Mirjana St Stojsavqevi}-R ojsavqevi}-Radovanovi}, adovanovi}, Qiqana Vukovi} Jagoda Ran~i}, Zorica Jon~i}
MATEMATIKA zbirka zadataka za {esti razred osnovne {kole
CELI BROJEVI BROJEVNA PRAVA. APSOLUTNA VREDNOST. UPORE\IVAWE BROJEVA ! U toku dana merena je temperatura vazduha vi{e puta i dobijeni rezultati prikazani su u tabeli. vreme (u h) temperatura (u °C)
3
5
7
9
12
15
17
19
20
22
–8
–6
–3
1
0
2
–1
–2
–3
–5
a) Koje su temperature negativne? v) U koliko je ~asova bilo najhladnije?
"
b) Koje su temperature pozitivne? g) U koliko je ~asova bilo najtoplije?
a) Napi{i koordinate ta~aka L, M i N. b) Obele`i na datoj pravoj ta~ke Brojevna prava obi~no se crta horizontalno. Me|utim, ona se mo`e crtati i vertikalno. Deo vertikalno prikazane brojevne prave naj~e{}e se sre}e kod termometara ili metarske skale na kojoj o~itava{ svoju visinu.
E (– 1), F (6) i G (– 4). M L 1 0
N
# Na grafikonu je prikazana promena temperature u toku jednog zimskog dana. a) Kolika je temperatura bila u 10h? b) U koliko je sati izmerena temperatura 0°C? v) U koliko je sati izmerena najni`a temperatura?
temperatura u °C
5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3
7
8
18 9
10
11
12
13
14
$ Dve drugarice su u kupovini. Treba da se na|u ispred lifta. Ana je na drugom spratu, a Nina na tre}em nivou ispod ulaza u tr`ni centar. Koja je od wih daqe od ulaza u tr`ni centar? Zaokru`i ta~an odgovor. a) Ana
15
16
17
19 vreme u h
+4 +3 +2 +1
b) Nina
0
v) obe su jednako udaqene
-1 -2 -3
3
% Date su ta~ke A (– 5), B (+2), C (– 9), D (5) i E (– 1). a) Napi{i ta~ke ~ije su koordinate negativni brojevi. b) Napi{i ta~ke ~ije su koordinate pozitivni brojevi. v) Napi{i ta~ke ~ije su koordinate suprotni brojevi. g) Nacrtaj brojevnu pravu i obele`i date ta~ke. d) Ozna~i ta~ke B1, C1 i E 1 tako da su koordinate ta~aka B i B1, C i C1, E i E 1 suprotni brojevi.
& a) Na brojevnoj pravoj nacrtaj ta~ke B i C koje se nalaze sa raznih strana ta~ke A (2) i udaqene su ~etiri jedini~ne du`i od ta~ke A. b) Napi{i koordinate ta~aka B i C.
' Napi{i tri uzastopna cela broja koja se na brojevnoj pravoj nalaze
:
a) desno od broja – 4 b) levo od broja 2.
( a) Nacrtaj brojevnu pravu i na woj ozna~i ta~k e ~ije su koordinate brojevi 8, – 6, 2, – 4, 6, 10 i –10. b) Pore|aj koordinate ozna~enih ta~aka od najmawe do najve}e.
) Namirnice se u restoranu nalaze u tri zamrziva~a. Termometar na prvom pokazuje temperaturu – 5°C, na drugom – 8°C, a na tre}em – 3°C. U kojem se zamrziva~u nalazi sladoled ako mu je potrebna najni`a temperatura? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora. a) prvom
b) drugom
v) tre}em
* Koji se celi brojevi nalaze izme|u datih brojeva? Osen~i deo brojevne prave kao {t o je zapo~eto. x
a) 1 i 5
0
b) ve}i od – 3?
0
–4
–7
–2
0
:
x –3 –2 –1
0
x –3 –2 –1
0
Osen~i deo brojevne prave kao {to je zapo~eto.
4
4
x
+ Koji celi brojevi su a) mawi od – 2
5
x
b) – 4 i 4
v) – 7 i – 2
1
, Obele`i na brojevnoj pravoj ta~ku koja odgovara
:
b) broju – 150.
a) broju 275
x – 300
– 200
0
– 100
100
- a) Odredi apsolutne vrednosti brojeva
:
200
300
+12, – 105, – 5, 22, – 25.
b) Da li najmawi od datih brojeva ima najmaw u apsolutnu vrednost? Obrazlo`i odgovor.
. Upi{i znak < ili > tako da dobijena nejednakost bude ta~na. b) – 59 ...... – 95
a) 59 ...... 95
g) – 950 ...... – 509
v) 950 ...... 509
/ U tabeli zaokru`i re~ DA ako je tvr|ewe ta~no ili re~ NE ako ak o tvr|ewe nije ta~no. 0 < |– 2| DA
– 225 > |– 22|
NE
DA
– 202 < – 22
NE
DA
NE
|– 23| < 22 DA
– 22 > – 202
NE
DA
NE
: Napi{i brojeve od najmaweg do najve}eg. a) – 4, – 3, – 12, – 7
; Dati su brojevi
:
b) – 5, 0, – 1, 3
v) – 22, – 202, 22, 220
83, – 57, – 27, – 53, 85, – 23, 57.
a) Odredi apsolutne vrednosti datih brojeva. b) Pore|aj date brojeve u rastu}em poretku.
< Dati su brojevi
:
– 7, 4, +7, – 11.
a) Koji od wih imaju istu apsolutnu vrednost? Prika`i te brojeve na brojevnoj pravoj. Mawi broj obele`i ta~kom A, a ve}i ta~kom B. b) Napi{i sve cele brojeve koji se nalaze izme|u ta~aka A i B. v) Napi{i tri cela broja koja su mawa od broja obele`enog ta~kom A. g) Napi{i tri cela broja koja su ve}a od broja obele`enog ta~kom B.
= Napi{i sve cele brojeve
:
a) mawe od 2 i ve}e od – 2
b) ~ija je apsolutna vrednost 2.
> Koji celi brojevi imaju apsolutnu vrednost 50?
Suprotni brojevi imaju Suprotni jednake apsolutne vrednosti.
? Odredi sve brojeve ~ija je apsolutna vrednost mawa od 4. Prvo odredi brojeve ~ija je apsolutna vrednost jednaka 4. Prika`i na brojevnoj pravoj i onda re{i zadatak.
5
@ Napi{i cele brojeve za koje va`i a) 4 ≤ x ≤ 7
b) – 1 < x < 4
Nejednakost x ≥ 5 ispuwavaju svi brojevi iz skupa {5, 6, 7, 8... }}.
:
Nejednakost x > 5 ispuwavaju svi brojevi iz skupa {6, 7, 8... }.
v) – 3 < x < – 1
g) – 9 ≤ x ≤ – 8 d) x ≥ – 8.
A Za svako tvr|ewe napi{i a) – (– 7) = 7
ako je ta~no ili
b) – 7 < – 77
Ќ
v) |– 7| = |7|
ako nije ta~no. g) |– 7| > |– 77|
Izra~unaj. a) |– (– 3)| b) – |– 3| a) |– (– 3)| = |3| =3
––
b) – |– 3| = – 3
–
B Izra~unaj. b) |– (– 51)|
a) |– 51|
g) – |– (– 51)|
v) – |– 51|
C Ako je x ∈{+5, – 8, 0}, izra~unaj
:
a) |– x |
b) – x |x |
v) – |– x |
Izra~unaj.
− ( − ( −23)) − ( − ( −23)) = − (23)
––
= –23
D Izra~unaj. a) – (– 4)
b)
− ( − ( −4))
v)
− ( − ( − ( − 4 ) ))
g)
− ( − ( − (− ( −4))))
⋅ Paran broj znakova znakova „– ” daje znak „+”. ⋅ Neparan broj znakova „–” daje znak „–”.
E Ribarski brodi} krenuo je iz pristani{ta i pre{ao nizvodno 50 km, a zatim uzvodno 60 km. Na kom se rastojawu od pristani{ta nalazi brod? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora. a) 10 km nizvodno
b) 10 km uzvodno
v) 110 km nizvodno
F Vlada je u Beovozu na stanici Autokomanda i zvoni mu mobilni. Sa{ka mu ka`e da ga ~eka i da treba da si|e na drugoj stanici. Vlada je tako uradio, ali se nije na{ao sa Sa{kom. Kako je to moglo da k se desi? i d n a r a e i d a r k m n g n ~ o a u o a ps b e m v o B e n v k ~ t i i n s v t o k o { a o o u u o P m V A N T
6
g) 110 km uzvodno
SABIRAWE CELIH BROJEVA ! Izra~unaj. a) 7 + (– 4)
v) – 7 + (– 4)
b) – 7 + 4
" Kolika je vrednost zbira 4 + (– 44)? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora. b) – 40
a) 40
v) – 48
g) 48
# Izra~unaj. a) 28 + (– 45) d) – 5 + (– 5)
b) – 39 + (– 24) |) 49 + (– 49)
v) – 43 + (+18) e) – 79 + 0
g) 0 + (– 1) `) 51 + (– 19)
$ Izra~unaj. a) 35 + (– 67)
b) – 28 + 40
v) – 31 + 11
g) – 73 + 16
d) – 50 + (– 77)
% Popuni tabelu kao {to je zapo~eto. +
4
8
12
–8
7
–4
–7
3
0
–7
& U svako poqe upi{i zbir dva broja koja se nalaze u poqima ispod wega, kao {t o je zapo~eto. 67
24 11
19 13
–5
6
– 12
' Izra~unaj. a) – 5 + (– 3) + (– 22)
b) 6 + (– 16) + 19
v) 8 + 2 + (– 9)
g) – 6 + 20 + (– 15)
d) – 10 + 4 + (– 9)
|) – 5 + (– 6) + 7
e) – 9 + (– 7) + (– 5)
`) – 12 + 6 + 12
Mo`e{ prvo da izra~una{ zbir prva dva sabirka, pa dobijeni rezultat da sabere{ sa tre}im sabirkom. Na primer : 2 + (– 3) + (– 4) = – 1 + (– 4) = – 5 prvi korak
( Popuni tabelu kao {to je zapo~eto. a
3
a+5
8
a + (– 10)
–7
12
–2
– 15
0
10
–5
7
) Koliki je zbir brojeva – 8, 9 i – 1? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora. a) – 18
b) – 16
v) 0
g) 16
d) 18
* Izra~unaj. a) 2 + (– 5) + (– 7) + 3
b) – 8 + (– 1) + (– 9) + 20
+ Saberi sve cele brojeve od
v) – 30 + 13 + (– 7) + 44
– 2 do 3. Zbir brojeva od –1 do 2 je : –1 + 0 + 1 + 2 = 2
Izra~unaj. – 5 + (– 7 + 4 )
– 5 + (– 7 + 4 ) = – 5 + (– 3) = –8
prvo je izra~unata vrednost zbira koji je u zagradi izra~unat zbir brojeva –5 i –3
, Izra~unaj. a) – 50 + (– 25 + 20 )
- Izra~unaj. a) (10 + ( −28)) + ( −30)
b) – 100 + (– 27 + 35 )
v) (– 14 + 8 ) + (– 34)
g) (– 12 + 49 ) + (– 27)
b) −42 + (15 + ( − 5)) + 30
v) 7 + (– 24) + (– 15 + 17 ) UF, TE?K O JE...
