STATISTIKA MATEMATIKA
Dr. Akhmad Jazuli, M.Si.
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (FKIP) UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO 2012
PRAKATA
Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberi kekuatan dan kesehatan, kesehatan sehingga buku ajar dengan judul Statistika Matematika ini dapat diselesaikan. Buku ajar statistika matematika ini digunakan sebagai acuan untuk mata kuliah statistika matematika yang berbobot 3 sks khususnya pada program studi Pendidikan Matematika. Namun demikian buku ajar ini juga dapat digunakan sebagai acuan untuk mata kuliah statistika pada program studi di luar program studi Pendidikan Matematika. Buku ajar ini disusun secara sederhana, diawali dengan memaparkan pengertian pengertianpengertian dasar yang meliputi definisi dan teorema serta dilengkapi dengan beberapa contoh penyelesaian.. Disajikan seperti ini dengan harapan agar mudah dipelajari oleh para mahasiswa,maupun maupun dosen yang mengampu mata kuliah statistika statistik matematika matematika.Soalsoal latihan disajikan secara komprehensif dari bentuk yang sederhana meningkat sampai bentuk-bentuk bentuk yang lebih komplek. Rujukan utama penulisan buku ini adalah buku Introduction to Probability and Mathematical Statistics karangan Bain Engelhardt. Penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya besarnya kepada
Universitas Muhammadiyah Purwokerto yang telah
memberikan kesempatan kepada penulis untuk menyusun buku ajar ini, serta teman temanteman yang telah meluangkan waktu untuk membaca serta memberi m ri masukan terhadap tulisan ini. Semoga kehadiran buku ajar ini banyak memberi sumbangan yang berharga kepada berbagai pihak. Tak ak lupa segala kritik yang bersifat membangun sangat penulis harapkan. Purwokerto, Maret 2012 Penulis
DAFTAR ISI
Hal . HALAMAN JUDUL……………………………………………………………..
i
PRAKATA ……………………………………………………………..............
ii
DAFTAR ISI…………………………………………………………….............
iii
BAB 1 : PELUANG……………………………………………………………..
1
BAB 2 : VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA................................
22
BAB 3 : DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM KHUSUS .................................
44
BAB 4 : DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM BERSAMA .............................
76
DAFTAR PUSTAKA ...........................................................................................
97
iii
BAB 1
PELUANG 1. PENDAHULUAN Dalam kehidupan sehari-hari, banyak dijumpai fenomena yang dapat dibawa ke dalam model matematika. Secara garis besar dikenal ada dua model yaitu model deterministik dan model probabilistik. Sebagai contoh model deterministik adalah kecepatan jatuhnya benda setelah waktu t. Model ini membawa pengulangan eksperimen terhadap kondisi ideal yang akan menghasilkan secara esensial kecepatan yang sama pada setiap waktu. Dalam kasus lain model deterministik mungkin tidak tepat jika pengulangan eksperimen dibawa ke dalam kondisi ideal, karena kemungkinan adanya variabel-variabel yang tidak terkontrol atau tidak diketahui. Variabel yang tidak terkontrol tersebut meliputi temperatur udara; kelembaban; kesalahan pengukuran; atau faktor lain yang menyebabkan hasil bervariasi atau berbeda-beda dari sejumlah eksperimen tersebut. Ada juga tipe fenomena lain yang hasilnya secara natural berbeda karena suatu perubahan, dan model deterministik tidak akan tepat untuk memprediksinya. Sebagai contoh: eksperimen tentang banyaknya pertikel yang dipancarkan oleh sumber radio aktif; waktu sampai gagalnya komponen yang diproduksi; atau hasil dari suatu permainan. Motivasi mempelajari peluang adalah untuk mengarah
model
matematika pada situasi nondeterministik. Kaitannya dengan model matematika, yaitu dikenal sebagai model probabilistik.Selanjutnya untuk dapat memahami kasus peluang ini dengan baik, maka konsep himpunan perlu dikuasai terlebih dahulu.Dalam bab ini akan dibahas terlebih dahulu konsep-konsep yang berkaitan dengan peluang, seperti ruang sampel dan peristiwa..
2. RUANG SAMPEL (SAMPLE SPACE) DAN PERISTIWA (EVENT)
Definisi 1.1 Himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu experiment disebut ruang
sampel. Yang dinotasikan dengan S 1
Contoh 1 : Sebuah eksperimen pelemparan dua koin, dan diamati muka dari masing-masing koin yang diharapkan. Himpunan hasil yang mungkin disajikan dalam ruang sampel S= { AA, AG, GA, GG} ket.: A : angka dan G : gambar
Definisi 1.2. Jika ruang sampel S berhingga (finite) atau tak berhingga yang dapat dihitung ( countably infinite) maka S disebut ruang sampel diskrit.
S={e1, e2, ..., eN} : ruang sampel berhingga (finite) S={e1, e2, ......
} : ruang sampel tak berhingga (countably infinite).
Contoh 2: S = {1,2,3,...} = Himp. Bil Asli : ruang sampel tak berhingga S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
: ruang sampel berhingga
Definisi 1.3 Suatu peristiwa (event) adalah subset dari ruang sampel S.
Contoh 3 : P merupakan peristiwa muncul paling sedikit 1 angka (A) dalam pelemparan dua koin. Jadi P = {AA, AG, GA } yang mana S={AA, GA, AG, GG}, sehingga P⊂S.
Definisi 1.4. Suatu peristiwa disebut elementary event(peristiwa sederhana) jika memuat tepat satu hasil dari eksperimen tersebut.
Sebagai contoh pada kasus pelemparan sebuah koin, muncul gambar atau angka..
Definisi 1.5. Dua peristiwa P dan Q disebut mutually exclusive [saling lepas] jikaP ∩ Q = φ
2
Contoh 4: Pada kasus pelemparan dua koin, P : peristiwa munculnya paling sedikit 1 angka dan Q : peristiwa munculnya 2 gambar. Karena P ∩ Q = φ jadi, P dan Q dikatakan saling lepas. Kasus di atas akan berakibat pada definisi berikut :
Definisi 1.6. Peristiwa-peristiwa A1, A2, A3, . . ., dikatakan saling lepas [mutually exclusive] jika mereka adalah pasangan saling lepas, yaitu jika Ai ∩ Aj = φ bilamana i ≠ j. Catatan :
• Peristiwa-peristiwa yang komplementer adalah saling lepas, dan tak berlaku sebaliknya.
3. PENGERTIANPELUANG (PROBABILITY)
Definisi 1.7 Suatu eksperimen yang diberikan, S adalah ruang sampel dari A, dan A1, A2, . . . menyatakan peristiwa-peristiwa yang mungkin. Suatu himpunan fungsi yang mengkaitkan suatu nilai real P(A) dengan masing-masing peristiwa A disebut peluang himpunan fungsi, dan P(A) disebut peluang dari A, jika sifat-sifat berikut dipenuhi : 0 ≤ P(A) untuk setiap A P(S) = 1
∞ ∞ P U A i = ∑ P(A i ) i=1 i =1 Dimana A1, A2, . . . adalah pasangan peristiwa-peristiwa yang saling lepas.
Pengambilan obyek secara random menjadi syarat perlu dalam statistika parametrik. Pengertian random mudah dipahami tetapi dalam prakteknya sering mengalami kesulitan untuk dilaksanakan. Sehingga kasus random dalam pengambilan sampel 3
akan didekati dengan berbagai cara. Kasus pengambilan sampel dibahas tersendiri dalam teknik pengambilan sampel (teknik sampling) 4. SIFAT-SIFAT PELUANG Ada beberapa sifat peluang yang perlu diketahui untuk mendukung pemahaman lebih lanjut.
Teorema 1.1: Jika A adalah suatu peristiwa dan A’ adalah komplemennya, maka P(A) = 1 - P(A’) Bukti : S= A ∪ A’ dan A ∩ A’=φ 1 = P(S) = P(A ∪ A’) = P(A)+P(A’)⇒ P(A) = 1 – P(A’)
Teorema 1.2. : Untuk sebarang peristiwa A, P(A)≤1 Bukti : P(A) = 1 – P(A’) Karena P(A’)≥ 0 maka P(A) ≤ 1
Teorema 1.3. : Untuk sebarang dua peristiwa A dan B, P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B). Bukti : A∪B = (A∩B’) ∪ B , dimana (A∩B’) dan B saling lepas. A = (A∩B) ∪ (A∩B’), dimana (A∩B) dan (A∩B’) saling lepas. P(A∪B) = P(A∩B’) + P(B) dan P(A) = P(A∩B) + P(A∩B’) P(A∪B) = P(A∩B’) + P(B) = P(A) - P(A∩B) + P(B) = P(A) + P(B)- P(A∩B)
Teorema 1.4. : Untuk sebarang tiga peristiwa A, B, dan C P(A∪B∪C) = P(A) + P(B)+P(C) - P(A∩B) -P(A∩C) -P(B∩C) +P(A∩B∩C). 4
Bukti : Untuk latihan.
Teorema 1.5: Jika A ⊂ B maka P(A) ≤ P(B) Bukti : B= A∪(B∩A’) dimana A dan (B∩A’) saling lepas P(B) = P(A) + P(B∩A’)
⇒ P(B) ≥ P(A)
Teorema 1.6 : Boole’s Inequality (Ketaksamaan Boole) Jika A1, A2, ... adalah sebuah barisan peristiwa, maka
∞ ∞ P U A i ≤ ∑ P(A i ) i=1 i=1 Bukti : Untuk latihan
Teorema 1.7: Bonferroni’s Inequality (Ketaksamaan Bonferroni) JikaA1, A2, ... Ak adalah peristiwa-peristiwa, maka k k P I A i ≥ 1 − ∑ P (A i' ) i =1 i =1
Bukti : Untuk latihan
5. PELUANG BERSYARAT (CONDITIONAL PROBABILITY)
Definisi 1.9. Peluang bersyarat (The conditional probabillity) dari suatu peristiwa A, dimana peristiwa B telah terjadi, didefinisikan dengan
P(A | B) =
P(A ∩ B) jika P(B) ≠ 0. P(B) 5
Teorema 1.8: Untuk sebarang peristiwa A dan B, P(A∩B)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)
Teorema 1.9 : Peluang Total Jika B1, B2, B3,...., Bkadalah sebuah kumpulan dari peristiwa-peristiwa yang saling lepas dan sempurnamaka untuk sembarang peristiwa A, k
P(A) = ∑ P(Bi )P(A | Bi ) i =1
Bukti :
A
B1
B2
Bk
Himpunan A terletak pada himpunan B, yang dipartisi menjadi B1, B2, … Bk Jadi, himpunan Adapat dinyatakan sebagai berikut A= (A∩B1) ∪ (A∩B2) ∪ ….. ∪(A∩Bk) P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2)+ ….. +P(A∩Bk) P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2)+ ….. +P(Bk)P(A|Bk) k
P(A) =
∑ P(B )P(A | B ) i
i
i =1
Teorema 1.10 : Bayes’ Rule (Aturan Bayes) Jika kita mengasumsi bersyarat teorema 1.9 maka untuk masing-masing j=1,2,...,k
P( B j | A) =
P( B j ) P( A | B j ) k
∑ P( B ) P( A | B ) i
i
i =1
6
Bukti :
P ( B j | A ) P ( A ) = P( B j ) P ( A | B j )
P(B j | A) = P( B j | A) =
P(B j )P(A | B j ) P(A) P( B j ) P(A | B j ) k
∑ P ( Bi ) P ( A | B i ) i =1
Contoh 5: Suatu uji laboratorium untuk penggunaan narkobaoleh atlit professional, mempunyai deteksi rata-rata sebagai berikut : PENGGUNAAN NARKOBA
HASIL TES Positif (+)
Negatif (-)
Ya (Y)
0.90
0.10
Tidak (T)
0.01
0.99
Jika rata-rata penggunaan narkoba oleh atlit professional adalah 3 diantara 100 atlit, a. Berapa peluang bahwa atlit professional yang dipilih secara random akan mempunyai hasil tes negatif untuk penggunaan narkoba? b. Jika tes atlit positif, berapa peluang bahwa dia benar-benar menggunakan narkoba? Penyelesaian : Ditanya : a. P(-) b. P(Y|+) Jawab: (+) 0,90 0,03 (Y) (-) 0,10 Peluang penggunaan narkoba (+) 0,01 0,97 (T) (-) 0,99
7
a. P(−) = P(Y) ⋅ P(− | Y) + P(T) ⋅ P(− | T) = 0,03 ⋅ 0,10 + 0,97 ⋅ 0,99 = 0,003+ 0,9603 = 0,9633
P(Y) + P(+ | Y) P(Y) ⋅ P(+ | Y) + P(T) ⋅ P(+ | T) 0,03⋅ 0,90 0,027 = = = 0,736 0,03⋅ 0,90 + 0,97 ⋅ 0,01 0,0367
b. P(Y | +) =
6. PERISTIWA-PERISTIWA SALING BEBAS (INDEPENDENT EVENTS)
Definisi 1.10. Dua peristiwa A dan B disebut independent events [peristiwa-peristiwa saling bebas] jika P(A ∩ B ) = P(A)P(B) Selanjutnya jika tidak dipenuhi, maka A dan B disebut dependent events [peristiwaperistiwa bergantung].
Teorema 1.11 : Jika A dan B adalah peristiwa-peristiwa sedemikian hingga P(A)>0 dan P(B)>0, maka A dan B adalah independen jika dan hanya jika salah satu berikut dipenuhi. P (A B ) = P (A ) P (B A ) = P (B )
Teorema 1.12 : Dua peristiwa A dan B adalah independen jika dan hanya jika berikut pasanganpasangan peristiwa juga independen: i. A dan B’. ii. A’ dan B. iii. A’ dan B’.
Definisi 1.11. Sejumlah k peristiwa A1, A2, . . . , Ak dikatakan independent (bebas) atau mutually
Independent [saling bebas] jika untuk setiap j = 2, 3, . . ., k dan setiap subset yang berbeda ditunjukkan dengan i1, i2, . . ., ij, maka P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aij) = P(Ai1)P(Ai2) . . .P(Aij) 8
7. TEKNIK MENGHITUNG/MENCACAH
a. Pergandaan Teknik pergandaan ini adalah teknik mencacah menggunakan perkalian. Misal ada 3 soal tipe B-S, maka kemungkinan jawaban yang diberikan siswa adalah: BBS, BSB, BBB, SBB, SSB, SBS, BSS, SSS. Jadi, ada 8 macam kemungkinan jawab.
Teorema 1.13 : Jika ada N hasil yang mungkin dari masing-masing r trial (percobaan) dari suatu experimen, maka ada Nr hasil yang mungkin dalam ruang sampel. Contoh 6: Berapa banyaknya cara untuk dapat menjawab 5 pertanyaan benar-salah? Jawab : N=2 yaitu banyaknya pilihan benar-salah r=5 yaitu banyaknya pertanyaan. Sehingga banyaknya hasil yang mungkin adalah 25 [ N=2 dan r=5]= 32
b. Permutasi dan Kombinasi Permutasi dan kombinasi, keduanya merupakan teknik dalam pengambilan sampel. Dalam teknik kombinasi urutan data tidak diperhatikan. Misal mengambil dua pensil warna merah dan biru. Pengambilan pensil merah kemudian biru dianggap sama dengan pengambilan pensil biru kemudian merah. Lain halnya dalam teknik permutasi, pengambilan pensil merah kemudian biru berbeda dengan pengambilan pensil biru kemudian merah.
Teorema 1.14 : Banyaknya kombinasi dari n objek yang berbeda, yang dipilih r obyek adalah:
n n! C(n,r) = = r r!(n − r)! Adapun banyaknya permutasi untuk memilih r obyek dari n obyek yang tersedia adalah:
n! n P(n,r) = C(n,r).r! = r!= r (n − r)! 9
Contoh 7: Banyaknya kombinasi dari 4 huruf, untuk 2 huruf yang diambil adalah
4! 4 = = 6. 2 (4 − 2)!2! Jika urutan huruf diperhatikan maka banyaknya hasil menjadi 6.2! = 12. Penggunaan notasi kombinasi biasa digunakan dalam expansi binomial, yaitu n n (a + b) n = ∑ a k b n −k k = 0 k
Teorema 1.15 : Banyaknya permutasi yang dapat dibedakan yang mana r dari jenis pertama dan (n-r) dari jenis kedua adalah :
n n! = r r!(n − r)!
Teorema 1.16 : Banyaknya permutasi dari n obyek yang mana r1 dari jenis pertama, r2 dari jenis kedua, …, rk dari jenis ke-k adalah :
n! r1!r2 !...rk ! Teorema 1.17 : Banyaknya cara partisi suatu himpunan dari n obyek ke dalam k sel dengan r1 obyek dalam sel pertama dan r2 dalam sel kedua, dan seterusnya, adalah k n! dimana ∑ rl = n. r1!r2 !...rk ! l =1
Contoh 8: Sepuluh orang yang terdiri dari 2 orang Indonesia; 3 orang USA dan 5 orang Arab. Banyaknya posisi duduk, yang mana mereka pada kelompoknya masing-masing adalah
10! = 2520 2!3!5!
posisi
10
c. Menghitung Peluang Suatu Peristiwa Probabilitas (peluang ) suatu peristiwa adalah banyaknya cacah peristiwa dibagi banyaknya cacah dalam semesta. Misal A adalah suatu peristiwa, maka peluang dari A ditulis P(A) =
Pada permutasi dan kombinasi hanya berbicara tentang banyaknya cara atau cacah.. Selanjutnya kasus tersebut akan digunakan dalam menghitung peluang.
Contoh 9: Sebuah kotak berisi 10 bola hitam dan 20 bola putih, dan 5 bola dipilih tanpa pengembalian. Disini menggunakan konsep kombinasi, sehingga peluang diperolehnya tepat 2 bola hitam adalah sebagai berikut: Karena diambil tepat 2 bola hitam berarti sisanya 3 bola berwarna putih, sehingga 10 20 2 3 P(tepat 2 hitam) = = 0.360 30 5
11
SOAL-SOAL LATIHAN BAB 1 1.
Sebuah mesin gum-ball mengeluarkan sebuah bola merah, hitam atau hijau. a.
sajikan ruang sampel yang cocok
b.
daftarkan seluruh peristiwa yang mungkin
c.
Jika R adalah peristiwa “merah” selanjutnya daftarkan hasil di dalam R’
d.
Jika G adalah peristiwa “hijau” selanjutnya apakah R ∩ G ?
