b) = a var(X var(X ).

(4.9)

dan

Bukti: Akan ditunjukkan cov(aX,bY cov(aX,bY )) = ab cov(X, cov(X, Y ) Y ). Menurut definisi

E(aX )][bY )][bY − E(bY E(bY )] )]} { − E(aX = E {[aX − a E(X E(X )][bY )][bY − b E(Y E(Y )] )]} = E {a[X − E(X E(X )]b )]b[Y − E(Y E(Y )] )]} = E {ab[ ab[X − E(X E(X )][Y )][Y − E(Y E(Y )] )]} = ab E{[X − E(X E(X )][Y )][Y − E(Y E(Y )] )]}

cov(aX cov(aX,, bY ) bY ) = E [aX

= ab cov(X, cov(X, Y ) Y ).

Kemudian akan ditunjukkan cov(X cov(X + a, Y + b) = cov(X, cov(X, Y ) Y ). E(X + + a)][Y )][Y + b − E(Y E(Y + b)]} { − E(X = E {[X + X + a − E(X E(X ) − a][Y ][Y + b − E(Y E(Y )) − b]} = E {[X − E(X E(X )][Y )][Y − E(Y E(Y )] )]}

cov(X cov(X + + a, Y + b) = E [X + X + a

= cov(X, cov(X, Y ) Y ).

Selanjutnya akan ditunjukkan cov(X,aX cov(X,aX + + b) = a var(X var(X ).

{ − E(X E(X )][aX )][aX + + b − E(aX E(aX + + b)]} = E {[X − E(X E(X )][aX )][aX + + b − a E(X E(X ) − b]} = E {[X − E(X E(X )][aX )][aX − a E(X E(X )] )]} = E {[X − E(X E(X )]a )]a[X − E(X E(X )] )]} = E {a[X − E(X E(X )] )]2 } = a E{[X − E(X E(X )] )]2 }

cov(X,aX cov(X,aX + + b) = E [X

= a var(X var(X ).

BAB 4.

37


Teorema berikut memberikan cara lain untuk menghitung kovarians dan sifat-sifatnya bila kedua peubah acak saling bebas. Teorema 4.5 (Bain and Engelhardt Engelhardt (1992)). Jika X dan Y adalah peubah acak maka

cov(X, cov(X, Y ) Y ) = E(X E( X Y ) Y )

− E(X E(X ) E(Y E(Y ))

(4.10)

dan cov(X, cov(X, Y ) Y ) = 0 bilamana X dan Y saling bebas.

− E(X E(X ) E(y E(y). Menurut definisi cov(X, cov(X, Y ) Y ) = E {[X − E(X E(X )][Y )][Y − E(Y E(Y )] )]} = E {[X Y − X E( X E(Y Y )) − E(X E(X )Y + E(X E(X ) E(Y E(Y )] )]} = E(X E( X Y ) Y ) − E(X E(X ) E(Y E(Y )) − E(X E(X ) E(Y E(Y )) + E(X E(X ) E(Y E(Y )) = E(X E( X Y ) Y ) − E(X E(X ) E(Y E(Y )).

Bukti: Akan ditunjukkan cov(X, cov(X, Y ) Y ) = E(X E( X Y ) Y )

Bilamana X dan Y saling saling bebas maka maka

− E(X E(X ) E(Y E(Y )) = E(X E( X ) E(Y E(Y )) − E(X E(X ) E(Y E(Y ))

cov(X, cov(X, Y ) Y ) = E(X E(X Y ) Y ) = 0. 0.

Teorema 4.6 (Bain and Engelhardt (1992)) . Jika X 1 dan X 2 adalah peubah acak dengan fungsi

densitas densitas peluang bersama f X1 ,X2 (x1 , x2 ) maka var(X var(X 1 + X 2 ) = var(X var(X 1 ) + var(X var(X 2 ) + 2 cov( cov(X X 1 , X 2 )

(4.11)

var(X var(X 1 + X 2 ) = var(X var(X 1 ) + var(X var(X 2 )

(4.12)

dan bilamana X 1 dan X 2 saling bebas. Bukti:

E(X 1 + X 2 )]} { − E(X = E {[X 1 − E(X E(X 1 ) + X 2 − E(X E(X 2 )]2 } = E {[X 1 − E(X E(X 1 )]2 + 2[X 2[X 1 − E(X E(X 1 )][X )][X 2 − E(X E(X 2 )] + [X [X 2 − E(X E(X 2 )]2 } = E {[X 1 − E(X E(X 1 )]}2 + 2 E{[X 1 − E(X E(X 1 )][X )][X 2 − E(X E(X 2 )]} + E{[X 2 − E(X E(X 2 )]2 }

var(X var(X 1 + X 2 ) = E [(X [(X 1 + X 2 )

= var(X var(X 1 ) + 2 cov( cov(X X 1 , X 2) + var(X var(X 2 )

= var(X var(X 1 ) + var(X var(X 2 ) + 2 cov( cov(X X 1 , X 2 ). Mengingat cov(X cov(X 1 , X 2 ) = 0 bilamana X 1 dan X 2 saling bebas, maka maka var(X var(X 1 + X 2 ) = var(X var(X 1 ) + var(X var(X 2 ) + 0 = var(X var(X 1 ) + var(X var(X 2 ).

Dengan cara yang sama kasus ini pun dapat diperluas untuk k peubah acak. Bila X 1 , . . . , Xk adalah peubah acak dan a1 , . . . , ak adalah konstanta-konstanta, maka k

var var

k

   ai X i

i=1

=

i=1

ai2 var(X var(X i ) + 2



i
ai a j cov(X cov(X i , X j ).

(4.13)

BAB 4.

38


dan jika X 1, . . . , Xk saling bebas maka maka k

k

  

var

ai X i

=

i=1

var(X var(X i ).

i=1

Pada bagian sebelumnya konvarians digunakan sebagai ukuran untuk mengukur ketergantungan tungan antara antara dua peubah p eubah acak. Telah ditunjukka ditunjukkan n bahwa bahwa cov(X, cov(X, Y ) Y ) = 0 bilamana X dan Y saling bebas. Nam Namun, un, sebaliknya sebaliknya tidaklah benar. Contoh Contoh 4.1. Misal suatu pasangan peubah acak diskrit X dan Y dengan fungsi densitas peluang

bersama f X,Y X,Y (x, y ) =

1 , 4 0,

 

− −

jika (0, (0, 1), 1), (1, (1, 0), 0), (0, (0, 1), 1), ( 1, 0);

(4.14)

jika x dan y lainnya.

±

Fungsi densitas peluang marjinal X adalah f X ( 1) = 1/ 1/4, f X (0) = 1/ 1 /2, dan f X (x) = 0 untuk x lainnya. lainnya. Demikian Demikian pula fungsi densitas peluang marjinal f Y 1/4, f Y 1/2, dan Y ( 1) = 1/ Y (0) = 1/ f Y Y (y ) = 0 untuk y lainnnya. Selanjutnya

±

E(X E(X ) =

−(1/ (1/4) + 0(1/ 0(1 /2) + 1(1/ 1(1 /4) = 0, 0,

(4.15)

E(Y E(Y )) =

−(1/ (1/4) + 0(1/ 0(1 /2) + 1(1/ 1(1 /4) = 0. 0.

(4.16)

dan

−

Mengingat xy = 0 bilamana f ( f (x, y ) > 0 maka E(X E(X Y ) Y ) = 0. Sehing Sehingga ga cov(X cov(X Y ) Y ) = E(X E( X Y ) Y ) E(X E(X ) E(Y E(Y )) = 0 0 = 0. Na Nam mun, un, f X,Y (0, 0) = f X (0)f (0)f Y (0). Jadi Jadi X dan Y tidak saling beX,Y (0, Y (0). bas. Jadi secara umum dapat disimpulka disimpulkan n bahwa bahwa X dan Y terikat jika cov(X, cov(X, Y ) Y ) = 0, tetapi cov(X, cov(X, Y ) Y ) = 0 tidaklah perlu mengimplikasikan bahwa X dan Y adalah adalah bebas.

−





Definisi 4.2 (Bain and Engelhardt Engelhardt (1992)). Jika X dan Y adalah peubah-peubah acak dengan varians var(X var(X ) dan var(Y var(Y )) dan kovarians cov(X, cov(X, Y ) Y ), maka koefisien korelasi dari X dan Y

adalah corr(X, corr(X, Y ) Y ) =

cov(X, cov(X, Y ) Y ) . var(X var(X ) var(Y var(Y ))

 

(4.17)

Biasanya korelasi X dan Y dinotasikan sebagai ρXY atau ρ dan varians X dan Y 2 . Sehingga, Persamaan (4.17) dapat ditulis sebagai dan σY σXY ρXY = . (4.18) σX σY Peubah-peubah acak X dan Y dikatakan tidak berkorelasi jika ρXY = 0; 0 ; selain itu dikatakan berkorelasi. Catatan: 2 sebagai σX

Teorema 4.7 (Bain and Engelhardt Engelhardt (1992)). Jika ρXY adalah koefisien korelasi dari X dan Y , Y ,

maka dan ρXY =

−1 ≤ ρXY ≤ 1

(4.19)

aX + b dengan peluang 1 untuk beberapa a = ±1 jika dan hanya jika Y = aX +  0 dan b.

Bukti: Untuk membuktikan Persamaan (4.19), misalkan

W =

Y σY

− ρXY σX X ,

sehingga var(W var(W )) =

2

1 σY

2 σY

2 = 1 + ρXY

karena var(W var(W ))

≥ 0.

2

    +

ρXY σX

2 − 2ρXY 2 = 1 − ρXY ≥ 0,

2 σX

− 2ρXY σσXXY σY

BAB 4.

4.3 4.3

39


Hara Harapa pan n Be Bers rsy yarat arat

Definisi Definisi 4.3. Jika X dan Y adalah peubah-peubah acak yang berdistribusi secara bersama, maka harapan bersyarat (conditional expectation ) Y diketahui X = x didefinisikan sebagai

|

E(Y E(Y x) = Catatan:

 

|

Y |X (y x), y yf Y | ∞ Y |X (y x) dy, −∞ yf Y |

jika X dan Y diskrit; diskrit; jika X dan Y kontinu. kontinu.

|

(4.20)

|

notasi notasi lain untuk untuk harapan harapan bersya bersyarat rat adalah EY | Y ) dan E(Y E(Y X = x). Pada ada Y |x (Y ) bagian ini kita akan menggunakan simbol E(Y E(Y x) untuk menyederhanakan notasi.

|

Contoh 4.2. Suatu fungsi densitas densitas peluang bersyarat Y diketahui X = x adalah

|

f Y,X Y,X (y x) =

2 x , 0
(4.21)

Harapan bersyaratnya adalah x/2 x/2

|

E(Y E(Y x) =



2 y dy x

0

2 y2 = x 2

y =x/2 x/2



y =0 (x/2) x/2)2

2 x 2 x = , 0 < x < 2. 4 =

(4.22)

Ingat bahwa harapan bersyarat Y diketahui X = x adalah fungsi dari x, katakanlah u(x) = E(Y E(Y x). Teorema eorema berikut berikut mengat mengatak akan an bahwa bahwa secara secara umum, umum, peubah peubah acak acak u(X ) = E (Y (Y X ) memiliki harapan marjinal Y , Y , yakni E(Y E(Y )).

|

|

Teorema 4.8. Jika X dan Y adalah peubah-peubah acak yang berdistribusi secara bersama-

sama, maka

|

E[E(Y E[E(Y X )] )] = E(Y E( Y )). Bukti: Akan dibuktikan untuk kasus kontinu: ∞

|

E[E(Y E[E(Y X )] )] =

 |      ∞ ∞

= = =

E(Y E(Y x)f X (x) dy ∞

∞ ∞

∞ ∞

−∞ ∞

∞

−∞

|

yf Y | Y |X (y x)f X (x) dy dx f X,Y X,Y (x, y ) dx dy

yf Y Y (y ) dy

= E(Y E( Y )).

(4.23)

BAB 4.

40


Selanjutnya untuk kasus diskrit:

|

E[E(Y E[E(Y X )] )] =

 |    

E(Y E(Y X )f X (x)

x

=

x

=

y

y

y

=

|

f Y | Y |X (y x)f X (x)

x

y

y

=

|

yf Y | Y |X (y x)f X (x)

f X,Y X,Y (x, y )

x

f Y Y (y )

y

= E(Y E( Y )).

Teorema berikut memberikan gambaran jika X dan Y saling bebas. Teorema 4.9 (Bain and Engelhardt (1992)) . Jika X dan Y adalah adalah peubah-peubah peubah-peubah acak saling

|

|

bebas, maka E(Y E(Y x) = E(Y E(Y )) dan E(X E(X y ) = E(X E( X ).

|

|

saling bebas sehingga f Y | Bukti: Peubah acak X dan Y saling Y (y ) dan f X |Y (x y ) = f X (x). Y |X (y x) = f Y Akan dibuktikan untuk kasus kontinu: ∞

|

E(Y E(Y x) =

 

−∞ ∞

=

−∞

yf Y | Y |X dy yf Y Y (y ) dy

= E( E (Y ) Y ) dan ∞

|

E(X E(X y ) =

 

−∞ ∞

=

−∞

|

xf X |Y (x y ) dx xf X (x) dx

= E( E (X ). Selanjutnya akan ditunjukkan untuk kasus diskrit:

|

E(Y E(Y x) =

 

yf Y | Y |X (y x)

 

xf ( xf (x y)

|

y

=

yf Y Y (y )

y

= E(Y E( Y )) dan

|

E(X E(X y) =

|

x

=

f X (x)

x

= E(X E( X ).

BAB 4.

41


Definisi 4.4 (Bain and Engelhardt (1992)) . Varians bersyarat Y diketahui X = x diberikan

oleh

{ − E(Y E(Y |x)]2 |x}.

|

var(Y var(Y x) = E [Y

(4.24)

Bentuk (4.24) dapat pula dituliskan sebagai var(Y var(Y x) = E(Y E(Y 2 x)

| − [E(Y [E(Y |x)]2 .

|

(4.25)

Teorema 4.10. Jika X dan Y adalah peubah-peubah peubah-peubah acak yang berdistribusi berdistribusi secara secara bersama-

sama, maka

|

var(Y var(Y )) = EX [var(Y [var(Y X )] )]

− varX [E(Y [E(Y |X )]. )].

(4.26)

Bukti:

|

| − [E(Y [E(Y |X )] )]2 } = {E(Y E(Y 2 ) − EX [E(Y [E(Y |X )] )]} = E(Y E( Y 2 ) − E[(Y E[(Y )] )]2 − {EX [E(Y [E(Y |X )] )] − E[(Y E[(Y )] )]2 } = var(Y var(Y )) − varX [E(Y [E(Y |X )]. )]. {

EX [var(Y [var(Y X )] )] = EX E(Y E(Y X )

Teorema ini menegaskan bahwa varians bersyarat lebih kecil dair varians tidak bersyarat. Namun, apabila X dan Y saling saling bebas, varians varians akan sama. Sebagai Sebagai ilustrasi, jika kita tertarik untuk menduga rata-rata tinggi individual E(Y E(Y )), maka teorema ini menegaskan bahwa lebih mudah untuk menduga tinggi (bersyarat) orang jika kita tahu berat badan orang tersebut karena populasi tidak bersyarat tinggi tidak akan pernah lebih besar daripada varians yang direduksi dari populasi individu berat badan tertentu x. Teorema 4.11 (Bain and Engelhardt (1992)) . Jika X dan Y adalah peubah-peubah acak yang

berdistribusi berdistribusi secara bersama-sama bersama-sama dan h(x, y ) adalah suatu fungsi, maka

{

| }

E[h E[h(X, Y )] Y )] = EX E[h E[h(X, Y )] Y )] X .

(4.27)

Teorema 4.12 (Bain and Engelhardt (1992)) . Jika X dan Y adalah peubah-peubah acak yang

berdistribusi berdistribusi bersama dan g(x) adalah fungsi, maka

|

|

E[g E[g(X )Y x] = g(x) E(Y E(Y x). 4.3.1 4.3.1

(4.28)

Distri Distribus busii Norm Normal al Biv Bivari ariat at

Suatu pasangan peubah acak kontinu X dan Y dikatak dikatakan an berdistribusi berdistribusi normal normal bivariat bivariat jika jika memiliki fungsi densitas peluang bersama dengan bentuk 1

f X,Y X,Y (x, y ) = 2πσX σY

 − 1

2 ρXY

−

exp

1 2 ) 2(1 ρXY

−

2

2

 −  −  −  −   −   x

µX

σX

2ρ

x

µX

σX

y

µY

σY

+

y

µY

σY

−∞ < x < ∞, ∞ < y < ∞. (4.29)

Notasi khusus untuk distribusi distribusi persam p ersamaan aan (4.29) adalah 2 2 ∼ BVN(µ BVN(µX , µY , σX , σY , ρXY ) (4.30) yang bergantung pada lima parameter −∞ < µX < ∞, −∞ < µY < ∞, σX > 0, σY > 0, dan −1 < ρ XY < 1.

(X, Y ) Y )

BAB 4.

4.4

42


Fungsi ungsi Pem Pemban bangki gkitt Momen Momen Bers Bersama ama

Konsep fungsi pembangkit momen dapat diperluas untuk peubah acak berdimensi k . Definisi Definisi 4.5 (Bain and Engelhardt (1992)) . Fungsi pembangkit momen bersama dari X =

(X 1, . . . , Xk ), jika ada, didefinisikan sebagai k

  

M X (t) = E exp

ti X i

(4.31)

i=1

dengan t = (t ( t1 , . . . , tk ) dan

−h < t i < h untuk beberapa h > 0.

