Matematicas Con Word y Excel PDF

MATEMÁTICAS CON Word Y Excel

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AL LECTOR: El autor de esta obra le quedará muy reconocido si le da usted a conocer su opinión acerca de esta obra que le ofrezco, así como de su presentación e impresión. Le agradezco también cualquier otra sugerencia. Mi dirección e-mail es: [email protected]

PRIMERA EDICIÓN 2006.

® Copyright. 2006. ® copyright Javier González Cázares Nombre de la casa de publicación: Gauss Registros Nº 03-2006-071115045600-01, SEP y Nº 03-2007-081615321700-01, SEP

Derechos de Autor Art. 184

3 ÍNDICE

INTRODUCCIÓN….………………………………………………………………… 5 PRIMERA PARTE I. EDITOR DE ECUACIONES….…………………………………………………………………………………… 5 PRÁCTICA # 1. “LA VIDA DE DIOFANTO”………………………….…………………………………………… 7 II. A. CÓMO HACER ECUACIONES ………………………………………………………………………………. 8 PRÁCTICA # 2. “EXPRESAR UNA FRACCIÓN EN ENTERO Y FRACCIÓN...…………………………………10 PRÁCTICA # 3. “OPERACIONES ARITMÉTICAS CON EXCEL”....……………………………………………. 11 PRÁCTICA # 4. “ECUACIONES DE PRIMER GRADO” (CON UNA VARIABLE)….………………………….. 13 PRÁCTICA # 5. “SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO”. (MÉTODO POR FÓRMULA)….…. 15 PRÁCTICA # 6. “SISTEMA BINARIO”….………………………………………………………………………… 17 PRÁCTICA # 7. “LA PROGRESIÓN ARITMÉTICA”…………………………………………………………….. 19 PRÁCTICA # 8. “FACTORES DE DIVISIÓN……………………………………………………………………….. 20 PRÁCTICA # 9. “DIBUJO CON EXCEL”….……………………………………………………………………….. 21 PRÁCTICA # 10. “APLICA TUS CONOCIMIENTOS” ……………………………………………………………. 22 “PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA”….…………………………………………………………………………... 24 PRÁCTICA # 11……………………………………………………………………………………………………… 24 PRÁCTICA # 12……………………………………………………………………………………………………….25

SEGUNDA PARTE CONCEPTOS GENERALES…………………………………………………………………………….…………. 26 PRÁCTICA 13: FRACCIONES REPRESENTADAS EN GRÁFICAS CIRCULARES …………………..…......... 38 PRÁCTICA 14: FRACCIONES EN GRÁFICA DE BARRAS ……………………………………………….…….. 40 PRÁCTICA 15: GRÁFICA CIRCULAR DE FRACCIONES ………………………………………………….……. 42 PRÁCTICA 16: FRACCIONES ……………………………………………………………………………….…….. 45 PRÁCTICA 17: SUMA Y RESTA DE FRACCIONES …………………………………………………….……….. 49 PRÁCTICA 18: SEGUNDA PARTE: SUMA DE FRACCIONES …………………………………….……………. 50 PRÁCTICA 19: MULTIPLICACIÓN ARITMÉTICA……………………………………………………………….. 52 PRÁCTICA 20: ADIVINADOR DE NÚMEROS……………………………………………………………………. 55 PRÁCTICA 21: DIBUJAR FIGURAS GEOMETRICAS……………………………………………………………. 58 PRÁCTICA 22: AREA DE FIGURAS EN EXCEL………………………………………………………………..… 60 PRÁCTICA 23: ÁREA DE UN TRIÁNGULO EN EL ESPACIO…………………………………………….…….. 62 PRÁCTICA 24: ÁREA DE UN TRIÁNGULO EN EL ESPACIO (TRES RECTAS EN EL ESPACIO)……………65 PRÁCTICA 25: BALANCE QUIMICO………………………………………………………………………………68 PRÁCTICA 26: COMPROBACIÓN DE ECUACIONES…………………………………………………………… 70 PRÁCTICA 27: COORDENADAS POLARES Y COORDENADAS RECTANGULARES………………………. 73 PRACTICA 28: DESIGUALDADES CON INECUACIONES………………………………………………………76 PRÁCTICA 29: SISTEMAS DE ECUACIONES POR REGLA DE CRAMER……………………………………. 80 PRÁCTICA 30: REGLA DE KRAMER 2 (CONTINUACIÓN)……………………………………………………..83 PRÁCTICA 31: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (MÉTODO REGLA DE CRAMER)………………..84 PRÁCTICA 32: ECUACIONES LINEALES POR ELIMINACIÓN GAUSSIANA………………………………...87 PRÁCTICA 33: ECUACIÓN CUADRÁTICA……………………………………………………………………….92 PRÁCTICA 34: ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA………………………………………………………….94 PRÁCTICA 35: ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA; SEGUNDA PARTE (USANDO SCROLL BARS)…. 95 PRÁCTICA 36: ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA; TERCERA PARTE (CONTINUACIÓN)…………….97 PRÁCTICA 37: ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA; CUARTA PARTE (HAGA SUS CÁLCULO Y COMPRUEBE)………………………………………………………………………………………..99 PRÁCTICA 38: ECUACIONES POR MÉTODO ALEATORIO……………………………………….……………100 PRÁCTICA 39: ESTADÍSTICA………………………………………………………………………….…………..102 PRÁCTICA 40: GRÁFICA DE DOS FUNCIONES………………………………………………………….………104 PRÁCTICA 41: GRAFICAS EN TRES DIMENSIONES………………………..…………………..……………….107 PRÀCTICA 42: “PARÁBOLA”.EJEMPLOS INTERACTIVOS……………………………………….…………….112 PRÁCTICA 43: PARÁBOLA (MÍNIMOS Y MÁXIMOS)……………………………………………….………….115 PRÁCTICA 44: GRÁFICA DE DOS FUNCIONES (INTERSECCIÓN DE DOS CURVAS)………………..……..118 PRÁCTICA 45: PENDIENTE DE UNA RECTA. 1RA. PARTE……………………………………….…………....120 PRÁCTICA 46: PENDIENTE DE UNA RECTA. 2DA. PARTE………………………………………………….....122 PRÁCTICA 47: PENDIENTE DE UNA RECTA. 3RA. PARTE…………………………………………………….123 PRÁCTICA 48: PRODUCTOS NOTABLES…………………………………………………………………………125

4 PRÁCTICA 49: CÍRCULO (Con coordenadas rectangulares y polares)….……………………………………….....127 PRÁCTICA 50: CÍRCULO FUERA DEL ORIGEN…………………………………………………………………133 PRÁCTICA 51: INTERSECCIÓN ENTRE UNA RECTA Y UN CÍRCULO…………………………………….....137 PRÁCTICA 52: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: “COSENO”……………………………………………......141 PRÁCTICA 53: SISTEMAS DE ECUACIONES DOS X DOS……………………………………………………...148 PRÁCTICA 54: FUNCIÓN EXPLICITA………………………………………………………………………..…...151 PRÁCTICA 55: FUNCIÓN EXPLÍCITA. CONTINUACIÓN…………………………………………………..…..154 PRÁCTICA 56: ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA FUERA DEL ORIGEN………………………………......……155 PRACTICA 57: ECUACION GENERAL DE LA PARÁBOLA……………………………………….……….…...159 PRÁCTICA 58: GRAFICA DE FUNCIONES POLARES CON ANIMACIÓN…………………………………….161 PRÁCTICA 59: VECTOR (Usando coordenadas polares)……………………..………………………………….….164

5 INTRODUCCIÓN ESTE TRABAJO QUE SE PRESENTA EN FORMA ESCRITA, EN UN PRINCIPIO ERAN UNA SERIE DE EJERCICIOS SUELTOS Y DESORDENADOS. AUNQUE ORIGINALMENTE FUERON HECHOS PARA LOS ALUMNOS DE LA TELESECUNDARIA “NIÑOS HÉROES”, DE LA COMUNIDAD DE BUENAVISTA, FRESNILLO, ZAC., MEXICO; PARA EVALUAR UN TRABAJO DE INVESTIGACIÓN PERO DE IGUAL MANERA LOS PUEDE USAR EL ALUMNO O ALUMNA DE SECUNDARIA GENERAL O TÉCNICA. VAN DE LO SIMPLE, DESDE COMO ESCRIBIR FÓRMULAS EN EL PROGRAMA WORD, NO SIN ANTES PONER UN PROBLEMA PARA QUE LO REALICEN EN CASA. EN EXCEL PODRÁS APLICAR FÓRMULAS O BIEN DEDUCIRLAS PARA DIFERENTES CASOS. PARTO DE QUE EL ALUMNO DEBE EJERCITARSE PRIMERO EN EL SALÓN DE CLASE, QUE COMPRENDA BIEN CÓMO RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS Y LUEGO COMPROBAR SUS RESULTADOS EN EL SALÓN DE CÓMPUTO. TODO BUEN CONOCIMIENTO DEBE PASAR POR UNA APROPIADA REFLEXIÓN PRÁCTICA. LA IDEA ES QUE APRENDA A EJERCITAR Y COMUNICARSE ENTRE SUS COMPAÑEROS Y MAESTROS SUS RESULTADOS, DE CÓMO USAR LA HOJA EXCEL EN EL LABORATORIO DE MATEMÁTICAS, EN ALGUNOS CASOS HAY MAS DE DOS CAMINOS A SEGUIR PARA UNA MISMA SOLUCIÓN, LA MÁS ÓPTIMA ES LA QUE USTED ELIJA. ES CIERTO QUE HAY UN SINNÚMERO DE CAMINOS PARA LLEGAR, EL CHISTE ES SABER CUAL ES EL MEJOR, EL MENOS TEDIOSO, MÁS MEJOR EN EL SABER Y APLICACIÓN AL PROBLEMA DADO. LA EXPERIENCIA EN EL SALÓN MUESTRA QUE UNA MOTIVACIÓN EN MATEMÁTICAS MUESTRA UNA MEJOR TOLERANCIA A APRENDER Y BUSQUEDA DE OTROS CAMINOS. LA DISCUSIÓN SOBRE SI ES APROPIADO O NO ESTE RECURSO, ES EN EL SALÓN DE CLASES, CON LOS PROPIOS INVOLUCRADOS: COMO AUTORIDADES, MAESTROS, ESTUDIANTES Y PADRES DE FAMILIA. PARA ENTENDER ESTE CUADERNILLO ES NECESARIO SENTARSE Y USAR LA COMPUTADORA, ES DECIR EN LA PRÁCTICA. LOS ÚLTIMOS AVANCES EN LA TECNOLOGÍA DE LA INFORMACIÓN PERMITEN QUE LA MATEMÁTICA SEA MÁS EXPERIMENTAL. EL ALUMNO SIEMPRE SE QUEJA DE LO TEDIOSO QUE ES RESOLVER OPERACIONES CON VARIABLES. ¿IMPORTA, QUE EL ALUMNO APRENDA UN ALGORITMO O QUE ESTÉ TODO EL DÍA RESOLVIENDO UN SÓLO PROBLEMA? ¿O BIEN, NI SIQUIERA PODER RESOLVERLO? UNA VEZ APRENDIDO EL MÉTODO, PUEDE PASAR A EXPERIMENTAR Y BUSCAR OTRAS ALTERNATIVAS, COMO REPRESENTAR NÚMEROS CON DIBUJOS, LO QUE AMPLIA EL CAMPO DE REFLEXIÓN DE APLICACIONES Y CONOCIMIENTO. EL USO DE OTROS MÉTODOS AUNQUE NO LOS CONOZCA PUEDE HACER QUE TENGA UNA AUTORREFLEXIÓN Y PUEDA PROPONER OTRAS VÍAS DE SOLUCIÓN. NO TENGA MIEDO DE CONOCER, EXPERIMENTE, BUSQUE, HAGA, AUNQUE SE EQUIVOQUE. ESTAS PALABRAS QUE ENCONTRARÁ EN TODO EL TEXTO, SON UNA REFLEXIÓN QUE A LO LARGO DE LOS AÑOS HE TENIDO, Y QUE AGRADEZCO A MI ESPOSA JOSEFINA, MIS HIJOS JAVIER ANTONIO Y M. JOSEFINA ADRIANA SU COMPRENSIÓN, PACIENCIA Y ENTUSIASMO. A LOS PROFESORES JOSE ANGEL GUERRERO LOERA Y LUIS MANUEL AGUAYO RENDON POR CREER EN MI TRABAJO, Y MI AMIGO Y COMPAÑERO DE EN LUCHA FELIPE H. CORTÉS VÁZQUEZ.

J.G.C. JUNIO 2006

6 PRIMERA PARTE I. EDITOR DE ECUACIONES El “editor de ecuaciones”, es una herramienta muy útil en Word, traslada fórmulas, ecuaciones, etc. Si no se encuentra en la barra de tareas, busque en “herramientas”, + “personalizar”, buscar en “todos los comandos”, seleccionar “Insertar Editor de Ecuaciones” y arrastrarlo a la barra de herramientas. No todas las computadoras lo tienen, pero antes de hacerlo practicarás con tu maestro unos ejercicios usando el editor de ecuaciones. Por ejemplo: Las siguientes fórmulas escríbelas en Word:

− b + b 2 − 4 ac − b − b 2 − 4 ac x1 = ; x2 = 2a 2a 3x 6d 2c + 3d d= d 2+ c − 2d 1−

x =

− 4x + 8 = 0 3x −1 x+3 1 − − ( x − 1 )( x + 1 ) ( x + 1 )( x + 2 ) x+ 2

c1

b1

c2 a1

b2 b1

a

b

2

2

2

2 − 3 x ≤

2 x + 12

7 Para el primer ejemplo, abrimos editor de ecuaciones, da clic en

. Enseguida aparece.

Empieza a escribir la ecuación, así como se presenta: 1er Paso

2° Paso

3er Paso

Al final queda de esta manera:

II. PRÁCTICA # 1 1. ¿CÓMO ESCRIBIRÍAS FÓRMULAS Y ECUACIONES EN LA HOJA WORD? Objetivo: Usarás tus habilidades para escribir fórmulas y ecuaciones matemáticas en la computadora. Orden de pasos: Abres un Nuevo Documento Word, escribes el título “CÓMO HACER ECUACIONES”, luego centrar. Como subtítulo “La vida de Diofanto”. En Tabla, eliges Dibujar Tabla + Insertar Tabla, eliges 2 columnas y 9 filas, a continuación Aceptar.

8

Con tu ratón, en la primera columna escribes “LENGUA VERNÁCULA”, con el cursor derecho, escribes “LENGUA DEL ÁLGEBRA”, los cuadros que llenaremos son los del lado izquierdo, los de la derecha los llenarás tú después del dictado. Segundo cuadro, primera columna (a continuación abreviar a tercer cuadro y así sucesivamente), escribe: 1. ¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡OH, milagro!, cuán larga fue su vida, 2. Cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia 3. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubriese en su barbilla 4. Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril 5. Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, (Nota: entre las filas 6 y 7, columna 1, eliges Dividir Celdas…das clic. Otra vez clic) 6. que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan sólo la mitad de la su padre 7. Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo 8. (Nota: eliges dos columnas en esta última fila, vas a Tabla + Dividir Celdas… clic, seleccionas Negrita, clic) Dime cuántos años había vivido Diofanto cuando le llegó la muerte.

Una vez finalizado todo el dictado, pondrás las variables y constantes apropiadas a cada paso que se indicó, cuando hayas terminado compara tus resultados con el maestro y resuelve en tu casa esta incógnita, que seguro te sorprenderás del resultado.

II. A. CÓMO HACER ECUACIONES Para este ejercicio usar el “editor de ecuaciones”, harás un dictado, cuida errores de ortografía matemática y de caligrafía. A continuación se relata la vida de Diofanto, en el epitafio de su tumba:

9 LA VIDA DE DIOFANTO1 LENGUA VERNÁCULA LENGUA DEL ÁLGEBRA ¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡OH, milagro!, cuán larga fue su vida,

x

Cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia

x 6

Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubriese en su barbilla

x 12 x 7

Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan sólo la mitad de la su padre Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo.

5

x 2 x=

x x x x + + +5+ +4 6 12 7 2

Dime cuántos años había vivido Diofanto cuando le llegó la muerte Obviamente el resultado lo harás “a mano”, como lo haces de manera regular o bien en tu casa, y tus resultados los comparas con tus compañeros y maestro. Ejercicios: Encuentra las variables y constantes: 1. Se pretende cercar un terreno rectangular y dividirlo en tres partes con dos cercas interiores y paralelas a uno de sus lados. Encuentre las dimensiones del terreno si la longitud total de las cercas ha de ser de 800 m y el área del terreno es 19,200 m2. 2. Una página con 3 plg más de longitud que de anchura, tiene 80 plg2 de impresión. Encuentre las dimensiones de la página.

1

PERELMAN, Y., “Álgebra recreativa”, Ed. Quinto Sol, México, 1983, Pág. 46.

10 PRÁCTICA # 2 “EXPRESAR UNA FRACCIÓN EN ENTERO Y FRACCIÓN” 2. ESCRIBE UNA FRACCIÓN EN LA HOJA EXCEL, EN SU FORMA MÁS SIMPLE. Es fácil en la hoja Excel tan sólo es saber cómo se hacen a mano. Objetivo: Que el alumno pueda expresar la división como se le enseñó en primaria y exprese fracciones impropias en enteras y residuo. Orden de pasos: Abre una hoja nueva de Excel, escribe el título “EXPRESAR UNA FRACCIÓN EN ENTERO Y FRACCIÓN”, luego en la celda C6 escribe el numerador de la fracción, en la celda C7 escribe el denominador de la fracción. Céntralos y con Crtl + 1, Bordes para la raya de división.

En B9 escribe “SE EXPRESA ASÍ:” En B11 escribe la fórmula = =SI(C7=0,"indeterminada",ENTERO(C6/C7)) En C11 escribe “ENTEROS”.

Selecciona celdas desde B11 hasta D11 (fila) bajando una fila (D12), elige en personalizar Formato + Combinar y Centrar. En la celda E11 escribe la fórmula = RESIDUO ( C6 / C7 ), das Crtl + 1, elige línea abajo para la línea de división.

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En la celda E12 escribe la fórmula = C7 da ENTER. NOTA: puedes cambiar el numerador y denominador para diferentes resultados.

EJERCICIOS: 1. Aplica el criterio de divisibilidad para encontrar los múltiplos de cualquier número. 2. Cómo encontrar si un número es divisor otro número.

PRÁCTICA # 3 “OPERACIONES ARITMÉTICAS CON EXCEL” 3. REALIZA DIFERENTES OPERACIONES ARITMÉTICAS A LÁPIZ, LUEGO COMPRUEBA TUS RESULTADOS EN LA HOJA EXCEL. Objetivo: Aprenderás cómo realizar operaciones aritméticas con computadora. Expresiones o símbolos usados: Usarás los siguientes símbolos en Excel, como ( + ), ( - ), ( * ), ( / ), ( ^ ), ( ABS), (COS), (SEN), (ENTERO), (EXP), (FACT), (GRADOS), (PI), (POTENCIA), (RAIZ), (RESIDUO). Ejemplos: Realiza la siguiente operación a mano: (4)*(-5)*(-2) ¿Cuánto te resulta? Bien, ahora introduce estas operaciones en una nueva hoja Excel:

12 Primero debes de escribir en la celda b7 el signo igual para que se resuelva como una fórmula, luego la operación (4)*(-5)*(-2)

Al final da ENTER. ¿Tu resultado es igual al introducir a hoja Excel?, si no es así corrige. Ejemplo: ahora realiza 4*9 + 50/10, a mano; luego en Excel, recuerda que primero debes introducir signo igual ( = ).

En los siguientes ejercicios, primero resuélvelos a mano y después en Excel.

EJEMPLOS (8+5)*(2) 8+5*2 (8/2+5)*(1+8) 8^4 6*(8+9-(15/3)^2) ABS(-789) COS(60) SENO(60) ENTERO(15.548888)

A MANO

EXCEL

13 EXP(1) FACT(8) GRADOS(1) PI() POTENCIA(4,3) RAIZ(144) RESIDUO 3 4 FACTORIAL 8 8*2-5^3*(1/8) 8^2*5+3/1-8 8+2^(5-3)*3*1/8 8^(2+5)-3^1/8 8^(2*5)/3+1-8 Recuerda que primero tienes que hacerlo a mano y luego en Excel, compara tus resultados y concluye. Te recomiendo que los pasos2 a seguir en una operación de aritmética puedan variar según sea el caso, pero primero debes de tener en cuenta que primero efectúas las operaciones que están dentro de los paréntesis, luego multiplicaciones, divisiones y potencias, por último efectúas las sumas o restas.