Jwb: a. S={r,g,b}
2.
b. {r}, {g}, {b}, {r,g}, {r,b}, {g,b}, S, φ
c. {b,g} d. φ
Dua bola diperoleh dari mesin seperti pada nomor 1 dari dua percobaan. Urutan hasil diperhatikan. Diasumsikan bahwa paling sedikit dua bola dari masing-masing warna ada di dalam mesin. a.
Bagaimana ruang sampel yang cocok.
b.
Berapa banyak seluruh peristiwa yang mungkin yang memuat delapan hasil (outcome).
c.
Nyatakan peristiwa-peristiwa berikut sebagai gabungan dari peristiwaperistiwa elementer. C1 ∩ C2, dan C1’ ∩ C1 dimana C1 : mendapatkan bola merah pada percobaan pertama, dan C2 : mendapatkan paling sedikit satu bola merah.
Jwb: a. S={(r,r),(r,b),(r,g),(b,r),(b,b),(b,g),(g,r),(g,b),(g,g)} b. 9 c. C1 ∩ C2=C1dan C1’ ∩ C1= {(b,r),(g,r)} 3. Ada 4 grup darah yaitu O, A, B, dan AB. Secara umum seseorang dapat menerima donor darah dari grupnya sendiri. Juga seseorang dapat menerima donor darah dari grup O, dan 4 grup darah dapat digunakan oleh penerima dari grup AB. Semua kemungkinan yang lain dianggap tak ada.Suatu experiment pengambilan darah dan menentukan tipenya untuk masing-masing dua donor berikut yang masuk bank darah. a. Daftarkan urutan hasil yang mungkin dari experiment ini. b. Daftarkan hasil-hasil yang berkaitan terhadap peristiwa bahwa pedonor kedua dapat menerima darah dari pedonor pertama. c. Daftarkan hasil-hasil yang berkaitan terhadap peristiwa bahwa masing-masing pedonor dapat menerima darah dari pedonor yang lain. 12
4. Suatu experimen pengambilan bola dari mesin gum-ball sampai bola merah diperoleh. Sajikan ruang sampel untuk experimen ini. Jwb : S= {r,br,gr,bbr,ggr,bgr,gbr, ...} {x | x = r atau x = c1c2....ckr, dimana ci= b atau g} 5. Banyaknya partikel alpha yang dipancarkan oleh sampel radioaktif dalam interval waktu yang tetap adalah terhitung. a. Berikan ruang sampel untuk experimen ini. b. Waktu jeda diukur sampai partikel alpha pertama dipancarkan. Berilah ruang sampel untuk experimen ini. Jwb : a. S={0,1,2,...} b. S=[0, ∞)
6. Suatu experimen dikendalikan untuk menentukan apakah pecahan dari bagian logam adalah emas. Berilah ruang sampel untuk experiman ini. Jwb : S=[0,1]
7. Sebuah mobil baterai dipilih secara random dites dan waktu rusak dicatat. Berilah ruang sampel yang cocok untuk experimen ini. Jwb : S=[0, ∞ )
8. Kita memperoleh 100 bola dari mesin, dan kita peroleh 20 bola merah, 30 bola hitam dan 50 bola hijau. a. Dapatkah kita gunakan sebagai model peluang untuk warna sebuah bola dari mesin tersebut, yang diberikan oleh p1=P(M), p2=P(Ht) dan p3=P(Hj) b. Pandang bahwa bola kuning juga di dalam mesin. Dapatkah kita gunakan sebagai model p1=0.2, p2=0.3, p3=0.5 dan p4=P(K)=0.1
9. pada soal nomor 2, pandang bahwa masing-masing dari 9 kemungkinan hasil dalam ruang sampel adalah berkemungkinan sama terjadi. Hitung masing-masing berikut : a. P(keduanya merah) b. P(C1) c. P(C2) 13
d. P(C1 ∩ C2) e. P(C1’ ∩ C2) f. P(C1 ∪ C2) Jwb : a. 1/9 b. 1/3 c. 5/9 d. 1/3 e. 2/9 f. 5/9
10. Pandang soal nomor 3. Misal 4 tipe darah berkemungkinan sama terjadi. a. Hitung peluang bahwa pedonor kedua dapat menerima darah dari pedonor pertama b. Hitung peluang bahwa masing-masing pedonor dapat menerima darah dari pedonor yang lain. c. Hitung peluang bahwa tidak ada yang dapat menerima darah dari pedonor yang lain. Jwb : a. 9/16 b. ¼ c. 1/8 11. Buktikan bahwa P( φ )=0 (Ingat ambil Ai= φ untuk semua i)
12. Bila suatu eksperimen ditampilkan, satu dan hanya satu dari peristiwa A1, A2, atau A3 akan terjadi. Tentukan P(A1), P(A2), dan P(A3) terhadap masing-masing asumsi berikut: a. P(A1) = P(A2) = P(A3) b. P(A1) = P(A2) dan P(A3) = ½ c. P(A1) =2P(A2) = 3P(A3) 13. Sebuah koin yang seimbang dilambungkan empat kali. Daftarkan hasil yang mungkin dan hitung peluang dari masing-masing peristiwa berikut : a. Tepat tiga gambar. b. Paling sedikit satu gambar. c. Banyaknya gambar sama dengan banyaknya angka. d. Banyaknya gambar melampaui banyaknya angka. Jwb : a. ¼ b. 15/16 c. 3/8 d. 5/16
14. Dua guru disewa oleh Prodi Pendidikan Matematika dan masing-masing dipilih secara random untuk mengajar satu matakuliah trigonometri, aljabar, atau kalkulus. 14
Daftarkan hasilnya dalam ruang sampel. Tentukan peluang bahwa mereka akan mengajar matakuliah yang berbeda. Jwb : S= {(t,t),(t,a),(t,c),(a,t),(a,a),(a,c), (c,t),(c,a),(c,c)} 2/3
15. Jika A dan B adalah peristiwa-peristiwa, tunjukkan bahwa : a. P (A ∩ B’) = P (A) – P (A ∩ B). b. P (A ∪ B) = 1 – P (A’ ∩ B’). 16. Jika P (A) = P (B) = 1/3 dan P (A ∩ B) = 1/10. Maka tentukan : a. P (B’). b. P (A ∪ B’). c. P (B ∩ A’). d. P (A’ ∪ B’). Jwb : a. 2/3 b. 23/30 c. 7/30
d. 9/10
17. Jika P (A) = ½, P (B) = 1/8, dan P(C) = ¼, dimana A, B, dan C adalah saling lepas, maka tentukan : a. P (A ∪ B ∪ C). b. P(A’ ∩ B’ ∩ C’) Jwb : a. 7/8
b. 1/8
18. Peristiwa bahwa tepat satu dari peristiwa-peristiwa A atau B terjadi dapat disajikan sebagai (A ∩ B’) ∪ (A’ ∩ B). Tunjukkan bahwa P [(A ∩ B’) ∪ (A’ ∩ B)] = P (A) + P (B) – 2P(A ∩ B)
19. Seorang pelari melakukan pertandingan dua kali pada suatu hari tertentu. Peluang bahwa dia menang dalam pertandingan pertama adalah 0,7. Peluang dia menang dalam pertandingan kedua adalah 0,6 dan peluang bahwa dia menang dalam kedua pertandingan adalah 0,5. Tentukan peluang bahwa : a. Dia menang sekurang-kurangnya satu pertandingan. b. Dia menang tepat satu pertandingan. c. Dia tidak menang pertandingan. Jwb : a. 0.8
b. 0.3
c. 0.2 15
20. Suatu keluarga mempunyai dua TV, TV berwarna dan TV hitam putih.Misal A peristiwa TV berwarna hidup dan B peristiwa TV hitam putih hidup. If P(A) = 0.4, P(B) = 0.3, dan P(A ∪ B) = 0.5, tentukan peluang masing-masing peristiwa: a. Keduanya hidup. b. Hanya TV berwarna yang hidup. c. Tepat satu TV yang hidup. d. Tidak ada TV yang hidup. Jwb : a. 0.2 b. 0.2 c. 0.3
d. 0.5
21. Pandang P(A1) = 1/ (3 + i) untuk i = 1, 2, 3, 4. Tentukan batas atas untuk P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4). Jwb : 319/420
22. Sebuah kotak berisi 3 kartu baik dan 2 kartu rusak.Pemain A memilih sebuah kartu dan kemudian pemain B memilih sebuah kartu. Hitung peluang berikut : a. P(A baik) b. P(B baik|A baik) c. P(B baik|A rusak) d. P(B baik ∩ A baik) e. P(B baik) f. P(A baik|B baik) Jwb : a. 3/5 b.½
c. ¾ d. 3/10 e. 3/5 f. ½
23. Sebuah tas berisi 5 bola biru dan 3 bola merah. Seorang anak mengambil sebuah bola dan selanjutnya mengambil yang lain tanpa pengembalian. Hitung peluang berikut : a. P(2 bola biru) b. P(1 bola biru dan 1 merah) c. P(sekurang-kurangnya 1 bola biru) d. P(2 bola merah) Jwb : 5/14
16
24. Dalam soal no.23, jika diambil 3 bola tanpa pengembalian. Tentukan : a. P(tak ada bola merah setelah pengambilan ketiga) b. P(1 bola merah yang tertinggal) c. P(bola merah pertama pada pengambilan terakhir) d. P(bola merah pada pengambilan terakhir)
25. Dua kartu diambil dari deck kartu tanpa pengembalian. a. Berapa peluang bahwa kartu kedua adalah heart, jika kartu pertama adalah heart. b. Berapa peluang bahwa kedua kartu adalah heart
26. Sebuah kotak berisi 5 bola hijau, 3 bola hitam, dan 7 bola merah. Dua bola dipilih secara random tanpa pengembalian. Berapa peluang bahwa : a. kedua bola adalah merah. b. kedua bola sama warnanya.
27. Tim softball mempunyai 3 pemukul A, B, dan C dengan persentasi menang masingmasing 0.4, 0.6 dan 0.8. Pemukul-pemukul ini memukul sebanyak masing-masing 2, 3, dan 5 setiap 10 permainan. Dengan kata lain, untuk permainan yang dipilih secara random, P(A)=0.2, P(B)=0.3 dan P(C)=0.5. Tentukan : a. P(tim memenangkan permainan)= P(W) b. P(A yang memukul|tim menang)=P(A|W)
28. Satu kartu dipilih dari deck yang terdiri 52 kartu dan ditempatkan di deck kedua. Sebuah kartu selanjutnya dipilih dari deck kedua. a. Berapa peluang bahwa kartu kedua adalah ace. b. Jika kartu pertama ditempatkan di deck 54 kartu yang memuat 2 joker, selanjutnya berapa peluang bahwa sebuah kartu yang diambil dari deck kedua adalah ace. c. Diberikan ace yang telah diambil dari deck kedua pada pertanyaan (b), berapa peluang bersyarat bahwa kartu ace telah dipindah.
17
29. Sebuah kantong memuat 3 koin, satu koin mempunyai muka di dua sisi, dan dua koin yang lain adalah normal. Sebuah koin dipilih secara random dan dilempar 3 kali. a. tentukan peluang diperoleh 3 muka b. Jika sebuah muka muncul di 3 kali lemparan , berapa peluang bahwa muka itu berasal dari koin yang bermuka dua. 30. Diketahui P(A)=0.4 dan P(A ∪ B)=0.6 a. Tentukan P(B) agar A dan B saling lepas. b. Tentukan P(B) agar A dan B saling bebas.
31. A, B, dan C adalah peristiwa-peristiwa sedemikian hingga P(A)= 1/3 , P(B)=1/4 dan P(C)= 1/5 Tentukan P(A ∪ B ∪ C) terhadapmasing-masingasumsi berikut : a. jika A, B, C adalah saling lepas b. jika A, B, C adalah saling bebas
32. Sebuah mangkuk berisi 4 tiket lottre dengan nomor 111, 221, 212, dan 122. Satu tiket diambil secara random dari mangkuk dan A1 adalah peristiwa “2 di dalam tempat yang ke-i.; i=1,2,3 . Tentukan apakah A1,A2,A3 independen?
33. Kode kata dibentuk dari huruf A s.d. Z a. Berapa banyak 26 huruf kata dapat dibentuk tanpa pengulangan sembarang huruf. b. Berapa banyak 5 huruf kata dapat dibentuk tanpa pengulangan c. Berapa banyak 5 huruf kata dapat dibentuk jika huruf-hurufnya dapat diulang.
34. Plat nomor kendaraan terdiri dari 2 huruf dan dilanjutkan 4 digit angka. Seperti : AB3166. a. Berapa banyak plat berbeda yang mungkin jika huruf dan digit dapat berulang? b. Berapa banyak plat berbeda yang mungkin jika huruf dapat berulang tetapi digit tidak? c. Berapa banyak plat berbeda yang mungkin jika huruf dapat berulang dan nomor digit lebih besar dari 5500? 18
35. Seorang pelatih sepakbola mempunyai 49 pemain yang dapat dipilih untuk menjadi duta dalam pertandingan . a. Jika 11 orang harus dipilih untuk bermain, berapa banyak tim yang mungkin? b. Jika dari 49 pemain ada 24 penyerang dan 25 penahan, berapa peluang bahwa tim yang dipilih secara random mempunyai 5 penyerang dan 6 penahan?
36. Berapa banyak cara yang dapat anda bagikan 26 huruf ke dalam 3 kotak yang memuat 9; 11; dan 6 huruf.
37. Berapa banyak cara siswa menjawab 10 soal pilihan ganda dengan 4 option.
38. Suatu uji laboratorium untuk penggunaan steroid dalam atlit professional mempunyai deteksi rata-rata sebagai berikut : PENGGUNAAN
HASIL TES
STEROID
POSITIF
Yes
0.90
0.10
No
0.01
0.99
NEGATIF
Jika rata-rata penggunaan steroid dalam atlit professional adalah 1 diantara 50 atlit, a. berapa peluang bahwa atlit professional yang dipilih secara random akan mempunyai hasil tes negative untuk penggunaan steroid? b. Jika tes atlit positif, berapa peluang bahwa dia benar-benar menggunakan steroid?
39. Sebuah kotak berisi empat disket yang mempunyai warna berbeda pada masingmasing sisinya. Disket 1 adalah merah dan hijau, disket 2 adalah merah dan putih, disket 3 adalah merah dan hitam, dan disket 4 adalah hijau dan putih. Satu disket dipilih secara random dari kotak. Definisikan berikut: A = satu sisi adalah merah, B = satu sisi adalah hijau, C = satu sisi adalah putih dan D = satu sisi adalah hitam. a. Apakah A dan B peristiwa bebas? Mengapa atau mengapa tidak ? b. Apakah B dan C peristiwa bebas? Mengapa atau mengapa tidak ? c. Apakah sebarang pasangan peristiwasaling lepas? Yang mana? 19
40. Misalkan sejumlah kelereng berwarna dimasukkan ke dalam tiga kotak yang tidak dapat dibedakan sebagai berikut: Kotak 1
2
3
Merah
2
4
3
Putih
3
1
4
Biru
5
3
3
Sebuah kotak diambil secara acak dan kemudian dari kotak yang terpilih tersebut diambil secara acak sebuah kelereng. a. Hitung peluang terambilnya kelereng merah ! b. Bila diketahui kelerengnya merah, berapa peluang bahwa kotak yang terambil adalah kotak 3?
41.
Seseorang memiliki dua kendaraan, mobil dan motor.
Kurang lebih 75% ia
menggunakan mobil untuk pergi bekerja, dan 25% ia menggunakan motor. Bila menggunakan mobil kemungkinannya 75% ia sampai di rumah pukul 17.30 atau kurang; sedangkan bila menggunakan motor, kemungkinannya 60% ia sampai di rumah pukul 17.30 atau kurang. Bila suatu hari diketahui ia sampai di rumah pukul 17.30, berapa peluang ia menggunakan mobil.
42.
Diberikan ruang sampel S menyatakan orang dewasa yang tamat SMU di kecamatan Sukamadu. Mereka dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan Bekerja
Tidak bekerja
Laki-laki
460
40
Wanita
40
260
20
Kecamatan tersebut akan dijadikan daerah Pariwisata dan seseorang akan dipilih secara acak untuk mempromosikan ke Luar Negeri. Tentukan peluang yang terpilih adalah laki – laki jika diketahui telah bekerja.
43. Susunan murid di kelas I SD Margobiso adalah sebagai berikut. Lima anak adalah putra petani; 6 anak adalah putra Guru; 4 anak adalah putra TNI; dan 7anak adalah putra wiraswasta. Dipilih secara acak 3 murid di kelas tersebut. Berapa peluang bahwa ketiga murid yang terpilih tersebut, 2 murid diantaranya adalah putra guru.
44. Sebuah dadu tidak seimbang dilempar sekali, muncul sisi mata dadu genap dua kali lebih sering daripada sisi ganjil. Berapa peluang munculnya sisi mata dadu yang lebih besar dari 4 ?
45. Dua dadu dilempar. Bila diketahui bahwa satu dadu munculnya 2, berapa peluang bahwa jumlah keduanya lebih besar dari 6?
46. Tes darah Laboratorium adalah 95% tertedeteksi penyakit tertentu. Bagaimanapun tes juga dapat memberikan hasil positif yang salah yaitu 1% dari orang-orang sehat yang dites. Jika 0,5 % populasi benar-benar sakit, berapa peluang hasil tesnya positif sedangkan orangtersebut benar-benar sakit. Jwb: 0,0256
21
BAB 2 VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA 1. Pendahuluan Dalam bab ini akan dibahas tentang variabel random beserta distribusinya. Variabel random pada hakekatnya adalah fungsi yang terdefinisi dalam ruang sampel, sehingga dari variabel random tersebut dapat dibentuk distribusinya. Variabel random dibedakan menjadi dua yaitu variabel random diskrit dan variabel random kontinu. Fungsi yang berkaitan dengan variabel random disebut probability
density function (pdf) atau disebut fungsi pekat peluang. Berkaitan dengan pdf tersebut dapat dibentuk CDF (Cumulative Distrubution Function), ekspektasi dan variansi termasuk juga MGF (Moment Generating Function).
2. Pengertian Variabel Random
Definisi 2.1. : Variabel random, yang dinyatakan dengan X adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada ruang sampel S, yang dikaitkan sebuah bilangan real X(e)=x dengan masingmasing hasil yang mungkin e dalam S.
