32-2 ideas clave. El desarrollo de la competencia matemática reflexiona sobre la diferencia entre dos maneras distintas de enfocar la enseñanza de las matemáticas: de conocimiento
las matemáticas
como área
del currículo de la educación y/o las matemáticas
como competencia
clave o básica para el aprendizaje.
A la vez, se
dan pistas para entender qué se pretende con la aplicación de la nueva propuesta de la Unión Europea del año 2006 que propone la competencia matemática como una de las ocho competencias clave para el aprendizaje a lo largo de toda la vida. De estructura clara, además de las ideas que propone desarrollo
de la competencia
matemática,
el libro
para el
incide en la
importancia de la innovación y el cambio para mejorar la capacitación docente. las ideas clave planteadas ayudan a responder a preguntas tales como: • ¿Cuál es la razón que justifica la presencia de las matemáticas en el currículo? •
¿Por qué debe centrarse la enseñanza de las matemáticas en el desarrollo de la competencia matemática y qué debemos enten-
der por competencia matemática? • ¿Cuál es el cambio metodológico necesario para pasar de la situación actual a otra en la que la finalidad sea el logro de •
la competencia matemática? ¿Qué papel desempeñan los docentes y su formación en los cambios que hay que realizar, y en qué dirección debería caminar la formación de los docentes de matemáticas?
ISBN 978-84-7827-630-1
e)l:).ewa¡ew • J e!)ua¡adwo) el ap 0lloJJesap 13
Colección Ideas Clave Director de la colección: Antoni Zabala Serie Didáctica de las Matemáticas
© Jesús M.a Goñi Zabala © de esta edición: Editorial GRAÓ, de IRIF,S.L. C! Francesc Tarrega, 32-34. 08028 Barcelona www.grao.com
1.a edición: julio 2008
ISBN: 84-7827-630-1 D.L.: B-3l.990-2008
Diseño: Maria Tortajada Carenys Impresión: Imprimeix Impreso en España
Quedan rigurosamente prohibidas, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción o a!,.,.,ace~"~ e":o total o parcial de la presente publicación, incluyendo el diseño de la portada, así como la transmisión dea
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medio, tanto si es eléctrico, como químico, mecánico, óptico, de grabación o bien de fotocopia. s~ """ :c- zacón escrita de los titulares del copyright.
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índice Presentación
11
7 preguntas
sobre el desarrollo
de la competencia
matemática
y
7 ideas clave para responderlas
,.
La enseñanza de las matemáticas a los currículos que propone
14
sólo tiene sentido asociada
y promueve
La enseñanza de las matemáticas
• El currículo escolar de matemáticas Un breve recorrido • El equilibrio
17
se concreta en el currículo escolar como propuesta
17
social.
histórico
19
se pierde y no se recupera. Una época de crisis
estructural
en la enseñanza de las matemáticas
28
• La situación en España. El fracaso de la enseñanza de las matemáticas • Un futuro
incierto.
nueva propuesta
:1.
en la educación obligatoria La competencia para organizar
matemática
como una
el currículo escolar
37
En resumen
38
En la práctica
40
Los usos sociales de las matemáticas
son los que deben definir
de su enseñanza y no la epistemología El sabio, el profesional
los objetivos
de esta ciencia
y el ciudadano
41 41
• Los matemáticos
y la enseñanza de las matemáticas
42
• Los profesionales
y la enseñanza de las matemáticas
51
• La enseñanza de las matemáticas
3.
33
y la ciudadanía
56
En resumen
67
En la práctica
68
El objetivo
de la enseñanza de las matemáticas
de la competencia
matemática
De área de conocimiento
a competencia
• La Unión Europea y las competencias
escolares es el desarrollo 69
clave clave
69 70
• La competencia educación
matemática
como una propuesta
para una
inclusiva
• La competencia • Los contextos
77
matemática
y el conocimiento
de uso de las matemáticas
el currículo de matemáticas • Las competencias
84
y el uso de la tecnología.
de competencia
matemática
• Los ámbitos de uso de las matemáticas a la hora de organizar
89
y su importancia
el currículo de matemáticas
relativa
según
las diversas etapas educativas
4.
81
y su relevancia para
por competencias
matemáticas
Una última definición
de las matemáticas
91
En resumen
103
En la práctica
104
La educación
matemática
se basa en la comunicación
y debe ir más allá de la mera instrucción transmisora
105
Instrucción
105
versus educación
• Información,
conocimiento
• La comunicación
y comunicación
como fundamento
106
de la educación
111
• El análisis de las situaciones de enseñanza-aprendizaje desde un enfoque • La instrucción
comunicativo
en matemáticas
115 y la educación
matemática
119
En resumen
122
En la práctica
123
Las tareas a realizar son la clave para el desarrollo El triángulo
comunicativo
de los aprendizajes
y los procesos de enseñanza-aprendizaje
125 125
• Los criterios en los que hay que basarse para la selección de las tareas
128
• La tipología
132
de tareas y su relación con los aprendizajes
• Ejercicios
134
• Experiencias
137
• Juegos
,
• Problemas
143 ,
146
• Investigaciones • Actividades
de síntesis y elaboración
155 de la información
158
En resumen
164
En la práctica
166
~ ~
La evaluación
de las competencias
determinará
el currículo
de matemáticas
167
La sensación de déja
vu cuando se habla de reforma en enseñanza.
El currículo evaluado
168
• La evaluación
en matemáticas
como motor del cambio
• La evaluación
de la competencia
169
matemática
173
En resumen
184
En la práctica
186
-:¡. ~ La competencia
profesional
de los docentes de matemáticas
es el factor más importante
para la mejora de su enseñanza
187
El factor humano • El enfoque de gestionar
187
comunicativo,
la función
docente y la competencia
el currículo
• La formación
189
inicial de los docentes de matemáticas
• Los nuevos marcos legales para la formación El postgrado
de formación
• El paso de la formación • La formación
continua
del profesorado
del profesorado de secundaria
inicial a la vida profesional de los docentes de matemáticas
194 de secundaria. 203 215 218
En resumen
226
En la práctica
229
Para saber más
230
Glosario
232
Referencias biblográficas
235
Presentación La enseñanza
de las matemáticas
ha sido una de mis dedicaciones
profesionales
desde
hace ya más de 35 años. Mi preocupación
didáctica
me inicié como profesor
de niños y niñas de unos diez u once años. La
de matemáticas
cara de asombro e incomprensión sorprendió
empezó en los años setenta, cuando
que ponían cuando yo intentaba
algo me
y me hizo darme cuenta de que era posible que supiera algo de matemáti-
cas, pero desde luego no las sabía enseñar. La situación yo ponía todo mi interés,
me irritaba
pero daba igual. Hablaba en un lenguaje
y, a pesar de que ellos también
lo intentaban,
que no sabía enseñar,
aunque
supiera y supiera explicar,
que ellos aprendieran,
y esa socrática
ignorante
explicarles
y me dolía porque que no era el suyo
la cosa no iba bien. Entonces comprendí no sabía cómo hacerla
para
idea me hizo mucho bien. Verme y reconocerme
me situó en una nueva realidad:
no sabía enseñar y necesitaba
aprender
a
hacerla. Desde entonces he intentado he aprendido contramos
algo, pero sobre todo
a enseñar por diversos caminos y de todos ellos
he aprendido
que en la enseñanza
ante el último esfuerzo, siempre es el penúltimo.
de que el próximo resolverán
aprender
esfuerzo será el definitivo,
los problemas
en mi caso, no ha sido así. He descubierto la misma o mayor proporción enseñanza y el aprendizaje
Siempre nos alienta la ilusión
que alcanzaremos
como el azucarcillo
nunca nos en-
a atisbar la cima, que se
se deshace en el agua. Pero, por lo menos
que en la mayoría de los casos he errado en
con la que he acertado y que los problemas
humanos -y la
desde luego lo son- pueden cambiar de forma,
pero no ter-
minan nunca. Detrás de cada curva del camino siempre hay otra más. Ésa debe ser la condición
humana:
convicción
equivocarse
para aprender,
y de ese vino debemos
destilar
nuestra
de no desfallecer.
Este libro contiene tal y como el título
las que considero ideas clave para la enseñanza de las matemáticas
del libro y la colección sugiere. Es recomendable,
pero no imprescin-
dible, que estas ideas se lean en el orden en el que están escritas porque su alineamiento guarda un cierto orden lógico que las hace más inteligibles
si se leen en el orden expuesto.
Es una serie con su propia ley. Las siete ideas que se exponen en este texto pueden agruparse en tres temáticas:
PRESENTACiÓN
11
1. El currículo de matemáticas
(ideas clave 1, 2 Y 3).
2. El desarrollo
del currículo (ideas clave 4, 5 Y 6).
3. La formación
de los profesores de matemáticas
En mi opinión,
son las temáticas
quiera reflexionar
más importantes
(idea clave 7).
que debe abordar cualquier
sobre la enseñanza y el aprendizaje
de las matemáticas.
escrito que El currículo,
porque sin él no hay enseñanza por mucho que se diga otra cosa, y creo poder defender que no existe enseñanza de las matemáticas
fuera de su concreción
colares, por lo menos una enseñanza de las matemáticas
en los currículos es-
que nos interese socialmente.
El
desarrollo del currículo, porque necesitamos nuevos diseños y espero poder aportar alguna idea que ayude a concretar sulten operativas. de su formación
las ideas generales del currículo
La formación depende
de profesores,
el famoso factor
en líneas de trabajo
que re-
porque sin docentes no hay enseñanza y
humano,
factor que es insustituible
en cual-
quier cuestión educativa. Al ir escribiendo
este libro he descubierto
que bastantes de las ideas que se exponen
en él no son de uso exclusivo para la enseñanza de las matemáticas brimiento
debe citarse como un mérito o un demérito
inevitable
un progresivo
desplazamiento
y no sé si este descu-
de este texto, pero me ha resultado
hasta ideas más generales porque, en el fondo,
pienso que la enseñanza de las matemáticas, fuera del halo que las rodea y de los intereses de quienes se creen que tienen
la exclusiva capacidad
para hablar de ellas, no se dife-
rencia tanto
de otras áreas del conocimiento
no justifican
la excesiva separación que suele ser habitual
tiones. Las matemáticas serie de problemas
son un producto
humano y que las diferencias,
que existen,
cuando se abordan estas cues-
de la cultura humana en el que se plantean
relativos, fundamentalmente
a la cuantificación,
una
y en el que el inte-
lecto humano utiliza todas sus capacidades sin que ello suponga, desde mi punto de vista, la existencia de un pensamiento vistos como profesionales
de la educación, tienen
(sustancia) y «de matemáticas» cando más tiempo
ni específico, ni especial. Los profesores de matemáticas,
como circunstancia,
a la circunstancia
generales.
como sustantivo
y parece difícil hablar de algo dedi-
que a la sustancia.
Temo que a ciertos profesores de matemáticas sulten excesivamente
la palabra «profesor»
algunas de las ideas aquí escritas les re-
Lo siento, pero no veo la manera de evitarlas
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
porque,
como ya he dicho antes, a los profesores de matemáticas fesores. Que dichas ideas sean generales que abarcan un ámbito de experiencia Los profesores
de matemáticas
los veo ante todo como a pro-
no quiere decir que no sean prácticas, pero sí
profesional
más amplio donde yo veo al docente.
seguro que entienden
la importancia
de la perspectiva
para poder apreciar las cosas, mi ánimo ha sido Ilevarles a otra colina para que vean lo que no ven habitualmente
desde donde están.
No sé siquiera si leerán esta introducción tiene la palabra letal: «matemáticas». cación que no sean profesores gustaría mucho que siguieran de la educación,
asustados por el titulo
Si lo hicieran, invitaría a los profesionales
de matemáticas adelante,
tendo
de la edu-
a no quedarse en esta introducción.
Me
porque es necesario que todos los profesionales
sobre todo los que no son especialistas en la enseñanza de las matemá-
ticas, pierdan el miedo y, si se me permite, ellos también
de este libro que con-
el respeto por las matemáticas,
y piensen que
tienen algo que decir en esta cuestión, porque una de las falacias que pre-
combatir
en este libro es que la enseñanza
de las matemáticas
matemáticos o, siendo muy generosos, de los de «ciencias». Esimprescindible de la enseñanza de las matemáticas
sea cosa de los para la mejora
y del aporte que ésta puede y debe hacer al desarro-
llo social que se rompa ese aislamiento
y que la enseñanza de las matemáticas,
junto con el lenguaje está considerada
como un pilar de los currículos escolares en todas
la edades, deje de estar fuera del debate social y político guardianes
para quedar en manos de los
de un saber arcano al que miramos con tanto respeto como indiferencia.
que las matemáticas
sean un bien cultural
char, hace falta que comprendamos
se entienda
para todos, como hoy en día es habitual
que todos estamos llamados a aprenderlas
sobre su valor social como herramienta
al servicio de una educación
que el currículo de matemáticas
Para escu-
y a opinar
mejor. Mientras
no
es una cuestión que debe estar sometida
debate social y político y se piense que dicho currículo temáticas,
área que
al
es asunto de los expertos en ma-
no creo que podamos avanzar gran cosa.
Cada una de las ideas clave de este libro está acompañada desarrollar
la idea en cuestión de forma imaginativa.
narrativa,
sé que no es valiosa como fundamentación
pero creo firmemente
de una metáfora que intenta
Soy un gran aficionado epistemológica
a este tipo de
de lo que se afirma,
en el valor didáctico de este tipo de discurso. Conozco las limitacio-
nes de esta manera de describir las cosas y los riesgos de exageración
o manipulación
PRESENTACION
que
lleva consigo este tipo de analogías cuando se usan de manera descuidada o desaforada. Sin embargo, el pensamiento incalculable
metafórico
y la narrativa a él unida es una herramienta
de valor
para acercar a la mayoría de las personas cuestiones que en su expresión abs-
tracta y formal son inaccesibles. Creo con total seguridad que lo que se puede perder en precisión conceptual
se gana con creces en fuerza comunicativa.
Me gustan las metáforas y las
imágenes que sugieren y pienso que narrar las cuestiones que no se pueden ver por medio de lo que sí se puede percibir es el recurso didáctico por excelencia. De ahí mi esfuerzo. La mayoría de los docentes son mujeres y éste es un hecho sociológico intentado
compaginar
del texto que facilite
el término
«profesorado»
para referirme
sin distinción
Casi estoy tentado
una lectura más fluida.
habitualmente
En este sentido
y los de «profesores»
o «docentes»
de decir, como dicen los autores de novelas, que este texto lo encon-
ván en casa de los abuelos. Que ese manuscrito
lo firmaban
revolviendo
en un arcón del des-
otros autores: los compañeros,
los profesores, profesoras, alumnos y alumnas con quienes he trabajado
literario,
utilizo
a los profesores y las profesoras.
tré ya escrito. Ya sabéis el hallazgo de un viejo manuscrito
vida profesional,
He
un uso respetuoso del lenguaje que reconozca esta realidad con la
necesaria economía genérico
indiscutible.
a lo largo de mi
y que lo único que he hecho ha sido pasarlo a limpio. Es un buen recurso
aunque ya algo manido, que sirve para reconocer mi deuda con todos ellos.
Éste es un libro de divulgación ideas, aparecen expresamente
y sólo citaré a aquellos autores cuyos textos, que no
citados en el texto. Me disculpo, por lo tanto,
al resto de autores y personas de los que soy deudo, y como compensación
de no citar
les ofrezco mi
agradecimiento.
7 preguntas sobre el desarrollo de la competencia matemática y 7 ideas clave para responderlas 1. ¿Cuál es la razón que justifica Idea clave 1:
enseñanza
la presencia de las matemáticas
de las matemáticas
promueve.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
en el currículo?
sólo tiene sentido asociada a los currícu-
2. ¿Desde qué perspectiva
deben definirse
las finalidades
que deben ser logradas por la
enseñanza de las matemáticas? Idea clave 2: los usos sociales de las matemáticas de su enseñanza y no la epistemología
3. ¿Por qué debe centrarse petencia matemática? Idea clave 3: El objetivo la competencia
son los que deben definir
los
de esta ciencia.
la enseñanza de las matemáticas
¿Qué debemos entender
en el desarrollo
por competencia
de la enseñaza de las matemáticas
de la com-
matemática?
escolares es el desarrollo
de
matemática.
4. ¿Por qué hay que ir más allá de la instrucción
en matemáticas,
hacia una educación ma-
temática? Idea clave 4: la educación la mera instrucción
matemática
se basa en la comunicación
de
transmisiva.
5. ¿Cuál es la clave en el cambio metodológico tuación
y debe ir más
actual a otra en la que la finalidad
que hay que realizar para pasar de la si-
sea el logro de la competencia
Idea clave 5: las tareas a realizar son la clave para el desarrollo
6. ¿Qué palanca de las que disponemos
matemática?
de los
es la más eficaz para inducir con rapidez cambios
en los currículos de matemáticas? Idea clave 6: la evaluación
7. ¿Qué papel juegan
de las competencias
los docentes y su formación
cabo? ¿En qué dirección debería ir la formación Idea clave 7: la competencia importante
determinará
profesional
el currículo de matemáticas.
en los cambios que deben llevarse a
de los docentes de matemáticas?
de los docentes de matemáticas
es el factor
para la mejora de su enseñanza.
PRESENTACION
La enseñanza de las matemáticas sólo tiene sentido asociada a los currículos que propone y promueve Las dos caras de una moneda El hombre de la naturaleza
lo es todo para sí; él es la unidad numérica, el entero absoluto,
que no tiene relación más que consigo mismo o con sus semejantes. una unidad fraccionaria que determina
el denominador
El hombre civilizado es
y cuyo valor expresa su relación con el
entero que es el cuerpo social. (Rousseau, Emilio o de la educación)
La enseñanza de las matemáticas se concreta en el currículo escolar La enseñanza de las matemáticas se concreta en el currículo escolar y éste no es otra cosa que la selección histórica de los aprendizajes que se consideran socialmente relevantes en un determinado momento como consecuencia del consenso entre los intereses sociales que pugnan por influir er él. Es una afirmación que recoge lo esencial de lo que se quiere decir en esta primera idea clave que, aunque sea la primera, es la que mejor recoge la tesis fundamental de este texto. La enseñanza de las matemáticas sólo tiene sentido social si sejustifican los aprendizajes que prcmueve, y debe ser analizada y valorada desde el sentido social de dichos aprendizajes. Enseñanz:: y aprendizaje se funden, así, en el currículo. Por lo tanto, hablar de la enseñanza de las matemát-
IDEA CLAVE
1
17
cas implica situarse en el contexto del currículo escolar. Utilizaré el término «escolar» en este texto para referirme a cualquier institución educativa de cualquier nivelo etapa. Desde este punto de vista es tan escolar la enseñanza primaria como la universitaria. No podemos hacer abstracción de esta realidad social para pasar a hablar en general de la enseñanza de las matemáticas, como si ésta fuera un ente de razón no corpóreo y como si esa enseñanza no estuviera unida, constreñida y condicionada por la institución escolar en cuyo seno se desarrolla; como si los fines de una y otra se pudieran entender de manera separada. La enseñanza de las matemáticas se da en la escuela y es esta institución social la encargada de organizar, promover, evaluar y concretar ese aprendizaje.
Esrealmente una imagen muy tópica y ha sido mil veces usada, pero comparar la situación que queremos describir a una moneda puede resultar interesante y clarificador. Una moneda tiene dos caras, pues bien, enseñanza y aprendizaje son las dos caras del currículo, que es la moneda, y nunca mejor dicho porque el valor social de las matemáticas, su importancia en el sistema educativo, se deriva del hecho de ser una propuesta de currículo altamente valorada y muy influyente en la selección social que hace la escuela. Es decir, muy valiosa económicamente.
Además, qué sentido tiene hablar de valor económico de algo
fuera del sistema monetario que regula esos valores. La escuela es la institución social que regula los aprendizajes y especialmente el de las matemáticas, y lo hace por medio del currículo.
He comenzado este texto con una afirmación que puede parecer evidente, pero no lo es. Llevamos muchos años, ya demasiados, en los que la preocupación de los expertos en educación matemática no ha sido la reforma del currículo escolar de matemáticas, tampoco ha sido la de los docentes, por supuesto. A pesar de que la Administración sí que ha mareado al personal varias veces con esta cuestión, lo ha hecho maquillando una y otra vez una propuesta obsoleta que se ha mostrado ineficaz como palanca para producir los cambios que, paradójicamente,
todo el
mundo reclama. La atención se ha centrado en otros ámbitos y la mejor prueba de ello es que el currículo escolar de matemáticas apenas se ha modificado y, lo que es peor, no existen alternativas que hagan plausible su reforma en breve plazo. Lo más lejos a lo que hemos llegado es a considerar como modelo para el debate, que no para la práctica, una propuesta norteamericana de currículo que tiene las cuatro letras más citadas en los documentos que sobre currículo de matemáticas se han escrito en España: NCTM (National Council of Teachers of Mathematics).
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Ni siquiera un tsunami mediático de la intensidad y el impacto del informe PISAha conseguido que, por ahora, se cuestione un currículo que se resiste a toda alternativa contra viento y marea. Este texto quiere construir un discurso sobre la necesidad de un replanteamiento del currículo escolar desde una perspectiva social, y de ahí que haya comenzado con esta idea.
El currículo escolar de matemáticas como propuesta social. Un breve recorrido histórico Como indica S. Kemmis en el prólogo
al libro de Carr (1995), la inter-
pretación de las cuestiones educativas conviene enfocarlas desde una visión triple que combine los aspectos históricos, sociales y políticos. Es la única manera de escapar del positivismo
dogmático
y su ahistoricismo.
Por esta razón creo necesario hacer una breve aproximación a los cambios que se han producido
histórica
en los currículos que han guiado la
enseñanza de las matemáticas. La enseñanza
de las matemáticas
ha ido evolucionando
mente, en cada tiempo y lugar ha tomado
histórica-
una forma diferente
que se
correspondía, en todos los casos, a las finalidades que socialmente se iban estableciendo
para dicha enseñanza.
Dicho de otra manera, las mate-
Las ma'terrláticas se han enSeñi¡do enseñan en escolar del
máticas que se han enseñado y se enseñan en el medio escolar no han sido ni son las matemáticas que en un determinado corpus de esa ciencia, es decir las matemáticas fesionales
del momento,
debe ser conocida aprendizajes
momento
forman el
de los matemáticos
pro-
sino que son la parte que se considera
que
debido
a la relevancia
que tienen
socialmente
los
asociados a las matemáticas.
La ruptura entre las «matemáticas» ñan» se produce históricamente turas antiguas protoeuropeas gran diferencia
que se ense-
en la cultura griega. En el resto de cul(asirios, persas, egipcios ...) no existía una
entre las matemáticas
señaban, porque el colectivo
y las «matemáticas
que se conocían y las que se en-
que las «hacía» y el que las «enseñaba»
IDEA CLAVE
1
19
era el mismo: la casta de funcionarios-sacerdotes,
y porque además la
enseñanza era endémica, es decir, se dirigía a perpetuar
la posición so-
cial y los privilegios de estas castas, de manera que era sistemáticamente negada al resto de la población.
Las matemáticas
antiguas
griega,
anteriores
fundamentación
a la cultura
un conocimiento
o por establecer,
conocimiento
práctico
sin
teórica y se enseñaba así, tal cual. No existía la con-
ciencia de que lo que se enseñaba pertenecía tablecido
eran, en las culturas
práctico
se enseñaba
para resolver
Todavía hoy en día utilizamos una manera intuitiva,
como la transmisión
los problemas
el término
pragmática
al corpus de un saber es-
de la vida social.
«babilónica»
y utilitarista
de un
para calificar
del conocimiento
ma-
temático. En la Grecia del periodo
clásico esta unidad
mente, por una parte, las matemáticas
se rompe definitiva-
se constituyen
en una ciencia
teórica (Pitágoras) cultivada por los filósofos y, por otra, aparece la educación «popular»
en la polis, en la que se extiende
saber práctico que antes era propiedad tras los filósofos
griegas aprenden momento
El colapso
de los matemáticos
ideológica nocimiento ropea.
mundo
una relación
grecorromano
esco-
de depen-
avatares sociales. y la supremacía
del cristianismo en la Edad Media frenan el desarrollo del comatemático
Los reductos
precisamente,
y lo desvían de la educación
de cultura
por haber cultivado
precisamente
en la cultura eu-
que son los conventos
no destacan,
en exceso un saber, el matemático,
que se asociaba a una cultura terrenal deraba
de este
y las matemáticas
mutuas según los diferentes
del antiguo
de las polis
en las escuelas. A partir
lares estarán separadas e irán manteniendo dencia o independencia
una ciencia que cul-
de Euclides, los ciudadanos
cálculo aritmético
las matemáticas
el
de las castas sacerdotales. Mien-
griegos hacen de las matemáticas
minará en la síntesis deductiva
y democratiza
el polo opuesto
y pagana, cultura que se conside lo que se debía promover
como ideal educativo. Si a este hecho añadimos la desaparición
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
de la es-
cuela popular, podemos afirmar que el desarrollo del conocimiento temático
se detiene y su enseñanza institucionalizada
ma-
se estanca o re-
trocede. Como es bien sabido, será la eclosión del Islam en los pueblos árabes (siglo
VIII)
y su expansión hacia Occidente lo que pondrá a éstos en con-
tacto con los restos de la cultura helénica y permitirá, tensión del conocimiento en Occidente
matemático
además de la ex-
a nuevos campos, la recuperación
de gran parte del saber matemático
griego de la época
clásica. Habrá que esperar al despertar cia al Renacimiento matemáticas
de las culturas europeas que se aso-
para que esta situación
cambie radicalmente.
Las
recuperan su puesto en la cultura europea y rápidamente
vuelven a tener un lugar privilegiado
en ella. En este momento
rico se produce un hecho capital para el futuro su enseñanza:
la unión entre el desarrollo
mental y las matemáticas.
de las matemáticas
y de
de la nueva ciencia experi-
A este respecto se puede citar el ya conocido
texto de Galileo (1564-1642), en su obra 11Saggiatore. las matemáticas
histó-
en la base de la «nueva filosofía»,
tado, pero es muy significativo
para comprender
Este texto sitúa
ha sido mil veces cipor qué las matemá-
ticas van a ocupar una relevancia social que hasta entonces no tenían: La Filosofía está escrita en este vasto libro que siempre
está abierto
ante
nuestros ojos: me refiero al universo; pero no puede ser leído hasta que hayamos aprendido
y nos
el lenguaje
hayamos familiarizado
que está escrito. Está escrito en lenguaje gulos, círculos imposible
y
otras figuras geométricas,
entender
El desarrollo paralelamente
matemático,
una sola palabra.
de la «nueva filosofía»
la aparición del maquinismo
letras son trián-
es humanamente
1623)
y del capitalismo
se produce
los procesos producti-
de una nueva tecnología
El desarr
(ciencia experirnental) relaciona las ticas con
(ciencia experimental)
al éxito que tiene para mejorar
vos. Sirve de base al desarrollo
y las
sin las cuales
(Galileo,
con las letras en
que permitirá
de carácter industrial.
de poder (la militar, producción de bienes, el desarrollo de nuevos medios
de transporte,
Las
IDEA CLAVE
1
matemáticas,
que en épocas anteriores
para el desarrollo
económico
losofía, empiezan
a verse, precisamente,
no tenían
un interés especial
de la sociedad y se asociaban más a la ficomo la base de ese desarro-
llo por la relación que guardan con las ciencias experimentales Galileo son su lenguajeperimental
y por las aplicaciones
ofrece para el desarrollo
-según
que la nueva ciencia ex-
de las máquinas y efectos de todo
tipo. Efectos que se relacionan con las esferas de poder como son la militar, la producción
de bienes, el desarrollo
de nuevos medios de trans-
porte, etc. La relación entre la ciencia experimental
y las matemáticas
se esta-
blece en esa época, aunque hoy, por falta de visión histórica, se considere algo que pertenece a la manera de ser de ambas. Hay que señalar que esta relación
no existía en el mundo clásico y que es, sin lugar a
dudas, una de las características del pensamiento cuestión muy importante rrículo de matemáticas, que sea cuestionada
contexto
la estructura
Ésta es una
del actual cu-
porque la asociación que hoy en día se hace, sin
crítica mente, de que el aprendizaje
máticas es socialmente tífico y tecnológico
para comprender
moderno.
importante
de las mate-
porque es la base del desarrollo cien-
es una idea que nace en los siglos xv Y XVI, en el
social de la Europa precapitalista.
derna, donde las haya, porque
Es decir, es una idea mo-
nace como uno de los vectores fuerza
que sustenta el nuevo modelo social que se comienza a gestar en estos para sociebasada en la ¡
máticas,
de matede
lado el adoctrinamiento religioso.
años. Años en los que se data, precisamente,
los inicios de la era mo-
derna. El movimiento tamente
ilustrado
de los siglos
esta relación y la teorizará
XVII
y
XVIII
aportando
que la «nueva sociedad» que los ilustrados
comprenderá
perfec-
otra nueva idea: para
diseñan y anuncian,
dad que estará basada en la «razón y la ciencia», transforme
socieel viejo
mundo, es necesario que las masas populares accedan a la educación y que ésta, dejando de lado el adoctrinamiento conocimientos
religioso, les proporcione
básicos de ciencia y de matemáticas.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Las palabras
de Jovellanos
(1744-1811)
al respecto
son muy elo-
cuentes: 2.
o
a los labradores
Instruyendo
El segundo medio de acercar las ciencias al interés consiste en la instrucción de los labradores.
Sería cosa ridícula quererlos sujetar a su estudio, pero no
lo será proporcionar/os
a la percepción
de sus resultados,
y he
aquí nuestro
deseo. La empresa es grande por su objeto, pero sencilla y fácil por sus medios. No se trata sino de disminuir mejor decir, de multiplicar
la ignorancia
y perfeccionar
ó por
de los labradores,
los órganos de su comprensión.
Sociedad no desea Dara ellos sino el conocimiento
La
de las Drimeras letras,
esto es que seDan leer. escribir v contar. iQué espacio tan inmenso no abre este sublime pero sencillo conocimiento instrucción,
a las percepciones del hombre!
Dues. tan necesaria a todo individuo
Dara perfeccionar
Una las fa-
cultades de su razón v de su alma. tan Drovechosa a todo Dadre de familia para conducir
los negocios
todo gobierno
para mejorar
de la vida civil v doméstica el espíritu
v tan imDortante
v el corazón de sus individuos,
que desea la Sociedad y la que bastará para habilitar
a
es la
al labrador,
así como
a las demás clases laboriosas, no sólo para percibir más fácilmente
las subli-
mes verdades de la religión
y la moral sino también las sencillas y palpables
de la física, que conducen
a la perfección
sultados,
los descubrimientos
del aparato
de sus artes. Bastará que los re-
de las ciencias más complicadas
se desnuden
y jerga científica y se reduzcan a claras y simplicísimas propor-
ciones, para que el hombre
más rudo las comprenda
su percepción
se hayan perfeccionado.
(El subrayado
no está en el texto original.)
El texto es transparente.
(Jovellanos,
«<. ..
el conocimiento
cientí-
que sepan leer, escribir y contar ... ») están
de la razón individual
la extensión y rización del conocimiento científico servirá para liberar a todos los seres humanos de las oscuras fuerzas de la
que le mueven a la acción comunicativa
de escribir. El sentido de lo que dice es diáfano:
en la base del desarrollo
1984-1994).
Pocas veces un autor habla de manera tan clara
y precisa sobre las intenciones
fico y la alfabetización
cuando los medios de
(<< •••
perfeccionar
ción y liberar las fuerzas de la naturaleza para ponerlas al servicio del desarrollo económico y social.
las fa-
IDEA CLAVE
1
23
cultades de la razón y de su alma ... ») y de la mejora de la producción agrícola
(<< ••.
tan provechosa a todo padre de familia para conducir los
negocios de la vida civil y doméstica ... »). El movimiento ilustrado piensa que la extensión y popularización del conocimiento científico servirá a una doble finalidad: liberar a todos los seres humanos de las oscuras fuerzas de la superstición y liberar las fuerzas de la naturaleza para ponerlas al servicio del desarrollo económico y social. El liberalismo hará suyas estas ideas porque ya se sabe que lo propio del liberalismo es liberar. Esta doble finalidad estará asociada a la enseñanza y la popularización de las ciencias en todos los planteamientos educativos promovidos por el pensamiento los XVIII
Y XIX.
ilustrado
del
XVII
y
Y tendrá
XVIII,
culminación en las constituciones liberales de los siglos
XVIII
su
Y XIX. La
educación de las masaspopulares es una prioridad estratégica para los revolucionarios que derrocan el «antiguo régimen» y la ciencia y su lenguaje, las matemáticas, son una parte fundamental dentro de esa educación. Por lo tanto, la enseñanza de las matemáticas se convierte en una necesidad social porque se anuncia que desarrollará en la población los aprendizajes que le permitirán comprender los fundamentos de la nueva sociedad a la vez que le hará útil para el desarrollo económico. Desarrollo que se anuncia como progreso económico y moral y que se pretende que esté sostenido en el propio desarrollo de la ciencia. Estasideas las oiremos miles de veces en otros labios y otras plumas: el desarrollo económico es la base del bienestar social, y el desarrollo económico se basa en los avances de la ciencia. Ergo el bienestar social se basa en los avances de la ciencia. Hay que aclarar que para este momento histórico «ciencia» era ya sinónimo de ciencia experimental. Lasconstituciones políticas que dan cuerpo a los nuevos estados liberales que van surgiendo en los últimos años del siglo el siglo
XIX
XVIII
y durante
en el ancho del mundo recogen en sus ordenamientos estas
EL DESARROlLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
ideas. La primera
constitución
española,
la que surgió
de las cortes
de Cádiz (1812), recoge esta idea de manera explícita y dice: Art. 366. En todos los pueblos de la Monarquía se establecerán
escuelas de
primeras letras, en las que se enseñará a los niños a leer, escribir y contar, y el catecismo de la religión católica, que comprenderá
también una breve
exposición de las obligaciones civiles.
A nadie se le oculta que cuando en este texto se dice «contar» se hace referencia
a los rudimentos
la alfabetización titución
de la aritmética.
Obsérvese que junto
y la enseñanza de la religión
este artículo de la cons-
de Cádiz de 1812 sitúa las matemáticas
escolar, lugar que ya no abandonará
con
en la base del currículo
hasta nuestros días.
La historia posterior es bien conocida, las «cuatro reglas», es decir los algoritmos
de la suma, resta, multiplicación
en el eje de la enseñanza de las matemáticas
y división,
se convertirán
en la escuela elemental.
No debe olvidarse que la prueba de ingreso en la enseñanza secundaria, anteriormente
a la implantación
1970), consistía, precisamente,
de la LGE (Ley General de Educación,
en aplicar el algoritmo
Ésa, y no otra, era la prueba que superamos años sesenta accedíamos al bachillerato,
de la división.
los escolares que en los
que conviene recordar que se
comenzaba con diez años. Una cosa son las ideas, otra su plasmación en leyes positivas y otra, bien distinta, la sociedad
que pretenden
su capacidad para ir transformado
regular.
Normalmente,
pasa bastante
tiempo desde que se enuncia una idea hasta que ésta es recogida en los ordenamientos
legales y otro período,
esas normas logran modificar dos tardaron
tiempo,
la realidad social. Las ideas de los ilustra-
más de un siglo, en convertirse
gales y éstas han tardado su integridad.
no siempre menor, hasta que
mucho
tiempo
en poder
en normas leaplicarse
Puede decirse que el deseo de 1812 de alfabetizar,
componente
de enseñanza de las matemáticas
la población
sólo se hizo realidad,
más elementales,
en
normas han
con su
tiempo
a toda
integridad.
en en su
en España, en los años setenta del
IDEA CLAVE
1
25
siglo xx, Y no debe olvidarse que es precisamente que se produce la industrialización
masiva, cuando surge la Ley Gene-
ral de Educación, ley que viene a romper una inercia educativa
setenta 50n claves para comcomo ullas enunciadas en los
en esos años, en los
XVIII
gan a su arrollo en
y
XIX
120 años (Ley Moyano,
de casi
1857). La LGE y los años setenta del siglo xx son
claves para comprender
cómo unas ideas enunciadas
en los siglos
XVIII
lle-
des-
y
XIX
llegan a su pleno desarrollo en la sociedad española, en una forma,
sociedad
¡ñola, aunque en forma que no se demasiado él la
todo hay que decirlo, que no se parece demasiado a lo que soñaron los ilustrados visionarios tiguo régimen»
y los revolucionarios
que lucharon contra el «an-
para instaurar una nueva sociedad basada en la «razón
y la ciencia». Sin embargo, durante todos esos años, casi siglo y medio, fue consolidándose
una manera de organizar
la enseñanza de las matemáticas,
una versión del currículo, que con razón podemos llamar la versión moderna del currículo de matemáticas, que se adaptaba perfectamente
a la
estructura social que la sostenía. Puede reducirse al siguiente esquema: •
Enseñanza primaria:
rudimentos
de aritmética,
(sobre todo métrica). Ésta es la matemática •
Enseñanza secundaria:
extensión
medida y geometría
que se enseñaba a todos.
del cálculo aritmético
tipos de números (reales), álgebra y más geometría mentos de estadística y probabilidad.
a nuevos
métrica y rudi-
Ésta es la matemática
que se
enseñaba y se enseña a los que aspiraban y aspiran a ir a la universidad o a integrarse en estudios profesionales •
El currículo se reducía a los contenidos prensivo, preponderando
•
de grado medio o alto.
y el aprendizaje
era no com-
la aplicación mecánica de las reglas de cálculo.
Durante todos estos años ha existido la creencia de que currículo era igual al temario
y que saber equivalía a saber enseñar. Por lo tanto,
bastaba con dominar
los contenidos
que venían en el temario
para
poder ser docente.
Son ideas ingenuas propias de estadios poco evolucionados cias de la educación,
26
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
pero establecidas
durante
de las cien-
años y estables en las
mentes de algunos docentes aún hoy en día. Estasideas se consolidan como parte de la cultura docente y se establecen como el marco a través del cual «ven» las cosas los colectivos que acceden a la enseñanza, sobre todo, a la secundaria. Fraguarán y causarán una visión pétrea e inmovilista de la enseñanza, que se une a los propios intereses corporativos de los docentes para dar lugar a un muro rocoso, estable e instaurado. Se argumenta que las matemáticas son importantes porque enseñan a razonar, aunque la práctica real de su enseñanza tenga poco que ver realmente con el desarrollo de esta capacidad. Asentado el valor de este principio y sin otra justificación que la declaración acrítica de su relevancia, se promueve y defiende como necesaria la enseñanza de las matemáticas; da igual que esa enseñanza promueva aprendizajes de valor social o no lo haga, que esté en el origen del efecto excluyente
que
son importantes porque razonar, práctica de enseñanza
que ver realmente (011 el de~¡arlrollo
de esta (a~)a(ida,d.
de las matemáticas y que sea la responsable de que muchos estudiantes sean centrifugados por el sistema educativo, da igual, aquí lo importante es aprender a pensar. Esta idea, retrógrada donde las haya, porque nadie que yo sepa ha explicado con claridad qué es eso de pensar en genérico o abstracto, es defendida con prestancia por los mismos que reclaman para su trabajo un valor social que no se molestan en justificar, bien porque nunca han pensado en estas claves, o bien porque, en el fondo, lo desprecian. A lo mejor no lo saben, pero la Ley de Calidad del 2002 puso en negro sobre blanco la siguiente «perla»: «el objetivo de la enseñanza de las matemáticas es el desarrollo de la abstracción». Pueseso es precisamente lo que hay que combatir, la tendencia idealista de pensar que algo es valioso porque lo encarnamos «nosotros», el colectivo de los que sabemos, apelando eso sí a la ciencia, esta vez con mayúsculas,como tótem tribal objeto del tabú que impide la crítica. Afirmar el valor de algo desde posturas corporativistas con independencia del valor social que tiene es el lastre que arrastra-
que
tiene
(on los aprendizajes socialmente relevantes
mos en la educación matemática, lastre que hay que dejar atrás para
27
avanzar hacia una visión más social de la enseñanza. Superar esta fase para comprender cialmente
que el currículo tiene que ver con los aprendizajes
relevantes
es algo en camino y no logrado
emitir un juicio de valor, miramos al conjunto
todavía
so-
si, para
de los docentes que im-
parten clases de matemáticas.
El equilibrio se pierde y no se recupera. Una época de crisis estructural en la enseñanza de las matemáticas El currículo
existente
era socialmente
todas las personas dominaran
estable porque
los rudimentos
tanto para la vida diaria como la profesional, todas las personas dominaran los rudimentos de
uso de las matemáticas
conseguía
matemáticos
que
necesarios
en trabajos en los que el
se reducía a sencillos cálculos con números y
medidas. Por otra parte, la enseñanza secundaria, a la que ya no accedía una parte importante cación
primaria,
posteriores
del alumnado
servía para «clasificar»
estudios universitarios;
a los estudiantes
la edupara los
los «mejores» estaban destinados
los estudios de ciencias e ingenierías, más atractivos
que había comenzado
a
que son los que siempre han sido
para las clases medias, y a los menos «brillantes»
desviaba hacia otro tipo de estudios menos exigentes. gentes de la sociedad, aquellos que tienen
se les
Los grupos diri-
más capacidad para influir
en las decisiones políticas, estaban de acuerdo con esta manera de organizar la enseñanza de las matemáticas librio
era
perfecto.
matemáticas
Nadie
discutía
y parecía que, por fin, el equiel rol
preponderante
de las
ni en el currículo ni en la selección social que se hacía por
medio del mismo. Sin embargo,
como sucede la mayoría de las veces, la estabilidad
dura mucho tiempo. condición
humana.
del siglo xx cuando
El
éxito es efímero y la calma no es duradera
Es precisamente el modelo
en la
en los años de la segunda mitad
de producción
industrial,
que era la
base del desarrollo económico de las sociedades europeas del
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
no
XIX
y prin-
cipios del xx, entra en crisis debido al propio desarrollo tecnológico cambios que éste introduce época comenzamos postindustrial;
en el sistema productivo.
a hablar de la era postindustrial
la crisis de la modernidad
modelo de producción
industrial.
casi dos siglos había conseguido pente se encuentra venía despertar. institución
A partir de esa y de la economía
un poco más tarde se acuñará el término
nismo» para nombrar
«posmoder-
que estaba asociada al
La escuela elemental, materializar
y los
que después de
el sueño moderno,
de re-
con que ese sueño era una pesadilla de la que con-
Es bastante lógico, visto así, que la escuela, que es una
moderna
creada
para el desarrollo
derna, tenga muchas dificultades
de la sociedad
mo-
para adaptarse a una situación que al-
tera las bases sobre las que se creó. Hasta tal punto que se puede llegar a poner en duda en qué medida la escuela moderna va a poder dejar de serio para ser otra cosa. Si hay que poner datos y fechas que nos sirvan de referencia, mos citar por lo menos dos: el primer vuelo tripulado
pode-
de un satélite
ruso en 1961 y las revueltas en mayo del 1968 en París. Una de las consecuencias del paseo por el espacio de los primeros astronautas ternativas
soviéticos fue la aparición a la enseñanza
escuela elemental. existente
de la primera de las propuestas al-
de las cuatro
reglas fundamentales
De manera brusca se tomó conciencia
entre las matemáticas
que, según los «expertos»,
que se enseñaban
en aquellos
dades occidentales
en cuestiones tecnológicas
broma que, precisamente,
que podemos
minara «matemáticas
modernas».
calificar
parecían
mantenían
y científicas.
la primera propuesta
culo de matemáticas
del desfase
en la escuela y las
momentos
rias para recuperar el retraso que supuestamente
en la
necesalas socie-
Parece una
de cambio en el currí-
de posmoderna
se deno-
Paradojas de la vida y traiciones
del
lenguaje. Lo que se pretendía,
con el fin de recuperar
de las sociedades occidentales
el retraso tecnológico
con relación a la entonces denominada
IDEA CLAVE
1
29
Unión Soviética, eran, no lo olvidemos, fabetizar tender
a toda la población las matemáticas.
significó,
los años de la guerra fría, era al-
en una manera lógico-estructural
Todos sabemos que ese intento
sin duda, el inicio de una situación
dura en la actualidad.
El equilibrio
la sociedad moderna enseñanza
aquella época y no se ha vuelto
fracasó, pero
de desequilibrio
que per-
que existía entre las necesidades de
y los aprendizajes
de las matemáticas
de en-
matemáticos
que promovía
en la escuela moderna a recuperar.
se rompió
la en
Desde entonces, vivimos
en una situación de crisis crónica que se caracteriza por el divorcio entre las propuestas sucesivas que los expertos hacen en nombre de las nuevas necesidades sociales, por un lado, y las prácticas escolares, por otro, que faltas de alternativas tiendo
reales siguen el camino que conocen insis-
una y otra vez, de manera pertinaz,
existieran
dos realidades,
en recorrerlo.
Es como si
dos planos paralelos, dos universos sin cone-
xión, uno de papel en el que todo es liviano, posible y donde el exceso es bendecido
y la mesura aborrecida,
pesado e imposible
de terribles
calamidades.
de los años setenta del siglo xx fracasó por basarse
en un análisis ingenuo
e incorrecto
señanza, por hacer demasiado
de las funciones
de la psicología
sociales de la en-
caso a los «matemáticos»
de las que sabían muy poco y por desconocer mentales
donde todo es
de alterar y donde el más mínimo cambio es salu-
dado con la advertencia Si la propuesta
y otro de ladrillo
del aprendizaje,
en cuestiones
las nociones
su derrumbe
supuso una
vuelta a lo básico (back to the basíc) y tuvo como resultado cimiento
y la inmunización
el fortale-
de las posturas resistentes a los cambios.
Los años noventa trajeron
la propuesta
como eje del currículo de matemáticas. capaz de convertir,
más ele-
de resolución
de problemas
Esta propuesta tampoco
ha sido
con honrosas excepciones, el «papel» en «ladrillo».
Es decir, las propuestas sobre papel de los expertos pocas veces se han convertido
en cambios en los ladrillos que son las acciones en las aulas
de los centros. La realidad
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
es que, después de más de quince años, la
práctica de la enseñanza de las matemáticas pocas variaciones,
y la descripción
en el aula ha sufrido muy
que hemos hecho de las matemáti-
cas anteriores a los años setenta permanece escasamente alterada en la secundaria y el bachillerato.
Estamos en el año 2008 y hay que señalar
que la enseñanza actual de las matemáticas
en la mayoría de las aulas
de secundaria sigue basándose en un modelo de enseñanza transmisor que se centra
en los contenidos,
poniendo
siempre se ha hecho, en la aplicación
especial
énfasis,
como
mecánica de los algoritmos
de
cálculo. Pero si ya en los años setenta del siglo xx existía un desfase entre los aprendizajes
que promovían
las matemáticas
y las necesidades socia-
les, la distancia entre esos dos polos no ha hecho otra cosa más que aumentar. Hay que tener en cuenta que desde dichos años hasta nuestros días los cambios desarrollo
tecnológicos
y sociales
de las tecnologías
movimientos
migratorios,
han sido muy grandes:
de la información,
la aparición
del
XIX
al pasado de nuestro recorrido
los
de nuevas formas de producción
social y un largo etc. Cambios de tal magnitud que la sociedad industrial
la globalización,
el
que han hecho evidente
y primera mitad del siglo xx pertenece
histórico y tiene poco que ver con la so-
ciedad actual. Resumiendo, la enseñanza de las matemáticas, tal y como la conocemos, está organizada sociedad
moderna,
pero ese tipo
Dicho de manera más sintética, actualidad
para responder de sociedad
a las necesidades de la pertenece
al pasado.
la enseñanza de las matemáticas
en la
responde a las necesidades de una sociedad que es ya anti-
gua: la sociedad moderna. Esta situación
me trae a la mente la imagen de un barco que, atra-
cado en la rivera de un río, descansa de noche esperando que se haga la luz para continuar
su viaje. En la mitad de la noche rompe las ama-
rras y, debido a la oscuridad y a la suave corriente del río, el movimiento que arrastra el barco se hace imperceptible
para la tripulación
y los pa-
sajeros. Cuando se hace la luz el barco está ya lejos del lugar escogido
IDEA CLAVE
1
31
para descansar, navega lentamente
por el centro de la corriente
que
lo lleva río abajo. Podría ponerme trágico y decir que los que guían la nave miran a popa y no observan que se encuentran
a escasos metros
de una cascada que los desmenuzará;
pero eso es seguramente
ceso literario
de manera muy literal.
que no debe entenderse
En todas las épocas, pero fundamentalmente matemáticas
un ex-
en la era moderna,
las
escolares se han enseñado por su valor social en el currí-
culo y no por su valor epistemológico bien diferentes
como ciencia. Son dos cuestiones
como nos hemos esforzado
en diferenciar.
Las mate-
máticas no se enseñan, ni se han enseñado, por su valor como ciencia, sino por su aportación considerado
a los aprendizajes
relevantes en cada momento
que socialmente
viene del uso que en la sociedad se determina nocimiento
matemático
y, sobre todo,
que se va a hacer del co-
de la parte del mismo que se
desea socializar, diríamos socializar masivamente ciedades modernas.
Por lo tanto,
echar es que las matemáticas
porque son importantes
desarrollar
la inteligencia
jetivan
de superiores.
la primera
en el caso de las so-
ilusión que hay que des-
están en el currículo
obligatoria
se han
histórico. Esta relevancia pro-
de la enseñanza
en sí mismas o porque sirven para
o ciertas formas de razonamiento
que se ad-
No están y nunca han estado por esa razón.
La educación está regida por intereses políticos que son el reflejo de los equilibrios
de poder que se establecen en la sociedad. La educación
no está regida por criterios científicos y en consecuencia
las matemáti-
cas no se enseñan por motivos científicos, sino sociales, es decir, políticos. No existe forma de posicionarse con relación al currículo de matemáticas que se enseña en la escuela obligatoria
sin asumir que tras esa po-
sición hay una opción política. La escuela moderna organizó el currículo de matemáticas intentado
de la escuela obligatoria
desde los intereses que hemos
describir, y las tensiones actuales provienen
del desequilibrio
que se produce cuando los intereses sociales cambian, pero no lo hacen las instituciones
que se crearon para cumplirlos.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
la situación en España. El fracaso de la enseñanza de las matemáticas en la educación obligatoria No resulta nada fácil conocer cuál es la tasa de fracaso en matemáticas en la educación
obligatoria.
No lo es, porque ni siquiera es fácil saber
cuál es la tasa de fracaso en la educación informes,
no siempre coincidentes,
y las autoridades
consejerías de los gobiernos autónomos) cuestión utilizan subterfugios
obligatoria.
Existen diversos educativas (MEC y
lejos de ayudar a clarificar esta
varios para no arrojar luz sobre la misma.
De todas maneras, decir que la tasa de fracaso en la educación obligatoria en España en la actualidad
(2008) está por encima del 25% es si-
tuarse en una postura nada arriesgada y tal vez algo optimista. A continuación
he seleccionado
algunos datos sobre el fracaso es-
colar en España:
La tasa de fracaso escolar en España se sitúa en el 30% En nuestro país, casi tres de cada diez alumnos repiten curso 12-09-2006 CADENASER.COM Según un informe de la OCDE sobre los principales indicadores del sistema educativo que se ha hecho público hoy, España registra una tasa de fracaso escolar del 30%, una de las más altas de nuestro entorno. Además, casi tres de cada diez alumnos españoles tienen que repetir curso. Fue nte: www.cadenaser.com/articulo/sociedad/tasa/fracaso/escolar/Espana/situalcsrcsr por/20060912csrcsrsoc5/Tes/
Por lo que este dato si es cierto, ya que los datos sobre tasas de fracaso no coinciden
según las distintas
El Ministerio de Educación ha actualizado en España. Estaba estancado
fuentes,
es demoledor.
los datos sobre el fracaso escolar
desde hace tres años -(28,9% en 2002; 28,7%
IDE~:_~. =-
.
33
Fuente: Nota de prensa de Expansión y empleo.com, 23 de agosto de 2007.
En la misma nota de prensa puede verse el gráfico
que muestra la fi-
gura 1: Figura 1
Da~.,.".iadín_,,1os. hI"'~"fft~ liIi2Nt ••
~.elwadóI~~
~."lIrili6I~ .2S-it._~.~~~ lf2S-it•• ~.~"~~.--' • 2t-24 ••
ltlS-it._ •••••
__
Ili_1IiW.
t!lfIulOIlII!iIIML
••
~ ~ ~
AvMI
•••• bII
Fuente: www.expansionyempleo.com/edicion/expansionyempleo/formacion/ arrolla/1 015691.html
Las matemáticas tribuye
34
son en la actualidad
al denominado
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
es/des-
el área del currículo que más con-
fracaso escolar. La mayoría de los alumnos que
no logran el graduado seguir dominar
en la educación
los aprendizajes
en septiembre
fracasan por no con-
exigidos en matemáticas.