. Izra~unaj. b) (35 + ( −12)) + ( −47 + 18)
a) (– 70 + 40 ) + (– 80 + 110 ) v)
( −67 + 52) + ( −11 + ( − 39))
/ Izra~unaj broj koji se dobija kada
g) 4 + ( −3 + 7) + ( −9 +
( − 1))
:
a) broju 20 doda{ zbir brojeva 31 i – 12 b) zbiru brojeva – 45 i –38 doda{ broj – 10 v) zbiru brojeva 69 i – 69 doda{ zbir brojeva – 82 i – 28.
Izra~unaj. 8+
( −3 + (−10 + ( −6)))
Kada se sabirci nalaze u zagradi koja je unutar druge zagrade, zbir mo`emo da izra~unamo i na slede}i na~in : 8+
( −3 + ( −10 + ( −6))) = 8 + (− 3 + ( − 16)) = 8 + (– 19) = – 11
: Izra~unaj. a) −1 + ( 2 + ( −3 + (4 + ( − 5)))) b) ( −7 + 10) + ( −6 + (3 + ( 2 + ( − 1)))) 8
izra~unat zbir brojeva –10 i –6 izra~unat zbir brojeva –3 i –16 izra~unat zbir brojeva 8 i –19
Prvo ra~una{ zbir u unutra{woj zagradi.
−1 + (2 + ( −3 + (4 + ( − 5)))) prvi korak
Izra~unaj vrednost izraza – 2 + (–a) za: a) a = 3 b) a = – 3. a) Ako je a = 3, onda je –a = – 3. – 2 + (–a) = – 2 + (– 3) = – 5
a i –a su suprotni brojevi
b) Ako je a = – 3, onda je –a = 3. – 2 + (–a) = – 2 + 3 = 1
; Izra~unaj vrednost izraza za x = – 10. a) – 10 + x b) 25 + (–x )
< Popuni tabelu. a
19
–6
7
18
5
–6
– 20
–4
–7
0
b
8
– 15
– 13
–9
9
6
0
4
–5
– 19
–a a+b –a + b
= Popuni tabelu. c
19
–6
7
0
– 6 + (–c) + (– 6)
> Jedan ronilac je zaronio na dubinu od 35 me tara. Drugi ronilac je zaronio za 17 me tara dubqe od prvog. Na kojoj je dubini drugi ronilac? Napi{i odgovaraju}i izraz i izra~unaj.
Dubinu mo`e{ da zapi{e{ kao negativan broj.
9
SABIRAWE I ODUZIMAWE CELIH BROJEVA ! Oduzimawe svedi na sabirawe dva cela broja i izra~unaj zbir. a) 9 – (– 4)
b) – 11 – (+14)
v) – 19 – (– 5)
" Izra~unaj. a) 53 – 28 d) – 250 – (– 320)
b) – 34 – (– 56) |) – 100 – (11 + 36 )
v) – 96 – (– 89) e) (– 13 – 24) – (– 77)
g) – 117 – 45
# Od broja – 24 oduzmi broj – 4. Koji izraz odgovara tekstu? b) – 24 – (– 4)
a) – 24 – 4
v) – 4 – (– 24)
Znak „– “ koristi se za : ⋅ oduzimawe, npr.: 10 – 2 = 8 ⋅ ozna~avawe negativnog broja, npr.: – 2 ⋅ ozna~avawe suprotnog broja, npr.: – (– 3) = 3
$ Broj 56 oduzmi od broja – 16. Koji izraz odgovara tekstu? b) 56 – (– 16)
a) 56 – 16
% Razlika brojeva 100 i – 25 je a) 100 – 25
v) – 16 – 56
g) – 16 – (– 56)
v) 100 – (– 25)
g) – 25 – (– 100)
:
b) – 25 – 100
Koji izraz odgovara tekstu?
& Zapi{i i izra~unaj razliku brojeva a) 71 i 26
:
b) – 39 i 45
v) 81 i – 38
g) – 102 i – 63.
' Za koliko je
:
a) broj 15 ve}i od broja 9 g) broj 8 mawi od broja 17
b) broj 6 ve}i od broja – 10 d) broj – 5 mawi od broja 2
v) broj – 1 ve}i od broja – 4 |) broj – 5 mawi od broja – 2?
( Izra~unaj A + B i A – B ako je A = 51 – 78, B = – 93 – (– 24). ) Izra~unaj. a) – 47 + (19 – 56)
b) 63 + (– 48 + 92 )
v) (– 31 – 45) + (– 65 – 57)
g) (– 64 + 86 ) + (– 93 + 69 )
* Izra~unaj. a) 80 – (49 – 12)
b) 76 – (13 – 52)
v) – 91 – (56 – 27)
g) – 49 – (– 18 – 53)
Prvo izra~unaj vrednost izraza u zagradi.
Izra~unaj. 4–7–5 Podsetimo se da od broja 4 oduzeti broj 7 zna~i broju 4 dodati broj – 7. Ra~unawe izraza 4 – 7 – 5 svodi se na sabirawe brojeva 4, – 7 i – 5: 4 – 7 – 5 = 4 + ( – 7) + ( – 5) Mo`emo da primenimo razli~ite na~ine ra~unawa koriste}i svojstvo asocijacije za sabirawe.
Prvi na~in Drugi na~in
10
4 + (– 7) + (– 5) = – 3 – 5 = –8
broj –3 je zbir prva dva sabirka, 4 i –7
4 + (– 7) + (– 5) = 4 – 12 = –8
broj –12 je zbir drugog i tre}eg sabirka, –7 i –5
broj –8 je zbir sabiraka –3 i –5
broj –8 je zbir sabiraka 4 i –12
+ Izra~unaj. a) 43 + 29 – 35
b) – 57 + 86 – 29
v) – 45 + 54 + 45
g) – 77 – 62 – 51
, Izra~unaj. a) 1 – 51 – 10 – 42
b) – 14 – 6 – 16 – 4
- Izra~unaj. a) – 1 + (3 – 4) – (– 2)
b) (– 40 + 30 ) – (– 50 + 90 )
v) 3 – (4 – 7) + (– 1 – 9)
. a) Od broja – 20 oduzmi zbir brojeva – 13 i 12. b) Od zbira brojeva – 45 i – 38 oduzmi broj suprotan broju – 10. v) Za koliko je broj 50 ve}i od zbira brojeva – 12 i 60? g) Za koliko je broj – 50 mawi od razlike brojeva 12 i 60?
/ Na osnovu teksta sastavi izraz i izra~unaj wegovu vrednost. a) Razlici brojeva 14 i 26 dodaj broj supro tan broju – 35. b) Od zbira brojeva – 38 i – 23 oduzmi wihovu razliku. v) Razliku brojeva – 25 i 12 oduzmi od wihovog zbira. g) Za koliko je zbir brojeva 17 i – 22 ve}i od razlike brojeva – 30 i 45? d) Razliku broja 81 i zbira brojeva – 15 i 66 oduzmi od broja 20.
: Bojan `ivi u Beogradu. ^etuje na Internetu s Majklom, koji `ivi u Sidneju. Razgovoru se prikqu~uje Sowa iz ^ikaga. Ako je u Beogradu 20 ~asova, koliko je sati u Sidneju, a koliko u ^ikagu? Koristi kartu vremenskih zona. *
Ako je u Beogradu 13 ~asova, u Moskvi je 15 ~asova.
Moskva Beograd
^ikago Wujork
Tokio
Sidnej
–11 –10
–9
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
+7
+8
+9 +10 +11 +12
* Pri re{avawu zadatka ne uzimati u obzir letwe ra~unawe vremena (sve zemqe ne prelaze na le twe ra~unawe vremena), niti ~iwenicu da je na severnoj polulopti le to kada je na ju`noj zima.
11
; Mrtvo more je jedino more ~iji je nivo ispod nulte ta~k e, to jest na – 418 m. Stru~waci predvi|aju daqe isu{ivawe tog mora i procewuju da }e za pet godina nivo biti – 430 m. Za koliko }e se spustiti povr{ina Mrtvog mora u tom periodu?
< Izra~unaj. a) – 50 – (10 – 8 – 7) – (5 – 1 – 9)
= Izra~unaj. a) ( −33 + 45) − (21 − (57 + 43)) v) 5 − (12 − (88 − ( 2 − 12))
b) 12 + ( −17 + (13 − 15) − 14) g) ( −6 + 3) − (2 − ( 2 − 5) + 3) − 2
> Izra~unaj. a) −11 − (18 − ( −24)) v) 12 − ( −34 + ( 25 − 12) + 11) ? Popuni tabelu.
b) (– 18 + 16 ) + (– 15 – 3 + 12 )
Pogledaj re{en primer na strani 8 i seti se kako se ra~una vrednost izraza sa vi{e zagrada.
b) 13 − ((54 − 26) − ( − 23 + 15)) g) 40 − ( − (56 − ( −18)) − 4)
a
18
7
9
15
5
–5
b
9
15
– 11
–6
– 14
– 12
a+b a– b
@ Popuni tabelu.
a
– 28
19
b a+b
A Popuni tabelu.
–2
– 15
14
– 23
39
a
13
– 17
b
25
– 33
a– b
a) a – b + c
18
– 47
– 16
11
19
– 24 – 18
B Ako je a = – 4, b = – 15, c = 20, izra~unaj
– 40
13
– 15
– 16
:
b) a – (b + c).
C Izra~unaj e. a) c = – 12 + (– 8 – 3), d = – (c – 7), e = c + d
D Upi{i na liniju jedan od datih brojeva iz skupa
b) c = – 12 + (– 8 + 3 ), d = – (c + 7), e = c – d {– 12, – 11, – 10, – 9, – 8, – 7}
tako da se dobije ta~na jednakost.
a) .......... + 8 = – 1
12
b) .......... – 4 = – 11
v) – 23 –
..........
= – 12
E Izra~unaj nepoznati sabirak. a) m + 6 = – 7 b) n + 9 = 3 v) – 5 + a = 4 g) – 8 + b = – 9
Nepoznati sabirak ra~una{ tako {to od zbira oduzme{ poznati sabirak. Na primer : a) x + 2 = 5 b) 2 + x = – 5 x = 5 – 2 x = – 5 – 2 x = 3 x = – 7
F Izra~unaj nepoznati umawenik. a) x – 5 = – 8 b) y – 10 = – 2 v) z – (– 3) = 7 g) p – (– 4) = – 6
Nepoznati umawenik ra~una{ tako {to sabere{ razliku i umawilac. Na primer : a) x – 2 = 3 b) x – 2 = – 5 x = 3 + 2 x = – 5 + 2 x = 5 x = – 3
G Izra~unaj nepoznati umawilac.
Nepoznati umawilac ra~una{ tako {to od umawenika oduzme{ razliku. Na primer : a) 5 – x = 3 b) – 5 – x = – 3 x = 5 – 3 x = – 5 – (– 3) x = 2 x = – 2
a) 9 – x = 15 b) – 4 – y = 7 v) – 3 – a = – 5 g) – 6 – b = – 2
H Izra~unaj nepoznati broj. a) – 10 = – 5 + g
b) – 14 = f – (– 11)
v) – 6 + 10 = – 2 – k
OVO NE}E BITI TE?KO.
Izra~unaj nepoznati broj. – 4 + (5 – x ) = – 9
– 4 + (5 – x ) = – 9 5 – x = – 9 – (– 4) 5 – x = – 5
x = 5 – (– 5)
izraz u zagradi 5 ‡ x jeste nepoznati sabirak i ra~unamo ga tako {to od zbira ‡9 oduzmemo sabirak ‡4
nepoznati umawilac x ra~unamo tako {to od umawenika 5 oduzmemo razliku ‡5
x = 10
I Izra~unaj nepoznati broj. a) ( x + 8 ) – 9 = – 15
b) ( x – 14) + 18 = 11
v) – 15 – ( x + 6) = – 13
J Na osnovu teksta sastavi jedna~inu i izra~unaj nepoznati broj. a) Kada broju 12 doda{ nepoznati broj, dobija se razlika brojeva 3 i 16. b) Kada od broja – 22 oduzme{ nepoznati broj, dobija se zbir brojeva – 14 i – 15. v) Kada od zbira broja – 32 i nepoznatog broja oduzme{ broj – 27, dobija se broj – 36.