Sifat-sifat fungsi pembangkit momen bersama analog dengan sifat fungsi pembangkit momen univariat. Momen campuran seperti E(X E(X ir , X js ) dapat dihitung dengan menurunkan fungsi pembangkit momen bersama r kali bersesuaian dengan ti dan s kali bersuaian dengan t j dan membuat semua ti = 0. Fungsi ungsi pemban pembangki gkitt mom momen en bersama bersama juga juga secara secara unik unik menen menentuk tukan an distribusi bersama dari peubah-peubah X 1 , . . . , Xk . Fungsi pembangkit pembangkit momen dari distribusi distribusi marjinal marjinal dari fungsi pembangkit pembangkit momen bersama juga dimunkin dimunkinka kan. n. Sebagai Sebagai contoh, contoh, M X (t1 ) = M X,Y X,Y (t1 , 0)

(4.32)

M Y (0, t2 ). Y (t2 ) = M X,Y X,Y (0,

(4.33)

dan MULT(n, p1 , . . . , pk ). Kita tahu bahwa bahwa distribusi distribusi mar∼ MULT(n,

Contoh 4.3. Misal X = (X ( X 1 , . . . , Xk )

∼

jinalnya adalah binomial, yakni X i BIN(n, BIN(n, pi ). Fungsi pembangkit momen bersama distribusi multinomial dapat dihitung menggunakan distribusi binomial

k

   ···

M X (t) = E exp

ti X i

i=1

=

= ( p ( p1 et1 + dengan pk+1 = 1

4.5 4.5

n ( p1 et1 )x1 x1 ! xk+1 ! + pk etk + pk+1 )n

···

···

· · · ( pk et )x pkx+1+1 k

k

k

− p1 − · · · − pk .


4-1 Misal peubah acak kontin kontinu u X dan Y dengan fungsi densitas peluang bersama f X,Y X,Y (x, y ) =



24 24xy, xy, 0,

Hitunglah: a) E(X E(X Y ) Y ); b) kovarians kovarians antara X dan Y ; Y ; c) koefisien koefisien korelasi korelasi antara X dan Y ; Y ; d) cov(3X, cov(3X, 5Y ) Y ); e) cov(X cov(X + 1, 1, Y

− 2); 2);

jika 0 < x, 0 < y, y , dan x + y < 1; jika x dan y lainnya. lainnya.

(4.34)

BAB 4.

43


f ) cov(X cov(X + 1, 1, 5Y

− 2); 2);

g) cov(3X cov(3X + + 5, 5, X ).

4-2 Misal Misal X dan Y adalah peubah acak diskrit dengan fungsi densitas peluang bersama f X,Y X,Y (x, y ) = Hitunglah:

4 , 5xy 0,

 

jika x = 1, 1 , 2, dan y = 2, 2 , 3; jika x dan y lainnya. lainnya.

a) E(X E(X ); b) E(Y E(Y )); c) E(X E(X Y ) Y ); d) cov(X, cov(X, Y ) Y ). 4-3 Misal berat (dalam ons) dari suatu bola basket basket adalah suatu peubah acak dengan rata-rata rata-rata 5 dan simpangan baku 2/5. Sebuah Sebuah kotak berisi 144 bola basket. basket. Dianggap Dianggap berat masingmasing bola basket adalah saling bebas dan T menyatakan berat total semua bola basket dalam kotak. Hitunglah: a) nilai harapan harapan total berat, berat, yakni E(T E(T )); b) varians varians total berat, yakni yakni var(T var(T )). 4-4 Untuk Untuk Soal No. 1 dan 2, hitunglah: hitunglah:

|

a) E(Y E(Y x);

|

b) var(Y var(Y x).

|

4-5 Misal distribusi distribusi bersyarat bersyarat Y diberikan X = x adalah Poisson dengan rata-rata E(Y E(Y x) = x, Y x POI(x POI(x), dan E(X E(X ) EXP(1). EXP(1). Hitunglah:

| ∼

∼

a) E(Y E(Y )); b) var(Y var(Y )). 4-6 Misal Misal X dan Y memiliki memiliki fungsi densitas densitas peluang bersama f X,Y X,Y (x, y ) =



e−y , 0,

∞

jika 0 < x < y < ; jika x dan y lainnya. lainnya.

|

Hitunglah E(X E(X y). 4-7 Misal Misal Y 1 dan Y 2 adalah peubah-peubah acak kontinu dengan fungsi densitas peluang bersama f Y Y 1 ,Y 2 (y1 , y2 ) =



2 e−y1 −y2 , 0,

∞

jika 0 < y 1 < y2 < ; jika x dan y lainnya. lainnya.

Hitunglah Hitunglah fungsi pembangkit pembangkit momen (MGF) bersama Y 1 dan Y 2 .

BAB 4.

4.6

44


Latiha Latihan n Soal Soal Teoreti eoretiss

4-1* Jika Jika X , Y , Y , Z , dan W adalah peubah-peubah acak, maka tunjukkan bahwa: a) cov(X cov(X

± Y, Z ) = cov(X, cov(X, Z ) ± cov(Y, cov(Y, Z );

b) cov(X cov(X + + Y, Z + Z + W ) W ) = cov(X, cov(X, Z ) + cov(X, cov(X, W ) W ) + cov(Y, cov( Y, Z ) + cov(Y, cov(Y, W ) W ); c) cov(X cov(X + + Y, X

Y ) = var(X var(X ) − var(Y var(Y )). − Y )

4-2* Jika Jika X 1 , . . . , Xn dan Y 1 , . . . , Yn adalah peubah acak yang berdistribusi bersama, dan jika a1 , . . . , ak dan b1 , . . . , bm adalah konstanta-konstanta, maka tunjukkan bahwa k

n

k

m

    

cov

ai X i ,

i=1

b j Y j

j=1 j =1

=

cov(X cov(X i , Y j ).

i=1 j=1 j =1

4-3* Misal X 1 dan X 2 adalah peubah acak normal bebas, X i Y 2 = X 1 + X 2 .

∼ N (µi, σi2), dan Y 1 = X 1 serta

a) Tunjukkan bahwa bahwa Y 1 dan Y 2 adalah normal bivariat. b) Berapak Berapakah ah rata-rata, rata-rata, varians, varians, dan koefisien korelasi Y 1 dan Y 2 ? c) Carilah Carilah distribusi distribusi bersy b ersyarat arat Y 2 diketahui Y 1 = y1 .

BAB 5 FUNGSI-FUNGSI FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK ACAK

Kompetensi Dasar

Menggunakan konsep-konsep ilmu peluang. Indikator Pencapaian

Menggunakan konsep-konsep ilmu peluang. Materi Pokok

5.1 Teknik Fungsi Fungsi Distribusi Kumulatif 5.2 Metode Transfo Transformasi rmasi 5.3 Jumlah Jumlah Peubah Acak Acak 5.4 Statistik Statistik Terurut Terurut 5.5 Latihan Latihan Soal

Pada BAB I, peluang didefinisikan dalam konsep teori himpunan. Konsep peubah acak diperkenalkan sedemikian hingga kejadian-kejadian dapat diasosiasikan dengan himpunan bilangan real dalam ruang rentang ( range space ) dari peubah acak. Hal ini memungkinkan kita untuk mengekspresika spresikan n secara matematis matematis model peluan p eluangg untuk untuk populasi populasi atau karakteristik karakteristik yang ingin diteliti diteliti dalma bentuk suatu fungsi densitas peluang atau suatu fungsi distribusi kumulatif untuk peubah acak yang bersesuaian, katakanlah X . Dalam kasus ini, X menyatakan karakteristik awal yang menjadi daya tarik dari fungsi densitas peluang f X (x), disebut fungsi densitas peluang populasi. Seringk Seringkali ali dalam banyak kasus kasus beberapa fungsi peubah acak ini menjadi daya tarik. Misal jika X menyatakan umur anak ayam dalam minggu, peneliti lain mungkin menyatakan umur dalam hari, yakni Y = 7X . Dengan Dengan cara cara yang sama, sama, W = X 2 atau Z = ln X atau beberapa fungsi lain mungkin mungkin menjadi menjadi daya daya tarik peneliti. Setiap Setiap fungsi dari peubah acak X adalah suatu peubah p eubah acak, dan fungsi distribusidari distribusidari suatu fungsi X ditentukan oleh distribusi peluang X . Misal, untuk peubah acak Y diatas P (21 P (21 X 28) = P (3 P (3 Y 4) dan sebagainya. sebagainya. Akan Akan lebih berguna berguna jika jika kita dapat menyatak menyatakan an fungsi densitas peluang atau fungsi distribusi kumulatif suatu fungsi dari peubah acak dalam fungsi densitas densitas peluang atau fungsi distribusi distribusi kumulatif kumulatif peubah acak asli. Fungsi denstias denstias peluan p eluangg seperti ini disebut distribusi-distribusi turunan ( derived ). Suatu Suatu fungsi fungsi densita densitass derived distributions ). peluang tertentu mungkin menyatakan fungsi densitas peluang populasi dalam suatu aplikasi, tetapi tetapi menjadi distribusi distribusi turunan dalam aplikasi aplikasi lain. Dalam bab ini kita akan akan mempelajari beberapa teknik untuk memperoleh fungsi distribusi turunan dari suatu fungsi peubah acak antara antara lain: teknik fungsi distribusi distribusi kumulati kumulatif, f, metode transformasi, transformasi, formula formula konvolusi, konvolusi, dan

≤ ≤

≤ ≤

45

BAB 5.

46

FUNGSI FUNGSI-FU -FUNGS NGSII PEUBAH PEUBAH ACAK

metode metode fungsi fungsi pemban pembangkit gkit momen. momen. Pada Pada akhir akhir bab, bab, kita kita akan akan membah membahas as tentan tentangg statist statistik ik terurut (order statistics ). ).

5.1

Teknik Fungsi ungsi Distri Distribusi busi Kumulati Kumulatif f

cumulativee distribut distribution ion function function , dising Teknik fungsi distribusi kumulatif kumulatif ( cumulativ disingk kat CDF) CDF) merumerupakan pakan metode umum yang mengekspresik mengekspresikan an peubah acak ”baru” ”baru” dengan dengan istilah istilah peubah acak ”lama”. ”lama”. Misal peubah peubah acak X memiliki fungsi distribusi kumulatif F X (x) dan beberapa fungsi Y yang menjadi daya tarik, katakanlah Y = u(X ). Ide dari teknik fungsi distribusi distribusi kumulatif kumulatif adalah mengekspresikan fungsi distribusi kumulatif dari Y dalam bentuk ( terms ) distribusi distribusi X . Lebih khusus lagi, untuk setiap bilangan real y, kita dapat mendefinisikan sebuah himpunan Dengan demikian demikian Y y dan X Ay adalah kejadian-kejadian yang sama, Ay = x : u(x) y. Dengan sehingga F Y P (u(X ) y ). (5.1) Y (y ) = P (

≤

≤

∈ ≤

∈

Bentuk persamaan (5.1) dapat pula dinyatakan sebagai P ( P (X Ay ). Pelua Peluang ng ini dapat dapat pula dinyatakan sebagai integral dari fungsi densitas peluang f X (x) sepanjang himpunan Ay jika X kontinu, atau penjumlahan f X (x) sepanjang x di Ay jika X diskret. Sebagai contoh, sering kita menyatakan u(x) y dalam bentuk kejadian yang sama x1 X x2 dimana satu atau lebih batas-batas x1 dan x2 bergantung pada Y . Y . Dalam kasus kontinu

≤

≤

≤

x2

F Y Y (y ) = =

  

f X (x) dx

x1 0

x2

f X (x) dx +

x1 x2

=

0

  − 0

f X (x) dx

x1

f X (x) dx

= F X (x2 )

0

f X (x) dx

− F X (x1).

(5.2)

Fungsi densitas peluang (5.2) adalah f Y Y (y ) =

d F Y Y (y ). dy

(5.3)

Berikut ini diberikan beberapa contoh untuk mengilustrasikan teknik fungsi distribusi kumulatif. Contoh Contoh 5.1. Misal fungsi distribusi kumulatif peubah acak X , yakni F X (x) = 1

− e−2x, 0 <

x< dan kita tertarik untuk mengetahui fungsi distribusi dari peubah acak Y = e X . Fungsi distribusi Y dapat dinyatakan sebagai

∞

≤ y) = P (e P (eX ≤ y ) = P ( P (X ≤ ln y )

F Y P (Y Y (y ) = P (

= F X (ln y)

− e−2(ln y) = 1 − eln y = 1 − y−2 . =1

−2

(5.4)

∞

Sekarang kita tentukan batas-batas untuk peubah acak Y . Y . Mengingat 0 < x < , maka batas 0 ∞ peubah acak Y akan terletak diantara e dan e , jadi 1 < y < . Tentu saja untuk x lainnya

∞

BAB 5.

47


−2 maka y akan bernilai 0. Dengan demikian F Y Y (y ) = 1 y , 1 < y < Y adalah d f Y F Y Y (y ) = Y (y ) dy d = (1 y−2 ) dy = 2y 2 y −3 , 1 < y < .

−

∞. Fungsi densitas peluang

−

∞

(5.5)

Contoh Contoh 5.2. Misal X adalah peubah acak kontinu dan Y = X 2 . Fungsi distribu distribusi si Y dapat

dinyatakan sebagai

≤ y) = P ( P (X 2 ≤ y ) √ √ = P ( P (− y ≤ X ≤ y ) √ √ = F X ( y) − F X (− y ).

F Y P (Y Y (y ) = P (

(5.6)

Berdasarkan fungsi distribusi persamaan (5.6), kita dapat menghitung fungsi densitas peluang Y sebagai

√ − −√ √ √ − −√ −√ √ √ −√ √

d F X ( y) F X ( y) dy d d = f X ( y) ( y) f X ( y) ( y) dy dy 1 1 = f X ( y) + f X ( y) 2 y 2 y 1 = f X ( y ) + f X ( y ) y > 0. 2 y

f Y Y (y ) =



√



√



−√



(5.7)

Contoh 5.3. Misal X adalah peubah acak dengan fungsi densitas peluang

f X (x) =



4x3 , 0,

jika 0 < x < 1; jika x lainnya. lainnya.

(5.8)

Misal kita tertarik dengan peubah acak Z = ln X . Terlebih dahulu kita hitung fungsi distribusi X . Kita peroleh fungsi distribusi untuk fungsi densitas peluang (5.8) x

F X (x) =

   0

4x3 dx

x=x

4

=x

x=0

4

=x

−0

= x4 .

(5.9)

Selanjutnya, dengan menggunakan fungsi distribusi persamaan (5.9) diperoleh

≤ z) = P (ln P (ln X ≤ z ) = P ( P (X ≤ ez )

F Z P (Z Z (z ) = P (

= F X (ez ) = (e z )4

= e 4z , 0 < z < Batas-batas untuk z diperoleh dari nilai z = ln ln 0 = 0
∞

∞.

∞ dan z = lnln 1 = 0.0 .

(5.10) Dengan Dengan demik demikian ian

BAB 5.

48


Teknik fungsi distribusi kumulatif juga dapat diterapkan untuk fungsi beberapa peubah, meskipun analisis pada umumnya lebih kompleks. Teorema 5.1. Misal X = (X ( X 1 , . . . , Xk ) adalah vektor peubah acak kontinu berdimensi k dengan fungsi densitas peluang bersama f X (x1 , . . . , xk ). Jik Jika Y = u(X) adalah suatu fungsi dari X ,

maka

 · · ·  ≤

F Y P (u(X) Y (y ) = P ( =

y)

f X (x1 , . . . , xk ) dx1

Ay

dimana Ay = x : u(x)

· · · dxk,

(5.11)

≤ y.

Contoh Contoh 5.4. Misal peubah acak X berdistribusi berdistribusi eksponensial, eksponensial, yakni yakni X

densitas peluang X dapat dinyatakan sebagai f X (x) =



e−x , 0,

∞

untuk 0 < x < ; untuk x lainnya. lainnya.

∼ EXP(1). EXP(1).

Fungs ungsii

(5.12)

Misal Anda tertarik dengan jumlah dari dua peubah acak bebas, katakanlah Y = X 1 + X 2 , dimana X i EXP(1), EXP(1), i = 1, 2. Himpun Himpunan an Ay seperti didefinisikan pada Teorema 5.1, dapat ditentukan sebagai Ay = (x1 , x2 ) : 0 x1 y x2 , 0 x2 y . (5.13)

∼

{

≤ ≤ −

≤ ≤ }

Dengan demikian fungsi distribusi Y adalah F Y P (X 1 + X 2 Y (y ) = P ( y

=

y −x2

   −  −  − 0

e−(x1 +x2 ) dx1 dx2

0

y

=

≤ y)

e

−(x1 +x2 )

0

y

=

0

=

y

0

x1 =y −x2

    −−  dx2

x1 =0

((y −x2 )+x )+x2 ) e−((y

(0+x2 ) e−(0+x dx2

e−y + e−x2 dx2

−y

x2 =0

  

−x2

−x2 e − e x =0 −y −y = −y e − e − 0 − e−0 = −y e−y − e−y +1 = 1 − e−y −y e−y . =

2



5.2

 (5.14)

Metode Metode Transfo ransforma rmasi si

Pada Pada bagian ini, kita akan membahas membahas transformasi transformasi untuk peubah dalam dimensi satu. Misal u(x) adalah suatu fungsi bernilai real dari peubah real x. Jik Jika persam persamaa aan n y = u(x) dapat diselesaikan secara tunggal, katakanlah x = w (y), maka transformasi ini dikatakan satu-satu (one-to-one ). ). Beriku Berikutt ini akan kita bahas bahas metode metode transf transform ormasi asi satu-sat satu-satu u untuk untuk kasus kasus diskri diskritt dan kontinu.

