Materi Getaran Harmonik

Getaran harmonik atau harmonik  atau getaran selaras memiliki ciri frekuensi getaran yang tetap. Pernahkan kita mengamati mengama ti apa yang terjadi ketika senar gitar dipetik lalu dilepa dilepaskan? skan? kita akan meliha melihatt suatu gerak bolak-balik

melewati

lintasan yang sama. Gerakan seperti ini dinamakan gerak periodik. Contoh lain gerak periodik adalah gerakan bumi mengelilingi matahari (revolusi bumi! gerakan bulan mengelilingi bumi! gerakan benda yang tergantung pada sebuah pegas! dan gerakan sebuah bandul. "i antara gerak periodik ini ada gerakan yang dinamakan gerak harmonik. harmonik. Pengertian Getaran Harmonik Gerak harmonik harmonik merupakan  merupakan gerak sebuah benda dimana grafik posisi partikel sebagai fungsi waktu berupa sinus (dapat dinyatakan dalam bentuk sinus atau kosinus. Gerak semacam ini disebut gerak  atau getaran harmonik. harmonik! antara lain! osilasi atau osilasi harmonik .  Contoh lain sistem yang melakukan getaran harmonik! dawai pada alat musik! gelombang radio! arus listrik #C! dan denyut jantung. Galileo di duga telah mempergunakan denyut jantungnya untuk pengukuran waktu dalam pengamatan gerak.

Gerak benda pada lantai licin dan terikat pada  pegas untuk untuk posisi normal normal (a), teregang teregang (b), dan tertekan tertekan (c) $ntuk memahami getaran harmonik! kita dapat mengamati gerakan sebuah benda yang diletakkan pada lantai licin dan diikatkan pada sebuah pegas . #nggap mula-mula benda berada pada posisi % & ' sehingga pegas tidak tertekan atau teregang. Posisi seperti ini dinamakan posisi keseimbangan. etika et ika benda ditekan ditekan ke kir kirii (% & ) pegas aka akan n men mendor dorong ong benda ke kan kanan! an! menuju menuju posi posisi si keseimbangan kesei mbangan.. *ebal *ebaliknya iknya jika benda ditarik ke kanan! pegas akan menarik benda kembali ke arah posisi keseimbangan (% & +. Gaya yang dilakukan pegas untuk mengembalikan benda pada posisi keseimbangan disebut gaya pemulih. ,esarnya gaya pemulih menurut obert ooke dirumuskan sebagai berikut. F  p = -kX  /anda min minus us men menunj unjukk ukkan an bahw bahwa a gay gaya a pem pemuli ulih h sel selalu alu pada ara arah h yan yang g berl berlawa awanan nan den dengan gan simpangannya. 0ika kita gabungkan persamaan di atas dengan hukum 11 2ewton! maka diperoleh persamaan berikut. F  p = -kX = ma  ma  

atau

/erlihat bahwa percepatan berbanding lurus dan arahnya berlawanan dengan simpangan. al ini merupakan karakteristik umum getaran harmonik. Syarat Getaran Harmonik *yarat suatu gerak dikatakan getaran harmonik! antara lain 3

4.

Gerakannya periodik (bolak-balik.

5.

Gerakannya selalu melewati posisi keseimbangan.

6.

Percepatan atau gaya yang bekerja pada benda sebanding dengan posisi7simpangan benda.

8. #rah percepatan atau gaya yang bekerja pada benda selalu mengarah ke posisi keseimbangan. Periode dan Frekuensi Getaran Harmonik a. Periode dan Frekuensi Sistem Pegas kita

telah

mempelajari

gerak

melingkar

beraturan

di

kelas

%.

Pada

dasarnya! gerak

harmonik  merupakan gerak melingkar beraturan pada salah satu sumbu utama. 9leh karena itu! periode dan frekuensi pada pegas dapat dihitung dengan menyamakan antara gaya pemulih (F = -kX  dan gaya sentripetal (F = -4π 2  mf 2  X . -4π 2  mf 2  X = -kX  4π 2  mf 2  = k 

Periode dan frekuensi sistem beban pegas hanya bergantung pada massa dan konstanta gaya pegas. b. Periode dan Frekuensi Bandul Sederhana *ebuah bandul sederhana terdiri atas sebuah beban bermassa m yang digantung di ujung tali ringan (massanya dapat diabaikan yang panjangnya l. 0ika beban ditarik ke satu sisi dan dilepaskan! maka beban berayun melalui titik keseimbangan menuju ke sisi yang lain. 0ika amplitudo ayunan kecil! maka bandul melakukan getaran harmonik. Periode dan frekuensi getaran pada bandul sederhana sama seperti pada pegas. #rtinya! periode dan frekuensinya dapat dihitung dengan menyamakan gaya pemulih dan gaya sentripetal.

Gaya yang bekerja pada bandul sederhana Persamaan gaya pemulih pada bandul sederhana adalah F = -mg  sinθ  . $ntuk sudut θ kecil (θ  dalam satuan radian! maka sin θ  & θ   . 9leh karena itu persamaannya dapat ditulis : & -mg (

. arena

persamaan gaya sentripetal adalah F = -4π 2  mf 2  X ! maka kita peroleh persamaan sebagai berikut.