13
SKUP CELIH BROJEVA. SABIRAWE I ODUZIMAWE CELIH BROJEVA ! Napi{i ~etiri
:
a) pozitivna cela broja b) negativna cela broja.
" Ako se vrednosti datih veli~ina u tabeli zapisuju pozitivnim brojem, zaokru`i slovo P, a ako se zapisuju negativnim brojem, slovo N. visina ku}e
letwa temperatura
dug na ra~unu
u{te|evina na ra~unu
sprat
deset (m)
trideset (°C)
sto (din.)
pet hiqada (din.)
prvi
P
N
P
N
P
N
P
N
P
nivo ispod zimska zemqe temperatura drugi
N
P
minus tri (°C)
N
P
N
# Matemati~ki list ko{ta 600 din. i pla}a se u dve jednak e mese~ne rate. Nastavnik u tabeli vodi evidenciju tako {to pla}enu ratu zapisuje pozitivnim, a nepla}enu ratu negativnim brojem. a) Popuni tabelu: ⋅ ako su Marko, Maja i Nikola platili samo prvu ratu ⋅ ako su Awa, Sawa i Vlada platili obe rate ⋅ ako Petar i Tijana nisu platili nijednu ratu. u~enik
Awa
Marko
Sawa
Petar
Vlada
Maja
Nikola
prva rata
+300
druga rata
– 300
Tijana
b) Koliko jo{ ukupno rata po 300 dinara duguju u~enici?
$ a) Na brojevnoj pravoj obele`i ta~ke A, B, C, D, E i F , ~ije su koordinate, redom, brojevi 4, – 12, 16, – 8, 20 i – 24.
x – 36 – 32 – 28 – 24 – 20 – 16 – 12
–8
–4
0
4
8
12
16
b) Date koordinate napi{i u opadaju}em poretku. v) Napi{i brojeve suprotne datim koordinatama.
% a) Nacrtaj brojevnu pravu i na woj obele`i brojeve od
– 10 do 10.
b) Napi{i sve brojeve ve}e od – 6 i mawe od 8. v) Uporedi brojeve 6 i 2, 0 i 4, – 2 i – 8, – 6 i – 2, – 4 i 0 koriste}i simbol < ili >.
14
20
24
& Na vremenskoj lenti prikazane su godine odr`avawa prvih i posledwih olimpijskih igara u staroj Gr~koj, kao i odr`avawa prvih obnovqenih olimpijskih igara u savremenom dobu. 393. godine ukinute su olimpijske igre
776. godine pre n. e. odr`ane su prve olimpijske igre u staroj Gr~koj
godine pre nove ere 2000
1500
1000
500
1896. godine u Atini su odr`ane prve moderne olimpijske igre
2008. godine u Pekingu su odr`ane XXIX olimpijske igre
godine nove ere 500
1000
1500
2000
a) Koliko je godina pro{lo od prvih do posledwih olimpijskih igara u s taroj Gr~koj? Zaokru`i ta~an odgovor.
⋅ preko hiqadu godina
⋅ mawe od hiqadu godina
⋅ hiqadu godina
b) Koliko je godina proteklo od ukidawa igara u staroj Gr~koj do obnovqenih prvih igara savremenog doba?
v) Pre koliko su pribli`no godina odr`ane prve olimpijske igre u staroj Gr~koj? Zaokru`i ta~an odgovor. •
1 000 godina
•
2 000 godina
•
3 000 godina
Olimpijske igre modernog doba odr`avaju se svake ~etvrte godine od 1896; nisu odr`ane 1916, 1940. i 1944. Na prvim modernim igrama u~estvovalo je 285 sportista iz 13 dr`ava. Takmi~ili su se u osam sportova. Na 29. igrama u Pekingu 2008. godine u~estvovalo je 10 708 sportista iz 204 zemqe; takmi~ili su se u 28 sportova. Olimpijski amblem ~ini pet povezanih krugova – oni simbolizuju pet kontinenata i prijateqstvo koje povezuje sve qude. Boje na krugovima su : plava (Evropa), `uta (Azija), crna (Afrika), zelena (Australija) i crvena (Amerika). Svaka dr`ava na svetu na svojoj zastavi ima bar jednu od boja olimpijskih krugova. Olimpijski moto Br`e, vi{e, ja~e opisuje ~ovekov napor i `equ za podizawem granica sopstvenih mogu}nosti i postizawem uspeha.
A TI N
6 km A
15
' a) Koriste}i tabele, nacrtaj grafikon kao {to je zapo~eto. planina
najvi{i vrh
visina u m
more
najve}a dubina u m
Stara planina
Mixor
2 169
Jadransko more
1 330
Ural
Narodnaja
1 895
Jonsko more
4 900
Alpi
Monblan
4 810
Crno more
2 210
Olimp
Mitikas
2 197
Balti~ko more
459
visina
5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 0
– 1 000
o r x i M
a a j n o d r N a
n l a b o n M
s k a i i t M
k o s a n k o s r n d J a J o
– 2 000 – 3 000 – 4 000 – 5 000 dubina
b) Koji je vrh najvi{i, a koji najni`i? Koje je more najdubqe, a koje najpli}e? v) Koja je razlika izme|u : ⋅ visina Monblana i Mixora ⋅ dubina Jonskog i Balti~kog mora ⋅ najvi{eg vrha Stare planine i najve}e dubine Jadranskog mora?
( Dati su brojevi 27, – 43, – 54, 0, 61, – 27, 34. a) Izra~unaj apsolutnu vrednost svakog broja. b) Uporedi brojeve 27 i – 27, – 43 i 34, – 54 i – 27. v) Pore|aj date pozitivne brojeve u rastu}i niz. g) Pore}aj date negativne brojeve u opadaju}i niz.
16
n o r C
k o ~ i l t nazivi a B planina i mora
) Popuni tabelu.
a
– 14
9
–a
– 11
+20
|a| | –a| – | –a|
0
|5|
|– 3|
Izra~unaj rastojawe izme|u ta~aka A (– 3) i B (5) na brojevnoj pravoj.
A (– 3)
0
B (5)
Prvi na~in 3 + 5 = 8
sabrana su rastojawa od ta~ke A i ta~ke B do koordinatnog po~etka
Drugi na~in |– 3 – 5| = |– 8|
od koordinate ta~ke A oduzeta je koordinata ta~ke B
=8
izra~unata apsolutna vrednost razlike koordinata
Tre}i na~in |5 – (– 3)| = |5 + 3 |
od koordinate ta~ke B oduzeta je koordinata ta~ke A
= |8|
=8
Rastojawe izme|u ta~aka A (a) i B (b) na brojevnoj pravoj mo`emo da izra~unamo po formuli |a – b|.
izra~unata apsolutna vrednost razlike koordinata
* Izra~unaj rastojawe izme|u ta~aka a) A (3) i B (7)
x
A (a)
B (b)
|a – b |
:
b) A (– 5) i B (– 8)
v) A (– 8) i B (3).
+ Izra~unaj kolika je vremenska razlika izme|u Tokija i Wujorka. , Kolika je visinska razlika izme|u najvi{eg vrha i najve}e
Iskoristi kartu ~asovnih zona iz zadatka 16 na strani 11.
dubine mora iz zadatka 7 na strani 16?
Izra~unaj. a) |– 2| + |9| b) |– 2 + 9 | a) |– 2| + |9| = 2 + 9 = 11 b) |– 2 + 9 | = |7| =7
prvo su izra~unate apsolutne vrednosti izra~unat zbir prvo je izra~unat zbir izra~unata apsolutna vrednost
- Izra~unaj. a) |11| + |– 42|
b) |– 17| – |– 20|
v) |+96| + |– 50|
g) |– 125| – |– 208|
Prvo izra~unaj apsolutne vrednosti, onda saberi ili oduzmi dobijene brojeve.
17
. Izra~unaj. a) |11 + (– 42)|
b) |– 17 – (– 20)|
v) |+96 + (– 50)|
g) |– 125 – (– 208)|
/ Izra~unaj. a) |– (– 74)|
v) – |– (+46)|
b) – |– 91|
g) – |65 + (– 74)|
Prvo izra~unaj zbir ili razliku unutar apso lu tnevrednosti, a onda apsolutnu vrednost.
d) – |(– 93) – (– 74)|
: Izra~unaj. a) – 1 + |– 5|
b) |– 10| + 10 + |+10| – 10
v) |– 7 + 5 | + |– 6 + 1 | g) |– 42 + |– 13| – (– 12)|
; Izra~unaj vrednost izraza
:
A = 72 + 24 + (– 77) i V = – 27 + (– 42) + (– 74) a zatim izra~unaj: A + B, A – B, |A + B|, |A – B|
< Popuni tabelu.
x – 1 x
–6
–1 –9
20
x + 1
– 40
100
= a) Koji je najmawi element skupa N , a koji skupa N ? b) Koji je najve}i element skupa Z – ? v) Da li skup Z ima najve}i element? Objasni. g) Da li skup Z ima najmawi element? Objasni.
> Koje sve cifre mo`e{ napisati umesto * tako da dobije{ ta~nu nejednakost? a) 23 > 237
*
? Popuni tabelu.
b) – 6 < – 64
v) – 10 > – 103
*
n
9
g) – 28 > – 281
*
2
–7
– 24
*
0
8
–6
n+7 –9 + n n– 8 n – ( – 6)
@ a) Izra~unaj zbir svih elemenata skupa A . A = {10, – 30, – 20, 40, 50 }
b) Napi{i elemente skupa
B i izra~unaj wihov zbir.
B = { x ∈Z i – 10 ≤ x ≤ 9}
A Kojim }e{ izrazom zapisati slede}u re~enicu
:
Broj – 19 oduzmi od broja – 40?
Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora. a) – 19 – 40 b) – 19 – (– 40) v) – 40 – 19
g) – 40 – (– 19)
B Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora. Vrednost izraza a) 16
18
b) – 16
v) 96
g) – 96
– 56 – |– 40| je:
C Prepi{i izraz i umesto * napi{i znak <, > ili = tako da se dobije ta~no tvr|ewe. a) – 35 + 35 + (– 35) * (– 35 + 35 ) + 35 b) – 35 + 35 + 35 * – 35 + (– 35) + (– 35) v) – 35 + (35 + (– 35)) * (– 35 + 35 ) + (– 35)
D Izra~unaj zbir brojeva. a) 8 + 2 + (– 9)
b) – 6 + 20 + (– 15)
v) – 10 + 4 + 9
g) – 5 + (– 6) + 7
d) – 9 + (– 7) + (– 5)
E Izraz zapi{i bez zagrada i izra~unaj wegovu vrednos t. a) – 10 + 42 – (– 19)
b) – 35 – (– 16) – (+76)
F Saberi sve cele brojeve od
v) – 99 – (+77) – (– 55)
– 50 do 53. Zbir suprotnih brojeva je nula.
G Izra~unaj. a) – 65 – 91 – 40 g) – 140 – 167 – 283
b) – 85 + 74 + 37 – 29 d) 400 – 615 – 725
v) 47 + 73 – 118 + 55 – 57 |) – 200 – 493 + 1 023
H Napi{i izraz koji odgovara tekstu i izra~unaj wegovu vrednost. a) Broju 105 dodaj zbir brojeva – 24 i 58. b) Od zbira brojeva 44 i – 71 oduzmi – 83. v) Od broja 40 oduzmi razliku brojeva – 14 i 65. g) Zbiru brojeva 27 i – 13 dodaj wihovu razliku. d) Broj 90 oduzmi od razlike brojeva – 35 i – 15.
