BAB I TEOREMA LIMIT
I.
II
Teorema limit di bawah ini disusun untuk acuan : lim f(x). c Jika f (x) = c suatu konstanta, maka Jika dan maka ; x
lim lim k . f ( x) kA xa
III IV V VI
a
, k k sembarang sembarang konstanta
Limit Bentuk Be ntuk Tak Tentu Tentu Dalam mencari Turunan Turunan fungsi f (x) yang dapat di diferensiasi dengan ketentuan bertahap. Karena limit pembilang maupun penyebut dari pecahan adalah nol, maka (a) biasa disebut tak tentu jenis 0/0. Dengan cara sama, adalah biasa untuk menyebut tak tentu jenis Symbol-simbol ini, 0/0, dan lain-lain yang diperkenalkan kemudian tidak boleh dianggap secara harfiah, mereka hanyalah nama-nama mudah untuk mudah untuk membedakan jenis-jenis yang ada
Untuk limit bentuk tak tentu 0/0, dan Hospital yaitu : Jika limiat
Lim x a
F ( x ) G ( x )
berlaku ketentuan L ’
= 0/0, atau
Maka harga limitnya adalah : Lim x a
F ' ( x ) G ' ( x )
k , 0 ,
Catatan : Bentuk-bentuk bilangan tertentu = k, o k
0 0 k
; k 0 0 ; k 0
k
k
0 ; k ; k 0
BAB II DEFERENSIAL
2.1. Pendahuluan
Pertambahan Pertambahan x suatu variabel x adalah perubahan dalam x bila x membesar atau mengecil dari satu nilai x = x0 menjadi nilai lain x = x1 pada jangkauannya. Di sini, x = x1 – x0 dan dapat ditulis x1 = x0 + x. Bila variabel x diberi pertambahan x terhadap x = x0 (artinya, jika x berubah dari x = x0 menjadi x = x0 + x) dan dengan demikian sebuah fungsi y = f(x) diberi pertambahan y = f(x0 + x) – f(x0) dari y = f(x0), hasil bagi
perubahan n dalam y x perubaha perubahan n dalam x x perubaha
disebut laju perubahan rata-rata dari fungsi selang antara x = x0 dan x = x0 + x.
TURUNAN Turunan (derivative) suatu fungsi y = f(x) terhadap x = x0 didefinisikan sebagai: dy y f x x f x lim lim dx x x 0
x 0
0
x 0
Asal limitnya ada. Limit ini juga disebut laju perubahan sesaat (atau mudahnya, laju perubahan), dari y terhadap x pada x = x0. Dalam mencari turunan indeks 0 biasanya dihilangkan dan turunan y = f(x) terhadap x diperoleh dari :
Turunan Turunan y = f(x) terhadap x dapat dinyatakan oleh salah satu simbol d dx
y,
dy dx
, D y, y ' , f ' x , atau x
d dx
f x
2.2 Diferensiasi Fungsi Aljabar Suatu fungsi dikatakan dapat dideferensiasi di x = x0 bila fungsi itu mempunyai turunan di titik tersebut. Suatu fungsi dikatakan dapat dideferensiasi pada suatu selang bila fungsi itu dapat dideferensiasi di setiap titik pada selang tersebut. Fungsi-fungsi kalkulus dasar dapat dideferensiasi, kecuali k ecuali mungkin pada titik-titik tertentu yang terisolasi, pada selang definisinya.