-4π 2  mf 2  X  & -mg (



4π 2  f 2  =

Periode dan frekuensi bandul sederhana tidak bergantung pada massa dan simpangan bandul! tetapi hanya bergantung pada panjang tali dan percepatan gravitasi setempat. Persamaan Getaran Harmonik Persamaan getaran harmonik diperoleh dengan memproyeksikan gerak melingkar terhadap sumbu untuk titik yang bergerak beraturan. a. Simpangan Getaran Harmonik *impangan getaran harmonik sederhana dapat dianggap sebagai proyeksi partikel yang bergerak melingkar beraturan pada diameter lingkaran. Gambar diabawah melukiskan sebuah partikel yang bergerak melingkar beraturan dengan kecepatan sudut ; dan jari-jari #. #nggap mula-mula partikel berada di titik P.

Proyeksi gerak melingkar beraturan terhadap sumbu < merupakan getaran harmonik sederhana. Perhatikan gambar diatas. *etelah selang waktu t partikel berada di titik = dan sudut yang ditempuh adalah θ = t &

. Proyeksi titik = terhadap diameter lingkaran (sumbu < adalah titik =y. 0ika

garis 9=y kita sebut y yang merupakan simpangan gerak harmonik sederhana! maka kita peroleh persamaan sebagai berikut. ! = " sin θ = " sin ; t & # sin ,esar sudut dalam fungsi sinus (>  disebut sudut fase. 0ika partikel mula-mula berada pada posisi sudut >'! maka persamaanya dapat dituliskan sebagai berikut. ! = " sin θ = " sin( t # θ $  ) = " sin (

#θ $ ) 

*udut fase getaran harmoniknya adalah sebagai berikut.

arena  disebut fase! maka fase getaran harmonik adalah sebagai berikut.

 #pabila sebuah benda bergetar harmonik mulai dari t & t4 hingga t & t 5! maka beda fase benda tersebut adalah sebagai berikut.

,eda fase dalam getaran harmonik dinyatakan dengan nilai mulai dari nol sampai dengan satu. ,ilangan bulat dalam beda fase dapat dihilangkan! misalnya beda fase 5@ ditulis sebagai beda fase @. b. Kecepatan Getaran Harmonik ecepatan benda yang ber gerak harmonik sederhana dapat diperoleh dari turunan pertama persamaan simpangan.

Aengingat nilai maksimum dari fungsi cosinus adalah satu! maka kecepatan maksimum (v maks gerak harmonik sederhana adalah sebagai berikut. % maks =  " c. Percepatan Getaran Harmonik Percepatan benda yang bergerak harmonik sederhana dapat diperoleh dari turunan pertama persamaan kecepatan atau turunan kedua persamaan simpangan.

a&  =  " '- sin (t # θ $  )  a&  = - 2  " sin ( t # θ $  ) a&  = - 2 &  arena nilai maksimum dari simpangan adalah sama dengan amplitudonya (y & #! maka percepatan maksimumnya (amaks gerak harmonik sederhana adalah sebagai berikut. amaks = * 2  " Energi Getaran Harmonik ,enda yang bergerak harmonik memiliki energi potensial dan energi kinetik. 0umlah kedua energi ini disebut energi mekanik. a. Energi Kinetik Gerak Harmonik Cobalah kita tinjau lebih lanjut energi kinetik dan kecepatan gerak harmoniknya. arena + k   = m% &2     dan % &   = "  cos  t, maka

Bnergi kinetik juga dapat ditulis dalam bentuk lain seperti berikut.

Bk maks &

m 2  "2 ! dicapai jika cos2   t = . #rtinya! ; t harus bernilai

& = " cos  t 

!

! ! dan seterusnya.

& = " cos & = " (di titik setimbang) + k min = $, dicapai bila cos2   t = '. #rtinya! ; t harus bernilai '! D ! ! dan seterusnya. &

=

&

=

" "

cos 

t

cos

$

   

& = " (di titik balik) 0adi! energi kinetik maksimum pada gerak harmonik dicapai ketika berada di titik setimbang. *edangkan energi kinetik minimum dicapai ketika berada di titik balik. b. Energi Potensial Gerak Harmonik ,esar gaya yang bekerja pada getaran harmonik selalu berubah yaitu berbanding lurus dengan simpangannya (: & ky. *ecara matematis energi potensial yang dimiliki gerak harmonik dirumuskan sebagai berikut.

+p =

k& 2 

+p =

m  2  (" sin  t) 2 

+p =

m  2  "2  sin2   t 

+  p maks =

m  2  "2 dicapai jika sin2   t = . #rtinya  t harus bernilai

! 6 !  ! dan seterusnya

& = " sin & = " (di titik balik +p

min

=

$!  dicapai

jika sin2  

t

=

$.   #rtinya! 

t harus

bernilai

'! D

!

!

dan

seterusnya. &

=

" =#

&

sin  sin

t '

& = ' (di titik setimbang c. Energi ekanik Gerak Harmonik Bnergi mekanik sebuah benda yang bergerak harmonik adalah jumlah energi kinetik dan energi potensialnya.

,erdasarkan persamaan diatas! ternyata energi mekanik suatu benda yang bergetar harmonik tidak tergantung waktu dan tempat. 0adi! energi mekanik sebuah benda yang bergetar harmonik dimanapun besarnya sama. + m = + k maks = +  p maks + m =

m ; 2  "2 =

k "2 

 

edudukan gerak harmonik sederhana pada saat Bp dan Bk bernilai maksimum dan minimum. d. Kecepatan Benda yang Bergetar Harmonik $ntuk menghitung kecepatan maksimum benda atau pegas yang bergetar harmonik dapat dilakukan dengan menyamakan persamaan kinetik dan energi total mekaniknya dimana+ k   = + m.

*edangkan untuk menghitung kecepatan benda di titik sembarang dilakukan dengan menggunakan persamaan kekekalan energi mekanik