PRÁCTICA # 4 “ECUACIONES DE PRIMER GRADO” (CON UNA VARIABLE) 4. APLICA TUS CONOCIMIENTOS DE DESPEJE DE ECUACIONES PARA ENCONTRAR UNA “FÓRMULA”, QUE RESUELVA ECUACIONES DE PRIMER GRADO DE LA FORMA: ax=b Una ecuación es un enunciado en que dos cantidades son iguales, el signo de igualdad se coloca en medio de estas dos. Las ecuaciones tienen una, dos o más letras, llamadas variables o incógnitas. Mediante algoritmos podemos encontrar los valores de las variables, éstos a su vez se sustituyen en las ecuaciones, hacen iguales a los dos miembros de la ecuación, es decir satisfacen a, o es una solución de. El total de las soluciones se le conoce como conjunto de soluciones. Es así como para la fórmula general de una ecuación de primar grado con una variable y una constante será:

ax = b

2

Para más ejemplos: http://homepage.cem.itesm.mx

14

− a ≤ x ≤ + asi a ≠ 0

Su solución, para cuando: Es:

x=

b a

--------------------- fórmula (1)

De igual manera cuando, se tiene una ecuación con una variable y dos constantes, el rango de a es el mismo:

− a ≤ x ≤ + a

Si

a≠0

La fórmula general es:

a x + b = c Por lo que despejando se tiene.

x =

c − b a

-------------------- fórmula (2)

En los dos casos, el valor de a, no será cero, por definición. Objetivo. Encontrar el algoritmo general o particular Excel, para ecuaciones de primer grado. Orden de pasos: Abre un nuevo documento Excel. Escribe el título “ECUACIONES DE PRIMER GRADO (CON UNA VARIABLE)”, luego en el inciso a, “el caso para una constante”, escribe en las celdas B8 y B9 a y b respectivamente, ahora los valores de cada una de ellas, los que quieras. Enseguida, “el valor de la variable es:”, en la celda B12, escribe “x =”, celda C12 la fórmula correspondiente. Como las fórmulas están definidas en función de que el denominador no sea cero, ya que nos daría una indeterminación o un número infinito, para resolverlas es necesario otro curso más adelante, pero por lo pronto ponemos una restricción a nuestra fórmula. = SI (C8=0,"indeterminada", C9/C8) ¿Por qué “indeterminada? Consulta a tu maestro. En resumen quedaría así:

15 Una vez terminado, empiezas en la siguiente celda escribiendo: “b) el caso para una variable y dos constantes”. Y sigues el mismo procedimiento que el anterior, sólo que ahora en la fórmula agregarás lo siguiente: =SI (C21=0, “Indeterminada”, (C23-C22)/C21)

En resumen: Comprueba tus valores, cambiando los valores de coeficientes y constantes, realiza estos cálculos a mano y en la computadora. EJERCICIOS: 1. Usa Word Editor de Ecuaciones para deducir las fórmulas generales de los siguientes ejemplos:

− a x

=

a ÷ x = b

b

a x − b = c − a x + b = c a x = − b

a x − b = − c − ax − b = c − a x − b = − c

2. Una vez que derivaste las fórmulas; aplícalas ahora en el programa Excel, luego resuélvelos para diferentes valores.

PRÁCTICA # 5 “SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO” (MÉTODO POR FÓRMULA) 5. APLICA TUS CONOCIMIENTOS DE DESPEJE DE ECUACIONES PARA ENCONTRAR UNA “FÓRMULA”, QUE RESUELVA ECUACIONES DE PRIMER GRADO DE LA FORMA:

ax + b = cx + d

16 OBJETIVO: Que determines el valor de una variable a partir de una fórmula que deduzcas en tu salón o en tu casa, para poder resolver ecuaciones de primer grado en forma general. Sea la fórmula general, para una ecuación: La solución quedará:

x =

ax + b = cx + d

d − b a − c

Esta fórmula se aplica cuando: a − c ≠ 0 Pasos ordenados: Ahora, abre un nuevo documento Excel. El problema a resolver es: Escribe la teoría como viene en la presentación Excel, luego en la celda B50, B51, B52 Y

8x − 5 = − x + 4

B53, las letras de cada constante o coeficiente sucesivamente. Desde C50 hasta C53, pon los valores de cada constante o coeficiente

a = 8 b = −5 c = −1 c = 4 Por ejemplo: El valor que introduces en la computadora, para a = 8, es en la celda C50, pones 8 haces ENTER y se agrega automáticamente, hazlo sucesivamente con las demás constantes.

Una vez terminado, en la celda E52 ponemos x =, para decir que el valor de equis es…, luego en la celda F52, ponemos lo que sigue: =SI (C50-C52 =0,"infinito, sin solución real", (C53-C51)/ (C50-C52))

Comprueba tus resultados, en la libreta. Cambia los valores a voluntad para diferentes problemas.

17 EJERCICIOS: 1. En base al algoritmo propuesto resuelve para uno de los siguientes casos, basa tus deducciones en la hoja Word Editor de ecuaciones, y luego aplícalos a Excel, para cada caso, varía sus valores para comprobar tus resultados:

ax − b = cx + d

ax − b = cx − d − ax + b = cx + d

− ax − b = cx + d − a x − b = − cx + d − ax − b = − cx − d PRÁCTICA # 6 “SISTEMA BINARIO” 6. CONVIERTE UN NÚMERO DECIMAL AL SISTEMA BINARIO EN LA HOJA DE CÁLCULO. Objetivo: Usarás el algoritmo binario para cambiar al sistema decimal. Orden de pasos: Abres un Nuevo Documento Excel, escribes el título “SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO”, punto a aparte y escribes “EXPRESE EL NÚMERO BINARIO A NÚMERO DECIMAL”, aparte escribes “INTRODUZCA CUALQUIER NÚMERO BINARIO EN LA FILA DE LA TABLA:”. Vamos a formar una tabla a partir de B8 hasta J11, aprietas Crtl + 1, elijes Bordes + Contorno + Interior + Aceptar, luego para cada fila elijes un Color de Relleno diferente. En la fila POSICIÓN, agregas en C8 el número 8, en D8 el 7 y así sucesivamente hasta J8. En la fila POTENCIA, agregas en C9 la fórmula en D9 la fórmula = (2) ^6, y así sucesivamente hasta J9.

=

(2)

^7,

18 En la fila NÚMERO BINARIO, pon el número binario que buscas. Ten cuidado que empiezas a ponerlo de derecha a izquierda.

En la fila VALOR POSICIONAL, en la celda C11, pon la fórmula =C10*C9, en celda D11, pon la fórmula =D10*D9, y así sucesivamente hasta la celda J11.

A partir de la celda A14, escribes “POR LO TANTO EL NÚMERO BINARIO CONVERTIDO A NÚMERO DECIMAL ES:”. En la celda B15, escribes la fórmula =SUMA (C11:J11). Queda de esta forma:

Asegúrate que los valores de las fórmulas están bien repasados. ejercicios: a) has este ejercicio pero en el sistema quinario b) este ejercicio en el sistema octal

19 PRÁCTICA # 7 "LA PROGRESIÓN ARITMÉTICA" 7. INCREMENTA 0.5 AL VALOR DE 1, PARA CONOCER SU COMPORTAMIENTO, USA EL CONCEPTO DE PROGRESIÓN ARITMÉTICA Objetivo: Aplicar una sucesión de números, ya sea lineal o progresiva. Abres un nuevo documento Excel, Haces lo mismo que esta en la figura.

Luego Edición + Rellenar + Series.

La serie, es Fila + Incremento + 0.5 + Límite + 5 a continuación ACEPTAR.

Queda así:

20 Ejercicios: 1. Realiza en orden progresivo de 2.0. 2. Realiza en orden regresivo (o decreciente) del orden de – 6. 3. otro en orden de - 12. 4. El siguiente problema, se dice que lo resolvió el gran matemático Gauss, de niño cuando su maestro de Escuela dejó a sus alumnos sumar todos los números consecutivos del uno al cien. a) Resuélvalo a mano, para ello le propongo anote todos los números para sumarlos, luego encuentre la relación entre ellos. b) Contraste su resultado con las siguientes fórmulas: n = a + [(N - 1) x r] S = (a + n) x N / 2 a = primer término de la progresión n = último término de la progresión r = razón N = número de términos S = suma de los términos de a a n. 5. ¿Cuál es la sucesión de la siguiente fórmula? Calcula esto mediante valores significativos, es decir muy grandes para saber la conjetura correcta.

an =

(

n

n − n +1 n + 1

)

PRÁCTICA # 8 “FACTORES DE DIVISIÓN” 8. ENCUENTRA LOS FACTORES DE DIVISIÓN DE CUALQUIER NÚMERO USANDO LA HOJA EXCEL. Objetivo: Recordarás la formas en cómo encontrar el divisor de cualquier número y el uso de los divisores para resolver ejemplos. Orden de pasos: Abre un nuevo documento Excel, pon el título con tamaño 20, tipo de letra Times, mayúsculas, “FACTORES DE DIVISIÓN”. A continuación pondrás las fórmulas, por ejemplo, en la celda C4, pon cualquier número, a continuación en la celda D4, el número al cual “adivinarás” si es factor de división, en la celda E4, agregas la fórmula = SI(RESIDUO(C4,D4)=0,"ES DIVISOR, FELICIDADES!","TE EQUIVOCASTE, INTENTA OTRA VEZ"), en la celda H4 cuando no resulte la división pondrás = SI(C4=1,"¡TERMINASTE, FELICIDADES!", "CONTINÚA"). Una vez terminado, debes de poner la fórmula de la cual obtienes el cociente, a partir de la celda C5, de esta manera: = C4 / D4. Para las demás celdas ya que encontrarás más divisores, cópialos.

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EJERCICIOS: a) ESTE MISMO EJERCICIO PERO CON DOS FACTORES b) EL MISMO PERO CON TRES O MAS FACTORES

PRÁCTICA # 9 “DIBUJO CON EXCEL” 9. USA TU IMAGINACIÓN PARA DIBUJAR FIGURAS EN LA HOJA EXCEL Objetivo: Dibujarás en la hoja Excel, usando tu imaginación. Orden de pasos: Abre una nueva hoja Excel, luego selecciona todo el documento. Con el ratón selecciona el número de filas que desees, a continuación, Formato + Filas + Alto, en Alto selecciona 6. Ahora, con el ratón selecciona el número de columnas que desees, a continuación, Formato + Columnas + Columnas, en columnas selecciona 0.3. Luego has dibujos como si cada cuadrito fueran vectores o píxeles de una figura, para ello usa el color de relleno, selecciona el color que desees y listo. Lo demás corre de tu cuenta. Como ves en el ejemplo que está a continuación:

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EJERCICIOS: ELABORA TUS PROPIOS DIBUJOS.

PRÁCTICA # 10 “APLICA TUS CONOCIMIENTOS” 10. EN LA HOJA DE CÁLCULO PRIMERO EN UNA COLUMNA, HAS UNA TABULACIÓN DESDE -1.5 HASTA +2, LUEGO CALCULA PARA CADA DATO 1 CON LA FUNCIÓN y = , FORMA UNA SEGUNDA COLUMNA, CUANDO x TERMINES, GRAFICA ESTOS DATOS. Objetivo: Aplicarás tus conocimientos para encontrar el comportamiento de una serie de datos, en una gráfica. Orden de pasos: Al expresar valores, magnitudes u otros datos por medio de tablas, podemos intuir su comportamiento, pero cuando son muchos datos es muy difícil, por lo que usaremos una técnica de Excel para poder relacionar los números con figuras es decir gráficas Cartesianas. Abre un nuevo documento Excel, luego pon el título “FUNCIONES MARAVILLOSAS”, luego “graficar la función” y pones la fórmula:

y =

1 x

23 Empieza con la primera columna, pones X, después para abajo pones el número – 1.5, das ENTER, en esa celda Edición + Rellenar + Series, clic. Elijes columna con incrementos de o.3 hasta el límite 2. En la columna siguiente al lado de X, pones Y, después das ENTER, en esa celda agregas la fórmula = 1 / A6, das ENTER, seleccionas esa fórmula la copias, luego selecciona hacia abajo todas las celdas y das ENTER para copiar la fórmula y la aplique según el dato al lado.

Como vez la columna al lado reúne todos los datos anteriores como datos ordenados, en D6, pones = A6, en la celda F6 pones = B6, das ENTER, cópialos y los seleccionas para todos los valores encontrados. Seleccionas las dos columnas, das clic en Asistente para gráficos, y sigues los pasos que ya sabes, y al final te queda de la siguiente forma: Contesta las siguientes preguntas:

1. Explica el comportamiento de la gráfica. 2. ¿Qué sucede en el punto x = 0? 3. ¿Se puede modificar el comportamiento de la gráfica? 4. Explica cual es la división de un número constante entre cero EJERCICIOS:

24 1. HAS UNA GRÁFICA DE LOS SIGUIENTES DATOS X -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Y -21.25 -10 -1.25 5 8.75 10 8.75 5 -1.25 -10 -21.25 -35

EXPLICA SU COMPORTAMIENTO. a) ¿cómo es su gráfica? b) explica cuando la curva tiene un aumento o disminución c) esta gráfica se encuentra muy seguido en otras materias y aplicaciones. ¿en que materias? ¿en que aplicaciones de la vida real? d) La tabla muestra la potencia al freno en H.P., a varias velocidades, de cierta turbina Pelton, tal como se ha comprobado por medio de una serie de pruebas. Construya una gráfica que muestre la relación entre potencia al freno en H.P. y el número de revoluciones por minuto. Potencia en H.P. 0.625 0.668 0.673 0.658 0.640 0.590 0.530 0.475 0.390

Revoluciones por minuto 1120 1360 1500 1750 1980 2100 2340 2500 2700

PRÁCTICA # 11 “PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA” I

11. ESTADÍSTICA: EN LA SIGUIENTE TABLA SE DAN LAS TEMPERATURAS DEL AÑO, CALCULE LA TEMPERATURA PROMEDIO.

25

MES

TEMPERATURA, °C

ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO JULIO AGOSTO SEPTIEMBRE OCTUBRE NOVIEMBRE DICIEMBRE

10 14 20 22 24 25 26 24 20 18 15 12

Objetivo: apliques las fórmulas de estadística y probabilidad para resolver ejemplos sencillos. Solución: Abre una nueva hoja de cálculo Excel, luego agregas estos datos como tabla, das clic en B18 pones la fórmula: = PROMEDIO (B5:B16)

PRÁCTICA 12 “PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA” II 12. PROBABILIDAD: ¿CUÁNTAS PERMUTACIONES PUEDEN HACERSE CON LAS 9 LETRAS DE LA PALABRA FRESNILLO? Solución: una letra F, una R, una E, una S, una N, una I, dos L y una O, La fórmula para calcular el número de permutaciones con n objetos,

26

P =

n! n1 ! n 2 ! n 3 !...

Abres un nuevo documento Excel, anotas tus resultados, con la fórmula anterior: En la hoja de cálculo queda así: =FACT(C3)/(FACT(C4)*FACT(C5)*FACT(C6)*FACT(C7)*FACT(C8)*FACT(C9)*FA CT(C10)*FACT(C11)) Vea como queda en la hoja:

EJERCICIOS: 1. ¿DE CUÁNTAS MANERAS PUEDEN CUATRO PAREJAS SENTARSE ALREDEDOR DE UNA MESA SI HOMBRES Y MUJERES HAN DE ALTERNARSE? 2. EN EL PROBLEMA DE ESTADÍSTICA ENCUENTRE LA MODA, EL VALOR MÁXIMO POR FÓRMULA, VALOR MÍNIMO POR FÓRMULA, ADEMÁS HAGA UNA GRÁFICA DE BARRAS VERTICALES.

SEGUNDA PARTE CONCEPTOS GENERALES Excel en la Escuela es una herramienta didáctica con un gran potencial, aunque sólo utilicemos las opciones básicas. Es una calculadora que nos permite: realizar pesadas y complejas operaciones entre filas o columnas, ordenar o buscar datos y presentar en forma gráfica los resultados obtenidos, con fórmulas matemáticas de una manera fácil y rápida. Se pueden poner algoritmos, modelos, visualizaciones, y usos en ejecución matemáticos naturalmente y con eficacia a través de construcciones interactivas de la hoja de balance y de exhibiciones gráficas creativas. Este papel demuestra las técnicas que permiten a

27 educadores diseñar exhibiciones gráficas animadas en sus construcciones de la hoja de balance para producir demostraciones en el salón de clase para realzar la comprensión matemática, mientras que también presenta a estudiantes con las nuevas y mecanismos visuales atractivos en sus tareas y proyectos matemáticos. Esta experiencia educativa hace eficiente el desarrollo de destrezas y habilidades que permitan obtener mejores resultados en el manejo del lenguaje algebraico. Reflexiona el uso de la informática como un medio atractivo para profundizar conceptos algebraicos utilizando la creatividad, el conocimiento y el razonamiento matemático. Maneja imágenes diseñadas por el usuario a partir de expresiones algebraicas cuando las que la creación de fórmulas permiten su ejecución. Cuando sucede esto, lenguaje algebraico, expresiones algebraicas, grafica de funciones y sus resultados amplían el nivel de conceptualización y comprensión. Las habilidades necesarias para comprender este texto son: Utilizar letras para representar números, evaluar expresiones algebraicas, identificar expresiones algebraicas, construir expresiones algebraicas, representar categorías de números por medio de expresiones algebraicas, utilizar procedimientos para identificar las partes de un término, clasificar expresiones algebraicas de acuerdo al número de términos. El autor tiene interés en desarrollar en el estudiante o maestro: el pensamiento creativo, analógico y crítico, su interés y capacidad de conocer la realidad, de utilizar el conocimiento y seleccionar, procesar, organizar y sintetizar información, la iniciativa personal, la creatividad, el trabajo en equipo, crear actitudes de rigor, paciencia y cumplimiento de las tareas, utilizar el software de propósito como medio creativo en la conceptualización y comprensión de expresiones algebraicas. Lo que tiene que utilizar es su libreta, lápiz, computadora del laboratorio escolar, este cuadernillo, libro de matemáticas elemental y un medio para guardar sus tareas.

TIPOS O CLASES DE CONTROLES Inserte la barra de controles que posee Excel, ya que esto le permitirá trabajar de forma mucho más libre. Para esto vaya al menú Ver/Barra de Herramientas/Cuadro de Controles. Para que esta barra no interfiera en su área de trabajo, incorpórela en la barra de herramientas. A continuación se presentan así:

28

Es usual que los controles sean configurados mayoritariamente a través de Visual Basic (VBA). Cuadro de Propiedades

Al insertar el control, hacemos clic con el botón derecho del Mouse sobre dicho control, esto para que nos aparezca el cuadro de diálogo de propiedades de dicho control. Este cuadro de diálogo a su vez tiene en el extremo superior un cuadro combinando o combobox, el cual nos permitirá configurar las propiedades de algún otro control que tengamos en el libro actual sin necesidad de estar seleccionando éste previamente. Hay dos opciones para la visualización de las propiedades. La primera en forma alfabética y la segunda por categorías. El Modo Diseño, puede modificar cuantas veces sean necesarios los distintos controles de nuestro libro. El modo diseño se encuentra activado cuando el icono adjunto se encuentra resaltado, para activarlo sólo hace falta hacer clic sobre él. Para salir del modo diseño, bastará con volver ha hacer clic en este mismo icono. Cabe aclarar que cuando estamos en el modo diseño los distintos controles no estarán operativos, por lo que será necesario salir de este modo para poder utilizar estos controles. PRINCIPALES PROPIEDADES DEL CUADRO DE CONTROL LinkedCell Esta propiedad que más utilizará, está vinculada con el control en cuestión. En algunos casos servirá para que el control muestre el contenido de dicha celda, aunque en la mayoría de los casos será el control el que condicione el contenido de dicha celda. Para configurar

29 el control, sólo será necesario introducir el valor o mejor dicho la posición de la celda que se desea vincular. Recomendamos hacerlo en términos absolutos, por ej. "A1". Esto es, la celda producida por la concurrencia de la columna "A" y la Fila "1".

Value Esta propiedad denota el Valor que tendrá el control. Según sea la interacción que tenga el control, el valor de éste cambiará. Por ejemplo en el caso de un botón de alternar, la propiedad value toma los valores "VERDADERO" (true) o "FALSO" (false) según se trate. En la caso de un botón de control de número, la propiedad value tomará el valor de las secuencia respectiva.

Name Esta propiedad denota le nombre del control, por defecto Excel le asigna un nombre compuesto por el tipo de control mas un correlativo, por ejemplo "CommandButton1". Esto servirá posteriormente para identificar dicho control y para configurarlo por ejemplo a través de macros o a través de VBA.

Min, Max, SmallChange Correspondientemente indican el valor mínimo del control, el máximo y el valor en que éste irá cambiando (incremento o decremento, según sea el caso) cada vez que se haga clic sobre cualquiera de las flechas de este control. El valor de propiedad SmallChange puede ser cualquier número entero, aunque el intervalo de valores recomendado es desde -32767 a +32767. El valor predeterminado es 1. En la hoja Excel, en ocasiones tiene que modificar la presentación de gráficos, celdas, u otra cosa. Aquí unas recomendaciones. Fuente: En esta ficha podemos especificar opciones acerca de la fuente en que se van a visualizar los datos seleccionados, ya sea el estilo, la fuente propiamente dicha, el tamaño, el tipo de subrayado, el color y varios efectos más. También podemos ver como en todas las demás fichas la muestra de lo que estamos haciendo. Casi todos los comandos que están en esta ficha, los podemos encontrar en la barra de herramientas Formato.