Según Isabel Causo, secretaria profesional
primaria
general
de educación
y formación
del año 2000:
En el último informe delINeE del año 1998, en referencia a las materias básicas de aprendizaje, un promedio del 25% de los alumnos de 14 años «se sitúa en el límite de la distribución con resultados claramente insatisfactorios», y «el 33% de los alumnos de 16 se sitúa en el límite inferior de la distribución, con resultados muy alejados de los mínimos aceptables». (http://comun¡dad-escolar.cnice.mec.es/661/docum.html)
Como puede verse, no resulta nada fácil saber cuáles son los datos reales sobre las «tasas de fracaso en matemáticas», como el porcentaje
de estudiantes
que, en el área de matemáticas, educación obligatoria
definido
este fracaso
que no logran alcanzar los objetivos se señalan para la finalización
de la
(ESO) antes de los 18 años. Pero por los datos de
los que disponemos puede estimarse que este fracaso abarca a más de un tercio de la población Resulta hiriente
escolarizada.
observar que mientras
lugar a dudas, el que mayor importancia nuestra educación,
se cronifica
este problema,
hasta convertirse
en una lacra, la res-
con responsabilidad
es tibia e indiferente.
decir que la gran mayoría
de las investigaciones
ñanza de las matemáticas
se hacen en España obvian
adoptando
un corte academicista
cologicista,
que poco o nada ayuda a remediar
en
Por citar algu-
adoptar
de tendencia
que sobre la ense-
mente psi-
esta cuestión. La inves-
que tiene su enseñanza
una actitud de falsa neutralidad,
esta cuestión
mayoritaria
acerca de la enseñanza de las matemáticas
hacia el mayor problema
área
que es, sin
nos ejemplos que avalan lo que considero una gran desidia, creo poder
tigación
dos para
matemáticas en educación obligatoria
tiene para el devenir social de
puesta del colectivo de personas e instituciones la enseñanza de las matemáticas
No resulta nada fácil conocer cuál es la tasa de fracaso en mate· máticas, definido éste como el porcentaje de estudiantes que lo· gran los objethlos
opta por no mirar escolar queriendo
sin querer comprender
La investigación acerca de la enseñanza de las matemáticas opta por no querer comprender que lo urgente no es descubrir los mecanismos por medio de los cua· les se aprende, sino las consecuencias sociales que tiene enseñar matemáticas tal y como se enseñan en la actualidad.
que lo
IDEA CLAVE'
35
urgente
no es descubrir
los mecanismos
aprende (si es que existen en realidad), que tiene enseñar matemáticas Algunos •
por medio de los cuales se
sino las consecuencias sociales
tal y como se enseñan en la actualidad.
datos para avalar lo que afirmo:
De los siete grupos de trabajo ñola de Investigación
que tiene la SEIEM (Sociedad Espa-
sobre la Enseñanza de las Matemáticas),
guno de ellos aparece explícitamente
nin-
como un grupo dedicado
a
cuestiones de currículo o a los problemas de fracaso que estamos comentando . •
Si se lee el programa
de su IX simposio celebrado
La Laguna, Tenerife, del 4 al 7 de septiembre probar
ni en los trabajos
de matemáticas
(www.uco.es/in-
).
De los nueve epígrafes que organizan presentado
ex-
ni en las ponencias anunciadas
de los grupos de investigación.
formacion/webs/seiem
de
de 2007, se puede com-
que este tema no se trata y que no existen referencias
presas al currículo
•
en Universidad
las comunicaciones
que se han
en las JAEM celebradas en Granada en el mes de julio de
2007, ni uno solo de ellos hace referencia lativas al currículo
de matemáticas
explícita a cuestiones re-
ni al fracaso escolar en esta ma-
teria. (http://thales.cica.es/jaem/).
Estamos mirando a otro lado mientras la nave se aleja cada vez más de la orilla y, enfrascados versitaria»
como estamos en construir
que no depende de la utilidad
una «carrera
uni-
social de lo que investigamos,
sino del valor académico de lo que indagamos, valor que, dicho sea de paso, acreditan en una especie de espiral diabólica, Academia
los académicos de la
no nos damos cuenta de que la distancia a la orilla aumenta
y de que la marea nos aleja de la sociedad a la que decimos servir. Las únicas publicaciones de matemáticas
sobre propuestas
que se han publicado,
alternativas
con cierta pretensión
dad, en España en la última década son las traducciones
El DESARROllO
DE LA COMPETENCIA
MATEMÁTICA
de currículo de totali-
del inglés de
las propuestas de NCTM realizadas por el grupo Thales, versiones que se pueden
conseguir
en: http://thales.cíca.es/documentos/estanda
res.pdf Es cierto que la Administración
ha promovido
nuevos currículos en
estos años, pero los currículos oficiales son de una amplitud
tal que sólo
enuncian líneas generales de actuación que deben ser completadas terpretadas
para llegar a ser propuestas
interpretación editoriales. ritario
se ocupan, mayoritariamente, Los currículos que promueven
en el medio escolar responden
e in-
Los currkulos que promueven las editoriales de uso
de acción en clase, y de esa
mayoritario en el medio escolar
se diga lo que se diga, las
responden a llna visión tra!díl:ioI1al
las editoriales
de uso mayo-
a una visión tradicional
del cu-
rrículo, visión que ya hemos descrito. En esas estamos en medio de la indiferencia
de las personas e instituciones
que deben tomar la inicia-
tiva. Tenemos matemáticas
que reaccionar
y comprender
es una cuestión
que la enseñanza
en la que los factores
sociológicos
concreción
en los currículos escolares son fundamentales.
frentamos
con valentía
y celeridad
de las y su
Si no nos en-
a esta cuestión, no actuaremos
Es preciso comprender que la enseñanza de las matemáticas
so-
bre la raíz de los males que acucian a la enseñanza de las matemáticas en el medio escolar. escolares
SOI1
Un futuro incierto. La competencia matemática como una nueva propuesta para organizar el currículo escolar En estos últimos años estamos asistiendo al nacimiento sión de una nueva idea que aparece en el horizonte de ser una alternativa gastado, agotado
a este currículo
y anacrónico.
llo de competencias
con la pretensión
que nosotros tildamos
Me refiero a la propuesta
como eje organizador
en esa propuesta tiene la competencia de citar entre los acontecimientos
y rápida exten-
de des-
del desarro-
del currículo y al lugar que
matemática.
No podemos dejar
recientes el impacto
que las prue-
bas de evaluación internacionales, tipo PISA, están teniendo en el replan-
IDEA CLAVE
1
37
teamiento El tipo de competenda matemática que se erige como modelo
de las estrategias
de que es razonable .
a este tipO
d
e prue
de enseñanza de las matemáticas.
mantener b
una actitud
A pesar
recelosa y prudente
frente
,d" . as, que a veces parecen mas campanas me latlcas
en estebas tipocontradICe de pr~e-
que otra cosa ' no puede negarse que el tipo de competencia
radicalme?te lo que ha sido habitual hasta ahora.
tica que se erige como modelo en este tipo de pruebas contradice dicalmente
lo que ha sido habitual
matemára-
hasta ahora y que tanto he criticado
en esta idea clave. ¿Estamos frente las anteriores
a otra idea destinada
a fracasar como lo hicieron
y a perecer ante la terquedad
ción, la escolar, que parece indiferente
e inercia de una institu-
a todo lo que se mueve a su al-
rededor?
¿Será sólo papel, más papel y únicamente
contrario
nos encontramos
el tiempo
las actuales propuestas
de un cambio
ante un vector fuerza
real y profundo
papel, o por el
que cambiará
con
curriculares?
¿Estamos a las puertas
en la enseñanza
de las matemáticas?
Gran parte de este libro está destinado por esta razón me excuso de contestarla
a responder
a esta pregunta
y
en este momento.
En resumen Para terminar con esta idea clave quiero resumir lo que he intentado podemos seguir insistiendo en enseñar matemáticas sin reflexionar
desarrollar en ella: no acerca de los aprendiza-
jes que promueven y el uso social que de los mismos debe hacerse. Dicho de otra manera, no podemos obviar por más tiempo una reflexión acerca del sentido social que tienen en la actualidad
los aprendizajes que el currículo de matemáticas promueve en la educación, tanto
obligatoria
como postobligatoria,
para seguir pensando que las matemáticas tienen un valor
intrínseco indiscutible y que su enseñanza es algo no cuestionable
por obvio y necesario. Es
una postura idealista, poco social y bastante esotérica afirmar que las matemáticas son importantes
por sí mismas, como componente
ineludible
del currículo escolar obligatorio,
re-
servando para ellas el privilegio de desarrollar un tipo especial de pensamiento cuyo valor está fuera de toda crítica y al que sólo tienen acceso unos cuantos iniciados.
38
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
La enseñanza los aprendizajes ñanza-aprendizaje tiendo
de las matemáticas
está en crisis porque
que la sociedad actual demanda. para situarse únicamente
una y otra vez que las matemáticas
justifican
su aprendizaje
que se pretenden-
no se corresponde
con
Perder de vista esta dualidad
ense-
bajo el punto de vista de la enseñanza repiposeen valores educativos
es perder de vista lo sustantivo
intrínsecos
que
en educación -los fines sociales
para poner en su lugar lo accesorio -los medios que se invocan para
lograrlos-.
IDEA
c~:='
39
•
La enseñanza de las matemáticas medio damente
escolar
debería
en el
vación
ser profun-
renovada, sobre todo, en los
niveles de la enseñanza
secundaria
Esta renovación
es responsabilidad
las instituciones
públicas, pero debería
de los movimientos
a los
que agrupan
motivados
por la mejora de
de
•
Resulta interesante pensar que la época en la que la preocupación
paso a otro momento
que, superando
dedicación
el corto plazo y los in-
a los profesionales
mayor era la
didáctica de las matemáticas
de
la enseñanza. Es necesaria una mirada
tereses corporativistas,
regido por una
de esta manera no
sólo un cambio de nombre,
de la enseñanza en
debe dar
al currículo de las matemá-
ticas, entendiendo
vuelva a situar
sino una
un nuevo escenario.
apuesta por una visión más integral del
Es del interés de los docentes que im-
proceso de enseñanza en su conjunto.
parten matemáticas renovar el currículo
•
clave
la enseñanza de las matemáticas.
ser reclamada por los profesionales
•
aparezca
como una de las preocupaciones
docentes
y
superiores . •
de las enseñanzas
•
Las matemáticas
y su enseñanza serán
porque a la larga nos situará en una po-
parte de la escuela, de eso no creo que
sición más ajustada a los nuevos roles
haya dudas, pero lo que la escuela lle-
sociales. No adaptarse
gue a ser dependerá
en parte de la ca-
luego, la mejor forma de sobrevivir.
pacidad
la enseñanza
Conviene que se fomente
las matemáticas
ción sobre el currículo
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA
no es, desde
la investiga-
y que la reno-
MATEMÁTICA
de adecuar
sociedad actual.
de
a las necesidades de la
Los usos sociales de las matemáticas son los que deben definir los objetivos de su enseñanza y no la epistemología de esta ciencia El cubismo El hombre, dicen, es un animal racional. No sé por qué no se haya dicho que es un animal afectivo o sentimental.
Yacaso lo que de los demás animales le diferencia
sea más el sentimiento
que no la razón. Más veces he visto razonar a un gato que reir o llorar. Acaso llore o ría por dentro, pero por dentro, acaso también
el cangrejo resuelva ecuaciones de segundo grado. (Unamuno,
Del sentimiento
trágico de la vida)
El sabio, el profesional y el ciudadano La primera gatoria
idea clave desarrollada
debe estar justificada
mueven y que no se justifica tener como ciencia.
de ninguna
En esta segunda
y beneficiarse
de las matemáticas
en la escuela obli-
desde el uso social que se hacen de los aprendizajes
que se hace de las matemáticas aprendizajes
afirma que la enseñanza
que se pro-
manera por el interés propio que las matemáticas
idea clave quiero
y cuáles son los grupos
pueden
dar un nuevo paso: ¿cuál es el uso social humanos
que se pueden
asociar a esos
de ellos?
IDEA CLAVE
2
Con este fin he identificado tres tipos de grupos humanos que en mi opinión hacen un uso muy distinto del conocimiento matemático y que tienen, en consecuencia, visiones e intereses diferentes, aunque se refieran a lo mismo. Cuando se habla de «matemáticas» no todas las personas que usan ese término tienen las mismas referencias ni asocian esa palabra a los mismos significados. Si esto es cierto, ¿qué significado le damos a las matemáticas en el contexto escolar?, ¿significa lo mismo el término «enseñanza de las matemáticas» para un matemático o científico que para un profesional o para el simple ciudadano?, ¿podrá tener un único significado o deberemos comprender que la misma realidad puede y debe entenderse de manera distinta?, ¿qué se entiende por matemáticas cuando hablamos de enseñanza de las matemáticas, y quiénes entienden qué? Estos interrogantes son tratados en esta idea clave.
El cubismo es una buena referencia para lo que quiero decir. El cubismo nos representa en un mismo plano perspectivas que desde una visión «normal» no pueden verse a la vez. Es decir, no se puede «ver» a la vez un objeto desde diferentes puntos de vista, pero sí dibujarlo. Lo mismo sucede con los conceptos, sobre todo si son complejos, como son las matemáticas y su enseñanza porque estamos convencidos de que éste es un concepto polisémico, donde los haya, cuya asignación de significado depende mucho de la perspectiva desde la que se mire. La visión que tienen unos colectivos y otros es radicalmente distinta y por esta razón conviene que intentemos, como hace el cubismo, una composición que
105
integre a todos.
Los matemáticos y la enseñanza de las matemáticas Preguntar a un matemático Las matemáticas son, para los matemáticos, una parte del saber humano y tienen sentido en sí mismas, se cultivan y desarrollan para ampliar lo que sabemos y para avanzar en el conocimiento de lo que no sabemos de los objetos matemáticos.
sinsentido
porque para él son un objeto de conocimiento
en sí mismo,
cuya validez no se justifica por el uso social que se hace de dicho conocimiento. Las matemáticas son, para los matemáticos,
una parte del saber
humano y tienen sentido en sí mismas, se cultivan y desarrollan pliar lo que sabemos y para avanzar en el conocimiento
para am-
de lo que no sa-
bemos de los objetos matemáticos. Tal vez los matemáticos profesionales actuales sean, junto con los artistas, el colectivo que más se acerca al ideal de filósofo
42
por el interés social de las matemáticas es un
que etimológicamente
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
quiere decir 'amante del saber'.
Pocas cosas representan nitud intelectual
mejor esa actitud que el sentimiento
que llega a conmover
a los matemáticos
de ple-
cuando ob-
servan la fórmula:
e
pi i
+
Pensar que en una misma fórmula,
1
=O
y de manera tan sencilla, se rela-
cionan los tres números clave de las matemáticas zamiento
en la piel a todos
matemática.
aquellos
produce un cierto eri-
que tienen
una sensibilidad
Seguro que habrá quienes citarán esta fórmula
prueba irrefutable esta emoción
de la existencia de un ser supremo.
no es la utilidad
de esa fórmula,
misma para ser aplicada en la resolución
Lo que produce
ni la capacidad
de algún problema,
propia sencillez y su capacidad de sintetizar poco espacio. El minimalismo
como una
tanto conocimiento
de la sino su en tan
ha estado siempre de moda entre los ma-
temáticos. A los matemáticos
no les disgusta que los objetos que ellos manejan
sean usados socialmente, sea e invierten la utilidad
bastante tiempo
dedica al desarrollo
orgullosos
pero no encuentran
su trabajo.
del conocimiento
El matemático matemático,
para saber más acerca de los objetos
piedades con absoluta independencia
de su trabajo
es un sabio que se es un sabio que
matemáticos
demia delimitan
justitir:¡ue
su
y sus pro-
por la Academia.
de manera
dentro del modelo Las reglas de la Aca-
los criterios de verdad y estos criterios son la guía que
deben seguir los matemáticos nas, el matemático
objetos que manejan sean socialmente, encuentran social la razón
del valor de uso de sus descubri-
es hacer matemáticas
de ciencia que está establecido
de
en ese uso so-
mientos. Su interés es ajeno a todo tipo de afán utilitarista, que el objetivo
de que asi
en convencer a los no matemáticos
de sus descubrimientos,
cialla razón que justifique
trabaja
de hecho se muestran
se convierte
en el trabajo.
En las sociedades moder-
en un profesional
(los matemáticos
afi-
IDEA CLAVE
2
43
cionados
tipo
cuentra
Fermat
su acomodo
hace mucho
en la universidad,
mentalmente,
un trabajo
conocimiento
matemático,
matemáticos
donde
de investigación
que en-
desarrollará,
ligado
que será validado
funda-
al desarrollo
por la Academia
del de los
desde criterios que no tienen nada que ver con el uso so-
cial de sus descubrimientos. aplicación
que han desaparecido)
Algunos de esos descubrimientos
social y otros no, pero que la tengan
tendrán
o no la tengan
hace más valiosos desde el punto de vista de los matemáticos
no los
profesio-
nales. Toda esta reflexión que considero
capital:
es previa al planteamiento
de una cuestión
¿deben ser los matemáticos
que trabajan
las universidades
a quienes
les corresponda
que ha de tomar
el currículo
determinar
de las matemáticas
¿son estos sabios las personas más indicadas estas preguntas conviene
los matemáticos
des son los que determinan máticas de la enseñanza afirmar
no universitaria.
que, en un porcentaje
razones que puedo
profesionales
en la actualidad
aducir
en la enseñanza?,
no explicitada
que
de las universida-
los currículos
de mate-
¿Es esto cierto? Creo poder
muy elevado
para justificar
la dirección
para hacerla? Detrás de
parece esconderse una afirmación
justificar:
en
de casos, es así. Las tres
esta afirmación
son las si-
guientes:
1. Los profesores que enseñan matemáticas en educación secundaria han sido alumnos de los matemáticos universitarios y han aprendido de ellos las matemáticas que enseñan. Esbien conocida la importancia que tiene el modelado en la construcción del estilo de enseñanza de los docentes, estilo que está impregnado de creencias valorativas acríticas y no explicitadas sobre el valor de las matemáticas.
Como es bien sabido, la mayoría de los docentes enseñan como les han enseñado a ellos y no como les han dicho que deben enseñar. Por lo que EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
resulta inútil
pretender
formar
a los futuros
parando
la parte de la formación
cimiento
de la que trata de su didáctica.
docentes «después». Se-
en la que aprenden
el área de cono-
Es decir, que la ecuación
Conocimiento del área + Metodología de enseñanza = competencia didáctica
Es radicalmente la que aprenden
falsa. Puede afirmarse, en cambio, que la manera en los contenidos
del área condicionará
forma en la que enseñarán a sus futuros
estudiantes.
totalmente
la
Es un terrible
cír-
culo vicioso que se repite una y otra vez, en cada ocasión en la que los estudiantes enseñaron
se convierten
en docentes copiando
a los maestros que les
la materia que imparten.
Además, las influencias
que reciben de los docentes universitarios
que les enseñan matemáticas
no son complementadas
por otras visiones diferentes,
debido
inicial con la capacidad de construir tinto
del que habitualmente
maestros universitarios.
un modelo de función los futuros
docente dis-
profesores
en sus
Si a esto se le añade el escaso impacto que tiepermanente,
al sistema educativo,
para comprender
a la ausencia de una formación
observan
nen las políticas de formación incorporan
ni contrastadas
una vez que los docentes se
tenemos motivos más que suficientes
la escasa capacidad crítica de los profesores y las ra-
zones que explican sus modos de actuación, tación de los matemáticos
universitarios
modos en los que la imi-
es crucia!.
2. Laspruebas de selectividad para el ingreso en la universidad son sin duda el referente curricular máximo para los profesores de bachillerato, y estas pruebas suelen estar preparadas por los matemáticos universitarios. Es muy recomendable revisar qué tipo de preguntas se hacen en la selectividad para tener una idea de qué significa «currículo» en estas edades.
IDEA CLAVE
2
En la figura
2 pueden
verse dos de los ítems (de un total
de las pruebas de selectividad para la materia:
matemáticas
aplicadas en la comunidad
de cuatro) de Madrid
aplicadas a las ciencias sociales, durante
las pruebas de acceso celebradas en junio de 2007. Sobra cualquier mentario
acerca del valor de estos contenidos
co-
para aquellos estudian-
tes que se vayan a dedicar al estudio de las ciencias sociales. Figura 2
l1l
UNIVERSIDADES
eiJ!.~O t.:, •• , ••.•. ~
.J
l1{·····l
PRUEBA
PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID
DE ACCESO
A ESTUDIOS
UNIVERSITARIOS
(LOGSE)
CU RSO 2006·2007
MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC. SOCIALES 11
OPCIÓN A Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a:
3x + 2y - 2z '" 3 2x+ 2y+ +az '" 8 { x~2v z '" o (a) Discutir el sistema para los distintos valores de a. (b) Resolver el sistema para a '" 4. Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 3 puntos) Dada la función real de variable real definida por: (x~ 3)2
f(x)"'x+3 (a) Determinar las asíntotas de la función. (b) Calcular sus máximos y mínimos y determinar sus intervalos de crecimiento.
Alguien
con sentido del humor y que guste del esperpento
como ma-
nera de reírse de lo que somos podría comparar estos ítems con los que conocemos por estar liberados del proyecto PISA. En la figura 3 se muestra un ejemplo de ítem liberado de PISA obtenido yecto PISA (2003).
46
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
de la publicación
Pro-
Figura 3
La juventud
se hace más alta
La estatura media de los chicos y las chicas de Holanda en 1988 está representada en el siguiente gráfico: Altura
(cm)
190 Estatura
media de
los chicos en 1998
180
Estatura 170
media de
las chicas en 1998
160 150 140 130
10
Pregunta 4: Crecer Desde 1980 la estatura
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Edad (al'\os)
M150Q01-0 19 2,3 cm, hasta alcanzar los 170,6 cm. ¿Cuál era la estatura media de las chicas de 20 años en 19807 media de las chicas de 20 años ha aumentado
Respuesta: """" ""."""""""""."""".
La diferencia
cm.
de edad entre
los que deben responder
a una de esas
pruebas y los que lo deben hacer a la otra es de tres años. Además, debemos hacer constar que hay ítems en la prueba de PISA bastante más elementales
que el que hemos seleccionado.
Los que, en cambio, se lo tomen en serio podrían pensar que se trata de dos áreas diferentes. competencia
Desde luego si una de esas pruebas mide la
matemática,
¿qué es lo que mide la otra?, ¿y cuál de las
dos lo hace?, porque las dos miden cosas bastante diferentes. Los otros dos ítems (véase la figura 4 en la página siguiente) son dos problemas ad hoc que tienen que ver con conocimientos y estadística. Conocimientos
de probabilidad
más cercanos a las necesidades de los estu-
IDEA CLAVE
2
47
diantes en susfuturos estudios, pero que curiosamente puntúan menos que los ejercicios que nada o poco tienen que ver con la aplicación que harán de los mismos en la universidad. Figura 4 Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2 puntos) Según cierto estudio, el 40% de los hogares europeos tiene contratado el acceso a internet, el 33% tiene contratada la televisión por cable, y el 20% disponen de ambos servicios. Se selecciona un hogar europeo al azar. (a) ¿Cuál es la probabilidad
de que sólo tenga contratada la televisión por cable?
(b) ¿Cual es la probabilidad
de que no tenga contratado ninguno de los servicios')
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 2 puntos) La edad a la que contraen matrimonio los hombres de la Isla Barataria es ua variable aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal de media 35 años y una desviación típica de 5 años. Se elige aleatoriamente una muestra de 100 hombres de dicha isla. Sea X la media muestral de la edad de casamiento. (a) ¿Cuáles son la media y la varianza de X" (b) ¿Cuál es la probabilidad entre 36 y 37 años?
de que la edad media de casamiento de la muestra esté comprendida
Estaspruebas suelen estar diseñadas por los profesores universitarios de los departamentos
de matemáticas de la universidad y se convierten
para la mayoría de docentes de bachillerato y, de igual manera, para sus estudiantes en el referente
máximo en los dos años del bachillerato
LOGSE actual. La presión que reciben, de este modo, los profesores de bachillerato es transmitida con escasa amortiguación
a sus compañe-
ros de secundaria. Esta presión deforma el currículo de la enseñanza obligatoria de manera visible en el segundo ciclo de la ESOy de manera más amortiguada
en el primero. El golpe en el cristal no rompe sola-
mente el lugar golpeado, sino que se transmite a través del cristal hasta puntos bien lejanos de aquel que recibió el impacto. Esuna buena imagen del efecto que la selectividad tiene en el currículo no universitario. Esrealmente sorprendente que no se haga nada para poner remedio a esta situación y que, año tras año, se sigan repitiendo los mismos tipos de pruebas. Esta situación se parece a la que producen las lluvias mon-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
zónicas en ciertos países, todo el mundo sabe que van a llegar, todo el mundo dice que será un desastre, pero todo el mundo espera que sea otro el que haga algo para remediarlo.
Cuando llegan las lluvias sucede
el desastre, pero cuando baja la inundación todos se olvidan hasta el próximo monzón. Es una desidia injustificable un momento, selectividad
puede verse claramente universitaria,
porque a poco que se piense
que la reforma de las pruebas de
si se hace en la dirección correcta, resultaría
mucho más eficaz para cambiar el currículo de matemáticas que todos los intentos de reforma didácticos puestos en marcha en las últimas décadas. Intentos que fracasan una y otra vez cuando armados con los martillos de cartón-piedra,
que son las buenas razones educativas, se intentan
demoler las posiciones de poder adquiridas y consolidadas por la rutina. El currículo más cercano al currículo real-el que concreta lo que aprenden los estudiantes-
es el currículo evaluado. Pues bien, el currículo de
matemáticas, según esa lógica, se reduce al cálculo algebraico necesario para responder a las dos primeras preguntas y a las fórmulas aplicables para resolver esos pseudoproblemas.
Eso es el currículo, aunque en los de-
cretos del BOE y en los proyectos curriculares se diga otra cosa. En las clases de matemáticas de bachillerato se dedican las mejores horas de estudio a conseguir el necesario dominio
de cálculo para aprobar este examen.
Lo más gracioso o triste, según se mire, es que mientras en los periódicos, televisiones, radios, revistas, etc. se habla de PISA, en las clases se prepara la selectividad. ¿Qué piensan los matemáticos que preparan las pruebas de selectividad de los ítems de PISA? Me gustaría saberlo.
3. Las administraciones públicas y las editoriales confían a los matemáticos con formación universitaria la redacción de las propuestas curriculares que se hacen en la enseñanza obligatoria y postobligatoria, y no parece necesario argumentar mucho para que se reconozca el valor de las normas legales y la influencia metodológica que se deriva de la utilización de los
IDEA CC
, _
libros de texto en el medio escolar. Son, sin lugar a dudas, ambos, pero más los segundos que los primeros los documentos que más condicionan el currículo escolar. Pienso que son argumentos suficientes para mantener que la capacidad de normativa y liderazgo de los matemáticos en las cuestiones relacionadas con los currículos no universitarios es muy alta.
Me parece interesante,
para terminar
con este largo excurso sobre la re-
levancia y posición de poder de los académicos universitarios ción al currículo,
introducir
La investigación
en este texto la siguiente
ha demostrado
nir su conocimiento
cómo se ha animado
centivos sutiles pero omnipresentes mejorar sus prerrogativas
y sus
la visión de las matemáticas
Una serie de in-
a rendirse solíci-
credenciales,
de «conocimiento
por los académicos universitarios.
Volvamos, una vez justificado
y acreditación.
y académicos
ha impulsado a los educadores, ávidos de
profesionales
ante las definiciones
a las preguntas
a los profesores a defi-
curricular en términos abstractos, formales
a cambio de esta tus, recursos, territorialidad
formuladas
cita:
sobre la historia social de las disciplinas de la escuela secun-
daria británica
tamente
con rela-
valioso» tal como fueron
(Goodson, 1995, p. 33)
el porqué concedemos tanta relevancia a que tienen los matemáticos
universitarios,
que hemos dejado sin respuesta. ¿Deben ser los mate-
máticos que trabajan
en las universidades
quienes determinen
ción que tiene que tomar el currículo de matemáticas no universitaria?
¿Es razonable que mantengan
la direc-
en la enseñanza
esta influencia?
Vaya utilizar para explicar mi manera de ver las cosas en esta cuestión el conocido método de demostración denominado
reductío ad absurdum.
Supongamos que opto por el «sí», por las respuestas afirmativas.
En este
caso el modelo de matemáticas que tiene la Academia de los matemáticos deberá ser el polo al que dirigir nuestras brújulas y la dirección que marcará por donde deben ir nuestros pasos. Pero esta opción, nos lleva a
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
una paradoja. Afirmamos, cación obligatoria
por una parte, que el objetivo básico de la edu-
es la formación
de todos -los ciudadanos-
y, por otra,
que esa educación debe estar dirigida por los que la miran desde la óptica de unos pocos, óptica que tiene por objeto la formación
precisamente de
esos pocos: los académicos. Éste, y no otro, fue concretamente que se cometió cuando se intentó, «matemáticas
el error
por medio de lo que se denominaron
modernas», cambiar los currículos escolares siguiendo
el
diagnóstico que hicieron los matemáticos sobre el atraso que suponía seguir enseñando en la escuela las matemáticas que ya no eran las matemáticas de los matemáticos
del momento,
perdón por el trabalenguas.
Pocas veces se ha actuado con menos sentido común influidos por el halo cientifista que acompaña a los expertos universitarios, pero es que además esta falta de sentido común vino acompañada compatible
por dosis de elitismo poco
con una visión inclusiva y social de las matemáticas. Si la res-
puesta afirmativa
nos lleva a una situación inaceptable por paradójica, lo
más razonable será optar por la respuesta negativa. Por lo tanto, debemos concluir que la decisión acerca de la dirección hacia la que debe organizarse ñanza no universitaria matemáticos
el currículo
de matemáticas
de la ense-
debe ser objeto de un debate social en el que los
universitarios
tendrían que participar,
la última palabra ni de la posibilidad supone su control de la selectividad rrículos de matemáticas
de utilizar universitaria.
en la educación
en la «arena» del debate político
pero no disponer de
la ley del embudo
que
El debate sobre los cu-
obligatoria
debe mantenerse
general al que estamos todos invita-
dos, porque no es una cuestión académica la que se dilucida, sino una cuestión social y, por ende, del interés de todos los ciudadanos.
Los profesionales y la enseñanza de las matemáticas Si dejamos a un lado a los matemáticos se dedican
al cultivo
de las matemáticas
y a otro tipo de científicos
que
como ciencia, cabe pregun-
IDEA CLAVE
2
tarse qué otros sectores profesionales versitaria,
utilizan
las matemáticas.
las carreras de ingeniería tíficos; en segundo
o académicos, con formación En primer
uni-
lugar se sitúan, sin duda,
de diversos tipos y niveles y los estudios cien-
lugar, los estudios de ciencias sociales, y en último
lugar, los estudios humanistas y artísticos. ¿Cómo influye esta distribución del uso posterior de los estudiantes
del conocimiento
de secundaria
todos conocida: priorizando
matemático
y bachillerato?
los conocimientos
La respuesta
dejando
en segundo
y estudios de cien-
lugar los que se usan en los
estudios de ciencias sociales y haciendo con las humanidades lo mismo que éstas hacen con las matemáticas: Si la aritmética
es el lenguaje
del comercio
mejor dicho el cálculo algebraico,
que se aprende en pri-
independencia
obligatoria).
del valor matemático
porque es el lenguaje
en secundaria (el
ocupa junto con el estudio
de los números reales la mayor parte del currículo años de la enseñanza secundaria
de los dos últimos
Pero este lenguaje,
con
que tiene, se considera importante
en el que se expresan las ciencias experimenta-
les y las materias que se estudian en ingeniería.
Podemos ver, de esta
manera, que la enseñanza
de las matemáticas
caminada prioritariamente
a lograr que los estudiantes
conocimientos
y las artes
ignorarlas.
maria, el álgebra es el de las ciencias que se aprenden álgebra,
es de
que tienen su aplicación
más directa en el mundo de las diversas ingenierías cias experimentales,
en los currículos
que sólo aplicarán
en secundaria
está en-
consigan unos
aquellos que estudien carreras cien-
tíficas o técnicas. Es cierto que los currículos de secundaria también cluyen temas de estadística estudiantes
y probabilidad
que cursen estudios
que son útiles para los
de ciencias sociales, fundamental-
mente, y de ciencias humanas y artísticas, tangencialmente, levancia
de estos estudios,
importancia
el tiempo
que tienen en la evaluación
es mucho menor que la que tienen carreras técnicas.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
in-
que se dedica
pero la rea ellos y la
y selección de los estudiantes,
los que están relacionados
con las
Esta asociación de las matemáticas he comentado
con la ciencia experimental
que
en la primera idea clave como una de las características
de la sociedad industrial
se muestra con toda su fuerza
en este con-
texto. El segundo ciclo de la enseñanza secundaria es el lugar en el que se materializa
esta ley no escrita, pero sutilmente
implícita
yoría de los mecanismos de evaluación de los estudiantes: matemáticas
de los científicos
desees en la universidad;
y los técnicos,
en la ma-
si dominas las
puedes estudiar
pero si no las dominas no puedes estudiar ca-
rreras científicas o técnicas. Esdecir, que si sabes «matemáticas» estudiar
lo que quieras, pero si no sabes «matemáticas»
cuencia, esta visión de las matemáticas mientos que se aplicarán
en la formación
siste en el rigor metodológico por su ausencia, se adueña
universitaria
y las demostraciones del currículo
ñanza en el que se está decidiendo
puedes
no. En conse-
en la que se priman los conoci-
técnicos, que ya no es una visión de los matemáticos
la enseñanza obligatoria,
lo que
de científicos
y
porque no se in-
brillan precisamente
en el segmento
si un estudiante
de la ense-
logra o no superar
es decir, en los últimos cursos de la misma.
Lo que quiero enfocar con nitidez y poner en duda para que sea objeto de consideración tificada
la prioridad
matemático
y debate son las siguientes cuestiones: ¿está jusque se da a esta manera de ver el conocimiento
-lenguaje
científico
ría y ciencia experimentaldaria obligatoria?
al servicio de los estudios de ingenie-
en la parte final
de la enseñanza
secun-
¿Se es realmente consciente de las consecuencias que
tiene esta manera de organizar
el currículo en la selección de los estu-
diantes? ¿Qué se piensa de la cuota de responsabilidad asumir esta forma de organizar
que tiene que
el currículo en el fracaso escolar en la
educación secundaria obligatoria? Decir que se quiere potenciar que promover
unas matemáticas
ñanza obligatoria,
una escuela inclusiva, decir que hay para «todos» y defender,
una visión del aprendizaje
en la ense-
de las matemáticas
sitúa a los técnicos y científicos como el referente
que
ideal de ese currículo
IDEA CLAVE
2
es una contradicción
a veces no percibida
que confía a la didáctica
que ésta no puede resolver y que tiene como consecuencia tasas de fracaso. La didáctica metodología
de las matemáticas,
de su enseñanza, ha mejorado
cadas, pero se muestra incapaz de afrontar mos porque
las bases psicologicistas
para resolver un problema aprendizaje, temáticas
como la
mucho en las últimas déla situación
que comenta-
en las que se basa son ineficaces
que no tiene que ver con los procesos de
es alto y los intentos
y no podemos
real altas
entendida
sino con el desfase social del currículo.
parecen haber tenido
lo
El fracaso en ma-
que se han hecho para disminuirlo
mucho éxito. Es un problema
acabar con él diciendo
no
social importante
simplemente
que a los adoles-
centes de hoy no les interesa nada y que no están dispuestos a hacer el mínimo
esfuerzo.
El fracaso escolar en matemáticas
nuestro sistema educativo,
pero no parece preocupar
que dicen que «eso ha existido siempre», tratando social como si fuera una enfermedad davía no se ha inventado
es una lacra de demasiado
a los
este grave problema
crónica y maldita contra la que to-
la vacuna.
Además, podemos considerar como fracaso los aprobados de los que terminan
por odiarlas y consideran
que dejaron
su experiencia
atrás. Los estudios de matemáticas
tor de la población
como una pesadilla
dejan en un gran sec-
la sensación amarga de que las matemáticas
no son
«para mí», u otras versiones menos negativas del mismo sentimiento: las matemáticas son pesadas, aburridas, rutinarias, incomprensibles, ¿Existen otros colectivos,
más allá de los formados
máticos y los científicos e ingenieros, temáticas
les pueda aportar
uso creciente,
por los mate-
a los que el aprendizaje
de las ma-
algo? Sí que existen. Para empezar está el
no siempre bien enfocado,
áreas de conocimiento
etc.
de las matemáticas
que no son las estrictamente
en otras
científicas: las cien-
cias de la salud, las ciencias sociales y jurídicas, las humanidades,
el arte,
etc. Todas ellas están ahí y de su desarrollo se ocupa una parte creciente de los estudiantes
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
universitarios,
aunque una visión un tanto miope del
valor del conocimiento
las sitúe en un segundo lugar con relación a lo
que, de manera directa y un tanto
reduccionista,
se denomina
cias» sin adjetivos. Todas estas ciencias usan conocimiento y lo hacen de manera creciente,
«cien-
matemático
pero, a pesar de ello, las partes de las
matemáticas (estadística, probabilidad ...) relacionadas con estos temas son en la mayoría de las propuestas curriculares algo menor que se supedita a las matemáticas temáticas
necesarias para las ciencias experimentales.
de los profesionales
ciencias experimentales
universitarios
están infravaloradas
que no se dedican
La conclusión
que podemos
a las
si se utiliza como criterio
de valor el uso social que se hace de ese conocimiento fesional.
Las ma-
en el medio pro-
extraer de estos argumentos
es
clara: el currículo de los últimos cursos de la enseñanza secundaria obligatoria debería destinar más tiempo y espacio a los conocimientos temáticos
que se utilizan
Las matemáticas
ma-
en los estudios no científicos.
no pueden ni deben ser un obstáculo,
que hay que salvar, algo que tengo que aprobar
una barrera
porque es condición
para poder avanzar. La escuela no puede ser una carrera de obstáculos en la que sólo los mejores llegan al final, porque el conocimiento, pecialmente desarrollo
el matemático,
debe ser una herramienta
personal y la integración
trecha que sirve fundamentalmente
al servicio del
social, y no un cedazo de malla espara seleccionar.
Las matemáticas
son, sin duda, una palanca de gran valor tanto para el desarrollo nal como el social, y no sólo el económico. hacer un esfuerzo para que el conjunto conciencia
de esta realidad,
es-
perso-
Por lo tanto, tenemos que
de la ciudadanía
pueda tomar
pero para ello es necesario que las mate-
máticas dejen de ser la espada de Damocles que pende sobre sus cabezas o esa odiosa materia escolar que es la más difícil de aprobar. máticas debieran
Las mate-
estar en el «haber» de nuestro libro de contabilidad
personal, pero por desgracia muchas veces están en el «debe». Las matemáticas de «mamporrero»
han aceptado,
no sé si a su pesar o no, la condición
de la selección social de los estudiantes
en la educa-
IDEA CLAVE
2
F
d
ción obligatoria,
y lo pagan con el desprecio, el desinterés, cuando no
con el rechazo total,
de todos aquellos que no salen bien parados en
esta selección.
La enseñanza de las matemáticas y la ciudadanía La línea argumental
seguida hasta el momento
enseñanza de las matemáticas lidad propedéutica
parece sugerir que la
en la escuela obligatoria
que se justifica
tiene una fina-
por el valor de los conocimientos
que se adquieren en la escuela para los estudios posteriores, sean estos de un tipo u otro. Sin embargo, como hemos visto en la primera idea clave, ésta no era la principal cuando promovieron elementales XVIII
motivación
que tenían
que se incorporaran
parte de las clases populares que promover
era no sólo conveniente,
máticas a los currículos de la escuela elemental
El razonamiento
había que convertir religioso
entre otras razones, por esta
que se publicitaba
era, más o menos, que por el fanatismo
social la enseñanza de las matemáticas
y de la ciencia
Es cierto, por otra parte, que el interés que
de las masas populares
que permitiría
analfabetos
que pondrían
en las sociedades mo-
libres. En esta
suscitaba la educación
cultores
de las mate-
en sociedades de ciudadanos
juega un papel primordial.
las condiciones
misma del desarrollo
a las masas populares dominadas
y la ignorancia
transformación
y promovida,
por
algo que había
de toda la sociedad. La incorporación
dernas ha estado justificada
XVIII
Los ilustrados del
de la ciencia y de las matemáticas
benéfica mente, sino la condición
moral y económico
del
las matemáticas a los estudios
y que se enseñaran a toda la población.
pensaban que el aprendizaje
creencia.
los ilustrados
liberar la fuerza de trabajo
para convertirlos la maquinaria
en trabajadores
de los agri-
alfabetizados
del entramado
industrial.
No
servía para nada despojar a la Iglesia y a la aristocracia
del control
de
la producción
a funcionar
era visto como una de
de bienes económicos si a la vez no se conseguía que los
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
que hacían funcionar
el sistema antiguo
pasaran a hacer lo propio con
el nuevo. La sociedad moderna nace con esta contradicción: valores que se enuncian
para liberar a la gran mayoría de la población
del peso del fanatismo,
la intolerancia
sometidos por las clases dirigentes tablecer y robustecer
y la ignorancia
del antiguo
que ven en el capitalismo
industrial
el espacio de desarrollo
de las nuevas clases di-
y en el modo
de producción
social.
La conversión de las masas de agricultores fue la condición
a las que estaban
régimen, sirven para es-
los intereses económicos
rigentes,
res alfabetizados
los mismos
analfabetos
para el desarrollo
en trabajado-
de las sociedades
industriales y una de las razones clave para la creación de la escolaridad obligatoria
y para la inclusión de las matemáticas
en los currículos de
manera universal. Sin embargo, desde entonces ha llovido bastante y la sociedad actual tiene
poco que ver con la sociedad
de trabajadores tindustrial
alfabetizados
y el desarrollo
aprendizajes
industrial
numéricamente.
de la tecnología
que necesitaba
masas
Nuestra sociedad es pos-
ha convertido
en banales los
de cálculo numérico escrito que eran el corazón de la pro-
puesta curricular
anterior,
que como ya hemos indicado
se basaba en conocimientos mación han convertido
en este texto
que las actuales tecnologías
en obsoletos.
saria para que el sistema económico
La alfabetización
de la infor-
numérica nece-
actual funcione
y para que las
masas populares sean parte activa del mismo no necesita depender una enseñanza escolar de las matemáticas versión cuya intensidad
formativa
principios
del
XX,
para el desarrollo
fruto
Defender
los actuales currí-
de las necesidades sociales del siglo
en la escuela obligatoria económico
o, en todo caso, no de una
y peso en el currículo se corresponda
con el que ha tenido y tiene actualmente. culos de matemáticas,
como condiciones
y social en el siglo
XXI
porque el sistema productivo
XIX
y
necesarias
es un anacronismo.
A pesar de ello, si bien las necesidades de formación dores han cambiado
de
de los trabaja-
se ha transformado
IDEA CLAVE
2
radicalmente,
la otra cara del prisma, la que enuncia las ideas sobre las
que se basa la participación
política en la sociedad, es la misma: la ciu-
dadanía. Nuestro modelo de organización
social, que se puede sinteti-
zar en el sistema democrático
de participación
que sigue viendo al individuo
como un ciudadano
beres individuales
son reconocidos
delegada, es un modelo
en normas legales positivas que se
resumen, en lo esencial, en las constituciones forman
parte dichos ciudadanos.
hace que los ciudadanos de los parlamentos
de los Estados de los que
El sistema de participación
deleguen
y gobiernos.
cuyos derechos y de-
su capacidad
legislativa
y gobiernos?
periódicas que se convocan para elegirlos, y estas vo-
taciones están condicionadas
por la «opinión»
nen del uso que hacen los partidos delegación
en manos
¿ Cómo se vertebra la relación entre las
masas populares que delegan su poder y los parlamentos Por las votaciones
delegada
que los ciudadanos
políticos
y sus dirigentes
tiede la
de poder que implica el voto. A su vez, y ya llegamos
final de este laberinto,
de la conformación
de la opinión
pan primordialmente
los medios de comunicación,
al
pública se ocu-
que se convierten
en el elemento clave de la construcción de la opinión pública y, por ende, de la intermediación
entre el poder político delegado y los ciudadanos
que delegan ese poder. ¿Y qué tiene que ver todo esto con el currículo de matemáticas flexione litud
de la enseñanza obligatoria?
bastante; porque cabe afirmar con un grado alto de verosimi-
que
hoy en día no es posible
ciudadanía sin una competencia nera informada tización,
concebir
matemática
el pleno
que permita actuar de ma-
condición
necesaria
para el uso pleno
el uso de conocimientos
deberían
de la ciudadanía,
matemáticos.
ser el núcleo del currículo
danos como el más importante La alfabetización
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
de los objetivos
matemática
Estos cono-
de matemáticas
miramos desde el prisma social que coloca la formación
gatoria.
uso de la
y responsable en el medio social. Hoy en día la alfabe-
incluye también cimientos
Pues, a poco que se re-
si las
de los ciuda-
de la enseñanza obli-
y científica de todas las personas
se convierte de esta manera en una necesidad para la igualdad de oportunidades
en el siglo
A continuación,
XXI,
como lo ha sido en los siglos anteriores.
algunos ejemplos
de lo que quiero
nemos, lo que no parece una exageración,
decir. Si supo-
que hoy en día la lectura de
la prensa escrita es una forma básica de acceso a la información, algunos
ejemplos
de la necesidad de usar conocimiento
para la correcta interpretación
vemos
matemático
de las noticias:
Cada año hay en España 150.000 personas que cumplen 65 años. El grupo de españoles con 85 y más años crecerá un 80% en las dos próximas décadas. Y el de 20 a 34 años perderá casi un tercio de sus efectivos. Teniendo en cuenta la implacable
correlación
entre edad y dependencia,
con derecho en el futuro
la cifra de españoles
a recibir las ayudas del SAAD se dispara cada día.
El 32% de las personas mayores de 65 años tiene algún tipo de discapacidad, frente
Fuente:
al 5% del resto de la población.
www.elpaís.es.
580 trabajadores
9 de julio de 2007.
murieron
en la primera
mitad
del año por accidentes
la-
borales Un total
de 580 trabajadores
cinco primeros
fallecieron
en accidente
laboral
durante
los
meses del año, según datos del Boletín de Estadísticas Labo-
rales (BEL) que elabora el Ministerio
de Trabajo y Asuntos Sociales.
De esta cantidad, 419 perdieron la vida en su puesto de trabajo, un 14,1% menos que en igual periodo de 2006, en tanto que 161 fallecieron
en el trayecto de su
casa al trabajo o viceversa (accidentes 'in itinere'), con un descenso del11 %. En conjunto, jornada
de enero a junio se registraron
de trabajo
462.217 accidentes con baja en
y 48.085 siniestros 'in itinere'.
Los primeros se redujeron
un 3,9% respecto a 2006, mientras que los segundos cayeron un 4,6%.
Fuente:
www.elmundo.es.
18 de agosto de 2007.
IDEA CLAVE
2
Pero éstos no son más que un par de ejemplos entre los miles que se pueden encontrar todos los días en la prensa escrita. Existe ya suficiente literatura
al respecto y son varios los autores que han puesto de mani-
fiesto la importancia
de la prensa para aprender
matemáticas:
Fernán-
dez y Rico (1992), Corbalán (1991) e Irizo y López (1992) entre otros. De todas maneras me gustaría hacer una observación tentativas
que se han hecho para relacionar
a la mayoría de las
la enseñanza de las mate-
máticas y la prensa escrita. La mayoría de estos autores han intentado buscar en la prensa contextos y, sobre todo¡ ejemplos para justificar enseñanza de las matemáticas,
pero en mi opinión
el camino que hay
que recorrer es el inverso al que señalan. Lo relevante danos es la correcta
interpretación
prensa y no las matemáticas
de la información
matemático¡
lo que garantiza
portante
a entender
la información.
en la
pero esto no avala que
de esa información.
y orden de relevancia.
es la información¡
contenida
es que se enseñen las mate-
máticas que son útiles para la comprensión cuestión de prioridad
para los ciuda-
como tales¡ es cierto que para comprender
la prensa deben usar conocimiento se enseñen matemáticas¡
la
y las matemáticas
Es una
Para el ciudadano
lo im-
son útiles porque ayudan
Es decir que para la perspectiva
del ciuda-
dano las matemáticas son un medio y no un fin. Desde la perspectiva de los matemáticos¡
en cambio, la información
der matemáticas, para referenciar
porque
funciona
el conocimiento
sugerir y defender
es útil porque ayuda apren-
como un buen modelo
matemático.
es precisamente
La idea que me gustaría
la inversa: el conocimiento
mático es un medio y no un fin¡ el fin último
es la integración
cipación social, por lo tanto tenemos que aprender poder ser ciudadanos
puede entenderse
y no las matemáticas.
son visiones antagónicas
Si la prensa es un medio de comunicación de la opinión
pública,
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Internet
matey parti-
matemáticas
de pleno derecho porque lo importante
activo y crítico de la ciudadanía
que sirve
para
es el uso
Como fácilmente
de una misma cuestión. básico en la conformación
es hoy en día otro canal fundamental
para obtener
información.
5 en la página siguiente web. La comprensión a utilizar
Anuncios similares al que muestra la figura pueden verse en cualquier
de la información
conocimiento
matemático
Poder transformar
o página
que este anuncio exige obliga
de diverso tipo, y esta compren-
sión es necesaria para que la «propaganda» formación.
periódico
propaganda
pueda convertirse en información
en in-
es, sin lugar
a dudas, una de las necesidades sociales a las que más pueden contribuir las matemáticas, puladores
porque muchos de los efectos nocivos, por mani-
de la propaganda,
incapacidad
de comprender
decir exactamente
se basan la mayoría
de las veces en la
los mensajes de los anuncios. ¿Qué quiere
«descuento
acompañante
hasta 500/0»?
Poner más ejemplos es tan sencillo como innecesario. nocimiento
matemático
mente reconocida. población
básico es hoy en día una necesidad universal-
A pesar de ello, existe un sector importante
escolar que fracasa en el aprendizaje
la educación
El uso de co-
obligatoria.
de la
de las matemáticas
en
Estamos, sin lugar a dudas, en una situación
que podemos calificar de crisis en la enseñanza de las matemáticas
y lo
peor de la cuestión es que comienza a ser una crisis que corre el riesgo de convertirse
en crónica, en endémica.
La crisis en la enseñanza de las matemáticas paña en la extensión de la enseñanza obligatoria que se da, de manera decidida,
tiene su origen en Esa las clases populares
en los años setenta del siglo xx con la
Ley General de Educación y, de manera explosiva y traumática, años noventa estudiantes
del mismo siglo con la LOGSE. La tipología
que acceden a la secundaria
nada que ver con la de los estudiantes
teriores a 1970. En este cambio sociológico la mayoría de las disfunciones
no tiene
de los años an-
hay que situar el origen de
creadas en la enseñanza de las matemá-
ticas en estos últimos años. ¿Qué tipo de aprendizajes socialmente
social de los
en los años noventa de bachillerato
en los
matemáticos
son
necesarios para estos adolescentes que llegan a las aulas en
oleadas sin ningún tipo de filtro
selectivo? ¿Cómo hacer compatibles
IDEA CLAVE 2
o
Figura 5
1
y descuento acompañante hasta
[ID&~©~[b@[?¿]& B 5'"
I
D5*S
W
E 5*S
I
ESENCIAS DE EGIPTO 7n.
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EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
19/05/2008
BARCEL.ONA
BASE 20
y gastos
de anulación
27.€
Propinas
35€a
para grupos
unos currículos que sirven a la vez para los estudiantes hacia la universidad
que se dirigen
y para aquellos que no lo harán? ¿Qué hacer con
todos aquellos estudiantes
que no se corresponden
con el perfil ade-
cuado? No hemos sido capaces de responder insistiendo
a estas preguntas
y seguimos
en unos currículos que estaban pensados, sobre todo a par-
tir de los catorce años, para una situación tuados ya en una etapa postobligatoria seleccionados universidad.
se preparaban
en la que los estudiantes
si-
de la enseñanza y previamente
para estudios científicos
o técnicos en la
Esa realidad ya no existe, ese mundo ya no es el nuestro,
ese paisaje pertenece
al pasado; pero seguimos aplicando
currículos, y la sensación de crisis se agudiza
mientras
los mismos
la parálisis ate-
naza al currículo. La solución atolladero
a esta crisis, en la medida en que sea posible salir del
en el que estamos, debería plantearse
amplia que combinase en la proporción la misma para todos los estudiantes, desarrollo
con una perspectiva
adecuada, y seguramente
las tres miradas comentadas
no en en el
de esta idea clave.
