TUGAS KB 4 MODUL 4
NAMA
: HARJI, S.Pd
NO. PESERTA
: 18230218010025 1823021801002 5
Bidang Studi Sertifikasi
: 180 – Matematika Matematika
Sekolah Asal
: SMKS NURUL AZMI BATU BELEK – JANAPRIA JANAPRIA
==================================================================
h ∈ =
1. Bukti sifat berikut. Apabila apabila
maka
=
, maka
.
Jawaban
Dengan mengambil sebarang titik
. Apakah ini berarti bahwa
∈
apabila titik A dicerminkan terhadap
garis h yang tegak lurus dengan garis g maka dapat dipastikan bahwa hasil pencerminan tersebut yakni A’ dengan garis h merupakan sumbu simetri dari garis AA’. Akibatnya A’ bawah ini.
∈
. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar di
Dari gambar di atas juga dapat terlihat bahwa titik A’ berada pada garis g namun bukan merupakan titik A, artinya tidaklah benar bahwa jika
∈ ℎ , maka
(P) =
P. Kecuali titik P yang merupakan titik potong antara garis g dan h barulah berlaku
ℎ
(P) = P.
2. Menurut anda apakah setengah putaran sama dengan refleksi titik ? Jawaban
Sebuah setengah putara pada titik A adalah suatu padanan setiap titik pada bidang sebagai berikut:
≠ = =
1) Apabila 2)
maka
didefnisikan untuk
′ sehingga A titik tengah ruas garis PP’
Suatu setengah putaran mencerminkan setiap bidang titik pada sebuah titik tertentu, jadi setengah putaran juga dinamakan pencerminan pada suatu titik atau refleksi pada suatu titik. Bukti
Akan dibuktikan
Bijektif
Untuk membuktikan
Bijektif, maka harus dibuktikan terlebih dahulu
Surjektif dan injektif
∃ ∈ ∋ = ∈ ∈ ∋= = = = ∀ ≠ ∈ ∃ = = = ≠ , ∈ = = == == == ≠ ≠ ≠, ∈ ≠ ≠ , ≠ , , ,
1) Bukti
Surjektif
′
′
Ambil sebarang ′ ′
′
Jika
Jadi
maka
′
Jika
′
maka A menjadi sumbu ruas garis. Berarti
Sehingga
2) Bukti
′
Surjektif
Injektif
Misalkan
Ambil sebarang
dengan
Untuk
maka
′ …………………. (1)
Untuk
maka
′ …………………. (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh Misalkan
Ambil sebarang
dengan
tidak sejenis
′
= = = = = = = = ≠ ≠ = ≠
Sehingga
′ dan
Diandaikan
′
maka
′
Sehingga diperoleh
′
′
′ dan
Menurut teorema, melalui dua titik hanya dapat dibuat satu garis. Ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa Pemisalan Jadi
harus dibatalkan, maka sehingga
Injektif
Dari 1) dan 2) maka diperoleh dan
Injektif maka
Karena
harus dibatalkan
Surjektif dan
Injektif. Karena
Surjektif
Bijektif.
Bijektif maka
adalah suatu tranformasi.
Jadi setengah putaran sama dengan tranfomasi atau refleksi titik : 3. Diketahui A(2, 3), B(4,1), C(-3, 4) dan D(0,3). Jika P(x, y) tentukan
Dapatkan komposisi dari CD Jawab
Misalka G AB(P) = P’
̅ = ̅
′
x B – x A = x p’ – x p
dan
y B – y A = y p’ – y p
4 – 2 = x p’ – x p
1 –3 = y p’ – y p
x p’ = 2 + x p
y p’ = – 2 + y p
Misalka G CD(P) = P’ Maka
̅ = ̅
( ).
