NAMA : NURIN HIDAYATULLAH
NIM : F04112071
20. Tentukan banyaknya "solusi bulat" dari setiap persamaan berikut
(a). X1+X2+X3+X4=80, 1 Xi 30, i 1,2,3,4
Dari persamaan dapat dibentuk fungsi pembangkit
P(X) = x+x2+x3+…+x304
= x41+x+x2+x3+…+x294
= x41-x301-x4
= x41-x3041-x-4
= x4.s=04-1s4sx30s.r=0~r+4-1rxr
= x4.s=04-1s4sx30s.r=0~r+3rxr
Kita tertarik dengan koefisien x80 dalam P(X). Untuk itu cari s dan r sehingga:
4+30s+r=80
Solusi bulat dari persamaan ini adalah:
a). s=0 dan r=76
b). s=1 dan r=46
c). s=2 dan r=16
Sehingga, banyaknya cara yang dimaksud = koefisien x80 dalam
P(X) = 4076+376+-114146+346+-124216+316
= 407976-414946+421916
= (1)(79079)-(4)(18424)+(6)(969)
= 79079-73696-5814
=11197 cara
(b). X1+X2+X3=50, Xi 3, i {1,2,3}
Dari persamaan dapat dibentuk fungsi pembangkit :
P(X) = x3+x4+x5+…3
= x91+x+x2+x3+…3
= x911-x3
= x9r=0~r+3-1rxr
= x9r=0~r+2rxr
= r=0~r+2rxr+9
Banyaknya cara yang dimaksud = koefisien xk dalam P(X)
Untuk mencari nilai r:
Kita ketahui dari soal, x50 maka k=50
Koefisien dari xk dengan k=r+9
Maka dapat kita dapatkan nilai r, k =r+9
50 =r+9
r =50-9
r =41
Jadi banyaknya solusi bulat yang dimaksud yaitu:
41+241 = 4341
= 43!41!43-41!
=43!41!.2!
=903 cara
(c). X1+X2+X3+…+Xn=k, Xi 0, 1 i n;k bulat
Dari persamaan dapat dibentuk fungsi pembangkit:
P(X) = 1+x+x2+x3+…n
= 11-xn
= r=0~r+n-1rxr
Banyaknya cara yang dimaksud = koefisien xk dalam P(X)
Dapat disimpulkan bahwa :
K=r
Maka , r=0~k+n-1kxk
Banyaknya solusi bulat yang dimaksud yaitu
k+n-1k = k+n-1!k!k+n-1-k!
= k+n-1!k!n-1!
21. Sebuah kata sandi yang panjangnya k dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf a,b,dan c sedemikian hingga memuat paling sedikit satu a, satu b, dan satu c
Dari pernyataan diatas dapat dibuat fungsi pembangkit :
Misalkan banyaknya a=n1, b=n2, dan c=n3 dengan panjang k
P(X) = ax+a2x22!+a3x33!+…+an1xn1n1!bx+b2x22!+b3x33!+…+bn2xn2n2!cx+c2x22!+c3x33!+ …+cn3xn3n3!
=( acx2+ac2x32!+…+acn3xn33!+ab2cx4+ab2c2x52!+…+ab2cn3xn3+3n3!+…+abn2cxn2+1n2!+ abn2c2xn2+2n2!n2!+…+ abn2cn3xn2+n3n2!n3!+…+a2bcx42!+a2bc2x52!2!+…+ a2bcn3xn3+32!n3!+…+ a2b2cx52!2!+a2b2c2x62!2!2!+…+ a2b2cn3xn3+32!2!n3!+…+an1bn2cxn1+n2+1n1!n2!+an1bn2c2xn1+n2+2n1!n2!2!+…+ an1bn2cn3xn1+n2+n3n1!n2!n3!)