Las matemáticas del ciudadano Todos los estudiantes
deben ser alfabetizados
matemáticamente
para
poder convertirse en ciudadanos activos en sociedades socialmente complejas y científica
y tecnológicamente
lado, extender la oblígatoriedad,
avanzadas, esto implica, por un
que no la comprensividad,
ñanza hasta los dieciséis o los dieciocho años (actualmente a considerar obligatoria
un ciclo de dos años posterior
de la enseya se tiende
a la enseñanza secundaria
como deseable para toda la población,
el objetivo
de dismi-
nuir el fracaso escolar para el 2010 en Europa se cifra en esa edad yen el 15%) y, por otro, avanzar esa alfabetización aritmética
a contenidos
tualmente
se consideran
de los rudimentos
más amplios, pero que no abarquen propedéuticos
de la
los que ac-
en la secundaria obligatoria.
IDEA CLAVE
2
El Consejo Escolar del Estado también bligatorias,
destacando
la necesidad de incrementar
y Formación Profesional.
en Bachillerato mejora
se ha fijado en las Enseñanzas Posto-
van dirigidas
secundaria
Red de Centros de Segunda Oportunidad sin el nivel de educación secundaria
para la juventud laboral.
superior,
las propuestas
reduciendo
del Bachillerato
el desequilicreando
para atraer a la población
superior.
de
de 18 a 24 años al-
y los estudios académicos,
brio de los estudios profesionales
mación Profesional
En este sentido,
a que el 85% de las personas
cance el nivel de educación
tar la flexibilidad
las tasas de titulación
También se propone
una
adulta aumen-
y de los sistemas de acceso y de la For-
con el fin de ofrecer una Formación Profesional atractiva
y adecuada a las características y necesidades del mundo
(Consejo Escolar del Estado, reunión del 28 de julio de 2007)
Para lograr estos objetivos
es necesaria una reforma
del currículo de matemáticas
en profundidad
en la enseñanza secundaria y sobre todo
en el segundo ciclo de la misma. El actual currículo es fuente
de exclu-
sión. Es una ilusión, mil veces negada por la realidad, que la solución a la actual crisis en esta cuestión pueda provenir
de un refinamiento
di-
dáctico.
Las matemáticas del profesional Una proporción
elevada de los estudiantes completarán
grados universitarios
o estudios profesionales
En las sociedades avanzadas este porcentaje 80% del total de la población. profesionalización
de nivel medio y superior. puede suponer más de un
Las matemáticas
que se estudian en la
de los estudiantes deberían adecuarse mejor a los fu-
turos perfiles profesionales y ajustar sus contenidos de los mismos. No parece lógico que las matemáticas ingenieros
se conviertan
a un uso más amplio de los científicos e
en el metro con el que medir a todos los jóve-
nes que aspiran a los estudios universitarios, el uso que harán de las matemáticas
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
sus estudios con
y no lo es porque no es ése
en sus futuras profesiones.
El sector de la población
que debe seguir formándose
cas más allá de los años en los que termine sulta de esta manera ampliado
la educación obligatoria
re-
hasta el punto que puede hablarse de la
necesidad de una segunda alfabetización jetivo de esta segunda alfabetización sino el profesional.
en matemáti-
masiva en matemáticas.
El ob-
matemática ya no es el ciudadano,
Esdecir, la persona que va a prepararse para ejercer
una profesión que necesita una formación de tipo medio o alto. La inmensa mayoría de los profesionales
de cualquier orden (economistas, médicos,
educadores, psicólogos, abogados, enfermeras, contables ... ) necesitan competencias
matemáticas
labor, y el número de estos profesionales tes que se preparan
maestros, empresarios, para desarrollar
es mayor que el de estudian-
para las carreras de orientación
Hay que considerar seriamente
su
la conveniencia
científico-técnica.
de incorporar
estudios
de matemáticas en los dos primeros años de todos los grados universitarios, porque no es aceptable la escasa competencia, podido comprobar con un título
personalmente
universitario,
en algunos casos he
que esta competencia es incompatible
que actualmente
tienen
los egresados uni-
versitarios de los estudios «que no son de ciencias», ni es compatible una formación
con
que les prepare para una sociedad en la que la compe-
tencia matemática
es clave para el aprendizaje
a lo largo de toda la vida.
La enseñanza de las matemáticas ha desdeñado a estos colectivos y tiende a considerar que les basta con «menos matemáticas» que necesitan son «otras matemáticas», precisan más matemáticas
sin pensar que lo
la mayoría de los profesionales
que las que aprenden,
pero necesitan otras
matemáticas distintas a las que se les proponen. Dentro del amplio sector de estudiantes
que se preparan
para estu-
dios de nivel medio y superior, existen intereses y necesidades diferentes con relación a la formación
matemática
tanto, no se trata de que algunos aprendan mundo científico-tecnológico) se aprenden
que deben recibir. Por lo matemáticas
(orientadas
y otros no, sino que las matemáticas
deben diversificarse
para atender
al
que
a los intereses formati-
IDEA CLAVE
2
vos de los estudiantes
según éstos se vayan orientando
sas ramas profesionales oferta
educativa
hacia las diver-
a las que aspiran a llegar. La flexibilidad
deberá ser, por lo tanto,
un elemento
de la
clave que ha-
bria que considerar en este segmento de edad y no debería mantenerse la actual primacía que tienen las partes de las matemáticas profesionales matemáticas
del ámbito
científico-tecnológico.
debe diversificarse
que usan los
La enseñanza
para atender de manera más adecuada
a las necesidades de los estudiantes
de todos los tipos de estudios, por-
que es un error pensar que sólo necesitan saber matemáticas diantes que se dirigen
de las
los estu-
hacia los estudios de ciencias e ingenierías.
mayoría de los universitarios
que cursan grados no científicos
ponen de la competencia
matemática
profesional
social actual.
en el contexto
La
no dis-
necesaria para su desempeño
Las matemáticas de los matemáticos Sólo un reducido
número
de estudiantes
máticas como su destino de dedicación de los estudiantes
se encamina
social. Un porcentaje
que entran en la universidad
años. Ya he expresado
muy bajo
eligen estos estudios.
Además, es un colectivo cuya cuantía está disminuyendo mante en los últimos
hacia las mate-
de manera alar-
mi idea sobre la conve-
niencia de una reforma en la oferta universitaria
en esta cuestión. Pienso
que debería estudiarse la posibilidad
de ofertar un grado en ciencias que
fuera polivalente
el acceso a un postgrado
nalizador
y que permitiera
para dedicarse a la enseñanza tanto de matemáticas
profesiocomo de
ciencias en secundaria, y que a la vez fuera la puerta de estudios de postgrado
donde se especializaran
los estudiantes
de manera más específica a las matemáticas. mática de los matemáticos
que deseasen dedicarse En consecuencia,
la mate-
debe ser estudiada en el mundo universita-
rio y por aquellos estudiantes que decidan embarcarse en esa aventura. Sobre esta cuestión creo que son los matemáticos
de la Academia
que tienen que hablar y por esta razón no diré nada.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
los
En resumen Las matemáticas
están en el currículo de la enseñanza obligatoria
Esta presencia e imposición
sólo puede justificarse
de manera obligatoria.
si se argumenta
suficientemente
terés social de actuar de esta manera. Ese interés no puede ser, en la educación toria,
formar
población,
matemáticos
ni formar
porque
científicos
es algo que sólo afecta a una ínfima
e ingenieros,
tuyen ni de lejos la mayoría de esa población. matemáticas
tienen
plejas y tecnológica
para un desempeño y científicamente
sencia de las matemáticas
mente, o de manera principal, estar justificadas
de la ciudadanía
de la enseñanza
tipo de matemáticas» aquellas matemáticas
las matemáticas
gatoria
un filtro
obligatoria,
años de los grados universitarios,
la pre-
no avala, desde
en esos niveles educativos.
Sola-
que sean útiles a este fin pueden Estamos lejos de
de los últimos cursos de la enseñanza obli-
selectivo, una dificultad
servicio de los fines sociales más arriba establecidos. de matemáticas
consti-
en sociedades com-
avanzadas. Pero si esto sirve para justificar
esa situación y en la actualidad
dida de los currículos
parte de esa
aunque son más, tampoco
como parte del currículo de la enseñanza obligatoria.
son más una barrera,
obliga-
La razón está sin duda en el interés que las
completo
en el currículo
luego, la presencia de «cualquier
porque,
el in-
que una herramienta
Si no se acomete una reforma
de la secundaria,
del bachillerato
al
deci-
y los primeros
será muy difícil salir de esta situación.
IDEA CLAVE
2
•
Sería interesante
extender
el debate
de la competencia
necesaria
sobre el currículo de matemáticas dando
ámbito
(o preprofesional)
cabida en el mismo a otros profesionales
y tendría que considerar
que no sean los académicos universita-
cia de ajustar el currículo de matemá-
rios, con el fin de recoger una visión más
ticas a las ramas de los futuros
social de lo que es importante
universitarios.
aprender.
Matemáticas para todos supone necesa-
•
riamente otras matemáticas. •
los actuales
currículos
de matemáticas
educación
cen-
dicados anteriormente
debería
desde los criterios porque
una de las prioridades
y social. Esto marca un criterio
dad de expertos e investigadores
claro a
no se
de la comunien la
enseñanza de las matemáticas.
la hora de dilucidar cuáles deberían ser •
Deberíamos
proponer
un cambio cul-
tural entre los docentes de matemáti-
la educación obligatoria. La enseñanza de las matemáticas educación postobligatoria
in-
ajustan a los mismos. Ésta debería ser
de la competen-
que habría que lograr en
de
de enseñanza
cia necesaria para los ámbitos personal
los objetivos
grados
un análisis sistemático
en la
obligatoria
la convenien-
Convendría
La enseñanza de las matemáticas
trarse en el desarrollo
•
profesional
para el
en la
preuniversi-
taria debería centrarse en el desarrollo
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
cas para herramienta
que
las consideren
una
al servicio del desarrollo
de los estudiantes.
El objetivo de la enseñanza de las matemáticas escolares es el desarrollo de la competencia matemática El viento y los veleros A causa de su malformación y de la lentitud de su inteligencia, sacaron a Michael del colegio tras un corto período de prueba, y lo entregaron a Huis Norenius en Faure, donde, a costa del Estado, pasó el resto de su infancia en compañia de otros niños desafortunados y con problemas aprendiendo a leer, escribir, contar, barrer, frotar, hacer camas, fregar platos, tejer cestas, carpintería y jardinería. (Coetzee, Vida y época de Michael K.)
De área de conocimiento a competencia clave El aprendizaje de las matemáticas necesarias para la integración social y el desarrollo profesional son un fin social que no debe verse supeditado a una utilización de las matemáticas que con fines selectivos se convierta en un obstáculo para muchos jóvenes. El estado actual de la enseñanza de las matemáticas, centrado en la adquisición de contenidos de dudosa utilidad para los fines sociales más arriba indicados, promueve que las matemáticas sean vistas como un filtro seleccionador, una especie de embudo que sólo succiona a los «mejores», que actúa más como una barrera que como una oportunidad que hay que aprovechar.
IDEA CLAVE
3
69
En estos últimos años estamos asistiendo a la aparición de un nuevo discurso sobre los fines sociales de la educación, discurso que se concreta en los planes europeos para la educación que parten de los acuerdos de la cumbre de Lisboa de la UE y de sucesivas propuestas que se han ido haciendo para armonizar los currículos de enseñanza de los países de la UE. Entre los planes europeos destacan los pactos para la creación del Espacio Europeo de Educación Superior y el acuerdo sobre competencias del parlamento europeo. Esta idea clave la dedico a explicar este discurso y a analizar sus luces y sombras. Las matemáticas aparecen en el actual currículo de la LOE dos veces, una como área de conocimiento y otra como competencia clave. Tal vez pocas cosas reflejen mejor la situación actual que esta duplicidad donde cambio e inmovilismo se cruzan sin que se sepa bien con qué carta quedarse. Porque no es lo mismo proponer las matemáticas como un corpus de conocimiento que hay que aprender, donde la lógica interna de la materia es la columna vertebral sobre la que debe girar el currículo, que hacerlo como competencia, donde entran otras variables como son su uso o aplicación y los contextos en los que se utiliza y donde el orden de organización del currículo puede ser, por lo tanto, bien diferente.
¿Estamos en una encrucijada;
tenemos ante nosotros un
cruce de caminos y deberemos optar por uno u otro? ¿O por el contrario daremos una de cal y otra de arena, pondremos una vela a Dios y otra al diablo y evitaremos decantamos por una u otra vía hasta que deje de llover, se despeje el paisaje y se vea claro por dónde ir? Las matemáticas como área de conocimiento son algo bastante conocido, por esta razón, dedico esta idea clave a presentar las matemáticas como una competencia clave, valga la repetición. Espero que estas reflexiones ayuden a responder a las preguntas que he dejado sin respuesta en el párrafo anterior.
La Unión Europea y las competencias clave Desde la cumbre de Lisboa celebrada en el año 2000, la Unión Europea viene promoviendo de manera activa políticas educativas con la finalidad de ir construyendo un marco europeo común de referencia. En esa fecha se pusieron en marcha una serie de comisiones que han ido tra-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
bajando, celebrando
diferentes
puestas. Todos esos trabajos, ahora, el 26 de septiembre
reuniones y elaborando que no vamos a detallar,
dirigida a todos los estados miembros, titulada
tribuir
permanente,
al desarrollo
adaptada
culminan,
de 2006. En esa fecha el Parlamento
peo y el Consejo de la Unión Europea aprobaron
el aprendizaje
sucesivas pro-
Competencias clave para europeo,
de una educación de calidad, orientada
a las necesidades de la sociedad europea.
para conal futuro
y
Este marco de re-
clave, que son las siguientes:
•
Comunicación
en la lengua materna.
•
Comunicación
en lenguas extranjeras.
•
Competencia
matemática
Euro-
una «recomendación»
un marco de referencia
ferencia establece ocho competencias
por
y competencias
básicas en ciencia y tec-
nología. •
Competencia
digital.
•
Aprender
•
Competencias
•
Sentido de la iniciativa
•
Conciencia y expresión culturales.
a aprender. sociales y cívicas.
Las competencias
y espíritu de empresa.
clave pretenden
ser los ejes que deben estructurar
los currículos en las diversas etapas del sistema educativo que tendría que ser el armazón del sistema educativo ponen como competencias A cada país miembro
para desarrollar
le corresponde
dentro
europeo.
de lo Se pro-
a lo largo de toda la vida.
desplegar estas competencias
den-
tro de su propio sistema educativo
y así lo vienen haciendo diferentes
países europeos con fecha anterior
y posterior
a esta resolución.
En el anexo I del decreto de mínimos de la LOE (Decreto 1513/2006 del 7 de diciembre de 2006) se adecuan las competencias
clave europeas
y se definen
de los currícu-
ocho competencias
los en las diferentes competencias
comunidades
clave para el desarrollo autónomas
Las competencias clave deben estructurar los currículos las diversas etapas sistema educativo
se
proponen como competencias que hay que llar a lo
del estado español. Estas toda la
son las siguientes:
IDEA CLAVE :;
..,~ I ;
1. Competencia
en comunicación
lingOística.
2. Competencia matemática. 3. Competencia en el conocimiento 4. Tratamiento
y la interacción con el mundo físico.
de la información
y competencia
5. Competencia
social y ciudadana.
6. Competencia
cultural y artística.
7. Competencia
para aprender
8. Autonomía
e iniciativa
digital.
a aprender.
personal.
A su vez, cada una de las autonomías cias en los decretos que regulan
está recogiendo
estas competen-
los nuevos currículos para sus respec-
tivas comunidades. El resto de países europeos competencias
clave, aunque
mas no son coincidentes
está incluyendo la velocidad
en sus currículos estas
y la forma
final de las mis-
en todos sus aspectos. De todas maneras, lo
que nos interesa señalar es que en todos los casos aparece la denominada competencia
matemática,
ciada a otra (en general tecnológico).
ya sea de manera independiente
a la que se refiere
al mundo
De manera que queda bien establecido
nomina competencia
matemática
constituye
o aso-
científico
y
que lo que se de-
uno de los ejes organiza-
dores de los currículos europeos. ¿Qué hay detrás de esta iniciativa? la competencia matemática aparece en los currículos de todos los países europeos de manera independiente o asociada a otra competencia.
toridades
¿Qué motivos impulsan a las au-
políticas europeas a introducir
estos cambios en la estructura
de los currículos y a situar lo que denominan
competencia
matemática
como uno de los ejes del currículo de la enseñanza obligatoria? esto algo que ver con la intención social que en la actualidad
de resolver los problemas
debe contribuir
de calidad, orientada
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MA TEMATICA
sea incluir en estas
texto:
La presente Recomendación
y formación
de orden
tienen los sistemas educativos europeos? Tal
vez lo más directo para contestar estos interrogantes páginas el siguiente
¿Tiene
al desarrollo
al futuro y adaptada
de una educación
a las necesidades de
la sociedad europea, apoyando y completando
las acciones que los Estados
miembros emprendan con el fin de garantizar que sus sistemas de educación y formación iniciales pongan a disposición de todos los ióvenes los medios necesarios para desarrollar las comoetencias vida adulta. v que constituvan
clave que los oreoaren oara la
una base para el aorendizaie
comolementa-
rio v la vida laboral. así como que los adultos puedan desarrollar y actualizar sus competencias aprendizaje
clave mediante
permanente.
(Parlamento
una oferta coherente
y completa de
Europeo, 2006, p. 6)
(El subrayado no está en el texto originaL)
Queda claro que lo que se pretende
es una alfabetización
sea la base del desarrollo social y económico conseguir
europeo. Lo que se intenta
es que «todos los jóvenes» logren un nivel de competencia
que los «prepare para la vida adulta, y que constituya aprendizaje
masiva que
complementario
mi interpretación,
una base para el
y la vida laboral», en consecuencia, según
estamos frente a una visión del currículo que prima
los aspectos de inclusión social por encima de cualquier ración. En definitiva,
lo que se pretende
otra conside-
es que los sistemas educativos
dejen de ser un obstáculo para el desarrollo social, anclados como están en una obsesión academicista, y sirvan como base del nuevo orden económico. El propio informe
muestra esta necesidad:
El estudio de Maastricht sobre educación y formación profesionales pone de manifiesto
de 2004
un considerable desfase entre los niveles de formación
exigidos por los nuevos puestos de trabajo y los alcanzados por la mano de obra europea. Dicho estudio muestra que más de una tercera parte de la mano de obra europea
(ochenta millones de personas) está poco cualifi-
cada, mientras que las estimaciones indican que, de aquí a 2010, casi el 50% de los nuevos puestos de trabajo exigirá cualificaciones
de nivel superior,
algo menos del 40%, enseñanza secundaria superior y tan sólo el 15%, aproximadamente,
será adecuado para trabajadores que dispongan
rización básica. (Parlamento
de escola-
Europeo, 2006, p. 4)
IDEA CLAVE
3
Con la finalidad
de adecuar el sistema educativo
ciales, se promueve
un cambio en la estructura
a las necesidades so-
del currículo que se con-
creta, en lo que a nosotros atañe, en cambiar de paso para considerar que las matemáticas
deben dejar de ser un área de conocimiento
pasar a ser una de las competencias
para
clave que debe ser desarrollada
todos, no sólo por algunos, a lo largo de todos los estudios.
por
Estamos
donde estamos porque la conciencia del desajuste entre las necesidades sociales y lo que el sistema educativo las decisiones políticas.
construye
ha llegado al nivel de
Esa toma de conciencia,
si bien hay que decir
que algunos países se muestran
mucho más dinámicos que otros en el
despertar
ha impulsado
de esta sensibilidad,
por parte de las instituciones La aparición
como ejes organizadores
rrículo ni es del todo novedosa ni neutral ológico. Lo que se denomina
profesional
de decisiones
políticas que se ocupan de la educación.
de las competencias
ya viene utilizándose
la toma
«currículo
del cu-
desde el punto de vista ide-
por competencias»
es algo que
en España desde los años noventa en la enseñanza
y ocupacional,
y desde luego es una corriente
que llega
a la enseñanza desde el mundo de la empresa, como ha sucedido con otras propuestas
de reforma.
De hecho esta propuesta
ha levantado
suspicacias, cuando no oposiciones declaradas, en ciertos sectores educativos con la acusación manifiesta
de poner el sistema educativo
«al
servicio de los intereses económicos del mercado». Negar que el viento que mueve las velas viene de esa dirección hecho casi todos los textos europeos promovido
esta propuesta
sistema educativo
que han precedido,
y
nos hablan de la necesidad de acomodar
el
económica
nión el quid de la cuestión está en distinguir
y social. En mi opi-
entre mercado y sociedad,
que el sistema educativo viva de espaldas a las
necesidades sociales si éstas están determinadas las opiniones
de
justificado
a la nueva realidad
porque nadie pretenderá
es negar una realidad,
por el libre juego de
políticas expresadas por los cauces institucionales,
es decir
por medio del debate político propio de las democracias europeas, aun-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
que es legítimo¡ y me atrevería a decir necesario¡ que no se confundan esas necesidades con los intereses del beneficio lógica empresarial
capitalista,
porque
económico
la educación
propio de la
no puede organi-
zarse según ese tipo de lógica. La educación debe servir a fines sociales más generales que los que sustentan Este matiz es importante
los fines del mercado económico.
y no debemos olvidarlo
porque una transla-
ción mecánica y poco cuidadosa de la manera de pensar que sirve para organizar
la producción
de bienes según la manera de hacer del mer-
cado no servirá para organizar mente una caricatura
una educación¡ a no ser que se tenga en
de lo que este término
En los años cincuenta
representa
del siglo xx ya hubo un intento
esto por parte de los autores norteamericanos luego se denominó
modelo tecnológico
en realidad. algo similar a
promotores
de organización
de lo que
del currículo.
La Ley General de Educación de 1970 se sirvió de este modelo propia reforma curricular. distinto y la industria similar:
Eran otros tiempos, el sistema productivo
era el sector emergente,
llevar a la educación
lo hizo porque se confundió
pero el intento
lo que funcionaba
dustrial. Todos sabemos que eso no funcionó,
ni el modelo de producción
secuencia¡ también
in-
y creemos saber que no
resucitar esta manera de ver las de un modelo
Lo que sucede es que ahora ni el sector industrial
que seguir, la producción
el viento
fue muy
en la producción
cosas y en vísperas, si no ya en el alba¡ de la reaparición
emergente
era
hacer coches en cadena con enseñar. Po-
demos estar a las puertas de intentar
neotecnológico.
para su
es el
en serie es el modelo que habría
de bienes es mucho más sofisticada y¡ en con-
lo son los modelos de su organización.
sopla en una dirección
se suele poder elegir la dirección
y a uno le toca pilotar
Pero cuando un velero¡ no
en la que sopla el viento,
pero sí se
puede, en cambio, decidir hacia dónde se quiere navegar y no es necesario que ambas direcciones coincidan El piloto tiene a su disposición binan adecuadamente¡
ni que se opongan
linealmente.
un abanico de direcciones que si se com-
pueden
hacer que el barco navegue en la di-
IDEA CLAVE
3
rección que decida el piloto con independencia En mi opinión,
el mundo educativo
se encuentra
milar, porque la sociedad, en concreto ciencia de que el sistema educativo social y económico,
y desea introducir
de cómo sople el viento. en una situación
la europea, está tomando
si-
con-
es una rémora para el desarrollo cambios en el mismo de cara a
conseguir una mayor adecuación entre ambos sistemas. El viento sopla en esa dirección y debemos contar con ello para pilotar el velero que es el sistema educativo.
No podemos seguir pensando que el sistema edu-
cativo es un sistema autorreferente, reses, muchas veces corporativos
ni que es el sistema a cuyos inte-
aunque se tilden de otra cosa, deben
inclinarse los demás. Nunca ha sido así, aunque se diga otra cosa, y difícilmente
lo será en el futuro;
pero eso no quiere decir que debamos
plegar las velas y renunciar a navegar, porque si lo hacemos, la corriente arrastrará el barco; lo que quiere decir es que debemos elegir el rumbo y organizar
el velero para que navegue en esa dirección.
La dirección
del viento no la podemos elegir, pero aquella en la que queremos navegar sí. Para ello necesitamos una revisión del concepto de competen-
cia que, superando una visión que sólo mira al desempeño profesional ligado a un perfil determinado, y contenga
las competencias
contemple
a la persona en su conjunto
que son necesarias para su desarrollo
per-
sonal, social, cultural, etc. Necesitamos además una visión de las necesidades sociales que vaya más allá de la lógica defienda
una visión social solidaria y equitativa.
nos del concepto de competencia
y que
Necesitamos apropiar-
para darle un sentido más amplio por-
que la escuela necesita una reforma reforma
economicista
urgente,
pero la dirección
de esa
no puede quedar en manos de los grupos que analizan la rea-
lidad social desde la óptica del mercado. No es fácil saber cómo pilotar ese velero que es el sistema educativo con sensibilidad educación.
social y un sentido de los valores que debe priorizar
Intentaré
la competencia
y por eso necesitamos marineros
no perder de vista estas ideas en la concreción
matemática
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
que trabajaré
a continuación.
la de
La competencia matemática como una propuesta para una educación inclusiva Resulta evidente tencia»
que desentrañar
de manera general
el significado
excede los objetivos
Existe literatura
abundante
desea. Dejando
de lado esa cuestión
«compe-
de este documento.
al respecto' y puede ser consultada
trarnos en el descubrimiento
si así se
previa, vamos a intentar
aden-
de las claves que nos ayuden a comprender
qué es eso que denominamos El informe
del término
competencia matemática.
que hemos citado en el apartado
ción de lo que la UE considera competencia
3.1 nos da una defini-
matemática:
La comDetencia matemática es la habilidad Dara desarrollar v aDlicar el razonamiento matemático con el fin de resolver diversos Droblemas en situaciones cotidianas. Basándose en un buen dominio del cálculo, el énfasis se sitúa en el proceso y la actividad, aunque también en los conocimientos. La competencia matemática entraña -en distintos grados- la capacidad y la voluntad de utilizar modos matemáticos de pensamiento (pensamiento lógico y espacial) y representación (fórmulas, modelos, construcciones, gráficos y diagramas). (Parlamento
Europeo, 2006)
(El subrayado no está en el texto original.)
El proyecto
PISA de evaluación
de «competencia dio de evaluación. matemática
matemática»
ya utilizaba
en el año 2003 el término
como base para su archiconocido
Este documento
da una definición
estu-
de competencia
que es la siguiente:
Capacidad de un individuo para identificar y comprender el papel que las matemáticas juegan en el mundo, realizar razonamientos bien fundados y utilizar e involucrarse en las matemáticas de manera que satisfagan las ne-
1. En la dirección de Internet: http://cisne.sim.ucm.es/search*spi-S6/X?SEARCH=Competencias+educaci%
C3%B3n de la Universidad Complutense puede consultarse una
completa bibliografía sobre las competencias en el ámbito educativo.
IDEA CLAVE
3
cesidades de la vida del individuo como ciudadano
constructivo,
compro-
metido y reflexivo. (lNCE, 2004, p. 12)
Podemos añadir a esta escueta definición tensa para caracterizar
algo más ex-
el sentido que le se le da a este término:
El término «competencia
matemática»
funcional del conocimiento y de manera
una explicación
matemático
variada, reflexiva
se ha escogido para enfatizar el uso en numerosas y diversas situaciones
y basada en una compresión
profunda.
para que este uso sea posible se requiere una gran canti-
Por descontado,
dad de conocimientos y destrezas matemáticas
básicas, y tales destrezas for-
man parte de nuestra definición de competencia.
(...)
(..,) Del mismo modo, la competencia matemática no debe limitarse al conocimiento de la terminologia, datos y procedimientos
matemáticos, aunque, ló-
gicamente, debe incluirlos, ni a las destrezas para realizar ciertas operaciones
y cumplir con determinados métodos. La competencia matemática comporta la combinación
creativa de estos elementos
en respuesta a las condiciones
que imponga una situación exterior. (lNCE, 2004, p. 18)
Las preguntas
que consideramos
tos son las siguientes:
pertinentes
una vez leídos estos tex-
¿qué hay en común y qué existe de constitutivo
en estas definiciones?,
¿qué es lo esencial de estos textos? En mi opi-
nión, las notas constitutivas
de este término
que se pretende
definir
son los siguientes: •
El énfasis en la aplicación el razonamiento
matemático»
petencia matemática del conocimiento •
La importancia
de las matemáticas:
«desarrollar
en la primera cita, «El término
se ha escogido para enfatizar
matemático»
y aplicar com-
el uso funcional
en el último texto.
de las situaciones o los contextos a los que las mate-
máticas deben aplicarse: «con el fin de resolver diversos problemas en situaciones cotidianas»
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
en un documento,
«que satisfagan las ne-
cesidades de la vida del individuo como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo» en el otro documento.
Por lo tanto, podemos concluir que la aplicación del conocimiento (razonamiento,
esquemas de pensamiento) a los contextos definidos por
las situaciones socialmente relevantes forma el núcleo común a estas propuestas. Existen algunas diferencias de matiz que pueden ser relevantes para un estudio comparativo entre ambas propuestas, pero es algo que no deseo destacar en este momento. Ahora mismo, lo que nos interesa es buscar las señas de identidad comunes que nos ayuden a definir con precisión qué podemos entender por competencia matemática. La «utilización del conocimiento matemático en contexto de uso social» parece constituir una buena síntesisde los puntos comunes a ambas propuestas y con esta síntesis nos quedamos por el momento. Para avanzar un poco más e intentar una aproximación analítica más precisa sobre este concepto (competencia matemática) ya acotado previamente, lo mejor es ir directamente al certero análisis que hace el proyecto PISA. En la versión inglesa del documento titulado: Learning for Tomorrow's world, p.25, puede leerse lo que se muestra en la figura 6: Figura 6
Literacy in Pisa: what is measured The assesssment areas covered by PISA are defined in terms of: • the content os structure of knowledge that students need to acquiere in each assessment area (e.g .. familiarity
with mathematical
concepts);
• the processes that need to be performed (e.g., pursuing a certain mathematical • the situations in wich students encounter mathematical
argument); and
problems and relevat knowledge and
skills are applied (e.g., making decisions in relation to one's personallife,
or unserdtanding
world affairs).
Una traducción de este texto puede ser la siguiente:
IDEA CLAVE
3
1. El contenido o estructura de conocimiento que el estudiante necesita adquirir en cada área evaluada. 2. Los procesos que necesitan ser puestos en acción. 3. Las situaciones en las que los estudiantes encuentran problemas matemáticos y donde los conocimientos y destrezas relevantes son aplicados.
Si comparamos
estos tres ejes con los elementos
niciones anteriores, •
El contenido
podremos ver que coinciden
matemático
llama «conocimiento •
•
comunes de las defiperfectamente:
es lo que en las definiciones
anteriores
matemático».
Los procesos se concretan
en las definiciones
anteriormente
como «desarrollar,
aplicar, resolver, ... » y hacen claramente
cia a la utilización
del conocimiento.
Lo que aquí se llama contexto tuaciones»,
se
en las definiciones
dadas referen-
se hace como «si-
«vida diaria».
Podemos adelantar «competencia
ya una primera
matemática».
rencia a la competencia
definición
sintética
Siempre entendiendo
matemática
matemáticos
que hacemos refe-
que debe formar
escolar de todas las personas y no a la competencia (cuestión que no tengo intención
del término
parte del bagaje matemática
de los
de dilucidar).
Competencia matemática = Uso de conocimiento matemático para resolver problemas (situaciones) relevantes desde el punto de vista social.
Si comparamos habitual
estos tres ejes estructurales
a la hora de organizar
mero de ellos, el eje denominado considerarse
los currículos, «contenido
novedoso. Tradicionalmente,
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
con lo que ha venido siendo podemos ver que el primatemático»,
no puede
los currículos de matemáti-
cas se han organizado aritmética,
siguiendo
los llamados «bloques de contenidos»:
medida, geometría,
la distinción
álgebra, etc., aunque cabe señalar que
en bloques que se hace en el citado proyecto PISA está ale-
jada de esta división tradicional. Tampoco el segundo eje, que en el proyecto PISA se denomina ceso», es totalmente
nuevo ya que desde hace algunas décadas se habla
en los currículos de matemáticas de problemas,
de lenguaje
matemático
y resolución
es decir del uso que se hace de los contenidos
ticos desde un punto de vista psicológico. más habitual
«pro-
matemá-
Tal vez en nuestro medio sea
hablar de capacidades para referirse a esta cuestión, pero
en el fondo estamos hablando
de lo mismo, de las operaciones
les que hay que realizar para el uso del conocimiento Por esta razón pienso que el realmente
menta-
matemático.
novedoso en este caso es el
tercero de los ejes, el que hace referencia a las situaciones, que también y de forma más general llamamos «contexto».
Lo que realmente
especial y novedoso al concepto de competencia hace en él al contexto
otro que intenta el desarrollo la perspectiva
es la referencia que se
social. De manera que la diferencia
rrículo que se basa en la transmisión
hace
del conocimiento
de las competencias
del uso social de ese conocimiento
entre un cumatemático
matemáticas
y
está en
y en relevancia
del
mismo para la inclusión social de las personas.
La competencia matemática y el conocimiento de las matemáticas En muchas ocasiones no resulta suficiente siste un determinado finición
afirmativa
diferencia
término,
considerarse
explicar en qué con-
complementar
que intenten
dedicar un espacio a determinar
Por esta razón, considero en qué se diferencian
La razón última
de elegir
una de-
decir en qué se
de otros que, de manera equivocada,
como sinónimos.
y «conocimiento».
y es conveniente
con notas aclaratorias
tal término
intentar
podrían
conveniente
«competencia»
esta contraposición
es
IDEA CLAVE
3
la convicción personal de que todavía se considera que la finalidad última del currículo es transmitir conocimiento,
postura radicalmente
distinta al objetivo de desarrollar competencias. Conviene, por lo tanto, explicar claramente qué no es competencia porque creo que, de esta manera, nos podremos hacer oír por los que sólo entenderán cuando alguien les diga que algo no es una competencia. Se puede decir, de manera sencilla, que conocimiento es elaboración de la información y, como he dicho más arriba, competencia es el uso de ese conocimiento en un contexto. Como puede verse es algo totalmente distinto. Podemos, por lo tanto, afirmar que competencia matemática no equivale a conocimiento matemático: 1. Las competencias no son en sí mismas conocimientos,
habilidades o actitu-
des, aunque movilizan, integran, orquestan tales recursos. (Perrenoud,2004)
Una gran parte del conocimiento matemático que aprenden los actuales estudiantes de la enseñanza obligatoria no es utilizado por ellos en ningún contexto, ni en el momento del aprendizaje ni en momentos posteriores al mismo. Si ésta es una afirmación que puede mantenerse en lo relativo a la enseñanza de las matemáticas en general, cobra una especial relevancia si tenemos en cuenta los contenidos de la enseñanza secundaria obligatoria. Este conocimiento suele resultar bastante efímero y en contadas ocasiones dura más allá de lo exámenes ad hoc que se utilizan para evaluarlo. Si algo ha puesto de manifiesto el programa PISA,es la escasarelación entre el conocimiento matemático que se imparte en el medio escolar y las competencias matemáticas que este proyecto evalúa. Confundir conocimiento, que es el producto de la elaboración de la información que se recibe, con competencia, que es el uso de ese conocimiento en un contexto, es el error sobre el que se funda uno de los malentendidos más dañinos para la correcta comprensión y poste-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
rior aplicación de lo que significa situar las competencias
como ejes ver-
tebradores
evaluar y, pos-
del currículo.
teriormente,
Y lo que es aún peor significa
clasificar a los estudiantes por el conocimiento
que son capaces de aprender y no por la competencia
matemático
matemática
que
son capaces de desarrollar. Existe una opinión
muy extendida
que defiende
guien ponga en acción un conocimiento tanto,
en todo caso el conocimiento
esta afirmación docentes)
innegable
a la competencia.
De
se deduce que a nosotros (los
nos toca enseñar conocimiento
garán otros de pedir a los estudiantes
que no tiene y que, por lo
es anterior
por evidente,
que es difícil que al-
y que después ya se encar-
que pongan
en práctica lo que
les hemos enseñado (no se sabe quiénes son esos otros, aunque se intuye que se refiere al mundo profesional).
Esta argumentación,
que pa-
rece pura lógica, tiene un punto débil porque no se aclara qué significa «antes» y «después». Da la impresión tesis afirman
que es necesario acumular
ble» antes de ponerlo •
Es imposible
«todo el conocimiento
esta posi-
en práctica, cuando se sabe que:
saber todo
pretenderlo •
de que los que defienden
lo que hace falta
antes de actuar y que
es la mejor manera de no hacer nunca nada .
Que conocimiento
y práctica
interactúan
dialécticamente
favore-
ciéndose mutuamente.
Es decir, que la puesta en práctica de los conocimientos bilidad cognitiva de los mismos y el conocimiento competencia!.
Por lo tanto,
que conocimiento
refuerza la esta-
mejora el desempeño
no existe un «antes» y un «después», sino
y competencia coexisten y se refuerzan de forma posi-
tiva si se sabe combinarlos adecuadamente.
Las teorías de la acción refle-
xiva afirman taxativamente
que la reflexión sobre la acción (competencia)
es fuente de conocimiento,
que a su vez puede guiar la acción para hacer
que ésta sea más eficiente.
Estamos en la situación que ejemplifica
fectamente
per-
el cuento del huevo y la gallina. ¿Qué fue antes el huevo o la
IDEA CLAVE
3
gallina? ¿Qué es antes el conocimiento
o la competencia? No tiene ningún
sentido plantear las cosas así. Lo que hay que hacer es reflexionar el conocimiento
sobre
necesario para la práctica y sobre las prácticas que gene-
ran conocimiento,
utilizando
una lógica dialéctica y no secuencial, por-
que las cosas en esta cuestión no son lineales, sino circulares o más bien similares a las espirales, que vuelven y avanzan a la vez. Debemos dejar bien establecido no son la misma cosa y que guardan circular y no de dependencia
que conocimiento
y competencia
entre sí una relación dialéctica
lineal jerárquica
y
(primero el conocimiento
teórico y luego la práctica). Así pues, situar las competencias como eje del currículo y no los contenidos (conocimiento)
implica que deberán trabajarse
léctica y no secuencial) los conocimientos de las competencias
(de manera dia-
necesarios para el desarrollo
elegidas, es decir que deberán justificarse
tenidos escogidos en base a las competencias
los con-
que tengan que desarro-
llarse. Y, aunque es cierto que no pueden existir el uno sin el otro, en el caso del currículo por competencias de dirección finalista,
a éstas les corresponde
mientras que el conocimiento
a lo necesario para llegar a los fines establecidos ser un fin. El conocimiento competencias,
es indispensable
pero no, lógicamente,
sólo aquel que sirve para el desarrollo una cuestión de prioridad
el papel
debe supeditarse
porque ha dejado de
para el desarrollo
todo el conocimiento de las competencias
de las
posible, sino elegidas. Es
estratégica.
los contextos de uso de las matemáticas y su relevancia para el currículo de matemáticas por competencias El
término
«contexto»
es un tanto confuso y puede entenderse
puntos de vista no coincidentes.
desde
Tal vez por esta razón convenga con-
cretar, por medio de ejemplos, a qué me refiero cuando hablo de contexto en estas ideas clave.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
El proyecto
PISA cita cinco contextos
de uso de las matemáticas:
1. Personal. 2. Educativ02• 3. Profesional. 4. Público. 5. Científico.
Introducir
los contextos
como eje organizador
tribución
más interesante,
que aporta el denominado
del currículo
es la con-
desde el punto de vista del diseño curricular, «currículo
por competencias».
Esto quiere
decir que habrá que desarrollar
las competencias
precisas para poder integrarse
de manera plena y activa en estos con-
textos.
En consecuencia,
deberán
trabajarse
matemáticas
los contenidos
que sean
que sean
necesarios para este desarrollo
y no otros. La dirección
vendría desarrollar
no apunta, por lo tanto, a la epistemo-
el currículo
logía de las matemáticas,
ni al desarrollo
en la que con-
del pensamiento
matemático,
ni a la abstracción, sino al uso social de esos conocimientos las personas que se educan, entendiendo turales de desarrollo
por «social» los ámbitos
na-
de las personas en nuestra sociedad.
Lo que sucede es que estos contextos ni el mismo significado
por parte de
no tienen la misma relevancia
para todas las edades ni para todas las personas.
Es decir, dicha relevancia
es distinta
a la edad de seis años, a la de ca-
torce, a la de veinte o a la de 35, por citar algunas edades. Y tampoco es lo mismo tener veinte años y trabajar des almacenes que estar estudiando
de dependiente
para «trabajador
en unos gransocial» o «inge-
2. No me parece claro hablar de contexto educativo porque creo que si hablamos de currículo escolar, lo educativo es precisamente el contexto que engloba a todos los demás. Desde la escuela, y no desde la familia, ni las instituciones sociales, ni los centros de trabajo, ni los centros de investigación, trabajaremos competencias que pueden aplicarse en el resto de contextos: personal, profesional, público (social) y científico (académico).
IDEA CLAVE
3
niero». Los contenidos matemáticos, lo que sabemos de las matemáticas, no son pues los que determinan el currículo, sino la necesidad que tienen las diferentes personas en los distintos momentos de su vida de usarlos en los contextos sociales en los que viven. De todas maneras existen contextos que se aplican de manera general a todas las personas y otros que no. Por una parte, todos tenemos que actuar en el contexto privado o familiar y en el público o social, y desde este punto de vista podemos hablar de competencias de nivel básico, que son precisamente aquéllas necesarias para desenvolverse en estos contextos (no confundir el término «competencia de nivel básico» con el de «competencia básica», usado a veces como sinónimo de competencia clave). Por otra parte, está el mundo profesional donde no todos hacemos el mismo uso de las matemáticas. Las matemáticas que forman parte de los conocimientos necesarios para el desempeño profesional no deberían formar parte de las competencias obligatorias
para toda la población, porque no son utilizadas por
todos. Ésta es una distinción clave para encarar la resolución del fracaso escolar, porque mientras es razonable que se exijan en la educación que es para «todos» las competencias que «todos» debemos utilizar (ámbito personal y público), es poco razonable que se exijan las que no debemos utilizar todos (terreno educativo, profesional y científico). Sigo en este instante la terminología que utiliza PISA,aunque ya indicaré en su momento mi consideración de que sería bueno reformular y definir con mayor precisión el significado de estos términos. Conviene recordar que el propio conocimiento matemático no es neutro con relación a esta cuestión y que se pueden identificar con facilidad partes del mismo que se usan en casi todos los contextos, así como otras partes cuyo uso está mucho más extendido en unos contextos que en otros. Por poner un ejemplo: el cálculo aritmético básico se utiliza, prácticamente, en todos los contextos de uso de las mate-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATICA
máticas, pero el álgebra, en cambio, está muy unida al uso que se hace de las matemáticas en el contexto científico. Y esta distinción es importante
porque nos marca un criterio claro para poder decidir
qué competencias son relevantes para formar parte ineludible de los currículos de la enseñanza obligatoria y cuáles no lo son. El problema que tenemos en este momento es que sólo disponemos de unos enunciados generales de qué son las competencias matemáticas, y que todavía no han llegado a manos de los educadores mejores propuestas operativas que concreten esta generalidad
en objetivos y
tampoco las tareas escolares que sustituyan a las actuales. A falta de esta concreción, lo que sí tenemos es mucha retórica y bastante palabrería en los diferentes niveles y escalones del sistema educativo. Además habrá que ir un poco más allá, porque no será suficiente con ejemplificar qué queremos decir cuando hablamos de competencia matemática (PISA puede ser un buen ejemplo), sino que tendremos que indicar la manera de ordenar las competencias matemáticas por niveles, como ya se ha hecho con las competencias linguísticas en el marco de la Unión Europea, y señalar, posteriormente, niveles consideramos «obligatorio» educación obligatoria.
cuál de esos
para todos los estudiantes en la
La evaluación y la consiguiente selección de
estudiantes no pueden depender sólo de decir que se desarrollen competencias matemáticas, sino más bien de que seamos capaces de determinar los ámbitos de su aplicación que son exigibles a todos los estudiantes, y de identificar
con claridad los niveles de logro que
deben ser capaces de conseguir en los mismos. En la actualidad distamos mucho, por desgracia, de ser capaces de identificar esas competencias yesos niveles. Proclamar que queremos una enseñanza de las matemáticas para «todos los estudiantes» y proponer que el núcleo de esa enseñanza lo constituyan conocimientos cuyo uso social es más bien escaso es una contradicción
irresoluble.
Por más que nos empeñemos en
IDEA CLAVE
3
desarrollar
didácticas
muy elaboradas
fracaso en el aprendizaje el problema
de las matemáticas
en «cómo se enseña»,
sobre todo en «qué se aprende». el agotamiento
para resolver didáctica
es fundamental
del
porque
mucho tiempo,
fun-
sino «en qué se enseña»
y
Ésta es la razón que explica, en mi
de lo que podemos
los problemas
el problema
no se resolverá;
no está, como se ha creído durante
damentalmente
opinión,
y sofisticadas,
llamar la «vía didáctica»
del fracaso escolar en matemáticas.
para la buena enseñanza,
La
pero es poco útil
cuando lo que se necesita es un cambio de rumbo de calado, porque la didáctica
no indica el rumbo,
que éste ha sido ya elegido.
sino cómo colocar
La didáctica
las velas una vez
se dedica a estudiar
los me-
dios y nunca los fines. Aceptar que la «competencia del conocimiento desarrollo currículo
matemática»,
matemático
en los contextos
de la persona y su integración escolar en la educación
matemático»,
«razonamiento
matemático»
organizarse
para el
activa-
de la que se deriva de considerar
las «formas de pensar matemáticas»,
que lo sustantivo
Esta aceptación
trata de buscar las matemáticas
no son las matemáticas,
sino el uso
hay que poner el conono se
en el medio social o natural como si el
para aprender
que se trata es de interpretar,
el
también
al servicio de su uso social y no viceversa. Por lo tanto,
medio fuera un pretexto
el
como los hitos en torno a los cuales debe
social que de ellas se hace y, en consecuencia, cimiento
relevantes
supone defender
la enseñanza de las matemáticas.
supone entender
como el uso
en el medio social, es el eje del
obligatoria
mente una postura bien diferente «conocimiento
entendida
modificar,
matemáticas,
sino que de lo
adecuar el medio para su buen
uso social y usar el conocimiento
matemático
que sea preciso para ese
fin. Así entendida,
matemática
es una competencia
la competencia
todos porque es condición no solamente
de desarrollo
una competencia
lo mismo definir
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
el currículo
personal e integración
para
social y
para los científicos o los técnicos. No es considerando
las matemáticas
como un
«área de conocimiento» diferencia
que hacerlo como una «competencia
fundamental
clave». La
hay que buscarla en el énfasis social que se
pone en la segunda opción, énfasis o acento que no existe en la primera.
las competencias matemáticas y el uso de la tecnología. Una última definición de competencia matemática En mi opinión
a las definiciones
que sobre competencia
hemos dado les falta un elemento logía. Si aceptamos,
como se propone
es «uso de conocimiento
tra, se caracteriza
fundamental:
no podemos obviar que el uso
de los casos utilizando
instrumentos,
y mucho más en una sociedad que, como la nuespor el uso de la tecnología
para casi todas las accio-
nes de relevancia social. Tal vez la manera de iluminar poner
un simple ejemplo.
Supongamos
esta cuestión sea
que necesitamos
media de una serie de datos porque estamos haciendo tadístico,
la tecno-
en este texto, que competencia
en contexto»,
de algo se hace en la mayoría es decir: tecnología;
estructural
matemática
llegados a ese momento
tenemos
calcular
la
un estudio es-
diversas opciones y cada
una de ellas exige la puesta en acción de competencias
diferentes,
por-
que no es lo mismo calcular esa media con papel y lápiz que hacerlo con calculadora
no científica,
cerlo usando el ordenador
hacerlo con calculadora
científica
o ha-
y una hoja de cálculo. Podría suceder que
fuésemos capaces de hacer ese cálculo utilizando
un tipo de tecnolo-
gía y no otra. Esfácil que alguien considere esta cuestión un tanto obvia y en consecuencia anecdótica,
pero en mi opinión
del uso de conocimiento tecnología
en contextos
que en ese contexto
no lo es. Si estamos hablando
de relevancia social, el uso de la
social se considera más eficiente
una cuestión menor, porque precisamente
del uso eficiente
no es
de la tec-
nología adecuada depende en gran medida el valor social de esa com-
IDEA CLAVE
3
petencia. Esperfectamente imaginable que en el mundo profesional la competencia de hacer estudios estadísticos utilizando el papel y el lápiz como medio de cálculo no sea considerada como una competencia de alto valor. Ésta es una cuestión de mucha importancia para el currículo escolar de matemáticas porque el uso de la tecnología en el aprendizaje de las matemáticas es un asunto sin resolver y que tiene mucho que ver con los ámbitos sociales de uso de las matemáticas y, por lo tanto, con los criterios de obligatoriedad de ciertos aprendizajes, criterios que deben ayudamos a deslindar con claridad qué es eso que llamamos «matemáticas para todos». No parece razonable que estemos proponiendo como uno de los ejes del currículo la competencia digital (competencia 4 en la propuesta europea y parte de la competencia 4 en la propuesta de la LOE),y luego no la tengamos en cuenta cuando nos planteamos el desarrollo de la competencia matemática. La competencia matemática es una competencia que se cruza con otras, entre ellas la digital -entendida como el uso de lastecnologías de la información-, y de ese cruce se derivan consecuencias importantes. Así pues, la competencia matemática debería definirse como: El uso de conocimiento matemático en contextos de relevancia social utilizando en cada caso la tecnología más eficiente. En muchas ocasiones la tecnología más eficiente será el lápiz y papel, pero en otros muchos casos lo serán la calculadora o el ordenador. En matemáticas existen contextos (el profesional y el científico) en los que el uso eficiente del conocimiento exige la utilización de tecnología (calculadora, ordenador) y otros (personal) en que los modos más eficientes son meramente orales, esto es la excepción que confirma la regla. Ésta es una cuestión que no deberemos olvidar a la hora de definir los niveles básicos de las competencias exigibles para «todos»; porque el logro de la competencia exigirá, en ocasiones, el uso de la tecnología que sea apropiada al caso.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Los ámbitos de uso de las matemáticas y su importancia relativa a la hora de organizar el currículo de matemáticas según las diversas etapas educativas El proyecto PISA cita cinco ámbitos de uso de las matemáticas:
personal,
educativo,
de anali-
profesional,
zar el significado
público y científico.
de esta elección,
Con la intención
simplificar
en la medida
de lo
posible y, sobre todo, clarificar qué se quiere decir cuando se citan estos contextos,
con la precaución
original y recogiendo vemos a proponer
de no deformar
demasiado
la propuesta
todo lo sustantivo que hay en la misma, nos atrelos siguientes
para su consideración
estructural
ámbitos
de uso de las matemáticas
en el currículo:
+ Personal - familiar Con este ámbito
pretendemos
abarcar los espacios más cercanos a la
persona, los que ocupan su vida con los seres que forman su círculo más próximo.
Resulta evidente
tencia matemática, de escolaridad
que, en lo que hace referencia
este ámbito es muy importante
y que, aun siendo siempre
peso según se aumenta La digitalización
una
matemática
serie
de
cambios
más elemental.
y programar
que
el que funciona
tecnológi-
afectan
a la competencia en el uso habi-
de displays o pantallas que permiten
dichos aparatos. En todas esas pantallas se usan
miten elegir un programa
para guardar
va perdiendo
en los hábitos de vida do-
Estos cambios se concretan
números y medidas (las más habituales
durante
importante,
de la gran mayoría de los instrumentos
tual, ya desde edad muy temprana, controlar
en los primeros años
la edad de los escolares.
cos que se usan en el hogar ha introducido mésticos
a la compe-
son las de tiempo)
que nos per-
de TV, saber qué hora es, controlar el microondas
un programa,
o el horno, programar
llamar por teléfono,
programar
el tiempo el vídeo la calefac-
IDEA CLAVE
3
ción, etc. Esta tendencia
a sustituir elementos de control mecánicos por
otros basados tan sólo en la electrónica
digital
va a ir en aumento,
de manera que en las próximas décadas el uso de números y medidas numéricas para el control algo «normal»
de los aparatos domésticos
en las sociedades tecnológicamente
el mando de la TV sea un caso que ejemplifica
se convertirá
en
avanzadas. Tal vez
y resume perfectamente
lo que estamos diciendo. Es cierto que el desarrollo para el uso de estos aparatos
de la competencia
matemática
se suele conseguir
necesaria
de manera bastante
«natural»,
es decir sin que medie un entrenamiento
nalmente,
y que la mayoría de niñas y niños son capaces de hacer fun-
cionar
estos aparatos
digamos
mejor,
incluso,
que sus propios
abuelos. ¿Quiere esto decir que no debemos
competencias
competencias
intencio-
padres y no considerar
las
de este ámbito como algo que forma parte del currículo
escolar por obvio e innecesario,
tencional?
dirigido
y que debemos
centrarnos
en otras
que no se van a desarrollar si no media un aprendizaje
Es un debate interesante
in-
porque la respuesta «no» es, desde
luego, obvia. Sin querer zanjar la cuestión, sí conviene añadir un elemento para la reflexión:
el aprendizaje
desarrolla de manera «natural» tipo de tecnología,
de este tipo de competencias
si el medio familiar
hecho que sucede actualmente
hogares de las sociedades tecnológicamente ría no son todos y no debemos olvidar
se
está dotado de este en la mayoría de los
avanzadas, pero la mayo-
a los niños y niñas que, prove-
nientes de sectores sociales con escasas rentas, no tienen acceso a este tipo de tecnología.
