1.1 PORCENTAJE: CÁLCULO Y APLICACIÓN. En matemática, un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100 (por ciento, que significa “de cada 100”). Es a menudo denotado utii!ando e signo porcentaje %, que se de"e escri"ir inmediatamente despu#s de número a que se refiere, sin dejar espacio de separación. $or ejempo% &treinta ' tres por ciento& se representa mediante ' significa *treinta ' tres de cada cien*.
+n porcentaje es una fracción que tiene como denominador 100.
E porcentaje es una forma de comparar cantidades, es una unidad de referencia que reaciona una magnitud (una cifra o cantidad) cantidad) con e todo que e corresponde corresponde (e todo es siempre e 100), considerando como unidad a cent#sima parte de todo.
CÁLCULO DE PORCENTAJES PORCENTAJES $ara cacuar e porcentaje de una cantidad se mutipica e número de porcentaje por a cantidad ' se diide por cien.
E cácuo de porcentajes nos puede serir para mútipes apicaciones, como por ejempo pro"emas de comercio, geometr-a, encuestas de opinión, medición de -ndices de producción, nataidad, mortaidad, etc.
APLICACIONES DE PORCENTAJE A SITUACIONES DE LA VIDA REAL acu uam amos os e ao aorr de de desc descue uent nto o ' se o A) Situac Situacion ion! ! " "!cu "!cunto nto:: ac restamos a aor inicia. Ejempo% E pantaón de /os# a-a 000. 2i en as re"ajas de mes de juio e 3acen un descuento de 0, 4cuánto de"e pagar5
D!cunto# 0 de 000 6 (0 x 000) % 100 6 170.000 % 100 6 1700 pesos $ & 1' # '( !o! "* a+a,. R!u!ta: /os# de"e pagar 7800 por su pantaón. -) Situacion! " aunto o ,ca,+o: acuamos e aor de aumento o de recargo ' se o sumamos a aor inicia. Ejempo% 9a fada que quiere comprar Ema cuesta 000 pesos sin :;< en a tienda. 2i e :;< es de 1=, 4a cuánto asciende a compra compr a de Ema5
Aunto# 1= de 000 6 (1= x 000) % 100 6 >?000 % 100 6 >?0 / 0 2 # 3/2 R!u!ta: 9a compra de Ema su"e a >?0. 3ttp%@@AAA.portaeducatio.net@septimoB"asico@7=7@$orcentajesBrepresentacionB'B cacuo 3ttps%@@es.AiCipedia.org@AiCi@$orcentaje
1.7 :DEFG2 2:H$9E.
E inter#s simpe se cacua ' se paga so"re un capita inicia que permanece inaria"e. E inter#s o"tenido en cada interao unitario de tiempo es e mismo. Iic3o inter#s no se reinierte ' cada e! se cacua so"re a misma "ase.
En reación a un pr#stamo o un depósito mantenido durante un pa!o a una misma tasa de inter#s simpe, os cácuos de cuaquier de esos eementos se reai!an mediante una rega de tres simpe.
E inter#s (:) que produce un capita es directamente proporciona a capita inicia (), a tiempo (t), ' a a tasa de inter#s (i)% esto se presenta "ajo a fórmua%
I#C4i4t
Ionde i está expresada en tanto por uno ' t está expresada en aJos, meses o d-as, tanto por uno es o mismo que ta!a%51.
Entonces, a fórmua para e cácuo de inter#s simpe queda%
!i 6a ta!a anua6 ! a6ica o, a7o!.
!i 6a ta!a anua6 ! a6ica o, !!
!i 6a ta!a anua6 ! a6ica o, "8a!
Fecordemos que cuando se 3a"a de una tasa de K por ciento (o cuaquier porcentaje), sin más datos, se su"entiende que es anua.
<3ora, si a tasa o porcentaje se expresa por mes o por d-as, t de"e expresarse en a misma unidad de tiempo. 3ttp%@@AAA.profesoreninea.c@matematica@:nteresLsimpe.3tm
1./ TASA DE INTER9S
2e ama tasa de inter#s o r#dito a tanto por ciento a que está inertido un capita en una unidad de tiempo, es decir, a cociente entre e inter#s producido ' e capita, en una unidad de tiempo.