I Prepi{i zadatak i umesto zvezdice napi{i znak + ili a) 12 * 18 * 15 = 15
– tako da se dobije ta~na jednakost. v) 19 * 16 * 13 = – 10 g) – 20 * (– 10) * 10 = 0
b) – 17 * 10 * 11 = 4
J U prazno poqe upi{i znak <, > ili =. a) 35 + (24 – 45) v) 35 + (24 – 45)
35 – (24 + 45 )
b) 35 – 24 – 45
(35
g) (35 – 24) – 45
+ 24 ) – 45
K Ako je m ∈ {9, – 23, – 67, 0, 54, – 18}, izra~unaj a) m + m
b) m – m
v) 29 + m
L Za m = 42 i n = – 42 izra~unaj a) m + n
b) m – n
a) – (a + b) a) ( x + y ) + 2
HE, HE, HE. ZNA M !!!
:
g) – 23 – m.
g) n – m.
:
b) 2 + (a + b)
N Ako je x + y = 6, izra~unaj
35 – (24 – 45)
:
v) –m – n
M Ako je a + b = – 2, izra~unaj
35 – (24 – 45)
v) (a + b) + (a + b)
g) – (a + b) + (a + b).
:
b) x + y + (– 2)
v) (7 + x ) + y
g) (– 6 + x ) + y .
19
Vodostaj je nivo vode u reci. Izra`ava se pozitivnim ili negativnim brojem i meri u odnosu na sredwu vrednost, koja se ozna~ava kao 0. Kada vodostaj opada, promenu ozna~avamo negativnim brojem, a kada raste, pozitivnim brojem.
O U tabeli su podaci o stawu vodostaja izmerenom u nekim hidrolo{kim stanicama na rekama u Srbiji. Popuni tabelu kao {to je zapo~eto.
datum 8. 9. reka
hidrolo{ka stanica
Dunav
Bezdan
Dunav
Novi Sad
Dunav
Zemun
Sava
Sremska Mitrovica
Sava
[abac
Sava
Beograd
Velika Morava
]uprija
datum 9. 9.
vodostaj vodostaj (cm) (cm) 42
217
– 75
45
+3
95
0
198
– 19
18
–6
PRETHO D NOG D ANA VO D OSTAJ
JE BIO 135
, A D ANA S JE 125
cm
PROMENA VO D OSTAJA JE – 10
cm
cm
– 75 150
– 100
promena vodostaja (cm)
– 20
– 99
135 125
Velika Morava
Qubi~evski most
Velika Morava
Grdelica
– 338
–2
4
–4
P Izra~unaj vrednosti m, n i r . m = – 3 – (– 8), n = |13 –m| – 4, r = –m + n
Q Neka je m = – 23 + (– 14), p = – 14 – (12 – 21) + 11, q = – 2 + |– 34 + 32|. Koji izraz ima najve}u, a koji najmawu vrednost?
R Ako je a = – 8, b = 4, c = – 7, izra~unaj vrednosti izraza i pore|aj ih od najmaweg ka najve}em a – (–b + c), –a + c – b, – (a – b) + c.
S Saberi broj – 105 sa apsolutnom vredno{}u zbira brojeva 37 i
– 44.
T Zbiru brojeva – 38 i 27 dodaj apsolutnu vrednost wihove razlike. U Razlici brojeva – 38 i – 17 dodaj broj suprotan wihovom zbiru.
20
:
.
.
V Izra~unaj. a) – 25 – (7 + |2 – 8|) – |– (3 – 5)| b) ( −6 − ( −2 − 2 − 5 ) + 11) v) −3 + −2 + ( −3 + 9) g) |– 36 – (+22)| + (– 4)
W Prona|i pravilo
– 24
73
i upi{i brojeve u prazna poqa.
–2 –7
5 11
6
–7 13
X Popuni magi~ni kvadrat tako da zbir po svakoj vertikali, horizontali i dijagonali bude isti.
–5
– 12
11
6 18
9
–5
–6
5 0
–5
Y Dati kvadrat nije magi~an jer jedna vertikala, horizontala ili dijagonala nema isti zbir kao ostale. Prona|i je i zaokru`i.
–5
4
–6 –4 3
–7 2
–8 –3
Z Na Neptunovom satelitu Tritonu temperatura iznosi oko 43°C iznad apsolutne nule. Izra~unaj tu temperaturu i izrazi je u Celzijusovim stepenima.
Podseti se {ta je apsolutna nula na strani 16 u uxbeniku.
Najtoplije mesto u Sun~evom sistemu jeste jezgro Sunca, gde je temperatura 5 000 000° C. Na povr{ini Sunca temperatura je 5 700° C. Doskora se smatralo da je najhladnije mesto u Sun~evom sistemu Neptunov satelit Triton. Po najnovijim pretpostavkama, Pluton je najverovatnije nekoliko stepeni hladniji od Tritona.
21
MNO@EWE CELIH BROJEVA. IZRAZI SA CELIM BROJEVIMA ! Izra~unaj. a) 15 ⋅ (– 2) – 30
b) – 3 + 6 ⋅ (– 20)
v) – 14 ⋅ (5 – 7) + 21
" Popuni tabelu kao {to je zapo~eto. a
–1
5 ⋅ (–a) +7
12
20
13
– 100
14
–5
0
# Sa{a i Dule ubacivali su loptu u ko{ i bele`ili rezultate. Svaki pogodak donosi 5 bodova, a proma{aj – 3 boda. Posle 10 bacawa Sa{a je imao 6 pogodaka i 4 proma{aja. Dule je imao samo 2 proma{aja. a) Izra~unaj koliko je bodova osvojio Sa{a, a koliko Dule. b) Ko je od wih osvojio vi{e bodova?
$ Izra~unaj.
a) 100 ⋅ (– 4) ⋅ (– 1)
% Izra~unaj.
b) – 20 ⋅ (– 5) ⋅ (– 13)
b) – 11 ⋅ (– |5|)
a) – 2 ⋅ |– 10|
v) (– 7)2 ⋅ (– 6)
v) 9 ⋅ (– |– 4|)
g) 4 ⋅ (– 3)2
g) – 7 ⋅ (– |– 6|)
Prvo izra~unaj apsolutnu vrednost broja, a zatim proizvod brojeva.
& a) Popuni prazna poqa u tabeli. a
b
–2
4
–5
–8
1
– 15
|a|
|b |
2
4
|a| ⋅ |b|
a⋅b
|a ⋅ b|
8
–8
8
b) Uporedi rezultate koji su u koloni gde si izra~unao |a| ⋅ |b| sa rezultatima u koloni |a ⋅ b|. [ta zakqu~uje{? •
Kada ra~una{ apsolutnu vrednost proizvoda, svejedno je da li }e{ prvo da izra~una{ proizvod a ⋅ b, pa da onda odredi{ apsolutnu vrednost, ili }e{ prvo na}i apsolutne vrednosti ~inilaca |a| i |b|, pa ih pomno`iti.
Za cele brojeve x i y va`i:
|x ⋅ y | = |x | ⋅ |y | Apsolutna vrednost proizvoda celih brojeva jednaka je proizvodu apsolutnih vrednosti tih brojeva.
' Izra~unaj kao {to je zapo~eto. a) |– 6 ⋅ (– 2)| = |– 6| ⋅ |– 2| = 6 ⋅ 2 = 12
22
b) |8 ⋅ (– 4)|
v) |– 7 ⋅ (– 9)|
g) |– 10 ⋅ 3 ⋅ (– 5)|
( Umesto * napi{i odgovaraju}i simbol, <, > ili =. a) – 13 ⋅ (– 6) * |– 13| ⋅ |– 6|
b) 14 ⋅ (– 7) * |14 ⋅ (– 7)|
v) |– 4 ⋅ 3| * – 4 ⋅ 3
) Izra~unaj. a) 5 ⋅ 4 i |5 ⋅ 4| v) 5 ⋅ (– 4) i |5 ⋅ (– 4)|
b) – 5 ⋅ 4 i |– 5 ⋅ 4| g) – 5 ⋅ (– 4) i |– 5 ⋅ (– 4)|
Proizvodi: 5 ⋅ 4, –5 ⋅ 4, 5 ⋅ (–4) i –5 ⋅ (–4) razlikuju se u predznaku, a imaju jednake apsolutne vrednosti.
* Izra~unaj. a) (– 5)2 ⋅ 2
b) 82 ⋅ (– 3)
v) 32 ⋅ 0 ⋅ (– 8)
g) (– 32) ⋅ (– 7)2
+ a) Koliki je proizvod broja – 7 i apsolutne vrednosti broja – 8? b) Za koliko je proizvod brojeva – 16 i – 5 ve}i od broja 72?
, Na osnovu teksta napi{i izraz i izra~unaj. a) Zbir brojeva –28 i 8 pomno`i wihovom razlikom. b) Razliku brojeva 12 i –18 pomno`i wihovim zbirom.
- Izra~unaj. a) – 18 ⋅ (– 5) + 4 ⋅ (– 10) v) (– 4 – 20) ⋅ (– 7 – 2)
b) – 14 ⋅ (5 – 7) + 21 ⋅ (– 1) g) (11 – 16) ⋅ (– 12 – 8)
Operacija mno`ewa ve}eg je prioriteta od operacija sabirawa i oduzimawa.
Izra~unaj.
( −7 + 12 ⋅ ( −3 − 2)) ⋅ 6 ( −7 + 12 ⋅ ( −3 − 2)) ⋅ 6 = ( − 7 + 12 ⋅ ( − 5)) ⋅ 6
prvo je izra~unat izraz u unutra{woj zagradi, to jest ‡3 ‡ 2
= (– 7 – 60) ⋅ 6
izra~unat je proizvod brojeva 12 i ‡5
= – 67 ⋅ 6
izra~unata je razlika brojeva ‡7 i 60
= – 402
izra~unat je proizvod brojeva ‡67 i 6
. Izra~unaj. a) − (12 ⋅ ( −3 − 2) + 7)
b) ( −1 − ( −3 + 2) ⋅ 9) ⋅ ( − 1 − 6)
/ Izra~unaj vrednost izraza. a) −5 − 2 ⋅ ( −4 + 8 ⋅ ( − 3))
b) ( −5 − 2) ⋅ ( −4 + 8 ⋅ ( − 3))
v) −5 − 2 ⋅ ((− 4 + 8) ⋅ ( − 3))
: Izra~unaj. a) − ( −4 + ( −8 − 5) )
b) 4 ⋅
( −10 + ( −4) )
v) (|– 1| – 32 ⋅ 9) ⋅ |– 1 – 6|
2
2
Prvo ra~unaj izraz u unutra{woj zagradi i oslobodi je se, a zatim se oslobodi spoqa{we zagrade.
23
DEQEWE CELIH BROJEVA ! Izra~unaj koli~nike. b) 1300 : (– 10)
a) 220 : 11
v) – 525 : 25
g) – 639 : (– 3)
" Podeli broj – 1 000, redom, brojevima – 5, 5, – 10, 10, – 20, 20, – 25, – 100, – 125. # Popuni tabelu. a
–2
–4
3
–6
8
– 12
– 24 : a
$ Izra~unaj. a) ( −32 : ( −8)) : 2
b) 243 : (( −9) : ( −3)
v) ( −625 : ( −25)) : ( − 5)
g) (– 108 : 6) : (– 18)
% Izra~unaj vrednost brojevnih izraza. a) (44 : ( −11)) ⋅ 2 b) (– 22 ⋅ 3) (– 6) v) ( −14 ⋅ ( −1)) : ( −7) g) ( −17 ⋅ ( −8)) : ( −2) :
& a) Izra~unaj. −168 : (4 : ( −2))
(– 168 : 4) : (– 2)
b) Da li kod operacije deqewa va`i svojstvo asocijacije?
