Matemática 2016 - 2do Secundaria

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” m

ARITMÉTICA CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES 

AHORA DEFINE TÚ

Fracción impropia: es aquella __________ que la _________ .

FRACCIONES PROPIAS: PROPIAS

Observa la siguiente Fracción y contesta: 

FRACCIÓN IRREDUCTIBLE

Recuerda:  numerador

=

 son partes de una fracción.



La fracción es mayor que la unidad ________



El numerador es mayor que el denominador ___

Completa:  

2 y ___ son números primos Luego:

Fracción Irreductible: es aquella cuyo ________________ y ______________ son primos entre _____.

Luego:

Recuerda: Las fracciones irreductibles no se pueden simplificar.

Fracción Propia: es aquella menor que la Unidad.  FRACCIONES EQUIVALENTES Ahora ayúdame a completar la secuencia

Observemos el siguiente: Ejemplo:

= Completa: 

=1

=

=

¿Cómo son sus términos? ____________  Las fracciones representa la __________ _______________ Luego:

Fracción Impropia

Fracción Equivalentes: Son aquellas

Recuerda:

que ___________ la misma ___________.

= 1

2do Grado de Secundaria

MATEMATICA 1

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” EJERCICIOS DE APLICACIÓN RACIONALES 1.

2.

3.

1

_________________

B.

1

_________________

C.

1

_________________

Une con flechas:

A.

,

 F. Irreductible

B.

,

 F. Propias

C.

,

 F. Impropias

D.

,

 F. Equivalentes

8.

Une con flechas:

A.

 F. Propias

B.

 F. Irreductible

C.

 F. Impropia

D.

 F. Propia

Completa y relaciona: A. N

D

Propia

B. N

D

Impropia

Completa: 1.

2.

4.

A.

La fracción ___________ que la unidad se llama fracción ___________ La fracción __________ que la __________ se llama fracción impropia

Marca con irreductibles

una

X

aquellas

9.

Coloca V o F según el caso: A. N > D es fracción irreductible B. N < D es fracción propia C. N = D es fracción impropia

fracciones

10. Marca con  las fracciones equivalentes: 5.

Completa las siguientes fracciones impropias

= 6.

=

11. Marca con  las fracciones propias y  las impropias

=

Relaciona:

A.

 2 12. Relaciona:

B. 7.

 1

Compara cada clasifícala:

fracción

con

la

unidad

y

A.

2

B.

1


MATEMATICA 2

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 13. ¿Qué fracción de la figura representa el área sombreada? a)

b)

c)

3.

Tengo un terreno, el que he dividido en cinco partes, si regalo tres partes del mismo ¿Cómo le puedo representar?

4.

¿Cuántas fracciones equivalentes hay?

I)

TAREA DOMICILIARIA a) 1 1.

II)

III) b) 2

c) 3

IV) d) 4

5. Simplificar: a) 5/12 d) 35/7

b) 7/5 e) N.A.

c) 5/7

6. Simplificar: a) 15/20 d) 17/13

b) 55/10 e) N.A.

c) 20/10

Colocar < ó > ó = según sea el caso

a)

e)

b)

f)

c)

g) 7. Hallar la fracción de a) 13/2 b) 17/2 c) 36/2

d) 2.

e) N.A.

d) 52/9

e) N.A.

h) Relacione las fracciones Unir mediante flechas.

Columna I

8.

equivalentes.

a) 3/2

Simplificar: b) -3/2

c) -2/3

d) -2

e) -3/4

Columna II 9. Hallar la fracción de: a) 47/3 b) 49/2 c) 57/2 d) 46/2 e) N.A. 10. Hallar el mixto de 13/5

a)

b)

c)

d)

e) N.A.


MATEMATICA 3

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA”

11. Simplificar: a) 36/12 d) 57/17

b) 44/50 e) N.A.

12. Hallar la fracción impropia de a) 11/5 b) 10/5 d) 3/5 e) N.A.

e) ADICIÓNDE FRACCIONES HETEROGÉNEAS

c) 77/12

Observa el Recuerda: siguiente ejemplo: F. Heterogéneas son aquellas que poseen diferentes denominadores

c) 2/5

ADICIÓN EN EL CONJUNTO

PASO Nº 1

Q

M.C.M. (3, 5, 6) = 30 

ADICIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS

PASO Nº 2

Observa el siguiente ejemplo:

x

=

x

x





= 

Solo tiene que dividir el MCM con el denominador y multiplicarlo  AHORA PRÁCTICA TÚ

=

Otra forma: Recuerda: PASO Nº 1 F. Homogéneas son aquellas que tiene el mismo denominador. M.C.M. (5, 3, 2) = 30 

PASO Nº 2

PRÁCTICA

a) También lo puedes hacer así: Sigamos, observa: esto solo es posible cuando los denominadores son primos entre sí.

b)

c)

 d)

1)

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN Conmutativa


MATEMATICA 4

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Conmutar significa cambiar de posición. C)

2)

4.

= Asociativa

Aplicando la propiedad asociativa resuelve:

A) Asociar significa Agrupar +

=

B)

+ C)

=

5.

Aplicando el método practicar resuelve:

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.

2.

B)

C) 6.

Relaciona:

A)



B)

Marcar con V ó F según sea el caso: A) En la suma homogéneas se halla el MCM( ) B) En la suma heterogéneas se halla el MCM( )

7.

Marca con X las Fracciones Homogéneas

8.

Marca con X las Fracciones Heterogéneas

9.

Une con flechas A) Conmutar significa cambiar de



C) 3.

A)

Complete: A) Aquella fracción cuyos denominadores son diferentes se llaman _______________ B) Aquella fracción cuyos denominadores son iguales se llaman __________________

 Aplicando resuelve:

la

propiedad

conmutativa

B)

A)

Asociar significa agrupar

 Posición 

10. Une con flechas B)


MATEMATICA 5


A) Homogéneas



a)

F. Homogéneas

(

)

B) Heterogéneas



b)

F. Heterogéneas (

)

c)

F. Nula

)

11. Aplicando el método asociativo resuelve:

A) 5.

(

Efectuar:

B) a) 25/4 d) 29/4

b) 27/4 e) N.A.

c) 28/4

Efectuar: a) 6/3 d) 8/3

b) 5/3 e) N.A.

c) 7/3

C) 12. Aplicando el método práctico resuelve 6. A)

B)

7.

a) 142/15 d) 145/16

C) 8.

TAREA DOMICILIARIA 1. Coloca una (X) a la respuesta correcta: ¿En la suma de fracciones heterogéneas es necesario hallar el MCD?

Si 2.

3.

Resolver: a) 64/12 d) 14/12

c) 144/15

Efectuar:

= a) 20/5 d) 25/5

No 9. b) 68/12 e) N.A.

b) 143/15 e) N.A.

b) 10 e) N.A.

c) 4

Coloca “V” ó “F” según convenga

c) 72/12 A)

F. Homogénea

(

)

B)

F. Heterogénea (

)

C)

F. Homogénea

)

Efectuar las siguientes operaciones:

a) 29/5 d) 28/5 4.

Desarrollar:

b) 29/4 e) 26/4

c) 29/3

Coloca V ó F según corresponda:



(

RESOLVER:


MATEMATICA 6


10.

=

= 

PRÁCTICA

A) 11.

=

X X 12.

X

=

X X

B) 13.

X X

=

 14.

=

SUSTRACCIÓN HETEROGÉNEAS

DE

FRACCIÓN

Mira atentamente el siguiente ejemplo:

15.

= PASO Nº 1

SUSTRACCIÓN EN EL CONJUNTO Q 

SUSTRACCIÓN HOMOGÉNEAS

DE

MCM (7, 8) = 56 PASO Nº 2

FRACCIÓN

(X)

Observemos el siguiente ejemplo:

X



AHORA PRÁCTICA TÚ

X

La solución es muy parecida a la suma de heterogén

-

PASO Nº 1

=

MCM(7, 6) = 42 También podemos resolverlo así: PASO Nº 2


MATEMATICA 7

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” B)

C)

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.

Coloca V ó F según convenga: A) La propiedad conmutativa aplica en la sustracción. ( ) B)

2.

6.

se

A)

La propiedad asociativa se aplica en la sustracción ( )

B)

C)

Coloca V ó F según convenga:

7.

A) En la sustracción de F. Homogéneas es necesario, hallar el M.C.M. ( ) B)

3.

En la sustracción de F. Heterogéneas no es necesario hallar el M.CM. ( )

X X

Une con flechas:

A)

 Heterogéneas

B)

 Homogéneas

8.

Completa:

X

Resuelve:

Marque lo incorrecto:

A)

X

B)

4.

Resuelve:

C) 9.

Gráfica las siguientes sustracciones:

A) A) B) B) C) 5.

C)

Resuelve:

10. Une con flechas: A) Homogéneas A)

B) Heterogéneas

 No MCM (

)

 Si MCM (

)


MATEMATICA 8

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA”  11. Resuelve:

7.

A)

a) 1 d) 5

b) 3 e) N.A.

B) 

C)

c) 4

Efectuar:

8.

TAREA DOMICILIARIA 1.

Desarrollar:

a) 35 d) 75

Colocar (V) ó (F) según convenga: A) En la sustracción homogénea se coloca el mismo denominador. ( ) B) En la sustracción se puede aplicar la propiedad asociativa. ( ) 

9.

EFECTUAR:

b) 45 e) N.A.

Para restar fracciones __________ restamos los __________ y conservamos el mismo ___________ a) Homogéneas – denominadores – signo b) Heterogéneas – numeradores – denominadores c) Homogéneas – signos – denominadores d) N.A.

 2.

c) 55

Efectuar:

=

10. 3.

=

11. 4.

=

5.

6.

12.

=

Desarrollar:

13. a) 5 d) 12

b) 6 e) N.A.

c) 7


MATEMATICA 9

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 1

2 2

14.

15.

a) 237/101

1 1

1 7

1 1

1 3

b) 227/101

d)

c) 217/101

207/101

e) 247/101

4. Simplificar: 2 1 3 5 3 4 4  7 11  5 3     1 1  20 2  5 4 5 4 1 24 2

16.

2

COMPLEMENTO DE FRACCIONES.

1. Reducir a fracción ordinaria: 1

1 4

a)

1 1

a)

1

d)

4 e)

1

2

1 5

1 1 1 3 2 3 2 1 1 2 2  3 5 1 6 6

1

e) 124/121

2. Reducir a fracción ordinaria:

1 1 3

5

5. Simplificar:

b) 151/124

121/124

2

3

1

c) 141/12

3

2 c)

1

131/124

d)

b)

a)

1

b)

d)

4 e)

1 47    23   2 12 

2 c)

3

5

1 4

1 1

1 5

6.

A una soga de 95 metros se le

hace dos cortes, tal que cada uno sea igual al anterior aumentado en su mitad. Hallar la longitud

a) 748/215

b) 708/215

d) 738/215

e) 728/215

del trozo más largo.

c) 718/215

a)

20 m

b) 45

30 d)


35 e)

40


MATEMATICA 10

c)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 7.

Gasté los 3/4 de mi dinero,

un depósito en 2 minutos. ¿En cuánto tiempo puede

luego los 5/6 del resto y aún me queda S/.200.

llenar los 5/13 del depósito?

¿Cuánto gasté? a)

a) S/.4 400

b) 4 700

c)

4 500

b) 15

5

4 600 d)

10 min

d)

6 e)

8

e) 4 800


¿Cuál es la fracción que dividida


por su inversa resulta 144/625? a)

3/4

b) 9/16

c)

4/25 d)

12/25

2 e) 12/15

a) 1/2 d)

9.

1

1

1 2

b) 2/3

c) 3/2

7/5

e) 5/2

“A” y “B” pueden hacer una obra

en 15 días, “B” y “C” en 12 días y “A” y “C” en 10 días. Trabajando los tres juntos, ¿en cuántos días harían


dicha obra? a)

8 b)

10 c)

d)

6 e)

4

1

a) 8/5

10.

1

2

2

Los 2/3 de un tanque se pueden

d)

llenar en 8 horas. ¿En cuánto tiempo se podrá llenar

1 1

1 2

b) 9/8

c) 11/2

13/5

e) 12/5

la tercera parte del tanque? a)

8 hb)

6 c)

d)

4 e)

1

3


1

0 1

11.

Un caño puede llenar un depósito

en 3 horas y otro lo puede hacer solo en 4 horas. Si el depósito está vacío y abrimos los dos caños a la vez, ¿en cuánto tiempo se llenará los 7/12 del

1 2

1 3

a)

3/7b)

4/7c)5/7

d)

7/9e)

7/10

depósito?

12.

a)

1 h b)

2 c)

d)

4 e)

5

3

4. Simplificar:

1 2 1   3 5 30 23 30

Un caño puede llenar los 2/13 de


MATEMATICA 11

c)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” a)

1

b)

d)

4 e)

2 c)

3

necesitan para hacer dicha obra?

5

a)

10 días

b) 12

c)

15 d)

5. Simplificar: 2 4  3 6 5 7 1 1  1 1 5 3

16 e)

10.

18

Una tubería “A” puede llenar un

tanque en 6 horas y otra tubería “B” de desagüe la puede vaciar en 8 horas. Estando vacío el tanque, se abren “A” y “B” el lunes a las 9 a.m. ¿Cuándo se llenará?

a)

1

b)

d)

4 e)

2 c)

3

a) c)

5

Lunes 9 p.m. Martes 9 p.m. e)

b) d)

Martes 9 a.m Miércoles 8 a.m. Martes 6 a.m.

11. Reducir a fracción ordinaria: 6.

¿Cuánto le falta a los 2/3 de 3/5

para ser igual a 3/4 los de 4/7?

1

2 3

a)

1/15

b) 1/35

c)

1 1

1/25 d)

1/20

e) 1/30

a) 21/9 d)

7.

1 1

1 2

b) 41/18

c) 43/18

11/9

e) 40/18

¿Cuánto le sobra a 5/7 de 2/5

de 3/4 de 7 para ser igual a la mitad de los 4/3 de 12. Reducir a fracción ordinaria:

3/5? a)

9/8

b) 11/10

c) 7/6 d)

8.

5/4

1

0 2

3

e) 12/11

Un recipiente contiene 24 litros

de alcohol y 36 litros de agua. Si se extrae 15 litros de la mezcla, ¿cuántos litros de alcohol quedan? a)

21 b)

15 c)

d)

18 e)

24

1 4

1 2

a) 39/57

b) 19/57

c) 27/67

d)

29/67

e) 27/69

16 13. Reducir a fracción ordinaria: 1

1

9.

1

5

Zoila puede hacer una obra en 21

días mientras que Charito tarda 28 días para hacer la misma obra. Si trabajan juntas, ¿cuántos días

1 4

1 1

1 3


MATEMATICA 12


118/99

b) 108

c)

78/99 d)

128/99

A . N ú m e r o d e c im a l e x a c t o

N ú m e ro d e c im a l

B . N ú m e r o d e c im a l in e x a c t o

B . 1 D e c im a l p e r ió d ic o p u r o B . 2 D e c im a l p e r ió d ic o m ix t o

e)

88/99

A. Número decimal exacto Dada la fracción irreductible:

f 

EXPRESIONES DECIMALES Número decimal Es la expresión lineal de una fracción ordinaria o decimal que se obtiene al dividir el numerador por el denominador. Ejemplos:

a

La fracción "f" dará origen a un decimal exacto, cuando el denominador "b" tenga como divisores primos sólo a 2 y/o 5. Ejemplos:

1 =0,2 ; que resulta de dividir: 15 5

1  0 ,2 5 4 2

2 3

p r im o s e n tr e s í

b

2 c if r a s d e c im a l e s e x a c t a s

2

= 0,666…; que resulta de dividir: 23

p o rq u e 1  4 = 0 ,2 5

7  0 ,2 8 25

7 =0,4666 … ;que resulta de dividir: 7 15 15

5

2

2 c i f r a s d e c im a l e s e x a c t a s

Observación: Bastará conocer cuál es el mayor exponente de 2 ó 5 en el denominador de la fracción

Valor de posición de las cifras de un número decimal

irreductible para saber cuántas cifras decimales exactas tendrá el número decimal.

72 , 291 p a r t e d e c im a l

B. Número decimal inexacto Le llamamos así, a aquél que tiene un número ilimitado

c o m a d e c im a l p a rte e n te ra

de cifras decimales. Estos números decimales pueden

Tabla de los principales valores de posición p a rt e e n te r a

ser, a su vez, de dos tipos:

B.1.

p a rt e d e c im a l

5°

4°

3°

2°

1°

3

8

7

2

9

,

1°

2°

3°

4°

5°

4

5

2

7

2

d e c e n a d e m i l la r u n id a d d e m i l la r c e n te n a s decenas

f 

c ie n m il é s im o s d ie z m i l é s i m o s m i l é s im o s c e n té s i m o s

u n id a d e s

Decimal periódico puro Dada la fracción irreductible:

a b


La fracción "f" dará origen a un decimal periódico puro cuando el denominador "b", no tenga como divisores primos a 2 y/o 5.

d é c im o s

Ejemplos:

c o m a d e c im a l

Clasificación de los números decimales


MATEMATICA 13


p e r ío d o : 6 ; r e p r e s e n t a c ió n : 0 , 6

 0 ,6 6 6 6 ...

3 5

 0 ,4 5 4 5 4 5 ...  0 ,4 5

11 1

 0 ,1 1 1 1 ...  0 ,1

9

B.2.

a

f 

O b s e r v a c ió n : E l d e c im a l p e r ió d ic o p u r o e s a q u é l e n c u y a p a r t e d e c im a l a p a r e c e u n a c if r a o u n g r u p o d e c if r a s lla m a d o P E R Í O D O q u e s e r e p it e in d e fi n id a m e n t e a p a r t ir d e la c o m a d e c im a l.

A.2.

la parte entera NO NULA lo desdoblamos para, luego, efectuar una suma final, así: Ejemplo: Hallar la fracción generatriz de 4,25. Resolución: • Desdoblamos el número así: 4,25 = 4 + 0,25

Decimal periódico mixto Dada la fracción irreductible:

p r im o s e n t r e s í

b

•

p a r t e n o p e r ió d ic a : 8 p e r ío d o : 3 r e p r e s e n t a c ió n : 0 , 8 3

 0 ,8 3 3 3 3 . . .

6 17

 0 ,3 7 7 7 7 . . .

45

Escribimos la fracción

generatriz de la parte decimal:

La fracción "f" dará origen a un decimal periódico mixto cuando el denominador "b", tenga como divisores primos a 2 y/o 5 y otros. Ejemplos: 5

Cuando el número decimal tiene

 0 ,3 7

4,25  4 

25 100

• Finalmente, volvemos a sumar, pero ahora como una suma de fracciones: 1 4,25  4  4

O b s e r v a c ió n : D e c im a l p e r ió d ic o m ix t o e s a q u é l c u y o p e r ío d o e m p ie z a lu e g o d e u n a c if r a o g r u p o d e c if r a s d e s p u é s d e la c o m a d e c im a l. A e s t a c if r a o g r u p o d e c if r a s le lla m a m o s PA R T E N O PER IÓ D ICA .

4,25 

La fracción generatriz de 4,25 es

17 4

17 4

.

Fracción Generatriz * Todo número decimal tiene su equivalente en forma de fracción. La fracción que genera un decimal se llama FRACCIÓN GENERATRIZ.

4 ,2 5 

Observación: Otro método

425 100



17 4

x

2

5

x

5

2



17 4

2 c if r a s

A. Generatriz de un número decimal exacto

B.

Generatriz de un número

decimal periódico puro A.1.

Cuando el número decimal tiene

la parte entera nula:

Hallar la fracción generatriz de 0,454545... Resolución: • En el numerador de la fracción, escribimos el período es decir 45. • En el denominador de la fracción, escribimos TANTOS NUEVES COMO CIFRAS TENGA EL PERÍODO. En este caso el período 45 tiene dos cifras entonces en el denominador escribimos: 99

Ejemplo: Hallar la fracción generatriz de 0,24. Resolución: • En el numerador escribimos 24 • En el denominador escribimos 1 seguido de dos ceros (porque la parte decimal tiene dos cifras): 100 •

Luego la fracción será:

24 100

•

0 ,4 5

• Como 24 y 100 no son primos entre sí, podemos simplificar la fracción:

24 100



3 2 2 2

5  2

2

2



•

6

6 25

Simplificando:

¿ 5 x9

45 99 5

= 0 ,4 5 = 11 x 9 11

25

La fracción generatriz de 0,24 es

Luego la fracción será:

.


MATEMATICA 14

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 5 11

La fracción generatriz de 0,4545...es

*

son primos entre sí; calcular "a+b". .

a) 38 d) 41 Resolución:

Observación: Si un número

b) 37 e) 47

Hallamos la fracción generatriz de 0 , 2 3 . 23 - 2 0 ,2 3  90

decimal periódico puro tiene parte entera distinta de cero (Ejemplo: 2,4545...) se puede hacer de dos formas:

21

0 ,2 3  I.

2 ,4 5 4 5 ... = 2 ,4 5

II.

2 ,4 5 4 5 ... = 2 ,4 5

= 2 + 45 99 = 2 + 5 11 2 ,4 5 = 2 7 11

C.

=

27 11

2 ,4 5 =

27 11

x x

7 30



a b

a = 7 b = 30

2.

Hallar la fracción generatriz de:

Indicar cuál de las fracciones

generatrices de los números decimales:

0 ,2 4 8 0 8 0 8 0 ... = 0 ,2 4 8 0

I. 0,24 II. 0,333...

Resolución: • En el numerador de la fracción generatriz, escribimos la PARTE NO PERIÓDICA seguida de la PARTE PERIÓDICA menos la PARTE NO PERIÓDICA: 2480 - 24

III. 0 , 2 5 tiene mayor denominador, sabiendo que son fracciones irreductibles. a) I d) I y II

• En el denominador, escribimos tantos NUEVES como cifras tenga el PERÍODO seguido de tantos CEROS como cifras tenga la PARTE NO PERIÓDICA, es decir: 9900 • Entonces la fracción generatriz será:

2480  24

c) III

Resolución:

PROBLEMAS PARA LA CLASE

2456



9900

b) II e) I y III

1. Simplificar la siguiente expresión:

9900

Descomponiendo los términos y simplificando:

0 ,2 4 8 0 

307  2  4 9 11  5

2

 4

La fracción generatriz de 0 , 2 4 8 0



614

F

2475

es:

614 475

(0,5  0,666...  0, 0555...)(0, 9) (3,111...) - (2,0666...)

y dar la suma de sus términos. a) 47

Si: 0,2

b) 45

85

PROBLEMAS RESUELTOS

1.


 a + b = 37

decimal periódico mixto

•

30

Según dato:

9 9

Generatriz de un número

0 ,2 4 8 0 

90 7

0 ,2 3 

2 ,4 5 = 2 4 5 - 2 99 243 = 99

2 ,4 5 = 2 + 0 ,4 5

c) 39

3^

=

a b

d)

92 e)

93

; "a" y "b"


MATEMATICA 15

c)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 2. Si:

1 47

a)

3 b)

4 c)

d)

7 e)

8

3.

x z   1,03636... 11 5

= 0 , a b . . . x ; hallar "x".

Calcular el valor de “x + z”

6

a)

6 b)

7 c)

d)

9 e)

10

8

¿Cuántas fracciones propias e

irreductibles existen que tengan por numerador un

8. ¿Cuántas fracciones cuyos términos sean enteros

número impar y por denominador 49? a)

24 b)

consecutivos, son menores que

23 c)

65 77

?

22 d)

4.

21 e)

20

a)

1

b)

d)

4 e)

2 c)

3

5

¿Cuántas fracciones

irreductibles de denominador 72 existen, tales que

9. Hallar “a + b”, en:

sean mayores que 1/8 pero menores que 1/3? a)

2 b)

3 c)

d)

5 e)

6

a b   0,969696... 11 3

4 a)

5 b)

6 c)

d)

8 e)

9

7

5. ¿Qué fracción impropia sumada con su inversa resulta 2,2666...?

a)

3/5 c) 4/5

b) 5/3

d)

5/3

e) 7/5

6.

10. Calcular la fracción equivalente a:



¿Cuántas fracciones

equivalentes a 3/5 cumplen la siguiente condición:

2,333...  0,58333...

a) 5

1 2

b) 5

d) 5

1 16

e)

1 8



2

c) 5

1 4

25 < numerador < 39 35 < denominador < 51 ? a)

1

b)

d)

4 e)

2 c)

7 3

3 11. Calcule el valor de:

5

     0 ,2 3  0 ,3 4  0 ,4 5  0 ,5 6  0 ,6 7 F       0 ,2  0 ,3  0 ,4  0 ,5  0 ,6

7. Siendo “x” y “z” enteros positivos y además:


MATEMATICA 16


1,40

b) 1,025

c)

2. Hallar la fracción generatriz de 1,186

1,250 d)

1,45

12.

593 500

a)

e) 1,405

b)

593 1000

Si la fracción 18/247 origina un

186 100

c)

número decimal inexacto periódico puro, ¿cuál es la última cifra del periodo? a)

2 b)

3 c)

d)

5 e)

6

1186 500

d)

4

e)

186 1000

13. Simplifique la siguiente expresión:

F 

    1 ,2  2 ,3  3 ,4  . ..  7 ,8     0 ,2  0 ,3  0 ,4  . ..  0 ,8

3. Hallar la fracción generatriz de 0,33...

a)

7,2b) 2/5

c) 8,2

d)

0,72

e) 0,82

1 2

a)

b)

c) 14.

¿Cuántas fracciones propias

d)

menores que 9/11 cuyos términos son números

1 3

1 4

1/5

e) 1/6

enteros consecutivos existen? a)

1 d)

b)

4

2 c)

e)

3

4. Hallar la fracción generatriz de 2 , 0 0 9

5

222 111

a)

TAREA DOMICILIARIA c) 1. Hallar la fracción generatriz de 0,018

a)

18 1000

b)

9 500

d)

c)

b)

209 111

223 111 219 111

e)

232 111

8 1000 5. Hallar la fracción generatriz de 0 , 1 2 3 . d)

18 100

e)

18 10

a)

123 1000

b)

123 999


MATEMATICA 17

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” c)

41 333 43 999

d)

9. Hallar la fracción generatriz de 1 , 7 6

a)

41 999

e)

d)

55 111

b)

557 111

557 990

c)

57 11

e)

518 990

d)

a)

b)

16 45

c)

176 999

554 275

d)

e)

e)

16 99

8. Hallar la fracción generatriz de 0 , 2 3 6

71 300

b)

236 990

c)

236 999

d)

71 333

214 300

b)

c)

e)

201 990

1. Efectuar:

0 ,4 + 0 ,5 0 ,3

F =

a)

c)

20145 9999

30 99

d)

176 990

2145 1000

7. Hallar la fracción generatriz de 0 , 3 5

35 99

53 30


a)

35 100

b)

176 1000


a)

58 30

a)

1

b)

d)

1/3

2 c)

3

e) 1/5

2. Efectuar:

e)

236 1000

E =

a)

0, 5^ 0, 2^

+

0, 1^ 0, ^4 11/4

b) 12/5

9/4


MATEMATICA 18

c)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” d)

7/4

e) 3/4

A. Adición y Sustracción de números decimales * Si se trata de decimales exactos, buscamos que tengan la misma cantidad de cifras en la parte decimal completando con ceros.

3. Simplificar:

* Si se trata de sumar o restar 6,83 con 11,8752, entonces, igualamos la cantidad de cifras de la parte decimal, es decir: 6,8300 con 11,8752.

0 ,5 + 0 ,4 1 ,5 - 0 ,2 a)

10/13

b) 13/10

c)

* Al sumar o restar, escribimos un número bajo el otro cuidando que la COMA DECIMAL esté ALINEADA, para luego proceder a operar como si se tratara de números enteros.

12/5 d)

5/12

e) 20

* En el resultado, volvemos a escribir la COMA DECIMAL en la misma línea vertical que las demás.

4. Simplificar:

Ejemplos: Efectuar: 7,3 + 15,18 + 2,0156 • Completando con ceros a la derecha de la parte decimal: 7,3000 + 15,1800 + 2,0156

E = (0,1). ( 0 , 1 2 ). 900 a)

11 b)

12 c)

d)

14 e)

15

13

•

Escribiendo uno bajo el otro: 7,3 0 0 0 + 1 5 ,1 8 0 0

5. Simplificar:

2 ,0 1 5 6 2 4 ,4 9 5 6

)

)

1 4 4  0 ,4  0 ,3  3 2 ,5  0 ,1

L a c o m a co n se rva e l lu g a r d e l a s d e m á s

Efectuar: 0 ,3 + 2 ,5 + 1 ,6

a)

2 b)

2,5c)

d)

1

5,2

e)

5

5 6  2  1  9 9 9 3 5 6  3 9







6. Simplificar:

F = ( 0 ,5 ) ( 0 ,1 3 ) + a)

0,1 b)

0,21

14 9

41 9



3 1

 4 ,5 5 5  4 ,5

* Operaciones sustracción

0 ,0 0 2 0 ,0 1 5

combinadas

de

adición

Efectuar: 7,8 - {6,5 + 3,2 + [5,1 - (7,8 + 2,2 - 1,3)]}

0,2c)

0,12 d)

3

= 7,8 - {6,5 + 3,2 + [5,1 - 7,8 - 2,2 + 1,3]} e)

0,32

= 7,8 - {6,5 + 3,2 + 5,1 - 7,8 - 2,2 + 1,3} = 7,8 - 6,5 - 3,2 - 5,1 + 7,8 + 2,2 - 1,3

OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES.


MATEMATICA 19

y

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” (0,03  0,456  8)  6 25,458

= ( 7 ,8 + 7 ,8 + 2 ,2 ) - ( 6 ,5 + 3 ,2 + 5 ,1 + 1 ,3 )

    

      

1 7,8

1 6 ,1

1 ,7

B.

a)

1

b)

d)

4 e)

2 c)

3

5

Multiplicación y Potenciación de

números decimales. 2. Efectuar:

Para multiplicar decimales exactos, operamos como si

(8,006  0,452  0,15)  0,1 (8  0,1  0,32)  4

se tratara de números enteros. La cantidad de cifras en la parte decimal del resultado es la SUMA de la cantidad de cifras decimales de los factores.

a)

Ejemplo: Efectuar: (-2,53) x (3,4) Multiplicamos los signos y los números sin las

0,28

b) 0,2168

c)

261,8 d)

2,618

e) 26,18

COMAS DECIMALES: (-253)(34) = -8602 En el resultado separamos TRES decimales (2 + 1) a

3. Efectuar:

partir de la derecha.

0,5  3  0,6  0,03  0,5 0,08  8  0,1  0,1  0,01

(-2,53)(3,4) = -8,602 * Para multiplicar POTENCIAS DE BASE DECIMAL, operamos como si se tratara de potencias de números enteros, considerando que el resultado tiene una cantidad de cifras de la parte decimal igual al producto de multiplicar el exponente por la cantidad de cifras de la parte decimal de la base.

a)

d)

0,2e)

0,22

4. Efectuar: (8,3  0,05)  (4,25  3,15) 0,04  0,4  0,006  0,6  7,04

Efectuar: 13,5  7 Multiplicamos ambos términos por 10

135 70 7 0 1 ,9 2 650 630

22 c)

222

C. División de números decimales * Para esto, multiplicamos el DIVIDENDO y DIVISOR por la unidad seguida de tantos ceros como sea posible, para transformar los números decimales en enteros. Ejemplo:

 135  70

2 b)

a)

1

b)

d)

4 e)

2 c)

3

5

(división de enteros) 5. Efectuar:

R e s p u e sta

4  0,01  3  0,001  0,1  0,01 4  0,01  3  0,001  1704,957

200 140 60


a)

1

b)

d)

4 e)

2 c) 5

1. Efectuar:


MATEMATICA 20

3

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 6. Efectuar:

0,3 5 0,5  0,32 0,001 2

 1 1 1     0,3    0,1 0,01 0,001

a)

3 b)

a)

33 c)

6,315

333 d)

0,3e)

b) 631,25

6,31 d) 63,1

0,33

e) 631,5

11. Simplificar: (2  0,16  0,115)  3 (0,336  1,5  0, 609)  0, 4

7. Efectuar:



8 0,15    0,01  0 , 16 0,5    a)

4,971

b) 49,71

12. Simplificar:

c)

497,1 d)

0,4971

 0,05 3    2  3,20   0,15 0, 4     0,16    0,532  7,15 0, 4    0,1   

e) 4971

8. Efectuar:

 0,06 0,052  6     0 , 36 0 , 3 2   3

13. Efectuar: 1 + 1 1 22 2

0 ,3 6 +

a)

45,2

b) 4,52

c)

0 ,3

452 d)

0,452

14. Simplificar:

e) 0,00452

0 ,1 8 -

1 15

0,03 0,56 3 0,0056   0,564 32 3 0,16

6,16

0 ,0 3 6 -

1 500

b) 0,616

15. Simplificar: 0 ,2 4 + 1 + 0 ,2 3

c)

61,6

1 1 4

3 + 0 ,1 5 3

0,0616 d)

+ 1 2

9. Efectuar:

a)

 0 ,3

e) 616

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Efectuar:

10. Efectuar:

(0,5 + 0,76) x 5


MATEMATICA 21

c)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 500 a)

6,3b)

d)

63 c)

5 000

e) 0,5

0,63 d)

0,063

e) 630

7. Efectuar:

2. Efectuar:

0,64  16 (8,35 + 6,003 + 0,01) x 0,7

a)

11,05

b) 10,55

a)

1,005

4 c)

40

c)

100,541 d)

0,4b)

d)

0,04

e) 400

e) 10,0541 8. Efectuar:

3. Efectuar:

0,729  9 (14 + 0,003 + 6) x 9

a)

18,027

a)

18,27

81 c)

8,1

b) 180,027 c)

180,27 d)

18 b)

d)

0,81

e) 0,081

e) 1802,27 9. Efectuar:

4. Efectuar:

0,132  132 (0,75 - 0,3) x 5

a)

2,25

a) b) 22,5

225 d)

5,25

1

b)

0,1 c)

0,01

c) d)

0,001

e) 10

e) 52,5 10. Efectuar:

5. Efectuar:

0,893  19 12  0,003

a)

4 b)

a)

0,4 d)

400

4,7b)

47 c)

0,47

40 c) d)

0,047

e) 0,407

e) 4 000 11. Efectuar:

6. Efectuar:

0,3 + 0,5 - 0,17 93  0,0186

a)

5 b)

a)

6,3b)

0,63 c)

0,063

50 c)


MATEMATICA 22


0,603

e) 0,36 17. Efectuar:

12. Efectuar:

14 x 0,08 0,76 + 31,893 - 14

a)

8,653

a) b) 18,653

86,53

d)

1,012

e) 11,22

18. Efectuar: 0,64 0,04

8 - 0,3 + 5 - 0,16 - 3 + 14,324 2,386

b) 2,38

c)

23,864 d)

238,6

a)

1,6 b)

0,16 c)

d)

160

e) 1,06

e) 23,683

NUMERACIÓN 14. Efectuar: Principios fundamentales

(8 + 5,19) + (15 - 0,03) + (80 - 14,784) a)

9,97

b) 9,37

1. Del orden Toda cifra en el numeral tiene un orden, por

c)

93,76 d)

9,33

convención se enumera de derecha a izquierda. e) 93,376

Ejemplo: 15. Efectuar: 50 - (6,31 + 14) a)

29,69

b) 2,96

c)

Lugar

1º

2º

3º

4º

N ú m e ro

1

9

9

8

O rd e n

4

3

2

1

29,6 d)

26,9

e) 26,96 Ejemplo: 2 1

16. Efectuar:

O rd e n 2 (decenas)

0,15

b) 1,5

3 ( c e n te n a s )

c)

4 ( m il la r e s )

0,015 d)

4 5

1 ( u n id a d e s )

0,5 x 0,3 a)

c)

e) 18,356

13. Efectuar:

a)

b) 1,12

112

c)

186,53 d)

11,2

15 e)

0,0015


MATEMATICA 23

16

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 2. De la base Es un numeral referencial que nos indica como se

Regla de los signos. En una igualdad de dos numerales a mayor numeral aparente le corresponde menor base.

agrupan las unidades de un orden cualquiera para formar la unidad colectiva del orden inmediato superior.

*

Ejemplo:

+ 3 2 (x) = 1 2 0 (z)

Sea "B" una base:

+

se cumple:

-

z < x *

B

es m ayo r q ue 1

Ejemplo:

+ T R I L C E (P) = I N G R E S O 0 6 (Q ) +

B a s e : 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; ...

-

se cumple:

Q < P

Analizamos una misma cantidad en diferentes bases:

3. De las cifras. Las cifras son números naturales inclusive el cero, que siempre son menores que la base, en la B a se 1 0

cual son empleadas o utilizadas.

12 u n g ru p o d e 1 0

B ase 5

so b ra n 2 e le m e n t o s

2 2

dos g ru p o s de 5

Cifras en base "n".

0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;... ; (n - 2 ) ; (n - 1 ) ( 5 )

c if r a n o s ig n i fi c a t iv a

C o n v e n c ió n R e f e r e n c ia l (b a se )

s o b ra n 2 e le m e n t o s

c if r a s s ig n i fi c a t iv a s

c if r a m á x im a = n - 1 c i f r a m ín im a = 0

El cero no tiene valor por si mismo, si no únicamente valor posicional, es decir, por el orden que ocupa. Así pues, cada cifra dentro de un

3 0 (4)

B ase 4

tre s g ru p o s d e 4

numeral tiene un valor digital o valor absoluto y un

n o s o b ra nada

valor de posición o valor relativo.

Se tendrá la equivalencia:

Valor Absoluto (VA) Es el valor que tiene una cifra por su apariencia o figura.

1 2 = 2 2 (5) = 3 0 (4)

Valor Relativo (VR) Es el valor que tiene una cifra de acuerdo al orden que ocupa dentro de un numeral.


MATEMATICA 24

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Ejemplo:

2

4

5

VA VA VA VA

(2) (4) (5) (3)

= = = =

2 4 5 3

VR VR VR VR

(3) (5) (4) (2)

= = = =

3 5 4 2

O b s e r v a c ió n : P a la b r a s p a l ín d r o m a s : o s o , s a la s , s e r e s , r a d a r, r e c o n o c e r, . . . Descomposición polinómica de numerales.

3 x x x x

1 = 3 u n id a d e s 10 = 5 decen as 1 0 0 = 4 ce n te n a s 1 0 0 0 = 2 m i ll a r e s

I.

Se denomina así porque tiene las

características de un polinomio donde la variable del polinomio viene a estar dado por la base en la cual

Representación literal de numerales.

está escrito el número.

Cuando las cifras son desconocidas se reemplaza por letras del abecedario, para diferenciar de ser una multiplicación de factores, se coloca una raya horizontal arriba de las letras.

II.

Los coeficientes del polinomio

vienen a estar dados por las cifras que componen el número.

Ejemplo:

ab  ab -

´ ab

III.

: representa un número de dos cifras del

El grado de cada sumando viene

a ser igual a la cantidad de cifras restantes que

sistema decimal.

existen a su derecha.

ab   10;11;12;...; 98; 99  Polinomio Algebraico: -

´ () abc 7

: numeral de tres cifras de la base 7.



abc 7  100 7 ,101 7 ,..., 666 7

-

ax2 + bx + c



Polinomio aritmético o numérico: - 123 = 1 × 102 + 2 × 10 + 3

abcd   1000; 1001;1002;...; 9999 

Numeral capicúa. Se llama numeral capicúa a aquel numeral que tiene representación simétrica es decir las cifras equidistantes de los extremos son iguales.

-

3000204(5) = 3 × 56 + 2 × 52 + 4

-

210005(7) = 2 × 75 + 1 × 74 + 5

Ejemplos: = a × 10 + b = 10a + b = a × 102 + b × 10 + c = 100a + 10b + c = m × 82 + n × 8 + p = 64m + 8n + p

Descomposición por bloques. Es un caso particular de la descomposición polinómica que consiste en tomar un bloque considerándolo como una cifra. Ejemplos: - 2324 = 23 x 102 + 24 = 2300 + 24

Ejemplos: -

aa   11; 22; 33; ...; 99 

-

aba   101; 111; 121; ...; 999 

-

SOMOS

-

-

-

RADAR

1453 = 1 x 103 + 453 = 1000 + 453 = 1001(5) x = 10101(n) x

PROBLEMAS PARA LA CLASE 2do Grado de Secundaria

MATEMATICA 25


Si a un numeral de dos cifras se

que empieza con la cifra 6, se le suprime esta cifra,

le agrega la suma de sus cifras, se invierte el orden

el número resultante es 1/26 del número original.

de sus cifras. Hallar el producto de dichas cifras.

Hallar la suma de las cifras del número.

a)

9 b)

12 c)

20 d)

18 e)

16

a)

10 b)

15 c)

d)

12 e)

16

7.

18

¿Cuántas cifras tiene el numeral,

en el cual su cifra de cuarto orden ocupa el sexto 2.

lugar?

Hallar un numeral de tres cifras

que empieza en 2 y que es igual a 22 veces la suma de sus cifras. Dar como respuesta la suma de sus cifras. a)

8 b)

11 c)

d)

13 e)

14

3.

a)

7 b)

8 c)

d)

10 e)

5

9

12

8. Dado el numeral capicúa:

(a + 1)(b + 1)(2 b - 1)(2a - 3 )

Un numeral de dos cifras

aumentado en el doble de sus cifras de decenas es

Hallar:

igual al mayor numeral de dos cifras cuya suma de cifras es 16. Hallar el producto de las cifras del

ab

a)

numeral.

42 b)

36 c)

24

a)

8 b)

6 c)

d)

15 e)

21

10

d)

63 e)

18

9. Un numeral capicúa es de la forma: 3

4.

(a - 1 )(a )(b + 4 )c

Un numeral de dos cifras

aumentado en el numeral que resulta de invertir el

Hallar "a . b . c"

orden de sus cifras es igual a 44 veces la diferencia de sus cifras. Hallar el producto de sus cifras. a)

12 b)

18 c)

d)

15 e)

20

6

a)

8 b)

10 c)

d)

18 e)

40

10. 5.

le invierte el orden de sus cifras, se obtiene un

existe, hallar la suma de sus cifras.

segundo número que excede en 3 al cuádruple del primero. Hallar la diferencia de estas dos cifras.

6.

3 b)

4 c)

d)

6 e)

7

Si el numeral de la forma:

(a - 2)a(3a)

Si a un número de dos cifras se

a)

15

5

a)

13 b)

10 c)

d)

12 e)

18

Si a un número de tres cifras


MATEMATICA 26

15


Si al numeral ab le restamos el

11.

6 e)

7

numeral que se obtiene al invertir el orden de sus cifras se obtiene 72. Hallar "a + b". a)

7 b)

3 c)

d)

10 e)

12

12.

3.

9

cifras suman 24? Dar como respuesta su cifra de mayor orden.

Si Frank tiene ab años y dentro

de "6a" años tendrá 66 años, hallar "a x b". a)

5 b)

6 c)

d)

10 e)

12

¿Cuál es el menor numeral cuyas

a)

7 b)

8 c)

d)

5 e)

6

9

8 4.

Hallar un numeral de tres cifras

que cumpla las condiciones siguientes para sus cifras: I. La primera cifra es el doble de la tercera cifra.

8.

Un numeral de dos cifras es tal

II. La segunda cifra es el triple de la primera cifra.

que si se invierte el orden de sus cifras se obtiene un segundo numeral que excede en 5 al triple del

Dar como respuesta la suma de las cifras.

primero. Hallar la diferencia de cifras del numeral. a)

4 b)

5 c)

d)

2 e)

7

9.

6

d)

9

e)

d)

12 e)

8

9

Hallar la cifra de mayor orden

unidades sea la mitad que la de las decenas y que

veces la suma de las cifras diferentes. 6 c)

11 c)

de un numeral menor que 900, tal que la cifra de las

un numeral capicúa de tres cifras que es igual a 23

36 b)

10 b)

5.

Calcular el producto de cifras de

a)

a)

ésta sea la cuarta parte de las centenas. 12

10

a)

8 b)

2 c)

d)

6 e)

4

1


¿Cuántas cifras tiene el numeral

6.

en el cual su cifra de tercer orden ocupa el quinto lugar?

nueve veces la cifra de las unidades. ¿Cuál es la suma

a)

3 b)

4 c)

d)

6 e)

7

2.

Un número de dos cifras es igual

a la suma de siete veces la cifra de decenas más de sus cifras?

5

a)

15 b)

12 c)

d)

8 e)

11

¿Cuántas cifras tiene el numeral

en el cual su cifra de segundo lugar ocupa el cuarto

7.

orden? a)

Un numeral aumentado en el

triple de su cifra de decenas resulta 93. Hallar la 3 b)

4 c)

suma de sus cifras.

5


MATEMATICA 27

9


9 b)

8 c)

d)

12 e)

10

11 12.

Un numeral decimal está

formado por tres cifras en el cual la cifra de mayor orden es el doble de la cifra de menor orden y la 8.

cifra central es igual a la suma de las cifras

¿Cuántos numerales de dos

extremas. ¿Cuántos números cumplen dicha

cifras son iguales a cuatro veces la suma de sus

condición?

cifras? a)

2 b)

1

d)

4 e)

5

c)

3

a)

5 b)

4 c)

d)

1

3

13.

9. Si el numeral:

e)

2

¿Cuántos numerales de dos

cifras son iguales a 7 veces la suma de sus cifras?

(a - 1 ) (b + 1 ) (a + 5 ) (3 - a )

a)

1

b)

d)

4 e)

2 c)

3

5

es capicúa, hallar la cifra de tercer orden. a)

5 b)

8 c)

d)

4 e)

6

14.

7

Hallar un numeral de dos cifras

cuya suma de cifras es 14, tal que si se invierte el orden de sus cifras, el numeral aumenta en 18. a)

95 b)

86 c)

77 10. Luego de descomponer polinómicamente:

d)

68

e)

59

(4a)(2a)(3a)

CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DE UN SISTEMA A OTRO

se obtendrá:

a)

420a

b) 432a

c)



423a d)

412a

e) 413a

CASO 1: De base diferente de 10 a base 10 Método 1: Por descomposición polinómica. Ejemplos:

11. Dado el numeral capicúa:

b  13  a  2

48 e)

*

1304(5) = 1 x 53 + 3 x 52 + 0 + 4 = 204

abc n  an2  bn  c

18 c)

abc n   an  b n  c

36 d)

344(7) = 3 x 72 + 4 x 7 + 4 = 179

Método 2: Por Ruffini. Sea:

 a  1  c  1  a  2 b

Hallar "a . b . c" a) 12 b)

*

Disponiendo:

72


MATEMATICA 28

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” B a se

a

b

n

c 2

an a

c ifra s

an + bn

4

3

1

5 1

1

29

4

1

7 3

CASO 3: De base diferente de 10 a otra base diferente

32

280

35

281

Método general: base n

base 10

*

Ejemplo: 465(9)

D i v is io n e s s u c e s iv a s

Base 6

3

0

4

5

40

200

Paso 1: 465(9)

8

40

204

465(9) = 4 x 92 + 6 x 9 + 5 = 383 Paso 2: 383

1 3 0 4 (5) = 2 0 4

Base 10

Base 6

383

6

número por la base del nuevo sistema de numeración.

5

63

6

3

10

6

4

1

Divisiones sucesivas:

El cociente obtenido se vuelve a dividir por la nueva base y así sucesivamente hasta que se obtenga un cociente que sea menor que la nueva base.

 465(9) = 1435(6)

Para escribir el número en el nuevo sistema de


numeración se escribe el último cociente a la izquierda y cada uno de los restos obtenidos en las

1. Determinar el valor de "a", si:

divisiones anteriores se va escribiendo

a64  a0a4 5

sucesivamente a su derecha, así:

*

base m

D e s c o m p o s i c ió n p o li n ó m ic a ó R u ffi n i

 CASO 2: De base 10 a base diferente de 10 Método: Divisiones sucesivas. Para pasar un número decimal a otra base se divide el

*

4 1

de base 10

1304(5) Base 10 1

4

 469 = 13111(4) 

4 3 1 (8) = 2 8 1 *

117

an + bn + c

Ejemplos: * 431(8) Base 10

8

4

1

2

(an + b)

4

469

Ejemplo 1: 71984 Base 15 71984

15

14

4798

15

13

319

15

4

21 6

a)

1

b)

2 c)

d)

4 e)

2o4

3

2. Si: 15 1

a02 9  aa11 4

71984  164(13)(14)15  164de(15)

Entonces el valor de "a" es:

Ejemplo 2:

a)

1

d)

1o3

b)

2 c) e) 1 o 2


MATEMATICA 29

3

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 3. Si los numerales están correctamente escritos:

2103(5)

n23 m ; p21 n ; n3m 6 ; 1211 p

d)

20113(5)

e) 20013(5)

Hallar "m + n + p" a)

10 b)

11 c)

d)

13 e)

15

8. Sabiendo que:

12

ab34  ba45 Hallar "a + b"

4. Si los numerales están correctamente escritos:

2m3 p ; 54n 7 ; 213  m ; 3p1 n

a)

2 b)

4 c)

d)

5 e)

9

3

Hallar "m + n + p" a)

15 b)

14 c)

d)

10 e)

8

9. Cumpliéndose que:

12

3ab5  ba16 Hallar "a + b"

5. Si los numerales están correctamente escritos:

b3c 7 ; 1b3 c ; 142(b) Hallar "2b + c"

a)

5 b)

6 c)

d)

7 e)

9

4

10. Si se cumple que:

a)

12 b)

11 c)

d)

18 e)

21

16

3 a (2 b ) 6 = b 0 b a5 Hallar "a + b"

6. Hallar "a + b + c", si los numerales:

11a 4 ; 2bc a ; b0b0 c Están correctamente escritos. 6 b)

7 c)

d)

9 e)

10

5 c)

d)

8 e)

10

Un número se escribe en el

representará como 132?

¿Cómo se escribe el numeral "M" en base 5? b) 2113(5)

6

sistema binario como 101010. ¿En qué base se

8

7. Si: M = 2 x 54 + 1 x 53 + 8

21013(5)

4 b)

11.

a)

a)

a)

12.

c)

a)

6 b)

8 c)

d)

7 e)

9

Hallar la suma de los valores

absolutos y relativos del número: 2311(6)


MATEMATICA 30

5


7 y 435

b) 7 y 276

c)

suma de sus cifras en base 10.

7 y 547 d)

8 y 508

e) 8 y 528

13. Calcular "a", si se sabe que:

a)

9 b)

10 c)

d)

12 e)

13

11

3. Si: F = 3 × 72 + 5 × 73 + 2 + 4 × 7

334 a  1142 5

¿Cómo se escribe "F" en base siete?

a)

5 b)

6 c)

d)

8 e)

9

7

a)

3524(7)

b) 3542(7) c)

5342(7) d)

5324(7)

e) 5432(7)

14. Determinar el valor de "a", si: 4. Convertir: 243(7) a base 5

1 3 ( a - 1 ) (a) = ( a + 1 ) ( a / 2 ) (8) a)

1

b)

d)

4 e)

a) 2 c) 6

d)

;    10

9 b) d)

10

e)

7 c)

1101(5)

e) 114(5)

4 b)

5 c)

d)

7 e)

8

6

6. Si sabemos que: 213n = 81 Hallar "n"

11

1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. La menor base que existe es la base dos. II. Existe infinitos sistemas de numeración. III. En base cuatro, se puede usar la cifra cinco. IV. En base siete, la mayor cifra es seis. V. El sistema de base ocho, se llama octanario. a) VVFVV b) VFVFV c) FFVVV VVFVF

a)

8

TAREA DOMICILIARIA

d)

c)

5. Hallar el valor de "x", en: 90 = 230x

Hallar "n" a)

b) 1004(5)

1003(5)

3


246n  11 12

1031(5)

a)

5 b)

6 c)

d)

8 e)

9

3a4 7  186

7. Hallar "a", si:

e) VFVFF

a)

1

b)

d)

4 e)

2 c) 5

2. Si: L = 2 × 63 + 5 × 62 + 3 × 6 + 1 8. Hallar "x", si se cumple:

¿Cómo se escribe el número "L" en base seis?. Dar la


MATEMATICA 31

7

3

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 13x04  120 a)

0 b)

1

d)

3 e)

4

c)

2

a)

1

d)

4 e)

14. Hallar "a + b", si: 9. Hallar "a", si se cumple:

2a2a7  1000 a)

6 b)

5 c)

d)

3 e)

2

b)

2 c)

3

5

3a812  73b 8

a)

4 b)

10 c)

d)

9 e)

7

5

4 15. Sabiendo que:

aaa7  bc1

Hallar "a + b + c" 10. Si los numerales:

a)

b45 8 ; aa3 b ; 25 a

9 b) d)

11

e)

8 c)

7

12

Están correctamente escritos, hallar "a + b". a) 12

b) 13

c)

SUCESIÓN NUMÉRICA

15 d) 16

e) 20

DEFINICIÓN. Se denomina sucesión numérica a toda

11.

Sabiendo que:

4210(n) = nnn

función que tiene como dominio al conjunto de los ,

enteros positivos y el rango está incluido en el conjunto de los números reales.

determinar el valor de "n".

12.

a) 5

b) 6 c)

d) 8

e) 9

*

7

Ejemplo 1: a.

ZZ 1 2 3 4

Sabiendo que:

10 c)

d)

12 e)

13

1 4 9 16

b.

11

ZZ

+

1 2 3 4

a0b5  b0a7 ¿Cuántos valores puede tomar ab ?

+

II  IR 3 5 7 9 ...

...

13. Sabiendo que:

...

9 b)

+ II  IR

...

a0b11  b0a13 Hallar "a + b" a)

+

Generalmente se indica del modo siguiente cada caso:


MATEMATICA 32

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” a. {n2}: 1; 4; 9; 16; ... b. {2n + 1}: 3; 5; 7; 9; ... 

se indica cada uno de sus elementos. Ejemplo: Término “an” Sucesión que representa:

En general: an

La notación de una sucesión es a: n +

ZZ

Donde: n 

{3n} : 2 {n - 1} : {nn} :

y an  IR

El diagrama sagital sería:

ZZ

0; 3; 8; 15; ... 1; 4; 27; 64; ...

a

+

IR a1 a2 a3

más) y luego se da una regla para obtener los

n

an

términos posteriores.

Cuando se define el primer término “a 1” (“a” veces

..

..

.. .

• Forma recurrente

.. .

1 2 3

Ejemplo: Sea: a1 = 1 y an = an-1 + 2 para: n > 1 y "n" lN

Las sucesiones se indican del modo siguiente: {an}: a1 ; a2 ; a3 ; ... ; an ; ...

Se tendrá: a1 = 1 a2 = a 1 + 2 = 1 + 2 = 3

Donde:

a3 = a 2 + 2 = 3 + 2 = 5 a4 = a3 + 2 = 5 + 2 = 7, etc.

an = Es el término general a1 ; a2 ; a3 ; ... = son los términos de la sucesión.



3; 6; 9; 12; ...

entonces: {an = an-1+2}: 1; 3; 5; 7; ...

Sucesión polinómica o progresión aritmética

•

Forma descriptiva

Cuando se señala una característica o propiedad común para cada uno de los términos de la sucesión o

Ejemplo 1: 11

;

16

;

5

21

;

5

26

se presentan los primeros términos de la sucesión.

; 3 1 ; . ..

5

5

Ejemplo: 5; 25; 125; 625; 3 125;... Cada término es una potencia de 5.

P r im e r a s d i f e r e n c ia s

Es una progresión aritmética de 1er orden. SUCESIONES ESPECIALES

Ejemplo 2: 3

;

13

10

;

27

14 4

; 45 18

4

; 22

4

*

6 7 ;...

Armónica:

1 1 1 1 ; ; ; ...; 2 3 4 n

1 ra s d if e r e n c i a s

*

2das d if e r e n c i a s

Es una progresión aritmética de 2do orden.

Fibonacci:

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; ... 2=1+1 3=1+2 5=2+3 8=3+5

DETERMINACIÓN DE LAS SUCESIONES • Forma analítica *

Cuando se tiene el término general de la sucesión y

Feinberg (Tribonacci): 1; 1; 2; 4; 7; 13; ...


MATEMATICA 33

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 4=1+1+2 7=1+2+4 13 = 2 + 4 + 7 *

4. De la siguiente sucesión: -1; -1; 0; 3; 10;...

Números primos:

Halle la suma de cifras del número que sigue.

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; ... *

Triangulares:

1; 3; 6; 10; ...;

a)

2 b)

5 c)

d)

8 e)

10

7

n(n+1) 2 *

Alternadas:

5. Indicar qué número completa la sucesión:

1 ; 2 ; 2 ; 7 ; 6 ; 1 7 ; 2 4 ; 3 2 ; ...

2; 3; 6; 15; 42; 123; 366; x

x2

x3

x4

+5 *

+10

a)

+15

d)

1 6 ; 2 0 ; 2 4 ; 3 6 ; 9 6 ; . .. +4 x1

+ 12 x3

b) 1 098

c)

1 095

Combinadas:

+4

722

1 089

e) 1 059

+ 60 + 420 x5

x7

6. Determinar el siguiente término de la sucesión:


1; 2; 5; 15; 37;...

1. Indicar qué número sigue en la sucesión:

a)

3; 2; 4; 2; 4; 1; 3;...

39 b)

40 c)

45

a)

0 b)

1

d)

-2 e)

-1

c)

2

d)

74 e)

76

7. Hallar "a + b", en la siguiente sucesión: 2.

Indicar el producto de los dos

12; 48; 9; 36; 6; 24; a; b

términos siguientes en la sucesión: 4; 11; 8; 7; 12; 3; 16;... ;... a)

16 b)

20 c)

d)

-12e)

-20

-8

a)

6 b)

8 c)

d)

15 e)

18

12

8. Hallar "x", en: 40; 37; 33; 26; 14; x 3. Indicar qué número sigue en la sucesión: 60; 12; 3; 1;... a)

1

d)

1/4

b) 1/2

a)

7 b)

2 c)

d)

-1 e)

-5

c) 1/3 9. Hallar el término que continúa en la sucesión:

e) 1/6


MATEMATICA 34

1

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 1; 2; 6; 30; 240; ... a)

480

b) 960

2.

c)

1440 d)

Escribe los tres primeros 2

términos de la siguiente sucesión: 2n

2400

e) 2880

a)

2; 4; 6

b) 2; 4; 16

c)

2; 4; 8 d)

10. Hallar el término que continúa en la sucesión:

2; 8; 18

e) 1; 4; 9

1; 1; 1; 1; 2; 24; ... a)

48 b)

3.

96 c)

término de la siguiente sucesión: 7n + 1

144 d)

Escribe el tercer y quinto

a)

288

e) 6912

8; 22

b) 8; 36

c)

36; 22 d)

22; 36

e) 22; 42

11. Se define una sucesión del modo siguiente: a 1 = 4 4.

y an = an - 1 + n Hallar "a5" a)

14 b)

16 c)

d)

19 e)

20

Escribe el segundo y sexto

término de la siguiente sucesión: n(n + 1)2

18

a)

4; 9

b) 9; 18

c)

18; 294 d)

18; 343

e) 18; 180

12. Se define una sucesión del siguiente modo: b1 = 1;

bn + 1 = nbn ;

n1

a) 2

5.

Hallar "b6"

Hallar la suma del segundo y

tercer término de la siguiente sucesión:

b) 6 c)

 n  1

24 d) 64

2n  1

e) 120


a)

Escribe los tres primeros

términos de la siguiente sucesión:

1 n n  1 1;

a)

1 1 ; 2 6

d)

1 1 1 ; ;

b) 2 3 4

c)

6.

1 1 1 ; ; 2 6 12

d)

1;

1 1 ; 6 12

2

4

3 35

4

13 35

5

3 35

b)

e)

3

3 35

3

2 35

Determinar la regla de

correspondencia de la siguiente sucesión: 2; 5; 10; 17; 26;... e) 1; 2; 6


MATEMATICA 35

c)


3n - 1

b) 3n + 1

c)

1; 1; 2; 7; 21; 51;...

n2 + 1

a)

2n2 - 1

d)

101b)

e) n2 - 1 d)

7.

102 c)

104 106

e) 108


correspondencia de la siguiente sucesión:

12.

la siguiente sucesión:

2; 8; 18; 32; 50;... 2n2

a)

b) n2 + 1

2; 6; 8; 9; 9; 5; ...

c) a)

3n2

8.

e) 2n2 + 1

d)


d)

b) n n1

9,85

e) 9,95

a)

n1 n 2

c)

100

b) 128

132

n 1 n 3

d) 130

n

e) 116

14. En la siguiente sucesión:

e) n  1

0 2 3 12 ; ; ; ;... 2 5 5 17 9. Calcule el tercer término de la siguiente sucesión:

hallar el valor del término 21.

an + 1 = 2an ; si: a1 = 3 ; n  1 a)

3 b)

6 c)

d)

9 e)

15

PROGRESIÓN ARITMÉTICA 12

E s u n a s u c e s ió n d e n ú m e r o s e n l a c u a l l a d i f e r e n c ia d e d o s t é r m i n o s c o n s e c u t i v o s e s u n a c a n t i d a d c o n s t a n t e l la m a d a r a z ó n ; s u t é r m in o g e n e r a l e s :

10. Calcule el cuarto término de la siguiente sucesión: an + 1 = an + an - 1 ; n  2 ; a1 = a2 = 1 a)

1

b)

d)

5 e)

c)

0; 2; 10; 30; 68; ...

1 2 3 4 ; ; ; ;... 2 3 4 5

a)

b) 9,65

13. Indicar qué número continúa en la sucesión:

correspondencia de la siguiente sucesión:

1 n1

9,55 9,75

2n2 - 1

d)

Indicar qué número continúa en

2 c)

a n = A n + B ; “A ” y “B ” s o n c o n s ta n te s r a c i o n a le s . ( A  0 )

3

8

11. Indicar qué término continúa en la sucesión:


MATEMATICA 36

c)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” *

Ejemplo 1: a.

14

;

Entonces la fórmula general para obtener el

17

;

3

20

;

3

término de lugar "n" sería:

2 3 ; ...

3 *

La razón es: r = 17 - 14 = 20 - 17 = 23 - 20 = 3 b.

88

Ejemplo 2: Hallemos el término de lugar 24 de la progresión aritmética:

;

81

-7

;

74

-7

;

6 7 ; ... 40; 46; 52; 58; ...

-7

Resolución:

La razón es: r = 81 - 88 = 74 - 81 = 67 - 74 =

a0 ; a1 ; a2

-7 

an = a + nr ... ()

Determinación del término general de una P.

34

A.

6

;

a2

r

;

a3

r

;

a4

r

46 6

;

52 6

a 4 ; ... 5 8 ; ...

6

El término general es: an = 34 + 6n

Sea la progresión aritmética:

a1

40

; a3

a 24 = 3 4 + 6 (2 4 ) = 1 7 8

;

...

; an 

r

Fórmula para determinar el número de términos de una P. A.

Donde: a1; a2; a3; a4;...; an son respectivamente el

De la fórmula (), "n" se obtiene:

primer, segundo, tercer, cuarto y enésimo

a0 + nr = an nr = an - a0

término.

n =

Hallemos el término anterior al primero (ao) que

an - a0 ... (  ) r

se obtiene restando "a1" menos la razón (r):

Luego podemos afirmar que:

a = a 1 - r a 1 = a  + r

Ú l t im o t é r m i n o - A n t e r io r a l p r i m e r o Nº de = t é r m in o s ra z ó n

a1

;

a2

r

;

a3

r

; r

a4

;

... ; a n

Se sabe que: a= a1 - r, al reemplazar en ():

r

Del cual deducimos que:

a1 = a0 + r a2 = a0 + 2r a3 = a0 + 3r . . .

. . .

*

ak = a0 + kr

n =

a n - (a 1 - r) r

n =

an - a1 + 1 r

n =

an - a1 + r r

Ejemplo 3:

. . .

. . .

En las siguientes progresiones aritméticas, hallar el número de términos:

an = a0 + nr

a. 17; 22; 27; 32; ... ; 642


MATEMATICA 37

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” b. 102; 99; 96; ... ; 12

Resolución:

Resolución:

De la P. A. la razón es: 17 - 10 = 7

A n t e r io r a l p r im e r o ;

a. 12

a 48 - a 27 = (4 8 - 2 7 ) . 7 = 2 1 . 7 = 1 4 7

Ú l t im o t é r m in o 17

;

5

22

5


2 7 ; ... ; 6 4 2

; 5

1.

¿Cuántos términos tiene la

siguiente progresión aritmética? Nº de = t é r m in o s

642 - 12

446; 440; 434;... ; 194

= 126

5

a)

42 b)

43 c)

44

(utilizando la fórmula 1)

d)

45 e)

46

Ú l t im o t é r m in o

P r im e r o

b. 102 ;

99

-3

;

96

2.

... ; 1 2

;

Hallar el término trigésimo

quinto de la siguiente progresión aritmética: 27; 33;

-3

39;... a)

Nº de = t é r m in o s

12 - 102 -3

219

b) 225

c)

231

+ 1 = 31 d)

237

e) 243

(utilizando la fórmula 2) 3.

Diferencia entre dos términos



Hallar la suma de cifras del

término vigésimo sexto de la siguiente progresión

de una progresión aritmética.

aritmética:

Sabemos que: an = a + nr

45; 52; 59;...

Calculemos la diferencia entre términos de lugar "x" (ax) y de lugar "y" (ay) para lo cual del término general se toma:

a)

1

b)

d)

4 e)

2 c)

3

6

ax = a0 + xr ay = a0 + yr

4.

}( - )

una progresión aritmética son aa y 2ba respectivamente. Si la razón es "a" y el número de

ax - ay = (x - y)r *

El primer y último término de

términos 56, hallar "a + b".

Ejemplo 4:

Hallar la diferencia entre "a27" y "a48" de la

a)

8 b)

10 c)

d)

14 e)

15

siguiente progresión aritmética: 10; 17; 24; 31; ...


MATEMATICA 38

12


¿Cuántos términos impares hay

10.

a)

50 b)

aritméticos es 33 y el producto de sus términos 51 c)

extremos es 57. El término que ocupa el lugar 100 de

52 d)

53 e)

En una P.A. cinco términos

consecutivos son tales que la suma de los medios

entre 312(4) y 312(7)?

esta P.A. decreciente es: 54

a)

423

b) -423

c)

-377 6.

d)

Indicar cuántas cifras tiene

377

e) 415

"a77" de la siguiente progresión aritmética: 426; 456; 526;... a)

2 b)

3 c)

d)

5 e)

6

11. Hallar el término enésimo sucesión: 4; 14; 28; 46;...

4

a) +3 c) e)

Determinar el número de

7.

12.

términos de la siguiente sucesión: 237; 307; 347;... ;

20 b)

8.

23 e)

21 c)

a)

24

d)

13.

progresión aritmética es 12 y el décimo primer

3 c)

d)

-2 e)

-4

9.

n2

2n2 + 4n - 2 2n2 + 4n + 2 3n2 + 1

d)

3n2 - 2

b) n2 - 1

n2 + 2n

e) n2 + 2

Encontrar el enésimo término de

a)

2

n2 - n

b) n2 + n

d)


14.

2n2 - n

e) n2 + 2

Encontrar el enésimo término de

la siguiente sucesión: 7; 11; 17; 25; 35;...

10m; 100m; 150m;... ; 1050m

a)

Indicar el valor en base diez.

2n2 + 5

b) 3n2 + 5

n2 + n + 5

6 b)

7 c)

d)

9 e)

10

c)

2n2 + n

términos de la progresión aritmética:

a)

c)

la siguiente sucesión: 1; 6; 15; 28; 45;...

término es -12. Hallar la razón. -3 b)

2n2 + 2 b)

n2 + 4

El tercer término de una

a)

siguiente

Hallar el término enésimo de la

22 d)

la

siguiente sucesión: 3; 8; 15; 24;...

2037 a)

de

8

d)

4n2 + 5

e) 2n2 - 5

TAREA DOMICILIARIA


MATEMATICA 39

c)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 1. Calcular el término que se indica: 30; 37; 44; 51;... ;a41 a)

287

a)

216

b) 211

c)

215 b) 310

c)

d)

306

e) 256

333 d)

356

e) 264


7.

términos de la siguiente P.A.: 23(5); 32(5); 41(5);... ; 212(5)

2. Calcular el término que se indica: 96; 93; 90; 87;... ;a20 a)

42 b)

39 c)

a)

11 b)

12 c)

d)

10 e)

15

13

33 d)

45 e)

36

8.

¿Cuántos números pares hay

desde 31(5) hasta 243(6)? 3.

Hallar el número de términos en

a)

la siguiente progresión: 42; 47; 52; 57;... ;497 a)

87 b)

43 b)

51 c)

42

91 c)

d)

53 e)

40

93 d)

92 e)

94

9.

¿Cuántos números múltiplos de

siete hay entre 43(7) y 214(9)? 4.

Hallar el número de términos en

a)

la siguiente progresión: 228; 224; 220;... ; 32 a)

48 b)

51 e)

20 c)

24

49 c)

d)

50 d)

21 b)

25 e)

28

52 10.

Hallar "m", si la siguiente

progresión aritmética tiene 137 términos. 5.

m1; m4;... ; mm9

Hallar la razón de una P.A.

compuesta por 18 términos, sabiendo que el primero es 21 y el último es 174. a)

8 b)

6 c)

d)

5 e)

9

7

a)

3 b)

5 c)

d)

6 e)

8

11.

4

Hallar el vigésimo quinto término

de la progresión aritmética de segundo orden: 10; 6.

Si una progresión aritmética

24; 44; 70; 102;...

tiene 37 términos siendo 27 el primer término y 315

a)

el último; hallar el término vigésimo cuarto.

2001

b) 2002

2003


MATEMATICA 40

c)


2004

12.

e) 2005

A+B=S "A" y "B" son sumandos "S" es suma o suma total

Determinar la suma del décimo y

el vigésimo término de la siguiente sucesión: 8; 14;



22; 32;... a)

598

b) 589

 primero  último   2   . Nº de términos

c)

Suma  

985 d)

958

Suma de términos en progresión aritmética

*

e) 859

Aplicación: Hallar el valor de la siguiente suma: L = 10 + 14 + 18 + 22 + 26 +... + 362 Resolución: En la sumatoria dada observamos que: Primero = 10 Último = 362 Nº de términos: 362  10   1  89 4

13. Hallar el vigésimo octavo término de la sucesión: 12; 20; 30; 42; 56;... a)

930

b) 990

c)

996 d)

992

e) 998

 10  362  . 89  186 . 89  16 554 2  

L 14. Hallar el vigésimo quinto término de la sucesión:



6; 13; 24; 39;... a)

1368

b) 1268

c)

1  2  3  ...  N 

1278 d)

1286

e) 1287

2 + 4 + 6 +... + 2N = N (N + 1) 3. Suma de los "N" primeros números impares positivos: 1 + 3 + 5 +... + (2N - 1) = N2

15; 28; 45; 66;...

511b)

* Ejemplos: 1. Si:

515 c)

545 d)

561

N N  1 2

2. Suma de los "N" primeros números pares positivos:

15. Hallar el décimo quinto término de la sucesión:

a)

Sumatorias notables 1. Suma de los "N" primeros números enteros positivos:

zxyy + zyyy = 5 088 e)

hallar “x . y . z” Resolución: Disponiendo en forma vertical:

573

ADICIÓN Es la operación aritmética que tiene por propósito reunir dos o más cantidades homogéneas en una sola, llamada suma o suma total:

*

En unidades:

z x y y + z y y y 50 8 8

y + y = 2y =... 8


MATEMATICA 41

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” y =

a)

4

144

b) 124

c)

136

9

d)

*

En centenas:

*

En millares: z+z+1=5z=2 Piden: x . y . z = 6 . 4 . 2 = 48

184

e) 154

x + y = 10 x + 4 = 10  x = 6 4. Si:

1a  2a  3a  ...  9a  bc3 Hallar "a + b + c"

2. Efectuar:

6 3 5 (8 ) + 6 2 4 (8 ) 3 5 6 (8 )

a)

8 b)

10 c)

d)

15 e)

16

13

Resolución: 5. Si:

Como la operación está en base 8, nos interesa formar grupos de 8, sumando ordenadamente.

b42a  dab3  ac68  ecba4 Calcular "a . b . c . d . e" a)

506

b) 576

c)

481

PROBLEMAS PARA LA CLASE d)

306

e) 372

1. Si: a + b + c = 16 Hallar: a)

aabc  bcab  cbca 17 776

b) 17 777

6. Sabiendo que:

c)

16 666 d)

16 776

a8b  bb7  cc5  2428

Hallar "a + b + c" e) 17 766

a)

21 b)

22 c)

23 d)

2. Si: (a + b + c)2 = 169 Hallar:

20 e)

18

aabb  ccaa  bbcc

a)

14 443

b) 14 333

7. Si:

c)

14 433 d)

13 333

3ab  c4a  ddd4

Hallar "a + b + c + d" e) 14 343

a)

19 b)

20 c)

d)

22 e)

23

3. Si: (a + b)2 = 49 Hallar:

ab  ba  aa  bb

8. Si:

3a  4a  5a  ....  9a  bc3


MATEMATICA 42

21

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Hallar "a + b + c"

d)

a)

20 b)

19 c)

d)

17 e)

21

15 321

e) 16 218

18 14. Calcular "A + B", si: A = 70 + 71 + 72 + 73 +... + 251

9. Si:

B = 60 + 64 + 68 + 72 +... + 184

4ab7  a9b1  8a6b a)

Hallar "a2 + b2"

32 152

b) 33 252

c)

30 458

a)

69 b) 58

73 c)

d)

41 e)

85

d)

33 115

e) 33 128

15. Calcular: E = 11 + 22 + 33 + 44 +... + 154

aa  bb  cc  abc

10. Si:

a)

Hallar "a + b + c"

1 255

b) 2 310

c)

1 150

a)

16 b)

17 c)

d)

19 e)

20

18

d)

1 155

e) 1 225

TAREA DOMICILIARIA 11. Efectuar: 312(5) + 443(5) a)

1311(5)

b) 1210(5)

6. Calcular:

c)

1310(5) d)

1230(5)

S = 2 + 10 + 18 + 26 +... (40 sumandos) e) 1320(5)

a)

3 160

b) 2 860

c)

5 320 d)

12. Efectuar: 415(7) + 362(7) + 254(7) a)

1362(7)

b) 1364(7)

1363(7)

e) 7 580

c) 7. Calcular: S = 40 + 44 + 48 +... + 156

1264(7) d)

6 320

a)

e) 1262(7)

2 440

b) 2 740

c)

2 940 d)

13. Calcular "A + B", siendo:

2 840

e) 2 240

A = 1 + 2 + 3 + 4 +... + 72 8. Calcular: S = 75 + 78 + 81 +... + 342

B = 15 + 20 + 25 + 30 +... + 390 a)

18 208

b) 18 018

a)

c)

18 765

b) 16 675

15 765

15 016 d)

12 785

e) 18 675


MATEMATICA 43

c)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 1ab  2ab  3ab  ...  9ab  cd12 9. Calcular:

Hallar "a + b + c + d"

S = 30 + 36 + 42 +... (48 sumandos) a)

7 926

b) 7 918

a)

8 208

15 c)

20

c)

7 820 d)

17 b)

d) e) 8 306

5.

21 e)

23

Sabiendo que: a + b + c = 14,

hallar la suma de todos los números de tres cifras diferentes que se pueden escribir empleando las 10. Si:

a1  a2  a3  ...  a9  5bc

cifras: "a", "b" y "c". a)

Hallar "a . b . c" a)

b) 3 008

c)

3 018 240

b) 360

c)

d)

280 d)

3 108

160

3 118

e) 2 008

e) 320 6. Hallar "w + x + y + z", si se cumple: 23 + 25 + 27 +... + 63 =

1. Calcular: S = 80 + 86 + 92 +... (38 sumandos) a)

7 926

b) 7 258

c)

7 820 d)

8 208

a)

10 b)

14 c)

d)

9 e)

12

cifras "a", "b" y "c", sin repetir la cifra. Además: a + b + c = 19.

Hallar "a . b + c . d" 48 b)

Hallar la suma de todos los

números de dos cifras que se pueden formar con las

d36a  7ab4  c8b  15324

a)

a)

52 c)

56 e)

d)

64

8.

3. Efectuar: S = 52 + 64 + 76 +... (28 sumandos) a)

4 992

b) 5 992

6 492

570

b) 395

a)

e) 5 892

e) 418

Hallar "a . b . c" , si:

ab  bc  225 6

c)

64 925 d)

380 190

54 d)

8

e) 8 306 7.

2. Si:

xyzw 8

y

45 b)

 a  b  c 2

 144

21 c)

36 d)

48 e)

60

4. Si se cumple:


MATEMATICA 44

c)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” y = 9

9. Hallar "a", si la serie tiene 15 términos.

ab c - cb a = xyz

a2 8  a2 9  a210  ...  32015 a)

3 b)

4 c)

d)

6 e)

7

x + z = 9 a - c = x + 1

5  Complemento aritmético (CA) El complemento aritmético de un número positivo, es lo que le falta a dicho número para ser igual a una unidad del orden inmediato superior.

10. Hallar el valor de "x + y + z", si:

2

3

3 . . . 3

3 2

2 3 2

3 2 3 2

3 . . .

3 x

3 y

2 + 3 2 3 2 . . . 3 z

* 30 su m an d os

Ejemplo: CA(6) = 10 - 6 = 4 CA(42) = 100 - 42 = 58 CA(247) = 1 000 - 247 = 753 CA(4456) = 10 000 - 4 456 = 5 544

En general:

CA(N) = 10K - N

Donde "K" es el número de cifras de "N" a)

15 b)

14 c)

d)

13 e)

18

16

 Regla práctica Para hallar el CA de un numeral, a partir de su mayor orden se restan las cifras de 9 y la última cifra significativa se resta de 10.

Aplicaciones:

SUSTRACCIÓN

S e re s ta d e 1 0

S e re s ta n d e 9

1. C A (45728 6) = 542 714

 Propiedades: 1. La suma de los tres términos de una sustracción es siempre igual al doble del minuendo.

{

2. C A (2356 400) = 7 643 600 S e re s ta n de 9

M + S + D = 2M

S e c o p ia n

S e re s ta d e 1 0

* Ejemplos: 1.

2. Si a un numeral de dos cifras significativas se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, se obtiene un numeral cuya suma de cifras es 9.

En una sustracción, la suma de

sus tres términos es 142. Si el sustraendo es el complemento aritmético del minuendo, hallar la suma de las cifras de la diferencia.

ab  ba  xy  x  y  9...  a  b

Resolución: M+S+D

Si a un numeral de tres cifras abc , donde: a >

3. c, se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras cba , tendremos:

2M

Sustraendo

= 2M = 142  M = 71

= CA (M)


MATEMATICA 45

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” S

= CA (71)

Dato:

S

= 100 - 71 = 29

abc cba 792

Diferencia = 71 - 29 = 42 Por propiedad: Suma de cifras: 4 + 2 = 6

a-c=7+1 a-c=8 

2.

La suma de los tres términos de

9 1

una sustracción de números naturales es 1 908. Si el


sustraendo excede a la diferencia en 436 unidades, hallar el sustraendo.

1. Hallar "m + p"

Resolución: M+S+D

si:

= 1 908 2M

= 1 908  M =

954

Entonces:

a)

10 b)

12 c)

d)

15 e)

17

14

2. Si: abc  cba  6mn y a + b + c = 19 S+D

= 954

Hallar el complemento aritmético de abc .

S-D

= 436

a)

15 b)

18 c)

d)

24 e)

23

_____

_____

2S

= 1390

S

= 695

3. Si:

... El sustraendo es 695

3.

abc 8  cba 8  mp2 8

abc  cba  mn(m  1)

12

Calcular "m - n"

a)

2 b)

1

d)

5 e)

8

c)

3

¿Cuál es el mayor número de

tres cifras, tal que al restarle el que resulta al invertir el orden de sus cifras de como resultado

4.

792? Dar como respuesta la suma de sus cifras.

número de cuatro cifras impares diferentes y el menor número impar de cuatro cifras diferentes.

Resolución: El mayor número de tres cifras:

Dar la diferencia entre el menor

a)

abc

334

b) 344

432 d)

234

e) 434


MATEMATICA 46

c)


5. Si:

10.

abc  cba  3xy Hallar "a - c + x + y"

a)

16 b)

17 c)

d)

19 e)

20

Hallar la suma de cifras del

complemento aritmético del menor número cuya suma de cifras es 22.

18

a)

6 b)

7 c)

d)

9 e)

10

8

6. Hallar "a + b + c" si:

11. Si:

C A (abc) = (a + 5)(a + 1)(b + 2)

abc  mn4  cba

y además: a + b + c = 20

a)

6 b)

7 c)

d)

9 e)

10

Hallar "a3 + b2 + c"

8

a)

734

b) 746

c)

943 d)

7. Si: abc  cba  4mn Además: a + c = 11 a)


27 c)

25 29 e)

y además: 30

abc  cba  xy8

abc  cba  1736

Hallar "a + b + c" a)

8.

e) 834

Hallar "2a + 3c"

26 b)

d)

796

21 b)

22 c)

23


una sustracción es 1.120. Si el sustraendo es los 2/5

d)

de la diferencia, entonces el menor de los tres

24 e)

25

términos es: a)

160

b) 170

c)

13. Hallar "m + n", en:

180 d)

190

9.

ab c - cb a = n(n + 4 )(2 m )

e) 200

Un número de tres cifras abc es

tal que abc  cba  mn3 . Si se sabe que la cifra de

7 c)

d)

9 e)

10

8

En una resta, si al minuendo se le

agrega dos unidades en las decenas y al sustraendo

hallar: a2 + b2 + c2.

se le aumenta 5 unidades en las centenas, entonces la 134

b) 144

diferencia disminuye en:

c)

146 d)

6 b)

14.

las decenas es igual a la suma de las otras dos cifras,

a)

a)

234

a)

52 b)

520 c)

502

e) 143


MATEMATICA 47


480

e) 996 5.

15.

Hallar un número de tres cifras,

sabiendo que si se le agrega 245 resulta el doble de

La suma de los términos de una

su complemento aritmético.

resta es 15684 y si restamos la diferencia del sustraendo nos da 4788. Hallar la suma de las cifras

a)

de la diferencia. 11 b) 17

e)

13 c)

15

d)

c)

El número de tres cifras que

a)

298

b) 397

c)

299

b) 2032(6) c)

d)

2042(6) 2132(6)

e) 536

restado de su complemento aritmético da 286 es:

TAREA DOMICILIARIA 1. Efectuar: 4513(6) - 2341(6) a) 2142(6)

585

19 6.

d)

b) 485

575

a) d)

435

537

e) 357

e) 2112(6) 7.

Si la suma de los términos de

una sustracción es 420; calcular la diferencia, si el minuendo es el triple del sustraendo.

2. Efectuar: 7436(8) - 2456(8) a)

4760(8)

a)

b) 4660(8) c)

4550(8)

3.

d)

8. Si:

una sustracción es 374. Hallar la suma de cifras del

a)

minuendo.

80 e)

110

abc  cba  pm4 36 b)

Hallar "p . m" 45 c)

42

a)

12 b)

14 c)

d)

18 e)

20

16

d)

9. Si: Hallar el complemento

aritmético del menor número impar de tres cifras diferentes. a)

898

b) 897

81 e)

72

abc  3xy  cba Hallar "x + y"

a)

15 b)

16 c)

d)

27 e)

13

c)

899 d)

c)

e) 4560(8)


4.

b) 120

100

4670(8) d)

140

809

10. Si:

e) 808

pqr  rqp  tel


MATEMATICA 48

18

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Hallar:

15.

" let  ele  ttl"

a)

1 880

b) 1 988

672. Hallar el sustraendo, si se sabe que es menor

c)

que la diferencia. Dar la suma de cifras.

1 899 d)

1 889

11.


sustracción tomados de dos en dos son 919; 1 097 y

e) 1 998

a)

7 b)

10 c)

d)

12 e)

13

11

¿Cuál es el número de tres

cifras que restado de su complemento aritmético da

OPERACIONES COMBINADAS

144? a)

572

b) 482

c)

527 d)

428

 Suma y diferencia e) 718

*

Ejemplo: Entre José y Manuel tienen un total de 42 canicas. Si José tiene 6 canicas más que Manuel,

12. Sabiendo que:

¿cuántas canicas tienen cada uno?

a5b3  3c8d  5947

Resolución razonada:

Hallar "a + b + c + d" a)

24 b)

21 c)

El enunciado dice, José tiene 6 canicas más que

23 d)

19 e)

Manuel, entonces, gráficamente tenemos: 20

abc  cba  2xy

13. Si se cumple: abc  cba  421

Jo sé

...

M anu el

...

Hallar el complemento aritmético de "a + b + c". a)

83 b)

Si a José le quitamos 6 canicas, entonces los dos

72 c)

tendrían igual cantidad, pero además el total de

75 d)

86 e)

canicas ya no sería 42 sino 42 - 6 = 36 canicas, repartidas en partes iguales.

91

Ahora para hallar con cuanto se quedó cada uno: 14.

36  18 canicas cada uno 2


una sustracción aritmética es 1092. Si el sustraendo

Entonces:

es la sexta parte del minuendo, hallar la suma de cifras del complemento de la diferencia. a)

18 b)

13 c)

d)

14 e)

12

17

J osé

1 8 c a n ic a s

M anuel

1 8 c a n ic a s

Finalmente le devolvemos sus 6 canicas a José, entonces cada uno tenía:


MATEMATICA 49

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” tenía 36 años, ¿cuáles son las edades actuales?

1 8 + 6 = 2 4 c a n ic a s

José

a)

60 y 30 años

b) 55 y 35

c)

63 y 27

M anuel

1 8 c a n ic a s

d)

58 y 32

e) 56 y 34

Método práctico

Si tenemos como datos, la suma de dos números (S) y

4.

la diferencia de los mismos (D), entonces:

una segunda dama baila con 6, una tercera baila con

SD 2 SD Número Menor  2 Número Mayor 

7, y así sucesivamente, hasta que la última baila con todos los caballeros. ¿Cuántas damas concurrieron? a)

d)

José tiene 6 canicas más que Manuel, entonces: J-M=6 es decir D=6

5.

28 e)

31

La diferencia entre los ingresos

suma de sus ingresos semanales es $560. Si

42  6  24 canicas (número mayor) 2

Francesca es la que gana más, ¿cuánto gana Pilar? a)

42  6  18 canicas (número menor) 2

d) 6.

1 Gaby compra dos televisores por un monto de $ 420. Si uno costo $ 60 más que el otro, ¿cuánto costó cada uno? a)

$240; $180 245; 175

b) 240; 150 c)

d)

245; 180

e) 240; 175

34 b) 26

27 c)

d)

24 e)

21

b) 240

c)

360

e) 220

De un salón "A" pasan al salón

"B", 15 alumnos, luego del salón "B" pasan 20 alumnos al salón "A". Si al final "A" y "B" tienen 65 y 35 alumnos, ¿cuántos alumnos tenían inicialmente cada salón? a)

55 y 45

b) 50 y 50

c)

60 y 40 d)

2. Un hotel de dos pisos tiene 48 habitaciones, y en el segundo piso hay 6 habitaciones más que en el primero. ¿Cuántas habitaciones hay en el segundo piso? a)

$480 120


3.

32 c)

semanales de Pilar y Francesca es de 80 dólares. La

Aplicando el método práctico:

Manuel 

24 b) 26

Aplicándolo al ejemplo: Entre José y Manuel tienen 42 canicas, entonces: J + M = 42 es decir S = 42

J osé 

A un baile asistieron 52

personas, una primera dama baila con 5 caballeros,

7.

65 y 35

e) 56 y 34

8 534 excede en 1 400 a la suma

de dos números y en 8 532 a su diferencia. Hallar el menor de los números. a)

3 563

b) 3 565

3 566 d)

La edad de un padre y la de su

3 668

e) 3 569

hijo suman 90 años. Si el hijo nació cuando el padre


MATEMATICA 50

c)


Cuando Rosa nació, María tenía

c)

30 años. Ambas edades suman hoy 28 años más que la

419 y 366 459 y 336 409 y 376

e)

edad de Elsa, que tiene 50 años. ¿Qué edad tiene

d)

Matilde, que nació cuando Rosa tenía 11 años? a)

13 años

b) 12

13.

c)

480 km y están unidos por un río navegable. Cuando

16 d)

14 e)

Dos pueblos "M" y "N" distan

un barco va de "M" a "N" a favor de la corriente demora 16 horas y cuando va en contra demora 20

21

horas. Hallar la velocidad de la corriente y la velocidad del barco. 9.

La suma de dos números excede

a)

en 3 unidades a 97 y su diferencia excede en 7 a 53.

24 y 8 km/h

60 y 40

b) 55 y 45

d)

c)

80 y 20

27 y 8

14.