BAB 5.

5.2.1

49


Transform ransformasi asi Satu-satu Satu-satu

Teorema 5.2 (Kasus Diskrit). Misal X adalah peubah acak diskrit dengan fungsi densitas

(massa) peluang f X (x) dan Y = u(X ) adalah adalah transformasi transformasi satu-satu. Dengan Dengan kata lain, persamaan y = u(x) dapat diselesaikan secara tunggal, katakanlah x = w(y ). Maka fungsi densitas (massa) (massa) peluang Y adalah f Y )), y B ; (5.15) Y (y ) = f X (w(y )),

∈

{

}

dimana B = y : f Y Y (y ) > 0 . Bukti: Fungsi densitas

F Y P (Y = y ) Y (y ) = P ( = P ( P (u(X ) = y) = P ( P (X = w(y )) = f X (w(y )). )).

Contoh 5.5. Misal peubah acak diskrit X

(5.16)

∼ GEO( p) p), dengan fungsi densitas peluang

f X (x) = pqx−1 , x = 1, 1 , 2 , 3, . . . .

−

Misal kita tertarik dengan peubah acak Y = X 1. Dalam hal ini y = u(x) = x itu diperoleh solusi x = w (y) = y + 1. 1. Dengan demikian

(5.17)

− 1, sementara

f Y Y (y ) = f X (y + 1) +1)−1 = pq (y+1)−

= pq y , y = 0, 0 , 1, 2, . . . . Contoh Contoh 5.6. Misal peubah acak diskrit X

Y = X

−

(5.18)

∼ BIN(r, BIN(r, p).

Anda Anda tertar tertarik ik dengan dengan peubah acak r. Fungsi densitas peluang X dinyatakan sebagai berikut f X (x) =

Dalam hal ini y = u(x) = x

− x r

−

1 r r−1 p q , x = r, r + 1, 1, . . . . 1

(5.19)

− r sehinga x = w(y) = y + r. Kita peroleh

f Y Y (y ) = f X (y + r ) = =

 

(5.20)

−  −  −

(y + 1) 1 r (y+r)−r p q r 1 (y + 1) 1 r y p q , y = 0, 1, 2, . . . . r 1

−

(5.21) (5.22)

Teorema 5.3 (Kasus Kontinu). Misal X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi densi-

tas peluang f X (x) dan anggap Y = u(X ) mendefinisikan suatu transformasi satu-satu dari A = x : f X (x) > 0 ke B = x : f Y Jika turunan turunan Y (y ) > 0 dengan transformasi invers x = w(y ). Jika (d/ (d/dy )w(y ) adalah kontinu dan tak nol pada B , maka fungsi densitas peluang Y adalah

 

 

d f Y w(y ) , y Y (y ) = f X (w (y )) dy

∈ B.

(5.23)

BAB 5.

50


monoton atau turun monoton. Pertama, Pertama, Bukti: Jika y = u(x) adalah satu-satu, maka y naik monoton kita asumsikan naik, maka u(x)

≤ y jika dan hanya jika x ≤ w(y). Dengan demikian F Y P (u(X ) ≤ y) Y (y ) = P ( = P ( P (X ≤ w(y )) = F X (w(y )), )),

sehingga fungsi densitasnya menjadi d F X (w(y)) dy d d = F X (w(y )) w(y ) dw( dw(y) dy d = f X (w(y )) w (y) . dy

f Y Y (y ) =

 

 

Dalam hal ini (d/ (d/dy)w(y ) > 0 karena y monoton monoton naik. Sekarang, Sekarang, dalam kasus kasus monoton monoton turun u(x) y jika dan hanya jika w(y ) x. Dengan demikian

≤

≤

F Y P (u(X ) Y (y ) = P (

≤ y)

≥ w(y)) = 1 − P ( P (X ≤ w (y)) = 1 − F X (w(y )), )), = P ( P (X

sehingga fungsi densitasnya menjadi

d [1 F X (w(y))] dy d d = (1) F X (w(y )) dy dy d d =0 F X (w(y )) w(y ) dw( dw(y) dy d = f X (w(y )) w(y ) dy d = f X (w(y )) w (y ) . dy

− −

f Y Y (y ) =

−

−

 

Dalam hal ini (d/ (d/dy)w (y) < 0 karena y monoton turun.

 

Dalam konteks kasus kontinu, turunan w(y ) disebut Jacobian dari transformasi dan dinotasikan d J = w (y). (5.24) dy Contoh 5.7. Misal peubah acak kontinu X memiliki memiliki fungsi densitas peluang

f X (x) = 2 e−2x ,

0
∞.

(5.25)

Kita tertarik untuk mencari fungsi densitas peluang Y = eX . Dengan Dengan transfor transformas masii inve inverse rse diperoleh x = w(y ) = ln y, dan Jacobian J = w  (y) d = w(y ) dy d = ln y dy 1 = . y

BAB 5.

51


Dengan Dengan demikian demikian fungsi densitas peluang Y adalah

  

f Y Y (y ) = f X (ln y ) = 2 e−2 ln y = 2 eln y

−2

1 y 1 y

y−1

= 2y 2 y −2 y −1 = 2y 2 y −3 ,

y

∈ B = (1, (1 , ∞).

Dalam masalah transformasi, sangatlah penting untuk mengidentifikasi himpunan B dimana f Y (1, ) karena ex > 1 saat x > 0. Y (y ) > 0, dalam contoh ini B = (1,

∞

Contoh 5.8. Misal peubah acakk kontinu X

∼ N (µ, σ2) dan kita tertarik dengan peubah acak

Y = eX . Fungsi densitas peluang X dapat dinyatakan sebagai

f X (x) =

1 2πσ

√

1 (x µ)2 e 2 σ2 , −

−

−∞ < x < ∞, −∞ < µ < ∞, 0 < σ < ∞.

(5.26)

Dengan transformasi invers diperoleh x = w(y ) = ln y dan Jacobian J = (d/ (d/dy)w (y) = 1/y. /y . Dengan Dengan demikian demikian fungsi densitas peluang Y adalah

    − −

f Y Y = f X (ln y )

1 y

1 exp 2πσ 1 exp 2πσy πσ y

=

√

=

√

1 (ln y µ)2 ,0
 

−

−

∞

∈

∞).

(5.27)

Fungsi densitas peluang persamaan (5.27) adalah bentuk dari distribusi lognormal dengan ratarata µ dan variansi σ 2 , ditulis LOGN(µ, LOGN(µ, σ 2 ). Contoh Contoh 5.9. Misal peubah acak kontinu X

∼ EXP(θ EXP(θ).

Kita Kita tertar tertarik ik dengan distrib distribusi usi dari peubah acak Y = exp( X/θ) X/θ). Fungsi densitas peluang X dapat dinyatakan sebagai

−

x 1 − f X (x) = e θ , 0 < x < θ Dengan transformasi invers diperoleh x = w(y) = θ/y. θ/y . Kita peroleh fungsi densitas peluang Y

−

∞.

(5.28)

(d/dy )(−θ ln y) = −θ ln y sehingga Jacobian (d/

   − −   − 

θ y θ ln y θ θ y

f Y Y (y ) = f X ( θ ln y ) 1 exp θ 1 θ = y , θ y = 1, 1, y =

0
∈ B = (0, (0 , 1). 1).

(5.29)

Bentuk persamaan (5.29) adalah fungsi densitas peluang dari distribusi seragam pada selang (0, (0, 1), 1), yakni Y UNIF(0, UNIF(0, 1). 1).

∼

BAB 5.

52


Teorema 5.4 (Peluang Transformasi Integral) . Jika X adalah peubah acak kontinu dengan

∼

fungsi distribusi kumulatif F X (x), maka U = F X (X ) UNIF(0, UNIF(0, 1). 1). Sebalikn Sebaliknya, ya, jika U berdis−1 tribusi secara seragam sepanjang interval (0, (0, 1), 1), maka X = F X (U ) U ) memiliki fungsi distribusi kumulatif F X ( ).

·

−1 (u) ada. Bukti: Akan dibuktikan untuk kasus F X (x) adalah satu-satu sehingga invers F X

F U P (U U (u) = P (

≤ u)

= P ( P (F X (X ) = P ( P (X

≤ u)

≤ F X−1(u))

= F X (F X−1 (u)) = u. Karena 0

≤ F X (x) ≤ 1, kita peroleh F U U (u) =



0, 0,

jika jika

u u

≤ 0; ≥ 1.

Sebaliknya, F X (x) = P ( P (X

≤ x)

= P ( P (F X−1 (U ) U ) = P ( P (U

≤ x)

≤ F X (x))

= F X (x).

Teorema 5.5. Misal F X (x) adalah suatu fungsi distribusi kumulatif dan GU (u) adalah fungsi

yang didefinisikan oleh

{

G(u) = min x : u Jika U

≤ F X (x)},

0

≤ u ≤ 1.

(5.30)

∼ UNIF(0, UNIF(0, 1), 1), maka X = GU (U ) U ) ∼ F X (x).

Teorema (5.5) berguna untuk membangkitan bilangan acak dari distribusi dengan fungsi distribusi kumulatif F X (x). 5.2.2

Transform ransformasi asi yang yang Tidak Tidak Satu-satu Satu-satu

{

}

Misal fungsi u(x) tidaklah satu-satu sepanjang himpunan A = x : f X (x) . Meskip Meskipun un hal ini ini berarti tidak terdapat penyelesaian tunggal pada persamaan y = u(x), namun biasanya mungkin untuk mempartisi himpunan A menjadi himpunan bagian tak bersama ( disjoint ) A1 , A2 , . . . sedemikian hingga u(x) adalah satu-statu satu-statu sepanjang sepanjang A j . Untuk Untuk setiap setiap y di dalam range u(x), persamaan y = u(x) memiliki penyelesaian tunggal x j = w j (y) sepanjang himpunan A j . Untuk kasus diskrit, Teorema (5.2) dapat diperluas untuk suatu fungsi yang tidak satu-satu dengan mengganti persamaan yang tidak satu-satu pada persamaan (5.15) dengan f Y Y (y ) =



f X (w j (y)). )).

(5.31)

j



Dalam hal ini f Y Y (y ) = j f X (x j ) dimana jumlah keseluruhan sepanjang x j sedemikian hingga u(x j ) = y . Sementara, dalam kasus kontinu, untuk fungsi yang tidak satu-satu diperoleh dengan memperluas memperluas persamaan persamaan (5.23) menjadi f Y Y (y ) =

 j

 

 

d f X (w j (y )) w j (y) . dy

(5.32)

BAB 5.

53


Untuk transformasi Y = u(X ), penjumlahan penjumlahan sepanjang nilai j yang mana u(x j ) = y, meskipun Jacobiannya masuk ke persamaan untuk kasus kontinu. Contoh 5.10. Suatu peubah acak diskrit X memiliki memiliki fungsi densitas peluang x



4 1 f X (x) = 31 2

;

x=

−2, −1, 0, 1, 2.

(5.33)

| |

{

}

Misal kita tertarik dengan peubah acak Y = X . Dalam hal ini himpunan B = 0, 1, 2 serta 0



4 1 f Y Y (0) = f X (0) = 31 2

=

4 ; 21

(5.34) −1

 

4 1 f Y Y (1) = f X ( 1) + f X (1) = 31 2

−

4 1 f Y Y (2) = f x ( 2) + f X (2) = 31 2

−

−2

1

 

4 1 + 31 2

4 1 + 31 2

=

8 2 10 + = ; 31 31 31

(5.35)

=

16 1 17 + = . 31 31 31

(5.36)

2

Cara lain untuk menyatakan fungsi densitas peluang ini adalah

f Y Y (y ) =

4 , 31 4 31

       −y

1 2

+

untuk y = 0; (5.37)

y

1 2

,

untuk y = 1, 1 , 2.

Jika kita lihat kembali Contoh (5.2), yakni teknik fungsi distribusi kumulatif, jika X adalah peubah acak kontinu serta Y = X 2 , maka

√ − F X (−√y);

F Y Y (y ) = F X ( y )

(5.38)

dengan menurunkan diperoleh f Y Y (y ) =

1 √ √ )]. [f X ( y ) + f X (− y )]. √ 2 y

(5.39)

UNIF( 1, 1) dan misalkan pula Y = X 2 . Fungs ungsii densitas peluang X dapat dinyatakan sebagai berikut Contoh Contoh 5.11. 5.11. Misal peubah acak X

f X (x) =

1

∼

−

1 1 = , ( 1) 2

−−

−1 < x < 1.

(5.40)

Jika kita partisi himpunan A = ( 1, 1) menjadi A1 = ( 1, 0) dan A2 = (0, (0, 1) maka y = x2 memiliki penyelesaian tunggal, yakni x1 = w1 (y) = y dan x2 = w2 (y ) = y sepanjang selang ini. Kita dapat mengabaik mengabaikan an titik x = 0 dalam partisi ini karena x kontinu. kontinu. Dengan demikian

−

− √ −

√

BAB 5.

54


fungsi densitas peluang Y adalah 2

f Y Y (y ) =

       −√  −√     √ − − √       √   √  √   √



j=1 j =1

 

d f X (w j (y )) w j (y ) dy

   √  √   √  √ 

   

d d = f X (w1 (y)) w1 (y) + f X (w2 (y)) w2 (y) dy dy d d = f X ( y) ( y) + f X ( y) ( y) dy dy 1 1 = f X ( + f X ( y ) y) 2 y 2 y 1 1 1 1 = + 2 2 y 2 2 y 2 1 = 2 2 y 1 = 2 y 1 = , y B = (0, (0 , 1). 1). 2 y

∈

√

Contoh 5.12. Suatu peubah acak kontinu X memiliki memiliki fungsi densitas peluang peluang

f X (x) =

x2 , 3 0,

 

jika

− 1 < x < 2;

(5.41)


Misal kita tertarik dengan peubah acak Y = X 2 . Kita peroleh transformasi inverse x1 = w1 (y ) = y untuk x < 0 dan x2 = w2 (y) = y untuk x > 0. Nam Namun, un, untuk untuk 0 < y < 1 terdapat terdapat dua titik dengan fungsi densitas peluang tidak nol, yakni x1 = y dan x2 = y yang terpetakan ke y . Sementara untuk 1 < y < 4 hanya terdapat satu titik dengan fungsi densitas peluang tidak nol, x2 = y yang dipetakan ke y. (Ingat (Ingat bahwa bahwa batas untuk untuk y adalah 0 < y < 4). Dengan Dengan demikian, demikian, fungsi densitas peluang Y adalah

−√

√

−√

√

√

1 √ √ (f X ( y) + f X (− y)) √ 2 y √ √ 1 (− y )2 ( y)2 + , untuk 0 < y < 1; √ 2 y 3 3 √ √ ( y )2 1 1 ( y )2 √ 0 + 3 = 2√y 3 , untuk 1 < y < 4. 2 y f Y Y (y ) =

f Y Y (y ) =

Catatan: persamaan

   





f Y Y (y ) =



 

f X (w j (y ))

j

dan f Y Y (y ) =

 j

 

 

d f X (w j (y)) w j (y ) dy

dapat disederhanakan menjadi f Y Y (y ) =

 j

f X (x j )

(5.42)

BAB 5.

55


dan f Y Y (y ) =

 j

dengan





dx j f X (x j ) , dy

x j = w j (y ) adalah fungsi dari y. 5.2.3

Transform ransformasi asi Bersama Bersama

Misal X adalah suatu vektor p eubah acak berdimensi berdimensi k , yakni X = (X ( X 1, . . . , Xk ), dan misalkan u1 (x), . . . , uk (x) adalah fungsi dari x sebanyak k, sedemikian hingga Y i = ui (X) untuk i = 1, . . . , k mendefinis mendefinisik ikan an suatu peubah acak lain yakni Y = (Y 1 , . . . , Yk ) = u(X). Teorema 5.6 (Kasus Diskrit). Jika X adalah suatu vektor peubah acak diskrit dengan fungsi densitas peluang bersama f X (x) dan Y = u(X) mendefinisikan suatu transformasi satu-satu, maka fungsi densitas peluang bersama Y adalah

f Y (y1, . . . , yk ) = f X (x1 , . . . , xk )

(5.43)

dimana x1 , . . . , xk adalah penyelesaian dari y = u(x) dan bergantung pada y1 , . . . , yk . Jik Jika transformasinya tidak satu-satu dan jika partisi ada katakanlah A1 , A2 , . . . , sedemikian hingga y = u(x) memiliki penyelesaian tunggal x = x j atau ( x1 j , . . . , xkj ) x j = (x

(5.44)

sepanjang A j , maka fungsi densitas peluang Y adalah f Y (y1 , . . . , yk ) =



f X (x1 j , . . . , xkj ).