Rumus-rumus Diferensiasi Dalam rumus-rumus ini u, v dan w adalah fungsi-fungsi x yang dapat dideferensiasi
Diferensiasi Fungsi Suatu Fungsi Jika y = f(u) dan u = g(x), maka y = f{g(x)} adalah fungsi x. Jika y adalah fungsi u yang dapat didiferensiasi dan jika u adalah fungsi yang dapat didiferensiasi, maka y = f{g(x)} adalah fungsi x yang dapat didiferensiasi. Dan turunan dy/dx dapat diperoleh lewat salah satu cara di bawah ini : Cara 1. Nyatakan y secara eksplisit dalam x dan diferensiasi Contoh : Jika y = u2 + 3 dan u = 2x + 1, maka y = (2x + 1)2 + 3 dan dy/dx = 8x + 4 Cara 2. Diferensiasi tiap fungsi terhadap variabel bebas dan gunakan rumus atau aturan rantai Contoh : Jika y = u2 + 3 dan u = 2x + 1, maka maka = 4u = 4(2x + 1) = 8x + 4
Turunan-turunan Lebih Tinggi Misalkan y = f(x) adalah fungsi x yang dapat didiferensiasi, maka :
2.3 Diferensiasi Implisit Fungsi-fungsi Implisit Suatu persamaan f(x, y) = 0, pada jangkau terbatas dari variabel-variabel tertentu, dikatakan mendefinisikan y sebagai fungsi x secara implisit . Turunan y’ dapat diperoleh dengan cara : a.Jika mungkin, pecahkan y dan diferensiasi terhadap x (atau jika mungkin rubah dari bentuk implisit menjadi bentuk eksplisit). Untuk persamaan-persamaan yang sangat sederhana, cara ini dapat diabaikan. b. Dengan memikirkan y sebagai fungsi x, diferensiasi fungsi yang diketahui terhadap x dan cari y’ dari hubungan yang diperoleh. Proses diferensiasi ini dikenal sebagai diferensiasi implisi
Contoh : Cari y’, bila diketahui xy + x – 2y – 1 = 0.
Cara a. Rubah dari bentuk implisit menjadi eksplisit.
Cara b. Masing-masing suku diferensiasikan ke-x
Turunan Tingkat Lebih Tinggi Dapat diperoleh lewat salah satu cara : a. Diferensiasi secara implisit turunan satu tingkat lebih rendah dan dan ganti y’ dengan hubungan yang telah diperoleh terlebih dahulu.
b. Diferensiasi secara implisit persamaan yang diketahui sejumlah yang diperlukan untuk mendapatkan turunan yang diminta dan eliminasi semua turunan dengan tingkat lebih rendah. Cara ini dianjurkan hanya bila turunan dengan tingkat lebih tinggi pada suatu titik ditanyakan.
Contoh 2: Cari harga y” dari kurva x2y + 3y – 4 = 0 di titik ( – – 1, 1) dari kurva x2y + 3y – 4 = 0. Diferensiasi secara implisit terhadap x dua kali : x2y’ + 2xy + 3y’ = 0 dan x2y” + 2xy’ + 2xy’ + 2y + 3y” = 0 Substitusikanlah x = – 1, y = 1 pada hubungan pertama, maka y’ = ½ Substitusikanlah x = – 1, y = 1, y’=½ pada hubungan kedua, maka y”= 0 2.4. Diferensiasi Fungsi Trigonometrik Trigonometrik Aturan-aturan Diferensiasi Misalkan u adalah fungsi x yang dapat didiferensiasi:
2.5 Diferensiasi Fungsi Invers Trigonometrik Trigonometrik Misalkan u adalah fungsi x yang dapat didiferensiasi, maka :
Contoh :
2.6 Diferensiasi Fungsi Eksponensial dan Logaritmik Logaritmik Jika u adalah fungsi x yang dapat didiferensiasi,
Contoh Soal :
2.7 Diferensiasi Fungsi Hiperbolik Definisi Fungsi-fungsi Hiperbolik Untuk u tiap bilangan riil, kecuali bila dikatakan :
Rumus-rumus Diferensiasi Jika u adalah fungsi x yang dapat didiferensiasi
Contoh :
2.8 Diferensiasi Fungsi Bentuk Parametrik Persamaan Parametrik Jika koordinat (x, y) suatu titik P pada suatu kurva diberikan sebagai fungsi-fungsi x = f(u), y = g(u) dari variabel ketiga atau parameter u, persamaan x = f(u), y = g(u) dinamakan persamaan persamaan parametrik parametrik kurva tersebut. Contoh : a). x = cos , y = 4 sin2 adalah persamaan-persamaan parametrik, dengan parameter , dari parabola 4x2 + y = 4,karena 4x2 + y = 4 cos2 + 4 sin2 = 4 b). x = ½ t, y = 4 – t2 adalah pernyataan parametrik lain, dengan parameter t, dari kurva yang sama.
Jika x = f(u), y = g(u), maka :
2.9 Turunan Parsial Turunan parsial misalkan z = f(x, y) adalah fungsi variabel bebas x dan y. Karena x dan y bebas, (i) dapat dimungkinkan x yang berubah-ubah, sementara y dianggap tetap, (ii) dapat dimungkinkan y berubah-ubah sementara x dianggap tetap, (iii) dapat dibolehkan x dan y keduanya berubah bersama-sama. Pada dua keadaan pertama, z merupakan fungsi variabel tunggal dan dapat diturunkan menurut aturan-aturan yang biasa. Jika x berubah sedangkan y dianggap tetap, z adalah fungsi x dan turunannya ke x.
