MATEMATICAS FINANCIERAS CON CALCULADORA Y EXCEL
José Joaquín Vidarte M.B.A of A.U ( C )
Universidad de San Buenaventura Seccional Cali Facultad de Ciencias Económicas Administración de Negocios
Cali, 2015
1
1
Tabla de contenido
1
Tabla de contenido .............................................................................................................. 2
2
INTRODUCCIÓN .............................................................................................................. 5
3
CAPITULO 1 ...................................................................................................................... 6
4
3.1
El DINERO.................................................................................................................. 6
3.2
EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO............................................................. 6
3.3
CAPTACION .............................................................................................................. 9
3.4
COLOCACION ........................................................................................................... 9
3.5
EL SISTEMA FINANCIERO ..................................................................................... 9
3.6
Funciones del sistema financiero ............................................................................... 12
3.7
INTERMEDIARIOS FINANCIEROS ...................................................................... 13
3.8
MERCADOS FINANCIEROS.................................................................................. 13
3.9
MERCADO MONETARIO ...................................................................................... 14
3.10
MERCADO ACCIONARIO ................................................................................. 14
3.11
EL MERCADO DE BONOS ................................................................................. 15
3.12
COMO FUNCIONA EL SISTEMA FINANCIERO ............................................. 15
CAPITULO 2 .................................................................................................................... 16 4.1
INTRODUCCIÓN ..................................................................................................... 16
4.2
“VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO:.............................................................. 16
4.3
RELACION CON LA INFORMACION CONTABLE ............................................ 17
4.4 TASA MINIMA REQUERIDA DE RETORNO (TMRR) Y COSTO DE OPORTUNIDAD ................................................................................................................. 18 4.5
INTERES ................................................................................................................... 18
4.6
INTERES SIMPLE.................................................................................................... 19
4.7
CALCULO DEL TIEMPO ENTRE DOS FECHAS DETERMINADAS. ............... 23
4.8
FORMAS PARA CALCULAR EL INTERES SIMPLE .......................................... 26
4.9
INTERÉS BANCARIO: ............................................................................................ 26
4.10
INTERÉS COMERCIAL....................................................................................... 26
4.11
INTERÉS EXACTO, REAL O RACIONAL. ....................................................... 27
4.12
INTERES BASE 365 ............................................................................................. 27
4.13
DESCUENTO ........................................................................................................ 29 2
4.14 5
6
TASA VERDADERA COBRADA EN EL DESCUENTO. ................................. 31
CAPÍTULO 3 .................................................................................................................... 33 5.1
GENERALIDADES .................................................................................................. 33
5.2
INTERES SIMPLE.................................................................................................... 33
5.3
INTERES COMPUESTO.......................................................................................... 34
5.4
MANEJO CALCULADORA FINANCIERA FC-100V o FC-200V ...................... 37
5.5
MANEJO CON EXCEL. .......................................................................................... 38
5.6
ECUACIONES DE VALOR ..................................................................................... 41
CAPÍTULO 4 .................................................................................................................... 49 6.1 Que diferencia existe entre la tasa activa o de colocación y la tasa pasiva o de captación? ............................................................................................................................. 49
7
6.2
Explique la diferencia entre tasas vencidas y anticipadas: ...................................... 49
6.3
TASAS DE CAPTACIÓN DEL MERCADO COLOMBIANO? ............................. 57
CAPITULO 5 .................................................................................................................... 71 7.1
INTRODUCCION. .................................................................................................... 71
7.2
CLASIFICACION DE LAS ANUALIDADES ........................................................ 72
7.3
ANUALIDADES DIFERIDAS ................................................................................. 77
7.4
ANUALIDADES PERPETUAS o PERPETUIDADES. .......................................... 78
7.5
ANUALIDADES GENERALES .............................................................................. 79
7.6
SISTEMAS DE AMORTIZACION .......................................................................... 82
7.7
ABONOS IGUALES A CAPITAL e INTERESES SOBRE SALDOS.................... 83
7.8 PAGOS O CUOTA O SERVICIO DE LA DEUDA IGUALES ANUALES VENCIDAS (MENSUAL, TRIMESTRAL, SEMESTRAL, ETC.) .................................... 84 7.9 PAGOS O CUOTA O SERVICIO DE LA DEUDA IGUALES ANUALES ANTICIPADAS (MENSUAL, TRIMESTRAL, SEMESTRAL, ETC.) ............................. 90 7.10 PAGOS O CUOTA QUE AUMENTAN EN UNA CANTIDAD CONSTANTE ($500.000 POR EJEMPLO) CON RELACION A LA ANTERIOR.(SERIES ARITMETICAS CRECIENTES o GRADIENTES ARITMETICOS) ............................... 94 7.11 PAGOS O CUOTA QUE DISMINUYEN EN UNA CANTIDAD CONSTANTE ($500.000 POR EJEMPLO )CON RELACION A LA ANTERIOR.(SERIES ARITMETICAS DECRECIENTES) ................................................................................... 96 7.12 PAGOS O CUOTA QUE CRECEN EN UN % CONSTANTE (10% POR EJEMPLO) CON RELACION A LA ANTERIOR.(SERIES GEOMETRICAS CRECIENTES) .................................................................................................................... 98 7.13 PAGOS O CUOTA QUE DECRECEN EN UN % CONSTANTE (10% POR EJEMPLO) CON RELACION A LA ANTERIOR.(SERIES GEOMETRICAS CRECIENTES) .................................................................................................................... 99 7.14
PAGOS O CUOTAS IGUALES Y UNA CUOTA EXTRA .............................. 101 3
7.15
LEASING (Tomado de Fedeleasing) ................................................................... 103
7.16
QUE ES EL LEASING? ...................................................................................... 103
7.17
CUALES SON LAS CARACTERÍSTICAS DEL CONTRATO DE LEASING? 103
7.18
MODALIDADES DE LEASING ........................................................................ 104
7.19 CUALES SON LOS ELEMENTOS ESENCIALES DEL LEASING FINANCIERO? .................................................................................................................. 105 7.20 CUALES SON LOS ELEMENTOS ESENCIALES DEL LEASING OPERATIVO? ................................................................................................................... 105 7.21 EN QUE SE DIFERENCIA EL LEASING FINANCIERO DEL LEASING OPERATIVO? ................................................................................................................... 105
8
9
7.22
CAPITALIZACION ............................................................................................ 108
7.23
EJERCICIO EN CLASE...................................................................................... 111
CAPÍTULO 6 .................................................................................................................. 112 8.1
COMO FINANCIAR LA EMPRESA? ................................................................... 112
8.2
CUAL ES EL COSTO DE FINANCIAR LOS ACTIVOS? ................................... 113
8.3
CONCLUSIONES ................................................................................................... 114
CAPITULO 7 .................................................................................................................. 115 9.1
INTRODUCCIÓN ................................................................................................... 115
9.2
Evaluación institucional .......................................................................................... 115
9.3
Evaluación técnica ................................................................................................... 115
9.4
Evaluación financiera .............................................................................................. 116
9.5
Evaluación económica ............................................................................................. 116
9.6
Evaluación social ..................................................................................................... 116
9.7
Evaluación ambiental .............................................................................................. 116
9.8 Métodos que tienen en cuenta el valor del dinero en el tiempo para evaluar financieramente un proyecto. ............................................................................................. 117 9.9
EJERCICIO DE APLICACIÓN .............................................................................. 127
9.10
EVALUACIÓN FINANCIERA DEL PROYECTO ........................................... 133
9.11
MATEMÁTICA FINANCIERA ......................................................................... 136
9.12
TALLER DE REPASO # 1.................................................................................. 136
10 Capítulo 8 ........................................................................................................................ 150 10.1
Temas especiales en matemáticas financieras ..................................................... 150
10.2 Ambigüedades del método de la Tasa Interna de Retorno (TIR) en la valoración de inversiones. ......................................................................................................................... 158 11 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................ 166 4
2
INTRODUCCIÓN
“Se habla mucho de depositar confianza, pero nadie dice que interés te pagan.” (Quino, Manolo, en,…y yo digo) La
Guía
“APRENDA
UD
MISMO
MATEMATICAS
FINANCIERAS
CON
CALCULADORA Y EXCEL”, será de mucha utilidad para el micro y pequeño empresario, los ejecutivos de mercadeo y ventas, los administradores de empresa, los hombres de negocios, los estudiantes de Administración de empresas y Negocios, Contaduría, Economía e Ingenierías y para cualquier persona que “consideren el estudio como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber”, como decía Albert Einstein, y desean aprender Matemáticas Financieras.
En la presente Guía, expongo los conceptos fundamentales de las Matemáticas Financieras comenzando por una breve descripción del sistema financiero colombiano, el interés simple y compuesto, descuentos, valor del dinero en el tiempo, tasas de interés y las equivalencias de las mismas, los flujos de caja uniformes y variables, anualidades y perpetuidades, valor actual y valor futuro de una anualidad, productos activos y pasivos del sistema financiero, amortización, tabla de amortización, costo del capital y los conceptos básicos de la evaluación de proyectos los cuales son ilustrados con ejemplos y ejercicios del mundo real de los negocios utilizando como herramientas fundamentales las calculadoras financieras y la hoja de cálculo Excel. Los conceptos se presentan de tal forma que cualquier persona, por si misma esté en capacidad de abordar todos los temas para su beneficio.
Finaliza la Guía con las Funciones financieras de Excel, y las respectivas fórmulas, un Glosario de términos económico financieros, Ejercicios tipos resueltos aplicando 5
funciones financieras de Excel y Plantillas de la hoja de cálculo con cada una de las funciones tratadas en la Guía.
3
CAPITULO 1
EL SISTEMA FINANCIERO COLOMBIANO 3.1
El DINERO El dinero puede ser entendido como un bien o una mercancía que actúa como
un medio de cambio en las transacciones. No obstante, en la teoría económica existen tres funciones esenciales asociadas al dinero: unidad de cuenta, deposito de valor y medio de pago. Puede tomar la forma de papel moneda, dinero plástico, tarjeta debito y crédito y cheques. Como unidad de cuenta corresponde a que a través de esta unidad monetaria( sirve de medida de valor) se fijan los precios y se llevan las cuentas, como depósito de valor es un activo financiero que sirve para acumular riqueza y como medio de cambio es aceptado en la sociedad para la realización de transacciones y la cancelación de deudas, evitando así el trueque directo. 3.2
EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO. El principio fundamental de las finanzas es el valor del dinero en el tiempo, ya
que éste es el que rige las decisiones en el tiempo de los agentes económicos. El valor del dinero en el tiempo es un principio fundamental para realizar los presupuestos y tomar decisiones de consumo o ahorro, y su forma de medición corresponde a la tasa de interés y el mercado de las tasas de interés determina el valor del dinero en el tiempo en una economía. Esta tasa es definida por la interacción entre la oferta y la demanda por fondos (dinero) en la economía. Entonces el valor del dinero en el tiempo estará determinado por el nivel de tasas de interés en el mercado. Si las tasas de interés y por ende la inflación son bajas, éste valor es relativamente bajo, mientras que si las de interés son altas, el valor es
6
relativamente altas y entonces bajas tasa de interés estimularán el consumo y la inversión, en tanto que unas tasas de interés altas estimulan el ahorro. En consecuencia, el principio del valor del dinero en el tiempo contribuye considerablemente a elegir entre ahorrar e invertir, cuando se trata de decisiones financieras, es así si la tasa de interés actual es muy baja frente a las expectativas sobre las tasas de interés en el futuro es preferible consumir o gastar en el presente, pero si la tasa de interés en el presente es alta frente a las expectativas del nivel de tasas de interés en el porvenir, entonces es mejor invertir o ahorrar para consumir en el futuro. Desde el punto de vista de la teoría económica el principio del valor del dinero en el tiempo se basa en algunos conceptos de la teoría del consumidor que permiten afirmar, que la postergación del consumo actual implica la exigencia de una mayor cantidad de consumo en el futuro para alcanzar una satisfacción equivalente, es decir una insatisfacción en el presente debería ser compensada para mantener el nivel de satisfacción del individuo. Esta compensación viene dada por la mayor capacidad de consumo futuro, esto corresponde a la tasa margina de sustitución del consumidor. Este postulado afirma que existe una tasa a la cual un comprador está dispuesto a sacrificar el consumo de un bien a cambio de otro mientas se mantenga el mismo nivel de satisfacción., entonces una persona(natural o jurídica) está dispuesta a aplazar consumo o, lo que es lo mismo a ahorrar en el presente únicamente en la medida en que el excedente recibido por el dinero atesorado no sea menor que la cantidad de dinero que le garantice como mínimo , el mismo nivel de satisfacción al consumir en el futuro. Esto da origen al concepto de equivalencia que se puede entender como el punto de indiferencia entre tener una suma de dinero en el presente y tener otra en el futuro, lo cual permite definir los conceptos de equivalencia entre valor presente y valor futuro a través de la compensación que implica la tasa de interés. En palabras simples, el interés es lo que se paga por un agente económico (unidad deficitaria o prestatario: firma, inversionista, consumidor, gobierno, etc.) por el uso temporal de los fondos o recursos de otro agente económico( unidad superavitaria o prestamistas), lo que implica que el interés tiene dos connotaciones: un costo o gasto para quien pide el dinero prestado es decir para la unidad superavitaria y simultáneamente, un ingreso para quien cede los recursos temporalmente, es decir la unidades superavitarias o prestamistas. 7
El interés compensa a los prestamistas por el efecto de la inflación, es decir de los incrementos en los precios lo que implica retribuir, por lo menos, la pérdida de la capacidad adquisitiva durante el tiempo que duró el crédito y también debe compensar al prestamista por el riesgo que éste toma. Para un agente especializado en otorgar préstamos o créditos como un banco, el interés permite cubrir el costo de permanecer en esa actividad, incluyendo el valor de otorgar el crédito (oficinas, publicidad, estudio de riesgo y provisiones) y además proporciona la utilidad o el beneficio para el establecimiento de crédito para mantenerse en el negocio. En cambio los prestatarios o unidades deficitarias están dispuestos a tomar dinero prestado con el ánimo de aumentar la capacidad de gasto en el presente, sacrificando consumo futuro o ante la expectativa de mayores ingresos y pagar intereses para adquirir bienes, financiar gastos educativos, etc. En los mercados existen diversas tasas de interés, unas más altas que otras, cuya diferencia se explica por los siguientes factores:
Riesgo, en que incurren los prestamistas por el no pago o riesgo de default, a mayor riesgo mayor será la tasa de interés. Algunos prestamistas reducen el riesgo exigiendo una garantía colateral al deudor. Existen diferentes tipos de riesgos: El riesgo del mercado que es el mas común y uno de los mas importantes al momento de elegir y monitorear el comportamiento de la inversión y refleja las pérdidas en el precio del activo por cambis en la tasa de interés, la tasa de cambio y el precio del activo. El riesgo de crédito o riesgo de solvencia o riesgo del emisor, debido a la probabilidad del no pago de las obligaciones financieras. El riesgo de liquidez de un título valor debido a los cambios en el mercado secundario. El take profit y el stop loss hace referencia a un nivel hasta donde estaría dispuesto un inversor a perder cuando tiene el mercado en contra. El “take profit” se refiere al precio con el que un inversionista se siente cómodo para vender y recoger utilidades.
Plazo del crédito, a mayor plazo la tasa de interés será mayor
El margen de intermediación puede ser definido como la diferencia entre las tasas de interés a las cuales captan (tasas pasivas o tasas de captación) u 8
obtienen recursos los bancos y las tasas de interés a la cuales colocan o prestan los recursos ( tasas activas o tasas de colocación).
3.3
CAPTACION
En Colombia se realiza a través de los depósitos que se realizan en cuenta de ahorro, cuentas corrientes sobre los cuales se reconocen tasas de interés muy bajas que apenas superan la inflación y certificados de depósito a término fijo (CDT) que son la base para definir la DTF
que es la tasa que reconocen las entidades
financieras sobre depósitos a 90 días, sirviendo además como indicador al cual se indexan los créditos de mediano y largo plazo en Colombia.
3.4
COLOCACION
La colocación se refiere al producto que venden los establecimientos de crédito. Para personas naturales los productos son crédito de consumo, sobregiro, tarjetas de crédito y crédito hipotecario. Pero el sistema bancario incluye además microcrédito y el crédito comercial que se presenta bajo las modalidades de crédito ordinario, el de tesorería, el preferencial y el corporativo.
3.5
EL SISTEMA FINANCIERO
El sistema financiero (Figura 1) es el canal a través del cual los ahorros llegan a ser invertidos, y el dinero y los derechos financieros son transferidos y liquidados (pagados) o también el conjunto de instituciones que permiten la integración entre ahorro e inversión en una sociedad, lo que implica la existencia de un conjunto de normas, entidades y prácticas socialmente aceptadas y establecidas con el ánimo de permitir una comunicación fluida entre las unidades superavitarias( con excedentes de liquidez) y las unidades deficitarias( tienen problemas de liquidez). Las instituciones del sistema financiero son las que permiten llevar a cabo las decisiones inter temporales de los agentes económicos. Estas instituciones se pueden
resumir
esencialmente
como
9
intermediarios
financieros,
mercados
financieros y sistema de pagos. El sistema bancario administra diariamente millones de pesos en millones de transacciones en nombres de individuos y empresas; los mercados financieros facilitan el comercio y las transacciones y los grandes sistemas de telecomunicaciones posibilitan as órdenes y pagos entre entidades financieras, empresas y personas.
En el sistema económico participan numerosas instituciones o entidades que realizan diversas operaciones entre ellas, acuden a diferentes mercados que facilitan el intercambio de bienes y utilizan una amplia gama de medios o instrumentos para cumplir sus objetivos.
Figura 1
Fuente: Misión de estudios del mercado de capitales-Ministerio de Hacienda, Fedesarrollo, Banco Mundial.
10
En la Figura 2 se muestran las instituciones que participan en los mercados financieros (Emisores, inversionistas, intermediarios, otros agentes, entidades de vigilancia y control) , las operaciones que se realizan en los mercados financieros( contado, a plazo , emisión, administración, negociación, ventas en corto, repos, carruseles) , los instrumentos de control que utilizan los mercados financieros (Omas, encajes, restricciones),los instrumentos de operación(monedas, divisas, títulos de propiedad, títulos de deuda, índices), los mercados ( de divisas, acciones, renta fija, deuda) y los sistemas de transacción o mecanismos de negociación( a viva voz, electrónicos, ruedas especiales, subastas)
En la Figura 3, se presentan las instituciones
o entidades participantes en los
mercados financieros
Figura 2
Fuente: Vega R, Vitelio. Mercado de Capitales. Universidad Libre . 2005
11
Figura 3
Figura 3 Fuente: Vega R, Vitelio. Mercado de Capitales. Universidad Libre . 2005
3.6
Funciones del sistema financiero Según Robert Merton, premio Noble de Economía 1977, las principales funciones
del sistema financiero son:
Proveer un sistema de pagos para el intercambio de bienes y servicios, es decir que los pagos sean efectivos.
Proporcionar un mecanismo para la agrupación o reunión de fondos para responder a demandas de recursos de gran escala.
Proveer una forma par transferir recursos económicos a través del tiempo y de regiones geográficas e industrias.
Proporcionar una forma para administrar la incertidumbre y controlar el riesgo. 12
Proporcionar una forma para tratar la información asimétrica y los problemas de incentivo cuando una parte en las transacciones financieras tiene información que la otra no posee. Como los costos que implican monitorear el riesgo moral (prestar fondos que sean utilizados para fines distintos) y el riesgo de selección adversa (prestar a “malas pagas”) son muy altos, estos no pueden ser asumidos por un prestamista individual, entonces las entidades financieras especializadas pueden reducir esos costos y hacer un monitoreo mas adecuado sobre los deudores y el destino real de los fondos.
3.7
INTERMEDIARIOS FINANCIEROS INTERMEDIARIOS BANCARIOS: también denominados establecimientos de
crédito, además de intermediar pueden generar recursos financieros que son aceptados como medio de pago. En este grupo se encuentran el Banco Central y los bancos comerciales. INTERMEDIAROS NO BANCARIOS: se diferencian de los intermediarios bancarios en que no pueden emitir recursos financieros, es decir sus pasivos, no pueden ser dinero. En este grupo se encuentran, los fondos de pensiones, las fiduciarias, las compañías de seguros y las firmas comisionistas de bolsa.
3.8
MERCADOS FINANCIEROS Los mercados financieros abarcan un amplio conjunto de técnicas e
instrumentos para tomar prestado y prestar. Estos sistemas facilitan las decisiones de inversión, consumo y ahorro en una economía. Los tomadores de préstamos son las empresas, los individuos y los gobiernos con una variedad de necesidades de fondos (recursos dinerarios). Los prestamistas son empresas o individuos con ahorros o excedentes de caja para invertir. Por ejemplo los bancos comerciales, de inversión y compañías de seguros intermedian entre quienes prestan dinero y los que lo toman prestado. Los mercados financieros de mayor importancia son el de bonos, por ser el mercado en el cual se determinan las tasas de interés, el accionario, que tiene un efecto mayor sobre la riqueza de las personas y las decisiones de inversión de las empresas, y el cambiario puesto que sus fluctuaciones tienen amplias consecuencias económicas.
13
Es importante diferenciar entre mercado primario que es aquel en que se realizan las emisiones iniciales de instrumentos de mercado de crédito, mientras que el mercado secundario implica
que una vez un instrumento de deuda ha sido emitido, el
comprador está en capacidad de venderlo antes de su vencimiento en el mercado de capitales. 3.9
MERCADO MONETARIO Mercado Monetario es el mercado en el cual los instrumentos financieros de
corto plazo son emitidos y transados, mientras que los mercados donde son negociados instrumentos financieros cuyos vencimientos son superiores a un año, se conocen como mercado de capitales. Los principales instrumentos financieros que forman parte del mercado monetario son las operaciones repo, las aceptaciones bancarias, los papeles comerciales, los certificados de depósito y algunos instrumentos de deuda pública.
3.10 MERCADO ACCIONARIO El mercado accionario, también conocido como mercado de renta variable, es aquel donde la rentabilidad de la inversión está relacionada con las utilidades obtenidas por la empresa emisora de título de renta variable a través del pago de dividendos, así como la valorización del precio de la acción en bolsa. En Colombia, los instrumentos financieros negociados en este mercado son acciones. Boceas (bonos convertibles en acciones), derechos de suscripción y títulos provenientes de procesos de titularización, donde la rentabilidad
no está
asociada a una tasa de interés específica. El comportamiento del mercado accionario se mide utilizando indicadores como el IGBC(índice general de la bolsa de Colombia), el cual está formado por una cesta de activos financieros constituida por un número de acciones variables que representan las 36 acciones más importantes que se transan en la bolsa(l índice pasó de tener 32 acciones en el periodo que va de julio a septiembre del 2010 a 36. El 2011 ha sido un año de acciones debutantes en la Bolsa de Valores de Colombia (BVC) y eso es lo que muestra la última composición de la canasta del índice general (IGBC) para el periodo julio-septiembre).
14
3.11 EL MERCADO DE BONOS
El tenedor de un bono le está prestando planta a la entidad emisora y ésta se compromete a pagar una tasa de interés durante la vida del bono y a devolver los fondos tomados en préstamo cuando el bono venza o madure. Los principales bonos son bonos del tesoro, TES, emitidos por el gobierno nacional, los emitidos por las compañías o BONOS CORPORATIVOS y las Titularizaciones Hipotecarias. N general, los bonos son considerados menos riesgosos que las acciones por razones como es el caso de que los bonos prometen devolver el valor del dinero invertido al tenedor cuando este vence, mientras que las acciones no.
3.12 COMO FUNCIONA EL SISTEMA FINANCIERO Los canales a través de los cuales se da el flujo de fondos son: FINANCIACION DIRECTA FINANCIACIÓN INDIRECTA
FINANCIACION DIRECTA: los prestatarios toman fondos prestados directamente de los prestamistas a través de los mercados financieros por venderles instrumentos financieros (securities). Los instrumentos financieros son activos para la persona que los compra, pero al mismo tiempo, son pasivos (deuda) para la firma que los vende o emite.
FINANCIACION INDIRECTA: es el esquema tradicional de los establecimientos bancarios o de crédito, cuyo negocio y función al interior del sistema financiero es la intermediación entre prestamistas y prestatarios.
15
4
CAPITULO 2
INTERES SIMPLE 4.1
INTRODUCCIÓN Las matemáticas financieras son el conjunto de conceptos y técnicas
cuantitativas de análisis, útiles para la evaluación y comparación económica de alternativas relativas a inversión, financiación y operación y que facilitan la toma de decisiones. Las matemáticas financieras son útiles en: Determinar el costo de una alternativa de financiación. Determinar la rentabilidad de una inversión. Establecer planes de financiación para ventas a crédito. Seleccionar el mejor plan de amortización de deudas. Calcular el costo de capital. 4.2
“VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO:
El valor del dinero a través del tiempo está relacionado con el concepto de oportunidad de inversión, considerando en estos aspectos como la inflación, devaluación y riesgo. El concepto del valor del dinero a través del tiempo concluye que considerando el factor tiempo y el interés es determinante el momento en que realmente se produce el ingreso y el egreso en el flujo de caja.
$ = f (t) El valor del dinero en el tiempo es generalmente representado como la tasa de interés y la inflación como la pérdida de poder adquisitivo de la moneda; por lo tanto, si la tasa de interés es superior a la tasa de inflación del período, el rendimiento real 16
de la inversión será positivo; así, es posible afirmar que aún si la inflación fuera cero, el valor del dinero en el tiempo existiría, ya que todo capital debería producir un rendimiento. Igualmente, si la tasa de interés efectiva producida por la inversión, es inferior a la tasa de inflación del período produciría rendimientos negativos.