Equiae a inter#s que producen 100dóares durante un aJo, ' es un aor fijo, generamente se toma como unidad de tiempo e aJoM en caso contrario, 3a de especificarse.
9a tasa anua de inter#s se representa por i' iene expresada como un porcentaje (> , por ejempo) o como su equiaente en forma decima o tanto por uno (0,0>). En os cácuos se utii!a generamente esta útima expresión, aunque a información se transmita en forma de tanto por ciento. Ejempo% i 6 inter#s 6 1> 6 1> 6 0,1> apita 100
E,cicio: acuar a tasa de inter#s a que está inertido un capita de 0 000 dóares si en un aJo se 3an conertido en 700 dóares.
E inter#s producido 3a sido% 700 B 0 000 6 700 dóares.
Es decir, a tasa es de 8 .
3ttp%@@AAA.sectormatematica.c@comercia@tasa.3tm Existen dos tipos de tasas de inter#s% a tasa nomina ' a tasa efectia, cada una tiene una forma distinta de cacuarse% N 9a tasa de inter#s nomina es a tasa de inter#s, sin capitai!ación, es decir retirando e inter#s ganado en e! de reinertiro (inter#s simpe). E mejor uso es para cacuar a tasa de cuaquier periodo de tiempo.
;o,a " C<6cu6o:
N asa efectia% es a tasa rea de inter#s que reci"e en un momento dado despu#s de a capitai!ación o reinersión de os intereses (inter#s compuesto). Esta se puede conertir en una tasa efectia periódica ' esta, a su e!, en una tasa nomina.
;o,a " C<6cu6o:
3ttp%@@AAA.aso"ancaria.com@sa"ermassermas@comoBcacuarBaBtasaBdeBinteres@
1.$ CÁLCULO DEL N=>ERO DE D?AS. E número de d-as tam"i#n puede ariar%
d-as d-as, diidido en 17 meses de 0 d-as cada uno. Esto se denomina cácuo aproximado de tiempo. Ejempo% Ie 1> de <"ri a 1> de juio 3a' d-as <"ri 1> d-as Ha'o 0 d-as /unio 0 d-as /uio 1> d-as O<9% =0 d-as En forma exacta se toma como referencia e número de d-as caendario, es decir, meses de 0 ' 1 d-as, aJo de K> ' KK d-as, según corresponda. omo se puede o"serarse, tomando e ejempo anterior ' considerando una de as dos fec3as extremas, son =1 d-as. Ejempo% Ie 1> de <"ri a 1> de juio 3a' d-as
<"ri 1> d-as Ha'o 1 d-as /unio 0 d-as /uio 1> d-as O<9% =1 d-as 3ttp%@@AAA.auafaci.com@cursos@10=7@ciencia@matematicas@porcentajes@cacuarB interesesBmesesB'Bdias
1. VARIACION DEL CÁLCULO DEL I NTERES. E cácuo de inter#s aria iguamente si tomamos e aJo de K0 d-as o de KK d-as .
Int,@! Eacto uando se diide e tiempo para K> dias o KK dias, si a tasa de inter#s es anua. :nteres Ordinario 2i diidimos e tiempo para K0 dias en iguaes condiciones, cacuamos% E inter#s exacto ' ordinario de un capita de 70.000 doares a = de inter#s anua, desde e 10 de a"ri 3asta e 1> de septiem"re de mismo aJo, se cacua as-%
1.B VARIACIÓN DE LA TASA DE INTER9S EN ;UNCIÓN DEL TIE>PO Entre as tasa de inter#s más empeadas se 3aan a anua, semestra, cuatrimestra, trimestra, "imestra, mensua o diaria.
a) La ta!a " int,@! anua6 se utii!a para e tiempo exacto o aproximado% K> o K0 dias, respectiamente. acuemos e inter#s que paga un capita de 100.000 doares a 17 de iteres anua durante 180 d-as%
") La ta!a " int,@! !!t,a6 se utii!a para e tiempo de 180, 181, 187 o 18 d-as de semestre (primero o segundo semestre de aJo)% acuemos e inter#s que paga un capita que paga un capita de 100.000 dóares a K de iteres semestra durante 180 d-as.
