Matemáticas 3 Bachillerato

COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA “CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701

Matemática

Tercer Año de Bachillerato

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ÍNDICE PRIMER QUIMESTRE BLOQUE 1:NÚMEROS Y FUNCIONES ....................................... 12 FICHA N°1: ANÁLISIS DE FUNCIONES..................................... 12 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 12 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 12 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 12 FUNCIONES LINEALES ................................................................................................... 14 LECCION N°1.................................................................................................................. 15 INVESTIGO N°1 ...................................................................................................... 15 GLOSARIO N°1 ....................................................................................................... 16 RESUMO N°1 ........................................................................................................... 16 CUESTIONARIO N°1....................................................................................................... 17

FICHA N°2: RANGOS E INTERVALOS ..................................................... 19 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 19 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 19 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 19 Función creciente en un intervalo................................................................................ 20 Función estrictamente decreciente en un intervalo ................................................... 20 Función decreciente en un intervalo ........................................................................... 21 LECCION N°2.................................................................................................................. 22 INVESTIGO Nº 2 ..................................................................................................... 22 GLOSARIO Nº 2....................................................................................................... 22 RESUMO Nº 2 .......................................................................................................... 23 CUESTIONARIO Nº 2 ..................................................................................................... 24

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FICHA N°3: PROGRESIONES ......................................................................... 25 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 25 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 25 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 25 INTERPOLACION DE MEDIOS GEOMETRICOS ............................................... 25 SUMA DE LOS TERMINOS DE UNA PROGRESION GEOMETRICAS. ........... 27 LECCION N°3.................................................................................................................. 28 INVESTIGO N°3 ...................................................................................................... 28 GLOSARIO N°3 ....................................................................................................... 28 RESUMO N°3 ........................................................................................................... 29 CUESTIONARIO N°3....................................................................................................... 30

FICHA N°4: FORMULACION DE PROGRESIONES......................... 31 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 31 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 31 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 31 Fórmulas de los términos que intervienen en una progresión aritmética. ................ 32 Interpolación de términos ............................................................................................ 32 Suma de n términos consecutivos ............................................................................... 32 LECCION N°4.................................................................................................................. 34 INVESTIGO N°4 ...................................................................................................... 34 GLOSARIO N°4 ....................................................................................................... 34 RESUMO N°4 ........................................................................................................... 35 CUESTIONARIO N°4....................................................................................................... 36

FICHA N°5: SOLUCIÓN DE PROBLEMAS ............................................. 37 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 37 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 37 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 37

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LECCION N°5.................................................................................................................. 39 INVESTIGO N°5 ...................................................................................................... 40 GLOSARIO N°5 ....................................................................................................... 40 RESUMO N°5 ........................................................................................................... 41 CUESTIONARIO N°5....................................................................................................... 42

BLOQUE 2: ALGEBRA Y GEOMETRIA ..................................... 43 FICHA N°6: PROGRESIÓN GEOMÉTRICA ............................................ 43 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 43 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 43 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 43 Progresión geométrica ............................................................................................ 43 Ejemplos de progresiones geométricas ..................................................................... 44 Ejercicios de progresiones geométricas ................................................................. 44 LECCION N°6.................................................................................................................. 45 INVESTIGO N°6 ...................................................................................................... 45 GLOSARIO N°6 ....................................................................................................... 45 RESUMO N°6 ........................................................................................................... 46 CUESTIONARIO N°6....................................................................................................... 47

FICHA N°7: PROGRESIÓN GEOMÉTRICA ............................................ 48 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 48 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 48 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 48 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS .................................................................... 48 SÍMBOLO DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA. ...................................... 49 LECCION N°7.................................................................................................................. 52 INVESTIGO N°7 ...................................................................................................... 52 GLOSARIO N°7 ....................................................................................................... 53 RESUMO N°7 ........................................................................................................... 53 CUESTIONARIO N°7....................................................................................................... 54

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FICHA N°8: INTERPOLACIÓN DE MEDIOS GEOMÉTRICOS

.. 55

OBJETIVOS:.................................................................................................................... 55 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 55 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 55 INTERPOLACION DE MEDIOS GEOMETRICOS ............................................... 55 Medios geométricos ................................................................................................................ 56 SUMA DE LOS TERMINOS DE UNA PROGRESION GEOMETRICAS ........................................... 56 LECCION N°8.................................................................................................................. 58 INVESTIGO N°8 ...................................................................................................... 58 GLOSARIO N°8 ....................................................................................................... 58 RESUMO N°8 ........................................................................................................... 59 CUESTIONARIO N°8....................................................................................................... 60

FICHA N°9: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. .................................... 61 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 61 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 61 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 61 RESOLUCION DE PROBLEMAS DE UNA PROGRESION GEOMETRICA .... 61 LECCION N°9.................................................................................................................. 63 INVESTIGO N°9 ...................................................................................................... 63 GLOSARIO N°9 ....................................................................................................... 64 RESUMO N°9 ........................................................................................................... 65 CUESTIONARIO N°9....................................................................................................... 66

FICHA N°10: LOGARITMOS................................................................... 67 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 67 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 67 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 67 LOGARITMOS ......................................................................................................... 67 PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS: .............................................. 67 LOGARITMO DE UN PRODUCTO:.......................................................................... 68 Matemática


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LOGARITMO DE UN COCIENTE ............................................................................. 68 LOGARITMO DE UNA POTENCIA .......................................................................... 68 LOGARITMO DE UNA RAIZ.................................................................................... 69 CARACTERISTICA Y MANTISA .......................................................................... 69 VALOR DE LA CARACTERISTICA. : ......................................................................... 69 COLOGARITMO: .................................................................................................... 70 LECCION N°10................................................................................................................ 71 INVESTIGO N°10 .................................................................................................... 71 GLOSARIO N°10 ..................................................................................................... 71 RESUMO N°10 ......................................................................................................... 72 CUESTIONARIO N°10..................................................................................................... 73

SEGUNDO QUIMESTRE FICHA N°11: LOGARITMOS VULGARES. .............................. 75 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 75 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 75 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 75 LOGARITMOS VULGARES .................................................................................. 75 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS VULGARES .................................................. 75 CALCULO DEL VALOR DE LA EXPRESION POR MEDIO DE LOGARITMOS: ................................................................................................................................... 77 LECCION N°11................................................................................................................ 78 INVESTIGO.............................................................................................................. 78 GLOSARIO N°11 ..................................................................................................... 78 RESUMO N°11 ......................................................................................................... 79 CUESTIONARIO N°11..................................................................................................... 79

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FICHA N°12: LOGARITMOS VULGARES. .............................................. 81 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 81 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 81 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 81 CALCULO DEL VALOR DE LA EXPRESION: .................................................... 81 LECCION N°12 ........................................................................................................... 83 INVESTIGO N°12 .................................................................................................... 83 GLOSARIO N°12 ..................................................................................................... 83 RESUMO N°12 ......................................................................................................... 84 CUESTIONARIO N°12..................................................................................................... 84

FICHA N°13: SOLUCIÓN DE PROBLEMAS. ............................................. 86 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 86 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 86 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 86 RESOLUCION DE PROBLEMAS UTILIZANDO LOGARITMOS ..................... 86 LECCION N°13................................................................................................................ 88 INVESTIGO N°13 .................................................................................................... 88 GLOSARIO N°13 ..................................................................................................... 88 RESUMO N°13 ......................................................................................................... 89

CUESTIONARIO N°13 ......................................................................................... 89 FICHA N°14: ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 91 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 91 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 91 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 91 ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS ........................................................ 91 LECCION N°14................................................................................................................ 93 INVESTIGO N°14 .................................................................................................... 93 GLOSARIO N°14 ..................................................................................................... 93 Matemática


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RESUMO N°14 ......................................................................................................... 94

CUESTIONARIO N°14..................................................................................................... 95

FICHA N°15: GENERALIDADES Y APLICACIONES. ...................... 96 OBJETIVOS:.................................................................................................................... 96 Destreza de Criterio de desempeño: ........................................................................... 96 Objetivo Educativo. ...................................................................................................... 96 GEOMETRIA ANALITICA..................................................................................... 96 Distancia de un punto a una recta. ............................................................... 97 PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO .................................................................... 98 LECCION N°15................................................................................................................ 99 INVESTIGO N°15 .................................................................................................... 99 GLOSARIO N°15 ..................................................................................................... 99 RESUMO N°15 ....................................................................................................... 100 CUESTIONARIO N°15................................................................................................... 101

BLOQUE 4:PROBABILIDAD Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 102 FICHA N°16: FUNCIONES ANALÍTICAS. ........................................... 102 OBJETIVOS:.................................................................................................................. 102 Destreza de Criterio de desempeño: ......................................................................... 102 Objetivo Educativo. .................................................................................................... 102 Ecuación General de la Recta .............................................................................................. 103 Ecuación de la Recta (vertical) ............................................................................................. 103 Ecuación de la Recta (horizontal) ........................................................................................ 103 Ecuación de la Recta (punto-pendiente).............................................................................. 103 LECCION N° 16 ........................................................................................................ 105 INVESTIGO N°16 .................................................................................................. 105 GLOSARIO N°16 ................................................................................................... 105 RESUMO N°16 ....................................................................................................... 106 CUESTIONARIO N°16 ............................................................................................ 107

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FICHA N°17: PROPIEDADES ANALÍTICAS. ..................................... 108 OBJETIVOS:.................................................................................................................. 108 Destreza de Criterio de desempeño: ......................................................................... 108 Objetivo Educativo. .................................................................................................... 108 Destreza con criterio de desempeño: ....................................................................... 108 Forma General de la Ecuación de la Circunferencia ............................................... 109 LECCION N°17 ......................................................................................................... 111 INVESTIGO N°17 .................................................................................................. 111 GLOSARIO N°17 ................................................................................................... 111 RESUMO N°17 ....................................................................................................... 112 CUESTIONARIO N°17 ............................................................................................ 113

FICHA N°18: PROPIEDADES ANALÍTICAS. ....................................... 115 Objetivo:..................................................................................................................... 115 Destreza con criterio de desempeño: ....................................................................... 115 LECCION N°18 ......................................................................................................... 119 INVESTIGO N°18 .................................................................................................. 119 GLOSARIO N°18 ................................................................................................... 120 RESUMO N°18 ....................................................................................................... 121 CUESTIONARIO N°18 ............................................................................................ 122