( ) dinyatakan dengan sebuah geseran lainnya
G CDG AB (P) = G CD [G AB(P)]
Maka
′
x D– x C = x p’’ – x p’
0 – (-3) = x p’’ – x p’
dan
y D – yC = y p’’ – y p
‘
3 – 4 = y p’’ – y p’
x p’’ = 3 + x p’
y p’’ = – 1 + y p’
sehingga G CDG AB (P) = G CD [G AB(P)] = G CD [( 2 + x p , – 2 + y p )] Misal G CD [( 2 + x p , – 2 + y p )] = x p’’ = 3 + x p’ = 3 + (2 + x p ) = 5 + x p y p’’ = – 1 + y p’ = -1 + (-2 + y p ) = -3 + y p
jadi G CDG AB (P) = G CD [G AB(P)] = ( 5 + x p , -3 + y p )
4. Berikan contoh komposisi dua rotasi dengan titik pusat rotasi sama. Selanjutnya, dapatkah Anda menentukan sebuah transformasi tunggal yang menggambarkan komposisi rotasi tersebut! Jawab
Contoh : Titik,A(x, y) dirotasikan terhadap titik pusat (1,2) sebesar berlawanan arah jarum jam,lalu dirotasikan jam dengan pusat yang sama
= 180
= cos90 − sin 90 −1 1 = ( ) = sin90 cos90 ( −2)+2 = ( ) = 01 −10 ( −1−2)+12 1 = ( ) = −+2 + 2 −1 = ( ) = −+3 +1 = 180cos90 sin 90( −1−2)+12 = ( ) = sin90 − cos90 +3−1+12 = ( ) = −10 −10 − +1−2 = ( ) = −10 −10 − −1+2+12 = ( ) = − −2+1+12 = ( ) = − −2+1 +1+2 = ( ) = − −1+3 Rotasi ′
′ ′
′
′ ′
′
′ ′
′
′ ′
Rotasi ′′
′′ ′′
′′
′′ ′′
′′
′′ ′′
′′
′′ ′′
′′
′′ ′′
′′
′′ ′′
′ ′
Transformasi tunggal sehingga diperoleh
= 90
berlawanan arah jarum
+ −si n + −1 1 = ( ) = (cos )( )+ −2 si n + cos + 2 = ( ) = (cossin9090 ++ 180180 −sicosn9090 + +180180)( −1−2)+12 cos 270 −si n 270 = ( ) = (sin270 cos270)( −1−2)+12 = ( ) = −10 01( −1−2)+12 = ( ) = − −2+1+12 = ( ) = − −1+3 ′′
′′ ′′
′′
′′ ′′
′′
′′ ′′
′′
′′ ′′
′′
′′ ′′
′′
′′ ′′
Dari contoh dapat dilihat bahwa komposisi dua rotasi dengan titik pusat yang sama, dapat di gambarkan dengan sebuah transformasi tunggal.
5. Berikan contoh komposisi dua rotasi dengan titik pusat rotasi yang berbeda. Selanjutnya, dapatkah Anda menentukan sebuah transformasi tunggal yang menggambarkan komposisi rotasi tersebut! Jawab
Contoh Titik B (-2, 1) dirotasikan sejauh 60 0 dengan titik pusat (2, 0) dan dilanjutkan dengan rotasi 300 dengan titik pusat (-1, 2)
60 −sin60( −2)+2 = cos60 sin60 cos60 −0 0 − 3 √ 2 = ( ) = √ 3 −2−2 + 1−0 0 − √ 3 −4 2 = ( ) = √ 3 1 +0 0 − = ( ) = −2√ 3 √ +3 30 −−1 −1 −si n 30 = cos30 sin30 cos30 ( −3 )+ 3 Titik B(-2, 1) dirotasikan
berlawanan arah jarum jam dengan titik pusat (2,0)
′
′
′ ′
′
′ ′
′
′ ′
Dirotasikan ′′
berlawanan arah jarum jam dengan titik pusat (-1, 3) ′
′
′′
′′
√ 3 − 0 − √ 3 +1 −1 = √ 3−2√ 3 + −3+ 3 √ 3 − 1 + √ 3 −1 = √ 3−5√ 3 + + 3 √ 3 + − √ 3 − −1 = + √ 3 + − √ 3+ 3 −1 −2√ 3 + = −√ 3 + + 3 −2 3 − √ = −√ 3 + −2 3 − √ =
−√ 3 +9 ′′
′
′
′
′
′′
Titik pusatnya berbeda sehingga kedua rotasi pada contoh diatas tidak dapat digambarkan komposisi rotasi tunggalnya.