c) Ta!a " int,@! t,i!t,a6 se utii!a para e tiempo de =0, =1 o =7 d-as. Ie esta manera, inter#s que gana un capita de 100.000 dóares a de inter#s trimestra durante 180 d-as, es%
d) La ta!a " int,@! n!ua6 se utii!a para e tiempo de 0 o 1 dias de mes.
e) Ta!a " int,@! "ia,ia se utii!a directamente, cacuamos e inter#s que gana un capita de 100.000 dóares a 0.0 de inter#s diario durante 180 d-as.
omo puede notarse, a tasa de inter#s siempre de"e estar en reación con e tiempo, generamente, si tasa es anua, e tiempo estará diidido en K0 d-as, si es semestra, 180 d-as, si es trimestra, =0 d-as, si es mensua 0 d-as ' si es diario un d-a. Es necesario 3acer esta reación tasa de inter#s@tiempo para eitar errores de cácuo.
1.2 PROCEDI>IENTO A-REVIADO DE CÁLCULO. Existen tam"i#n procedimientos a"reiados de cácuo para estimar e inter#s de acuerdo con a formua "ásica ' se conocen como mutipicadores ' diisores fijos.
>u6ti6ica"o,! io! +tii!an a tasa de inter#s diidida para K.>00, 18.000 o .000 si es anua, semestra o mensua. 2e toma como referencia a formua "ásica de inter#s simpe.
Ejempo
9os numero 0.000M 0.000KKK, 0.000 ' 0.0K son factores fijos (mutipicadores fijos) para 1, 7, 10 o 180 d-as, respectiamente, a una tasa de inter#s de 17 anua. Esos factores se mutipican por cuaquier capita. 9ico'an $ortus, en su o"ra matemáticas financieras, cita e factor de inter#s simpe como e tanto por ciento de un d-a ' recomienda su utii!ación en a ea"oración de ta"as, as-%
Dii!o,! ;io! Iiisor fijo es e cociente de a diisión de K.000, 18.000 o 000 (según sea a tasa de inter#s% anua, semestra o mensua), entre a tasa de inter#s correspondiente, como se expresa a continuación.
Entonces% 1.B $ara cacuar e inter#s de 10.000 dóares a 17 mensua durante 180 d-as, se reai!a e siguiente procedimiento%
7. $ara conocer que inter#s gana un capita de 1 dóar a 17 de inter#s anua, se tiene%
a"a7.1 a"a de inter#s ganado por 1 dóar a una tasa de 17 anua. . acuo de inter#s de 17.000 dóares en 180 d-as a 17 anua, se reai!ara as-%
. acuar e inter#s de =0.000 dóares en 70 d-as a = semestra, se o"tiene de a siguiente forma.
1.( CALCULO DEL CAPITAL $ara e cácuo de capita inicia (), se toma como "ase a fórmua de inter#s simpe (formua 7.1), : 6 it, ' se despeja as-%
uando i es anua ' e tiempo en d-as%
uando i es semestra%
uando i es trimestra%
uando i es mensua%
uando i es diario%
+na e! eauado estas formuas tomemos e 7. para cacuara que capita produjo un inter#s de 18.000 doraes a una tasa de inter#s de 70 anua en 180 d-as.
1. CALCULO DE LA TASA DE INTER9S. $ara e cácuo de a tasa de inter#s se toma como "ase a formua : 6 it ' se despeja i% uando a tasa de inter#s es anua, e tiempo se expresa en aJos%
uando a tasa de inter#s es anua, e tiempo se expresa en d-as%
uando a tasa de inter#s es semestra, e tiempo se expresa en d-as%
uando a tasa de inter#s es trimestra, e tiempo se expresa en d-as%
uando a tasa de inter#s es mensua, e tiempo se expresa en d-as%
uando a tasa de inter#s es mensua, e tiempo se expresa en d-as%
omando a fórmua 7.=. 4< qu# tasa de inter#s anua se cooca un capita de 180.000 dóares para que produ!ca 18.000 en 180 d-as5
P con a formua 7.17 cacuamos. 4 < qu# tasa de inter#s mensua se cooca un capita de >0.000 para que produ!ca =000 dóares en 70 d-as5