63 y 37 d)

c)

25 y 5

Hallar los números. a)

b) 27 y 3

e) 37 y 3

Un comerciante compró dos

bicicletas gastando en total $ 250. La primera le

e) 56 y 44

costó $ 40 más que la segunda. Si la primera la vendió en $ 180, ¿a cuánto debe vender la segunda para ganar en total $ 80?

10.

A una fiesta asistieron 97

a)

personas y en un momento determinado, 13 hombres

$ 140

y 16 mujeres no bailan. ¿Cuántos hombres asistieron? a)

37 b)

d)

45 c)

74 d)

47 e)

b) 150

c)

160 170

e)

180

TAREA DOMICILIARIA 31

1.

La suma de dos números es 1

250 y su diferencia 750. Hallar los números. 11.

a)

Entre pollos, patos y pavos, un

1 000; 250

b) 1 000; 350

c) 1 200; 250

granjero tiene un total de 75 aves. Si tuviera 12 pavos más, 4 patos más y 7 pollos menos, tendría una

d)

cantidad igual de aves de cada especie. El número de

1 250; 200

e) 1 250; 300

pollos que tiene es: a)

24 b)

2.

32 c)

678 y su diferencia 9 856. Hallar los números.

35 d)

28 e)


a)

31

27 767; 27 777; 27 677; 27 767; 27 767;

c) 12.

e)

Entre dos personas tienen S/.

785. Si una de ellas diese S/. 21 a la otra, la

3.

diferencia que hay entre las dos partes aumentaría

S/. 439 y 346 459 y 326

El triple de la suma de dos

números es 1 350 y el duplo de su diferencia es 700.

hasta S/. 135. ¿Cuánto tiene cada una? a)

17 912 b) 17 911 17 911 d) 17 911 17 914

Hallar los números. b)

a)

600; 50

b) 400; 50


MATEMATICA 51

c)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 200; 50 d)

a)

250; 200

b) 240; 150 c)

245; 175

e) 250; 300 d)

4.

245; 150

245; 200

e) 250; 175

La mitad de la suma de dos

números es 850 y el cuádruplo de su diferencia 600.

9.

Hallar los números.

número de varones es menor que el de mujeres en 17.

a)

925; 725

¿Cuántos varones hay en el aula?

b) 925; 750 c)

920; 775 d)

925; 775

5.

e) 925; 800

Un muchacho tiene 32 bolas

en la izquierda. ¿Cuántas bolas tiene en una mano? 19 en la izquierda 18 en la izquierda e)

6.

b) d)

a)

14 b)

12 c)

d)

18 e)

17

16

10. En una reunión de un total de 120 personas, se observa que al momento de bailar sobran 24 varones. ¿Cuántas damas hay en la reunión?

entre las dos manos y en la derecha tiene 6 más que

a) c)

En una aula de 45 alumnos, el

13 en la derecha 12 en la derecha 13 en la izquierda

a)

40 b) 60

20 c)

d)

48 e)

70

Una pecera con sus peces vale

260 nuevos soles y la pecera vale 20 nuevos soles

11. La suma de dos números es 84 y su diferencia es 16. Hallar los números.

más que los peces. ¿Cuántos nuevos soles vale la pecera? a)

140

b) 120

c)

a)

60; 50 20; 50

b) 40; 35

d)

50; 32

e) 50; 34

160 d)

180

e) 170 12.

c)

En una reunión en un momento

La suma de dos números es el

dado se observa que 12 varones y 7 damas no bailan.

mayor número par de tres cifras y su diferencia es

Si en total hay 67 personas, ¿cuántas damas hay en

el menor número par de tres cifras diferentes.

la reunión?

7.

Hallar los números. a)

a) 600; 550

550; 484

d)

48 e)

31

e) 550; 448 13.

8.

32 c)

36

b) 448; 650 c)

600; 580 d)

34 b)

Francesca le pregunta a Gaby:

¿Qué hora es? Gaby responde: quedan del día 4


horas menos que las transcurridas. ¿Qué hora es?

y su diferencia es mayor en 30 que 40. Hallar los números.

a)

4 p.m.

b) 2 p.m.


MATEMATICA 52

c)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Ejemplo 2

6 p.m.

6

d)

14.

8 a.m.

e) 7 a.m.

Un terreno rectangular tiene un

40 m, hallar el área del rectángulo. 3400 m2

b) 3200

15.

3300

c)

e) 3800

32 c)

36 48 e)

3

1

5

4

7

0

8

a.1=a

31

ó 1.a=a

4°. Monotonía Si:

34 b) 26

22 c)

d)

48 e)

31

Si:

cd

a b cd

a.c  b.d

a.c ¿? b.d

ab

16. Cuando Francesca nació, su tío Aldo tenía 12 años. Si sus edades suman hoy 56 años, ¿cuántos años tendrá Francesca dentro de 4 años? a)

5

3°. Elemento neutro multiplicativo Existe uno y sólo un número que se denota por “1” (módulo de la multiplicación o elemento neutro multiplicativo), tal que:

¿cuántos años tendrá Lucho dentro de 4 años?

d)

9

5

2°. Conmutativa El orden de los factores no altera el producto. a.b = b.a

12 años. Si sus edades suman actualmente 52 años,

34 b)

5

1 4

×

a, b  IN  a . b = P  IN

Cuando Elena nació, Lucho tenía

a)

3

1°. Clausura El producto de dos números naturales resulta otro número natural. Simbólicamente se denota de la siguiente manera:

3600 d)

5

7

Propiedades:

perímetro de 240 m. Si el largo excede al ancho en

a)

4

No se puede precisar Observaciones: • La multiplicación de números impares da como resultado un número impar. Ejemplo:

MULTIPLICACIÓN 5 × 7 = 35

Definición Dados dos números naturales "a" y "b", se llama producto de "a" y "b" el cual se denota "a.b" al número natural "P", tal que: a.b = P. Se denomina multiplicación a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números naturales (a;b) su producto "a.b".

•

5 × 7 × 9 = 315

Si en una multiplicación de números naturales uno de los factores es par entonces el producto es un número par.

Ejemplo 1 18

×

15

=

270

13 × 4 = 52 •

11 × 15 × 16 = 2 640 Si un número que termina en la


MATEMATICA 53

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” cifra 5 se multiplica por un número impar el

Hallar: abc  cba y dar como respuesta la suma

resultado termina en la cifra 5.

de sus cifras.

Ejemplo:

a)

26 c)

28

115 × 43 = ... 5 d) •

25 b)

27 e)

24

Si un número que termina en la

cifra 5 se multiplica por un número par el resultado

2.

termina en 0.

Un alumno en lugar de

multiplicar por 13 a un número, lo multiplicó por 31, obteniendo como resultado 3999. ¿Cuál debió ser la

Ejemplo:

respuesta correcta? a)

b) 1 361

c)

1 422

2005 × 68 = ...0 d) •

1 320

1 323

e) 1 677

Todo número impar excepto

aquellos que terminan en la cifra 5 al multiplicarse el

3.

mismo 4 veces termina en la cifra 1.

naturales son multiplicados y el producto es un número impar. ¿Cuántos de los números naturales

Ejemplo:

multiplicados deben ser impares?

7 × 7 × 7 × 7 = 2401

•

Suponga que 6 números

Todo número par excepto

a)

5 b)

6 c)

d)

1

2

4.

aquellos que terminan en la cifra 0 al multiplicarse el

e)

3

¿Cuál es el número que al

aumentarle un cero a su derecha, éste aumenta en

mismo 4 veces el resultado termina en la cifra 6.

333 unidades? Dar como respuesta la suma de sus

Ejemplo:

cifras.

4 × 4 × 4 × 4 = 256


a)

15 b)

16 c)

d)

10 e)

12

5.

11

El producto de tres números es

420. Si cada factor aumenta en una vez su valor,

1.

¿cuál es el nuevo producto?

abc × c = 2736

a)

420

b) 840

1 260

abc × b = 2280

d)

1 680

e) 3 360

abc × a = 1824


MATEMATICA 54

c)


El producto de tres números es

120. Si cada factor aumenta en su doble, ¿cuál es el

11. Si 6 × N termina en 2356, ¿cómo termina 14 × N?

nuevo producto? a)

840

b) 1 620

a)

c)

2 168

3 240

d)

e) 1 200

7 452

12.

7. Si: abc3.9  mpppp

e) 2 166

En una multiplicación el

multiplicando es 15. Si al multiplicador se le aumenta

Hallar el valor de "a + b + c + m + p"

5 y al multiplicando se le disminuye 5, entonces el

a)

original.

32 b)

producto se reduce en 145. Hallar el producto

33 c)

34 d)

35 e)

a)

585

36

565

e) 55

13. Si: a4b3.c  58d57,hallar "a + b + c + d".

89 b)

a)

72 c)

25 b)

41 e)

26 c)

28

93 d)

c)

abc.115(6) = ...908

Hallar el valor de "a2 + b2 + c" a)

b) 570

600 d)

8. Si:

c)

2 164

1 680 d)

b) 2 118

d)

29

19 e)

14.

24

Al multiplicar un número de tres

cifras por 325 se obtuvo como suma de sus 9.

productos parciales 1 800. Hallar el número.

Un número de cuatro cifras de la

forma abcd al multiplicarse por 79 termina en

a)

150

bcd3, hallar el valor de "a + b + c + d". a)

20 b)

b) 160

c)

180

21 c)

d)

190

e) 120

22 d)

23 e)

19

5. Dar la cifra de las centenas del resultado de: 2

10.

El producto de dos números es

1 * *

768. Si agregamos 14 unidades al multiplicando el producto sería 1216. Hallar el multiplicador. a)

28 b)

36 e)

* * *

4 7 *

×

8

32 c)

24 d)

* 2 * 8 1

a) 44

5 b) d)

3

e)

TAREA DOMICILIARIA

6 c) 2


MATEMATICA 55

1


1.

a)

60b) 42

50c)

d)

30e)

26

El producto de dos números

naturales diferentes de la unidad es 91. Hallar la suma de los números. a)

20 b)

21 c)

7.

22 d)

23 e)


720. Si se añaden 6 unidades al multiplicando, 26

entonces el producto es 816. ¿Cuál es el multiplicador?

2.

a)


diferencia de los números. 5 b)

d)

10 e)

d) 6 c)

8

8.

12

disminuye en 10830. Hallar uno de dichos números.

d)

214 216

b) 361

c)

323

e) 326

b) 108 232 c) 9.

104 626 d)

320 422

abc.aab 196 456

32

En la multiplicación de dos

3. Si: abc . a = 978 y abc . b = 652, hallar el valor

a)

16 e)

números, si a uno se le quita 3 decenas, el producto

a)

de:

36 c)

45

naturales diferentes de la unidad es 391. Hallar la

a)

72 b)


1890. Si el multiplicador aumenta en 5 unidades el

e) 183 224

producto aumenta en 270. Dar la diferencia de ambos números.

4. ¿En qué cifra termina el siguiente producto: P = 3 × 5 × 7 × 9 ×... × 1001? a)

5 b)

1

d)

0 e)

2

c)

5. ¿Cuál es la última cifra del resultado de:

5 b)

6 c)

d)

7 e)

2

15 b)

16 c)

d)

19 e)

12

18

9 10.

3  3


135. Si se aumenta 7 unidades al multiplicando el

3

producto se hace igual a 198. ¿Cuál es el multiplicando?

? a)

a)

3

a)

15 b)

6 c)

d)

10 e)

12

11. Al multiplicar:

6. El producto de dos números pares consecutivos es 168. Hallar la suma de los números.


MATEMATICA 56

8


6

*

4

*

7

0

*

3 × * 7

corresponden a los asteriscos. a)

2 215

a) b) 2 216

c)

2 219

54 e)

9 c)

e)

4

36 c)

42

Ejemplo: Divida 105 entre 12

13. El número de tres cifras que multiplicado por 9 de un producto que termine en 007, está comprendido entre: a)

400 y 500

105 96 9

b) 650 y 700

12 8

c) 100 y 150 d)

400 y 450

Además: 105 = 12(8) + 9

e) 200 y 250

• 14.

Algoritmo de la división D = d (q) + r

El producto de un número Clases de división

natural de tres dígitos por 3 es un número que termina en 721. La suma de los dígitos de dicho

Exacta (residuo = 0)

número es: a)

15 b)

16 c)

d)

19 e)

14

8

Definición Dados dos números naturales "a" y "b"  0 se llama cociente de "a" y "b" el cual se denota , al número natural "c", si existe, tal que: a = bc. Se llama división a la operación que hace corresponder a ciertos pares (a; b) de números naturales su cociente

48 d)

*

DIVISIÓN

efectuar: 980764 × 99999 35 b)

10

e) 2 205

12. Hallar la suma de cifras del resultado de

a)

×

* * *

12 b) d)

2 218 d)

* 1 *

* 1

Calcular el producto de las cifras que

* 3 9 * 6

Ejemplo:

18

40

5

0

8

D

d 0

4 0 = 5 (8)

q

D = d .q

Inexacta (residuo  0)

15. Hallar la suma de cifras del multiplicando:

E x ceso

D e fe c to

68

11

68

11

2

6

9

7

6 8 = 11(6 ) + 2

68 = 11(7) - 9


MATEMATICA 57

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 91 × N = 777 ... 7

Observamos: 2 + 9 = 11 En general:

D

d

D

r

q

r*

D = dq + r

Se tiene: N =

Ex ceso

D e fe c to

d q + 1

Dividimos para hallar el valor de "N".

D = d (q + 1 ) - r*

Donde: r + r* = d

7 7 7 7 2 8 4 9 4 5 4 3

Terminología: D d q q+1 r r*

: : : : : :

777...7 91

dividendo divisor cociente por defecto cociente por exceso residuo por defecto residuo por exceso

Propiedades de la división inexacta

- - - 7 5 2 6 6 6 -

9 1 8 5 4 7

7 4 3 7 3 7 - -

 N = 8547

1. Cero < residuo < divisor

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.

La suma de dos números es 829.

Al dividirlos se obtiene 21 de cociente y 15 de

2. Residuo mínimo = 1

residuo. Hallar el número mayor. a)

Residuo máximo = divisor - 1

725

b) 775

c)

760 d)

792

e) 774

3. [residuo defecto] + [residuo exceso] = divisor 2.

PROBLEMAS RESUELTOS

La diferencia de dos números es

27. Si se divide el mayor entre el menor el cociente es 3 y el residuo 7. Hallar el menor.

1. ¿Cuál es el menor número por el cual se debe multiplicar a 91, para que el producto obtenido

a)

9 b)

10 c)

d)

12 e)

13

11

este formado por cifras 7 únicamente? 3.

Hallar cuántos números cumplen

que al dividirlos entre 50, el residuo es el quíntuplo

Resolución:

del cociente. a)

7 b)

8 c)

Sea "N" el número, se tendrá lo siguiente:


MATEMATICA 58

9


6 e)

10

9.

¿Cuántos números de tres cifras

cumplen que al dividirse entre 28 se obtenga un residuo igual al triple del cociente? 4.

En una división inexacta el

divisor es 34, el cociente es 12 y el resto es máximo. ¿Cuál es la suma de cifras del dividendo? a)

7 b)

8 c)

d)

10 e)

11

a)

7 b)

2 c)

d)

6 e)

4

3

9 10.

¿Cuántos números cumplen que al

dividirse entre 28, se obtiene un residuo igual al cubo del cociente respectivo? 5.

¿Cuántos números cumplen que al

dividirse entre 53 se obtenga un residuo igual al cuádruple del cociente? a)

10 b)

11 c)

d)

13 e)

14

a)

3 b)

2 c)

d)

5 e)

6

4

12 11.

En una división el residuo es 37 y

el cociente es 13. Hallar el dividendo sabiendo que es menor que 560 y que termina en 4. 6.

Hallar el menor número que

a)

multiplicado por 21, se obtenga un número formado

d)

cifras. 10 b)

16 c)

d)

13 e)

14

b) 514

c)

524

por solo cifras dos. Dar por respuesta la suma de sus

a)

504

534

e) 544

12 12.


división entera inexacta es 600. Hallar el dividendo, si el cociente es 12 y el resto la mitad del divisor. 7.

Encontrar el menor número que

a)

multiplicado por 7 de un número formado por solo

d)

de dicho número. 20 b)

8.

13.

27 e)

25

Determinar el mayor entero que

a)

cuádruple del cociente respectivo? b)

d)

6 e)

e) 574

cociente.

dividirlos entre 15, se obtiene un residuo que es el

1

495

dividido entre 50, da un residuo que es el triple del

¿Cuántos números existen que al

a)

c)

23 c)

24 d)

b) 475

460

cifras tres. Dar por respuesta la suma de los dígitos

a)

525

1075

b) 913

750 2 c)

3

d)

848

e) 890

4 14.

Hallar la suma de todos los

números que cumplen que al dividirse entre 14, se


MATEMATICA 59

c)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” obtenga un residuo que es el triple del cociente. a)

120

b) 140

suma de cifras de "N". c)

160 d)

180

a)

5 b)

8 c)

d)

6 e)

4

e) 170 4.

15.

En una división, al residuo le

decenas de "A".

ser mínimo. ¿Cuál es el valor del dividendo, si el cociente es 19? 854

b) 874

Al dividir "A" entre 18 se obtuvo

24 de cociente y residuo mínimo. Hallar la cifra de

falta 22 unidades para ser máximo y le sobra 23 para

a)

7

c)

a)

1

b)

d)

4 e)

2 c)

3

5

835 d)

897

e) 917

5.

Al dividir "N" entre 36, se

obtuvo 13 de cociente y residuo máximo. Hallar la suma de cifras de "N". 16.

Si al dividendo de una división se

le agrega 48 unidades, el cociente y el residuo aumentan en 3 unidades. Hallar el divisor. a)

24 b) d)

18

e)

15 c)

6 b)

7 c)

d)

9 e)

10

46

6.

En una división exacta, el

dividendo es cinco veces el divisor. Si la suma de sus términos es 185, hallar el valor del divisor.

Hallar el dividendo de una

a)

división en la cual el divisor es 20, el cociente 29 y el

590

b) 580

20 b)

30 c)

40

residuo es la mitad del divisor. a)

8

16


a)

d)

c)

25 e)

50

570 d)

600

e) 594

7.

Al dividir 62 entre 8, hallar la

suma del cociente por defecto más el cociente por exceso, más el residuo por exceso. 2.

En una división el divisor es 24,

el cociente 15 y el residuo el máximo posible. Hallar el dividendo. a)

366

b) 380

a)

13 b)

15 c)

d)

19 e)

21

17

c)

383 d)

363

8.

e) 394

¿Cuántos números existen que al

ser divididos entre 37, den un residuo que es el quíntuplo del cociente?

3.

a)

Al dividir "N" entre 73, se

7 b)

2 c)

obtiene 13 de cociente y residuo máximo. Hallar la


MATEMATICA 60

3


6 e)

4

39 d)

41 e)

43

9. Reconstruir la siguiente división y dar como respuesta el cociente.

13.

La suma de dos números es 479,

su cociente es 28 y el residuo el máximo posible. 8

*

* *

Hallar el menor de los números.

* * 1

a)

12 b)

14 c)

d)

18 e)

20

16

3 * 6

14. a)

51 b)

31 c)

d)

11 e)

41

La suma de dos números es 930,

su cociente es 17 y su residuo es el máximo posible.

21

Hallar el mayor de los números. a)

825

b) 875

c)

860 10.

d)

La diferencia de dos números es

892

e) 881

308, su cociente 13 y su residuo 8, ¿cuál es el número menor? a)

20 b)

15.

30 c)

82, si sabemos que al dividir el mayor entre el menor

40 d)

Hallar dos números cuya suma es

se obtuvo 5 de cociente y 10 de residuo.

25 e)

50

a)

65 y 17

b) 80 y 2

c)

78 y 4 d)

11. Reconstruir la siguiente división e indicar el valor

76 y 6 e)

70 y 12

de "x + a + b". 7x95 72 195 192 x

DIVISIBILIDAD I

ab x08

a)

5 b)

8 c)

d)

6 e)

9

12.

La divisibilidad, es aquella parte de la aritmética que se encarga del estudio de las condiciones que debe reunir un número, para ser divisible por otro. Se dice que "A" es divisible por "B"; si al dividir el primero (A) entre el segundo (B), la división resulta exacta y el cociente entero.

7

En una división el cociente es 21

Ejemplo:

y el residuo es 15. Si la suma del dividendo y el divisor es 829, hallar el valor del divisor. a)

35 b)

A

B

"A" es divisible entre "B" 0

C

40 0 32

37 c)

0

5 8

  4 0 e s d i v i s i b le e n t r e 5 .

8 4

  3 2 e s d i v i s i b le e n t r e 8 .


MATEMATICA 61

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Observación: Si el producto de dos números es el múltiplo de "N",

Si "A" es divisible entre "B", también se puede decir:

y uno de ellos no admite divisores comunes con "N", entonces el otro es múltiplo de "N", así por ejemplo:

"A" es múltiplo de "B" "B" es divisor de "A" Ejemplo:

28

o

 2 8 e s d i v i s ib l e e n t r e 4 2 8 e s m ú l t ip lo d e 4 4 e s d i v is o r d e 2 8

4 7

0

Si:

4. A  9

o

A9

PROBLEMAS RESUELTOS

* Notación: Para denotar que "A" es divisible entre "B", escribiremos: A = B



1.

¿Cuántos números enteros

positivos menores o iguales que 100 son múltiplos de 5?

s e le e : “ A ” e s m ú lt i p lo d e “ B ”.

Principios de la divisibilidad

Resolución:

1.

Los múltiplos de 5 tienen la forma 5k, se tiene:

La adición o sustracción de

múltiplos de un mismo número, siempre es igual a un

5k  100 ; k  Z +

múltiplo del mismo número. o

o

o

o

n nn

o

k 

o

nnn

k  20 2.

La multiplicación de un múltiplo

Luego: k : 1 ; 2 ; 3 ; ... ; 20

de "n" por un entero, da como producto un múltiplo de "n".

Para cada valor de "k", reemplazando en 5k se tendrá o

o

o

n.K  n

un 5 .

Observación:

5;10;15;...;100    20 valores

Todo número posee divisores y múltiplos, así por ejemplo en el caso del número 20, tenemos que:

20

D i v is o r e s : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 1 0 ; 2 0

2.

M ú l t ip l o s : 0 ; 2 0 ; 4 0 ; 6 0 ; 8 0 ; 1 0 0 ; . .

positivos de dos cifras múltiplos de 17 existen?

Resolución:

Importante: * El cero, es múltiplo de todos los números. *

¿Cuántos números enteros

El uno, es divisor de todos los números. o

Sea: ab = 17 = 17k 

En toda división, el dividendo es múltiplo del divisor más el residuo, por ejemplo: 60 4

7 8

k = 1; 2; 3; 4; 5 60 = 7 + 4

 5 valores


MATEMATICA 62



Hallar la suma de los múltiplos

comunes y positivos a 3 y 5 menores que 23. a)

Hallar la suma de los múltiplos

40 b) 30

comunes y positivos a 2 y 3; menores que 28. a)

64 b)

45 c)

d)

70 c)

15 e)

20

60 d)

48 e)

7. Reducir la siguiente operación:

58

o

o

o

( 9 + 5) ( 9 + 7) - 2( 9 + 7) 2.

Reducir la siguiente operación

aplicando la propiedad distributiva:

a)

o

9+ 7

o

b) 9 + 5

c)

o

o

o

9+ 3

o

5( 7 + 4) - ( 7 + 2) ( 7 + 1) o

a)

7 +2

o

b) 7 + 1

d)

c)

o

9+ 2

o

e) 9 + 4

o

7 +4 o

d)

7+ 3

3.

8.

o

e) 7 + 5

dos cifras son múltiplos de 8?

¿Cuántos números positivos de

dos cifras son múltiplos de 5? a)

15 b)

19 c)

d)

18 e)

17

¿Cuántos números positivos de

a)

13 b)

12 c)

d)

11 e)

9

10

16

9.

Si

5m es múltiplo de 4, hallar la

suma de los valores que puede asumir "m". 4.

Si

6a es múltiplo de 6, hallar la

suma de los valores que puede asumir "a". a)

7 b)

6 c)

d)

cero

e) 8

5.

5

d)

7 e)

4

Representar 836 en función de

a)

o

8+ 6

c)

o

e)

o

b) 7 + 2

o

o

8+ 2

o

7+ 1 7 +4

8+ 3 d)

10

o

8 más su residuo. 8 b)

6 c)

7 más su residuo.

o

a)

8 b)

10.

Representar 3714 en función de

o

a)

d)

o

o

7 +5

o

e) 7 + 3

8+ 4


MATEMATICA 63

c)


La suma de cinco números

d)

73 e)

74

consecutivos siempre será divisible por: a)

2 b)

3 c)

d)

5 e)

6

4

17.

¿Cuántos múltiplos de 17 hay en

la secuencia: 1; 2; 3; ... ; 400?

12.

a)

La suma de tres números

19 b) 22

impares consecutivos es siempre divisible por: a)

3y9

b) 3 y 5

d)

c)

9 d)

3 e)

21 c)

23

e)

24

TAREA DOMICILIARIA 7

1.

Encuentra los divisores de 30 y

da como respuesta la suma de ellos. 13.

a)

Si la edad de Julio se divide

60 b)

72 c)

64

entre 6; 12 y 16 siempre se obtiene 3 de resto. ¿Cuántos años tiene Julio, si todavía no cumple los 55

d)

80 e)

56

años? a)

52 años

b) 51

c)

2.

41 d)

14.

50 e)

Divide 284 entre 8 y determina

el valor del residuo. 62

El profesor observa que al

a)

2 b)

4 c)

d)

8 e)

0

6

repartir las manzanas que tenía entre 9; 12 o 15 alumnos, siempre sobran 5. ¿Cuántas manzanas tenía si son menos de 200? a)

165

3. b) 180

de 7 menores de 46 y da como respuesta la suma de

c)

ellos.

185 d)

190

Encuentra los múltiplos positivos

a)

e) 195

b) 164

c)

153 d)

15.

157

161e)

147

El menor número múltiplo de 5

que al dividirlo entre 2; 3 y 4 da como residuo 1, es: a)

75 b)

4.

35 c)

verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

25 d)

45 e)

55

16. ¿Cuántos múltiplos de 11 hay del 1 al 800? a)

69 b)

Señalar en cada proposición si es

I.

24 es divisible por 9

II.

18 es múltiplo de 18

III. 12 es múltiplo de 2 y 6

71 c)

72

a)

VVV

b) FFV


MATEMATICA 64

c)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” FVF d)

VVF

a)

b) FVVV

c)

FVVF

e) FVV d)

5.

FFVV

VVVV

e) FVFF

Señalar múltiplo de qué número

es el siguiente resultado de la operación:

10.

35 + 28(3) - 7 - 91 a)

14 b)

15 c)

d)

13 e)

7

6.

Señalar múltiplo de qué número

es el siguiente resultado de la operación: 81 - 63(7) + (99) (18) - 108

3 a)

7 b)

9 c)

d)

16 e)

11

4

Encuentra los divisores de 24 y

da como respuesta la suma de ellos. a)

60 b)

11.

numeral 237b sea divisible entre 11.

40 c)

50 d)

52 e)

7.

64

Divide 273 entre 7 y determina

a)

6 b)

5 c)

d)

3 e)

7

4

o

o

Si: A = 13 + 4 y B = 13 + 6,

12.

el valor del residuo.

¿cuál es el residuo que se obtiene de dividir "A.B"

a)

5 b)

3 c)

d)

0 e)

6

8.

Hallar el valor de "b", para que el

entre 13?

4

a)

7 b)

8 c)

d)

10 e)

11

9

Encuentra los múltiplos de 9

mayores de 20 y menores de 80. Da como respuesta la suma de ellos. a)

241

b) 235

entre 7.

c)

297

e) 273

9. Señalar en cada proposición si es verdadero (V) o

I.


II.


a)

2 b)

3 c)

d)

5 e)

6

14.

falso (F) según corresponda:

4

Si a un número de dos cifras se

le suma el número que resulta de invertir el orden de sus cifras, se obtiene un número que será múltiplo de:

III. 28 es múltiplo de 4 IV.

o

el residuo que dejará "F.C + F + C" cuando se divida 281

d)

o

Si: F = 7 + 2 y C = 7 + 3, hallar

13.

10 es divisor de 10

a)

9 b)

10 c)

d)

16 e)

19


MATEMATICA 65

11

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Un numeral es divisible entre cinco, cuando la última 15.

cifra es cero o cinco.

Entre los 1512 primeros números

naturales, ¿cuántos son múltiplos de 3 pero no de 9? a)

339

b) 334

o

abcd  5 

d0ó5

c)

336 d)

520

* Divisibilidad entre seis Un numeral es divisible entre seis, cuando es

e) 672

divisible por dos y por tres. 16.

o


abcd  6 

son múltiplos de 7 y terminan en 8? a)

9 b) d)

18

15 c)

e)

* Divisibilidad entre siete Un numeral es divisible entre siete, cuando al

12

multiplicar a cada una de las cifras (empezando en el primer orden) por: 1, 3, 2, -1, -3; -2; ... y luego efectuar la suma algebraica, el resultado es un

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Llamamos criterios de divisibilidad a ciertas reglas prácticas que aplicadas a las cifras de un numeral, permitirán determinar su divisibilidad respecto a otro número (módulo).

múltiplo de 7. -1 2 3 1 o

ab c d 7

* Divisibilidad entre dos Un numeral es divisible entre dos, cuando acaba en

o

* Divisibilidad entre tres Un numeral es divisible entre tres, cuando la suma de

o

bcd  8

* Divisibilidad entre nueve Un numeral es divisible entre nueve, cuando la suma

todas sus cifras da por resultado un múltiplo de tres. o

de todas sus cifras da un múltiplo de nueve.

o

a b c  d  3

o

últimas cifras forman un número múltiplo de cuatro. o



* Divisibilidad entre diez Un numeral es divisible entre diez, cuando su última

o

cifra es cero.

cd  4

o

abcd  10

*

o

abcd  9  a  b  c  d  9

* Divisibilidad entre cuatro Un numeral es divisible entre cuatro, cuando las dos

abcd  4

o

 a  2b  3c  d  7

últimas cifras forman un número múltiplo de ocho.

d  0; 2; 4; 6; 8

abcd  8 

abcd  3 



* Divisibilidad entre ocho Un numeral es divisible entre ocho, cuando sus tres

cifra par. o

o

10

DIVISIBILIDAD II

abcd  2 

o

abcd  2 y 3

 d0

Divisibilidad entre cinco


MATEMATICA 66

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” * Divisibilidad entre once Un numeral es divisible entre once, cuando la diferencia entre la suma de sus cifras de orden

a)

2 b)

3 c)

d)

5 e)

6

4

impar y la suma de sus cifras de orden par es divisible entre once. - + - +

4. o

Hallar "n", si el numeral

n369n

es divisible entre 11.

o

a b c d  11   a  b  c  d  11

a)

2 b)

3 c)

d)

5 e)

6

4

• Observación Un numeral es divisible entre un numeral compuesto, cuando es divisible por cada uno de sus factores.

5. Si: a544a6 es múltiplo de 9, hallar "a".

Ejemplos: o

Si:

o

o

Si:

o

abcd  15  abcd  3 y abcd  5 o

a)

2 b)

3 c)

d)

5 e)

6

4

o

abcd  72  abcd  8 y abcd  9 6.

Determinar la suma de los o

valores de "a" que satisface: a4aa2a  9 *

Divisibilidad por potencias de cinco: o

Si:

o

abcd  5  d  5 (0 ó 5) o

Si:

a)

7 b)

12 c)

d)

10 e)

11

3

o

abcd  25  cd  25 (00; 25; 50; 75) o

o

abcd  125  bcd  125 (000; 125; 250; ...) Si:

7.

3aa74 sea múltiplo de 7.

PROBLEMAS PARA LA CLASE o

1. Hallar la suma de valores de "a", si: a)

19 b)

Hallar "a", para que el numeral

51a4  4

a)

2 b)

8 c)

d)

5 e)

6

7

20 c)

22 d)

23 e)

8.

24

Hallar "a", para que el numeral

2a(a  2)537 o

2. Hallar la suma de valores de "a", si:

3.

5m43a  4

a)

2 b)

8 c)

d)

5 e)

6

7

Hallar "a", si el numeral 12a85

sea múltiplo de 7.

a)

2 b)

8 c)

d)

5 e)

6

o

9. Dar el valor de "a", en: a577n  72

es divisible entre 11.


MATEMATICA 67

7


2 b)

4 c)

d)

3 e)

5

10.

6

unidad en unidad a partir de la izquierda, una de las cifras es:

¿Cuál es el valor de la última

a)

9 b)

4 c)

d)

8 e)

1

2

o

cifra del numeral 55447z  8 ? a)

1

b)

d)

5 e)

2 c)

16.

3

Dar el producto de residuos al

dividir "R" entre 25 y "M" entre 9, siendo los números:

6

R = 497899178 y M = 4235671 11.

Hallar "a.b", si el numeral

a257ba es divisible por 45. a)

21 b)

9 c)

d)

24 e)

6

a)

8 b)

16 c)

d)

3 e)

6

15 17. En el número

1xx1yy

"x + y" para que Si el numeral 2a45b es divisible

12. por 72, hallar "a+b". a)

1

b)

d)

6 e)

0

2 c)

, ¿cuál es el menor valor de

1xx1yy

sea divisible por 9?

a)

7 b)

8 c)

d)

10 e)

11

9

3

7

18. Hallar el residuo de dividir "E" entre 4: E = 22 + 42 + 62 + ... + 202

Si 5a10b es múltiplo de 72,

13.

calcular el valor de "a.b". a)

62 b)

32 c)

a)

0 b)

1

c)

d)

3 e)

Faltan datos

2

48 d)

24 e)

36

19.

Determinar el mayor número de

tres cifras que es divisible entre: 12; 13 y 5. Dar como respuesta la suma de las cifras. o

14. Hallar "a + b", si:

15.

o

39a1 = 7 y b016 = 11

a)

9 b)

8 c)

d)

11 e)

7

a)

15 b) d)

10

16

e)

13 c) 17


Un número de cuatro cifras es

Si se tiene los números 124;

233; 666 y 429, ¿cuántos son divisibles por 3?

divisible por 9. Si estas cifras van disminuyendo de


MATEMATICA 68

12


0 b)

d)

3 c)

4 e)

1

a)

25 b)

2 d)

2. Si se tiene los números:

o

272mab  25

0 b)

3 c)

d)

4 e)

2

1

a)

8.

3. Si se tiene los números:

43 927

00 b)

85 c)

25 d)

II.

23

7. Hallar el mayor valor que pueda tomar ab , si:

a)

12 345

18 e)

a0 ; c5 ; d00 ; bmn0

¿Cuántos son divisibles por 5?

I.

20 c)

24

75 e)

50

Calcular el valor de "a", si:

2a45a es divisible por 8.

III. 78 900 991

a)

6 b)

3 c)

d)

2 e)

4

5

¿Cuál o cuáles son divisibles por 9? a)

Solo I

b) I y II

o

9. Calcular "a + b", si: 54a2ab  125

c)

Solo II d)

4.

Solo III

e) Ninguno

a)

0 b)

6 c)

d)

9 e)

5

4

Hallar el valor de "a", para que el o

numeral 234a sea divisible por 11.

10. Determine el valor de "a", en: 5a2a3  11

a)

2 b)

4 c)

d)

6 e)

0

5.

3

Calcular cuánto debe valer "x"

2ó4

6 e)

b) 2 ó 6

c)

4

12.

o

6. Hallar la suma de valores de "a", si:

b)

d)

4 e)

2 c)

3

5

¿Cuántos valores podría tomar

"a" en: 72a9a2a; para ser divisible por 26?

0 d)

1

11.

para que el numeral 12383x sea divisible por 4. a)

a)

29a2  4

a)

5 b)

0 c)

d)

3 e)

N.A.

Hallar "a b", si se cumple que

6baa2a es divisible por 56.


MATEMATICA 69

1


15 b)

18 c)

d)

21 e)

9

12

NÚMEROS PRIMOS o

13.

Si:

1a2b3b6  88

; calcular el

NÚMERO PRIMO O PRIMO ABSOLUTO

mayor valor de "a + b" a)

8 b)

7 c)

d)

9 e)

10

14.

Es aquel número entero positivo que tiene sólo dos divisores; la unidad y el mismo número. Ejemplo: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; ...

11

NÚMERO COMPUESTO Son aquellos números enteros positivos que tienen más de dos divisores. Ejemplo: 4 ....sus divisores son: 1; 2; 4 12 ....sus divisores son: 1; 2; 3; 4; 6 y 12

Hallar el valor de "a + b",

sabiendo que el número de la forma es divisible entre 17. a)

6 b)

7 c)

d)

1

5

15.

e)

2

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESI) Dado un conjunto de dos o más números, diremos que son primos entre sí, cuando el único divisor común de todos ellos sea la unidad. Ejemplo: Sean los números: 8; 12 y 15

¿Cuántos números de la forma

8  1; 2; 4; 8 12  1; 2; 3; 4; 6; 12 15  1; 3; 5; 15

a026b son divisibles entre 72? a)

4 b)

3 c)

d)

1

0

e)

2

*

Observamos que su único divisor

común es la unidad, entonces 8; 12 y 15 son números primos entre sí (PESI).

16.

Hallar un número mayor que 200

y menor que 300, que al dividirlo entre 9; 5 y 2 deja

* DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA Consiste en descomponer a un número mayor que la

residuo 1. a)

181b)

unidad, como el producto de sus factores primos

180 c)

diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes

201 d)

17.

261

enteros positivos. e) 271

Ejemplo: 520 260 130 65 13 1

Calcular el valor de "a" para que

el numeral 7439a sea divisible por 7.

2 2 2 5 13

3

  5 2 0 = 2 . 5 . 1 3

o

17. Hallar la suma de valores de "x", si: 2nnmx  2


MATEMATICA 70


En general, todo número compuesto "N", puede ser expresado de la forma: N = A . B . C

*

El número uno (la unidad), no es

primo ni compuesto por tener un solo divisor (él

Donde:

mismo).

A, B; C  son números primos diferentes. ; ;   son enteros positivos.

*

La serie natural de los números

primos es ilimitada.

Principales fórmulas 1. Cantidad de divisores (C.D.)

*

Dado el número: N = A . B . C

La descomposición canónica de

un número es única.

C.D. (N) = ( + 1) ( + 1) ( + 1) Ejemplo:

*

número, son las bases de la descomposición canónica.

Sea el número: 180 = 22 . 32 . 5

*

Los divisores primos de un

C.D. (180) = (2 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 18 divisores

* Dos números consecutivos son siempre primos entre sí (PESI).


2. Suma de divisores (S.D.) Dado el número: N = A . B . C

1.

¿Cuántos divisores tiene el

mayor número impar de tres cifras?

A1  1 B1  1 C1  1 . . A  1 B  1 C 1 S.D. (N) = Ejemplo:

a)

2 b)

4 c)

d)

8 e)

9

6

Sea el número: 120 = 23 . 3 . 5

*

2.

24  1 32  1 52  1 . . S.D.(120) = 2  1 3  1 5  1

dividen exactamente a 240?

S.D.(120) = 360

Observación:

=

T o ta l d e d iv is o r e s p r im o s

+

T o ta l d e d iv is o r e s c o m p u e s to s

a)

2 b)

4 c)

d)

8 e)

9

3.

Para todo número entero positivo, se cumple que:

T o t a l d e d i v is o r e s de u n n ú m e ro

¿Cuántos números compuestos

16

Hallar la cantidad de divisores

no primos del número 9 999. a)

6 b)

10 c)

d)

12 e)

3

9

+ 1

4.

Un número es descompuesto en

tres factores primos diferentes cuyos exponentes


MATEMATICA 71

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” son 1; 2 y 3 respectivamente. ¿Cuántos divisores

d)

88 e)

46

tiene el número? a)

6 b)

20 c)

d)

32 e)

compuestos, calcular "x".

28

5. Si la D.C. de un número impar "N" es: N = a4.b3.5c

6 b)

11 c)

d)

7 e)

9

13

84 e)

d)

6 e)

7

5

Hallar cuántos divisores de 1

a)

20 b)

10 c)

d)

16 e)

8

12

Si "a", "b" y "c" son números

primos, tal que: a + b + c = 14; calcule cuántos divisores posee: a2 + b2 +

115c)

c2.

125 d)

4 c)

12.

Hallar la suma de los divisores

primos del mayor número de cuatro cifras. 95 b)

3 b)

840 no son múltiplos de 23.

a)

a)

a)

11.

dar el menor valor de "a + b + c".

6.

Si 12x tiene 63 divisores

10.

24

72

a)

4 b)

6 c)

d)

12 e)

20

8

7. ¿Cuántos divisores tiene 1 800? a)

24 b)

13.

28 c)

y es el menor posible, indicar la suma de las cifras de

30 d)

33 e)

Si un número posee 12 divisores

dicho número. 36

a)

4 b)

5 c)

d)

7 e)

8

8. ¿Cuántos divisores de 820 son múltiplos de 4? a) d)

4 b) 8 e)

12 c)

16

14.

Hallar el menor número que

tiene 15 divisores, si sus factores son 2 y 3.

18

a) 9.

d)

diferencia de: 412 - 410? 48 b)

48 c)

54

¿Cuántos divisores tiene la

a)

72 b)

15.

22 c)

108

e) 144

Si: A = 10 . 52 . 11 tiene 70

divisores, calcular "".

84


MATEMATICA 72

9


1

d)

b)

2 c)

4 e)

3

3.

Hallar la suma de los números

primos comprendidos entre 10 y 50.

5

a)

319

b) 321

c)

311 16.

Si la descomposición canónica

d)

del número "N" es

305

e) 297

an+1 .(a + 1)b, calcular la suma de los divisores primos de "N", sabiendo que en total tiene 64 divisores. a)

10 b)

12 c)

d)

5 e)

17

4.

Hallar la suma de los cinco

primeros números compuestos.

13

a)

45 c)

63 d)

17.

37 b)

130

e) 170

Al descomponer canónicamente

el número 2925, indicar la máxima diferencia de dos factores primos de dicho número.

5.

a)

10 b)

3 c)

d)

8 e)

5

18.

¿De cuántas formas se puede

expresar el número 27 como la suma de dos números

16

primos? a)

0 b)

1

d)

3 e)

6

c)

2

Si el numeral 200 tiene "x"

divisores y 225 tiene "y" divisores, halle "x - y".

a)

1 b) d)

4

e)

2 c)

6.

3

5

primo?

TAREA DPMICILIARIA 1.

El producto de los cinco

primeros números primos es: a)

1 250

2.

625

a)

2 b)

8 c)

d)

16 e)

10

7. b) 929

c)

e) 1 230

¿Cuántos números comprendidos

2 b)

4 c)

d)

3 e)

5

¿Cuántos divisores tiene el

a)

2 b)

4 c)

d)

8 e)

9

6

8. ¿Cuántos divisores primos tiene el número 4 200?

entre 10 y 20 sólo tienen dos divisores? a)

12

mayor número par de dos cifras?

2 310 d)

¿Cuál es el menor número que

sumado o restado de 71 da como resultado un número

6

a)

5 b)

3 c)

d)

4 e)

2


MATEMATICA 73

6


¿Cuántos números compuestos

d)

5 e)

6

dividen exactamente a 45? a)

2 b)

3 c)

d)

4 e)

6

5

15.

tres cifras, entonces la suma de sus cifras es:

10. ¿Cuántos divisores tiene 120? a)

8 b)

4 c)

d)

18 e)

16

Si "N" tiene 21 divisores y es de

a)

12 b)

14 c)

d)

16 e)

18

15

12 16.

Calcular la suma de los números

primos que dividen exactamente a 660. 11. ¿Cuántos divisores tiene: E = 1510 - 158? a)

99 b)

972 c)

a)

17 b)

19 c)

d)

23 e)

30

648 d)

1 448

17.

e) 729

Sea: A = {22; 23; 24; 25; 27;

28}, ¿cuál de los elementos de "A" tiene más divisores? 12.

¿Cuántos divisores compuestos

a)

tiene "N2", siendo

23 b) 27

N = 48?

d)

a)

28 c)

29 b)

24 e)

26

26 c)

25 d)

24 e)

18.

27

Calcular el valor de "n", si: N =

30n, tiene 729 divisores. 19.

Si ab es un número primo

13.

Dado el número 189 000,

¿cuántos divisores tiene? ¿Cuántos divisores son compuestos?

absoluto, ¿cuántos divisores como mínimo tiene

ab0ab ? a)

2 b)

3 c)

d)

5 e)

8

14. Si: A =

4

20.

Calcular "a", si "a" es la cantidad de

divisores del producto de dos números primos que suman 16.

108  108  108  ......  108   

MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MULTIPLO

"n" veces

Tiene 648 divisores compuestos, hallar el valor de "n". a)

Máximo Común Divisor (MCD) 8 b)

10 c)

4


MATEMATICA 74

21

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Se llama MCD de un conjunto de dos o más números enteros positivos, al número que cumple dos condiciones: * Es divisor común de los números dados. * Es el mayor posible.

120 60 30 15 3 1 1

Ejemplo: Sean los números 32 y 40 32 1; 2; 4; 8; 16; 32 40  1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40 Los divisores comunes son: 1; 2; 4; 8 de los cuales el mayor es 8, entonces MCD (32; 40) = 8

200 100 50 25 5 5 1

2 2 2 5 3 5

T o d o s lo s f a c t o r e s : 3 2 M C M (1 2 0 ; 2 0 0 ) = 2 .3 .5 M C M (120; 200) = 600

2. Por descomposición canónica Ejemplo: Dado los números

Mínimo común múltiplo (MCM) Se llama MCM de un conjunto de dos o más números enteros positivos, al número positivo que cumple dos condiciones: * *

-

120 = 23.3.5 200 = 23.52

Es un múltiplo común de todos los números. Es el menor posible.

MCD(120; 200) = 23.5

Ejemplo: Factores comunes elevados a su menor

Sean los números 12 y 8. 1212; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96;... 8  8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72;...

exponente. MCM (120; 200) = 23.3.52

Los múltiplos comunes son: 24; 48; 72;... de los cuales el menor es 24, entonces MCM (12; 8) = 24

Todos los factores elevados a su mayor exponente.

Determinación del MCD y MCM 1. Por descomposición simultánea

Observación:

Ejemplos: •

360 180 90 45 15 3

•

-

Hallar el MCD (360; 480)

-

480 240 120 60 20 4

2 2 2 3 5

Si: o

N=

a

F a c to re s c o m u n e s : 3 M C D ( 3 6 0 ; 4 8 0 ) = 2 .3 .5 M CD (360; 480) = 120

 N = M C M ( a ; b ) o

N= b

Hallar MCM (120; 200)

-

Si: o

N=a ±r o

N =b ± r

 N =


MATEMATICA 75

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” M C M (a; b; c) ± r

PROBLEMAS RESUELTOS o

N=c

±r 1. Hallar el MCD y MCM de 36 y 144.

-

Sean "A" y "B" dos números

Resolución:

PESI, entonces:

Como 36 está contenido en 144 se tendrá: MCD(A; B) = 1

MCD (36; 144) = 36 (el menor número)

MCM(A, B) = A.B

MCM (36; 144) = 144 (el mayor número)

Sean dos números "A" y "B" (A  B), tal que: A = ("A" contiene a "B") entonces: MCD (A; B) = B (el menor) MCM (A; B) = A (el mayor) 3.

2. Hallar el MCD y MCM de 14 y 15.

Resolución: Como 14 y 15 son PESI se tendrá: MCD (14;15) = 1 (la unidad) MCM (14;15) = 210 (el producto)

Sólo para dos números, se

cumple: "El producto del MCD y MCM de dos números es igual al producto de dichos números", es decir:

3.

Sabiendo que el MCD de 10A y

15B es 625 y el MCM de 14A y 21B es 31 500, hallar

MCD (A ; B) . MCM (A; B) = A.B

"A.B".

Resolución: *

Si a dos o más números enteros

MCD (10A; 15B) = 625 MCM (14A; 21B) = 31 500

se les multiplica (o divide) por una misma cantidad sus MCD y MCM, quedarán también multiplicados (o

5MCD (2A; 3B) = 625

divididos) por dicha cantidad.

7MCM (2A; 3B) = 31 500

MCD (2A; 3B) = 125 MCM (2A; 3B) = 4 500

Es decir:

Por propiedad

Sean "A"; "B" y "C" números enteros positivos, tal que:

(2A) (3B) = 125 × 4 500

MCD (A; B; C) = d

6 . A . B = 125 × 4 500

MCM (A; B; C) = m

A.B = 93 750

Ahora si a los números se les multiplica por "n" se

Sean: A = 2 . 3a . 5b y B = 2c . 3

4.

tiene:

.5

MCD (nA; nB; nC) = nd

Determinar "A - B", si se sabe que el MCM (A;B) = 180.

MCM (nA; nB; nC) = nm

Resolución:


MATEMATICA 76

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” A = 2 . 3a . 5b

a)

10 b)

11 c)

B = 2c . 3 . 5

d)

13 e)

14

12

MCM (A; B) = 2c . 3a . 5b = 180 6.

2c . 3a . 5b = 22 . 32 . 51

Calcular el MCM de (k + 2) y (k - 2).

De donde: c = 2 ; a = 2 y b = 1 Luego:

El MCD de 24k; 60k y 84k es 96.

a)

30 c)

40

A = 2 . 32 . 51 = 90 d)

B = 22 . 3 . 5 = 60 

20 b)

A - B = 30

7.

60 e)

16

Si el MCD de 36k; 54k y 90k es

1 620, hallar el menor de los números.


Determinar el MCM de 36; 24 y 63. a) 320 b) 620

a)

8 100

b) 4 860

c)

1 620 c)

d)

3 240

e) 90

560 d)

504

e) 576

8.

Si el MCD de 45A y 63B es igual

a 36, hallar el MCD de 25A y 35B. 2. Hallar la suma del MCD y MCM de 36 y 180. a)

194

b) 196

a)

216

4 c)

20

c)

208 d)

10 b)

d)

32 e)

24

e) 224 9.

del MCD de 180 y 240.

3. ¿Cuántos divisores comunes tienen 12 y 16? a)

0 b)

1

d)

3 e)

4

c)

2

6 b)

12 c)

d)

3 e)

18

a)

10 b)

11 c)

d)

13 e)

14

10.

4. Hallar el MCD de los números 1 890; 900 y 3 528. a)


12

El MCM de dos números es 180 y

su MCD es 3. Si uno de los números es 12, ¿cuál es el otro?

2

a)

24 b)

180 c)

d)

45 e)

90

5. Halle la suma de cifras del MCM de 120 y 210.


MATEMATICA 77

3



B = 55.72.85.910

son múltiplos comunes de 18 y 42? a)

5 b)

6 c)

d)

8 e)

9

C = 230.39.35

7

a)

640

d) 12.

Determinar cuántos números de

8 b)

1

d)

3 e)

4

c)

c)

320

e) 50

17. Hallar el valor de "n" en los números:

dos cifras son divisores comunes de 770 y 1 210. a)

b) 120

180

A = 15.40n ; B = 15n.40

2

para que el MCM tenga 200 divisores.

13. Si: MCM (A; B) = 91 125

a)

8 b)

1

d)

3 e)

4

c)

2

Calcular "n", si se cumple: A = 5n.92 y B = 52.9n

18. Hallar el valor de "n" en los números:

a)

8 b)

1

d)

3 e)

4

c)

A = 48.75n ; B = 35.72n

2

para que el MCD tenga 140 divisores. a)

18 b)

14. Si: MCD (2A; 2B) = 18 d)

Hallar: MCD (9A; 9B) a)

9 b)

18 c)

81 e)

27

2. Sabiendo que:

Hallar: MCD (15A; 35B) 24 b)

MCD (A;B) = 84 120 c)

MCD (B;C) = 60

60 d)

110e)

40

1. La suma de cifras del MCD de 150; 120 y 135, es:

15. Si: MCD (6A; 14B) = 48

a)

13 e)

TAREA DOMICILIARIA

168 d)

12 c)

20

Calcular el MCD de "A"; "B" y "C". 240

3. Si: F = 3³ – 3 16. Calcular la cantidad de divisores comunes de:

C = (10² – 4) x 3

A = 210.54.610

R= (3² – 1)(2² + 2)


MATEMATICA 78

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” ¿Cuál es el MCD de "F"; "C" y "R"?

15. Hallar la suma del MCD y MCM de 24 y 30.

4. El MCM de dos números primos entre sí es igual a

16.¿Cuál es la diferencia entre el MCM y el MCD de

68. La suma de estos números es:

36 y 27?

5. ¿Cuántos son los números mayores que 100 pero

17.

menores que 200 divisibles por 9; 8 y 12?


del MCM de 180 y 240.

6. El mayor divisor común de 120 y 360, es:

18.¿Cuántos divisores comunes tienen los números 18 y 36?

7. Calcule el MCD de : 19.¿Cuál es el menor número de tres cifras que

A = 403.144

dividido entre 3; 4 y 7 deja como residuo 2?

B = 124.154 20.

El MCD de los números 36k; 54k

y 90k es 180, el menor número será:

8. La suma de cifras del MCM de 60; 54 y 75 es:

Si: A = 25.34.108 ; B =

21.

9. El MCD de 512 y 1 024, es:

23.35.107; calcule la cantidad de divisores comunes que poseen "A" y "B". a)

10.El MCM de 143 y 1 001, es:

780

b) 440

c)

500 d)

11. La suma de los divisores comunes de 40 y 60, es:

22.

12.La suma de los múltiplos comunes menores que 100

e) 36

Si el producto de dos números

es 24 192 y su MCD es 8, calcule el MCM de dichos

de 8 y 6, es:

números. a)

13.

600

24 192

b) 3 024

c)

1 024

Calcular el menor número tal que

al dividirlo entre 3 ; 5 y 8 sobra 2 y que además

d)

sea múltiplo de 11.

23.

14. Hallar el MCD de: 168; 248 y 360.

324

e) 124

El largo de un rectángulo excede

al ancho en 6 m. ¿Cuánto mide su perímetro en metros, si el ancho es igual al MCD de 20; 24 y 32?


MATEMATICA 79


26 b)

28 c)

RG =

32 d)

24 e)

24.

Observación:

56

*

Hemos dividido tres barras

igual longitud los más largos posibles. Se desea conocer cuántos trozos se han obtenido. 26 b)

24

*

" "A"; "B" y "C" son entre sí como 4; 5 y 6" A = 4k ; B = 5k y C = 6k

*

Cuando se menciona simplemente la razón de dos

28 c)

23 d)

e)

" "A" es a "B" como dos es a cinco" A = 2k y B = 5k

* "Las edades de "A" y "B" están en la relación de 3 a 7" A = 3k y B = 7k

cuyas longitudes son 360; 480 y 540 m en trozos de

a)

valor de la razón geométrica

cantidades consideraremos la razón geométrica.

27

Escala de un plano o mapa Al hacer el plano de una casa o de una ciudad, o al hacer un mapa de un país o continente se establece una escala, que es la razón entre la distancia sobre el plano y la distancia real.

RAZONES Razón

Es la comparación que se establece entre dos cantidades de una magnitud mediante las operaciones de sustracción o división.

Escala =

Analicemos el siguiente ejemplo:

Observación: Dichas distancias se deben encontrar en las mismas unidades.

"Compara las edades de Frank y Gaby que son 40 y 8 años respectivamente".

Ejemplo:

• Comparando por sustracción: Razón aritmética: 40 años - 8 años = 32 años

¿Cuál es el largo de un terreno si en el plano mide 5 cm y está en la escala de 1:100?

"La edad de Frank excede a la de Gaby en 32 años".

Resolución:

• Comparando por división: Razón geométrica:

Planteamos:

40 años 5 8 años

Ejemplo:

En General:

Razón Aritmética

A  RG B    Razón Geométrica

En un colegio de 684 alumnos la razón entre el 47 10 número de alumnos de primaria y secundaria es , encontrar el número de alumnos de secundaria.

Resolución: Sea:

En ambos casos: "A" es antecedente "B" es consecuente RA =

1 5 cm  100 distancia real

La distancia real es: 100(5 cm) = 500 cm = 5 m

"La edad de Frank es el quíntuple de la edad de Gaby"

A   B  RA 

distancia sobre el plano distancia real

P : número de alumnos de primaria S : número de alumnos de secundaria

Del enunciado, tenemos que:

valor de la razón aritmética


MATEMATICA 80

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” P + S = 684 ........ P 47  S 10 ........ De (2): P = 47 k y S = 10 k ........ Reemplazando en (1): 47k + 10k = 684 57k = 684 k = 12

(1)

a)

3 b)

12 c)

(2) (3)

d)

42 e)

17

5.

7

Las edades de David y Jorge son

entre sí como 8 es a 9. Si David tiene 32 años, ¿cuántos años tiene Jorge?

Al sustituir en (3) obtenemos el número de alumnos en secundaria:  S = 10k = 120

a)

33 años

b) 34

c)

35 d)

36 e)

38

PROBLEMAS PARA LA CLASE A 3  B 2 1. Si:

6.

Dos números están en relación

de 2 a 3. Si se aumenta 15 a uno de ellos y 10 al otro

y A + B = 30

se obtienen cantidades iguales. ¿Cuál es el mayor?

Hallar el valor de "A" a)

6 b)

9 c)

d)

12 e)

8

18

a)

15 b)

10 c)

d)

20 e)

8

7. A 7  B 4 y A - B = 12 2. Si:

En una caja hay caramelos de

fresa y limón. Si por cada caramelo de fresa hay 3 caramelos de limón, ¿cuántos caramelos de fresa hay, si en total hay 80 caramelos en la caja?

Hallar "A + B" a)

15 b)

a)

4 c)

16 e)

a b  3 4 3. Si:

d)

44

8. y

18 b)

20 c)

25

28 d)

12

30 e)

40

La razón aritmética de las

edades de Frank y Aldo es 20 y su razón geométrica

a2 + b2 = 100

es 9/4. Hallar la edad de Frank.

Hallar "a + b"

a)

a)

28 b)

11 c)

d)

14 e)

50

20 años

b) 45

c)

36

9 d)

9.

a b  5 9 y 2a + 3b = 111 4. Si:

16 e)

54

Se tienen dos recipientes con

agua: "A" y "B". En el primero hay 20 litros y en el segundo el doble. Si del primer recipiente se pasan 5 litros al segundo, entonces el número de litros que

Calcular "b - a"


MATEMATICA 81

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” quede en el recipiente "A" es al número de litros que

14.

ahora hay en "B" como:

32 y 24 años respectivamente. ¿Dentro de cuántos

a)

1 es a 3

b) 2 es a 3

años sus edades estarán en la relación de 7 a 6?

c)

1 es a 2 d)

2 es a 5

10.

Las edades de Juan y Norma son

a)

10 b)

18 c)

d)

12 e)

24

15

e) 2 es a 1

Si las edades de Pilar y Gaby hoy

son 19 y 7 años, determinar la razón aritmética

15.

dentro de 8 años.

pollos es al número de gallinas como 3 es a 5, siendo

a)

9a5

b) 5 a 9

su diferencia 24. ¿Cuál es la nueva relación de pollos

c)

a gallinas si se mueren 12 gallinas?

8 años d)

12 años

En una granja el número de

a)

e) 20 años

A2 B2  49 y A + B = 100 11. Si: 9

c)

1/5

e) 2/7

TAREA DOMICILIARIA

Hallar el valor de "B"

1. Halle la razón aritmética y geométrica de 91 y 7. 2.

a)

30 b)

7 c)

d)

70 e)

21

10

geométrica de

Calcula la razón aritmética y 144 y 32.

a 2  b 3 y además: a + b = 35; hallar "a". 3. Si: y b - a = 18

a 2  5 y a.b = 1 000; calcular "a + b". 4. Si: b

Hallar "a + b" a)

30 b)

20 c)

d)

16 e)

42

13.

b) 3/4

2/3 d)

a2 b2  50 12. Si: 8

3/5

14

5. La razón de dos números es 17 y el consecuente es 5. Hallar el antecedente.

La razón de las edades de César

y Luis es 5/4 y dentro de dos años sus edades sumarán 31 años. ¿Qué edad tiene César? a)

15 años

b) 12

6. La razón de dos números es 3/5 y la suma de dichos números es 72. ¿Cuál es la razón aritmética?

c)

17 d)

14 e)

30 7. Si "a" es a "b" como 4 es a 5 y además la suma de dichos números es 90, hallar "2a – b".


MATEMATICA 82

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 8. Si "x" es a "y" como 4 es a 5 y su diferencia es 6, hallar el mayor de los números.

18. Hallar el mayor de dos números "a" y "b" enteros, sabiendo que son proporcionales a 4 y 5; además cumplen la condición: a² – ab + b² = 84.

9. Tres números están en la misma relación que los números 2; 3 y 7; además la diferencia entre el segundo y el primero es 5. Hallar el tercer número.

19. Las habilidades de dos obreros son como 7 y 12. Cuando el primero haya hecho 350 m de una obra, ¿cuánto habrá hecho el otro?

10. Tres números son entre sí como 2; 8 y 7 respectivamente; además la suma de los dos primeros es 30. ¿Cuánto vale el tercero?

20.Si "M" y "N" son entre sí como 5 es a 9, ¿cuál será el valor de: L

A 5  2 y A² – B² = 2 100; hallar "A". 11. Si: B

A 9  4 12. Si: B

5N  3M NM

?

21. Frank tuvo a su hijo cuando él tenía 25 años. Si actualmente la relación de sus edades es de 8 a 3, ¿cuántos años tiene el hijo? y

A 

B 4

; hallar "A+B". 22. Un recipiente tiene 7 litros de vino menos que otro. Si la relación de sus contenidos es de 5 a 4, ¿cuántos litros hay en total entre los dos recipientes?

13. Tres números son entre sí como 3; 4 y 7. Hallar el mayor de los números, sabiendo que la suma de ellos vale 4 200.

23. La edad de un hijo es a la edad de su padre como 3 es a 5 y dentro de 20 años la relación de sus edades será como 5 es a 7. ¿Cuántos años tiene el padre?

14. Si "a"; "b" y "c" son entre sí como 5; 7 y 11 y cumplen la condición: a² + b² + c² = 780; hallar "abc".

15. ¿Dentro de cuántos años, la relación de las edades de dos personas será 6/5; si sus edades actuales son 30 y 20 años?

24. La suma de las edades de Pepa y Pepe es 40 años. Si sus edades están en relación de 1 a 4, ¿cuántos años han de pasar para que la relación de sus edades sea de 2 a 5?

16. La razón de dos números es 3/8 y su suma es 2497. Encontrar el menor de los números y señalar su cifra mayor

PROPORCIONES 17. Dos personas tienen juntas S/. 952 y la cantidad que tiene la primera es a la cantidad que tiene la segunda como 2/3 es a 3/4. ¿Cuánto tiene la segunda?

Proporción Se llama proporción a la igualdad de dos razones aritméticas o dos razones geométricas que tienen el mismo valor, puede ser de dos clases:


MATEMATICA 83

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” "B" y "C" son términos medios.

Proporción aritmética Cuando se igualan dos razones aritméticas que tienen el mismo resultado, es decir:

La proporción geométrica puede ser: • Proporción geométrica discreta Cuando los términos medios son diferentes, es decir:

A-B=C-D

A C  B D donde: B  C

"A" y "D" son términos extremos. "B" y "C" son términos medios.

a "D" se le llama cuarta proporcional de "A", "B" y "C".

La proporción aritmética puede ser: • Proporción aritmética discreta Cuando los términos medios son diferentes, es decir: A - B = C - D donde: B  C

•

a "D" se le llama cuarta diferencial de "A", "B" y "C".

Proporción geométrica continua

Cuando los términos medios son iguales, es decir:

• Proporción aritmética continua. Cuando los términos medios son iguales, es decir: A-B=B-D

A B  B D

a "B" se le llama media diferencial de "A" y "D"; a

a "B" se le llama media proporcional de "A" y "D"; a

"D" se le llama tercera diferencial de "A" y "B".

"D" se le llama tercera proporcional de "A" y "B".

*

*

Ejemplo de proporción aritmética continua:

Ejemplo de proporción geométrica discreta: Sean las razones geométricas:

Sean las razones aritméticas:

12 1  24 2

30 - 24 = 6

y

32 1  64 2

24 - 18 = 6 Las cuales al igualar obtenemos la proporción

Al igualar dichas razones se obtiene la proporción

geométrica:

aritmética: 30 - 24

=

12 32  24 64

24 - 18

12 y 64 son términos extremos y 24 y 32 son términos medios. Propiedad fundamental

Propiedad Fundamental En la proporción geométrica se cumple: "El producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios". En el ejemplo: 12 × 64 = 24 × 32

En las proporciones aritméticas se cumple: "La suma de sus términos extremos es igual a la suma de sus términos medios". En el ejemplo: 30 + 18 = 24 + 24 Proporción geométrica Cuando se igualan dos razones geométricas que tienen el mismo resultado, es decir: A C  B D "A" y "D" son términos extremos.

1. Hallar la cuarta diferencial de 11; 5 y 19.

Resolución: 11 - 5 = 19 - d


MATEMATICA 84


d = 13

PROBLEMAS PARA LA CLASE.

8.

14 b)

18 c)16

d)

20 e)

22

8

En una proporción geométrica

continua, la suma de los extremos es 45 y la

1. Hallar la media diferencial de 18 y 22. a)

20 e)

diferencia de los mismos es 27. Hallar la media proporcional. a)

42 b)

45 c)18

d)

32 e)

15

2. Hallar la media proporcional de 36 y 64. a)

12 b)

16 c)48

d)

10 e)

9

9.


continua, el producto de los cuatro términos es 4096. Hallar la media proporcional.

3. Hallar la tercera diferencial de 52 y 40. a)

28 b)

26 c)24

d)

22 e)

20

a)

3

b)

4

d)

6

e)

12

10.

c)8


continua cuya razón es 2/3; la media proporcional es 36. Hallar la suma de los extremos de la proporción.

4. Hallar la tercera proporcional de 40 y 60. a)

20 b)

40 c)60

d)

80 e)

90

20 b)

22 c)24

d)

26 e)

28

10 b)

9

d)

7

6

e)

60 c)52

d)

78 e)

42


uno de los extremos es 9 y la media proporcional es 36. Hallar el otro extremo. a)

142

b) 145

c)

118 d)

6. Hallar la cuarta proporcional de 35; 5 y 42. a)

72 b)

11.

5. Hallar la cuarta diferencial de 25; 17 y 32. a)

a)

132

e) 144

c)8

12.

En una proporción aritmética

continua, se sabe que la suma de los medios es 18 y el segundo consecuente es 5. Calcular la diferencia de los extremos.

7.


continua, la suma de los términos extremos es 29 y su diferencia es 21. ¿Cuál es la media proporcional? a)

5

b)

a)

3 b)

4 c)

d)

6 e)

12

10 c)15


MATEMATICA 85

8



continua, la suma de los extremos es 60 y la

discreta los antecedentes son 12 y 3 y la cuarta

diferencia de los mismos es 48. Hallar la media

proporcional es 2. Determinar la suma de todos los

proporcional.

términos de esta proporción. a)

20 b)

a) 22 c)

d)

24 d)

14.

26 e)

5 b)

25

20

e)

10 c)

15

18

TAREA DOMCILIARIA 1. Hallar la cuarta proporcional de 9; 12 y 15.

Si los antecedentes de una

proporción geométrica continua son 9 y 6, halle la

a)

tercera proporcional.

20 b)

27 c)

24

a)

3 b)

4 c)

d)

6 e)

12

8

d)

16 e)

30

2. Hallar la media proporcional de 8 y 18. 15.


continua el producto de los extremos es 144. Hallar la media proporcional. a)

12 b)

10 e)

12 b)

15 c)

d)

27 e)

30

18

16 c)

48 d)

a)

3. 9


continua la media diferencial es 18 y uno de los extremos es 10, hallar el otro extremo.

16.


a)

continua el producto de los cuatro términos es 625.

5 b)

10 c)

d)

20 e)

8

21 c)

26

Hallar la suma de los términos medios. a)

18 b)

d)

15

4.

32 e)

36

La suma de los extremos de una

proporción geométrica es 36 y su diferencia es 4. 17.

Hallar el producto de los términos medios.

En una proporción geométrica los

extremos suman 75 y su diferencia es 15. Hallar el

a)

producto de los medios. a)

1 400

1 350

b) 240

c)

180 b) 1 450

c)

d)

1 300 d)

160

144

e) 320

e) 1 440 5.


continua los extremos son entre sí como 9 es a 4 y su 18.

razón aritmética es 15. Hallar la media proporcional.



MATEMATICA 86


18 b)

15 c)

d)

24 e)

32

21

de los términos es 25 y el término intermedio es 20. Hallar la suma de los cuatro términos.

a 7  b 5 6. Si:

a)

75 b)

92 c)

d)

105

e) 115

11.

81


continua, el primer término es 1/9 del cuarto

a2  b2 2 Hallar: 2b

término. Si la suma de los medios es 72, hallar la diferencia de los extremos. 37 50

a)

37 b) 25

a)

c)

d)

92 c)

24

74 25

d)

37 100

20 b)

96 e)

25

17 e) 15

12.


continua, los términos extremos están en la relación 7.

de 4 a 9, siendo su suma 65. Hallar la media

Hallar la cuarta proporcional de

proporcional.

4; 7 y 12. Dar como respuesta la suma de cifras de dicho número.

a)

a)

1

d)

2 e)

8.

b)

5 c)

21 d)

3

Determinar la media

13.

d)

2 e)


cuarta diferencial.

dicha media proporcional. 5 c)

90

de 7 a 5. Si la suma de los medios es 180, calcular la

130 y su diferencia es 120. Indicar la cifra mayor de

b)

80 e)

discreta los términos extremos están en la relación

sabiendo que la suma de los términos extremos es

1

30 c)

60

proporcional de una proporción geométrica continua,

a)

20 b)

4 14.

3


continua los extremos son entre sí como 7 es a 3. Si el término medio es 45, hallar la diferencia de los extremos.

9.

El producto de los cuatro

términos de una proporción es 176 400. Si el primero de estos términos es 12, ¿cuál es el cuarto término? a)

15 b)

25 c)

d)

32 e)

35

15.

La suma, diferencia y producto

de dos números están en la misma relación que los

21

números 15; 7 y 44. Hallar el mayor.

16.

La suma, diferencia y producto

de dos números están en la relación de 7; 1 y 48.

10. En una proporción geométrica continua el mayor


MATEMATICA 87

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Resolución:

Hallar el mayor.

Las magnitudes que intervienen son: obra y tiempo. 17.

Dos números son entre sí como 7

Notamos que a "mayor" tiempo el carpintero podrá

es a 9. Si la suma de los cuadrados de estos números

fabricar "mayor" número de carpetas.

es 3 250, hallar la diferencia de dichos números.

Además los valores de una magnitud deben estar en las mismas unidades.

18.

En una reunión por cada cinco hombres hay

Así: 1 semana = 7 días

siete mujeres. Si la diferencia entre hombres y mujeres es 42, ¿cuántos hombres asistieron a la reunión?

Obra

D.P.

Tiempo

(N° de carpetas)

(días) 35

REGLA DE TRES SIMPLE

7 x

Regla de tres Es un método especial de resolución para problemas de magnitudes proporcionales donde intervienen dos o más magnitudes.

12

35.12 x= 7 = 60 carpetas

Regla de tres simple En este caso intervienen sólo dos magnitudes proporcionales. Dependiendo de las magnitudes que intervienen, la regla de tres simple puede ser: Directa o inversa.

2. Regla de tres simple inversa "Cuando las magnitudes que intervienen son

1. Regla de tres simple directa "Cuando las magnitudes que intervienen son

inversamente proporcionales (I.P.)"

directamente proporcionales (D.P.)" Magnitud "A" Magnitud "A"

D.P.

Magnitud "B"

a

b

c

x

Método práctico:

x

I.P.

Magnitud "B"

a

b

c

x

a.b Método práctico: x = c

b.c a

*

Ejemplo:

Si una cuadrilla de 10 obreros hacen una obra en 12 *

días, ¿con cuántos obreros se hará la misma obra en

Ejemplo:

15 días?

Si un carpintero hace 35 carpetas en una semana,

Resolución:

¿cuántas carpetas fabricará en 12 días?


MATEMATICA 88

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Las dos magnitudes que intervienen son: obreros y tiempo; pues la obra es la misma.

2.

Ocho obreros pueden hacer una

Notamos que a "mayor" número de días se necesitará

obra en 20 días y después de 5 días de trabajo se

"menor" número de obreros.

retiran tres obreros. ¿Con cuántos días de atraso se terminó la obra?

Obreros

I.P.

Tiempo (días)

10

12

x

15

PROBLEMAS PARA LA CLASE. 1.

Un grupo de 5 jardineros iban a

podar un jardín en 6 horas. Sólo fueron 3 jardineros. ¿Qué tiempo emplearán en podar el jardín?

10.12 x = 15 = 8 días

P r o b le m a s r e s u e lt o s

a)

12 h

b) 9 c)

d)

8 e)

14

10

1 El precio de 2 2 docenas de

2.

naranjas es S/.24. ¿Cuál será el precio de 18 naranjas? 1.

a)

Un barco tenía 1 900 kg de

S/.12,20

b) 15,30

c)

16,20

alimentos que serviría para un viaje de 38 días; sin embargo, el viaje sólo duró 30 días. Calcule qué

d)

cantidad de alimentos sobró.

14,40

e) 10,50

Resolución: 3.

Si el viaje duró "menos" días se habrá utilizado

en $2500, ¿en cuánto se venderá la otra parte?

"menos" alimento (D.P.) kg de alimento

D.P.

a)

Tiempo (días)

$ 2 000

b) 1 800

c)

1 750

1 900

d)

38 x

Se vendió los 5/9 de un terreno

1 500

e) 2 250

30 4.

Un terreno se vende por partes,

los 2/5 se vendieron en $ 30 000. ¿En cuánto se vendería 1/3 del terreno?

1900.30 38 x=  x = 1 500 kg

a)

$ 28 000

b) 16 000

22 000

Se utilizó 1 500 kg, entonces sobró: d)

1 900 - 1 500 = 400 kg

27 500

e) 25 000


MATEMATICA 89

c)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 5 días, se retiraron 9 niños. Calcular el número de

3 Un automóvil consume 3 4

5.

días que habrá desayuno para los restantes.

galones de gasolina cada 120 km. ¿Cuántos galones consumirá para recorrer una distancia de 180 km? 3 6 8 galones

a)

5 b) 5 8

a)

21 b)

24 c)

22 c)

d)

25 e)

23

1 62

4 35

d)

10.

4 e) 5 5

El anfitrión de una fiesta calculó

que para sus 40 invitados tendría licor durante 4 horas. Pero resultó que después de 1 hora que comenzó la fiesta, llegaron a un mismo tiempo 20 amigos de su promoción. ¿Qué tiempo más durará el

6.

Una secretaria escribe a

licor?

máquina a razón de 180 palabras por minuto. ¿A qué hora terminará con un dictado de 5 400 palabras, si

a) 3 h

comenzó a las 9:52 a.m.? a)

10:42 a.m.

b) 10:18

10:22

7.

1

e) 10:24

d)

Un grupo de amigos disponía de

11.

S/. 360 para gastar vacacionando durante 4 días.

7 días

b) 6 c)

d)

1 62

1 e) 8 2

tiempo empleará en pintar otra pared de 4 metros de lado?

8

a)

75 min

b) 81

c)

80 72 e)

76

Un grupo de gallinas tiene maíz

para 18 días; después de 3 días, se sacrifica a la

12.

tercera parte. ¿Cuántos días durará el maíz para las

a)

hora? 24 b)

26 c)

a)

20

d)

Un ciclista recorre 75 m cada 3

segundos, ¿cuántos kilómetros recorrerá en 1/4 de

restantes?

9.

e) 2

Un pintor emplea 45 minutos en

d) 8.

22

pintar una pared cuadrada de 3 metros de lado. ¿Qué

¿Para cuántos días les alcanzarían S/.630? a)

c)

1 24

c)

10:28 d)

1 b) 3 4

1 22 2

37,5 km

b) 43,5

c)

17,2 1 e) 21 2

d)

13.

En el hogar de los Petizos, hay

22,5

e) 24,5

Si 18 obreros pueden terminar

una obra en 65 días, ¿cuántos obreros se requieren

desayuno para 24 niños durante 20 días. Después de

para terminarla en 26 días?


MATEMATICA 90


45 b)

42 c)

3.

36 d)

48 e)

Los 3/8 de una obra se pueden

hacer en 15 días, ¿en cuántos días se terminará lo que falta de la obra?

40

a)

20 b)

25 c)

30 14.

Un grupo de 9 peones pueden

d)

cavar una zanja en 4 días. ¿Cuántos peones más se

28 e)

22

deberían contratar, para cavar la zanja en sólo 3 días?

4.

a)

12 b)

3 c)

d)

9 e)

15

6

Con una ración de tres veces por

día un destacamento se alimenta durante 60 días. Si se reduce a dos raciones diarias, ¿cuántos días se podría alimentar adicionalmente el destacamento? a)

15.

cubo, se cobró S/.15. ¿Cuánto se cobrará por pintar

d)

sólo dos de sus caras? S/.2,50

4,50

80 e)

50

b) 5 c) 5.

7,50 d)

60 c)

90

Por pintar todas las caras de un

a)

30 b)

Un ingeniero debidamente

preparado tiene un rendimiento promedio de 90%. Si

e) 6

éste puede formular y evaluar un proyecto en 15 días, ¿en cuántos días podría hacer el mismo trabajo otro ingeniero con un rendimiento del 50%?

TAREA DOMICILIARIA

a) 1.

9 b)

18 c)

27

Para recorrer los 4 lados de un

rectángulo de tres metros de largo y dos de ancho,

d)

una hormiga demora 8 minutos. ¿Cuántos minutos

20 e)

10

tardará la misma hormiga en recorrer los lados de otro rectángulo de 9 metros de largo y 6 de ancho? a)

12 b)

15 c)

d)

20 e)

24

2.

6.

18

Si cierto número de sastres

hacen 30 ternos, y tres sastres menos hacen 12 ternos, ¿cuántos ternos harán tres sastres?

Con 20 obreros se podría

a)

5 b)

10 c)

d)

18 e)

24

15

terminar una obra en 10 días. Si trabajaran 5 obreros más, ¿cuántos días tardarían en terminar la 7.

misma obra? a)

4 b)

6 c)

d)

10 e)

12

Un tornillo perfora 3/10 de

milímetro en 25 vueltas, ¿cuántas vueltas necesitará

8

para perforar 4,5 milímetros? a)

375

b) 357

537 d)

527

e) 735


MATEMATICA 91

c)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 13. 8.

Si las 3/4 partes de una obra se

lado. ¿Qué parte de otro terreno de 160 m de lado

pueden hacer en 15 días, ¿en cuántos días se haría la

podrá sembrar en 12 horas?

obra entera? a)

5 b)

10 c)

d)

20 e)

25

9.

Un agricultor demoró 8 horas en

sembrar un terreno de forma cuadrada, de 120 m de

15

a)

5 6 b)

25 48 c)

9 16 e)

15 36

27 32

Un fusil automático ligero puede

d)

disparar 6 balas en 2 segundos, ¿cuántas balas disparará en un minuto? a)

149

b) 181

14.

c)

d)

151e)

Un grupo de 9 secretarias se

comprometió en hacer un trabajo de mecanografía en

180

6 horas. Después de 2 horas de trabajo, se retiran 3

150

secretarias. ¿En cuántas horas más, del tiempo acordado, terminarán el trabajo las secretarias que quedan?

10.

Dos engranajes de 30 y 36

dientes están en contacto. Si el primero da 42 RPM, halla cuántas RPM dará el segundo engranaje. a)

25 b)

a)

3 hb)

1,5 c)

d)

3,5e)

2,5

2

35 c)

45 d)

38 e)

11.

REGLA DE TRES COMPUESTA

28

REGLA DE TRES COMPUESTA Es una regla de tres donde intervienen más de dos magnitudes proporcionales. Este procedimiento de cálculo nos permite hallar un valor, cuando se conocen un conjunto de valores correspondientes a varias magnitudes.

Tres de cada 576 encendedores

que se fabrican resultan defectuosos; ¿cuántos encendedores, sin defecto, habrán en un lote de 2 880 encendedores? a)

2 877

b) 2 875

c)

Método de resolución 1. Se reconocen las magnitudes que

2 868 d)

2 865

intervienen en el problema.

e) 2 855

2.

Se disponen los datos de manera

que los valores pertenecientes a una misma magnitud 12.

Si 36 naranjas cuestan 18 soles,

se ubiquen en una misma columna, además que deben

¿cuánto se pagará por tres decenas de naranjas? a)

S/. 7

estar expresados en las mismas unidades de medida.

b) 10

3.

c)12 d)

15 e)

La magnitud en la cual se ubica la

incógnita se compara con las demás, verificando si son directa (D) o inversa (I).

16

4.

Se despeja la incógnita


MATEMATICA 92

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Resolución:

multiplicando la cantidad que se encuentra sobre ella por las diferentes fracciones que se forman en cada magnitud, si son inversa (I) se copia igual y si son directas (D) se copia recíprocamente.

N° de máquinas Miles de lapiceros N° horas 12

*

35 21

Ejemplo: 24

Si 20 operarios pueden producir 120 pares de

x 18

zapatos en 18 días, trabajando 8 horas diarias, ¿cuántos operarios pueden producir 160 zapatos en

D

24 días, trabajando 5 horas diarias?

D

Resolución: 24 18 . 12 21 x = 35 .

Obreros

Obra

días

h/d

x = 60 mil lapiceros

20 120

18

8

x

24

5

80 D

2.

Diez obreros en ocho días han

avanzado 2/5 de una obra. Si se retiran dos obreros,

I

los restantes, ¿en qué tiempo terminarán lo que falta

I

de la obra?

Resolución: 80 18 8 . . . 120 24 5 x = 20

Si se avanzó los 2/5, falta por hacer los 3/5. Obreros

x = 16 obreros

días

10

Observación: Nótese que la obra debe estar en la

8

misma unidad de medida (pares de zapatos).

obra

8

2 5 

2

x

3 5  

3

I

Así: 160 zapatos = 80 pares de zapatos

D

10 3 x = 8. 8 . 2

P r o b le m a s r e s u e lt o s x = 15 Rpta.: Lo terminarán en 15 días. 1.

Si 12 máquinas pueden producir

35 mil lapiceros en 21 horas, ¿cuántos miles de lapiceros podrán producir 24 máquinas en 18 horas?

3.

Si 15 obreros trabajando 8


MATEMATICA 93

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” horas diarias durante 15 días han hecho 120 metros

ratones en tres horas, ¿cuántos ratones comerán 9

de una obra, ¿cuántos días demorarán 25 obreros

gatos en dos horas?

trabajando 10 horas diarias para hacer 100 metros de obra en un terreno de doble dificultad?

Resolución:

Obrero

h/d

días

9 b)

6 c)

d)

3 e)

2

4.

obras

4

Cinco sastres pueden hacer 10

ternos en 8 días, trabajando dos horas diarias. ¿En

dificultad

cuántos días 10 sastres podrán hacer 50 ternos, si

15

8

15

25

10

x

I

a)

120 100

I

1

trabajan 5 horas diarias?

2

D

a)

8 b)

10 c)

d)

5 e)

4

12

D

5.

15 8 100 2 . . . . x = 15 25 10 120 1

plátanos, ¿en cuántos días 14 monos comerán 28 plátanos?

x = 12 días


10 e)

12

d)

21 e)

6

a)

6 b)

10 c)

d)

18 e)

20

máquinas pueden hacer 10 000 envases? 20 c)

30 d)

40 e)

15

En 12 días, 8 obreros hicieron

de la obra?

000 envases en 50 días, ¿en cuántos días 50

10 b)

28

2/3 de una obra. ¿En cuántos días más harán el resto

Si 20 máquinas pueden hacer 5

a)

14

Dieciséis señoras pueden

7. 2.

7 c)

confeccionar 50 camisas, si trabajan 6 horas diarias?

resolver 40 problemas de la misma dificultad?

d)

b)

horas diarias. ¿En cuántos días 40 señoras podrían

demorarán 5 alumnas de igual rendimiento en

5 c)

1

confeccionar 40 camisas en 20 días, trabajando 9

20 problemas en 5 horas. ¿Cuántas horas se

3 b)

a)

6.

Tres alumnos pueden resolver

a)

Si 7 monos comen en 14 días 7

a)

12 b)

8 c)

d)

6 e)

9

8.

50

3

Si con 6 máquinas se pueden

hacer 250 pares de zapatos en dos días, trabajando 5 h/d; para hacer en la misma cantidad de días 1 000 zapatos trabajando 6 h/d, ¿cuántas máquinas se

3.

necesitarán?

Si tres gatos comen tres


MATEMATICA 94


2 b)

5 c)

d)

10 e)

20

9.

6

cuántas horas podrán arar otro terreno cuadrado de 40 m de lado, 50 obreros?

Cinco balones de gas se utilizan

a)

2 b)

4 c)

d)

10 e)

20

8

para el funcionamiento de 8 cocinas durante 10 días. Si se tienen 10 cocinas, ¿para cuántos días

14.

alcanzarán 20 balones de gas? a)

8 b)

16 c)

¿Cuántos días necesitarán 5 hombres, trabajando 6

32 d)

10.

20 e)

Tres hombres, trabajando 8

h/d, han hecho 80 m de una obra en 10 días. h/d, para hacer 60 m de la misma obra? 10

a)

2 b)

3 c)

d)

10 e)

5

6

Doce obreros pueden hacer una

obra en 20 días. Si 6 de ellos aumentan su

15.

rendimiento en un 50%; ¿en cuántos días harán la

hombres tienen víveres para 10 días a razón de 3

obra?

raciones diarias por cada hombre. ¿Cuántos días

a)

8 b)

12 c)

d)

20 e)

18

11.

Una guarnición de 1 600

16

durarán los víveres, si se refuerzan con 400 hombres y cada hombre toma 2 raciones diarias?

Si 20 obreros pueden hacer un

a)

12 b)

14 c)

d)

10 e)

6

16

cuarto de una obra en 10 días, ¿en cuántos días 50 obreros harán lo que falta de la obra, sabiendo que

TAREA DOMICILIARIA

esta última parte tiene el doble de dificultad que la primera?

1.

a)

5 b)

6 c)

d)

18 e)

24

12.

En 25 días, 12 obreros han

hecho los 3/5 de una obra. Si se retiran dos obreros,

12

¿cuántos días emplearán los que quedan para terminar la obra?

Si 4 máquinas pueden fabrican

a)

21 b)

20 c)18

d)

19 e)

24

200 envases de un litro en 5 h, ¿en cuántas horas 5 máquinas pueden fabricar 500 envases de dos litros? a)

20 b)

2.

30 c)

40 d)

13.

25 e)

Si 6 leñadores de 80% de

eficiencia pueden construir un albergue en 20 días, ¿cuántos días se demorarán 8 leñadores de 75% de eficiencia para construir el mismo albergue?.

10

Si 20 obreros pueden arar un

a)

10 b)

12 c)15

d)

16 e)

18

terreno cuadrado de 20 m de lado en 5 h, ¿en


MATEMATICA 95


d)

Si 40 hombres pueden cavar una

40 e)

42

zanja de 200 m3 en 12 días, ¿cuántos hombres se necesitan para cavar otra zanja de 150 m3 en 10 8.

días? a)

36 b)

32 c)38

d)

40 e)

45

Una empresa constructora puede

pavimentar 800 m de una carretera en 25 días empleando 15 obreros. ¿Cuántos días emplearán 20 obreros de esta misma empresa para pavimentar 640 m de una carretera en un terreno del doble de dificultad?

4.

Doce agricultores se demoran 10

días de 8 horas diarias en sembrar 240 plantones. ¿Cuántos plantones podrán sembrar ocho de estos agricultores en 15 días de 9 horas diarias? a)

280

b) 270

a)

18 b)

32 c)24

d)

30 e)

28

c)

300 d)

320

9.

e) 350

Cinco carpinteros pueden

fabricar 25 sillas ó 10 mesas en 24 días de 8 horas diarias, ¿cuántos días de 7 horas diarias emplearán 6

5.

carpinteros para fabricar 15 sillas y 8 mesas?

Una empresa posee 4 máquinas

de 70% de rendimiento, que producen 2000 artículos cada 8 días. Si se quiere implementar otra sección con 3 máquinas de 80% de rendimiento,

a)

18 b)

32 c)24

d)

30 e)

28

¿cuántos artículos producirá en 14 días? a)

1 800

b) 2 200

c)

10.

2 400 d)

3 000

6.

Un edificio puede ser pintado

por 16 obreros en cierto tiempo, ¿cuántos obreros se necesitarán para pintar 1/4 del edificio en un tiempo

e) 3 600

que es los 2/7 del anterior?

Seis monos comen 12 plátanos en

6 minutos. ¿Cuántos plátanos comerán 12 monos en

a)

10 b)

12 c)15

d)

14 e)

18

30 minutos? a)

100 b)

120 c)150

d)

180 e)

240

11.

Dos hombres han cobrado S/.

