Aos estudantes, Se analisarmos friamente uma tribo africana, provavelmente iremos identificar o ritual em que seus jovens passam a ser considerados adultos. Já nesse mundo globalizado em que vivemos, no qual as informações chegam numa velocidade jamais vista, essa característica parece ter desaparecido. Será? É evidente que não vemos nenhum ritual de passagem por aí, mas será que não conseguimos encontrar um momento em que nossos jovens ficam diante de sua primeira grande e difícil decisão, no qual são os únicos responsáveis? Vocês já devem ter percebido que estamos falando do vestibular, o primeiro desafio de muitos jovens. E, nesse momento, embora muitas vezes contem com a ajuda de parentes, esses estudantes sabem que as conseqüências de uma escolha errada, de um sucesso, ou de um fracasso, são única e exclusivamente suas. E para engrossar um pouco mais esse caldo, nosso “ritual de passagem” vem sofrendo drásticas mudanças. Há alguns anos, os vestibulandos eram obrigados a passar por uma verdadeira maratona de provas ao final do ensino médio. Como vocês já devem saber, uma nova tendência ao acesso ao ensino superior brasileiro está alterando todo esse cenário. O Exame Nacional do Ensino Médio (Enem), por meio de diversas medidas do governo federal, tornou-se o principal vestibular do país, facilitando (e muito) a vida dos candidatos. Nesse novo modelo, a participação no Enem permite concorrer às vagas e bolsas de estudo em inúmeras instituições de ensino superior, além de possibilitar a certificação do Ensino Médio para aqueles que não concluíram seus estudos. Mas não vamos nos deixar confundir. O Enem facilitou a questão do deslocamento e dos gastos que os candidatos tinham, mas não a questão da concorrência. concorrência. Aliás, essa só aumenta aumenta ano após ano. Resumindo: para ingressar no ensino superior, os candidatos precisam estudar e se preparar especificamente para o Enem, já que este se tornou a única porta de acesso para as principais universidades do país. Nós, do infoEnem, notamos ausência de um material que, de fato, prepare esses estudantes para o exame. Da necessidade veio a ideia. Da ideia, passamos para o trabalho. E o resultado é esse material que vocês têm em mãos. Apostilas diretas, simples e eficientes, que visam treinar e preparar os candidatos para o exame mais importante do Brasil, resolvendo e comentando questões de edições anteriores do próprio Enem. E para isso não poupamos esforços. Procuramos profissionais que realmente pudessem fazer a diferença. Afinal, não almejamos entrar na memória dos momentos felizes desses estudantes. Almejamos ser lembrados como um elemento importante para o sucesso de cada um deles, nesse momento tão decisivo, contribuindo para que estes possam ir em busca de seus sonhos.
Fernando Buglia e Matheus Andrietta Cofundadores do site infoEnem
Orientação aos estudantes Neste momento, momento, antes que você inicie seus estudos através deste material, sugerimos uma metodologia com estratégias para aproveita-lo da melhor maneira possível. Reforçamos que o estudante deve se preparar basicamente de duas maneiras para uma prova com as características do Enem. A primeira delas é adquirindo e/ou revisando os conteúdos abordados no ensino médio. A segunda se dá através da preparação específica para o modelo da prova. E é justamente nesta última etapa que nosso material entra em ação. Portanto, o foco desta apostila não é o conteúdo exigido, e sim a prova do Enem. Afinal, resolver 180 questões e uma redação, em 10 horas, divididas em dois dias de prova, exige muito mais do que competências e habilidades. Desta forma, o candidato que comprou esta apostila e apenas leu as questões, as resoluções resoluções e os comentários, passou longe de otimizar o potencial deste material e consequentemente a sua preparação para para o exame. exame.
A nossa proposta é que você resolva todas as questões de cada edição da prova, para depois observar a resolução e comentários feitos por nossos professores. Se possível, simule todas as condições que encontrará no dia do exame. Em outras palavras, sente-se numa pequena mesa sozinho, resolva, em média, 45 questões a cada 2 horas, sem se comunicar com ninguém e sem consultar livro algum. Fazendo isso, você sai da sua “zona de conforto” e entende de fato o que é prestar o Enem. Uma prova que, ao mesmo mesmo tempo em que se mostra coerente e interdisciplinar, consiste numa verdadeira enxurrada de questões, que exige boa leitura, atenção, interpretação, concentração, calma, paciência, resistência e treino, muito treino . Não pregamos fórmulas mágicas. Partimos do pressuposto que para conseguir a recompensa, recompensa, seja ela o acesso ao ensino superior ou a Certificação do Ensino Médio, é necessário muito empenho. Temos absoluta certeza que, utilizando este material da maneira que recomendamos, você potencializará todas as capacidades citadas no parágrafo anterior e aumentará significativamente seu desempenho na próxima edição do Enem. Bons estudos.
Apresentação dos professores – Matemática e suas Tecnologias Todas as questões da Apostila de “Matemática e suas Tecnologias” foram resolvidas e comentadas por dois professores. Segue abaixo breve currículo de cada um deles. •
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Luis Gustavo H. M. Grimm: natural de São Paulo, mudou-se para Campinas em 2005, onde se graduou em Matemática pela UNICAMP (Universidade Estadual de Campinas), no ano de 2011. Iniciou sua carreira com aulas em cursinhos comunitários e privados. Também atuou como Coordenador Pedagógico de Ensino Médio em Serra Negra. Hoje trabalha como professor de Matemática Matemática e Física nas redes pública e particular de Campinas, Campinas, preparando estudantes estudantes para os vestibulares mais mais concorridos do país, além de fazer mestrado em Matemática Matemática pela Universidade Estadual Paulista (UNESP) de Rio Claro. Casado com Ana Luísa, também professora de Matemática. Ana Luísa S. Tagliolatto: natural de Campinas, também se formou em Matemática pela UNICAMP (2008) e atualmente faz f az mestrado em Matemática pela UNESP (Rio Claro). Foi apresentadora e monitora no Museu Exploratório de Ciências da UNICAMP. Atualmente trabalha como professora de Matemática da rede municipal de Campinas e articuladora do Programa Mais Educação, do Governo Federal. Casada com Luis Gustavo H. M. Grimm, também professor de Matemática.
ÍNDICE Enem 2009 2009 - questões .................................................................. ............................................................................................... ............................................. ................ 01 Enem 2009 - resoluções e comentários ................................................................. .................................................................................... ................... 12 Enem 2010 2010 - questões ................................................................. ............................................................................................... .............................................. ................ 30 Enem 2010 - resoluções e comentários comentários ................................................................ ................................................................................... ................... 41 Enem 2011 - questões ................................................................ ............................................................................................... ............................................... ................ 57 Enem 2011 - resoluções e comentários ................................................................. .................................................................................... ................... 68 68 Enem 2012 - questões ................................................................ ............................................................................................... ............................................... ................ 83 Enem 2012 - resoluções e comentários ................................................................... .................................................................................... ................. 96
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Enem 2009 - MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Questão 136. Dados da Associação Nacional de Empresas de Transportes Urbanos (ANTU) mostram que o número de passageiros transportados mensalmente nas principais regiões metropolitanas do país vem caindo sistematicamente. Eram 476,7 milhões de passageiros em 1995, e esse número caiu para 321,9 milhões em abril de 2001. Nesse período, o tamanho da frota de veículos mudou pouco, tendo no final de 2008 praticamente o mesmo tamanho que tinha em 2001. O gráfico a seguir mostra um índice de produtividade utilizado pelas empresas do setor, que é a razão entre o total de passageiros transportados por dia e o tamanho da frota de veículos.
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Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o tempo, em minutos, que um ônibus, em velocidade constante e igual a 40 km/h, partindo do ponto X, demoraria para chegar até o ponto Y? A) 25 min.
D 1,5 min.
B) 15 min.
E 0,15 min.
C) 2,5 min. Texto para as questões 138 e 139 A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos. desenvolvidos.
Disponível em: http://www.ntu.org.br. Acesso em 16 jul. 2009 (adaptado).
Supondo que as frotas totais de veículos naquelas regiões metropolitanas em abril de 2001 e em outubro de 2008 eram do mesmo tamanho, os dados do gráfico permitem inferir que o total de passageiros transportados no mês de outubro de 2008 foi aproximadamente igual a A) 355 milhões. B) 400 milhões. C) 426 milhões. D) 441 milhões. E) 477 milhões.
Questão 137. O mapa ao lado representa um bairro de determinada cidade, no qual as flechas indicam o sentido das mãos do tráfego. Sabe-se que esse bairro foi planejado e que cada quadra representada na figura é um terreno quadrado, de lado igual a 200 metros.
Disponível em: www.economist.com. www.economist.com. Acesso em: 9 jul. 2009 (adaptado).
Questão 138. Suponha que o modelo exponencial , em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando , estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre A) 490 e 510 milhões. B) 550 e 620 milhões. C) 780 e 800 milhões. D) 810 e 860 milhões. E) 870 e 910 milhões.
Questão 139. Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente, uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, na população dos países desenvolvidos, será um número número mais próximo de
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A) 2/1.
D) 5/1.
Questão 142.
B) 20/7.
E) 25/3.
A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de pulmão foi levantada pela primeira vez a partir de observações clínicas. Para testar essa possível associação, foram conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre esses, houve o estudo do número de casos de câncer em relação ao número de cigarros consumidos por dia, cujos resultados são mostrados no gráfico a seguir.
C) 25/8.
Questão 140. O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD, em que AB = BC/2, Antônio demarcou uma área quadrada no vértice A, para a construção de sua residência, de acordo com o desenho, no qual AE = AB/5 é lado do quadrado.
Centers for Disease Control Control and Prevention CDC-EIS Summer Course – 1992 (adaptado).
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele A) duplicasse a medida do lado do quadrado. B) triplicasse a medida do lado do quadrado. C) triplicasse a área do quadrado. D) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%. E) ampliasse a área do quadrado em 4%.
Questão 141. Uma resolução do Conselho Nacional de Política Energética (CNPE) estabeleceu a obrigatoriedade de adição de biodísel ao óleo dísel comercializado nos postos. A exigência é que, a partir de 1.º de julho de 2009, 4% do volume da mistura final seja formada por biodísel. Até junho de 2009, esse percentual era de 3%. Essa medida estimula a demanda de biodísel, bem como possibilita a redução da importação de dísel de petróleo.
De acordo com as informações do gráfico, A) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas inversamente proporcionais. B) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão pulmão são grandezas que não não se relacionam. C) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas diretamente proporcionais. propor cionais. D) uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer de pulmão. E) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão relacionadas, mas sem proporcionalidade.
Questão 143. O gráfico a seguir mostra a evolução, de abril de 2008 a maio de 2009, da população economicamente ativa para seis Regiões Metropolitanas pesquisadas.
Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 12 jul. 2009 (adaptado).
Estimativas indicam que, com a adição de 4% de biodísel ao dísel, serão consumidos 925 milhões de litros de biodísel no segundo semestre de 2009. Considerando-se essa estimativa, para o mesmo volume da mistura final dísel/biodísel consumida no segundo semestre de 2009, qual seria o consumo de biodísel com a adição de 3%? A) 27,75 milhões de litros. B) 37,00 milhões de litros.
D) 693,75 milhões de litros.
Considerando que a taxa de crescimento da população economicamente ativa, entre 05/09 e 06/09, seja de 4%, então o número de pessoas economicamente ativas em 06/09 será igual a
E) 888,00 milhões de litros.
A) 23.940.
C) 231,25 milhões de litros.
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B) 32.228.
C) 6 × (0,2%)2 × (99,8%)2.
C) 920.800.
D) 4 × (0,2%).
D) 23.940.800.
E) 6 × (0,2%) × (99,8%).
E) 32.228.000.
Questão 146.
Questão 144.
Uma pousada oferece pacotes promocionais para atrair casais a se hospedarem por até oito dias. A hospedagem seria em apartamento de luxo e, nos três primeiros dias, a diária custaria R$ 150,00, preço da diária fora da promoção. Nos três dias seguintes, seria aplicada uma redução r edução no valor da diária, cuja taxa média de variação, a cada dia, seria de R$ 20,00. Nos dois dias restantes, seria seria mantido o preço do sexto dia. Nessas condições, um modelo para a promoção idealizada é apresentado no gráfico a seguir, no qual o valor da diária é função do tempo medido em número de dias.
A música e a matemática se encontram na representação dos tempos das notas musicais, conforme a figura fig ura seguinte.
Um compasso é uma unidade musical composta por determinada quantidade de notas musicais em que a soma das durações coincide com a fração indicada como fórmula do compasso. Por exemplo, se a fórmula de compasso for 1/2, poderia ter um compasso ou com duas semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias, sendo possível a combinação de diferentes figuras. Um trecho musical de oito compassos, cuja fórmula é 3/4, poderia ser preenchido com
De acordo com os dados e com o modelo, comparando o preço que um casal pagaria pela hospedagem por sete dias fora da promoção, um casal que adquirir o pacote promocional por oito dias fará uma economia de A) R$ 90,00.
D) R$ 150,00.
B) R$ 110,00.
E) R$ 170,00.
C) R$ 130,00.
A) 24 fusas.
Questão 147.
B) 3 semínimas.
As figuras a seguir exibem um trecho de um quebra-cabeças que está sendo montado. Observe que as peças são quadradas e há 8 peças no tabuleiro da figura A e 8 peças no tabuleiro da figura B. As peças são retiradas do tabuleiro da figura B e colocadas no tabuleiro da figura A na posição correta, isto é, de modo a completar os desenhos.
C) 8 semínimas. D) 24 colcheias e 12 semínimas. E) 16 semínimas e 8 semicolcheias.
Questão 145. O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos?
A) 2 × (0,2%)4. B) 4 × (0,2%) 2.
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representavam as três artes: escultura, pintura e arquitetura, pois elas eram tão próximas quanto inseparáveis.
Disponível em: http://pt.eternityii.com. Acesso em: 14 jul. 2009.
É possível preencher corretamente o espaço indicado pela seta no tabuleiro da figura A colocando a peça A) 1 após girá-la 90° no sentido horário. B) 1 após girá-la 180° no sentido anti-horário.
Scientific American, ago. 2008.
Qual dos esboços a seguir melhor representa os anéis de Borromeo?
C) 2 após girá-la 90° no sentido anti-horário. D) 2 após girá-la 180° no sentido horário. E) 2 após girá-la 270° no sentido anti-horário.
A)
D)
B)
E)
Questão 148. A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido de carbono de uma fábrica, em função do número de toneladas produzidas.
C)
Questão 150.
Cadernos do Gestar II, Matemática TP3. Disponível em: www.mec.gov.br. Acesso em: 14 jul. 2009.
Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção (em toneladas) é
Brasil e França têm relações comerciais há mais de 200 anos. Enquanto a França é a 5.ª nação mais rica do planeta, o Brasil é a 10.ª, e ambas se destacam na economia mundial. No entanto, devido a uma série de restrições, o comércio entre esses dois países ainda não é adequadamente explorado, como mostra a tabela seguinte, referente ao período 2003-2007.
A) inferior a 0,18. B) superior a 0,18 e inferior a 0,50. C) superior a 0,50 e inferior a 1,50. D) superior a 1,50 e inferior a 2,80. E) superior a 2,80.
Questão 149. Em Florença, Itália, na Igreja de Santa Croce, é possível encontrar um portão em que aparecem os anéis de Borromeo. Alguns historiadores acreditavam que os círculos
Disponível em: www.cartacapital.com.br. Acesso em: 7 jul. 2009.
Os dados da tabela mostram que, no período considerado, os valores médios dos investimentos da França no Brasil foram maiores que os investimentos do Brasil na França em um valor
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A) inferior a 300 milhões de dólares.
Questão 153.
B) superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a 400 milhões de dólares.
Suponha que, na escultura do artista Emanoel Araújo, mostrada na figura a seguir, todos os prismas numerados em algarismos romanos são retos, com bases triangulares, e que as faces laterais do poliedro II são perpendiculares à sua própria face superior, que, por sua vez, é um triângulo congruente ao triângulo base dos prismas. Além disso, considere que os prismas I e III são perpendiculares ao prisma IV e ao poliedro II.
C) superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a 500 milhões de dólares. D) superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 600 milhões de dólares. E) superior a 600 milhões de dólares.
Questão 151. Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00. De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas? A) R$ 14,00.
D) R$ 32,00.
B) R$ 17,00.
E) R$ 57,00.
C) R$ 22,00.
Questão 152. Técnicos concluem mapeamento do aquífero Guarani O aquífero Guarani localiza-se no subterrâneo dos territórios da Argentina, Brasil, Paraguai e Uruguai, com extensão total de 1.200.000 quilômetros quadrados, dos quais 840.000 quilômetros quadrados estão no Brasil. O aquífero armazena cerca de 30 mil quilômetros cúbicos de água e é considerado um dos maiores do mundo. Na maioria das vezes em que são feitas referências à água, são usadas as unidades metro cúbico e litro, e não as unidades já descritas. A Companhia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo (SABESP) divulgou, por exemplo, um novo reservatório cuja capacidade de armazenagem é de 20 milhões de litros. Disponível em: http://noticias.terra.com.br. Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado).
Comparando as capacidades do aquífero Guarani e desse novo reservatório da SABESP, a capacidade do aquífero Guarani é
Disponível em: www.escritosriodearte.com.br. Acesso em: 28 jul. 2009.
Imagine um plano paralelo à face α do prisma I, mas que
passe pelo ponto P pertencente à aresta do poliedro II, indicado na figura. A interseção desse plano imaginário com a escultura contém A) dois triângulos congruentes com lados correspondentes paralelos. B) dois retângulos congruentes e com lados correspondentes paralelos. C) dois trapézios congruentes com lados correspondentes perpendiculares. D) dois paralelogramos correspondentes paralelos.
congruentes
E) dois quadriláteros congruentes correspondentes perpendiculares.
com
lados
com
lados
Questão 154. A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é A) 1,16 metros.
D) 5,6 metros.
A) 1,5 x 10 2 vezes a capacidade do reservatório novo.
B) 3,0 metros.
E) 7,04 metros.
B) 1,5 x 103 vezes a capacidade do reservatório novo.
C) 5,4 metros.
C) 1,5 x 106 vezes a capacidade do reservatório novo.
Questão 155.
D) 1,5 x 108 vezes a capacidade do reservatório novo.
Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em
E) 1,5 x 109 vezes a capacidade do reservatório novo.
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que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros.
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transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de 1:150.
Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por p or dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e xé A) V = 10.000 + 50x – x2. B) V = 10.000 + 50x + x 2. C) V = 15.000 – 50x – x 2. D) V = 15.000 + 50x – x 2. E) V = 15.000 – 50x + x 2.
Questão 156. Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma d 1 d 2 , em que os dígitos d 1 e d 2 são denominados dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, 10 , o segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d 1 é zero, caso contrário ). O dígito d 1 = (11 – r ). d 2 é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo d 1 o último algarismo, isto é, d 2 é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d 2 = (11 – s). Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 123.456.789. Neste caso, os dígitos verificadores d 1 e d 2 esquecidos são, respectivamente, A) 0 e 9.
D) 9 e 1.
B )1 e 4.
E) 0 e 1.
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de 1 cm em relação às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter? A) 2,9 cm × 3,4 cm. B) 3,9 cm × 4,4 cm. C) 20 cm × 25 cm. D) 21 cm × 26 cm. E) 192 cm × 242 cm.
Questão 159. Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é função do número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo.
C) 1 e 7.
Questão 157. Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para transportá-las. Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm3, então o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a A) 4.
D) 24.
B) 8.
E) 32.
O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.
Disponível em: www.penta.ufrgs.br . Acesso em: 13 jan. 2009 (adaptado).
C) 16.
Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)?
Questão 158.
A) y = 30x.
A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada para utilização por companhias de
B) y = 25x + 20,2.
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C) y = 1,27x. D) y = 0,7x. E) y = 0,07x + 6.
Questão 160. Uma cooperativa de colheita propôs a um fazendeiro um contrato de trabalho nos seguintes termos: a cooperativa forneceria 12 trabalhadores e 4 máquinas, em um regime de trabalho de 6 horas diárias, capazes de colher 20 hectares de milho por dia, ao custo de R$ 10,00 por trabalhador por dia de trabalho, e R$ 1.000,00 pelo aluguel diário de cada máquina. O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se a cooperativa colhesse 180 hectares de milho em 6 dias, com gasto inferior a R$ 25.000,00. Para atender às exigências do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das máquinas seja constante, a cooperativa deveria A) manter sua proposta. B) oferecer 4 máquinas a mais. C) oferecer 6 trabalhadores a mais. D) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias. E) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de uma máquina.
Questão 161. Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio de conhecimentos. Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos, seguida pela equipe Delta, com com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na terceira e última colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0. Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe A) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0. B) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10. C) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8. D) permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno. E) empataria com a equipe Ômega na primeira colocação se o aluno obtivesse nota 9.
Questão 162. Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3
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horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de A) 920 kg.
D) 600 kg.
B) 800 kg.
E) 570 kg.
C) 720 kg.
Questão 163. Segundo as regras da Fórmula 1, o peso mínimo do carro, de tanque vazio, com o piloto, é de 605 kg, e a gasolina deve ter densidade entre 725 e 780 gramas por litro. Entre os circuitos nos quais ocorrem competições dessa categoria, o mais longo é Spa-Francorchamps, na Bélgica, cujo traçado tem 7 km de extensão. O consumo médio de um carro da Fórmula 1 é de 75 litros para cada 100 km. Suponha que um piloto de uma equipe específica, que utiliza um tipo de gasolina com densidade de 750 g/L, esteja no circuito de Spa-Francorchamps, parado no box para reabastecimento. Caso ele pretenda dar mais 16 voltas, ao ser liberado para retornar à pista, seu carro deverá pesar, no mínimo, A) 617 kg.
D) 689 kg.
B) 668 kg.
E) 717 kg.
C) 680 kg.
Questão 164. Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.
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Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a (considere A) 50%.
D) 33%.
B) 43%.
E) 19%.
= 0,58)
C) 37%.
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graus no sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção que forma um ângulo reto, no sentido antihorário, com a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. Considerando que a direção seguida por um avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade c idade de partida e que passa pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos fez uma conexão co nexão em A) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba.
Questão 165.
B) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador.
Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de
C) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho. D) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro. E) Goiânia, e em seguida embarcou e mbarcou para Manaus.
Questão 167. O quadro apresenta informações da área aproximada de cada bioma brasileiro.
A) uma combinação e um arranjo, respectivamente. B) um arranjo e uma combinação, respectivamente. C) um arranjo e uma permutação, respectivamente. D) duas combinações. E) dois arranjos.
Questão 166. Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou países. O mapa a seguir mostra os estados brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos números. Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília – DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta com extremidades em DF e em 4.
Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado).
É comum em conversas informais, ou mesmo em noticiários, o uso de múltiplos da área de um campo de futebol (com as medidas de 120 m x 90 m) para auxiliar a visualização de áreas consideradas extensas. Nesse caso, qual é o número de campos de futebol correspondente à área aproximada do bioma Pantanal? A) 1.400
D) 1.400.000
B) 14.000
E) 14.000.000
C) 140.000
Questão 168. Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.
SIQUEIRA, S. Brasil Regiões. Disponível em: www.santiagosiqueira.pro.br. Acesso em: 28 jul. 2009 (adaptado).
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135º
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Enem 2009
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quantidade de bytes necessários para armazená-las. Considere 1 KB = 1.000 bytes, 1 MB = 1.000 KB, 1 GB = 1.000 MB. Utilizando uma câmera de 2.0 megapixels cujo algoritmo de compressão é de 95%, João fotografou 150 imagens para seu trabalho escolar. Se ele deseja armazená-las de modo que o espaço restante no dispositivo seja o menor espaço possível, ele deve utilizar De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse período era igual a
A) um CD de 700 MB.
A) R$ 73,10.
D) R$ 83,00.
C) um HD externo de 16 GB.
B) R$ 81,50.
E) R$ 85,30.
D) um memory stick de 16 MB.
B) um pendrive de 1 GB.
C) R$ 82,00.
E) um cartão de memória de 64 MB.
Questão 169.
Questão 171.
A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de 1.050 m 3/s. O cálculo da vazão, Q em m 3/s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água), em m 2, pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av. Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de enchentes.
A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50. Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009.
Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro pri meiro é, aproximadamente,
A)
vez menor.
B)
vezes menor.
C) 4 vezes menor. Disponível em: www2.uel.br.
D) 9 vezes menor.
Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois da reforma na canaleta?
E) 14 vezes menor.
A) 90 m3/s.
D) 1.512 m3/s.
Questão 172.
B) 750 m3/s.
E) 2.009 m3/s
Nos últimos anos, o volume de petróleo exportado pelo Brasil tem mostrado expressiva tendência de crescimento, ultrapassando as importações em 2008. Entretanto, apesar de as importações terem se mantido praticamente no mesmo patamar desde 2001, os recursos gerados com as exportações ainda são inferiores àqueles despendidos com as importações, uma vez que o preço médio por metro cúbico do petróleo importado é superior ao do petróleo nacional. Nos primeiros cinco meses de 2009, foram gastos 2,84 bilhões de dólares com importações e gerada uma receita de 2,24 bilhões de dólares com as exportações. O preço médio por metro cúbico em maio de 2009 foi de 340 dólares para o
C) 1.050 m3/s.
Questão 170. A resolução das câmeras digitais modernas é dada em megapixels, unidade de medida que representa um milhão de pontos. As informações sobre cada um desses pontos são armazenadas, em geral, em 3 bytes. Porém, para evitar que as imagens ocupem muito espaço, elas são submetidas a algoritmos de compressão, que reduzem em até 95% a
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petróleo importado e de 230 dólares para o petróleo exportado. O quadro a seguir seguir mostra os dados consolidados de 2001 a 2008 e dos primeiros cinco meses de 2009.
Disponível em: http://www.anp.gov.br. Acesso em: 15 jul. 2009 (adaptado).
Considere que as importações e exportações de petróleo de junho a dezembro de 2009 sejam iguais a 7/5 das importações e exportações, respectivamente, ocorridas de janeiro a maio de 2009. Nesse caso, supondo que os preços pr eços para importação e exportação não sofram alterações, qual seria o valor mais aproximado da diferença entre os recursos despendidos com as as importações e os recursos gerados com as exportações em 2009?
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Questão 174. Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo x, como mostra a figura, e suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância d ≤ r sobre a circunferência.
Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por
A)
D)
B)
E)
A) 600 milhões de dólares. B) 840 milhões de dólares.
C)
C) 1,34 bilhão de dólares.
Questão 175.
D) 1,44 bilhão de dólares. E) 2,00 bilhões de dólares.
Questão 173. Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, blo co, unindo-os, conforme confor me a figura.
O Indicador do CadÚnico (ICadÚnico), que compõe o cálculo do Índice de Gestão Descentralizada do Programa Bolsa Família (IGD), é obtido por meio da média aritmética entre a taxa de cobertura qualificada de cadastros (TC) e a taxa de atualização de cadastros (TA), em que , NV é o número de cadastros domiciliares válidos no perfil do CadÚnico, NF é o número de famílias estimadas como público alvo do CadÚnico e NA é o número de cadastros domiciliares atualizados no perfil do CadÚnico. Portaria n° 148 de 27 de abril de 2006 (adaptado).
Suponha que o IcadÚnico de um município específico é 0,6. Porém, dobrando NF o IcadÚnico cairá para 0,5. Se NA + NV = 3.600, então NF é igual a A) 10.000.
D) 4.500.
B) 7.500.
E) 3.000.
C) 5.000. Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina parafina para fabricar uma vela? A) 156 cm3
D) 216 cm3
B) 189 cm3
C) 192 cm3
E) 540 cm3
Questão 176. Joana frequenta uma academia de ginástica onde faz exercícios de musculação. O programa de Joana requer que ela faça 3 séries de exercícios em 6 aparelhos diferentes, gastando 30 segundos em cada série. No aquecimento, ela caminha durante 10 minutos na esteira e descansa durante 60 segundos para começar o primeiro exercício no primeiro
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aparelho. Entre uma série e outra, assim como ao mudar de aparelho, Joana descansa por 60 segundos. Suponha que, em determinado dia, Joana tenha iniciado seus exercícios às 10h30min e finalizado às 11h7min. Nesse dia e nesse tempo, Joana A) não poderia fazer sequer a metade dos exercícios e dispor dos períodos de descanso especificados especificados em seu programa. B) poderia ter feito todos os exercícios e cumprido rigorosamente os períodos de descanso especificados em seu programa. C) poderia ter feito todos os exercícios, mas teria de ter deixado de cumprir um dos períodos de descanso especificados em seu programa. D) conseguiria fazer todos os exercícios e cumpriria todos os períodos de descanso especificados em seu programa, e ainda se permitiria uma pausa de 7 min. E) não poderia fazer todas as 3 séries dos exercícios especificados em seu programa; em alguma dessas séries deveria ter ter feito uma série série menos e não deveria ter cumprido um dos períodos de descanso.
Questão 177. Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal. Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão? A) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados. B) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide, divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados. C) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem 5 lados. D) O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados. E) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4 lados.
Questão 178. João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe
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ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso João quitasse esta dívida imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado. A opção que dá a João o menor gasto seria A) renegociar suas dívidas com o banco. B) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas. C) recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos. prazos. D) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do cartão de crédito. E) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do cheque especial.
Questão 179. A cisterna é um recipiente utilizado para armazenar água da chuva. Os principais critérios a serem observados para captação e armazenagem de água da chuva são: a demanda diária de água na propriedade; o índice médio de precipitação (chuva), por região, em cada período do ano; o tempo necessário para armazenagem; e a área de telhado necessária ou disponível para captação. Para fazer o cálculo do volume de uma cisterna, deve-se acrescentar um adicional relativo ao coeficiente de evaporação. Na dificuldade em se estabelecer um coeficiente confiável, a Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária (EMBRAPA) sugere que sejam adicionados 10% ao volume calculado de água. Desse modo, o volume, em m3, de uma cisterna é calculado por V c = V d × N dia , em que V d = volume de demanda da água diária (m³), N dia = número de dias de armazenagem, e este resultado deve ser acrescido de 10%. Para melhorar a qualidade da água, recomenda-se que a captação seja feita somente nos telhados das edificações. Considerando que a precipitação de chuva de 1 mm sobre uma área de 1 m 2 produz 1 litro de água, pode-se calcular a área de um telhado a fim de atender a necessidade de armazenagem da seguinte maneira: área do telhado (em m2) = volume da cisterna (em litros)/precipitação. Disponível em: www.cnpsa.embrapa.br. Acesso em: 8 jun. 2009 (adaptado).
Para atender a uma demanda diária de 2.000 litros de água, com período de armazenagem de 15 dias e precipitação média de 110 mm, o telhado, retangular, deverá ter as dimensões mínimas de A) 6 metros por 5 metros, pois assim teria uma área de 30 m2.
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B) 15 metros por 20 metros, pois assim teria uma área de 300 m2. C) 50 metros por 60 metros, pois assim teria uma área de 3.000 m2. D) 91 metros por 30 metros, pois assim teria uma área de 2.730 m2. E) 110 metros por 30 metros, pois assim teria uma área de 3.300 m2.
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⇒ ≅ ℎ 355
õ
Alternativa A Comentário: Como alternativa para a resolução desta questão o aluno poderia efetuar direto o cálculo do número de passageiros em 2008, sem calcular a frota de veículos, utilizando uma regra de três simples. Sendo F = então temos que:
P P
4 28 2 24 28 ⇒ 4 ⇒ ℎ 228 ⇒ 28 ⇒ 28 ⋅ ℎ ⇒ 28 ≅ ℎ =
Questão 180. Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir. Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente? A) 3 doses.
D) 8 doses.
B) 4 doses.
E) 10 doses.
321,9 õ 400
=
=
=
441
(441 321,9 400 355 õ
õ )
Conteúdos envolvidos: Regra de três simples.
QUESTÃO 137 Uma vez que o enunciado nos traz a informação da velocidade do ônibus e pergunta quanto tempo vai demorar a percorrer certa distância, devemos nos lembrar de que o conceito de velocidade está atrelado à taxa de variação do espaço em uma determinada unidade de tempo. A expressão matemática que representa a velocidade de um móvel é: V= . Portanto precisamos primeiro descobrir qual a distância que o ônibus percorrerá para então descobrir quanto tempo levará para a velocidade de 40 km/h.
C) 6 doses.
â
RESOLUÇÕES E COMENTÁRIOS - Enem 2009 QUESTÃO 136 De acordo com as informações fornecidas no enunciado percebemos que uma forma de resolver o problema é primeiro determinarmos o tamanho da frota (F) para os dois períodos em questão, para então determinarmos o total de passageiros (P) transportados. O cálculo será feito através do índice de produtividade (IP) fornecido pelo gráfico. O enunciado nos diz que o IP é a razão entre P e F, logo: IP = . Vamos aos cálculos:
Analisando o mapa do bairro percebemos que só existe um único trajeto para que o ônibus saia do ponto X e chegue ao ponto Y. A figura a seguir indica qual é este trajeto. Desta forma, como cada quarteirão possui 0,2 km (200 m) de comprimento, basta contarmos quantos quarteirões ele irá percorrer do ponto X até o ponto Y e multiplicarmos por 0,2 km.
P
Tamanho (F) da frota de veículos, v eículos, em abril de 2001: IP =
P F
⇒
400 =
321,9 milhões F
⇒
F=
321,9 milhões 400
⇒
F = 0,805 0,805 milhõ milhões es de veícu veículos los V=
Total (P) de passageiros transportados, em outubro de 2008: IP =
P F
⇒
441 =
⇒
P P 0,805 milhões = 441 0,805 0,805 milhõe milhõess = 354,9 354,9 milhõe milhõess
⋅
⇒
distância ⇒ tempo
40 =
temp tempoo = 0,02 0,025 5
⋅ ⇒
5 0,2 tempo
horas
temp tempoo =
1 40
⇒
As alternativas não trazem esta resposta, porém se convertermos 0,05 horas em minutos, através de uma regra de três, chegaremos à alternativa correta.
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Enem 2009
Comparando as alternativas, aquela que mais se aproxima dentro deste intervalo é:
Horas Minutos ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ minutos 1 0,025
1 x = 6 0 0,025
60 x
13
x = 1,5
8 = 0,32 0,32.. 25
Alternativa C
Alternativa D Comentário: Caso o aluno quisesse ele poderia trabalhar com a distância em 200 m ao invés de transformá-la em 0,2 km. Porém neste caso, ele precisaria transformar a velocidade de km/h em m/min, efetuando 40 ÷ 0,06 0,06.. Desta forma o resultado sairia direto em minutos.
Comentário: Para esta questão é necessário que o aluno esteja convencido de que a porcentagem trazida pelo gráfico também representa uma probabilidade. Além disso, o aluno poderia intuir que o gráfico está bem próximo de 32% = ÷ . ÷ =
2 8 2
Conteúdos envolvidos: Conceito de velocidade.
Conteúdos envolvidos: Probabilidade, porcentagem e comparação entre frações.
QUESTÃO 138
QUESTÃO 140
Utilizando a informação de que x = 0 representa o ano 2000, x = 1 representa 2001, então x = 30 representará 2030. Desta forma para calcularmos a estimativa da população com 60 anos ou mais, devemos efetuar o seguinte cálculo, considerando que e , = 1,35 1,35,, dado no enunciado:
A área de um retângulo é dada pelo produto de sua largura pelo comprimento. Diante disto vamos realizar os seguintes cálculos utilizando os dados fornecidos no enunciado:
⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≅⋅ ≅ ⋅ ⇒ ≅
A = AB BC = AB (2 AB) AB)
y = 363 e
,
y = 363 e , = 363 e = 363 (e , ) = 363 1,35
360 2,46
870 milhões
y
≤
,
885 milhões
885 milhões
≤
Área do terreno cedido:
⋅
⋅ ⋅ ⇒ ⋅
A = 2 AB
2
Área limite permitida para construção (6% da área do terreno):
⋅
2
A = 6% A =
⋅
⋅ 2⇒
2
6 12 2AB = AB 100 100
Área demarcada por Antônio: 910 milhões
⋅
2
2 AB 5
2
AB 25
⇒
⋅
1 AB 25
2
2
Alternativa E Comentário: Efetuando os cálculos exatos, sem usar valores aproximados, o resultado seria 893,11 milhões. Porém como as alternativas apresentam intervalos, temos a liberdade de usar aproximações a fim de facilitar e economizar tempo com os cálculos. Entretanto é preciso bastante cautela e critério para utilizar tais aproximações. Uma passagem importante no cálculo sobre propriedade de potência, que o aluno necessita estar familiarizado é, e , = (e , ) .
Portanto Antônio pode construir até o limite do triplo da área que ele demarcou.
Conteúdo envolvido: Funções e propriedade de potência.
QUESTÃO 139
Alternativa C Comentário: O ponto chave da questão é entender qual porcentagem do terreno é permitida para ser construída. Como 94% da área do terreno deve ser preservada, logo é permitido construir em 4% dele. Conteúdos envolvidos: Porcentagem e área de retângulos. r etângulos.
QUESTÃO 141
Para o cálculo da probabilidade de escolhermos, aleatoriamente, uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, nos países desenvolvidos precisaremos do número de pessoas com 60 anos ou mais e do número total da população. Esta probabilidade representa exatamente a porcentagem de pessoas com 60 anos ou mais na população. De acordo com o gráfico esta porcentagem está entre 30% e 35%. Logo a probabilidade p procurada é uma fração que está entre estes dois valores:
30% < p < 35%
A =
⋅
3 AB 25
A = AE AE = AE =
⋅
=
2
A =
⇒
30 35
⇒
0,3 < p < 0,35
Para resolver esta questão iremos utilizar duas regras de três, trê s, uma para descobrir o volume da mistura final diesel/biodiesel e outra para descobrir, utilizando o valor obtido, o consumo de biodiesel com a adição de 3% à mistura: Volume da mistura final, em milhões de litros:
⇒ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⇒
925 x
4% 4% x = 925 100% 100% 925 100 x= = 925 25 x = 23 125 4
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Enem
Volume de biodiesel para uma mistura de 3%, em milhões de litros:
⇒
⋅
⋅
23 125 100% 100% y = 23 125 3% y 3% 69 375 y= y = 693,75 100
⇒
⇒
Alternativa D Comentário: Caso o aluno tenha familiaridade com proporções, o volume de biodiesel para uma mistura de 3% poderia ser mais facilmente obtido dividindo-se os 925 milhões de litros por 4 e em seguida multiplicar o resultado por 3. Ou seja, em milhões de litros: 925
⋅⋅
1 3 = 693,7 3,75 4
2009
14
Alternativa D: Para que uma pessoa não fumante, ou seja, consumo zero de cigarros por dia, nunca fosse diagnosticada com câncer pulmonar o gráfico deveria coincidir com zero casos de câncer pulmonar. Pelo gráfico observamos, ainda que pequeno, existe sim um número maior que zero de casos de câncer pulmonar para um consumo diário de zero cigarros. Portanto esta alternativa é falsa.
Alternativa E: Pelo gráfico existe sim uma relação entre o consumo de cigarros diários e o número de casos de câncer pulmonar. Isto se dá devido ao fato de que em um intervalo maior de consumo de cigarros o número de casos de câncer pulmonar é maior do que para um intervalo menor de consumo. Logo existe a relação, porém elas não são proporcionais.
Conteúdos envolvidos: Regra de três simples.
Alternativa E
QUESTÃO 142
Comentário: Apesar de não envolver cálculo nenhum a questão exigiu a habilidade do aluno em ler, interpretar e concluir se há ou não, e caso haja, qual a relação entre o número de cigarros consumidos diariamente e o número de casos de câncer pulmonar. Analisando cada alternativa chegamos à correta.
Como o estilo desta questão consiste em cada alternativa afirmar algo em relação ao gráfico dado, vamos analisar cada uma delas e assim por exclusão chegar à correta:
Conteúdos envolvidos: Leitura e interpretação de gráficos.