Contoh 1 : Dadu sisi empat mempunyai nomor 1, 2, 3, atau 4 pada masing–masing sisi yang berkemungkinan sama.Satu permainan dengan menggulirkan dadu tersebut dua kali dan skor adalah maksimum dari 2 bilangan yang muncul. Walaupun skor tersebut tidak dapat diprediksi, kita dapat menentukan himpunan nilai–nilai yang mungkin dari variabel random. Khususnya jika e = (i, j) dimana i, j ∈ {1, 2, 3, 4}, dan X(e)=max (i, j), maka ruang sample S dan X digambarkan sebagai berikut.
22
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
3
4
1
2
Ada dua macam variabel random yaitu variabel random diskrit dan variabel random kontinu. b. Variabel Random Diskrit Definisi 2.2 Jika himpunan semua nilai variabel random X yang mungkin adalah himpunan yang dapat dihitung (countable) x1 , x 2 ,...,x n , or x1 , x 2 ,..., maka X disebut variabel random diskrit (a discrete random variabel). Fungsi tersebut f(x) = P[X=x] x = x1 , x 2 ,..., disebut fungsi masa peluang diskrit (discrete probability mass function).
1) Fungsi Masa Peluang (pmf)
Teorema 2.1 Fungsi f(x) adalah pmf (probability mass function) diskrit jika dan hanya jika dipenuhi kedua sifat-sifat berikut untuk paling banyak himpunan bilangan real
x1 , x 2 ,...: tak hingga yang dapat dihitung (at most a countably infnite). f (x i ) ≥ 0
untuk semua xi , dan
∑ f(xi) = 1 all x i
contoh 2 : Maksimum dari dua guliran dadu sebagai berikut : X f(X)
1
2
3
4
1/16
3/16
5/16
7/16 23
f(x)
7/165/163/161/16X 1
2
3
4
Contoh 3 : Dalam menggelindingkan sebuah dadu bermuka 12 sebanyak dua kali, dan masingmasing muka diberi nomor 1 s.d 12, yang berkemungkinan sama untuk muncul pada setiap penggelindingan. Jika X menyatakan nilai maksimum dalam dua penggelindingan, maka pdf dari X akan berbentuk f(x) = c(2x-1) untuk x =1, 2, 3 ,..., 12 dan c dapat dicari dengan menggunakan sifat pmf, yaitu 1=
12
12
x =1
x =1
1 ∑ f (x) = c∑ (2x − 1) = c144 ⇒ c = 144
2) CDF (Cumulative Distribution Function) Definisi 2.3 The cumulative distribution function (CDF) dari suatu variabel random Xdidefinisikan untuk sebarang bilangan real x dengan F(x) = P [X ≤ x]
Teorema 2.2. : X adalah variabel random diskrit dengan pdf f(x) dan CDF F(x). Jika nilai yang mungkin dari X diindeks dalam urutan menaik x1
1 Selanjutnya jika x
∑ f (x ) i
x i ≤x
24
dimana penjumlahan tersebut meliputi semua yang ditunjukkan i sedemikian hingga
xi ≤ x Teorema 2.3 : Fungsi F(x) adalah CDF untuk suatu variabel random X jika dan hanya jika memenuhi sifat berikut : 1) lim F(x) = 0 x → −∞
2) lim F(x) = 1 x→∞
3) lim F(x + h) = F(x) h→0=
4) a < b implies F(a) ≤ F(b) selanjutnya menjadi penting untuk digunakan P[a
,
F(2) = f(2)+F(1) = F(3) = f(3)+F(2) = F(4) = f(4)+F(3) =
+ + +
= =
=
1 x<2
2 x<3
,
3 x<4
,
4 x
,
dan grafiknya diperoleh sebagai berikut:
F(x) 1
9/16 4/16
1/16 x 1
2
3
4
25
3) Ekspektasi (Expectation)
Definisi 2.4 Jika X adalah variabel diskrit dengan pdf f(x), maka nilai ekspektasi dari X didefinisikan, E(X) = ∑ xf(x) x
Contoh 4 : Sebuah kotak berisi 4 kartu. Dua kartu diberi label dengan nomor 2 ; satu diberi label dengan nomor 4 dan yang lain dengan nomor 8. Rata-rata bilangan pada keempat kartu adalah
2+2+4+8 = 4 . Percobaan memilih sebuah kartu secara random dan 4
dicatat nomornya dapat dikaitkan dengan variabel random diskrit X yang mempunyai nilai berbeda x = 2, x = 4, dan x = 8 dengan f(2) = 1/2 ; f(4) = f(8) = 1/4. Jadi, nilai expektasinya adalah E(x) = 2(1/2) + 4(1/4) + 8(1/4) = 4.
c. Variabel Random Kontinu 1) Fungsi peluang (pdf) dan CDF nya Definisi 2.5 A variabel random X disebut variabel random kontinu jika ada fungsi f(x) adalah the
probability density function (pdf) of X, sehingga CDF nya dapat disajikan sebagai F(x) =
∫
x
−∞
f(t) dt
Jika pdf f(x) diberikan, maka secara khusus, f(x) =
d F( x ) = F ' ( x ) dx
catatan : b
P[a≤X≤b] = ∫ f ( x )dx a
26
Teorema 2.4 : Fungsif(x) adalah pdf untuk suatu variabel random kontinu X jika dan hanya jika dipenuhi sifat-sifat : 1) f(x) ≥ 0untuksemuax, dan 2)
∫
∞
−∞
f ( x )dx = 1
Bukti : Lihat teorema 2.3
Contoh 5 : Sebuah mesin yang menghasilkan kabel tembaga, dan kadang-kadang ada kerusakan pada suatu titik sepanjang kabel. Panjang kabel (dlm meter) diproduksi antara sukses rusak adalah variabel random kontinu X dengan pdf berbentuk c (1 + x ) −3 f(x) = 0
x>0 x≤0
dimana c adalah konstan. Untuk mencari nilai c ditentukan dari sifat pdf 1=
∞
∞
−∞
0
−3 ∫ f ( x )dx = ∫ c(1 + x ) dx = c(1/2) ⇒ c = 2
Contoh 6: Diketahui 3e −3x 0
f(x) =
x>0 x≤0
CDF F(x)= 3 dt e | 1 e , x>0 dan F(x)=0 untuk x≤0
0 untuk x ≤ 0 & jadi, F(x) = 1e untuk x % 0
2. Ekspektasi Definisi 2.6 Jika X adalah variabel random kontinu dengan pdf f(x), maka nilai ekspektasi dari X didefinisikan dengan E(X) =
∞
∫
−∞
xf(x) dx 27
Jika integral adalah konvergen absolut maka dikatakan E(X) tidak ada.
Contoh 7: Jika diketahui 3e −3x 0
f(x) =
x>0 x≤0
maka diperoleh
∞ E(x) = x3e dx xe |∞ dx xe |∞ | ' e e ∞
∞
Catatan : Biasanya E(x) dilambangkan dengan µ.
Definisi 2.7 Jika 0 < p < 1, maka percentile ke-100p dari distribusi variabel random kontinu X adalah penyelesaian xp terhadap persamaan. F(xp) = p
Median dari distribusi X adalah persentil ke-50 yang dinotasikan dengan X0,5 atau m. Ini adalah kasus dari persentil khusus yang sangat penting, sehingga nilai setengah dari populasi adalah setengah ke atas atau setengah ke bawah. Median digunakan dalam beberapa aplikasi sebagai ukuran tengah.
Definisi 2.8 Jika pdf mempunyai maximum tunggal di x = mo, katakan max f(x) = f(mo), maka mo disebut modus dari X.
Catatan : Penyelesaian untuk f’(x)=0 adalah maksimum dari f(x) yang tunggal. Secara umum Mean; Median; dan Modus mungkin semuanya berbeda tetapi ada kasus-kasus tertentu dimana semuanya itu sama.
Definisi 2.9 Distribusi dengan pdf f(x) dikatakan simetrik di sekitar c jika f(c – x) = f(c + x) untuk semua x. 28
d. Variabel Campuran Mungkin sekali bahwa variabel random mempunyai distribusi yang tidak diskrit murni atau tidak kontinu murni. Distribusi untuk variabel random X adalah tipe campuran jika CDF mempunyai bentuk F(x) = a Fd(x) + (1-a) Fc(x) ; 0
e. Beberapa Sifat Ekspektasi
Teorema 2.5 : Jika X variabel random dengan pdf f(x) and u(x) adalah fungsi bernilai real yang domainnya meliputi nilai-nilai X yang mungkin, maka E[u(X)] =
∑ u ( x )f ( x )
jika X diskrit
x
E[u(X)] =
∫
∞
−∞
u ( x )f ( x ) dx
jika X kontinu
Ini jelas bahwa nilai ekspektasi akan mempunyai sifat linearitas terkait dengan integral dan penjumlahan.
Teorema 2.6 : Jika X variabel random dengan pdf f(x), a dan b adalah konstan, serta g(x) dan h(x) adalah fungsi bernilai real yang domainnya memuat nilai X yang mungkin, maka
E[ag(X) + bh(X)] = aE[g(X)] + bE[h(X)] f. Variansi dan Sifat-Sifatnya Definisi 2.10 Variansi variabel random X diberikan Var (X) = E[(X - µ)2] dimana µ = E(x)
Definisi 2.11 moment ke-k di sekitar pusat variabel random X adalah
µ'k = E(Xk) 29
momentke-k di sekitar mean adalah µk = E[X – E(X)]k = E(X - µ )k
Teorema 2.7: Jika X adalah variabel random, maka
( )
Var(X) = E X2 − µ 2 Bukti :
Var(X) = E(X − µ) 2
(
= E X 2 − 2Xµ + µ 2
)
= E(X 2 ) − 2E(X)µ + µ 2 = E(X 2 ) − 2µ 2 + µ 2
( )
= E X2 − µ 2
Contoh 8: Jika diketahui f(x) seperti pada contoh 7 3e −3x 0
x>0 x≤0
f(x) =
maka diperoleh
E(x) = x. 3e dx 3 xe dx ∞
∞
∞ E(x2) = x ) . 3e dx
x) e |∞ dx 0 ' 2 xe dx ' 2xe
Jadi, Var(X)= ) )
∞
0'
2 2 9 9
∞
Teorema 2.8: Jika X adalah variabel random dengan a dan b adalah konstanta, maka
Var(aX + b) = a 2 Var(X) Bukti :
Var(aX + b) = E[(aX + b) − (aµ + b)]2 = E[a(X − µ)]2 30
= a 2 E[(X − µ)]2 = a 2 Var(X)
Teorema 2.9.: Jika distribusi dari X simetrik di sekitar mean µ = E(X) , maka moment ketiga di sekitar µ adalah nol, µ 3 = 0 .
Teorema 2.10.: Jika X adalah variabel random dan u(X) adalah fungsi bernilai real nonnegative, maka untuk sebarang konstanta positive c>0,
P[u (X ) ≥ c] ≤
E[u (X )] c
Bukti : Untuk latihan
Teorema 2.11.: Jika X adalah variabel random dengan mean µ dan variansi σ2 , maka untuk sebarang k>0. P [ X − µ ≥ kσ ] ≤
1 k2
Bukti : Untuk latihan
Teorema 2.12.:
µ = E(X) dan σ 2 = Var(X) . Jika σ 2 = 0 , maka P[X = µ] = 1 Bukti : Untuk latihan
a. Moment Generating Function (MGF) Definisi 2.12 Jika X variabel random, maka nilai expektasi
31
Mx(t) = E(etx) Disebut moment generating function (MGF) dari X jika nilai expectasi ada untuk semua nilai dari t dalam suatu interval bentuk – h < t < h untuk suatu h > 0.
1) MGF Variabel Random Diskrit
Contoh 6 : Asumsikan bahwa X adalah variabel random diskrit bernilai hingga, dengan nilainilai yang mungkin x1, …, xm . MGF nya adalah m
Mx(t) = ∑ e txi f x (x i ) i =1
merupakan fungsi yang dapat didiferensialkan ke- t, dengan derivative m
M 'x ( t ) = ∑ x i e tx i f x ( x i ) i =1
dan secara umum untuk sembarang bilangan bulat positif r, m
M (xr ) ( t ) = ∑ x ir e tx i f x ( x i ) i =1
(r) jika kita menghitung Mx (t) untuk t=0 diperoleh m
M (xr ) (0) = ∑ x ir f x ( x i ) = E(X r ) i =1
Teorema 2.13.: r Jika MGF(X) ada, maka E(X ) = M
(r ) x
(0) untuksemuar = 1,2,…
dan ∞
E( X r ) t r r! r =1
M x (t ) = 1 + ∑ Bukti : Untuk latihan
2) MGF Variabel Random Kontinu Contoh 7 : Pandang variabel random kontinu X dengan pdf f(x) = e-x jika x>0 dan f(x)=0 untuk 32
x yang lain. MGF nya adalah ∞
Mx(t) = ∫ e tx e − x dx 0
∞
= ∫ e − x (1−t ) dx 0
=
=
1 e −x (1−t ) − (1 − t)
∞ 0
1 , t<1 (1 − t )
Contoh 8: Variabel random diskrit X mempunyai pdf f(x)= ( 12 ) x +1 jika x=0, 1, 2, … dan f(x)=0 untuk x yang lain. MGF dari X adalah ∞
Mx(t)= ∑ e tx ( 12 ) x +1 x =0
=
1 ∞ t x ∑ (e / 2) 2 x =0
dibuat deret geometri tak hingga dengan s= et/2 diperoleh = 1 + s + s2 + s3 + … =
1 , -1
1 1 1 , = t 2 1 − (e / 2) 2 − et
jadidiperolehMx(t) =
t < ln 2
' ' Turunan pertamanya adalah M x ( t ) = et(2 - et)-2 dan E(X) = M x (0) =1.
b. Sifat-Sifat Moment Generating Function (MGF)
Teorema 2.14.: bt Jika Y = aX + b,maka MY (t ) = e Mx (at) .
Bukti : Untuk latihan
Teorema 2.15.:
33
KetunggalanJika X1 dan X 2 mempunyai CDF masing-masing F1 (x) dan F2 (x) , dan mempunyai MGF masing-masing M1 (t) dan M2 (t ) maka F1(x) = F2 (x) untuk semua bilangan real x jika dan hanya jika M1 (t) = M2 (t ) untuk semua t dalam suatu interval –h0.
c. MGF Faktorial
Definisi 2.13 Moment faktorial ke-r dari X adalah E[X(X-1) …(X-r+1)] dan Factorial Moment Generating Function (FMGF) dari Xadalah Gx(t) = E(tx) Jika expectasi ini ada untuk semua t dalam suatu interval bentuk 1– h < t < 1+h
FMGF lebih cocok daripada MGF dalam beberapa masalah. Gx(t) = E(tx) = E(ex ln t) = Mx(ln t)
Teorema 2.16 : Jika Xmempunyai FMGF, GX (t ) , maka
G'x (1) = E(X) G"x (1) = E[X(X −1)] G(xr ) (1) = E[X(X − 1)...(X − r + 1)] Bukti : Untuk latihan. Catatan : E(X(X-1)) = E(X2-X) = E(X2) - E(X) sehingga E(X2) = E(X) + E(X(X-1))
Contoh 10: Kita pandang variabel random diskrit X mempunyai pdf f(x)= ( 12 ) x +1 jika x=0, 1, 2, … dan f(x) = 0 untuk x yang lain. FMGF dari X adalah Gx(t) = Mx(ln t) 34
Berdasarkan contoh 9 di atas, Mx(ln t) =
1 1 = = (2 - t)-1 , t<2 ln t 2−t 2−e
turunannya diperoleh,
G'x (t ) = (2 - t)-2 E(X) = G 'x (1) = 1 G"x (t ) = 2(2 - t)-3 E[X(X − 1)] = G"x (1) = 2 selanjutnya E(X2) = E(X) + 2 = 3 dan Var(X) = 3 – 12 = 2.
35
SOAL-SOAL LATIHAN BAB 2
1.
Jika e=(i,j)menyajikan sebarang hasil dari menggelindingkan dua dadu bersisi empat, seperti pada contoh 1, tabulasikan pdf diskrit dan gambar grafik CDF untuk variabel random berikut: a. Y(e) = i + j. b. Z(e) = i – j. c. W(e) = (i − j)2 .
2.
Suatu permainan terdiri dari pertama menggelindingkan sebuah dadu sisi enam beraturan sekali dan selanjutnya melemparkan sebuah koin tak bias sekali. Skor adalah menjumlah bilangan yang muncul pada dadu ditambahkan ke bilangan yang muncul pada koin (0 atau 1), adalah variabel random, katakan X. Sajikan nilai yang mungkin dari X dan tabulasikan nilai dari: (a) pdf diskrit. (b) CDF pada titik-titik diskontinunya. (c) sket grafik dari CDFnya. (d) tentukan P[X>3]. (e) tentukan peluang bahwa skor tersebut adalah bilangan ganjil.
3.
Sebuah kotak berisi tiga koin, satu yang mempunyai gambar pada kedua sisinya, sedangkan dua koin yang lain normal. Sebuah koin dipilih secara random dari kotak dan ditos (dilempar) tiga kali. Banyaknya gambar adalah variabel random yang dinyatakan dengan X. (a) Tentukan pdf diskrit dari X. (petunjuk :gunakan the Law of Total Probability dengan B1 =koin normal dan B2 = koin dg dua gambar.) (b) sket pdf diskrit dan CDF dari X.
4.
Sebuah kotak berisi lima bola berwarna, dua hitam dan tiga putih. Bola diambil tanpa pengembalian. Jika X adalah banyaknya pengambilan bola sampai diperoleh bola hitam terakhir, tentukan pdf f(x).
36
5.
Variabel random diskrit mempunyai pdf f(x). a. jika f(x) = k(1 2)x untuk x = 1, 2, 3, dan nol untuk yang lain, tentukan k. b.apakah bentuk f(x)= k [( 12 ) x − 12 ] untuk x = 0, 1, 2 merupakan pdfuntuk sebarang k?
6.
Notasi [x] adalah bilangan bulat terbesar yang tidak melampaui x. Untuk pdf f(x)=
1 ( 2 x − 1) x = 1, 2, …., 12 , tunjukkan bahwa CDF dapat disajikan 12 2 2
[x ] sebagai F(x)= untuk 0
7.
Variabel random diskrit X mempunyai pdf yang berbentuk f(x) = c(8-x) untuk x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan nol untuk yang lain. Tentukan: a. konstanta c. b. CDF, F(x). c. P[X>2]. d. E(X).