Jika y berubah sedangkan x dianggap tetap, z adalah fungsi y dan turunannya ke y.
2.10 Turunan Parsial Misal z = f(x, y) adalah fungsi variabel bebas x dan y. y. karena x dan y bebas, (i) dapat dimungkinkan x yang berubah-ubah, sementara y dianggap tetap, (ii) dapat dimungkinkan y berubah-ubah, sementara x dianggap tetap, (iii) dapat dibolehkan x dan y keduanya berubah bersama-sama. Pada dua keadaan pertama, z merupakan fungsi variabel tunggal dan dapat diturunkan menurut aturan-aturan yang biasa. Jika x berubah sedangkan y dianggap tetap, z adalah fungsi x dan turunannya ke-x.
Disebut turunan (pertama) parsial dari x = f(x, y) ke x . Jika y berubah sedangkan x dianggap tetap, maka z adalah fungsi y dan turunannya ke-y.
Turunan Parsial Tingkat Tinggi Turunan parsial dari z = f(x, y) dapat diturunkan parsial lagi ke x dan ke y, menghasilkan turunan parsial kedua
2.11. Diferensial Diferensi al Total Total dan d an Turunan Total Total Diferensial Total Diferensial dx dan dy untuk fungsi y = f(x) dari satu ariable bebas x didefinisikan sebagai berikut :
Fungsi dua ariable ariable bebas x dan y, z = f(x, f(x, y), dan didefinisikan didefinisikan dx = x dan dy = y. Bila x berubah, sedangkan y tetap, z merupakan fungsi x saja dan diferensial parsial z terhadap x didefinisikan sebagai dxz = fx(x, y) dx = . Dengan cara sama, diferensial parsial z terhadap y didefinisikan oleh dyz = fy(x, y) dy = . Diferensial total dz didefinisikan sebagai jumlah diferensial parsialnya, yaitu :
Untuk fungsi w = F(x, y, z, …, t) diferensial total dw didefinisikan sebagai :
Aturan Rantai untuk Fungsi Bersusun Jika z = f(x, y) suatu fungsi kontinu dari ariable-variabel x, y, dengan turunan parsialnya z/ x dan z/ y, kontinu dan jika x dan y merupakan fungsi ariable t yang didefensiabel x = g(t), y = h(t), maka z adalah fungsi t dan dz/dt, disebut turunan total z ke t, dinyatakan oleh :
2.12. Turunan Turunan Parsial Fungsi Implisit 1. Jika f(x, y) kontinu pada daerah yang memuat titik (x0, y0) sehingga , Jika , kontinu di seluruh daerah ini, dan jika di (x0, y0), maka terdapatlah sekitar (x0, y0) di mana f(x, y) = 0 dapat diselesaikan untuk y sebagai fungsi diferensial yang kontinu 2.
Jika F(x, y, z) kontinu pada daerah yang memuat titik (x0, y0, z0) sehingga F(x0, y0, z0) = 0, jika kontinu di seluruh daerah itu, dan jika pada (x0, y0, y0, z0), maka terdapatlah sekitar (x0, y0, z0) dimana F(x, y, y, z) = 0 dapat diselesaikan untuk z sebagai fungsi diferensial yang kontinu dari x dan y :
2.13. Garis Singgung dan Normal Jika Fungsi f(x) mempunyai turunan terbatas f(x 0 ) di x = x0, kurva y = f(x) mempunyai garis singgung di P 0(x0, y0) yang tangen arahnya =f’(x f’(x 0 = ) adalah : m = tan – y 0 = m(x-x 0 ) Dan persamaan garis singgung adalah : y –
Jika m = 0, kurva mempunyai persamaan garis singgung horisontal – y 0 di P0. dengan persamaan y – Normal suatu kurva pada salah satu titiknya adalah garis yang lewat titik tersebut dan tegak lurus garis singgung di titik tersebut. Persamaan normal di P0(x0, y0) adalah :
Jika garis singgung horisontal maka garis normalnya x = x0.
Jika garis singgung vertikal maka garis normalnya y = y0.