30 Bordes: define el tipo de línea y el color de todos los bordes (internos y externos) que posee el rango seleccionado. Tramas: define el fondo de la celda o rango seleccionado (generalmente un color). Proteger: tiene opciones con respecto a la protección del rango o celda seleccionados. Asistente para gráficos: Inicia el Asistente para Gráficos, indica los pasos necesarios para crear o modificar un gráfico. BARRA DE FÓRMULAS Barra situada en la parte superior de la ventana que muestra el valor constante o fórmula utilizada en la celda activa. Para escribir o modificar valores o fórmulas, seleccione una celda o un gráfico, escriba los datos y, a continuación, presione ENTRAR. También puede hacer doble clic en una celda para modificar directamente los datos en ella.

Como valor predeterminado, Excel calcula una fórmula de izquierda a derecha, comenzando por el signo igual (=). Los argumentos pueden ser números, texto, valores lógicos como VERDADERO o FALSO, matrices, valores de error como #N/A o referencias de celda. El argumento que se designe deberá generar un valor válido para el mismo. Los argumentos pueden ser también constantes, fórmulas u otras funciones. La sintaxis de una función comienza por el nombre de la función, seguido de un paréntesis de apertura, los argumentos de la función separados por comas y un paréntesis de cierre. Para introducir una fórmula que contenga una función, haga clic en la celda en que desee introducir la fórmula. Una vez completa la fórmula, presione ENTRAR.

REFERENCIAS ABSOLUTAS, RELATIVAS Y MIXTAS Excel usa siempre referencias relativas para las direcciones de celdas introducidas en las fórmulas. Esto significa que las referencias usadas cambiarán de modo acorde tras copiar la fórmula de una celda a otra. Con mucha frecuencia éste es el comportamiento deseado. En ciertos casos hay que evitar que las referencias a celdas cambien cuando se copia la fórmula a una nueva posición. Para ello hay que utilizar referencias absolutas. Es posible utilizar referencias absolutas para filas y relativas para columnas, o viceversa. Las referencias relativas se convierten en absolutas introduciendo el carácter dólar ($) antes de la letra de la columna o el número de fila, que se quieren mantener invariables. Si se desea que no cambie ni el índice de filas ni de columnas, hay que poner el carácter dólar ($) delante de cada uno de los dos índices.

31 Una referencia absoluta se puede insertar de dos formas diferentes: 1. Según se introduce la fórmula, se teclea el carácter $ delante del índice de fila, atrás si es columna que se quiere mantener constante. 2. Colocando el punto de inserción en la barra de referencias de manera que esté dentro de la referencia a la celda, pulsando la tecla F4 se pasa cíclicamente por referencias relativas, absolutas y por los dos casos mixtos. En los casos en los que se pretende que sólo una de las dos dimensiones, fila o columna, permanezca constante se utiliza una referencia mixta, es decir, una referencia que contenga a la vez referencias absolutas y relativas. Por ejemplo, la referencia $A5 evita que cambie la columna, mientras que la fila se adapta cada vez que se copia la fórmula. Con A$5 ocurre lo contrario: la columna cambia, mientras que la fila 5 siempre permanece constante. REFERENCIAS Y NOMBRES Las referencias a celdas se utilizan para referirse al contenido de una celda o grupo de celdas. El uso de referencias permite usar valores de diferentes celdas o grupos de celdas de una hoja de cálculo para realizar determinados cálculos. Se pueden introducir también referencias a celdas de otra hoja de cálculo, introduciendo el nombre de esa hoja antes de la referencia a las celdas, y separándolos por el signo de admiración (!), por ejemplo: (Hoja1!B5:C6). Es importante saber que en las referencias a celdas o grupos de celdas, Excel no distingue entre letras mayúsculas y minúsculas. NOMBRES DE CELDAS Y DE CONJUNTOS DE CELDAS A veces resulta molesto tener que utilizar repetidamente referencias tales como B2:B4 ó B2:D3;C5:D6 en una hoja de cálculo, o seleccionar los mismos rangos una y otra vez. Excel resuelve este problema permitiendo definir nombres y asignarlos a una celda o a una selección. Estos nombres de celdas o de rangos se pueden utilizar en las fórmulas, crear nombres compuestos, e incluso asignar un nombre más significativo a las constantes de uso más frecuente. El uso de nombres en las hojas de cálculo disminuye la posibilidad de introducir errores y permite recordar con mayor facilidad las referencias a celdas. A la hora de crear nombres, conviene tener en cuenta ciertas reglas: 1- Los nombres deben siempre empezar por una letra o por el carácter subrayado (_); tras este primer carácter, se puede usar cualquier conjunto de letras, números y caracteres especiales. 2- No se pueden utilizar espacios en blanco. Como alternativa a los espacios en blanco, se puede emplear un carácter de subrayado o un punto. 3- Aunque los nombres pueden tener hasta 256 caracteres, conviene que sean más cortos. Puesto que las fórmulas están limitadas a 256 caracteres, los nombres largos dejan menos. NOMBRES DE CELDAS Y DE RANGOS O GRUPOS DE CELDAS. La forma más simple de definir nombres es mediante el comando Insertar / Nombre / Definir. Para ello, se pueden seguir los siguientes pasos:

32

1. Seleccionar la celda, el rango o el rango múltiple al que desee asignar el nombre. 2. Elegir el comando Insertar / Nombre / Definir, con lo cual se abre un cuadro de diálogo tal como el mostrado en la figura.

3. Teclear el nombre que desee -en este caso concepto-en el cuadro Nombres en Libro de Trabajo. 4. Hacer clic en Añadir o en Aceptar. Otra posibilidad -más sencilla- es seleccionar la celda o rangos de celdas a las que se desea dar un nombre, y luego clic sobre el cuadro de nombres de la barra de referencia. La referencia a la celda activa se sustituye por el nombre tecleado. Al pulsar Aceptar las celdas seleccionadas quedan registradas con el nombre tecleado. Si lo que se desea es cambiar un nombre a unas celdas se debe proceder del siguiente modo: 1. Seleccionar la celda, rango o rango múltiple al que desee cambiar el nombre. 2. Activar el cuadro de nombres en la barra de referencia. 3. Cambiar el nombre y pulsar Aceptar. Para borrar un nombre se puede utilizar el botón Eliminar del cuadro de diálogo GRAFICOS Si los valores de un gráfico se componen de números grandes, cambian automáticamente, puede reducirse o aumentar el texto del eje y hacerlo más legible. Por ejemplo, si los valores oscilan entre 1.000.000 y 50.000.000, puede mostrar los números 1 a 50 con en el eje con una etiqueta que indique que las unidades son millones.haga lo siguiente: • Cree un gráfico. • Seleccione con el botón derecho del ratón el eje de valores que esta constituida por números de gran magnitud. • Seleccione la opción Formato de eje. • Elija la unidad de visualización más apropiada a los datos y dé a Aceptar.

33

AUDITORÍA DE FÓRMULAS A veces se equivoca en la fórmula, cuando pase esto, en la Barra de Menú, Herramientas, elija Auditoría de fórmulas…

Esta acción determina si la eliminación de una determinada celda puede tener efectos perjudiciales sobre la hoja. Así, si se quiere eliminar una celda, pero no se tiene seguridad sobre si la hoja de cálculo se verá afectada por la eliminación, se puede recurrir a la barra Auditoria encontrando las celdas que dependen de ella (Rastrear Dependientes) así como las celdas de las que depende (Rastrear Precedentes). A continuación se muestran flechas que indican lo seleccionado. Las flechas permanecen en pantalla hasta que se guarda la hoja o hasta que se clica sobre el botón Quitar Todas las Flechas.

Para incluir una nueva serie de datos en un gráfico se copia el rango de datos nuevo y se pega sobre el gráfico. PROTECCIÓN DE UNA HOJA Las celdas por defecto vienen bloqueadas. Si deseamos desbloquear algunas de ellas debemos hacer lo siguiente: Formato, Celda, pestaña Proteger, quitar la casilla de verificación que esta puesta por defecto en 'Bloqueada'. Si marcamos 'Oculta' no se verá el contenido de la celda en la barra de fórmulas. Esto se hace cuando no se desea que alguien vea la fórmula de una celda. Después se debe proteger la hoja con: Herramientas, Proteger, Proteger hoja. Se le pueden permitir más o menos acciones al usuario. Si no le permitimos seleccionar las celdas bloqueadas y desbloqueadas no podrá posicionarse con el cursor sobre ellas. Si únicamente le dejamos seleccionar las desbloqueadas nos encontraremos con algo parecido a un formulario. Algunas abreviaturas de teclado Ctrl + C Ctrl + V Ctrl + X

Copiar Pegar Cortar

34 Ctrl + Z

Deshacer

Proteger celdas Con Formato, Celda, Protege, quitar la casilla de verificación en Bloqueada se consigue que en estas celdas se pueda escribir después de ejecutar Herramientas, Proteger, Proteger hoja. Ocultar la formula en una celda Con Formato, Celda, Proteger, Oculta se marcan las celdas cuyas fórmulas o contenido visto en la línea de edición se desee ocultar. Después se ha de proteger la hoja, con Herramientas, Proteger, Proteger hoja. INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN. La interpolación y la extrapolación son dos conceptos de modelado matemático, son muy importantes para hacer las predicciones en las ciencias naturales, sociales, económicas, etc.; especialmente, los estudiantes comenzarán a explorar modelos lineares o no lineares. Una introducción se puede hacer usando una hoja de balance interactiva. “Interpolar o extrapolar” la hoja de trabajo permite descubrir la diferencia entre dos o más términos gráficos con solamente una comprensión de la ecuación de una línea. En una hoja seleccione con el ratón, la línea a graficar, luego con el botón derecho elija Agregar Línea de tendencia…

En la Carpeta Tipo, elije Lineal, luego en Opciones, clic en Presentar ecuación en el Gráfico.

35 Como se ve, se presenta la ecuación de la recta, lo que nos da un comportamiento. PARA PRESENTAR UN GRÁFICO PUEDE HACER LO SIGUIENTE: Previamente haga su gráfico normalmente, se recomienda que elija Dispersión, para los gráficos. Cuando ya esté, en las Líneas de División, clic en Líneas principales en x e y, de Aceptar:

Luego en el gráfico, clic derecho en alguna de las dos líneas y elija Formato de Líneas de División, Tramas, Personalizada, Líneas discontinuas, clic en el color que prefieras, Aceptar. Para el color del área de trazado, das clic en esta área y en Formato de área de trazado, elijes Borde Ninguno, Área Ninguno, a continuación Aceptar.

Hasta ahora, para copiar fórmulas de una celda a otra(s), se hace con Ctrl. + C, pero hay otra manera de hacerlo. Cuando haya escrito su fórmula acerque el cursor debajo a la derecha del cuadro. Vea que el cursor se hace una equis, de clic en el botón izquierdo del ratón y sosteniéndolo, arrástrelo hasta donde desee, solo suéltelo.

36

ALGUNAS FÓRMULAS USADAS ABS(número): Devuelve el valor absoluto del argumento número. Ejemplos: La función ABS(-5) da como resultado 5. La función ABS(10) da como resultado 10. La función ABS(-2) da como resultado 2. ALEATORIO(): Esta función devuelve un valor al azar comprendido entre 0 y 1. Esta función no tiene argumentos. Cada vez que se genere un valor aleatorio será diferente al anteriormente calculado. CONCATENAR: Une varios elementos de texto en uno solo. Su sintaxis es CONCATENAR (texto1;texto2; ...); Texto1, texto2, ... son de 1 a 30 elementos de texto que se unirán en un elemento de texto único. Los elementos de texto pueden ser cadenas de texto, números o referencias a celdas únicas. COS(número): Esta función calcula el coseno del argumento número. El ángulo viene expresado en radianes. ENTERO(número): Devuelve la parte entera del número, sin importar la magnitud de la parte decimal. Es decir, devuelve el número eliminando la parte decimal. Por ejemplo: ENTERO(3.1) da como resultado 3. GRADOS(): Convierte el argumento expresado en radianes a grados. Por ejemplo, GRADOS(PI()) da como resultado 180 grados. GRADOS(PI()/2) da como resultado 90 grados. MDETERM(matriz): Devuelve el determinante de una matriz. El argumento matriz puede ser un rango de celdas o una constante. Esta función devuelve un único valor. Se genera el código de error #¡VALOR! si al menos una celda de la matriz contiene un valor no numérico o si la celda está vacía. La matriz debe tener el mismo número de filas y de columnas; Si no se cumple con esta restricción, la función devuelve el código de error #¡VALOR! MINVERSA(matriz): El resultado generado por esta función es la matriz inversa del argumento que es de tipo matriz. En el ejemplo, se explica cómo calcular la matriz inversa. MMULT(matriz1,matriz2): El resultado de la función es el producto matricial de matriz1 y matriz2. El número de columnas de matriz1 debe ser el mismo número de filas que

37 matriz2. La matriz resultado tiene el mismo número de filas que matriz1 y el mismo número de columnas que matriz2. Recuerde que como se trata de una función que devuelve una matriz, el procedimiento es similar al explicado para la función MINVERSA. RADIANES(): Esta función toma el argumento ángulo, que está expresado en grados y devuelve su equivalente expresado en radianes. Por ejemplo: RADIANES(90) da como resultado 1.571, es decir PI/2. RADIANES(180) da como resultado 3.142, es decir PI REDONDEAR(número, núm_decimales): Devuelve el argumento número, con la cantidad de decimales especificados en el argumento núm_decimales, realizando las aproximaciones de redondeo respectivas. Por ejemplo, REDONDEAR(1.4545, 2) da como resultado 1.45. RESIDUO(número,núm_divisor): La función divide el argumento número entre núm_divisor y devuelve el residuo o resto de esta división. Si la división es exacta, el residuo da como resultado cero. Ejemplo, RESIDUO(20,5) da como resultado 0, RESIDUO(9,4) da como resultado 1, RESIDUO(12,8) da como resultado 4. SENO(número): Esta función devuelve el seno del ángulo especificado en el argumento número. El ángulo va expresado en radianes. Por ejemplo, en la figura No. 21 se puede observar que en cada una de las celdas de la columna B, se calcula el seno para el valor correspondiente de cada una de las celdas de la columna A. A la derecha se ha incluido la gráfica de la función seno. SI: nos permite realizar una pregunta lógica, la cual pueda tener dos posibles resultados Verdadero o Falso y actuar de una u otra forma según la respuesta obtenida. Estructura: SI(Pregunta lógica; Acción en caso verdadero; Acción en caso falso). Lo que escribamos dentro del segundo y tercer argumento serán las acciones que se realizarán en caso de que la respuesta a la pregunta lógica sea verdadera o sea falsa. Los dos primeros argumentos son los únicos obligatorios para esta función. Para realizar la pregunta lógica podremos utilizar los siguientes operadores de comparación:

= para preguntar si dos valores son iguales, > para saber si un valor es mayor que otro, < para preguntar por menor, >= con este podremos conocer si es mayor o igual, <= preguntamos por menor o igual, <> si son diferentes Ejemplo: Imagina que en la celda A1 escribimos la edad de una persona y en la celda A2 queremos que aparezca el texto "Mayor" en el caso que la edad sea igual o superior a 18, mientras que nos interesará aparezca "Menor" en caso que la edad sea menor de 18.

38 La función que deberíamos escribir sería =SI(A1>=18;"Mayor ";"Menor "). Observa que en el primer argumento preguntamos por mayor o igual que 18, si la respuesta a la pregunta es Verdadera se realizará el segundo argumento: "Mayor", en cambio si la respuesta es falsa, realizamos el tercer argumento: "Menor". O: Esta función también se suele utilizar conjuntamente con la función SI(). Con ella también podremos realizar varias preguntas dentro del Si y la parte que está en el argumento reservado para cuando la pregunta es verdadera, sólo se realizará en el caso que cualquiera de las respuestas a las preguntas dentro de la O sea verdadera. Estructura: O(Pregunta 1; pregunta 2; pregunta 3;...) Ejemplo: Utilizaremos el mismo ejemplo anterior pero dejaremos pasar si la persona es mayor de 16 años o mide más de 150. De esta manera con que se cumpla una de las dos aparecerá el texto "Puede pasar". El único caso que aparecerá "NO puede pasar", será cuando las dos preguntas no se cumplan. =SI(O(A1>16;B1>150);"Puede pasar";"NO puede pasar"). Y: Esta función suele utilizarse conjuntamente con la función SI(). Nos permite realizar en lugar de una pregunta varias. Y sólo se realizará el argumento situado en la parte verdadero del Si en el momento que todas las respuestas sean verdaderas. Estructura: Y(Pregunta 1; pregunta 2; pregunta 3;...). Ejemplo: En la celda A1, introduciremos la edad y en la A2 la estatura de la persona medida en centímetros. En la celda A3 aparecerá el texto "Puede pasar" si la edad es mayor de 16 años y mide más de 150. En el caso que alguna de las dos condiciones no se cumplan, aparecerá el texto "NO puede pasar". =SI(Y(A1>16;B1>150);"Puede pasar";"NO puede pasar") Observa que toda la función Y() se escribe dentro del primer argumento de la función SI().

FRACCIONES REPRESENTADAS EN GRÁFICAS CIRCULARES Y DE BARRAS Existen varios tipos de gráficas en la hoja Excel, para nuestro caso usaremos las de tipo Circular y de Barras, que resulta las más apropiadas.

PRÁCTICA 13 FRACCIONES REPRESENTADAS EN GRÁFICAS CIRCULARES 13. EXPLICA CUÀLES SON LOS PASOS PARA GRAFICAR UNA FRACCIÒN EN LA HOJA EXCEL.

39 Para empezar, haremos que varíe el valor del denominador haciendo que cada valor en cada celda sea unitario, para ello dibuje una barra de desplazamiento de la barra de Formularios, vincule su valor con la celda origen Orden de los pasos: Abre una nueva Hoja de Cálculo Excel. Escribe la fracción que quieras representar, ahora escribe el número 1 (uno), en la celda E6, en la celda F6 es =SI($C$4>=2,1,0), en G6 es: =SI($C$4>=3,1,0), en la celda H6 es =SI($C$4>=4,1,0), en I6 es =SI($C$4>=5,1,0), y así sucesivamente hasta la celda X6 =SI($C$4>=20,1,0). Grafique estos resultados: Selecciónelos y con el Asistente para Gráficos, seleccione Circular:

Cambie la gráfica para representarla y modifique sus resultados. Ponga barras de deslizamiento al denominador.

40 PRÁCTICA 14 FRACCIONES EN GRÁFICA DE BARRAS 14. GRAFIQUE UNA FRACCIÓN EN LA GRÁFICA DE BARRAS, VARÍE EL DENOMINADOR DE LA FRACCIÓN, PARA ELLO DIBUJE UNA BARRA DE DESPLAZAMIENTO DE LA BARRA DE FORMULARIOS, VINCULE SU VALOR CON LA CELDA ORIGEN. Objetivo: comprender la fracción a partir de barras, usando la Hoja Excel. Orden de los pasos: Abre una nueva hoja Excel, y pon la fracción que quieras representar. Como presentaremos a una fracción hasta la doceava parte de un entero, escribiremos doce fórmulas para representarlo. Por ejemplo en la celda, D7 la fórmula es: =1/$B$3, en la celda E7 es: =SI($B$3>1,D7), en la celda F7 es: =SI($B$3>2,E7), en G7 es: =SI($B$3>2,F7), en H7 es: =SI($B$3>2,G7), en I7 es: =SI($B$3>2,H7), en J7 es: =SI($B$3>2,I7), en K7 es: =SI($B$3>2,J7), en L7 es: =SI($B$3>2,K7), en M7 es: =SI($B$3>2,L7), en N7 es: =SI($B$3>2,M7), en O7 es: =SI($B$3>2,N7). Selecciónelos y grafique:

Para la gráfica vaya a Asistente para Gráficos, en Barras Apiladas, Finalizar.

Aparece una gráfica así,

41 Entonces cambie los valores para que en una sola barra aparezca la fracción: para ello vaya a Serie:

Acerque el cursor en la parte derecha de Valores y borre $O$7, clic en Agregar, y ponga en la Serie2 la fórmula ='FRACCIÓN EN BARRA'!$E$7, clic en Agregar Serie3, es la fórmula ='FRACCIÓN EN BARRA'!$F$7, clic Serie4 la fórmula ='FRACCIÓN EN BARRA'!$G$7, clic Serie5 ='FRACCIÓN EN BARRA'!$H$7, clic Seri6 ='FRACCIÓN EN BARRA'!$I$7, clic Serie7 ='FRACCIÓN EN BARRA'!$J$7, clic serie8 ='FRACCIÓN EN BARRA'!$K$7, clic Serie9 ='FRACCIÓN EN BARRA'!$L$7, clic Serie10 ='FRACCIÓN EN BARRA'!$M$7, clic Serie11 ='FRACCIÓN EN BARRA'!$N$7, clic Serie12 ='FRACCIÓN EN BARRA'!$O$7. Finalmente clic en Aceptar.