8. Variabel random bulat nonnegative X mempunyai CDF yang berbentuk F(x)=1- (1/2)x+1untuk x = 0, 1, 2, … dan nol jika x <0. Tentukan: a. pdf dari X. b. P[10
9.
Sering diinginkan untuk menandai secara numerik nilai kode untuk merespon eksperimen. Untuk contoh dalam menguji warna pilihan dari subyek eksperimen, pandang bahwa warna-warna biru, hijau, dan merah yang terjadi dengan peluang masing-masing ¼, ¼, dan ½ . Nilai bilangan bulat yang berbeda untuk menandai masing-masing warna, dan hal ini terkait dengan variabel random X yang dapat mengambil satu dari tiga bilangan bulat tersebut. a. Dapatkah f(x) = (1 4 )x (1 2 )1− x untuk x = -1, 1, 0 digunakan sebagai pdfuntuk experiment ini? 37
2 b. Dapatkah f(x) = (1 / 2) 2 untuk x = 0, 1, 2 digunakan ? x c. Dapatkah f(x) = (1-x)/4,untuk x = -1, 0, 2 digunakan ?
10. X adalah variabel random diskrit sedemikian hingga P[X=x]>0 jika x=1,2,3 atau 4 dan P[X=x]=0 untuk yang lainnya. Pandang CDF adalah F(x)= 0,05x(1+x) pada nilai-nilai x=1,2,3 atau 4. a. gambar grafik CDF b. gambar grafik pdf diskrit f(x) c. tentukan E(x)
11. Seseorang menggelindingkan dadu sisi enam dan menerima sejumlah dolar terkait dengan banyaknya titik pada muka yang muncul. Berapa banyak yang pemain harus bayar untuk menggelindingkan sehingga permainan fair. 12. Variabel random kontinu X mempunai pdf f(x) = c(1 – x) x2jika 0 < x < 1 dan nol untuk x yang lain. a. tentukan konstanta c. b. tentukan E(X).
13. Fungsi (x) mempunyai bentuk berikut : f(x) = kx-(k +1) 1 < x < ∞ dannol untuk x yang lain. a. Tentukan nilai k agar f(x) pdf ? b. Tentukan CDF berdasarkan jawaban (a) c. Untuk nilai k berapakah agar E(X) ada? Ans. a. k>0
b. F(x)= -x-k + 1
c. k>1
14. Tentukan apakah dapat dibentuk fungsi dari masing-masing CDF pada domain tersebut: a. F(x) = e-x ; 0 ≤ x <∞. b. F(x) = ex; - ∞< x ≤ 0. c. F(x) = 1 – e-x ; - 1 ≤ x <∞.
38
15. Tentukan pdf yang berkaitan terhadap masing-masing CDF berikut: a. F(x) = (x2 + 2x + 1)/16; - 1 ≤ x ≤ 3. b. F(x) = 1 – e- λ x - λxe - λ x;0≤ x <∞ ; λ > 0.
16. Jika fi(x), i = 1, 2, . . . .,n, adalah pdf.Tunjukkan bahwa n
n
i =1
i =1
∑ pifi (x) adalah pdfdimana pi≥ 0 dan ∑pi =1 17. Variabel random X mempunyai CDF sedemikian hingga x 2 , F(x) = x − 1 , 2
0 < x ≤1 1< x ≤
3 2
a. Gambarkan grafik F(x) b. Gambarkan grafik pdf f(x) c. Tentukan P[X≤1/2] d. Tentukan P[X≥1/2] e. Tentukan P[X≤1,25] f. Bagaimana P[X=1,25]?
18. Sebuah variabel random kontinu X mempunyai pdf yang berbentuk f(x)= 92 x untuk 0
19. Sebuah variabel random X mempunyai pdf
39
/ x2 jika 0 < x ≤ 1 f(x) = 2 / 3 jika 1 < x ≤ 2 & . -0 untuk x yang lain ,
a. tentukan median dari X.
b. gambar grafik CDF dan tunjukkan posisi median pada grafik tersebut.
20. Variabel random kontinu X mempunyai CDF 0 F(x) = 2( x − 2 + 1 / x ) 1
jika x < 1 jika 1 ≤ x ≤ 2 jika 2 < x
a. tentukan 100 x percentile ke-p dari distribusi dengan p = 1/3 b. tentukan pdf dari X.
21. Jelaskan bahwa fungsi berikut mempunyai 4 sifat dari Teorema 2.3 dan tentukan titik-titik diskontinunya
F(x) =
/ 0,25e -
x
. - 1 − e− x ,
0,5
jika − ∞ < x < 0
jika 0 ≤ x < 1 &
jika 1 ≤ x < ∞
22. X adalah variabel random diskrit, mempunyai pdf f(x) = x/8 jika x = 1, 2, 5, dan nol untuk x yang lain. Tentukan: a. E(X) b. Var (X) c. E(2X + 3) 23. Diketahui pdf f(x) =3x2jika 0 < x < 1, dan nol untuk x yang lain.Tentukan: a. E(X) b. Var (X) c. E(Xr) d. E(3X – 5X2 + 1) 24. Diketahui X variabel random kontinu dengan pdf f(x) = 1/x2jika 1 < x <∞dan nol
40
untuk x yang lain. a. apakah E(X) ada ? b. apakah E(1/X) ada? c. untuk nilai k berapakah E(Xk) ada ?
25. Stok komputer mempunyai cadangan tahunan untuk paket copi software yang merupakan variabel random diskrit X. Pemilik stok memesan empat copi paket dengan harga Rp 10 ribu per copi dan mejualnya kepada pengguna dengan harga Rp 35 ribu per copi. Pada akhir tahun copi paketdianggap kadaluarsa dan pemilik dianggap rugi pada copi yang tak terjual. pdf X disajikan dalam tabel berikut : X
0
1
2
3
4
f(x)
.1
.3
.3
.2
.1
a. tentukan E(X) b. tentukan Var (X) c. Sajikan keuntungan bersih pemilik, Y sebagai fungsi linier dari X, serta tentukan E(Y) dan Var (Y).
26. Jari-jari lingkaran diukur, mempunyai pdf f(r) = 6r(1 – r), 0 < r <1. Tentukan : a. nilai ekspektasi jari-jari b. nilai ekspektasi keliling c. luas yang diharapkan.
27. Pandang variabel random diskrit X dengan pdf yang disajikan dalam tabel berikut: X
-3
-1
f(x)
¼
¼
0
2
2 2
(6-3 2 )/16
1/8
3 2 /16
Distribusi X tidak simetri. Mengapa? Tunjukkan bahwa µ3 = 0. 28. X adalah variabel random kontinu nonnegatif dengan CDF F(x) dan E(X) < ∞ . Gunakan integration by parts untuk menunjukkan bahwa ∞
E ( X ) = ∫ [1 − F( X ) ]dx o
Catatan: Untuk sebarang variabel kontinu dengan E (| X |) < ∞ , kembangkan ke 41
E(X) = − ∫
0
−∞
∞
F( X )dx + ∫ [1 − F( X ) ]dx o
29. Gunakan Chebychev’s inequality untuk memperoleh batas bawah pada P[5/8 < X < 7/8] dalam soal 24. a. Apakah batas ini berguna? b. kerjakan kembali (a) untuk peluang P[1/2
b. 1/X (asumsikan µ ≠ 0). c. ln (X) (asumsikan X>0).
31. Pandang bahwa X adalah variabel random dengan MGF M x (t ) = (1 8 )e t + (1 4 )e 2 t + (5 8 )e 5 t .
a. bagaimana distribusi dari X? b. bagaimana P[X=2]?
32. Asumsikan bahwa X adalah variabel random kontinu dengan pdf f(x) = exp[-(x+2)] jika -2
42
34. Diketahui f(x) = , x= 1, 2, 3, 4, 5 dan fungsi bernilai nol untuk x yang lain. Tentukan : a. F(x) b. P(X=4) c. P(2
35. Diketahui
0 F(x)=01 1
1 0 0 2 1 2 1& 131
a. Gambarkan grafik CDF nya b. Tentukan f(x) c. Gambarkan f(x) d. Tentukan E(x) dan Var(x)
36. Diketahui
f(x) =
tentukan :
, /) - ,
021 1
) .
- ) , 0,
,
1 2 1 2& 22123
untuk x yang lain
a. Sket f(x) b. F(x)
c. P(1 x 2,5
43
BAB 3 DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM KHUSUS 1. DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM DISKRIT KHUSUS
a. Distribusi Bernoulli Variabel randomX mempunyai distribusi Bernoulli jika (untuk suatu p, 0≤ p ≤ 1) p x (1 − p ) 1− x , bila x = 0,1 0, untuk x yang lainnya
P[ X = x ] = f(x) =
[Tidak diperlukan tabel karena kesederhanaan f(x). Ingat bahwa p0 = 1]. Untuk membuktikan bahwa ini suatu fungsi peluang (pdf), kita hanya perlu menunjukkan bahwa f(xi) ≥ 0(i = 1, 2, . . . .) dan
∞
∑f (x ) = 1 . Dalam distribusi i
i=1
Bernoulli ini jelas, bahwa variabel randomBernoulli hanya dapat mencapai dua nilai (0 dan 1) dengan peluang masing – masing 1 – p dan p, dan bahwa 1 – p + p = 1. (Dalam kasus yang lebih rumit, yang tak Bernoulli, keadaannya sering tidak jelas, dan buktinya akan sulit.) Perhatikan bahwa nilai 0 dan 1 biasanya dikaitkan dengan ‘gagal’ dan ‘berhasil’ dalam suatu arti. Contoh 1: Lampu hijau pada suatu persimpangan nyala selama 15 detik, yang kuning 5 detik, dan yang merah 55 detik. Misalkan bahwa keadaan lalu lintas mengakibatkan variasi acak dalam waktu tiba di persimpangan, sehingga ‘mendapat lampu hijau’ merupakan peristiwa yang berpeluang (disebut ‘berhasil’) dan kita tiba pada setiap saat dalam siklus lampu dengan peluang yang sama, cari distribusi X, banyaknya yang berhasil dalam suatu usaha perjalanan ke persimpangan itu. Misalkan H menyataka hijau, K menyatakan kuning, M menyatakan merah; siklus lampu yang lengkap adalah H, K, M. Total panjang siklus T = 15 + 5 + 55 = 75 detik, 44
dan peluang kita tiba pada bagian T yang H ialah 15/75 = 0,2 (karena kita tiba secara acak dalam T dan 15/75 dari T adalah H). Jadi, P[X = 0] = 0,8, P[X = 1] = 0,2;sehingga X Bernoulli dengan p = 0,2.(Kita selalu dapat menafsirkan sesuatu variabel random Bernoulli Y sebagai banyaknya yang berhasil dalam suatu usaha dari suatu percobaan dengan peluang berhasil p) Variabel random yang berdistribusi Bernoulli dinotasikan sebagai berikut : X~ Ber(p) Catatan : E(X)=p
dan Var(X)=p(1-p)=pq ,
jika p+q=1
Bukti : E(X)= ∑ x f(x) = 1.p + 0.q = p [bukti yang lain untuk latihan]
b. Distribusi Binomial Suatu variabel random X mempunyai distribusi binomial jika (untuk suatu bilangan bulat positif n, dan suatu p dengan 0≤ p ≤ 1).
/ n p x (1 − p) n −x , x = 0, 1,L , n x & P[X = x] = f(x) = . untuk x yanglainnya , 0,
Sering, suatu variabel random binomial (yakni, suatu variabel random dengan distribusi binomial) muncul dari serangkaian usaha Bernoulli dengan sifat bahwa (a) Usaha merupakan peristiwa bebas.
(b) Tiap usaha menghasilkan tepat salah satu dari dua hasil yang selalu sama dan terpisah (saling meniadakan), biasanya disebut berhasil (B) dan gagal (G). (c) Peluang hasil B tidak berubah dari suatu usaha ke usaha lainnya (dan karena itu peluang hasil G juga tetap sama dari suatu usaha ke yang lainnya). Jadi, pada setiap usaha P(B) = p; P(G) = 1 – p dalam persoalan ini. Bila kita definisikan suatu variabel random X = 0 bila G terjadi dan X = 1 bila B terjadi, maka p x (1 − p ) 1− x
f(x) =
0
, bila x = 0,1 , untuk yang lainnya
Adalah fungsi peluang suatu variabel random Bernoulli. 45
Suatu variabel random binomial dapat dipandang sebagai jumlah n variabel random Bernoulli, yakni, sebagai banyaknya yang berhasil dalam n usaha Bernoulli. Dalam n usaha Bernoulli, misalkan Xivariabel random
1, bila usaha ke − i B(benar ) Xi = 0, bila usaha ke − i G (gagal) dan definisikan X = X1 + X2 + . . . + Xn. Maka X mempunyai kemungkinan nilai 0, 1, 2, . . . ., n dan mempunyai distribusi binomial dengan n = banyaknya usaha) dan p = (peluang B) sepanjang seluruh usaha bebas satu sama lain dengan peluangberhasiltidak berubah. Untuk menunjukkan hal ini, perhatikanbahwa untuk setiapx ∈ {0, 1, 2,. . ., n}, f(x) = P(x yang berhasil dalam nusaha).
n Sekarang x yang berhasil dapat terjadi dalam n usaha dalam ’cara’, x banyaknyakemungkinan rincian (susunan) mendapat B terjadi sebanyak x kali dalam n usaha. Salah satu dari cara ini mempunyai x yang berhasil diikuti oleh n – x yang gagal, dan cara ini mempunyai peluang x suku dan (n – x) suku suku n − x suku 644x7 448 644 7448 P(BB . . . BGG . . .G) = P ( B) P ( B)...P ( B) P (G ) P (G )...P (G )
= p x p x . . .x p(1 – p)(1 – p) . . .(1 – p) = px(1 – p)n – x Karena kebebasan dan peluang berhasil yang tidak berubah. Akan tetapi ‘cara’ yang lain (susunan B sebanyak x dan G sebanyak n – x) mempunyai peluang yang sama (karena kebebasan dan peluang yang berhasil adalah tetap). Peluangnya adalahperkalian p sebanyak x dan (1 – p) sebanyak (n – x), hanya susunannya yang berlainandengan persamaan di atas. Jadi
/ n p x (1 − p) n − x , bila x = 0,1,2,..., n & f(x) = x . untuk yanglainnya , 0,
adalah fungsi peluangvariabel random binomial . Perhatikan bahwa bila X berdistribusi binomial dengan n ( banyaknya usaha) dan p(peluang berhasil) [lambangnya X~ Bin(n,p)] maka Y = n – X juga berdistribusibinomial dengan n (banyaknya usaha) tetapi peluang berhasil 46
(1 – p). Dalam lambangyang baru X~ Bin(n,p)⇒(n – X) ~ Bin(n, 1 – p) Contoh 2 : Distribusi Xadalah banyaknya berhasil dalam 25 usaha yang saling bebas. Dengan peluang berhasil 0.2
25 x 25− x P[X = x ] = (0,2 ) (0,8) , x
x = 0, 1, ...,25;
yakni, X adalah binomial dengan n = 25; p = 0,2.[Umumnya, bila terjadinya suatu peristiwa E berpeluang, banyaknya E yang terjadi dalam n usaha bebas merupakanvariabel random X yang diskret dengan kemungkinan nilai 0, 1, ..., n. Bila peluang terjadinya E darisuatu usaha ke usaha lainnya tidakberubah, yakni suatu nilai p(0 ≤ p ≤ 1) , maka X suatu variabel random binomial.] Bila mengambil sampel dari populasi yang berhingga, distribusi binomial hanya muncul jika pensampelan dikerjakan dengan pengembalian (yang menjadi peluang berhasil tidak berubah dari satu usaha ke usaha lainnya), seperti pada contoh berikut. Contoh 3 : Main dadu. Suatu permainan di pasar malam terdiri atas melantun tiga dadu setangkup. Tiap orang membayar Rp 1000 untuk main, menang Rp 1000 bila tepat satu muncul muka angka 6, Rp 2000 bila tepat dua muncul muka angka 6, dan Rp 3000 bila ketiganya muncul muka angka 6. (selanjutnya pemain menang Rp 0.) Cari fungsi peluang dari variabel random kemenangan bersih pemain. Misalkan Y menyatakan kemenangan bersih. Kemungkinan nilai Y adalah 0-1, 11,2-1, 3-1; yakni, -1, 0, 1, 2, : Misalkan S menyatakan peristiwa 6 muncul pada suatu lantunan satu dadu, dan perhatikan bahwa percobaan itu sepadan dengan pensampelan dengan pengembalian bola tiga kali dari suatu kantong yang berisi 6 bola bernomor 1, 2, 3, 4, 5, 6. Bila X menyatakan jumlah angka 6 yang muncul dalam lantunan ketiga dadu, maka X ~ Bin(3,p) dengan p = P(B) = 1/6, sehingga 3 1 x 5 3 − x , bila x = 0,1, 2,3 f(x) = x 6 6 untuk x yang lainnya 0
untuk mencari fungsi peluang Y perhatikan bahwa Y=X-1. Jadi
47
125 216 75 f Y (0 ) = f X (1) = 216 15 f Y (1) = f X (2 ) = 216 1 f Y (2 ) = f X (3) = 216 f Y (− 1) = f X (0 ) =
Perhatikan bahwa, bila tadinya pensampelan tanpa pengembalian dari suatu kantongyang berisi enam bola bernomor masing-masing 1, 2, 3, 4, 5, 6, maka akan diperoleh f X (0) = 12 , f X (1) = 12 , f X (2) = f X (3) = 0 karena bola nomor 6 tidak terambil (X = 0) ataupun nomor 6 terambil; dalam keadaan yang terakhir, karena pensampelan tanpa pengembalian, maka bola nomor 6 tidak lagi dapat diambil pada pengambilan berikutnya ( jadi X = 1). Dengan demikian kemenangan bersih Y menjadi
f Y (− 1) = 12 , f Y (0) = 12 . Melalui FMGF (X) diperoleh E(X)=np dan Var(X)= np(1-p)=npq jika p+q=1 [buktikan sendiri]
c. Distribusi Hiper Geometrik Suatu variabel random X berdistribusi hipergeometrik jika (untuk suatu bilangan bulat n, a, N dengan 1 ≤ n ≤ N dan 0 ≤ a ≤ N) P[X = x] = f(x)
/ a N − a - x n − x , x = maks (0, n − ( N − a )),...., min (n , a ) & N f(x) = . n untuk x yanglainnya , 0,
Perhatikan bahwa batas untuk x dapat ditulis sebagai Maks (0, n – (N – a)) ≤ x ≤ min (n, a). Keterangan :
48
Misal dalam suatu kotak terdiri dari 10 komponen baik dan 5 komponen rusak. Jika dari kotak tersebut diambil tiga komponen secara bersama sama maka peluang terambilnya 2 komponen baik dan 1 komponen rusak adalah sebagai berikut : N = 15; n = 3; a = 10;x = 2
10 15 − 10 2 3 − 2 f(x)= 15 3
Contoh berikut memberikan bukti yang tidak langsung, dari segi peluang.