QUESTÃO 143 Segundo o gráfico, em 05/09, o número de pessoas economicamente ativas é 23 020 000. 000. Se houve crescimento deste número, entre 05/09 e 06/09, de 4% então em 06/09 o número de pessoas economicamente ativas é dado por, em mil pessoas:
Alternativa A: Para que o consumo diário de cigarros fosse inversamente proporcional ao número de casos de câncer pulmonar, deveríamos observar que ao aumentar-se o número de cigarros diários, o número de casos de câncer pulmonar diminuiria na mesma proporção, o que não ocorre observando o gráfico. Portanto esta alternativa é falsa.
Alternativa B: Pelo gráfico observamos que nos intervalos de 1 a 14 cigarros diários o número de casos de câncer pulmonar se mantém constante em 20. O mesmo ocorre no intervalo de 15 a 24 cigarros diários, onde o número de casos se mantém constante em torno de 52. Logo percebemos que não existe uma proporção entre as grandezas, porém existe uma relação. Um maior consumo de cigarros acarreta um número maior de casos de câncer pulmonar do que em relação a um menor consumo.
Alternativa C: Para que o consumo diário de cigarros fosse diretamente proporcional ao número de casos de câncer pulmonar, deveríamos observar que ao aumentar-se o número de cigarros diários, o número de casos de câncer pulmonar aumentaria na mesma proporção, o que não ocorre observando o gráfico. Portanto esta alternativa é falsa.
⋅
⋅ pessoas pessoas
4 23 020 020 + (23 020 4%) 4%) = 23 020 + 23 020 100 92 080 = 23 020 + = 100 = 23 020 020 + 920, 920,8 8 = 23 940, 940,8 8 mil mil
.
23 940, 940,8 8 × 1 000 000 = 23 940 940 800 800
Alternativa D Comentário: Uma questão bastante simples onde envolvia uma porcentagem de aumento, em relação a um dado obtido por um gráfico. Conteúdos envolvidos: Leitura, interpretação de gráficos e porcentagem.
QUESTÃO 144 Neste caso vamos analisar cada alternativa e por exclusão chegaremos à alternativa correta. Sendo 8 compassos de fórmula deve ser formado por: 8
⋅ 4
então o trecho musical 4
= 6. Vejamos as alternativas:
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Alternativa A: 24
fusas ⋅ = 24
Então vamos ao cálculo de fato: 1 3 = 32 6
⋅ ⋅ ⋅
∴ Falsa
semínimas ⋅
1 3 =3 = 4 4
semínimas ⋅ =8
1 =2 4
∴ Falsa
.
∴ Falsa
.
Alternativa D: 24
colcheias semínimas ⋅ ∴ Verdadeira e 12 =6
= 24
⋅
1 1 + 12 = 3 + 3 8 4 .
semínimas semincolcheias ⋅ ⋅ ∴ Falsa e8
= 16
1 9 =4+ = 2 2
1 1 +8 4 16
.
Conteúdo envolvido: Resolução de problemas envolvendo operações básicas.
QUESTÃO 145 Para resolver esta questão algumas considerações devem ser feitas: De início não devemos diferenciar os aparelhos da loja com os que saem da fábrica, isto é, não importa onde sejam vendidos os aparelhos, a probabilidade é a mesma. Outro ponto importante é como queremos exatamente 2, dos 4, aparelhos com defeito, logo os outros 2 não estarão com defeito. Neste sentido, como a probabilidade de um aparelho apresentar defeito é 0,2%, 0,2%, logo a probabilidade de um aparelho não apresentar defeito é 100% 0,2% 0,2% = 99,8%. 99,8%. Sendo assim teremos uma probabilidade de 0,2% para cada aparelho defeituoso e 99,8% para cada aparelho não defeituoso.
Conteúdos envolvidos: Probabilidade
Como iremos comparar o preço para sete dias fora da promoção com o preço para oito dias dentro da promoção, vamos calcular os dois valores separadamente:
∙
7 150 150 = R$ 1 050 050,0 ,00 0
Comentário: Uma questão bastante interessante que aborda como a matemática está presente na música. Nas alternativas D e E, por serem combinações de 2 tipos diferentes de tempos além da multiplicação, efetuamos as somas dos dois tempos.
Comentário: Os pontos chave desta questão são dois. Primeiro o aluno lembrar-se de eventos complementares e mutuamente exclusivos. Desta forma foi possível encontrar o valor 99,8%, 99,8%, afinal ou o aparelho é defeituoso ou não. Logo se a probabilidade de apresentar defeito é 0,2% então a de não apresentar defeito é 99,8% somando assim 100% dos aparelhos. Segundo que simultaneidade dos eventos, ou seja, os eventos entre aparelhos com e sem defeitos ocorrem ao mesmo tempo, nos sugere que utilizemos o princípio multiplicativo. Daí é que vem a multiplicação de todas as probabilidades.
Pacote de 7 dias fora da promoção:
Alternativa D
2 ⋅ (99,8%) 99,8%)2
QUESTÃO 146
Alternativa E: 16
⋅
Alternativa C
Alternativa C: 8
⋅
6 0,2% 0,2% 99,8% 99,8% = 6 (0,2%) 0,2%)
.
Alternativa B: 3
15
E por fim devemos distribuir essas probabilidades entre todas as combinações de, entre os 4 aparelhos, exatamente 2 estarem com defeito. Para isto utilizaremos o Princípio Fundamental da Contagem. = = 6
4⋅ 2 2 2
Pacote de 8 dias dentro da promoção: Para o cálculo do valor deste pacote vamos organizar o preço de cada dia em uma tabela:
Dia
1°
2°
Preço (R$)
150 150 150 130 110 90 90 90
Logo o valor será:
∙
3°
4°
5°
6°
7°
8°
∙
3 150+130+110+3 90 = 450 + 240 + 270 = R$ 960, 960,00 00 Valor que será economizado: 1 050
960 = R$ 90 90,00
Alternativa A Comentário: O enunciado desta questão foi bem completo, e trouxe as informações tanto no texto quanto no gráfico. Na verdade o gráfico serviu para representar a situação dada, porém todas as informações necessárias foram obtidas do texto. Conteúdo envolvido: Resolução de problemas envolvendo operações básicas.
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QUESTÃO 147
Alternativa D
Pelo desenho, percebemos que a figura deve completar o lado esquerdo do quadrado ao lado direito da seta.
Comentário: Apesar dos cálculos simples, o aluno, para resolver esta questão, precisa ter bastante claro o conceito de taxa de variação média. Para o cálculo, utilizamos como valores final e inicial, os dados extremos que aparecem na tabela apresentada no enunciado. A título de curiosidade, em uma função afim do tipo f (x) = x + b, o coeficiente a representa a taxa de variação média de f(x) em relação à x.
Logo a figura que buscamos deve possuir o mesmo triângulo cinza claro, que acabará completando o quadrado. E por este motivo podemos concluir que a peça 1 não servirá por não possuir tal triângulo. tr iângulo. Logo resta-nos apenas a peça 2. Sendo assim, de início, podemos excluir as alternativas A e B. Para que a peça 2 se encaixe no lugar correto ela deverá girar uma vez 90° no sentido anti–horário. A figura a seguir está representando uma parte da figura A, focando a parte que nos interesse e a peça 2 rotacionando 90° no sentido anti–horário.
a⋅
Conteúdos envolvidos: Taxa de variação média.
QUESTÃO 149 Pelo estilo da questão, vamos analisar cada questão separadamente e encontrar a alternativa correta por exclusão:
Alternativa A: Observando a figura observamos que o anel da esquerda não está preso a nenhum anel, portanto esta alternativa é falsa.
Alternativa B: Nesta figura o anel superior está preso preso ao anel da esquerda, mas não ao anel da direita, portanto esta alternativa também é falsa. falsa. Alternativa C Comentário: A questão basicamente envolveu o movimento de rotação de figuras planas, uma vez que o aluno observa qual das duas peças satisfaria a pergunta.
Alternativa C: Já nesta figura os anéis, esquerdo e direito, estão presos, porém o anel superior não está preso a nenhum dos outros, portanto a alternativa é falsa.
Conteúdo envolvido: Geometria (rotação de figuras).
QUESTÃO 148 Antes de começarmos a resolver a questão, vamos entender o significado de taxa média de variação entre duas grandezas:
Taxa média de variação entre duas grandezas A e B é o número que relaciona o quanto a grandeza A varia em relação à variação da grandeza B. Um exemplo aplicável é o conceito de velocidade média, que relaciona o quanto um móvel varia sua posição em relação a uma variação variação de tempo.
Alternativa D: Esta figura precisa ser analisada com mais calma. Os três anéis estão todos presos entre si, porém não exatamente como nos anéis de Borromeo. Na figura dada o anel superior passa pelo anel direito pela frente e por trás, porém na alternativa ele passa somente por trás. Logo ela é falsa.
Alternativa E: Nesta alternativa a figura coincide plenamente com a dos anéis anéis de Borromeo.
Na prática, calculamos esta taxa média dividindo-se a diferença entre os valores final e inicial de uma grandeza pela diferença correspondente final e inicial da outra grandeza. Logo o valor pedido no exercício é calculado da seguinte maneira:
vari a çãoda ção daemi emi s são variaçãoda ção daprodução produção
4,00 = 2,0
2,14 1,86 = 1,1 0,9
≅
2
O valor encontrado é superior a 1,50 e inferior a 2,80.
Alternativa E Comentário: O importante nesta questão é o aluno entender a simbologia dos anéis que passam pela frente e por trás. Conteúdos envolvidos: Geometria espacial.
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QUESTÃO 150 Como a questão quer avaliar a diferença entre a média de investimentos basta que calculemos cada uma e efetuemos a subtração:
Média dos investimentos do Brasil na França (em milhões de dólares): 367+357+354+539+280 1 897 = = 379, 379,4 4 5 5
17
números estejam representados na mesma, cabendo ao aluno escolher aquela que parece mais viável. Transformaremos quilômetros cúbicos em litros, lembrando que 1 km = 10 m e 1 m = 10 L:
Aquífero Guarani:
⇒ ⇒ 9 ∴ 9 ⋅ ⋅ 4 9 ⇒ ⋅ 4⋅ 9 ⋅ ⋅ 4 ⇒ ⋅
1 km 10 m x = (10 m) = 10 m x 1 km 1 km = 10 m x=10 m
Média dos investimentos da França no Brasil (em milhões de dólares):
30 mil km = 30 10 km = 3 10 km
825 + 485 + 1 45 458 + 744 + 1 21 214 4 726 = = 945, 945,2 2 5 5
1 km 3 10 km
Diferença entre os investimentos (em milhões de dólares): 945,2
379,4 = 565,8
Alternativa D Comentário: Uma questão simples onde avalia a habilidade do aluno em extrair médias aritméticas de dados obtidos a partir da leitura de uma tabela. Conteúdos envolvidos: Média aritmética.
Para resolver a questão iremos elaborar uma equação que represente a situação do acerto. O enunciado diz que ainda faltam ser pagos R$ 510,00, onde 5 pessoas pagarão o valor que será igual para todas as 55 e as demais pessoas pagariam R$ 7,00. Logo a equação será, onde x representa o valor final que cada uma das 55 pessoas pagará, em reais:
⋅
⇒
⇒
y = 3 ⋅ 10 m ⇒ y = 3 ∙ 10 ∙ 10 L ⇒⇒ yy==33∙∙10106+L L
⇒ 350
(
)
Reservatório da SABESP:
∙
20 milhões milhões de litros litros = 20 000 000 de litros = 2 10 litros
Para sabermos quantas vezes o aquífero Guarani é maior que o novo reservatório da SABESP, basta dividirmos um pelo outro:
QUESTÃO 151
⋅ ⇒
4+9
10 = 3 10
Mas como 1 m = 10 L:
Este valor é superior a 500 milhões de dólares e inferior a 600 milhões de dólares.
5 x + 5 0 7 = 510 5x = 510 160 x= x = R$ 32, 32,00 5
10 m y = 3 10 y y = 3 10 m
5x = 160
∙∙
6
∙
6− = 1,5 ∙ 109 vezes
3 10 3 = 10 2 10 2
Alternativa E Comentário: A questão envolve bastante conversão de unidades, e o aluno deve dar uma atenção especial à conversão de 1 km para 1 m .
Conteúdo envolvido: Conversão de unidades, regra de três simples e propriedade de potenciação.
Alternativa D
QUESTÃO 153
Comentário: O ponto chave da questão está em utilizarmos uma variável para representar o valor procurado e assim estabelecer uma relação entre as informações dadas, ou seja, a equação propriamente dita.
A explicação para a resposta da questão está claramente no enunciado, e o aluno, com calma, deve observar a parte que a contém: “(...) todos os prismas numerados em algarismos romanos são retos, com bases triangulares (...)”.
Conteúdo envolvido: Dedução de equação e resolução de problemas envolvendo operações básicas. básicas.
Quando o enunciado diz: “(...) imagine um plano paralelo à face do prisma I, mas que passe pelo ponto P (...)” devemos entender que o plano em questão irá cortar os poliedros II e IV de maneira ortogonal, isto é, formando um ângulo reto. Logo a figura resultante da intersecção deste plano imaginário com os dois poliedros II e IV será a mesma que a figura de suas bases, ou seja, um triângulo. A figura ao lado representa o corte ortogonal de um prisma de base triangular, como o da escultura, por um plano:
QUESTÃO 152 O exercício sugere a comparação entre dois dados que representam a mesma grandeza, capacidade de água de um reservatório, porém em unidades distintas. Desta forma devemos então realizar a conversão de unidades para que os valores fiquem compatíveis. É importante ressaltar que não importa qual será a unidade padrão, desde que ambos os
α
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Conteúdo envolvido: Semelhança de triângulos.
QUESTÃO 155 Antes de começarmos a resolver esta questão devemos nos atentar a três fatos: O valor V arrecadado por dia é obtido multiplicando-se o valor cobrado por litro pela quantidade de litros vendida.
O preço do litro por dia será dado por: 1,50 –
Alternativa A Comentário: Para resolver esta questão o aluno deve ter familiaridade com cortes de poliedros Conteúdos envolvidos: Geometria espacial (intersecção de planos com poliedros).
QUESTÃO 154 Para resolver a questão, vamos esboçar a rampa e as distâncias descritas no enunciado:
2,2 m
3,2 m
De acordo com o enunciado, a cada centavo de desconto concedido, vende-se 100 litros a mais por dia, que evidentemente serão somados aos 10.000 L que o posto já vende normalmente. Logo a quantidade de litros vendida por dia será dada por: (10 000+100 x). x).
⋅
Portanto, unindo todas as informações, temos que o valor V arrecadado por dia em função do valor x, em centavos, de desconto será dado por:
⋅ ⋅ → ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 = 1,50
100
(10 000 000 + 100 100
= 1,50 1,50 10 000 000 + 1,5 1,5 (100 )
x
0,8 m .
)
100
100
= 15 00 000 + 150
.
;
10 000 100
100
= 15 00 000 + 50
Pelo desenho podemos identificar uma semelhança de triângulos e, portanto a seguinte relação pode ser estabelecida:
3,2+x 3,2 = 2,2 0,8
⇒ ∙ ⇒ ∙
⇒
0,8 x = 7,04 0,8 x = 4,48
∙ ⇒ ∙ ∙ ⇒
(3 , 2 + x) x) 0,8
⇒ ⇒
2,2 3,2
4,48 0,8
QUESTÃO 156 Para resolver a questão vamos seguir exatamente a sequência de passos que o enunciado nos traz:
x = 5,6 m
Uma solução alternativa é identificar a razão entre a , hipotenusa e o cateto do triângulo menor que é: , = 4.
2 8
∙
Logo pela semelhança a proporção para o triângulo maior será mantida e a sua hipotenusa será: 2,2 4 = 8,8 m. Logo o valor procurado será: 8,8
Comentário: Um detalhe importante nessa questão é que o aluno deve tomar cuidado com a forma como está expresso o desconto. O enunciado diz que x é dado em centavos, logo para contabilizá-lo em reais (R$) devemos devemos dividi-lo por 100. Conteúdo envolvido: Dedução de funções
2,5 2,56 + 0,8 0,8 x = 7,04 2,56 x=
Alternativa D
3,2 = 5,6 m .
Alternativa D Comentário: Para a resolução é fundamental que o aluno perceba que a questão refere–se r efere–se a dois triângulos retângulos e à semelhança entre eles. Uma forma de fazê–lo seria através da construção de um desenho. Feito isso a próxima etapa seria montar a proporção e resolvê–la.
1° Passo: Multiplicar os 9 algarismos do CPF um a um pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 começando da esquerda para a direita e somar os resultados. Como o número do CPF de João é 123.456.789 então teremos:
⋅
⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1 10+2 9 + 3 8 + 4 7 + 5 6 + 6 5 + 7 4 + 8 3 +9 2= =10+18+24+28+30+30+28+24+18 = 1 0 + 2 (1 8 + 2 4 + 2 8 + 3 0) 0) = = 1 0 + 2 100 = 10 + 200 = 210
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a
o volume V de um cubo de aresta a é dado por V = . Logo como o enunciado diz que o volume da caixa cúbica é 13.824 cm , logo conseguimos calcular a medida a da aresta do cubo:
2º Passo: Calcular o resto da divisão de 210 por 11: 11
210 11
19
100
6
99
6
1 → resto da divisão
6 6
3º Passo: 6
Como o resto r da divisão foi 1 então d 1 é igual a 0.
4º Passo: Aplicar a mesma regra que no 1º passo, porém agora começando pelo segundo algarismo e portanto o último será o d 1 . Então o número a ser multiplicado será 234.567.890 e então teremos:
⋅
⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
2 10+3 9 + 4 8 + 5 7 + 6 6 + 7 5 + 8 4 + 9 3 +0 2= =20+27+32+35+36+35+32+27+0 = 2 0 + 2 (2 7 + 3 2 + 3 5) 5) + 3 6 = = 5 6 + 2 94 = 56 + 188 = 244 11
244 22
22
24 2 → resto da divisão
5º Passo: Como o resto s da divisão não foi nem 1 nem 0 logo d 2 será dado por:
2
6
6
a ⇒ a fatorando a 9 ⋅ ⇒ a 9 ⋅ ⋅ ⇒ a ⋅ ⇒a
V=
(
13 824 824 =
=2
3
=8 3
=
2
13824) 13824)
3 =2
3
= 24 cm
Sendo 6 cm o raio da esfera, então o seu diâmetro será 12 cm. Assim caberá uma disposição de 2 camadas de esfera com 4 esferas em cada uma, totalizando 8 esferas.
Alternativa B Comentário: O ponto chave da questão é enxergar as esferas em termos de seus diâmetros e não de seus raios. Assim será possível verificar que poderá caber apenas 4 esferas em uma face da caixa. Conteúdos envolvidos: Volume de um cubo.
QUESTÃO 158
22
d = 11
6
⇒2 2
d =9
Portanto d 1 e d 2 são, respectivamente 0 e 9.
Alternativa A Comentário: A questão apesar de um pouco trabalhosa, não apresenta cálculos complexos, bastando apenas ao aluno bastante atenção para não errar em nenhuma conta. Conteúdos envolvidos: Resolução de problemas envolvendo operações básicas.
QUESTÃO 157 Para esclarecer melhor como ficarão dispostas as esferas dentro da caixa utilizaremos o esboço ao lado. Sabemos que
Primeiramente vamos determinar as dimensões que o avião terá no papel utilizando a escala desejável, para então considerarmos as margens exigidas. Neste sentido vamos ajustar as medidas tanto na largura quanto no comprimento do avião. Mas antes vamos converter as medidas do avião de metros para cm:
Largura Comprimento Desenho Real ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ margem ⇒ : 28,5 28,5 m = 2 850 850 cm
: 36 m = 3 600 600 cm
Largura do avião: 1 x
150 2 850
x = 19 cm + 2 cm de
150 x = 1 2 850
x=
x = 21 cm
2 850 150
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20
Analítica acerca da equação fundamental de uma reta temos a seguinte expressão:
Comprimento do avião:
Desenho Real ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ margem ⇒ 1 x
2009
150 x = 1 3600
150 3 600
x = 24 cm + 2 cm de
x=
3 600 150
x = 26 cm
y
⋅ onde y = m (x
Conteúdos envolvidos: Escalas de desenho e conversão de unidade
QUESTÃO 159 Se observarmos atentamente as alternativas veremos que facilmente podemos testá-las a fim de descobrir, por exclusão, qual é a alternativa correta. Pela facilidade dos cálculos vamos tomar o valor para x = 10 da tabela, e assim testar para todas as alternativas aquela em que resulta um valor para y = 6,70.
Alternativa A:
⋅ ⇒
y = 3 0 x = 3 0 10
Alternativa B:
∴
⇒
∴
m=
∴
⋅ ⇒
m = 0,07
⇒⇒
y
⋅ ⇒
6,7 = 0,07 (x 10) 10) y = 0,07x 0,7 + 6,7 y = 0,07x + 6
y
6,7 = 0,07x ,07x
0,7
Alternativa E Comentário: Esta questão apresentou um nível um pouco mais avançado cobrando do aluno um conhecimento bastante fundamental da Geometria Analítica que é a determinação da equação de uma reta através de dois pontos dados.
de
6,7 =
0,3 0,35 = = 0,0 0,07
= 0,3 0,35
b = 6,7
0,7
b=6
y = 0,07x + 6
y=7
Conteúdos envolvidos: Equação Fundamental da Reta e Sistemas de duas equações com duas incógnitas.
QUESTÃO 160
⋅
y = 0,07x + 6 = 0,07 1 0 + 6 = 0 , 7 + 6
⇒ ∴
⇒
o de em obteremos o de b:
y = 12,7
falsa
Alternativa E:
y 7,05 6,35 0,7 = = x 15 5 10
6,7 = 10 0,07 + b
y = 0,7x = 0,7 10
∴
Agora, aleatoriamente, vamos escolher os valor x = 10 e y = 6,70.
6,35
falsa
Alternativa D:
y . x
com:
y = 270,2
⋅ ⇒
y x
6,35 6,35 = 5 + b 6,7 = 1 0 + b
⋅
y = 1,27x = 1,27 10
a⋅ aa⋅ ⋅ →ficarísubtrai n doa do a equação ci m apel a pel a debai x o amos 5a ⇒10aa ⇒ 5a ⇒ 5a Substi uer umadasdasduas duas equaçõestuindo valor vala or qualqueruma ⋅ ⇒ ⇒ ∴
y = 300 falsa
falsa
Alternativa C:
y x
Contudo existe ainda uma terceira opção de resolução que envolveria sistema de duas equações com duas incógnitas utilizando como expressão geral y = x + b :
y = 25x + 20,2 = 25 10 + 20,2 = = 250 + 20,2
m=
Para calcular o valor de m vamos utilizar os dois valores extremos da tabela:
Alternativa D Comentário: Uma questão bastante simples onde cobrou do aluno a familiaridade com escalas e a conversão de unidades.
x ),
⇒
y=6,7
verdadeira
Apesar de termos encontrado a alternativa correta, vamos elaborar uma proposta de resolução que permita encontrarmos a expressão do nível da água em função do número de bolas (x). Recordando o conceito da Geometria
Vamos resolver esta questão por etapas, primeiro verificar qual o gasto e depois quantos hectares serão colhidos, para assim confrontar com as exigências do fazendeiro:
Gastos com trabalhador e com as máquinas, em 6 dias: Por
dia ⋅
⋅
: 12 R$ 10,0 10,00 0 + 4 R$ 1 000,00 = R$ 120 120,0 ,00 0 + R$ 4 000, 000,00 00 = R$ 4 120,00 120,00
dias ⋅ inferioraos r aos
Por 6 : 6 R$ 4 120,00 = R$ 24 720, 720,00 00
R$ 25 000,00.
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Hectares colhidos, na jornada de 6 horas diárias, durante 6 dias:
⋅
hectaresnão hectares não suficiente
6 20 = 120 será . Como a necessidade do fazendeiro são 180 hectares em 6 dias, seria necessário que fossem colhidos 30 hectares por dia ao invés de 20: 180 ÷ 6 = 30 hectares por dia. Sendo assim será necessário aumentarmos a jornada de 6 horas. Para calcular quantas horas a mais serão necessárias, podemos utilizar uma regra de três simples: simples:
Horas ⇒
H e c t a r e s ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ horas
6 x x= 9
20 x = 6 30
20 30
21
Alternativa B:
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
8º
9º
10º
6
6,5
6,5
7
7
8
8
10
10
10
Se a nota fosse 10 teríamos Med =
180 x= 20
7 + 8 15 = 2 2
⇒
Med = 7,5
Pelo enunciado a equipe vencedora teve nota 7,8, logo a equipe Gama não ganharia, e, portanto a alternativa é falsa.
Portanto para atender às exigências do fazendeiro, a cooperativa deveria aumentar a jornada de trabalho de 6 para 9 horas por dia.
Alternativa C: Se a nota do aluno fosse 8 teríamos
Alternativa D
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
8º
9º
10º
Comentário: A questão traz diversos dados e é muito importante que o aluno interprete e organize-os de maneira a não gerar confusão. No mais, os cálculos são bastante simples e não devem trazer dificuldades ao aluno.
6
6,5
6,5
7
7
8
8
8
10
10
Conteúdos envolvidos: Resoluções envolvendo operações básicas.
de
problemas
QUESTÃO 161 Como a questão envolve o conceito de mediana vamos lembrar que, em uma amostra ordenada de dados, mediana é o valor que separa a metade inferior da metade superior. Portanto, antes de analisarmos quem é a mediana, devemos ordenar os números em ordem crescente. A tabela abaixo traz esta ordenação:
Logo a mediana não se alteraria e continuaria sendo 7,5. O enunciado diz que a equipe Delta com nota 7,6 ficou em segundo lugar. Portanto a equipe Gama não assumiria a segunda colocação e alternativa é falsa.
Alternativa D: A situação mais favorável à equipe seria se o aluno obtivesse a maior nota, no caso 10. No cálculo da alternativa B analisamos esta situação e percebemos que a equipe Gama continuaria na terceira colocação. Portanto independente da nota obtida pelo aluno a equipe permaneceria na terceira colocação e a alternativa está correta.
Alternativa E: 1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
8º
9º
10º
0
6
6,5
6,5
7
7
8
8
10
10
Se a nota do aluno fosse 9 teríamos:
Como a amostra tem número par de dados, neste caso devemos encontrar a mediana calculando a média aritmética dos dois termos centrais que no nosso caso são o 5º e o 6º elementos. E assim: 7 + 7 14 Med = = 2 2
⇒
Med = 7,0
Diante destes dados vamos analisar as alternativas:
Alternativa A: Como a nota do aluno foi 0 a equipe Gama teve sua pontuação igual a 7,0, logo a alternativa alternativa é falsa.
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
8º
9º
10º
6
6,5
6,5
7
7
8
8
9
10
10
Med =
7 + 8 15 = 2 2
⇒
Med = 7,5
Pelo enunciado a equipe Ômega obteve nota 7,8 e, portanto a equipe Gama não empataria com ela na primeira colocação. Como já sabíamos, esta alternativa é falsa.
Alternativa D Comentário: Em questões como essa é importante que seja feita uma tabela com a ordenação dos números. Isso facilita bastante visualmente a resolução da questão. Apesar de termos feito alternativa por alternativa, o aluno deve observar o comportamento da mediana nas trocas das notas e perceber visualmente que a mediana não se alteraria mais
infoEnem
Enem
do que 7,5. Desta forma o tempo seria bastante economizado durante a prova. Conteúdos envolvidos: Mediana.
2009
22
massa ⇒ ⋅ ⇒ g kg
) peso ( litros 750 1 x 84 x = 63 000 = 63
⋅
1 x = 750 84
QUESTÃO 162
⋅
kg
Logo de início podemos calcular a quantidade arrecadada pelos 20 alunos dos 10 primeiros dias: 10 12 = 120 . Agora restam 20 dias, o grupo está composto por 50 alunos que trabalharão 4 horas por dia. Como o ritmo da coleta será mantida é evidente pensarmos que a arrecadação diária será maior do que 12 kg, porém não sabemos quanto e será preciso calcular. Uma forma de realizar este cálculo é através de uma regra de três composta, da seguinte maneira:
alunos horas 20 50
3 4
⋅
⇒ ⋅
⇒ ⋅ ⇒ kg
⋅
peso 20 3 12 = 60 x = 200 12 12 50 4 x x 2400 x= x=40 60
⇒ kg
Portanto, durante os 20 dias restantes serão arrecadados: 20 40 = 800 No total, a arrecadação será de: 120 + 800 = 920
kg
Logo o peso do carro será: 605 + 63 = 668
kg
Alternativa B Comentário: Muitas vezes, como o caso desta questão, é importante que o aluno organize a resolução pensando de onde ele está partindo e aonde ele quer chegar. Em outras palavras, quais são os dados iniciais e qual é o dado pretendido. O intuito deste processo é facilitar a percepção de qual será a sequência de passos necessária para obter-se a resposta. Conteúdos envolvidos: Conversão de unidades, regra de três e conceito de densidade.
QUESTÃO 164 Como a questão sugere uma comparação, em porcentagem, do terreno que caberá a João em relação ao terreno total, será necessário sabermos a área de ambos. O terreno de João tem o formato de um triângulo retângulo cuja altura coincide com o lado menor do terreno, ou seja, 2 km. Já o terreno tem formato retangular de dimensões 3 km X 2 km. Diante disso vamos aos cálculos das áreas:
Alternativa A Comentário: É de fundamental importância que o aluno compreenda a relação entre as grandezas envolvidas, elas são diretamente proporcionais. Caso contrário ele pode se confundir no momento da execução da regra de três composta.
Área do terreno total: A
= b ⋅ h = 3 ⋅ 2 ⇒ A = 6 km2 x km
Conteúdos envolvidos: Regra de três composta.
Área do terreno de João:
QUESTÃO 163
A figura ao lado representa o terreno já com as medidas necessárias ao cálculo. Como a área de extração dá a forma de um quarto de círculo, o ângulo 2 km central coincide com o ângulo interno do retângulo que é de 90°. Logo o ângulo em cinza do triângulo é: = .
O enunciado diz que o peso mínimo do carro sem gasolina é de 605 kg e pergunta qual será, no mínimo, o peso do tanque com combustível suficiente para dar mais 16 voltas. Logo nosso trabalho consiste em calcular o peso de gasolina que isto representa e somar aos 605 kg. Para tanto vamos por etapas: 1ª etapa: distância a percorrer nas 16 voltas, sendo cada uma de 7 km:
⋅
16 7 = 112 km. 2ª etapa: gasolina necessária, sendo o consumo de 75 litros a cada 100 km: litros 75 x
di s tânci a ⇒ ⋅ ⇒ 100 112
⋅ ⇒
100 x = 7 5 112
x=
8 400 100
x = 84 litr litros os..
3ª etapa: peso do combustível, sendo sua densidade 750 g/L:
9°
.
João
30°
30°
Para calcularmos a base x do triângulo usaremos a relação trigonométrica tg 30°
tg30° tg 30° ⇒ √ ⇒ ⇒ ⇒ ⋅⇒ Jã ⋅ x 3 2 3 x = 1,16 km km =
x 2
0,58 0,58 =
x 2
⇒ ⋅
x = 2 0,58
Logo a área do terreno será:
A
=
b h 1,16 2 = 2 2
A
1,16 km2 Jã = 1,16
infoEnem
Enem 2009
Porcentagem do terreno de João em relação ao terreno total:
⋅
1,16 100% 6
≅ ⋅
0,19 100%
≅
19%
Alternativa E Comentário: Um erro bastante corriqueiro é tentar utilizar todos os dados fornecidos pelo enunciado. É importante ressaltar que muitas vezes as questões trazem informações que para os cálculos são irrelevantes, contudo são de fundamental importância para dar maior realidade e contextualização ao enunciado. Foi o caso desta questão em que utilizamos apenas uma parte dos do s dados fornecidos.
23
QUESTÃO 166 O enunciado diz que a direção seguida por um avião é sempre orientada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela cidade destino. De acordo com as rotas estabelecidas no enunciado podemos estabelecer as seguintes direções para cada trajeto que Carlos fez, seguindo o mapa abaixo:
Conteúdos envolvidos: Trigonometria (função tangente), cálculo de área de retângulo e triângulo.
QUESTÃO 165 A questão aborda os conceitos de análise combinatória: permutação, arranjo e combinação. Por este motivo vamos relembrar o conceito de cada um deles:
Permutação: Dado um conjunto de n elementos, chama-se permutação qualquer sequência ordenada desses n elementos; Arranjo: Dado um conjunto de n elementos, chamase arranjo dos n elementos tomados p a p, qualquer sequência ordenada de p elementos dentre os n elementos possíveis. Neste caso a ordem dos elementos importa; Combinação: Dado um conjunto de n elementos, chama-se combinação dos n elementos tomados p a p, qualquer subconjunto de p elementos dentre os n elementos possíveis. Neste caso a ordem dos elementos não importa;
Para a escolha do grupo A utilizamos uma combinação, pois se trata de 12 times tomados 4 a 4, onde a ordem dos times no grupo não importa. Já para a escolha do jogo de abertura utilizamos um arranjo, pois se trata de 4 times tomados 2 a 2, onde a ordem dos times no jogo importa, devido ao fato de um jogar no seu próprio campo e o outro será o visitante. visitante. Logo a quantidade total de escolhas para o Grupo A e para a escolha do jogo de abertura podem ser calculadas por uma combinação e um arranjo, respectivamente r espectivamente..
Alternativa A Comentário: O ponto chave da questão é a ordem dos elementos no grupo se importa ou não, para que possamos diferenciar se será uma combinação ou um arranjo. Conteúdos envolvidos: Análise combinatória.
A bordo do avião AII: A rota do avião AII foi de 135° no sentido horário com relação à rota Brasília – Belém. Logo o avião saiu de Brasília e seguiu para a cidade número 13, Belo Horizonte.
A bordo do avião AIII: A rota do avião AIII foi de um ângulo reto no sentido antihorário em relação à rota Brasília – Belo Horizonte. Logo o avião saiu de Belo Horizonte e seguiu para a cidade número 9, Salvador.
Alternativa B Comentário: O importante nesta questão é o aluno compreender como realizar as orientações das rotas utilizando os ângulos dados. Conteúdos envolvidos: Ângulos.
QUESTÃO 167 Antes de iniciarmos a resolução da questão, precisamos observar que as unidades envolvidas não estão compatíveis e será preciso realizar a conversão. Neste caso escolheremos transformar as dimensões do campo de futebol de metros para quilômetros, para então calcular sua área em quilômetros quadrados. Sendo assim temos:
→→ ⋅
120 120 m ÷ 100 0,12 km 90 m ÷ 100 0,09 km
Área de um campo de futebol: A
0,12 = 0,1
2
0,09 0,09 = 0,10 0,108 8 km
Comparação da área do bioma Pantanal com a de um campo de futebol:
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24
Área do Trapézio isósceles:
2
150 355 km = 13 921 921 759,2 759,2 0,108 km
2
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≅
A
14 000 000
Entretanto, para não despender tempo durante a prova, o aluno pode transformar os números para uma forma mais conveniente levando-se em conta apenas as suas ordens de grandeza, da seguinte forma: 150 355 km2 = 1,5 ⋅ 10 km2 0,108 km2 = 1 ⋅ 10− km2 1,5 ⋅ 10 km2 = 1,5 ⋅ 10 − − 1 ⋅ 10− km2
≅
[
(
)]
30+20) ∙ 2,5 50 ∙ 2,5 = = (B +2b) ∙ h = (30+20) 2 2 = 25 ∙ 2,5 = A 62,5 m2 = 62,5
⁄
A vazão é dada no enunciado, 1 050 m s, logo podemos calcular a velocidade da água:
∙⇒
Q=A v
⇒
⋅
∙⇒
1050 1050 = 62,5 62,5 v
⁄
v = 16 1 6,8 m s
v=
1050 62,5
Canaleta depois da reforma:
6
= 1,5 10 = 15 000 000 00 00
Área do Trapézio isósceles:
14 000 000 A
Alternativa E Comentário: Como a questão nos deu a liberdade para encontrarmos um valor aproximado, não é necessário realizarmos a conta exata, e neste caso, foi preciso apenas saber a ordem de grandeza da comparação. Conteúdos envolvidos: Ordem de grandeza e propriedade de potenciação.
QUESTÃO 168 Assim como na questão 161, para calcular a mediana da amostra de dados, primeiro devemos ordená–los para depois verificar o termo central. Para isto vamos utilizar a tabela abaixo: 1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
73,10
81,60
82,00
83,00
84,00
84,60
85,30
49+41) ∙ 2,0 (90 ∙ 2) = = (B +2b) ∙ h = (49+41) 2 2 ⇒ A = 90 m2
Como a velocidade não se altera, podemos usar o mesmo valor 16,8 m/s:
∙
∙ ⇒
Q = A v = 9 0 16,8
⁄
Q = 1 512 m s
Outra forma de resolver a questão seria igualarmos as velocidades, já que ela não se altera, porém sem encontrar o seu valor de fato:
∙ v ⇒ v = QA Q Q2 Q2 ⇒ A = A2 ⎩Q2 = AQ2∙ v∙ A⇒2 v =1050A2 ∙ 90 94 500 ⇒ Q2 = A = 62,5 = 62,5 ⇒ ⇒ Q2 = 1 51512m⁄s Q =A
Alternativa D Como o número de termos é ímpar então a mediana é o próprio termo central, ou seja, R$ 83,00.
Alternativa D Comentário: Uma questão bastante simples onde o aluno deveria ordenar os números, na forma decimal, em ordem crescente para então encontrar o valor central, ou seja a mediana. Conteúdos envolvidos: Mediana.
QUESTÃO 169 Como para calcularmos a nova vazão da água precisaremos da velocidade, antes de tudo devemos calculá–la utilizando as informações dadas a respeito da figura I.
Canaleta antes da reforma:
Comentário: Uma vez que a vazão é uma função linear e a velocidade não se altera, garantido estes dois fatos o aluno poderia concluir que a partir dos valores das áreas do trapézio, uma regra de três tr ês simples resolveria a questão. Conteúdos envolvidos: Área de um trapézio e igualdade de equações.
QUESTÃO 170 O enunciado diz que cada ponto (pixel) é armazenado em 3 bytes. Como a câmera é de 2 megapixels, o tamanho que uma foto, utilizando a resolução máxima, irá ocupar é:
⋅
3 2 000 000 000 = 6 000 000 000 bytes bytes (por foto) foto) Se a compressão é de 95% logo restará 5% que será armazenado: 6 000 000
⋅
⋅
5 = 60 000 000 5 = 300 000 bytes bytes (por (por foto) foto) 100
infoEnem
Enem 2009
25
126 1 = 504 4
Se João irá tirar 150 fotos então:
⋅
150 300 300 000 000 = 45 000 000 000 000 = 45 MB Como o pretendido é restar o mínimo possível de espaço, portanto o dispositivo mais adequado será um cartão de memória de 64 MB.
Alternativa E
Conteúdos envolvidos: Porcentagem e potências de base 10.
Analisando cada um dos dois casos propostos teremos as seguintes possibilidades, utilizando o Princípio Fundamental da Contagem:
84 apostas de 6 dezenas diferentes:
dezena dezena dezena dezena dezena 2ª
3ª
5
4ª
4
3
2
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ possibilidades
QUESTÃO 172 Das informações do enunciado e da tabela podemos calcular o valor das importações e exportações ocorridas de junho a dezembro de 2009:
Aposta única de 9 dezenas:
dezena dezena dezena dezena dezena 2ª
3ª
8
4ª
7
2 840 840 +
5ª
6
∙ ∙
7 9 340 = 7 124 5
Exportação (em milhões de dólares): 2 240 240 +
∙ ∙
7 11 230 = 5 78 782 5
Diferença entre importação e exportação (em milhões de dólares) 7 124
∴
5 782 782 = 1 342 342
1 342 bilhões de
dólares
Alternativa C
6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 84 = 84 = 84 6 5! 5 4 3 2 1 = 504
9
Conteúdos envolvidos: Princípio Fundamental da Contagem e probabilidade.