Por lo tanto,
la función
compensatoria
cuela debe ejercer para que la igualdad de oportunidades
que la esno sea papel
mojado implica que se sea sensible a esta cuestión y que se asegure que todos los niños y niñas tengan acceso a este tipo de tecnología, en el hogar o en la escuela. Además, es anacrónico teniendo
contextos
con tendencia
de aprendizaje
a un bucolismo
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
que se sigan man-
tecnológicamente
un tanto trasnochado,
ya sea
atrasados,
y que no se usen
los actuales a la hora de trabajar
los aspectos más básicos y elementales
de las matemáticas.
Social El
uso social de las matemáticas,
de vida también
si entendemos
llamado «público»,
por «social» el contexto
«comunitario»
es, sin lugar a dudas, la razón más importante considerar
la inclusión
de la enseñanza lo cotidiano
obligatoria
obligatoria.
que puede aducirse para
de las matemáticas
El uso del conocimiento
está tan extendido
manera tan ubicua y estructural el aire cuando está quieto,
o «interpersonal»,
y forma
en el currículo matemático
parte de nuestra cultura
pasa inadvertido.
Queda fuera de lugar, de
pretender
realizar
haustivo del uso que se hace del conocimiento social. Pero a modo de recordatorio
un inventario
matemático
en el deporte,
en el consumo, en el tráfico
reguladores,
en las tecnologías
municación,
en la salud, en los transportes
de la información,
uso de las
y sus códigos
en los medios de co-
y en un inacabable
La crisis en la enseñanza de las matemáticas
etc.
en la edad obligatoria
proviene del hecho de que mientras el uso social de las matemáticas
extremos
inimaginables
mismas no ha variado,
ex-
en el medio
sirvan estos ejemplos:
matemáticas
hasta impregnar
de
que en muchos casos, como sucede con
nuevo por obvio e innecesario,
ha extendido
en
se
casi todas las actividades sociales y hasta
hace bien poco, la enseñanza manteniéndose
escolar de las
insensible a estos cambios so-
ciales y a las consecuencias que los mismos tienen en la vida de las personas que se están educando. los contextos
de aplicación
En muchas de las tareas de matemáticas,
brillan
precisamente
es que cuando aparece algún contexto,
en muchos casos, resulta ana-
crónico cuando no cómico. Las tecnologías biado radicalmente
por su ausencia, pero
de la información
el uso social que se hace del conocimiento,
versión escolar de la enseñanza de las matemáticas
han campero la
parece no haber to-
mado nota de este cambio cuando diseña el currículo de la enseñanza
IDEA CLAVE
3
obligatoria;
no solamente
mientos matemáticos letos, sino porque matemáticas
porque ha cambiado
tradicionales,
ha abierto
dejando algunos totalmente
nuevos contextos
de aplicación
en el mundo de la vida social que no se contemplan.
este contexto
donde se puede ejemplificar
relación entre conocimiento entender
el valor de los conoci-
la prioridad
de las Esen
de manera paradigmática
y competencia,
de aquellos
obso-
la
porque es donde se puede
contenidos
cuyo peso en la vida
social es básico y necesario sobre aquellos en los que es accesorio y prescindible. Como ya hemos dicho, aunque repetirlo petencia matemática
no nos va a cansar, la com-
para integrarse en el medio social y ser un agente
crítico y activo en el mismo es la razón de mayor peso que se puede poner sobre la mesa a la hora de argumentar sencia de las matemáticas
la necesidad de la pre-
en los currículos de la enseñanza obligatoria.
La competencia
matemática
rrículos
porque
sirva para desarrollar
miento,
ni porque ayude a razonar o porque sirva para desarrollar
pensamiento
abstracto
y psicologicista
no es un eje estructural formas
(LOCE), ni por ninguna
de los nuevos cu-
superiores
como conocimiento, de oportunidades
porque es condición
el
razón de tipo idealista
que se pudiera aducir. La competencia
en los currículos de la enseñanza obligatoria,
de pensa-
matemática
está
como competencia
y no
del desarrollo
de la igualdad
en nuestro medio social. Y esto es algo que no de-
beríamos olvidar cuando evaluamos a nuestros estudiantes
al finalizar
la educación obligatoria.
Profesional El contexto
profesional
es aquel que está relacionado
con el trabajo
de
las personas. En las sociedades actuales se considera que todas las personas deben aspirar a tener una actividad laboral, por lo tanto este contexto tiene, en principio, población.
aspiraciones de ser universal con relación a la
Aspiramos a dejar atrás, en la historia,
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
el tiempo
en el que
las personas dependían función
profesional.
de por vida de otras que sí desarrollaban
Hoy en día la aspiración
social normal es «traba-
jaD>, porque una persona que no consigue un trabajo remunerado
difícilmente
la podremos
una
considerar
adecuadamente
ciudadano
activo de
plenos derechos. Esto lo sabemos todos y no es necesario insistir. Así pues, el que denominamos
contexto profesional
contexto muy importante
a partir de la edad en la que terminada
cación obligatoria
las diferentes
lidas profesionales
que les permitirán
Según la siguiente
o, si se prefiere, laboral es un
resolución,
personas se van orientando
la edu-
hacia las sa-
integrarse en el medio laboral.
citada anteriormente:
(.. .) casi el 50% de los nuevos puestos de trabajo exigirá cualificaciones de nivel superior, algo menos del 40%, enseñanza secundaria superior y tan sólo el 15%, aproximadamente, será adecuado para trabajadores que dispongan de escolarización básica. (Parlamento Europeo, 2005)
Por lo tanto,
si nos atenemos a estos datos, podemos afirmar
un 90% de la población
necesitará para el desarrollo
sional estudios de nivel superior
profesional
guirse en la educación
tobligatoria
quiere decir como mínimo
matemática
obligatoria.
de la que puede conse-
En mi opinión,
el contexto más importante
lo es el profesional.
ñanza la finalidad
así como en la
es el social, en la pos-
Si en la etapa obligatoria
de la educación matemática
de las competencias
que permitiesen
de la ense-
debiera ser el desarrollo
la plena integración
de una per-
sona en el medio social general, en la etapa postobligatoria, lo que dure, la finalidad permitiesen
su-
de grado medio. Así pues, un 90% de la pobla-
ción necesita más competencia
educación obligatoria
de su vida profe-
(50%) o de nivel de la secundaria
perior (40%), en nuestro sistema educativo un módulo
que casi
debiera ser desarrollar
la integración
dure ésta
las competencias
que
laboral de esas mismas personas. Y esta afir-
mación vale tanto para aquellas personas que vayan a acceder a «puestos de trabajo
que exigirán
cualificaciones
de nivel superior»,
como a
IDEA CLAVE
3
aquellas que lo hagan a «puestos que exigirán cualificaciones
de ense-
ñanza secundaria superior». Las cualificaciones
y las competencias
para la incorporación
a ellas asociadas, necesarias
al mundo del trabajo,
por los niveles que hemos distinguido
son diversas no solamente
hasta ahora -nivel superior o uni-
versitario y nivel de secundaria superior-,
sino porque incluso dentro de
cada uno de esos niveles existen profesiones ferente
del conocimiento
mación diferenciada.
matemático
y precisan, por lo tanto,
de for-
Resulta evidente que las cosas deben hacerse paso
a paso y que nadie puede pretender cundaria
que hacen un uso muy di-
que en los primeros años de la se-
superior y, sobre todo, en el caso de los que estudian
bachi-
llerato se pueda ofertar
un currículo a la carta, porque para empezar ni
siquiera los estudiantes
de esas edades tienen una visión clara de hacia
qué profesión
dirigen sus pasos. Una sugerencia
podría ser estudiar la conveniencia
que cabría considerar
de utilizar en el bachillerato
las mis-
mas ramas que se van a usar en los grados universitarios: •
Artes y humanidades.
e
Ciencias.
e
Ciencias de la salud.
e
Ciencias sociales y jurídicas.
•
Ingeniería
o
alguna
y arquitectura.
otra agrupación
de las mismas. La idea consiste concreta-
mente en que o bien se oferten
matemáticas
o bien, en los centros más pequeños, creo que debe defenderse guir
desarrollando
hacer orientándola
antes se llamaban y jurídicas
las más afines; pero
matemática,
hacia los desempeños
laborales
tienen
aunque
que selo deben
a los que se diri-
un error pensar que los estudiantes
de «letras» (artes y humanidades,
en la clasificación
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
se agrupen
que todos los estudiantes
la competencia
gen. Es decir que considero
para las diversas ramas,
que
ciencias sociales
de las ramas) dejen de aprender
mate-
máticas en sus estudios de bachillerato día no existe desempeño petencia matemática, competencias
profesional
y grado universitario.
que no tenga que ver con la com-
y por esta razón ha sido elegida como una de las
clave que debemos desarrollar
A este respecto
Hoy en
a lo largo de toda la vida.
hay que decir que las enseñanzas
profesionales,
tanto las de grado medio como las de superior, son un ejemplo que hay que tener en cuenta. En estas enseñanzas hace ya algunos años que se ha abandonado jan solamente
la idea de enseñar matemáticas aquellas competencias
perfiles profesionales
en general y se traba-
que están relacionadas
para los que forman
los correspondientes
los. Por supuesto, este modelo no vale para el bachillerato pecialización
profesional
«profesionales»,
módu-
porque la es-
que existe en las enseñanzas denominadas
como si el resto no lo fueran, no existe en el bachille-
rato, que tiene que tener una vocación de formación Iivalente. Sin embargo,
más general y po-
una cosa es que el bachillerato
deba mantener
una posición más amplia con relación a las competencias y otra muy distinta nocimientos
con los
es que su currículo,
en su conjunto,
matemáticas se nutra de co-
que tienen un claro sesgo academicista y que en lo tocante
a lo profesional
casi todo se oriente al ámbito científico-tecnológico.
La actual reforma de las universidades ropeo de Educación Superior obligará inscribirse en una de las siguientes dica el MEC (2006, apartado
a las titulaciones
universitarias
ramas de conocimiento
a
según lo in-
26):
•
Ciencias.
•
Ciencias de la salud.
•
Ciencias sociales y jurídicas.
•
Ingeniería y arquitectura.
•
Artes y humanidades.
Esta elección supondrá
para adecuarse al Espacio Eu-
que, con independencia
del título
elegido den-
tro de una rama, una cuarta parte (60 créditos ECTS) de los 240 crédi-
IDEA CLAVE
3
tos que pide el grado deberá ser común a todas esastitulaciones. Por lo tanto, dicha elección marca ya un camino de diferenciación del currículo en el ámbito profesional que debería ser tenido en cuenta tanto para la construcción de la oferta curricular del bachillerato como para la organización de los exámenes de selectividad. Si la gran reforma que hay que realizar en la enseñanza obligatoria es asegurar que todos los ciudadanos puedan desarrollar las competencias que permitan su plena integración social, amén del logro del equilibrio personal, el gran esfuerzo que se debe realizar para llevar el lenguaje de las competencias a la enseñanza secundaria postobligatoria y a los grados universitarios consiste en considerar el contexto profesional como el espacio de referencia natural. En esta dirección hay que hacer más de una propuesta. He aquí un par de ellas. •
Los currículos de la secundaria postobligatoria deberían adecuarse progresivamente
a los ámbitos denominados «ramas de conoci-
miento» definidos por la reforma universitaria. • Todos los grados universitarios, no sólo los de los ámbitos de «ciencias» y «arquitectura e ingeniería», deberían contener propuestas de matemáticas en sus currículos.
En los colfege norteamericanos
(lo más parecido que existe a nivel
no europeo de lo que será el grado en nuestras universidades) tal y como cuenta Rosovsky (1990) existe lo que se denomina core currículum, esta parte central o nuclear del currículo ocupa una cuarta parte del total del currículo del grado (bachellor) y está formado por materias entre las que se encuentran las matemáticas. En la página web de la Universidad de Harvard y refiriéndose
a esta cuestión
puede leerse: The Care Curriculum far undergraduate quirement
and a philasaphy.
dergraduates
educatian at Harvard is bath a re-
The requirement
can be simply stated.
Un-
must devate almast a quarter af their studies ta courses in
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
the following areas of the program: Foreign Cultures, Historical Study, Literature and Arts, Moral Reasoning, Quantitative Reasoning, Science, and Social Analysis. (http://my.harvard.edu/icb/icb.do ?keyword=core) El currículo central o nuclear para la educación de pregraduado es tanto un requerimiento como una filosofía. El requerimiento puede ser sencillamente especificado: los estudiantes de pregrado deben dedicar al menos una cuarta parte de sus estudios a cursos en las siguientes áreas del programa: culturas extranjeras, historia, literatura
y arte, razonamiento moral,
razonamiento cuantitativo y análisis social.
Resulta evidente que lo que aquí se llama «razonamiento cuantitativo» hace referencia a las matemáticas. Dicho de otra manera hay que comprender que las competencias matemáticas necesarias para el buen desempeño profesional deben diversificarse, pero a su vez extenderse, hacia las ramas de conocimiento de las que suelen estar ausentes en los currículos universitarios. En la universidad si «eres de letras» puedes ser un analfabeto matemático e incluso tenerlo a gala, pero esta situación es un desatino porque no existen en la actualidad profesiones de nivel superior que no hagan uso de conocimiento matemático y que no necesiten para su correcto desempeño competencias matemáticas. El grado universitario se convertirá en el futuro cercano en la finalización de los estudios de la mayoría de la población. Recordemos que los objetivos europeos son que para el 2010 el número de quienes logren este nivel seasuperior al 50%. Y esto implica que no se pueda contemplar la reforma de los currículos preuniversitarios si no se hace a la vez con los universitarios,
que en esta nueva jerga llamaremos de
pregrado. La profesionalización de una gran parte de la población mediante el logro del grado universitario implica que debe extenderse la educación matemática a todas las ramas de conocimiento,
porque
desde el punto de vista del contexto profesional ésta va a ser un refe-
IDEA CLAVE
3
rente esencial. ¿Qué significa, sino, que la competencia matemática haya sido definida por la Unión Europea como una de lascompetencias clave que debemos desarrollar a lo largo de toda la vida?
Científico-académ
ico
Entendemos por contexto científico-académico
el ámbito mayorita-
riamente universitario -ya que existen instituciones no universitarias que se dedican a la investigación- dedicado al cultivo y desarrollo del conocimiento y la investigación con independencia de la aplicación que se haga del mismo en el medio social. A veces a este ámbito se le denomina ámbito de la investigación y se desea adjetivarlo de la «investigación pura». Es evidente, y no creo que sea necesario insistir mucho en ello, la importancia que tiene este contexto para el desarrollo humano, social y económico. La investigación tanto pura como aplicada es condición
imprescindible
para la innovación
y para la
resolución de muchos de los problemas sociales actuales. Ésta es una cuestión fuera de duda en mi opinión, pero en este texto hablamos, fundamentalmente,
de currículo y lo que no queda claro es qué rela-
ción debe tener este contexto con el currículo en las distintas edades. Como ya he dicho y justificado con anterioridad, la dependencia que existe en los niveles preuniversitarios de las personas que trabajan en este contexto o ámbito, o que han sido formadas en él de manera casi exclusiva, es excesiva. En la página web de la Organización de Estados Iberoamericanos (www.oei.es/noticias/spip.php?article532)
en la que se cita el informe
COTEC2007, puede leerse: Al comparar el empleo en 1+0 con respecto al total de la población activa, España ha mejorado este ratio al igual que Francia, Italia y Polonia, pero todavía esta lejos de países como Alemania y Francia. También se observa que el ratio de España es superior al de Italia desde el año 2000, situándose en 2004 en el 8,8 por mil.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Es decir que según estos datos un 0,9% de la población fesionalmente
a la investigación
ellos son investigadores,
en España, pero solamente
versitarios
7, según la Conferencia
de Rectores de
Españolas (CRUE), el número total de profesores
de las universidades
(aproximadamente
un 62% de
o sea un 0,5% del total de la población.
Tal como muestra la figura las Universidades
se dedica pro-
públicas españolas
un 0,2% de la población
ronda
uni-
los 80.000
española).
Figura 7
~ Información
académica,
productiva
y financiera
de las Universidades
Públicas de España
3.8. RECURSOS HUMANOS Personal docente ciales
e Investigador
(P.D.!.) en Universidades
Públicas presen-
FUNCIONARIO Efectivos CONTRATADO TOTALP.D.1. % Efectivos 3,426 1S,92 15,781 4,444 13,19 19,86 16,417 7,971 23,66 20,29 20,44 100,00 34,933 100,00 84,168 10,888 24,223 10,846 10,17 13,334 32,32 13,51 30,16 28,60 7,420 24,34 11,347 5,062 13,033 6,958 20,85 10,86 16,23 9,459 49,235 RAMAEfectivos DE
Fuente: www.ujaen.es/serv/gerencia/íma
ges/webestud
íocrue04/ímages/
03%20nacio-
nal.PDF
Los datos se refieren al año 2002, pero en estos últimos años las variaciones en el número de profesores universitarios En España existen universidades menor presencia en el territorio
han sido casi inexistentes.
privadas, pero disponen de mucha
y de menor número de profesores. Po-
demos estimar su incidencia en algo menos del1 0% si se compara la privada con la universidad
pública. En pocas palabras, podemos estimar en
unas 100.000 las personas que se dedican a la profesión de profesor universitario.
Si las sumamos a las otras 100.000 que aproximadamente
investigadores
son
(aunque aquí estamos sumando dos veces a las mismas
IDEA CLAVE
3
personas p-orque una gran parte de los docentes universitarios vestigadores
profesionales)
tendremos
pone un 0,5% de la población todos los que comienzan ámbito científico-académico. impresionante
un total de 200.000, lo que su-
española. Por lo tanto,
a estudiar,
son in-
de 100, que son
99,5 no pertenecerán
Pero lo más impactante
nunca al
no es eso, lo más
es que de los que llegarán a superar el nivel universita-
rio (algo más de un 50% de la población
según las estimaciones
euro-
peas ya citadas) un 99% no se dedicará ni a la docencia e investigación universitaria cualquiera
ni a la investigación
profesional.
Las cifras están ahí para
que desee comprobarlas.
Ahora es cuando creo que se puede comprender supone el academicismo
del sistema educativo.
el sinsentido
que
¿Qué sentido tiene or-
denar el currículo desde un ámbito que no será nunca alcanzado por la inmensa mayoría
de la población
a la que se destina
la vez que decimos, voceamos y repetimos tanto demagógica
mayoría
académicos
necesita
considerar tan importante será utilizada
otras
de manera machacona y un
anteriores
para organizar
competencias?
el currículo
parte de la población?
son todavía muchísimo
cimos a los académicos del ámbito científico
si la in-
¿Qué sentido
una manera de ver las matemáticas
por una ínfima
los porcentajes
a
ese eslogan de «escuela para todos»? ¿Por qué de-
bemos seguir criterios mensa
la educación,
tiene
que sólo
Obsérvese que
menores si los redu-
o matemático.
¿Quiere esto decir que este ámbito es irrelevante y que carece de valor social porque a él se dedican, relativamente,
pocas personas? Ya he dicho
que no es ésa mi opinión, porque la cantidad de personas que se dedican a una labor no es criterio suficiente
para determinar
misma. De hecho es un ámbito fundamental que intento
el valor social de la
para el desarrollo social. Lo
poner en cuestión no es eso, sino su función
de polo atra-
yente del currículo escolar, su valor para servir de norte al que dirigirse, su pretensión
de regular los contenidos
que hay que aprender y su ten-
tación de imponer su manera de ver las cosas sobre el resto de ámbitos.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
En resumen Las matemáticas dicionalmente
escolares están en el camino que va de ser un área de conocimiento asentada en el currículo a una competencia
clave que hay que desarrollar
a lo largo de toda la vida. Éste es un cambio de perspectiva lugar central que ocupaba el corpus de conocimiento social que se hace de dicho conocimiento. temología
mienta para el desarrollo
para situarlo en el uso deja de ser la epis-
de esos conocimientos
como herra-
y académico de los ciudadanos.
bien el concepto de
competencia matemática,
de manera cuidadosa y a ser cautos y responsables a la hora de señalar los fines
de la educación obligatoria
matemática
que debe vehicularse
como postobligatoria.
He intentado
ciales sobre qué es la competencia del conocimiento
matemático
social y profesional.
de la escuela
recoger qué se dice en los documentos
matemática
y creo poder concluir que se trata del uso
de uso del conocimiento
de las competencias
social es el más importante
gatoria y el profesional
ofi-
señalando
debe jugar en esta cuestión.
se hace desde esta óptica
como
tanto
necesario para el pleno desarrollo de la persona en el medio
He indicado que los contextos
que el contexto
en el currículo,
También he añadido algún nuevo matiz a esas definiciones
el papel que la tecnología
máticas
matemático
personal, social, profesional
Esta nueva visión nos obliga a justificar a definirlo
radical porque desplaza el
De manera que lo relevante
del área para pasar a serio la importancia
tra-
a la postobligatoria.
competencia
necesaria
son la mayor aportación
al diseño del currículo,
en lo que hace referencia También he intentado
para
los distintos
que
y he señalado a la escuela obli-
señalar que las mate-
desempeños
profesionales
deberían estar presentes en ámbitos de estudio de los que se las destierra con excesiva premura, y que la cuestión no debe enfocarse en si se necesitan más o menos matemáticas, sino en el tipo de matemáticas
que se necesitan. He usado la metáfora
leros para señalar la necesidad de situarse en el momento tica y adocenada, continuar
aprovechar
lo positivo
actual, pero no de manera acríque tienen
estas ideas para
tras el ideal de una educación que mire hacia las necesidades sociales desde va-
lores de solidaridad queremos
sino sabiendo
del viento y los ve-
y equidad.
No elegimos hacia dónde sopla el viento,
pero sí adónde
ir.
IDEA CLAVE
3
•
Los currículos de matemáticas debe-
mismos varía con las edades de los es-
rían organizarse teniendo en cuenta
tudiantes y en función de que la edu-
los tres ejes que se marcan en el pro-
cación sea obligatoria o no lo sea.
yecto PISA: contenidos, procesos (ca-
•
Convendría que los ámbitos de uso
pacidades) y contextos (ámbitos). Las
fueran un organizador clave en el cu-
nuevas propuestas de currículo no deberían hacerse sin esta referencia.
rrículo, porque ésta es la idea novedosa que
La enseñanza de las matemáticas de-
curriculares basadas en competencias.
bería dejar de centrarse en los con-
•
aportan
las propuestas
Enseñar trabajando con un currículo
tenidos matemáticos para organizarse,
organizado desde la competencia ma-
desde el uso que se hace de la misma,
temática nos situará mejor frente a las
en los distintos contextos de aplicación
evaluaciones externas, es por lo tanto
social. Lo que enseñamos es valioso
una estrategia interesante.
porque sirve para el desarrollo perso•
•
•
La competencia matemática hay que
nal, social. profesional y académico.
trabajarla a lo largo de toda la vida
Los contenidos de matemáticas que
y, por lo tanto, debería pensarse en la
hay que trabajar
en los currículos
posibilidad de extender su enseñanza
deben ser elegidos por su valor para
a otros ámbitos y edades. No debe con-
el desarrollo de la competencia matemática en todos susámbitos, teniendo
templarse como algo cuyo campo de acción se reduce a la educación obli-
en cuenta que la importancia de los
gatoria.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
da La educación matemática se basa en la comunicación y debe ir más allá de la mera instrucción transmisora La inducción electromagnética Todo empezó por un número equivocado, el teléfono sonó tres vecesen la mitad de la noche y la voz al otro lado preguntó por alguien que no era él. Mucho más tarde, cuando pudo pensar en las cosasque le sucedieron, llegaría a la conclusión de que nada era real excepto el azar. (Auster, Ciudad de cristal)
Instrucción versus educación Existe una institución internacional denominada ICMI (Internacional Comission for Mathematical Instruction: www.mathunion.org/ICMII)
una de cuyas actividades es organizar congresos cada cua-
tro años llamados ICME (Internacional Congress on Mathematical Education). El octavo de estos congresos se celebró en Sevilla en el año 1996 y fue organizado por la sociedad andaluza de profesores de matemáticas, más conocida por Thales. Es por lo tanto, una institución bien conocida entre los docentes de matemáticas. Lo que me interesa en estos momentos es resaltar las dos letras finales de esos acrósticos, es decir la «1»de instrucción y la «E» de educación. La instrucción parece reducirse al aprendizaje de los contenidos de una materia, en este caso matemáticas, mientras que la educación hace referencia a un mundo más amplio donde valores, sentimientos, ética,
IDEA CLAVE
4
etc. parecen ecos inevitables. Mi pregunta es: ¿cuál de estas letras tenemos en mente cuando nos referimos a la enseñanza de las matemáticas escolares, la «1»o la «E»? Esdecir, ¿qué finalidad tiene la enseñanza de las matemáticas en el medio escolar, instructiva o educativa? ¿Qué diferencia ambas posturas? ¿Qué consecuencias tiene mirar el currículo desde uno u otro de esos puntos de vista? Esta idea clave pretende responder a esas preguntas de manera inequívoca: la enseñanza de las matemáticas tiene como finalidad el desarrollo de la educación matemática.
Información, conocimiento y comunicación Para poder responder a las preguntas anteriores y establecer sólidamente qué entendemos
por educación matemática debemos desbrozar un ca-
mino que, a menudo, se encuentra lleno de maleza. Usamos, la mayoría de las veces, términos ambiguos para hablar de cuestiones relativas a la educación. Así, es habitual leer en los textos pedagógicos términos como: «información», «conocimiento»,
«competencias», «instrucción», «educación»,
etc. mezclados con un cierto desorden y con una tendencia una tanto laxa con relación a su significado, a su generalidad,
sinonimia o antinomia.
Se
usan, pero no siempre se sabe qué se quiere decir cuando se escriben o se dicen. Pienso que es necesario un cierto esfuerzo reflexivo para poder ordenar las ideas, y en consecuencia los términos, con la intención de ajustarlos a un uso más claro desde el punto de vista semántico. Comenzaré estimulos sensoriales que somos capaces de recoger acepción procesar y
por distinguir
información y conocimiento por un lado
e información y comunicación por otro. Llamaré información al conjunto sona (o máquina)
y que pueden ser recogidos por su sistema sensorial
ya sea de manera natural
o con ayuda de recursos tecnológicos.
maré percepción al procesamiento usa-
permite
de estímulos que recibe una per-
humano de esa información
Lla-
que nos
acceder a la conciencia de su existencia. En muchos casos es la
segunda de estas acepciones la que es tomada formación.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
como definición
de in-
La distinción privativa
entre información
de la psicología
se ha evidenciado
ha sido una cuestión
hasta que las máquinas
de procesar la información tinción
y percepción
que son capaces
se han hecho populares, con lo que esta dismás a la vez que ha adquirido
tancia social. Los seres humanos,
mayor impor-
igual que no somos conscientes del
trasvase de oxígeno a la sangre en los pulmones,
ni de las órdenes que
el cerebro envía al corazón para que se contraiga
y relaje de manera cí-
clica y rítmica, no distinguimos
entre información
y percepción
porque
sólo somos conscientes de lo segundo.
Lo primero que imaginamos y nos preguntamos cuando vemos a un humanoide es de qué manera captará la luz y el sonido. Porque es evidente que sin sensores no existe robot. Información, en el sentido más estricto y materialista, es «eso» que incide en los sensores.
Cuando una cámara digital
saca una instantánea,
la memoria de la cámara es información, en este caso numéricos.
lo que se guarda en
es decir, un conjunto
Para poder «ver» la fotografía
cado es necesario un doble procesamiento
que hemos sa-
de la información,
parte el que tiene que hacer la propia cámara para convertir numéricos
en píxeles iluminados
para interpretar
esas señales y formar
en esa expresión
por una esos datos
y el que tiene que hacer el cerebro
crean en las personas poco habituadas se traduce
de datos,
la imagen. Las cámaras digitales a su uso una cierta ansiedad que
tan ingenua:
«Sí, sí, muy moderno
todo
eso, ¿pero la foto dónde está?». Para esas personas acostumbradas saber que las fotos se «guardan»
a
en el carrete y luego se «ven» en
papel, la cámara digital es un objeto un tanto sospechoso porque nadie sabe dónde «está» la foto. En lo seres humanos, casi me atrevería a decir en los seres vivos, el procesamiento
de la información
medio se hace de manera automática
y natural.
que se recibe del
Por esta razón es im-
IDEA CLAVE
4
posible separar la información no procesada de la información procesada, solamente la aparición de máquinas que procesan información nos permite entender esta distinción. De todas maneras para los fines que nos proponemos, esta distinción es poco importante y no diferenciaremos entre información en bruto e información ya procesada (percepción), sino que utilizaremos de manera indistinta ambos términos. Debemos, pues, dejar establecido que llamaremos información a los estímulos sensoriales que somos capacesde recoger (en su doble acepconodlmientoY
ción de dato sin procesar y dato percibido) y tecnologías de la información (TI) a los instrumentos que usamos para manipular la información. Podemos avanzar ahora en dos direcciones: el conocimiento y la comunicación. Conocimiento es la elaboración que hacemos de la información que recibimos y que nos permite construir esquemas cognitivos diversos. Por lo tanto, el conocimiento es consecuencia del procesamiento de la información que hace nuestro cerebro y, por ende, es algo intrínseco y personal que no depende solamente de la información que recibimos, sino que, aunque se basa en ella, depende también de las características del cerebro que la procesa: conocimientos previos, interés, estilo cognitivo, edad, etc. Por lo tanto, cabe afirmar que conocimiento no es información porque con la misma información diferentes personas elaboran conocimiento diferente. Así como todos los seresvivos disponen de un sistema de apropiación de la energía que proviene del medio en el que viven y que llamamos metabolismo, existe un sistema de apropiación de la información al que me atrevo a denominar metabolismo cerebral. Lasfunciones del metabolismo son dos: convertir la materia que ingerimos en tejidos vitales y transformar la energía que recibimos en energía disponible para el funcionamiento
de nuestro cuerpo. La
función del metabolismo cerebral es, en cambio, única: convertir la información que recibimos en esquemas cognitivos. Por esta razón, con-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
sideramos ilusorio querer transmitir conocimiento entre seres humanos. Hacerlo supondría situarnos en el trasplante de tejidos, es decir de partes de la persona que ya han sido «elaboradas» por el metabolismo humano.
El
conocimiento es algo propio e interno a cada persona y en
consecuencia intransferible, lo que se puede intercambiar entre seres humanos de manera directa y no inducida (de esta distinción hablaremos más adelante) es información. Resulta imposible cuantificar la cantidad de información que recibe una persona en un solo día, es decir el número de datos de todo tipo que recibe su sistema sensorial. Pensemossimplemente en la cantidad de información visual yauditiva que contiene una película. ¿Qué queda de ella en el espectador? Desde luego que la mayoría de las personas serían incapaces de describir cada uno de los planos que «han visto» o cada una de las notas «que han oído» en la banda sonora. Pero sí podrán hacer una sinopsis o resumen de la película cuando al salir del cine se encuentren con otra persona que les pregunte acerca de su opinión. La sinopsis, el resumen, lo que «queda» es el conocimiento. Obsérvese que diferentes personas harán sinopsis distintas de la misma película. Aunque sin información no se pueda construir conocimiento, recibir mucha información no equivale a construir mucho conocimiento, en primer lugar porque la cantidad de información que podemos procesar es limitada, en segundo lugar porque podemos dejarnos atravesar de forma pasiva por la información -la expresión popular de «por una oreja me entra y por la otra me sale» es muy i1ustrativa de lo que queremos decir-, y en tercer lugar porque el procesamiento de la información depende de lo que ya sabemos, como ya he indicado anteriormente.
Los ciudadanos de las sociedades actuales son los seres
humanos más «informados» de toda la historia de la humanidad, esdecir los que más información
han recibido si se les compara con los de
otros tiempos históricos, pero eso no hace, necesariamente, que ten-
IDEA CLAVE 4
gan más conocimiento o que sean más sabios. De hecho, se empieza a hablar de «sobreinformación» como un mal de la sociedad actual que dificulta más que ayuda a la construcción del conocimiento, porque la opinión pública cree conocer lo que pasa solamente porque está informada de lo que ocurre. No existe relación conocida de causa-efecto entre la cantidad de información que se recibe y el conocimiento que se construye y si existe alguna correlación, no queda claro que sea positiva en todos los casos. La información es cuantificable y hoy en día tiende a invadirlo todo, pero el conocimiento todavía no lo es y en todo caso es reducido. Cualquier joven de hoy que está en las aulas de la ESOha recibido mucha más información que la que recibió Newton en toda su vida, pero es evidente que, desde luego, con relación al mundo físico sabe menos. Hace unas décadas era impensable que se produjera un trasplante de órganos entre seres humanos. Hoy en día esta técnica ha avanzado mucho y se puede extraer un pulmón de un ser humano para ponérselo a otro. Con el pulmón adquirido
se recibe el sistema de
intercambio entre oxígeno y dióxido de carbono y todas sus características ya sean buenas o malas. Pero el que recibe este órgano tiene la conciencia de seguir siendo él mismo con el pulmón de otro. ¿Qué pasaría si algún día se pudiera trasplantar
un cerebro humano?
¿No sucedería lo contrario de lo que sucede ahora? Es decir que el cuerpo receptor sería el envase del cerebro trasplantado
y no al
revés como sucede cuando se trasplantan «otros})}} órganos humanos. Éste no es un libro de ciencia ficción y si hemos hecho esta digresión, es para hacer comprender el sinsentido de mantener, si se es preciso en el lenguaje, la idea de que es posible la transmisión directa, no inducida, del conocimiento. El conocimiento es un producto del cerebro como la bilis lo es del hígado o la sangre de la médula espina!. Mientras no se puedan trasplantar cerebros no se podrá transmitir conocimiento,
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
incluso en ese caso es problemático
afirmarlo
porque lo que en realidad se habrá producido es un trasplante de «cuerpo» (menos cerebro), con lo que propiamente es imposible trasplantar un cerebro a otro cuerpo y, por lo tanto, el conocimiento almacenado en él. El personaje de Frankenstein ejemplifica el rechazo al horror que supone imaginar siquiera que se cambie el cerebro de un ser humano a otro. Espero haber establecido con claridad que información y conocimiento son conceptos diferentes. La información son los datos que recibimos y el conocimiento
son esquemas permanentes que guar-
damos.
la comunicación como fundamento de la educación Veamos, ahora, qué entendemos por comunicación. La información es algo direccional, es decir que camina en una dirección determinada, tiene un origen y un destino. Al medio por el que camina se le suele llamar canal de comunicación, utilizando el símil del canal de agua que lleva este líquido de un lugar a otro. Por esta razón suele ser clásico hablar de emisor, receptor y canal como los tres elementos básicos en el flujo de la información. La comunicación humana es, en cambio, bidireccional o, como suele decirse a menudo, interpersonal; es decir exige que dos seres humanos intercambien información. Ésta es la primera gran diferencia, pero no es suficiente ni la única. Esnecesario, además, que se asigne un sentido a la información recibida para que pueda hablarse de comunicación. Y más estrictamente, es imprescindible que los sentidos o significados que atribuyan ambos interlocutores a la información recibida estén en sintonía. Sin sintonía de significados no hay comunicación, al igual que tampoco la hay sin intención, que es previa. Esdecir que dos máquinas pueden intercambiar información, pero eso no quiere decir que se comuniquen en el sentido más auténtico de este término.
IDEA CLAVE
4
Conviene leer con atención las siguientes líneas porque definen con claridad a qué nos referimos cuando hablamos de comunicación. Son palabras de Giddens en una cita que hace Habermas. La generación
de descripciones
de actos por los actores cotidianos
no es
algo accesorio a la vida social en tanto que práctica en curso, sino que es parte absolutamente
esencial de la producción
de esa vida e inseparable de ella,
puesto que la caracterización que lo otros hacen de sus intenciones y de las razones que tienen para hacerla es lo que posibilita la intersubjetvidad, medio de la cual tiene lugar la transmisión del propósito (Habermas,
por
de comunicarse.
1981, pp. 153-154)
Enesta cita queda bien claro: «la caracterización de sus intenciones y de las razones que tiene para hacerlo es lo que hace posible la intersubjetividad, por medio de la cual tiene lugar la transmisión del propósito de comunicarse». Como puede leerse en este texto, la comunicación nace de la intención de decir algo -emisor- a alguien -receptor-, esa intención nos lleva a enviar información que es recibida por nuestro interlocutor.
El re-
ceptor de la misma la interpretará buscando la intención que supone que contiene la información que le hemos enviado. En la mayoría de los casossuelen ser necesarios varios intercambios recíprocos de información, tanto verbal como no verbal, para que se establezca la sintonía entre las intenciones del emisor y la interpretación del receptor; que normalmente insiste hasta asegurarse de que ha «comprendido»
lo
que se le quiere decir. La diferencia entre lo «que se dice» y lo que «se quiere decir» es la diferencia entre información y comunicación. Se parece un poco al caso del dial de la radio que debemos ir moviendo hasta que el receptor, en este caso de las ondas de la radio, sintoniza con el emisor (cuando la frecuencia de las ondas coincide) y ese molesto ruido que se produce cuando no hay sintonía se convierte en música o palabras con sentido.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
El
propio Habermas dice:
Finalmente,
el concepto
de acción comunicativa
de al menos dos sujetos capaces de lenguaje con medios verbales
o
res buscan entenderse nar de común concepto
y acción
extra verbales) una relación sobre una situación
acuerdo
sus planes
de definiciones
a la interacción
que entablan
interpersonal.
(ya sea Los acto-
de acción para poder así coordi-
y
de acción
aquí central, el de interpretación,
negociación
se refiere
con el/o sus acciones.
se refiere primordialmente
El a la
de la situación susceptibles de consenso. En este
modelo de acción el lenguaje ocupa, como veremos, un puesto prominente. 1981, p. 124)
(Habermas,
Cuando una persona dice que no logra comunicarse diciendo
con otra, no está
que no le habla o no le oye, se queja de que no consigue que
la intención
que le anima a hablar o, incluso, a callar sea captada por
su interlocutor. el intercambio
En muchos casos esta sintonía no logra establecerse, y de información
no consigue dar lugar a un nexo comu-
nicativo entre las personas. Siguiendo el símil que hemos utilizado la radio, habría ruido pero no comunicación:
para
las frecuencias de emisión
y recepción no coincidirían. En una comparecencia
pública del ministro
de cultura,
César Anto-
nio Molina, el 29 de agosto del 2007, haciendo referencia
a su disputa
con Rosa Regás sobre la dimisión
de ésta al frente de la Biblioteca
Na-
cional, y según dice el corresponsal
en Madrid del Diario Vasco, el mi-
nistro
he dicho lo que ella dice que he
dicho».
dijo: «En ningún Como puede
donde la incomunicación La comunicación nos obligan
momento
verse estamos
en un laberinto
comunicativo
parece evidente.
humana contiene claves todavía no descubiertas que
a aceptar que la realidad es bastante
que los reduccionismos razón el uso del término
positivistas
o tecnológicos
«tecnologías
más compleja pretenden.
de la comunicación»
de /0
Por esta
es un abuso
del lenguaje. Si fuéramos precisos y usáramos estos términos con correc-
IDEA CLAVE
4
ción, debiéramos hablar de «tecnología información
la que se mide (en
de la información»,
porque es la
bytes y sus múltiplos), se guarda, se ma-
nipula, se envía, se compra y vende, y no desde luego la comunicación. No vendría mal un ejemplo para demostrar la importancia que le queremos dar al nexo comunicativo. cena, por cierto bastante habitual:
Imaginemos
que tiene y
la siguiente es-
un profesor o profesora
recibe a sus
estudiantes después de las vacaciones estivales: es el primer día de clase del nuevo curso. Después de un breve saludo y de preguntarles
por las va-
caciones, pide silencio y les dice: «Bueno, para repasar las matemáticas del curso pasado os voy a poner en la pizarra unas divisiones. Tenéis veinte minutos para hacerlas». Según el esquema que voy siguiendo esas palabras son «información»
para los estudiantes.
Protestarán un poco, algu-
nos dirán que les falta esto o aquello, pero tras resolver estas turbulencias un silencio se apoderará tentando
de la clase, donde cada estudiante
recordar y aplicar el algoritmo
el curso anterior.
estará in-
de la división que le enseñaron
Los esquemas de actuación que cada alumno pone en
marcha para intentar
hacer la división son el conocimiento
que tiene y
que intenta aplicar, los errores que cometa son fallos de ese esquema de actuación que se supone que luego serán corregidos con la intención ir mejorándolo. tudiantes
de
Al finalizar la tarea el docente podrá comprobar si sus es-
«saben» o no hacer divisiones, es decir si poseen o no ese co-
nocimiento.
¿Pero qué ha pasado con la comunicación?
han «entendido»
los estudiantes? Lo que los estudiantes han entendido
no es desde luego el algoritmo lo debían aplicar-,
de la división -se supone que lo sabían y
sino que «para repasar las matemáticas
saber aplicar el algoritmo lo realmente importante aritméticos».
¿Qué es lo que
basta con
de la división», o dicho de otras manera «que en matemáticas es saber ejecutar los algoritmos
El docente no «ha dicho eso», pero todos lo «han enten-
dido» porque es lo que «quiere decir» con lo «que dice». ¿Y cómo puede ser que los alumnos entiendan
lo que el docente no ha dicho? La razón
es bien sencilla, todos los seres humanos saben de manera intuitiva
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
que
la comunicación
es algo distinto a la información.
Todos sabemos inter-
pretar desde que nacemos «qué quiere decir» hasta el más mínimo gesto que percibimos. En la sociedad actual la información el conocimiento
es ubicua, está en todas partes;
es ya más escaso porque no todo lo que se recibe se ela-
bora; la comunicación
es algo que falta si se hace caso a las quejas de
muchas personas. Se da, pues, la paradoja formación
puede llevar a la sociedad de la incomunicación,
personas que vivían antiguamente podían estar más comunicadas. ingenuidad facilitar
de que la sociedad de la iny que las
en sociedades menos informadas
Esta paradoja
de pensar que es suficiente
nos sirve para evitar la
con extender
la información
o
el acceso a la misma para que las personas estén mejor comu-
nicadas.
El análisis de las situaciones de enseñanza-aprendizaje desde un enfoque comunicativo No me gustaría que los lectores empezaran sófica de este texto les aleja demasiado
a pensar que la deriva filo-
de sus intereses educativos
ales, y antes de que se sientan muy apartados preocupan
re-
de las cuestiones que les
quisiera mostrar el interés de este tipo de enfoque
para la
propia práctica profesional. El fenómeno llamado inducción electromagnética es una buena metáfora para lo que queremos explicar (figura 8): Figura 8. Una de las experiencias
1 "[
Primario
de Faraday
Júdeo_
~ Secundario
IDEA CLAVE
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El científico inglés Faraday (1791-1867) da nombre a un experimento que él mismo realizó en 1831, por medio del cual se puede comprobar que: si el flujo magnético que atraviesa un aro de material conductor varía, se produce un flujo eléctrico en dicho aro. En su conocido experimento mostró que al cerrar el interruptor de circuito primario, se producía un flujo eléctrico en el secundario. Este flujo cesaba al poco rato. Si se desconectaba el interruptor, volvía a aparecer el flujo eléctrico, pero en el sentido contrario. Lo curioso e interesante es que se podía «inducir» corriente eléctrica desde un circuito a otro sin que estuvieran físicamente unidos. Estametáfora nos sirve para caracterizar la transmisión del conocimiento y señalar que en el caso de la comunicación humana sucede algo similar; es decir que si el conocimiento no se puede transmitir directamente, sí se puede inducir por medio de la comunicación. Podemos hablar, de esta manera, de transmisión inducida del conocimiento porque los flujos de información (flujo magnético) inducen comprensión de significados (corriente eléctrica). Con todas las prevenciones necesarias, el paralelismo entre estos dos fenómenos es grande y muy ilustrativo de lo que quiero decir al hablar de inducción del conocimiento.
Vayamos ahora a analizar una situación de enseñanza-aprendizaje lizando estas ideas. Supongamos tentemos docente
la siguiente
hacer el análisis comunicativo propone
a sus estudiantes
uti-
situación en un aula e in-
de lo que sucede en ella: un
que «hagan unas divisiones». Vea-
mos de qué manera podemos analizar esta situación desde un enfoque comunicativo
de este proceso de inducción
del conocimiento:
La situación que vamos a analizar comienza con las palabras del docente pidiendo
a sus estudiantes
que hagan las divisiones.
Si esas divisiones están escritas en la pizarra, sólo hay que copiarlas antes de comenzar formularan
la actividad.
algunas preguntas
Bien pudiera
antes de comenzar: «¿con cuántos deci-
males hay que calcular el resultado?,
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
ser que los estudiantes
¿hay que hacerlas todas o las co-
rregiremos
de una en una?»; pero es una situación muy simple y no pa-
rece que se necesiten muchas más explicaciones
para saber qué quiere
el docente que hagan. Los estudiantes •
Algunos
comienzan
a realizar sus propias actividades.
lo hacen rápidamente
y en silencio. Éstos interactúan
con el profesor o profesora, ya «saben» y apenas aprenden. los esquemas de acción correctamente tenerse. miento
Puede que se aburran,
pero el éxito apacigua
pero resulta gratificante
un éxito para los estudiantes,
Utilizan
y avanzan en la tarea sin de-
con la mejora de la autoestima.
instructiva,
poco
La actividad
ese senti-
ha sido poco
para el docente.
La considera
aunque puede que no para todos. El
docente puede «entender»
que esos estudiantes necesitan retos más
complejos y puede tenerlo
en cuenta o no. Los estudiantes
den» que para el docente ya es suficiente
«entien-
y, si no les propone
otra
cosa, saben que con quedarse como están les irá bien. La comunicación establecida
hace que compartan
y que los sentimientos
recíprocos
sentirá satisfecho y sus estudiantes •
el significado
resulten
positivos,
interpretan
aunque se equivoquen, de acción y a ajustarlos vez y la inducción una actividad dificultades
correctamente
y el nexo comuni-
qué deben
están dispuestos a modificar progresivamente.
funciona.
Este grupo
que les permite
aprender.
de los estudiantes
ayuda, se sentirá estimulado
se
alguno pide ayuda al profe-
sor porque se ha atascado. Este grupo aprende funciona,
el docente
valorados .
Otros dudan y resoplan pero trabajan,
cativo
de sus acciones
hacer y,
sus esquemas
Lo intentan
una y otra
ha convertido
la tarea en
El docente
y sentirá
y gratificado.
«entiende»
las
el deseo de prestarles Los estudiantes
«sien-
ten» que el docente espera un poco más de ellos y saben que deben esforzarse.
Sienten que avanzan, que mejoran,
dos y valorados. ción funciona,
El nexo comunicativo pero puede romperse
se sienten motiva-
está establecido o fortalecerse
y la induc-
según actúen
IDEA CLAVE
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ambas partes. Esun grupo en el que la labor didáctica del docente es clave. •
Otros no hacen nada pero disimulan o copian de suscompañeros, lo más probable esque no recuerden qué deben hacer y tampoco estén dispuestos a «comunicarse» con el docente por razones varias: les cuesta trabajar, les cuesta concentrarse, se sienten a disgusto en el grupo ... La tarea no se ha convertido en actividad y lo que hacen (copiar o poner algo para disimular) no les sirve para aprender. La tarea se ha pervertido y la actividad resultante es puro activismo inútil. Además, el estudiante pretende engañar al docente, es decir que le envía información para que interprete, por la apariencia, lo contrario de lo que realmente es. Puede conseguir el engaño y equivocar al docente sobre sus intenciones, pero en todo caso la perversión de la tarea hace que el trabajo
sea inútil.
La inducción
comunicativa no funciona. No se comparten los significados de las acciones y, en consecuencia, los esquemas de actuación de los estudiantes no se modifican. El docente, en cuanto descubra el engaño, «entenderá» que el estudiante ni sabe ni quiere aprender y «sentirá» rabia y decepción, sentimientos que no favorecerán la comunicación. El estudiante, cuando sea descubierto, «entenderá» que está actuando mal y sentirá «verguenza». No ha existido auténtica comunicación y el flujo de sentimientos ha resultado negativo y desmotivador. •
Otros no hacen nada abiertamente y se dedican a molestar a sus compañeros. Directamente se niegan a convertir la tarea en actividad y no se preocupan en disimularlo. Los estudiantes de este grupo no aprenden porque se niegan explícitamente
a la comu-
nicación cognitiva, aunque su actitud sí está enviando un mensaje cargado de intenciones. El docente «entenderá» que no saben, que no quieren aprender y que desafían su autoridad en clase, se sentirá cuestionado y agredido y si esta situación se prolonga, deses-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
peranzado y deprimido. Los estudiantes según sea la actitud del docente sabrán si el desafío a la autoridad ha hecho mella en él. En todo caso se sienten incomprendidos, marginados, olvidados y despreciados. Esrealmente interesante observar cuántas cosassuceden en una clase en una de las situaciones más sencillas que pueden darse. Como puede verse en este análisis, la visión comunicativa nos permite observar y analizar el sentido de los flujos de información que se producen en la clase más allá de la mera visión que analiza las conductas y se centra únicamente en los aspectos cognitivos. Creo que es una manera de analizar el hecho educativo que permite abordar de manera más completa y compleja la «realidad» y, además, lo hace desde una mirada más profunda, abarcando aspectos sustanciales para comprender la acción humana en su integridad y no solamente la conducta de los sujetos. Resulta interesante observar que las actitudes forman parte de la comunicación de manera tan evidente que sin su presencia y significado resultaría imposible entender todo lo que está presente en el hecho comunicativo, por lo que la pretensión de separar lo cognitivo de lo emocional, la instrucción de la educación, resulta un intento inútil.
La instrucción en matemáticas y la educación matemática Independientemente de la voluntad de las personas la interacción humana essiempre educativa porque escomunicativa, y querer separar los aspectos meramente cognitivos de los emocionales, afectivos, ideológicos, valorativos y éticos es imposible; porque sin esos acentos que modulan y dan sentido a la información ésta no es entendible. A veces lo más difícil de entender es el acento de la persona que habla, pero no
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hay nadie que hable sin acento. Pretender educación
es similar a pretender
o de excesiva egolatría.
como un hecho meramente
a aplicar el algoritmo
instructivo,
cativo, una compleja maraña de significados,
y muchachas, el algoritmo
sentimientos,
de la educación
y «sentido»
normas, etc.
de esos muchachos
irá formando
progresiva
y paula-
su personalidad.
El análisis comunicativo que disponemos educativa,
en un hecho edu-
de la división es una anécdota, mientras que
lo que han «entendido» tinamente
Lo que se
enseñar y aprender
de la división, se ha convertido
Si lo miramos desde la cronología
de la
hablar sin acento y ya sabemos que
eso es una muestra de ingenuidad pretendía
separar la instrucción
de la acción es la mejor herramienta
actualmente
digo actualmente
para el análisis certero de la «realidad» porque siempre esperamos poder encon-
trar modos mejores de estudiar que nuestro
acercamiento
conviene ser prudente.
de la
y pongo
a la misma
realidad
entre comillas por-
es siempre
Pero estas prevenciones
algo
relativo
y
no deben oscurecer la
idea clave que quiero presentar en estas líneas: la educación es un acto comunicativo
cargado de intenciones,
La instrucción
en matemáticas
de las matemáticas chos, conceptos,
considerando
algoritmos,
que se puede transmitir
significados
pretende
y sentimientos.
ocuparse de la enseñanza
que éstas forman
un conjunto
de he-
normas, etc. que está bien organizado
y recoger directamente,
y
igual que se da un ob-
jeto a alguien. Pretende, además, que sea algo aséptico y neutral y que no tenga ningún punto de tangencia la supuesta asepsia de la instrucción matemática es una falacia que por ser
aceptada sin crítica es doblemente
para así del ámbito educativo ficación
ideológica
con la esfera de los valores. Se se-
que está sometido
para considerarse
a controversia
y justi-
como algo válido en sí mismo e
inmune a la crítica. Pero esta supuesta asepsia de la instrucción mática es una falacia que por ser aceptada
mate-
sin crítica es doblemente
peligrosa. Si estas apreciaciones
son justas en su enunciado
general, lo son en
mayor grado, si cabe, en lo que se refiere a la enseñanza de las mate-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
máticas, que son vistas primordialmente
como un proceso instructivo
carente de olor y sabor como el agua destilada. tra toda evidencia reflexiva, se empecina mente
ciegamente
mejorará
hemos intentado educación,
Pero si insistimos, con-
en seguir transitando
en separar instrucción
la enseñanza exponer
de educación,
de las matemáticas
y argumentar,
el conocimiento
por ese camino que
porque,
difícil-
como ya
separar la instrucción
de la comunicación,
de la
lo que se entiende
de
lo que se siente, lo que se dice de lo que se quiere decir, en definitiva la ría del mar, es simplemente
imposible. Los estudiantes que se sienten
mal en las clases de matemáticas
nunca aprenderán
matemáticas.
experiencia
nos dice, y los datos lo corroboran,
estudiantes
que se sienten mal en las clases de matemáticas,
Y la
que son demasiados los demasia-
dos los que perciben que eso no es para ellos y demasiados los que ven en las matemáticas
una barrera.
