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Curso 2013/14 2013/1 4
Matemácas Aplicaas a las CC!SS!I "#I$A$ 3% &R'(A(ILI$A$. 3.1. E)perime*tos aleatorios + etermi*istas. etermi*istas. Al realizar un experimento puede ocurrir que sepamos de antemano el resultado que vamos a obtener o que lo desconozcamos. Así, por ejemplo, si arrojamos una piedra a un lago, la experiencia demuestra que siempre se hunde. Por otro lado, si realizamos el experimento consistente en lanzar un dado sobre una mesa, no nos es posible predecir el resultado que vamos a obtener.
Decimos que un experimento es determinista si su resultado se puede predecir a parr del conocimiento de las condiciones en las que se realiza. Ejemplos: a- edi edirr el espa espaci cio o recor ecorri rido do por por un m!vi m!vill que que se desp despla lazza con con veloc elocid idad ad constante, constante, durante un periodo de "empo. b- #alcular #alcular el $rea de una una circun% circun%eren erencia cia conocido conocido su radio. radio. c- &ete &eterm rmin inar ar la dire direcc cci! i!n n que que toma toma un obje objeto to que se deja deja caer caer desd desde e una una determinada altura.
experimento es aleatorio si no es posible predecir su resultado, a pesar Decimos que un experimento de conocer las condiciones en las que se realiza. Incluso en condiciones análogas, el resultado no puede predecirse ya que está sujeto al azar . Ejemplo: a- 'anz anzar un dado dado.. b- 'anz 'anzar ar una una mon mone eda. da. c- Extra Extraer er una carta carta de una baraja baraja.. En lo sucesivo centraremos nuestro nuestro estudio en los experimentos aleatorios.
E,ercicio 1% (azona ) di si los siguientes experimentos son aleatorios o deterministas: i. ii. ii. iii. iii. iv. iv.
&ejar &ejar caer caer una una moneda moneda desd desde e una altu altura ra det determ ermina inada da ) medi medirr el "empo "empo que que tard tarda a en llegar al suelo. 'anz 'anzar ar una una mon moned eda a ) obs observ ervar ar si si sal sale e car cara a o cru cruz. z. Extr Extrae aerr una una cart carta a de una una bar baraj aja a ) mira mirarr de qu* qu* pal palo o es. es. Echar Echar aceite aceite en una una copa copa con agua agua ) obse observa rvarr si se disuel disuelve ve..
3.2. Espacio muestral. 'lamaremos espacio muestral de un experimento aleatorio al conjunto de todos los resultados que pueden obtenerse al realizar el experimento+ lo denotaremos por la letra E.
Ejemplo: &ro-a-ilia.
&ái*a 1
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Matemácas Aplicaas a las CC!SS!I El espacio muestral asociado al experimento consistente en lanzar un dado sería: E 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 Puede ocurrir que un experimento sea compuesto+ es decir, que est* %ormado por varios experimentos simples, que bien pueden ser realizados de %orma simultanea o sucesivos. Así, el lanzar una moneda o un dado es un experimento simple, mientras que si lanzamos dos monedas o una moneda ) un dado o dos dados estamos realizando un experimento compuesto. En este caso, para averiguar el espacio muestral asociado al experimento compuesto es "l emplear un iarama e* ár-ol. Ejemplo: El espacio muestral correspondiente al experimento consistente en lanzar dos monedas lo obtendríamos de la siguiente %orma: lanzamiento.
/ lanzamiento # 0#,#1
# 2
0#,21
#
02,#1
2
02,21
2
Por tanto E CC , CX , XC , XX
E,ercicio 2% 3alla el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios: i. ii. iii. iv. v. vi.
'anzar una moneda ) observar la cara superior. 'anzar una dado de quinielas ) observar el resultado de la cara superior. 4acar una bola de una bolsa donde ha) una bola blanca ) otra negra. 'anzar tres monedas consecu"vamente ) observar los resultados de las caras superiores. 'anzar dos dados ) anotar la suma de los nmeros que aparecen en las caras superiores. 'anzar una moneda ) un dado a la vez.
3.3. Sucesos. 'peracio*es co* sucesos. #ada uno de los subconjuntos del espacio muestral E recibe el nombre de suceso ) se representa mediante una letra ma)scula 0 A , 5 , # , etc... 1 Así, A 2,4,6 o B 1,3,5 son ejemplos de sucesos del experimento aleatorio “ lanzar un dado” , correspondientes a sacar un número par o sacar un número impar , respec"vamente.
&ro-a-ilia.
&ái*a 2
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Matemácas Aplicaas a las CC!SS!I &ecimos que un suceso se erica u ocurre al e%ectuar un experimento aleatorio si el resultado obtenido %orma parte de dicho suceso. Así, si al lanzar el dado anterior obtenemos un 6, diremos que se ha veri7cado el suceso A, pero no el 5.