' Izra~unaj. a) 324 : (– 12 + 8 )
b) – 196 : (– 10 – 4)
v) (32 + 11 – 3) : (– 10)
g) (– 25 – 10 – 1) : (– 6)
( Izra~unaj. a) – 34 : (– 17) + 150
(– 15) v) 105 : (– 35) + (– 144) : (– 9)
b) – 32 : 8 – (– 42) : 7
:
g) – 360 : (– 60) – (– 48) : 8
Prvo podeli, pa onda saberi.
) Izra~unaj.
a) (– 56 + 72 ) : (– 8)
– 56 : (– 8) + 72 : (– 8) b) Uporedi rezultate pod a). Kako mo`e{ da formuli{e{ odgovaraju}e svojstvo operacije deqewa prema sabirawu?
* Zbir brojeva – 27 i 81 podeli sa
– 9.
+ Broj – 441 podeli razlikom brojeva – 16 i 5. , Ako je a = 5, izra~unaj a) – 30 : a + (– 5)
24
:
b) – 17 + a : (– 5)
v) – 23 – 13 ⋅ a
g) a2 – 175 : a.
- Tokom prvih deset dana februara u Beogradu su izmerene slede}e
Prose~nu dnevnu temperaturu dobi}e{ kada sabere{ sve dnevne temperature i zbir podeli{ s brojem dana.
dnevne temperature: 1
2
3
4
– 6°C – 8°C – 4°C
5
0°C
6
7
– 2°C – 5°C – 3°C
8
9
10
0°C
– 2°C
0°C
Izra~unaj prose~nu dnevnu temperaturu u Beogradu za prvih deset dana februara.
. Popuni tabelu. a
– 32
– 64
128
– 256
b
2
–4
–8
– 16
a:b
/ Popuni prazna poqa u tabeli. a
b
|a |
|b|
|a| : |b|
a:b
|a : b|
– 16
4
16
4
4
–4
4
– 96
–8
45
– 15
Kada ra~una{ apsolutnu vrednost koli~nika, svejedno je da li }e{ prvo da izra~una{ koli~nik a : b, pa da onda odredi{ apsolutnu vrednost, ili }e{ prvo na}i apsolutne vrednosti deqenika i delioca |a| i |b|, pa ih podeliti.
Uporedi rezultate koji su u koloni gde si izra~unao |a| : |b| s rezultatima u koloni |a : b|. [ta zakqu~uje{? Za cele brojeve x i y , y ≠ 0 va`i:
|x : y | = |x | : |y | Apsolutna vrednost koli~nika celih brojeva jednaka je koli~niku apsolutnih vrednosti tih brojeva.
: Izra~unaj kao {to je zapo~eto.
a) |– 24 : (– 6)| = |– 24| : |– 6| = 24 : 6 = 4
b) |32 : (– 8)|
; Izra~unaj. a) 27 : 3 i |27 : 3|
b) – 27 : 3 i |– 27 : 3|
v) 27 : (– 3) i |27 : (– 3)|
g) – 27 : (– 3) i |– 27 : (– 3)|
v) |– 63 : (– 7)|
g) |– 105 : 35|
Koli~nici 27 : 3, –27 : 3, 27 : (–3) i –27 : (–3) razlikuju se u predznaku, a imaju jednake apsolutne vrednosti.
< Izra~unaj. a) – 1 225 : 35
b) 510 : (– 17)
g) |– 704 : 11|
d) 6 561
:
(– 27)
v) |– 735| : (– 15) |) – 663 : |– 39|
= Izra~unaj. a) |225 : (– 15)| : (– 3)
b) −4 ⋅ (( −16) : 8 )
v) – |– 75 : (– 25)| : 3
g) (13 ⋅ ( −4)) : |– 2|
25
IZRAZI SA CELIM BROJEVIMA ! Izra~unaj. a) (20 : 4) ⋅ 4
b) (– 16 : 8) ⋅ 8
v) (22 ⋅ ( −2)) : ( −2)
g) ( −36 ⋅ ( −3)) : ( −3)
Kada ceo broj pomno`i{, pa podeli{ istim brojem, on se ne mewa. Va`i i obrnuto. Kada ceo broj podeli{, pa pomno`i{ istim brojem, on se ne mewa.
" Izra~unaj. b) (10 ⋅ ( −2)) : ( −2)
a) (– 15 : 3) ⋅ 3
v) ( −42 : ( −7 )) ⋅ ( −7)
# Popuni tabelu kao {to je zapo~eto. x
28
– 96
y
–4
– 12
x ⋅ y
45
–9 – 162 –3
x : y
$ Izra~unaj. a) (– 7 + 6 – 5) ⋅ (– 10)
b) (– 4 + 11 – 9 + 12 ) : (– 2)
v) (– 21 + 16 ) ⋅ (– 13 – 14)
g) (– 36 – 24) : (– 19 + 23 )
% Zaokru`i slovo ispred brojevnih izraza ~ija je vrednos t broj – 5. a) (– 19 – 6) : 5
v) 3 + 2 ⋅ (– 1)
b) 14 – 4 : 2
g) 7 + 3 ⋅ (– 4)
d) – 9 ⋅ 3 – 44 : (– 2)
& Izra~unaj vrednost izraza. a) – 80 : 16 – 5
b) – 100 + 100
' Koji broj }e{ dobiti kada
:
(– 25)
v) – 24 : 3 – 3 ⋅ 6
g) – 27 ⋅ (– 3) + 150
:
a) broj – 26 sabere{ sa wegovom suprotnom vredno{}u b) broj – 26 oduzme{ od wegove suprotne vrednosti v) broj – 26 podeli{ wegovom suprotnom vredno{}u g) broj – 26 pomno`i{ wegovom suprotnom vredno{}u?
( Vlada, Ana, Darko, Sawa i Du{an kupili su sedam pala~inki sa ~ok oladom i plazma keksom. Jedna pala~inka ko{ta 220 dinara. Koliko je svako od wih dao novca ako su svi dali isti iznos?
) Marijin xeparac za nedequ dana iznosi 800 dinara. Ona je planirala da dnevno potro{i 125 dinara. Da li je imala dovoqno novca za svih sedam dana?
26
:
(– 15)
* Izra~unaj vrednost izraza (– 7 + y ) ⋅ ( y – 5) a) y = 6
b) y = 0
ako je: g) y = – 7
v) y = 5
d) y = – 5.
+ Izra~unaj. a) (– 62 + 18 ) ⋅ (– 15) – 43 v) – 62 + 18 ⋅ (– 15) – 43
b) (– 62 + 18 ) ⋅ (– 15 – 43) g) – 62 + 18 ⋅ (– 15 – 43)
, Izra~unaj vrednost izraza a, b, c i d. a = – 1 ⋅ (8 – 10)
b = – 7 ⋅ (– 10) : (– 5)
c = 15 + 60
:
(– 3)
d = – 15 – 28 : (– 2)
a) Koji izrazi imaju vrednost mawu od – 1? b) Koji izrazi imaju vrednost ve}u od – 3?
- Sastavi izraz i izra~unaj wegovu vrednost. a) Proizvodu brojeva – 18 i – 6 dodaj broj – 72. b) Od koli~nika brojeva – 108 i 9 oduzmi broj – 11. v) Proizvod brojeva 14 i – 8 uve}aj za koli~nik brojeva 105 i – 7. g) Od broja – 200 oduzmi proizvod brojeva 25 i – 8.
. Ako je m = – 8, izra~unaj
:
v) 3 ⋅ m + m2
b) m ⋅ m + m
a) m + m
g) m : m – m2.
/ Izra~unaj vrednost izraza (6 ⋅ a – 5 ⋅ b) (–b) ako je :
a) a = – 4 i b = 2 •
b) a = 4 i b = –2.
: Ako je m = – 1, n = 10 i p = – 5, izra~unaj a) n : m – m ⋅ n
:
:
v) (n – p) : m
b) n : p – m ⋅ n
; Izra~unaj vrednost izraza 11 ⋅ a – 3 ⋅ b + c
:
g) p : m + p ⋅ m – n.
2 ako je: M ENI UVEK NA JTEYE!
a) a = 4, b = 2, c = – 26 b) a = – 5, b = 16, c = – 30 v) a = – 9, b = – 17, c = – 48.
< Za koliko je vrednost izraza A = (–8
2) ⋅ (–3 + 1 ) ve}a od vrednosti izraza B = (–6 ⋅ 2) : (4 – 1 )? :
= Zapi{i izraze i izra~unaj. a) Podeli broj – 200 sa 20 i dobijeni koli~nik umawi za 47. b) Koli~niku brojeva – 16 i – 4 dodaj proizvod brojeva – 25 i – 4.
> Apsolutnu vrednost proizvoda brojeva – 8 i 4 podeli zbirom brojeva 18 i
– 20.
Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.
? Za dati izraz sastavi tekst i izra~unaj wegovu vrednost. a) –61 + (–144) : 24
b) (–10 + 19 )2 – (–10 – 19 )
27
RA^UNSKE OPERACIJE SA CELIM BROJEVIMA –SISTEMATIZACIJA ! Popuni tabelu. a
–4
10
– 25
5
20
–5
OVO JE BOZA!
4 ⋅ a – 17 100 : a + 31
– 50 – a2
" Na osnovu teksta napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost. a) Broj – 440 podeli razlikom brojeva – 16 i –5. b) Saberi proizvod brojeva 25 i – 2 i koli~nik brojeva 32 i – 8.
# Ako je A = – 8 ⋅ 19 + 6 i B = (– 8)2 a) A + B
:
16, izra~unaj:
v) B – A : (– 73)
b) A ⋅ B
g) A – B : (– 4) – A.
$ Izra~unaj. a) ((10 − 15) ⋅ ( −2) + 64 : ( − 8)) : ( − 2) b) −111 : 3 + ( −2) + ( − 11) 2
v) (44 + 16 ) ⋅ (– 1) – 105 : 35 – 52
% Izra~unaj. a) |26 – 152| : (– 6) + 81
:
(– 27)
b) |– 42| : (– 7) – 72 : (– 6)2
(
v) 225 + ( −335 :
− 5 )) ⋅ ( − 10)
& Izra~unaj. a) ((621 : ( − 23)) : ( − 9)) : ( − 1) − |– 3 ⋅ 25| b) |– 48 :(– 6)| ⋅ (– 24 : 2) + |– 288 : 12|
' Napi{i i izra~unaj
:
a) zbir kvadrata brojeva 7 i – 11 v) razliku kvdrata brojeva 9 i – 5
b) kvadrat zbira brojeva – 8 i – 6 g) kvadrat razlike – 10 i 3.
( Od povr{ine kvadrata stranice a = 5 cm oduzmi povr{inu kvadrata stranice b = 3 cm.
) Ako je a = 18, izra~unaj vrednosti izraza
:
2
a) 2a – 3a + 4 b) a2 : (– 27) + 4a + 10 v) –a2 : (– 9) + 54 : (–a) g) (–a ⋅ 5 – a : 9) : 23.