No es mi intención
decir, ni siquiera sugerir, que aprender
ticas, incluso las más necesarias para los usos habituales, los estudiantes
puedan lograr sin esfuerzo y tampoco
de las razones para comprender temáticas
esté en el currículo
matemá-
sea algo que
digo que la única
el fracaso de la enseñanza de las ma-
o en la forma en la que se presenta.
Es
decir, creo saber que los docentes ni son los únicos responsables de la situación
ni los protagonistas
máximos de esta historia.
existen otras personas e instituciones
que tienen
En mi opinión,
mucho que hacer y
que decir para que esta situación tenga solución. Creo saber que existen otros muchos factores exógenos que condicionan
e influyen
decisi-
vamente en la situación que padecemos. Es decir que estamos frente a un problema
con muchas ramificaciones
plistas no llevan a ninguna
en las que las posturas sim-
parte. Pero éste es un documento
centes y nosotros tenemos que arreglar
la parte que nos corresponde.
El desahogo que supone pensar que la responsabilidad es de otros casi nunca resuelve el problema, convertirse
para do-
de lo que pasa
y el desahogo de hoy suele
en la pesadilla de mañana.
IDEA CLAVE
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En resumen La idea clave desarrollada cación matemática
es que la finalidad
y no la mera transmisión
llamarse instrucción
matemática.
cuando se establece, a compartir un conjunto
de la enseñanza de las matemáticas es la edu-
indisociable
de datos, reglas y algoritmos,
eso que suele
La educación se basa en la comunicación
que nos lleva,
esquemas de acción, sentimientos
y solidario.
y valores que forman
La educación forma parte del proceso comunicativo
y, por lo tanto, no es una mera transmisión
de información;
humana lo relevante
en sí, sino el sentido o significado
no es la información
porque para la comunicación
tende inducir por medio de la misma. Separar de manera artificial siderar que basta con asegurar educativo
el flujo
o pensar que el acto educativo
que ha lastrado, tradicionalmente, es comunicativo,
por lo tanto,
perspectiva
para conseguir
que se dé un acto
es algo que se da en otros contextos es un error
únicamente
instructivo.
Todo acto humano
Y es en la compleja maraña
humana donde todo encaja como un puzzle y cobra sentido. Debemos,
defender
mera instrucción,
estos dos procesos y con-
la enseñanza de las matemáticas.
aunque se pretenda
de la comunicación
informativo
que se pre-
activamente
la primacía de la educación
como la única forma
general
e integral
matemática,
a la
de poder actuar en el medio escolar desde una
que entienda
al ser humano
no como algo escindido
partes, sino como una unidad de relaciones complejas que interactúan
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
frente
necesariamente.
en
•
Los currículos rían
de matemáticas
organizarse
educativa de manera
desde
una
y no solamente
para desarrollar
visión
matemática.
instructiva,
que se tengan
los aspectos actitudinales,
debe-
•
en cuenta éticos y so-
mas tienen
Es un esfuerzo
transmisión
inútil
para el desarro-
porque
es un conocimiento tecnología
la mera
actual
sino que produce chazo por parte Comprometerse
no solamente
obsoleto
que la
con
en
son la manera
que tenemos de enseñar matemáticas si esta enseñanza se entiende
como un
acto educativo.
de datos y procedimien-
tos de cálculo,
•
Proporcionar
información
es necesario,
facilitar la elaboración del conocimiento
hace innecesario,
es formativo
alejamiento
competencias es educativo. Son tres pasos
y re-
de los estudiantes. en el diálogo comuni-
cativo con los estudiantes desde claves educativas mismo
para los que participan
el diálogo comunicativo
llo de la educación matemática
•
que se establecen
los estudiantes y el sentido que las mis-
ciales. •
Las relaciones
una buena educación
es el camino
e interpretar el sentido del
más adecuado
y potenciar el desarrollo de
distintos que implican funciones docentes bien diferenciadas.
Los tres constitu-
yen pautas que hay tener en cuenta a la hora de planificar y llevar a cabo la acción educativa en el aula.
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Las tareas a realizar son la clave para el desarrollo de los aprendizajes La dieta y el metabolismo Empezó por las tiras de papel. Me dio una que tendria unos tres palmos y me dijo: Coge unas tijeras y corta esta tira en tres partes ... Me disponía ya a cortar, cuando mi hermano me detuvo: Espera que aún no he terminado.
Córtala en tres partes,
pero de un solo tajo. Ya. (Perelman, Problemas y experimentos
recreativos)
El triángulo comunicativo y los procesos de enseñanza-aprendizaje Si consideramos bien establecido que la educación matemática exige la creación de un nexo comunicativo, a exponer y justificar esa idea hemos dedicado la idea clave anterior, las preguntas que de manera natural nos asaltan son las siguientes: ¿cómo se crea un ambiente o situación que permita la creación del nexo comunicativo?, ¿cuáles son las condiciones y elementos constitutivos del acto comunicativo capaces de inducir conocimiento matemático? Ésta es una cuestión muchas veces planteada y a la que la didáctica responde en la actualidad proponiendo un esquema de actuación que suele llamarse el triángulo didáctico.
IDEA CLAVE
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El
triángulo didáctico puede representarse gráficamente por medio del esquema que muestra
la figura 9: Figura 9. Situación de enseñanza-aprendizaje
Enseñanza
CURRíCULUM
Este triángulo recoge tres componentes estructurales (los tres vértices), tres relaciones (los lados) y está dibujado sobre un fondo en el que pueden leerse las palabras «contexto» y «currículum». Los vértices o elementos estructurales son, sin orden preestablecido, el docente, el estudiante y la tarea (en realidad el binomio tarea + actividad). Las relaciones que mantienen esos elementos entre sí están representadas por los tres lados. El contexto es algo sobre lo que ya hemos hablado, subrayando su importancia para el desarrollo de las competencias, y el «currículum» es el concepto inclusivo que recoge el resto de cuestiones educativas. Bien, éste no es un libro sobre la teoría del currículo y por esta razón no me voy a entretener en desarrollar con detalle el significado de los elementos y relaciones citados, pero sí voy a recoger un elemento que considero decisivo para desarrollar lo que propongo
en esta idea clave: la importancia
de la tarea como elemento
capaz de organizar el proceso comunicativo que está en la base de la educación en general y de la educación matemática en particular. Defender la necesidad de orientar el currículo hacia una estructura que lo organice en competencias no significa cambiar solamente los fines de la educación matemática, ni termina al escribir los objetivos de otra manera, sino que implica, además de esos cambios, aceptar también otro
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
tipo de modificaciones en la manera de organizar la enseñanza. El cambio fundamental que hay que realizar es comprender que la tarea es el elemento que permite construir el nexo comunicativo entre los docentes y los estudiantes, es decir que el binomio tarea + actividad es el elemento por medio del cual se puede realizar la inducción del conocimiento. La tarea es el circuito primario y la actividad el secundario si volvemos, por un momento, a la metáfora de la inducción electromagnética. No se trata, por lo tanto, de transmitir información solamente, sino que hay que inducir conocimiento, lo que implica acción por parte de los actores de la acción comunicativa: docentes y estudiantes. Esasacciones son las que denominamos tarea y actividad. Si los fines educativos se concretan en la transmisión del conocimiento -fin ilusorio donde los haya-, la metodología de enseñanza se basa en la exposición oral del docente (ayudada o no de soporte escrito), una explicación que se suele completar con ejercicios ad hoc para comprobar hasta qué punto el estudiante ha asimilado la información que se le ha dado. Los libros de texto que se utilizan, sobre todo en secundaria, siguen este esquema, por esa razón primero se da una explicación de un tema y luego aparecen ejercicios para «comprobar» si los estudiantes han asimilado lo que se les ha explicado. Se trata de transmitir información ya elaborada y sintetizada al máximo con la creencia de que esa información ya es conocimiento preparado para ser almacenado en la memoria de los estudiantes. Una didáctica para el desarrollo de la competencia matemática, o sea una didáctica que considere la comunicación como el eje de su organización, debe pivotar sobre el doble concepto de tarea-actividad porque es a través de este espejo de dos caras como se puede establecer el nexo comunicativo que estamos proponiendo como fundamento y explicación de la educación matemática. Lo que el docente propone hacer al estudiante y los motivos que tiene para hacerlo son el inicio del acto comunicativo, lo que el estudiante entiende que debe hacer y luego, en el mejor de los casos, hace es el motor de su aprendizaje. Lo que el docente entiende que está haciendo el estudiante es lo que le permitirá en todo caso reforzar el nexo comunicativo y variar sus propios esquemas de acción para mejorar la enseñanza, lo que el estudiante entiende que quiere decir lo que el docente hace después de ver lo que él ha hecho ... ; este trabalenguas sirve para señalar el carácter interactivo del hecho comunicativo que siempre se basa en el análisis de lo que «hace» el «otro» (hablar es una forma de hacer). Sin embargo, toda esa interacción informativa cargada de sentido y que es interpretada de manera automática por los actores de la comunicación es la que realmente puede inducir conocimiento. La conversación, relación dialógica que se establece
IDEA CLAVE
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entre docente y estudiante al hilo de la tarea (enseñanza) propuesta, es lo que el estudiante transforma en actividad (aprendizaje) y lo que asegura el nexo comunicativo.
También el docente
aprende de esta comunicación y si está atento a las señales que le envía el estudiante, puede aprender mucho tanto de su propia manera de actuar como de la necesidad o conveniencia de ir modificando sus propias estrategias con el fin de asegurar que la comunicación que tenga que establecer sea más productiva desde el punto de vista educativo. La relación entre tarea y actividad es similar a la imagen de Alicia y el espejo, situación en la que un personaje se puede imaginar situado a ambos lados del cristal a la vez. ¿Qué es lo real y qué su imagen? De cada lado del espejo se ve lo mismo, pero de manera distinta. Para el docente que promueve la tarea, eso es lo real; él ve lo que sucede al otro lado del espejo que es el estudiante, para él la actividad está en el espejo. Pero para el estudiante todo sucede exactamente al revés, lo real para él es la actividad y la tarea está en el espejo. Objeto e imagen forman así para cada uno de los observadores dos realidades complementarias, aunque cada uno de ellos las vea desde perspectivas diferentes. La relación entre tarea y actividad es de este tipo, son dos partes de una misma realidad vistas desde puntos diferentes. Lo que para el estudiante es trabajo que debe realizar y fuente de aprendizaje, para el docente es trabajo que debe proponer y proyecto de enseñanza.
Los criterios en los que hay que basarse para la selección de las tareas La tarea es la propuesta cente a un estudiante, educando, estudiante,
de trabajo
que le hace, normalmente,
un maestro
un tutor a un tutorizado, aprendiz,
que él entiende
educando,
a un aprendiz,
un educador
etc. La actividad
tutorizado,
un doa un
es lo que hace el
etc. para responder
a lo
que se le pide que haga. La tarea es el haz y la activi-
dad es el envés de la misma hoja que es el proceso de enseñanza-aprendizaje. Por medio de la tarea-actividad en su desarrollo
se transmiten
es donde tiene lugar la inducción
Esto no es otra cosa que la repetición lantado
en el punto anterior
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
los significados
y
del conocimiento.
de lo que ya habíamos ade-
de esta idea clave, pero conviene
recor-
darlo porque es básico para lo que sigue. La pregunta a continuación
es la siguiente:
que nos hacemos
¿si como sugiere el triángulo
tivo la selección de las tareas es una de las funciones
comunica-
básicas de los do-
centes, según qué criterios debe hacerse esta selección? Antes de contestar
a esta pregunta
táfora que en mi opinión la hora de seleccionar quiere
refleja fielmente
tareas. La metáfora
la de un cocinero
consumado
la función
Metáfora
del profesor sermoneador,
una me-
de un docente a
es la del cocinero
con alma de dietista.
oponer a la visión habitual ble, retórico
me gustaría presentar
o si se
que quiero
orador infatiga-
y espadachín de la palabra.
El cocinero debe, en primer lugar, pensar qué comida va a preparar. Los criterios que puede seguir son gastronómicos o dietéticos, sobre esta cuestión volveremos más adelante. En segundo lugar, debe prepararla y presentarla al comensal de la manera más atractiva posible. En el momento en el que el plato está en la mesa es al comensal a quien le corresponde degustar esa comida. Si lo miramos desde el punto de vista dietético, se supone que podrá extraer de la misma la energía y los nutrientes necesarios para asegurar su salud, es decir que esperamos que le siente bien en el sentido de que sea nutritiva. Si lo miramos desde el punto de vista gastronómico, esperamos que se sienta bien y disfrute. Como seve que «le siente bien» y que «sesienta bien}} son cosasdistintas, pero complementarias. Seguramente, es difícil separar esos dos aspectos, aunque sean claramente diferenciables desde un punto de vista teórico. La labor de un docente con relación a la propuesta de tareas es muy similar, debe elegir entre el amplio abanico de posibles trabajos aquellos que en su opinión sean, si se me permite la expresión, «dietéticamente adecuados al metabolismo intelectual de sus estudiantes» y luego debe presentarlos de la manera lo más atractiva posible, es decir, siguiendo con este juego de palabras, con un toque de «gastronomía intelectual».
IDEA CLAVE
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Pero, lo que resulta evidente en todo caso es que la relación entre cocinero y comensal se produce por medio de la comida que prepara el primero y de-
gusta el segundo. El cocinero se relaciona con el comensal por medio de la comida, en muchos casos los cocineros y comensales no llegan a conocerse, pero existe una relación dietético-gastronómica
del tipo que hemos rela-
tado.
Entre el docente y el estudiante se produce una relación similar si sustituimos comida preparada por tarea y comida digerida por actividad. Por medio de la tarea-actividad se relacionan docente y estudiante y a través de ella se construye el nexo comunicativo. Siguiendo esta metáfora dos de las principales tareas a las que un docente debe hacer frente son: •
La selección cuidadosa de las tareas que va a proponer.
•
Una adecuada presentación a sus estudiantes.
Selección y presentación de tareas constituyen, por lo tanto, el inicio del acto comunicativo y el sustituto natural de la verborrea explicativa que acompaña a la función docente en muchos casos. Ha quedado bien establecido, eso espero, que el binomio tarea + actividad es el medio para el desarrollo del proceso comunicativo, por ende educativo, entre el estudiante y el docente. Bien. Sin embargo, si la finalidad del proceso comunicativo es inducir conocimiento y desarrollar competencias, ¿qué criterios podemos seguir para proponer tareas y organizar la enseñanza? En este punto se me permitirá que vuelva a contestar con otra metáfora: la de las semillas y la planta. La semilla contiene, en principio, la información necesaria para desarrollar la planta, es, por decirlo así, una planta en potencia. Pero para que esta posibilidad se concrete en una planta sana es necesario que se den unas condiciones ambien-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATICA
tales que permitan
su desarrollo,
ciones mínimas de supervivencia y esto es importante
porque
en ausencia de unas condi-
la semilla no se desarrollará.
Además,
para el símil que estamos desarrollando,
cada se-
milla puede «llegar a ser» un cierto tipo de planta y no otro. Con las tareas sucede algo similar. Las tareas contienen que permite inducir conocimiento forman
en actividades
cuada, si la humedad
todo depende
tarea + actividad.
la insolación y el
previos son los adecuados, si la motivación los medios
apropiadas,
es de esperar que el aprendizaje
el conocimiento.
materiales,
las condiciones
llas son plantas en potencia
se producen.
es la debida,
ambientales
son
ni las plantas se des-
Por eso decimos que las semi-
y las tareas germen
algo necesario e imprescindible,
Si los
se produzca y se induzca
En ausencia de esas condiciones
ni los aprendizajes
Siguiendo
Si la tierra es la ade-
es de esperar que la planta se desarrolle.
si la ayuda,
arrollan
de las condiciones
es la debida, si la temperatura,
viento son apropiados, conocimientos
y desarrollar competencias si se trans-
con sentido,
en las que «crezca» el binomio
el germen
del aprendizaje.
Son
pero no suficiente.
con el símil, hay que destacar que cada semilla produce
una clase de planta y lo mismo sucede con las tareas, cada tipo de tarea es capaz de activar un tipo de aprendizaje.
Porque, así como no existe
alimento
necesarios para una buena
que contenga todos los nutrientes
dieta ni hay semillas universales que según se rieguen den una u otra planta, den perejil o albahaca, tampoco paces de contener
en potencia
cesarios para el desarrollo
existen tareas universales ca-
la variedad
armónico
entera de aprendizajes
ne-
de la persona. Por eso conviene
que estudiemos los diferentes tipos de tareas que existen y la relación que tiene cada una de ellas con los aprendizajes rios para un desarrollo Por lo tanto,
armónico
que consideramos
de la educación
antes de seguir adelante
necesa-
matemática.
conviene que dejemos esta-
blecidas algunas ideas básicas. Estas ideas las podemos exponer en la siguiente
lista:
IDEA CLAVE
5
•
El binomio
tarea + actividad
es el medio a través del cual se esta-
blece el nexo comunicativo •
La correcta comprensión transformación
entre los estudiantes
de las intenciones
de la tarea en actividad
y el docente.
mutuas y la consecuente permiten
la inducción
del
conocimiento. •
La tarea es la realidad que vive el docente y la actividad
la que vive
el estudiante. •
Con la misma propuesta llarán distintas
de tareas, diferentes
actividades
y activarán
estudiantes
diferentes
desarro-
aprendizajes
de-
bido a los factores propios de cada uno de los sujetos que aprende. •
La tarea contiene
el germen de los aprendizajes
germen se desarrolle y fructifique, diciones metodológicas •
posibles. Que este
o no lo haga, depende de las con-
en las que se concrete.
No existe una tarea capaz de contener
todos los aprendizajes
nece-
sarios para una educación armónica como no existe una comida que contenga
todos los nutrientes
importante
ni una semilla universal.
Por eso es
estudiar los tipos de tareas que hay que realizar y su re-
lación con los tipos de aprendizajes
que pueden suscitar.
La tipología de tareas y su relación con los aprendizajes Como hemos indicado en el punto anterior, es una labor importante
la clasificación de las tareas
porque es la manera que tenemos de relacio-
nar los medios que vamos a utilizar -propuesta actividades-
con los aprendizajes
de tareas/realización
de
que deseamos suscitar. En consecuen-
cia, no nos interesa una clasificación
cualquiera,
sino aquella que nos
permita agrupar las tareas que vamos a proponer
bajo el criterio de ser-
vir para el desarrollo El proyecto aprendizajes
de aprendizajes
del mismo tipo.
PISA, OCDE (2004, pp. 40 Y 41), clasifica de las matemáticas
a mayor dificultad:
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
los tipos de
en tres niveles que ordena de menor
•
Nivel de reproducción.
•
Nivel de conexión
•
Nivel de reflexión.
En el denominado cuya resolución rutinarios,
(relación).
«nivel de reproducción» implica la utilización
la manipulación
consideran
aquellas tareas
de procedimientos
y algoritmos
de expresiones y fórmulas y la realización de
cálculos. Creo que son tareas que en nuestro medio podrían ser descritas por el término
«ejercicios» y que por desgracia constituyen
parte de la alimentación matemático
escolar en matemáticas,
la mayor
el tipo de catering
más servido en nuestros centros educativos.
El denominado información,
«nivel de conexión»
la identificación
tes y la utilización
implica la interpretación
de los elementos
matemáticos
de la
pertinen-
de relaciones entre los diversos conceptos matemá-
ticos. Supone una superación
del nivel anterior
deben actuar con mayor autonomía
porque los estudiantes
y mostrar una comprensión
de su
propia acción superior al nivel anterior. El denominado de pensamiento problemas.
«nivel de reflexión» (producción)
implica la utilización
creativo aplicado fundamentalmente
a la resolución de
Supone además la capacidad de justificar
rrectamente Cualquier
y argumentar
los caminos seguidos en la resolución de las tareas. clasificación
sobre el grado de dificultad
zajes y sobre la relación entre este grado de dificultad ciadas es problemática, clasificaciones
co-
ya que los factores
de los aprendiy las tareas aso-
que inciden
en estas
son muchos, y es muy difícil hacer una disección clara de
implica de pensamiento creativo aolícado fundala
los mismos, pero estimo que la propuesta del proyecto PISA que he descrito es sencilla y práctica y por esta razón, además de por estar ajustada a lo que entiendo sidero interesante
es un buen análisis de las operaciones cognitivas, conrecogerla y utilizarla.
Por otra parte vaya
intentar
hacer un pequeño
llas tareas que creo que tienen más tradición
resumen de aque-
escolar ya tratar de rela-
IDEA CLAVE
5
cionar este tipo de tareas con los niveles ya citados del proyecto con la intención
manifiesta
PISA,
de mostrar la relación que pueden guardar
entre ellos. •
Ejercicios .
•
Experiencias.
•
Juegos.
•
Problemas.
•
Investigaciones .
•
Actividades
de síntesis y elaboración
de la información.
Ejercicios Los ejercicios entendidos
como aquellas tareas en las que los estudian-
tes deben aplicar lo que se les ha enseñado recientemente también
descritas en el nivel de reproducción
procedimientos
y algoritmos
nes y fórmulas
y la realización
docentes y los estudiantes equivocarnos
rutinarios,
de PISA (utilización
la manipulación
de
de expresio-
de cálculos) son bien conocidos por los
de matemáticas.
que constituyen
y que están
Podemos decir sin miedo a
la mayor parte de la alimentación
esco-
lar. En algunos casos son casi el único tipo de tarea que se hace, porque muchas de las tareas denominadas
problemas
sino que son ejercicios disfrazados
de problemas.
La red está inundada de worksheets quier tipo de algoritmo.
Aunque,
en los que se puede aplicar cual-
La dirección de Internet:
worksheet.php4?option=add1 den encontrar
no lo son en realidad,
www.rhlschool.com/
no es más que una de las miles que se pue-
en cualquier buscador de Internet.
la verdad sea dicha, para ese viaje no es necesario ni orde-
nador ni conexión
de banda ancha. La pizarra se ha utilizado
toda la
vida para poner ejercicios, y han existido versiones muy conocidas de este tipo de tareas que se han convertido el punto de inundar
en best seller escolares hasta
las estanterías de las grandes superficies donde se
pueden conseguir a la vez que se hace la compra o se contrata
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
un viaje.
Ejercitarse en matemáticas es necesario y no creo que debiéramos centrar el debate sobre esta cuestión, porque resulta evidente que sin construir de manera adecuada las habilidades (competencias de nivel bajo) que son necesarias como recurso en cualquier momento no resultará fácil dominar competencias de rango superior. El problema de la correcta aplicación de los ejercicios en la educación matemática como tarea de enseñanza no essencillo y ha dado lugar a muchas discusiones y a bastantes desencuentros. En la dirección de Internet: http://ensino.univates.br/-chaet/Materiais/Manifiesto.pdf
puede leerse un sim-
pático manifiesto escrito por el claustro de profesores y profesoras de colegio público Aguamansa de la Orotava (Tenerife) contra el abuso que supone centrar el currículo escolar en la enseñanza de los aprendizajes de los algoritmos de cálculo escrito. Es un documento interesante porque dice cosas muy sensatas con bastante gracia. Sin embargo, hay que señalar que se abusa de la utilización de los ejercicios hasta convertirlos, siguiendo la metáfora que hemos usado, casi en un plato de uso diario y, lo que es peor, único: «como el pan nuestro de cada día dánoslo hoy». Estamos frente a una dieta pobre que abusa de un nutriente, pero que nos deja hambrientos de otros que son igualmente necesarios. El currículo escolar es algo finito y limitado, además la tendencia a introducir nuevos contenidos curriculares, unida a la disminución del tiempo que los estudiantes pasan en las escuelas, ha llevado a agrias disputas sobre el tiempo que debe dedicarse a cada área en el horario escolar. Si el tiempo es limitado y dedicamos mucho a un tipo de tarea, es evidente que quedará poco tiempo para el resto,
La utilización abusiva de ejercicios hace del
por lo tanto en esta cuestión lo relevante no es solamente el tiempo que se emplea para hacer ejercicios, sino el tiempo o peso relativo que se les da dentro del currículo; porque este porcentaje no nos dirá solamente qué se hace (ejercicios), sino qué no se podrá hacer por falta de tiempo. Estautilización abusiva de ejercicios hace del aprendizaje de las matemáticas una actividad rutinaria y tediosa, y esto es uno de los
IDEA CLAVE
5
factores que explica el rechazo que algunos estudiantes, los menos dotados utilización
para esta área, sienten
masiva de ejercicios
nica de reglas y algoritmos ponsable
de la imagen
matemáticas
y no siempre
por las matemáticas.
en los que prima la aplicación
memorizados que para
sin comprensión
muchos
estudiantes
Esta mecá-
es la restienen
y está en el origen de muchas de las actitudes
las
negativas
suscitadas. Debe comprenderse,
además, que la tecnología
actual ha conver-
tido en obsoletas muchas, por no decir casi todas, las competencias ciadas a estos aprendizajes
porque
ya no se usan ni en el contexto
personal, ni en el social y, mucho menos, en el profesional. ejemplo claro del tipo de conocimiento
matemático
de cualquier tipo,
es el asociado al cálculo escrito. Obsérvese con atención, que digo expresamente
mente cálculo escrito con cantidades fiero al cálculo oral o estimativo del desarrollo de competencias
Si existe un
que ha dejado de
ser útil como base para el desarrollo de competencias
malentendidos,
aso-
para evitar
cálculo escrito y más precisa-
grandes. Es decir que no me re-
que sigue siendo necesario como base básicas en los diferentes
contextos antes
citados. Conviene señalar que el dominio mentalmente,
del cálculo escrito se hace, funda-
por medio de ejercicios y que el tiempo
que se dedica
a este tipo de tarea consume la mayoría del tiempo escolar destinado aprender matemáticas. Hay que comprender tión y tomar decisiones que limiten de tareas. Es una cuestión importante, ello deben ser decisiones cuenta que los aprendizajes
la importancia
el uso indiscriminado
y colegiadas
que se promueven
suficiente
de este tipo y por
que tengan
dependen
que se hacen y que abusar de los ejercicios impedirá, tinar el tiempo
de esta cues-
por no decir trascendental,
consensuadas
en
de las tareas
lógicamente,
a otro tipo de tareas y en consecuencia
logro de otros tipos de aprendizajes
a
desal
más necesarios. Para muchos ex-
pertos estas son cuestiones menores que no reclaman mucha atención,
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
en mi opinión es una cuestión capital que mientras no se aborde en profundidad bloqueará cualquier intento de mejora en la enseñanza de las matemáticas.
Experiencias La palabra «experiencia» sugiere, inmediatamente, experimento y se asocia al aprendizaje basado en la observación de fenómenos. Se ha discutido mucho sobre si las matemáticas son o no una ciencia experimental. Diversas escuelas han mantenido posiciones distintas, pero a nosotros lo que nos interesa no es«qué son las matemáticas», sino «qué es lo que los estudiantes deben aprender de las matemáticas», por esta razón obviaremos ese interesante debate. Existe un gran consenso sobre la relevancia de la experimentación como vía de aprendizaje, sobre todo en la infancia, entre los psicólogos que han estudiado el aprendizaje. Por lo tanto, parece conveniente que nos planteemos la necesidad de estudiar qué se puede aprender en matemáticas por medio de la experimentación. Además no estamos planteando algo que no tenga una cierta tradición en la historia de la enseñanza de las matemáticas, porque desde los inicios del siglo xx casi todas las renovaciones en los métodos de enseñanza en general y de las matemáticas en particular han estado asociadas a propuestas en las que la experimentación
ha ocupado un lugar muy
importante. Por otra parte, en los años setenta y ochenta existió una corriente que impulsó decididamente la utilización de material didáctico para la enseñanza de las matemáticas y, aunque se puedan mostrar ciertas reticencias con relación a una utilización abusiva y universal de estos denominados «materiales didácticos» (regletas, ábacos, material multi base...), no podemos desdeñar absolutamente su utilización ni deberíamos concluir que la experimentación no debe ocupar ningún lugar en la enseñanza de las matemáticas.
IDEA CLAVE
5
Según Piaget: En el caso de las nociones lógico-matemáticas,
suponen
un juego de ope-
raciones que son abstraídas, no de los objetos percibidos, sino de las acciones ejercidas sobre los objetos. (Piaget, 1969)
Las matemáticas, sicos de
sobre todo las relacionadas con los conceptos más bá-
cantidad y operación, se aprenden por interiorización
de las
acciones que se hacen sobre los objetos.
Por lo tanto,
manipulación
pero no por las propiedades
observables
ocupan
un lugar nuclear,
en ellos (ciencia experimental),
pueden hacerse sobre los mismos: juntarlos,
los objetos y su
sino por las acciones que separarlos, añadir o quitar
otros, etc. De esta manera se piensa que para que la acción sea interiorizada
y convertida
en operación
(representación
ción) es necesario que se actúe sobre los objetos. cuenta, de todas maneras, que sin operación lo tanto, la mera manipulación el origen de la construcción final de la construcción.
Hay que tener
la manipulación
es pues el origen y no el
para poder «imaginar»
ciones y sublimar su uso, es decir para poder sustituir
aunque
Entendiendo
en su construcción
previo a operar-
está en
Hay que tener en cuenta, además, que no todos
los sujetos necesitan el mismo tiempo
operaciones.
en
no hay matemáticas y, por
no es suficiente, de la operación,
mental de la ac-
que matemáticas
puede entenderse
dizaje de las matemáticas
las acciones por
es operación
las personas necesiten la importancia
tiene la experimentación.
esas ac-
y no acción -
actuar como paso que para el aprenLa experimenta-
ción en matemáticas sirve para conectar los objetos matemáticos
con los
objetos reales y las acciones que sobre ellos hacemos, de manera que desarrolla y fortalece
la intuición y facilita la comprensión.
tablecer
con la realidad
conexiones
y facilita
Sirve para es-
que se establezcan
rela-
ciones con otros objetos matemáticos
y es, sin duda, un tipo de tarea
fundamental
pierdan ese halo de abstracción
para que las matemáticas
que las hace tan inaccesibles para ciertas personas. Muchas personas se
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
sorprenden
cuando se les habla de taller o laboratorio
de matemáticas
porque ese tipo de lugar y las tareas que se asocian al mismo parecen naturales
para trabajar
las ciencias experimentales,
pero no las mate-
máticas. Se suele decir que para hacer matemáticas
basta con tiza y pi-
zarra o papel y lápiz, y es cierto, pero eso no quiere decir que se puedan hacer matemáticas
solamente
las manipulaciones
que podemos hacer con ellos nos pueden y deben
enseñar muchas matemáticas. para desarrollar imaginación.
con esos recursos, también
Pero, las experiencias
otro aspecto capital
peculiar en este contexto,
son importantes
de la educación
Utilizo la palabra «imaginación»
los objetos y
matemática:
la
de una manera un tanto
me refiero a la capacidad de representar
por
medio de imágenes, o dibujos, los objetos sobre los que trabajamos. este sentido la imaginación der matemáticas,
es una capacidad fundamental
para apren-
porque los conceptos que se usan en ellas tienen
nivel de abstracción
En
un
muy elevado y si no se es capaz de establecer me-
táforas o de representarlos
imaginativamente,
resulta muy complicado
para muchas personas acceder a su comprensión. La imaginación,
como forma de representación
visual, es una capaci-
dad que se desarrolla por medio de tareas en las que la observación y manipulación de objetos materiales y su representación por medio de dibujos, diagramas o croquis ocupan el lugar central. Escrucial que desarrollemos esta vía de acceso imaginativa
a las matemáticas si las queremos hacer ac-
cesibles a las personas, que son la mayoría, que se desenvuelven
mucho
mejor en este mundo que en el de las ideas platónicas, que como sabemos utilizaban
los conceptos matemáticos
como ejemplo de los niveles más
altos de abstracción, es decir los menos contaminados Vaya
intentar
poner un ejemplo de lo que quiero decir:
Todos sabemos que el concepto oría elemental
por la experiencia.
de número primo es básico dentro
de la te-
de los números y forma parte de los currículos de matemáti-
IDEA CLAVE
5
cas de la enseñanza elemental. Lo más habitual es que ese concepto se enseñe por medio de una definición abstracta y muy repetida en los libros de texto: «Número primo es el que tiene sólo dos divisores: el mismo y la unidad». Bien, si un muchacho o muchacha tiene que «comprender» esta definición -descartamos que el aprendizaje se reduzca a una repetición mecánica de la definición-,
deberá relacionar el nuevo concepto número
primo con el concepto de divisor, pero éste es otro concepto abstracto que a su vez le remite a los conceptos de división, multiplicación,
resto ... Lo más
seguro es que se pierda en esa maraña, no sea capaz de establecer esas relaciones y se refugie en la memorización de esa definición. Si preguntamos a una persona adulta y con un nivel de cultura media qué le sugiere el concepto de número primo, veremos que o dice que ya no se acuerda o intentará buscar en su memoria la definición que aprendió en su día. Eserecuerdo suele estar ya borrado o en todo caso muy difuminado, en la inmensa mayoría de los casos podemos afirmar que ese concepto no está activo. La definición que memorizaron se ha ido olvidando y en la memoria sólo queda la conciencia de que se estudió. Sin embargo, es posible y bastante fácil asociar este concepto a una experiencia ya una imagen. Para ello podemos recurrir a una tradición que se remonta a las matemáticas griegas y que consiste en representar los números como conjuntos de puntos agrupados según diferentes formas geométricas (esta manera de estudiar los números se atribuye a la escuela pitagórica) y extraer de esasformas geométricas las correspondientes propiedades para esos números: son los denominados números figurados. Además basta con disponer de unos montoncitos de alubias o garbanzos para poder «manipular los números». Los números rectangulares son aquellos que pueden formarse juntando filas (o columnas) del mismo número de unidades (garbanzos, alubias). Cuando decimos filas (columnas) queremos decir más de una. Ejemplos de números rectangulares son los siguientes:
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATICA
----------- ---- ------Los números 6, 8 Y 12 son números rectangulares porque pueden formarse juntando filas (columnas) de cantidades iguales. La tarea que podemos proponer es la siguiente: coger 7 garbanzos y mirar si se puede formar con ellos un «rectángulo». Bien, la persona a la que le encargamos la tarea puede pasar un rato intentándolo, pero pronto podrá observar que es imposible. 7 garbanzos sólo se pueden poner como «una fila» de 7 garbanzos, si se intenta completar con esta cantidad más de una fila siempre sobra o falta alguna unidad. Le podemos decir entonces a esa persona que los números se clasifican en dos tipos: rectangulares -los que están formados por más de una fila de cantidades iguales- y los que no lo son. Parece fácil comprender que toda cantidad será, pues, c1asificable como rectangular o no rectangular. Puesbien, tradicionalmente a los números no rectangulares se les ha llamado primos o primeros (que es lo mismo) porque no puede formarse más de una fila con ellos, pero, aunque esto seaya un poco más difícil de entender, juntando filas o columnas de números primos se pueden ir generando todos los demás y por esta razón se les llama primeros o primos, porque son los que se encuentran en la primera (luego repetidos también en las otras) fila o columna.
En esta tarea estamos relacionando
conceptos:
rectángulo, fila, co-
lumna y primo y además nos hemos servido de material manipulativo o imágenes (rectángulo)
que los representan.
Igualmente,
hemos utili-
zado expresiones lingOísticas: «tiene más de una fila de cantidades iguales», «si es rectángulo
no es primo»,
«12 no es primo
porque
es
IDEA CLAVE
5
rectángulo»;
«7 es primo porque no es rectángulo»,
las cuales se van estableciendo abstractos),
los objetos
Este trabajo
de conexión
etc. por medio de
las conexiones entre los conceptos (entes
(mundo
real) y sus representaciones
entre el mundo
icónicas.
real, su representación
sual) y los conceptos abstractos de las matemáticas
(vi-
es lo que llamamos
«experiencia». Otro ejemplo
de lo que queremos decir cuando hablamos de expe-
riencia en matemáticas
es el siguiente:
¿Cuánto vale la suma de los tres ángulos de un triángulo? La respuesta es bien conocida y existe una elegante demostración matemática que lo prueba. Pero es también, si así se desea, una cuestión experimental. Basta con dibujar un triángulo cualquiera sobre una cartulina, recortar los ángulos de las tres esquinas y colocarlos uno aliado del otro (haciendo coincidir los lados) para ver que en todos los casosse forma un ángulo llano. Resulta claro que esta experiencia no «prueba» nada, pero es extraordinariamente didáctica y ayudará a fijar esta propiedad de los triángulos en los esquemas cognitivos de los estudiantes. Es«matemáticamente» débil pero «didácticamente» poderosa porque nos permite imaginar, es decir utilizar imágenes para construir, los nexos de relación que hay entre los objetos abstractos que manejamos. Lasimágenes guardadas nos permitirán recordar los nexos existentes entre los objetos que han sido utilizados, con lo que la estabilidad de los mismos en la memoria es mucho mayor. Debemos recordar que la memoria a largo plazo se organiza por relaciones con sentido entre los conceptos y que desde esta perspectiva este tipo de nexos establecidos son más efectivos si se les puede dotar de un soporte «imaginativo».
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Tal vez el exponente
más ejemplar
de la relevancia de este tipo de ta-
reas para la enseñanza de las matemáticas apuesta por lo que se ha denominado (RME), www.fi.uu.nl/fisme/en. 1990), el instituto
Realistic Mathematics Education
Tras la estela de Hans Freudenthal
que lleva su nombre
landesa de Utrecht
sea la escuela holandesa y su
y está dirigido
está situado
actualmente
(1905-
en la ciudad ho-
por Jan De Lange.
Conviene recordar que este profesor es uno de los máximos responsables del diseño del ya varias veces citado proyecto cuela holandesa fundamental
de enseñanza
PISA. La llamada es-
de las matemáticas
es un referente
para cualquier propuesta de enseñanza de las mismas que
no quiera olvidar la relevancia de la cuestión que estamos planteando. No quiero
sugerir
que esta escuela holandesa
puesta de aprendizaje la propuesta
de las matemáticas
reduzca toda su pro-
a una cuestión experimental,
que hace es mucho más holistica e integral.
todo caso, un comentario
más amplio y pormenorizado,
pongo del espacio suficiente que la aportación
Merecería, en pero no dis-
para hacerla y si la cito ahora, no es por-
de esa escuela se reduzca, ni mucho menos, a esta
cuestión, sino porque es una de las escuelas que con mayor ahínco ha trabajado
este aspecto, entre otros.
Para finalizar
con este apartado,
quería simplemente
indicar
este tipo de tareas es básico en la enseñanza de las matemáticas cial para el desarrollo
de lo que hemos llamado «competencias
medio» según la clasificación
que y cru-
de nivel
que de las mismas hace PISA.
Juegos También los juegos son un tipo de tarea con tradición de las matemáticas.
Aunque
que se le asignan rápidamente son tan subjetivas,
éste es un término connotaciones
son difíciles de determinar.
en la enseñanza
un tanto confuso por-
lúdicas que, siendo como Hay niños y niñas que
dicen que les encanta «hacer sumas» y esa tarea no es desde luego un juego.
Me gustaría
precisar un poco más qué entiendo
por «juego»
IDEA CLAVE
5
cuando uso este término
en el contexto
de la enseñanza de las mate-
máticas. Los juegos, en mi opinión,
tienen dos características
básicas:
•
Están sujetos a una serie de reglas o normas que hay que respetar.
•
Tienen por finalidad
«ganar».
Por esta razón el parchís es un juego como lo es el Tetris, y en cambio «ver la tele» no lo es, aunque sea muy divertido.
Hay personas a las que
jugar no les divierte nada, por desgracia cada día más. No es éste el lugar para señalar las ventajas educativas de los juegos, por lo que me ceñiré a las ventajas
que tienen
para la educación
como buscan ganar, obligan al jugador
matemática.
Los juegos,
a elegir de las acciones posibles
la «mejor», esta elección no es siempre ni segura ni sencilla y es por esta razón que se habla de estrategia cuando se habla de juegos. Los juegos permiten
poner en acción operaciones
cognitivas
de grado
medio y
superior y obligan a los aprendices a tomar decisiones de manera autónoma promoviendo
de esta manera la creatividad
Un sencillo ejemplo
de juego matemático
y la iniciativa.
en el sentido que aquí le
queremos dar es el siguiente. (Damos una versión simplificada para no extendernos
del juego
demasiado):
Dos jugadores lanzan alternativamente un dado y deben colocar la cifra resultante en uno de los siguientes huecos, gana el jugador que consigue escribir más cifras. .........
= múltiplo de 2
...................................
= múltiplo de 3
...................................
= múltiplo de 5
Supongamos que los valores que dan los dados son: 2, 3, 1,2, 5,6,2,4
Y 3.
Supongamos que me sitúo en el lugar del primer jugador. El primer 2 lo puedo escribir en cualquier lugar porque todos los espacios están huecos.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Pero, si lo escribo en la posición de las unidades del número que debe ser igual a múltiplo de 2 ya me aseguro que cualesquiera que sean los valores que salgan posteriormente los podré poner en las decenas y centenas de ese número, con lo que me aseguro que podré escribir dos cifras en las siguientes dos jugadas. Bien, pero eso también sirve para mi compañero de juego. ¿Qué haré, escribiré esacifra para asegurarme la siguiente tirada o me arriesgaré a colocarla en otro lugar para forzar a no poner a mi compañero? Supongamos que me decido por lo primero. El segundo jugador tiene que poner un 3 y puede hacerlo donde quiera, aunque no debiera pensar, porque es erróneo, que ponerlo en el lugar de las cifras del número que debe ser múltiplo de 3 asegura que ese número sea múltiplo de 3, etc.
No nos podemos entretener
en este texto a estudiar con detenimiento
las posibles jugadas y su valor estratégico, pero todo el razonamiento existe detrás de cada jugada tiene un alto valor formativo
en matemá-
ticas si se «juega bien», Si se compara el tipo de operaciones que debe poner en acción una persona que se enfrenta
que
mentales
a esta situación
con el de aquella que «hace sumas» de manera mecánica, resultan evidentes la diferencia
de complejidad
entre ambos tipos de operaciones y
las consecuencias que esas diferencias tienen para los aprendizajes
que
activan un tipo y otro de tarea. Por esta razón proponer juegos para trabajar cuestión optativa, lajar la tensión
matemáticas
no es una
es algo que puede hacerse, algo que se hace para re-
que crea hacer muchos ejercicios, algo que se les pro-
pone a los estudiantes
que ya han terminado
No es algo que se haga para que se diviertan resto de tareas «importantes» no es un añadido
las tareas obligatorias. los alumnos al finalizar
el
(concepto inútil e infantil donde los haya),
deseable, pero sí imprescindible.
Los juegos son un
tipo de tarea que debe realizarse por su valor formativo
y porque no
existe otro tipo de tarea capaz de activar este tipo de aprendizajes.
Es
IDEA CLAVE
5
una parte no prescindible
de la dieta, un nutriente
una dieta no será nunca una dieta equilibrada
necesario, porque
si le falta un nutriente.
y todos sabemos que la falta de nutrientes básicos en la dieta es el origen de ciertas enfermedades. Si los clasificamos considerando ñalar el grado de dificultad lo más atinado
los niveles que indica PISA para se-
de los procesos cognitivos puestos en juego,
sería colocarlos entre los niveles 2.0 y 3.0, porque en al-
gunos casos la realización miento productivo
de juegos
implica
la utilización
de pensa-
y creativo, lo que es seguro es que en todos los casos
supera el nivel de la mera reproducción.
Problemas La competencia la definición
matemática,
descrita en las líneas anteriores
que se da de la misma en el proyecto
nirse como «la capacidad de utilizar el conocimiento
siguiendo
PISA, puede defimatemático
en un
contexto». Por otra parte, si se consulta el diccionario pañola
de la Real Academia
Es-
vvww.rae.es, pueden obtenerse las siguientes acepciones a la
hora de dar con una definición
de problema:
problema. (Dellat.
problema,
y éste
del gr. TTPóBAf)Q).
1. m. Cuestión que se trata de aclarar. 2. m. Proposición 3. m. Conjunto
o dificultad
de solución
de hechos o circunstancias
dudosa. que dificultan
la consecución
de
algún fin.
4. m. Disgusto, preocupación. 5. m. Planteamiento
U. m. en pl. Mi hijo sólo da problemas.
de una situación
tenerse a través de métodos
cuya respuesta desconocida
debe ob-
científicos.
De todas esas acepciones la 5.a es la que mejor se adapta a la definición que solemos dar de «problema»
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
en matemáticas,
aunque
la 1.a y
la
2.a
están también
cita expresamente nimo del término
cerca. Conviene observar que en la S.a acepción se la palabra «situación»,
«contexto»
petencia.
Si combinamos
problema
como una tarea,
competencia
matemática
mas de matemáticas.
que hemos utilizado ambas
definiciones
podemos
equivale
llegar
para definir
a la conclusión
exigente,
sinó-
la com-
y consideramos
a la capacidad
Es una conclusión
parte, que sitúa la tarea denominada actividad
la podemos considerar
el
de que
de resolver problepero lógica por otra
«problema»
en el corazón de la
matemática.
Tal vez el mejor modo de explicar el papel que juegan los problemas entendidos
como tareas realizables
cas sea utilizar
una parábola,
en la enseñanza de las matemáti-
pero no una parábola
matemática,
sino
narrativa.
Imaginemos a un atleta que se prepara para competir en una prueba atlética de medio fondo. Parece obvio afirmar que su objetivo es lograr el máximo rendimiento posible el día en que deba correr la prueba. ¿Cómo se entrena? La mayoría de los atletas, desde hace ya algunos años, utiliza lo que se denomina entrenamiento fraccionado; éste consiste en entrenar diversos factores que influyen en el rendimiento final de manera separada. Un atleta de medio fondo debe ser resistente, rápido, flexible, potente y buen estratega. Por eso un día se dedicará a hacer carrera continua para mejorar su resistencia aeróbica, otro a hacer series de longitud media para mejorar su resistencia muscular, otro a hacer series cortas para mejorar la rapidez y deberá entrenar en el gimnasio para mejorar su elasticidad y potencia. Como puede verse tiene bastante trabajo, el tipo de tareas que debe realizar esvariado y abundante. El entrenador de ese atleta es la persona encargada de organizar la carga de trabajo que debe realizar y dosificarla de manera adecuada para que el desarrollo de todos esos factores se haga de manera armónica. Si insiste mucho en la resistencia, el atleta puede per-
IDEA CLAVE
5
der velocidad, pero si insiste mucho en la velocidad, puede perder resistencia. La potencia puede estar reñida con la elasticidad si se insiste demasiado en trabajar la fuerza, y así sucesivamente. Por ello, todo eso debe hacerse en un tiempo determinado porque la capacidad de asimilación de la carga de trabajo es limitada y el atleta necesita descansar y recuperarse antes de volver a entrenar. Sin embargo, todo se hace para que el día de la prueba su rendimiento sea óptimo. Por esta razón los atletas compiten varias veces antes de participar en lo que consideran su prueba más importante y lo hacen porque, además de tener los factores citados en altos niveles de logro, es necesario ser un buen estratega para conseguir el máximo rendimiento. Hay que saber situarse, hay que saber vigilar a tus rivales, hay que controlar el miedo a perder y conseguir que no te paralice, hay que saber dónde y cuándo atacar, hay que controlar la ansiedad, etc.
¿Qué tiene que ver todo eso con la enseñanza de las matemáticas
y la
resolución de problemas? El paralelismo es evidente. La prueba la podemos asimilar
a los problemas,
porque
si el objetivo
miento es lograr el máximo rendimiento
de todo
el entrena-
en la prueba atlética, el obje-
tivo de la enseñanza de las matemáticas es lograr el máximo rendimiento en la resolución de problemas. Dicho de otra manera, la performance a la que se dirige todo el entrenamiento máximo rendimiento
para desarrollar
matemático.
realizar
¿Cuál es la tarea más
que mejor sintetiza todas las demás y pone en juego la com-
petencia matemática
en su sentido más general? Los problemas.
quiere decir que hay que estar todos los días haciendo matemáticas
su competencia
La respuesta ya la hemos dado con anterioridad:
tareas en las que usen conocimiento importante
es conseguir el
posible en la resolución de problemas.
¿Qué deben hacer los estudiantes matemática?
en matemáticas
¿Esto
problemas
de
en clase? No. ¿Esto quiere decir que hay que combinar
di-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
ferentes tipos de tareas para conseguir desarrollar necesarios para la performance hacer problemas
es precisamente
precisamente
la pregunta
a la que debe responder
este libro diciendo
se concreta en el currículo eso, la determinación
realizar y la propuesta tudiante
a mejorar
su forma
ridad la carga de trabajo mejoraremos
años considerando
el currículo.
que la enseñanza
de la carga de trabajo
Por
de las es
que hay que
de las tareas que llevan al es-
de manera armónica
y organizada.
el currículo y no determinemos
que deben realizar
en la educación
Ésta
escolar, porque el currículo
de la combinación
eso, mientras no redefinamos
mente
además de los factores
Sí. ¿Cómo debe hacerse esta combinación?
esta razón he empezado matemáticas
final? Sí. ¿Esto quiere decir que hay que
como tarea para desarrollar
básicos la estrategia?
los factores básicos
los estudiantes,
matemática.
Por
con cladifícil-
Llevamos muchos
el tema del currículo escolar y su reforma como algo
menor, despreciando
esta cuestión y acusando a las editoriales,
verdad es que la investigación nula, y las propuestas
pero la
sobre el currículo es escasa, por no decir
alternativas
a las creadas por las editoriales
bri-
llan por su ausencia. Por supuesto que ésta es una pregunta única y en la que la intuición juegan
que no tiene una respuesta
del docente y su experiencia
un papel fundamental,
ya que los estudiantes
como lo son los atletas, y hay que adaptar
pedagógica son distintos,
el entrenamiento
racterísticas personales. Pero en todo caso necesitamos,
a las ca-
con urgencia,
propuestas de currículo que supongan una respuesta enunciada al nivel de la carga de trabajo Existe una amplia
que deben realizar los estudiantes. bibliografía,
muchas monografías
diversas revistas sobre la metodología ción de problemas. tión
disponible
pueden
al efecto en cualquiera
han abundado
que hay que seguir en la resolu-
Éste no es un libro para profundizar
y los interesados
y artículos en
consultar
la abundante
de las publicaciones
en esta cuesbibliografía que sobre esto
en las últimas décadas. De todas maneras voy a intentar
IDEA CLAVE
5
proponer
algunos consejos que creo que pueden ser de ayuda en esta
cuestión. En primer lugar, hay que decir que es imposible que se aprenda a resolver problemas si no se plantean
en clase, es decir, si no se dispone de
una colección de problemas y si no se dedica el suficiente cerlos. Porque, aunque problemas
tiempo
parezca una broma, para aprender
a ha-
a resolver
lo primero es hacer problemas en clase. Y estimo que puede
afirmarse de manera responsable que no está muy claro qué tipo de tarea es un problema
y qué tipo no lo es.
En los años noventa temática
del pasado siglo, cuando la marea de la «ma-
moderna» aflojaba,
apareció como alternativa
tradicional
de las matemáticas
el epígrafe
de problem
propusieran matemáticas, estrategias mientos
que se reconocía
solving y que pretendía
y resolvieran
problemas
de resolución
no solamente
como corazón
sino que además se enseñaran
heurísticos
situaciones.
un movimiento
a la enseñanza bajo
que se
del currículo
de
de manera explícita
las
que los acompañan,
es decir los procedi-
de los que nos servimos para enfrentarnos
Pienso que esta manera de enfocar el currículo
a esas
es actual-
mente válida, pero como casi siempre sucede en las cuestiones escolares es aconsejable
que esté matizada
sectarios. Me explicaré.
Si entendemos
ción en la que debemos
tomar
que el abanico de posibilidades
alguna
y alejada
de extremismos
que un problema decisión
es una situa-
no evidente,
a las que debemos hacer frente
variar mucho de unas situaciones
resulta puede
a otras, en algunos casos las posibi-
lidades de elección pueden estar muy limitadas
y en otros casos pue-
den resultar muy amplias. Además, en el momento
en el que vamos a
tomar esa decisión podemos saber si los caminos que hay que escoger están bien delimitados
o no lo están. Todo esto hace que el problema
como tarea capaz de desarrollar
competencias
tenga un valor didáctico
muy dispar de unos casos a otros. Voy a poner ejemplos quiero decir.
