Matemáticas (Conocimiento)

m o c . a e n i l n e o t n e i m i c Ricardo Cantoral, o uno de los matemáticos n más distinguidos de o México c . w w w Apreciación de las Matemáticas Juan Lauro Aguirre Página 3 Las situaciones didácticas para aprender Matemáticas Leticia Rodríguez Arizpe Página 5 El futuro de la enseñanza de las Matemáticas Héctor Antonio González Flores Página 7 Uso de las tecnologías de información y comunicación en la enseñanza de las Matemáticas Lilia Guadalupe García 7 Página 9 0 0 2 e Matemáticas y realidad d o educativa i l u Juan Antonio Alanís j e Rodríguez d Página 18 9 1 l El problema de la variación a 6 y sus implicaciones l culturales e d Salvador Borrego , 7 Página 27 5 o r e m ú El Método Montante n O reduce determinantes T de orden con enteros N E I René Mario Montante M I Página 24 C O N Director O C Luis Eugenio Todd

Pitágoras de Samos “La escuela de Atenas” (Raffaello)

LA ENSEÑANZA DE LAS

Matemáticas

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Presidente Ingeniero Juan Antonio González Aréchiga Director de Comunicación Social del Gobierno del Estado Licenciado Omar Cervantes Rodríguez Ingeniero Xavier Lozano Martínez M. C. Silvia Patricia Mora Castro Doctor Mario César Salinas Carmona Doctora Diana Reséndez Pérez Doctor Alan Castillo Rodríguez Ingeniero Jorge Mercado Salas Director del Programa Ciudad Internacional Del Conocimiento Ingeniero Antonio Zárate Negrón

Director General Doctor Luis Eugenio Todd Director Editorial Félix Ramos Gamiño Secretario Editorial Maestro Rodrigo Soto Educación Profesor Ismael Vidales Delgado Ciencia en Familia Licenciado Juan Roberto Zavala Ciencias Económicas y Sociales Doctor Jorge N. Valero Gil Ciencias Básicas y del Ambiente Doctor Juan Lauro Aguirre Desarrollo Urbano y Social Ingeniero Gabriel Todd Ciencias Médicas Doctor David Gómez Almaguer Ciencias Políticas y/o de Administració Administración n Pública Contador Público José Cárdenas Cavazos Ciencias de la Comunicación Doctora Patricia Liliana Cerda Pérez La Ciencia es Cultura Licenciado Jorge Pedraza e ingeniera Claudia Ordaz Educación Física y Deporte Doctor Óscar Salas Fraire Las Universidades y la Ciencia Doctor Mario César Salinas Redacción Licenciada Alma Trejo Licenciado Carlos Joloy Diseñador Licenciado Víctor Eduardo Armendáriz Ruiz Arte Gráfico Arquitecto Rafael Adame Doria Circulación y Administració Administración n Profesor Oliverio Anaya Rodríguez

LA REVISTA CONOCIMIENTO ES EDITADA POR LA COORDINACIÓN DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA DE NUEVO LEÓN, Y ABRE SUS PÁGINAS A LAS INSTITUCIONES DE EDUCACIÓN SUPERIOR PARA LA PUBLICACIÓN DE ARTÍCULOS Y NOTICIAS DE CARÁCTER CIENTÍFICO. EN LA REDACCIÓN:

TELÉFONOS 83 46 74 99 Y 83 46

El que sabe contar sabe pensar que transforman el universo, que son aquéllas derivadas de la ciencia, el conocimiento y el arte. La enseñanza de las matemáticas, a pesar de su importancia, no ha tenido el nivel jerárquico adecuado, y los resultados de nuestro país en el ámbito internacional son muy pobres en relación con otros países más desarrollados económicamente. Esto limita nuestro potencial de creatividad, propicia las dependencias, arriesga nuestra soberanía y nos impide entrar en la competitividad global.

Euclides

E

l pensamiento matemático y el método científico son hermanos inseparables; a través de ellos se busca la verdad reproducible y se genera el conocimiento que, transferido, aplicado e innovado, produce en buena tesis ética un mejor nivel de vida de los habitantes del planeta. Enseñar matemáticas es entonces parte del proceso de darle al estudiante un instrumento permanente para tener toda su vida un método lógico que le permita investigar, analizar, participar en los procesos dialécticos de la síntesis y de la antítesis, y así ir buscando gradualmente las verdades verdades

Creo, igual que muchos investigadores en pedagogía, que la falta de formación adecuada de los profesores en esta temática y el desconocimiento de los valores sobre la realidad de lo que la enseñanza de los números significa, ha propiciado estas debilidades que debemos corregir, recordando siempre que en el nuevo mundo de la educación deben existir los cuatro idiomas básicos: El primero, saber contar y pensar; el segundo, saber leer e interpretar; el tercero, internacionalizar la comunicación a través de un nuevo idioma; y el cuarto y último, aprovechar la informática y el teleproceso como instrumentos estratégicos para hacer más eficiente el proceso educativo. Sobre estos temas y muchos otros, escriben autores reconocidos, y esperamos que esta edición sacuda conciencias y permita una reflexión integral sobre la necesidad imperiosa que tenemos en México de incrementar nuestro interés por la enseñanza de las ciencias y de las matemáticas.