FICHA N°19: PROPIEDADES ANALÍTICAS. ....................................... 124 OBJETIVOS:.................................................................................................................. 124 Destreza de Criterio de desempeño: ......................................................................... 124 Secciones cónicas .................................................................................................... 124 LA CIRCUNFERENCIA. ......................................................................................... 125 LA ELIPSE ................................................................................................................ 126 LA HIPÉRBOLA ....................................................................................................... 126 LECCION N°19 ......................................................................................................... 127 INVESTIGO N°19 .................................................................................................. 127 RESUMO N°19 ....................................................................................................... 128 Matemática


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GLOSARIO N°19 ................................................................................................... 128 CUESTIONARIO N°19 ............................................................................................ 129

FICHA N°20: ECUACIONES CUADRÁTICAS. .............................. 131 Objetivos: .................................................................................................................... 131 Destreza de Criterio de desempeño: ......................................................................... 131 Objetivo educativo: .................................................................................................... 131 Ecuaciones Lineales ............................................................................................ 132 Ecuación punto-pendiente .................................................................................. 132 Distancia entre puntos ............................................................................................. 132 INTERSECCION ENTRE RECTAS ...................................................................... 132 INTERSECCION ENTRE PARABOLAS ............................................................. 134 LECCION N°20 ............................................................................................................. 136 INVESTIGO N°20 .................................................................................................. 136 RESUMO N°20 ....................................................................................................... 136 GLOSARIO N°20 ................................................................................................... 137 CUESTIONARIO N°20 .................................................................................................. 138

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PRIMER QUIMESTRE BLOQUE 1: Números y Funciones FICHA N°1: Análisis de Funciones

OBJETIVOS: Fomentar el análisis y evaluación de las funciones matemáticas, además interactuar con los teoremas y sus aplicaciones en este amplio campo de las Funciones.

Destreza de Criterio de desempeño:   

Desarrollo de evaluaciones funcionales. Graficación de funciones lineales. Aplicación de teoremas de evaluación funcional.

Objetivo Educativo. En la actualidad el ser humano requiere cada vez con mayor frecuencia el uso de funciones lineales y otros tipos para resolver problemas económicos, administrativos y de la vida misma. El conocimiento de sus características y comportamiento nos permite tomar decisiones importantes. Una función, en matemáticas es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El termino función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés Rene Descartes. (1596 – 1560). La variable x a la que se le asigna libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable y cuyos valores depende de la x, se llama variables

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Dependientes. Los valores permitidos de x constituye el dominio de definición de la función y los valores que toma x constituye su recorrido x

y

1 2 3

a b c

4

d

55 55 Dominio 5

Recorrido.

Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuanto todos de los elementos del primer conjunto (Dominio) se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto (Recorrido)

Ejemplo

a b cy

1 2 x 3

d

4

Si es una función, pues todos los elementos del conjunto salida tienen una sola imagen (Correspondencia) en el conjunto de llegada. X

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y

1 2 3

a b c

4

d

Dominio

Recorrido


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No es una función pues no todos los elementos del conjunto salida tienen una imagen (correspondencia) en el conjunto de llegada X

y

1 2 3

a b c

4

d

Dominio

Recorrido

FUNCIONES LINEALES Es aquella relación de correspondencia que define como grafica una línea recta cuando es representado en el plano cartesiano. Su forma característica es 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏

Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Cuando cambiamos m modificamos la inclinación de la recta y cuando cambiamos b desplazamos la línea arriba o abajo. Ejemplo Graficar la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 𝑥 -2 -1 0 1 2

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𝑓( ) -5 -3 -1 1 3


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LECCION N°1

NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ ESPECIALIDAD: _____________________________

INVESTIGO N°1 1. Escribir una definición de Función. __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ______________________________________________________________ 2. Cuál es el Dominio y el Recorrido de una función. __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ______________________________________________________________ 3. Identifique en la siguiente ecuación la pendiente de las líneas rectas y el punto de corte. Con el eje de las ordenadas. 𝑓(𝑥) = 4 − 2𝑥 __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ _________________________________________________________________

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GLOSARIO N°1 a. b. c. d. e.

Función:………………………………………………………………………………………………………………... Dominio………………………………………………………………………………………………………………… Recorrido………………………………………………………………………………………………………………. Contra dominio:…………………………………………………………………………………………………….. Pendiente……………………………………………………………………………………………………………..

4. Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO N°1 FUNCIONES

F. lineales

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F. Cuadráticas

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CUESTIONARIO N°1 Identificar si los siguientes gráficos corresponden a una función, argumentar la respuesta en cada caso. x

y

1 2 3

a b c

4

d

Dominio

Recorrido

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ _________________________________________________________________

1 2 3 4

a b c d

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ _________________________________________________________________

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Dibujar las gráficas de las siguientes ecuaciones e identificar en cada caso la pendiente y el punto de corte con el eje y a. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3

b. 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 5

c. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 5

d. 𝑓(𝑥) = 1 − 3𝑥

Firma del Profesor

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Calificación


Firma del Estudiante

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BLOQUE1: Números y Funciones FICHA N°2:

Rangos e Intervalos OBJETIVOS: Reconocer los intervalos de los diferentes tipos de funciones con su respectivo análisis, aplicando métodos numéricos.


Determinación de las funciones crecientes. Determinación de funciones decrecientes. Graficar funciones mediante sus intervalos iniciales.

Objetivo Educativo. Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponda un único valor de la segunda. Pueden representar de diferentes maneras: a. Mediante una expresión matemática, ecuación o formula. b. Como una tabla de valores que permite representar algunos valores discretos de la función. c. Como proposición: una descripción por comprensión de lo que hace la función. d. Mediante una representación gráfica. Algunas actividades corporales tales como el sueño, el ritmo cardíaco y la locomoción son funciones biológicas que se llevan a cabo en casi todos los seres vivos. Así también en la vida cotidiana los modelos de función han servido a las ciencias para explicar y predecir muchos fenómenos, tanto de la vida científica como de la vida social. La función exponencial, por ejemplo, explica y predice fenómenos de crecimiento de bacterias o del fenómeno de desintegración radiactiva. Igualmente la función exponencial puede reflejar el crecimiento de la población.

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Una función es estrictamente creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera la función toma su sentido creciente dese el punto de análisis. Del intervalo, y , se cumple que:

Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia arriba:

Función creciente en un intervalo Una función es creciente en un intervalo del intervalo, y , se cumple que:

, si para dos valores cualesquiera

Función estrictamente decreciente en un intervalo Una función es estrictamente decreciente en un intervalo cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

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, si para dos valores

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Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia abajo:

Función decreciente en un intervalo Una función intervalo, y

es decreciente en un intervalo , se cumple que:

, si para dos valores cualesquiera de

Observa, a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del recorrido, Entonces es función. A cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del recorrido, por lo tanto es función. No es función, pues a un elemento del dominio le corresponde dos elementos del recorrido.

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LECCION N°2 NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ PROFESOR: ________________________________ FECHA: ____________________________________

INVESTIGO Nº 2 Establece una diferencia entre función creciente y decreciente. _________________________________________________________________________

Que condición se debe cumplir para que una función sea creciente. _________________________________________________________________________

Que condición se debe cumplir para que una función sea decreciente. _________________________________________________________________________

GLOSARIO Nº 2 Función:……………………………………………………………………………………………………………………… Creciente:………………………………………………………….………………………………………………………… Decreciente:………………………………………………………………………………………………………………… Intervalo:……………………………………………………………………………………………………..…………… Punto de corte…………………………………………………………………………………………………………..

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Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………..…………………………………………………………… RESUMO Nº 2

FUNCION

Creciente

Decreciente

es

es

ejemplos

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CUESTIONARIO Nº 2 Demuestra si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes y representa gráficamente:

Firma del Profesor

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BLOQUE 1: Números y Funciones FICHA N°3: Progresiones

OBJETIVOS: Aprender y analizar los sistemas que ameritan progresiones en funciones matemáticas, y el entendimiento de las mismas para su correcta aplicación. Destreza de Criterio de desempeño:  Reforzar los conocimientos anteriores.  Interpolar medios geométricos.  Resolver ejercicios de suma con progresiones geométricas Objetivo Educativo. INTERPOLACION DE MEDIOS GEOMETRICOS Interpolar m medios geométricos entre dos números a y b consiste en incluir m términos entre dichos números y formar una progresión geométrica de m+2 términos.

Es decir a…………….

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…………..b


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Medios entre a y b Para realizar interpolaciones, primero calculamos la razón (r) geométrica y luego formamos la progresión geométrica, la fórmula es: 𝑟=

𝑚+1

√

𝑡𝑛 𝑡1

𝒕𝒏 = ú𝒍𝒕𝒊𝒎𝒐 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐. 𝒕𝟏 = 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐. 𝒓 = 𝒓𝒂𝒛𝒐𝒏 𝒈𝒆𝒐𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 𝒎 = 𝑬𝒔 𝒆𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒂 𝒚 𝒃 Ejemplo: 1

Interpolar 3 medios geométricos entre 4 𝑦 4 DATOS: 𝒕𝒏 = 𝟒

𝑟=

𝒕𝟏 =

𝑚+1

√

𝑡𝑛 𝑡1

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𝟏 𝟒

=

𝒎=𝟑 4 √1 = 4

3+1

𝒓=

4

√16

=2


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Escribimos la progresión geométrica: 1

, 4

𝟏 𝟐

, 𝟏,

𝟐,

4.

3 medios geométrico SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICAS. Si tenemos la sucesión de 2, 6, 18, 54….. La suma de los 4 términos es: 𝑆4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80 Para sumar los 100 primeros términos resulta molesto, para simplificar la suma de términos podemos utilizar una fórmula:

𝑆=

𝑡1 (1 − 𝑟 𝑛 ) 1−𝑟

𝑆=

𝑡1 − 𝑡𝑛 1−𝑟

Ejemplo:

Hallar la suma de los 7 primeros términos de. 10, 30, 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝑡𝟕 =?