3.3.1. ipos e sucesos. En el espacio muestral pueden dis"nguirse diversos sucesos: a1 Suceso eleme*tal Es cada uno de los resultados simples que se ob"enen al realizar el experimento. Equivale a cada elemento del espacio muestral. b1 Suceso compuesto 4on aquellos %ormados por dos o m$s sucesos elementales. Equivale a un subconjunto de E. c1 Suceso seuro Es el que se veri7ca siempre. Equivale al espacio muestra E. d1 Suceso imposi-le Es aquel que nunca se veri7ca. Equivale al conjunto vacío ) se representa por . e1 Suceso co*trario e A Es el que se cumple cuando no se cumple A. 4e denota por A C . %1 &artes e E o espacio e sucesos Es el conjunto de todos los sucesos de E. se denota por P 0 E 1. Ejemplo: #onsideremos el experimento que consiste en lanzar un dado tetra*drico, es decir, con 6 caras triangulares, numeradas del al 6 ) anotar el resultado de la cara in%erior.
El espacio muestral es E 1 , 2 , 3 , 4 8n suceso elemental sería obtener un dos. 8n suceso compuesto sería obtener nmero par: A 2 , 4 El suceso seguro es E 1 , 2 , 3 , 4
8n suceso imposible sería obtener 9.
El suceso contrario de A 2 , 4
es A C 1 , 3
;1; 2 ; 3 ; 4 ; 1, 2 ; 1, 3 ; 1, 4 ; 2 , 3 ; 2 , 4 ; 3 , 4 ; 1, 2 , 3 ; 1, 2 , P ( E ) 1, 3 , 4 ; 2 , 3 , 4 ; 1, 2 , 3 , 4 3.3.2. 'peracio*es co* sucesos. &ados dos sucesos A ) 5, se de7nen las siguientes operaciones:
1. "*i* e sucesos. 4e llama uni!n de los sucesos A ) 5 al suceso %ormado por todos los resultados que est$n en A o en 5. 4e representa por A B . El suceso A B se veri7ca si se veri7ca A o 5.
&ro-a-ilia.
&ái*a 3
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2. I*tersecci* e sucesos. 4e llama intersecci!n de los sucesos A ) 5 al suceso %ormado por todos los resultados que est$n en A ) en 5 a la vez. 4e representa por A B . El suceso A B se veri7ca si se veri7can simult$neamente A ) 5.
3. $iere*cia e sucesos. 4e llama di%erencia entre el suceso A ) el suceso 5 al suceso %ormado por todos los resultados que est$n en A pero no en 5. 4e representa por A B . El suceso A B se veri7ca si se veri7ca A pero no se veri7ca 5. $cilmente se ve que A B A B.
4. Suceso compleme*tario o co*trario. 4e llama complementario o contrario del suceso A, ) se representa por A C ó A , al suceso %ormado por todos los resultados del experimento que no est$n en A, es decir, a la di%erencia E A . El suceso A se veri7ca si no se veri7ca A. &e este modo E ) E . Ejemplo: Extraemos una carta de una baraja espa;ola ) observamos su palo. E%ecta las siguientes operaciones con los sucesos P: “sacar oros o copas” , <: “ no sacar copas” ) (: “ no sacar ni oros ni espadas”. a ) R
&ro-a-ilia.
b ) R Q
c ) R Q
d ) Q P
&ái*a 4
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Matemácas Aplicaas a las CC!SS!I 4i designamos por = 0 oros 1, # 0 copas 1, E 0 espadas 1 ) 5 0 bastos 1 los cuatro palos de la baraja, tenemos que: E O, C , E , B
Así pues, los sucesos P,< ) ( estarían %ormados por los siguientes elementos del espacio muestral:
P O, C
Q O, E , B
R C , B
&e esta manera tendríamos:
a ) R E R O, C , E , B
C , B O, E b ) R Q C , B O, E , B O, C , E , B E c ) R Q C , B O, E , B B d ) Q P O, E , B O, C E , B 3.3.3. Sucesos compa-les e i*compa-les.
B
#onsidera el experimento consistente en lanzar un dado. 'os sucesos A 2 , 3 1 , 2 ) C 4 , 5 cumplen los siguiente:
o
o
,
y ! se "eri#can simultáneamente si obtenemos un $. Decimos que son sucesos compables. y % no pueden "eri#carse simultáneamente. Decimos que son sucesos incompables.
Por tanto:
&os o m$s sucesos son compa-les si pueden veri7carse simult$neamente. En caso contrario, son i*compa-les.
