“UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL”
FACUL TAD DE CIENCIAS FACULTAD ADMINISTRATIVAS ADMINISTR ATIVAS NIVELACIÓN DE CARRERA -PROYECTO DE AULA INTEGRANTES:
QUITO NORMA SILVA CESAR
MATERIA:: MATEMÁTICAS MATERIA DOCENTE:: ING. RUBÉN ÁLVAREZ DOCENTE CURSO: AULA CURSO: AULA 404 PARALELO:: V-37 PARALELO AÑO LECTIVO: 2013/ 2014
APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES EN LA ADMINISTRACION ADMINI STRACION Y LA ECONOMIA.
ECUACIONES LINEAL LINEALES ES
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece apa rece el término x*y x*y (llamado (llama do rectan rectangular gular)) no son son consideradas lineales.
EXPLICACIÓN DE CADA UNO DE LOS MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS S ISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES LINEALES
Método de Reducción por suma o resta o de Eliminación
Los siguientes pasos nos facilitan la aplicación del método: a) Se multiplican los l os miembros miembros de una o de las la s dos ecuaciones ecuac iones por una cantidad constante constante Apropiada para p ara obtener obtener ecuaciones ecuac iones equivalentes equivalentes que tengan igual coeficiente para una de las Incógnitas. b) Por suma o resta resta se elimina una de las incógnitas. inc ógnitas. e) Se resuelve resuelve la ecuación lineal resultant resultante. e. f) Se sustituye sustitu ye el valor determinado en cualquiera cu alquiera de las ecuaciones ecuac iones originales para, Encontrar el valor de la otra incógnita. Si las ecuaciones del sistema sistema tienen alguna algun a de las incógnitas de igual coeficientes el paso. EJEMPLO: 1. Resolver el sistema
PRIMER PASO: Teniendo ambas ecuaciones se despaja una incógnita. 2x + 6y = 8
(1)
APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES EN LA ADMINISTRACION ADMINI STRACION Y LA ECONOMIA.
ECUACIONES LINEAL LINEALES ES
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece apa rece el término x*y x*y (llamado (llama do rectan rectangular gular)) no son son consideradas lineales.
EXPLICACIÓN DE CADA UNO DE LOS MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS S ISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES LINEALES
Método de Reducción por suma o resta o de Eliminación
Los siguientes pasos nos facilitan la aplicación del método: a) Se multiplican los l os miembros miembros de una o de las la s dos ecuaciones ecuac iones por una cantidad constante constante Apropiada para p ara obtener obtener ecuaciones ecuac iones equivalentes equivalentes que tengan igual coeficiente para una de las Incógnitas. b) Por suma o resta resta se elimina una de las incógnitas. inc ógnitas. e) Se resuelve resuelve la ecuación lineal resultant resultante. e. f) Se sustituye sustitu ye el valor determinado en cualquiera cu alquiera de las ecuaciones ecuac iones originales para, Encontrar el valor de la otra incógnita. Si las ecuaciones del sistema sistema tienen alguna algun a de las incógnitas de igual coeficientes el paso. EJEMPLO: 1. Resolver el sistema