𝒕𝟏 = 𝟏𝟎

𝑺 =?

90, …………….

𝒓=?

Desarrollo: Calculamos r: 𝒓 = 𝟑𝟎 ÷ 𝟏𝟎 = 𝟑 Calculamos S: 𝑆=

𝑡1 (1−𝑟 𝑛 ) ; 1−𝑟

𝑆=

10(1−37 ) 1−3

;

𝑆=

10(−2186) −2

;

𝑆 = 10930

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INVESTIGO N°3 Que es INTERPOLAR medios geométricos. _________________________________________________________________________ Escriba la fórmula para calcular los medios geométricos. _________________________________________________________________________ Indique cuales son los pasos para realizar una suma de n términos. _________________________________________________________________________

GLOSARIO N°3 Busque el significado de las siguientes palabras: Interpolar:………………………………………………………………………………………………………….. Medios geométricos:…………………………………………………………………………………………. Términos:………………………………………………………………………………………………………….. Serie:…………………………………………………………………………………………………………………. Expresión:……………………………………………………………………………………………………………

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Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

RESUMO N°3

Interpolación de medios

Suma de n términos

Proceso

Proceso

es

es

Formula

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Formula


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CUESTIONARIO N°3 Determine la solución de las siguientes series de progresiones. 1. Interpolar 3 medios geométricas entre 6250 y 10 1

2. Interpolar 4 medios geométricos entre1 2 𝑦

16 81

2

3. Calcular la suma de. 54, 18, 6……………………27 4. Calcular el dato que falta: a. 𝑡1 = 1

𝑡7 = 64

b. 𝑡1 = 2

𝑡𝑛 = 162

c. 𝑡𝑛 = 54 d. 𝑡6 = ?

2

𝑡1 = 9 𝑡1 = 3

Firma del Profesor

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𝑟 =? 𝑟=3 𝑟 =? 𝑟=2

𝑆 =? 𝑆= 𝑛 =?

8

𝑆 = 80 9

𝑆 =?

Calificación



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BLOQUE 1: NÚMEROS Y FUNCIONES FICHA N°4: FORMULACION DE PROGRESIONES OBJETIVOS: Aprender y analizar los sistemas que ameritan progresiones en funciones matemáticas, y el entendimiento de las mismas para su correcta aplicación. Destreza de Criterio de desempeño:   

Encontrar regularidades en secuencias numéricas. Interpolar términos en una progresión aritmética. Hallar la suma de términos en una progresión aritmética.

Objetivo Educativo. Una progresión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta. Así, es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque: 15 = 5 × 3 45 = 15 × 3 135 = 45 × 3 405 = 135 × 3

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Fórmulas de los términos que intervienen en una progresión aritmética.

Interpolación de términos La interpolación consiste en intercalar varios términos entre dos dados. Los términos hallados se llaman medios aritméticos. Intercalar entre 2 y 14 tres números a, b, c de manera que los cinco números estén en progresión aritmética. Datos: t1 = 2 t5 = 14 n = 5 progresión 2, a, b, c, 14 Calculamos la diferencia d aplicando la expresión del término general de una progresión aritmética. t 5 = t1 +(n -1)d » 14 = 2 + (5 -1)d » 14 = 2 + 4d » d = 3 Sabiendo que d = 3 completamos la progresión » 2, 5, 8, 11, 14 Suma de n términos consecutivos

𝑺𝒏 =

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𝒏 (𝟐𝒏 + (𝒏 − 𝟏)𝒅) 𝟐


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Suma de n términos consecutivos

Matemática


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INVESTIGO N°4 5. Quien descubrió las progresiones __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 6. Que es una sucesión infinita. __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ______________________________________________________________ 7. Para que se puede utilizar las progresiones aritméticas en la vida cotidiana. Indique ejemplos. __________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

GLOSARIO N°4 f. g. h. i. j.

Matemática

Serie:………………………………………………………………………………………………………………... Diferencia………………………………………………………………………………………………………… Progresión………………………………………………………………………………………………………… Formula:…………………………………………………………………………………………………….. Aritmética…………………………………………………………………………………………………………


Página 34


Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ______________________________________________________________

RESUMO N°4 Complete el siguiente mapa conceptual.

Progresiones Aritméticas

Definición

Que es el término enésimo

Formula del término enésimo

Matemática


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CUESTIONARIO N°4 1. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 9𝑛𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 7, 10, 13, … … … … …. 2. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 12𝑣𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 5, 10, 15, … … … … …. 3. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 48𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 9, 12, 15, … … … … …. 4. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 63𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 3, 10, 17, … … … … …. 5. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 12𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 11, 6, 1, … … … … ….

6. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 28𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 19, 12, 5, … … … … …. 1

1

7. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 27𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 3 2 , 5 4 , , … … … … ….

Firma del Profesor

Matemática

Calificación



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BLOQUE 1: NÚMEROS Y FUNCIONES FICHA N°5: Solución de Problemas

OBJETIVOS: Aprender y analizar los sistemas que ameritan progresiones en funciones matemáticas, y el entendimiento de las mismas para su correcta aplicación.

Destreza de Criterio de desempeño:     

Reforzar los conocimientos anteriores. Plantear y solucionar los problemas. Encontrar regularidades en secuencias numéricas. Interpolar términos en una progresión aritmética. Hallar la suma de términos en una progresión aritmética.

Objetivo Educativo. PROCESO PARA LA SOLUCION DE PROBLEMAS DE PROGRESION ARITMETICAS 1. 2. 3. 4. 5.

Leemos el problema en forma rápida puntualizando los términos de la P.A. Leemos detenidamente extrayendo los términos y luego puntualizando el término desconocido. Planteamos el problema. Desarrollamos el problema, respondiendo a las incógnitas. Determinamos la respuesta.

Para mayor compresión determinamos el siguiente ejemplo. Matemática


Página 37


Ejemplos: El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progresión. t 4 = 10;

t 6 = 16

t n = t k + (n - 1) · d 16 = 10 + (6 - 4) d;

d= 3

t1= a4 - 3d; t1 = 10 - 9 = 1 1, 4, 7, 10, 13, ...

Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.

8, 3, -2, -7, -12………

El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimo quinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos. t 1 = − 1;

t15 = 27;

t n = t 1 + (n - 1) · d 27= -1 + (15-1) d;

28 = 14d;

d=2

S= (-1 + 27) 15/2 = 195

¿Cuándo ha ahorrado un hombre en cinco años si en enero del primer año ahorro 2 dólares y en cada mes posterior ahorra 3 dólares más que el precedente? Matemática


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Datos 𝒏 = 𝟔𝟎 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 𝒕𝟏 = 𝟐 𝒅=𝟑 𝑺𝒏 = La serie es: 2, 5, 8, 11…………………………………………………𝑡𝑛 𝑺𝒏 =

𝒏 [𝟐𝒕𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝒅] 𝟐

𝑆60 =

60 [2 × 2 + (60 − 1)3] 2

𝑆60 = 30[4 + 59 × 3] 𝑆60 = 30[4 + 177] 𝑆60 = 30[181] 𝑆60 = 5430

LECCION N°5

Matemática


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NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ PARALELO: ________________________________ PROFESOR: ________________________________ FECHA: ____________________________________

INVESTIGO N°5 Quien descubrió las progresiones ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ Que es una sucesión. ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ Para que se puede utilizar las progresiones aritméticas en la vida cotidiana. Indique ejemplos. ______________________________________________________________________________________ __________________________________________________________

GLOSARIO N°5 Serie:………………………………………………………………………………………………………………... Diferencia………………………………………………………………………………………………………… Progresión………………………………………………………………………………………………………… Formula:…………………………………………………………………………………………………….. Aritmética…………………………………………………………………………………………………………

Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.

Matemática


Página 40


______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________



Definición



Matemática


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CUESTIONARIO N°5 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟗𝐧𝐨 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟕, 𝟏𝟎, 𝟏𝟑, … … … … ….

𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟏𝟐𝐯𝐨 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟓, 𝟏𝟎, 𝟏𝟓, … … … … ….

𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟒𝟖𝐨 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟗, 𝟏𝟐, 𝟏𝟓, … … … … ….

𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟔𝟑𝐨 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟑, 𝟏𝟎, 𝟏𝟕, … … … … ….

𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟏𝟐𝐨 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟏𝟏, 𝟔, 𝟏, … … … … ….

𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟐𝟖𝐨 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟏𝟗, 𝟏𝟐, 𝟓, … … … … ….

𝟏 𝟏 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝟐𝟕𝐨 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟑 , 𝟓 , , … … … … …. 𝟐 𝟒

Firma del Profesor

Matemática

Calificación



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BLOQUE 2: ALGEBRA Y GEOMETRÍA

FICHA N°6: Progresión Geométrica



Reforzar los conocimientos anteriores. Plantear y solucionar los problemas. Encontrar regularidades en secuencias numéricas. Interpolar términos en una progresión aritmética. Hallar la suma de términos en una progresión aritmética.

Objetivo Educativo. Progresión geométrica Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta. Así,

es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque: 15 = 5 × 3 45 = 15 × 3 135 = 45 × 3 y así sucesivamente.

Matemática


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Aunque es más fácil aplicando la fórmula:

Siendo

el término en cuestión,

el primer término y la razón:

Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión

Ejemplos de progresiones geométricas   

 

La progresión 1, 2, 4, 8, 16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40. La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4. La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo. Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7 Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que definición.

en la

Ejercicios de progresiones geométricas

Matemática


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LECCION N°6 NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ PARALELO: ________________________________ PROFESOR: ________________________________ FECHA: ____________________________________

INVESTIGO N°6 Quien descubrió las progresiones ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________ Que es una sucesión. ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ __________________________ Para que se puede utilizar las progresiones aritméticas en la vida cotidiana. Indique ejemplos. ______________________________________________________________________________________ __________________________________________________________

GLOSARIO N°6 Serie:………………………………………………………………………………………………………………... Diferencia………………………………………………………………………………………………………… Progresión………………………………………………………………………………………………………… Formula:…………………………………………………………………………………………………….. Aritmética…………………………………………………………………………………………………………

Matemática


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Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________



Definición



Matemática


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CUESTIONARIO N°6 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 12𝑣𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 5, 10, 15, … … … … ….

𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 48𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 9, 12, 15, … … … … ….