Modifique la estructura de la Gráfica.

42 Para aumentar el tamaño de la barras, de clic en el área de gráfico, en formato de serie de Datos, en la carpeta Opciones, cambie el tamaño en Ancho de Rango, disminúyelo a cero.

Modifique los valores para ver sus representaciones, experimente sus resultados.

PRÁCTICA 15 GRÁFICA CIRCULAR DE FRACCIONES 15. GRAFIQUE UNA FRACCIÓN PERO VARÍE EL NUMERADOR Y EL DENOMINADOR DE LA FRACCIÓN, PARA ELLO DIBUJE DOS BARRAS DE DESPLAZAMIENTO DE LA BARRA DE FORMULARIOS, VINCULE SU VALOR CON LA CELDA ORIGEN. Objetivo: que represente fracciones con una gráfica circular: Orden de los pasos: Abra una nueva Hoja Excel:

43 En B7 y B8 ponga números y expréselos como fracción. Luego vincúlelos con barras de desplazamiento, del cuadro de formularios:

Como nota, la celda F7 se vincula con la celda B7. Haga lo mismo para la celda F8; los valores mínimo es 1, y el máximo es 10. En F7 la fórmula =B7, en la celda F8 la fórmula para poder evaluar un promedio o fracción es: =B8-B7. Selecciona estos valores:

Para graficar, en asistente para Gráficos: gráfica circular

44 Clic en Finalizar. Para que en la grafica aparezca el porcentaje de la fracción, haga lo siguiente: De clic en el área deseada, y seleccione formato de puntos dados:

En Rotulo de datos, clic en porcentaje, a continuación Aceptar.

Tu resultado aparece así.

Cambia los valores como desees, y experimenta tus resultados. hasta aquí lo relacionado con las gráficas de fracciones, puede hacer las suyas inventando otras; por ejemplo como serían si unimos dos fracciones.

45 PRÁCTICA 16 FRACCIONES 16. HAGA LA METODOLOGÍA PARA GRAFICAR UNA FRACCIÓN MEDIANTE BARRAS, PERO VARÍE EL NUMERADOR COMO DENOMINADOR, USE DOS BARRAS DE DESPLAZAMIENTO. Abra un nuevo documento Excel En la hoja Excel ponga la fracción que vaya a graficar:

En la celda D5 ponga la fórmula =B3, en la celda E5 la fórmula =B4-B3 para graficar la fracción: seleccione D5 en Asistente para gráficos seleccione Barra 100% apilada, Siguiente.

En Serie modifique en Valores lo siguiente =Hoja1!$D$5:$E$5, a este =Hoja1!$D$5, luego en Asistente para Gráficos:

46 Serie 2 ponga =Hoja1!$E$5, Finalizar. Clic botón derecho, dentro de la grafica en la Serie 1 para escoger formato de serie de Datos con el ratón botón derecho.

Para hacer la otra gráfica haga lo siguiente: En D8 hasta J8 haga una serie de números desde 1 hasta 7 En D7 ponga la fórmula =SI($D$8<=$B$4,1,0), en E7 =SI($E$8<=$B$4,1,0), en F7 =SI($F$8<=$B$4,1,0), en G7 =SI($G$8<=$B$4,1,0), en H7 =SI($H$8<=$B$4,1,0), en I7 =SI($I$8<=$B$4,1,0), en J7 =SI($J$8<=$B$4,1,0), Ahora seleccione Asistente de Gráficos escoja Barra 100% apilada, como referencia la celda D7.

Modifique en la Carpeta Serie los valores de la Serie1 =Hoja1!$D$7:$J$7 a este =Hoja$D$7

47 En la Serie 2 ponga =Hoja1!$E$7, en la Serie 3 =Hoja1!$F$7, en la Serie 4 =Hoja1!$G$7, en la Serie 5 =Hoja1!$H$7, en Serie 6 =Hoja1!$I$7, en Serie 7 =Hoja1!$J$7.

Para terminar clic en Finalizar.

Modifique la gráfica para que quede de esta manera:

Haga que quede transparente. En Formato de serie de datos escogemos en Área, Ninguna:

48 Borre las líneas de División

Al finalizar su trabajo quedará así:

EJERCICIOS: Diseñe una hoja de cálculo para representar fracciones equivalentes, como se muestra:

49 PRÁCTICA 17 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES I 17. DISEÑA EL ALGORITMO DE SUMA O RESTA DE DOS O MÁS FRACCIONES EN LA HOJA EXCEL. Objetivo: que mediante el algoritmo aritmético de suma o resta de quebrados los adaptes a las fórmulas de la Hoja Excel. Orden de los pasos: Las siguientes fórmulas se aplican a la hoja Excel, y se cargan como parte de las Herramientas para análisis. PRIMERA PARTE Máximo Común Divisor, devuelve el máximo común divisor de dos o más números enteros. El máximo común divisor es el mayor número entero por el cual número1 y número2 son divisibles sin dejar residuo. M.C.M(número1;número2; ...) Número1, número2,... son de 1 a 29 valores cuyo mínimo común múltiplo desea obtener. Si un valor no es un entero, se trunca. Devuelve el máximo común divisor de dos o más números enteros. El máximo común divisor es el mayor número entero por el cual número1 y número2 son divisibles sin dejar residuo. M.C.D(número1;número2; ...), Número1, número2, ... son de 1 a 29 valores. Si un valor no es un número entero, se trunca. El Residuo Devuelve el residuo o resto de la división entre número y núm_divisor. El resultado tiene el mismo signo que núm_divisor. RESIDUO(número;núm_divisor). Número es el número que desea dividir y cuyo residuo o resto desea obtener. Núm_divisor es el número por el cual desea dividir el argumento número. Abra una nueva hoja de cálculo: En esta, calcula el máximo común divisor de dos números: la fórmula es =lcm(A5,B5).

50 Para obtener el máximo común divisor con la fórmula =gcd(A7,B7).

El cálculo del residuo de una división con la fórmula: =RESIDUO(25,10)

Para la parte entera de esa división con: =ENTERO(B11/B12)

PRÁCTICA 18 SUMA DE FRACCIONES II 18. EN LA HOJA EXCEL, HAGA LA SUMA DE DOS FRACCIONES, CON EL ALGORITMO TRADICIONAL (COMO SI LO HICIERA A MANO). En una nueva hoja de cálculo escriba esto:

51 Ahora calcule el mínimo común múltiplo, =lcm(A10,C10), en las dos fracciones equivalentes:

Divida lcm entre el denominador de cada fracción y multiplíquelo por su numerador: con la fórmula respectiva:

Sume sus resultados como una fracción común: en la celda J9 la fórmula =F9, y así consecuentemente:

En la celda N9 la fórmula es: =J9+L9, y en N10 es: =K10.

Para calcula las fracciones equivalentes y obtener el resultado final, haga los siguiente. En la celda P9 la fórmula: =ENTERO(N9/N10); en la celda Q9 es: =RESIDUO(N9,N10), y en Q10 es: =N10.

La fracción equivalente final es: en T9 =Q9/C12, en T10 es: =Q10/C12:

EJERCICIOS:

52 a) Con este mismo método, resuélvalo para una resta. b). Diseñe el método para sumar tres fracciones. c). Diseñe el método para cuatro fracciones. d) Diseñe el método para multiplicar fracciones.

PRÁCTICA 19 MULTIPLICACIÓN ARITMÉTICA 19. EFECTÚA LA MULTIPLICACIÓN DE DOS NÚMEROS EN EXCEL, MAYORES DE CIEN, EN LA QUE SE VEA LA MULTIPLICACIÓN DE CADA FACTOR COMO SI LO EFECTUARAS A MANO. Abre un nuevo documento Excel, la multiplicación se dos o más números, se puede efectuar por diferentes métodos, por ejemplo en www.nrich.maths.org, su método se basa en divisiones entre 10, sin embargo lo haremos con una fórmula llamada EXTRAE, ésta devuelve un número específico de caracteres de una cadena de texto, comenzando en la posición que especifique y en función del número de caracteres que especifique. Vea en la ayuda de Excel. El método seguido es como si hiciéramos la multiplicación normalmente a mano.

Texto es la cadena que contiene los caracteres que desea extraer. Posición inicial es la posición del primer carácter que desea extraer de texto. La posición inicial del primer carácter de texto es 1 y así sucesivamente. Número de caracteres especifica el número de caracteres que desea que EXTRAE devuelva del argumento texto. Si la posición inicial es mayor que la longitud de texto, EXTRAE devuelve “” (texto vacío). Si posición inicial es menor que la longitud de texto, pero posición inicial más número de caracteres excede la longitud de texto, EXTRAE devuelve los caracteres hasta el final de texto. Ponemos dos números en la nueva hoja, como aparece en la figura:

53

en la celda A3, ponemos cualquier número, por ejemplo 188, en B3, la fórmula: = EXTRAE(A3; 1; 1) para extraer el primer carácter del número, en B4 es =EXTRAE(A3; 2; 1), en B5 es =EXTRAE(A3; 3; 1), para el último carácter o digito, de igual manera para el segundo número que esta en C3, si es 521, en D3, la fórmula aplicada =EXTRAER(C3; 1; 1), en D4 es =EXTRAER(C3; 2; 1), en D5 es =EXTRAER(C3; 3; 1). Ponemos los dos números como multiplicamos habitualmente:

Llenaremos un cuadro como este, para efectuar la primera multiplicación, es decir, 2 por 4, en T6 la fórmula =$O$4*$K$4 se aplicará, pero en U6 y V6 extraeremos sus dígitos respectivamente como sigue: =SI($T$6>=10;EXTRAE($T$6;1;1);0) ; =SI($T$6>=10;EXTRAE($T$6;2;1);$O$4*$K$4). Para efectos de escribir las celdas cambiaremos la nomenclatura de la figura por los números del ejemplo, cambia 1POR1 al de 2 por 4.

Como se ve, en U6 se toma la precaución si la multiplicación es mayor a diez ya que esto afectaría a la posición del número. En K6 pon la fórmula = V6.

54 Para multiplicar el primer digito por el segundo dígito del segundo número, o sea 2 por 6, se hace lo siguiente: En T7 se escribe la fórmula: =$O$4*$J$4, para luego pasar a U7 la =SI($T$7>=10;EXTRAE($T$7;1;1);0) ; en V7 escribe =SI($T$7>=10;EXTRAE($T$7;2;1);$O$4*$J$4) ; en W7 anota =V7+ U6, en X7 es =SI($W$7>=10;EXTRAE($W$7;2;1);0) ; en Y7 es =U6 +T7 ; y para Z7 =SI($Y$7>=10;EXTRAE($Y$7;1;1);0) . Vea la figura que sigue:

Vinculamos los resultados en la multiplicación, en J6 ponemos la fórmula es la que sigue: =SI($W$7>=10;$X$7;$W$7),

El tercer número (2 por 1) se encuentra si en la celda T8 se escribe la fórmula =$O$4*$I$4 , en U8 escribe =SI($T$8>=10;EXTRAE($T$8;1;1);0) ; en V8 =SI($T$8>=10;EXTRAE($T$8;2;1);$O$4*$I$4) , en W8 la fórmula =Z7 +T8 , en X8 pon =SI($W$8>=10;EXTRAE($W$8;2;1);0) , en Y8 anota =W8 , y por último en Z8 es =SI($Y$8>=10;EXTRAE($Y$8;1;1);0) .

al vincular estos resultados con la celda I6 y H6 =SI($W$8>=10;$X$8;$W$8) y además =Z8 respectivamente.

,

las

fórmulas

son

Para efectuar las demás multiplicaciones de las decenas y centenas haga el mismo procedimiento escrito arriba.

55

Al final vincule a los números con barras de desplazamiento, con valores mínimos de 100 y máximo de 999. EJERCICIOS. 1. ¿cómo haría para que uno de los factores pueda cambiar desde valores de 10 hasta 999? haga el cambio en la hoja de cálculo. 2. ¿Qué factores dan como resultado un valor ascendente? 3. diseñe una hoja de cálculo para hacer interactivo la multiplicación, como a continuación se muestra:

PRÁCTICA 20 ADIVINADOR DE NÚMEROS 20. ADIVINA EL NÚMERO QUE PIENSO USANDO ECUACIONES ALGEBRAICAS SIMPLES. Objetivo: que plasmes en ecuaciones las palabras de un problema dado.

56

Orden de pasos: Abra una nueva hoja Excel, y pon como título “El adivinador de Números”, luego en la celda A10 escribe: PIENSA EN UN NÚMERO, en A11 escribe SUMA, en A12 EL RESULTADO POR, en A13 RESTA, en A14 RESTA EL NÚMERO PENSADO, en A15 MULTIPLICA POR, en A16 RESTA. Ve la figura siguiente para que te des una idea de cómo quedaría.

Ahora agrega números como el se muestra en las celdas, C11 hasta C16.

El problema se plantea así: Es una ecuación de primer grado con una variable:

+ b

ax Si despejamos, tenemos:

x=

=

c

c−b a

Para plantear la ecuación en Excel, son sólo pasos mecánicos como observas, por lo que los coeficientes de las variables y los términos constantes cambian según el caso, por ejemplo:

En la celda G11, pon la fórmula =C11; en celda D12, =C12; en celda G12, = C12*G11, en G13, =G12 – C13; en D14, =D13 – 1; en D15, =C15*D14; en G15, =G14*C15; en G16, =G15-C16. En

cualquier

lugar

escribe

esto, ,

por

ejemplo

en

la

celda

E20

57 Pero esta celda ponle un nombre:

Define el nombre, en este caso, Número: a continuación Aceptar

En la celda E21, pon la fórmula: =(Número-G16)/D16 Con tus amigos o compañeros realiza este ejercicio cambiando de situaciones para “adivinar de que números pensaste”.

58 PRÁCTICA 21 DIBUJAR FIGURAS GEOMETRICAS 21. DIBUJA UN CUADRADO Y UN TRIÁNGULO EN EL PLANO CARTESIANO EXCEL, USANDO LAS COORDENADAS COMO VÉRTICES DE LAS FIGURAS Objetivo: Crear figuras geométricas en el plano Cartesiano, usando las coordenadas de sus vértices. Para que los puntos se unan usa la Gráfica “Dispersión con puntos…” Orden de los pasos: Dibuja un cuadrado: Como un cuadrado tiene cuatro puntos tabularemos esos cuatro puntos en ele plano cartesiano pero repetimos el primer punto para “cerrar” la figura.

Seleccionamos los puntos, en el asistente para gráficos elegimos

Nos queda así la figura:

59 Ajustamos colores del área de trazado y la escala apropiada para este ejemplo:

Para un triángulo, ponemos las coordenadas de esta manera:

Para poder hacer interactivo el triángulo usamos trigonometría elemental, para trazar o calcular cada punto. Todos estos puntos estarán en función del punto A, celdas B5:C5. Cada ángulo deberá ser trasformado a Radianes, ya que las fórmulas así lo manejan. Un triángulo equilátero tiene los tres ángulos iguales de 60 grados. El primer punto tiene como coordenadas ( 1 , 1 ), el segundo punto se calcula por (=2+E6 ; 1).

El tercer punto con =(B6-1)/2+1 en el eje x,

60

El eje y, se obtiene con; =ABS((B6-B5)*SENO(F5))+1

Para cerrar el triángulo, el punto cuatro es (1,1). Ahora hágalo interactivo agregando Barras de Desplazamiento:

EJERCICIOS: Cree figuras en la Hoja Excel, como pentágonos rectángulos, etc.

PRÁCTICA 22 AREA DE FIGURAS EN EXCEL 22. CALCULA EN LA HOJA EXCEL, EL ÁREA DE UN CUADRADO Y UN TRIÁNGULO, VARÍA SUS VALORES USANDO UNA BARRA DE DESPLAZAMIENTO.

61 Objetivo: Que calcules áreas de diferentes figuras aplicando Excel. EJERCICIO 1 Orden de los pasos: Abra una nueva hoja Excel, y calcula el área de una figura. Ahora ponga las coordenadas del cuadrado o rectángulo.

Seleccione estos datos y en asistente para gráficos, seleccione dispersión y presente la figura a continuación:

Ahora la fórmula aplicada para calcular el área de la figura, en la celda G26, la fórmula es =SI((D6-D5)*(C5-C8)<0,(D6-D5)*(C5-C8)*(-1),(D6-D5)*(C5-C8)). Ejercicio cambie las coordenadas de los puntos para calcular el área de: a). A ( 1, 1 )

B ( 5, 1 )

C ( 5, 5 )

D ( 1, 5 )

b). experimente con otras coordenadas. EJERCICIO 2 En otra nueva Hoja Excel, Para calcular el área de un triángulo de el ejercicio 9,

62

En celda I11 que elijas, pon la fórmula =ABS((B6-B5)*SENO(F5)) para calcular la altura del triángulo. En la celda I13 calcula la distancia de la base =B6-B5. Para el área de la figura en celda I15 para cualquier dimensión es =I11*I13/2.

EJERCICIOS Calcule el área del triángulo variando las dimensiones pero con la siguiente fórmula.

PRÁCTICA 23 “ÁREA DE UN TRIÁNGULO EN EL ESPACIO” 23. CALCULA EL ÁREA DE UN TRIÁNGULO PERO EN EL PLANO CARTESIANO VARIANDO LAS COORDENADAS EN LA HOJA EXCEL. Objetivo: calcular el área formada por tres rectas en el espacio Cartesiano. Orden de pasos: Usarás la siguiente fórmula para calcular el área formada por tres rectas en el espacio3, usando únicamente las coordenadas de cada recta.

Área = ±

1 (x1 y2 + y1 x3 + y3 x2 − y 2 x3 − y1 x2 − x1 y3 ) 2

El signo se selecciona de acuerdo a que su resultado no sea negativo.

3

Manual de Fórmulas Matemáticas, Serie Shawn,

63 Abre una nueva hoja Excel, como EJEMPLO: encontrar el área comprendida en los siguientes puntos: A(3,4)

B ( -1 , 2 )

A ( x1 , y1 ) B ( x2 , y2 ) Las coordenadas en el espacio Cartesiano son:

C(4,1)

C ( x3 , y3 )

Para graficarla, tabulamos las coordenadas en una tabla:

Seleccionamos toda la tabla, vamos a Asistente para gráficos y seleccionamos dispersión, con puntos de datos conectados por líneas sin marcadores de datos, Clic en Siguiente:

De clic en Aceptar. Presente su gráfica como sigue:

64

Para calcula el área ponga la fórmula en una de las Celdas: por ejemplo en. J15 =(0.5)*(B7*C8+C7*B9+C9*B8-C8*B9-C7*B8-B7*C9) Al final queda así:

Puede cambiar los valores de las coordenadas a su gusto

65 PRÁCTICA 24 “ÁREA DE UN TRIÁNGULO EN EL ESPACIO” TRES RECTAS EN EL ESPACIO 24. CON TRES PUNTOS DADOS, ENCUENTRE EL ÁREA Y LAS ECUACIONES DE CADA RECTA, ASÍ COMO SUS REPRESENTACIONES EN LA GRÁFICA. En Geometría en el espacio encontramos por lo general rectas que se cruzan en el espacio Cartesiano. Podemos encontrar las ecuaciones para las rectas dados por lo menos dos puntos. La ecuación general para una recta con pendiente m, es:

y − y1 = m( x − x1 ) Donde: x = variable independiente x1 = primer punto coordenada en x y = variable dependiente y1 = primer punto coordenada en y m = pendiente Pero la pendiente igual a:

m=

y 2 − y1 x2 − x1

x2 = segunda coordenada eje x y2 = segunda coordenada eje y Para poder aplicar estas fórmulas en Excel, tendremos que asignar valores diferentes cada punto. Objetivo: aplicar la fórmula general de una recta con pendiente m, graficar y calcular el área en Excel. Orden de los pasos: Abre un nuevo documento Excel, y anota en un cuadro las coordenadas de los tres puntos. En C8, E8, C10, E10, C12 y E12 pon cualquier número, para poder ligar los valores de los puntos en otras celdas.

Ahora pon las coordenadas como Tabla de graficos.