1:lU
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATICA
de lo que
Supongamos que unos estudiantes están en clase y su profesor les ha explicado
«la regla de tres» como procedimiento
tuaciones de proporcionalidad una proporción
aplicable a ciertas si-
en las que se conocen tres elementos de
y se desea encontrar
el cuarto. Imaginemos
que en ese
contexto se les propone un problema y que además el docente dice explícitamente
que debe resolverse aplicando lo explicado. En este caso re-
sulta evidente
que el margen de elección del estudiante
bien claro lo que tiene que hacer y la dificultad
es nulo, está
consiste únicamente
en
recordar qué debe hacer y en hacerlo. Si el docente no dice expresamente que debe aplicarse ese procedimiento, -clasificando
pero lo dice el libro que utilizan
los problemas y poniéndolos
miento explicado-,
a continuación
la situación es casi la misma. Nos encontramos
a lo que podemos denominar problemas-ejercicio
utilizar un determinado
una fórmula,
concepto, etc. o lo que es lo mismo frente a si-
tuaciones cerradas en las que la posibilidad
de tomar decisiones autóno-
mas es casi nula. Si nos guiamos por la utilización de los libros de texto de los problemas
Esta clase de problemas
que hacen la mayoría
como tareas, hay que señalar
que la gran mayoría de las tareas identificadas
como problemas son de
marca el nivel más elemental
puede asociarse a la resolución de situaciones y es tangencial cicios en los que se refiera al nivel de complejidad
ascendente
para representar
que
a los ejer-
de las operaciones
mentales que hay que poner en juego. Si utilizáramos orden vertical
frente
o problemas ad hoc, es
decir problemas preparados para aplicar un procedimiento,
este tipo.
del procedi-
una imagen de
la dificultad,
estaríamos
frente a las tareas situadas en el nivel inferior de esa escala. Existen, en cambio, otras situaciones donde las posibilidades
de elec-
ción son mayores y donde el camino que hay que seguir no está pautado. Los problemas,
en este sentido,
tener mayor o menor apertura, calificativo
son como los ángulos,
por eso se atribuye
pueden
a los problemas
el
de «abiertos» o «cerrados», aunque sería más correcto decir
«más abiertos»
o «más cerrados».
Por ejemplo,
si proponemos
a un
IDEA CLAVE
5
151
grupo de estudiantes que calculen la altura de una torre que es accesible en su parte superior, les estamos proponiendo un problema bastante abierto porque podrán: •
Estimar su altura descomponiéndola en los elementos de los que esté hecha y midiendo o estimando el valor de dichos elementos (piedras, losas, vigas, pisos, etc.).
•
Estimar esa altura comparándola con edificios cercanos cuya altura sea más fácil de estimar o medir.
•
Utilizar la sombra de la torre para obtener su altura por proporcionalidad.
•
Utilizar los casosde resolución de triángulos.
•
Lanzar un objeto desde la torre, medir el tiempo que tarda en llegar al suelo y luego obtener la altura.
•
·
Usar un altímetro. [...]
Incluso podrían utilizar varios de estos caminos y luego promediar los resultados. Podrían ... ¿Qué harán? En esa indeterminación reside precisamente el interés de este problema, en la necesidad de tomar decisiones y de comprender las limitaciones y errores que se asumen cuando se toman. Entre estos dos extremos: «problemas ángulo cero» (en los que no hay posibilidad de elección) y «problemas ángulo lleno» (donde el rumbo es totalmente incierto) existe todo un abanico de aperturas. La idea que deberíamos recoger es que es necesario que los estudiantes trabajen problemas de diferente grado de apertura como parte de esa dieta sana que les queremos proponer. Esdecir que la propuesta curricular que se les haga debe contener problemas de diverso grado de apertura entendiendo que hacer solamente problemas ad hoc no responde a lo que entendemos como una adecuada propuesta de problemas como tareas.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
El proyecto
PISA, que ya hemos comentado
este documento,
ha generado
a qué debemos entender currículo
en diferentes
alguna pequeña confusión
como problema
partes de
con relación
en matemáticas
dentro
del
escolar. La mayoría de los ítems que conocemos de PISA son
situaciones
problemáticas
matemático;
en las que es necesario usar conocimiento
bien, eso es lo que hemos definido
como problema,
hasta
ahí todo va bien. Sin embargo, existe una cuestión, no menor, que tiene que ver con el tipo de conocimiento
matemático
que es necesario uti-
lizar para resolverlos, porque en muchos casos es muy elemental y tiene poco que ver con los currículos de matemáticas se pasa la prueba: quince años. Algunos solver problemas plicando
es plantear
en las edades en las que
docentes consideran
tareas de este tipo, mientras siguen ex-
los temas tradicionales
en los currículos de esa edad. Con lo
que se genera la falsa idea de que los problemas ocurrente
tipo acertijo,
aprendiendo
que re-
son un tipo de tarea
donde no es necesario utilizar
lo que estamos
y que, visto así, tienen poco que ver con las matemáticas
escolares. Una de dos, o los currículos escolares tratan temas cuya aplicación a situaciones en las que se trabajan,
contextuales
no se pueda abordar
en las edades
o los problemas, que me atrevería a llamar «tipo
PISA», generan el espejismo de que «problema»
es algo que no tiene
que ver con lo que se trata en clase. Hay que intentar polos que se encuentran
bastante
acercar estos dos
alejados en la realidad
del trabajo
en las aulas. Según lo veo, en la elección de problemas que hay que trabajar en las aulas como parte del currículo
de matemáticas
acercarse lo máximo
a los contenidos
matemáticos
que en caso contrario
habrá que preguntarse
niencia de que tales temas sigan formando
habrá que
habituales,
seriamente
por-
por la conve-
parte del currículo en esas
mismas edades. Lo que no tiene mucho sentido es disociar en exceso un polo del otro y hacer pensar a los estudiantes de otras cosas distintas de las que forman
que los problemas tratan
parte de los contenidos
que
aprenden.
IDEA CLAVE
5
Por lo tanto, problema
lo primero es disponer de una colección de tareas tipo
en las que el grado de apertura
aplicable
esté relacionada
bajan habitualmente.
sea variable
con los contenidos
En segundo
curriculares
que nos permita
proponer
diverso e incluso una construcción tiendo
de una situación
una clasificación
de los
tareas de un orden de dificultad
de la propia tarea que permita,
determinada,
en cuanto a la dificultad
que se tra-
lugar, habrá que elegir algunas de
ellas para Ilevarlas a clase, aquí es importante problemas
y la temática
niveles de resolución
y complejidad
buscar. Hay que reservar, también,
par-
diferentes
de las soluciones que hay que
en el horario
escolar un hueco fijo
para esta tarea y actuar de manera sistemática en el uso de ese tiempo. Los procedimientos
heurísticos que hay que seguir y los protocolos
que hay que utilizar son cuestiones importantes
y constituyen
visible del iceberg que es el flujo de información
que se debe ordenar,
expresar y coordinar tenso, importante
durante la resolución del problema.
y muy trabajado
señanza de las matemáticas
en la literatura
la parte
Es un tema ex-
pedagógica
y por esta razón no incidiremos
de la en-
más en él.
En cambio, sí creo que hay que decir algo sobre un tema menos tratado, pero no menos importante: lución de problemas de problemas no tienen que ver con lo cognitivo y sí, muchas veces, con lo emocional (ansiedad, miedo, ideas negativas, frustración, etc.).
problemas es directamente proporcional a la angustia que se es capaz de soportar hasta que se resuelve.
miedo,
ideas negativas,
etc.). Muchos de los bloqueos que se producen cialmente nitivo
en la resolución
de problemas
trabajada,
tualmente
pero muy importante
por no recordar
resolver problemas
Es una cuestión
poco
como pude leer en la intro-
de problemas,
exactamente
es directamente
y espe-
no tienen que ver con lo cog-
porque
de un libro sobre resolución
frustración,
en matemáticas
y sí, muchas veces, con lo emocional.
ducción Hay que tener en cuenta que la capacidad de resolver
(ansiedad,
la gestión de la emoción en la reso-
que no cito tex-
cuál es, la capacidad
proporcional
de
a la angustia que se
es capaz de soportar hasta que se resuelven. Sólo el que no se desanima a la primera puede resolver problemas,
sólo el que resiste a la frustra-
ción y hace de los fracasos acicates puede resolver problemas.
Porque
lo normal es equivocarse y lo anormal acertar. Hay que enseñar a los es-
154
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
tudiantes
a gestionar
y controlar
esos sentimientos
y a dominar
nico que se apodera de uno cuando debe enfrentarse y el riesgo de equivocarse
a lo desconocido
es muy alto. Tenemos que hacerles ver que
ese hueco que se abre ante ellos es una oportunidad, se puede convertir
el pá-
en satisfacción,
que de sus errores aprenderán
que el riesgo
que lo más normal es equivocarse y
más que de sus aciertos, que las máqui-
nas no se equivocan y por eso no aprenden, y que nosotros no estamos esperando
que indagar es aventurarse
a que se equivoquen
para reñir-
les, sino que los esperamos para prestarles nuestra ayuda. Mientras constituyan
en la dieta habitual una tarea habitual,
de los estudiantes el desarrollo
los problemas
de la competencia
no
mate-
mática será escaso. Mientras el grado de apertura de los problemas que se plantean
sea bajo, el desarrollo
escaso. Mientras
de la competencia
los conocimientos
el desarrollo
Mientras
de la competencia
docentes y estudiantes
lugares desconocidos la competencia
hemos clasificado
habitualmente matemática
en el cu-
será escaso.
no pierdan el miedo a adentrarse
en
en busca de soluciones creativas, el desarrollo
de
matemática
Los problemas
será escaso.
son tareas capaces de desarrollar como competencias
competencias
que
del 3.er nivel. No hay muchas ta-
reas que lo sean y de ahí el interés añadido que tiene proponerlas tareas habituales
será
que hay que aplicar a los proble-
mas estén muy alejados de los que se trabajan rrículo,
matemática
como
hemos clasificado como competencias del tercer nivel.
en nuestros currículos escolares.
Investigaciones Es habitual
hablar de «investigación»
máticas. En su parte enunciativa de un problema como preguntas.
como un tipo de tarea en mate-
no es fácil distinguir
una investigación
porque en la mayoría de los casos ambos se enuncian De hecho podríamos
considerarlos
tes. Existe, a pesar de lo dicho, una diferencia su aplicación didáctica y es la siguiente:
tareas equivalen-
de matiz relevante
el problema
para
hace o debe hacer
IDEA CLAVE
5
1
referencia
a una situación
contextual
gación prescinde en principio pregunta:
«real», mientras
de esa situación.
que la investi-
Por ejemplo,
si alguien
«¿Qué es mejor cuando nos van a hacer un descuento en una
compra, que nos lo hagan antes de cargar ellVA o que primero nos carguen el IVA y luego nos hagan el descuento frente
a un «problema»
porque
puede darse en un contexto
sobre el total?
Estamos
se supone que es una situación
real. Pero si alguien pregunta:
«¿Es cierto
que todos los números capicúas de cuatro cifras son múltiplos estamos, si seguimos la distinción
que propongo,
frente
que
de 11?»,
a una investi-
gación porque en este caso el contexto se ha esfumado, aunque la pregunta
persista. Es como la sonrisa del gato de Cheshire que perdura
cuando el gato se esfuma. Sin embargo,
las estrategias o procedimien-
tos heurísticos y los tipos de esquemas que hay que poner en juego para buscar la manera de resolver esas cuestiones son bastante similares. A pesar de ello, hay personas que consideran que las investigaciones son menos prácticas y sólo están destinadas quienes les gusten las matemáticas. de la siguiente tiente
Sus argumentos
manera: resolver problemas
de aplicación
a aquellos
social que tienen,
estudiantes
se pueden resumir
es importante
porque
por la ver-
los descuentos
e im-
puestos nos interesan a todos; los números capicúas y los múltiplos 11 son cosas de los matemáticos No soy de esa opinión las investigaciones
y, en principio,
de
sólo les interesa a ellos.
por varias razones. La primera es de tipo práctico,
permiten
desarrollar
competencias
gico que luego se pueden aplicar a los problemas recta, y en esto reside una parte, no desdeñable, Porque lo que los problemas
de tipo estraté-
de manera más di-
de su valor didáctico.
tienen de riqueza, en cuanto que nos si-
túan frente al valor real de lo que aprendemos, textual
a
en cuanto ocultan o contaminan
lo tienen de ruido con-
la estructura
hay o puede haber tras ellos. Las investigaciones
matemática
que
son, desde este punto
de vista, más pobres pero a la vez más «limpias» yeso permite trabajar con mayor rapidez. Teniendo
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
en cuenta que el tiempo
es una variable
fundamental en el currículo escolar, este argumento no es una cuestión menor desde el punto de vista de la gestión del currículo, donde la variable tiempo es fundamental. La segunda razón por la que discrepo es de otro tipo y no sé cómo calificarla porque decir «humanista» me parece un poco excesivo. La podría expresar diciendo que a todos los estudiantes se les debe ofrecer la oportunidad de explorar, en la medida de sus posibilidades, las propiedades de los elementos matemáticos y las de las estructuras que forman. Ofrecer caminos y abrir puertas es bastante diferente de considerar algo como condición y barrera; por esta razón hay que dar cauce, también en la educación obligatoria, al talento matemático, porque tratar la diferencia no se reduce a ocuparse de los que no pueden seguir el ritmo de la mayoría, sino más bien a poner al alcance de todos aquello que mejor se adapta a susnecesidades,también a las de aquellos que quieren y pueden aprender más matemáticas. Las investigaciones nos permiten vislumbrar el apasionante mundo de la matemática de los matemáticos y es, salvando la diferencia, como la poesía en los cursos de lengua. No parece razonable eliminar la poesía de los cursos de lengua argumentando que para la comunicación social no es imprescindible. Existen testimonios de muchos matemáticos que encontraron en este tipo de cuestiones planteadas en el medio escolar el origen de su deseo de aprender matemáticas, y cuando hablamos de matemáticas para todos, debemos hacerlo también para aquellos que tienen un gran talento o disposición para las matemáticas como ciencia. Singh (1997) pone en boca de Andrew Wiles, matemático inglés que ha demostrado el teorema de Fermat, lassiguientes palabras (el problema al que se refiere Andrew Wiles es la conjetura de Fermat, que siguiendo la clasificación que aquí hemos hecho lo catalogaríamos como una investigación): Me encantaba resolver los problemas en la escuela. Me los llevaba a casae inventaba otros por mi cuenta. Pero el mejor problema lo descubri en la biblioteca municipal. (QCDE, MEC, 2004)
IDEA CLAVE
5
El descubrimiento menor
y cultivo
desde una perspectiva
las matemáticas,
del talento
social e inclusiva
es una de las funciones
no sea, desde luego,
matemático
el ideal educativo
no es algo
de la enseñanza
de esa enseñanza, para proponer
de
aunque
a todos
los
estudiantes. Desde el punto de vista de las operaciones en juego,
investigaciones
aplicación
social que puede hacerse de las competencias
arrollan
son tareas similares.
por medio de las mismas, son diferentes.
Desde la
que se des-
En todo caso estamos
con «estándares de procesos» o capacidades del 3.·r nivel si
trabajando tomamos
y problemas
mentales que se ponen
como referencia
la clasificación
del proyecto
PISA que esta-
mos utilizando.
Actividades de síntesis y elaboración de la información La educación
matemática
una comprensión
no puede considerarse completa
significativa
de los conceptos matemáticos
de las relaciones que guardan entre sí. La competencia uso del conocimiento procedimientos
matemático,
de manera necesaria. La propia definición
de la terminología,
que, lógicamente,
matemática,
el
de los
sino que los incluye
de competencia
matemática
PISA así lo indica.
(...) Del mismo modo, la competencia nocimiento
básicos y
no excluye la comprensión
y conceptos que se deben utilizar,
que viene en el proyecto
si no existe
matemática
no debe limitarse al co-
datos y procedimientos
matemáticos,
aun-
debe incluir/os, ni a las destrezas para realizar ciertas
operaciones y cumplir con determinados
Es cierto que las matemáticas
métodos. (QCDE, MEC, 2004, p. 18)
son un área de conocimiento
compara con otras como son las ciencias sociales o naturales,
que, si se maneja
menos cantidad de términos y utiliza y produce mucha menos información textual. Además dispone, al igual que la música, de un código ex-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
presivo propio que denominamos
lenguaje formal y que sirve de modo
de expresión de las relaciones tanto matemáticas
como científicas.
Representación formal mediante la escala musical:
~
~I':JOorJOOI':J
Representación formal de la circunferencia cuyo centro está en las coordenadas (a, b) y tiene de radio el valor «r»: (x-a)2+ (y-b)2= r2 Representación formal de la conocida fórmula de Einstein sobre la relación entre masa destruida (m) y energía (E) liberada: E
=m
c2
Es tan grande el valor de simplificación,
concisión y precisión de este
tipo de lenguaje que llega a no utilizarse otra forma expresiva más que la formal,
hasta el punto de casi eliminar
en matemáticas.
el resto de modos expresivos
Pero resulta que lo que es bueno para quien ya sabe
y encuentra
así una manera ideal para la expresión de su pensamiento
es negativo
para quien aprende y no puede acceder al significado
que se quiere decir. Es una cuestión de incomunicación de comprensión elimina,
del código
utilizado.
casi del todo, los términos
por la dificultad
Este tipo de expresión
modos expresivos diferentes y complementarios:
clusivo del lenguaje posibilidad
en una dificultad
formal
formal
y conceptos que suelen expresarse
de manera escrita, y lo que debía ser una ventaja -disponer
icónico, etc.- se convierte
de lo
de varios
verbal, escrito, formal,
por el predominio
casi ex-
sobre los demás. Lo que es un avance, la
de expresar de manera rápida y sintética las ideas matemá-
ticas, se puede convertir en una barrera si se produce un abuso en el uso exclusivo de este tipo de lenguaje.
IDEA CLAVE
5
A largo plazo, este predominio perjudicial
para la enseñanza
soluto, a que se trabajen cesos generales
del lenguaje
de las matemáticas
otras competencias
de aprendizaje.
de lo que quiero
hay que leer y comprender selectividad
muy
y no ayuda, en ab-
podemos
con los procitar el daño
lectora de los textos matemáticos
los textos usados en otros contextos. y contundente
resulta
relacionadas
En concreto
que produce en la comprensión
formal
y de
Si alguien desea un ejemplo claro
decir, sirva de ejemplo
el texto
que
para poder realizar con éxito la prueba de
que hemos recogido en la idea clave 2 de este mismo libro
(p. 46). Sabemos, por experiencia
y por los resultados
de las evaluaciones
que se realizan, que la comprensión
lectora es una competencia en la que
las prestaciones
son bajas, por lo tanto
aplicamos
de los estudiantes
más en esta dirección
aumentando
se destina tanto a la interpretación
deberiamos
la carga de trabajo
de textos que contengan
ción relacionada con las matemáticas como a la comprensión
que
informade los con-
ceptos básicos que se utilizan
para «hablar y escribir» en matemáticas.
Los docentes que «eliminan»
los libros para no perder tiempo
textos e ir directamente
leyendo
a los ejercicios, los docentes que nunca escriben
en la pizarra otra cosa que fórmulas,
los docentes que no trabajan
las
relaciones entre los conceptos para ir derechos «al grano» (los algoritmos de cálculo), los docentes que «no pierden el tiempo» sus estudiantes
a hacer esquemas, croquis o mapas conceptuales
boran, aunque no lo quieran, diante
en sacar de la carga de trabajo
las tareas que le permitirían
matemáticas
y la comprensión
creo que conviene
considerar
tareas en la dieta habitual Supongamos
enseñando
mejorar
de las
Por estas razones
la necesidad de introducir
este tipo de
de los estudiantes.
que queremos trabajar
siguientes
términos
que se utilizan
perficie»,
«plano»,
«figura»,
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
cola-
del estu-
la comprensión
lectora en general.
a
la relación existente
habitualmente
«polígono»,
entre los
en geometría:
«cuadrilátero»,
«su-
«rectán-
gula», «rombo» términos
y «cuadrado».
con una imagen,
caso, podemos estos términos
Podemos relacionar
cada uno de estos
pero además, y esto es lo relevante
preguntarnos
por las relaciones
en este
lógicas que guardan
entre sí. En este tipo de tareas, lo que nos interesa tra-
bajar es la relación lógica entre estos conceptos más que la imaginación. La relación lógica entre los conceptos se basa en su extensión, en la mayor o menor generalidad relacionan.
En realidad,
de los términos
la lista de términos
es decir
que se comparan
y
que he dado ya está or-
denada de mayor a menor grado de generalidad,
aunque no en todos
los casos porque
que rombo
rectángulo
versa. Podríamos suponer, punto, que los términos
no es más general
ni vice-
no lo voy a hacer para no alargar más este
no estuvieran
Para empezar debemos preguntarnos
ordenados
según este criterio.
lo siguiente: ¿cuál de esos tér-
minos es el más general, cuál es el que incluye a todos los demás? La respuesta es el concepto de superficie. una superficie, de los términos puede definir menos general,
Los demás indican tipos o partes de
las figuras son parte de una superficie, de la lista. El término porque
hacerlo
supone
o más particular,
ponerlo
de una lista no se
en relación
con otro
pero que no existe por lo menos en
esa lista. Por esta razón, deberemos a considerar que es un término
más general
así como el resto
limitarnos
a apelar a la intuición
que no necesita definición
y
(en realidad
una superficie es el límite entre el interior y el exterior de un cuerpo geométrico,
pero nosotros
partir de esta aceptación apoyo imaginativo
no hemos puesto en la lista ese término). intuitiva
de un término
A
al que sí podemos dar
para reforzar su carácter intuitivo
(podemos apelar
a la imagen del mar en calma, a la de una sábana ...), puede empezar a funcionar
la máquina
ción de una superficie
lógica. Podemos definir limitada
«figura»
como una por-
por una línea. Podemos definir
«figura
plana» como una porción de plano limitada por una línea o como aquella figura
contenida
demos mostrar
en un plano ... Las relaciones así definidas
en un diagrama
que representa
las po-
la mayor o menor
IDEA CLAVE
5
extensión
de los conceptos ordenándolos
de arriba hacia abajo, como
puede verse en el cuadro 1. Cuadro 1
FIGURA PLANA
! Polígono
!"" Cuadrilátero
Rombo
Rectángulo
L Cada flecha indica una relación comunicativo
Cuadrado
entre conceptos
y establece un nexo
entre ellos. No podemos detenemos
pero sí cabe señalar que su estabilidad estén bien establecidos,
J
a estudiarlos
significativa
depende
todos, de que
es decir del número y el valor semántico de los
nexos que seamos capaces de establecer entre los conceptos aquí reunidos. Las relaciones semánticas entre los conceptos
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
se asemejan a la
red eléctrica
de una ciudad,
miles de bombillas
red invisible,
pero que se adivina
que se pueden ver cuando se aterriza
en las
en una ciu-
dad por la noche. Estas relaciones son de un gran valor cuando alguien debe leer y comprender
un texto
que las contiene;
porque
la com-
prensión del mismo se acelera en la medida en la que los términos asocian rápidamente
a un significado
y se ralentiza
se
hasta hacerse im-
posible cuando se no se asocian o se hace muy débilmente. Siguiendo con el ejemplo que estamos desarrollando, nificado
veamos el sig-
de las relaciones 7, 8, 9,10 Y 11:
7. Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados y cuatro ángulos. 8. Un rectángulo es un cuadrilátero con lados iguales dos a dos y los cuatro ángulos rectos. 9. Un rombo es un cuadrilátero con los cuatro lados iguales y los ángulos opuestos iguales. 10. Un cuadrado es un cuadrilátero con los cuatro lados y los cuatro ángulos iguales. 11. Un cuadrado es un rectángulo con los cuatro lados iguales. 12. Un cuadrado es un rombo con los cuatro ángulos iguales.
El
establecimiento
trabajo produce
específico
de estas relaciones no se produce si no se hace un de síntesis y elaboración
sin este esfuerzo
ñado de un refuerzo
reflexivo
No se
que puede y debe estar acompa-
visual, pero que no puede reducirse al mismo so
pena de menoscabar la comprensión La intuición
de la información.
es la puerta,
largo plazo sólo contiene,
del significado
pero la lógica es el almacén,
la memoria
de manera estable y sin deterioro,
conceptos cuyos nexos de significado Los demás se deterioran
de estos conceptos.
rápidamente
están sólidamente dejando
a
aquellos
establecidos.
un vago recuerdo
de
haber «oído» alguna vez hablar de ellos.
IDEA CLAVE
5
Por otra parte, la comprensión
lógica de los conceptos es condición
necesaria para una correcta expresión de los mismos y es la manera más eficaz de evitar el balbuceo habitual tienen
que explicar
habitual
en estos casos, y no solamente
es la perífrasis, el rodeo y el circunloquio.
nexos establecidos
no son firmes ni estables, el lenguaje
pierde precisión y capacidad comunicativa galimatías.
La comprensión
no es solamente condición además, condición
cada vez que
algo que tenga que ver con los conceptos
máticos. La estrategia los estudiantes,
entre los estudiantes
significativa
mateentre
Cuando los que se utiliza
y puede convertirse
en un
de los conceptos matemáticos
de su estabilidad
en la memoria, sino que es,
de una buena expresión de los mismos. Son dos ám-
bitos clave en la educación de cualquier
persona y creo poder decir que
la carga de trabajo de los estudiantes en este ámbito es más bien escasa. Parece razonable
pedir que se aumente
tareas en la dieta de los estudiantes. sis y elaboración el desarrollo pretexto
la proporción
La realización
de este tipo de
de tareas de sínte-
cumple de esta manera una labor fundamental
de la competencia
matemática
para
y no debe olvidarse con el
del carácter práctico de esta materia.
Si clasificamos
las tareas de síntesis y elaboración
niveles de dificultad deberíamos
que estamos utilizando
en función
de los
(los tres niveles de PISA),
decir que lo más lógico sería situarlas entre los niveles 2.°
y 3.° de esa clasificación. Lejos desde luego de los niveles meramente
re-
productivos.
En resumen El logro de un aprendizaje está unido a la realización de las tareas relacionadas con él. Espor lo tanto una ilusión pasar el tiempo haciendo un tipo de tareas y esperar que se logren aprendizajes no relacionados con ellas. Las tareas contienen
los gérmenes de los aprendizajes y
dan lugar a éstos si encuentran las condiciones necesarias para germinar y crecer. El triángulo
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
didáctico nos explica de qué manera una tarea se convierte en actividad y cómo de manera inductiva se puede generar conocimiento
en otra persona. Por lo tanto, organizar la dieta de
los estudiantes, entendida como la carga de trabajo que deben realizar, carga que está compuesta por las tareas que hay que convertir en actividades y por los tiempos que se deben utilizar en cada uno de los tipos en los que las podemos clasificar, es la única manera de inducir de forma intencional
los aprendizajes que deseamos que nuestros estudiantes construyan. En
pocas palabras y una vez más, la clave en esta cuestión es el currículo entendido
como pro-
puesta de tareas que hay que realizar y como concreción de la carga de trabajo de los estudiantes. Disponemos en la actualidad en matemáticas
de una buena tipología
y de una variada tipología
e interactúan.
(PISA)
de tareas. Tenemos además suficiente
mación sobre cómo se cruzan estos dos elementos relacionan
de niveles de aprendizaje
infor-
básicos del currículo, es decir cómo se
Lo que no tenemos son propuestas de currículo alternativas
ofrezcan al sistema educativo
una carga de trabajo
bien estructurada
que
con relación a estos
parámetros y que sea aceptada socialmente como pauta general para la evaluación en matemáticas. Falta, para empezar, la conciencia de la importancia ciarlo explícitamente
como problema
nadie propondrá
soluciones, y es por esta razón que
lo señalo una y otra vez, con el peligro de resultar reiterativo tuarlo como el problema ticas. En mi opinión, matemáticas,
más importante
de esta situación. Sin enun-
pero con la voluntad
de si-
para la mejora de la enseñanza de las matemá-
mientras no se aborde de manera decisiva la cuestión del currículo de
seguiremos como el coche que una vez que ha hundido
en la arena blanda cuanto más acelera más se hunde. Pasará el tiempo, ción de docentes y estudiantes
aumentará,
pero no mejorarán
las ruedas tractoras el nivel de frustra-
los resultados de los apren-
dizajes en matemáticas.
IDEA CLAVE
5
•
Decir que se desarrollan los aprendiza-
que el que ocupan en la actualidad. La
jes relacionados con las tareas que se
experimentación es una buena vía para
realizan es expresar algo obvio, pero a
el inicio del estudio de las matemáticas.
vecesolvidado. No podemos decir que el objetivo fundamental
•
Lo mismo debemos decir de juegos, investigaciones, simulaciones con orde-
para el des-
arrollo de la competencia matemática
nador, etc. No es posible trabajar todo
es la capacidad para resolver proble-
el amplio abanico de competencias
mas y luego no dedicar a este tipo de
matemáticas haciendo solamente o
tarea el tiempo necesario.
mayoritaria mente ejercicios. La enseñanza de las matemáticas
Disminuir el tiempo destinado a reali-
•
aumentar el tiempo que se destina a la
debe contener una propuesta para la elaboración de la información mate-
realización de otros tipos de tareas
mática, realizando esquemas, mapas
debe ser uno de los objetivos de todo
conceptuales, carteles, etc. La com-
plan de reforma de la enseñanza de las matemáticas.
de una buena educación matemática
Las experiencias, entendidas como la
y paso imprescindible para mejorar la
lectura y la observación de la realidad,
escasa capacidad de nuestros estu-
deben ocupar en la enseñanza de las
diantes de utilizarla
matemáticas un lugar más importante
municativa.
zar ejercicios y problemas ad hoc para
•
•
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
prensión de los conceptos es condición
de manera co-
La evaluación de las competencias determinará el currículo de matemáticas Los injertos en los árboles Pensó en buscar alguna recomendación; no quería decirle nada a su padre, y se fue a casa de su tío Iturrioz a explicarle lo que pasaba. Iturrioz le preguntó: - ¿Sabesalgo de química? -Muy poco. -¿No has estudiado? - Sí,pero se me olvida todo enseguida. - Esque hay que saber estudiar. Salir bien en los exámenes es cuestión nemotécnica, que consiste en aprender y repetir el mínimum de datos hasta dominarlos ...; pero en fin, ya no es tiempo de eso, te recomendaré, vete con esta carta a casa del profesor. Andrés fue a ver al catedrático que le trató como a un recluta. El examen que hizo unos días más tarde le asombró por lo detestable; se levantó de la silla confuso, lleno de verguenza. Esperó, teniendo la seguridad de que saldría mal; pero se encontró con gran sorpresa, que le habían aprobado. (Baraja, El árbol de la ciencia)
IDEA CLAVE
6
La sensación de déja vu cuando se habla de reforma en enseñanza. El currículo evaluado Si existe alguna idea que se repita en los diversos foros profesionales que se ocupan de la enseñanza de las matemáticas, ésa es la dificultad, por no decir imposibilidad, de conseguir cambios de calado en las propuestas curriculares que se desarrollan en los centros educativos. Las sucesivas reformas y propuestas de cambio se asemejan a las olas que chocan contra un rompeolas, llegan furiosas pero tras chocar con el muro quedan amortiguadas y, lo que es peor, suelen provocar que las siguientes pierdan fuerza, los habitantes de las zonas costera s las llamamos «las contraolas». Escasi seguro que algún día se caerá ese muro, pero a la marcha que vamos no parece que vayamos a estar para contarlo. Por eso las preguntas del millón entre los que promocionan estos cambios son las siguientes: ¿qué se debería hacer para suscitar cambios estructurales en las prácticas educativas de las matemáticas?, ¿qué hay que hacer para innovar en la enseñanza de las matemáticas y que esa innovación sea aceptada como nueva pauta social? Podemos analizar lo que se ha hecho para ver qué ha funcionado y qué no. Una estrategia que hemos seguido hasta la extenuación ha sido intentar convencer, con argumentos casi irrebatibles, de la conveniencia, de la necesidad, de la urgencia y del carácter benefactor de los cambios que se proponían. Quienes nos dedicamos a estos menesteres hemos depositado una confianza excesiva en el valor de los argumentos racionales como factor de cambio en el comportamiento de las personas y hemos llegado a pensar, de manera un tanto ingenua, que nos rebaten porque no tienen razones para hacerla y que faltos de razones se avendrán a aceptar las nuestras como base de sus propias acciones. Se han escrito miles y miles de páginas con argumentos favorables a los cambios educativos, se han organizado innumerables cursos de formación para docentes, se han celebrado cientos y cientos de conferencias, simposios y congresos en los que se ha repetido machaconamente esta idea, pero el muro sigue en pie. Estimo que esta estrategia está agotada y que, si bien es necesario informar a los docentes y explicar suficientemente los cambios que se proponen y las razones que existen para ello, esperar que estas explicaciones supongan cambios de calado en el comportamiento de docentes e instituciones educativas es un brindis al sol. Esun camino prácticamente agotado como motor principal para la innovación en la enseñanza de las matemáticas. Se ha dicho, con razón, que es necesario mejorar la formación inicial de los docentes -hablaré de esta cuestión de manera específica en otro apartado-, pero la verdad es que no se ha hecho
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
mucho en los últimos años. Se ha dicho, también con razón, que habría que mejorar los materiales de los que disponen los docentes. Sin embargo, esa mejora se ha concretado en que los libros de texto tienen más fotos y se imprimen ahora a todo color, provistos de toda clase de alardes tipográficos e ilustraciones de lujo. Se ha dicho, una vez más con razón, que hay que investigar más acerca de los procesos de aprendizaje y que de esa investigación obtendremos ideas renovadoras para construir propuestas de enseñanza innovadoras, pero pocas de las consecuencias de dichas investigaciones se han incorporado a la práctica educativa en el aula. Casi todo se ha dicho y se ha hecho, pero el muro sigue en pie y sólo se observan unas cuantas grietas superficiales donde nacen unas hierbas que huelen muy bien, pero que no parece que pongan en peligro la estabilidad del muro.
La evaluación en matemáticas como motor del cambio En este panorama en el que los expertos predican en el desierto y los docentes preparan
la selectividad,
llega PISA y produce un terremoto
diático mayor que si se hubiera derrumbado
la torre de la ciudad italiana
cuyo nombre coincide con el del proyecto de evaluación por la OCDE. Hay que decir que el terremoto cosa, pero ha conseguido,
me-
promocionado
es más mediático
que otra
por lo menos, que el muro tiemble
un poco.
Los políticos temen, odian y aman los titulares
de prensa de los periódi-
cos de mucha tirada, porque saben que son uno de los factores clave en la conformación
de la opinión
blicado, casi publicitado, mero de los informes segundo, publicado ha abierto
pública. Los resultados de PISA se han pu-
en todos los medios de comunicación. PISA llamó la atención
de muchos medios, el
a finales del año pasado (4 de diciembre
cabeceras de muchos medios de comunicación
fila. Hoy en día, PISA ha dejado de ser una referencia en educación y se está convirtiendo
Si el pri-
en un referente
de 2007), de primera
para los expertos social que los res-
ponsables políticos ya no pueden obviar. Hasta el punto de que las administraciones
autonómicas
han organizado
sus propias muestras con
IDEA CLAVE
6
1
la esperanza, no siempre cumplida
por razones estadísticas evidentes,
de salir algo mejor parados que los demás. El mensaje que han transmitido ido calando en la opinión
los medios de comunicación
y que ha
pública es que «vamos mal», que «estamos a
la cola» y que algo habrá que hacer para salir de esta situación. Como sucede con las elecciones siempre hay algún dato que demuestra que todos tienen razón, quienes critican y quienes defienden vas, pero la sensación generalizada
las políticas educati-
es la de que no vamos por el mejor
camino. Lo que no había conseguido la bonhomía de los argumentos novadores, lo que no había logrado preparación
profesional
la denuncia expresa de la falta de
de los docentes, lo que no habían removido
altas tasas de fracaso en la educación obligatoria del periódico informando
re-
las
lo consigue un titular
de que en una determinada
evaluación «vamos
mal». Consigue que los políticos responsables del sistema educativo piensen que algo habrá que hacer para no seguir saliendo mal en los periódicos. Bienvenida
sea esa reacción si al final sirve para que pongan en
marcha planes eficaces con el fin de cuartear el muro y, sobre todo, para mostrar de manera eficiente
la idea clave de este apartado:
ción es la palanca más poderosa para promover el punto de apoyo que pedía Arquímedes De lo dicho en las líneas anteriores logran
la evalua-
cambios curriculares, es
para mover el mundo.
parece deducirse que lo que no
otras acciones puede conseguirse
cambiando
las formas
de
evaluación. Al igual que los girasoles miran al sol y se mueven a su compás, las acciones educativas
miran a la evaluación
y se adecuan a los
fines que ésta valora. Pero bien mirado esto no es nada extraño, que la evaluación
es la parte del currículo que mayores consecuencias
sociales tiene y, como venimos repitiendo
una y otra vez en este texto,
ya es hora de que despertemos de la ilusión psicologicista todología aceptemos
por-
de que la me-
de enseñanza es la llave para el cambio curricular
y de que
que el sistema sólo se moverá cuando las fuerzas sociales
que lo mantienen
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
lleguen a la conclusión de que no se adecua a los in-
tereses que defienden.
La evaluación
que el sistema promueve
es la clave para la selección social
y, por lo tanto,
la palanca para cambiar
las
prácticas educativas. Ésta es, en mi opinión, la conclusión, nada novedosa por otra parte, a la que puede llegarse después de ver las peregrinaciones a Finlandia3 de los responsables educativos
españoles en los úl-
timos años. Estamos de estreno en lo que se refiere a nuevos currículos porque este curso 2007-2008 es el primero en el que se ha puesto en marcha la LOE. Como sabemos esta ley incluye un anexo donde se desarrollan serie de competencias
clave, y una de ellas es la competencia
tica. Bien, las autoridades
del ministerio
de las consejerias autonómicas «evaluaciones obligatoria,
de diagnóstico»
comenzando
una
matemá-
de educación y los responsables
ya han anunciado
que se van realizar
en varios de los niveles de la enseñanza
por cuarto curso de educación
primaria
y el
segundo curso de educación secundaria. Se llamarán «evaluaciones
de
diagnóstico»
ya
porque
que su objetivo
no contarán
declarado
es mostrar los puntos débiles y fuertes en el
logro de la citada competencia. oportunidad
como nota para los estudiantes,
Estamos, sin duda, frente
a una gran
para inducir cambios de calado en la educación
tica, pero una oportunidad
es eso, una oportunidad,
matemá-
y dependiendo
de
cómo se actúe los resultados serán positivos o negativos.
Una oportu-
nidad es un riesgo o un riesgo puede ser una oportunidad,
es decir algo
ambivalente.
Si las evaluaciones
tas de competencias
matemáticas
cación en los diferentes aplicación autónoma los contenidos, contrario
a propues-
en las que se tenga en cuenta su aplide uso y se prime la comprensión
frente al memorismo
reforzándolo
es el país que mejores
ediciones
responden
y la utilización
y
mecánica de
resultarán un buen ariete para derribar el muro, en caso
estaremos
3. Finlandia distintas
contextos
de diagnóstico
para las próxima
resultados
ha obtenido
décadas. Debere-
en las pruebas PISA en las
celebradas.
IDEA CLAVE
6
mos estar muy atentos a la propuesta licen estas pruebas, porque
por medio de la cual se materia-
de su concreción
va a depender
en gran
medida en qué dirección se va a mover el currículo de matemáticas
en
los próximos años. La otra gran cuestión La universidad está inmersa en un reforma debido a requerimientos de incorporación ai Espacio Europeo de
pendiente
el ingreso en la universidad. función
directiva
veles inferiores
es el examen de selectividad
Ya he argumentado
que cumple la universidad a la hora de condicionar,
con anterioridad
y su influencia
casi determinar,
analogía
y de la conveniencia
desarrollada
que si no se reforma
de su reforma.
en el párrafo anterior, la selectividad,
el currículo
debido
Siguiendo
social de con la
sólo queda volver a decir
será muy difícil arañar siquiera el
muro de las malas prácticas establecidas. en un proceso de reforma
la
en los ni-
de matemáticas. Ya me he posicionado acerca de la importancia esta prueba
para
La universidad
a los requerimientos
está inmersa para su incor-
poración al Espacio Europeo de Educación Superior, proceso que tiene en el año 2010 su fecha clave. En este contexto sario que se replantee cambiar
su nombre,
la función
de la selectividad
es nece-
empezando
que es poco social, para pasar a convertirla
unas pruebas de ingreso que deberían petencias
de reforma
que la universidad
tener para su incorporación
considera
marcar con claridad que los estudiantes
por en
las comdeben
a estos estudios.
Como resumen de este epígrafe me gustaría contar la metáfora del injerto. El fruto que da un árbol depende de la rama final en la que se desarrolla y no de las anteriores. Hoy en día casi todos los árboles frutales están injertados y comparten un tronco de un tipo de árbol con ramas de otro tipo. El fruto que dan depende de la rama injertada y no de las anteriores. Así, con un tronco común un árbol puede dar frutos diferentes. Con la evaluación sucede algo parecido, por mucho que los objetivos apunten a las competencias, por mucho que se escojan los contenidos adecuados y se desarro-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Ilen las tareas pertinentes, si se evalúa otra cosa al final, en esa lucha entre fuerzas contrapuestas, siempre gana la evaluación porque es la que socialmente tiene más relevancia.
A la larga se impone ese dicho que afirma: «lo que no se evalúa se devalúa». Además los aprendizajes
evaluados son útiles socialmente
que sirven para aprobar y continuar inútiles
desde este punto
los aprendizajes
en el sistema y los no evaluados son
de vista. Las consecuencias
son evidentes: por decantación
por-
de todo
esto
en el tiempo las tareas relacionadas con
que sirven para seleccionar socialmente
se imponen,
cristalizan y quedan; no así el resto de tareas, que son las que no sirven para avanzar en el sistema educativo. cuencia los estudiantes,
rápidamente
Porque los docentes, y en conseclasifican las tareas en dos clases:
las que sirven para la selección social que hace el sistema y las que no sirven. Enseguida
el docente
dedica la mayor parte del tiempo
mejor parte de éste a las tareas «importantes», para la evaluación,
y la
es decir a las que sirven
y deja en un segundo y último
lugar las «prescindi-
bles», aquellas que no se usan con este fin. Estas últimas se realizan si queda tiempo.
Lo que sucede es que a medida
cada vez queda menos tiempo tiempo
para los tiempos
La evaluación para orientar conseguirá
que pasan los cursos
y esas tareas se convierten
en un pasa-
muertos.
es el componente
del currículo que más fuerza tiene
la dirección en la que debe ir éste. En consecuencia, no se
reorientar
el currículo si no se reforma
la evaluación.
La evaluación de la competencia matemática En estos últimos
años se ha hablado
ternas. Su impacto atención
mediático
mucho de las evaluaciones
ha conseguido
en este escenario elegantemente
que centremos
iluminado
ex-
nuestra
y nos olvidemos
IDEA CLAVE
6
de que la evaluación es decir la evaluación aprendizaje.
más importante
es la que sucede en las aulas,
que está ligada al propio proceso de enseñanza-
Hay que señalar que el futuro
pero también
que, por el momento,
es incierto
los cambios que se han producido
en el diseño de las pruebas de evaluación logrado
que se alteren
realizadas
no han
muchas de las prácticas de evaluación
que se
siguen en las aulas. Conviene, gañar por las apariencias modos habituales
ciones externas diática
que nos pueden
que no nos dejemos eninducir
utilizados
cuidadosamente
internacionales,
diseñados
a pensar que los
por los docentes
en su forma y objetivos
que está acompañando
evaluaciones
externa
por lo tanto,
de evaluación
aulas se corresponden
e imprevisible,
con los de las evalua-
por expertos.
a la difusión
en las
La ola me-
de los resultados olvidar
la eva-
luación que se realiza en las aulas, al hacer de la comparación
entre
los puntajes obtenidos
tipo PISA, está haciendo
de las
la noticia,
para convertirla
además en el único
foco de atención. No deberíamos matemáticas
olvidar, sin embargo,
hacen no depende
ciones, sino de las calificaciones
que la selección social que las
del resultado
de ese tipo de evalua-
escolares, que se atienen a una lógica
no siempre coincidente
y en muchos casos claramente
tamos, en mi opinión,
pasando mucho tiempo
luaciones que salen en la prensa y agobian
contrapuesta.
hablando
de esas eva-
a los políticos y poco, en
cambio, de la que se lleva a cabo en el aula, la que es eficazmente cisa, selecciona
y orienta
a los estudiantes.
selectiva en unos casos y orientadora
Este tipo
con los que efectúa su trabajo
la hace más determinante
pre-
de evaluación
en otros se realiza en las aulas día
a día fuera de los focos de los medios de comunicación, y la invisibilidad
Es-
y más relevante
pero el silencio
es precisamente
lo que
socialmente.
Veamos la manera de describir algunas de las ideas básicas que hay que tener en cuenta en la evaluación mática.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
escolar de la competencia
mate-
Para empezar aportar
evidencias.
conviene
decir que evaluar
Los anglosajones
competencias
implica
(Ascher, 1990) lo llaman perfor-
mance based assessment por oposición a test based assessment, es decir evaluación
basada en evidencias (actuaciones)
por oposición
a evalua-
ción basada en test. Las evidencias deben mostrar, lógicamente, es capaz de «hacer» lo que la competencia ello es necesario actuar correctamente es decir demostrar
que se
en cuestión enuncia. Para
en el contexto
correspondiente,
que se es capaz de aplicar lo que se sabe para resol-
ver una situación problemática de paso un buen ejemplo
en un contexto
nes que se consideran
Dicho sea
de lo que quiero decir son los ítems que co-
nocemos de PISA, donde frente piden que los estudiantes
determinado.
a otro tipo de tareas priman
apliquen
problemáticas.
las matemáticas
las que
a diversas situacio-
Dicho así parece sencillo, pero lo
sencillo no es casi nunca simple. En primer
lugar, no se trata
solamente
algo, sino que se debe demostrar, determinado tudiantes
contexto.
de probar
que se conoce
además, que se sabe aplicar en un
Resulta relevante
poder comprobar
que los es-
son capaces de «hacer cosas» con lo que saben y que esas
acciones deben llevarse a cabo en el contexto tación obliga a elegir con cuidado
solicitado.
Esta consta-
las tareas que se vayan a usar para
evaluar. En la actualidad
se utilizan,
zados y los problemas aprendizajes
en exceso, los ejercicios descontextuali-
ad hoc como tareas para la evaluación
matemáticos,
un buen ejemplo
de los
de este tipo de pruebas
de evaluación es el examen de selectividad ya citado en la segunda idea clave de este libro. Enunciado
en positivo,
estas ideas es que hay que aumentar tareas (problemas,
investigaciones,
relación más clara con los contextos
la consecuencia
directa de
el peso relativo de todas aquellas experiencias ... ) que guardan de uso del conocimiento
una
matemá-
tico y con los niveles superiores de capacidades que hay que poner en juego, al mismo tiempo
que se debe disminuir
el peso que se concede
IDEA CLAVE
6
a los ejercicios. Una correcta selección de tareas a la hora de calificar a los estudiantes es una de las palancas más eficaces para reorientar
el cu-
rrículo en la dirección de enseñar y evaluar el uso de las matemáticas no el mero conocimiento
mecánico de algoritmos,
y
por complejos y so-
fisticados que éstos sean. Habrá quienes al leer estas líneas esbocen una sonrisa y piensen: «pero si la gran mayoría de los estudiantes capaces de hacer los ejercicios dice, eso es lo más elemental, evaluación tiendo».
que les proponemos si nos atreviéramos
tareas de nivel superior, Es una buena objeción.
que se proponen
a proponer
para la
Lo que sucede es que los ejercicios el tipo de pensamiento
mecánica y rutinaria
algoritmos ... ), pero sumamente
y, según aquí se
el fracaso sería mayor; no lo en-
son sencillos considerando
se debe utilizar (aplicación
no son
que
de reglas, ejecución de
laboriosos, es decir que para resolver-
los hay que aplicar, en la mayoría de las ocasiones, decenas de pasos en los que hay que utilizar esas reglas. Basta con cometer un error en uno de esos pasos para que todo el ejercicio se desmorone
como un casti-
llo de naipes. Además desde el lugar de la cadena en el que se comete el error en adelante todos los pasos «bien hechos» no sirven para nada. ¿ Cuántos pasos hay que dar y cuántas reglas hay que aplicar para hacer un cálculo entre fracciones algebraicas de los que suelen ser habituales en los currículos de 4.° de la ESO? Los ejercicios son difíciles por ser muy laboriosos y porque un fallo en cualquier el resultado,
no porque supongan
eslabón de la cadena invalida
la utilización
de pensamiento
com-
plejo. La mejor muestra de lo que digo, la mejor prueba de la inutilidad de estos aprendizajes matemáticas ordenadores,
y del sinsentido de basar en ellos la evaluación en
es que todo ese tipo de tareas las pueden ejecutar hoy los y querer competir
con los ordenadores
en lo único que
éstos hacen bien, en calcular rápido y sin errores, es una tontería. los docentes saben que si se disminuyera culos, los resultados, entendidos aumentarían;
la laboriosidad
Todos
de estos cál-
como número de respuestas correctas,
pero en la mayoría de los casos eso queda para las prue-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
bas de recuperación. sofisticación
Confiar la evaluación
suficiente
de los ejercicios
en matemáticas
al grado de
para que no todos
los estu-
diantes puedan con ellas parece la divisa de algunos currículos, es una estrategia
útil para seleccionar, pero estéril para desarrollar
tencia en matemáticas.
Confundir
la compe-
lo complejo con lo laborioso es el ma-
lentendido
en el que se basa esta incorrecta selección de tareas para la
evaluación.
Si se aceptaran estos cambios y se alterara el tipo de tareas
que se proponen
como forma de evaluación,
no solamente se produci-
ría un cambio positivo en los resultados de los estudiantes, sino que además en el caso de que fuera necesaria una discriminación con relación al talento
matemático,
orientadora
éste sería mucho más detectado
y
valorado. Basta con observar las pruebas de evaluación, nes, que hoy son habituales
por no decir exáme-
en la gran mayoría de los centros educati-
vos de secundaria para observar que se siguen estas líneas de actuación más bien selectivas. Los ejercicios «difíciles» naria de reglas y algoritmos
siguen constituyendo
menes que realizan los estudiantes. su laboriosidad,
de mera aplicación
ruti-
el núcleo de los exá-
Se seleccionan, especialmente,
por
por el número de pasos que incluyen, que en el fondo
son siempre los mismos, ya que las reglas que hay que aplicar para el cálculo
numérico
aplicarlas
o algebraico
son pocas. Lo que cuenta
una y otra vez sin cometer
tiempo determinado.
lado con anterioridad
errores y hacerlo además en un
Corrección y rapidez se convierten,
en los únicos criterios de evaluación
utilizados,
en corrección
es poder
de esta forma,
pero como ya he seña-
y rapidez es imposible
competir
con el cálculo que hacen las máquinas. ¿Qué tipo de competencia temática
buscamos actuando
En segundo lugar, la evaluación sión de un juicio valorativo cia aportada. relacionada
Pertinencia
ma-
de esta manera? de una competencia
sobre la pertinencia quiere
supone la emi-
y calidad de la eviden-
decir que la evidencia
esté bien
con la acción solicitada, es decir que sea una acción exitosa
IDEA CLAVE
6
con relación
a la cuestión
la pertinencia grado
de las respuestas
y calidad
casos pertinencia
Pero esto no es suficiente
y debe
puede
de éstas, y lo complejo
de calidad
condiciona
planteada.
interactúan
estar
proviene
matizada
de que
hasta tal punto
porque por
el
en muchos
que una de ellas
a la otra.
Pongamos
Si alguien
un ejemplo:
escucha que dentro
y estamos a 22 de febrero
de nueve días es el cumpleaños
de 2008, viernes, podrá intentar
de un amigo
calcular que 22 y
9 son 31, pero que como febrero
tiene 28 días le sobran 3; podría,
tanto, concluir que el cumpleaños
de su amigo será el 3 de marzo. La verdad
es que se ha equivocado y que febrero
porque se le ha olvidado
que el año 2008 es bisiesto
no tiene 28 días, sino 29. Es decir que la respuesta no es co-
rrecta, pero de ahí no podemos deba ser calificada troducir
algunos
deducir
que su competencia
con un cero. Para interpretar matices y aplicar criterios
algo más complejos.
ha sido capaz de hacerse cargo de la situación
gundo
lugar, de relacionar
la situación
en cuestión
tencia en cálculo porque
matemática
Es evidente
las operaciones
mos evaluar adecuadamente
La respuesta pone
a cualquier
la realización
una para der que
que
la respuesta
no es lo mismo
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATICA
la competencia
de bastantes
operaciones
en varias
perti-
«dentro
de
compe-
bien, pero ha cobien
podemos y debemos
ir
de ia respuesta si quere-
matemática.
matemática
sea incorrecta; fallar
y, en se-
el resto de operaciones
de la incorrección
cuestión
linguística
las ha realizado
que no y que, por lo tanto,
más allá de la mera constatación
planteada
«sumar 9». Ha demostrado
un error. ¿El error invalida totalmente
realizadas?