Firma del Profesor

Matemática

Calificación



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BLOQUE 2: FICHA N°7:

ALGEBRA Y GEOMETRÍA Progresión Geométrica



Reforzar los conocimientos anteriores. Conocer cada uno de los términos de una progresión geométrica. Reforzar los conocimientos anteriores. Plantear y solucionar los problemas. Encontrar regularidades en secuencias numéricas.

Objetivo Educativo. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Una progresión geométrica es una sucesión de números o términos de modo que uno cualquiera es igual al anterior por una cantidad constante que llamamos razón de la progresión, la representamos por r y la obtenemos dividiendo el valor de un término cualquiera por el valor del término anterior: Observa una la sucesión: 2: 4: 8: 16: 32: 64:.……….. Cuando veas puntos suspensivos quiere decir que en ellos, se incluyen o pueden incluirse más términos. Vemos que el segundo término o número de la sucesión es igual al valor del primer término por 2. El tercer término de la sucesión es igual al valor del segundo término por 2: 4 x 2 = 8 El cuarto término de la sucesión es igual al valor del tercer término por 2: 8 x 2 = 16.

El valor de d obtenemos dividiendo el valor del tercer término entre el valor del 2º término: o bien, el del 5º entre el valor del 4º: .

Matemática


Página 48


SÍMBOLO DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.

Cálculo del último término de una progresión geométrica.

Matemática


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Matemática


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Matemática


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LECCION N°7


INVESTIGO N°7 1. Que es una progresión geométrica. _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 2. Indique dos semejanzas y dos diferencias entre progresión aritmetica y geométrica. _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 3. ¿Cuáles son los términos de una progresión geométrica?: Explique cada uno de ellos. _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

Matemática


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GLOSARIO N°7 Series………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Geométrico……………………………………………………………………………………………………………………………………………… Que es una progresión creciente……………………...........................…………………………………………………………. Que es una progresión decreciente……………………………………………………………………………………………………… Logaritmo……………………………………………………………………………………………………………………………………………

Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO N°7 Termino de una progresión geométrica

Matemática


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CUESTIONARIO N°7 SOLUCION DE EJERCICIOS: 1. Hallar el primer término de una progresión geométrica cuyo 15avo término es - 59049, y la razón es -3. Escribir la progresión. 2. En una progresión geométrica el primer término es 2, el último término 1458 y la razón 3 . Cuantos términos tiene la progresión geométrica. 3. El noveno término de una progresión geométrica

es , y el primer término es 384.

Calcular la razón. 4. Calcular el dato que falta:

RESUELVA LOS SIGUIENTE PROBLEMA: COMPRUEBE SI LA RESPUESTA E3: 400, 800 y 1200 5. Los ahorros de tres años de un hombre están en progresión aritmética si en los tres años a ahorrado 2400 dólares y en el primer año ahorra la mitad lo que ahorro el segundo año ¿Cuánto ahorro cada año? COMPRUEBE SI LA RESPUESTA ES: 246 km. 6. Una persona viaja 50 km en el primer día y en cada día posterior 5, 5 km. De lo que recorrió en día anterior ¿Cuánto habrá recorrido al cabo de 8 días?

Firma del Profesor

Matemática

Calificación



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BLOQUE 2: ALGEBRA Y GEOMETRIA

FICHA N°8 Interpolación de Medios Geométricos.


Destreza de Criterio de desempeño:    

Reforzar los conocimientos anteriores. Reforzar los conocimientos anteriores. Interpolar medios geométricos. Resolver ejercicios de suma con progresiones geométricas

Objetivo Educativo. INTERPOLACION DE MEDIOS GEOMETRICOS Interpolar m medios geométricos entre dos números a y b consiste en incluir m términos entre dichos números y formar una progresión geométrica de m+2 términos. Es decir a…………….

Matemática

…………..b


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M medios entre a y b Para realizar interpolaciones, primero calculamos la razón (r) geométrica y luego formamos la progresión geométrica, la fórmula es: 𝑟=

𝑚+1

√

𝑡𝑛 𝑡1

𝒕𝒏 = ú𝒍𝒕𝒊𝒎𝒐 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐. 𝒕𝟏 = 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐. 𝒓 = 𝒓𝒂𝒛𝒐𝒏 𝒈𝒆𝒐𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 𝒎 = 𝑬𝒔 𝒆𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒂 𝒚 𝒃

Ejemplo: 1

Interpolar 3 medios geométricos entre 4 𝑦 4 DATOS: 𝒕𝒏 = 𝟒

𝑟=

𝒕𝟏 =

𝑚+1

√

𝑡𝑛 𝑡1

𝟏 𝟒

=

𝒎=𝟑 4 √1 4

3+1

=

𝒓=

4

√16

=2

Escribimos la progresión geométrica: 1 𝟏 , , 4 𝟐

𝟏,

𝟐,

4.

3 medios geométricos SUMA DE LOS TERMINOS DE UNA PROGRESION GEOMETRICAS Si tenemos la sucesión de 2, 6, 18, 54….. La suma de los 4 términos es: 𝑆4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80

Matemática


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Para sumar los 100 primeros términos resulta molesto, para simplificar la suma de términos podemos utilizar una formula:

𝑡1 (1 − 𝑟 𝑛 ) 𝑆= 1−𝑟

𝑆=

𝑡1 − 𝑡𝑛 1−𝑟

Ejemplo: Hallar la suma de los 7 primeros términos de. 10, 30,

90, ……………….

𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝑡𝟕 =?

𝒕𝟏 = 𝟏𝟎

𝑺 =?

𝒓=

Desarrollo: Calculamos r: 𝒓 = 𝟑𝟎 ÷ 𝟏𝟎 = 𝟑 Calculamos S: 𝑆=

𝑡1 (1 − 𝑟 𝑛 ) ; 1−𝑟

Matemática

𝑆=

10(1 − 37 ) ; 1−3

𝑆=

10(−2186) ; −2


𝑆 = 10930

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LECCION N°8 LECCION 6 NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ PROFESOR: ________________________________ FECHA: ____________________________________

INVESTIGO N°8 Que es INTERPOLAR medios geométricos. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Escriba la fórmula para calcular los medios geométricos. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Indique cuales son los pasos para realizar una suma de n términos --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

GLOSARIO N°8 Busque el significado de las siguientes palabras: Interpolar___________________________________________________________________________ Medios geométricos____________________________________________________________________ Términos_______________________________________________________________________________ Serie_________________________________________________________________________________ Expresión______________________________________________________________________________

Matemática


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Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________

RESUMO N°8 Complete el cuadro sinóptico.

Interpolación de medios geométricas

Suma de n términos de progresión geométrica

Proceso

Proceso

es

es

Formula

Matemática

Formula


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CUESTIONARIO N°8 1 SOCSS SOLUCION DE EJERCICIOS: Interpolar 3 medios geométricas entre 6250 y 10

1

Interpolar 4 medios geométricos entre1 2 𝑦 2

Calcular la suma de. 54, 18, 6……………………27

16 81

𝟐𝟔

Resp: 80𝟐𝟕

Calcular el dato que falta:

𝑡1 = 1

𝑡7 = 64

𝑡1 = 2

𝑡𝑛 = 162

𝑡𝑛 = 54

𝑡6 = ?

𝑡1 =

𝑡1 = 3

2 9

𝑟 =?

𝑆 =?

𝑟=3

𝑟 =?

𝑟=2

𝑆=

𝑛 =?

8 9

𝑆 =?

Firma del Profesor

Matemática

𝑆 = 80

Calificación



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BLOQUE 2: ALGEBRA Y GEOMETRIA FICHA N°9: Resolución de Problemas. OBJETIVOS: Aprender y analizar los sistemas que ameritan progresiones en funciones matemáticas, y el entendimiento de las mismas para su correcta aplicación.

Destreza de Criterio de desempeño:    

Reforzar los conocimientos anteriores. Resolver problemas aplicando a situaciones de la vida diaria Interpolar medios geométricos. Resolver ejercicios de suma con progresiones geométricas

Objetivo Educativo. RESOLUCION DE PROBLEMAS DE UNA PROGRESION GEOMETRICA El tema de progresión geométrica tiene su aplicación en múltiples problemas de la vida diaria: Para resolver: 1. Leer el problema con detenimiento, si es necesario varias veces hasta captar la total comprensión. 2. Elaborar una tabla de datos. 3. Calcula la incógnita o incógnitas.

Matemática


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Ejemplo de la solución de problemas de progresión geométrica: Una maquina costo 12 000 y se aplica anualmente a una tasa del 20%. Si su valor de desecho es de $ 2 000. Calcule la vida efectiva de la máquina, es decir el número de años hasta que el valor depreciado sea aproximado al de desecho. Análisis:   

La máquina se desprecia en 20% cada año El costo de la maquina corresponde al 80% del año anterior. El valor de desecho es de $ 2 000.

𝒕𝟎 = 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒂𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂 𝒕𝒏 = 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒔𝒆𝒄𝒉𝒐 𝒏 = 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒗𝒊𝒅𝒂 𝒖𝒕𝒊𝒍 𝒐 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒕𝟎 = 𝟏𝟐 𝟎𝟎𝟎

𝒕𝒏 = 𝟐 𝟎𝟎𝟎

𝒅 = 𝟐𝟎%

𝒓 = 𝟖𝟎% = 𝟎, 𝟖

𝒏=?

𝑫𝒆𝒔𝒂𝒓𝒓𝒐𝒍𝒍𝒐 𝒕𝒏 = 𝒕𝟎 𝒓𝒏−𝟏 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝒕 𝒏 = 𝒕𝟎 𝒓 𝒏 Despejamos n 𝑡 𝑙𝑜𝑔 𝑡𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑡𝑛 − 𝑙𝑜𝑔𝑡𝑜 0 𝑛= 𝑜 𝑛= 𝑙𝑜𝑔𝑟 𝑙𝑜𝑔𝑟 𝑛=

𝑙𝑜𝑔

2 000 12 000

𝑙𝑜𝑔𝑟

Matemática

= 8, 029


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LECCION N°9


INVESTIGO N°9 ¿Qué es problema?. 8.

Escriba las fórmulas de los términos de la progresión geométrica 2.