M a t e m á t i c a s













Apreciación de las

MATEMÁTICAS Doctor Juan Lauro Aguirre Villafaña Director de Prospectiva Científica y Tecnológica [email protected]

E

n un número anterior, dedicado a las ciencias naturales, propuse que antes de hablar de la enseñanza y del aprendizaje de esas disciplinas, deberíamos hablar de cómo lograr su apreciación, sobre todo por los alumnos de educación básica. Mencioné también que la apreciación de algo se demuestra a través de las actitudes relacionadas con ese algo; si le prestamos atención, si le dedicamos tiempo, si vemos o buscamos ese algo en las personas u objetos que conocemos; en fin, si nos hace generar y enfocar una cierta energía interna…

si nos motiva. El problema es saber cómo se desarrollan las actitudes. Mi propuesta entonces y ahora es que las

actitudes se desarrollan a través de reforzamientos sistémicos positivos de ciertos comportamientos, particularmente durante la niñez, lo cual significa que debemos detectar (para interiorizar y luego practicar) ciertos comportamientos recurrentes tanto en nuestros maestros, como en nuestros padres y otros familiares y amigos cercanos, como en personas de los medios de comunicación y también en nosotros mismos, en relación con cosas concretas como son las ciencias naturales y las matemáticas.

no sirven para gran cosa, es mejor esto o aquello, etcétera, y entonces no se da aquella apreciación que facilita el aprendizaje de todo lo relacionado con él.

En el caso particular de las matemáticas, además del anterior reforzamiento sistémico, indispensable para lograr su apreciación temprana, existe otro tipo de reforzamientos sistémicos positivos relacionados con su didáctica, que además permiten exhibir una actitud muy especial al

El Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española nos da la definición de la matemática como sigue:

1. f. Ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, c omo números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones. U. m. en pl. con el mismo significado que en sing. 1. f. pl. Estudio de la cantidad considerada en relación con ciertos fenómenos físicos. 1. f. pl. Estudio de la cantidad considerada en abstracto.














s a c i t á m e t a M

El maestro de matemáticas deseoso de generar ese otro sistema de reforzamientos positivos debe empezar por utilizar una definición más adecuada a sus propósitos. Mi propuesta, desde hace más de 30 años, es la de empezar con la frase: Las matemáticas son una creación de la mente humana. Cualquier cosa que venga después, lo que la frase anterior implica es que las matemáticas son una parte importante del quehacer humano, como lo son los automóviles, los aviones, los edificios, etcétera, y si los automóviles y aviones fueron muy simples al principio y ahora son cada vez más avanzados y complejos, es gracias a los diseñadores y a los ingenieros (con sus conocimientos matemáticos) que dedican todo su talento y su esfuerzo. DE LO SIMPLE A LO COMPLEJO Asimismo, también las matemáticas al principio fueron muy simples. Ahora son cada vez más avanzadas y complejas, gracias a los matemáticos, matemáticos, hombres y mujeres, que actualmente dedican todo su talento y su esfuerzo en crearlas, aplicarlas y comunicarlas.

las matemáticas y biografías de los grandes matemáticos, prepare las fichas y planee las intervenciones. LAS MATEMÁTICAS ENCIERRAN GRANDES ASPIRACIONES HUMANAS Sigamos con la definición de matemáticas. Para mí, la definición de la Real Academia Española solamente encierra una de las tres aspiraciones que se integran en las matemáticas: la aspiración por la cuantificación (¿certeza?); las otras dos son la aspiración por la inclusión, o sea por incluirlo todo (¿universalidad?), y la aspiración por la perfección (¿belleza?). Usualmente, la enseñanza de las matemáticas se relaciona obsesivamente con la cuantificación, o sea mente con la enseñanza de los conceptos y las reglas para hacer operaciones matemáticas, y esto es lo que las hace parecer abstractas (por definición, según la RAE), cuando en realidad son tan concretas que se encuentran en todas partes, y por ello tienen miles de aplicaciones. Sobre esto también hay muchas obras de referencia de cuya consulta un buen maestro puede extraer elementos valiosos para realizar este tipo de intervenciones.