Panjang Garis Singgung, Normal, Subgaris Singgung dan Subnormal Panjang garis singgung suatu singgung suatu kurva di salah satu titiknya didefinisikan sebagai panjang bagian garis singgung di antara titik singgungnya dan sumbu-x. Panjang proyeksi segmen ini pada sumbu-x disebut panjang subgaris singgung . Panjang normal didefinisikan normal didefinisikan sebagai panjang bagian normal antara titik singgung, garis singgung dan sumbu-x. Panjang proyeksi segmen ini pada sumbu-x disebut panjang subnormal . Pada gambar disamping : Panjang subgaris singgung = TS = y0/m Panjang subnormal = SN = my0. Panjang garis singgung Panjang normal
2.14 Harga Maksimum Maksimum dan Harga Minimum Fungsi Naik dan Fungsi Turun. Suatu fungsi f(x) dikatakan naik di x = x0, jika 1. untuk h positif dan cukup kecil berlaku f(x0 – h)< f(x0)< f(x0 + h) 0 Fungsi y = f(x) di katakan turun di x = x0, jika untuk h positif dan cukup kecil kecil berlaku f(x0 – h) > f(x0) > f(x0 + h) <0 Fungsi y = f(x) dikatakan stasioner di x = x0, jika = 0 Harga-harga x yang memenuhi sehingga fungsi f(x) stasioner disebut harga kritis fungsi tersebut. Jika y = f(x) dapat dideferensialkan pada selang a < x < b dan jika f(x) mempunyai harga max/min relatif di x = x0, dimana a < x0 < b maka f’(x) = 0. Untuk mencari harga max/min relatif dari fungsi f(x) dapat dilakukan dengan :
Pengujian turunan pertama meliputi pertama meliputi : 1. Pecahkan f’(x 0 )=0 untuk mendapat harga kritis
2. Gambar harga kritis pada garis bilangan, dengan demikian terbentuk sejumlah selang 3. Tentukan f’(x) tanda pada tiap selang 4. Misalkan x bertambah setelah tiap harga kritis kritis x = x0; maka f(x) mempunyai harga maksimum (= f(x)) jika f’(x) berubah dari +ke f(x) mempunyai harga minimum (= f(x)) jika f’(x) berubah dari ke + f(x) tidak mempunyai harga maksimum ataupun minimum di x = x0 jika f’(x) tidak mengalami perubahan tanda. Pengujian turunan kedua meliputi kedua meliputi : 1. Pecahkan f’(x 0 )=0 untuk mendapat harga kritis 2. Untuk harga harga kritis x = x0 : f(x) mempunyai harga maksimum (= f(x)) jika f’(x) < 0 f(x) mempunyai harga maksimum (= f(x)) jika f’(x) > 0 Dalam keadaan terakhir, metode turunan pertama harus digunakan.
BAB III INTEGRAL
3.1. Rumus-rumus Integrasi Dasar Sejumlah rumus-rumus di bawah segera timbul dari rumus-rumus diferensiasi standar dalam bab-bab sebelum ini.
3.2. Integrasi Bagian Jika u dan v adalah fungsi x yang dapat didiferensiasi d(uv) = u dv + v du u dv = d(uv) – v du u dv uv v du (i) (i) Untuk menggunakan (i) dalam menghitung suatu integrasi yang dinyatakan, integral yang diberikan harus dipisahkan menjadi dua bagian, satu bagian adalah u dan bagian lain, bersama dengan dx, adalah dv. dv. (Untuk alasan ini, integrasi dengan menggunakan (i) disebut integrasi bagian). Dua aturan umum dapat ditulis : (a) Bagian yang dipilih sebagai dv harus dapat segera diintegrasi (b) tidak boleh lebih sulit daripada .