Indique que es una progresión geométrica 9.

Matemática


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GLOSARIO N°9 Busque el significado de las siguientes palabras: Datos 10.

Formulas 1.

Geométrico 1.

Despreciar 1.

Solución. 1.

Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. 2.

Matemática


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RESUMO N°9 Complete en cuadro sinóptico.

PROCESO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE P. G.

Proceso

Matemática


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CUESTIONARIO N°9 El lunes gane dos dólares y cada día después gane el doble de lo que gane el anterior. ¿Cuánto gane el sábado y cuanto de lunes a sábado? 1.

El dentista arreglo 20 piezas a una persona cobrándole u dólar por la primera, dos dólares por la segunda, 4 dólares por la tercera, 8 dólares por la cuarta, y así sucesivamente. ¿Cuáles serán el honorario del dentista? 3.

1

Un hombre juega durante 8 días y cada día gana 3 de lo que gano el día anterior. Si el octavo día gano 1 dólar, cuánto ganó el primer día? 2.

Firma del Profesor

Matemática

Calificación



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COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA

CONTINENTAL”

“

Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701

BLOQUE 2: ALGEBRA Y GEOMETRIA FICHA N°10: Logaritmos. OBJETIVOS: Aprender a calcular los logaritmos y sus aplicaciones fundamentales para el cálculo y las construcciones gráficas.

Destreza de Criterio de desempeño:  

Conocer conceptos generales de logaritmo. Conocer propiedades y principios de logaritmos.

Objetivo Educativo. LOGARITMOS

Concepto: Logaritmo es exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número

PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS: Son de importancia las siguientes propiedades de los logaritmos: 1. La base de un sistema de logaritmo no puede ser negativo, porque si fuese negativa, sus potencias pares serian positivas y las impares negativas, y tendríamos una serie de números alternativamente positivos y negativos, y por lo tanto, habría números positivos que no tendrían logaritmos. 2. Los números negativos no tienen logaritmo porque siendo la base positiva todas sus potencias, ya sea pares o impares son positivas y nunca negativas.

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CONTINENTAL”

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3. En todo sistema de logaritmo, el sistema de logaritmo de base 1, 𝒃𝟏 = 𝑏 𝑙𝑜𝑔. 𝑏 = 1 4. En todo sistema el logaritmo de 1 es cero, porque siendo b la base, tendremos. 𝒃𝟎 = 1 𝑙𝑜𝑔. 1 = 0 5. Los números mayores que 1 tiene logaritmo negativo porque siendo log1=0, los logaritmos de los números mayores que uno serán mayores que cero, luego, serán positivos. 6. Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo, porque siendo log 1 = 0, los logaritmos de los números que 1 serán menores que cero; luego serán negativos.

LOGARITMO DE UN PRODUCTO: El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. Sea A y B los factores, sea

𝑙𝑜𝑔𝐴 × 𝐵 = 𝑙𝑜𝑔𝐴 + 𝑙𝑜𝑔𝐵

LOGARITMO DE UN COCIENTE El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor..

Sea A el dividendo y B el divisor:

𝑙𝑜𝑔

𝐴 = 𝑙𝑜𝑔𝐴 − 𝑙𝑜𝑔𝐵 𝐵

LOGARITMO DE UNA POTENCIA El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicando por el logaritmo de la base.

Sea A la base y n el exponente:

Matemática


𝑙𝑜𝑔𝐴𝑛 = 𝑛𝑙𝑜𝑔𝐴

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CONTINENTAL”

“


LOGARITMO DE UNA RAIZ

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido entre el índice de la raíz Sea A el radicando y n el índice:

𝑛

𝑙𝑜𝑔 √𝐴 =

𝑙𝑜𝑔𝐴 𝑛

CARACTERISTICA Y MANTISA Todo logaritmo tiene una parte entera y una parte decimal. La parte entera se llama característica y la parte decimal se llama mantisa.

VALOR DE LA CARACTERISTICA. : a) La característica del logaritmo de un número de un número comprendido entre 1 y 10 es cero. b) La característica del logaritmo de un número mayor que 10 es positiva y su valor absoluto es 1 menos que el número de cifras enteras del número. Así el 84 tiene dos cifras enteras y la característica de su logaritmo es 1; 512 tiene tres cifras enteras y la característica de su log es 2. c) La característica de un número menor que 1 es negativo y su valor absoluto es 1 más que el número de ceros que hay entre el punto decimal y la primera cifra significativa decimal. Log0, 5 es -1. Log 0,07 es -2.

Matemática


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CONTINENTAL”

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COLOGARITMO:

Se llama cologaritmo de un número al logaritmo de su inverso. 1

Así, el cologaritmo de 2 es el logaritmo 2; el cologaritmo de 54 es el logaritmo de 1

En general 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔1 − 𝑙𝑜𝑔𝑥 ∴

1 54

𝑙𝑜𝑔1 = 0 ∴ 0 − 𝑙𝑜𝑔𝑥

−𝑙𝑜𝑔𝑥 = 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔𝑥 CONCLUSIONES. Restar el log de un número equivale a sumar el cologaritmo del mismo número. 𝒍𝒐𝒈

𝒂 = 𝒍𝒐𝒈𝒂 − 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒃

𝒐

𝒍𝒐𝒈

𝒂 = 𝒍𝒐𝒈𝒂 + 𝒄𝒐𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒃

Ejemplo: a. Hallar el valor de 1215 × 0.84 por logaritmo Como logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores, tendríamos: 

log(1215 × 0,84) = 𝑙𝑜𝑔1215 + 𝑙𝑜𝑔0.85 ̅ 924279 = 3,00886 3,084576 + 1, 𝐴𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜.

 log log

Hallar el valor de

1020, 6 0,765 39,14

por logaritmo:

0,765 = log 0,765 − log 39,14 39,14 0,765 39,14

̅ 407380 = 2̅, 29104 = log 0,765 + 𝑐𝑜 log 39,14 = 1̅, 88366 + 2,

𝑨𝒏𝒕𝒊𝒍𝒐𝒈𝒂𝒓𝒊𝒕𝒎𝒐:

Matemática

0. 019545


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CONTINENTAL”

“



INVESTIGO N°10 Investigue sobre los logaritmos VULGARES (10 puntos) 11.

GLOSARIO N°10 Busque el significado de las siguientes palabras: Logaritmo es 12.

Exponente 4.

Propiedad 2.

Cologaritmo es: 2.

Antilogaritmo es: 2.

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CONTINENTAL”

“



RESUMO N°10 Elabore un mapa conceptual de las propiedades de los logaritmos:

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CONTINENTAL”

“


CUESTIONARIO N°10 Indique si es falso o verdadero. Si es verdadero ponga V si es falso F

Logaritmo es exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número

Los números negativos tienen logaritmo porque siendo la base positiva todas sus potencias, ya sea pares o impares son positivas y nunca negativas.

El logaritmo de un producto es igual a la resta de los logaritmos de los factores.

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad sub radical dividido entre el índice de la raíz.

Se llama cologaritmo de un número al logaritmo de su inverso.

Coloque el literal según corresponda

( )Logaritmo de un producto

a. 𝑙𝑜𝑔𝐴 × 𝐵 = 𝑙𝑜𝑔𝐴 + 𝑙𝑜𝑔𝐵 𝐴

( )Logaritmo de un cociente ( )Logaritmo de una potencia

b. 𝑙𝑜𝑔 𝐵 = 𝑙𝑜𝑔𝐴 − 𝑙𝑜𝑔𝐵 𝑛

c. 𝑙𝑜𝑔 √𝐴 =

𝑙𝑜𝑔𝐴 𝑛

d. 𝑙𝑜𝑔𝐴𝑛 = 𝑛𝑙𝑜𝑔𝐴

( )Logaritmo de una raíz Matemática


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CONTINENTAL”

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Hallar el valor de 3214,8 × 0.003(−43,76) por logaritmo ( ) 0, 300886 ( )0, 200786 ( )2,625352

Hallar el valor de 7,66 por logaritmo ( ) 3,00886 ( )0, 095424 ( ) 2,625352 Hallar el valor de

√0,02624 1,4164

por logaritmo

( ) 0,040294 ( )0, 95424 ( ) 0,62535

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SEGUNDO QUIMESTRE BLOQUE 3: MATEMÁTICAS DISCRETA

FICHA N°11 LOGARITMOS VULGARES. OBJETIVOS: Aprender a calcular los logaritmos y sus aplicaciones fundamentales para el cálculo y las construcciones gráficas.


Aplicar el proceso en la solución de ejercicios. Conocer conceptos generales de logaritmo. Conocer propiedades y principios de logaritmos.

Objetivo Educativo. LOGARITMOS VULGARES Los logaritmos vulgares son de base 10. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS VULGARES Observando la progresión: 100 = 1 101 = 10

10−1 =

1 = 0,1 10

10−2 =

1 = 0, 01 100

10−3 =

1 = 0,001 1000

10−4 =

1 = 0, 0001 10000

102 = 100 3

10 = 1000 104 = 10 000

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Se deduce fácilmente las siguientes propiedades de los logaritmos de base 10: En este sistema, los únicos números cuyos logaritmos son números enteros son potencia de 10, así:

1. 𝑙 2. 𝑜𝑔1 = 0 𝑙𝑜𝑔 10 = 1 3. 𝑙𝑜𝑔100 = 2 4. 𝑙𝑜𝑔1000 = 3 5. 𝑙𝑜𝑔10 000 = 4 6. 𝑙𝑜𝑔0, 1 = −1 𝑙𝑜𝑔 0,01 = −2 7. 𝑙𝑜𝑔0, 001 = −3 8. 𝑙𝑜𝑔0,0001 = −4 9. 𝑙𝑜𝑔0, 00001 = −5

El log. De todo número que no sea una potencia de 10 no es un número entero, sino una fracción propia o un número entero más una fracción propia. En efecto: Como, log. 1= 0 y log 10 = 1, los números comprendidos entre 1 y 10 Tendría un logaritmo mayor que 0 y menor que 1, luego su log será una fracción propia. Así log. 2 = 0, 301030. Como, log. 10= 1 y log 100 = 2, los números comprendidos entre 10 y 100 Tendría un logaritmo mayor que 1 y menor que 2, luego su log será 1 más una fracción propia. Así log 15 = 1+0, 176091 = 1,176091 Así, log. De un numero comprendido entre log 0.01 y 0. 001 será menor que -3 más una fracción propia; el logaritmo de un número comprendido entre 0. 001 y 0. 0001 será mayor que -4 y menor que -3; y luego será -4 más una fracción propia, etc.