(5.45)

j

Untuk kasus kontinu, transformasi peubah acak kontinu juga dapat diperoleh dengan memperluas notasi Jacobian. Jacobian. Suatu transformasi transformasi dengan dengan k peubah y = u(x) dengan suatu penyelesaian tunggal x = (x1, . . . , xk ) memiliki Jacobian yang merupakan matriks turunan parsial k k ∂x 1 ∂x 1 ∂x 1 ∂y 1 ∂y 2 ∂y k ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 ∂y k J = ∂y. 1 ∂y. 2 . (5.46) .. .. .. .. .

×

    

··· ···

∂x k ∂y 1

∂x k ∂y 2

···

∂x k ∂y k

    

Teorema 5.7. Misal suatu vektor peubah acak kontinu X = (X 1 , . . . , Xk ) dengan fungsi densitas peluang bersama f X (x1 , . . . , xk ) > 0 pada himpunan A, dan Y = (Y 1 , . . . , Yk ) didefinisikan

oleh transformasi transformasi satu-satu satu-satu Y i = ui (X 1 , . . . , Xk ),

i = 1, . . . , k .

(5.47)

Jika Jacobiannya kontinu dan tak nol sepanjang rentang ( range ) dari transformasi, maka fungsi densitas densitas peluang bersama Y adalah

||

f Y (y1 , . . . , yk ) = f X (x1 , . . . , xk ) J dimana x = (x1 , . . . , xk ) adalah penyelesaian dari y = u(x).

(5.48)

BAB 5.

56


Contoh Contoh 5.13. Misal X 1 dan X 2 adalah peubah-peubah acak kontinu bebas dan berdistribusi

∼ EXP(1). EXP(1). Fungsi densitas peluang bersam b ersamany anyaa adalah f X ,X (x1 , x2 ) = exp(−(x1 + x2 )), )), (x1 , x2 ) ∈ A, (5.49) dengan A = {(x1 , x2 ) : 0 < x1 , 0 < x2 }. Misal Misal peubah peubah acak Y 1 = X 1 dan Y 2 = X 1 + X 2 . Hal ini bersesuaian dengan transformasi y1 = x1 dan y2 = x1 + x2 , yang memiliki solusi tunggal x1 = y1 dan x2 = y2 − y1 . Jacobian transformasi ini adalah

eksponensial, yakni X i

1

2

∂x 1 ∂y 1 J = ∂x 2 ∂y 1 =

   −

∂x 1 ∂y 2 ∂x 2 ∂y 2

1

0

1 1

 

 

· − ((−1) · 0) =1 −0 = (1 1)

= 1. 1. Dengan demikian fungsi densitas peluang bersama Y 1 dan Y 2 adalah

− y1) = exp(y exp(y1 + y2 − y1 ) = exp(−y2 ), (y1 , y2 ) ∈ B ;

f Y Y1 ,Y 2 (y1 , y2 ) = f X1 ,X2 (y1 , y2

dan nol untuk y lainnya. Himpunan B diperoleh dengan mentransformasikan himpunan A yang bersesuaian dengan y1 = x1 > 0 dan y2 y1 = x2 > 0. Dengan demikian B = (y1 , y2 ) : 0 < y1 < y2 < . Fungsi densitas marjinal Y 1 dan Y 2 adalah

−

{

∞

f Y Y 1 (y1 ) =



∞}

e−y2 dy2

y1 −y2



y2 =∞

−e y =y = − e−∞ −(− e−y ) =

2

1

1

= 0 + e −y1 = e−y1 ,

y1 > 0;

(5.50)

dan y2

f Y Y 2 (y2 ) =



=e

0

−y2

e−y2 dy1 y1

= y2 e−y2



y1 =y2 y1 =0

−0

= y2 e−y2 ,

y2 > 0.

Dari fungsi densitas peluang (5.50) dan (5.51) diperoleh Y 1

(5.51)

∼ EXP(1) dan Y 2 ∼ GAM(1, GAM(1, 2). 2).

BAB 5.

57


Contoh Contoh 5.14. 5.14. Sehubu Sehubunga ngan n dengan dengan Contoh Contoh (5.13) (5.13),, misal misal kita tertar tertarik ik dengan dengan peubah peubah acak acak

Y 1 = X 1 x2 = (y ( y2

− X 2 dan Y 2 = X 1 + X 2. Hal ini bersesuaian dengan dengan transformasi transformasi x1 = (y ( y1 + y2 )/2 dan Dengan demikian demikian Jacobiannya Jacobiannya adalah − y1)/2. Dengan ∂x 1 ∂y 1 J = ∂x 2 ∂y 1 =

=

∂x 1 ∂y 2 ∂x 2 ∂y 2

   −

1/2

    · − 

1/2

1/2 1/2

1 1 2 2

· − 12

=

1 1 + 4 4

=

2 4

1 2

1 = . 2 Fungsi densitas peluang bersama Y 1 dan Y 2 adalah

− y1)/2)|1/2| = exp(−(y1 + y2 )/2 + (y ( y2 − y1 )/2)(1/ 2)(1/2) = exp(−(y1 + y2 + y2 − y1 )/2)(1/ 2)(1/2) = exp(−(2y (2y2 )/2)(1/ 2)(1/2) = (1 ( 1/2)exp(−y2 ), (y1 , y2 ) ∈ B. Dalam hal ini B = {(y1 , y2 ) : −y2 < y1 < y2 , y2 > 0} dengan dengan batas-batas batas-batas y2 = −y1 dan f Y ((y1 + y2 )/2, (y2 Y1 ,Y 2 (y1 , y2 ) = f X1 ,X2 ((y

0 < y2 = y1. Fungsi marjinal Y 1 dan Y 2 adalah sebagai berikut. Pertama, untuk y1 < 0: ∞

f Y Y1 (y1 ) =



−y1

= =

−

1 −y2 e 2

− 12 e−∞

=0 + =

1 −y2 e dy2 2 y2 =∞

   − − y2 =−y1

1 y1 e 2

1 y1 e 2

1 y1 e . 2

(5.52)

BAB 5.

58


Kedua, untuk y1 > 0: ∞

f Y Y1 (y1 ) = =

1 −y2 e dy2 2



y1

−

1 −y2 e 2

y2 =∞

 

y2 =y1

1 −∞ = e 2 1 = 0 + e−y1 2 1 −y1 = e . 2

−

− −

1 −y1 e 2

 (5.53)

Bentuk persamaan (5.52) dan (5.53) dapat disederhanakan menjadi f Y Y1 (y1 ) =

1 −|y e−|y1 | , 2

−∞ < y1 < ∞.

(5.54)

Sementara, y2

f Y Y2 (y2 ) =



−y2

1 −y2 e dy1 2

y1 −y2 = e 2

y1 =y2

 

y1 =−y2

y2 −y2 y2 −y2 = e e 2 2 y2 −y2 y2 −y2 = e + e 2 2 −y2 = y2 e , y2 > 0.

− −

∼

 (5.55)

∼

Dari persamaan (5.55) diperoleh Y 1 DE(1, DE(1, 0) dan Y 2 GAM(1, GAM(1, 2). 2). Untuk transformasi yang tidak satu-satu Teorema (5.7) juga dapat dipeluas. Jika persamaan y = u(x) dapat diselesaikan secara tunggal sepanjang setiap himpunan pada partisi A1 , A2 , . . . , dan menghasilkan penyelesaian, dan jika penyelesaian ini memiliki Jacobian kontinu tak nol, maka f Y (y1 , . . . , yk ) = f X (x1i , . . . , xki ) J i , (5.56)



| |

i

dimana J i adalah Jacobian dari penyelesian sepanjang himpunan Ai .

5.3 5.3 5.3.1

Juml Jumlah ah Peuba eubah h Acak cak Formula ormula Konvolu Konvolusi si

Misal X 1 dan X 2 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi densitas peluang bersama f X1 ,X2 (x1 , x2 ) dan jika kita hanya tertarik pada fungsi densitas peluang dari suatu jumlah S = X 1 + X 2 maka kita dapat menggunakan ∞

f S S (s) =



−∞

f ( f (t, s

− t) dt.

(5.57)

Jika X 1 dan X 2 saling bebas, maka kita akan memperoleh formula konvolusi ∞

f S S (s) =



−∞

f X1 (t)f X2 (s

− t) dt.

(5.58)

BAB 5.

59


Contoh Contoh 5.15. Misal X 1 dan X 2 adalah peubah acak bebas dan berdistribusi seragam, yakni

∼

X i UNIF(0, UNIF(0, 1), 1), i = 1, 1 , 2. Misal pula S = X 1 + X 2 . Fungsi distribusi peluang bersama X 1 dan X 2 dapat dinyatakan sebagai f X1 ,X2 (x1 , x2 ) = 1, 1,

0 < x1 < 1; 0 < x 2 < 1.

(5.59)

{

Daerah B bersesuaian dengan transformasi t = x1 dan s = x1 + x2 adalah B = (s, t) : 0 < t < s < t + 1 < 2 . Dengan demikian diperoleh

}

f S S (s) =

  −  − | − | s 0 dt = s, 1 s−1 dt = 2

1 0,

s

untuk 0 < s < 1; untuk 1 s < 2; untuk 0 < s < 2; untuk s lainnya. lainnya.

≤

s,

1,

Contoh Contoh 5.16. Misal X 1 dan X 2 adalah peubah acak gamma bebas, yakni X 1

∼

(5.60)

∼ GAM(1, GAM(1, α)

dan X 2 GAM(1, GAM(1, β ). Misal Misal peub peubah ah acak acak Y 1 = X 1 + X 2 dan Y 2 = X 1 /(X 1 + X 2 ). Fungsi ungsi densitas densitas peluang bersama X 1 dan X 2 adalah 1 −1 β −1 xα x2 exp( x1 1 Γ(α Γ(α)Γ(β )Γ(β )

∞, 0 < α, 0 < β . (5.61) Dengan transformasi invers diperoleh x1 = y1 y2 dan x2 = y1 − y1 y2 = y1 (1 − y2 ). Jacobi Jacobian an f X1 ,X2 (x1 , x2 ) =

− − x2),

0 < xi <

transformasi transformasi ini adalah

∂x 1 ∂y 1 J = ∂x 2 ∂y 1

    −

∂x 1 ∂y 2 ∂x 2 ∂y 2

y2

=

 

y1

 

−y1 = y2 (−y1 ) − (y1 )(1 − y2 ) = −y1 y2 − y1 + y1 y2 = −y1 . 1

y2

Dengan demikian fungsi densitas peluang bersama X 1 dan X 2 adalah (y1 y2 )α−1 (y1 (1 Γ(α Γ(α)Γ(β )Γ(β )

− y2))β−1 exp(−y1y2 − (y1 − y1y2))| − y1| y1α−1 y2α−1 y1β −1 (1 − y2 )β −1 −y = e y1

f Y Y1 ,Y 2 (y1 , y2 ) =

1

= jika (y1 , y2 ) 5.3.2

Γ(α Γ(α)Γ(β )Γ(β ) y2 )β −1 α+β −1 −y1 y1 e ; Γ(α Γ(α)Γ(β )Γ(β )

y2α−1 (1

−

∈ B = {(y1, y2) : 0 < y1 < ∞, 0 < y 2 < 1} dan nol untuk y lainnya.

Metode Fungsi Pemb Pembangki angkitt Momen Momen

Fungsi pembangkit momen ( moment generating function ) dari suatu peubah acak secara unik menentukan menentukan distribusinya. Pendekatan Pendekatan fungsi pembangkit momen berguna dalam menentukan menentukan distribusi jumlah peubah acak bebas dan bahkan lebih nyaman dibandingkan melakukan transformasi formasi bersama. bersama. Jika Jika fungsi pembangkit pembangkit momen suatu peubah acak diperoleh, maka langkah langkah selanjutnya adalah menentukan atau mengenali distribusi yang memiliki fungsi pembangkit momen tersebut.

BAB 5.

60


Teorema 5.8. Jika X 1 , . . . , Xn adalah peubah acak bebas dengan fungsi pembangkit momen

M Xi (t), maka fungsi pembangkit momen Y =

n i=1 X i



M Y Y (t) = M X1 (t)

adalah

· · · M X (t).

(5.62)

n

Bukti:

M Y (etY ) Y (t) = E (e ···+Xn ) = E (e (et(X1 +···+ )

= E (e (etX1

· · · etX ) = E (e (etX ) · · · E (e (etX ) = M X (t) · · · M X (t). n

n

1

n

1

Apabila X 1, . . . , Xn merupa merupak kan sampel sampel acak acak dari dari suatu suatu populas populasii dengan dengan fungsi fungsi densita densitass peluang f X (x) dan fungsi pembangkit pembangkit momen momen M X (t) maka M Y Y (t) = M X (t)

· · · M X (t) = [M [ M X (t)]n .

(5.63)

Contoh 5.17. Misal X 1 , . . . , Xn adalah peubah-peubah peubah-peubah acak berdistribusi berdistribusi Poisson yang saling

bebas, yakni X i POI(µ POI(µi ) dan misal pula Y = ni=1 X i . Fungsi pembangkit momen X i adalah M Xi (t) = exp[µ exp[ µi (et 1)]. 1)]. Dengan demikian fungsi pembangkit momen Y adalah

∼



−

· · · M X (t) = exp[µ exp[µ1 (et −1)] · · · exp[µ exp[µn (et −1)] = exp[(µ exp[(µ1 + · · · + µn )(et −1)]. 1)]. Bentuk Bentuk (5.64) adalah fungsi pembangkit pembangkit momen dari POI(µ POI(µ1 + · · · + µn ). Jadi Y = n M Y Y (t) = M X1 (t)

n



POI(

i=1 µi ).

(5.64) n i=1 X i



∼

Contoh Contoh 5.18. 5.18. Misal X 1 , . . . , Xn adalah peubah-peubah acak yang berdistribusi normal dan

saling bebas, X i adalah

∼ N (µi, σi2); i = 1, . . . , n.n. Misal Y =

n i=1 X i .



Fungsi pembangkit pembangkit momen X i

· · · M X (t) = exp(µ exp(µ1 t + σ12 t2 /2) · · · exp(µ exp(µn t + σn2 t2 /2) = exp(µ exp(µ1 t + · · · + µn t + σ12 t2 /2 + · · · + σn2 t2 /2) = exp[(µ exp[(µ1 + · · · + µn )t + (σ (σ12 + · · · + σn2 )t2 /2]. 2]. Bentuk (5.65) adalah fungsi pembangkit momen dari Y ∼ N ( ni=1 µi , ni=1 σi2 ). M Y Y (t) = M X1 (t)

5.4 5.4.1

n

Statis Statistik tik Terurut erurut

(5.65)

 

Penarik Penarikan an Sampel Tersensor ersensor

Konsep tentang suatu sampel acak berukuran n telah dibicarakan pada bab sebelumnya, dan fungsi denstias peluang bersama dari n peubah acak saling bebas dari X 1 , . . . , Xn diberikan oleh f X1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn ) = f X1 (x1 )

· · · f X (xn). n

(5.66)

Sebagai contoh suatu sampel acak enam bola lampu diuji dengan waktu kegagalan yang teramati (dalam bulan) katakanlah (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) = (6, (6 , 8, 11 11,, 100 100,, 5, 15). 15). Nah, amatan sesungguhnya akan mengambil posisi x5 = 5, x1 = 6, x2 = 8, x3 = 11 11,, x6 = 15 15,, dan x4 = 100. 100. Akan Akan

BAB 5.

61


lebih lebih bermanf bermanfaat aat apabil apabilaa kita kita mengga menggangg nggap ap sampel sampel acak acak ”terur ”terurut” ut” ( ordered ordered random random sample ) berukuran n, dinotasikan sebagai (x1:n 1:n , . . . , xn:n ). Dalam hal ini, x1:6 = x5 = 5, x2:6 = x1 = 6, x3:6 = x2 = 8, x4:6 = x3 = 11 11,, x5:6 = x6 , dan x6:6 = x4 = 100. 100. Mengingat Mengingat kita tidak perduli perduli bola lampu mana yang diberi label nomor 1, nomor 2, nomor 3, dan seterusnya, kita dapat saja dengan cara yang sama mencatat data terurut sebagaimana bahwa dia diambil tanpa mencatat pelabelan awal. Dalam beberapa kasus kita ingin berhenti setelah r amatan terurut terkecil dari n telah telah terama teramati, ti, karena arena hal ini berarti berarti kita bisa bisa menghe menghemat mat waktu. waktu. Dalam Dalam ilustra ilustrasi si di atas diperluka diperlukan n 100 bulan agar keenam keenam bola lampu gagal, tetapi lima bola lampu gagal dalam tempo 15 bulan. Fungsi distribusi bersama dari peubah-peubah acak terurut tidaklah sama dengan fungsi densitas densitas bersama peubah-peubah peubah-peubah acak tidak terurut. Sebagai Sebagai contoh, contoh, ilustrasi ilustrasi di atas ada 6! permutasi yang berbeda dari suatu sampel berukuran 6 bersesuaian dengan satu hasil terurut. Misal suatu transformasi yang mengurutkan nilai-nilai x1 , . . . , xn yakni y1 = u1 (x1 , . . . , xn ) = min(x min(x1 , . . . , xn );

(5.67)

yn = un (x1 , . . . , xn ) = max(x max( x1 , . . . , xn ).