Es natural que si se habla de matemáticas, se mencione que han existido y existen en la actualidad hombres y mujeres que dedican lo LA ASPIRACIÓN POR LA BELLEZA mejor de su vida a crear y a aplicar las EXISTE EN LAS MATEMÁTICAS matemáticas. Y EN LA FÍSICA Nos queda referirnos un poco al aspecto Es necesario que los alumnos de de las matemáticas relacionado con la educación básica entiendan que que las perfección y la belleza. Éste podría ciencias naturales y las matemáticas ser el aspecto más elusivo, pero es son, primero que nada, una actividad también el más cautivador y desde el humana tremendamente relevante y cual han surgido temas tan modernos como los fractales y el caos, que, por tremen-damente actual. increíble que parezca, pueden y deben Asegurado lo anterior, anterior, es muy introducirse en la educación básica conveniente hacer dos tipos de inter- mediante intervenciones apropiadas venciones didácticas: las históricas y con ejemplos muy simples. las biográficas. Naturalmente que para que un maestro

Dado que la física también es una creación de la mente humana, humana , comparte con las matemáticas todas sus aspiraciones pero agrega una nueva; la aspiración por la explicación de lo que sucede fuera y dentro de nosotros, (¿inteligibilidad?... ¿realidad?). Pareciera que esa inteligibilidad proviene de que siempre se utiliza una serie de explicaciones y deducciones lógicas y manipulaciones matemáticas para derivar conclusiones irrebatibles. Ahora si, como dice la RAE de la matemática, la física es una ciencia deductiva. Sin embargo, en lo más profundo, la física descansa en conjeturas o hipótesis (cada vez más extrañas y sorprendentes) que se denominan axiomas o postulados; en forma elegante: axiomas, postulados o ecuaciones fundamentales de cierto tipo de fenómenos, o en forma reverencial: axiomas, postulados o ecuaciones de quien las propuso (¿descubrió?). El físico inglés Paul Adrien Maurice (P.A.M.) Dirac propuso la que actualmente conocemos como Ecuación de Dirac, diciendo que no le era posible concebir una ecuación con una estructura matemática más bella (y bella (y que si era así de bella debería ser así de correcta). C0NCLUSIÓN Imaginemos por un momento a un maestro de educación básica que les dice a sus alumnos que van a aprender la forma más bella de expresar las cantidades y de sumarlas, restarlas, multiplicarlas y dividirlas…y se los cumple… esa sí que es la actitud y la didáctica suprema de un maestro de matemáticas.













Las situaciones didáctic dácticas as para aprender

Matemáticas Maestra Leticia Rodríguez Arizpe Directora de la Escuela Normal Superior “Profesor Moisés Sáenz Garza” [email protected]

A

través del tiempo, la enseñanza de las matemáticas en el currículo escolar se ha caracterizado por la inclusión de contenidos que demandan la resolución de problemas; sin embargo, en el proceso de enseñanza–aprendizaje, el empleo de los problemas no ha sido siempre el mismo.

El profesor debe imaginar y proponer a los alumnos situaciones que ellos puedan vivir y en las cuales los conocimientos matemáticos aparecerán como la solución óptima a los problemas propuestos, solución que el alumno puede descubrir

Guy Brousseau

Es posible distinguir algunas diferencias en el modo de utilizar los problemas, por las respuestas que da un profesor de matemáticas a preguntas acerca de su clase, como las siguientes: ¿Qué considera más importante: resolver problemas o hacer muchos ejercicios? ¿En qué momento de la clase sus estudiantes resuelven problemas? ¿Qué tiene más valor: la respuesta correcta o el proceso que siguieron?

enseñado. Ronald Charnay identifica a este tipo de docencia como el modelo normativo , por estar centrado en el contenido. (Charnay, en Parra, C, 1994). Si el profesor propone la resolución de problemas desde el inicio de su clase, tratando de responder a las necesidades e intereses de sus alumnos, los va acompañando a lo largo de la sesión, interrogando y validando los pasos dados para buscar las soluciones, proporcionándoles fuentes de información y fichas de trabajo dirigido para que se llegue a lo que él espera, se trata entonces

C0NCEPCIÓN EPISTEMOLÓGICA

de un docente que pone en práctica los llamados “métodos activos”. Es

La acción del docente en su aula y las respuestas a las preguntas anteriores están influidas por la concepción epistemológica que tiene acerca de la asignatura y los propósitos de su enseñanza. Un docente que presenta los problemas a resolver sólo hacia el final de su clase, después de que él mismo ha introducido las nociones y conceptos que forman parte del saber a estudiar, es un docente que

concibe la tarea de enseñar como

el modelo “incitativo” “incitativo” de Charnay, centrado en la actividad del alumno, pero también orientado hacia un saber ya construido, de conceptos y procedimientos que deberán encontrar bajo la guía del profesor. Un tercer modelo, llamado “aproximativo” por Charnay, corresponde al maestro que propone situaciones problemáticas a sus estudiantes, al inicio de su clase pero con la intención de provocar la reflexión individual

trabajo; él interviene para reorientar el rumbo de las discusiones con nuevas preguntas o proporcionando elementos convencionales del contenido requerido.