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CALCULO DEL VALOR DE LA EXPRESION POR MEDIO DE LOGARITMOS: Las propiedades de los logaritmos nos permiten emplearlos para calcular el valor de diversas expresiones: Ejemplo: 1. Hallar el valor de la expresión de 1215 × 0.84 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 log(1215 × 0.84) = 𝑙𝑜𝑔1215 + log 0.84 3.084576 + 1̅. 924279 = 3008855 Antilogaritmo: 1020.5 2. Hallar el valor de la expresión de 5 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 √3 𝑙𝑜𝑔3 0.477121 = = 0. 095424 5 5 Antilogaritmo: 1, 24573

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INVESTIGO Investigue sobre el uso de la tabla de logaritmo. 13.

GLOSARIO N°11 Busque el significado de las siguientes palabras: Antilogaritmo 14.

Propiedades 6.

Producto 3.

Cociente: 3.

Mantisa es: 3.

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RESUMO N°11 Elabore un mapa conceptual de las proceso de aplicación en la resolución de una expresión logarítmica:

CUESTIONARIO N°11 Indique si es falso o verdadero. Si es verdadero ponga V si es falso F Logaritmo es el de base 10

Los antilogaritmos es igual que decir logaritmo

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El logaritmo de una expresión es llevar a un número a encontrar su valor logarítmico en su mina expresión.

Hallar el valor de 532 × 0.184 por logaritmo ( ) 0, 300886 ( )0,1. 990729 ( )2,625352 Hallar el valor de 210 por logaritmo ( ) 3,00886 ( )0, 095424 ( ) 3. 010299 Hallar el valor de

3284×0.09132 715.84

por logaritmo

(𝒙) 1̅. 622153 ( )1, 95424 ( ) 0,62535

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BLOQUE 3: MATEMÁTICAS DISCRETA FICHA N°12: LOGARITMOS VULGARES. OBJETIVOS: Aprender a calcular los logaritmos y sus aplicaciones fundamentales para el cálculo y las construcciones gráficas.



Objetivo Educativo. CALCULO DEL VALOR DE LA EXPRESION: POR COMBINACION DE LAS PROPIEDADES ESPECÍFICAS DE LOS LOGARITMOS: Las propiedades de los logaritmos nos permiten emplearlos para calcular el valor de diversas expresiones: Ejemplo: Hallar el valor de la expresión de

3284×0.09132 715,84

𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠

3284 × 0.0,09132 𝑙𝑜𝑔 ( ) = 𝑙𝑜𝑔(3284 × 0,09132) + 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔715,84 715,84 = 𝑙𝑜𝑔3284 + 𝑙𝑜𝑔0.09132 + 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔715,84 ̅ 96057 + 3. ̅ 14518 = 3,51640 + 2. ̅ 62215 = 1. 𝐴𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 = 0.41894 Matemática


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2

2

Hallar el valor de la expresión de 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 35 × 53 2

2

2

2

𝑙𝑜𝑔 (35 × 53 ) = 𝑙𝑜𝑔35 + 𝑙𝑜𝑔53 2 2 𝑙𝑜𝑔3 + 𝑙𝑜𝑔3 5 3 2 2 (0.47712) + (0.69897) 5 3 0.190848 + 0.46598 0.656828, Antilogaritmo: 4.5376

3

Hallar el valor de la expresión de √

32,7×0.006 0.14×89.17

𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠

3 32,7 × 0.006 1 32,7 × 0.006 𝑙𝑜𝑔 ( √ ) = 𝑙𝑜𝑔 0.14 × 89.17 3 0.14 × 89.17

1 [𝑙𝑜𝑔32,7 + 𝑙𝑜𝑔0.006 + 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔0.14 + 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔 + 89.17] 3 1 [1.514548 + 3̅. 77815 + 0.8539 + 2̅. 04978] 3 1 [+2̅. 19635] = 1̅. 39878 3 Antilogaritmo= 0.25048

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LECCION N°12

NOMBRE: _______________________________ CURSO: ________________________________ PROFESOR: _____________________________ FECHA: _______________________________

INVESTIGO N°12 Investigue sobre la aplicación de los logaritmos en la vida diaria. _____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________

GLOSARIO N°12 Busque el significado de las siguientes palabras: Factor 15. Residuo 8. Diferencia 4. Antilogaritmo 4. Expresión numérica 1.

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RESUMO N°12 Elabore un mapa conceptual de las proceso de aplicación en la resolución de una expresión logarítmica: (10 puntos)

CUESTIONARIO N°12 Indique si es falso o verdadero. Si es verdadero ponga V si es falso F La característica de un logaritmo de un número comprendida entre 1 y 10 es cero

El cologaritmo de un número al logaritmo de su inverso

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La mantisa es la parte entera de un número

Hallar el valor de

𝟏𝟎𝟎.𝟑𝟗×𝟎.𝟎𝟑𝟏𝟗𝟔 𝟕.𝟏𝟒×𝟎.𝟎𝟗𝟑

por logaritmo

( ) 0, 68412 ( )0,1. 990729 ( )2,625352

Hallar el valor de

√𝟎.𝟎𝟐𝟔𝟐𝟒 𝟏,𝟒𝟏𝟔𝟒

por logaritmo

( ) 1̅. 622153 ( )1, 0.04029 ( ) 0,62535 𝟓

𝟑

𝟐

𝟐𝟒 ×𝟑,𝟖𝟏𝟑 Hallar el valor de √𝟕,𝟐𝟐𝟑 ×𝟒𝟐,𝟎𝟓𝟐 ×𝟏,𝟐𝟒 por logaritmo

( ) 1̅. 622153 ( )0, 0.04029 ( ) 0,476

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Calificación



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BLOQUE 3: MATEMATICAS DISCRETA

FICHA N°13: SOLUCIÓN DE PROBLEMAS.

OBJETIVOS: Aprender a calcular los logaritmos y sus aplicaciones fundamentales para el cálculo y las construcciones gráficas.



Objetivo Educativo. RESOLUCION DE PROBLEMAS UTILIZANDO LOGARITMOS El tema de LOGARITMOS tiene su aplicación en múltiples problemas de la vida diaria: Para resolver: 4. Leer el problema con detenimiento, si es necesario varias veces hasta captar la total comprensión. 5. Elaborar una tabla de datos. 6. Calcula el valor de cada uno de los logaritmos.

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Ejemplo de la solución de problemas de progresión geométrica: La potencia en caballos de vapor de un motor de cuatro tiempos está dada por la fórmula: 𝐻=

𝑑 2 𝑙𝑛 18000𝑁

En donde d es diámetro del cilindro, l la carrera del pistón (ambos en pulgadas), n el número de revoluciones por minuto y N en número de cilindros, ¿Cuál es la potencia de un motor de 2 cilindros en la cual d= 3.5 pulgadas, l = 3. 7 pulgadas si da 4 100 revoluciones por minuto? Tenemos: 𝐻=

3.52 𝑥3.7𝑥4100 3.52 𝑥3.7𝑥41 = 18 000 𝑥2 360

𝑙𝑜𝑔𝐻 = 2𝑙𝑜𝑔3.5 + 𝑙𝑜𝑔3.7 + 𝑙𝑜𝑔41 + 𝑙𝑜𝑔41 + 𝐶𝑜𝑙𝑜𝑔360 1.08814 + 0.56820 + 1.61278 + 3̅. 44370 𝑙𝑜𝑔𝐻 = 0,71282 Antilogaritmo: 5, 162.

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INVESTIGO N°13 Investigue sobre las ecuaciones exponenciales: de una introducción del tema. _____________________________________________________________________________________ ___________

GLOSARIO N°13 Busque el significado de las siguientes palabras: Antilogaritmo. 16.

Potencia 10.

Radical 5.

Base 2.

Pulgadas 4.

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RESUMO N°13 Elabore un mapa conceptual de la elaboración de un problema a través de un ejemplo indicando cada uno de los pasos:

CUESTIONARIO N°13 Resuelva los siguientes problemas usando logaritmos. Coloca la una X en la respuesta que sea verdadera. 4

Hallar el volumen de una esfera cuyo radio es de 13,42 cm Formula: 𝑉 = 3 𝜋𝑟 3 ( ) 0, 68412 ( )0,1. 990729 ( )2,625352 ( ) 𝑁. 𝐴

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Calcular el radio de una esfera cuyo volumen es de 528,4 𝒄𝒎𝟑 ̅. 𝟔𝟐𝟐𝟏𝟓𝟑 ( )𝟏 ( )1, 𝟎.04029 ( ) 𝟎, 𝟔𝟐𝟓𝟑𝟓 ( ) 𝑵. 𝑨 Determine el periodo de un péndulo que tiene 8, 75 pies de largo usando la fórmula: 𝑳 𝑻 = 𝟐𝝅√ 𝒈 En el cual T representa el periodo, L la longitud del péndulo y 𝒈 = 𝟑𝟐, 𝟏𝟔

𝒑𝒊𝒆𝒔 ⁄𝒔𝒆𝒈𝟐

̅. 𝟔𝟐𝟐𝟏𝟓𝟑 ( )𝟏

( )0, 𝟎.04029 ( ) 𝟎, 𝟒𝟕𝟔 ( ) 𝑵. 𝑨 Los lados del triángulo son a = 23, 4 m b = 29,2 m. c = 37,6 m. hallar el área del triángulo por la fórmula de Herón. 𝑨 = √𝒑(𝒑 − 𝒂)(𝒑 − 𝒃)(𝒑 − 𝒃) En la cual 𝒑 =

𝒂+𝒃+𝒄 𝟐

( ) 𝟎. 𝟕𝟏𝟐𝟖𝟐 ( )0, 𝟎.40291 ( ) 𝟎, 𝟕𝟔𝟔𝟔𝟕

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BLOQUE 3: MATEMÁTICAS DISCRETA

FICHA N°14 ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS OBJETIVOS: Reconocer y representar funciones exponenciales. Aplicar las funciones exponenciales al interés compuesto y otras situaciones. Interpretar las gráficas de las funciones logarítmicas.