350 por un trabajo realizado por los dos. El primero trabajó durante 20 días a razón de 9 h/d y recibió S/. 150. ¿Cuántos días a razón de 6 h/d trabajó el

7.

segundo?

En una guarnición hay 120

soldados que tienen víveres para 30 días, recibiendo cada uno 3 raciones diarias de comida. Si estos mismos víveres se repartieran a 150 soldados

a)

18 b)

20 c)30

d)

40 e)

28

recibiendo cada uno dos raciones diarias, ¿cuántos días durarán los víveres? a)

32 b)

12.

34 c)36

Una cuadrilla de 15 hombres se

compromete en terminar en 14 días una obra. Al cabo


MATEMATICA 96

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” de 9 días solo han hecho los 3/7 de la obra, ¿con cuántos hombres tendrán que reforzar la cuadrilla

•

para terminar la obra en el tiempo fijado? a)

7

b)

d)

15 e)

9

1 20% = 5 (Es igual a la quinta parte del total)

Cálculo de porcentajes

c)14

1. Porcentaje de una cantidad a El a% de N = 100 N

24

Ejemplos: 13.

30 100 a. El 30% de 50 = . 50 = 15 b. El 13 % de 100 = c. El 40 % de 75 =

Un terreno rectangular de 2 m

de ancho y 5 m de largo, 20 obreros lo pueden pintar en 5 horas. ¿En cuántas horas 10 obreros podrán pintar otro terreno de 8 m de largo y 5 m de ancho? a)

10 b)

20 c)30

d)

40 e)

50

2.

Cuando se tenga porcentaje de

porcentaje; una forma práctica es convertir cada uno en fracción y luego se efectúa la multiplicación. Ejemplo:

14.

Calcular el 15% del 20% de 1 200.

Se emplean 12 hombres durante 6 días para

cavar una zanja de 30 m de largo, 8 de ancho y 2 de

15 20   100 100 1 200 = 36

alto, trabajando 6 h/d. Si se emplea el doble del número de hombres durante 9 días, para cavar otra zanja de 20 m de largo, 12 de ancho y 3 de alto, ¿cuántas horas diarias han trabajado? 3.

Los porcentajes se pueden

sumar o restar si son referidos a una misma cantidad.

PORCENTAJE

Ejemplo:

Tanto por ciento Si una cantidad se divide en 100 partes, cada parte representa del total, que se puede representar por 1%, al que denominaremos "uno por ciento". Así por ejemplo: El cuadrado grande ha sido dividido en 100 partes iguales, donde la parte sombreada es:

10% A + 20% A = 30% A

4.

En algunos casos para el cálculo

de porcentajes es conveniente emplear una regla de tres simple directa. Toda cantidad referencial, respecto a la cual se va a cancelar un porcentaje, se considera como el cien por ciento (100%). Ejemplo:

25 1  25.  25% 100 100 Y la parte no sombreada es: 75 1  75.  75% 100 100 Porcentajes notables • 100% = 1 (Es igual al total) 1 • 50% = 2 (Es igual a la mitad del total) 1 • 25% = 4 (Es igual a la cuarta parte del total)

a.

¿Qué porcentaje es 133 de 380?

Cantidad

Porcentaje

380

100%

133

x


MATEMATICA 97

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” x=

2. ¿Qué % de 192 es 144?

133 . 100%  35% 380

a)

66%

b) 72%

c)

80%

Descuentos y aumentos sucesivos Descuentos sucesivos Ejemplo:

d)

¿A qué descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 20% y 25%? Resolución: Supongamos que la cantidad inicial es "N", al realizar el primer descuento quedaría: N - 20%N = 80%N El segundo descuento se realizará sobre el 80%N que queda. Entonces tendremos: 80%N - 25% (80%N) que equivale a: 100% (80%N) - 25%(80%N) queda al final: 75% (80%N) = 60%N Por lo tanto, descuento único: N - 60%N = 40%N Dos descuentos sucesivos del a% y b% equivalen a un:

75%

e) 63%

3. 240 es el 80% de: a)

280

b) 320

c)

360 d)

310 e)

300

4. 64, de 320, ¿qué % es? a)

25 %

b) 20 %

c)

30 % d)

ab  a  b  100 %   Descuento único = 20.25   20  25  100  %  40%   D.U. =

32 %

e) 22 %



5. El 25% más de 360 es: a)

480

b) 420

c)

500

Aumentos sucesivos Ejemplo:

d)

¿A qué aumento único equivalen dos aumentos sucesivos del 20% y 30%?

450

e) 560

6. ¿Qué % menos es 240 de 300? a)

Dos aumentos sucesivos del a% y b% equivalen a un:

80%

b) 20%

c)

10% d)



ab  a  b  100 %   Aumento único = 20.30   20  30  100  %  56%  A.U. = 

7.

40%

e) 60%

Si Rosa Elvira ganaba S/.520 y

ahora gana S/.650, ¿en qué % aumentó su sueldo?


a)

20%

b) 25%

c)

75%

1. De 56, el 25% es: a)

18 b)

14 c)12

d)

7

9

e)

d)

8.

21%

e) 22%

En una población de 24 600

habitantes, el 63% son menores de 18 años. ¿Cuántos menores de 18 años hay en dicha población?


MATEMATICA 98


15 498

b) 15 948

c)

16 248 d)

15 844

13.

e) 14 945

Un vendedor recibe una comisión

de 20% sobre la venta de cierta mercadería. Si sus ventas fueron de S/.640, ¿cuánto recibirá de comisión?

9.

En una tienda, se venden camisas

a)

a S/.15 cada una, pero si se desea una docena, de camisas?

d) S/.423

b) 512

b) 128

c)

162

descuentan el 20%. ¿Cuánto se pagará por 3 docenas

a)

S/.120

96 e)

108

c)

460 d)

450

14.

e) 432

A inicios del mes, una familia

gastaba $ 120. Si la inflación durante dicho mes fue de 4,5%, ¿cuánto gastará dicha familia a fines de mes?

10.

Una empresa encuestadora,

a)

manifiesta que en el horario que pasan cierto sintonizan dicho programa. ¿Qué % representa dicha

d)

sintonía?

15.

d)

45% 40%

b) 37,5%

33,3%

e) 60%

b) 125,40

c)

122,50

programa 3 de cada 5 televisores encendidos

a)

$ 124,50

c)

145,20

e) 132

Una compañía "A" tiene 32%

menos de capital, que una compañía "B". Si el capital de "A" es de $ 340 000, ¿cuál es el capital de "B"? a)

$ 450 000

b) 500 000

c)

550 000

11.

d)

Una casa está valorizada en $ 64

560 000

e) 480 000

000. Para comprarla se pide el 15% de cuota inicial y el resto en 8 letras mensuales iguales. ¿Cuál es el 16. El 15% del 20% de 8 500, es:

pago mensual de cada letra? a)

$5 200

b) 8 600

a)

c)

6 800

12.

b) 850

d)

e) 6 200

17.

Un anciano padre dispone en su

205

e) 265

La población en cierta ciudad fue

testamento la repartición de su fortuna entre sus

de 65 200 habitantes. Si la tasa de mortalidad fue

tres hijos, el primero recibirá el 36%, el segundo

de 8%, ¿cuántos fallecidos hubo en dicha ciudad?

recibirá el 24% y el tercero recibirá el resto. Si la

a)

fortuna asciende a $ 75 000, ¿cuánto recibirá el

$ 27 000

b) 25 000

5 214

b) 5 126

c)

5 216

tercer hijo? a)

c)

255

5 800 d)

2 550

d)

c)

5 416

e) 5 621

30 000 d)

32 000

e) 36 000

18.

Me deben el 15% de S/.540 y me


MATEMATICA 99

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” pagan el 20% de S/.300. Entonces, me deben aún: a) c) e)

75% de S/.60

5. 25% 20% 60% 50%

de de de de

S/.72 S/.75 S/.36 S/.42

Aumentos sucesivos de 10%,

20% y 30% equivalen a un único aumento de:

b) d)

a)

60 %

b) 66,6 %

c)

72 % d)

71,6 %

e) 73,3 %


1. En lugar de descontar sucesivamente el 10% y luego el 20% a un

área?

artículo cuyo valor es S/.360, se puede hacer un único descuento de: a)

a) 38 %

b) 30 %

26,6 %

10 %

c) d)

21 %

En un gran almacén de ropa, se

a) c) e)

único? b) 50 %

El largo de un rectángulo

variación porcentual tiene su área?

departamento de lencería. ¿Cuál sería el descuento

44 %

e) 42 %

aumenta en 20% y su ancho disminuye en 10%. ¿Qué

ofrecen descuentos sucesivos del 20% y 30% en el

a)

c)

e) 32 % 7.

2.

b) 20 %

100 %

28 % d)

Si el lado de un cuadrado se

incrementa en 10%, ¿en qué % se incrementa su

c)

aumenta en 16 % disminuye en 12 % disminuye en 9 %

b) aumenta en 8 % d) aumenta en 15 %

64 % d)

54 %

8.

e) 36 %

La base de un triángulo aumenta

en 25%. ¿En qué % debe disminuir su altura, para que el área no varíe?

3.

a)

Un empleado gana S/.500. Si se

su nuevo sueldo, entonces el empleado recibirá: S/.420

b) 520

b) 22,5 %

c)

17 %

le aumenta el 20% y luego se le descuenta el 20% de

a)

25 %

d)

19 %

e) 20 %

c)

460 d)

480

9.

e) 560

Se mezclan 12 g de una sustancia

"A" y 18 g de una sustancia "B", ¿cuántos gramos de "A" se deben añadir a la mezcla, para que el % sea de 50%?

4.

Dos descuentos sucesivos del

28% y 75% equivalen a un único descuento de: a)

68 %

b) 93 %

c)

a)

12 g

b) 9 c)

d)

6

4

e)

82 % d)

46 %

e) 86 %

10.

Se tiene 15 litros de alcohol al


MATEMATICA 100

8

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 20%. ¿Cuántos litros de agua se deben agregar para

mujeres y el 12% de los varones se retiran, el 12% de

rebajar el alcohol al 10%?

los que quedan serían mujeres. ¿Cuántos varones se

a)

12L

b) 15

han retirado?

c)

10 d)

9

a) e)

449

18 d)

11.

b) 457

c)

468 507

e) 512

El 20% de (x + y) es igual al 40%

de (2x - y). ¿Qué tanto por ciento representa (12x +

16.

15y) respecto de

ganancia bruta de

(12y - 13x)?

$ 6 240 000. Invierte 30% en salarios, 12% en

a)

120%

b) 150%

mejorar su infraestructura, 38% en la adquisición de

c)

bienes y el resto en publicidad. ¿Cuánto invirtió en

300% d)

200%

Una empresa tiene al año una

publicidad? e) 250%

a) c)

12.

El precio de un artículo se

e)

rebaja el 10%; para volverlo al precio original, el

1 824 000

$ 1 248 000 1 324 000 1 240 000 1 428 000

b) d)

nuevo precio se debe aumentar en:

a)

100% 9

b) 9%

APLICACIONES COMERCIALES DEL TANTO POR CIENTO

c)

12% d)

13.

10%

Para las transacciones comerciales los términos que se utilizan son los siguientes:

e) 11%

Pv Pc G P Pf

Si gastara el 30% del dinero que

tengo y ganara el 28% de lo que me quedaría, perdería 156 soles. ¿Cuántos soles tengo? a)

S/. 1 500

b) 1 600

3 200

Precio de venta Precio de costo Ganancia Pérdida Precio fijado o Precio de lista (P)

D  Descuento

c)

2 500 d)

    

Casos: e) 1 560

1. Si en la transacción comercial hay ganancia: Pv > Pc

14.

Si el precio de una tela se

Pv = Pc + G

rebaja en un 15%, entonces compraría 6 metros más. En las actuales condiciones, ¿cuántos metros puedo comprar?

15.

2. Si en la transacción comercial se origina pérdida:

a)

40 b)

28 c)34

d)

42 e)

38

Pv < Pc Pv = Pc - P

En un colegio nacional se

matricularon 7 500 estudiantes. Si el 87% de las


MATEMATICA 101

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 3. Si en la transacción comercial se hace un

70 Pv = 100 × 50  Pv = $ 35

descuento:

3.

Pv = Pf - D

Al fijar el precio de un artículo

se está incluyendo en él, el costo, la ganancia y el descuento que se piense hacer. Así: Pf = Pc + G + D

Observaciones 1.

Todo porcentaje de ganancia o

pérdida que no refiera unidad se sobreentiende que es referida al precio de costo.

Ejemplo:

Ejemplo:

¿Qué precio se debe fijar a una computadora que costó $460, de tal manera que al venderlo se haga un

Se vende un artefacto en $ 600 ganando el 20%. ¿Cuál era el precio de costo?

descuento de $120 y aún así se esté ganando $180?

Resolución:

Resolución:

Sabemos que cuando hay ganancia la venta se

Tenemos los siguientes datos:

compone de: Pv = Pc + G La ganancia es el 20% ¿de qué?, como no nos dicen asumimos que es respecto al costo. Reemplazando los datos tenemos:

Pc = $ 460

G = $ 180

D = $ 120

Pf =

600 = Pc + 20% Pc Sabemos que:

600 = 120% Pc 120

600 = 100 Pc  Pc = $ 500

Pf = Pc + G + D Pf = 460 + 180 + 120

2.

Todo descuento, mientras no se

Pf = $ 760

diga nada será referido al precio de lista. Ejemplo:


El precio de un pantalón se ha fijado en $ 50 pero esta semana está con el 30% de descuento. ¿Cuál

1.

será el precio de venta?

¿A cómo debo vender lo que me

costó S/.150 para ganar el 30%?

Resolución:

a)

S/.180

b) 190

195

Si hay descuento sabemos que: d)

Pv = Pf - D

200

e) 210

Pv = Pf - 30% Pf


MATEMATICA 102

c)



artículo y logra así la venta. Entonces Gumersindo:

costó S/.270 para ganar el 10% del precio de venta? a)

S/.300

b) 310

a)

c)

c)

292 d)

297

e)

e) 350 8.

3.

del escritorio?

costó S/. 160 para ganar el 10% del precio de costo, más el 20% del precio de venta? S/.200

a) b) 220

260

S/.180

b) 196

c)

200

c)

240 d)

Se vendió un escritorio en

S/.240, ganando el 20% del costo. ¿Cuál es el precio


a)

Ni ganó ni perdiób) Ganó el 20% Perdió el 20% d) Ganó el 4% Perdió el 4%

d) e) 280

9.

216

e) 220

Se vendió un escritorio en

S/.240, ganando el 20% del precio de venta. ¿Cuánto 4.

costó el escritorio?


a)

costó S/.270 para ganar el 20% del precio de costo,

S/.350

b) 360

b) 180

c)

196

más el 10% del precio de venta, más S/.18? a)

S/.192

d)

c)

200

e) 205

380 d)

400

e) 420

10.

En cierto negocio, se vendió en

S/.600 lo que había costado S/.560, ¿qué % del costo se ganó? (Aproximadamente) 5.


a)

costó S/.180 para ganar el 30%? a)

S/.230

233

b) 7,1%

c)

6,5%

b) 231

c)

d)

232 d)

8,2%

7,8%

e) 6,7%

e) 234 11.

Si compré un televisor en $240

y lo quiero vender ganando el 30% del costo, ¿cuál es 6.

el precio de venta?


costó S/.360 para ganar el 10% del precio de venta? a)

S/.396

b) 400

a)

380

c) d)

c)

272

e) 252

e) 450 12.

7.

b) 312

324

420 d)

$288

Frank vendió su bicicleta en

$150 ganando el 25% de lo que le costó. ¿Cuánto

Gumersindo decide aumentar en

pagó Frank por la bicicleta?

20% el precio a un artículo. Pasados diez días, como

a)

nadie compra, disminuye en 20% el precio del mismo

$100

b) 120


MATEMATICA 103

c)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 90 d)

110 e)

d)

480

e) 490

125


¿Qué tanto por ciento del costo

se pierde, cuando se vende en S/.104, lo que había

1.

costado S/.160? a)

25%

b) 30%

en S/.600, ¿qué % de la venta se ganó?

c)

(Aproximadamente)

32% d)

El costo de fabricación de un

producto es S/.260. Si se vendió dicha mercadería

35%

a)

e) 40%

79,4%

b) 84,6%

c)

82,1% d)

14.

86,4%

e)

Al vender una cocina en $ 170 se

perdió el 15% del costo. ¿Cuál fue el precio de costo? a)

$180

b) 200

2.

c)

mercadería por S/.420. Si vendió dicha mercadería

220 d)

240

El dueño de una tienda compra

en S/.600, ¿qué % de la venta ganó?

e) 250

a)

27%

b) 33%

c)

30%

15.

¿A qué precio se debe vender un

d)

26,6%

e) 32%

reloj que costó S/.255 y se quiere ganar el 15% del precio de venta? a)

S/.320

b) 306

3.

c)

por S/.120. Si se quiere vender ganando el 10% del

340 d)

300

Se adquirió un lote de camisas

costo, ¿cuál será dicho precio de venta?

e) 310

a)

S/.132

b) 144

c)

142

16.

Un mayorista vende

d)

148 e)

160

computadoras en $ 700, ganando el 20% del precio de venta. ¿Cuál es el precio de costo de cada computadora? a)

4. $ 560

b) 540

S/.69. Como tenía necesidad urgente de dinero, tuvo

c)

que vender el reloj perdiendo el 15% de la venta.

504 d)

480

Una persona compró un reloj en

¿Cuál fue el precio de venta?

e) 490

a)

S/.62

b) 48

c)

58

7.

Se vendió un artículo en S/. 450

d)

52 e)

60

ganándose el 25% del costo. ¿Cuál sería el precio de venta, si se quiere ganar el 40% del costo? a)

S/.520

b) 540

5.

c)

Se vendió un artículo en S/.450

ganándose el 25% del costo. ¿Cuál sería el precio de

504


MATEMATICA 104

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” venta, si se quiere ganar el 50% del costo? a)

S/.520

b) 540

10. c)

venta. ¿Qué porcentaje del costo estoy ganando?

504 d)

480

Al vender una huerta, gané el

14% de lo que me costó más el 40% del precio de

a)

e) 490

64%

c)

70% d)

6.

b) 56%

80%

e) 90%

¿Qué tanto por ciento del costo

se pierde, si una bicicleta que costó $ 140 se vende en $ 119? a)

11. 10%

b) 12%

720 cada una. En una de ellas se gana el 20% del

c)

costo y en la otra se pierde el 20%. ¿Cuánto se ganó

30% d)

18%

Se vende dos filmadoras en $

o perdió en esta venta?

e) 15%

a)

7.

se ganó $ 60 se perdió $ 60 se ganó $ 80 se perdió $ 80 no se ganó

c)

Para fijar el precio de venta de

un artículo, se aumentó el costo en un 40%, pero al

e) perdió

vender se hizo una rebaja del 20%. ¿Qué tanto por

b) d) ni

ciento del costo se ha ganado? a)

10%

b) 12%

12.

c)

d)

16%

Al precio de costo de un artículo

se le recarga el 25%, ¿cuál es el mayor tanto por

14%

ciento de rebaja que se puede hacer sobre este

e) 20%

precio para no perder? a)

8.

15%

b) 17%

c)

25%

El precio de venta de un objeto

es de S/.897, el comerciante ganó en esta operación

d)

el 15%. Si el beneficio neto fue de S/.97, calcular los

20%

e) 18%

gastos que se producen en la venta. a)

S/.10

b) 15

c)

13.

20

d)

25 e)

Para fijar el precio de venta de

un artículo se aumenta su costo en 40% y al momento de venderlo se hace una rebaja del 10% del precio

30

fijado. ¿Qué tanto por ciento del precio de costo se gana finalmente?

9.

a)

La venta de un artículo produce

el cual se está ganando el 10% del costo y la ganancia

d)

neta que es $ 240. ¿A cuánto ascendió el gasto? $ 50

b) 60

14.

c)

65 e)

25%

c)

e) 26%

Oscar compró una calculadora y

para venderla recargó al precio que le costó en un

70 d)

b) 20%

24%

un cierto gasto. Se vende un artículo en $ 3 300, en

a)

30%

30%. Al momento de venderla a su amigo Juan, le hizo una rebaja del 30% resultando perjudicado en

80

S/. 54. Determinar cuál fue su precio de venta.


MATEMATICA 105


S/. 540

b) 546

c)

560 d)

AHORA COMPLETA EL CUADRO

564

15.

e) 645

Térm ino Alge braic o

El precio de un artículo sufre

dos aumentos sucesivos de 20% y luego 30%. ¿Qué porcentaje debe aumentar ahora para que el

13%

b) 10%

10,5%

e)

B as es

Expo nent es

4xyz

c)

8% d)

Par te Var iabl e

-3xy

porcentaje total de aumento sea de 69%? a)

Part e Cons tant e

3abc

9%

7 M2n3 4abc 3

-x5

ALGEBRA

-4

EXPRESIONES ALGEBRAICAS I (Z).

4xyz t4 3x2z3

1. TÉRMINO ALGEBRAICO CONCEPTO.- Es aquella expresión que relaciona dos partes contrarias, por medio de la multiplicación, dichas partes son: Parte Constante: Es aquella magnitud que permanece invariable y se representa generalmente mediante números reales. Ejemplo:

2.

TÉRMINOS SEMEJANTES

Son aquellos términos algebraicos que tiene la misma parte Variable. Ejemplo:

4, 5, -2, Parte Variable: Es aquella que varia y se representa generalmente por letras (x, y, z, …). Ejemplo: x2, xyz, x5y7. La unión de dichas partes origina el Término Algebraico. Así: Parte

3x4y5 es semejante con

porque tiene la

misma parte variable. AHORA TÚ 4x3y4 5 3

;x7y3

xy 3

-a b

Exponen

;-x3y4

4



………… son semejantes ………… son semejantes

4 3

;-3b aExponen  ………… son semejantes

OBS.:

Bas

 Parte

Bas

Un término algebraico NO puede tener como exponentes a:

Parte

a)

Números Irracionales


MATEMATICA 106

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Ejemplos:

I. En un término algebraico los exponentes de las variables no pueden ser letras. …………………….

no

es

(

)

término

algebraico.

II.

es un término algebraico. (

)

III. 5x4y3z2; -2x4y3z2 son términos semejantes. …………………….

no

es

término

5.

algebraico. b)



-xxyyzz …………………….

no

es

6.

término algebraico. 

-2x2y3za

…………………….

no

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

(

)

x7ay4

b) 5x7y4a

(

)

2za3b4

c) -3a3b4z

(

)

5abzx

d) 15xabz

(

)

3y5x2

b) 3

d) 1

e) 0

c) 2

Dado los términos semejantes : ;

.

Calcular:

Relacionar los términos que son semejantes: a) 4x2y5

a) 4

23am+3

es término algebraico.

2.

t2 = 4xa

Calcular:

Ejemplos:

1.

Si los términos t1 y t2 son semejantes. t1 = 30x4

Letras

(

7.

a) 7

b) 6

d) 4

e) 3

c) 5

Si los siguientes términos son semejantes: 4xa+3y4 ; -5x8yb+5 Calcular:

Completar: Término

Parte

Parte

Término

Algebraic

Constant

Variabl

Semejant

o

e

e

e

8.

a) 5

b) 4

d) 2

e) 1

c) 3

Dados los términos semejantes: 2xa+8yb+5 ;

3x12ya+2b

Calcular: R = a . b a) 1

b) 0

d) 4

e) 5

c) 3

7xabn 9.

27 54z2

3.

Calcular: La suma de coeficientes.

Son términos semejantes: 4xy2; -2x2y

I.

II.

III. 15m2n3; 3n3m2

4.

Dados los términos semejantes:

10.

3abc; -3a2b2c

b) II

d) IV

e) N.A.

b) 4

d) 7

e) -3

c) 12

Indicar los coeficientes de los términos semejantes siguientes:

IV. -20z2; 2z2x

a) I

a) 10

-13axa+8y7

c) III

a) -13 y 4 d) -26 y 4

Colocar si las proposiciones son verdaderas

11.

(V) o falsas (F):

4bx9y3b

b) -26 y 16

c) -13 y 16

e) N.A.

Dados los términos algebraicos semejantes:


MATEMATICA 107

)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” (c + 4) ac+3bd+4

(d+2)a2c+1b2d+2

;

III.

5x3y4z5; -3y3x4z5 son términos semejantes. (

)

Calcular:

12.

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

5.

c) 3

t1 = 13x7

( a + 4)x

;

(2 + a)x

a+2

Los coeficientes: a) 7 y 5 d) 4 y 5

b) 5 y 3

6.

e) 3 y 4

2.

abc

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

Dado los términos semejantes : 3a2m+4

;

.

Calcular: m + 1

Relacionar los términos semejantes: I)

a) 1 c) 3 y 2


t2 = 2xa

Calcular:

Calcular de los términos semejantes: 5

Si: t1 y t2 son semejantes:

(

)

7x

II) 4x3y5z6

(

)

2nma

III) -3x

(

)

cba

IV) amn

(

)

-x3z6y5

7.

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

Si los siguientes términos son semejantes: 5xa+4y7 ; -3x5y3+b Calcular:

Completar:

Término

Parte

Parte

Término

Algebraic

Constant

Variabl

Semejant

o

e

e

e

8.

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

Dados los términos semejantes: 3xa+5yb+7 ;

-x7ya+2b

Calcular: R = a . b

9.

a) 10

b) 9

d) 7

e) 6

c) 8

Dados los términos semejantes:

abc Calcular: La suma de coeficientes.

7 -x4z5 3.

2

I.

3

ab; -a b

II.

III. 7; x

4.

10.

Son términos semejantes:

b) II

d) IV

e) N.A.

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

Indicar los coeficientes de los términos semejantes siguientes:

2

7xy; 4y z

-2axa+by5

IV. abc; -3cba

a) I

a) 1

c) III

11.

Colocar verdadero (V) o falso (F) según

a) -14 y 12

b) 14 y 12

d) -4 y -12

e) N.A.

c) 4 y -12

Dados los términos algebraicos semejantes: ( a + 4)ca+3db+4

corresponda:

12bx8yb+4

;

;

(b+2)c2a+1d2b+2

I. En un término algebraico los exponentes no pueden ser números irracionales. II.

( x 3

Es un término algebraico 3x y z. (

)

Calcular:

)

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3


MATEMATICA 108


+ x6 + x7 + …..

Calcular de los términos semejantes: ( b + 4)x7

;

(2 - b)xb+2

Los coeficientes: a) 9 y -3

b) 9 y 3

d) -9 y 4

c) 9 y 4 e) N.A.

3 + 2x ….. + x3 – x2 + 4x x

+ 4x + 5x

EXPRESIONES ALGEBRAICAS II. (Z) RECORDANDO Como ya sabemos un término algebraico consta de: Parte Constante  Números Parte Variable  Letras

+ 5y3 + 5z4


Nota: Cuando los términos son semejantes se pueden REDUCIR por adición o sustracción.

I.- Reducir: 1. 4x + 2x – 3x + 4x

Así: Ejemplo: Se reduce:

2x + 4x – 3x + 5x 4a + 5a + 3a + 2b – 3b + 5c 8x Queda: ___________________ EXPRESIÓN ALGEBRAICA Cuando el resultado arroja un número limitado de términos algebraicos no semejantes se denomina EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Por ejemplo: Luego de reducir 2a + b – 3a + 4b + 5c nos queda: 5b – a + 5c Expresión Algebraica de 3 términos -x + y + z Expresión ________________________ -x3 – y4 Expresión ________________________ 3x3 + x4 + 2x5 + …… limitados)

2.

5x + 3y – 2z + 4z – 3y + 4x

3.

5x2y2z2 + 3x2y2z2 – 16x2y2z2 + 15x2y2z2

4.

3xy3z + 5yx3z + 7xy3z – 14zy3x + x3yz

5.

3yz2 + 2zy2 + 3xyz – 4zy2 + 4yz2 – 5xyz

6. 7.

8.

(No es por que no son

(No es por que los exponentes de las variables no pueden ser xx + 2 + 4y números irracionales o letras)

9.

2x2y3z4 + 3y2x3z4 – 12z2x3y4 + 7x3y2z4 + x2y3z4 – 2x3z2y4 + 5z4x3y2 – y3z4x2 + 6z2x3y4

10.

Indicar cuántos términos tiene la expresión luego de reducir:

Entonces ahora completa el siguiente cuadro:

Expresión

Si es Expresión Algebraica

No es Expresión II. Algebraica 11.

2x3y4 + 5xy

a) 1 d) 3 Resolver:

b) 2 e) N.A.

c) 0

Reducir los términos semejantes: (c + 4)x4 + (b + c)xb – 4xc+2 3 a) 8x b) 3x3 c) 8x4 4 4 d) 4x e) 16x


MATEMATICA 109


Reducir los términos semejantes: (a + b)xa+b + (c + d)xc+d + (e + f)xe+f + x3 a) 10x3 b) 3x3 c) 4x5 10 d) 3x e) 10x

Es una Expresión Algebraica que se caracteriza por que los exponentes de las variables son números naturales. P(x, y)  4x3y4 + 2xy + 4


Reducir si los términos son semejantes: (a + 2)xb + (c + 4)x7 + (b - 4)xa+3 – bxc+4 a) 10x7 b) 9x7 c) 8x7 7 7 d) 7x e) 6x

2.

Dados los términos semejantes (reducir): axa + bxb + cxc + dxd + exe + 2x a) 7x b) 2x c) 3x d) 4x e) 5x

3.

Si los siguientes son términos semejantes: (a + 1)xa+b ; (b + 1)xa+c ; (c + 1)xa+3 ; 2x5 reducirlos: a) 13x5 b) 14x5 c) 15x5 5 5 d) 7x e) x

I.

Variables 1.

Monomio: Cuando se refiere a un solo término. Ejemplo: M(x, y, z)  4 x3y4z5

Parte

2x2 + 3x2 – 7x2 + 10x2 2xy + 4xy – 5xy – 10xy

6.

5x3y2 + 3y2x3 + 11x3y2 – 25y2x3

7.

a3b4c5 + 2b3c4a5 + 3c3a4b5 – 7b3c4a5 + 2a3b4c5 – 10c3a4b5

8.

2x3y4a2 + 5a2x3y4 – 3x2y4a3 + x3a4y2 + 7x2y4a3 – x 3 y 2 a4

Parte

Parte Constante Parte Constante a)

Grado Relativo (G.R.): Es el exponente de la variable en cuestión. Ejemplo: Sea: M(x, y) = 135x4y3 GR(x) : Se lee grado relativo con respecto a “x” GR(x) = 4 (exponente de x) GR(y) = 3 (exponente de y)

b)

Grado Absoluto (G.A.): Es la suma de los exponentes de las variables. Ejemplo: M(x, y) 135x4y3

Reducir:

4. 5.

Término Término Independient Independient

GA = 4 + 3

Exponente de Variable x

GA = 7 9.

10. 11.

12.

Monomio

Parte Constante

Parte

M(x, y, z)

(Coeficiente)

Variable

39x3y

x2y3z4 + x2z3y4 + y2x3z4 + x2z3y4 + y2z3x4 + z2x3y4 + z2y3x4 + y2z3x4 + y2x3z4 + z2x3y4 + z2y3x4 + x2z3y4

-4

5x2yz3 18z -4x5y4

POLINOMIOS


MATEMATICA 110

G


a + abx + bx2 + 4y4

2.

Polinomio: Es la agrupación por adición de monomios no semejantes. + 4z Ejemplo: 3 4 P(x; y)  2xy + 4y – 3x + 2

+ y8 –3

Término

VALOR NUMÉRICO

Polinomio de 4 términos P(x) = x4 + x3 – x2 + 2x + 3 Polinomio de ________________ P(y) = ax2 + bx + c Polinomio de ________________ P(x; y) = x + y Polinomio de ________________

Cuando mas variables adoptan un valor, los monomios o polinomios arrojan un valor que se denomina valor numérico. Ejemplo: P(x) = 4x + 14

Grado Relativo (G.R.): Se calcula el grado relativo de la variable en cuestión de cada monomio y se toma el mayor grado relativo como grado relativo de dicha variable en el polinomio. P(x; y) = 2x3y4 + 5x5y3 + 2xy2



GR(x) =



P(1) = 18 

P(2) = 4 . 2 + 14 = 22 P(2) = 22

GR(x) GR(x) = =

Entonces: GR (x) = 5

P(1) = 4 . 1 + 14 = 18

P(3) = 4 GR(x) . 3 + 14 = 26

=

P(3) = 26

GR(y) = 4



M(x; y) = 4x2y3  

AHORA TU: P(x, y)  3x3y + 2xy + 4x2y – x5y GR(x) = GR(y) =

M(2, 1) x=2

y=1 2

M(2, 1) = 4(2) (1) a)

Grado Absoluto (G.A.): De la misma manera se calcula en cada monomio el GA y se toma al mayor. P(x; y) = 2x3y4 + 5x5y3 + 2xy2

GA =

GA =

M(2, 1) = 16

GA =

 GA = 8

¡AHORA! P(x, y)  3x3y + 2xy + 4xy2 – x5y GA. =

omio P(x, y, z)

GA

GR(x)

3



P(x, y) = 4x + 5xy

    

  P(2, 3) GA x = 2= y =GA 3 = P(2, 3) = 4(2) + 5(2)(3) P(2, 3) = 38 ¡AHORA TU! P(x, y) = 4xy + 2x2y P(2, 1) = P(1, 2) = P(1, 1) = M(x) = 4x M(2) = M(3) = M(4) =

       

GR(y)

+ xy + x3y4z


x+y+z

1.

y + x2y3 + 4

Dado el monomio: M(x, y) = -3abxa+3yb


MATEMATICA 111

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” De GR(x) = 7 y GA = 10

8.

2.

a) -36

b) 36

d) -12

e) 10

Si: P(x, y) = axa+byc+2 + bxa+b+1yc+3 + cxa+b+3yc + abc

Calcular: El coeficiente c) 12

Es de GR(x) = 14

GR (y) = 6

Calcular la suma de coeficientes:

Si el siguiente monomio:

a) 3

b) 4

d) 7

e) N.A.

c) 5

M(x, y, z) = -4xa+1yb+2z4 Es de GA = 14 y GR(y) = GR(z)

9.

P(x, y, z) = xaybzc + xa+1yb+1zc-1 + xa + 2yb - 2zc

Calcular: “a . b”

3.

Si:

a) 15

b) 10

d) 3

e) 6

c) 5

Donde: GA(x) = 4

GR(y) = 5

GR(z) = 3

Calcular el grado absoluto.

Si el monomio:

10.

M(a; b) = -4xyax+2by+5 Donde GR(a) = 5

Dado el polinomio: P(x) = xa+3 + xa+4 + xa+2 + 2a

GR(b) = 7

Calcular el término independiente si GA = 8.

Calcular: “El coeficiente”

4.

a) 24

b) -24

d) 26

e) 12

c) 25

11.

Si: M(x) = 2x4

Si en el monomio: M(w, t, ) = -2a2b3wa+3tb+2 6 El GA = 17

y

Si:

GR(w) = 5

Calcular: “El coeficiente”

5.

Calcular “A”

12.

a) 512

b) 251

d) 251

e) 521

c) -512

Calcular: P(7) Si: P(x) = -x5 + 7x4 + 2x – 10

TAREA DOMICILIARIA

Si: GA = 15

1.

Dado el monomio: M(x, y) = 4abxayb Si: GR(x) = 2

De: M(x, y, z) = -4xayb+2zc+3

Calcular:

6.

a) 5

b) 4

d) 2

e) 1

c) 3

2.

P(x, y) = 4x

y + 5x

a+2 b+1

b) 20

d) 40

e) 50

c) 30

En el siguiente monomio: GA = 12

y

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

GR(x) = GR(y)

Calcular: m . P

a b+2

+ 3x y

Calcular: A = a + b

7.

a) 10

M(x, y, z) = 3xm+1 yp+2 z2

Si: GA = 10; GR(x) = 5 del polinomio: a+1 b

GA = 7

Calcular: “El Coeficiente”

c) 3 3.

a) 12

b) 13

d) 15

e) 16

c) 14

Si el monomio: M(,) = 2xyx+4y+2

Dado el polinomio:

Donde: GR() = 7

P(x, y) = xayb+2 + xa+1yb+4 + xa+5yb + ab Si: GR(x) = 7

GR(y) = 6

Calcular el término independiente: a) 5

b) 6

d) 12

e) 9

GR() = 5

Calcular el coeficiente:

c) 7 4.

a) 18

b) 19

d) 21

e) 24

c) 20

Si el monomio:


MATEMATICA 112

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” M(x, y, z) = 2a2b3c4xa+5yb+4zc+3 Si: GA = 15

GR(x) = 6

GR(z) = 4

Calcular el coeficiente: a) 2

b) 4

d) 16

e) 14

c) 5 12.

Si: P(x) = x2 + 3x + 4 Calcular: P(2) + P(3)

5.

13.

Si: GA = 24

P(x) = 2x + 4 A = P (P (P (P ( 2 ) ) ) )

M(x, y) = 2xa+bya-b Calcular: a . b

6.

a) 96

b) 108

d) 25

e) 15

c) 64

POLINOMIOS ESPECIALES I.

Si: P(x) = xa+4 + xa+3 + xa-4

POLINOMIO COMPLETO Es aquel polinomio que presenta todos los términos algebraicos, desde el mayor, hasta el menor. Ejemplo: P(x)  5x3 + 2x – 4x2 + 7 OjO: Presenta todos los términos desde el mayor grado (5x 3) hasta el menor (7).  P(x) = 2x + 3 ……………………. Es polinomio completo.  P(x) = 2x5 – 4x2 + 5x4 – 2x + 7 – x3 ……………………. Es polinomio completo.  P(x) = x4 – 2x3 + 5x – 4 ……………………. Es polinomio completo.

GA = 7 Calcular:

7.

a) 3

b) 4

d) 6

e) 7

c) 5

Si : P(x, y) = 2xa+1yb-1 + xa+3yb-4 + xa+2yb-2 GR(x) = 5

GR(y) = 3

Calcular el GA

8.

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) N.A.

Si: P(x) = axa + (a + 1)xa+1 + (a + 2)xa-4 Es de GA = 5 Calcular la suma de coeficientes:

9.

a) 14

b) 15

d) 17

e) 18

c) 16

POLINOMIO ORDENADO Es aquel que guarda un orden ascendente o descendente referido a los grados relativos. Ejemplo:  P(x) = x2 + 2x3 – x5 (Polinomio ordenado en forma ascendente)  P(x) = x7 – 4x + 3 (Polinomio ordenado en forma descendente)  P(x) = x17 – x25 + x50 (Polinomio…………………….. en forma……………………..)  P(x) = 14x – 2 (Polinomio…………………….. en forma……………………..)

P(x, y, z) = xaybzc + xa+1yb+1zc-1 + xaybzc GR(x) = 4

GR(y) = 5

GR(z) = 3

Calcular el grado absoluto.

10.

a) 1

b) 14

d) 10

e) N.A.

c) 12

Dado el polinomio: P(x, y) = xayb + xa+1yb+2 + xa+3yb-3 Si el GA = 7

Además a – b = 2

Calcular: A = ab

11.

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

Si el polinomio es de dos variables se ordena con respecto solo a una.

Calcular: “A”



Si: M(x) = 4x

y) = 4x3y7 – 5x2y9 + 2xy4 (Polinomio ordenado en forma descendente con respecto a “x”) P(x,


MATEMATICA 113

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” P(x, y) = -5x2y9 + 4x3y7 + 2xy4 (Polinomio ordenado en forma descendente con respecto a “y”)

2x +

POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADO Es aquel polinomio que cumple los dos criterios anteriores. Ejemplo:  P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 + x + 3 (Observemos que es completo por que presenta todos los exponentes de “x” y además están ordenados en forma descendente)  P(x) = 2 + 3x – 4x2 + 15x3 (Polinomio completo y ordenado en forma ascendente)

P(x)



x– x3

= 4x5 –x+ 5 P(x) = x102 – x101 -

COMPLETA EL CUADRO.

2 Com

Ordenado

o

Polin omio

plet

Ascen dente

Desce ndent e

Completo y Ordenado

Ascen dente


Desce

I.

ndent

Calcul ar el

e

valor

P(x)

de

=

“a” en

4x2

los

+5–

siguie

3x

ntes

P(x)

polino

=

mios

x7 .

compl

x+

etos:

6 P(x)

14.

P(x) = 4xa + 4x2 + 3 – 2x

15.

Q(x) = 2x + xa+2 + x2 – 4

16.

R(x) = 3xa+2 + xa+1 + 5xa+3 – 2x + 1

17.

En el polinomio completo:

= 5x2 – 3x +2 P(x) = x1000 –x

P(x) = axa+3 + 3xa+1 + 5x3 – 2ax + a2

10

Calcule la suma de coeficientes:

+1 P(x)

a) 8

b) 9

d) 11

e) N.A.

c) 10

=1+


MATEMATICA 114


Dado el polinomio completo: m

n

P(x) = mx + nx + mnp + px

Calcule el término independiente.

p

Calcular: m + n + p a) 1

b) 6

d) 4

e) N.A.

a) 4

b) 6

d) 12

e) N.A.

c) 9

c) 5 26. Si el polinomio es completo y ordenado en forma ascendente. II.

Orde

P(x) = axc-1 + bxb + cxa

nar

Calcular la suma de coeficientes.

en

a) 1

b) 4

form

d) 2

e) N.A.

c) 3

a ascen

27.Si el polinomio:

dente

P(x) = abxc + caxb + bcxa + abc

y

Es completo y ordenado:

desce

Calcular: a + b + c

ndent

a) 1

b) 6

e los

d) 4

e) N.A.

c) 5

siguie ntes

19.

5

28.De la pregunta (14), calcule la suma de

polino

coeficientes y el término independiente.

mios:

a) 17; 9

b) 17; 6

d) 15; 9

e) N.A.

7

P(x) = 25x + 3x – 2x + 4

20. R(x) = 1 – x + x3 – x7 + 2x2 21.

c) 15; 6

TAREA DOMICILIARIA I.

Q(x) = ax + nx3 – bx2 + abc

Calcular El valor de “b” en los siguientes polinomios completos:

Ordene en forma ascendente y descendente los siguientes polinomios primero relativo a “x” y luego

1.

P(x) = x2b-4 + x3 + 2x – 4 + 3x2

2.

P(x) = 3xb+1 + x3 – 8 + 5x + 7xb+3

3.

Q(x) =

4.

En el polinomio completo:

a “y”. 22. P(x, y) = x3y4 – 5xy2 + 2x7y3 – 2ab 23. P(x, y) = axm+1yn-2 + bxmyn + cxm-2yn+1 – abc 24. Dado el polinomio completo y ordenado. P(x) = 2axa+3 + 5x3 – 7x2 + ax + 3

P(x) = 2x + 4a - x3a+1 + 5x2 – x3

Calcule la suma de coeficientes. a) 1

b) 2

d) 5

e) N.A.

Calcular el término independiente.

c) 4

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

25. Dado el polinomio completo y ordenado: 5.

P(x) = 3x2a-1 + 4x4 + 2xb+1 + 3x2 – x + ab

Dado el polinomio completo:


MATEMATICA 115

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” P(x) = 5x + 2x2 – 3a + 4x2a – x3

a) 1

b) 4

Calcular la suma de coeficientes.

d) 6

e) N.A.

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 5

c) 3 15. Del problema anterior calcular el término independiente.

II.

Ordenar en forma ascendente y descendente

a) 2

b) 4

c) 6

los siguientes polinomios respecto a “x” y

d) 8

e) N.A.

luego con respecto a “y”.

6. P(x, y) = 5x4y2 + 3xy3 – 2x5y7

POLINOMIOS ESPECIALES II

7. P(x, y) = 2xy – 5x2y3 + 4x7y4

POLINOMIO HOMOGÉNEO Es aquel polinomio que en todos sus monomios presenta el mismo grado absoluto.

8. P(x, y) = 3 + 4x7 – 5x2 + 7x

Ejemplo: 

9. P(x, y) = 3x3y4 – x8y2 + 2x2y3

3 4

P(x, y)  4x3y4 5 2

xy

GA

–

3x7

GA

+

2xy6

GA

–

GA

8 14

10. P(x, y) = -7 + 2x y + xy – 2x y



11. Dado el polinomio completo y ordenado: P(x) = x3a–2 + 3x3 – 2x2 + x + 4

 3 + 5 = a + 2 = b + 7

Calcular: “a” a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

P(x, y) = 2x3y5 + 5xay2 + 3xby7

a=

c) 3

b= POLINOMIOS IDÉNTICOS

12. Dado el polinomio completo y ordenado: P(x) = x4 – 3xa+2 + 2xb – xc + 5

Son aquellos que tienen el mismo valor numérico

Calcular: a + b + c

para un valor en cuestión.

a) 1

b) 2

c) 4

d) 5

e) N.A.

Ejemplo: 

P(0) = Q(0) = 1

13. Dado el polinomio completo y ordenado:

P(1) = Q(1) = 4

P(x) = 3x3 – axa – bxb + ab



Calcular el término independiente a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

P(x) = (x + 1)2 Q(x) = x2 + 2x + 1

P(x) y Q(x) son idénticos.

Esto trae como consecuencia que tengan los

c) 3

mismos coeficientes en términos homólogos. Ejemplo:

14. Dado el polinomio completo y ordenado: a

b



P(x) = 4x2 + 5x – 3 es idéntico Q(x) 2

Ax + 5x – B

c

P(x) = abx + bcx + cax + abc

=

A=4

Calcular: a + b + c

B=3


MATEMATICA 116


Si P(x) y Q(x) son idénticos donde: P(x) = ax5 + 3x2 – 4

Esto trae como consecuencia que los coeficientes

Q(x) = (2a - 3)x5 + (c + 2)x2 + b

del polinomio siempre son nulos (ceros).

Calcular : a + b + c

2



P(x) = 0x + 0x + 0

a) 0

b) 1



P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(…) ….. = P(1000) = 0

d) 2

e) N.A.

 

Así si tenemos: Que si P(x) = (A - 2)x 2 + (B - 3)x + c + 2

7.

es idénticamente nulo.

c) -1

Si : R(x) = 2x2 + 5x – 3 Es idéntica con: S(x) = (a2 - 2)x2 + (b2 + 1)x + c

Entonces: A = 2; B = 3; C = -2

Calcular: a + b + c


Dado el polinomio homogéneo.

8.

P(x, y) = 2xay3 + 3x5y7 – xby8

2.

b) 14

d) 16

e) 17

3.

e) 9

9.

c) 7

4.

e) 8

c) 6

10.

e) N.A.

Dado:

P(x) = (4 + a)x + 5c + d

a) 4

b) 5

d) 7

e) N.A.

c) 6

Si los siguientes polinomios son idénticos.

P(x) = mx2 + nx + p

y

Q(x) = ax2 + bx + c

Dado el polinomio homogéneo: P(x, y) = axa+2y4 + 2bxby7 – cx6y8 + 2x10

Calcular:

Calcule la suma de coeficientes.

5.

d) 4

c) 3

Calcule: a + c + d

Calcular: a + b + d d) 5

b) 2

Son idénticos.

P(x, y) = 3xa+2yb+8 + xd+3y7 + 2x8y5 b) 13

a) 1

Q(x) = 4c + 3 + (2a + 2)x

Si el polinomio es homogéneo:

a) 1

Dados los polinomios homogéneos:

Calcular: a + b + c + d

Calcular: a + b + c d) 8

e) N.A.

R(x) = (d + 1)x2 + 3x – a

P(x, y, z) = 5xyz – x2ya + zb + xc b) 6

d) 2

c) 1

Q(x) = cx2 + 3x + 7

c) 15


a) 5

b) 0

P(x) = 4x2 + bx + 7

Calcular: (a + b) a) 13

a) -1

a) 10

b) 11

d) 13

e) N.A.

c) 12

11.

Dado el polinomio homogéneo: b c

7 2

P(x, y) = 2bx y + 5x y + 3cx

b+7

b) 31

d) 33

e) N.A.

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

Dado el polinomio idénticamente nulo: P(x) = (a - 2)x2 + bx + c + 3

y

Calcular: a . b . c

Calcular la suma de coeficientes. a) 30

a) 1

c) 32

a) -1

b) 0

d) 2

e) N.A.

c) 1


MATEMATICA 117


Dado el polinomio idénticamente nulo: 2

a) 8

b) 7

c) 6

d) 5

e) N.A.

2

Q(x) = 3x + 5x – 3 + ax + bx – c Calcular: a + b + c a) -10 d) -13

7. b) -11

Q(x) = abx4 – 5x + a + b (Nota: a > b)

c) -12

e) N.A.

Calcular: a – b


Si el polinomio:

8.

P(x, y) = 3x3ya + 2x2y7 – x9; es homogéneo

a) 1

b) 2

d) 4

e) N.A.


9.

a) 48

b) 24

e) N.A.

Dados los polinomios idénticos:

d) 10

e) N.A.

b) 16

d) 18

e) N.A.

10.

e) N.A.

e) N.A.

c) 16

d) 17

e) N.A.


a) 7

b) 8

d) 10

e) N.A. Dados

c) 9

los

polinomios

ByC

Tiene como suma de coeficientes a: d) 15

b) 15

idénticamente nulos. Calcular: A,

P(x, y) = axayb + bxcyd + (c + d)x5 b) 11

a) 14

a.

c) 3

El polinomio homogéneo

a) 10


Calcular: a + b + c + d + e

Calcular la suma de coeficientes d) 4

e) N.A.

Q(x) = 3x3 + e + x

P(x) = axa + bxb – cxc + 2x2 b) 2

d) -10

c) 10

R(x) = (a + b)x3 + (c + d)x + 4

c) 17

Dado el polinomio homogéneo

a) 1

b) -40

Calcular: a + b + c

Dado el polinomio homogéneo

a) 15

a) 40

Q(x) = 8x2 + 7 + 5x

c) 12

Calcular: a + b

6.

d) 4

P(x) = (a2 - 1)x2 + (b - 1)x + c + 2

P(x, y) = 3xay2 – xby4 + 5x5y6

5.

c) 3

Calcular: a . b . c

c) 3

Calcular: a . b

4.

b) 2

R(x, y) = ax3 + c – bx5

P(x, y) = 2x4ya+1 – x3yb + 5x2y7

3.

a) 1

P(x, y) = 5x5 – 2x3 + 4

Calcular:

2.

Si: R(x) = 12x4 – 5x + 7 es idéntico con:

c) 20

11.

(A - 3)x2 + (C + 2)x + B – 5  P(x)

12.

R(x) = (A2 - 4)x2 + (B3 - 8)x + C – 2

Q(x) = (A + 3)x2 – 5x + 4 – x2 + Bx – C

Si: R(x) y Q(x) son idénticos R(x) = bx2 + 3x + c

PRODUCTOS NOTABLES I

Q(x) = (2b - 2)x2 + ax + 2 Calcular: a + b + c


MATEMATICA 118

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Se llama así a ciertas multiplicaciones cuyos

Ejemplos:

resultados se pueden hallar directamente, mediante reglas sencillas que se deducen de la multiplicación de polinomios.

3 52 1. Efectuar: (a + b )

Estudiaremos los siguientes casos, siendo "a" y "b" dos monomios: Cuadrado del primero................................ a I. Cuadrado de la suma de dos monomios.

Doble del primero por el segundo... 2(a3

6

5 )(b )...

3 5 2a b Sean los monomios "a" y "b", su suma es "a + b".

Cuadrado del segundo................................ b

2 (a + b) = (a + b)(a + b)

3 52 6 3 5 10 Luego: (a + b ) = a + 2a b + b

  

Efectuemos el producto indicado:

a + b a + b

2

II.Cuadrado de la diferencia de dos monomios. Sean los monomios "a" y "b", su diferencia es "a 

x

a 2 + ab ab + b a + ab + b

10

b". 2

2 (a  b) = (a  b) (a  b)

2

Efectuemos el producto indicado:

Luego:

a - b a - b

x

a2 - ab - ab + b

2

2

a - 2ab + b 2

La anterior expresión se interpreta diciendo que:

Luego:

(a - b)

2

= a

2

- 2ab + b

2

La anterior expresión se interpreta diciendo que: El cuadrado de la diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primero, menos el doble del

El cuadrado de la suma de dos monomios es igual

producto del primero por el segundo más el cuadrado

al cuadrado del primero, más el doble del

de segundo.

producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

Ejemplos:


MATEMATICA 119

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 2 42 1. Efectuar: (2a  5x )

2 2 1. Si: ab = 4 y a + b= 3, calcular: a + b

Cuadrado del primero 4a

:

4 2

a)

1 b)

1

d)

2 e)

6

c)

2

4

Doble del primero por el segundo 2(2a )(5x ) = 2 4 -20a x Cuadrado del segundo 25x

2. Sabiendo que: x1 + y1 = a, además: xy = b,

:

2 2 entonces: x + y es equivalente a:

8

2 a  2ab 2 2 a b  2b 2 2 a b  2a 2 2 a b 2 2 a b+2

a) 2 42 4 2 4 8 Luego: (2a  5x ) = 4a  20a x + 25x

c) e)

III. Producto de la suma de dos monomios por la

3.   

diferencia de los mismos. Sean los monomios: "a" y "b".

d)

Efectuar:  a  b a  b    

a)

Y sea el producto: (a + b)(a - b)

b)

a2  b   b 2  ; a > b a > 0; b > 0 2 a b) a c)

a/2 d)

1

e)

0

Efectuemos dicho producto indicando: 4. Simplificar: a + b a - b

(a  1)2  (a  1)2  2

x

a2

2

Luego:

a + ab - ab - b

2

a2

2

0

- b

(a + b)(a - b) = a

2

- b

2

a)

1

b)

d)

2 e)

; siendo : a  0

1 c) 2

5. Si: m - n = 8 La anterior expresión se interpreta diciendo que:

2 Calcular el valor de: (m  3n)  4n(2n  m) + 8 a)

El producto de la suma de dos monomios por su

32 b)

40 c)

72

diferencia es igual al cuadrado del primer monomio, menos el cuadrado del segundo.

d)


64 e)

90

6. Reducir:


MATEMATICA 120

0

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” (a + b)

2b2  2ab  ( a2  b2 ) 2  (2ab) 2 a) + b)

2

c) 2 +b

2 (a  b) b)

(a

2 2 a  b d)

a

(a  b)

2

= a

= a

2

2

+ 2ab + b

 2ab + b

2

2

2 *

2 2 a + 3b

e)

2

52 (4  6x ) = 16 

____________ + 36x

10

7. Si:

x y   2; xy  0 y x

*

4 2 (3mn  2) = ___________

4 12mn + ________

Hallar: E

2x  y

*

2x  y

a)

1

d)

4 e)

= 1 + ___________ +

_____________

b)

2 c)

3

5

*

= __________ +

___________ + 4 8. Efectuar:

11. Si:

E  ( x  1)( x  1)( x  1)( x  1)( x  1)  1 2

4

8 x b)

a)

8

a b

16 x c)

32 x

a

2

; ab  0

Hallar:

64 x

d)

b



a2 b

128 e) x

2 2 9. Si: m + n = 2mn ; n  0

a)

a

b)

d)

b/a

b c) e) Hay 2

correctas

Hallar:

 m    n a)

1

b)

d)

2006

2006

2 2 2 12. Efectuar: Q = [(a + b) + (a - b) ] [(a + b) - (a 2 c) e) 2006

2 b) ]

3 m

a)

8ab

2 2 b) 2(a + b )

c) ab 10. Completar en los espacios en blanco, utilice:


MATEMATICA 121


2 2 8ab (a + b )

2 2 e) a + b

4 a + 32

d)

4 e) a  16

13. Si: 4. Efectuar:

 kp5   kp  2

(x + y)(x

Indicar ‘‘k  p’’ donde: k > p

2 2 4 y)(x + y ) + y

2 x b)

a)

y

2

c)

4 x

√ 12

a) c)

√ 13

d)

y

4 4 x +y

2 2 (7685) - (7684) a)

15369

b) 15370

d)

2 A = (x + 1)(x - 1)(x + 1) + 1 x b)

2 x c)

4 x e)

15372

e) Infinito

6. Efectuar:

3 x

2 2 2 (a + 1) (a  1) + (2a  1)

5 x

2. Efectuar:

a)

a

d)

a

5

b)

a

e)

a

3

c)

6

E  4 1  3(22  1)(24  1) 7. Efectuar: a)

2 b)

4 c)

d)

8 e)

10

6

2 2 4 4 8 (x + a)(x  a)(x + a )(x + a ) + a 8 x b)

a)

4 x c)

2 x

3. Efectuar: d)

2 2 (a + 2)(a  2)(a + 2 ) + 16

a)

c)

15371

1. Efectuar:

d)

e)

5. Efectuar del modo más breve posible:

√ 17

e)

TAREA DOMICILIARIA

a)

4

√ 15

√ 16

d)

b)

a

2

b)

a

4

c)

a

a

4

e)

a

8

8. Reducir a la mínima expresión:

2

+ 16

4

1  ( x  1)( x  1)( x2  1)( x4  1)

;x>0


MATEMATICA 122

a

4


2 x c)

x b) 3 x

13. Hallar el resultado de efectuar:

4 x e)

d)



6 x

7 2

  2

√ 14

a) 9. Efectuar:

5

  5

x 1



2

x 1 ; x > 0

a)

d)

b) 50 x  2 c)



2

2 √ 14

b)

√7

c)

2

50 x  1

2 7

√ 14

4

e) 14

50x + 1 d) 50x + 2

e) 50x  1

14. Reducir: P = (x + 1)2

10.

2 2 Efectuar: (3x + 4) (4  3x) a)

48x

b) 47x

c)

46x d)

45x

2 2 2  (x + 2)  (x + 3) + (x + 4)

a)

0 b)

1

d)

3 e)

4

c)

2

e) 44x

PRODUCTOS NOTABLES II I. Cubo de la suma de dos monomios.

11. Efectuar:  x  

2



2

1  

2 

 x

 

2



Sean los monomios "a" y "b", su suma es "a + b"

2

1  

2 

3 2 (a + b) = (a + b) (a + b) (a + b) = (a + b) (a + b) 2 2 = (a + 2ab + b ) (a + b)

a)

x+1

b) x  1

c)

Efectuando esta última multiplicación indicada se

2 x +1

tiene: 2

a  2ab  b a  b

x2  1

2 x 1

d)

2

e)

3

2

2 x

2

a  2a b  a b 2 2 3 a b  2ab  b a3  3a2b  3 a b 2  b

3

12. Efectuar: 2 2 4 4 8 (3 + 2)(3 + 2 )(3 + 2 ) + 2 a)

7 3 b) 3

d)

3

8 3 c)

Luego:

(a + b)

3

= a

3

2 2 3 + 3a b + 3ab + b

9 10

e) 3

11


MATEMATICA 123

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” La anterior expresión se interpreta diciendo que:

El cubo de la diferencia de dos monomios es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del

El cubo de la suma de dos monomios es igual al cubo

primero por el segundo, más el triple del primero por

del primero, más el triple del cuadrado del primero

el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.

por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

Ejemplos:

Ejemplos:

1.

2

43 1. Efectuar: (x + 2x ) a)

c)

d)

Cubo del segundo: (2x3)3 = 8x9

Luego: (4x2  2x3)3 = 64x6  96x7 + 48x8  8x9

e)

Cubo del segundo: (2x4)3 = 8x12 Luego: (x2 + 2x4)3 = x6 + 6x8 + 12x10 + 8x12

e)

= 96x7 Triple del primero por el cuadrado del segundo. 3(4x2).(-2x3)2 = 12x2.4x6 = 48x8

c)

Triple del primero por el cuadrado del segundo. 3(x2)(2x4)2 = 3x2 . 4x8 = 12x10

d)

Cubo del primero: (4x2)3 = 64x6 Triple del cuadrado del primero por el segundo. 3(4x2)2. (2x3) = 3(16x4)(2x3)

a) b)

Cubo del primero: (x2)3 = x6 Triple del cuadrado del primero por el segundo. 3(x2)2(2x4) = 3(x4)(2x4) = 6x8

b)

2 33 Efectuar: (4x  2x )

III. Producto de dos binomios que tienen un

II.Cubo de la diferencia de dos monomios.

término común.

Sean los monomios "a" y "b", su diferencia es "a  b".

Sean los binomios: x + a, x + b; que tienen un término común "x".

(a  b)3 = (a  b) (a b) (a b) = (a b)2 (a  b) 2 2 = (a  2ab + b ) (a  b)

Si efectuamos el producto: (x + a)(x + b) tenemos:

x + a x + b Efectuando esta última multiplicación indicada, se

×

x 2+ xa xb + ab

tiene:

x 2+ (a + b)x + ab

Luego: 2

a 

2ab  b a  b

3

2

3

= a

2

3

+ (a + b)x + ab

x

a 3  3 a2 b  3 a b 2  b

(a - b)

2

2

a  2a b  a b 2 2 3  a b  2ab  b

Luego:

(x+a) (x+b) = x

La expresión anterior se interpreta diciendo que:

3

El producto de dos binomios que tienen un término común consta de tres términos.

2 2 3 - 3a b + 3ab - b

a) El primero, es el cuadrado del término común.

La anterior expresión se interpreta diciendo que:

b) El segundo, es el producto de la suma de los términos no comunes por el término común.


MATEMATICA 124

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” c) El tercero, es el producto de los términos no

a)

4x b)

comunes.

2 c)

3x d)

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Efectuar: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - (x2 + 5x + 5)2 - 1 a) 1 b) -1 c) 2 d)

-2 e)

2x e)

2x

7. Calcular:

E  ( x  4)( x  2)  ( x  6)( x  4)  2x2

0

a)

16 b)

16 c)

24 2. Efectuar: (z + 9)(z  3) 2 z 2 z 2 z 2 z 2 z

a) c) e) 3.

d)  27 b) + 27 + 6z  27

8. Reducir: d)

M  ( x  1)( x  2)  ( x  2)( x  3)  2( x  5)( x  2)  2x

6z 27  12z  27

Efectuar: (b + 5)(b  7) 2 b 2 b 2 b 2 b

a) c)

2 b  12b  35

e)

e) 30

32

a)

14 b)

28 c)

d)

28

e) 18

18

 35 b) + 35 + 2b  35

9. Calcular:

d)

 2b  35

E = (x+3)(x+2) - (x+7)(x-2) + (x+9)(x-4) - (x+4)(x+1) a)

b) 24

28

c)

54 4. Efectuar: (5a + 8)(5a + 10) 2 25a + 70 b) 5a + 80 2 25a + 90a + 80 d) 2 5a + 90a + 80 2 25a + 10a + 80

a) c) e) 5.

Efectuar: (3x + 4)(3x + 6) a) c) e)

6.

d)

e) 20

14

10. Calcular:

T  ( x 2  x  7) 2  ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4) Si: x 

2 9x + 24 b) 2 6x + 24 2 9x + 10x + 24 d) 2 9x + 30x + 24 2 6x + 30x + 24

a)

3 2 1

3 2

b)

2 3

d)

Efectuar:

M  ( x  1)( x  3)  ( x  2)( x  2)  2x  7  5x 2

11. Si:

3 e)

x

5

1 x

4


MATEMATICA 125

c)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” E  x3 

hallar:

a)

1 x

3x b)

10 c)

3x  10

3

a)

49 b)

52 c)

d)

64 e)

100

d)

61

3x + 10

e) 10  3x

2. Calcular el área del terreno: 12. Reducir: ( x  y) 3  ( x  y) 3 x( x2  3y2 )

a)

1

d)

4 e)

; xy 0

b)

2 c)

donde: m > 2

3

5

2 m  20m + 8 2 m  8m  20 2 m + 8m + 20 2 m + 8m 20 2 m + 20m  8

a) 3 3 13. Si: A = (z + 1) ^ B = (z  1)

c)

Entonces ‘‘B  A’’ es igual a: a)

0 b)

e) 2 3z  1

c)

3.

2 2 6z  2

d)

b) d)

Simplificar:

(x  3) 2  (x  2)( x  4) 2 e) 3z + 1

a)

1

b)

d)

4 e)

2 c)

3

5

14. Reducir: 3 3 (x  1)  x + 1 a)

x b)

4. Reducir: (a + 1)(a  2)(a  1)(a + 2) x + 1 c)

d)

3x (1  x)

e) 0

c) e)

3 3 15. Si: a + b = ab = 3, obtener el valor de "a + b ". a)

0 b)

3 c)

d)

27 e)

81

5.

9

Hallar el área de la figura:

a)

TAREA DOMICILIARIA

c) 1.

4 2 a  5a + 4 4 2 a + 5a  4 4 2 a  5a  4 4 2 a + 5a + 4 0

a)

2x

2 Simplificar: (x + 5)(x 2) x

126

d)

donde: x > 11

2 x 2 x 2 x 2 x

+ 4x + 77

b)

 4x + 77  4x  77 + 4x - 77


MATEMATICA

b)

d)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 2 x  77

e) 6.

Calcular la suma de las áreas de:

x - 3

10.

¿A + A + A ? 1 2 3 a)

x2 - 55 x + 55

b) x2 + 55 c)

d)

x - 55

e) 3x2 + 37

7. a) d)

8.

9.

4 e)

3

5

Desarrollar: (y + 5)3 a)

y3 + 15y2 + 75y + 125

b)

y3 + 15y2 + 74y + 125

c)

y3 + 13y2 + 75y + 125

d)

y3 + 11y2 + 75y + 125

e)

y3 + 125

c)

x3  12x2 + 48x  64

d)

x3 + 64

e)

x3 + 2x2 + 8x + 64

Desarrollar: (2x  3)3 a)

8x3 + 27

b)

8x3  27

c)

8x3 + 36x2 + 54x + 27

d)

8x3  36x2 + 54x  27

e)

8x3  6x2 + 54x  27

a)

x6  3x4y3 + 3x2y6  y9

b)

x6 + 3x4y3 + 3x2y6 + y5

c)

x6 + 3x4y3 - 3x2y6  y9

d)

x6  y9

e)

x 6 + y9

PRODUCTOS NOTABLES III Parte Teórica.

A las fórmulas ya conocidas como:

Desarrollar: (x + 4)3 a)

x3 + 12x2 + 48x + 64

1 1. Desarrollar: (x2  y3)3

Efectuar:

(a + 5)2  (a + 4)(a + 6) 1 b) 2 c)

b)

*

Binomio al cuadrado:

x3  64


MATEMATICA 127


2

primeros intentos los resultados satisfactorios sean pocos; ten presente que para resolver ejercicios matemáticos se requiere de paciencia y mucha perseverancia.

2

 (a  b)  a  2ab  b *

Binomio al cubo:

...¡¡ Tú puedes hacerlo!! 3 3 3  (a+b) = a + b + 3ab(a + b)

PROBLEMAS RESUELTOS

*

1. Reducir: A = (x + 7)(x + 4)  (x  7)(x  4) Resolución: efectuando cada uno se tiene: A = x2 + 11x + 28 - (x2  11x + 28)

Diferencia de cuadrados: 2

A = x2 + 11x + 28 - x2 + 11x  28 reduciendo términos semejantes: A = 11x + 11x = 22x

2

 (a  b)(a  b)  a  b

*

2. Desarrollar: (x  2)3 Resolución: Recordando: (a  b)3 = a3  3a2b + 3ab2  b3 (x  2)3 = x3 3x2(2) + 3(x)(2)2  (2)3

Término común:

2

 (x  a)(x  b)  x  (a  b)x  ab

3 2 = x  6x + 12x  8

Agregamos ahora las siguientes identidades como: 1.

3. Efectuar:

Trinomio al cuadrado:

( x  6) 2  ( x  4)( x  8)

 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)

Resolución: x2  2x(6)  62  [x2  12x  32] x2  12x  36  x2  12x  32

2.

Identidades de Legendre:

reduciendo términos semejantes:

 (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)

36  32  4  2

(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab 4. Reducir: 3. Suma y diferencia de cubos:

2 2 2 2 2 (x - 4x - 1) - (x - 4x - 2) - 2(x - 4x + 4)

 (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3

Resolución:

2 hacemos el cambio: x  4x = y

 (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3 Al resolver los ejercicios, aplica las fórmulas con mucho cuidado. Un error en algún signo, en algún coeficiente o en un exponente, determinaría una respuesta errónea. No te preocupes si en los

2 2 (y  1)  (y  2)  2(y + 4) desarrollando cada uno se tiene:


MATEMATICA 128


 y

2

- 2y(1) + 1

2

- [y

2

3

 

8  3 10 

2 - 2y(2) + 2 ] - 2(y + 4)

3

2 2 3 3 8  3 80  3 10   3 8  3 10 

reduciendo:

y

y

2

2

- 2y + 1 - (y

- 2y + 1 - y

2

2

= 8 + 10 - 4y + 4) - 2y - 8

= 18

+ 4y - 4 - 2y - 8

7. Efectuar: (x + 2y + 3z)

2

Resolución:

2 2 2 2 Se sabe: (a + b + c) = a +b +c + 2(ab + ac + bc)

agrupando términos semejantes:

Desarrollando se tiene:

x2  (2y) 2  (3z) 2  2 (x)(2y)  (2y)(3z)  (x)(3z) Finalmente:

x2  4y2  9z2  4xy  12yz  6xz 3 3 5. Reducir: (a + b)  (a  b)

8. Efectuar:

Resolución: desarrollando cada uno se tiene:

E

3 2 2 3 3 2 2 3 (a + 3a b + 3ab + b )  (a 3a b + 3ab  b )



6



2 1

3





2  6 2 1

2 1

Resolución:

2 2 3 3 Se sabe: (a b)(a + ab + b ) = a  b

eliminamos los paréntesis:

Entonces:

+



reduciendo términos semejantes: 3a2

3 2 3 b + b + 3a b + b

6



2 1

3

  2

2  62 1 

6

3

 13  2  1

Ahora tenemos:

2 3 6a b + 2b

E



E

 2



2 1



2 1

Finalmente: 6. Efectuar:



3

 

8  3 10 

3

8  3 80  3 10 

Resolución: aplicando: (a + b)(a2

 (1)2

 E1

2

2

2




2 3 3  ab + b ) = a + b


MATEMATICA 129

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 2 1. Efectuar: (x + 2)(x  2x + 4)

2 7. Efectuar: (2x + 3)(4x 6x + 9)

3 x +2

a)

3 b) x + 4

c)

3 8x + 9

a)

3 x +6

2.

2 8x + 9

3 x +8

d)

3 e) x + 16

2 Efectuar: (x  5)(x + 5x + 25) 3 3 a) x - 125 b) x - 25

3.

c)



3 e) x + 125

2 Efectuar: (2x + 1)(4x  2x + 1) 3 3 a) 2x - 1 b) 8x - 1

c)

9.

3 8x + 1 3 2x + 1

4.

Efectuar: (x + 2y + 3z) a) b) c) d) 4xy + 6xz + 12yz

3 e) 8x + 2

2 2 + 4y + 9z 2 2 + 2y + 3z 2 2 + 4y + 3z 2 2 + 4y + 9z +

2

2 Reducir: (a + b + c)  (a + b)  c a) 2(bc + ac) bc + ac 2 c) c + 2bc + 2ac 2(bc  ac) e) a+b+c

6.

2 +b ) a)

a d)

3

25  23 5  4  

10 c)

d)

12 e)

13

Desarrollar: (a  b  c)

11

2

a)

2 2 2 a  b c  2ab - 2ac + 2bc

b)

2 2 2 a + b + c - 2ab - 2ac - 2bc

c)

2 2 2 a -b -c

d)

2 2 2 a +b +c

e)

2 2 2 a + b + c - 2ab - 2ac + 2bc

b) 2b

3

Desarrollar: (a2  b3 +

c 4 )2

b) d)

a)

a 4  b6 + c 8

b)

a4 + b6 + c8

c)

a4 + b6 + c8 + 2a2b3 +

2a2c4  2b3c4 d)

c)

3

3 b e)

3

0 b)

10.

2

2 2 2 Reducir: (a + b)(a ab + b )  (a  b)(a + ab 2a

5  2   

2 2 2 x + 4y + 9z +

e) 2xy + 3xz + 6yz 5.

3

a)

2 2 x 2 x 2 x 2 x

3 e) 8x + 27

8. Efectuar:



3 x -1

d)

2 4x + 9

d)

3 x -5 d)

3 b) 4x + 27 c)

a4 + b6 + c8  2a2b3 

2a2c4  2b3c4 e)

0

a4 + b6 + c8  2a2b3 +

2a2c4  2b3c4


MATEMATICA 130

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 2. Dado: 2 A = (x  1)(x + x +1)

2 11. Efectuar: (x  3)(x + 3x + 9) 3 x -1

a)

2 B = (x + 1)(x - x + 1)

3 b) x - 243 c)

3 x - 81 3 x - 27

d)

3 e) x - 9

Indique ‘‘AB’’

2 Efectuar: (2x + 3)(4x + 9  6x)

12.

3. Efectuar:

a)

3 2x + 9

3 b) 8x + 27

c)

3 2x + 27

3 d) x + 27

e)

3 3x + 8

2 (3x - 1)(9x + 3x + 1)

4. Efectuar:

2 2 Efectuar: (4x + 3y)(16x  12xy + 9y )

13.

3 3 64x + 27y

a)

2 2 16x + 9y 3

16x + 27y

b)

3  1   

3

20  3 4

3

9  3 3  1 

5. Efectuar:

d)

 10  2 100  3

3

3

3



3 3 64x  27y

e)

6. Efectuar:

3 4 6 3 4 8 Efectuar: (x  y )(x + x y + y )

14.

3



3 3 64y + 27x c)



6 12 x y

a)

5 10 5 (m + 5) . (m - 5m + 25) - 125

b)

9 12 x +y 9 12 x  y d)

c)

7. Efectuar:

6 12 x +y e)

 x  1 2  x2  x  1 2  2x3  1

6 12 x y 8

TAREA DOMICILIARIA

. Desarrollar: (a + b - c)

2

1. Efectuar: 9. 3 3

3

5 3

3 3

3

2 4 2 Efectuar: (x + 1)(x - x + 1) -

2 4 2 (x - 1)(x + x + 1)

3

25  15  9

2 3 42 10. Desarrollar: (a - b + c )


MATEMATICA 131


2 2 19. Reducir: A = (x + y + 1) - (x + y - 1)

11. Efectuar:

 



3



3 1

 

9  3 3  1  

3

3



3 1

3



9  3 3  1 

20. 4

Reducir:

( a  1)( a2  a  1)( a3  1)( a6  1)  1

;a>0

12. El resultado al efectuar:



3



5  3 2    

DIVISIÓN ALGEBRAICA I

25  3 10  3 4 

3

 es:

Es la operación que tiene como objetivo calcular una expresión llamada cociente (q) y otra llamada residuo (R), conociendo otras denominadas dividendo (D) y divisor (d).

13. Al efectuar:

Esquema clásico

4 8 4 2 (2x - 3y)(4x + 6x y + 9y ) se obtiene:

D

d

S e cono ce : D y d

R

q

P o r co n o cer: q y R

S e c u m p le :

14. Efectuar:



 x2  

1  2 

D = dq + R

Propiedades



2   x4  x  1   2 4  

1. El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.

qº = Dº - dº

2 4 2 2 15. Efectuar: (x - y)(x + x y + y )

2. El grado máximo del resto es el grado del divisor disminuido en uno. 16. El resultado de efectuar:



3

3 2 3



3

9 6 4 3

3

R º MÁX. = d º - 1

 es:

RºMÁX Grado máximo del resto. 3. La propiedad fundamental de la división en el Álgebra forma una identidad.

17. Efectuar:

 

3



x  y  3 y    

3

2



2

D = dq + R  D

x  y  3 xy  y 2  3 y  

(x)

 d (x) . q (x) + R

(x)

4. Si la división es exacta, el resto es un polinomio idénticamente nulo.

18. Efectuar:

R

2 2 P = (x + 1)(x - x + 1) - (x - 1)(x + x + 1)

(x)

 0


MATEMATICA 132


En este caso el dividendo carece de término en x 2 y en "x", por lo cual los supliremos con coeficiente cero.

8° D (x)  x8+ x 4 + 2 x - 3

q° = 8 - 5 = 3

d (x)  x - 7

R °MÁX = 5 - 1 = 4

5

x 3+ 0 x 2 + 0 x - 2 7 3

-x - 3x

5°

2

x2 - 3x + 9

- 3 x 2+ 0 x + 3 x 2+ 9 x

Para dividir dos polinomios tenemos el siguiente criterio:

9x - 27 -9 x - 2 7 - 54

1. Ordenar el dividendo y divisor, según una misma variable, colocando cero para los términos que faltan. Finalmente:

2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor obteniendo el primer término del cociente.

Cociente: x2 - 3x + 9 Residuo: -54

3. Se multiplica el primer término obtenido del cociente por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para ello se coloca cada término de este producto debajo de su semejante cambiándole de signo. Luego se suma algebraicamente.

•

Ejemplo 3: Efectuar la siguiente división: (x2 + 7x + 12)  (x + 3)

4. Se efectúan las operaciones como en los pasos anteriores continuando hasta que el residuo sea un polinomio de grado menor que el divisor. •

Resolución:

x2 + 7x + 12

x + 3

2

-x - 3 x

Ejemplo 1: Dividir: 4x5 - 12x4 + 13x3 + 12x2 - x + 1 entre: 2x2 - 3x + 1

x + 4

4x + 12 -4 x - 12

Resolución:

0

4x5 - 12x4 + 13x3 + 12x2 - x + 1 5

x + 3

4

-4x + 6 x - 2x 4

3

2x2 - 3x + 1 3

2

2x - 3x + x + 9 3

2

-6 x + 1 1x + 1 2 x + 6x4 - 9x3 + 3x2

Luego el cociente es x + 4 y la división es exacta pues el residuo es 0. •

2 x3 + 15x2 - x -2x3 + 3 x2 - x 18x2 - 2x + 1

Ejemplo 4: Efectuar la siguiente división: (x2 - x3 + x4 - 3x + 2)  (x2 + x + 2) Resolución: Ordenamos el dividendo según las potencias decrecientes de "x".

x 4- x 3+ x 2 - 3 x + 2

-18 x2 + 27 x - 9

- x 4- x 3- 2 x

25x - 8

x 2+ x + 2 x 2- 2 x + 1

2 2

- 2 x 3- x - 3 x 2 2 x 3+ 2 x + 4 x

Luego: -

El polinomio cociente es: 2x3 - 3x2 + x + 9 El polinomio residuo es: 25x – 8

•

Ejemplo 2:

x 2+ x + 2 -x2 - x - 2

Efectuar la división: x3 - 27  x + 3 Resolución:

0 Finalmente:


MATEMATICA 133

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Polinomio cociente: x2 - 2x + 1 Polinomio residuo: 0

5. Hallar el residuo de la siguiente división: y3  5y2  7y  5

MÉTODO DE COEFICIENTES SEPARADOS En la división de polinomios, podemos prescindir de la parte literal. • Ejemplo: Dividir: 10x4 + 6x3 - 37x2 + 36x - 12

y2  2y  3

-1 2

6 + 14

-3 7 - 6

36

20 -2 0

-4 3 + 28

36 -1 2

-1 5

24 -2 1

-1 2 + 9

3

-3

15

5 2

-7 4

b) y2 + 3

d) -10y + 14

e) 10y + 14

c) y + 3

6. Hallar el residuo de la división:

entre: 5x2 - 7x + 3 Resolución: Como el polinomio dividendo y divisor están completos y ordenados en forma decreciente podemos distribuir sólo coeficientes.

10 -1 0

a) y + 5

z4  3z3  2z2  z  5 a) z2 + 1

z2  3z  1

d) -6

b) -2

c) 4z

e) 4z - 6

7. Hallar "A + B", si la siguiente división: x4  3x3  2x2  Ax  B

3 -3

x

2

a) 1 d) 4

 3x  2

; es exacta.

b) 2 e) 5

c) 3

8. Calcular "m + n + p", si la división: 6y5  17y4  7y3  my2  ny  p 3y3  4y2  5y  7

es exacta. a) 22 d) 25

Luego:

- El polinomio cociente es: 2x2 + 4x - 3 - El polinomio residuo es: 3x – 3

;

b) 18 e) 28

c) 17

9. En la siguiente división exacta:


2m4  4m3  am2  5m  b m2  m  2

1. Al dividir:

a) 2 d) 8

6x6  13x5  7x4  11x2  8x  5 2x3  3x2  5x  1 Señalar el cociente: a) 3x3 + 2x2 + x + 2 b) x3 + 2x2 + x + 2 c) x3 + x2 + x + 1 d) x3 - 2x2 + 3x - 2

b) 13 e) 19

; calcular "a + b". c) 9

10. Determinar "a + b"; si la división: 3x4  5x3  ax  b x2  x  1

; deja como residuo: 5x + 7. a) 28 b) 24

e) 8x2 + x + 3

d) 16

Del problema anterior: 2. Señalar el residuo: a) x2 + 2x + 2 b) 3x3 + 2x2 + x + 2 c) 8x2 + x + 3 d) x2 - x + 1

c) 20

e) 12

11. Calcular "m + n + p", si la división:

9z6  3z5  2z4  12z3  mz2  nz  p

e) 2

3z3  2z2  z  2

3. El coeficiente del término lineal del cociente es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) 4

2 arroja como residuo "6z + 4z + 3"

4. La suma de coeficientes del cociente: a) 4 b) 7 c) 6 d) 5 e) 8

a)

10 b)

18 c)

d)

25 e)

15


MATEMATICA 134

9

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Indicar el cociente. 12. Hallar la suma del cociente y el residuo en:

y4  4y3  3y2  9y  8

e)

b) d)

x2  2x  3

e)

b) x + 3

d) x + 5

e) x + 6

Indicar verdadero (V) o falso (F). I. El cociente es: x2 - 8. II. El residuo es -48.

; exacta

12c)

a) FVV

b) VVV

d) VFF

e) VFV

c) FFF

7. Indicar el cociente, luego de dividir. (12x4 - 10x3 + 8x2 - 6x + 4)  (x2 + 1) a) 12x2 - 10x - 4 c) 12x2 - 10x - 2 e) 11x2 - 10x

18

TAREA DOMICILIARIA

b) 12x2 - 10x - 3 d) 12x2 - 10x - 1

8. Hallar el cociente de la siguiente división:

1. Calcular el polinomio cociente, luego de dividir:

x

x3  3x2  3x  1 x1 a) x2 - x +1 c) x2 + 2x + 1 e) x2 + x

c) x + 4

III. La división es exacta.

10b) 14 16

a) x + 2

6. Dada la división: (x4 - 4x2 + 16)  (x2 + 4)

x4  5x3  10x2  Ax  B

d)

c) x - 6

x2  x  2 Indicar el polinomio cociente.

13. Hallar "A+B", en la siguiente división:

a)

e) x - 8

x3  2x2  5x  6

2 y + 6y - 6 2 y + 17y - 8 2 y + 15y - 7 2 y - 17y + 7 2 y - 15y - 8

c)

b) x - 5

d) x - 7 5. Efectuar:

y2  4y  1 a)

a) x - 4

a) x - 2 d) 2x - 3

b) x2 - 2x + 1 d) x2 + x + 1

3

 3x x

2

2

 6x  7

 x  2

b) x + 2 e) 2x + 3

c) x - 1

9. Al efectuar la siguiente división:

4x4  4x3  5x2  9x  6

2. Efectuar la división: (x4 - 16)  (x + 2),

2x2  3x  5

Indicar verdadero (V) o falso (F). I. El polinomio cociente es: x3 - 2x2 + 4x + 8

Indicar el cociente. a) x2 + x - 1 b) x2 - 1 c) 2x2 + x - 1 d) x + 11 e) 2x2 - 2x – 1

II. El polinomio residuo es: 0 III. El polinomio cociente es: x3 - 2x2 + 4x - 8 a) FVV

b) FFF

d) VFF

e) VVV

c) FVF

10. Hallar el residuo de la siguiente división:

3x5  2x4  5x2  4x  1

3. Indicar el cociente, luego de dividir: (2a3 - 3a2 + 4a - 5)  (a - 2) a) 2a2 + a + 1 c) 2a2 + a + 4 e) 2a2 + a + 6

a) x2 + 3x + 1 d) x2 + 5x

b) 2a2 + a + 3 d) 2a2 + a + 5

x3  x2  1

b) x2 + 3x e) x2 - 5x + 1

c) x2 - 3x

11. Hallar "m + n", si la división:

4. Efectuar: (-63 + 2x + x2)  (x + 9)


MATEMATICA 135

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 7 x  2( x2)2  x2  11 2 3. S(z) = z3 + 5 - 6z + z2

x6  mx  n

Q( x)  2x3 

x2  2x  1 deja como residuo a "2x"

• Polinomio ordenado (con respecto a una

a)

9 b)

7 c)

d)

11 e)

13

variable) Es aquel polinomio donde los exponentes de sus variables van aumentando o van disminuyendo a partir del primer término. Ejemplos:

5

O b s e r v a lo s e x p o n e n t e s d e la s v a r ia b l e s . L o s t r e s p r im e r o s p o li n o m io s e s t á n o rd e n a d o s . E l ú l t im o n o . ¿Por qué?

1. P (x) = 2x2 + 7x + 1

DIVISIÓN ALGEBRAICA II

2. Q (y) = y4 + y 2 + y + 1

MÉTODO DE HORNER

3. R (x) = x 2 + 4x3 + 5x7

Como ya sabes, las cuatro operaciones aritméticas fundamentales son:

4 . S (z) = z3 + z + z 2 - 1

SUM A

RESTA

M U LT I P L I C A C I Ó N

+

-

×

Método de Horner

D IVISIÓ N



De igual manera, en el Álgebra se verán estas cuatro operaciones. Así por ejemplo: •

•

PRO DUCTO

•

D IV ISIÓ N

D (x)

d(x)

R (x)

Q (x)

•

D(x) es el DIVIDENDO. • d(x) es el DIVISOR. • Q(x) es el COCIENTE. • R(x) es el RESIDUO. En el método de Horner, se hará uso del siguiente diagrama:

F u e r o n v is t a s e n lo s d o s p r im e r o s c a p í t u lo s d e l b i m e s t r e ( o p e r a c io n e s c o n p o li n o m i o s I y I I ) .

SUM A y R ESTA

En la división:

F u e v is t o d u r a n t e la s d o s ú l t i m a s c l a s e s ( C a p ít u l o s I I I y I V : P r o d u c t o s N o t a b le s I y I I ) .

¡ ¡ E s e l c a p í t u lo d e h o y ! !

Parte teórica

el cuál será llenado de la siguiente manera:

Para dividir polinomios, existen tres métodos: 1. Método clásico. 2. Método de Willian Horner. 3. Método de Paolo Ruffini.

E s te c o e fi c ie n t e n o c a m b ia d e s ig n o .

Sin embargo, sea cual fuere el método que usemos, es necesario que los polinomios a dividir estén completos y ordenados en forma descendente.

E s to s c o e fi c ie n t e s s i c a m b ia n d e s ig n o .

• Polinomio completo (con respecto a una variable) Significa que el polinomio debe poseer todas las potencias, de la variable en referencia, inferiores a su grado. Ejemplo: 1. P(x) = 5x2 - 2 + 7x + 9x3

C

C O EFIC IE N T ES D EL D IVID E N D O

O E F. D E L D I V I S O R

A q u í i r á n lo s c o e fi c ie n t e s d e l c o c ie n t e

A q u í i r á n lo s c o e fi c ie n t e s d e l r e s i d u o


2.


MATEMATICA 136

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 1. Hallar la suma de coeficientes del cociente al dividir:

x3  ax2  ax  a2 ; sea 5a  13 x  a 2 .