Para una mejor comprensión definiremos lo siguiente:
ALTERNATIVA DE INVERSION
: Es una solución única para una situación
dada, donde se considera la oportunidad de entregar ciertos fondos para recibir beneficios en el futuro. Dentro de esto se consideran tres aspectos: Ingresos, egresos y tiempos determinados.
EQUIVALENCIA: Diferentes sumas de dinero en diferentes tiempos pueden tener igual valor económico.
INTERES: Es la compensación o precio que se paga o recibe por el usufructo del dinero. ( I )
TASA DE INTERES: Es lo que se paga o se recibe por el uso del dinero (i).
TIEMPO (n)
LINEA DE TIEMPO
: Es el periodo durante el cual se usufructúa el dinero.
: Es el diagrama donde se presentan los flujos de ingresos
y egresos de efectivo.
4.3
RELACION CON LA INFORMACION CONTABLE
Para el estudio de las Matemáticas financieras nos olvidaremos parcialmente de los aspectos contables, dado que como hemos dicho, nos interesa es el comportamiento de los flujos de fondos a través del tiempo; sin embargo, en la Evaluación de Proyectos debemos tener en cuenta aspectos como la causación de impuestos, amortización de diferidos, depreciaciones. 17
De lo anterior podemos realizar el siguiente paralelo:
MANEJO CONTABLE
MANEJO FINANCIERO
Registro histórico.
Proyección.
Valor histórico.
Valor corriente.
No considera el valor del dinero en el Considera el valor del dinero en el tiempo.
tiempo.
Causación.
Caja
Decisiones previas.
Políticas a tomarse.
4.4
TASA MINIMA REQUERIDA DE RETORNO (TMRR) Y COSTO DE OPORTUNIDAD Cuando un inversionista piensa comprometer su capital, espera que le
proporcione una tasa “razonable” de rendimiento, que debe ser superior a algunas tasas prestablecidas; estas son las que generalmente pueden recibirse de una entidad bancaria o de cualquier otra inversión segura. La tasa “razonable” debe ser mayor que las tasas prestablecidas, en razón a que otras inversiones presentan riesgos e incertidumbres. Esta tasa “razonable” se conoce con el nombre de tasa mínima de rendimiento requerida (TMRR). En otras palabras la TRMM es la tasa mínima que espera recibir el inversionista para atreverse a comprometer su capital, llamada también la TASA DE INTERÉS DE OPORTUNIDAD (TIO) Otro término importante, es el del Costo de Oportunidad, del cual podría decirse que son los beneficios que podría obtener una inversión y a los cuales renuncia el inversionista por destinar los fondos a otra inversión. En conclusión, podemos decir que la TRMM y el Costo de oportunidad están íntimamente ligados y que en un momento determinado el costo de oportunidad puede ser la TRMM. (Tomado de Matemáticas financieras de Edinson Torrado Picón)”
4.5
INTERES Reconocimiento del valor del dinero en el tiempo. 18
Suma pagada por el uso del dinero o beneficio de una inversión. Es la diferencia entre la suma que el deudor paga al final del período y la suma que recibe en préstamo. La tasa se expresa en términos porcentuales y se refiere a un período de tiempo.
4.6
INTERES SIMPLE
Consideremos ahora dos personas (naturales o jurídicas): La persona A que presenta excedentes de liquidez, a quien UNIDAD SUPERAVITARIA o PRESTAMISTA
vamos a llamar
y B que presenta problemas de
liquidez a quien llamaremos UNIDAD DEFICITARIA o PRESTATARIO. Supongamos que
B (prestatario) solicita $10.000.000 a A (prestamista), para
solucionar problemas de liquidez a 3 meses de plazo. A, accede a realizar el préstamo con la condición de que B, reconozca una tasa de interés del 1,5% mensual. De lo anterior, aparecen entonces las siguientes variables a utilizar en la matemática financiera:
El CAPITAL o P o VP, que para nuestro caso asciende a $10.000.000. El PLAZO o TIEMPO, n ó t, que corresponde a los 3 meses. LA TASA DE INTERÉS, i%, que es del 1,5% mensual. EL MONTO o VALOR FUTURO (F o VF) Lo anterior, lo podemos representar en un diagrama que vamos a llamar el FLUJO DE CAJA.
El diagrama de tiempo, también es conocido con los nombres de diagrama económico o diagrama de flujo de caja. Es una de las herramientas más útiles para la definición, interpretación y análisis de los problemas financieros. Un diagrama de tiempo, es un eje horizontal que permite visualizar el comportamiento del dinero a medida que transcurren los periodos de tiempo, perpendicular al eje horizontal se colocan flechas que representan las cantidades monetarias, que se han recibido o desembolsado (FLUJO DE FONDOS O DE EFECTIVO). Por convención los 19
ingresos se representan con flechas hacia arriba y los egresos con flechas hacia abajo). Al diagrama económico o de tiempo, hay que indicarle la tasa de interés (efectiva o periódica) que afecta los flujos de caja, la cual; debe ser concordante u homogénea con los periodos de tiempo que se están manejando, es decir; si los periodos de tiempos son mensuales, la tasa de interés debe ser mensual, si los periodos de tiempos son trimestrales, la tasa de interés que se maneja debe ser trimestral; si los periodos de tiempos son semestrales, la tasa de interés debe ser semestrales, y así sucesivamente. Un diagrama de tiempo tiene un principio y un fin, el principio es conocido como el hoy (ubicado en el cero del diagrama), y allí se encontrará el presente del diagrama (P), mientras que en el fin, se ubicará el futuro del diagrama económico (F) y la terminación de la obligación financiera. Hay que tener en cuenta, que un diagrama económico, contempla presentes y futuros intermedios, es decir, un periodo de tiempo puede ser el presente de uno o varios flujos de caja, o un periodo de tiempo podrá ser un futuro de uno o varios flujos de caja, todo depende entonces de la ubicación del periodo de tiempo versus la ubicación de los flujos de caja. Es importante anotar que en las matemáticas financieras: Sólo se permiten sumar, restar o comparar flujos de caja (ingresos y/o egresos) ubicados en los mismos periodos del diagrama económico.
Consideraciones 1) El momento en que el prestamista entrega el dinero, y el prestatario lo recibe se conoce con el nombre de presente o momento cero. 2) El valor entregado inicialmente se denomina valor presente o
simplemente P.
3) El segmento de recta representa el tiempo de la operación financiera (n) 4) La suma entregada al final recibe el nombre de valor futuro, monto o simplemente F. Cuando una persona ahorra o deposita dinero en una institución financiera que reconoce una tasa de interés, la relación entre las partes se asimila al escenario prestamista – prestatario. Para este caso, el ahorrador o depositante asume el papel de prestamista y la institución financiera será el prestatario.
Entonces, el flujo de caja para el inversionista se representa:
20
En el flujo de caja para el prestamista, hay una salida de dinero en el punto 0 (el hoy) y un ingreso de dinero en el punto 3, que hemos llamado F.
Y para el prestatario, cuál será el FLUJO DE CAJA?
En el flujo de caja para el prestatario, hay una ingreso de dinero en el punto 0 (hoy) y una salida de dinero en el punto 3, que hemos llamado F.
¿Y que es F? F es el MONTO O VALOR FUTURO que recibe el prestamista o lo que debe devolver el prestatario a los 3 meses, que es el momento en que se vence el plazo.
Y como se calcula el valor del MONTO O VALOR FUTURO F?
Sumando el CAPITAL o P o VP o PV mas el INTERES (I) devengado en la operación financiera.
F= P + I
¿Y cómo se calcula el INTERES o I?
21
De acuerdo con el principio fundamental de las finanzas, el “Interés (I) es directamente proporcional al capital (P), la tasa de interés (i%) y el plazo(n)”
(A)
Para el caso que nos ocupa, el INTERES se calcula así: I = $10.000.000 x 0,015 x 3 = $450.000 ¿Que significan estos $450.000? Lo que debe pagar el PRESTARIO para poder USAR el dinero del PRESTAMISTA durante 3 meses, pagando una tasa de interés del 1,5% mensual o lo que recibe el PRESTAMISTA, por dar en USO su dinero.
Luego, se define el concepto de INTERES, como lo que se paga o se recibe por el uso del dinero. Entonces, para calcular el MONTO o VF o F, sumamos el CAPITAL (P) + INTERES (I)
F = $10.000.000 + $450.000 = $10.450.000 Es importante tener en cuenta que “debe existir concordancia entre la tasa de interés (i%) y el plazo (n)” (PRINCIPIO DE CONCORDANCIA FINANCIERA)
¿Esto que significa? Que si la tasa de interés es mensual (ej. 1,5% mensual), el plazo (n) debe estar expresado en meses.
Si la tasa de interés es bimestral (ej. 3% bimestral), entonces el plazo o tiempo debe estar expresado en bimestres.
Si la tasa de interés es trimestral (ej. 4,5% trimestral), entonces el plazo o tiempo debe estar expresado en trimestres.
22
Si la tasa de interés es semestral (ej. 9% semestral), entonces el plazo o tiempo debe estar expresado en semestres.
Si la tasa de interés es anual (ej. 18% anual), entonces el plazo o tiempo debe estar expresado en años.
4.7
CALCULO DEL TIEMPO ENTRE DOS FECHAS DETERMINADAS.
Se pueden calcular, el número de días reales o el número de días aproximados. Recuerde que el año tiene 365 días o 366 días si es bisiesto. ¿Como saber si un año es bisiesto? Si al dividir por cuatro, se obtiene un entero, el año será bisiesto. Ejemplo: Año 2004 .Realizamos la siguiente operación: 2004/4=501, luego es bisiesto. Año 2006 .Realizamos la siguiente operación: 2006/4=501.5, luego no es bisiesto.
Calcular el número de días reales y el número de días aproximado, entre Octubre 13 de 2003 y el 6 de julio de 2004.
Número días reales:
Buscamos en la tabla de TABLA NÚMERO DE DÍAS
que aparece mas
abajo, el día que corresponde al 13 de octubre que es día 286.Como el 31 de diciembre es el día 365, entonces el número de días entre estas dos fechas es de 79. Igualmente, buscamos el día 6 de julio y corresponde al día 187. Como 2004, es año bisiesto debemos sumar 1 día (el 29 de febrero).Luego el número de días entre el 1 de enero de 2004 y el 6 de julio de 2004, será 187+1=188 lo que nos da que el número de días reales entre las dos fechas es de 267(79+188).
23
Número de días aproximado:
Año
Mes
Día
2004
07
06
2003
10
13
8 Meses
23 días
0
Como de 6 no se puede restar 13, prestamos 1 mes de 30 días, quedando 36-13=23 días. Ahora nos quedan 5 meses , del cual no podemos restar 10, razón por la cual préstamos a 2004, un año de 12 meses que sumados con los 6 que quedan, nos dan 18 y al restar los 10, nos quedan 8 meses que equivalen a 8x30= 240 días. El año 2004 queda convertido en 2003. Entonces el número de días aproximado será = 240 + 23 = 263. Observamos que el número de días reales (267) es mayor que los días aproximados (263). Como hacerlo con calculadora financiera? Casio FC-100 o FC-200V? Realice el siguiente procedimiento: Teclee DAYS y vaya colocando las fechas de menor a mayor. Dias reales: Days Calc. Set : 365 `d1 10132003 EXE
`d1=10132003
`d2 07062004 EXE
`d2=07062004
Dys
SOLVE
267
Días aproximados: Cuando tecleamos DAYS y aparece Days Calc, hacemos EXE y aparece: Date mode 1:360 (año comercial) y
2:365 (año exacto) 24
Presionamos EXE estando en 1:360 y volvemos a Days Calc. Con REPLAY nos desplazamos hacia abajo a Dys y hacemos SOLVE, apareciendo 263. Tabla número de días
Dia Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Sept. Oct. Nov. Dic. día 1
1
32
60
91
121
152
182
213
244
274 305
335 1
2
2
33
61
92
122
153
183
214
245
275 306
336 2
3
3
34
62
93
123
154
184
215
246
276 307
337 3
4
4
35
63
94
124
155
185
216
247
277 308
338 4
5
5
36
64
95
125
156
186
217
248
278 309
339 5
6
6
37
65
96
126
157
187
218
249
279 310
340 6
7
7
38
66
97
127
158
188
219
250
280 311
341 7
8
8
39
67
98
128
159
189
220
251
281 312
342 8
9
9
40
68
99
129
160
190
221
252
282 313
343 9
10
10
41
69
100
130
161
191
222
253
283 314
344 10
11
11
42
70
101
131
162
192
223
254
284 315
345 11
12
12
43
71
102
132
163
193
224
255
285 316
346 12
13
13
44
72
103
133
164
194
225
256
286 317
347 13
14
14
45
73
104
134
165
195
226
257
287 318
348 14
15
15
46
74
105
135
166
196
227
258
288 319
349 15
16
16
47
75
106
136
167
197
228
259
289 320
350 16
17
17
48
76
107
137
168
198
229
260
290 321
351 17
18
18
49
77
108
138
169
199
230
261
291 322
352 18
19
19
50
78
109
139
170
200
231
262
292 323
353 19
20
20
51
79
110
140
171
201
232
263
293 324
354 20
21
21
52
80
111
141
172
202
233
264
294 325
355 21
22
22
53
81
112
142
173
203
234
265
295 326
356 22
23
23
54
82
113
143
174
204
235
266
296 327
357 23
24
24
55
83
114
144
175
205
236
267
297 328
358 24
25
25
56
84
115
145
176
206
237
268
298 329
359 25
26
26
57
85
116
146
177
207
238
269
299 330
360 26
27
27
58
86
117
147
178
208
239
270
300 331
361 27
28
28
59
87
118
148
179
209
240
271
301 332
362 28
29
29
88
119
149
180
210
241
272
302 333
363 29
30
30
89
120
150
181
211
242
273
303 334
364 30
31
31
90
212
243
304
365 31
151
25
4.8
FORMAS PARA CALCULAR EL INTERES SIMPLE
Definamos primero el concepto de TASA NOMINAL La tasa nominal está relacionada con e interés simple, mientras que la tasa efectiva guarda relación con el interés compuesto. Es la tasa del año, pero se puede expresar en forma mensual, bimestral, trimestral, semestral o anual.
Por ejemplo, el 15 % nominal anual, significa que la operación se contrató al 15% para todo el año, pero que se paga al año vencido.
Si se dice que es del 16% nominal trimestral o 16%N.T.V o 16%N.T, significa que durante todo el año se paga el 16%, pero los intereses se pagan por trimestre vencido.
Y ahora expliquemos las diferentes denominaciones del INTERES SIMPLE teniendo en cuenta si el tiempo transcurrido se considera real o aproximado y si el año se toma como año comercial, es decir 360 días o año real es de cr 365 días o 366 si es bisiesto. De acuerdo con lo anterior podemos definir entonces:
4.9
INTERÉS BANCARIO:
En el cual si la tasa de interés se expresa en nominal anual y el número de días entre dos fechas son reales, se deben convertir en años, para que haya concordancia entre n e i%, dividiendo el número de días reales entre 360. El INTERES calculado se denomina INTERES BANCARIO.
4.10 INTERÉS COMERCIAL
26
Ahora si la tasa de interés se expresa en nominal anual y el número de días entre dos fechas son aproximados, se deben convertir en años, para que haya concordancia entre n e i %, dividiendo el número de días aproximado entre 360, así El INTERES calculado se denomina INTERES COMERCIAL.
4.11 INTERÉS EXACTO, REAL O RACIONAL. Ahora si la tasa de interés se expresa en nominal anual y el número de días entre dos fechas son reales, se deben convertir en años, para que haya concordancia entre n e i%, dividiendo el número de días reales entre 365 o entre 366 si el año bisiesto. El INTERES calculado se denomina INTERES EXACTO, REAL O RACIONAL. 4.12 INTERES BASE 365 Si la tasa de interés se expresa en nominal anual y el número de días entre dos fechas son reales (sin tener en cuenta para nada si es o no bisiesto), se deben convertir en años, para que haya concordancia entre n e i%, dividiendo el número de días reales entre 365 (sin importar si el año es bisiesto) .El INTERES calculado se denomina INTERES BASE 365.
3.12.1 EJEMPLO Un pagaré por valor de $10.000.000 se firma del 13 de octubre de 2003, con vencimiento el 6 de julio de 2004 a una tasa del 15% nominal anual. Se pide calcular el INTERES y el MONTO a la fecha de vencimiento. A.- interés bancario B.- Interés comercial C.- Interés exacto D.- Interés base 365
Días reales=267 Días aproximados=263 INTERES BANCARIO
I= 10.000.000 x 0,15 x 267 / 360 =$1.112.500 F= 10.000.000 + 1.112.500 = 11.112.500
27
INTERES COMERCIAL I= 10.000.000x0, 15x 263/360=$1.095.833.33 F= 10.000.000 + 1.095.833.33=$11.095.833.33
INTERES EXACTO
I=10.000.000 x0,15 x 267 /366 =$1.094.262,30 F=10.000.000 + 1.094.262.30 =$11.094.262,30
INTERES BASE 365
I=10.000.000 x 0,15 x 266/ 365 = $1.093.150.68 F=10.000.000 + 1.093.150.68 = $11.093.150.68
CONCLUSION: El más costoso a interés simple es el INTERES BANCARIO y el más bajo el INTERÉS BASE 365.
3.12.2 CALCULADORA FINANCIERA.
3.12.2.1 Para interés bancario: Al presionar SMPL, aparece: Simple int. Set : 360 Dys=267 I% = 15 PV= (-)10000000 SI : SOLVE
SI = 1.112.500
Luego presione ESC
Con REPLAY vaya a SFV : SOLVE
SFV=11.112.500 Presione ESC
Con REPLAY vaya a: ALL : SOLVE
SI = 1.112.500 SFV=11.112.500
3.12.2.2 Para interés comercial Al presionar SMPL, aparece: Simple int. Set : 360 Dys=267 I% = 15 PV= (-)10000000 28
SI : SOLVE
SI = 1.095.833.33
Luego presione ESC
Con REPLAY vaya a SFV : SOLVE
SFV=11.095.833.33 Presione ESC
Con REPLAY vaya a: ALL : SOLVE
SI = 1.095.833.33 SFV=11.095.833.33
¿Cómo se calcula para INTERES EXACTO e INTERES BASE 365?
4.13 DESCUENTO Como entender el concepto de descuento? Volvamos al ejercicio anterior en el cual se planteó la firma de un Pagaré el 13 de Octubre de 2003 con vencimiento el 6 de Julio de 2004. Ud. como tenedor decide esperar la fecha de vencimiento (julio 6 de 2004), recibiría a interés bancario la suma de $11.112.500, lo que significa que el interés devengado por los $10.000.000 durante 267 días es de $1.112.500. Pero el 15 de enero por problemas de liquidez, resuelve negociar su pagaré. Un amigo suyo le ha comentado que las entidades financieras realizan una operación que consiste en que Ud. le presenta el título valor y ésta anticipa su importe y gestiona el cobro, operación que es conocida como DESCUENTO. La entidad financiera decide descontarle el pagaré y
cobra una tasa del 18%
Nominal anual. Cuál es el VALOR DEL DESCUENTO y cuál es el VALOR REAL recibido por el tenedor en la fecha del descuento? Por definición el DESCUENTO se calcula sobre el MONTO a recibir.
En donde: D = Descuento F = Monto a recibir en el momento del vencimiento d % = tasa de descuento n = tiempo que falta para el vencimiento (días reales) 29
Miremos como queda el FLUJO DE CAJA para la operación de descuento.
¿Cuáles son las variables cuyo valor se conoce? Fecha de descuento
Enero 15 de 2002
Fecha de vencimiento
Julio 6 de 2004
Tasa de descuento
18%
Monto a recibir (F)
$11.112.500
Que debemos calcular? ´n número de días reales para el vencimiento D Valor del descuento VL = F – D = Valor líquido a recibir el día del descuento.
Cómo calcular n? La fecha de vencimiento, el 6 de julio de 2004, es el día 187 del año Y la fecha de descuento, enero 15 de 2004, es el día 15 del año.
Entonces los días que faltan para el vencimiento es n=187-15+1=173
Se agrega 1, porque entre el día 15 de enero y el 6 de julio de 2004 está el 29 de febrero por ser año bisiesto. D= 11.112.500 X 0.18 X (173/360) =$961.231.25 VL=$11.112.500-$961.231,25=$10.151.268.75 Que representa entonces los $961.231,25? El descuento o costo de oportunidad del tenedor inicial del Pagaré.
30
4.14 TASA VERDADERA COBRADA EN EL DESCUENTO.
Consideremos el Flujo de Caja que aparece abajo, corresponde a dicho flujo de caja después de conocido el descuento y se puede interpretar diciendo que hoy, enero 15 de 2004, entrego $10.151.268.75, durante 173 días, es decir hasta el vencimiento, fecha en la cual recibo $11.112.500. Entonces, nos podemos preguntar: Cuál es la tasa de interés que hace que $10.151.268.75, sean equivalentes a $11.112.500 durante los 173 días? Para responder a ésta pregunta supongamos que el Descuento es el INTERÉS cobrado en ésta operación.
Recuerde que I = P x i% x n Remplacemos y despejemos i%. 961.231.25=10.151.268.75 x i% x(173/360) I% =19,70% De lo anterior, se puede inferir que la verdadera tasa cobrada (19,70%) es mayor que la tasa de descuento (18%).
TALLER 1
1.-Calcule en número de días reales y aproximados entre las siguientes fechas sin utilizar la calculadora financiera: A.- De enero 18 de 2008 al 10 de Febrero de 2009 31
B.- De Octubre 13 de 2010 al 7 de Junio de 2011. C.- Del 25 de marzo de 2011 al 7 de noviembre de 2011.
2.- Se firma un pagaré el 25 de Febrero de 2011 por valor de 20.000.000 con vencimiento el 24 de Agosto de 2011, a una tasa del 18% anual. Se pide: A.- ¿Que es un pagaré? B.- Calcular el interés bancario y el monto al vencimiento de la obligación C.- Calcular el interés comercial y el monto al vencimiento de la obligación D.- Calcular el interés exacto y el monto al vencimiento de la obligación E.- Calcular el interés base 365 y el monto al vencimiento de la obligación F.- Si el tenedor desea descontar el pagaré por problemas de liquidez el 18 de julio del 2011, a un inversionista que le ofrece descontar a una tasa del 22% anual, cuál será el VALOR DEL DESCUENTO y cuál será el VALOR LIQUIDO que recibe el tenedor?
3.- Se firma un pagaré el 18 de Octubre de 2007 por valor de 50.000.000 con vencimiento el 16 de Junio de 2011, a una tasa del 15% anual. Se pide: A.- Calcular el interés bancario y el monto al vencimiento de la obligación B.- Calcular el interés comercial y el monto al vencimiento de la obligación C.- Calcular el interés exacto y el monto al vencimiento de la obligación D.- Calcular el interés base 365 y el monto al vencimiento de la obligación F.- Si el tenedor desea descontar el pagaré por problemas de liquidez el 1 de marzo del 2008, a un inversionista que le ofrece descontar a una tasa del 18% anual, cuál será el VALOR DEL DESCUENTO y cuál será el VALOR LIQUIDO que recibe el tenedor?
32
5
CAPÍTULO 3
INTERES COMPUESTO. 5.1
GENERALIDADES El siguiente ejercicio nos permite mostrar la diferencia entre un capital
colocado a interés simple y a interés compuesto.
Se da en préstamo $1.000.000 a una tasa del 16% nominal trimestre vencido, a un plazo de 1 año (cuatro trimestres). Se pide calcular el valor del MONTO al final de cada uno de los periodos trimestrales, utilizando: INTERES SIMPLE INTERES COMPUESTO
5.2
INTERES SIMPLE
Las variables que podemos identificar del enunciado del ejercicio son: CAPITAL = P = $1.000.000 PLAZO O TIEMPO= n =1 AÑO = 4 TRIMESTRES TASA DE INTERÉS = 16% Nominal trimestre vencido Como la tasa de interés ( i% ) esta expresada como el 16% nominal, esto significa que en el año se cobra el 16%, pero como se complementa diciendo que es trimestre vencido, entonces significa que los intereses se pagan al final de cada trimestre y que la tasa trimestral es ,
it = 16% / 4 = 4 % trimestral.
Calculemos el INTERES del primer trimestre: I=1.000.000x0, 04x1=$40.000 Esto significa que el MONTO acumulado al final del
PRIMER TRIMESTRE es
F=1.000.000+40.000=$1.040.000
Como estamos trabajando a INTERES SIMPLE, esto significa que el capital para el segundo periodo es el MISMO $1.000.000, pues en interés simple, los
33
intereses ganados, se retiran al finalizar cada periodo, es decir el CAPITAL no cambia para los siguientes periodos: Realice lo mismo para cada uno de los siguientes trimestres Entonces aparecerá como en la siguiente tabla
En el gráfico anterior se muestra la relación entre el plazo y el MONTO ACUMULADO.
¿Cómo calcular la tasa efectiva para cualquiera de los periodos? Tomemos como ejemplo el segundo trimestre. El interés acumulado que se muestra en la tabla para la operación financiera asciende a $80.000. Si dividimos éste valor entre el Capital ($10.000.000), nos da una tasa efectiva semestral del 8%, y así sucesivamente.
5.3
INTERES COMPUESTO
Vamos a considerar que los INTERESES pagados o recibidos, no se retiran cada periodo, sino que se suman al capital, proceso conocido como CAPITALIZACION (CAPITAL INICIAL + INTERESES DEL PERIODO). 34
De la tabla que se inserta podemos observar que el para el primer periodo el interés devengado, el MONTO
acumulado y la tasa efectiva, son
iguales como en el
interés simple.