Puesto que dos o m$s sucesos s!lo pueden veri7carse simult$neamente si "enen, al menos, un resultado comn, para saber si son o no compa"bles basta con averiguar su intersecci!n. Así, en el caso de dos sucesos, A ) 5, se "ene:
A y B son compatibles A y B son incompatibles
A B A B
4ean ahora los sucesos D 1 , 2 , E 4 , 5 ) F 6 . =bserva que todas las parejas posibles que se pueden %ormar entre estos sucesos 0 & ) E, & ) , E ) 1 son incompa"bles, )a que sus respec"vas intersecciones son . Por tanto:
>res o m$s sucesos son i*compa-les os a os si es incompa"ble cualquier pareja que se pueda %ormar entre ellos.
=bserva que si tres o m$s sucesos son incompa"bles dos a dos, son tambi*n incompa"bles. 4in embargo, a la inversa no es cierto: tres o m$s sucesos pueden ser incompa"bles sin ser incompa"bles dos a dos. ?eamos un ejemplo:
&ro-a-ilia.
&ái*a
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Matemácas Aplicaas a las CC!SS!I &ea el experimento consistente en lanzar un dado. %onsidera lo sucesos' (' “ )btener menos de tres”. *' “ )btener puntuaci+n par”. ' “ )btener la menor o la mayor puntuaci+n posible”. "erigua si son compables o incompables los sucesos (, * y , y si son incompables dos a dos. U 1 , 2
De#nimos los sucesos dados'
%alculemos U V W 1 , 2
V 2 , 4 , 6
W 1 , 6
2 , 4 , 6 1, 6 .
-uesto que U V W ( , * y son incompables. &in embargo ( , * y no son incompables dos a dos, ya que'
U V 2
V W 6
U W 1
E,ercicio 3% #onsidera el experimento consistente en extraer una carta de una baraja espa;ola, ) los sucesos A: “ )btener un as” , 5: “ )btener oros o espadas” , #: “ )btener #gura” ) &: “ )btener el cinco de espadas” . @ndica si los siguientes sucesos son compa"bles o incompa"bles. a1 A ) 5 b1 A ) # c1 5 ) &
d1 A , # ) & e1 A , 5 ) # %1 A , 5 ) &
3.3.4. Sistema completo e sucesos En el experimento aleatorio que consiste en el lanzamiento de un dado cu)o espacio muestral es E 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , consideremos los siguientes sucesos:
A 1 , 2 , 6
B 3 , 4
C 5
Es %$cil observar que estos sucesos cumplen las siguientes propiedades: - A B C E /- A , 5 ) # son incompa"bles dos a dos. A un conjunto de sucesos que cumpla estas dos condiciones lo llamaremos sistema completo e sucesos. Es evidente que este sistema no es nico para este experimento. B #u$l podría ser otroC.
&ro-a-ilia.
&ái*a 5
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Matemácas Aplicaas a las CC!SS!I Sucesos. E,ercicios. - 'os equipos de %tbol de Argen"na ) 5rasil disputan un campeonato. 4e proclama vencedor el primero que gane tres veces seguidas o el mejor de cinco par"dos disputados. #onstru)e el espacio muestral. /- 8n a7cionado a los casinos "ene "empo para jugar a la ruleta cinco veces a lo sumo. #ada apuesta es de D . Empieza con D ) deja de jugar cuando pierda los D o cuando gane F . =btener el espacio muestral. G- 4ea el experimento consistente en lanzar un dado con %orma de dodecaedro 0 / caras 1 ) observar la puntaci!n de la cara superior. #onstru)e los siguientes sucesos: A: “ )btener un número par”. 5: “ )btener un /.” #: “ )btener un 01.” &: “ )btener un número impar mayor que cinco.” Al realizar una prueba del experimento se ob"ene como resultado una puntuaci!n de H. @ndica cu$les de los sucesos anteriores se veri7can. B Es alguno de ellos el suceso seguroC. B I el suceso imposibleC. 6- Extraemos una carta de una baraja espa;ola ) miramos su palo. #onsidera los sucesos A: “ )btener una copa” ) 5: “ )btener una #gura”. &escribe los siguientes sucesos: a ) A B
c ) A B
b ) A
d ) A B
e ) A B
9- Extraemos una papeleta de una urna donde ha) /9 papeletas numeradas del al /9. #onsidera los sucesos A: “ )btener número primo” ) 5: “ )btener un número tal que la suma de sus ci2ras sea par” . =bt*n los siguientes sucesos: a ) A B
b ) A B
c ) A B
d ) A B
e ) ¿ Son compatible s A y B ?