3.3. Integral Trigonometrik Hubungan-hubungan berikut digunakan untuk mencari integral trigonometrik 1. sin3 x + cos+2 x = 1 2. 1 + tan2 x = sec2 x 3. 1 + cot2 x = csc2 x 4. sin2 x = ½(1 – cos 2x) 5. cos2 x = ½(1 + cos 2x) 6. sin x cos x = ½ sin 2x 7. sin x cos y = ½[sin (x – y) + sin (x + y)] 8. sin x sin y = ½[cos (x – y) – cos (x + y)] 9. cos x cos y = ½[cos ½[cos (x – y) + cos (x + y)] 10. 1 – cos x = 2 sin2 ½ x 11. 1 + cos x = 2 cos 2 ½ x 12. 1 + sin x = 1 + cos (½ x – x)
3.4. Substitusi Trigonometrik Trigonometrik 2
2 2
2
2 2
Suatu Integran, yang terdiri dari salah satu bentuk a b u , a b u 2 2 2 dan tetapi bukan faktor irrasional lain, dapat diubah ke b u a dalam bentuk lain yang menyangkut fungsi trigonometrik peubah baru sebagai berikut :
3.5. Integrasi dengan Pecahan Parsial Sebuah polinomial dalam x adalah fungsi dalam bentuk a 0xn + a1 xn – 1 + … + a n – 1 x + an, di mana semua a adalah konstanta, a 0 0, dan n adalah bilangan bulat positif termasuk nol. Jika dua polinomial dengan derajat sama adalah sama untuk semua nilai peubah, koefisien peubah dengan pangkat sama dalam kedua polinomial tersebut adalah sama. Tiap polinomial dengan koefisien riil dapat dinyatakan (paling sedikit, secara teoretis) sebagai hasil kali faktor linear riil dengan bentuk ax + b dan faktor kuadratik riil yang tak dapat direduksi dengan bentuk ax2 + bx + c Sebuah Fungsi f x F(x) = g x , di mana f(x) dan g(x) adalah polinomial, disebut pecahan rasional. Jika derajat f(x) lebih kecil dari derajat g(x), F(x) disebut baik ;bila tidak, F(x) disebut tidak baik
Faktor linier berbeda Untuk tiap faktor linear ax + b yang muncul sekali dalam penyebut suatu pecahan rasional yang baik, terdapat sebuah pecahan parsial tunggal A berbentuk , di mana A adalah konstanta yang harus ditentukan. ax b Faktor linear berulang Untuk tiap faktor linear ax + b yang muncul n kali dalam penyebut suatu pecahan rasional yang baik, terdapat suatu penjumlahan n buah pecahan parsial berbentuk , di mana semua A adalah A1
ax b
A2
ax b
2
...
An
ax b
n
konstanta-konstanta yang harus ditentukan. Faktor kuadratik berbeda Untuk tiap faktor kuadratik yang tak dapat direduksi ax2 + bx + c yang muncul sekali dalam penyebut pecahan rasional yang baik, terdapat pecahan parsial tunggal berbentuk , di mana A dan B adalah Ax B 2
ax bx c konstanta-konstanta yang harus ditentukan.
Faktor kuadratik berulang Untuk tiap faktor kuadratik yang tak dapat direduksi ax2 + bx + c yang muncul n kali dalam penyebut suatu pecahan rasional yang baik, terdapat suatu penjumlahan dari n pecahan parsial tunggal berbentuk A1 x B1 ax 2 bx c
A2 x B2
ax
2
bx c
2
.. . ...
An x Bn
ax
2
bx c
n
di mana A dan B adalah konstanta yang harus ditentukan 3.6. Macam-macam Substitusi Bila integran adalah rasional kecuali untuk bentuk akar:
Substitusi u = 2 arc tan z akan menggantikan tiap fungsi rasional dari sin u dan cos u dengan fungsi rasional z, karena
3.7. Pemakaian Integral Tak Tentu Suatu Pesamaan s = f (t), di mana s adalah jarak suatu benda pada saat t terhadap suatu titik tetap pada lintasannya (garis lurus), dengan lengkap mendefinisikan gerakan benda. Kecepatan dan percepatan pada saat t diberikan oleh :
Sebaliknya bila kecepatan (percepatan) pada saat t diketahui, bersama dengan posisi (posisi dan kecepatan) pada suatu saat yang diketahui, biasanya pada t = 0 , persamaan gerakan dapat diperoleh. 3.8. Integral Tertentu Definisi : Simbol dibaca “integral tertentu dari f(x), terhdap x, dari x = a sampai x = b”. Fungsi f(x) disebut integran, sedang a dan b masing-masing disebut batas bawah dan batas atas (batas-batas) integrasi. Definisi : Simbol dibaca “integral tertentu dari f(x), terhdap x, dari x = a sampai x = b”. Fungsi f(x) disebut integran, sedang a dan b masing-masing disebut batas bawah dan batas atas (batas-batas) integrasi.