Contoh 4: Suatu populasi dari N benda (N≥ 1) mengandung sebanyak a dari jenis A (0≤a≤ N). Suatu sampel acak berukuran n(1 ≤ n ≤N) diambil tanpa pengembalian. Misalkan X banyaknya jenis A dalam sampel, maka X≥0 dan X ≥ n –(N – a) [karena banyaknya jenis A dalam sampel tidak mungkin negatif, dan karena n – (N – a) merupakan selisih antara ukuran sampel dengan benda yang bukan sejenis A ]; jadi, X≥maks (0, n(N –a)). Juga X ≤ n (tidak mungkin melebihi ukuran sampel) dan x ≤ a (tidak mungkin melebihi banyaknya anggota jenis A); jadi, X≤min(n, a).dan
N a N − a banyaknya pengambilan terdapat sebanyak kemungkinan sampel, n x n − x yang mengandung jenis a sebanyak x. Jadi, X suatu variabel random hipergeometrik dengan parameter n, a, N. Model Hipergeometrik digunakan di berbagai bidang, seperti pengendalianmutu, pensampelan penerimaan (acceptance sampling) dan ekologi (pensampelanbinatang liar), seperti contoh berikut
Contoh 5 :
49
Pensampelan penerimaan dalam pengendalian mutu Sejumlah besar bahan tiba di suatu pabrik. Untuk menentukan proporsi bahan yang cacat, yang sering menjadi permasalahan, kita dapat mensampel seluruh pengiriman dan mengujinya satu per satu. Akan tetapi, proses ini sering terlalu mahal.(Juga, dalam beberapa hal pengujian justru merusak, misalnya, bahan yang diuji menjadi rusak, sebagai contoh dalam pengujian umur baterai digunakan terus – menerus sampai habis, dan menguji seluruh barang justru merusak seluruhnya sehingga yang baik akan rusak seperti cacat.) Jadi, biasanya penerima barang mengambil suatu sampel acak (kecil) (tanpa pengembalian) dari seluruh populasi barang kiriman. Seluruh pengiriman diterima bila dalam sampel tersebut tidak lebih dari sejumlah tertentu barang yang cacat. Sebagai contoh, misalkan ada 200 barang dalam suatu pengiriman, dan pembuatnya menyatakan tidak lebih dari 10% cacat. Misalkan sesudah penerimaan kiriman kita mengambil sampel acak barang sebesar 10 dari padanya tanpa pengembalian dan menganggap seluruh kiriman baik bila yang cacat daripadanya tidak lebih dari 2. Berapa peluang kita menerima (menganggapnya baik) seluruh kiriman? Sudah barang tentu, peluangnya tergantung pada persentase yang cacat dalam kiriman, jadi misalkan A(p) peluang menerima seluruhnya dengan jumlah yang cacat 100p%. Bila 0% yang cacat, maka peluang menerima seluruh kiriman 1,0000, karena hanya 0 yang cacat dalam sampel berukuran 10. Jadi 0 atau 1 atau 2 yang cacat dalam sampel = 1,0000. 10 dari kiriman dengan 0% yang cacat
A(0,00) = P
Bila yang cacat 5% dari seluruhnya, maka 10 yang cacat dan 190 yang baik. Banyaknya X yang cacat dalam sampel berukuran 10 jadinya berdistribusi hipergeometrik dengan fungsi peluang
10 190 x 10 − x f(x) = 200 10 Sehingga A(0,05) = P(menerima pengiriman dengan 5% yang cacat) = P(X ≤ 2) = f(0) + f(1) + f(2)
50
10 190 0 10 = + 200 10
10 190 1 9 + 200 10
10 190 2 8 200 10
= 0,59145 + 0,32677 + 0,072715 = 0,990935 Bila 10% yang cacat, maka 20 yang cacat dan 180 yang tidak cacat, jadi
20 180 x 10 − x f(x) = 200 10 dan A(0,10) = P(Menerima pengiriman dengan 10% yang cacat) = f(0) + f(1) + f(2)
20 180 0 10 = + 200 10
20 180 1 9 + 200 10
20 180 2 8 200 10
= 0,33977 + 0,39739 + 0,19754 = 0,9347 Jadi,
peluang
menerima
pengiriman
yang
10%
cacat
lebih
kecil
dari
Peluangmenerima pengiriman 5% yang cacat. Sebetulnya, hasil yang lebih kuat dapat diberikan: peluang menerima pengiriman (karena dianggap baik) mengecil bilapersentase yang cacat membesar, dan besarnya antara 1,0000 dan 0,9347 bila tidak lebih dari 10% yang cacat. Jika
/ - x n − x , x = maks (0, n − ( N − a )),...., min (n, a ) & N f(x) = . n - untuk yang lainnya , 0, a
N−a
na maka E ( X ) = dan Var (X) = N
a a n ( )(1 − )( N − n ) N N N −1
catatan : 51
untuk N → ∞ distribusi hipergeometrik akan menjadi distribusi Binomial.
d. Distribusi Poisson Suatu variabel random X mempunyai distribusi Poisson bila (untuk suatuµ> 0, disebut parameterdistribusi)
e −µ µ x , x = 0,1,2,.... p[X = x] = f(x) = x! 0, untuk yang lainnya Suatu variabel random X mempunyai distribusi Poisson dinotasikan X~POI( µ )
Contoh 6: Suatu printer berkecepatan tinggi membuat kesalahan secara acak pada kertas cetak, rata-rata 2 kesalahan per halaman. Berapa peluang bahwa dari 10 halaman yang dihasilkan printer ini paling sedikit 7 halaman yang tidak mempunyai kerusakan? (anggap kesalahan terjadi secara bebas dari halaman ke halaman). Misalkan X menyatakan banyaknya kesalahan per halaman, maka f(x) =
e −2 2 x x!
x=0,1,2,3,...
Peluang suatu halaman tidak terjadi kesalahan adalah f(0) =
e −2 20 = e −2 = 0,1353353 0!
Jika y menyatakan banyaknya halaman tanpa kesalahan, maka y dapat dinyatakan sebagai variabel random Binomial dengan n=10 dan p=e-2 .
10 Jadi fy(y)= (e −2 ) y (1 − e − 2 )10− y y
y=0,1,2,3,...,10
Sehingga untuk P(y≥7)=fy(7) + fy(8) + fy(9) + fy(10) = 0,00007 Melalui MGF (X) diperoleh E(X)= µ dan var(X)= µ Catatan : Distribusi binomial, jika n → ∞ maka akan menjadi distribusiPoisson
e. Distribusi Geometri Suatu variabel random X berdistribusi geometrik bila (untuk suatu p, 0 ≤ p < 1) 52
(1 − p )x −1 p, x = 1, 2, 3 ... P[X = x ] = f (x ) = 0, untuk yang lainnya.
[Tidak diperlukan tabel karena kesederhanaan f(x).] Misalkan peristiwa E mempunyai peluangsukses p yang tidak berubah pada setiap usaha. Usaha-usaha tersebutsaling bebas satu sama lain. Misalkan X menyatakan banyaknya usaha yang diperlukan sampai E sukses. Jadi, X dikatakan berdistribusi geometrik. Pdf geometrik dinyatakan:
(1 − p )x −1 p, x = 1, 2, 3 ... f (x ) = 0, untuk yang lainnya. Sehingga E(X) = 1/p dan Var(X)= (1-p)/p2 [Bukti untuk latihan]
f. Distribusi Negatif Binomial Suatu variabel random X berdistribusi negatif binomial bila (untuk suatu bilangan bulat r≥ 1, dan suatu p dengan 0 ≤ p ≤ 1
r x − 1 x − r q , x = 0, 1, 2,... p P[X = x ] = f (x ) = r −1 0, untuk yang lainnya. (Di sini telah digunakan lambang baku q = 1 – p). Suatu peristiwa tertentu terjadi (berhasil) dengan peluang p (jadi, gagal terjadi dengan peluang q = 1 – p), dan usaha yang dikerjakan bebas satu sama lain. Misalkan X banyaknya usaha yang diperlukan dikurangi r untuk mendapatkan r berhasil; jadi X = x berarti kita memerlukan x + r usaha (x = 0, 1, 2, ...), dan X menyatakan banyaknya yang gagal dalam usaha untuk memperoleh r yang berhasil. Distribusi geometrik ialah kasus khusus dengan r = 1, dengan satu ditambahkan ke X (yakni, dalam kasus geometrik kita memandang banyaknya usaha yang diperlukan untuk memperoleh keberhasilan yang pertama, sedangkan dalam kasus negatifbinomial kita memandang banyaknya yang gagal ditemukan dalam usaha memperoleh r pertama yang berhasil). catatan : 53
r p
E(X)= dan Var(X)=
rq p2
[bukti untuk latihan]
g. Distribusi Uniform (seragam) Diskrit Berbagai masalah penting yang melibatkan kasus peluang klasikal, dapat dibuat model variabel random diskrit yang mengasumsikan semua nilainya berpeluang sama. Variabel random diskrit X mempunyai distribusi uniform (seragam) diskrit pada bilangan bulat 1,2,3,...N dan mempunyai pdf yang berbentuk f(x)=
1 N
x= 1,2,3,...N
Notasi khusus untuk kasus ini X~DU(N)
( N − 1) N +1 E(X)= dan Var(X)= 12 2 2
Bukti : E(X)= ∑ xf (x) = f(x) ∑ x =
1 (1+2+3+...+N) N
=
1 N (1+N) N 2
=
N +1 2
(Selanjutnya Var(X) dicari sendiri untuk latihan)
2. DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM KONTINU KHUSUS a. Distribusi Uniform(Seragam) Kontinu Pandang bahwa variabelrandom kontinu X dapat mengasumsikan nilai hanya dalam interval terbatas, katakan interval buka (a, b), dan pandang bahwa pdf adalah konstan, katakan f(x) = c pada interval tersebut. Berimplikasi c = 1/(b – a), karena 54
1 = ∫ c dx = c(b − a ) . Jika didefinisikan f(x) = 0 di luar interval, maka sifat tersebut b
a
juga dipenuhi.Distribusi khusus ini dikenal sebagai distribusi uniform pada interval (a, b). pdf nya adalah f ( x ; a , b) =
1 b−a
a
dan fungsi bernilai nol untuk x yang lain. Notasi yang melambangkan bahwa X mempunyai pdf dari bentuk tersebut adalah X~UNIF(a, b) Distribusi uniform kontinu ini merupakan pasangan dari distribusi uniform diskrit.Ini memberikan model peluang untuk memilih sebuah titik secara random pada interval (a,b).Contoh yang lebih khusus adalah waktu menunggu bus secara random. Sebagaimana yang dicatat di awal, tidak masalah apakah akan melibatkan atau tidak, titik batas a=0 dan b=5 Barangkali aplikasi yang lebih penting terjadi dalam kasus simulasi komputer. Yang terkait dalam pembentukan bilangan random. Pembentuk bilangan random adalah fungsi dalam bahasa komputer atau dalam suatu kasus program subrutinyang didesain untuk menghasilkan bilangan-bilangan yang tertentu jika mereka adalah data dari UNIF(0,1) CDF dari X ~ UNIF(a, b) mempunyai bentuk
0 x − a F(x; a , b ) = b − a 1
x≤a a
Bentuk umum grafik f(x; a, b) dan F(x; a, b) dapat dilihat pada gambar, dimana secara umum titik batas menggunakan a dan b. Jika X ~ UNIF(a, b), maka 1 x dx b−a b2 − a 2 = 2(b − a ) ( b + a )(b − a ) = 2( b − a ) a+b = 2
E (X ) =
∫
b
a
55
Var(X)=
(b − a) 2 (buktikansendiri) 12
b. Distribusi Gamma Distribusi kontinu yang sering terjadi dalam aplikasi adalah distribusi Gamma. Nama tersebut terkait dengan fungsi yang disebut fungsi Gamma. Definisi3.1 Fungsi gamma, dinotasikan dengan Γ(k) untuk semua κ> 0, dan didefinisikan ∞
dengan Γ(κ ) = ∫ t κ −1e − t dt 0
∞
Contoh, jika κ=1, maka Γ(1) = ∫ e − t dt = 1 . Fungsi gamma mempunyai beberapa 0
sifat sebagaimana yang dinyatakan dalam teorema berikut: Teoremafungsi gamma memenuhi sifat-sifat berikut: Γ(κ) = (κ −1)Γ(κ −1) κ > 1 Γ(n) = (n −1)! n = 1, 2, ...
1 Γ = π 2 Variabel random kontinu X dikatakan berdistribusi gamma dengan parameter κ> 0 dan θ> 0 jika mempunyai pdf yang berbentuk
f (x; θ, κ) =
1 x κ−1e −x / θ θ Γ(κ) κ
x>0
dan fungsi bernilai nol untuk sebaliknya. X~GAM(θ,κ) CDF dari X~GAM(θ,κ) adalah
F(x; θ, κ) = ∫
x
0
1 t x −1e −x / θ dt θ Γ(κ) κ
Teorema3.1 jika X~GAM(θ,n), dimana n adalah bulat positif, maka CDF dapat ditulis 56
( x / θ) i − x / θ e i =0 i! ekspektasinya diperoleh sebagai berikut: n −1
F( x; θ, n ) = 1 − ∑
∞
E(X) = ∫ x 0
1 x K−1e −x / θ dx θ Γ(κ) κ
=
∞ 1 x (1+κ)−1e −x / θ dx κ ∫ 0 θ Γ(κ)
=
1 θ t + κ Γ(1 + κ) ∞ x (1+ κ )−1e − x / θ dx ∫0 t + κ κ θ Γ ( κ) θ Γ(1 + κ)
=
θ t + κ Γ(1 + κ) θ κ Γ ( κ)
=θ
κΓ(κ) Γ(κ)
= κθ Dengan cara yang sama, E(X2) = θ2κ(1+κ), dan diperoleh Var(X) = θ2κ(1+κ) – (κθ)2 = κθ2
c.
Distribusi Exponensial Variabel random kontinu X berdistribusi exponential dengan parameter θ>0 jika mempunyai pdf yang berbentuk f(x;θ)=
1 −x / θ e θ
x>0
dan fungsi bernilai nol untuk sebaliknya. CDF dari X adalah F(x;θ)= 1- e − x / θ x>0 Notasi yang menunjukkan bahwa X mempunyai pdf di atas adalah X~ EXP (θ) dan E(X)
=θ Var(X) = θ2 (Buktikan sendiri untuk latihan)
d. Distribusi Weibull 57
Variabel random kontinu X dikatakan mempunyai distribusi Weibull dengan parameter β>0 dan θ>0 jika mempunyai pdf yang bebentuk f(x,θ,β)=
β β −1 −( x / θ ) 2 x e θβ
x>0
dan nol untuk x ≤0. Yang dinotasikan dengan X~WEI(θ,β) CDF diperoleh dengan mengintegralkan pdf, dan diperoleh F(x;θ,β) = 1-e
−( x / θ)β
x>0
Dengan proses integral diperoleh ,
1 E(X)= θΓ 1 + β
2
1
2 Var(X)=θ2 Γ 1 + β − Γ 1 + β
(Buktikan sendiri untuk latihan)
e. Distribusi Pareto Variabel random X dikatakan berdistribusi Pareto dengan parameter θ>0 dan κ>0 jika mempunyai bentuk pdf f(x;θ,κ) =
x κ 1 + θ θ
− ( κ +1)
x>0
yang dinotasikan dengan X~ PAR(θ,κ) CDF distribusi tersebut berbentuk x F(x;θ,κ) = 1- 1 + θ
E(X) =
;
κ
−κ
x>0 θ< κ
dan Var(X) = κ)κ<
f. Distribusi Normal Distribusi Normal pertama kali dikenalkan oleh Abraham de Moivre pada tahun 1733.Distribusi tersebut merupakan aproksimasi untuk distribusi variabel random Binomial. Distribusi ini merupakan distribusi yang sangat penting dalam dunia 58
statistika dan peluang.Variabel random X yang berdistribusi Normal dengan parameter µ dan σ2 mempunyai pdf f(x;µ,σ) =
1 x − µ 2 exp− σ 2π 2 σ 1
- ∞ 0
Ini dinotasikan dengan X~ N(µ,σ2) Jika disubstitusikan ke dalam variabel baku z =
x−µ akan diperoleh Normal Baku σ
yang mempunyai pdf
φ(x) =
1 2π
exp(− 12 x 2 )
yang dinotasikan dengan Z~N(0,1)
59
SOAL-SOAL LATIHAN BAB 3 1.
Suatu kantor mempunyai 10 printers. Masing-masing printer membutuhkan ribbon baru hampir setiap tujuh pekan. Jika stok mendapatkan awal pekan tertentu hanya ada 5 ribbon, berapa peluang bahwa persediaan akan habis dalam pekan itu. Jwb: 0,008
2.
Dalam 10 soal tes tipe B-S (a) Berapa peluang diperolehnya semua jawaban benar dengan cara menebak? (b) Berapa peluang diperolehnya delapan jawaban benar dengan cara menebak? Jwb.: a. 0,000977
3.
b. 0,0439
Seorang pemain basket melakukan shootsebanyak 10 shotdan peluang sukses masing-masing shot 0.5 (a) Berapa peluang sukses 8 shot? (b) Berapa peluang sukses 8 shot jika peluang sukses masing-masing shot 0,6? (c) Berapa nilai ekspektasi dan variansi dari banyaknya shot sukses jika p=0,5? Jwb.: a. 0,0439
4.
b. 0,1209
c.