Para el segundo semestre, el CAPITAL INICIAL, es ahora $1.040.000, que corresponde al Monto acumulado en el primer trimestre. El interés para el segundo trimestre, es I=10.040.000x0.04x1= $81.600 y el monto es de $1.081.600 y la TASA EFECTIVA SEMESTRAL es ahora del 8,16%, superior al 8% del interés simple.
En la gráfica se muestra que el INTERES COMPUESTO crece MAS RAPIDAMENTE que el INTERES SIMPLE.
Realicemos ahora un gráfico, donde se muestre en el eje de las abscisas el número de periodos (cuatro trimestres) y en el eje de las ordenadas el monto acumulado a interés simple y a interés compuesto.
35
Del análisis del grafico se muestra que el INTERES COMPUESTO crece en forma potencial, mientras que el interés simple, lo hace linealmente. La tabla dada mas abajo, muestra el monto a interés simple e interés compuesto en función del tiempo. La gráfica es el resultado de esta tabulación.
FORMULAS ¿Y con qué formulas calculamos el interés simple y el interés compuesto?
INTERES SIMPLE
INTERES COMPUESTO F=Px( 1 + i% )n
F= Px( 1 + n x i% )
36
Para el caso que estamos analizando, si queremos calcular el MONTO a finalizar el año, se tiene: Para INTERES SIMPLE
F = 1.000.000x (1 + 4 x 0,04) = $1.160.000
Para INTERES COMPUESTO
5.4
F = 1.000.000x (1 + 0,04)4 = $1.169.859
MANEJO CALCULADORA FINANCIERA FC-100V o FC-200V
¿Como resolver el ejercicio anterior con calculadora?
4.3.1 A INTERES SIMPLE En la primera fila de funciones de su calculadora seleccione la tecla SMPL En el DISPLAY aparece: Simple Int. Set : 360 Dys=360
(año comercial)
I % = 16
Exe
PV = (-) 1000000 EXE
PV= -1000000
SI : SOLVE
SI= 160000
SFV : SOLVE
SFV= 1160000 (MONTO PEDIDO)
ALL : SOLVE
SI = 160000
ESC
SFV=1160000
4.3.2 - A INTERES COMPUESTO En la primer fila de funciones de su calculadora selecciones a la izquierda la tecla CMPD En el DISPLAY aparece: Compound Int. Set : End N =4 I % =4
EXE EXE
PV = (-) 1000000
EXE
PMT = 0
EXE 37
FV = SOLVE o EXE
FV=1.169.858,56
P/Y = 1 C/Y = 1 También se puede hacer de la siguiente forma:
Compound Int.
Set : End
N =1
EXE
I % =16
EXE
PV = (-) 1000000
EXE
PMT = 0
EXE
FV = SOLVE o EXE
P/Y = 1
C/Y = 4
FV=1.169.858,56
La diferencia reside que en el primer caso N=4 (trimestres), I%=4 ( tasa de interés trimestral), pero C/Y =1.
En el segundo caso N=1 (1 AÑO), la tasa es del 16% (tasa nominal anual) y la periodicidad se designa con C/Y=4 ( 4 trimestres por año)
5.5
MANEJO CON EXCEL.
4.4.1.- INTERES COMPUESTO Abra la hoja de cálculo Excel. En B2 escriba CAPITAL En C2 , 1.000.000 En B3 , PLAZO EN TRIMESTRES En C3 , 4 En B4 escriba TASA DE INTERES En C4 escriba 4% Y en B6 escriba MONTO
38
Sitúese en C6 Vaya a la barra de Funciones y haga CLICK en fx. Aparece la ventana INSERTAR FUNCION. Vaya luego a O Seleccionar una categoría y busque Financieras. Luego en: SELECCIONAR FUNCION, busque y señale VF (MONTO) Haga CLICK en Aceptar
Aparece entonces la ventana ARGUMENTOS DE FUNCION
Vaya a Tasa y luego haga clic en C4 Luego en Nper y haga clic en C3 Deje Pago en blanco Sitúese ahora en Va y señale –C2 En Tipo deje en blanco o coloque 0, para Interés Vencido. 39
Luego haga CLICK en ACEPTAR.
Entonces, aparece la respuesta en C6, el valor de $1.169.858,56
Y para finalizar esta diferencia entre interés simple e interés compuesto miremos el siguiente ejemplo, solo a modo de ejercicio: En 1626, Peter Minuit quien fue Director general de la colonia neerlandesas de Nuevos Países Bajos entre 1626 y 1633 y fundador de la colonia sueca de Nueva Suecia en 1638, compró el 24 de mayo de 1626, según la tradición la isla de Manhattan a los aborígenes, en 60 guilders, lo que supuestamente equivaldría a 24 dólares estadounidenses. ¿Cuál sería el monto o valor futuro el 24 de mayo de 2010, si el interés devengado fuera en promedio del: A) del 5% y B) del 10% anual.?
40
5.6
ECUACIONES DE VALOR En el contexto financiero, frecuentemente una obligación financiera que se
pactó inicialmente cancelar de una manera específica o determinadaque se pactó inicialmente cancelar de una manera específica o determinada, se procede mediante acuerdo entre las partes (prestamistas y prestatarios), a cambiar la forma de cancelación mediante el pago de una o varias cuotas, operación que recibe el nombre de refinanciación de deudas, pero teniendo en cuenta que en una economía en donde el poder adquisitivo de la moneda cambia a través del tiempo, es necesario para dar solución a éste problema, utilizar las ecuaciones de valor. Las ecuaciones de valor son también conocidas con el nombre de teorema fundamental de las matemáticas financieras, por lo cual, permiten resolver de manera fácil cualquier problema de las matemáticas financieras. Las ecuaciones de valor, no son más que igualdades de valor referenciadas a una fecha determinada o específica, denominada fecha focal y se simboliza por ff y en el diagrama económico se representa a través de una línea de trazos. En la fecha focal se igualan los flujos de caja para hacer la comparación y en ella, se comparan los ingresos con los egresos, las deudas con los pagos, los activos con los pasivos y el patrimonio, los flujos de caja que están arriba del diagrama con los que están abajo. Por lo tanto, se podría expresar de la siguiente manera: (1) ∑ Ingresos = ∑ Egresos [en la fecha focal] (2) ∑ Deudas = ∑ Pagos [en la fecha focal] Para resolver los problemas lo primero que debe hacerse es determinar la fecha focal en la cual se van a comparar los flujos de caja, y además, hay que tener en cuenta que en el caso del interés compuesto, dos flujos de caja equivalente en una fecha lo serán en cualquier otra y, por lo tanto, se puede seleccionar cualquier fecha para llevar a cabo la comparación y encontrar lo que se está preguntando. El traslado de los flujos de caja (ingresos o desembolsos) a la fecha focal, se realizará usando las fórmulas del valor presente o valor futuro a la tasa de interés especificada de común acuerdo entre las partes. Los flujos de caja que se encuentren en la fecha focal, no sufrirán ningún cambio.
EJEMPLO
41
Una persona debe cancelar tres pagarés así:$ 160.000 dentro de 5 meses, $ 180.000 dentro de 8 meses y $ 1.200.000 dentro de 18 meses. Si pacta pagar hoy $ 400.000 y el resto en el mes 10. Determinar el valor del pago, para que las deudas queden saldadas. Tenga en cuenta una tasa de interés del 25% N.M.V y la fecha focal en el mes 0. Consideremos el ejercicio a interés compuesto:
42
Taller 2 1.- En cuántos años se triplicará una inversión hecha hoy con un interés del 18% anual pagadero al vencimiento? Utilice interés simple e interés compuesto $3 0
N $1
2.- En una entidad financiera el capital depositado se duplica cada dos años. ¿Qué tasa de interés efectiva trimestral paga dicha empresa? ¿En cuánto tiempo se convertirán$125.000 en $1.600.000 a dicha tasa trimestral encontrada? Utilice interés compuesto.
3.- ¿Qué capital debo invertir hoy para poder retirar un millón doscientos mil de pesos dentro de 18 meses suponiendo que el capital invertido gana el 10% N.S.V? Interés compuesto
4.- ¿Cuál es el valor presente de $800.000 en 36 días al 32% E.A? Use un año de 360 días. Interés simple.
5.- Halle la rentabilidad anual (tasa de interés) de un documento que se adquiere en $30.000 y se vende 6 meses más tarde en 50.000?
6.- ¿A qué tasa efectiva mensual se duplica un capital en 2 ½ años?
7.- ¿A qué tasa trimestral se triplica un capital en 4 años?
8.- A.- ¿Qué es interés? B.- ¿Qué es tasa de interés? C.- ¿Cuál es la diferencia entre interés simple e interés compuesto? D.- ¿Qué es tasa efectiva? E.- ¿Qué es tasa periódica? F.- ¿Qué es la tasa nominal? 43
G.-¿Qué diferencia hay entre tasa vencida y tasa anticipada? 8.- ¿Qué diferencia existe entre una unidad superavitaria y una unidad deficitaria?
9.- ¿Se puede considerar que un inversionista es lo mismo que un agiotista?
10.- Un pagaré de $10.000.000 vence en 18 meses. ¿Cuánto se recibirá por éste pagaré hoy, si el banco utiliza la tasa de descuento compuesto del 2,2% mensual?
11.- Si Ud invierte 100 millones de pesos al cabo de 8 años recibirá 200 millones de pesos. Se espera que la inflación promedia de los próximos 8 años sea del 8,5%. ¿Cree Ud. que se debe realizar la inversión?
44
TALLER No 3
1) Una inversión realizada hoy por $ 1.200.000 genera al final de un año la suma de $1.600.000. Se pide: a) Los intereses ganados. b) La tasa de interés de la operación financiera a interés simple c) La tasa de interés de la operación financiera a interés compuesto.
2) Cuánto se debe invertir hoy para tener al final de un semestre la suma de $ 8.500.000 y se ganen unos intereses de $ 480.000. Cuál es la tasa de interés.
3) Calcular el valor de los intereses generado por una inversión hoy de $ 20.000.000 a las siguientes tasas: a) 1.2% quincenal. b) 2,5% mensual. c) 7% trimestral d) 10% cuatrimestral e) 15% semestral.
4) Si usted invirtió $ 1.500.000 durante un año, al final del cual le entregaron $ 2.000.000 . Cuál fue su rentabilidad?
5) A usted le concedieron un préstamo por la suma de $ 5.000.000 durante un Trimestre, al final del cual debe pagar $ 5.600.000. Cuál fue el costo del crédito?
6) Una persona adquiere un equipo de sonido por la suma de $ 1.800.000 y lo cancela de la siguiente manera: 20% de cuota inicial y el resto en 4 cuotas trimestrales iguales de $ 420.000. Teniendo en cuenta el valor del dinero en el tiempo, se puede decir que se pagó por el equipo de sonido la suma de $ 2.040.000, si se cobra una tasa de interés del 6,5% trimestral
7) Un apartamento por valor de $ 60.000.000 se adquiere a crédito, y se desea cancelar en un año con cuotas bimestrales iguales de $ 11.000.000. Construya el diagrama económico desde el punto de vista del comprador y del vendedor. 45
8) Se recibe un préstamo en una institución bancaria por valor de $ 25.000.000 para cancelar dentro de dos años, a una tasa de 10% cuatrimestral anticipada. Construya el diagrama económico.
9) Un préstamo por $ 15.000.000 se paga con 4 cuotas trimestrales iguales mas los intereses . Si la tasa de interés es del 7% trimestral. Construya el diagrama económico.
10) Construya el diagrama económico del ejercicio anterior, suponiendo que los intereses se cancelan de manera anticipada.
11) Jaime solicito prestado $ 6.300.000 para pagar en 4 meses. Si la tasa de interés es del 30% anual simple, ¿Qué cantidad debe pagar por concepto de intereses?.
12) Pedro José posee un capital de $ 3.200.000. Invierte 70% de su capital al 6,3% trimestral y el resto al 11,6% semestral. ¿Cuánto recibe cada mes de interés total
13) El señor Pedro Pérez compro un televisor en el almacén muebles para el hogar. El Televisor Led de 45 inch , tenía un valor de contado de $ 2.650.000, se dio una cuota inicial de $530.000 y firmó un pagaré a 31 días por la suma $ 2.247.800. Calcule la tasa de interés anual aplicada (Tome el año de 360 días).
14) ¿Cuánto tiempo tardará un préstamo de $ 4.500.000 para producir $ 253.130 de Interés simple, si la tasa de interés es de 20%?
15) En cuánto tiempo se duplicará una cierta cantidad de dinero si se invierte al 18% de interés simple.
16) Laura María invirtió un total de $ 65.000.000 en dos bancos diferentes, En el Banco Popular invirtió una parte de los $ 65.000.000 en una cuenta de ahorros que paga rendimientos liquidables al vencimiento a plazo de 91 días y a una tasa de interés del 19,35%. En Davivienda invirtió el resto con rendimientos liquidables al vencimiento de 91 días y una tasa de interés del 21,8%. Si al final del plazo, el interés total fue de $ 3.458.000, ¿Cuál fue la cantidad invertida en cada uno de los 46
bancos?. Tome año de 360 días.
17) ¿Cuánto pagará un comerciante por un crédito que le concedió una fábrica de dulces de chocolates, al comprar por $ 3.500.000 a 25 días de plazo, si le cargan una tasa de interés del 3% mensual?
18) Un empleado obtiene un préstamo de su empresa por $ 4.200.000 para comprar electrodomésticos y aceptar liquidar el préstamo dos años después. Existe el acuerdo que mientras exista la deuda, pagará intereses mensuales de 2,5% mensual. ¿Cuánto deberá pagar de intereses cada mes?
19) Una persona firma un pagaré por una deuda que tiene por $ 7.498.000 a 4 meses de plazo. Si la tasa de interés normal es de 2,8% mensual y la tasa de interés moratorio es del 65%, calcule la cantidad total a pagar si el documento se cancelo 25 días del vencimiento.
20) El señor Milton Andrade firma un pagaré por un préstamo de $ 7.000.000 a una tasa de 45% a 90 días de plazo. Queda de acuerdo en pagar una tasa de interés moratorio igual a 25% más de la tasa normal. Calcule el interés moratorio y la cantidad total por pagar si el documento es liquidado 12 días después de la fecha de vencimiento.
21) El interés ganado por un préstamo de $ 8.000.000, en un plazo de 7 meses, fue de $ 350.000. Calcule la tasa efectiva del periodo y la tasa de interés anual. .
22) Un empresario tomo prestados $ 20.000.000 a cuatro meses con un interés del 2,5% mensual, pagaderos al vencimiento. En el contrato se estipula que en caso de mora debe pagar el 3,2% mensual, sobre el saldo ya vencido. Qué suma tendrá que pagar si cancela a los cuatro meses y 25 días?.
23) Un préstamo de $ 6.700.000 a un año tiene un interés del 2,3% mensual los 6 primeros meses y el 2,8% mensual los últimos 6 meses; todos estos intereses serán cancelados al vencimiento de la obligación principal y no habrá interés sobre intereses. Cuál será el total a pagar al año. 47
24) Una persona tomó prestados $ X al 25% anual y luego los invirtió al 30% anual. Si las ganancias que obtuvo, en esta operación fueron de $ 650.000 anuales, cuánto había recibido en préstamo?.
25) Dos capitales, uno de $ 5.000.000 y otro de $ 2.500.000 rentan anualmente $ 1.500.000. Hallar los intereses anuales y las tasas de interés sabiendo que estas se encuentran en relación de 2/4?..
48
6
CAPÍTULO 4
TASAS DE INTERES Y EQUIVALENCIA Esta unidad hemos querido trabajarla con base a preguntas y respuestas para mayor facilidad en el aprendizaje. 6.1
Que diferencia existe entre la tasa activa o de colocación y la tasa pasiva o de captación?
La tasa pasiva o de captación, es la que reconocen los intermediarios financieros a las personas que suministran los recursos al sistema a través de depósitos. Por otra parte, la tasa activa o de colocación, se define como el interés que cobran los intermediarios financieros a las personas que solicitan o demandan recursos en el mercado financiero a través de préstamos. La diferencia entre las dos tasas es el margen de intermediación de las entidades financieras.
¿Cuál de las dos es mayor?
6.2
Explique la diferencia entre tasas vencidas y anticipadas: Comencemos por recordar ¿qué es la “tasa nominal”?.
Es la tasa a la cual se contrata una obligación y mientras no se diga lo contrario la tasa nominal se considera anual. También la tasa nominal es aquella que se capitaliza más de una vez al año. Nunca se debe tomar la tasa nominal de interés como criterio para evaluar inversiones ya que la mayoría de las veces no refleja el verdadero rendimiento ofrecido. Así, si se trata de comparar una inversión en un activo que ofrezca el 22% anual de tasa nominal, con otro que ofrezca el 21% anual nominal, no se puede escoger el primero sobre el segundo. Falta determinar la manera como se van a pagar los intereses anunciados, ya que según sea ésta, variará el rendimiento efectivo de la inversión.
49
La tasa nominal debe estar acompañada de un compromiso en cuanto a la periodicidad de los desembolsos, y en cuanto si estos se hacen anticipados o vencidos, ya que cualquiera de las combinaciones posibles acarreará rendimientos efectivos diferentes.
¿Y la tasa efectiva? Las tasas efectivas son las que se deben buscar para determinar la verdadera rentabilidad ofrecida por una tasa nominal y se asocia al interés compuesto. Por ejemplo, una tasa del 10% N.T.V, significa que la tasa de interés que se cobra en el año es del 10% y que el número de capitalizaciones en el año son cuatro, es decir que la tasa trimestral es del 3% ( it=12%/4 =3%).Esta es la llamada Tasa periódica o tasa efectiva periódica. Entonces, la Tasa efectiva es la tasa a la que efectivamente está colocado un capital. Entonces, el interés vencido es aquel que se liquida al final de cada periodo y el interés anticipado es aquel en el cual los intereses se pagan o liquidan al inicio del periodo de capitalización.
Entonces, ¿qué formulas utilizaría para realizar las conversiones a tasas efectiva?
Tasa
Interés vencido
Interés anticipado
Nominal
R
R
Periódica
Ip=r/m
Ipa=r/m
m
=
número
de
capitalizaciones Efectiva
E = ( 1 + ip )^ m – 1
E = ( 1 - ia )^- m – 1
Utilizando las fórmulas realice las siguientes conversiones: A.- 12% NMV a E.A Tasa nominal
12%
Tasa periódica
im=12% /12= 1% mensual
¿Y la tasa efectiva? E=((1+ 0,01)^12 – 1)*100= 12,68% 50
B.- 12% NTV a E.A Tasa nominal
12%
Tasa periódica
it=12% /4= 3% trimestral
¿Y la tasa efectiva? E=((1+ 0,03)^4 – 1)*100= 12,55%
C.- 14% NBV a E.A Tasa nominal
12%
Tasa periódica
ib=14% /6= 2,333% bimestral
¿Y la tasa efectiva? E= ((1+ 0,02333)^6 – 1)*100= 14,843%
4D.- 18% NSV a E.A Tasa nominal
18%
Tasa periódica
is=18% /2= 9% mensual
¿Y la tasa efectiva? E=((1+ 0,09)^2 – 1)*100= 18,81%
Ahora utilicemos la calculadora financiera para tasas vencidas:
Convertir el 18% N.M.V a E.A utilizando la calculadora Casio FC-100V o Casio FC200V
Pulsemos la tecla CNVR (Conversiones) , y realicemos las siguientes operaciones: N 12
EXE, aparece
I% 18 EXE, aparece
n=12 I%=18
EFF: SOLVE, aparece EFF=19,56181715
Entonces el 18%N.M.V es equivalente al 19,56% (E.A)
Ahora convirtamos el 15% E.A a N.T.V Pulsemos la tecla CNVR , y realicemos las siguientes operaciones: 51
N4
EXE, aparece
I% 15 EXE, aparece
n=4 I%=15
APR: SOLVE, aparece APR=14,22323054
Luego el 15% E.A es equivalente al 14,22% (N.T.V)
Conclusión: EFF en las calculadoras Casio se utiliza para convertir TASAS NOMINALES en EFECTIVAS y APR para convertir TASAS EFECTIVAS a NOMINALES.
Utilicemos ahora la calculadora HP 17 B II. En el menú principal presione: FIN
COM
SUMA
CALE
RESOL
F.CAJ
BONO
DEPRC
Y seleccione el menú CNVI VDT
CNVI
Seleccione Capitalización PER
CONT
Ahora CAPIT.P/VECES AL AÑO %NOM %EFE
P
Ejemplo: convertir el 18% N.M.V a E.A Presione 18 %NOM
%NOM=18
Luego 12 P Y ahora %EFE
%EFE=19,5618171462
Entonces el 18%N.M.V es equivalente al 19,56% (E.A)
Ahora convirtamos el 15% E.A a N.T.V Presione 15 %EFE
%EFE=15
Luego 4 P 52
Y ahora %NOM
%NOM=14,2232305366
Luego el 15% E.A es equivalente al 14,22% (N.T.V)
Ahora con Excel. 18% N.T.V a Efectivo Anual (E.A) Tasa nominal
18%
Tasa periódica
t v=18%/4= 4,5%
Número de periodos por año En Excel vamos a
4
fx (insertar función)
y buscamos en O seleccionar una
categoría la función Financiera
Y en Seleccionar una función, buscamos int.efectivo:
53
Hacemos click en Aceptar En tasa_ nominal insertamos el 18%=0,18 y en Núm_per_año
insertamos el
número de periodos por año, para nuestro caso 4 que corresponde al número de trimestres por año
Y Hacemos click en aceptar y obtenemos la respuesta del 19,25% (E.A).
Convertir 18% N.M.A a E.A Con Calculadora Casio FC-100V 0 Casio FC-200V
54
Pulsemos la tecla CNVR , y realicemos las siguientes operaciones: N ( -) 12
EXE, aparece
I% 18 EXE, aparece
n= -12
I%=18
EFF: SOLVE, aparece EFF=19,88510667
Entonces el 18%N.M.A es equivalente al 19,89% (E.A)
Con Calculadora HP 17 B II Ejemplo: convertir el 18% N.M.A a E.A Presione 18 %NOM
%NOM=18
Luego 12 +/- P Y ahora %EFE
%EFE=19,8851066683
Ejemplo Ahora convirtamos el 15% E.A a N.T.A Calculadora Casio FC-100V 0 Casio FC-200V Pulsemos la tecla CNVR , y realicemos las siguientes operaciones: N (-) 4
EXE, aparece
I% 15 EXE, aparece
n= -4 I%=15
APR: SOLVE, aparece APR=13,73484584 Entonces el 15% E.A es equivalente al 13,73% (N.T.A)
Calculadora HP 17 B II para convertir una tasa efectiva a una nominal
Ejemplo: convertir el 15% E.A a N.T.A
En el menú principal presione: FIN
COM
SUMA
CALE
RESOL
F.CAJ
BONO
DEPRC
Y seleccione el menú CNVI VDT
CNVI
Seleccione Capitalización
55
PER
CONT
Ahora CAPIT.P/VECES AL AÑO %NOM %EFE
P
Presione 15 % EFE Luego 4 +/- P %NOM %EFE
P
click
+/- 4
15
Y ahora click en % NOM
%NOM=13,73% N.T.V
Excel no aplica para tasas anticipadas.
Ejercicios 1.- Realice las siguientes conversiones: A.- 10% NMA a E.A B.- 12% NTA a E.A C.- 14% NBA a E.A D.- 18% NSA a E.A
2.- Utilizando su calculadora financiera, convierta: A.- 10% NAA a E.A B.- 17,5% NMA a E.A C.- 12,6% NTA a E.A D.- 14,85% NBA a E.A E.- 18,70% NSA a E.A F.- 16,24% NAA a E.A G.- 10,56% NMV a E.A
3.- Se tiene una tasa del 18% E.A, se pide convertir dicha tasa a:
NMA , NTA ,NBA, NSA NAA, NMV, NTV, NBV, NSV, NAV
Por que se dice que estas TASAS SON EQUIVALENTES? 56
4.- Si Ud. deposita 50 millones en un CDT a 90 días en Corficolombia y la tasa a la cual se hizo la colocación es del 4,25% E.A. Se pregunta: A.- Cuál es la tasa NTV, con la cual se realiza la negociación? B.- Cuál será el valor de los intereses devengados durante dicho trimestre? C.- Si la retención en la fuente sobre rendimientos financieros es del 7%, cuál será el valor realmente recibido por Ud? D.- Si asumimos que los intereses se capitalizan, cuál será la TASA EFECTIVA ANUAL, que para el inversionista será su RENTABILIDAD EFECTIVA ANUAL(R.E) y para CORFICOLOMBIA, será el COSTO EFECTIVO ANUAL. E.- Cual será entonces la RENTABILIDAD NETA (RN) para el inversionista, después de impuestos. (
RN = R.E*(1 – 0,07), en donde 0,07 es la retención en la fuente
sobre rendimientos financieros.) F.- Si consideramos que la inflación esperada (Inf.E ) es del 5.50%, entonces cual será la Rentabilidad Real (R.R) R.R = ( R.N – Inf.E) / ( 1 + Inf.E )
6.3
TASAS DE CAPTACIÓN DEL MERCADO COLOMBIANO?
¿Cuáles son las tasas de captación del mercado colombiano? R./ Las tasas de captación o tasas pasivas reflejan el rendimiento que pagan las instituciones financieras sobre los depósitos que reciben del público. Las tasas de captación más comúnmente utilizadas en el mercado colombiano son la DTF, la TCC, la CDT y la TBS.
La DTF constituye la principal referencia del costo promedio de los recursos del sector financiero colombiano; también se dice que la DTF es la tasa de referencia en Colombia tanto para colocaciones como para captaciones, y se define como el promedio ponderado de las tasas de interés efectivas de captación a 90 días de los Certificados de Depósito a Término.
La TCC corresponde a la tasa promedio a la que las corporaciones financieras captan Certificados de Depósito a Término a plazo de 90 días. 57
Por su parte, la CDT es el promedio de las tasas de captación de Certificados de Depósito a Término a 90 días de las corporaciones financieras y los bancos.
Por su parte, la TBS mide solamente las captaciones de los bancos. Se calcula para plazos que van desde 2 días hasta más de un año, y se obtiene como un promedio ponderado por el volumen transado.
10.- ¿Qué es y cómo se calcula la tasa de interés de usura?
R./ La tasa de usura es el nivel máximo de utilidad o ventaja que se puede obtener en Colombia, por el cobro de un préstamo de dinero o por la venta de bienes o servicios a plazo. Los créditos otorgados con una tasa de interés superior a ésta estarían cometiendo el delito de usura. De tal forma, según el Artículo 305 del Código Penal, la tasa de usura no puede exceder en la mitad al interés bancario corriente para el período correspondiente. Por lo tanto, se calcula como 1.5 veces la tasa de interés bancario corriente.
11.- ¿Cuáles son las principales tasas internacionales de interés?
11.1 LIBOR: R./ La tasa interbancaria LIBOR (London Inter-Bank Offered Rate), es la tasa de interés a la cual los bancos piden prestado fondos en el mercado interbancario de Londres. Para el cálculo de la tasa Libor, la Asociación Bancaria Británica (BBA) toma los datos de tasas de préstamos interbancarios de un conjunto de 16 bancos que son seleccionados para reflejar una muestra representativa del mercado. Con los datos seleccionados, se eliminan aquellas tasas que estén en el cuartil superior e inferior de la muestra y se promedia el resto de las tasas para sacar la LIBOR del día. La tasa Libor es una de las tasas de referencia internacional más importantes, utilizada para ajustar el pago de renta de bonos de diferentes gobiernos y del sector privado, aplicada para el cálculo de las cuotas de los préstamos hipotecarios, personales y prendarios que otorgan los bancos en el exterior. Así mismo, es usada como base para concretar contratos de tasas de interés en muchos de los grandes 58
mercados de opciones y futuros en el mundo como el LIFFE, Deutsche Term Börse, Chicago Mercantile Exchange, Chicago Board of Trade, SIMEX y TIFFE.
11.2 PRIME RATE O PRIME: R./ La tasa PRIME es la tasa de interés que los bancos de Estados Unidos cargan a sus mejores sujetos de crédito comercial y a sus más grandes clientes corporativos. Esta tasa surge del promedio de una muestra de tasas que las principales instituciones financieras norteamericanas cobran por préstamos a empresas de primera línea.
Debido a que sirve a los mismos bancos como parámetro para establecer otras tasas en negocios como vivienda, tarjetas de crédito, y pequeña y mediana empresa, ésta es afectada por las condiciones del mercado, la disponibilidad de reservas y el nivel general de tasas de interés. La tasa PRIME también es influenciada por el tamaño del préstamo; los mayores préstamos conllevan menores tasas. También se conoce como Tasa Base, y el valor publicado corresponde a un promedio de las tasas PRIME de los bancos de Estados Unidos. La tasa PRIME está directamente relacionada con la tasa interbancaria diaria en los Estados Unidos conocida en inglés como "Fed Funds Rate", la cual es la principal herramienta de la Reserva Federal (FED) para influir en la economía. Actualmente, aunque la FED ha iniciado un plan de ajuste al alza de su tasa de referencia, esta se encuentra aun en niveles históricamente bajos. La siguiente tabla muestra las tasas internacionales al 16 de Agosto de 2007.
59
12.- Qué es y cómo se calcula la tasa de usura y la tasa de mora?
R./ La Superfinanciera expide cada tres meses una resolución donde certifica el interés Bancario Corriente vigente para el transcurso del mes(para la tasa de usura). Este es aplicable para todo el país, determinando los máximos niveles de interés moratorio aplicables a las transacciones bancarias y comerciales. La tasa de usura se fija Mensualmente, y establece el nivel máximo que por ley puede cobrar la banca en los créditos que concede. El cálculo del interés de usura se basa en el interés bancario corriente y no sobre las tasas que cobran las financieras por los créditos que otorga.
13.- Bancoldex, como banco de segundo piso ofrece líneas especiales de redescuento. ¿Qué es una línea de redescuento? Las líneas de redescuento son cupos de crédito otorgados por los bancos de segundo piso a las entidades financieras, para que éstas a su vez otorguen créditos a sectores económicos específicos. En Colombia, las entidades encargadas de otorgar estos créditos son: el Banco de Comercio
Exterior
de
Colombia
S.A.
(BANCOLDEX),
el
Fondo
para
el
Financiamiento del Sector Agropecuario (FINAGRO), la Financiera Eléctrica Nacional (FEN) y la Financiera para el Desarrollo Territorial (FINDETER). El objetivo es la obtención de financiación con bajos intereses, destinada para la promoción de exportaciones, el fomento industrial, las actividades agrícolas, los proyectos de inversión del sector eléctrico y de obras de infraestructura. Como ejemplo de aplicación se pide calcular el Costo Efectivo Anual Antes de Impuestos (C.E.A.A.I) y el C.E.A.D.I para cada una de los plazos estipulados en la tabla, “Líneas especiales de Crédito” Bancoldex que se muestra a continuación:
60
Considere que la DTF(E.A)=3,46% y que el costo efectivo anual se calcula utilizando tasas combinadas, así: C.E.A.A.I = DTF(E.A) + SPREAD(E.A) + DTF(E.A) XSPREAD(E.A)
Si la Tasa de impuestos en Colombia es del 33% , calcule entonces el COSTO EFECTIVO ANUAL DESPUES DE IMPUESTOS: C.E.A.D.I = C.E.A.A.I X ( 1 – 0,33 ) Ejemplo, si el plazo es hasta 2 años y el préstamo está destinado para financiar la capitalización de una Mipyme, el CEAAI, se calcula : C.E.A.D.I = 3,46% + 2,50% + 3,46%X2,50% = 6,05% Y el C.E..A.D.I =6,05%*(1-0,33)= 4,05% Realice los demás ejercicios propuestos. 14.- Que es la tasa interbancaria? Es la tasa de interés que se cobran entre sí los bancos por préstamos.
15.- Cuáles son los determinantes y estructura de las tasas de interés? Para entender los elementos que determinan la tasa de interés básica en el mercado, debemos responder a la pregunta de por qué algunas personas evitan ahorrar y otras desean invertir. La respuesta estaría reflejada por las actitudes de los consumidores hacia el consumo actual y el consumo futuro.
En general la tasas de interés cobrada por la utilización o colocación de fondos se fija con base en algunas de las siguientes consideraciones: 61
Inflación
Liquidez o disponibilidad de fondos
Tiempo de utilización (estructura de los plazos de las tasas de interés)
Tasas existentes en mercados externos
Riesgo asumido por el inversionista.(riesgos por incumplimiento, liquidez y madurez).
i = il* + PRif + PRI
+ PRL
+ PRM
En donde, i = Tasa nominal il* = Tasa real de interés libre de riesgo o con inflación cero. PRif = Prima de riesgo por incumplimiento PRI = Prima de riesgo por la líquidez. PRM = Prima de riesgo por madurez La tasa de interés libre de riesgo, il* , y la PRif constituyen la TASA NOMINAL LIBRE DE RIESGO, il, representada sobre un valor totalmente libre de riesgo.
OTROS DETERMINANTES.
Otros determinantes son la POLITICA MONETARIA, EL DEFICIT FISCAL, EL DEFICIT COMERCIAL Y EL GRADO DE ACTIVIDAD DE LOS NEGOCIOS.
16.- Utilizando fórmulas calcular las tasas efectivas anuales para cada uno de los siguientes ejercicios: 12 % N.T.V 17.5% N.M.A 6.60% N.T.A
17.- Realice las siguientes conversiones: 17.1 Con calculadora Casio Ejemplo 10% N.T.V a
N.M.A
62
Procedimiento: Convierta la N.T.V a E.A y luego ésta E.A a N.M.A
Pulsemos la tecla CNVR , y realicemos las siguientes operaciones: N 4
EXE, aparece
I% 10 EXE, aparece
n= 4 I%=10
EFF: SOLVE, aparece EFF=10,38128906 Ahora presionemos ESC Y ahora vamos a convertir la EFECTIVA a la NOMINAL solicitada: N (-) 12
EXE, aparece
n= -12
Luego presione APR: SOLVE, aparece APR=9,83650799 que es la tasa nominal pedida. Por lo tanto, 10% N.T.V 9,8365% N.M.A
17.2 Con calculadora HP 17 B Procedimiento: Pulse FIN Luego CNVI Selecciones ahora PER Aparece el siguiente submenú: % NOM
%EFE
P
Ahora convertimos el 10%NTV Efectiva: 10 %NOM, 4P y oprima luego %EFE, obteniéndose 10,38% Ahora el 10,38% se convierte a N.M.A : 12 +/- P Y finalmente pulse %NOM, para obtener 9,92%.
Por lo tanto el 10%N.T.V es equivalente al 9,92% N.M.A. B.- Realice el siguiente ejemplo: 14% N.M.A a N.S.V
18.- Utilizando calculadora realice los siguientes ejercicios: 10% N.A.A a
N.A.V 63
16% N.M.A a
N.A.A
12% N.T.V a
N.T.A
19.- Como se calcula la U.V.R? La Unidad de Valor Real (UVR), depende exclusivamente de la variación del Índice de Precios al Consumidor (IPC). En su metodología de cálculo se distribuye la variación mensual del IPC en cambios diarios, y se utiliza el cambio correspondiente al mes inmediatamente anterior al mes vigente. Esto quiere decir que la UVR refleja el comportamiento de la inflación con un mes de rezago.
20.- Cuál es la incidencia del Déficit fiscal sobre las tasas de interés?
El incremento en el déficit fiscal puede afectar las tasas de interés principalmente por tres vías. En primer lugar, si el déficit se financia con un incremento en las captaciones de deuda interna del gobierno, éste tendría que salir al mercado a competir con los agentes privados por los recursos disponibles, lo cual podría generar un incremento en las tasas de interés.
Por otro lado, un mayor déficit fiscal puede incrementar la percepción de riesgo de los agentes sobre la capacidad de pagos del gobierno, lo cual se traduce en un aumento en las tasas de interés de los títulos de deuda pública, que normalmente son las tasas de referencia de la economía, por lo cual podrían aumentar las demás tasas.
Finalmente, la mayor percepción de riesgo podría generar salidas de capital, que tendrían que ser compensadas con tasas de interés más altas que den mayores retornos a la inversión.
21.- Qué es el micro crédito?
En el artículo 39 de la Ley 590 del 2000, se define el micro crédito como el sistema de financiamiento a microempresas por un monto máximo del 25 salarios mínimos legales vigentes (hoy, alrededor de 15.400.000 pesos) en el momento de otorgar el
64
crédito, teniendo en cuenta, que en ningún momento el saldo de la deuda puede superar este monto.
A partir del 2002, la Superifinanciera incorporó esta categoría para la contabilización de las operaciones de crédito a microempresarios de acuerdo con los montos señalados anteriormente. Al cierre de julio del 2003, el saldo de créditos bajo esta modalidad fue de 461,052 millones de pesos, con un crecimiento de 30% frente al cierre del año anterior. La cartera de micro crédito representa en la actualidad cerca del 1% del saldo total de créditos. 22.- En la página de “INTERES EFECTIVO” del periódico PORTAFOLIO,se muestra en un gráfico el movimiento semanal de la DTF. Busque dicho gráfico y explique las causas de dicho comportamiento. 23.- En la misma página de “INTERES EFECTIVO” del periódico PORTAFOLIO, se muestra en un gráfico la evolución de la tasa de usura. Busque dicho gráfico y explique las causas de dicho comportamiento. 24.- En la misma página de “INTERES EFECTIVO” del periódico PORTAFOLIO, se muestra una tabla de las tasas de interés de captación de bancos, corporaciones y compañías de financiamiento comercial. Busque las tasas más altas y las bajas y explique el por qué. 25.- En la misma página de “INTERES EFECTIVO” del periódico PORTAFOLIO, se muestra Líneas Especiales de crédito. Busque para Bancoldex el costo para Mipymes, que va a emplear para Capital de Trabajo y consolidación de pasivos si el plazo establecido es para 7 años.
26.- Busque en internet (Portafolio, La Republica) ,cuál es la última resolución, el valor y la vigencia para la tasa de interés corriente a la fecha.
Cuál será la tasa si se obtiene un préstamo en N.T.A?
27.- Cual es la tasa interbancaria para Octubre 30 de 2011? 65
28.- ¿Que es la revaluación?
La revaluación es el incremento en el valor de una moneda frente a otra de referencia (el dólar en el caso colombiano), en un período determinado de tiempo. Este incremento se ve reflejado en una caída de la tasa de cambio Como cualquier precio en un mercado libre y en competencia, la tasa de cambio se fija por la interacción entre la oferta y la demanda. En consecuencia, la razón fundamental de la revaluación es un exceso de dólares en el mercado local, que en la mayoría de los casos se puede explicar por un incremento en la entrada de divisas. Este aumento en la cantidad de dólares en la economía puede tener su origen en la entrada de capitales de de fondos de inversión extranjeros que buscan aprovechar el amplio diferencial de tasas de interés, y la rentabilidad atractiva del mercado local frente a otras alternativas de inversión. Por otro lado, un incremento en las exportaciones (por ejemplo, originado por la bonanza de algún producto de exportación) puede originar la entrada de divisas al mercado local. Finalmente, un incremento significativo en la inversión extranjera directa (en los procesos de privatización por ejemplo), genera una mayor entrada de dólares a la economía, lo cual se puede traducir en revaluación de la moneda.
29.- Qué es la devaluación real? La devaluación es la pérdida de valor de una moneda frente a otra. Cuando se habla de devaluación real se tiene en cuenta, además de la variación en la tasa de cambio en un período determinado, la inflación local observada en el mismo período, así como la inflación externa. Devaluación real = ( 1 + Inflación interna) / ( 1 + Inflación externa) – 1
Entonces, calcule la devaluación real, si la inflación interna( en Colombia) esperada es del 2,50% y la inflación esperada externa ( en USA) es del 2,20%. Busque (en Portafolio, Semana o Dinero) cuál es la devaluación del peso frente al dólar hasta la fecha y compárela con la devaluación esperada. Conclusiones.
66
30.- BANCOLDEX ofrece una modalidad de crédito para pequeños productores hasta 7 años una tasa de DTF(E.A) + 450 p.b, con una cobertura de financiación de hasta el 80% del costo directo del proyecto. Entonces: Si la DTF=3,48% E.A y el spread es de 450p.b=4,5%(E.A) Entonces el:
C.E.A.A.I = DTF + SPREAD + DTFXSPREAD = C.E.A.A.I= 3,48% + 4,50% + 3,48%X4,5% = 8,1366%(E.A) C.E.A.D.I= 8,1366%+(1-0,33)= 5,451522%
En donde: C.E.A.A.I representa el Costo Efectivo anual Antes de Impuestos. C.E.A.D.I corresponde al Costo Efectivo Anual después de Impuestos. Recordemos que todos los Costos y Gastos representan un BENEFICIO TRIBUTARIO (B.T) para las empresas:
Entonces el B.T =Costo o Gasto x 33%, donde el 33% representa la TASA DE IMPUESTOS VIGENTE EN COLOMBIA. Como los intereses representan un Gasto financiero, entonces:
C.E.A.D.I= C.E.A.A.I - C.E.A.A.I x33% C.E.A.D.I= C.E.A.A.I(1 - 0,33) =C.E.A.A.I* 0,67 31- Calcule el C.E.A.A.I y el C.E.A.D.I de un préstamo que ofrece el Citi Bank, cuya tasa de interés es PRIME + 180 p.b, si la devaluación esperada en Colombia es del 2,0%. PRIME=3,25% (E.A)
32.- Calcule el C.E.A.A.I y el C.E.A.D.I de un préstamo que ofrece el Royal Bank de Londres , cuya tasa de interés es LIBOR + 140 p.b, si la devaluación esperada en Colombia es del 1.50%. 67
LIBOR= 0,89%(E.A)
33.- El fondo de valores de VALORES DE OCCIDENTE, OCCIVALOR PREMIUN, ofrece una rentabilidad a la fecha para 180 días una tasa del 6,66% E.A. Cuál será la rentabilidad real, si la retención en la fuente es del 7% y la inflación esperada es del 4,5%?
34.- Si la corrección monetaria (CM) es del 4,5% y la tasa de interés adicional que cobran las entidades financieras para préstamos de vivienda es del 11,80% (E:A), cuál será : A.- el C.E.A.A.I B.- el C.E.A.D.I Utilice tasas combinadas.
35.- Una entidad financiera ofrece pagar por los ahorros una tasa del 4% capitalizable mensualmente (4% NMV), y otra ofrece pagar el 4% capitalizable semestralmente. ¿Qué opción se debe elegir?
36.- A partir de una tasa nominal del 14%, calcular la tasa efectiva anual, si: A.- La capitalización es mensual (14% NMV) B.- La capitalización es bimestral (14% NBV) C.- La capitalización es trimestral ( 14% TV) D.- La capitalización es semestral (14% SV) E.- La capitalización es anual (14% AV) F.- Se puede afirmar que estas tasas son equivalentes?
37.- Se pide elegir entre estas dos opciones para aceptar un crédito bancario: 18% MV o 18% TV.
38.- Un banco le concede un crédito por 10.000.000 a una tasa de interés del 18% NMV. Cuál es la tasa efectiva mensual y cual el valor de los intereses del primes mes.
68
39.- De las siguientes opciones que tiene para aceptar un crédito bancario, cuál escogería? Primera opción
18% NTV
Segunda opción
17,74% NMV.
40.- A partir de una tasa efectiva del 1,5% mensual anticipada, calcular la tasa efectiva trimestral equivalente.
41.- Si un dólar vale $2180 y un Bolívar vale $1.03, cuántos bolívares vale un dólar?
42.- Se dice que una divisa es una moneda extranjera aceptada como medio de pago internacional. Cuáles de las siguientes monedas no se consideran divisas: COP, yen. Libra esterlina, bolívar, dólar, marco, quetzal.
43.- Si la inflación esperada para el año 2007 en Colombia es del 5% y la inflación esperada en USA es del 2,5%, cuál deberá ser la devaluación en condiciones de paridad cambiaria?
44.- Un banco le concede un crédito al DTF(N.M.V) + 400 p.b. Si la DTF =3,48% (E.A) Cuál será el COSTO EFECTIVO ANUAL ANTES DE IMPUESTOS(C.E.A.A.I) Y cuál será el C.E.A..D.I ?
45.- Un banco le concede un préstamo con plazo de 1 año y le plantea la posibilidad de elegir entre las dos tasas de interés siguientes. Seleccione la mejor opción.
Opción 1 : DTF(T.V) + 600 p.b
Recuerde que 100 p.b =1%
Opción 2 : 12,57% N.T.A
DTF ( E.A ) =3,48 %
69
46.- Se recibe un préstamo en el día de hoy por 50.000 USD a un interés del 9% anual. El cambio en el día de hoy es de 1USD= 2180 COP. La devaluación se estima en un 4%. Calcular el C.E.A.A.I Calcular el C.E.A.D.I.
47.- Un inversionista constituye un CDT por valor de 50.000.000 el 10 de Febrero de 2007 a una tasa del 3,40% E.A a 90 días. Calcular: A.- El valor neto a recibir (capital + intereses) B.- Rendimiento neto (después de impuestos)
48.-Para un préstamo a una tasa de DTF(E.A)
+ 200 p.b, se pide calcular el
C.E.A.A.I y el C.E.A.D.I.
49.- Se constituye un CDT en el Banco de Crédito por valor de 40.000.000 a una tasa de interés del 8% N.T.V a un plazo de 90 días. Calcular: Valor de los rendimientos Valor de la retención en la fuente (retefuente sobre rendimientos financieros del 7%) Valor neto a pagar, en 4 y en %. Rendimiento real para el trimestre. (Inflación del trimestre 3,25%)
70
7
CAPITULO 5
ANAULIDADES, GRADIENTES , AMORTIZACION Y CAPITALIZACION.
7.1
INTRODUCCION.
Cuando se vive en arrendamiento, cada mes, al inicio de él , se debe pagar la renta para poder disfrutar de un techo al menos durante los siguientes 30 días.
Cuando Ud solicita 20 millones para poder comprar un vehículo, que le permita resolver su problema de transporte y la entidad financiera entrega dicho capital a una tasa del 1,5% mensual, Vd. deberá pagar 36 cuotas de $ 723.047,91.
Para terminar su pregrado hacen falta 24 meses. Ud desea reunir 20 millones para ir de viaje de grado y decide depositar en un fondo que le reconoce una tasa del 0,8% mensual 20 mensualidades de $ 759.210,50
Los ejemplos anteriores son una muestra de lo que representa una anualidad. Entonces, que es una ANUALIDAD?
Una ANUALIDAD es una serie de pagos que cumplen con las siguientes condiciones:
1.- Todos los pagos son de igual valor 2.- Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo 3.- A todos los pagos o cuotas se les aplica la misma tasa de interés. 4.- El número de pagos es igual al número de periodos.
71
7.2
CLASIFICACION DE LAS ANUALIDADES
CLASES: ANUALDIDADES CIERTAS
ANUALIDAD ORDINARIA O VENCIDA: Es aquella en la cual los pagos se hacen al final de cada periodo, por ejemplo el pago de salarios a los empleados, ya que primero se realiza el trabajo y luego se realiza el pago. Se representa así:
ANUALIDAD ANTICIPADA: En esta los pagos se hacen al principio del periodo, por ejemplo el pago mensual del arriendo de una casa, ya que primero se paga y luego se habita en el inmueble.
VARIABLES: Plazo de una anualidad:
El tiempo que transcurre entre el principio del primer periodo y el final del último periodo se denomina plazo de la anualidad y se representa por la letra n.
Valor de una anualidad ordinaria Una anualidad tiene dos valores: El valor presente ( P ): Todos los pagos son trasladados al inicio anualidad. P = Ax { 1
- ( 1 + i% )^ -n } i% 72
de la
En donde: P es el valor presente de todos los pagos A es el pago, cuota o anualidad i % es la tasa de interés n es el plazo de la anualidad. Recordemos que el periodo de la tasa de interés debe coincidir con el plazo de la anualidad, es decir que si la tasa es mensual, el plazo de la anualidad debe estar expresado en meses.
El valor futuro (F) : todos los pagos son trasladados al final de la anualidad. F = Ax [ (1 + i% )n -1] /( i% )
Ejemplo 1.
Un documento estipula pagos trimestrales de $80.000 durante seis años. Si este documento se cancela con un solo pago A) Al principio B) al final. Determinar el Valor presente y el Valor futuro de la anualidad suponiendo un interés del 16% NTV o 16% CT(Capitalizable triemestralmente)
SOLUCIÓN: El número de pagos es n= 4 X 6= 24 A= $80.000
A) i= 16/4= 4% efectivo trimestral P= 80.000 (1- (1+0,04)-24) / 0,04 P= $1.219.757,05
Ahora utilizando la calculadora financiera Casio FC-100V o Casio FC-200V Pulse CMPD Aparece: 73
Compound Int. Set:End n=24 I%=4 PV ??? PMT =80000 FV=0 P/Y=1 C/Y=1 Nos situamos en PV y presionamos SOLVE PV = -1.219.757,05 Ahora resolvemos el mismo ejercicio utilizando la hoja de cálculo Excel. Utilizamos Fx , financieras y buscamos VA (VALOR PRESENTE.)
Hacemos CLICK en aceptar y aparece la siguiente ventana
74
Volvemos a Aceptar:
B) Ahora calculamos el valor futuro: F= 80.000 ((1+,04)24 - 1)/(0,4x(1+0,04)24) F= 3.126.608,33
Ahora utilizando la calculadora financiera Casio FC-100V o Casio FC-200V
Pulse CMPD Aparece: Compound Int. Set:End 75
n=24 I%=4 PV =0 PMT =80000 FV=???? P/Y=1 C/Y=1 Nos situamos en FV y presionamos SOLVE FV = -3.126.606,33
Ahora utilicemos la hoja de cálculo Excel
Presionamos “Aceptar”
76
Presionamos “Aceptar”
Ejemplo 2. Una deuda de $50.000.000 se va a cancelar mediante doce pagos uniformes de $A c/u. Con una tasa del 2% efectivo para el periodo, hallar el valor de la cuota situando A) la fecha focal hoy y B) la fecha focal en doce meses.
Resuelva analíticamente, con calculadora y en Excel. 7.3
ANUALIDADES DIFERIDAS
Una anualidad diferida es aquella en que el primer pago se efectúa después de transcurrido cierto número de periodos. EJEMPLO 1 Una deuda de $80.000.000 se va a cancelar mediante 20 pagos trimestrales de $A cada uno. Si el primer pago se efectúa exactamente al año de haberse prestado el dinero, calcular A con una tasa del 16% NTV. SOLUCIÓN
77
Se observa que el primer pago está en el periodo 4 que corresponde al final del primer año. La anualidad debe comenzar en el punto 3 y terminar en el punto 23, además, su valor presente deberá trasladarse al punto 0 donde se ha puesto la fecha focal. La ecuación de valor será:Calculamos el Valor presente de los 20 pagos, en el inicio de la anualidad que es el punto 3.Llamemos éste valor como P1 P1 = Ax { 1
- ( 1 + i% )^ -n } i%
P1 = Ax { 1
- ( 1 + 0,04 )^ -20 } 0,04
Luego este valor, lo llevamos al punto focal, que es cero (0), multiplicando lo anterior por (1+0,04)-3
80.000.000 = Ax { 1
- ( 1 + 0,04 )^ -20 } x (1+0,04)-3 0,04
Resolviendo para A, nos da:
A=6.621.556.96, valor de la cuota trimestral, la
primera de ellas se paga en el periodo 4 y la ultima en el periodo 23. 7.4
ANUALIDADES PERPETUAS o PERPETUIDADES.
Una anualidad que tiene infinito número de pagos, se denomina perpetuidad, algunas veces denominada infinita, cuando el número de pagos es muy grande. Este tipo de anualidades se presenta, cuando se coloca un capital y únicamente se retiran los intereses. La anualidad perpetua se representa:
78
Obviamente, solo existe valor presente que viene a ser finito, porque el valor final será infinito VP = Lim n-- A (1- (1+i)-n)/i) VP = A / i% Ejemplo Un filántropo realiza un depósito por 1000 millones de pesos, para que trimestralmente, se retire una cuota para el mantenimiento. Si sobre dicho depósito se espera recibir una tasa del 2% trimestral. Cuál será el valor de la cuota a retirar? Para una perpetuidad se tiene que VP = A / i %. Reemplazamos: 1.000.000.000 = A / 0,02 A = $20.000.000 7.5
ANUALIDADES GENERALES
En las anualidades generales los periodos de pago no coinciden con el periodo de la tasa de interés, como sería el caso de una serie de pagos trimestrales con una tasa efectiva semestral. Este tipo de anualidades se pueden resolver haciendo que el periodo de la anualidad coincida con el periodo de la tasa de interés. Se puede realizar de dos formas:
79
1.- Consiste en calcular los pagos equivalentes, que deben hacerse en concordancia con los periodos de las tasas de interés. Es decir encontrar el valor de los pagos que realizados al final de cada periodo de interés, sean equivalentes al pago único que se hace al final de un periodo de pago. 2.- Haciendo uso del concepto de equivalencia se mo0difica la tasa de interés, para que coincida con la los periodos de los pagos. Ejemplo Calcular el monto o valor futuro de 20 pagos trimestrales de $500.000, suponiendo una tasa de 18%NMV. 1.- Consideremos un periodo trimestral, en el cual se debe pagar una cuota de $500.000.Consideremos entonces que el pago trimestral, se descompone en tres cuotas mensuales, a la tasa del 18%/12=1,5% mensual.
Utilizando la formula que permite calcular el valor futuro de una anualidad vencida, tenemos: F = Ax [ (1 + i% )n -1] /( i% ) 500.000 = Ax [ (1 + 0,015 )3 -1] /( 0,015)
Resolviendo para A, produce el siguiente resultado: A= $164.191.48
80
2.- Esto conlleva a una nueva anualidad
F = Ax [ (1 + i% )n -1] /( i% )
Y resolviendo para F, se obtiene: F = 164.191.48x [ (1 +0,015 )60 -1] /( 0,015 ) =$15.797.626.07
2.- Método Se busca una tasa efectiva trimestral equivalente al 18%NMV. E= (1+ i%)m -1 E= (1+0.015)12 -1 E= (1+ i%)4 -1
corresponde al tasa efectiva anual del 18%NMV
corresponde a la tasa efectiva anual para una tasa NTV
Igualando y resolviendo para i%, (1+0.015)12 -1 = (1+ i%)4 -1
I % =4,5675%
Esto conduce a la siguiente anualidad:
81
F = 500.000x [ (1 +0,045675 )20 -1] /( 0,045675 ) =$15.797.626.07
7.6
SISTEMAS DE AMORTIZACION
Supongamos que Ud desea comprar un vehículo con las siguientes condiciones: Valor del vehículo: 30.000.000 Cuota inicial
: 30%
Valor cuota inicial = 30.000.000 x 0,30= 9.000.000 Luego el saldo a financiar será = 30.000.000 – 9.000.000= 21.000.000
Consideremos que Ud, consigue un plazo de cinco años( n=5) y una tasa de financiación del 10% anual. Para facilidad considere que los pagos son anuales. Ud. desea saber cuál sería la cuota anual (que puede ser mensual, generalmente, o trimestral etc), que debería pagar (anual o mensual, o trimestral) para amortizar la deuda?
Claro, lo primero que Ud. se pregunta qué es AMORTIZAR? R/ AMORTIZAR ES PAGAR LA DEUDA.
¿Qué otro nombre recibe el PAGO o CUOTA o ALÍCUOTA? El PAGO, (anual, mensual o trimestral, etc) también se le llama SERVICIO DE LA DEUDA. Y como está formado éste PAGO o SERVICIO DE LA DEUDA? Está formado por los INTERESES y por el ABONO A CAPITAL o PRINCIPAL. 82
Para amortizar las deudas, existen diferentes planes de amortización.
Entonces, consideremos ahora el primer sistema de amortización.
7.7
ABONOS IGUALES A CAPITAL e INTERESES SOBRE SALDOS.
Como el capital, que se adeuda después de pagar la cuota inicial, son $21.000.000 y el plazo es de 5 años, esto significa que el ABONO A CAPITAL = 21.000.000 / 5 =$4.200.000.
Entonces, para el primer año( o mes o trimestre, etc), cuánto valen los intereses?
Como el saldo inicial son 21.000.000 y la tasa que le están cobrando es del 10% anual (puede ser mensual o trimestral) y es para 1 periodo (año, mes, trimestre, etc.), entonces I =21.000.000X0, 10X1= 2.100.000.
Entonces, cuánto vale el PAGO, la ALÍCUOTA o CUOTA o SERVICIO DE LA DEUDA?
PAGO
O
SERVICIO
DE
LA
DEUDA=
4.200.000
(abono
a
capital)
+
2.100.000(INTERÉSES)=6.300.000 Cuánto vale el Beneficio Tributario (B.T )= Gasto intereses x tasa de impuestos= 2.100.000 x 0.33=$693.000
Cuál es el saldo para el segundo año, después del primer abono a capital? Saldo inicial para el segundo año=21.000.000 – 4.200.000 =16.800.000. Intereses para el segundo año = 16.800.000 x 0,10 =1.680.000 Abono a capital = 4.200.000 PAGO O SERVICIO DE LA DEUDA AÑO 2 = 4.200.000 + 1.680.000 =5, 880,000 Ahora complete la TABLA DE AMORTIZACION
83
PERIODO
CUOTA ,PAGO
INTERESES o
ABONO
A SALDO
CAPITAL
BENEFICIO TRIBUTARIO
S.DEUDA 0
21.000.000
1
6.300.000
2.100.000
4.200.000
16.800.000
$735.000
2
5.880.000
1.680.000
4.200.000
12.600.000
$554.400
3
4.200.000
4
4.200.000
5
4.200.000
TOTAL
21.000.000
Se pregunta: ¿Cuál es el valor total de los intereses pagados?_______________________ ¿Cuál es el valor del Beneficio tributario?_____________________________
7.8
PAGOS
O CUOTA O SERVICIO DE LA DEUDA
IGUALES ANUALES
VENCIDAS (MENSUAL, TRIMESTRAL, SEMESTRAL, ETC.)
Esto significa, que HOY, se queda debiendo $21.000.000, que deben ser pagados en 5 cuotas anuales iguales vencidas. En el siguiente esquema se visualiza lo deseado:
Este flujo de caja recibe el nombre de ANUALIDAD O SERIE UNIFORME. LA PALABRA ANUALIDAD, no significa que las cuotas se paguen CADA AÑO. 84
Recordemos que la ANUALIDAD,CUOTA o PAGO se realiza periódicamente (cada año, semestre, trimestre, mes, etc.) La anualidad que aparece en el flujo de caja es VENCIDA, porque las CUOTAS O PAGOS, se hacen al vencimiento. Como interpretamos este flujo de caja?
Hoy, quedamos debiendo 21.000.000 y los vamos a pagar en 5 cuotas anuales iguales cuyo valor es A, a una tasa anual del 10%.
Como calcular A?
Despejando en la siguiente fórmula:
P = A x[ 1 - (1 + i% )- N ] i%
21.000.000 = A x[ 1 - (1 + 0,10 )- 5 ] 0,10
Como resolver en la calculadora? Presione la tecla CMPD. Que aparece?
Qué significa SET = END?
Que las CUOTAS O PAGOS O SERVICIO DE LA DEUDA O ANUALIDAD(A), se pagan al FINAL DE CADA PERIODO.
85
Y si apareciera SET = BEGIN?
Que las CUOTAS O PAGOS O SERVICIO DE LA DEUDA O ANUALIDAD(A), se pagan al INICIO DE CADA PERIODO.
COMO SE REALIZA LA TABLA DE AMORTIZACION?
Presione en su calculadora la tecla AMRT.
NO BORRE LOS CALCULOS REALIZADOS CON LA FUNCION CMPD
La función AMRT, le permite construir la TABLA DE AMORTIZACION. Para el periodo 1, donde dice PM1 presione 1 y EXE; donde dice PM2 presione 2 y EXE.
Esto significa que Ud va a calcular el SALDO O BALANCE ( BAL) ,LOS INTERESES( INT ), y el ABONO A CAPITAL O PRINCIPAL( PRN).
Para el periodo 2, escriba PM1=2 y PM2=2, es decir cuota 2 de 2. Y asi sucesivamente.
Entonces, sabiendo el procedimiento, llene la siguiente TABLA DE AMORTIZACION. 86
Ahora complete la TABLA DE AMORTIZACION PERIODO
CUOTA ,PAGO
INTERES o ES
ABONO
A SALDO
CAPITAL
TRIBUTARI
S.DEUDA
O
0 1
21.000.000 5.530.747.1
2.100.000
0 2
BENEFICIO
3.439.747.1
17.560.252.9
0
0
$735.000
5.530.747.1 0
3
5.530.747.1 0
4
5.530.747.1 0
5
5.530.747.1 0
TOTAL
Como calcular, por ejemplo los intereses acumulados entre el primero y el tercer periodo? Introduzca en la función de AMRT, PMI=1 y luego PM2=3, luego vaya a Σ INT y haga SOLVE. La respuesta aparece como Σ INT =5.233.676.40. Haga ESC. Luego baje hasta Σ PRN
y haga SOLVE. La respuesta que aparece Σ PRN
=11.385.562.89, este valor corresponde al ABONO TOTAL A CAPITAL DE LOS TRES PRIMEROS PERIODOS.
Ahora expliquemos el mismo procedimiento con la calculadora HP 17B II o 19B II
87
Como se realiza el proceso de AMORTIZACIÓN?
Pulsamos la tecla OTRO y posteriormente AMRT para encontrar un menú en el cual asignamos el número 1 a NO.P, presionando INT, CTAL y BAL, encontramos los valores para los INTERESES(INT), ABONO A CAPITAL(CTAL) y el SALDO(BAL) y luego pulsamos SGTE para pasar al periodo 2 y así sucesivamente.
88
Resolvamos el mismo ejercicio utilizando la hoja de cálculo EXCEL.
Abrimos la hoja Excel y realizamos el siguiente procedimiento:
1.- Colocamos los valores y luego nos situamos en la celda contigua a VALOR PAGO ANUAL y hacemos CLICK en el asistente de funciones de la barra de fórmulas ( fx), se despliega la ventana Insertar función y donde dice O seleccionar una categoría, seleccionamos FINANCIERAS
y en Seleccionar una función,
buscamos PAGO
Hacemos CLICK en Aceptar y aparece una ventana llamada ARGUMENTOS DE FUNCION, y vamos seleccionando lo que se nos pide: Tasa con la celda C7 Nper con la celda C8 Va con la celda C6 precedida del signo menos. Vf con el valor 0 Tipo con el valor
0, cuando es una anualidad vencida o 1 cuando es una
anualidad anticipada.
89
Hacemos CLICK en Aceptar y aparece el VALOR PAGO ANUAL =$5.539.747.10
7.9
PAGOS
O CUOTA O SERVICIO DE LA DEUDA
IGUALES ANUALES
ANTICIPADAS (MENSUAL, TRIMESTRAL, SEMESTRAL, ETC.)
Esto significa, que HOY, se queda debiendo $21.000.000, que deben ser pagados en 5 cuotas anuales iguales anticipadas. En el siguiente esquema se visualiza lo deseado:
90
Para resolver analíticamente, debemos descomponer la ANUALIDAD en dos partes: Una cuota que corresponde al valor de A situado en el punto 0, mas una anualidad vencida de 4 cuotas situadas en los periodos 1, 2,3 y 4.
Planteamos entonces la siguiente igualdad:
Resolvemos para A= 5.036.133.72
Utilizamos ahora el siguiente procedimiento para resolver con la calculadora:
Ahora realicemos la AMORTIZACION de la deuda, utilizando la calculadora:
91
Cuando se utiliza CUOTAS ANTICIPADAS, el interés del primer periodo es CERO.
Ahora complete la siguiente tabla de amortización. PERIOD
CUOTA
O
,PAGO
INTERESE o S
ABONO
A SALDO
CAPITAL
TRIBUTARI
S.DEUDA 0
5.036.133.7
O 0
2 1
2
5.036.133.7
15.963.866.2
2
8
5.036.133.7
1.596.386.6
3.439.747.1
12.524.119.1
2
3
0
8
5.036.133.7 2
3
5.036.133.7 2
4
5.036.133.7 2
5
BENEFICIO
0
TOTAL Ahora utilicemos la hoja de Excel.
92
0
558.735.32
Hacemos CLICK en Aceptar
Haciendo nuevamente CLICK en aceptar, nos da como resultado:
93
7.10 PAGOS
O CUOTA QUE AUMENTAN EN UNA CANTIDAD CONSTANTE
($500.000 POR EJEMPLO) CON RELACION A LA ANTERIOR.(SERIES ARITMETICAS CRECIENTES o GRADIENTES ARITMETICOS)
Como lo que se desea calcular es la CUOTA, coloquemos una cuota, por ejemplo de $1000, en el periodo 1 y luego para el periodo 2, tomemos el periodo 1 (1000) + 500.0000 y copiamos hacia abajo dicho valor.
94
Como el objetivo de la TABLA DE AMORTIZACION es que el valor del SALDO del último periodo sea CERO, nos situamos entonces en la celda donde aparece el valor $28.289.104.90 ,hacemos CLICK en
HERRAMIENTAS y luego
hacemos CLICK en BUSCAR OBJETIVO. En dicha ventana donde dice “Definir la celda” aparece G21, que corresponde a la celda donde aparece el valor $28.289.104.90; luego donde dice “Con el valor”, colocamos 0 y en cambiar la celda” nos situamos en $D$17, donde aparece la primera cuota.
Hacemos CLICK en Aceptar:
Hacemos CLICK en aceptar
95
“Para
Y luego nuevamente en Aceptar:
7.11 PAGOS O CUOTA QUE DISMINUYEN EN UNA CANTIDAD CONSTANTE ($500.000 POR EJEMPLO )CON RELACION A LA ANTERIOR.(SERIES ARITMETICAS DECRECIENTES)
La cuota 2, es igual a la cuota 1 ($1000) -$500.000; luego copiamos hacia abajo para determinar las cuotas 3,4 y 5.
96
El objetivo de la TABLA DE AMORTIZACION es que el valor del SALDO del último periodo sea CERO. Para ello utilizamos HERRAMIENTAS, BUSCAR OBJETIVO.
Hacemos CLICK en Aceptar:
Hacemos CLICK en Aceptar:
97
7.12 PAGOS
O CUOTA QUE CRECEN EN UN % CONSTANTE (10% POR
EJEMPLO) CON RELACION A LA ANTERIOR.(SERIES GEOMETRICAS CRECIENTES)
Buscamos nuevamente en “Herramientas” , “Buscar objetivo” y procedemos como en el caso anterior.
98
7.13 PAGOS O CUOTA QUE DECRECEN EN UN % CONSTANTE (10% POR EJEMPLO) CON RELACION A LA ANTERIOR.(SERIES GEOMETRICAS CRECIENTES)
99
La segunda cuota es igual a la primera($1000) menos el 10% de la primera($1000*0,10), y aparece el valor $900, y así sucesivamente. Ahora volvemos a realizar el procedimiento de los casos anteriores, “Herramientas” y “Buscar Objetivo”.
Hacemos CLICK en Aceptar y aparece;
100
Nuevamente Aceptar, quedando la siguiente tabla de Amortización.
7.14 PAGOS O CUOTAS IGUALES Y UNA CUOTA EXTRA
Consideremos para el caso que estamos estudiando, que el saldo de $21.000.000 se va a cancelar con cuotas anuales iguales de 5 millones y una cuota extra que se va a pagar en el año, por ejemplo,3 y cuyo valor se debe calcular.
Utilizamos el mismo esquema, pero a diferencia de los anteriores, llenamos las cuotas 1,2,3,4 y 5 con $4.000.000.
Luego utilizando HERRAMIENTAS, Buscar Objetivo. Nos situamos en la celda G18 (Definir la celda) y luego en “Con el Valor”, colocamos 0 y en “Para cambiar la celda”, nos situamos en la celda D16, que corresponde al año 3.
101
Hacemos clic en Aceptar.
Nuevamente clic en Aceptar.
102
En la celda correspondiente a la tercera cuota, aparece ahora el valor $11.768.851,24, lo que significa que la cuota extra es de $7.768.851,24 ($11.768.851,24-$4.000.000.)
7.15 LEASING (Tomado de Fedeleasing) 6.15.1 GENERALIDADES 7.16 QUE ES EL LEASING? En sentido amplio, el leasing es un contrato mediante el cual una parte entrega a la otra un activo para su uso y goce, a cambio de un canon periódico, durante un plazo convenido, a cuyo vencimiento, el bien se restituye a su propietario o se transfiere al usuario, si éste último decide ejercer una opción de adquisición que, generalmente, se pacta a su favor. La denominación "leasing" es una palabra en inglés, que viene del verbo "to lease" que significa "tomar o dar en arrendamiento", pero que no recoge de manera suficiente la complejidad del contrato, al ser especial y diferente al simple arriendo; sin embargo, la legislación y doctrina mundial, incluida Colombia, lo ha nominado "leasing".
7.17 CUALES SON LAS CARACTERÍSTICAS DEL CONTRATO DE LEASING? 1°- Es un contrato Bilateral; vale decir, hay obligaciones reciprocas entre las partes contratantes. Se entiende sinalagmático en el sentido de que las obligaciones generadas del mismo actúan las unas como causa de las otras. 2°- Es un contrato Consensual; para su perfeccionamiento basta la voluntad de las partes, y no se requiere solemnidad alguna. No obstante lo anterior, para fines probatorios, la mayoría de los contratos se hacen constar por escrito y en el caso de leasing inmobiliario, no es extraño que, además, se eleve a escritura pública. No obstante, el artículo 4 del Decreto 1787 del 3 de junio de 2004 señala que los contratos de leasing habitacional destinado a vivienda familiar deben celebrarse por escrito.
103
3°- Es Oneroso; ambos contratantes persiguen con su celebración un beneficio económico, gravándose cada uno en beneficio del otro. 4°- Es Conmutativo, puesto que existe un equilibrio entre las prestaciones de las partes. Las ventajas que esperan derivar las partes del contrato pueden ser determinadas desde el mismo momento de celebración del contrato. 5°- Es de tracto sucesivo, porque las obligaciones de las partes se van cumpliendo periódicamente durante la vigencia del contrato. Las obligaciones de las partes se cumplen a cada instante, periódico y continuamente. 6°- Es un contrato de naturaleza mercantil, dado que se celebra entre comerciantes y sobre bienes susceptibles de producir renta. Inclusive, si el locatario es una persona natural no comerciante, la compañía de leasing como arrendadora siempre es una sociedad comercial, lo que hace incuestionable el que el contrato se rija por las disposiciones de la ley mercantil. 7º- Es principal; subsiste por sí solo sin necesidad de otro contrato.
7.18 MODALIDADES DE LEASING Existen diversas modalidades de Leasing, todos las cuales se enmarcan en dos tipos fundamentales que son el Leasing Financiero y el Leasing Operativo. El Leasing Financiero es: un contrato en virtud del cual, una Compañía de Financiamiento Comercial, denominada LA LEASING, entrega a una persona natural o jurídica, denominada EL LOCATARIO, la tenencia de un activo que ha adquirido para el efecto y que éste último ha seleccionado para su uso y goce, a cambio del pago periódico de una suma de dinero (CANON) durante un plazo pactado y a cuyo vencimiento, el locatario tendrá derecho a adquirir el activo por el valor de la opción de adquisición
El Leasing Operativo es: un contrato en virtud del cual, una persona natural o jurídica,
denominada
LA
ARRENDADORA,
entrega
a
otra,
llamada
LA
ARRENDATARIA, la tenencia de un bien para su uso y goce, a cambio del pago de un canon o renta periódica.
104
7.19 CUALES
SON
LOS
ELEMENTOS
ESENCIALES
DEL
LEASING
FINANCIERO? 1°- La entrega de un bien para su uso y goce. 2°- El establecimiento de un canon periódico, que lleva implícito el precio del derecho a ejercer una opción de adquisición. 3°- La existencia, en favor del locatario, de una opción de adquisición al terminarse el plazo pactado en el contrato, que podrá ejercer siempre y cuando cumpla con la totalidad de las prestaciones a su cargo. 4°- Que el bien objeto del Leasing sea susceptible de producir renta. 7.20
CUALES
SON
LOS
ELEMENTOS
ESENCIALES
DEL
LEASING
OPERATIVO? 1° La entrega del bien. 2° El pago de un canon. 3° La aptitud del bien para producir renta. 7.21 EN QUE SE DIFERENCIA EL LEASING FINANCIERO DEL LEASING OPERATIVO? La diferencia fundamental consiste en que en el leasing financiero siempre existe una opción de adquisición, pactada desde el inicio del contrato a favor del locatario,
mientras
que
en
el
operativo
sólo
se
presenta
esta
opción
excepcionalmente, y de existir, es por el valor comercial del bien (Opción de compra a precio comercial). En el leasing financiero, la vocación del bien es pasar al patrimonio del locatario, al paso que en el operativo es permanecer en poder del arrendador. La opción de adquisición en un leasing financiero puede estar determinada en valor en el contrato, o ser determinable siempre y cuando claramente se indique como llegar a su determinación y dicha determinación guarde relación con el valor del bien en el momento en que se inicie el contrato. La potencial opción de compra en un leasing operativo, como se dijo, se realiza por el valor comercial del bien, entendido éste valor como aquel precio en el mercado de
105
bienes de similares características al objeto del contrato, en un momento determinado y considerando el estado en que se encuentra.
EJEMPLO DE LEASING FINANCIERO
Supongamos que Ud desea tomar en ARRENDAMIENTO FINANCIERO un vehículo con las siguientes condiciones:
Valor del vehículo: $30.000.000 Consideremos que UD, consigue un plazo de cinco años( n=5) Tasa de financiación 10% anual. Opción de compra: 5% del Valor del Vehículo =$1.500.000
Esto significa que por el vehículo, cuyo valor es de $30.000.000 pagaremos 5 cuotas anuales iguales cuyo valor (A) se debe calcular y al finalizar el último año “compraremos“ el vehículo por la opción de compra que asciende a $1.500.000.
En términos matemáticos podemos expresarlo de la siguiente forma:
30.000.000 = valor presente de la anualidad (las 5 cuotas) + valor presente de la opción de compra. 30.000.000 = A x[ 1 – ( 1 + 0.10)- 5] / 0,10 + 1.500.000x( 1 + 0.10)-5
106
Resolvemos para A = $7.668.228.20
Periodo Cuota
Opción
de
compra 1
$7.668.228.20
2
$7.668.228.20
3
$7.668.228.20
4
$7.668.228.20
5
$7.668.228.20 $1.500.000
CON CALCULADORA FINANCIERA CASIO FC-200V O CASIO FC-100V
CON CALCULADORA HP 17 B II O 19B II.
107
7.22 CAPITALIZACION Cuando se habla de CAPITALIZACIÓN, se entiende el proceso mediante el cual, una persona natural o jurídica se compromete a reunir un capital. Por ejemplo, si Ud espera realizar una especialización en el exterior cuando se gradué en su pregrado, se proponer reunir 100 millones de pesos, unos 45 mil dólares de hoy. Ud desea saber cuánto debe depositar trimestralmente en una entidad financiera que paga el 8% N.T.V, para alcanzar ésta meta durante los próximos 4 años. Para calcular la cuota trimestral a depositar, planteamos una ANUALIDAD VENCIDA, cuyo MONTO O VALOR FUTURO se conoce. En el esquema se presenta el FLUJO DE CAJA y luego el cálculo de la cuota anual empleando la formula para el valor futuro de una anualidad vencida. 108
Posteriormente se presenta la TABLA DE CAPITALIZACION.
Como calculamos los INTERESES? 109
INTERES=5.365.012.59 X 0,02 X1 = $107.300.25 INTERESES DEL SEGUNDO PERIODO
Y EL ACUMULADO? ACUMULADO ANTERIOR + DEPOSITO DEL PERIODO + INTERESES DEL PERIODO 5.365.012.59 +5.365.012.59 +107.300.25 = $
10.837.325,43 ACUMULADO DEL
SEGUNDO PERIODO Veamos ahora el procedimiento utilizando la calculadora financiera Casio 100 o 200.
Y Ahora con la calculadora HP 17 B II o 19 B II
110
7.23 EJERCICIO EN CLASE
1.- Se desea comprar una tracto mula bajo las siguientes condiciones: COSTO =350.000.000 CUOTA INICIAL:
30%
Plazo 5 años Tasa mensual:
1,5%
Se pide realizar la amortización bajo los siguientes sistemas: 1.- Abonos iguales a capital e intereses sobre saldos. 2.- Cuotas mensuales iguales vencidas 3.- Cuotas mensuales iguales anticipadas 4.- Cuotas mensuales iguales que aumentan en $100.000 en relación a la anterior. 5.- Cuotas mensuales iguales que disminuyen en $100.000 con relación a la anterior. 6.- Cuotas mensuales iguales que aumentan en un 5% en relación con la anterior. 7.-Cuotas anuales iguales que disminuyen en un 5% en relación con la anterior. 8.- Leasing financiero sobre el total del costo y una opción de compra del 10% sobre el costo 9.- Cuotas mensuales iguales de 5.000.000 y una cuota extra que se debe calcular en el mes 36.
111
8
CAPÍTULO 6
COSTO DE CAPITAL
8.1
COMO FINANCIAR LA EMPRESA?
Con deuda y/o con capital propio Si se financia con deuda, el costo financiero es menor pero el riesgo es mayor. Si la financiación es con capital, el costo es mayor, pues los dueños son las que más desean ganar, pero el riesgo es menor.
ESTRUCTURA FINANCIERA: Indica la forma como la empresa está financiando sus INVERSIONES, ES DECIR SUS ACTIVOS. Ejemplo: DEUDA
300 millones
CAPITAL
700 millones
TOTAL
1000 millones
Esto Significa que la empresa se está financiando en un 30% (300/1000) con deuda y un 70% (700/1000) con capital.
Cada uno de los componentes tiene un costo, por ejemplo, la deuda se consigue al 10% N.T.V, es decir al 10.38% (E.A), pero recordemos que la deuda es deducible de impuestos, lo que significa que tienen BENEFICIO TRIBUTARIO, luego el C.E.A.D.I = 10.38% X0.65 = 6.75%.
Y cuál es el costo de los aportes de los dueñosl? Inicialmente podemos decir que es la T M R R (TASA MÍNIMA DE RENDIMIENTO REQUERIDO) o TIO (TASA DE INTERÉS DE OPORTUNIDAD). Supongamos que la T M R R , sea 15% (Esta es la rentabilidad que ellos, los dueños, esperan ganarse).
112
Recordemos que el COSTO DE LOS APORTES DE LOS DUEÑOS,, no es DEDUCIBLE DE IMPUESTOS, ES DECIR NO TIENE BENEFICIO TRIBUTARIO, luego el costo de LOS aportes de los dueños es del 15%.
Entonces, que es el COSTO DE CAPITAL? Lo que le cuesta a la empresa financiar sus activos. Cómo se calcula? COMO EL COSTO PROMEDIO PONDERADO DE LAS DIFERENTES FUENTES DE FINANCIACION.
Para calcularlo utilice el siguiente modelo:
FUENTE MONTO($)
PESO (%) (A)
C.E.A.D.I (B) PONDERACIÓN(A X B)
Deuda
300
30%
6.75%
2.025%
Capital
700
70%
15%
10.50%
TOTAL
1000
100%
12.525%
Que representa el 12.525%? El costo de capital (CK) o el COSTO PROMEDIO PONDERADO DE CAPITAL (C.P.P.C) o en inglés W.A.C.C (Weighted Average Cost of Capital )
Esto significa, que la deuda contribuye con un 2.025% al costo de capital y el capital lo hace con un 10.50%.
8.2
CUAL ES EL COSTO DE FINANCIAR LOS ACTIVOS?
ACTIVOS X WACC = 1000 X12.525% = $125.25
113
Si la UTILIDAD OPERATIVA, fuera de 400 millones, entonces la UTILIDAD OPERATIVA DESPUÉS DE IMPUESTOS (U.O.D.I), sería: U.O.D.I = U.O X 0.65 =400 X 0.65 = 260 millones.
Si comparamos el costo financiero de mantener los activos ($125.25 millones) con la U.O.D.I ( 260 millones), vemos que la UODI es mayor que el Costo financiero, lo que nos indica que la empresa ESTA CREANDO VALOR. Y como se mide el valor creado por la empresa?
Utilizando el concepto de EVA (ECONOMIC VALUE ADDED).
EVA = U.O.D.I - ACTIVOS X CK Entonces el EVA = 260 – 1000X12.525% =260-125.25=134.75
Si la estructura financiera fuera 70% de deuda y 30% de capital, se pregunta: Cuál es el CK o WACC ?_______________ Cuál es la participación de la deuda?__________ Y cuál la participación del capital?__________ Cuanto vale ahora el EVA?____________
Si la estructura financiera fuera 40% de deuda y 60% de capital, se pregunta: Cuál es el CK o WACC ?_______________ Cuál es la participación de la deuda?__________ Y cuál la participación del capital?__________ Cuanto vale ahora el EVA?____________
8.3
CONCLUSIONES
114
9
CAPITULO 7
APLICACION EN EVALUACION FINANCIERA DE PROYECTOS.
9.1
INTRODUCCIÓN
El objetivo de la evaluación de un proyecto es determinar lo atractivo o viable que el proyecto es a la luz de diferentes criterios, los cuales determinan diversos tipos de evaluación, a saber: evaluación institucional, evaluación Técnica, evaluación financiera, evaluación económica, evaluación social y evaluación ambiental.
9.2
Evaluación institucional
Examina la función administrativa- institucional del proyecto para verificar que su organización y manejo permitirán su normal desarrollo, tanto en la fase de inversión como en la operacional. En particular, mira la estructura interna del proyecto, el personal que tendrá a su cargo el proyecto y las relaciones dentro de la institución y por fuera de ella que afectan su funcionamiento.
9.3
Evaluación técnica
Debe ser realizada por los ingenieros y personal técnico asociados con el estudio del proyecto. Busca definir la viabilidad de las distintas alternativas de producir el bien o de prestar el servicio, manteniendo fijas las condiciones propias de la localización del proyecto, para lo cual examina la tecnología propuesta, los procesos productivos o de prestación del servicio y la compatibilidad con la disponibilidad de recursos e insumos en el área del proyecto. 115
9.4
Evaluación financiera
Define, desde el punto de vista de un inversionista, si los ingresos que recibe son superiores a los dineros que aporta. Se basa en las sumas de dinero que el inversionista recibe, entrega o deja de recibir y emplea precios del mercado o precios financieros para estimar las inversiones, los costos de operación y de financiación y los ingresos que genera el proyecto. 9.5
Evaluación económica
Examina, en términos de bienestar y desde el punto de vista de la nación como un todo, hasta qué punto los beneficios económicos generados por el proyecto son superiores a los costos incurridos. Utiliza los precios económicos, también llamados precios de eficiencia o precios sombra o precios de cuenta.
9.6
Evaluación social
Trata de identificar quiénes reciben los beneficios económicos del proyecto y quiénes asumen sus costos, desde el punto de vista de la nación como un todo. Parte de la evaluación económica, a la cual se hacen ajustes basados en el objetivo nacional de redistribución a los sectores de la población de menos ingresos.
9.7
Evaluación ambiental
Busca asegurar que el proyecto no traerá consigo impactos negativos sobre el medio ambiente, tales como contaminación del aire, contaminación de corrientes de aguas naturales, ruido, destrucción del paisaje, separación de comunidades que operan como unidades, etc.
116
Este capítulo se centra en la evaluación financiera del proyecto y los siguientes dos capítulos en la evaluación económica y social y en la evaluación ambiental, respectivamente.
9.8
Métodos que tienen en cuenta el valor del dinero en el tiempo para evaluar financieramente un proyecto.
Conocidos como métodos de flujo de efectivo descontado: • Valor presente neto - VPN (i) • Tasa interna de retorno - TIR • Tasa única de retorno - TUR(i), o verdadera rentabilidad - VR(i) • Tasa verdadera de retorno - TVR (i) • Relación beneficio-costo - (B/C) (i) • Costo uniforme equivalente - CUE (i) • Valor futuro del flujo de efectivo - VFFE (i,T) • Tasa de crecimiento del patrimonio-TCP(i,T)
Las conclusiones que se obtienen al aplicar los métodos del primer grupo, es decir los que no tienen en cuenta el valor del dinero en el tiempo(periodo de recuperación de la inversión,PRI; tasa de retorno contable, TRC; Relación entre los ingresos netos menos la depreciación y el cargo por depreciación - (IN - D)/D; Relación entre los ingresos netos y el valor en libros de la inversión - IN/VL, proporcionan poca información para la toma de decisiones; de hecho, son métodos incorrectos para evaluar financieramente un proyecto. Se aborda su estudio con fines meramente informativos, para que el lector entienda su significado y pueda identificar su aplicación en casos concretos.
Valor Presente Neto, VPN (i)
El valor presente neto de un proyecto, a una tasa de interés i, es igual a la sumatoria del valor presente de los ingresos netos, a una tasa de interés i, menos la sumatoria del valor presente de los egresos netos, a una tasa de interés i. 117
Si i es la tasa de interés de oportunidad del inversionista, TIO, entonces: Si el VPN (i)< 0 : el proyecto no se justifica desde el punto de vista financiero, los dineros invertidos en el proyecto rinden menos que i.
Si el VPN (i) = 0 : el proyecto es indiferente. Los dineros invertidos en el proyecto rinden exactamente i.
VPN (i)> 0 : el proyecto se justifica desde el punto de vista financiero. Los dineros invertidos en el proyecto rinden más que i
El valor presente neto de un proyecto, a una tasa de interés i, es la ganancia extraordinaria que genera el proyecto, medida en unidades monetarias actuales. Si es positivo, es lo que tienen que pagar para poder ceder el proyecto; si es negativo, es lo que cuesta llevar a cabo el proyecto o lo que se está dispuesto a pagar para que otro lo lleva a cabo.
Tasa interna de retorno, TIR
La tasa interna de retorno de un proyecto es la tasa de interés que hace que el valor presente neto del proyecto sea igual a cero. Si VPN (i) = 0, entonces TIR = i La TIR, también denominada tasa interna de rendimiento, es la medida más adecuada de la rentabilidad de un proyecto.
Si i es la tasa de interés de oportunidad del inversionista, entonces: Si la TIR < i : el proyecto no se justifica desde el punto de vista financiero, en donde i es la tasa de interés de oportunidad del inversionista.
Si la TIR = i : el proyecto es indiferente Si la TIR > i : el proyecto se justifica desde el punto de vista financiero
Significado de la TIR
118
La TIR es una característica propia del proyecto, totalmente independiente de la situación del inversionista; es decir, de su tasa de interés de oportunidad o TIO. La TIR de un proyecto es la tasa de interés que devengan los dineros que permanecen invertidos en el proyecto.
Desventaja de la TIR
La principal desventaja de la TIR es que su comportamiento está relacionado con la forma del flujo de efectivo neto del proyecto. Algunos flujos de efectivo no presentan solución para la TIR, otros tienen una sola solución y existen otros que presentan múltiples soluciones. Lo aconsejable es emplear el criterio de la TIR sólo cuando el flujo de efectivo neto sea convencional; es decir, cuando en los primeros períodos del proyecto tenga flujos netos negativos y después flujos netos positivos.
Relación beneficio - costo, (B/C) (i)
La relación beneficio - costo de un proyecto a una tasa de interés i es el cociente que resulta de dividir la sumatoria del valor presente de los ingresos netos a una tasa de interés i entre la sumatoria del valor presente de los egresos netos a una tasa de interés i.
Análisis
Si i es la tasa de interés de oportunidad del inversionista, entonces: Si la RBC< 1: el proyecto no se justifica desde el punto de vista financiero Si la RBC (i) = 1 : el proyecto es indiferente Si la RBC > 1: el proyecto es atractivo desde el punto de vista financiero.
EJERCICIO DE EVALUACIÓN FINANCIERA Se pide evaluar un proyecto, cuyo Flujo de Caja se conoce, calculando los siguientes indicadores: 1.- Relación Beneficio/Costo 119
2.- Valor presente neto (VPN) 3.- Tasa interna de retorno (TIR) 4.- Tasa interna de retorno modificada. (TIRM) Considere como tasa de descuento el 20% que corresponde al CK.
1.- RELACIÓN BENEFICIO/COSTO
Por definición B/C =VPI(i) / VPE(i), en donde i=20%, la tasa de descuento que permite traer a pesos de hoy, los flujos de caja. VPI(20%)=7000*(1+0.20)^-1 +8000*(1+0.20)^-2 +3000*(1+0.20)^-3 =$13.125 VPE(20%)= $10.000 Relación B/C = $13.125/10.000= 1.3125 Cuál es el significado de ésta relación? Que los ingresos, a pesos de hoy, son 1.3125 veces mayor que los costos a pesos de hoy, luego el proyecto es viable. CRITERIO DE DECISIÓN: Si RELACIÓN B/C > 1, EL PROYECTO ES VIABLE Si RELACIÓN B/C = 1, EL PROYECTO ES INDIFERENTE 120
Si RELACIÓN B/C <0 1, EL PROYECTO NO ES VIABLE
2.- VALOR PRESENTE NETO Por definición el VPN (i) = VPI (i) – VPE (i ), en donde i = CK o WACC. o T.M.R.R. Como VPI(20%)= $13.125 VPE(20%) = $10.000 El VPN(20%)= $13.125 - $10.000=$3.125 Que significa éste indicador? Que a pesos de hoy las ganancias del proyecto son $3.125 millones y por lo tanto el proyecto es viable.
CRITERIO DE DECISIÓN: SI VPI > VPE , EL VPN > 0, Y EL PROYECTO ES VIABLE SI VPI =VPE, EL VPN =0 , EL PROYECTO ES INDIFERENTE SI VPI < VPE, EL VPN < 0, EL PROYECTO NO ES VIABLE. USO DE LA CALCULADORA FINANCIERA CASIO Si va a utilizar calculadora Casio FC-100V o Casio FC-200V, realice el siguiente procedimiento: Presione CASH Aparece lo siguiente: Cash Flow I% = 20% Aquí introduce el WACC o Tasa de descuento y luego presiona EXE. Luego presione: Csh=D.Ediitor x EXE y en la matriz que aparece, vaya introduciendo los flujos de caja así: (-)10000 exe 7000 exe 8000 exe 3000 exe Presione ESC Aparece: Cash Flow I%=20 121
Csh=D.Editor x Haga Solve en NPV Aparece el resultado NPV=3.125 CASIO VERSIÓN ANTERIOR 100 o 200 Para almacenar los flujos de caja, utilice el siguiente procedimiento: -10000 CFj 7000 CFj 8000 CFj 3000 CFj Luego almacene la tasa de descuento 20 i % Luego presione NPV Exe , el resultado es de $3.125
HEWLETT PACKARD 17B II Siga el siguiente procedimiento: Busque el Menú principal:
Presione FIN Aparece el SUB MENU :
Presione F.CAJ y encuentras el siguiente sub-menú.
Presione la tecla CALC: Aparece: ¿BORRO LA LISTA? Presione SI Aparece:
Ahora comenzamos a almacenar el flujo de caja, así: 10000 +/- IMPUT 122
7000 IMPUT IMPUT 8000 IMPUT IMPUT 3000 IMPUT IMPUT Presione ahora la tecla EXIT Aparece :
Presione CALC y aparece el siguiente submenú: TOTAL
%TIR
I%
VAN
SNU
VFN
Almacene la TASA DE DESCUENTO o W.A.C.C. del 20%, presionando la tecla
I%
Ahora presione la tecla VAN, para calcular el Valor Presente Neto, Obteniéndose: VAN = 3.125.00
3.- TASA INTERNA DE RETORNO 3.1.- La TIR es la rentabilidad del proyecto 3.2.- También se puede definir como la tasa de interés que hace que el VPN sea igual a cero (VPN=0) Esto significa que si los flujos de caja del proyecto, se descuentan a ésta tasa de interés (TIR),el valor es CERO. VPN(i)=_ ( FCj / (1+i) n = 0 Vamos a plantear la función, que nos permite calcular la TIR. VPN(i%)=7000x(1+i%)^-1 + 8000x(1+i%)^-2 + 3000x(1+i%)^-3 -10000 = 0 (1) Para resolver i%, podemos utilizar: A.- Análisis numérico B.- Error y ensayo C.- Calculadora financiera D.- Excel
A.- Análisis numérico: éste método requiere haber cursado Análisis numérico.
B.- Solución por error y ensayo Consiste en dar valores a i% y calcular el VPN, para obtener la siguiente tabla: 123
Tasa descuento VPN o VAN 0% 8.000,00 5% 6.514,42 10% 5.229,15 15% 4.108,65 20% 3.125,00 25% 2.256,00 30% 1.483,84 35% 794,09 40% 174,93 42% (55,21) 45% (383,37)
Analizando la tabla, encontramos que la TIR, debe estar entre 40% y 42%, intervalo en el cual el VPN o VAN, cambia de signo, lo que indica que existe una Solución. Procedemos ahora interpolar entre 40% y 42%, para calcular la i% que hace que el VPN, sea 0. El proceso de interpolación se formula así: (0,40 – i%) / (0,40 – 0,42) = (174,93 – 0) / (174,93 –(-55,21))
Resolviendo para i% , se obtiene un valor de 41,52% que corresponde a la TIR. Si reemplazamos éste valor en (1), el resultado da cero o muy cercano C.- Con calculadora financiera En el procedimiento utilizado para calcular el VPN o VAN en cualquiera de las calculadoras explicadas anteriormente, presione IRR( internal return rate) y obtendrá que IRR=41,51%, que difiere muy poco del obtenido por ensayo y error. D.- Con Excel Recordemos el Flujo de caja del proyecto: PERIODO 0 1 2 3
F.CAJA -10000 7000 8000 3000
En la hoja de Excel, vaya a “insertar función” (fx) y donde dice “O seleccionar una categoría”, busque Financieras y en “seleccionar una función” busque TIR como aparece señalada en el siguiente gráfico: 124
Haga click en “Aceptar” y parece la ventana “Argumentos de función” y en “Valores” señale el intervalo C4:C7
Luego haga click en “Aceptar”
125
Se obtiene el valor de 41,51% el mismo obtenido con calculadora y muy simialr al obtenido por “ensayo y error”
4. TASA INTERNA DE RETORNO MODIFICADA O VERDADERA RENTABILIDAD (TIRM). La verdadera tasa de rentabilidad del inversionista es un valor intermedio entre el W.A.C.C. y la TIR. Para calcularla realice el siguiente procedimiento: 1.- Considere que los flujo de caja del proyecto, no se reparten entre los socios, sino que se reinvierten al menos a una tasa igual al W.A.C.C o la TMRR , y calcule el Valor Futuro de dichos Flujos. Este valor sería el que recibirían los socios al final de la vida útil del proyecto. VF = _FCj*(1+i )^n 2.- Luego calcule el VP de los egresos del proyecto VP = _FCj*(1+i)^-n 3.- Entonces el proyecto se reduce a invertir VP y recibir al cabo de n años (para nuestro caso, 3 años) un valor VF. Entonces debemos calcular la tasa i, que hace que el VP sea equivalente a VF al cabo de n años( 3 para nuestro caso), dicha tasa es la verdadera rentabilidad o TIRM.
CRITERIO DE DECISIÓN: Si se cumple que W.A.C.C < TIRM < TIR, entonces el proyecto se debe aceptar.
126
CRITERIO DE DECISIÓN: Para el proyecto en cuestión se cumple el criterio de selección: TIO( 20%) < TIRM(31,39%) < TIR(41,51%), entonces el proyecto se debe aceptar.
9.9
EJERCICIO DE APLICACIÓN
1.- Se analiza la posibilidad de instalar una agroindustria que requiere una inversión inicial de 1.000 millones, repartidos así:
(Valores en millones de pesos) Factibilidad y preoperativos
20
Tierra
280
Adecuación
200
amortizar
Equipos
450
depreciar en 3 años
Capital de trabajo
50
Se recupera a los 3 años
Total
1000 127
amortizar
El primer supuesto será que ésta empresa operaría en un país sin inflación. Para simplificar, se supone que los equipos tienen tres años de vida útil, al final de los cuales se pueden vender por 50 millones. En cuanto a la tierra, se supone su venta al cabo de los tres años por 600 millones, como consecuencia de las mejoras, la adecuación y la valorización. El producto final se vende en 1.000 por unidad con un costo variable de 500. Los costos fijos, sin incluir depreciación ni intereses, ascienden a 100 millones por año. Se espera que la producción se incremente de un millón de unidades en el primer año a 1.5 millones en el segundo, para estabilizarse en 2 millones en el tercer año. Tasa de impuestos: 33 % Los socios aportarían 700 millones como capital y se conseguiría un crédito por los otros 300 millones con un interés del 10% anual sobre saldos .Amortización: abonos iguales a capital e intereses sobre saldos. Plazo 3 años Depreciación en línea recta a 3 años. La TMRR de los dueños es del 15%. Se pide:
1.- Estado de resultados
2.-Calcular el costo de capital, como tasa de descuento.
3.- Estado de Flujo de Efectivo
4.- Evaluar el proyecto utilizando: B/ C, VPN, TIR .
5.- Demuestre que la TIR es la rentabilidad de los dineros que aun permanecen invertidos en el proyecto. Gráfico
PROCEDAMOS AHORA A LA SOLUCIÓN DEL EJERCICIO.
1.- ESTADO DE RESULTADOS Anexo 1 Ingresos operacionales Año 1
Año 2
Unidades vendidas Precio de venta Total Ingresos operac.
Anexo 2 128
Año 3
Costos variables totales Año 1
Año 2
Año 3
Unidades vendidas Costo variable/unidad Costo variable total
Anexo 3 Costos fijos Año 1
Año 2
Año 3
Costos fijos
Anexo 4 Depreciación Costo de los equipos: ______________ Vida útil : _____________ Gastos depreciación: Costo / vida útil =
/
Año 1
=$
Año 2
/año Año 3
Gasto depreciación
Anexo 5 Amortización: Los Gastos a amortizar son FACTIBILIDAD Y PREOPERATIVOS y ADECUACIÓN DE TERRENO. Por aspectos del proyecto vamos a amortizar en 3 años, pero generalmente la amortización se debe hacer en 5 años. Gastos preoperativos: ______________ Vida útil: _____________ Gastos Amortización: Costo / vida útil =
Año 1
/
Año 2
Gasto de amortización
Anexo 6 129
=$
Año 3
/año
Gastos financieros (intereses sobre préstamo) Valor del préstamo: $ Plazo = Abono a capital = Vr préstamo / plazo en años TABLA DE AMORTIZACIÓN
PERIODO
CUOTA
INTERESES
ANUAL
ABONO
SALDO
CAPITAL
0
300.000.000
1 2 3
LOS INTERESES se llevan al ESTADO DE RESULTADOS, y el ABONO A CAPITAL al FLUJO DE EFECTIVO NETO. Anexo 7 Ganancia por venta de Terreno: PRECIO DE VENTA DEL TERRENO = $______________. (-) COSTO DEL TERRENO
= $______________.
= GANANCIA EN VENTA TERRENO = $______________. Anexo 8 Ganancia por venta de Maquinaria: PRECIO DE VENTA DE MAQUINARIA
= $______________.
(-) VALOR EN LIBROS
= $______________.
= GANANCIA EN VENTA MAQUINARIA = $______________.
Esta utilidad se lleva al Estado de Resultados, como otros ingresos o UTILIDAD VENTA TERRENOS y el VALOR DE LA VENTA se lleva al ESTADO DE FLUJO DE EFECTIVO como ingresos de efectivo en el AÑO 3, año de la venta.
CON ESTOS ANEXOS CONSTRUIMOS EL ESTADO DE RESULTADOS PROYECTADO
130
1.- ESTADO DE RESULTADOS
CIA XYZ ESTADO DE RESULTADOS PROYECTADO COSTEO VARIABLE
Año 1
Año 2
Año 3
Ingresos (Anexo 1) (-) Costos var. (A.2) =Margen Contribución -Costos fijos prodn (A.3) - Depreciación (A.4) - Amortización (A.5) =UTILIDAD OPER. - Gastos financieros(A.6) +Utilidad venta tierra (A.7) +Utilidad venta maquinaria (A.8) =U.A.IMPUESTOS - Impuestos = UTILIDAD NETA
2.- COSTO DE CAPITAL Ahora procedemos a calcular el Costo de Capital (CK o WACC), recordando lo visto anteriormente.
Recuerde: Tasa de interés de la deuda: 10% Nominal, equivalente al _________ %(E.A) Entonces recordemos que estos gastos financieros son deducibles de impuestos y que por lo tanto el C.E.A.D.I = __________________
Recuerde también que el Costo del Patrimonio de los dueños NO SON DEDUCIBLES DE IMPUESTOS y que equivale a la MTRH dada en el enunciado. T M R R = 15% 131
Entonces calcule el COSTO DE CAPITAL, llenando el siguiente anexo: FUENTE
MONTO
PESO (%)
C.E.A.D.I
PONDERACIÓN
DEUDA APORTES TOTAL
3.- FLUJO DE EFECTIVO NETO Teniendo las UTILIDADES NETAS, procedemos a construir EL FLUJO DE EFECTIVO NETO (EFE ) . CIA XYZ ESTADO DE FLUJO DE EFECTIVO (EFE) o FCL del inversionista:
Año 0
Año 1
Año 2
Año 3
(-) Inversiones
Xxxx
xxxx
xxxx
(+)Préstamo Banco(*)
xxxx
xxxx
xxxx
+utilidad neta (E/R)
xxxx
+depreciación (A.4)
xxxx
+Amortización (A.5)
xxxx
- Abono Capital (A.6)
xxxx
+Recuperación Capital
xxxx
xxxx
xxxx
+Venta Tierra (A.7)
xxxx
xxxx
xxxx
+Venta
xxxx
xxxx
xxxx
de Trabajo
maquinaria(A.8) =F.E.N
DEL
INVERSIONISTA
Entonces el flujo de caja será:
0
1
2
132
3
9.10 EVALUACIÓN FINANCIERA DEL PROYECTO
Para evaluar financieramente el proyecto vamos a utilizar cuatro indicadores que son:
4.1.- Relación Beneficio/ Costo Para calcular este indicador se procede de la siguiente forma: Se llevan a VALOR PRESENTE los beneficios del proyecto. Utilizando para ello la siguiente formula: PV o VP = F x ( 1+ i)^-
n
en donde F es cada uno de los flujos
de caja situados en los puntos 1, 2 y 3. La tasa de descuento o interés que vamos a utilizar será el CK o WACC, calculado en el punto 2 El valor n será 1 o 2 o 3 Entonces el PV=VPF1 + VPF2+ VPF3
Luego calculamos el PV = VP de los Costos, que para el ejemplo será el FLUJO que aparece en el punto 0 o año 0.
Luego calculamos la Relación B/C= VPI / VPE
Si
RELACIÓN B/C > 1, EL PROYECTO ES VIABLE
Si
RELACIÓN B/C = 1, EL PROYECTO ES INDIFERENTE
Si
RELACIÓN B/C <0 1, EL PROYECTO NO ES VIABLE
4.2 .- VALOR PRESENTE NETO Por definición el VPN (i) = VPI (i) – VPE (i ), en donde i = CK o WACC.
Tome los valores calculados en 4.1 y obtenga el VPN.
SI VPN > 0, EL PROYECTO ES VIABLE 133
SI VPN =0 , EL PROYECTO ES INDIFERENTE
SI VPN < 0, EL PROYECTO NO ES VIABLE.
Si va a utilizar calculadora realice el siguiente procedimiento: Presione CASH Entonces aparece lo siguiente: Cash Flow I%
Aquí introduce el WACC o la TIO y luego presiona EXE. Si va a utilizar
Luego presione : Csh=D.Ediitor x EXE y en la matriz que aparece, vaya introduciendo los flujos de caja asi: 1 ( _ ) 700000000 exe 2 Segundo flujo de caja que calculo en el FEN y asi sucesivamente.
Luego presione ESC
Y CALCULE
NPV=VPN SOLVE y LUEGO CALCULE
IRR=TIR=TASA INTERNA DE RETORNO.
4.3 TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)
La TIR es la rentabilidad del proyecto También se puede definir como la tasa de interés que hace que el VPN sea igual a cero (VPN=0) Otra definición, es que la TIR es la RENTABILIDAD QUE PRODUCEN LOS DINEROS QUE AUN permanecen INVERTIDOS EN EL PROYECTO. Si la TIR > CK o WACC, el PROYECTO ES VIABLE.
Si la TIR = CK o WACC, el PROYECTO ES INDIFERENTE.
Si la TIR < CK o WACC, el PROYECTO NO ES VIABLE.
4.4 TASA INTERNA DE RETORNO MODIFICADA O VERDADERA RENTABILIDAD (TIRM). 134
La verdadera tasa de rentabilidad del inversionista es un valor intermedio entre el W.A.C.C. y la TIR. Para calcularla realice el siguiente procedimiento: 1.- Considere que los flujo de caja del proyecto, no se reparten entre los socios, sino que se reinvierten al menos a una tasa igual al W.A.C.C o la TMRR. Y calcule el Valor Futuro de dichos Flujos. Este valor sería el que recibirían los asociados al final de la vida útil del proyecto. VF = _FCj*(1+i ) n 2.- Luego calcule el VPF de los egresos del proyecto VP = _FCj*(1+i) -n 3.- Entonces el proyecto se reduce a invertir VP y recibir al cabo de n años (para nuestro caso, 3 años) un valor VF. Entonces debemos calcular la tasa i, que hace que el VP sea equivalente a VF al cabo de n años, dicha tasa es la verdadera rentabilidad o TIRM. VF I =TIRM n VP CRITERIO DE DECISIÓN: W.A.C.C < TIRM < TIR
135
9.11 MATEMÁTICA FINANCIERA 9.12 TALLER DE REPASO # 1 1. Usted tiene COL$ 130 Millones y realiza una inversión en uno de los Bancos a) de Colombia b) de Estados Unidos c) en Inglaterra. Si los bancos liquidan los intereses mensualmente retornándolos al final de año con el capital invertido, entonces cuánto dinero recibiría al cabo de un año en pesos colombianos por la inversión que realizaría en cada país? En cuál de los tres países decidiría invertir?
Si invierto en Colombia recibiría la siguiente suma de dinero: Inversiones a un año TBS, 6,48% EA (Portafolio del 01 de Febrero de 2006) 130.000.000 x 6,48% = 8.424.000 Menos Rte. Fte = 8.424.000 x 7% = 589.680 Total recibido en Colombia 130.000.000 + 8. 424.000 – 589.680 = 137.834.320
Si invierto en Estados Unidos recibiría la siguiente suma de dinero: Inversiones a un año, Prime 5,25% EA (Portafolio del 01 de Febrero de 2006) Interés convertido a Colombia = (1+5,25%) x (1+ (-4,07)) = 0,97% 130.000.000 x 0,97% = 1.261.000 Total recibido en Colombia 130.000.000 + 1.261.000 = 131.261.000
Si invierto en Inglaterra recibiría la siguiente suma de dinero: Inversiones a un año, Libor 4,94% EA (Portafolio del 01 de Febrero de 2006) Interés convertido a Colombia = (1+5,25%) x (1+ (-4,07)) x (1+ (-2,05)) = -1,39% 130.000.000 x -1,39% = -1.807.000 Total recibido en Colombia 130.000.000 - 1.807.000 = 128.193.000
La mejor opción de inversión a un año sería el país de Colombia en este momento de la economía mundial 2. Usted realiza un préstamo en Colombia a 3 años, por valor de Col. $36.000.000 y el pago se exige a través de cuotas mensuales según las tasas de colocación del mercado de los Bancos, las Corporaciones
136
Financieras y las Compañías de
Financiamiento Comercial, cual seria el valor de las cuotas mensuales que usted tendría que cancelar en cada institución? La tasa de interes corriente tomada del diario portafolio del dia 1 de febrero. Este seria en promedio la cuota del sector financiero.
Si queremos especificar para cada intermediario financiero debemos recurrir a cada entidad, pues ellos no colocan esta información al publico en diarios. Pues varía según la entidad para cautivar al cliente.
El pago mensual que se debería hacer para este tipo de crédito según las tasas de colocación del sistema financiero será la siguiente Tasa Interés corriente 17,51% EA Tasa 17,51% E.A equivalente al 16,24% MV Tasa Periódica = 16,24 / 12 = 1,35% mes vn Cuota mensual uniforme = 36.000.000 1- (1 + 1,35%)-36
= 1.269.211
1,35%
ABONO A SALDO INTERES CAPITAL FINAL
PERIODO SALDO INICIAL
CUOTA
1
36.000.000
1.269.923 487.200
782.723
35.217.277
2
35.217.277
1.269.923 476.607
793.316
34.423.961
3
34.423.961
1.269.923 465.871
804.052
33.619.909
4
33.619.909
1.269.923 454.989
814.933
32.804.976
5
32.804.976
1.269.923 443.961
825.962
31.979.014
6
31.979.014
1.269.923 432.783
837.140
31.141.873
7
31.141.873
1.269.923 421.453
848.470
30.293.404
8
30.293.404
1.269.923 409.971
859.952
29.433.452
9
29.433.452
1.269.923 398.333
871.590
28.561.861
10
28.561.861
1.269.923 386.537
883.386
27.678.476
137
11
27.678.476
1.269.923 374.582
895.341
26.783.135
12
26.783.135
1.269.923 362.465
907.458
25.875.677
13
25.875.677
1.269.923 350.184
919.739
24.955.938
14
24.955.938
1.269.923 337.737
932.186
24.023.752
15
24.023.752
1.269.923 325.121
944.801
23.078.951
16
23.078.951
1.269.923 312.335
957.588
22.121.363
17
22.121.363
1.269.923 299.376
970.547
21.150.816
18
21.150.816
1.269.923 286.241
983.682
20.167.134
19
20.167.134
1.269.923 272.929
996.994
19.170.140
20
19.170.140
1.269.923 259.436
1.010.487 18.159.653
21
18.159.653
1.269.923 245.761
1.024.162 17.135.491
22
17.135.491
1.269.923 231.900
1.038.023 16.097.468
23
16.097.468
1.269.923 217.852
1.052.071 15.045.397
24
15.045.397
1.269.923 203.614
1.066.309 13.979.089
25
13.979.089
1.269.923 189.184
1.080.739 12.898.350
26
12.898.350
1.269.923 174.558
1.095.365 11.802.984
27
11.802.984
1.269.923 159.734
1.110.189 10.692.795
28
10.692.795
1.269.923 144.709
1.125.214 9.567.581
29
9.567.581
1.269.923 129.481
1.140.442 8.427.140
30
8.427.140
1.269.923 114.047
1.155.876 7.271.264
31
7.271.264
1.269.923 98.404
1.171.518 6.099.746
32
6.099.746
1.269.923 82.550
1.187.373 4.912.373
33
4.912.373
1.269.923 66.481
1.203.442
34
3.708.931
1.269.923 50.194
1.219.729 2.489.202
3.708.931
138
35
2.489.202
1.269.923 33.687
1.236.236 1.252.966
36
1.252.966
1.269.923 16.957
1.252.966
0
3. Usted dispone de un plan de inversiones de ahorrar mensualmente COP 2.320.000 pesos durante un periodo de año y medio. Usted tiene dos alternativas de inversión: a) hacer un contrato de inversión en un banco que propone pagarle una tasa fija efectiva anual correspondiente al plazo del horizonte de la inversión o b) invertir en el mismo banco mensualmente a la tasa de interés del mercado vigente para el plazo de la inversión de la cuota que usted depositara. Cuanto tendría acumulado al cabo de año y medio en las dos alternativas de inversión? Cual de las dos alternativas escogería usted?. Modalidad A: ahorro mensual $ 2.320.000 periodo de ahorro 18 meses Tasa EA superior a 360 días TBS 6,67% (Portafolio del 01 de Febrero)
Traemos la EA a periódica mensual= 0.539531%
Total Recibido =2.320.000 (1 + 0.5395%)18 - 1 = 43.731.242 0.5395% Modalidad B: ahorro mensual $ 2.320.000 periodo de ahorro 18 meses Tasa de interés a 30 días 3.43% (Portafolio del 01 de Febrero) Periódica Mensual = 0.28%
Total Recibido =2.320.000 (1 + 0.28%)18 - 1 = 42.768.887 0.28%
139
La mejor alternativa seria la modalidad A: hacer un contrato de inversión en un banco que me paga una tasa fija efectiva anual correspondiente al plazo del horizonte de la inversión.
4. Usted dispone del siguiente plan de inversiones: invertir hoy COL $ 100 Millones de pesos, dentro de tres meses COL $ 40 Millones de pesos y dentro de seis meses COL $ 20 Millones de pesos. Cuánto dinero tendría acumulado al cabo de un año en pesos colombiano, si usted realiza la inversión en a) Colombia, b) Estados Unidos, c) Inglaterra.??? Tasa Spot (Periódico Portafolio del 01 de Febrero de 2006) Tasa TBS a 360 días 6.48% Tasa TBS a 90 días 5.99% Tasa TBS a 180 días 6.27%
Tasa Prime a 360 días 5,25% Tasa Prime a 90 días 6,75% Tasa Prime a 180 días 6.25%
Tasa Libor a 360 días 4,94% Tasa Libor a 90 días 4,68% Tasa Libor a 180 días 4,81% Revaluación Peso frente al Dólar –4.07 Revaluación Dólar frente a la libra –2.05
140
PLAZO
SPOT COL$
90 180 360 0 - 360 90 - 360 180 - 360
FUTURAS
USD$
BD$
5,99 6,27 6,48
COL$
6,75 6,25 5,25
USD$
4,68 4,81 4,94 6,48 6,64 6,69
TASAS EFECTIVAS ANUALES PLAZO
PERIODO
0 - 360 90 - 360 180 - 360
COL$
COL$ <--USD$ COL$ <--BD$
360 270 180
6,48 6,64 6,69
0,97% 0,49% 0,01%
-1,39% -1,31% -1,27%
Hallamos la tasa periodica diaria para cada pais COL$
COL$ <--USD$ COL$ <--BD$
0,017203% 0,017615% 0,017743%
0,002645% 0,001339% 0,000027%
-0,003835% -0,003613% -0,003502%
Aplicamos la siguiente formula Vr Futuro =
P ( 1+ rp)n
PERIODO
COL$ 360 270 180
COL$ <--USD$
6,48% 4,87% 3,25%
0,97% 0,36% 0,0049%
COL$ <--BD$
-1,39% -0,97% -0,63%
Al cabo de un año recibiria : Por invertir en Inversion 100.000.000 40.000.000 20.000.000 160.000.000
Colombia 106.480.000 41.948.000 20.650.000 169.078.000
EE.UU
BD$
Inglaterra
100.966.325 40.144.000 20.000.980 161.111.305
98.605.229 39.611.720 19.874.340 158.091.289
Es mas rentable invertir en Colombia con las condociones actuales de revaluación del peso frente al dollar y del Dollar frente a la Libra
141
5,25 4,75 4,25
4,94 5,03 5,07
TALLER DE REPASO No 2
1.- Se desea adquirir una sopladora Uniloy, en Milán, cuyo costo FOB puerto destino, es de 400.000 USD. Para ello se realiza giro directo por dicho valor al proveedor en Milán. En el momento de la transacción el valor de la moneda es de 1980 COP / USD. El puerto destino es Buenaventura, donde se procede a pagar los impuestos respectivos. El arancel es del 10% sobre el precio FOB y el IVA es del 16% sobre el valor FOB + ARANCEL. En el momento del pago el valor
de la
moneda es de 2015 COP / USD. En Buenaventura se paga otros gastos, que incluye lo que se paga a la empresa que realiza todas las operaciones, por valor de $3.500.000. La sopladora se despacha a Cali y el costo del transporte y seguros hasta la fábrica asciende a $2.600.000 en el montaje y puesta en marcha los gastos ascienden a $1.000.000.
Se pide: 1.- Si una Compañía de financiamiento comercial, decide financiar la compra de la máquina, hasta su valor FOB+ARANCELES + IVA, a un plazo de 3 años y a una tasa de interés del 16% N.S.V, ¿cuál será el valor de las cuotas semestrales si se realizan ABONOS IGUALES A CAPITAL e intereses sobre saldos?
Presente la
respectiva TABLA DE AMORTIZACION, incluyendo el Beneficio
Tributario.
2.- Si una Compañía de financiamiento comercial, decide financiar la compra de la máquina, hasta su valor FOB+ARANCELES + IVA, a un plazo de 3 años y a una tasa de interés del 16% N.S.V, ¿cuál será el valor de las cuotas semestrales iguales?
Presente la
respectiva TABLA DE AMORTIZACION, incluyendo el Beneficio
Tributario.
3.- Si una Compañía de financiamiento comercial, decide financiar la compra de la máquina, hasta su valor FOB+ARANCELES + IVA, a un plazo de 3 años y a una
142
tasa de interés del 16% N.S, ¿cuál será el valor de las cuotas semestrales iguales anticipadas?
Presente la
respectiva TABLA DE AMORTIZACION, incluyendo el Beneficio
Tributario.
4.- Leasing Colombia, Panamá, filial del Bancolombia, decide dar en Arrendamiento financiero
(
Leasing
financiero),
la
sopladora
hasta
por
su
valor
FOB+ARANCELES+IVA, a una tasa del 8% N.S.V y un plazo de 3 años, con una opción de compra del 10%. Calcular el valor de las cuotas a pagar en USD. Si la TRM (TASA REPRESENTATIVA DEL MERCADO) es de 1750 COP / USD, el día de llegada de la máquina al Puerto y si la devaluación de la moneda, se considera del 0,1% semestral, se pide calcular el valor de las cuotas semestrales en pesos colombianos (COP).
Semestre
1
TRM inicial
1750
Devaluación
TRM
final Valor cuotas en
semestral
semestre
0,001
1759*(1+0,001)
COP
2 3 4 5 6
2.- Una empresa emite bonos como fuente de financiamiento a largo plazo. El valor nominal de los bonos es de $1.000 El plazo de emisión es de 5 años. La tasa de cupón es del 12 % N.S.V Calcular la rentabilidad de los inversionistas, si: A.- el precio promedio de venta (valor de mercado) es de $950 B.- El precio promedio de venta (valor de mercado) es de $1000
143
C.- el precio promedio de venta (valor de mercado) es de $1080.
3.- Calcular el C.E.A.A.I
y el C.E.A.D.I
para los siguientes préstamos de una
empresa: A.- 12% N.MV B.- 18% N.S.V C.- 12% N.T.V D.- Prime ( 3,4% ) + 400 p.b. y tasa de devaluación del 1,5%. E.- DTF(E.A) + 280 p.b, si la DTF(E.A)=3,96%
4.- Una empresa de electrodomésticos vende una nevera de 26 ft, con una cuota inicial de $1.500.000 y el saldo a 24 cuotas mensuales de $180.882,92. Si cobra a sus clientes una tasa del 1,80% mensual. Calcular el valor de contado.
5.- Una entidad financiera le ofrece un préstamo de $10.000.000, a una tasa del 1,45% mensual, a un plazo de 36 meses. A.- Calcular la cuota mensual. B.- Si después de pagar la cuota 30, usted decide cancelar el saldo con un solo pago único.¿de cuánto debe ser ese pago?
6.- Ud entrega en préstamo 150 millones al 10% nominal anual el 10 de enero de 2007 con vencimiento el 30 de Julio de 2007. El cliente o prestatario firma un pagaré para respaldar la deuda. El 19 de marzo por problemas de liquidez resuelve descontar el pagaré en una entidad que le cobra el 13% anual. Ud desea saber: A.- El interés y el monto a la fecha de vencimiento utilizando interés bancario. B.- El interés y el monto a la fecha de vencimiento utilizando interés comercial. C.- El interés y el monto a la fecha de vencimiento utilizando interés exacto o real. D.- El interés y el monto a la fecha de vencimiento utilizando interés base 365. E.- El descuento que le cobran por descontar el pagaré. F.- El Valor líquido que Ud recibe el 19 de marzo. G.- La tasa realmente cobrada en el descuento.
144
7.- Realice las siguientes conversiones
12% NSA a
N.S.V
13.5% N.S.A a N.M.A 12% NMA
A NMV
8.5 % N.A.A a N.T.V 10% N.A.V
a
N.A.A
8.- Realice las siguientes conversiones: A.- 10% E.A a NMV B.- 10% E.A a NBV C.- 10% E.A a NTV D.- 10% E.A a NSV E.- 10% E.A a NAV Como son entre si estas tasas de interes
9.- La tasa de captación del Banco de Bogotá para CDT a 90 días, según reporte de la Superfinanciera es de 3,97%(E.A) ¿Cuál será la tasa de captación expresada en NMV, NTV, NSV, NMA, NTA, NSA? Si se hace un depósito a término fijo, el 1 de abril de 2011, a un plazo de 90 días, cuál será la fecha de vencimiento? ¿Es un día laborable? ¿Cuánto vale el interés devengado? ¿Cuál será el valor de la retención en la fuente? (Rete fuente para rendimientos financieros 7%) ¿Cuál será el valor líquido recibido en la fecha de vencimiento? ¿Si la inflación acumulada para el periodo es de 0,32%, cuál será el valor equivalente a pesos de del 1 de Abril, fecha de apertura del CDT?
10.- Un CDT a 90 días se contrata al 4,30% N.T.V Se pide: A.- La rentabilidad efectiva anual B.- La rentabilidad neta C.- La rentabilidad real, si la inflación esperada para el año es del 3%
145
11.- La CIA XYZ localizada en Cali, solicita al Citi Bank de Miami, un préstamo de 200.000 USD, con u plazo de 1 año. El banco concede el préstamo a una tasa de Prime + 100 p.b. La devaluación esperada es del 1,5%. Si el banco cobra una comisión del 1%, cuál será el Valor en USD que recibe la empresa. Cuál será el valor de los intereses a pagar, expresado en USD? Cuál será el C.E.A.A.I, para la empresa en Cali, si la TRM el día de la firma del pagaré es de 1870 COP/USD y cuál será el C.E.A.D.I
12.- Que diferencia existe entre la TASA DE INTERES DISCRETA y TASA DE INTERES CONTINUO. 13.- Se solicita un préstamo en UNIDADES DE VALOR REAL, UVR. Cuál será el COSTO EFECTIVO ANUAL DESPUES DE IMPUESTOS, si el IPCia es del 3,80% E.A y la tasa que cobra la entidad financiera es del 11,5% E.A. 14.- Se desea adquirir una máquina para un proyecto de fabricación de envases plásticos por soplado de PEAD (polietileno de alta densidad). La inversión total del proyecto es de 1500 millones de pesos, los cuáles serán financiados de la siguiente forma: 60% deuda por parte del sector financiero y el 40% restante con aportes de los propietarios. La deuda se consigue a 5 años y a una tasa del 10% N.A.V. La tasa mínima de rendimiento requerida (TMRR) o TIO (tasa de interés de oportunidad) de los propietarios es del 20%. La tasa de impuestos es del 40%. Para la evaluación del proyecto utilice como TASA DE DESCUENTO el COSTO DE CAPITAL o W.A.C.C El flujo de caja del proyecto para un horizonte de 5 años es el siguiente: Periodo F.Caja 0
-1500
1
400
2
800
3
1200
4
1400
5
1600
146
El siguiente es el gráfico del flujo de caja del proyecto de la tabla anterior:
FLUJO DE CAJA
F.CAJA EN MILLONES
2000 1500 1000 500
Periodo
0 -500
1
2
3
4
5
F.Caja
6
-1000 -1500 -2000 PERIODO
Se pide:
A.- La tabla de amortización de la deuda si el plan corresponde a CUOTAS ANUALES IGUALES. Explique cómo se calcula el valor de dicha cuota.
Periodo
Cuota o pago
Interés
Abono Capital
Saldo
0 1 2 3 4 5
B.- El Costo de capital
Fuente
Monto(millones) Peso( % )
Total 147
C.E.A.D.I
Ponderación
C.- Para la evaluación del proyecto utilice los siguientes indicadores: C.1 Relación Beneficio –Costo C.2 Valor presente neto (VPN o NPV) C.3 Tasa interna de retorno (TIR) utilizando el método de error y ensayo y luego utilice la calculadora financiera. Compare los valores obtenidos. C.4 La TIRM (tasa interna de retorno modificada o verdadera rentabilidad) D.- La TIR se define como la rentabilidad de los recursos que aún permanecen invertidos en el proyecto. Con base a ésta definición demuestre utilizando la tabla dada mas abajo que la inversión al cabo de los 5 años se ha recuperado completamente. Periodo
Flujo de caja
Rentabilidad
Recuperación
de la inversión
de la inversión
0
Inversión final
1500
1 2 3 4 5 F=P*(1 + i%)n E= (1 + i%)
n
F=P*(1 + n* i%)
P=F^[1 - (1 + i%) -
n
] / i%
-1
E= (1 - ia%) - n - 1
C.E.A.D.I = C.E.A.A.I *(1 – 0.40 )
15- Dentro de las fuentes de financiación de un proyecto se cuenta con un crédito bancario por 20 millones de dólares, con las siguientes condiciones: • Tasa de interés: 12% anual convertible trimestralmente. • Plazo: 5 años, contados a partir del momento en que se hace efectivo el préstamo. • Pago mediante cuotas trimestrales. El primer pago se hace tres meses después de haber recibido los dineros del crédito. Elaborar el plan de amortización del crédito
148
considerando los distintos planes, que se indican en el numeral 6 de este capítulo, y teniendo en cuenta, además, lo siguiente: • Para el plan de cuota creciente aritméticamente el acuerdo es que cada cuota se incrementa en 120.000 dólares con respecto a la anterior. • Para el plan de cuotas decrecientes aritméticamente el acuerdo es que cada cuota se disminuye en 150.000 dólares con respecto a la anterior. • Para el plan de cuotas crecientes geométricamente, el acuerdo es que cada cuota corresponde a la inmediatamente anterior incrementada en 6,5%. • Para el plan de cuotas decrecientes geométricamente, el acuerdo es que cada cuota corresponde a la inmediatamente anterior disminuida en 10%.
En todos los casos, mostrar, en forma gráfica, los pagos periódicos de intereses y los abonos a capital.
149
10 Capítulo 8
10.1 Temas especiales en matemáticas financieras
Trascendencia del concepto valor presente neto (VPN) en las finanzas: base fundamental en los métodos de valoración financiera.
Tal vez, uno de los conceptos más relevantes en las finanzas modernas sea el de valor presente neto (VPN ó VAN). Término que apareció por primera vez en el siglo XIX en Estados Unidos, durante el proceso de industrialización, en vista de que el método de evaluación de inversiones baso en el retorno sobre la inversión (ROI) presentaba falencias al no tener en cuenta la oportunidad en que ocurren los flujos de caja, en un sentido más técnico, el valor del dinero en el tiempo. Su uso se le atribuye al empresario y economista francés Pierre Samuel du Pont de Nemours. Desde entonces su utilización se ha debido a los estudios de factibilidad financiera.
No obstante, más allá de evaluar la viabilidad de un negocio, el valor presente neto se ha extrapolado a otros análisis similares relacionados con las finanzas corporativas y los mercados de capitales.
Sus usos alternativos redundan en
métodos de valoración financiera tales como:
-
Cálculo del precio de un bono que paga cupones periódicos (Bono Bullet).
-
Estimación del precio de una acción a partir de sus flujos de dividendo futuros de manera descontada (flujo de dividendos descontados – modelo de Gordon y Shapiro).
-
Estimación del valor de una empresa a partir de sus flujos de caja libre futuros de manera descontada (flujo de caja descontado).
-
Estimación del valor de una empresa a partir de sus flujos de caja libre futuros y sus escudos fiscales de manera descontada (flujo de caja descontado con el enfoque valor presente ajustado).
-
Estimación del valor de una empresa a partir de sus flujos de dividendos futuros de manera descontada (flujo de dividendos totales descontados).
150
-
Estimación del valor de una empresa a partir de sus flujos futuros de caja para los propietarios de manera descontada (flujo de caja del inversionista descontado).
Valoración de un bono Un bono es una serie de flujos de caja futuros formalizado mediante un título valor. El bono puede ser cero cupón, es decir, que no paga sino un único flujo futuro al vencimiento del título; y por otro lado puede ser con cupones periódicos o bono bullet, el cual paga unos flujos futuros más su valor nominal al vencimiento.
Precio de bono cero cupón: para este caso, el precio del bono simplemente es el valor presente de su único flujo futuro llamado nocional, facial o nominal.
Su
expresión matemática. Es tal vez el método de valoración financiera de títulos más sencillo. Para su comprensión observe la ecuación siguiente.
𝑃𝐵 =
𝑉𝐹𝑇 (1 + 𝑦)𝑇
Donde: PB: Precio del bono cero cupón. VFT: Valor facial (valor nominal) del bono al vencimiento T. y: Rendimiento al vencimiento, tasa de interés o tasa de descuento del bono (%). T: Vencimiento del bono.
Precio de bono con cupones: Este título describe perfectamente una serie de flujos futuros hasta el vencimiento T. El precio se calcula usando puramente el concepto de valor presente neto, obviamente conociendo todas las variables características. 𝑇
𝑃𝐵 = ∑ 𝑡=1
𝐶𝑡 𝑉𝐹𝑇 + 𝑡 (1 + 𝑦) (1 + 𝑦)𝑇
Siendo: PB: Precio del bono con cupones. 151
Ct: Cupón a pagar en el período t. VFT: Valor facial (valor nominal) del bono al vencimiento T. y: Rendimiento al vencimiento (yield), tasa de interés o tasa de descuento del bono (%). t: Cada uno de los períodos de ocurrencia de los cupones. T: Vencimiento del bono.
Valoración de acciones Una acción es un título valor de renta variable que consiste en que quien la posea, de otorga el derecho de gozar parte del capital social de una compañía, las acciones pueden ser comunes u ordinarias, preferenciales y privilegiadas. Pero, más allá de ahondar puramente en el tema de acciones, dado que no es el propósito de este apartado, es necesario precisar que su precio se puede estimar mediante la aplicación directa del valor actual neto como se evidencia a continuación.
Precio de una acción sin crecimiento: su uso también se limita puramente al uso del criterio VPN. Este método de estimación de acciones también se le conoce como el modelo de descuentos de dividendos propuesto por Gordon y Shapiro. 𝑇
𝑆𝑃 = ∑ 𝑡=1
𝐷𝑖𝑣𝑡 (1 + 𝑘𝑒 )𝑡
Siempre y cuando: SP: Precio de la acción. Divt: Dividendo por acción a pagar en el período t. ke: Costo de oportunidad del capital propio (%). t: Cada uno de los períodos de ocurrencia de los dividendos. T: Período relevante de proyección de la acción (generalmente a 5 años).
Valoración de empresas Como en los casos anteriores, a continuación se explicará unas de las formas más comunes de aplicar el valor presente neto en el mundo corporativo.
152
Valoración de una empresa por el método del flujo de caja descontado al WACC: este método es muy usado en los círculos académicos y empresariales y se utiliza para estimar el valor de una empresa basado en el potencial que estas tienen para generar flujos de caja libre futuros. De este modo, el valor de la empresa es igual al valor de los flujos del período relevante más el valor de continuidad de dichos flujos. La estimación se puede evidenciar en la siguiente fórmula, especificando que el primer término (incluida la sumatoria) se refiere al período relevante1 y el segundo término hace referencia al valor de continuidad. 𝑇
𝑉𝐸 = ∑ 𝑡=1
𝐹𝐶𝐿𝑡 𝑉𝐶𝑇 + 𝑡 (1 + 𝑤𝑎𝑐𝑐) (1 + 𝑤𝑎𝑐𝑐)𝑇
Toda vez que: VE: Valor de la empresa. FCLt: Flujo de Caja Libre en el período t. VCT: Valor de continuidad de los flujos, el cual se calcula al final del período relevante. wacc: Costo de oportunidad del negocio ó costo de capital promedio ponderado (%). t: Cada uno de los períodos de ocurrencia de los flujos de caja. T: Período relevante de proyección de los flujos (generalmente a 5 años). Del mismo modo,
𝑉𝐶𝑇 =
𝐹𝐶𝐿 𝑇 (1 + 𝑔) 𝑤𝑎𝑐𝑐 − 𝑔
Donde: VCT: Valor de continuidad de los flujos de caja libre, el cual se calcula al final del período relevante. FCLT: Flujo de Caja Libre en el período T, es decir, al final del período relevante. wacc: Costo de oportunidad del negocio ó costo de capital promedio ponderado. g: Crecimiento perpetuo de los flujos de caja libre.
1
El período relevante de una valoración se refiere al horizonte de tiempo definido que se va a utilizar en la valoración. Este lapso de tiempo puede variar entre 5 y 15 años, dependiendo del criterio del valorador.
153
Valoración de una empresa por el método del valor presente ajustado (APV): Este método usa doblemente el VPN. Básicamente el modelo separa los flujos de caja libre futuros de sus escudos fiscales futuros, estableciendo que el valor del negocio es la suma del valor presente neto de la empresa desapalancada más el valor presente neto de la empresa apalancada. De manera ecuacional: 𝑉𝐸 = 𝑉𝐸𝐷 + 𝑉𝐸𝐴
Siempre y cuando: VE: Valor de la empresa. VED: Valor de la empresa desapalancada. VEA: Valor de la empresa apalancada.
En este orden de ideas, 𝑇
𝑉𝐸𝐷 = ∑ 𝑡=1
𝐹𝐶𝐿𝑡 𝑉𝐶𝐹𝐶𝐿 𝑇 + 𝑡 (1 + 𝑘𝑒 ) (1 + 𝑘𝑒 )𝑇
Siempre y cuando: VED: Valor de la empresa desapalancada. FCLt: Flujo de Caja Libre en el período t. ke: Costo de oportunidad del capital propio (%). VCFCLT: Valor de continuidad de los flujos de caja libre, el cual se calcula al final del período relevante. t: Cada uno de los períodos de ocurrencia de los flujos de caja. T: Período relevante de proyección de los flujos (generalmente a 5 años).
De manera complementaria,
𝑉𝐶𝐹𝐶𝐿 𝑇 =
𝐹𝐶𝐿 𝑇 (1 + 𝑔) 𝑘𝑒 − 𝑔
Dónde:
154
VCFCLT: Valor de continuidad de los flujos de caja libre, el cual se calcula al final del período relevante. FCLT: Flujo de Caja Libre en el período T, es decir, al final del período relevante. ke: Costo de oportunidad del capital propio (%). g: Crecimiento perpetuo de los flujos de caja libre.
Ahora, 𝑇
𝑉𝐸𝐴 = ∑ 𝑡=1
𝐸𝐹𝑡 𝑉𝐶𝐸𝐹𝑇 + 𝑡 (1 + 𝐾𝑑 ) (1 + 𝐾𝑑 )𝑇
Siendo: VEA: Valor de la empresa apalancada. EFt: Escudo fiscal en el período t, es decir, al final del período relevante2. Kd: Costo promedio de endeudamiento ó tasa de interés promedio (%). VCEFT: Valor de continuidad de los escudos fiscales, el cual se calcula al final del período relevante. t: Cada uno de los períodos de ocurrencia de los escudos fiscales. T: Período relevante de proyección de los flujos (generalmente a 5 años).
Y finalmente,
𝑉𝐶𝐸𝐹𝑇 =
𝐸𝐹𝑇 (1 + 𝑔) 𝑘𝑑 − 𝑔
Toda vez que: VCEFT: Valor de continuidad de los escudos fiscales en el período T, es decir, al final del período relevante. EFT: Escudo fiscal en el período T, es decir, al final del período relevante. Kd: Costo promedio de endeudamiento ó tasa de interés promedio (%). g: Crecimiento perpetuo de los dividendos totales.
2
El escudo fiscal es el resultado de multiplicar el valor pagado de los intereses en unidades monetaria por la tasa de impuestos (Int x T), para cada período.
155
Valoración de una empresa por el método del flujo de dividendos descontados: Este método es similar al del flujo de caja descontado al wacc, únicamente difieren en que se calcula el VPN de los flujos de dividendos totales y no de los flujos de caja libre, además descuenta dichos flujos al costo del capital propio (ke) y no al wacc. Esto se puede evidenciar en la fórmula siguiente. 𝑇
𝑉𝐸 = ∑ 𝑡=1
𝐷𝑖𝑣𝑡 𝑉𝐶𝐷𝑖𝑣𝑇 + (1 + 𝑘𝑒 )𝑡 (1 + 𝑘𝑒 )𝑇
Donde: VE: Valor de la empresa. Divt: Dividendos totales en el período t. VCDivT: Valor de continuidad de los dividendos totales, el cual se calcula al final del período relevante. Ke: Costo de oportunidad del capital propio (%). t: Cada uno de los períodos de ocurrencia de los dividendos. T: Período relevante de proyección de los flujos (generalmente a 5 años).
Recordando que,
𝑉𝐶𝐷𝑖𝑣𝑇 =
𝐷𝑖𝑣𝑇 (1 + 𝑔) 𝑘𝑒 − 𝑔
Siendo: VCDivT: Valor de continuidad de los dividendos totales, el cual se calcula al final del período relevante. DivT: Dividendo total en el período T, es decir, al final del período relevante. ke: Costo de oportunidad del capital propio (%). g: Crecimiento perpetuo de los dividendos totales.
Valoración de una empresa por el método del flujo de caja para el inversionista descontado: Este método usa elementos similares al del flujo de dividendos descontados, dado que dichos flujos futuros son descontados al costo de capital propio, pero además, lo que se descuenta no son los dividendos totales, sino los 156
flujos de caja para el inversionista3.
Sobra decir que al utilizar el témino
“descontado”, se hace referencia al VPN. De manera ecuacional, se puede traducir lo anterior así: 𝑇
𝑉𝐸 = ∑ 𝑡=1
𝐹𝐶𝐼𝑡 𝑉𝐶𝐹𝐶𝐼𝑇 + 𝑡 (1 + 𝑘𝑒 ) (1 + 𝑘𝑒 )𝑇
Teniendo en cuenta que: VE: Valor de la empresa. FCIt: Flujo de caja para el inversionista en el período t. VCFCIT: Valor de continuidad de los flujos de caja para el inversionista, el cual se calcula al final del período relevante. Ke: Costo de oportunidad del capital propio (%). t: Cada uno de los períodos de ocurrencia de los flujos de caja. T: Período relevante de proyección de los flujos (generalmente a 5 años).
Además,
𝑉𝐶𝐹𝐶𝐼𝑇 =
𝐹𝐶𝐼𝑇 (1 + 𝑔) 𝑘𝑒 − 𝑔
Siempre que: VCFCIT: Valor de continuidad de los flujos de caja para el inversionista, el cual se calcula al final del período relevante. FCIT: Flujo de caja para el inversionista en el período T, es decir, al final del período relevante. ke: Costo de oportunidad del capital propio (%). g: Crecimiento perpetuo de los flujos de caja para el inversionista.
De esta manera se evidencia cómo la extensión del concepto VPN ha permeado gran parte de las esferas económico – financieras, estructurando toda una gama de
3
El flujo de caja del inversionista es el flujo de caja libre menos el pago de intereses y el abono a capital.
157
metodologías que apuntan a estimar financieramente el valor de activos financieros y de firmas en general, estableciéndose así un marco de referencia sobre el cual se celebran negociaciones entre grupos de inversionistas (unos desde el lado oferente, otros desde el lado demandante) a diario en todo el mundo. Además, cabe anotar que si bien, las formulaciones son basadas en el concepto valor presente neto, también está implícita otra concepción importante en las matemáticas financieras, y corresponde a la perpetuidad4, evidenciada en cada uno de los métodos de valoración corporativa, específicamente en el cálculo del valor de continuidad.
Las aplicaciones prácticas a estas formulaciones se pueden encontrar en libros de finanzas corporativas, finanzas internacionales, mercados de capitales y valoración de empresas. Sobre este último tema hay que decir que el impacto de la extensión del concepto VPN ha sido tal que desde mediados del siglo XX hasta nuestros días, es posible abordar asignaturas como valuación de firmas en cursos de grado, educación continua y posgrados.
10.2 Ambigüedades del método de la Tasa Interna de Retorno (TIR) en la valoración de inversiones.
En el capítulo 7 de este texto se mencionó que la tasa interna de retorno (TIR) es un criterio utilizado para evaluar la pertinencia de invertir en un negocio. Pese a que es uno de los juicios decisorios más usados y útiles en términos relativos, se desconoce que se puede caer en divagaciones debido a que su base de cálculo presenta limitaciones que van más allá de un análisis de costo - beneficio de inversiones.
En esencia, el cálculo de la TIR implica el uso de un modelo matemático, específicamente, de la función racional o hiperbólica.
4
Una perpetuidad es una cantidad de dinero que se repite indefinidamente en el espacio temporal. Ver capítulo 5, numeral 5.5.
158
Una función hiperbólica o racional es aquella que incluye divisiones en su expresión y la variable a estudiar (llámese x ó y) está en el denominador. Frente a esto, se incurre en una limitación, y es que la incógnita no puede tomar valores tales que hagan que el denominador sea cero, dado que haría indeterminada la operación y por ende nula la expresión. Esto puede ser lógico y manejable desde el punto de vista matemático, sin embargo, desde la perspectiva financiera esta situación carece de sentido.
Por razones asociadas a lo anterior y por la misma naturaleza de la expresión, al resolver una ecuación hiperbólica, existen posibilidades de obtener soluciones reales o imaginarias. Dentro del ámbito de los reales se podría contemplar la obtención de raíces negativas. Por otro lado, se podría llegar a obtener múltiples raíces, bien sean, todas reales, todas complejas, o una combinación de las dos alternativas anteriores.
De manera esquemática, una función hiperbólica se podría expresar de la siguiente manera: 𝑓(𝑥) =
𝑔(𝑥) ℎ(𝑥)
De tal manera que h(x) no puede ser cero.
De manera análoga, una función racional en su forma más simple podría ilustrarse como: 𝑓(𝑥) =
1 𝑥
Entendiéndose g(x) = 1, y de similarmente, h(x) = x
Se podría complejizar la expresión de las siguientes maneras: 1
𝑓(𝑥) = 𝑥+1
1
𝑓(𝑥) = 1−𝑥
1
𝑓(𝑥) = (1+𝑥)𝑛
En efecto, en la última expresión “x” es la variable, y “n” es una constante conocida, su gráfica la podemos observar en la figura 4. Del mismo modo es pertinente decir que dicha expresión se acerca más a lo que se quiere llegar en este apartado.
Figura 4. Gráfico de la función f(x) 159
1,5 1 0,5
0 -25
-15
-5
5
15
25
-0,5 -1 -1,5
Fuente: Elaboración propia
Nótese que en la imagen anterior se puede apreciar la simetría existente alrededor de un eje imaginario (línea punteada roja, correspondiente a la función m(x)= -x-1), además de tener una asíntota vertical en x = -1, queriendo decir que este es el valor que hace indeterminada la función.
Retomando el sentido financiero de la discusión, recordemos que la TIR es la tasa de interés que hace que el valor presente neto sea cero. En un espectro matemático: 𝑇
0=∑ 𝑡=1
𝐹𝐶𝑡 − 𝐼0 (1 + 𝑇𝐼𝑅)𝑡
Donde, FCt, I0, t y T son constantes, y la TIR es la incógnita. De esta manera, la expresión anterior establece que: -
TIR no puede ser -1, porque hace indeterminada la función.
-
Dependiendo de los valores de las constantes FCt, I0, t y T, existe la posibilidad de que la variable “TIR” tenga raíces, positivas, negativas, complejas, o una mezcla de todas las anteriores.
Frente a lo anterior, eventualmente se podría estar frente a un caos ambiguo desde la óptica financiera. Simplemente porque, ¿cómo se podría justificar el 160
hecho de tener múltiples TIR, o sencillamente el que no exista una TIR determinada para cierto proyecto?, ¿tiene esto sentido e interpretación desde el punto de vista financiero?
Existencia de TIR negativa Este caso suele ocurrir cuando se está frente a un proyecto típico5, cuyos flujos positivos futuros descontados no alcanzan a absorber la inversión inicial.
En la
figura 5 se puede evidenciar el hecho gráficamente.
Figura 5. Diagrama VPN Vs TIR Período 0 1 2 3 4
Flujo Caja -140.000 40.000 35.000 30.000 25.000
60.000
VPN ($)
40.000 20.000
0 -20%
-15%
-10%
-5%
0%
5%
10%
-20.000
TIO = VPN = TIR =
15% -44.733 -3,13%
15%
20%
TIR
-40.000
-60.000
Nótese cómo la tasa de retorno interna del proyecto de inversión está en la zona negativa del eje “x” (eje de las tasas de interés). Este hecho coexiste además con la obtención de un valor presente neto negativo.
Ante este suceso,
simplemente se podría interpretar como un proyecto que no es rentable en ningún escenario de costo de oportunidad coherente, dado que en cualquier valor de tasa de interés, este destruirá valor.
Existencia de múltiples TIR Esta situación suele ocurrir cuando se trata de un proyecto puramente atípico, es decir, cuando existe cambio de signo entre los flujos de caja, o sencillamente, no sólo el único flujo negativo es el inicial, tal y como ocurre en un proyecto típico. En ese sentido se contempla la coexistencia de reinversiones. En las figuras 6 y 5
Un proyecto típico es aquel en donde sólo hay un flujo negativo, que es la inversión en tiempo cero, y los demás flujos son positivos.
161
7 se puede observar dos proyectos con perfiles de flujo de caja distintos, pero con evidencia de flujos negativos futuros. Específicamente en la figura 6 se evidencian o TIR, mientras que en la figura 7 se aprecian 3 TIR. Tal situación complejiza el análisis e interpretación
Figura 6. Proyecto con 2 TIR Año 0 1 2 3 4
Flujo Caja -17.000 20.000 20.000 15.000 -40.000
$ 4.000,00 $ 3.000,00
$ 2.000,00 $ 1.000,00 $ 0,00
0%
20%
40%
60%
80%
100%
($ 1.000,00) TIR 1 TIR 2
4,35% 69,45%
($ 2.000,00)
($ 3.000,00)
Fuente: Elaboración propia
En el evento de la existencia de múltiples TIR en un proyecto la sugerencia es abortar este parámetro como criterio decisorio. En su lugar se suele remplazar por la tasa interna de retorno modificada6. No obstante, como no es el motivo de discusión de este apartado, se dejará a buen juicio del lector ahondar en este tema por su propia cuenta.
Figura 7. Proyecto con 3 TIR
6
La TIRM o TIR modificada además de los flujos de caja de un proyecto, tiene como parámetros de entrada dos tasas de interés adicionales, una de financiación y otra de reinversión. Estas tasas pueden ser la tasa mínima esperada por el inversionista (TIO) y una tasa de inversión alternativa proveniente de una propuesta similar, tal como invertir en un título de renta fija.
162
Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 TIR 1 TIR 2 TIR 3
Flujo Caja -3.650.000 2.000.000 2.000.000 2.000.000 2.000.000 2.000.000 -2.000.000 -2.000.000 -2.000.000 -2.000.000 -2.000.000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4.000.000 1,537% 16,788% 26,000%
600.000 400.000 200.000 0 0%
20%
40%
60%
80%
200.000 400.000 600.000 800.000 1.000.000
Fuente: Elaboración propia
No en vano, tratemos de hacer una lectura coherente del hecho en mención. Supongamos que una alternativa de inversión tiene como rendimiento mínimo esperado el 15% anual, además, tomando como base el proyecto descrito en la figura 6, se obtienen dos TIR, 4,35% y 69,45%.
Si el criterio dice que un
proyecto se debería aceptar si la TIR es positiva, pero en este caso tenemos las dos caras de la moneda, es decir, una TIR superior a la TIO y otra inferior, entonces, ¿cómo decidir si se toma o no? Si escojo la ruta 15% Vs 4,35%, obviamente la decisión sería rechazar, pero si selecciono la otra 15% Vs 69,45% la decisión sería aceptar. En definitiva, el proyecto si se toma, pero a la vez no, esto no tiene sentido para efectos financieros. En el mundo de los negocios o se invierte o no, pero jamás coexistirán las dos cosas a la vez, he aquí una ambigüedad.
Pese a la complejidad del asunto hay quienes interpretarían esto como el rango dentro del cual sería conveniente invertir. Es decir, que para poder obtener un valor presente neto positivo se debe invertir con retornos entre el 4,35% y el 69,45%, dicho de otra manera, el proyecto generará valor siempre y cuando la rentabilidad esté entre estos dos valores.
163
Extrapolando la lectura del párrafo anterior al proyecto exhibido en la figura 7, se podría decir que el proyecto crearía valor siempre y cuando se espere un retorno entre cero (0) y 1,54%, y superior a 26%. ¿Tiene esto sentido? No existencia de TIR Puede darse el caso en que un proyecto no tenga TIR. Esto ocurre porque el proyecto es atípico y los flujos de caja alternan los signos más (+) y menos (-), de igual manera que ocurre en las situaciones de múltiples TIR. La diferencia aquí es que los flujos de caja positivos son tales que ninguna tasa de interés hará que los flujos negativos hagan contrapeso y por ende el VPN nunca sea cero (0). De manera paralela puede suceder en sentido inverso, es decir, los flujos de caja negativos son tales que ninguna tasa de interés hará que los flujos positivos hagan contrapeso y por ende el VPN nunca sea cero (0). Lo anterior aduce que la no existencia de TIR pueda generar en consecuencia que el VPN siempre sea positivo o negativo. Este fenómeno se puede apreciar en las figuras 8 y 9.
Para el caso puntual de la figura 8 se puede observar que no hay tasa de descuento que sea capaz de encontrar un VPN de cero para el perfil de flujo de caja sugerido, además, los flujos positivos son tales que -3’000.000 llevado a valor presente, jamás podrá anular el valor de 1’000.000 sumado al valor presente de 3’500.000. En síntesis, podrá decirse que este proyecto agregará valor en todos los escenarios de rentabilidad positiva posibles.
Figura 8. Proyecto sin TIR con VPN positivo $ 1.600.000 $ 1.400.000
$ 1.200.000 $ 1.000.000
VPN $
Año Flujo Caja 0 1.000.000 1 -3.000.000 2 3.500.000
$ 800.000 $ 600.000 $ 400.000
TIR No Existe!
$ 200.000 $0 0%
20%
40%
60%
80%
Tasa Descuento %
Fuente: Elaboración propia.
164
100%
120%
140%
De manera análoga pero inversa, en el proyecto descrito en la figura 9 se puede apreciar que no existe una tasa de descuento capaz de encontrar un VPN de cero para el perfil de flujo de caja indicado, además, los flujos negativos son tales que 3’000.000 llevado a valor presente, jamás podrá anular el valor de -1’000.000 sumado al valor presente de -3’500.000. Como conclusión, y contrario al caso anterior, podrá decirse que este proyecto no es rentable bajo ningún escenario de rentabilidad positiva posible, en consecuencia, tendrá que prescindirse de él como alternativa de inversión.
Figura 9. Proyecto sin TIR con VPN negativo $0
($ 200.000)
20%
40%
60%
80%
($ 400.000) ($ 600.000)
VPN $
Año Flujo Caja 0 -1.000.000 1 3.000.000 2 -3.500.000
0%
($ 800.000) ($ 1.000.000)
TIR No Existe!
($ 1.200.000) ($ 1.400.000) ($ 1.600.000)
Tasa Descuento %
Fuente: Elaboración propia.
165
100%
120%
140%
11 BIBLIOGRAFÍA
Álvarez Piedrahita, Iván. Finanzas estratégicas y creación de valor. Estructura de las decisiones en finanzas. Editorial Kimpres. 2002. Ángel Diaz, Pedro María y otro. Decisiones financieras bajo incertidumbre. Apoyadas en las herramientas financieras y estadísticas de Excel. 1ª Edición 2010. Editorial Escuela de Ingeniería. Arya y Lardner. Matemáticas financieras aplicadas a la Administración y a la Economía. 3ª Edición. 2000. Baca Urbina, Gabriel. Evaluación de proyectos Sexta Edición. 2010. McGrawHill. Corredores Asociados S.A. Manual para el cálculo de rentabilidades. Corredores Asociados. Bogotá, 1999. García, Jaime. Matemáticas financieras con ecuaciones de diferencia finita. Pearson. Bogotá, 2000. Gutiérrez Carmona, Jairo. Modelos financieros con Excel.herramientas para mejorar la toma de decisiones empresariales. 2ª Edición .ECOE EDICIONES .2008. Ketelhöhn, Werner y otros. INVERSIONES. Análisis de inversiones estratégicas.1ª Edición 2004-Grupo Editorial NORMA. Mesa Orozco, Jhonny de Jesús. Matemáticas financieras aplicadas. Uso de las calculadoras financieras. Practicas con Excel. 3ª Edición. Ediciones ECOE Park, Chan S. Ingeniería económica contemporánea.1ª Edición.Pearson.1997 Portafolio. Caja de herramientas para Pymes.Universidad EAFIT Portafolio. Finanzas personales. Coomeva. Financiera. Rosillo Corchuelo, Jorge. Matemáticas financieras para decisiones de inversión y financiación. Cengage Learning. Bogotá. 2007 Hayat B, Souad y otro. Finanzas con Excel.McGraw-Hill.2001 Vélez P, Ignacio. Decisiones de inversión :enfocado a la valoración de empresas. 4ª Edición. CEJA, Bogotá . 2004. Villalobos, José Luis. Matemática financiera. 2ª Edición. Prentice Hall. 2001. Zitzmann R, Werner. Valoración de empresas.Excel Simulación probabilística.1ª Edición 2009.Alfaomega.
166