3.9. LUAS BIDANG
DENGAN INTEGRASI
Jika f(x) kontinu dan tidak negatif dalam selang α ≤ x ≤ b integral tertentu n = lim f ( xk ) k x n
k 1
Limit jumlah ini, (x) dx, bila jumlah pita menuju tak terhingga seperti dijelaskan adalah luas bagian bidang yang digambarkan di atas, atau secara singkat, luas dibawah kurva dari x = a hingga x = b
Dengan cara yang sama, bila x = g(y) adalah kontinu dan tidak negatif dalam selang c ≤ y ≤ d , maka integral tertentu dari definisi adalah luas yang dibatasi kurva x = g(x), sumbu – y dan absis y = c serta y = d
Langkah-langkah yang perlu untuk membentuk integral tertentu yang menghasilkan luas yang diminta adalah: •
Buat suatu gambar yang menunjukkan (a) luas yang dicari (b) wakil pita, dan (c) persegi panjang yang didekati. Sebagai suatu kebijaksanaan, akan ditujukan wakil sub selang yang lebarnya x (atau y) dan titik xk (atau yk) pada sub selang ini sebagai titik tengah.
•
Tulis luas persegi penjang yang didekati dan jumlahnya untuk n buah persegi panjang.
•
Misalkan jumlah persegi panjang menuju tak terhingga dan gunakan Teorema Teorema Dasar pada bab sebelum ini
3.10. VOLUME BENDA PUTAR Benda Putar dibentuk dengan memutar suatu bidang datar sekeliling sebuah garis, disebut sumbu putar pada bidang datar. Volume benda putar dapat ditemukan melalui salah satu cara di bawah ini. Metode Cakram Langkah-langkahnya : •
Buatlah sketsa daerah yang dimaksud, suatu pita wakil tegak lurus sumbu putar dan persegi panjang yang didekati pita itu seperti telah disebutkan pada bab terdahulu.
•
Tulislah volume dari cakram (tabung) yang terbentuk, jika persegi panjang yang didekati itu diputar dan hitung jumlah volume n buah persegi panjang yang didekati.
•
Andaikan banyaknya persegi yang didekati, menuju tak terhingga dan gunakan teorema dasar (Foundamental Theorem).
Metode Rumah Siput Langkah-langkahnya :
Buatlah sketsa daerah yang dimaksud, suatu pita wakil sejajar sumbu putar dan persegi panjang.
Tulislah Volume (= keliling rata-rata x tinggi x tebal) rumah siput yang terbentuk tabung yang terjadi apabila persegi panjang yang didekati itu diputar sekeliling sumbu putar dan hitung jumlah volume n buah persegi panjang yang didekati.
Andaikan benyaknya persegi panjang yang didekati, menuju tak terhingga dan gunakan teorema dasar. dasar.
3.11. Titik Berat
Momen (Pertama) M L suatu lulusan bidang, terhadap suatu garis L ialah hasil kali luas dengan jarak langsung titik berat ke garis itu. Momen luasan gabungan terhadap suatu garis merupakan jumlah momen masing –masing luasan terhadap garis itu.
Momen suatu luasan bidang terhadap sumbu koordinat didapatkan sebagai berikut:
Gambarlah daerah yang dimaksud, tunjukkan pita wakil dan persegi panjang yang didekati.
Bentuklah hasil kali luas persegi panjang dan jarak titik berat dari sumbu koordinat, dan jumlahkan untuk semua persegi panjang.
Andaikan banyaknya persegi panjang menuju tak terhingga dan gunakan teorema Dasar. (Lihat Soal 2).
Untuk suatu luasan bidang A yang mempunyai titik berat (dan momen-momenya Mx dan My terhadap sumbu – x dan sumbu – y, A
= M y dan A
= M x
Momen (Pertama) Suatu Benda yang bervolume V , termasuk oleh perputaran suatu daerah sekeliling sumbu koordinat, terhadap bidang yang melalui titikasal dan tegak lurus pada sumbu itu, didapatkan sebagai berikut:
Gambarlah daerahnya, tunjukan pita wakil dan persegi panjang yang didekati
Bentuklah hasil kali, volume, cakram atau rumah siput, yang terbentuk oleh perputaran persegi penjang sekeliling sumbu koordinat dan jarak titik berat persegi penjang dari bidang itu, dan jumlahkan untuk semua persegi panjang.
Andaikan banyaknya persegi panjang menuju tak terhingga gunakan teorema Dasar. Dasar.
