MATEMATIK Ders Notlari Kpsscini

***************************************** MATEMATİK***************************************

ĐÇĐNDEKĐLER No 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Konular Đçindekiler

Sayfa N. 1

KPSS – ALES – YGS – LYS Temel Kavramlar, Sayı Sistemleri Doğal Sayılarda Bölme, Bölünebilme Asal Çarpanlara Ayırma, EKOK – EBOB Rasyonel Sayılar Basit Eşitsizlik ve Sıralama Mutlak Değer Üslü Değer Köklü Değer Çarpanlara Ayırma ve Sadeleştirme Oran – Orantı Denklem Çözme Sayı, Kesir, Yaş, Hareket Problemleri Đşçi – Havuz Problemleri Yüzde, Kar – Zarar ve Faiz Problemleri Karışım Problemleri Grafik Problemleri Kümeler Đşlem Modüler Aritmetik Permütasyon – Kombinasyon Olasılık ALES Yakında…

n i C S S KP

m o i.c

2 3 4 5 6 7 7 8 9 9 10 10 13 14 16 16 17 19 20 21 23 25

1 MATEMATĐK – 2013

KPSS – ALES – LYS – YGS

ZAFER ÖZTÜRK

***************************************** MATEMATİK*************************************** A. TEMEL KAVRAMLAR, SAYI SĐSTEMLERĐ Çarpma – Bölme Đşlemleri:

(+ ) * (− ) = (− ) (− )* (− ) = (+ ) (+ )* (+ ) = (+ ) (+ ) = (− ) (− ) = (+ ) (+ ) = (+ ) (− ) (− ) (+ )

Đşlem Sırası: 1. Önce parantez içi ve bütünü işlemler yapılır. 2. Üs (kuvvet) varsa üs alınır. 3. Çarpma / bölme işlemi yapılır. 4. Toplama / çıkarma işlemi yapılır. Örnek:

(2 + (3 )* 4 ) + 2 3 / 4 = (2 + 12 ) + 8 / 4 = 14 + 2 = 16 Sayı Kümeleri: * Rakam = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} * Sayı = ( - ∞, +∞ ) * Doğal Sayı = N = {0, 1, 2, … , +∞} * Sayma Sayı = N+ = {1, 2, … , +∞} * Tamsayılar = Z = { - ∞, … , -1, 0, 1, 2, … + ∞} * Tamsayılar = Z = Z- + {0} + Z+ * Reel Sayılar = R = ( - ∞, + ∞) = Q ∪ Q’ * Rasyonel Sayılar = Q =  a : a, b ∈ Z ve b ≠ 0 b  * Đfadenin üç durumu:

a = 0, b ≠ 0, x=0 a x =  ⇒ a = 0, b = 0, x = belirsiz b a ≠ 0, b = 0, x = tan ımsız

* Đrrasyonel Sayılar = Q′ = 2 , 3 7 , π ,... net olmayan * Çift sayılar = Ç = {... , − 4 , − 2 , 0 , 2 , 4 , ...} * Tek sayılar = T = {... , − 3 , − 1 ,1 , 3 , 5 , ... } T±T =Ç T*T = T n ∈ Z+ için, Ç ≠ 0 Ç0 = 1 T±Ç=T T*Ç = Ç Tn = T Ç±Ç=Ç Ç*Ç = Ç Çn = Ç T0 = 1

Asal Sayılar: * 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan ve 1’den büyük tam sayılardır. En küçük ve tek çift asal sayı 2’dir. * Asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, vb. Aralarında Asal Sayılar: * 1’den başka pozitif tam böleni olmayan en az iki tam sayı. a ile b, x ile y aralarında asal sayılar ise; a x = ⇒ a = x ve b = y b y Örnek: 5 ile 7; 10 ile 21; vb. aralarında ikili asal sayı. (Aralarında 1’den başka böleni yoktur.) Örnek: 12, 15, 20 aralarında asal sayı. (12 ile 15 arasında 3’e bölen varsa da 20’de 3’e bölen yok.) Örnek: (2x-1) ile (3y+2) aralarında asal; 3 y + 2 35 ⇒ 3 y + 2 5 ⇒ 3 y + 2 = 5 x = 5 = = ⇒ 2x − 1 9 2 x − 1 63 2x − 1 = 9  y =1 Ardışık Sayılar: * Ardışık sayma sayıları: 1, 2, 3, 4, … , n, … * Ardışık çift sayma sayılar: 2, 4, 6, 8, … , 2n, … * Ardışık tek sayma sayılar: 1, 3, 5, 7, 9, … , 2n-1, … * Ardışık tam sayılar: n, n+1, n+2, n+3, … * Ardışık çift tam sayılar: 2n, 2n+2, 2n+4, … * Ardışık tek tam sayılar: 2n-1, 2n+1, 2n+3, … * Ardışık sayılar arası fark ± 1, çift ve teklerde fark ± 2. n * (n + 1) * 1 + 2 + 3 + ... + n = 2 * 2 + 4 + 6 + ... + 2 n = n * (n + 1) * 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2 n − 1) = n 2 T.S. : Terim Sayısı, S.T. : Son Terim, I.T. : Đlk terim, A. : Artış Miktarı, T.T. : Terimler Toplamı. * T .T . = T .S. * S.T . + I.T . + A . 2 • T .S. = S.T . − I.T . + 1

0 * x ∉0 ⇒ x =1

x = 0 ⇒ 0 = Tanimsiz 0

Pozitif – Negatif Sayılarda Đşlemler: a < b<0
⇒ a≤x≤b

A. • T .S. = S.T . − I.T . A.

⇒

• T .S. = S.T . − I.T . − 1

⇒ a < x 0 , a + b < 0 , a > c ⇒ a + c < 0 , vb.

Ardışık sayılarda ortadaki sayı bulma yöntemleri: * OrtaSayi= Sayi Toplam Sayi A det

• Aynı işaretli iki sayının çarpımı / bölümü pozitif, zıt işaretlilerin ise negatiftir. c * d > 0 , a * b > 0 , b * d < 0 , a < 0 , b > 0 , vb. c a • Pozitif sayının bütün kuvvetler (tek, çift fark etmez) pozitif, negatif sayının tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir. c Çift > 0 , d Tek > 0 , a Çift > 0 , b Tek < 0 , Ç0 = T0 = 1

Örnek: Ardışık 4 doğal sayı toplamı 62: 62 OrtaSayi = = 15,5 ⇒ ± 0,5 eklenir ve tam sayı yapılır. 4 ±1 ± 0,5 ± 0,5 ±1 15,5 14 15 X 16 17

Örnek: Ardışık 4 tek sayı toplamı 80; 80 OrtaSayi = = 20 ∉ T ⇒ ± 1 eklenir ve tek sayı yapılır. Örnek: a 2 * b < 0 , b * c 3 > 0 , a > 0 ise a, b, c işaretler? 4 c ±2 ±1 ±1 ±2 20 a2 * b < 0 ⇒ b < 0 ; b * c3 > 0 ⇒ − * − > 0 ⇒ c < 0 19 X 21 17 23 a − ise a (-), b (-), c (-) olur. Đşlemde tek sayı çıkmazsa ± 0,5, 1, vb. rakamlar sağa sola >0⇒ >0⇒ a <0 c − eklenir. Diğerlerinde ana kural geçerlidir.


KPSSCini.com


ZAFER ÖZTÜRK

***************************************** MATEMATİK*************************************** Faktöriyel: * 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * ... * n = n ! (Faktöriyel) * n! = n * ( n − 1)! = n * ( n − 1) * ( n − 2 )! * 0! = 1! = 1

B. DOĞAL SAYILARDA BÖLME, BÖLÜNEBĐLME Doğal Sayılarda Bölme:

* n! basamaklı sayının sondan x basamağı sıfır ise; * a = b*c + d (d < b) olmak zorunda. * d < c ⇒ a = c * b + d (Bölen ile bölüm yer değişebilir)

n = 5 * a + b a ≥ 5  a = 5 * c + d c ≥ 5 ⇒ x = a + c + e c = 5 * e + f e < 5 * n ≥ 0 , a asal sayı; x, y pozitif tam sayı olmak üzere;

n!= a x * y ifadede x’in en büyük değeri için n/a işlemi

* n basamaklı “abc…m” sayısı iki basamaklı “xy”, tek basamaklı “z” sayısına bölündüğünde bölüm basamak sayısı: ⇒ Bölüm: n – 1 basamaklı. ab ≥ xy ⇒ Bölüm: n – 2 basamaklı. ab < xy

a≥z a
sürekli yapılır ve elde edilen bölümler toplanır.

n = a*b + c b = a *d + e d = a *f + g

b ≥ a  d ≥ a ⇒ xB = b + d + f f < a 

⇒ Bölüm: n basamaklı. ⇒ Bölüm: n – 1 basamaklı.

Örnek: 8909 = 1272 * 7 + 5 ⇔ 8 ≥ 7 ⇒ bölüm 4 basamak. 7 * a sayının n ile bölümünden kalan x, b sayısının n ile bölümünden kalan y ise; a + b, n ile bölümünden kalan x + y, a – b, n ile bölümünden kalan x - y, a * b, n ile bölümünden kalan x * y, a2, n ile bölümünden kalan x2.

m

Örnek: m,n pozitif tam sayı, 15!= 6 * n ⇒ m B = ?

15!= (2 * 3)m * n ⇒ 15 = 3 * 5 + 0 ⇒ 5 = 3 * 1 + 2 ⇒ mB = 5 + 1 = 6

Taban: Örnek: a sayısı 7 ile bölümden kalan 4 ise; a 2 + 3 * a − 2 * a , b, c, d, e < x olmak üzere (x taban); 10’luk tabana sayının 7 ile bölümden kalan kaçtır? geçiş: a 2 + 3 * a − 2 = 4 2 + 3 * 4 − 2 = 26 (abc, de)x = e * x−2 + d * x−1 + c * x0 + b * x1 + a * x2 = (A)10 26 = 7 * 3 + 5 ⇒ Kalan = 5. * 10’luk tabandaki bir sayıyı x tabana geçirmek için: Bölünebilme Kuralları: (B )10 = (A )x ⇒ B / x yapılır ve son kalandan itibaren 2 ile Birler basamağı çift sayı olmalıdır. abc ⇒ c = Çift soldan sağa doğru yazılırlar: (A)x = (kS ... k2 k1)x Sayı abc ⇒ a + b + c = 3*k olmalıdır. 3 ile Sayı abc ⇒ bc = 10*b+c = 4*k olmalıdır. {00, 32, vb} 4 ile Örnek: 25 = (A )4 ⇒ A = ? Birler basamağı 0 veya 5 olmalıdır. 5 ile 7 ile 8 ile 9 ile 10 ile

Örnek: (312 )5 = A ⇒ A = ?

(312 )5 = A = 2 * 5 0 + 1 * 51 + 3 * 5 2 = 82

Çıkan değer “0” veya 7*k olmalıdır. Sayı abcd ⇒ bcd = 100*b+10*c+d = 8*k olmalıdır. Sayı abc ⇒ a + b + c = 9*k olmalıdır. Birler basamağı “0” olmalıdır.

11 ile * Farklı tabanlarda dönüşümlerde 10’luk tabana çevirerek yapılır. (A )x = (B )y ⇒ (A )x = (C )10 = (B )y *

a

n

sayısı a tabanında yazılırsa (n+1) basamaklı olur.

Örnek: 36 = (A )3 ⇒ A = ?

36 = (A )3 = (1000000 )3 (Yani değer kadar 0, 7.si 1)

Çıkan değer “0” veya 11*k olmalıdır. * Diğer sayılarda bölünme şartı, aralarında asal sayılara bölünmesidir: 25 ile bölünebilme: Son iki basamak 00 veya 25*k. 36 ile bölünebilme: Aralarındaki asal çarpanları “4” ve “9” a bölünebilmeli. 30 ile bölünebilme: Aralarındaki asal çarpanları “3” ve “10” a bölünebilmeli.

* abcd = 1000* a + 100* b + 10 * c + d (Dört basamaklı) d: Birler, c: Onlar, b: Yüzler, a: Binler basamağı.

* 0 ≤ a ≤ x aralıkta b ile bölünen, c’ye bölünmeyen sayılar: x = b*k + m Okek (b , c ) = d x = d * p + r ⇒ x = k − p tane c’ye bölünmez.

Örnek: 325 = 3 * 100 + 2 * 10 + 5 Örnek: 10200 = 1*10000 + 2 *100 + 0



ZAFER ÖZTÜRK

***************************************** MATEMATİK*************************************** * 0 ≤ a ≤ x aralıkta b veya c ile bölünen sayılar: x = b*k + m x = c*p + n Okek (b , c ) = d ⇒ x = d * t + r

s(A U B) = s(A ) + s(B ) − s(A I B ) ⇒ z = k + p – t

* a < x < b aralıkta d ile bölünen sayılar: b = d*k + m a = f *p + n Bölünen sayı = k – p

EBOB – EKOK: * EBOB: Đki veya daha fazla sayıyı aynı anda bölen pozitif bölenlerin en büyüğüdür. * EKOK: Đki veya daha fazla sayının tam katı olan sayılardan en küçüğüdür.

C. ASAL ÇARPANLARA AYIRMA – EKOK EBOB Asal Çarpanlara Ayırma: x

y

z

* A = a * b * c ; x, y, z ∈ Z + ; a, b, c ∈ Asal sayılar; Pozitif Bölenler Sayısı = P.B.S. :

  EBOB(A, B, C ) = a x * b y * c z B = a x * b 4 y * c 2z  ⇒ 2x 4y 3z  EKOK(A, B, C) = a * b * c * d C = a 2 x * b 3y * c z * d   A = a 2 x * b y * c 3z

P.B.S. = (x + 1) * (y + 1) * (z + 1)

Negatif Bölenler Sayısı = N.B.S. :

N.B.S. = (x + 1) * (y + 1) * (z + 1) = P.B..S.

* A < B ise; EBOB (A , B ) ≤ A < B ≤ EKOK (A , B )

Tam Bölenler Sayısı = T.B.S. :

T.B.S. = 2 * P.B.S. = 2 * (x + 1) * (y + 1) * (z + 1)

A * B = EBOB(A, B) * EKOK (A, B ) (a ve b aralarında asalsa) A ve B değerleri asal ise; EBOB (A , B ) = 1 ,

Pozitif Bölenlerin Çarpımı = Ax :

Ax =

 P .B.S.    A 2 

=

 ( x +1)*( y +1)*(z +1).    2  A

EKOK(A, B) = A * B ise;

A + B toplamının en büyük değeri A * B + 1 (asalsa),

Pozitif Bölenlerin Toplamı = P.B.T. :  a x +1 − 1   b y +1 − 1   c z +1 − 1  * *  P.B.T. =   a −1   b −1   c −1       

(

)(

)(

A + B toplamının en büyük değeri EBOB (A,B) + EKOK (A,B) olur.