2x4  5x3  2x2  4x  8 2x2  x  2

a) 2 d) 9

b) 5 e) 13

a) 1 d) 4

c) 7

b) 2 e) 5

9. Determinar "mnp", si la división es exacta:

2. Calcular la suma de coeficientes del cociente luego de dividir:

1

5x2  6x  2 b) 7 e) 10

c) 8

a) -30 d) -240

x3  3x2  x  3 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

-2

-6

m

n

p

3

1 3

-3 1 -6

-3 -2

6

*

*

*

1

3. La suma de los coeficientes del cociente y residuo de la siguiente división:

x2  2x  3

1

3 1 -3

5x5  x4  6x3  7x  3 a) 6 d) 9

1

-2

b) -120 e) 240

1

; es: c) 3

1

2 -1

6x5  7x4  18x3  10x2  7x  9 3x3  x2  2 dar como respuesta un término del residuo. a) -x2 b) -x c) 2 d) -1 e) x

1

-2

4

-4

2

-1 0

0 -3

2

4 2

-2 -3

11. Hallar la suma de coeficientes del cociente en la siguiente división:

; es exacta,

b) 90 e) 120

x101  2007

c) 100

x2  2x  1 a)

6. Calcular el valor de "" para que: (x5 - 3x4 + 2x2 + 4) sea divisible por "x - 2". a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6

2007

b) 5050

2020 d) 4040

e) 3030

TAREA DOMICILIARIA

7. Hallar "m + n + p", si la división: 6x5  17x4  7x3  mx2  nx  p 3x3  4x2  5x  7

b) 18 e) 28

3

6

-1

donde la única variable es "x" El polinomio cociente es :______ El polinomio residuo es :______ El polinomio divisor es :______

x4  3x3  5x2  mx  n

es exacta. a) 22 d) 25

0

1

;

5. Si la división:

hallar "mn". a) 80 d) 110

c) 120

10. Del esquema de Horner:

4. Hallar el residuo al dividir:

x2  x  2

c) 3

1. Hallar "A + B" si la división: 2x4  3x2  Ax  B c) 17

2x2  2x  3 a) 2 d) 12

8. Hallar "a" para que el residuo de la división:

b) 4 e) 13

; es exacta. c) 5

2. Calcular el cociente de la siguiente división:


MATEMATICA 137

c)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” a) 130 d) 136

3x4  5x3  2x2  Ax  B 3x2  x  1

a) (x - 1)2 d) x2 - 1

b) (x + 1)2 e) x2 + 1

c) x2

b) 132 e) 138

10. Determinar "AB", si en la siguiente división el cociente y residuo son idénticos.

x3  2x2  Ax  B

3. Indicar el cociente de la siguiente división:

4

3

2

2x  9x  x  2x  6 2x2  3x  1

a) (x + 3)2 d) x2 - 3

b) (x - 3)2 e) x2

c) x2 + 3

b) 2 e) 5

Calcular "m". a) 1 d) 4

3x2  5x  2 a) 2x - 5 d) -6x + 25

, el residuo es: b) -26x + 5 c) x + 5 e) 5x - 2

12. Al dividir:

c) 3

6x3  19x2  18x  9 3x  5 , su cociente es:

a) 2x2 - 3x + 1 c) 2x2 + 3x + 1 e) x2 - x + 1

; deja como resto 4. b) 2 e) 5

c) -3

6x3  25x2  3x  5

5. La siguiente división: 3x4  4x3  mx2  x  m

x2  x  1

b) -2 e) -5

11. Dividir:

2x4  9x3  2x2  8Ax  B a) 1 d) 4

x2  x  3

a) -1 d) -4

4. Determinar "A + B" en la siguiente división exacta:

x2  5x  1

c) 134

b) 2 + 3x + x2 d) 4

c) 3

6. La siguiente división:

5x4  3x3  mx2  4x  m x2  x  1

DIVISIÓN ALGEBRAICA III

Deja como residuo (x + 3), calcular "m". a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

División de polinomios

7. Calcular "n" en la siguiente división exacta:

a) 1 d) 4

La división es un proceso en el cual, conocidos dos polinomios llamados: DIVIDENDO y DIVISOR, se obtienen otros dos llamados COCIENTE y RESIDUO.

nx4  nx3  nx2  6x  4 x2  2x  4 b) 2 e) 5

c) 3

D IVID EN D O

R ESID U O

8. Calcular "n" en la siguiente división exacta:

nx4  2nx3  3nx2  52x  32 a) 1 d) 4

x2  3x  2

b) 2 e) 5

D IVISO R

P (x) R (x)

S(x) Q (x)

CO CIENTE

OBSERVACIÓN: Para poder dividir dos polinomios éstos deben encontrarse completos y ordenados.

c) 3

Ejemplos:

1. Sea el polinomio: P(x) = 5x + 3 + 2x2 + x3

9. Determinar "AB", si en la siguiente división el cociente y residuo son idénticos.

ORDENANDO

x3  6x2  Ax  B

P (x) = x3 + 2x2 + 5 x + 3

2. Sea el polinomio: Q(x) = 3x3 + 5x - 1

x2  2x  2


MATEMATICA 138

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” El resultado será completado con las variables obteniéndose:

Q (x) = 3 x3 + 0x2 + 5x - 1

CO M PLE TAN D O

3. Sea el polinomio: J(x) = 2x - x2 + 3x4 + 5

ORDENANDO Y CO M PLE TA N D O

•

Cociente  Q(x) = 3x3 + 5x2 + 0x + 1 = 3x 3 + 5x2 + 1

J (x) = 3 x4 + 0 x3 - x2 + 2x + 5

Residuo 

REGLA DE PAOLO RUFFINI Se aplicará cuando el divisor sea un polinomio lineal.

PROBLEMAS 1. Dividir: x2  7x  12 x 3

Es decir: d(x) = ax + b ; a  0

OJO

x + 3 = 0

1

-a

CO EFIC IEN TES D EL CO CIEN T E

R ESID U O

1

1

1

1

27

-3

9

-2 7

-3

9

0

-2

1

-1 1 0

 Q(x) = 1x2 - 2x + 1 = x2 - 2x + 1

1 0

0

x3  3x2  3x  1 x 1 ;x1 Resolución: 0 1 -3 3 x - 1 = 0 1 -2 x = 1

0 5

0

3. Dividir:

5

3

0

Cociente: Q(x) = 1x2 - 3x + 9 = x2 - 3x + 9 Residuo : R(x) = 0

3 +1

1

1 x1

Luego procedemos con las operaciones.

-5

4

x3  0x2  0x  27 x3 ; x - 3

0 x + 3 = 0 x = -3

2

-1 2

Resolución: Completando y ordenando el dividendo:

Solución: Completamos el diagrama con los coeficientes, teniendo mucho cuidado con los signos.

3

-3

x3  27 x3 ; x  - 3

Ejemplo: Dividir:

0

12

2. Dividir:

CO LO CAN D O EL PRODUCTO

3x4  2x3  5x2  x  1 x1 ;

7

Cociente: Q(x) = 1x + 4 = x + 4 Residuo: R(x) = 0

Las operaciones a realizar con los coeficientes son:

S U M A

1

x = -3

CO EFIC IEN TES D EL D IV ID EN D O

d(x) = x + a

;x-3

Resolución:

Aquí, se hará uso del siguiente diagrama.

A quí va el c o e fi c ie n t e i n d e p e n d ie n t e d e l d iv is o r, p e ro c o n s ig n o o p u e s to .

R(x) = 2

2

R(x) = 0


MATEMATICA 139


Dividir:

6. Completar el siguiente diagrama de Ruffini:

x3  x  4x2  8

0

x 4

;x4 Resolución: Ordenando el polinomio dividendo:

1

1

2

-4

1

-8

4

0

4

0

1

-4

-5

0

9 -1 2

6

-2

12

-3

0 +1

-3

0

-8

-4

6

-6

8

3

-4

-2

PROBLEMAS PARA LA CLASE 2

1. Dividir: 4x3  5x2  3x  3 x 1 , e indicar su residuo; x  1 a) 1 b) -1 c) 1/2 d) -1/2 e) 0

a) -12 d) 16

b) 12 e) 0

c) 1

8. Hallar "a", para que la división: 2x3  5x2  2x  a

2. Al dividir, su cociente es:

x1

; sea exacta; x  1 c) 3

a) 1 b) 2 d) 4 e) 5 9. Determinar el valor de "n", si la división: x - 2

c) 2x3 + 1

2x3  x2  5x  (n  7) x 2 ; tiene residuo nulo. a) 9 b) 2 c) 5 d) 8 e) 7

3. Dividir: x3  x2  2x  2

x1

;x1 e indicar el término independiente de su cociente. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

10. Sabiendo que la división: 3x4  x2  5x  (2n  3)

x1

; es exacta, x - 1

Determinar el valor de "n". a) 1 b) 2 d) 4 e) 5

4. Dividir: x2  2x3  5x  2

x2

;x-2 e indicar la suma de coeficientes del cociente. a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 0

c) 3

11. Si en la división:

4x4  x2  3x  m

3 ; x  2 el residuo es numéricamente igual a la suma de 2x  3

5. Indicar la suma de coeficientes del cociente al dividir:

coeficientes del cociente, hallar "m"

3x3  32x2  52x  63 x9 ;x9 b) 10 e) 0

6

7. Completa el siguiente diagrama y luego indica el producto de los valores hallados:

Residuo: R(x) = -4

6x3  x  2x4  3 x3 ;x-3 2 4 a) 2x + 1 b) 2x + 1 3 d) 2x - 1 e) 2x4 – 1

0

Luego, indicar la suma de valores hallados. a) 0 b) 20 c) 8 d) 14 e) 12

Cociente: Q(x) = 1x2 + 0x + 1 = x2 + 1

a) 5 d) -10

3

-3

x3  4x2  x  8 x 4

0 x - 4 = 0 x = 4

2

a)

3 3 c)

c) -5

b) 2 3

3


MATEMATICA 140

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 4 3

d)

128x4  40x3  2x  8 2x  1 ; x  3 2 a) 128x - 24x + 12x - 8 b) 64x3 - 12x2 + 6x - 4

e) 5 3

12. Hallar el valor de "m", si al dividir:

c) 128x3 + 24x2 + 12x + 8 d) 64x3 + 4x2 + 6x - 1

x3  3x2  (3  m2  3m) x  (4m  1) x  m 3 ;xm+3

e) 12

la suma de coeficientes tanto del cociente

7. Hallar el resto de dividir: x3  2x2  (2  m2  2m)x  2m  2 x  m 2 ;xm+2 a) 1 b) 2 c) 3 d) -2 e) -1

como la del residuo resultan iguales.

TAREA DOMICILIARIA 1. Hallar el término independiente del cociente, luego de dividir:

8. Hallar "a" para que el residuo de la división: x3  ax2  ax  a2 x  a 2 ; xa+2 sea: 5a + 11 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6x4  4x3  x2  10x  2 3x  1

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

; x -1/3 c) 3

2. Hallar el resto en:

9. Luego de dividir:

15x4  8x3  9x2  7x  1 5x  1 ; x  a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3x4  2 2x3  4x2  2x  6 3x  2 Proporcionar cociente. a) 3 + 22 d) 2 - 2

3. Efectuar:

3x4  7x3  3x2  10x  19 3x  2 ; x  Calcular la suma de coeficientes del cociente. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

suma

de

coeficientes

b) 2 + 32 e) 4 + 32

c) 1 + 2

del

10. Hallar el residuo de la división:

6x3  5x2  mx  1 2x  1 ; x -1/2 Sabiendo que su cociente toma el valor numérico de 2 para: x = 1 a) -4 b) -3 c) 0 d) 3 e) 4

4. Hallar el resto en: 6x4  3x3  x2  6x  1 2x  1 ; x  a) 1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -8

11. Dividir:

3x4  5x  2 x2 ; x - 2

5. Calcular el cociente que se obtiene al dividir: 6x3  x2  4x  5 1 x 2 ; x 

a) 3x2 + 2x - 1 c) 3x2 - 2x + 1 e) 3x2 - 2x - 1

la

2 3 ; x 

Hallar el residuo. 12. Dividir:

b) -3x2 - 2x - 1 d) 6x2 + 4x - 2

3x5  10x2  12x  x3  15 x3 ;x3 Hallar el resto.

6. Calcular el cociente en:

13. Hallar el término independiente del cociente de dividir:


MATEMATICA 141

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 2y4  14y  2y3  5 y3

;y3 Paso 1 :

TEOREMA DEL RESTO

x-2=0

Paso 2 : x - 2 = 0  x = 2

Teorema que permite hallar el resto en una división sin efectuarla. Es decir, en forma directa. Para aplicar este teorema es necesario que

Paso 3 : R(x) = D(2) = 2(2)3 – 4(2)2 + 3(2) + 4  R(x) = 2 . 8 – 4 . 4 + 6 + 4 Resto = R(x) = 10

el polinomio divisor sea de primer grado.

Ejemplo:

Procedimiento Ejemplo:  Hallar el resto en la siguiente división:

Halla el residuo en:

Paso 1 : 2x - 1 = 0 Paso 1 : El divisor se iguala a cero: x–1=0

Paso 2 : 2x - 1 = 0  x =

Paso 2 : Se despeja la variable: x–1=0  x=1 Paso

3

Paso 3 : R(x) = D(

: El valor de la variable despejada se

) = 13(

) + 6(

)2 - 5

reemplaza en el dividendo: Como: D(x) = 2x2 + x + 4  Resto = D(1) = 2(1)2 + (1) + 4

 R(x) =

 Resto = 2 . 1 + 1 + 4 Resto = R(x) = 7

R(x) = R(x) = 8 – 5 = 3

Ejemplo:

Ejemplo: Halla el residuo en:

Hallar el resto en la siguiente división:

Paso 1 : 3x - 2 = 0 Paso 1 : El divisor se iguala a cero: x+1=0 Paso 2 : Se despeja la variable: x + 1 = 0  x = -1 Paso 3 : Reemplazamos en el dividendo: Como: D(x) = 3x2 + 8x + 7  Resto = D(-1) = 3(-1)2 + 8(-1) + 7  R(x) = D(-1) = 3 . 1 – 8 + 7 Resto = R(x) = 2

Paso 2 :

Paso 3 : R(x) =

 R(x) = Ejemplo: 

Hallar el resto en la siguiente división:

R(x) = R(x) = 9


MATEMATICA 142

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA”  En cada caso hallar el residuo:

d) 1

e) 3

a) 1 d) -1

b) 2 e) 0

c) 3

a) 0 d) 4

b) -1 e) 1

c) 3

 19.

Paso 1 : 3x - 2 = 0

Paso 2 : x =

Paso 3 : R(x) = 5(  R(x) =

)2 - 16(

20.

)+4


21.

I. Utilizando el Teorema del Resto, en cada suma de las siguientes divisiones hallar el residuo respectivo:

13.

14.

15.

a) 5 d) 4

b) -1 e) 5

Hallar “b” en la siguiente división:

Si el resto que se obtiene es 7. a) 5 b) 7 d) 4 e) 1

c) 7 22. La siguiente división: Hallar: “b” a) -2 b) -1 d) -5 e) -7

a) -4 d) 2

a) 1 d) 5

b) -1 e) 3

b) 2 e) 9

c) 6

c) 5

tiene resto 5 c) -4

23. Hallar el valor de “b” en la siguiente división:

Si el resto es 3. a) 1 d) -1

c) 3

b) 2 e) 4

c) 3

24. Hallar el valor de “b” si el resto de la 16.

a) 9 d) 11

b) 8 e) 3

siguiente división: a) 4 d) 3

c) -1

b) 2 e) 1

es 27.

c) 5

25. Hallar el resto en la siguiente división: 17. a) 4 d) -5

18.

b) 5 e) -6

c) 6

a) 3 d) 0

b) 2 e) 1

c) 7

26. Calcular el resto de: a) -1

b) -3

c) 7


MATEMATICA 143


a) 1 d) 2003

b) 2 e) -1

a) 0

e) 4

b) 4 e) -1

c) 0

a) -1 d) -2

b) 2 e) 1

c) 0

a) 2 d) 3

b) -2 e) -3

c) 0

c) 0 35.

27. Calcular el resto de:

d) 3

a) -4 d) 1

b) 2

c) 1 36.

TAREA DOMICILIARIA

37. Hallar

I. Utilizando el Teorema del Resto, en cada una de las siguientes divisiones hallar el residuo respectivo: a) -3 d) 2

“b”

en

la

siguiente

si el resto es 3. b) 4 e) 1

división:

c) 0

29. a) 4 d) -1

b) 5 e) 2

c) 3 38. La siguiente división: resto 7. Hallar: “b” a) 8 b) -2 d) -5 e) 4

30. a) -2 d) 2

b) 8 e) 0

c) -8

b) 4 e) 1

a) 0 d) -1

c) -1

b) 5 e) -1

si el resto es 5. b) 4 c) 3 e) -7

40. Hallar el valor de “b” si el resto de: es 40. a) 3 b) 4 c) 2 d) 1 e) 5

32. a) 3 d) 0

c) 0

39. Hallar el valor de “b” en la siguiente división:

31. a) 3 d) 0

tiene

c) -2

41.

Indicar el resto en la siguiente división:

33. a) 2 d) 3

b) 4 e) -8

c) 5

a) -1 d) 2

b) 7 e) 5

c) 0

42. Calcular el resto de: 34.


MATEMATICA 144

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” x5  a5 4 3 2 2 3 4 x    x a x a   xa    a xa 5 tér minos

a) 1 d) -1

b) 4 e) 0

c) 8

( x2 ) 6  (a3 ) 6 x2  a3

43. Calcular el resto de:

 ( x2 )5  ( x2 ) 4 (a3 )  ( x2 )3 (a3 ) 2  (x2 ) 2 (a3 ) 3  ( x

10 8 3  x6a6  x4a9  x2a12  a15 x    x a                6 tér minos

d) 1

a) 2

e) 0

b) 3

En general:

c) 2

x n  an  x n1  x n2a  x n3a2  .......... ...  an1 xa B.

COCIENTES NOTABLES I

Analizamos el cociente de la división:

xn  an xa

En la división de polinomios existen algunos cocientes que se escribe directamente sin la necesidad de ser efectuada la división. Veamos los casos especiales:

Para que genere cociente notable la división debe ser exacta esto ocurre cuando el exponente "n" es impar. Así, tenemos:

x3  a3 2 xa  a2 x       x a

xn  an xn  an xn  an xn  an ; ; y xa x a x a x a

3 tér minos

5

x a 4 3 2 2 3 4 x   x a x a  xa   a  x a 5 tér min os

Donde "n" es entero positivo mayor que uno. A.

5

Analizamos el cociente de la división:

x7  a7 6 5 4 2 3 3 x2a4  xa5  a6 x   x  a x a   x a          x a

xn  an xa

7 tér minos

de x2 - a2 = (x + a) (x - a), se deduce:

Observamos que los signos de los términos del cociente son alternados (+, -, +,.............) En general:

x2  a2  x a x a

x n  an  x n1  xn2a  xn3a2  ..........  an1 xa

de x3 - a3 = (x - a) (x2 + xa + a2), se deduce:

x2  a2 x4  a4 x6  a6 ; ; xa x a Para exponente pares com x  a

x3  a3  x2  xa  a2 xa

; etc. No son cocientes notables, pues las divisiones son inexactas.

De los dos ejemplos podemos observar que los exponentes de "x" disminuyen de 1 en 1 mientras que los exponentes de "a" aumentan de 1 en 1, además, todos sus términos tienen signo positivo y el número de términos del cociente es igual al exponente.

C.

xn  an Analizando el cociente de la división: x  a

Estos cocientes son exactos únicamente cuando el exponente "n" es par. Así tenemos:

Utilizando el criterio anterior podemos escribir:

x2  a2    x  a   x a

x4  a4 3 2 2 3 x   x a xa   a  xa 4 tér min os

2 tér minos


MATEMATICA 145

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” x10  y5

x4  a4 3 2 2 3 x   x a xa   a  x a 4 tér min os

x2  y ? a) x2y2 d) x2y4

x6  a6 3 2 2 3 4 5  x5 x4a  x  a   x a  xa  a  x a 6 tér min os

x12  81 x3  3

a) 3 d) x6

En general:

xn  an  xn1  xn2a  xn3a2  .......... .  an1 xa

d) x4y4

Estas divisiones no son exactas para "n" par o impar.

x4  y4  x3  x2y  xy2  y3 x y

que:

III.

x3  y3  x2  xy  y2 x y


a) VVV d) FFF

x3  y3 1. Desarrollar el cociente notable: x  y ; Indicar el producto de sus términos. a) xy b) xy3 c) x3y2

2x5  1 a) 4x5

d) 2x10

c) 4x15

256x16  y8 2x2  y

a) 4x2y5 d) 4x4y5

x30  y45 x2  y3 b) x9y22 e) x22y9

b) 2x4 e) 8x15

9. Indicar el sexto término de:

c) y5

3. Indique el cuarto término al desarrollar:

a) xy11 d) x11y9

c) VFF

16x20  1

e) x3y3

e) -xy3

b) VFV e) FFV

8. Indicar uno de sus términos al desarrollar:

x5  y5 2. Desarrollar el cociente notable: x  y ;

d) x + y

c) x3y3

x y

son cocientes notables.

Indicar uno de los términos. a) x4y b) xy3

x7  y7 x y

II.

x2  a2 x3  a3 x4  a4 x5  a5 ; ; ; ; x a x a x a x a etc. No

d) x3y

e) x5y5

c) 3x2

7. Indicar si es verdadero (V) o falso (F): I. x5  y5  x4  x3y  x2y2  xy3  y4

xn  an Analizamos el cociente de la división: x  a

modo

b) 2x4 e) 3x6

6. Desarrollar el cociente notable: e indicar el término central. a) xy b) x2y2

x3  a3 x5  a5 x7  a7 ; ; ; x a x a Para impares como: x  a etc. No son cocientes notables, porque no son divisiones exactas.

De

c) xy3

5. Calcular el segundo término al desarrollar:

Observa que los signos de los términos del cociente son alternados (+ - + - ...........)

D.

b) x3y e) x4y2

b) 8x2y5 e) 4x4y10

c) 2x4y5

10. Indicar el cuarto término de: 625x12  a24

c) x12y9

5x3  a6

a) 25x6a6 d) a6

4. ¿Cuál es el tercer término del desarrollo de:

b) a18

c) 5x3a12

e) 25x3a6


MATEMATICA 146


m n 11. El término de posición "4" es de la forma: "x .y " 30

x

a

a)

y

x  y6

en el siguiente C.N.

x10  y10 x y

36

, hallar "m+n".

24 b)

6. Calcular el 3er. término del desarrollo de: x7  y7 x y

26 c)

28 d)

25 e)

7. Calcular el cuarto término del desarrollo de:

23

81x4  1 3x  1

6 6 a b 2 12 12. Si se sabe que: . . . + x y + x y + x y + . . .

8. Calcular el segundo término del desarrollo de: 125x3  27 5x  3

son tres términos consecutivos de un C.N., Hallar el valor de "a + b" a)

13 b)

15 c)

d)

14 e)

10

9. Calcular el cuarto término del desarrollo de:

12

64x6  1 2x  1

10. Calcular el tercer término del desarrollo de:

x14  128y7

13. Hallar el término que no corresponde al

x2  2y

desarrollo de:

16x28  1 11. El cociente notable de:

2x7  1 21

1000  x3 10  x es:

7

a)

8x c) 1

b) 2x

d)

4x14

e) 16x21

x4  1 12. El cociente notable de: x  1 ; es:

TAREA DOMICILIARIA

13. Desarrollar el cociente notable:

Desarrollar los cocientes notables: 1.

2.

a4  b4 . a b

x7  y7 x y

Indicar el producto de sus términos. 14.Desarrollar el cociente notable:

x5  32 x2

x12  81 x3  3

x30  y30

3.

x10  y10

15. Desarrollar el cociente notable:

4.

16 16 a 1 81 2 4 a 1 3

x15  y15 x3  y3


MATEMATICA 147

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Luego: n = 5. Por lo tanto, el cociente notable tiene cinco términos.

Indicar el coeficiente del tercer término. 16. Indicar el tercer término en el desarrollo de: 10

243x

Término k-ésimo: Si en un desarrollo de algún cociente notable queremos calcular el término de lugar "k" aplicamos la fórmula:

30

y

2

6

3x  y

17. Si tenemos el cociente notable con su respectivo desarrollo:

 4 xy  2xy

A

B

2

C

 y

3

n - k

T k= x

n - k

. a

k - 1

; Para el divisor: x - a k - 1

. (-a)

; Para el divisor: x + a

{

3

{

 8x

{

4

{

4

16 x  y 2x  y

T k= x

D

Número de términos: Dado el cociente notable:

¿En qué término se presenta el error?

xm  ap

18. Indicar verdadero (V) o falso (F):

p r

1. Desarrollar el siguiente cociente notable e indicar el número de términos:

I. Al desarrollar m  2 ¿Todos sus términos son positivos?

x7  y7 x y

x13  1 II. Al desarrollar x  1

Resolución: 7

x  y7 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 x  x y  x  y  x y  x y  xy   y  x y

¿Todos sus términos tienen signos alternados?

el desarrollo contiene siete tér min os

2. Desarrollar el siguiente cociente notable:

III. El término central del cociente notable:

x10  y15 x2  y3

es "xy".

Resolución: x10  y15

COCIENTES NOTABLES II

x2  y3



(x2)5  (y3)5 ( x2)  (y3)



= (x2)4 + (x2)3(y3)1 + (x2)2(y3)2 + (x2)1(y3)3 + (y3)4

Número de términos: La cantidad de términos de un cociente notable es "n" (el exponente de la expresión)

xn  an x a



PROBLEMAS RESUELTOS

m4  16

x3  y3 x y

m

xq  ar  # términos = q

= x8 + x6y3 + x4y6 + x2y9 + y12 Observación:

... (*)

Al desarrollar, observamos que los exponentes de "x" disminuyen

Ejemplo: Cuántos términos tiene el cociente notable:

de

dos

en

dos,

mientras

que

exponentes de "y" aumentan de tres en tres.

32x5  y5 2x  y

3. Desarrollar el siguiente cociente notable: x24  y18

Solución: Primero, debemos darle la forma de la expresión en (*). Observa:

x4  y3

Resolución:

32x5  y5 (2x)5  (y)5  2x  y 2x  y


MATEMATICA 148

los

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” De acuerdo al problema anterior; los exponentes de "x" disminuyen de cuatro en cuatro, mientras que los exponentes de "y" aumentan de tres en tres. x24  y18 x4  y3



(x4 )6  (y3)6 (x4 )  (y3)



= x20 + x16y3 + x12y6 + x8y9 + x4y12 + y15

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Calcular el número de términos que tiene el siguiente cociente notable. xa  y5a 6 x2  y8

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

11. Si el cociente notable: x56  1 xn  1 ; tiene 28 términos, calcular: n2 + n + 1

a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

12. Hallar "a" para que:


MATEMATICA 149

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” a1

xa

d) 14

 y27

xa  y

Genere un cociente notable. b) 2 c) 3 e) 5

a) 1 d) 4

e) 16

7. Relacionar:

C o c ie n t e n o t a b le

# d e té r m in o s

x30 - y45 13. ¿Cuál es el tercer término en el cociente

x2 - y3

x10  32y5 x2  2y

a 105 - b 63 ?

a) 4x4y2

b) -4x4y2 12x4y2 e)

d)

a5 - b3

c) 16x4y2 4x4y

x10 - y5 x2 - y

TAREA DOMICILIARIA

b) 5 e) 60

c) 6

a) 12 d) 15

2. Indicar el número de términos del siguiente cociente notable:

a) 8 d) 18

c) 15

x

n 6



3

y

n 6

; es notable. Señale el número de términos. a) 12 b) 15 c) 22 d) 24 e) 25

;genere un cociente notable? b) 12 c) 14 e) 18

11. Calcular el término central generado por el desarrollo del cociente notable:

x8  1

,tiene 4 términos, calcular: m4 + m2 + m + 1. a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25

xm  1

(x  1)20  (x  1)20 ( x  1) 4  (x  1) 4

5. Hallar el número de términos del cociente notable:

a)

8(x2 - 1) c) (x - 1)8

b) (x + 1)8

d)

(x2 + 1)8

e) (x2 - 1)8

x5m 3  y10m6 x2m3  y4m6 c) 7

12. Hallar el número de términos del siguiente cociente notable:

6. Indicar el número de términos del cociente notable.

x63  yn xn  y7

xa  y5a 8 x2  y9

b) 10

;genera un cociente notable? b) 12 c) 15 e) no existe "n"

x6n 3  y6n 22

4. Si el cociente notable:

a) 8

c) 14

10. El siguiente cociente:

xa  y5a 8

b) 6 e) 12

b) 13 e) 16

2

3. ¿Qué valor debe tomar "a" para que:

a) 4 d) 8

21

xn  y64 x27  yn

b) 10 e) 25

a) 10 d) 16

C

9. ¿Para qué valor de "n" la división:

x30  y20 x3  y2

x2  y9

15

xn8  yn9

?

a) 5 d) 20

B

x4n12  y4n3

( x2)6  y60

a) 2 d) 12

5

8. Calcular el número de términos que tiene el siguiente cociente notable:

1. ¿Cuántos términos tiene el cociente notable: x  y5

A

a)

c) 12

3 b)

4 c)


MATEMATICA 150

5


6 e)

7 •

- y) = (b - y) (a + x)

13. En la división: x28  x49 x4  x7

II.Polinomio primo ;calcular el término de lugar tres. 28 x

a)

29 b) x

Un polinomio P(x) se llama primo o irreductible cuando no se puede descomponer en un producto

c)

de polinomios.

30 x d)

ab - ay + bx - xy = a(b - y) + x(b

•

31 x

e)

32 x

Ejemplo 1 2 Factorizar: P(x) = x + 9x; indicar la suma de factores primos.

FACTORIZACIÓN I I. Concepto de factorización La factorización es un proceso mediante el cual

Resolución:

un polinomio es expresado como producto de

2 P(x) = x + 9x  P(x) = x(x + 9)

factores primos

Luego la suma de factores primos será: x + (x + 9) = 2x + 9 M u lt ip lic a c ió n

(x + 2 )(x + 3)

•

x2+ 5x + 6

F a c t o r e s p r im o s

Ejemplo 2 2 Factorizar: P(x) = x - 16; indicar la suma de factores primos.

F a c t o r iz a c ió n

Resolución: 2 P(x) = x - 16P(x) = (x + 4) (x - 4)

Podrás observar a continuación distintos casos de

Los factores primos son: (x + 4) ; (x - 4)

polinomios que han sido factorizados.

Luego la suma de los factores primos será: (x + 4) •

+ (x - 4) = 2x

xa + xb = x(a + b)

•

2

•

25x - 49 = (5x + 7) (5x - 7)

Ejemplo 3 Indicar la suma de factores primos del siguiente polinomio:

•

2 5 3 P(x) = (x + 1) (x - 1) (x + 2)

2 m + 6m + 9 = (m + 3) (m + 3) =

(m + 3)

2

Resolución:


MATEMATICA 151

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Es un polinomio que se repite como factor en cada uno de los términos de un polinomio.

( x + 1 ) e s f a c t o r p r im o q u e s e r e p it e 2 v e c e s . 2

5

(x + 1 ) (x - 1) (x + 2 )

3

( x - 1 ) e s f a c t o r p r im o q u e s e r e p it e 5 v e c e s .

•

( x + 2 ) e s f a c t o r p r im o q u e s e r e p it e 3 v e c e s .

Ejemplo 1 Factorizar: P(x;a) = 4x(a - 2) + (x + 2) (a - 2) Resolución:

Luego la suma de factores primos será:

Factor común polinomio: (a - 2)

(x + 1) + (x - 1) + (x + 2) = 3x + 2

Luego : III. Criterios de factorización: A.

4x(a - 2) + (x + 2) (a - 2) = (a 2) [4x + x + 2]

Factor común monomio

= (a -

Se halla el MCD de los coeficientes y se toman las variables comunes con su menor exponente, el otro factor resulta de dividir cada término del polinomio entre el factor común. • Ejemplo 1

2) (5x + 2) •

Ejemplo 2 Factorizar: P(x;a) = (4a + 6) (x 4) - x + 4

2 Factorizar: P(x;a) = 12a x +

Resolución:

2 4a y

Escribimos (-x + 4) como: -(x 4)

Resolución:

(4a + 6) (x - 4) - (x - 4)

MCD (12;4) = 4 Variable común: a

Factor común polinomio: (x - 4) 2

2 2 2 Luego: 12a x + 4a y = 4a (3x +

Luego:

y)

(4a + 6) (x - 4) - (x - 4) = (x - 4) [4a + 6 - 1]

•

= (x - 4) (4a +

Ejemplo 2

5)

3 2 2 2 Factorizar: P(x;y;b) = 25b x + 10b - 15by


Resolución :

Factorizar:

Factor común monomio: 5b 3 2

2

1. 2

2 2

2

Luego: 25b x + 10b - 15by = 5b[5b x + 2b - 3y ]

2 mx + m + xy + my a) c)

2.

B. Factor común polinomio

(x + m)(m + y) b) (x + y)(x + m) (x + y + m)(x - m)

2 ax + x + ab + bx


MATEMATICA 152


(a + x)(x + b) (a + x)(ax + b) (a + b)(x + b)

c) 3.

4.

2 m - mn + mp - np a)

2 2 3 3 5 5 x y +x y +x +y

7

4 4

3 3

x -x y -x y +y a) y3) y3) c) 2 m + mn + mp + np a) c)

8.

3 2 m +m +m+1 a) c)

9.

12. a)

b)

13.

3 2 2 3 (x + y )(x + y ) 2 2 b) (x + y )(x + y) 3 2 2 3 (x + y )(x - y )

c)

7.

e)

(m - n)(m - p) (m - n)(m + p) (m + n)(m + p)

a)

6.

c)

ax + bx + cx + ay + by + cy a) (a + b + c)(x + a) b) (a + b + c)(x + b) c) (a + b + c)(x + y)

c) 5.

b)

14.

7 3

4

(x + y )(x + b) (x3 - y4)(x4 +

Factorizar: - m - n + x(m +n) a) (m + n)(x - 1) (m + n)(x + 1) c) (m - n)(x - 1) (m - n)(x) e) (m - x)(n - 1)

b)

b) d)

Factorizar: x(3a - 2b) - 3a + 2b a) (a - b)(3x - 1) b) (3a - x)(2b - 1) c) (3a + 2b)(x - 1) d) (3a - 2b)(x + 1) e) (3a - 2b)(x - 1)

11. a)

Factorizar: (c + 1)(ab + 1) + (a + b)(c + 1) (a + b)(b + 1)(c + 1) b) (c + 1)(b + 1)(a + 1)

2 (1 - x) (1 - 2y) (1 - x)(1 - 2y) (-x)(1 - 2y) (1 - x)(1 + 2y) (1 + x)(1 - 2y)

b) d)

Factorizar: _ a _ b + 2(a + b)y a) (a + b + y)(a - 1) b) (a - 1)(b + 2y) c) (a + b)(1 + 2y) c) (a + b)(1 + 2y) e) (a + b)(-1 + 2y)

3 2 16. Expresar x - x + x - 1 como producto de 2 factores. 3 a) (x - 1) b) (x 2 - 1)(x + 1) 2 c) (x + 1)(x + 1) d) (x - 1)(x + 1) 3 e) (x + 1)

b)

10.

Factorizar: 1 - x - 2y(1 - x)

e) 15.

2 (m - 1)(m + 1) 3 (m + 1) 2 (m + 1)(m + 1)

2 2 2 2 Factorizar: x + y - 5y(x + y ) 2 5 a) (x + y) (1 - y ) b) 2 (x - y) (1 - 5y) 2 c) (x + y) (1 - 5y) d) 2 2 (x + y )(-4y) 2 2 e) (x + y )(1 - 5y)

c)

(x3 - y4)(x4 - y3)

(m + n)(m + p) (m + n)(n + p) (m + n)(mp + n)

Factorizar: 3b(2x + 3) + 2x + 3 3 2 (2x - 3)(b + 1) b) (2x + 3) (3b + 1) c) (2x + 3)(3b + 1) d) (2x + 3)(3b) e) (2x - 3)(3b + 1)

a)

4

(a + b)(a + b + c) d) (a + 1)(a + b) (c + a)(c + b)(a + 1)

17. a)

5 2 3 Factorizar: 5y - 15y z + y - 3z 3 2 3 2 (y - 3z)(5y + 1) b) (y + 3z)(5y + 1) 3 2 c) (y - 3z)(y + 1) d) 3 (y - 3z)(5y + 1) 3 e) (5y - z)

5 4 18. Al Factorizar a - a + a - 1 se obtiene un polinomio de la forma: (a - 1)(a + 1)


MATEMATICA 153

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Indicar:  a)

2 b)

3 c)

d)

5 e)

6

4

4 3 2 Factorizar: m + 6m + 4m El factor común es: m

TAREA DOMICILIARIA

2

2 2 La factorización es: m [m + 6m + 4]

2 Factorizar: x + x El factor común es: x

4 2 5 6. Factorizar: c + 10c + 20c

Luego la factorización es: x(x +

Factor común : ___________

1)

Luego la factorización es: ____________________ 1. Factorizar: (x - 2)y - (x - 2)z Factor común : ___________

2 3 4 7. Factorizar: x y - 12xy + 10x y

Luego la factorización es: ____________________

Factor común : ___________ Luego la factorización es: ____________________

2 2 2. Factorizar: mx - nx Factor común : ___________

2 4 3 3 5 6 8. Factorizar: m n - 14m n + m n



3. Factorizar: x(x + 5) + y(x + 5) - z(x + 5) Factor común : ___________

Factorizar: x3y4(a2 - c) + x2y2(a2 - c) - xy4(a2 - c) El factor común monomio es: 2 xy


2 El factor común polinomio es: (a - c) 4 4. Factorizar: x (2a - 5b) + x(2a - 5b) - (2a - 5b)

2 2

2 2

2

Luego la factorización es: xy (a - c)[x y + x - y ]


2 3 2 9. Factorizar: x y (a + b) + xy (a + b) Factor común monomio : ________________

5. Factorizar: a(p + q) + b(p + q) + c(p + q)

Factor común polinomio : ________________

Factor común : ___________

Luego la factorización es: _______________



MATEMATICA 154

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 4 3 14 8 10. m n (x + y - 2) - m y (x + y - 2)

= (x + 3)

2

Factor común monomio : ________________ Ejemplo 2:


4 2 Factorizar: 25x - 20x + 4


Resolución: 4 2 22 25x - 20x + 4 = (5x ) -

4 3 2 3 2 3 2 7a b (m - n ) + 14a b (m -

11.

2 2 2(5x )(2) + 2

3 5 2 2 3 n ) - a b (m - n )

2 2 = (5x - 2) Factor común monomio : ________________ B. Diferencia de cuadrados A2  B2  ( A  B)(A  B)


•

Ejemplo 1:

Factorizar: 4x2 - 49 Resolución: Transformando a una diferencia de cuadrados 4x2 - 49 = (2x)2 - (7)2


= (2x + 7)(2x - 7) C. Factor común por agrupación de términos

•

Cuando todos los términos de un polinomio no tienen la misma parte literal, se agrupan los términos que

Ejemplo 2:

2 Factorizar (x + 5) - 81 Resolución:

sí la tienen y se hallan los respectivos factores comunes.

2 (x + 5) - 81

2 2 = (x + 5) - 9

= (x + 5 + 9)(x + 5 - 9)

FACTORIZACIÓN II

= (x + 14)(x - 4)

I. IDENTIDADES.- Es la aplicación inmediata de algunos productos notables como: C. Aspa simple

A. Trinomio cuadrado perfecto

Este criterio lo aplicaremos a polinomios de 2do grado de la forma.

A2  2AB  B2  ( A  B)2 A2  2AB  B2  ( A  B)2 •

Ejemplo 1:

Factorizar: x2 + 6x + 9 Resolución: 2 x + 6x + 9 3

2 Ax + Bx + C ; A 0 Desdoblemos en factores los términos cuadráticos e independiente, de tal manera que al multiplicar en aspa (de allí el nombre del criterio) la suma de sus resultados de el término lineal. • Ejemplo 1: 2 Factorizar: x + 7x + 12 Resolución:

2 = x + 2(x)(3) +

2


MATEMATICA 155

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” x 2+ 7x + 12

Ten em o s:

x x

2 16x - 25

3 4

= (4x - 5)(4x + 5) Ahora sumemos los factores primos: (4x - 5) + (4x + 5) = 8x

Multiplicamos en aspa, tenemos por resultado 4x y 3x. Si sumamos ambos resultados tenemos: 4x + 3x = 7x Justamente el término lineal Así que el resultado será:

PROBLEMAS PARA LA CLASE Expresar los trinomios como producto de dos factores.

(x + 3 )(x + 4 )

    

Ejemplo 2: Factorizar: 3x 5x - 2 3x2 - 5x - 2 3x x

- 5x

a) c)

2

2.

Resolución:

a) c)

+1 - 2

Multiplicando aspa y verificando se tiene: - 6x + x

2 x + 8x + 15

1.

N o t a q u e e l r e s u lt a d o c o n s is t e e n e s c r ib i r c a d a lí n e a h o r iz o n t a l d e l d e s d o b la m i e n t o .

•

2 2 = (4x) - 5

3. a)

en

c)

( t é r m in o l in e a l)

4. a)

Así que el resultado es: (3x + 1) (x - 2)

c) 5.

EJERCICIOS RESUELTOS

a) c)

2 1. Factorizar: x + 12x + 36

6. a)

Resolución:

c)

x2 + 12x + 36 = x2 + 2(x)(6) + 62 Es un trinomio cuadrado perfecto = (x + 6)2

7. a)

2 2. Factorizar: 16x - 25 , luego calcular la suma de

c)

sus factores primos. 8.

Resolución:

a)

Transformando a una diferencia de cuadrados

(x + 5)(x + 3) (x + 15)(x + 1) (x + 5)(x - 3) 2 x - 6x - 7 (x - 7)(x - 1) (x + 7)(x - 1) (x - 7)(x + 1)

b)

2 x - 21x + 20 (x - 20)(x + 1) (x - 20)(x - 1) (x + 20)(x + 1)

b)

2 y + 15y + 50 (y + 10)(y + 5) (y + 50)(y + 1) (y + 5)(y - 10)

b)

2 z + 9z + 14 (z + 7)(z - 2) (z + 7)(z + 2) (z + 14)(z + 1)

b)

2 z -z-2 (z - 2)(z - 1) (z + 2)(z - 1) (z - 2)(z + 1)

b)

2 w - 3w - 28 (w - 7)(w + 4) (w + 7)(w - 4) (w - 7)(w - 4)

b)

2 z - 10z - 24 (z - 6)(z + 4) (z - 6)(z - 4)

b)


MATEMATICA 156

b)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” c) 9.

(z - 12)(z + 2) 2 y - 5y - 6 (y - 6)(y + 1) (y - 6)(y - 1) (y + 6)(y - 1)

a) c)

10.

2 x + 9x + 18 (x + 18)(x + 1) (x + 9)(x + 2) (x + 6)(x + 3)

a) c)

a)

b)

c) 19. b)

d) +3 • 18)

b)

2 x (a

(a - 1)(x + y)(x - y) 2 b) (a - 1)(x - y) 2 2 (a + 1)(x - y ) d) 2 (a - 1)(x + y) (a - 1)(2x - 2y)

TAREA DOMICILIARIA 2 1. Factorizar: x - 7x - 8, indicar la suma de factores primos.

Señalar un factor primo. x+1 x+2

2 -1) - y (a - 1) a)

e)

2 11. Factorizar: P(x) = (x + 1) - 2(x + 1) - 3

a)

Factorizar:

c)

2 2 2 Factorizar: a + c - b + 2ac a) (a + c + b)(a + c - b) 2 b) (a + c + b) 2 c) (a + c - b)

11.

2 7x + 4x - 15 (4x - 5)(x + 3) (4x + 3)(x - 5) (4x + 5)(x - 3)

18.

b) x - 1

x-3

e)


c)

x


Ordena y factoriza los trinomios. (de la 13 a la

13. a) c) 14. a) c)

2 3 - 5x + 2x (2x + 3)(x + 1) (2x - 1)(x - 3) (2x - 3)(x - 1)

b)

2 8 - 14x + 3x (3x - 2)(x - 4) (3x - 4)(x - 2) (3x + 2)(x + 4)

b)

2 4. Factorizar: x + 7x + 12, indicar la suma de sus factores Primos. 2 2 5. Factorizar: x - 2ax + a - 1 2 2 6. Factorizar: x - b - x - b 3 7. Factorizar: x - 4x

2 y + 15y - 6 (5y + 3)(3y - 2) b) (5y + 2)(3y - 3) (5y - 3)(3y + 2)

15. a) c)

3 2 8. Factorizar: x + 3x - x - 3 2 9. Factorizar: 3x + 10x + 3 2 10. Factorizar: (x + y) - (x + y) - 2

2 1 + 20a + 12a (10a + 1)(2a + 1) b) (a + 1)(2a + 1) (10a - 1)(a - 2)

6. a) c)

2 2 11. Factorizar: x - 4xy - 5y 2 12. Factorizar: 6x - 11x + 4

2 6x - 21 + 5x (3x - 7)(2x + 3) b) (3x + 7)(2x + 3) (3x + 7)(2x - 3)

17. a) c)

2 13. Factorizar: 3x - x - 2 2 14. Factorizar: 25n + 20n + 4


MATEMATICA 157

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 2 15. Factorizar: 4x - 12x + 9

2 4 2 4 2 P(x; y) = x + x y - y - x y6

2 16. Factorizar: ax + 11ax + 28a

FACTORIZACIÓN III

2 2 17. Factorizar: a - 2ab + b - ac + bc Suma de cubos

2 18. Factorizar: px - p

Ya sabemos que:

2 19. Factorizar: 2b + 5b – 3

3

2 20. Factorizar: a + 10a + 25 2 4 Factorizar: P(x) = x (x - 1) +

21. 4

6 3

2x(x - 1) + (x - 1) 22. Factorizar: 6x

2

2

9 6

Factorizar: a x + b z

4

2n +1

3

a + b = (a + b)(a - ab + b )

Dando forma a una suma de cubos: + 5x

n+1

- 6x

2

3

3 2 3

2

3 2

[a x] + [b z ]

3 2 23. Factorizar: (x - y) - (x - y) - 2(x - y)

El primer factor es: (a x + b z )

Indicando un factor primo.

2

2

2

3 2

3 2 2

El otro factor es: [(a x) - (a x)(b z ) + (b z ) ]

2 2 24. Factorizar: a x + 2abx + b x + a + b

El resultado expresado en factores es:

2 2 25. Factorizar: x - y + xz + yz

2

3 2

4 2

2 3

2

6 4

(a x + b z )[a x - a b xz + b z ]

2 2 2 26. Factorizar: x + 4xy + 4y - z Diferencia de cubos

2 2 27. Factorizar: P(x) = x + 2xy + y + x + y

Ya sabemos que:

28. Factorizar: 2

2

2

2

3

3

2

2

a - b = (a - b)(a + ab + b )

2

(4x - 25)(x + 2xy + y )(x - 2xy + y )(x + y)(x - y)

3 6

9 3

Factorizar: 8b x - 27m y

Dando forma a una diferencia de cubos:

Indique si es verdadero (V) o falso (F)

2 3

3

[2bx ] - [3m y]

I. Al factorizar obtenemos 5 factores primos.

2

3

3

II. Existen 4 factores primos.

El primer factor es: (2bx - 3m y)

III. La suma de todos sus factores primos es 12x.

El otro factor es: [(2bx ) + (2bx )(3m y) +

2 2

3

2

3

2

(3m y) ]

29. Después de factorizar el polinomio 2 4 2 2 2 3x - 3x + y - x y , se obtiene:

El resultado expresado en factores es:

30. Señale el factor primo de mayor grado contenido en:


MATEMATICA 158


3

2 4

3 2

6 2

(2bx - 3m y)[4b x + 6bm x y + 9m y ]

2.

FACTO R IZACIÓ N D E BINO M IO S

3

Factorizar: x + 8 a)

Te n em o s

2

D IFEREN CIA D E CUADRADOS

SUM A DE CUBOS

D IFEREN CIA D E CUBOS

F o rm a

F o rm a

F o rm a

a - b = (a + b )(a - b )

a + b = (a + b )(a - a b + b )

2

3

3

2

2

3

3

2

2

2

a - b = (a - b )(a + ab + b )

3.

9)

b)

d)

e)

Transformando a una suma de cubos y aplicamos: 4.

3

3

2 2 (x - y)(x - xy + y )(z 2 2 (x - y)(x - xy - y )(z

e) - w)

5.

Transformando a una diferencia de cubos y

b) c)

3 3 2 2 a - b = (a - b)(a + ab + b ) 8x3 - 1

=

3

Factorizar: a + 1 a)

aplicamos:

d)

(2x)3 - 13

e)

= (2x - 1)[(2x)2 + (2x)(1) + 12] Efectuando se tiene: = (2x - 1)(4x2 + 2x + 1)

6.

b) c) d) e)

3

a)

c)

e)

7.

2 (a - 1)(a + a + 1) b) 2 (a - 1)(a - a + 1) 2 (a + 1)(a - 1) d) 2 (a - 1)(a + 1) 2 (a + 2a + 1)(a + 1)

2 (a + 1)(a - a + 1) 3 (a + 1) 3 (a + 1) 2 3 (a + a + 1) 2 (a - 1)(a +a + 1)

3

Factorizar: a + 27 a)


2 - xy - y )

2 2 (x - y)(x + xy + y )(z

d) + w)

2. Factorizar: 8x3 - 1 Resolución:

2

2 2 (x + y)(x - xy + y )(z

c) + w)

= (3x + 5)[(3x)2 - (3x)(5) + 52] = (3x + 5)[9x2 - 15x + 25]

+ 2x + 4)

3

(x - y)(x

b) - w)

27x3 + 125 = (3x)3 + 53

3

Factorizar: x z - y z + x w - y w a) (z - w)

3 3 2 2 a + b = (a + b)(a - ab + b )

2 (a + 3)(a - 3a + 9) 3 (a - 3) 2 (a + 3)(a +3a + 9) 3 a - 27 3 (a + 3)

3

Factorizar: 64a - 27

2

a) 9)

(4a - 3)(16a

- 12a +

b)

(4a + 3)

c) 9)

(4a - 3)(16a

d)

(4a + 3)(4a - 3)

3 2

+ 12a + 2


MATEMATICA 159

4)

2 (2x - 3)(4x + 12x + 2 (2x - 3)(4x - 6x + 9) 2 (2x + 3)((4x + 12x + 2 (2x - 3)(4x + 6x + 9) 2 (2x - 3)(4x - 6x - 9)

c)

Resolución:

+

3

Factorizar: 8x - 27 9)

3 1. Factorizar: 27x + 125

2

2

2 (x + 2)(x - 2x + 4)

e)

a)

Factorizar: a - 1

2)(x

(x - 2)(x

d) (x + 2)(x + 2x + 4)

EJEMPLOS

1.

+

b) (x - 2)(x - 2x + 4) c)

2

(x

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” e)

8.

(4a - 3)

13.

3

a)

2 (3x - 1)(9x - x + 1)(x

b)

(3x - 1)(9x

d)

2 3 y (x - y) 2 3 y (x + y)

e)

y(x + y)(x - y)

c)

2 (3x - 1)(3x + 3x + 1)

d)

(3x - 1)(9x

3

2 (x + 1)(x - x + 1)

(x + y)(x - y)(x

2

+y ) b)

(x + y)(x - y)(x

2 +y )

2

2

- xy

d) e)

2 2 2 + y )(x + xy + y )

2

(x + 1)(x + x + 1) 2 (x + 1)(x - x + 1)

+ xy

3

3

3

2

+ 1)(x +

- 3x + 1)


Expresar como producto de tres 3

factores: zx + zy 3

2

2 (3x - 1)(9x + 3x + 1)

e)

2 2 (x + y)(x - y)(x + y ) 22 (x + y)(x - y)(x + y ) 2 (x + y)(x - y)(x - xy

c)

3

2 + 1)(x - x + 1) 2 1)(x - x + 1)

6 6 Factorizar: x - y a)

3

3

Factorizar: (a + b )x + (a + b )y - (a + b )z

2 (a + b)(a - b) (x + y -

a) z)

2.

3 2

3 2

Factorizar: a x - b x

2 2 (a + b)(a - ab + b )(x

b) + y - z) c) (x + y - z)

(a + b)(a

2

2 + ab + b )

3

3

3. Factorizar: x + y + x + y

2 (a + b)(a + b) (x + y -

d) z)

2 (a + b) (a - b)(x + y -

e) z) 3

Factorizar: ax - ay a) b) a(x + y)(x - y)

a(x

2

-

-

y)(x

y)

+

y)

3

a(x

e)

2 2 a(x - y)(x - xy + y )

7.

a)

2 (2x - 1)(4x + 2x + 1)

b)

2 (2x + 1)(4x - 2x + 1)

c)

3 3 (2x - 1) (x - 1)

2 (x - 1)(x + x + 1)

6.

3

Factorizar: 8x - 7x - 1 2 (x + 1)(x - x + 1)

5.

2

c)

6

3

4. Factorizar: yx + y

3

2 2 d) a(x - y)(x + xy + y )

12.

6

Factorizar: 27x + 26x - 1

2 2 y (x - y)(x - xy +

c)

11.

3 (x - 1)

2 2 y (x - y)(x + xy +

b) 2 y )

10.

3 3 (2x + 1) (x + 1) 2 (2x + 1)(4x + 4x + 1)

d) e)

3 2 5 Factorizar: x y - y a) 2 y )

9.

3

8.

3

Factorizar: x + 64y 6

3

6

Factorizar: a + b

3

Factorizar: 8x - 27y

Factorizar: 125 - h

3

3


MATEMATICA 160


9

Factorizar: 27b - c

3

6

22.Al Factorizar (x - 3) + 125 se obtiene 2 factores 2

de la forma: (x + a)(x + bx + c), hallar: "a - b + c" 5

3

2

10. Factorizar: x - 4x + x – 4 2 3

3

3

23.Factorizar: x (x + 8) + 6x(x + 8) + 9(x + 8) 3

3

11. Factorizar: (x + 8)(x - 27) 3

3

3

3

24.Factorizar: (a - b)(a - c ) - (a - c)(a - c ) 6

3

12. Factorizar: x - 9x + 8 3 3

25.Factorizar: a b – 125 6

3

13. Factorizar: 8y + 63y – 8 6 3

26.Factorizar: x y + 8 14.

3

3

Factorizar: 8a + 27b

27.

Factorizar: 8 - (1 - x)

3

3 6

15. Factorizar: x y + 1 28.

16.

3

Factorizar: x - y

3

6

29.

17.

3

Factorizar: (a + b) - 8c

3

2

23

3 3

Factorizar: [x + y ] + 8x y

30.

3

Factorizar: (a - 2b) + (a + 2b) 3 31. Factorizar: (a + b + c) - 1

12

Factorizar: 1000R - 216S

3

Señalar un factor primo. 3

18. Factorizar: 64x – 1

a)

a+b

b)

a

a + c - 1 d)

a

+b+c-1 c) +b+1

3

19. Factorizar: a + 216

20.

3

Factorizar: a + (a + 1)

e)

a+b+c

3 32.Factorizar: m - 1 + m - 1

3

Indicar el número de factores primos. 3

21. Factorizar: (x + 1) – 1

a)

1

b)

d)

4 e)

2 c) 5


MATEMATICA 161

3

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 2 3 33. Factorizar: 8 - (m + p)

6x2  3x  9 7 

Indicar la suma de coeficientes de un factor primo. a)

1

b)

d)

4 e)

2 c)

Regla para simplificar fracciones

3

Debemos Factorizar el numerador y denominador para luego eliminar los factores comunes.

0

*

3 6

34. Factorizar: 64 - x y

Ejemplo: F

a)

xy b)

2

d)

2 2 x y

e) xy

c)8

x x

2 F 

6 3 35. Factorizar: (x + 2) - 9(x + 2) + 8

c)

e) 3x

3

36.

Factorizar: a(a - 1) + a - 1 a) c) e)

2 (a - 1)(a + 1) (a - 1)(a + 1) 2 (a - 1) (a + 1) 3 (a - 1)(a + 1) 3 (a - 1)

d)

B. Para fracciones heterogéneas:

2. Multiplicación En este caso se multiplican numeradores entre si, lo mismo se hace con los denominadores. a c e a.c.e . .  b d f b.d.f ; bdf  0 3. División En este caso se invierte la segunda fracción, luego se efectúa como una multiplicación. También se puede aplicar el producto de extremos entre el producto de medios.

2

x  3x  5 si es fracción algebraica

5 2

2x  3



- 4 - 3

a c ad  bc   b d bd ; bd  0

Fracciones algebraicas.Son divisiones indicadas de polinomios donde por lo menos el denominador es diferente de una constante numérica.

x3  x  2 

(x  3)(x  2) x  2  (x  4)(x  3) x  4

A. Para fracciones homogéneas: Ejemplo: x y z x yz    x2 x2 x2 x2 ; x  - 2

b)

FRACCIONES ALGEBRAICAS

4



1. Adición y sustracción Es preciso dar el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores. Se presentan los siguientes casos:

2x + 2 2x + 3

x2  7x  12

Operaciones con fracciones

2x + 1

d)

- 3 - 2 x2  5x  6

x x

Señalar la suma de factores primos lineales. 2x b)

x2  5x  6

x2  7x  12 ; x  4 x  3 Simplificar: Resolución: Factorizando y simplificando

Señalar un término de un factor primo.

a)

no es fracción algebraica

si es fracción algebraica

a c a d a.d   .  b d b c b.c ; bc 0


MATEMATICA 162

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Teorema Si la fracción: F(x; y) 

2



De I y II: 3 ax2  bxy  cy2 2

2

nx  mxy  py

2 10   n  20 3 n 5 De I y III:

; mnp  0

Piden calcular: m - n = -17

Es independiente de "x" e "y" o tiene un valor constante para todos los valores reales de "x" o "y", entonces se verifica:

EJEMPLOS. 1. Simplificar:

a b c   n m p

 m4  n4     m2  n2   

Demostración:

nx2  mxy  py2

k

 m4  n4  



 m2  n2   

; m ±n

Resolución:

Si la fracción adopta un valor constante:  x; y IR, se tiene: ax2  bxy  cy2

m 1  m 3 6

Descomponiendo el numerador 4 4 2 2 2 2 m - n = (m + n )(m - n )

; mnp  0

Transformando: ax2 + bxy + cy2  knx2 + kmxy + kpy2

 (m  

igualando coeficientes:

a ... () n b b  km  k  ... () m a  kn  k 

b  kp  k 

 n 2 )(m (m

2

2

 n2)

 (m

  

 n2) 

2



 n 2 )(m (m

2

2

 n2)

 n2)

 

Eliminando términos se tiene : 2 2 2 2 (m + n ) - (m - n )

c ... () p

Quitando el paréntesis : 2 2 2 2 m +n -m +n

De (), () y () se tiene : a b c   n m p

2

 2n

l.q.q.d.

Ejemplo: Si la fracción:

2


2x2  (m  1) xy  10y2 3x2  6xy  (n  5) y2

1. Simplificar: ;x0 ; y0 

 x 

es independiente de "x" e "y" Calcular "m - n" Resolución: Utilizando el teorema se tiene:

a)

II

1

b)

x c)

-1

2 m 1 10   3  6 n 5 I

1   1     1  2 x  1   x  x ; x  1  0

d)

2 x e)

-1

III

2. Efectuar:


MATEMATICA 163

x

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA”  x1     2x  2 

a) 1/4 d)

Dar la suma del numerador y denominador de la

 x1     2x  2  ; x  ± 1

fracción resultante.

b) 1/2

c) 0

-1/4

e) -1/2

a) 2x d)

b) 4x - 3

c) 2x - 1

4 e)

5

7. Simplificar:

3. Simplificar:

6x2  7x  3

x3( x  y)  ( x  y) x2y 3

2

x  xy

;x

a)

x b)

d)

x y e)

2

1 3 4x2  8x  3 ; x  2  2 

2  y 0 y

c)

xy

2x  1

3x  1 2x  1

a)

b) 3x  1

c)

2 1

x1 x1

d)

2x  1

e) 3x  1

4. Simplificar: 

  x2  2x  3     x2  2x  1   x2  4x  3     

8. Al simplificar:

x2  1

a)

x b)

; x  ±1  x  - 3 x + 1 c)

(x2  6x  9)( x2  3x  9) (x3  27)( x  3)

x

-1 d)

1

e)

2 x -x+1

5. Reducir: 2x  2   3x  3     2  2  2x  50   x  4x  5  ; x  ±5 ; x  -1 ; x  1 

d)

d)

4 e)

x1

b) x  1

b)

2 c)

3

5

forma simplificada se obtiene: c)

a)

x1 x5 x1 3x  5

1

±1; x  ± 2/3 como una expresión racional en



x 1 x1

a)

 3x  2   3x2  x  2    2    x  1  9x2  4  9. Al escribir el producto ;x



a)

; x  3, se obtiene:

x1 2

b)

2 x 1

1 x1

x1 3 x  15 e)

d)

6. Luego de simplificar: 2x2  7x  3

1 2x  7x  4 ; x  4  - 2

10. Al reducir

2

1 x1

 3x2  x  2    x 4   2  3x     x  

1

e) x  2

; x  4  -  0, se

obtiene:


MATEMATICA 164

c)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” x4 x1

a)

x1 x 4 b)

c)

x1 x 4

a)

x(x  1) x 4

d)

e)

 4 x   x  2  x    2x      11. Al efectuar

x2  25 x5 ; x  5

U

x-5

d)

x e)

; x  0  ±2, se R

2 - x c)

x  2 x 2 2 x

d)

-5x

3. Simplificar:

obtiene: 2x b)

c)

x+5

x( x  4) x1

2

a)

b) 5x

x2  1 2x2  2

a)

2 b)

1

c)

d)

1/2

e) 1/4

0

e) x - 2 4. Simplificar:

1

 a1  b1  

12. Al reducir

T



 a1  b1 

; a  b  0, el resultado

3x2  3x 2x3  2x2

a)

es:

3/X

; x10 b) 3/2X

c)

2/X d) b a b a

a)

b) b + a

3 e)

3/2

c)

b-a b a b a

d) a)

5. Reducir: e) (b + a)(b -

M

a)

TAREA DOMICILIARIA

a)

d) x2  y2 x y ; x  y

x+y

x e)

b)

x - 2 c)

x

x+2

e) -1

6. Simplificar: b) x - y

c)

1 d)

1

+4

1. Simplificar: S

x2  4x  4 x2 ; x2

A

x-1 a)

x2  2xy  y2 x y ; x-y

1

b)

x c)

+y 2. Reducir:

d)

x-y

e) y


MATEMATICA 165

x


11. Efectuar:

7. Reducir: B

2

2

x z

 4a  1    x

b) x  1

c)

1

; a  ±2 ax2  5 b) 2a  1

x a(2a  1)

a)

x xz

c)

1 2

2a  a3 2

x x z

d)

 a3x2  5a2    2a  1  



2

;x±z

x2 x z

a)

 ax2  5   

x2  xz

e)

x xz

1

1 2 a 1 e)

a2 (2a  1)

d)

8. Simplificar: 12. Simplificar:

4x  4 J 2x  2 ; x  - 2

(3x4  2y3) 2  (3x4  2y3)2

a)

0 b)

1

d)

3 e)

4

c)

(2x3  3y4 ) 2  (2x3  3y4 )2 ; xy

2 a)

1

b)

0

x/y c)

y/x d)

y

e)

-1

9. Reducir la expresión: xm 2n  xn  2m 2x  4 ; x -2

a)

m+n

b)

13. Simplificar: m n 2

x2  y2

c)

2

x  y2  ax  ay ; x  y  a  0

1 2

d)

1

e)

x y x y a

a)

2

1 10. Reducir al efectuar:   x2  6x  9    x2  9   2x2  18  

A  

4

 x2  9     2  

x2

a)

d)

x y a

x y x ya

e)

1

MCD Y MCM DE POLINOMIOS

2 b) (x  3)

c)

9 ( x  3)

1 a

; x  ± 3 x2  9

(x  3)2

b)

1

II.MCD y MCM de polinomios

2

El máximo común divisor (MCD) de dos o más d)

1

e) 0

polinomios es el polinomio de mayor grado, que es


MATEMATICA 166

c)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” factor (o divisor) de los polinomios dados.

1.

Para dos polinomios mónicos no nulos A(x) y

B(x) se cumple:

Para hallar el MCD se procede de la forma siguiente:

MCD

(A;

B)

.

MCM(A;B) = A(x) . B(x)

a) Se descompone cada polinomio en un producto de factores primos.

2. Dos o más polinomios son primos entre si, si su MCD es la unidad.

b) El MCD es el producto obtenido al tomar todos los factores comunes elevados a la menor potencia.


Ejemplo: 1. Hallar el MCM de: El MCD de los polinomios

2 A(x) = x - 5x + 4

2 Es: MCD = (x - y) (x + 2y)

2 B(x) = x - 3x + 2

El mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más polinomios es el polinomio de menor grado, de cual es factor (o divisor) de cada uno de los polinomios dados. Para hallar el M.C.M. se procede de la forma siguiente: a)

Se descompone cada polinomio en el

a)

(x - 1)(x - 2)(x - 4)

b)

(x - 1)

c)

(x - 1)(x - 2)

d)

(x - 1)(x + 2)(x + 4)

e)

(x + 1)(x + 2)(x + 4)

producto de factores primos. b)

El MCM es el producto obtenido al

2. Hallar el MCD de

tomar todos los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia.

2 7 8 P=x y z

Ejemplo:

4 3 9 Q=x y z

El MCM de los polinomios:

5 2 10 S=x y z

3 2 2 A = (x - y) (x + 2y) (x + y) B = (x - y) (x + 2y)

a)

5 2 10 b) x y z c)

2 2 8 x y z

3 d)

3

C = (x - y) (x + 2y) (x + y) 3 3 es: MCM = (x - y) (x + 2y) (x + y)

5 7 10 x y z

2 2 10 x y z

5 7 8 e) x y z

3. Hallar el MCM de:

2

4 3 2 P(x) = x - 3x - 4x 5 4 3 Q(x) = x + 2x + x

III. Propiedades


MATEMATICA 167

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 3 2 x (x + 1) (x - 4) b) 3 2 x (x + 1) 2 x (x + 1)(x - 4) d) 2 x (x + 1) 3 x (x + 1)(x - 4)

a) c) e)

7. Hallar el MCM de: 3 2 A(x) = x + x - 9x - 9 2 B(x) = x - 6x + 9 a)

2 (x - 3) (x + 3)(x + 1)

3 2 A(x) = x + x - 9x - 9

b)

(x - 3)

2 B(x) = x - 6x + 9

c)

(x - 3)

d)

(x - 3)(x + 3)(x + 1)

e)

(x - 3)(x + 1)

4.

Hallar el MCD de:

a)

(x - 3)(x - 1)

b)

(x + 3)(x - 1) c)

(x + 1)

e)

d) (x - 3)

2

2

(x - 3)

8. Hallar el MCD de los polinomios: 4 A(x) = x - 1


2 B(x) = x - 4x + 3

2 5 9 P=x y z

a)

d)

5 5 10 R=x y z 2 2 8 x y z

4 7 10 b) x y z c)

c)

5 2 10 x y z

2 x +1

e) x + 3

9. Sean los polinomios:

5 5 10 x y z d)

b) x + 1

x-3

3 2 8 Q=x y z

a)

x-1

A = (x - 1)n-1 p+2 y

2 2 10 e) x y z

B = (x - 1)

n-4 p+4 y

6. Hallar el MCD de: 4 3 2 P(x) = x - 3x - 4x

MCM( A; B)  ( x  1)p yq Si : MCD( A; B) ; calcular "pq"

5 4 3 Q(x) = x + 2x + x

a)

1

d)

6 e)

a)

3 2 x (x + 1)

2 b) x

c)

b)

2 c) 8

4 x d)

x(x + 1)

2

10. Dado los polinomios:

2 e) x (x + 1)


MATEMATICA 168

4

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 3 2 2 A(x) = x + 2nx + n x

2 2 B = a - 2ab + b

2 B(x) = x + 6x + nx + 6n

2 2 C = a + 2ab + b

Hallar: MCM (A; B) a) c) e)

(x + n)(x)(x + 6)

2

2 (x + n) (x)(x + 6)b) (x + n)(x)(x + 6) 2 (x + n) (x + 6) d) 2 (x + n)(x + 6)

5. Dado los polinomios: 4 3 6 A=x y z 5 4 10 B=x y z 6 2 5 C=x y z

TAREA DOMICILIARIA

Indicar:

1. Señale el MCM de: 3 5 5 A = x y (x - 3)

6. Hallar el MCM de los polinomios:

5 4 4 B = x y (x - 3)

3 5 A(x) = (x + 7) (x + 8) (x - 9)

4 7 3 C = x y (x - 3)

4 6 B(x) = (x + 7) (x + 8) (x + 12)

7. Dado los polinomios:

2. El MCD de los polinomios:

3

3 4 5 A=x y z

A(x) = (x + 1)

4 3 7 B=x y z

3 2 B(x) = x + x - x - 1

7 2 6 C=x y z

Indicar el MCM.

8. Hallar el MCD de los polinomios:

3. Hallar el MCD de los siguientes polinomios:

2 P(x) = x +ax + a + x

2

A(x) = x - 8x + 15

2 Q(x) = x - bx - b + x

2 B(x) = x - 5x + 6 2 C(x) = x - 9x + 18

9. Sea: 9 5 6 R=x y z

4. Calcular el MCM de los polinomios:

Q=x

2 2 A=a -b

10 2 12 y z

7 4 8 H=x y z


MATEMATICA 169

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Hallar el MCD. 15. Del problema anterior, hallar MCM (A; B). 10. Dado: 5 2 2 5 7 A = x (2x - 1) (x + x + 1) (x - 1)

16. Hallar el MCM de los polinomios: 2 P(x) = x - 10x + 25

7 6 2 4 B = x (x - 1) (x + x + 1)

7 5 Q(x) = x - 25x

Hallar el MCM.

11. Sea:

17. Del problema anterior, hallar el MCD.

7 4 8 A=x y z B=x


10 2 12 y z

2 A(x) = x - 4

9 5 6 C=x y z

2 B(x) = x - x - 6

Hallar el MCM.

2 C(x) = x + 4x + 4 12. Dado:

OPERACIONES CON FRACCIONES

5 7 2 24 A(x; y) = (2x - 3y) (x + y) (x + y ) (x - y) 2 26 8 B(x; y) = (x + y ) (2x - 3y) (x - y)

Las reglas para el cálculo con fracciones algebraicas son las mismas que las correspondientes de las fracciones en aritmética. Una de las fundamentales es: El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen, el numerador y el denominador por una misma cantidad, siempre que ésta cantidad sea distinta de cero. En estas condiciones las fracciones se llaman equivalentes.

Hallar el MCM.

13. Hallar el MCD de: 2 A(x) = x - 4

Por ejemplo, si se multiplica el numerador y x 2 denominador de x  3 por (x - 1), se obtiene la

2 B(x) = x - x - 6 2 C(x) = x + 4x + 4

(x  2)(x  1) x2  x  2  2 equivalente (x  3)(x  1) x  4x  3 ,

fracción siempre que (x - 1) sea distinto de cero, es decir, x1.

14. Hallar el MCD de los polinomios: 3 2 2 3 A(x; y) = x - xy + x y - y 3 2 2 3 B(x; y) = x - xy - x y + y


MATEMATICA 170

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” A.

x2  3x  2 2

Análogamente, la fracción x  4x  3

La suma algebraica de

fracciones que tiene el mismo denominador es otra

se puede

fracción cuyo numerador es la suma algebraica de los

(x  2)(x  1) expresar por ( x  3)(x  1) y dividir, entonces, su

numeradores de las fracciones dadas, y cuyo denominador es el denominador común.

numerador y denominador por (x + 1), siempre que (x + 1) sea distinto de cero, o bien, x1, obteniéndose

Ejemplos:

x2 x  3 . La operación de dividir por un factor común

3 4 2 1 3 4  21  2 2       5 5 5 5 5 5 5

al numerador y denominador recibe el nombre de simplificación y se indica tachando el factor común;

(x  2)(x  1) x  2  ( x  3 ) ( x  1 ) x  3 por ejemplo:

2 3x  4 x2  5 2  (3x  4)  (x2  5) x2  3x  3     x3 x3 x3 x3 x3

Simplificar una fracción es transformarla en otra equivalente cuyo numerador y denominador no tengan más factores comunes que la unidad. La fracción que resulta es irreductible. Esta reducción se lleva a cabo descomponiendo en factores el numerador y el denominador, simplificando, seguidamente, los factores comunes siempre que sean distintos de cero.

B.

otras equivalentes que tengan un denominador común. El denominador común de varias fracciones es el mínimo común múltiplo (MCM) de sus denominadores.

3 4 7 ; ; Por ejemplo: 4 5 10 el M.C.M. de 4; 5; 10 es 20. 2 3 x ; ; x2 2x 7 el M.C.M de x2 ; 2x ; 7 es Además:

Ejemplo:

x 2  4 xy  3y 2 x2  y

2



(x  3y)(x  y) x  3 y  (x  y)(x  y) x  y

Siempre que: (x - y)  0

14x2. Ejemplos:

í x y

*

2 x2



3 x 2(14)  3(7x)  x(2x2) 28  21x  2x3    2x 7 14x2 14x2

*

2x  1 3 (2x  1)(x  1)  3x 2x2  4x  1    x( x  2) ( x  2)(x  1) x( x  2)(x  1) x( x  2)(x  1)

Ejemplos:

a a  b b

3 4 7 15 16 14 15  16  14 13        4 5 10 20 20 20 20 20

*

Tres signos están asociados a una fracción: el correspondiente al numerador, al denominador y el de la fracción. Se pueden alterar dos cualesquiera de ellos, simultáneamente, sin que varíe el valor de la fracción. Si a una fracción no se le antepone signo alguno, se sobreentiende que éste es positivo (+).

a a a   b b b

Para sumar y restar fracciones

de distinto denominador, se transforman éstas en

a   a    b  b

 

C.

El producto de dos o más

fracciones es otra fracción cuyo numerador es el

a  a    a      b  b  b 

 

producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores. Ejemplos:

Muchas veces la simplificación consiste en un cambio de signo.

*

Ejemplo:

x2  3x  2 (x  2)(x  1) (x  2)(x  1) x  1     1 x 2 x 2 x  (x  2) 1

2 4 15 2.4.15 1 . .   3 5 16 3.5.16 2

*



x2  9 

(x  3)(x  3) x  5  x  5 .     (x  5)(x  1) x  3  x  6x  5  x  3 

2


MATEMATICA 171


D.

1 x b)

x c)

-x e)

0

a)

(x  3)(x  3)(x  5) x  3   (x  5)(x  1)(x  3) x 1

-

1 x

El Cociente de dos fracciones es

d)

otra fracción que se obtiene multiplicando la fracción dividendo (o fracción numerador) por el recíproco de la fracción divisor (o fracción denominador).

M

Ejemplos:

*

4. Reducir:

3 3 4 3 5 15  ó 8  .  4 8 5 8 4 32 5

a)

*

7 2

x 4



xy 7 x 2 7  .  x  2 (x  2)(x  2) xy xy( x  2)

x2  2x 2

x  6x  9



9  2x 2

x  9  6x ; x  3

x3 x 3

b) 1 c)

3 x e)

x 3

x 3 x3

d)

PROBLEMAS PARA LA CLASE 3x  7 2x  5 1  5x   x x x ;x0 5. Reducir:

1. Simplificar:

x  7 2x  3 2x  1   ; x0 5x 5x 5x a)

1

b)

2 c)

x1 x

5x  1 5x

d)

x e) x  1

4 b)

d)

3. Reducir:

A

2 x c)

d)

4 x e)

5 x

3 x

a)

0 b)

-1 c)

d)

-3 e)

-4

-2

x c)

x1 x

5x  1 5x

1 x b)

z x a b  6. Simplificar: x  z b  a ; x  z ; a  b

x  3 2x  4 x  7   x x x ;x0 2. Reducir: a)

a)

(x  5)(y  8) 7. Simplificar: (8  y)(5  x) ; x  5 ; y  8

x e) x  1

a)

1

b)

d)

4 e)

2 c) 5

x 2 5 4 x   x x x ;x0


MATEMATICA 172

3

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 

8. Efectuar:

xy   x  x  y    x  xy   x  y 

2

 x  y    x  y

a)

a)

4 b)

3 c)

d)

1

0

e)

d)

14. Reducir:

2 9. Simplificar: x  3x  10 ; x  - 2 ; x  5

x7 x2

x2 b) x  7

0 e)

1

c)

1 d)

b)

4

x7 x2

2

c)

a

2 c)

3

e)

5

1. Efectuar:

m2  n2 m 2 mn 10. Si: n , calcular:

d)

a

TAREA DOMICILIARIA

2 7 e)

a) 1/2

b)

x  6 x  6 2x  3   5 5 5

K

a)

7 2

d)

a

-1

2

x2  2x  35

a)

2

a  6a  9 a  9  a 3 a 3 ; a  - 3 ; a  3 13. Reducir:

A

b) 3/2

x 1  x 1 x 1

c) 5/2

7/2

2. Calcular:

e) 9/2

x  3 x  4 2x  7   x x x

x 1  x  1 x 1 ; x  - 1 11. Reducir: a)

0 b)

1

d)

3 e)

4

c)

3. Efectuar:

2

A

x  2 x  3 5  2x   y y 12. Efectuar: y ; y0

a)

12 y

10 b) y

4. Efectuar:

A

c)

11 y

d)

3 e)

x2  3 7  x2 8   x2 x2 x2

x2  1 1  x2



a2  b b  a2

5. Reducir:

9  2x

4

x2  6x  9



x2  2x x2  6x  9


MATEMATICA 173

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 6. Efectuar:

14. Reducir: 3x  2 7 2x  1   x 6 x6 x6

x1 x1  x 1 x1

15. Reducir:

7. Efectuar:

3x2  x  2

x y z w y z x w  x y z x yz

x2  1

8. Reducir:

16. Reducir:

6x2  5x  6 2

2x  5x  3



a

4x2  17x  4

a2  x2

2

4x  3x  1



x a2  x2

17. Sumar:

9. Simplificar:

x a x

x y ; x y y x

a a  x y

18. Reducir:

10. Reducir:

 x  1   x  1   

3x  3  2  2x 

2x 3x 4x x    3y 4y y 2y

; x  1; 1

19. Reducir: 11. Efectuar:

2x x  y x  y   3y 6y 9y



 5 

1   4x  4    1  x   5x  6  4  h h  8 2h  3 ; ; 8h 6h 20.Sumar: 4h

12. Simplifique: x6  x3y3

12m  5n 3m  2n 8 2 21. De restar

x4  x3y

13. Reducir: x2 2

x  xy  2x  2y



xy

ax  12 ax 3 22.De 2 restar

x2  xy  2x  2y


MATEMATICA 174

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” número finito de soluciones. Las ecuaciones con varias incógnitas, sin embargo, suelen tener infinitas soluciones; por ello, estas ecuaciones interesa estudiarlas cuando forman sistemas de

ab  c ab  c 2 ab 23. De restar 4ab

ecuaciones. Las ecuaciones con una incógnita pueden ser de distintos tipos: polinómicas, racionales, exponenciales.

• Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0, donde 3 2 P(x) es un polinomio en "x": 3x - 5x + 3x + 2 = 0; es una ecuación polinómica. • Las ecuaciones polinómicas de primer grado, ax + b = 0, se llaman ecuaciones lineales. 5x + 7 = 3 es lineal 2 2 y también lo es (x - 5) + 3 = x - 1 porque al desarrollar y simplificar se obtiene -10x + 29 =0 • Las ecuaciones 2 polinómicas de segundo grado, ax + bx + c = 0, se llaman cuadráticas. Son ecuaciones de 2 este tipo: x - 5x + 3 = 0 • Las ecuaciones irracionales, son aquellas en las que la incógnita está bajo un signo radical, como:

24. Reducir: 3 4 5   x  2 x  2 x2  4

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 1. ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnitas. Es decir, es una igualdad entre expresiones algebraicas. Se llama solución de una ecuación a un valor de la incógnita, o a un conjunto de valores de la incógnitas, para los cuales se verifica la igualdad. Una ecuación puede tener una, ninguna o varias soluciones.

x  1  3x  2  5 • Las ecuaciones fraccionarias, son ecuaciones en las que aparecen cocientes de polinomios, por ejemplo:

Ejemplo 1: 3x - 7 = x + 1 es una ecuación con una incógnita. Tiene una única solución: x = 4 2 2 Ejemplo 2: x + y + 5 = 0 es una ecuación con dos

3 2x   x1 x1 x 3

incógnitas sin solución, pues la suma de dos

• En las ecuaciones exponenciales, la incógnita está en un x x+1 exponente: 2 + 4 - 18 = 0

cuadrados es un número positivo a partir del cual no se puede obtener "0" sumándoles 5. Ejemplo 3: 2x + 3y = 15 es una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones algunas

3.

de las cuales son x = 0, y = 5; x = 3 , y = 3 .

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Resolver una ecuación es hallar su solución o soluciones, o bien concluir que no tiene solución. Para resolver una ecuación, se pasa a otra

Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de solución. Así, la ecuación 3x - 7 = x + 1 es equivalente a 2x - 8 = 0 porque ambas tienen como solución única x = 4.

equivalente que sea más sencilla. Así, mediante una serie de pasos sucesivos se llega a una última ecuación del tipo x = s en la que la incógnita está despejada (es decir, aislada en el primer miembro), con lo que la solución es evidente.

2. TIPOS DE ECUACIONES Las ecuaciones con una incógnita suelen tener un


MATEMATICA 175

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 2 Por ejemplo, la ecuación 2x + 5x - 3 = 0 de

Por ejemplo, para resolver la ecuación: 5x - 6 =

coeficientes a = 2, b = 5; c = -3, se resuelve por

3x + 12 se procede como se explica a

propiedad general así:

continuación.

2

Pasar los términos en "x" al primer miembro y los

x

números al segundo miembro, con lo que queda:

5  5  4(2)(3) 5  7  2(2) 4

Hay dos soluciones:

5x - 3x = 12 + 6

x1 

1 ; x2  3 2

Y simplificando, 2x = 18 Para despejar la "x" se divide por 2 en ambos miembros. x

Finalmente se puede resolver Factorizando:

18 9 2

La solución es, evidentemente, x = 9. 2x2 + 5x - 3 = 0

Sin embargo, hay tipos de ecuaciones para cuya resolución se requieren técnicas especiales. Es el caso, por ejemplo, de las ecuaciones cuadráticas.

3.1 Resolución de ecuaciones cuadráticas

2x

-1

x

+3

(2x - 1) (x + 3) = 0 2x - 1 = 0 x =

1 2

x + 3 = 0 x = -3


La expresión general de una ecuación cuadrática (polinomio de segundo grado) es: 2

Para resolverla se aplica: ax + bx + c = 0

Resolver las ecuaciones ;

donde: a0 1. Factorización 2. Propiedad general (x - 1)(x - 5) = 0

AB = 0  A = 0  B = 0 x

(x

Igualando cada factor a cero :

 b  b2  4ac 2a

x - 1 = 0  x - 5 = 0 x=1

 x = 5

Luego el conjunto solución es : C.S. {1; 5}

C.S

Obs.: También se puede resolver completando

(x - 7)(x - 9) = 0

trinomio cuadrado perfecto.

(3


MATEMATICA 176

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” C.S. ={ _________ }

2 2. Dada la ecuación: x - 7x - 8 = 0, hallar sus

(x + 4)(4x - 2) = 0

raíces.

C.S. ={ _________ }

2 3. Resolver: x - 9x + 18 = 0, indicar la mayor raíz.

(2x + 1)(x + 3) = 0 C.S. ={ _________ }

2 4. Resolver: x - 5x - 6 = 0, indicar la menor raíz.

(4x - 1)(x - 6) = 0 C.S. ={ _________ }

2 5. Resolver: x - 5x = 0

Resolver cada una de las ecuaciones empleando la factorización

2

x

2 6. Resolver: 2x - 12x = 0

+ 3x + 2 = 0

x x

2 7. Hallar la suma de raíces de la ecuación: x - 25 =

2 1

0

(x + 2)(x + 1) = 0 Igualando cada factor a cero

2 8. Dada la ecuación: x - 49 = 0, indicar sus raíces.

x+2=0 x+1=0 x = -2  x = -1

9. Resolver: (x - 1)(x - 5) = -3

x2 - x - 6 = 0 2 10. Resolver: 10x - 23x + 12 = 0

2x2 - 5x + 2 = 0 2 11. Resolver la ecuación: 16x - 25 = 0, hallar la suma

5x2 + x - 6 = 0

de sus raíces.

TAREA DOMICILIARIA

2 2 2 12. Resolver la ecuación: x - 7ax + (12a - ab - b ) = 0

2 1. Resolver la ecuación: x + 11x + 30 = 0


MATEMATICA 177

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 2 13. Resolver: a +9a + 18 = 0

2 25.Resuelva la ecuación: (x + 1) = 9

2 14. Indicar las raíces de: x - 36 = 0

26.

2 15. Resuelva: x - 7x + 12 = 0, indicar la suma de

27.

Indicar las raíces de: 9(2 - x) = 2x

2

2 2 2 Resolver: x = (x - 9) + (x - 8)

raíces. 28. 2 16. Indicar la menor solución de: 2x + 3x - 5 = 0

17.

2

Despejar el valor de "t".

2 2 2 Resolver: x = (x - 1) + (x - 8)

18.

Dada la ecuación: h = a + vt - 16t

29.El doble del cuadrado de un número, sumándole 6,

Indicar la mayor solución al

da siete veces el número, ¿cuál es éste?

2

resolver: x - 8x + 10 = 0 30.Dada la ecuación: 2 19. Resolver: 3x - 10x + 5 = 0 T

20.

22R2 22RH  7 31 , despejar "R"

Indicar la menor solución al 31.

2 resolver: 2x + 11x - 23 = 0

Un número natural elevado al

cuadrado equivale al mismo aumentando en 30, ¿qué número es?

2 2 21. Resolver: (x - 3) + x = (x + 4)(x - 2) + 2

2 22. Resolver: 7x + 40x - 12 = 0 indicar sus raíces.

a)

4 b)

5 c)

d)

7 e)

8

32.

6


enteros consecutivos es igual al cuadrado del número menor, aumentado en 9, hallar el mayor sabiendo 2

además que es positivo.

23. Resolver: 2x - 3x - 5 = 0

2 24. Resolver: 3x + 5x - 2 = 0

a)

6 b)

7 c)

d)

9 e)

10

MANEJO DE FÓRMULAS 2do Grado de Secundaria

MATEMATICA 178

8

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Debemos llevar todos los términos a un lado de la igualdad y en el otro lado dejar simplemente un cero. Una vez realizado esto debemos elegir un método de factorización adecuado. Veamos un ejemplo: • Resolver: 8x2 - 16x = 2x + 5

ECUACIONES CUADRÁTICAS Veamos las siguientes ecuaciones: 7x2 + 5x - 24 = 0 x2 + 5x = -85 13x2 = 7

Resolución: Llevando todos los términos a un lado de la igualdad: 8x2 - 16x - 2x - 5 = 0

4x2 - 8x = 0

reduciendo términos semejantes: 8x2 - 18x - 5 = 0

Las ecuaciones anteriores tienen a la incógnita elevada al cuadrado (exponente 2) en alguno de sus términos, entonces todos ellos son ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas.

empleando el aspa simple tenemos:

8 x2 - 18x - 5 = 0

En general, una ecuación cuadrática tiene la forma: ;a0

•

ecuaciones

son números reales, además "x" es la incógnita, entonces para hallar directamente las raíces podemos aplicar la fórmula:

4x2 = b2 - a2 pasamos el 4 a dividir:

b2  a2 x  4

x =

2

Extraemos la raíz cuadrada para eliminar el exponente de "x":

2

B. Resolución factorización

b a 2

b2  a2 4

de

2

ó

x 

ecuaciones

b - 4ac 2a

Resolución: Dando forma a la ecuación cuadrática: (2L)x2 + (5L)x + (-1) = 0 a = 2L b = 5L c = -1

b2  a2 2

cuadráticas

- b ±

Ejemplo: Despejar "x" en la ecuación cuadrática. 2Lx2 + 5Lx - 1 = 0

hay dos respuestas una positiva y la otra raíz negativa.

x

-5

C. Fórmula general para la resolución de ecuaciones cuadráticas Habíamos dicho que una ecuación cuadrática tiene la forma: ax2 + bx + c = 0 (a  0) donde "a"; "b" y "c"

cuadráticas

Resolver: 4x2 + a2 = b2, siendo: b > a Resolución: pasando a2 al otro lado de la igualdad:

x

2x

igualamos cada uno de los factores a cero: 4x + 1 = 0  2x - 5 = 0 1 5 x  x 4 2  

Una ecuación cuadrática tiene, por lo general, dos respuestas o raíces, que cumplirán las condiciones mismas de la ecuación. de

1

Verificamos que la suma o diferencia de los productos cruzados cumpla con la condición de ser igual al segundo término, es decir, igual a -18x. Procedemos a colocar los factores: (4x + 1) (2x - 5) = 0

Donde "a", "b" y "c" son números reales; "x" es la incógnita.

A. Resolución incompletas

4x

Utilizando la fórmula general:

por


MATEMATICA 179

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” x

x

Si multiplicamos las raíces.