(5.68)

Secara umum yi = ui (x1 , . . . , xn ) menyatakan nilai terkecil ke-i ke- i dari x1 , . . . , xn . Ilustr Ilustrasi asi bola bola lampu di atas memperlihatkan contoh transformasi ini. Apabila transformasi ini diterapkan pada suatu sampel acak X 1 , . . . , Xn , kita akan mendapatkan sampel acak terurut, disebut statistik terurut (order statistics ) dinotasikan sebagai X 1:n 1:n , . . . , Xn :n atau Y 1 , . . . , Yn . Teorema 5.9. Jika X 1 , . . . , Xn adalah suatu sampel acak dari suatu populasi dengan fungsi

densitas peluang kontinu f X (x), maka fungsi densitas peluang bersama dari statistik terurut Y 1 , . . . , Yn adalah gY 1,...,Y n (y1, . . . , yn ) =



n!f Y Y1 (y1 ) 0,

· · · f Y Y (yn), n

jika y1 < y 2 < jika y lainnya. lainnya.

· · · < yn ;

(5.69)

Jika transformasi peubah acak kontinu tidak satu-satu maka perlu dilakukan partisi pada domain menjadi himpunan-himpunan bagian A1 , A2 , . . . , sedemikian hingga transformasi menjadi satu-satu pada masing-masing himpunan bagian dan menjumlahkannya, yakni gY 1,...,Y n (y1 , . . . , yn ) =



f Y Y1 (y1 )

i

· · · f Y Y (yn)|J i|. n

(5.70)

Untuk memahami Teorema (5.9), sebagai ilustrasi kita ambil kasus n = 3. Dalam hal ini ruang sampel dapat dibagi menjadi 3! = 6 himpunan disjoint :

{ } A2 = {(x1 , x2 , x3 ) : x2 < x 1 < x3 }, A3 = {(x1 , x2 , x3 ) : x1 < x 3 < x2 }, A4 = {(x1 , x2 , x3 ) : x2 < x 3 < x1 }, A5 = {(x1 , x2 , x3 ) : x3 < x 1 < x2 }, A6 = {(x1 , x2 , x3 ) : x3 < x 2 < x1 }, dan rentang ( range ) transformasi transformasi adalah B = {(y1 , y2 , y3 ) : y1 < y2 < y 3 }. Dalam mentransforA1 = (x1 , x2 , x3 ) : x1 < x 2 < x3 ,

masi menuju sampel acak terurut kita peroleh transformasi satu-satu: Y 1 = X 1 , Y 2 = X 2 , Y 3 = X 3 ,

dengan J 1 = 1

Y 1 = X 2 , Y 2 = X 1 , Y 3 = X 3 ,

dengan J 2 =

pada A2 ;

Y 1 = X 1 , Y 2 = X 3 , Y 3 = X 2 ,

dengan

pada A3 ;

Y 1 = X 2 , Y 2 = X 3 , Y 3 = X 1 ,

dengan

Y 1 = X 3 , Y 2 = X 1 , Y 3 = X 2 ,

dengan

Y 1 = X 3 , Y 2 = X 2 , Y 3 = X 1 ,

dengan

−1 J 3 = −1 J 4 = −1 J 5 = −1 J 6 = −1

pada A1 ;

pada A4 ; pada A5 ; pada A6 .

BAB 5.

62


Catatan: Catatan: masing-masi masing-masing ng Jacobian Jacobian dapat dihitung sebagai berikut, berikut, misalnya misalnya untuk untuk J 3 : ∂x 1 ∂y 1 ∂x 2 J 3 = ∂y 1 ∂x 3 ∂y 1

      

∂x 1 ∂y 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂x 3 ∂y 2

1 0 0

= 0 0 1 0 1 0

  

=0+0+0 =

∂x 1 ∂y 3 ∂x 2 ∂y 3 ∂x 3 ∂y 3

   

−0−1−0

−1.

| |

Pada setiap kasus J i = 1. 1 . Lebih lanjut, untuk setiap daerah, fungsi densitas peluang bersamanya adalah produk dari faktor-faktor f Y dikalikan an menurut menurut urutan. Nam Namun, un, dapat dituliskan dituliskan Yi (yi ) dikalik sebagai f Y Y1 (y1 )f Y Y2 (y2 )f Y Y3 (y3 ), mengabaikan urutan. Jika kita jumlahkan semuanya maka terdapat 3! = 6 himpunan himpunan bagian. Dengan Dengan demikian, demikian, fungsi densitas peluang bersama b ersama Y 1 , Y 2 , dan Y 3 adalah 6

gY 1 ,Y 2 ,Y 3 (y1 , y2 , y3 ) =



f Y Y1 (y1 )f Y Y 2 (y2 )f Y Y3 (y3 )

i=1

= 3!f 3! f Y Y1 (y1 )f Y Y2 (y2 )f Y Y3 (y3 ),

y 1 < y2 < y 3 ;

dan nol untuk y lainnya. Contoh 5.19. Misal X 1 , X 2 , dan X 3 menyatakan suatu sampel acak berukuran tiga dari suatu

populasi dengan fungsi densitas peluang f X (x) =



2x, 0,


(5.71)

Fungsi densitas peluan p eluangg bersama dari statistik statistik terurut terurut Y 1 , Y 2 , dan Y 3 adalah gY 1 ,Y 2 ,Y 3 (y1 , y2 , y3 ) = 3!(2y 3!(2 y1 )(2y )(2y2 )(2y )(2y3 )

·

= 6 8y1 y2 y3 = 48y 48 y1 y2 y3 , 0 < y 1 < y 2 < y 3 < 1, dan nol untuk y lainnya. Jika kita tertarik dengan fungsi densitas marjinal dari suatu statistik terurut tunggal, misalnya Y k , maka maka hal ini dapat diperoleh diperoleh dengan mengintegral mengintegralka kan n sepanjang peubah lain. Misal

BAB 5.

63


fungsi peluang marjinal marjinal dari statistik terurut terurut terkecil terkecil Y 1 . gY 1 (y1 ) =

1

1

y1

y2

 

48 48yy1 y2 y3 dy3 dy2 1

1

y1 1

y2

        −    −    −    −   −     − −  −   −  −  −   −  − 

= 48y 48 y1 y2

1 2 y 2 3

= 48y 48 y1 y2

y1 1 y1 1

= 48y 48 y1 = 48y 48 y1 = 48y 48 y1

1 2 y dy2 2 2

1 y2 2

1 3 y dy2 2 2

= 48y 48 y1 = 48y 48 y1

1 2 y 4 2 1 4

1 4 y 8 2

1 8

1 4 1 8

y22 ) dy2

1 2

y2

y1

y3 =y2

1 2 y dy2 2 2

y1

y1 1

dy2

1 2

1

= 48y 48 y1

y3 =1

1 2 (1 2

= 48y 48 y1 y2 = 48y 48 y1 y2

y3 dy3 dy2

y2 =1

dy2

y2 =y1

1 2 1 4 y y 4 1 8 1 1 2y12 y14 8

1 8 1 2y12 8

y14

48 48yy1 [1 (2y (2y12 y14 )] 8 = 6y 6 y1 (1 2y12 + y14 )

− − − = 6y 6 y1 (1 − y12 )2 , 0 < y 1 < 1. =

Untuk mendapatkan formula umum dari distribusi ke- k dari statistik terurut dalam fungsi densitas peluan p eluangg f X (x) dan fungsi distribusi kumulatif F X (x). Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi peubah acak f X (x) > 0 pada a < x < b (a mungkin dan b mungkin ) maka

−∞

∞

BAB 5.

64


untuk n = 3: 3: gY 1 (y1 ) =

b

b

y1

y2

 

3!f 3!f Y Y1 (y1 )f Y Y2 (y2 )f Y Y3 (y3 ) dy3 dy2 b

b

y1 b

y2

         

= 3!f 3! f Y Y1 (y1 )f Y Y 2 (y2 ) = 3!f 3! f Y Y1 (y1 )f Y Y 2 (y2 ) = 3!f 3! f Y Y1 (y1 )f Y Y 2 (y2 )

f Y Y3 (y3 ) dy3 dy2

0

y1 b

y2 b

y1 b

0

b

f Y Y 3 (y3 ) dy3 +

 −  

f Y Y3 (y3 ) dy3 dy2

0

f Y Y3 (y3 ) dy3 dy3 dy2

− F ( F (y2 )

dy2

f Y F (b) Y2 (y2 ) F (

− F ( F (y2 )

dy2

y1

y1

− F Y Y (y2)]2 y =b 2

 

y2

f Y Y3 (y3 )

b

[1

0

F ( F (b)

= 3!f 3! f Y Y1 (y1 )f Y Y 2 (y2 ) = 3!f 3! f Y Y1 (y1 )





2

−3!f 3!f Y Y (y1 ) 2 y =y 2 = 3f 3 f Y Y (y1 )[1 − F Y Y (y1 )] , a < y1 < b. =

1

1

1

2

1

Teorema 5.10. Misal X 1 , . . . , Xn adalah sampel acak berukuran n dari fungsi densitas peluang

kontinu f X (x), dimana f X (x) > 0 untuk a < x < b. b. Maka Maka fungsi fungsi densitas densitas peluang peluang statist statistik ik terurut ke-k ke-k , yakni Y k , diberikan oleh gk (yk ) =

(k

−

n! 1)!(n 1)!(n

− k)!

k−1 [F Y [1 Yk (yk )]

− F Y Y (yk )]n−k f Y Y (yk ), k

(5.72)

k

jika a < y k < n, dan nol untuk yk lainnya. Untuk memahami Teorema (5.10) perhatikan bahwa untuk mendapatkan Y k = yk , kita harus mempunyai k 1 amatan kurang dari yk , satu amatan pada yk , dan n k amatan yang lebih besar daripada yk , dimana P ( P (X yk ) = F X (yk ) , P ( P (X yk ) = 1 F X (yk ), dan likelihood pada amatan saat yk adalah f Y erdapat n!/(k 1)!1!(n 1)!1!(n k )! pengurutan yang mungkin dari Yk (yk ). Terdapat n amatan peubah acak bebas, sehingga gk (yk ) diberikan oleh persamaan

−

≤

gk (yk ) =

(k

−

−

n! 1)!(n 1)!(n

− k)!

≥

k−1 [F Y [1 Yk (yk )]

−

−

−

− F Y Y (yk )]n−k f Y Y (yk ). k

k

Dengan argumentasi yang sama kita juga dapat memperoleh sembarang fungsi densitas peluang bersama statistik terurut. Misalkan Misalkan suatu pasangan statistik terurut Y i dan Y j dimana i < j . Untuk mendapatkan Y i = yi dan Y j = y j , kita harus memiliki i 1 amatan kurang dari yi, satu amatan pada yi , j i 1 antara yi dan y j , satu observasi pada y j , dan n j amatan lebih besar daripada daripada y j . Dengan menerapkan bentuk multinomial kita akan memperoleh fungsi densitas densitas peluang bersama Y i dan Y j

−

− −

gij (yi , y j ) =

(i

n! i 1)!1!(n 1)!1!(n

− 1)!1!( j − −

− j)! j )!

i−1 [F Y f Y )[F Y Y i (yi )] Yi (yi )[F Yj (y j )

−

j −i−1 − F Y Y (yi)] j− i

× [1 − F Y Y (y j )]n− j f Y Y (y j ), j

j

(5.73)

jika a < y i < y j < b dan nol untuk yi dan y j lainnya. Dalam statistika dasar, kita telah mengenal median median dan rentang sampel. Median sampel didefinisika didefinisikan n sebagai sebagai Y k =

 

Y (n+1)/ +1)/2 , Y (n/2) n/2) + Y (n/2+1) n/2+1) , 2

jika n ganjil; ganjil; jika n genap. genap.

BAB 5.

65


Sementar Sementara, a, rentang rentang sampel adalah selisish antara amatan terbesar dan terkecil, terkecil, yakni yakni R = Y n Y 1 . Fungsi densitas peluang untuk amatan minimum dan maksimum, yakni Y 1 dan Y n dapat ditentukan sebagai kasus khusus dari Teorema (5.10) yakni

−

n! i−1 n−1 [F Y [1 F Y f Y Y1 (y1 )] Y1 (y1 )] Y1 (y1 ) (1 1)!(n 1)!(n 1)! n! 0 n−1 = [F Y F Y f Y Y1 (y1 )] [1 Y1 (y1 )] Y 1 (y1 ) 0!(n 0!(n 1)! n(n 1)! n−1 = 1[1 F Y f Y Y1 (y1 )] Y1 (y1 ) 1(n 1(n 1)! n−1 = n[1 F Y f Y a < y1 < b; b; Y1 (y1 )] Y 1 (y1 ),

g1 (y1 ) =

−

−

−

−

− − − −

−

dan n! n−1 n−n [F Y [1 F Y f Y Yn (yn )] Yn (yn )] Yn (yn ) (n 1)!(n 1)!(n n)! n! n−1 0 = [F Y [1 F Y Y n (yn )] Yn (yn )] f Y Yn (yn ) (n 1)!0! n(n 1)! n−1 = [F Y ]1f ]1f Y Yn (yn ) Y n (yn ) (n 1)!1 n−1 = n[F Y f Y a < yn < b. Yn (yn )] Yn (yn ),

gn (yn ) =

−

−

−

−

− − −

Fungsi distribusi kumulatif peubah acak diskrit dan kontinu untuk nilai sampel minimum dan maksimum dapat dihitung dengan teknik fungsi distribusi kumulatif. Untuk nilai amatan minimum, fungsi distribusi kumulatifnya adalah G1 (y1 ) = P ( P (Y 1

≤ y1)

− P ( P (Y 1 > y 1 ) = 1 − P ( P (semua X i > y 1 ) n = 1 − [1 − F Y Y (y1 )] ; =1

1

sementara untuk nilai amatan maksimum Gn (yn ) = P ( P (Y n

≤ yn )

= P ( P (semua X i n = [F Y Yn (yn )] .

≤ yn )

Dengan argumentasi yang sama diperoleh fungsi distribusi kumulatif untuk statistik terurut ke-k ke-k . Teorema 5.11. Untuk suatu sampel acak berukuran n dari suatu fungsi distribusi kumulatif

diskrit atau kontinu F X (x), maka fungsi distribusi kumulatif marjinal dari statistik terurut ke- k diberikan oleh n n j n− j Gk (yk ) = [F Y F Y . (5.74) Yk (yk )] [1 Yk (yk )] j

 

j= j =k

−

Contoh Contoh 5.20. Misal suatu sampel acak berukuran n dari suatu distribusi dengan fungsi densitas

peluang f X (x) = 2x, 0 < x < 1 dan fungsi distribusi kumulatif F X (x) = x2 ;

0 < x < 1.

(5.75)

BAB 5.

66


Fungsi densitas peluang untuk sampel minimum dan maksimum diperoleh

− F Y Y (y1)]n−1f Y Y (y1) = n(1 − y12 )n−1 2y1 = 2ny 2 ny1 (1 − y12 )n−1 , 0 < y 1 < 1,

g1 (y1 ) = n[1

1

1

dan gn (yn ) = n(yn2 )n−1 2yn = 2ny 2 nyn (yn2 )n−1 = 2ny 2 nyn2n−1 ,

0 < y n < 1.

Untuk fungsi distribusi kumulatifnya diperoleh

− [1 − F Y Y (y1)]n = 1 − [1 − y12 ]n ;

G1 (y1 ) = 1

1

sedangkan untuk fungsi distribusi maksimum diberikan oleh n Gn (yn ) = [F Y Yn (yn ))]

= [yn2 ]n = yn2n .

−

Contoh 5.21. Misal kita tertarik pada fungsi densitas peluang dari rentang sampel R = Y n Y 1 .

Fungsi densitas peluang bersama Y 1 dan Y n diberikan oleh g1,n (y1 , yn ) = =

(1

n! 1 1)!(n 1)!(n

− 1)!(n 1)!(n − − n!

− n)!

1−1 [F Y f Y )[F Y Y1 (y1 )] Y1 (y1 )[F Y n (yn

0 [F Y )[F Y Y1 (y1 )] f Y Y1 (y1 )[F Y n (yn )

−

n

n

n

−

− −

n

− F Y Y (y1)]n−2[1 − F Y Y (yn)]0f Y Y (yn)

1 0!(n 0!(n 2)!0! n! = (2y (2y1 )[y )[yn2 y12 ]n−2 (2y (2yn ) (n 2)! n! = 2y1 [yn2 y12 ]n−2 2yn (n 2)! n! = 4y1 yn (yn2 y12 )n−2 , 0 < y 1 < yn < 1. (n 2)!

−

− F Y Y (y1))]n−1−1[1 − F Y Y (yn)]n−nf Y Y (yn)

−

−

Dengan membuat transformasi R = Y n dan

− Y 1, dan S = Y 1 transformasi invers y1 = s, yn = r + s, ∂s 1 J = ∂y ∂r ∂y 1 =

   

1 1 0 1

=1

−0

= 1. 1.

∂s ∂y n ∂r ∂y n

 

 

n

BAB 5.

67


Dengan Dengan demikian, demikian, fungsi densitas densitas peluang bersama R dan S adalah n!

)[(r + s)2 − s2 ]n−2 − 2)! 4s(r + s)[(r 4n! = s(r + s)[r )[r2 + 2rs 2rs + s2 − s2 ]n−2 (n − 2)!

hR,S (r, s) =

=

(n

4n! s(r + s)(r )(r2 + 2rs 2rs)), (n 2)!

0 < s< 1

−

− r, 0 < r < 1.

Fungsi densitas peluang marjinal rentang diberikan oleh 1−r

hR (r ) =



hS (s) =



h(r, s) ds

(5.76)

0

dan 1

h(r, s) dr.