En primer
con la operación
nente, es decir, ha sido capaz de pasar de la expresión nueve días» a la operación
matemática
esa respuesta, hace falta in-
lugar,
metido
por lo
por sencilla
que sea su-
y basta con que se falle en pero
resulta
de las partes
fácil
compren-
que suponen
la
compleja tarea de buscar la solución a una cuestión matemática, por sencilla que parezca, que hacerla en una y que tampoco es igual que el fallo se cometa en algo que se considere básico que en algo que no lo sea. Dicho de otra manera, no hay que evaluar mirando solamente qué se hizo mal, sino que es necesario mirar tanto lo que se ha hecho mal como lo que se ha hecho bien. En una palabra evaluar competenciasdebe ir más allá de constatar la corrección o incorrección de una respuesta y exige su interpretación desde parámetros que denominamos «criterios de evaluación». No debemos olvidar que evaluar viene de valor y que el valor es normalmente cuestión de grado, es decir que se puede decir que algo vale más o menos, pero pocas veces que sí vale o que no vale nada de manera radical y absoluta. En definitiva, el valor es una variable continua y no discreta. Evaluar competencias implica la elaboración de criterios de evaluación. Loscriterios de evaluación hacen referencia a las competencias de manera individualizada, es decir que cada competencia tiene sus propios criterios de evaluación. En mi opinión, uno de los fallos en los diseños curriculares tanto de la LOGSEcomo de la LOEes que las competencias y los criterios de evaluación se enuncian como dos listas sin que en ningún momento se articule la relación que existe entre los elementos de un listado y los del otro. Esta presentación parece sugerir que la relación entre las competencias y los criterios de evaluación es algo no establecido, con lo que no se sabe muy bien a qué atenerse a la hora de utilizarlos. Además, este tipo de presentación también parece insinuar que los criterios de evaluación son una concreción de objetivos más generales, es decir otro tipo de objetivos más concretos, haciendo de esta manera confusa una relación que debiera ser clara. Según Sanmartí (2007), los criterios de evaluación son «normas de actuación que permiten la valoración de la misma». No son por lo tanto, en la opinión de esta autora, otro tipo de objetivos, sino las normas que permiten su calificación. Me parece una definición excelente que
IDEA CLAVE
6
sirve para deslindar con claridad la diferencia dizaje, competencias En mi opinión,
en su caso, y criterios de evaluación.
cada competencia
terios de evaluación, que permitirán grado se ajusta la actuación
evaluación.
debe disponer de sus propios cricalificarla
del evaluado
que sucede es que, normalmente, que proponer
entre objetivos de apren-
interpretando
al desempeño
esperado.
para evaluar una competencia
Lo hay
una tarea, lo que lleva a asociar la tarea con el criterio de
Es una tendencia
fácil de comprender
porque nos inclina-
mos a evaluar lo que podemos observar, pero lo realmente no es la competencia, intención
hasta qué
observable
sino la tarea que se solicita que se realice con la
de valorar la competencia.
Voy a intentar
clarificar estas cues-
tiones. Supongamos que queremos evaluar una competencia y que podemos proponer
o bien una tarea en la que sólo intervenga
o bien una tarea en la que, aunque puedan intervenir aislar o identificar
con suficiente
esa competencia, otras, podamos
claridad la competencia
que vamos a
evaluar. En este caso, que es el más sencillo, los criterios de evaluación que corresponden
a la competencia
rios de evaluación
de la tarea. Voy a poner un ejemplo.
que proponemos
se pueden considerar
como criteImaginemos
la tarea que muestra la figura 104 como forma de eva-
luación. Supongamos también
que la competencia
«la correcta interpretación
que queremos valorar es:
de la información
tablas». En este caso los criterios de evaluación
estadística contenida
en
pueden hacer referen-
cia a: •
El número de preguntas
4. Esta tarea
ha sido obtenida
idioma=c&ud=l
&tipobus=l.
acertadas.
de
la pagina
www.eustat.es/eskola/tareas.asp?
Página que forma parte de una propuesta de tareas basadas
en los datos que el Instituto Vasco de Estadística pone a disposición de aquellas personas que deseen usarlas.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Figura 10 La Población en la C.A. de Euskadi
2004
•
2.111.078 2.079.210 2.128.801 2.116.240 1.034.703 1.015.970 1.040.746 2.120.384 1.063.240 1.032.231 1.078.847 1.088.055 1.036.715 1.081.537 1.083.669
• Para comenzar vamos a coger un trozo de toda la tabla de población y vamos a ver cómo se leen los datos. • Observa, con atención, la siguiente tabla y responde a las preguntas.: • ¿Cuántos habitantes hay en la C.A.de Euskadi en el año 2004? ¿Cuántos de ellos son mujeres y cuántos hombres? • ¿Qué ha sucedido con la población en la C.A. de Euskadi: ha aumentado o disminuido entre los años 2000 y 2004? • ¿Qué hay, según los datos del año 2004, más hombres o mujeres en la C.A. de Euskadi? • ¿La tendencia al crecimiento de la población ha sido constante o ha habido años en los que la población ha descendido? • ¿En todos los años que muestra la tabla el número de mujeres ha sido superior al de hombres? • Si desde el año 2004 la población ha seguido creciendo de manera similar, ¿qué puedes decir de manera estimativa sobre la población actual? ¿ Estará ya sobre los dos millones y medio de personas o todavía no?
La importancia de los errores cometidos en la interpretación
de los
datos.
La combinación de ambos criterios nos permitiría, si así lo deseáramos, crear una escala de calificación de la tarea y por ende de la competencia. Estamos en el caso de una tarea sencilla en la que la competencia fundamental
que se debe utilizar es la interpretación
de la informa-
ción, lo que nos permite definir unos criterios claros y sencillos para calificar la tarea y la competencia. Sin embargo, las cosas no son siempre tan sencillas y muchas veces es difícil, o no muy interesante, proponer tareas en las que se evalúe una única competencia. En estos casos la evaluación es algo más compleja. Primero habrá que identificar las competencias que consideremos que interactúan en la tarea y a continuación indicar los criterios de evaluación de cada una de esascompetencias. Pongamos un ejemplo de lo que quiero decir. Imaginemos que elegimos como tarea de evaluación la siguiente:
IDEA CLAVE
6
Tenemos una diana. Hemos lanzado ya dos dardos y hemos logrado las puntuaciones de 7 y 17 puntos. ¿A partir de qué valor conseguiremos pasar de 30 puntos al lanzar el dardo por tercera vez?
Ésta es una tarea bastante conocimientos
más compleja
que hay que utilizar
En primer lugar, se debe interpretar y entender
lo que se pregunta,
que la anterior,
aunque
se reduzcan a la aritmética
los
básica.
de manera correcta la información
¿qué se quiere
decir cuando se dice
«pasar de 30»?, ¿qué quiere decir «a partir de qué valor»? Podríamos poner más ejemplos para señalar que la correcta interpretación formación
no es una cuestión menor. En segundo
borar un plan. Aquí hay diferentes
posibilidades
de la in-
lugar, hay que elay todas las que nos
lleven a la solución correcta, sea por un camino u otro, deben ser bienvenidas. Explicaré un par de ellas, las que a mí se me ocurren, aunque seguro que puede haber otras, son: •
Dividir el problema puntuación
en dos partes, la primera destinada
a calcular la
que tenemos y la segunda a calcular la diferencia
30, para los valores mayores que el obtenido
la puntuación
hasta
final será
superior a 30. •
Descontar de 30 primero
uno de los valores (cualquiera
de ellos) y
luego el otro, para los valores mayores que el obtenido
la puntua-
ción será superior a 30. Además, hay que poner en marcha el plan establecido
e ir escribiendo
fórmulas
que lo desarrollan.
correctamente
los dibujos,
textos
y
No nos olvidemos de que habrá que re-
alizar una serie de cálculos y de que este trabajo
deberá realizarse
sin cometer errores. Por último, se tendrá que escribir el resultado y comprobar
que es el adecuado. En esta tarea se ponen en juego mu-
chas competencias separada utilizando
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATICA
y cada una de ellas debe ser evaluada de manera sus propios criterios de evaluación,
así:
•
La interpretación
de la información
var a la correcta comprensión
debe ser pertinente
de la situación
y debe lle-
y de las operaciones
necesarias suma y/o resta en cada caso. •
La expresión del camino de resolución rrecta la notación
y debe informar,
dos en la resolución
debe utilizar
de manera co-
con claridad, de los pasos segui-
del problema.
•
Los cálculos deben hacerse sin cometer errores.
•
La respuesta debe estar correctamente
escrita, debe responder
a lo
que se pregunta.
Por medio de estos criterios
de evaluación
podemos calificar
las dife-
rentes partes de este problema y ajustar mejor la calificación que damos. En estos casos es necesario identificar
las diversas competencias
que
se desea evaluar, y enunciar criterios de evaluación para cada una de las competencias
que se vayan a poner en juego en la tarea. De esta ma-
nera la tarea recibirá tantas calificaciones como competencias se tengan que desarrollar,
cada una de esas calificaciones
se obtendrá
la parte de la tarea en la que se supone que interviene diente competencia.
La valoración
ducirse directamente
de la media aritmética
las competencias
valorando
la correspon-
de la tarea, como tal, no puede dede los valores asociados a
y exige tomar decisiones con relación a, por lo menos,
dos cosas: •
El peso relativo competencias
•
La conveniencia
o porcentual
en la calificación
que debe darse a cada una de esas final.
de exigir un valor mínimo en cada una de las com-
petencias implicadas en una tarea para que calificaciones
los criterios de
inferiores
evaluación
a este valor mínimo no supongan
que el mínimo exigido no sea cu-
bierto.
se asocian
a una competencia y no a una tarea,
aunque ésta sea para
Por lo tanto, los criterios de evaluación
se asocian a una competencia
no a una tarea, aunque la tarea sea imprescindible
y
la cornpetencia,
para evaluar la com-
IDEA CLAVE
6
petencia
porque
sin actuación
tarea se pueden obtener damos identificar
no existe modo de valorarla.
tantas calificaciones
en su realización.
son subcompetencias
de otra competencia
más general, tendrá
poque
que es la
razón. En ese caso
decidir, tal y como ya he explicado
riores, de qué manera combinaremos competencia
como competencias
Hay quien puede argumentar
que está asociada a la tarea, y seguramente sólo nos quedaría
De una
en líneas ante-
las calificaciones
de cada sub-
para obtener la calificación global. Pero eso son cuestiones
excesivamente
técnicas para ser resueltas de manera pormenorizada
en un texto de estas características.
En resumen La evaluación el currículo, muestran modelador
es la palanca más poderosa de la que disponemos es el punto de apoyo que pedía Arquímedes
la influencia
social de las evaluaciones
hay que mejorar
tado da el fruto que corresponde bilidad
para mover el mundo.
internacionales
del currículo que tiene la prueba de selectividad.
desea innovar en el currículo,
cuando
pudiendo
cambios en las evaluaciones de diagnóstico
hacerlo
las medidas
se
El árbol injer-
Se pierde mucha credi-
necesarias para introducir próximo
las evaluaciones
las líneas que van a seguir los nuevos cu-
para ver cómo se desarrollan.
si bien las evaluaciones
viven, la evaluación de vista, forma
que es la evaluación.
que van a marcar, seguramente,
que se ajusta el currículo,
tipo PISA y el gran peso
los procesos de evaluación.
no se toman
Lo de-
Por lo tanto, si realmente
oficiales. Tenemos en el horizonte
rrículos. Habrá que estar atento Sin embargo,
al injerto,
para inducir cambios en
externas son importantes
como referencias a las
como los seres vivos se ajustan al nicho ecológico
en el que
es algo que se da en las aulas todos los días y que, desde este punto
parte del proceso de enseñanza-aprendizaje.
día se llama «un currículo por competencias» evaluar. Para evaluar la competencia
lo que hoy en
implica adoptar ciertas medidas a la hora de
matemática
ten evidencias de lo que saben hacer (performance
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Desarrollar
es necesario que los estudiantes
apor-
based assessment por oposición a test
based assessment). Una vez aportada la evidencia hay que valorarla y calificarla, para ello es necesario disponer
de lo que denominamos
criterios
de evaluación,
que nos sirvan para indicar la calidad de la respuesta obtenida. tencia, tarea y evaluación,
con los criterios de evaluación
es decir normas
De esta manera, compe-
correspondientes,
se convierten
en una tríada inseparable para el desarrollo del currículo y en el esquema más simple y significativo
que podemos encontrar
para su desarrollo.
IDEA CLAVE
6
•
La evaluación es la palanca más ade-
manera
cuada para la innovación curricular y,
según un modelo previo y conocido en
por lo tanto, no hay nada más práctico
el que se intercalasen diferentes tipos
que innovar en evaluación para inno-
de tareas de manera equilibrada.
var en el currículo. •
•
matemáticas discutan y acuerden los
tareas que se van a destinar a la eva-
criterios que van a seguir a la hora de
luación y es recomendable que los res-
calificar a los estudiantes, y estambién
ponsables de la gestión del currículo
muy interesante que se lo transmitan a su alumnado.
mación. No hay labor más práctica
•
La evaluación en matemáticas debe
tro educativo que gestionar la evalua-
calificar el proceso seguido y no solamente el resultado obtenido. Debe va-
ción.
lorar
Hay que construir pruebas de evalua-
muestran y no solamente los fallos que se realizan.
para gestionar el currículo de un cen-
ción que vayan más allá de los ejercicios de aplicación y de los problemas ad hoc. •
Es muy práctico que los docentes de
Conviene seleccionar con cuidado las
en el centro dispongan de esta infor-
•
que éstas se organizaran
•
las
competencias
que
se
Hay que abrir paso a nuevas formas de evaluación tipo portafolio
no sola-
Convendría consensuar pruebas mo-
mente en la enseñanza primaria, sino
delo en el ciclo (primaria) y en el de-
también en la secundaria y postobli-
partamento del área (secundaria) de
gatoría.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
La competencia profesional de los docentes de matemáticas es el factor más importante para la mejora de su enseñanza Los fractales y las escalas ¿ Cuánto mide /a costa de Bretaña? (Mandelbrot,
Los objetos fracta/es)
El factor humano La calidad de la enseñanza, entendida como la adecuación de ésta a los fines sociales que determinan las instituciones legitimadas para hacerla, depende de muchos factores. Algunos de ellos ya los he citado: buenos currículos, buenos materiales, sistemas de evaluación coherentes, etc.; pero si hay un factor que, en mi opinión, es especialmente decisivo, éste es la competencia profesional de los docentes. La educación se basa en la comunicación humana y se construye sobre la relación que establecen entre sí los seres humanos, por lo tanto el resto de cuestiones que acompañan esa relación, siendo importantes, son siempre secundarias porque son medios que se pueden sustituir por otros. El «factor humano» es, por lo tanto, la clave sobre la que descansa el proceso comunicativo y por ende la educación. El factor humano es lo sustantivo en la comunicación, el resto de cuestiones
IDEA CLAVE
7
son circunstancias necesarias y facilitadoras, pero circunstancias al fin y al cabo. Todos los intentos que se hagan para debilitar la función nuclear de los docentes en el proceso comunicativo sólo servirán para disminuir la calidad de la educación y la capacidad de ésta para suscitar valores en los educandos. En el ámbito que nos ocupa, la educación matemática, la persona encargada de diseñar, liderar, mantener, sostener, promover, animar y desarrollar esta comunicación es el docente. Resulta evidente que la comunicación es cosa de dos o más y que sin la disposición del «otro» sería imposible, pero estimo que en un proceso como el de la enseñanza de las matemáticas esperar que esta relación sea horizontal, si se entiende por horizontalidad que tanto el docente como el estudiante compartan exactamente las mismas funciones de manera recíproca, es una ilusión y una base falsa. Por esta razón, creo poder afirmar que la responsabilidad del docente en cuanto a los fines de la comunicación, a la forma de organizarla y desarrollarla es mayor que la que tiene, que también la tiene, el estudiante. El mayor peso, responsabilidad y autoridad para establecer y llevar a buen fin el proceso comunicativo es del docente. En consecuencia, disponer de «buenos» docentes de matemáticas es imprescindible para poder esperar un futuro mejor en esta cuestión. Para poco valdrán los esfuerzos que se hagan por mejorar el resto de los factores que influyen en la calidad de la enseñanza si no van acompañados de políticas eficaces para mejorar las competencias tanto humanas, de las que últimamente se habla poco, como profesionales de los docentes que se tienen que encargar de la educación matemática de los estudiantes. En estos últimos años, en los que la tecnología de la información lo invade todo, estamos asistiendo al intento de sustituir la relación entre humanos por la relación entre personas y máquinas; es un intento peligroso porque es goloso para las administraciones que gestionan el sistema educativo. Formar a los docentes en activo es muy caro, da unos resultados poco previsibles y, además, en muchos casos resulta decepcionante: lo que se consigue no se parece mucho a lo que se programa. La tentación de invertir en sistemas «inteligentes» que podamos gestionar directamente sín tener que estar mediados por unas personas que no controlamos y de cuya pericia e interés dudamos es muy grande. Además, son sistemas muy limpios porque no están contaminados por los intereses personales, la manías de cada uno, la manera de hacer de fulano, la visión del currículo de zutano, el corporativismo de todos ellos, etc. Pero es un camino equivocado que no nos llevará a una mayor calidad educativa porque la educación dependerá siempre de intenciones, valores, creencias, sentimientos, manías, hábitos, es decir de lo que es propio de la comunicación humana. Se mire por donde se mire, se haga lo que se haga, al final el factor humano es el que más
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
condiciona la educación. No sé si es una maldición o una bendición que esto sea así, pero sí creo saber que es parte de nuestra condición como seres humanos.
El enfoque comunicativo, la función docente y la competencia de gestionar el currículo En este texto, tal y como he expuesto en la idea clave 4, he defendido
enfoque comunicativo como base para una co-
lo que he denominado rrecta comprensión gumentos
de lo que es la educación
expuestos
se deduce que de la capacidad
tenga para establecer tudiante
depende
nexos de comunicación
fundamentalmente
De los ar-
que un docente
significativa
con un es-
la calidad del proceso de ense-
ñanza y, por ende, de la educación construye.
matemática.
matemática
Es lo que en el punto anterior
que se propone
de este mismo capítulo
y
he lla-
mado «factor humano». Si esto es así, y a fundamentarlo la derivación
he dedicado ya bastantes páginas,
lógica de esa afirmación
de la enseñanza de las matemáticas la capacidad de un docente adecuadas; interpretar estudiantes;
mular calidad
el significado
evaluar su trabajo
la comunicación de la enseñanza
nexo comunicativo.
depende,
para planificar,
ayudarlas y estimularlos
lorar, regular,
me lleva a concluir que la calidad
entre
fundamentalmente,
buscar y proponer
de tareas
de los mensajes que recibe de los en la realización
de las tareas; va-
y proponer
caminos de mejora; esti-
los estudiantes,
en pocas palabras
depende
de la capacidad
para alimentar
la el
Por lo tanto, un docente debe ser capaz de realizar
con éxito esas labores y por pura coherencia
hay que afirmar que debe
ser una persona capaz «de hacer», porque lo que constitutivo bajo es: hacer hacer. Los alumnos aprenden
de su tra-
cuando hacen y los docen-
tes enseñan cuando hacen hacer a los estudiantes.
Los dos hacen, sólo
IDEA CLAVE
7
que cosas distintas. A las personas cuya función social es saber hacer las llamamos profesionales ya su pericia competencia, por eso podemos y debemos enfocar la formación profesionales
de los docentes como una formación
que deben adquirir
competencias.
mación de docentes es una formación
de
Por esta razón, la for-
destinada
a profesionales
deben saber «qué hacer» y no a sabios que dominen
solamente
que las
materias de enseñanza y las teorías generales de las ciencias de la educación. Porque, aunque nocimiento
algunos
epistemológico
piensen lo contrario,
y conocimiento
la suma de co-
pedagógico
no produce
competencia docente. La competencia docente está unida a la resolución de los problemas
que la práctica presenta y no se produce por acumu-
lación yuxtapuesta
de conocimiento.
mos en su comprensión,
Esta distinción
nos resultará
camino deberemos tomar para formar
es clave y si falla-
imposible
comprender
adecuadamente
a los docentes.
Resulta innecesario, por evidente, reconocer que la competencia cente, es decir, la posibilidad señanza, es imposible
de gestionar
si se desconocen
enseñar, por lo tanto ese conocimiento
servir de coartada
suficiente.
para posponer
tencias que hay que trabajar
do-
con éxito el proceso de enlos contenidos
que hay que
es necesario, pero también
que señalar que como saben los matemáticos no es siempre una condición
qué
una condición
necesaria
Esta evidencia tampoco
ni minusvalorar
en la formación
hay
debe
el resto de compe-
del profesorado,
porque
como ya he dicho, y no me cansaré de repetir, un docente es un profesional de la enseñanza y no un sabio de la correspondiente nocimiento.
Si de mí dependiera,
deben tener
los docentes
funcione
adecuadamente
esta competencia
para garantizar la denominaría
área de co-
profesional
que
que el nexo comunicativo
competencia para la gestión
del currículo, porque creo que es una competencia algo más amplia que la que tradicionalmente
hemos llamado competencia didáctica.
La mejora de la competencia
para la gestión del currículo
máticas por parte de los docentes es, en mi opinión,
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
de mate-
el factor clave en
cualquier proceso que quiera atender a la mejora de la enseñanza, pero debe quedar claro que no es el único. Un docente es una persona y un profesional trabajo
que trabaja en una institución
social, que es la escuela, y su
no puede reducirse a una labor únicamente
de adecuación metodológica
de contenidos
cativos de los que el docente
didáctica,
es decir
que responden a fines edu-
es una mera correa de transmisión.
El
hecho de que en esta idea clave deje de lado otros tipos de competencias para centrarme
en la que he denominado
gestión del currículo,
como competencia
de
no quiere decir que no las considere necesarias,
sino que éste no es el lugar más apropiado
para desarrollarlas
con el de-
talle que merecens. Debe entenderse para la gestión
con claridad
del currículo,
cia que hay que desarrollar con cualquier tudiarse tante
competencia,
solamente
y no a un saber abstracto
inicial de los docentes
la dificultad
en instituciones
educativa
ción retórica
en la especulación
a la formación
del profesorado,
y especulativa
profesional,
a gala estar, alejadas de
y refugiadas
teórica.
En lo
no venimos
estos aspectos de la competencia
práctica como ejes de la formación.
la
que, por lo menos hasta el
la práctica
que haya primado
bas-
de organizar
como una formación
han estado, ya veces han tenido
una tradición
que pueda es-
Ésta es una afirmación
momento,
que hace referencia
a una competen-
en la práctica, como sucede por otra parte
pone en evidencia
dado que se desarrolla
hablo de competencia
me estoy refiriendo
de manera teórica.
radical porque
formación
que cuando
Venimos,
que ha dejado
de y la
más bien, de una tradi-
los problemas
de la prác-
tica para después.
5. La propuesta
de competencias
docentes del SBL (Stichting
holandés (www./erarenweb.nf) contiene sonales, pedagógicas, colaboración
del área y su enseñanza, de colaboración
con entidades
Beroepskwaliteit
los siguientes tipos de competencias:
sociales y de autorreflexión
Leraren) interper-
con los compañeros,
y formación
de
permanente.
IDEA CLAVE
7
Los fractales son una maravilla que reproducen
de la geometría,
iba a decir de la naturaleza,
las mismas formas a diferentes
escalas. Es una imagen que
nos puede venir muy bien en este contexto
para mostrar
que supone pedir que se organice
el currículo
para los estudiantes
petencias, cuando ni la formación
de los docentes que deben gestionar
currículo
ni la de sus profesores
siguen esas pautas. La mínima niveles que organizan gestionarlo
universitarios coherencia
encargados
por comese
de esa formación
exige que las distintas
el currículo y la formación
se organicen
la incoherencia
escalas o
de las personas que deben
según una lógica similar. Esdecir que lo que se pre-
pare a un nivel de la escala se reproduzca
en los demás. Lo que quiero decir
es que lo que se pretende que se produzca a una escala debe estar presente en las que la sustentan,
so pena de errar en la estructura
y debilitar
todo el edi-
ficio formativo.
Esta manera fractal de ver los problemas esta cuestión.
Es decir que necesitamos
vertir en competencia competentes
resulta de especial interés en estudiantes
lo que aprenden, y para ello precisamos docentes
para promover
la competencia
darle otra vuelta a la espiral necesitamos paces de promover
competencias
en los estudiantes.
programas
en los formadores
centes para que éstos a su vez sean competentes la gestión del currículo nerar aprendizajes Mientras petentes
y puedan afrontar
y competencias
sigamos pensando
profesional
cátedras universitarias,
ca-
de los futuros
do-
a la hora de desarrollar
la tarea profesional
mente con cursos teóricos no habremos entendido
Es necesario incorporar
universitarios
que es posible formar
en la formación
Y para
de ge-
en sus estudiantes.
de la reforma que se plantea y perderemos un nuevo enfoque
que puedan con-
docentes
impartidos
desde las
el significado
la oportunidad
com-
profundo
de construir
de los docentes.
de manera decidida a los procesos formati-
vos estas ideas. No son tan nuevas (Schbn, 1998; Carr, 1995 y otros) y tal
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
vez vestidas con un nuevo ropaje terminológico vuelvan a la plaza como innovaciones
de última hora, que suelen ser tan poco rebatidas
como escasamente incorporadas a los planes formativos de las instituciones encargadas de ponerlas en marcha, por simples y coherentes y por subversivas de los intereses corporativistas de quienes las deben poner en práctica. No es pensar en fractal organizar la formación
de los docentes
pensado únicamente en la lógica interna de las temáticas que hay que tratar, en la de los bloques de contenidos que las desarrollarán y en los créditos que corresponden a cada departamento
universita-
rio. No es pensar en fractal dejar el prácticum para «luego», una vez que, guiados «antes» por teóricos que desconocen la práctica educativa, se haya aprendido qué es lo que se debe aplicar. Pensar en fractal es organizar la formación de los docentes desde procesos que puedan asegurar la correcta relación entre la práctica profesional y la teoría que la debe sustentar, pensar en fractal es crear contextos formativos donde docentes con experiencia en el área y la etapa correspondiente, estudiantes en el inicio de su formación profesional, profesorado novel en activo y profesores universitarios trabajen de manera conjunta contrastando
de manera reflexiva los problemas
que la práctica diaria contempla a la luz de las teorías educativas que se compartan. Pensaren fractal es aplicar en todos los niveles formativos la misma lógica de priorizar, para el desarrollo profesional, la práctica reflexiva como eje organizador de todo el entramado educativo y no solamente en algunos de ellos. Hay una última cuestión que no podemos dejar pasar por alto al referimos a las competencias docentes para la enseñanza, se trata del carácter cooperativo de esa función y de la importancia que éste tiene tanto para la gestión del currículo como para la definición de los procesos de formación que se quieran poner en marcha. Si miramos el
IDEA CLAVE
7
currículo, como lógicamente debe hacerse, desde la perspectiva del estudiante, no puede concebirse como un agregado de propuestas inconexas realizadas por distintos docentes, porque el alumno sólo podrá construir algo con sentido si el conjunto de los estímulos que recibe lo tiene y ese conjunto es, desde la óptica del estudiante, la unión de las propuestas que le hacen, por una parte, el resto (anterior y posterior) de docentes de la misma área (matemáticas) a lo largo de sus años de escolarización y, por otra, los docentes de otras áreas que comparten el curso en el que se encuentra el estudiante en un determinado momento. Este carácter incompleto que tiene la acción de cada docente vista de manera aislada obliga a reflexionar sobre la importancia que, para el desarrollo de la educación y de la preparación de los docentes, tiene la toma de conciencia de esta cuestión por parte de los profesores. Obliga, así mismo, a considerar la importancia de la comunicación entre los docentes no solamente de la misma área, lo que ya resulta dificultoso muchas veces, sino también de diferentes áreas; porque el currículo visto de manera sincrónica es la suma de los estímulos que recibe el alumno desde las diversas áreas que conforman la propuesta del plan de estudios. Esta consideración debe tenerse en cuenta a la hora de plantear la formación de los docentes porque esta comunicación intra y extra departamental
sólo será posible si
se comienza a vivir como práctica desde los inicios de la formación, que es donde se construyen el lenguaje que permite esa colaboración y los hábitos de trabajo que la facilitan.
La formación inicial de los docentes de matemáticas La formación inicial del profesorado está necesitada de una reforma urgente y profunda, pero la de los docentes de ciencias y de matemáticas aún más. El diagnóstico más extendido, dicho de una manera un tanto simple, es: «Losdocentes de primaria no saben matemáticas y los
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
de secundaria6 no saben enseñarlas». La solución parecería obvia si no fuera porque en educación casi ninguna cuestión lo es: «enseñemos más matemáticas a los que aspiran a ser docentes de primaria y cómo enseñarlas a los de secundaria». Sin embargo, los problemas son mucho más complejos y requieren de un replanteamiento más radical y estructural. Por lo que hace referencia al proceso de formación inicial de los futuros maestros y maestras y enfocándolo únicamente desde la vertiente de los contenidos de matemáticas que hay que dominar, cabe decir que, aceptando las críticas que se puedan realizar sobre las deficiencias que se dan en el conocimiento de los objetos matemáticos por parte de los que aspiran a ser maestros y maestras, parece muy poco realista pensar que en la formación inicial de un docente de primaria, que en principio debe trabajar contenidos epistemológicos de diferentes áreas, se exija un nivel en su formación equivalente al de un profesor que se prepara para impartir solamente una o varias áreas normalmente relacionadas entre sí. Mucho más todavía cuando las nuevas propuestas en competencias clave tienden a difuminar las diferencias entre las áreas, consideración a la que hay que añadir que la importancia de los contenidos en el proceso formativo es menor en primaria que en secundaria. Por lo tanto, la clave hay que buscarla en el buen aprovechamiento de los estudios de bachillerato y en el refuerzo que pueda hacerse de éstos en los primeros cursos de la formación en los grados de educación. Pretender que los futuros docentes de primaria consoliden sus conocimientos de las áreas tomando parte en los grados de otras disciplinas es irrealizable de momento. El dominio de los contenidos matemáticos puede y debe mejorarse, pero en todo caso existe tiempo destinado a realizarlo
6. Utilizaré en el desarrollo de esta idea clave el término «secundaria» para referirme a los estudios comprendidos entre la finalización de la enseñanza primaria y el inicio de los estudios universitarios.
IDEA CLAVE
7
y no es, desde luego, el mayor de los déficits que se pueden constatar. Otra cosa es la preparación, cundaria,
en el dominio
de quienes aspiran a ser docentes en se-
de los contenidos
de las disciplinas que deben
enseñar. Aquí sí que parece necesario, como viene siendo habitual,
que
los aspirantes a docentes en estos niveles dispongan
uni-
versitaria
de formación
en el corpus de las disciplinas correspondientes,
matemáticas. universitaria
Lo que no parece tan evidente que deben recibiry,
deben cursar. Lo más inmediato,
en este caso
es el tipo de formación
en consecuencia, el tipo de grado que aunque como veremos no creo que sea
lo mejor, sería pensar que deberían cursar un grado equivalente a la actual licenciatura
en matemáticas.
¿Por qué digo que no es lo mejor? Por
varias razones: •
El sistema educativo, ticular, funcionan impartir
en general, y la educación secundaria, en par-
mejor con un profesorado
más de una materia,
en un área de conocimiento inconveniente
polivalente
que pueda
por lo que la excesiva especialización para ser docente en estos niveles es un
y no una ventaja, porque no facilita
la comunicación,
sino más bien todo lo contrario. •
En la actualidad,
y así parece que será en el futuro,
abastecer de profesores accede la casi totalidad tudiado
de matemáticas de la población
un grado en matemáticas,
exclusivamente,
física o química o bio-
los estudios de ciencias a los jóvenes
que aspiran a ingresar en la universidad
porque el número
en este tipo de estudios está disminuyendo
mente, éste es un problema peos. En general,
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
es mejor que
u otra materia afín.
Hay que hacer más atractivos
matricula
en
si van a dar clase de mate-
quienes sólo han estudiado
logía o ingeniería
a la que
porque quienes se matriculan
máticas los que no las han estudiado
•
a una secundaria
con personas que hayan es-
estos estudios son pocos; por lo tanto,
no las impartan
no se puede ya
que se
progresiva-
grave en la mayoría de los países euro-
los estudios
muy especializados,
costosos en
esfuerzo y sin una salida profesional aquellos que son más polivalentes fesional
clara, son menos solicitados que y tienen dibujada
más nítida.
Todas estas razones me llevan a proponer de construir
que se estudie la posibilidad
un grado en ciencias que fuera equivalente
Sciences, tan normal en el mundo anglosajón. de formación
que la repetición
Para aspirar al postgrado
de la actual licenciatura
al nivel de grado. La tendencia
sidades de considerar antigua
al Bachelor of
de profesor de secundaria este tipo de grado polivalente
sería más adecuado temáticas
una salida pro-
licenciatura
en ma-
instalada en nuestras univer-
el nuevo grado como un trasunto,
sin más, de la
es un error que pone en riesgo las potencialidades
de la actual reforma universitaria
para resolver ciertos problemas como
el que el que cito. Pero, la formación
inicial de los docentes no puede reducirse a la for-
mación en el área de conocimiento
y debe abarcar más ámbitos, esto ya
lo sabemos. Entonces, ¿dónde reside la dificultad, camos cuando, suponiendo contenidos
que los aspirantes a docentes conocen los
de las materias que deben impartir,
blema de su formación
dónde nos equivo-
nos enfrentamos
en el resto de competencias
al pro-
profesionales
uni-
das a su futura labor docente? Todos somos conscientes de que la actual formación
inicial de los docentes dista mucho de ser una formación
que
prepare para el ejercicio de esa profesión. En mi opinión,
lo que no va bien en la formación
centes de primaria,
inicial de los do-
y muchísimo menos en secundaria, es el proceso de
preprofesionalización,
es decir el proceso formativo
por el que una per-
sona comienza, la mayoría de las veces a una edad muy temprana, los dieciocho y los veinte años, el camino de la progresiva su destino
profesional:
ser enseñante
o docente.
entre
asunción de
En la formación
ini-
cial de los docentes se hace excesivo hincapié, y no me estoy refiriendo a los contenidos
de matemáticas,
sino al resto de las materias del cu-
IDEA CLAVE
7
1
rrículo formativo la preparación previamente
(psicología, sociología, pedagogía,
didáctica, etc.), en
teórica como si almacenar toda esta información
fuera
necesario al desembarco en la playa que es la práctica real
en el aula: una mochila
que hay que llenar
con todos
los recursos
que se estiman necesarios para cuando haga falta. Lo que sucede es que cuando llega el desembarco
en la playa, además de estar mareado por
el oleaje que son los procesos por los que un aspirante tro, esa mochila
pesa tanto
y es tan incómoda
que la mayoría de los
docentes noveles se la quita de encima, la abandona poder moverse con agilidad
en un ambiente
llega a un cen-
rápidamente,
para
que percibe complicado.
La mochila pesa, es una rémora y no una ayuda. Esta relación
de prelación
entre teoría y práctica es un obstáculo,
una rémora, un peso que deteriora denominado
el desarrollo
de preprofesionalízación
inicio y crea una cultura procesos formativos
y lo hiere mortalmente.
que se repetirá
posteriores,
de ese proceso que he
mecánicamente
porque se transmite,
Marca el
en todos los de manera im-
plícita, la idea de que existe algo previo a la acción que es la teoría y, por desgracia, a la adquisición de esa teoría se asocia el concepto de formación. Posteriormente
los profesores actuarán en el medio educativo
y muchas veces lo harán dando la espalda, ignorando teorías, pero eso no parece tener importancia.
o soslayando esas
Esdecir, crearán sus pro-
pias teorías para la acción, pero lo harán fuera del circuito formativo, chas veces sólo las contrastarán
con sus compañeros
manera informal y estarán fuertemente
o compañeras
mude
condicionadas por las culturas do-
minantes en los centros, que no son otra cosa que las pautas de conducta que de manera histórica y por medio de un proceso de sedimentación han ido instaurando
se
como forma de hacer frente a los problemas de la
profesión. ¿Pero qué es al fin y al cabo una teoría sino esas pautas organizadas en corpus que se pueden sintetizar y generalizar? Los profesionales temáticas,
de la educación,
son profesionales
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
en este caso los docentes de ma-
de la educación
antes que otra cosa, son
expertos de alto nivel y no pueden ejercer correctamente sin formación cuestionarse
teórica.
Esto no se puede poner en duda. Lo que debe
es de qué manera se apropian
la teoría en su función tas de actuación
profesional;
de ella y qué sentido tiene
es decir cómo construyen
que regirán su vida profesional
esta construcción
su profesión
la relación
dialéctica
las pau-
y qué peso tiene en
que debe darse entre teoría y
práctica. Todas las personas, y más los profesionales, zando esquemas o pautas de comportamiento
actuamos
utili-
que hemos aprendido,
y esta manera de actuar la podemos llamar teórica porque en principio es generalizable,
es decir que frente a situaciones similares tenderemos
a actuar de manera similar. Esas pautas las podemos denominar ría que guía nuestra práctica. Visto así toda actuación mediada, condicionada, dispone el docente.
profesional
El problema
orías aprendidas en los años de formación
dominantes integrarse:
está
consiste en observar de qué manera, esas teorías para
la acción. La respuesta ya la hemos sugerido en líneas anteriores.
en pautas de actuación,
nadas por ineficaces,
teo-
por las teorías explícitas o implícitas de las que
cuándo y por medio de qué mecanismos se construyen
a convertirse
la
universitaria
Las te-
no llegan nunca
se dejan de lado y son abando-
y su lugar es ocupado
por las pautas que son
en las culturas de los centros en los que los docentes deben los comentarios
otros miembros
de los compañeros
de la comunidad
hora de organizar
el currículo,
el que se organiza
escolar, las rutinas establecidas
la manera de encarar los conflictos,
trucos para tratar con la dirección, ción de los materiales,
sobre las actuaciones de
los padres o los estudiantes,
los tipos de pruebas de evaluación,
a la los
la elec-
el modo en
el poder de decisión en un centro y cómo resistirse
a éste, las maneras que se siguen en las relaciones con los estudiantes, los modos de vestir y un largo etc. Todas estas pautas conforman cultura
que constituye
profesionales,
la fragua
donde se moldean
y no debemos olvidar
esa
las competencias
que no son otra cosa que los pa-
trones que hay que seguir a la hora de encarar los conflictos
que la ac-
IDEA CLAVE
7
ción diaria nos trae como el pan nuestro de cada día. La cultura profesional de los centros se convierte modelan
las competencias
de esta manera en la forja donde se
docentes.
Por otra parte, una de las características de una actuación nal es precisamente
el no ser intuitiva
diada por el saber profesional
o espontánea,
de la enseñanza de las ma-
de la respuesta que un estudiante
máticas resulta radicalmente e información
sino el estar me-
que es de tipo general, es decir teórico.
El análisis que puede hacer un profesional temáticas
profesio-
da a una tarea de mate-
distinto e infinitamente
más rico en matices
que el que pueda hacer una persona que no sea profe-
sional en esta cuestión y que aplique su inteligencia tiva y espontánea,
y lo que decimos
enseñanza de las matemáticas tipo de profesional
de manera intui-
para los profesionales
de la
lo podríamos repetir para cualquier otro
de la enseñanza. La actuación profesional
es, pues,
una actuación mediada por modelos y esquemas teóricos, si no, no sería profesional. Conocemos estas ideas desde hace tiempo, utilizarlas
de manera coherente
modelos de formación tencionados,
en la formación
pero somos incapaces de de los docentes. En los
actuales en nuestro país, incluso en los mejor in-
lo que se hace es dar a los estudiantes
pédica de las materias
que se consideran
pedagogía
y métodos),
(su historia
una visión enciclo-
fundamentales:
didáctica
psicología,
general y específica del
área, sociología, etc. Una vez que ya «saben» todo eso se supone que les toca, en el mejor de los casos de manera bien tutorizada, realidad como si realmente
aplicarlo a la
la relación entre teoría y práctica fuera de
tipo lineal y deductivo. Además, para señalar bien esa diferencia, tituciones
que se ocupan de una y otra cosa son diferentes:
corre a cargo de la universidad
iluminada
la teoría
y la práctica de las escuelas, aunque en
este segundo caso exista una intervención trucción
las ins-
de la universidad.
La cons-
de las teorías ligadas a la acción educativa y la de la práctica por esas teorías no se realizan según esta lógica de un «antes»
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATICA
y un «después», sino que si fuera necesario utilizar
una metáfora
geo-
métrica para describir esa relación, la más cercana sería la de una espiral que pone de manifiesto Voy a poner algunos deben dominar mente
el carácter dialéctico de esta relación. ejemplos.
No es razonable
todas las teorías sociológicas
en un aula en la que conviven
tamentos
sociales, culturales,
que se
para actuar responsable-
estudiantes
idiomáticos,
suponer
de diferentes
etc. Es precisamente
es-
al revés,
porque en las aulas existen este tipo de cuestiones y muchas veces son origen
de dificultades,
necesitaremos
reflexionar
manera en la que las teorías sociológicas
sobre ellas y ver la
nos pueden ayudar a tomar
decisiones adecuadas, porque los docentes no son estudiosos de la sociología, sino profesionales
de la educación y ésta tiene una vertiente
de acción que no se lleva bien con la dilación de las respuestas que hay que dar. Ya sabemos que los estudiosos dudan, y deben dudar, los profesionales contemplación experto
han de actuar y la acción tiene unos tiempos no tiene.
en planificación
la hora de programar
No es razonable curricular
pero que la
pensar que hay que ser un
para actuar de manera adecuada a
una secuencia de enseñanza-aprendizaje.
Seguiré
con el ejemplo: no es razonable
pensar que un docente debe ser un ex-
perto en planificación
antes de comenzar a planificar
curricular
sión de enseñanza-aprendizaje
y que para ello necesita un módulo
entero en el que se le explique
cómo se hace esa planificación.
cisamente al revés, porque solamente saber realmente que trabaja
que le dará la institución
rrectamente, reflexión
de manera
cuando podrá com-
y qué debe saber para Ilevarla a cabo co-
es entonces y no antes cuando puede sentir el valor de la
teórica.
aprendizaje
en la
y tendrá que adecuar su manera de actuar
en esta cuestión a esa situación, es en ese momento prender qué es planificación
Es pre-
cuando comience su trabajo va a
el nivel de autonomía
para planificar,
una se-
No es razonable
que históricamente
estudiar
todas las dificultades
se han catalogado
sensata en una situación
que implique
de
antes de actuar adaptar
las pro-
IDEA CLAVE
7
puestas educativas generales a casos particulares,
cuando surja ese pro-
blema en la práctica deberá resolverse y para ello deberá recurrirse a la iluminación tudiante
teórica correspondiente.
Llenar la cabeza de un joven es-
con teorías sociológicas, pedagógicas,
didácticas y psicológicas
no le hará estar más armado frente a las dificultades sí le inducirá a pensar, erróneamente,
que esas teorías no tienen ningún
valor para ayudarle a resolver los problemas La formación tradicción
de la práctica, pero
que se le plantean.
inicial de los docentes está, así, atrapada
en una con-
que no somos capaces de resolver: no sabemos cómo supe-
rar una tradición
academicista
que a su vez se subdividen
atomizada
en áreas de conocimiento
en materias aisladas, porque fuera de ese
árbol no somos capaces de identificar
dónde nos situamos nosotros, me
refiero a los docentes universitarios,
y es, además, una formación
fesional que se imparte ejercerse.
y
competencias
fuera de los contextos
ya hemos repetido,
blar
de
para
inicial de los docentes.
como una formación
de su aplicación
referirme
a ha-
a los estudios
Es decir que deberíamos
que va preparando
de
es una cosa ex-
Es por esta razón que me he atrevido
preprofesionalización
formación
reales en los que debe
una y otra vez, que el desarrollo
fuera de los contextos
traña por ser complicada.
pro-
de
enfocarla
a los jóvenes que llegan a estos
estudios para iniciarse en su labor de docentes, que es ante todo una
Esta formación debería organizarse pensando en los intereses de quienes la reciben y no sólo de quienes la imparten.
profesión.
Ellos y ellas no son todavía
quiriendo
hábitos,
profesionales,
pautas de conducta,
ción que les vayan preparando
actitudes
progresivamente
hay que organizarla
y estrategias
de ac-
para esa labor a la que
aspiran. Y sobre todo, aunque suene algo ingenuo, que esa formación
pero deben ir ad-
deberíamos
pensar
desde los intereses de quienes
la reciben y no sólo desde los de quienes las imparten. Cifrar en esta formación de las competencias la formación
inicial la esperanza de una mejora radical
profesionales
de los docentes es una ilusión vana,
inicial no puede ser otra cosa que, como su nombre
dica, el inicio de un camino de profesionalización
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
in-
que debe ser com-
pletado con otras fases. Esperar que un muchacho o muchacha que ingresa en la universidad
con dieciocho, diecinueve o veinte años, en mu-
chos casos, pueda convertirse
en un profesional
cuatro o cinco años de estudios universitarios lisis mínimamente
de la educación
con
es algo que cualquier aná-
serio debe cuestionar.
Los nuevos marcos legales para la formación del profesorado de secundaria. El postgrado de formación del profesorado de secundaria Disponemos ya, en estos momentos, currículos de formación del postgrado
para los profesores
des a la hora de organizar
de secundaria.
en la actual reforma
en el
universitaria
que se concede a las distintas
es
universida-
planes de estudios propios y, por lo tanto, la
de los textos obligatorios.
grado de generalidad
Se publicaron
y
de 2007. ¿Qué podemos decir de ellos?
que llama la atención
el alto grado de autonomía
generalidad
los
de los grados para los docentes de primaria
BOE el pasado 29 de diciembre Lo primero
de los decretos que regularán
Estos documentos
tan amplio que es difícil posicionarse,
son de un porque la
lectura que puede hacerse de éstos no es unívoca y el análisis no podrá realizarse hasta que alguien no redacte una propuesta concreta de formación. Mientras tanto habrá que aplazar la opinión. Por lo que hace referencia
al postgrado
de formación
de profeso-
rado de secundaria, que tiene una relación más directa con la formación de lo que podemos
entender
cuencia de matemáticas,
como profesores
de área y en conse-
sabemos que éste será de sesenta créditos
ECTSque, para los no expertos en el currículo universitario, dicar que suponen paración tercio,
un año o su equivalente
universitaria.
de dos semestres de pre-
De los sesenta créditos,
entre dieciséis y veinticuatro
hay que in-
aproximadamente
deben destinarse
un
a prácticas, es
IDEA CLAVE
7
decir entre cuatrocientas
y seiscientas horas de prácticas de las 1.500
horas que supone el postgrado. Las condiciones
de acceso al postgrado
son las siguientes:
4.2. Condiciones de acceso al Máster Para el ingreso en el Máster se establece como requisito de acceso la acreditación del dominio de las competencias relativas a la especialización que se desee cursar, mediante la realización de una prueba diseñada al efecto por las Universidades, de la que quedarán exentos quienes estén en posesión de alguna de las titulaciones universitarias que se correspondan con la especialización elegida. Asimismo, habrá de acreditarse el dominio de una lengua extranjera equivalente al nivel B1 del Marco Común Europeo de Referencia para las Lenguas, de acuerdo con la Recomendación N° R (98)6 del Comité de Ministros de Estados Miembros de 17 de octubre de 2000. (MEC, 2007)
Al ministerio
le gusta el misterio, ¿qué será eso de «las competencias
lativas a la especialización lo dice, seguramente
re-
que se desee cursar»? Se supone, aunque no
por obvio, que un postgrado
viene después de un
grado. Lo que despista es que no cita de manera específica ningún tipo de grado, por lo que alguien bilita para este postgrado dominan
las competencias
podría concluir que cualquier
siempre y cuando alguien demuestre relativas a la especialización
cursar. Los responsables universitarios esas competencias» efecto» ya tienen
o determinar,
que se desee
en su caso, «la prueba diseñada a tal
nes, pero no se citan en este borrador BOE. ¿Serán las universidades
que se
que deban descubrir «cuáles son
un nuevo rompecabezas.
des? ¿Podrán ser diferentes
grado ha-
Se habla de especializacio-
ni en la norma publicada
las que deberán definir
de unas universidades
en el
esas especialida-
a otras? ¿Podrán ser
muy generales abarcando
varias áreas, tipo «profesor/a
cas, ciencias y tecnología»,
o deberán ser específicas, tipo «profesor
matemáticas
para la secundaria superior»?
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
de matemátide
En toda
la reforma
universitaria
mas que la harían muy divertida portantes
actual hay muchos de estos enig-
si no fuera porque jugar con cosas im-
es poco serio. Da la impresión
actual huye de los conflictos
de que la política
educativa
como los gatos de las duchas frías, y qué
mejor manera de evitar los conflictos flictivas a otros. Con el pretexto
que traspasar las decisiones con-
de la autonomía,
el ministerio
se saca
de encima muchas patatas calientes que se las endosa a las universidades. Puede que así haya menos conflictos, vayan mejor. formación 1.
También disponemos
o competencias
pero no es seguro que las cosas
de unos objetivos generales de esa
que hay que lograr, son los siguientes:
Conocer los contenidos curriculares de las materias relativas a la especialización docente correspondiente, así como el cuerpo de conocimientos didácticos en torno a los procesos de enseñanza y aprendizaje respectivos. Para la formación profesional se incluirá el conocimiento de las respectivas profesiones.
2.
Planificar, desarrollar y evaluar el proceso de enseñanza y aprendizaje potenciando procesos educativos que faciliten la adquisición de las competencias propias de las respectivas enseñanzas, atendiendo al nivel y formación previa de los estudiantes así como la orientación de los mismos, tanto individualmente como en colaboración con otros docentes y profesionales del centro.
3.
Buscar, obtener, procesar y comunicar información (oral, impresa, audio visual, digital o multimedia), transformarla en conocimiento yaplicar/a en los procesos de enseñanza y aprendizaje en las materias propias de la especialización cursada.
4.
Concretar el currículo que se vaya a implantar en un centro docente participando en la planificación colectiva del mismo; desarrollar y aplicar metodologías didácticas tanto grupa les como personalizadas, adaptadas a la diversidad del alumna do.
5.
Diseñar y desarrollar espacios de aprendizaje con especial atención a la equidad, la educación emocional y en valores, la igualdad de de-
IDEA CLAVE
7
rechos y oportunidades
entre hombres y mujeres, la formación ciu-
dadana y el respeto de los derechos humanos que faciliten la vida en sociedad, la toma de decisiones y la construcción de un futuro sostenible. 6.
Adquirir estrategias para estimular el esfuerzo del alumno y promover su capacidad para aprender por sí mismo y con otros, y desarrollar habilidades de pensamiento y de decisión que faciliten la autonomía, la confianza e iníciativa personales.
7.
Conocer los procesos de interacción y comunicación en el aula, dominar destrezas y habilidades sociales necesariaspara fomentar el aprendizaje y la convivencia en el aula, y abordar problemas de disciplina y resolución de conflictos.
8.
Diseñar y realizar actividades formales y no formales que contribuyan a hacer del centro un lugar de participación y cultura en el entorno donde esté ubicado; desarrollar las funciones de tutoría y de orientación de los alumnos de manera colaborativa y coordinada; participar en la evaluación, investigación y la innovación de los procesos de enseñanza y aprendizaje.
9.
Conocer la normativa y organización institucional del sistema educativo
y modelos de mejora de la calidad con aplicación a los centros de enseñanza. 10. Conocer y analizar las características históricas de la profesión docente, su situación actual, perspectivas e interrelación con la realidad social de cada época. 11. Informar y asesorar a las familias acerca del proceso de enseñanza y aprendizaje y sobre la orientación personal, académica y profesional de sus hijos. (MEC, 2007)
Estos fines generales se desarrollan
siguiendo
una serie de módulos a
los que se asocian, a su vez, una serie de objetivos que son los que muestra el cuadro 3.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Cuadro 3
12-16
Conocer las características de los alumnos, sus contextos sociales y motivaciones. Comprender el desarrollo de la personalidad de estos alumnos y las posibles disfunciones que afectan al aprendizaje. Elaborar propuestas basadas en la adquisición de conocimientos, destrezas y aptitudes intelectuales y emocionales. Identificar y planificar la resolución de situaciones educativas que afectan a alumnos con diferentes capacidades y diferentes ritmos de aprendizaje. Conocer los procesos de interacción y comunicación en el aula y en el centro, abordar y resolver posibles problemas. Conocer la evolución histórica del sistema educativo en nuestro país. Conocer y aplicar recursos y estrategias de información, tutoría y orientación académica y profesional. Promover acciones de educación emocional, en valores y formación ciudadana. Participar en la definición del proyecto educativo y en las actividades generales del centro atendiendo a criterios de mejora de la calidad, atención a la diversidad, prevención de problemas de aprendizaje y convivencia. Relacionar la educación con el medio y comprender la función educadora de la familia y la comunidad, tanto en la adquisición de competencias y aprendizajes como en la educación en el respeto de los derechos y libertades, en la igualdad de derechos y oportunidades entre hombres y mujeres y en la igualdad de trato y no discriminación de las personas con discapacidad. Conocer la evolución histórica de la familia, sus diferentes tipos y la incidencia del contexto famiHaren la educación. Adquirir habilidades sociales en la relación y orientación familiar.