D- En una urna tenemos siete bolas numeradas del al J, ) realizamos el experimento de sacar una bola ) anotar su nmero. #onsiderando los sucesos A 1 , 3 , 5 , 7 ) B 2 , 4 , 6 , 7 , determina los siguientes sucesos:
a ) A E B Pr !eba !e : a ) A B A A
b ) A B
c ) E
b ) A E A
d )
e ) A B
c ) A B A B
f ) A B E d ) A B A B
J- #onstru)e un espacio completo de sucesos para el experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de un dado icosa*drico 0 /K caras 1
3.4. Iea i*tuia e pro-a-ilia.
&ro-a-ilia.
&ái*a 6
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Matemácas Aplicaas a las CC!SS!I 4upongamos que realizamos el experimento consistente en extraer una bola de una urna donde ha) siete bolas azules ) tres blancas. 'a intuici!n nos dice que la bola extraída ser$, posiblemente, de color azul, pero Bhasta qu* punto podemos estar segurosC B Podemos de alguna %orma cuan"7car esa posibilidad C #omo ves, estamos interesados en poder medir el grado de certeza de una situaci!n. Esta medida se denomina pro-a-ilia. Para ello e%ectuamos varias series de L realizaciones del experimento anterior ) en cada una de ellas anotamos las %recuencias absolutas ) rela"vas de los sucesos A: ”&alir bola azul” ) 5: “ &alir bola blanca” . 4upongamos, por ejemplo, que realizamos F series de 9K realizaciones cada una 0 6KK realizaciones en total 1 ) obtenemos los siguientes resultados:
Suceso A7ul (la*co
Reali7acio*es el e)perime*to 8 # 9 9K /KK /9K GKK
9K
KK
G9K
6KK
f A
G/
J/
HG
G
D9
HH
/GH
/JJ
" A
K,D6K
K,J/K
K,D/K
K,D99
K,DDK
K,DDG
K,DFG
K,DHG
f B
F
/F
9J
DH
F9
K
/G
" B
K,GDK
K,/FK
K,GFK
K,G69
K,G6K
K,GGJ
K,GJ
K,GKJ
#omo ves, las %recuencias rela"vas "enden a situarse en torno a cierto valor al aumentar el nmero de realizaciones del experimento. BPodrías intuir tu qu* valor es eseC BPodrías haberlo obtenido sin necesidad de realizar 6KK veces el experimentoC B#!moC A la vista de los resultados anteriores podemos dar, bas$ndonos en la intuici!n, una primera de7nici!n de probabilidad:
Dado cualquier suceso asociado a un experimento aleatorio, llamamos probabilidad de A, P ( A ) , al número 3acia el que enden las 2recuencias rela"as de al aumentar el número de realizaciones del experimento. Así, en el ejemplo anterior podríamos decir que P 0 A 1 M K,J ) P 0 5 1 M K,G.
3.. $e*ici* clásica e pro-a-ilia. Rela e Laplace. 'os resultados obtenidos, de %orma intui"va, en el ejemplo anterior permi"! al matem$"co ) astr!nomo %ranc*s Pierre 4im!n 'aplace 0 J6H-F/J 1 dar la siguiente de7nici!n de probabilidad.
&i en un experimento aleatorio todos los sucesos elementales son equiprobables 4 que enen la misma posibilidad de "eri#carse 5, la probabilidad de un suceso se obene di"idiendo el número de resultados que forman el suceso A entre el número de resultados posibles.
4i llamamos casos %avorables a los resultados que %orman el suceso A ) casos posibles a los resultados posibles del experimento, tenemos:
&ro-a-ilia.
&ái*a :
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Matemácas Aplicaas a las CC!SS!I P ( A )
Casos fa#o$ables a A Casos posibles
Ejemplo : 4e considera un experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado. 4e pide la probabilidad de obtener: a1 Lmero impar. b1 Lmero primo. c1 l"plo de tres. d1 l"plo de cinco. Primeramente %ormamos el espacio muestral del experimento
E 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6
'uego el nmero de casos posibles es D.
A con"nuaci!n %ormamos los sucesos cu)a probabilidad nos piden.
a1 AM “ )btener impar” 6 1 , 3 , 5 b1 5M “ )btener número primo” M c1
p
2,3,5
#M “ )btener múlplo de tres” M 3 , 6
d1 &M “ )btener múlplo de cinco” M 5
A
3 6
p
p
B
p ( C )
D
3 6
2 6
1 6
E,ercicios% - 4e realiza un experimento que consiste en lanzar dos monedas. 3allar las siguientes probabilidades: a1 =btener dos caras. b1 =btener dos cruces. c1 =btener una cara ) una cruz. d1 =btener al menos una cruz. /- 4e realiza un experimento aleatorio que consiste en la extracci!n de una carta de una baraja espa;ola. 4e pide hallar las siguientes probabilidades: a1 =btener un oro. b1 =btener un as. c1 =btener la sota de espadas. G- En una urna tenemos 9 bolas blancas, G bolas rojas ) 6 bolas negras. 4i se extrae al azar una bola de la urna, calcula la probabilidad de los sucesos A: bola negra. 5: bola blanca o negra ) #: bola azul. 6- 8na bolsa con"ene G bolas blancas, G bolas rojas ) G bolas verdes. Extraemos una bola, miramos su color ) la devolvemos a la bolsa. (epe"mos el proceso dos veces m$s. B #u$l es la probabilidad del suceso A: obtener tres bolas de dis"nto colorC. B I la probabilidad del suceso 5: obtener dos bolas rojas ) una verde sin importar el ordenC.