DIFERENTES CONCEPCIONES DE LA DIDÁCTICA La concepción de didáctica de las matemáticas que subyace tras cada uno de los modelos docentes antes mencionados también es diferente. En el primero de ellos, la Didáctica es el arte de enseñar, de mostrar el saber previamente construido. En el segundo, la Didáctica es un conjunto de técnicas para enseñar, sustentadas en conocimientos técnicos de otras disciplinas, especialmente de la psicología. En el último de los modelos, la Didáctica de las matemáticas se asume como la ciencia que estudia los procesos didácticos, los procesos de estudio de las cuestiones matemáticas. (Chevallard, 1998). En nuestro país, país, la reforma más reciente a la Educación Secundaria contempla, entre sus















sus propias estrategias de solución y representación. representación. Se requiere que el profesor plantee nuevos problemas, para propiciar la consolidación de un aprendizaje significativo.

la necesidad de que el profesor diseñe o seleccione situaciones de interés para los alumnos, que promuevan la reflexión, la argumentación y la validación de resultados, resultados, para aprender matemáticas al resolver problemas. En este caso, se identifica una total correspondencia entre el enfoque recomendado para la enseñanza de las matemáticas en la educación básica y el modelo aproximativo de de Charney, congruente también con la tercera concepción de la didáctica de las matemáticas, arriba anotada. ESTUDIO, LA CLAVE DEL APRENDIZAJE Chevallard señala que el eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas es el estudio. La clave para aprender matemáticas es el estudio. El estudio de las cuestiones matemáticas en el aula debe hacerse a partir de situaciones didácticas. didácticas. Brousseau (citado por Parra, 1994) define las situaciones didácticas como “El conjunto de relaciones establecidas explícita y/o implícitamente entre un alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio (que comprende herramientas y objetos) y un sistema educativo (representado por el profesor) con objeto de que los alumnos se apropien de un saber constituido o en vías de constitución”. La situación didáctica puede ser un problema o bien algún otro tipo de planteamiento que el profesor proponga a sus alumnos como reto a resolver. Debe asegurarse de que la situación no sea tan difícil que los estudiantes no la puedan resolver, ni tan sencilla de modo que la solución sea inmediata. Los alumnos deben poseer conocimientos para intentar la solución desde varias alternativas. MANEJO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS Brousseau enuncia cuatro fases para el manejo de las situaciones didácticas, a partir del planteamiento del problema:

La clave para aprender matemáticas es el estudio.

sus hallazgos, descubrimientos o construcciones. Fase de validación: validación: Los estudiantes argumentan y negocian la validez de sus formulaciones. Fase de institucionalización: El profesor formaliza el conocimiento construido en el aula para aproximarlo al saber construido científicamente. Uniforma las distintas representaciones individuales con respecto a las representaciones convencionales admitidas. Al trabajar las situaciones didácticas de este modo, se concibe al aula como un microlaboratorio donde se van generando procesos de construcción de conocimientos, donde se estudian y se aprenden cuestiones matemáticas. El reto para el docente es precisamente el diseño y la selección de las situaciones didácticas. Al planear su trabajo, debe tener claro el objeto del aprendizaje y las motivaciones de los estudiantes. PROBLEMAS SIGNIFICATIVOS Es recomendable seleccionar problemas que sean significativos para los alumnos y dejar que sean explorados en pequeños grupos de discusión, permitiendo el ensayo y error, la elaboración y puesta a prueba de conjeturas, la discusión y la

Es posible que un docente que ha intentado aplicar el enfoque recomendado para la enseñanza de las matemáticas aún no logre los resultados esperados. Podría, tal vez, contestar algunas interrogantes, antes de desistir: ¿Qué actitud percibe en sus estudiantes cuando les propone resolver problemas? ¿Los estimula para que comuniquen sus ideas y estrategias, confrontándolas con las propuestas de otros? ¿Una misma situación es problema para cualquier estudiante? También podría revisar el informe de la investigación sobre la enseñanza a través de la resolución de problemas, de Alicia Ávila, realizada de 1994 a 1997 en aulas de escuelas públicas. Entre sus recomendaciones están las de: plantear problemas que en realidad sean un problema para los alumnos, dar a los alumnos los recursos necesarios para resolver los problemas, seleccionar las situaciones en que convenga confrontar y discutir puntos de vista y soluciones, hacer explícito el aprendizaje logrado a través de la interacción con la situaciónproblema, mantener el sentido de las estrategias “espontáneas” en el proceso de aprendizaje y aceptar “devolver” a los alumnos la responsabilidad de su aprendizaje. Los resultados obtenidos hasta ahora utilizando situaciones didácticas como la resolución de problemas pueden mejorarse. Las dificultades para lograr que nuestros alumnos estudien matemáticas de esta manera son un área de oportunidad para seguir aprendiendo.