5ª
Como a ordem das dezenas não importa, por tratar-se do mesmo jogo, devemos realizar o desconto da quantidade de jogos repetidos. Sendo assim o nosso nosso cálculo será:
1ª
Comentário: O detalhe importante desta questão é o aluno entender o desconto devido à repetição dos jogos, em outras palavras, o porquê da divisão por 5! (lê-se 5 fatorial). fatorial).
Importação (em milhões de dólares):
QUESTÃO 171
6
504 =4 126
Alternativa C
Comentário: Um erro bastante comum em questões envolvendo porcentagem é na interpretação equivocada do aluno ao se deparar com a informação: “(...) compressão, que reduzem em até 95% a quantidade qu antidade (...)”. Se no momento do cálculo o aluno realizar r ealizar a multiplicação da quantidade em questão por 95%, ele estará cometendo um erro conceitual de porcentagem. O aluno deve se convencer de que ao ser comprimido 95% do tamanho, a quantidade a ser considerada será de 100% – 95% = 5%. Logo ele deverá multiplicar a quantidade desejada por este valor e deste modo estará correto.
1ª
Entretanto se calcularmos o contrário, o primeiro caso em relação ao segundo teremos:
5
De forma análoga do cálculo anterior, teremos:
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ possibilidades
9 8 7 6 5 9 8 7 6 5 = =9 2 7 5! 5 4 3 2 1 = 126 Sendo o espaço amostral o mesmo para os dois casos não há necessidade de calculá-lo e podemos analisar a relação entre os dois casos apenas utilizando as possibilidades encontradas. O enunciado nos pede a relação do segundo caso para o primeiro, porém esta alternativa não consta: consta:
Comentário: Em questões que envolvem grandes quantidades, números em milhões, bilhões, etc., é aconselhável que o aluno, durante a prova, apenas considere os zeros apenas no final do cálculo. Isto ajuda a não desperdiçar tempo. Outro ponto importante da questão é o aluno não ignorar os gastos com a importação no balanço dos recursos despendidos com importações, assim como a receita gerada com exportação no montante dos recursos gerados com as exportações. Conteúdos envolvidos: Resolução de problemas envolvendo operações básicas.
QUESTÃO 173 De início podemos calcular qual é a altura da pirâmide superior, que será a mesma altura de cada um dos quatro blocos: 19
4
3
=
16 = 4 cm. cm. 4
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Enem
Observando a figura, percebemos que para responder a pergunta podemos considerar a pirâmide sem os espaços entre os blocos. Portanto para calcular a quantidade de parafina gasta sem a pirâmide superior basta calcular o volume de ambas as pirâmides e subtrair a menor da maior. Lembrando que o volume de um pirâmide é calculado por: V=
2009
26
QUESTÃO 174 Observemos a figura abaixo:
∙ ∙ altura
1 A 3
Volume (V 1 ) da pirâmide total:
∙ ∙ ∙ =
1 576 (6 6) 16 = 3 3
⇒
= 192
Volume (V 2 ) da pirâmide superior:
2 ∙ ∙ ∙ ⇒ 2 =
1 9 (1,5 1,5) 1,5) 4 = 3 3
=3
Volume sem a pirâmide superior:
2 =
= 192
⇒ 3
= 189
Alternativa B Comentário: O segredo da questão é o aluno, ao ler a seguinte informação: “sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto”, entenda que, para efeito de cálculo, os espaços podem ser removidos para obter–se a pirâmide total e assim calcular o seu seu volume. Outro ponto importante que o aluno deve ficar atento é o modo de se encontrar o valor da altura da pirâmide menor. Como vimos não foi necessário cálculo envolvendo tronco de pirâmide. Conteúdos envolvidos: Volume de pirâmide. Antes de resolvermos esta questão, vamos recordar alguns conceitos:
Na figura 1 devemos observar que o ponto P ao deslocar-se de uma distância d até o ponto P’, no eixo x, ou seja, a projeção do deslocamento, o ponto Q irá movimentar-se para o ponto Q’;
Ainda na figura 1, podemos observar que a distância que procuramos, que é o deslocamento de Q a Q’, é dada pela medida do raio r da circunferência menos o cateto x do triângulo retângulo: QQ = r x ;
�′
Na figura 2, podemos relacionar o ângulo α, o
cateto x e a hipotenusa r, pela função cosseno: cos = ;
α
Na figura 3, podemos relacionar o arco d, o ângulo α e o raio r por:
α
= ;
Juntando as informações obtidas teremos:
infoEnem
α ⇒ ⋅ α⇒ ⋅ ⋅ ⋅
cos = r
Enem 2009
x r
x=r
x = r cos
d r cos = r r
x = r cos
1
cos
d r
d r
Alternativa B Comentário: Uma questão bastante interessante que une importantes elementos no estudo de trigonometria no triângulo retângulo e de circunferência. Nesta questão são três os pontos chave para a resolução: intuir a construção de um triângulo retângulo, elemento fundamental na solução do problema; observar que a distância pedida na questão pode ser obtida através da subtração do raio da circunferência pela medida do cateto do triângulo; e por último, a capacidade do aluno em relacionar diferentes informações e agrupá-las de maneira conveniente, como foi feito. É importante ressaltar que existem outras formas de resolução, mas em todas elas haverá a construção de um triângulo retângulo. Conteúdos envolvidos: Plano cartesiano, trigonometria (função cosseno) e estudo dos elementos de uma circunferência.
27
1,2
⇒
NV = 0,2 (III) III) 2NF
NV =1 NF
⋅ ⋅⇒ ⋅ ⇒ ⋅ ⇒ NV NV NV = 1,2 2 NF NF 2 NF 2 NV NV = 0,2 2 NF
1
Voltando o valor obtido em (III) na equação (II), temos: NA =1 NV
⇒ 0,2
NA = 0,8 NV
Como NA + NV = 3 600 0,8 0,8NV = 3 600 600
⇒ ⇒
⇒ ⇒ NV
1,8N 1,8NV V = 3 600 600
⇒
⇒
⋅
NA = 0,8 NV
NA = 3 600
NV então:
0,8NV + NV = 3 600 3 600 NV = 1,8
⇒
NV = 2 00 000
QUESTÃO 175
Voltando na equação (III) para obter o valor de NF pedido:
O enunciado diz que o cálculo do ICadÚnico é feito da seguinte maneira:
NV = 0,2 NV = 0,2 2NF 0,4N 0,4NFF = 2 000 000 2NF 2 000 NF = NF = 5 00 000 0,4
ICadÚnico
=
TC+TA 2
Logo com os dados fornecidos podemos estabelecer as seguintes relações: 0,6 =
TC+TA , 2
mas
como como TC TC =
⇒
NV NA + = 2 0,6 NF NV
NV NA + 0,6 = NF NV 2
⇒
NA = 1,2 NV
⇒ ⋅ ⇒⋅
NV NA + NV 2 NF 0,5 = 2
NA =1 NV
⋅ ⇒
⋅
:
⇒
⋅ ⇒
Alternativa C Comentário: O importante nesta questão, por se tratar de resolver um sistema de 3 incógnitas, é o aluno observar quais serão as substituições necessárias para que seja possível utilizar a informação NA + NV = 3 600. No mais, a questão exige a habilidade do aluno com relação à álgebra, ou seja, o desenvolvimento das equações. Conteúdos envolvidos: Álgebra e sistemas de equações.
QUESTÃO 176
⋅
NV NA + = 2 0,5 2 NF NV NV NA + =1 2 NF NV
NV (II) 2 NF
então
NV NA + = 1,2 NF NV
NV (I) NF
⋅
⇒
NV NA e TA = , NF NV
⇒
⇒
⇒
Antes de analisarmos as alternativas vamos encontrar quanto tempo se passou desde o início até o fim dos exercícios de Joana e quanto tempo ela gasta para realizar o programa:
Tempo em que Joana fez seus exercícios:
11h7min 10h30min minutos = 37
Tempo para execução do programa: Igualando as equações (I) e (II) temos:
mimin nutos
Em aquecimento: 10 + 60 s = 11
⋅ minutos ⋅ min
Em descanso: 17 60 s = 17 1 = 17
infoEnem
⋅ mi⋅ nutos ⋅ min
Em aparelhos: 3 6 30s = 18 0,5 =9
Enem
minminutosmin 17min
Tempo total: 11 +9 = 37
+
Portanto ela conseguiu realizar todos os exercícios e cumprir rigorosamente com os períodos de descanso especificados em seu programa.
2009
28
Total da dívida: R$ 1 800, 800,00 00 + R$ 400,0 400,00 0 = R$ 2 200,00 200,00 Descontos oferecidos pelo gerente para quitação imediata da dívida são:
⋅
⋅ ⋅ ⋅
Alternativa B
Cheque especial: 10 $ 150,00 = $ 1 500,00
Comentário: Um detalhe importante que o aluno deve atentar-se é quanto aos períodos de descanso. Como são 18 séries ao todo logo serão 17 intervalos entre um e outro.
Total da dívida: $ 1 500,0 500,00 0 + $ 300,00 = $1 800,00
Conteúdos envolvidos: Conversão de unidades e resolução de problemas envolvendo operações básicas.
A renegociação da dívida em 18 parcelas fica:
QUESTÃO 177
18 R$ 125,0 125,00 0 = R$ 2 250 250,0 ,00 0 (Alternativa A)
Analisando as alternativas, podemos descartar logo de início as alternativas A, B e E. Todas as três terminam concluindo que o polígono é formado de quatro lados. Porém sabemos que um pentágono é um polígono formado por cinco lados, logo elas são falsas. A alternativa D é falsa, pois podemos mostrar um contra exemplo que invalida sua afirmação. Se fizermos a interseção de um plano com uma pirâmide, de modo que o plano seja paralelo à sua base, a figura formada será um polígono de quatro lados e não cinco como a alternativa sugere, logo ela também é falsa. Resta-nos, portanto a alternativa C que é a correta, e sua justificativa é perfeita e esclarecedora.
Os valores utilizando a ajuda de José serão:
Para ilustrar melhor, a figura abaixo ilustra tal construção:
Cartão de crédito: (1 25%) 25%) 5 $ 80,00 = 0,7 0,75 $ 400,00 = $ 300,00
⋅
⋅ ⋅
⋅
(1+25%) 1+25%) R$ 1 800, 800,00 00 = 1,25 1,25 R$ 1 800,00 800,00 = R$ 2 250,00 (Alternativa B)
⋅
(1+25%) 1+25%) R$ 1 500,0 500,00 0 + R$ 400, 400,00 00 = 1,25 1,25 R$ 1 500 500,0 ,00 0 + R$ 400, 400,00 00 = R$ 1 875,0 875,00 0 + R$ 400, 400,00 00 = R$2 275,00 (Alternativa D)
⋅
⋅
R$ 1 800, 800,00 00 + (1+25%) 1+25%) R$ 300, 300,00 00 = R$ 1 800 800,0 ,00 0+ 1,25 R$ 300,0 300,00 0 = R$ 1 800, 800,00 00 + R$ 3750 37500, 0,00 00 = R$ 2 175,00 (Alternativa E) A alternativa C é referente ao valor de sua dívida, ou seja, R$ 2 200,00. 200,00. Portanto a opção que dá a João o menor gasto será a de R$ 2 175,00. 175,00.
Alternativa E Comentário: Apesar de serem bastante as informações infor mações que o aluno deve trabalhar, os cálculos não apresentam grandes complexidades. Conteúdos envolvidos: Porcentagem de aumento e desconto.
Alternativa C
QUESTÃO 179
Comentário: A questão exige do aluno a capacidade de abstração para se enxergar, com um pouco de imaginação, que figura resultará do corte da pirâmide por um plano que intersecte todas as suas faces. Conteúdos envolvidos: Geometria espacial.
QUESTÃO 178 Primeiramente vamos calcular a quantia que João deve ao todo:
⋅
Cheque especial: 12 R$ 150,00 = R$ 1 800,00 800,00
⋅
Cartão de crédito: 5 R$ 80, 80,00 00 = R$ 400, 400,00 00
Pelas unidades dos dados que foram fornecidos teremos algumas conversões a fazer. Primeiramente vamos calcular o volume (V C ) da cisterna utilizando os dados do enunciado, sabendo que 1 000 000 litr litros os = 1 m :
⇒
⋅ ⋅
V = (1+10%) 1+10%) V N V = 33 000 000 litros litros
= 1,1 ⋅ 2 ⋅ 15 ⇒ V = 33 m
Através do enunciado podemos entender que a área do telhado, em m2, é calculada através da divisão do volume da cisterna, em litros, pela precipitação de chuva, em metros, ou seja:
infoEnem
a precipitação ⇒ a 2
Áre
V
=
Áre
Enem 2009
=
33 000 110
= 300 m
Como a área necessária é de 300 m 2 então o telhado pode ter as dimensões mínimas de 15 metros por 20 metros.
Alternativa B Comentário: A questão traz um assunto que se acredita não ser do conhecimento dos alunos, o cálculo de um telhado e de uma cisterna para a capitação de água. Desta forma, sendo novidade para todos os candidatos, a questão tem dificuldade bem equilibrada.
29
demais 81 não apresentarão efeito colateral. Novamente para estes 81 pacientes em 10% deles ocorrerá efeito, ou seja, 8,1 pacientes. E assim por diante. Até aqui, do grupo de 100 pacientes considerado, teremos a probabilidade de 10 terem efeito colateral após a primeira dose, outros 9 pacientes após a segunda dose e outros 8,1 após a terceira dose. Assim, supostamente serão 10 + 9 + 8,1 = 27,1 pacientes acometidos por efeito colateral após três doses de medicamento, ou seja, 27,1 de um total de 100 e, portanto 27,1%, o mesmo valor encontrado utilizando a expressão.
Alternativa B
Conteúdos envolvidos: Porcentagem e conversão de unidades.
Comentário: Muitas vezes em questões de probabilidade o uso do evento complementar é bastante útil dependendo das condições impostas. No caso foi utilizado o complemento do complemento. (1 (1 0,1) 100%. 0,1) ) 100%.
QUESTÃO 180
Conteúdos envolvidos: Probabilidade.
Após a administração de uma dose, a probabilidade de um paciente apresentar efeito colateral é de 10%, ou seja, a probabilidade de um paciente não apresentar efeito algum é de 90%. Diante disso para calcularmos a probabilidade (p) de cada tratamento em termos do número de doses utilizaremos a seguinte expressão: p = (1 doses:
⋅
0,9 ) 100%, 100%, onde
n
representa o número de
Sendo assim a probabilidade de cada tratamento será:
Para 3 doses:
⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒
⋅ ⋅
p = (1 0,9 ) 100% 100% = (1 0,9 ) 100% = (1 0,729) 0,729) 100 100% = 0,27 0,271 1 100% p = 27,1% < 35%
Para 4 doses:
⋅4⋅
p = (1 0,9 ) 100% 100% = (1 0,9 ) 100 = (1 0,6561) 0,6561) 100 100 = 0,3 0,3439 439 100% p = 34,39% < 35%
Para 6 doses:
6⋅ ⋅
p = (1 0,9 ) 100% 100% = (1 0,9 ) 100% = (1 0,531441) 0,531441) 100% 100% = 0,46 0,4685 8559 59 100% p = 46,8 46,855 559 9% > 35% 35%
Portanto o maior número admissível de doses para esse paciente é 4. A determinação da expressão dada é assim descrita por não podermos aplicar a probabilidade dos 10% de ocorrer algum efeito colateral sucessivas vezes, pois incorreríamos em um erro conceitual. Para explicar melhor vamos ao seguinte exemplo: Tomando um conjunto de 100 pacientes, após a primeira dose, pela probabilidade, 10 terão efeitos colaterais e 90 não terão. Já na segunda dose, destes 90 pacientes, 10% deles terão efeito colateral, ou seja, 9 pacientes. Portanto os
⋅
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Enem 2010 - MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
A) 1 : 20
D) 1 : 1 000
Questões 136 a 180
B) 1 : 100
E) 1 : 2 000
Questão 136.
C) 1 : 200
Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro partes iguais. Em seguida, preencheu 75% dela com conceitos e explicações, conforme a figura seguinte.
Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por completo e, adotando um procedimento semelhante ao anterior, voltou a preenchê-la, mas, dessa vez, utilizando 40% do espaço dela.
Questão 138. Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectivamente. O bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na figura.
Uma representação possível para essa segunda situação é
A)
B)
A escolha do bebedouro. In: Biotemas. V. 22, n°. 4, 2009 (adaptado).
C)
Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual das figuras a seguir representa uma planificação para o bebedouro 3? A)
D)
E)
Questão 137. No monte de Cerro Armazones, no deserto de Atacama, no Chile, ficará o maior telescópio da superfície terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O EELT terá um espelho primário de 42 m de diâmetro, “o maior olho do mundo voltado para o céu”. Disponível em: http://www.estadao.com.br. http://www.estadao.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).
Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma suposição de que o diâmetro do olho humano mede aproximadamente 2,1 cm. Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho humano, suposto pela professora, e o diâmetro do espelho primário do telescópio citado?
B)
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C)
D)
Disponível em: http://g1.globo.com. http://g1.globo.com. Acesso em: 28 abr. 2010 (adaptado).
Supondo que o total de pessoas pesquisadas na região metropolitana de Porto Alegre equivale a 250 000, o número de desempregados em março de 2010, nessa região, foi de
E)
A) 24 500.
D) 223 000.
B) 25 000.
E) 227 500.
C) 220 500.
Questão 141. Os dados do gráfico foram coletados por meio da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios. Domicílios.
Questão 139. Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a
Fonte: IBGE.Disponível em: http://www.ibge.gov.br . Acesso em: 28 abr. 2010 (adaptado).
A) 5 cm.
D) 24 cm.
Supondo-se que, no Sudeste, 14 900 estudantes foram entrevistados nessa pesquisa, quantos deles possuíam telefone móvel celular?
B) 6 cm.
E) 25 cm.
A) 5 513
D) 8 344
C) 12 cm.
B) 6 556
E) 9 536
Questão 140.
C) 7 450
Os dados do gráfico seguinte foram gerados a partir de dados colhidos no conjunto de seis regiões metropolitanas pelo Departamento Intersindical de Estatística e Estudos socioeconômicos (Dieese).
Questão 142. Acompanhando crescimento do filho, um casal constatou que, de 0 a 10 anos, a variação da sua altura se dava de forma mais rápida do que dos 10 aos 17 anos e, a partir de 17 anos, essa variação passava a ser cada vez menor, até se
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tornar imperceptível. Para ilustrar essa situação, esse casal fez um gráfico relacionando as alturas do filho nas idades consideradas.
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E)
Que gráfico melhor representa a altura do filho desse casal em função da idade? A)
Questão 143.
B)
A classificação de um país no quadro de medalhas nos Jogos Olímpicos depende do número de medalhas de ouro que obteve na competição, tendo como critérios de desempate o número de medalhas de prata seguido do número de medalhas de bronze conquistados. Nas Olimpíadas de 2004, o Brasil foi o décimo sexto colocado no quadro de medalhas, tendo obtido 5 medalhas de ouro, 2 de prata e 3 de bronze. Parte desse quadro de medalhas é reproduzida a seguir.
C) Disponível em: http://www.quadroademedalhas.com.br. http://www.quadroademedalhas.com.br. Acesso em: 05 abr. 2010 (adaptado).
Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4 de prata e 10 de bronze, sem alteração alte ração no número de medalhas dos demais países mostrados no quadro, qual teria sido a classificação brasileira no quadro de medalhas das Olímpiadas de 2004?
D)
A) 13º
D) 10º
B) 12º
E) 9º
C) 11º
Questão 144. A resistência elétrica e as dimensões do condutor A relação da resistência elétrica com as dimensões do condutor foi estudada por um grupo de cientistas por meio de vários experimentos de eletricidade. Eles verificaram que existe proporcionalidade entre: • • •
resistência (R) e comprimento (l), dada a mesma secção transversal (A); resistência (R) e área de secção transversal (A), dado o mesmo comprimento (l); comprimento (l) e área de secção transversal (A), dada a mesma resistência (R).
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Considerando os resistores como fios, pode-se exemplificar o estudo das grandezas que influem na resistência elétrica utilizando as figuras seguintes.
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D) 3 300 km2 e 4 000 km2. E) 4 100 km2 e 5 800 km2.
Questão 146. A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue.
Disponível em: http://www.efeitojoule.com. http://www.efeitojoule.com. Acesso em: abr. 2010 (adaptado).
As figuras mostram que as proporcionalidades existentes entre resistência (R) e comprimento (l), resistência (R) e área de secção transversal (A), e entre comprimento (l) e área da secção transversal (A) são, respectivamente,
O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria r esultaria na medida da grandeza
A) direta, direta e direta.
A) massa.
B) direta, direta e inversa.
B) volume.
C) direta, inversa e direta.
C) superfície.
D) inversa, direta e direta.
D) capacidade.
E) inversa, direta e inversa.
E) comprimento.
Questão 145.
Questão 147.
Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de desmatamento, conforme gráfico, da chamada Amazônia Legal, integrada por nove estados.
A figura I abaixo mostra um esquema das principais vias que interligam a cidade A com a cidade B. Cada número indicado na figura II representa a probabilidade de pegar um engarrafamento quando se passa na via indicada. Assim, há uma probabilidade de 30% de se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto C ao o ponto B, passando pela estrada E4, e de 50%, quando se passa por E3. Essas probabilidades são independentes independentes umas das outras.
Disponível em: www.folhaonline.com.br. Acesso em: 30 abr. 2010 (adaptado)
Considerando-se que até 2009 o desmatamento cresceu 10,5% em relação aos dados de 2004, o desmatamento médio por estado em 2009 está entre 2
Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B usando exatamente duas das vias indicadas, percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de engarrafamento possível. O melhor trajeto para Paula é
2
A) 100 km e 900 km . 2
2
2
2
B) 1 000 km e 2 700 km . C) 2 800 km e 3 200 km .
A) E1E3.
D) E2E5.
B) E1E4.
E) E2E6.
C) E2E4.
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Questão 148. O gráfico a seguir apresenta o gasto militar dos Estados Unidos, no período de 1988 a 2006.
34
B) maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro. C) a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. D) menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade. E) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo.
Questão 151.
Almanaque Abril 2008. Editora Abril.
Com base no gráfico, o gasto militar no início da guerra no Iraque foi de
Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos.
A) U$ 4.174.000,00. B) U$ 41.740.000,00. C) U$ 417.400.000,00. D) U$ 41.740.000.000,00. D) U$ 417.400.000.000,00.
Questão 149. Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir.
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá A) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. B) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. C) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura?
D) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
A) C = 4Q D)
D) C = Q + 3
E) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
B) C = 3Q + 1
E) C = 4Q - 2
Questão 152.
C) C = 4Q – 1
Questão 150. A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro quadrado de tela, 15 reais por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais. Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros retangulares (25 cm × 50 cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para 8 quadros retangulares retangulares (50 cm × 100 cm). O valor da segunda encomenda será A) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram.
Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está a r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por
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Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r , no apogeu e no perigeu, representada por S.
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De acordo com esse sistema de controle de qualidade, o desempenho financeiro dessa empresa no ano de 2009 deve ser considerado A) insuficiente.
O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de
B) regular.
A) 12 765 km.
D) 10 965 km.
C) bom.
B) 12 000 km.
E) 5 865 km.
D) ótimo.
C) 11 730 km.
E) excelente.
Questão 153.
Questão 155.
O jornal de certa cidade publicou em uma página inteira a seguinte divulgação de seu caderno de classificados.
Uma escola recebeu do governo uma verba de R$ 1000,00 para enviar dois tipos de folhetos pelo correio. O diretor d iretor da escola pesquisou que tipos de selos deveriam ser utilizados. Concluiu que, para o primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$ 0,65 enquanto para folhetos do segundo tipo seriam necessários três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e um de R$ 0,20. O diretor solicitou que se comprassem selos de modo que fossem postados exatamente 500 folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante de selos que permitisse o envio do máximo possível de folhetos do primeiro tipo. Quantos selos de R$ 0,65 foram for am comprados? A) 476
D) 965
B) 675
E) 1 538
C) 923
Questão 156.
Para que a propaganda seja fidedigna à porcentagem da da área que aparece na divulgação, a medida do lado do retângulo que representa os 4%, deve ser de aproximadamente A) 1 mm.
D) 160 mm.
B) 10 mm.
E) 167 mm.
A figura a seguir é a representação de uma região por meio de curvas de nível, que são curvas fechadas representando a altitude da região, com relação ao nível do mar. As coordenadas estão expressas em graus de acordo com a longitude, no eixo horizontal, e a latitude, no eixo vertical. A escala em tons de cinza desenhada à direita está associada à altitude da região.
C) 17 mm.
Questão 154. Uma empresa possui um sistema de controle de qualidade que classifica o seu desempenho financeiro anual, tendo como base o do ano anterior. Os conceitos são: insuficiente, quando o crescimento é menor que 1%; regular, quando o crescimento é maior ou igual a 1% e menor que 5%; bom, quando o crescimento é maior ou igual a 5% e menor que 10%; ótimo, quando é maior ou igual a 10% e menor que 20%; e excelente, quando é maior ou igual a 20%. Essa empresa apresentou lucro de R$ 132 000,00 em 2008 e de R$ 145 000,00 em 2009.
Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento sobrevoa a região a partir do ponto X = (20; 60). O helicóptero segue o percurso:
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Ao final, desce verticalmente até pousar no solo.
A) 29,9 toneladas.
D) 35,3 toneladas.
De acordo com as orientações, o helicóptero pousou em um local cuja altitude é
B) 31,1 toneladas.
E) 41,8 toneladas.
A) menor ou igual a 200 m. B) maior que 200 m e menor ou igual a 400 m. C) maior que 400 m e menor ou igual a 600 m. D) maior que 600 m e menor ou igual a 800 8 00 m. E) maior que 800 m.
Questão 157. Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com 2 m de diâmetro e 4 m de altura (de espessura desprezível), foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto, contendo 20 cm de espessura. Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor aproximado de π, então o preço dessa manilha é igual a A) R$ 230,40.
D) R$ 54,56.
B) R$ 124,00.
E) R$ 49,60.
C) 32,4 toneladas.
Questão 159. Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. As fórmulas que determinam esses índices são:
ARAUJO, C. G. S.; RICARDO, D. R. Índice de Massa Corporal: Um Questionamento Científico Baseado em Evidências. Arq. Bras. Cardiologia, volume 79, nº 1, 2002 (adaptado).
Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m2, então ela possui RIP igual a
C) R$ 104,16.
A) 0,4 cm/kg1/3.
D) 20 cm/kg1/3.
Questão 158.
B) 2,5 cm/kg1/3.
E) 40 cm/kg1/3.
No manejo sustentável de florestas, é preciso muitas vezes obter o volume da tora que pode ser obtida a partir de uma árvore. Para isso, existe um método prático, em que se mede a circunferência da árvore à altura do peito de um homem (1,3 m), conforme indicado na figura. A essa medida denomina-se “rodo” da árvore. O quadro a seguir indica a fórmula para se cubar, ou seja, obter o volume da tora em m 3 a partir da medida do rodo e da altura da árvore.
C) 8 cm/kg1/3.
Questão 160. Um balão atmosférico, lançado em Bauru, (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição. Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010.
Um técnico em manejo florestal recebeu a missão de cubar, abater e transportar cinco toras de madeira, de duas espécies diferentes, sendo • •
3 toras da espécie I, com 3 m de rodo, 12 , de comprimento e densidade 0,77 toneladas/m 3 2 toras da espécie II, com 4 m de rodo, 10 m comprimento e densidade 0,78 toneladas/m 3.
Após realizar seus cálculos, o técnico solicitou que enviassem caminhões para transportar uma carga de, aproximadamente,
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°.
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Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? A) 1,8 km
D) 3,7 km
B) 1,9 km
E) 5,5 km
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C) II, pela relação área/capacidade de armazenamento de 3/4. D) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 2/3.
C) 3,1 km
Questão 161. Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, Conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. Nessas condições, a área a ser calçada corresponde A) à mesma área do triângulo AMC. B) à mesma área do triângulo BNC. C) à metade da área formada pelo triângulo ABC.
E) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 7/12.
Questão 163. Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo. Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função
em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado. Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48 °C e retirada quando a temperatura for 200 °C.
D) ao dobro da área do triângulo MNC.
O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a
E) ao triplo da área do triângulo MNC.
A) 100.
D) 130.
Questão 162.
B) 108.
E) 150.
Uma empresa vende tanques de combustíveis de formato cilíndrico, em três tamanhos, com medidas indicadas nas figuras. O preço do tanque é diretamente proporcional à medida da área da superfície lateral do tanque. O dono de um posto de combustível deseja encomendar um tanque com menor custo por metro cúbico de capacidade de armazenamento.
C) 128.
Questão 164. A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos pesados provavelmente surgiu com os antigos egípcios ao construírem as pirâmides.
Qual dos tanques deverá ser escolhido pelo dono do posto? (Considere π 3)
≅
A) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 1/3. B) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 4/3.
BOLT, Brian. Atividades matemáticas.Ed.Gradiva.
Representando por R o raio da base dos rolos cilíndricos, em metros, a expressão do deslocamento horizontal y do bloco de pedra em função de R, após o rolo ter dado uma volta completa sem deslizar, é
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B) y = 2R.
Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas em 2016 será
C) y = R.
A) menor que 1 150.
D) y = 2 R.
B) 218 unidades maior que em 2004.
E) y = 4 R.
C) maior que 1 150 e menor que 1 200. 2 00.
Questão 165.
D) 177 unidades maior que em 2010.
Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais, conforme mostra a figura.
E) maior que 1 200.
A) y = R.
Questão 167. Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.
O raio da perfuração da peça é igual a Considere:
A) 1 cm. B) 2 cm. C) 3 cm.
Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de
D) 4 cm. E) 5 cm.
A) 1,33.
Questão 166. O gráfico mostra o número de favelas no município de Janeiro entre 1980 e 2004, considerando considerando que a variação nesse número entre os anos considerados é linear.
B) 6,00. C) 12,00. D) 56,52. E) 113,04.
Favela Tem Memória. Época. Nº 621, 12 abr. 2010 (adaptado)
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Questão 168. O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa de 1930 até a de 2006.
Quantidades de Gols dos Artilheiros das Copas do Mundo
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regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos. Dados dos candidatos no concurso
O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é A) Marco, pois a média e a mediana são iguais. B) Marco, pois obteve menor desvio padrão. C) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português. Disponível em: http://www.suapesquisa.com. http://www.suapesquisa.com. Acesso em: 23 abr. 2010 (adaptado).
A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo? A) 6 gols
D) 7,3 gols
B) 6,5 gols
E) 8,5 gols
C) 7 gols
Questão 169. O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com co m o outro pé, do qual o salto é realizado. Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado).
Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre A) 4,0 m e 5,0 m. B) 5,0 m e 6,0 m. C) 6,0 m e 7,0 m. D) 7,0 m e 8,0 m. E) 8,0 m e 9,0 m.
Questão 170. Marco e Paulo foram classificados em aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da pontuação mais
D) Paulo, pois obteve maior mediana. E) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.
Questão 171. Um grupo de pacientes com Hepatite C foi submetido a um tratamento tradicional em que 40% desses pacientes foram completamente curados. Os pacientes que não obtiveram cura foram distribuídos em dois grupos de mesma quantidade e submetidos a dois tratamentos inovadores. No primeiro tratamento inovador, 35% dos pacientes foram curados e, no segundo, 45%. Em relação aos pacientes submetidos inicialmente, os tratamentos inovadores proporcionaram cura de A) 16%.
D) 48%.
B) 24%.
E) 64%.
C) 32%.
Questão 172. Em 2006, a produção mundial de etanol foi de 40 bilhões de litros e a de biodiesel, de 6,5 bilhões. Neste mesmo ano, a produção brasileira de etanol correspondeu a 43 % da produção mundial, ao passo que a produção dos Estados Unidos da América, usando milho, foi de 45%. Disponível em: planetasustentavel.abril.com.br. planetasustentavel.abril.com.br. Acesso em: 02 maio 2009.
Considerando que, em 2009, a produção mundial de etanol seja a mesma de 2006 e que os Estados Unidos produzirão somente a metade de sua produção de 2006, para que o total produzido pelo Brasil e pelos Estados Unidos continue correspondendo a 88% da produção mundial, o Brasil deve aumentar sua produção em, aproximadamente, A) 22,5%.
D) 65,5%.
B) 50,0%.
E) 77,5%.
C) 52,3%.
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Questão 173.
B) 90 min.
O diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres estavam aumentando. Há alguns anos, a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio, obtendo o quadro a seguir:
C) 120 min.
40
D) 180 min. E) 360 min.
Questão 175. O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols.
Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36,0, a probabilidade de ela calçar 38,0 é A) 1/3
D) 5/7
B) 1/5
E) 5/14
C) 2/5
Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então
Questão 174.
A) X = Y < Z.
João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele sairá da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e
B) Z < X = Y.
F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades.
E) Z < Y < X.
C) Y < Z < X. D) Z < X < Y.
Questão 176. A disparidade de volume entre os planetas é tão grande que seria possível colocá-los uns dentro dos outros. O planeta Mercúrio é o menor de todos. Marte é o segundo menor: dentro dele cabem três Mercúrios. Terra é o único com vida: dentro dela cabem sete Martes. Netuno é o quarto maior: dentro dele cabem 58 Terras. Júpiter é o maior dos planetas: dentro dele cabem 23 Netunos. Revista Veja. Ano 41, nº 25, 25 jun. 2008 (adaptado).
Seguindo o raciocínio proposto, quantas Terras cabem dentro de Júpiter? A) 406 Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes. Examinando a figura, percebe que precisa considerar somente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1min30s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica, conforme apresentado. O tempo mínimo necessário para Joao verificar todas as sequências possíveis no problema é de A) 60 min.
B) 1 334 C) 4 002 D) 9 338 E) 28 014
Questão 177. Um dos grandes problemas da poluição dos mananciais (rios, córregos e outros) ocorre pelo hábito de jogar óleo utilizado em frituras nos encanamentos que estão interligados com o sistema de esgoto. Se isso ocorrer, cada
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10 litros de óleo poderão contaminar 10 milhões (107 ) de litros de água potável. Manual de etiqueta. Parte integrante das revistas Veja (ed. 2055), Cláudia Geographic (ed. 93) e Nova Escola (ed. 208) (ed. 555), National Geographic (adaptado).
Suponha que todas as famílias de uma cidade descartem os óleos de frituras através dos encanamentos e consomem 1000 litros de óleo em frituras por semana. Qual seria, em litros, a quantidade de água potável contaminada por semana nessa cidade? A) 10-2 B) 103
41
A) 9 B) 45 C) 64 D) 81 E) 285
Questão 180. Para conseguir chegar a um número recorde de produção de ovos de Páscoa, as empresas brasileiras começam a se planejar para esse período p eríodo com um ano de antecedência. O gráfico a seguir mostra o número de ovos de Páscoa produzidos no Brasil no período de 2005 a 2009.
C) 104 D) 106 E) 109 Questão 178. Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm. c m.
O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de A) 12 cm3.
Revista Veja. São Paulo: Abril, ed. 2107, nº 14, ano 42.
B) 64 cm3.
De acordo com o gráfico, o bienio que apresentou maior produção acumulada foi
C) 96 cm3. D) 1 216 cm3. E) 1 728 cm3.
Questão 179. Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir.
A) 2004-2005. B) 2005-2006. C) 2006-2007. D) 2007-2008. E) 2008-2009.
RESOLUÇÕES E COMENTÁRIOS - Enem 2010 QUESTÃO 136 Transformando 40% em fração teremos: ter emos: Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas. A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9ª linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo?
5 ÷
40% = ÷ = (lousa dividida em 5 partes das quais 2 estarão preenchidas)
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42
Alternativa C
Alternativa E
Comentário: Para esta questão é necessário a compreensão de porcentagem e que fração ela representa. O enunciado, por sua vez, oferece a dica ao aluno que a porcentagem 75% equivale à fração através do desenho da lousa, que está dividida em 4 partes das quais 3 estão preenchidas.
Comentário: Para resolver esta questão é necessário o conhecimento e compreensão a respeito de planificações de figuras espaciais, como do cilindro e enxergar o que ocorre ao cortar a figura ao meio.
Conteúdos envolvidos: Porcentagem e fração.
QUESTÃO 139
QUESTÃO 137
Segundo o enunciado, os volumes do paralelepípedo e do cubo são iguais. Porém temos somente as dimensões do primeiro. Desta forma, basta calcularmos o seu volume, igualarmos ao volume de um cubo e então calcular o que é pedido, a aresta do cubo. Para isto devemos conhecer as fórmulas de volume tanto de um paralelepípedo quanto de um cubo:
Primeiramente devemos perceber que os dados não estão compatíveis quanto às unidades: 42 m e 2,1 cm. Desta forma devemos deixá-los na mesma unidade, que convenientemente usaremos o centímetro.
⋅
Como 1 m = 100 cm então 42 m = 42 100 cm = 4200 cm
Conteúdo envolvido: Planificação de sólidos.
Paralelepípedo
A comparação feita pela professora é que 2,1 cm do olho humano representam os 4200 cm (42m) do telescópio. Ou seja
→
Cubo
2,1 : 4200 c
Para a representação da escala devemos saber quanto 1 cm do olho humano representa do telescópio. Para isto basta efetuarmos uma regra de três: 2,1 1
4200 x
⇒ ⇒
⋅ ⇒
2,1x = 1 4200
x=
4200 2,1
x = 2000
Alternativa E Comentário: Nesta questão o aluno deve estar familiarizado com conversão de unidades e identificar a necessidade de aplicação de uma regra de três para estabelecer a escala. Conteúdos envolvidos: Conversão de unidades e Regra de três.
QUESTÃO 138 Por se tratar de uma figura cilíndrica devemos lembrar que um cilindro pode ser obtido pela rotação de um retângulo sobre um eixo que passa pelo seu centro ao longo de sua altura conforme a figura a seguir. Desta forma, ficam eliminadas as alternativas A e B por não trazerem um retângulo como planificação. Ainda com relação à rotação é preciso notar que os lados de cima e 100 cm de baixo do cilindro, devido à rotação, formarão circunferências. Entretanto trata-se de um cilindro cortado ao meio, logo tais circunferências estarão cortadas ao meio. Portanto eliminamos as alternativas C e D, logo a alternativa correta é a letra E.
a
b
⋅⋅
V=a b c
a a
a
V=a
Calculando o volume do paralelepípedo temos:
⋅ ⋅⇒
V = 3 18 4
V = 216 cm
Ou seja, o volume do cubo deverá ser 216 cm 3, logo: 216 = a
⇒ a = √ 216 216 ⇒ a = 6 cm
Alternativa B Comentário: Para esta questão o aluno deve saber como se calcula o volume de prismas, no caso um paralelepípedo e um cubo. Além de compreender como igualar equações e extrair a raiz cúbica de um número. Conteúdos envolvidos: Geometria espacial, equação e radiciação.
QUESTÃO 140 Por se tratar de uma taxa devemos entender os números que aparecem no gráfico como porcentagens. Portanto para a cidade de Porto Alegre no ano de 2010 segundo o gráfico, a porcentagem de desemprego foi de 9,8% de um total de 250.000 habitantes.
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Para descobrirmos o número de desempregados basta fazermos:
⋅
⋅
⋅
9,8× 98 250000 9,8% 9,8% = 2500 250000 00 = 2500 25 0000 00 100× 1000 = 250 98 = 2450 2450 desemp desemprega regados dos
⋅
Alternativa A Comentário: Nesta questão é imprescindível a habilidade do aluno em interpretar gráfico. Concluído esta etapa bastava o aluno resolver a porcentagem. Conteúdos envolvidos: Interpretação de gráficos e porcentagem.