Empat mesin pesawat dapat terbang jika sekurang-kurangnya dua mesin bekerja. (a) Jika mesin-mesin bekerja secara independen dan masing-masing mesin mempunyai kegagalan (malfunctions) dengan peluang q, Berapa peluang bahwa pesawat itu akan terbang selamat? (b) Pesawat dengan dua mesin dapat terbang jika sekurang kurangnya satu mesin bekerja. Jika sebuah mesin mempunyai kegagalan dengan peluang q, berapa peluang bahwa pesawat akan terbang selamat? (c) Pesawat manakah yang paling selamat? Jwb.: a. 1-4q3+3q4
b. 1-q2
c. Dua mesin lebih selamat jika q> 1/3; empat mesin lebih selamat jika q<1/3 dan keselamatan yang sama jika q=1/3. 60
5.
Jika peluang menang dalam pacuan adalah 0,2 dan jika X adalah banyaknya menang dalam 20 pacuan, berapakah: (a) P[X = 4] (b) P[X ≤ 4] (c) E(X) dan Var (X) Jwb.: a. 0,2182
b. 0,6292 c. 4 dan 3,2
6.
Jika X~ BIN (n, p), tentukan E(X).
7.
Sebuah toples berisi 30 jelly hijau and 20 jelly ungu. Dipilih 10 jelly secara random dari toples tersebut. (b) Tentukan peluang diperolehnya tepat lima jelly ungu jika jelly tersebut dipilih dengan pengembalian. (c) Tentukan peluang diperolehnya tepat lima jelly ungu jika jelly tersebut dipilih dengan tanpa pengembalian. Jwb: a. 0,2007
8.
b. 0,2151
Sebuah kantor mempunyai 10 karyawan, 3 laki-laki dan 7 wanita. Manajer memilih 4 karyawan secara random untuk mengikuti short course pada perbaikan kualitas. (a) Berapa peluang bahwa banyaknya wanita dan laki-laki yang dipilih sama? (b) Berapa peluang bahwa lebih banyak wanita yang dipilih? Jwb: a. 0,3
9.
b. 0,667
Lima kartu diambil tanpa pengembalian dari tumpukan yang berisi 52 kartu. Tentukan peluang masing-masing peristiwa berikut: (a) Tepat dua aces. (b) Tepat dua kings. (c) Kurang dari dua aces. (d) Sekurang-kurangnya dua aces. Jwb : a. 0,03993
b. 0,03993
c. 0,9583
d. 0,0417
10. Suatu kiriman 50 alat mesin terdiri 42 yang baik dan 8 yang rusak. Seorang inspektur memilih 5 alat secara random tanpa pengembalian. (a) Berapa peluang tepat 3 yang baik? (b) Berapa peluang bahwa paling banyak 3 yang baik? Jwb: a. 0,1517
b. 0,1759
61
11. Seseorang membayar Rp 1000,- untuk sekali lemparan boneka yang jika menang akan mendapatkan Rp 3000,- .Peluang sukses masing-masing lemparan adalah 0,1. (a) Berapa peluang bahwa dua lemparan bisa menang.? (b) Berapa peluang bahwa x lemparan akan diperoleh menang?. (c) Berapa peluang bahwa lebih dari 3 kali lemparan akan diperoleh menang?. (d) Berapa ekspektasibanyaknya lemparan yang dibutuhkan untuk menang? Jwb: a. 0,0465
b. 0,0465 c. 0,9494
d. 0,0506
12. Tiga orang bersama sama melemparkan (toss) koin untuk melihat siapakah yang akan membayar kopi. Jika semua ketiganya muncul muka yang sama, mereka melempar lagi. Jika ketiganya tidak sama, maka orang yang ganjil (yang beda) membayar kopi. (a) Berapa peluang bahwa mereka akan butuh untuk melakukannya lebih dari sekali? (b) Berapa peluang pelemparan paling banyak dua kali? Jwb: a. ¼
b. 15/16
13. Seperti pada soal no.11, seseorang mempunyai tiga anak, dan dia harus menang boneka untuk masing-masing anak. (a)
Berapa peluang bahwa 10 lemparan akan diperlukan untuk menang tiga boneka?
(b)
Berapa peluang bahwa sekurang kurangnya 4 lemparan yang akan dibutuhkan untuk menang tiga boneka?
(c)
Berapa ekspektasi banyaknya lemparan yang dibutuhkan untuk menang tiga boneka? Jwb: a. 0,01722
b. 0,999
c. 30
14. Pandang tujuh seri pertandingan dunia antara team A dan B, yang mana untuk masing-masing pertandingan, P(A menang) = 0,6. (a)
Tentukan P(A menang series dalam x pertandingan).
(b)
Anda memegang tiket untuk pertandingan ketujuh. Berapa peluang bahwa anda akan menggunakannya?
(c)
Jika P(A menang pertandingan) = p, berapa nilai p yang memaksimalkan kesempatanmu dalam (b)?
(d)
Berapa kemungkinan paling banyak pertandingan yang dimainkan dalam seri untuk p = 0,6? 62
Jwb: a. C(x-1,3)(0,6)4(0,4)x-4 ;x=4,5,6,7
b. 0,2765 c. p= ½ d. x=6
15. Peluang sukses peluru meluncur adalah 0.9. Uji luncur dikendalikan sampai tiga luncuran sukses. Berapa peluang masing-masing berikut: (a)
Tepat enam luncuran yangakan dibutuhkan
(b)
Kurang dari enam luncuran yang akan dibutuhkan.
(c)
Sekurang-kurangnya empat luncuran yang akan dibutuhkan. Jwb: a. 0,00729
b. 0,99144
c. 0,271
16. Diketahui X~GEO(p) (a )
Jelaskan untuk mendapatkan MGF dari X
(b ) Tentukan FMGF dari X (c )
Tentukan E(X)
(d ) Tentukan E[X(X-1)] (e )
Tentukan Var(X)
17. Diketahui X~NB(r,p) (a)
Jelaskan untuk mendapatkan MGF dari X
(b)
tentukan E(X)
(c)
tentukan Var(X)
18. Pandang dadu sisi enam beraturan digelindingkan berulang-ulang, dan hasilnya 1, 2, 3, 4, 5 atau 6yang dicatat pada setiap gelindingan. . (a)
Berapa peluang bahwa muncul muka enam yang ketiga terjadi pada penggelindingan yang ketujuh.
(b)
Berapa peluang bahwa banyaknya penggelindingan sampai muncul muka enam yang pertama paling banyak 10? Jwb: a. 0,0335
b. 0,8385
19. Banyaknya telpon (call) yang datang di switchboard dalam satu jam adalah berdistribusi Poisson dengan meanµ = 10. Tentukan peluang peristiwa dalam satu jam untuk masing-masing peristiwa berikut: (a)
Tepat tujuh calls yang datang
(b)
Paling banyak tujuh calls yang datang.
(c)
Antara tiga dan tujuh calls (inclusive) yang datang.
Jwb: a. 0,090
b. 0,220
c. 0,217 63
20. Jika X berdistribusi Poisson dan jika P[X = 0] = 0.2, tentukan P[X > 4] Jwb: 0,0242 21. Dalam perakitan komponen eleltronik tertentu, kerusakan komponen terjadi secara independen dengan peluang 0.01. Diperoleh perakitan 500 komponen dalam setiap jam, (a) Untuk berapa jam, bahwa peluang banyaknya komponen yang rusak paling banyak dua? (b) Gunakan approximation Poisson untuk (a). Jwb: a. 0,1234
b. 0,1247
22. Peluang bahwa tipe komponen elektronik tertentu akan gagal dalam jam operasi pertama adalah 0,005. Jika 400 komponen dites secara independen, tentukan dengan approximation Poisson, peluang bahwa paling banyak dua komponen akan gagal dalam jam pertama. Jwb: 0,677 23. Pandang bahwa 3% item yang diproduksi oleh suatu perusahaan adalah rusak. Seorang inspektur memilih 100 item secara random dari perusahaan tersebut. Approximate peluang bahwa tepat lima item yang rusak terpilih. Jwb: 0,1008 24. Banyaknya kendaraan yang sampai pada perempatan tertentu dalam interval waktu [0,t] adalah proses Poisson X(t) dengan mean E[X(t)] = 3t, dimana satuan waktu adalah menit. (a) Tentukan peluang bahwa sekurang kurangnya dua kendaraan akan sampai dalam waktu satu menit. (b) Didefinisikan peristiwaA = sekurang kurangnya dua kendaraan sampai dalam menit pertama dan B = paling banyak dua kendaraan sampai dalam menit kedua. Tentukan peluang bahwa keduanya A dan B terjadi. Jwb: a. 0,8009
b. 0,1493
25. Diketahui X~POI(µ) (a) Tentukan Gx(t) (b) Gunakan Gx(t) untuk menentukan E(X) (c) Gunakan Gx(t) untuk menentukan E(X(X-1)) 26. Pandang X~POI(10) 64
(a) Tentukan P[5
b. 19/8000 c. 21/2 dan 133/4
28. Diketahui X~DU(N). Tentukan MGF dari X (ingatgunakan s+s2+…+sN=
s(1 − s N ) 1− s
untuk s ≠ 1.
29. Diketahui X~UNIF(a,b). Tentukan MGF dari X.
30. Kekuatan logam tertentu adalah variabel random X. Asumsikan bahwa X~UNIF(50,75) (a)
Sajikan CDF dari X
(b)
Tentukan P[60
(c)
Tentukan E(X)
(d)
Tentukan Var(X)
31. Waktu (dlm menit) sampai pelanggan ketiga pada hari tersebut masuk toko adalah variabel random X~GAM(1,3). Jika toko buka pada pukul 8 pagi, tentukan peluang bahwa : (a)
Pelanggan ketiga datang antara 8:05 dan 8:10.
(b)
Pelanggan ketiga datang setelah 8:10.
(c)
Gambar grafik pdf dari X.
65
32. Asumsikan bahwa waktu (dlm jam ) sampai transistor gagal adalah variabel random X~EXP(100) (a)
Tentukan peluang bahwa X>15
(b)
Tentukan peluang bahwa X>110
(c)
Setelah diobservasi 95 jam bahwa transistor tersebut masih bekerja. Tentukan peluang bersyarat bahwa X>110. Bagaimana membandingkan ini terhadap (a)? jelaskan hasil tersebut.
(d)
Berapakah var(X)
33. Pandang X~PAR(θ,κ) (a)
Dapatkan E(X); κ>1
(b)
Dapatkan E(X2);κ>2
34. Jika X~PAR(100,3), tentukan E(X) dan Var(X).
35. Jarak (dlm meter) bahwa bom akan menghancurkan dari daerah pusat ledakan adalah variabel random X~WEI(10,2) (a)
Tentukan peluang bahwa bom akan menghancurkan sekurang kurangnya 20 meter dari pusat ledakan.
(b)
Gambar grafik pdf dari X
(c)
Tentukan E(X) dan Var(X)
66
Catatan tambahan: MENENTUKAN EKSPEKTASI DAN VARIANSI SUATU DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM DENGAN CARA BIASA
A. Distribusi Bernoulli Bentuk pdf-nya : p x (1 − p ) 1 − x 0
P [ X = x ] = f(x) =
, bila x = 0, 1 , untuk x yang lainnya
1. Mencari ekspektasi E(X) = ∑ xf ( x) x
1
= ∑ x p x (1 − p)1 − x x=0
= 0. p0 (1 – p)1 – 0 + 1.p1 (1 – p)1 – 1 = 0 + 1.p.1 =p 2. mencari variansi E(X2) =
1
∑x
2
p x (1 − p)1 − x
x =0
= 02.p0 (1 – p)1 – 0 + 12.p1 (1 – p)1 – 1 = 0 + 1.p.1 =p Var(X) = E(X2) – (E(X))2 = p – p2 = p (1 – p) = pq
B. Distribusi Binomial Bentuk pdf-nya : 67
n x n− x , x = 0,1,...... , n p (1 − p ) P [ X = x ] = f(x) = x 0 , untuk x yang lainnya
1. Mencari ekspektasi n n E(X) = ∑ x p x (1 − p ) n − x x =0 x
n n − 1 x n − x p q = ∑ n x = 1 x − 1 n n − 1 x ( n − 1) − ( x − 1) p q = n ∑ x = 1 x − 1
Misal x – 1 = k n −1 n − 1 k ( n − 1) − k p q = np ∑ k =0 k
= np ( p + q) n −1 = np (1) n −1 = np 2. Mencari variansi n n E(X2) = ∑ x 2 p x (1 − p ) n − x x=0 x n n = ∑ [x ( x − 1) + x ] p x (1 − p ) n − x x=0 x n n = ∑ x( x − 1) p x (1 − p ) n − x + E ( X ) x=2 x n n − 2 x n − x p q = n ( n − 1) ∑ + E( X ) x = 2 x − 2
Misal x – 2 = k n − 2 k ( n − 2) − k p q + E( X ) k =0 k n−2
= n( n − 1) p 2
∑
= n(n −1) p 2 ( p + q) n − 2 + np = n 2 p 2 + npq Var(X) = E(X2) – (E(X))2 68
= n2p2 + npq – n2p2 = npq
C. Distribusi Hipergeometrik Bentuk pdf-nya : a N − a x n − x , x = maks (0, n - (N - a), ...., min(n - a) P[X=x]=f(x) = N n , untuk x yang lainnya 0
1. Mencari ekspektasi n
E(X) = ∑ x f ( x, N , a, n) x=0
a N − a n x n − x E(X) = ∑ x N x=0 n a a − 1 N − a x . n x x − 1 n − x =∑ N N − 1 x =1 n n − 1 a − 1 N − a a x − 1 n − x = n. ∑ N x =1 N − 1 n −1 n
Misal : x – 1 = y x=y+1
→ →
x=1, y=0 x=n, y=n–1
a − 1 ( N − 1) − (a − 1) a y (n − 1) − y = n. ∑ N y=0 N − 1 n −1 n −1
= n.
a N
69
2. Mencari variansi n
E [x(x – 1)] = ∑ x ( x − 1) f ( x, N , a, n) x=0
a N − a xn − x = ∑ x ( x − 1) N x=0 n n
x ( x − 1)
n
=∑
x=2
a (a − 1) a − 2 N − a x ( x − 1) x − 2 n − a N ( N − 1) N − 2 n (n − 1) n − 2
a − 2 N − a a(a − 1) n x − 2 n − x = n(n − 1) ∑ N − 2 N ( N − 1) x = 2 n − 2 Misal : x – 2 = y x=y+2
→ →
x=2, y=0 x=n, y=n–2
sehingga
a − 2 ( N − 2) − (a − 2) a (a − 1) n − 2 y (n − 2) − y = n (n − 1) ∑ N ( N − 1) y = 0 N − 2 n − 2
= n (n − 1)
a (a − 1) N ( N −1)
Var(X) = E [x(x -1) + E(X) – (E(X))2 ]
= n (n − 1)
a (a − 1) a a2 + n − n2 2 N ( N − 1) N N
=n
a N
( n − 1) ( a − 1) a + 1 − n N N ( N − 1)
=n
a N
( n − 1) ( a − 1) N + ( N − 1) N − na ( N − 1) N ( N − 1)
=n
a N
naN − nN − aN + N + N 2 − N − naN + na N ( N − 1)
70
N ( N − a) − n ( N − a) N ( N − 1)
=n
a N
=n
a ( N − a ) ( N − n) . N N ( N − 1)
=n
a N −a N −n . . N N N −1
D. Distribusi Geometrik Bentuk pdf-nya : (1 − p ) x − 1 p , x = 1,2,3,.... , untuk x yang lainnya 0
P [ X = x ] = f(x) =
1. Mencari ekspektasi ~
E(X) = ∑ xf ( x) x =1 ~
= ∑ x q x −1 p
dengan q = 1 – p
x =1 ~
=∑ p x =1
d x q dq
=p
d ~ k ∑q dq k = 0
=p
d (1− q)−1 dq
= p (1 − q )
=
−2
1 p
2. Mencari variansi ~
E(X2) = ∑ xf ( x) x =1
~
= ∑ x 2 q x −1 p
dengan q = 1 – p
x =1 ~
= ∑ xp x =1
d x q dq 71
=p =p
d dq
~
∑ xq
x
x =1
d ~ x q x −1 q ∑ dq x = 1
= pq = pq = pq
~
d dq d dq
∑ xq
x −1
x =1 ~
d
∑ dq q
x
x =1
d d dq dq
~
∑
qk
k =0
= pq
d d (1− q)−1 dq dq
= pq
d (1− q)− 2 dq
{
= pq 2 (1 − q )
=
−3
}
2 pq
(1 − q )3
=
2 pq p3
=
2q p2
Var(X) = E(X2) – (E(X))2
=
2q 2 q −1 1− 2 p 1 − 2 = = 2 2 p p p p2
Ternyata dengan cara biasa nilai variansi tidak mudah dicari, karena hasilnya tidak sesuai. Sehingga distribusi geometrik lebih mudah dicari dengan MGF.
E. Distribusi Negatif Binomial Bentuk pdf-nya : r x − 1 x − r q , x = r, r + 1,....... p P [X = x] = f(x) = r − 1 0 , untuk x yang lainnya
72
1. Mencari ekspektasi ~
E(X) = ∑ x f ( x ) x=r
~ x − 1 r x − r p q = ∑ x x = r r −1
misal : x – r = i ~ r + i − 1 r i p q = ∑ ( r + i ) i=0 r −1 ~ r + i − 1 i q = p r ∑ ( r + i ) i=0 r −1 ~ r + i − 1 i q + = p r ∑ r i = 0 r −1
r + i − 1 i q i r −1
~ ~ r + i − 1 i r + i − 1 i q + p r ∑ i q = p r ∑ r i = 0 r −1 i = 0 r −1
r + 0 −1 0 r + 1 −1 1 r + 2 −1 2 q + q + q + .... = p r r r −1 r −1 r −1 r + 1 − 1 1 r + 2 −1 2 q + 2 q + ............... + p r 0 + 1 r −1 r −1 (r − 1)! (r + 1)! q 2 + ......... r! = prr 1+ q+ (r − 1)!1! (r −1)!2! (r − 1)!1! (r + 1)! q 2 + 3 (r + 2)! q 3 + ....... r! q+2 + p r 0 + (r − 1)!2 ! (r − 1)!3! (r − 1)!1!
Dari sini ternyata penulis mengalami kesulitan karena nilai i terus berjalan, sehingga nilai ekspektasi dan variansi dari distribusi negatif binomial belum bisa ditemukan dengan cara biasa. Setelah dikaji lebih lanjut, ternyata distribusi ini dapat dengan mudah dicari menggunakan MGF.
F. Distribusi Poisson Bentuk pdf-nya :
73
e−µµ x , x = 0,1,2,.... .. P [X = x] = f(x) = x ! 0 , untuk x yang lainnya
1. Mencari ekspektasi ~
E(X) = ∑ x x =0
e − µµ x x!