Karena yang dicari dengan panjang k dengan k=n1+n2+n3
Maka, koefisien xkk! dalam P(X) menyatakan banyaknya kata sandi dengan panjang k
Karena barisan yang memenuhi nilai k adalah an1bn2cn3xn1+n2+n3n1!n2!n3!
Sama halnya dengan = n1+n2+n3! an1bn2cn3n1!n2!n3!xn1+n2+n3n1+n2+n3!
Jadi, banyaknya cara membentuk kata sandi (permutasi) dengan panjang k adalah koefisien dari xkk! Yaitu n1+n2+n3! an1bn2cn3n1!n2!n3!
*Karena pertanyaan pada soal membingungkan saya bersangkutan paling sedikit satu a, satu b, dan satu c. Dari pertanyaan tersebut saya dapat menarik 2 kesimpulan
1. Dengan paling sedikit satu a, paling sedikit satu b, paling sedikit satu c
2. Dengan paling sedikit satu a, hanya satu b, dan hanya satu c
Karena sudah dituliskan penyelesaian dari kesimpulan 1 dengan banyaknya cara membentuk kata sandi = n1+n2+n3! an1bn2cn3n1!n2!n3!
Kemudian akan dituliskan penyelesaian untuk kesimpulan 2.
Dengan P(X) yang dapat dibentuk dengan a sebanyak n
P(X) = ax+a2x22!+a3x33!+…+anxnn!bxcx
= abcx3+a2bcx42!+a3bcx53!+…+anbcxn+1+1n!
Karena a sebanyak n, maka dapat disimpulkan nilai k=n+2, karena huruf b dan c masing-masing menempati 1 tempat pada kata sandi.
Karena panjang k dengan k=n+2
Maka, koefisien xkk! Adalah anbcxn+2n!
Sama halnya dengan n+2!anbcn!xn+2n+2!
Jadi banyaknya cara membentuk kata sandi (permutasi) dengan panjang k adalah koefisien dari xkk! Yaitu n+2!anbcn!
23. Tentukan banyaknya barisan ternair n-angka yang memuat
(a). Angka "0" sebanyak ganjil dan "1" sebanyak genap
Fungsi pembangkit dari persamaan ini adalah
Px=x+x33!+x55!+…1+x22!+x44!+…1+x22!+x33!+x44!+x55!…
=ex+e-x2ex-e-x2ex
=ex+e-x2e2x-12
=ex+e-xe2x-14
=e3x+e-x-ex-e-x4
=e3x-e-x4
=14e3x-e-x
=14n=03xnn!-14n=0-xnn!
Banyaknya barisan yang dimaksud = koefisien dari xnn! dalam
P(x) =143n-14-1n
(b) Angka "0" dan "1" masing-masing sebanyak bilangan genap dan "2" sebanyak ganjil
Fungsi pembangkit dari persamaan ini adalah
Px=1+x22!+x44!+…2x+x33!+x55!+…
=ex+e-x22ex-e-x2
=e2x+e-2x+24ex-e-x2
=e3x-ex+e-x-e-3x+2ex-2e-x8
=14e3x-e-3x-ex-e-x+2ex-2e-x2
=14e3x-e-3x2-14 ex-e-x2+12ex-e-x2
=143x+33x33!+35x55!+…-14x+x33!+x55!+…+ 12x+x33!+x55!+…
=3x4+334x33!+354x55!+…-x4+14x33!+14x55!+…+x2+12x33!+ 12x55!+…
= 2x4+264x33!+2424x55!+…+x2+12x33!+12x55!+…
=x2+132x33!+1212x55!+…+x2+12x33!+12x55!+…
=2x2+142x33!+1222x55!+…
=x+7x33!+61x55!+…
0, n= genap
Banyaknya barisan yang dimaksud = koefisien xnn! dalam P(x)
3n+14, n=ganjil
(c) Angka "0","1"dan "2" masing masing sebanyak bilangan genap