28
a2 + b2 zbir kvadrata (a + b)2 kvadrat zbira a2 – b2 razlika kvadrata (a – b)2 kvadrat razlike
* Ako je x = – 2 i y = 3, poka`i da je ta~na jednakost 2 x 2 – 4 xy = 2 x ( x – 2 y ). + Ako je a = –2, poka`i
da je ta~na jednak ost (2a – 1)2 = 4 a2 – 4a + 1.
, Od zbira koli~nika brojeva – 18 i 3 i broja
– 6 oduzmi broj 4. Napi{i izraz i izra~unaj
wegovu vrednost.
- Napi{i razliku proizvoda brojeva 14 i
– 2 i koli~nika brojeva 16 i – 4 i izra~unaj
wenu vrednost.
. Uporedi vrednosti izraza M = 48 – (– 54) : 6 + 3 i N
= ( −120 : ( −6)) ⋅ ( −10).
/ Zbir brojeva – 63 i 54 podeli sa kvadratom razlike brojeva – 6 i – 3. : Kvadrat zbira brojeva – 18 i 12 pomno`i sa apsolutnom vredno{}u razlik e brojeva – 2 i 6. ; Napi{i koli~nik apsolutne vrednosti zbira brojeva – 63 i 56 i proizvoda brojeva 1 i – 7 i izra~unaj wegovu vrednost.
< Napi{i proizvod zbira brojeva – 6 i 14 i apsolutne vrednosti koli~nika brojeva – 36 i – 2 i izra~unaj wegovu vrednost.
= Napi{i koli~nik zbira brojeva 63 i
– 54 i kvadrata razlike brojeva 6 i 3 i izra~unaj
wegovu vrednost.
> Uporedi zbir i proizvod brojeva ve}ih od
– 4 i mawih od 6.
Probaj i ovo ? Re{i jedna~ine. a) |x – 1| = 1
b) |2 x – 5| = 3
v) 2 |x | = 6
g) 3 |x | – 1 = 5
d) – 2 |x | + 2 = – 4
|) – 2 |x – 3| + 4 = 0
@ U magi~nom kvadratu proizvod brojeva u svakoj vrsti jednak je broju pored te vrste, a proizvod brojeva u svakoj koloni jednak je broju ispod te kolone.
Re{i magi~ni kvadrat.
5
5
–1
–25
–4
2
2
–16
30
1
–2
3
–6
–16
–20 –20
–6
6
16
–15
12
29
TROUGAO TROUGAO, ODNOS STRANICA. VRSTE TROUGLOVA PREMA STRANICAMA ! Nacrtaj sve trouglove ~ija su temena ta~ke A i B, a tre}e teme jedna od datih ta~aka.
G
H
" Nacrtaj sve trouglove ~ije je jedno teme ta~ka D, a druga dva temena su dve od datih ta~aka. Koliko ih ima?
B
G
H
F
K
E
E A
D
F
D
# Zapi{i sve trouglove koje uo~ava{
$ Koliko ima trouglova na slici?
na slici.
% Prema podacima sa crte`a zapi{i
:
a) sve trouglove sa zajedni~kim temenom E b) sve trouglove sa zajedni~kom stranicom AC.
& Podeli dati petougao sa dve prave na tri trougla.
E
A D B
C
' Koristi {estar da uporedi{ stranice trougla, a zatim zaokru`i slovo ispred ta~nog poretka od najmawe stranice ka najve}oj. a) a, b, c b) a, c, b v) b, c, a g) b, a, c d) c, a, b |) c, b, a
O
30
x
Na polupravoj odredi ta~ke A, B i C tako da je: OA = a, OB = b i OC = c.
( U tabeli su date du`ine du`i
a, b i c. Nastavi da popuwava{ tabelu kao {to je zapo~eto. c
a+c
b
b+c
a
date du`i mogu biti stranice trougla
10 cm 15 cm 18 cm 25 cm
da ne
28 cm
da ne
33 cm
da ne
da ne
5 cm
2 cm
6 cm
da ne
da ne
da ne
da ne
7 cm
7 cm
10 cm
da ne
da ne
da ne
da ne
12 cm
6 cm
6 cm
da ne
da ne
da ne
da ne
a
b
c
a+b
) Nastavi da popuwava{ tabele kao {to je zapo~eto. a
b
c
10 cm 15 cm 14 cm
a
b
c
7 cm
3 cm
5 cm
a
b
c
7 cm
12 cm 20 cm
b–a
c>b– a
c– a
b>c– a
b– c
a>b– c
date du`i mogu biti stranice trougla
5 cm
da ne
4 cm
da ne
1 cm
da ne
da ne
a–b
c>a– b
a– c
b>a– c
c–b
a>c– b
date du`i mogu biti stranice trougla
da ne
da ne
a>c– b
date du`i mogu biti stranice trougla
da ne
da ne
da ne
b–a
c>b– a da ne
da ne
c– a
b>c– a da ne
c–b
* Ako su du`ine dve stranice trougla 20 cm i 15 cm, onda du`ina tre}e stranice mo`e biti a) 2 cm
b) 5 cm
v) 10 cm
:
g) 35 cm
Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.
+ Dve stranice jednakokrakog trougla su 4 dm i 10 dm. Kolika mo`e biti du`ina tre}e stranice? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora. Objasni. a) 4 dm b) 10 dm v) 6 dm g) 14 dm
, Merni brojevi stranica trougla su prirodni brojevi. Ako su du`ine dve stranice 2 cm i 20 cm, onda du`ina tre}e stranice mo`e biti u centimetrima : a) 18 cm, 19 cm ili 20 cm b) 18 cm, 19 cm, 20 cm ili 21 cm v) 18 cm, 19 cm, 20 cm, 21 cm ili 22 cm g) 19 cm, 20 cm ili 21 cm d) 19 cm, 20 cm, 21 cm ili 22 cm Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.
31
- Merni brojevi stranica trougla su prirodni brojevi. Ako je obim trougla 14
cm i jedna stranica 4 cm, kolike mogu biti druge dve stranice? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora. a) 1 cm i 9 cm b) 2 cm i 8 cm v) 3 cm i 7 cm g) 4 cm i 6 cm
. a) Poka`i da du`i a = 6 cm, b = 7 cm i c = 9 cm mogu biti stranice trougla. b) Nacrtaj trougao zadat pod a).
/ Obele`i temena trouglova na slici i zapi{i sve jednakostrani~ne trouglove.
Dovoqno je da poka`e{ da je najve}a stranica mawa od zbira druge dve stranice ili da je najmawa stranica ve}a od razlike druge dve stranice.
c b
c
c
a b
a a
a
: Zaokru`i sva ta~na tvr|ewa. a) Svaki jednakokraki trougao je jednakostrani~an. b) Neki jednakokraki trougao je jednakostrani~an. v) Svaki jednakostrani~ni trougao je jednakokrak. g) Postoji trougao ~ije su stranice 100 cm, 100 cm, 0,01 cm. d) Postoji trougao ~ije su stranice 1 cm, 1 cm, 100 cm.
; Nacrtaj pravougaonik ABCD, du`i AC i BD i wihov presek ozna~i sa O. a) Zapi{i sve trouglove koje uo~ava{ na dobijenoj slici. b) Merewem utvrdi koje su stranice jednakih du`ina, a zatim zapi{i sve jednak okrake trouglove.
< Nacrtaj jednakokraki trougao osnovice a i kraka b ako je
:
a) a = 8 cm, b = 5 cm
b) a = 4 cm, b = 6 cm.
= Nacrtaj jednakostrani~ni trougao ako je du`ina wegove stranice a) 5 cm
b) 3 cm.
> Marija, Jovanka i Milica svakodnevno idu zajedno u {kolu. Marija, koja stanuje najdaqe, do|e do Jovanke, zatim obe odu po Milicu, i onda zajedno idu u {kolu. Ne mere}i rastojawa izme|u wihovih ku}a, objasni za{to Marija prelazi du`i put od ku}e do {kole ako ide po Jovanku i Milicu nego ak o ide pravo do {kole. Jovankina ku}a Marijina ku}a
Mili~ina ku}a
{kola
32
:
UNUTRA[WI I SPOQA[WI UGLOVI TROUGLA. VRSTE TROUGLOVA PREMA UGLOVIMA ! Dati su spoqa{wi uglovi γ 1 = 78° i α1 = 137°. Izra~unaj ostale uglove trougla. " Mere dva unutra{wa ugla trougla su 72° i 95°. Izra~unaj os tale uglove trougla. # Nacrtaj trougao ABC i obele`i wegove unutra{we uglove sa
α, β i γ i spoqa{we uglove sa α1, β1 i γ 1. Ako je α1 = 140° i β = 105°, izra~unaj uglove β1 i γ 1.
$ Najvi{e jedan ugao trougla mo`e biti prav. Objasni. % Spoqa{wi ugao pravouglog trougla je 125°. Izra~unaj unutra{we uglove t og trougla. & Zbir dva unutra{wa ugla trougla je 88°. Izra~unaj tre}i ugao. Kojoj vrsti trougla, prema uglovima, pripada taj trougao?
' Izra~unaj tre}i unutra{wi ugao trougla ako su dva unutra{wa ugla a) 12°12’ i 30°
:
b) 108° i 10°5’.
( Izra~unaj unutra{we uglove trougla ako je jedan spoqa{wi ugao 126° i zbir dva unutra{wa ugla 100°.
) Ako je zbir spoqa{wih uglova α1 i β1 trougla ABC jednak 300°, izra~unaj ugao γ . * Na osnovu crte`a zapi{i sve
:
a) pravougle trouglove b) sve tupougle trouglove.
+ a) Koliko pravouglih trouglova ima na crte`u? b) Koliko trouglova ima na crte`u?
, Izra~unaj drugi o{tar ugao pravouglog trougla ako je jedan ugao a) 28°
:
b) 72°15’. Zbir dva o{tra ugla pravouglog trougla je 90°.
Izra~unaj uglove kod temena A i B trougla ABC na slici. Kako je zbir uglova u trouglu jednak 180°, va`i : α + (α + 20°) + 76° = 180° 2α + 96° = 180° 2α = 180° – 96° 2α = 84° α = 42° Uglovi trougla ABC kod temena A i B su: Մ A = 42°, ՄB = α + 20° = 62°.
α+α=2⋅α 2 ⋅ α zapisujemo i kao 2α.
33
- Izra~unaj ozna~ene
a)
uglove trougla ABC.
b)
3α
α
102°
. Prema podacima sa slike
2α + 3 α = 5 α
2α
α
2α
a)
b)
izra~unaj ugao α.
α
3α
α α
+12°
/ Izra~unaj uglove trougla ABC. Kada ka`emo uglovi trougla , mislimo na unutra{we uglove.
: Du`i AC i DE su paralelne. Izra~unaj ugao α.
; O{tar ugao pravouglog trougla je za 20° ve}i od drugog o{trog ugla. Izra~unaj uglove tog trougla.
< Koliko najvi{e o{trih uglova mo`e da ima trougao? Koliko najvi{e tupih uglova mo`e da ima trougao? Koliko najmawe o{trih uglova mo`e da ima trougao?
= Kvadrat ABCD podeqen je pravom AC na dva trougla. Kojoj vrsti trouglova, prema stranicama, pripadaju ti trouglovi? Kojoj vrsti, prema uglovima, pripadaju ti trouglovi?
> Kojoj vrsti trouglova, prema uglovima, pripada trougao kod kog je zbir dva unutra{wa ugla a) 12°
:
b) 90°?
? O{tar ugao pravouglog trougla ~etiri je puta ve}i od drugog o{trog ugla. Izra~unaj te uglove. @ Spoqa{wi ugao kod temena A trougla ABC dva puta je mawi od susednog unutra{weg ugla. Izra~unaj te uglove. Kojoj vrsti trouglova, prema uglovima, pripada taj trougao?