P.B.T. = a0 + a1 + ...+ a x * b0 + ...+ by * c0 + ...+ cz Pozitif Tam Bölenler = P.B. :

{

P .B. = 1, a , b , c , a * b , a * c , a 2 ,..., a x * b y * c z Negatif Tam Bölenler = N.B. :

{

N.B. = − 1,− a ,− b,− c,−a * b,− a 2 ,..., −a x * b y * c z

)

* Problem sorularında EKOK kullanılan yerler: 1. Parçadan bütüne gidilen ( dikdörtgenden kare, kutulardan koli elde etme, vb.) sorularda,

}

}

2. Kalanlar eşit olan sorularda katsayıyı bulmada, A = 4x + 3 = 5y + 3 ⇒ EKOK(4,5) = A − 3 gibi. 3. Bölenle kalan arasındaki fark eşitse,

Örnek: 8 sayısının P.B. ve N.B. değerleri nedir? P .B . = {1, 2 , 4 ,8 } = 4 tane

A = 4x + 3 = 5y + 4 ⇒ A + 1 = 4 * (x + 1) = 5 * (y + 1) ⇒ A + 1 = EKOK ( 4,5)

N.B. = {− 1, −2, −4, −8} = 4 tane Tam Bölenler = T.B. :

T .B. = {N .B., P .B.}

4. Tur bindirme (çark, dişli, vb.) sorularında, 5. Buluşma (araçların aynı anda) sorularda kullanılır.

KPSSCini.com

Asal Olmayan Pozitif Bölen Sayısı = PxAx :

PxAx = P .B.S. − {a , b , c} = P .B.S. − 3

* Problem sorularında EBOB kullanılan yerler: 1. Bütünü parçalayan, büyük parçalardan oluşacak eşit boyutlularda olan sorularda (büyük koliden küçük kutu bul),

a

* A!= b !⇒ a tane b çarpanda; b değeri asal ise A/b işlemi defalarca yapılır ve kalan değerler toplanarak bölen sayısı bulunur. Eğer b değeri asal değilse aralarında asal çarpanlarından büyük olanı seçilerek aynı işlem yapılır. (Örneğin; 6 = 2*3 ise 3 alınır, bölünür.)

2. Tarlada, alanda ağaç dikme sorularda, 3. En az sayıda gerekebilecek eleman sayısı sorularda.



ZAFER ÖZTÜRK

***************************************** MATEMATİK*************************************** *

a c , ∈ R olmak üzere bu iki sayının OBEB ve OKEK’i; b d

*

 a c  OKEK (a , c ) OKEK  ,  =  b d  OBEB (b , d )  a c  OBEB (a * d , b * c ) OBEB  ,  = OKEK (b, d ) b d

*

a c a *c * = b d b*d a c a d a *d : = * = * b d b c b*c b b a *c + b a *b ≠ * a ≠ a* ⇒ c c c c *

a c e , , ∈ R ⇒ OKEK  a , c , e  = OKEK (a , c , e ) b d f  b d f  OBEB (b , d , f )

a d a 1 f a *d*f * b * = * *d* = c e b c e b*c*e f

Örnek: a*b*c ölçülerine sahip kutulardan kutu elde etmek için gereken miktar?

EKOK(a, b, c) = d ⇒ Kutu =

d*d*d a *b*c

*

Örnek: a*b*c ölçülerindeki odaya en az kaç kutu girer?

EBOB(a, b, c) = d ⇒ Kutu =

0, x{ ... = nd

a *b*c d *d*d

x ... 10 nd

Ondalık sayı (nd: Basamak sayısı)

Rasyonel Sayılarda Sıralama: *

Örnek: a*b alanında tarlaya en az ağaç dikmek: a = c * x + k1  EBOB ( a , b ) = c ⇒ ise ; b = c * y + k 2

a , b, c ∈ Z + ⇒ a 1 > 1

a b c 1 1 1 − * a , b, c ∈ Z ⇒ a > a a a a a a * a ∈ Z+ ⇒ b, c, d ∈ Z− ⇒ b < c < d ⇒ > > d c b * a , b, c, d ∈ Z+ ⇒ a < b < c < d ⇒

Köşeler + tarla içine: 2 * (k1 + 1 + k 2 + 1) tane ağaç. Ağaç Sayısı = 2 * a + b c

a c a±c ± = b b b

(Köşeler dâhilse)

Örnek: a, b, c sürelerinde çalan zilin ilk çaldıktan ikinci çalışa kadar geçen süre: EKOK (a , b, c) = k ⇒ Birlikte ilk çalışı k zamandadır. Örnek: Traktör soru: Ön tekerlek çevre A br, arka tekerlek çevre B br, traktör harekete başladıktan sonra ilk konuma geldiğinde ön tekerlek arka tekerlekten kaç fazla tur atmış? EKOK ( A , B) = C br (Alınan yol)

1 1 1 3 5 7 > > ; < < 2 3 5 2 2 2 −1 −1 −1 − 3 − 5 − 7 Örnek: < < ; > > 2 3 5 2 2 2 Örnek:

C = A * X tur fazla atmıştır. ⇒ Z=X−Y C = B*Y

* Pay – payda arasındaki farkların eşit olduğu sıralama:

D. RASYONEL SAYILAR

A=

Rasyonel Sayılar:

a b c (Payda – pay = +2) B= C= a +2 b+2 c +2

0 < a B > C (negatif)

a ⇔ a < b; b ≠ 0 b a * Bileşik kesir: ⇔ a ≥ b; b ≠ 0 b b b a *c + b * Tam sayılı kesir: a = a + = ⇔c≠0 c c c * Basit kesir:

A=

a +2 b+2 c + 2 (Pay – payda = +2) B= C= a b c

0 < a B > C (pozitif) a b>c x , y, z ∈ R −   *  ⇒ x * z = b ⇒ x * y > x * z > y * z a , b, c ∈ R +  y * z = c  y < z; x < y

0
Örnek:



ZAFER ÖZTÜRK

***************************************** MATEMATİK***************************************

abcd − ab Devirli ondalıklı sayı 990 * a ,1 9 = a,2 Devirlide tek devreden 9 ise soldan 1 artar. __

2

a2 ≤ a ⇒ 0 ≤ a ≤1

* a < a ⇒ −1 < a < 1

2

a 2 ≤ a ⇒ −1 ≤ a ≤ 1

* a< a ⇒a<0

a≤ a ⇒a≤0

* a < a ⇒ 0 < a <1

* a , b cd =

Örnek: 1, 2464646 ... = 1, 2 46 =

 a < −1 * a3 < a ⇒  veya 0 < a < 1

Örnek: a

a<0 * a 3 < a 2 ⇒  veya 0 < a < 1

1246 − 12 1234 = 990 990 101 110 440 = ;b = ;c = ⇒ab>c 103 112 442 103 112 442 = ;b = ;c = ⇒a>b>c 101 110 440 − 103 − 112 − 442 = ;b = ;c = ⇒a
Örnek: a Örnek: a Örnek: a

* a

X

< aY ⇒ X < Y

<

1 aY

⇒Y
a < x < b ⇒ x = (a, b) a ≤ x < b ⇒ x = [a , b) a < x < b * x, y ∈ R , ⇒ a +c< x+y < b+d c < y < d

*

⇒ (x + y)max = b + d −1 , (x + y)min = a + c +1

a*x + b ifadede x’in y cinsinden ifadesi: c*x + d a*x + b − (d ) * y + b ⇒x= y= c*x + d c * y − (a )

* y=

x = a + 1 x max = b − 1 * x , y ∈ Z + , a < x < b  ⇒ min  c < y < d  y min = c + 1 y max = d − 1 ⇒ (x + y)max = b + d − 2 , (x + y)min = a + c + 2

(

Örnek: x , y ∈ R , − a < x < b  ⇒ x 2 + y 2 

E. BASĐT EŞĐTSĐZLĐKLER VE SIRALAMA

− c < y < d

Basit Eşitsizlikler:

1 aX

)

max

=?

x ve y’nin en küçük değerleri negatif; ama karesini aldığımızda en küçük değer 0 olmalıdır. x2, y2 ≥ 0 gibi. 0 ≤ x 2 − a  2 2 2 2 ⇒ 0≤ x +y
(

)

Örnek: x , y ∈ R , − a < x < b  ⇒ (x * y ) max = ? − c < y < d En geniş aralık bulunur: (Sol taraf için) − a * d < −b * c ⇒ −a * d (Sağ taraf için) a * c < b *d ⇒ b * d

⇒ −a * d < x * y < b * d ⇒ (x * y )max = b * d − 1

a + c < b + c a − c < b − c

Örnek: x , y ∈ Z + , − 2 ≤ x < 3 ⇒ (2 x + y ) max = ? − 6 ≤ y ≤ 5

* a
− 4 ≤ 2x < 6 (2x )max = 6 −1 = 5 a < b a * c 0  a : c b * c Đkinci Dereceden Eşitsizlikler: * (Negatifte eşitsizlik değişir.) ⇒ (x − a) * (x − b) ≥ 0 eşitsizliğin Ç.K. = ? c < 0  a : c > b : c *

* * * *

*

c−x x − a = 0 ⇒ x = f (x1) = a (1. Kök) x − b = 0 ⇒ x = f (x2) = b (2. Kök) c − x ≠ 0 ⇒ x = f (x3) ≠ c (Payda “0” olamaz.)

a < b  ⇒ {a + c bx x ∈ Cift 0 < a < b x x ⇒ a 0 

{

Ç.K . = x = ( −∞ , a ] ∪ [ b, c )



ZAFER ÖZTÜRK

***************************************** MATEMATİK*************************************** F. MUTLAK DEĞER

G. ÜSLÜ SAYILAR n

* a∈R, n∈Z+ ise n tane a çarpımı a ifadesidir. * a ∈ R , n ∈ Z + ⇒ a n = a * a * a * ... * a

* a∈R, sayı doğrusu üzerinde başlangıç noktasına olan uzaklığıdır. a < 0 ⇒ a = −a * a ∈R ⇒ a = 0 ⇒ a = 0

a >0 ⇒ * a ∈R ⇒

144244 3 n

* a ∈ R , n ∈ Z ⇒ a * n = a + a + a + ... + a 1442443

a =a

n tan e

a > 0 ⇒ − a = −(− a) = a a <0 ⇒

tan e

+

0

* a ∈ R ⇒ a = 1 || a ≠ 0

− a = −a

(00 tanımsız)

n

* n∈R ⇒1 =1

* a ∈ R ⇒ a ≥ 0 olmak zorundadır.

* a ∈ R , n ∈ Z + ⇒ (− a )2 n = a 2 n

* a < b ⇒ a − b =  a − b < 0  = −(a − b ) = b − a  (−) 

* a ∈ R , n ∈ Z + ⇒ (− a )2 n +1 = −a 2 n +1

(

* x * y = x*y * y≠0⇒

* xn = x

Üslü Sayılarda Đşlemler: * x * a ± y * a m z * a = (x ± y m z ) * a

KPSSCini.com

x

x = y y

n

⇒

x = ±a

a−b =a−b ⇒ a−b≥0

* a, b ∈ R ⇒

*

a≠0 am ⇒ n = a m * a −n = a m−n n≠0 a

*

m b≠0 am  a  ⇒ m =  m≠0 b b

( ) = (a )

* a

m n

n m

*

a ∈R 1 ⇒ a −m = m a≠0 a

x ≤a ⇒

*

m −m a, b ∈ R b a ⇒  =   a ≠ 0, b ≠ 0  a  b

−a ≤ x ≤ a

x ≥ a ⇒ x ≥ a || x ≤ −a

* x , a , b ∈ R ⇒ −a < x ≤ b ⇒

−a < x ≤ b −b≤x
Üslü sayılarda eşitlik – eşitsizlik: * a ∈ R ⇒ a ≠ {− 1,0,1} ⇒ a m = a n ⇒ m = n

* x , y ∈ R ⇒ x + y = 0 ⇒ x = 0 || y = 0 * x, y ∈ R ⇒

(x )2 n

=

n

= a m* n

x < a ⇒ −a < x < a x > a ⇒ x > a || x < −a

* x, a ∈ R ⇒

n = çift a = ±b * a, b ∈ R ⇒ a n = bn ⇒  n = tek a = b

y 2m ⇒ x n = y m

* a, b ∈ R ⇒ n = m = 0 ⇒ a n = bm

* Đki mutlak değer işleminde alınabilecek en küçük değer mutlak değerleri sıfır yapan değerlere göre çıkan sonuçtur.

Örnek: 32x+y = 5x−y+2 ⇒ x = ?, y = ?  2x + y = 0 2x + y = 0  −2 −4 30 = 50 ⇒  ⇒ ⇒ x = ,y = x − y + 2 = 0 x − y = − 2 3 3   

Örnek: x ∈ R ⇒ x − 5 + 2 x − 4 ifadenin alabileceği en küçük değer nedir? ⇒ 5 − 5 + 2*5 − 4 = 6 x −5 = 0⇒ x =5

2x − 4 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ 2 − 5 + 2 * 2 − 4 = 3 Đki işleme bakıldığında en küçük değer 3’dür.

n

* a = 0 ⇒ a = 0 || n > 0 * an = 0 ⇒ n = 0 ⇒

0−n

n <0⇒

Örnek: (2 x − 1)2 ≤ 25 eşitsizliğini sağlayan x tam sayı değerleri toplamı nedir?

(2 x − 1)2

n

a m * a n = a m+n

a −b = b−a ⇒ a −b<0

* x∈R ⇒ x > x ⇒ x < 0 * x, a ∈ R ⇒

n

*

n

* a ∈ R+ ⇒ x = a

)

* a ∈ R , n ∈ Z + ⇒ − a 2 n = −a 2 n ≠ (− a )2 n

* − x = − (− x ) = x

* a n = 1⇒

≤ 25 ⇒ 2 x − 1 ≤ 5 ⇒ − 5 ≤ 2 x − 1 ≤ 5 ⇒

− 4 ≤ 2 x ≤ 6 ⇒ − 2 ≤ x ≤ 3 ⇒ x = {− 2 , − 1, 0 ,1, 2 ,3} ⇒ x = −2 − 1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 3

n =0⇒ a ≠ 0 a = −1⇒ n = 2*k

n x n x * a =b  ⇒ = m y

a = b 

Örnek: 2 x + 10 = 2 x + 10 ise x’in değer aralığı nedir?

0 0 → Tanimsiz 1 = n = ∞ → Tanimsiz 0

m

(a ve b aralarında asal ise)

y

−3

* 0, xyz = xyz*10

2 x + 10 = 2 x + 10 ⇒ 2 x + 10 ≥ 0 ⇒ x ≥ − 5

* xyz...ab *10n ⇒ Basamak sayısı = m + n

⇒ Ç.K . = [ − 5, +∞ )

1 424 3 m



ZAFER ÖZTÜRK

***************************************** MATEMATİK*************************************** * a * x + b * x − c * x = (a + b − c ) * x

0 < a < 1 ⇒ x > y x1⇒

* ax < ay ⇒ 

*

*

a − 2 =1⇒ a = 3 2 a − 4 = 0 || a − 2 ≠ 0 ⇒ a ≠ 2  a − 2 = − 1 || 2 a − 4 = 2 k ⇒ a = 1  Đlk değerde taban 1 olursa üstü fark etmez. Đkincisinde üst sıfır olursa taban sıfır olamaz. Sonuncusunda taban negatif olursa üstü de çift katlı bir sayı olmalıdır ki sonucu pozitif yapsın. Alınan değerlerden; a = 3 + 1 = 4 olur. 

(a − 2 )2 a − 4 = 1 ⇒ 

n

n *k

xm =

x m*k

a = x = 2 *3 x 3 = 6 x 3

b = x2

c = 3 x 0,5 = 2*3 x 0,5*2 = 6 x1 = 6 x

⇒c
6

Örnek: a = 2 , b = 3 ⇒ 54 değerinin a ve b cinsinden?

=

(a + 4 )6

⇒ 5 3

( )= 0,1 * ( 81 − 1)

*

(

*

= 3 +1−

(Eşlenik çarpım)

)(

2

a +b

)

)

a −b

)

x x + = 2* a 1a2−3b 1a2+3b

(

a −b

a +b

)

a −b

(

( )

(

)

(

3 −1

)

3 −1 = 2

* x , y ∈ R + , x > y ⇒ {x + y = a;

(Üslü ifade şeklinde yazılımı)

49 = 7

a

( )

m

9 =3

a +b

3 +1

* m, n ∈ cift ⇒ m x + n y = 0 ⇒ x = 0 || y = 0

25 = 5 36 = 6

*8

1 10

2 2 − =? 3 −1 3 +1 2 2 2 3+2 2 3−2 2* 3 +1 2* 3 −1 − = − = − 2 2 2 2 2 2 3 − 1 3 + 1 3 −1 3 −1 123 123

(n çift veya tek sayı)

1 =1 4 =2

= 10−1 =

Örnek:

21 − 7 x ∈ R ⇒ 21 − 7 x ≥ 0 ⇒ x ≤ 3 ⇒ 0 ≤ x ≤ 3

64 = 8

−1

(Sayının eşlenik çarpımı) 3

x x − =2 1a2−3b 1a2+3b

(

21 − 7 x ifadesi reel (gerçel) sayı ise x=?

16 = 4

10

( ) ( ) (

* a = 2n x ⇒ x < 0 || 2n = cift ⇒ a ∉ R ( 4 − 2 , 8 − 7 vb.)

0 =0

0,1 * (9 − 1)

10 − 2 * 8

=

* a −b = a − b = a − b * a + b x y * k (Rasyonel ifadeleri toplama) = ± a − c 1a2−3b 1a2+3b

(Küpkök k )  a = x ⇐ n = cift * a = n xn ⇒   a = x ⇐ n = tek  x ≥ 0 ⇐ n = cift * n x ⇒ x ∈ R ⇐ n = tek

* a = n x m = (x ) n

a* a = 6

2

2

* a=n 0 =0

6

=?

0,01 * (6 + 2)

* a= a* a

(Karekök x)

2

8,1 − 0,1

0,01 * 36 + 4

* n, 1’den büyük Z+ olmak üzere, an = x denklemi sağlayan a sayısına x’in n. dereceden kökü denir. ( a = n x )

x= x

0,36 + 0,04

Örnek:

H. KÖKLÜ SAYILAR

*

n

x  x n =  y  y 

54 = 2 * 27 = 2 * 33 = 2 * 33 = a * b 3

2a − 1 ⇒ a + 4 ⇒ 2a − 1 = ± (a − 4 ) ⇒ a = −3 || a =

Örnek:

n

x = y

6

(2a − 1)6 = (a + 4 )6 ⇒ (2a − 1)6

k

)

Örnek: x ∈ Z + , a = x , b = 6 x 2 , c = 3 x 0,5 ise sıralama? Köklerin dereceleri farklı olduğundan bunların eşitlenmesi gerekir.

Örnek: (2 a − 1) = (a + 4 ) ise a=?

*

)(

* k∈R ⇒

Örnek: (a − 2 )2 a − 4 = 1 ise a değerlerinin toplamı nedir?

3

x*y

1 n

5 y = 8 ⇒ 5 y = 23 y 3 5 y = 2 3  ⇒ = ⇒ x*y = 6 x  2 x  5=2 

*

m *n

n *m m x * m *n y n = m *n x m * y n * n x *m y =

4 x = 25 ⇒ 2 2 x = 5 2 ⇒ 2 2 x = 5 2 ⇒ 2 x = 5

2

(

x *n y =

* a*n x * b*n y = a*b*n x*y

x Örnek: 4 = 25 ise x * y = ? 5y = 8

6

n

144=12

a+2 b = x + y

81= 9 100=10

169=13 Bazı karekökler 196=14

a−2 b = x − y

121=11

225=15

a± b =

x * y = b ise;

2a 2 2a ± 2 b ± b= 2 2 2

* a = n x n * y = x * n y (n. kökten çıkış) Örnek:

* a = x * n y = n x n * y (n. köke girişi)

8 + 60 = 8 + 4 * 15 =

8{ + 2 { 15 = {3+ 5} {3*5}

5+ 3



ZAFER ÖZTÜRK

)

***************************************** MATEMATİK*************************************** b = m + n  * x2 + b* x + c = 0 ⇒   ⇒ (x + m ) * (x + n ) = 0 c = m*n 

* m y * n x = m*n x * y n * * *

m y*n

n

x =

1 1 1     *  m  y * x n m 

x +n y ≠

2 * a * x 2 + b * x + c = 0 ⇒ a * x = d * x * e * x  ⇒ 

d*x e*x

x+y

n

f g



c = f *g

(d * x + f ) * (e * x + g ) = 0

x * x * x * ... = y ⇒ x * 1x42 * x43 * ... = y = x * y y

x2 − x − 6

  x + x + x + ... = a + 1  x − x − x − ... = a * x = a * (a + 1) ⇒  n x * n x * n x * ... = (n −1) x n (n +1)  x : n x : n x : ... = x

Örnek:

x − x − x − ... = 8 ⇒ x = ? x = a * (a + 1) = 8 * 9 = 72 (Çıkarmada küçük değer alınır.)

2 ⇒ x − x − 6 = (x − 3)* (x + 2 ) = (x − 3) 2

−3 +2

x x

2x 2 − x − 2 = 0 ⇒ (2x − 1) * (x + 2) −1 +2

2x x

Örnek:

2x − x − 2

( ) = (x + 2 * x + 1)* (x + 1) = (x + 1 + 2 * x + 1) * (x + 1) 2

x 5 + x 4 = x 4 * (x + 1) = x 2 * (x + 1) = (x + 1)2 * (x + 1) x5 + x 4

2

x 5 + x 4 = (3 * x + 2) * (x + 1) = 3 * x 2 + 5 * x + 2

Örnek: x = 3 3 + 27 − 1 + 9 = ?

x 5 + x 4 = 3 * (x + 1) + 5 * x + 2 = 8 * x + 5

3+ 27− 1+ 9

x = ← = 3 3 + 27 − 1 + 3 = 3 3 + 27 − 2

J. ORAN – ORANTI

3

= 3 3 + 25 = 3 3 + 5 = 3 8 == 23 = 2 *

I. ÇARPANLARA AYIRMA VE SADELEŞTĐRME * a 2 − b 2 = (a − b) * (a + b )

(Đki kare farkı)

*

* a 2 + b 2 = (a − b )2 + 2 * a * b = (a + b)2 − 2 * a * b * (a − b )2 = a 2 − 2 * a * b + b 2 (Tam kare)

*

* (a − b )2 = (a + b )2 − 4 * a * b (Tam kare)

*

* (a + b )2 = a 2 + 2 * a * b + b 2 (Tam kare) * (a + b )2 = (a − b )2 + 4 * a * b (Tam kare) * (a − b ) = a − 3 * a * b + 3 * a * b − b 3

3

2

2

3

* (Küplü ifade)

*

* (a + b ) = a 3 + 3 * a 2 * b + 3 * a * b 2 + b 3 (Küplü ifade) 3

( = (a + b ) * (a

* a 3 − b 3 = (a − b ) * a 2 + a * b + b 2 3

* a +b

3

2

− a*b + b

2

) )

(2x − 1)* (x + 2) (2x − 1)

Örnek: x 2 = x + 1 ise x 5 + x 4 = ?

Örnek: x = 20 + 20 + 20 + ... = ? x = a * (a + 1) = 20 = 4 * 5 (+ olduğundan en büyüğü olan 5)

3

ifadesinin sadeleştiriniz.

2x 2 − x − 2 x 2 − x + − 6 = 0 ⇒ (x − 3)* (x + 2)

(Đki küp farkı)

*

(Đki küp toplamı)

a c = ⇒ a *d = b *c b d

a = b*k a c = =k⇒ c = d*k b d a c a +c a −c = =k⇒ = =k b d b+d b−d a c m*a + n *c m*a − n *c = =k⇒ = =k b d m*b + n *d m*b − n *d a c a *c = =k⇒ = k2 b d b*d a c a *d a : c = =k⇒ = =1 b d b*c b : d a c a n cn = = k ⇒ n = n = kn b d b d a *c = k ⇒ (b, c veya a ile doğru; a, c ile ters orantılı) b

KPSSCini.com

* a + b = (a + b) − 3 * a * b * (a + b) (Đki küp toplamı)

*

* (a + b + c )2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 * (a * b + a * c + b * c )

* a * c = k ⇒ a = k (T.O.) c

3

3

3

* (a + b − c ) = a + b + c + 2 * (a * b − a * c − b * c ) 2

2

2

2

* (a − b − c )2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 * (b * c − a * b − a * c ) * a * x + b * x − c * x = (a + b − c) * x (Ortak parantez)

[

c = k ⇒ c = k * b (D.O.) b

* a, b’nin aritmetik, geometrik, harmonik ortalamaları: a+b G.O. = a * b H.O. = 2 = 2 * a * b A.O. = 2 1 1 a+b + a b * a, b, c’nin aritmetik, geometrik, harmonik ortalamaları:

* a − b = −(b − a ) (Đşaret değiştirme)

n n  * (a − b)n ⇒ n = cift ⇒ (a − b) = (b − a ) n n = tek ⇒ (a − b) = − (a − b)n

(k orantı sabiti)

]

A.O. =

2

2 2 * y = x2 + a * x + b ± c ⇒ a ⇒  a  ⇒ a = b ⇒ y =  x + a  ± c 2  2 4  2

a + b + c G.O. = 3 a * b * c (G.O.)2 3 H . O . = = 3 1 1 1 A.O. + + a b c



ZAFER ÖZTÜRK

***************************************** MATEMATİK*************************************** * a, b, c sırayla x, y, z ile orantılı ise; a b c = = ⇔ a:b:c = x:y:z x y z *

a c a = c * x = ⇒ b d b = d * x

K. DENKLEM ÇÖZME Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem: * a , b ∈ R , a ≠ 0 ⇒ a * x + b = 0 ⇒ x = − b ⇒ Ç.K. =  − b  a  a  * a, b ∈ R, a = 0, b = 0 ⇒ a * x + b = 0 ⇒ 0 = 0 ⇒ Ç.K. = R * a, b ∈ R, a = 0, b ≠ 0 ⇒ a * x + b = 0 ⇒ b ≠ 0 ⇒ Ç.K. = {} = ∅

(Doğru orantıda)

c = b*x * a * c = b * d ⇒  d = a * x

(Ters orantıda)

Birinci Dereceden Đki Bilinmeyenli Denklem: * a , b ∈ R , a ≠ 0, b ≠ 0 ⇒ a * x + b * y + c = 0 a*x + b*y + c = 0 * iki bilinmeyenli iki denklem ise; d * x + e * y + f = 0 * a b ≠ ⇒ Ç.K. = {x, y} Tek bir sıralı ikili + d e Örnek: a , b ∈ Z ⇒ 4 * a = 7 * b ⇒ a − b = ? a b c Sonsuz sıralı ikili = = ⇒ Ç.K. = R 4 * a = 7 * b ⇒ a = 7 * k, b = 4 * k ⇒ a − b = 3 * k d e f a b c Örnek: a, b, c’den oluşan toplulukta 48 kişi var. Bu = ≠ ⇒ Ç.K. = ∅ Boş küme d e f toplulukta sayıları sırayla 3, 4 ve 5 ile orantılı ise a grubunda kişi sayısı? a + b + c = 48 ⇒ a = 3k , b = 4k , c = 5k Örnek: 3 * x + 2 * y = 38 ⇒ x + y = ? 5 * x − 3 * y = 26  3k + 4k + 5k = 48 ⇒ 12 * k = 48 ⇒ k = 2 * Yok etme yöntemi ile bulma: a = 3k = 3 * 2 = 6 kişi 3 / 3 * x + 2 * y = 38 9 * x + 6 * y = 114  ⇒  ⇒ 19 * x = 166 Örnek: 3 işçi bir günde 48 tane paket hazırlarsa aynı 2 / 5 * x − 3 * y = 26  10 * x − 6 * y = 52  güçteki 5 işçi 1 günde kaç paket yapar? 166 38 − 3 * x 38 − 3 * 8,73 x= = 8,73 , y = = = 5,89 3 isci D.O. 48 paket 5 * 48 19 2 2 ⇒x= X = 80 paket x + y = 8,73 + 5,89 = 14,62 5 isci x paket 3 * Yerine koyma yöntemi ile bulma: 38 − 3 * x Örnek: a, b ile ters, c ile doğru orantılıdır. a= 6, b= 10 3 * x + 2 * y = 38 ⇒ y = iken c= 15 ise a= 8, c= 6 iken b=? 2 a *b 6 *10 8 * b 6 *10 * 6  38 − 3 * x  =k⇒ = ⇒b= =3 5 * x − 3 * y = 26 ⇒ 5 * x − 3 *   = 26 ⇒ c 15 6 15 * 8 2   10 * x − 114 + 9 * x = 26 ⇒ 19 * x = 166 ⇒ x = 8,73 Örnek: 4 tane işçi, günde 5 saat çalışarak bir işi 6 günde 2 bitirirse; aynı işin iki katını 3 işçi günde 8 saat çalışarak kaç Sonra x görülen yerine konarak y bulunur. günde bitirir? * Karşılaştırma yöntemi ile bulma: k 4*5*6 38 − 3 * x = ⇒ x = 10 gün 3 * x + 2 * y = 38 ⇒ y = 2 * k 3*8 * x 2 5 * x − 26 5 * x − 3 * y = 26 ⇒ y = Notlarin Toplami 3 * Not Ortalama = Notlarin Ortalama 38 − 3 * x 5 * x − 26 = ⇒ x = 8,73 2 3 Yaslarin Toplami * Yas Ortalama = Sonra x görülen yerine konarak y bulunur.

Kisi Sayisi

Örnek: Grupta 15 erkek, 12 kız var. Erkeklerin yaş ortalaması 27, kızların da 18’dir. Grubun yaş ortalaması=?

E K = 27 ⇒ E = 405 kişi = 18 ⇒ K = 216 kişi 15 12 E + K 405 + 216 621 G.Y.O. = = = = 23 15 + 12 15 + 12 27 Örnek: 40 ve 60 sayılarının harmonik ve geometrik ort.=? 2 2 * 40 * 60 H.O. = = = 48 1 1 40 + 60 + a b G.O. = a * b = 40 * 60 = 2400 = 20 6 = 48,98

n. Dereceden Đki Bilinmeyenli Denklem: * a n * x n + a n −1 * x n −1 + ... + a 1 * x1 + a 0 = 0

L. SAYI, KESĐR, YAŞ, HAREKET PROBLEMLERĐ Sayı Problemleri: * x + 3 Bir sayının üç fazlası * 3 * x Bir sayının üç katı * 5 * (x + 2) Bir sayının iki fazlasının beş katı * 4 * x − 1 Bir sayının dört katının bir eksiği * x 2 − 2 Bir sayının karesinin iki eksiği * (x − 3)2 Bir sayının üç eksiğinin karesi * x = 3y + 5 Bir sayı, diğer sayının üç katının beş fazlası



ZAFER ÖZTÜRK

***************************************** MATEMATİK*************************************** Örnek: Bir sınıfta kitap almak isteyen öğrenciler kendi Örnek: Bir traktörün ön tekerleğinin çevresi 1,8 m, arka aralarında, 250’er lira topladıklarında 500 lira eksik, 300’er tekerleğinin çevresi 3,6 m’dir. Ön tekerleğin dönüş sayısı arka lira topladıklarında 500’er lira fazla paraları oluyor. Sınıf=? tekerleğin dönüş sayısından 100 fazla ise ilerleme mesafesi? T = 250 * x + 500 = 300 * x − 500 ⇒ 50 * x = 1000 ⇒ x = 20 ⇒ Sınıf mevcudu = 20 kişi. Örnek: Bir sınıftaki öğrenciler sıralara 2’şerli oturduklarında 6 öğrenci ayakta kalıyor, 3’erli oturunca 2 sıra boş kalıyor. Sınıfta kaç öğrenci var? T = 2 * x + 6 = 3 * (x − 2 ) ⇒ 2 * x + 6 = 3 * x − 6 ⇒ x = 12 (sıra sayısı) T = 2 * x + 6 = 2 *12 + 6 = 30 (öğrenci sayısı)

⇒ Ç1 = 1,8m. (r1 yarıçaplı, n1 dönüşü) Arka tekerlek ⇒ Ç2 = 3,6m. (r2 yarıçaplı, n2 dönüşü) Ön tekerlek

Ön tekerleğin dönüş sayısı, arka tekerleğinin 2 katıdır. Örnek: Bir merdivenin basamaklarıni ikişer ikişer çıkıp dörder dörder inen Erdal, çıkarken attığı adım sayısı, inerken n1 = 2 * n 2 ⇒ 2 * n 2 = n 2 + 100 ⇒ n 2 = 100 devir attığı adım sayısından 7 fazla ise merdiven kaç basamaklıdır? Traktörün aldığı yol: T = 2 * x = 4 * (x − 7) x = Ç2 * n 2 = 3,6 *100 = 360m. ⇒ 2 * x = 4 * (x − 7 ) ⇒ 2 * x = 4 * x − 28 ⇒ x = 14 Kesir Problemleri: ⇒ T = 2 * x = 2 *14 = 28 (merdiven sayısı) * x Bir sayının yarısı Örnek: Bir kırtasiyede 8 defter ile 5 kalemin fiyatı 35,5 €, 2 bir kırtasiyede 3 defter fiyatı ile 7 kalem alınabilirse bir defter x * Bir sayının üçte biri fiyatı kaç € = ? 3 8 * D + 5 * K = 35,5 3 * D = 7 * K ⇒ D = 7 * k, K = 3 * k * 2 * x Bir sayının beşte ikisi veya 2 / 5’i, 8 * 7k + 5 * 3k = 35,5 ⇒ 71* k = 35,5 ⇒ k = 0,5 5 D = 7 * k = 7 * 0,5 = 3,5 € x * + 3 Bir sayının üç fazlasının yarısı 2 Örnek: Bir yolda 4 adım ileri, 1 adım geri adım atarak yürüyen bir kişi toplam 172 adım attı. Baştan kaç adım ilerler? Örnek: Bir kesrin değeri 3 / 5’tir. Bu kesrin payına 1 4 adım (⇒), 1 adım geri (⇐) iken 4 + 1 = 5 adım eklenir, paydasından 1 çıkarılırsa kesrin değeri 2 / 3’tür. 172 = 5 * 34 + 2 ⇒ 172 adımda 34 kere 5 adım işlendi, Başlangıçtaki kesrin payı nedir? kalan iki adım da 2 adım ileri gidecek. 3 3* x + 1 2 Đlerlemede net adım hareket 4 – 1 = 3 adım (net ilerleme) ⇒ = ⇒ 9 * x + 3 = 10 * x − 2 ⇒ x = 5 5 5* x −1 3 34 * 3 = 102 adım ⇒ Son iki hareket öncesindeki durum Başlangıçtaki kesrin payı = 3 * x = 3 * 5 = 15 Toplam adım = 102 + 2 = 104 adım. Örnek: Bir kabın ağırlığı boş iken a gr, üçte biri suyla Örnek: 155 litrelik havuz, 5 ve 8 litrelik iki bidonla su dolarken b gr ise kabın tamamı su dolsa ağırlığı kaç gr=? taşınarak doldurulacak. Bu iki bidonla toplam 25 defa su Kabın alabileceği su miktarı 3V olsun. taşınırsa 5 litrelik bidonla kaç defa su taşınır? V + a = b  3 * V + 3 * a = 3 * b 5 litre ⇒ x defa; 8 litre ⇒ (25 – x) defa su taşınır. ⇒  ⇒ 2 * a = 3* b − x 3 * V + a = x − 3 * V − a = −x  5 * x + 8 * (25 − x ) = 155 ⇒ x = 15 defa su taşınır. ⇒ x = 3 * b − 2 * a gr. Örnek: Musa, kuyrukta baştan (n-2). sırada, sondan (3n+1). sıradadır. Kuyrukta 34 kişi varsa kaçıncı sıradadır? Kisi = Onde + Arkada − 1 (x. sırada olduğu için)

34 = n − 2 + 3 * n + 1 − 1 ⇒ 4n = 36 ⇒ n = 9 (önden itibaren sırası) (n − 2). = (9 − 2). = 7. sıra Örnek: Musa, sırada baştan 10. sırada, Erdal ise sondan 14. sıradadır. Musa ile Erdal arasında 3 kişi varsa sıra kuyruğunda en az ve en çok kaç kişi olabilir?

* Bir telin herhangi bir ucundan tel kesiliyorsa kesilen parçanın yarısı kadar ve ters yönde; bir ucuna tel ekleniyorsa eklenen parçanın yarısı kadar ve aynı yönde telin orta noktası değişir. (G1 ⇒ Gx)



ZAFER ÖZTÜRK

***************************************** MATEMATİK*************************************** Örnek: Belirli bir yükseklikten bırakılan bir top, yere vuruşundan sonra bir önceki yüksekliğinin 3/16’sı kadar yükselir. Top yere çarpışından sonra 18 cm yükselirse birinci vuruşundan sonra kaç cm yükselir? 2

3 Y = h * X n ⇒ 18 = h *   ⇒ h = 512 cm  16  1

Birinci sekmede Y = h * X n = 512 *  3  = 96 cm  16 

Yaş Problemleri: Durumlar Şimdiki yaşları a yıl sonraki yaşları a yıl önceki yaşları Şimdiki yaşları toplamı k yıl sonraki yaşları toplamı Şimdiki yaşları farkı k yıl sonraki yaşları farkı Doğduğu zamanki yaşları a yıl sonra doğsa idi a yıl önce doğsa idi

Elif x x+a x–a

Betül y y+a y–a

x+y x + y + 2*k x–y x–y 0 0 x–a y–a x+a y+a

* Yaş farkı yıllara göre değişmez. * Sorularda “yaşında iken” ibare, yaşı büyük için, “yaşına geldiğinde” ibare, yaşı küçük olan kişi için kullanılır.

Örnek: Çiğdem 2 yıl önce doğsa idi yaşı a, 4 yıl sonra doğsa idi yaşı b olacaktı. Bugünkü yaşı 24 ise a + b=? (2 yıl önce doğsa) a = x + k = 24 + 2 = 26 (4 yıl sonra doğsa) b = x − k = 24 − 4 = 20 a + b = 26 + 20 = 46 Örnek: Elif, Polat’ın bugünkü yaşına geldiğinde Polat 43 yaşında olacak. Elif bugün 25 yaşında ise Polat bugün=? Durumlar Şimdiki yaşları Elif Polat’ın yaşına geldiğinde X − 25 = 43 − X ⇒ X = 34 ⇔ X =

Elif 25 X

Uçak, vb. sorularda da mantık aynıdır. * Ortalama Hiz =

Toplam Yol Toplam Zaman

KPSSCini.com

X * Vort = ort ⇒ V = X1 + X2 (Gidiş: X1, geliş: X2) ort

Polat X 43

t ort

43 + 25 = 34 yaşında 2

* Vort =

X1 X2 + V1 V2

2* V1 * V2 (Gidiş – geliş yollar eşitse) V1 + V2

Örnek: Sedat arkadaşına “7 yıl sonraki yaşım, doğum Örnek: Bir araç, A ile B arasındaki yolu saatte 40 km ile yılımın rakamları toplamına eşit olacak.” dedi. Bu konuşma gidip beklemeden saatte 60 km sabit hızla geri dönüyor. Bu 1998’de olduğuna göre Sedat hangi yılda doğdu? aracın ortalama hızı nedir? Sedat 19xy yılında doğsun. X X + X2 X+X 2* X 2* X (7 yıl sonraki yaşı için) 1998 + 7 = 2005 Vort = ort = 1 = = = 2005 − 19xy = 1 + 9 + x + y ⇒ 11* x + 2 * y = 95 t ort X1 X2 X X 2 * X 3* X 5* X + + + x = 7, y = 9 ⇒ Yil = 1979 (Doğduğu yılı) V1 V2 60 40 120 120 120 120 Vort = 2*X* = 48 km / h Hareket Problemleri: 5* X * X = V*t Yol = Hız * Zaman * 1 km = 1000 m Örnek: Saatteki hızı 48 km/h olan bir tren uzunluğu 130 m, * 1 saat = 60 dakika = 3600 saniye bu tren 510 m uzunluğunda bir tünele tam girerken çalıştırılan bir kronometre, tren tünelden çıktığında kaçıncı saniyededir? * 1 km/h = 1*1000 m =1*1000 m (dönüşümlerde) Tren Yolu = 130 + 510 = 640 m 600 dk 3600 s 48 km / h = 48 * 1000/3600 = 40/3 m/s Tüneli Geçme Zamanı = Trenin Yolu / Trenin Hızı Yol (x) Hız (V) Zaman (t) 640 640* 3 Kilometre (km) km / h Saat (h) t= = = 48 sn (Kronometre 48. sn'dedir.) 40 Metre (m) m / dk Dakika (dk) 40 Metre (m) m/s Saniye (s) 3



ZAFER ÖZTÜRK

***************************************** MATEMATİK*************************************** 1 1 1 (Fırat işi a saatte, Dicle b saatte yaparsa) + = a b 4 Eğer ikisi eşit sürelerde yapsa a = b=4*2=8 saatte olur. a < b olduğundan; a < 8 olur. a veya b’nin 4 saatten daha az olmayacağından 4 < a ise; 4
M. ĐŞÇĐ – HAVUZ PROBLEMLERĐ Đşçi Problemleri: * Ali bir işi tek başına a saatte, Burak aynı işi tek başına b saatte, her ikisi birlikte bu işi t saatte bitirsin.

1 1 1 t t + = ⇔ + =1 a b a b t

Havuz Problemleri: * Havuzda dolduran musluk (+), boşaltan (-) ile gösterilir. * Havuz dolması sonuç ise; doldurma (+), boşaltma (-). * Havuz boşaltma sonuç ise; doldurma (-), boşaltma (+).

a>b⇒t
V=

a t

(Va > Vc > Vb)

1 1 1 − = a b t 1 1 1 * + = a c t 1 1 1 1 * − + = a b c t *

* Yapılacak iş sabitken, işçi sayısı ile işin bitiş süresi ters orantılıdır.

Örnek: Sinan ile Ferhat’ın birlikte 8 saatte bitirebildikleri bir işi Sinan tek başına 12 saatte bitirirse aynı işi Ferhat tek başına kaç saatte bitirir? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + = ⇒ + = ⇒ = − = ⇒ x = 24 saatte a b t 12 x 8 x 8 12 24

(C musluğu kapalı ise) (B musluğu kapalı ise) (Üç musluk da açıksa)

* Muslukların akış hızı ile havuz dolma / boşalma süresi ters orantılıdır. (Va ile ta arasında ters orantı var.)

Örnek: Zeynep bir işin 2/3’ünü 4 saatte, Fatma ise aynı işin Örnek: Şekildeki B musluğu dolu havuzu tek başına 16 1/4’ünü 3 saatte bitiriyor. Đkisi birlikte bu işi kaç saatte bitirir? saatte boşaltır. A musluğu ise dolu havuzu tek başına, kendi 2 * t1 1* t 2 = 4 ⇒ t1 = 6 saat = 3 ⇒ t 2 = 12 saat hizasına kadar 8 saatte boşaltır. Havuz dolu iken ikisi birlikte 3 4 açılırsa kaç saatte boşaltır? 1 1 1 1 1 3 1 + = = + = = ⇒ t = 4 saat t1 t 2 t 6 12 12 4 Örnek: Serkan’ın çalışma hızı, Musa’nın çalışma hızının 4 katıdır. Buna göre ikisi beraber 12 günde bitirdiği bir işi, Musa tek başına kaç günde bitirir? Musa (V1, t1); Serkan (V2, t2)

V2 = 4 * V1 ⇒ t1 = 4 * t 2 1 1 1 1 1 1 5 1 + = ⇒ + = ⇒ = t1 t 2 12 4 * t 2 t 2 12 4 * t 2 12 gün gün t 2 = 15 ⇒ t1 = 4 * t 2 = 4 *15 = 60

Havuzun alt yarısını B musluğu 8 saatte boşaltır. Havuzun üst yarısını A ve B muslukları beraber x saatte boşaltsın. 1 1 1 + = ⇒ x = 4 saatte boşaltır. 8 8 x Havuz: t = 4 + 8 = 12 saatte boşaltır.

Örnek: Şekildeki havuzun üst kısmında havuzu dolduran A Örnek: Bir işi 3 usta 10 günde, 5 çırak 9 günde bitirir. 1 ve C muslukları, havuzun tam ortasında ise havuzun yarısını usta ve 1 çırak aynı işi kaç günde bitirir? boşaltan B musluğu var. A musluğu boş havuzu tek başına 8 1 usta = 3 * 10 = 30 günde bitirir. saatte, C musluğu tek başına 4 saatte doldurur. Üç musluk aynı 1 çırak = 5 * 9 = 45 günde bitirir. anda açıldığında havuz 44/15 saatte dolarsa B musluğu ne 1 1 1 3 2 1 5 1 kadarda havuzun yarısını boşaltır? + = ⇒ + = ⇒ = ⇒ t = 18 günde 30 45 t 90 90 t 90 t Örnek: Emre bir işi tek başına 12 saatte, Ercan ise aynı işi tek başına 16 saatte bitirir. Đşe başladıktan 4 saat sonra Ercan işten ayrılıyor. Emre kalan işi tek başına kaç saatte bitirir? x 16 + 12 + 4 x  1 1 =1⇒ = 1 ⇒ x = 5 saatte  + *4 + 12 48  12 16  Havuzun yarısını A musluğu 4 saatte, C musluğu 2 saatte Örnek: Fırat bir işi tek başına a saatte, Dicle ise birlikte doldurur. Alt yarısını A ve C musluklar birlikte doldurur. aynı işi 4 saatte yapıyor. Fırat bu işi yalnız başına Dicle’den 1 1 1 4 (Alt yarısında dolma) + = ⇒ x = daha kısa sürede yaparsa a için ne denebilir? 4 2 x 3



ZAFER ÖZTÜRK

***************************************** MATEMATİK*************************************** Erkek sayısı: 100 x − 80 x = 20 x Gözlüklü kız sayısı: 80 x * 25 = 40 x 100 Erkek Kız 20*x Gözlüklü Gözlüksüz 60*x 20*x 80*x Toplam

Havuzun üst yarısının dolma süresi: 44 4 44 20 24 8 saatte dolar. − = − = = 15 3 15 15 15 5 Üst yarısında dolma durumuna göre B’nin durumu: 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 + − = ⇒ = + − ⇒ = ⇒ t = 8 8 4 2 t t 4 2 8 t 8 5

Örnek: Normal akış hızı % 25 artan musluk, boş havuzu 12 saatte doldurursa normal akış hızında ne kadarda doldurur? V akış hızı % 25 artmışsa akış hızı 1,25V olur. 1,25V hızla 12 saatte dolarsa; V hızıyla t saatte dolar. (TO) 1,25 * V *12 = V * t ⇒ t = 15 saatte dolar.

N. YÜZDE, KAR – ZARAR, FAĐZ PROBLEMLERĐ

100

Örnek: Đki sayının çarpımında sayılardan biri % 25 arttırılıp diğer sayı % 20 azaltılırsa çarpım nasıl değişir? Đstenen çarpım a*b  100 + 25  a *  = 1,25 * a  100   100 − 20  b*  = 0,8 * b  100 

* * * * *

Bir a sayısının % x’i

100 x y Bir a sayısının % x’inin % y’si a* * 100 100  100 + x  Bir a sayısının % x kârlı satışı a *   100   x  Bir a sayısının % x kârı a *   100   100 − y  Bir a sayısının % y zararlı satışı a *   100   − y  Bir a sayısının % y zararı a *   100 

100*x

Gözlüksüz kızlar, sınıfın % k’sı ise; k 100 x * = 60 x ⇒ k = 60 (%)

Yüzde Problemler: * a* x

Toplam

a sayısı % 25 arttırılırsa b sayısı % 20 azaltılırsa

1,25 * a * 0,8 * b = a * b

Son durumdaki çarpım Đlk çarpım ile son çarpım aynı. Değişmemiştir.

Kâr – Zarar Problemleri: * A: Malın alış (oluş, maliyet) fiyatı * S: Malın satış (etiket) fiyatı * x: Kâr yüzdesi * y: Zarar yüzdesi * K: Kâr * Z: Zarar * Kâr = Satış fiyatı – Alış fiyatı * K =S−A = A* x 100 * Zarar = Alış fiyatı – Satış fiyatı −y * Z = A −S = A* 100

* Verilen problemlerde 100x baz alarak çözüme gidilir.

Örnek: Hangi sayının % 25’inin % 40’ı 12’ye eşittir? 25 40 a* * = 12 ⇒ a = 120 100 100

Örnek: Bir otobüsteki yolcuların % 40’ı kadındır. Bu otobüsten erkek yolcuların % 20’si inip, otobüse belirli sayıda Örnek: Defterlerin 6 tanesini 5 TL’ye alan bir kırtasiyeci, 3 kadın yolcu bindiğinde, otobüsteki erkek yolcuların sayısı tanesini 4 TL’ye satmıştır. Buna göre kırtasiyeci defterlerin kadın yolcuların sayısına eşit oluyor. Otobüse binen kadın satışından % kaç kâr elde etmiştir? yolcuların sayısı, otobüste bulunan kadın yolcuların sayısının 1 tane defter maliyet: Ax = A = 5 % kaçıdır? x 6 Yolcuların tamamı: 100x 1 tane defter satışı: Sy = S = 4 Kadın yolcuların sayısı: 100 x * 40 = 40 x y 3 100

1 tane defter kâr durumu: K = Sx − Ax = 4 − 5 = 1 3 6 2 x 1 5 x Defter kâr yüzdesi: K = Ax* ⇒ = * ⇒ x = 60 100 2 6 100

Erkek yolcuların sayısı: 100x − 40x = 60x Otobüsten erkek yolcuların % 20’si indiğinden; Đnen erkek yolcu sayısı: 60 x * 20 = 12 x 100

Otobüste kalan erkek yolcu sayısı: 60 x − 12 x = 48 x Örnek: Şeker kilogramı a TL, şekere % 25 zam yapılırsa a Otobüse a tane kadın yolcu bindiğinde, otobüsteki erkek TL’ye kaç kg şeker alınır? yolcuların sayısı kadın yolcuların sayısına eşit ise: 1 kg şeker zamlı fiyatı: S = a * 100 + 25 = 5 * a 40 x + a = 48 x ⇒ 8 x = a 100 4 Otobüse binen kadın yolcuların sayısı, otobüste bulunan 5 a kadın yolcuların sayısının % b’si: TL ise (D.O.) x kg şeker zamlı fiyatı: 1 kg seker X 4 b x kg seker 40 x * = 8 x ⇒ b = 20 a TL olur 100 ⇒  5 * a  * x = (a ) * 1 ⇒ x = 4 kg şeker alınabilir. Örnek: Bir sınıfın % 80’i kız, kızların % 25’i gözlüklüdür. 5  4  Buna göre gözlüksüz kızlar sınıfın yüzde kaçıdır? Sınıfın tamamı: 100x Örnek: Bir manav kilosu x liradan y kilo elma alıyor. Elmanın 5 kilosu çürük çıkıyor. Buna göre 1 kilo elma kaç Kız sayısı: 100 x * 80 = 80 x 100 liraya mal olur?



ZAFER ÖZTÜRK

***************************************** MATEMATİK*************************************** Kilosu x lira’dan y kg elma alış : A = x * y lira 5 kilo elma çürük ise alış : A = x * (y − 5 ) lira 1 kilo elma maliyeti a lira ise : (y − 5) kg elma x * y lira ise (D.O.) X 1 kg elma a lira olur

* f1 =

A1 * n1 * t1 100

Basit faiz (yıllık)

* f 2 = (A1 + f1 ) * n 2 * t 2

Bileşik faiz (yıllıklar)

100

Örnek: Yıllık % 36 basit faiz oranı üzerinden bankaya yatırılan bir miktar para, kaç ay sonra kendisinin % 30’u y−5 kadar faiz geliri getirir? A*n*t 30 A * 36 * t f = ⇒ A* = ⇒ t = 10 ay Örnek: Bir satıcı elindeki malların tanesini 20 TL’den 1200 100 1200 satarsa 160 TL kâr, 12 TL’den satarsa ne kâr ne de zarar ediyorsa satıcının elinde kaç mal vardır? Örnek: Bankaya yatırılan para bir yılda, yıllık % 32 faiz S1 = S 2 ⇒ A1 + K1 * A1 = A 2 + K 2 * A 2 oranı üzerinden a milyon TL, yıllık % 24 faiz oranı üzerinden ⇒ 20 * x − 160 = 12 * x + 0 ⇒ 8 * x = 160 ⇒ x = 20 mal var. ise (a – 24) milyon TL faiz getirir. Bankaya ne kadar yatırıldı?

⇒ a * (y − 5 ) = x * y * 1 ⇒ a = x * y lira

f1 =

Not: Tanesi a lira olan x tane maldan y lira kâr elde ederse a*x (-) y , y lira zarar ederse a*x (+) y lira x tane satışa eklenir.

A * n1 * t A * 32 * 1 ⇒a= 100 100

A*n2 * t A * 24 *1 ⇒ a − 24 = 100 100 A * 32 A * 24 8 * A ⇒ − 24 = ⇒ = 24 ⇒ A = 300 milyon TL 100 100 100 f2 =

Örnek: Yıllık enflasyon % 40 olan ülkede çalışan bir işçinin yıl sonunda maaşına % 26 zam yapılır. Buna göre işçinin yılsonundaki alım durumu nedir? Đşçinin yıl içindeki maaşı : 100 TL Örnek: Bir miktar paranın 1/4’ü yıllık % 30 basit faiz oranı Enflasyona göre yılsonunda alması gereken maaşı: üzerinden, geri kalanı ise % 20 basit faiz oranı üzerinden 4 100 + 40 100 * = 140 TL yıllığına faize yatırılıyor. 4 yılsonunda toplam 540 TL faiz 100 alındığına göre faize yatırılan toplam para nedir? Đşçinin maaşına yapılan zam sonundaki maaşı: A * n * t A * 30 * 4 120 * A (Paranın 1/4'ü) 100 + 26 f1 = 2 1 = = 100 * = 126 TL 100 100 100 100 A 2 * n 2 * t 3 * A * 20 * 4 240 * A (Paranın 3/4'ü) Enflasyona göre 140 TL olması gerekirken zam ile 126 TL f2 = = = maaş alan işçinin kaybı: 140 – 126 = 14 TL 100 100 100 120 * A 240 * A 360 * A 140 TL' de 14 TL kayip (D.O.) f1 + f 2 = + = = 540 (Toplam faiz) X 100 100 100 x % olur 100 % A = 25* 6 = 150 TL ⇒ 140 * x = 14 * 100 ⇒ x = 10 % Yatırılan anapara = 4*A= 600 TL Yılsonunda alım gücü % 10 azalır işçinin. Örnek: Grafikte, bir bankanın vadeli hesaplara uyguladığı Örnek: Yaş incir kurutulduğunda ağırlığının % 20’sini yıllık faiz oranının değişimi verilmiştir. kaybediyor. Yaş incirin kg 2 TL’den alan satıcı, inciri kurutup kg 3 TL’den satarsa % kaç kâr elde eder? Satıcı aldığı kg miktarı : 100 kg Kg 2 TL’den alırsa maliyet : 100 * 2 = 200 TL Đncir kurutulduğunda miktar : 100 * 100 − 20 = 80 kg 100

Kuru incirin kazandırdığı : 80 * 3 = 240 TL Satıcının kârı : K = 240 – 200 = 40 TL 200 TL' de 40 TL kar (D.O.) X 100 % x % olur

y=

⇒ 200 * x = 40 * 100 ⇒ x = 20 % (Kâr yüzde)

KPSSCini.com

Faiz Problemleri: * F: Faiz miktarı * A: Anapara * n: Yıllık faiz yüzdesi (%) * t: Süre (Yıl, ay veya gün) * P: Faizli para miktarı A*n *t Yıllık faiz miktarı (n: yıl) * f = 100 A*n *t * f = Aylık faiz miktarı (n: ay) 1200 A*n *t * f = Günlük faiz miktarı (n: gün) 36000 * P= A+f Faizli para miktarı

x + 48 bağıntısı x+4

Kaçıncı yıldan sonra yıllık faiz oranı % 5’in altına düşer?

y <5⇒

x + 48 < 5 ⇒ x + 48 < 5* x + 20 x+4

⇒ 28 < 4 * x ⇒ 7 < x

7. yıldan sonra faiz oranı % 5’in altına düşer.

Örnek: Engin parasını yıllık basit faizle bankaya yatırmıştır. Bu parayı yıllık % 45 basit faizle yatırsaydı bir yılda 90 TL fazla faiz alacaktı. Engin’in faize yatırdığı para? A * 45 * 1 A * 30 * 1 f1 = f 2 + 90 ⇒ = + 90 100 100 15 * A f1 = f 2 + 90 ⇒ = 90 ⇒ A = 600 TL 100



ZAFER ÖZTÜRK

***************************************** MATEMATİK*************************************** O. KARIŞIM PROBLEMLERĐ * Madde Yuzdesi = Saf Madde Miktari = Karisim Miktari

X 100

* Saf Madde Miktari = Karisim Miktari * Etkin Madde Miktari 100

* Saf altın = 24 ayar * Karışımda etkin madde eklenirse veya çıkarılırsa % 100; etkin olmayan madde eklenirse veya çıkarılırsa % 0 kabul edilir. (Örneğin; % 20’si alkol (etkin madde) olan alkol – su karışıma alkol eklenirse % 100, su eklenirse % 0)

V1 = S * 3 * h = 3 * S * h = 3 * V V2 = 3 * S * 2 * h = 6 * S * h = 6 * V 3V *

(1. kap hacmi) (2. kap hacmi)

90 60 x + 6V * = (3V + 6V ) * 100 100 100

270* V + 360* V = 9V * x ⇒ x =

630 = 70 (%) 9

P. GRAFĐK PROBLEMLERĐ Çizgi Grafiği: Örnek: Grafikte Serkan’ın bir hafta boyunca çözdüğü soru * A kabında % x’i tuz olan a lt, B kabında % y’i tuz olan b sayısı verilmiştir. Serkan bu bir haftada ortalama kaç soru lt iken ikisi C kabında karıştırıldığında (a+b) litrelik karışımın çözmüştür? tuz yüzdesi z ise; x y z a* + b* = (a + b ) * 100 100 100 ⇒ a * x + b * y = (a + b ) * z ⇒ z = a * x + b * y a+b Örnek: 11 gr 18 ayar altın karışımında altının ayarını 22’ye çıkarmak için karışıma kaç gr saf altın katılır? 11 *18 + x * 24 = (11 + x ) * 22 ⇒ 198 + 24 * x = 242 + 22 * x ⇒ 2 * x = 44 ⇒ x = 22 gr saf altın Örnek: 12 gr 15 ayar altın ile 18 gr 20 ayar altın eritilerek karıştırıldığında oluşan karışım? 12 *15 + 18 * 20 = 30 * x ⇒ 30 * x = 540 ⇒ x = 18 ayar 250 + 200 + 350 + 100 + 300 + 150 + 50 1400 = = 200 soru 7 7

Örnek: 96 gr su ile 24 gr tuz karışırsa karışımın tuz oranı? x 24 * 100 24 = (96 + 24 ) * ⇒x= = 20 (%) 100

120

Sütun Grafiği:

Örnek: Grafik, bir firmanın 2010 – 2014 yılları arasında Örnek: Alkol oranı % 30 olan 50 litrelik alkol- su karışıma 10 lt su, 20 lt saf alkol, su oranı % 40 olan 15 litre karışım gelir ve giderlerinin gösterir. eklenir ve 5 litre su buharlaştırılırsa karışımın alkol oranı ne? 50*

30 0 100 100− 40 0 x +10* + 20* +15* − 5* = (50 +10 + 20 +15− 5)) * 100 100 100 100 100 100

⇒ 50 * 30 + 0 + 20*100 + 15* 60 − 0 = 90 * x 100 100 100 100 4400 ⇒ 1500+ 2000+ 900 = 90* x ⇒ x = = 48,8 (%) 90

Örnek: Kilogramı 5 TL olan 12 kg pirinç ile kilogramı 3,5 TL olan 8 kg pirinç karıştırılıyor. Bu karışımdan % 25 kar elde etmek için karışımın kilogramı kaç TL? 12 *15 + 8 * 3,5 = 20 * x ⇒ 20 * x = 88 ⇒ x = 4,4 TL 4,4 *

125 = 5,5 TL (% 25 kâr elde etmek için karışım kg) 100

Örnek: Şekildeki kaplardan birincisinin taban alanı S cm2, yüksekliği 3*h cm; ikincisinin taban alanı 3S cm2, yüksekliği 2h cm’dir. Tuz-un karışımıyla dolu olan bu kaplardan I. Kaptaki karışımın tuz oranı % 90, II. kaptakinin ise % 60 ise bu kaplarda tuz – un karışımları üçüncü bir kapta karıştırılırsa yeni karışımın tuz oranı?

Firma en fazla kazancı hangi yılda yapmıştır? Firmanın 5 yıl boyunca ortalama kazancı nedir? 2010 ⇒ Kazanç = 6 – 4 = 2 milyon YTL 2011 ⇒ Kazanç = 7 – 6 = 1 milyon YTL 2012 ⇒ Kazanç = 5 – 4 = 1 milyon YTL 2013 ⇒ Kazanç = 7 – 4 = 3 milyon YTL 2014 ⇒ Kazanç = 6 – 5 = 1 milyon YTL En fazla kazancı 2013 yılında 3 milyon YTL.



ZAFER ÖZTÜRK

***************************************** MATEMATİK*************************************** Firmanın 5 yıl ortalama kazancı: 2 +1+1+ 3 +1 8 = = 1,6 milyon YTL 5 5

Tablo: Örnek: Aşağıdaki tabloda 2003, 2004 ve 2005 yıllarında çeşitli etkinliklere katılan kişi sayısı verilmiştir.

Daire Grafiği: ETKĐNLĐK

Örnek: Grafik, bir iş yerinde çalışan 120 kişinin en son mezun oldukları öğretim düzeylerine göre dağılımı gösterir.

2003 72 65 95 36 40

Ahşap Boyama Örgü Ebru Seramik Cam Süsleme

YILLAR 2004 60 30 60 35 25

2005 30 40 35 60 20

Cam süsleme etkinliğine 2004 yılında katılan kişi sayısı, 2003 yılına göre % kaç azaldı? x 15 *100 40 * = 40 − 25 ⇒ x = = 37,5 (%) 100 40 Etkinliklere 2004 yılında katılanlar bir daire grafiğiyle gösterildiğinde, seramik kursuna katılanlara ait daire diliminin merkez açısı nedir? 210 kisi 3600 gosteriliyorsa X 35 kisi α0 gosterilir

Bu iş yerinde çalışan lisans mezunu sayısı nedir? 120 kisi 3600 gosteriliyorsa X x kisi 1500 gosterilir

⇒ 35 * 360 = α * 210 ⇒ α = 60 0

⇒ x * 360 = 150 *120 ⇒ x = 50 kişi

Bir sütun grafiğinde büyükten küçüğe doğru kişi sayıları gösterilmiş olsa idi ortadaki etkinlik ne olurdu? Bu iş yerinde çalışan önlisans mezunlarından 10 kişi Ahşap boyama (162 kişi), örgü (135 kişi), ebru (190 kişi), ayrılıp onların yerine lisans mezunu 10 kişi alınırsa çalışanlar seramik (131 kişi), cam süsleme (85 kişi) oluyorsa sıralama: içinde lisans mezunlarının % oranı nedir? Ebru > Ahşap Boyama > Örgü > Seramik > Cam Süsleme 150 Buna göre ortadaki etkinlik örgü idir. x = 120 * = 50 kişi lisans mezunu 360 60 Q. KÜMELER x = 120 * = 20 kişi önlisans mezunu 360 * Kümelerde eleman sayısı : s(A), s(B), vb. 20 – 10 = 10 kişi önlisans mezunu kalır 50 + 10 = 60 kişi lisans mezunu olur * A = {a , b , {c , d }, e , f } ise; y s (A ) = 5 60 = 120 * ⇒ y = 50 (%) 100 a ∈ A ; b ∈ A ; e ∈ A ; f ∈ A ; {c , d }∈ A (Aitlik) c ∉ A, d ∉ A Doğru Grafiği: Örnek: Aşağıdaki I. grafik, sabit hızla hareket eden bir aracın yolda geçen süreye göre deposunda kalan benzin miktarını, II. grafik ise aynı aracın yolda geçen süreye göre aldığı yol miktarını gösterir. Bu araç, deposunda bulunan 80 litre benzinle kaç km yol alır?

* A = {a , b , c , d , e }

Liste gösterimi

*

* M = {0,2,4,...} M = Cift Z+

{

* Boş küme :

}

Ortak özellik yöntemi ile gösterimi

{ } veya ∅

( s(A) = 0 ⇒ A = ∅ )

A= { }, B= {d} ⇒ A = ∅ , B ≠ ∅ * Denk küme : ≡ ( s(A) = s(B) ⇒ A ≡ B ) A= {a, b, c}, B= {d, e, f} ⇒ A ≡ B (Elemanları aynı olmalı) * Eşit küme : = A= {a, b, c}, B= {a, b, c} ⇒ A = B * Alt küme : ⊂ veya ⊃ A = {a, b, c}, B = {a, b, c, d, e} ⇒ A ⊂ B x 140 = = 70 km/h (1 saatteki hızı) t 2 2 saatte 80 – 48 = 32 litre benzin tüketir. 1 saatte 32 / 2 = 16 litre benzin tüketir. 80 litre benzinle 80 / 16 = 5 saat yol alabilir. x = V * t = 70 * 5 = 350 km yol alır. x = V*t ⇒ V =



ZAFER ÖZTÜRK

***************************************** MATEMATİK*************************************** s(A′) + s(B) = 16 ⇒ s(E ) = ? s(A ) + s(B′) = 10 s (A ) + s (A ′ ) + s (B ) + s (B ′ ) = 16 + 10

* Alt küme özellikleri: A⊂A ∅⊂A A ⊂ B ve B ⊂ A ise A = B A ⊂ B ve B ⊂ C ise A ⊂ C

Örnek:

s (E ) + s (E ) = 26 ⇒ 2 * s (E ) = 26 ⇒ s (E ) = 13

* s(A) = n olmak üzere; A kümesinin alt küme sayısı: 2

Kümelerde Đşlemler – Fark:

n

* Kümelerde Birleşim: A∪B, vb. * Kümelerde Kesişim: A∩B, vb. * Kümelerde Ayrık: A∩B=∅ vb.

n

A kümesinin öz alt küme sayısı: 2 − 1

Örnek: A = {a , b , {c}, {d , e}} c ∉ A , {c}∈ A , {d , e} ⊄ A , {{d , e}} ⊂ A , {a } ⊂ A , {d , e}∈ A Örnek: A = {1,2,3,4,5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 5 bulunmaz?

A = {1/ ,2,3,4,5/ } ⇒ s(A ) = 3 ⇒ 23 = 8

* Kümelerde Fark Kavramı:

Örnek: A = {a , b, c, d , e} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a bulunurken e bulunmaz? *Alt kümede e bulunması istenmiyor, bundan çıkartılır.

A = {a , b, c, d , e/ } ⇒ s (A ) = 4 ⇒ 2 4 = 16 Kalan 4 elemanlıda a bulunması gerektiğinden kalan 3 elemanlıda a’nın bulunmadığı durumlar: A = {a/ , b, c, d} ⇒ s(A ) = 3 ⇒ 2 3 = 8 ⇒ 16 − 8 = 8 // * Veya kombinasyon ile bulunursa; 5! 5! 5*4 C (5, 2 ) = = = = 10 (5 − 2 )!*2! 3!*2! 2! Đki elemanlıda 2 şekilde e bulunmaz. 10 – 2 = 8//

(A ∪ B )′ = A ′ ∩ B′ (A ∩ B )′ = A ′ ∪ B′

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C )

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ) s (A ∪ B ) = s (A ) + s (B − A )

Örnek: A = {a , b, c, d , e, f } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a bulunurken d bulunmaz?

s (A ∪ B ) = s (B ) + s (A − B )

s (A ∪ B ) = s (A − B ) + s (A ∩ B ) + s (B − A ) s (A ∪ B ) = s (A ) + s (B ) − s (A ∩ B )

C (4, 2 ) =

Kümelerde “ve” bağlaç “Kesişim”, “veya” bağlaç “Birleşim” i anlamlandırır.

4! 4! 24 = = =6 ( 4 − 2 )!*4! 2!*2! 4

Örnek: Şekildeki taralı bölge nasıl ifade edilir? Evrensel Küme – Tümleyen: * Evrensel küme: E ile gösterilir. Bütün kümeleri kapsar. * Tümleyen: A ′ veya A ile gösterilir. A kümesinde olmayan, evrensel kümede olan kümedir.

s (A − B ) = s (B − A ) = x + 4 Örnek:

(A ′)′ = A

s (A ∩ B ) = x − 1 s (A ∪ B ) = 19

⇒ s (A ) = ?

E ′ = ∅ = {}

∅′ = E A ⊂ B ⇒ B′ ⊂ A ′ Örnek: Örnek: Bir sınıftaki öğrencilerin % 65’i Đngilizce, % 45’i ise Almanca biliyor. Sınıftaki öğrencilerden her biri bu dillerden en az birini bildiğine ve her iki dili bilen 4 öğrenci olduğuna göre sınıf mevcudu nedir?



ZAFER ÖZTÜRK

***************************************** MATEMATİK***************************************

s(I ∪ A ) = s(I ) + s(A ) − s(I ∩ A ) 100 * x = 65 * x + 45 * x − s(I ∩ A) 2 s (I ∩ A ) = 10 * x = 4 ⇒ x = 5 2 s (I ∪ A ) = 100 * x = 100 * = 40 5

R. ĐŞLEM * ∆, ♣, ♠, ∇, ⊕ gibi sembollerle yapılan kurallardır.

Örnek: Tamsayılar kümesi üzerinde ∆ işlemi aşağıdaki biçimde tanımlanıyor. Buna göre 3 ∆ 5 = ? x∆y=x*y+x–y

(Mevcut kişi)

3 ∆ 5 = 3 * 5 + 3 – 5 = 13

Üçlü Şeklin Yorumlanması:

Örnek: Reel sayılar kümesi üzerinde “⊕” işlemi aşağıdaki biçimde tanımlanıyor. Buna göre 2 ⊕ 3 = ? 1 1 ⊕ = x+ y−x*y x y

1 1 1 1 1 1 2 ⊕ = 2⊕3= + − * = 1/ 2 1/ 3 2 3 2 3 3 * a ⊕ b = b ⊕ a ⇒ ⊕ işleminin “değişme özelliği” * x ⊕e = e ⊕x = x ⇒ ⊕ işleminin “birim (etkisiz) eleman” * x ⊕ y = y ⊕x = e ⇒ ⊕ işleminin “x’in tersi” (y = x-1)

• Sadece 1 dil bilenlerin sayısı = a + b + c • En az 1 dil bilenlerin sayısı = a + b + c + x + y + z + t • En çok 1 dil bilenlerin sayısı = a + b + c + k • Sadece 2 dil bilenlerin sayısı = x + y + z • En az 2 dil bilenlerin sayısı = x + y + z + t • En çok 2 dil bilenlerin sayısı = x + y + z + a + b + c + k • 3 dil bilenlerin sayısı = t • En az 3 dil bilenlerin sayısı = t • En çok 3 dil bilenin sayısı = a + b + c + x + y + z + t + k • Hiç dil bilmeyenlerin sayısı = k • Almanca dilini bilenlerin sayısı = a + x + y + t • Sadece Almanca dilini bilenlerin sayısı = a • Fransızca dilini bilenlerin sayısı = b + x + z + t • Sadece Fransızca dilini bilenlerin sayısı = b • Đngilizce dilini bilenlerin sayısı = c + y + z + t • Sadece Đngilizce dilini bilenlerin sayısı = c

* x ⊕y = y⊕x = y ⇒ ⊕ işleminin “yutan eleman”

Örnek: Reel sayılar kümesi üzerinde “♠” işlemi, a ♠ b = 2a + b – (b ♠ a) biçiminde tanımlanıyor. ♠ işleminin değişme özelliği olursa 3 ♠ (-2) = ? a ♠ b = 2a + b – (b ♠ a) ⇒ (a ♠ b) + (b ♠ a) = 2a + b Değişme özelliği ⇒ (a ♠ b) = (b ♠ a) ⇒2* (a ♠ b) = 2a + b ⇒ a ♠ b = 2 a + b 2 ⇒ 3 ♠ (-2) = 2 * 3 − 2 = 2 2

Örnek: 38 kişilik bir sınıfta Fransızca bilen 14 ve bu iki dili de bilmeyen 11 kişi olduğuna göre sadece Đngilizce bilen kaç kişi vardır?

Örnek: Reel sayılar kümesi üzerinde “⊕” işlemi, a + b − 1 , a ≤ b ise, biçiminde tanımlanıyor. a⊕b =   2a − b , a > b ise, Buna göre (2 ⊕ 1) ⊕ 3 = ? 2 > 1 ⇒ 2 ⊕ 1 = 2*2 – 1 = 3 3≤3⇒3⊕3=3+3–1=5

Örnek: Reel sayılar kümesi üzerinde “∆” işlemi, x∆y = x + y − 5 biçiminde tanımlanıyor. Buna göre ∆ işleminin birim (etkisiz) elemanı kaçtır? Örnek: Futbol ve basketbol oynayanların oluşturduğu bir sınıfta futbol oynamayanların sayısının 2 katı, basketbol oynamayanların sayısının 3 katı ve her iki sporla da ilgilenenlerin sayısının 4 katı birbirine eşittir. Sınıf mevcudu 30’dan fazla ise bu sınıfta en az kaç kişi futbol oynar?

Birim eleman e olsun. x ∆ e = x yolundan;

x∆ e = x = x + e − 5 ⇒ e = 5 Örnek: Reel sayılar kümesi üzerinde “∆” işlemi, x∆y = x + y + 2 biçiminde tanımlanıyor. Buna göre ∆ işleminde 3’ün tersi kaçtır? Birim eleman e olsun. x ∆ e = x yolundan;

KPSSCini.com

x∆e = x = x + e + 2 ⇒ e = −2 ∆ işleminde 3’ün tersi 3-1, 3 ∆ 3-1 = e ise;

3∆ 3 − 1 = e ⇒ 3 + 3 − 1 + 2 = − 2

3−1 = −7 //



ZAFER ÖZTÜRK

***************************************** MATEMATİK*************************************** * a ve b sayıları m sayısına bölündüğünde kalanlar eşit olursa (a=m*x+k, b=m*y+k);

Örnek: Reel sayılar kümesi üzerinde “ο” işlemi, xοy = x + y − 2xy biçiminde tanımlanıyor. Buna göre ο işleminin yutan elemanı kaçtır?

a≡b

Yutan elemanda xοy = yοx = y ise;

xοy = y = x + y − 2xy ⇒ 2xy = x ⇒ y =

1 // 2

* a≡b

(mod m))

a − k = m*x

(mod m)) olmak üzere;

ve x ≡ y

* Bir sayının birler basamağındaki rakam (mod 10) ile bulunur. Birler basamağındaki rakam 0, 1, 5, 6 olan sayının kaçıncı kuvveti alınırsa alınsın aynı olur. Diğerlerinde kaçıncı derecesi ilk rakamı veriyorsa o derecedekiler sağlar. * Haftanın günlerinde Mod 7 ile çalışılır. * Yılın aylarında Mod 12 ile çalışılır.

• a 2 = a∆ a

Örnek: 1273 sayısının mod 7’deki karşılığı nedir?

1273 = 7 * 181 + 6 ⇒ 1273≡ 6

• a 3 = a∆ a∆a • a n = a1 ∆4 a ∆2 a ∆4 ... ∆ 3a n

[

]

[

]

[

x−6 ≡ 0 k = 1 ⇒ x − 6 = 9 * k ⇒ x = 15

Burada k değerine değerler atayarak x değerleri bulunur.

]

Örnek: 18 ≡ 0 (mod m) ) denkliğini sağlayan farklı m değerlerinin toplamı? 18’i tam bölen m sayısı (m>1) olduğuna göre; 18’in tam katmanları olacak şekilde m değerleri: 2, 3, 6, 9, 18. m=2+3+6+9+18= 38//

= a∆ e = c * a 2 ∆ c 2 ∆ e 2 = (a ∆ a )∆ (c ∆ c )∆ (e ∆ e ) = d ∆ c ∆ b 4

7))

(mod 9)) denkliğini sağlayan x değeri? (mod 9)) ⇒ x − 6 = 9 * k (k ∈ Z)

* a ∆ b ∆ (c ∆ (d ∆ e )) = a ∆ b ∆ (c ∆ a ) = a ∆ b ∆ a

( )

(mod

Örnek: x ≡ 6

tan e

Örnek: Yukarıdaki tabloda aşağıdaki işlemler nedir? * (a ∆ b )∆ (c ∆ d ) = e ∆ d = a

8

(modm)) ⇒ a − k ≡ 0 (modm)) ||

(mod m)) • a − x ≡ b − y (mod m) ) • a * x ≡ b * y (mod m)) • n ∈Z+ ⇒ a n ≡ b n (mod m)) • k ∈ Z ⇒ a * k ≡ b * k (mod m))

* Satır ve sütunda işlemlerin kesiştikleri nokta o işlemin sonucudur. Satır ve sütunda aynı hizada ana sıralamanın çakıştıkları nokta ise o işlemin birim elemanıdır. (e = c) * ∆ işlemine göre tabloda;

( )

* a≡k

• a+x ≡b+y

Tabloda Đşlem * A = {a , b , c, d , e} kümesinde “∆” işlemi olsun: a b c d e ∆ d e a b c a e a b c d b a b d e c c b c d e a d c d e a b e

= d∆b = c

(mod m))

( )

2

* a16 = a 2 = d8 = d 2 = e4 = e2 = b2 = a * Birim (etkisiz) eleman = e = c * f x (y ) = x − 1∆ y işlemi verilir. f a (b ) = ?

Örnek: 714 sayısının 5 ile bölümünden kalan nedir?

−1 −1 f a (b ) = a − 1∆ b ⇒ a ∆ a = e ⇒ a ∆ a = c Đşlem yapmadan tablodan bulacak olursak; a’nın tersi, a ile hangi rakamın kesiştiği noktada c (birim eleman)’i veriyor. Bakılırsa a ile e kesişirse c’yi verir. a − 1 = e

f a (b ) = e ∆ b = d

71 ≡ 2 72 ≡ 4 73 ≡ 3 74 ≡ 1

7 = 5 *1 + 2  3 (mod 5) ) ( 74 ) * 72   2 (mod 5) ) ⇒ 2 = 4 = 5 * 0 + 4  ⇒ = 13 * 4   (mod 5) ) 2 * 4 = 8 = 5 * 1 + 3 = 4 // (mod 5) )  2 * 3 = 6 = 5 * 1 + 1

Örnek: 20082008 sayısının 10 ile bölümünden kalan nedir?

2008 1 ≡ 8

S. MODÜLER ARĐTMETĐK

2008

* Tekrarlı sistemlerde son varılacak noktayı bulmak için kullanılır. y = a*x + b (x’in a defa kullanılması ve kalan b’nin değerine ulaşılması.)

2

≡4

3

2008 ≡ 2 2008 4 ≡ 6 2008 5 ≡ 8

(

)

2008 = 10 * 200 + 8  (mod 10 ) )   (mod 10 ) ) 8 2 = 64 = 10 * 6 + 4    (mod 10 ) ) ⇒ 8 * 4 = 32 = 10 * 3 + 2  (mod 10 ) ) 8 * 2 = 16 = 10 * 1 + 6  (mod 10 ) ) 8 * 6 = 48 = 10 * 4 + 8 

4 502

( 4 )502

4

⇒ 2008 = 8 =8 =6 * a , m , n , k ∈ Z , m > 1 olmak üzere; a’nın m’ye 4 bölümünden elde edilen kalan k ise mod m’de a’nın dengi k’dir Burada 8 sayısından sonra kalan tekrar başa dönmüştür. ve a ≡ k (mod m)) biçiminde gösterilir. Bu sayının üssü ne kadar artsa da sonuç 6 çıkacak. Örnek: 325 + 548 toplamının birler basamağı nedir?

325 + 548 ≡ x + y 3

25

≡x

(mod10))

(mod10)) 548 ≡ y

(mod10))



ZAFER ÖZTÜRK

***************************************** MATEMATİK***************************************

(mod 10) )  (mod 10) ) ⇒ (34 )6 * 31 ⇒ x = 3 //  (mod 10) ) (mod 10)) (mod 10 ) ) ⇒ (51 )48 ⇒ y = 5 //  (mod 10 ) )

31 ≡ 3 32 ≡ 9 33 ≡ 7 4

3 ≡1 51 ≡ 5 2

5 ≡5 ⇒ x + y = 3 + 5 = 8 //

Örnek: DENĐZDENĐZDENĐZ… şeklinde oluşturulan harf dizisine bakıldığında baştan 48. harf nedir? DENĐZ şeklinde periyodik giden seri 5’er serilerdendir.

48 = 5 * 9 + 3 ⇒ 48 ≡ 3 Z 0

Bugün 0. gün sayılarak 4 gün sonraya gidilirse: Pazar 1

Pazartesi 2

Salı 3

(mod 5))

N 3

Đ

Z

D

T. PERMÜTASYON – KOMBĐNASYON

(Birler basamağı)

Saymanın Temel Kuralları * s(A) = a ve s(B) = b ; A ve B sonlu ve ayrık iki küme; • s(A ∪ B) = s(A ) + s(B) = a + b (Toplama kuralı) • s(A ∪ B) = s(A ) * s(B) = a * b

(mod7)) ⇒ 424 = 7 * 60 + 4 ⇒ 424 ≡ 4 (mod7))

Cumartesi 0

E 2

48. harf “N” dir.

Örnek: Bugün günlerden cumartesi olursa 424 gün sonra ve 352 gün önceki günler hangileridir? * 424 gün sonraki gün:

424 ≡ x

D 1

(Çarpma kuralı)

* Ayrık olan iki işlemden biri a farklı yolla, diğeri ise b farklı yolla yapılabiliyorsa bu işlemler; • “Veya / Ya da” bağlacı varsa ⇒ “ a + b” • “Ve” bağlacı varsa ⇒ “ a * b”

Çarşamba 4

424 gün sonraki gün = Çarşamba * 352 gün önceki gün:

352 ≡ x

(mod7)) ⇒ 352 = 7 *50 + 2 ⇒ 352 ≡ 2 (mod7))

Örnek: A şehrinden B şehrine 3 farklı yol, B şehrinden C şehrine 5 farklı yol vardır. A şehrinden C şehrine gidecek olan biri B şehrine uğramak koşuluyla kaç farklı yoldan gider?

Bugün 0. gün sayılarak 2 gün önceye gidilirse: Perşembe -2

Cuma -1

Cumartesi 0

352 gün önceki gün = Perşembe Örnek: Pazartesi 1. gün alınırsa 500. gün hangi gün olur? A’dan B’ye 3 farklı yol; B’den C’ye 5 farklı yol olduğuna 1. gün Pazartesi ise 500. gün için 499 gün sonrasına göre ikisi de aynı anda istendiğine (ve) göre 3*5=15 farklı yol. bakılır.

(mod7)) ⇒ 499 = 7 * 71+ 2 ⇒ 499 ≡ 2 (mod7))

499 ≡ x

Pazartesi 0

Salı 1

Örnek: 12 eş kareden oluşan şekilde kaç kare olabilir?

Çarşamba 2

500. gün olan Çarşamba idir.

Örnek: Bir asker 4 günde bir nöbet tutar. Đlk nöbetini Perşembe tutarsa, 19. nöbetini hangi gün tutar? 19. nöbette ilk günü Perşembe tutarsa kalan 18 gün içinde Örnek: A = {1,2,3,4,5} kümesinin elemanları kullanılarak 4 günde bir tutma olasılığı olursa 18*4= 72 gün sonra tutar. yazılabilecek rakamları farklı üç basamaklı sayılardan kaç 72 ≡ x (mod7)) ⇒ 72 = 7 *10 + 2 ⇒ 70 ≡ 2 (mod7)) tanesi 300’den büyüktür? Perşembe Cuma Cumartesi abc sayısının 300’den büyük olması için a=3,4,5 olmalı. 1

0

2

19. nöbetini Cumartesi tutar.

Örnek: Bir hasta 3 ayda bir kontrole gider. 8. kontrolüne Ocak ayında giderse ilk kontrolüne hangi ay gider? 8. kontrole Ocak ayında giderse 7 kontrol önceki olan ve her kontrol arası 3 ay olursa 7*3= 21 ay öncesi ilk kontrolü.

21 ≡ x

(mod12)) ⇒ 21= 12*1 + 9 ⇒ 21≡ 9 (mod12))

Mayıs Haziran Temmuz Ağustos Eylül

Ekim

Kasım Aralık

Ocak

Örnek: A = {0,1,2,3} kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilecek rakamları farklı üç basamaklı kaç çift doğal sayı yazılabilir? Örnek: Bir hemşire 5 günde bir, doktor ise 8 günde bir abc sayısının a≠0 olmalı (Üç basamaklı olması için) nöbet tutar. Đkisi beraber ilk nöbeti Salı tutarsa 10. nöbetini Çift doğal sayı istendiğinden c=0 veya 2 alabilir. c=2 iken birlikte ne zaman tutar? a≠0 olmadan ve 0’ı da b’de katacak şekilde hesaplanmalıdır. OKEK (5,8) = 40 gün (Đkisi birlikte ilk nöbet tutarlarsa) 10. nöbeti Salı tutarsa, 9 nöbet için 40 günde bir şeklinde birlikte nöbet tutarlarsa; 9*40= 360 gün sonra tutar. -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

9 ay önceki gün olan ilk kontrol “Nisan” ayındadır.

360 ≡ x Salı 0

(mod7)) ⇒ 360 = 7 * 51+ 3 ⇒ 360 ≡ 3 (mod7)) Çarşamba 1

Perşembe 2

Cuma 3

10. nöbetlerini Cuma birlikte tutar.



ZAFER ÖZTÜRK

***************************************** MATEMATİK*************************************** Permütasyon: Dönel (Dairesel) Permütasyon: * Permütasyon; sıralama (diziliş) demektir. Seçilmiş olan * Basit kapalı bir eğri üzerinde (etrafında), n tane elemanın nesnelerin sıralanışı veya dizilişi söz konusudur. sıralanmasıdır. n tane elemanın dönel sıralaması: (n−1)! * n elemanlı bir kümenin r’li permütasyonu: n! Örnek: 3 avukat, 4 öğretmen yuvarlak masa etrafında P(n, r ) = = n * (n − 1) * ... * (n − r + 1) 4424444 3 (n − r )! 144 oturacaktır. r tan e carpan Kaç farklı şekilde otururlar? Toplam = 3 + 4 = 7 kişi * n tane nesne hiç koşulsuz ve yan yana n! sayıda diziliş (n-1)! = (7-1)! = 6! sayıda masada oturabilirler. (sıralama) gerçekleştirir.

P(n , n ) = n!

Aynı meslek grubuna ait kişiler yan yana oturmak koşuluyla, kaç farklı şekilde oturabilirler? 3 avukat kendi arasında P (3,3 ) = 3!

Örnek:

4 öğretmen kendi arasında P (4, 4 ) = 4! Her branştaki tek kişi sayılırsa; A:1, Ö:1 olup 1+1=2 kişi yuvarlak masa etrafında (n-1)!=(2-1)!=1! farklı şekilde oturur. Genel olarak oturmaları: Örnek: 8 kişinin katıldığı satranç turnuvasında, P(3,3) * P(4,4 ) * (2 − 1)!= 3!*4!*1! şekilde otururlar. yarışmacılara verilecek olan ilk üç derece kaç farklı şekilde?

7! 7! 7 * 6 * 5 * 4! = = = 7 * 6 * 5 = 210 (7 − 3)! 4! 4! • P (n ,2 ) = 30 ⇒ n * (n − 1) = 30 ⇒ n = 6

• P(7,3) =

P(4,4 ) = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24

Kombinasyon: * Kombinasyon; seçim – seçme işlemleri yapar. Sıralama Örnek: Birbirinden farklı 3 fizik, 4 kimya ve 5 matematik veya diziliş yoktur, nesneleri seçmiş olmak yeterlidir. kitabı boş bir rafa yan yana dizilecektir. * n elemanlı bir kümenin r’li kombinasyonu (alt kümeleri Bu kitaplar kaç farklı biçimde sıralanabilir? sayısı) C(n,r): Toplam = 3 + 4 + 5 = 12 kitap var. n n! P(n, r ) C(n, r ) =   = = P (12 ,12 ) = 12! (Kendi sayısı kadar dizilimi olur.) r ( n − r ) !* r ! r!   Aynı dersin kitapları yan yana durmak koşuluyla bu kitaplar boş bir rafa kaç farklı şekilde sıralanabilir? 3 Fizik kitabı kendi arasında P (3,3 ) = 3! 4 Kimya kitabı kendi arasında P (4, 4 ) = 4!

5 Matematik kitabı kendi arasında P (5,5 ) = 5! Her ders kitapları yan yana olacağından dersleri tek kitap olarak sayarsak F:1, K:1, M:1 gibi kendi aralarında dizilmeleri P (3,3 ) = 3! Kitaplar: P(3,3) * P(4,4) * P(5,5) * P(3,3) = 3!*4!*5!*3!

*  n  =  n  ⇒ {a = b || a + b = n  a   b      *  n  =  n  = 1  0  n      *  n  = n  

1  *  n  =  n   r  n − r     n

Tekrarlı Permütasyon: * Sıralanmış n tane elemandan; farklı a, b ve c türlerinden olan n elemanın yerlerinin değiştirilmesiyle oluşan farklı sıralamaların sayısı:  n  n! n = a + b + c ⇒   = a , b , c a !* b!*c!  

* n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2 ; n n n n   +   +   + ... +   = 2n  0  1   2 n

Örnek: • C(7,3) =

7!

=

7!

=

7 * 6 * 5 * 4!

