Informe Proyecto de Matematicas

2014

-

-

0

REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS

UTMACH

Feb-14

1


UTMACH

INTRODUCCIÓN: Este proyecto es un requisito necesario para aprobar el módulo de MATEMÁTICAS I del primer semestre. Donde se pone en práctica los conocimientos adquiridos durante el transcurso de este semestre, también es un proyecto en el que que debemos trabajar en equipo. Es una experiencia que permite a los estudiantes involucrarse con el proceso de investigación tan importante para el desarrollo profesional. El presente proyecto se refiere al tema de “REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS”. La finalidad es comprobar nuestros conocimientos adquiridos a lo largo de este semestre. También pretende dar a conocer como se podría aplicar los conocimientos algebraicos en el Cálculo Diferencial. El CÁLCULO DIFERENCIAL al ser una materia compleja y por su carácter abstracto, su aprendizaje resulta difícil para todos, sobre todo para los estudiantes que les cuesta comprender esta asignatura. En este informe damos a conocer el desarrollo de ejercicios utilizando las reglas necesarias para derivar funciones algebraicas.



Derivaremos ecuaciones algebraicas aplicando las siguientes Reglas: -

Reglas de los 4 pasos (Regla General).

-

Regla para derivar cociente de funciones.

-

Regla para derivar producto de funciones.

Feb-14

2


UTMACH

OBJETIVOS: Objetivo general 

Derivar funciones algebraicas utilizando las Reglas para derivar nombradas anteriormente.

Objetivos específicos 

Dar a conocer a quien competa los pasos correctos para derivar una función algebraica.



Recordar la resolución de problemas algebraicos que aprendimos en el colegio.



Aplicar los conocimientos de cálculo aprendidos en clase.



Aprender a desenvolvernos en público utilizando palabras adecuadas en nuestros discursos (video).



Aumentar nuestra capacidad investigativa.

Feb-14

3


UTMACH

MARCO TEORICO: CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Una derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en un punto dado.

REGLA DE LOS CUATRO PASOS PARA DERIVAR FUNCIONES En geometría, la derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abscisas, en ese punto. El incremento ∆x de una variable x es el aumento o disminución que experimenta,

desde un valor x = x0 a otro x = x1 de su campo de variación. Así, pues, Si se da un incremento ∆ x a la variable x será a partir del valor y = f (x0). El cociente recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función. La regla de los cuatro pasos para dar incrementos a “x” y a “y” es el siguiente: 1. Dar incrementos a “x” y a “y”

2. Restar la función Original 3. Dividir entre ∆x. 4. Calcular el límite cuando lim ∆x->0 ∆x / ∆y.

Feb-14

4


UTMACH

Ejm: Y = x3 + 2x2 – 3x – 1

Regla 1. Incrementar las 2 variables (Variables X y Y). Acá se les pone el Incremento Delta (∆) representado por un triángulo a cada

variable. Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x) – 1

Regla 2. Desarrollar operaciones algebraicas y restarle la función original. Algebraicamente se desarrolla la ecuación (ej. binomios, trinomios) y terminado se le restará la función original al resultado. Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x) – 1 Y + ∆y = (x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3) + 2(x2 + 2x∆x + ∆x2) – 3x – 3∆x – 1 Y + ∆y = x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 2x2 + 4x∆x + 2∆x2 – 3x – 3∆x – 1 -Y -x3 - 2x2 + 3x +1 ∆y = 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 4x∆x + 2∆x2 – 3∆x Paso 3. Obtener la razón dividiendo la función incrementada por ∆x. Es decir, dividir cada elemento entre ∆x para así eliminar valores delta (∆x). ∆y ∆x

3 =

2

2 3 2 3∆ + ∆ + 4∆ + 2∆ − 3∆ ∆ + 3

∆

∆y/∆x = 3x2 + 3x∆x + ∆x2 + 4x + 2∆x – 3 Paso 4. Sustituir ∆x cuando ti ende a 0 que es el límite de la función. Sustituiremos todos los ∆x por [0] en toda la ecuación y se multiplicara (Variable

multiplicada por 0 da 0) ∆y/∆x = 3x2 + 3x[0] + [0] 2 + 4x + 2[0] – 3 ∆y/∆x = 3x2 + 4x – 3

Este es el resultado final de una derivación mediante la regla de los 4 pasos para derivar una ecuación.

Feb-14

5


UTMACH

DERIVACIÓN POR EL MÉTODO DE LA CADENA Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,

y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,

entonces la función compuesta

Definida por ( g o f ) (x) = g[ f ( x )], )], es derivable en todo punto x de de I y y se obtiene

Ejemplo: cálculo de derivadas Calcular la derivada de la función h(x) = sen x2. Resolución: · La función sen x2 es una función compuesta de otras dos f(x) = x2 y g(x) = sen x.

· Al ser g(x) = sen x, g'(x) = cos x, por tanto g'[f(x)] = cos f(x) = cos x 2

· Por la regla de la cadena, h'(x) = g'[f(x)] · f'(x) = 2x cos x2

Feb-14

6


UTMACH

Resolución:

· De g(x) = x 3, se deduce g'(x) = 3x 2. En consecuencia,

· Por la regla de la cadena,

(Authority, s.f.)