QUESTÃO 141
Interpretando o gráfico, lemos que na região Sudeste a porcentagem de estudantes que possuíam telefone celular em 2010, pedida na questão, é de 56%. Sendo um total de 14.900 entrevistados, para encontrar a resposta basta fazermos:
⋅
⋅
⋅
56 = 149 56 100 = 8344 estudantes estudantes
14900 56% 56% = 149 14900
43
cessando até os 17 anos, quando então deu um salto de 148 cm para 171 cm. De acordo com o enunciado poderia fazer algum sentido, porém não é que ocorre na realidade com uma criança. A explicação para a exclusão da alternativa D é bem semelhante à da alternativa B. No intervalo de 0 a 10 anos o crescimento foi muito semelhante ao crescimento durante os 10 anos de idade, o que também não faz sentido para uma situação real. Desta forma, a alternativa A representa tanto a situação imposta no enunciado quanto a situação real.
Alternativa A Comentário: Nesta questão, além da interpretação dos gráficos de cada alternativa, é necessário que o aluno estabeleça a relação do gráfico com uma situação real. Somente relacionando um gráfico com a condição imposta pelo enunciado poderia levar o aluno ao erro, assinalando, por exemplo, as alternativas B ou D. D. Conteúdos envolvidos: Interpretação de gráficos.
QUESTÃO 143 O enunciado apresenta duas situações para o número de medalhas do Brasil nas Olimpíadas de 2004: uma real e outra hipotética. Destacando-se as duas temos:
Real
Hipotética
Ouro: 5
Ouro: 5 + 4 = 9
Prata: 2
Prata: 2 + 4 = 6
Bronze: 3
Bronze: 3 + 10 = 13
Alternativa D Comentário: Assim como na questão 140, o aluno deve ser capaz de realizar a leitura correta do gráfico, para então resolver a porcentagem. Conteúdos envolvidos: Interpretação de gráficos e porcentagem.
QUESTÃO 142 O gráfico que procuramos deve apresentar uma continuidade, tal qual o crescimento de uma criança em uma situação real, logo saltos discrepantes na curva do gráfico não farão sentido. Diante deste fato podemos eliminar as alternativas C e E. Ainda com relação ao crescimento gradual de uma criança é possível eliminarmos as alternativas B e D, como veremos a seguir.
Para encontrarmos a classificação do Brasil, nesta situação hipotética, basta que utilizemos o critério dado no próprio enunciado. Como ocorre empate em número de medalhas de ouro com todos os países da tabela, exceto a Itália, o desempate dar-se-á comparando o número de medalhas de prata. Em caso de novo empate utilizaremos o número de medalhas de bronze como critério de desempate. Tendo o Brasil 6 medalhas de prata, a classificação deverá ser entre Cuba com 7 medalhas e Ucrânia com 5. Portanto o Brasil ficará em 12º lugar.
Alternativa B Comentário: Esta questão não exige nenhum conhecimento específico do aluno. Bastava que ele interpretasse corretamente os dados e as informações infor mações fornecidas. Conteúdos envolvidos: Resolução de problemas envolvendo as operações básicas.
QUESTÃO 144
Se olharmos com atenção, o gráfico da alternativa B nos mostra que o crescimento de 0 a 10 anos foi regular,
Primeiramente, nesta questão é necessário ter claro o que significa proporcionalidade direta e inversa. Em resumo, duas grandezas tem proporcionalidade :
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direta, quando uma grandeza aumenta, a outra também aumenta na mesma proporção. O mesmo ocorre na diminuição; inversa, quando uma grandeza aumenta outra diminui na mesma proporção e vice-versa.
Analisando cama uma das três relações dadas no enunciado separadamente temos:
44
M
4 + 136 + 326 + 549 + 766 + 797 + 3463 + 7293 + 10416 9 23750 = 9 =
⇒
M = 2638,8
≅
2640 (aproximado) aproximado)
Para efeito de facilidade nos cálculos, usaremos um aumento de 10% ao invés de 10,5%:
⋅
2640 1,1 1,1 = 2904 2904 km , valor entre entre 2800 km e 3200 km
Alternativa C Comentário: Como curiosidade, sem aproximar, obteríamos o valor de 2915 km 2, sendo, portanto a diferença desprezível.
Resistência (R) → comprimento ( l):
A figura dada nos mostra que, para dois fios de mesma área da secção transversal (A), ao dobrarmos o comprimento de l para 2 l , a resistência também tem seu valor dobrado de R para 2 R. R. Portanto a proporcionalidade é direta;
⋅⋅
Resistência (R) → Área da secção transversal (A):
A parte central da figura sugere que para dois fio de mesmo comprimento (l), ao dobrarmos a área da secção transversal de A para 2 A, A, a resistência decai pela metade, de R para . Logo a proporcionalidade é inversa;
R
⋅
Comprimento (l) → Área da secção transversal (A):
Por fim a parte mais a direita da figura nos indica que ao dobrarmos o comprimento do fio de l para 2 l, a fim de termos a mesma resistência R, devemos também dobrar a área da secção transversal de A para 2 A. A. Sendo assim a proporcionalidade é direta.
⋅
⋅
Alternativa C Comentário: Uma questão bastante adequada, estabelecendo uma interdisciplinaridade com a Física. O assunto sobre o valor de um resistor em função de suas característica (material, comprimento e área da secção transversal), a saber, , aborda a relação entre grandezas diretamente e R= inversamente proporcionais.
ρ ⋅ A
Nesta questão o aluno deve ser bastante cauteloso. É possível que a questão leve o aluno a pensar em realizar primeiro o aumento de 10,5% para cada uma das nove regiões de desmatamento, e em seguida efetuar a média. Entretanto este não é um bom caminho e seria gasto muito tempo. Contudo o aluno deve estar convencido de que ambos os modos são equivalentes. A soma, apesar de extensa, não traria, ao aluno, grandes dificuldades de ser realizada durante a prova, haja visto o seu resultado. Conteúdos envolvidos: Porcentagem e média.
QUESTÃO 146 Definição: O volume de um paralelepípedo retangular é dado pelo produto das d as medidas de suas 3 dimensões.
Alternativa B Comentário: A questão cobra do aluno a definição direta de volume, sem a necessidade de efetuar nenhum cálculo. Conteúdo envolvido: Volume de um prisma, no caso um paralelepípedo retangular.
QUESTÃO 147 Inicialmente devemos recordar relacionados à probabilidade:
Uma vez que a questão menciona um intervalo médio, devemos entender que não será necessário efetuar o cálculo exato e sim aproximado. Primeiramente vamos realizar o cálculo da média para 2004 e em seguida aplicar a porcentagem de 10,5%:
dois
conceitos
Eventos simultâneos: a probabilidade de ocorrer eventos simultâneos é igual ao produto de cada um dos eventos envolvidos:
Eventos mutuamente excludentes: A e B são eventos mutuamente excludentes se a ocorrência de um implica a não ocorrência do outro. Logo p(B) = 1 – p(A).
Conteúdo envolvido: Proporcionalidade entre grandezas.
QUESTÃO 145
de
Como o problema sugere 2 eventos mutuamente excludentes, ou a via tem engarrafamento ou não, vamos escrever a figura II com as probabilidades de não pegar engarrafamento:
infoEnem 0,5
0,2
0,7
Enem 2010 Assim as probabilidades de não pegar engarrafamento para os trajetos são:
⋅ ⋅
45
Portanto teremos: C = 3Q +1
E1E3 = 0,2 0,5 0,5 = 0,10 0,4
0,3
0,6
E1E4 = 0,2 0,7 0,7 = 0,14 E2E4 não é um trajeto possível.
Alternativa B
→
⋅ ⋅
E2E5 = 0,3 0,6 0,6 = 0,18 E2E6 = 0,3 0,4 0,4 = 0,12 Logo o trajeto com a menor probabilidade de pegar engarrafamento é também o trajeto com a maior probabilidade de não pegar engarrafamento, portanto o trajeto E2E5.
Comentário: Pela alternativa A, a questão pode confundir o aluno levando-o a uma interpretação incorreta da questão. Porém se aluno fizer a verificação desta alternativa para as demais figuras ele perceberá que ela é falsa, assim como as demais, exceto para a correta que é a letra B. Conteúdos envolvidos: Função e suas leis.
QUESTÃO 150
Comentário: A questão exige do aluno o entendimento e a interpretação de eventos mutuamente excludentes além de saber manipular dados probabilísticos.
Como as alternativas comparam os valores das duas encomendas, será necessário calcular o valor de ambas. É preciso compreender que, em relação a um retângulo, a moldura da tela nos remete a um perímetro e a tela à área. Além disso, será preciso transformar as unidades de centímetros para metros.
Conteúdo envolvido: Probabilidade.
Primeira Encomenda:
QUESTÃO 148
Tela = 8 (0,25 0,5) 0,5) = 8 0,125
Pelo gráfico vemos que o início da Guerra do Iraque se deu no ano de 2003 e foram gastos 417,4 bilhões de dólares. Escrevendo este numeral cardinal em números com algarismos temos:
Mold Mo ldur uraa = 8 [2 (0,2 0,25 + 0,5 0,5)] = 16 0,75 Mold Mo ldur uraa = 12 m
Alternativa D
417,4 bilhões de dólares = U$ 417.400.000.000,00 centena de milhão unidade de bilhão dezena de bilhão centena de bilhão
Alternativa A Comentário: A questão, além de exigir do aluno interpretação de gráfico, avalia principalmente a capacidade de escrever um numeral cardinal na forma de número com algarismos. Conteúdos envolvidos: Leitura de gráficos, classes e ordens de um número.
QUESTÃO 149 Ao olharmos para a figura I ela nos sugere a necessidade de usarmos 4 canudos e portanto a expressão buscada envolveria o número 4, ou seja, as alternativas A, C ou E, o que está errado. Porém devemos enxergar que a atividade realizada pela professora consiste em formar, com os canudos, quadrados lado a lado. Então, da esquerda para a direita, vemos que 3 canudos compõe um quadrado que será completado pelo quadrado que virá a sua direita, seguindo assim sucessivamente. Por fim 1 canudo completará a figura. Portanto o correto é vermos que para a construção de um quadrado é necessário 3 canudos mais 1 que será aquele que fechará a figura.
⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⇒⋅ ⋅ ⋅ ⇒⋅
Tela = 1 m
Custo = 20 1 + 1 5 12 + 10 = 20 + 180 + 10 Cust Custoo = 210 210 rea reais is
Segunda Encomenda:
⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⇒⋅ ⋅ ⋅ ⇒⋅
Tela = 8 (0,5 1,0) 1,0) = 8 0,5
Tela = 4 m
Molldura Mo dura = 8 [2 (0,5 0,5 + 1,0)] = 16 1,5 Mold Mo ldur uraa = 24 m Custo = 20 1 + 1 5 12 + 10 = 20 + 180 + 10 Cust Custoo = 450 450 rea reais is Portanto, o valor da segunda encomenda será maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro.
Alternativa B Comentário: A questão tenta confundir o aluno novamente, como na questão 149, com a alternativa A. É preciso que o aluno perceba que dobrando as dimensões do retângulo, o perímetro é dobrado, porém a área é quadruplicada. Logo, como a taxa de entrega é a mesma o valor da segunda encomenda será mais que o dobro e menos que o quádruplo da primeira, chegando então à mesma resposta. Conteúdos envolvidos: Conversão de unidades, perímetro e área de um retângulo.
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Enem 2010
QUESTÃO 151 Como as alternativas relacionam o volume da leitura com o de um copo, iremos calcular o volume de ambos. Lembrando que:
Como r(t) é inversamente proporcional a [1+0,15×cos(0,06t)], ou seja o cosseno está no denominador da fração, então teremos:
O raio (r) de uma circunferência é a metade do seu diâmetro;
⋅
A área (A) de uma circunferência é dada por A = π r ;
O volume (V) de um cilindro é dado por V = A b h (A b → área da base, no caso do cilindro uma circunferência e h → altura do cilindro).
⋅
Leiteira
2
= 16
=
20
4
Apogeu no mínimo valor v alor do cosseno → cos(0,06t) = -1
Calculando os valores de r(t) teremos:
Perigeu:
= 320
⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ =
=4
4
=
2
=4
= 16
O enunciado diz que a Dona Maria deseja encher pela metade os 20 copinhos logo o volume de água necessário é:
⋅
16π 16π = 20 8π 2 = 160π cm (metade do volume da leiteira)
Podemos ainda perceber que 20 é exatamente a relação entre os volumes da leiteira e do copo. Portanto, para encher pela meta os 20 copos, basta encher a leiteira também até a metade.
5865 5865 5865 = = 1 + 0,15 cos( cos(0,06t ) 1 + 0,15 (+1) +1) 1 + 0,15 5865 = r(t ) = 5 100 100 km 1,15
⋅
⇒
⋅
Apogeu: r(t ) =
4 2
⋅
= 16
Copo
20
Perigeu no máximo valor do cosseno → cos(0,06t) = +1
r(t ) =
⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ =
2
8
46
5865 5865 5865 = = 1 + 0,15 cos( cos(0,06t ) 1+0,15 ( 1) 1 0,15 5865 = r(t ) = 6 900 900 km 0,85
⋅
⇒
⋅
Somando os valores teremos: S = 5100 + 6900
⇒
S = 12 000 000 km km
Alternativa B Comentário: Apesar de o enunciado e a função dados, aparentemente, serem complexos, o aluno não deve se assustar, até mesmo porque para calcular tal cosseno seria necessário o uso de uma calculadora ou um computador. Porém a questão exigiu a interpretação do aluno em como os valores mínimo e máximo do cosseno afetam os valores também extremos da função dada. Conteúdo envolvido: Trigonometria (mínimo e máximo valor do cosseno)
Alternativa A Comentário: A questão exige que o aluno saiba calcular o volume de um cilindro a partir de suas dimensões e também saiba relacioná-lo com a situação imposta pelo enunciado, encher os 20 copinhos até a metade usando a leiteira.
QUESTÃO 153
Conteúdo envolvido: Volume de um cilindro.
Como o dado pedido é um lado do retângulo menor, que por sua vez é uma porcentagem da área da página do jornal, basta encontrarmos a área do retângulo para então calcular o seu lado que falta:
QUESTÃO 152
A
Como a questão envolve um cosseno e fala em mínimo e máximo, deve-se lembrar de imediato que o cosseno possui um valor mínimo e um valor máximo que são –1 e +1, respectivamente. A rigor temos:
A
≤ ≤ ≤ ≤ + ,
áin = 260 ⋅ 400 ⇒ Aáin 104 000 mm 4 ⋅ 104 00000 = 4 ⋅ 1 040 104 000 000 = rân = 4% ⋅ 104 100 ⇒ Arân = 4 160 160 mm
Logo, queremos saber qual a altura de um retângulo cuja base é 26 mm e a área é 4160 mm2:
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⋅
26 x = 4 160
⇒
x=
Enem 2010
4 160 26
⇒
x = 160 mm mm
Um outro modo é perceber uma regra de três, onde a porcentagem do retângulo está para 100% da página, página, assim como a área do retângulo está para a área da página, do seguinte modo:
⋅⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒
4 26 x = 100 260 400
⇒ ⇒
100 26 x = 4 260 400
2 600 600xx = 416 416 000 000
416 000 x= 2 600
x = 160 mm
Conteúdos envolvidos: Área de um retângulo, porcentagem e regra de três.
QUESTÃO 154 Nesta questão basta calcularmos calcularmos qual foi a porcentagem de aumento do lucro de 2008 para 2009 e então verificar em qual intervalo do conceito esta porcentagem se encontra. É importante que o aluno tenha em mente como se trata de um intervalo, ele não precisaria realizar os o s cálculos de maneira precisa e sim aproximada: 132 132 000 000 = 13 000 000
⇒
x = 13 000 000 1 320 320xx = 13 000 000 100 13 000 x 9,8 x= 1 320
132 000
⇒ ≤
⇒ ≅ →
Gasto com o envio do folheto tipo 2:
⋅
⋅
500 (0,65 0,65 + 0,6 0,60 + 0,2 0,2) = 500 1,45 1,45 = R$ 725, 725,00 00
1000
Comentário: A questão mistura o cálculo de área de um retângulo com porcentagem. Porém , o conceito chave da questão é, de posse da área e um dos lados de um retângulo, encontrar a medida do lado que falta.
⋅
tipo. E por fim calcular quantos selos de R$ 0,65 é possível comprar com esta verba restante:
Verba restante para o envio do folheto tipo 1: 725 725 = R$ 275,0 75,00 0 Quantidade de folhetos do tipo 1 enviados:
275 275 ÷ 0,65 0,65 = 423, 423,07 077 7
Alternativa D
145 000
47
5 9,8 < 10 crescimento bom Alternativa C Comentário: Uma vez obtido o valor 13 000, bastava encontrar qual a porcentagem este valor representa em relação a 132 000. Como 10% significaria 13 200, o valor procurado é um pouco menor de 10% e isto já seria suficiente para encontrar a alternativa correta. Conteúdo envolvido: Cálculo de porcentagem e comparação co mparação de valores em um intervalo.
QUESTÃO 155 Para resolver esta questão, primeiro é necessário saber quanto será gasto com o envio de folhetos do 2º tipo para depois verificar quanto restará da verba para o folheto do 1º
≅
423 folhetos
Total de selos de R$ 0,65 comprados:
500 + 423 = 923 selos
Alternativa C Comentário: Esta questão cobrou basicamente a habilidade do aluno calcular os gastos estabelecidos no enunciado e descobrir o que seria possível adquirir com o restante da verba dada inicialmente. Conteúdo envolvido: Resolução de problemas envolvendo as operações básicas.
QUESTÃO 156 Para identificar onde o helicóptero pousou e então verificar qual a altitude correspondente, devemos somar os graus de latitude ou longitude que ele se deslocou. Para isto faremos uma tabela. Mas antes devemos lembrar o sinal + ou – dependendo do sentido adotado:
Latitude: Sul (S): – Norte (N): + Início ---0,8° L 0,5° N 0,2° O 0,1º S 0,4° N 0,3° L Fim
Longitude: Oeste (O): – Leste (L): + Longitude 20° + 0,8° --- – 0,2° ------+ 0,3° 20,9°
Latitude 60° ---+ 0,5° --- – 0,1º + 0,4° ---60,8°
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48
Como o valor do metro cúbico de concreto custa R$ 10,00 , o preço dessa manilha é igual a: 5,456 10 = R$ 54, 54,56
⋅
Alternativa D Comentário: O ponto chave desta questão está em torno da figura da base da manilha que é uma coroa circular. Logo, para o cálculo de sua área, é necessário necessário enxergar duas circunferências, uma maior de raio 1,2 m e outra menor de raio 1 m, para então subtrair as áreas. A altitude correspondente ao local que o helicóptero pousou é 100 m, que é menor do que 200 m.
Conteúdos envolvidos: Conversão de unidades, área de uma coroa circular e volume de cilindros.
Alternativa A
QUESTÃO 158
Comentário: Esta questão estabelece uma interdisciplinaridade com a geografia sobre coordenadas coor denadas geográficas, onde o aluno deve saber o significado de latitude e longitude, identificando assim, a direção e o sentido do movimento do helicóptero. Feito isso, a próxima etapa seria estabelecer a relação entre as coordenadas geográficas com as coordenadas coor denadas cartesianas.
Logo de inicio, o aluno deve perceber que a resposta que o enunciado pede somente poderá ser encontrada porque por que nele está a informação da densidade de cada espécie de árvore.
mV
Conteúdos envolvidos: Coordenadas geográficas e plano cartesiano.
Afinal, densidade d = é a grandeza que relaciona a massa de um sólido, no caso medido em toneladas, com o seu volume, no caso medido em metros cúbicos. Desta forma, devemos encontrar os volumes, de acordo com a fórmula apresentada no enunciado, das toras e em seguida transformá-los em massa através da densidade, d ensidade, da seguinte maneira:
QUESTÃO 157
Espécie I:
Para esta questão, o aluno deve enxergar a figura resultante da condição imposta pelo enunciado, um cilindro cil indro revestido por concreto. Feito isso, devemos devemos então calcular este volume 3 de concreto, em m , e calcular o seu preço. Logo aqui iremos converter centímetros em metros. O esquema abaixo representa o cilindro a ser enxergado:
V=3
⋅ 12 ⋅ 0,06 = 9 ⋅ 12 ⋅ 0,06 ⇒ V = 6,48 m V = 3 ⋅ 6,48 ⇒ V = 19,4 9,44 m (volume das 3 toras da espécie I) I)
⋅
⋅ ⇒ ≅
m = d V = 0,77 19,44
m
14,97 toneladas
Espécie II: V=4
⋅ 10 ⋅ 0,06 = 16 ⋅ 10 ⋅ 0,06 ⇒ V = 9,6 m
⋅ ⇒ ⋅
V = 2 9,6 V = 19,2 m (volume das 2 toras da espécie II) II )
⋅ ⇒ ≅
m = d V = 0,78 19,2
m
14,97 toneladas
Somando os valores das massas encontraremos a carga que o técnico deverá solicitar: 14,9 14,97 7 + 14,9 14,97 7
⋅
b
π⋅ π⋅ ⋅ ⇒b ⋅⇒ b⋅
V=A
(R
r ) = (1,2 = 3,1 0,44
h = 1,364 4
⋅
1 ) = 3,1 (1,44 A = 1,36 1,364 4m
V = 5,456 m
29,9 toneladas
Alternativa A
Como o volume de um cilindro é dado por V = A b h, devemos enxergar a base do cilindro como uma coroa circular, e então calcular a sua área: A =
≅
1)
Comentário: Neste exercício as contas tomam um pouco mais de tempo do aluno. Porém a pergunta menciona aproximadamente. Este fato dá a liberdade do aluno utilizar valores que tornam as contas ligeiramente mais simples. Por exemplo,é possível utilizarmos 6,5 ao invés de 6,48, o que resulta na massa da espécie I igual a 15 toneladas aproximadamente. O mesmo pode ser feito com o valor de 9,6 para 9,5 e chegando assim a um resultado de
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14,8 toneladas aproximadamente. A soma resulta em 29,8 toneladas, praticamente o mesmo valor encontrado na resolução. Conteúdos envolvidos: Densidade e habilidade em utilizar valores em expressões dadas.
49
√ √ ≅
(
3
1,73)
2º Modo (trigonometria): Utilizando o valor da tangente de 30º podemos encontrar o valor de h:
QUESTÃO 159 Balão
De início, o aluno deve se atentar ao fato de que o exercício utiliza duas unidades diferentes da medida da altura, centímetros e metros. Logo será necessária a conversão das unidades. Além disso, com as informações in formações do enunciado, iremos descobrir a altura da menina, através do IMC e da massa, transformá-la de metros para centímetros para então calcular o RIP. Os cálculos serão:
⇒ ⇒
massa IMC = altura h = 1,6 m
⇒
RIP =
⇒
64 64 25 = h = h 25 h = 160 cm
altura
160
√
√
= = massa massa 64 64
Alternativa E
⇒
h
30°
8 h= 5
α
tg =
160 = RIP = 40 cm/kg 4
B
5,5 km
⁄
cateto oposto cateto adjascente
⇒ ⋅ √ ⋅ ⋅ ⇒ ≅ √ ≅
tg 60° 60° =
h 1,8
h = tg 60 60° 1,8 = 3 1,8
= 1,73 1,73 1,8
Comentário: A questão basicamente avalia a habilidade do do aluno em trabalhar com radiciação, radici ação, não apresentando grandes dificuldades nos cálculos. Conteúdos envolvidos: Conversão de unidades, cálculo envolvendo raízes quadradas e cúbicas.
h
(aproximando 3
3,1 km 1,73)
3º Modo (geometria plana): Aqui precisamos enxergar que o triângulo mais a direita é isósceles, logo a figura completa está mostrada a seguir:
QUESTÃO 160 Pela natureza do enunciado, podemos utilizar para resolver esta questão trigonometria ou geometria plana. Com a primeira é possível ainda resolver de dois modos. modos. São eles:
1º Modo (trigonometria): Utilizando o valor da tangente de 60º podemos encontrar o valor de h: Balão
Desta forma podemos aplicar o Teorema de Pitágoras:
⇒
⇒
3,7 = h + 1,8 1,8 13,7 = h + 3,25 3,25 h = 13,7 3,7 3,25 3,25 = 10,5 10,5 h = 10 10 h 3,1 km (utilizando aproximação dos valores)
⇒ ≅
h
⇒ √
Alternativa C 60° A
1,8 km
α
tg =
cateto oposto cateto adjascente
⇒ ⋅ ⇒ ≅
tg 60° 60° =
h 1,8
= 1,73 1,73 1,8
⋅ √ ⋅
h = tg 60 60° 1,8 = 3 1,8 h
3,1 km
Comentário: Exercícios como esse podem ser resolvidos de modos distintos. Aqui colocamos 3 exemplos ficando a cargo do aluno qual a maneira que mais lhe parece familiar. Conteúdos envolvidos: Trigonometria, geometria plana e Teorema de Pitágoras
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QUESTÃO 161 A fim de facilitarmos a resolução, vamos adotar letras para as medidas dos lados do triângulo utilizando o conceito de ponto médio, conforme a figura abaixo: B
a
b c
N
c
C
Deste modo, vamos calcular as áreas dos ΔABC e ΔMNC e, subtraindo uma da outra, estabelecer uma relação com a região ABMN:
Área do ΔABC:
Área do ΔMNC:
A
A
ΔABC = 2b2⋅ 2c ⇒ AΔABC = 2bc
ΔMNC = b2⋅ c ⇒ AΔMNC = bc2
Área da região ABMN:
A
ABMN = AΔABC AΔMNC = 2bc bc2 = 4bc2 bc2 3bc bc ⇒ = AABMN = 3 ⋅ 2 2
Logo, podemos perceber a seguinte relação: A
Como o preço do tanque é diretamente proporcional à medida de sua área superficial lateral, a relação área/capacidade será:
⋅π ⋅π ⋅ ⋅ ⋅ ⇒
Área 2 = Capacidade
r h r h
Área 2 = Capacidade r
Portanto, a melhor relação área/capacidade é aquela cujo cilindro possuir o maior raio, que é a figura III, I II, com 3 m.
a
2b A
M
50
ABMN = 3 ⋅ AΔMNC
Alternativa E Comentário: Para esta questão o aluno deve entender o significado de ponto médio do lado de um triângulo para então poder calcular as áreas dos dois do is triângulos assim como da região concretada. Conteúdos envolvidos: Ponto médio de um segmento, base média e área de um triângulo.
QUESTÃO 162 Como todas as alternativas estabelecem uma relação entre a área lateral e o volume de um cilindro vamos criar tal relação.
Logo, a relação fica:
Ár Ccidd =
Alternativa D Comentário: Nesta questão, como o aluno pode perceber, para ganho de tempo, é mais vantajoso escrever a relação área/capacidade de maneira literal. Ao invés de calcularmos todos os valores, tanto de área lateral quanto de volume, para cada um dos 3 cilindros e depois encontrar a relação área/capacidade, apenas analisamos o efeito do raio sobre a relação. Como ela se torna inversamente proporcional ao raio do tanque, então quanto maior o raio, menor será a relação. Conteúdos envolvidos: Manipulação de expressões algébricas, área superficial e volume de um cilindro.
QUESTÃO 163 Como a função da temperatura assume duas expressões, dependendo do intervalo de tempo, devemos verificar qual iremos usar para cada etapa de aquecimento da peça. Como a fronteira entre as duas expressões é o tempo t = 100 s, vamos verificar qual é a temperatura na qual corresponde este tempo: T(100) 100) =
⋅
⋅
7 (100) 100) + 2 0 = 7 20 + 20 = 140 + 20 5 T(100) 100) = 160 160 °C °C
⇒
Logo, para temperaturas menores do que 160 °C utilizaremos a primeira expressão e para valores superiores a 160 °C utilizaremos a segunda expressão. No entanto, é preciso enxergar que o enunciado diz que a peça será colocada quando o forno estiver com 48 °C. Portanto, devemos calcular quanto tempo já se passou desde o momento em que ele foi ligado:
⇒
⋅
⇒⋅
⇒⋅
7 7 t+20 t = 4 8 20 5 5 28 5 t= t = 20 minu minuto toss 7
48 =
⋅⇒
7 t=28 5
Logo, este é o tempo decorrido sem a peça estar no forno. Agora iremos encontrar quanto tempo se passou até que o forno atingisse a temperatura de 200 °C, utilizando a segunda expressão dada:
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⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒
200 =
2 t 125
16 t+320 5 2 16 t t+320 125 5
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200 = 0
⇒
2 16 t t+120=0 125 5 (multiplicaremos ambos os lados da equação por 125) 125 )
t 400t + 15000 = 0 (divideremos ambos os lados da equação por 2 ) t
200t + 7500 = 0
(esta equação é resolvida mais facilmente por soma e produto) t ⋅ t = 7500 Logo as raízes são: t = 50 minu minutos tos (não convém) convém) e t = 150 minu minutos tos (convém) convém) t + t = 200 200
O valor de t = 50 não convém, pois a expressão utilizada somente é válida para valores de t > 100. Portanto, para chegar a 200 °C, o forno precisou ficar ligado durante 150 minutos. Porém, ele ficou ligado 20 minutos sem que a peça estivesse lá dentro. Sendo assim o tempo de permanência dessa peça no no forno é:
51
Assim, o deslocamento do bloco em relação ao ponto de partida no solo será o dobro do comprimento comprimento da circunferência do rolo. Lembrando que o comprimento de uma circunferência é dado por: C=
2π
R, sendo R o raio da circunferência circunferência
Portanto, a expressão do deslocamento horizontal y será:
∙ 2π ⇒ 4π
y=2 (
R)
y=
R
Alternativa E Comentário: Um erro comum nesta questão é considerar apenas o deslocamento dos rolos sobre o solo. Neste caso, o aluno marcaria a alternativa D. Ao rolar, o cilindro “empurra” o chão para trás e o bloco para frente simultaneamente, provocando o dobro de deslocamento do bloco em relação ao solo. Conteúdo envolvido: Cálculo de comprimento de circunferência.
QUESTÃO 165 Para resolução desta questão, utilizaremos apenas a vista superior da peça. C
150 – 20 = 130 minutos minutos 6cm
Alternativa D Comentário: A questão exige do aluno várias habilidades com relação à funções e equações. Devido ao fator tempo durante a realização da prova, mostramos uma técnica de resolução da equação de segundo grau mais veloz, que foi deixar o coeficiente do termo x 2 valendo 1 e depois resolver por soma e produto das raízes. Excetuando-se Excetuando-se as contas que são um pouco trabalhosas, a questão se resume a resolução de equação de primeiro e segundo grau. Conteúdos envolvidos: função, equação de primeiro e segundo grau.
QUESTÃO 164 Nesta questão o aluno deve atentar-se atentar-se a dois deslocamentos que ocorrem simultaneamente:
o deslocamento dos rolos cilíndricos em relação r elação ao ponto de partida no solo, que é igual igual ao comprimento da circunferência do rolo a cada volta; o deslocamento do bloco em relação aos rolos, que também é igual ao comprimento da circunferência do rolo.
r
r
8cm
O r 10cm
A
B
O fato de a perfuração ser tangente às faces laterais do prisma implica que os segmentos segmentos que unem o centro da perfuração (denominado ponto O) às arestas do triângulo da vista superior são perpendiculares às mesmas. Esses três segmentos são alturas dos ∆AOB, ∆BOC e ∆COA. O aluno deve notar que a medida dessas alturas é a medida do próprio raio da perfuração. Temos que a área do ∆ABC é igual à soma das áreas dos d os triângulos ∆AOB, ∆BOC e ∆COA. Nesta expressão, o raio da perfuração será a incógnita a ser determinada. Lembrando que a área de um triângulo é dada por: Área∆ =
bs∙ bs ∙ r
O aluno deve notar também que o ∆ABC satisfaz o Teorema de Pitágoras e portanto ele é um triângulo retângulo e consequentemente ACB = 90° 90°.
Na verdade o triângulo em questão é um múltiplo do triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5. No caso o fator de multiplicação é 2.
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Assim, teremos: Área AOB + Área Área BOC + Área Área COA ⇒ ABC = Áre
Área∆
∆
∆
∆
∙ ∙ ⇒ ∙ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 6 8 2
10 r = 2
8 r 2
+
24 = 5r + 4r 4 r + 3r 3r 24 r= r = 2c m 12
+
∙⇒
6 r 2
12r = 24
52
Mantendo o padrão de variação, ou seja, aumento de 218 em 6 anos, em 2016 serão: nº de favelas
6 = nº de favelas
+ crescimento crescimento em 6 anos anos
= 968 + 218 = 1 186 fa favelas 1 150 < 1 186 < 1 200
Outra maneira de resolver esta questão seria perceber que existe 6 triângulos semelhantes dois a dois. Isso decorre do fato dos triângulos AOB, AOC e BOC serem isósceles e semelhantes, por terem seus lados comuns e iguais ao raio da perfuração. E perceber ainda o surgimento de um quadrado CDOE de lado r. Pela semelhança dos triângulos é possível estabelecer uma relação entre seus lados e o raio da perfuração da seguinte maneira.
Alternativa C Comentário: Na questão, é considerado que a variação do número de favelas entre os anos é linear, ou seja, um aumento de 218 favelas favelas em 6 anos. anos. Caso fosse pedido o número de favelas em 2011, por exemplo, calcularíamos a taxa por ano, a saber, 2 1 8 ÷ 6 36 a qual somaríamos ao número de favelas existentes em 2010.
≅
Conteúdo envolvido: Taxa de variação.
QUESTÃO 167
C r
r
D
E r
r 6–r
Como a taça em formato de hemisfério (metade de uma esfera) é servida cheia e a outra taça a ser utilizada tem formato de cone, porém não servida cheia, devemos igualar o volume de bebida de ambas as taças a fim de encontrarmos o valor da altura.
8–r
O r
A
6–r
B
8–r 10 cm
Como o lado AB vale 10 cm então temos:
As expressões para o cálculo do volume de uma esfera e de um cone são dadas no próprio enunciado. Assim teremos
Taça em formato de hemisfério:
∙ ∙ π ∙ ⋅ π⋅ ⋅ 108π ⇒ 18π ∙ π ∙ ∙ ⋅ π ⋅ ⋅ ⇒ 3π
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Taça em formato de cone:
Alternativa B
Igualando os volumes temos:
Comentário: Existem outras soluções possíveis. Elaboramos duas delas e cabe ao aluno identificar aquela que lhe é mais familiar.
3π 18π ⇒ 18π3π ⇒
6
r+8
r=10
2r = 4
2r=4
2r = 10 r=
14
4 2
r = 2 cm
Conteúdos envolvidos: Área de triângulo, decomposição de área, circunferência inscrita, ponto de tangência, semelhança de triângulos, triângulo isósceles e Teorema T eorema de Pitágoras.
QUESTÃO 166 A variação do número de favelas no período de 2004 a 2010 (período de 6 anos) é dada por: nº de favelas 218 favelas
nº de favelas = 968 750 =
V=
V=
1 4 2 3
1 3
3 =
3
h=
h=
h=
4
27 = 2 3
1
9 h
3
6
V=
V=
cm
h cm
h = 6 cm
Alternativa B
Comentário: A questão trouxe duas informações que facilitaram bastante sua resolução, as fórmulas para o volume tanto da esfera quanto do cone. Bastou ao aluno entendê-las para utilizá-las. No caso da esfera, seria importante perceber que deveria ser usado não o volume todo e sim a metade, por tratar-se de um hemisfério. Conteúdo envolvido: Aplicação de valores em uma expressão dada.
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QUESTÃO 168 Do gráfico, temos o seguinte conjunto de dados (escritos de forma ordenada):
53
relação ao segundo salto (que já tinha um decaimento em relação ao primeiro salto). Conteúdo envolvido: Escrever e resolver expressão algébrica.
QUESTÃO 170
Vale lembrar que a definição de mediana é: Mediana: valor que deixa metade da população com valores iguais ou inferiores e a outra metade da população com valores iguais ou superiores.
Como a amostra possui um número par de dados, ou seja 18, iremos tirar a média entre os valores centrais. Estando os dados em ordem crescente, buscamos um valor entre o 9º e o 10º dado, ou seja, entre 6 e 7: Md =
6 + 7 13 = 2 2
⇒
Md = 6,5
Os dois candidatos obtiveram pontuação média de 15 pontos ficando empatados. O critério de desempate é a maior regularidade na pontuação. Observando a tabela apresentada, temos, desde o início, que as pontuações de Marco estão bem próximas de 15 (valores: 14, 15, 16), já Paulo tem pontuações menos regulares (valores: 8, 19, 18).
Desvio padrão: valor que quantifica o quanto de variação existe em relação à média
O valor do desvio padrão mostra que o candidato com pontuação mais regular é Marco (desvio padrão: padrão: 0,32), já que as pontuações de Paulo têm desvio padrão de 4,97.
Alternativa B
Comentário: A ordenação dos dados deve ser feita com cuidado. Caso o conjunto tenha um número ímpar de dados, o elemento central será a mediana. Caso o conjunto tenha um número par de dados, tal como nesse exercício, faz–se a média dos dois elementos centrais.
Comentário: O aluno pode ficar confuso com a informação da mediana, caso não domine este conceito, bem b em como o conceito de desvio padrão. De antemão, notamos que q ue o candidato com maior regularidade na pontuação é Marco, restando apenas duas alternativas viáveis. Sabendo o conceito de desvio padrão ou de mediana, chegamos à resposta com a justificativa correta.
Conteúdo envolvido: Conceito de mediana.
Conteúdo envolvido: Conceito de desvio padrão.
QUESTÃO 169
QUESTÃO 171
Seja x o alcance do primeiro salto. Pelo enunciado temos que do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, ou seja, o alcance do segundo salto é de (x – 1,2), e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m, ou seja, o alcance do terceiro salto é de (x – 1,2 – 1,5). Dado que o alcance total é de 17,4 m.
Com os dados do enunciado, temos que dos pacientes com hepatite (100% inicial), após o tratamento tradicional, 40% foram curados, portanto 60% dos d os pacientes continuaram com a doença. Este grupo que não obteve a cura foi dividido em dois grupos de mesma quantidade, ou seja, cada um com 30% da quantidade inicial de pacientes.
Alternativa B
Alcance ces Alcance ces = Alcan s + Alcan s + Alcan Alcance ces s
Alcance
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
17,4 = x + (x 1,2) 1,2) + (x 1,2 1,5) 1,5) 17,4 = 3x 3,9 17,4 + 3,9 = 3x
⇒ ⇒
21,3 = 3x
x=
21,3 3
x = 7, 1 m
As alternativas oferecem intervalos para o valor do alcance do primeiro salto, assim, o alcance do primeiro salto está entre 7 e 8 metros.
Alternativa D Comentário: Nesta questão é preciso ter bastante cuidado com o fato da diminuição dada no terceiro salto ser em
Os pacientes que passaram pelo tratamento inovador 1 correspondem a 30% do número de pacientes inicial, assim sendo, 35% de 30% terão alcançado a cura através do tratamento inovador 1. Seguindo o mesmo raciocínio, 45% de 30% terão alcançado a cura através do tratamento inovador 2.