Jika daerah diputar sekeliling sumbu – x, titik berat ( (terletak pada sumbu putar. Jika Myz ialah momen benda terhadap bidang yang melalui asal dan tergak lurus sumbu – x. V x = Myz, dan y = 0
Dengan cara yang sama. Jika daerah diputar sekeliling sumbu – y, titik berat ( terletak pada sumbu putar. putar. Jika M xz ialah momen benda terhadap bidang yang melalui titik asal dan tegak lurus sumbu – y.
V y = Myz, dan x = 0
Teorema Papus yang pertama. Jika suatu daerah diputar sekeliling sumbu putar dan tidak memotong daerahnya, Volume benda yang terjadi sama dengan hasil kali luas daerah itu dengan panjang lintasan titik berat daerah itu.
Jari-jari Girasi. Bilangan positif R dalam persamaan l L = AR 2 untuk suatu luasan bidang A, dan l L = VR 2 untuk benda putar, disebut jari-jari girasi dari luas atau volume itu terhadap garis L. Teorema Garis Sejajar, Sejajar , Momen inersia suatu luas, pajang busur, atau volume terhadap setiap sumbu sama dengan momen inersia terhadap garis yang sejajar sumbu, melalaui titik berat ditambah hasil kali luas, panjang busur, atau volume dengan kuadrat jarak kedua garis sejajar itu.
3.12. Momen Inersia
Momen inersia I L suatu luasan bidang A terhadap garis L pada bidangnya didapatkan sebagai berikut:
Buatlah sketsa daerahnya, tunjukkan pita wakil sejajar dengan garis dan persegi panjang yang didekati.
Bentuklah hasil luas persegi panjang dan kuadrat jarak titik beratnya dari garis dan jumlahkan untuk semua persegi panjang.
Andaikan banyaknya persegi panjang menuju tak terhingga dan gunakan teorema Dasar.
Momen interasia I L benda yang bervolume V , terbentuk oleh perputaran suatu daerah sekeliling garis L pada bidangya, terhadap garis tu (sumbu putar benda) didapatkan sebagai berikut:
Buatlah sketsa yang menunjukkan pita wakil sejajar sumbu putar dan persegi panjang yang didekati.
Bentuklah hasil kali volume, yang terbentuk oleh perputaran persegi panjang sekeliling sumbu putar (rumah siput) dan kuadat jarak titik berat persegi panjang dari sumbu putar, dan jumlahkan untuk semua persegi panjang.
Andaikan banyaknya persegi panjang menuju tak terhingga dan gunakan teorema Dasar.
BAB IV PERSAMAAN DIFERENSIAL Cara-cara penyelesaian persamaan Diferensial orde satu : dy Metode 1: Dengan integrasi secara langsung f x dx Jika persamaan dapat disusun dalam bentuk , maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan integrasi sederhana. dy 3 x 6 x 5 dx Contoh : Maka y 3x 6x 5dx x 3x 5x C Yaitu y x 3 x 5 x C Konstanta harus disertakan. Di sini muncul suatu konstanta sembarang yang akan selalu kita peroleh apabila kita menyelesaikan suatu persamaan diferensial orde-pertama. 2
2
3
3
2
2
Metode 2: Dengan pemisahan variabel f Jika persamaan yang diberikan berbentuk dy , x, y dx variabel y di sisi kanan menyebabkan persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan dengan integrasi langsung. Sehingga kita harus menggunakan metode lain untuk menyelesaikan.
Contoh :
dy 2 x dx y 1
Kita dapat menulisnya kembali sebagai integrasikan kedua sisi terhadap x :
dy dx
y 1 2x Sekarang
Metode 3: Persamaan homogen – dengan substitusi y = vx Berikut adalah sebuah persamaan :
dy x 3y dx 2x
Ini nampaknya cukup sederhana, tetapi kita tahu bahwa kita tidak dapat menyatakan sisi kanan dalam bentuk “faktor -x” dan “faktor -y”, jadi kita tidak dapat menyelesaikannya dengan metode pemisahan variabel. Dalam kasus ini kita menggunakan substitusi y = vx, di mana v adalah fungsi dari x. Sehingga y = vx. Diferensiasikan terhadap x (dengan menggunakan aturan hasilkali).
BAB V TRANSFORMASI LAPLACE
Definisi transformasi laplace
Beberapa Sifat Penting Transformasi Transformasi Laplace
Metode untuk mendapatkan transformasi Laplace
Transformasi Laplace Invers
Sifat-sifat Transformasi Transformasi Laplace Invers