 (5L)  (5L) 2  4(2L)(1) 2(2L)

x1 

25L2  8L

 5L 

 b  b2  4ac 2a

 b  b2  4ac 2a ; obtenemos:    2   b  b  4ac    b  b2  4ac x1.x2     2a 2a       x2 

4L Hay dos respuestas: 2

2

5L  25L  8L 5L  25L  8L ó 4L 4L

x1.x2 

• Ejemplo: Despejar "x" en: x2 - px - 2q = 0 Resolución:

(1 )x2 + (-p )x + (-2q ) = 0 a

b

x1.x2 



    

(b) 2  ( b2  4ac ) 2 (2a)(2a)

b2  (b2  4ac) 2

4a

c

x1 . x2 =

Utilizando la fórmula general tendremos: x

y



4ac 4a2

c a

 (p)  (p)2  4(1)(2q) 2(1) x


 (p)  (p)2  4(1)(2q) 2(1)

1. Dada la ecuación: x2 - a = 0; despejar "x".

D. Propiedad de las raíces I. Suma de las raíces Al resolver la ecuación: ax2 +bx + c = 0 (a  0) tenemos por raíces a: x1 

 b  b2  4ac 2a

x2 

 b  b2  4ac 2a

b)  a e) -a

a a) d) a

c) 

a

c) 

3

2. De: 3x2 - 5 = 4 ; despejar "x". b)  3 e) ± 3

3 a) d) 3

3. De: ax2 + 5b = 6b; despejar "x". b b   a a a) b) c)

sumandos estas dos raíces tenemos:  b  b2  4ac  b  b2  4ac  2a 2a eliminando las raíces opuestas tenemos: 2b x1  x2  2a • Ejemplo: Hallar la suma de las raíces de la ecuación: 2x2 - 5x - 1 = 0 x1  x2 

d)



b a

e)



b a

b a

4. De: mx2 + p = q; despeje "x". a) d)

Resolución: La ecuación es de la forma: ax2 + bx + c = 0 (a  0)

donde: a = 2; b = -5; c = -1 reemplazando "a" y "b" en la fórmula: b x1  x2  a tenemos:



q pm



q p m

5. De la fórmula: m.n.a F a)

(5) 5 x1  x2   2 2

d)



b)

p q m

q p m

c)

q p m e) F

mna d2 , despejar "d".

F m . n.a b)

m.n.a F2



e)



c)



F m.n.a

m.n.a F

II.Producto de las raíces


MATEMATICA 180

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” P

determinar el valor del producto de raíces.

kbh2 2

L 6. De la fórmula: , h despejar " L " siendo: L  0

a) d)



Pk b



P kb

b)  e)



a)

d) 3

c)  kb

kbP kb P

c)

2

b)

3. De la fórmula: V = h(R2 - r2) (volumen de un cilindro hueco), despejar "r".

2

d)

 p  p  q2 2

e)

8. De la ecuación: A = x(25 - x), a)

25  625  4A 2

c)

25  4A  625 2

e)

25  4  A 625

b)

4. De la fórmula: 0

despejar "x".  25  625  4A 2

1  1  2y  2y2

b)

 1  1  4y  4y2

6. De la ecuación: x2 - bx - b2 = 0, despejar "x".

 1  1  4y  y2

7. De la ecuación: h = a + vt - 16t2, despejar "t".

4

d)

8. De la ecuación: a x  b x , despejar "x".

2

1  1  4y  4y 2

e)

9. Dada la ecuación: 1 x  a x , despejar "x".

10. De la ecuación: (2 - t)2 + (1 - t)2 = d, despejar "t".  6

a) c)

6  4  8d 4 b)

 6   4  8d 4 6

e)

4  8d 4

6

d)

PLd2 D , despejar "d", siendo: D

r

1  1  4y  4y2

2

c)

T

L2  h2 2h , 5. De la ecuación: despejar "h", siendo: h  0

25  4  625A 2 d)

9. De la ecuación: x2 - x + (y + y2) = 0, despejar "x" a)

e) -5

2. Despejar "x" de: x(x + b) = x2 - mn

 p  p  4q

2

-

1. El volumen de un cilindro esta dado por la fórmula: V = r2h, despejar "r".

 p  p2  4q

4q  p2

 p

2

TAREA

 p  p2  4q 2

-1 4 c)

1

7. Dada la ecuación: x2 + px + q = 0, despejar "x". a)

-1 8 b)

10. Despejar "x" de: (m - n)x2 - nx - 2m = 0 siendo: m  n

 4  8d 4

11. Despejar "x" de: 2x2 + 5mx + m2 = 0 siendo: m > 0

 4  8d 4

11. Si la suma de raíces de la ecuación:

12. Despejar "y" de: 3y2 + ay - a2 = 0 siendo: a > 0

2 (3p - 2)x + 7x - (p - 3) = 0, es

13. Calcular la suma y producto de las raíces de la ecuación:

14


MATEMATICA 181

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 2x2 - 4x + 1 = 0 Hallar el valor de:

14. Luego de resolver la ecuación: (x + 1)2 + 2x = 3x(x + 1) + 5

1 1  x1 x2

Hallar la suma de raíces. 15. Calcular la suma de raíces de la ecuación: x2 + 2x = - 5 16. Indicar el producto de las raíces de la ecuación: 2x(x - 5) = x + 3 17. En la ecuación: x2 + 6x + a = 0 Hallar "a", si una raíz de la ecuación es -2.

GEOMETRÍA

18. Calcular "m" en la ecuación: (m + 1)x2 - (m + 8)x + 10 = 0, m  -1 9 2 si la suma de raíces es .

NOCIONES PRELIMINARES

19. Resolver la ecuación: x2 - 7x + 11 = 0. Dar como respuesta el producto de raíces entre la suma de dichas raíces.

Elementos geométricos Son las ideas geométricas que no tienen medida.

20. Determinar el valor de "p" en la ecuación: x2 - px + 36 = 0

A. El Punto Es la idea geométrica más pequeña. La marca de un

siendo "x1" y "x2" sus raíces, además: 1 1 5   x1 x2 12

nos dan la idea de punto. Se nombra con una letra

lápiz, un grano de azúcar, un residuo de tiza, etc., mayúscula.

21. Hallar la suma de raíces de la ecuación: 7x2 - 11x + 4 = 0

A

22. Luego de resolver la siguiente ecuación: (x - 1)2 + 2x = 3x(x + 1) - 5

P u n to M

ilimitadamente nos representa una recta. Se nombra

23. Si se tiene la ecuación: x2 + 8 - 5x = 5 + 3x donde "x1" y "x2" son raíces de la ecuación, hallar:

M

B. La Recta Los puntos sucesivos en una misma dirección e

El producto de raíces es:

R

P u n to A

con una letra minúscula.

1 1  x1 x2

l

24. Si "x1" y "x2" son las raíces de la ecuación: x2 - 3x + 1 = 0 Calcular el valor de:

R e cta

x1 x22 + x12 x2

C.

l

El Plano

Es la idea geométrica obtenida a partir de la mayoría de superficies. Todo plano puede obtener

25. Si "x1" y "x2" son las raíces de la ecuación:

completamente figuras geométricas. Se le nombra con una letra mayúscula.

2x2 - 3x + 4 = 0


MATEMATICA 182

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” a) d)

8 b) 12

e)

5 c)

6

10

Plano R

TAREA DOMICILIARIA PRACTIQUEMOS 1.

5. Graficar tres rectas que pasen por el punto “A”.

¿Cuántas rectas se pueden

trazar que pasen por “A”, “B” y “C”?

B A •

C

A a) 2

b) 3

c) 4

d)

5 e)

6 6. Graficar las rectas que pasen por los puntos mostrados, y responde cuántas rectas hay.

2. ¿Cuántas rectas se pueden trazar por “A”, “B”, “C” y “D”? B

A

•

B

C

D

• C a)

3 b)

8 c)

d)

5 e)

6

4

A•

7. Graficar las rectas que pasen por los puntos “P”, “Q”, “R” y “S”, y responde cuántas rectas hay.

3. ¿Cuántas rectas se pueden trazar por los puntos: “A”, “B”, “C”, “D” y “E”?

Q B

C

• A

D E

• S


MATEMATICA 183


P

•

•

R

8. Graficar las rectas que pasen por los puntos

“P” y “Q” son planos paralelos (P // Q)

mostrados y dar el número de rectas.

Planos secantes

Son aquellas que tienen una recta en común. A •

F

•

l

B•

•E

•

• C

D “R” y “Q” son planos secantes es la intersección entre “R” y “Q”

IDENTIFICACIÓN DE LOS ELEMENTOS GEOMÉTRICOS

Partes de una recta a.

Rayo.- Es la parte de una recta que tiene un punto de origen y es ilimitado en un sólo sentido.

Rectas paralelas

Dos rectas paralelas son aquellas que no tienen punto de corte.

a

b a e s p a r a l e la a b ( a / / b ) Rectas secantes Dos rectas son secantes si tienen un punto en común.

m P n m y n s o n se c a n te s “ P ” e s e l p u n t o d e in t e r s e c c i ó n

Planos paralelos

Son aquellos que no tienen ni un punto en común. b.

Segmento de recta.- Es la

porción de línea recta que tiene por extremos a dos


MATEMATICA 184

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” puntos. Su medida se expresa en unidades de

4.

longitud.

puntos de corte entre un triángulo y una

Hallar el máximo número de

circunferencia.

24 cm A

B

AB = 24 cm Segmento AB:

a)

6 b)

4 c)

d)

8 e)

10

5.

N

9


puntos de corte entre dos rectas secantes y un triángulo.

36 cm

M

a)

3 b)

4 c)

d)

6 e)

7

5

MN = 36 cm Segmento MN: M N

6.


puntos de corte entre cinco rectas paralelas y cuatro rectas secantes.

PRACTIQUEMOS . 1.


7.

puntos de corte entre tres rectas secantes y una circunferencia. a)

6 b)

7 c)

d)

9 e)

11


puntos de corte entre seis rectas secantes. 8 8.


puntos de corte entre cinco circunferencias secantes.

2.


puntos de corte entre cinco rectas paralelas y una

9.

circunferencia.


puntos de corte entre dos triángulos y una

a)

6 b)

8 c)

d)

12 e)

14

circunferencia.

10

10. 3.

Hallar el máximo número de puntos de corte

entre un triángulo, un cuadrilátero y una


circunferencia.

puntos de corte entre ocho rectas paralelas y una

TAREA DOMICILIARIA

circunferencia. a)

12 b)

16 c)

d)

20 e)

22

1. ¿Cuántos puntos de corte hay en el gráfico?

18


MATEMATICA 185


2.

¿Cuántos puntos de corte hay?

10. ¿Cuántos puntos de corte hay entre el triángulo, la circunferencia y las dos rectas paralelas?

B

A

3.


OPERACIONES CON SEGMENTOS DE RECTA

puntos de corte de cuatro rectas secantes.

4.

C


Puntos colineales

puntos de corte de tres rectas paralelas y dos

Son puntos que pertenecen a una línea recta.

rectas secantes.

L A

5.


circunferencia.


puntos de corte entre seis rectas paralelas y un

B

triángulo.

A 7.

C

“A”, “B” y “C” son puntos colineales porque pertenecen a L y se pueden contar tres segmentos de recta. Segmentos consecutivos Son segmentos que tienen un extremo común y son de 2 tipos:

puntos de corte entre cinco rectas paralelas y una

6.

B

C


puntos de corte entre tres rectas secantes y un

B

C

triángulo.

A

8.

D

Hallar el número máximo de

N o c o l in e a l e s

puntos de corte entre un cuadrilátero y una circunferencia.

A A

9. ¿Cuántos puntos de corte hay?

B

B

C

C

D

C o li n e a le s


MATEMATICA 186

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” PRACTRIQUEMOS

Suma y resta entre longitudes de segmentos consecutivos y colineales 8 cm E

1.

1 4 cm

F H EH = 8 + 14 = 22 cm

12 cm

Q

P

A

R

36 cm P Q = 36 - 12 = 2 4 cm

A

6 cm

10 cm

B

14 cm

C

13 cm

L

7 cm

E

D

I.

N y

4.

AN = x - y

segmento de recta.- Es el punto que pertenece al segmento y lo divide en medidas iguales. 5.

26 cm M 1 3 cm

B 13 cm

“ M ” e s p u n t o m e d io d e A B

P

a

Q

b)



=

(

)

( (

) )

. Si: AB = 10, BD = 24 y ¿“C” es ?

B

a

Halle el valor de m “C” es punto medio de a) 1 b) 2 B A c) 3 d) 4 e) 5

Punto medio de un

A

)

C

D

Q

x

II.

(

punto medio de a) 2 b) 3 c) 5 A d) 7 e) 8

P

N

=

Hallar m

MP = a + b A



3.

b

M

a)

De acuerdo a la figura. Calcule “BC”. AD = 10, AC = 8 y BD = 6 a) 2 b) 4 c) 6 C A D B d) 8 e) 10

J

LE = 23 - (13 + 7) LE = 3 cm

a

C

2.

23 cm

Observación:

B

c)  =B d) AB + BC = AC

A D = 6 + 10 + 14 = 30 cm A

De acuerdo a la figura, indicar si es verdadero (V) o falso (F) lo que a continuación se menciona.

R

. Si: AB = 14, BD = 18 y .

C

Relacione de manera adecuada lo que a continuación se menciona  El postulado de la reunión, indica que el……es igual a la suma de las…………………………………………  Dos segmentos son…………………………………….. si tienen la misma longitud.  La mínima distancia entre …………………….........es la longitud del segmento que los une.  Si : AB PQ, entonces la expresión, AB  PQ es mayor que ……………………………………

“ Q ” e s p u n to m e d io d e P R


MATEMATICA 187

D


7.

8.

9.

Si: A, B, C y D son puntos colineales. Halle el valor de “BC” cuando AC = BD = 3 y AD = 5 a) 1 b) 2 c) 3 d) 0,5 e) 1,5

 

Halle el valor de “BC”. Si AD = 12, AC = 10 y BD = 9 a) 5 b) 4 c) 6 B D A C d) 8 e) 7 Halle el valor de “x”. Si : PR = 30 a) 8 b) 20 x x c) 10 P Q d) 15 e) 6

2.

+ R

Calcule el valor de “” en la siguiente figura, Si : AB = 12 a) 2 b) 4   c) 6 d) 8 A B M e) 10

11. Del problema anterior, halle el valor de: CD – BC a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A. 12. De la figura, encuentre el valor de : QR – PQ a) 5 b) 10 x x+ c) 15 P Q R d) 20 e) F.D.

De acuerdo a la figura indicar. Si es verdadero (V) o falso (F) lo que a continuación se menciona.

Q

) )

=

(

)

(

)









R

=

De la figura, indique el valor de “BC”

12 A

B 10

D

C 15

3.

De la figura, halle la longitud del menor segmento. Si : AC = 10 a) 2 b) 2,5 x+ x c) 3 A B C d) 3,5 e) 4

4.

Halle el valor de la longitud del menor segmento. Si : AD = 27 a) 9 b) 8 x-1 x+ x c) 7 D A B C d) 6 e) 5

5.

Calcule la mínima distancia entre los puntos “A” y “D”. a) 5 b) 10 5– 3+x 2+x c) 7 A C B D d) 8 e) Imposible

6.

De acuerdo a la figura. Halle el valor de : AB + BD a) 10 b) 15 x+3 x+5 7c) 5 B A C D d) 20 e) 12

7.

Del problema anterior, indique si es verdadero (V) o falso (F) lo que a continuación se menciona. a) AB = BC ( ) b) BC – AB = 2 ( ) c) AD = 15 ( )

TAREA DOMICILIARIA

P

( (

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 4

10. Halle el valor del menor segmento determinado, Si : AD = 21 a) 12 b) 2 x x x c) 6 A B C D d) 3 e) 4

1.

PQ + QR = PR PR – QR = PQ

d)



=

(

)


MATEMATICA 188


9.

Encuentre el valor de: AB – BC a) 0 b) 5 x+7 c) 7 A d) 2 e) F.D.

x B

C

^ AOB

-

Ángulo AOB:

-

° es la medida del ángulo

;

∡

AOB

De acuerdo a la figura relacione correctamente los datos de ambas columnas.

x+

x+5

( ( (

) ) )

C

70° 0°

a) x b) AB – BM c) AB

M

180°

B

A

9-x 0 ° 180°

8.

12 5 2 TRANSPO RTAD O R

d)

(



)

10. Calcular “BC”, si: AB = 10, BD = 16 y “C” punto medio de AD. a) 1 b) 2 A C B c) 3 d) 4 e) 5

es

110°

D

11. Halle el valor del mayor segmento, determinado por los puntos A, B y C. a) 2 x+ 8b) 8 c) 10 B A C d) 6 e) imposible

TRAN SPO RTAD O R

Clases de ángulos A. Ángulo agudo Es el ángulo cuya medida es menor de 90°.

A

IDENTIFICACIÓN DE ÁNGULOS.

40° B

El ángulo está formado por dos rayos con el mismo origen donde dicho punto representa el vértice del ángulo.

m

O

AO B = 40°

A Lados O

° V é r t ic e

B


MATEMATICA 189

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” B

P R 60°

100°

Q

O

A

m

Q = 60°

m

AO B = 100° m

P

E

PQ T = 120°

120°

M

T

Q

80° N m

M N E = 80°

B. Ángulo recto Es el ángulo cuya medida es 90°.

m

B = 160°

160°

A

B

D. Ángulo llano Es el ángulo que mide 180° y se grafica como una recta.

O

C m

AO C = 90° N

E

180°

M m

P

EM N = 90°

m P = 180°

H

Observación: Las rectas secantes que forman 90° se llaman rectas perpendiculares.

l1 D

E m

y

l2

son perpendiculares

l1

D = 90°

C. Ángulo obtuso Es el ángulo mayor de 90° y menor de 180°.

l2

PROBLEMAS PARA LA CLASE. 2do Grado de Secundaria

MATEMATICA 190


1. Graficar un ángulo de 138° y cómo se clasifica.

8. Medir los ángulos de vértices “P”, “Q” y “R”, luego sumar los resultados.

2. Graficar un ángulo de 64° y cómo se clasifica. 3. Graficar un ángulo de 47° y cómo se clasifica.

P R

4.

Medir los ángulos de vértices

Q

“A” y “B” y cómo se clasifica.

B

9. Medir los ángulos de vértices “A”, “B”, “C” y “D”, luego sumar los resultados.

C B

A

C A

D

5. Medir los ángulos de vértices “P” y “R”. Luego 10. Calcular y

clasificarlos.

Q

 

 P



R

6. Trazar dos rectas perpendiculares a la recta l.

TAREA DOMICILIARIA Graficar los ángulos que se indican y decir su tipo.

l

7. Medir los ángulos de vértices “A”, “B” y “C”, luego

1.

35°

2.

65°

3.

104°

4.

170°

sumar los resultados.

B

A

C


MATEMATICA 191


5.

28° A

6.

126°

7.

58°

C

60°

40° O

A O B y B O C s o n c o n s e c u t iv o s

R Q S

8.

70°

46°

20°

50° O

P

P O Q ; Q O R y R O S s o n c o n s e c u t iv o s

9.

120° A B

10. 10°

25° O

OPERACIONES CON ÁNGULOS CONSECUTIVOS.

AOB;

C 30° 35° D

BOC y

C O D s o n c o n s e c u t iv o s R

Ángulos opuestos por el vértice Son los ángulos que se forman al trazar dos rectas secantes.

Q 65°

R e cta

80°

35° O

P

S

P O Q ; Q O R y R O S s o n c o n s e c u tiv o s

° A

°

Suma y resta de ángulos consecutivos

V é r t ic e

B C y°

°

°

A

V é r t ic e

B

°

°

y° = °+ °

O

A

Ángulos consecutivos Son dos; tres o más ángulos que tienen el mismo vértice y un lado en común respectivamente.

O

Observación

° x°

B °

x° = ° - °

C


MATEMATICA 192

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” La bisectriz de un ángulo es el rayo que divide al ángulo en dos nuevos ángulos de medidas iguales.

a)

d)

B °

b) 74°

c)

59°

M A

72°

68°

e) 78°

°

3. Si: m

O O M e s b is e c tr iz d e l A O B

∡

AOB = 30° y m

´ OM

Además

∡

BOC = 80°

es bisectriz del A O C , hallar m

P

∡ C

°

BOM.

° O

D

M

B

O P e s b is e c t r iz d e l C O D

C

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Si:

´ OM

∡

es bisectriz del

A

AOB, hallar

O

“°”.

a)

M

d)

C

45°

e) 40°

°

48° O

a)

b) 25°

15°

B

5 ° A

35°

4. Hallar “°”, si: m

48°

b) 96°

∡

AOD = 80°.

c)

12° d)

A

36°

e) 24°

B °

2. Hallar “°”

3°

O

C

° C

B

D ° 38°

A

R e cta 64°

O

D

a)

15° b)

14° c)

16°


MATEMATICA 193

c)


18° e)

A

20°

B C

5. Hallar “x°”

x C

O

B

D

R e cta 4x°

x° O

A

a)

9. Se tiene dos ángulos consecutivos POQ y QOR.

D

16° b)

18° c)

20° d)

22°

´ OM

Se traza Si: m

∡

∡

MOR

bisectriz del

POR + m

∡

∡

POQ.

QOR =140º, calcular la m

e) 25°


Se tienen los ángulos

1. Si: mAOB = 20° y m AOC = 100°, hallar:

consecutivos AOB y BOC de tal manera que el ángulo

mBOC.

AOB mide 50º. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOC y BOC.

B 7. y

∡

Si: m

´ ON

´ OM

BOC = 80º;

C

A

son bisectrices de los ángulos AOC y COD,

calcular la m

∡

O

MON.

C

2. Si: m AOD = 120°, m BOC = 70° y m COD = 30°, hallar: m AOB

N

B M

.

C

A

O

D

D B

8. Calcular “x”, si: m

∡

AOC + m

∡

A

BOD = 130º

O

3. Hallar “°”


MATEMATICA 194


Si: m POQ = 100°, mQOR =

40° y O M es bisectriz del POR, hallar: m MOQ.

°

32°

Q

M

R P 4. Hallar “x°”

O

x° 9.

4x°

Si: O M

es bisectriz del A O C y

es bisectriz del B O C , hallar: m MON, si

ON

además: m BOC = 40°. 5. Hallar “x°”, si: m AOD = 110°.

C

B

D

x° 2x° 50°

A

O M

B

6. Hallar “x°”

A

x°

120°

N

C

O

3x°

10. Si: m AOB = 36°, O M y O N son bisectrices de los ángulos AOB y COD, hallar: m  MON. 7.

Si: m AOC = 120°, m BOC =

C

20° y O M es bisectriz del ángulo AOB, hallar: m

B

MOC.

N

M A

B

M

O

D

C

A

SUPLEMENTO Y COMPLEMENTO DE UN ÁNGULO

O


MATEMATICA 195

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Los ángulos de referencia son los de 90° y 180° de tal manera que al conocer un ángulo agudo u obtuso se pueden relacionar con dichos ángulos.

Suplemento de 40° = 180° - 40° Suplemento de 40° = 140°

Complemento de un ángulo Es el ángulo que le falta a un ángulo dado para ser igual a 90°.

100°


30°

Complemento de 30° = 90° - 30° Complemento de 30° = 60°


50° Complemento de 50° = 90° - 50° Complemento de 50° = 40°

Suplemento de 130° = 180° - 130° Suplemento de 130° = 50° Observación:

62°

Dado un ángulo °: - Complemento de ° = (90° - °) - Suplemento de ° = (180° - °)

PROBLEMAS PARA LA CLASE Complemento de 62° = 90° - 62° Complemento de 62° = 28°

1. Calcular el complemento de 32°.

Suplemento de un ángulo Es el ángulo que le falta a un ángulo dado para ser 180°

2. Calcular el suplemento de 48°.

3. Calcular el complemento de 53°. 40°


MATEMATICA 196

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 4. Calcular el suplemento de 116°.

15.

Si el suplemento de un ángulo es el cuádruple

de su complemento, calcular la medida de dicho ángulo. 5.

Calcular el complemento de 28°

TAREA DOMICILIARIA

más el suplemento de 108°.

6.


Calcular el suplemento de 46°

menos el complemento de 72°. 2. Calcular el suplemento de 83°. 7.

Calcular el complemento de 74° y

luego del resultado su suplemento.

8.


Calcular el suplemento de 134° y

luego el complemento del resultado.


9. Calcular el complemento de 56° y luego el

5. Calcular el suplemento de 114°.

complemento del resultado. 6. Calcular el suplemento de 123°. 10.

Calcular el suplemento de 108° y

luego el suplemento del resultado. 7. Calcular el complemento de 48°. 11.

Calcular la medida de un ángulo

cuyo suplemento y complemento suman 200º. 8.


más el complemento de 50°. 12.

Si el complemento de un ángulo

es el doble de la medida de dicho ángulo, calcular la medida de dicho ángulo.

9.


menos el complemento de 60°. 13. Calcular el suplemento del complemento de 70º. 10.

Calcular el complemento de 70°

más el suplemento de 130°. 14.

Si el complemento del

suplemento de “3” y el complemento de “” suman 80º, calcular el suplemento de “”.

11.

En el gráfico, hallar “x°” y

también el complemento de “x°”.


MATEMATICA 197

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” m L1 °

100° 3x°

x°

° L2

12. Hallar "°" y también el suplemento de “°”.

m es secante a las rectas L 1 y

•

L2 °

48° 2°

13. Si: m

¿

L 1 no es paralela a L 2

•

AOD = 60°, hallar el complemento de Entonces:

"x°".

 ° e s d if e r e n t e a  ° A

O

B

x° 3x° x°

 ° y  ° s o n m e d id a s d e á n g u l o s a lt e r n o s in t e r n o s C D

B. n L1

x° y°

L2

ÁNGULOS DETERMINADOS ENTRE DOS RECTAS Y UNA SECANTE

n es secante a las rectas

• I. ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS

paralelas

Son los pares de ángulos que se encuentran entre dos

L1 y L2 ( L 1 // L 2 ).

rectas y en lados diferentes de la recta secante.

Entonces:

A.

x° = y° x ° e y ° s o n m e d i d a s d e á n g u lo s a lt e r n o s in t e r n o s


MATEMATICA 198

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” L °

L1

m

°

°

n

° L2

•

m // n

Si:

Entonces:

° = °  ° y  ° s o n m e d i d a s d e á n g u lo s c o r r e s p o n d i e n t e s •

Si:

L1

L2


Entonces: 1. Hallar

° = °

“”, si: a // b .

 ° y  ° s o n m e d id a s d e á n g u l o s a l t e r n o s i n t e r n o s

54°

II. ÁNGULOS CORRESPONDIENTES Son los pares de ángulos que se encuentran a un

a

°

b

mismo lado de la recta secante y a un mismo lado de cada recta. A.

L a

°

2. Si:

m // n , hallar “x°”. 115°

°

x°

b

• no son paralelas.

m n

Las rectas a y b

Entonces:

 ° n o e s ig u a l a  °

3. Si:

L 1 // L 2 , hallar “”.

 ° y  ° s o n m e d i d a s d e á n g u lo s c o r r e s p o n d i e n t e s 48°

L1

B. 2°

L2


MATEMATICA 199

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 8. Hallar “x°” 4. Hallar “x°”, si: a // b .

128° °

142°

°

x°

a

x° + 30° b

5. Si:

9. Hallar “x°”

m // n , hallar “”. m

°

n

122° ° 3°

10. Si: 6. Hallar “”, si:

2x°

54°

L 1 // L 2 , hallar “x°”.

m // n .

4x°

L1

m 136°

L2

n

148°

°

TAREA DOMICILIARIA 7. Si: a // b , hallar “x°”.

a

1. Hallar “x°”, si: m / / n .

b

148° m

x°

n

x°

44°

2. Hallar “y°”, si:

a // b

.


MATEMATICA 200


46°

a

a 2x

b

58º

y°

b

7. Calcular “x”, si: m // n

3. Hallar “x°”, si: L 1 // L 2 .

x m

50º 110º

n

2x° L1

138° L2

          

8. Si: a // b // c , calcular “x”

4. Hallar “y°”, si: a / / b .

a

50º

a 111°

70º b

x c

b 3y°

9. Calcular “x”, si:

5. Hallar “x°”, si: a / / b .

m

a

         m // n

122º x

156°

2x°+ 4°

116º

n

b 10. Si: L 1 // L 2 , calcular “x”

6. Si: a // b , calcular “x”


MATEMATICA 201

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” L1

110º

Elementos:

L2

x

11. Hallar “x°”, si: m / / n .

3x° - 1°

m

71°

•

Vértices: A, B y C

•

Lados:

• y

Medidas de ángulos internos:

•

Perímetro:

AB , BC y AC

n a+b+c

(suma de los lados) 12. Hallar “x°”, si: a / / b . II.CLASIFICACIÓN Se clasifica de acuerdo a las longitudes de los lados y de acuerdo a las medidas angulares.

a

131°

b

2 x° - 1°

A. De acuerdo a sus lados •

Escaleno

TRIÁNGULOS I. DEFINICIÓN DE TRIÁNGULO

Lados de diferentes medidas. •

Isósceles

Es la figura geométrica formada por tres segmentos consecutivos; no alineados y de extremos comunes.

B



 Base



Dos lados de igual medida.

a

c

•





A

Equilátero

60°

C

b 60°

60°


MATEMATICA 202

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Los medidas.

tres

lados

son

de

iguales

a° b°

B. De acuerdo a sus ángulos •

Acutángulo

c°

a° + b° + c° = 180°

 



m°

Los ángulos internos son agudos. •

Obtusángulo

n° m ° + n° = 90°

 Un ángulo interno es obtuso. •

Rectángulo


1. Un ángulo interno es recto.

En un triángulo ABC: m

58° y m

¿

B = 42°. Hallar m

¿

¿

A=

C. Luego,

clasificarlo de acuerdo a sus lados y a sus ángulos. III. PROPIEDAD FUNDAMENTAL

Solución:

En todo triángulo, la suma de las medidas de sus ángulos internos es igual a 180°.

C 







58°

A

42°

B

   +    +     = 1 8 0 ° •

Por propiedad:

  + 5 8 ° + 4 2 ° =   + 1 0 0 ° =   =   =

180° 180° 180° - 100° 80°


MATEMATICA 203

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” B 80º

• Como los ángulos son de diferente medida entonces los lados son de diferente medida.

I 

* E s c a le n o ( p o r s u s l a d o s )

C l a s i fi c a c ió n

A

* A c u t á n g u lo ( p o r s u s á n g u l o s ) 2. En el triángulo PQR: m 100°. Hallar: m

¿

¿

P = 40° y m

¿

x





 C

Q= 2. Calcular “x”

R y clasificarlo de acuerdo a

sus lados y a sus ángulos.

B  

Solución:

Q 100°

P

40°

x°

x

70º

A

50º

D

C

R 3. Si: AC = BC, calcular “x”

•

Por propiedad:

B

40° + 100° + x° = 180° 140° + x° = 180° x° = 40°

x 80º

A •

C

Como tiene dos ángulos iguales, entonces los lados

PQ

y

QR

son de medidas iguales.

4. Calcular “x”

A C l a s i fi c a c ió n

* I s ó s c e le s ( p o r s u s la d o s )

B 65º

30º x

* O b t u s á n g u lo ( p o r s u s á n g u l o s )

75º

C

D


5. Hallar “x°” y clasificar el triángulo AME.

1. Calcular “x”


MATEMATICA 204

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” M

triángulo isósceles, si los ángulos iguales miden 56°.

3x° 10. Calcular “x”

2 x°

A

45°

E

x 100º

2

6. Hallar “” y clasificar el triángulo PQR.



11. Calcular “x”

B 60º

R 3°

x



Q 20º

A

136°

°

P

P

C

Q

TAREA DOMICILIARIA En cada ejercicio, calcular lo indicado y además

7. Hallar “x°” y clasificar el triángulo REF.

clasificar a los triángulos: 1. Hallar

E

“” B

80°

R

3x°

104°

x°



A

F

46°

2. Hallar el complemento de

8.

“”.

Q

Hallar el menor ángulo interno

85°

de un triángulo rectángulo isósceles.

9.

C

73°

Hallar el mayor ángulo de un

P



T


MATEMATICA 205

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Q 83°

3. Hallar “x°”

5 E

L

36°

3x°

T

32° R

5x° I

8. Hallar

4. Hallar el suplemento de

“”

M

“”. 

L

L

 A

28°

63°

N

59° E

9. Hallar

“” E

5. Calcular



“” A

A

34°

L

15° 

20°

W

10. Hallar el complemento de “x°”.

L

L 54°

6. Hallar

“” Q P

2

4x° E

118°

2 x° I

OPERACIONES EN EL TRIÁNGULO

T

I. Ángulos exteriores en el triángulo: 7. Hallar

“”


MATEMATICA 206

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” En todo triángulo la suma de dos ángulos internos

80°

es igual a la medida del tercer ángulo externo

E x t e r io r

y°

30°

80°

E x t e r io r

°

° y° = ° + °

60°

E x t e r io r

n° m°

75°

°

25°

° = m ° + n°

° 92°

e°

E x te r io r

50°

38°

° e° e ° = ° + °

E x te r io r

54°

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Hallar “x°”

78°

24°

72° x°

38°

36° E x t e r io r

2. Hallar “y°” En cada triángulo se dan como datos dos ángulos internos y por la propiedad fundamental, se halla el tercer ángulo interno y luego el ángulo externo.

48°

46°

y°

II. Propiedad del ángulo exterior


MATEMATICA 207


3. Hallar “”

x 2°

140º 130º

50°

32°

8. Calcular “x”

4. Hallar “x°”

6x

4x°

5x

2x

x°

130°

5. Hallar “x°”

9. Calcular “x”

5x°

2x

14x°

100º

125º

x

6. Calcular “x”

B E x A

50º C

10. Calcular “x”, si:

60º

    L // AC

D

B 70º

130º

L

x

7. Calcular “x”

A

C


MATEMATICA 208

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 34°

11. Hallar “x°”

x°

118°

80°

40° 20° 15° x°

5. Hallar “”

76°

TAREA DOMICILIARIA



34° 1. Hallar “x°”

52°

6. Hallar “x°”

64° x°

2 x°

100° x°

2.

69°

Hallar la medida del ángulo

exterior de un triángulo equilátero.

3.

7. Hallar “y°”

Hallar el mayor ángulo externo

de un triángulo rectángulo isósceles.

59° 32°

4. Hallar “x°”

y°

8. Hallar “x°”


MATEMATICA 209


85°

En un triángulo, un ángulo interno es el doble

de otro ángulo interno y el tercer ángulo externo mide 39°. Calcular el menor ángulo interno del triángulo.

3x°

2x°

LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO I

9. Hallar “” 42°

I. MEDIANA

38°

50°

Es el segmento de recta que tiene por extremos a



un vértice y al punto medio del lado opuesto a dicho vértice.

B 10. Hallar “”

M

4°



C

A 26°

44°

AM es mediana del triángulo ABC

E 11. Hallar “” 28°



63°

A

N

H

51°

EN es mediana del triángulo

AEH 12.

Si dos ángulos internos de un

triángulo miden 46° y 34°, hallar la medida del ángulo externo del tercer ángulo. II.BISECTRIZ 13.

En un triángulo isósceles, el

mayor ángulo interno mide 100°. Calcular el ángulo externo de uno de los otros dos ángulos.

A.

Bisectriz interior Es el segmento que divide a un ángulo interno en medidas iguales.


MATEMATICA 210

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” P

E

° ° P

A

°

Q

E

M

°

PE es bisectriz del triángulo APQ

M

QE

R

°

° Q

es bisectriz exterior del triángulo MPQ

PROBLEMAS PARA LA CLASE °

H

°

1.

N

MN es bisectriz exterior del triángulo ATM,

hallar

“”. N ° T 100°

NR es bisectriz del triángulo HNM A

2. B. exterior

QN

30° M

es mediana. Hallar “y”, si: NP = 18.

Bisectriz P

Es el segmento que divide a un ángulo externo en medidas iguales.

y+ 24 N

° E ° ° °

Q

E

3. Si

BM es mediana y AM + AC = 42 cm, hallar

“MC”.

A

F

R

B

ER es bisectriz exterior del triángulo AEF

A

M

C


MATEMATICA 211


En un triángulo ABC: m

50° y m interior

¿

¿

B=

¿

ACB, si AD es bisectriz y AD =

DC

C = 40°. Luego trazar la bisectriz

AE . Hallar: m

¿

9. Calcular la m

B

AEB.

D

84º 5.

En un triángulo PQR: m

20° y m

¿

¿

P=

C

A

R = 40°. Luego trazar la bisectriz

interior QF . Hallar: m

¿

QFR. 10. Calcular “AM”, si BM es mediana y el perímetro del triángulo ABC es 26.

CF son bisectrices, calcular “x”

6. Si AE y

B B F

7

70º

E

A

x

A

9 C

M

C

7. Calcular “BC”, si AM es mediana. 11. Hallar “”, si: QF es bisectriz.

B 2 x-1

Q M x+ 2 C

A

P

35°

°

85° F

R

8. En el triángulo ABC, BE es bisectriz exterior. Calcular “x”

B 12. En el gráfico

155º

A

triángulo ARQ. Hallar “”.

x C

RE es bisectriz exterior del

E


MATEMATICA 212

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” R

5. Si: AM es mediana, hallar “x”.

B 36°

A

°

104°

13

E

Q

M 3x+ 1

1.

C

A

TAREA DOMICILIARIA Graficar el triángulo ABC: mA

= 60º y mB = 80º, luego se traza la bisectriz

6. Si: PN es mediana y QR = 30 cm, hallar “x”.

interior CE . Hallar: mAEC.

2.

Q

Graficar el triángulo PQR y

P

trazar la mediana PM . Hallar “QM”, si: QR = 24 cm.

x+ 1 N R

3. Si: AE es bisectriz, hallar “x°”.

B 78°

x°

E

26°

A

7. Si: AE es bisectriz, hallar “”.

C B E

4. Hallar “x°”, si: BF es bisectriz.

31°



A

C

B x°

A

8. Hallar “x°”, si: BE es bisectriz exterior.

50°

34° F

C

B

A

38°

60° C

x°

E


MATEMATICA 213

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” forma perpendicular al lado opuesto de un triángulo. 9. Hallar “”, si: FD es bisectriz exterior.

B F

A

115°

35°



E

D

A

CP es bisectriz exterior.

10. Hallar “x°”, si:

C

H

BH es altura del triángulo ABC relativa a AC

P

F

x° B 86° 44°

A

C

E

L

N

11. Si: CE es bisectriz, hallar “x°”.

FL es altura del triángulo ENF relativa a EN B

L

80°

N

E

A

40°

x°

C

A

E

LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO II EN es altura del triángulo AEL relativa a AL

I. ALTURA

Es el segmento trazado desde un vértice en


MATEMATICA 214

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” H

L

Q

P

1

es mediatriz del lado BC

n

Q

R

R

P

RH es altura del triángulo PQR relativa al lado PQ

n es mediatriz relativa a PQ del triángulo PQR II.MEDIATRIZ

B Es la recta perpendicular y que pasa por el punto

m

medio de un segmento de recta.

L

A

M

E

C

F es mediatriz relativa al lado AC del triángulo ABC.


L es mediatriz de EF 1.

Graficar el triángulo ABC, tal

que: mA.=.48° y mB.=.74°. Hallar la medida del menor ángulo formado por el lado

B

la mediatriz de

AC .

L1 M

2. altura

A

BC y

C

Graficar el triángulo PQM y la

PH . Si: mQ.=.64° y mM.=.46°, hallar el

ángulo formado por

PH y PQ .

3.

Graficar el triángulo AEF tal


MATEMATICA 215

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” que: mA.=.36° y mE.=.108°, luego trazar la altura

EH . Hallar el ángulo formado por EH y EF .    

9. Si BH es altura y L es mediatriz de BC , 4.

calcular “x”.

Graficar el triángulo ABC, tal

que: mA.=.18° y mC.=.30°, luego trazar la altura

CH. Hallar el ángulo formado por BC y CH .

B L 5.

Graficar el triángulo PQR tal

que: mP.=.54° y mQ.=.78°, luego trazar la

A

mediatriz de QR . Hallar el menor ángulo formado

C

PR .

por la mediatriz y el lado

     10. Si m y

6. Si AP y CQ son alturas, calcular “x”.

    n son

mediatrices de BC y AC , calcular

“x”

B 50º

Q

x

H

P

m

B

x C

A

x

120º

A 7. Calcular “x”, si

C

n

    L es mediatriz de BD . 11. Si: EQ es altura, hallar “x°”.

B

L

80º

A

E

x

48º

x°

D

C

8. Calcular la medida del ángulo formado por las

A

alturas trazadas desde los vértices “A” y “C”.

12. Si:

A

50°

42° Q

L

LH es altura, hallar “° -°”.

100º

B

C


MATEMATICA 216

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” N H

70°

B ° °

36°

M

76° x°

L

64°

A

C

L 13. L

es mediatriz de PF . Hallar “x°”.

n es mediatriz de AB .

4. Hallar “x”, si

E

L

100° x° 50°

P

B F

n

TAREA DOMICILIARIA

54°

68°

x°

A

C

1. Si: BN es altura, hallar “”.

B

5. Si: AH es altura, hallar “x° - y°”.

 80°

E

70° A

C

N

80°

A

2. Hallar “x°”, si: FM es altura.

x° y°

H

70°

N

M E

A

x° 36°

42°

3. Hallar “x°”, si

L

es mediatriz de

6. Hallar “x°”, si

L es mediatriz de BE .

F

AC .


MATEMATICA 217

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” B L

45°

A

x°

30°

L es mediatriz de AB .

10. Hallar “x°”, si E

C

B 7. Si: CN es altura, hallar “x° - y°”.

L

28° E

A

x°

C

B 54°

N

POLLÍGONOS I y° 46°

A

DEFINICIÓN Son figuras formadas por segmentos no alineados y de extremos comunes. I. Se nombran de acuerdo al número de lados

x° C

L es mediatriz de BE , hallar “”.

8.

Triángulo # lados : 3 E 22°

Cuadrilátero # lados : 4 A



38° B

P

L

Pentágono # lados : 5

AF es altura del AMN, hallar el suplemento de

9.

“x°”.

Hexágono # lados : 6

F M x° A

Heptágono # lados : 7

23°

27°

Nombre octógono nonágono

N

# lados 8 lados 9 lados


MATEMATICA 218

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” decágono endecágono dodecágono pentadecágono icoságono

10 lados 11 lados 12 lados 15 lados 20 lados

desde un solo vértice. (Indicar el número de triángulos que se forman)

6. Graficar un decágono. II.Elementos principales v é r t ic e s

7. Dar el nombre del polígono mostrado.

C

á n g u lo s in t e r io r e s

B

° °

°

D

°

A

° H G

E

la d o s

F 8.

d ia g o n a l e s

Dar el nombre del polígono, en el

cuál su número de vértices más su número de lados

En el gráfico se muestra como ejemplo al octógono

es 16.

ABCDEFGH.


9.

¿Cuántas diagonales faltan

trazar en el polígono mostrado? 1.

Graficar un octógono

ABCDEFGH y trazar todas las diagonales posibles desde el vértice "A". (Indicar el número de triángulos que se forman)

2.

TAREA DOMICILIARIA

Graficar el pentágono ABCDE y

trazar sus diagonales señalando el número de

1.

vértices y diagonales.

Graficar un pentágono convexo y

desde uno de sus vértices trazar todas las diagonales posibles.

3.

Graficar el heptágono ABCDEFG

y trazar todas las diagonales posibles desde los

2.

vértices "A" y "C".

4.

Graficar un cuadrilátero no

convexo y sus diagonales.

¿Cómo se llama el polígono

3.

mostrado? Además trazar cuatro de sus diagonales.

Graficar un hexágono convexo y

trazar las diagonales desde tres vértices consecutivos.

5.

Graficar un nonágono e indicar el

número de vértices y trazar todas las diagonales

4.

Graficar un octógono convexo,


MATEMATICA 219

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” trazar las diagonales desde un solo vértice y contar

°

el número de triángulos que se forman.

S °

5.

Graficar un nonágono convexo y

i = 180°

°

"Luego al trazar las diagonales desde un solo vértice en los polígonos se formarán triángulos"

trazar desde dos vértices consecutivos todas las diagonales posibles.

En el cuadrilátero 6.

Graficar un endecágono convexo

S

y trazar las diagonales desde un solo vértice.

7.

i

= 180°

×

2 = 360°

Graficar un pentágono convexo

donde tres ángulos consecutivos miden 90°.

En el pentágono

S 8.

i

Graficar un hexágono convexo

= 180°

3 = 540°

×

donde tres ángulos alternados miden 90°.

° n°

9.

° 1

Graficar un

En el hexágono

heptágono y trazar las

2

° m°

diagonales desde tres

t°

S

vértices consecutivos.

i

= 180°

×

4 = 720°

Luego se concluye que siendo «n» el número de lados 10.

del polígono, la suma de ángulos internos se halla de

¿Cómo se llama el polígono

mostrado? Además trazar cinco de sus diagonales.

° m° x° 3 y°

° 1

°

2 z°

la manera siguiente:

S

i

= 180°

×

(n - 2)

n°


t°

1.

Hallar la suma de ángulos

internos de un decágono.

4 1 2

3

2. POLÍGONOS II


internos de un icoságono.

SUMA DE ÁNGULOS INTERNOS (Si ) Recordando:

3.

Hallar el número de vértices del

polígono cuya suma de ángulos internos es 1260°.


MATEMATICA 220



2.



internos de un decágono.

5.

3.

Hallar el número de lados del


internos del polígono mostrado.


A

6.

Calcular la suma de los ángulos

B

C


D

E

4.


polígono cuya suma de ángulos internos es 2880°. 7. Calcular “x” 5.

x x

x


8. Calcular “x”

6. x+ 40º




2x

x+ 70º x+ 30º

7.


internos del polígono mostrado. 9.

Si todos los ángulos internos del

polígono son iguales, calcular la medida de uno de ellos.

8.

Hallar el número de triángulos

que se forman al trazar las diagonales desde un solo vértice en un icoságono convexo.



9.

internos de un hexágono.




MATEMATICA 221


C °

°

°

° A 10.


D

° + ° = 180°


 ° + ° = 1 8 0 °

R e cu e rd a : b°

CUADRILÁTEROS I

BC // AD

a° a°

a° + b° = 180° DEFINICIÓN Son los polígonos que tienen cuatro lados.

Observación: • Trapecio rectángulo °

Cuadrilátero convexo

°  ° + ° = 1 8 0 °

• Trapecio isósceles

°

°

Cuadrilátero no convexo TIPOS DE CUADRILÁTEROS CONVEXOS A. Trapezoide Es el cuadrilátero convexo cuyos lados opuestos no

°

°

tienen que ser paralelos.

° + ° = 180° B

A

°

PROBLEMAS PARA LA CLASE °

C °

1. Hallar: m  C

°

C

B

D

3°

 ° +  ° + ° + ° = 3 60 ° A

B. Trapecio Es el cuadrilátero convexo que tiene dos lados paralelos.

2.

2°

D

Graficar el cuadrilátero ABCD;

tal que: m  A = 100°; m  B = 70° y m  C = 60°.


MATEMATICA 222


Hallar: m  D.

C 2x+ 10º

140º

3.

Graficar el trapecio ABCD; tal

D

A

que: AD // BC y m A = 56°. Hallar: m  B.

9. Calcular “x”, si m B – m D = 60º 4.

Graficar el trapezoide ABCD: m

B

A = 2b°; m B = 5b°; m C = 7b° y m D = 4b°. Hallar: m B.

x  A

5.

Graficar el trapecio rectángulo



C 



D

TAREA DOMICILIARIA

ABCD, tal que: 1.

m A = m B = 90° y m  C = 129° Hallar: m D.

Graficar el cuadrilátero convexo

ABCD, tal que: m A = m C = 90° y m B = 112°. Hallar: m  D.

6. Calcular “x” C B 140º 

A

2.

120º

Graficar el cuadrilátero no

convexo ABCD, tal que: m A = 30°; m B = 60° y m

I

C = 50°. Hallar: m D.

x







D

3.

Graficar el trapecio ABCD, tal

que: AD // BC, 2. Si:

m A = 100°; m  D = 50°. Hallar: m B y m C.

BC // AD , calcular “x” B



C 

4.

x 

A

Graficar el trapecio ABCD, tal

que: m A = 120°;



m B = 130° y AB // CD. Hallar: m B y m C.

D

5. Hallar "x°"

7. Calcular “x”

110°

50º

128°

x 2x

x° 56°

70º

8. Si ABCD es un trapecio isósceles ( BC// AD ), calcular “x”.

6. Hallar "°" y "°", si: BC // AD.


MATEMATICA 223


C 140°

118°

Es el paralelogramo cuyos lados son de medidas iguales.

2°

B

4°

A

°

D A

°

°

C

° D

7.

Graficar el trapecio isósceles

 ° + ° = 180°

ABCD, tal que:

III. Rectángulo

m A = 124° y AB // CD. Hallar: m C.

Es el paralelogramo cuyos ángulos internos miden 90°. b

B

8. Hallar: m  D

a

C

B

a

A

5°

3°

D

CUADRILÁTEROS II

b °

°

a PARALELOGRAMOS Son aquellos cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos y congruentes respectivamente. b

B

D

Es el paralelogramo cuyos lados consecutivos son diferentes y los ángulos no miden 90°.

B

A

C

a

°

° b

D

C °

° a A

b

IV. Romboide

A

C

PROBLEMAS PARA LA CLASE a

°

° b

1.

D

Utilizando regla y transportador

graficar el romboide ABCD tal que: CD = 4 cm; AD = 7 cm y mD = 100°. Hallar su perímetro.

° + ° = 180°

• Clases de paralelogramos

2.

Graficar el rombo ABCD; tal que:

BC=5cm y mC=120°. Luego trazar las diagonales

I. Cuadrado

Es el paralelogramo de lados y ángulos de medidas iguales. B

AC y BD. Medir el ángulo que forman sus diagonales.

C

3.

Graficar un rombo cuyo lado

mide 6 cm y uno de sus ángulos 45°. Hallar su perímetro. A

D

II.Rombo


MATEMATICA 224


B

Graficar el cuadrado PQRS; tal

que: PQ = 4 cm. Luego trazar sus diagonales y

A

comparar sus longitudes.

2 + 3 0 º

5

50º

C

D 5.

Graficar el romboide ABCD; tal

D = 140°. Trazar sus

que: CD = 4 cm; AD = 8 cm y m

11.

diagonales y comparar sus medidas.

Graficar un romboide ABCD; tal

que: AB = 3,5 cm; BC = 6 cm y m B = 40°.

6.

Calcular “x”, si ABC es un

triángulo equilátero y CDEF es un rectángulo.

12.

Graficar un rombo ABCD; tal

que: AB = 5 cm y

B

D x

E

C

F

A

m A = 60°. Hallar su perímetro.

13.

Graficar el rectángulo PQRS; tal

que: PQ = 3 cm y PS = 7 cm. Hallar su perímetro.

7.

Calcular la medida del lado

mayor de un romboide, si es el triple del lado menor,

14.

además su perímetro es 40 cm.

8.

Calcular la medida del lado

15.

menor de un rectángulo, si es 5 cm menor que el lado

AD = 8 cm y m D = 120°. Hallar su perímetro.

9. Calcular “BP”, si ABCD es un paralelogramo.

P

A

 12

16.

Grafique el rectángulo ABCD; tal

que: AB = 2,5 cm y

C

7


que: CD = 6 cm;

mayor, además su perímetro es 50 cm.

B

Graficar el cuadrado cuyo lado

mide 5 cm. Hallar su perímetro.

BC = 4,5 cm. Hallar su perímetro.

 D

17.

Graficar el rombo ABCD; tal que:

AD = 6,5 cm y m D = 100°. Hallar su perímetro.

10. Calcular  si ABCD es un rombo.

18.

Graficar el cuadrado PQRS; tal

que: QR = 5,5 cm. Hallar su perímetro y trazar sus diagonales.


MATEMATICA 225



que: BC = 7,5 cm;

5.

CD = 4,5 cm y m C = 130°. Trazar sus diagonales y

Hallar el menor lado de un

rectángulo, si el lado mayor es el cuádruple del

comparar sus medidas.

menor y el perímetro de dicho rectángulo es 80 cm.

20. Graficar un rombo cuyo lado mide 8 cm y uno de

6. Si ABCD es un trapecio ( BC // AD ), calcular “PQ”

sus ángulos 50°. Hallar su perímetro.

OPERACIONES EN CUADRILÁTEROS

B 





6


C 

A

P

Hallar el perímetro de un

Q

8 D

16

rectángulo, si dos de sus lados miden 8 cm y 12 cm.

2.

7. Calcular “x”

Hallar la longitud del lado de un

rombo, si su perímetro es igual a 52 m.

C

B 40º

3. En el trapecio isósceles ABCD, hallar "°".

B

x A

C

D

3°

8.

2° A

Si ABCD es un cuadrado y CDE

es un triángulo equilátero, calcular “x”.

D

B 4.

Si ABCD es un cuadrado y el 

x

C

CMD equilátero, hallar "°".

E A

B

D

C

9. Calcular “x+y”, si ABCD es un romboide. M ° A

D


MATEMATICA 226


B

C O

x

A

D

10.

C

A

D

2x

Si ABCD es un rombo y BCPQ es

un cuadrado, calcular “x”.

Q

6. Hallar "°", si ABCD es un cuadrado.

B

C

P B

3 ° x

A

C

D

7.

Si ABCD es un cuadrado y BMC

es equilátero, hallar "°".


D

A

B

C

Graficar un rectángulo ABCD,

tal que: m B = 2x° + 10°. Hallar "x°"

2.

M D

A

Graficar un rombo de lado 3 cm

y de un ángulo interno de 60°.

3.

8. Hallar "°", si ELMN es un rombo.

En el gráfico anterior, trazar las

diagonales y medir el ángulo que forman.

4.

L 5°

E

Hallar la longitud del lado de un

M

rombo, si su perímetro es 48 cm.

N 5.

Si el perímetro del romboide

ABCD es 36 cm, hallar “x”. 9.

Si ABCD es un cuadrado y CMD

es un triángulo equilátero, hallar "°".


MATEMATICA 227


C

iguales y ángulos iguales.

°

M C

B

A

D

14 cm D

A

10. Hallar "x° + y°", si AEFD es un rectángulo.

E

x°+ 50°

F

F 2.

3y° A

E

Hallar el perímetro del

heptágono no convexo ABCDEFG, si ABCDG es un

D

pentágono regular y DEFG es un cuadrado. 12 cm

11. Hallar el menor lado de un rectángulo, si el lado

B C

A

mayor es el quíntuple del menor y el perímetro de dicho rectángulo es 84 cm.

12. Calcular “x”.

G

D

F

E

7

x

15

3. Hallar el perímetro del polígono ABCDEF. D

13. Calcular “x” ; BC // AD B

x

A 30 53º A

45º 50

36 cm

E

F

C

C

42 cm

B

D

4.

Calcular el lado de un

pentadecágono regular, si su perímetro es 90 cm.

5.

PERÍMETROS DE POLÍGONOS

1.

Calcular la longitud del lado de

un icoságono regular, si su perímetro es 220 cm.

Calcular el perímetro del

6. Calcular el perímetro de la figura:

hexágono regular ABCDEF. Nota: Polígono regular es el que tiene sus lados


MATEMATICA 228


5 cm 4 cm

C

7 cm 8 cm

6 cm 3 cm

A

D

6 cm

7. Calcular el perímetro de la figura: 11. Graficar el trapecio isósceles de bases 7 cm y 10 cm y uno de los lados laterales mide 6 cm. Hallar el

5 6

60º

perímetro del trapecio.

4

60º

10



pentágono regular cuyo lado mide 4 cm. (Graficar)

8. Calcular el perímetro:

2.

Hallar el lado de un hexágono

regular de perímetro 18 cm. (Graficar) 4 cm

3. Hallar el perímetro de la región sombreda. 11 cm

6 cm

11 cm

5 cm

9. Si “O” es centro, calcular el perímetro. A

4.

Hallar el perímetro de la región

sombreada, si ABCDEH es un hexágono regular y EFGH es un cuadrado. 6 O

B

B

C

G

F

A

D

H

E

10. Calcular el perímetro de la región sombreada. 5.


endecágono regular cuyo lado mide 6 cm.


MATEMATICA 229


Hallar el perímetro de la región

sombreada, si ABCDF es un pentágono regular y 

C

B

DEF es equilátero.

100°

4x°

B 50°+ x°

2x°

A

E

D

C

A D

F

13. Calcular el perímetro del polígono ABCDEFGHI. 7.

Hallar el perímetro del octógono

B

no convexo mostrado.

6 cm

F

C 8 cm

2 cm 10 cm 14 cm

H 10 cm

2 cm

A

I

2 7 cm

15 cm

14. Calcular 8.

6 0° G 4 cm

D 5 cm E 60° 3 cm

“ - ”, si el polígono es equiángulo.


nonágono regular donde un lado mide 2 cm. (Graficar)  9.

En el gráfico, ABCDE es un

pentágono no convexo. Hallar su perímetro, si ABCE



es un cuadrado y CDE es un triángulo equilátero. E

C

15. Calcular el perímetro de la figura:

D A

35 cm

B

4 cm 8 cm

10.

20 cm

5 cm

Hallar el número de vértices de

un polígono cuya suma de ángulos interiores es 1800°.

25 cm

16.

Graficar el trapecio isósceles de bases 7 cm

y 10 cm y uno de los lados laterales mide 6 cm. Hallar

11. Hallar "°"

el perímetro del trapecio. °

°

ÁREAS DE REGIONES I

°

DEFINICIÓN El área de una región es la medida de dicha región y se expresa en unidades cuadradas de longitud.

12. Hallar: m  B


MATEMATICA 230

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 10 cm

I. Área de una región cuadrada

1 cm

3 cm

2 cm

1 cm 2 cm

1 cm

S

2 cm

S

1 cm

2 cm

S = 1 cm × 1cm

S = 2 cm × 2 cm

S = 1 cm

2

S = 4 cm

18 cm

3 cm

10 cm

3 cm

S

1 8 cm

3 cm

3.

S = 3 cm × 3 cm

2

S = 9 cm

Calcular el área de la región

rectangular, donde el largo es el triple del ancho y su perímetro es 32 cm.

2

II.Área de una región rectangular 4. Calcular el área de la región sombreada. 1 cm

6 cm

2 cm

S

S

2 cm

3 cm

S = 1 cm × 2 cm

S = 2 cm × 3 cm

S = 2 cm

2

S = 6 cm

S

3 cm

8 cm 24 cm

4 cm S = 3 cm × 4 cm

2

S = 12 cm

8 cm 2 0 cm

2

5. Calcular el área de la región sombreada.

Conclusión: 

6 cm 4 cm



S

a



A

8 cm 20 cm

A = 

4 cm

b

 2

6 cm

6 cm

48 cm

S = a × b

6.


Si el perímetro del triángulo

equilátero ABC es 18 cm, calcular el área de la región cuadrada BCDE.


E B

10 cm 10 cm

D

10 cm

20 cm

A

15 cm

C

30 cm

7.

Si el área de la región

rectangular ABCD es 48m2, calcular su perímetro.


Además un lado es el triple del otro.


MATEMATICA 231


C

A

D

cuadrado, si el área de su región es 169 cm2.

3. 8.

Calcular el área de la región de

un rectángulo, si la base es el doble de la altura y su

Si ABCD es un cuadrado de

perímetro es 72 cm.

perímetro 24 cm, calcular el área de la región sombreada.

4.

un rectángulo, si un lado es triple del otro y su

C

B

Calcular el área de la región de

perímetro es 88 cm.

5. Hallar "x" A

D x

9.

48 cm


2

16 cm

cuadrada CDEF, si ABCD es un trapecio isósceles (BC// AD) de perímetro igual a 34m.

6. Hallar "y"

F B

5

C E

A

13

y

81 cm

2

D y

10. Calcular el área de la región rectangular ABCD. P

B 102

7. Hallar "a"

C 152

a

D

A

663 cm

2

17 cm


Calcular el área de una región

cuadrada, si su perímetro es 48 cm.

2.

8. Hallar el área de la región sombreada.

Calcular el perímetro de un


MATEMATICA 232


S

7 cm 2 0 cm

S = a × h

h

a "El área de la región del romboide es igual al producto de uno de sus lados por la altura relativa a dicho lado".

10 cm

II.ÁREA DE LA REGIÓN DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

9. Hallar el área de la región sombreada. 1 0 cm

9 cm

6 cm

2 4 cm

S

S

10 cm 10 cm

10 cm

1 6 cm

S = 6 cm × 1 0 cm 2

S = 16 cm × 9 cm 2

1 4 cm

1 8 cm

S = 30 cm

10. Hallar el área de la región sombreada. 3

5

8

2

S = 72 cm

2

GENERALIZANDO: 2 b

13

S

S

y

2 a S =

ÁREAS DE REGIONES II

a × b 2

S =

x

×

y

2

"El área de la región de todo triángulo rectángulo es igual a la mitad del producto de sus catetos".

I. ÁREA DE LA REGIÓN DEL ROMBOIDE


12 cm

4 cm

x

4 cm

S

S

1.

10 cm

Calcular la altura relativa al lado

de un romboide, si dicho lado mide 26 cm y el área de su región es 260 cm2.

12 cm

8 cm

S = 12 cm × 4 cm S = 48 cm

2

S = 8 cm × 10 cm S = 80 cm


2

Generalizando:


MATEMATICA 233


16 cm

calcular su área. 6 cm 6 cm

8.

Si el área de la región

sombreada es 80 cm2, calcular “h”.

3. Calcular el área de la región sombreada. h

E

B

C

6 cm A

D

14 cm

9.

Si ABCD es un romboide y

b+h=16m, calcular su área. B


C h= 3k

A

D

4 cm 10 cm 4 cm 32 cm

10.

El área de la región de un

triángulo rectángulo es 30.cm2. Si un cateto se duplica y el otro se triplica, ¿cuál será su nueva área?



30 cm 15 cm

3

23 cm

10 cm

8 12. Hallar el área de la región sombreada. 6.

Los catetos de un triángulo

rectángulo son entre sí como 2 es a 3. Si el área de su región es 48 cm2, ¿cuánto mide el cateto mayor?

7.

4

Si dos lados de un romboide

3


miden 6 cm y 8 cm y además una altura mide 7 cm,

MATEMATICA

1 234

4 2do Grado de Secundaria 5

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 2 cm 9 cm 10 cm

6 cm



15 cm 7 cm 1 6 cm

1 2 4 cm

4

 

5.

Hallar el área de la región

sombreada, si ABCD es un romboide. B

C 8 cm

TAREA DOMICILIARIA A 11 cm P

13 cm

D

1. Calcular el área de la región sombreada. 6. 1 2 cm

Calcular el área de una región

paralelográmica de base 12 cm y altura relativa a

1 0 cm

dicha base 8 cm. (Graficar)

7 cm

7. Hallar el área de la región sombreada. 1 2 cm

5 cm

2. Si ABCD es un cuadrado, hallar el área de la región sombreada.

1 3 cm

E

B

13 cm

C 13 cm

A

6 cm F 5 cm

D

8. Calcular el área de la región sombreada. 3. Calcular el área de la región sombreada.


MATEMATICA 235


ÁREAS DE REGIONES III

10 cm

I.

ÁREA DE TODA REGIÓN TRIANGULAR

8 cm

18 cm

8 cm

9.

El área de la región de un

triángulo rectángulo es

12 cm

112 cm2 y uno de sus catetos mide 16 cm. Calcular la longitud del otro cateto. (Graficar)

S =

El área de la región de un romboide ABCD es 247 cm2 y AD = 19 cm. Calcular la longitud de la altura relativa al lado AD. (Graficar) 8 cm 11. ABC es un triángulo equilátero y S

12 cm × 8 cm 2 S = 48 cm

10.

8 cm .

2

6 cm S

Hallar el área de la región sombreada, si AC = 12 y B 12 cm AM = 10.

M

8 cm S

1 3 cm

N

S =

1 2 cm × 8 cm 2 S = 48 cm

S =

2

A

1 3 cm × 6 cm 2 S = 39 cm

2

C


Generalizando:

h

4

S

2 a

b

S =

13. Hallar el área del triángulo ABD, Si: BF = 3u y AC =10 u.

(b) × (h ) 2

B F

A

E

D

C


MATEMATICA 236

S =

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” a

h

h

S

S

a

S =

b S =

(a) × (h) 2


"El área de toda región triangular es igual a la mitad del producto de uno de sus lados por la altura relativa a dicho lado".

1. Calcular la altura del trapecio mostrado. 8 cm

II.ÁREA DE LA REGIÓN DE UN TRAPECIO

96 cm

4 cm

6 cm x 6 cm

8 cm

y

6 cm × 8 cm 2

Á re a

16 cm

6 cm

A

2.

y =

2


cm sombreada, 1si4 ABCD es un romboide.

18 cm

x = 24 cm

2

B

8 cm

x =

(a + b) × h 2

18 cm × 8 cm 2 y = 72 cm

= 24 + 72 = 96 cm

A =

2

1 4 cm × 6 cm 2 A = 42 cm

2

Á re a

B = B

2

4 cm × 6 cm 2E B = 12 cm

=

A

4 2 + 1 2 =3 8 5c4m c m

2

C

2

15 D

4 cm B 6 cm

8 cm

3.

6 cm

A

Calcular el área de la región del

pentágono no convexo sombreado.

14 cm

1 8 cm × 8 cm 2 y = 72 cm

2

A =

14 cm × 6 cm 2 A = 42 cm

2

B =

4 cm × 6 cm 2 B = 12 cm

64 cm

2

18 cm = 96 cm

2

Á re a

=

42 + 12 = 54 cm

2

8 8 cm

Generalizando: 4.

“El área de la región de todo trapecio es igual a la semisuma de las bases multiplicado por la altura de dicho trapecio”.


cuadrilátero sombreado.


MATEMATICA 237

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” P

B

10 cm

8 cm

C

D

A

14 cm

10. Hallar el área de la región sombreada, ABCD: trapecio


B

C

4m2 42 cm

9m2 1 6 cm

D

A

1 9 cm 2 6 cm

11. ABCD es un trapezoide. Calcular el área de la región sombreada. 6.

Si ABCD es un cuadrado,

3m2

calcular el área de la región sombreada.

5m2

C

B

15m2

= 8

M

=

7.

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

D

A

Definición de poliedros Son los sólidos geométricos que están formados por

La base de un triángulo excede

polígonos que tienen lados comunes y encierran un

en 3 m a la altura. Si el área de su región es 20 m 2,

determinado espacio cuya medida representa el

calcular la altura.

8.

volumen del poliedro.

c a ra s

Se tiene el trapecio ABCD

(BC// AD) . Si: BC = AD/3 y su altura mide 8 cm,

calcular la longitud de la base menor. Además el área de su región es 80 cm2.

9.


T e tra ed ro

trapecio APCD, si: AB = 6m; AD = 12 m y PC = 3(BP)


MATEMATICA 238

Pe


s

a

v é r t ic e s

c

c a r is t a s

c

b

b c

P e n ta e d ro

d ro

c

I. Hexaedro regular o cubo Es el poliedro formado por seis cuadrados iguales. a a

c

c

b

b

c

a

a

Observación: Un paralelepípedo es un poliedro cuyas caras son paralelogramos cualesquiera. a

PROBLEMAS PARA LA CLASE Si quieres construir un cubo con una cartulina o

1.

cartón se recomienda cortar la cartulina o cartón en

número de caras, vértices y aristas.

En el poliedro mostrado, hallar el

la forma mostrada. Luego doblar según las líneas punteadas.

a a

a

a

a

a

a a

a

a

a

a

2.

a

En el poliedro mostrado, hallar el

número de caras, vértices y aristas.

a II. Paralelepípedo rectangular o rectoedro Es el poliedro formado por seis rectángulos.

c

3. En el poliedro mostrado, hallar el número de caras, vértices y aristas.

b a

Para construir un paralelepípedo rectangular se recomienda cortar la cartulina o cartón en la forma mostrada. Luego doblar por las líneas punteadas.


MATEMATICA 239

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 4. En el poliedro mostrado, hallar el número de caras, vértices y aristas.

2.

Si la suma de las medidas de

todas las aristas de un hexaedro regular es 48 cm, calcular la medida de una arista.(Graficar)

3.

Si la arista de un tetraedro

regular mide 5, calcular la suma de las medidas de todas sus aristas (graficar). 5. ¿Cuántos vértices, aristas y caras tiene el poliedro mostrado? 4.

En el rectoedro mostrado,

calcular la suma de las medidas de sus aristas.

4 3

12

6. Graficar un hexaedro regular de arista 2 cm.

7. Graficar un cubo de arista 3 cm.

5.

Si una diagonal de un cubo mide

5 3 cm, calcular la suma de las medidas de todas sus diagonales (graficar).

8. Graficar un rectoedro de arista 2 cm; 3 cm y 4 cm.

ÁREAS Y VOLUMENES

9. Graficar un paralelepípedo rectangular de aristas 5 cm; 6 cm y 1 cm.

I. EN EL CUBO O HEXAEDRO REGULAR *

10.

*

Graficar un paralelepípedo rectangular de

1 cm

1 cm

2

arista 4 cm; 8 cm y 3 cm.

1.

1 cm

1 cm

TAREA DOMICILIARIA

×

2 cm 2

(1 cm )

A = 6 cm

aristas (A) y vértices (V), luego, calcular “C + V - A”.

V = 1 cm

×

2

1 cm

V = 1 cm

240

×

2

(4 cm ) 2

A = 24 cm ×

3

A = 6

1 cm

V = 2 cm

×

2 cm

V = 8 cm


MATEMATICA

2

2 cm

A = 6

Hallar el número de caras (C),

4 cm

4 cm

× 2 3

cm

2 cm


*

1 cm

* *

1 cm

2

1 cm

1 cm ×

2

(1 cm )

A = 6 cm V = 1 cm

×

V = 1 cm

A = 6

2

1 cm

4 0 cm

1 cm

2

20 cm

+ 20 cm

2

2

+ 2

x

40 cm

2

2

+ 40 cm )

A = 2 (9 2 cm )

3 cm

2 5 cm A = 6 × (9 cm )

A = 184 cm

2

V = 8 cm

5 cm

cm

V = 3 cm

x

4 cm

3

× 3 Generalizando: cm

3 cm

×

x

V = 160 cm

2

A = 54 cm

3

V = 8 cm

x

3 cm

8 cm

× 2

+ 2

2

2

2 cm

×

2

A = 2(32 cm

4 cm

2

2

32 cm

x

2

2

(4 cm )

×

V = 2 cm

3

32 cm

A = 2

3 cm

2

9 cm

20 cm

4 cm

A = 24 cm ×

5 cm

2 cm

2 cm

A = 6

2 cm

2

4 cm

4 cm

8 cm

3

V = 27 cm

Á re a (A )

c

A = 2 ( a .b + b .c +

*

4 cm

2

b

2 cm

9 cm

(4 cm )

×

2 cm

V = 8 cm

A = 6

× 2

cm

V = 3 cm

(9 cm )

×

3 cm

×

a

2

A = 5 4 cm

3

V = a

×

b

×

c

b

2

A = 24 cm cm

A = 2 ( a .b + b .c + a .c )

3 cm 2

V o lu m e n ( V )

Á re a (A )

3 cm

2 cm ×

3 cm

2

c

2 cm

= 6

a


2

1.

suma de aristas es 24 cm.

cm

× 3

Calcular el área de un cubo cuya

3

V = 27 cm

Generalizando: 2. Á re a (A ) a

2

2

a

a

A = 6 a

cuya suma de aristas es 36 cm.

V o lu m e n ( V ) V o lu m e n ( V )

Á re a (A ) 2

a

A = 6 a

2

V = a

3

V = a

3

a

3.

a

Calcular el volumen de un

hexaedro regular cuya área es 96 cm2.

II. EN EL PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR Las caras opuestas son iguales. A = 2

6 cm 4 cm

2

24 cm

2 cm

12 cm

2 cm 8 cm

2

A = 2 2 cm 2

x

8 cm

A = 16 cm

2

A = 88 cm

2

2

2

+ 2

x

+ 4 8 cm

24 cm 2

2

x

1 2 cm

4.+

A = 16 cm

2

A = 88 cm

2

x

4 8 cm

2

24 cm 2

+ 2

+ 2 4 cm

x

1 2 cm

2

Calcular el área de un

2

paralelepípedo rectangular cuyas dimensiones son 10

x

V = 48 cm

+ 2

+ 2 4 cm

2

8 cm + 2

x

V = 6 cm

4 cm

6 cm

8 cm

Calcular el volumen de un cubo

cm; 12 cm y 5 cm. 4 cm

2 cm

x

3

2

2

5.

Calcular el área y el volumen de

un rectoedro cuyas dimensiones son 9 cm; 16 cm y 4 cm.

V = 6 cm

4 cm

V = 48 cm

4 cm

x

2 cm

x

3

A = 2

8 cm

*

5 cm

4 cm

40 cm

+ 2

2

x

2

20 cm + 2

x

2

2

40 cm

2

Calcular el área de un hexaedro

2

4 cm 2

2

5 cm 8 cm

2

32 cm

A = 2 ( 3 2 c m 6.+ 2 0 c m + 4 0 c m )

2

20 cm

32 cm

x

regular cuyo volumen es 216 cm3.

A = 2 (9 2 cm ) A = 1 8 4 cm

2

V = 8 cm

5 cm

x

V = 1 6 0 cm

x

4 cm

3

7.



MATEMATICA 241

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” un rectoedro cuyas dimensiones son 8 cm; 12 cm y 6

1. Calcular el área del hexaedro regular mostrado.

cm.

8.


un rectoedro cuyas dimensiones son 5 cm; 10 cm y 3

3 cm

cm. 2. 9.

Graficar un cubo donde la suma

de todas sus aristas es 24 cm. Calcular su volumen.

Calcular el área de un cubo cuya

suma de aristas es 96 cm. 3. 10.

Graficar un paralelepípedo

rectangular cuyas dimensiones son 3 cm; 4 cm y 2

Calcular el área de un cubo, si su

cm. Calcular su área.

volumen es 1 728 cm3.

4. 11.

Las áreas de tres caras de un

Graficar un rectoedro cuyas

dimensiones son 4 cm; 6 cm y 8 cm. Calcular el

paralelepípedo rectangular son: 122, 152 y 202.

volumen.

Calcular su volumen. 5. Calcular el área del rectoedro mostrado. 12.

Calcular el área total del

rectoedro mostrado, si las longitudes de sus aristas

16 cm

están en la relación de 2; 3 y 4. Además su volumen es 1923.

12 cm 9 cm

13.

Calcular el área total de un cubo

que tiene el mismo volumen de un paralelepípedo rectangular de 16 cm de largo, 8 cm de ancho y 4 cm

6.

de altura.

60 cm. Calcular el área de dicho cubo.

14.

La suma de aristas de un cubo es

7.

El volumen de un rectoedro es

Calcular el volumen de un cubo

cuya área es 216 cm2.

243. Si el largo es el triple del ancho y el ancho es igual a la altura, calcular su área total.

8. Hallar "x", si el volumen del rectoedro es 288 15.

Calcular la suma de las aristas

cm3.

de un hexaedro regular, si su volumen es numéricamente igual al triple de su área.

TAREA DOMICILIARIA


MATEMATICA 242

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” A’ x 6 cm 12 cm



A

O

Elementos: O : vértice del ángulo

    OA : Lado inicial      OA' : Lado terminal

9. Calcular la suma de aristas de un cubo, si su área es igual a 384 cm2.

q

: medida del ángulo trigonométrico.

Características

10. Calcular "x" en el rectoedro mostrado, si su volumen es 720 cm3.

1. Sentido.- De acuerdo al sentido de rotación del rayo el ángulo trigonométrico puede ser: a. Positivo.- Cuando el sentido de rotación es contrario al movimiento de las manecillas de un reloj (antihorario).

8 cm x 10 cm

A

O



A

b. Negativo.- Cuando el sentido de rotación es horario. O A 

A 2. Magnitud.Un ángulo trigonométrico puede adoptar cualquier magnitud, dependerá de la rotación que se genere. 

TRIGONOMETRÍA

O

A

SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR A’ a: medida de un ángulo trigonométrico.

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Y SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR Ángulo trigonométrico.- Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo alrededor de su origen: desde una posición inicial hasta una posición final. La amplitud de la rotación es la medida del ángulo trigonométrico, la posición inicial del rayo se llama lado inicial; la posición final se llama lado terminal y el origen del rayo es el vértice del ángulo.

OBSERVACIÓN 1. El ángulo generado al coincidir por primera vez al lado inicial y el lado terminal se denomina ángulo de una vuelta. Si bien la rotación puede ser en sentido horario o antihorario: consideramos al ángulo positivo cuando hablemos del ángulo de un a vuelta.


MATEMATICA 243

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” A’

o Ángulo de una vuelta (1).

R e gla D e C o n vers ió n

A

x 3600

2. Para sumar o comparar ángulos trigonométricos: estos deben tener el mismo sentido.

x 60

x 60 G ra d o s

3. Al cambiarle de sentido a un ángulo trigonométrico: este cambia el signo de su valor.

60

60

SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR Los más conocidos son:

3600 Ejemplo (1) Convertir 3º a minutos RESOLUCIÓN: Recordar: 1º=

1. Sistema sexagesimal. También llamado sistema inglés; su unidad es el grado sexagesimal que representa al ángulo de una vuelta dividido en 360 partes iguales.

Ejemplo (2) convertir a segundos RESOLUCIÓN: Recordar:

1º 1º

1º  3600'' 1'  60'

360 p a r te s ig u a le s

3600''  18000'' 1º 60'' 30'   1800'' 1' 5º 30'  18000'' 1800''  19800''

 5º 

m1v  1º 360 m1v  360º

NOTACIÓN:

AºB'C ''  Aº B' C ''

Unidad: (1º): grado sexagesimal Subunidades. (1’) : minuto sexagesimal (1”) : segundo sexagesimal

Donde: B,C < 60 3. Sistema Radial.También llamado sistema circular o internacional su unidad es el radian: que representa el ángulo de una vuelta dividido en 2 partes iguales:

EQUIVALENCIAS: < > Equivale a: 1º < > 60’

m1v  1rad 2

1 ’ < > 6 0 ’’

Nota: Pero por comodidad en lugar del símbolo (< >) se suele utilizar el símbolo (=), esto es lo que utiliza. 1º = 60’

S egu n d o s

M in u to s

Unidad: (rad)

1 ’ = 6 0 ’’

Ejm.: 1. R 2. C

= =

4º + 6º = 10º xº + 3º = (x+3)º

3.

M

=

4º  2º 2

4.

L

=

6º  3 2

5.

F

=

32º–17º=15º

:

m1v  2 rad radián;  3,1416

N O T A . - E n e s te s is te m a n o e x is te s u b u n id a d e s s o lo h a y r a d ia n e s.

CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS Los sistemas sexagesimal y radial están relacionados mediante una fórmula de conversión m1vuelta  360  2 rad Sea “S” la medida de un ángulo “

θ

”

sexagesimales


MATEMATICA 244

en

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Sea “R” la medida de un ángulo “ 

θ

6.

” en radianes.

Calcular las siguientes operaciones:

B) 8030' 2045'

DONDE: S : Número de grados sexagesimales R : Número de radianes 7.

• Cada uno de los números anteriores es para un mismo ángulo, conocido también como números convencionales.

Calcular: a°b’+b°a’ Si: A) a  b  12

8.

Método Práctico: 1. Para convertir grados sexagesimales a radianes; multiplicamos por:     rad  180

 

9. Calcular “x” si:   4543' ;   8523'

( 180π )

Ejemplo: Convertir:  rad a grados sexagesimales 5   180    36 5 

 

30º   rad 6 ………………………( ) 15º  5 rad 12 b) ……………….. ( ) a)

Convertir a minutos: sexagesimales A) 20° B) 30°

3.

Convertir a minutos: sexagesimales A) 5º 4’ B) 4º 30’

4.

Convertir a segundos: sexagesimales

5.

11. Calcule a+b, Si:

Convertir a segundos: sexagesimales A) 5’ B) 10’

A) 125'

 

2 rad  ab º 5

12. Calcule q en radianes 

75º

B) 310'

13. Convertir a minutos 9º 15’

Convertir a grados: sexagesimales A) 480'

x

10. Señale falso (F) o verdadero (V)

PRACTIQUEMO

2.



RAZONES TRIGONOMÉTRICAS I

   45.  rad  rad 4  180 2. Para convertir radianes a grados sexagesimales,

1.

B) a  b  30

Calcular “a” si:   1543';   1212'

Ejemplo: Convertir 45º a radianes.

multiplicamos por

2025' 2520'

A)

S R S R    360 2 180 

14. Convertir a segundos 2º15’

B) 1080’

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS I 2do Grado de Secundaria

MATEMATICA 245

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” C c

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) RAZÓN Es el resultado de comparar dos cantidades, esta comparación se expresa mediante el cociente de ellas. Ejemplo: Calcule la razón entre los lados menor y mayor del triángulo ABC. RESOLUCIÓN: lado menor 2m lado mayor 5m B

Razón(r) =

4m

2m 5m

b a A

• •

=

=

sen cos tg

y

∡C

Demostración (del matemático de la India llamado Bhaskara).

Respecto de un ángulo “” agudo

H ip o te n u s a (H )

N n ú m e ro á n g u lo o p e r a d o r tr ig o n o m é tr ic o

c a te t o o p u e s to (C O )

 c a t e t o a d y a c e n te (C A )

RAZÓN TRIGONOMÉTRICA (R.T.) Definición: Una razón se llama trigonométrica, si comparamos por cociente las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo.

NO M BRE se n o d e  ;

D E F IN E

se n  =

L o n g i tu d d e l c a t e t o o p u e s t o d e l  L o n g i tu d a la H i p o t e n u s a 

c o s e n o d e  ; c o s  = L o n g itu d d e l c a te to a d y a c e n te d e l L o n g i t u d a l a H i p o te n u s a

Por ejemplo del triángulo rectángulo adjunto podemos establecer el siguiente conjunto de razones trigonométricas.

ta n g e n te d e  ; T g  =

L o n g itu d d e l c a te to o p u e s to d e l L o n g itu d d e l c a te to a d y a c e n te d e l

5

 

PRACTIQUEMOS

3

4

∡A

c2=a2+b2

Razón Trigonométrica Es el resultado de aplicar un operador trigonométrico a un ángulo. 

Donde

Teorema de Pitágoras El cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. Del triángulo rectángulo ACB

Operador Trigonométrico Son aquellos símbolos matemáticos que se aplican a los ángulos. En este capítulo estudiaremos:

se n

∡ A+ ∡ C=90 °

B

0º  ángulo agudo < 90º

C

sen o co se n o ta n g e n te

c

catelos hipotenusa

son ángulos agudos

2m

5m

ayc b

•

0,4 A

A

3; 4 ; 3 ; 4 ; 5 ; 5 5 5 4 3 4 3

1.

Observando que en un triángulo rectángulo solamente podemos obtener 6 razones trigonométricas diferentes.

Calcular “x”

x

4

Dado un triángulo rectángulo ABC (B=90°) se verifica:

3


MATEMATICA 246




Calcular “m”

2

5

m

5

9.

Calcular:

tagθ

12 3.

12



Calcular “x”

17

4

2 10. Calcular. tag

x 4.

α 2



Calcular: x

6 13

12

TAREA DOMICILIARIA x 5.

1.

Calcular: tg  cos

Calcular: sen

 50

14

5a 

6.



α

Calcular: sen

2.

Calcular:

25

4a

R  sen .sen 2m







m

7 7.

Calcular: cos 

3.

3



Calcular:

K  2.

Calcular: Cos

2

2m

10

8.

cos cos

m

β

2



 4.

Calcule:


MATEMATICA 247

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” R  sen  3 cos 4

10. Calcular:

R  sen . cos

24

7

3



 4

5.

2

Calcule: sen 

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS II 

Razones Trigonométricas de un ángulo agudo En esta segunda parte estudiaremos las razones trigonométricas como son: cotangente, secante, cosecante.

2

1

6.

Calcule:

c o ta n g a n te  s e c a n te  c o s e c a n te 

M  sen2  cos2 

c tg  sec c sc 

RECORDANDO: 5

Dado un triángulo rectángulo ABC (



A

1

7.

Calcule:

b

c

F  5sen  4tg

a

B

4

Donde



ayc b

3

8.

C

: catetos : hipotenusa

Respecto al ángulo “”; siendo agudo.

Calcule:

A

2

G  (sen  cos)

b



c

5



 12

9.

¿ B=90 ° ¿

Calcular:

B

E  sen  cos

3

a

C

TEOREMA DE PITÁGORAS

1

b c a



: : :

b2  c2  a2 Hipotenusa (H) Cateto Opuesto (CO) Cateto Adyacente (CA)

Luego podemos definirlos:


MATEMATICA 248

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 6. c tg 

sec

c sc 

C a t e to A d y a c e n te

=

=

C a t e to O p u e s to H ip o te n u s a

=

=

C a t e to A d y a c e n te H ip o te n u s a

=

=

C a t e to O p u e s to

Calcular: csc 

a c

24 25

b a

7.



Calcular:

sec  csc 

b c



PRACTIQUEMOS 1.

13

Calcular: ctg 

12 8.

12

Calcular:

csc  sec

 10 2.

4

Calcular: ctg 

5

3

3



 3.

9.

Calcular: sec 

Calcular:

R   ctg  13

3





2

12 4.

10. Calcular:

1 ctg 

θ

Calcular sec

sec 



1

1 

2 2 5.

TAREA DOMICILIARIA

Calcular: csc 

2

1.

Calcular:

K  ctg .

3

1

1 sec 




MATEMATICA 249

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 

3



1

3

5  3



7. 2.

Calcular:

Calcular: E=3.tg.ctg



P  sec   csc 

3 12

8.



2

Calcular:

E  2.cos.sec 7

13

3.

1 1  sec  csc 

M

Calcular:

7



5



4.

Determinar:

9.

3

2 2 2 E  sec   tg  4 

Determinar:

Q

1 1  sec  csc

2



3

10. Calcular:

R

5

sec  csc 



 5.

2

Calcular:

N



sec.sec ctg

2

2

13



 5

6.

Calcular:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE: 37º - 53º Y 16º - 64º

P  sec .ctg

En

éste

capítulo

estudiaremos

las

razones

trigonométricos de ángulos agudos de 37° - 53° y 16° - 74° para lo cual estableceremos los triángulos rectángulos que contienen a dichos ángulos y además la proporcionalidad de sus lados.


MATEMATICA 250

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Triángulo Pitagórico:

37°

Denominados también triángulos rectángulos perfectos debido a que la medida de sus lados están expresados por números enteros positivos. Los lados de todo triángulo, pitagórico tiene la siguiente forma: 2

m + n

53° 3K

Ejemplos:

2

*

2m n

D o n d e: m y n so n n ú m e ro s e n te r o s p o s itiv o s ( m > n )

m 2- m

5K

4K

sen 37° = *

tg 53° =

2

De la forma general se deduce

3k 3 = 5 5k

el siguiente caso

4k 4 = 3 3k

particular: D o n d e: n : n ú m e r o e n te r o im p a r (n > 1 ) n 2+ 1 2

2

n - 1 2

R T

3 7 °

se n co s tg c tg se c csc

3 4 3 4 5 5

5 3 °

/5 /5 /4 /3 /4 /3

4 3 4 3 5 5

/5 /5 /3 /4 /3 /4

NOTA Las razones trigonométricas de los ángulos de 37° y 53° son aproximados.

n

Ejemplos: n = 3

Razones Trigonométricas de Ángulos: (16º - 74º)

n =5

5

4

16°

13

12

25K

24K

3

5

74° 7K

n = 7

Ejemplos: 25

24

sen 16° = *

7k 7 = 25 25 k

tg 74° =

7

*

Razones Trigonométricas de ángulos: (37° 53°)

24 k 24 = 7 7k

RT

16°

74°


7 /2 5 2 4 /2 5 7 /2 4 2 4 /7 2 5 /2 4 2 5 /7

2 4 /2 5 7 /2 5 2 4 /7 7 /2 4 2 5 /7 2 5 /2 4


MATEMATICA 251

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” K  cos74º 

NOTA. Las razones trigonométricas de los ángulos de 16° y 74° son aproximadas.

15. Determinar:

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Calcular: R =

5•(sen 37°+ cos 37°)

2. Calcular

= 4•(tg 37° + ctg 53°)

:

4 sen53º

L

3. Calcular: C = 5•sen 37° +

sec 37° + csc 53°

5. Calcular: F =

5•(sen 16° + cos 16°)

12 tg37

16. Determinar:

M =

3•tg 53°

4. Calcular: M =

6. Calcular: G =

N = 24. sec16° 

24 + 3tg53° sec16°

17. Determinar:

F = 8tg53° + 8 18. Hallar: 2

N

sec 16º + csc 74º

2

sen 16º  cos 16º sen37º

7. Calcular:

H  (16)tg37º

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE 45º - 30º y 60º

8. Determinar:

1. Teoría:

K  (8)ctg53º  (8)sec53º

Dentro de la trigonometría, vamos a trabajar con triángulos rectángulos cuyos lados tienen una proporcionalidad conocida, en este capítulo conoceremos la, relación que existe entre los lados del triángulo de ángulos 45° - 45° y 30° – 60°, deduciendo así mismo sus razones trigonométricas y sus aplicaciones que esta implica.

9. Determinar: E = csc16° + ctg16° 10. Calcular: E = csc74° – tg74°

Triángulo rectángulo de ángulos agudos: 45° 45°

11. Calcular:

M

sen37º sec74º

Considerando el triángulo isósceles de catetos iguales.

12. Determinar:

k

45°

sen 53° F sec 16°

2

k 45°

13. Calcular:

k

14 W = 4tg53° + sen 16°

Ejemplos:

cos 45° = 14. Calcular:

k k 2

=

1 2 = 2 2


MATEMATICA 252

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” k =1 k

tg 45° =


Recuerda:

1

2 2



2

RT

45°

se n

1

co s

1

2 2

tg

1

c tg

1

30°

RT 1/2

2

1/ 3 =

3 /3

2 2/ 3 /3 = 2 3 /3

2


2 2

:

C =

2. Calcular: R = 3. Calcular

:

60°

sen30° +

3sen60º

3  tg30º  sec60º

S = 25

csc30º

–4

ctg45º

M  16sen30 + 4sec60

5. Determinar: E = csc30º . ctg60º . csc45º

Triángulo rectángulo de ángulos agudos: 30° 60°.

6. Calcular:

F = sen30° . sen45° . tg45°

2k

k

7. Calcular:

30°

N=

k 3 Recuerda:

2 1 + sec45° ctg45°

8. Calcular:

1 3 2 3



3 3



2 3 3

P=

2 2  csc45º tg45º

9. Determinar:

H   sec45 

Ejemplos:

Sec30° =

3

2/ 3 = 2 3 /3

4. Determinar:

Sen30° =

3 /3

3

1. Calcular

csc

1/2

3 /2

1/ 3 =

2



2

3 /2

2



se c

60°

10. Calcular:

k 1  2 2k 2k k 3



(csc30 2)

 sen45º Q    cos45º

2 2 3 = 3 3

11. Calcular

:

K=

(sen60º2)

2 sec45º  3tg60º

12. Determinar:


MATEMATICA 253

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 11. Calcular:

W = 2 . csc 45°  3 . tg30°

H =  sec30° tg45° A) 3/4 B) 4/3

TAREA DOMICILIARIA 1. Calcular:

M  3  tg60º  2sec45º A) 2/3 B) 6

2. Determinar:

3  2.cos45º sen60º

4

A) B)

2 2 tg45º . Calcular: R=(sen 45º+cos 45º)

2

1  tg 30º

ctg 60º 1 2

csc 60º

7. Calcular: 2

Así por ejemplo con ayuda de la figura hallar x en función de y a. c ( R . T . (  ) : R a z ó n tr i g o n o m é tr i c a d e  )

2

R  tg 45º sec 45º 8. Calcular: 2

2

F  sec 30º  tg 30º

b

E =

3 . tg345.cos30 2

A) 3/4 C) 2/3 B) 3/2

D) 4/3

C b

C = sec45° sen30° tg60° /2 C) /2

√6

/2 D)

A

√6

I n c ó g n i ta = R .T .  D a to x = a se n 

Caso I: Conocida la hipotenusa y un ángulo agudo

10. Calcular:

√3

x

 L u eg o : x = sen  A B Casos que se presentan:

9. Determinar:

√2

5

3

Cálculo de lados de triángulo rectángulo usando razones trigonométricas En todo triángulo rectángulo; si es conocida la medida de un ángulo agudo y la longitud de uno de sus lados; entonces un lado desconocido se calcula como el producto de una razón trigonométrica y el lado conocido.

2

B)

C) D)

2

sec 30º

6. Calcular:

A)

9 10

APLICACIONES GRAFICAS EN LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE ÁNGULOS AGUDOS DE: 45º- 45º; 30º - 60º; 37º - 53º

5. Calcular:

M

D) 3/2

E  (sec45º)2  (ctg30º)2

 sen30° . sen60°  1 tg45

L

C) 5

13. Determinar:

3. Determinar :

Q

C) 2/3 D) 1/2

12. Calcular:

2 3 R  sec45 cos30

E

(1 ctg45)



B

C B = se n  b

AB = co s  b

C B = b .se n 

A B = b .c o s

/3 Recuerda alumno:

Ejemplo: Calcular: w


MATEMATICA 254

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” C b

10

b se n 



A

5 2 x

w = 1 0 se n 3 7 º w= 10 3 5 w= 6

w

37º

A

B

b c o s

R e s o lu c ió n

C

B

45º

2. Calcular: m Caso II: Conocido un ángulo agudo y su cateto opuesto.

C

A B = c tg  a

AC = csc  a

A B = a .c tg 

A C = a .c sc 

a 

A

B

Recuerda alumno:



A

m

3. Determinar: n

20

R e s o lu c ió n

C R

a

a .c tg 

12

Ejemplo: Calcular: R

C a .csc

30º

B

37º

A

53º

R = 1 2 csc3 7 º 4

12

R=

12 5 3

B

R= 20

n

4. Calcular: b

50

Caso III: Conocido un ángulo agudo y su cateto adyacente.

C



A

c

B

Recuerda alumno:

C B = tg  c

AC = se c  c

C B = c .tg 

A C = c .se c 

A



c

b

5. Determinar: k:

3 3 60º k

Ejemplo: Calcular: y

C c .se c 

16º

C

c .tg  B

y A

45º 8

B

R e s o lu c ió n y = 8 .tg 4 5 º y = 8 (1 ) y= 8

6. Determinar: a: 12 2 45º a

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Calcular: x

7. Calcular: h:


MATEMATICA 255


21

m

53º

74º h

16º

8. Calcular: x: 4. Calcular: a 48 60º

16º

x

9. Determinar: y+x 15

53º

37º

a

8 3 x

y

5. Determinar x: 37º

10. Determinar: F+R

40

F 45º x

R

30º

4 16. Determinar: R+L

TAREA DOMICILIARIA

37º

L

20

1. Calcular: X+R

R

30º

X 17. Calcular: M

74º 30º

R 2. Calcular: x 30º

x

M

18. Calcular: C+M:

37º

2 19. Calcular: H +2:

3. Determinar: m


MATEMATICA 256

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” b c  1 c b

30º

•

H

tg A  ctg A a b  1 b a

3 37º

• “El producto de dos razones trigonométricas recíprocas es igual a la unidad”.

8

Por lo Tanto:

45º

se n A  csc A = 1 co s A  se c A = 1 tg A  c tg A = 1

M

Ejemplo: 1.

53º C

tg12   ctg12   sec20  1     cos20

2.

2 s e n   c s c  °  3 tg 7 2   c tg 7 2   5

5 12

= 5

5. son razones que cumplen esta condición.

se n A 

B c

a

•

3 .(1 )

4. cos50  sec50  1

y

14sen35°  csc35°   ctg15    2tg15    16 1

• En un triángulo rectángulo ABC recto en “C”, encontraremos algunas parejas de razones trigonométricas.

C

+

3.

Las razones recíprocas son aquellas cuyo valor es el

12 5

1

1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS

inverso aritmético de lo otro, por ejemplo

sen70  csc70  1

A

b

a c

c a

y

csc A 

b co s A  c

y

c se c A  b

a b

y

tg A 

c tg A 

1


Son: R A ZO N E S

b a

“Luego observamos que: si efectuamos la multiplicación de dos razones recíprocas, encontramos que el resultados es la UNIDAD”.

sen  csc18  1

1.

Calcule , si:

2.

Calcule , si:

3.

Calcule: +10, si: tg25°  ctg = 1

4.

Calcule+20° si:

5.

Calcule: M + N

cos7°  sec  1

sen  csc75°=1

M=sen16° csc16°+5tg8°  ctg8° N=13tg15° ctg15°

•

sen A  csc A

6.

a c  1 c a

Determine , si:

cos8  sec80°=1

•

cos A  sec A

7.

Calcule 3 , si:

tg3  ctg  


MATEMATICA 257


A)

Calcule , si: tg(2  30)  ctg40  1

10. Calcule x, si: csc(2x  20)  sen(x  70)  1

6.

Calcule , si:

A)

20º

1 ctg(60  2x)

7.

tg(3  20)  ctg(2  30)  1 B) 30º

C) 10º

D)

Calcule  si:

ctg(5  40) 

13. Calcule (x+20°), si:

A)

1 cos(20  2x)  sec(70  x) 8.

14. Calcule (2x + 10°), si:

sen(35  7x) 

C)15º

20º

11. Calcule 3, si: cos(20  2)  sec(80  2)  1

12. Calcule , si:

30º

D)20º

9. Determine 5 , si: sen(3  20)  ctg80  1

tg(80  2x) 

5° B)

1 csc(25  8x)

1 tg(3  20)

10º B)

20º

D)

40º

C)30º

Determine x, si:

cos(4x  90)  A) 30º

1 sec x

B) 60º

C) 20º

D) 10º

15. Calcular: M + R

M  sen10  csc10  3tg89  ctg89 R  12tg5  ctg5  14sec70  cos70

16.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Calcule M.

M  4sen50  csc50  12tg10  ctg10 Sea el triángulo rectángulo ABC, recto en C Como:

17. Calcule R.

    90º

R  16sen70  csc70  9cos50  sec50

son ángulos complementarios




Calcule C.

R 2.

A

28cot30  tg30  44csc10  sen10 2cos50  sec50

 C

b

B

Calcule x, si:

 3x  20  2x  10   cos 1   sec   4  3    3.

c

a

Calcule sen

θ

sen 

.

Luego:

sen  cos

1 tg(  20)  ctg(2  10) 4.

Calcule , si:

A)

50° B)

5.

Calcule x, si:

de forma análoga

tg  ctg sec   csc

sen(2  10)  csc(  40)  1 60º C)

a a ; cos  c c

40º D)

30º

Entonces:

sec(2x-5)  cos(x  25)  1


MATEMATICA 258

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 1. Calcule C+M.

S e n o y C o se n o so n c o – ra zo n e s. T a n g e n t e y C o ta n g e n t e s o n c o – r a z o n e s . S e c a n te y C o s e c a n te s o n c o – r a z o n e s .

C5

M  12


tg(3–10º)– ctg(+30º)=0

2. Calcule , si: tg  ctg70º

3. Calcule F.

3. Calcule (  20) , si: sec50  csc 

sen  cos20

5. Calcule (+20°), si:

tg2  ctg50

sen(7  70) cos(20  7)

2. Determine 2, si:

Calcule a, si:sen = cos 50º

4. Calcule (+15°), si:

sen30 tg70 4 cos60 ctg20

F 3

sen40 tg5 6 cos50 ctg85

4. Calcule , si: tg70ºsen(3+40º)=ctg20ºcos(3–40º)

6. Calcule (2 + 40°), si:

tg(3  20)  ctg 2  30 

7. Calcule 3, si:

5. Determine:

sen20 E 2   cos70 

sen  2  30º   cos 3  30º 

tg 8  30º  ctg   30º   0

ϕ

tg35  5   ctg55

G  2sen20  csc20 

2

sen8 tg40  cos82 ctg50

7. Calcule , si:

, si:

tg(30º+2) = ctg(20º–)

sec  3  10º   csc  2  10º   0

A) 50º

10. Calcule (+20º), si:

sen  8  20º   cos   25º   0

B) 40º C) 60º

D) 30º

8. Determine:

11. Determinar , si:

R 4

sec 2  50º   csc    50º   0

sen15 tg10  21 cos75 ctg80

A) 1 12. Calcule (R+C), si: sen35 tg20 R1 3 cos55 ctg70 C4



6. Calcule G.

8. Calcule (+5), si:

9. Calcule

3

B) 2

9. Calcule x. A) 10º

sen20 sen28 7 csc70 cos62

C) 5

D)

6

cos(2x+10º) = sen(x+20º) B) 20º

C) 30º

D) 40º

10. Calcule 2b, si:cos (2 – 30º) – sen (2 + 30º)=0 13. Calcule (x + y), si: tg(2x  30)  ctg(2y  20)

A) 45º

B) 20º

C) 10º D) 18º

11. Calcule (M+N), si:

14. Calcule R. 2tg(2  20) sen70 R  ctg(70  2) cos20

M  2sen70  csc70  3 N5

TAREA DOMICILIARIA

sen20 cos70

tg75 sec45  16 ctg15 csc45


MATEMATICA 259

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” A) 26

B)

21

C) 15

D)

27 P

2

x

1

x

2



1

2

define como:

P1 P2  x2  x1  x1  x2

TEORÍA: Los sistemas numéricos: Los números naturales,

Ejemplo:

enteros, racionales y reales, constituyen estructuras

1. Calcular la distancia entre P y P si: 1 2

algebraicas que se utilizarán en Trigonometría plana.

P

El estudio de estos sistemas numéricos se desarrolla principio

en

un

sistema

unidimensional

y

por el filósofo francés René Descartes, quien pudo funciones.

P SISTEMA UNIDIMENSIONAL

Los números reales se pueden ubicar en una recta ubican a la derecha del cero (0) y los números Debido a la gran densidad de los números reales, estos pueden estar ubicados en la recta numérica.

1

5

N e g a tiv o s

2

6

P1

P2

–10

–4

SISTEMA BIDIMENSIONAL

3



A partir del concepto de un sistema unidimensional se puede establecer una correspondencia biunívoca entre los puntos de un plano y pares ordenados de números reales.

P o s itiv o s A

–3

C

E je d e Y ( o rd e n a d a s )

Existiendo una relación biunívoca entre los números

P a r o rd e n a d o (X ; Y )

reales y cada punto de la recta; es decir, a cada

5 ( 2 ;4 )

4

punto de la recta le corresponde un sólo número real,

( – 5 ;3 )

3

asimismo a cada número real le corresponde un punto de la recta. Como se puede ver en la figura 1.

2

P1P2  10  (4)  10  4  6  6

O 0

P


negativos a la izquierda de este.

–1

1

P1P2  6  (3)  6  3  9  9

numérica por convención los números positivos se

–2

2


dar consistencia al estudio de las relaciones y

2

P

1

2 8 P1P2  8  2  6  6

posteriormente en un sistema bidimensional ideado

–3

1

Se podrá calcular la distancia entre P y P la cual se

NOCIONES DE TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA

en

P

2 1

O r ig e n

el punto O

–5

corresponde al cero (0); el punto A corresponde al

–3 –2 –1

1

0 –1

2

3

4

5

E je d e X (a b c isa s)

–2 –3

dos (2); el punto C le corresponde el tres (3). En general si al número real x le corresponde el punto P entonces se denota como P( x), que se lee

( – 4 ;– 5 )

como el punto P con coordenada x”.

–4 –5

( 5 ;– 4 )

Y ’

Entonces, si tenemos:


MATEMATICA 260

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Lo cual permite denominar lo que es el PLANO CARTESIANO, que es un sistema formado por dos rectas perpendiculares cuya intersección será el origen de coordenadas.

Y

A la recta HORIZONTAL se le conoce como EJE DE ABCISAS (x), mientras que la recta VERTICAL se le denomina EJE DE ORDENAS (y).

IIC

IC

x< 0; y> 0

x> 0; y> 0

IIIC x< 0; y< 0

IV C x> 0; y< 0

X’

En la figura adjunta podemos observar al plano cartesiano cuyas características son las siguientes:

X

Y’ *

1.

Si P  x; y  IC x>0; y>0

0: Origen de coordenadas. (0;0)

Si P  x; y  IIC x<0; y>0

El eje : X X

Si P  x; y  IIIC x<0; y<0

Eje de Abcisas (Eje x)

Si P  x; y  IVC x>0; y<0

El eje: Y Y Eje de Ordenadas (Eje y) • Se observa también que el plano está dividido en 4 regiones denominados cuadrantes y numerados como se indica en la figura. • También se determina: – O X

: Semieje positivo de las abcisas.

– O X

: Semieje negativo de las abcisas.

– O Y

: Semieje positivo de las ordenadas.

OY

: Semieje negativo de las ordenadas.

–

2.

se le considera positivo. Radio Vector:

Y

x

O

X

R a d io v e c to r : d (O P )  r 

x

2

 y

2

Ejemplos: 1.

Calcular el radio vector para el punto (–3;4). Resolución:

r  (3)2  42  r  9  16

P1 (x 1 ; y 1)

x1

(x ;y )

r

Y

0

P

y

1. UBICACIÓN DE UN PUNTO La ubicación de un punto en el plano cartesiano se representa mediante un par ordenado ( x; y), en donde a este punto se conoce como “coordenadas del Punto”. a x se le denomina Abcisa del punto P . 1 1 a y se le denomina Ordenada del punto P . 1 1

y1

A la distancia de un punto del plano

cartesiano al origen se le llama RADIO VECTOR (r) y

r  25  r  5 2.

X

Entonces: P(x,y); se lee: El punto P de coordenadas x, y.

Calcular el radio vector para el punto (3;–2). Resolución:

r  32  (2)2  r  9  4

P  IC ; Se lee. El punto P pertenece al primer

Cuadrante.

r  13

O b s e rva c ió n

DISTANCIA HORIZONTAL Y VERTICAL ENTRE DOS PUNTOS

Sea los puntos:

P1  x1;y1  y P2  x2;y2 

Se define:


MATEMATICA 261

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Distancia horizontal entre P1 y P2:

Calcular la distancia entre los puntos P 1(–3;2) y P2(12;–6)

D H (P 1 P 2 )  x 2  x 1  x 1  x 2

Resolución:

d  P1P2   (12  (3)2  (6  2)2

Distancia vertical entre P1 y P2.

d  P1P2   (12  3)2  (8)2

D H (P 1 P 2 )  y 2  y 1  y1  y 2

d  P1P2   225  64 d  P1P2   289  d  P1P2   17

Y P 2 (x2 ; y2)


D V P 1 (x 1; y 1)

Determinar las coordenadas de los puntos A, B, C y D. Y

D H

A

6

X B

Ejemplo:

2 –2

Calcular la distancia horizontal y vertical entre los puntos P1(–4;–2) y P2(6;9) Resolución:

5

X

–3

DH  P1P2   6  (4)  6  4  10

D

–5

DV  P1P2   9  (2)  9  2  11 Y

3 0

C

(6 ;9 )

2. Determinar las coordenadas de los puntos A, B, C y D. Y

D V = 11

A

5

B

4

–4 6 (– 4 ;– 2 )

–2 D H = 10

X

–3

C

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Sea los puntos

P1  x1;y1  y P2  x2;y2 

6

–2 –3

X D

3. ¿A qué cuadrante pertenecen los puntos? A(–2;3) B(–4;–6) C(2;3) D(4;–2)

Se define la distancia horizontal entre P1 y P2:

d (P 1 P 2 )  r 

2 0

( x 2  x 1 )2  (y 2  y 1 )2

3. ¿A qué cuadrante pertenece los puntos? A(2;4) B(–3;5) C(2;–6)

Ejemplo:


MATEMATICA 262

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” D(–2;–3) 2. Calcule el área de las siguientes figuras.

5. Calcular la DV entre los puntos A(4;6) y B(8;12) 6. Calcular la DV entre los puntos A(–4;8) y B(– 3;16) 7. Calcular la DH entre los puntos A(3;2) y B(10; 15).

Y

A ( – 6 ;4 )

B

0

8. Calcular la DH entre los puntos A(6;8) y B(32;10).

X C ( 2 ;– 5 )

D

9. Calcular (a+b), si:

3. Calcule la distancia entre los puntos A(3;2) y B(7;5)

Y ( – 1 0 ;a )

( b ;4 )

4. Calcule la distancia entre los puntos A(3;8) y B(9;13). O

10.

5. Calcule la distancia entre los puntos A(14;13) y B(20;4).

X

6. Calcule la distancia vertical entre los puntos A(–6;4) y B(4;–10).

Calcular (a+b), si:

Y

7. Calcule (a+b+c+d). Y

( c ;d )

6

O

X

4

0 –2

( 8 ;b )

( a ;– 6 )

X

( a ;b )

8. Calcule el perímetro del rectángulo ABCD.

11. Calcular el perímetro del rectángulo ABCD.

Y

Y

B

A ( 4 ;5 )

B ( 1 0 ;4 )

A

O

D ( – 3 ;– 2 )

0

X C ( – 3 ;– 3 )

C

X D

9. Calcule la distancia entre los puntos A(–4;–3) y B(0;–6).

TAREA 1. Determine las coordenadas de los puntos A; B; C yD

10. En la figura calcular, (DH + DV).

A) (–4;6), (–6;–3), (–1:5), (5;–3) B) (–4;6), (–6;3), (–1;5), (5;–3) C) (4;–6), (–6;–3), (1;5), (–5;3) D) (–4;6), (–6;–3), (1;–5), (5;3) E) (4;6), (6;3), (1;–5), (–5;–3)


MATEMATICA 263

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Y

Y

( 3 ;5 )

y2 C (x 2; y 2)

G D V 0

( – 4 ;– 1 )

d

x1

X

x2

X

D H

11.Calcule (DH + DV), si:

M

F y1

R ( x 1; y 1)

Y D H B ( 5 ;6 )

D V

Demostración Conocido los puntos R y C, trazamos las perpendiculares RF y CG, cuyas prolongaciones se cortan en un punto M. En el triángulo rectángulo RCM aplicamos el Teorema de Pitágoras:

X A (– 2 ;– 3 )

Aplicamos la distancia entre dos puntos de la

12. Calcule (a+b). A

MR= x2  x1

recta, se tiene:

Y

y

2

6

Entonces:

CM  y2  y1

d2= x2  x1  y2  y1

2

2

Dado que : 0

a  a2 ; a  

d2=(x2  x1)2  (y2  y1)2

X

 d= (x2  x1)2  (y2  y1)2 ...lqqd B

(a , b )

Ejemplo: 1. Calcule la distancia entre A(2;3) y B(5;7).

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Resolución:

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO

d=

Conociendo las coordenadas de dos puntos cualesquiera R(x1; y1) y C (x2; y2); usted puede determinar la distancia d entre ellos:

d= (5 - 2)2+(7 - 3)2

d  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2

(x 2  x 1 )2  (y 2  y1 )2

d= 32+42

d= 25

d5

A continuación demostraremos la forma de calcular la distancia entre los dos puntos en el sistema bidimensional.


Determine la distancia entre los puntos A(2; 5) y

B(7; 17).

2.

Calcule la distancia entre los puntos A(8;

6) y B(16; 12)


MATEMATICA 264


Determine la distancia entre los puntos P(2; 3) y

TAREA DOMICILIARIA

Q(4; 6). 4.

1. Calcule el perímetro del A(–4; –3), B(8;3) y C(8; 2).

Calcule la distancia entre los puntos R y C. Y C

5

2.

distancia al punto C(2; 1) es

R (2 ; 3 )

X

12

5.

Calcule

la

distancia

entre

los

3.

45 ; x>0.

Calcule AB + BC.

puntos

Y

A(4;0) y B(2; 1) . 6.

Calcule las coordenadas del punto R ( x, 7). Si la

A ( 2 ; 2 )

Determine la distancia entre los puntos F y G.

X

Y F

8

6

5 4

7.

B (2 ; 1 ) X

C ( 3 ;  1 3 ) G

4. Dados los puntos A(2; 4), B(6; 8) y C(–2; 1). Calcule:

Determine la distancia entre los puntos A y B. Y

R

AB  BC AC

A (1 2 ; 1 4 )

5. Un triángulo tiene sus vértices en A(0; 0), B(0; 12) y C(10; 0). Determine la medida correspondiente al lado más pequeño.

X

6. Si a =2. Calcule la distancia entre los puntos P( a +3; a +2) y Q( a –5; 17– a ).

B ( 8 ; 1 2 )

8.

Determine las coordenadas del punto A(x; 0) si

la distancia al punto B(5, 7) es 9.

7. Calcule la menor distancia entre los puntos P(– 1;–2), Q(–3; 4) y R(2; 3).

50 ; x>1.

Calcule la menor distancia entre los puntos R(3;

8.

2), C(4; 5) y D(6; 7).

Calcule las coordenadas del punto A(x; 1) si la

distancia al punto B(3; 4) es

10. Determine la distancia entre los puntos A(–4;

9.

4) y B(6; 6).

En la figura calcule el perímetro.

Y

11. Calcule la distancia entre los puntos A(12; 30) y B(15; 34). A) 4 B) 5 C) 6 D) 7

10 .

(2 ;1 0 )

( 2 ; 5 ) X

12. Determine el perímetro del triángulo ABC, A(2;3), B(17; 3) y C(2; 11). A) 10 B) 20 C) 30 D) 40

(4 ;  2 ) ( 1 ;  8 )


MATEMATICA 265

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Por propiedad del Trapecio (Base Media). 10. Calcule el área de la figura.

Y

(4 ;1 2 )



 x1  x 2 y1  y 2  ;  2 2  

R  

Ejemplo: Calcule las coordenadas del punto medio M (x; y) del segmento cuyos extremos son A(12; 16) y B(18; 30).

X

Resolución:

(4 ;  6 )

(3 ; 6 )

y1  y2 2

 y

Entonces del enunciado tenemos:

12+18  15 2 16+30 My=  23  M(15;23) 2 M x=

11. Determine (PQ+QB). Y

P (1 ; 2 )


X

1. Calcule las coordenadas del punto medio del segmento AB. Si A(10; 12) y B(20; 24).

Q (3 ; 1 )

2. Calcule las coordenadas del punto medio del segmento RC. Si R(–12; –8) y C(16; 12).

B (9 ;  6 )

3. Calcule las coordenadas de F si es punto medio de RC.

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

R ( 3 0 ; 1 2 )

F Si R(x; y) es el punto medio del segmento que tiene por extremos: P1(x1; y1) y P2 (x2; y2).

C (1 2 ; 6 ) 4.

Entonces se tiene:

Calcule (x + y), si P es punto medio de:

Y

(3 0 ; 6 )

R

A (2 ; 4 ) 5.

P 1(x 1; y 1)

Calcule (x + y, si P es punto medio de:

(2 ; 5 )

y2

y

y1

P (x ; y )

P (x ; y ) (– 5 ; – 3 )

x

x1 xx 1

x2

X 6.

x 2 x

(– 4 ; 3 )

Por propiedad del Trapecio (Base Media).

x  x1  x2  x  x

Calcule las coordenadas del punto P.

(– 2 ; – 1 )

x1  x2 2

P (x ; y )


MATEMATICA 266


Calcule las coordenadas del punto Q.

2.

Determine las coordenadas de A.

(– 3 ; 8 )

R (8 ; 1 0 ) (– 1 ; 4 )

P (x ; y )

A

Q (x ; y ) 8.

M (6 ;  2 )

2 2 Calcule (x +y ). 3.

(9 ; y )

2 2 Del gráfico, calcule (x +y ).

(x ; 6 ) (x ; 4 ) (– 3 ; – 2 )

9.

(2 ; 2 ) (– 2 ; y )

2 2 Calcule (x +y ), si:

4.

Calcule:

 x    y

B (2 ; 2 6 )

(x ; 4 ) A (1 0 ; 2 )

(4 ; 3 ) (1 ; y )

10. Calcule 2(x+y), si:

R (2 ; 4 ) F (1 6 ; 3 0 )

5.

Calcule las coordenadas del punto R.

A (– 1 ; 4 )

M (x ; y )

11. Calcule el punto medio del segmento PQ, donde: P(–8 ; –2) y Q(–8 ; –6).

R (x ; y )

C (4 ; 2 )

12. Determine (x + y), si:

B (– 3 ; – 2 )

(– 2 ; 8 ) 6.

(0 ; – 2 )

Calcule las coordenadas del punto P.

A (2 ; 8 )

(x ; y ) 2 2 13. Calcule (x + y ), si:

P (x ; y )

B (4 ; 0 )

(4 ; 8 ) (– 4 ; – 2 )

(2 ; y ) (x ; – 2 ) 7.


E

x2  y2 x2  y2

A ( 1 0 ; 1 6 )

Calcule 5 (x+y).

R (8 ; 1 0 ) P (x ; y )

Determine:

(2 ; 2 )

M (2 ; 6 ) B (x ; y )


MATEMATICA 267

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” abscisas. El lado terminal puede ubicarse en 8.

Determine las coordenadas del punto A.

cualquier cuadrante o semieje del plano cartesiano.

Y

(– 4 ; 4 )

(0 ; 0 )

A (x ; y )

L ado fi n a l



V é r ti c e (– 3 ; – 3 )

x y 9.

X

L ado in ic ia l

Cuando un ángulo está en posición normal, el lado

x y Calcule: (x ; 4 )

final puede estar en uno de los cuadrantes, o bien puede estar sobre el eje x o el eje y, y entonces se dice que el ángulo es cuadrantal.

(– 1 ; 1 )

Ejemplo: 1.

(3 ; y )

Y

10. Calcule las coordenadas del punto P. (2 ; 6 )



2.

P

X

 en P.N  ()   IIC

Y



(– 3 ; – 1 )

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL (SENO, COSENO, TANGENTE)

3.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL O STÁNDAR

EN

 en P.N  ()   IIIC

Y



X

 en P.N  ()   IVC

Como en muchos problemas de aplicación intervienen ángulos que no son agudos, es necesario ampliar las definiciones de las funciones trigonométricas, se hace esta generalización empleando la posición normal de un ángulo q en un sistema de coordenadas rectangulares. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO NORMAL (ESTÁNDAR)

X

4.

Y

POSICIÓN 

En el ángulo trigonométrico generado en un plano cartesiano con vértice en el origen de coordenadas y cuyo lado inicial coincide con el eje positivo de las

X

 en P.N  (-)   IIIC

5.


MATEMATICA 268


o rd e n a d a y  r a d io v e c to r r a b sc isa x c o s   r a d io v e c to r r o rd e n a d a y tg    a b s c isa x se n  



X

  No es en P.N 6.


Y

1. Calcule el radio vector del punto R(3; 4).

X



2. Calcule el radio vector del punto F(–12; –5). 3. Calcule el radio vector en el gráfico.

  No es en P.N

Y M ( 6 ; 8 )

RADIO VECTOR (r)

r

Es la distancia de origen de coordenadas a un punto cualquiera del plano cartesiano, dicho radio vector se representa por r siendo este siempre positivo. Si P(a, b) es un punto plano cartesiano el radio vector se calcula así.

 X

4. Calcule el radio vector en el gráfico. Y

Y P (a ; b )

b



r

X

a

r

X

P (2 4 ;  7 )

r 

a2  b

5. Calcule el radio vector en el gráfico.

2

Y DEFINICIÓN DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL



Sea q un ángulo en posición normal y P( x; y) un punto que pertenece a su lado final donde: Y D o n d e: P (x ; y ) x : a b c isa d e l p u n to P. y : o r d e n a d a d e l p u n to P. r : r a d io v e c to r d e l p u n to P. r 

X

Q ( 1 5 ;  8 ) 6. Calcule y en el gráfico.

X

Se define:


MATEMATICA 269


Y (– 1 ; y )

( 2 ; y ) r=  1 0

3

X

X

7. Determine x.

Y

12. Determine tg  .

Y

(x; 1 2 )



13

X

X (– 2 ; – 1 )

2

8. Determine y + 2.

13. Determine sen  .

Y

Y

(2 ; y ) 1 1

X

 X (2 ; – 1 )

9. Determine x.

Y

14. Determine cos 

(x ; 2 )

Y r= 5 r= 3

X

10. Determine y.

X



(5 ; – 2 )

Y

15. Calcule cos 

X

Y

r= 1 0 X



(2 ; y )

r= 5 11. Calcule y:

(m ; – 3 )

16. Determine tg.


MATEMATICA 270


Y

(– 2 ; 4 )

 X

X



r= 3 ( 1 , y )

TAREA DOMICILIARIA

6. Calcule S=tg+ctg Y

1. Determine m, si: tg  = 1/2

( 1 2 ; y )

Y

13  X

X

 7. Calcule: E  2sen  cos Y

(– 4 ; m )

2. Calcule: A  sen  cos

Y

5



X

 (3 ; y )

X

8. Determine: sen .

r= 5

Y

(x ; – 3 )



3. Determine: M  tg  ctg

X

r

Y

(1 5 ;  8 ) X



9. Determine y.

r= 2 5

Y

(x ; – 7 )

4.

Calcule: E = sen  – cos  . tg  (– 4 ; 3)

r=  1 7

Y

(2 , y )

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN NORMAL II

  (– 3 ; – 4 )

X



X

 (2 ; – 1 )

TEORÍA.

5. Calcule: sen

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL


MATEMATICA 271


P ( x ;y )

2.

Y

L a d o fi n a l

Determinar sec. Y

  á n g u lo e n p o s ic ió n n o r m a l

 L a d o in ic ia l

(R a d io V e c to r )

r 

(4 ;3 )



X 3.

x2  y2

X

Calcular csc.

Y

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

(  3 ;2 )

a b sc is a x c tg    o rd e n a d a y



r a d io v e c to r r se c  = = a b s c isa x r a d io v e c to r r csc    o rd e n a d a y

4.

X

Determinar ctg.

Y

Ejemplo: Determinar ctg, sec, csc.

( – 1 2 ;1 )

Y



(3 ;4 )

X

r 

X

5.

Calcular sec  .

Y

Resolución: 2

2

r  12  5



r  169 r  13

(– 2 4 ;7 )

x  12 y 5 r  13



x 12 ctg    y 5

6.

(– 1 5 ;8 )

r 13  y 5




Determinar csc.

Y

r 13 sec    x 12 csc 

X

7.

X

Determinar ctg.

Determinar ctg. Y

(5 ;1 2 )



X


MATEMATICA 272


Y ( 2 ; 1 )



X X

 (–  3 ;– 2 ) 8.

Calcular sec.

Y

3.



Calcule: ctg.

X

Y

 X

(–  2 ;–  3 ) 9.



  

Determinar csc.

4. Determine: tg. Y

Y 

1 1  ;  3 4 

 3 7   ;   2 2 

X

X



( – 8 ;– 1 5 ) 10. Determine: E=ctg . tg.

5. Calcule: F=sen . sen.

Y

Y

( 3 ;4 )

(8 ;6 )  



X

X

(2 4 ;  7 ) 6.


Calcule: G=ctg . tg.

( 1 5 ;1 2 )

Calcule: E=sec . cos.

Y

Y



( 1 2 ; 5 )

X



( 1 2 ; 5 )

X 

2.

7. Calcule: S=cos . sec.

2

Calcule: R=csc .


MATEMATICA 273


Y

( 1 2 ;5 )

x< 0 y> 0

x> 0 y> 0

 X

X



x< 0 y< 0

(  2 ; 1 ) 8.

Determinar:

Podemos observar que las coordenadas de un punto en el plano cartesiano varían de signo en los diferentes cuadrantes; como las Razones Trigonométricas de un ángulo en Posición normal dependen de un punto del lado final de este ángulo; luego las razones trigonométricas también varían de signo en los diferentes cuadrantes.

E= ctg . sec 

Y (– 2 ; 3 )



x> 0 y< 0

X

 (–  2 ;–  3 )

9.

Seno:

  I  sen  ()   II  sen  ()

Calcular: P=sec. csc

  I II  sen    

Y

  I V sen     Y

X



Y (– ;+ )

  IC

(3 ;– 4 ) (– 1 2 ;– 5 ) 2

  IIC

(+ ;+ )



2

10. Calcular: E=ctg +sec 

 X

X

Y Y

( – 1 ; 3 )

Y

  IIIC



  IV C 

X

X

X



( 2 ;– 1 ) (+ ;– )

(– ;– )

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN MORMNAL

Podemos resumir los signos de las razones trigonométricas en el siguiente gráfico:

Signos de las Razones Trigonométricas El signo de una Razón Trigonométrica dependerá de la posición en el que se encuentre un ángulo (en posición normal) y de la razón trigonométrica que la afecta. Plano Cartesiano:


MATEMATICA 274


Y

se n o c o s e c a n te

to d a s

2 d o c u a d r a n te

1 e r c u a d r a n te

ta n g e n te c o t a n g e n te

co sen o s e c a n te

3 e r c u a d r a n te

4 to c u a d r a n te

X



X 5.

Determinar el signo de sec.

Y



X


Determinar el signo de sen.

Y



2.

6.

Determinar el signo de csc . sec 

Y

X

Determinar el signo de cos.

Y

7.

Determinar el signo de: E=sena. cos.



Y

X

 

3.

Determinar el signo de tg.

8.

Y



X

X

Determinar el signo de: P=tg.sec.

Y



X



X 

4.

9.

Determinar el signo de ctg.

Determinar el signo de: R=ctg.csc.


MATEMATICA 275


5.

Determine cos. sec. Y



X





X

r= 1 3 (1 2 ;4 )


6.

Determinar el signo de:

Determinar el signo

E

3

N=sena. tg .

2

2

sen   cos  tg

Y

Y ( 1 2 ; 4 )

20



X



2.

X 

7.

Calcular sen.

Y

Determine el signo: E=sen . cos . tg.

Y

( 6 ; 8 )

(3 ;4 )

 

X

X ( – 3 ;y ) 3.



( 1 2 ; 5 )

 8.

Determinar cos.

Calcule: E=tg . sec.

Y

( 4 ; y )

Y

5



(x ;8 )



X 25

X

9. 4.



( x ; 7 )

2 2 Calcule: R=1+tg –sec 

Y

Calcule tg. ctg

(1 2 ; 5 )

Y 

r= 2 5



X

X 2

2

10. Calcule: C=1+ctg – csc 

(7 ;4 )


MATEMATICA 276


cos  0    I (1 5 ; 8 )

ó IV C

sen  0   I ó II C    IC

luego tg     “Positivo”.



X


APLICACIONES LITERALES DE LAS R.T DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

1.

Determinar el signo de: E=sen100º. cos130º

2.

Determinar el signo de: R=sen320º. cos120º

3.


C

TEORÍA 4.

Como sabemos las razones trigonométricas varían de

Determine el signo de:

M

signo en los diferentes cuadrantes; es por ese motivo que

en

algunos

problemas

sucede

una

2

2

sen 320  cos 210 tg210

cierta

incertidumbre en el estudiante para determinar el

5.

Determine el signo de: F=tg120º. cos250º. sec300º

6.

Calcule el signo de: 2 2 2 G=sen 30º+cos 120º+sec 210º

7.

Calcule el signo de

signo correspondiente a una razón trigonométrica; es motivo de éste capítulo es despejar cualquier duda que se pueda filtrar y dar una solución clara y objetiva a algún problema que se pueda suscitar.

Y

se n csc

cos220  sec310 tg210

N

to d a s X

sen30  cos350  tg320 tg120  ctg300

8.

Determine el signo de: cos; si tg>0; sen<0

9.

Determinar el signo de: tg; si sen<0; cos>0

10. Determinar el signo de ctg; si sen>0 y cos>0

tg c tg

co s se c

11. Determinar el signo de sec; si tg  <0 y sen<0 12. Determinar tg ; si cos <0; además sen = 1/2

Ejemplo: Determinar el signo de tg  si: cos>0 y sen>0

13. Calcular csc; si tg <0; cos= - 1/8

Resolución: Observamos que el cos>0  (+) es decir es positivo er to en el 1 y 4 cuadrante. er Además: sen>0  es decir es positivo en el 1 do cuadrante y el 2 cuadrante. De donde deducimos er que el ángulo a pertenece al 1 cuadrante.

14. Si sec>0 ; ctg <0

Resumiendo:

16. Si:

2

Calcular cos; si: tg = -1/3 15. Si:

tg2  cos>0

25 ; sen  0 16

; Calcular cos


MATEMATICA 277

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” sec2  

625 ; cos  0 ; sen  0 49

8.

2 Determine: sec . Si:

Calcular tg

cos  

17. Si:

A) 5/3 D) 25/9

12 tg  5 ; sen<0 Calcular cos

12 13 ; Además tg>0. Calcular sen. Si:

•

Calcular (sen+cos)

•

2

•

2

90° Y

2

Determinar el signo de: ´ A)



D)

–

B)

 C)

+

•

sen100º . cos200º tg 300º

A)

+ó–

B)



D)

+

E)

–





  90  0° 360°

X

  180  

3 2

En general un ángulo cuadrantal es de la forma:

90 n ó C)

 2

  270 

270°


K

 n 2

Donde: n = {..., – 2, – 1, 0, 1, 2, ...}



Determine el signo de:

M A) + D) 7.

+ó–

E) 



180°

S  tg100º . cos200º

6.

De la figura tenemos

15 17 ; Además senf<0.

Calcular ( 1  tg   sec  )

5.

a, b, q, f están en posición normal, además son

ángulos cuadrantales.

Si:

cos 

4.

Por convención éstos ángulos no pertenecen a

ningún cuadrante.

5 tg   10 ; Además sen<0.

3.

C) -25/

ÁNGULOS CUADRANTALES • Son aquellos ángulos que están en posición normal, cuyo lado final está ubicado sobre un eje coordenado, los valores de estos ángulos son múltiplos de 90° ó .

Si:

cos  

2.

B) -5/3 E) 10/6

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES.


3 5 ; Además sen>0.

B) –



sen150  tg300 sec400

C) + ó – E)



Calcular ctg. Si: 1 8 ; Además sen<0. B) 4 C) 8

tg  A) D)

6

6

E)

–8


MATEMATICA 278


90° = 9 0°

= 180°



180°

180°

r



0 °; 3 6 0 °

0 °; 3 6 0 °

270°

180°

0 °; 3 6 0 °

270° 270° Los ángulos cuadrantales no necesariamente están en posición normal.

Ejemplo:

0º

90º

180º

270º

se n

0

co s

1

tg

360º

1

0

-1

0

0

-1

0

1

0

N D.

0

N D.

0

c tg

N D.

0

N D.

0

N D.

se c

1

N D.

-1

N D.

1

csc

N D.

1

N D.

-1

N D.


Calcular: 1. sen0°

90º x= r

(x ;0 )

se n 0 º =

0 = 0 r

3.

Calcular: M  cos0  sen180  tg0

4.

Calcular: F  sec0  csc90  cos90

5.

Calcular: G  tg0  ctg270

6.

Determinar:

7.

Determinar:

0º

cos 180°



Calcular: C  sen0  cos360

2.

270º

–x= r x= –r

Calcular: R  sen0  sen90  sen180

y r

y= 0

90º

1.

s e n  =

r 180º

(– x ;0 )

0º

Podríamos resumir las razones trigonométricas de algunos ángulos cuadrantales en la siguiente tabla.



0 °; 3 6 0 °

180º

tg 9 0 º = r = N . D . 0

= 3 60 °



2.



180º

y x

270º

90° = 270°

tg  =

y= r x= 0

270°

90°

180°

90º (0 ; y )

c o s   = xr c o s 1 8 0 º = -rr = – 1

L 8.

H  12tg0  157200cos90

cos360  cos270 cos90  sec0

Determinar:

R  (cos0)152  (csc90)151

0º

9.

r

22

Calcular: C  (sec360)

 (sen90)21

10. Determinar:

P

270º 11.

tg 90°

5sen90º  2sen270º – 2cos0º

Calcular:

Q  12cos0º 4sen90º 12. Determinar:


MATEMATICA 279

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” A  3 2sen270º 10  sec  360º

R

12sen0  5cos90  12sec180 24csc270

A) 1/2

13. Determinar: B=(4sec180°+csc90°) (Cos 180°)

B) – 1/2

C) 3/2

D) 1/5

REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE (APLICACIONES GRÁFICAS)

14. Determinar:

C  5 20  csc270º 12cos180º 15. Calcular:

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE Reducir al primer cuadrante un ángulo mayor

L  121tg0  26sen90  10cos0

a 90°; es determinar el valor equivalente de su razón

16. Calcular:

trigonométrica de un ángulo en el primer cuadrante.

S  5sen90  4csc90  36tg180

Signos de las razones trigonométricas:

17. Calcular:

R  4 10sen270  6sec0

sen csc


tg c tg

3.

sen270  tg180  tg360 sec180  sen90  2cos360

+

+

co s se c

+ IV C

Razones trigonométricas equivalentes para ángulos positivos:

Calcular:

G

Todas

III C

Determinar:

F

+

I C

X

Determinar:

P  3sec360  12csc270 2.

Y

II C

R.T. (180°  a)=(SIGNO).RT(a) R.T. (360°-a)=(SIGNO).RT(a) R.T. (90°+a)=(SIGNO).Co–RT(a)

cos0  sen0  cos90  tg180 ctg270  sec360

R.T. (270°  a)=(SIGNO).Co–RT(a)

4. Calcular: R  4sec0  2csc270  tg0 A) 2 5.

B) – 2

C) – 1

D) –1

Calcular:

C  10cos0  sec180 A) 8 6.

B) 9

C) 3

D) 2

Determinar:

7.

B) 2

C) 3

se n

co s

co s

se n

tg

c tg

c tg

tg

se c

csc

csc

se c

(SIGNO): Depende del cuadrante al cual pertenece

D) 4

la R.T. del ángulo a reducir.

Determinar:

S  3sec0  9cos360  4sen90 A) 3 8.

C O -R T

Donde a: Ángulo que pertenece al 1er cuadrante.

R  (csc90)152  (sec360)57 A) 1

R T

B) 4

C) – 2


D) 2

Determinar:


MATEMATICA 280


Y

Determinar el signo de las siguientes razones trigonométricas: sena; cos; tg Y

X 

 

300º

X



7. 2.

Calcular el equivalente de sec, si:

Determinar el signo de las siguientes razones trigonométricas: ctg; sec; csc.

Y

150º

Y

X

  



X

8. 3.

Calcular el equivalente de csc, si: Y

Calcular el equivalente de sen, si: Y

X 

220º

60º

X 

9. 4.

Determinar el equivalente de sen, si: Y

Calcular el equivalente de cos, si: Y

70º

 X

140º

X 

10. Determinar el equivalente de cos, si: 5.

Y

Determinar el equivalente de tg, si: Y 30º

200º



X 

X


1.

Determinar el equivalente de ctg, si:

Calcular el equivalente de tg, si:


MATEMATICA 281


Y





74° X

X

40º

2.

7.

Calcular el equivalente de ctg, si: Y

Calcular csc.

Y



130º



3.

8.

Determinar tg.

Determinar tg.

X

Y

Y

40°

 30°

4.

60°

X



X

X

Calcular cos.

REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE (APLICACIONES NUMÉRICAS)

Y

240°  X

CASOS DE REDUCCIÓN DE ANGULOS AL PRIMER CUADRANTE

5.

Calcular sen.

I) Cuando los ángulos son positivos a) Menores que una vuelta (360º) Se descompone en ángulo en consideración como suma o resta de un ángulo cuadrantal (90º, 180º, 270º, 360º) con un ángulo que sea agudo, para luego aplicar los siguientes criterios.

Y



60° X

RT

1. 6.

Calcular sen

1 8 0 ° +–  360° – 

= +– R T (  ) S IG N O

.


MATEMATICA 282


II C ( 1 8 0 °–  ) 180°

Donde (SIGNO); depende del signo que tiene la razón trigonométrica en el cuadrante al cual pertenece al ángulo a reducir.

0° 360°

( 1 8 0 °+  ) III C

( 1 8 0 °–  ) IV C

Ejemplo:

C .T .

•

sen300  sen(270  30  ) IV C

  cos30 

Donde el (signo), depende del signo de la región trigonométrica en el cuadrante al cual pertenece al ángulo a reducir. •

Ejemplo:

tg150  tg(90   60  ) II C

  ctg60

s e n 2 1 0   s e n (1 8 0   3 0  ) III C  sen30 = 1  = 2

•

•



se n o e s (– )

3 3

b) Para ángulos positivos mayores de una vuelta (360º)

En este caso el ángulo en consideración se divide entre 360º, descartando el cociente y tomando el residuo en lugar del ángulo original, siguiendo luego el análisis.

s e n (1 8 0    ) III C se n  e s (– )

  sen  •

3 2

R T ( 3 6 0 °n +  ) = R T (2  n +  )

tg300

R T ()

=

Donde: n : Número entero a : Ángulo no necesariamente pertenece al 1er cuadrante (0°
tg ( 3 6 0   6 0 ) IV C ta n g e n t e e s ( – )   tg60

360° 

 3

( 3 6 0 °( n ) +  ) 0° 2.

C .T . 90°

II C (9 0 °–  ) 180°

I C (9 0 °–  )

Ejemplo:

0°

•

sen840 sen120

360° ( 2 7 0 °–  ) III C

( 2 7 0 °+  ) IV C C .T.

270°

840°

360°

720°

2

120°

s e n (1 8 0   6 0  ) II C sen 6 0  

3 2


MATEMATICA 283

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” •

750°

360°

720°

2

11.

3 3

tg750 tg30 

 sen(150) tg(120)    sen(210) tg(300)

12. Calcular:

Para ángulos negativos

13. Reducir: R  cos120 

 sen(90  x) tg240 I   cos( x) tg60  

co s (– ) = co s ( –  ) = – tg 

c tg ( –  ) = – c tg 

Ejemplo:

TAREA DOMICILIARIA

sen(30)   sen30

1 2 tg(70)   tg70

1.



2.

cos(60)  cos60

sen(– x) cos(x) tg(– x)   sen x cos x tg x

1.

Reducir: R  sen120

2.

Reducir: E  cos210

3.

Calcular: M  tg135  ctg225

4.

Calcular:

3. 4.

5. 6. 7.

8.

Calcular: R  sec240  csc210

9.

Calcular: P  tg217  ctg307

tg(180 – x) sec(180  )  tg(– x) csc(90  )

Simplificar:

8.

R  sen120  cos150

A) 1

B) 2

9.

D)

tg(180  x) cos(90  x)  tg x sen x B) 2

C) – 2

D) 1

Reducir:

sen(– x) tg(– x) sen(180 – x) 2 3 sen(x) tg x sen x

A) 6

sec(180  )  tg(360  ) csc(270  )  ctg(90  )

C) 0

Calcular:

E

10. Calcular:

M  sen127  cos143

Calcular:

A) 0

G  tg135  tg225  tg315

Calcular: S  ctg225  sen330

Calcular:

W

tg(180  ) F ctg(90  )

7.

Calcular:

S

Determinar:

Determinar:

sen(– x) tg(180  x)  cos(90  x) ctg(270  x)

M  tg240  sen120

sen(180  ) C sen(360 – )

6.

Calcular:

M


C

Calcular:

P

1  2

5.

sen(–50) sen(– x)  2 sen50 sen x

C

csc (–  ) = – c sc 

•

2

15. Calcular:

se c (–  ) = se c 

•

3 cos150

14. Reducir:

se n (–  ) = – se n ( )

•

sen(– 30) sec(60)  sen(330) sec(120)

F

Cuando el ángulo es negativo se procede de la siguiente manera:

tg

2

M

30° c)

Calcular:

B) 3

C) 1

D) 0

Reducir:


MATEMATICA 284

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” M

sen(90  x) 1 cos(– x)

A) 2

sec  

B) 0

C) – 2

D) 0,5

r  (8)2  62  r= 64+36

10. Calcular:

E=

r a

r= 10 

sen(– x) tg(90  x)  sen(180  x) ctg x

sec  

10 -5  sec= 8 4

PROBLEMAS PARA LA CLASE A) 1

B) 0

C) – 2

D) 2

1.

11. Calcular:

Calcular sec.

Y

tg 225º

(3 ; 4 )

12. Calcular: M = sen120º + cos225º

5



13. Simplificar:

tg 90º  x V ctg 270º  x

2.

Calcular csc.

Y (1 2 ; 9 )

14. Simplificar:

R

X

sen  90º  x tg 270º  x  sen  270º  x tg 90º  x

15 

R.T. DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL II

3.

P (a ; b )

s e c  = ra

X 4.

c sc  = r b

Calcular csc :

Y 

Radio vector. Punto que pertenece al lado final de un ángulo con coordenadas (a; b).

Ejm.: Calcular sec. (-8 ; 6 )

X

(-3 ; -5 )



: :

Y 

NOCIONES BÁSICAS Y

r p

Calcular sec:

X

X

(-3 ; -1 )

Y 5.

Calcular sec:

Y

 X

12

 –5

RESOLUCIÓN:

X

(1 2 ; -5 )


MATEMATICA 285

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 1. 6.

Calcular csc:

Si: sec=-25/7; Calcular .

Y Y

(-7 ; b )

(-4 ; 1 )

1





X

X

–4

2. 7.

Calcular: E=sec + csc

Y

Calcular E=24sec:

Y 5

(-2 4 ; 7 )

 X



X 3.

8.

Calcular: E=sen+ctg - sec

Y

Calcular G=18csc:

6

Y X



-8





(-4 0 ; -9 )

9.

Calcular

M

X

3

 -1 5

sec  csc 

4. Si el lado final de un ángulo en posición normal pasa por el punto (–12; –5). Calcule: Y

E = sec - csc 5. Si el lado final de un ángulo en posición normal pasa por el punto (–2, 1). Calcular la cosecante de dicho ángulo.

(-1 2 ; 5 )

X



6.

Calcular E = sen–cosa+sec

Y 10. Calcular sec:

(-8 ; 6 )

Y

(4 ; 3 )

(a ; 8 )

 





X

TAREA DOMICILIARIA

A)

10/9

B)

5/3

D)

-10/9

E)

5/6

X

C)

-29/2


MATEMATICA 286

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Y 7.

Y

Calcular: R =sec–sec

270º

Y

X (a ; b )

X

360º

r 



5.

X

Y

A) D) 8.

-2 1

B) E)

2 0

Calcular: csc

C)

-1 0º

X

Y Ejm. 1:



Calcule las razones trigonométricas de 0º y 180º

X

Resolución: Y

(-2 4 ; -7 ) B

A)

–24/25 25/24 24/25

D)

B)

–25/24

E)

–25/7

A

(-1 ; 0 )

C)

r= 1

r= 1

Para

9. Si el punto (-5; -12) pasa por el lado final de un ángulo en posición normal. Calcular la secante de dicho ángulo. A) 12/13 B) 13/12 C) -13/12 D) -12/13 E) -13/5

0º (A)

0 0 1 1 cos0º   1 1

tg0º 

0 0 1

ctg0º 

1  ND 0

ÁNGULO CUADRANTAL:

múltiplo de 90°.

2. Y

90º

X

3.

0 0 1 1 cos180º   1 1 sen180º 

0 0 1 1 ctg180º   ND 0 tg180º 

sen

Es aquel ángulo trigonométrico cuya medida es

Y

Para 180º (B)

sen0º 

ÁNGULO CUADRANTAL.

1.

180º

X

(1 ; 0 )

cos

tg

c tg

sec

c sc

0º

0

1

0

N D

1

N D

90º

1

0

N D

0

N D

1

180º

0

-1

0

N D

-1

N D

270º

-1

0

N D

0

N D

-1

360º

0

1

0

N D

1

N D

PROBLEMAS PARA LA X

4.

1.

Calcular: E=sen90+cos90º

2.

Calcular: R=tg180º - sec180º

3.

Calcular: Q= (cos90º+sen180º) cos360º


MATEMATICA 287


Calcular: Q=sen90º.sec360º.tg0º

5.

Calcular: E=cos0º-sec0º.cos360º

6.

Calcular: R=sec0º.csc90º.sec180º

7.

8. 9.

Calcular:

Calcular:

E

5.

6.

sen270º  csc90º cos0º

R

cos180º  sec180º 5

7.

A)

7/3

B)

-7/3

D)

5/6

E)

6/5

M  sen

8.

3   sen 2 2

9.

1

2

25 cos180º  125x cos0º

A)

2/3

B)

3/2

D)

5/2

E)

2

C)

1/3

C)

-1

Calcular M=sen/2 + cos + csc/2 A)

1

B)

0

D)

2

E)

3

E

Calcular:

sen270º  sec360º sen / 2 B) 2 E)

C) 1

0

FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA: SENO Y COSENO

8sen90º  16x cos180º

FUNCIÓN TRIGONOMÉTICAS

E=M+N M = sen0º + sec0º N = 2sec360º

Una función trigonométrica es un conjunto de pares ordenados (x; y) donde la primera componente representa a un valor angular (expresado en radianes) y la segunda componente es el valor de la función obtenida para dicho ángulo. La regla de correspondencia tiene la forma siguiente:



F   x;y  2 / y  F.T. x

TAREA DOMICILIARIA Calcular:

5

Calcular x

D) –1

2 14. Calcular: E  sen 90º 2tg360º

1.

E)

A) –2

 csc270º N  sec180º cos0º

15. Calcular x. Si:

C)

Calcular: R =sen180º – cos360º + sec180º

Si:

 M  csc  cos2 2 11. Calcular:

16. Calcular : Donde :

csc270º ; N3

A) -1 B) 0 C) -2

 R  sen  cos2 2 10. Calcular:

13. Calcular:

sen90º Donde M  2

D)

Calcular: E=(2sen270º–3csc90º)cos0º

12. Calcular:

Calcular: E=M + N



A continuación estudiaremos la función:

 csc270º N  cos360º sen90º

F u n c ió n S e n o





f   x;y  2 / y  S enx; x  

cos0º 25 2

Evaluando la función para algunos valores de “ x” tenemos:

2.

Calcular R 

3.

Calcular M=sen/2cos

4.

Calcular x. x cos180º Si: 27

 sen / 2

x

 2

0

 6

 4

 2



3 2

2

y

-1

0

1 2

2 2

1

0

-1

0

 81


MATEMATICA 288


Representando estos valores en el sistema de 2

coordenadas rectangulares ( ) , obtenemos: y = S en x

1

  2

y = C o sx

1

Y



 2

0

3 2

2

 2

0

 2



X

5 2

3 2

5 2

2

X

-1 T = 2

-1

T = 2

Análisis de gráfico:

El nombre de esta curva es: Senoide. Análisis de gráfico:

D o m in io

x

R ango P e r io d o C re c e D e c re c e F u n c ió n C o n ti n u a

 x 

F u n c ió n C o s e n o






1.

Determinar el rango de f(x)=senx+2/3 Si x 

2.

Determinar el rango de f(x)=2senx+1 Si x 

3.

Determinar el rango de f(x)=2senx– 2 si x 

4.

Determinar el rango de f(x)= –2cosx+3 1  cos x  1 Si 2

5.

Determinar el rango de f(x)=2cosx – 3 1   cos x  0 Si 5

f   x;y   / y  C osx; x   2

Evaluando la función para algunos valores de “ x” tenemos:  2

x y

0

1

0

 4

 3

 2



3 2

2

1

2 2

1 2

0

-1

0

1

Representando estos valores en el sistema de

1

2 coordenadas rectangulares ( ) , obtenemos:

El nombre de esta curva es: Cosenoide 6.

7.

Determinar el rango de Si x 

Determinar el rango de 1 1   senx  3 2 Si

f  x  senx 

g  x 

5 3

1 1 senx  2 3


MATEMATICA 289


Determinar el dominio de f(x)=cosx

Si

2 2   cos x  2 2 Si

9.

A)

Determinar el rango de

f  x  2sen2x  1 6.

D) Determinar el rango de:

A) B)

3 2  senx  2 2

D)

13. Determinar el dominio de g(x)=cosx 3 4   cos x  5 5 si

7.

8.

; Si

1 1  cos x   5 6

C)

Rf    5

D)

Rf   5;3

Determine el rango de la función:

B) [-2; -3] C) [-3; +2]

TAREA DOMICILIARIA

D)

[1;5

9. En qué cuadrante(s) la función y = f(x) = Sen x es positiva y creciente. A) Q

2Sen 1 2

B) Q C) Q

Determine el rango de la función: f(x)

Rf    1/5



A) [1; 5]

y f(x) 1 2 sen x

3.

Rf  0;1/ 2

f(x) 2sen x  3

16. Determine el rango de la función:

f(x)

Rf   0;1

 27 16 Rf    ;  3  5 B)

   f  x  2sen   2x  3  5  , si x 

Determine el rango de la función:

1 1  senx  2 2

Determinar el rango de

A)

15. Determinar el rango de:

2.

; Si

f  x  2cos x  5

14. Determinar el dominio de f(x)=senx 4 1  senx   5 Si:

Determine el rango de la función f(x) 4  3 cos x

Rf  1;1/ 2



1  Rf   ;1 2  C)

12. Determinar el dominio de f(x) = senx

1.

10 ;5 3

f  x  1  4sen2x

3 5 f  x   cos x  2 3 11. Calcular el rango de 1 1   cos x  6 2 Si

Si

1  ;5 2 

Rf 

Rf 

x 



1 1  cos x  3 2

1 Rf   ;5 3 B) 1 Rf  ;5 3 C)

g x  senx  1

x 

10. Determinar el rango de



Sen x 3 2

1 2 4

D) Q y Q 1 4

4. En qué cuadrante la función; y = f( x)=Senx es negativa y decrece. 5.

Determinar el rango de f(x)=2cosx+4


MATEMATICA 290

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Quitar dos palitos de fósforo para que queden solamente cuatro cuadrados iguales.

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Resolución

MATEMÁTICA RECREATIVA I En el presente capítulo vamos a analizar tres tipos de situaciones problemáticas: 1. Situaciones con palitos de fósforo

Al eliminar los palitos indicados, quedarán cuatro cuadrados iguales de la siguiente manera:

2. Transmisiones y engranajes 3. División de figuras

*

Ejemplo 2 En la siguiente igualdad incorrecta mover solamente un palito de fósforo y transformarlo en una igualdad correcta.

1. SITUACIONES CON PALITOS DE FÓSFORO Esta parte de la matemática recreativa trata de resolver situaciones en los cuales intervienen palitos de fósforo o cerillas. Las situaciones problemáticas se dividen en tres tipos de análisis:

Resolución

a. Resolver las situaciones quitando palitos. b. Resolver las situaciones moviendo palitos. c. Resolver las situaciones agregando palitos.

Todos nosotros sabemos que 3 - 1 es igual a 2 y no a 3 como aparece en la igualdad propuesta, por lo tanto para lograr transformarla en una igualdad correcta hay que mover un palito de la siguiente manera:

Estimado alumno para el análisis de las situaciones anteriormente descritas debes de tener en cuenta las siguientes consideraciones: • •

No es válido doblar o romper los palitos. En las figuras conformadas por cerillas no es válido dejar palitos libres (cabos sueltos); es decir, es incorrecto dejar una figura de la siguiente manera: 2. TRANSMISIONES Y ENGRANAJES P a l it o l ib r e o c a b o s u e lt o

En esta segunda parte analizaremos la

P a l it o l ib r e

transmisión del movimiento que van a adquirir los

Veamos a continuación unos ejemplos *

engranajes y las ruedas propuestas.

Ejemplo 1


MATEMATICA 291

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” NOTA: No olvidar que existen dos tipos de giros:

G ir o h o r a r io

Ejercicio 1 Si la rueda "A" gira en el sentido que indica la flecha, ¿en qué sentidos giran las ruedas "B" y "C" respectivamente?

G ir o a n tih o r a r io

A

Para una mejor comprensión del tema analizaremos y completaremos las siguientes situaciones:

C

B

B. ____________________

a. Situación 1 A

C. ____________________ Ejercicio 2

B

Si la rueda "A" gira en sentido antihorario, ¿en qué sentido giran las ruedas "B" y "C" respectivamente?

Si la rueda "A" gira en sentido horario entonces la rueda "B" girará en sentido antihorario. Conclusión: Dos ruedas en contacto girarán en sentidos opuestos. b. Situación 2

A

B

C

B. ____________________

B

A

C. ____________________ Si la rueda "A" gira en sentido horario entonces la rueda "B" girará en sentido horario.

3. DIVISIÓN DE FIGURAS En esta última parte de matemática recreativa analizaremos la división de figuras en función de diversas situaciones razonadas. Para ello estimado alumno Trilce tendrás que utilizar toda tu agudeza e ingenio matemático para sus respectivas resoluciones. Veamos a continuación algunos ejemplos:

Conclusión: Dos ruedas unidas por una faja abierta girarán en sentidos iguales. c. Situación 3 A

B

*

Si la rueda "A" gira en sentido horario entonces la rueda "B" girará en sentido antihorario.

Ejemplo 1

Conclusión: Dos ruedas unidas por una faja cruzada girarán en sentidos opuestos. d. Situación 4

Trazar dos líneas rectas y lograr dividir la figura adjunta en cuatro partes.

A

Resolución

B

Si la rueda "A" gira en sentido horario entonces la rueda "B" girará en sentido horario.

Realizamos los dos trazos de la siguiente forma:

Conclusión: Dos ruedas unidas por el mismo eje girarán en sentidos iguales. A continuación resolveremos dos ejercicios con lo anteriormente deducido:


MATEMATICA 292

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” para formar tres cuadrados.

PRACTIQUEMOS 1.

Quitar ocho palitos de fósforo

de la figura de tal manera que queden sólo dos cuadrados.

7. Agregar dos palitos de fósforo para formar cuatro cuadrados iguales.

2. ¿Cómo es posible que se cumpla que:

8.

7 + 8 = 3?

Coloca ocho palitos de fósforo

de tal manera que se formen dos cuadrados, ocho triángulos y una estrella de ocho puntas.

3.

Colocar las cifras del 1 al 6 (sin

repetir) en cada casillero con la condición de que la

9.

diferencia de dos cifras contiguas sea al menos 2.

4.

Dividir el círculo en once partes

utilizando únicamente cuatro cortes rectos.

Mover dos cifras y lograr que

sea correcta la siguiente igualdad: 43 + 65 = 81 10.

Colocar las cifras del 1 al 7 (sin

repetir) en cada espacio de los círculos para que, en 5.

cada círculo de la figura la suma sea igual a 13.

Con cinco cifras “2” y las

operaciones “+”; “”; “x” y ” obtener los números del al 10. 0=

6=

1=

7=

2=

8=

3=

9=

4=

10 =

11.

Colocar las cifras del 1 al 6 en

los círculos correspondientes y lograr que la suma de los lados sea igual a 10.

5=

6. Cambia de posición cuatro palitos de fósforo,


MATEMATICA 293


3.

Mover tres cerillas para hacer

tres cuadrados del mismo tamaño.

4.

Mueve cuatro cerillas para hacer

siete cuadrados de tamaños diferentes.

5. Mover cuatro cerillas para hacer diez cuadrados

¿y si la suma de los lados es igual a 12?

6. Retirar once cerillas para que queden seis.

12.

¿Cómo podría ser posible que la

mitad de doce sea siete? 7.

Ubicar los números del uno al

siete, de tal forma que la suma de los valores en cada fila sea 12.

13. Con nueve palitos de fósforo formar tres docenas.

TAREA DOMICILIARIA Se tiene el siguiente ordenamiento de doce cerillas.

8.

Dos personas contaron durante

una hora a los transeúntes que pasaron junto a ellos, por la acera. Una contaba desde la puerta de su casa y la otra yendo y viniendo por la acera. ¿Quién contó 1. Retirar dos cerillas, dejando dos cuadrados.

mas transeúntes?

2.

9.

Retirar cuatro cerillas, dejando

A continuación hay un cuadrado

con ocho monedas. Se pide que cambiando de lugar

dos cuadrados iguales.


MATEMATICA 294

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” cuatro monedas, forme un cuadrado que presente

siguiente tablero, de tal manera que dos números

cuatro monedas en cada lado.

consecutivos no estén juntos ni vertical, ni horizontal, ni diagonalmente.

3

4

5

2

6

1

10.

8

7

Moviendo solo una cerilla,

conseguir una relación de igualdad (no utilizar los

MATEMÁTIVA RECREATIVA II

palitos del signo "igual"? 1.

Con cinco monedas de 10

céntimos, formar dos filas que contengan tres 11.

monedas cada una.

El diagrama muestra una parte

del centro de Lima. Todas estas calles permiten solo un sentido de desplazamiento de los vehículos, el cual es indicado por las flechas. Los números o letras

2.

junto a cada flecha indican el número de vehículos

transformar el triángulo de la figura I en el triángulo

que se desplazan por cada calle en cierto día.

180

de la figura II.

70

20

X

200 Z

T 200

Y

400

Cambiando de lugar cinco fichas,

W

F ig u r a I

30

F ig u r a I I

Asumiendo que ningún vehículo se ha detenido o

3.

Se tienen 6 tazas, 3 con café y 3

estacionado en estas calles, y que al inicio del día

vacías, tal como se muestra a continuación:

no habían vehículos en ninguna de estas calles, calcular el valor de “W”. a)

30 b)

200 c)

250 d)

350

e) 600 Moviendo una sola taza, deben quedar intercaladas las tazas llenas y vacías. ¿Cómo puedes lograrlo?

12.

Coloca las cifras del 1 al 7 en el


MATEMATICA 295


4.

¿Cuántas personas como mínimo

8.

Colocar 6 monedas en tres

se necesitan para formar cuatro filas de dos

vasos, de tal manera que en cada vaso haya un

personas en cada una?

número impar de monedas.

a)

8 b)

6 c)

d)

4 e)

3

5 9.

¿Cuántas personas, como mínimo,

se necesita para formar 6 filas de cuatro personas por fila? 5.

A continuación, mostramos un

cuadrado compuesto por 8 monedas. Se pide que, cambiando de lugar a cuatro monedas, forme un

a)

24 b)

18 c)

d)

12 e)

10

16

cuadrado que tenga cuatro monedas en cada lado. 10.

En una calle del centro de Lima

ocurrió el siguiente problema de tránsito:

TAREA DOMICILIARIA B

A

6.

C

D

Los autos “A” y “B” desean pasar al otro lado de la

Colocar 24 círculos (uno por

calle pero los autos “C” y “D” no lo permiten. ¿Cómo

casillero) con la condición que al final, en cada

podrán pasar aprovechando una pequeña zona libre,

columna y cada fila, haya la misma cantidad de

en cuyo espacio solamente cabe un auto?

círculos.

11.

En una reunión están presentes: padre,

madre, tío, tía, hermano, hermana, sobrino, sobrina y dos primos. ¿Cuál es el menor número de personas presentes?

1.

Si tenemos cinco argollas,

¿cuántas como mínimo, se tendrán que abrir y cerrar para formar una cadena abierta? 7.

Un día, dos personas que tienen

3 y 5 panes comparten de manera equitativa los panes con Juan. Luego de comer, en agradecimiento, Juan les entrega 8 monedas de oro. ¿Cuántas

a)

monedas le corresponde a cada uno?

2 b)

3 c)


MATEMATICA 296

4


1

2.

e)

5

En este caso sólo puedo aislar 5 monedas

Dos alumnos y su profesor de

5.

Dividir la esfera del reloj en 6

R.M. desean pasar un río. Si cada alumno pesa 50 kg y

partes, con la condición de que en cada parte, la suma

el profesor 100 kg, ¿cómo lograrán pasar si la barca

de los números sea la misma.

con la que cuentan soporta un peso máximo de 100 kg?

11

12

1 2

10 9

3.

3 8

Unir cada cuadrado con el

4 7

triángulo que tiene el mismo número. Las líneas

6

5

conectoras no pueden cruzarse ni salirse del cuadrado mayor.

6.

Unir los 16 puntos mostrados

con solamente seis rectas, sin levantar el lapicero.

3 4

2 1

5

1

4.

2

3

4

5

Dibuje tres cuadrados (no

7.

necesariamente del mismo tamaño) para separar 7

Se tiene una tabla de 6 m de

largo por 3 m de ancho. Usted debe realizar un único

monedas:

corte a dicha tabla y luego de unir las dos partes, obtener otra que tenga 9 m de largo por 2 m de ancho.

6 m 3 m

9 m 2 m

Por ejemplo:

8.

Colocar 8 aspas (x) en los

casilleros del siguiente cuadrado:


MATEMATICA 297

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” analizaremos los tres casos que presenta este ordenamiento, que son: 1. Ordenamiento creciente y decreciente 2. Ordenamiento lateral 3. Ordenamiento por posición de datos 1. ORDENAMIENTO CRECIENTE Y DECRECIENTE Este caso se reconoce porque los datos que se presentan son susceptibles a ser ordenados de mayor a menor y viceversa (en forma creciente o decreciente), por ejemplo nuestras edades, estaturas, pesos, puntajes que obtenemos en un examen, etc. Para una mejor comprensión de este ordenamiento resolvamos a continuación dos ejemplos:

La condición es que las aspas no deben quedar en la misma fila, columna o diagonal.

9.

Coloca 7 puntos de tal manera

que obtengas tres filas de 3 puntos cada una.

* 10.

Ejemplo 1 José es más alto que Eduardo pero más bajo que Gildder, Rommel es más alto que Gildder pero más bajo que Alex. ¿Quién es el más alto de todos? ¿Quién es el más bajo de todos? Resolución

En un tablero de 4 x 4, debes

colocar cuatro cifras “1”, cuatro cifras “2”, cuatro cifras “3” y cuatro cifras “4” con la condición que en cada fila, columna y diagonal no haya números repetidos.

Una forma óptima de resolver este problema es trazar una línea vertical que nos servirá de guía para no confundir la información dada, es decir, de la siguiente manera: José es más alto que Eduardo pero más bajo que Gildder G il d d e r J o sé E d u a rd o Rommel es más alto que Gildder pero más bajo que Alex A le x

ORDEN DE INFORMACIÓN I

Rom m el G il d d e r

Estos problemas se caracterizan por presentar un conjunto de datos desordenados que necesariamente contienen toda la información que se requiere para dar la solución y su respectiva respuesta a dichos problemas. Una manera sencilla de resolverlos es procediendo de la forma más esquemática posible, es decir, realizando gráficos, dibujando figuras, trazando líneas, etc. En otras palabras, tratando de representar gráficamente los datos del problema y no pretender llevar todas las relaciones utilizando solamente la lógica.

Por lo tanto el ordenamiento quedaría así: A le x Rom m el G il d d e r J o sé E d u a rd o

Luego el más alto de todos es Alex y el más bajo de todos es Eduardo. 2. ORDENAMIENTO LATERAL En este caso el ordenamiento de los datos se realiza lateralmente (en forma horizontal), por

Esta primera parte tratará exclusivamente del ORDENAMIENTO LINEAL, para lo cual


MATEMATICA 298

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” ejemplo cierta cantidad de personas sentadas en una banca (cada una se encuentra al lado de otra) o un conjunto de casas construidas en una avenida una a continuación de otra. Antes de resolver los ejercicios estimado alumno debes de saber que en un ordenamiento lateral se cumple lo siguiente: IZQUIERDA  DERECHA OESTE  ESTE OCCIDENTE  ORIENTE NOTA: Es frecuente que en este tipo de ordenamiento encuentres la palabra ADYACENTE, la cual quiere decir "junto a" o "al lado de".

d)

4 e)

Más de 4

3. Sobre la altitud de cinco ciudades se sabe que: •Ferreñafe está a menor altura que Huaral pero a mayor altura que Barranca. •Yauyos está a mayor altura que Huarochirí. • La altura de Huarochirí es 13 veces la altura de Huaral. ¿Cuál de las ciudades está a mayor altura? a)

3. ORDENAMIENTO POR POSICIÓN DE ELEMENTOS Es aquel ordenamiento donde los datos ocupan

Ferreñafe

b) Huaral

c)

Barranca d)

Huarochirí

e) Yauyos

posiciones determinadas o fijas, como los pisos ubicados en un edificio o los puestos que existen en una competencia deportiva (primer puesto, segundo,

4.

tercero, etc.).

pero no necesariamente en ese orden. Además:

PRACTIQUEMOS 1.

Cinco fichas de diferentes

colores son ordenadas a lo largo de una fila. Se sabe que: •

La ficha roja está adyacente a la

verde y a la amarilla. •

•

Recoge a Wilson justo antes de recoger a Gates.

•

Baldwin es recogido al final.

•

izquierda de la ficha verde.

Antes de recoger a Watt debe

Roberts no es recogido primero.

¿Cuál de los ejecutivos será recogido en segundo lugar?

Contando de izquierda a derecha, ¿qué ficha ocupa el tercer lugar?

a) Negra

b) Verde

Roja

Wilson

b) Watt

c)

Gates

c)

Amarilla d)

No recoge a más de un ejecutivo a la vez.

recoger a Roberts.

La ficha negra está a la

a)

•

•

La ficha celeste está en el extremo derecho.

•

Un chofer debe recoger a cinco

ejecutivos: Wilson, Watt, Gates, Baldwin y Roberts,

d)

Roberts

e) Falta

información

e) Falta

información 5. Sobre el peso de cinco pescados se sabe que: 2.

Según el problema anterior,

• El jurel pesa menos que el bonito pero más que la sardina. • El tollo pesa más que el jurel pero menos que la corvina. ¿ Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?

¿cuántos ordenamientos de las cinco fichas, a lo largo de la fila, son posibles? a)

1

b)

2 c)

3

I. El tollo pesa más que el bonito.


MATEMATICA 299

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” II. El pescado que pesa más es la corvina.

¿Quién vive en el quinto piso?

III. El pescado que pesa menos es la sardina. a)

Todas

a) Juan b) Luciana c) Carla d) Juan o Carla Falta información

b) Solo I y III c)

e)

Solo II y III d)

Solo III

TAREA DOMICILIARIA

e) Solo II 1.

6.

Juan es mayor que Sandra pero

menor que Ricardo. Si Mariana es mayor que Ricardo,

Un alumno planea realizar cinco

¿quién es el menor de los cuatro?

actividades a lo largo del día: estudiar matemáticas, estudiar lenguaje, jugar playstation, ver televisión y leer un libro, aunque no necesariamente en ese orden.

2.

Se sabe que:

a lo largo de una fila. Se sabe que:

• Antes de jugar playstation estudiará matemáticas. • La cuarta actividad que realizará será ver televisión. • Leerá un libro inmediatamente después de estudiar lenguaje. ¿Cuál será la última actividad que realizará?

•

3. en cuenta que:

• La ficha roja estará ubicada junto a la ficha blanca pero no junto a la ficha verde. • La ficha celeste estará en el extremo derecho. ¿Cuántos ordenamientos diferentes se pueden

pregunta anterior, ¿de cuántas maneras diferentes podrá ordenar las cinco actividades a lo largo del día? 1

b)

d)

4 e)

2 c)

Cuatro fichas de colores

diferentes se ordenan a lo largo de una fila teniendo

Según el enunciado de la

a)

El mono está junto y a la derecha del gallo.

• El pato está a la izquierda del mono y a la derecha del elefante. ¿Qué animal se encuentra al extremo derecho?

a) Estudiar matemáticas b) Jugar playstation c) Leer un libro d) Estudiar lenguaje e) Falta información

7.

Cuatro animales están ordenados

realizar?

3

más de 4

4.


pregunta anterior, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? 8.

En un edificio de cinco pisos

viven cinco amigos

I. La ficha verde está al extremo izquierdo.

( uno por piso). Se sabe que:

II. La ficha blanca está junto a la ficha verde.

•

III. La ficha verde no está junto a la ficha celeste.

Juan vive por encima de Carla y

Luciana. •

Luciana no vive más abajo que

5.

Mariana. •

La ciudad “A” se ubica al norte

de “B” pero al sur de “C” y “D”. ¿Cuál es la ciudad que se encuentra más al sur?

En el quinto piso no vive Sergio.


MATEMATICA 300

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” afirmaciones son verdaderas? 6.

I.


pregunta anterior, ¿cuál es la ciudad que se

“D” llegó en tercer lugar.

II. “B” llegó en tercer lugar.

encuentra más al norte?

III.“A” llegó en segundo lugar. 7.

En un edificio de cinco pisos

viven Juan, Pedro, Ricardo, Gabriela y Maruja (una

ENUNCIADO

persona por piso). Se sabe que:

Sobre la estatura de cinco hermanas se sabe que:

• Juan vive en el piso cuatro. • Ricardo vive dos pisos por encima de Gabriela. • Maruja vive más arriba que Pedro pero más abajo que Ricardo. ¿Quién vive en el tercer piso?

8.

•

Lala es más alta que Lula pero más baja que Lola

•

Lila no es más baja que Lela.

•

Lala es más alta que Lila.

A lo largo de una fila se colocan 12. La más baja de todas es:

cinco monedas diferentes. Se sabe que: • La moneda de 10 céntimos está entre las monedas de 50 y 20 céntimos. • La moneda de 2 soles está al extremo derecho. • La moneda de un sol se encuentra junto y a la derecha de la moneda de 20 céntimos. ¿Cuántos ordenamientos diferentes se pueden

13.

¿Cuántas hermanas, como

máximo, pueden tener la misma estatura?

14. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son

realizar?

verdaderas?

9.

I. Lola es la más alta.


II.

pregunta anterior, la moneda de 10 céntimos siempre estará junto a la moneda de:

10.

III.

Lala es más alta que Lela. Lula es más baja que Lila.

En una carrera participan los

autos “A”, “B” , “C”, “D” y “E”. Sobre el orden de llegada se sabe que:

ORDEN DE INFORMACIÓN II

• No hubo empates en la carrera. • “A” llegó antes que “B” pero justo después que “E”. • “C” llegó último y “D” no llegó en primer lugar. ¿Quién llegó en primer lugar?

11.

ORDENAMIENTO CIRCULAR En este capítulo resolveremos problemas que en su representación esquemática se consideran circuitos cerrados como por ejemplo: personas o cosas alrededor de una mesa, personas alrededor de una fogata, etc.


pregunta anterior, ¿cuáles de las siguientes


MATEMATICA 301

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” En los problemas de ordenamiento circular asumimos que: “Todas las personas se ubican mirando al centro del círculo” (con ello podremos establecer las ubicaciones a la izquierda y las ubicaciones a la derecha).

básicas asociadas con el ordenamiento circular. (Analizaremos una situación donde hay seis animales distribuidos simétricamente alrededor de una mesa circular).

En muchos de los problemas de ordenamiento circular se considera que los asientos se encuentran distribuidos de manera simétrica…¿qué significa ello?

•

Frente al gato está el chancho.

•

Junto al gorila están el gato y el pato.

•

A la derecha del perro están el chancho y el pato.

•

A la izquierda del avestruz están el gato y el gorila.

Si no se dijera que las personas se encuentran distribuidas de manera simétrica , ellas se podrían colocar alrededor de la mesa como se muestra en la figura 1; en cambio, si están distribuidas de manera simétrica ellas estarían ubicadas tal como lo muestra la figura 2.

•

Junto y a la derecha del pato está el gorila.

•

A dos asientos del gato están el pato y el perro.

•

A tres asientos a la izquierda del chancho está el gato.

•

Entre el chancho y la avestruz está el perro.

•

El gorila y el chancho tienen un vecino en común, ese es el pato.

•

Ocho frutas han sido distribuidas alrededor de una mesa de manera simétrica tal como se muestra en el siguiente gráfico:

m ango n a ra n ja

p e ra m anzana

c h ir im o y a

p lá ta n o p iñ a u v a

•

A continuación se muestra algunas situaciones


MATEMATICA 302

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” b) Lorena está junto a Vanessa.


c) Ricardo se sienta a la derecha de Vanessa.

En una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente se sientan cinco amigos: Ricardo,

d)

Ruben, Vanessa, Lorena y Fernando. -

derecha de Ricardo.

Fernando está a la derecha del

e) N.A.

asiento vacío. -

El sitio vacío se encuentra a la

Vanessa se sienta frente a

Ruben. -

5.

Si Fernando está frente a Rocío,

el sitio vacío se encuentra frente a:

Ruben se sienta junto a Ricardo

y Lorena.

a)

Vanessa

b) Ruben

c)

Lorena d)

1. ¿Quién está frente al lugar vacío? a)

Ricardo

b) Ruben

No se puede determinar

e)

N.A. c)

Lorena d)

Vanessa

•

e) No se puede

mesa circular con seis asientos distribuidos

determinar

simétricamente:

2. ¿Cuántos posibles ordenamientos hay? a)

1

d)

4 e)

3.

Cinco amigos se sientan en una

b)

2 c)

3

Shirley está junto y a la

izquierda de Juan.

5

-

Roxana está frente a Shirley.

-

Gabriela no se sienta junto a

Roxana.

¿Cuál de las siguientes

afirmaciones son verdaderas? I.

Lorena se sienta frente a

6. ¿Cuál(es) enunciado(s) es(son) verdadero(s)?

Fernando.

I.

Juan está junto al asiento vacío.

de Ruben.

II.

Roxana está junto a Rocío.

III. Vanessa y Fernando se sientan juntos.

III. Gabriela se sienta frente a Rocío.

II.

a)

Ricardo se sienta a la derecha

Solo I

a) Solo I

b) II y III c)

Solo II d)

I y III

d)

c) I y III

Solo III

e) N.A.

e) Solo III 7.

4.

b) II y III

Si el asiento vacío está entre

Gabriela y Roxana, entonces es cierto que:

Todas las siguientes

afirmaciones son verdaderas, excepto:

a)

Shirley está junto a Rocío.

a) Vanessa esta adyacente al sitio vacio.


MATEMATICA 303

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” b)

Juan está frente a Gabriela.

c)

Rocío está junto a Roxana.

d)

Juan se sienta a la derecha del

12.

afirmaciones es verdadera?

asiento vacío. e)

¿Cuál de las siguientes

a)

Fernando se sienta junto al

asiento vacío.

N.A.

b)

Ricardo se sienta junto al

asiento vacío. 8. ¿Quién está junto al asiento vacío? a)

Roxana

b) Rocío

c) de Fernando.

c)

Gabriela d)

Shirley

d) e) Juan

9. ¿Quién está frente a Rocío? Juan

Fernando

Tadeo se sienta junto a Ricardo.

TAREA DOMICILIARIA b) Shirley

c)

Gabriela d)

Alfredo se sienta frente a

Fernando. e)

a)

Ricardo se sienta a la derecha

1.

Seis amigos: Alberto, Beatríz,

Carmen, Diego, Elena y Miguel, se sientan alrededor

e) No se puede

de una mesa circular con seis asientos distribuidos

determinar

simétricamente. Además:

10. ¿Cuántos posibles ordenamientos hay? a)

1

b)

d)

4 e)

2 c)

3

5

•

Los tres hombres se sientan juntos.

•

Beatríz se sienta junto y a la derecha de Diego.

•

Carmen se sienta frente a Miguel.

¿Quién se sienta junto a Elena? a)

Beatríz

b) Diego

c)

Miguel

ENUNCIADO: Alrededor de una mesa circular hay seis asientos

d)

distribuidos simétricamente y se van a sentar cinco

información

Alberto

e) Falta

personas teniendo en cuenta que: • Ricardo no se sienta junto a Fernando. • Jorge se sienta adyacente a Alfredo y al asiento vacío. • Tadeo está a la derecha de Alfredo.

2.

izquierda de Alberto? a)

11. ¿Cuántos ordenamientos diferentes son posibles? a)

1

b)

2 c)


pregunta anterior, ¿quién se sienta junto y a la

Miguel

b) Elena

Diego

3

d)

Carmen

e) Falta

información d)

4 e)

Más de 4


MATEMATICA 304

c)


Alrededor de una mesa circular

3

se distribuyen seis cartas de manera simétrica y se

d)

sabe que: • El 2 de corazones está junto y a la izquierda del 7 de espadas. • El 9 de diamantes está tres cartas a la izquierda del 7 de espadas. • El 5 de tréboles está frente al 8 de corazones. • El 10 de diamantes es la carta más alta que hay en la mesa. ¿Junto a qué carta está el 10 de diamantes? a)

5

b) 7 

7.

8 

e) Más de 4

En una mesa con seis asientos

distribuidos simétricamente se van a sentar cuatro personas y se sabe que:

c)

2 d)

4

•

Roberto estará junto a los asientos vacíos.

•

Manuel no estará frente a un asiento vacío.

•

Alonso y Diego son hinchas de la “U”.

¿Cuántos ordenamientos diferentes son posibles? e) 9 

a)

1

b) 2

c)

3 4.

d)

Según la pregunta anterior,

4 e)

Más de 4

¿cuántos ordenamientos diferentes son posibles? a)

1

b)

2 c)

3

8.


¿cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas? d)

4 e)

Más de 4

I.

Alonso se sienta frente a un

lugar vacío. 5.

II.

"A", "B", "C", "D", "E" y "F" se

Alonso.

sientan alrededor de una mesa circular en seis asientos distribuidos simétricamente y se sabe que: •

Diego no está sentado junto a

III. Manuel está sentado a la derecha de Diego.

"A" no se sienta junto a "B" ni a

a)

"F".

Solo I

b) Solo II

c)

Solo III

•

"E" se sienta adyacente a "F" y

d)

"C".

Solo I y II

e) Todas

¿ Frente a quién se sienta D? a)

A

b) B

9.

c)

E d)

F e)

En las esquinas de una mesa

hexagonal (regular) se sientan seis personas tal como se muestra en el esquema adjunto:

Falta

ALF

información

W I LLY

SHREK

NEM O

6.


¿cuántos ordenamientos diferentes son posibles? a)

1

b) 2

FROD O

FIO N A

c)


MATEMATICA 305


¿Quién se sienta a la derecha de Frodo y a la izquierda de Alf? a)

Willy

b) Fiona

c)

Resolución: Primero procedemos a enumerar las figuras simples:

Nemo d)

Shrek

2

e) Faltan datos

3

1 10.

Según el esquema anterior, si se

Luego realizamos el conteo ordenado: Con una figura simple:

desea que Alf y Willy no estén juntos y sólo debe realizarse un intercambio de lugares entre dos personas, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá

2

realizar dicho intercambio? a)

4

3

1

4 b)

5 c)

4

6 Con dos figuras simples:

d)

7

e)

Más de 7

2

3

CONTEO DE FIGURAS En el presente capítulo, estudiaremos la técnica de conteo directo para determinar la cantidad máxima de figuras de un determinado tipo presentes en una figura dada y, luego de ello, estudiaremos el conteo de caminos y el trazado de figuras.

Con tres figuras simples: NO HAY TRIÁNGULOS Con cuatro figuras simples: NO HAY TRIÁNGULOS

A. CONTEO DE FIGURAS

El número máximo de triángulos en la figura es 5.

CONTEO DIRECTO Consiste en calcular el número máximo de figuras del tipo deseado, procediendo de la siguiente manera:

2.

¿Cuántos triángulos como

máximo hay en la siguiente figura?

• Numeración de las figuras simples mediante números y/o letras. • Conteo ordenado de las figuras con una letra, con dos letras, con tres letras y así sucesivamente.

P r o b le m a s r e s u e lt o s 1.

¿Cuántos triángulos como

Resolución:

máximo hay en la siguiente figura?

Ahora vamos a usar letras: A continuación realicemos el conteo ordenado de los triángulos:


MATEMATICA 306

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” B E C A

G

D

D

A

B

D

A

C

F

B C

En total hay cuatro caminos posibles.

2.

Mariana quiere llegar al cine.

¿De cuántas maneras podrá escoger el camino a

• Con una letra: B - C - E - F - G (5 triángulos)

seguir, si en cada uno de los caminos, no puede pasar

• Con dos letras: AC - AB - EG - FG (4 triángulos)

más de una vez por cada uno de los puntos?.

• Con tres letras: CDE - BDF (2 triángulos)

D

B

• Con cuatro letras: NO HAY

G

F

• Con cinco letras: ABCDE - ACBDF (2 triángulos)

A

H

C

• Con seis letras: NO HAY

E

• Con siete letras: ABCDEFG (1 triángulo) En total hay 14 triángulos.

Los posibles caminos son:

ACEH – ACFH – ACFDGH – ABDGH – ABDFH – ABDFCEH

En total hay 6 caminos posibles. B. CONTEO DE CAMINOS

C. TRAZADO DE FIGURAS En esta parte debemos analizar si una figura dada se

P r o b le m a s r e s u e lt o s 1.

puede realizar de un solo trazo bajo las siguientes condiciones:

Juanito desea trasladarse desde

su casa al colegio (ver esquema adjunto). ¿De cuántas

• No se debe levantar el lapicero de la superficie donde se está dibujando la figura. • No se puede pasar más de una vez por una misma línea.

maneras podrá hacerlo, si en cada uno de los caminos a seguir no podrá pasar más de una vez por cada uno de los puntos?

* B

D

A

C E

G

C

Definiciones previas: • Punto par: Punto donde converge un número par de líneas (figura 1). • Punto impar: Punto donde converge un número impar de líneas (figura 2). 1

2

1 2

Los posibles caminos a seguir son:

B

4

D

D

3 F ig u r a 1

A

A

3 F ig u r a 2

En las siguientes figuras determinar la cantidad

C

de puntos pares y la cantidad de puntos impares. Luego intente ver si se puede realizar la figura de un solo trazo:


MATEMATICA 307


C

D

d)

12 e)

10

E

2. A

G

F

¿Cuántos triángulos hay en la

figura?

C a n t id a d d e p u n t o s p a r e s C a n t id a d d e p u n t o s im p a r e s ¿ S e p u e d e r e a li z a r d e u n s o l o t r a z o ? B

C

D

E

A

G

F

C a n t id a d d e p u n to s p a r e s C a n t id a d d e p u n to s im p a r e s

a)

12 b)

15 c)

d)

18 e)

16

13

¿ S e p u e d e r e a li z a r d e u n s o l o t r a z o ?

B

C

D

3. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?

A

G

F

C a n t id a d d e p u n t o s p a r e s C a n t id a d d e p u n t o s im p a r e s ¿ S e p u e d e r e a li z a r d e u n s o l o t r a z o ?

Conclusiones en base al análisis anterior: -

Si la figura no tiene puntos impares, entonces ………………………………………………………………………… - Si la figura tiene hasta dos puntos impares, entonces ………………………………………………………………………… - Si la figura tiene más de dos puntos impares, entonces …………………………………………………………………………

a)

17 b)

13 c)

d)

12 e)

15

4. Hallar el número de triángulos en:

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

a)

15 b)

18 c)

20 d)

a)

18 b)

16 c)

24 e)

16

5. Calcular el número de triángulos en:

14


MATEMATICA 308

16


30 b)

39 c)

40 d)

42 e)

48

9. Hallar el total de cuadriláteros en:

a)

90 b)

91 c)

92 d)

93 e)

94

a)

16 b)

17 c)

d)

19 e)

20

18

6. ¿Cuántos cuadriláteros hay? 10.

Hallar el número total de

cuadriláteros y triángulos en la figura, luego suma estos valores. a)

7 b)

8 c)

d)

9 e)

5

11

7. Hallar la totalidad de cuadriláteros en: a)

13 b) d)

a)

18 b)

23 c)

d)

7 e)

12

15

12 c)

e)

14

16

TAREA DOMICILIARIA

9

Indicar de cuántas maneras diferentes se pueden ir de "A" hasta "G" sin pasar, en cada recorrido, más de una vez por cada uno de los puntos.

1.

8. Cuántos triángulos hay en total

A

D

B

C

F

E G


MATEMATICA 309


8 c) 10

b) 9

d)

11

e) 12

5.

En las siguientes figuras, indicar la cantidad de puntos impares que tienen las figuras mostradas y concluir si se pueden hacer o no de un solo trazo.

a)

0 – sí

b) 2 – sí

c)

2 – no 2.

d)

4 – sí

e) 4 – no

6. ¿Cuántos triángulos como máximo hay en la siguiente figura? a)

2 – sí

b) 0 – sí

c)

4 – no d)

4 – sí

e) 2 – no a)

15

b) 16

c)

17

3. d)

14

e) 13

7. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?

a)

6 – no

b) 8 – no

c)

2 – sí d)

4 – no

e) 0 – sí

a)

5 b)

6 c)

d)

8 e)

9

7

4. 8. ¿Cuántos triángulos tienen al menos un asterisco?

a)

0 – sí

b) 2 – sí

c)

4 – no d)

2 – no

a)

e) 6 – no

6

b) 7

8 d)

9 e)

10


MATEMATICA 310

c)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” se caracterizan por seguir una regla de formación y lo que buscaremos en cada uno de los ejercicios es encontrar esa regla de formación. Ejemplos de sucesiones: • Numérica : 4 ; 6 ; 9 ; 13 ; 18 ; 24 • Literal : A;C;E;G;I;K

9. ¿Cuántos cuadrados hay en la siguiente cuadrícula?

• • a)

16

b) 25

c)

30

10.

Combinada

:

;

;

;

: C4 ; D7 ; E10 ; F13 ; G16 ; H19

En el presente capítulo nos ocuparemos de las sucesiones numéricas y literales.

28 d)

De figuras

e) 32

SUCESIONES NUMÉRICAS En cada uno de los siguientes ejemplos nos ocuparemos de encontrar la ley de formación y el elemento que sigue.

¿Cuántas de las figuras mostradas se pueden realizar de un solo trazo?

a. 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; … Resolución:

4 ; 6 ; 8 ; 1 0 ; 1 2 ; ... +2

+2

+2

+2

+2

El número que sigue es: 12+2=14

a)

0 b)

1

d)

3 e)

4

c)

b. 2 ; 5 ; 9 ; 14 ; 20 ; … Resolución:

2

2 ; 5 ; 9 ; 1 4 ; 2 0 ; ... +3

+4

+5

+6

+7

El número que sigue es: 20 + 7 = 27 c. 5 ; 10 ; 20 ; 40 ; 80 ; … Resolución: 5 ; 1 0 ; 2 0 ; 4 0 ; 8 0 ; ...

11. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

x 2

x 2

x 2

x 2

x 2

El número que sigue es: 80 x 2 = 160

a)

14

b) 16

SUCESIONES LITERALES Son un conjunto ordenado de letras de acuerdo a los siguientes criterios:

c)

18 d)

20

e)

• Lugar que ocupa la letra en el abecedario (no consideraremos "CH" ni "LL")

24

SUCESIONES Una sucesión viene a ser un conjunto ordenado de elementos que pueden ser números, letras, figuras o una combinación de los anteriores. Estos elementos

A 1

B 2

C 3

J 10

K 11

L 12

R 19

S 20

T 21

D 4

E 5

F 6

G 7

H 8

I 9

M N 13 14

Ñ 15

O 16

P 17

Q 18

U V 22 23

W 24

X 25

Y 26

Z 27


MATEMATICA 311

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 2. 1; 8; 27; 64; 125; 216; ...

Ejemplos: Indicar la letra que sucesiones: a. A ; C ; F ; J ; Ñ ; …

sigue

en

las

siguientes

a)

125

b) 269

c)

333 d)

Resolución:

349

e) 343

a)

10 b)

9 c)

d)

12 e)

13

A ; C ; F ; J ; Ñ ; ... 1

3 +2

6 +3

10 +4

3. 1; 1; 2; 3; 5; 8; ...

15 +5

+6

14

La letra que sigue está asociada con el número: 4. 5; 9; 14; 21; 31; ...

15 + 6 = 21 . La letra es la “T”.

a)

39 b)

41 c)

43

• Iniciales de palabras conocidas Ejemplos: Indicar la sucesiones:

letra

que

sigue

en

las

d)

M i e r c o l e s

a)

B b)

C c)

d)

A e)

E

5. Z, W, R, L, ...

L ; M ; M ; J ; V ; ... M a r t e s

47

siguientes

a. L ; M ; M ; J ; V ; … Resolución:

L u n e s

45 e)

J u e v e s

V i e r n e s

D

6. P, S, T, C, Q, S,S, O, N, D, ...

La letra que sigue es: “S” (sábado)

a)

S b)

O c)

d)

T e)

N

U

PROBLEMAS PARA LA CLASE 7. R, 1, Z, 16, N, 1, M, 9, E, 14, T, ... En cada caso, hallar el número o letra que continúa:

a)

15 b)

22 c)

20 1. 2; 14; 26; 38; ... a)

d) 50 b)

39 e)

18

52 c)

60 d)

16 e)

8. A, 2, D, 5, G, 8, J, 11, ... 48

a)

M, 16

b) N, 10

M, 13


MATEMATICA 312

c)


M, 14

e) M, 12

d)

9. A, F, K, O, ...

15.

a)

T b)

R c)

d)

P

U

e)

W

N e)

X

7 ; 12 ; 19 ; 28 ; 39 ; … a)

46

b) 50

c)

51 d)

62

e) 52

10. 1, 1, 3, 18, 180, ... a)

1 200

b) 190

16.

c)

350 d)

2 700

2 ; 3 ; 6 ; 11 ; 18 ; … a)

Determinar el número o letra que sigue en cada una de las siguientes sucesiones:

17.

3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21; … a)

31

b) 33

35

d)

89

13.

189

b) 198

d)

B b)

E c)

d)

H

e) I

72

e) 80

70

b) 42

56

e) 84

c)

TAREA DOMICILIARIA F

En cada caso, hallar el número o letra que continúa:

C;D;Q;V;V;T;T;… C b)

c)

e) 162

a)

a)

b) 64

49

c)

A;D;I;O;X;…

14.

56

1;1;3;9;5;1;7;… a)

208 d)

e) 23

e) 43

2 ; 4 ; 7 ; 28 ; 33 ; … a)

25

68

c)

18. 12.

c)

2 ; 4 ; 10 ; 22 ; 42 ; … a)

34 d)

b) 29

31

e) 1 200 d)

11.

27

S c)

O

1.

B;D;F;H;J;…

2.

C;F;I;L;Ñ;…

3.

Z;X;V;T;…

4.

E;F;M;A;M;…

5.

D;C;S;O;D;…


MATEMATICA 313


A;C;F;J;…

7.

A;Z;B;Y;C;X;…

8.

B;A;F;C;J;E;…

9.

B;F;K;P;…

24.

B; Y; E; V; H; S; K; ...

25. 60; ...

6; 3; 6; 24; 12; 15;

11. 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; ...

26. ...

1; 6; 10; 18; 25; 39; 52;

12. D; G; J; M; O; ...

27. B; C; E; G; K; M; P; R; ...

10.

A;B;D;H;…

13. B; F; L; S; C; ...

ANALOGÍAS Y DISTRIBUCIONES

14. A; B; D; H; ...

ANALOGÍAS NUMÉRICAS Es una disposición de números en tres columnas, en donde los valores de la columna central van entre paréntesis. Lo que se requiere es encontrar una ley de formación que se verifique en cada fila (la primera y la segunda), para poder hallar el valor pedido en la tercera fila. 1.

15. 5; 13; 29; 61; ...

16.

9; 5; 15; 11; 33; 29; ...

17.

32; 20; 16; 17; 8; 14; ...

18.

1 2 (2 4 ) 3 6 2 0 (3 2 ) 4 4 17 (x) 21

2; 10; 30; 68; 130; ...

19.

Z; W; T; Q; ...

20.

5; 8; 14; 32; 104; ...

F ila 1 F ila 2 F ila 3

E l v a lo r c e n t r a l e s la s e m is u m a d e lo s e x t r e m o s

I n c ó g n it a

F ila 1

F ila 2

12 + 36 = 24 2

20 + 44 = 32 2

En base a la igualdad encontrada en la fila 1 y en la fila 2, se puede concluir que la fila donde se encuentra la incógnita tiene la misma relación y

21.

3; 8; 15; 24; 35; ...

22.

C; F; E; J; I; Q; ...

23.

con ello se puede obtener el valor de la incógnita.

17 + 21 = x 2

x = 19

B; G; K; N; O; ... 2.


MATEMATICA 314

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 3. 16 25 41

(4) (9) (x)

E l v a lo r c e n t r a l e s la d if e r e n c ia d e lo s e x t r e m o s

12 16 27

F il a 1

F il a 2

F il a 3

16 - 12 = 4

25 - 16 = 9

41 - 27 = x

2

3

4

5

5

13

3

17

x = 14

a)

2

x

8

18

2 b)

3 c)

20 DISTRIBUCIONES NUMÉRICAS

d)

En este caso, a diferencia de la analogía numérica, la relación puede ser horizontal o vertical (nunca diagonal) y ningún número va entre paréntesis.

4 7 9

6 5 3

10 13 11

4 + 6 + 10 = 20 7 + 5 + 13 = 25 9 + 3 + 11 = x

8

a)

6 b)

8 c)

d)

12 e)

14

422

b) 380

4. 4

5

7

2

3

x

8

15

56

L a r e l a c i ó n e s h o r iz o n t a l. L a s u m a d e lo s t r e s p r im e r o s e s ig u a l a l c u a rto n ú m e ro

20 25 x

5 e)

x = 23

9

PROBLEMAS PARA LA CLASE 5. 12

Hallar el valor de "x" en: 1. 2

3

1

8

2

2

3

20

7

x

0

a)

(171)

3

(72)

2

(x)

2 c)

408

a)

2 b)

1

d)

8 e)

10

c)

5

d)

413

e) 424

6. 2. 23

(36)

42

21

(14)

52

13

(x)

28

a)

32 b)

16 e)

3

5

21

7

2

3

20

5

2

x

18

30 c)

24 d)

2

10

a)

6 b)

3 c)

d)

4 e)

17


MATEMATICA 315

10

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 7. 10

2

5

7

4

13

8

2

x

• En cada caso, determinar el valor de “X”. 11. 5 (13) 8

a)

2 b)

1

d)

3 e)

5

8. 12

(9)

15

22

(8)

13

73

(x)

16

c)

4

12.

a)

15 b)

16 c)

d)

18 e)

19

7

9

2

3

13.

32

x 8

14.

2

5

70 2

a)

6 b)

7 c)

d)

9 e)

21

(16)

9

4

(X)

11

2

(8)

4

3

(21)

7

5

(X)

6

7

(8)

9

12

(8)

4

9

(X)

31

16

(12)

4

24

(9)

15

17

(X)

11

26

(6)

14

32

(7)

18

20

(X)

12

17

9. 1

7

10

15.

10. 3

1

0 18

15 7

2

TAREA DOMICILIARIA

8

5

1.

1 1

2

x 11

123 ( 12 ) 42 234 ( 16 ) 61 342 ( x ) 85

10

a)

20

b) 21

22 a)

30 b)

32 c)

d)

72 d)

42 e)

24

e) 25

31


MATEMATICA 316

c)


7

( 50 )

1

4

( 18 )

2

3

( x )

5

a)

31 d)

12

b) 14

c)

15 d)

16

e) 21

6. 12

( 34 )

31

51

( 27 )

21

34 ( x )

47

a) 3.

32

e) 33

81

b) 36

c)

48

27 5

30 2

4 3

7

4 5

a)

d)

x

b) 31

c)

e) 39

4

2

7

3

9

4

5

13

3

24

8

x

42

b) 44

2

4

3

1

6

2

x

17

e) 23

8. 3

( 5 )4

5

( 13 ) 12

7

( x )24

a)

26

b) 27

31

c)

e) 25

3 27

2

4 7

6

7 x

3 6

5

9. 4

( 15 )

3

6

( 19 )

1

8

( x )

6

a)

28

b) 30

30

b) 26

35

8

d) a)

c) 13

e) 32

5 5

3

28

5.

18

5

d)

48

4

10

c)

46

3

2

d)

4.

1

7. 3

a) 2

25

d)

b) 4

4

33

a)

e) 58

3

14

d)

18

41

e) 43

c)


MATEMATICA 317

c)


d) 5 7

5 6

4

4

6 4

9

7 3

4

a)

CUATRO OPERACIONES.

2

9

13

7

9

5

11 e)

x

11

b) 12

c)

13 d)

15

e) 19

Los problemas considerados en el presente capítulo son retos matemáticos que involucran las cuatro operaciones fundamentales (adición, sustracción, multiplicación y división).

11.

29

34

x

• PROBLEMAS CON TARJETAS

5

2

4

5

8

3

7

3

2

6

6

5

a)

58

b) 45

En estos problemas se muestra un grupo de tarjetas cada una de las cuales tiene una determinada operación. El objetivo consiste en ordenar todas las tarjetas para llegar a un resultado “R” a partir de un número inicial "I".

c)

73 d)

64

Ejemplos: 1. Dadas las tarjetas:

e) 76

SUME 7

12.

2

4

5

5

6

2

32

7

4

9

x

a)

M U LT I P L I Q U E PO R 2

REST E 5

Ordene las tarjetas para que, a partir del número

13

inicial 11, obtenga por resultado el número 19. Resolución:

32

b) 43

1 1 -5 = 6 x2 = 1 2 + 7 = 1 9

c)

37 d)

33

e) 45

2. Dadas las tarjetas: RESTE 8

13. 4

(3)

2

12 ( 3 )

6

24 ( x )

18

a)

D IVID A ENTRE 5

SU M E 15

M U LT I P L I Q U E POR 3

Ordene las tarjetas para que, a partir del número inicial 5, obtenga por resultado el número 4. 5 b)

7 c)

12

Resolución:


MATEMATICA 318

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 5 + 15 = 20

5 = 4

x3

= 12

-8

= 4

• OPERACIONES CRUZADAS

A 24

B 4

C 11

D 13

E 19

F 50

G 12

H 25

I 44

J 10

a) Encontrar dos fichas que al ser divididas, una entre la otra, den por resultado 4. b) Encontrar tres fichas que sumen 118. c) Encontrar tres fichas cuyo producto sea 440.

En este caso debemos completar los esquemas con los números del 1 al 9, sin repetir ninguno, para llegar a los resultados indicados en cada fila y columna. Ejemplos: 1. 10

PROBLEMAS PARA LA CLASE 36

En cada caso se presenta un grupo de tarjetas. Usted deberá ordenar las tarjetas para llegar al

15

valor final a partir del valor inicial. 23

7

7

Resolución: 1.

2

3

5

10

7

4

8

36

9

1

6

15

23

7

7

D IVID A ENTRE 3


Valor inicial: 5

SUM E 4

R ESTE 2

Valor final: 9

2. • PROBLEMAS CON FICHAS En estos problemas deberá encontrar dos o más fichas que cumplan ciertas condiciones pedidas. Ejemplos: 1. Dadas las siguientes fichas:

M U LT I P LI Q U E POR 4

D IVID A ENTRE 3

Valor inicial: 12

A 23

B 45

C 31

D 64

E 24

F 43

G 40

H 12

R EST E 8

SUM E 12

Valor final: 0

3. D IVID A ENTRE 3

D IVID A ENTRE 2

SUM E 20

R EST E 6

Encontrar tres fichas que sumen 100. Resolución:

B 45

F 43

Valor inicial: 18

H 12

Valor final: 10

¿Es la única solución? 2. Dadas las siguientes fichas: 4. M U LT I P L I Q U E POR 2

SUM E 12

M U LT I P L I Q U E PO R 3

RESTE 16



MATEMATICA 319


Valor inicial: 5

Valor final: 88

•

Dado el gráfico, ubicar los

números del 1 al 9, en donde faltan números.

2

5.

×

+ SUM E 5


Valor final: 33

16

C ×

+

D +

-

E ×

=

10

F

+

G

+

9

=

19

=

Valor inicial: 13

RESTE 9

=

+

=

SUM E 3

+

B

=

D IVID A ENTRE 6

+

A

17

17

17

• Dadas las siguientes operaciones: A

B

C

D

E

RESTE 8

D IVID A ENTRE 4


SUM E 12

RESTE 20

F

G

H

I

J

RESTE 10


D IVID A ENTRE 3


6.

SUM E 4

11. ¿Cuánto vale: C + D + E? 13 b)

12 c)

d)

20 e)

17

a)

12 b)

27 c)

d)

18 e)

32

orden), ¿cuál es el valor final?

11

Si el valor inicial es 6, ¿cuál es el

máximo valor que se puede obtener si se deben

13. Calcular: A × D + E

realizar tres de las operaciones dadas (una vez cada

a)

una)?

26 b)

25 c)

23 d)

8.

15

12. Hallar: B + F

Si el valor inicial es 6 y se

realizan las operaciones “G”, “F”, “H” y “E” (en ese

7.

a)

18 e)

27

a)

cero

b) 2 c)

d)

10 e)

20


realizan las operaciones “H”, “G”, “D”, “J” y “F” (en ese orden), ¿cuál será el valor final?

9.

14. Hallar: D + E - G

Encuentre un número inicial que

sea igual al número final luego de realizar cuatro de

3

las operaciones indicadas. • 10.

Completar con los números 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 los recuadros que faltan.


realizan las operaciones “A”, “B”, “C”, “D” y “E” (en ese orden), ¿cuál será el valor final?


MATEMATICA 320

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” ×

A

+

40

=

1165

B -

+

10

×

C

=

215

30

×

D

+

E

=

185

45

• Dadas las siguientes fichas:

=

=

=

+

30

245

-5

A 19

B 13

C 6

D 7

E 8

F 17

G 12

H 16

I

J

11

10

6. Ubicar dos fichas cuya división sea exacta.

15. Hallar: D + E + C a)

7. 85 b)

82 c)

Ubicar tres fichas cuya suma

sea la máxima posible.

72 d)

60 e)

65

8.

Ubicar dos fichas cuya

diferencia sea la máxima posible. 16. Hallar: B × D + D × E a)

180

b) 250

c)

9. Ubicar cuatro fichas cuya suma sea 45.

225 d)

230

e)

70

10.

Si el exceso de una ficha sobre

la suma de otras dos es 6, ubicar dichas fichas.

TAREA DOMICILIARIA Dadas las siguientes fichas:

A 16

B 31

C 7

D 2

E 12

F 18

G 43

H 12

I 6

J

• Dadas las siguientes fichas:

13

1. Ubicar tres fichas que sumen 24. 11.

A -3

B 4

C -6

D 7

E 8

F 10

G 2

H 1

I -8

J 5

Ubicar tres fichas cuyo

producto sea el máximo posible. 2. Ubicar tres fichas cuyo producto sea 192. 12.

Ubicar tres fichas cuyo

producto sea el mínimo posible.

3. Ubicar cuatro fichas cuyo producto sea un número impar.

13.

Ubicar tres fichas que sumadas

den 15 (dar tres posibles respuestas).

4. Ubicar cuatro fichas que sumen 92.

14.

5. Ubicar dos números cuya diferencia sea 12.

Ubicar tres fichas cuyo producto sea -42.


MATEMATICA 321


15.

Ubicar cuatro fichas cuya suma

22.Encuentre cuatro fichas cuya suma sea máxima.

sea 2. 23.Encuentre tres fichas cuyo promedio sea 23.

• Dadas las siguientes fichas: A 43

B 76

C 32

D 87

E 56

F 91

G 14

H 72

I

J

29

17

24.Encuentre dos fichas cuya diferencia sea máxima.

25.Calcular: 16.

Ubicar tres fichas cuya suma

C  ExI 

sea 157. 26. 17.

Si una ficha excede a la suma de

resultado 12.

OPERACIONES COMBINADAS I

Si la suma de cuatro fichas es

máxima, ubique las fichas e indique su suma.

19.

Encuentre tres fichas de tal manera que la

suma de dos de ellas dividida entre la tercera de por

otras dos fichas en 60, ubicar las tres fichas.

18.

F A

En el presente capítulo resolveremos problemas de compra-venta utilizando únicamente las cuatro operaciones fundamentales.

Si la diferencia de dos de las

fichas es máxima, ubique las dos fichas e indique la


diferencia.

20.

Si el producto de dos de las

1.

fichas es el mínimo posible, ubique las fichas e

Jorgito acude a la bodega

“TAKELIKO” y compra 3 gaseosas y 4 chocolates. Si

indique su producto.

cada gaseosa vale 2 soles y cada chocolate 1 sol, ¿cuánto dinero tuvo que pagar?

•

Resolución:

Dadas las siguientes fichas:

A 12

B 20

C 32

D 42

E 50

F 36

G 17

H 22

I 15

J 35

K 48

L 96 C a d a g a s e o s a le c u e s t a 2 s o l e s . S i c o m p ra 3 g a s e o s a s d e b e p a g a r : 3 x 2 = 6 s o le s

21. Encuentre cinco fichas que sumen 158.


MATEMATICA 322

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Para ganar 800 soles necesita vender:

C a d a c h o c o la t e c u e s t a 1 s o l. S i c o m p r a 4 c h o c o la t e s d e b e p a g a r : 4 x 1 = 4 s o le s

800  100 8 docenas de globos 100 docenas equivale a: 100 x 12= 1 200 globos.

¡ J o lg i t o , m e d e b e s p a g a l 6 s o le s d e l a s g a s e o s a s y c u a t l o s o le s d e l o s c h o c o la t e s . E n t o t a l m e d e b e s : 6 + 4 = 1 0 s o le s .. .! 2.

4.

Un comerciante compra, en el

mercado mayorista de Caquetá, 500 plátanos a 40 céntimos la mano. Si vende los plátanos a 20 céntimos cada uno, ¿cuánto dinero ganó, si 100 de los

Manuel compra cinco televisores

plátanos se malograron antes de ser vendidos?

de 14" a $120 cada uno. Si uno de ellos estaba malogrado, ¿a cuánto debe vender cada uno de los

Resolución:

restantes para recuperar su dinero? Resolución:


Se prepara una canasta con un

panetón de 8 soles, un champagne de 7 soles, una caja de galletas de 4 soles, una lata de duraznos de 3 soles, una bolsa de caramelos de 6 soles, 1 tarro de leche de 2 soles y un chocolate de taza de 1 sol. Si se vende la canasta con los productos a 55 soles y se

C o s t o t o t a l d e lo s t e le v is o r e s : $ 1 2 0 x 5 = $ 6 0 0

gana 15 soles, ¿cuánto cuesta la canasta vacía? a)

6 soles

b) 8

c)

9

En la venta debe recuperar los $600 pero para ello sólo dispone de cuatro televisores ya que uno de ellos

d)

11

e) 12

está malogrado. Luego, cada televisor debe ser vendido a: 2.

$600  $150 4 3.

Por un ciento de relojes pago

1700 soles y por un millar de plumones pago 3000 soles. ¿Cuánto debo pagar por un reloj y un plumón?

Karla compra globos a 4 soles la

a)

docena. Si vende cada globo a un sol, ¿cuántos globos

20 soles

b) 47

317

e) 470

c)

4,7

debe vender para ganar 800 soles?

d)

Resolución: P o r u n a d o c e n a d e g lo b o s p a g a 4 s o le s 3.

P o r u n a d o c e n a d e g lo b o s r e c ib e : 1 x 1 2 = 1 2 s o le s

Por 2 galletas y un chocolate

pago 7 soles, ¿cuánto debo pagar por 12 galletas y 6 chocolates?

E n u n a d o c e n a d e g lo b o s g a n a : 1 2 - 4 = 8 s o le s

a)

21 soles

b) 35


MATEMATICA 323

c)


desea ganar 40 soles?

49

e) 56

a)

2,5 soles

b) 3

c)

3,5 4.

d)

Un microondas “Sanson” cuesta

4

e) 4,5

$240 y uno de marca “Mirayo” cuesta $150. ¿Cuánto gasto en la compra de 20 microondas “Sanson” y 12

8.

microondas “Mirayo”? a)

$6 200

b) 6 400

c)

¿Cuántas centenas deberá vender para ganar 10 000

7 200 d)

López compra relojes a 480

soles la docena y los vende a 600 soles la decena. soles?

6 600

e) 7 800

a)

2 b)

5 c)

20 5.

d)

En una galería de Gamarra se

50

e) 25

observan los siguientes precios: 9.

Por la compra de 7 celulares

pago 945 soles. Si uno de ellos lo regalo a mi hijo, ¿a cuánto debo vender cada uno de los restantes para ganar 255 soles?

7 0 s o le s

2 0 s o le s

a)

1 5 s o le s

185 soles

b) 195

c)

200

4 5 s o le s

d)

225

e) 235

¿Cuánto se debe pagar por la compra de 7 polos, 3 10.

pantalones, 2 chompas y 4 gorros? a)

475 soles

b) 435

c)

gratis. Si compro 120 borradores y decido vender

415 d)

515

Por la compra de una docena de

borradores, pago 7 soles y recibo dos borradores cada uno a 1 sol, ¿cuánto dinero ganaré?

e) 525

a)

60 soles

b) 65

c)

68 6.

d)

Medrano compra 20 gaseosas a

75

e) 70

un sol cada una. ¿A cuánto debe vender cada una de las gaseosas, si desea ganar 20 soles? a)

1,5 soles

b) 2

11.

c)

50 vacas: 10 de ellas son vendidas a $250 c/u; 15 a

2,5 d) 7.

3

Un ganadero desea vender sus

$300 c/u y las restantes a $500 c/u. ¿Cuánto dinero ganó en la venta, sabiendo que en cada una de las

e) 3,5

vacas invirtió $280?

Valverde compra 30 gaseosas a

a)

2 soles cada una. Si regala 5 de las gaseosas, ¿a

$5 250

b) 5 400

5 750

cuánto deberá vender cada una de las restantes, si


MATEMATICA 324

c)


5 500

e) 6 000

3.

Una lata de leche alcanza para 3

niños o 2 adultos. Si tenía 8 latas y ya se alimentaron 12 niños, ¿cuántos adultos se pueden alimentar con 12.

las latas que quedan?

El costo de producir una

chocoteja es de 20 céntimos. Si se desean vender por docena (en una caja que cuesta 60 céntimos), ¿cuánto se ganará en la venta de 100 cajas de

a)

5 b)

6 c)

d)

8 e)

9

7

chocotejas, si el precio de venta de cada caja es de 8 soles? a)

400 soles

b) 300

4.

c)

Martha S/. 18 por día, luego de cuántos días Sandrá

500 d)

habrá ganado S/. 156 más que Martha.

200

13.

Sandra gana S/. 30 por día y

e) 600

a)

16 b)

14 c)

d)

15 e)

13

12

Un conocido restaurante vende una

pieza de pollo a 3 soles, una porción de papas a 4 soles, una alita a 2 soles y una ensalada a 6 soles. ¿Cuánto ahorraría si

5.

en lugar de comprar los productos sueltos decide comprar un combo familiar de 12 piezas de pollo, 3 porciones de papas, media docena de alitas y dos ensaladas pagando 40 soles? a)

28 soles

b) 24

¿Cuál es el número que excede a

48 en la diferencia de 65 y 52?

c)

a)

57 b)

63 c)

d)

59 e)

65

61

18 d)

32

e)

40

6.


S/. 10 más que en la blusa, en comprarse un

César gana S/. 250 más que Dina

pantalón. Si tenía S/. 150, ¿cuánto le queda?

y Dina gana S/. 50 más que Ricardo. Si Ricardo gana S/. 800, ¿cuánto gana César? a)

S/. 105

a) b) 1 100

2.

1 200

c) d)

partido, indicar cuántos partidos deben programarse. 32 c)

28 d)

22 e)

c)

57 e)

58

7. Se reparten 240 galletas entre 6 familias compuestas de 8 personas cada una. ¿Cuántas galletas recibe cada persona?

intervienen 8 equipos. Si todos juegan entre si un

34 b)

b) 55

e) 1 250

En un campeonato de fulbito

a)

S/. 54 56

1 150 d)

Mercedes gastó S/. 42 en una

blusa, luego gastó

a)

4 b)

5 c)

d)

7 e)

8

18 8.

Una frutera adquiere 500


MATEMATICA 325

6

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” manzanas a S/. 2 cada una y luego 6 docenas de

d)

1 000

e) 1 200

naranjas a S/. 60 cada docena. Luego vende todo por S/. 1932, ¿cuánto gana? a)

S/. 562

b) 584

13.

c)

soles. Si se venden 40 de ellas ganando 2 soles en

576 d)

590

Se compran 100 piñas por 600

cada una y 30 de ellas ganando 3 soles en cada una, e) 572

¿a cuánto se venderá cada una de las restantes para ganar, en total, 290 soles?

9.

a)

Si ganara S/. 2 500 en una

7 soles

b) 8

c)

9

lotería, me compraría un auto que cuesta S/. 8 000 y todavía me quedaría

d)

10

e) 11

S/. 600, ¿cuánto tengo? a)

S/. 11 100

b) 9 900

c)

14.

7 800 d)

6 100

Un hacendado compró 60 vacas

por $30 000. Los costos de manutención de cada e) 8 600

vaca ascienden a $120. Si vende cada vaca a $635, ¿cuánto dinero ganó en la venta de las vacas, si una de ellas se murió antes de ser vendida?

10.

Las edades de un padre y su

a)

hijo suman 90 años. Si el hijo nació cuando el padre

49 años

b) 54

b) 265

c)

325

tenía 36 años, ¿cuál es la edad actual del padre? a)

$235

d)

c)

365

e) 415

58 d)

62 e)

11.

63

15.

20 plátanos y 60 chirimoyas. Si cada chirimoya

Se compran 70 vasos a 3 soles

cuesta 4 soles y cada plátano 50 céntimos, ¿cuánto

cada uno. Si se venden 20 de ellos a 3 soles cada uno

cuesta cada melón?

y se rompen 10, ¿a cuánto se debe vender cada uno de los restantes para ganar 50 soles? a)

4 soles

b) 5

a)

7

3 soles

b) 4

5

c)

6 d)

50 melones cuestan lo mismo que

d)

6

e) 7

e) 8

OPERACIONES COMBINADAS II 12.

El Agricultor vende al mayorista,

un costal de papa (50.kg) a 30 soles. El mayorista vende al minorista 10.kg por 8 soles y el minorista vende al consumidor un kilo a 2 soles. En la venta de una tonelada (1 000.kg), ¿cuánto dinero ganará el minorista? a)

200 soles

b) 500

c)

700


MATEMATICA 326

c)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” ¿ C u á n t o s li t r o s d e b o p a s a r d e l e n v a s e 2 a l e n v a s e 1 p a r a q u e a m b o s t e n g a n , a l fi n a l, la m i s m a c a n t id a d d e a g u a ?

ENVASE 1 1 4 0 li t r o s

S i a P e d ro le q u ito lo s 6 a ñ o s q u e l e ll e v a a J u a n , a m b o s t e n d r í a n la m i s m a e d a d y la s u m a d e s u s e d a d e s s e r ía : 4 6 - 6 = 4 0 a ñ o s

ENVASE 2 3 2 0 lit r o s

Luego de haber revisado problemas de compraventa en el capítulo anterior, ahora resolveremos problemas diversos de cuatro operaciones. Recuerda que sólo debes usar las cuatro operaciones fundamentales y no debes usar ecuaciones.

Si tienen la misma edad y la suma de sus edades es 40 años, se puede concluir que cada uno tiene:

P r o b l e m a s r e s u e lt o s

1.

40  20 2 años

Roberto gana 60 soles al día y

Luciana 80 soles. ¿Cuántos días deben transcurrir

por lo tanto, Juan tiene 20 años y Pedro tiene 26

para que juntos hayan ganado 1 540 soles?

años

Resolución: C a d a d ía g a n a n j u n t o s : 6 0 + 8 0 = 1 4 0 s o le s

3.

S i e n u n d ía h a n g a n a d o 1 4 0 s o le s , e n to n c e s p a ra q u e h a y a n g a n a d o 1 5 4 0 s o le s d e b e n h a b e r t ra n s c u r r id o : 1540 = 1 1 d ía s 140

2.

Un depósito contiene 200 litros

de leche y otro, 450. ¿Cuántos litros debo pasar del segundo al primero para que, al final, tengan la misma cantidad de leche? Resolución:

E n t o t a l h a y : 2 0 0 + 4 5 0 = 6 5 0 li t r o s S i a l fi n a l d e b e n t e n e r l a m is m a c a n t id a d d e le c h e , c a d a e n v a s e t e n d r á : 650 = 3 2 5 li t r o s 2

La suma de las edades de Juan y

Pedro es 46 años. Si Pedro tiene 6 años más que Juan, ¿cuál es la edad de cada uno? Resolución:

200 l it r o s

450 lit r o s


MATEMATICA 327


El segundo depósito tenía, al inicio, 450 litros y al

4.

final se quedará con 325 litros; por lo tanto, ha

soledad”. Si cada día lee 15 páginas más que el día

pasado: 450 - 325 = 125 litros al primero.

anterior y termina de leer la obra luego de cinco

Marco decide leer “Cien años de

días, ¿cuántas páginas tiene el libro sabiendo adicionalmente que el último día leyó 85 páginas? 4.

Tengo 12 monedas de 5 soles y

a) 255 páginas

algunas otras de 2 soles. ¿Cuántas monedas de 2 soles tengo, si el total de mi dinero asciende a 78

d)

b) 285

c) 265

270

e) 275

soles? Resolución:

5.

Se compran 3 chocolates por 5

soles y se venden 5 chocolates por 9 soles, ¿cuánto se gana en la venta de 60 chocolates?


a)

Mariana prepara 6 kekitos por

6 soles

b) 7

c)

8

hora y Martín, únicamente 4. ¿Luego de cuántas d)

horas Mariana habrá preparado 24 kekitos más que

9 e)

10

Martín? a)

8

b) 10

c)

6.

11 d)

12

En una mano tengo 24 esferas

de 10gr cada una y en las otras, 15 esferas de 20 gr e) 15

cada una. ¿Cuántas esferas debo intercambiar para que el peso de las esferas en ambas manos sea igual?

2.

a)

En una reunión por cada mujer

2

b) 3

c)

4

hay 7 hombres. Si se retiran 10 parejas y sólo d)

quedan hombres, ¿cuántas personas asistieron a la

5

e) 6

reunión? a)

60

b) 70

c)

7.

50 d)

90

Ricardo tiene 50 soles más que

Sandra. Si juntos tienen 370 soles, ¿cuánto dinero e) 80

tiene Ricardo? a)

3.

210 soles

b) 160

c)

150

Veinte amigos desean comprar d)

una calculadora HP de $240. Si 8 de ellos no pueden

175

e) 170

pagar la cuota que les tocaba, ¿cuánto más tendrán que pagar los restantes para poder comprar la calculadora HP? a)

8. $6

b) 8

aceite y en otro 560 litros. ¿Cuántos litros de aceite

c)

deben pasar del segundo al primer depósito para que,

10 d)

4 e)

En un depósito hay 240 litros de

al final, el primero tenga el triple de aceite que el 7,5

segundo?


MATEMATICA 328


360 litros

b) 140

c)

120 d)

280

13. e) 320

¿Cuál es el menor número que se

le debe sumar a 4325 para que resulte un número de cifras iguales? Dar por respuesta la suma de las cifras del número.

9.

Fabio prepara 12 hamburguesas

por hora y Renato, únicamente 7. Si Renato empezó a

a)

8 b)

9 c)

d)

11

e) 12

10

preparar las hamburguesas 5 horas antes que Fabio, ¿cuántas horas trabajó Fabio, si al final ambos han preparado la misma cantidad de hamburguesas? a)

5

b) 6

c)

14.

7 d)

8

Rita posee 80 monedas de 5

soles y Karem 50 monedas de 2 soles. ¿Cuántas e) 9

monedas debe intercambiar Rita para que ambas tengan al final, la misma suma de dinero?

10.

a)


40

pregunta anterior, ¿cuántas hamburguesas preparó Renato?

d)

a)

77

b) 70

c)

91

11.

e) 84

e)

45

En un matrimonio masivo, participaron 268 personas, entre contrayentes y testigos (2 por pareja). Si entre los testigos había 68 mujeres. 1. ¿Cuántos matrimonios se realizaron?

libros de R.M. o 12 libros de Aritmética. Si en el estante se han colocado 12 libros de R.M., ¿cuántos libros de Aritmética se podrán colocar en el espacio

a)

que sobra?

67 b)

66 c)

68 4

b) 6

c)

d)

10 d)

25

Enunciado

En un estante puedo colocar 24

a)

c)

TAREA DOMICILIARIA

49 d)

b) 50

30

12

70 e)

72

e) 18 2. ¿Cuántos hombres participaron en dicha reunión?

12.

a)

Un Administrador decide

134

b) 100

c)

133

entregar 200 soles a cada uno de sus trabajadores. Si antes de repartir el dinero uno de ellos es

d)

67 e)

66

despedido y por ello cada uno recibirá 250 soles, ¿cuánto dinero repartió el administrador? a)

2 000 soles

b) 800

3.

c)

cada una. Se venden 20 papayas ganando S/. 1 en

1 200 d)

1 500

Se compran 80 papayas a S/. 2

cada una y luego se votan 30 de ellas por estar e) 1 000

malogradas. ¿En cuánto debe venderse cada una de


MATEMATICA 329

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” las restantes si se quiere ganar S/. 20? a)

S/. 3

b) 3,5

a)

4,5e)

c) d)

Del problema anterior, ¿a cuánto

Al comprarse 20 pares de

¿cuánto demás se pagó? a)

b) 6 c)

7 e)

d)

7,50

10.

Enunciado

S/. 3 160

2 800

S/. 360

e) 135

b) 3 520

d)

180

b) 15

c)

11 e)

18

c) 11.

En una fiesta se preparan

bocaditos para los invitados (30 bocaditos para cada

e) 2 810

b) 120

S/. 14 16

uno) pero debido a que asistieron 150 personas más, cada uno de los asistentes recibió 20 bocaditos. ¿Cuántas personas asistieron a la fiesta?

c)

a)

220 d)

145

Se compran 30 polos a S/. 8

a)

6. ¿Cuánto ganó en la primera venta? a)

c)

cómo se debe de vender el resto para no perder?

3 610 d)

b) 175

cada uno. Si luego se venden 20 de ellos a S/. 5, ¿a

Un comerciante compró 40 jarrones a S/. 70 cada uno. Después de vender 12 con una ganancia de S/. 20 por jarrón, se le rompieron 5. Luego vende el resto de los jarrones ganando en total S/. 810 en las dos ventas. 5. ¿Cuánto recibió en la venta total? a)

S/. 180 155

6,50 d)

e) 150

el pago, en total se pagó erróneamente S/. 2 555,

80? S/. 5,50

120

zapatillas a S/. 120 cada uno, se cometió un error en

se debe vender cada papaya, si se desea ganar S/.

a)

c)

5 9.

4.

b) 100

80

4 d)

S/. 130

300

b) 400

c)

500

e) 240 d)

600

e) 450

7. ¿En cuánto vende cada jarrón restante? a)

S/. 70

b) 110

12.

c)

salón de segundo año deciden dar una cuota para

42 d)

72 e)

Cada uno de los 50 alumnos del

comprar una filmadora para su tutora; como 20 de ellos solo pueden completar media cuota, cada uno de

65

los restantes tiene que dar 60 soles. ¿Cuánto cuesta la filmadora?

8.

a)

Pepe y Ricardo tienen juntos S/.

1 750 soles

b) 2 000

2 200

230. Si Pepe tiene S/. 30 más que Ricardo, ¿cuánto tiene Ricardo?

d)

2 250

e) 2 500


MATEMATICA 330

c)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 5 13.

U N O + U N O D O S

Una persona trabaja de lunes a

sábado. Si cada día recibe el doble de lo que recibió el día anterior y el sábado recibió 320 soles, ¿cuánto

7

dinero recibió el lunes? a)

12 soles

* b) 15

3

7 * -* 6 2 7

Consideraciones que se deben

tomar al resolver problemas de criptoaritmética:

c)

8 d)

14.

5 e)

• Letras iguales ocultan cifras iguales

10

N o e s p o s i b le q u e u n a l e t r a “ L ” v a lg a 3 y la o t r a , 1 . N e c e s a r i a m e n t e d e b e n v a le r i g u a l ( L = 2 )


A L + A L 8 4

pregunta anterior, ¿cuánto dinero recibió en total? a)

570 soles

b) 620

c)

630 d)

15.

640

e) 610

• Letras diferentes ocultan cifras diferentes. P a r a q u e M + A s e a ig u a l q u e 4 p o d r ía se r q u e : M = 1 y A = 3 o M = 3 y A = 1 . P e ro n o d e b o c o n s i d e r a r M = A = 2 y a q u e le t r a s d ife r e n t e s o c u lt a n c ifr a s d if e r e n t e s .

Se tiene una canasta que tiene 40 manzanas.

Si el peso de la canasta con las manzanas es de 10 kg

M M + A A 4 4

y el peso de las manzanas excede en 6 kg al peso de la canasta, ¿cuánto pesa cada manzana?

CRIPTOARITMÉTICA I • La letra “O” no necesariamente es cero E n e s t e c a s o p o d r á s n o t a r q u e la l e t r a “ O ” v a le 2 . P o r e l l o , n o a s u m a s q u e la l e t r a “ O ” s ie m p r e v a le c e r o . E ll o n o e s c o r r e c t o .

¡ S i m e a y u d a s a e n c o n t r a r la s c if r a s o c u l t a s e n c a d a u n a d e la s le t r a s . . . t e in v it o m i t o r t a d e j a m ó n . . . !

C A L V O + 1 2 3 4 5 7 7 7 7 7

• Los problemas pueden tener más de una solución posible.

La palabra Cripto proviene del griego “criptus”. En este sentido la Criptoaritmética es una operación matemática que ha sido encriptada; es decir, algunas de sus cifras se han ocultado empleando para ello letras, asteriscos o casilleros en blanco. Ejemplos:


MATEMATICA 331


N o s o y m a t e m á t ic o , p e r o e s t e p r o b le m a t ie n e v a r ia s s o lu c io n e s : A L + L A 5 5

T

S o lu c io n e s : 14+ 41 55

U N D O R E

23+ 32 55

32+ 23 55

O S S

+

41+ 14 55

2.

•

D O S E I O C H

En el caso de tener que

encontrar los valores ocultos detrás de los

S S O

+

asteriscos, éstos si pueden tener un mismo valor. Ocurre lo mismo con los casilleros en blanco 3.

C u a n d o c o lo c o la s c i f r a s q u e f a l t a n e n l a s p o s i c i o n e s q u e h a y a s t e r i s c o s , e s p o s i b le q u e l a c if r a s e r e p it a : 4 * + * 3 9 8

M A M A P O

S S R

+

4 5 + 5 3 9 8

•

4.

La primera cifra (de izquierda

T A P O C U A

L R L

+

M

E

P

O

O A O

S S S

a derecha) de un número nunca puede ser cero. L a s l e t r a s “ P ” y “ G ” n e c e s a r ia m e n t e s o n d if e r e n t e s d e c e r o y a q u e s o n la s p r im e r a s c i f r a s d e lo s n ú m e r o s .

5.

P A N Z A + P A N Z A G O R D O

6.

N M C

+

Determinar la suma de todas las

cifras ocultas tras los asteriscos.

En esta clase resolveremos problemas que involucran la adición y la sustracción.

* 4 5 * * 7

TAREA DOMICILIARIA En cada caso encontrar una solución posible (en caso de que no tenga solución, explicar porque). a)

15

* 6 4 8

3 * 2 6

* + 7 6 5 b) 16

18


MATEMATICA 332

c)


19

e) 20

R+I+V+A+L

7. Sabiendo que :

11. Encuentre dos posibles soluciones que satisfacen:

U N O + U N O D O S

* S A L + * M A S A L L A hallar el valor de: M + A + L + A + S a)

16

b) 17

12.

c)

soluciones que satisfacen:

18 d)

19

Encuentre dos posibles

e) 20

* TW O + * TW O F O U R

8. Sabiendo que: * S I N + * S I N N A D A

13.

Encuentre dos posibles

soluciones que satisfacen: Hallar el valor de: S + A + N + D + I + A a)

27

b) 25

O N E + O N E TW O

c)

23 d)

24

e) 26

14.

Encuentre una solución posible que satisface:

9. Si: A + B + C + D = 14, hallar el valor de:

* * D O S + * T R E S C I N C O

ABCD  BCDA  CDAB  DABC a)

14 444

b) 15 444

c)

15 555 d)

15 554

TAREA DOMICILIARIA e) 16 554

Si: (a + b + c)2 = 225

1.

Hallar:

10. Sabiendo que:

a)

* S V I + * L L A R E A L

abc  cab  bca 1 656

b) 1 665

1 546 d)

1 555

e) 1 456

Indicar todos los valores que puede tomar:


MATEMATICA 333

c)


xyz  ab4  zyx y además: x + y + z = 20. 7. Si: abc  cba  mn3 , calcular: a - c + 3

Calcular: 4x + 3y - 2z a)

54 b)

58 c)

53 d)

55 e)

a)

9 b)

11 c)

d)

10 e)

12

13

59 8. Calcular: A + B + C, si:

3. Hallar "a + b + c", si: acba < 2000; además:

1C  2C  3C  4C  ...  9C  AB5

acba  abc  bac  ac  ba

a)

15 b)

12 c)

d)

14 e)

8

a)

19 b)

10 c)

d)

9 e)

15

18

9

9. Si:

1M  2M  3M  4M  ...  9M  YO6

Calcular: Y + O - M (O  cero) 4. Hallar "M - C", si: AMAC  CAMA = 9 328 a)

5 b)

6 c)

d)

4 e)

2

0

ab5  c8b  3ac  bca b) 1 376

1 706

d)

9 e)

10

8

COCA  COLA  OASIS , hallar: C + O + L + A

a)

21 b)

22 c)

d)

18 e)

N.A.

c)

1 556 d)

11 c)

+S

Calcular:

1 606

7 b)

10. Si:

5. Si: (a + b + c)3 = 1 331

a)

a)

11. Sabiendo que: e) 1 746

a  b  c  24 (a  b  c)

13

,

Hallar el valor de:

ab43  c53a  bba5

6. Si:

a)

26 277 c) 25 357

b) 26 342

d)

35 267

e) 25 377

abc  cba  mb5

Hallar el valor de: a - (c - b) a)

12 b)

13 c)

d)

15 e)

11

14 12. Si sabemos que:


MATEMATICA 334

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” + + + F

A A A G

B B B H

C + C C I

¿ M e p u e d e s a y u d a r a r e c o n s t r u ir la s i g u ie n t e o p e r a c i ó n ? S i l a p u e d e s r e s o lv e r t e in v it o u n a la t a d e r i c a s e s p in a c a s .

Hallar la suma de: F + G + H + I a)

11

b) 12

c)

13 d)

14

e) 15

Continuando con el tema de criptoaritmética, en este capítulo resolveremos problemas de multiplicación, división y potenciación. Esperamos que pongas al máximo tu capacidad de raciocinio y concentración para que puedas resolver todos los problemas que se presentan en éste capítulo.

13.

A A A O

M M M D

O O O I

R + R R O


Hallar el valor de: M + O + R + A + D + O a)

32

b) 34

1. Completar los espacios vacíos en:

5

c)

30 d)

3

28

e) 26

1

14. Si: (a + b + c)2 = 169, hallar el valor de: Resolución: Paso 1

abc  bca  cab 15. Si:

5

ab  aba  abab  5044

5 1

3

Hallar “b - a”

16. Si: A 4 6

B 5 C

C 7 D

D + 3 5

5 1

7 3

CRIPTOARITMÉTICA II

1 5

7 7

1

7

4

1

7 3

5 1

7 3

1

1

1 5

7 7

1

1

1

7

4

1

Paso 4

Hallar “A + B + C + D”

Paso 3

Paso 2

Paso 5

5 1

7 3

1 5

7 7

1

7

4

1

¿Cuánto suman las cifras del primer


MATEMATICA 335

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” producto parcial?

Paso 3

................

¿Cuánto suman las cifras del segundo producto parcial?

3 3

4 2

-

2 1

6

-

9

................

1

6

2

1

1

6

2

1

Paso 4

¿Cuánto suman las cifras del producto? ................

3 3

4 2

5

-

2 1

5 6

-

9

¿Cuánto suman las cifras que ocupan los casilleros vacíos?

................


2. Completar los espacios vacíos en:

1 5 7

1 3

2

-

2 -

1

2

2.

9

2

Resolución:

5

3

1 2

-

2

9

6 -

2

9

4 2

-

2 -

5

1

-

-

3.

Paso 2

3 3

-

-

5

1

Paso 1

3

2

6

7

2

2 -

9

3 -

8 -

-

4.


MATEMATICA 336


9

d)

3

9 -

21 e)

22

8.

1 -

7 4

-

2

3

-

5.

-

5

3

-

5

a)

18 b)

d)

respuesta la suma de las cifras del dividendo.

22

1 a b c d e 3 a b c d e 1

6. 6

21 e)

9. Si:

Reconstruir las siguientes divisiones y dar como

2

19 c)

20

8

•

1

3

3 7 -

Hallar el valor de “a + b + c + d + e”

6 -

a)

1

24 b)

26 c)

28

a)

11 b)

5 c)

d)

15 e)

16

13

d)

10. Si: Y O

18 e)

23

9 9 = ...5 7

Hallar el valor de “Y + O + Y + O” 7. 5 8 -

11 b)

12 c)

d)

16 e)

17

14

3 3

-

11. Si: MM = B C D M

3 6 -

a)

a)

2

16 b)

Hallar “B + C + D”

a)

6 b)

10 c)

d)

11 e)

13

18 c)

20


MATEMATICA 337

8

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 12. Si: A2A = B E J 5.

Hallar el valor de “A + B + E + J + A” a)

24 b)

26 c)

d)

21 e)

23

Calcular: T + O + U, si:

TOU  3  2OU1 , (O  cero)

18

a)

21 b)

16 c)

d)

24 e)

20

18

TAREA DOMICILIARIA 1. Sabiendo que: T A C = 5

T

A

ab × a = 518

6. Si:

C

ab × b = 296

Encontrar una posible solución al problema. Calcular: 2. Si: T U

cifras.

T U = 2 ... 5

a)

Hallar el valor de “T + U” 7 b)

8 c)

d)

10 e)

11

3. Si: E L

22 b)

19 c)

25

a)

2

a0b  ab y dar como respuesta la suma de

9

d)

23 e)

17

7. Si: abc × 999 = ... 352

= 2 8 ...

Calcular: 2a + 3b + c

Encontrar la cantidad de soluciones posibles que

a)

tiene el problema.

34 b)

37 c)

27

a)

0 b)

1

d)

3 e)

4

c)

2

d)

32 e)

25

8. Si: 37 × mnp × 27 = ... 351 4. Si:

Calcular: m + n - p

abc × a = 1 041

a)

4 b)

1

abc × b = 1 388

d)

3 e)

cero

c)

abc ×c = 2 429 9. En la división:

Hallar la suma de cifras de: ( abc )2 a)

16 b)

14 c)

d)

18 e)

19

21


MATEMATICA 338

2

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 7 B 3 A C B C 2 D 3 E F G

Calcular: abcd  mm y dar como respuesta la suma

A C 2 3

de sus cifras. a)

23 b)

26 c)

d)

24 e)

27

13.

Si:

18

1CABLE  3  CABLE1 ,

hallar: C + A + B + L + E Calcular: A + B + C + D + E + F + G a)

30 b)

a)

d)

25 e)

26 e)

28

27

10. Al reconstruir:

* 6 4 * * * 3 * * 2 4 * 5 *

31 c)

20

26 c)

28 d)

16 b)

INTERVALOS DE LONGITUD

* × * *

• CORTES 1.

0

Se desea dividir una soga de 60

m en pedazos de 5 metros cada uno. ¿Cuántos pedazos se obtienen y cuántos cortes se deben realizar? Resolución: Análisis previo:

Hallar la suma de cifras del producto. a)

10 b)

18 c)

d)

15 e)

17

12

11. Si: abc × 3 × 101 = ... 122 Calcular: a + b + c a)

13 b)

12 c)

20 d)

10 e)

Del análisis anterior se puede concluir que: • El número de pedazos que se

11

obtiene es el resultado de dividir la longitud total entre la longitud de cada uno de los pedazos. •

12. Si: a0cd × m = 14 245

El número de cortes que se debe

realizar es uno menos que el número de pedazos obtenidos.

b00 × m = 4 200


MATEMATICA 339

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Generalizando:

• El número de pedazos se obtiene dividiendo la longitud total de la figura cerrada entre la longitud de cada pedazo. • El número de cortes es igual que el número de pedazos.

Generalizando:

Ahora, resolvamos el problema 1: Longitud de la soga: 60 metros Longitud de cada pedazo: 5 metros 60  12 Entonces, el número de pedazos será: 5 Y el número de cortes será: 12 – 1 = 11. 2.

¿Cuántos cortes deben darse a

Ahora, resolvamos el problema 2:

un aro de aluminio de 3 metros de longitud para obtener pedazos de 10 centímetros?

Longitud del aro: 3 metros <> 300 centímetros.

Resolución: Análisis previo: A diferencia del problema anterior, en este caso, la figura es cerrada.

Longitud de cada pedazo: 10 centímetros. 300  30 Número de pedazos: 10

 Número de

cortes: 30

• ESTACAS, POSTES y SIMILARES

PROBLEMAS RESUELTOS 1.

A lo largo de una avenida de 300

metros se plantan árboles cada 10 metros. ¿Cuántos árboles se necesitan? Resolución: Análisis previo:

Del análisis anterior se puede concluir que:


MATEMATICA 340


Si un aro lo puedo dividir usando

12 cortes, ¿cuál es la longitud del aro, si cada uno de los pedazos obtenidos mide 3m? a)

33 m

b) 30

c)

39 d)

Del análisis anterior se puede concluir que: •

36 e)

42

El número de intervalos que hay

se obtiene de dividir la longitud total entre la

2.

longitud de cada intervalo. •

Si tengo un terreno de forma

triangular como el mostrado en la figura siguiente, ¿cuántas estacas necesitaré para cercarlo, si la

El número de árboles es uno más

distancia entre estaca y estaca es de 4m? (debe

que el número de intervalos.

colocarse una estaca en cada vértice del triángulo)

Generalizando:

a)

21 b)

25 c)

26 Ahora, resolvamos el problema 1:

d)

27 e)

24

Longitud total: 300 metros Longitud del intervalo: 10 metros

3.

300  30 Número de intervalos: 10

Juan tiene una soga que mide

60m. Si divide la soga en partes iguales utilizando 5 cortes, ¿cuánto mide cada pedazo?

Número de árboles: 30 + 1 = 31

a)

12m

b) 11

c)

10 2.

Se desea cercar un terreno de

d)

forma rectangular de 16 x 20 m y para ello se

9 e)

15

dispone de estacas que serán colocadas cada 2 metros (debe considerarse una estaca en cada esquina). ¿Cuántas estacas se necesitan?

4.

El costo de una estaca es de 4

soles. ¿Cuánto gastaría en cercar un terreno

Resolución: A diferencia del problema anterior, la figura es cerrada.

rectangular de 8x10m, si la distancia entre estaca y estaca será de 2m? (considerar una estaca en cada esquina).


a)

72 soles

b) 60

36


MATEMATICA 341

c)


68 e)

64 8.

5.

A lo largo de la avenida Arequipa

se desean colocar árboles. Si la distancia entre árbol

Un hacendado desea cercar el

y árbol será de 30 metros, ¿cuántos árboles se

siguiente terreno mediante estacas separadas una de

necesitarán?

otra una distancia de 4m. ¿Cuántas estacas necesitará? (ABCD y EFGH son cuadrados de lados

(longitud de la avenida Arequipa es de 6km y se

12m y 20m respectivamente y se debe colocar una

empieza colocando un árbol en uno de los extremos).

estaca en cada vértice)

a)

199

b) 200

c)

210 d)

9.

202

e) 201

Javier cercó un jardín en forma

rectangular utilizando 60 estacas. Sabiendo que puso 25 en cada uno de los lados más largos del jardín, ¿cuántas puso en cada uno de los lados más cortos?

a)

32 b)

36 e)

5 b)

6 c)

d)

8 e)

9

7

64 c)

20 d)

a)

10. 48

Por dividir un aro en 3 partes

recibo 12 soles, ¿cuánto debo cobrar si me piden que lo divida en 11 partes?

6.

Por dividir una varilla de acero

a)

en cuatro partes recibo 12 soles, ¿cuánto debo

21 soles

b) 22

b) 60

c)

54

recibir por dividirla en siete partes? a)

44 soles

d)

c)

52 e)

48

23 d)

24 e)

11.

27

La municipalidad de Pueblo Libre

decide colocar árboles a lo largo de la avenida La Marina. Si coloca árboles igualmente separados una

7.

distancia de 30 metros, necesitará 181 árboles.

A lo largo de una varilla de acero

¿Cuántos árboles necesitará, si decide que la

se han realizado 23 huecos separados uno de otro

distancia entre uno y otro sea de 50 metros?

una distancia de 4cm. ¿Cuál es la longitud de la varilla, si dos de los huecos se han realizado en los

a)

extremos? a)

112b)

107 c)

108 92 cm

b) 96

c)

d)

109

e) 110

100 d)

84 e)

88

12.

Por cortar una cinta de tela en


MATEMATICA 342

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 12 trozos me cobran 33 soles. ¿Cuánto debo pagar

a)

para que corten la cinta en 23 trozos? a)

58 soles

b) 60

160 soles

b) 172

c)

180 c)

d)

192

e) 204

63 d)

66

e)

4. ¿Cuánto gastaría Rosario en cercar su terreno?

72

a)


144 soles

b) 132

c)

156

Para cercar un terreno cuadrado

d)

se han necesitado 20 estacas separadas, una de otra,

168

e) 120

una distancia de 6 metros. ¿Cuál es la longitud del lado del terreno? a)

120 m

b) 60

5.

c)

33 d)

36 e)

Si la parte que limita sus

terrenos es pagada por ambos hermanos, en partes iguales, ¿cuánto gastaría César en cercar su terreno?

30

a)

165 soles

b) 168

c)

174 2.

d)


162

e) 154

pregunta anterior, ¿cuántas estacas hay en cada lado? (se coloca una estaca en cada vértice del cuadrado)

6.

a)

4 b)

5 c)

d)

7 e)

8

•

¿Cuántas estacas de 3 m de

altura se necesitan para plantarlas en un terreno,

6

cada 6 m, si el largo del terreno es de 300 m? a)

50 b)

49 c)

d)

52 e)

48

51

Los hermanos César y Rosario

han heredado de sus padres dos terrenos contiguos. El terreno de César tiene forma cuadrada y el de

7.

Rosario tiene la forma de un triángulo equilátero (sus

¿Cuántas pastillas tomará un

enfermo durante 4 días que está hospitalizado, si la

tres lados iguales).

enfermera le da una pastilla cada 3 horas, y empezó a tomarlas apenas empezó su reposo hasta el final? a)

30 b)

42 c)

33 d)

8.

31 e)

41

¿Cuántas estacas se necesitan

para cercar un terreno en forma rectangular de 36 Si deciden cercar sus terrenos con estacas igualmente espaciadas una distancia de 5 metros y el costo de cada estaca es de 6 soles, entonces:

m de largo por 28 m de ancho, si las estacas se colocan cada 4 m? a)

3. ¿Cuánto gastaría César en cercar su terreno?

30 b)

31 c)


MATEMATICA 343


32 e)

a)

484 m

28 d)

9.

b) 448

c)

446 192

e) 441

Se ha formado un triángulo con

personas, donde en un lado hay 5 personas, en el otro lado hay 7 personas y en el tercer lado hay 10 personas. ¿Cuántas personas hay en total? a)

20 b)

19 c)

d)

22 e)

25

21

INTERVALOS DE TIEMPO

CAMPANADAS, PASTILLAS Y SIMILARES 10.

PROBLEMAS RESUELTOS

¿Cuántas estacas se necesitan

para cercar un terreno de forma cuadrada, cuya área

1. Una campanada suena 9 veces en 16 segundos.

es igual a 8 100 m2, si las estacas se colocan cada 9

¿Cuántas veces sonará en 8 segundos?

m? a)

39 b)

40 c)

d)

20 e)

10

11.

41 Resolución: Análisis previo:

Se instalan 35 partes alineados

y separados cada 15 m, ¿cuál es la distancia entre el primer y último poste? a)

520 m

b) 525

c)

510 d)

495

e) N.A.

NÚM ERO = D E IN T E R VA LO S 12.

Se tiene un aro de 25 cm de

NÚM ERO DE = NÚM ERO + 1 CAM PANADAS D E IN T E R VA LO S

longitud, ¿cuántos cortes se debe realizar para tener pedazos de 5 m de longitud? a)

4 b)

5 c)

d)

8 e)

N.A.

NÚM ERO DE - 1 CAM PANADAS

Aplicando el análisis previo en el problema:

6

Si la campana suena 9 veces significa que hay 8 intervalos de tiempo. Si 8 intervalos de tiempo duran 16 segundos, cada

13.

uno tiene una duración de: seg.

Para cercar un terreno de forma

rectangular se ha utilizado 64 estacas de 3 m de

Finalmente, en 8 segundos hay: intervalos y como el

altura. Si las estacas se colocan cada 7 m, calcular el

número de campanadas es uno más que el número

perímetro del terreno.

de

intervalos, entonces se han escuchado 5 campanadas.


MATEMATICA 344

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” a) Gráficamente:

72 segundos 75 69 d) 66 78

c) e)

3.

b)

La alarma de un reloj suena cada

2 minutos, ¿en cuánto tiempo sonará 11 veces?

2.

a)

Pepito está agripado y por ello el

18 min

b) 20

c)

22

doctor le indica tomar un desenfriol cada 4 horas d)

durante 2 días. ¿Cuántos desenfrioles debe comprar

24 e)

16

Pepito para cumplir lo recetado por el doctor? 4.

Pizarro puede patear 20 penales

en 190 segundos, ¿cuántos penales podrá patear en

Resolución: Análisis previo:

40 segundos? a)

1

d)

4 e)

5.

b)

2 c)

3

5

Una enfermera aplica una

inyección a un paciente cada 8 horas. ¿Cuántas inyecciones habrá aplicado en 3 días?

NÚM ERO DE IN T ER VALO S

=

a)

7 b)

8 c)

d)

10 e)

11

NÚM ERO DE - 1 PAST ILLAS 6.

NÚM ERO DE PA ST ILLAS

=

NÚM ERO DE IN T ER VALO S

Un reloj da 9 campanadas en 12

segundos. ¿En cuántos segundos dará 15

+ 1

campanadas? a) 20 c) e)


Si cada dos horas debo tomar un

antigripal, ¿en cuánto tiempo tomaré 12? a)

Un día

b) 20 horas c)

7.

21 horas d)

2.

9

22 horas

22,5 segundos 24 d) 21

b)

19,5

Martín debe tomar una pastilla

cada 45 min. ¿Cuántas pastillas tomará desde las e) 18 horas

10:00am hasta la 1:00pm del mismo día?

Si una campana suena cada 3

a)

3 b)

4 c)

d)

6 e)

7

segundos, ¿en cuánto tiempo sonará 24 veces?


MATEMATICA 345

5


Una enfermera aplica una

d)

26 e)

27

inyección al señor López cada 12 horas. ¿Cuántas inyecciones le aplicará desde las 10:00am del 26 de febrero hasta las 10:00pm del 2 de marzo? (el año es

13.

bisiesto)

Luciana y Carmela tocan una

tecla de piano cada 3s y cada 7 s respectivamente.

a)

9 b)

10 c)

d)

13 e)

14

Luego de 21 minutos, ¿cuántas veces más que

12

Carmela tocó Luciana? a)

238

b) 240

c)

241 9.

Una campana suena tres veces

d)

242

e) 243

cada 12 segundos, ¿en cuánto tiempo sonará "m" veces? a)

4m b)

4(m - 1)

14.

c)

6m d)

6(m + 1)

En una pelea de box, Tyson lanza

5 puñetes en 12 segundos y Foreman, 4 puñetes en 6 segundos. ¿Cuántos puñetes han lanzado entre los

e) 6(m - 1)

dos en el primer asalto? (Cada asalto dura 3 minutos) a)

10.

91 b)

120 c)

122

Juan necesita tomar una pastilla

para la infección estomacal. Si el doctor le

d)

150

e) 152

recomendó un tratamiento de una pastilla cada 6 horas durante 4 días, ¿cuánto tendrá que gastar en el tratamiento? (Cada pastilla vale 3 soles). a)

32 soles

b) 34

15. c)

48 d)

51 e)

¿Y cuántos golpes más que Tyson

lanzaría Foreman en una pelea de 12 asaltos? a)

b) 241

c)

320

46 d)

11.

240

Una pistola P1 puede realizar 9

361

e) 360

TAREA DOMICILIARIA

disparos en 48 segundos, y una pistola P2 es capaz de realizar 7 disparos en 18 segundos. Si tengo ambas pistolas, una en cada mano, ¿cuántos disparos podré

1.

realizar en 30 segundos?

18 s, ¿en qué tiempo dará 5 campanadas?

a)

14 b)

15 c)

d)

17 e)

18

12.

16

A Ricardo le recetan tomar dos

2.

Un reloj toca 10 campanadas en

a)

6 s b)

7 c)

d)

11 e)

14

8

Carlos se despierta cuando son

pastillas, la primera cada 4 horas y la segunda cada

las 6:00 am, ¿cuánto tiempo ha dormido desde el día

12 horas. ¿Cuántas pastillas tomará en tres días?

anterior, si se durmió cuando el campanario de la

a)

23 b)

iglesia sonó durante 10 s desde la primera hasta la

24 c)

última campanada en la noche? se sabe que 3

25


MATEMATICA 346

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” campanadas demoraron 2,5 s. a)

6 hb)

9 c)

d)

10 e)

7

12

a)

5 b)

10 c)

d)

8 e)

9

8. 3.

Cada 3 h una persona toma dos

pastillas, ¿cuántas pastillas tomará en 10 días?

Carlos y Pablo toman cada uno

una pastilla, el primero cada 2 h y el segundo cada 3

a)

h. Luego de una semana, ¿cuántas pastillas habrán d) 170

b) 154

81 b)

80 c)

162

tomado? a)

7

170

e) 100

c)

142 d)

100

9.

e) 23

Una ametralladora dispara 81

balas en medio minuto. Para disparar 17 balas, ¿cuánto tiempo se demorará?

4.

Un paciente debe ser inyectado

cada 4 h. En dos semanas, ¿cuántas veces lo habrán inyectado? a)

44 b)

5.

40 e)

8 s b)

6 c)

d)

10 e)

13

7

42 c)

43 d)

a)

10.

Una campana suena 2 veces en

"m" segundos y 5 veces en "2m + 8" segundos. ¿Cuál

45

es el valor de "m"?

Una ametralladora dispara 40

balas en 30 s, ¿cuánto tiempo demorará en disparar

a)

3 b)

4 c)

d)

6 e)

2

5

79 balas? a)

50 s

b) 60

c)

11.

70 d)

55 e)

Juan, Sandra y Alonso golpean

una pared con el puño cada 5, 6 y 8 segundos. Luego de 2 minutos, ¿cuántas veces habrán golpeado la

48

pared entre los tres? a)

6.

¿Cuántas campanadas dará una d)

12 s? 30 s

b) 24

7.

36 e)

62 e)

61

c)

32 d)

58 c)

59

campana para indicar las 12, si para dar las 5 demora

a)

57 b)

12.

Una campana suena "m" veces en

"n" segundos y "m+1" veces en "n+4" segundos.

33

¿Cuántas veces sonará la campana en 40 segundos?

Un boxeador demora 7 s en dar

tres golpes, ¿cuántos golpes dará en 21 s?

a)

9 b)

11 c)

d)

41e)

6


MATEMATICA 347

21

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” En el presente capítulo analizaremos: 13.

Un reloj indica la hora con igual

número de campanadas. Para indicar que son las

•

5:00(am o pm) tarda 8 segundos. Si Mariana salió a una hora de la tarde en la que el reloj empleó 4

Test mental - Acertijos lógicos.

segundos para indicar la hora y volvió a una hora de la noche en la que el reloj empleó 18 segundos para

- Acertijos auditivos.

indicar la hora, ¿cuántas horas estuvo fuera de su

- Acertijos de interpretación

casa Mariana?

correcta.

a)

5h b)

6 c)

d)

8 e)

9

7

- Acertijos familiares.

• 14. Según el enunciado de la pregunta anterior,

Test de figuras - Dominó.

¿cuántos golpes han dado entre los tres luego de 2 minutos?

- Conteo de cubos. - Diferencia gráfica.

15. Una campana demora “p” segundos en dar “q”

- Sucesión de figuras.

campanadas. ¿Cuál es el tiempo que hay entre campanada y campanada? TEST MENTALES 16. Juan toma “z” pastillas en 12 horas. Si el tiempo entre toma y toma es de 2 horas, ¿cuál es el valor de A.

“z”?

Acertijos lógicos: Son

preguntas que encierran cierto acertijo o adivinanza. En esta parte se recomienda utilizar la capacidad lógica para buscar soluciones sencillas, a situaciones

17. En 12 horas el reloj de Pedro ha dado 9

que, muchas veces, parecen complicadas.

campanadas y el reloj de Sofía, únicamente 7. ¿Cuántas campanadas da el reloj de Sofía cuando el

Ejemplos: 1. ¿Se puede dibujar una circunferencia con un segmento? Solución: Claro que se puede...

de Pedro da 25 campanadas?

18. Un cazador ha disparado 20 veces en 40 segundos. ¿Cuántos disparos realizaría en 4 minutos?

PSICOTÉCNICO Psicotecnia: Rama de la Psicología Aplicada que estudia los individuos para valorar sus aptitudes físicas y psíquicas con el fin de determinar su vocación y orientarlos en la elección del oficio o profesión.

2. ¿Cómo podría un camión, de 4 m de altura, pasar por un túnel de 3,98m de altura?


MATEMATICA 348

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Solución: Muy fácil, desinflo las llantas y pasa sin ningún problema.

problemas debemos observar cada grupo de fichas, y luego identificar la cantidad de puntos que le corresponden a la ficha incógnita.

B.

Acertijos auditivos: Son

Ejemplos:

preguntas que se realizan en forma oral, ya que en ello reside lo capcioso del problema.

1.

Ejemplos: 1. Tengo cien sillas y ciento setenta monos, ¿cuántas sillas quedaron libres? Solución: Para que hayan sobrado sillas debo haber sentado a 70 monos, y me quedan 30 sillas libres. 2. Una paloma y un pichón salen a volar. ¿Cómo será posible que la paloma vuele con el ala quebrada? Solución: Pues vuela con él a la quebrada.

C.

? ?

Acertijos de interpretación • Las cantidades de la parte superior aumentan de uno en uno: 1; 2 y 3. • Las cantidades de la parte inferior disminuyen de dos en dos: 6 ; 4 y 2. Por lo tanto: - Parte superior: 5 ; 6 ; 0 (cero)

correcta: El acertijo consiste en interpretar correctamente el enunciado. Ejemplos: 1. Si un burro va de sur a norte, ¿a dónde apunta su cola? Solución: Pues al piso.

- Parte inferior: 4 ;

2. ¿Cómo es posible que un barco vaya por tierra al Japón? Solución: Puede ir a “traer tierra” del Japón.

D.

2 ; 0 (cero)

Acertijos familiares: Son

2.

preguntas que se refieren a los miembros de una familia. Sirven para poner a prueba tu capacidad de relacionar datos familiares. Ejemplos: 1. Juan se pregunta: ¿Quién es el padre de mi hijo? Solución: La respuesta es Juan.

? ?

2. ¿Qué relación tiene conmigo la suegra de la mujer de mi hermano? Solución: La mujer de mi hermano es mi cuñada y la suegra de mi cuñada es mi madre.

• En la parte superior aumenta de dos en dos y en la parte inferior disminuye de uno en uno; por lo tanto la figura que falta será:

TEST DE FIGURAS

A.

Dominó: En este tipo de


MATEMATICA 349


A

B

C

D

E

En este caso la figura discordante es la alternativa D ya que las otras se pueden obtener de un solo trazo (sin levantar el lapicero). B.

Conteo de cubos: El objetivo es

hallar la cantidad de cubos que hay en ciertas figuras geométricas espaciales.

D.

Sucesión de figuras: En este

caso se presentan figuras, una a continuación de otra y se deberá identificar la figura que debe continuar para que exista una relación lógica. Ejemplos:

H a y 1 3 c u b o s u n it a r io s

B

1.

Una Dos Una D os so m b re a d a so m b re a d a so m b re a d a so m b re a d a

H a y 1 7 c u b o s u n i t a r io s

U na so m b re ad a

PROBLEMAS PARA LA CLASE C.

Diferencia gráfica: En estos

1.

David tiene el brazo izquierdo

casos se muestran un grupo de figuras y se deberá

enyesado y no tiene el brazo derecho; en la boca

encontrar aquella que no guarda relación con las

tiene una mordaza. Si en la mesa hay un chocolate

otras.

que tiene ganas de comer, ¿cómo podría hacer para comer el chocolate?

Ejemplos:

2.

1.

Tres personas caminan debajo

de un paraguas y ninguna se mojó. ¿Cómo es posible ello?

1

2

3

4

5

3.

Si tienes 4 soles y compras 2

soles de pan, ¿cuánto recibes de vuelto?

En este caso la figura que no guarda relación es la primera. Girando la segunda puedo obtener la tercera, cuarta y quinta pero nunca la primera de las figuras.

4.

Un coleccionista de monedas no

quiso comprar una de ellas porque decía: “50 años antes de Cristo”. ¿Por qué decidió no comprar dicha moneda?

2.


MATEMATICA 350

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 5. ¿Puedes meterte en una botella?

16. ¿Qué hace un pato con una pata?

6.

17.

Hay un pato en medio de la

laguna y un gato sentado sobre su cola. ¿Se hunde el

¿Cómo se apellida Pedro

sabiendo que cumple años hoy?

gato? 18. 7.

Un caballero va en su caballo y

¿Puedes escribir una raya roja

con un lapicero azul?

después va a pata. ¿Cómo se llama la mascota del caballero? 19.

Si el hijo de Mariano es el padre

de mi hijo, ¿qué parentesco tengo con Mariano? 8.

Domingo murió, lunes lo velaron y

martes lo enterraron. ¿Cómo se llamaba el difunto? 20.

El tío del hijo de la única

hermana de mi padre, ¿qué parentesco tiene 9. ¿Cuál es el animal que pare con gritos?

conmigo?

10.

¿Qué figura sigue?

Una secretaria se demora un

segundo en escribir una letra. ¿Cuánto tiempo, como mínimo, se demora para escribir seis? 11.

1.

Mariana acude a la ferretería y

lo que va a comprar lo compra. ¿Qué compró? ?

12.

Tres amigos “A”, “B” y “C” están

en una casa. Si “C” sale por la puerta y ve por la

2.

ventana, ¿cuántos, cómo mínimo, quedan en la casa?

?

13.

Si burro se escribe con «b»

labial, ¿con qué «v» la vaca?

14.

3.

Un toro nació en Lima y fue

criado en Huaral. ¿En qué parte le crecieron los

?

cuernos?

15. ¿Por qué la bola rueda?

4.


MATEMATICA 351


En cada caso, dibujar la ficha que continúa:

?

1.

5.

? 2.

6. 3.

?

7. 4.

?

8.

5.

?

9. 6.

?

10.

?

TEST DE FIGURAS


MATEMATICA 352


Rpta: .................. 12.

Rpta: ................ 13.

8.

Rpta: .................

TAREA DOMICILIARIA Indicar la cantidad de cubos unitarios que hay en las siguientes figuras: 9. Indicar la figura que no guarda relación con las otras:

1. Rpta: .................

10.

a)

b)

c)

d)

e)

Rpta.:....... Rpta: .................. 11.

2.


MATEMATICA 353


En cada caso dibujar la figura que continúa en cada una de las secuencias gráficas: a)

b)

6.

c)

d)

Rpta.:.......

7.

3.

a)

b)

c)

d)

e) 8. Rpta.:.......

4. 9.

a)

b)

c)

d)

e)

10.

Rpta.:.......

5.

En cada caso dibujar la ficha de dominó que sigue:

a)

b)

c)

d)

11.

e)

Rpta.:.......


MATEMATICA 354


13.

¿Cuántos cubos unitarios hay en cada una de las siguientes figuras?

16.

17.

14.

18.

19.

15.


MATEMATICA 355


20.

M

X

C

O

B

a

b

c

d

e

Dibujar la figura que continúa en cada una de las siguientes sucesiones de figuras:

26.

En cada caso indicar la figura que no guarda relación con las otras:

21. 27.

a

b

c

d

e 28.

22.

U

a

b

c

d

e

a

b

c

d

e

D

T

C

SITUACIONES LÓGICAS

23.

24.

a

b

c

d

Los problemas de este capítulo presentan una historia, un relato que de alguna manera no parece correcto. Puede resultar absolutamente improbable o contradictorio, puede describir conductas extrañas o inexplicables, pero todas las historias tienen explicaciones racionales, y el desafío es hallarlas. Ejemplos:

e

25.

1.

Una mujer tuvo dos niños a la


MATEMATICA 356

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” misma hora, el mismo día, el mismo mes y en el mismo año, sin embargo no fueron ni mellizos ni gemelos. ¿Cómo es posible?

Solución: No jugaron entre sí.

3. Un limeño decidió pasar sus vacaciones de verano en Arequipa así que se puso en contacto con un

Solución: Eran dos niños entre un grupo de

amigo suyo residente en aquella ciudad para

trillizos (o cuatrillizos, …)

reservar un departamento. Los dos amigos se pusieron de acuerdo y no necesitaron ningún medio electrónico, postal ni de cualquier otro tipo para entenderse, tan sólo hablaron. ¿Cómo es posible?

A r e q u ip a

L im a

2.

Dos maestros de ajedrez

jugaron cinco partidas. Cada uno ganó y perdió el mismo número de partidas pero ninguna terminó en

Solución: El limeño estaba en Arequipa y pudo

tablas. ¿Cómo es posible esto?

hablar en persona con su amigo.

4.

Un hombre regresaba a su casa

después de haber pasado una noche de copas. Caminaba por el medio de una carretera desierta. No había luces que iluminasen el camino ni tampoco brillaba la Luna. El caminante vestía completamente de negro. De repente, un automóvil con los faros delanteros apagados se aproxima a toda velocidad. En el último instante, el conductor ve al hombre y lo


MATEMATICA 357

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” esquiva para evitar arrollarlo. ¿Cómo pudo verlo?

6.

Un hombre fue asesinado en su

coche y tiene dos heridas de bala, una en el pecho y otra en la cabeza. Llega la policía y encuentra el cadáver sentado en el asiento del conductor, el

Solución: Era de día y el sol iluminaba toda la

forense dice que murió hace 20 minutos y que los dos

carretera.

disparos procedían desde el exterior del coche, por tanto, se descartó la opción del suicidio. Al revisar el coche, no se encuentran huecos de bala, los seguros de las puertas estaban cerrados y las ventanas están


totalmente subidas y todos los cristales estaban intactos. Además las puertas del coche estaban cerradas hace 45 minutos, es decir, que no abrieron la puerta para matarlo. Explique como mataron al

1.

Cinco trozos de carbón, una

hombre.

zanahoria, una gorra y una bufanda están tirados en el césped del jardín. Nadie los tiró en el césped, y sin embargo hay una razón perfectamente lógica para

7.

que se encuentren allí. ¿Cuál es?

Una persona tenía una jarra llena

de limonada y una jarra llena de leche. Volcó las dos en un recipiente grande, y sin embargo la limonada siguió separada de la leche. ¿Cómo es posible?

2.

Dos personas, de nacionalidad

americana, esperaban a la entrada del Museo Británico. Una de ellas era el padre del hijo de la

8.

otra persona. ¿Cómo puede ser posible?

Un cazador se encuentra junto a

un oso dormido. Se aleja caminando 100 metros al Sur, 100 metros al Este y 100 m al Norte y se da cuenta que esta nuevamente junto al oso dormido.

3.

Un perro está atado por el cuello

¿De qué color es el oso?

a una cuerda de 3 metros de largo. Sin embargo consigue alcanzar un hueso que se encontraba a 8 metros de él. ¿Cómo lo pudo lograr?

9.

Antes de ayer Marco tenía 17

años y el año que viene tendrá 20. ¿Qué día nació Marco? 4.

Un niño consiguió pinchar un

globo sin que de éste se escapase aire ni hiciese ruido. ¿Cómo lo pudo hacer?

10.

Un hombre está leyendo en la

cama todo interesado. Su mujer se acuesta y apaga la luz. La habitación se queda totalmente a oscuras 5.

Un hombre en un restaurante se

pero el hombre sigue leyendo como si nada. ¿Cómo es

quejó al camarero porque su café tenía una mosca. El

ello posible?

camarero retiró la taza de café al tiempo que prometía traer otra nueva. Regresó a los pocos instantes. El hombre probó el café y protestó

11.

diciendo que era la taza original a la que simplemente

Una mujer deja el brevete en su

casa. Se mete en una calle de dirección prohibida,

le habían quitado la mosca, y tenía razón. ¿Cómo lo

hace caso omiso de un Stop y pasa sin parar delante

supo?

de un semáforo en rojo. Un policía ha visto todo esto y, sin embargo, no le pone ninguna multa a la señora.


MATEMATICA 358

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” ¿Por qué?

17.

Un policía persigue a un

delincuente a través de las escaleras de un edificio. Se da cuenta que su peso disminuyó 6 gr por subir al 12.

cuarto piso, ¿cuántos gramos bajo, si logró alcanzar

En la edad media, un hechicero

el doceavo piso?

se presenta ante el Rey con una botella que contiene un líquido. El hechicero quiere convencer al rey de que este líquido es mágico porque logra disolver todo lo que toca. El Rey se da cuenta de que el hechicero

TAREA DOMICILIARIA

miente. ¿Cómo sabe el Rey que el hechicero miente?

13.

Un grupo de investigadores está

1.

buscando reliquias en el polo Norte. Uno de ellos

En un determinado país donde la

ejecución de un condenado a muerte solamente puede

entra en una cueva y encuentra enterrados en el

hacerse mediante la horca o la silla eléctrica, se da

hielo cuerpos desnudos de un hombre y de una mujer.

la situación siguiente, que permite a un cierto

Al instante dice: ¡He encontrado los cuerpos de Adán

condenado librarse de ser ejecutado. Llega el

y Eva! ¿Cómo pudo saber que los cuerpos eran de

momento de la ejecución y sus verdugos le piden que

Adán y Eva?

hable, y le manifiestan: “Si dices una verdad, te mataremos en la horca, y si mientes te mataremos en

14.

la silla eléctrica”. El preso hace entonces una

El alcaide de una prisión anuncia

afirmación que deja a los verdugos tan perplejos que

a los presos que va a liberar a uno, al que logre sacar

no pueden, sin contradecirse, matar al preso ni en la

la bola blanca de un saco. Supuestamente el alcaide

horca, ni en la silla eléctrica. ¿Qué es lo que dijo el

va a meter en el saco 8 bolas negras y 1 blanca. Pero

reo?

el alcaide hace trampas y mete 9 bolas negras y ninguna blanca. Sin embargo, un preso, que se ha dado cuenta de que el alcaide ha hecho trampas, idea

2.

un método para salir libre. ¿Cómo logra el preso salir

A un experto joyero le llevan

cuatro trozos de cadena, de tres eslabones cada uno,

en libertad?

para que los una formando una pulsera. “Para ello, dijo el joyero, tendré que cortar cuatro eslabones,

15.

uno de cada trozo, para engarzar los trozos y soldar

Aunque en la habitación de

a continuación cada eslabón cortado. Tendré, en

Manolito el interruptor de la luz está situado a 5

definitiva, que hacer cuatro cortes y cuatro

metros de la cama, Manolito ha sido capaz de apagar

soldaduras”. Pero la persona que le encarga el

la luz y, sin embargo, llegar a su cama antes de que la

trabajo dice: “No, no es necesario hacer cuatro

habitación estuviera oscura. ¿Cómo ha podido

empalmes. Puede formarse la pulsera con solo tres”.

lograrlo?

16.

¿Cómo podría hacerse esto?