66

Para calcular la primera pendiente escogemos desde el punto A a B, en la celda G15 ponemos la fórmula =(B16-B15)/(A16-A15). En G16 la segunda pendiente es: =(B17-B16)/(A17-A16) En G17 la tercera pendiente será: =(B17-B15)/(A17-A15). Para estimar la primera ecuación de la primera recta, tomamos como base la ecuación general de la recta, por lo que nos queda así: en la celda h15, ponemos “ecuación AB” y en la celda I15, la fórmula es =CONCATENAR("y=",$G$15,"x+", (-1)*$G$15*A15+B15). La segunda ecuación (-1)*$G$16*A16+B16).

en

I16

es

=CONCATENAR("y=",$G$16,"x+",

La tercera ecuación (-1)*$G$17*A17+B17).

en

I17

es

=CONCATENAR("y=",$G$17,"x+",

Como se ve el la figura Excel, calcula los datos y aparecen las ecuaciones para cada recta:

TABULACIÓN: La tabulación y graficación de las rectas se efectúa como sigue: Para la primera recta, en la celda A21, ponemos -10, a continuación Edición, Rellenar, Series, y selecciona Series en… columnas, Tipo Lineal, y límite 10. Aceptar. En la celda B21 ponga la fórmula =$G$15*A21-$G$15*$A$15+$B$15

67 Cópielo hasta el límite de 10. La segunda recta, tiene el mismo procedimiento que el anterior solo que en la celda G21 la fórmula es: =$G$16*F21-$G$16*$A$16+$B$16. Cópielo hasta el límite de 10. Tercera recta, en la celda J21 la fórmula será: =$G$17*I21+ 1)*$G$17*$A$17+$B$17.

(-

Grafíquelo con el asistente para gráficos, seleccionando Dispersión. Haga los cambios necesarios:

Aplique la fórmula para calcular el área entre tres puntos y aplique: Para que aparezcan las ecuaciones de cada recta, de clic en cada una de ellas con el botón derecho y elija “Agregar Línea de Tendencia”, y en opciones elija “Presentar ecuación en el gráfico”, a continuación Aceptar.

EJERCICIO: grafique y encuentre el área de un pentágono:

68

PRÁCTICA 25 BALANCE QUIMICO 25. BALANCEA LAS SIGUIENTES REACCIONES QUÍMICAS USANDO LA HOJA EXCEL. ___Ca + O2 _____Fe

+ ___H2O

___NH3 + ___O2

____Ca O

___Fe3O4 + ____H2 ___NO + ___H2O

Objetivo. Usar las fórmulas de Excel, para hacer balances químicos. Orden de los pasos: 1er. Ejemplo: en el balance químico del Monóxido de carbono, primero asignamos el nombre a cada coeficiente de cada elemento.

En las celdas B4 y H4, váyase a la barra de herramientas, en Insertar, Nombre clic en Definir.

69

Asigne un nombre a cada coeficiente de las sustancias:

OTRO EJEMPLO ASIGNAMOS UNA LETRA A CADA CELDA La ecuación de balanceo es la que sigue: =SI(A=D,"CORRECTO","INCORRECTO"), la agregamos en la celda D8. 2do. Ejemplo: en este ejemplo es un poco más complejo. En el siguiente balance asigne la fórmula para su balanceo correcto.

Se hace el mismo procedimiento que en el primer ejemplo, es decir asigna un nombre a cada coeficiente de cada elemento o sustancia, en la celda B13 su nombre es E, en E13 es G, en H13 es H, en K13 es I. La fórmula en la celda D17 es =(E+2*G+G*1=(H*3+H*4+2*I)). 3ER. EJEMPLO: Como práctica haga el siguiente ejemplo asigne la fórmula para el correcto balanceo. De tal manera que si te equivocas la ecuación te notifique si es así:

70

PRÁCTICA 26 “COMPROBACIÓN DE ECUACIONES” 26. RESUELVA LA SIGUIENTE ECUACIÓN A MANO, PARA ELLO DESPEJA EL VALOR DE x: x x + = 2 x − 17 3 4 DESPUÉS COMPRUEBE SU VALOR EN LA HOJA EXCEL. En matemáticas es común comprobar los resultados de un problema, en esta sección veremos cómo comprobar algunas ecuaciones usando Excel. Primero definimos la ecuación a resolver: Por ejemplo sea la ecuación: x/3+x/4=2x-17 Como la computadora no “entiende” nuestro lenguaje, tendremos que trasladarlo al lenguaje Excel. Procedimiento: En la celda B17 escribe la ecuación: x/3+x/4=2x-17 Luego en la celda C19 escribe una solución que se te ocurra, puede ser cualquier valor:

Para que la computadora pueda asignar un valor x, se hará lo siguiente: En la barra de Menú, Insertar, Nombre, Definir:

71

Aparece el cuadro de diálogo Definir Nombre:

Tienes que elegir x, para asignarlo:

A continuación Aceptar. Luego en la celda C21 escribe la ecuación (o Fórmula ahora):

Fíjate que la fórmula tiene el signo de igualdad, y paréntesis, es importante ya que la computadora lo resolverá así: Asigna un valor ahora, puede ser 3, cambia el valor de equis en la fórmula para ver que te resulta:

En la celda te da:

72

Si cambias el valor por 12, resulta:

Es importante seguir las reglas de aritmética para asignar las fórmulas. Para comprobar tus conocimientos elabora las fórmulas apropiadas en la Hoja Excel, para los siguientes ejemplos: 3( x − 30) = 30 4

a)

x+3x/4+9x/16=185

b)

x − 30 −

c)

5 x − 50 = 3 x + 60

d)

7 x − 70 = 6 x − 30

e)

x x = 50 + 12

f)

2( x + 2) 2( x + 1) + = x −8 13 3

COORDENADAS POLARES Sistema de coordenadas, sistema de identificación de elementos en un conjunto de puntos marcándolos con números. Estos números se denominan coordenadas y se puede considerar que dan la posición de un punto dentro del conjunto.

En coordenadas polares, a cada punto del plano se le asignan las coordenadas (r,θ) con respecto a una recta fija en el plano denominada eje polar y a un punto de dicha línea llamado polo. Para un punto cualquiera del plano, la coordenada r es la distancia del punto al polo, y la θ es el ángulo (medido en sentido contrario a las agujas del reloj) entre el eje polar y la línea que une el polo y el punto, como se muestra en la figura 2. Por ejemplo, el punto con coordenadas polares (1,π/2) está situado a una unidad del polo y forma un

73 ángulo de π/2 radianes, o 90 grados, con el eje. Las coordenadas cilíndricas y las coordenadas esféricas son dos extensiones distintas de las coordenadas polares en tres dimensiones.

Normalmente las coordenadas de un punto o conjunto de puntos en un sistema de coordenadas pueden ser transformadas a otro sistema de coordenadas. Por ejemplo, si el eje polar y el polo de las coordenadas polares se corresponden con el eje x y el origen de las coordenadas cartesianas respectivamente, entonces el punto con coordenadas polares (1,π/2) está situado una unidad por encima del origen, por lo que sus coordenadas cartesianas son (0,1). De la misma manera, el punto de coordenadas polares (,3π/4) es el punto cartesiano (-1,1). Recuerde que los puntos están en radianes4 Las coordenadas polares son de gran utilidad para dibujar funciones definidas como distancias a un punto fijo. Por ejemplo, la ecuación de un círculo de radio d dada en coordenadas cartesianas es x2 + y2 = d2; mientras que en coordenadas polares el mismo círculo de radio d es simplemente r = d. Las proyecciones en los ejes forman un triángulo rectángulo, y sus proyecciones en los ejes x e y se definen a partir de las funciones trigonométricas: Para el eje x es: x = r cos θ Para el eje y será: y = rsenθ

PRÁCTICA 27 “COORDENADAS POLARES Y COORDENADAS RECTANGULARES” 27. GRAFICA LA SIGUIENTE FUNCIÓN EN COORDENADAS POLARES, USANDO LA HOJA EXCEL. 4

Radián, en matemáticas, la unidad de ángulo igual al ángulo central formado por un arco de longitud igual al radio del círculo. 1 radián = 57,3 grados

74

r = a [1 - cos( Θ ) ] Objetivo: conocer como se grafican las coordenadas polares en la Hoja Excel. Orden de los pasos: Abre una nueva hoja Excel, introduce la siguiente fórmula en la hoja: r = a [1 - cos( Θ ) ] Las condiciones para la figura son el valor de a y Θ

Como ves, primero tabulamos los datos, en coordenadas polares y luego transformamos esos datos a coordenadas rectangulares, empezamos con el origen ( 0 , 0 ). Los grados varían desde 0 hasta 360 grados. Luego cambiamos a radianes. Por último asignamos fórmula para graficar. En la celda B11 pon la fórmula, =RADIANES(A11). Cópiala y pégalas a las demás celdas (hasta 360 grados).

En la celda C11 pon =$C$7*(1-COS(B11)) para evaluar el primer punto. Cópiala y pégala desde este punto hasta 360 grados.

75

Bien, ahora pasaremos de coordenadas polares a coordenadas cartesianas, ya que Excel sólo grafica en base a las coordenadas equis e ye. Para esto hacemos para la coordenada x. En la celda E11, la fórmula aplicada es: =C11*COS(B11), cópiala y pégala desde 0 a 360 grados.

En la celda F11, la fórmula es =C11*SENO(B11).cópiala y pégala a las demás celdas, desde 0 hasta 360 grados. Por fin tenemos la tabulación esperada.

76 Selecciona las coordenadas x,y. elige asistente para gráficos y elije Dispersión para graficar. Has los cambios necesarios para que quede así:

PRACTICA 28 “DESIGUALDADES CON INECUACIONES” 28. ¿QUÉ METODOLOGÍA EMPLEARÍAS PARA ENCONTRAR EL CONJUNTO DE SOLUCIONES DE UNA DESIGUALDAD COMO LA SIGUIENTE:

ax + b ≥ cx + d EN LA HOJA EXCEL? Objetivo: conocer que los métodos aplicados en algebra normal se aplica en la solución de desigualdades y como introducirlos en el campo de las fórmulas de la Hoja de cálculo Excel. Orden de los pasos: Abre una nueva hoja Excel, y aplica las fórmulas para resolver desigualdades, aplicando tus conocimientos de álgebra básica y grafica tus resultados. Un primer caso es:

ax + b ≥ cx + d

La solución es:

x≥

d −b a−c

Su solución:

x≤

d −b a−c

El segundo caso:

ax + b ≤ cx + d

77 P r o c e d i m i e n t o: Para resolver una inecuación debemos despejar la incógnita: 1. Se pasan todos los términos que tengan la incógnita en el miembro izquierdo de la inecuación y los términos independientes se escriben en el miembro derecho (cuando un término pasa de un miembro de la inecuación a otro, lo hace con signo cambiado) 2. Se reducen los términos semejantes 3. El coeficiente que multiplica a la incógnita lo pasamos a dividir al miembro derecho; pero, teniendo en cuenta que: si el coeficiente es positivo, el sentido de la desigualdad no cambia; si el coeficiente es negativo, el sentido de la desigualdad cambia Nota1: pasar el coeficiente numérico del miembro izquierdo a dividir al derecho equivale a multiplicar ambos miembros por el inverso multiplicativo (recíproco)5. En la hoja ponga para el primer caso:

Note que hay una celda para cada coeficiente o término constante. En otra celda ponga la solución, en este caso en la celda T20, la fórmula =SI(B17=I17,"NO TIENE SOLUCIÓN",(M17-F17)/(B17-I17)). En D20 pon =SI((B17-I17)=0,"indeterminada",SI((B17-I17)>0,"el sentido de la inecuación es a la derecha","el sentido de la inecuación es a la izquierda")). Para el segundo caso:

En la celda T27, la fórmula es: =SI(B24=I24,"NO TIENE SOLUCIÓN",(M24-F24)/(B24I24). En la celda C27 agrega: =SI((B24-I24)=0,"indeterminada",SI((B24-I24)>0,"el sentido de la inecuación es a la izquierda","el sentido de la inecuación es a la derecha")). Para graficar los resultados haga lo siguiente: agregue como coordenada en y, un valor cero. Y seleccione Asistente para Gráficos. A loas dos resultados:

5

BALDOR, A.; Álgebra.

78

Seleccione las coordenadas en x e y para el resultado. Para x es =Hoja1!$T$27, y para el eje y es =Hoja1!$U$27.

Clic en Aceptar. Pero todavía modifique la grafica para que quede así: x < 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

x <

0

Borre el eje y:

También el área de trazado, Tramas, Ninguno y en Área, Ninguna; Aceptar.

Borre las líneas de división

79

Modifique la gráfica para que la escala en x sea visible:

Ahora el punto selecciónelo para que aparezca así, ya que es una desigualdad

Se selecciona sin fondo ya que no es igual a….

La solución de estos casos se plantea así, las líneas puede seleccionarlas en la barra de estado:

80

cambie los valores y grafique. ejercicios: plantee con el mismo método, para la hoja excel, si la desigualdad se plantea como sigue:

ax 2 + bx + c ≥ 0 encuentre sus raíces.

PRÁCTICA 29 SISTEMAS DE ECUACIONES POR REGLA DE CRAMER 29. CONSIDERE EL SIGUIENTE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS:

a1 x + b1 y = c1 a 2 x + b2 y = c 2

ENCUENTRE TODAS LAS SOLUCIONES (SI EXISTEN) A LOS SISTEMAS DADOS. CALCULE POR DETERMINANTES USANDO LA REGLA DE CRAMER

Objetivo: resolver sistemas de ecuaciones por el método de la regla de Cramer, usando la hoja de cálculo Excel. Orden de los pasos: Usando el método de la Regla de Cramer, sustituya la ecuación encontrada de la general para sistemas de ecuaciones de tres incógnitas y tres ecuaciones. Primero, tenemos un sistema de ecuaciones 2x2:

a1 x + b1 y = c1 a 2 x + b2 y = c 2

81 Aplicando la Regla de Kramer, para resolver este sistema:

x=

∆x ∆

;

y=

∆y ∆

Donde:

a ∆= 1 a 2

b1  ; b2 

c ∆x =  1 c 2

b1  ; b2 

a ∆y =  1 a 2

c1  c2 

La solución es como sigue6:

x=

c1b2 − c 2 b1 a1b2 − a 2 b1

y=

a1c 2 − a 2 c1 a1b2 − a 2 b1

Estas ecuaciones se introducen en la hoja de cálculo Excel.

Vinculamos los valores de los coeficientes en una tabla

En la celda C14 pon =E10, en C15 es =E12, en C16 es =H10, en C17 es =H12, en C18 es =J10, en C19 es =J12.

6

Para conocer la metodología de la regla de Cramer y su demostración en: GROSSMAN, Stanley, Algebra Lineal, Iberoamérica, 1983, México.

82 En la celda K22 escriba x, en la celda L22 ponga la fórmula =SI((C14*C17C15*C16)=0,"NO TIENE SOLUCIÓN",(C18*C17-C19*C16)/(C14*C17-C15*C16)), que es la primera solución. En la celda K23 escriba y, en la celda L23 ponga la fórmula =SI((C14*C17C15*C16)=0,"NO TIENE SOLUCIÓN",(C14*C19-C15*C18)/(C14*C17-C15*C16)). Cambie para diferentes valores, experimente cuando las rectas son paralelas, no se cruzan, se cruzan en las diferentes coordenadas o puntos.

La gráfica de las rectas queda así: ECUACIONES LINEALES y 12 10 8 6 4 2 0 -15

-10

-5

-2 -4 -6 -8 -10

x 0

5

10

15

83 PRÁCTICA 30 REGLA DE KRAMER 2 CONTINUACIÓN…. 30. a. EN EL ANTERIOR, ¿QUE PASA CUANDO SON PARALELAS O COLINEALES?, ESCRIBA LA FÓRMULA EN EXCEL, QUE DESCRIBA ESTE SUCESO. OBJETIVO: profundizar en el estudio de ecuaciones lineales con la Hoja de cálculo Excel. Orden de los pasos: Se abre una nueva hoja Excel, haga el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior, sólo que introduzca nuevas fórmulas, en esta caso la función Lógica Y. Justificación de fórmulas: Por ejemplo sean las ecuaciones lineales: a1 x + b1 y = c1 a 2 x + b2 y = c 2 Si son paralelas:

a1 b1 = a2 b2

y

a1 c1 ≠ a2 c2

Si son colineales:

a1 b1 c1 = = a 2 b2 c 2 En la hoja de cálculo introduzca las fórmulas: Para la intersección en el eje x, =SI(Y((C14/C15)=(C16/C17),(C14/C15)=(C18/C19)),"RECTAS COLINEALES",SI(Y((C14/C15)=(C16/C17)),"RECTAS PARALELAS",SI((C14*C17C15*C16)=0,"NO TIENE SOLUCIÓN",(C18*C17-C19*C16)/(C14*C17-C15*C16)))) Para la intersección en el eje y, =SI(Y((C14/C15)=(C16/C17),(C14/C15)=(C18/C19)),"RECTAS COLINEALES",SI(Y((C14/C15)=(C16/C17)),"RECTAS PARALELAS",SI((C14*C17C15*C16)=0,"NO TIENE SOLUCIÓN",(C14*C19-C15*C18)/(C14*C17-C15*C16)))) Nótese que la fórmula involucra la función Lógica Y, además que para cuando son rectas paralelas sólo ponemos la condición de igualdad sin necesidad de poner la no igualdad.

84 PRÁCTICA 31 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MÉTODO REGLA DE CRAMER 31. USANDO LA REGLA DE CRAMER, RESUELVA UN SISTEMA DE CUACIONES LINEALES DE NXN (n filas y n columnas). Objetivo: aplicar tus conocimientos de matrices, para resolver ecuaciones por el método de Regla de Cramer. Sea A una matriz cuadrada nxn, cuando su determinante es diferente de cero. La única solución del sistema:

Ax = b ∆x ∆x1 ∆x x1 = , x 2 = 2 ,......... ..x n = n ∆ ∆ ∆

Es:

Objetivo: aplicar tus conocimientos de matrices, para resolver ecuaciones por el método de Regla de Cramer. Orden de los pasos: Sea el sistema de ecuaciones, encuentre el valor de sus incógnitas. a11 x1 + a12 x 2 + .... + a1n x n = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b2 .............................. ................. a n1 + a n 2 x 2 + .... + a nn x n = bn Si ∆ = det A definimos n matrices:  b1  b A1 =  2 ...  b  n

a12 a 22 ... a2n

... a1n   ... a 2 n  ... ...   ... a nn 

 a11  a A2 =  21 ...  a  n1

... a1n   a11   b2 ... a 2 n  a ..... An =  21  ... ... ... ...   a bn ... a nn   n1 b1

a12 a 22 ... an2

Por lo tanto la matriz Ai se obtiene de la i-ésima columna de A por b. ∆1 = det A1 , ∆ 2 = det A2 ,....., ∆ n = det An Finalmente:

... b1   ... b2  ... ...   ... bn 

85

x1 =

∆ ∆1 ∆ , x 2 = 2 ,....., x n = n ∆ ∆ ∆

Abra una nueva hoja Excel, e introduzca las variables de un sistema de ecuaciones lineales.

Ponga los valores en un arreglo matricial como se muestra:

En M9 la fórmula es =B5, en M10 es =B6, en m11 es =B7, en N9 es =E5, en N10 es =E6, en N11 es =E11, en O9 es =I5, en O10 es =I6 y por último en O11 es =I7. La fórmula para evaluar la matriz principal es en la celda Q10 es =MDETERM(M9:O11). Por lo que resulta.

La matriz x, es como sigue: En la celda X15, la fórmula vinculada con la ecuación es: =K5, y así sucesivamente para las demás posiciones de la matriz, como se muestra en la figura.

Haga lo mismo para las demás matrices:

86

Los valores de las incógnitas se encuentran usando la regla de Cramer. Para el valor de x la fórmula es :

En el numerador la fórmula es: =AC10, y en el denominador =S10, la división se encuentra: con la división =Si(N22=0,”no existe”,N21/N22.

Haga lo mismo para las demás variables:

Por lo tanto la solución para este sistema de coordenadas es:

87

Una gráfica de este sistema de ecuaciones, con el software llamado GraphCalc:

PRÁCTICA 32 ECUACIONES LINEALES POR ELIMINACIÓN GAUSSIANA 32. ANALICE EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA, PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES DE NXN Objetivo: aplicar el método de eliminación Gaussiana, usando la hoja de cálculo Excel. Orden de los pasos:

88 Sea cualquier vector n: f, y consideremos el sistema Ax = f , lo resolvemos por eliminación Gaussiana7, la posibilidad tiene una única solución, si A-1 existe, entonces hay una solución, que es: U = A-1f La única solución es:

 x   u =  y  = A −1 f ………………….. ( 1 ) z   En el ejemplo anterior, abra la hoja 2 y ligue los coeficientes de la Hoja “regla de cramer” y forme otra Matriz.

Cada uno de los coeficientes forma la segunda matriz. Por ejemplo en la celda D10 pon la fórmula ='REGLA DE CRAMER'!A5, para ligar el coeficiente de la hoja, has lo mismo para los demás coeficientes:

A continuación calcule la Matriz Inversa. Para ello haga lo siguiente: seleccione una matriz con los coeficientes del sistema de ecuaciones sin los términos constantes.