24-30
Conocer el valor formativo y cultural de las materias correspondientes a la especialización y los contenidos que se cursan en las respectivas enseñanzas. Conocer la historia y los desarrollos recientes de las materias y sus perspectivas para poder transmitir una visión dinámica de las mismas. Conocer contextos y situaciones en que se usan o aplican los diversos contenidos curriculares. En formación profesional, conocer la evolución del mundo laboral, la interacción entre
IDEA CLAVE
7
sociedad, trabajo y calidad de vida, así como la necesidad de adquirir la formación adecuada para la adaptación a los cambios y transformaciones que puedan requerir las profesiones. En el caso de la orientación psicopedagógica y profesional. conocer los procesos y recursos para la prevención de problemas de aprendizaje y convivencia, los procesos de evaluación y de orientación académica y profesional. Conocer los desarrollos teórico-prácticos de la enseñanza y el aprendizaje de las materias correspondientes. Transformar los currículos en programas de actividades y de trabajo. Adquirir criterios de selección y elaboración de materiales educativos. Fomentar un clima que facilite el aprendizaje y ponga en valor las aportaciones de los alumnos. Integrar la formación en comunicación audiovisual y multimedia en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Conocer estrategias y técnicas de evaluación y entender la evaluación como un instrumento de regulación y estimulo al esfuerzo. Conocer y aplicar propuestas docentes innovadoras en el ámbito de la especialización cursada. Analizar críticamente el desempeño de la docencia, de las buenas prácticas y de la orientación utilizando indicadores de calidad. Identificar los problemas relativos a la enseñanza y aprendizaje de las materias de la especialización y plantear alternativas y soluciones. Conocer y aplicar metodologias y técnicas básicas de investigación y evaluación educativas y ser capaz de diseñar y desarrollar proyectos de investigación, innovación y evaluación.
16-24
Adquirir experiencia en la planificación, la docencia y la evaluación de las materias correspondientes a la especialización. Acreditar un buen dominio de la expresión oral y escrita en la práctica docente. Dominar las destrezas y habilidades sociales necesarias para fomentar un clima que facilite etaprendizaje y la convivencia. Participar en las propuestas de mejora en los distintos ámbitos de actuación a partir de la reflexión basada en la práctica. Para la formación profesional, conocer la tipologia empresarial correspondiente a los sectores productivos y comprender los sistemas organizativos más comunes en las empresas. Respecto a la orienta-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
ción, ejercitarse en la evaluación psicopedagógica, el asesoramiento a otros profesionales de la educación, al alumnado ya las familias. Estascompetencias, junto con las propias del resto de materias, quedarán reflejadas en el Trabajo fin de Máster que compendia la formación adquirida a lo largo de todas las enseñanzas descritas.
Fuente: www.safil.infoldocumentoslmasterprof.pdf
Con estos mimbres se pueden hacer muchas cestas diferentes. rece indicar que en esto, como en casi toda esta reforma
Todo pa-
universitaria,
va a haber un amplio cauce para la autonomía y que, en consecuencia, van a coexistir
diversos modos de acceso a este postgrado.
puede haber muchas propuestas distintas que se organicen estas bases. En mi opinión
la política
universitaria
dazos y ahora estamos en la banda de la autonomía
Es decir que respetando
camina dando banextrema, como en
otras épocas hemos estado en la de la banda de su absoluta ausencia. Porque, y esto es relevante, esos títulos van a tener validez por lo menos en el territorio
español (deberíamos
esperar que también
en otros pa-
íses de la Unión Europea) y corremos el riesgo de que la competición entre universidades
no se centre en ver quién lo hace mejor, sino en
ver quién atrae a más estudiantes
y para ello pone condiciones
menos
exigentes.
Si la administración
pública no toma cartas en el asunto ni
abandona
la desidia y pasividad actual para pasar a ser un agente ac-
tivo que ponga controles y garantías en el acceso a la función
docente,
podemos estar ante un nuevo fraude. La autonomía
universitaria
a partir de estos previos es muy grande
y puede dar lugar a planes formativos
muy diferenciados,
y esto es una
realidad que debemos empezar a encarar con todas sus consecuencias. Pensar que la autonomía, entre instituciones
con la hipotética
formativas,
cia de las condiciones
competitividad
va a ser beneficiosa
que conlleva
con independen-
objetivas en las que ésta puede desarrollarse
es
IDEA CLAVE
7
una falacia. La autonomía para construir currículos sirve para poco si no se dan otras condiciones que confluyan de manera sinérgica con la libertad de acción, porque como todos sabemos el sistema educativo es precisamente un sistema, y en una estructura de este tipo no se puede alterar el valor de una variable y esperar que no cambie el conjunto del sistema. Entiendo que esta norma no prohíbe que las universidades promuevan convenios con los centros educativos, ni con la Administración que los gestiona, de cara a ir ensayando nuevas formas de formación más centradas en la práctica profesional, pero desde luego no lo promueve explícitamente y mucho me temo que no va a ser esa la mayor preocupación de las instituciones universitarias cuando haya que concretar este postgrado en cada una de las universidades. Sospecho que la preocupación más extendida será saber qué facultad o escuela se «quedará» con esetítulo y a quién le tocará impartir cada uno de los módulos que ese proyecto de norma enuncia. Y las que actúen asíy no establezcan el marco formativo que hemos pergeñado en líneas anteriores van a poder dar el mismo título que las que se preocupen en organizarlo. Si miramos la ausencia de prohibición, podemos estar contentos porque lo que no está prohibido se puede hacer. Depende ahora de que seamos capacesde hacerlo. Si miramos, en cambio, la ausencia de propuestas actualizadas, podemos estar preocupados porque lo que no es obligatorio no hay por qué hacerlo y muchos no lo harán.
El
fallo bá-
sico que observo en esta norma es que sólo se habla en ella de una de las tres patas fundamentales en la formación inicial de los docentes: la universidad, pero la norma se olvida de manera flagrante de las otras dos: los centros educativos y la Administración. Los centros educativos y la Administración no son solamente importantes en la formación continua de los docentes, sino que también lo son en la inicial y en el período de inducción. Formación inicial, período de inducción y formación
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
continua
son tres elementos
gidos por instituciones
que no pueden ir separados ni estar diri-
diferentes
que no mantienen
entre sí relaciones
estructurales con respecto a estas responsabilidades; porque la carrera profesional debe entenderse como un continuo que comienza en la formación inicial y se extiende a las posteriores, y porque desde dicha formación hay que poner los cimientos de ese camino, cimientos que no pueden ser establecidos solamente por una de las tres instituciones implicadas. Para que la autonomía
promueva buenos planes de formación
versidad de propuestas sea enriquecedora, terno al propio proceso formativo se vean premiados. nistración,
si la Admi-
que es la empresa que emplea a la mayoría de los docentes,
bien estructuradas,
que incorporan
la autonomía
sitiva y todos tenderemos extendido
empleadores
todo
por pruebas de acceso
generará una espiral competitiva
po-
a hacerlo lo mejor posible. Esdecir si tener un
por una universidad
ciertas condiciones,
no es suficiente
para ejercer y los
que el acceso a la función
y si éstas son razonablemente
irá por buen camino. universitaria
profesores a sus plantillas exi-
garantizados
se esfuerzan en garantizar
cente implique
acreditación
ex-
garantice que quienes mejor lo hagan
gen de éstos niveles de formación
gentes,
hace falta que alguien
Lo que quiero decir es fácil de entender:
y el resto de instituciones
título
y la di-
Pero si en cambio
doexi-
poseer una
permite el acceso directo a la función docente
sin ninguna garantía externa al proceso, como de lo que se tratará es de tener un título y no necesariamente
las competencias asociadas a él, que
por cierto nadie evaluará, la espiral competitiva versidades competirán
a ver quién da el mismo título en menos tiempo
y con menos exigencias. tualidad
será negativa y las uni-
Esta espiral negativa
ya se produce
en el caso del CAP; las universidades compiten,
en la ac-
y lo estudiantes
lo exigen, a ver quién da más por menos. Las que procuran el título con menos exigencias tendrán rimientos,
más éxito que las que lo dan con más reque-
es decir, a quienes trabajan
se les castiga y las consecuencias
de esta política son nefastas para la calidad de la formación.
IDEA CLAVE
7
Al estudiar qué sucede con esta cuestión en otros países europeos?, puede verse que, a pesar de que la situación es diversa, en muchos casos (como Francia y Alemania) tamente
para la función
ocupa de garantizar plea se incorporan
la titulación
y acreditación
Estado el que se
instituyendo
para ello los me-
necesarios. También en Inglaterra
estas competencias,
se realiza sobre la institución
igualmente
aunque el sistema de
que acredita o por medio de sis-
que los citados de Francia y Alemania,
garantizan
las competencias
similar en el panorama de la contratación paña y éste es el momento
de introducir
carando un proceso de reforma
requeridas.
pero que
No se atisba nada
de los futuros docentes en Escambios, cuando se está en-
de la formación
de los docentes. Si no
se lleva a cabo ahora, será difícil poder hacerlo en un futuro La conclusión que yo saco de estas reflexiones cierto y que todo va a depender agentes promotores
direc-
con las que las personas que em-
al sistema educativo,
existen formas de garantizar
temas más abiertos
no habilita
docente y que es el propio
las competencias
canismos de formación
control
universitaria
cercano.
es que el futuro
es in-
de la visión que sobre éste tengan
los
en estos procesos. De todas maneras y si se me per-
mite un desahogo, quisiera decir que los bandazos que se están dando en la política educativa
de este país son de traca valenciana.
Podemos
pasar de una política a su opuesta con un cambio de ministra cambie no ya el régimen
político,
bierno, que sigue funcionando educativo
desde un férreo
desde un autonomismo días y sin explicarlo.
sino ni tan siquiera
el propio
como si fuera igual gestionar
centralismo
hiperliberal
sin que
de tipo jacobino
go-
el sistema
que hacerlo
tipo Friedman, y todo eso en unos
Groucho Marx se encontraría
a gusto en este club
porque no lo aceptarían.
7. Estos datos forman
parte de un estudio
López Goñi, estamos realizando formación
de los docentes
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
que, bajo la dirección
de la doctora
para estudiar de manera comparada
de secundaria
en Europa.
Irene
las estrategias
de
Bien, siendo positivo que no optimista, apuntarme
me parece más interesante
a la idea de que esta norma no prohíbe que las universida-
des establezcan convenios con la Administración de invertir
y los centros con el fin
la lógica que se ha seguido hasta ahora en la formación
cial. Dictar teoría pedagógica, dad para a continuación supuestamente,
psicológica y sociológica
en la universi-
hacer unas prácticas descafeinadas
y digo supuestamente
suele ser así, se apliquen
que sabemos actualmente
en las que
porque todos sabemos que no
estos conocimientos
aplicar un modelo formativo
«en el aula» es volver a
ya fracasado además de obsoleto
sobre la formación
del profesorado.
por lo Es vol-
ver a la estrategia que ya ha fracasado en el CAP. Las competencias fesionales se desarrollan universidad,
resolviendo
problemas
pro-
y éstos no están en la
sino en los centros; en consecuencia,
nal que se desarrolla
ini-
la práctica profesio-
en los centros debe ser el núcleo de la formación
y no las teorías. Esto no quiere decir que se pueda ejercer la función docente sin preparación
teórica,
lo que quiere decir es que esa prepara-
ción debe surgir de la dialéctica
que nace cuando se debe reflexionar,
buscar pautas e indagar soluciones a los problemas sional plantea. saber profesional
que la vida profe-
Es decir que el camino de la construcción hay que comenzar a desarrollarlo
inicial, porque en caso contrario lle nunca. Los planteamientos inicial y la continua puedan ser diferentes
lo más probable
formativos
reflexiva
del
desde la formación es que no se desarro-
que deben regir la formación
deben ser los mismos, es una ilusión pensar que sin entrar en oposición.
Tal vez la nueva estructura
de los créditos
ECTS), un poco de imaginación
universitarios
y la colaboración
(créditos
de las instituciones
que deben liderar estos procesos lleguen a confluir y nos podamos valer de la falta de concreción
de la norma para plantear
ción más profesionalizadora.
un tipo de forma-
Veamos, los sesenta créditos que compo-
nen el postgrado suponen una carga de 60 x 25 = 1.500 horas de trabajo para los estudiantes,
esta horas incluyen tanto la parte presencial (asis-
IDEA CLAVE
7
tencia a clases, seminarios, presencial,
aquí podrían
reuniones
en la universidad ... ) como la no
estar las horas que deberían
diantes en los centros. No existe ninguna
pasar los estu-
norma legal que diga cómo
deben repartirse esas horas entre esas dos modalidades formativas y, por lo tanto, existe si así lo desean los que diseñen estos planes formativos amplio cauce a la discrecionalidad, ciente tiempo
de manera que se dispone de sufi-
como para que los diseños formativos
trarse en la reflexión
un
que quieran cen-
sobre la práctica basada en la experiencia
escolar
sean posibles. La idea básica sería la siguiente: juntar todas las horas no presenciales con las horas del módulo de prácticum para convertirlas
en
horas de prácticum real, y promover desde los módulos que hay que impartir un tipo de formación venio,
de manera
separadamente
centrada en la práctica en centros con con-
que el prácticum
no fuera
algo
que se hiciera
de los módulos, sino como parte de ellos. Unos sencillos
cálculos nos permiten
obtener,
siguiendo
esta propuesta y suponiendo
que se destinan veinte créditos al prácticum, el número de horas que de esta manera se podrían destinar a la parte práctica de la formación:
Prácticum 20 créditos: 20 x 25 = 500 horas.
Tiempo no presencial del resto de créditos: 40 x 15 = 600 horas (lo más habitual es pensar que del tiempo total del estudiante 1/3 debe ser presencial y 2/3 no presencial).
Si restamos de esas600 horas, 100 horas para entregas de trabajos, exámenes, redacción de informes, etc., nos quedarían 500 horas que sumadas a las otras 500 de las que dispone el prácticum
harían un total de 1.000 horas de
trabajo, que en jornadas de 8 horas son 125 días.
No está mal si se organiza nemos mucha imaginación entre los formadores
4
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
bien. Es absolutamente y tengamos
universitarios
una actitud
necesario que destide horizontalidad
y los tutores de la práctica en los cen-
tros. Imaginación
para crear nuevas propuestas de formación
la práctica y la reflexión guiada acerca de ésta constituyan ceso de formación,
y horizontalidad
anime a los formadores
para construir
tanto de la universidad
construir un ambiente de colaboración enriquecimiento y beneficio
docentes universitarios que acogerán
todos los que participan
una relación
que
como de las escuelas a y
crear un clima de colaboración
una cooperación
fructífera
encargados de la formación
a los estudiantes,
el eje del pro-
que sirva para el conocimiento
mutuos. Esfundamental
recíproco que permita
en las que
colaboración
en ella obtengan
entre los
inicial y los tutores
que debe permitir
que
beneficios para sus propias ca-
rreras docentes a la vez que deberían ser encargos recompensados. La administración participación ministración
pública tiene la llave de la despensa y es crucial su
en esta cuestión. Volvemos al triángulo y escuelas como el lugar geométrico
darse la formación
universidad,
Ad-
en el que tiene que
de los docentes.
El paso de la formación inicial a la vida profesional La diferencia
entre un egresado universitario,
de formación
incluyendo
su postgrado
como docente en el caso de los docentes de secundaria,
y la misma persona cinco años después de iniciar su labor docente desde el punto de vista de las competencias ese período
se va forjando
profesionales,
la personalidad
profesional
según se acomoda y respira la cultura profesional tarse. Este proceso está absolutamente circunstancias
desfavorables
realiza de manera totalmente
es,
abismal. En del docente
a la que debe adap-
descuidado y dejado al albur de
en la mayoría de los casos. Este proceso se autodidacta
y en él el factor más influ-
yente resulta la cultura escolar del centro o centros en los que se produce el citado favorables
proceso
de profesionalización.
al cambio y a la innovación,
Si estas culturas
son
lo que no sucede en la mayoría
de los casos, el docente novel podrá «aprender» su profesión de manera
IDEA CLAVE
7
¿ "15
totalmente
diferente,
hecho que no sucederá si la cultura escolar que
lo recibe es reacia a esta manera de hacer. Éstas son cosas conocidas desde hace años, Marcelo (1994) y otros autores han señalado esta realidad con un gran aporte de pruebas y con una argumentación
difícil de rebatir.
Los primeros pasos en la función
docente son decisivos para determinar
la dirección en la que trabajarán
los futuros
profesores. Por lo tanto, la puesta en marcha de programas
que diseñen, desarrollen ción profesional, universitario
en un medio educativo
profesionales
según se enfrenta
mas que la práctica le plantea, para mejorar las competencias temáticas.
procesos de induc-
es decir los procesos por medio de los cuales un titulado
se integra
competencias
y evalúen los denominados
y va construyendo
sus
y «resuelve» los proble-
es el único camino realista y eficiente de los docentes que deben enseñar ma-
Cabe señalar, además, la urgencia de poner en marcha este
tipo de programas a incorporarse
por la masiva afluencia de nuevos docentes que van
en los próximos años al sistema educativo.
La puesta en marcha de estos programas exige que el triángulo mado por escuela, Administración
for-
y universidad funcione al unísono, bien
coordinado y con objetivos compartidos y comunes. Por desgracia esta relación y coordinación
es más un deseo que una realidad. La realidad es
que estas tres instituciones
trabajan,
vazada, sin nexos institucionales comunes.
en esta cuestión, de manera desla-
claros y sin objetivos compartidos.
Y, en
estas circunstancias es muy difícil avanzar hacia los tipos de programas formativos
que estamos proponiendo.
ría basar la estructura formativa. fuera equilátero
Desde luego lo mejor es que el triángulo
de un egresado al sistema educativo
en la mayoría de los casos mediante Lo más habitual
ten a las listas que habilita aportar
en el que se debe-
y no escaleno, que según acabo de leer, significa cojo.
La incorporación
profesional.
Esel triángulo
los títulos
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
un programa
no se realiza
de iniciación a la vida
es que los aspirantes a docentes se apunla Administración
universitarios
sin otra condición
que
prescritos, en algunos casos que per-
sonalmente
he podido comprobar
tarse a estas listas de sustitución. dos y comienzan es el principal,
se llega a no exigir el CAP para apunCuando hay una vacante son requeri-
a dar clases sin otro requisito.
La Administración,
por no decir único, empleador,
no impone
quisito que no sea el aval de las citadas titulaciones entrar en un aula y comenzar es cuando
•
ningún
universitarias
repara
a enseñar. Sólo bastantes años después
la Administración
se ocupa
cuando se presentan a la oposición. •
que
de «examinarlos»,
es decir
No podemos dejar de señalar que:
La superación
de la oposición
poco tiene que ver con el logro de las
competencias
necesarias para desempeñar
la función
docente.
Llega ya muy tarde porque puede darse el caso, y de hecho se da, de profesores que pasen muchos años ejerciendo
la labor docente antes
de presentarse a una oposición.
Por lo tanto,
puede afirmarse
de los egresados aterrizaje
responsablemente
universitarios
de emergencia
dan el peor horario,
que la incorporación
al sistema educativo
sin tren de aterrizaje.
se asemeja a un
Llegan, los saludan, les
los grupos más difíciles y adelante.
Lo peor de todo es que este tipo de fallo estructural ción de los docentes ya está denunciado
hace tiempo y hay que indicar
al respecto que diversos autores, como Marcelo con gran acierto
la importancia
para la formación
profesional
en la forma-
de este período
(1994), han señalado como determinante
de los nuevos docentes. También
sabe-
En muchos países
mos que en muchos países se trata de manera especial a los «nuevos»
se trata de manera especial a los
o «noveles» y que existen planes especiales para su incorporación
y
tema educativo
o programas
profesores
existen planes
para lo que los anglosajones
induction period-. Lo sabemos, pero en nuestro medio edu-
cativo apenas hay iniciativas en este sentido. La universidad nistración,
<
-año o años de prácticas con horario especial y tutori-
zación (Francia y Alemania), denominan
al sis-
que son las instituciones
esta cuestión,
llamadas a tomar
y la Admi-
el liderazgo
están ocupadas en asuntos más importantes
en
y siempre
IDEA CLAVE
7
dejan para mañana las cuestiones menores. Pasa el tiempo y todo sigue igual, los gobiernos y los equipos rectorales cambian y cuando llegan los nuevos siempre hay problemas
más acuciantes que resolver.
Además, existe una clara dejación de la Administración
de responsabilidades
por parte
al no realizar ningún tipo de control sobre los do-
centes que incorpora al sistema educativo. ¿Se imagina alguien que una empresa incorporase
a profesionales
en el que se apuntasen
de nivel medio o alto en el orden
a la lista de empleo, simplemente
por traer un
título? Pues siempre hay un lugar para la sorpresa en el mundo, porque eso es precisamente de profesionales
lo que hace la Administración
con los docentes. Lo
de grado medio o alto no lo digo yo, lo dicen todas las
proclamas oficiales que aseguran de manera rimbombante
que el fu-
turo del país está en la educación y luego la dejan en las manos de quienes emplean sin ningún filtro El paso de la formación
ni control
propio.
inicial al desempeño
como docentes está totalmente
descuidado.
de la vida profesional
Esta carencia es una de las
causas de muchos de los problemas que se dan en el sistema educativo. Por una parte, la incorporación parte de la Administración, garantiza
se hace sin las debidas garantías
que emplea a personas cuya idoneidad
y, por otra parte, el aterrizaje
en el puesto de trabajo
por no
es pe-
noso. Penoso es, desde luego, una manera delicada para adjetivar
un
inicio de vida profesional
en
malas condiciones
que se hace sin ayuda y, normalmente,
«ambientales»,
es decir de manera precaria (contra-
tos de sustitución)
y con los horarios
tiempo
las triquiñuelas
y conocen
vemos todos, lo que falta es voluntad
y grupos que quienes ya llevan
del sistema no quieren.
Verlo,
lo
para cambiarlo.
la formación continua de los docentes de matemáticas Cuando hablamos de formación destinada
8
continua
nos referimos
a los docentes que ya están en ejercicio.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
a la formación
En esta misma co-
lección se ha publicado mación permanente
recientemente
del profesorado
en esta cuestión (Imbernón, Me limitaré,
un libro que versa sobre la fory esto me excusa de extenderme
2007).
por lo tanto,
a cuestiones que atañen más específica-
mente a los docentes de matemáticas y, sobre todo, a los de secundaria. En las últimas
décadas las administraciones
públicas
mucho dinero y recursos a este tipo de formación. tantes comunidades
autónomas
han destinado
De hecho, en bas-
existe una red de formación
diversos nombres según la comunidad
autónoma
que toma
correspondiente
(CAP,
CEP... ) y que está separada y, la mayoría de las veces, incomunicada la universidad, ción continua
una de cuyas funciones
más importantes
es la forma-
de los docentes. La LOGSE y los años noventa
marcaron,
sin duda, un hito en esta cuestión con planes masivos de formación neralista
(pedagógica)
humanos
de todo
en los que se invirtió
tipo.
Si analizamos
los cambios de las prácticas educativas formación, bernón
relacionando
con los recursos invertidos
Creo que es un título
en
En el libro de Im-
que se titula que sintetiza
«Mucha perfec-
lo que quiero decir sobre esta cuestión.
Con relación a la formación
continua
ticas creo que existen, seguramente rales que me gustaría comentar. por medio de la formación
a desarrollar
das básicamente
El primero proviene de querer corregir
continua
competencias
en la formación
nados a mejorar competencias
de los profesores de matemá-
entre otros, cuatro fallos estructu-
los fallos de la formación
Muchos de los cursos que se programan tienden
este esfuerzo
es más bien decepcionante.
poco cambio».
ge-
mucho dinero y recursos
(2007) que he citado existe un capítulo
formación, tamente
el resultado
de
inicial.
para los docentes en ejercicio
que deberían
haber sido asegura-
inicial, por ejemplo,
aquellos desti-
linguísticas, de uso de la tecnología,
la programación,
etc. Es preferible
inicial a trabajar
lo que podríamos
de
dedicar más tiempo en la formación denominar
competencias instru-
mentales que hacerlo en el momento en que lo que se exige es entreIDEA CLAVE
7
9
namiento en la práctica (formación continua). Estetipo de competencias deberían estar aseguradas básicamente en la formación inicial y tendrían que dejar de ocupar un lugar central en la formación continua de los docentes; porque hacerlo en la etapa inicial asegura la existencia de lenguajes y pautas comunes para todos los docentes, algo que es muy difícil de conseguir en el período de la formación continua, que siempre es por su propia estructura más fraccionada. Siempre será necesario completar la formación inicial en estas competencias básicas, pero lo fundamental debería estar asegurado por la formación inicial porque en caso contrario se tiene una sensación de estar comenzando siempre y de no salir jamás de los previos imprescindibles para poder empezar a desempeñar la función docente de manera responsable y profesional. Esmuy difícil, costoso y desafortunado querer corregir los fallos de la formación inicial en la formación continua. El segundo fallo estructural es que existe un despiste muy grande con relación a la función de los docentes y, en consecuencia, con la formación que necesitan para la gestión del currículo del área. No sabemos si realmente esperamos que los docentes sean agentes activos en la concreción final del currículo, ni qué quiere decir exactamente esto en términos de formación y tiempo destinado a estas tareas, o si nos conformamos con que sean consumidores inteligentes de propuestas curriculares ya construidas o si aceptamos que sigan de manera acrítica y lineal/os libros de texto. Éstaes una cuestión capital en la formación de los docentes de matemáticas y me esforzaré en decir por qué no es lo mismo capacitar a un docente para que desarrolle una competencia didáctica que hacerlo para que desarrolle una competencia curricular. En el primero de los casosel docente no tiene responsabilidad directa ni sobre los fines de la enseñanza ni sobre los contenidos que hay que impartir, su responsabilidad profesional se limita a saber enseñar lo que otros han decidido que enseñe. En el segundo caso sí la tiene, de eso se trata precisamente la competencia para gestionar el currículo,
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
es decir debe estar preparado componentes
para tomar
decisiones sobre todos los
del currículo y, como esto no puede hacerse sin constric-
ciones previas, debe saber cuáles son éstas y qué nivel de decisión y preparación ha de asumir. ¿Pueden los docentes de secundaria, por poner un ejemplo, cuestionar
el programa
que imparten?
Si escuchamos a los
profesores de estos niveles, dirán que no. Si leemos los textos oficiales que definen
el currículo,
ten esas variaciones,
hay que decir que sí, no solamente
sino que además se aconsejan.
se permi-
¿Por qué se dan
estas contradicciones? La LOGSE, en teoría, liberó a los docentes de la obligación un programa
cerrado y definido
por la Administración.
de seguir
Sin embargo,
el
control social, como ya hemos explicado hasta la saciedad en este libro, y la inercia les impiden actuar con esa libertad. enfrentan
al mismo embudo
que es la evaluación
si se une esa realidad a la comodidad mos porque
nadie nos empuja decididamente
prácticamente
de la selectividad
de seguir haciendo
tuación es la que tenemos hoy en día: libertad programas
Porque al final todos se y,
lo que hacía-
a hacer otra cosa, la side currículo en teoría y
iguales en todos los centros. Ésta es una de
las paradojas más curiosas de la enseñanza de las matemáticas veles de secundaria y bachillerato
en los ni-
y donde mejor se ve la ley de hierro
que supone el control social. Por lo tanto,
si prácticamente
en todos los centros se dan los mis-
mos temas y los fines a los que se encamina la enseñanza son idénticos, ¿para qué queremos formar docentes en la compleja tarea de gestionar el currículo, tal y como se ha dicho y repetido
desde las directrices ofi-
ciales? Si ésa es la realidad y no somos capaces de cambiarla o no lo son quienes tienen señar a construir
la llave de la puerta, ¿para qué invertir currículo
volver a la tradición la metodología
tiempo
en en-
a quienes nunca van a hacerlo? ¿Debemos
didáctica y centrar la formación
de los docentes en
de enseñanza tal y como se ha hecho durante
o debemos insistir en considerar al docente como un profesional
décadas con un
IDEA CLAVE
7
nivel de autonomía
suficiente
como para tomar
decisiones curricula-
res? No lo sé, pero lo que sí creo saber es que no han servido de mucho las respuestas excesivamente disponible
en tiempos,
de los docentes
optimistas
que han obviado
las motivaciones
la dedicación
y las competencias
que en teoría deberían
de partida
dedicarse a estas cuestiones,
pero que en la práctica no lo hacían porque no podían, no querían o no sabían hacerlo. Muchas de esas respuestas no han tenido condiciones
reales en las que trabajan
en cuenta las
los docentes, así como tampoco
su preparación
previa y su disposición
No es suficiente
con decir que algo sería deseable si no se dan ni se pro-
porcionan
las condiciones
a ocuparse de estas cuestiones.
para que el desarrollo
de lo que deseamos
sea posible. Ésta es una cuestión no resuelta que está lastrando, opinión,
muchos de los esfuerzos destinados
a la formación
centes, porque al no tener claros los fines formativos rias direcciones
en mi
de los do-
o al apuntar en va-
a la vez se dispersan los esfuerzos, se va y se viene y
todo esto genera confusión en un cuerpo docente ya cansado y un poco mareado.
Sin aclarar cuál es la función
del currículo,
es muy difícil organizar
de los docentes en la gestión
bien su formación.
El tercero de los errores proviene de no unir formación una manera clara y efectiva,
y de considerar
y práctica de
la formación
como algo
previo a la acción con la idea, intencionada
o no, de diferirla.
se han elaborado
en los centros, pero no me
programas
de formación
refiero a eso, sino a que la mayor parte de la formación lada a proyectos
Ya sé que
no está vincu-
de acción, sino que se considera como una cuestión
previa que se estira en el tiempo
de manera indefinida,
nemos sectores del profesorado
en formación
con lo que te-
continuada
o perma-
nente a la vez que sus prácticas permanecen
inalteradas.
tiempo,
sobre las competencias
a la salida de una charla informativa
clave de la LOE, una profesora muy interesante!, petencias».
ahora nos tendrán
Esa mentalidad
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATlCA
con la que me encontré
Hace poco
me dijo: «iAh,
que formar sobre esto de las com-
es la que hemos fomentado
y ahora nos
vuelve a golpear como un bumerán. Ya tenemos por delante unos años de formación
en «eso de las competencias»
porque
«¿cómo quieren
que hagamos cosas para las que nos estamos formados?». ción es algo previo y desligado que nos «tienen
La forma-
de la acción de mejora o cambio, algo
que dar» y no «algo que vamos a lograr» ni algo ne-
cesario para ese proceso de mejora o cambio. Creo que se despilfarran los recursos en formación
y, si juzgamos
la bondad de este esfuerzo por
las mejoras que se dan y los cambios que se inducen, el resultado despierta
no
muchas ilusiones.
Habría que distinguir formativos.
Es evidente
tuaciones y contextos
con nitidez
que hay que informar
de los
a los docentes de las si-
en los que deben moverse y de las normas lega-
les y consejos pedagógicos
en los que deben situarse. Pero pensar que
a base de sesiones informativas la práctica educativa
los esfuerzos informativos
vamos a inducir mejoras y cambios en
es un espejismo. La formación
debe incidir en la
mejora y cambio de las prácticas escolares, de lo que «se hace en el aula», y no puede quedarse siempre a las puertas de ese recinto. La formación de los docentes,
la que puede permitir
petencias profesionales,
no puede estar separada de los proyectos que
en esa dirección
se organicen.
La formación
algo externo a ella. Llevamos ya demasiado
la mejora de sus com-
es parte de la acción y no tiempo
con las cuestiones
previas necesarias para la acción y esta actitud de dejar para mañana lo que podemos hacer hoy hace inútil
por recurrentes
bemos potenciar
que sea necesaria para la mejora
toda la formación
los esfuerzos. De-
de la acción, pero sólo la que esté unida a dicha mejora. Ya sé que ese nivel es difícil de equilibrar
y que es solamente
una forma de decirlo,
pero lo que sí está claro es que desligar la formación supeditarla
es la mejor forma de convertir
dependientes tónomos,
de la acción y no
a los docentes en personas
de los expertos que dan cursos y en profesionales
es decir en docentes que no desarrollarían
nera independiente
y tampoco mejorarían
su trabajo
ni aprenderían
no aude ma-
según fuesen
IDEA CLAVE
7
desempeñando su labor. Formación y acción educativa deberían ser el haz y el envés de la misma hoja. El cuarto de los errores es, en mi opinión, no distinguir con claridad procesos de mejora (calidad) y procesos de cambio (innovación).
No es
lo mismo formar para hacer mejor lo que ya hacemos que formar para cambiar lo que hacemos. Durante esta última década los centros educativos han hecho un esfuerzo real y estimable, en muchos casos, para mejorar los procesos que aseguran su funcionamiento
diario. La cali-
dad como horizonte ha estado en el punto de mira de las administraciones públicas, que han invertido abundantes recursos económicos para potenciar esta estrategia de mejora de los centros. Muchos de estos esfuerzos han estado liderados por personas e instituciones relativamente ajenas, en su desempeño profesional, al mundo de la educación, y esto se nota en una cierta preponderancia de las cuestiones relacionadas con la gestión de los centros, en oposición a las pedagógicas. De todas maneras, no es mi intención en este momento hacer una crítica de los presupuestos tecnocráticos en los que se ha basado este movimiento, sino mostrar que, a veces sin damos cuenta, esta visión que prima hacer bien las cosas, propósito que en principio nadie puede despreciar, nos impide ver que la situación actual pide cambios e innovación y no solamente calidad. La calidad se basa en el uso de procedimientos, porque la mayoría de las estrategias para la mejora de los procesos se basa en la utilización de protocolos de actuación que los organizan, ordenan y estructuran en pasosque se pueden seguir, controlar y verificar. Por lo tanto, en este tipo de estrategia la formación debe centrarse, fundamentalmente, en el desarrollo de herramientas de tipo procedimental y en el entrenamiento
para su uso. No es una cuestión menor porque la in-
existencia de protocolos bien establecidos y comunes a los docentes que colaboran en la misma institución dificulta mucho la comunicación y la posterior toma de decisiones que son las que pueden promover
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
mejoras. Porque, aunque en sí no sea innovador,
resulta evidente
es mejor hacer bien lo que se realiza que hacerlo de cualquier perdiendo funcionar
inútilmente
que
manera
fuerzas y energías en cuestiones que deberían
como un mecanismo
bien engrasado.
lado esta cuestión despreciándola
como parte de un pasado tecnocrá-
tico ya superado, si los profesionales este campo, enseguida
de la educación
será rellenado.
parte de los procesos de formación en manos de profesionales
No se puede dejar de
nos retiramos
de
De hecho ya sucede así y gran
unidos a procesos de calidad están
que no provienen
del mundo de la educa-
ción. Pero si sólo hacemos «calidad», si sólo nos dedicamos a hacer bien lo que se supone que hacíamos regular, no solamente novando,
sino que probablemente
reforzaremos
no estaremos in-
formas de hacer que
desearíamos cambiar. Por esta razón, calidad es una cosa e innovación otra y las condiciones
para que se pueda desarrollar
una u otra estra-
tegia son bien diferentes. La innovación
busca cambiar
lo que hacemos proponiendo
maneras de hacerlo. Tanto su desarrollo
como la formación
nuevas
de las per-
sonas que deben llevar a cabo este proceso es distinta y se basa en principios diferentes;
porque
la innovación
que se consideran
problemáticas,
las, sino con la de sustituirlas
implica identificar
situaciones
pero no con la intención
de mejorar-
por otras. Los cambios tecnológicos
son
claros ejemplos de lo que quiero decir: la fotografía
digital
mejora de la fotografía
radical porque es
un modo diferente
que cambia todo
imágenes y la industria tipo de formación
del carrete, es una innovación
contempla
el proceso de obtención
que está a su servicio. La innovación
más basada en las estrategias
blemas y en la búsqueda en el momento
no es una
de alternativas
exige otro
de resolución
a la situación
de las
de pro-
tal y como se
previo a la innovación.
Pero, en todo caso, la formación
no puede ni debe ser algo previo a
la acción, sino más bien una parte de ella. Debemos partir de la idea de que todos podemos mejorar lo que tenemos o innovar hacia otras for-
IDEA CLAVE
7
mas de hacer las cosas con lo que ya sabemos, porque para comenzar disponemos
de los previos necesarios. Una vez que hemos identificado
qué queremos
mejorar o cambiar, si necesitamos formación,
ésta será
la que sea necesaria en el propio proceso de mejora o cambio y no algo previo a su inicio. No tiene mucho sentido dar formación profesionales
con independencia
generalista
a
de los proyectos de mejora o cambio
en los que estén inmersos; porque la capacidad para innovar se fragua resolviendo
problemas.
blemas y actuando
Esta pericia sólo se logra tratando
en las vías que nos llevan a su solución. En la actua-
lidad pasamos tanto tiempo nos disponemos
preparándonos
a actuar la situación
para la acción que cuando
se ha modificado
que hay que comenzar de nuevo a preparamos La formación
con los pro-
continua
de cursos generalistas
de tal manera
para la nueva situación.
de los docentes de matemáticas
debería huir
en los que docentes que no comparten
nes reales que pueden mejorar o cambiar trabajan
situacio-
sobre cuestiones ge-
nerales de la educación, para centrarse en atender a aquellos grupos de docentes que de manera cooperativa jora o innovación. que disponen
por procesos de me-
Los recursos tanto materiales como personales de los
las instituciones
centes deberían
se decanten
dar prioridad
encargadas
de la formación
a este tipo de formación
restantes. Téngase en cuenta que el trabajo para hacer frente a los problemas
de los do-
relegando
en equipo de los docentes
educativos es una característica
manera de ser de éstos, forma de ser que invalida duales por muy intensos y meritorios
las
de la
los esfuerzos indivi-
que parezcan ser.
En resumen El factor humano sos educativos. fesorado
es clave en cualquier
Resultará inútil
bien formado
situación y mucho más cuando se trata de proce-
cualquier
y motivado.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
intento
La educación
de mejora que no se base en un proes una cuestión entre humanos y las
personas responsables de liderar este proceso son los docentes. Pretender señanza de las matemáticas bado el grado
sin analizar
universitario,
mejorar
la en-
los procesos que llevan a un joven, recién aca-
a convertirse
en docente
es un sinsentido
condenado
al
fracaso. Bien, pero estas consideraciones
que parecen ser puro sentido común chocan con tra-
diciones, rutinas, inercias e intereses que retrasan sine díe y obstaculizan las reformas necesarias en la formación universitaria
se están abordando
del profesorado.
la realización
En estos momentos
nuevos planes de formación
de
de reforma
para los docentes de las dis-
tintas etapas educativas, y entre esas reformas la que más atañe a los próximos docentes de matemáticas fesorado
es la que se corresponde
de secundaria,
mular los objetivos condiciones
bachillerato
y formación
que hay conseguir
y cooperación
garantizadora
de formación
postgrado
no están bien resueltas y que provienen
comentada
que debería ser complementado
fesionales en el sistema educativo.
las
Existen
de la escasa copúblicas. Por
abre un campo
con una postura más
por parte del Estado, que al fin y al cabo es el responsable
tencia docente de las personas que contrata
for-
a la vez que regulan
de cómo debe ser el curriculo.
que se observa en la propuesta
de las universidades
del pro-
Estos planes intentan
existente entre la universidad y las administraciones
un lado, la escasa regulación a la iniciativa
postgrado
profesional.
en el citado
de ingreso y dan algunas indicaciones
dos cuestiones que en mi opinión ordinación
con el futuro
de la compe-
y paga para que cumplan su labor como pro-
Esas garantías no han aparecido
por el momento
y no
hay visos de que así vaya a ser, aunque sorpresas más grandes ya ha habido. Por otra parte, el desarrollo
de un currículo
por competencias
les que estén capacitados
para suscitar su desarrollo,
asunto de las competencias
docentes y su adquisición.
exige unos profesiona-
y pone a su vez en la palestra He utilizado
la metáfora
tales para dar cuenta de esta situación y de los desajustes que se producen entiende arrollo
la formación
profesional.
formación
de los frac-
cuando no se
de los docentes como algo unido a la propia práctica de su descomo algo previo lleva a la larga a la formación
para la
y a entrar en una espiral de cursos que aplaza la acción y el compromiso
de me-
jora sin horizonte distinguiendo vindicar
el
La formación
conocido.
Defiendo
en el texto la necesidad de unir formación
y acción
las acciones que buscan la calidad de las que buscan la innovación,
para re-
que ambas se hagan desde parámetros
educativos,
aunque
los fines de unas y
IDEA CLAVE
7
otras sean distintos. esté supeditada
En todo caso necesitamos la formación
a la lógica de ésta.
Ésta es la última ciendo que el futuro
idea y constituye
trabajar
del desarrollo
es una actividad
digna, porque bien ejercida es una palanca poderosa para
como toda actividad
individual
solidaria, libre y abierta. La enseñanza de
humana y bastante más que algunas otras, es una
política en el sentido más profundo
la relación entre el bienestar
como no puede ser de otra ma-
de nuestra sociedad y que la enseñanza de las
por una sociedad más justa, equitativa,
las matemáticas, actividad
las últimas líneas de este libro. Quisiera acabar di-
de la enseñanza de las matemáticas,
nera, está unido al futuro matemáticas
necesaria para la acción y que
de este término,
y el colectivo.
el de la preocupación
Bien, estamos en un momento
cambio y debemos avanzar sin miedo hacia los nuevos tiempos,
por de
porque enseñar mate-
máticas sigue siendo una necesidad social y la condición del bienestar social de la gran mayoría de nuestros conciudadanos.
EL DESARROLLO
DE
LA COMPETENCIA
MATEMATICA
•
La mejor inversión
la que puede hacerse para mejorar competencia
la
docente del profesorado
de matemáticas.
ble del profesor
que tiene
e indescifrable
próximo
para acercar-
y la carrera profe-
sional propiamente
dicha, son impor-
La formación
los proyectos
continua
de los profeso-
debe estar unida a
de mejora e innovación
y debe complementarse
más
tareas y ayu-
a la labor docente
res de matemáticas
tencias profesionales
que hace crecer a sus estu-
diantes proponiéndoles
•
•
un saber
nos a las posturas de un docente
el inicio
tantes y deberían estar bien enlazadas.
Conviene que nos ale-
jemos de la posición distante e inaccesi-
extraño
fases, la inicial preprofesional,
y la más eficaz es
•
con compe-
docentes.
Los profesores de matemáticas
pueden
dándoles en su desarrollo.
incidir
La carrera docente es una carrera pro-
estudiantes
fesional
que hay que desarrollar
son una de las creaciones más impor-
lo largo
de toda
la vida.
a
Todas sus
mucho en la educación porque
de sus
las matemáticas
tantes de la cultura humana.
IDEA CLAVE
7
BOLADO, G. (2001): «Del Ministerio de Instrucción Pública y Bellas Artes a la Cartera de Educación, Cultura y Deporte: 100 Ministros para un centenario». Revista de educación,
324, pp. 113-142. (Ejemplar dedicado a: «la sociología de la educación.
Balance y perspectivas»). Esun documento editado por el Ministerio de Educación y Ciencia con motivo de la conmemoración de los 100 años de dicho ministerio. Resulta interesante su enfoque porque ayuda a conocer y comprender los avatares por los que el sistema educativo español ha pasado a lo largo de todo el siglo xx. BOYER.C.B. (1986): Historia de la matemática.
Madrid. Alianza Editorial.
Esun libro clásico de historia de las matemáticas, en el cual se repasa toda la historia de dicha disciplina desde sus orígenes babilónicos, griegos y romanos. Considero que para los no especialistas es más bien un libro de consulta que no de lectura, dada la extensión y profundidad de sus explicaciones. GALllEO, G. (1623): 1/Saggiatore.
(Trad. cast.: El ensayador. Madrid. Sarpe, 1984.)
Es un texto clásico en el que Galileo expone sus teorías sobre la cinemática, que como se sabe fue el gran aporte de Galileo a la ciencia. Esun texto clásico y famoso, entre otras cosas, por contener la archiconocida cita sobre la relación entre la
I
ciencia experimental y las matemáticas. Esun libro para especialistas en ciencias o I estudiosos de la filosofía de las ciencias.
IFRAH,G. (1997): Historia universal de las cifras. Madrid. Espasa. Esun libro muy interesante, en el cual el autor repasa la historia de los sistemas de numeración utilizados en las diversas culturas a lo largo de toda la historia de la humanidad. Es un libro que conviene consultar cuando se desee información de este tipo porque la que contiene es abundante, clara y acompañada de muchas ilustraciones muy interesantes.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
NEGROPONTE, N. (1999): El mundo En este libro, el autor reflexiona tienen
los cambios producidos
claro y directo previsiblemente
donde
derivados de la digitalización
sobre las consecuencias que para el orden social por la digitalización
el autor
se producirán
digital. Barcelona. Ediciones B.
de la información.
explica con rotundidad en la sociedad debido
Es un libro
las transformaciones
que
a los cambios tecnológicos
de la información.
PARA SABER MAs
Visión del currículo que prima los contenidos de las áreas cu-
ACADEMIClSMO
rriculares sobre cualquier otra referencia a la hora de organizar el currículo.
Trabajo que realiza el estudiante, normalmente a petición de
ACTIVIDAD
un docente, como parte del proceso de aprendizaje.
Capacidad de usar conocimiento en un contexto para hacer
COMPETENCIA
frente a situaciones problemáticas utilizando la tecnología más adecuada en cada caso.
COMPETENCIA O BÁSICA
CLAVE
Competencia que hay que desarrollar como parte de cualquier estudio que se realice en los diferentes currículos que cursa una persona en su formación a lo largo de toda su vida.
COMPETENCIA
Capacidad de usar el conocimiento matemático en los contextos
MATEMÁTICA
apropiados para hacer frente a situaciones problemáticas utilizando la tecnología más adecuada en cada caso
COMUNICACiÓN
Intercambio de información entre interlocutores que asignan sentido a las interacciones que forman parte de dicha comunicación.
CONOCIMIENTO
Elaboración de la información que se concreta normalmente en pautas o esquemas de acción.
CONTEXTO
Lugar o ámbito de aplicación del conocimiento, así podemos hablar de un contexto familiar, social, profesional. etc.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATICA
CRÉDITOS
ECTS
Sistema de medición
de créditos para la homologación
estudios universitarios
en el Espacio Europeo de Educación Su-
perior. El crédito ECTSsupone entre veinticinco de carga de trabajo
de los
y treinta
horas
para los estudiantes.
CRITERIO
Norma que se aplica para valorar
DE EVALUACiÓN
de una respuesta en una tarea.
EVIDENCIA
Aporte material del logro de algo. En el caso de evidencias aso-
la calidad de la producción
ciadas a los procesos de aprendizaje,
aporte
material
que
prueba el logro de ese aprendizaje.
GRADO
UNIVERSITARIO
Primer ciclo de los estudios universitarios
en el marco del Es-
pacio Europeo de Educación Superior. En España la mayoría de los grados suponen superar 240 créditos ECTS,subdivididos
INFORMACiÓN
en cuatro años de estudios.
Inputs de todo tipo que recibe el sistema nervioso y que sirven de base para la elaboración
PISA
Programme
for International
grama de evaluación busca evaluar
del conocimiento.
Student Assessment (PISA). Pro-
internacionalliderado
las competencias
(lengua, matemáticas,
por la OCDE que
en diversas áreas temáticas
ciencias ... ) a la edad de quince años en
los países de la OCDE.
PSICOLOGICISMO
Exceso que se produce aprendizaje
al observar el proceso de enseñanza-
casi exclusivamente
desde una óptica psicológica,
dejando de lado otras consideraciones (científicas, pedagógicas, sociológicas ... ) que son necesarias para una visión equilibrada.
GLOSARIO
Labor que propone, normalmente un docente a un estudiante, dentro del contexto de un proceso de enseñanza.
Esquema de tres componentes COMUNICATIVO
tarea/
actividad) que se utiliza para analizar las propuestas de enseñanza-aprendizaje.
234
(docente, estudiante,
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Referencias bi bl iog ráficas ASCHER, C. (1990): ERle Clearinghouse
on Urban Education.
New York. ED327612.
AUSTER, P. (1997): La ciudad de cristal. Barcelona. Anagrama. BAROJA, P. (1967): El árbol de la ciencia. Madrid. Alianza. CARR, W. (1995): Una teoría para la educación.
Madrid.
Morata.
COETZEE, J.M. (2006): Vida y época de Michael K. Barcelona. Mondadori. CORBALÁN, F. (1991): Prensa, matemáticas
y enseñanza. Zaragoza. Mira Editores.
FERNÁNDEZ, A.; RICO, L. (1992): Prensa y educación
matemática.
GALlLEO, G. (1623): 11Saggiatore.
2005.
Roma. Antenore,
GOODSON, I.F. (1995): Historia del currículum. escolares. Barcelona.
La construcción
Madrid.
Síntesis.
social de las disciplinas
Pomares-Corredor.
HABERMAS, J. (1981): Teoría de la acción comunicativa IMBERNÓN, F. (2007): 10 ideas clave para la formación
l. Madrid. Taurus.
del profesorado.
Barcelona. Graó.
y destrezas
INCE (2004): Marcos teóricos de PISA 2003: la medida de los conocimientos en matemáticas, Educación
lectura, ciencias y resolución
y Ciencia,
Instituto
Nacional
de problemas.
de Evaluación
Madrid.
Ministerio
y Calidad
del
de
Sistema
Educativo.
. IRIZO,
c.; LÓPEZ, J. (1992): De las matemáticas a la prensa. Barcelona. Octaedro.
JOVELLANOS, G.M. (1984-1994): Obras completas. MANDELBROT,
B. (1988): Los objetos
fractales
Oviedo. Universidad
de Oviedo.
azar y dimensión.
Barcelona.
para el cambio educativo.
Barcelona.
forma,
Tusquets. MARCELO, C. (1994): Formación
del profesorado
PPU. MEC (2006): Propuesta
de directrices para la elaboración
grado y máster, 21 de diciembre.
Madrid.
de títulos
universitarios
de
MEC.
cu me ntos/fi Ies/d irectrices-2006. pdf>. MEC (2007): Orden ECI/3858/2007, de 27 de diciembre quisitos para la verificación ejercicio de las profesiones nal
de los títulos de profesor
por lo que se establecen los re-
universitarios
oficiales
de ESO y bachillerato,
que habiliten
formación
el
profesio-
y enseñanza de idiomas en BOE n.312, de 29 de diciembre de 2007.
REFERENCIAS
BIBLIOGRÁFICAS
235
OCDE (2004):
Learning
for
Tomorrow's
World.
First
Results
from
PISA 2003.
. PARLAMENTO EUROPEO (2006): Propuesta
y del consejo sobre las competencias
de recomendación
R
peo
D
clave para el aprendizaje
euro-
permanente.
+TA+P6-TA-2006-
0365+0+DOC+XM L+VOl/ES>.
y experimentos
PERELMAN, Y. (1975): Problemas
PERRENOUD, P. (2004): Diez nuevas competencias PIAGET, J.; INHELDER, B. (1969): La psicologia
recreativos.
Bilbao.
ISEI-IVEI
(Instituto
Vasco
de
Mir. Moscú.
para enseñar. Barcelona. Graó.
del niño. Madrid.
PROYECTO PISA (2003): Ejemplos de items de Matemáticas Evaluación
Morata.
y Solución de Problemas.
e Investigación
educativa
).
ROSOVSKY, H. (1990):
The University
an owner's
manual.
New York.
Norton
&
Company. ROUSSEAU, J.J. (1979): Emilio o la educación.
Barcelona. Bruguera.
SANMARTí, N. (2007): 10 ideas clave. Evaluar para aprender. SCHÓN, D.A. (1998): El profesional actúan. Barcelona.
reflexivo:
Barcelona. Graó.
cómo piensan los profesionales
cuando
Paidós Ibérica.
SINGH, S. (1997): El enigma de Fermat. Barcelona. Planeta. UNAMUNO,
M. (1980): Del sentimiento
•
l'
del parlamento
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
trágico de la vida. Madrid.
Espasa-Calpe .