PRIMER PASO: Teniendo ambas ecuaciones se despaja una incógnita. 2x + 6y = 8
(1)
x + 2y = 3
(2)
SEGUNDO PASO: Multiplicamos cada ecuación por el coeficiente de una de las incógnitas de la otra ecuación. -2
2x + 6y = 8 x + 2y = 3
(1) (2)
TERCER TERC ER PASO: PASO: Eliminamos Eliminamos así una incógnita (X). 2x + 6y = 8 -2 x + 2y = 3
(1) (2)
2x + 6y = 8 -2x - 4y = -6 // 2y = 2
y =
2 2
Y=1
CUARTO PASO: Tenemos una de las ecuaciones y sustituimos en ella el valor encontrado. 2x + 6y = 8 (1) x + 2y =3 (2) Y = -1
Reemplazamos en (Y) (Y)
2x + 6y = 8 (1) 2x + 6(1) = 8 2x +6 = 8 2x = 8 - 6 x= 2 X=1 2 QUINTO PASO: Comprobamos C omprobamos los resultados. X=1
2x + 6y = 8 x + 2y = 3 2x + 6y = 8 2(1) + 4(1) = 6 x + 2y = 3 (1) +2(1) =
Y=1
(1) (2) (1) 6=6
6=6
(2) 1-+2= 3
3=3
2x = 2
ECUACIONES METODO SUSTITUCION
a) Se ordenan alfabéticamente y nombran las ecuaciones b) Se despeja una de las incógnitas de cualquiera de las dos ecuaciones c) El valor de la incógnita despejada se sustituye en la otra ecuación d) Se resuelve la ecuación resultante (ecuación de una incógnita) e) El valor obtenido numérico para la incógnita que estamos resolviendo, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales, obteniendo así el valor numérico de la otra incógnita. EJEMPLO:
Paso 1: Se despaja una incógnita (Y). x+y=2 (1) 7x – 2y = 5 (2) x + y=2 y = 2 -- x
(1)
paso 2: Sustituimos el valor de (Y) en la otra ecuación. x + y=2 (1) y= 2- x Reemplazamos (Y) 7x – 2y = 5 7x -- 2(2 – x) = 5
Y =2 – x
(2)
Paso 3: Obtendremos una ecuación con una incógnita y comenzamos a resolver. 7x – 2y = 5 (2) 7x -- 2(2 – x) = 5 7x – 4 + 2x = 5 X=1 -4 + 9x = 5 9x = 5 +4 x= 9 =1 9
Paso 4: Sustituimos el valor obtenido en la otra ecuación. x + y=2 (1) 7x – 2y = 5 (2) Reemplazamos la (X) x + y=2 2(1) + y = 2
X=1
(1) 2+ y = 2
y = 2 – 2
Y=1
Paso 5: Ahora de vemos comparar los resultados sustituyendo ambos valores en las dos ecuaciones. X=1
Y=1
x + y=2 7x – 2y = 5
(1) (2)
x + y=2 (1) + 1 = 5
(1) 1+1 =2
7x – 2y = 5 7(1) -- 2(1) = 5
(2) 7-- 2 = 5
2= 2
5=5
Ecuaciones método de (Igualación) 1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. 2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita. 3. Se resuelve la ecuación. 4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema .
1 Despejamos, por ejemp lo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:
2 Igualamos ambas expresiones:
3 Resolvemos la ecuación:
4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:
5 Respuesta:
x + 2y = 4 x+y=2
(1) (2)
x + 2y = 4 x = 4 – 2y x+y=2 x = 2 – y
(1)
X = 4 – 2y
4 – 2y = 2 – y --2y + y = 2 – 4
X = 4 – 2
(2)
X = 2 –
X = 2 – y
-- y = -- 2
y = -- 2
=
ECUACIONES MÉTODO GRAFICO a) Verificamos la ecuación que nos da el enunciado y lo resolvemos de la siguiente manera. 2x + 3y = -8 X=0
y=?
X=?