1.1 CALCULO DEL TIE>PO. Iespejamos t de formua "ásica : 6 it.
uando a tasa de inter#s es anua, semestra o mensua ' se desea expresar e tiempo en aJos o meses, ea"oramos a siguiente ta"a%
para cacuar% 4En que tiempo e capita de 8>000 doares ganara un inter#s de 7>>0 a = anua5
P a formua 7.18 para conocer% 4En que tiempo un capita de >000 doares ganara un inter#s de 1>0 a 0> mensua5
1.11 CALCULO DEL >ONTO A INTER9S SI>PLE. E monto a inter#s simpe es a suma de capita origina más os intereses generado en e transcurso de tiempo. 2e representa con a etra H. $or definición% H 6 Q :M en a formua de inter#s simpe% : 6 it Feempa!ando e aor de :%
< o"tener e factor común , se tiene%
O"tenida a formua cacues e monto de un capita de 1.>00.00 a 1.8 mensua durante 180 d-as.
2e cacua primero e inter#s%
2umando e capita, se o"tiene e monto% de mar!o a 1> de agosto de mismo aJo.
1.1' CALCULO DEL VALOR ACTUAL A INTERES SI>PLE E aor actua o aor presente de un documento o deudas es e capita cacuado en una fec3a anterior a a de encimiento de documento, deuda o pago. 2e representa con a etra . ;aor actua o presente de una suma, con encimiento en una fec3a futura, es aque que a una tasa dada ' en un periodo de tiempo determinado 3asta a fec3a de encimiento, acan!ara un aor igua a a suma de"ida. Estas definiciones resumen e concepto de aor actua ' esta"ecen que e tiempo fatante para e encimiento de un documento financiero o deuda es e que interesa ' es e que de"e tomarse en cuenta para e cácuo. 2e deduce a fórmua de monto a inter#s simpe H 6 (1Qit) de a cua se despeja .
E aor actua puede cacuarse con tasa de inter#s anua, semestra, mensua, etc., ' con e tiempo expresado en d-as, meses o aJos. $or o anterior, si se desea conocer e aor actua de un documento de 100 dóares con encimiento en 180 d-as, K0 d-as antes de su encimiento, considerando una tasa de inter#s de 18 anua, se tiene%
ompro"ación%
1.1/ FRA;ICA DE TIE>POS Y VALORES.
En a parte de de"ajo de a -nea% fec3a de suscripción, fec3a de negociación o de descuento ' fec3a de encimiento de documento u o"igación. En a grafica se puede o"serar ' cacuar con faciidad e tiempo comprendido entre a fec3a de negociación ' a de encimiento, tiempo pertinente para e cácuo de aor actua. En a parte superior de a -nea% aor nomina, aor actua o precio ' aor a encimiento o monto. Existen dos casos en e cácuo de aor actua% a) uando se conoce e aor a encimiento o monto.
") uando 3a' necesidad de cacuar e monto. aso <. ;amos a cacuar e aor actua, a d-a de 3o', de un documento de 1>0.000 dóares que ence en 710 d-as de pa!o, considerando una tasa de inter#s de 18 anua.
En e mismo ejempo consideremos e cácuo de aor actua, =0 d-as antes de encimiento.
1.1$ EL INTERES SO-RE SALDOS DEUDORES. En muc3as instituciones financieras ' casas comerciaes que operan con cr#dito a cientes, se acostum"ra utii!ar e mecanismo de cácuo de inter#s so"re sados deudoresM es decir, so"re os sados que an quedando despu#s de reducir cada cuota que se paga. Otros esta"ecimientos comerciaes utii!an e m#todo de acumuación de inter#s o m#todo “9agarto” denominado as- por e exceso de inter#s que se co"ra, 'a que en este m#todo se acumuan os intereses durante todo e periodo de a deuda. En os ejempos que se exponen a continuación se utii!an os dos m#todos para esta"ecer comparaciones. acuemos as cuotas mensuaes que de"e pagar e ciente. +na cooperatia de a3orro ' cr#dito otorga un pr#stamo por K000 dóares a 17 meses pa!o, a 1 mensua so"re sados deudores.
H#todo 9agarto
>to"o " !a6"o! "u"o,!.
2e puede ea"orar, as-, una ta"a financiera de cuotas.
9a cuota mensua puede cacuarse diidiendo e tota de as cuotas entre e número de pagos o cuotas.
3ttp%@@es.sides3are.net@ange"ae!171?@matemticasBfinancierasBeBmora