(5.77)

0

Misal untuk n = 3 kita peroleh 1−r

hR (r ) =

   0

1−r

=

0

· −

4 3! s(r + s)[r )[r + 2rs 2rs]]3−2 ds (3 2)! 4 3! s(r + s)[r )[r + 2rs 2rs]]3−2 ds 1!

·

1−r

=

24 24ss(r + s)(r )(r + 2rs 2rs)) ds

0

= 24

1−r

 

(sr2 + 2r 2r 2 s2 + rs 2 + 2rs 2rs3 ) ds

0

   

1 2 2 2 2 3 r 3 1 4 = 24 s r + r s + s + s r 2 3 3 2



s=1− =1−r

s=0 s=1− =1−r

1 2 1 1 r + rs + s + s2 2 3 3 2 s=0 1 2 1 1 = 24(1 r )2 r r + r(1 r) + (1 r) + (1 r )2 0 2 3 3 2 1 2 2 2 1 1 1 = 24(1 r )2 r r + r r + r + (1 2r + r2 ) 2 3 3 3 3 2 1 2 2 2 1 1 1 r2 2 = 24 (1 r ) r r + r r + r+ r+ ) 2 3 3 3 3 2 2 1 2 1 2 2 r2 1 1 = 24 (1 r )2 r r + r r r r + + + ) 2 3 3 3 2 3 2 2 2 2 2 2 r 5 = 24(1 r )2 r r r r + + 2 3 3 2 6 5 1 2 5 = 24(1 r )2 r r r + . 3 6 6 = 24s 24 s2 r

− −

 

− −

− −

5.4.2

    − −

−

−

−

−

−

−

− − −

− − −





 − −  −  − − 

Pengam Pengambilan bilan Sampel Tersensor ersensor

Dalam beberapa maslah seperti percobaan uji hidup ( life testing ) untuk untuk memperoleh memperoleh informasi reliabilitas benda, amtan terururut adalah hal yang terjadi secara alami. Dalam kasus seperti itu penghematan dalam waktu dan biaya dapat dilakukan dengan menghentikan percobaan setelah

BAB 5.

68


r amatan terurut terjadi, dibandingkan menunggu sampai semua n amatan gagal gagal terjadi. terjadi. Hal ini disebut pengambilan sampel tersensor tipe II ( Type II censored sampling ). ). Pada Pada kasus ini, fungsi fungsi densitas marjinal dari statistik terurut diperoleh dengan mengintegralkan sepanjang peubah. Teorema 5.12 (Pengambilan Sampel Tersensor Tipe II) . Fungsi densitas bersama fungsi dari r

statistik terurur pertama dari suatu sampel acak berukuran n dari suatu fungsi densitas peluang kontinu f X (x) diberikan oleh gY 1,...,Y r (y1 , . . . , yr ) =

 

n! (n 0,

− r)!

[1

F (yr )]n−r − F (

r f (yi ), i=1 f (



jika

− ∞ < y1 < · · · < y r < ∞ ;

jika ylainnya. lainnya. (5.78)

Dalam pengambilan sampel tersensor tipe II, jumlah amatan r adalah tetap, namun lama eksperimen, Y r adlaha adlaha peubah acak jika jika pelaku percobaan percobaan menghen menghentik tikan an percobaan percobaan setelah setelah waktu tertentu t0 , maka prosedur ini disebut pengambilan sampel tersensor tipe I ( Type I cen). sored sampling ). menyatakan nilai-nilai Teorema 5.13 (Pengambilan Sampel Tersensor Tipe I) . Jika Y 1 , . . . , Yr menyatakan amatan pada suatu sampel acak berukuran n dari f X (x), yakni tersensor tipe I pada sebelah kanan saat t0 , maka fungsi densitas peluang bersama Y 1 , . . . , Yr diberikan oleh f Y Y1 ,...,Y r (y1 , . . . , yr ) = jika < y1 <

5.5 5.5

n

n! (n

− r)!

[1

n−r

− F ( F (t0 )]



f ( f (yi )[1

i=1

− F ( F (t0 )]n ,

(5.79)

· · · < yr < t 0 dan r = 1, . . . , n.n.


5-1 Misal Misal X adalah peubah acak dengan dengan fungsi densitas peluang f X (x) =



4x3 , 0,


Gunakan teknik fungsi distribusi kumulatif untuk menentukan fungsi densitas peluang dari masing-masin masing-masingg peubah acak berikut: a) Y = X 4 ; b) W = e W ; c) Z = ln X ; d) U = (X ( X

− 1/2)2; ∼

5-2 Misal Misal X adalah peubah acakyang berdistribusi secara seragam, X i UNIF(0, UNIF(0, 1). 1). Gunakan teknik fungsi distribusi kumulatif untuk menentukan fungsi densitas peluang dari masingmasing peubah acak berikut: a) Y = X 1/4 ; b) W = e −X ;

− e−X ; d) U = X (1 (1 − X ). c) Z = 1

BAB 5.

69


∼

5-3 Jika Jika X berdistribusi Weibull, yakni X WEI(θ, WEI(θ, β ) , carilah fungsi distribusi kumulatif dan fungsi densitas peluang dari peubah-peubah acak berikut: a) Y = (X/θ ( X/θ))β ; b) W = ln X ; c) Z = (ln X )2 . 5-4 Kerjakan Kerjakan kembali kembali Soal No. 1 dan 2 menggunak menggunakan an metode transformasi. transformasi.

∼ BIN(n, BIN(n, p). Tentukan fungsi densitas peluang Y = n − X . 5-6 Misal Misal X ∼ NB(r, NB(r, p). Tentukan fungsi densitas peluang Y = X − r . 5-5 Misal Misal X

5-7 Misal Misal X memiliki memiliki fungsi densitas peluang f X (x) =

 

x2 , 24 0,

jika

− 2 < x < 4;


Carilah fungsi densitas peluang dari Y = X 2 . 5-8 Misal Misal X dan Y memiliki memiliki fungsi densitas densitas peluang bersama f X,Y X,Y (x, y ) =



2(x+y ) , 4 e−2(x 0,

∞

jika 0 < x < , 0 < y < x dan y lainnya. lainnya.

∞;

a) Carilah Carilah fungsi distribusi kumulatif kumulatif W = X + X + Y . Y . b) Carilah Carilah fungsi densitas densitas peluang bersama U = X/Y dan V = X . c) Carilah Carilah fungsi densitas peluang marjinal marjinal U . U . 5-9 Jika Jika X 1 dan X 2 menyata menyataka kan n sampel acak berukuran berukuran dua dari suatu distribusi distribusi Poisson, X i POI(λ POI(λ), carilah fungsi densitas peluang bersama Y = X 1 + X 2 .

∼

BAB 6 LIMIT DISTRIBUSI DISTRIBUSI

Kompetensi Dasar

Menilai berdasarkan sifat konvergensi distribusi. Indikator Pencapaian

Memperbandingkan sifat-sifat konvergensi distribusi meliputi barisan peubah acak, teorema limit pusat, distribusi normal asimtotis, sifat konvergen, dan teorema limit tambahan. Materi Pokok

6.1 Barisan Barisan Peubah Acak Acak 6.2 Teorema eorema Limit Pusat 6.3 Pendek Pendekatan atan Distribusi Distribusi Binomial Binomial 6.4 Distribusi Distribusi Normal Asimtotik Asimtotik 6.5 Sifat-sifat Konvergensi Konvergensi Stokastik Stokastik 6.6 Teorema-teorema Limit Tambahan Tambahan 6.7 Latihan Latihan Soal

Pada Bab 5, kita telah membahas metode-metode umum untuk mendapatkan distribusi dari suatu fungsi dari n peubah acak, katakanlah W n = u(X 1, . . . , Xn ). Dalam Dalam beberap beberapaa kasus kasus,, fungsi densitas peuang W n mudah diperoleh, tetapi dalam beberapa kasus penting penurunan distribusi distribusi tidaklah terlacak terlacak (not tractable ). ). Untuk mengatasi hal ini, sangatlah mungkin untuk memperoleh hasil-hasil yang mendekati yang bisa diterapkan saat n besar. Hasil ini berdasark berdasarkan an konsep konvergensi dalam distribusi dan limit distribusi.

6.1 6.1

Bari Barisa san n Peuba eubah h Acak cak

Misal suatu barisan peubah acak W 1 , W 2 , . . . dengan barisan distribusi kumulatif yang bersesuain G1 (w), G2 (w), . . . sedemikian hingga untuk setiap n = 1, 1 , 2, . . .

≤ w). (6.1) Definisi 6.1 (Konvergensi dalam Distribusi) . Jika W n ∼ Gn (w) untuk setiap n = 1, 1 , 2, . . . , dan Gn (w ) = P ( P (W n

jika untuk beberapa fungsi distribusi kumulatif G(w),

lim Gn (w) = G(w)

n→∞

70

(6.2)

BAB 6. 6.

71

LIMIT LIMIT DISTRI DISTRIBUS BUSI I

untuk untuk semua semua nilai w yang mana G(w) adalah kontinu, kontinu, maka maka barisan barisan W 1 , W 2 , . . . dikatakan konvergen dalam distribusi ( converge in distribution ) ke W G(w), dinotasikan

∼

W n

−→d W.

(6.3)

Distribusi yang bersesuaian dengan fungsi distribusi kumulatif G(w ) disebut limit distribusi dari W n (limiting distribution of W n ) Contoh 6.1. Misal X 1 , . . . , Xn adalah sampel acak dari suatu distribusi seragam, yakni X i

∼

UNIF(0, UNIF(0, 1) dan misal W n = X n:n adalah statistik statistik terurut terbesar. Dari Bab 5 kita tahu bahwa bahwa fungsi distribusi kumulatif W n adalah

Gn (w) =

 

≤

0, wn, 1,

jika w 0; jika 0 < w < 1; jika w 1.

(6.4)

≥

Pada saat 0 < w < 1, bentuk w n mendekati 0 sebagaimana n mendekati ; pada saat w 0 atau w 1 maka Gn (w ) adalah suatu barisan konstan, dengan batas-batas bersesuaian 0 atau 1. Dengan dmeikian limn→∞ Gn (w) = G(w) dimana

∞

≥

G(w ) =



0, 1,

jika w < 1; jika w 1.

≤

(6.5)

≥

Contoh Contoh 6.2. Misal suatu sampel acak dari suatu sampel berukuran n dari suatu distribusi

dengan fungsi distribusi kumulatif F X (x) =

−

1 1/x, 0,

≤∞

jika 1 ; jika x lainnya. lainnya.

(6.6)

Misal W n = X 1:n 1:n . Dari Bab 5 kita tahu bahwa fungsi distribusi W adalah Gn (w) = =

− −

1 [1 0,

− (1 − 1/w)] /w)]n ,

1 (1/w (1/w))n , 0,

Kita peroleh limn→∞ Gn (w) = 1 jika 1 lainnya.

≤ ≤∞

jika 1 w , jika w lainnya, lainnya,

≤ ≤∞

jika 1 w , jika w lainnya, lainnya,

≤ w ≤ ∞ karena 1/wn = 0, dan limn→∞ = 0 jika w

Definisi Definisi 6.2 (Distribusi Degenerasi) . Fungsi G(w ) adalah fungsi distribusi kumulatif dari suatu distribusi degenerasi ( degenerate degenerate distribution ) pada nilai w = c jika

G(w) =



0, 1,

jika w < c; c; jika w c.

≥

(6.7)

Dengan kata lain, G(w) adalah fungsi distribusi kumulatif dari suatu distribusi diskrit yang menugask menugaskan an peluang peluang satu pada saat w = c dan nol untuk yang lainnya. Contoh Contoh 6.3. Misal X 1 , . . . , Xn adalah suatu sampel acak dari suatu distribusi eksponensial

X i

∼ EXP(θ EXP(θ) dan misalkan W n = X 1:n statistik terurut terkecil. terkecil. Dari Bab 5, kita tahu 1:n adalah statistik

BAB 6. 6.

72


bahwa fungsi distribusi kumulatif untuk statistik terurut terkecil adalah

− [1 − F ( F (w1 )]n = 1 − [1 − (1 − e−w/θ )]n = 1 − [1 − 1 + e −w/θ ]n = 1 − [e−w/θ ]n = 1 − e−w /θ , untuk w > 0,

Gn (w) = 1

n

dan nol untuk w lainnya. lainnya. Kita peroleh limn→∞ Gn (w) = 1 jika w > 0 karena e−w/θ < 1 dalam hal ini. Dengan Dengan demikian demikian limit ini nol jika w < 0 dan 1 jika w > 0, yang bersesuaian dengan distribusi degenerasi pada nilai w = 0. Definisi 6.3 (Konvergen Secara Stokastik) . Suatu barisan peubah acak W 1 , W 2 , . . . , dikatakan konvergen secara stokastik (converge stochastically ) ke suatu konstan c apabila memiliki suatu

limit distribusi distribusi yang degenarasi degenarasi pada w = c. Berikut ini limit yang penting untuk diketahui: c 1+ n

nb

c d(n) lim 1 + + n→∞ n n

nb

    lim

n→∞

= e cb ;

(6.8)

= e cb , jika lim d(n) = 0. 0. n→∞

(6.9)

Contoh Contoh 6.4. Misal X 1 , . . . , Xn adalah suatu sampel acak dari suatu distribusi Pareto, yakni

∼ −

X i PAR(1, PAR(1, 1), 1), dan misal W n = nX 1:n 1:n . Fungsi distribusi kumulatif X i diberikan oleh F X (x) = − 1 1 (1 + x) , x > 0. Dengan demikian fungsi distribusi kumulatif W n adalah

− [1 − F ( F (w/n)] w/n)]n = 1 − [1 − (1 − (1 + w/n) w/n)−1 )]n = 1 − [1 − 1 + (1 + w/n) w/n)−1 ]n = 1 − [(1 + w/n)] w/n)]n = 1 − (1 + w/n) w/n)−n , w > 0. Untuk w > 0 kita peroleh limn→∞ Gn (w) = 1 − e−w dan nol untuk w lainnya. Ini merupakan merupakan Gn (w ) = 1

fungsi distribusi kumlulatif dari EXP(1). EXP(1).

Contoh 6.5. Jika kita lihat kembali Contoh 6.4 misal W n = X n:n . Fungsi distribusi kumulatif

W n = X n:n . Fungsi distribusi kumulatif W n adalah Gn (w ) = [F [ F ((w)]n

− 1/(1 + w)]n (1 + w) − 1 n

= [1 = =

   

(1 + w ) n w , w > 0, 1+w

dan nol untuk w lainnya. Mengingat w/(1 w/(1+ + w ) < 1 maka kita peroleh limn→∞ Gn (w ) = G(w ) = 0 untuk semua w, yang tentu bukan suatu fungsi distribusi kumulatif karena tidak mendekati satu sebagaimana w .

→∞

BAB 6. 6.

73


Contoh 6.6. Lihat kembali kembali Contoh 6.5. Jika Jika sekarang sekarang Anda tertarik dengan W n = (1/n (1/n))X n:n

maka fungsi distribusi kumulatinya

   

Gn (w ) = = =

nw 1 + nw 1 + nw nw 1 +1 nw

1 1+ nw

=

n

   

−n

−n

−n

.

Kita perole p eroleh h limn→∞ Gn (w) = e −1/w . Ingat bahwa lim



n→∞

1 1+ nw



/w(−1) = e 1/w( = e−1/w , w > 0.

Jadi kita peroleh fungsi distribusi kumulatif G(w ) = e −1/w , w

6.2 6.2

(6.10)

≥ 0.

Teore eorema ma Limi Limitt Pus Pusat at

Dalam contoh sebelumnya, fungsi distribusi kumulatif yang pasti telah diketahui untuk setiap n terten tertentu tu (terba (terbatas) tas),, dan distri distribus busii limit limit diperol diperoleh eh secara secara langsu langsung ng dair dair barisan barisan ini. Salah Salah satu keuntungan limit distribusi adalah bahwa dimungkinkan untuk menentukan limit distribusi tanpa mengetahui bentuk pasti dair fungsi distribusi kumulatif untuk n terbatas. Limit distribusi menyediakan informasi yang berguna apabila peluang eksak tidak tersedia. Teorema 6.1. Misal W 1 , W 2 , . . . , adalah suatu barisan peubah acak dengan fungsi distribusi

kumulatif bersesuaian G1 (w), G2 (w), . . . , dari fungsi pembangkit momen M 1 (t), M 2 (t), . . . . Jika M ( M (t) adalah fungsi pembangkit momen dari suatu fungsi distribusi kumulatif G(w) dan jika limn→∞ M n (t) = M ( M (t) untuk semua t dalam interval terbuka yang berisi nol, h < t < h, h , maka limn→∞ Gn (w ) = G(w ) untuk semua titik-titik kontinu dari G(w).

−

Contoh 6.7. Misal X 1 , . . . , Xn adalah suatu sampel acak dari suatu distribusi distribusi Bernoulli, Bernoulli, yakni

BIN(1, BIN(1, p), dan misalkan W n = ni=1 X i . Jik Jika p X i hingga np = µ, maka untuk µ > 0 diperoleh

∼



→ 0 sebagaimana n → ∞ sedemikian

M n (t) = ( p et +q )n = ( p et +1 p) p)n = =

−

µ et µ +1 n n µ(et 1) 1+ n

 

Dengan Dengan demikian demikian diperoleh diperoleh limn→∞ M n (t) = eµ(e

− −

t

−1)

n

 

n

.

yang merupakan fungsi pembangkit mo-

−→d

∼

men dari distribusi Poisson dengan rata-rata µ. Hal ini ini berart berartii W n W POI(µ POI(µ). Contoh Contoh ini menyarankan bahwa peubah acak binomial W n BIN(n, BIN(n, p), jika n besar dan p kecil, maka W n POI(np POI(np)).