Tratamento 1: 35% 35% de 30% 30% =
∙
∙
35 30 35 30 1050 10,5 = = = 100 100 10000 10000 100 = 10,5% 10,5% da quant quantida idade de inicial inicial
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Tratamento 2:
∙
∙
45 30 45 30 1350 13,5 45% 45% de 30% 30% = = = = 100 100 10000 10000 100 = 13,5% 13,5% da quanti quantidad dadee inici inicial al Os tratamentos inovadores proporcionaram cura igual a soma das porcentagens obtidas: 10,5% + 13,5% = 24%
54
Brasil 43% 22,5%
Aumento 43% x = 22,5% 100% 100% x 22,5% 100% 2250 x= = % 43% 43
⇒ ⇒ ≅ x
⇒ ⋅
∙
⋅
52,3%
Alternativa C Comentário: O aluno deve perceber que não foi necessário calcular quais quantidades, em litros, correspondem cor respondem as porcentagens envolvidas. Elas seriam, seriam, posteriormente, convertidas em porcentagens novamente e conduziriam a um resultado correto, porém com um investimento maior de tempo. Conteúdos envolvidos: Cálculo de porcentagem/regra de três.
QUESTÃO 173
Alternativa B Comentário: Deve–se ter clareza de que os pacientes que passaram, por exemplo, pelo tratamento inovador inovador 1 correspondem a 30% do número de pacientes inicial. Assim, 35% dos 30% terão alcançado a cura através do tratamento inovador 1, ou seja, 10,5% da quantidade inicial de pacientes. Conteúdo envolvido: Porcentagem.
De acordo com o enunciado, se soubermos que a funcionária tem calçado maior que 36,0, estamos tratando de um universo de 14 funcionárias, a saber, três que calçam 37, dez que calçam 38 e uma que calça 39. Devemos lembrar que probabilidade pode ser obtida da seguinte seguinte maneira: Probab Probabili ilidad dadee =
Como a tabela mostra que são 10 funcionárias que calçam 38, a probabilidade de ela calçar este número é calculada da seguinte maneira:
QUESTÃO 172
Do enunciado, temos as seguintes informações:
Alternativa D
Produção mundial de etanol (2006): 40 bilhões de litros
43% – Brasil 45% – EUA
nºd nº dns nsfráis fráis nºd nº dns nsssí ssíis
=
10 5 = 14 7
Comentário: Dado que se sabe que a funcionária tem calçado maior do que 36, restringe o universo de pessoas, que passa ser de 14 ao invés de 25; tendo isso em mente, basta calcular a probabilidade de a pessoa pessoa calçar 38. Conteúdo envolvido: Conceito de probabilidade.
Supõe–se que a produção em 2009 mantenha-se igual (40 bilhões de litros). Se a produção dos Estados Unidos for metade da produção de 2006, corresponderá a 45% = 22,5 2,5% da produção mundial. Sendo assim, para que o total produzido pelo Brasil e pelos Estados Unidos continue correspondendo a 88% da produção mundial, esses 22,5% da produção mundial que deixaram de ser produzidos pelos Estados Unidos deverão ser produzidos pelo Brasil. Logo o aumento na produção pode ser obtido através da seguinte regra de três:
∙
QUESTÃO 174 Pelo enunciado, podemos perceber que inicialmente para cada uma das 5 possibilidades de cidade a ser visitada existe 4 possibilidades para a segunda, que por sua vez possui 3 possibilidades, depois 2 e por fim 1. Depois disso disso ele deverá retornar ao início. Logo esta sequência de possibilidades nos remete a um número fatorial:
⋅⋅⋅⋅
Poss Possib ibil ilid idad ades es = 5 4 3 2 1 = 5 ! = 1 2 0
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O exercício informa que, ao analisar uma sequência, João já descarta sua simétrica. Logo, o número de sequências que ele precisará verificar será a metade: 120 ÷ 2 = 60. Como João gasta 1min30s para analisar cada sequência, então o tempo mínimo para verificar todas as sequências possíveis no problema será:
∙
∙
60 1min 1min30 30ss = 60 90s = 90 min
Alternativa B Comentário: A questão pode parecer, em princípio, mais complicada do que realmente é. Os custos de deslocamento apresentados na figura são informações não necessárias para a resolução do problema. Aliás, a única informação relevante trazida pela figura é o fato de não existirem três cidades colineares. Conteúdos envolvidos: permutação/princípio da contagem; conversão de unidade de tempo.
QUESTÃO 175 Antes de começarmos a resolver a questão vamos relembrar os conceitos envolvidos sobre medidas de posição:
Média aritmética: Soma de todos os dados de uma amostra, divido pela quantidade de elementos desta amostra.
Mediana: ordenados do menor para o maior os dados de uma amostra, a mediana será o valor central desta amostra. Caso ela tenha um número par de elementos a mediana será será a média aritmética entre os dois termos centrais.
Moda: é o valor que apresenta a maior frequência de ocorrência em uma dada amostra de dados. No caso de não haver moda, a amostra é chamada de amodal, em caso de 1 moda, é chamada de modal, 2 modas de bimodal e 3 modas de trimodal.
Agora sim podemos começar a calcular, tendo em vista que a medida analisada é quantidade de d e gols marcados em uma única partida.
Média:
� ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
5 0+3 1+4 2+3 3+2 4+2 5+7 1 M= 5+3+4+3+2+2+1 =
0 + 3 + 8 + 9 + 8 + 1 0 + 7 45 = 20 20
�
M = 2,25 ,25 (média de gols por partida partida))
Mediana: {0, 0,0,0,0,1,1,1 ,0,0,0,1,1,1,, 2, 2,2 ,2,3,3,3,4,4 ,2,3,3,3,4,4,5,5,7} ,5,5,7}
55
Md =
2+2 2
⇒
Md=2
(por ter um número par de dados, foi tirada a média dos dos termos centrais)
Moda: M o = 0 (é o número que apresenta a maior frequência na amostra, amostra, no caso 5) Colocando em ordem crescente os dados temos:
�
X = M = 2,2 2,25 Y = Md = 2 Z < Y < X Z=Mo=0
Alternativa E Comentário: A questão cobra de maneira bem direta e objetiva os conceitos e aplicação de grandezas estatísticas. Conteúdos envolvidos: Estatística básica (Média, Mediana e Moda)
QUESTÃO 176 Como a questão estabelece uma relação de quantas vezes um planeta cabe no outro, precisamos verificar qual será a melhor comparação para encontrar a relação entre os planetas Terra e Júpiter. O enunciado enunciado apresenta as seguintes relações: dentro de Netuno cabem 58 Terras; dentro de Júpiter cabem 23 Netunos; Como para cada Netuno cabe 58 Terras, então dentro de Júpiter cabem 23×58 Terras: 23 × 58 = 1 334
Alternativa B Comentário: Uma questão de nível baixo de dificuldade que cobra a compreensão de dados e aplicação da multiplicação. Conteúdo envolvido: Resolução de problemas envolvendo as operações básicas.
QUESTÃO 177 O dado central que a questão traz é:
7
10 litros de óleo contaminam 10 litros de
águapotável água potável
Logo, para resolver a questão, basta aplicarmos uma regra de três simples:
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Óleo Água 10x = 1000 10 10 10 1000 – x 10x = 10 10 => 10x = 10( )
⇒ ⇒ ⇒
7
⇒
⋅ 7 10 10x = 10 ⇒ x = 10 − x=10 => x = 109
⋅
multipliquemos o resultado por 2. Assim, teremos como soma na nona linha:
7
∙
+7 ⇒
litros de
água
56
∙
9 + 2 (8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) 1) = 9 + 2 36 = 9 + 72 = 81 contaminada
É possível perceber que a soma da linha leva ao quadrado do número central.
Alternativa E
Alternativa D
Comentário: A habilidade central que a questão avalia do aluno é se ele sabe trabalhar com números escritos em potências de base 10, normalmente normalmente adotada para representar grandes quantidades. Este tipo de representação é bastante abordado no estudo da Física, e é de fundamental importância que o aluno saiba como trabalhar com estas potências.
Comentário: Caso fosse pedida a soma da vigésima linha, poderíamos fazer ( ) 2 0 + 2 (1 9 + 1 8 + + 2 + 1) 1) = 2 0 + 2 = 2 0 + 2 0 19 = 20 + 380 = 400, utilizando a fórmula da soma dos termos de Progressão Aritmética (PA). Por este caminho observamos novamente que foi obtido o quadrado do número central.
Conteúdos envolvidos: Regra de três e propriedades da potenciação.
De maneira geral, na n–ésima linha, a soma será dada por: n + 2 (n 1) + (n 2) + + 2 + 1 = 1 + (n 1) (n 1) n+2 = 2 (n) (n 1) n+2 = n + n (n 1) = n + n n=n 2
QUESTÃO 178 O aluno deve perceber que o volume de madeira que será utilizada na fabricação do porta-lápis é dado pela subtração do volume do cubo cubo de aresta maior pelo volume do cubo cubo de aresta menor. Lembrando que o volume de um cubo é calculado elevando-se ao cubo a medida de sua aresta. Assim temos:
Volume do cubo maior: V=12 V = 1728 cm
⇒
Volume do cubo menor: V=8 V = 512 cm
⇒
Volume do porta-lápis: V = 1728 512 V = 1216 cm cm
⇒
Alternativa D Comentário: Nesta questão a dificuldade maior que pode aparecer são as contas, dado que é necessário elevar-se ao cubo os números 12 e 8. A questão mostra um bom motivo para o aluno desenvolver um bom cálculo cálculo mental. Conteúdo envolvido: Cálculo do volume de cubo.
QUESTÃO 179 Na primeira linha, a caixa central é a com número 1; na segunda linha, a caixa central é a com número 2; na terceira linha, a caixa central é a com número 3; na quarta linha, a caixa central é a com número 4; assim, na nona linha, a caixa central será a de número 9. Devemos observar que as caixas ao lado da central seguem com os números em ordem orde m decrescente. Basta então que consideremos a soma de um dos dois lados e
∙
∙
⋯
∙ ⋯ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
∙ +9 ∙9
Conteúdos envolvidos: Percepção de padrão numérico.
QUESTÃO 180 O gráfico apresentado mostra o número de ovos de páscoa produzidos no Brasil de 2005 a 2009 e, segundo segundo ele, o biênio (período de dois anos) que apresentou apresentou maior produção acumulada foi 2008–2009.
Alternativa E Comentário: Como o aluno pode perceber a questão não exige qualquer cálculo de soma de produção. A informação pedida no exercício pode ser extraída visualmente visualmente do gráfico. Conteúdo envolvido: Leitura de gráfico.
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Enem 2011 - MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Questão 136. Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um carro sejam obtidas em metros:
57
velho e lá encontra pistões com diâmetros iguais a 68,21 mm; 68,102 mm; 68,001 mm; 68,02 mm e 68,012 mm. Para colocar o pistão no motor que está sendo consertado, o dono da oficina terá de adquirir aquele que tenha o diâmetro mais próximo do que precisa.
a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro;
Nessa condição, o dono da oficina deverá d everá comprar o pistão de diâmetro
b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.
A) 68,21 mm.
D) 68,012 mm.
B) 68,102 mm.
E) 68,001 mm.
C) 68,02 mm.
Questão 139.
Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente: A) 0,23 e 0,16.
D) 230 e 160.
B) 2,3 e 1,6.
E) 2 300 e 1 600.
A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada com M w ), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. M w e M 0 se relacionam pela fórmula:
C) 23 e 16.
Questão 137. O medidor de energia elétrica de uma residência, conhecido por “relógio de luz”, é constituído de quatro pequenos relógios, cujos sentidos de rotação estão indicados conforme a figura:
Onde M 0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja cuja unidade é dina.cm. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude M w = 7,3. U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes. Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).
Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M 0 do terremoto de Kobe (em dina.cm)? A) 10 –6,10
D) 1021,65
A medida é expressa em kWh. O número obtido na leitura é composto por 4 algarismos. Cada posição do número é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro.
B) 10 –0,73
E) 1027,00
O número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é
Questão 140.
A) 2 614.
D) 3 725.
A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países orientais.
B) 3 624.
E) 4 162.
Disponível em: http:/www.enersul.com.br. Acesso em: 26 abr 2010.
C) 1012,00
C) 2 715.
Questão 138. O dono de uma oficina mecânica precisa de um pistão das partes de um motor, de 68 mm de diâmetro, para o conserto de um carro. Para conseguir um, esse dono vai até um ferro Disponível em: http://mdmat.psico.ufrgs.br. http://mdmat.psico.ufrgs.br. Acesso em: 1 maio 2010.
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Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de A) pirâmide.
D) tronco de cone.
B) semiesfera.
E) cone.
C) cilindro.
58
Questão 143. Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2 000 km. Um estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas duas cidades, A e B, era 8 cm. Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de
Questão 141. Em 2010, um caos aéreo afetou o continente europeu, devido à quantidade de fumaça expelida por um vulcão na Islândia, o que levou ao cancelamento de inúmeros voos. Cinco dias após o início desse caos, todo o espaço aéreo europeu acima de 6 000 metros estava liberado, com exceção do espaço aéreo da Finlândia. Lá, apenas voos internacionais acima de 31 mil pés estavam liberados. Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 21 abr. 2010 (adaptado).
Considere que 1 metro equivale a aproximadamente 3,3 pés. Qual a diferença, em pés, entre as altitudes liberadas na Finlândia e no restante do continente europeu cinco dias após o início do caos? A) 3 390 pés.
D) 19 800 pés.
B) 9 390 pés.
E) 50 800 pés.
A) 1 : 250. B) 1 : 2 500. C) 1 : 25 000. D) 1 : 250 000. E) 1 : 25 000 000.
Questão 144. Uma indústria fabrica brindes promocionais em forma de pirâmide. A pirâmide é obtida a partir de quatro cortes em um sólido que tem a forma de um cubo. No esquema, estão indicados o sólido original (cubo) e a pirâmide obtida a partir dele.
C) 11 200 pés.
Questão 142. Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaços de lazer reivindicam à prefeitura municipal a construção de uma praça. A prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá construí-la em formato retangular devido às características técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça:
, nessa ordem. Após os cortes, são descartados quatro sólidos.
Terreno 1: 55 m por 45 m
Os formatos dos sólidos descartados são
Terreno 2: 55 m por 55 m
A) todos iguais.
Terreno 3: 60 m por 30 m
B) todos diferentes.
Terreno 4: 70 m por 20 m
C) três iguais e um diferente.
Terreno 5: 95 m por 85 m
D) apenas dois iguais.
Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela prefeitura, os moradores deverão escolher o terreno
E) iguais dois a dois.
A) 1.
D) 4.
B) 2.
E) 5.
C) 3.
Os pontos A, B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os mesmos. O ponto O é central na face superior do cubo. Os quatro cortes saem de O em direção às arestas
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Questão 145.
59
a) 4,8 e 11,2
Café no Brasil
b) 7,0 e 3,0
O consumo atingiu o maior nível da história no ano passado: os brasileiros beberam o equivalente a 331 bilhões de xícaras.
c) 11,2 e 4,8 d) 28,0 e 12,0
Veja, Ed. 2158, 31 mar. 2010.
e) 30,0 e 70,0
Considere que a xícara citada na notícia seja equivalente a, aproximadamente,120 mL de café. Suponha que em 2010 os brasileiros bebam ainda mais café, aumentando o consumo em 1/5 do que foi consumido no ano anterior.
Questão 148.
De acordo com essas informações, qual a previsão mais aproximada para o consumo de café em 2010? A) 8 bilhões de litros.
D) 40 bilhões de litros.
B) 16 bilhões de litros.
E) 48 bilhões de litros.
C) 32 bilhões de litros.
Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para estudos e verificação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos. As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro:
Questão 146. Você pode adaptar atividades do seu dia a dia de uma forma que possa queimar mais calorias do que as gastas normalmente, conforme a relação seguinte: – Enquanto você fala ao telefone, faça agachamentos: 100 calorias gastas em 20 minutos. – Meia hora de supermercado: 100 calorias. – Cuidar do jardim por 30 minutos: 200 calorias. – Passear com o cachorro: 200 calorias em 30 minutos. – Tirar o pó dos móveis: 150 calorias em 30 minutos. minutos. – Lavar roupas por 30 minutos: 200 calorias. Disponível em: http://cyberdiet.terra.com.br Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado)
Uma pessoa deseja executar essas atividades, porém, ajustando o tempo para que, em cada uma, gaste igualmente 200 calorias. A partir dos ajustes, quanto tempo a mais será necessário para realizar todas as atividades? atividades? A) 50 minutos.
D) 120 minutos.
B) 60 minutos.
E) 170 minutos.
C) 80 minutos.
Questão 147. Para uma atividade realizada no laboratório de Matemática, um aluno precisa construir uma maquete da quadra de esportes da escola que tem 28 m de comprimento por 12 m de largura. A maquete deverá ser construída na escala de 1 : 250. Que medidas de comprimento e largura, em cm, o aluno utilizará na construção da maquete?
Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais a A) 17°C, 17°C e 13,5°C B) 17°C, 18°C e 13,5°C C) 17°C, 13,5°C e 18°C D) 17°C, 18°C e 21,5°C E) 17°C, 13,5°C e 21,5°C
Questão 149. Observe as dicas para calcular a quantidade certa de alimentos e bebidas para as festas de fim de ano:
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• Para o prato principal, estime 250 gramas de carne para cada pessoa. • Um copo americano cheio de arroz rende o suficiente para quatro pessoas. • Para a farofa, calcule quatro colheres de sopa por convidado. • Uma garrafa de vinho serve seis pessoas. • Uma garrafa de cerveja serve duas. • Uma garrafa de espumante serve três convidados. Quem organiza festas faz esses cálculos em cima do total de convidados, independente do gosto de cada um.
A) 14,6%
D) 19,0%
B) 18,2%
E) 21,0%
C) 18,4%
Questão 151. As frutas que antes se compravam por dúzias, hoje em dia, podem ser compradas por quilogramas, existindo também a variação dos preços de acordo com a época de produção. Considere que, independente da época ou variação de preço, certa fruta custa R$ 1,75 o quilograma. Dos gráficos a seguir, o que representa o preço m pago em reais pela compra de n quilogramas desse produto é A)
Quantidade certa de alimentos e bebidas evita o desperdício da ceia. Jornal Hoje, 17 dez. 2010 (adaptado).
Um anfitrião decidiu seguir essas dicas ao se preparar para receber 30 convidados para a ceia de Natal. Para seguir essas orientações à risca, o anfitrião deverá dispor de A) 120 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante. B) 120 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 30 de cerveja e 10 de espumante.
B)
C) 75 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante. D) 7,5 kg de carne, 7 copos americanos, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 30 de cerveja e 10 de espumante. E) 7,5 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante.
C)
Questão 150. A participação dos estudantes na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) aumenta a cada ano. O quadro indica o percentual de medalhistas de ouro, por região, nas edições da OBMEP de 2005 a 2009:
D)
Disponível em: http://www.obmep.org.br Acesso em : abr. 2010 (adaptado).
Em relação às edições de 2005 a 2009 da OBMEP, qual o percentual médio de medalhistas de ouro da região Nordeste?
60
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E)
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quadril e a altura. A figura mostra como calcular essas medidas, sabendo-se que, em mulheres, a adiposidade normal está entre 19% e 26%.
Questão 152. Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros.
Disponível em: http://www. folha.uol.com.br. Acesso em: 24 abr. 2011 (adaptado).
Uma jovem com IMC = 20 kg/m 2 , 100 cm de circunferência dos quadris e 60 kg de massa corpórea resolveu averiguar seu IAC. Para se enquadrar aos níveis de normalidade de gordura corporal, a atitude adequada que essa jovem deve ter diante da nova medida é
A) reduzir seu excesso de gordura em cerca de 1%. B) reduzir seu excesso de gordura em cerca de 27%. C) manter seus níveis atuais de gordura. D) aumentar seu nível de gordura em cerca de 1%. E) aumentar seu nível de gordura em cerca de 27%.
Questão 154.
A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (– 5, 5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km. Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção construção de uma estação no ponto. A) (–5, 0).
D) (0, 4).
B) (– 3, 1).
E) (2, 6).
C) (– 2, 1).
Questão 153. O Índice de Massa Corporal (IMC) é largamente utilizado há cerca de 200 anos, mas esse cálculo representa muito mais a corpulência que a adiposidade, adiposidade, uma vez que indivíduos musculosos e obesos podem apresentar o mesmo lMC. Uma nova pesquisa aponta o Índice de Adiposidade Corporal (IAC) como uma alternativa mais fidedigna para quantificar a gordura corporal, utilizando a medida do
Disponível em: http://www. diaadia.pr.gov.br. Acesso em: 28 abr. 2010
O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de seu centro, de A) 45°.
D) 120°.
B) 60°.
E) 180°.
C) 90°.
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Questão 155.
Questão 157.
O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo registrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as da janeiro deste ano, houve incremento de 4 300 vagas no setor, totalizando 880 605 trabalhadores com carteira assinada.
Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior retorno financeiro em uma aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB (certificado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro:
Disponível em: http://www.folha.uol.com.br Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado)
Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano. Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses é
Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é A) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80. B) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56.
A) y = 4 300x
D) y = 876 305 + 4 300x
C) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38.
B) y = 884 905 x
E) y = 880 605 + 4 300x
D) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21.
C) y = 872 005 + 4 300x
E) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87.
Questão 156.
Questão 158.
A tabela compara o consumo mensal, em kWh, dos consumidores residenciais e dos de baixa renda, antes e depois da redução da tarifa de energia no estado de Pernambuco.
Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:
e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30°
Fonte: Celpe Diário de Pernambuco, 28 abr. 2010 (adaptado).
Considere dois consumidores: um que é de baixa renda e gastou 100 kWh e outro do tipo residencial que gastou 185 kWh. A diferença entre o gasto desses consumidores com 1 kWh, depois da redução da tarifa de energia, mais aproximada, é de A) R$ 0,27.
D) R$ 0,34.
B) R$ 0,29.
E) R$ 0,61.
C) R$ 0,32.
A) 1 000 m.
D) 2 000m.
B)
E)
C)
Questão 159. Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendações médicas, para uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano ou Residencial Suburbano. A principal recomendação médica foi com as temperaturas das “ilhas de calor” da região, que deveriam ser inferiores a 31°C. Tais temperaturas são apresentadas no gráfico:
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Questão 162. Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No primeiro mês, ela perdeu 30% do total do investimento e, no segundo mês, recuperou 20% do que havia perdido. Depois desses dois meses, resolveu tirar o montante de R$ 3 800,00 gerado pela aplicação. A quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações corresponde ao valor de
Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele escolher uma região que seja adequada às recomendações médicas é A) 1/5.
D) 3/5.
B) 1/4.
E) 3/4.
C) 2/5.
Questão 160. O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350 000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150 000,00. As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada. Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas? A) 100n + 350 = 120n + 150 B) 100n + 150 = 120n + 350
A) R$ 4 222,22.
D) R$ 13 300,00.
B) R$ 4 523,80.
E) R$ 17 100,0
C) R$ 5 000,00.
Questão 163. Muitas medidas podem ser tomadas em nossas casas visando à utilização racional de energia elétrica. Isso deve ser uma atitude diária de cidadania. Uma delas pode ser a redução do tempo no banho. Um chuveiro com potênciade 4 800 W consome 4,8 kW por hora. Uma pessoa que toma dois banhos diariamente, de 10 minutos cada, consumirá, em sete dias, quantos kW?
A) 0,8
D) 11,2
B) 1,6
E) 33,6
C) 5,6
Questão 164. Cerca de 20 milhões de brasileiros vivem na região coberta pela caatinga, em quase quase 800 mil km 2 de área. Quando não chove, o homem do sertão e sua família precisam caminhar quilômetros em busca da água dos açudes. A irregularidade climática é um dos fatores que mais interferem na vida do sertanejo. Disponível em: http://www.wwf.org.br. Acesso: 23 abr. 2010.
C) 100(n + 350) = 120(n + 150) D) 100(n + 350 000) = 120(n +150 000) E) 350(n + 100 000) = 150(n + 120 000)
Questão 161. O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33 000 passagens; em fevereiro, 34 500; em março, 36 000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado? A) 38 000
D) 42 000
B) 40 500
E) 48 000
C) 41 000
Segundo este levantamento, a densidade demográfica da região coberta pela caatinga, em habitantes por km 2, é de A) 250.
D) 0,25.
B) 25.
E) 0,025.
C) 2,5.
Questão 165. O gráfico mostra a velocidade de conexão à Internet utilizada em domicílios no Brasil. Esses dados são resultado da mais recente pesquisa, de 2009, realizada pelo Comitê Gestor da Internet (CGI).
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Questão 167. Em um jogo disputado em uma mesa de sinuca, há 16 bolas: 1 branca e 15 coloridas, as quais, de acordo com a coloração, valem de 1 a 15 pontos (um valor para cada bola colorida), O jogador acerta o taco na bola branca de forma que esta acerte as outras, com o objetivo de acertar duas das quinze bolas em quaisquer caçapas. Os valores dessas duas bolas são somados e devem resultar em um valor escolhido pelo jogador antes do início da jogada.
Disponível em: http://agencia.ipea.gov.br . Acesso em: 28 abr. 2010 (adaptado).
Escolhendo-se, aleatoriamente, um domicílio pesquisado, qual a chance de haver banda larga de conexão de pelo menos 1 Mbps neste domicílio? A) 0,45
D) 0,22
B) 0,42
E) 0,15
Arthur, Bernardo e Caio escolhem os números 12, 17 e 22 como sendo resultados de suas respectivas somas. Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de ganhar o jogo é A) Arthur, pois a soma que escolheu é a menor. B) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 4 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio. C) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio.
C) 0,30
Questão 166. Todo o país passa pela primeira fase de campanha de vacinação contra a gripe suína (H1N1). Segundo um médico infectologista do Instituto Emílio Ribas, de São Paulo, a imunização “deve mudar”, no país, a história da epidemia. Com a vacina, de acordo com ele, o Brasil tem a chance de barrar uma tendência do crescimento da doença, que já matou 17 mil no mundo. A tabela apresenta dados específicos de um único posto de vacinação.
D) Caio, pois há 10 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 8 possibilidades para a escolha de Bernardo. E) Caio, pois a soma que escolheu é a maior.
Questão 168. É possível usar água ou comida para atrair as aves e observá-las. Muitas pessoas costumam usar água com açúcar, por exemplo, para atrair beija-flores, Mas é importante saber que, na hora de fazer a mistura, você deve sempre usar uma parte de açúcar para cinco partes de água. Além disso, em dias quentes, precisa trocar a água de duas a três vezes, pois com o calor ela pode fermentar e, se for ingerida pela ave, pode deixá-la doente. O exces so de açúcar, ao cristalizar, também pode manter o bico da ave fechado, impedindo-a de se alimentar. Isso pode até matá-la. Ciência Hoje das Crianças. FNDE; Instituto Ciência Hoje, a nº 19, n. 166, mar. 1996.
Disponível em: http://img.terra.com./br . Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).
Escolhendo-se aleatoriamente uma pessoa atendida nesse posto de vacinação, a probabilidade de ela ser portadora po rtadora de doença crônica é A) 8%.
D) 12%.
B) 9%.
E) 22%.
C) 11%.
Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair beija-flores. O copo tem formato cilíndrico, e suas medidas são 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro, A quantidade de água que deve ser utilizada na mistura é cerca de (utilize π = 3)
A) 20 mL.
D) 120 mL.
B) 24 mL.
E) 600 mL.
C) 100 mL.
Questão 169. A figura apresenta informações biométricas de um homem (Duílio) e de uma mulher (Sandra) que estão buscando alcançar seu peso ideal a partir das atividades físicas
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(corrida). Para se verificar a escala de obesidade, foi desenvolvida a fórmula que permite verificar o Índice de Massa Corporal (IMC). Esta fórmula é apresentada como IMC = m/h2, onde m é a massa em quilogramas e h é altura em metros.
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extremidade e são construídas de segmentos de retas paralelas e arcos de circunferência. circunferência. Os dois semicírculos da pista são iguais.
No quadro é apresentada a Escala de Índice de Massa Corporal com as respectivas categorias relacionadas aos pesos. BIEMBENGUT, M. S. Modelação Matemática como método de ensinoaprendizagem de Matemática em cursos de 1.° e 2.° graus. 1900. Dissertação de Mestrado. IGCE/UNESP, Rio Claro, 1990 (adaptado).
Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta completa, em qual das raias o corredor estaria sendo beneficiado? A) 1
D) 7
B) 4
E) 8
C) 5
Questão 171. Nos últimos cinco anos, 32 mil mulheres de 20 a 24 anos foram internadas nos hospitais do SUS por causa de AVC. Entre os homens da mesma faixa etária, houve 28 mil internações pelo mesmo motivo. Nova Escola. N.° 172, maio 2004.
Época. 26 abr. 2010 (adaptado).
A partir dos dados biométricos de Duílio e Sandra e da Escala de IMC, o valor IMC e a categoria em que cada uma das pessoas se posiciona na Escala são
Suponha que, nos próximos cinco anos, haja um acréscimo de 8 mil internações de mulheres e que o acréscimo de internações de homens por AVC ocorra na mesma proporção.
A) Duílio tem o IMC 26,7 e Sandra tem o IMC 26,6, estando ambos na categoria de sobrepeso. B) Duílio tem o IMC 27,3 e Sandra tem o IMC 29,1, estando ambos na categoria de sobrepeso. C) Duílio tem o IMC 27,3 e Sandra tem o IMC 26,6, estando ambos na categoria de sobrepeso. D) Duílio tem o IMC 25,6, estando na categoria de sobrepeso, e Sandra tem o IMC 24,7, estando na categoria de peso normal. E) Duílio tem o IMC 25,1, estando na categoria de sobrepeso, e Sandra tem o IMC 22,6, estando na categoria de peso normal.
Questão 170. O atletismo é um dos esportes que mais se identificam com o espírito olímpico. A figura ilustra uma pista de atletismo. A pista é composta por oito raias e tem largura de 9,76 m. As raias são numeradas do centro da pista para a
De acordo com as informações dadas, o número de homens que seriam internados por AVC, nos próximos cinco anos, corresponderia a A) 4 mil.
D) 35 mil.
B) 9 mil.
E) 39 mil.
C) 21 mil.
Questão 172. Uma enquete, realizada em março de 2010, perguntava aos internautas se eles acreditavam que as atividades humanas provocam o aquecimento global. Eram três as alternativas possíveis e 279 internautas responderam à enquete, como mostra o gráfico.
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Questão 174. O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares. Época. Ed. 619, 29 mar. 2010 (adaptado).
Analisando os dados do gráfico, quantos internautas responderam “NÃO” à enquete? A) Menos de 23. B) Mais de 23 e menos de 25.
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75 913 é A) 24.
D) 88.
B) 31.
E) 89.
C) 32.
C) Mais de 50 e menos de 75.
Questão 175.
D) Mais de 100 e menos de 190. E) Mais de 200.
Um técnico em refrigeração precisa revisar todos os pontos de saída de ar de um escritório com várias salas. Na imagem apresentada, cada ponto indicado por uma letra é a saída do ar, e os segmentos são as tubulações.
Questão 173. A cor de uma estrela tem relação com a temperatura em sua superfície. Estrelas não muito quentes (cerca de 3 000 K) nos parecem avermelhadas. Já as estrelas amarelas, como o Sol, possuem temperatura em torno dos 6 000 K; as mais quentes são brancas ou azuis porque sua temperatura fica acima dos 10 000 K. A tabela apresenta uma classificação espectral e outros dados para as estrelas dessas classes
Iniciando a revisão pelo ponto K e terminando em F, sem passar mais de uma vez por cada ponto, o caminho será passando pelos pontos A) K, I e F. B) K, J, I, G, L e F. Temperatura em Kelvin Luminosidade, massa e raio, tomando o Sol como unidade. Disponível em: http://www.zenite.nu http://www.zenite.nu.. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).
Se tomarmos uma estrela que tenha temperatura 5 vezes maior que a temperatura do Sol, qual será a ordem de grandeza de sua luminosidade? A) 20 000 vezes a luminosidade do Sol. B) 28 000 vezes a luminosidade do Sol. C) 28 850 vezes a luminosidade do Sol. D) 30 000 vezes a luminosidade do Sol. E) 50 000 vezes a luminosidade do Sol.
C) K, L, G, I, J, H e F. D) K, J, H, I, G, L e F. E) K, L, G, I, H, J e F.
Questão 176. O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à pecuária, pois as atividades ligadas a essa produção incluem fornecedores de equipamentos, serviços para a zona rural, industrialização e comercialização dos produtos. O gráfico seguinte mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro:
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As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período anterior. O quadro fornece algumas aproximações para a análise das rentabilidades:
Centro de Estudos Avançados em Economia Aplicada (CEPEA). Almanaque abril 2010. São Paulo: Abril, ano 36 (adaptado)
Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa participação, em termos percentuais. Segundo o gráfico, o período de queda ocorreu entre os anos de A) 1998 e 2001.
D) 2003 e 2007.
B) 2001 e 2003.
E) 2003 e 2008.
Para escolher o investimento com maior rentabilidade anual, essa pessoa deverá A) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas rentabilidades anuais são iguais a 36%. B) escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são iguais a 39%. C) escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C. D) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que as rentabilidades de 3% do investimento A e de 18% do investimento C.
C) 2003 e 2006.
Questão 177. A resistência das vigas de dado comprimento é diretamente proporcional à largura (b) e ao quadrado da altura (d), conforme a figura. A constante de proporcionalidade k varia de acordo com o material utilizado na sua construção.
E) escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos A e B.
Questão 179. Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo o que produz. O custo total para fabricar uma quantidade q de produtos é dado por uma função, simbolizada por CT, enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da quantidade q também é uma função, simbolizada por FT. O lucro total (LT) obtido pela venda da quantidade q de produtos é dado pela expressão LT(q) = FT(q) – CT(q).
Considerando-se S como a resistência, a representação algébrica que exprime essa relação é A) S = k . b . d
D)
B) S = b . d2
E)
Considerando-se as funções FT(q) = 5q e CT(q) = 2q + 12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo? A) 0 B) 1
C) S = k.b.d 2
C) 3
Questão 178.
D) 4
Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que sejam apresentadas três possibilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano, conforme descritas: descritas:
E) 5
Investimento A: A: 3% ao mês Investimento B: 36% ao ano Investimento C: 18% ao semestre
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Questão 180.
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E)
Uma empresa de telefonia fixa oferece dois planos aos seus clientes: no plano K, o cliente paga R$ 29,90 por 200 minutos mensais e R$ 0,20 por cada minuto excedente; no plano Z, paga R$ 49,90 por 300 minutos mensais e R$ 0,10 por cada minuto excedente. O gráfico que representa o valor pago, em reais, nos dois planos em função dos minutos utilizados é A)
RESOLUÇÕES E COMENTÁRIOS - Enem 2011 QUESTÃO 136
∙
−3 m = 2,3 m
a = 2300 mm mm = 2300 10
B)
∙
− m = 1,6 m
b = 160 cm = 160 10
Alternativa B Comentário: A questão envolve apenas conversão de unidade de medida. Como 1 metro é igual a 1000 milímetros, poderíamos montar uma regra de três para converter o valor de a de milímetros para metros. Já para converter o valor de b usaríamos que 1 metro é igual a 100 centímetros. Conteúdo envolvido: Conversão de unidade de medida. C)
QUESTÃO 137 Como cada posição é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro, teremos o número 2614: duas unidades de milhar, 6 centenas, 1 dezena e 4 unidades.
Alternativa A
D)
Comentário: Como estamos acostumados com relógio (medida de tempo) de ponteiro que gira no sentido horário, poderíamos adotar esse sentido para leitura do número no relógio de luz e assinalaríamos erroneamente a alternativa B; caso lêssemos todos os algarismos tomando o sentido antihorário, assinalaríamos a alternativa C; caso invertêssemos os sentidos corretos de leitura, a alternativa escolhida seria a D. Conteúdo envolvido: Valor posicional de algarismo.
QUESTÃO 138 Precisamos de um cilindro com diâmetro mais próximo de 68 mm. Ordenando os diâmetros encontrados, teremos:
< 68,0 68,001 01 mm < 68,0 68,012 12 mm < 68,0 68,02 2 mm mm < 68,1 68,102 02 mm < 68,2 68,21 1 mm mm Logo, o diâmetro mais próximo de 68 mm é 68,001 mm.
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Alternativa E
QUESTÃO 141
Comentário: Caso o exercício pedisse qual dos valores do conjunto: 68 mm, 68,012 mm, 68,02 mm, 68,102 mm, 68,21 mm é mais próximo de 68,001 mm, por exemplo, teríamos que: |68,001 68| 68| = 0,00 0,001m 1mm m e |68,001 68,012| 68,012| = 0,011mm, 0,011mm, portanto 68 está mais próximo de 68,001.
O resultado pedido é em pés, portanto, é interessante fazer a conversão da medida que é apresentada em metros para esta unidade:
⇒
Conteúdo envolvido: Comparação de números.
O enunciado apresenta a seguinte expressão: 2 M = 10,7 10,7 + log (M ) 3
10 0
e oferece o valor expressão dada.
Alternativa C
M = 7,3 para ser substituído na
W
2 7,3 = 10,7 10,7 + log (M ) 3 2 log (M ) = 18 3
10 0
⇒ 23 log10(M0) = 7,3 + 10,7
⇒ 10 0 ⇒ log10(M0) = 32 18 ⇒ log10(M0) = 542 ⇒ log10(M0) = 27 ⇒ M0 = 107
QUESTÃO 142
Comentário: Pela definição de logaritmo, log a = c a = b , com b maior do que 0 e diferente de 1.
⇒
Comentário: Após feita a conversão de 6000 metros para pés, obtemos 19800 pés, que é a alternativa D – porém não é a resposta final do exercício, que pede a diferença (subtração), em pés, entre as altitudes liberadas na Europa e na Finlândia. A alternativa E oferece a soma, soma, em pés, das altitudes; a alternativa A apresenta o resultado, em metros, da diferença pedida; a alternativa B apresenta a conversão de 31000 pés para metros. Conteúdos envolvidos: Regra de três simples e resolução de problema envolvendo operação básica. básica.
Alternativa E
b
As restrições são: terreno retangular dentre 5 possibilidades e perímetro máximo de 180 metros. Buscamos o terreno de área máxima que contemple as restrições impostas. •
Conteúdos envolvidos: Substituição de valor em expressão algébrica e resolução, definição de logaritmo.
QUESTÃO 140
Terreno 2: 55m x 45m Não atende às restrições, pois tem dimensões maiores em relação ao terreno 1, que já não atende a restrição de cerca. (Perímetro: 2.(55)+2.(55) = 220 m)
•
Terreno 3: 60m x 30m Perímetro: 2.(60)+2.(30) = 180 m. Logo atende às restrições. Área: 60 . 30 = 1800 m 2
•
Terreno 4: 70m x 20m Perímetro: 2.(70)+2.(20) = 180 m. Logo atende às restrições. Área: 70 . 20 = 1400 m 2
•
Terreno 5: 95m x 85m Não atende às restrições, pois tem tem dimensões maiores em relação ao terreno 1, que já não atende à restrição de cerca. (Perímetro: 2.(95)+2.(85) = 360 m)
Alternativa E Comentário: A questão não requer domínio da definição de cone, mas apenas uma noção do sólido. Semiesfera
Cilindro
Tronco de cone
Cone
Conteúdo envolvido: Identificação de sólido geométrico.
Terreno 1: 55m x 45m Perímetro: 2.(55)+2.(45) = 200 m. Logo não atende às restrições.
•
A questão pede a identificação de uma figura geométrica espacial com base circular e segmentos com uma extremidade em cada ponto desta base e outra extremidade em um único ponto (vértice). A figura é um cone.
Pirâmide
⇒ 1 ∙ x = 6000 ∙ 3,3
Assim, as altitudes liberadas na Finlândia eram as acima de 31000 pés enquanto que no restante da Europa eram as acima de 19800 pés. Portanto a diferença era de 31000 1980 19800 0 = 1120 11200 0 pés pés..
QUESTÃO 139
W
1 metro 3,3 pés 6000 metros x x = 1980 19800 0 pés pés
Portanto o terreno a ser utilizado é o 3.