µx x = 1 ( x − 1) ! ~
= e−µ ∑
µx x = 1 ( x − 1) ! ~
= e−µµ ∑
= e − µ µ eµ =µ 2. Mencari variansi ~
E(X2) = ∑ x 2 e −µ x =0
µx x!
~
= ∑ {x ( x − 1) + x }e − µ x=0 ~
= ∑ e−µ x =0
µx x!
µx +µ ( x − 2) !
=µ2 + µ Var(X) = E(X2) + (E(X))2 = µ2 + µ - µ2 =µ
G. Distribusi Uniform Diskrit Bentuk pdf-nya :
1 , x = 1,2,3,......, N P [X = x] = f(x) = N 0 , untuk x yang lainnya 1.Mencari ekspektasi N
E(X) = ∑ x x =1
1 N
74
=
1 N ∑x N x =1
=
1 (1 + 2 + 3 + ....... + N ) N
=
1 N (1 + N ) N 2
=
N+1 2
2. Mencari variansi N
E(X2) = ∑ x 2 x =1
1 N
=
1 N 2 ∑x N x =1
=
1 (1 + 4 + 9 + ......... + N 2 ) N
=
1 N (N + 1)(2 N + 1) N 6
=
(N +1)(2N +1) 6
Var(X) = E(X2) – (E(X))2
= =
(N +1) (2N +1) N2 + 2N +1 − 6 4
8 N 2 + 12 N + 4 − 24
6 N 2 + 12 N + 6 24
=
8N2 +12N + 4 − 6N2 −12N − 6 24
=
2N 2 − 2 2 ( N 2 −1) = 24 2 .12
=
(N 2 −1) 12
75
BAB 4 DISTRIBUSI BERSAMA BEBERAPA VARIABEL RANDOM 1. PENDAHULUAN Dalam berbagai aplikasi, banyak kasus yang menggunakan lebih dari satu variabel random, katakanlah X1,X2, …, Xk yang dapat dinyatakan dalam sebuah vektor yang berdimensi k. X=(X1,X2,...,Xk) dapat memenuhi asumsi nilai
x=(x1,x2,...xk) dalam ruang Euclid berdimensi k. Nilai x mungkin merupakan hasil pengukuran k karakter atau merupakan hasil pengukuran satu karakteristik sebanyak k kali. Selanjutnya x dapat menyajikan hasil k ulangan percobaan variabel tunggal. Dalam bab ini akan dikaji distribusi variabel random diskrit bersama, distribusi variabel random kontinu bersama, dan sampel random.
2. DISTRIBUSI BERSAMA BEBERAPA VARIABEL RANDOM DISKRIT Dalam subbab ini akan dibahas pdf bersama beberapa variabel random diskrit, pdf marginal variabel random diskrit, dan CDF bersama beberapa variabel random diskrit.
a. The Joint Probability Density Function (pdfBersama) Definisi 4.1 : Pdf bersama dari variabel random diskrit berdimensi k, X=(X1,X2,….,Xk) didefinisikan menjadi f(x1,x2,……xk) = P[X1=x1, X2=x2, ……, Xk=xk] untuk semua nilai yang mungkin x = (x1,x2,…..xk).
Selanjutnya dapat dikembangkan distribusi bersama dari berbagai distribusi variabel tunggal, misal
(i) Distribusi Hipergeometri X= (X1,X2,….,Xk) X~HYP(n,M1,M2,….,Mk,N) 76
M 1 M 2 M k M k +1 .... x 1 x 2 x k x k +1 f(x) = N n k
k
i =1
i=1
untuk semua 0 ≤xi≤Midimana Mk+1=N- ∑ M i dan xk+1= n - ∑ xi
(ii) Distribusi Multinomial X~MULT(n,p1,p2,…,pk)
f(x)=
n! p1x1 p x22 ...pkx+k +11 x1!x 2!...x k+1! k
k
i=1
i=1
untuk semua 0≤xi≤n dimana pk+1=1- ∑ pi dan xk+1= n - ∑ xi
Teorema 4.1: Fungsi f(x1,x2,……xk) adalah pdf bersama untuk suatu variabel random bernilai vektorX= (X1,X2,….,Xk) jika dan hanya jika sifat-sifat berikut dipenuhi : f(x1,x2,……xk)≥0 untuk semua nilai (x1,x2,……xk)dan ∑ ...∑ f(x1,x2,……xk)=1 x1
xk
Contoh 1: Pandang bahwa X1 dan X 2 adalah variabel random diskrit dengan pdf bersama f(x1, x 2) = c (x1 + x2 ) x1 = 0, 1, 2 ; x2 = 0, 1, 2 dan fungsi bernilai nol untuk yang lain. Tentukan konstanta c. Jawab :
∑) ∑) c x ' x) 1⇒ c=1/18. b. The Marginal Probability Density Function (pdf Marginal) Definisi 4.2 : Jika pasangan (X1,X2) dari variabel random diskrit mempunyai pdf bersama f(x1,x2) maka pdf marginal dari X1 dan X2 adalah f1(x1)= ∑ f ( x 1 , x 2 ) dan x2
77
f2(x2)= ∑ f ( x 1 , x 2 ) x1
Contoh 2: Diketahui X1 dan X2 adalah variabel random diskrit dengan pdf bersama f(x1, x 2) disajikan oleh tabel berikut : X2 1
2
1/12
1/6
0
2
0
1/9
1/5
3
1/18
1/4
2/15
X1 1
3
Tentukan pdf marginal dari X1 Jawab: X1 f(x1)
1 3/12
2 14/45
3 79/180
c. The Joint Cumulative Distribution Function (CDF Bersama)
Definisi 4.3: Cumulative Distribution Function (CDF) bersama dari k variabel random X1, X2,…, Xkadalah fungsi yang didefinisikan oleh F(x1, …, xk) = P[X1≤x1, …, Xk≤xk]
Teorema4.2 : Fungsi F(x1,x2) adalah CDF bivariat jika dan hanya jika lim F( x 1 , x 2 ) = F( −∞, x 2 ) = 0 untuk semua x 2
x1 → −∞
lim F( x 1 , x 2 ) = F( x 1 ,−∞ ) = 0 untuk semua x 1
x 2 → −∞
lim F( x 1 , x 2 ) = F(∞, ∞ ) = 1
x 1 →∞ x 2 →∞
78
F(b,d) – F(b,c) – F(a,d) + F(a,c) ≥ 0 untuk semua a < b dan c < d lim F ( x 1 + h , x 2 ) = lim+ F ( x 1 , x 2 + h ) = F ( x 1 , x 2 ) untuk semua x 1 dan x 2
h → 0+
h→0
3. DISTRIBUSI BERSAMA BEBERAPA VARIABEL RANDOM KONTINU Akan dibahas pdf bersama beberapa variabel random kontinu, pdf marginal variabel random kontinu, dan CDF bersama beberapa variabel random kontinu. a. The Joint Probability Density Function (pdf Bersama) Definisi4.4 : Sebuah variabel random bernilai vektor berdimensi k, X = (X1, X2, …, Xk) dikatakan menjadi kontinu jika ada sebuah fungsi f(x1, x2,…,xk), yang disebut the joint probability density function (pdf bersama), dari X,
Teorema 4.3 Sebarang fungsi f(x1, x2, …, xk) adalah pdf bersama dari variabel random berdimensi k jika dan hanya jika f(x1, …, xk) ≥ 0 untuk semua x1, …,xkdan ∞
∞
∫−∞...∫−∞ f (x1,...,x k ) dx1...dxk =1 b. The Marginal Probability Density Function (pdf Marginal) Definisi 4.5 Jika pasangan (X1, X2) dari variabel random kontinu mempunyai pdf bersama f(x1, x2), maka pdf marginal X1dan X2adalah ∞
f 2 ( x 2 ) = ∫−∞ f ( x 1 , x 2 ) dx 1 ∞
f 1 ( x 1 ) = ∫− ∞ f ( x 1 , x 2 ) dx 2
Contoh 3 : Diketahui pdf bersama X1 dan X2 adalah sebagai berikut : f(x1,x2) = 4x1x2 untuk 0
79
1
∫ 4x 1 x 2 dx 2
f1(x1) =
0 1
= 4x1 ∫ x 2 dx 2 0
= 2x1 ,0
c. The Joint Cumulative Distribution Function (CDF Bersama) CDF bersamanya dapat ditulis sebagai xk
x1
−∞
−∞
F(x1 ,..., x k ) = ∫ ...∫ f (t1 ,..., t k )dt1...dt k untuksemuax = (x1, …, xk).
pdf bersama dapat diperoleh dari CDF bersama dengan cara diferensial. Dalam bentuk khusus, f(x1, x2, …, xk) =
∂k F(x1, x2, …, xk) ∂x 1∂x 2 ...∂x k
Contoh 4: Diketahui pdf bersama X1 dan X2 adalah sebagai berikut : f(x1,x2)= 4x1x2 untuk 0
F(x1,x2) =
∫ ∫ f (t , t 1
2
)dt 1dt 2
−∞−∞
x 2 x1
=
∫ ∫ 4t t
1 2
dt1dt 2
0 0
2 2 = x1 x 2 0
f1(x1) = fx , x) dx) 4x x) dx) 2x x)) | 2x1
F1(x1)= A 2t dt x)
analog
f2(x2) = 2x2 80
F2(x2) = x))
daerahnya dapat digambarkan sebagai berikut x2 x 12
1
x 12 x 22
x 22
1
x1 0 Jadi,
1
1, jika x % 1 danx) % 1 / ) ) -x x) , jika 0 2 x 2 1, 0 2 x) 2 1 Fx , x) x) , jika 0 2 x 2 1, x) % 1 & . ) jika 0 2 x) 2 1, x % 1 -x ) , jikax 2 0, x) 2 0 , 0,
Contoh 5: Dari contoh 4, kita akan menentukan peluang bahwa untuk kedua percobaan eksperimen “ konsentrasi rata-rata kurangdari 0.5 “ peristiwa ini dapat disajikan oleh
X1 + X 2 < 0.5 atau lebih umum dengan [(X1,X2) ∈ A] dimana 2 A={(X1,X2)|
X1 + X 2 < 0.5 }. Selanjutnya 2
X + X2 < 0.5 = P[(X1,X2) ∈ A] P 1 2 =
∫∫ f ( x 1 , x 2 )dx 1dx 2 A
81
1 1− x 2
=
∫ ∫ 4x1x 2 dx1dx 2 0
0 1
=
∫ 2x 2 (1 − x 2 )dx 2 0
=
1 6
daerah A dapat digambarkan sebagai berikut : x2
1
A x1 0
1
Konsep sederhana yang dapat dikembangkan untuk variabel random kontinu bersama, dengan pendekatan yang sedikit berbeda. Pandang CDF bersama F(X1,X2) dari pasangan variabel random (X1,X2). CDF dari X1 adalah : F1(x1) = P[X1≤x1] = P[X1≤x1, X2< ∞ ] = F(x1, ∞ ) x1 ∞
=
∫ ( ∫ f x1,x 2 (t1, t 2 )dt 2 )dt1
−∞ −∞ x1
=
∫ f1 (t1 )dt1
−∞
dan pdf yang berkaitan dapat diperoleh f1(x1) =
d F1 (x1 ) dx1
Definisi 4.6 : Jika X = (X1, X2, …, Xk) adalah variabel random berdimensi k dengan CDF bersama F(x1, x2,…,xk) maka CDF marginal dari Xj adalah 82
Fj(xj) = lim F( x 1 ,..., x j ,..., x k ) x i →∞ all i ≠ j
Contoh 6: Misal X1, X2 dan X3 kontinu dengan pdf bersama 6
0
untuk nilai x yang lain.
x 3x 2
f3(x3) =
∫ ∫ 6dx1dx 2 0 0 x3
= 6 ∫ x 2 dx 2 0
= 3 x 32
jika 0
1
∫ 6 dx 3
f(x1,x2) =
x2
= 6(1-x2)
jika 0
) F(x1,x2)= 61 t dt 6(t - t ) | ) 6(x) x) ) )
)
)
4. VARIABEL –VARIABEL RANDOM BEBAS Pandang X1 dan X2 adalah variabel random diskrit dengan peluang bersama seperti pada tabel berikut:
X2 0
X1
f2(x2)
1
2
f1(x1)
0
0.1
0.2
0.1
0.4
1
0.1
0.2
0.1
0.4
2
0.1
0.1
0
0.2
0.3
0.5
0.2
f(1,1) = 0.2=f1(1)f2(1) f(1,2) = 0.1 ≠ f1(1)f2(2) 83
Jika f(x1,x2) = f(x1)f(x2) untuk semua (x1,x2) yang mungkin, selanjutnya dapat beralasan untuk mengatakan bahwa variabel random X1 dan X2 adalah bebas P[a≤X1≤b, c≤X2≤d] =
db
∫ ∫ f (x 1 , x 2 )dx 1dx 2 ca db
=
∫ ∫ f1 ( x 1 )f 2 ( x 2 )dx 1dx 2 ca b
d
a
c
= ∫ f1 ( x 1 )dx 1 ∫ f 2 ( x 2 )dx 2 = P[a≤X1≤b] P[c≤X2≤d] selanjutnya peristiwa A =[a≤X1≤b] dan B = [c≤X2≤d] adalah saling bebas. Konsep ini berlaku baik dalam variabel random diskrit maupun kontinu.
Definisi 4.6 Variabel-variabel random bebas (Independen) Variabel-variabel random X1,X2,….,Xk dikatakan independen jika untuk setiap ai
k
∏ P[a i ≤ X i ≤ b i ] i =1
Teorema 4.4 Variabel-variabel random X1,X2,….,Xkadalah independenjika dan hanya jika satu dari sifat berikut dipenuhi : F(x1, x2,…,xk) = F1(x1)F2(x2)…Fk(xk) f(x1, x2,…,xk) = f1(x1)f2(x2)…fk(xk) dimana Fi(xi) dan fi(xi) masing-masing adalah CDF marginal dan pdf marginal dari Xi
Teorema 4.5
84
Dua variabel random X1dan X2dengan pdf bersama f(x1, x2) adalah independent jika dan hanya jika : (a) Himpunan pendukung, {(x1, x2)| f(x1, x2)>0} adalah perkalian Cartesian, A x B, dan (b) pdf bersama dapat difaktorkan ke dalam perkalian fungsi x1dan x2 , f(x1, x2)= g(x1)h(x2) Contoh7 : Pdf bersama dari pasangan X1 dan X2 adalah 8x1x2
untuk 0
0
untuk x1 dan x2 yang lain
f(x1,x2) =
karena 8x1x2 dapat difaktorkan sebagai g(x1)h(x2), sehingga X1 dan X2adalah independen (bebas).
Contoh8 : Pdf bersama dari pasangan X1 dan X2 adalah x1+ x2
untuk 0
untuk x1 dan x2 yang lain
karena x1+ x2 tak dapat difaktorkan sebagai g(x1)h(x2), sehingga X1 dan X2adalah dependen (bergantung)
5. THE CONDITIONAL PROBABILITY DENSITY FUNCTION ( pdf Bersyarat) Pembicaraan tentang kebebasan juga terkait pada konsep peluang bersyarat, dan pemikiran ini bahwa definisi peluang bersyarat dari suatu peristiwa dapat dikembangkan kepada konsep variabel random bersyarat. Definisi 4.7 Pdf bersyarat. Jika X1 and X2 adalah variabel random diskrit atau kontinu dengan pdf bersama f(x1,x2)maka the conditional probability density function ( pdf bersyarat) dari X2diketahui X1=x1didefinisikan
85
f(x2|x1)=
f (x1 , x 2 ) f1 ( x 1 )
untuk nilai x1sedemikian hingga f1(x1)>0 dan nol untuk sebaliknya.
Analog untuk the conditional probability density function (pdf bersyarat) dari X1diketahui X2 = x2 didefinisikan f(x1|x2)=
f (x1 , x 2 ) f 2 (x 2 )
untuk nilai x2sedemikian hingga f2(x2)>0 dan nol untuk sebaliknya. Selanjutnya peluang bersyarat dari suatu peristiwa [a≤X2≤b] diberikan X1= x1 adalah b
P[a≤X2≤b|X1= x1] = ∫ f ( x 2 | x 1 )dx 2 a b
∫ f ( x 1 , x 2 )dx 2 a ∞
∫ f (x 1 , x 2 )dx 2
−∞
∞
b
∫ f (x
2
| x 1 ) dx 2
a
1 = f ( x 1 , x 2 ) dx 2 f 1 ( x 1 ) −∫∞
=
1 f1 (x1 ) = 1 f1 (x1 )
Contoh 9 : mengambil contoh 6, untuk menentukan pdf bersyarat dari x3, f(x3|x1,x2)=
f (x1 , x 2 , x 3 ) f (x1 , x 2 )
=
6 6(1 − x 2 )
=
1 , 0
dan fungsi bernilai nol untuk x yang lain.