3.5. $e*ici* a)iomáca e pro-a-ilia.
&ro-a-ilia.
&ái*a ;
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Matemácas Aplicaas a las CC!SS!I 'a de7nici!n de probabilidad de 'aplace "ene el inconveniente de que para su aplicaci!n ha) que suponer que todos lo sucesos elementales son igualmente probables 0 equiprobables 1, lo cu$l no siempre es posible. Para intentar paliar este inconveniente Andr*i L. Nolmog!rov 0 HKG-HFF 1 tuvo en cuenta la ín"ma relaci!n que existe entre el concepto de %recuencia rela"va de un suceso ) su probabilidad, cuando el nmero de pruebas es mu) grande. &e ahí surge la e*ici* a)iomáca e pro-a-ilia%
#ota% En matem$"cas, un axioma es una a7rmaci!n que se acepta sin demostraci!n.
4e llama pro-a-ilia a una le) que asocia a cada suceso A de P 0 E 1 un nmero real que llamamos probabilidad de A ) representamos por p 0 A 1, que cumple los siguientes axiomas:
A cada suceso A del espacio de sucesos le corresponde un nmero real comprendido entre K ) .
0 P A 1
'a probabilidad del suceso seguro es . P E 1
4i A1 , A2 , A3 ........ An son sucesos incompa"bles dos a dos, se "ene que:
p A1 A2 A3 ....... An p A1 p A2 p A3 .... p An &e estos tres principios se pueden extraer las siguientes co*secue*cias% . 4i A es el suceso contrario a uno dado A, se "ene que:
p A
1 p A
/. 'a probabilidad del suceso imposible es cero. p 0 G. 4i A ) 5 son dos sucesos cualesquiera p A B
p
A p B
p
A B
6. 'a suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales de un espacio muestral E es siempre . &e lo anterior se deduce que: p 0 E 1 M .
E,ercicio 4% 3alla la probabilidad de los sucesos p A
1 4
p B
1 4
p A B
C , C C y A B
1 16
p C
, sabiendo que:
1 12
3.6. E)perie*cias compuestas% pro-a-ilia co*icio*aa.
&ro-a-ilia.
&ái*a 10
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Matemácas Aplicaas a las CC!SS!I #omo recordar$s, un e)perime*to compuesto es el que se ob"ene al realizar dos o m$s experimentos simples, como puede ser la realizaci!n consecu"va de dos experimentos iguales o dis"ntos. En esos casos, puede ocurrir que la probabilidad de un suceso pueda estar condicionada por el resultado obtenido anteriormente. ?e$moslo mediante un ejemplo: 'os resultados de una encuesta sociol!gica acerca de la ac"tud polí"ca progresista o conservadora, realizada sobre GG6 universitarios de ambos sexos, con edades comprendidas entre F ) / a;os, est$n registrados en esta tabla:
5: Ac. progresista B % Ac. conservadora otales
A: ?arones
A : ujeres
otales
69
6/
FJ
9
HD
6J
HD
GF
334
#alculemos las probabilidades de los siguientes sucesos u"lizando la regla de 'aplace:
a) A: “ ser "ar+n”. b)
p A
196 334 138
p A
A : “ ser mujer”.
c) 5: “ tener actud progresista”.
334 p B
187 334 147
334
d) B : “ tener actud conser"adora”.
p B
e) A B : “ ser "ar+n y tener actud progresista”.
p A B
145 334
#onsideremos ahora la probabilidad del suceso tener actud progresista de entre los "arones , que expresaremos
p B
A
. En este caso p B
145 , )a que son 69 los que "enen A 196
una ac"tud progresista de entre los HD varones. Esta probabilidad, por tanto, equivale a la probabilidad del suceso 5, sabiendo que se ha veri7cado el suceso A ) se llama pro-a-ilia el suceso ( co*icio*aa al suceso A. #omo
puede
deducirse
de
los
resultados
anteriores,
145
p B
p A B 334 145 . A 196 196 p A
Podemos,
por
tanto,
de7nir
la
probabilidad
334 condicionada de la siguiente manera:
&e llama probabilidad condicionada del suceso ! respecto del suceso , denotamos por
p B
p B
&ro-a-ilia.