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Alternativa C
QUESTÃO 144
Comentário: Observe que não foi necessário calcular perímetros e área de todos os terrenos e, assim, não investimos tempo em cálculos desnecessários à resolução.
A sequência de cortes descrita na questão está representada abaixo.
Curiosidade: Dado um perímetro fixado, o retângulo de maior área é o quadrado. Assim, seja 180 o perímetro, temos que 4 lado = 180 lado = 45 m. m. Portanto, a maior área possível, dados 180 metros de cerca e terreno retangular (quadrado é um caso particular de retângulo), seria 2025 m 2.
∙
⇒
Conteúdos envolvidos: Área e perímetro de retângulo.
QUESTÃO 143
1 quilômetro equivale a 1000 metros (1km = 103m);
1 metro equivale a 100 centímetros (1m = 10 2cm);
assim, 1 quilômetro equivale a 100 000 centímetros.
Logo, 2 000 km equivale a 200 000 000 cm. cm. Temos que 8 centímetros no mapa representam 2 000 quilômetros de distância e queremos saber qual é a escala do mapa. 8 cm 1 cm
⇒ ∙
∙
200 000 000 cm 8 x = 1 200 000 000 x 200 000 000 x= 8
⇒ ⇒ x = 25 000 000 000 000 cm
Portanto cada centímetro no mapa corresponde a 25 000 000 centímetros, ou seja, a escala é de 1 : 25 000 000.
Alternativa E Comentário: Todas as alternativas apresentam 25 multiplicado por alguma potência de 10. Isto é natural, pois metro, quilômetro e centímetro relacionam–se através de potências de 10. Conteúdos envolvidos: Escala (proporção) e conversão de unidade de medida.
Assim, observamos que os dois primeiros sólidos descartados são iguais e os dois últimos sólidos descartados são iguais, ou seja, os sólidos descartados são iguais dois a dois.
Alternativa E Comentário: Para esta questão o aluno precisa de um olhar espacial bem atento. Como no momento da prova o aluno não terá à disposição uma pirâmide para facilitar a visualização, um pouco de imaginação será necessária. Conteúdo envolvido: Geometria espacial.
QUESTÃO 145
1 litro equivale a 1000 mililitros
O consumo, em litros, no ano de 2009 foi de:
∙
331 bilhões de xícaras 120 ml ml de café por xícara xícara =
∙
331 bilhões de xícaras 0,120 l de café por xícara = 39,72 bilhões bilhões de litros litros de café café
1 5
O consumo no ano de 2010 passará por um aumento de , ou seja,
1 ∙ 39,72 bilhões bilhões de litros litros de café café = 5 7,944 bilhões de litros de café
Logo, o consumo, em litros, no ano de 2010 será de 39,72 39,72 + 7,944 7,944 = 47,664 47,664 bilh bilhões ões de de litros litros de de café. café. Portanto serão aproximadamente 48 bilhões de litros de café.
Alternativa E Comentário: Os candidatos que cometerem alguns equívocos encontrarão seu resultado entre as alternativas. Observe que: a alternativa A representa o aumento aproximado, em litros, do ano de 2009; a alternativa C
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1 5
representa o consumo de 2009, diminuído em ; a alternativa D representa o consumo aproximado, em litros, do ano de 2009. Conteúdos envolvidos: Conversão de medida em unidade de volume diferente, fração e problema envolvendo operações básicas.
QUESTÃO 146
71 •
Tirar pó dos móveis
150 calorias ⇒ 150 ∙ z = 3 0 ∙ 200 200 calorias ⇒ z = 6000 150
30 minutos z 150 z = 6000
⇒ ∙ ⇒minutos z = 40 minu minuto toss, ou seja, deverá ser gasto um total de 40 tirando pó dos móveis para que se gaste 200 calorias. Assim, observamos que se deve aumentar o tempo de 30 minutos para 40 minutos (aumento de 10 minutos).
De acordo com as informações do enunciado:
Atividade
Tempo (minutos)
Calorias
Falar ao telefone/agachamento
20
100
Compras no supermercado
30
100
Cuidar do jardim
30
200
Passear com cachorro
30
200
Tirar pó dos móveis
30
150
Lavar roupas
30
200
Buscamos descobrir qual tempo deve ser investido em cada atividade a fim de ter um gasto de 200 calorias. Observe que os tempos destinados a cuidar do jardim, passear com cachorro e lavar roupas não deverão ser alterados, pois o gasto calórico com cada atividade é de 200 calorias. •
Falar ao telefone/agachamento
100 calorias ⇒ 100 ∙ x = 2 0 ∙ 200 200 calorias ⇒ x = 4000 100
20 minutos x 100 x = 4000
⇒ ∙ ⇒minutos x = 40 minu minuto toss, ou seja, deverá ser feito um total de 40 de agachamento para que se gaste 200 calorias.
Portanto, serão gastos 20 + 30 + 10 = 60 minutos a mais para realizar todas as atividades gastando igualmente 200 calorias em cada uma delas.
Alternativa B Comentário: Esta questão pode ser resolvida apenas através de uma observação cuidadosa e um pouco de cálculo mental. Veja:
Tempo (min)
Calorias
Falar ao telefone/aga chamento
20
100
Dobrar o tempo, pois queremos dobrar o gasto calórico
Compras no supermercad o
30
100
Dobrar o tempo, pois queremos dobrar o gasto calórico
Cuidar do jardim
30
200
Nenhum
Passear com cachorro
30
200
Nenhum
Tirar pó dos móveis
30
150
Aumentar um terço do tempo, pois queremos aumentar o gasto calórico em um terço
Lavar roupas
30
200
Nenhum
Atividade
Assim, observamos que se deve aumentar o tempo de 20 minutos para 40 minutos (aumento de 20 minutos). •
Ajuste, no tempo, para que a atividade gaste 200 calorias
Compras no supermercado
100 calorias 200 calorias ⇒ 100 ∙ y = 3 0 ∙ 200 ⇒ y = 6000 100
30 minutos y 100 y = 6000
⇒ ∙ ⇒minutos y = 60 minu minuto toss, ou seja, deverá ser feito um total de 60 de compras no supermercado para que se gaste 200 calorias. Assim, observamos que se deve aumentar o tempo de 30 minutos para 60 minutos (aumento de 30 minutos).
Portanto, serão gastos 20 + 30 + 10 = 60 minutos a mais para realizar todas as atividades gastando igualmente 200 calorias em cada uma delas. Conteúdo envolvido: Proporção.
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QUESTÃO 147
72
Dados apresentados
A escala 1 : 250 relaciona as dimensões da maquete com as dimensões da quadra, assim, 1cm na maquete representa 250cm na quadra.
Temperatura observadas (°C) 15,5
•
1 cm x •
1 cm y
14
Comprimento da quadra: 28 metros = 2800 centímetros
⇒ ∙
∙
250 cm 250 x = 1 2800 2800 cm x = 11,2 1,2 cm cm
⇒
13,5 18 19,5
⇒ x = 2800 250
20 13,5 13,5 18
Largura da quadra: 12 metros = 1200 centímetros
⇒ ∙
∙
250 cm 1200 cm 250 y = 1 1200 y = 4,8 cm
⇒
⇒
20
18,5 13,5 21,5 20
1200 y= 250
16
Portanto, o comprimento da maquete será de 11,2 cm e a largura será de 4,8 cm.
Alternativa C
Ordenando os valores apresentados, temos:
Comentário: As alternativas apresentadas incluem: troca entre dimensões (são pedidos comprimento e largura, nessa ordem) – alternativa A; proporção entre maquete e quadra (porém com escala diferente da descrita no exercício) – alternativa D.
Temperatura observadas ordenadas(°C) 13,5 13,5 13,5
Conteúdos envolvidos: Escala (proporção) e conversão de unidade de medida.
13,5 14 15,5
QUESTÃO 148
16 18
Média aritmética: Soma de todos os dados de uma amostra, dividido pela quantidade de elementos desta amostra.
18
18,5 19,5 20
Mediana: ordenados do menor para o maior os dados de uma amostra, a mediana será o valor central desta amostra. Caso ela tenha um número par de elementos a mediana será a média aritmética entre os dois termos centrais. Moda: é o valor que apresenta a maior frequência de ocorrência em uma dada amostra de dados. No caso de não haver moda, a amostra é chamada de amodal, em caso de 1 moda, é chamada de modal, 2 modas de bimodal e 3 modas de trimodal.
20
20 21,5
Média Médi diaa = 13Mé ,5+13,5+13,5+13,5+14+15,5+16+18+18+18,5+19,5+0+0+0+1 ,5 = 15 55 = 17 15 •
Mediana
Como temos 15 observações, a mediana será o 8º valor da lista ordenada, ou seja, a mediana é 18. •
Moda
A temperatura 13,5 °C apresentou maior frequência de ocorrência (4 vezes), sendo assim a moda.
Alternativa B
infoEnem
Enem 2011
Comentário: Observe que é desnecessário o cálculo da média, pois as cinco alternativas indicam o valor 17. Assim, o aluno não precisa investir tempo neste cálculo. Conteúdos envolvidos: Estatística (média, mediana e moda).
QUESTÃO 149
73 •
2 pessoas 1 garrafa 30 pessoas e e = 15 garr garraf afas as
⇒
•
Os dados para calcular a quantidade certa de alimentos e bebidas para as festa de final de ano indicadas estão na tabela abaixo. Devemos calcular as quantidades necessárias para servir 30 pessoas.
Cerveja
⇒ 2 ∙ e = 1 ∙ 30 ⇒ e = 302
Espumante
3 pessoas 1 garrafa 30 pessoas f f = 10 gar garra rafa fass
⇒
⇒ 3 ∙ f = 1 ∙ 30 ⇒ f = 303
Alternativa E QUANTIDADE INDICADA
Comentário: Note que após calcularmos a quantidade necessária de carne, temos apenas duas possibilidades de alternativas corretas (D ou E); estas duas alternativas diferenciam–se nas quantidades de arroz e de espumante apenas, sendo assim, calculando um desses dois itens teremos a alternativa correta. Portando a análise das alternativas apresentadas pode reduzir o tempo investido na resolução de uma questão.
Carne
250g – 1 pessoa
Arroz
1 copo – 4 pessoas
Farofa
4 colheres – 1 pessoa
Vinho
1 garrafa – 6 pessoas
QUESTÃO 150
Cerveja
1 garrafa – 2 pessoas
O percentual médio de medalhistas de ouro na região nordeste é dado pela média aritmética dos percentuais de 2005 a 2009:
Espumante
1 garrafa – 3 pessoas
Percentual
Conteúdo envolvido: Regra de três simples.
9 18,4% = 5 = 18,4 % Méd = 18+19+1+15+19 5
Alternativa C •
1 pessoa 30 pessoas a = 7,5 kg
⇒
•
Comentário: A questão envolve apenas cálculo da média aritmética.
Carne
250 g a
⇒ 1 ∙ a = 250 ∙ 30 ⇒ a = 7500 g
QUESTÃO 151
Arroz
4 pessoas 1 copo 30 pessoas b b = 7,5 7,5 cop copos
⇒ •
⇒ 4 ∙ b = 1 ∙ 30 ⇒ b = 304
Farofa
⇒
⇒
⇒ 1 ∙ c = 4 ∙ 30
Vinho
6 pessoas 1 garrafa 30 pessoas d d = 5 garr garraf afas as
Pelo enunciado, a fruta custa R$1,75 por quilograma; assim, se o n = 1kg, então m = R$1, $1,75, ou seja, o ponto ( 1 , 1,75 1,75 ) pertence ) pertence ao gráfico da função procurada. A função de preço por quantidade é afim.
1 pessoa 4 colheres 30 pessoas c a = 120 120 colh colher eres es •
Conteúdos envolvidos: Média aritmética.
⇒ 6 ∙ d = 1 ∙ 30 ⇒ d = 306
Observe ainda que o gráfico é uma reta que passa pela origem, afinal, o preço de 0 quilogramas é R$0,00.
infoEnem
Enem 2011
74
Alternativa E
Alternativa B:
Comentário: Podemos descrever a função, pois temos informações sobre dois pontos: o preço de 0 quilogramas é R$0,00, o preço de 1 quilogramas é R$1,75; logo = 1,75 .
Ponto ( 3,1) 3,1)
→ d = (x x1) + (y y1) 5 (3) + (5 1) = = (5 + 3) + 4 = 2 + 16 = √ 4 + 1 6 ⇒ d = √ 20 2 0 km < 5km 5km
∙
Conteúdo envolvido: Gráfico de função afim.
QUESTÃO 152
Alternativa D:
Como o enunciado diz que já existe uma estação de metrô que atenderá a exigência da população, podemos deduzir que um ou mais, dos pontos apresentados nas alternativas, pertença à reta dada de equação y = x + 4. 4. Por este motivo, basta testarmos cada um deles a fim de verificarmos qual ponto pertence à reta, e assim: Lembrando que a representação em coordenadas de um ponto P é: P (x, (x, y). y).
Ponto (0,4) 0,4)
Alternativa E: Ponto (2,6) 2,6)
Alternativa A:
⇒ →
Ponto ( 5, 0) y = x + 4 0 = 1 (falso)
⇒ 0 = 5 + 4
→ ⇒
Ponto ( 3,1) 3,1) y = x + 4 1 = 1 (ve (verda rdade deir iro) o)
⇒ 1 = 3 + 4
Alternativa B Comentário: É importante tranquilizar o aluno que durante a prova, o fato da equação da reta ser simples, a verificação de quais pontos pertencem a ela é bastante rápida podendo até ser resolvida mentalmente.
Alternativa C: Ponto ( 2,1) 2,1) y = x + 4 1 = 2 (falso) falso)
⇒ 1 = 2 + 4
Conteúdo envolvido: Equação de reta e distância de ponto a ponto.
Alternativa D: Ponto (0,4) 0,4)
→ y = x + 4 ⇒ 4 = 0 + 4 (verdadeiro) verdadeiro) →
⇒
⇒6=2+4
feê dqdl d qdl (m) 18 = d lt (m)∙ lt lt(m) pl
%
Do teste, vemos que 3 pontos pertencem à reta, porém só um deles atenderá a exigência da população que é a de o hospital não estar a mais de 5 km da estação do metrô. Neste caso, devemos realizar um novo teste a fim de verificar qual dos 3 está a uma distância menor do que 5 em relação ao ponto (–5, 5) que é a coordenada do hospital: Lembrando que a distância d de um ponto (x , y ) a outro (x , y ) é dada por:
QUESTÃO 153 Segundo o enunciado, o IAC (índice de adiposidade corporal) é dado por:
Alternativa E: Ponto (2,6) 2,6) y = x + 4 6 = 6 (ve (verd rdad adei eiro) ro)
→ d = (x x1) + (y y1) = (5 2) + (5 6) = (7) + (1) = √ 4 9 + 1 ⇒ d = √ 50 km km > 5km
Portanto a estação que estará no ponto (–3,1) já estará a menos de 5 km do hospital.
Alternativa B:
⇒ →
→ d = (x x1) + (y y1) = (5 0) + (5 4) = (5) + 1 = √ 2 5 + 1 ⇒ d = √ 26 km km > 5km
1 1
Cálculo do IAC de uma jovem de IMC=20 kg/m 2, 100 cm de circunferência dos quadris e 60kg: Para o cálculo do IAC precisamos da informação da altura da jovem, que pode ser calculada utilizando–se do IMC (índice que relaciona massa e altura):
m(k) 60 m = lt(m)∙lt(m) ⇒ 20 = lt ⇒ pl ⇒ 20 ∙ altura = 60 ⇒ altura = 60 ⇒ altura = 3
Índice
⇒ altu altura ra = √ 3 ⇒ altura ≅ 1,70m
20
infoEnem
Enem 2011
100 100 100 = 1,70∙ 1,70 18 = 1,7∙1,3 18 = ,1 18 ≅ d √ pl
%
45,25
18 = 27,25
75
mês de janeiro, o número de vagas era 880 605 – 4 300 = 876 305. Logo podemos estabelecer as seguintes relações:
O enunciado ainda afirma que, em mulheres, a adiposidade normal está entre 19% e 26%; portanto, para enquadrar–se na normalidade de gordura corporal, deve diminuir em cerca de 1% sua adiposidade.
Alternativa A Comentário: Observando as informações de raiz dadas no enunciado e sabendo da estatura média de um ser humano, poderíamos prever que a altura da jovem seria 1,70 m. Sabendo que a informação da altura viria da expressão do IMC, partiríamos diretamente para o cálculo da porcentagem de gordura corporal. Conteúdos algébricas.
envolvidos:
Manipulação
de
expressões
QUESTÃO 154 Ao observar somente um dos polígonos que formam a calçada, podemos traçar 3 eixos a partir de seu centro conforme a figura. Deste modo o polígono é invariante de 3 formas distintas, em outras palavras, o polígono é exatamente o mesmo em 3 posições p osições diferentes.
Y 876 305 880 605
x 1 2
mês Janeiro Fevereiro
Lembrando que a reta de uma função afim é dada por: y = a x + b, utilizando as informações obtidas e um sistema de duas equações a duas incógnitas, encontramos a expressão algébrica pedida no enunciado:
⋅
887860 3060360055 == aa ⋅⋅ 12 ++ bb (Subtraindo as equações) 4 300 300 = a ⇒ a = 4 300 Substi Substitui tuindo ndo na 1ª equaçã equaçãoo 876 876 305 305 = 4 300 300 ⋅ 1 + b ⇒ b = 876 30 305 4 300 ⇒ b = 872 00005 Portanto a equação fica:
⋅
y = 4 300 x + 872 872 005 005
Alternativa C Comentário: O ponto central desta equação é obter as relações para os dois meses. A partir daí bastava resolver um sistema de duas equações a duas incógnitas. Conteúdo envolvido: Função afim e sistemas de equações.
QUESTÃO 156
Logo para calcular o ângulo de rotação em torno do centro do polígono basta dividirmos uma volta completa por 3: 360° = 120° 120° 3
Alternativa D Comentário: O ponto chave da questão é observar que a figura possui 3 eixos de simetria. Logo, em 3 posições diferentes ela é exatamente a mesma. Conteúdo envolvido: Rotação de polígonos.
QUESTÃO 155 Sejam: y a quantidade de trabalhadoras no setor varejista e x o número de meses decorridos, sendo janeiro o primeiro, fevereiro o segundo e assim por diante. Como em fevereiro havia um total de 880 605 trabalhadores com carteira assinada e, este número inclui um incremento de 4 300 vagas em relação ao mês anterior, temos que, no
Preço por kWh pago por cada um dos dois consumidores considerados, após a redução de preço:
R$85 R$ 85,56 ≅ 0,46 reais kWh 185kWh
•
Consumidor residencial:
•
Consumidor de baixa renda: R$ 16,73 0,17 reais kWh 100kWh
≅
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Enem 2011
A diferença é dada por R$ 0,46 – R$ 0,17 = R$ 0,29 a cada kWh
76
QUESTÃO 158
Alternativa B Comentário: O aluno deve localizar a informação pedida (gasto mensal após a redução de preços) de um consumidor residencial e de um consumidor de baixa renda que gastaram respectivamente 185kWh e 100 kWh; calcula–se o preço cobrado a cada kWh. Após isso é calculada a diferença (subtração) dos preços por kWh pagos por cada consumidor. Conteúdos envolvidos: Localização de informação em uma tabela e operações básicas.
QUESTÃO 157 A aplicação é de R$500,00 e o tempo de investimento é um mês.
� �
Observe que ABP = 180° 60° = 120°, pois é suplementar a um ângulo de 60 °; APB = 180° 30° 120° = 30°, pois os ângulos internos de um triângulo somam 180°. Logo, temos que o triângulo apresentado é isósceles de base AP, portanto BP = AB = 2 000 000 m.
A menor distância do barco ao ponto fixo P da praia, será alcançada no ponto X da trajetória retilínea ( X AB) tal que PX AB.
∈⃖
⃖ ⊥⃖
•
0,560% 0,560% de de 500 = •
O ∆BPX é retângulo e, através da relação de seno, podemos encontrar a distância procurada.
Rendimento na poupança: 0,560 500 500 = 0,560 ,560 5 = R$ 2, 2,80 100
∙
∙
Rendimento no CDB:
0,876% 0,876% de de 500 =
0,876 ∙ 500 ,876 ∙ 5 = R$ 4, 4,38 100 500 = 0,876
Porém, no CDB, há a incidência de imposto sobre o ganho: 4% de de R$ 4,38 4,38 = 0,1752 R$ 0,18
≅
4 4,38 = 4∙4,38 = 17,5 = 100 ∙ 4,38 100 100
Assim, o rendimento no CDB será de R$ 4,38 – R$ 0,18 = 4,20. Portanto o CDB é mais vantajoso, pois totalizará um montante de R$ 504,20.
Alternativa D Comentário: O montante da poupança, apresentado na alternativa A, está correto, porém este não é o investimento mais vantajoso já que o montante gerado no CDB é maior. Conteúdos envolvidos: Porcentagem, comparação entre números.
θ
sen =
sen 60°
tet pt hpte √ 3 =
�PX ⇒ �PX = sen sen 60 60 ∙ 2000 2000 ⇒ �PX = √ 23 ∙ 2000 ⇒ �PX = 1000 1000√ 3 m
sen 60° =
°
Alternativa B Comentário: A partir dos dados fornecidos pelo exercício não é possível o cálculo direto da informação pedida. Temos inicialmente em vista um triangulo retângulo com um ângulo de 60° e nenhuma informação sobre seus lados; uma medida de lado vem quando observamos o triângulo que compartilha um lado com este. A constatação de que um triângulo com dois ângulos iguais possui dois lados iguais (triângulo isósceles) é uma importante etapa, pois nos faz concluir que a medida de um cateto do triângulo retângulo é 2 000m. Para finalizar a questão, utilizamos trigonometria no triângulo retângulo. Conteúdos envolvidos: Estudo do triângulo, distância de ponto a reta, trigonometria.
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77
⇒ 100 ∙ n + 350 = 120 ∙ n+150
QUESTÃO 159
Probab Probabili ilidad dadee =
fváve píve
Alternativa A
Rafael mora no centro. As outras regiões são: rural, comercial, residencial urbano e residencial suburbano; a temperatura seria adequada para Rafael nas regiões: rural, residencial urbano e residencial suburbano.
Comentário: O exercício poderia questionar em quais intervalos de quantidade de construção a empresa 1, por exemplo, não ofereceria desvantagem com relação ao custo. Nesse caso, seguiríamos resolvendo a inequação 100 n + 350 120 n+150, n+150, encontrando n 10, 10, ou seja, para construções com 10km ou mais, a prefeitura faria um bom negócio ao contratar a primeira pr imeira empresa.
≤ ∙
≥
∙
Observe que as alternativas apresentam expressões que podem ser confundidas por terem uma semelhança visual (são distintas), assim, o aluno deve tomar bastante cuidado para escrever a expressão algébrica e também para assinalar a alternativa correta. Conteúdo envolvido: Expressão algébrica.
QUESTÃO 161 Janeiro: 33 000 passagens; fevereiro: 34 500 passagens; março: 36 000 passagens.
tempet<31 C = 34.
Assim, Probabilidade
°
Alternativa E Comentário: O aluno deve inicialmente localizar no gráfico quais são as áreas adequadas, ou seja, as áreas com temperatura inferior a 31 °. Outra parte que requer atenção é o fato de o exercício pedir a probabilidade de a temperatura ser adequada “escolhendo, aleatoriamente, uma outra região para morar”; isto quer dizer que a região central não é um caso possível, logo, temos 4 casos possíveis e não 5 – por este motivo a alternativa D é incorreta.
Percebemos um padrão de aumento de 1 500 passagens por mês. Mantendo este padrão nos meses subsequentes, teremos para julho a quantidade de vendas de março, acrescida dos aumentos dos meses de abril, maio, junho e julho, ou seja, o montante de março acrescido dos aumentos em quatro meses: 36 000 000 + 4 . 1 500 500 = 36 000 + 6 000 000 = 42 000 passagens passagens
Alternativa D
QUESTÃO 160
Comentário: O aluno deve perceber que o incremento se dá através da soma de 1500 passagens ao mês. Casso fosse pedida a quantidade de vendas após um longo período, mantendo–se o aumento, poderíamos utilizar a expressão do termo geral da PA (progressão aritmética).
Seja n a quantidade, em quilômetros, de rodovia construída.
Conteúdo envolvido: Sequência.
Conteúdos envolvidos: Probabilidade, leitura de gráfico e comparação entre números.
•
•
100 000 000 ∙ n + empe 1 = 100
Primeira empresa: Custo 350 000
120 000 000 ∙ n + empe = 120
QUESTÃO 162 Seja x a quantia inicial aplicada, temos que
Segunda empresa: Custo 150 000
•
Seria indiferente para a prefeitura, do ponto de vista econômico, se os custos das duas empresas fossem iguais:
∙
•
∙
100 000 n + 350 000 000 = 120 120 000 000 n + 150 150 000 000 Neste ponto, necessitamos observar as alternativas para transformar nossa expressão de modo a encontrar a resposta a ser assinalada. Note que as alternativas apresentam os valores 100, 350, 120 e 150 – simplificação de nossa expressão dividindo–a por 1000.
⇒ 1000( 1000(100 ∙ n+350) n+350) = 1000(1 1000(120 20 ∙ n+150)
•
•
Investiu x
⇒Depois 30%de deumx mês perdeu 30% do investimento No segundo mês recuperou 20% do que havia perdido ⇒ + 20% de (30% de x) O montante resgatado foi de R$ 3 800,00
Assim, x
30 20 30 100 ∙ x + 100 100 ∙ x = 3800 3800
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Enem 2011
30x 6x ⇒ x 100 + = 380 3800 100 ⇒ 100x−30x+6x 3800 100 = 380 76x ⇒ 100 = 3800 3800 ⇒ 76x = 3800 ∙ 100 ⇒ 76x 76x = 380 380 000 000 380 000 ⇒ x = 5 000 ⇒ x = 380000 76
representado por 1 000 000 e um mil é representado por 1000. Conteúdos envolvidos: Classes de números e divisão.
QUESTÃO 165
Alternativa C Comentário: Um detalhe importante é não perder de vista que os 20% recuperados no segundo mês são referentes apenas ao que foi perdido e não ao total inicial. Caso o aluno cometesse este erro, encontraria a expressão:
30% 30% de de x + 20% 20% de de x = 3800 3800 ⇒ x 10% de 90 ∙ x = 3800 x = 3800 ⇒ 90% 90% de de x = 3800 3800 ⇒ 100 ⇒ x = 3800 ∙ 10090 ⇒ x ≅ 4222,22, 4222,22, valor apresentado na X
alternativa A. Conteúdos algébricas.
envolvidos:
Porcentagem
e
expressões
QUESTÃO 163 Se uma pessoa tomar dois banhos de 10 minutos por dia durante sete dias, terá utilizado o chuveiro durante 2 10minutos 7 = 140 140 minu minuto toss na semana.
∙
∙
Se o chuveiro consome 4,8kW a cada hora, temos que:
⇒ 60 ∙ x = 4 , 8 ∙ 140 ⇒ 60x = 672 ⇒ x = 672 ⇒ x = 11,2kW 60
4,8 kW x
78
60 minutos 140 minutos
Probab Probabili ilidad dadee =
Os casos favoráveis, ou seja, as conexões de acima de 1 Mbps são: 1 Mbps a 2 Mbps, 2 Mbps a 4 Mbps, 4 Mbps a 8 Mbps e acima de 8 Mbps. Probab Probabili ilidad dadee =
Conteúdo envolvido: Problema envolvendo operações básicas/regra de três simples. simples.
QUESTÃO 164
úme dehbtte de hbtte = 0mlhõe 0 mlhõededehbtte hbtte 0000 0 000000 000 = = 800000 áe 800ml 800 mlkm km 800 000 00 = 25 habitantes/ habitantes/km² km² 8
Alternativa D Comentário: O exercício questiona sobre a probabilidade de a banda larga de conexão ser de pelo menos 1Mbps, isto é, qual é a probabilidade de tal conexão ser maior do que ou igual a 1 Mbps – observe que conexões entre 2 e 8 Mbps satisfazem esta condição. O aluno que considerasse apenas as conexões entre 1 e 2 Mbps assinalaria 0,15, alternativa E. Conteúdos envolvidos: Probabilidade.
QUESTÃO 166
Probab Probabili ilidad dadee =
fváve píve píve
ptd dedeç de deçô ô
Probabilidade
crônicos
nº de doentes atendidos nº total de pessoas atendidas 22 22 = = 4 2 + 2 2 + 5 6 + 3 0 + 5 0 200 11 = = 11% 100 =
Alternativa C Comentário: A questão envolve apenas cálculo de probabilidade. Conteúdos envolvidos: Probabilidade.
QUESTÃO 167 •
Arthur escolheu o número 12. As possibilidades de soma, cujo valor é: 1+11, 2+10, 3+9, 4+8 e 5+7. Assim, são cinco possibilidades de pares de bolas.
•
Bernardo escolheu o número 17. As possibilidades de soma, cujo valor é: 2+15, 3+14, 4+13, 5+12, 6+11, 7+10, 8+9. Assim, são sete possibilidades de pares de bolas.
Alternativa B Comentário: Observe que todas as alternativas apresentam 25 multiplicado por alguma potência de 10. Para não errar esta questão, o aluno deve lembrar que um milhão é
1 5 + 5 + 1 + 1 22 = = 22% = 0,22 100 100
Portanto há probabilidade de haver banda larga de, no mínimo, 1 Mbps é de 0,22.
Alternativa D Comentário: Caso o aluno não se atentasse ao fato de serem considerados dois banhos diários, encontraria o consumo semanal de 5,6 kW, valor apresentado na alternativa C. Caso o erro fosse não considerar que o consumo pedido é semanal, o valor encontrado seria 1,6 kW, logo, alternativa B. Caso os dois fatos acima mencionados fossem desconsiderados, o aluno encontraria 0,8 kW, alternativa A.
fváve píve píve
infoEnem •
Enem 2011
Caio escolheu o número 22. As possibilidades de soma, cujo valor é: 7+15, 8+14, 9+13 e 10+12. Assim, são quatro possibilidades de pares de bolas.
Alternativa B Comentário: Para resolver este problema, o aluno deve identificar quantos são os casos favoráveis, ou seja, contar os pares de bolas cuja soma é um determinado valor. A etapa anterior é identificar quais são esses pares. Note que: se Arthur atingisse a bola 6, não conseguiria formar soma 12, pois a bola é única; se Arthur acertasse a bola 13, por exemplo, não conseguiria formar soma 12, pois não há bolas disponíveis com números negativos; se Bernardo, por exemplo, atingisse a bola 1, não conseguiria formar a soma 17, pois a bola de maior valor disponível é 15 e 1+15=16. Conteúdo envolvido: Probabilidade.
79
QUESTÃO 169
pe lt
De acordo com a expressão IMC = fornecida no texto, as informações contidas na tabela de perfil dos dois corredores e categorias apresentadas para cada faixa de , , índice de IMC, temos que IMC = , = ,
Díl 196884 39653444 ≅ 84 84 29,07. Logo, Duílio e IMCSd = 1,70 = ,89 ≅ 29,07.
27,28 e Sandra estão na categoria sobrepeso.
Alternativa B Comentário: Esta questão necessita do cálculo correto dos índices de massa corporal de cada atleta, pois o fato de ambos estarem com peso acima do ideal (dados apresentados na tabela) não indica em qual categoria cada um está. Observe ainda que as categorias englobam uma faixa de peso para cada pessoa, em especial há uma faixa de peso considerada normal.
QUESTÃO 168
Conteúdos envolvidos: Substituição de valores em uma expressão, operações básicas e intervalos numéricos.
O volume (V) do copo de formato cilíndrico é dado por:
QUESTÃO 170 O corredor da raia mais interna estaria sendo beneficiado, pois o trajeto de uma volta é dado por ( R) = 169,8 9,8 + R e, com um raio 2 84,9 + 2 menor, o trajeto é menor.
∙
10 cm
∙ 1 ∙ 2π
2π
Como as raias são numeradas do centro para as extremidades, o corredor beneficiado será o da raia 1.
4 cm
4 V = π ∙ r ∙ h = π ∙ ∙ 10 = π ∙ 2 ∙ 10 ≅ 40 ∙ 3 cm3 ⇒ V2 = 120 cm3 Como 1 cm3 = 1 mL, então 120 cm3 = 120 120 mL mL. Desconsiderando o fato de que o açúcar se dissolverá na água, ou seja, os seus volumes não irão se misturar, de acordo com a proporção dada, teremos: 1 do volume de 6
açúcar para 56 do volume de água.
Logo, o volume de água a ser utilizado será de: 5 5 V = 120 = 5 20 = 100 mL mL 6 6
⋅
⋅
⋅
Alternativa A Comentário: O aluno não precisa utilizar os dados numéricos da questão para resolvê-la, assim não haverá investimento desnecessário de tempo. A expressão para cálculo de comprimento da circunferência é apresentada apenas para confirmar algo que é visual.
Alternativa C Conteúdos envolvidos: Comprimento da circunferência. Comentário: Um detalhe importante é que, apesar de na realidade o açúcar se diluir na água, o que implicaria no uso de 120 mL de água, devemos imaginar que o seus volumes irão se somar para compor a solução água/açúcar e assim chegar à resposta esperada. Conteúdos envolvidos: Volume de um cilindro.
QUESTÃO 171 A proporção do acréscimo no número de internações será de = , ou seja, aumento de 1 a cada 4 mulheres.
8 ml 1 3ml 3 ml 4
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a mesma proporção de acréscimo para os homens, 1Mantendo 4, teremos um total de: 28 +
1 28 2 8 = 2 8 + = 28 + 7 = 35 mi mil ho homens 4 4
∙
Alternativa D Comentário: O exercício supõe que há acréscimo no número de internações de mulheres, nos cinco anos seguintes, e pede o número total de internações de homens, supondo mesma proporção de acréscimo. Perceba que os valores apresentados nas alternativas A, B, C são incompatíveis, pois de antemão sabemos que a resposta será um número maior do que 28. Conteúdos envolvidos: Proporção.
Alternativa A Comentário: A informação sobre a temperatura do sol é apresentada no texto do enunciado (6000 K); note que, os dados da tabela consideram o Sol como a unidade e a classe espectral G2 possui temperatura 5770K, luminosidade 1, massa 1, raio 1 – classe espectral do Sol; como pudemos utilizar aproximação, a temperatura considerada foi 6000 K. Conteúdos envolvidos: Resolução de problema, leitura de dados em uma tabela.
QUESTÃO 174 Os dígitos ímpares são: 1, 3, 5, 7, 9. Note que são 5 dígitos ímpares. Com esses dígitos, são escritos números com cinco algarismos distintos. •
QUESTÃO 172 25% de 279 internaut internautas as =
80
5 1 1∙79 100 ∙ 279 = 4 ∙ 279 = 4 =
79 = 69,7 4 69,755 ≅ 70 internautas
∙∙ ∙
•
Alternativa C Comentário: Como as alternativas apresentam intervalos, poderíamos resolver esta questão utilizando cálculo mental e aproximações a fim de não investir tempo desnecessariamente. O cálculo desejado é 25% de 279; calcular 10% de um número é dividi-lo por 10 (“andar a vírgula uma casa para a esquerda”), ou seja, 10% de 279 é 27,9; 20% é o dobro de 10%, e 5% é metade de 10%; assim, 25% de 279 é o dobro de 27,9 (número maior do que 50 e menor do que 60) somado à metade de 27,9 (número pouco menor do que 15); certamente o resultado está entre 50 e 75.
•
•
Números iniciados por 73: Fixamos os números 7 e 3 na dezena de milhar e unidade de milhar respectivamente e, utilizando o princípio da contagem, temos que são 3 2 1 = 6 números.
∙ ∙
•
Na tabela apresentada, a temperatura mais próxima de 30 000 K é 28 000 K – temperatura de uma estrela com luminosidade da ordem de 2 10 = 20 000 000 vezes a luminosidade do Sol (tomado como unidade na tabela).
∙
Números iniciados por 71: Fixamos os números 7 e 1 na dezena de milhar e unidade de milhar respectivamente e, utilizando o princípio da contagem, temos que são 3 2 1 = 6 números.
∙ ∙
Segundo o enunciado, o Sol possui temperatura em torno de 6 000 K.
∙
Números iniciados por 5: Fixamos o número 5 na dezena de milhar e, utilizando o princípio da contagem, temos que são 4 3 2 1 = 2 4 números.
∙∙ ∙
•
Assim, uma estrela que tem temperatura cinco vezes maior do que a do Sol terá temperatura: 5 6 000 000 K = 30 000 000 K. K.
Números iniciados por 3: Fixamos o número 3 na dezena de milhar e, utilizando o princípio da contagem, temos que são 4 3 2 1 = 2 4 números.
∙∙ ∙
Conteúdos envolvidos: Cálculo de porcentagem.
QUESTÃO 173
Números iniciados por 1: Fixamos o número 1 na dezena de milhar e, utilizando o princípio da contagem, temos que são 4 3 2 1 = 2 4 números.
Números iniciados por 751: Fixamos os números 751 na dezena de milhar, unidade de milhar e centena respectivamente e, utilizando o princípio da contagem, temos que são 2 1 = 2 números.
∙
4
•
Números iniciados por 753: Fixamos os números 753 na dezena de milhar, unidade de milhar e centena respectivamente e, utilizando o princípio da contagem, temos que são 2 1 = 2 números.
∙
•
O número seguinte é 75913, o qual queremos saber qual posição ocupa.
Logo, são 2 4 + 2 4 + 2 4 + 6 + 6 + 2 + 2 = 8 8 números antes do número 75913. Portanto este ocupa a 89ª posição.
Alternativa E
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Comentário: Para resolução deste tipo de exercício, deve–se ter em mente o princípio de ordenação e utilizar o princípio da contagem a fim de determinar quantos números estão, em sequência, antes do número desejado. Conteúdos envolvidos: Princípio da contagem.
QUESTÃO 175
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QUESTÃO 176 Segundo o gráfico apresentado na questão, o período de queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro se deu no período entre 2003 e 2006. Esta informação é extraída através de leitura direta do gráfico: em 2006 a participação era de 28,28%, caiu para 27,79% em 2004, 25,83% em 2005, chegando a 23,92% em 2006 – depois deste período, a participação volta a aumentar.
Todos os pontos de saída de ar devem ser revisados; inicia– se a revisão pelo ponto K e finaliza–se no ponto F; sem passar mais de uma vez no no mesmo ponto. Observe que a única possibilidade de passar por L, dadas as condições do problema, é indo de K para L (pois se o caminho feito fosse de G para L, consequentemente passaríamos novamente pelo ponto K – partida). partida).
Alternativa C Comentário: Este problema pode ser resolvido visualmente através do gráfico, assim, os dados contidos nele não são relevantes. Observe, por curiosidade, que entre 1998 e 2001 há crescimento do agronegócio e a taxa deste crescimento se mantém praticamente constante; no período entre 2001 e 2003 a taxa de crescimento fica maior.
De L, a única possibilidade é ir para G. De G, não podemos seguir para F, pois faltam pontos a serem vistoriados, logo segue–se para I. De I, não podemos seguir para F, pois faltaria vistoriar os pontos H e J; se for para H, deverá passar posteriormente por J, porém este caminho não satisfará a condição de não passar mais de uma vez pelo mesmo ponto, pois de J não poderá passar pela segunda vez por H, I, ou K; assim, de I deve ir direto para J. De J, seguirá para H. De H, finalizará o trajeto em F.
→ → → → →H→F
Portanto K L G I J satisfaz as condições dadas.
é o trajeto que
Alternativa C Comentário: A imagem apresentada é conhecida como grafo e é o objeto básico da teoria dos grafos. Esta teoria não é estudada no ensino médio, porém este exercício é resolvido através de raciocínio lógico. O ponto chave deste problema é notar que a única possibilidade de passar por L, é indo de K para L, já que se o caminho feito fosse de G para L, consequentemente passaríamos novamente pelo ponto K que é o ponto de partida. Conteúdos envolvidos: Resolução de problema.