86
Teorema 4.6: Jika X1 dan X2 adalah variabel random dengan pdf bersama f(x1, x2 ) dan pdf marginal f1(x1) dan f2(x2) maka f(x1, x2) = f1(x1)f(x2|x1) = f2(x2)f(x1|x2) dan jika X1 dan X2 adalah independen makaf(x2|x1) = f2(x2)dan f(x1|x2)= f1(x1) Contoh 10: Suatu dataran yang berbentuk segitiga dengan batas tepi selatan 2 mil dan batas timur 1 mil. Jika daratan tersebut didistribusikan pada permukaan segitiga dengan sumbu koordinat X dan Y, dan pasangan (X,Y) mempunyai pdf bersama konstan f(x,y)=1 maka y
1
x 2
0 x/2
f1(x) =
∫
dy =
0
x 2
0
2
f2(y) =
∫ dx = 2(1 − y)
0
2y
f(y|x) =
f (x, y) 1 2 = = , 0
dan fungsi bernilai nol untuk x; y yang lain.
berdasarkan gambar di atas pada contoh 10, dapat diperoleh 0.7
P[0.1≤Y≤0.7|X=0.5] = ∫ f ( y | 0.5) dy 0.1 0.25
=
∫
0.1
2 dy karena untuk x=0.5 diperoleh harga y=0.25, 0.5
sehingga batas atas nya berubah menjadi 0.25. 87
0.25
=
∫ 4 dy
0.1
= 0.6
P[0.1≤Y≤0.7] =
0. 7 2
∫ ∫
f ( x , y ) dx dy
0. 1 2 y
0.7
= ∫ f 2 ( y) dy 0.1 0 .7
∫ 2(1 − y) dy
=
0 .1
= 0.72
6. SAMPEL RANDOM
Definisi 4.9 Sampel random adalah himpunan variabel random X1, …Xn dikatakan menjadi sampel random berukuran n dari populasi dengan fungsi densitas f(x) jika pdf bersama mempunyai bentuk f(x1,x2,…,xn) = f(x1)f(x2) …f(xn)
Contoh 11: waktu hidup lampu diasumsikan mengikuti distribusi exponential dengan pdf f(x) = e-x ,
0
dimana waktu hidup diukur dalam tahun. Jika sampel random yang berukuran dua diperoleh dari populasi, maka kita akan mempunyai f(x1,x2) = e-(x1,x2) ,
0
Sekarang kita pandang bahwa total waktu hidup dua lampu x1 + x2≤ 0.5 tahun. P[x1 + x2≤ 0.5] =
0.5 0.5 − x 2 − ( x1+ x 2 )
∫0 ∫0
e
dx 1dx 2
= 1- 0.5e-0.5-e-0.5 = 0.09 88
SOAL-SOAL LATIHAN BAB 4 1. Lima kartu diambil tanpa pengembalian dari tumpukan 52 kartu. Jika X menyatakan banyaknya aces, Y banyaknya kings, dan Z banyaknya queens yang diperoleh. Tentukan peluang masing-masing peristiwa berikut : a. A = [X = 2] b. B = [Y = 2] c. A ∩ B d. A ∪ B e. A jika diketahui B f. [X = x] g. [X < 2] h. [X ≥ 2] i. [X = 2, Y = 2, Z = 1] j. Tuliskan persamaan pdf bersama dari X, Y, Z. Jawab: a. 0,0399 b. 0,0399 c. 0,000609 d. 0,0793 e. 0,0153 2. Sebuah dadu sisi enam beraturan digelindingkan 12 kali. Jika X1menyatakan banyaknya 1’s, X2 menyatakan banyaknya 2’s dan seterusnya, hitung peluang untuk masing-masing peristiwa berikut : a. [X1= 2, X2 = 3, X 3 = 1, X4 = 0, X 5 = 4, X 6 = 2] b. [X1 = X2 = X 3 = X4 = X 5 = X 6] c. [X1= 1, X2 = 2, X 3 = 3, X4 = 4] d. Tuliskan persamaan pdf bersama dari X1,X3, dan X 5 Jawab: a. 0,000382 b. 0,00344 c. 0,00153
d. .....
3. Pandang bahwa X1 dan X 2 adalah variabel random diskrit dengan pdf bersama dari bentuk f(x1, x 2) = c (x1 + x2 )
x1 = 0, 1, 2 ; x2 = 0, 1, 2
dan fungsi bernilai nol untuk yang lain. Tentukan konstanta c jawab: 1/18 4. Jika X dan Y adalah variabel random diskrit dengan pdf bersama
f ( x , y) = c
2 x+y x! y!
x = 0, 1, 2,………..;y = 0, 1, 2, ……..
dan nol untuk x,y yang lain. 89
a.
Tentukan constanta c
b.
Tentukan pdf marginal dari X dan Y.
c.
Apakah X dan Y independen? Mengapa?
Jawab: a. e-4 b. Keduanya POI(2)
c. ya
5. Diketahui X1dan X2 adalah variabel random diskrit dengan pdf bersama f(x1, x 2) disajikan oleh tabel berikut : X2 1
2
1/12
1/6
0
2
0
1/9
1/5
3
1/18
1/4
2/15
X1 1
3
a. Tentukan pdf marginal dari X1 dan X2 b. Apakah X1 dan X2 independen ? mengapa? c. Tentukan P[X1 ≤ 2] d. Tentukan P[X1 ≤ X2] e. Tabulasikan pdf bersyarat f (x 2 x 1 ) and f (x 1 x 2 ) . Jawab: a. .... b. Tidak
c. 101/180
d. 25/36 e. ....
6. Dua kartu diambil secara random tanpa pengembalian dari tumpukan kartu. Misal X menyatakan banyaknya heart, dan Y menyatakan banyaknya kartu hitam yang diperoleh. a.
Tulis persamaan untuk pdf bersama f(x, y)
b.
Tabulasikan CDF bersama, F(x,y)
c.
Tentukan pdf marginal f1(x)dan f2 (y)
d.
Apakah X dan Y independen?
e.
Tentukan P [Y = 1 X = 1]
f.
Tentukan P [Y = y X = 1]
g.
Tentukan P [Y = y X = x ]
h.
Tabulasikan P [X + Y ≤ z] ; z = 0,1, 2 Jawab: a. ... b. ..... c. ...... d. Tidak e. 0,668 f. ... g. .... h. ....
90
7. Pandang fungsi F (x1, x2)didefinisikan sebagai berikut : 0,25(x1 + x2)2 F(x1,x2) = 0
jika 0 ≤ x1 ≤ 1 dan 0 ≤ x2 ≤ 1 jika x1 < 0 atau x2 < 0
1
yang lainnya
Apakah F (x1, x2) CDF bivariat? Hint : cek sifat-sifat teorema 4. Jawab; tidak 8. Pandang pdf bersama dari waktu hidup a part and a spare tertentu diberikan oleh f(x, y) = e-(x+y) 0 < x <∞ ,0
Tentukan pdf marginal dari f1 (x) dan f2 (y)
b.
CDF bersama, F(x, y)
c.
P[X> 2]
d.
P[X< Y]
e.
P[X + Y > 2]
f.
Apakah X dan Y independen. Jawab: a. keduanya EXP(1)
b. F(x,y)=(1-e-x)(1-e-y) jika x>0; y>0 c. e-2
d. ½ e. 3e-2 f. ya 9. Pandang X1 dan X2 adalah waktu hidup (dlm hari) dua tikus putih yang dijadikan subyek untuk tingkat radiasi yang berbeda. Asumsikan bahwa X1 and X2adalah independen. X1∼ PAR(1,1) dan X2∼ PAR(1,2) a. Tentukan pdf bersama dari X1 dan X2 b. Tentukan peluang bahwa tikus kedua hidup lebih lama daripada tikus pertama, P[X 1< X2] Jawab: a. f(x1,x2)=2(1+x1)-2(1+x2)-3 jika x1>0; x2>0
b. 1/3
10. Assumsikan bahwa X dan Y adalah independendengan X ∼ UNIF(-1,1) dan Y ∼ UNIF (0,1) Tentukan peluang bahwa akar-akar persamaan h(t) = 0 adalah real, dimana h(t) = t2 + 2 X t + Y jawab: 1/3 11. Untuk variabel random X1,X2, dan X 3 pada contoh 4 a. Tentukan pdf marginal f1(x2) b. Tentukan pdf marginal f2 (x2) 91
c. Tentukan pdf bersama dari pasangan (X1 , X2). Jawab: a. f(x1)= 3(1-x1)2
b. f(x2)=6x2(1-x2)
c. f(x1,x2)=6(1-x2)
12. Pandang pasangan variabel random kontinu X dan Y dengan CDF bersama:
0,5 xyx ' y, 0,5 xx ' 1, F(x1,x2) = . 0,5 y y ' 1, ,1, /
jika 0 2 1 2 1 EFG 0 2 y 2 1 jika 0 2 1 2 1 , 1 ≤y & jika 1 ≤ x, 0 2 H 2 1 jika 1≤ x, 1 ≤ y
Dan fungsi bernilai nol untuk lainnya. Tentukan masing-masing berikut: a. Pdf bersama, f (x,y) b. P[X ≤ 0,5, Y ≤ 0,5] c. P [X < Y] d. P[X + Y ≤ 0,5] e. P[X + Y ≤ 1,5] f. P[X + Y ≤ z] ; 0 < z
13. Diketahui X dan Y variabel random kontinu dengan pdf bersama berbentuk f(x,y) = k(x + y),
0 ≤ x ≤ y ≤ 1dan nol yang lainnya.
a. Tentukan k sehingga f(x,y) adalah pdf bersama b. Tentukan pdf marginals, f1(x) dan f2(y) c. Tentukan CDF bersama, F(x,y) d. Tentukan pdf bersyarat f(yx) e. Tentukan pdf bersyarat f(xy)
14. Pandang bahwa X dan Y mempunyai pdf bersama f(x,y) = 8xy jika 0 ≤ x ≤ y ≤ 1dan nol untuk yang lainnya. Tentukan masingmasing berikut: a. CDF bersama F(x,y) b. f(yx) c. f(xy) d. P[ X ≤ 0,5Y = 0,75) e. P[X ≤ 0,5 Y ≤ 0,75]
15. Pandang bahwa X dan Y mempunyai pdf bersama 92
f(x,y) = (2/3)(x + 1)
0 < x < 1, 0 < y < 1
dan nol untuk yang lainnya. Tentukan masing-masing berikut: a. f1(x) b. f2 (y) c. f (y x) d. P [X + Y ≤ 1] e. P[ X < 2Y < 3X] f. Apakah X dan Y independen?
16. Diketahui X1 , X2, …………X n , menyatakan sampel random dari populasi dengan pdff(x) = 3 x2 ; 0 < x < 1 , dan nol untuk yang lainnya. a. Tulis pdf bersama X1 , X2 , ………Xn b. Tentukan peluang bahwa pengamatan pertama kurang dari 0,5 , P[X1 < 0,5] c. Tentukan peluang bahwa semua pengamatan kurang dari 0,5.
17. Kerjakan kembali soal no.20 jika sampel random dari populasi Weibull, X1 ∼ WEI (1,2)
18. Himpunan data berikut terdiri dari pengukuran berat (dlm ons) untuk 60 liga besar baseball. : 5,09
5,08
5,21
5,17
5,07
5,24
5,12
5,16
5,18
5,19
5,26
5,10
5,28
5,29
5,27
5,09
5,24
5,26
5,17
5,13
5,27
5,26
5,17
5,19
5,28
5,28
5,18
5,27
5,25
5,26
5,26
5,18
5,13
5,08
5,25
5,17
5,09
5,16
5,24
5,23
5,28
5,24
5,23
5,23
5,27
5,22
5,26
5,27
5,24
5,27
5,25
5,28
5,24
5,26
5,24
5,24
5,27
5,26
5,22
5,09
a) Bentuk distribusi frequency, dengan menyortir data ke dalam 5 interval yang panjangnya 0,05 mulai dari 5,05. b) Berdasarkan hasil a), grafik histogram frekuensi relatif dimodifikasi. c) Bentuk tabel yang membandingkan hasil pengamatan dan probabilitas berdasarkan pada interval tersebut. Buatlah tabel yang membandingkan hasil observasi dan peluang berdasarkan interval dari a), dan untuk pdf f(x) yang uniform pada interval [5,05;5,30] 93
19. Pandang distribusi bersama variabel random X1, X2,dan X3 dari contoh 4. a. Tentukan pdf bersama dari X1dan X2 b. Tentukan pdf bersama dari X2 and X3 c. Tentukan pdf bersyarat X2 diketahui (X1, X3) = (x1, x2) d. Tentukan pdf bersyarat X1 diketahui (X2, X3) = (x2, x3) e. Tentukan pdf bersyarat (X1, X2) diketahui X3 = x3 20. Pandang X1 , X 2adalah sampel random berukuran n = 2 dari distribusin diskrit dengan pdf f(1) = f(3) = 0,2 dan f(2) = 0,6. a. Tabulasikan nilai-nilai pdf bersama dari X1dan X 2 b. Tabulasikan nilai-nilai CDF bersama X1 dan X2 , F(x1 ,x2) c. Tentukan P[X1 + X2 ≤ 4]
21. Pandang X dan Y adalah variabel random kontinu dengan pdf bersama f(x,y)= 4(x - y ) jika 0 < x < 1 dan 0 < y < 1 , dan fungsi bernilai nol untuk x, y yang lain. a. Apakah X dan Y independen ? mengapa? b. Tentukan P[X < Y]
22. Pandang X dan Y adalah variabel random kontinu dengan pdf bersama f(x,y) = 24xy jika 0 < x, 0 < y, x + y < 1 , dan fungsi bernilai nol untuk x, y yang lain. a. Apakah X dan Y independen ? mengapa? b. Tentukan P[Y > 2x] c. Tentukan pdf marginal X
23. Diketahui X dan Y variabel random kontinu dengan pdf bersama f(x,y) = 60 x2y jika 0 < x, 0 < y, x + y < 1, dan fungsi bernilai nol untuk x,y yang lain. a) Tentukan pdf marginal X b) Tentukan pdf bersyarat Y diketahui X = x c) Tentukan P[Y> 0,1X = 0,5] 94
24. Diketahui X1dan X2 variabel random kontinu dengan pdf bersama f(x1, x2 ) = 2(x1 + x2), if 0 < x1< x2 < 1 , dandan fungsi bernilai nol untuk x, y yang lainnya. a. Tentukan P[X1> 2X2] b. Tentukan pdf marginal X2 c. Tentukan pdf bersyarat X1diketahui X2= x2
95
BAB 5 SIFAT-SIFAT VARIABEL RANDOM
1. 2. 3. 4.
Sifat-sifat Nilai Ekspektasi Korelasi Ekspektasi Bersyarat Soal-soal
BAB 6 FUNGSI VARIABEL RANDOM 1. 2. 3. 4. 5.
Teknik CDF Metode transformasi Jumlahan variabel random Metode MGF Soal-soal
BAB 7 STATISTIKA DAN DISTRIBUSI SAMPLING 1. 2. 3. 4. 5.
Statistika Distribusi sampling Dstribusi t, F Aproksimasi sampel besar. Soal-soal
96
Daftar Pustaka Nasution A.H. dan Rambe A., 1984, Teori Statistika, Bhratara Karya Aksara, Jakarta Bain A.,1995, Introduction to Probability and Mathematical Statistics , McGraw-Hill, New York. Rohatgi V.K.,1976, An Introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics, John Wiley, New York. --------
, 1980, Statistical Inference, John Wiley,New York
Roussas, 1982, A First Course in Mathematical Statistics, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts Dudewich, 1995, Statistika Matematika Modern, Penerbit ITB, Bandung Miller,I., Miller, M.(2003). John E. Freund’s Mathematical Statistics. New Delhi: Prentice-Hall
BUKTI-BUKTI TEOREMA
Teorema B.1 : Fungsi f(x) disebut pdf diskrit jika dan hanya jika fungsi f(x) memenuhi keduanya untuk sebagian besar tak berhingga bilangan riil x1, x2,….: f(xi) ≥ 0 untuk semua xi dan
∑ f ( x ) =1 i
(Bain, 1983:57).
x
Bukti f (xi) ≥ 0 terbukti dari kebenaran bahwa nilai dari sebuah pdf diskrit adalah suatu peluang dan tidak boleh negative. Karena x1, x2,….menggambarkan semua kemungkinan nilai dari X, peristiwa [ X = x1 ], [ X = x2 ],menyusun suatu kesempurnaan
partisi
dari
ruang
sample
sedemikian
sehingga
∑ f ( x ) =1 = ∑ P[ X = x] =1 i
xi
xi
konsekuensinya, terdapat pdf yang harus memenuhi f(xi ) ≥ 0 dan
∑ f ( x ) = 1 dan i
x
97
beberapa fungsi yang memenuhi dua hal tersebut akan menunjuk pada peluang yang konsisten dengan 0 ≤ P(A) untuk setiap A dimana pada suatu eksperimen, S merupakan ruang sampel dan A1, A2, A3,……menggambarkan suatu peristiwa. A adalah himpunan fungsi bernilai riil dengan setiap peristiwa A disebut himpunan fungsi peluang dan P(A) disebut peluang dari A.
Teorema D.1 : Jika X adalah variabel acak, maka Var (X) = E(X2) - µ2 (Bain;1983:74).
Bukti Berdasarkan definisi variansi dalam buku (Bain;1983:73) bahwa variansi dari variabel random X adalah Var(X) = E[(X - µ)2], maka Var(X) = E( X2 - 2µX + µ2 ) = E(X2) - 2µE(X) + µ2 = E(X2) - 2µ2 + µ2 = E(X2) - µ2
Teorema F.1: Jika Moment Generating Function Mx(t) dari peubah acak ada untuk suatu EX n =
T
>
0,
maka
EXn
ada
(n
=
1,2,...)
dan
d n M x (t ) (n ) = M x (0) dt n t = 0 (Dudewicz;1995:300)
Bukti Kita tahu bahwa Mx(t) = E(etx ), dan untuk fungsi ey kita dapat menguraikannya sebagai deret e
y
y2 y3 =1 + y + + + ............ bila y diganti dengan tx kemudian ambil 2 ! 3!
ekspektasinya dari kedua ruas, maka kita peroleh (untuk t < T, dan ekspektasinya ada menurut hipotesis dari teorema). Mx(t) = E(etx ) = E ( 1 + tx + (tx)2/2! + (tx)3/3! + ……………) = E ( 1 + xt + x2 t2/2! + x3 t3/3! + ……………) = 1 + (EX)t + (EX2)t2/2! +……….+(EXn)tn/n! +…… Bila kedua ruas diturunkan terhadap t dan kemudian dimasukan nilai t = 0 maka
98
t n -1 diperoleh M'x(0) = 0 + EX + (EX 2 ) t + (EX 3 ) ( n - 1) t = 0
= EX
Teorema I.1 : Banyaknya permutasi r dari n objek adalah nPr =
n! untuk (n − r )!
r = 0, 1, 2, ......., n (Miller; 2003 : 6)
Bukti Rumus nPr = n (n - 1). …. . (n - r + 1) Untuk r = 0 tidak dapat digunakan, karena nP0 = Untuk r = 1, 2, ......,n
nPr
n! =1 (n − 0) !
= n (n - 1) (n - 2). ...... . (n - r + 1)
n ( n − 1) ( n − 2) ......( n − r + 1) (n − r ) ! (n − r ) ! = n! = ( n − r )!
Teorema J.1 : Banyaknya kombinasi dari n objek yang berbeda yang dipilih r kali adalah
n n! C(n,r) = = r r ! (n - r) !
(Bain;1983:35).
Bukti
n (n )r = r! r
=
n (n -1) (n - 2)............(n- r +1) r!
=
n (n -1) (n - 2)............(n - r +1) (n - r )! (n - r )! r!
=
n! r !(n - r)!
99