De clic en fx, y seleccione Matriz Inversa:

7

GROSSMAN, Stanley; Álgebra Lineal, Grupo editorial Iberoamérica, 1983, México.

89

Ahora seleccione el rango D10:F12 y Aceptar.

Ahora clic en F2 + Crtl +Shift +Enter:

Multiplique la Matriz Inversa por los términos constantes de los sistemas de ecuaciones: En la celda J18 la fórmula es: ='REGLA DE CRAMER'!K5, en la celda J19 es ='REGLA DE CRAMER'!K6, en J20 es ='REGLA DE CRAMER'!K7.

90 Para efectuar la multiplicación matricial primero seleccione M18:M20.

En la barra de fórmulas =, luego clic en fx, y seleccione el Producto Matricial de Dos Matrices:

Aceptar, ahora la Matriz 1 tiene los rangos D18:F20 y la Matriz 2 los rangos son J18:J20, clic en Aceptar.

Clic en F2 + Crtl + Shift + Enter: De acuerdo a la formula ( 1 )  x   u =  y  = A −1 f z  

91 La solución se presenta de esta forma:

Por lo que la respuesta la representas así:

EJERCICIOS. Haga ejemplos interactivos, en el que pueda cambiar los valores de los coeficientes de la variables, x, y, z:

Notas: Cuando introduce matrices Excel por defecto pone paréntesis {} si es así se introducen correctamente. Cuando introduce una matriz el símbolo = en la barra de fórmulas significa que introducirá una fórmula. Verifique que la matriz inicial sea no degenerada o igual a cero.

92 PRÁCTICA 33 ECUACIÓN CUADRÁTICA 33. ¿CUÁLES SON LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

ax2 + bx + c = 0 EN LA HOJA EXCEL? Objetivo: Explore el comportamiento de la ecuación cuadrática con diferentes valores dados en la hoja de cálculo Excel. Orden de los pasos: Abra una nueva hoja Excel. Introduzca los valores como sigue:

Ahora tabúlelos: En las celdas ponga las fórmulas para ligarlas con los coeficientes de la ecuación cuadrática.

La tabulación queda así:

La ecuación cuadrática tiene dos soluciones, lo cual nos conduce a usar la “Fórmula General”:

x1, 2 =

− b ± b 2 − 4ac 2a

93 Sin embargo las raíces de la fórmula general tienen restricciones cuando tienen raíces negativas, por lo que hay que considerarlas como si fueran números complejos: b2 − 4ac p 0

Un número complejo se representa como un vector: a + bi

Donde a es la parte real del número y bi es la parte compleja, el valor de i es igual

−1 .

En la celda M22 pon la fórmula es: =SI(D16=0,"ES UNA RECTA!",SI((D17)^2<4*D16*D18,"Tiene Raíz Imaginaria",((-1)*D17+RAIZ((D17)^2(4)*D16*D18))/(2*D16))) Pero como son dos raíces en la celda M23 la fórmula es: =SI(D16=0,"ES UNA RECTA!",SI((D17)^2<4*D16*D18,"Tiene Raíz Imaginaria",((-1)*D17-RAIZ((D17)^2(4)*D16*D18))/(2*D16))). Fíjese en los signos de la fórmula Para expresar el resultado cuando contenga raíces negativas (números complejos): En las celdas O22 y O23, la fórmula es =SI((D17)^2<4*D16*D18,"=","")

En las celdas P22 1)*D17)/(2*(D16)),"").

y

P23

la

fórmula

es:

=SI((D17)^2<4*D16*D18,((-

En la celda Q22 la fórmula es: =SI((D17)^2<4*D16*D18,"+",""), primera raíz. En la celda Q23 es: =SI((D17)^2<4*D16*D18,"-","") por ser la segunda raíz. En las celdas R22 y R23 la fórmula =SI((D17)^2<4*D16*D18,W22/(2*D16),"").

para

la

parte

imaginaria8

es:

Por último para agregar − 1 , en las celdas S22 y S23 la fórmula es: =SI((D17)^2<4*D16*D18,"i",""). Nota: en las celdas R22 y R23 la celda W22 es la parte de la raíz negativa si la hay, es decir: =ABS((D17)*(D17)-(4*D16*D18)).

Ejemplos. 8

éstos números son usados en electrónica

94

PRÁCTICA 34 “ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA” 34. ENCUENTRA LA RELACIÓN MATEMÁTICA Y ESCRÍBELA EN LA HOJA DE CÁLCULO PARA ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA. Objetivo: sustituir los valores de los coeficientes para evaluar el valor de la incógnita. Orden de los pasos: Abre una nueva Hoja Excel, y escribe la ecuación general para una incógnita: “ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA” I (USANDO FÓRMULAS TRADICIONALES) Haga lo conducente para la ecuación general:

ax = b Usando los métodos tradicionales de despeje, es:

95

x=

b a

Cuando el valor de a es diferente a cero.

Como verás, la fórmula es sencilla, en la =SI(E12=0,"Indeterminada",SI(H12=0,"0",H12/E12)).

celda

H14

la

fórmula

es:

PRÁCTICA 35 “ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA” II (USANDO SCROLL BARS) 35. ENCUENTRA LA RELACIÓN MATEMÁTICA Y ESCRÍBELA EN LA HOJA DE CÁLCULO PARA ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA, PERO USE BARRA DE DESPLAZAMIENTO. Usaremos los controles de los Formularios, esto se hace en la barra de Herramientas, Ver, Herramientas, Formularios, clic. En una nueva hoja de Cálculo anota lo siguiente:

Las ecuaciones de Primer Grado tienen solución cuando:

96

ax + b = cx + d Despejamos para encontrar el valor de x:

x =

d −b a−c

Esto es válido si la resta de ( a – c ), es diferente de cero. Para empezar en la celda D8 pon la fórmula: =E8-10. En la celda E8 pon el número cero, luego:

Aparece el cuadro siguiente:

Selecciona Barra de Desplazamiento:

Una vez que lo seleccionaste dibuja la barra en esa celda y clic al botón derecho y dale en Formato de Control:

97 Anota los siguientes datos: Valor mínimo 0, valor máximo 20 (por ejemplo), vincula este control con la celda $E$8, clic en Aceptar.

Te queda de esta manera:

Has lo mismo para las celdas D9, D10 y D11. La figura es la que ves:

Para la fórmula solución; en la celda C15 la fórmula es: =SI((D8-D10)=0,"NO TIENE SOLUCIÓN",(D11-D9)/(D8-D10)). Haga sus experimentos con esta ecuación y concluya.

PRÁCTICA 36 “ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA” III 36. ENCUENTRA LA RELACIÓN MATEMÁTICA Y ESCRÍBELA EN LA HOJA DE CÁLCULO PARA ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA, HAGA UNA TABLA DE VALORES Y UBIQUE EL VALOR CORRECTO. Objetivo: Usarás las notaciones & y “”, en la Hoja Excel.

98 El ejemplo anterior tiene una variante usando las notaciones anteriores si hace que la fórmula quede así. En la celda D15 la fórmula de manera ordenada es así: =F8&"x + ("&F9&") = ("&F10&")x + ("&F11.

Si introduce la fórmula cerrando el paréntesis al final de ésta aparece el siguiente aviso:

Por eso en la celda J15 cerramos la ecuación. El cálculo de la solución de la variable x, hace por aproximación, es decir dándole valores enteros a x, hasta que la hoja de cálculo nos diga si es falso o verdadero el resultado, para esto la fórmula de plantea así, es decir como una igualdad, se cumple o no se cumple. En la celda K19, la fórmula que =($F$8*K19+$F$9=$F$10*K19+$F$11)

debe

cumplir

con

la

igualdad

es:

En K19 rellene hasta 10 con incrementos de uno. En la celda L19 cópiela y pegue hasta L49. Vea sus resultados y busque el resultado,

99

Como ves el resultado es x = 4. EJERCICIO: HAGA ESTE MISMO MÉTODO PERO PARA LA ECUACIÓN ax + b = c

PRÁCTICA 37 “ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA” IV (HAGA SUS CÁLCULO Y COMPRUEBE) 37. ¿CÓMO RESOLVERÍAS UNA ECUACIÓN ax + b =0, EN LA HOJA EXCEL? Para la fórmula ax = b, básicamente se hace la fórmula así: =SI(D13=(D7-D6)/D5,"DISTE AL CLAVO!","INTENTA OTRA VEZ!"). la figura te da un acercamiento a la solución.

100

Conclusión: has tus cambios y experimenta con diferentes valores, para esto, calcula a mano el valor y comprueba tus resultados.

PRÁCTICA 38 “ECUACIONES POR MÉTODO ALEATORIO” 38. ENCUENTRA EL VALOR DE LA INCÓGNITA PARA UNA ECUACIÓN:

ax + b = c

EN LA HOJA EXCEL, POR EL MÉTODO ALEATORIO. Objetivo: Mediante el azar elegir el valor correcto de una variable, para resolver ecuaciones de primer grado, usando la hoja Excel. Orden de los pasos: la Función =ALEATORIO.ENTRE(valor inferior, valor superior), devuelve un número aleatorio entre los números que especifique. Devuelve un nuevo número aleatorio cada vez que se calcula la hoja de cálculo. Si esta función no está disponible y devuelve el error #¿NOMBRE?, instale y cargue el programa vaya a la Barra de Menú Herramientas, de clic en Complementos y elija Herramientas para análisis. Para activar la función es decir cambiar el valor, pulse la tecla F9, hasta encontrar un valor apropiado. Abra una nueva Hoja Excel, escriba la función aleatoria, =ALEATORIO.ENTRE(-10,10).

101

Para escribir y solucionar una ecuación de primer grado, primero haga esto: en la barra de menú, Nombre, Definir, te aparece este cuadro de diálogo, dale Aceptar.

Introduzca los valores de los coeficientes:

La ecuación formada es: =C11&"x+("&C12&")=("&C13

agréguela en otra celda.

Delante de la ecuación anterior ponga esta: =C11*x+C12=C13. Cambie los valores a x, según sea el caso hasta que no aparezca FALSO en la Hoja de cálculo.

102 La solución para este caso particular encuéntrela. EJERCICIOS: cambie los valores de los coeficientes y experimente sus resultados.

PRÁCTICA 39 “ESTADÍSTICA” 39. EN BASE A LAS CALIFICACIONES A UN GRUPO DE ALUMNOS, CALCULE LA FRECUENCIA, LOS INTERVALOS, EL VALOR MÍNIMO Y MÁXIMO, FRECUENCIA RELATIVA, MODA, DESVIACIÓN ESTÁNDAR, EL COEFICIENTE DE VARIACIÓN, MEDIANA Y PROMEDIO EN LA HOJA EXCEL. Objetivo: que las herramientas de la Hoja Excel, ayudan y facilitan el manejo de la información. Orden de los pasos: Abra una nueva hoja Excel, y use las fórmulas =SUMA(número1,número2,…), =CONTAR.SI.(rango,criterio), =MIN(número1, número2,…), =MAX(número1,número2,…), =MEDIANA(número1, número2,…), =MODA(número1, número2,…), =PROMEDIO(número1, número2,…), =DESVEST(número1, número2,…), además de fórmulas que “inventes”.

“ESTADÍSTICA” I

Escriba lo siguiente en la hoja Excel, para preparar los datos:

En este ejemplo aplicado para las calificaciones de un grupo de estudiantes, permite comprender el comportamiento académico. En la celda G11 calcula el valor mímino con la fórmula =MIN(A7:T9), luego el valor máximo con =MAX(A7:T9) en la celda G12.

103 En E14 la oscilación es: =G12-G11, en la celda E15 El número de datos por intervalo de: 10, por lo que el número de intervalos es: =E14/H15. La fórmula SUMA(número1,número2,…), =CONTAR.SI.(rango,criterio), ayudan para tabular la frecuencia de datos:

En la celda D19ponga la fórmula =CONTAR.SI($A$7:$T$9,"<=39"). En la celda D20 es =CONTAR.SI($A$7:$T$9,"<=49")-D19, en la celda D21 la fórmula es =CONTAR.SI($A$7:$T$9,"<=59")-(D20+D19). En la celda D22 es =CONTAR.SI($A$7:$T$9,"<=69")-(D19+D20+D21). En la celda D23 la fórmula =CONTAR.SI($A$7:$T$9,"<=79")-(D19+D20+D21+D22), en celda D24 es =CONTAR.SI($A$7:$T$9,"<=89")-(D19+D20+D21+D22+D23), por último en celda D25, es =CONTAR.SI($A$7:$T$9,"<=99")-(D19+D20+D21+D22+D23+D24), como notarás se restan los datos de la celda anterior. Para comprobar si los datos recopilados son correctos súmelos con =SUMA(D19:D25).

El cálculo de las frecuencias relativas es el siguiente =D19/$D$26*100, cópielo y péguelo desde G19 hasta G25. La suma de las frecuencias debe ser 100%, por lo que suma así =SUMA(G19:G25).

104 La Mediana es =MEDIANA(A7:T9), la Moda =MODA(A7:T9), la media =PROMEDIO($A$7:$T$9), la Desviación Estándar =DESVEST($A$7:$T$9), el coeficiente de variación =G32/F30.

“ESTADÍSTICA” II Básicamente son las mismas fórmulas, sólo que cambiamos las fórmulas del cálculo de la frecuencia: en la celda D19 la fórmula es =CONTAR.SI($A$7:$T$9,"<=39")CONTAR.SI($A$7:$T$9,"<30"), en las demás celdas la fórmula es la misma sólo que cambia el rango de intervalo. Haga los cambios pertinentes. Grafique.

PRÁCTICA 40 “GRÁFICA DE DOS FUNCIONES” 40. GRAFIQUE UNA RECTA Y UNA PARÁBOLA EN LA HOJA EXCEL. Objetivo: Que grafiques por métodos tradicionales de tabulación de datos sustituyéndolos en las funciones, use la hoja de cálculo Excel.

105 Orden de los pasos: Abra una nueva hoja de cálculo Excel, y ponga los datos que siguen:

El método de tabulación se obtiene mediante la sustitución de la variable y realizando las operaciones respectivas (las funciones son como recetarios de cocina, es decir son instrucciones precisas). Asigne valores a los coeficientes de cada función: Para la Recta, en la celda G5 ponga a1 =, en H5 ponga un valor; en celda G6 ponga b1 =, en H6 ponga otro valor numérico. Para la Parábola, en la celda G10 ponga a2 =, en H10 ponga algún valor; en celda G11, ponga b2 =, en H11, escriba una valor, en G12 escriba c2 =, en H12 escriba otro valor numérico. PARA EMPEZAR A TABULAR, PRIMERO LA RECTA: En la celda B16 escriba la fórmula ="y="&H5&"x+("&H6&")", luego escriba -10, en la celda B18; en Edición + Rellenar + Series. Elija Series en: Columnas, Límite +10; clic en Aceptar. En la celda C18, la fórmula es: =$H$5*B18+$H$6, cópielo y péguelo hasta la celda C38.

106 PARA TABULAR LA PARÁBOLA: En la celda D16, escriba la fórmula ="y="&H10&"x²+("&(H11)&")x+("&H12&")", luego escriba -10, en la celda D18; en Edición + Rellenar + Series. Elija Series en: Columnas, Límite +10; clic en Aceptar. En la celda E18, la fórmula es: =$H$10*D18*D18+$H$11*D18+$H$12, cópielo y péguelo hasta la celda E38.

Seleccione los valores,

En el Asistente para Gráficos seleccione Dispersión con Líneas suavizadas, Aceptar.

Experimente con otros valores, sustitúyalos y verifique.

107 PRÁCTICA 41 GRAFICAS EN TRES DIMENSIONES 41. GRAFICA EN TRES DIMENSIONES EN LA HOJA EXCEL, LA SIGUIENTE.

z + 4

z + 4 − x2 − y2 = 0

Objetivo: Visualizar figuras en tres dimensiones, usando la hoja de cálculo Excel. “GRAFICAS EN TRES DIMENSIONES” I

Orden de los pasos: Abre una nueva hoja Excel. Anote lo siguiente: los valores del eje x, y eje y, los intervalos van desde -3 hasta +3, con incrementos de 0.1

Tabula ahora en columna C, los límites de x. desde -3 < x < +3

A continuación Aceptar:

108 Introduzca la fórmula =(RAIZ(C9*C9+$D$8*$D$8)-2)^2, en la celda D9:

Note que los valores de la celda D8, son absolutos, es decir son fijos, y los de la celda C9 relativos. Copie y pegue en la columna D, hasta los valores de +3.

Haga lo mismo para la columna E, y así sucesivamente en todos los valores hasta +3, se reitera el proceso hasta completar las columnas

Selecciona desde la celda D9, hasta BK68.

….

109 Use el Asistente para Gráficos, seleccione Superficie, Superficie 3D:

A continuación Aceptar:

110

“GRAFICAS EN TRES DIMENSIONES” II Abra una nueva hoja de cálculo: Asigne un valor a x, también a y.

Seleccionamos el rango B8:BJ68.

111

Aparecen los datos:

Selecciona desde C9:BJ68, usa el asistente para Gráficos, en superficie, superficie 3D.

112

EJERCICIOS: Haga las gráficas 3D de las siguientes: a) z = x^2 + y^2 b) z = 1 / sqrt(x^2+y^2) c) z = x^2 - y^2 d) z = cos(x^2 - y^2)

PRÀCTICA 42 “PARÁBOLA” EJEMPLOS INTERACTIVOS. 42. ESTUDIE EL COMPORTAMIENTO GENERAL DE LA PARÁBOLA EN LA HOJA DE CÁLCULO, USANDO FORMULARIOS Y GRÁFICOS. Objetivo: Observar el comportamiento de una parábola usando la hoja de cálculo Excel. Orden de los pasos: Abre nuevo documento Excel, pon el título “GRÁFICA DE UNA PARÁBOLA”, luego pones los datos de la fórmula. y = ax 2 + bx + c

113

En la columna A, pones la serie desde – 15 hasta + 15, la fórmula que agregas al documento es, =$D$6*(A10)^2+$D$7*A10+$D$8 Ya que los valores de los coeficientes son constantes, los valores de éstos se agregarán el signo $, debido a que son absolutos y no cambiarán a lo largo de la fórmula. Damos valores a los coeficientes, a = 2, b = 3, c = 1, luego graficamos normalmente.

Para nuestro caso, abrimos formularios en el Menú Ver, Barra de Herramientas y clic en Formularios.

114 Aparece el cuadro de diálogo Formulario:

A continuación seleccionamos Barra de Desplazamiento derecha de los coeficientes.

, luego arrastramos hasta la

Ahora ponemos una fórmula a cada coeficiente para variar sus valores, por ejemplo, en la celda D6, será así: = E6 – 50. Luego clic en el botón derecho del ratón, para dar Formato control:

Vinculamos la Barra de desplazamiento con la Celda E6, pero con su valor absoluto, $E$6, a continuación Aceptar. En la celda E6 ponemos 50, Enter. Así sucesivamente para los demás coeficientes: en la celda D7 su fórmula es: = E7- 100, su formato de Celda se vincula con E7; en la celda D8, es: = E8 – 100, el Formato de control E8.