A Kojoj vrsti trouglova, prema uglovima, pripada trougao ~iji je jedan ugao 56° i a) drugi je ve}i od tre}eg za 40°
:
b) drugi je tri puta ve}i od tre}eg?
B Izra~unaj uglove trougla ako je jedan ugao ve}i od drugog za 15°, a mawi od tre}eg za 18°. Kojoj vrsti trouglova, prema uglovima, pripada ovaj trougao?
34
C Poluprava s je simetrala ՄPMQ. Izra~unaj uglove δ i ϕ.
δ
ϕ Simetrala deli ugao na dva jednaka ugla.
D Poluprava Cs je simetrala ugla kod temena C trougla ABC. Izra~unaj ugao α.
Poluprave Ax i By su simetrale unutra{wih uglova kod temena A i B trougla ABC i grade ugao od 122°. Izra~unaj ugao γ .
γ
Po{to je poluprava Ax simetrala ugla α trougla ABC, zna~i da je ugao izme|u te poluprave i stranice AB jednak
α. 2
Sli~no tome, zakqu~ujemo da je ugao izme|u poluprave By i stranice AB jednak uglu
β , {to je prikazano na crte`u. 2
Na osnovu zbira uglova u trouglu dobijamo :
α+β
= 180° – 122°
α+β
= 58°
2
2
2
2
α+β 2
Zakqu~ujemo da je:
α
α + β = 116° γ = 180° – (α + β) γ = 64°
γ
β.
Izra~unaj zbir spoqa{wih uglova α1 i γ 1.
2
α1 2 α
2
= 58°
E Simetrale spoqa{wih uglova α1 i γ 1 trougla ABC grade ugao od 71°. Izra~unaj ugao γ 1
β
2
β1 = 360° – (α1 + γ 1)
β
F Kojoj vrsti trougla, prema uglovima, pripada trougao
:
a) ako je zbir dva unutra{wa ugla jednak pravom uglu b) ako je jedan spoqa{wi mawi od susednog unutra{weg ugla v) ako su svi unutra{wi uglovi jednaki?
35
ODNOS STRANICA I UGLOVA TROUGLA ! ^etvorougao ABCD je kvadrat. a) Kojoj vrsti trouglova, prema stranicama, pripada trougao ABD? b) Izra~unaj uglove Մ ABD, ՄBAC, Մ ADB, ՄBCA. v) Izra~unaj ugao ASB. g) Kojoj vrsti trouglova, prema uglovima, pripada trougao ABS? d) Zapi{i sve jednakokrake trouglove na slici.
" Ugao na osnovici jednakokrakog trougla je 68°. [ta je ve}e, osnovica ili krak t og trougla? # Ugao na osnovici jednakokrakog trougla dva puta je mawi od ugla pri vrhu . Izra~unaj uglove tog trougla.
$ Ugao pri vrhu jednakokrakog trougla mawi je za 30° od ugla na osnovici. Izra~unaj unutra{we uglove tog trougla.
% Izra~unaj unutra{we uglove jednakokrakog trougla ako je zbir ugla na osnovici i ugla pri vrhu 150°.
& Ta~ka O je centar kru`nice na crte`u. Kojoj vrsti trouglova prema stranicama pripadaju trouglovi ABO i BCO? Izra~unaj uglove: ՄOBC, Մ AOB, ՄOBA, Մ ABC. Kojoj vrsti, prema uglovima, pripadaju trouglovi ABO, BCO i ABC?
' Ne mere}i stranice, objasni za{to su dve stranice trougla ADC jednake.
( Odredi vrstu trougla, prema stranicama, ako su
:
a) podudarna dva spoqa{wa ugla b) zbirovi svaka dva unutra{wa ugla 120°.
) Prava s je simetrala kraka EF jednakokrakog trougla EFG. Na osnovu podataka sa slike utvrdi da je trougao MFG jednakokraki trougao.
ΔEFM je jednakokraki trougao.
* Simetrala spoqa{weg ugla na osnovici jednakokrakog trougla obrazuje s naleglim krakom ugao od 53°. Izra~unaj unutra{we i spoqa{we uglove t og trougla.
36
+ Koja je stranica trougla ABC najmawa, a koja najve}a ako je α = 54° i β = 60°?
, Koji je ugao trougla ABC najve}i, a koji najmawi, ako je c = 8 cm, a = 10 cm i b = 9 cm?
Simetrala ugla na osnovici jednakokrakog trougla se~e naspramni krak pod uglom od 78°. Izra~unaj uglove trougla.
Prvi slu~aj Ako ugao na osnovici ozna~imo sa 2 ϕ, onda je Na osnovu zbira uglova u trouglu va`i : 2ϕ + ϕ = 180° – 78° 3ϕ = 102° ϕ = 34° 2ϕ = 68° Uglovi trougla ABC su: Մ A = 68°, ՄB = 68°, ՄC = 44°
ՄDAB
Drugi slu~aj Sli~no kao u prethodnom slu~aju: 2ϕ + ϕ = 78° 3ϕ = 78° ϕ = 26° 2ϕ = 52° Uglovi trougla ABC su: Մ A = 52°, ՄB = 52°, ՄC = 76°
= ϕ.
ϕ
ϕ
2ϕ
2ϕ
- Objasni za{to simetrala ugla pri vrhu jednakokrakog trougla se~e osnovicu pod pravim uglom.
Prav ugao je ugao koji je jednak svom uporednom uglu.
Probaj i ovo . Stranica AD pravougaonika ABCD mawa je od polovine stranice AB. Na stranici CD odredi ta~ku E tako da je DE = DA. Uporedi stranice AE i BE trougla ABE .
Prvo nacrtaj simetralu s stranice AB, odnosno simetralu datog pravougaonika. Zatim odredi ta~ku F , simetri~nu ta~ki E u odnosu na s.
37
TROUGAO, ODNOS STRANICA TROUGLA, SPOQA[WI I UNUTRA[WI UGLOVI. VRSTE TROUGLOVA ! Trougao ABC podeli jednom pravom na a) dva trougla
:
b) trougao i ~etvorougao.
C
A
B
C
A
B
A
" Nacrtaj dve prave koje sadr`e ta~ku M tako da trougao na crte`u podeli{ samo na trouglove.
M B C C
# Nacrtaj dve prave koje sadr`e ta~ku M tako da trougao na crte`u podeli{ na dva trougla i dva ~etvorougla.
M B
A
$ Nacrtaj konveksan {estougao ABCDEF i ta~ku M koja mu pripada. Spoj ta~ku M sa svakim temenom datog {estougla. Koliko trouglova uo~ava{ ako ta~ka M pripada: a) oblasti {estougla b) jednoj stranici?
% Koje tri du`i mogu biti stranice trougla? a) 12 cm, 18 cm, 5 cm v) 30 cm, 50 cm, 20 cm
b) 25 cm, 11 cm, 15 cm g) 14 cm, 12 cm, 28 cm
& Koje tri du`i mogu biti stranice jednakokrakog trougla? a) 5 cm, 5 cm, 10 cm v) 18 cm, 10 cm, 10 cm
b) 20 cm, 20 cm, 50 cm g) 22 cm, 10 cm, 10 cm
' Da li mo`e da se nacrta trougao ~ije su du`ine s tranica
:
a) 8 cm; 4 cm; 2 cm
b) 7,4 cm; 6 cm; 4,5 cm
v) 7 cm; 2,5 cm; 5,1 cm?
Dovoqno je da utvrdi{ da je najve}a stranica mawa od zbira druge dve ili da je najmawa stranica ve}a od razlike druge dve.
Objasni.
( Merni brojevi stranica trougla su prirodni brojevi i dve stranice su 3 cm i 20 cm. Koliko centimetara mo`e iznositi du`ina tre}e stranice ako je deqiva sa 5?
) Da li postoji trougao ~iji je obim 60
cm i jedna stranica 32 cm?
Obrazlo`i.
* Poka`i da du`i a = 6 cm, b = 7 cm i c = 9 cm mogu biti stranice trougla. Nacrtaj taj trougao.
+ Poka`i da du`i a = 8 cm, b = 7 cm i c = 15 cm ne mogu biti stranice trougla. , Nacrtaj trougao ABC ako je
:
a) a = 3 cm, b = 5 cm i c = 7 cm
38
b) a = b•= c•= 5 cm.
Koristi pravilo zbira stranica i pravilo razlike stranica trougla.
- Nacrtaj trougao ~ije su stranice date du`i. c a b
. Nacrtaj jednakokraki trougao ~iji su kraci 3
cm i osnovica 4 cm. Koji je ugao ve}i, ugao pri vrhu ili ugao na osnovici?
/ Merni brojevi stranica trougla su prirodni brojevi. Ako je obim trougla 18
cm i jedna stranica 7 cm, koliko centimetara mo`e iznositi du`ina druge dve stranice?
: Izra~unaj meru tre}eg unutra{weg ugla trougla ABC i odredi vrstu trougla, prema uglovima, ako je a) α = 42°, β = 62°
:
b) α = 58°, β = 12° v) α = 35°, β = 55°.
; Zbir dva spoqa{wa ugla pravouglog trougla je 210°. Izra~unaj uglove trougla. < Na osnovu crte`a izra~unaj ozna~ene uglove.
= Izra~unaj uglove trougla ABC.
> Izra~unaj unutra{we uglove trougla ABC.
ϕ
OVO NE}E BITI TE?KO.
ϕ
? Obele`i spoqa{we uglove β1 i γ 1 trougla ABC, a zatim izra~unaj wihove mere ako je α1 = 140° i β = 105°.
α1
39
@ Poluprava Bx paralelna je stranici AC trougla ABC na crte`u. Izra~unaj ugao β.
β
A Izra~unaj tre}i ugao trougla, a zatim napi{i vrs tu trougla, kao {to je zapo~eto. Uglovi trougla ABC
α
β
γ
60°
60°
60°
30°
120° 15°
15°
Vrsta trougla, prema stranicama
Vrsta trougla, prema uglovima
jednakostrani~ni
o{trougli
15° 90°
B Ugao na osnovici jednakokrakog trougla je 10°. Koliki je ugao pri vrhu? Zaokru`i ta~an odgovor. a) 10°
b) 20°
v) 160°
C Izra~unaj uglove jednakokrakog trougla ako je a) ugao na osnovici 33°
g) 170° :
b) ugao pri vrhu 76°.
D Izra~unaj unutra{we uglove jednakokrakog trougla ako je spoqa{wi ugao 22°. E Zbir jednog spoqa{weg i jednog unutra{weg ugla trougla je 90°. Odredi vrstu tog trougla prema uglovima.
Ako je jedan spoqa{wi ugao trougla o{tar, wegov unutra{wi ugao je tup.
F Zbir dva spoqa{wa ugla jednakokrakog trougla je 280°. Odredi vrstu tog trougla prema uglovima.
G Da li ugao na osnovici jednakokrakog trougla mo`e biti a) prav b) tup? Objasni. :
H Da li ugao pri vrhu jednakokrakog trougla mo`e biti a) prav b) tup? Objasni. :
I Zbir dva unutra{wa ugla jednakokrakog trougla je 88°. Kojoj vrsti trouglova, prema uglovima, pripada taj trougao?
J Koja je najve}a, a koja najmawa stranica trougla ABC ako su unutra{wi uglovi
:
a) α = 46°, β = 72° b) α = 58°, β = 12°?