Conteúdos envolvidos: Leitura e interpretação de gráfico.
QUESTÃO 177 Resistência da viga (S) – diretamente proporcional à largura (b); ×b
⇒ – diretamente proporcional ao quadrado da altura (d); ⇒ × d – constante de proporcionalidade que varia varia de acordo com o material utilizado da construção (k). ×k
⇒
Assim, temos que a representação algébrica da resistência da viga é dada por: S = kbd
Alternativa C Comentário: A construção da expressão algébrica é feita diretamente através da leitura do texto como se fosse uma tradução da língua portuguesa para a linguagem matemática (álgebra). Conteúdo envolvido: Expressão algébrica.
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valor mínimo para que não se tenha prejuízo. Isto foi feito na proposta de resolução através de uma inequação.
QUESTÃO 178 A fim de comparar os três investimentos no período de um ano, devemos encontrar os rendimentos equivalentes relativos a este período.
Conteúdos envolvidos: Manipulação de expressão algébrica, zero da função.
QUESTÃO 180
Investimento A: 3% ao mês
•
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1 ano = 12 meses;
•
Plano K: R$ 29,90 por 200 minutos, e R$0,20 por minuto excedente. O gráfico do plano k é dado pela seguinte função:
•
Plano Z: R$ 49,90 por 300 minutos, e R$0,10 por minuto excedente. O gráfico do plano z é dado pela seguinte função:
1 1 = 1,031 1 =
Rendimento = (1 + 0,03) 1,426 1 = 0,426
1 mee
(utilizando a aproximação fornecida na tabela)
⇒ Rendimento1mee 42,6% % 1 mee = 42,6 Investimento B: 36% ao ano
•
1 = 36%
Rendimento
Investimento C: 18% ao semestre
•
1 ano = 2 semestres;
1 = 1,18 1 =
Rendimento = (1 + 0,18) 1,3924 1 = 0,3924
emete
⇒ Rendimento emete = 39,2 39,24% 4% Portanto o investimento mais rentável é o A.
Alternativa C
Observe que a inclinação da reta, da parte não constante, do gráfico do plano K é maior do que a inclinação da reta, da parte não constante, do gráfico do plano Z – cresce mais rapidamente, pois o custo é de R$0,20 por minuto enquanto o custo no plano Z é de R$0,10 por minuto. Assim, esboçamos o seguinte gráfico:
Comentário: Caso o aluno considerasse o rendimento da aplicação sendo juros simples, assinalaria a alternativa A. Note que, após decorrido um período, haverá a incidência do rendimento e, para o próximo período, o montante considerado já inclui o rendimento do primeiro período – por este motivo consideramos juros compostos. Caso o aluno não se atentasse ao fato de que cada investimento tem como referência um período diferente (mês, semestre ou ano), escolheria a alternativa D. Conteúdo envolvido: Juros compostos.
QUESTÃO 179 (q) = Fatu Fatura rame mento ntoTtl (q) CustoTtl (q) Ttl(q) LucroTtl (q) = (5 ∙ q) (2 ∙ q + 1 2) 2) = 5q 2q 12 = Lucro 3q
12
Para não ter prejuízo, devemos calcular o número de peças vendidas que torna o lucro maior ou igual a zero. Assim, 3q 12 0 3q 12 q q 4. Portanto, se forem vendidas 4 peças não haverá prejuízo.
≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ 13 ⇒ ≥
Alternativa D Comentário: Uma importante observação que o aluno deve fazer é em igualar o lucro a zero e assim descobrir qual é o
Alternativa D Comentário: Um detalhe que pode confundir o aluno é que as duas informações combinadas devem ser levadas em conta (quantidade de minutos fixos por mês e os minutos extras de um plano serem mais caros do que os do outro). Desta forma o aluno não terá dúvida em excluir as alternativas B ou E, que estão erradas. Conteúdos envolvidos: Gráfico de função constante e gráfico de função afim.
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Enem 2012 - MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Questão 138
Questões de 136 a 180
Em um jogo há duas urnas com 10 bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna.
Questão 136 O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincandeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. b) 20 alunos a mais do que possíveis possíveis respostas distintas.
Uma jogada consiste em: 1º) o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2; 2º) ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão; 3º) em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2; 4º) se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo.
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar?
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
a) Azul.
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
b) Amarela.
Questão 137
c) Branca.
Um biólogo mediu a altura de cinco árvores distintas e representou-as em uma mesma malha quadriculada, utilizando escalas diferentes, conforme indicações na figura a seguir.
d) Verde.
Qual é a árvore que apresenta a maior altura real? a) I b) II c) III d) IV e) V
e) Vermelha.
Questão 139. Os hidrômeros são marcadores de consumo de água em residências e estabelecimentos comerciais. Existem vários modelos de mostradores de hidrômetros, sendo que alguns deles possuem uma combinação de um mostradore dois relógios de ponteiro. O número formado pelos quatro primeiros algarismos do mostrador fornece o consumo em m3, e os dois últimos algarismos representam, respectivamente, as centenas e dezenas de litros de água consumidos. Um dos relógios de ponteiros indica a quantidade em litros, e o outro em décimos de litros, conforme ilustrados na figura a seguir.
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Questão141 Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas.
Considerando as informações indicadas na figura, o consumo total de água registrado nesse hidrômetro, em litros, é igual a a) 3 534,85. b) 3 544,20. c) 3 534 850,00. d) 3 534 859,35. e) 3 534 850,39.
Questão140 O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público o gráfico mostrado a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) de certo medicamento ao longo do ano de 2011.
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações? a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide. b) Cone, prisma de base pentagonal pentagonal e pirâmide. c) Cone, tronco de pirâmide e prisma. d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. e) Cilindro, prisma e tronco de cone.
Questão 142 Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte é a) 21. b) 24.
De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor venda absolutas em 2011 foram
c) 26.
a) março e abril.
e) 31.
b) março e agosto.
Questão 143
c) agosto e setembro.
O gráfico mostra a variação da extensão média de gelo marítimo, em milhões de quilômetros quadrados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. Os dados correspondem aos meses de junho a setembro. O Ártico começa a recobrar o gelo quando termina o verão, em meados de setembro. O gelo do mar atua como o sistema de resfriamento da Terra, refletindo quase toda a luz solar de volta ao espaço. Águas de oceanos escuros, por sua vez,
d) junho e setembro. e) junho e agosto.
d) 28.
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absorvem a luz solar e reforçam o aquecimento do Ártico, ocasionando derretimento crescente do gelo.
Com base no gráfico e nas informações do texto, é possível inferir que houve maior aquecimento global em a) 1995. b) 1998. c) 2000. d) 2005. e) 2007.
Questão 144 Uma pesquisa realizada por estudantes da Faculdade de Estatística mostra, em horas por dia, como os jovens entre 12 e 18 anos gastam seu tempo, tanto durante a semana (de segunda-feira a sexta-feira), como no fim de semana (sábado e domingo). A seguinte tabela ilustra os resultados da pesquisa.
De acordo com esta pesquisa, quantas horas de seu tempo gasta um jovem entre 12 e 18 anos, na semana inteira (de segunda-feira a domingo), nas atividades escolares? a) 20 b) 21 c) 24 d) 25 e) 27
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Questão 145 Certo vendedor tem seu salário mensal calculado da seguinte maneira: ele ganha um valor fixo de R$ 750,00, mais uma comissão de R$ 3,00 para cada produto vendido. Caso ele venda mais de 100 produtos, sua comissão passa a ser de R$ 9,00 para cada produto vendido, a partir do 101 o produto vendido. Com essas informações, o gráfico que melhor representa a relação entre salário e o número de produtos vendidos é
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O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2 400 cm 3? a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura. b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar ficar com 21 cm de altura. c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm c m de altura. d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar. e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar.
Questão 148
Questão 146 Um maquinista de trem ganha R$ 100,00 por viagem e só pode viajar a cada 4 dias. Ele ganha somente se fizer a viagem e sabe que estará de férias de 1º a 10 de junho, quando não poderá viajar. Sua primeira viagem ocorreu no dia primeiro de janeiro. Considere que o ano tem 365 dias. Se o maquinista quiser ganhar o máximo possível, quantas viagens precisará fazer?
Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores: modelo A, que consome 600 g/h (gramas por hora) de gás propano e cobre 35 m2 de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de gás propano e cobre 45 m 2 de área. O fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes representados por três retângulos e um trapézio).
a) 37 b) 51 c) 88 d) 89 e) 91
Questão 147 Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura.
Avaliando-se todas as informações, serão necessários a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B. b) três unidades do tipo A e uma unidade unidade do tipo B. c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B. d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B. e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B.
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Questão 149 Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir.
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• Opção 5: pagar a prazo, dali a um ano, o valor de R$ 60 000,00. Arthur tem o dinheiro para pagar à vista, mas avalia se não seria melhor aplicar o dinheiro do valor à vista (ou até um valor menor), em um investimento, com rentabilidade de 10% ao semestre, resgatando os valores à medida que as prestações da opção escolhida escolhida fossem vencendo. Após avaliar a situação do ponto financeiro e das condições apresentadas, Arthur concluiu que era mais vantajoso financeiramente escolher a opção a) 1. b) 2. c) 3. d) 4.
Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m 2, e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB),que custa R$ 50,00 o m2. De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral?
e) 5.
Questão 151 Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).
a) R$ 22,50 b) R$ 35,00 c) R$ 40,00 d) R$ 42,50 e) R$ 45,00
Questão 150 Arthur deseja comprar um terreno de Cléber, que lhe oferece as seguintes possibilidades de pagamento: • Opção 1: Pagar à vista, por R$ 55 000,00; • Opção 2: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 30 000,00, e mais uma prestação de R$ 26 000,00 para dali a 6 meses. • Opção 3: Pagar a prazo, dando uma entada de R$ 20 000,00, mais uma prestação de R$ 20 000,00, para dali a 6 meses e outra de R$ 18 000,00 para dali a 12 meses da data da compra. • Opção 4: Pagar a prazo dando uma entrada de R$ 15 000,00 e o restante em 1 ano da data da compra, pagando R$ 39 000,00.
Nessas condições, condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por: a) 2xy b) 15 – 3x c) 15 – 5y d) –5y – 3x e) 5y + 3x – xy
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Questão 152 A capacidade mínima, em BTU/h, de um aparelho de arcondicionado, para ambientes sem exposição ao sol, pode p ode ser determinada da seguinte forma: • 600 BTU/h por m2, considerando-se até duas pessoas no ambiente; • para cada pessoa adicional nesse ambiente, acrescentar 600 BTU/h; • acrescentar mais 600 BTU/h para cada equipamento eletrônico em funcionamento no ambiente. Será instalado um aparelho de ar-condicionado em uma sala sem exposição ao sol, de dimensões 4 m x 5 m, em que permaneçam quatro pessoas e possua possua um aparelho detelevisão em funcionamento.
Questão 154 João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever um deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno deveria desenhar a projeção desse deslocamento no plano da base da pirâmide.
A capacidade mínima, em BTU/h, desse aparelho de de arcondicionado deve ser a) 12 000. b) 12 600. c) 13 200. d) 13 800. e) 15 000.
Questão 153 A resistência mecânica S do uma viga de madeira, em forma de um paralelepípedo retângulo, é diretamente proprocional à largura (b) e ao quadrado de sua altura (d) e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os suportes da viga, que coincide com o seu comprimento (x), conforme ilustra a figura. A constante de proporcionalidade k é chamada de resistência da viga.
O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre em linha reta, do ponto A ao ponto E, a seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C. O desenho que Bruno deve fazer é
Questão 155 As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as quantidades que
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vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam, respectivamente, representadas pelas equações:
pelo atendente e anotou o número 1 3 9 8 2 0 7, sendo que o espaço vazio é o do algarismo que João não entendeu.
Q O = – 20 + 4P
a) centena.
Q D = 46 – 2P
b) dezena de milhar.
em que Q O é quantidade de oferta, Q D é a quantidade de demanda e P é o preço do produto. A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja, quando Q O e Q D se igualam.
c) centena de milhar.
Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio? a) 5 b) 11
De acordo com essas informações, a posição ocupada pelo algarismo que falta no número de protocolo é a de
d) milhão. e) centena de milhão.
Questão 158 O gráfico fornece os valores das ações da empresa XPN, no período das 10 às 17 horas, num dia em que elas oscilaram acentuadamente em curtos intervalos de tempo.
c) 13 d) 23 e) 33
Questão 156 Nos shopping centers costumam existir parques com vários brinquedos e jogos. Os usuários colocam créditos em um cartão, que são descontados por cada período de tempo de uso dos jogos. Dependendo da pontuação da criança no jogo, ela recebe um certo número de tíquetes para trocar por produtos nas lojas dos parques. Suponha que o período de uso de um briquedo em certo shopping custa R$ 3,00 e que uma bicicleta custa 9 200 tíquetes.
Neste dia, cinco investidores compraram compraram e venderam o mesmo volume de ações, porém em horários diferentes, de acordo com a seguinte tabela.
Para uma criança que recebe 20 tíquetes por período de tempo que joga, o valor, em reais, gasto com créditos para obter a quantidade de tíquetes para trocar pela bicicleta é a) 153. b) 460. c) 1 218. d) 1 380. e) 3 066.
Questão 157 João decidiu contratar os serviços de uma empresa por telefone através do SAC (Serviço de Atendimento ao Consumidor). O atendente ditou para João o número de protocolo de atendimento da ligação e pediu que ele anotas se. Entretanto, João não entendeu um dos algarismos ditados
Com relação ao capital adquirido na compra e venda das ações, qual investidor fez o melhor negócio? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
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Questão 159
Questão 161
A figura a seguir apresenta dois gráficos com informações sobre as reclamações diárias recebidas e resolvidas pelo Setor de Atendimento ao Cliente (SAC) de uma empresa, em uma dada semana. O gráfico de linha tracejada informa infor ma o número de reclamações recebidas no dia, o de linha contínua é o número de reclamações resolvidas no dia. As reclamações podem ser resolvidas no mesmo dia ou demorarem mais de um dia para serem resolvidas.
O esporte de alta competição da atualidade produziu uma questão ainda sem resposta: Qual é o limite do corpo humano? O maratonista original, o grego da lenda, morreu de fadiga por ter corrido 42 quilômetros. O americano Dean Karnazes, cruzando sozinho as planícies da Califórnia, conseguiu correr dez vezes mais em 75horas. Um professor de Educação Física, ao discutir com a turma o texto sobre a capacidade do maratonista americano, desenhou na lousa uma pista reta de 60 centímetros, que representaria o percurso referido Disponível em: http://veja.abril.com.br.Acesso em 25 jun. 2011 (adaptado) Se o percursso de Dean Karnazes fosse também em uma pista reta, qual seria a escala entre a pista feita pelo professor e a percorrida pelo atleta?
O gerente de atendimento deseja identificar os dias da semana em que o nível de eficiência pode ser considerado muito bom, ou seja, os dias em que o número de reclamações resolvidas excede o número de reclamações recebidas. Disponível em: http://bibliotecaunix.org. http://bibliotecaunix.org. Acesso em: 21 jan. 2012 (adaptado).
O gerente de atendimento pôde concluir, baseado no conceito de eficiência utilizado na empresa e nas informações do gráfico, que o nível de eficiência foi muito bom na
a) 1:700 b) 1:7 000 c) 1:70 000 d) 1:700 000 e) 1:7 000 000
Questão 162 O losango representado na Figura 1 foi formado pela união dos centros das quatros cirunferências tangentes, de raios de mesma medida.
a) segunda e na terça-feira. b) terça e na quarta-feira. c) terça e na quinta-feira. d) quinta-feira, no sábado e no domingo. e) segunda, na quinta e na sexta-feira.
Questão 160 Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas. Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de a) 12 kg.
d) 36 kg.
b) 16 kg.
e) 75 kg.
c) 24 kg.
Dobrando-se o raio de duas das circunferências centradas em vértices opostos do losango e ainda mantendo-se a configuração das tangências, obtém-se uma situação conforme ilustrada pela Figura 2.
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O perímetro do losango da Figura 2, quando comparado ao perímetro do losango da Figura 1, teve um aumento aumento de a) 300%. b) 200%. c) 150%.
O administrador do blog irá sortear um livro entre os visitantes que opinaram na postagem “Contos de Halloween”.
e) 50%.
Sabendo que nenhum visitante votou mais de uma vez, a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso entre as que opinaram ter assinalado que o conto “Contos de Halloween” é “Chato” é mais aproximada por
QUESTÃO 163
a) 0,09.
José, Carlos e Paulo devem transportar em suas bicicletas uma certa quantidade de laranjas. Decidiram dividir o trajeto a ser percorrido em duas partes, sendo que ao final da primeira parte eles redistribuiriam a quantidade de laranjas que cada um carregava dependendo do cansaço de cada um. Na primeira parte p arte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proproção 6 : 5 : 4, respectivamente. Na segunda parte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 4 : 4 : 2, respectivamente.
b) 0,12.
d) 100%.
Sabendo-se que um deles levou 50 laranjas a mais no segundo trajeto, qual a quantidade de laranjas que José, Carlos e Paulo, nessa ordem, transportaram na segunda parte do trajeto? a) 600, 550, 350 b) 300, 300, 150 c) 300, 250, 200 d) 200, 200, 100 e) 100, 100, 50
Questão 164 Em um blog de variedades, músicas, mantras e informações diversas, foram postados “Contos de Halloween”. Após a leitura, os visitantes poderiam opinar, assinalando suas reações em “Divertido”, “Assustador” ou “Chato”. Ao final de uma semana, o blog registrou que 500 visitantes distintos acessaram esta postagem. O gráfico a seguir apresenta o resultado da enquente.
c) 0,14. d) 015. e) 0,18.
Questão 165 Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos da medida L do lado da base da estátua. Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida?
a) R ≥ L / √2 b) R ≥ 2L / π c) R ≥ L / √π d) R ≥ L/2 e) R ≥ L / (2 √2 )
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Questão 166
Questão 167
O globo da morte é uma atração muito usada em circos. Ele consiste em uma espécie de jaula em forma de uma superfície esférica feita de aço, onde motoqueiros andam com suas motos por dentro. A seguir, tem-se, na Figura 1, uma foto de um globo da morte e, na Figura 2, uma esfera que ilustra um globo da morte.
Num projeto da parte elétrica de um edifício residencial a ser construído, consta que as tomadas deverão ser colocadas a 0,20 m acima do piso, enquanto os interruptores de luz deverão ser colocados a 1,47 m acima do piso. Um cadeirante, potencial comprador de um apartamento desse edifício, ao ver tais medidas, alerta para o fato de que elas não contemplarão suas necessidades. Os referenciais de alturas (em metros) para atividades que não exigem o uso de força são mostrados na figura seguinte.
Na Figura 2, o ponto A está no plano do chão onde está colocado o globo da morte e o segmento AB passa pelo centro da esfera e é perpendicular ao plano do chão.Suponha que há um foco de luz direcionado para o chão colocado no ponto B e que um motoqueiro faça um trajeto dentro da esfera, percorrendo uma circunferência que passa pelos pontos A e B.
Uma proposta substitutiva, relativa às alturas de tomadas e interruptores, respectivamente, que atenderá àquele potencial comprador é a) 0,20 m e 1,45 m.
Disponível em: www.baixaki.com.br. Acesso em: 29 fev. 2012.
A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano do chão é melhor representada por
b) 0,20 m e 1,40 m. c) 0,25 m e 1,35 m. d) 0,25 m e 1,30 m. e) 0,45 m e 1,20 m.
Questão 168 A Agência Espacial Norte Americana (NASA) informou que o asteroide YU 55 cruzou o espaço entre a Terra e a Lua no mês de novembro de 2011. A ilustração a seguir sugere que o asteroide percorreu sua trajetória no mesmo plano que contém a órbita descrita pela Lua em torno da Terra. Na figura, está indicada a proximidade do asteroide em relação à Terra, ou seja, a menor distância que ele passou da superfície terrestre.
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Um investidor deseja comprar duas das d as empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a média da receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as duas empresas de maior média anual. As empresas que este investidor escolhe comprar são a) Balas W e Pizzaria Y.
Com base nessas informações, a menor distância que o asteroide YU 55 passou da superfície da Terra é igual a
b) Chocolates X e Tecelagem Z.
a) 3,25 × 10² km.
c) Pizzaria Y e Alfinetes V.
b) 3,25 × 10³ km.
d) Pizzaria Y e Chocolates X.
c) 3,25 × 104 km.
e) Tecelagem Z e Alfinetes V.
d) 3,25 × 105 km.
Questão 171
e) 3,25 × 106 km.
Questão 169
Um laboratório realiza exames em que é possível observar a taxa de glicose de uma pessoa. Os resultados são analisados de acordo com o quadro a seguir.
Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos e utensílios como, por exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 15 litros utilizados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Qual será a economia diária de água obtida por meio dasubstituição de uma bacia sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica? a) 24 litros b) 36 litros c) 40 litros d) 42 litros e) 50 litros
Questão 170 A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos anos de cinco microempresas (ME) que se encontram à venda.
Um paciente fez um exame de glicose nesse laboratório e comprovou que estavam com hiperglicemia. Sua taxa de glicose era de 300 mg/dL. Seu médico prescreveu um tratamento em duas etapas. Na primeira etapa ele conseguiu reduzir sua taxa em 30% e na segunda etapa em 10%. Ao calcular sua taxa de glicose após as duas reduções, o paciente verificou que estava na categoria categoria de a) hipoglicemia. b) normal. c) pré-diabetes. d) diabetes melito e) hiperglicemia.
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Questão172 Um produtor de café irrigado em Minas Gerais recebeu um relatório de consultoria estatística, constando, entre outras informações, o desvio padrão das produções de uma safra dos talhões de suas propriedades. Os talhões têm a mesma área de 30 000 m 2 e o valor obtido para o desvio padrão foi de 90 kg/talhão. O produtor deve apresentar as informações sobre a produção e a variância dessas produções em sacas de 60 kg por hectare (10 000 m 2). A variância das produções dos talhões expressa em (sacas/hectare)2 é a) 20,25.
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voltadas para cima lhe darão uma soma igual a 7. Já Paulo acredita que sua soma será igual a 4 e Antônio acredita que sua soma será igual a 8. Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de acertar sua respectiva soma é a) Antônio, já que sua soma é a maior de todas as escolhidas. b) José e Antônio, já que há 6 possibilidades possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 4 possibilidades para a escolha de Paulo. P aulo. c) José e Antônio, já que há 3 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 2 possibilidades para a escolha de Paulo. P aulo.
c) 0,71
d) José, já que há 6 possibilidades para formar sua soma, 5 possibilidades para formar a soma soma de Antônio e apenas 3 possibilidades para formar a soma soma de Paulo.
d) 0,50.
e) Paulo, já que sua soma é a menor de todas.
e) 0,25.
Questão 175
Questão 173
O gráfico apresenta o comportamento de emprego formal surgido, segundo o CAGED, no período de janeiro de 2010 a outubro de 2010.
b) 4,50.
O designer português Miguel Neiva criou um sistema de símbolos que permite que pessoas daltônicas identifiquem cores. O sistema consiste na utilização de símbolos que identificam as cores primárias (azul, amarelo e vermelho). Além disso, a justaposição de dois desses símbolos permite identificar cores secundárias (como o verde, que é o amarelo combinado com o azul). O preto e o branco são identificados por pequenos quadrados: o que simboliza o preto é cheio, enquanto o que simboliza o branco é vazio. Os símbolos que representam preto e branco também podem ser associados aos símbolos que identificam cores, significando se estas são claras ou escuras. Folha de São Paulo. Disponível em: ww1.folha.uol.com.br. Acesso Acesso em: 18 fev. 2012 (adaptado)
Com base no gráfico, o valor da parte inteira da mediana dos empregos formais surgidos no período é a) 212 952.
De acordo com o texto, quantas cores podem ser representadas pelo sistema proposto?
b) 229 913.
a) 14
c) 240 621.
b) 18
d) 255 496.
c) 20
e) 298 041.
d) 21
Questão 176
e) 23
A cerâmica possui a propriedade da contração, que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico submetido a uma determinada temperatura elevada: em seu lugar aparecendo “espaços vazios” que tendem a se aproximar. No lugar antes ocupado pela água vão ficando lacunas e, consequentemente, o conjunto tende a retrair-se. Considere que no processo de cozimento a
Questão 174 José, Paulo e Antônio estão jogando dados não viciados, nos quais, em cada uma das seis faces, há um número de 1 a 6. Cada um deles jogará dois dados simultaneamente. José acredita que, após jogar seus dados, os números das faces
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cerâmica de argila sofra uma contração, em dimensões lineares, de 20%.
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Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por
Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 30 mar. 2012 (adaptado).
Levando em consideração o processo de cozimento e a contração sofrida, o volume V de uma travessa de argila, de forma cúbica de aresta a, diminui para um valor que é a) 20% menor que V, uma vez que o volume do cubo é diretamente proporcional ao comprimento de seu lado. b) 36% menor que V, porque a área da base diminui diminui de a 2 para ((1 – 0,2)a)2. c) 48,8% menor que V, porque o volume diminui de a 3 para (0,8a)3. d) 51,2% menor que V, porque cada lado diminui para 80% do comprimento original. e) 60% menor que V, porque cada lado diminui 20%.
Questão 177 Dentre outros objetos de pesquisa, a Alometria estuda a relação entre medidas de diferentes partes do corpo humano. Por exemplo, segundo a Alometria, a área A da superfície corporal de uma uma pessoa relaciona-se com a sua massa m pela fórmula A = k . m , em que k é uma constante positiva. Se no período que vai da infância até a maioridade de um indivíduo sua massa é multiplicada por 8, por quanto será multiplicada a área da superfície corporal?
Questão 178 Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que poderia calcular as médias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu conseguiu é mostrada a seguir
Questão 179 Existem no mercado chuveiros elétricos de diferentes potências, que representam consumos e custos diversos. A potência (P) de um chuveiro elétrico é dada pelo produto entre sua resistência elétrica (R) e o quadrado da corrente elétrica (i) que por ele circula. O consumo de energia elétrica (E), por sua vez, é diretamente proporcional à potência do aparelho. Considerando as características apresentadas, qual dos gráficos a seguir representa a relação entre a energia consumida (E) por um chuveiro elétrico e a corrente elétrica (i) que circula por ele?
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Questão 180 Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicionamento Global) com longitude de 124° 3’ 0” a leste do Meridiano de Greenwich. Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”. PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado) A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude da forma decimal é a) 124,02°. b) 124,05°.
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escala dada utilizando como referência o quadriculado. Comparando as árvores, podemos construir a seguinte tabela:
I II III IV V
d) 124,30°. e) 124,50°.
Árvore 1
RESOLUÇÕES E COMENTÁRIOS - Enem 2012 Árvore 2
QUESTÃO 136 Pelo enunciado e pelas alternativas, a questão sugere que façamos a contagem de todas as possibilidades possíveis de um objeto ser escondido por um personagem em um cômodo da casa. Para isso usaremos o Princípio Fundamental da Contagem:
⇒⋅⋅
objeto Person. comodo 5 6 9 5 6 9 = 270 possib possibili ilidad dades es O enunciado diz que cada um dos 280 alunos deve dar uma resposta diferente. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há 10 alunos a mais do que o número de respostas distintas.
Alternativa A Comentário: O aluno deve perceber que para cada um dos 5 objetos existe 6 possibilidades para personagem que por sua vez existe 9 possibilidades de cômodo. Logo, o problema sugere uma multiplicação entre as possibilidades. Este é o Princípio Fundamental da Contagem. Conteúdos envolvidos: Princípio Fundamental da Contagem.
QUESTÃO 137 Evidentemente a árvore que apresenta a maior altura real não é aquela que tem o maior desenho, pois existe a escala dada que interfere na representação. Podemos entender a
Escala (a:b) 1:100 2:100 2:300 1:300 2:300
Altura real (h) 900 450 900 1350 675
A altura pode ser obtida por meio de uma regra de tês simples, utilizando a escala dada. Importante mencionar que a unidade da altura real da árvore é desconhecida uma vez que a questão não adota nenhuma. Desenho a q
c) 124,20°.
Quadrículos (q) 9 9 6 4,5 4,5
Árvore
Árvore 3
Árvore 4 Árvore 5
−− → → → → →
⇒⋅ ⋅⇒ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⇒ ⋅ ⇒ ⋅ ⇒ ⋅ ⇒
Real b h
a h=q b
h=
q b a
h=
9 100 900 = 1 1
h = 900
h=
9 100 900 = 2 2
h = 450
h=
6 300 1800 = 2 2
h=
4,5 300 1350 = 1 1
h = 1350
h=
4,5 300 1350 = 2 2
h = 675
Alternativa D
h = 900
Comentário: O aluno deve ter claro o significado de uma escala para resolver a questão. Em geral, para uma escala arbitrária a:b, devemos ler: a unidades de comprimento no desenho equivale a b unidades de comprimento na realidade. Conteúdos envolvidos: Escalas e regra de três simples.
QUESTÃO 138 Primeiramente devemos ter claro que o resultado da 1ª urna interferirá no resultado da 2ª urna. Em outras palavras se o jogador tirar na 1ª urna a cor do seu palpite, isto irá aumentar suas chances de tirar esta mesma cor na 2ª urna. Neste sentido devemos considerar considerar ambas as situações. Ou na jogada ele tira na 1ª urna a cor do palpite ou na jogada ele não tira na 1ª urna a cor do seu palpite. Considerando esta ordem, faremos os cálculos da probabilidade para cada cor: No caso em que o jogador não tire a bola do seu palpite na 1ª urna, iremos considerar, para o cálculo desta probabilidade, o complementar do evento. Por exemplo, se a
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chance de sair uma bola vermelha na 1ª urna é de
41 61
chance de não sair uma bola vermelha na 1ª urna será de Amarela:
, a .
⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⇒
4 1 6 0 4 0 + = + 10 11 10 11 110 110 4 )= 110
(
)=
(
Azul:
3 2 7 1 6 7 p(azul) azul) = + = + 10 11 10 11 110 110 13 p(azul) azul) = 110
Branca:
2 3 8 2 6 16 p(branca) branca) = + = + 10 11 10 11 110 110 22 p(branca) branca) = 110
Verde:
1 4 9 3 4 27 + = + 10 11 10 11 110 110 31 p(verde) verde) = 110
p(verde) verde) =
Vermelha:
0 4 10 4 0 40 p(vermelha) vermelha) = + = + 10 11 10 11 110 110 40 p(vermelha) vermelha) = 110
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Fator de Valor Final Conversão (em litros) 3534 metros cúbicos 1 000 3 534 000 8 centena de litros 100 800 5 dezena de litros 10 50 9 unidade de litros 1 9 35 décimo de litros 1/100 0,35 O valor final foi obtido pelo produto da medida com o seu respectivo fator de conversão. Por exemplo: 35 = 0,35 litros.
Medida
Unidade
⋅ 11
O consumo total de água, em litros, registrado pelo hidrômetro será a soma dos valores finais: 3 534 000 + 800 + 50 + 9 + 0,35 = 3 534 859,3 9,35
Alternativa D Comentário: Apesar de termos feito os cálculos, poderíamos simplesmente ter encontrado a resposta correta através da leitura direta do hidrômetro. Bastava colocarmos os algarismos exatamente na ordem em que eles aparecem: 3534 353485 85 9 35 = 3 534 534 859,3 59,35 5 A posição correta da vírgula foi determinada observando que 35 representa décimos de litro. Conteúdos envolvidos: Conversão de unidades e leitura de ponteiros.
QUESTÃO 140 Da leitura imediata do gráfico, vemos que os valores de maior e menor venda, respectivamente, são os picos mais alto e mais baixo. A figura abaixo destaca esses picos.
Portanto a cor a ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar é a vermelha.
Alternativa E Comentário: Dois cuidados para a resolução desta questão devem ser tomados. Primeiro que ao retirar-se uma bola da 1ª urna e misturá-la com as bolas da 2ª urna, esta última passará a ter um total de 11 bolas. E segundo que ao retirar a bola do palpite da 1ª urna, quando ela se juntar com as bolas b olas da 2ª urna, somaremos 1 ao número de bolas desta cor nesta urna. Conteúdo envolvido: Probabilidade.
QUESTÃO 139 Lendo separadamente cada uma das partes do hidrômetro, podemos construir a seguinte tabela: tabela:
Logo, de acordo com a figura, os meses de maior e menor venda absolutas em 2011 foram, respectivamente, junho e agosto.
Alternativa E Comentário: Para esta questão bastava a leitura e interpretação do gráfico. Conteúdos envolvidos: Interpretação de gráficos.
QUESTÃO 141 Para esta questão é preciso que o aluno conheça e tenha familiaridade com figuras espaciais e suas planificações. As duas primeiras planificações sugerem que a base de seus sólidos, respectivamente, são uma circunferência e um
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pentágono (polígono de 5 lados). Logo concluímos que se trata, nesta ordem, de um cilindro e de um prisma de base pentagonal. Por este motivo já ficam excluídas as alternativas B, C e D. Como um tronco de cone sugere um sólido cuja base é uma circunferência, logo podemos também excluir a alternativa E, restando apenas a correta.
Alternativa A Comentário: o desenho da terceira caixa é bastante sugestivo, pois o triângulo central está em contraste com os demais. Ou seja, devemos concluir que o triângulo central é a base e fechando-se a figura formaremos uma pirâmide. Conteúdos envolvidos: Planificação de figuras sólidas.
QUESTÃO 142 As cartas que comporão o monte provem do restante do baralho após ter sido distribuído as colunas. Desta forma, para resolver a questão, basta que somemos quantas cartas formam as colunas e subtrair este valor do total de cartas do baralho, que são 52. Veja que podemos utilizar a soma dos do s termos de uma progressão aritmética (PA) para somar as cartas das colunas. Quantidade de cartas nas colunas: S=
⋅ ⋅ ⇒
(1 + 7) 7 8 7 56 = = 2 2 2
S = 28 cart cartas as
Quantidade de cartas no monte: 52
−
Alternativa E Comentário: A questão traz diversas informações que o aluno, por sua vez, precisa ser capaz de interpretá-las e sintetizá-las. Uma vez entendido, o próximo passo será a leitura do gráfico para chegar à resposta correta. Conteúdos envolvidos: Leitura e interpretação de gráficos.
QUESTÃO 144 O ponto chave da questão é percebermos que os valores que a tabela traz são horas por dia. Logo, para a 1ª coluna, devemos multiplicar o valor da tabela pelos 5 dias da semana (de segunda-feira a sexta-feira) e para a 2ª coluna devemos multiplicar o valor da tabela por 2 dias do fim de semana (sábado e domingo). Como o total de horas pedido é o gasto com atividades escolares então chegaremos à resposta da seguinte maneira:
28 = 24 car carttas
Alternativa B Comentário: Na resolução da questão, para efeito de rapidez, utilizamos a soma dos termos de uma PA para encontrar o número de cartas que formam as colunas. Porém, caso o aluno queira, pode efetuar a soma do modo convencional, obtendo assim o mesmo resultado. Conteúdos envolvidos: Resolução de problemas envolvendo as operações básicas.
QUESTÃO 143 O enunciado nos traz uma informação bastante importante e interessante, sendo chave para a resolução da questão. Ele associa a camada de gelo marítimo com a reflexão da luz solar e consequentemente ao resfriamento da Terra. Logo, quanto menor for a extensão de gelo marítimo, menor será o resfriamento e portanto maior será o aquecimento global. O ano que, segundo o gráfico, apresenta a menor extensão de gelo marítimo, é 2007.
Rotina Juvenil Assistir à televisão Atividades domésticas Atividades escolares Atividades de lazer Descanso, higiene e alimentação Outras atividades
Durant ea semana 3
No fim de semana 3
1
1
5
1
2
4
10
12
3
3
⋅ ⋅
Hora Horass gast gastas as = 5 5 + 1 2 = 25 + 2 = 27 horas
Alternativa E
Comentário: O ponto que deve ser destacado nesta questão, é o fato de a tabela trazer valores que representam horas por dia no período estipulado em cada coluna. Conteúdo envolvido: Resolução de problemas envolvendo operações básicas.
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QUESTÃO 145 Para esta questão devemos observar que existirão 2 patamares para o gráfico, sendo que o valor inicial (valor de partida) será R$ 750,00. Podemos separar os dois patamares da seguinte maneira, sendo x o número de produtos vendidos:
⋅� → ≤ ≤ ⋅→ 3 x
9 x
se 0
x
99
dias. Sendo o intervalo entre as viagens de 4 dias, para descobrirmos quantas viagens no máximo ele poderá fazer, basta dividirmos a quantidade de dias que ele poderá trabalhar pelo intervalo de dias em que ele pode viajar. Ou seja: Viag Viagen enss =
100
se x > 100
Desta forma podemos perceber que, para a representação do gráfico, no 2º intervalo o crescimento será mais acentuado em relação ao 1º intervalo. Analisando as alternativas percebemos que na letra: A, o gráfico é constante até o 100° produto, apresentando crescimento somente após esta quantidade. Logo, ela está incorreta; B, o crescimento no 1º intervalo é mais acentuado em relação ao 2º. Na verdade ocorre o contrário, logo a alternativa está incorreta;
Alternativa C
E, o crescimento no 2º intervalo é mais acentuado em relação ao 1º intervalo, logo esta é a alternativa correta.
Alternativa E
∴
88 viagens
Comentário: Importante ressaltar que a informação sobre o ganho de R$100,00 por viagem é irrelevante e não foi utilizada. Sua única função é completar a contextualização da questão. Outro ponto importante é, por se tratar de uma viagem, o de não existir 88,75 viagens, logo o valor correto a ser considerado é o imediatamente abaixo dele. Conteúdo envolvido: Resolução de problemas envolvendo operações básicas.
QUESTÃO 147 Para esta questão devemos lembrar duas grandes descobertas de Arquimedes (287a.C. – 212a.C – Grécia):
C, para o 1º intervalo, o gráfico está contínuo. Isto somente seria verdadeiro se ele ganhasse um valor fixo até o 100º produto vendido. Logo, está incorreta; D, o gráfico está contínuo em toda sua extensão, ou seja, ele representa a situação do vendedor ganhar um salário de R$ 750,00, independente de quantos produtos vendesse. Logo, está alternativa também está incorreta;
355 = 88,7 88,75 5 4
• •
Dois corpos não ocupam o mesmo espaço; Um objeto imerso em um líquido desloca um volume igual ao seu próprio volume.
Diante destes fatos, devemos entender que ao colocarmos um objeto de 2400 cm 3 dentro do tanque, o volume de água aumentaria de 2400 cm 3. Para verificar o que irá acontecer, se a água vai transbordar ou não, vamos calcular o volume de água existente no tanque e o volume do próprio tanque: Como o volume de um paralelepípedo é dado por:
⋅⋅
V=a b c c
Comentário: Outra forma de enxergarmos a questão seria usando o conceito de função atrelado à geometria analítica. Lembrando que uma função afim, aquela cujo gráfico é uma reta, é dada por = ( ) = + , onde a representa o coeficiente angular e b representa o coeficiente linear da reta. Sabemos que o valor de a é que define a inclinação da reta, quanto maior for seu valor maior será a inclinação. Logo, a função ( ) = 9 apresenta sua reta mais inclinada em relação à reta da função ( ) = 3 .
Volume de água no tanque: = 40 30 20 = 24 000 cm (o valor 20 foi obtido por 25 – 5)
Conteúdos envolvidos: Função afim, análise e interpretação de gráfico.