Objetivo Educativo. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS Históricamente, los exponentes fueron introducidos en matemáticas para dar un método corto que indicara el producto de varios factores semejantes, y, con este propósito, solo se consideraron inicialmente exponentes naturales. El estudio de las potencias de base real será dividido en varios casos, de acuerdo con la clase de exponente: un número entero, racional o, en general, un número real. Concepto: Son ecuaciones en la que la incógnita es exponente de una cantidad. Para resolver ecuaciones exponenciales, se aplica logaritmos a los dos miembros de la ecuación y se despeja la incógnita.

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Para mejor compresión determinamos la siguiente aplicación. Ejemplo: 1. Resolver la ecuación: 3𝑥 = 60 𝑙𝑜𝑔3𝑥 = 𝑙𝑜𝑔60

Comprobación:

𝑥𝑙𝑜𝑔3 = 𝑙𝑜𝑔60

𝑙𝑜𝑔33,72 = 𝑙𝑜𝑔60

𝑥=

𝑙𝑜𝑔60 = 𝑙𝑜𝑔60

𝑙𝑜𝑔3 𝑙𝑜𝑔60 1,77815

𝑥 = 0,47712

𝑥 = 3,72

Resuelva la ecuación 52𝑥−1 = 125 (2𝑥 − 1) log 5 = 125 2𝑥 − 1 = =

𝑙𝑜𝑔125 log 5

2𝑥 = =

𝑙𝑜𝑔125 +1 log 5

2𝑥 = =

2,096910 +1 0,698970

𝑥= =

3+1 2 4

𝑥= =2 𝑥=2 Comprobación: 52𝑥2−1 = 125 53 = 125 125 = 125

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LECCION N°14


INVESTIGO N°14 Indique el proceso para resolver una ecuación logarítmica. _____________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

GLOSARIO N°14 Busque el significado de las siguientes palabras: Ecuación. 17.

Inecuación 12.

Desigualdad 6.

Igualdad 3.

Ecuación Exponencial 5.

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Tercero Año de Bachillerato

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RESUMO N°14 Elabore un mapa conceptual de una ecuación logarítmica: indique el proceso de solución:

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CUESTIONARIO N°14 1. Complete: Ecuaciones logarítmicas.- son ecuaciones en la que la incógnita es …………………. de una cantidad. Para resolver ecuaciones exponenciales, se aplica logaritmos a los………………….. de la ecuación y se despeja la………………………..

2. Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas. Coloca la una X en la respuesta que sea verdadera.

𝟓𝒙 = 𝟑 ( ) 0, 𝟔𝟖𝟐𝟔 ( )𝟎, 𝟔𝟕𝟐𝟔 ( )𝟐, 𝟔𝟐𝟓𝟑𝟓𝟐 3. Calcule 𝟎, 𝟐𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟔 ̅. 𝟔𝟐𝟐𝟏𝟓𝟑 ( )𝟏 ( ) 𝟒 ( )−𝟒 ( ) 𝑵. 𝑨 4. Calcule 𝟑𝟐𝒙−𝟏 = 𝟐𝟏𝟖𝟕 ( ) 𝟔, 𝟐𝟐𝟏𝟓𝟑 ( )0, 4029 Firma del Profesor

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BLOQUE: MATEMÁTICAS DISCRETA

FICHA N°15: Generalidades y Aplicaciones.

OBJETIVOS: Comprender y aplicar las diferentes fórmulas de la geometría analítica que existen y su aplicación para resolver distintos problemas que sean plateados, además las transformaciones y sus formas de gráficas.


Aplicar el proceso en la solución de ejercicios. Analizar las fórmulas de distancia. Aplicar las formulas en problemas planteados.

Objetivo Educativo. GEOMETRIA ANALITICA La distancia entre dos puntos del plano se calcula algebraicamente aplicando el Teorema de Pitágoras, función de las coordenadas de estos puntos. 𝑑2 = (𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 + 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas. Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.

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Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Distancia de un punto a una recta. La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto.

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Ejemplo: Calcular la distancia entre los siguientes puntos: 𝐴(6,4) 𝑦 𝐴(6,4) 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 𝑑 = √(2 − 6)2 + (0 − 4)2 𝑑 = √(16)2 + (16)2 𝑑 = √32 𝑑 = 5,66 PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO El punto medio de un segmento de una recta es igual a la semisuma de los componentes 𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2 𝑃𝑚 = ( ; ) 2 2

Ejemplo: Calcule el punto medio de los siguientes pares de puntos 𝐴(6,4) 𝑦 𝐴(6,4) 𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2 𝑃𝑚 = ( ; ) 2 2 6+2 4+0 𝑃𝑚 = ( ; ) 2 2 𝑃𝑚 = (4,2)

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LECCION N°15 ESTUDIANTE ______________________________ PARALELO: ________________________________ PROFESOR: ________________________________ FECHA: ____________________________________

INVESTIGO N°15 Investigue sobre la Geometría Analítica (concepción general). _____________________________________________________________________________________ ___________________________

GLOSARIO N°15 Busque el significado de las siguientes palabras: Geometría. ______________________________________________________________________ Analítica_____________________________________________________________________________ Punto medio_________________________________________________________________________ Coordenada__________________________________________________________________________

Teorema de Pitágoras. _______________________________________________________________

Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

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RESUMO N°15 Elabore un mapa conceptual sobre la distancia entre dos puntos y otro sobre punto medio de un segmento de recta (10 puntos)

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CUESTIONARIO N°15 1. Calcule el perímetro del triángulo cuyos vértices son 𝑨(𝟔, 𝟐) 𝑩(𝟒, 𝟑) 𝑪(𝟎, 𝟏) ( ( ( (

) 12,78 )12,57 )2,62 ) 𝑁. 𝐴

2. Demuestre que los puntos A(0,4) B(3, −2) y ( ( ( (

C(−2,8) son colineales

)5 )𝟓√𝟓 ) 0,62535 ) 𝑁. 𝐴

3. Calcular el punto medio de los siguientes pares de puntos

𝑨(𝟐, −𝟐) 𝒚 𝑩(𝟎, 𝟎) ( ( ( (

) (𝟏, −𝟏) )(𝟐, −𝟐) ) (𝟑, −𝟑) ) 𝑁. 𝐴

4. Calcular las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo cuyos vértices son A(3,7) B(5, −5) y C(−2,0) ( ) (4,1) ; (1,5; −2.5 ) y (0.5; 3,5) ( )(−4,1) ; (1,5; 3.5 ) y (0.2; 4,5) ((8,6) ; (15; −25 ) y C(5; 5)) ( ) 𝑁.A

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BLOQUE 4: PROBABILIDAD Y GEOMETRÍA ANALÍTICA FICHA N°16: Funciones Analíticas. OBJETIVOS: Comprender y aplicar las diferentes fórmulas de la geometría analítica que existen y su aplicación para resolver distintos problemas que sean plateados, además las transformaciones y sus formas de gráficas.


Aplicar el proceso en la solución de ejercicios. Analizar las fórmulas de distancia. Aplicar las formulas en problemas planteados.

Objetivo Educativo. Destreza con criterio de desempeño: comprender de donde se obtiene la ecuación de la línea recta y como graficarla en el plano cartesiano así como comprender la obtención de la ecuación de la recta a partir de datos conocidos de la misma en el plano cartesiano. GEOMETRIA ANALITICA: La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. La geometría trata los 2 siguientes problemas: 1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación. 2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que verifican dicha ecuación. LÍNEA RECTA: es una sucesión infinita de puntos en el plano cartesiano. Para graficar una recta es necesario conocer al menos 2 puntos que componen la misma en el plano, los cuales se utilizan para calcular la pendiente de la recta que es indispensable para graficar la recta. La distancia mas corta entre 2 puntos es la líneas recta.

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Pendiente (m): la pendiente describe la inclinación de la recta en el plano. La pendiente de una recta corresponde al cambio en Y dividido el cambio en X la cual corresponde a la ecuación, que se calcula con 2 puntos de la recta: . Ecuación General de la Recta

Ecuación de la Recta (vertical)

Ecuación de la Recta (horizontal)

Ecuación de la Recta (punto-pendiente)

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto A( -1, 3) y es paralela a la recta 2y -6x = 10 Procedimiento:

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Luego utilizamos la ecuación general de la recta y llegamos a :

La ecuación de la recta que pasa por ese punto es:

Pendiente = 3 Intersección con el eje Y = (0,6) "hacemos cero a x" Intersección con el eje x = (-2,0) "hacemos cero a y"

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LECCION N° 16


INVESTIGO N°16 Indique el proceso para graficar una recta perpendicular a otra recta. 18.

GLOSARIO N°16 Busque el significado de las siguientes palabras: Pendiente 19. Paralelo 14. Perpendicular 6.

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RESUMO N°16 Elabore un mapa conceptual de los pasos para graficar una recta a partir de la ecuación y otro con los pasos para desarrollar la ecuación de la recta conociendo los puntos de la misma.

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CUESTIONARIO N°16 

Halle la ecuación de la recta que pasa por

y es paralela a

RESP: y=(10-x)/3



Conocidos los puntos A(-3,4) y B(4,3) determine la ecuación de la recta que pasa por estos puntos. RESP: y = (25-x)/7



Conociendo la ecuación de la recta 3x-6y+5=0 determine la pendiente de la misma y grafique la recta. RESP: 1/2



Grafique la ecuación siguiente 6x-y-2=0

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BLOQUE 4: PROBABILIDAD Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

FICHA N°17: PROPIEDADES ANALÍTICAS.

OBJETIVOS: Estudiar y comprender a la circunferencia y su obtención. Comprender y aplicar las diferentes fórmulas de la geometría analítica que existen y su aplicación para resolver distintos problemas que sean plateados, además las transformaciones y sus formas de gráficas.

Destreza de Criterio de desempeño: 

Comprender de donde se obtiene la ecuación de la circunferencia y como graficarla en el plano cartesiano así como comprender la obtención de la ecuación de la recta a partir de datos conocidos de la misma en el plano cartesiano.