Fungsi pembangkit persamaan ini adalah
P(X) = 1+x22!+x44!+…3
= e2x+e-2x+24ex+e-x2
= e3x+ex+e-x+e-3x+2ex+2e-x8
= 14e3x+e-3x+ex+e-x+2ex+2e-x2
= 14e3x+e-3x2+14 ex+e-x2+12ex+e-x2
= 141+32x22!+34x44!+…+141+x22!+x44!+…+121+x22!+x44!+…
= 14+324x22!+344x44!+…+14+14x22!+14x44!+…+12+12x22!+12x44!+…
= 24+104x22!+824x44!+…+12+12x22!+12x44!+…
= 12+52x22!+412x44!+…+12+12x22!+12x44!+…
= 1+62x22!+422x44!+…
= 1+3x22!+21x44!+…
0, n= ganjil
Banyaknya barisan yang dimaksud = koefisien xnn! dalam P(x)
3n+34, n=genap
(d) Angka "0","1"dan "3" masing-masing sebanyak bilangan ganjil
P(X) = x+x33!+x55!+…3
= e2x+e-2x-24ex-e-x2
= e3x-ex+e-x-e-3x-2ex+2e-x8
= 14e3x-e-3x-ex-e-x-2ex-2e-x2
= 14e3x-e-3x2-14 ex-e-x2-12ex-e-x2
= 143x+33x33!+35x55!+…-14x+x33!+x55!+…-12x+x33!+x55!+…
= 3x4+334x33!+354x55!+…-x4+14x33!+14x55!+…-x2+12x33!+12x55!+…
= 2x4+84x33!+2424x55!+…-x2+12x33!+12x55!+…
= x2+42x22!+1212x55!+…-x2+12x33!+12x55!+…
= 0+32x33!+1202x55!+…
= 32x33!+60x55!+…
0, n= genap,1
Banyaknya barisan yang dimaksud = koefisien xnn! dalam P(x)
3n-34, n=ganjil, n>1
25. Tentukan banyak cara menempatkan n orang yang berbeda di dalam 100 kamar berbeda sedemekian hingga
Tidak ada kamar kosong
Tiap kamar berisi paling sedikit satu dan paling banyak dua orang
Penyelesaian :
Karena tidak ada kamar yang kosong, maka fungsi pembangkit dari persoalan tersebut adalah :
Px=x+x22!+x33!+…100
=1+x+x22!+x33!+…-1100
=ex-1100
=1000e100x-n1e99x+-1k100kex100-k+…+-1100100100
Untuk 0 k n koefisien xnn! dalam exn-kadalah n-kn
Maka koefisien xnn! dalam Pxadalah
=k=0100-1k100k100-kn
Jadi, banyaknya cara yang dimaksud adalah
=k=0100-1k100k100-kn
Karena tiap kamar berisi paling sedikit satu dan paling banyak 2 orang, maka fungsi pembangkit adalah :
Px=x+x22!100
Akan dicari koefisien dari xnn! dari dalam Pxuntuk mendapatkan banyaknya cara penempatan n orang yang berbeda di dalam 100 kamar yang berbeda, sehingga :
Px=x+x22!100
=x1+x2!100
=x1001+x2!100
=x100k=0100kx2!k
=x100k=0100kxk2k
=k=0100k12kxk+100
=k=0100k12k 1 xk+100
=k=0100k12k k+100!k+100! xk+100
=k=0100k12k k+100!xk+100k+100!
=k=0100k12k k+100!2kxk+100k+100!
Banyaknya cara penempatan objek yang berbeda = koefisien xnn! dalam P(x). Maka dari persamaan P(x) yang terakhir diperoleh untuk nilai n dari xk+100k+100! Yaitu :
n=k+100 atau k=n-100
Sehingga persamaan P(x) berubah menjadi :
=n-100=0100n-100n!2n-100xnn!
=n=100100n-100n!2n-100xnn!
Jadi, banyaknya cara menempatkan n orang yang berbeda di dalam 100 kamar yang berbeda adalah:
n=100100n-100n!2n-100