A
y la
, al cociente'
p A B , siendo p A 0 A p A &ái*a 11
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Matemácas Aplicaas a las CC!SS!I An$logamente, la probabilidad condicionada del suceso A respecto del suceso 5 viene dada por la expresi!n: p A B p A , siendo p B 0 B p B
&e las dos relaciones anteriores se ob"ene:
p A B p A p B
A
p B p A
B
p A p B A podemos emplear la expresi!n p A B p B
,
por
lo
que
tambi*n
para re%erirnos a la
probabilidad del suceso A, habi*ndose veri7cado el suceso 5. Ejemplo /: Extraemos una carta de una baraja espa;ola. #alcula la probabilidad de que la carta sea el re) de oros, sabiendo que la carta extraída es de oros. Empecemos por de7nir los sucesos (: “ sacar rey ” ) =: O sacar oros” . 3emos de calcular la probabilidad
O
p R
p R O p O
10 40
1 40
. Aplicando la le) de 'aplace tendríamos:
que es la probabilidad de sacar rey de oros. Por otro lado,
. Así pues, aplicando la expresi!n de la probabilidad condicionada:
1
p R
p R O 40 1 , resultado que sin duda podemos hallar tambi*n O 10 10 p O 40
directamente.
E,ercicio % 4upongamos que hemos extraído de una poblaci!n DK individuos al azar ) los hemos clasi7cado de acuerdo con dos variables: padecer o no de asma bronquial ) si %uman o no. 'os resultados se reejan en la siguiente tabla:
umador 0 1 Lo %umador 0 F 1 otales
Padece asma bronquial 0A1 9 K 2
Lo padece asma bronquial 0 A 1 9 GK 3
otales 20 40 50
3alla las siguientes probabilidades: a1 Padecer asma bronquial+ b1 4er %umador de entre los que padecen asma bronquial+ c1 Padecer asma bronquial sabiendo que no %uma+ d1 4er no %umador.
&ro-a-ilia.
&ái*a 12
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3.:. Sucesos epe*ie*tes e i*epe*ie*tes.
&os sucesos A ) 5 son i*epe*ie*tes cuando el cumplimiento de uno no inu)e el la probabilidad de veri7caci!n del otro. En caso contrario, los sucesos son epe*ie*tes, o lo que es lo mismo, un suceso est$ condicionado por el otro.
Dos sucesos A y B son independientes s
p A p A B
y
B En consecuencia, si dos sucesos A ) 5 son i*epe*ie*tes se veri7ca: p A B p A p B
3.;. &ro-a-ilia total.
2 ,......, An son sucesos incompa"bles de un experimento aleatorio, tales 4i A1 , A n
que Ai
E ,
entonces, la probabilidad de cualquier suceso 4
P 0 E 1 se calcula mediante
i 1
la expresi!n:
p S p A1 p S A p A2 p S A 2 ....... p An p S A 1 n
que es la %!rmula de la pro-a-ilia total , donde en todos los casos suponemos que p Ai 0 . Qr$7camente podemos ilustrar este concepto de la siguiente manera:
Ejemplo: En una ciudad el 99 R de la poblaci!n en edad laboral son hombres+ de ellos, un 9 R est$ en paro. Entre las mujeres el porcentaje de paro alcanza el /9 R. 4i en esa ciudad se elige al azar una persona en edad laboral, B cu$l es la probabilidad de que est* en paroC. 4ean los sucesos 3: “ 3ombre en edad laboral” , : “ mujer en edad laboral” ) P: “ parado7a” . >enemos:
&ro-a-ilia.
&ái*a 13
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p & 0,55 p % 0,45 p P 0,15 p P 0,25 & % 4i elegimos una persona en edad laboral al azar ) queremos estudiar la probabilidad de que est* en paro, tenemos que considerar que puede ser hombre o mujer. Aplicando la %!rmula de la probabilidad total tendríamos:
p P p & p P p % p P 0,55 0,15 0,45 0,25 0,195 , es decir el & % H,9R.
E,ercicio 5% En un distrito universitario los estudiantes se distribu)en del siguiente modo: /9 R letras, G9 R ciencias e ingeniería ) 6K R ciencias sociales o de la salud. El porcentaje de alumnos que 7nalizan sus estudios en cada $mbito es del JK, 6K ) DK R, respec"vamente. 4i seleccionamos un alumno al azar, B cu$l ser$ la probabilidad de que termine sus estudiosC.