Distribuir los siguientes dígitos

3.

de modo que el numeral que formen los 1 están

Tres niños con mucha hambre y

poco dinero se van a un restaurante y piden una

separados por un dígito, los 2 por dos dígitos, los 3

fuente de arroz con pollo para compartirlo entre los

por tres dígitos y los 4 por cuatro dígitos.

tres, que cuesta 30 soles, y lo pagan poniendo 10 soles cada uno. En el momento de pagarlo, el

11223344

empleado del restaurante les hace una rebaja de 5 soles y les cobra solo 25 soles por la fuente. Les


MATEMATICA 359

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” devuelve 5 soles a los tres niños, los cuales se

seguridad cuál es la puerta que le llevará a la

guardan un sol cada uno y guardan los otros 2 soles

libertad. ¿Qué pregunta podría hacer para saber con

en un fondo común para las gaseosas. Pero los chicos

seguridad cual es la puerta que no le llevará a la

piensan: “Si hemos pagado cada uno 9 soles y

muerte?

tenemos 2 en el fondo común, eso hace un total de 29 soles”. ¿Dónde está entonces el sol restante? 8.

Te encuentras en una habitación

con cuatro puertas, una puerta está vigilada por una 4.

Un fiero y grande oso, con ganas

legión de soldados romanos dispuestos a todo. Otra

de caminar, echó a andar desde su guarida hacia el

puerta está custodiada por diez perros doberman

sur y cuando llevaba 5 kilómetros cambió la dirección

rabiosos. La tercera puerta está custodiada por diez

y se dirigió hacia el este, y cuando ya llevaba

cocodrilos de dos metros de largo cada uno. En la

recorridos otros 5 kilómetros, volvió a cambiar de

cuarta puerta hay un grupo de veinte leones muertos

dirección y se dirigió, a lo largo también de otros 5

de hambre. ¿Por qué puerta saldrás de la habitación?

kilómetros, hacia el norte. Se sintió sorprendido porque en ese momento se encontró en la guarida desde donde empezó a caminar. ¿De qué color era el

9.

fiero y grande oso?

Tres señoras realmente gordas

paseaban por el camino debajo de un paraguas de tamaño normal. ¿Cómo es posible que no se mojaran?

5.

Hay cierto animal -animalito- que

cuando lo menciona-mos, no tenemos otro remedio

10.

que colocar la a, e, i, o, u de por medio. O sea, que es un nombre que se ha apropiado de todas las vocales.

puede hacer un nuevo cigarrillo, ¿cuántos cigarros

¿Cuál es el nombre del animal?

6.

Una persona recolecta 25

colillas de cigarrillos. Sabiendo que con 5 colillas como máximo puede fumar?

Se pretende dividir el pastel

11.¿Cómo podremos disponer 9 bolas en 4 cajas de

cilíndrico de la figura en 8 trozos iguales, pero

forma que cada una tenga un número impar de bolas y

solamente con tres cortes. ¿Cómo serían esos

distinto del de cada una de las otras tres?

cortes?

12.

Dos hombres juegan un partido

de tenis al mejor de cinco sets. Cuando terminan el 7.

partido ambos han ganado tres sets. ¿Cómo puede

A un desdichado prisionero -

ser esto posible?

custodiado día y noche por dos terribles guardianes-, metido en una celda que tiene dos puertas, es informado por el alcaide de la prisión que una de esas dos puertas le conducirá a la libertad y la otra a la

13.

El AVE (tren de Alta Velocidad

muerte. El alcaide le da la oportunidad de averiguarlo

Española) sale de Madrid con destino a Sevilla a las

haciendo una única pregunta a cada uno de sus dos

13:00 horas. A las 14:15 horas sale un tren de

terribles guardianes. Y se le advierte también que de

mercancías de Sevilla a Madrid. El AVE lleva una

los dos guardianes hay uno, no sabe cual, que miente

velocidad uniforme de 257 k/h y el tren de

siempre, mientras que el otro guardián dice la verdad

mercancías de 102 k/h. Cuando se cruzan, ¿qué tren

siempre. El prisionero, con una sola pregunta, a uno

estará más cerca de Madrid?

cualquiera de sus dos guardianes, podrá saber con


MATEMATICA 360

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” B e to

R o s a r io

RELACIONES FAMILIARES C l a u d ia

Ejemplos: 1.

Jorge y Clara están casados y

tienen dos hijos: Renato y Fabio. Los abuelos paternos de Renato son Consuelo y George y los abuelos maternos de Fabio son Luz y José. El esquema sería: G e o rg e

J osé

Existen gran variedad de problemas de lógica recreativa que nos presentan situaciones que involucran parentescos. En esta semana resolveremos este tipo de situaciones.

Luz

J o rg e

R e n a to

F a b io

Consideraciones importantes:

Cada uno de los integrantes de la familia puede

2.

desempeñar, en un mismo problema, papeles diferentes. Por ejemplo, Pedro puede ser hermano de

de Carlos y Nora y la mamá de Roberto es hija de

Rosa, hijo de Alberto y nieto de Ricardo.

Alejo y Ana.

Para representar “A es esposo de B” bastaría hacer

El esquema sería:

el siguiente esquema:

A

Manuel tiene dos nietos que se

llaman Roberto y Romina. El papá de Romina es hijo

B

A le j o

Para representar “Claudia es hija de Beto y Rosario”

Ana

M anuel

R o b e rto

bastaría hacer el siguiente esquema:

C a r lo s

N o ra

R o m in a

Según el esquema anterior, colocar Verdadero (V) o


MATEMATICA 361

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Falso (F) según corresponda:

a) Ana es abuela de Roberto............................

(We)

b) La mamá de Romina es hija de Manuel............ (We)

2.

Gonzalo y Renata están casados

y tienen solamente una hija, la cual tiene un hijo único que se llama Francisco. Francisco es hijo de c) La abuela materna de Romina es Nora............ (We)

Sofía y Leopoldo. Mario está casado con Diana y es hijo de Francisco y Zulema.

d) Manuel es el suegro del hijo de Carlos.............(We)

e) La hija de Ana es nuera de Nora

.................. (We)

f) Romina es prima de Roberto........................

(We)

g) Romina tiene al menos un tío.......................

(We)

h) Manuel tiene exactamente dos hijos............... (We)

3.

Fernando dice: «Mi abuela

paterna se llama Caridad y tiene solo dos hijos, Lorena y Dante».


Gabriela dice: «Fernando es el hijo de la esposa del hijo varón de mi abuela materna». Caridad dice: « Mi esposo se llama Juan y nuestros

En cada caso completar el esquema:

1.

dos hijos nos han dado un total de cuatro nietos»

Diego no tiene hermanos varones

y los padres de su única hermana se llaman Roberto y Luciana. Roberto y Luciana tienen sólo dos nietos, estos últimos se llaman Ana y Carlo y son hijos de Rodrigo y Gloria.

ENUNCIADO 1


MATEMATICA 362

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Paola y Julio se casaron y sólo tuvieron dos hijos: Antonio y Martha. Paola y Julio son abuelos de Fabián, quien es hermano de Carmela. Carmela es nieta de Beatriz y Walter. Dalia no tiene hermanos ni hermanas y es hija de Beatriz y Walter.

Se sabe que Alicia es hija de Salomé. Salomé es la abuela materna de Tania, quien es hija de una de las hermanas de Maricela. Esther es hermana de Tania, y Alicia no es su madre. Pedro es el único hermano de Salomé, se ha casado con Paola y no tiene hijos. Luciano es el padre de Tania y Esther.

4. Es cierto que:

7. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son

I.

Fabián es nieto de Walter.

II.

Carmela es hija de Martha.

verdaderas? I.

II. Salomé es madre de Esther.

III. Dalia es madre de Fabián y Carmela. a) Solo I y II

b) Solo II y III

III. Alicia y Maricela son hermanas.

c) Solo I y III

a) d)

Todas

Maricela es tía de Esther.

Solo I

b) Solo II

c)

Solo I y II

e) Ninguna d)

Solo I y III e) Solo II y III

5. Es imposible que: 8. Todas las siguientes afirmaciones pueden ser

I. Martha tenga hijos.

verdaderas, EXCEPTO:

II. Dalia sea cuñada de Martha.

a)

Salomé es suegra de Luciano.

III. Carmela tenga tíos de sangre por parte de

b)

Luciano es cuñado de Maricela.

c)

Esther es nieta de Pedro.

d)

Tania es nieta de Salomé.

e)

Pedro es tío de Alicia.

madre. a)

Solo I

b) Solo II

c)

Solo III d)

Solo I y II

e) Ninguna

TAREA DOMICILIARIA

6. ¿Quién es nieto de Walter? a) El hijo de Julio. b) El hermano de la esposa de Antonio. c) El hijo de Antonio.

ENUNCIADO 1

d) El hijo de Fabián.

Bárbara no tiene hermanos ni hermanas, está casada y, ella y su esposo tienen solo dos hijos, Miguel y Sandra. Miguel es sobrino de sangre de Paula y nieto de Alfonso. Alfonso y su esposa tuvieron solo dos hijos, Francisco y su hermana, además cuatro nietos en total, dos niños y dos niñas. Olga es la abuela de Sandra.

e) El esposo de Martha.

ENUNCIADO 2


MATEMATICA 363

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 1. Todas las siguientes afirmaciones son verdaderas,

a)

Renán

EXCEPTO:

b) Félix

c)

Luis

a)

Alfonso es suegro de Bárbara.

b)

Alfonso es abuelo de Sandra.

c)

Olga es esposa de Alfonso.

d)

Paula es cuñada de Bárbara.

e)

Francisco es padre de Sandra.

a) b)

Félix Armando el tío de la hija de

¿Cuáles de las siguientes

c) Armando d) e) Mariana

el

2.

d)

es:

I. Paula tiene un hijo y una hija. II. Paula tiene solo una sobrina de sangre.

6.

Solo I y III

padre

de

Si no es verdad que no sea el

bisnieta (mujer) del abuelo de "Lucio", es lo que me dijo "Lala", ¿cómo se llama la única comadre de la

b) Solo II

madrina de la madre de los únicos primos de mis

c) Solo I y II d)

Luis

hermano de mi tío (que no es mi tío), padre la única

III. Miguel tiene exactamente dos primos de sangre. Solo I

e) Walter

5. El único hijo varón del abuelo materno de Armando

afirmaciones son verdaderas?

a)

Armando

hijos? (siendo yo el único hermano de "Lala") e) Todas

ENUNCIADO 3 ENUNCIADO 2

Diana y Felix se casaron y solo tuvieron tres hijos: Luis, Cecilia y Susana. Diana y Felix son padres de la madre de Armando. Armando es hijo de Walter y de la hermana de Cecilia. Mariana es hermana de Armando y su bisabuelo materno se llama Renán, quien tuvo solo un hijo varon pero no tuvo hijas.

Diana y Félix se casaron y solo tuvieron tres hijos. Luis, Cecilia y Susana. Diana y Félix son padres de la madre de Armando. Armando es hijo de Walter y de la hermana de Cecilia. Mariana es hermana de Armando y su bisabuelo materno se llama Renán, quien tuvo solo un hijo varón pero no tuvo hijas.

7. Se deduce que: 3. Se deduce con certeza que: I.

Luis es nieto de Renán.

II.

Diana es madre de Mariana.

d)

Luis es nieto de Renán

II.

Diana es madre de Mariana

III. Cecilia es tía de Mariana

III. Cecilia es tía de Mariana. a) Solo I y II

I.

a)

b) Solo I y III c) Solo II y III Todas

I y II

b) I y III

II y III

e) Ninguna

d)

4. El hijo del abuelo de Luis puede ser:

Todas

e) Ninguna

8. El hijo del abuelo de Luis es:


MATEMATICA 364

c)


Renán

b) Luis

c)

3 4 5 3  4  5 12 5     1 7 7 7 7 7 7

Walter d)

Felix

e) Armando •

Si las fracciones son

heterogéneas, se deberá buscar el denominador 9.

¿Quién puede ser la madre de la

común (mínimo común múltiplo de los denominadores).

abuela paterna de la única hija de Armando? a)

La madre de Diana

b)

La sobrina de Mariana

c)

Diana

d)

Cecilia

e)

Susana

Ejemplo: 4 2 5   5 3 6 El m.c.m de 5; 3 y 6 es

30 Entonces se tendría:

4  6  2  10  5  5 24  20  25 69 9   2 30 30 30 30 10.

El único hijo varon del abuelo

SUSTRACCIÓN

materno de Armando es: a)

Felix

b)

El tío de la hija de Armando

c)

Armando

d)

Luis

e)

El padre de Mariana

•

Se procede de manera similar a la Adición.

Ejemplo: 3 2  4 5 El m.c.m de 4 y 5 es 20

Entonces se tendría: 3  5  2  4 15  8 7   20 20 20

FRACCIONES I: OPERACIONES CON FRACCIONES

MULTIPLICACIÓN •

El numerador resultante se

obtiene de la multiplicación de los numeradores y el denominador resultante, del producto de los denominadores. ADICIÓN

•

Ejemplo:

6 4 1 6  4  1 24 8      5 3 5 5  3  5 75 25

Si las fracciones son

homogéneas, únicamente se procede a sumar sus DIVISIÓN

numeradores. Ejemplo:

•

a.d a c a d  x b d b c Si: equivale a: = b.c


MATEMATICA 365


E x tre m o s



1   1  2  2. 

M e d io s

a b  a .d c b .c d

1 1  1  1  1   1    1  1 3 4 5 6    

13 1 313 3. ¿Qué relación existe entre 21 y 2 121 ?

1 1 5   m n 6 4. Si:

3 5 3 6 18     11 6 11 5 55 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FRACCIONES

(“m” y “n” son números enteros positivos) Encontrar una solución posible.

Muchas veces es útil poder representar fracciones de manera gráfica. Por ejemplo, si partimos un pan de molde en ocho tajadas iguales y tomamos tres de ellas. Empleando un rectángulo que represente al pan, tendremos que:

5. Si:

1 1 1   1 x y z

(“x”, “y”, “z” son números enteros positivos) El todo < > 8 partes iguales

Encontrar una solución posible.

•

Tomamos 3 partes

En cada caso, ¿qué parte del

total está sombreado? (Cada figura está dividida en partes iguales) 6.

Con respecto al total, lo sombreado representa los tres octavos y escribiremos:

Parte Todo

3 8


Rpta.: ..........

8.

Rpta.: ..........

2 1 1 3 3 2 1 1 1 3 3

1 1.


MATEMATICA 366


a)

9.

4

2 5

b) 3

d)

Rpta.: ........

3

4 5

c)

3 5

e)

4

5

4 5

3 5

13. a - b + c - d

6 15

a) Rpta.: ..........

1 3 e)

d)

14.

3 2 1 1 b c d 5; 3; 2 ; 6,

calcular:

a)

d)

a b 11. c  d

4 15

a b 1 c d

Rpta.: ..........

• Sabiendo que:

c)

7 15

10.

a

b)

1 5

1

3 10

b)

3 5

e)

1

2

2

3 10

c)

1

7 10

7 10

15. Calcular:

a)

1

7 10

1

d)

1

b)

1

9 10

1  1   1  2  1  3       1  1  1  1   2  3  

c)

3 10

3 5

e)

1

7 15

a)

12

 1 1   4   1 1    4

1 1  5 1 1  5

b) 15

18 d) 9

e) 6

a.b 12. c.d


MATEMATICA 367

c)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” para "m" y "n" tal que se cumpla la ecuación ("m" y "n"

TAREA DOMICILIARIA

son enteros positivos)

Calcular:

1.

1 1  2 3

2.

2 1  3 2

3.

3 2  5 3

4.

 2   4     3   7

5.

7 2  5 5

6.

2 3 1   3 4 5

7.

2 1 3 1 2 4

12.

1 1 1   2 m n

13.

1 1 1   5 m n

14.

1 1 1   8 m n

15.

2 1 1   3 m n

•

En las siguientes figuras determinar la fracción sombreada:

2 1 8.

9.

10.

11.

•

1 1

1 2

16.

1 1 2 2 3 2 2 1  5 3

1

1 1 1 1    2 4 8 16

1

1 1 1 1 1     2 4 8 32 64

17.

•

Sabiendo que:

Si:

a

2 3 1 1 b1 c d1 3; 4; 5; 2 ; calcular:

1 1 1   n n  1 n(n  1)

(“n” es un número entero positivo), encontrar valores


MATEMATICA 368

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” a c 18. b  d

RELACIÓN PARTE TODO Es muy común encontrarnos con preguntas como: ¿Qué parte de la gaseosa tomaste?, ¿Qué parte de la deuda te pagó?, ¿Qué parte de la pizza comiste?, ¿Qué parte del equipo está compuesto por extranjeros?, etc. Ello constituye una simple comparación de cantidades, de igual o diferente clase. Analicemos un par de ejemplos.

a d b 19. c

Ejemplo 1: Juan tiene 6 galletas y 13 caramelos. ¿Qué parte del total de las golosinas son caramelos?

20. ac + 2(b + d)

21. 3a + 4b + 5c + 6d

22. Calcular:

En total hay (6 + 13) = 19 golosinas

1

2

1 1 3 1

La parte que son caramelos viene representado por: es; son 13 parte de 19 todo = =

1 3

Ejemplo 2: A continuación se muestran un grupo de instrumentos musicales:

2 3

23. Calcular:

1 1 1 1 1     ...  6 12 20 30 156

24. Calcular:

¿Qué parte de los instrumentos son trompetas?

1 2 3 4    2 8 28 77

Se puede notar que hay 7 guitarras, 3 panderetas y 10 trompetas; entonces, en total hay: 7 + 3 + 10 = 20 instrumentos musicales. La parte que son trompetas:

parte 10 1 todo = 20 = 2

FRACCIONES II: SITUACIONES BÁSICAS

¿Y la parte que son panderetas? parte 3 todo 20 La parte que son panderetas: = Situación 2


MATEMATICA 369

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Utilizando operaciones con fracciones:

HALLAR LO QUE LE FALTA O LE SOBRA A UNA FRACCIÓN CON RESPECTO A OTRA

Me sobran los soles.

Representa otra situación típica de fracciones. Por ejemplo, si debo gastar únicamente la mitad de mi dinero y ya gasté la tercera parte de él, ¿cuánto me falta gastar?

3 8

3

de 400 soles = 8 400 soles = 150

Otro ejemplo:

Gráficamente:

E n m i c a s a h a y 2 4 0 c o n e jo s , p e r o s o n m ío s ú n i c a m e n t e lo s 7 / 1 2 . ¿ C u á n t o s d e l o s c o n e j o s s o n m ío s ?

Debo gastar la mitad Ya gasté la tercera parte Entonces, faltaría gastar: parte 1 todo = 6 del dinero

Utilizando operaciones con fracciones:

1 1 3 2 1 Faltaría gastar: 2 - 3 = 6 = 6

7 de 240 12 7 o sea:  2 4 0 = 1 4 0 c o n e jo s 12 M i s c o n e j o s s o n lo s

Situación 3 HALLAR LA FRACCIÓN DE UNA CANTIDAD Tal vez sea la situación que más veces se repite en

Situación 4

los problemas de fracciones. Situaciones como: “Tengo que darte la mitad de los 20 soles, ¿cuánto

CUANDO A UNA CANTIDAD SE LE QUITA O AGREGA UNA PARTE DE ELLA Muchas veces la fracción que se tiene debe ser aumentada o disminuida en una parte de ella, por ejemplo: Cuando decido gastar una parte de mi dinero o cuando gano una parte de lo que tengo. Ejemplo:

debo darte?” o “La finca será repartida en partes iguales entre cuatro hermanos y tiene una extensión de 28 hectáreas, ¿cuántas hectáreas le corresponde a cada uno?”, se presentan comúnmente. Ejemplo:

Si pierdo 2/5 de lo que tengo, ¿qué parte me queda?

Me sobran los 3/8 del dinero que tenía ayer. Si ayer tenía 400 soles, ¿cuánto dinero me sobra?

Gráficamente:

Gráficamente: Los 400 soles los divido en 8 partes iguales, cada una de

400 8

50

P a rte q u e p ie rd o

= 50

50

50

50

C a n t id a d q u e y a g a s t é

50

50

50

50

P a rte q u e m e queda

3 Parte que queda: = 5

C a n t id a d q u e s o b r a

Utilizando operaciones con fracciones: 2 5 La unidad (el todo) será disminuido en , o sea:

Luego, me sobra 50 + 50 + 50 = 150 soles.


MATEMATICA 370


2 5 2 3 1 - 5= 5 = 5

1/5

b) 1/10

c)

2/5

Otro ejemplo:

d)

3.

3/10

e) 4/5

¿Cuánto le sobra a los 6/5 de los

8/9 de 3/4 para ser igual a la mitad de los 3/5 de los 4/15 de 5/8?

S i g a n é 3 d e l o q u e t e n ía , 4 ¿ q u é p a r t e d e lo q u e

a)

1/4

b) 23/20

c)

4/3

t e n í a a l i n ic io t e n g o a h o r a ? d)

3/8

e) N.A.

Gráficamente: 4.

Julián gana los 3/8 de S/. 1 600

y Raúl gana los 2/9 de S/. 5 400. ¿Cuánto le falta a P a r t e q u e t e n ía

P a rte q u e g a n é

Al

final

Julián para ganar como Raúl?

tengo:

7 4

a)

S/. 1 200

b) 1 000

c)

600

Utilizando operaciones con fracciones:

d)

800

e) 900

3 4 La unidad será aumentada en sus , o sea: 5.

3 43 7 4 = 4 1+ 4 =

En un salón de 32 alumnos,

faltaron los 3/16. ¿Cuántos alumnos asistieron? a)

d)

6.

En una reunión de amigos, 8 son

de Alianza Lima?

igual a 18 veces la diferencia entre 1/6 y 1/9. b) 2/5

a)

c)

24 e)

2.

3/8

b) 4/9

c)

3/9

12 d)

32

Cristal. ¿Qué parte del total de amigos, son hinchas

multiplicado por los 2/7 de los 3/5 de 70 resulta

1/12

9 e)

hinchas de Alianza Lima, 6 de Cienciano y 4 de

Hallar el número que

a)

30 c)

26


1.

28 b)

d)

35

7.

¿Cuánto le falta a los 2/3 de los

2/9

d) 3/5

Ricardo le pregunta a Carmela la

hora y ella le responde: "Han transcurrido los 5/8

3/8 de 2 para ser igual a los 4/9 de los 3/8 de los

del día". ¿Qué hora es en ese momento?

2/5 de 12?


MATEMATICA 371


5:00 pm

b) 4:00

c)

a)

14/25

6:00 d)

7:00

8.

b)

4/5

e)

12/25

c)

58/125 e) 3:00

d)

Juan tenía S/. 120 y gastó S/.

6/5

13.

Si pierdo de manera sucesiva

80 en una camisa. ¿Qué parte de lo que gastó, es lo

1/3, 2/5 y 3/4 del dinero que me iba quedando, ¿qué

que le queda?

parte de mi dinero me sobra al final?

a)

1/2

b) 2/9

c)

a)

1/5

3/5 d)

9.

1/4

e) 3/4

d)

b) 2/5

2/9

Luego de regalar los 2/5 de mi

con 30 soles. ¿Cuánto dinero tenía al inicio? c)

a)

180 soles

e) 3/4

d)

300

b) 4/13

11.

5/11

Luego de ganar 3/5 de lo que

gané? c)

a)

4/11 d)

e) 240

momento, me sobraron 96 soles. ¿Cuánto dinero

vendo, ¿qué parte del total no vendió? 11/4

c)

tenía y prestar 1/2 de lo que tenía acumulado en ese

Si vendo los 7/4 de lo que no

a)

b) 200

250

15. 10.

e) 1/20

dinero y perder 3/4 de lo que me sobraba, termino

1/3 d)

5/12

14.

parte de lo que tenía, es lo que no gastó? 2/3

c)

1/10

En el problema anterior, ¿qué

a)

b) 1/8

60 soles

b) 54

c)

84 e) 7/11

d) 90

e) 72

Doña Lucha ingresa al mercado

TAREA DOMICILIARIA

de frutas de Cercado con 60 soles. Si gasta los 2/3 en mangos, los 3/4 del resto en manzanas y los 3/5 del nuevo resto en tunas. ¿Cuántas frutas compró, si cada mango, manzana y tuna cuesta, respectivamente, 4 soles, 3 soles y un sol? a)

24

b) 21

1. ¿En cuánto es excedido 4/11 por 7/3? c)

18 d)

15

a)

e) 30

1

12 33

32 d) 33 12.

b)

e)

1

32 33

1

23 33

c)

2

23 33

¿Cuánto se obtiene al aumentar

2/5 en los dos quintos de sus dos quintas partes?


MATEMATICA 372


Si Juan es dueño de los 4/7 de

a)

una hacienda y ya regaló los 2/5 de la hacienda, ¿qué

34/35

b) 1/7

6/35

e) 4/35

b) 22

c)

21

parte de la hacienda aún es de su propiedad? a)

24

d)

25

e) 26

c)

1/5 d)

8. Hallar los 3/5 de los 4/7 de 700 a)

120

b) 480

c)

240 3.

Juan tiene 320 soles y regaló los

d)

3/5. ¿Cuánto dinero regaló? a)

182 soles

b) 164

212

4.

9.

Un auto debe viajar desde Lima

a Chincha (240 km). Si ya recorrió los 5/12 del viaje,

e) 192

¿cuántos kilómetros le falta recorrer? a)

Marco gana 1.500 soles al mes y

d)

vive. ¿Cuánto paga por el alquiler? 320 soles

b) 450

600

b) 120

c)

135

e) 140

c)

350 d)

100 130

gasta los 3/10 en el alquiler del departamento donde

a)

e) 60

c)

132 d)

180

10.

En una fiesta, los 3/13 son

mujeres. Si en total hay 156 personas, ¿cuántas

e) 150

mujeres hay en dicha fiesta? 5.

a)

Si pierdo 1/5 de mi dinero, ¿qué

6/5

b) 1/5

b) 48

c)

32

parte del dinero aún me queda? a)

36

d)

c)

39

e) 42

4/5 d)

3/5

e) 1/6

11.

Renato duerme la tercera parte

del día y estudia los 2/5 del día, ¿cuántas horas del día le quedan para realizar otras actividades? 6.

Ya han transcurrido los 3/8 del

a)

día. ¿Qué hora es? a)

b) 6 h

c)

6 h 24 min 8 am

b) 6 am

c)

d)

9 am d)

5 h 48 min

10 am

e) 10:30 am

12.

6 h 48 min

e) 7 h 12 min

Me deben los 3/7 de 630 soles y

me pagan los 2/5 de 150 soles. ¿Cuánto dinero aún 7.

me deben?

Ya han transcurrido los 5/6 del

mes de abril. ¿Cuántos días, de dicho mes, ya han

a)

transcurrido?

180 soles

b) 210

240


MATEMATICA 373

c)


150

13.

e) 200

Una casa pertenece a 4

resolveremos situaciones relacionadas con avances de obra o llenado de recipiente, considerando la fracción de avance por unidad de tiempo. Para ello nos basaremos en ejemplos de situaciones que nos ayudarán a comprender el sentido práctico del procedimiento.

hermanos, al primero le toca los 2/5, al segundo los 5/12, al tercero 1/20 y al cuarto lo restante. Si se vende la casa a 90 000 dólares, ¿cuánto recibe el cuarto hermano? a)

$ 6 000

b) 1 200

c)

12 000 d)

3 000

14.

Ejemplo 1: e) 9 000

H o la , s o y M a r io B r o s s , y q u i e r o la v a r m i Y o s h i m ó v il e n s ó lo 1 2 m in u t o s .

E x c e le n t e , lo g r é l a v a r p o r m in u t o , 1 d e m i Y o s h im ó v il . 12

Si gasto 1/5 de lo que no gasto,

¿qué parte del total gasto? a) 1/4

b) 2/3

d) 2/5

e) 5/6

c) 1/6

Ejemplo 2:

E l g rifo m o s tra d o p u e d e lle n a r e l d e p ó s ito e n 4 5 se g u n d o s

15. Si regalo 3/4 de lo que no regalo, ¿qué parte del total regalo? a) 3/5

b) 1/2

d) 4/7

e) 1/4

16.

E n ca d a seg u n d o q u e tra n s c u rre , e l g rifo lle n a rá 1 45 d e l d e p ó s ito

c) 3/7

A un Banco le debo los 3/4 de

$600 pero sólo le puedo pagar los 2/3 de $180. ¿Cuánto le quedaré debiendo al Banco?

17. Si me prestas los 3/4 de 120 soles me alcanzaría para pagar mi deuda que asciende a los 5/6 de 300 soles. ¿De cuánto dinero dispongo para pagar la deuda?

Ejemplo 3:

REDUCCIÓN A LA UNIDAD DE TIEMPO


MATEMATICA 374

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” S e q u e p u e d o d a r u n a v u e lta a u n c irc u ito e n 8 0 s e g u n d o s

O ig a n to d o s , d u ra n te c a d a s e g u n d o , e s te c o rre d o r 1 d e v u e lta 80 a l c irc u ito .


p o d rá d a r

1.

Un grifo "A" llena un depósito en

5 horas y otro "B" en 10 horas. Además el depósito tiene una tubería de desagüe "C" en el fondo por el que se vacía en 15 horas todo el contenido. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. En 1 hora "A" llena 1/5 del depósito. II. En 1 hora "C" desagua 1/2 del depósito.

Ejemplo 4:

III. En 1 hora "A" y "B" llenan 5/15 del depósito.

E l d e s a g ü e p u e d e va c ia r la p ile ta e n 3 m in u to s c o n 3 0 se g u n d o s

E n 3 m in c o n 3 0 se g u n d o s

IV. En 1 hora "A" y "C" llenan 1/10 del depósito.

h a y 2 1 0 s eg u n d o s. L a fra c ció n d e la p ile ta

V. Abiertos los grifos "A", "B" y "C"; el depósito se llena en 6 horas. a) 1 b) 2 c) 3

q u e s e p u e d e v a cia r p o r se g u n d o es d e 1 210

d)

2.

4 e)

5

Un tanque puede ser llenado por

un primer caño en 20 horas y por un segundo caño en 30 horas. ¿En cuántas horas se llenará el tanque, si funcionan a la vez los 2 caños? a)

Consideraciones generales:

b) 10

c)

12 d)

•

15 h

16 e)

18

Las personas realizan el trabajo de manera uniforme. 3.

Dos grifos "A" y "B" llenan

juntos un estanque en 30 horas. Si el grifo "B" fuera •

un desagüe se tardaría en llenar el estanque 60

La salida de agua de un grifo es siempre

horas. ¿En cuántas horas llenaría la llave "A" el

constante, lo mismo que la salida de agua por el

estanque, estando este vacío?

desagüe.

a)

20 b)

25 c)

30 •

Por defecto, se asume que el

d)

desagüe está en la parte más baja del depósito en

35 e)

40

análisis.


MATEMATICA 375

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Enunciado

d)

Un tanque llena dos tuberías para su llenado y una para desaguarlo las dos primeras llenarían el tanque, cada una funcionando por separado en 4 y 6 horas respectivamente, mientras que el desagüe vaciaría el depósito en 9 horas. 4.

10.

8 e)

9

"A" y "B" puede hacer una obra

en 20 días, "B" y "C" pueden hacer la misma obra en 15 días y "A" y "C" la pueden hacer en 12 días. ¿En cuánto tiempo harán la obra "A", "B" y "C" juntos?

¿En qué tiempo llenarían el

tanque las dos tuberías trabajando con el desagüe

a)

cerrado?

5 días

b) 10

c)

14 d)

5.

16 e)

20

¿En qué tiempo llenarían el

tanque las dos tuberías trabajando con el desagüe 11.

abierto? 6.

Un grifo llena un depósito en 9

horas y otro demora 72 horas. Si se abren los dos

¿Qué parte del tanque llenarían

grifos al mismo tiempo, ¿en cuánto tiempo llenarán la

en 2 horas trabajando los tres juntos?

cuarta parte del depósito? a)

7.

primera tubería trabajando las dos llenando juntas y

d)

el desagüe cerrado?

12.

De los dos caños que fluyen a un

a)

c)

2h

b) 2 h 30 min

c) 2 h 20 min

3 37

d)

Un obrero puede levantar un

operario para terminar de levantar el muro?

tiempo se llenará dicho tanque?

1 47

12

¿cuántas horas adicionales debe trabajar el segundo

dos caños a la vez estando el tanque vacío, ¿en qué

a)

6 e)

horas. Si el primero ya trabajó durante 2 horas,

otro, lo puede llenar en ocho horas. Si abrimos los

2 b) 3 7

c)

muro de 3 m en 6 horas y otro lo puede levantar en 4

tanque, uno solo lo puede llenar en seis horas y el

1 37 h

b) 8

2

¿Qué parte del total llenaría la

8.

4h

d)

33 e) 7

13.

2 h 40 min

e) 3 h 20 min

Claudia limpia su casa en 6 h y

Romina podría limpiarla en 3 h. A las 8 a.m. empieza Claudia a limpiar su casa y a las 10 a.m. llega Romina y 9.

la ayuda. ¿A qué hora terminarán de limpiar la casa?

Un caño llena un pozo en 4 h y un

desagüe lo vacía en 6 h. ¿En qué tiempo se llenará el

a)

pozo, si se abre el desagüe una hora después de abrir

10 h

b) 12

b) 11:20 am

c) 11:45 am

el caño? a)

11:30 am

d) 12 m

c)

e) 12:20 pm

13


MATEMATICA 376


d) 1. Un grifo llena una piscina en 24 horas. ¿Qué parte de la piscina podrá llenar en 2 h 30 min?

a)

b)

5 48

5.

d)

3 11

Una cocinera prepara la mitad de

parte del buffet podrá preparar en una hora?

c)

a)

3 5 b)

7 10 c)

3 10

1 e) 3

3 7

7 e) 48

d) 2.

1 6 e)

la quinta parte de un buffet en 20 minutos. ¿Qué

5 24 1 12

2 9 c)

1 5

TAREA DOMICILIARIA

1 8

1 3 b)

Un desagüe puede vaciar la

mitad de la tercera parte de una piscina en 50 minutos. ¿Qué parte de la piscina podrá vaciar el

6.

desagüe en una hora? a)

1/5

b) 1/6

los dos grifos al mismo tiempo, ¿en cuánto tiempo se

c)

llenará el depósito?

2/7 d)

1/3


horas y otro lo puede llenar en 20 horas. Si se abren

a)

e) 1/8

b) 4 h

c)

3 h 30 min d)

3.

3h

2 h 30 min

e) 3 h 15 min

Raúl puede pintar la sexta parte

de una casa por hora. ¿Cuánto tardará en pintar la tercera parte de la casa? a)

3h

7.

6 horas y Sandra podría hacer el mismo trabajo en

b) 2 h 30 min

30 horas. ¿Cuánto tiempo demorarían si deciden

c) 2 h d)

2 h 45 min

Juan puede levantar un muro en

trabajar juntos? e) 4h

a)

4 h 20 min

b) 4 h 45 min

c) 5 h 15 min

4.

d)

5 Un grifo llena los 6 de un

5h

e) 5 h 45 min

depósito en 25 minutos. ¿Qué parte del depósito llenará en 6 minutos?

8.


horas y un desagüe puede vaciarlo en 12 horas. ¿En


MATEMATICA 377

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” cuánto tiempo se llenará el depósito si se abren de

12.

manera simultánea el grifo y el desagüe?

cosechar un huerto en 8 horas y Matías lo cosecharía

a)

12 h

b) 18

en 56 horas. Si deciden trabajar juntos, ¿en cuánto

c)

tiempo terminarían de cosechar el huerto?

20 d)

24

Pedro puede terminar de

a)

e) 30

5h

c)

5 h 20 min d)

9.

b) 7 h

6 h 15 min

e) 7 h 15 min

Juan, Pedro y Luciana pueden

limpiar una casa en 1 h 20 min, 2 h 40 min y 40 min respectivamente. ¿En cuánto tiempo limpiarán la casa

13.

si trabajan los tres juntos?

horas y un desagüe podría vaciarlo en 8 horas. ¿En

a)

22

c)

d)

22

6 7 min 21

b)

24

cuántas horas se llenará el depósito si se abren

3 7

ambos al mismo tiempo?

2 7

2 7

e)

22

Un grifo llena un recipiente en 4

3 7

a)

6

b)

7

d)

9

e)

10

14. 10.

terminarán de arreglar las 100 revistas?

del recipiente podrán llenar juntos, en una hora? 7 15 c)

a)

11 30

d)

11.

Juanita puede arreglar 100

10 minutos. Si trabajan juntas, ¿en cuántos minutos

horas y otro lo podría llenar en 6 horas. ¿Qué parte

a)

4

13 15 e)

8

revistas en 12 minutos y Mafalda lo podrá hacer en

Un grifo llena un recipiente en 5

1 11 b)

c)

1 10

5

5 11

5

1 11

b) 6 c)

7 11

d)

e)

4

1 11


horas y un desagüe puede vaciar el mismo depósito en 10 horas. Si funcionan ambos, ¿qué parte del recipiente se llenará por hora?

a)

d)

1 3 b) 3 70

e)

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS 3 35

c)

3 7

9 70

Los gráficos son medios popularizados y a menudo los más convenientes para presentar datos, se emplean para tener una representación visual de la totalidad de la información. Los gráficos estadísticos


MATEMATICA 378

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” En este caso, cada serie de datos se representa mediante un conjunto de rectángulos que comparten color o textura.

c a n tid a d d e a u t o s v e n d id o s

presentan los datos en forma de dibujo de tal modo que se pueda percibir fácilmente los hechos principales y compararlos con otros. Durante el presente capítulo nos ocuparemos de dos de los más importantes gráficos estadísticos: los gráficos de barras y los gráficos circulares. • Gráficos de barras Un gráfico de barras es aquella representación gráfica bidimensional (dos dimensiones) en la que los objetos gráficos elementales son un conjunto de rectángulos dispuestos paralelamente de manera que la extensión de los mismos es proporcional a la magnitud que se quiere representar. Ejemplo:

P la to típ ic o p r e ferid o

N ú m e ro d e p e rs o n a s

900 800 700 600 500 400

C. Apilados: Similar al agrupado pero, a diferencia del anterior, en este se puede resaltar el total de los autos vendidos por mes y además la cantidad vendida de cada modelo.

300 200 100 0

A rr o z c o n p o llo A jí d e g a llin a

Pacham an ca

O copa

C a ra p u lc ra

C e b ic h e

C o m id a t íp ic a

c a n t id a d d e a u to s v e n d id o s

Tipos principales de gráficos de barras A. Sencillo: Contiene solamente una serie de datos. Por ejemplo, las ventas en distintos meses de un modelo de auto.

• Gráficos circulares

B. Agrupados: Contiene varias series de datos. Por ejemplo, las ventas en distintos meses de varios modelos de autos.

Estos gráficos nos permiten ver la distribución


MATEMATICA 379

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” interna de los datos que representan un hecho,

D o n a t iv o s : m a y o

generalmente en forma de porcentajes sobre un

m es

total. Se suele separar el sector correspondiente al mayor o menor valor, según lo que se desee destacar.

60

s e p tie .

Ejemplo:

a g o s to

j u l io

20

80 30

Se sabe además que las bolsas de leche en polvo, arroz y azúcar pesan respectivamente 30 kg, 50 kg y 60 kg. 1. ¿Cuántas bolsas de arroz se recibieron en julio? a)

60

b) 80

c)

100 d)

PROBLEMAS PARA LA

120

e) 110

2. ¿Cuántas bolsas se recibieron en agosto? a)

160

b) 80

c)

60

Enunciado 1 Un almacén recibe donativos para distribuir entre los pobladores de los sectores marginales de Lima. El gráfico siguiente muestra los donativos recibidos por el almacén durante cinco meses del año:

d)

190

e) 200

3. ¿Cuántos kilos de azúcar se recibieron en junio? a)

4 200

b) 4 800

c)

4 500 d)

4.

5 200

e) 5 600

¿Cuántas bolsas de leche en

polvo se han recibido en los cinco meses? a)

490

b) 470


MATEMATICA 380

c)


510

e) 450

10.

¿Cuántos kilos de alimentos ha

recibido el almacén en los cinco meses? 5.

a)

¿Cuál es el número promedio

47 800

mensual de bolsas de azúcar que se han recibido durante el periodo mayo-septiembre del 2006? a)

45

b) 52

d)

58

b) junio

U n id a d e s v e n d id a s j u lio 2 0 0 6

c)

T e le v i s o r e s 50

julio d)

agosto

e) 53 100

La empresa VENDE TODO se dedica a la venta de televisores de 14", computadoras, impresoras, equipos de música y hornos microondas. Los gráficos siguientes muestran los volúmenes de ventas en julio y agosto del 2006:

de bolsas? mayo

51 200

Enunciado 2 e) 48

6. ¿En qué mes, el almacén recibió la menor cantidad

a)

c)

c)

54 d)

b) 48 700

49 100

C o m p u ta d o ra s 150

H o r n o m ic r o o n d a s 320

e) septiembre

I m p re so ra s 120

7. ¿Cuántos kilos de donativos recibió en agosto? a)

7 900

b) 8 200

E q u ip o s d e m ú s i c a 360

c)

8 400 d)

8.

8 700

e) 9 300

U n id a d e s v e n d id a s a g o s t o 2 0 0 6

H o r n o m ic r o o n d a s 400

¿Cuál es el número promedio

mensual de bolsas de arroz que recibió el almacen

C o m p u ta d o ra s 400

durante el periodo mayo-septiembre del 2006? a)

72

b) 75

E q u ip o s d e m ú s i c a 600

c)

78 d)

80

mensual de leche en polvo que recibió el almacén

a)

durante el periodo mayo-septiembre del 2006? 2 720 kg

b) 2 820

2 920

5%

b) 8%

10% c)

d)

2 880 d)

En julio del 2006, ¿qué

porcentaje de los artículos vendidos son televisores?

¿Cuál es el peso promedio

a)

Im p re so ra s 350

e) 82 11.

9.

T e le v i s o r e s 250

12,5%

e) 7%

e) 2 940


MATEMATICA 381

c)


En agosto del 2006, ¿qué

D e d ic a c ió n d ia r ia d e u n a lu m n o u n iv e r s it a r io

porcentaje de los artículos vendidos son equipos de

D ía Dom Sáb V ie Jue M ié M ar Lun

música? a)

25%

b) 20%

c)

60% d)

30%

e) 35%

0 13.

5

10

En julio del 2006, ¿qué ángulo

H o ra s

15

20

central le corresponde al sector computadoras? a)

48°

b) 54°

E s t u d ia r

c)

D o r m ir

H ace r d e p o rte

A l im e n t a r s e

E scu ch ar c la s e s

72° d)

49,6°

14.

16.

e) 57,6°

Durante el día jueves, ¿cuántas

horas duerme el alumno? a)

5 b)

6 c)

d)

8

e) 9

7

En agosto del 2006, ¿qué ángulo

central le corresponde al sector hornos microondas? a)

76°

b) 54°

c)

72° d)

81,4°

17. ¿Cuántas horas hace deporte a la semana?

e) 75,6°

a)

21

b) 22

c)

23 15.

Si juntamos la información de

d)

los gráficos circulares de julio y agosto del 2006,

24

e) 25

¿qué porcentaje de los artículos vendidos son televisores? a)

5%

b) 8%

18. ¿Cuál es la cantidad promedio de horas diarias

c)

que duerme? (aprox.)

12% d)

15%

a)

e) 10%

6,56

b) 7,23

c)

6,86 d)

7,42

e) 7

Enunciado 3 19.

¿Cuántos días de la semana

estudia más de seis horas?

Un alumno universitario dedica el tiempo del día a estudiar, dormir, hacer deporte, alimentarse y escuchar clases. La distribución de dichos tiempos viene mostrada en el siguiente gráfico:

a)

2 b)

3 c)

d)

5 e)

6


MATEMATICA 382

4


¿En cuántos días de la semana, la

5.

actividad a la que más tiempo le dedica es a la de

¿Cuántos autos menos que en

junio se vende en enero?

dormir? a)

1

b)

d)

4 e)

2 c)

3

Enunciado 2 La comercializadora “San Carlos” se dedica a la venta de dos productos: bolsas de arroz de 750 gramos y bolsas de azúcar de un kilo. El gráfico siguiente muestra los volúmenes de ventas de la comercializadora durante el periodo enero-mayo 2005:

5

TAREA DOMICILIARIA.

Enunciado 1 La empresa “Auto fácil” se dedica a la venta de autos. La cantidad de autos vendidos durante los primeros seis meses del año 2005 es mostrada en el siguiente gráfico:

Cantidad de autos

Ventas Enero-Junio 2005 120

150

80

60

Enero Febrero Marzo

Abril

90

Mayo

126

6.

Junio

¿Cuántas bolsas de arroz vendió

en los tres primeros meses del año 2005?

Mes

7.

¿Cuántas bolsas de azúcar

vendió en promedio mensual durante el periodo 1. ¿Cuántos autos se vendió en los seis meses?

enero-mayo 2005?

2.

8.

¿Cuál es el promedio mensual de

autos vendidos durante el periodo enero-junio del

¿En cuántos de los meses se ha

vendido más bolsas de azúcar que de arroz?

2005?

9.

¿En cuántos de los meses se ha

vendido más kilos de arroz que de azúcar? 3.

¿Cuántos autos más que en

febrero, se vende en junio? 10.

Si cada bolsa de arroz se vende

a dos soles, y cada bolsa de azúcar a tres soles, ¿en 4.

¿En cuántos de los meses vendió

qué mes su ingreso fue mayor?

más autos que el promedio mensual registrado en el periodo enero-junio del 2005? Enunciado 3


MATEMATICA 383

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” La empresa de transportes “EL TUMI” ofrece los servicios de transporte a Ica, Nazca y Moquegua. El gráfico siguiente muestra la cantidad de pasajeros transportados durante los últimos cuatro meses: ECUACIÓN

Cant. de pasajeros (miles)

Pasajeros transportados por "TUMI"

Una ecuación es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas que tienen como mínimo una variable.

120 80

60 30

50

Abril

45

90

70

80

70 40

Mayo

Junio

30

Julio

Mes Ica

11.

Nazca

Moquegua

¿Cuántos pasajeros fueron

transportados por “EL TUMI” durante el mes de junio? (en miles)

12.

¿Cuántos pasajeros fueron

transportados a Ica durante el mes de julio?

13.

¿En qué mes se transportó a un

mayor número de pasajeros?

14.

Si los pasajes a Ica, Nazca y

Moquegua cuestan respectivamente 20; 30 y 50 soles, ¿cuánto dinero recaudó “EL TUMI” durante el mes de abril?

Solución de una ecuación: Es aquel valor que toma la incógnita para que se cumpla la igualdad.

15.

¿Cuántos pasajeros en promedio

mensual viajaron a Nazca durante el periodo abril-

Ejemplos:

julio?

ECUACIONES I 2do Grado de Secundaria

MATEMATICA 384


5.

6(3x  7)  4(4x  8)  3(3x  4) a)

- 22/7

b) 3/4

c)

-11/4 d)

3/7

e) 11/4

6. 5(3  x)  3(x  1)  7x

PROBLEMAS PARA LA

a)

2 b)

3 c)

d)

4 e)

6

1

7. 3(x  5)  2(x  3)  1  x 1.

2(2  x)  3(3  2x) a)

4/5

a) b) 3/2

2/3

d)

d)

3.

b) 2/5 1/2

1

4.

-1

e) 5

a)

4 b)

14

d)

7 e)

0

a)

6 b)

9 c)

d)

12

e) 21

c)

21

c) 1 e) - 1/2

b) 2

2x  3 x  4 3 9 9.

c)

0 d)

-4

x2 x   11  x 7 8. 3

(3  5x)  (2  3x)  x  2  (3  3x) a)

c)

e) 5/4

2. x  (3  2x)  (5  4x)  3(x  2) a) 1/4

b) 6

-3

c)

- 5/4 d)

3

e) -2

3

4(x  3)  2(x  2)  3(x  3)  2 a)

-1

b) 1

10.

c)

2 d)

-2

x

a)

x x   2x  10 2 3

9 b)

6 c)

e) -4


MATEMATICA 385

18


-6

e) 12 Hallar "x" en:

11.

x

x1 x 2   14 2 3

a)

8 b)

d)

13

9 c)

x  2 3x  1 5   2 2 16. 2

11

e) 7

x  1 2x  1  3 4 12. 3

29 b) 10

37 c) 10

31 10

13 10 e)

18.

11 10 -

21 10 b)

d)

12 e)

10

-

a)

5 b)

12 c)

d)

10 e)

1

21 10

16 b)

11 c)

d) 15

e) 14

TAREA DOMICILIARIA. 13 10 e)

Hallar “x” en: 14. Hallar "x" 2(x - 5) + 3 (x - 6) = 7 a)

6 b)

5 c)

d)

7 e)

10

9

1. 3x  5  7  x

2. 4x  7  x  8 15. Hallar "x" en:

5

x 3 = 3 (x - 3) - 7

a)

2 b)

6 c)

d)

9 e)

1

8

3.

3(x  2)  5(3  x)


MATEMATICA 386

13

x2 x5  1 3 8

c)

13 10 -

d)

2 c)

a)

3  2x 2x  1  5 3 2 13.

a)

3 b)

17. 2(x + 3) + 3(x - 2) = 5x

11 a) 4

d)

a)

3

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 4. 2x  3(x  3)  4x  13

15. 3(x  2)  5(2x  3)  6x

5. 4(x  3)  3(x  5)  15 16. 4(x  2)  3(x  3)  2  2x x x2  3 5 6.

7.

3x  5 x  2   x6 4 3 17.

x1 x 3  4 2

4x  1 1 x  1   2 8 18. 11

2x  3 x  3 2 8.

3x  4 x  5 9. 13

19. x(x  3)  2x(x  1)  3x(x  2)

5x  3 7x  3  4 6 10.

20. x(3  x)  4  x(x  2)  2x(5  x)  8

x x   20 2 3 11.

x 3 2 x  x 3 21. 2

x x   1 3 4 12.

x1 3 2 1 4 22.

x  x  12 13. 2

14.

x

2x  3 1 x 5  2 9 23.

x x   17 3 5 x x  1 x 8 2 3   5 3 5 24.


MATEMATICA 387


PLANTEO DE ECUACIONES II 3x  1 2x  2 4   4 5 25. 5

a)

2 b)

- 3 c)

- 1 e)

5

-

Durante esta semana nos dedicaremos a traducir un enunciado, dado en un lenguaje convencional, al lenguaje matemático y para ello usaremos símbolos y variables.

2 d)

x2 x3 x 4 5    3 4 12 26. 2

a)

1

b)

2 c)

-

1 d)

3 e)

-5

2(x  3) 1 x 23    5 2 4 20 27. a)

3 b)

2 c)

d)

5 e)

-6

8

2x  1 3x  2 1   5 5 28. 3 a)

3 b)

2 c)

- 2 e)

-5

-

3 d)

x  3 201  5 10 (x - 2) = 5

29. a)

3 b)

- 5 c)

d) - 6

e) N.A.

-

2


MATEMATICA 388


Un reloj cuesta 30 soles más que

una pulsera. Si el precio del reloj se duplicara y el precio de la pulsera se cuadruplicara, entonces el


precio del reloj sería el doble del precio de la pulsera. ¿Cuánto cuesta comprar dos relojes y tres pulseras?

1.

a)

Cada día pierdo 10 soles menos

¿cuánto perdí el segundo día? 25 soles

d) b) 20

b) 130

c)

105

que el día anterior. Si en 4 días perdí 120 soles,

a)

90 soles

110

e) 150

c)

35 d)

30

6.

e) 45

En un salón de clase, si los

alumnos se sientan de 4 en 4, quedarían de pie 11 alumnos. En cambio, si se sientan de 6 en 6,

2.

quedarían 9 asientos libres. ¿Cuántos alumnos hay en

Juan tiene 40 soles más que

el salón?

Juana. Si juntos tienen 840 soles, ¿cuánto dinero

a)

tiene Juana? a)

360 soles

b) 380

400

b) 49

c)

51

c)

d)

440 d)

47

53

e) 55

e) 420 7.

Entre Ana, Pedro y Luisa tienen

640 soles. Si Ana tiene el doble de lo que tiene 3.

En un corral hay 32 animales

Pedro, y éste el triple de lo que tiene Luisa, ¿cuánto

entre gallinas y conejos. Si hay un total de 98 patas,

dinero tiene Ana?

¿cuántos conejos más que gallinas hay? a)

2 b)

3 c)

d)

5 e)

6

a) 4

b) 324

8. En una reunión, el número de

412

e) 392

Por tres celulares y cuatro

baterías se paga 520 soles. Si cada celular cuesta 80

hombres es el triple del número de mujeres. Si se

soles más que una batería, ¿cuánto cuesta una

retiran 20 hombres, los restantes sólo serían el

batería?

doble del número de mujeres. ¿Cuántas personas

a)

acudieron a la reunión? a)

40

100

30 soles

b) 35

c)

45 b) 60

c)

d)

80 d)

c)

384 d)

4.

364 soles

50

e) 40

e) 120 9.

En mi bolsillo derecho tengo 23

monedas de 2 soles, y en el izquierdo “x” monedas de


MATEMATICA 389

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 5 soles. Si luego de intercambiar 4 monedas de los

la diferencia de los mismos es 18. Hallar el número

bolsillos logro tener la misma cantidad de dinero en

mayor.

cada bolsillo, ¿cuál es el valor de “x”? a)

12

a) b) 13

c)

15

d)

Cada día de la semana (de lunes

Juan tiene dos veces lo que

¿Cuánto tiene María?

del martes al sábado gané 400 soles, ¿cuánto dinero

a)

gané el domingo?

$ 50

b) 60

c)

15 110 soles

b) 120

c)

d)

130 d)

39

tiene María y entre los dos tienen 75 dólares.

a domingo) gano 10 soles más que el día anterior. Si

a)

18 e)

e) 16 15.

10.

16 c)

29

14 d)

21 b)

90

25 e)

45

e) 100


¿Qué número dividido por 43

dará como resultado 24? a)

1 720

b) 1 032

c)

1.

67 d)

12.

1 038

cinco panes y tendremos la misma cantidad”. Roberto replica: “dame seis panes y tendré 12 veces de lo que

e) 1 023

te quedaría”. ¿Cuántos panes tienen entre los dos?

El cuádruplo de un número

a)

aumentado en 16 es igual a 96. Hallar dicho número. a)

40 b)

60 e)

34

b) 38

26

e) 30

c)

24

10 c)

d)

20 d)

Pedro le dice a Roberto: “Dame

30 2.

Si subo una escalera de 6 en 6

escalones, doy 6 pasos menos que subiendo de 4 en 4 13.

El doble de un número es igual a

escalones. ¿Cuántos escalones tiene la escalera?

la mitad de la suma del número con 90. Hallar el

a)

número. a)

b) 48

c)

60 15 b)

45 c)

d)

30 d)

36

60 e)

72

e) 84

80 3.

Un señor compró 20 manzanas

más que naranjas y tantos mangos como manzanas y 14.

La suma de dos números es 60 y


MATEMATICA 390

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” naranjas juntos, pagando por ellas 510 soles. Si el

d)

8 e)

25

precio de cada manzana, naranja y mango es de 2 soles, 3 soles y 4 soles respectivamente, ¿cuántas frutas compró el señor? a)

140

8. b) 160

misma medida en que un número es excedido por su

c)

triple. Hallar el exceso de 20 sobre el número.

180 d)

200

4.

12 es excedido por 18 en la

e) 170

a)

16 b)

17 c)

d)

19 e)

20

18

En un corral hay “n”

animales(n>28) entre patos y cerdos. Si en total hay

9. En un corral hay 20 animales entre cerdos y pavos.

112 patas, ¿cuántos patos hay? a)

2n - 48

Si en total se han contado 66 patas, ¿cuántos cerdos b) 2n - 56

hay?

c)

n - 28 d)

3n - 72

e) 4n - 112

10. Juan tiene 20 soles menos que Luciana, pero el doble de lo que tiene Aldo. Si entre los tres tienen 520 soles, ¿cuánto dinero tiene Aldo?

5.

Por el primer minuto de una

llamada telefónica se paga 30 céntimos y por cada minuto adicional se paga 20 céntimos. ¿Cuántos

11.

céntimos se paga por una llamada que dura “x”

pavo. Si el peso de 7 cerdos y 4 pavos es de 200 kg,

minutos (x>1)?

¿cuánto pesa un cerdo?

a)

20x b) 20x - 10 20x + 10

c) 20x + 1 e)

6.

d)

12. Según el enunciado de la pregunta anterior, ¿cuál es el peso de 3 cerdos y 6 pavos?

20x + 30

El doble más el triple, más el

13.

cuádruplo de un número es 36. ¿Cuál es la mitad de la

1/2

b) 1/3

Juana tiene 12 años más que

Tadeo y el doble de la edad de Carlos. Si entre los

tercera parte de la cuarta parte del número? a)

Un cerdo pesa 5 kg más que un

tres suman 88 años, ¿cuál es la edad de Tania? c)

1/5 d)

1/6

14. Un libro cuesta 20 soles más que un cuaderno. Si

e) 1/4

el precio de 5 libros y 3 cuadernos es de 180 soles, ¿cuánto cuesta cada cuaderno?

7.

Ana tiene el triple de pasteles

que Tomás. Diego tiene la mitad que Tomás. Ana

15. Las horas que faltan para terminar el día es el

tiene 160 pasteles más que Tomás. ¿Cuántos pasteles

doble de las horas ya transcurridas. ¿Qué hora es?

tiene Tomás? a)

4 b)

24 c)

32


MATEMATICA 391

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 16. Si me regalas 30 soles tendríamos la misma cantidad de dinero; pero si te pago los 10 soles que te debo, tendrías el quíntuplo de lo que me quedaría. ¿Cuánto dinero tengo?

17.

Cada día gano el doble de lo que

gané el día anterior. Si en cinco días gané 620 soles, ¿cuánto gané el tercer día?

18. Se tienen dos depósitos con 600 y 500 litros de agua respectivamente. Si del segundo depósito pasan al primer depósito 4 litros por segundo, ¿después de cuánto tiempo el primer depósito tendrá el décuplo de lo que le queda al segundo depósito? Ejemplos: 1.

La suma de tres números

consecutivos es igual a 78. ¿Cuál es el mayor de los números?

PLANTEO DE ECUACIONES III

Resolución: Los números son: x, x+1 y x+2 La ecuación es: (x)+(x+1)+(x+2)=78 Resolviendo tenemos: 3x + 3 = 78 3x = 78 – 3 3x = 75 x = 25

Durante esta semana resolveremos problemas que involucran: • Números consecutivos. • Elementos de la división. • Fracciones.

Por lo tanto, el mayor de los números es: 25+2 = 27 2.

Dados tres números pares

consecutivos se sabe que la suma del menor con el

NÚMEROS CONSECUTIVOS

doble del intermedio nos da el tercero aumentado en 80. ¿Cuál es el menor de los números? Resolución: Los números son: x, x+2 y x+4 La ecuación es: (x) + 2 (x + 2) = (x + 4) + 80 Resolviendo tenemos: 3x + 4 = x + 84 3x – x = 84 - 4 2x = 80 x = 40 Por lo tanto, el menor de los números es 40.

ELEMENTOS DE LA DIVISIÓN


MATEMATICA 392


Ejemplo: 3.

Ejemplo:

Dos números suman 70 y si

dividimos al mayor entre el menor obtenemos 2 de

4.

cociente y 4 de residuo. ¿Cuál es el menor de los

El numerador y el denominador

de una fracción suman 11. Si el numerador aumenta

números?

en 1, la fracción resultante es equivalente a 1/2.

Resolución:

¿Cuál es la fracción original?

Número menor: x

Solución:

Número mayor: 70 – x

Numerador: x Denominador: 11 – x

Si dividimos tenemos que:

Si el numerador aumenta en 1, éste sería: x+1, x1 11  x ; luego: entonces. La fracción sería: x1 1  Ecuación: 11  x 2

La ecuación es: 70 – x = 2x + 4

Resolviendo tenemos:

70 – 4

Resolviendo tenemos:

= 2x + x 66

=

3x

2(x  1)  11  x 22

=

2x  2  11  x

x

2x  x  11  2 3x  9

El menor de los números es 22.

x3

FRACCIONES

x 3 3   La fracción original es: 11  x 11  3 8


MATEMATICA 393


Un número “N” es la suma de 3

números enteros consecutivos. Si el menor de los números consecutivos es “x -1”, ¿cuál es el valor de “N” (en función de “x”)? a)

3x + 3

b) 3x + 2

c)

3x + 1 d)

4.

3x

e) 3x - 1

Un número “N” es la suma de 4

números enteros consecutivos. Si el menor de los números consecutivos es “y-1”, ¿cuál es el valor de “N” (en función de “y”)? a)

4y - 1

b) 4y

c)

4y + 1 d)


4y + 2

e) 4y + 3

Cada día que transcurre Juan

gana 2 soles más que el día anterior. Si luego de cinco días ha ganado 200 soles, ¿cuánto dinero ganó 1.

el segundo día?

Dados tres números pares

consecutivos, ¿es posible que la cuarta parte del

a)

menor sea igual que la quinta parte del intermedio e afirmativa tu respuesta, ¿cuál es el valor del menor

d)

de dichos números? No es posible Sí; 2 Sí; 6 d) Sí; 4 Sí; 8

c) e)

2.

6.

El numerador de una fracción

a)

5 e)

3

x 4 x

x 2 x b)

c)

4x x

menor de dichos números?

d)

e) 34

“x”, ¿cuál sería la fracción (en función a “x”)?

de cociente y 2 de residuo. ¿Cuál es el valor del

6 c)

40

excede en 4 al denominador. Si el denominador vale

doble de otro número, y si los dividimos obtenemos 3

7 b)

c)

b)

El número mayor excede en 7 al

a)

b) 38

36

igual que la sexta parte del mayor? En caso de ser

a)

46 soles

d)

4

7.

x 4 x

4x  4 x e)

Según la pregunta anterior, si el

numerador disminuye en 2, la fracción resultante es equivalente a 4/3. ¿Cuál es el valor de “x”?


MATEMATICA 394


4

b) 5

c)

d)

40

e) 22

6 d)

7 e)

8

12.

El numerador excede en 3 al

doble del denominador y si le quitamos 12 al 8.

numerador obtenemos una fracción equivalente a 1/2.

El numerador y el denominador

¿Cuál es la fracción original?

de una fracción suman 19. Si el numerador es “x”, ¿cuál es la fracción (en función de “x”)? x x  19

a)

x 19 x b)

a)

d)

13 5 c)

24 7

27 e) 8

15 6

c)

x 19 x x  19

11 2 b)

d)

x e) 19x

13.

Si dividimos dos números

obtenemos 5 de cociente y 4 de residuo. ¿Cuál es el valor del mayor de los números, si ambos suman 70? 9.

Según la pregunta anterior, si le

a)

quitamos 2 al numerador y al denominador,

d)

el valor de “x”? 6 b)

7 c)

9 e)

10.

c)

63

e) 53

8 14.

d)

b) 58

59

tendríamos una fracción equivalente a 1/2 . ¿Cuál es

a)

56

Una fracción es equivalente a

2/3 y el numerador y denominador suman 65. ¿Cuál

10

es el valor del numerador? a)

Dos números suman 40 y si

22

b) 26

c)

28

dividimos el triple del mayor entre el menor

d) 18

obtenemos 5 de cociente y 8 de residuo. ¿Cuál es el

e) 24

valor del mayor de dichos números? a)

24

b) 29

c)

15.

27 d)

26

Al dividir un número entre otro

se obtiene 3 de cociente y 7 de residuo; pero si de divide el cuádruple del menor entre el mayor, se

e) 31

obtiene 1 de cociente y 8 de residuo. ¿Cuál es el valor del mayor de los números?

11.

Sobre tres números

a)

consecutivos se sabe que la suma de la mitad del

52

b) 58

61

menor con la tercera parte del intermedio es igual al

d)

mayor disminuido en 5. ¿Cuál es el valor del mayor de

67

e) 73

los números? a)

16

b) 28

TAREA DOMICILIARIA

c)

34


MATEMATICA 395

c)


1.

6.

Un terreno rectangular tiene un

b) 190

gastó?

c)

a)

110 d)

Rocío gasta 1/3 de lo que tenía

5 soles en golosinas, quedándole 7,5 soles. ¿Cuánto

doble de su ancho. Halla el largo. 80 m

270

e) 30

César y Ana pesan juntos 125 kg.

7.

La diferencia entre 2 veces el peso de Ana y tres

b) 41

3.

49 e)

a)

c)

e) 32,5

100 g

b) 200

d)

N.A.

8.

50 e)

250

Un tonel lleno de vino cuesta S/.

300, pero si se retiran 10 litros, solo costará S/.

dinero para ir al teatro con sus hijos. Si compra las

180. ¿Cuántos litros de vino tiene el tonel?

entradas de S/. 50 le faltaría S/. 10, y si compra las entradas de S/. 40 le sobraría S/. 40. ¿Cuántos hijos

a)

tienen?

50 b)

20 c)

25

a)

5

b)

7

d)

8

e)

4

c)3

d)

9. Se desea repartir 1 naranja a

40 e)

30

Si cada asistente a una obra

benéfica colabora con 6 soles, faltaría 100 soles para

cierto número de niños, sobrando 3 naranjas; pero si

reunir el aporte requerido. Si cada asistente

se les da 2 naranjas más a cada uno, faltarían 7

colabora con 9 soles, se reuniría 80 soles más de lo

naranjas. ¿Cuántos niños hay?

requerido. ¿Cuál es la cantidad requerida?

a) d)

4 7

b) e)

5

c)6

a)

S/. 230

b) 460

c)

500

10

d) 5.

c)

150

Un matrimonio dispone de cierto

4.

10,5

Una lata llena de espárragos

53 d)

c)

400 g. ¿Cuánto pesa la lata sola?

si se sabe que es el que pesa menos? 84 kg

b) 15

pesa 700 g, pero con la mitad de su contenido pesa

veces el peso de César es 45 kg. ¿Cuánto pesa César;

a)

S/. 25 17,5

d)

2.

e) 8 am

en ir al cine, luego gasta 1/4 de lo que le quedaba más

perímetro de 540 m y su largo es 30 m mayor que el

a)

3 pm

250

e) 360

Si ha transcurrido del día las

3/5 partes de lo que falta transcurrir, ¿qué hora es? a)

9 am

b) 9 pm

10.

Con 12 monedas en total, unas de

S/. 0,50 y otras de S/. 0,20, se quiere pagar una

c)

deuda de S/. 3,60. ¿Cuál es la diferencia entre el

3 am

número de monedas utiliza de cada tipo?


MATEMATICA 396


1

d)

4 e)

11.

b)

2 c)

3

5

Un número positivo “N” es la

suma de tres números consecutivos y también es la

Durante esta semana plantearemos y resolveremos ecuaciones que involucran edades. En los enunciados que analizaremos notaremos que intervienen: sujetos, tiempos y edades.

suma de cinco números enteros consecutivos. ¿Cuál es el menor valor posible de “N”? a)

30

b) 12

c)

15 d)

24

12.

Ejemplos: e) 45

Dados tres números

consecutivos se sabe que la mitad del menor más la quinta parte del intermedio es igual a la sexta parte del cuádruple del mayor. ¿Cuál es el valor del mayor de los números? a)

31

b) 36

c)

66 d)

13.

96

El sujeto es el Chapulín Colorado, los tiempos a los que se hace referencia son hace 20 años, actual y dentro de 40 años. La edad es aquello que se debe relacionar en base a los distintos tiempos de referencia.

e) 6

La diferencia de los cuadrados

de dos números consecutivos es 39. ¿Cuál es el menor de los números? a)

20

b) 18

c)

17 d)

14.

19

e) 21

En este caso el sujeto es Pecoso, los tiempos a los que se hace referencia son dentro de 7 años, el año pasado y actual. Nuevamente en este caso se hace referencia a la edad del perro en los distintos tiempos.

Durante cada día del mes de

enero del 2006 gané un sol más que el día anterior. Si durante el mes gané 930 soles, ¿cuánto gané el segundo jueves de dicho mes? a)

23 soles

b) 24

c)

25 d)

26

e) 27

EDADES 2do Grado de Secundaria

MATEMATICA 397


Entonces la ecuación será: Resolviendo tenemos que: 2(x - 7) = x - 3 2x - 14 = x - 3 2x - x = -3 + 14 x = 11

En este caso el sujeto es el auto Yaris, los tiempos a los que se hace referencia son hace “x” años y dentro de “2x” años. Los tipos de problemas clasificaremos en dos:

que

resolveremos

los

Luego, mi edad dentro de 12 años será: 11 + 12 = 23 años

• Cuando interviene la edad de un sujeto. • Cuando intervienen las edades de dos o más sujetos.

II.Cuando intervienen las edades de dos o más sujetos Veamos ejemplos que ilustren este caso:

I. Cuando interviene la edad de un sujeto Veamos ejemplos que ilustren este caso:

1. Hace 8 años la edad de Luciana era el doble de la edad que tenía Renato y dentro de 4 años sus edades sumarán 36 años. ¿Cuáles son sus edades actuales?

1. Juan dice: “Mi edad dentro de 7 años será el triple de la edad que tuve hace 3 años. ¿Cuántos años tengo?” Resolución:

T ie m p o s H ace 8 añ o s

A c tu a l

D e n tro d e 4 años

L u c ia n a R e n a to

Entonces la ecuación será: Resolviendo tenemos que:

Luego se procede al llenado de la tabla intentando utilizar el menor número de incógnitas posible: En este caso conviene empezar con el dato: Hace 8 años la edad de Luciana era el doble de la edad que tenía Renato.

x + 7 = 3(x - 3) x + 7 = 3x - 9 7 + 9 = 3x - x 16 = 2x 8=x

La tabla quedaría de la siguiente manera:

Luego, la edad actual de Juan es de 8 años. 2. Hace 7 años tuve la mitad de la edad que tuve hace 3 años. ¿Cuántos años tendré dentro de 12 años? Resolución:

H ace 8 añ o s

A c tu a l

L u c ia n a

2x

2x + 8

D e n tro d e 4 años 2x + 12

R e n a to

x

x + 8

x + 12


MATEMATICA 398


22 años

b) 20

c)

26 d)

5.

24

e) 28


pregunta anterior, si Ronaldinho debutó en la primera división hace 7 años, ¿a qué edad debutó en la primera división? a)


Sabueso tiene 3 años más que

6.

Pelusa y dentro de 5 años sus edades sumarán 23

2 años

6 e)

2.

19

e) 21

Pizarro le dice a Solano: «Hace

años era el doble». ¿Cuál es la edad de Solano? b) 3

c)

a)

5 d)

c)

20 años mi edad era el triple que la tuya y hace 18

años. ¿Cuántos años tiene pelusa? a)

b) 13

17 d)

1.

15 años

24 años

b) 26

c)

25 8

d)

22

e) 28

Tengo el triple de años que mi

hijo y dentro de “x” años le llevaré 26 años. ¿Cuántos años tiene mi hijo? a)

7. 9 años

b) 10

c)

Pizarro y Solano dentro de 17 años?

11 d) 12


pregunta anterior, ¿cuánto sumarán las edades de

a)

e) 13

b) 82

c)

86 d)

3.

76 años

92

e) 96


pregunta anterior, ¿dentro de cuántos años tendré el doble de la edad de mi hijo? a)

11 años

8. b) 12

hace 4 años y la edad que tendré dentro de 12 años

c)

es de 3/5. ¿Cuántos años tengo?

13 d)

14

La razón entre la edad que tuve

a)

e) 15

b) 20

c)

30 d)

4.

24 años

28

e) 36

La edad de Ronaldinho hace 6

años es la tercera parte de la edad que tendrá Ronaldinho dentro de 30 años. ¿Cuántos años tiene

9.

Ronaldinho?

La suma de las edades de Jorge

Medrano y su hijo, hace 7 años fue 96 años. ¿Cuánto


MATEMATICA 399

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” sumarán sus edades dentro de 5 años? a)

120 años

b) 110

c)

14. En el 2001, la edad de mi padre fue el doble de la

112 d)

132

mía; y en el año 2009, su edad y la mía estarán en la relación de 12 a 7. ¿Cuántos años cumpliré en el año

e) Falta

2021?

información

a)

36 años

b) 39

c)

43 10.

Tengo el triple de la edad que

d)

tuviste cuando mi edad excedía a tu edad actual en 8

42

e) 40

años; además, la suma de nuestras edades actuales es 36 años. ¿Cuál es mi edad actual? a)

12 años

15. Rosario dice: «Mi edad hace 16 años fue la sexta b) 18

c)

parte de la edad que tendré dentro de 4 años. Mi

24 d)

27

edad actual es «x» años» e) 36

Gustavo dice: «Mi edad dentro de 8 años es el quíntuplo de la edad que tuve hace 8 años. Mi edad actual es «y» años» ¿Cuál es el valor de «x+y»?

11.

Condorito tiene el quíntuplo de la

edad de Coné y dentro de 18 años sólo tendrá el

a)

28 c) 36

b) 32

d)

40

e) 42

doble de la edad de Coné. ¿Cuántos años tiene Condorito? a)

30 años

b) 36

c)

42 d)

48

TAREA DOMICILIARIA

e) 33

12. Según el enunciado de la pregunta anterior, ¿dentro de cuántos años Coné tendrá la mitad de la edad que tuvo Condorito hace 6 años? a)

12 años

b) 8

1.

edad de Fidel, pero dentro de 15 años la edad de

c)

Fidel será la mitad de la edad de Raúl. ¿Cuántos años

4 d)

9

La edad de Raúl es el triple de la

de diferencia hay entre sus edades?

e) 6

a)

30 años

b) 10

c)

20 13. Mi mascota tiene el triple de la edad que yo tenía

d)

5 e)

15

cuando ella nació. Si actualmente tengo 5 años más que mi mascota, ¿cuántos años tiene mi mascota? a)

12 años

b) 9

2.

c)

años, Vanesa de 11, Karina de 3 y Manolito de 2 años.

18 d)

15

María tiene 4 hijos, Nataly de 14

Si ella tiene 39 años, ¿dentro de cuántos años su

e) 6

edad será igual a la suma de las edades de sus hijos?


MATEMATICA 400


1 año

d)

4 e)

b) 2 c)

3

a)

b) 79

c)

89

6 d)

3.

69 años

87 e)

67

La edad de Rosa es la cuarta

parte de la edad de su padre, que tiene 36 años.

7.

¿Dentro de cuántos años la edad de ella será la mitad

el séxtuplo de la edad que tenía Flor, cuando José

de la edad de su padre?

tenía la tercera parte de la edad que tiene Flor.

a)

50 años

b) 30

¿Qué edad tiene Flor?

c)

18 d)

56 e)

José tiene 24 años y su edad es

a)

b) 20

c)

21

54 d)

4.

19 años

24 e)

25

Cuando nací, mi padre tenía 38

años. ¿Qué edad tiene mi padre si actualmente

8.

nuestras edades suman 80?

tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo

a)

59 años

b) 58

tenía la edad que tú tienes, pero cuando transcurra

c)

el doble de años de aquel entonces al presente,

57 d)

56 e)

Richard le dice a Carito: "Yo

nuestras edades sumarán 108 años. ¿Qué edad tiene Richard?

54

a)

16 b)

24 c)

36 5.

Dentro de 10 años, tendré tres

d)

veces la edad que tenía hace 10 años. ¿Cuántos años

40 e)

38.

tenía hace 5 años? a)

20 años

b)

9.

La tercera parte de la que

tenga el doble de la edad que tienes. Si nuestras

tendré dentro de 25 años c)

edades suman 44 años, ¿qué edad tienes?

La mitad de la que tendré dentro

a)

de 5 años d)

17 años

b) 18

c)

19 La tercera parte de la que

d)

tendré dentro de 5 años e)

Cuando tú tengas 10 años, yo

tenía la mitad de la edad que tú tendrás cuando yo

21 e)

23

N.A. 10.

En 1949, la edad de un padre era

9 veces la edad de su hijo; en 1954 la edad del padre 6.

fue el quíntuplo de la edad de su hijo. ¿Cuál era la

El triple de tu edad; más 2 años,

edad del padre en 1981?

es mi edad, pero si yo fuera 30 años más joven y tu fueras 30 años más viejo nuestras edades serían

a)

iguales. ¿Qué edad tengo?

95 años

b) 58

72 d)

77 e)

68


MATEMATICA 401

c)


11.

Las edades de Ana, Rosario y

Juan son proporcionales a 3; 4 y 6 respectivamente. Si dentro de 5 años la suma de las edades de Ana, Juan y Rosario será de 93 años, ¿cuántos años tiene Juan? a)

36 años

b) 42

Una operación matemática se define como el proceso que transforma una o más cantidades en otra cantidad denominada resultado. Toda operación matemática presenta una regla de definición y un símbolo que la identifica, llamado operador matemático.

c)

30 d)

24

12.

e) 48

OPERADOR MATEMÁTICO

Pedro tiene el triple de la edad

de Karla y la edad de Pedro hace dos años es el doble

Es el símbolo que representa a una operación matemática. En algunos casos los operadores son universalmente conocidos, y por ello, no hace falta mayor referencia acerca de la regla de definición ya que ésta queda sobreentendida; en cambio, existen otros casos donde el operador por sí sólo no es suficiente para realizar la operación matemática, por lo cual se necesita la regla de definición.

de la edad que tendrá Karla dentro de 4 años. ¿Dentro de cuántos años Pedro tendrá el doble de la edad de Karla? a)

5 años

b) 10

c)

8 d)

13.

12

e) 15

Veamos algunos ejemplos:

Juan dice: “El triple de la edad

que tendré dentro de 5 años excede en tres años al cuádruple de la edad que tuve hace 2 años. Ahhh, olvidaba señalar que mi edad hace 7 años fue «x». ¿Cuál es el valor de «x»? a)

27

b) 15

c)

13 d)

14.

17

e) 21

Tengo el doble de la edad que

tuviste cuando tuve la quinta parte de tu edad actual, y cuando tengas el doble de mi edad actual nuestras edades sumarán 150 años. ¿Cuál es mi edad actual? a)

20 años

b) 50

c)

30 d) 40

e) 60

OPERACIONES MATEMÁTICAS I


MATEMATICA

402

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Una operación matemática se puede representar con una regla de definición que puede ser una fórmula o una tabla de doble entrada.

a)

b) 205

c)

210 d)

Durante esta semana nos ocuparemos de la regla de definición mediante fórmula y dejaremos la otra para la semana siguiente.

160

Veamos algunos ejemplos que ilustran este caso:

e) 240

x  y  x2  y

• Sabiendo que:

Regla de definición mediante fórmula

1. Si: ab  3a  5b , calcular: Resolución:

420

x  y  2x  3y

74

x  y  3x  y x  y  4y  x Calcular: a)

3  (4  2)

2. 15

b) 17

c)

18 d) 2. Si: x

= x2 - x + 3, calcular:

19

e) 21

5 3.

Resolución:

(2  4)  (5  2) a)

209

b) 173

c)

201 d)

4.

163



2  2   2  (2  2) a)

-8

e) 143

 b) -10

c)

-12 d)


5.

0

1

+

2

+…+

23

b) 27

25

= N + 1, calcular: +

e) 8

(3  4)   (5  2)  6 a)

1. Sabiendo que:

10

d)

19

37

e) 31


MATEMATICA 403

c)


(2m)(3n)  m  4n  3 , calcular: 815

a)

71

b) 41

c)

27 d)

63

a)

5 b)

6 c)

d)

4 e)

3

e) 54 12. Sabiendo que:

7. Si:

 x    2

   

 y  x  2y   3

a)

Calcular:

, calcular: 34

15

b) 24

8. Si:

30

25

42

d)

6

66

251

13. Sabiendo que:

e) 253

b) 32

ab & &ba  3a  2b  5

Calcular: 64 & & 81 c)

a)

34

b) 32

c)

23 e) 16

d)

b) -6

14. Si:

22

Calcular: e) 36

e) 31

a§ b  3a  4b

c)

30 d)

c)

e) 34

9. Sabiendo que: x = x2 - 5x, calcular: [(2)] a)

b) 193

243

28 d)

231

c)

 x  2   (y  1)  3x  2y , calcular: 5  7

a)

m  n  (3n)(2m)  4m  5n

4 (916)

a)

6 d)

8

(1§ 0).(2§1).(3§ 2)....(51§ 50)

a)

b) 251

6

c)

5 150

10. Si:

d)

pq  3p  2q  (p2q3 )

0

e) Falta

información

Calcular: (23)  (427) a)

18

b) 15

c)

15. Si:

12 d)

21

am  a.a.a....a   

y

an  a  a   a  ... a 

e) Falta

información

"n" veces

Calcular: 11. Si:

" m" veces

x  y  3x  7y  xy

a)

5(35) 1 215

b) 248

1 325

Hallar “x” sabiendo que: x  4  63


MATEMATICA 404

c)


675

e) 125 9. 2 ♠ 4 + 3 ♦ 4

TAREA DOMICILIARIA

Sabiendo que:

10. 5 ♥ 4 - 2 ♦ 7

m2 11. Sabiendo que: m * n = 2 + n, calcular: 6 * 3

a ♥ b = 2a + 3b a ♦ b = a2 + b

12. Si: x # y = (x +y)(x - y), calcular: (3#4)#2

a♣b=a-b 13. Si: (2x) % (y) = 4x + y, calcular: 4 % 6

a ♠ b = 3a + 5b Calcular:

14. Si: (x + 3) ☻ (y - 2) = 2x + 3y, calcular: 7 ☻ 4 1. 3 ♥ 5

b2  4 2 , calcular:{[(3 ? 4) ? 2] ? 5}? 8 15. Si: a ? b = 2. 2 ♦ 7

16. Si: mn ◘ nm = , calcular: 2 ◘ 1

3. 4 ♣ 2

17.


pregunta anterior, calcula 4. 6 ♠ 3

8. ◘.9

18. Si: (X/2) * (Y/3) = x2 + 2y, calcular 12 * 12

5. 2 ♥ (3 ♦ 4)

Si: x

19. sabiendo que:

a

= 3x + 5, calcular “a”

= 38

6. 4 ♣ (1 ♠ 2)

20. 7. (2 ♥ 2) ♣ (2 ♠ 2) sabiendo que:

Si: a

x

= 2x - 3, hallar “a”

= 11

8. (6 ♣ 5)2 ♣ (2 ♦ 1)


MATEMATICA 405


OPERACIONES MATEMÁTICAS II

Ejemplos: 1. Dada la siguiente tabla, calcular (32)  1 2 3 4

1 2 1 3 4

2 1 3 4 2

3 4 2 1 3

4 3 4 2 1

Resolución:  1 2 3 4

La semana anterior nos preocupamos por resolver problemas que involucraban la regla de definición mediante fórmula. Durante esta semana nos dedicaremos a resolver operaciones matemáticas con tablas de doble entrada.

1 2 1 3 4

2 1 3 4 2

3 4 2 1 3

4 3 4 2 1

Por lo tanto: 32 = 4 2. Dada la siguiente tabla:  1 2 3 4 5

Definición mediante una tabla de doble entrada Para un determinado conjunto de elementos, podemos definir una operación matemática mediante una tabla. En este caso, la regla de definición no aparece de manera explícita sino de manera implícita.

1 3 4 5 1 2

2 4 5 1 2 3

3 5 1 2 3 4

4 1 2 3 4 5

5 2 3 4 5 1

Calcular: (54)  (3  1) Resolución:  1 2 3 4 5

De manera implícita sería:

1 3 4 5 1 2

2 4 5 1 2 3

3 5 1 2 3 4

4 1 2 3 4 5

5 2 3 4 5 1

 1 2 3 4 5

1 3 4 5 1 2

2 4 5 1 2 3

3 5 1 2 3 4

4 1 2 3 4 5

5 2 3 4 5 1


MATEMATICA 406

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Resolviendo por partes: (5  4) = 5 (3  1) = 5 Reemplazando en: (5  4)  (3  1) = 5  5 = 1 Respuesta: 1

a)

104

b) 88

c)

84 d)

64

e) 96

5. Cuál es el valor de “x” sabiendo que:


(x)

• Dada la siguiente tabla:

1 3 4 5 6

1 2 3 4

2 3 5 7 6 8 7 9 8 10

1. ¿Cuál es el valor de: 4 a)

4 9 10 11 12

a)

6 b)

9 c)

d)

13

e) 10

12

• Según la siguiente tabla:

1 2 1 2 3 2 5 6 3 10 11 4 17 18 5 26 27

5?

13

(x + 3) = 36

b) 14

c)

3 4 7 12 19 28

4 5 8 13 20 29

5 6 9 14 21 30

15 d)

12

e) 18 6. Cuál es el valor de: 6

2. ¿Cuál es el valor de: 5 a)

3?

11

a) b) 12

c) d)

14

39

43

¿Cuál sería la regla de definición

explícita “a a)

a)

b”, asociada con la tabla anterior?

e) 45

a+b

b) a + 2b

a + 3b

57

3 b) 59

c)

d)

67

e) 69

e) 2(a + b) 8. ¿Cuál es la regla de definición explícita “a

4. Cuál es el valor de: 40

c)

63

2a + b d)

c)

e) 15 7. Cuál es el valor de: 8

3.

b) 41

42

13 d)

6

a)

24

3a - b

b”?

b) a + b

a + b2


MATEMATICA 407

c)

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” a2 - b

d)

e) a2 + b • La operación “ ” está definida mediante:

9. Calcular: 20

20 - 15

a)

75

100

b) 120

c)

145 d)

130

e) 200 14.

1 2 3 4

4 11 14 17 20

10. Calcular: 7

2 5 2 1 3 4

3 2 4 3 5 1

Si: (x

4 1 5 4 4 3

5 4 3 2 1 5

4)

3=2

5, ¿cuál

es el valor de “x”?

• Dadas las dos siguientes tablas: 1 2 3 5 7 9 8 10 12 11 13 15 14 16 18

1 3 1 5 2 2

1 2 3 4 5

1 2 3 4

1 4 9 14 19

2 3 8 13 18

3 2 7 12 17

4 1 6 11 16

TAREA DOMICILIARIA

9

a)

35

b) 36

1. Según la tabla:

c)

38 d)

39

# 5 6 5 6 5 6 5 6

e) 41

Hallar (5 # 6) # (6 # 6) 11. Calcular: 7

9

a)

24

b) 25

c)

26 d)

29

a)

6 b)

5 c)

d)

65 e)

56

11

e) 31 2. Se define: *

12. ¿Qué relación se debe cumplir entre “a” y “b” para que a

b=a

a)

b? a = 3b

b) 3a = 2b

c) 2a - 3b = 0 d)

13. Si: 30 a)

3a.+.2b.=.0

b = 30

Calcular:

e) a + b = 12

b, ¿cuál es el valor de “b”? 12

2 3 4

2 4 3 2 3 2 4 3 4 3 2 4

b) 18

E

(3* 4)* (2* 4) (2* 3)* (3* 4)

a)

1

b)

d)

3 e)

0,5c) 1/3

3. Se define:

c)

45 d)

32

e) 20


MATEMATICA 408

4


Calcular:

E

* 1 2

 3 4

Según esto, halla "x" en:

1 2 1 2 1 2

3 4 3 4 3 4

(x  a)  d = (d  b)  (c  a)

(2*1)  (4  3) (4  4).(1* 2)

a)

2 b)

1

d)

4 e)

1/2

c)

a)

a

b)

b c)

d)

d e)

aób

3 7. Hallar "x" en: * a b c d

4. Si: * 1 2 3 4

1 2 3 1 2 3 2 3 4 3 4 1 4 1 2

c

4 4 1 2 3

a b c d a b c d b c d a c d a b d a b c

(x * a) * (b * c) = (c * d) a)

a

b)

d)

d e)

b c)

c

N.A.

Hallar: (3 * 4) * (2 * 1) a)

1

b)

2 c)

d)

4 e)

2ó3

3

Dado: * 1 2 3

5. Dada la siguiente tabla:  1 2 3 4 5

1 3 5 2 4 1

2 4 3 1 5 2

3 5 4 3 2 4

4 1 2 5 4 3

5 2 1 4 3 5

6.

1

b)

d)

4 e)

2 2 1 3

3 1 3 2

 1 2 3

1 1 2 3

2 2 3 1

8. Hallar: [(1 * 2)  (3 * 2)]

Hallar: [(3 5)  (4  2)]  1 a)

1 3 2 1

2 c)

a)

1

d)

1ó2

3 3 1 2

 1 2 3

1 3 1 2

2 2 3 1

3 1 2 3

2

b)

2 c)

3

e) N.A.

3 9. Hallar: [3 * (2  1)] * [(3  1)

5

Definimos la siguiente operación

a)

1

d)

1ó3

(2 * 3)]

b)

2 c)

3

e) N.A.

"" mediante la siguiente tabla:  a

a b c d c d a b

b b c c a b

10. Hallar "x", en:

d a c d

d d a b

[(3 * 2) (2  x)]

c

a)

2 = 3  (1 * 1) 2 b)

1

c)


MATEMATICA 409

3


2ó3

e) N.A.


MATEMATICA 410

Matemática 2016 - 2do Secundaria

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