FUNGSI HARMONIK

FUNGSI HARMONIK Definisi Fungsi Harmonik Fungsi riil

yang mempunyai turunan parsial orde 1 dan 2 yang kontinu dan

memenuhi persamaan Laplace Dimana :

disebut fungsi Harmonik.

adalah fungsi harmonik sekawan

dan

adalah fungsi harmonik sekawan dari

Teorema 1 : adalah analitik di “domain” , maka komponen fungsi

Jika fungsi dan

harmonik di .

Dalam D berlaku persamaan Cauchy Riemann yaitu : derivatif-derivatif parsial dari

dan

kontinu dalam

dan

. Karena

, maka berlaku :

dan

. Jika dalam persamaan Cauchy Riemann tersebut diderivatifkan parsial terhadap dan , maka untuk setiap

di

berlaku :

Teorema 2 : adalah analitik di “domain” D jika dan hanya jika

fungsi

“harmonic conjugate” atau harmonik sekawan di .

Definisi Fungsi Harmonik Sekawan Misalkan

. V disebut fungsi harmonik sekawan dari u jika u dan v

adalah fungsi harmonik. Contoh : 1. Misalkan

. Tentukan fungsi harmonik sekawan dari

Penyelesaian: -

Langkah 1 : Mencari turunan parsial

terhadap

dan .

!

Maka diperoleh dan Menurut persamaan cauchy – Riemann : sehingga diperoleh :

dan

Kita dapat memulai dari salah satu persamaan persamaan maka -

-

Langkah 2 : Menghitung Sehingga diperoleh

atau

,

. Misalkan akan mulai dari

dengan cara mengintegralkan

.

∫

Langkah 3 : Menurunkan terhadap (syarat persamaan Cauchy-Riemann)

, setelah itu disubstitusi ke

Substitusi sehingga diperoleh :

-

Langkah 4 : Masukkan Maka diperoleh :

ke dalam

 Dapat disimpulkan bahwa harmonik sekawan dari

yang sudah didapat

merupakan

fungsi