Objetivo Educativo. Destreza con criterio de desempeño: LA CIRCUNFERENCIA: La circunferencia es el lugar geométrico de un punto de coordenadas (x,y) que se mueve sobre un plano, de manera que su distancia permanece constante con relación a un punto fijo de coordenadas (h,k). El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante es el radio (r).

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Forma General de la Ecuación de la Circunferencia Si desarrollamos la forma reducida de la ecuación de la circunferencia obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia:

Si en la expresión anterior, sustituimos;

Podemos escribir la ecuación de la siguiente forma: Forma general de la ecuación de la circunferencia. Radio Sea "C" (a, b) el centro de la circunferencia, r el radio y P(x,y) un punto de la misma. d(C,P) = r

Elevando toda la expresión al cuadrado obtenemos:

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EJEMPLOS Determine la ecuación de la circunferencia con centro en (-1,2) y que pasa por el punto (3,4) Determinamos el radio, sustituimos en

Sol.

= radio = Calculamos el radio, sustituimos

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INVESTIGO N°17 Indique el proceso para graficar una circunferencia que es tangente a una recta. 20.

GLOSARIO N°17 Busque el significado de las siguientes palabras: Radio 21. Centro 16. Tangente 7.

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RESUMO N°17 Elabore un mapa conceptual de los pasos para graficar circunferencia a partir de la ecuación y otro con los pasos para desarrollar la ecuación de la circunferencia conociendo los puntos de la misma.

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CUESTIONARIO N°17 

Determine la ecuación general de una circunferencia tangente a la recta definida por la ecuación , y está centrada en el punto (-1,-2 )



Determine los valores del centro de la circunferencia y del radio de la ecuación x^2+y^25x+5y-20=0 y graficar.

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

Graficar la circunferencia con centro en (3,2) y que tiene un radio de 5.



Graficar la circunferencia con la ecuación 25=(x-5)^2 +(y+3)^2

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BLOQUE 4: PROBABILIDAD Y GEOMETRÍA ANALÍTICA FICHA N°18: Propiedades Analíticas. Objetivo: Estudiar y comprender a la parábola y la obtención de su ecuación. Destreza con criterio de desempeño: 

La ecuación de la parábola, obtención de la gráfica de una parábola, obtención de la ecuación de una parábola a partir de la gráfica.

PARABOLA: Sea l una recta y sea F un punto. La parábola se define como el conjunto de puntos P(x,y) tal que su distancia al punto F es igual a su distancia a la recta l . Es decir: Parábola =

Ecuación de la cónica:

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Al punto V se le denomina vértice de la parábola, en este caso tiene coordenadas (0,0 ). A la recta perpendicular a la directriz, que contiene al vértice y al foco, se le denomina Eje Focal. Observe que para la parábola anterior el eje focal es el eje y. Observe además que la parábola es cóncava hacia arriba. Al segmento de recta perpendicular al eje focal que pasa por el foco y que tiene como extremos los dos puntos de la parábola, se denomina lado recto y tiene una medida de 4p.

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INVESTIGO N°18 Indique el proceso para graficar una parábola que es tangente a una recta. 22.

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GLOSARIO N°18 Busque el significado de las siguientes palabras: Eje focal 23. Vértice parabola 18. Tangente 8. Lado recto 1.


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RESUMO N°18

Elabore un mapa conceptual de los pasos para graficar una parábola a partir de la ecuación y otro con los pasos para desarrollar la ecuación de la parábola conociendo los puntos de la misma.

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CUESTIONARIO N°18 Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: (Indique todos sus elementos).

Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: (Indique todos sus elementos).

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Determine la ecuación canónica de la parábola donde la recta directriz tiene la ecuación y los extremos del lado recto son los puntos

Determine la grafica de la ecuación

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donde k=3, h=0 y p=3

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BLOQUE 4: PROBABILIDAD Y GEOMETRÍA ANALÍTICA FICHA N°19: Propiedades Analíticas. OBJETIVOS: Ampliar el estudio de la Geometría Plana. Destreza de Criterio de desempeño:  Realizar el análisis de las teorías de la geometría y sus aplicaciones. La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, continúa con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. Actualmente la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones. Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son: 1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación. 2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que verifican dicha ecuación.

Secciones cónicas 

La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Una parábola (figura A) cuyo eje de simetría sea paralelo al eje de abscisas se expresa mediante la ecuación:

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LA CIRCUNFERENCIA. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada. Elementos de la circunferencia: Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia: 

Radio, El radio de una circunferencia es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El radio mide la mitad del diámetro.El radio es igual a la longitud de la circunferencia dividida por 2π.;



Diámetro, El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circuferencia y pasa por el centro. El diámetro mide el doble del radio. El diámetro es igual a la longitud de la circunferencia dividida por π;



Tangente, es la línea que toca a la circunferencia en un sólo punto;



Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia;



Arco, El arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Un arco de circunferencia se denota con el símbolo sobre las letras de los puntos extremos del arco.; 𝑨 = 𝟐𝝅𝒓𝟐 𝒅𝒊𝒂𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 = 𝟐𝒓

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LA ELIPSE Es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los vértices.

LA HIPÉRBOLA Es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia (resta) de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los vértices.

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LECCION N°19 NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ FECHA: ___________________________________ PARALELO: ________________________________ PROFESOR: ________________________________

INVESTIGO N°19 Investigue que es la recta tangente a la circunferencia y hacer un gráfico.

24.

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RESUMO N°19 Realice un resumen sobre las secciones Cónicas. (Use regla y compas) 25.

GLOSARIO N°19 Radio

Recta Secante 1. Directriz 1. Eje focal 1.

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Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado 26.

CUESTIONARIO N°19 Determinar los puntos de intersección de las dos ecuaciones. y = x2 – 5x – 3 y = –2x2 + 4x – 1

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Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2;3) y es perpendicular a la ecuación 2x-6y=4

Determine la grafica (𝒙 − 𝟑)𝟐 + (𝒚 − 𝟏)𝟐 = 𝟒𝟗 Identifique: El punto del centro: El diámetro: El Área de la gráfica:

Determine el radio de la circunferencia con centro en el punto (-2;-3) y a su vez tiene una recta tangente -x + y = 2, grafique la recta

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BLOQUE 4: PROBABILIDAD Y GEOMETRÍA ANALÍTICA FICHA N°20: Ecuaciones Cuadráticas. Objetivos: Realizar el análisis de las cónicas determinar sus diferencias gráficas, entendiendo el criterio de función cuadrática y ecuaciones vistas en clase.


Resolver sistemas de ecuaciones y aplicaciones en geometría analítica. Resolución de ecuaciones cuadráticas. Determinación de soluciones a sistemas cuadritos y lineales.

Objetivo educativo: Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x. Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad. Ese valor es la solución de la ecuación. Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0 El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación. Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna). Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma: ax2 + bx + c = 0 Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular.

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Ecuaciones Lineales

En geometría euclidiana, la recta o la línea recta, se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, es decir, no posee principio ni fin. En una recta, la pendiente m es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación:

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente Ecuación punto-pendiente

Distancia entre puntos

Dados dos puntos cualesquiera A(x1,y1), B(x2,y2), definimos la distancia entre ellos, d(A,B), como la longitud del segmento que los separa. Para calcularla aplicamos el teorema de Pitágoras en el rectángulo coloreado :

Si los puntos tiene la misma ordenada o la misma abscisa, la distancia entre ellos se calcula sin necesidad de aplicar la fórmula anterior. INTERSECCION ENTRE RECTAS Para detrminar el punto que se genera en el cruze o interseccion de dos rectas realizamos el siguiente procedimiento: 1) Primero despejamos la variable “y” de cada una de las ecuaciones. 2) Tomamos e igualamos las dos “y” 3) Resolviendo ,ordenando las “x” a un lado y simplificando terminos nos queda un valor en “x” el mismo que es parte del punto

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4) Despues obteniendo ya el punto en “x” reemplazamos ese punto en cualquiera de las dos ecuaciones y asi obtenemos el punto “y” P( “x” ; ”y” ) Ejemplo: 2x +y =1 ; X+y=2 1) y=1-2x ; y=2-x 2) y=y 3) 1-2x=2-x -2+ 1=-x +2x ; -1=x 4) reemplazo en cualquiera de las dos ecuaciones la x=-1 X+y=2 (-1)+y=2 ; y=2+1 ; y=3 punto de intersecion de las dos rectas es el punto P(-1;3)

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INTERSECCION ENTRE PARABOLAS De igual manera que las rectas, la única diferencia es que cuando igualamos las “y” en la resolución me queda una ecuación de segundo grado.

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Ejemplo: Resolver

Determinamos los valores de a , b , c a=1 b=-5 c=6 Reemplazamos en la formula general

Una vez obtenidos los puntos x1 y x2 reemplazamos un por uno en una de cualquiera de las ecuaciones Obteniendo asi dos puntos P1(x1;y1) P2(x2;y2) los mismos que son los puntos donde se cortan las dos parabolas.

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LECCION N°20 NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ FECHA: ___________________________________ PARALELO: ________________________________ PROFESOR: ________________________________

INVESTIGO N°20 Investigue 2 métodos de resolución de sistemas de ecuaciones cuadráticas.

27.

RESUMO N°20 Realice un resumen sobre como resolver un sistema de ecuaciones cuadráticas. 28.

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GLOSARIO N°20 Intersección

Formula general de segundo grado 2. Rectas paralelas 2. Rectas perpendiculares 2.

Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado 29.

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CUESTIONARIO N°20 Determinar los puntos donde se cruzan usando la formula general y = 3x2 – 2x – 3 y = –5x2 + 4x – 1 solucion

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Determinar las intersecciones de las graficas 2𝑥 − 𝑦 = 1 2𝑥 2 − 3𝑦 = 6𝑦

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Determine las intersecciones de las dos graficas con ecuación y = x ² + 4x + 4 3x - 2y = -16 

( )𝑥1 = −13

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𝑦=7


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Determine las intersecciones de las dos graficas x²-x-y=0 5x + y = 17

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Firma del Profesor

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Tercero de Bachillerato

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Matemáticas 3 Bachillerato

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