3.10. eorema e (a+es. Los da la probabilidad de que se ha)a veri7cado un Ai par"cular en el supuesto de que se ha)a cumplido el suceso 4, condicionado por los sucesos incompa"bles A1 , A 2 ,......, An . (ecordando la expresi!n de la probabilidad condicionada, sabemos que:
A p Ai S p Ai p S A o tambi'n p Ai S p S p i i
A p i S
por lo que: S
p Ai p S A
i
que es la expresi!n del teorema e (a+es.
p S
&e igual %orma podemos ilustrar este concepto de la siguiente %orma:
Ejemplo: 4upongamos que en el ejemplo anterior queremos preguntarnos acerca de la probabilidad de que la persona en edad laboral elegida al azar sea mujer, sabiendo que est$ en el paro. Esto es, deseamos calcular
&ro-a-ilia.
p % P &ái*a 14
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p % P #omo p % P p P
)
p % P p % p P %
se "ene que:
p % p P % 0,45 0,25 0,577 . Es decir, el 9J,J R de los p % P p P 0,195
parados son mujeres.
E,ercicio 6% En una ciudad el G9 R de los censados vota al par"do A 0 PA 1, el 69 R al par"do 5 0 P5 1 ) el /K R restante se abs"ene 0 A 1. 4e sabe, adem$s, que el /K R de los votantes del par"do A , el GK R de los votantes del par"do 5 ) el 9 R de los que se abs"enen son ma)ores de DK a;os. 4e pide: a1 B #u$l es la probabilidad de que un ciudadano censado, elegido al azar, sea ma)or de DK a;osC. b1 4i dicho ciudadano es ma)or de DK a;os, B cu$l es la probabilidad de que se ha)a abstenido en las eleccionesC.
&ro-a-ilia. E,ercicios.
Reere*tes a las e*icio*es clásica + a)iomáca e pro-a-ilia.
- #onsideremos el experimento de lanzar dos dados tetra*dricos, es decir, de 6 caras triangulares, ) anotar la suma de los puntos de las caras in%eriores. 3alla la probabilidad de los siguientes sucesos: a1 obtener suma par+ -1 obtener suma igual a J+ c1 obtener suma ma)or o igual a 9+ 1 obtener suma menor a 9+ e1 obtener suma par o ma)or o igual a 9. /- En una bolsa se introducen 9 bolas iguales, pero de di%erentes colores: 6 rojas, 9 verdes ) D azules. 4i se extrae una bola al azar, B cu$l es la probabilidad de que sea verdeC. B I roja o azulC. G- 4e lanzan una moneda ) una dado. #alcula las probabilidades de los siguientes sucesos: a1 obtener cara ) un D+ -1 obtener cara ) nmero par+ c1 obtener cara o nmero par. 6- 4e ha trucado un dado de manera que la probabilidad de que salga 9 ! D es doble que la de las dem$s caras. #alcula la probabilidad de cada una de las caras. 9- 4ean A ) 5 dos sucesos con probabilidad p A 0,6 p B 0,4 y a) p A B b) p A c) p B d) p A B 4e pide:
p A B 0,2 .
e ) p B A .
D- 8n inversor considera la posibilidad de adquirir acciones de la empresa 5 ) vender las que posee de la empresa A. 4u analista 7nanciero le predice que la probabilidad de que suban las acciones de A es K,D, la probabilidad de que suban las de 5 es K,J ) la probabilidad de que suban ambas es K,9. 4e pide: a1 probabilidad de que suban las de A ) no las de 5, -1 probabilidad de que no suba ninguna de ellas. J- En un grupo de DK personas, /6 leen la revista A+ //, la 5+ /K, la #+ seis leen A ) 5+ siete leen A ) #+ ocho leen 5 ) #, ) 7nalmente, cinco leen las tres publicaciones. Escogida una persona al
&ro-a-ilia.
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Matemácas Aplicaas a las CC!SS!I azar, halla la probabilidad de que: a1 Lo lea ninguna de las publicaciones. -1 'ea solo la revista A. c1 'ea al menos una de las publicaciones.
#ota% &ara resoler los e,ercicios 5< + 6< es co*e*ie*te reali7ar u* es=uema ráco + represe*tar e* >l los atos el e*u*ciao.
Reere*tes a la pro-a-ilia co*icio*aa + a la epe*e*cia e i*epe*e*cia e sucesos.