K Uporedi uglove trougla ABC ako je a = 12 cm, b = 8 cm i c = 6 cm. L Odredi najve}u stranicu trougla ABC ako je spoqa{wi ugao β1 = 100°, a unutra{wi α = 68°. M Konstrui{i ugao od 75° koriste}i jednakost 75° = (90° + 60° ) N Konstrui{i ugao od 52°30’ koriste}i date jednakosti. a) 52°30’ = (90° + 15°) : 2
40
b) 52°30’ = 22°30’ + 30°
:
2.
O Konstrui{i ugao α. a) α = 7°30’ d) α = 112°30’
b) α = 37°30’ |) α = 127°30’
v) α = 11°15’ e) α = 165°
g) α = 18°45’ `) α = 210°
P Izra~unaj uglove ϕ i θ na crte`u.
Q Prava s je simetrala stranice AB trougla
R Prava p je simetrala stranice SM
ABC na crte`u. Izra~unaj uglove δ, θ i ϕ.
jednakokrakog trougla SMP (SM = MP). Izra~unaj uglove ϕ i θ.
P
S Simetrala pravog ugla pravouglog trougla se~e hipotenuzu pod uglom od 53°. Izra~unaj uglove trougla.
T Simetrala o{trog ugla pravouglog trougla gradi sa
Nacrtaj skicu trougla.
hipotenuzom ugao od 12°. Izra~unaj uglove tog trougla.
U Simetrale unutra{wih uglova α i β trougla ABC seku se pod uglom od 120°. Ako je α = 72°, izra~unaj uglove trougla.
V Ugao izme|u simetrala unutra{wih uglova na hipotenuzi pravouglog trougla je 135°. Objasni. W Simetrale unutra{wih uglova jednakostrani~nog trougla seku se pod uglom od 120°. Objasni. X Simetrale spoqa{wih uglova na osnovici jednakokrakog trougla seku se pod uglom od 34°. Odredi vrstu tog trougla prema uglovima.
Y Ako je AB = CB i CD = ED, poka`i da je α = β.
Z Ta~ka K pripada stranici BC trougla ABC, pri ~emu je KA
= KB, a ta~ka M je sredi{te
stranice AB. Ako je ՄMKB = 36°, izra~unaj meru ugla AKC.
41
Probaj i ovo [ ^etvorougao ABCD je pravougaonik. Ako je DB = 2 AD, izra~unaj uglove trougla ABD.
Prvi korak Drugi korak
Tre}i korak
] Stranice trougla ABC su
c = 12 cm, a = 8 cm i b = 10 cm. Neka je M proizvoqna ta~ka na stranici AB. Doka`i da je du`ina du`i CM mawa od 10 cm. :
C
A
M
Odredi ta~ku M, simetri~nu ta~ki D u odnosu na du` AB. Posmatraj trougao DMB i odredi vrstu trougla prema stanicama. Izra~unaj uglove trougla DMB.
Ugao kod temena M trougla AMC mo`e biti tup ili o{tar. Ako je tup, uo~i odnos stranica trougla AMC, a ako je o{tar, uo~i odnos stranica trougla MBC.
B
a Na osnovu crte`a objasni za{to je AB + BC > AM + MC. AB + BC = AM + MB + BC
b Ta~ke E i F su sredi{ta stranica kvadrata ABCD na crte`u. Objasni za{to je obim trougla AEF mawi od obima kvadrata.
c Simetrala ugla kod temena A trougla ABC se~e stranicu BC u ta~ki D. Ako je ՄCAB = 110°, doka`i da je BD < AB.
d Simetrala ugla kod temena C trougla ABC se~e stranicu AB u ta~ki M. Ako je ՄC = 74° i ՄB = 69°, poka`i da je BM < MA.
42
AF < AD + DF
OSNOVNA PRAVILA O PODUDARNOSTI TROUGLOVA ! Trouglovi ABC i RSP su podudarni
( AC = RP, α = ϕ, γ = δ). Stranica AB
jednaka je stranici : a) RP b) RS v) SP Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.
Jednake stranice dva podudarna trougla jesu odgovaraju}e stranice, a jednaki uglovi su odgovaraju}i uglovi.
" Trouglovi ABC i FDE su podudarni ( AC = FE , :
AB = FD, BC = DE ). Ugao α jednak je uglu : a) θ b) δ v) ϕ Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.
# Trouglovi ABC i DEF su podudarni. Napi{i parove odgovaraju}ih jednakih uglova.
Jedan par odgovaraju}ih uglova jesu ՄCAB i ՄFDE .
$ Trouglovi ABC i FDE su podudarni. Napi{i parove jednakih preostalih osnovnih elemenata.
% Trouglovi ABC i APQ su podudarni. Ako je stranica AB du`ine 3 cm, AP du`ine 3,5 cm i du`ine stranica AC i AQ su po 2 cm, kolike su stranice BC i PQ?
& Koja su dva trougla na slici podudarna? Zaokru`i ih.
43
' Koje dve stranice trouglova ABE i DBC, na osnovu podataka sa slike, treba da budu jednake da bi trouglovi sigurno bili podudarni?
( Na osnovu podataka sa crte`a doka`i jednakost du`i
:
a) AB i DC
b) DE i PM
v) AD i BE . Za re{avawe zadatka 8 v) iskoristi jednakost spoqa{wih uglova na osnovici jednakokrakog trougla. Primeni pravilo SSU na Δ ADC i ΔBEC.
) Ta~ka M je sredi{te stranice CD pravougaonika ABCD na slici. Doka`i da su jednake du`i AM i BM.
Trouglovi AMD i BMC su pravougli. Za utvr|ivawe wihove podudanosti mo`e{ koristiti jednakost du`i AD i BC i jednakost du`i DM i CM.
Dva pravougla trougla su podudarna ako su: •
•
44
dve stranice (dve katete ili kateta i hipotenuza) jednog trougla jednake odgovaraju}im stranicama drugog trougla. jedna stranica (hipotenuza ili jedna kateta) i o{tar ugao na woj jednog trougla jednaki odgovaraju}oj stranici i odgovaraju}em uglu drugog trougla.
ili SUS
SSU
ili USU
USU
* Nacrtaj du` AB i wenu simetralu s. Odaberi proizvoqnu ta~ku M na simetrali. Doka`i da je AM = BM.
+ Nacrtaj proizvoqan Մ xOy i wegovu simetralu s. Odaberi proizvoqnu ta~ku M na simetrali. Nacrtaj prave normalne na krake ugla kroz ta~ku M. Zajedni~ke ta~ke tih pravih i krakova ugla obele`i slovima P i Q i doka`i da je PM = QM.
PM i QM su rastojawa od ta~ke M do krakova ugla.
•
Svaka ta~ka simetrale du`i jednako je udaqena od krajwih ta~aka te du`i.
•
Svaka ta~ka simetrale ugla jednako je udaqena od krakova ugla.
, Nad susednim stranicama kvadrata ABCD
Ka`emo da je trougao nad stranicom kvadrata ako sa kvadratom ima zajedni~ku stranicu i tre}e teme ne pripada kvadratu.
konstruisani su jednakokraki trouglovi BCM i DCP. Da li su trouglovi BCM i DCP podudarni ako je: a) BM = CP b) ՄBCM = ՄDCP? Objasni.
Dva jednakokraka trougla su podudarna ako su : •
krak i osnovica jednog trougla jednaki kraku i osnovici drugog trougla.
SSS jedna stranica (osnovica ili krak) i jedan ugao (na osnovici ili pri vrhu) jednog trougla jednaki odgovaraju}oj s tranici i odgovaraju}em uglu drugog trougla.
•
ili USU
ili USU
ili SUS
USU
Dva jednakostrani~na trougla su podudarna ako imaju jednaku stranicu.
SSS
45
- Doka`i da jednakim tetivama jednog kruga
Nacrtaj krug i centar obele`i sa O. Nacrtaj i obele`i jednake tetive AB i CD. Primeni pravilo podudarnosti SSS i poka`i da su trouglovi AOB i COD podudarni.
odgovaraju jednaki centralni uglovi.
. Ta~ke M, N i P su sredi{ta stranica AD, DC i BC kvadrata ABCD na slici. Doka`i da su jednake du`i MN i PN.
Jednakokrako-pravougli trouglovi su podudarni ako imaju jednake : •
katete
•
hupotenuze.
/ Doka`i da su trouglovi ABC i ABD podudarni. Primeni pravilo SSS.
ili SUS (USU)
: Ta~ke A1 i B1 simetri~ne su ta~kama A i B
; Ako je AB = CD i AB || CD, doka`i da su trouglovi OAB i ODC na slici podudarni.
< Ako je ta~ka jednako udaqena od krajeva du`i AB, ona pripada simetrali te du`i. Doka`i.
46
USU
u odnosu na pravu s. Objasni, koriste}i pravilo podudarnosti SSS, da su trouglovi AA1B i A1 AB1 podudarni.
= Neka je s simetrala ugla aOb i neka ta~ka M pripada toj simetrali. Ako je MP || Ob i MR || Oa, onda je MP = MR = OP = OR. Za{to?
> Neka je OA = OB i MA Ќ OA i MB Ќ OB. Doka`i da je Os simetrala ugla AOB.
? Ta~ka M je sredi{te stranice AB trougla ABC. Neka je du` MP paralelna sa BC i du` MQ paralelna sa AC. Trouglovi AMP i MBQ su podudarni. Za{to?
Koristi jednakost uglova na transverzali. Primeni pravilo USU.
@ Stranica CD kvadrata ABCD podeqena
Nacrtaj crte` i doka`i podudarnost odgovaraju}ih trouglova.
je ta~kama M i N na tri jednake du`i. Objasni za{to su jednake du`i AM i BN.
A Ta~ke M i N dele osnovicu jednakokrakog trougla ABC ( AC = BC) na tri jednake du`i. Doka`i da su jednake du`i CM i CN.
B Neka je s simetrala ugla aOb i neka je prava m normalna na s i se~e s u ta~ki D, krake Oa i Ob u ta~kama A i B. Doka`i da je OA = OB.
C Nad stranicom DC pravougaonika ABCD nacrtan je jednakostrani~ni trougao DCM. Doka`i da su jednake du`i AM i BM.
D Nad stranicom BC jednakostrani~nog trougla ABC nacrtan je kvadrat CBKM. Doka`i da su jednake du` AM i AK.
E Ako je na crte`u AE = AB, AD = AC i ՄEAC = ՄBAD, objasni za{to je Δ ABC Δ AED.
47
F Trougao ABC na slici je jednakokraki trougao i EA = BF . Doka`i da je ΔEAC
ΔFBC.
G Napi{i parove podudarnih trouglova ako su trouglovi ABC i EFC jednakokraki.
H Trouglovi ABC i DEF su podudarni (temenima A, B i C odgovaraju temena D, E i F ). Ako su CM i FP simetrale uglova kod temena C, odnosno kod temena F , doka`i da su jednake du`i CM i FP.
Na osnovu jednakosti odgovaraju}ih elemenata podudarnih trouglova ABC i DEF doka`i podudarnost trouglova AMC i DPF .
I Trouglovi ABC i DEF su podudarni (temenima A, B i C odgovaraju temena D, E i F ). Ako su ta~ke M i P sredi{ta stranica AB, odnosno DE , doka`i da je CM = FP.
J Trouglovi ABC i A1B1C1 na slici su podudarni ( AB = A1B1, BC = B1C1). Doka`i jednakost du`i AD i A1D1.
Primewuju}i pravilo USU, doka`i podudarnost odgovaraju}ih trouglova.
K Kru`nice k i k1 su koncentri~ne. Doka`i da je AB = DC.
Iskoristi to {to je trougao OBC jednakokraki trougao i to {to su spoqa{wi uglovi na osnovici jednaki.
L Doka`i da su jednaka rastojawa od centra kru`nice do jednakih tetiva. 48