y=0
P1 (0, -2.6) P2 (-4,0)
2X + 3y = -8 Y= -8/3 Y=-2.6
2x + 3y = -8 x = -4
b) Luego de haber obtenido el resultado de la ecuación realizamos la siguiente gráfica. Intersecciones con los ejes
EJERCICIOS DE (Reducción por suma o resta o de Eliminación) 6X – 7X = 5 -----
(4) 24X – 28Y = 20
8X – 9Y = 7 ------> (-3)
-24X + 27y = -21 //
-y =1 Y= 1
6x – 7y = 5 6x – 7(1) =5
6x - 7 = 5 6x = 5 + 7 6x = 12 X= 12/6 X= 2
5x + 4y = 2 ------3x – 2y = -12-----
5x + 4y = 2 (2) 6x – 4y= - 24 11x // = -26 X= -26/11 X=-2
5x + 4y = 2 5(3) + 4y = 2 15 + 4y =2 4y = 2 – 15 4y = 13 Y= 13/4 Y= 3
EJERCICIOS DE (Método de Sustitución)
5x + 7y = -1
(1)
3x + 4y = -24
(2)
5x + 7y = -1 5x = -1 – 7y
Sustituyendo (3) en (2)
3 +21y + 20y = -120 41y = -123 Y= -3
Sustituyendo (4) en (1) 5x + 7(03) = -1 5x – 21 = -1 5x = 20 X=4
4y + 3x = 8 8x – 9x = -77 3x + 4y = 8
(1)
8x – 9x = -77 (2)
Despejamos x en (1) 3x 4y = 8 3x = 8 – 4y
Sustituyendo (3) en (2)
64 -32y – 27y = -231 -32y – 27y = -231 + 64 -59y = - 295 Y=5
Sustituyendo (4) en (1) 3x + 4(5) = 8 3x + 20 = 8 3x = 8 – 20 3x = 12 X = 12/3 X= 4
ECUACIONES METODO DE IGUALACION Y = 22 – 3X
2x + 3y = 4 (1ra)
2x + 3y = 4 (1ra)
6x - 5y = 9 (2da)
x = 4 - 3y / 2
4 -3y / 2 = 9 +5y / 6
6x - 5y = 9 (2da) x = 9 +5y / 6
-18y -10y = 18 -24
6(4-3y) = 2(9+5y)
2x + 9 / 19 = 4
6(4-3y) = 2(9+5y)
2x = 4 - 9 /19
-18y -10y = 18 -24
2x = 67 /19
-38y = -6
x = 67 /38
38y = 6 y = 6 /38 = 3 / 19.
EJERCICIOS MÉTODO GRAFICO
2x – 2y = -5 X=0
y=0
X=0
y=0
2x – 2y = -5
2x – 2y = -5
Y= -5/2
x=-5/2
Y= (-2.5)
x= (-2.5)
*5x + 4y = 2 Y=2/4 Y=2
* 5x + 4y = 2 x=5/2 x=2.5
X=0
y=0
X=0
y=0
lll) Realizar 10 ejercicios de aplicación de sistemas de ecuaciones . 1.- Compre un caballo, un coche y un perro. El perro me costó $20. El caballo y el perro costaron el triplo que el coche; el perro y el coche los 3/5 de lo que costó el caballo el caballo. Hallar el precio del caballo y del coche. Datos Precio del caballo: x
100 soles
Precio del coche: y
40 soles
(-3)
X+20 = 3y
X – 3y = -20
-3x + 9y = 60
3x - 5y = 100
3x – 5y = 100
x- 3y = -20
4y = 160
20+y = 3x /5
Y= 160/4
3x= 100 + 5y X – 30(40) = -20
3x-5y=100
X= 100
2.-Un número de dos cifras equivale a 6 veces la suma de sus cifras, y si el número se le resta 9, las cifras se invierten. Hallar el número. Cifra en decenas: x
5
Cifra en unidades: y
4
Número :54 10X +y = 6 (x +y) 10x +y = 6x + 6y 4x - 5y = 0
(-5)
4x – 5y = 0
4x - 5y = 0
x- y=1
-5x + 5y = -5 -x
// = -5
(-1) X = -5 X=5
10x +y -9= 10y +x 9x-9y=9
X – y = 1 5- y = 1
x –y = 1
Y=4
3.-Cierto número de personas alquiló un ómnibus para una excursión. Si hubieran ido 10 personas más, cada una habría pagado 5 bolívares menos, y si hubieran ido 6 personas menos, cada una habría pagado 5 bolívares más. ¿Cuántas personas iban en la excursión y cuánto pagó cada una? Número de personas: x Precio c/u: y
30
20 (-3)
Xy = ( x +10) (y -5)
5x – 6y = 30
5x - 6y = 30
x - 2y = -10
-3x + 6y = 30 2x
//
= 60
Xy= xy -5x + 10y -50 x = 60/2
5x -10y = -50
X =30
X -2y = -10 30 –2y = -10
Xy = ( x -6) (y +5)
- 2y = -40 (-1)
Xy= xy +5x -6y -30
Y = 40/2
5x-6y=30
Y = 20
4.- Entre A y B tienen 1080 sucres. Si A gasta los 2/5 de su dinero y B 1/2 del suyo, ambos tendrán igual suma. ¿Cuánto tiene cada uno?