Regla de la cadena para la función potencial Se sabe que la derivada de una función f(x) = x m es f'(x) = m · xm - 1. Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x) m

Aplicando la regla de la cadena, será: [u(x)m]' = m · u(x)m - 1 · u'(x) Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x). Así,

Ejercicio: cálculo de derivadas Calcular la derivada de f(x) = (x2 + 1)3. Feb-14

7


UTMACH

Resolución: · Si u = x2 + 1, u' = 2x En este caso m = 3 · f'(x) = 3 (x 2 + 1)2 · 2x = 6x (x2 + 1)2

Regla de la cadena para la función logaritmo neperiano Si en la derivada de logaritmo neperiano se sustituye x por una función de x, u(x), en virtud de la regla de la cadena se tiene que …

(Desconocido, s.f.)

Feb-14

8


UTMACH

DESARROLLO DEL PROY ECTO: ECTO: En el desarrollo de este proyecto, hablamos a cerca de las derivadas, comenzamos dividiéndonos las partes en la que íbamos a intervenir en el desarrollo del video.

Primera Parte.- Se dio un saludo de bienvenida y la Presentación de los integrantes del Grupo. También se explicó que el ejercicio que se iba a desarrollar más a delante, era la Derivada de una función implícita. Se escogió este ejercicio con a finalidad de aplicar una de la formulas usadas para derivar producto de función, y nos pareció hacer ese ejercicio ya que contenía la aplicación de esta formula.

Segunda Parte.- En esta parte se inicio a realizar el ejercicio, el cual esta detallado a continuación paso a paso. Formula:

Ejercicio:

UV´+VU´

El ejercicio fue dividido en tres partes para que cada uno de los integrantes pueda explicar un parte del ejercicio. La primera parte fue explicada por Paúl Guanaquiza.



x+2(xy)^1/2+y = a X+2.x^1/2.y^1/2+y = a u

v

Aplicamos la formula para derivar productos de funciones. d/dx.x+2((x^1/2.d/dx(y)^1/2+y^1/2.d/dx(x)^1/2))+dy/dx = d/dx(a) 1+2(x^1/2.y^1/2-1.dy/dx+y^1/2.X^1/2-1)+dy/dx = 0 2 2 1+2(x^1/2.y^-1/2.dy/dx+y^1/2.x^-1/2)+dy/dx = 0 2 2

 A partir de esta parte explicó mi compañero Darwin Eras. 1+2x^1/2.dy/dx+2y^1/2+dy/dx = 0 2y^1/2 2x^1/2 1+x^1/2.dy/dx+y^1/2+dy/dx = 0 y^1/2 x^1/2 x^1/2.dy/dx+ dy/dx = -1- y^1/2 y^1/2 x^1/2 dy/dx(x^1/2+1) = -1- y^1/2 y^1/2 x^1/2

Feb-14

9




UTMACH

A partir de esta parte explicó mi compañero Braulio Ramos. -1- y^1/2 x^1/2

dy/dx = x^1/2 +1 y^1/2 dy/dx = (-1- y^1/2)( y^1/2) ( x^1/2 )(x^1/2 +1)

dy/dx = y^1/2 = x^1/2

y x

Respuesta: =

y x

(Granville, 2009)

Feb-14

10


UTMACH

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES: Habiendo desarrollado y concluido este proyecto se han obtenido las siguientes:

CONCLUSIONES. 



 



El objetivo principal de este proyecto es comprobar nuestros conocimientos adquiridos a lo largo de este semestre para así aplicar a los ejercicios tratados en este proyecto. El presente proyecto se ha manifestado algunas dificultades a lo largo del desarrollo. El desarrollo de los ejercicios planteados son complejos en su realización. Es importante remarcar que al principio no teníamos conocimiento del tema. Existen dificultades de aprendizajes en los temas.

RECOMENDACIONES: 









Se recomienda prestar atención al Docente cuando está explicando clases ya sea con proyectores o ejercicios planteados en la pizarra. Al ser complejo el desarrollo hay que investigar más sobre los temas tratados. Es necesario tener conocimientos básicos de las fórmulas para realizar los ejercicios. Se obtuvo nuevos conocimientos en el transcurso del Semestre para desarrollo de los temas ya planteados. Al no tener información se complica la culminación del proyecto por eso es necesario investigar más sobre los temas.

Feb-14

11


UTMACH

BIBLIOGRAFÍA Authority, Authority, G. I. (s.f.). Cálculo Diferencial 531 . Obtenido de https://sites.google.com/site/ https://sites.google.com/site/calcdif531/ap calcdif531/aprender-a-deriva render-a-derivarr Desconocido. (s.f.). Regla de la Cadena. Obtenido de http://www.sectormatemat http://www.sectormatematica.cl/contenido ica.cl/contenidos/cadena.htm s/cadena.htm Granville, W. A. (2009). Cálculo Diferencial. En W. A. Granville. Limusa, Mexico: Limusa, S.A.

Feb-14

12


UTMACH

Feb-14

13

Informe Proyecto de Matematicas

Recommend Documents