Volume de água com o objeto mergulhado: V = 24 000 + 2 40 400 V = 26 400 400 cm cm
QUESTÃO 146
Logo a água não irá ir á transbordar. Neste caso conseguimos calcular a altura que a água ficará da seguinte maneira:
⋅
Como a alternativa não estabelece restrição para fins de semana ou feriados, iremos simplesmente considerar dias corridos. Porém o maquinista entrará de férias de 1º a 10 de junho, o que representa 10 dias a menos trabalhados. Então, ao invés dos 365 dias no ano, ele trabalhará somente 355
b a
⋅⋅
Volume do tanque: V = 4 0 30 25 = 30 000 000 cm cm
3
⋅⋅
3
⇒
⋅ ⋅⇒ ⋅
26 400 = 40 30 c
⇒
c = 22 cm
3
1 200 c = 26 400
⇒
c=
26 400 1 200
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Portanto a altura da água ficará com 22 cm, tendo o nível subido 2 cm.
Alternativa C Comentário: Excepcionalmente trouxemos uma solução mais abrangente, porém exige um tempo de resolução maior. Uma solução alternativa e mais veloz seria associar o volume do objeto com as dimensões da base do tanque, calculando assim o nível de água que subiria de maneira direta:
⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⇒
2 400 = 40 30 c
1 200 c = 2 400
c = 2 cm
⇒
c=
2 400 1 200
Conteúdo envolvido: Volume de um paralelepípedo.
QUESTÃO 148 Organizando os dados fornecidos pelo enunciado, podemos construir a seguinte tabela: Modelo A B
Consumo (g/h) 600 750
Área de cobertura (m2) 35 45
Com as dimensões dos 4 ambientes conseguimos calcular as áreas de cada 1:
9m
14 m
5m
4m
II
III
6m
IV 6m
100
Como o fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cobertura, concluímos que a melhor opção para que Jorge gaste menos é:
Ambiente I Modelo B devido à restrição do fabricante Ambiente IV Ambiente II Modelo A devido a ser mais econômico Ambiente III Portanto, serão necessárias duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B.
Alternativa C Comentário: Deve-se tomar cuidado para não confundir quando o enunciado explica a indicação do fabricante: “… em um ambiente com área menos do que …”. Um erro seria interpretar que um ambiente com área 35 m 2, como é o caso do número IV, poderá ser utilizado o aquecedor modelo A, marcando assim a alternativa B. Conteúdos envolvidos: Área de quadriláteros.
QUESTÃO 149 Primeiramente devemos enxergar que a parte mais clara pode ser dividida em 4 triângulos que, pela simetria da figura, possuem todos áreas iguais. Os triângulos são: APB, APD, QCB e QCD. Sendo assim, basta calcularmos a área de um deles e multiplicarmos por 4. Para P ara efetuar este cálculo é preciso que o aluno enxergue que a altura destes triângulos é igual à metade do lado do quadrado. Podemos perceber que são triângulos triângulos obtusângulos e portanto suas alturas são externas. A figura abaixo ilustra as dimensões de dois deles: B
4m h
7m
I 8m
A
b
P
Q
b
C
Área de um triângulo: A=
5m
⋅⇒I ⋅⇒I
2 II 2 IV
⋅ ⇒ II 2 ⋅ ⋅
Área do ambiente I: A = 5 8 A = 40 m
Área do ambiente III: A = 4 6 A = 24 m
Área do ambiente II: A = 6 5 A = 30 m
Área do ambiente IV: (6 + 4) 7 10 7 A = = 2 2 70 = A = 35 m 2
I
I
⇒ IV
2
⋅
b h 2
É importante lembrar que à área do quadrado será subtraída as áreas dos 4 triângulos, a fim de obter-se a área da região escura. Calculando as áreas separadas temos: te mos:
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Área dos triângulos (região clara): A=4
Rentabilidade da opção 4:
⋅ ⋅ ⋅ ⇒⋅ ⋅ ⋅2 ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅− − − ⇒ ⋅ ⇒ 1 4 1
1 1 1 1 2 1 =4 4 2=4 8 =4 1 =1 2 2 2 16 4 A = 0,25 m
Custo = 50 0,25
101
1º Ano: (55 000
− ⋅2 ⋅ − ⇒
15 000) 000) 1,1 = 40 000 000 1,21 1,21 = R$ 48 48 400, 400,00 00
Sald Saldoo = 48 400 400
Cust Custoo = R$ 12,5 12,50 0
39 000
Sald Saldoo = R$ 9 400, 400,00 00
Área do quadrado (região escura): A = (1 1)
1 =1 4
Custo = 30 0,75
1 4 1 3 = = 4 4 4
A = 0,75 m
2
Cust Custoo = R$ 22,5 22,50 0
Custo Total: R$ 12,5 12,50 0 + R$ 22,5 22,50 0 = R$ 35,0 35,00 0
⋅
2
⋅ ⇒ − ⇒
55 000 1,1 = 55 000 000 1,21 Sald Saldoo = 66 550 550
60 000
Comentário: O ponto chave desta questão está em torno da altura dos triângulos. No mais, a questão se resume a realizar a decomposição das figuras e o cálculo das áreas. Conteúdos envolvidos: Triângulo obtusângulo e sua altura, áreas de triângulos e de quadrados.
QUESTÃO 150 Como a questão é analisar qual opção é mais vantajosa do ponto de vista financeiro, vamos verificar cada uma delas, a partir da segunda, pois a primeira opção o pagamento é à vista, logo não restará nada para investir. Rentabilidade da opção 2: 1º Semestre:
− ⋅ ⋅ ⇒ − ⇒ 30 000) 000) 1,1 1,1 = 25 000 000 1,1
Sald Saldoo = 27 500 500
Sald Saldoo = R$ 6 550, 550,00 00
Portanto a opção mais rentável do ponto de vista financeiro é a 4ª.
26 000
Comentário: Apesar de ser um pouco trabalhosa, a questão não apresenta cálculos complexos. Além de realizar os cálculos de porcentagem, o aluno deve ter familiaridade em realizar cálculos envolvendo investimento, realizando as subtrações para pagar as parcelas. Conteúdos envolvidos: porcentagem.
Sald Saldoo = R$ 1 500, 500,00 00
Rentabilidade da opção 3: 1º Semestre:
− ⋅ −
⋅ ⇒
38 500
2º Semestre:
R$ 38 500,00
−⋅ ⋅ −⋅ − − − − − x) y] + (x y) + [(3
A(x) = [5y
A(x) = 5y
xy] xy] + (xy) xy) + [3x xy+xy+3x
y) y]
xy] xy]
xy
xy
Comentário: A questão gira em torno do retângulo x e y que é comum aos retângulos da borda.
20 000 000 = R$ 18 18 500, 500,00 00
Conteúdo envolvido: Área de retângulo e descrição de funções.
⋅
QUESTÃO 152
18500 1,1 1,1 = R$20 R$20 350, 350,00 00 Saldo: Saldo: 20 3500 3500
e
Um erro comum que pode ocorrer nesta questão é considerar o retângulo de medidas x e y duas vezes. O aluno deve perceber que este retângulo pertence p ertence a ambos os retângulos da borda. Pra evitar tal erro vamos calcular as áreas de maneira separada.
Alternativa E
20 000) 000) 1,1 1,1 = 35 000 000 1,1
financeiras
QUESTÃO 151
A(x) = [(5 R$ 27 500,00
Aplicações
A(x) = 5y + 3x
(55 000
R$ 66 550,00
Alternativa D
Alternativa B
(55 000
Rentabilidade da opção 5:
− ⇒ 18 000
Sald Saldoo = R$ 2 350, 350,00 00
Como o enunciado estabelece três critérios para a determinação da capacidade de um ar-condicionado, vamos determinar separadamente cada um deles:
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Pela área da sala:
⋅⇒ → ⋅ →⋅ →⋅
A=4 5 Capacidade
A = 20 m
2
⁄
600 20 = 12 000 B TU TU h
Pelo número de pessoas:
2 pessoas a mais
2 600 600 = 1 200 200 BTU BTU/h /h
Pelo número de equipamentos: 1 televisão
1 600 600 = 600 600 BTU BTU/h /h
Somando todos os valores, teremos a capacidade mínima, em BTU/h, que esse aparelho de ar-condicionado deve ter: 12 00 000 + 1 20 200 + 600 = 13 80 800
Comentário: A questão basicamente cobra do aluno a habilidade em utilizar as informações dadas no enunciado para resolver o problema dado. Conteúdo envolvido: Resolução de problemas envolvendo operações básicas.
QUESTÃO 153 Organizando as informações dadas no enunciado temos:
•
•
•
projeção do deslocamento da pirâmide, para este percurso inicial, deve ser do ponto A até o centro do quadrilátero. Sendo assim ficam descartadas as alternativas A e B. Logo após do vértice E da pirâmide, ele segue para o ponto M que pertence ao lado BC da base. Por este motivo podemos excluir as alternativas D e E, que vão direto ao ponto C sem passar por M. Portanto, P ortanto, por exclusão, a alternativa correta é a letra C.
Alternativa C Comentário: A proposta de solução apresentada utiliza, para resolver a questão, o método da exclusão. Porém, o aluno pode facilmente chegar à resposta correta visualizando a vista superior da pirâmide e seguindo o trajeto descrito no enunciado. Conteúdo envolvido: Geometria espacial.
Alternativa D
•
102
S é diretamente proporcional à largura b; S é diretamente proporcional ao quadrado da altura d; S é inversamente proporcional ao quadrado do comprimento x; K é a constante direta de proporcionalidade.
Logo, a expressão que traduz a resistência S da viga é:
⋅⋅ 2 2
b d S=k x
Alternativa A Comentário: Esta questão foi bastante pertinente e adequada. O objetivo dela não era cobrar o conhecimento da fórmula da resistência mecânica de uma viga de madeira, aliás, a questão esperava que o aluno não a conhecesse. Porém, ela trouxe as grandezas envolvidas e como elas afetam a resistência S, para que então o aluno a deduzisse.
QUESTÃO 155 Ao se deparar com esta questão o aluno não deve se assustar, ainda mais pela informação no enunciado que diz: “… ou seja, quando Q O e Q D se igualam.”. Por este motivo fica claro que o aluno não precisará calcular valores para a oferta e demanda, e sim igualar ambas as equações a fim de obter o valor P de equilíbrio. Portanto temos:
O D⇒−
Q =Q
⇒
6P = 46 + 20 20
Alternativa B
− ⇒ ⇒ ⇒
20 + 4P 4 P = 46
6P = 66
2P
P=
66 6
P=11
Comentário: O aluno atento pode perceber que, por se tratarem de retas, a de oferta Q O é crescente, pois o coeficiente de P vale 4 (positivo). Já a reta de demanda Q D é decrescente, pois o coeficiente de P é –2 (negativo). O valor de P igual a 11 representa o ponto de encontro entre as retas. Conteúdo envolvido: Sistema de equações.
QUESTÃO 156 Uma das formas de se interpretar a pergunta da questão é, quantos períodos de 20 tíquetes serão necessários para perfazer os 9 200 tíquetes. A questão nos sugere, então, uma divisão. De posse do quociente basta multiplicarmos pelo valor de cada período, no caso R$ 3,00. Para comprar a bicicleta precisamos de 9 200 ÷ 20 = 460
⋅
Conteúdos envolvidos: Dedução de fórmulas, grandezas diretamente e inversamente proporcionais.
Logo, como cada período período custa R$ 3,00, teremos teremos 460 3 = $ 1 380,00
QUESTÃO 154
Alternativa D
Observemos que o percurso inicia em A e vai até E, que por sua vez é o vértice da pirâmide. Vamos Vamos comparar também que a figura da base é um quadrilátero. Dessa forma a
Comentário: Uma questão bastante simples que avalia o domínio e a interpretação dos alunos a respeito das operações divisão e multiplicação.
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Conteúdos envolvidos: Resolução de problemas envolvendo as operações básicas.
QUESTÃO 157 Organizando pela classe e ordem os algarismos do número de protocolo, temos: 1 3 ? 9 8 2 0 7
dezena de milhão unidade de milhão centena de milhar dezena de milhar unidade de milhar Centena Dezena Unidade
Lendo os algarismos de cima para baixo temos o número do protocolo: 1 3 _ 9 8 2 0 7 Logo, a posição ocupada pelo algarismo que falta é a centena de milhar.
Alternativa C Comentário: Uma questão bem simples que tem como objetivo avaliar se o aluno tem noções sobre a grandeza dos números. Conteúdos envolvidos: Classe e a ordem dos algarismos nos números.
103
QUESTÃO 159 Olhando para o gráfico, percebemos que ao longo da semana (de quinta-feira a segunda-feira), a linha tracejada, que informa o número de reclamações recebidas, está igual ou superior ao da linha contínua, que informa o número de reclamações resolvidas. Esta situação somente se inverte na terça-feira e na quarta-feira. Logo, podemos concluir que o nível de eficiência foi muito bom nestes dois dias.
Alternativa B Comentário: A questão aparenta ser simples, porém pode surpreender o aluno desatento. Outras alternativas como as letras C e D podem induzir o aluno ao erro. A alternativa C aponta para os dias de maior pico tanto de reclamação recebida quanto resolvida, porém na quinta-feira as recebidas superam as resolvidas. Logo esta alternativa não está correta. Já a alternativa D aponta o sábado e o domingo, mas é preciso ficar claro que estes dias, apesar de não ter havido reclamações, não houve resoluções. Portanto esta alternativa também não está correta. Conteúdos envolvidos: Leitura e interpretação de d e gráficos.
QUESTÃO 158
QUESTÃO 160
Analisando os horários de compra e de venda no gráfico, podemos construir a seguinte tabela com os valores valores que cada um dos cinco investidores gastou na compra e ganhou na venda:
Como a mãe ministrou corretamente a cada 8 horas, para descobrir a massa corporal do seu filho devemos efetuar uma regra de três simples do seguinte modo:
Investidor 1 2 3 4 5
Compra (C) R$ 150,00 R$ 150,00 R$ 380,00 R$ 460,00 R$ 100,00
Venda (V) R$ 460,00 R$ 200,00 R$ 460,00 R$ 100,00 R$ 200,00
Lucro (V – C) R$ 310,00 R$ 50,00 R$ 80,00 – R$ 360,00 R$ 100,00
Como o cálculo do lucro é o valor de venda subtraído do valor de venda, concluímos que o investidor que fez o melhor negócio foi o número 1.
Gotas 5 30
−− ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ ⇒ Massa 2 x
5 x = 2 30
5x = 60
x=
60 5
x = 12 kg
Alternativa A
Comentário: Nesta questão o aluno deve perceber que para descobrir o que foi pedido é possível aplicar uma regra de três simples. Conteúdos envolvidos: Regra de três simples.
Alternativa A
QUESTÃO 161
Comentário: A questão exigiu do aluno que ele combinasse as informações contidas na tabela e no gráfico para que então pudesse chegar à resposta correta.
Assim como a questão 137 , esta trata sobre escala. Na solução proposta para aquela questão fizemos uma breve recordação sobre o assunto e utilizamos para resolvê-la uma regra de três. É primordial o aluno perceber que precisaremos converter as unidades para torná-las
Conteúdos envolvidos: Cálculo de lucro, leitura e interpretação de gráfico e tabela.
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compatíveis. Para facilitar os cálculos transformaremos 420 km (42 km vezes 10) em centímetros:
⇒
1 km km = 1 000 000 m 420 420 km km = 420 420 000 000 m 1 m = 100 cm = 42 000 000 000 000 cm
Desenho 1 60
⇒
x=
−−
Real x 42 000 000
42 000 000 60
Alternativa D
⇒
⇒⋅
⋅
1 42 000 000 000 000 = 60 x
x = 700 700 000 000 cm
Comentário: Deve-se tomar bastante cuidado com questões simples. A diferença entre as alternativas é apenas a quantidade de zeros dos números. Logo, esquecendo-se de converter quilômetros para centímetros e/ou multiplicar a distância percorrido por 10 (Dean Karnazes correu 10 vezes mais que o grego) o aluno pode assinalar uma alternativa errada. Conteúdos envolvidos: Conversão de unidades, escalas geográficas e regra de três simples.
104
Alternativa E Comentário: O ponto chave do exercício está em torno de se perceber a composição dos lados do losango em relação aos raios das circunferências. Feito isso, bastava encontrar os perímetros e calcular a porcentagem de aumento. Conteúdos envolvidos: Polígonos, perímetro e porcentagem.
QUESTÃO 163 Duas perguntas que podem surgir de início são, quantas laranjas existem e qual deles que carregou 50 laranjas a mais no segundo trajeto. A primeira pergunta podemos, por enquanto, resolver chamando o número de laranjas transportadas de P. A segunda pergunta iremos responder do seguinte modo: Somando-se as proporções da 1ª e 2ª parte temos:
Desta forma podemos organizar os dados em uma tabela, a fim de descobrir quem carregou as 50 laranjas a mais: 1ª Parte Carlos
QUESTÃO 162
⋅
Do enunciado e da figura, podemos perceber que o lado do losango é igual a 2 r, r, sendo r o raio de qualquer uma das circunferências. Ao dobrar-se o raio de duas circunferências centradas em vértices opostos do losango, o seu lado passará de 2 r para 3 r. r. A figura abaixo esquematiza o processo:
⋅ ⋅
6+5+4=15 4+4+2=10
João
2ª parte Carlos
Paulo
João
Paulo
5 15
4 15
4 10
4 10
2 10
~0,33
~0,26
0,40
0,40
0,20
Fração
6 15
Decimal
0,40
Pela tabela, concluímos que João, da 1ª para a 2ª parte, continuou com a mesma quantidade de laranjas, Carlos aumentou e Paulo diminuiu. Logo quem procurávamos era o Carlos, que carregou 50 laranjas a mais no 2º trajeto. Sendo assim, podemos calcular o número total de laranjas carregadas:
Sendo o perímetro a soma das medidas de todos os lados temos:
Perímetro da Figura 1: P =r+r+r+r+r+r +r+r P = 8r
1
⇒1
Perímetro da Figura 2: P =r+2r+r+2r+r +2r+r+2r P = 12r
2
⇒2
−− ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ ∴
Porcentagem de aumento: 8r 100% 8r x = 12r 100% 12r x x=
12r 3 300% 100% 100% = 100 100% = 8r 2 2
x = 150%
aumento de 50%
⇒ − ⇒ − ⇒⇒ ⋅ ⇒ ⇒ 5 4 P+50= P 15 10 2P = 50 30
4 P 10
5 P=50 15
2P = 1500
P=
12P
10P
30
= 50
1500 2
P = 750 750 lara laranj njas as
Agora basta encontrarmos a quantidades transportadas por cada um no 2º trajeto utilizando as proporções:
João e Carlos: 4 4 P= 750 = 4 75 10 10 = 300 300 lara laranj njas as
⋅ ⋅
Paulo: 2 2 P= 750 = 2 75 10 10 = 150 150 lara laranj njas as
⋅ ⋅
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Alternativa B Comentário: A questão basicamente cobrou do aluno a habilidade em resolver proporções, porém a tarefa mais trabalhosa foi determinar qual dos três carregou as 50 laranjas a mais. É importante ressaltar que as alternativas A e C, de início, poderiam ser descartadas, pois não atendem a proporção dada. E após ser descoberta a quantidade total de laranjas, poderíamos descartar as alternativas D e E, pois elas somam um total de 500 e 250 laranjas, respectivamente. Restou assim a alternativa correta, a alternativa B. Conteúdos envolvidos: Proporção
correspondente, já com as medidas que serão necessárias para a resolução da questão:
Como o cálculo de probabilidade é feito dividindo-se o número de casos favoráveis, pelo número de casos totais, precisamos calcular, utilizando as porcentagens porcentagens do gráfico, o número de pessoas que votaram como sendo “chato” o conto “Contos de Halloween”:
⋅ ⋅
Para calcularmos a probabilidade, devemos tomar bastante cuidado, pois o enunciado restringe o número de pessoas consideradas apenas aquelas que opinaram. Por este motivo devemos também calcular, utilizando o gráfico, o número de pessoas que não opinaram e descontá-los dos 500 visitantes:
⋅
500
−
⋅ ⋅
21 = 5 21 100 = 105 pessoas pessoas que não opniram
500 21% = 500
105 = 395 pess pessoas oas que que opinar opinaram am
Calculando a probabilidade temos: p(chato) chato) =
Alternativa D
60 395
giratória
2
O
Base da O
escultura
2
.
2
2
2 2 2 ⇒ 2 2 2 ⇒ 2 2 ⇒ 2 2 2 ⇒ ⇒
R =
L 2
+
L 2
≅
0,15
L L + 4 4
R =
L 2
L 2
R =
R=
12 = 5 12 100 = 60 pessoas pessoas que que votaram votaram em "chato" "chato"
500 12% = 500
Plataforma
Como o triângulo formado é retângulo, podemos usar o Teorema de Pitágoras para relacionar o raio R da circunferência com o lado L do quadrado.
QUESTÃO 164
⋅
105
R=
R=
L 2
√
2L 4
R =
L 2
√
A exigência de segurança prevê uma condição mínima (que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma), mas não uma máxima. Ou seja, o raio R deve ser maior ou igual a L 2. Portanto
⁄√
R
Alternativa A
≥ √ L 2
Comentário: O ponto chave da questão gira em torno de traçarmos o raio da circunferência e perceber o surgimento de um triângulo retângulo cuja medida dos catetos é a metade do lado do quadrado. Feito isso bastava ser aplicado o Teorema de Pitágoras. Conteúdos envolvidos: Circunferência circunscrita e Teorema de Pitágoras.
Comentário: Um cuidado muito grande que o aluno deve ter é quanto à restrição do espaço amostral, que considerou apenas os visitantes que opinaram no site. Caso o aluno não faça este desconto ele realizará a seguinte conta: = 0,12 0,12.. Esta seria a alternativa B e consequentemente o aluno erraria a questão.
65
Conteúdos envolvidos: Porcentagem e probabilidade.
QUESTÃO 165 Traduzindo a exigência de segurança para a Geometria Plana, a figura resultante será um quadrado (base da escultura) inscrito numa circunferência (plataforma giratória). A figura abaixo representa o desenho
QUESTÃO 166 Como a direção do movimento do motoqueiro em relação ao foco de luz é perpendicular, logo não faz sentido que a sombra projetada no plano do chão forme uma figura com curvas. O que ocorrerá, na verdade, será uma variação apenas no tamanho da sombra projetada, que terá a forma de um segmento de reta. Quando o motoqueiro estiver passando pelo ponto B, a sombra projetada terá seu tamanho mínimo. E quando o motoqueiro passar pelo ponto A, a sombra projetada terá seu valor máximo.
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Alternativa E Comentário: Para esta questão o aluno deve imaginar uma vista superior do globo e perceber que a imagem do motoqueiro será apenas de um ponto, uma vez que o seu trajeto será percorrer uma circunferência que passe pelos pontos A e B. Conteúdos envolvidos: Projeção de sombras.
QUESTÃO 167 Para que as alturas das tomadas e dos interruptores atendam às necessidades do comprador, elas devem estar em alturas dentro do intervalo mínimo e máximo estipulados. Assim, a altura mínima para a tomada deverá ser 0,4 m e a altura máxima para o interruptor será 1,35 m. Dessa forma, a única alternativa que apresenta valores dentro destes intervalos é a letra E.
106
Lembrando que ao multiplicar e dividir por x um número n, este não sofrerá alteração. Conteúdos envolvidos: Notação científica e potências de base 10.
QUESTÃO 169 Primeiramente devemos entender que, para realizar a comparação, devemos equiparar o número de descargas de ambas. Ou seja, comparar os litros gastos por ambas para um mesmo número de descargas. d escargas. Desta forma teremos:
Bacia sanitária não ecológica:
⁄
60 lit litro ross gast gastos os ÷ 15 litr litros os desca descarg rgaa =
Bacia sanitária ecológica:
⁄
⋅
4 desca descarg rgas as × 6 litr litros os desca descarg rgaa = 4 6 = 24 litros litros gastos
Alternativa E Comentário: Uma questão bastante simples, que abordou um assunto muito importante, a acessibilidade de pessoas com deficiência. Bastava o aluno identificar a alternativa que se adequava com as necessidades de um cadeirante. Conteúdos envolvidos: Intervalos na reta real
QUESTÃO 168 Para esta questão devemos escrever a medida da distância do asteroide em relação à Terra em notação científica, que utiliza potências de base 10. De maneira geral escrevemos notação científica utilizando a seguinte regra:
e
m=10
O valor m é chamado de mantissa do número e o número e representa a ordem de grandeza do número. A mantissa apresentará valores dentro do intervalo 1 ≤ m <10. O número a ser escrito em notação científica é 325 mil km, logo a mantissa deverá ser 3,25; o equivale a dividirmos o número 325 por 100. Portanto realizando as adequações necessárias teremos:
Economia de água: 60
Alternativa B
325 100 1 000 100 = 3,25 3,25 100 1 000 000 = 3,25 3,25 100 000
−
24 = 36 lilitros
Comentário: O ponto chave da questão é perceber que devemos comparar os litros de água gastos para um mesmo número de descargas por dia. No mais a questão se resume a um problema envolvendo as operações básicas. Conteúdos envolvidos: Resolução de problemas envolvendo operações básicas.
QUESTÃO 170 Primeiramente vamos lembrar que a média é obtida pela divisão entre a soma total das amostras pelo número de amostras. Sendo assim, vamos calcular, utilizando a tabela, as médias de cada uma das MEs:
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ ⋅5
325 325 000 000 = 325 325 1 000 000 =
Alfinetes V:
é 200 + 220 + 240 660 = = 3 3 = 220 é = $ 220 000,00
Balas W:
3,25 10 km
Alternativa D
60 = 4 desc descarg argas as 15
Comentário: Durante a resolução fizemos uma transformação do número 325 para 3,25 dividindo-o por 100, porém precisamos tomar o cuidado de não alterar o número e por este motivo é que o multiplicamos por 100.
é 200 + 230 + 200 630 = = 3 3 = 210 é = $ 210 000,00
Tecelagem Z:
é 160 + 210 + 245 = = 205 3 é = $ 205 000,00
Chocolates X:
é 250 + 210 + 215 675 = = 3 3 = 225 é = $ 225 000,00
Pizzaria Y:
é 230 + 230 + 230 690 = = 3 3 = 230 é = $ 230 000,00
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As duas empresas que o investidor escolhe comprar são: a Pizzaria Y com receita bruta de R$ 230 000,00 e a Chocolates X com receita bruta de R$ 225 000,00.
Alternativa D Comentário: Para facilitar os cálculos, nas passagens intermediárias, não utilizamos os valores em milhares de reais. Basicamente a questão se resumiu a tirar as médias das receitas brutas das cinco empresas e selecionar as duas maiores. Conteúdos envolvidos: Média Aritmética.
1ª maneira:
90 = 210
2ª Maneira:
Redução de 10%:
⋅ ⋅ ⋅ ⁄ − ⁄ ⁄ ⋅ ⋅ ⋅
30 300 30% = 300 100 = 3 30 = 90 300
60 90
10 210 10% = 210 100 = 21
210
21 = 189
300 0,7 0,9 = 300 0,63 = 189 mg m g dL
Portanto o paciente se encontra na categoria Diabetes Melitos.
Alternativa D Comentário: A 2ª maneira traz um cálculo mais rápido, porém o aluno precisa pr ecisa estar familiarizado com este método. Os fatores foram obtidos, por se tratar de um desconto, da seguinte maneira: e 0,7 = 70% = 100% 30% 0,9 = 90% = 100% 10%. 10%.
−
−
QUESTÃO 172
= 1 90 90 = 60 = 1,5
Logo, o nosso desvio padrão com as unidades já convertidas será:
σ
=
1,5 sacas 3 hectares
⇒σ
= 0,5 sacas/hectar sacas/hectaree
Apesar do enunciado trazer a informação de como se calcular variância (Var) a partir do desvio padrão (σ), através da unidade (saca sacass hect hectar aree) , vamos lembrar de que:
= 0,5
⁄
Var = 0,25 (saca sacass hect hectar aree)
2
Comentário: É possível que ocorra algum tipo de confusão para converter de talhões para hectare, porém o aluno não pode perder de vista que existe a unidade de m que está intermediária às duas outras unidades. Feita esta passagem, bastava elevar ao quadrado o desvio padrão para obter-se a variância.
2
Conteúdos envolvidos: Conversão de unidades, Variância e Desvio Padrão.
QUESTÃO 173 Nesta questão, iremos calcular o número de combinações possíveis de se representar cores no sistema proposto utilizando o Princípio Fundamental da Contagem, assim com fizemos na questão 136. Para efetuar a contagem, devemos separar cada situação: Cores primárias, cores secundárias, branco ou preto e as associações cor clara ou escura. Vamos à contagem:
Cores primárias:
Sem claro e escuro: 3 possibilidades (azul, amarelo e vermelho) Com claro e escuro: 2 × 3 = 6 pos possi sibi bili lida dade dess
Cores secundárias: (combinação de 2 primárias)
Var =
Mas antes de calcularmos a variância precisaremos converter as unidades. O enunciado nos trouxe a informação do desvio padrão em kg talhão, mas pediu a variância em (saca sacass hect hectar aree) . Logo devemos converter o kg para sacas e talhão para hectare. hectare.
σ2 2 ⇒
Alternativa E
= Var Var
õ : 10000 1 30000 10 000 = 1 30 000 30 000 = 10 000 =3
60
Conteúdos envolvidos: Porcentagem.
⁄ 2 σ √ ∴ σ2 ⁄ 2 ⁄
⁄→22 − ⁄ − ⇒⇒ ⋅ ⋅ ⇒ ℎ
:
1
Var =
Esta questão iremos resolver de duas maneiras, ficando a cargo do aluno escolher a que lhe é mais familiar:
⋅⋅ −
−→ ⇒⇒ −⋅ ⋅ ⇒
Elevando ao quadrado para encontrarmos a variância temos:
QUESTÃO 171
Redução de 30%:
107
Sem claro e escuro: 1ª cor 2ª cor 3 2
⇒⋅
3 2 = 3 possibi possibilidade lidadess 2
Com claro e escuro:
2 × 3 = 6 pos possi sibi bili lida dade dess
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Branco e preto: 2 possibilidades (branco ou preto)
108
metade superior. Portanto, antes de analisarmos quem é a mediana, devemos ordenar os números em ordem crescente. A tabela abaixo traz esta ordenação: ord enação:
Logo, somando todas as possibilidades temos: 3 + 6 + 3 + 6 + 2 = 20 possibildades
1º
2º
3º
Jan
Jul
181419
181796
4º
6º
7º
Out Fev Jun Jun
Set
Mar Mai Ago Abr
204804
246875
266415
209425
5º
212952
8º
9º
298041
10º
299415
305068
Alternativa B Comentário: O ponto chave da questão é compreendermos que tanto as cores primárias quanto as cores secundárias poderão ser representadas sem e com os tons claros e escuros. Logo, tanto para cores primárias quanto cores secundárias, existirão 9 possibilidades de representação.
Como a amostra tem número par de dados, devemos encontrar a mediana calculando a média aritmética dos dois termos centrais que no nosso caso são o 5º e o 6º elementos. E assim:
Conteúdos envolvidos: Princípio Fundamental da Contagem.
Med =
QUESTÃO 174 Como a soma será proveniente dos números dos lados superiores dos dados, existe um conjunto de possibilidades para que resulte na soma que cada um dos três acredita que sairá. Sendo assim, vamos analisar separadamente cada um: José → Soma 7
→
{(1,6) 1,6); (2,5) 2,5); (3,4) 3,4); (4,3) 4,3); (5,2) 5,2); (6,1) 6,1)} 6 possibilidades
Paulo
soma 4
{(1,3) 1,3); (2,2) 2,2); (3,1) 3,1)}
Antônio
→
212 212 952 952 + 246 246 875 875 459 827 = 2 2 Med Me d = 229 229 913, 913,5 5
⇒
Como o enunciado pede somente a parte inteira, devemos considerar apenas o número 229 913.
Alternativa B Comentário: Nesta questão, várias alternativas podem levar alunos desatentos ao erro. Ao considerar somente o valor de junho, a resposta seria 212 952, 952, alternativa A. Ao considerar o termo central da amostra o mês de maio (5º mês entre os 10 listados) a resposta seria 298 041, 041, alternativa E. Conteúdos envolvidos: Mediana.
3 possibilidades
soma 8
{(2,6) 2,6); (3,5) 3,5); (4,4) 4,4); (5,3) 5,3); (6,2) 6,2)}
QUESTÃO 176
→
5 possibilidades
Como a questão sugere uma comparação, vamos calcular o volume do cubo antes e depois do cozimento para então verificar qual a porcentagem da variação:
Logo, existe maior possibilidade de José acertar a soma dos dados.
Conteúdos envolvidos: Contagem
QUESTÃO 175 Conceitualmente, temos que, em uma amostra ordenada de dados, a Mediana é o valor que separa a metade inferior da
Depois
Antes
Alternativa D Comentário: Como as alternativas somente analisam as possibilidades, não tivemos que calcular as probabilidades. Neste caso, precisaríamos calcular o espaço amostral que seria 6 possibilidades para cada um dos dois lançamentos, logo 6 × 6 = 3 6 possibilidades.
Como a redução é de 20%, a aresta terá 80% do seu valor inicial e, portanto, sua medida de passará para , .
Volume antes:
=
0,8
0,8
Volume depois:
=( , = ,
) =
0,8
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Redução do volume: (utilizando regra de três simples):
3
3
⇒ 3⋅
3⋅
Como o volume variou de a para 0,512a então a redução foi de:
3− 3 33−
a
3
0,512a = 0,48 0,488a 8a
− 3 ⇒⇒ ⋅ 3⋅ ⇒
a 0,488a
100% a x = 0,488a x (0,488a 100%) 100%) x= a x = 0,488 100% x = 48,8%
100%
Comentário: O valor procurado refere-se a diminuição do volume, ou seja, 0,488a , que representa 48,8% do volume V. Portanto, não se deve confundir com a alternativa D, que diz 51,2% menor que V. Neste caso, o volume teria diminuído para 0,488a , o que significaria que as arestas teriam ficado com medida 0,488 0,488a.
3 3
√
Conteúdos envolvidos: Volume de um cubo e porcentagem.
QUESTÃO 177 Vamos analisar a relação entre a área da superfície corporal (A) e a massa (m) e verificar por quanto será multiplicada a área da superfície corporal quando a massa for . Assim, teremos:
2 ⋅3 2 2 2 ⋅ 32 ⋅ 3 ⋅ 3 2 ⋅ 2 ⋅ 23 ⋅⇒ √ ⋅⋅ ⋅3 ⇒23 ⋅ ⋅ 3
:
A=k m
Para massa
64 64 m
A=
8
m
=k
8
m
A=k 4 m
k m
Portanto, a área da superfície corporal, quando a massa é multiplicada por 8, ficará multiplicada por 4.
Alternativa B Comentário: A questão basicamente envolve propriedades de potenciação e radiciação, onde o aluno deve saber
resolver a potência (8m) 8m) e transformar em radical o
número 8 .
anual
=
anual
=
M
⋅
5,9+6,2+4,5+5,5 = 4
1 (5,9+6,2+4,5+5,5) 5,9+6,2+4,5+5,5 ) (aplicando a distributiva) distributiva) 4
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1 1 1 1 5,9 5,9 + 6,2 + 4,5 4,5 + 5,5 4 4 4 4
Entendendo esta expressão como uma multiplicação de matrizes teremos:
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1 1 1 1 + 6,2 6,2 + 4,5 4,5 + 5,5 5,5 = 4 4 4 4 1 4 1 [5,9 6,2 4,5 5,5] 4 1 4 1 4
5,9
Estendendo este raciocínio para as demais disciplinas para encontrar a matriz média anual, o aluno deverá multiplicar a matriz média bimestrais pela mesma matriz coluna que utilizamos para a disciplina matemática. A questão já está respondida, a alternativa correta é a letra E, mas a título de curiosidade vamos escrever como ficaria a expressão para obter-se a matriz média anual:
:
A = k (8m) 8m) = k
=k
aluno deve somar as 4 médias bimestrais referentes à esta disciplina e dividir o resultado por 4. Para ilustrar o processo, vamos utilizar como exemplo a disciplina matemática e a expressão para sua média anual, mas sem resolvê-la:
M
Alternativa C
Para massa
109
Conteúdos envolvidos: Propriedades de potenciação e radiciação.
QUESTÃO 178 Esta questão iremos resolver de trás para frente. Para calcular a média anual de uma determinada disciplina, o
5,9 6,6 8,6 6,2
6,2 7,1 6,8 5,6
4,5 6,5 7,8 5,9
⎡⎤
1 4 5,5 1 8,4 4 9,0 1 7,7 4 1 4 1 5,9 + 6,2 6,2 4 1 6,6 + 7,1 7,1 4 = 1 8,6 + 6,8 6,8 4 1 6,2 + 5,6 5,6 4 5,525 7,15 = 8,05 6,35
⋅
⎣⋅ ⎦ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1 + 4,5 4,5 4 1 + 6,5 6,5 4 1 + 7,8 7,8 4 1 + 5,9 5,9 4
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1 + 5,5 4 1 + 8,4 4 1 + 9,0 4 1 + 7,7 4
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1 4 1 4 1 4 1 4
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Logo as médias anuais deste aluno nas quatro disciplinas foram: Disciplina
Média anual
Matemática
5,525
Português
7,15
Geografia
8,05
História
6,35
necessário, pois o enunciado fornece todas as informações necessárias para que o aluno a deduzisse. Conteúdos envolvidos: Dedução de fórmulas e gráfico de uma função quadrática.
QUESTÃO 180 Nesta questão devemos transformar a longitude representada em graus, minutos e segundos para a representação decimal. Logo, basta que olhemos para a parte fracionária do número 124° 3’ 0’’, ou seja para os 3’ (3 minutos) e 0’ (0 segundos)
− − ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⇒ 0′′
Alternativa E Comentário: A questão exigiu do aluno a interpretação da multiplicação de uma uma dada matriz por uma uma matriz coluna. Porém, antes disso, foi necessário que o aluno percebesse que, por tratar-se de uma média anual, o cálculo a ser realizado seria dividir a soma das quatro médias de todos os quatro bimestres por 4, o que equivale a multiplicar a soma por .
14
Conteúdos envolvidos: Média aritmética e Multiplicação de matriz
QUESTÃO 179 A questão estabelece a interdisciplinaridade entre a matemática e a eletrodinâmica da Física. O enunciado explica a relação da potência (P) de um chuveiro elétrico entre as grandezas resistência elétrica (R) e corrente elétrica (i) envolvidas. E explica ainda que o consumo de energia elétrica (E) é diretamente diretamente proporcional à potência. Logo, chegamos à seguinte relação:
⋅2 ∴ ⋅2
P=R i e E=P
E=R i
Agora devemos encontrar qual gráfico representa a relação entre a energia consumida (E) por um chuveiro elétrico e a corrente elétrica (i) que circula por ele. Portanto, a função procurada é:
2 ⋅ E(i) = R i çã
110
á
á
é
é
Em se tratando de uma função quadrática devemos lembrar que o gráfico que a representa é uma parábola.
Alternativa D Comentário: É importante ressaltar que por se tratar de um assunto da Física, fórmula da potência elétrica, o aluno pode concluir que para resolver a questão seria fundamental que ele a soubesse previamente. É evidente que a familiaridade com a fórmula ajuda na segurança do aluno, porém não é
Minutos Graus 60 x = 3 1° 60 1° 3 x (3 1°) 1°) x= x = 0,05° 60
Segundos
Graus = 0°
Portanto, teremos:
124° 3 0 = 124° + 0,05° + 0° = 124,05°
Alternativa B Comentário: Como curiosidade, podemos elucidar a origem do sistema de unidade de graus. Herança da civilização babilônica, a qual utiliza o sistema sexagesimal de numeração, isto é, base 60. A divisão de uma circunferência era feita em 360 partes iguais. Cada uma destas partes equivale a 1°. Conteúdos envolvidos: Conversão de medidas de arcos.