Leticia Rodríguez Arizpe Es licenciada en Pedagogía, egresada de la
















El futuro de la enseñanza de las

Matemáticas Maestro Héctor Antonio González Flores Departamento de Física y Matemáticas / UDEM [email protected]

L

as Matemáticas son definitivamente una de las ciencias más importantes del fruto del razonamiento humano, tan antiguas como las culturas china, egipcia, o griega. Concentración del pensamiento abstracto y el razonamiento lógico

que emplean las matemáticas en su quehacer cotidiano y los que no.

CAPACIDAD DE EMPLEAR EL PENSAMIENTO ABSTRACTO En la actualidad, las entendemos como la capacidad de emplear el pensamien-

Ahí está la Lógica Difusa, según la cual, 1 + 1 no es exactamente 2, sino, más o menos 2. En la actualidad, esta rama de las matemáticas es empleada en el campo de la inteligencia artificial, y las llamadas redes neuronales. ¿Qué los psicólogos y los neurólogos no
















pero, ¿y el empleo del razonamiento lógico aplicado a la vida cotidiana? Y es aquí en donde la didáctica de esta ciencia flaquea. Pero, ¿que se puede hacer al respecto? ¿Existen en la actualidad herramientas que podamos utilizar? Habrá que responder que, actualmente, David H. Jonassen desarrolla los conceptos; mind tools , que son básicamente herramientas cognitivas basadas en la computadora y learning environments , que son ambientes de aprendizaje adaptados para facilitar el pensamiento critico y el aprendizaje de nivel elevado. De acuerdo con Jonassen, ejemplos de herramientas cognitivas son:

•Bases de datos. •Redes semánticas. •Sistemas expertos, calculadoras avanzadas. •Multimedia e hipermedia basada en simulaciones, etcétera. Jonassen establece que la función de las herramientas cognitivas es extender las funciones cognitivas del aprendiz durante el proceso de aprendizaje, y comprometerlo en la construcción de su propio conocimiento. Además, proveen el andamiaje necesario para diferentes formas de razonamiento acerca de algún contenido. Razonamiento: precisamente la habilidad que ejercemos al resolver problemas. Pero hay de problemas a problemas. Definitivamente, una suma, o la solución de una derivada o una

en la vida profesional es donde nos enfrentamos a este tipo de problemas, cuya principal característica es que no tienen una solución única, ya que en su planteamiento no están completamente determinados. Es decir, se necesita realizar consideraciones al tratar de obtener una de las posibles soluciones, y es aquí donde se promueve el razonamiento.

Es también un hecho que la tecnología seguirá su avance, y que cada vez tendremos herramientas cognitivas más capaces, que podrán emitir una respuesta cuando se trate de encontrar la solución de situaciones en que se requiera realizar operaciones, ya sean aritméticas, algebraicas, matriciales, vectoriales, o que involucren el derivar e integrar funciones o la solución de ecuaciones diferenciales.

RAZONAMIENTO LÓGICO Entonces, los humanos que usamos o que usaremos las matemáticas, no debemos seguir ejercitando únicamente estas habilidades, ya que las calculadoras y las computadoras lo

hacen y lo harán mejor. Por lo tanto, queda claro adónde se debe enfocar la didáctica de las matemáticas: nosotros debemos ejercitar el razonamiento lógico y producir las funciones a las cuales someteremos diferentes operaciones para lograr nuestros propósitos. En otras palabras, debemos ejerci-

tarnos en el empleo de la herramienta matemática como una manera de representar las situaciones que cotidianamente vivimos, con el objeto de modelarlas y encontrar alternativas particulares en la solución o incluso soluciones a problemas no planteados aún. Este panorama podría promover que cada vez más estudiantes optarán por carreras en donde la promesa fuera el conocer y dominar un lenguaje y un conjunto de operadores con los que se puede abstraer al mundo que nos rodea y mediante el cual es posible plasmar nuestro razonamiento y encontrar soluciones optimas, innovadoras y emocionantes.

Héctor Antonio González Flores Es licenciado en Física, egresado de la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de la UANL; tiene Maestría por la misma institución en Enseñanza de las Ciencias, y cuenta también con otra Maestría en Ciencias de la Educación, con Especialidad en la Aplicación de la Computadora, Computadora, por la UDEM.