A: x
600 Sucres
B: y
480 Sucres
X – X/2 = Y – Y/4
(5)
X + y = 1080
5x + 5y = 5400
4x - 5y =
4x – 5y =
0
9x
0
// = 5400
20x – 8x = 20y – 5y
X = 5400/ 9
12x- 15y = 0
X = 600
4x-5y = 0 600 +y= 1080 y= 1080 - 600 = 480
5.- Ayer gané $10 más que hoy. Si lo que gané hoy es los 5/6 de lo que gané ayer. ¿Cuánto gané cada día? Ganancia de ayer: x Ganancia de hoy: y
60 5x – 6y = 0
50 (-6)
x+y=x
x - y = 10
5x - 6y = 0 -6x + 6y = -60 -x
// = - 60 (-1)
y = 5x/6 X = 60
5x - 6y = 0 5x -6y= 0
60 – y = 10 - y = 10-60 - Y = - 50 (-1) Y = 50
6.- Dos números están en la relación de 3 a 5. Si cada número se disminuye en 10, la relación es de 1 a 2. Hallar los números. Primer número:
x
30
Segundo número: y
50
x/y = 3/5 (x-10)/(y-10) = ½
(-3)
5x – 3y = 0
5x - 6y = 0
2x - y = 10
-6x + 6y = -60 -x
// = - 30 (-1) X = 30
2 (30) - y= 10 60 - y = 10 Y = 1060
7.-A le dice a B: Si me das 4 lempiras tendremos lo mismo, y B le contesta: Si tú me das 4 lempiras tendré 9/5 de lo que tú tengas. ¿Cuánto tiene cada uno?
A: x
24 lempiras
B: y
32 lempiras
X+ 4 = y - 4
(-5)
x – y = - 8
-5x + 5y = 40
9x - 5y = 56
9x – 5y = 56 4x
x- y = -8
//
= 96 x= 96/4
y + 4 = 9/5 (x – 4)
x= 24
5y + 20= 9x - 36 9x-5y= 56
24 - y = -8 y= -8 -24 y= 32
8.- Hace 20 años la edad de A era el doble que la de B, dentro de 30 años será los 9/7 de la edad de B. Hallar las edades actuales.
Edad de A: x
60 años
Edad de B: y
40 años
X-20 = 2(y -20)
(-7)
X – 2y = -20 7x - 9y = 60
-7x + 14y = 140 7x – 9y = //
60
5y = 200
x- 2y = -20 Y= 200/5
x +30 = 9/7 (y +30) 7x – 210 = 9y + 270 7x -9y=60
X – 2(40) = -20 X - 80 = -20 X = -20 +80 X = 60
9.-El perímetro de un cuarto rectangular es 18 m, y 4 veces el largo equivale a 5 veces el ancho. Hallar las dimensiones del cuarto.
Ancho: x
4
Largo: y
5
(4)
X+y=9
4x + 4y = 36
5x -4y = 0
5x – 4y = 0
2(x+y) =
9x
// = 36
4y = 5x
Y= 36/9
5x -4y = 0 4+y = 9 y=94
10.- A tiene doble dinero que B. Si A le da a B 12 balboas, ambos tendrán lo mismo.¿ Cuánto tiene cada uno?
A: x
48 balboas
B: y
24 balboas
X = 2y X – 2y = 0
(-1)
x – 2y = 0
x - 2y = 0
x - y = 24
-x + y = -24 //
y = 24
x -12 = y + 12 x - y = 24
X – 24 = 24 x = 24 +24 x = 48
4.- REALIZAR 5 PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA ECUACION EN LA ADMINISTRACION Y ECONOMIA (ANALISIS DEL PUNTO DE EQUILIBRIO, OFERTA Y DEMANDA)
Un comerciante de relojes determina que si el precio de cada reloj es de $5.00, las ventas mensuales son de 100 relojes; pero si el precio de cada reloj es de $10.00, las ventas disminuyen a 50 relojes por mes. El comerciante al precio de $5.00 el estaría motivado a ofrecer sólo 50 relojes en el mercado, pero si el precio es de $10.00 por reloj, ofrecería en el mercado 100 relojes por mes. a. Determine la ecuación de demanda. b. Determine la ecuación de oferta. c. Encuentre la cantidad y el precio de equilibrio para el comerciante de relojes.
DATOS Demanda P= $5.00
Q= 100 relojes
(100,5)
P= $10.00
Q= 50 relojes
(50,10)
P= $5.00
Q= 50 relojes
(50,5)
P= $10.00
Q= 100 relojes
(100,10)
Oferta
DEMANDA
=
=
=
( )
( )
( )
( )
OFERTA =
=
( )
( )
( )
Demanda
Oferta
//
20y= 150
$. (.)
La ecuación de demanda para cierto artículo es la siguiente 5y+2x=200 (demanda) y la ecuación de oferta es (oferta). a. Determine el precio y la cantidad de equilibrio. b. Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio después de que se ha fijado un impuesto de $6.00 por unidad; determine el incremento en el precio y la disminución de la demanda. c. Que subsidio procurará que la cantidad demandada se incremente en dos unidades.
Impuesto
(Demanda) (Oferta)
=
=
= Precio consumidor
= Precio consumidor
= Precio oferta
= Precio oferta
t= impuesto
S= subsidio
− Punto a.
-5
6x //
= 150
()
Punto b.
Pc = Po + T
(Oferta)
-5
6x
// = 120
( )
Punto c. S = Yo + Yd
x=27
=+
=$.
=()+
X = 27
S = Yo - Yd
+=
. .
=−+
$.
=+
= +
= ()
=$.
El costo variable de producir ciertos artículos es de $ 0.90 ctvs. Por unidad y los costos fijos son de $ 240 al día. El artículo se vende por $ 1.20 cada uno. ¿Cuántos artículos deberá producir y vender para garantizar que haya ganancias ni perdida . DATOS: Cv = $ 0.90 Cf = $ 240 P = $ 1.20 Q* = ?
Q* = CF P – CV
Q* =
240 1.20 – 0.90
Q*= 240 0.30
Q* = 800
IT = CT Px = CF + CVx 1.20x = 240 + 0.90x x = 240 0.30 x = 80
1.20x – 0.90x = 240
0.30x = 240
Los costos fijos por producir cierto artículo son de $5,000.00 al mes y los costos variables son de $3,50 por unidad. Si el productor vende cada artículo a $6.00. Determine: A) Encontrar el punto de equilibrio. B) El número de unidades que deben producirse y venderse al mes para obtener una utilidad de $1,000.00 mensuales. C) Obtener la perdida cuando solo 1,500 unidades se producen y se venden cada mes.
CF= $5,000 CV=$3, 50 P= $6, 00 U= $1,000
U=IT-CT
Q*= CF P-CV Q*= 5000 6-3.50
U= IT-CT 1000=6x-(5000+3,5x) 1000= 6x-5000-3,50X 1000+5000=6x-.3.50x 6000=2.50x
Q*=5000 2,5
X=6000 2,5
Q*= 2000
X= 2400
U=6x-(5000+3,50x) U=6(1500)-(5000+3,5(1500) U=9000=5000-5250 U=-1250 G R A F IC A D E L P U N T O D E E Q U IL IB R IO
PRECIO
6
Q 0 500 1000 1500 2000 2500 3000
IT 0 3000 6000 9000 12000 15000 18000
3,5
CF 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000
CV 0 1750 3500 5250 7000 8750 10500
CT 5000 6750 8500 10250 12000 13750 15500
UTILIDAD -5000 -3750 -2500 -1250 0 1250 2500
GRAFICA DEL PUNTO DE EQUILIBRIO 20000 18000 16000 o i c e r p
14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 0
500
1000
1500 cantidad
2000
2500
3000
3500
El costo de producir por artículos está dado por la formula YC= 28x+600 y cada artículo se vende a $4,00. A) Encontrar punto de equilibrio. B) Si se sabe que al menos 450 unidades se venderán ¿Cuál debería ser el precio fijado a cada artículo para garantizar que no haya pérdidas? Yc= 28x+6000 P= $4,00
U=IT-CT U= Px-(CF+CVx) U= P (450)-(6000+2,80(450)) U= 450P-726 U= 450P>7260
Q*= CF P-CV Q*= 6000 4-2,80
P>7260 450
Q*6000 1,20
P>$16,13
Q*= 5000
5.- REALIZAR UN EJERCICIO DE PROCESO DE ANALISIS DE PUNTO DE EQUILIBRIO EN UNA MICRO EMPRESA. Ejercicio de aplicación. Un vendedor de empanadas determina que por la venta de su producto sus ingresos diarios son de $ 96.00 y por concepto de Materiales, Materia prima y Mano de obra sus costos son de $ 5.00 por unidad; si el comerciante vende su producto a un precio de $3.00 por unidad Determinar: a) El costo total cuando se vende su producto a 50 unidad b) El ingreso total de vender 50 unidades c) Determinar la utilidad del comerciante cuando vende 50 unidades además definir si gana o pierde en ese nivel de venta d) Determine la cantidad de artículo que debe vender para no perder ni ganar e) Determine la cantidad que debe vender el comerciante para ganar $600 de utilidad f) Graficar la situación de equilibrio
NEGOCIO DE VENTAS: 48 EMPANADAS MATERIA PRIMA DESCRIPCIÓN
UNIDAD
COSTO DE CANTIDAD
CANTIDAD
COSTO TOTAL
CARNE
lb
2.60
5
13.00
ALBERJAS
lb
0.50
3
1.50
CEBOLLA
lb
1.10
5
5.50
PIMIENTO
lb
0.80
1
0.80
CEBOLLA BLANCA
lb
2.50
1
2.50
SAL
K
1.00
2
2.00
PIMIENTA
K
0.50
1
0.50
HUEVOS
DOCENA
1.80
3
5.40
MANTEQUILLA
lb
1.00
2
2.00
$33.20 MATERIALES MATERIALES
COSTO
SARTEN
5.00
PLATOS
2.00
CUCHARAS
2.50
$9.50 MANO DE OBRA NOMBRES
VALOR
HORA
COSTO
Omar
3
5
$15
Jennifer
3
5
$15
Xavier
3
5
$15 $35.00
DATOS: Costo fijo: $96.00 Costo variable: $5.00 Producto: $ 2.00 Costo total: ? Nivel de producción: 50 Ingreso total: ? Nivel de producción: 50 Utilidad: ? Cantidad del artículo: ? Unidad: 0 Cantidad del artículo para ganar $100: ¿? Unidad: $100 Graficar
a) CT= Cf+CvQ 96+5(50) 96+250 Ct = 346
c) U= IT-CT 350-346 U= 4
COMPROBACION IT: 7(48) 336 CT: 96+5(48) 96+240 336 U:IT-CT 336-366 O
Q: 168 IT: 7(448) IT :3,136
b) IT= PQ 7(50) IT= 350
d) Q*= Cf P-Cv 96 7-5 96 2 Q*= 48
U:IT-CT 800:7Q-(96+5Q) 800:7Q-96-5Q 800+96:7Q-5Q Q: 896 2 Q: 448
CT= 96+5(448) CT= 96+2240 CT=2,336 U= IT-CT U= 3136-2336 U= 800