F- 4e "ene una bolsa con K bolas rojas ) D negras, de la que se extraen dos bolas. 3alla la probabilidad de que ambas sean negras en las siguientes condiciones: a1 con devoluci!n a la bolsa de la primera bola extraída, -1 sin devoluci!n. H- &e una urna que con"ene H bolas rojas ) 9 negras se extraen sucesivamente ) sin devoluci!n / bolas. 3alla la probabilidad de los siguientes sucesos: a1 que las dos bolas sean negras, -1 que las dos bolas sean rojas, c1 que la primera sea roja ) la segunda negra, 1 que una sea roja ) la otra negra. K-
#alcula
la
p A B
probabilidad
sabiendo
que
p A 0,3 ; p B 0,5 y p A 0,2 . B - El servicio de Prevenci!n de (iesgos Laturales alerta de que la probabilidad de producirse una avalancha en la pr!ximas /6 horas es del JK R. El 9 R de las ocasiones en que se ha producido una avalancha, el pueblo situado al pie de la monta;a ha su%rido da;os. B #u$l es la probabilidad de que se produzca una avalancha con e%ectos da;inosC.
/- 'as probabilidades de que un hombre ) una mujer de 6K a;os vivan hasta los J9 son K,6H ) K,9G, respec"vamente. 3alla la probabilidad de que: a1 los dos cumplan J9 a;os, -1 alguno de los dos llegue a los J9 a;os, c1 ninguno llegue, 1 s!lo la mujer llegue a cumplir los J9 a;os. G- En un determinado centro de bachillerato ha) ./KK alumnos que se distribu)en por modalidad de estudios ) por sexo de acuerdo con la siguiente tabla:
Moalia Alum*os 8 A 9 Alum*as 8 ( 9 G6K G6K Cie*cias 8 C 9 ?uma*iaes8 ? /6K /FK 9 otal 9FK D/K
otal DFK 9/K /KK
#alcula las probabilidades: a1 ser de ciencias, -1 ser alumno, c1 ser alumna de humanidades, 1 ser de ciencias sabiendo que es alumno, e1
p & B
.
6- 8n /K R de los alumnos de un centro escolar prac"ca el %tbol+ un 9 R el baloncesto, ) un K R, ambos deportes. 4i se elige un alumno al azar, halla la probabilidad de que: a1 prac"que el baloncesto, sabiendo que prac"ca el %tbol, -1 prac"que algn deporte, c1 prac"que ambos deportes, sabiendo que prac"ca alguno de ellos, 1 no prac"que ningn deporte, e1 prac"que el %tbol, sabiendo que no prac"ca el baloncesto.
&ro-a-ilia.
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Matemácas Aplicaas a las CC!SS!I 9- En una cierta poblaci!n, la probabilidad de que un individuo aleatoriamente seleccionado ha)a estado expuesto a un cierto al*rgico ) experimente una reacci!n al*rgica es K,D. 'a probabilidad de que un individuo expuesto al al*rgico experimente la reacci!n al*rgica es K,F. 4i se selecciona aleatoriamente un individuo de esta poblaci!n, B cu$l es la probabilidad de que ha)a estado expuesto al al*rgicoC. D- En una cierta poblaci!n de mujeres, el 6 R "ene c$ncer de mama, el /K R son %umadoras ) el G R son %umadoras ) "enen c$ncer de mama. 4i se selecciona una mujer al azar de esta poblaci!n, B cu$l es la probabilidad de que sea %umadora o tenga c$ncer de mamaC. J- &os tratamientos A ) 5 curan una determinada en%ermedad en un /K R ) en un GK R, respec"vamente, de los casos. 4uponiendo que ambos actan de un modo independiente, B cu$l de las dos estrategias es mejor: a1 Aplicar primero el tratamiento 5, ) si no surte e%ecto aplicar entonces el tratamiento A. b1 Aplicar ambos tratamientos a la vezC.
Reere*tes a la pro-a-ilia total + al teorema e (a+es.
F- En una clase ha) J calculadoras "po A ) G calculadoras "po 5. 'a probabilidad de que durante una sesi!n de trabajo se agoten las pilas es de K,K9 con las de "po A ) de K,KH con las de "po 5. 8n estudiante coge una calculadora al azar. B
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Matemácas Aplicaas a las CC!SS!I /6- 8na prueba de diagn!s"co de c$ncer nos da los siguientes datos:
P Ac A p C c 0,05, siendo # el suceso O una cierta persona ene cáncer” , ) A el C suceso O la prueba es posi"a” . #alcular la probabilidad de que una cierta persona tenga c$ncer habiendo resultado la prueba posi"va, sabiendo que p 0 # 1 M K,KK9. /9- 8n test detecta la presencia de un cierto "po > de bacterias en el agua con probabilidad K,HK en caso de haberlas. 4i no las ha), detecta la ausencia con probabilidad K,FK. 4abiendo que la probabilidad de que una muestra de agua contenga bacterias del "po > es K,/K, calcular la probabilidad de: a1 &e que realmente ha)a presencia de bacterias cuando el test ha)a resultado posi"vo. b1 &e que realmente ha)a presencia de bacterias cuando el test ha dado resultado nega"vo. c1 &e que ha)a bacterias ) adem$s el test de posi"vo.
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