Uso de las te tecnolog cnologías ías de inf nformación ormación y comunicación en la enseñanza de las

Matemáticas Maestra Lilia Guadalupe García

Facultad de Ciencias Físico Matemáticas / UANL [email protected]

E

n el planteamiento general del uso de las tecnologías de la información y comunicación en la clase de matemáticas subyace una serie de cambios necesarios para llevar a cabo la labor docente. Se pueden mencionar aquéllos que están vinculados con la propia concepción de la función de la escuela, la forma de estructurar y organizar la enseñanza en el aula, la manera de obtener información, la forma de proponer actividades y tareas, las habilidades y competencias de los estudiantes. En consecuencia, el maestro de matemáticas del siglo XXI tiene que desarrollar competencias no incluidas en los objetivos de su formación inicial. Uno podría plantearse la pregunta: ¿podrá el docente alcanzar el paso de los usuarios expertos

















•una actividad abierta de resolución de problemas aislados; •un conjunto de procedimientos algoritmizados que se aplican en situaciones estereotipadas; •un conjunto de procedimientos más complejos articulados alrededor de clases de problemas; •un proceso de modelización de sistemas matemáticos o extramatemáticos”. LO QUE SON LAS MATEMÁTICAS Como la misma autora continúa, “no se trata de determinar si es mejor entender las matemáticas como una teoría, como una actividad intelectual o creativa, como un conjunto de procedimientos o como un proceso de modelización. O, por lo menos, no debemos plantear la discusión en términos absolutos, porque sólo llegaríamos a la conclusión de que todos tienen una parte de razón: las matemáticas son una teoría y un lenguaje, una actividad de utilización rutinaria de conocimientos previos y, a la vez una actividad creativa que incluye siempre un proceso de modelización”. Más allá de decidir cuál es l a verdadera naturaleza de la Matemática, la autora considera que el interés está centrado

en adoptar un modelo adecuado de la actividad matemática; es decir, una manera de entender lo que es hacer matemática y, también enseñar y aprender matemática.

interesantes para la enseñanza de las matemáticas y otras ciencias. Entre los beneficios que brindan podemos mencionar los siguientes: •Ofrece al estudiante ambientes de trabajo que estimulan la reflexión y lo convierten en un ser activo y responsable de su propio aprendizaje. •Provee un espacio problemático común al maestro y al estudiante para construir significados. •Elimina la carga de los algoritmos rutinarios para concentrarse en la conceptualización y la resolución de problemas. •Da un soporte basado en la retroalimentación.

Uno de los primeros beneficios que se















No existe una visión única universalmente aceptada, sobre cuál es la mejor forma de utilizar las calculadoras y las computadoras en el aula. Es más, las preguntas adecuadas sobre tecnología no deberían ser sobre temas amplios tales como qué hardware o software utilizar, sino desde cómo cada uno funciona en un determinado currículo hasta los efectos que tienen en la forma de plantear problemas particulares a los estudiantes.

con tecnología apoyada en hojas de trabajo. Con esta combinación -tecnología y hojas de trabajo- el profesor tiene la posibilidad de mediar el aprendizaje de sus alumnos de tres formas distintas mediante las hojas de trabajo que les proporciona. •Apoyando y guiando a los estudiantes durante la

resolución de las hojas de trabajo en el salón de clase. •En discusiones del grupo completo. El profesor no debe

USO DE COMPUTADOR COMPUTADORAS AS Y CALCULADOR CALCULADORAS AS

Enseñar matemáticas mediante la utilización de computadoras o calculadoras conlleva muchos cambios en la organización del trabajo. Éstos se reflejan principalment e en el papel que desempeña el docente en este contexto, en la organización del trabajo de sus alumnos y en la manera de evaluar su rendimiento. Las nuevas tecnologías requieren otro tipo de acercamiento a la enseñanza, por lo que el papel del maestro cambia radicalmente cuando la clase de matemáticas se desarrolla

convertirse en el centro de la discusión; debe procurar que los estudiantes se apropien de ella. •Los alumnos deben presentar sus opiniones e ideas a los

demás y el profesor sólo debe coordinar esta actividad. Propicia que sus alumnos desarrollen un espíritu abierto a la investigación. Da libertad a sus estudiantes de que exploren distintas maneras de resolver un problema, viendo sus distintas representaciones, como también la utilización de distintas herramientas.

Enseñar matemáticas mediante la utilización de computadoras o calculadoras conlleva muchos cambios en la organización del trabajo.



















Desarrollada en el Tec de Monterrey

Innovadora propuesta para la enseñanza del cálculo en las escuelas de ingeniería Doctor Ricardo Pulido Ríos Departamento de Matemáticas / ITESM [email protected]

E

l currículo de las carreras de ingeniería está organizado con el supuesto de que los cursos de Cálculo proveen a

















nivel básico de ingeniería: Remediales, Matemáticas I, II y III, conocidos como Precálculo; Cálculo Diferencial e Integral y el Cálculo de Varias Variables. De hecho, se cuenta con los libros de texto editados para los primeros dos cursos.

Esta nueva propuesta resulta ser una alternativa diferente a la enseñanza tradicional del Cálculo, entendiendo a esta última como la dictada por libros de texto de autores norteamericanos (Stewart, Leithold, Zill, Larson and Hosteller, Thomas and Finney, etcétera). La enseñanza tradicional ha estado presente en nuestras universidades y las del continente americano por más de 60 años. Por su parte, basada fuertemente en la investigación en Matemática Educativa, nuestra propuesta pre-

senta una visión innovadora y útil de las ideas fundamentales del Cálculo, ideas que se encuentran presentes en las formas matemáticas de accionar en ingeniería y que fueron literalmente recuperadas por nuestras investigaciones de corte histórico sobre el origen y desarrollo



















estudiado en por lo menos ocho carreras de ingeniería (entre ellas Ingeniería Mecánica, Ingeniería Civil e Ingeniería en Ciencias Químicas) en diferentes materias como: Mecánica de Fluidos, Hidrología, Balance de Materia, etcétera. Diseñamos un cuestionario cuyo contenido gira alrededor de la forma en que se construye la ecuación de continuidad en el libro de Mecánica de Fluidos del autor White, F. (1994, McGraw Hill) que es usado como libro de texto en la materia del mismo nombre. Los reactivos se relacionan entonces con las consideraciones matemáticas, algunas de corte infinitesimal, que conducen al establecimiento de la ecuación de continuidad. El cuestionario consta de ocho problemas, seis de ellos con dos incisos y los otros dos con uno solo, de modo que podemos decir que en total se tienen 14 reactivos; todos de opción múltiple, a excepción de cuatro de ellos en los que la respuesta es numérica.

COMPARACIÓN DEL DESEMPEÑO

Cálculo; resulta natural entonces encontrarse en un momento con estudiantes que habían sido instruidos de manera tradicional y con aquéllos que habían acreditado uno o varios cursos con nuestra propuesta. El cuestionario se aplicó en 16 grupos en el mes de abril de 2004; 10 de ellos en el Campus Monterrey, donde se obtuvieron 247 cuestionarios contestados. Del Campus Ciudad de México se visitaron seis grupos, de donde se obtuvieron 102 cuestionarios. En todos los grupos

se les explicó a los estudiantes la intención del cuestionario y se les pidió que ayudaran en la investigación atendiendo con esmero los requerimientos del mismo; se

obstaculizan el buen entendimiento del razonamiento propio de la ingeniería. b)Los estudiantes del

Campus Ciudad de México (en este Campus no se utiliza la nueva propuesta) se comportaron igual que los del Campus Monterrey que recibieron una enseñanza tradicional. Esto hace suponer que una diferencia a favor de las bondades de la propuesta innovadora puede reflejarse al hacer comparaciones con cualquier institución educativa que practique la enseñanza tradicional (lo que ocurre en la mayoría de las universidades del país).

COMENTARIOS FINALES

RESULTADOS IMPORTANTES

Me gustaría terminar puntualizando dos hechos que considero relevantes: uno de ellos es la creación, por parte de un grupo de trabajo local (profesores del ITESM, pero egresados de la UANL) de una propuesta innovadora para la enseñanza del cálculo en las escuelas de ingeniería.

El cuestionario completo y los análisis estadísticos de los resultados de la aplicación pueden ser consultados en el libro: Investigaciones Sobre Enseñanza

Dicha propuesta (que en parte puede ser visualizada en el libro: Elementos del Cálculo de la editorial

tomó estricto control del tiempo: 20 minutos. En todos los grupos estuvo presente un miembro de nuestro comité.

















a e c i t t n á e m c o e t d a d M a d n


Representar y Transferir son habilidades requeridas en la Visualización Matemática.

Doctora Lilia López Vera Coordinadora y Maestra de la Maestría en Enseñanza de las Ciencias Especialidad en Matemáticas / UANL


















El Corte Vertical y Horizontal se basó en el análisis de programas de estudio y entrevistas con docentes, para investigar sus concepciones, respecto al estado de desarrollo de las habilidades del pensamiento geométrico y la pertinencia de los cursos de Geometría Analítica del Espacio y Cálculo Vectorial, en la UANL y en otras universidades. Del análisis de objetivos institucionales e investigaciones educativas sobre el desarrollo de competencias (saberes conceptuales, procedimentales y actitudinales) en los estudiantes, se evidenció la necesidad de formar

habilidades lógicas, algorítmicas y sociales como habilidades docentes a nivel productivo, considerando la importancia de que el docente facilite la construcción de los conocimientos y diseñe las actividades prácticas e investigativas que propicien aprendizajes significativos, por lo que en la presente investigación se identifican las habilidades matemáticas como habilidades componentes de las habilidades docentes de estudiantes y egresados. Se toma de Leóntiev (1981) que “para definir habilidad , se debe partir del término actividad (sujeta (sujeta a un motivo) que se realiza por acciones (orientadas (orientadas a un objetivo), estructuradas por operaciones (subordinadas (subordinadas a condiciones), en donde, sólo varía el aspecto operacional, pero el objetivo permanece”. Además,

se asume la clasificación de habilidades en Específicas, Lógicas, de Estudio y Profesionales dada por Fuentes, H. (2000), quien a la vez define los siguientes niveles de desarrollo de las mismas: Nivel Elemental (relativo a un objeto concreto). Nivel Automatizado (casos resueltos en la carrera, repetitivo). Nivel Perfeccionado (otros casos de la carrera). Nivel Generalizado (otros campos de la vida, productivo). En particular, las habilidades profesionales se definen como habilidades que constituyen el contenido de aquellas acciones del sujeto orientadas a la



















del aprendizaje significativo de la graficación de conceptos y teoremas graficación sobre las funciones reales y funciones vectoriales en el plano y en el espacio, requeridas en la disciplina y en la solución de problemas de diversos sectores sociales.

Ubicar (o localizar) el el lugar relativo que ocupa una parte parte determinada determinada dentro del todo en cualquier contexto. Pero, hablar de ubicación espacial de objetos tridimensionales graficados en R3, representado convencionalmente en un “objeto bidimensional” (la hoja o la pantalla en la PC), con puntos de referencia fijos y móviles, es hablar de una habilidad factible de desarrollar en el Nivel Superior, la cual debe ser definida explícitamente con carácter secuencial y de ascenso como sigue:

Desarrollar la habilidad de transferencia de las percepciones tridimensionales a representaciones bidimensionales y viceversa es una demanda de los programas de Licenciaturas o Ingenierías, pero en determinado momento histórico René Descartes (1595-1650), afirmó que la graficación en el espacio no es una

Habilidad de Ubicación Espacial Matemática Bidimensional es determinar lateralidades de objetos representados en el espacio modelado bidimensional: izquierda-derecha de X=0 o X=K, arriba- abajo de Y=0 o Y=K. (objetos Y=K. (objetos de una o dos dimensiones sobre R 2 )

Habilidad de Ubicación Espacial Matemática Tridimensional es determinar lateralidades de objetos representados en el espacio





















Matemáticas y realidad educativa Doctor Juan Antonio Alanís Rodríguez Tecnológico de Monterrey [email protected] juan.antonio.alan [email protected]



















la actividad de matematización. La enseñanza tradicional (estructuralista) de las Matemáticas ha presentado a esta ciencia ya como un sistema conceptual lógicamente estructurado o como un lenguaje formal. Se ha supuesto que los estudiantes entienden un concepto con sólo darles su definición en términos de otros conceptos previamente definidos; que los estudiantes comprenden un resultado al presentarles su demostración (su deducción lógica a partir de otros resultados previamente demostrados), y que tal entendimiento y tal comprensión les permitirán aplicar las Matemáticas.





















“El curso fue aplicado de la mejor manera en que lo pueda imaginar, porque nos hacía pensar antes de que alguien nos diera la respuesta”.

completo el que las Matemáticas son ante todo una actividad humana de resolución de problemas,

construyan, consoliden y apliquen los construyan, saberes propios de esa rama de las Matemáticas.

“Este curso realmente me ha ayudado a comprender la manera en que las matemáticas son usadas en la vida real. En contraste con los cursos que había tomado en el pasado, éste me dio una real comprensión de qué hago y por qué. Esto ha sido por la manera inusual de trabajar en clase, enfrentar problemas reales e intentar encontrar por uno mismo sus soluciones; realmente ayuda a que comprendamos los procedimientos y a que nos guste la clase. Personalmente creo que este semestre he disfrutado



















ES FACTIBLE DESARROLLAR LA INTUICIÓN MATEMÁTICA EN LOS ESTUDIANTES? ESTUDIANTES? Maestro Astolfo Maldonado Pérez Universidad Pedagógica Nacional [email protected]

E

l problema de los bajos resul-

Viven en nosotros innumerables otros

discusión grupal, nos dimos cuenta























12 DE DICIEMBRE Continué pensando en la manera de proceder de Carmen, como una falla en la intuición matemática, que le orienta de manera errónea en la búsqueda de información y en la solución de

A medida que el niño se desarrolla, abreviará poco a poco su habla egocéntrica; primero pronunciará parte de las palabras, luego sonidos que no se identificarán por quien los escuche. Posteriormente esta





















(Fig. 1) Movía 1) Movía las piezas rápidamente, miraba la figura. Una voz 7 interna me decía: “el rectángulo de la base es 3 x 7. Reacomodaba las piezas”;

M a t e m á t i c






















Método Montante Reduce determinantes de orden





















renglón base, los determinantes de 2 x 2 quedan resueltos al revés; abajo del renglón base los determinantes de 2 x

M a t e m á t i c a






















cálculo matricial, pero todo lo vemos desde el punto de vista matemático del álgebra”. Han sido muchos los grandes matemáticos que han influido en el

2x-y-z-2y=1 x+2y+z+w=2 x-2y+z-w=3 2x+y+2z+2w=4 2

1

1

2

1

2

1

1

2

1

5

0

1

3

4







































































































































































































































Matemáticas (Conocimiento)

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