∼

∼

Contoh Contoh 6.8. Lihat Lihat kemb kembali ali Contoh Contoh 6.7. Misal Misal kita kita buat buat p tetap ( fixed fixed ) dan anggap barisan

proporsi sampel V n = pˆn = W n /n. /n. Dengan menggunakan ekspansi deret eu = 1 + u + u2 /2 +

···

BAB 6. 6.

74


dengan u = t/n, t/n, kita peroleh t/n M W +q )n Wn (t) = ( p e

= ( p(1 p(1 + t/n + t2 /2n2 +

· · · ) + (1 − p)) p))n = ( p + p( p(t/n + t2 /2n2 + · · · ) + 1 − p) p)n = (1 + pt/n + pt/n + p( p(t2 /2n2 + · · · ))n = (1 + pt/n + pt/n + d(n)/n) /n)n

→

→∞

dengan d(n) melibatkan suku-suku yang diabaikan dan d(n) 0 sebagaimana n , sehingga pt yang merupakan diperoleh limn→∞ M W merupakan fungsi pem p embangki bangkitt momen momen dari distribusi distribusi Wn (t) = e degenerasi pada w = p. Jadi pˆn konvergen secara stokastik ke p sebagaimana n mendekati tak berhingga. Contoh 6.9. Sekarang kita lihat apabila

Z n = Dengan menyederhanakan notasi σn = ekspansi deret sebelumnya diperoleh

− np . √npq

W n

(6.11)

√npq kita peroleh peroleh Z n = W n /σn − np/σn . Menggunakan

M Z (exp(tZ n )) Zn (t) = E (exp(tZ

{ − np/σn)}t] = exp(−npt/σn )E (exp(W (exp(W n /σn )t) = exp(−npt/σn )M W /σ (t) = exp(−npt/σn )M W W (t/σn ) = exp(−npt/σn )[ p p e(t/σ ) +q ]n pt p2 t2 pt pt2 = 1− + + ··· × 1+ + + ··· 2σ 2 σn σn 2σ 2 = E [exp [exp (W n /σn

n

n

n

n

  

n 2 pt

pt = 1+ + + σn 2σn2 t2 d(n) n = 1+ + 2n n dimana d(n)

 

···−

pt σn

−

pt2

n 2 2 p t

p 3 t3 + + 2σn2 2σn2 2σn2



→ 0 sebagaimana n → ∞. Sehingga

2

t lim M Z Zn (t) = e

n→∞

 

/2

n

,

(6.12)

−→d ∼

yang merupak merupakan an fungsi pemb p embangkit angkit momen dari distribusi distribusi normal standar. Jadi Z n Z (0, (0, 1). 1). Contoh Contoh ini mengilustrasik mengilustrasikan an bahwa untuk untuk n besar dan p tertentu ( fixed fixed ) maka W n mendekati normal yakni W n (np, npq) npq).

N

∼ N

Teorema 6.2 (Teorema Limit Pusat) . Jika X 1 , . . . , Xn adalah suatu sampel acak dari distribusi dengan rata-rata µ dan variansi σ 2 < , maka limit distribusi ( limiting distribution ) dari

∞

Z n = adalah normal standar, yakni Z n

n i=1 X i



− nµ √ σ n

(6.13)

−→d Z ∼ N (0, (0, 1) sebagaimana n → ∞.

Bentuk Bentuk persamaan persamaan (6.13) dapat juga dihubungk dihubungkan an dengan dengan rata-rata rata-rata sampel, yakni ¯n µ X Z n = . σ/ n

√−

(6.14)

BAB 6. 6.

6.3

75


Pende Pe ndek katan atan Dist Distrib ribusi usi Binomi Binomial al

Pendekatan binomial seperti pada contoh di atas akan bagus jika p dekat 0,5, karena distribusi binomial simetris saat p = 0,5. Akurasi Akurasi yang diperluka diperlukan n dalam pendekatan pendekatan tergantung tergantung pada aplikasi. aplikasi. Salah satu panduan adalah menggunak menggunakan an pendekatan pendekatan normal apabila np 5 dan nq 5. Namun, sekali lagi, ini tergantung pada akurasi yang diperlukan.

≥

≥

Contoh 6.10. Peluang bahwa seorang pemain basket memasukkan bola adalah p = 0,5. Jik Jika

ia mengambil 20 kali lemparan, berapakah peluang ia memasukkan bola paling tidak sembilan kali? Peluang eksaknya adalah P ( P (W 20 20

P (W 20 ≥ 9) = 1 − P ( 20 ≤ 8) 8 20 20−w =1− 0,5w 0,520− w

 

w=0

= 0,7483 Pendekatan normalnya adalah P ( P (W 20 20

≥ 9) = 1 − p( p(W 20 20 ≤ 8) ≈ 1 − Φ 8 √−510 ≈ 1 − Φ(−0,89) 8133.. ≈ 0,8133

 

Ingat bahwa Z n = (W ( W n

√npq) dengan n = 20, − np) np)/( npq) 20 , p = 0,5, dan q = 0, 0 ,5.

Mengingat distribusi binomial adalah diskrit dan distribusi normal adalah kontinu, maka pendekatan dapat diperbaiki dengan membuat koreksi kontinuitas ( continuity correction ). ) . SeSecara khusus masing-masing peluang binomial b(w,n,p) w,n,p) memiliki nilai yang sama seperti area persegi panjang dengan tinggi b(w,n,p) w,n,p) dan dengan interval [w 0,5, w + 0,5] sebagai dasarnya, karena panjang unitnya satu unit. Luas persegi panjang ini dapat didekati dengan area dibawah fungsi densita peluang peluang W (np, npq) npq). Dengan menerapkan koreksi kontinuitas, kita peroleh

−

∼ N

P ( P (W 20 20

≥ 9) = 1 − P ( P (W 20 20 ≤ 8) ≈ 1 − Φ 8,5√−5 10 ≈ 1 − Φ(−0,67) ≈ 0,7486 7486,,





yang lebih mendekati hasil eksaknya dibandingkan tanpa koreksi kontinuitas. Secara umum, jika W n BIN(n, BIN(n, p) dan a b adalah bilangan-bilangan bulat, maka

∼

6.4

≤ P ( P (a ≤ W n ≤ b) ≈ Φ



√ −

b + 0, 0,5 np npq

 −  −√ Φ

a

−



0,5 np . npq

(6.15)

Distri Distribus busii Normal Normal Asim Asimtotik totik

Definisi 6.4 (Distribusi Normal Asimtotik) . Jika W 1 , W 2 , . . . adalah suatu barisan peubah acak

dan m serta c adalah konstanta sedemikian hingga Z n = bilamana n

√− −→d Z ∼ N (0, (0, 1)

W n m c/ n

(6.16)

→ ∞, maka W n dikatakan memiliki distribusi normal asimtotik ( asymptotic normal

dengan rata-rata rata-rata asimtotik asimtotik m dan variansi asimtotik c2 /n. /n. distribution ) dengan

BAB 6. 6.

6.5

76


Sifat-sifa Sifat-sifatt Konv Konverge ergensi nsi Stokastik Stokastik

Dalam contoh-contoh sebelumnya kita menemukan bahwa barisan peubah acak konvergen secara stokastik stokastik ke suatu konstant konstanta. a. Teorema eorema berikut memberik memberikan an kriteria kriteria alternatif alternatif untuk menunjukkan konvergensi stokastik. Teorema 6.3 (Konvergen dalam Peluang) . Barisan W 1 , W 2 , . . . konvergen secara stokastik ke

c jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0,

| − c| < ε) = 1.

lim P ( P ( W n

n→∞

(6.17)

Suatu barisan peubah acak yang memenuhi Teorema 6.3 disebut juga konvergen dalam pelu p ang ke konstanta c, dinotasikan W n c.

−→

Contoh 6.11. Dalam contoh Hukum Bernoulli Bilangan Besar ( Bernoulli Law of Large NumE( pˆn ) = p dan var(ˆ pn ) = pq/n sehingga bers ), diperoleh rata-rata dan variansi dari pˆn adalah E(ˆ

| − p| < ε) ≥ 1 − εpq2n untuk setiap ε > 0. Jadi limn→∞ P ( P (| pˆn − p| < ε) ε ) = 1. 1. P ( P ( pˆn

(6.18)

Teorema 6.4 (Hukum (Hukum Bilangan-Bil Bilangan-Bilangan angan Besar). Jika X 1 , . . . , Xn adalah suatu sampel acak dari suatu distribusi dengan rata-rata terbatas ( finite ) µ dan variansi σ 2 , maka barisan rata-rata

sampel konvergen dalam peluang ke µ, yakni ¯n X

p −→ µ.

(6.19)

Teorema 6.4 ini menunjukkan bahwa rata-rata sampel memberikan suatu pendugaan yang bagus dari rata-rata populasi, dalam hal bahwa peluang mendekati 1 sebagaimana secara per¯ n dekat µ bila n lahan X . Teorema eorema berikut menunjukk menunjukkan an bahwa bahwa suatu barisan peubah acak yang normal asimtotis asimtotis konvergen dalam peluang ke rata-rata asimtotis.

→∞

Teorema 6.5. Jika Z n =

6.6

√n(W − m)/c −→d Z ∼ N (0, p (0, 1), 1), maka W n − → m. n

Teorema-te eorema-teorema orema Limit Tambaha ambahan n

Definis Definisii 6.5 (Konv (Konvergen ergensi si dalam Peluang) Peluang). Barisan Barisan peubah peubah acak acak W n dikatakan dikatakan konvergen konvergen

dalam peluang ke W , W , ditulis W n

p −→ W jika lim P ( P (|W n − W | < ε) = 1. 1. n→∞

(6.20)

Konvergensi dalam peluang memiliki sifat yang lebih kuat dibandingkan konvergensi dalam distribusi. Teorema 6.6. Untuk suatu barisan peubah acak, jika W n

p −→ W maka W n − →d W . W .

Kasus khusus untuk Teorema 6.6, jika W = c maka limit distribusi adalah distribusi degenerasi P ( P (W = c) = 1. 1.

BAB 6. 6.

6.7 6.7

77



6-1 Misal suatu sampel sampel acak berukuran berukuran n dari suatu distribusi distribusi dengan fungsi distribusi distribusi F X (x) =

 −  1

1 , x

0,

jika 1

≤ x ≤ ∞;

x lainnya.

a) Carilah Carilah fungsi distribusi dari statistik terurut terurut minimum, minimum, X 1:n 1:n . b) Carilah Carilah limit distribusi distribusi X 1:n 1:n . n c) Carilah Carilah limit distribusi distribusi X 1:n 1:n .

6-2 Misal suatu suatu sampel acak acak berukuran berukuran n dari suatu distribusi dengan fungsi distribusi F X (x) = − − x 1 (1 + e ) untuk semua bilangan real x. a) Apakah Apakah statistik terurut terurut terbesar X n:n memiliki limit distribusi? b) Apakah Apakah X n:n

− ln n memiliki limit distribusi? Jika demikian, apa limit distribusinya?

6-3 Misal suatu suatu sampel acak acak berukuran berukuran n berasal dari distribusi dengan fungsi distribusi F X (x) = − 2 1 x jika x > 1 dan nol untuk x lainnya. Periksalah apakah barisan-barisan berikut memiliki limit distribusi; jika demikian, berikan distribusi limit

−

a) X 1:n 1:n . b) X n:n . c) n−1/2 X n:n

∼ N

6-4 Misal Misal Z i (0, (0, 1) dan Z 1 , Z 2 , . . . saling bebas. Gunakan fungsi pembangkit momen untuk mencari limit distribusi ni=1 (Z i + 1/n 1/n))/ n.

√



¯ n menyatakan rata-rata dari suatu sampel acak dari distribusi 6-5 Misal Misal X ¯n . limit distribusi X 6-6 Misal Misal X 1, . . . , Xn adalah sampel acak berukuran n dari distribusi bahwa jumlah V n = ni=1 X i tidak memiliki limit distribusi.



6-7 Misal suatu sampel acak berasal dari distribusi Poisson, Poisson, yakni X i ¯

N (µ, σ2).

N (µ, σ2).

Caril Carilah ah

Tunjukk unjukkan an

∼ POI(µ POI(µ).

a) Tunjukkan bahwa bahwa Y n = e −Xn konvergen secara stokastik ke P ( P (X = 0) = e −µ . b) Carilah Carilah distribusi normal asimtotis asimtotis dari Y n . ¯ n exp( X ¯n ) konvergen secara stokastik ke P ( c) Tunjukkan bahwa bahwa X P (X = 1) = µ e−µ .

−

6-8 Misal Misal S n2 menyatakan varians of sampel acak berukuran n dari distribusi bahwa nS n2 /(n 1) konvergen dalam peluang ke σ 2 .

−

N (µ, σ2). Buktikan

6-9 Misal Misal X n berdistribusi gamma dengan parameter κ = n dan θ, dengan θ bukan fungsi dari n. Misal V n = X n /n. /n. Carilah limit distribusi V n . 6-100 Misal 6-1 Misal X n berdistribusi χ2 (n) dan dan misal V n = X n /n2 . Carilah limit distribusi V n .

BAB 7 STA STATISTIK DAN DAN DISTRIBUSI DISTRIBUSI PENGAMBILAN PENGAMBILAN SAMPEL

Kompetensi Dasar

Menilai berdasarkan sifat teori pengambilan sampel. Indikator Pencapaian

Memban Membandin dingk gkan an sifat-si sifat-sifat fat sampel sampel acak, acak, statist statistik ik dan distri distribus busii pengam pengambil bilan an sampel, sampel, distribusi t, distribusi F, distribusi beta, pendekatan sampel besar, dan statistik terurut. Materi Pokok

7.1 Statistik Statistik 7.2 Distribusi-distribusi Pengambilan Pengambilan Sampel Sampel 7.3 Pendekatan-pendekatan Pendekatan-pendekatan Sampel Sampel Besar 7.4 Latihan Latihan Soal

Konsep sampel acak telah diperkenalkan pada bab-bab sebelumnya. Kemudian konsep tentang fungsi distribusi empiris dikenalkan untuk kemudian digunakan untuk mencari informasi tentang rata-rata rata-rata sampel dan varians varians sampel sebagai sebagai penduga penduga yang intuitif intuitif untuk rata-rata rata-rata dan varians distribusi populasi. Bab ini akan membicarakan tentang konsep statistik yang menyertakan rata-rata sampel dan varians varians sampel. Sifat-sifat Sifat-sifat statistik dan distribusin distribusinya ya akan dibahas dibahas secara secara mendalam, mendalam, terutama sifat-sifat distribusi normal dan turunannya.

7.1 7.1

Stat Statis isti tik k

Pada bagian ini akan dibahas pengertian statistik beserta contoh-contohnya. Definisi Definisi 7.1. Suatu fungsi dari peubah acak yang teramati, T = (X 1 , . . . , Xn ), yang tidak bergantung pada parameter yang tidak diketahui, disebut statistik.

Pada Definisi 7.1, huruf  adalah fungsi yang diterapkan pada X 1 , . . . , Xn untuk mendefinisikan statistik, yang dinotasikan oleh huruf kapital T . T . Contoh Contoh 7.1. Misal X 1 , . . . , Xn menya menyatak takan an suatu suatu sampel sampel acak acak dari dari suatu suatu populas populasii dengan dengan

fungsi densitas peluang f X (x). Rata-rata Rata-rata sampel merupakan merupakan salah satu contoh statistik statistik yang 78

BAB 7.

79

STA STATISTIK DAN DAN DISTRIBUSI DISTRIBUSI PENGAMBILAN PENGAMBILAN SAMPEL

···

didefinisikan oleh fungsi (x1, . . . , xn ) = (x1 + + xn )/n. /n. Statistik Statistik ini biasanya biasanya dinotasikan dinotasikan oleh n X i ¯ = X . (7.1) n

 i=1

¯ dihitung dari data yang biasanya dinotasikan Apabila suatu sampel acak teramati, maka nilai X oleh x ¯. Sifat-sifat rata-rata sampel dan varians dapat dilihat pada teorema berikut. Teorema 7.1. Jika X 1 , . . . , Xn menyatakan suatu sampel acak dari f X (x) dengan E (X ) = µ

dan var(X var(X ) = σ 2 , maka dan

¯) = µ E (X

(7.2)

σ2 ¯ var(X ) = . n

(7.3)

Bukti: Untuk menunjukkan Persamaan (7.2), gunakan sifat-sifat nilai harapan sampel acak.

¯ ) = E 1 E (X n =

n

   

1 E n

X i

i=1 n

X i

i=1

1 (E (X 1 ) + n 1 = (nE (X )) )) n 1 = (nµ) nµ) n = µ. =

· · · + E (X n))

Dengan cara yang sama, untuk menunjukkan Persamaan (7.3), gunakan sifat-sifat varians untuk sampel acak, yakni var( ni=1 ai X i ) = ni=1 ai2 var(X var(X i ).





¯ ) = var 1 var(X n = = =

1 var n2 1 n2 1 n2

n

      X i

i=1 n

X i

i=1

n

var(X var(X i )

i=1 n

var(X var(X )

i=1

1 var(X ) n var(X n2 1 = σ2 n σ2 = . n =

BAB 7.

80


Contoh 7.2. Fungsi (x1 , . . . , xn ) = [(x [(x1

− x¯)2 + · · · + (xn − x¯)2]/(n − 1) ketika diterapkan pada

data bersesuaian dengan varians sampel. Lebih khusus lagi hal ini dinyatakan sebagai n i=1 (X i



2

S =

(n

− X ¯ )2 .

(7.4)

− 1)

Teorema 7.2. Jika X 1 , . . . , Xn menyatakan suatu sampel acak berukuran n dari f X (x) dengan

E(X E(X ) = µ dan var(X var(X ) = σ 2 , maka

E(S E(S 2 ) = σ 2

(7.5)

dan

var(S var(S 2 ) =

7.2





− µ4 − −

n 3 4 σ n 1 , n

n > 1.

(7.6)

DistribusiDistribusi-distr distribusi ibusi Pe Pengam ngambilan bilan Sampel

Statistik juga merupakan suatu peubah acak, distribusi yang bergantung pada distribusi dari suatu sampel acak dengan bentuk fungsi (x1 , . . . , xn ). Distribusi Distribusi dari suatu statistik statistik disebut disebut distribusi turunan ( derived distribution ) atau distribusi distribusi pengam p engambilan bilan sampel ( sampling distribu). tion ). 7.2.1

Kombinas Kombinasii Linear Linear Peubah-peu Peubah-peubah bah Normal Normal

Teorema 7.3. Jika X i

∼ N (µi, σi2), i = 1,1 , . . . , n menyatakan peubah normal bebas, maka n

Y =



n

ai X i

i=1

n

    ∼ N

ai2 σi2 .

a i µi ,

i=1

(7.7)

i=1

Bukti:  M Y (t) Y (t) = M n i=1 ai Xi n

=

 

M Xi (ai t)

i=1 n

=

exp(a exp(ai µi t + ai2 t2 σi2 /2)

i=1 n



= exp t

n

a i µi + t

i=1

2



ai2 σi2 /2

i=1



,

yang merupakan fungsi pembangkit momen dari peubah acak normal dengan rata-rata dan varians ni=1 ai2 σi2 .



n i=1 ai µi



N (µ, σ2), maka X ¯ ∼ N (µ, σ2/n) /n).

Korolari 1. Jika X 1 , . . . , Xn menyatakan menyatakan suatu sampel acak dari

7.2.2 7.2.2

Distri Distribus busii Khi Kuadra Kuadratt

Misal suatu distribusi gamma khusus dengan θ = 2 dan κ = v/2 v/2. Peuba Peubah h acak acak Y dikatakan berdisttribusi khi kuadrat ( chi-square ) dengan derajat kebebasan v jika Y GAM(2, GAM(2, v/2) v/ 2),, dinotasikan sebagai Y χ2 (v ). (7.8)

∼

∼

BAB 7.

81


Teorema 7.4. Jika Y

∼ χ2(v), maka v/ 2 − 2t)−v/2 ,

M Y Y (t) = (1 E(Y E(Y r ) = 2r

(7.9)

Γ(v/ Γ(v/2 2 + r) , Γ(v/ Γ(v/2) 2)

(7.10)

E(Y E(Y )) = v,

(7.11)

var(Y var(Y )) = 2v.

(7.12)

dan

Bukti: Mengingat Y

GAM(2, v/2) v/2),, maka maka sifat-si sifat-sifat fat distribus distribusii gam gamma ma pun berlaku. berlaku. ∼ GAM(2,

Untuk Untuk membuktikan Persamaan (7.9), diketahui bahwa fungsi pembangkit momen distribusi gamma adalah (1 θt) θt)−κ untuk t < 1/θ. /θ. Sehingga untuk θ = 2 dan κ = v/2 v/2

−

M Y Y (t) = (1

v/ 2 − 2t)−v/2 .

Untuk ekspektasi ke-r ke-r pada Persamaan (7.10) juga berdasarkan hasil dari distribusi gamma. Jika X GAM(θ, GAM(θ, κ) maka Γ(κ Γ(κ + r ) E(X E(X r ) = θr . Γ(κ Γ(κ)

∼

Untuk θ = 2 dan κ = v/2 v/2, ekspektasi ke-r ke- r menjadi E(Y E(Y r ) = 2 r

Γ(v/ Γ(v/2 2 + r) . Γ(v/ Γ(v/2) 2)

Selanjutnya untuk menunjukkan Persamaan (7.11), diketahui bahwa jika X E(X E(X ) = θκ. θκ. Dengan demikian, E(Y E(Y )) = 2(v/ 2( v/2) 2) = v.

∼ GAM(θ, GAM(θ, κ) maka

Untuk menghitung varians pada Persamaan (7.12), gunakan varians dari X , yakni var(X var(X ) = θ2 κ. Sehingga, untuk θ = 2 dan κ = v/2 v/2 var(Y var(Y )) = 22 (v/2) v/2) = 4(v/ 4(v/2) 2) = 2v.

2 (v ), adalah nilai yang didefinisik Persentil (percentiles ), χγ didefinisikan an sebagai sebagai

≤ χγ 2 (v)) = γ. Teorema 7.5. Jika X ∼ GAM(θ, GAM(θ, κ), maka Y = 2X/θ 2 X/θ ∼ χ2 (2κ (2κ). P ( P (Y

(7.13)

Akan digunak digunakan an teknik teknik fungsi pem p embangki bangkitt momen untuk menentu menentuka kan n distribusi distribusi dari Bukti: Akan Y = 2X/θ. X/θ. M Y Y (t) = M 2X/θ (t) = M X (2t/θ (2t/θ)) = (1

κ/2 − 2t)−2κ/2 ,

yang merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi khi kuadrat dengan derajatkebebasan 2κ.

BAB 7.


Teorema 7.6. Jika Y i

maka

82

∼ χv2 ; i = 1, . . . , n adalah peubah-peubah acak khi kuadrat yang bebas, i

n



V =

n

Y i

i=1

∼χ

2

 

vi .

(7.14)

i=1

V . Bukti: Akan digunakan teknik fungsi pembangkit momen untuk menentukan distribusi dari V .  M V (t) V (t) = M n i=1 Y i

− 2t)−v/2 · · · (1 − 2t)−v /2 v /2 = (1 − 2t)− , = (1

n

1

n i=1

yang merupakan fungsi pembangkit momen dari χ2

i

  n i=1 vi

.

Teorema berikut memberikan hubungan antara peubah acak normal standar dengan peubah acak khi kuadrat. Teorema 7.7. Jika Z

∼ N (0, (0, 1), 1), maka Z 2 ∼ χ2 (1). (1).

Bukti: 2

M Z 2 (t) = E (etZ ) ∞ 1 tz 2 −z 2 /2 = e dz 2π −∞ ∞ 1 1 2t −z2 (1− = e (1−2t)/2 dz 1 2t −∞ 2π



√



√ − = (1 − 2t)−1/2 ,

√ − √

yang merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi khi kuadrat dengan derajat kebebasan satu, yakni χ2 (1). (1). Korolari 2. Jika X 1 , . . . , Xn menyatakan suatu sampel acak dari n



(X i

i=1

N (µ, σ2), maka

− µ)2 ∼ χ2(n),

σ2

dan ¯ µ)2 n(X σ2

−

∼ χ2(1). (1).

Teorema 7.8. Jika X 1 , . . . , Xn menyatakan suatu sampel acak dari

¯ dan suku-suku 1. statistik statistik X suku-suku X i

− X ¯ ; i = 1,1 , . . . , n adalah saling bebas;

¯ dan S 2 saling bebas; 2. statistik statistik X 3. kuantitas kuantitas (n

N (µ, σ2), maka

1)S 2 /σ 2 ∼ χ2 (n − 1). 1). − 1)S

BAB 7.

7.2. 7.2.3 3

83


Dist Distri ribu busi si Student

t

Kita tahu bahwa S 2 dapat digunakan untuk membuat inferensi tentang parameter σ 2 di dalam ¯ yang berguna untuk parameter µ. Namun, distribusi suatu distribusi distribusi normal. Demikian Demikian pula X ¯ juga bergantung X bergantung pada parameter parameter σ 2 . Hal ini berarti bahwa tidaklah mungkin menggunakan ¯ untuk prosedur statistika tertentu tentang rata-rata apabila σ 2 tidak diketah X diketahui. ui. Sehingga, Sehingga, ¯ µ)/σ, jika σ digantikan S pada kuantitas n(X /σ , maka distribusinya tidak lagi normal (namun, tetap tidak bergantung bergantung pada θ).

√

Teorema 7.9. Jika peubah acak Z

−

∼ N (0, (0, 1) dan V ∼ χ2 (v ) saling bebas, maka distribusi dari Z

T =

(7.15)



V /v

disebut distribusi Student t dengan derajat kebebasan v, dinotasikan sebagai T densitas peluangnya diberikan oleh f ( f (t, v ) = Teorema 7.10. Jika T

∼ t(v). Fungsi

Γ((v Γ((v + 1)/ 1)/2) 1 +1)/2 (1 + (t ( t2 /v)) /v ))−(v+1)/ . Γ(v/ Γ(v/2) 2) vπ

√

∼ t(v), maka untuk v > 2r, −

Γ((2r Γ((2r + 1)/ 1)/2)Γ((v 2)Γ((v 2r )/2) r v ; Γ(1/ Γ(1/2)Γ(v/ 2)Γ(v/2) 2) E(T E(T 2r−1 ) = 0, 0 , r = 1, 1 , 2, . . . ; v var(T var(T )) = , 2 < v. v 2 E(T E(T 2r ) =

−

Teorema 7.11. Jika X 1 , . . . , Xn menyatakan sampel acak dari

¯ µ X S/ n

(7.16) (7.17) (7.18)

N (µ, σ2), maka

−√ ∼ t(n − 1). 1).

7.2.4 7.2.4

Distri Distribus busii Snedec Snedecor or

(7.19)

F

Teorema 7.12. Jika peubah-peubah acak V 1

peubah acak X =

∼ χ2(v1) dan V 2 ∼ χ2(v2) saling bebas maka V 1 /v1 V 2 /v2

(7.20)

F

berdistribusi Snedecor dengan derajat kebebasan v1 dan v2 , dinotasikan fungsi densitas peluang untuk untuk x > 0

     

v1 + v2 2 f ( f (x; v1 , v2 ) = v1 v2 Γ Γ 2 2 Γ

Teorema 7.13. Jika X

v1 v2

v1 /2

(v1 /2)− 2)−1

x



−(v1 +v2 )/2



v1 1+ x v2

F (v1, v2), dengan (7.21)

∼ F (v1, v2), maka

E(X E(X r ) =

E(X E(X ) =

r

    −    v2 v1

v1 v2 +r Γ 2 2 v1 v2 Γ Γ 2 2

Γ

r

v2

, 2 < v 2; v2 2 2v22 (v1 + v2 2) var(X var(X ) = , v1 (v2 2)2 (v2 4)

−

−

− −

,

v2 > 2 r ;

(7.22)

(7.23) 4 < v 2.

(7.24)

BAB 7.

84


∼ F (v1, v2), yakni, f γ γ (v1, v2) adalah suatu nilai yang didefinisikan sebagai P ( P (X ≤ f γ (7.25) γ (v1 , v2 )) = γ. Jika X ∼ F (v1 , v2 ), maka Y = 1/X ∼ F (v2 , v1 ). Dengan demikian 1 − γ = P ( P (X < f 1−γ (v1 , v2 )) Persentil X





1 = P Y > f 1−γ (v1 , v2 ) 1 = 1 P Y ; f 1−γ (v1 , v2 )

−



≤



(7.26)

sehingga 1 f 1−γ (v1 ,v2 )

= f γ γ (v2 , v1 )

(7.27)

atau f 1−γ (v1 , v2 ) = 7.2. 7.2.5 5

1 . f γ γ (v2 , v1 )

(7.28)

Dist Distri ribu busi si Beta Beta

Teorema 7.14. Jika peubah acak X

∼ F (v1, v2), maka peubah acak Y =

(v1 /v2 )X 1 + (v ( v1 /v2 )X

(7.29)

berdistribusi berdistribusi beta, dinotasik dinotasikan an BETA(a, BETA(a, b) untuk a > 0 dan b > 0, dengan dengan fungsi fungsi densit densitas as peluang Γ(a Γ(a + b) a−1 f ( f (y; a, b) = y (1 y )b−1 , 0 < y < 1; (7.30) Γ(a Γ(a)Γ(b )Γ(b)

−

dengan a = v1 /2 dan b = v2 /2. Persentil distribusi beta dapat dinyatakan dalam persentil distribusi yγ (a, b) =

7.3

af γ (2a, 2b) γ (2a, . b + af γ (2a, 2b) γ (2a,

(7.31)

Pendek Pe ndekatan atan-pende -pendek katan Sampel Besar

Teorema 7.15. Jika Y v

∼ χ2(v), maka Z v =

sebagaimana v

7.4 7.4

F sebagai

√−2vv −→d Z ∼ N (0, (0, 1)

Y v

(7.32)

→ ∞.


7-1 Misal Misal X menyatakan berat dalam kg suatu tepung terigu dengan X

∼ N (101, (101, 4). 4).

7-2 Misal Misal X 1 , . . . , Xn adalah sampel acak berukuran berukuran n dari suatu distribusi normal, yakni X i n 2 (µ, σ ) dan definisikan U = i=1 X i dan W = ni=1 X i2 .

N





∼

BAB 7.

85


a) Carilah Carilah suatu statistik yang merupak merupakan an fungsi U dan W dan tak bias untuk parameter 2 θ = 2µ 2 µ 5σ .

−

b) Carilah Carilah suatu statistik yang yang tak bias untuk untuk σ 2 + µ2 . 7-3 Misal Misal X 1 dan X 2 adalah peubah acak normal bebas,X bebas, X i (µ, σ 2 ), dan misal Y 1 = X 1 + X 2 dan Y 2 = X 1 X 2. Tunjukkan bahwa Y 1 dan Y 2 saling bebas dan berdistribusi normal.

∼ N

−

7-4 Suatu komponen komponen mesin baru sedang diservis diservis dan sembilan sembilan suku cadang tersedia. tersedia. Waktu menuju kegagalan dalam hari adalah peubah acak eksponensial bebas, T i EXP(100). EXP(100).

∼

a) Apakah Apakah distribusi distribusi dari

10 i=1 T i ?



b) Berapak Berapakah ah peluan p eluangg bahwa bahwa operasi yang sukses dapat dipelihara sampai paling tidak 1,5 tahun? c) Berapa banyak suku cadang cadang yang diperlukan agar yakin yakin 95% yakin operasi sukses untuk paling tidak dua tahun? 7-5 Misal Misal X i (µ, σ 2 ), i = 1, . . . , n dan Z i (0, (0, 1), 1), i = 1, . . . , k dan semua peubahnya saling bebas. Tentuk entukan an distribusi distribusi dari peubah- peubah acak berikut apakah berasal dari distribusi yang diketahui (bernama) atau tidak diketahui.

∼ N

(a) X 1

∼ N

− X 2

(b) X 1 + 2X 2X 3 X 1 X 2 (c) σS Z Z 2 X 1 (d) X 2 X 1 + X 2 (e) X 3 (f) (f ) Z i2 ¯ µ) n(X (g) σS Z Z 2 (h) Z 1 + Z 22

−√

√

−

(i) Z 12 Z 22 Z 1 (j) Z 22 Z 1 (k) Z 2 ¯ X (l) ¯ Z ¯ µ) nk( nk(X (m) k 2 σ i=1 Z i

−



√

(n)

  −  −   n i=1 (X i σ2

¯ X (o) 2 + σ ¯2 (p) k Z

µ)2

k

+

i=1

k i=1 Z i

k

(Z i

− Z ¯)

BAB 7.


¯ )2 − 1) ni=1 (X i − X (q) ¯ )2 (n − 1)σ 1)σ 2 ki=1 (Z i − Z 7-6 Misal Misal X ∼ χ2 (m), Y ∼ χ2 (n), dan X serta Y saling saling bebas. bebas.

 

(k

n > m?

Apak Apakah Y

86

− X ∼ χ2 jika

7-7 Misal Misal X χ2 (m), S = X + Y χ2 (m + n), dan X serta Y saling bebas. Gunakan teknik fungsi pembangkit momen untuk menunjukkan bahwa S X χ2 (n).

∼

7-8 Jika Jika T

∼

∼ t(v), tentukanlah distribusi dari T 2.

− ∼

DAFTAR DAFTAR PUSTAKA PUSTAKA

Lee J. Bain Bain and Max Engelh Engelhard ardt. t. Introd Introducti uction on to Prob Probabilit ability y and Mathemati Mathematica call Statistic Statistics s . Duxbury Duxbury Press, California, California, second second edition, edition, 1992. ISBN 0-534-92930-3. 0-534-92930-3. Robert V. Hogg and Allen T. Craig. Introduct Prentice–Hall, Hall, Introduction ion to Mathematical Mathematical Statistics . Prentice– Inc., New Jersey, fifth edition, 1995. ISBN 0-02-355722-2. John A. Rice. Mathematical Statistics and Data Analysis . Duxbury Duxbury,, Belmont, Belmont, California, California, third edition, 2007. Dennis D. Wackerly, William Mendenhall III, and Richard L. Scheaffer. Mathematical Mathematical Statistics with Applications . Duxbury Press, sixth edition, 2002.

87

materi statistika matematika

Recommend Documents