= 7 * 5 = 35

(7 − 3)!*3! 4!*3! 4!*3! ( ) P n , 2 • C(n,2) = 21 ⇒ = 21 ⇒ n * (n − 1) = 42 ⇒ n = 7

Örnek: 1100222 sayısının rakamlarının yerleri 2! değiştirilerek 7 basamaklı kaç farklı sayı yazılır? 1 rakamı = 2 tane; 0 rakamı= 2 tane; 2 rakamı= 3 tane. Örnek: 8 kişi arasından 6 kişilik bir ekip kaç farklı şekilde seçilir?  7  7! (Tüm ihtimal)   = = 210  8   8   8  P(8,2) 8 * 7  2,2,3  2!*2!*3!   =   =   = = = 28 değişik şekilde. 2! 2 Sıfırın başa gelmeme ihtimali (7 basamaklıda iki sıfırın  6 8 − 6  2 olmadığı durumlar): Örnek: 6 elemanlı bir kümenin en az 3 elemanlı kaç alt 7−2 (Đstenen durum) 210 * = 150 kümesi vardır? 7  6  6   6  6   6   6   6  6 *5* 4 6*5   +   +   +   =   +   +   + 1 = + + 6 +1 Örnek: BELLEK sözcüğündeki harflerin yeri değişerek 3! 2!  3  4   5  6   3   2   1  yazılabilecek anlamlı – anlamsız 6 harfli kaç sözcük var? = 20 + 15 + 6 + 1 = 42 tane en az 3 elemanlı alt küme var. B:1, E:2, L:2, K:1; Toplam 6 harf (n)  6  6! Örnek: 15 kişilik bir sınıftan bir başkan ve bir başkan   = = 180 sözcük var. yardımcısı kaç farklı şekilde seçilir? 1,2,2,1 1!*2!*2!*1!

KPSSCini.com



ZAFER ÖZTÜRK

***************************************** MATEMATİK*************************************** Bir başkan sınıftan C(15,1)=15 şekilde seçilir. Kalan 14 kişi içinde başkan yardımcısı da C(14,1)=14 şekilde seçilir. Đkisi birlikte = 15 * 14 = 210 farklı şekilde seçilir.

U. OLASILIK Bir madeni para havaya atıldığında yazı mı, yoksa tura mı geleceğini, bir zar Deney atıldığında üst yüzeye gelen sayının kaç olacağı vb. gibi tespit etme işlemleridir. Deneyde yapılan işlemin her bir çıktısıdır. Sonuç Örneğin, paranın yazı gelmesi gibi. Bir deneyin muhtemel bütün sonuçlarını Örnek Uzay eleman kabul eder. Evrensel kümedir. Herhangi bir örnek uzayın her bir alt kümesidir. Đmkânsız Olay E = ∅ (boş küme) ise Kesin Olay E ≠ ∅ (boş olmayan küme) ise Ayrık Olay A∩B= ∅ ise ( A,B ⊂ E )

Örnek: Bir sınıfta 10 erkek, 12 kız var. Bu sınıftan 1 erkek, 2 kız öğrenciden oluşan üç kişilik bir grup kaç farklı şekilde? 10  12  10 12 *11   *   = * = 10 * 66 = 660 değişik şekilde. 2!  1   2  1!

OLAY

Örnek: 5 pantolon ve 5 gömleği bulunan Ozan’ın, pantolonlarının üçü siyah, ikisi mavi; gömleklerinin ikisi siyah, üçü mavidir. Ozan, farklı renklerde 1 pantolon ve 1 gömleği kaç değişik şekilde giyer? 5 Pantolon : Siyah: 3, Mavi: 2 5 Gömlek : Siyah: 2, Mavi: 3

* p(A) : Bir A olayının olma olasılığı p(B) : Bir B olayının olma olasılığı p(A’) : Bir A olayının olma olasılığı s (A) : A olayının kümesindeki eleman sayısı s (E) : E örnek uzayının eleman sayısı ise; • p(A ) = s(A ) s(E )

Örnek: Ayşen elindeki değişik renkteki 8 boya kalemini kullanarak şekilde verilen altı kareyi, 1 ve 6 numaralı kareler aynı renkte, diğer kareler de bu karelerden ve birbirinden farklı renklerde olacak şekilde boyanmak isteniyor. Bu boyama işi kaç farklı şekilde yapılabilir?

• 0 ≤ p(A ) ≤ 1 • p(A ) + p(A′) = 1

p(A)=0 (Đmkânsız olay) p(A)=1 (Kesin olay)

• p(A ∪ B) = p(A ) + p(B) − p(A ∩ B) • p(A ∪ B) = p(A ) + p(B)

(A ile B ayrık olaylar ise)

• p(A ∩ B) = p(A ) * p(B)

(A ile B bağımsız olaylar)

* Bir madeni paranın art arda n defa havaya atılması

1 ve 6 no’lu kareler aynı renk boyanacağından kutuya 5 farklı renk seçilmelidir. Ayrıca istediği sırada boyayabilir (5 durum içinde):

C(8,5)* P(5,5) =

P(8,3) 8* 7 * 6 * 5!= * 5!= 6720 şekilde 3! 3!

durumundaki örnek uzayın eleman sayısı: s(E ) = 2 n * Bir tavla zarının n adet atılma durumu: s(E ) = 6n

Örnek: Đki adet tavla zarı aynı anda atılıyor. Buna göre; Zarların üst yüzeylerinde gelen sayıların toplamının 5’ten büyük olma olasılığı nedir?

Örnek: d1 ve d2 doğruları birbirine paraleldir. Köşeleri şekildeki 8 noktadan herhangi üçü olan kaç üçgen çizilir? (A, B, C, D, E ∈ d1; K, L, M ∈ d2)

1. Zar 2. Zar

1 1

1 2

1 3

1 4

2 1

2 2

2 3

3 1

3 2

4 1

Tabloda 10 tane istenmeyen durum vardır. ( ≤ 5) Đki adet zar atılırsa ⇒ s(E ) = 6 n = 6 2 = 36 10 13 p (A ) + p (A ′ ) = 1 ⇒ p (A ) = 1 − p (A ′ ) = 1 − = 36 18

 5  3   5   3   *   +   *   = 5 * 3 + 10 * 3 = 45 tane 1  2  2 1

Zarların üst yüzeylerinde aynı sayıların gelme olasılığı? Đki adet zar atılırsa ⇒ s(E ) = 6 n = 6 2 = 36

Veya; eksende 8 nokta, tüm durum – üçgen olmama durum;

1 2 3 4 5 6 1. Zar 1 2 3 4 5 6 2. Zar Tabloda aynı sayıların gelme durumu 6 şekildedir. s (A ) 6 1 p (A ) = = = s (E ) 36 6

8   5  3    −    +    = 56 − (10 + 1) = 45 tane  3   3  3 

Örnek: 4 erkek ve 5 kız arasından 3 kişilik bir grup oluşturulacak. Bu gruptan en az birinin erkek olması istenirse Örnek: Bir madeni para art arda 4 defa havaya atılıyor. bu grup kaç farklı şekilde oluşur? Atışlardan ilk ikisi yazı, son ikisi tura gelme olasılığı nedir? (1e+2k) +(2e+1k)+ (3e+0k) = Tüm koşul - (0e+3k) 1.Atış 2.Atış 3.Atış 4.Atış  4   5   4   5  4   5    *   +   *   +   *   = 40 + 30 + 4 = 74 veya Yazı Yazı Tura Tura  1   2   2  1  3   0  Her atışta iki ihtimal vardır. Biri gelmesi istendiğinden;

 9   5   −   = 84 −10 = 74 farklı şekilde  3   3

p1 (A ) * p 2 (A ) * p 3 (A ) * p 4 (A ) =

1 1 1 1 1 * * * = 2 2 2 2 16



ZAFER ÖZTÜRK

***************************************** MATEMATİK*************************************** Örnek: Bir sınıfın yoklama listesinden rastgele okunan bir ismin bir erkek öğrenciye ait olma olasılığı 4/7, bu sınıfta 21 kız öğrenci varsa toplam kaç öğrenci mevcuttur? Erkek öğrenci = x kişi, kız öğrenci = 21 kişi Sınıf mevcudu = x + 21 kişi s(A ) x 4 p(A ) = = = ⇒ 7 x = 4x + 84 ⇒ x = 28 kişi s(E ) x + 21 7 Sınıf mevcudu = x + 21= 28 + 21 = 49 kişi

Sınıf mevcudu = s(E) = 27 kişi Seçilen öğrencinin kız veya gözlüksüz olma olasılığı:

p(Y ∪ Gy ) = p(Y ) + p(Gy ) − p(Y ∩ Gy ) s(Y ) s(Gy) s(Y ∩ Gy) p(Y ∪ Gy) = + − s(E ) s(E ) s(E ) 12 15 6 21 7 // p (Y ∪ Gy ) = + − = = 27 27 27 27 9

Örnek: Bir torbada 3 sarı, 2 kırmızı ve 4 mavi bilye var. Örnek: Anne, baba ve 5 çocuk bir yuvarlak masa etrafında Torbaya bakılmadan aynı anda üç bilye çekiliyor. Çekilen yemek yiyorlar. Anne ve babanın yemeği yan yana yeme bilyelerin farklı olma olasılığı nedir? olasılığı nedir? 9 9 *8* 7 Yuvarlak masa etrafında 7 kişi = (7-1)! = 6! Şekilde oturur. s (E ) =   = = 84 tür (tüm durum için) Anne – baba yan yana oturması durumunda; A ile B: 1 kişi 3 3 !   = 1! kendi aralarında 2! şekilde; çocuklar ise kendi aralarında Üç çekilen bilyenin her birinin farklı olması istendiğinden; P(5,5)=5! şekilde otururlarsa oturma durumu = 5!*2!*1! 3  2  4 s (A ) 5!*2!*1! 1 (Đstenen durum) s (A ) =   *   *   = 3 * 2 * 4 = 24 tür p (A ) = = = 1  1   1  s (E ) 6! 3 s (A ) 24 2 p (A ) = = = s (E ) 84 7 Örnek: 1’den 90’a kadar olan sayılar ayrı ayrı doksan topun üzerine yazılarak bir torbaya atılıyor. Üzerinde 6’ya kalansız bölünebilecek bir sayı olan topu çekmeyi garantilemek Örnek: Bir kutuda 20 yumurtadan 8’i kırık. Kutudan için en az kaç top çekilmelidir? seçilen 2 yumurtanın 2’sinin de kırık olma olasılığı? s (A 1 ) s (A 2 ) 8 8 −1 56 14 A = {1 ≤ 6 * x ≤ 90 } p (A ) = * * = = = S.T. − I.T. 90 − 6 s (E ) s (E ) − 1 20 20 − 1 380 95 tane 6’ya bölünen sayı T.S. =

A.O.

+1 =

6

+ 1 = 15

15 tane 6’ya kalansız bölünen sayı varsa, 90 – 15 = 75 tane Örnek: 8 evli çift arasından rastgele seçilen iki kişinin de 6’ya bölünmeyen sayı vardır. Đstenen en az çekildiğinde birbiriyle evli olma olasılığı nedir? 6’ya bölünen sayıyı bulmak için 6’ya bölünmeyen tüm sayı 8 evli çift = 16 kişi çekilmeli ve geriye kalanlardan çekilecek 1 tane şartı sağlar. 1 evli çift = 2 kişi (Bu iki kişiyi (çifti) tek kişi sayarsak) Buna göre 75 + 1 = 76. top çekildiğinde 6*k top gelir. 16 kişi – 1 çift = 15 kişi ihtimali arasından olasılık: s (A ) 2 − 1 1 // p (A ) = = = Örnek: 1. Torba: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (8 top) s (E ) 16 − 1 15 2. Torba: 0, 1, 2, 3 (4 top) Đki torbada mevcut toplarda yazılı olan numaralar Örnek: Bir yarışı Ayşe’nin kazanma olasılığı 3/4, Onur’un mevcuttur. Bu torbalardan rastgele birer top çekilir. Çekilen kazanma olasılığı 2/3’tür. Bu iki kişi aynı yarışta yer aldığında iki topun üzerinde yazılı olan rakamların toplamının 7 olma bunlardan sadece birinin bu yarışı kazanma olasılığı nedir? olasılığı nedir? Ayşe kazanırsa Onur kazanamaz + Onur kazanırsa Ayşe 8  4 kazanamaz şeklindedir: s (E ) = s (E 1 ) * s (E 2 ) =   *   = 32 Tüm durum 1  1 3 3−2 4−3 2 5 p (A ) * p (O ′ ) + p (A ′ ) * p (O ) = * + * = s (A ) = s ({(7 ,0 ), (6 ,1), (5, 2 ), (4 ,3 )}) = 4 (x1+x2=7) 4 3 4 3 12 s(A ) 4 1 (Toplamının 7 olma olasılığı) p(A ) = = = Örnek: Bir torbadaki kırmızı bilye sayısı, beyaz bilye s(E ) 32 8 sayısının 2 katıdır. Bu torbadan geri konulmadan art arda 2 Örnek: Bir torbada 2 kırmızı, 2 beyaz, 1 sarı top var. bilye çekilirse ikisinin de beyaz olma olasılığı 5/51 ise torbada Torbadan çekilen top geri bırakılmadan art arda 2 tane kaç kırmızı bilye vardır? s(K) = 2 * s(B) ⇒ s(B) = x, s(K) = 2x olsun. çekilirse ikinci çekilen topun sarı olma olasılığı nedir? x x −1 5 s(E ) = 2 + 2 + 1 = 5 Tüm durum * = ⇒ 17 * (x − 1) = 5 * (3x − 1) ⇒ x = 6 bilye 3 x 3 x − 1 51 Çekilme durum: 1(K) 2(S) + 1(B) 2(S) (2.nin sarı olması) s(K) = 2*x = 2*6 = 12 bilye (kırmızı bilye) s (A K ) s (A S ) s (A B ) s (A S ) p (A ) = * + * s (E ) s (E ) − 1 s (E ) s (E ) − 1 Örnek: Đki torbadan birinde 6 mavi, 4 beyaz; ikincisinde 3 2 1 2 1 2 2 1 mavi, 5 beyaz boncuk var. Birinci torbadan rastgele bir boncuk p (A ) = * + * = + = çekilmiş ve renge bakılmadan ikinci torbaya atılmış. Đkinci 5 5 − 1 5 5 − 1 20 20 5 torbadan çekilen bir boncuğun mavi olma olasılığı? Örnek: 12 kız, 15 erkek öğrenciden oluşan bir sınıfta Đlk durum: 1. Torba ( 6 M, 4 B), 2. Torba (3 M, 5 B) kızların yarısı gözlüklüdür, erkeklerin 9’su gözlüksüzdür. 2. durum: Mavi atıldı ise: 1. T ( 5 M, 4 B), 2. T (4 M, 5 B) Sınıftan seçilen bir öğrencinin kız veya gözlüksüz olma olasılığı Beyaz atıldı ise: 1. T ( 6 M, 3 B), 2. T (3 M, 6 B) nedir? Olasılıklar: 1 (M) * 2 (M) +1 (B) * 2 (M) Kız Öğrenci (Y) Erkek Öğrenci (X)

Gözlüklü (Gx) 6 9

Gözlüksüz (Gy) 6 6

TOPLAM (T) 12 15

p (A ) =


6 4 4 3 24 12 36 2 * + * = + = = 10 9 10 9 90 90 90 5

KPSSCini.com


ZAFER ÖZTÜRK

MATEMATIK Ders Notlari Kpsscini

Recommend Documents