115 EJERCICIOS:Cambie los valores de los coeficientes acercando el cursor a cada barra de desplazamiento. PRÁCTICA 43 PARÁBOLA (MÍNIMOS Y MÁXIMOS) 43. MEDIANTE EL CÁLCULO DE TANGENTE A LA CURVA, ENCUENTRE EL MÍNIMO O MÁXIMO EN UNA PARÁBOLA, GRAFIQUE SUS RESULTADOS. Objetivo: mostrar el comportamiento máximo o mínimo de la parábola usando Excel. Orden de los pasos: Mostrar el comportamiento parabólico requiere del uso de el álgebra superior, pero si no está familiarizado con esto, aquí se mostrará de manera fácil como encontrar el mínimo o máximo de una parábola. En primer lugar, el coeficiente del término cuadrático puede tener dos signos (positivo o negativo), lo cual nos indica si tiene un máximo o mínimo. Si el coeficiente del término cuadrático es positivo, la parábola tiene un mínimo, pero si es negativa ésta tiene un máximo. Hasta aquí no hay problema. ¿Y sus coordenadas? Si la ecuación general de una parábola es: y = ax 2 + bx + c Y aplicando el criterio de la 1ra. Derivada (dy/dx), en la función para máximos y mínimos:

∂y ∂(ax 2 + bx + c) = ∂x ∂x Aplicando las propiedades para exponentes y constantes:

y´= 2ax + b Igualando a cero por máximos y mínimos:

0 = 2ax + b despejando : x=−

b 2a

………………… ( 1 )

116 Esta ecuación ( 1 ) es la coordenada en x; para encontrar la coordenada y, solo sustituya en la ecuación original. 2

 b   b  y = a −  + b −  + c  2a   2a  Elevando al cuadrado y multiplicando (términos y signos): ab 2 b 2 y= 2 − +c 2a 4a

Aplicando leyes de los exponentes: b2 b2 y= − +c 4a 2a Sumando y restando: 4 ac − b 2 …………………… ( 2 ) 4a Esta fórmula ( 2 ) corresponde a la coordenada y. y =

Por lo tanto las coordenadas del máximo (o mínimo) son:  b 4ac − b 2  − ; 4a  2a

  

Abra una nueva hoja Excel: Escriba los datos a continuación:

En la celda C4, ponga la fórmula =D4-5, y un número en D4, ponga una barra de desplazamiento, con una vinculación con la celda C4, mínimo de 0, máximo 10. En la celda C5, ponga la fórmula =D5-40, y un número en D5, ponga una barra de desplazamiento, con una vinculación con la celda C5, mínimo de 0, máximo 100. En la celda C6, ponga un número, ponga una barra de desplazamiento, vinculándola con ésta, con un mínimo 0, máximo 100. Haz una tabulación desde -10 < x < + 10, y con la fórmula para la parábola: en la celda B9, =$C$4*A9^2+$C$5*A9+$C$6, cópiala y pégala hasta +10 (B49):

117

Grafica con el asistente para gráficos, Dispersión:

Modifique la gráfica, dándole clic botón derecho, en ésta: Formato área de Trazado, haga los cambios que desee. De nuevo en el eje x, clic botón derecho, en Escala, Mínimo = - 10, Máximo = + 10. en el eje y, en Escala, Mínimo = - 20, Máximo = + 20. Clic derecho en la curva, Formato de Serie de Datos…, Tramas, Grosor, Mediano. Otra vez en la curva, en Agregar Línea de Tendencia, Tipo Polinomial, Orden 2, en la carpeta Opciones, clic en Presentar Ecuación en el Gráfico. Aceptar. Para saber si la parábola tiene un máximo o mínimo, en la celda G4 escriba: LA PRÁBOLA. En la celda G5, escriba la fórmula: =SI(C4=0,"Es una RECTA",SI(C4>0,"tiene un mínimo y su","tiene un máximo y su")). En la celda G6, escriba Y SUS COORDENADAS SON: En la celda P4 escriba: =-($C$5)/(2*$C$4). En P5 escriba: =(4*C4*C6-(C5*C5))/(4*C4). Las coordenadas son:

118

PRÁCTICA 44 GRÁFICA DE DOS FUNCIONES “INTERSECCIÓN DE DOS CURVAS”

44. GRAFIQUE UNA RECTA Y UNA PARÁBOLA, ADEMÁS CALCULE LOS PUNTOS DE INTERSECCIÓN EN LA HOJA EXCEL. Si tenemos dos curvas, que se cruzan en el espacio Cartesiano, sus fórmulas son:

y = a 1 x + b1 y = a2 x 2 + b2 x + c2 Para encontrar el lugar de intersección, procedemos a usar el método de igualación:

a1 x + b1 = a 2 x 2 + b2 x + c 2 Despejamos:

a2 x 2 + b2 x + c2 − a1 x − b1 = 0

119 Sumamos términos semejantes y agrupamos:

a2 x 2 + (b2 − a1 ) x + (c2 − b1 ) = 0 Factorizamos, usando la fórmula general para una ecuación cuadrática, intersección en el eje x:

x1, 2

− (b2 − a1 ) ± (b2 − a1 ) 2 − 4a2 (c2 − b1 ) = 2 a2

Intersección en el eje y, se encuentra sustituyendo en la recta (por ser más fácil de encontrar). Orden de los pasos: Abra una nueva hoja (Hoja 2) de cálculo Excel. Anote los valores de los coeficientes de las curvas (recta y parábola).

En la celda K10 ponga la siguiente fórmula, para simplificar: =I8-I3, además en K11: =I9I4. En la celda H18 la fórmula es: =SI((K10*K10-(4*I7*K11))<0,"NO HAY INTERSECCIÓN","HAY INTERSECCIÓN EN"), vea que las raíces de la fórmula general no deben ser negativas. En la celda H20 la primera raíz es: =SI((K10*K10-(4*I7*K11))<0,"",(K10+RAIZ(K10*K10-(4*I7*K11)))/(2*I7)). Este valor corresponde a la proyección en el eje x. La segunda raíz (intersección entre las dos curvas): =SI((K10*K10-(4*I7*K11))<0,"",(K10-RAIZ(K10*K10-(4*I7*K11)))/(2*I7)). Este segundo valor corresponde a la proyección en el eje x. La proyección en y, que corresponde a la primera raíz; en la celda I20, =SI((K10*K10(4*I7*K11))<0,"",I3*H20+I4). La proyección en y, que corresponde a la segunda raíz; en la celda I22, =SI((K10*K10(4*I7*K11))<0,"",I3*H22+I4).

120

La presentación es:

EJERCICIOS: Grafique e indique los puntos donde se intersectan, cuando suceden los casos de: a) Una recta y un círculo con centro en el origen. b) Una recta y una función: y = ax 3 + bx 2 + cx + d c) Invente otros ejemplos y experimente sus resultados.

PRÁCTICA 45 “PENDIENTE DE UNA RECTA” I 45. CALCULE LA PENDIENTE DE UNA RECTA EN LA HOJA EXCEL. Objetivo: crear gráficas con las variantes de comportamiento de una recta como son la pendiente (o grado de inclinación) y su intersección con el eje y, usando fórmulas y hoja de cálculo Excel. Orden de los pasos: La fórmula para estimar la pendiente se entiende como la distancia vertical dividida por la distancia horizontal entre dos puntos cualesquiera de la recta, es decir, es la tasa de cambio a lo largo de la línea de regresión9. La sintaxis ortográfica de esta fórmula es: PENDIENTE(conocido_y;conocido_x) 9

Vea Menú ? (ayuda), de la hoja de cálculo Excel.

121 Conocido_y:

es una matriz o rango de celdas de puntos de datos numéricos dependientes.

Conocido_x:

es el conjunto de puntos de datos independientes.

Los argumentos deben ser números o nombres, matrices o referencias que contengan números. Si el argumento matricial o de referencia contiene texto, valores lógicos o celdas vacías, estos valores se pasan por alto; sin embargo, se incluirán las celdas con el valor cero. Si los argumentos conocido_y y conocido_x están vacíos o contienen un número diferente de puntos de datos, PENDIENTE devuelve el valor de error #N/A.

INTERSECCIÓN CON EL EJE y La función INTERSECCION.EJE calcula el punto en el que una línea intersecará el eje y utilizando los valores X e Y existentes. Se basa en el mejor ajuste de la línea de regresión trazado con los valores X y los valores Y. La sintaxis ortográfica matemática para la hoja Excel: INTERSECCION.EJE(conocido_y;conocido_x) Conocido_y: es el conjunto de observaciones o datos dependientes. Conocido_x: es el conjunto de observaciones o datos independientes. Los argumentos deben ser números o nombres, matrices o referencias que contengan números. Si el argumento matricial o de referencia contiene texto, valores lógicos o celdas vacías, estos valores se pasan por alto; sin embargo, se incluirán las celdas con el valor cero. Si los argumentos conocido_y y conocido_x contienen un número diferente de puntos de datos o no contienen ninguno, INTERSECCION.EJE devuelve el valor de error #N/A. Abra una nueva hoja Excel. Tabula una recta y = x +1, desde - 5 < x < + 5, en la columna A. en la columna B6 la fórmula =A6+1, cópiela y pégala hasta B16.

122 En la celda F9 ponga la fórmula de la pendiente: =PENDIENTE(B6:B16,A6:A16). En la celda F11 la fórmula de la intersección con el eje: =INTERSECCION.EJE(B6:B16,A6:A16). Para graficar seleccione desde A6:B16, vaya a Asistente para Gráficos, elija Dispersión, dispersión con líneas suavizadas…

Este es como ejemplo, por eso no hay variación. Por eso el siguiente nos da una visión del comportamiento de una recta al variar su pendiente:

PRÁCTICA 46 “PENDIENTE DE UNA RECTA” II 46. CALCULE LA PENDIENTE DE LA GRÁFICA EN UNA SERIE DE DATOS OBTENIDOS EN UNA PRUEBA DE FATIGA A UNA BARRA DE ACERO. En una serie de pruebas a una probeta de acero, se hacen las siguientes anotaciones:

Grafíquelas usando el Asistente para Gráficos + Dispersión.

123

ESFUERZO (σ)

RESISTENCIA DE MATERIALES 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

1 2

3

4 5

6 7

8

9 10 11 12 13 14 15 16

DEFORMACIÓN (ε)

Como observas, hay una línea desde 0 hasta 4 en la deformación, calculamos su pendiente: en la celda F25, la fórmula =PENDIENTE(B6:B21,A6:A21), calcula su pendiente.

PRÁCTICA 47 PENDIENTE DE UNA RECTA III 47. PARA UNA SERIE DE TABULACIONES EN x E y, CORRESPONDIENTE A UNA RECTA, CALCULE LA PENDIENTE, LUEGO ENCUENTRE LA ECUACIÓN PARTICULAR DE ESTA TABULACIÓN, AL FINAL VARÍE LA PENDIENTE Y EL PUNTO DE INTERSECCIÓN CON EL EJE y USANDO BARRA DE DESPLAZAMIENTO. Abra una nueva Hoja, entonces tabula en x e y. Toma el intervalo -19 < x < + 19, < y < +13, en incrementos de 1.

-25

124

En F12 abra una Barra de Deslizamiento, en incrementos de 1, valor máximo 100.

En F11 pon la fórmula =(F12-50)/10, para cambiar los valores de la gráfica, ya que tabularemos otra columna: por ejemplo en D. En la celda D4 la fórmula es: =C4*$F$11, cópiala y pégala hasta D42, haz los cambios para comprobar los cambios. Con el Asistente para Gráficos, seleccione Dispersión, … 60 40 20 0 -30

-20

-10

-20 -40 -60 -80

0

10

20

30

Serie1

125 En el área de el eje x, clic botón derecho, Formato de ejes…, seleccione la escala mínimo 19, máximo 19. Haga lo mismo para el eje y, con un mínimo de -30 y máximo de 30. Haga los cambios para presentar la gráfica apropiadamente. Para calcular la pendiente, haga lo siguiente. En la celda I23, la fórmula =PENDIENTE($C$4:$C$42,$B$4:$B$42), no resulta en un valor que nos convenza: Ya que desde un principio asignamos una pendiente en F11, esta fórmula la multiplicamos por F11. =PENDIENTE($C$4:$C$42,$B$4:$B$42)*F11. Para calcula la intersección con el eje y, la fórmula apropiada es con los valores de la columnas B y C. En la celda I24 la fórmula es: =SI($D$4:$D$42=0,"recta colineal con el eje x",INTERSECCION.EJE($C$4:$C$42,$B$4:$B$42)*F11). Agregue una Línea de Tendencia. La gráfica final queda como sigue:

PRÁCTICA 48 PRODUCTOS NOTABLES10 48. EFECTÚE LA OPERACIÓN DE UN BINOMIO AL CUADRADO MEDIANTE PRODUCTOS NOTABLES EN LA HOJA EXCEL.

10

http://homepage.cem.itesm.mx/lgomez/

126 Objetivo: escribir fórmulas algebraicas con la hoja de cálculo Excel. Orden de los pasos: Abra una nueva hoja Excel. Use la función CONCATENAR, para escribir fórmulas algebraicas.

La función CONCATENAR: Concatena o une argumentos de texto. Sintaxis: =CONCATENAR (texto1;texto2; ...) Texto1, texto2, ... hasta 30 elementos de texto que se unirán en un elemento de texto único. Los elementos de texto pueden ser cadenas de texto, números o referencias a celdas únicas. Puede utilizar el operador "&" en lugar de CONCATENAR para unir elementos de texto. Escriba las siguientes fórmulas para productos notables en una hoja Excel. ( x + y ) 2 = x 2 + 2 xy + y 2 ( x − y ) 2 = x 2 − 2 xy + y 2 ( x + y ) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3 xy 2 + y 2 ( x − y ) 3 = x 3 − 3x 2 y + 3 xy 2 − y 2 ( x + y ) 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 xy 3 + y 4 ( x − y ) 4 = x 4 − 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 − 4 xy 3 + y 4 ( x + y ) 5 = x 5 + 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 + 10 x 2 y 3 + 5 xy 4 + y 5 ( x − y ) 5 = x 5 − 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 − 10 x 2 y 3 + 5 xy 4 − y 5 ( x + y ) 6 = x 6 + 6 x 5 y + 15 x 4 y 2 + 20 x 3 y 3 + 15 x 2 y 4 + 6 xy 5 + y 6 ( x − y ) 6 = x 6 − 6 x 5 y + 15 x 4 y 2 − 20 x 3 y 3 + 15 x 2 y 4 − 6 xy 5 + y 6 Las series de Fourier sintetizan los productos notables en una fórmula general: Si n = 1, 2, 3, … entonces:

( x + y ) n = x n + nx n −1 y +

n(n − 1) n − 2 2 n(n − 1)(n − 2) n −3 x y + x + ... + y n 2! 3!

Es así como en la hoja Excel, se hará el primer caso, el cuadrado de la suma de dos términos: En la celda D32 escribe el valor del primer término, en D33 el segundo valor.

127 En B37, escribe ( ax + by )²= . En la celda C37, escribe: =CONCATENAR(C32^2,"x²+(",2*C32*C33,")xy+(",C33^2,")y²")

EJERCICIOS: Realice para los demás casos de productos notables, descritos arriba, experimente y analice sus resultados.

PRÁCTICA 49 CÍRCULO (Con coordenadas rectangulares y polares) 49. GRAFIQUE UN CÍRCULO CON CENTRO EN EL ORIGEN, EN COORDENADAS RECTANGULARES Y OTRO EN POLARES. Objetivo: Relacionar las coordenadas Cartesianas con las Polares, usando la Hoja de Cálculo Excel. Orden de los pasos: Un círculo unitario con centro en el origen, se define como: r

2

= x

+ y

2

2

Y sus coordenadas, si tomamos en cuenta el Teorema de Pitágoras, y por trigonometría básica: x = cos θ

; y = senθ

Además, también la fórmula puede ser:

y = ±

r

2

− x

2

128 Para un valor de x, tiene dos valores válidos en y.

CÍRCULO I (Con coordenadas rectangulares y polares)

49. a. GRÁFICA DEL CÍRCULO EN COORDENADAS RECTANGULARES. Abra una nueva Hoja Excel, haga la tabulación desde -1 < x < +1, con un radio 1. En la celda J11, escriba 1, vincúlelo con una barra de desplazamiento con un mínimo de 1 y un máximo de 10.

La fórmula de un círculo con centro en el origen es: r

2

= x

2

+ y

2

La despejamos para y:

y = ±

r2 − x2

El círculo es unitario, por lo que la tabulación será desde -1 < x < +1, para ello vaya a Edición, Rellenar, Series…, con un incremento de 0.01, como ve el valor de y, tienen dos valores, uno positivo y otro negativo, lo que serán realmente dos tabulaciones. Valores positivos: En la celda B7, escriba =RAIZ($J$12-A7*A7), cópiela y péguela hasta x = +1,

129 Valores negativos: En la celda E7, escriba =(-1)*RAIZ($J$12-D7*D7), cópiela y péguela hasta x= +1.

Secciónalos y con Asistente para Gráficos, Dispersión,…

Clic en le gráfico, y con el Formato del área de trazado, Opciones de gráfico, Formato de líneas de división…, Formato de serie de datos, modifica para que quede así:

130 CÍRCULO II (Con coordenadas rectangulares y polares) 49. b. GRÁFICA DEL CÍRCULO CON CENTRO EN ORIGEN EN COORDENADAS POLARES. En una nueva Hoja Excel: En esta parte iniciaremos con las fórmulas trigonométricas, vistas arriba, tanto la proyección en x, como en y. Tabulamos en la celda A4 desde 0º < t < 360 º, luego cambiamos a Radianes, en la celda B4, con la fórmula =RADIANES(A4), cópiala y pégala hasta 360 º.

Para tabular la proyección en x, escribimos =COS(B4), copiamos y pegamos hasta 360 º

Bien, para tabula eje y, escribe =SENO(B4), cópiala y pégala hasta 360º,

Selecciona los ejes x e y, usa el Asistente para gráficos, Dispersión…,

131

EJERCICIO: el problema anterior, es cuando el círculo unitario, haga los cambios necesarios para ver los cambios cuando cambia de valor el radio.

CÍRCULO III (Con coordenadas rectangulares y polares) 49. c. MODIFIQUE EL PROCEDIMIENTO PARA GRAFICAR EL CÍRCULO EN COORDENADAS RECTANGULARES, PARA DIFERENTES VALORES DEL RADIO. Si vemos con cuidado la primera parte de estos ejemplos, vemos que si aumentamos el valor del radio sucede esto:

132

Esto es debido a que la tabulación no cambia, es decir sigue siendo desde -1 hasta +1. Para poder cambiar el valor de la tabulación en función del cambio del valor del radio, hacemos esto: En una nueva hoja Excel: en la celda D4, escribimos el valor del radio, 15, por ejemplo, luego en la celda D5, la elevamos al cuadrado: =D4*D4.

Luego en la celda A8 escribimos =(-1)*D4, para iniciar la tabulación, para cambiar el incremento de cambio en el valor del intervalo, en D5 la fórmula = D4*D4; la fórmula en la celda B8 es =(-1)*A8/100, ya que los cambios son en decimales. Para el primer círculo, con los valores positivos de la fórmula, en la celda D8, escribe =A8. en D8 escribe =D8+$B$8, cópiala y pégala hasta la celda D208. . Para el segundo círculo, con los valores negativos de la fórmula, en la celda G8, escribe =A8. en G9 escribe =G8+$B$8, cópiala y pégala hasta la celda G207. Para el primer círculo, en los valores de y, en la celda E8, escribe =RAIZ($D$5-D8*D8), cópiala y pégala hasta E208; el segundo círculo es desde H8 con la fórmula =(1)*RAIZ($D$5-G8*G8), cópiala y pégala, hasta H208. Grafícala con el asistente para gráficos. Primero selecciona para el primer círculo,

133

Clic derecho en el área de gráfico, en Datos de origen agrega la otra tabulación:

ejercicios: Haga la hoja Excel, cuando el círculo tiene la siguiente fórmula: a) ax 2 + by 2 = c b) ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 c) x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

PRÁCTICA 50 CÍRCULO FUERA DEL ORIGEN 50. GRAFIQUE UN CÍRCULO FUERA DEL ORIGEN EN LA HOJA DE CÁLCULO. Objetivo: usar la Hoja Excel, para experimentar el comportamiento del círculo en coordenadas Cartesianas. Introducción: el círculo fuera el origen, en el punto C ( h , k ) y radio r, tiene como ecuación general: ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2

134

Orden de los pasos: Abra una nueva hoja Excel, anote los valores de los coeficientes h, k y r.

Asigne un Nombre a cada coeficiente, clic en la celda D6, luego en Menú, Insertar, Nombre, Definir Nombre,… y escoge h. a continuación Aceptar.

Haz lo mismo para las demás (k, r). Ahora, para tabular tendrás que definir los límites, es decir de donde a dónde, graficarás, esto se logra calculando los límites del círculo:

135

El límite inferior: en la celda A12, escribe = h – r:

El límite superior, en la celda A15: = h + r:

Establece el número de puntos a graficar: 200, entonces: en la celda A17, escribe la Diferencia: ∆x = A12 – A15. Define el número de celdas (o puntos) para graficar: 200, escribe en la celda B12 la fórmula =ABS(∆x/200)

Verifica tus primeros resultados tabulando en la celda D12 escribiendo = A12, luego en la celda A13 escribe =D12+$B$12. cópiala y pégala hasta D212. si notas son los valores de x. Verifica tus límites si corresponde con lo calculado. Ahora tabularemos los valores de y, pero como el despeje de la ecuación general del círculo involucra a dos signos o valores; en la columna E, las fórmulas serán cuando la raíz cuadrada es positiva; en celda E12, escribe =RAIZ(r*r-((D12-h)*(D12-h)))+k, cópiala y

136 pégala hasta E212. en la columna F las fórmulas involucran a los valores negativos, por lo que en la celda E12 la fórmula es: =(-1)*RAIZ(r*r-((D12-h)*(D12-h)))+k; cópiala y pégala hasta F212. Selecciona estas tres columnas (D, E, F) y con el Asistente para Gráficos:

Para graficar el centro del Círculo, clic botón derecho en el gráfico, Datos de Origen…

Clic en la carpeta Serie, Agregar, escribe en Valores de X: =Hoja1!$D$6, en los Valores de Y: =Hoja1!$D$7.

137 Nota. Si tu Círculo aparece así, en tus experimentos.

Es porque el último resultado da un número demasiado pequeño y Excel no puede representarlo, para corregirlo, sólo escriba la fórmula siguiente: en celda D212, =REDONDEAR(D211+$B$12,0). Haz los cambios necesarios para que tu gráfico quede así.

138 PRÁCTICA 51 INTERSECCIÓN ENTRE UNA RECTA Y UN CÍRCULO 51. EXPERIMENTA EN LA HOJA DE CÁLCULO EL COMPORTAMIENTO ENTRE UNA RECTA Y UN CÍRCULO. Objetivo: comprender el comportamiento entre una recta y un círculo en el plano Cartesiano, usando la hoja Excel. Orden de los pasos: Abra una nueva hoja Excel, y anote lo siguiente:

Bien, ahora defina nombres a cada coeficiente, usando Insertar, Nombre, Definir Nombre,…

Elija h, para la celda D6, y así sucesivamente para los otros coeficientes

Grafique un círculo como en la Práctica “CÍRCULO FUERA DEL ORIGEN”.

139 Ahora tabule una Recta: inicie valores de x, en la celda H12, desde – 10 < x < + 10. los valores de y, inicie en la celda I12 escribiendo =(c_-a*H12)/b, cópiela y pégala hasta la celda I32. Ya que está graficado el Círculo, de clic con el botón derecho en la gráfica, elija Datos de origen, Series, …

De en Agregar, para graficar la Recta, en X: escriba =Hoja1!$H$12:$H$32; en Y: escriba además =Hoja1!$I$12:$I$32, de en Aceptar.

Queda una gráfica así:

Ejercicio: Encuentre la fórmula general para encontrar la intersección, también cuando no lo hay, y los puntos de intersección como pares ordenados.

140

Ejercicio: cambie la fórmula de la recta por esta: y = ax + b , ¿cómo es la hoja de Excel?, haga los cambios y experimente

PRÁCTICA 52 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS “COSENO” 52. ANALIZE EL COMPORTAMIENTO DEL CÍRCULO UNITARIO CUANDO ES LA FUNCIÓN COSENO. Objetivo: analizar el comportamiento de las funciones trigonométricas, usando la Hoja de cálculo Excel. Orden de los pasos:

141 Abra una nueva Hoja Excel, haga una tabulación, en la columna A (4:363), de 0 hasta 360 grados. Cambie los Grados a Radianes, en celda B4, =RADIANES(A4), cópiala y pégala hasta B363. Graficar la proyección en el eje X, con el coseno.

Para el eje Y, con el seno del ángulo, Seleccionamos toda la tabulación para graficar el círculo, en Dispersión clic, en líneas suavizadas:

En el área de trazado, clic con el botón derecho, seleccionamos formato de área de trazado, color blanco y área blanca aceptar.

142 En el grafico clic en las divisiones principales, seleccionamos el color con líneas punteadas. Para dar animación en F4, ponemos la formula =COS(F6), en G4 la formula =SENO(F6), ahora para introducir una barra de desplazamiento en F5 ponemos el valor 0, en F6, la fórmula =RADIANES(F5). Esto es para cambiar a diferentes valores del ángulo en el círculo que trazamos.

Para agregar este punto en el círculo en la grafica dibujada damos con el botón derecho del Mouse, en datos de origen damos clic.

En agregar serie ponemos los valores de X e Y, clic en aceptar. Ahora en Barra de Menú, Insertar, Columna.

PARA TRAZAR ESTE PUNTO

143

Para la barra de desplazamiento. En Ver,

Se muestra la barra de desplazamiento:

Escógela y luego con el botón derecho del Mouse, clic en formato de control:

Vincula con la celda $G$5, luego en valor máximo a 360 grados a continuación aceptar.

En G5 pones cero (0), para vincular los grados, en la celda =RADIANES(G5).

G6 la fórmula

144 Para poner el punto agrega otra serie dándole en la grafica clic derecho, te vas a datos de origen y agregas los valores de x e y (=Hoja1!$G$4 y la formula =Hoja1!$H$4 tal y como esta en la figura luego Aceptar.

Para que el punto interactivo se vea tenemos que elegir un color en formato, además del círculo. El cual queda así.

En las celdas L2 y L3 pon cero, en M2 escribe =G4, en M3 pon = H4.

En celda G19 pon cero, en G20 cero; en H19 = G4; en H20 escribe cero.

En la celda G22 pon = G4, en G23 cero; en H22 la fórmula =G4, en H23 es = H4. Da clic en la Gráfica, Datos de Origen, Series.

145

Agrega las siguientes Series: • Para agregar la serie tres en equis =Hoja1!$L$2:$M$2 , en y =Hoja1!$L$3:$M$3. • Para agregar la serie cuatro en valor equis =Hoja1!$G$19:$H$19 en y =Hoja1!$G$20:$H$20. • La serie cinco en equis =Hoja1!$G$22:$H$22 en y =Hoja1!$G$23:$H$23. Listo ya tienes tu hoja interactiva.

Como son líneas, cambie los colores para dar más efecto, al triángulo unitario. Para graficar el comportamiento como Onda Cosenoidal, tabulamos de nueva cuenta: En la celda J6, de Edición, da en Rellenar, luego Series desde cero grados hasta 360°, después en la otra columna, cambiar grados a radianes como sigue:

Copie hasta 360 grados y péguelo. En la siguiente columna para tener el punto en el eje y, con el coseno del ángulo:

146 Pero para graficar con movimiento, se hace un “truco”, no tomaremos en cuenta la columna tabulada, es decir generamos otra columna con un valor por arriba del grafico, y solo mostramos los valores del círculo unitario, para ello necesitamos otra columna, pero con la siguiente fórmula: =SI(J6<=$G$5;L6;20) copiar y pegar a las demás celdas hasta 360 grados. Note lo siguiente:

La gráfica real se grafica, pero si en el formato de la escala y, se opta por hacer que la escala sea sin cambios, dando clic en el eje y, con el botón derecho, optamos por formato de ejes y seleccionando en escala, mínimo -1.6 y máximo + 1.6.

De clic en la Barra de desplazamiento, de en Cortar, En la celda F32, escriba “ÁNGULO”; en H32, “COSENO DEL ÁNGULO”. En la celda F33, escriba =G5, en H33 es =COS(G6). De clic en la Barra de desplazamiento, clic Cortar, en Barra de Menú, Ver, Barra de Herramientas, Cuadro de Controles:

147

Clic Modo diseño, Barra de Desplazamiento, clic Propiedades, carpeta Por Categorías: en Max escribe 360, en Min escribe 0, en LinkedCell escribe G5, sal del Modo Diseño, dándole clic ahí.

Ejercicios: Haga los procedimientos para las funciones SENO Y TANGENTE DEL ÁNGULO.

PRÁCTICA 53 SISTEMAS DE ECUACIONES DOS X DOS 53. EN LA INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS, ¿CUÁL ES SU INTERSECCIÓN, PENDIENTES Y ÁNGULO ENTRE ELLAS? Objetivo: usar la hoja Excel, para resolver ecuaciones de dos x dos, usando fórmulas tradicionales. Introducción: un sistema de ecuaciones dos x dos, tiene las siguientes ecuaciones:

ax + by = c dx + ey = f Para encontrar su intersección, usando el método de igualación:

148

x=

ec − bf ae − bd

y=

;

c − ax b

Donde las pendientes de cada recta son:

m1 = −

a b

m2 = −

;

d e

El ángulo de una recta con respecto el eje x, se encuentra con la fórmula:

Θ = arctan(m) Para saber si entre las rectas existe un ángulo recto aplique esta: m1 = −

1 m2

Orden de los pasos: Anote los datos como a continuación se presenta, en una nueva hoja Excel.

Ya que cada coeficiente tiene un valor y una letra, nómbrelos cada una usando, en Menú, Insertar, Nombre, Definir Nombre,… por ejemplo con el coeficiente a:

149

Así hágalo para los demás coeficientes. Use el método de Igualación para encontrar, el valor de la intersección x e y. En la celda C21, escriba =SI(Y(a/b=d/e,c_/b=f_/e),"SON COLINEALES",SI(a/b=d/e,"SON PARALELAS",(e*c_-b*f_)/(a*e-b*d))). Ahora en la celda D21, escribe =SI(Y(a/b=d/e,c_/b=f_/e),"SON COLINEALES",SI(a/b=d/e,"SON PARALELAS",(c_-a*C21)/b)). Por definición: la Recta es la unión (o distancia) de dos puntos como mínimo. Para graficar las dos rectas: en la celda C26 escriba 15, en D26, escriba – 15. Primera recta: En C26, escribe =(c_-a*C26)/F12, en D26 es =(c_-a*D26)/b; Segunda recta: En C27 es =(f_-d*C26)/e, en D27 es =(f_-d*D26)/e. Vea que los límites para las dos rectas es – 15 < x < + 15.

Seleccione desde C26:D27, luego Asistente para Gráficos, para la primera recta, luego agregue la segunda recta para graficarlas.

150

Haga los cambios para presentar su gráfico. En D30 escriba =-a/b, y asigne el nombre m´, En D31 escriba =-d/e, y asigne el nombre m´´. Para encontrar el ángulo de cada recta, haga una tabulación: Primer ángulo recta #1 en la celda J27 y escriba =ABS(SI(m´>0,GRADOS(ATAN(m´)),(180-ABS(GRADOS(ATAN(m´)))))). Asígnele un nombre. Segundo ángulo recta #2 en la celda J28 escriba =ABS(SI(m´´>0,GRADOS(ATAN(m´´)),180-ABS(GRADOS(ATAN(m´´))))). Póngale un nombre. En M21 el ángulo entre las rectas se encuentra con =ABS(Θ´´-Θ´) En K21 escriba la fórmula =SI((a/b)=-1/(d/e),"SON PERPENDICULARES",""), para encontrar si hay perpendicularidad o no entre rectas.

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EJERCICIOS: a). Encuentre la recta perpendicular a las siguientes rectas: a) y = 3x -1 b) y = 5/2x + 3 c) y = 0.452X – 5 b). Cambie las fórmulas que se usaron en este ejercicio por estas:

y = ax + b y = cx + d

PRÁCTICA 54 FUNCIÓN EXPLICITA 54. EN UNA RECTA: y = mx + b, VARÍE LA PENDIENTE (m) Y LA INTERSECCIÓN CON y (b), USANDO BARRAS DE DESPLAZAMIENTO. Objetivo: graficar funciones explicitas usando la hoja Excel. Orden de los pasos: Una función explicita muy general es la recta:

y = mx + b Donde m es la pendiente y b el punto por donde pasa la recta cuando x = 0.

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Anota una función explicita como a continuación se muestra:

Recuerda que puedes escribir como se encuentra ya que en algunas celdas son fórmulas y en otras no. Ahora en las celdas B4 y F4, escribe un número en cada una de ellas. Abre un cuadro de formularios para que selecciones dos Barras de Desplazamiento, una para vincularla con C3 y otra para F4. Para C3 escribe =C4-10, abra la Barra de Desplazamiento, vincúlala con la celda C4 con un mínimo de 0 y un máximo de 60.

En la celda F3 escribe =F4-10, abra una Barra de desplzamiento, línkala con F4 con un mínimo de 0 y un máximo de 30.

Haz una tabulación en x, la celda H6 escribe -10, en H7 escribe ahora = H6 + 0.1, cópiala y pégala hasta la celda H230. En la columna I, para los valores de y, celda I6 escribe =$C$3*H6+$F$3, cópiala y pégala hasta la celda I230. Selecciona las dos columnas H e I. con el Asistente para Gráficos, Dispersión…

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Da clic con el botón derecho del Mouse, en la Línea de la recta. Selecciona Agregar Línea de Tendencia, en la carpeta Tipo, Lineal; en carpeta Opciones, clic en Presentar Ecuación en Gráfico.

Cambie la escala, líneas, etc., para presentarla apropiadamente o su gusto.

Ejercicios: haga las gráficas en hojas de cálculo para las funciones explícitas siguientes: b a) y = ax 3 + x

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b) y = ±

b a2 − x2 a

c) y = xsen(90 − θ )

PRÁCTICA 55 FUNCIÓN EXPLÍCITA CONTINUACIÓN 55. EN UNA RECTA ENCUENTRE LAS PROYECCIONES DE X E Y, EXPERIMENTE PARA DIFERENTES VALORES CON BARRA DE DESPLAZAMIENTO. Después de tabular una recta cualquiera, en otra celda ligue un valor de x, luego en otra el valor correspondiente de y, que es 0, primer punto. Luego el valor de x, reescríbelo en otra celda, y calcula el valor correspondiente en y, escríbelo en otra celda, segundo punto. Para el tercer punto, el valor de x, es 0; el valor de y, es el valor calculado en el segundo punto. Para dar la apariencia de proyección une estos puntos en la gráfica. Para la línea de proyección eje x y eje y, elija dispersión, Dispersión con puntos de Datos conectados por líneas:

Queda la gráfica así:

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Seleccionamos esas proyecciones, clic con botín derecho, Formato de Serie de Datos… Selecciona líneas discontinuas

Cada punto cambie su color para distinguirlos haciendo el mismo procedimiento que el las líneas discontinuas.

PRÁCTICA 56 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA FUERA DEL ORIGEN 56. ¿COMO SE GRAFICARÁ UNA PARÁBOLA FUERA DEL ORIGEN EN LA HOJA EXCEL, USANDO BARRA DE DESPLAZAMIENTO?

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esta parabola tiene por ecuación: 1. Cuando tiene vértice (h,k), y su eje paralelo al eje x:

( y − k )2 = 4 p (x − h )

Ecuación (1)

2. Cuando tiene vértice en (h,k), y su eje paralelo al eje y:

(x − h )2 = 4 p ( y − k ) 3. Si despejamos de la fórmula dos tenemos: 1 ( x − h )2 + k y= 4p

Ecuación (2)

Ecuación (3)

El Foco se localiza en el punto F ( h , k + p ) La Directriz es la recta y = k – p Empleando álgebra deducimos de la ecuación tres, que la fórmula general para la parábola es:

y=

Abra un nuevo documento Excel:

 h2  1 2 h x + x +  + k  4p 2p  4p 

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Tabulamos desde -20 hasta + 20, con Edición, Rellenar, clic en columnas límite 20, aceptar.

Ahora ponemos la fórmula: =(1/(4*($C$17))*(P9-$C$13)*(P9-$C$13)+$C$14), copiamos y pegamos para las demás celdas. Para tabular la gráfica dispersión aceptar: Graficamos eligiendo Dispersión, con líneas suavizadas y sin marcadores de datos: En C23, ponga la fórmula = D23 – 20, y en D23 algún número. En C24, fórmula = D24 – 20 y en D24 algún número En C27, Fórmula = D27 – 20 y D27 algún número. Para cada una de las celdas (C23, C24 y C27), ligue dos barras de desplazamiento

158 Para el foco clic en la gráfica, con el botón derecho elegimos Datos de origen, en la opción Serie clic en Agregar, para poner el punto. En el eje x pon la fórmula =Hoja3!$H$23, en el eje y la fórmula =Hoja3!$H$24, dale Aceptar.

Agregue datos en la columna R, la fórmula = $H$27.

Para dibujar la directriz igualmente vaya a la grafica con el botón derecho la opción Datos de Origen y en agregar serie, en los valores de x ponga: =Hoja3!$P$9:$P$49, y en los valores de y: =Hoja3!$R$9:$R$49, a continuación aceptar. Para poner la fórmula de la fórmula general es. En K23 la fórmula es: =1/(4*(C27)) En M23 la fórmula: =SI(N26<0;"-";"+"), y en N26: =((-1)*(C23))/(2*(C27)) En N23 la fórmula: =ABS(N26) y en N26: =((-1)*(C23))/(2*(C27)) En P23 La fórmula: =(C23*C23)/(4*(C27)) Por último en Q23: =R26

=SI(R26<0;"-";"+"),

y

en

R26:

=Q26+C24,

en

Q26:

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PRACTICA 57 ECUACION GENERAL DE LA PARÁBOLA 57. ¿CÓMO GRAFICARÍAS UNA PARÁBOLA CON CENTRO EN ( 0 , p ), LA DIRECTRIZ Y SU FOCO, VARIANDO SUS VALORES? La ecuación general de una parabola en el origen ( 0 , p ) es:

x 2 = 4 py Donde: ( 0 , p ) son las coordenadas del foco con directriz en el eje y = - p . Objetivo: conocer como cambia una parábola cuando tiene diferente valor el coeficiente 4 p. Pasos: Abre un nuevo documento Excel,

Asignamos el valor de p con la fórmula =d5/10-5, para luego vincular con una barra de desplazamiento, esto para tener valores positivos y negativos. Luego calculamos mediante tabulación: desde -10 hasta +10 en la columna x:

160

Note que en la columna y se introduce la fórmula: =(A8*A8)/(4*$C$5), para el primer valor, copie para los demás valores de x, en la columna de la directriz escriba: =$C$5 -2* $C$5

Vincula la celda d5, con una barra de desplazamiento.

Por último pon las coordenadas del foco, directriz y ecuación de la parábola como la vemos comúnmente, como a continuación.

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prueba para diferentes valores.

PRÁCTICA 58 GRAFICA DE FUNCIONES POLARES CON ANIMACIÓN ANIMACIÓN 1 58.a. HAGA QUE UNA GRÁFICA VAYA APARECIENDO A MEDIDA QUE VARÍEN LOS VALORES EN LA TABULACIÓN USANDO BARRA DE DESPLAZAMIENTO. Orden de los pasos: Abra una nueva hoja Excel, y anote los siguiente:

Edición rellenar desde 1 hasta 369 grados En la siguiente columna poner la fórmula=RADIANES(A15), en la que sigue columna del radio =$C$9*($C$10-SENO($C$11*B15)), en la columna del eje x =C15*COS(B15), EN ELE EJEY =C15*SENO(B15)

162 Elije la gráfica que sigue.

Haz lo necesario para que quede así:

En otra hoja de cálculo se hace lo siguiente: Para el nuevo trazo es desde 0 hasta 360 puntos:

Para el nuevo eje y:

Abre una nueva columna de grados desde 0 hasta 360, Luego has los respectivo con los ejes x e y. Para el nuevo punto x la fórmula queda así: =SI($A10<=$C$5,INTRODUCCIÓN!D15,B9), copia y pega hasta 360, en esa misma columna,

163 Para el nuevo eje y la fórmula queda así: =SI($A10<=$C$5,INTRODUCCIÓN!E15,C9) copia y pega de igual manera que el anterior. Seleccione el tipo de grafico de dispersión con líneas suavizadas. para que quede la otra gráfica hecha vaya a formato de serie de datos con el botón derecho elija “datos de origen” a continuación agregar lo siguiente; para el eje x =INTRODUCCIÓN!$D$15:$D$375, para el eje y =INTRODUCCIÓN!$E$15:$E$375. Luego elija en “tramas” la opción personalizada sin línea suavizada el color que prefiera. Y el estilo de línea discontinua. Al final queda así:

ANIMACIÓN II 58.b. HAGA QUE UNA GRÁFICA VAYA APARECIENDO A MEDIDA QUE VARÍEN LOS VALORES EN LA TABULACIÓN USANDO BARRA DE DESPLAZAMIENTO, PERO COMO SI FUERA UN VECTOR. Vuelva a graficar para iniciar una nueva animación

164 Como ya esta la gráfica, necesitamos el vector generador de la curva para esto ponemos las coordenadas.

En la celda E13 ponemos la fórmula = C6, y en la celda F13 la fórmula que sigue =C7 Para graficarla simplemente de clic con el botón derecho la curva y elija Datos de origen, Agregar las coordenadas del nuevo vector: Valores de X: ='ANIMACIÓN 2'!$E$12:$E$13, Valores de Y: ='ANIMACIÓN 2'!$F$12:$F$13

Ahora haga lo necesario para que quede así o bien usted elija la forma de presentación.

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PRÁCTICA 59 VECTOR (Usando coordenadas polares) 59. EN LA HOJA EXCEL GRAFIQUE UN VECTOR PERO EN COORDENADAS POLARES, VARÍE EL VALOR DEL ÁNGULO CON UNA BARRA DE DESPLAZAMIENTO. Objetivo: con el uso de las matemáticas y la hoja de cálculo Excel, ver el comportamiento de los vectores usados en Física. Orden de los pasos: como ya se vio en la práctica de “Coordenadas Polares”, la aplicación matemática al estudio de la Física, son los vectores. En una nueva Hoja Excel, anote los datos que a continuación se sugieren.

166 Los grados en Excel, son leídos tal y como están, pero para calcular una función trigonométrica es necesario cambiarla a Radianes: en la celda H17, escriba la fórmula =RADIANES(D14).

Además vincule una Barra de desplazamiento en la celda D14, con un Mínimo de 0, un Máximo de 360 (de 0 a 360 grados). En I14 y I15 escriba 0, luego en I14 la fórmula =D13*COS(H17), corresponde a los valores de x. en I15 si =D13*SENO(H17) son los valores de y. Use el Asistente para Gráficos para graficar el Vector: sólo que es necesario presentarlo como tal, use Dispersión, Dispersión con Puntos:

Si da clic en el punto ( 0 , 0 ), para quitar el Formato de Puntos…,

167 Vamos a la Carpeta Tramas, Marcados y clic en Ninguno. Aceptar.

La visualización final es: