Matemática 2016 - 3ero Secundaria

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA”

ARITMÉTICA

2.

Igualdad A = B   (A  B )  (B  A )

CONJUNTOS I • Noción de conjunto Se entiende por conjunto a una reunión, colección,

Por ejemplo, dados los conjuntos:

agrupación, agregado o clase de integrantes bien

A = { a ; c ; l} B = { c ; l; a }

definidos, estos integrantes reciben el nombre de

A = B

elementos.

* • Relación de pertenencia

Propiedades de la igualdad de conjuntos:

Se utiliza para vincular a un elemento con el conjunto del cual forma parte o no.

I. A = A;  A (prop. reflexiva) II. A = B implica B = A (prop. simétrica) III. A = B y B = C implica A = C (prop. transitiva)

- Si “x” es elemento del conjunto “A”: x  A • Conjunto potencia

- Si “x” no es elemento del conjunto “A”: x A

Dado A U, existe y es único el conjunto de todos los

• Relaciones entre conjuntos

subconjuntos o partes de “A”, que denotaremos por “P(A)”.

1. Inclusión: Dados conjuntos “A” y “B” en un cierto universo “U”.

los

A  B    x: x  A  x  B

Simbólicamente: P(A) = {x/x  A}

Gráficamente: por ejemplo, si: A = {a; b; c} B A A

B

• “A ” e s s u b c o n ju n t o d e “ B ” • “ A ” e s t á in c l u i d o e n “ B ” • “ A ” e s t á c o n t e n id o e n “ B ”

P(A) = {{a};{b};{c};{a,b};{a,c};{b,c};{a,b,c};}

 n[P(A)] = 2n(A)

* Propiedades de la inclusión de conjuntos

I.

A  A; A (prop. reflexiva) AB  B C  A C

II. transitiva)

Donde n(A): Cardinal o número de elementos de "A" (prop.

III.   A; A ( es el conjunto vacío)

Observemos que por cumplirse: A y AA,

MATEMATICA

3er Grado de Secundaria 1

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” entonces:  P(A) y A  P(A).

B = {x/x  IN} C = {x/x IN ; 13 < x < 19} D = {x/x ZZ +; 7  x 12}

Nota: De la misma forma se determina el número de subconjuntos de "A".

• Conjuntos comparables

• Diagramas de Venn-Euler

Un conjunto “A” es comparable con otro conjunto “B”,

Para dos conjuntos se pueden presentar los siguientes

cuando entre dichos conjuntos existe relación de

casos:

inclusión. “ A ” c o m p a r a b l e c o n “ B ”  A   B   B  A

A

B

Ejemplo: Sean los conjuntos:

I . C u a n d o u n c o n ju n t o c o n t ie n e a o t r o c o n j u n t o , “ in c lu s ió n d e c o n j u n t o s ”. B  A

A = {1; 3; 5} A

B = {1; 2; 3; 4; 5}

B

I I . C u a n d o lo s c o n ju n to s te n g a n e le m e n t o s c o m u n e s .

Son comparables ya que: A  B.

A

• Determinación de conjuntos

a.

B

I I I . C u a n d o lo s c o n j u n t o s n o tie n e n e le m e n t o s c o m u n e s , “ C o n j u n t o s d i s j u n t o s ”.

Por extensión o forma tabular • Operaciones entre conjuntos A = {a, e, i, o, u} I.

B = {1; 2; 3; 4; ...}

Unión o Reunión (A B)

C = {14; 15; 16; 17; 18} A  B = {x/x A  x  B}

D = {7; 8; 9; 10; 11; 12}

b.

•AB=BA

Por comprensión o forma constructiva

• A  (A  B) • B (A  B)

A = {x/x es una vocal}

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” U

A

IV. Diferencia simétrica (AB)

B

A B = (A - B)  (B - A) AB = (A  B) - (B  A)

II.

Intersección (A  B)

• A B = B A • (A B) (A  B)

A  B = {x/x  A x B}

• (AB)  (A B) A

B

•AB=BA • (A  B)  A • (A  B)  B • (A  B)  (A  B)

Complemento de un conjunto (A’); AC;

V. ()

A

B

A’ = U - A = {x/x  U  xA}

• (A’)’ = A • A A´ = 

III. Diferencia (A - B)

• A A’ = U • ’ = U

A - B = {x/x  A  x  B}

U

A

•A-BB-A • (A - B) A

*

Otros casos

• (A - B)  B • (A - B)  (A  B) = A

A

I.

B

Si: A = {2; 3; 4} B = {5; 6; 7}

Graficando: A 3

MATEMATICA

B

5

2 4

7

6


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Luego:

B = {6; 7; 1; 2} A B = {2; 3; 4; 5; 6; 7} A B = { } =  A - B = {2; 3; 4} = A A B = {2; 3; 4; 5; 6; 7} = A B A’ = {5; 6; 7} = B B’ = {2; 3; 4} = A

C = {7; 5; 9; 4} U = {1; 2; 4; 6; 7; 8; 9}

Calcular: • Subconjuntos propios (2n(A) - 1)

C - (A  B)’

Sea el conjunto: A = {a, b, c} Donde: n(A) = 3 elementos

a)

{6;7}

c)

{5;8}

El conjunto "A" tiene: (2n(A) - 1) = 7



b) {5;7}

d)

Subconjuntos propios

{9} e)

{4;5}

PROBLEMAS PARA LA CLASE 3. Sea el conjunto: 1. Dado el universo:

M = {a; b; {c}; {d; e}}

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} y dadas las siguientes proposiciones: y los conjuntos:

A = {1; 3; 4; 6} B = {1; 2; 7}

I.

El conjunto "M", tiene 5 elementos

II.

El conjunto "M", tiene 4 elementos

III. c  M

C = {2; 3; 5; 6; 7}

IV.

el conjunto: (A B)’ C’

a)

{5} b)

c)



e)

U

d)

bM

Marcar la alternativa correcta:

{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} {1; 2; 5}

2. Dados los conjuntos:

A = {5; 6; 7; 8}

a)

Son verdaderas II y IV

b)

Son verdaderas I y III

c)

Sólo I es falsa

d)

Sólo III es falsa

e)

N.A.

4. Dado el conjunto:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” A = {1; {2}; {1; 2}}


¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera?

A = {x/x es número natural divisor de 12} B = {x/x es número natural divisor de 18}

a)

2A

b) {1} A

C = {x/x es número natural divisor de 16}

c)

1A d)

A

e) {2} A

Calcular: (A - B) (B - C)

5. Sea el conjunto:

a) 12} c)

S = {2 x/x es un número natural entre 0 y 6 inclusive}

{3; 4; 6} b)


a)

S = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}

A = {-3; -2; -1; 1/2; 1; 2; 3}

b)

S = {0; 6}

B = {x  A / -2 x < 3}

c)

S = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12}

C = {x  A / 2x2 + 3x - 2 = 0}

d)

S = {0; 12}

e)

S = {2; 2; 2; 2; 2; 2}

el resultado de (A - C)  B es:

6. Si:

a) A = {1; 2; {1; 2}; 3}

b) {{1; 3}}

{-1;

Ninguno

P = {x/x es un número par menor que

c)

12}

{{1; 2}} A e)

b)


Calcular: [(A - B) B] (B - A)

d)

{-1; 1; 2; 3} {-1; 1; 2} {-1; 1; 3}d)

c) 1/2; 1; 2} e)

B = {{2; 1}; {1; 3}; 3}

{1; 3}

8;

{3; 4; 6; 12; 18} d)  N.A.

e)

Enumerando los elementos del conjunto S se tiene:

a)

{1;

Q = {6; 8; 9; 11}

B

Calcular: PQ y dar como respuesta el número de

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” elementos.

a)

4 b) d)

7

e)

5 c)

6

c)

{x Q / x2  0}

d)

{x IN / x + 1 = 0}

e)

{x II / 0 < x < 1}

3 4. "A" y "B" son conjuntos no vacíos tales que A  B.

TAREA DOMICILIARIA

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?


A = {x/x IN 3 < x 14}

a)

B = {x/x IN 5 x < 16}

c)

AB = A AB=B A-B= B-A=B

b) d)

B A

e) Calcular el número de elementos de: AB. 5. Si: a)

2 b)

3 c)

d)

5 e)

6

M = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14}

4 N = {4; 8; 12; 16}

entonces, la relación correcta entre ellos es solo:

2. Si: A = {x/x IN, "x" divisor de 8} B = {x/x IN, "x" múltiplo de 2 menor que 8}

entonces, A B es:

a)

{2; 4}

b) {1; 2; 4}

a)

M N = M

b)

MN=N

c)

MN

d)

M - N = {2; 6; 10; 14}

e)

(M  N)  M = 

c)

{4; 8} d)

{4} e)

6. Se afirma entre dos conjuntos M N que:

{8}

3. ¿Qué alternativa presenta un conjunto vacío?

a)

{x Z / x2 = 4}

b)

{x Q / 3x = 5}

I.

Si: M  N  M N = M’

II.

Si: M  N  M N = N

III. Si: M  N  N’ M’

De estas afirmaciones, es(son) verdadera(s):

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” a)

Solo I

b) Sólo III c)

se obtiene para M  N:

Sólo II y III d)

Sólo I y II

e) Las tres

a)

{s; r; t; q; d} b) {r; q} {s; 2r; -t; 2q; d} d) {s; t; d} {2r; 2q}

c) 7. Dados los conjuntos iguales:

e)

P = {x ZZ / -3 < x 1}

10. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

Q = {1; 0; -1; a}

Calcular “a”

a)

3 b)

4 c)

d)

-1 e)

2

-2

a)

Si: A B  A  B = B

b)

Si: (A  B) C = A  (B  C)

c)

A  = A

d)

Si: A y B U A  B  U

e)

Ninguna

11. Si: 8. Si:

A = {x/x es un divisor de 12}

M = {x IN / 16  x < 32; "x" es

múltiplo de 4}

B = {x/x es un divisor de 18} Q = {x IN / 18 x < 29; "x" es múltiplo de 7}

Calcular el número de elementos de AB.

a)

4 b)

5 c)

d)

3 e)

2

¿cuántos elementos tiene M  Q?

6

a)

3 b)

d) 6

e) 2

4 c)

5

9. Se sabe que: M N = {x/x  M x N}

entonces si: M = {s; r; t; q; d}  N = {r; q}

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Debe escribirse como un número entre 1 y 10 veces una potencia negativa de 10. En este caso, el

NOTACIÓN CIENTÍFICA

exponente negativo es el número de veces que la coma

Cuando hacemos un trabajo científico, muchas veces

decimal se mueve hacia la derecha y siempre es uno

encontramos números muy pequeños o muy grandes. Por ejemplo gracias al microscopio electrónico se determina la forma y el largo de las mitocondrias que mide 0,000.000.015 cm. De modo similar un ingeniero puede determinar un área de 180 000 m2 para un cierto

más que el número de ceros que separan el primer dígito del decimal. Por ejemplo:

Observación: Para cambiar de notación científica a

proyecto. Resulta importante expresar estos números como 1,5 x 10-8 cm y 1,8 x 105 m2 respectivamente. Las

notación decimal el procedimiento es simplemente en sentido inverso. Ejemplos:

poten-cias de 10 se utilizan para desplazar el punto decimal sin vernos obligados a cargar un gran número de ceros al efectuar nuestros cálculos. La expresión de cualquier nú-mero, como un número situado entre 1 y 10 veces una potencia entera de 10 se denomina NOTACIÓN CIENTÍFICA.

3 ,8 4 x 1 0 6 = 3 8 4 0 0 0 0 = 3 8 4 0 0 0 0 1 ,4 x 1 0

Muchas calculadoras se equipan con frecuencia con una tecla EE o EXP con la que es posible que los estudiantes utilicen la notación científica en sus cálculos. Considere las siguientes potencias de 10 y los ejemplos del empleo con notación científica: 0,0001 = 10-4 00,001 = 10-3 000,01 = 10-2 0000,1 = 10-1 000001 = 100 000010 = 101 000100 = 102

3,18 x 101 = 31,8 3,18 x 102 = 318

i01 000 = 103

3,18 x 103 = 3 180 3,18 x 104 = 31 800

CON

NÚMEROS

EN

NOTACIÓN

Debe tenerse cuidado al arreglar los números que se van a sumar, de manera que tengan potencias idénticas de 10. Por ejemplo:

20 000 + 1 200 = 2 x 104 + 0,12 x 104 = 2,12 x 104

0,0012 - 0,00007 = 1,2 x 10-3 - 0,07 x 10-3 = 1,13 x 10-3

¿Cómo se expresa un número decimal a notación científica? •

= 0 0 0 0 1 4 = 0 ,0 0 0 1 4

1. Suma y Resta

3,18 x 10-4 = 0,000318 3,18 x 10-3 = 0,00318 3,18 x 10-2 = 0,0318 3,18 x 10-1 = 0,318 3,18 x 100 = 3,18

i10 000 = 104

OPERACIONES CIENTÍFICA

-4

Primer caso: 2. Multiplicación

“Un número mayor que 1 en notación científica”

Para esta operación se deben recordar las leyes de los exponentes, es decir se suman los exponentes de 10. Por ejemplo:

Se debe escribir como un número entre 1 y 10 veces una potencia positiva de 10. El exponente positivo es el número de veces que la coma decimal debe moverse

•

hacia la izquierda. Ejemplos:

0,0002 x 900 000 = 2 x 10-4 x 9 x 105 = 18 x 10 = 1,8 x 102

Segundo caso: “Un número menor que 1 en notación científica”

23 000 x 500 = 2,3 x 104 x 5 x 102 = 1,15 x 107

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” d) 1,02 x 106

3. División

e) 8,93 x 10-2

Cuando un número es dividido entre otro número, se restan los exponentes de 10. Por ejemplo:

12 000 1 ,2 x 1 0 4 = 0 ,6 x 1 0 = 0 ,0 0 2 2 x 1 0 -3

0 ,0 0 0 8 = 400

8 x 1 0 -4 4 x 102

f) 1, 37 x 107 g) 5, 82 x 106

4 -(-3 )

= 6 x 10

6

h) 6,251 x 108 i) 2,93 x 10-6

= 2 x 10

- 4-2

= 2 x 10

-6

j) 4,02 x 10-4 k) 7,132 x 10-5

PRACTIQUEMOS 1. Convertir los números a la notación científica:

l) 9,034 x 108

a) 18 000

3.

El Sistema Solar se formó

aproximadamente hace 5000 millones de años. Escribir

b) 0, 00032

este número de años en notación científica.

c) 13 100 000

5 x 108

a)

d) 0, 0000143

b) 5 x 1010 c)

5,5 x 109

e) 134 500

d)

0,5 x 108

f) 345 200

e) 5 x 109

g) 4321, 8 4.

h) 341, 83

Para la propagación de la luz en el

vacío o en el aire, se admite el valor promedio de 300 000 km/s. Expresar este valor como notación científica.

i) 0,000307 j) 0, 0000000319

a)

3 x 108 b)

3

k) 0,0000000084

c)

3,3 x 105 3 x 10-5

d)

105

l) 7 230 000 000

e)

5.

2. Convertir los números a la notación decimal:

x

3,0 x 104

El valor de la resistividad del Hierro

es 0,0000001. Indicar este valor como notación científica.

a) 1,8 x 10-5

a)

10-8

b)

1,1

c)

0,1 x 10-9 0,1 x 10-7

d)

e)

10-7

10-8

b) 3,4 x 104 c) 6,1 x 10-3

MATEMATICA


x

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 1,4 x 106 1,4 x 1010

a) 6.

Se sabe que el calor específico del

científica? 12 x 104b)

1,2

c)

0,12 x 10-5 1,2 x 10-4

d)

104

x Simplifique y exprese el resultado como un solo número escrito en notación científica:

0,12 x 105

e)

11. a)

Se ha determinado que la densidad

10-2 c) 10-1

del Hidrógeno es 0,000089. Expresar este valor como notación científica.

e)

a)

105 c)

9 x 10-4 b)

8,9

8,9 x 10-5 8,9 x 10-6

d)

a)

El año 1976 se produjo en Tangshan

c)

(China) un devastador terremoto que trajo como

d)

consecuencia 655.000 víctimas. Expresar este valor como notación científica. 6,55 x 105 6,55 x 103

a)

6,55 x 10-5 6,55 x 104

c)

b)

9.

d)

El satélite Titán de Saturno tiene 2

576 km de radio. Expresar el radio en metros como notación científica. 2,576 x 103 2,576 x 10-3

a)

2,576 x 10-6 2,576 x 106

c)

10.

1,02 x

d)

6,051

340 000 5 700 000 0,00004f) 412,0012 14 300 000 0,0000801 0,0000304 2 100 000 000

e)

g) h)

a)

2,4 10-8 8,12 x 104

e)

b)

12,4 x 104 7,02 x 10-5

f)

c)

8,3 x 10-3 51,8 x 106

g)

d)

1,81 x 10-6 1,78 x 10-3

h)

b) 3. El planeta más cercano al Sol es Mercurio que tiene un diámetro de 4 873 km, lo que significa que es bastante pequeño comparado con la Tierra. Expresar este diámetro (en metros) en notación científica.

d)

2,576 x 104

e)

5,05

2. Convertir los números a la notación decimal:

6,5 x 106

e)

8,5

1. Convertir los números a la notación científica:

b) 8.

2 x 10-7 b)

TAREA DOMICILIARIA

x

8,9 x 10-7

e)

d)

1,4 x 107

e)

a)

7.

1,4 x 109 1,4 x 108

c)

Mercurio es 0,00012. ¿Cuál será este valor en notación

b)

El Sol tiene un diámetro de 1,4

millones de km. Expresar este diámetro en metros, como

4.

notación científica.

MATEMATICA

Se calcula que existen en total más


x

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” de 500 000 asteroides, aunque hasta el momento unos cuantos se han logrado fotografiar. Expresar este número como notación científica.

5,2  103  4,3  104  2  103 2  107

14.

5. La velocidad de propagación de la luz en el agua es de 225 000 km/s. Expresar este número como notación científica.

18,2  108  1, 8  109 5  104 15.

Simplifique y exprese el resultado como un sólo número escrito en notación científica:

8, 4  107  1,2  107  2, 8  108 4  105

6.

8  106  4  108 2  107

16.

9  105  4  106

de la Luna y la Tierra es 384 000 km. Expresar esta

2  105

7.

La distancia media entre los centros

distancia (en metros) en notación científica.

17.

8.

El radio medio de la Tierra es de 6

400 km. Expresar esta distancia (en metros) en notación 9

3  10  5  10 4  106

científica.

1,2  10  8  10 4

10

9.

2

3

4  10

18.

10.

El radio del Sol es de 695 000 km.

Expresar esta distancia (en metros) en notación científica.

8,2  105  6,2  106 3  102

19.

Se sabe que la densidad del plomo en

el S.I. es: 11 300 kg/m3. Expresar este valor como notación científica.

11.

5, 4  108  1,2  109 2  103

20.

Se sabe que la densidad de la plata en

el S.I. es: 10 500 kg/m3. Expresar este valor como notación

12.

científica.

8,5  104  7,5  104  1,6  105 8  102

Simplifique y exprese el resultado como un solo número escrito en notación científica:

13.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” entonces aproximamos: S/.147,36 a S/.147,4 por lo tanto

21.

la cajera le cobrará: S/.147,4.

4  106  2  105 4  102

2.

Si Benito va al Banco a cambiar 75

dólares cuyo precio es S/.3,47, ¿cuántos soles recibirá?

6

22.

10-3

(Aproximar al décimo)

- 0,075

Resolución: Por dólar pagan S/.3,47; entonces en 75 dólares le

23.

pagarán: 75 x 3,47 = 260,25 aproximando al décimo: 3

2

6  10  4  10

S/.260,3

1  103

PRACTIQUEMOS.

APROXIMACIONES DECIMALES. 1.

Inés, Ximena y Giancarlo van a sacar unas fotocopias por las que Inés debería pagar S/.2,78; Ximena S/.5,14 y Giancarlo S/.3,82. ¿Cuánto pagó cada uno? Como las monedas de 1 céntimo (0,01) normalmente no se utilizan, Inés, Ximena y Giancarlo deben aproximar (redondear) a los décimos: Inés pagó S/.2,80; Ximena pagó S/.5,10 y Giancarlo pagó S/.3,80. Entonces para aproximar un número decimal, seguimos los pasos de este diagrama:

Aproxima a los décimos cada uno de

los siguientes números decimales:

•

=...................................................

• N o s fi j a m o s e n q u é c i f r a d e c im a l n e c e s it a m o s t ra b a ja r

•

1,43212 =...................................................

•

¿Es m enor que 5? NO

4,231 =...................................................

S u m a m o s 1 a la c if r a d e c im a l e le g id a y s u p r im i m o s la s c i f r a s d e c im a l e s s ig u i e n t e s

S u p r im i m o s t o d a s la s c if r a s q u e h a y a la d e r e c h a d e l a c if r a e le g id a

5,675 =...................................................

B u s c a m o s l a c if r a d e c im a l s ig u ie n t e

SI

8,123

•

12,537 =...................................................

EJERCICIOS RESUELTOS 1.

•

Elena compra en METRO por un total

10,874 =...................................................

de S/.14,36. ¿Cuánto le cobrará la cajera? Resolución: Comprendiendo que monedas de 1 céntimo no se usan

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 2. Aproxima a los centésimos cada uno de los siguientes números decimales:

•

6,4325 =...................................................

•

0,4576 =...................................................

•

4,6743 =...................................................

•

3,6256 =...................................................

4. Tenemos: a = 14,473

•

b = 4,024

c = 5,142

6,2412 =................................................... I. Aproxima cada decimal al centésimo y luego, hallar: “a + b + c”

•

45,4002 =................................................... II. Hallar “a + b + c” y luego aproximar al centésimo

•

5,7253 =...................................................

5.

Alfonso compró pollo cuyo costo fue

S/.8,64; luego compró fruta cuyo costo fue S/.12,78 y finalmente dos kilos de papa por S/.3,46. Calcular el •

7,4583

monto total y aproximar al entero.

=................................................... 6. 3. Aproxima al milésimo los siguientes decimales:

Giancarlo quiere “enlocetar” un patio

cuya área es 3,2378 m2. El albañil que le hará el trabajo le cobrará S/.10 por metro cuadrado. ¿Cuánto pagará en total? (El albañil redondeará el costo al entero)

•

23,1265 =................................................... 7.

Frank fue a INTERBANK para

cambiar 18 dólares cuyo cambio estaba a S/.3,25. •

¿Cuántos soles le pagará la cajera? (Aproximar al décimo)

12,4274 =...................................................

• En los siguientes ejercicios, usar calculadora: •

1,14159 =................................................... 8.

Determinar el volumen de un cubo de

metal cuya arista es 6,45 cm. (Aproximar al entero) •

9,2365 =...................................................

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 9.

Determinar el lado, aproximado al

décimo, del patio cuadrado cuya área es 8,1675 m2.

10.

¿En cuántos metros cuadrados se

diferencia el área de un círculo de radio 20 m cuando se utiliza “Pi” () aproximado al milésimo y cuando se aproxima al centésimo? (Área del círculo = . R2; siendo: R = radio y = 3,14159...)

11.

forma es un triángulo equilátero, sabiendo que el lado del terreno es 17,85 m. (Aproximar el área al entero) Nota: A = área del triángulo equilátero L = lado del triángulo

12. Se tiene la siguiente fórmula física: Donde:

d = distancia recorrida por un móvil t = tiempo a = aceleración V0 = velocidad inicial

Calcular la distancia recorrida (d) aproximando al décimo, igual a 7,5 segundos partiendo del reposo, es decir: V 0 = 0.

TAREA DOMICILIARIA

*

8,462 =

*

4,1234 =

*

3,6135 =

*

45,276 =

*

1,246 =

7,234 =

*

2,6451 =

*

5,118

*

2,874 =

*

3,2007 =

=

*

6,2368 =

*

3,4528 =

*

8,3401 =

*

3,7252 =

*

4,7254 =

*

2,6704 =

I.

Aproximar cada decimal al centésimo y luego hallar “a + b + c”.

II.

Hallar “a + b + c” y luego aproximar al centésimo.

5. Catita realiza compras en Santa Isabel por un monto total de S/.131,23. Si paga con S/.150, ¿cuánto le darán de vuelto? (Aproximar al décimo)

1. Aproximar a los décimos cada uno de los siguientes números decimales: 6,582 =

*

4. Si: a = 4,064; b = 5,127 y c = 8,674

cuando la aceleración (a) es 8,421 m/s2 en un tiempo (t)

*

2,845 =

3. Aproximar al milésimo los siguientes números decimales:

Calcular el área de un terreno cuya

Donde:

*

6. Mechita compró 4 kilos de mango a S/.1,6 el kilo, luego compró carne cuyo costo fue S/.23,56 y finalmente pan por S/.4,65. Calcular el monto final y aproximar al décimo.

7. Se quiere enlocetar un patio rectangular de dimensiones 3,28 m de ancho y 7,06 m de largo. Un albañil que hará el trabajo cobra S/.15 por metro cuadrado. ¿Cuánto cobrará en total? (Aproximar al entero)

2. Aproximar a los centésimos cada uno de los siguientes números decimales:

MATEMATICA



Ralph fue al Banco de Crédito del

5,06 m y su altura es 10,82 m (asumir: = 3,1416).

Perú para cambiar 65 dólares cuyo cambio estaba a S/.3,23. ¿Cuántos soles le pagará el cajero? (Aproximar al décimo)

15.

Cuando un número es ligeramente

superior a la unidad (1 + e) su inversa se puede calcular por medio de la fórmula aproximada: 9.

Calcular el volumen de un cubo de

1  1 e 1 e

madera cuya arista es 4,18 cm. (Aproximar al entero)

10.

Determinar el lado, aproximando al Calcular el valor aproximado de la inversa de 1,04.

centésimo, del patio cuadrado cuya área es 23,2536 m 2.

11.

16.

Determinar el área de un rectángulo,

S/.1,2 el kilo, luego compró carne cuyo costo fue S/.13,87

aproximando al décimo, si el largo es 18,24 cm y el ancho

y finalmente pan por S/.5,65. Calcular el monto final y

es 8,63 cm.

12.

Renzo compró 4 kilos de mango a

aproximar al décimo.

Calcular el valor de “E” (aproximando

17.

al centésimo) para cuando a = 2,18 se reemplace en:

E

Carolina fue al Banco de Crédito del Perú para

cambiar 75 dólares cuyo cambio estaba a S/.3,59. ¿Cuántos soles le pagará el cajero? (Aproximar al décimo)

2

7.a 3

RAZONES. 13.

Aproximar “M” al milésimo, para

RAZÓN: Es la comparación entre dos cantidades. Si se compara restando, se llamará “razón aritmética” y si se compara dividiendo, se llamará “razón geométrica”. Ejemplo: Compare las alturas de los edificios “A” y “B”.

cuando x = 5,08 se reemplace en:

M

12 3. x3 5

A

24 m

B

14. La energía cinética se puede calcular mediante la ley:

Ec 

m.V2 2

6 m

Joul

I. Si comparamos restando: 24  m  m 6m  18 Razón aritmética

Donde: m = masa; V = velocidad

“La altura de “A” excede a la altura de “B” en 18 m”

Aproximar la energía cinética al centésimo, si la masa de un cuerpo es 7,48 kg y lleva una velocidad de 4,81 m/s.

15.

su valor

II. Si comparamos dividiendo: 24 m 4  6 m 1   Razón geométrica

Aproximar la capacidad de un

reservorio de agua

su valor

“Las alturas de “A” y “B” están en la relación de 4 a 1”

de forma cilíndrica, al décimo, si el radio de la base es

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” “Las alturas de “A” y “B” son entre sí como 4 es a 1”

•

Como Ana es mayor que Carlos por 20 años:

En general: Si “a” y “b” son dos cantidades: Razón aritmética

Razón geométrica

Valor   a b  r

 a b

8K - 3K = 20 5K = 20 Valor   K

K=4

•

Además:

Reemplazando: Ana: A = 8 x 4 = 32 años

El 1er término (a) se llama antecedente. El 2do término (b) se llama consecuente.

Carlos: C = 3 x 4 = 12 años

EJRCICIOS RESUELTOS 1.

PRACTIQUEMOS

Halle la razón entre hombres y

mujeres de un aula, si son 12 y 20 respectivamente. Luego

1.

interprete.

La relación de alturas de dos

edificios es de 5 a 7. Si la de menor altura es de 40 m, determina la mayor altura.

Resolución: Como no especifica la clase de razón podemos asumir que es la más importante: “la razón geométrica”. Luego dividimos y simplificamos:

2.

Las áreas de dos terrenos agrícolas

son entre sí como 10 es a 15. Si la mayor área es de 60 Hombres: Mujeres:

12 20

m2, la menor área será:

= 3 5

3 5

 La razón vale

 Interpretación: cada 3 hombres hay 5 mujeres”. 2.

3.

ó 0,6

total hay 112 asistentes, ¿cuántas mujeres hay?

“Por

Las edades de Ana y Carlos están en

4.

la relación de 8 a 3. Si Carlos nació cuando Ana tenía 20

respectivamente. Si la mayor temperatura es 21°, halle la menor temperatura.

Resolución:

6.

Simbolicemos con “A” y “C” las edades

La razón geométrica de dos números

vale 0,8 y su razón aritmética vale 15,2. Halle el mayor de

de Ana y Carlos. Luego la relación es:

A 8  C 3

La relación entre las temperaturas de

las ciudades de Lima y Trujillo es de 5 a 7

años, halle las edades.

•

En un taller de capacitación en Trilce

se observa que por cada 7 varones hay 9 mujeres. Si en

los números.

7.

A = 8K C = 3K

Las edades de Lida y Frank, están en

la relación de 7 a 4, respectivamente. Si Lida es 21 años mayor que Frank, calcule la edad de Frank.

MATEMATICA



Dos de los monumentos más visitados

en el mundo son la Torre Eiffel (París) y el Cristo

18.

Redentor (Brasil). Si la razón geométrica de sus alturas

Dos ciclistas se desplazan con la

misma velocidad hacia la meta. Las distancias que les falta

es 10,6 y su suma es 348 metros, halle la altura de la

recorrer están en la relación de 2 a 5, aunque luego de

Torre Eiffel.

recorrer 30.m la relación es de 4 a 11. ¿Cuánto le falta al primero para llegar a la meta?

9.

Las edades de Andrea y Pedro están

en la relación de 5 a 7 respectivamente. Si dentro de 4

19.

años sus edades sumarán 56 años, ¿cuál será la nueva

De los 210 lapiceros, entre azules,

rojos y negros se observa que por cada 3 no azules hay 2

relación?

no rojos; además los que son negros y los que no lo son, son entre sí como 4 es a 17. Halle la razón aritmética

10.

entre rojos y azules.

De dos cubos se sabe que la relación

entre sus áreas es de 25 a 16. Halle la relación entre el cubo de la suma de sus aristas y el volumen total de los

20.

dos cubos.

La suma, la diferencia y el producto

de dos números están en la misma relación que los números 4; 2 y 15. ¿Cuál es el mayor de los números?

13.

Arlén y Leslie se repartieron cierta

suma de dinero en partes iguales. Halle esta suma, sabiendo que si Arlén diera S/.60 a Leslie, lo que tendrían

TAREA DOMICILIARIA

estaría en la relación de 3 a 7.

14.

En un bidón se tienen 72 litros de una

1.

mezcla de alcohol y agua, en la relación de 5 a 3,

Actualmente, sus edades son entre sí como 8 es a 3.

respectivamente. ¿Cuántos litros de agua se debe agregar

¿Cuántos años tiene Martín?

para que la relación sea de 9 a 10?

15.

2.

Se mezclan 50 litros de vino con 20

relación de 5 a 6, Carlos tiene media vez más de lo que

¿cuánto queda de vino?

tiene Beto y además tiene S/.120 más que Ana?

A una fiesta asisten 420 personas de

3.

las cuales hay cuatro hombres por cada tres mujeres. Si

Se mezcló 40 litros de agua con 100

litros de vino. Si extraemos 35 litros de la mezcla,

se retiran 60 parejas, ¿cuál es la razón entre hombres y

¿cuántos litros de vino quedan?

mujeres ahora?

17.

¿Cuánto dinero tienen juntos Ana,

Beto y Carlos, si lo que tienen Ana y Beto están en la

litros de agua. Si extraemos 21 litros de dicha mezcla,

16.

Martín tuvo su hijo a los 25 años.

4.

En una reunión se observa que de

En un aula de 40 alumnos, la relación

entre hombres y mujeres es de 3 a 5. ¿Cuántas personas

cada 7 personas, 3 son hombres. De estos, los que beben y

como mínimo se deben retirar para que la relación entre

no beben están en la relación de 2 a 3. Además el número

los que quedaron sea de 1 a 1?

de mujeres excede a los hombres que beben en 70. ¿Cuántos hombres hay?

MATEMATICA



En una reunión se observó que 3 de

cada 8 personas eran mujeres. Luego, se retiran 15

13.

parejas por lo que quedaron 7 hombres por cada 3

En una fiesta la razón entre hombres

y mujeres es 3/4. Pero si sólo consideramos los que no

mujeres. ¿Cuántas personas asistieron?

bailan, dicha razón es 2/5. Si 70 personas están bailando, ¿cuántas personas hay en la fiesta?

6.

La razón entre hombres y mujeres

para los hermanos de Luis es 2/3. Pero si consideramos a

14.

todos los miembros de la familia dicha razón sería 4/5.

En una granja hay 406 aves entre

pollos, gallinas y pavos. Si la razón entre las gallinas y el

¿Cuántos hombres hay en la familia?

triple de pavos es 5/6 y además la razón entre pollos y gallinas es 3/2, ¿cuántos pavos hay?

7.

De los 260 kilos de pan vendidos

entre francés, integral y de yema; se observó que por

15.

cada 2 kilos de integral; 1,5 kilos son de francés y por

Las edades de dos personas son entre

sí como 7 es a 4 pero dentro de 10 años serán como 4 es a

cada 6 kilos de integral, 9 kilos son de yema. ¿Cuántos kilos de pan francés se vendió?

3. Halle la edad del mayor.

8.

16.

El precio de 8 lectoras de CD es igual

En una reunión el número de hombres

que bailan es al número de damas que no bailan como 1 a 2,

al precio de 5 grabadoras de CD. Si 7 lectoras más 3

además el número de damas es al número de hombres que

grabadoras cuestan $236, ¿cuánto cuesta una lectora?

no bailan como 3 a 5. Determinar cuántas personas bailan, si en total asistieron 72 personas.

9.

Nuestras edades están en la relación

de 2 a 3. Pero cuando yo tenga tu edad, tú tendrás 48 años. Halle la suma de nuestras edades.

10.

a)

8 b)

16 c)

d)

48 e)

30

17.

Se tiene dos toneles de vino de 30 y

24

Hace 6 años una pareja de esposos se

casaron cuando sus edades estaban en la relación de 13 a

50 litros. ¿Cuántos litros debemos vertir del primero al

11 y tuvieron su primer hijo hace 4 años cuando dichas

otro, para que sus contenidos estén en la relación de 3 a

edades estaban en la proporción de 7 a 6. Si su hijo acabó

13?

la secundaria a los 15 años, ¿qué edad tenía el padre, sabiendo que es mayor que su esposa?

11.

Se tiene dos recipientes cúbicos

cuyos volúmenes son entre sí como 8 es a 27. Se vierte agua en ambos hasta un mismo nivel para los dos. Si la

a)

37 b)

39 c)

d)

43 e)

45

42

razón aritmética de sus contenidos es 40 litros, ¿cuántos litros de agua hay en total?

12.

Dos personas tienen terrenos cuyas

PROPORCIONES

áreas son entre sí como 3 es a 5. Si deciden compartir con otra persona sus terrenos de tal forma que todos tengan lo mismo, ¿cuál es la relación entre las partes cedidas por las dos primeras personas?

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” • PROPORCIÓN

P.A .

P. G .

a . P .A . D I S C R E T A a - b = c - d

Igualdad de dos razones

A.

a . P .G . D I S C R E T A c a = d b

L o s m e d io s s o n d if e r e n t e s b = c d = 4 t a D if e r e n c ia l

Proporción aritmética (P.A.)

L o s m e d io s s o n d if e r e n t e s b = c d = 4 t a P r o p o r c io n a l

b . P .A . C O N T I N U A

a - b = c - d

b . P .G . C O N T I N U A b a = c b

a - b = b - c L o s m e d io s s o n ig u a le s

B. a b

Proporción geométrica (P.G.) =

c d

L o s m e d io s s o n ig u a le s

b = M e d ia D if e r e n c ia l o M e d ia A r it m é t ic a

b = M e d ia P r o p o r c io n a l o M e d ia G e o m é t r ic a

c = 3 r a D if e r e n c ia l

c = 3 r a P r o p o r c io n a l

• PROPIEDADES EN TODA PROPORCIÓN a. Proporción aritmética •

Tanto para la P.A. y P.G. se cumple

que:

a - b = c - d Propiedad:

“a” y “c” = antecedentes

La suma de los extremos es igual a la suma de los medios. “b” y “d” = consecuentes

a + d = b + c

“a” y “d” = términos extremos b. Proporción geométrica “b” y “c” = términos medios

a b

=

c d

Propiedad: • CLASES DE PROPORCIÓN

El producto de los extremos es igual al producto de los medios.

a

MATEMATICA

d = b

c


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Cálculo de la Media Diferencial y la Media Proporcional

5. Calcular la cuarta proporcional entre: I. 16; 28 y 20 II. 14; 42 y 36 6. Calcular la tercera proporcional entre: I. 18 y 24 II. 32 y 40

1. Sea: a-b=b-c

7. En una proporción aritmética continua, la media diferencial es igual a 16 y la razón aritmética de los extremos es 8. Hallar el producto de los extremos.

Por propiedad:

a + c = 2b 

b=

a+c 2

(Media

a)

120 240

b) 180

d)

280

e) 360

Dif.)

c)

8. La suma de la media diferencial de 28 y 12 con la cuarta diferencial de 18; 12 y 10, es igual a:

2. Sea:

a b = b c

a)

18 b)

20 c)

d)

26 e)

30

24

Por propiedad:

a x c = b2 

b=

a

c

9. En una proporción geométrica, la suma de los términos medios es 16 y la razón aritmética de los mismos es 4. Hallar el producto de los extremos.

(Media Prop.)

PROBLEMAS PÀRA LA CLASE

a)

60 b)

64 c)

d)

20 e)

24

18

10. Si “m” es la media proporcional de 9 y 4; y “n” es la cuarta proporcional de 8; “m” y 12, hallar “m + n”.

1. Hallar la media diferencial de: I. 40 y 32 II. 28 y 52 2. Determinar la media proporcional entre: I. 16 y 4 II. 72 y 200

a)

12 b)

15 c)

d)

20 e)

24

18

11. La suma de los cuadrados de los términos de una proporción geométrica continua es 400. Hallar el mayor término, si los extremos se diferencian en 12.

3. Hallar la cuarta diferencial entre: I. 23; 18 y 12 II. 45; 37 y 54 4. Hallar la tercera diferencial entre: I. 42 y 30 II. 39 y 26

12.

MATEMATICA

a)

2 b)

16 c)

d)

10 e)

12

8

El producto de tres números es 5


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 832. Si el primero es al segundo como el segundo es al

extremos.

tercero, hallar el segundo número. a)

15 b)

18 c)

d)

24 e)

27

13.

21

Si las razones aritméticas de los

a)

9 b)

16 c)

d)

36 e)

49

25

TAREA DOMICILIARIA

términos de la primera y la segunda razón de una proporción geométrica son 8 y 32 respectivamente, hallar en qué relación estarían la suma y diferencia de los consecuentes de dicha proporción. a)

5/3

b) 7/5

1. Hallar la media diferencial entre:

c) 9/7 d)

14.

11/9

e) 13/11

I.

54 y 38

II.

64,2 y 51,3

En una proporción geométrica 2. Determinar la media proporcional entre:

continua, los términos extremos están en relación de 4 a 9, siendo su suma 39. Hallar la media proporcional. a)

12 b)

15 c)

d)

24 e)

27

18

I.

68 y 17

II.

44 y 11

3. Hallar la cuarta diferencial entre: 15.

En una proporción aritmética

continua, la suma de los cuatro términos es 36 y el producto de los extremos es 32. Calcular la razón aritmética, sabiendo que es positiva. a)

5 b)

6 c)

d)

8 e)

9

16.

I.

69; 49 y 38

II.

32; 29 y 60

7 4. Hallar la tercera diferencial entre:

El producto de los extremos de una

I.

61 y 43

II.

81 y 49

proporción geométrica es 84. Sabiendo que la diferencia de los medios es 8, calcular la suma de los mismos.

17.

a)

8 b)

12 c)

d)

20 e)

24

5. Calcular la cuarta proporcional entre: 16

El producto de los cuatro términos de

I.

32; 80 y 18

II.

30; 45 y 102

6. Calcular la tercera proporcional entre:

una proporción geométrica continua es 1 296 y la suma de los cuadrados de los extremos es 97. Calcular uno de los

I.

MATEMATICA

64 y 24


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” II.

los términos extremos están en la relación de 7 a 5. Si la

18 y 24

suma de los medios es 180, calcular la cuarta diferencial. 7. El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es 1 296. Si uno de los extremos es 3, la suma de cifras del otro es:

16.

Si se aumenta una misma cantidad a

los números: 24; 120 y 360 se forma una proporción geométrica continua. ¿Cuál es esta cantidad?

8. El producto de los cuatro términos de una proporción discreta es 15 876. Si el primero de estos términos es 7, calcular el producto de los términos medios.

17.

Se tienen dos escalas de

temperatura: "x" e "y". La temperatura en que el agua se congelan es 0° en "x" y 20° en "y"; el agua hierve a 60° en "x" y 140° en "y". ¿En qué temperatura coinciden las dos escalas?

9. En una proporción aritmética, la suma de los extremos es igual a 22. Si los términos medios se diferencian en 2 unidades, el menor de estos medios es:

18.

En una proporción geométrica

continua el producto de los antecedentes es 400 y el de 10. La suma de los extremos de una proporción geométrica continua es 15 y su diferencia es 9. Hallar la media proporcional.

11.

los consecuentes es 6 400. Hallar la suma de los 4 términos.

19.

La suma de los cuadrados de una

Quince es la media proporcional de

"a" y 25; "2a" es la tercera proporcional de 8 y "b". ¿Cuál

proporción geométrica continua es 400. Hallar el mayor

es la cuarta proporcional de "a"; "b" y 15?

término, sabiendo que un extremo es la cuarta parte del otro.

20. 12.

La suma de los extremos de una

proporción geométrica continua es 104. Hallar la media

En una caja hay 120 bolas de las

proporcional, si la razón es 2/3.

cuales 30 son rojas y el resto blancas. ¿Cuántas bolas blancas se deben retirar para tener 2 bolas rojas por cada 3 blancas?

21.

Hallar el mayor de los cuatro

términos de una proporción continua para la cual se 13.

verifica que el producto de los cuatro términos es igual a

El producto de los cuatro términos de

1048576 y que el cuarto término es el doble de la suma de

una proporción geométrica continua es 38 416. Si uno de

los términos medios.

los extremos es 98, hallar la suma de los cuatro términos.

14.

¿Cuál es la diferencia entre los

a)

60 b)

64 c)

d)

150

e) 128

32

extremos de una proporción geométrica continua, si la suma de sus cuatro términos es 150 y la razón entre la 22.

suma y la diferencia de los dos primeros términos es 5/3?

Se tiene una proporción geométrica

continua, donde la media geométrica de los extremos es 30. Si la media aritmética de los antecedentes es 27,5; 15.

hallar el cuarto término de dicha proporción.

En una proporción aritmética discreta

MATEMATICA



12 b)

24 c)

d)

36 e)

45

A

60 a3

k = Tg 

a2 ( P e n d i e n t e d e la r e c t a )

a1  b1

b2

B

b3

PROPORCIONALIDAD • MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si cuando una magnitud se multiplica o divide por un número, la otra queda dividida o multiplicada por el

MAGNITUD Se denomina magnitud a todo aquello que puede ser comparado en menor o mayor grado de intensidad. Ejemplo: Presión, volumen, temperatura.

mismo número. En consecuencia el producto de ambas resulta ser constante.

Sean las magnitudes “A” y “B”:

CANTIDAD Se denomina así a un estado particular de una magnitud. Ejemplo: 2 atm, 30 cm3, 37°C

A

mismo número, es decir, el cociente entre ambas resulta ser constante.

A Sean las magnitudes “A” y “B”:

an

B

b1

b2

b3

...

bn

an

B

b1

b2

b3

...

bn

I.P.B

1 α

B

⇒ A . B=K

Representación gráfica

B

...

...

...

* Notación

número, la otra queda multiplicada o dividida por el

a3

a3

Luego “A” es inversamente proporcional a “B”

cuando una magnitud se multiplica o divide por un

a2

a2

a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = ... = an . bn = k

Dos magnitudes son directamente proporcionales, si

a1

a1

Se cumple que:

• MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

A

A

Se cumple que:

b4 b3 b2 b1

Luego “A” es directamente proporcional a “B” * Notación: A

D.P.

a1 a2 a3

B

AB

...

A = k B

a 4 ...

A

Propiedades

1. Si: A D.P.

Representación gráfica:

MATEMATICA

1 B



A

I.P.

B


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 2. Si: A I.P.

1 B

cuadrado de “B”, calcular los valores de “m” y “p”. Si A



D.P.

B

tenemos:

A B B C D

3

45 3

320 m

p 10

A D . P. ( B x C x D )

a)

15 y 250

b) 4 y 100

c)

12 y 400 d)

8 y 500

e) 12 y 90

PROBLEMAS PARA LA CLASE 5.

La magnitud “A” es directamente

proporcional al cua-drado de “B” e inversamente proporcional a “C”. Cuando “B” es 30 y “C” es 15, entonces 1.

“A” es igual a 18. Hallar “B”, cuando “A” sea 40 y “C” tome

“x” varía en razón directa a “y” e

el valor de 27.

inversa al cuadrado de “z”, cuando x = 10, entonces y = 4, z = 14. Hallar “x”, cuando y = 16 y z = 7.

a)

180

b) 160

a)

15 b)

30 c)

d)

75 e)

50

60

c)

154 d)

140

2.

Se sabe que “A” es D.P. a

I.P. a

√3 C

6. Siendo “A” D.P. al cuadrado de “B” e I.P. al cubo de “C”,

e) 120

hallar “m” y “p” del siguiente cuadro:

√B

A 12 125 p

e

B 4 m 8

C 5 3 2

. Además cuando “A” es 14 entonces B = 64 y a)

C = B. Hallar “A”, cuando “B” sea 4 y “C” sea el doble de

12 y 750

b) 18 y 375 c)

6 y 375

“B”. a)

7 b)

2 c)

d)

5 e)

6

d)

4

7. 3.

√B

. Hallar “A”,

144 y C = 15. 4 b)

8 c)

d)

16 e)

15

Se sabe que: “x + 2” varía

= 19, hallar el valor de “x”, si: y = 31.

cuando B = C2, sabiendo que cuando A = 10, entonces B =

a)

e) 6 y 500

proporcionalmente con “y - 3”. Si cuando x = 10 entonces y

Se tienen tres magnitudes “A”, “B” y

“C”, tales que “A” es D.P a “C” e I.P. a

6 y 750

a)

21 b)

23 c)

d)

19 e)

18

20

12 8.

“A” y “B” son dos magnitudes D.P.

Cuando el valor inicial de “B” se triplica, el valor de “A” aumenta en 10 unidades. Cuando el nuevo valor de “B” se divida entre 5, ¿qué sucederá con el valor de “A” respecto

4. Sabiendo que “A” es directamente proporcional al

al inicial?

MATEMATICA



Aumenta en 15 unidades

b)

Disminuye en 10 unidades

c)


d)


e)

No se puede determinar

9.

proporcional al cuadrado de su radio. Si un círculo de 12 cm de radio tiene un área de 400 cm2, ¿cuál será el área de otro círculo cuyo radio es 25% mayor? a)

600 cm2

b) 500

c)

625 d)

Los saltos de mamá canguro son

13.

800

e) 1 000

La potencia del motor de un automóvil

proporcionales a los saltos de su hijo. Cuando el hijo

es directamente proporcional a su capacidad e

canguro da 398 saltos, mamá da 995. ¿Cuántos saltos dará

inversamente proporcional a los años de uso. Si un motor

mamá cuando el hijo recorra 600 m y además un salto de

de 4 litros de capacidad y tres años de uso tiene una

éste equivalen a 3/4 de un metro?

potencia de 80 caballos, ¿cuántos años de uso tiene otro

a)

1 600

b) 2 000

motor de 6 litros de capacidad y 90 caballos de potencia?

c)

2 400 d)

a)

800

10.

e) 1 000

4 b)

3 c)

d) 7

e) 5

6

El peso “W” de un cilindro varía

proporcionalmente a su altura “h” y al cuadrado del diámetro “d” de su base. ¿Cuál es la suma de los números

TAREA DOMICILIARIA

con que se llenarán los espacios en blanco de la siguiente tabla? W h

25 2 ,5

4

d

2

0 ,6

7,2 2

1.

Sabiendo que “A” es D.P. a “C” e I.P. a

“B”. Hallar “A”, cuando B = 16 y C = 48; si cuando “A” vale 24, “B” es 10 y “C” es 36.

a)

4,80

b) 5,04

c)

6,80 d)

7,20

2.

e) 7,44

Sabiendo que “A” es D.P. a “C” e I.P. a

“B”. Hallar “A”, cuando B = 6 y C = 18; si cuando A = 36; B = 12 y

11.

C = 24.

El precio de un diamante es

directamente proporcional al cuadrado de su peso. Si un diamante que pesa 20 gramos cuesta 4 000 dólares, 3.

¿cuánto costará otro diamante que pesa 25 gramos? a)

$6 000

b) 5 000

4 800

√B

e I.P. a C2,

cuando A = 10; B = 25 y

c)

C = 4. Hallar “A”, cuando B = 64 y C = 8.

7 500 d)

“A” es D.P. a

e) 6 250 4. Del siguiente gráfico, calcular “a + b”.

12.

El área de un círculo es directamente

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 7

es proporcional a su longitud y a la fuerza que se aplica, e I.P. a su sección y rígidez. Si a una barra de acero de 100 cm de largo y 31 mm2 de sección se le aplican 2 000

h ip é r b o la

newton, sufre un alargamiento de 1 mm. Hallar qué alargamiento ocasiona 800 newton aplicado a una barra de aluminio de 70 cm de largo y 12,4 mm2 de sección,

3 1 ,4 a

15

sabiendo que la rígidez del aluminio es la mitad que la del acero.

b

12.

La magnitud “A” varía proporcionalmente a la magnitud B2 e I.P. a la magnitud “C”; así mismo “B” varía D.P. a la raíz cuadrada de “D”, y “C” varía I.P. a la magnitud “E”. Si: A = 40; D = 2 y E = 5, hallar “A”, cuando: D.E = 20.

5. Si la magnitud de "A" es D.P. a B2, calcule el valor de "A" cuando "B" es 16, sabiendo que cuando "A" toma el valor de 25, "B" asume el valor de 20.

6. Gaby, de 180 cm de altura, proyecta una sombra de 120 cm. ¿Qué altura tendrá un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 400 cm?

13. El peso de un disco varía proporcionalmente al cuadrado de su radio y también a su espesor. En dos discos cuyos espesores están en relación de 9 a 32 y donde el peso del primero es el doble del segundo, se pide determinar la relación de sus radios.

7. Pilar pintó las caras de un cubo en 20 minutos. Si ahora está pintando otro cubo cuya arista es el triple del anterior, ¿en cuánto tiempo terminará de pintar este cubo?

14.

En el siguiente cuadro, se pide

determinar el valor de “a+b”; sabiendo que “A” es D.P. al cuadrado de “B” y al cubo de “C” e I.P. a la raíz cuadrada

8. El precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso, al caerse dicho diamante, se fracciona en dos partes, que están en la relación de 2 a 3. Calcule el precio inicial del diamante. Considere que si se venden en partes se perdería S/. 1 560.

de “D”.

15. 9. Las ruedas "A", "B", "C" y "D" tienen 40; 160; 60 y 90 dientes respectivamente. "A" y "B" están engranadas, "B" y "C" sujetas al mismo eje, "C" y "D" están engranadas. Si "A" da 120 RPM, ¿en qué tiempo "D" dará 200 vueltas?

a

108

324

B

5

2

4

C

2

b

3

D

25

9

16

En cierto proceso de producción se

descubre que ésta era D.P. al número de máquinas e I.P. a la raíz cuadrada de la antigüedad de ellas. Si inicialmente habían 15 máquinas con 9 años de uso y se consiguen 8 máquinas más con 4 años de uso cada una, determinar la relación entre la producción actual y la anterior.

10. La pérdida de una carga de agua que circula por un tubo es D.P. a la longitud del mismo y varía en razón inversa a su diámetro. Si en una longitud de 9,5 m de tubo y 3,8 cm de diámetro, la pérdida de carga fue de 12 cm, ¿cuál fue la pérdida de la carga de un tubo de 75 m de largo y 18 cm de diámetro?

11.

A

16.

La potencia del motor de un automóvil

es D.P. a su capacidad e I.P. a los años de uso. Si un motor de 4,2 litros de capacidad y 3 años de uso tiene una potencia de 72 caballos, ¿cuántos caballos de potencia tiene otro motor de 6,3 litros de capacidad y 6 años de uso?

El alargamiento que sufre una barra

MATEMATICA



La resistencia de un conductor

2°. 3°. 4°.

metálico de sección recta circular es proporcional a su longitud e inversamente proporcional al cuadrado de su diámetro. ¿Qué sucede con la resistencia, cuando su

18(500) = 9 000 10(500) = 5 000 22(500) = 11 000

b) Inverso: reparto se hace en forma I.P.

longitud se duplica y el radio se hace la mitad de su valor?

Cuando

el

*

18.

Ejemplo: Repartir S/.2 130 en forma inversa a 8; 6; 5 y 10. Dar la diferencia de la parte mayor y la parte menor. Cuando el reparto sea inversamente proporcional a ciertos índices, éstos deben invertirse para luego proceder como lo explicado anteriormente, es decir:

La potencia de un circuito varía en

forma D.P. con la resistencia del conductor eléctrico y con el cuadrado de la corriente que circula. Si la corriente se reduce a su mitad y la resistencia se triplica, ¿qué sucede con la potencia, aumenta o disminuye? ¿y cuánto?

I .P . 8

1 8

6

1 6

5

1 5

10

1 10

2 130

REPARTO PROPORCIONAL

D .P .

Luego, calculamos el m.c.m. de 8; 6; 5 y 10, que es 120. Ahora lo multiplicamos por cada fracción:

REPARTO SIMPLE: Se considera dos casos:

D .P .

a)

Directo: Cuando se hace el reparto

en forma D.P.

*

2 130

Ejemplo: Un tío deja una herencia de $33 000 a sus cuatro sobrinos en forma D.P. a sus edades que son: 16; 18; 10 y 22 años. Hallar cuánto recibe cada uno.

33 000

16K

18

18K

10

10K

22

22K

× 120 = 15

15K

1 6

× 120 = 20

20K

1 5

× 120 = 24

24K

1 × 120 = 12 10

12K

Luego: 15K + 20K + 24K

+ 12K = 2 130 K = 30

Por lo tanto, lo que recibe cada uno es:

Resolución 16

1 8

1°. 2°. 3°. 360 = S/.360 4°.

L o q u e r e c ib e c a d a u n o

Luego: 16K + 18K + 10K + 22K = 33 000 66K = 33 000 K = 500

15(30) = 450 20(30) = 600 24(30) = 720

Piden: 720 -

12(30) = 360

PROBLEMA RESUELTO

Por lo tanto lo que recibe cada uno es: 1°.

1. Repartir 24 000 en forma proporcional a

16(500) = 8 000

MATEMATICA

3

27K ; 3 64K


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 31 515

3 y 125K . Dar como respuesta la parte mayor.

d)

40 000

e) 31 315

Resolución: D .P. 3

24 000

27K

3.

A h o ra :

Repartir 23 760 en partes

= 3

3

K

24 000 = 2 000 3 + 4 + 5

directamente proporcionales a las raíces cuadradas de 1

K

lu e g o la p a r t e m a y o r :

cifras de la menor cantidad.

K

5(2 000) = 10 000

3

64K

= 4

3

3

125K = 5

3

183; 1 372 y 2 023. Dar como respuesta la suma de las

a)

18 b)

12 c)

d)

9 e)

15

4.

8

La parte que le toca a la tercera

persona, al repartir una cantidad en forma inversamente proporcional a 3; 5 y 12 es 1 376 menos que si se hubiera

“ E n l o s e j e r c ic io s r e s u e l t o s , s e o b s e r v a q u e lo s ín d i c e s s e p u e d e n m u lt i p l i c a r o d i v i d i r p o r u n m is m o n ú m e r o y l a s c a n t i d a d e s o b t e n id a s e n e l r e p a r t o n o s e a lt e r a n ”.

efectuado el reparto en forma directamente proporcional. Hallar la cantidad repartida. a)

2 236

b) 2 960

c)

2 400 d)

5.

2 405

e) 3 405

Un padre deja como herencia a sus

hijos 1 596 m2 para que se lo repartan D.P. a sus edades que son: 15; 19 y 23 años respectivamente; pero antes de

PROBLEMAS PARA LA CLASE

morir el padre pidió que el reparto se hiciera en partes iguales. El que se perjudicó con el cambio del testamento dejó de recibir: 1.

“M” y “N” tienen 80 y 55 bizcochos

a)

respectivamente, llega “P” hambriento y se reparten los les entrega S/.45 como recompensa. ¿Cuánto demás

d)

recibe “M” respecto de “N”? S/.10

b) 15

25 e)

c)

408

e) 416

c) 6.

20 d)

b) 208

112

135 bizcochos en partes iguales, luego de comérselos, “P”

a)

104 m2

Se hizo un reparto I.P. a ciertos

números obteniéndose: 18 000; 14 400 y 12 000. Si el

30

reparto hubiera sido D.P. a los mismos números, una de las partes sería:

2.

a)

Un capital de 165 597 soles se

que son 8; 11; 16 y 20 años. ¿Cuánto le toca al de 16 años? S/.30 515

b) 32 515

b) 14 700

c)

17 760

reparte en razón inversa a las edades de los herederos

a)

11 860

d)

11 480

e) 14 880

c)

MATEMATICA



Tres obreros se reparten el pago

recibido por una obra que han realizado juntos en razón directa a sus

11.

Se reparte 986 000 entre cuatro

Eficiencias. Se sabe que “A” sólo lo haría en 10 días, “B”

4N; 5N; 7N y 13N. Indicar la cantidad que le corresponde

sólo lo haría en 15 días y “C” sólo en 18 días. Si “A” recibe

al mayor.

hermanos directamente proporcional a sus edades que son

S/.240 más que “C”, ¿cuánto recibe “B”?

a)

442 000

b) 444 000 c)

440 000 a)

S/.400

b) 420

c)

d)

488 000

e) 450 000

440 d)

460

e) 360

12.

Dos pastores llevan 8 y 11 panes

respectivamente. Se encuentran con un cazador 8.

hambriento con el que comparten el pan por igual. Éste en

Dos agricultores tienen

agradecimiento les da 57 monedas. ¿Cómo se la deben

respectivamente 9 y 5 hectáreas que desean sembrar,

distribuir?

cuando ya habían sembrado 2/7 de cada propiedad, contratan a un peón y a partir de entonces los

a)

agricultores y el peón trabajan en partes iguales. ¿Cuánto

d) 22 y 35

total deben pagarle 140 soles? S/.130 y S/.10 130 y 20 110 y 30 d)

c) 50 e)

b) 15 y 42

c)

24 y 33

debe aportar cada agricultor para pagar al peón, si en

a)

12 y 45

e) 16 y 41

b) 90

y

TAREA DOMICILIARIA

138 y 5

9.

Un padre deja una herencia para que

1. Repartir 360 directamente proporcional a los números

se la repartan sus cinco hijos, proporcionalmente a sus

3; 5 y 4. Dar como respuesta la parte mayor.

edades que forman una progresión aritmética de razón 2. Hecho el reparto el menor recibe S/.528 el cual renuncia a su parte, por lo cual el mayor recibió S/.1 400. ¿Cuál fue

a)

la herencia repartida? a)

S/.3 400

4 500

b) 120

c)

90 b) 6 400

c)

d)

4 400 d)

100

150

e) 200

e) 2 400

2. Al dividir 480 en forma proporcional a 1/2; 2/3 y 5/6, 10.

Si se reparte 133 en partes cuyos

se obtiene que la mayor parte es:

cuadrados son D.P. a 162; 72 y 32, ¿cuál es la máxima diferencia que se puede obtener entre dos partes resultantes?

a)

a)

35 b)

14 c)

d)

63 e)

42

200

b) 120

c)

180

21 d)

MATEMATICA

210

e) 250


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” repartida? 3. Repartir 1 080 en partes directamente proporcionales a los números 13; 19 y 22. Dar como respuesta el número mayor.

a)

260

b) 480

3 b)

12 c)

d)

9 e)

7

8. Efectuar el reparto de 7 227 en forma I.P. a 4; 8 y 12.

440

Dar la diferencia entre la mayor y menor de las partes

e) 390

que se obtienen.

4. Repartir 6 200 en partes inversamente proporcionales

a)

a los números 2; 3 y 5. El menor número es:

3 000

b) 900

2 828

b) 2 728

c)

2 628 d)

a)

15

c)

380 d)

a)

2 840

e) 2 943

c)

1 200 d)

2 000

9. Se reparte cierta cantidad en forma I.P. a 4; 6 y 9. Si

e) 1 300

la diferencia de la parte mayor con la menor es “A”, calcular la suma de las partes menores.

5. Repartir 6 513 inversamente proporcional a los

a)

3A 10A

b) 4A

d)

8A

e) 2A

números: 0,2; 0,3; 5/2 y 16/5. Una de dichas cantidades es:

a)

4 000

b) 3 600

c)

3 500 d)

10. Repartir 7 200 en forma D.P. a

2 500

a)

0 , 3 ; 0,5 y 1 , 3 .

720

d)

b) 780

c)

820

24K ;

3

81K y 3 192K

b) 2 800

c)

2 400

e) 3 200

obtiene al repartir el número 1 240 en forma D.P. a

e) 910

2400; 2401; 2402; 2403 y 2404.

7. Una cantidad se reparte en forma proporcional a 3

2 000

11. Calcular la suma de cifras de la mayor parte que se

810 d)

288.

1 200

Calcular la mayor parte.

a)

200 ; 392 y

Dar como respuesta la menor de las partes.

e) 1 700

6. Repartir 1 380 en partes I.P. a:

c)

, donde la menor de las partes

resultó 14. ¿Cuál es la suma de cifras de la cantidad

MATEMATICA

a)

10 b)

11 c)

d)

13 e)

15

12


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 7”. Hallar “N”. 12. Al repartir 1 000 en tres partes I.P. a 183; 64 y 242, una de las partes es:

a)

700

b) 720

c)

726 a)

399

b) 288

d) 800

c)

e) 814

286 d)

400

e) 401

REGLA DE COMPAÑIA 13. Se reparte 738 en forma directamente proporcional a dos cantidades, de modo que aquellas están en la relación de 32 a 9. La menor cantidad es:

• CONCEPTO En este capítulo los problemas son comerciales. Es normal que personas se asocien formando una empresa

a)

162

b) 140

para lo cual deberán aportar capitales para luego

c)

repartirse ganancias o pérdidas que produzca el

152 d)

142

negocio. Los elementos son: e) 172 Capital aportado Tiempo de permanencia Ganancia Pérdida

14. Se reparte S/.6 000 entre tres personas en forma proporcional a: "b"; b2 y b3. Si el menor recibe S/.500, ¿cuánto recibe el mayor?

(C) (T) (G) (P)

• CASOS ESPECIALES 1er caso: Reparto de ganancia o pérdida dependiendo

a)

S/.4 500

b) 5 000

de los capitales, permaneciendo el mismo tiempo en el

c)

negocio.

5 500 d)

5 300

e) 6 000 *

Ejemplo: Giancarlo y Ximena se asocian para formar un negocio aportando cada uno S/.3 200 y S/.1 800. Culminado el negocio, hubo S/.2 500 de ganancia, ¿cuánto ganó Ximena?

15. Dos pastores llevan 5 y 3 panes respectivamente. Se encuentran con un cazador hambriento y comparten con éste los 8 panes. Si el cazador pagó 48 soles por

Entonces:

su parte, ¿cuántos soles le tocó a cada pastor? 2 500

a)

S/.40 y S/.8

b) 36 y 12

3 200

16

1 800

9

c)

43 y 5 d)

42 y 6

K

2 500  100 16  9

 Ximena ganó: 9 × 100

e) 28 y 20

= S/.900 2do caso: Reparto de ganancias o pérdidas

16. Al repartir: N = n3 - n, en forma proporcional a: 2; 4;

dependiendo de los tiempos de permanencia, aportando el mismo capital en el negocio.

6; 8;...; 2n, la menor de las partes obtenidas fue “n +

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” *

Ejemplo: Cliford forma una empresa con cierto capital y tres meses más tarde acepta un socio que aporta el mismo capital. Si el negocio duró 9 meses, el cual produjo una pérdida por S/.18 500, ¿cuánto perdió cada uno?

4.

Dos socios “A” y “B“ forman una

Entonces: El negocio duró 9 meses y el primero formó dicho negocio, entonces permaneció 9 meses pero el segundo entró 3 meses más tarde, entonces permaneció 6 meses, luego hacemos el reparto:

S/.24 000, hallar la utilidad total de la compañía.

compañía. El capital que aporta “A“ es el doble de “B”, pero el tiempo que permanece “A“ en la empresa es el triple del tiempo que permanece “B”. Si al repartir las utilidades, la diferencia entre la utilidad de “A” y la de “B” fue

5.

Un fabricante empezó un negocio con

S/.800 de capital. 4 meses después aceptó un socio con S/.1 200 de aporte y 2 meses más tarde aceptaron un

9 m eses

3

6 m eses

2

18 500

tercer socio con S/.1 000 de capital. Si a los 2 años de iniciado el negocio éste se liquida y al ser repartida la utilidad el primer socio recibió S/.19 000 menos que los

18 500 K  3700 32

otros dos juntos, ¿cuál fue la ganancia del tercer socio?

 Cada socio perdió: 3 × 3 700 = S/.11 100 2 × 3 700 = S/.7 400

6.

Tres personas se asociaron para

formar una empresa invirtiendo S/.4 000; S/.2 250 y S/.6 500 respecti-vamente. Si al finalizar el negocio se


obtuvo una utilidad de S/.20 400, ¿cuánto le corresponde al primer socio?

1. Los socios de una empresa invirtieron S/.20 000; S/.30 000 y S/.45 000 respectivamente. Si al

7.

finalizar la campaña se obtuvo una utilidad de S/.380

S/.5 000 para hacer un negocio. El primero dejó su capital

000, ¿cuánto le corresponde al segundo socio?

durante 3 meses y el otro durante 2 meses. Se pide

Dos socios reunieron un capital de

encontrar la suma de las cifras de la diferencia de los capitales aportados, sabiendo que las ganancias fueron iguales.

Rpta.: ________________

8.

2. Se han asociado tres personas aportando la primera

Tres amigas: Karla, Sandra y Verónica

se asocian para formar un negocio invirtiendo S/.3.150,

S/.2 000 durante 5 meses, la segunda S/. 3 000

S/.4.380 y

durante 6 meses y la tercera S/.4 000 durante 9

S/.5.140 respectivamente. Si la sociedad se disolvió a los

meses. Si al finalizar el negocio se obtuvo una pérdida

3 años y correspondió de utilidad a Sandra S/.492 más

de S/. 6 400, ¿cuánto perdió el primer socio?

que a Karla, ¿cuánto recibió Verónica entre capital más utilidad?

3.

Dos personas participan en un negocio

aportando cada uno S/.300; 3 meses después aceptaron

9.

un tercer socio con S/.450 de capital. A los 9 meses de

Cuando se liquida una empresa sus

tres socios reciben entre aportes y ganancias S/.45 000;

iniciado el negocio se liquidó, encontrándose una ganancia

S/.70 000 y

de S/.840. Calcula cuánto le corresponde al primer socio.

S/.35 000. Si la ganancia total fue de S/.30 000, ¿cuál

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” fue la mayor de las tres ganancias?

10.

3. Dos personas participan en un negocio aportando cada uno S/.200; 4 meses después aceptaron un tercer socio con S/.400 de capital. A los 9 meses de iniciado el negocio se liquidó encontrándose una ganancia de S/.840, ¿cuánto le corresponde al primer socio?

“A” empieza un negocio con S/.24 000

DOMICILIARIA 01 yTAREA dos meses después de ello se Nº incorpora “B” con S/.18 000. A los 6 meses de iniciado el negocio se liquida por quiebra retirándose “A” con S/.10 500. ¿Con cuánto se retiró “B”?

11.

4. Dos socios reunieron un capital de S/.10 000 para hacer un negocio. El primero dejó su capital durante tres meses, y el otro durante 2 meses. Se pide encontrar la suma de las cifras de la diferencia de los capitales aportados, sabiendo que las ganancias fueron iguales.

Se tienen dos socios “A” y “B”, los

cuales hacen una empresa aportando capitales de S/.300 000 y S/.500 000 respectivamente y han permanecido tiempos que son proporcionales a 4 y 3 respectivamente. Si al final “A” se retira con S/.314 400, que es su capital y ganancia,

5. Una persona inicia un negocio. Está solo en el negocio el primer mes y luego ingresa mensualmente un socio, aportando un capital igual al doble del anterior. Si el beneficio del segundo más el del último es S/.8 400, calcular cuánto recibió el cuarto socio, si el negocio duró medio año.

¿con cuánto se retira “B”?

12.

“A” inició un negocio con S/.5 000 y a

los 4 meses acepta a “B” como socio el cual aporta S/.6 000, dos meses después “C” se une al negocio aportando S/.4 000. Si al año de iniciado el negocio se decide

6. Se asocian dos personas para un negocio, la primera contribuyó con S/.4 500 y la segunda con S/.3 600. Al terminar el negocio, resulta que el capital se redujo a S/.6 300. ¿Cuál es la pérdida de uno de los socios?

liquidarlo con una pérdida de S/.3 300, ¿cuánto perdió “A”?

13.

Se asociaron dos personas para un

negocio, la primera contribuyó con S/.4 500 y la segunda

7.

con S/.3 600. Al terminar el negocio, resulta que el

Tres personas se asociaron para

establecer un negocio: La primera puso mercaderías y la

capital se redujo a S/.6 300. ¿Cuál es la pérdida de cada

segunda S/.10 000 obteniéndose una ganancia de S/.20

uno de los socios?

000, de los cuales la primera recibe S/.8 000 y la tercera S/.7 000. Determinar el capital del tercer socio.

TAREA DOMICILIARIA 8.

Tres socios han ganado en un negocio

S/.24 000; el primero contribuyó con S/.25 000, el

1. Los socios de una empresa invirtieron S/.20 000, S/.30.000 y S/.45 000 respectivamente. Si al finalizar la campaña se obtuvo una utilidad de S/.380 000, ¿cuánto le corresponde al segundo socio?

segundo con S/.40.000 durante 6 meses y el tercero con S/.20 000 durante 8 meses. Si el primero obtuvo una ganancia de S/.6 000, calcular el tiempo que tuvo impuesto su capital.

2. Se han asociado tres personas aportando la primera S/.2 000 durante 6 meses, la segunda S/.4 000 durante 8 meses y la tercera S/.6 000 durante 10 meses. Si al finalizar el negocio se obtuvo una pérdida de S/.5 200, ¿cuánto perdió el primer socio?

9.

José emprende un negocio con S/.17

000. A los dos años se asocia Tomy con S/. 21 000 y después de 4 años se asoció Leo aportando S/.32 000 quien estuvo 6 años en el negocio. Si la ganancia fue de

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” S/.80 800, ¿cuánto le corresponde a Leo?

7. Si el último socio recibió 40 mil soles de utilidad, ¿cuánto fue la utilidad del segundo socio?

10.

Tres personas forman una sociedad

aportando cada uno cantidades proporcionales a: 12; 21 y

16.

Tres socios han contribuido por

27 respecti-vamente. Al finalizar el primer año, se

partes iguales a una empresa que les ha producido una

reparten los beneficios, correspondiéndole al segundo

ganancia de S/.2 500. El primero estuvo un año solo, luego

S/.6 468. ¿Cuánto recibió el tercero?

del cual admitió al segundo socio con quien siguió dos años más y al terminar éstos se les agregó un tercero durante un año. ¿Qué parte de la ganancia le corresponde al

11.

primero?

Luis inicia un negocio con S/.600; 6

meses después se asocia con Fernando quien aporta S/.480 a la sociedad. Si después de 18 meses de asociados, se reparten una ganancia de S/.1 520, ¿cuánto le corresponde a Luis?

12.

REGLA DE TRES SIMPLE.

Dos socios “A” y “B” forman una

compañía. El capital que aporta “A” es el doble de “B”, pero el tiempo que permanece “A” en la empresa es el triple del tiempo que permanece “B”. Si al repartir las utilidades, la diferencia entre la utilidad de “A” y la de “B”

CONCEPTO Es un procedimiento práctico ideado para ciertos

fue S/.50 000, hallar la utilidad total de la compañía.

problemas de proporcionalidad. Se llama regla de tres simple porque intervienen solo dos magnitudes. Se pueden 13.

clasificar en:

Un fabricante empezó un negocio con

S/.8 000 de capital. Cuatro meses después aceptó un socio con S/.12 000 de aporte y 2 meses más tarde

1.

aceptaron un tercer socio con S/.10 000 de capital. Si a

son directamente proporcionales.

los 2 años de iniciado el negocio éste se liquidó, entonces

Directa: Cuando las dos magnitudes

Método de solución:

al ser repartida la utilidad, el primer socio recibió S/.15 200 menos que los otros dos juntos. ¿Cuál fue la ganancia

Sean las magnitudes “A” y “B” que son directamente

del tercer socio?

proporcionales, tal que cuando la magnitud “A” tiene el valor “a1”, provoca en “B” un valor “b1”, entonces cuando “A” tome el valor de “a2”, ¿qué valor tendrá la magnitud

14. Varios socios forman una empresa y al cabo de cierto

“B”?

tiempo se reparten S/.72 600 de utilidad. Sabiendo que cada socio aportó el triple del anterior y que el primer socio recibió por todo S/.900 incluido su

A

capital, siendo su utilidad el doble de lo que invirtió. Calcular el número de socios.

D .P.

B

a1

b1

a2

X

X =

a2

×

b1

a1

15. Un empresario formó una compañía y cada 2 meses incorporó un socio con un capital igual al suyo, hasta incorporar 3 socios y después de algunos meses se

*

repartieron las utilidades. Al empresario y al primer

Ejemplo:

Una casa pertenece a dos hermanos, la parte del primero

socio incorporado, les correspondió en la razón de 8 a

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” es los 5/13 de la casa y está valorizada en 1 530 000

hacer una obra, ¿cuántos obreros se necesitarán para hacer la misma obra en 15 días?

soles. Hallar el valor de la parte del otro hermano.

5 13

1 e r. h e r m a n o :

2 d o . h e rm a n o :

1 -

5 = 13

a)

15 b)

10 c)

d)

11 e)

18

14

1 530 000

8 13

2. Una obra puede ser hecha por 20 obreros en 14 días. ¿Cuántos obreros hay que añadir para que la obra se termine en 8 días?

X

8  1 530 000 X  13  2 448 000 soles 5 13

a)

11 b)

8 c)

d)

14 e)

15

3.

10

Sabiendo que un burro atado a una

cuerda de 3 m de largo, tarda 5 días en comerse todo el 2.

Inversa: Cuando las dos magnitudes

pasto a su alcance, ¿cuántos días tardaría, si la cuerda

son inversamente proporcionales.

fuera de 6 m?

Método de solución:

a)

plantea:

d)

B b1

I .P.

a2

X

X =

b) 10

c)

20

Dadas dos magnitudes inversamente proporcionales se

A a1

5 días

4.

a1 × b1

8 e)

17

Si trabajando 10 h/d una cuadrilla de

obreros demoran 18 días para terminar una obra.

a2

Trabajando 6 h/d, ¿en cuántos días terminarán la misma obra? a)

* Ejemplo: Un depósito tiene cinco conductos de desagüe de igual

20 días

b) 30

c)

40

diámetro. Abiertos tres de ellos, se vacía el depósito en 5

d)

50 e)

6

horas 20 minutos. Abiertos los cinco, ¿en cuánto tiempo se vaciará? 5. N° de conductos 3 5

X

están marcando la hora exacta. En uno de ellos se

Tiempo

-----------------------------

adelanta 19 segundos por cada hora y en el otro se atrasa

5h 20min X

11 segundos por hora. ¿En qué tiempo mínimo tienen que marcar la misma hora, es decir, que vuelvan a coincidir?

3.(5h 20min)  3h 12min 5

a)

1 500 h

b) 1 440

c)

10 d)


1.

Se tiene dos relojes malogrados que

6.

Si 21 obreros tardan 10 días para

MATEMATICA

5 e)

180

Dos ruedas engranadas tienen


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” respectivamente 30 y 20 dientes. ¿Cuántas vueltas dará

días. ¿Cuántos soldados se deben dar de baja si se quiere

la segunda rueda al mismo tiempo que da 200 vueltas la

que los víveres duren 15 días más? (El ejército tiene

primera?

inicialmente 640 soldados)

a)

200

b) 500

c)

a)

600 d)

300

7.

140

b) 120

c)

160 e) 400

d)

“x” máquinas hacen una obra en 30

11.

170

e) 130

Doce obreros pueden hacer una obra

días y “x + 4” máquinas hacen la misma obra en 20 días.

en 29 días. Después de 8 días de trabajo se retiran 5

¿En cuánto tiempo harán “x +2” máquinas dicha obra?

obreros. ¿Con cuántos días de retraso se entregará la

a)

15 b)

24 c)

d)

17 e)

18

obra?

20

a)

b) 15

c)

17 d)

8.

14 días

11 e)

18

En 12 días, 8 obreros han hecho las

2/3 partes de una obra. Si se retiran 6 obreros, ¿cuántos días demorarán

12.

los obreros restantes para terminar la obra? a)

15 días

b) 24

pueden terminar una obra en 18 días, ¿en cuántos días José y Miguel harán la misma obra?

c)

6 d)

7 e)

Juan es el doble de rápido que José y

éste es el triple de rápido que Miguel. Si entre los tres

a) 13

c)

11 e)

10

Seis caballos tienen ración para 15

días. Si se aumenta 3 caballos más, ¿para cuántos días

13.

alcanzará la ración anterior? a)

15 días

d)

10.

11 e)

En 27 días se haría una obra con 35

obreros. Luego de un cierto tiempo se contrata 14 b) 10

obreros más y 15 días después se termina la obra. ¿A los

c)

cuántos días se aumentó el personal?

13 12

a)

6 b)

7 c)

d)

9 e)

10

8

Si 10 metros de tela cuestan S/.150,

¿cuánto se pagará por 15 metros de la misma tela? a)

S/.150

b) 225

14.

d)

15 e)

¿Cuántos hombres harían en 19 días

un trabajo que 209 hombres pueden hacerlo en 10 días?

c)

180

26.

b) 45

16 d)

9.

40 días

a) 100

80 b)

92 c)

d) 117

e) 105

110

TAREA DOMICILIARIA

Un ejército tiene víveres para 65

MATEMATICA



Una caja de tres docenas de naranjas

cuestan S/.27. ¿Cuánto se pagará por 5 cajas de 16 naranjas cada una? 1.

Si 48 m de zanja se pueden hacer en

36 días, ¿cuántos días se emplearán para hacer 32 m de zanja? 2.

11. Para pintar un rectángulo de 15 m de largo por 12 m de ancho se necesita 4 galones de pintura. ¿Cuánto más se

Si media docena de una mercadería

requiere para pintar una superficie de 900 m2?

cuesta S/.32, ¿cuánto costaron 18 objetos? 3.

En una hora un automóvil recorre 120

km. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en

5

1 4

12. Un obrero hace 40,72 m3 de una obra en un cierto

horas, si la

tiempo, en un terreno cuya dureza es 3. ¿Cuántos

velocidad es constante?

metros hará otro obrero en el mismo periodo, en un terreno con 4 de dureza y con la misma habilidad que

4.

el anterior?

Cien obreros pueden hacer una obra

en 15 días. Si se quiere emplear 75 obreros menos, ¿en cuántos días más acabarán la obra?

13. Un vehículo pequeño pesa 2,7 toneladas. ¿Cuánto pesará un modelo hecho a escala 1:10 del mismo

5.

material, que será usado como juguete?

En una plaza hay 1 500 hombres

provistos de víveres para 6 meses. ¿Cuántos habrá que despedir, para que los víveres duren dos meses más,

14. Se hacen disolver 240 g de azúcar en 5 litros de agua.

dando a cada hombre la misma ración?

¿Cuántos litros de agua deberán añadirse a esta mezcla para que un litro de agua de la nueva mezcla

6.

tenga sólo 8 g de azúcar?

Seis caballos tienen ración para 15

días. Si se aumenta 3 caballos más, ¿para cuántos días alcanzará la ración anterior?

15. Hugo, Luis y Paco han hecho 360 m de una zanja, el rendimiento de Hugo es el 120% del de Luis y el de

7.

Paco es el 140% del de Luis. ¿Cuántos metros hizo

Una oveja sujeta a una estaca por

Paco?

medio de una cuerda de 3,6 m demora 24 minutos en comer el pasto que está a su alcance. ¿Cuánto demoraría si la cuerda fuese de 5,4 m?

16.

Se realiza una excursión al desierto

para lo cual se inscriben 500 personas, las cuales llevan 8.

víveres para 72 días. ¿Cuántas personas no podrán viajar,

Si Armando es el triple de rápido que

si se desea que la excursión dure 18 días más y consuman

Carlos y Carlos hace una obra en 30 días, ¿qué parte haría

la misma cantidad de raciones?

Armando de esa obra en 1 día?

9.

REGLA DE TRES COMPUESTA.

Un barco tiene víveres para 78

tripulantes durante 22 días, pero sólo viajan 66 personas. ¿Qué tiempo durarán los víveres?

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Es aquella en la cual intervienen más de dos magnitudes proporcionales.

(10)  (15 7) (2  15) (X  8)  50 80

PRINCIPIO FUNDAMENTAL

de donde: X = 7 días

1. El n° de obreros es directamente proporcional a la Nota: En el tiempo se reemplazó el producto (días ×

cantidad de obra que hacen, es decir:

hora) (n° de obreros) D.P. (obra) 2.

Se sabe que 44 obreros trabajando

10 horas diarias han empleado 12 días para hacer una zanja de 440 m de largo, 2 m de ancho y 1,25 m de

2. El n° de obreros es inversamente proporcional al

profundidad. ¿Cuánto tiempo más emplearán 24 obreros

tiempo que emplean en hacer la obra, es decir:

trabajando 8 horas diarias para abrir otra zanja de 200 m de largo, 3 m de ancho y 1 m de profundidad?

(n° obreros) I.P. (tiempo)

Resolución: (44)  (12 10) (24)  (X  8)  440  2  1,25 200  3 1

Por lo tanto: X = 15 días

( n ° o b r e r o s ) × ( t ie m p o ) ( o b ra )

= K

D o n d e “ K ” e s la c o n s t a n t e d e p r o p o r c i o n a li d a d .

pero la pregunta es cuanto tiempo más: 15 - 12 = 3 días más

Nota: En la obra se reemplazó el producto de (largo ×

“ C u a n d o t e d e n l a e fi c i e n c i a d e lo s o b r e r o s , é s t a s e d e b e m u l t ip li c a r p o r e l n ° d e o b re ro s ; c u a n d o te d e n e l g r a d o d e d i fi c u l t a d d e la o b r a , t a m b i é n s e m u lt i p l i c a r á p o r la c a n t i d a d d e o b r a ”.

ancho × profundidad); es decir el volumen de la zanja.

PROBLEMAS PARA LA CLASE *

Ejemplos: 1. Dos cuadrillas de obreros pueden hacer una misma obra por separado. La primera de 18 hombres lo pueden hacer en 20 días trabajando 8 h/d, la segunda de 15 hombres lo pueden hacer en 18 días trabajando 10 h/d. Si el contratista forma un grupo mixto: 8 hombres de la primera con 15 de la segunda para que trabajen 10 h/d, ¿en cuántos días terminarán dicha obra?

1. Diez peones demoran 15 días de 7 horas de trabajo en sembrar 50 m2. ¿Cuántos días de 8 horas de trabajo demorarán en sembrar 80 m2, 15 peones doblemente hábiles?

Resolución:

a)

12 días 10

b) 11

d)

14 e)

15

Reemplazando los datos:

MATEMATICA

c)


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” decide aumentar la longitud en 40 km para lo cual se 2. Se pensó terminar una obra en 45 días empleando 30 obreros y laborando 8 h/d. Luego de 24 días de trabajo se pidió terminar la obra 12 días antes del plazo fijado. ¿Cuántos obreros más se necesitarán, si se aumentó en 2 horas la jornada de trabajo?

a)

26 b)

24 c)

d)

20 e)

18

Contratan 10 obreros más acabando la obra a los 15 días de empezada. ¿A los cuántos días se aumentó el personal?

22

a)

3 b)

5 c)

d)

9 e)

10

6

7. Se tienen 16 máquinas cuyo rendimiento es del 90% y

3. Un reservorio de 8 m de radio y 12 m de altura abastece a 75 personas durante 20 días. ¿Cuál debe ser el radio de un reservorio de 6 m de altura que debe abastecer a 50 personas durante 2 meses?

produce 4 800 artículos en 6 días trabajando 10 h/d. Si se desea producir 1 200 artículos en 8 días trabajando 9 h/d, ¿cuántas máquinas cuyo rendimiento es del 60% se requieren?

a)

16 m 14

b) 15

d)

12 e)

10

c)

4. Un contratista se compromete a construir dos secciones de un ferrocarril que ofrecen las mismas dificultades desde el punto de vista de trabajo. En cada sección se emplea 80 obreros y al cabo de 50 días se observa que mientras los primeros han hecho los 3/8 de trabajo, los otros han construido los 5/7 del suyo. ¿Cuántos obreros de la segunda sección deberán pasar a la primera para que ésta quede terminada conforme a lo convenido en 120 días?

a)

5 b)

6 c)

d)

8 e)

9

8. Quince albañiles de 75% de rendimiento pueden levantar un edificio en 30 días trabajando 10 h/d. Después de 6 días de trabajo se retiran 5 albañiles y los que quedan trabajan con un rendimiento de 90% y 12 h/d. ¿Entregarán la obra a tiempo o con retraso?

a) a)

5 b)

4 c)

d)

7 e)

6

8

10 b)

12 c)

d)

8 e)

15

1 día antes 2 días antes 1 día después 2 días después a tiempo

c) e)

b) d)

9. Una cuadrilla de 18 obreros de un mismo rendimiento

5. Ocho carpinteros cuya habilidad es como 5 son capaces de hacer 10 mesas y 18 sillas en 24 días. ¿Cuántos carpinteros cuya habilidad es como 7 son capaces de hacer 12 mesas y 20 sillas en 16 días, si se sabe que al hacer 1 mesa es lo mismo que hacer 3 sillas? a)

7

se comprometen a hacer una obra en 30 días, pero cuando hacen las 2/5 partes de la obra 10 de ellos abandonan. ¿Qué rendimiento con respecto a los primeros deben tener los 8 nuevos que se contraten para terminar la obra en el plazo pedido?

9

a)

6. Se sabe que 20 hombres pueden hacer una pista de 80

20% más

b) 40% más c)

48% más

km en 12 días. Después de cierto tiempo de trabajo se

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” d)

25% más

e) 30% más 4.

10.

Una embotelladora posee 3 máquinas

de 80% de rendimiento y envasa 1 200 botellas cada 5

Una cuadrilla de 60 hombres se

días de 12 horas diarias de trabajo. Si se desea envasar 3

comprometieron en hacer una obra en “n” días. Luego de

000 botellas en 4 días trabajando 10 horas diarias,

hacer la mitad de la obra, 20 obreros aumentan su

¿cuántas máquinas de 75% de rendimiento se necesitaría?

eficiencia en 25% terminando la obra 3 días antes de lo previsto. Hallar “n”. a)

70 b)

73 c)

d)

78 e)

72

75

5.

Un automóvil emplea 4 horas en

recorrer 1/3 de su camino, viajando a 60 km/h. Si aumenta su velocidad en 20 km/h, ¿qué tiempo empleará en recorrer 1/4 de su camino?

11.

Un grupo de 20 obreros se

comprometen hacer una zanja de 12 m de largo, 9 m de

6. Quince obreros trabajando 6 horas diarias durante 8 días han realizado 3/5 de una obra. Si se retiraron 3 obreros y ahora trabajan 8 horas diarias, ¿en cuántos días acabarán lo que falta de la obra?

ancho y 4 m de profundidad en 18 días. Si al término del octavo día se le pide que la profundidad de la zanja sea de 6 m, ¿con cuántos obreros tendrán que reforzarse para hacer lo que falta de la obra ampliada en el tiempo fijado? a)

14 b)

16 c)

d) 20

e) 36

18

7. Dieciséis obreros realizan los 4/9 de una obra en 6 días. Si se retiran seis obreros, ¿cuántos días emplearán los restantes para terminar la obra?

8. Nueve máquinas empaquetadoras trabajando 10 horas diarias durante 6 días puede empaquetar 900 pedidos. Si sólo 4 de estas máquinas trabajaran 2 horas diarias más durante 8 días, ¿cuántos pedidos podrían realizar?

TAREA DOMICILIARIA

1.

Seis monos comen 6 plátanos en 6

minutos, ¿cuántos plátanos comerán 60 monos en media hora?

2.

9. Una empresa constructora puede pavimentar 1 200 m de carretera en 48 días de 8 horas diarias y con 30 obreros. ¿Cuántos días empleará la empresa para pavimentar 900 m de carretera en un terreno de doble dificultad, trabajando 1 hora diaria más y 10 obreros más?

Diez campesinos se demoran 12 días

de 8 horas de trabajo en sembrar un terreno rectangular de 40 m × 90 m. ¿Cuántos días de 10 horas de trabajo se demorarán en sembrar un terreno cuadrado de 60 m de lado, 12 campesinos doblemente hábiles?

3.

10. Siete albañiles realizan los 2/5 de una obra en 8 días. Si se retiran dos albañiles y los que quedan aumentan su rendimiento en 1/5, ¿en qué tiempo se realizó toda la obra?

Si 45 obreros pueden cavar una zanja

de 40 m de largo, 3 m de ancho y 1,5 m de profundidad en 24 días, ¿cuántos días necesitarán 60 obreros 20% más 11. Un grupo de 24 obreros pueden construir una zanja de 80 m de largo, 2 m de ancho y 1,5 m de profundidad en 16 días trabajando 6 h/d. ¿En cuántos días 20 obreros trabajando 8 h/d pueden hacer

eficientes para cavar una zanja de 50 m de largo, 2 m de ancho y 1,2 m de profundidad en un terreno cuya dureza es 2,5 veces la del terreno anterior?

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” “a ” p a rte s

una zanja cuyo ancho sea 0,5 m menos, 1 m de profundidad y 40 m más de largo?

12. Si 36 peones en 15 días de 8 h/d pueden sembrar rosas en un terreno cuadrado de 240 m de lado, ¿en cuántos días, 24 peones trabajando 10 h/d podrán sembrar en un terreno cuadrado de 180 m de lado cuya dureza a la cava es los 4/3 del anterior?

El “a” por ciento está representado como se muestra, de 100 partes tomamos “a” partes.

13. Ocho obreros pueden preparar una cancha de fulbito de 12 m de ancho y 25 m de largo en 5 días trabajando 10 h/d. Si 4 de los obreros aumentaran su rendimiento en 25%, ¿en qué tiempo podrán hacer otra cancha de fulbito de 18 m de ancho y 24 m de largo trabajando 2 h/d menos cada día?

14.

Notación: “a” por ciento = a% “a” por ciento = a/100

a% 

Para plantar rosas en un terreno

a 100

Entonces, ¿cómo calculamos el a% de “N”?

rectangular de 20 m × 30 m, seis jardineros demorarán 8 días de 6 horas

De 100 tomamos “a” Luego, de “N” tomamos “x”

de trabajo diario. ¿Cuántos días de 8 horas diarias emplearán cuatro jardineros un cuarto más hábiles que los

Por regla de tres:

anteriores en plantar un terreno de 1 000 m2?

x

a N 100

* Ejemplos: 24

TANTO POR CIENTO I

1. El 24% de 120 es: 100 × 120 = 28,8 32 100 2. El 32% de 180 es: × 180 = 57,6 18, 4 3. El 18,4% de 52,5 es: 100 × 52,5 = 9,66

¿QUÉ ES EL TANTO POR CIENTO? Es el número de partes que se toma, de cien partes en

“ S i q u ie r e s c a lc u la r u n p o r c e n t a j e u s a n d o C A L C U L A D O R A p r o c e d e d e la s ig u ie n t e m a n e r a : E j e m p lo : e l 2 2 , 7 % d e 1 6 , 8 5 2 2 . 7 x 1 6 . 8 5 % e l r e s u lt a d o s e r á : 3 , 8 2 4 9 5

que se divide una cantidad.

Es decir, el círculo representa una cantidad, la cual se dividió en 100 partes. • OPERACIONES 1. Sumas o restas:

a% de N ± b % d e N = (a ± b) % de N

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” • VARIACIONES PORCENTUALES Ejemplos: Se refieren a las variaciones o cambios en forma de porcentaje que experimentan 1.

20% de N + 35% de N = 55% de N

2.

42% de X + 64% de X = 106% de X

3.

72% P - 18% P = 54% P

4.

X + 37% X = 137% X

5.

X - 39% X = 61% X

algunas magnitudes. Veamos algunos ejercicios que expliquen mejor la idea.

* Ejemplos:

1.

Si “x” aumenta en 15%, ¿en qué porcentaje aumenta “x2”?

Resolución:

Si “x” aumenta 15% de su valor, entonces será:

2. Multiplicación

b a × 100 100 a% × b% =

x + 15% x = 115% x

a × b % 100

 A “x2” le corresponde un aumento

* Ejemplos:

de:

1.

(115%x)2 8

9

25

50

 115  115 2   %x 100  =

18 = 72 32 × 1250 100 100 32% × 18% =

32 × 18 % 100

=

2 115%  115%  x

= 132,25% x2

= 5 ,7 6 %  El aumento será: 132,25 - 100 =

2.

32,25%

9

4

20

25

45 × 16 = 36 500 100 100 45% × 16% =

45 × 16 % 100

2. Si la base de un triángulo aumenta en 30% y su altura en 50%, ¿en qué porcentaje aumenta el área?

= 7,2 %

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Resolución: Rpta.: ________________ Método práctico

base  altura 2 Área del triángulo =

3. ¿Qué porcentaje de 1 400 es 350?

Rpta.: ________________ Anulamos el dos que divide porque es constante y no interviene en el análisis de la variación porcentual, luego:

4. ¿264 es el 5% más de qué número?

Área = base × altura

Rpta.: ________________

Ahora: 5. ¿368 es el 54% menos de qué número?

base = 100% después base = 130% altura = 100% después altura = 150% Área = 100% después área

Rpta.: ________________

=

130%  150% 

=  130  150   100  

6. ¿De qué número es 570 el 14% más?

% =195%

Rpta.: ________________  El aumento es: 195 - 100 = 95%

7. ¿De qué número es 16 el 5%?


Rpta.: ________________

1. Hallar el 28% de 3 000. Rpta.: ________________

8. Hallar el 15% del 50% del 25% de 680.

Rpta.: ________________ 2. ¿De qué número es 168 el 14%?

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 14. En una reunión el 30% del número de hombres es igual al 40% del número de mujeres. ¿Qué porcentaje del

9. Si el peso de Lucho aumenta en 30%, entonces va a ser

total son hombres?

igual al peso de Giancarlo. ¿Qué porcentaje del peso de Giancarlo es lo que aumentó Lucho?

Rpta.: ________________ Rpta.: ________________

10. El precio de un artículo aumenta en 30% y las ventas

15. Una tela al lavarse se encoge el 10% en el ancho y el

disminuyen en 10%. ¿Cuál es la variación de los

20% en el largo. Si se sabe que la tela tiene 2 m de

ingresos?

ancho, ¿qué longitud debe comprarse si se necesitan 36 m2 de tela después de lavado? Rpta.: ________________ Rpta.: ________________

11. En la expresión: ab2c, si “a”, “b” y “c” disminuyen en 20%, entonces el valor de la expresión disminuye en: 16. ¿De qué número es 105 el 15%? Rpta.: ________________ Rpta.: ________________

12. ¿Cuánto de agua debo añadir a 10 litros de alcohol que es 95% puro, para obtener una solución que sea 50%

17. ¿Qué porcentaje es 98 de 32?

puro?

18. ¿De qué número es 552 el 8% menos?

Rpta.: ________________

19. ¿850 representa el 16% menos de qué número? 13. Un fabricante reduce en 4% el precio de venta de cada artículo que fabrica. Para que aumente en 8% el

20.¿Qué % de 5 200 es 13?

total de sus ingresos, ¿en cuánto tendrá que aumentar sus ventas?

21.

¿De qué número es 77 el 77%?

Rpta.: ________________

TAREA DOMICILIARIA MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” hombres. ¿Qué porcentaje del total son hombres?

1. Hallar el 28% de 5 000. 11. El a% de 300 es “b” y el b% de 30 es 27. ¿Cuál es el valor de “a”? 2. Hallar el 25% de 80.

12. Tomás le dio a un mendigo S/.30 que representa el 57% de sus ahorros. ¿Cuánto era el total de sus ahorros?


13. Una mezcla de alcohol contiene 27 litros de alcohol y


63 litros de agua, ¿cuál es la concentración de esta mezcla? (La concentración es el porcentaje de alcohol en la mezcla).

5. ¿Qué porcentaje de 32 es 8?

14. Si 50 litros de una mezcla contiene 15 litros de vino, ¿cuántos litros de agua debemos agregar para tener una solución al 20% de vino?

6. ¿Qué porcentaje de 1 250 es 150?

15. Si el 40% del 50% de “a” es el 30% de “b”, ¿qué

7. Aumentar 70 en su 30%.

porcentaje de “2a + 7b” es “a + b”?

16. El gráfico muestra la distribución de los gastos de un hogar. Si del sector de alimentación el 25%

8. Calcular el 20% del 25% del 4% de 13 500.

corresponde al sector carnes, ¿cuántos grados corresponde al sector carnes?

9. Hallar el 3% del 30% del 90% de 90 000. 17. En una jaula se encuentra 80 loros y 120 gorriones. ¿Cuántos gorriones se escaparon, si el porcentaje de loros aumenta en 40%? 10. En un aula el 20% de las mujeres es igual al 30% de los

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” anterior, estaré recibiendo en agosto?

26.

18. Al precio se una tela se le hace un descuento del 20%.

A fines del año 2000, una ciudad “A”

tenía 100 000 habitantes, en el año 2001 la población

Luego se hace un descuento del 30% pagando por la

aumentó en 10% y se proyecta que en el año 2002 la

tela S/.3 360. ¿Cuál era el precio original de la tela?

población aumentará en 20%. De acuerdo a estos datos, ¿cuántos habitantes tendrán esta ciudad a fines del año 2002?

19. Tres descuentos sucesivos del 10; 30 y 50% equivalen a un único descuento de:

TANTO POR CIENTO II

20. El largo de un rectángulo aumenta en 20% y el ancho disminuye en 20%, entonces el área del rectángulo varía en 160 m2. ¿Cuál era el área inicial?

• Aplicaciones comerciales del tanto por ciento

En la vida cotidiana encontramos

21. Si el 60% de “2x - 3” es igual a “x + 8”; calcular el

aplicaciones del tanto por ciento, por ejemplo en las

valor de: M = x2 - 42x + 10

entidades bancarias las tasas de interés se da en tanto por ciento, el I.G.V. se da también en forma porcentual, víspera de año nuevo observamos que las empresas de transporte urbano colocan en las ventanas de sus unidades el clásico letrero “Pje. 50%

22. Se tiene una mezcla de 40 litros de alcohol al 80%,

más” es decir que el precio del pasaje costará S/.1.50,

averiguar, ¿cuántos litros de agua contiene la mezcla?

si la tarifa es S/.1,00. Pero la aplicación más importante se observa en la actividad comercial, es decir cuando una persona compra y vende mercadería obteniendo ganancias o pérdidas. 23. Se tiene 40 litros de una solución que contiene alcohol

Elementos

y agua, al 40% de alcohol. ¿Qué cantidad de agua se debe agregar para tener una nueva solución al 10%?

24. Un basquetbolista debe lanzar 160 veces al cesto. Si ya ha convertido 40, ¿cuántas veces más debe convertir para tener una eficiencia del 70%?

Precio de compra o costo

:

Precio de venta

:

Ganancia bruta

:

Ganancia neta

:

Pérdida Descuento Precio de lista

: : :

PC

PV

GB GN P D PL

Luego: 25. Al sueldo que tengo se le hace un aumento del 20% al comenzar el año y en el mes de julio un aumento del 10% sobre el total. ¿Qué porcentaje de sueldo del año

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” PC + GB = PV

o

PL - D = PV

PC - P = PV G B - G a s to s = G

N

Nota 1: “La ganancia o pérdida, mientras no se diga nada será referida al precio de costo”.

a)

20% y 25%

b)

30% y 10%

c)

10%; 10% y 20%

Resolución:

Nota 2: “El descuento, mientras no se diga nada, será referido

a) DE = 20 + 25 -

al precio de lista”. b) DE = 30 + 10 • Descuentos sucesivos

20 25 100

= 40%

3010 100 =

37%

c) Primero calculamos el descuento equivalente al 10% y 10%.

Es frecuente encontrar tiendas

DE = 10 + 10 -

comerciales que ofrecen descuentos a los precios de

10 10 100 =

19%

sus productos, pero también encontramos tiendas que ofrecen hasta dos descuentos sucesivos. Veamos el siguiente ejemplo:

Luego, calculamos el descuento equivalente al 19% y 20%. 19 20

Julio va a una tienda y le hacen una

DE = 19 + 20 - 100

rebaja del 10% sobre el precio de lista de un artículo

= 35,2%

que vale $100. Al llegar a caja le hacen otro descuento del 20% sobre lo facturado anteriormente. Calcular el  DE = 35,2%

descuento equivalente a estos dos descuentos sucesivos.

• Aumentos sucesivos

Entonces: D 1 = 10% de 100 = $10

PL = $100

D 2 = 20% de 90 = $18

$90

$72

Veamos el siguiente ejemplo: DE = 100 - 72 = 28

Un empleado recibe un aumento de sueldo del 10% y en el siguiente mes, otro aumento del 20%. ¿Cuál fue el porcentaje de aumento en los dos meses?

 El descuento equivalente es 28%. Regla práctica:

Resolución:

Sean los descuentos sucesivos de D1% y D2%

DE = D1 + D2 -

*

D1 ×D

Para hallar el aumento de sueldo en los dos meses hacemos uso de la siguiente regla práctica:

2

100

Ejemplos:

Sean los aumentos: A1% y A 2%

Calcular el descuento equivalente a los descuentos sucesivos de:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” AE = A1 + A2 +

A1 × A2 100

2. Al aumentar el precio de la entrada a un espectáculo en un 20%, la asistencia disminuyó en un 10%.

10  20 Aplicando: AE = 10 + 20 + 100 =32%

Entonces, ¿qué sucedió con la recaudación?

* Ejemplos: Calcular el aumento equivalente a los aumentos sucesivos de:

a) a)

40% y 10%

c)

b)

20% y 20%

e)

c)

10%; 30% y 20%

aumentó 8% disminuyó 8% aumentó 4% disminuyó 4% aumentó 10%

b) d)

3. ¿A cómo se debe vender un artículo cuyo costo de fabricación es S/.820 para ganar el 15% del costo más el 20% del precio de venta?

Resolución: a) AE = 40 + 10 + AE = 54% b) AE = 20 + 20 + AE = 44%

40  10 100

a)

b) 1178,50

c)

1178,35

20  20 100

d)

c) En primer lugar, calculamos el aumento equivalente al 10% y 30% AE = 10 + 30 +

1178,25

10  30 100

1178,85

e) 1178,75

4. Una tienda de artefactos compra cierto número de TV. Vende el 20% de ellos ganando el 48%, enseguida

= 43%

vende el 25% de lo que le quedaba perdiendo el 8% y

Luego, calculamos aumento equivalente al 43% y 20%

para que la ganancia total sea del 55% vende el resto

el

ganando S/.188 en cada uno. ¿Cuánto le costó cada TV?

43  20 AE = 43 + 20 + 100 = 71,6%

a)

S/.200

b) 210

c)

240

 AE = 71,6% d)


250

e) 280

5. Un artículo se vende ganando el 24% de su precio de

1. El precio de costo de un par de zapatos es $33, ¿qué

costo. Si el precio de venta fue de S/.567,92; hallar

precio se debe de fijar para su venta, si se sabe que la

su precio de costo.

tienda hace un descuento del 20% y además deben ganar el 20% del precio de costo?

a) a)

$41,50

b) 42,90

48,80

b) 448

c)

458

c)

49,50 d)

S/.438

d)

468

e) 478

e) 46,50

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 6. El precio de venta de un producto fue S/.7 360. Si en

En uno de ellos se gana el 10 por 50 de su costo y en el

su venta se perdió el 8% de su precio de costo,

otro se pierde el 16 por 64 de su costo. Decir qué

calcular su precio de costo.

cantidad se gana o se pierde. a)

a)

S/.7 000

b) 7 506

c)

c)

7 860 d)

8 000

se gana 800 b) se pierde 800 se gana 1600 e) se pierde 1600 no se gana ni se pierde

e)

e) 8 560 11.

¿En qué tanto por ciento deben

incrementarse las ventas de un negocio para que aún

7. ¿Qué precio se fijó a un artículo, si haciéndole un

rebajando en 20% el precio unitario de los artículos

descuento del 15% de su precio fijado se vendió en $1

queden incrementados los ingresos en 20%?

062,5?

a)

60%

b) 50%

c)

40% a)

$1 245

b) 1 250

c)

d)

1 255 d)

1 260

20%

e) 30%

e) 1 265 12.

Una persona compra 200 objetos “A”

y los vendió ganando el 10%, con el importe de la venta compró 80 objetos “B”, y los vendió ganando el 15% y por

8. Un negociante que vendió un artículo en S/.734,5; lo

último con el importe de esta venta compró 828 objetos

hizo ganando el 13% del costo más el 17% de su precio

“C”, al precio de 99 dólares la docena. Calcular el precio

de venta. Hallar el precio de costo.

a)

S/.539,5

b) 543,5

de un objeto “A”. a)

c)

553,5

b) 20

d)

e) 595,5

13.

9. Por el día de la madre el restaurant video pub

27 e)

16

Se vende un objeto ganando el 10%

del costo. Si se quiere ganar S/.132 más, habría que

“Panteras” ofrece a su distinguida clientela un

aumentar en 10% el precio de venta. ¿Cuál es el costo del

descuento del 15% + 20% en todos sus productos. ¿En

objeto?

qué tanto por ciento se tendrá que incrementar el

a)

precio de costo para que aún haciendo el descuento se

S/.1 000

d) 1 240 62,79%

b) 62,93%

10.

63,29%

c)

e) 1 500

c)

62,01% d)

b) 1 200

320

gane el 10% del precio de venta?

a)

c)

24

549,5 d)

$18

TAREA DOMICILIARIA e) 63,39%

Se vende dos productos en S/.4 800.

1. Hace un mes un artículo costaba S/.5 y ahora cuesta

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” S/.7. ¿En qué tanto por ciento ha aumentado el precio

“W”?

del artículo?

a)

40%

b) 60%

c)

45% d)

42%

a)

26 b)

28 c)

d)

25 e)

27

24

e) 54% 6. Un comerciante disminuye el precio de sus artículos en un 20%. ¿En qué tanto por ciento deberá aumentar el

2. En una tienda de abarrotes el 40% es arroz, el 30% es

volumen de sus ventas, para que su ingreso bruto

azúcar y el resto es fideos. Si se consume el 20% de

aumente en un 30%?

arroz y el 70% de azúcar, ¿en qué tanto por ciento disminuyó la bodega? a)

18,3%

b) 60,5%

c)

62,5% a)

33%

b) 30%

c)

d)

28% d)

36%

48,3%

e) 46%

e) 29% 7. Después de realizar dos descuentos sucesivos del 25% y 20% se vende un artículo en S/.540. ¿A cuánto

3. Si se vende un artículo en S/.10, ganando el 5% del

equivale el descuento?

precio de costo, ¿qué tanto por ciento se hubiese ganado si se hubiese vendido en S/.12? a)

S/.360

b) 280

c)

420 a)

24%

b) 26%

c)

d)

28% d)

36%

310

e) 260

e) 35% 8. Una persona vendió su camioneta Pathfinder ganando el 60% del precio de venta. Si lo hubiera vendido

4. En una compra que se realiza hay opción para escoger

ganando el 60% del precio de costo habría dejado de

entre los descuentos sucesivos del 30%, 20% y 10% o

recibir $11 340. ¿A cuánto vendió dicha camioneta?

los descuentos sucesivos del 20%, 20% y 20%. ¿Cuánto se ahorrará si escoge la mejor oferta? a)

$31 700

b) 32 700

c)

32 100 a)

48,8%

b) 47,7%

c)

d)

49,6% d)

46,9%

31 500

e) 29 600

e) 0,8% 9. En una tienda se hace un descuento del 25% a los precios fijados y aún así se gana el 35% del costo. ¿En

5. Si con “W” soles se pueden comprar 80 artículos más

qué tanto por ciento se incrementó el costo del

que con el 75% de “W”, ¿cuántos artículos se pueden

artículo al momento de fijar los precios?

comprar con el 75% del 50% de la mitad del 45% de

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 14. a)

80%

b) 90%

c)

venta ganó el 25% de su costo. Si el beneficio neto fue de

60% d)

75%

Un vendedor de autos pone a la venta

un auto Nissan año 95 a un precio de $5 400 y por la $480, calcular los gastos que produce la venta.

e) 70%

a)

$600

b) 720

c)

480 d) 320

10. Un comerciante que vendió un artículo en S/.51 750 lo

e) 300

hizo ganando el 15% del costo más el 15% del precio de venta. Hallar el precio de costo de dicho artículo.

REGLA DE INTERES SIMPLE a)

S/.38 250

b) 36 850

c)

34 850 d)

36 250

e) 37 250

INTERÉS Es la ganancia o beneficio que se obtiene al prestar un cierto capital en un tiempo determinado y bajo una tasa o rédito a considerarse.

11. Un comerciante vendió dos artículos a $6 210 cada uno. Si en uno de ellos ganó el 8% de su costo y en el otro perdió el 8% de su costo, al final ¿el comerciante ganó o perdió y cuánto fue? a)

ganó 60

CLASES

b) perdió 60 c)

ganó 80 d)

12.

perdió 80

•

separados del capital. Es decir el capital permanece

e) no gana ni pierde

constante durante todo el tiempo.

Un vendedor de zapatos dice que

•

gana el 20% del precio de venta. ¿Qué tanto por ciento

15%

Interés compuesto: Es cuando los intereses se van juntando al capital cada cierto tiempo formando

del precio de costo está ganando? a)

Interés simple: Es cuando los intereses permanecen

nuevos capitales. b) 18%

c)

20% d)

13.

25%

FÓRMULAS (Interés simple)

e) 28%

Para fijar el precio de venta de un

I =

C  r  t 100

I =

C  r  t 1 200

televisor se incrementa su costo en 22%, pero al venderlo

C u a n d o “t” e s té e n “a ñ o s ”

se le hace un descuento del 12% de este precio fijado. Si se ganó $36,8; ¿cuál fue el costo del televisor? a)

$500

b) 600

c)

C u a n d o “t” e sté e n “m e s e s ”

700 d)

550

e) 650

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” I =

C  r  t 36 000

Resolución:

C u a n d o “ t ” e s t é e n “ d ía s ”

C = 4800 t = 3 años 4 meses = 40 meses Donde:

r = 10% anual I = Interés

r = Rédito

C = Capital

t = Tiempo

Luego: I

Observación:

4800  40  10 1200

“r%” debe considerarse “anual” I = S/.1 600 3% mensual



36% anual; r = 36

7% semestral



14% anual; r = 14

8% bianual



4% anual; r = 4

6% trianual



2% anual; r = 2

90% trianual



30% anual; r = 30

2. ¿En cuánto se convierte un capital de S/.8 000 colocado en un banco durante 7 meses al 10% bimestral?

Resolución: C = S/.8 000

Equivalencias: (Año comercial)

t = 7 meses

1 año = 12 meses

r = 10% bimestral = 10  6 = 60% anual

1 mes = 30 días 1 año = 360 días

Luego: I

8000  7  60 1200

Monto I = S/.2 800

Representa la suma del capital más el interés.

3.

Si un capital prestado al 3% mensual

durante 20 meses ha producido un interés de S/.225,

M = C + I

entonces dicho capital es: Resolución:

1. ¿Cuál es el interés que ha producido un capital de

I = S/.225

S/.4.800 durante 3 años y 4 meses, impuestos al 10%

r = S/.3%  12 = 36% (anual)

anual?

t = 20 meses

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 225 

C  36  20 1200

C

a)

8 b)

7 c)

d)

30 e)

10

15

225  1200 36  20 5. Se depositó un capital de $36 000 a una tasa de 2%

C = S/.375

bimestral. ¿Cuántos trimestres estuvo depositado si el monto retirado ascendió a $41 400?


1. Un señor deposita en un banco S/.5 000 y le pagan un

a)

3 b)

4 c)

d)

6 e)

7

5

interés de 4% anual. Si retira todo el dinero a los 45 días, ¿cuánto dinero tiene? 6. Si una persona coloca el 50% de su capital al 50% de interés anual y lo restante al 30% de interés anual, a)

S/.2000

b) 70 000

entonces recibe un interés que equivale al N% de su

c)

capital. El valor de "N" es igual a:

5 400 d)

5 025

e) 5 000

2. Un señor presta S/.850 y al cabo de 4 meses le

a)

50 b)

40 c)

d)

55 e)

60

35

devuelve en total S/.1 003. ¿Cuál fue la tasa de interés mensual que cobró? 7. Un capital es S/.2 000 mayor que otro. El mayor se coloca al 0,5 trimestral y el otro al 0,75% trimestral, a)

5% b)

4,5%c)

luego de 4 años uno de los montos obtenidos excede al

6%

otro en S/.2 840. Calcular la suma de estos dos capitales iniciales y dar como respuestas la suma de

d)

6,5%

las cifras.

e) 4,8%

3. ¿En cuánto tiempo se duplicará un capital colocado al 10% trimestral?

a)

2,6 años

b) 3 c)

d)

2,5e)

4

2

a)

7 b)

8 c)

d)

6 e)

10

9

8. Durante un número de meses igual al tanto por ciento a que estuvo impuesto un capital, aumentó éste en su tercera parte. ¿Cuál fue el tanto por ciento?

4. ¿Al cabo de cuántos meses un capital colocado al 5%

a)

anual, producirá un interés equivalente a 1/8 del

20%

b) 25%

c)

30%

capital? d)

MATEMATICA

15%

e) 35%


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 13. Los intereses que generan dos capitales están en la relación de 15 a 7. Si el capital del primero es el triple

9. Si un capital se duplicase y la tasa de interés se

del segundo y la tasa del primero es el cuádruple del

triplicase, sería S/.20 000 mayor. ¿Cuál es el interés

segundo, hallar en qué relación se encuentran los

primitivo?

a)

tiempos de depósito.

S/.2 000

b) 3 000

c)

a)

4 000 d)

2 500

e) 3 500

d)

c)

e) 25/84

colocar un capital para que en 4 años produzca un

obtuvieron estaba con el capital en la relación de

interés que sea el doble del capital?

134/80. ¿A qué tanto por ciento estuvo impuesto el

a)

capital?

b) 20%

5/28

14. ¿A qué tasa semestral de interés simple se debe

años y 3 meses. La suma del capital e intereses que se

15%

b) 49/80

35/48

10. Un capital estuvo impuesto a interés simple durante 2

a)

30/21

c)

40% 20%

b) 30%

d) 32%

e) 25%

c)

25% d)

30%

e) 35%

TAREA DOMICILIARIA

11. Un capital, un número exacto de soles produce anualmente S/.439,75. El tanto por ciento es igual a la

1. Realiza las siguientes equivalencias de tiempo:

cifra de las unidades del capital. Hallar la suma de las cifras del capital.

a)

F.D.

b) 27

c)

28 d)

29 e)

30

12. ¿Qué porcentaje de un capital no se prestó, si el

*

2 años < > ... trimestres

*

30 bimestres < > ... años

*

18 meses < > ... años

*

2,25 años < > ... meses

*

8 semestres < > ... bimestres

interés producido por la otra parte durante 8 meses a un rédito de 75% anual, fue el 18% del capital

2. Realiza las siguientes equivalencias sobre las tasas de

primitivo? a)

32%

b) 64%

interés:

c)

25% d)

36%

e) 56%

MATEMATICA

*

2% mensual < > ... anual

*

7% trimestral < > ... anual



5% semestral < > ... anual

*

48% anual < > ... quincenal

*

a)

S/.720

b) 430

c)

480

0,25% bimestral < > ... anual d)

500

e) 610

3. ¿Qué interés produce S/.2 000 si se imponen durante 6 meses a una tasa de 5% mensual?

8. Se depositaron S/.20 000 en un banco durante un año y medio a una tasa del 26% anual a interés simple. ¿Cuánto interés se obtuvo?

a)

S/.500

b) 400

c)

600 d)

800

a)

e) 900

S/.7 800

b) S/.8 070 c)

S/.800 d)

8 700

e) 7 008

4. ¿Qué interés produce un capital de S/.3 600, que se coloca al 10% anual en 4 años? 9. ¿Qué interés produce un capital de S/.160 000 al 6% anual durante un año y siete meses a un interés a)

1 200

b) 2 100

simple?

c)

4 800 d)

1 440

e) 1 800

a)

S/.15 200

b) 1 500

c)

5 200 d)

5. ¿Cuál es el interés que produce un capital de S/.4 000

5 100

e) 2 500

que estuvo impuesto durante 1 año y 3 meses al 2% mensual? 10. ¿A cuánto asciende el interés que paga un banco si depositamos S/.1 200 durante 2 años a una tasa de a)

S/.2 500

b) 2 000

interés del 16%?

c)

1 800 d)

1 500

e) 1 200

a)

coloca al 12% anual en 4 bimestres?

120

b) 288

d)

c)

144

c)

192

e) 384

11. ¿Cuál es el interés generado por un capital de $3 400

480 d)

b) 348

240

6. ¿Qué interés produce un capital de S/.3 600, que se

a)

S/.428

durante 2 años y tres meses, si la tasa anual es del 5%?

e) 180

a)

7. Determinar el interés generado al depositar S/.3 600

$382,50

b) 380,50

c)

250,50

al 5% trimestral durante 1 año.

MATEMATICA



285,50

e) 590,50 a)

S/.122 500

b) 145 000 c)

220 000

12. Una persona deposita $600 000 a plazo fijo, que paga 35% de interés anual. ¿Cuánto dinero recibe

d) 132 456

e) 100 000

trimestralmente?

a)

$25 000

b) 35 000

c)

50 500 d)

52 500

e) 30 000

13. Natalia paga $10 como interés mensual por un dinero

PROMEDIOS

que le prestaron al 0,5% mensual. ¿Cuánto le prestaron?

a)

$1 500

b) 2 000

c)

3 000 d)

1 000

¿Qué es un promedio? Se denomina promedio a aquella cantidad que representa a un conjunto de datos, con la condición que se encuentre comprendida entre el mínimo y el máximo de dichos datos. Sean las cantidades:

e) 1 600

14. ¿Cuál es el capital que al 4% anual y durante 10 meses

a1 < a2 < a3 < ... < an

ha producido un interés de S/.12?

a1 < Promedio < an a)

S/.800

b) 360

c)

Clasificación 1. Promedio aritmético ( ma ) Sea las cantidades: a1; a2; a3; ...; an

3 600 d)

1 100

e) 200

ma  15. ¿Cuál es el capital que al 6% anual produce una utilidad

Ejemplo:

de S/.640 en 8 meses?

a)

S/.16 000

Calcular el promedio aritmético de 18; 12; 9 y 14

b) 14 000

ma 

c)

14 200

18  12  9  14  13,25 4

• Nota

14 400 d)

a1  a 2  a 3  ...  a n n

Promedio ponderado: Sean las notas de un alumno en

e) 13 200

cálculo I en su primer ciclo en la UNI.

Promedio de prácticas Examen Parcial Examen Final

16. ¿Qué capital colocado a 8% durante 54 días producirá S/.1 470 de interés?

MATEMATICA

: 09  Peso 1 : 11  Peso 2 : 10  Peso 3


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Promedio:

m a m h  m g

1  9  2  11  3  10  10,16 1 2  3 2. Promedio geométrico ( mg)

2


Sean las cantidades: a1; a2; a3; ...; an

mg 

n

a1

a2

a3

...

1. La edad promedio de 25 personas es 22. ¿Cuántas

an

personas de 25 años deberán retirarse para que el promedio de los restantes sea 20?

Ejemplo: Calcular el promedio geométrico de 8; 343 y 125

mg  3 8  343  125  mg  70

a)

2 b)

8 c)

d)

3 e)

5

10

2. Si a un grupo de cinco números se le agrega los números 18, 12 y 10 se observa que su promedio aritmético disminuye en 4 unidades. Determinar el promedio aritmético de este nuevo grupo de números.

3. Promedio armónico ( mh )

Sean las cantidades: a1; a2; a3; ...; an n 1 1 1 1    ...  a1 a2 a3 an

mh 

Ejemplo: Calcular el promedio armónico de 2; 4 y 6 mh 

a)

20 b)

24 c)

d)

28 e)

25

21

3. En un salón de 60 alumnos el promedio de notas en castellano es 12,0. Si 20 de ellos tienen un promedio

3 36  mh  1 1 1 11   2 4 6

de 18,0, ¿cuál es el promedio de los 40 alumnos restantes?

Propiedades 1. Para cantidades diferentes se tiene que:

ma  mg  mh

a)

9 b)

10 c)

d)

12 e)

Otro valor

11

2. Para cantidades iguales se tiene que: 4. El promedio de 20 alumnos de física es 12, de los otros

ma  mg  mh

15 es 14 y de los 27 restantes es 15. ¿Cuál es el promedio general?

3. Para dos números se cumple que: ma 

a b 2 media aritmética

mg  a  b

 media geométrica

2ab mh  a  b media armónica

Luego:

MATEMATICA

a) 13

b) 14,20

d) 12,70

e) 15,20

c) 13,79


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” refiere a la media armónica). a)

5. En un aula de 40 alumnos, el promedio de los 10

32 km/h

desaprobados, si el promedio de la clase es 08.

a)

2 b)

4 c)

d)

8 e)

10

b) 34

c)

36

aprobados es 14. Hallar el promedio de los d)

6

38 e)

30

10. ¿Cuál es la velocidad promedio de un aeroplano para ir de la ciudad “A” hasta la “D”? (A B C D = Cuadrado; Lado = 100 m)

6. El promedio de las edades de las cuatro hermanas de

20 km /h

A

Pedro es 20 y de las tres hermanas de Elsa es 30.

B

¿Cuál será el promedio de todas ellas incluido Pedro y Elsa, si la suma de las edades de ambos es 46 años?

80 km /h

40 km /h

D

a)

20 b)

30 c)

d)

24 e)

22

C

25

60 km /h

a)

38,4 km/h

b) 50

c)

45,2 7.¿Cuál es el valor de uno de tres números que tienen

d)

40,8

e) 60

como promedio “2a”, si además se sabe que el promedio de los otros dos es “b”? 11. El promedio de las notas en un curso de 40 alumnos fue 12. Los primeros 5 obtuvieron un promedio de 10 y a)

6a - 2b

b) 2a - b

c)

los 10 últimos, un promedio de 15. Hallar la nota

3a - 2b d)

6a - b

promedio de los restantes. e) 2b - 6a a)

8.

11,2

b) 10

c)

13,5

La media armónica de dos cantidades

es 16/3 y su media aritmética es 12. ¿Cuál es su media

d)

12,5

e) 12

geométrica? a)

2 b)

4 c)

d)

8 e)

10

6

12. El promedio de los pesos de 60 objetos es 50 kilogramos. Cada uno de los objetos pesa un número entero de kilogramos. ¿Cuánto puede pesar como máximo uno de ellos; si ninguno pesa menos de

9.

48 kg?

Un carro recorre 120 km de “A” a “B”

con una velocidad de 30.km/h y de regreso recorre la misma distancia a 40.km/h, entonces la velocidad promedio del viaje completo es aproximadamente de:

a)

160 kg

b) 168

c)

159

(Cuando los espacios son iguales, la velocidad promedio se

MATEMATICA



161e)

165 4. El promedio de 15; 40; "n" y 15 es 20, hallar “n”.

13. El promedio aritmético de tres números es 14, el promedio geométrico es par e igual a uno de ellos y su promedio armónico es 72/7. Hallar el menor de los números.

a)

8 b)

6 c)

d) 30

e) 4

a)

20 b)

25 c) 10

d)

18 e)

12

5. El promedio aritmético de cinco números es 85. Si consideramos un sexto número, el promedio aumenta en 15. ¿Cuál es el sexto número?

24

a)

200 150

b) 175

d)

125

e) 100

TAREA DOMICILIARIA

6. Si a cinco números se le agregan los números 20 y 30 se observa que su promedio aritmético disminuye en seis unidades. Hallar el promedio de esos cinco números.

1. Calcula el promedio aritmético de:

*

24 ; 30 ; 72 ; 42

*

2,18 ; 5,1 ; 4,02

*

5 1 2 1 7 ;3 ;1 ; 3 ; 2 4 3 2 4

c)

a)

4 b)

42 c)

d)

46 e)

40

44

7. El promedio de 20 números es 40, cuando se considera 2. Calcula el promedio geométrico de:

un número más, el promedio disminuye en una unidad. El número considerado es:

*

15 ; 30 ; 60

*

16 ; 48 ; 135 ; 125

*

72 ; 25 ; 15

a)

18 b)

19 c)

d)

25 e)

21

20

8. Seis señoras están reunidas. Si ninguna pasa de los 60

3. Calcula el promedio armónico de:

años y el promedio de las edades es de 54 años, la mínima edad que puede tener una de ellas es:

*

20 ; 30

*

5 ; 10 ; 20

*

12 ; 20 ; 30 ; 15

a)

22 años

b) 24

c)

26 d)

MATEMATICA

28 e)

30



9. El promedio de las edades de cinco hombres es de 28 años. Ninguno de ellos es menor de 25 años. ¿Cuál es la

Aumenta en 4 b) Aumenta en 3,5 Disminuye en 2 d) Disminuye en 5,2 Disminuye en 4,5

c)

máxima edad que podrá tener uno de ellos?

e) a)

40 b)

50 c)

d)

45 e)

55

60

14. El promedio de 30 números es 50. Si agregamos 10 números cuyo promedio es 20, ¿cuál es el promedio final? a)

años. Ninguno de ellos es menor de 45 años. ¿Cuál es la

d)

máxima edad que uno de ellos podría tener?

57 años

b) 27

15.

c)

47 e)

c)

32,3

e) 35,2

De un grupo de 20 jóvenes, ninguno de ellos es menor de 18 años. ¿Cuál será la máxima

45 d)

b) 30,2

42,5

10. El promedio de las edades de cuatro hombres es 48

a)

28,3

edad que uno de ellos podría tener, para que el promedio de edades sea 19 años?

37

a)

11. El promedio de la edad de los tres hermanos de Juan es 12 años, y el promedio de edades de los cinco hermanos de María es 10 años. ¿Cuál será el promedio de edad de todos ellos incluidos Juan y María, si las edades de estos dos últimos sumarán dentro de 10 años 48 años? a)

11 b)

11,1 c)

d)

11,4

e) 11,2

36 años 39

b) 38

d)

40 e)

42

b) 34

c)

36 d) 38

e) 40

11,3

REGLA DE MEZCLA

12. En un grupo de 30 personas, el promedio de las edades de los 15 mayores es 42 y el promedio de los restantes es 28. Si el promedio de los 10 mayores es 45 y el de los 10 menores es 22, ¿cuál es la edad promedio de los 10 restantes?

a)

35 años

Conceptualmente hablando se llama Mezcla a la unión íntima de varias sustancias, aunque comercialmente se puede afirmar que mezcla es el procedimiento que tienen por finalidad reunir artículos o sustancias de una misma especie, tratando de obtener de varios precios diferentes, uno en común para ellos.

c)

Comúnmente se presentan dos casos conocidos de la Regla de la Mezcla: Primer Caso:

13. El promedio de 50 números es 30. Si se retiran 5 números cuyo promedio es 48, ¿en cuánto varía el promedio?

Consiste en determinar el precio de la mezcla, conociendo los precios unitarios (calidades) y las proporciones (cantidades) de cada uno de los ingredientes.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Ejemplo:

soles el litro, resultando en total 128 litros a 32 soles el litro. ¿Qué cantidad se tomó de cada uno?

¿Cuál es el precio de la mezcla que resulta de combinar 36 kg de té a 15 soles el kg con 22 kg de té a 12 soles el kg y con 42 kg de té a 30 soles el Kg?

Resolución:

Resolución: C a n t id a d (kg )

P r e c io U n it . ( S / .)

C o s t o P a r c ia l ( S / .)

36 22

15 12

540 264

42 100 kg

30

1 260 6 420

Si:

“a”  de S/.43

“b”  de S/.27

Por dato: a + b = 128

100 Kg cuestan 2 064 soles

2 064 1 Kg. costará: 100 = S / .20,64

Como:

En general:

P

C1  P1  C2  P2 C1  C2

Reemplazando:

Cantidades: C1, C2, ..., Cn

32 

Precios unitarios: P1, P2, ..., Pn

a  43  b  27 a b

32a + 32b = 43a + 27b 5b = 11a

P 

C 1  P1  C 2  P 2  ...  C n  P n C1  C

2

 ...  C n

Pero: Es decir: a + b = 128  P 

C o sto To ta l C a n t id a d T o t a l

11a 16a a + 5 = 128  5 = 128

a = 40 

b = 88 

Método del aspa

Segundo Caso: Consiste en hallar las cantidades de cada ingrediente, conociendo el precio medio, los precios unitarios y la cantidad total.

C a n t id a d

P r e c io u n i t a r io

a

43

R e l a c ió n 32 - 27 = 5 32

Ejemplo:

b

27

43 - 32 = 11

Se mezcla un vino de 43 soles el litro, con otro de 27

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Se cumple:

V1 = 18, g1 = 70° V2 = 24, g2 = 80° V3 = 8, g3 = 90°

a 5 5  11 128 16   ;  b 11 5 a 5

gM 

Finalmente:

a = 40 

V1  g1  V2  g2  V3  g3 V1  V2  V3

18(70)  24(80)  8(90) gM  18  24  8 gM  78

b = 88 

EJERCICIOS PARA LA CLASE MEZCLAS ALCOHÓLICAS La pureza o fuerza de un alcohol se mide en grados, que equivale al porcentaje de alcohol presente en la mezcla, siendo el resto agua.

1. Si se mezclan 20 kg de arroz de S/.3 el kg con 30 kg de arroz de S/.3,50 el Kg, ¿cuál será el precio de 1 kg de esta mezcla?

Por ejemplo: Rpta.: ............................................................ i) Un alcohol significa que el 90% es alcohol y el resto ii) Una mezcla de 75°, significa que el 75% es alcohol agua. iii) Una mezcla de alcohol puro, tendrá 100°.

de 90°, es agua. alcohólica y el resto

2. En un recipiente se mezclaron 40 litros de vino de S/.8 el litro con 20 litros de vino de S/.6,50 el litro. ¿Cuál es el precio de un litro de esta mezcla?

Rpta.: ............................................................

Si tenemos diferentes volúmenes de alcohol (V 1,V2,V3, ...) con diferentes grados de pureza (g1, g2, g3, ...) el grado de pureza de la mezcla se determinará de la siguiente manera:

gM 

3. Si se mezclan 25 litros de alcohol de 80°, con 15 litros de alcohol de 72° y 10 litros de alcohol de 90°, se

V1  g 1  V 2  g 2  V 3  g 3  ...  V n  g n V1  V 2  V 3  ... + V n

obtendrá una mezcla cuyo grado es:

Rpta.: ............................................................

Ejemplo: Si se mezclaron 18 litros de alcohol de 70°, con 24 litros de alcohol de 80° y 8 litros de alcohol de 90°,

4. Juan Carlos, preparó una mezcla de ron para los cual,

¿cuál es el grado de la mezcla?

empleó 1,5 litros de ron Pomalca de 80° y 2,5 litros de ron Pampero de 96° de pureza. ¿Cuál es el grado de pureza de esta potente mezcla?

Resolución:

PROBLEMAS PARA LA CLASE Tenemos:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 5. En una bodega venden dos tipos de café, uno a S/.6,50 el kilogramo y otro a S/.9,00. Si Anita quiere preparar

1. ¿A cómo debe venderse el litro de vino que resulta de

una mezcla de 45 kg que tenga un precio promedio de

mezclar 40 litros de S/.2,50 el litro con 30 litros de

S/.7,50 el kilogramo, ¿cuántos kilogramos de cada uno

S/.3,00 el litro y 30 litros de S/.4,00 el litro, sin

debe emplear?

ganar ni perder? a)

S/.3,50

b) 3,2

c)

3,1 d)

3,8e)

a)

24 y 21

b) 30 y 15

c)

25 y 20

3,7 d)

27 y 18

e) 32 y 13

2. Si Patsy mezcla 150 kg de arroz de S/.4,00 el kg con 250 kg de arroz de S/.3,60 el kg y 100 kg de arroz de

6. Si Fernando echa en un recipiente 20 litros de alcohol

S/.4,50 el kg, ¿cuál es el precio de un kilogramo de

de 82°; 30 litros de alcohol de 75°; 10 litros de alcohol

arroz de esta mezcla?

puro y 15 litros de agua, ¿cuál será el grado de su mezcla?

a)

S/.3,90

b) 3,60

a)

c)

4,10

d)

e) 4,20

precio del litro de aceite de mayor precio.

c)

a)

80° d)

84°

e) 63°

mezcla con un precio promedio de S/.6. Hallar el

72°. ¿Cuál es el grado de pureza de la mezcla?

b) 78°

72°

60 litros de aceite de mayor precio, obteniendo una

20 litros de alcohol de 90° y 25 litros de alcohol de

75°

c)

7. Desiré mezcla 90 litros de aceite de S/.5 el litro con

3. En un tonel, Jesús mezcla 15 litros de alcohol de 80°,

a)

b) 65,2°

60,5°

3,20 d)

71,3°

S/.7,00

b) 7,20

c)

7,50 e) 87°

d)

4. Gerson quiere preparar una mezcla de 120 litros de

8,00

e) 8,50

8. Iván tiene 40 litros de alcohol de 90°. ¿Cuántos litros

vino, para lo cual tiene vinos de dos calidades, cuyos

de agua debe agregar para reducir a 72° la pureza de

precios por litro son S/.19 y S/.29. Si queremos que el

su mezcla?

precio por litro de mezcla sea S/.25, ¿cuántos litros de cada clase debe emplear Gerson?

a)

12 litros

b) 15

c)

18 a)

40 y 80

b) 48 y 72

d)

c)

20 e)

10

45 y 75 d)

30 y 90

e) 20 y 100

9. ¿Cuál debe ser la pureza del alcohol que deberá añadir Erick a 80 litros de alcohol de 96°, para obtener 100 litros de alcohol de 90°?

MATEMATICA



66°

b) 60°

c)

P r o c e d e n c ia

C a n tid a d

P r e c io x k g

C hancham ayo

120 kg

S / .1 5 ,2 0

Jaén

200 kg

S / .1 4 ,3 0

Bagua

80 kg

72° d)

81° e)

85° Si el precio por kilogramo del café procedente de Bagua se omitió involuntariamente, hallar su valor; si

10.

luego de mezclar las tres cantidades de café el precio

Nancy ha mezclado 60 kg de café de

por kilogramo de la mezcla resultó S/.14,41.

S/.50 el kilogramo con otra cantidad de café cuyo peso representa el 25% del peso total y se ha obtenido como precio medio S/.47,50. ¿Cuál es el precio del kilogramo de la segunda cantidad de café?

a) S/.27,50

b) 32,50

d)

45 e) 40

a) S/.12,50

b) 12,80

c) 13,00

d) 13,50

e) 14,00

c) 25,0

TAREA DOMICILIARIA

11. Un comerciante tiene 150 kg de arroz que puede vender a S/.2,40 el kilogramo; 200 kg de arroz que

1. ¿A cómo sale el litro de una mezcla de 10 litros de vino

puede vender a S/.3,00 el kilogramo y 250 kg de arroz

de S/.8,40 con 8 litros de S/.9 y con 12 litros de

que puede vender a S/.2,80 el kilogramo. Si mezcla las

S/.12?

tres cantidades, ¿a qué precio puede vender el kilogramo para ganar el 15%?

a)

S/.3,52

b) 3,18

c)

2. Si se tiene 14 litros de vino de S/.8 el litro y se les

3,05 d)

12.

3,26

añaden 6 litros de agua, ¿a cómo sale el litro de la mezcla?

e) 3,56

En un recipiente Rodrigo mezcla 30 litros de vino de S/.4,50 el litro, con 20 litros de vino

3. En un tonel de 100 litros de capacidad se echan 40

de S/.5 el litro y 40 litros de vino de S/.6,50 el litro.

litros de vino de $6; 50 litros de $8 y se acaba de

¿Cuál es el precio de venta de un litro de esta mezcla,

llenar con agua. ¿A cómo sale el litro de la mezcla?

si se quiere ganar el 20%? a)

S/.6,30

b) 6,20

c)

6,80 d)

6,60

e) 7,20

4. En el problema anterior, ¿a cómo resulta el litro de la mezcla si se quiere ganar el 25% del costo?

13.

En un almacén de café, Dónovan se encontró la siguiente guía de remisión:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 5. ¿Qué cantidades necesito de harina de S/.10 el kg y

de alcohol puro. ¿Cuál sería el nuevo porcentaje de

S/.15 el kg para obtener harina que pueda venderla a

alcohol en la mezcla?

S/.13 el kg sin ganar ni perder, si la mezcla tiene 10 kg?

12. Si 20 litros de agua contienen 15% de sal, ¿cuánto de agua se debe evaporar para que la nueva solución 6. Una mezcla de 90 litros contiene vino de dos calidades

contenga 20% de sal?

de S/.28 y S/.16 el litro. Sabiendo que un litro de la mezcla se vende por S/. 18, ¿qué cantidad del segundo tipo se utilizó?

13. Determinar cuánto pesa 1 litro de una mezcla que tiene 70% de agua y 30% de alcohol. Si el litro de agua pesa 1 kg y el litro de una mezcla de 75% de alcohol y 25% de agua pesa 960g.

7. Un recipiente contiene 30 litros de vino mezclado con 10 litros de agua, la mezcla cuesta S/.1 200. ¿Cuánto de agua se debe agregar para que el precio por litro de la mezcla disminuya en S/.6?

14. En 40 litros de agua hay 1 g de azúcar. Si queremos que la mezcla guarde una relación de 0,01 g por cada 4 litros, ¿cuántos litros de agua se deben agregar?

8. Se mezcla 48 litros de vino de 60 soles el litro con 36 litros de vino de 50 soles el litro y para que la mezcla resulte a 40 soles el litro se agregó una cierta

15. Un campesino tiene 700 kg de dos clases de cebada,

cantidad de agua. ¿Cuál es esa cantidad?

una de S/.2,55 el kilogramo y la otra de S/.3,25 el kilogramo; se mezcla en la proporción de 4 a 3 y vende el kilogramo de esta mezcla a S/.3,00. ¿Cuál es el tanto por ciento de ganancia respecto al precio de venta?

9. Si un litro de mezcla formado por 75% de alcohol y 25% de agua pesa 850 g, ¿cuánto pesará un litro de mezcla formado de 25% de alcohol y 75% de agua?

16. El litro de la mezcla formado por el 25% de líquido “A” y el 75% de “B” pesa 900 g. Si un litro formado por el 10.

45% y 55% de los mismos pesa 860 g, hallar cuántos

Una cierta cantidad de azúcar que

gramos pesa 1,5 litros de una mezcla formado por 48%

cuesta S/.120 el kilo se mezcla con 100 kilos de azúcar

de “A” y 52% de “B”.

de S/.180 el kilo. Si el precio medio de la mezcla es S/.142,5; hallar dicha cantidad.

17. Se tiene dos depósitos con líquidos de la misma naturaleza, pero de precios diferentes. El primero contiene 20 litros y el segundo 30 litros. Se saca de cada uno la misma cantidad y se echa en el primero lo

11. A una solución de 2 litros de alcohol y agua al 20% de

que se saca del segundo y recíprocamente. ¿Qué

alcohol (en volumen) se le agrega 1 litro de agua y litro

cantidad ha pasado de un depósito al otro si el

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” contenido de los dos ha resultado de la misma calidad?

Ejemplos: El número de habitantes que viven en una ciudad (finito). Los posibles sucesos caras o sellos obtenidos en los lanzamientos sucesivos de una moneda (infinito).

18. Se venden 12 litros de leche adulterada con un peso de 12,42 kg. Si la densidad de la leche pura es 1,04; ¿cuánta agua se empleó en la adulteración?

2. Muestra: Es una parte de la población que será sometida a un estudio. Se suelen tomar muestras

19.

cuando es difícil o costosa la observación de todos los

Cierta cantidad de leche que tiene el

elementos de la población estadística.

20% de su contenido de agua cuesta S/.100. ¿Cuánto costará la misma cantidad de leche si tuviese el 25% de

3. Dato Estadístico: Son números o medidas que han

agua en su contenido?

sido recopilados como resultado de observaciones.

4. Variables Estadísticas: Es la característica de la población que interesa al investigador y que puede

ESTADÍSTICA I

tomar distintos valores. Las variables estadísticas se denotan con las letras "x", "y", "z", etc.

Ejemplo:

DEFINICIÓN

Peso, estatura, sexo, demanda de un producto, sintonía de un programa de TV o radio, etc.

Es la ciencia que nos proporciona un conjunto de métodos y procedimientos para recolección, clasificación, análisis e interpretación de datos para tomar decisiones. CLASIFICACIÓN DE LAS ESTADÍSTICA 1. Estadística Descriptiva: Se encarga de la reco-

La Variable Estadística puede ser: Cualitativa o

lección, clasificación, presentación, descripción y

Cuantitativa.

simplificación de los datos.

a) Variable Cualitativa: Consiste en la clasificación por categorías, no lleva clasificación numérica. Ejemplo: La variable “Estado Civil”, puede adoptar las modalidades: soltero, casado, divorciado, viudo.

2. Estadística Inferencial: Nos proporciona la teoría necesaria para estimar las leyes de una población partiendo de los resultados o conclusiones del análisis de una muestra.

b) Variable Cuantitativa: Son variables que se obtienen como resultado de mediciones o conteos.

DEFINICIONES PREVIAS

La variable cuantitativa puede ser: Discreta o Continua.

1. Población: Es la totalidad de elementos del conjunto estudiado, en las cuales se presentará determinada

• Variable Discreta: La variable no puede tomar cualquier valor comprendido entre otros dos enteros. Ejemplo: El número de miembros de una familia puede ser: 4 ó 5 pero no un valor entre ellos.

característica (edades, pesos, estatura de los habitantes de una ciudad, el número de artículos defectuosos producido por una industria, etc). Dependiendo del número de elementos que forman una población, ésta puede ser finita o infinita.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” • Variable Continua: La variable puede tomar cualquier valor comprendido entre otros dos. Ejemplo: Una persona puede pesar 70 kg ó 71 kg o cualquier valor comprendido entre ellos.

4

2

3

5

6

2

3

3

4

5

3

7

2

2

3

6

3

3

4

2

ETAPAS DEL MÉTODO ESTADÍSTICO a) Rango o Amplitud de los datos

Los métodos estadísticos se dividen en cuatro etapas:

Llamado también “recorrido de los datos”; el rango es

1ra Etapa: Planificación del estudio Esta etapa tiene la finalidad de estudiar los detalles

la diferencia entre el mayor y el menor de los valores que forman la variable.

concernientes a la recolección, clasificación y análisis de la información.

Del ejemplo, el rango de los datos es: R = 7 - 2 = 5

2da Etapa: Recolección de la información Esta etapa tiene para el investigador mucha más importancia que cualquier otra, pues tiene que ser vigilada constantemente por éste, de manera que la

b) Frecuencia Absoluta de un dato (fj)

información recogida sea correcta.

Es el número de veces que aparece un valor de la variable estadística.

3ra Etapa: Organización de la información Luego de recogida la información es necesario revisarla, resumida y presentada convenientemente, antes de que sea posible analizarla.

Del ejemplo, la frecuencia absoluta de 3 es 7.

4ta Etapa: Análisis e interpretación de los resultados Es la parte final de un estudio

c) Frecuencia Absoluta Acumulada de un dato (Fj)

estadístico y puede ser presentado en cuadros o gráficos.

La frecuencia absoluta acumulada de un dato de la variable, es la cantidad de datos hasta determinado valor de la variable. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS O TABLAS DE FRECUENCIAS DE UNA VARIABLE DISCRETA

Del ejemplo, la frecuencia absoluta acumulada de 3 será: 5 + 7 = 12

Consiste en presentar los datos en cuadros o tablas.

d) Frecuencia Relativa de un dato (hj)

A continuación, se detallará los conceptos previos para la construcción de cuadros o tablas.

Es el cociente entre la frecuencia absoluta del dato y el total de datos.

Ejemplo: hj 

Se ha encuestado a 20 familias respecto al número de miembros que lo conforman (padres e hijos incluidos).

fj n

Del ejemplo, la frecuencia relativa de 3 es:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 7 20 = 0,35 ó 35%

e) Frecuencia Relativa Acumulada de un dato (Hj)

N ú m e r o d e m ie m b r o s d e u n a f a m i li a ( x j)

N ú m e ro d e f a m il ia s fj

2 3 4 5 6 7 To ta l

5 7 3 2 2 1 20

Es el cociente entre la frecuencia absoluta acumulada y el total de datos.

Hj 

Fj

Fj

hj

H

5 12 15 17 19 20

0 ,2 5 0 ,3 5 0 ,1 5 0 ,1 0 0 ,1 0 0 ,0 5 1

0 ,2 5 0 ,6 0 0 ,7 5 0 ,8 5 0 ,9 5 1

j

n

Del ejemplo, la frecuencia relativa acumulada de 3 es: 12 20 = 0,60 ó 60%

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS O TABLA DE FRECUENCIA DE UNA VARIABLE CONTINUA (Agrupación en intervalos)

PROPIEDADES DE LAS FRECUENCIAS

Es una tabla en donde los datos originales se clasifican en intervalos de clase. Las razones de la agrupación por intervalos de clase es el número grande de datos.

Sea “n” el número total de datos de la variable “x” que toma los valores: x1; x2; ...;xk.

Ejemplo:

k

1. r1 + r2 + ... + rk =

fj  i1

=n

A continuación, se proporciona como datos las remuneraciones semanales (en dólares) de 50 obreros

k

 hj

2. h1 + h2 + ... + hk = i1

de una industria. = 1 ó 1 00%

3. Fk = n

4. Hk = 1 ó 100%

5. 0  hj  1

;



i = 1; 2; ...; k

6. 0  rj  n

;



i = 1; 2; ...; k

73

47

67

82

67

70

60

67

61

80

65

70

57

85

59

70

57

73

77

58

69

58

76

67

52

68

69

66

72

86

76

79

77

88

94

67

77

54

93

56

73

64

70

46

68

63

72

84

63

74

a) Determinación del rango Es la diferencia entre el mayor (xmáx) y el menor (xmín) de los datos de la variable.

7. Fj = Fj-1 + fj, de donde: fj = Fj - Fj-1

E  x m á x  x m ín

Resumiendo los datos en una tabla:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Del ejemplo: El rango es: R = 94 - 46 = 48

C=

48 6 8

d) Determinación de los límites de clase

b) Determinación del número de intervalos de clase Consiste en dividir el rango en número conveniente de

Se recomienda que el límite inferior del intervalo de la

intervalos de clase, generalmente del mismo tamaño.

primera clase sea el menor de los datos, enseguida se

No hay una fórmula exacta para calcular el número de

agrega "C" para obtener el límite superior de dicha

intervalos de clase, sin embargo existen tentativas y

clase.

aproximaciones. Del ejemplo, el intervalo (semiabierto) de la primera Podemos considerar dos tentativas:

[ 46 ; 52 L ím i t e s u p e r io r

clase es: L ím i t e in f e r i o r i)

Número de clases: k =

5, si el número de datos (ii) es  25 y k = n , si: n > 25 ii)

Fórmula de Sturges: k = 1 + 3,3 log n

e) Determinación de la frecuencia de clase Consiste en determinar el número de datos que caen en cada intervalo de clase.

Del ejemplo: n = 50 entonces podemos asumir:

Del ejemplo, en la primera clase: [46; 5 2 Existen 2 datos, es decir:

50 = 7,07; es i) k = decir el número de intervalos de clase puede ser: 6; 7 u 8.

f1 = 2

j) Marca de clase:

ii) k = 1 + 3,3 log 50 = 6,6; es decir el número de intervalos de clase puede ser: 6; 7 u 8.

Es el punto medio del intervalo de clase: Del ejemplo, la marca de clase de la primera clase

c) Determinación del tamaño de los intervalos

([46; 5 2

Es conveniente que los intervalos de clase sean del

Resumiendo los datos en una tabla:

mismo tamaño.

A m p li t u d d e c l a s e : C =

46+52  49 2 ) es:

R K

Del ejemplo, la amplitud de cada clase será:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” R e m u n e r a c io n e s ( d ó la r e s )

M a rca d e c la s e

fj

Fj

hj

H

j

Resolución:

[46 ; 52 [52 ; [

;

[

;

[

;

[

;

[

;

[

;

100% b

% a

30% To ta l

8

12

16

18

20

Usando proporciones entre: [8 ; 12]; [8 ; 16] Representación gráfica de variables cuantitativas

a  30 50  30   a  40% 12  8 16  8

Las más usadas son: Usando proporciones: [16 ; 18] ; [16 ; 20] 1.

Diagrama de barras.

2.

Histograma.

3.

Polígono de frecuencias.

4.

Polígono de frecuencias acumuladas u

b  50 100  50   b  75% 18  16 20  16

b - a = 75% - 40% = 35%

Ejemplo 2

ojiva. 5.

Diagrama de sectores El siguiente histograma fue el resultado de un examen de admisión de 100 preguntas. Se desea saber ¿cuántas preguntas se contestaron con nota mayor que

Ejemplo 1

13,5? P re g u n ta s

El siguiente cuadro muestra la ojiva de frecuencia

100

relativa de las notas del examen bimestral de los alumnos del 3ro "B". ¿Qué porcentaje de alumnos

50 40

tuvieron una nota entre 12 y 18?

30 10

100%

9

11 13 15 17

N o ta s

50% 30%

Resolución: 8

16

20

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 4 + 100°

Usando proporciones: 2 0 ,5 1 3 ,5

12

N o ta s 14

16

 + 3 +

10°

4 +

5°

5°

12 + 120 = 360° 12 = 240°   = 2 0 °

18

a

1 v u e lta

100

Aritmética (A): 4  + 1 0 0 ° 4(20°) + 100°

0,5 a   a  25 2 100

180°

Piden: a + 40 + 10 = 75

Ejemplo 3

En el gráfico circular se muestra la preferencia de algunos cursos que estudian todos los alumnos de 3ro

a)

360° 180°

b)

Total de alumnos: 600

en el colegio Regina, si el total de alumnos encuestados

A = 50%

A = 50% (600)

fue 600.

a)

100% A

A = 300

alumnos

¿Qué porcentaje prefiere

Aritmética? b)

¿Cuántos alumnos prefieren

Aritmética?

Las Gráficas estadísticas, son representaciones gráficas de los resultados que se muestran en una tabla estadística. Pueden ser de formas muy diversas, pero con cada tipo de gráfica se cumple

A 4 + 100°

un propósito. Por ejemplo, en los medios de comunicación, libros de divulgación y revistas

X

especializadas se encuentran multitud de gráficas

 + 1 0 °

estadísticas en las que, con notable expresividad, se ponen de manifiesto los rasgos de la

4 + 5° G

distribución que se pretende destacar.

T

Resolución:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” PROBLEMAS PARA LA CLASE d)

Se han tomado el peso (en kg) a 30 jóvenes obteniéndose:

12 e)

13

5. ¿Qué porcentaje de jóvenes pesan de 58 kg a 70 kg?

48 46 44 56 70 42 46 46 68 48

a)

1 25 3 %

1 b) 26 3 %

1 c) 16 3 %

42 50 40 52 54 60 64 50 52 66 68 42 62 50 62 52 50 50 44 44

d)

1 15 3 %

1 e) 18 3 %

1. Agrupe los datos en intervalos de ancho común e igual a 6. Calcular el rango de la variable. 6. Determinar el valor de: a)

24 b)

28 c)

26 h2 + h 4 + h 3

d)

30 e)

32

2. El número de intervalos de clase es:

a)

1

b)

d)

4 e)

2 c)

3

a)

0,9b)

1

d)

0,8e)

0,6

c)

0,7

7. Determinar el valor de:

5 2 . [(F4 + F5) - (F1 + F2)]

3. Calcular la suma del límite inferior de la segunda y cuarta clase.

a)

104

b) 110

c)

a)

60 b)

62 c)

d)

66 e)

68

64

108 d)

98 e)

La siguiente tabla corresponde a la distribución del número de pacientes atendidos en febrero de 1999 por 75 puestos de salud de la Selva. Los anchos de clases son iguales a 20.

122

4. ¿Cuántos jóvenes pesan por lo menos 52 kg?

a)

10 b)

17 c)

14

MATEMATICA



N ú m e ro d e p a c ie n t e s

xj

[

;

30

[

;

[

;

15

[

;

21

[

;

12

[

;

9

[

; 160

fj

Fj

hj

H

36%

e) 60%

j

0 ,0 4 12

12. Dado el siguiente histograma de frecuencias absolutas tomados de una muestra de tamaño 120:

fj

To ta l

5x 4x 17 x 2

8. Calcular “H4 + h5”

1 0

a)

0,80

b) 0,64

2

4

6

8

10

Ij

c)

0,16 d)

0,96

e) 0,84

Hallar: f1 + F5

9. ¿Cuántos puestos atendieron de 20 a 60 y cuántos de

a)

60 a 80?

a)

12 y 15

b) 15 y 12

70 b)

71 c)

d) 83

e) 80

72

c)

12 y 18 d)

18 y 12

e) 14 y 15

TAREA DOMICILIRIA

10. ¿Qué porcentaje de los puestos atendieron por lo menos 100 pacientes?

a)

36%

b) 40%

Enunciado:

c)

20% d)

50%

En una encuesta realizada a 400 profesionales se obtuvo los siguientes datos. (Suponiendo que ninguno puede tener dos profesiones).

e) 64%

fj

PR O FE SIÓ N A d m i n is t r a d o r C o n ta d o r

11. ¿Qué porcentaje de los puestos atendieron a lo más

0 ,2 5

E c o n o m is t a

80 pacientes?

hj

60 0 ,3 0

I n g e n ie r o

80

M é d ic o n= 400

a)

52%

b) 48%

c)

Luego de completar, responda:

54%

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 1. ¿Cuál es el porcentaje de Administradores? 2. ¿Cuántos son Médicos? 3. ¿Cuál es el porcentaje de los Economistas y/o

10. ¿Cuál es la media de las edades?

Ingenieros? 4. ¿Cuántos no son Contadores?

Enunciado 11. Determinar la moda del siguiente cuadro de datos, que

Enunciado:

representa los pesos en gramos de 50 latas de conservas. Si: b - a = 5

El siguiente cuadro muestra los ingresos semanales de un grupo de trabajadores de la empresa “KARINA’S EXPORT S.A.” SALAR IO S [200 - 240

fj

Fj

p eso s [5 0-10 0 [1 00 -1 5 0 [1 50 -2 0 0 [2 00 -2 5 0 [2 50 -3 0 0

8

[240 - 280 [280 - 320

hj

f j [# l a t a]

0 ,2

a

b

15

12

10

15

[320 - 360

0 ,2 4

[360 - 400

12. ¿Cuántas latas pesan 200 ó más gramos?

n= 50

Luego de completar el cuadro, responda:

13. ¿Qué porcentaje de latas pesan entre 100 y 200 gramos?

5. ¿Cuál es el intervalo con mayor frecuencia? 14. Se muestra el peso de 15 alumnos de un salón de clase:

6. ¿Qué porcentaje de trabajadores gana 320 soles o más? 7. ¿Cuántos trabajadores ganan entre 280 y 400 soles?

48; 45; 52; 61; 48; 40; 44; 52

8. ¿Cuál es la media de los salarios?

46; 52; 47; 55; 60; 53; 50

9. ¿Cuántas personas ganan menos de 320 soles?

Calcular la mediana y la moda.

Enunciado

15. Dada la tabla de distribución de un grupo de alumnos, determinar cuántos tienen desde 13 hasta 15 años.

Las edades de un grupo de universitarios que asisten a un partido de fútbol se muestra en el cuadro siguiente: xj fj [E d a d e s ] [# p e rs o n a s]

Edades

fj [ # a lu m n o s ]

17

15

[1 0-12

40

18

20

[1 2-14

6

19

45

[1 4-16

8

20

55

[1 6-18

3

21

40

[18-20

13

22

25

MATEMATICA

Fj


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” los salarios semanales en dólares de 80 empleados de la compañía “A”.

16. Hallar el porcentaje de alumnos que tienen desde 13 hasta 15 años.

Enunciado: La siguiente distribución de frecuencias relativas, muestra el peso en gramos de 400 paquetes de harina preparada “LA FAVORITA”. p e so s [1 00 -1 4 0 [1 40 -1 8 0 [1 80 -2 2 0 [2 20 -2 6 0 [2 60 -3 0 0 hj

k/2

0 ,1 8

2k

k

0 ,1 2

17. ¿Cuántos paquetes pesan menos de 220 gramos? Con referencia a esta tabla, determinar:

- El límite inferior de la sexta clase. - El límite superior de la cuarta clase.

a)

100; 80

b) 110; 90

c)

110; 80 d)

100;90

e) 80; 110

2. Del problema 1, con referencia a la tabla se pide:

A.

La Marca de clase de la tercera clase. B. Tamaño clase del quinto intervalo de clase.

ESTADÍSTICA II

a)

95; 10

o

ancho

b) 90;5

c)

75;5 d)


74;5

e) 75; 10

3. Del problema 1, con referencia a su tabla de distribución de frecuencia se pide:

1. La tabla muestra una distribución de frecuencias de

MATEMATICA


de


Frecuencia absoluta de la tercera

clase. b)

Frecuencia relativa de la tercera

clase. Determinar la suma de las frecuencias relativas del a)

16; 20%

primer y tercer intervalo de clase.

b) 18; 22,5% c)

12; 15% d)

10; 12,5%

e) 18; 10%

a)

0,36

b) 0,45

c)

0,50 d)

4. De la tabla de distribución de frecuencias del

0,55

e) 0,60

problema 1, se pide: 7. Dado el siguiente histograma: a)

¿Cuántos empleados ganan menos de

S/.90? b)

fi

¿Cuántos empleados ganan desde

S/.80 a más?

19 15

a)

56; 40

b) 55; 16

12

c)

46; 40 d)

40; 40

8 6 e) 60; 24 50

70 80 100 110 125

li

5. Del problemas 1, se pide:

a) El porcentaje empleados con salarios menores de S/.80 semana. b) El porcentaje empleados con salarios menores de S/.100 pero S/.60 al menos. a)

Determinar la frecuencia relativa del segundo

de por

intervalo de clase.

de con

a)

e)

b) 25%

c)

27%

40%; 72,5% b) 50%; 57,5% 40%; 57,5% d) 50%; 72,5% 50%; 54%

c)

20%

d) 30%

e) 32%

8. En el curso de electromagnetismo, se tiene las notas de los alumnos distribuidos según el siguiente histograma de frecuencias.

6. En el siguiente cuadro de frecuencias:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” fi = frecuencia absoluta simple. A lu m n o s

Fi = frecuencia absoluta acumulada.

15

hi = frecuencia relativa simple en tanto por ciento.

12 10 6

I n te r v a lo d e in g r e s o S / .

4 3

fi

Fi

48

60

hi

[160 - 170 [ 6

10 12

[170 - 180 [

N o ta s

16 18 20

[180 - 190 [

0 ,1 2 5

[190 - 200 [

0 ,0 7 5

[200 - 210 [

¿Cuál es el total de alumnos? a)

40 b)

50 c)

d)

80 e)

56

60 Determinar el número de familias que ganan menos de 200 nuevos soles.

9. Se tiene la siguiente información sobre una distribución de frecuencias de 50 elementos de un material sometido a prueba de rotura (Kg/cm2) la longitud de los intervalos de clase es constante e igual a 20.

I n t e r v a lo s

M a rca s d e c la s e x i

fi

hi

Fi

a)

66 b)

70 c)

d)

76 e)

50

54

11. La tabla siguiente muestra la distribución del peso

x i . fi

correspondiente a 40 estudiantes de la UNI.

300

10

400 23

350

17 1 100

110

Dar como respuesta el valor de F2 y h2.

a)

18; 16%

b) 10; 20%

c)

23; 10% d)

40; 34%

¿Cuántos pesan de 60 a 67 kg?

e) 20; 16%

a)

20%

b) 25%

c)

30% 10.

La tabla muestra la distribución del

d)

ingreso familiar correspondiente a 80 familias.

MATEMATICA

45%

e) 60%



Dado el siguiente cuadro acerca de

1. ¿Cuál es la frecuencia absoluta correspondiente a los

los sueldos diarios de los obreros de una empresa:

li

fi

hi

[1 5 - 20 [

H

obreros?

2. ¿Cuál es la frecuencia relativa correspondiente a los i

ingenieros?

0 ,2 5

[2 0 - 25 [ [2 5 - 30 [

0 ,6 5

40

3. ¿Cuál es el porcentaje de trabajadores que son

0 ,3 5

[3 0 - 35 [

abogados?

4. Si se despiden 8 abogados y 12 ingenieros, ¿cuál será

Además h2 = h3; hallar el porcentaje de empleados

la frecuencia relativa correspondiente a los obreros?

que ganan entre 18 y 27 soles diarios. a)

50%

b) 48%

c)

64% d)

Para los problemas del 5 al 7:

72%

13.

e) 38%

Se muestra una gráfica acerca de la aprobación sobre la gestión presidencial del ingeniero Alberto Fujimori.

Del problema anterior, ¿qué

5. ¿Cuál es el tamaño de la muestra?

porcentaje de empleados ganan menos de 20 ó mayor o igual a 25? a)

40%

b) 60%

c)

6. ¿Cuál es el porcentaje de personas de la muestra que

80%

aprueban la gestión del presidente?

d) 85%

e) 50% 7. ¿Cuál es la frecuencia relativa correspondiente a los

TAREA DOMICILIARIA

que no saben ni opinan?

Para los problemas del 8 al 10: El gobierno decide destinar S/.200 000 para el desarrollo de un pueblo de la Selva, la cual será invertida sólo en educación, vivienda y alimentación. Se muestra un diagrama circular de cómo se ha distribuido este dinero.

Para los problemas del 1 al 4: Se muestra la siguiente tabla de distribución de los trabajadores de una empresa de acuerdo a su ocupación. O c u p a c ió n

N ú m e ro d e p e rso n a s

Abogados

18

I n g e n ie r o s

32

O b re ro s

40

S e c r e t a r ia s

10

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 8. ¿Cuánto ha sido utilizado en alimentación?

9. ¿Cuánto se utilizó en vivienda?

Años de s e r v ic io

N ú m e ro d e p e rso n a s

[0; 5[

30

[5 ; 1 0[

25

[10; 15[

15

[15; 20[

10

10. ¿Cuál es el ángulo central correspondiente al sector de educación? 16.

¿Cuántos trabajadores tienen más de 10 años trabajando?

Para los problemas del 11 al 15: Se muestra las notas de 11 alumnos en un examen de matemáticas:

17.

¿Cuántos tienen 10 años o menos, trabajando en la empresa?

10; 12; 09; 12; 08; 14; 12; 10; 11; 12; 08 18.

Si hay sólo dos trabajadores con 20 años de servicio, ¿cuántos tienen menos de 20 años de

11. ¿Cuál es la moda?

servicio?

12. Hallar la mediana.

19.

Hallar el porcentaje de trabajadores con más de 5 años pero menos o igual que 15 años de servicio.

13. Si el profesor decide aprobar a los alumnos cuya nota

20.

sea mayor o igual que la mediana, ¿cuántos aprueban?

¿Hay algún trabajador con más de 20

años de servicio?

14. Si el profesor decide aprobar a los alumnos cuya nota sea menor que la nota aprobada, ¿cuántos serán estos?

LÓGICA PROPOSICIONAL 15. Si se elimina la mayor nota, hallar la mediana de las notas restantes.

Para los problemas del 16 al 20: Se muestra una tabla de la distribución de los trabajadores de acuerdo a los años de servicio en una empresa

1. Proposición lógica Es un enunciado u oración que tiene el carácter de ser verdadero o falso. Se denota por letras minúsculas tales como: p, q, r, s, ... etc.

Ejemplos:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” p V V F F

p: César Vallejo fue chileno q: 2 + 3 = 5 r: El 2 es un número impar

q V F V F

p

q V V V F

p: 6 es menor que 9 (V) q: 7 es menor que 2 (F) : 6 es menor que 9 ó 7 es menor que 2 (V)

Ejemplos de expresiones que no son proposiciones lógicas: B.

- Buena suerte

Conjunción

-x+2<8 Símbolo: Se lee: “y”; “pero”; “a la vez”; “sin embargo”

- ¿Cómo estás?

Tabla de valores: p q V V V F F V F F

2. Negación de una proposición Esta proposición cambia el valor de una proposición.

p

q V F F F

Símbolo: p Ejemplos:

Se lee: “Es falso que p”, “no p”

p: 6 es un número primo (F)

Tabla de verdad: p V F

q: 16 + 2 = 18 (V)

p F V

: 6 es un número primo y 16 + 2 = 18 (F)

Ejemplos:

p: París es la capital de Perú

C.

p: Es falso que París sea la capital de Perú

Condicional Símbolo:  Se lee: “Si... entonces... ” ; “implica

que”

3. Conectores lógicos

A.

Tabla de valores:

Disyunción inclusiva

p V V F F

Símbolo: Se lee: o Tabla de valores:

q V F V F

p q V F V V

Ejemplos: Ejemplo:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” p: 7 es un cuadrado perfecto (F) Según la definición, ¿cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones lógicas? 1. Esta fruta está verde.

q: 4 + 5 = 9 (F) p q: Si 7 es un cuadrado perfecto Entonces (4 + 5 = 9 ) (V)

2. 3 + 7 = 10 D.

Bicondicional 3. La suma entre dos números naturales es un número

Símbolo: 

natural.

Se lee: “si y sólo si”; “cuando y solo cuando” 4. Si gasto 1 000 soles al día durante 2 000 años, no habré gastado 1 000 millones de soles. Tabla de valores: p V V F F

q V F V F

p q V F F V

5. ¿Estás contenta?

Dadas las siguientes proposiciones diga primero si cada una de ellas es simple o compuesta; luego simbolice cada una de ellas.

Ejemplo: p: 2 < 4 (V)

6. Si el cielo está nublado entonces el avión despegará

q: 2 + 6 < 4 + 6 (V)

del aeropuerto.

p q: 2 < 4 si y sólo si 2 + 6 < 4 + 6 (V) 7. En el imperio de los incas la llama era usada como animal de carga. E.

Disyunción exclusiva Símbolo:

8. Un número es positivo si y sólo si es mayor que cero.

Se lee: “o bien ... o bien ...”; “o ... o ...” 9. O Carlos es matemático y profesor universitario o es empresario y dueño de una editorial.

Tabla de valores: p V V F F

q V F V F

p  q F V V F

10. No es el caso que si amanece la temperatura baje.

Según la definición, ¿cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones lógicas?


MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 11. “Adornado de fiesta estaba el bar aquel día”. Simbolizar el enunciado: 12. “César Vallejo fue un gran futbolista”. “Si no es el caso que Marco sea un comerciante y un próspero industrial, entonces es ingeniero o no es 13. “El general Don José de San Martín fue de

comerciante”.

nacionalidad argentina”.

21. “Subirá el precio del pan porque subió el precio de la 14. ¿Cómo estás?

gasolina, además si subió el precio de la gasolina, el gobierno no puede controlar la inflación”. Es una proposición cuya formalización correcta es:

15. 6 + x = 24 22.La fórmula correcta de la proposición: “Chile limita con el Océano Pacífico aunque el Perú limita también con el

16. Ni Ecuador ni Bolivia son productores de algodón.

Océano Pacífico”, es:

17. Hubiera impedido el asalto al banco, si la alarma

23.“No es el caso que Richard no sepa tocar el violín y no

hubiera sonado oportunamente.

componga una melodía, si es egresado del Instituto Regional de Cultura”. Se formaliza como:

18. La proposición conjuntiva es: 24.Dadas las proposiciones:

a) El Perú exporta cobre si y sólo si exporta estaño. b) La quiwicha es deliciosa y la quinua tiene grandes propiedades.

p: El hombre es bueno q: El perro es fiel

c) El Perú no es el primer productor de harina de pescado. d) Hay estabilidad de precios porque el dólar no sube de precio. e) Si hay contaminación ambiental, la gente se enferma.

simboliza: “Si el hombre es malo, entonces no es cierto que, el perro es fiel y su amo es bueno. Además si el hombre es bueno, el perro será fiel”.

19. "Si el cielo está nublado hace frío", se formuliza como:

25.Simbolizar: “La producción de algodón aumentó, si hay lluvias en la sierra”.

20. Dadas las proposiciones: Simbolizar las siguientes proposiciones compuestas: p: Marco es comerciante 26.

q: Marco es un próspero industrial

Si hay sequía se arruina la

agricultura.

r: Marco es ingeniero

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” TAREA DOMICILIARIA 11. Daniel viajará al extranjero si y sólo si obtiene su visa.

Dadas las siguientes proposiciones, diga si cada una de

12. O tendrás que estudiar Derecho o tendrás que

ellas es simple o compuesta, luego construya la forma

estudiar Economía.

lógica de las proposiciones compuestas y finalmente simbolice cada una de ellas. 13. No es el caso que María ingrese y no estudie en la Universidad. 1. El Huascarán está en la Cordillera Blanca de la región Chavín. 14. Si ingreso a la Universidad, entonces seré Médico o Ingeniero. 2. Aníbal cruzó los Alpes y César pasó el Rubicón. 15. El generalísimo don José de San Martín no luchó en la Batalla de Ayacucho.

3. Colón descubrió América el 12 de octubre de 1492

16. Al desarrollar la tabla de verdad de: ( p  ~ q ) ( p  ~ q )

4. El conocimiento empírico no es abstracto.

El número de valores verdaderos en el operador principal es:

5. El Perú, o exporta trigo o exporta arroz.

6. No es el caso que Brasil y México pertenezcan al pacto andino.

a)

0 b)

1

d)

3 e)

4

c)

2

17. ¿Cuál de las siguientes oraciones es una proposición

7. Se hubiera impedido el asalto al banco si la alarma

lógica?

hubiera sonado oportunamente.

a)

8. Tendremos muchas flores en el jardín, si la estación es

¿Cuánto valen los muebles de esta

casa?

propicia y las semillas no están malogradas.

9. Raúl no trabaja en la empresa sin embargo visita la

b)

Tres más tres es igual a nueve.

c)

¡Qué excelente inteligencia tiene

Coco!

empresa todos los días y se reúne con los trabajadores.

d)

"Mi alma no se contenta con haberla

perdido" e)

10. No es el caso que si amanece nublado la temperatura

¿Quién fue el culpable de la pelea?

baje, ya que será un día caluroso.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 18. Si la proposición: (p  ~ q)  ( ~ r  s) es falsa. a)

Deducir el valor de verdad de:

Solo I

b) Solo II

c)

I y III d)

I.

(~p~q)~q

II. s]

[ ( ~ r  q)  q ]  [ ( ~ q  r) 

II y III

e) I, II y III

21. Estudio Aritmética si y sólo si el profesor aumenta puntos.

III. ( p  r )  [ ( p  q)  ~ q ] 22.

No es verdad que, si sale el Sol voy al

campo. a)

VVV

b) VVF

c)

FVV d)

FVF

e) FFV

LÓGICA PROPOSICIONAL II

19. Sean las proposiciones: p : Kelly estudia en la UNI q : Kelly es comerciante

1. Proposiciones lógicamente equivalentes

r : Kelly gasta poco dinero

Dos proposiciones se llaman EQUIVALENTES (o lógicamente equivalentes) si sus tablas de verdad son

Simbolizar el siguiente enunciado:

idénticas, en cuyo caso se simboliza: 

"Es suficiente que Kelly sea comerciante o gaste mucho dinero, para que no estudie en la UNI, pero si estudia en la UNI entonces no es comerciante".

Ejemplos:

pqr b) r  (q  p) c) p  ( ~ q  r)

a)

~ q  (p  r)

d) ~ r

a)

M: (p  q) q

b)

N:

(p q)

e) ( ~ p  ~ q)

2. Tautología, contradicción y contingencia 20. Si la proposición: (p  ~ q)  (p  r) es falsa, se

A toda proposición simple o compuesta cuyo valor es

afirma que:

siempre VERDADERO se le llama TAUTOLOGÍA. Si su valor es siempre FALSO se le llama CONTRADICCIÓN, pero si la proposición es

I.

p  q es falsa

II.

r  q es verdadera

verdadera falsa se llama CONTINGENCIA.

•

~q  p es verdadera

III.

Al evaluar la siguiente fórmula: (p  q)  (p  q)

1. ¿Cuántas "V" y cuántas "F" aparecen respectivamente?

Son ciertas:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 2. Decir si dicha fórmula es tautológica, contradictoria o contingencia.

I.

(p  q)  (p  q)

II.

(p  q)  (p  q)

III. (p  q)  (p  q)

I. (p  q)

p  q

IV.

3. Sean las proposiciones: II. ( ~ q  ~ p)

7. Luego de construir la tabla de verdad de la siguiente

¿Serán lógicamente equivalentes?

proposición: (p  q)  [r p] . ¿Cuántas “V” y cuántas “F” aparecen respectivamente? 4. La tabla de verdad de; (p  q)  ~ q está dada por: a)

6; 2

b) 5; 3

c)

4; 4

5. La tabla de verdad de: (p  q) ~ p está dada por: d)

7; 1

e) 3; 5

Si "p", "q" y "r" son proposiciones cuyos valores son: "V", " F" y "F" respectivamente, indicar el valor de cada una de

8. La tabla de verdad de: (p  q) q está dada por:

las siguientes proposiciones: 6. (p  q)  r

a)

7. p  ( r  ~ q)

b) F V F V

c)

FVFF d)


VVFV

9.

Determine si es tautología, contradicción o contingencia cada una de las siguientes fórmulas:

e) F V V V

¿Cuál de las siguientes fórmulas son

lógicamente equivalentes? I. p  q

1.

FFFV

(p  q)  p

a)

II.

p q

III. (q  p)

Todas

b) I y II

c)

II y III

2. (p  q) p

d)

I y III

e) I

3. (p  q)  q 4. (p  q)  (p  q)

10. Evaluar las siguientes fórmulas:

5. (p  q) (p  q)

6. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son

I.

[p  (q p)]  (p  q)

II.

(p  r)  (q r)

III. (p  q)  (p  r)  (p r)

equivalentes?

Señale lo correcto:

MATEMATICA



Las fórmulas I y II son tautologías

b)

Las fórmulas I y III son tautologías

c)

Ninguna de las tres es contradicción

d)

Sólo II es contingencia

e)

N.A.

a)

VVVV

b) V V F V

c)

VVFF d)

VFVF

e) F V F V

14. La siguiente fórmula lógica: [(p  q)  (p  q)]  (p

∆

q)

Es una:

11. Al desarrollar la tabla de verdad de:

(p q)  (p q) a)

El número de valores verdaderos en el operador principal es:

Tautología b) Contingencia Contradicción d) Siempre verdaderas No se sabe

c) a)

0 b)

1

d)

3 e)

4

c)

2

e)

15. Dadas las proposiciones: 12.

¿Cuál de las siguientes oraciones es

una proposición lógica? a)

p: Ana se compra un vestido

¿Cuánto valen los muebles en esta

q: Ana va a la fiesta

casa? b)

Tres más tres es igual a nueve.

c)

¡Qué excelente inteligencia tiene

r: Ana baila

Simbolizar: “Es falso que, si Ana no se compra un

Coco!

vestido no podrá ir a la fiesta. Además no bailará”.

d)

“Mi alma no se contenta con haberla

perdido”. e)

16. ¿Cuál de las siguientes proposiciones son tautologías?

¿Quién fue el culpable de la pelea?

13. Indicar los valores de verdad de las siguientes proposiciones:

I.

[(p  q) q] p

II.

[(p  q)  p]  q

III. [p  (q q)] p I.

(2 + 7 = 9) v (6 - 2 = 5)

II.

(4 - 3 = 2)  (2 - 7 = 1)

a)

Sólo I

b) Sólo II

c)

Sólo III d) I y II

e) Todas

III.(3 + 4 = 7(6 - 2 > 3) IV.

(3 . 4 = 10) (9 - 4 = 3)

TAREA DOMICILIARIA

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” proposiciones: 1. Calcular la tabla de verdad de la siguiente proposición compuesta: (p  q)  (p p)

2. Si la proposición compuesta: (p q) (s  r) es falsa,

I.

(p  q) (r q)

II.

~ (p  r)  (q ~p)

8. Si “p” es verdadera y “q” es una proposición cuyo valor

Calcular el valor de verdad de las proposiciones "p",

de verdad se desconoce, entonces el valor de verdad

"q", "r" y "s", respectivamente.

de: “(p ~ q)  ~p”, es:

3. La tabla de verdad de: (~p q)  ~q

9. Si se sabe que “p  q” es falso y “q  t” es también falso. Encontrar los valores de “p”, “q” y “t”

Está dada por:

respectivamente.

4. ¿Cuál de las siguientes fórmulas son lógicamente 10. Si sabemos que: “(m ~t)  (m  r)”, es falsa,

equivalentes? I.

~p q

II.

~p q

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

III. ~ (q  p)

5. Si se sabe que: (p  ~q) es verdadera y (q  t)

I.

(m  t)  ~r

II.

(r  t)  (m  t)

III.( ~r ~m)  (t  r)

también es verdadera, ¿cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? I.

q  (p  t)

II.

p  (q  t)

11. De la falsedad de: (p  q)  (r  s) se deduce que:

III. q ~t

6. ¿Cuál de las siguientes proposiciones son tautologías?

I.

(~p  q)  s

II.

~q  (p  r)

III. r  (q  (s r)) I.

[(p q) ~q] ~p

II.

[(p q)p]  q

12. Si la proposición: “(p  ~q)  (p r)”, es falsa, ¿cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas?

III.[p (q ~q)] ~p

7. Sabiendo que la proposición: “(rq)p”, es falso, Calcular el valor de verdad de las siguientes

MATEMATICA

I.

“p  q” es falsa

II.

“r  q” es verdadera


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” III.“ ~q  p” es verdadera

entonces los valores de verdad de "p", "q", "r" y "t" son respectivamente:

13. Dadas las proposiciones: 18. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son

q: “13 es un número par”

equivalentes?

~ [(r q)  (r  p)]

es verdadera, Calcular el valor de verdad de las

I.

(~ p  q)  (p  ~ q)

II.

(p q)  (p  q)

III. (p  q)  (~ p  q)

siguientes proposiciones:

IV. I.

r  (~p ~q)

II.

[r  (p  q)]  (~p

~pq

CUANTIFICADORES

 q)

14. La proposición: “(p  q)  (r  s)”, es verdadero,

CUANTIFICADORES: EXISTENCIAL Y UNIVERSAL

teniendo “r” y “s” valores de verdad opuestos. Calcular el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I.

[(~p  ~q)  (r  s)]  p

Aquí se presentan dos nuevas proposiciones relacionadas con ciertas expresiones p(x) a las que se les denomina funciones proposicionales y que se convierten en proposiciones lógicas cuando la variable "x" toma un valor particular.

II.

[(p  q)  (r  s)]  (~p  q)

Ejemplos de funciones proposicionales: p(x): x + 1 = 2 q(x): "x" es estudiante del colegio Regina.

15. En las siguientes proposiciones: “p” y “q” tienen valores de verdad distintos. Calcular el valor de verdad de

Si: x = 1, p(x) es verdadero Si: x = 2, p(x) es falso Si: en q(x), ud. amigo estudiante, reemplaza "x" por su nombre entonces q(x) resulta una proposición lógica.

cada una de las proposiciones:

I.

pq

Para los conjuntos: A = {1; 2; 3;...}, B = {3; 6; 9;...}

II.

(~ p  q)  p

y las funciones proposicionales: p(x): "x" es un número natural par q(x): "x" es un número negativo r(x): "x" es un múltiplo entero de 3

III. ~ q  p

se tiene que la proposición:

16. Calcular la tabla de verdad de la siguiente proposición compuesta:

“Existe (por lo menos) un elemento x  A tal que p(x) es cierto” “x A / p(x)”

(p  q)  (p ~ q)

Resulta verdadera (V) pues tal x A puede ser: x = 4; mientras que la proposición: 17. Si se sabe que: p  q es V; r t es V y pr es F;

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” “Existe (por lo menos) un elemento x  A tal que q(x) es cierto”  “ x  A / q(x)”

todos los enteros positivos de Z+ y eso no es cierto pues solo se cumple para x = 1 y x = 5.

Resulta falsa (F) pues ningún elemento "x" de A es negativo.

(b) es verdadera, pues existen hasta dos soluciones x = 1 y x = 5 en Z + y solo hubiese bastado con una de las soluciones.

Para el conjunto: B = {3; 6; 9; ...}, la proposición:

Las negaciones correspondientes son:

“Para todo x B, r(x) se cumple “” x  B: r(x)” es verdadera (V) como se puede verificar directamente todo elemento de B es múltiplo entero de 3; mientras que la proposición:

a) (x  Z+: x2 - 6x + 5 = 0)  x  Z+ / (x2 - 6x + 5 = 0)

“Para todo x  B, p(x) se cumple “ x  B: p(x)”

 x  Z+ / x2 - 6x + 5  0

Es falsa (F) pues no todo elemento de B es par ya que existen en B, al menos el número 3 que no es par (además de 9; 15; 21; etc.).


I. Negar las siguientes proposiciones para el conjunto Z:

Otra notación: x B: r(x)  x  B, r(x) A los símbolos  y se les llama cuantificador existencial y cuantificador universal respectivamente.

1. 2. 3. 4.

Negar el hecho que exista un "x" en A tal que p(x) se cumpla equivale a afirmar que ningún elemento x de A satisface p(x), es decir, que: para todo x en A, p(x) No se cumple: [ x  A / p(x)]  x  A, p(x)

x  Z : x + 1 > x  x  Z / x2 + 1 = 0

 x  Z / x2 = 0  x  Z : x2 - 1 > 0 5. Determinar el valor de verdad de cada una de las proposiciones anteriores dadas.

II. Negar las siguientes proposiciones:

Análogamente se puede demostrar de lo anterior que:

6.  x  A :  y  A / [p(x, y)  q(y)] 7.  x  A /  y A / p(x) q(y) 8. x C / y B : p(x) q(y) 9. Determinar la negación de: x  A: p(x)  q(x)

[ x A : p(x)]  x  A, p(x)

P r o b l e m a s r e s u e lt o s

III. Negar cada una de las siguientes proposiciones: 10. z)

1. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones para el conjunto Z+ = {1; 2;...} y negarlas

 x  A : y B /  z C : p(x, y,

11. x A / y B / [p(x) q(x, y)] 12. [ y A / p(y)] x A : [q(x) r(x)] 13. Todos los americanos están locos. 14. Hay al menos una persona que es feliz todo el tiempo. 15. Todos los hombres son honestos o algún hombre es un ladrón. 16. Si el número "x" es menor que 12, entonces hay un número real "y" tal que: x2 + y2 - 144 es positivo.

simbólicamente:

a) x  Z+: x2 - 6x + 5 = 0 b)  x  Z+ / x2 - 6x + 5 = 0 Resolución Como la ecuación dada: x2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5) = 0 Tiene las soluciones: x = 1, x = 5 ambas en Z + entonces:

IV. Indicar el valor veritativo de: 17.“Para todo entero positivo "n", n2 - n + 41 es un número primo”.

(a) es falsa, pues para que sea verdadera la ecuación debería cumplirse para

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” a) b) c) d) e)

V. Indicar la verdad o falsedad de: 18.  x R :  y  R : (-y)(-x) = xy  xy > 0 19. x  R / (-1)x = 0 20.  x R : x2 / x = x

27.

Ninguno quiere a sus padres. Todos no quieren a sus padres. Algunos quieren a sus padres. Todos quieren a sus padres. Ninguno quiere a ninguno de sus padres.

Si: - Todos los pilotos vuelan aviones. - Ninguno que toma vuela aviones. Se deduce:

21. Dado: M = {1; 2; 3; 4; 5} ¿cuáles son verdaderas? a) x M / x + 3 10

b)  x M : y M / x + y 7 c)  x M : x + 3  8 d)  x  M / x + 3 > 6

a) b) c) d) e)

22. Dadas las proposiciones: a) [ x N / x + 2 = 5] [  x N : x2 > x]

Algunos que vuelan aviones toman. Algunos pilotos no vuelan aviones. Algunos que vuelan aviones son pilotos. Ninguno que toma es piloto. Ningún piloto vuela aviones.

b) [  a Z : -a < 0] [ x Z / -x = x] c)  x R /

 x R

TAREA DOMICILIARIA.

¿Cuáles son los valores de verdad de sus negaciones en ese orden? 23. ¿Cuál de las siguientes proposiciones corresponde a la negación de “Para todo entero "r", existe un entero "a" tal que si (ar) es par, entonces (a + 1)r es par”? a) b) c) d)

r r r r

Z Z Z Z

/ a / a / a / a

1. ¿Cuál de las siguientes expresiones son funciones proposicionales?

Z, ar y (a + 1)r son impares Z, ar es impar y (a + 1)r es par Z, ar es par y (a + 1)r es impar Z, ar es impar o (a + 1)r es par

24. ¿Cuál de las siguientes proposiciones sobre Q (racionales) corresponde a la negación de: “Para todo número entero "p" tal que p r < p+1”? a) b) c) d)

r r r r

Q Q Q Q

/ p / p / p / p

Z, Z, Z, Z,

I.

p(x): x + 3 = 0

II.

q(x): “x” es un número primo

III. r(x): x + 3

p+1 > p > r p < p+1 < r p  r  p+1 < r p > r  p+1  r

2. Dada la función proposicional: p(x): 2x4 + x < 0 Calcular los valores de verdad para: x = 1; x = 0; x = -2

25. La negación de: “Ningún proyecto de Jackie va a ser aprobado” es: a) Ningún proyecto de Jackie va a ser aprobado. b) Todos los proyectos de Jackie no van a ser aprobados. c) Ningún proyecto de Jackie no va a ser aprobado. d) Sólo un proyecto de Jackie va a ser aprobado. e) Algunos proyectos de Jackie van a ser aprobados.

3. Dado el conjunto: M = {2; 1; -1} Calcular el valor de verdad de cada proposición: I.

 x  M: x2  0

II.

 x  M /x < 0

III.  x  M : x(x +1) < 0

26. La negación de: “Algunos no quieren a sus padres” es:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 4. Dada la función proposicional p(x); “x” es un cuadrado perfecto, Calcular los valores de verdad para: x = 16; x

10. Si: A = {1; 2; 3; 4}

= 25 y x = 5

Calcular el valor de verdad de las siguientes 5. Dadas las proposiciones lógicas: proposiciones:

p:  x  R / x2  0 q:  x  R / xx  1 x r :  xR /  1 x

I.

 x  A; x  2  x  5

II.

 x  A; x  4  x  1

III.  x  A; x  2  7  x  5

Calcular el valor de verdad de: 11. La negación de la expresión: Para todo número natural “x” existe un número natural “y” tal que: x2 + y2 = 0.

6. Dadas las proposiciones lógicas: p:  x  R :

0 0 x

12. Si: B = {1; 0; 2; 5} 0

q:  x  R / x  1

Calcular el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

r :  x  R : x2  2x  1  0

p:  x  B;  y  B / x  y  0 q:  x  B;  y  B / x  y  3 r :  x  B;  y  B / x2  y2  27

Calcular el valor de verdad de:

Luego evaluar las expresiones: I.

(p r)(q  p)

II.

(p  r)  (q  r)

7. Calcular la negación de la proposición:

I.

(p  r)  ( q  p)

II.

(p  r)  (q p)

13. Si: A = {2; 5; 8} , ¿cuál es el valor de verdad de las siguientes proposiciones?

 x  R : x3  x2  x  0

8. Escribir la negación de la proposición:

 x  R : x2  1  0

I.

 x  A;  y  A / x  y  0

II.

 x  A;  y  A / x  y  0

2 2 III.  x  A;  y  A / x  y  70

9. Calcular la negación de la proposición: 14. Dado el conjunto: A = {1; 2; 3, 4} , ¿cuántas de las  x  R;  y  R : x  y2  0

siguientes proposiciones son verdaderas?

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” I.

 x  A; x  3  8

II.

 x  A; x2  1

2 III.  x  A;5  x  10

15. Si: B = {0; 1; 2; 3; 4; 5} Calcular el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:

ÁLGEBRA

p: x  B; x  3  2  x  1  7 q: x  B; x  1  5  x  2  1 r : x  B; x  2  3  x  1  0

16.

Dadas las premisas: - Todos los aritméticos son hábiles. - Algunos aritméticos son limeños. Luego: a) b) c) d)

POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO

Todos los limeños son hábiles. Algunos limeños son hábiles. Todos los hábiles son limeños. Ningún limeño es hábil. e) Ningún aritmético es

Potencia de Exponente Entero

limeño.

e x p o n e n te

a

n

=

B ase

P P o t e n c ia

1. Exponente natural: a ; s i: n  1 an  a  a  a  ...... a ; Ejemplos:

( n  IN , n  2 )

"n " ve ce s

a)

210  2.2.2.........2     1024 10 veces

b)



a   3   c)

3

   a   a          3   3



a a3  3 27

2 2 219 (22 )(22 )(22 ).........  2438    .(2 )  (2 ) 219 veces

MATEMATICA



d) (200320003 - 219219)0 = _________________

no tendría sentido pues  IN

Teoremas:

2. Exponente cero:

1. am . an = am+n

a0 = 1;  a IR a  0

am

2. Ejemplos:

an

También: ((((am)n)p)q......)  amnpq...... 4. (abc) = abc

0 d) -4 = -1 (El exponente cero solo afecta al 4) 0 e) (-4) = 1 (El exponente cero afecta al -4)



3. Exponente negativo:

1 an

1

 a     b 



;  a  IR  {0};





a b

b 0

;

n  IN

Ejemplos: a)  1    5

a 0

3. (am)n = am . n

0 a) (-219) = 1 0 b) (2003) = 1 129 0 c) (219 - 2003) = 1

a n 

 am n;

PRACTIQUEMOS

5

b)  1    2

4

 24  16

1. Efectuar:

Ejercicios Básicos

  4 J   41  5      7 

a)

2  .2 .2..........    ..  2  _______________ 219 veces

b)

3  .3 .3..........    ..  3  _______________

3



 2(60 )  (219)0   

a) 216

b) 343

d) 729

e) 1000

c) 512

2. Calcular:

2003 veces

 1 U     2

c)

x  .x.x..........    ..  x  _______________ (2x) veces

1

(x  IN)

d)

3

 1     3

2

 (5)2  23

a) 48

b) 50

d) 1

e) 27

c) 16

3. Simplificar: A = 310 . 39 . 38 ............. 3-7 . 3-8 . 3-17 a) 3 b) 9 c)

x x x x x  .x .x  ..........   .x  _______________ 10 veces

Calcular:

d) 1

a) (32  23)0 = ________________________

e) 27

4. Simplificar:

b) (125 + 64 + 1000)0 = ________________



1 1 1  N   1     .......... ......  2 3 4  

c) (23 + 34 + 56)0 = ____________________

a) 

b) 0

d) 

e) -1

MATEMATICA

210 1024

c) 1


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 13. Simplifique: 5. Reducir:

M

4

4

(3 )

b) 3 e) 5

c) 4

c) 1/3

5x 4  5x 3  5x  2  5x1  5x

Q

2m  4m  8m  16m

a) 5

23m 7  27m3

a) 1 d) 1024

b) 1/5 e) 1

14. Reducir:

6. Calcular:

A

36(2x 2 )  2x 4

a) 2 d) 3

5

a) 2 d) 1

2x 5  2(2x 3)  6(2x1)  4(2x1)

D

3 22

(3 )  (3 ) 2

b) 2 e) 64

5x 4  5x 3  5x  2  5x1  5x b) 25

d) 625

c) 512

c) 125

e) 3125

7. Reducir:

M

x 3

2

x 2

8

a) 1/4 d) 2

x 2m

.4

TAREA DOMICILIARIA

m2

. 16

b) 1/2

c) 1

e) 4 1. Calcular:

8. Efectuar:

J = (21.30 - 5 × 22 - 4 × 2-1 + 50)219

6m 3.4m S  m m1 8 .3 a) 36 d) 48

2. Calcular:

c) 65

b) 72 e) 66

 1 U     2

9. Efectuar:

x2.x4 .x6 .x8 ........."n" factores ; x3.x5.x7.x9........."n" factores b)

d) x-n

e) nx

N = (123456789219 - 20052006)73 - 343

c) xn

5. Calcular:

216  164  316  814

A

416  164  516  165

6. Obtener:

{[( xy) 2 x]3 y}4

6

{(x2y) 2 y}8

a) xy

d) (xy)4

b) x2y2 e) x3y4

2005

k M 2  .2.2.2..........    2.2  

4

7. Efectuar: (a 

Z

T

)

2m 3  4m 2n 8m 2  16n 2

8. Señalar el exponente de "xx", en =

es :

219

xx

9. Reducir:

(a1) factores

b) 48

9

 3   25   27        5   9   125 

T  

c) (xy)3

12. Si: k2005 = 32 - a, el valor de:

a) 416 d) 168

 (3) 2  24

4. Simplificar:

x0

11. Reducir:

U

3

 974   729.963.92  72  97    A 968

c) 1

10. Simplifique:

a) 1

 1     3

3. Calcular:

S = [....... [[(-2)-3]0]3......]81 a) 219 b) 0 d) 281 e) 281

Q

4

c) 264

M

e) Hay 2 correctas

216 . 353 . 803 154 . 149 . 302

10. Efectuar:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Q = [....[[[219]-12]-11]-10....]2006

 ECUACIONES DE PRIMER GRADO.  ECUACIONES EXPONENCIALES.

11. Siendo: 2

x 3  x 6  U  x 6  x 3 

Qué valor adquiere: 2

U 3  U 6   U 6  U 3 

12. Reducir la expresión: "3 0" veces

x

( x . x . x ... x ) ( x . x . x

E 

x x

(x )

1

0

. x

2

Ecuación

"x" vece s x

4

. x

(-2 )

4

x

. x

Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en la que al menos esté presente una incógnita.

x

... x ) -2

Notación:

A(x;y;........;z)

13. Efectuar: V = (-m)2(m-2)(-m)-2 (-m-2)

Primer miembro

x 4

 2

5. 2 2

x1

las incógnitas recibe el nombre de ecuación condicional o,

 6.2

simplemente, ecuación.

x 3

x

 15 . 2  2 . 2

Por ejemplo:

15. Efectuar: 4

V

10

12 . 5 8

3

5

. 2 . 15

4



x + 1 = 3 se verifica solo para x = 2; es una



ecuación condicional. x2 – 1 = (x + 1) (x – 1) se verifica para todos los

11

3 . 5 . 10

16. Si: 5x = 7y, calcular el valor de:

E

x+3

-7

y+1

-5

5

7

valores de "x"; es una identidad.

y+2

Para representar una identidad se emplea el símbolo en

x+1

lugar del símbolo =.

17. Si: aa = 4

ECUACIÓN LINEAL O DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

a1

2a Calcular: D = a

18. Si: xy = a; xa = 2a y

Forma General: ax + b = 0 (a  0) en donde "a" y "b" son constantes arbitrarias. Como primer paso para la resolución de esta ecuación transponemos ‘‘b’’ al segundo miembro obteniéndose así la ecuación equivalente. ax = b

y xx

xy . xx . x

19. El valor simplificado de:

n 813 3

3n1

[ 83

Segundo miembro

Una ecuación que sólo se verifique para ciertos valores de

x 2

x5

B (x;y;......;z)

Donde: x,y.........,z: incógnitas

14. Simplifique:

E

=

n 33

Después dividimos ambos miembros entre ‘‘a’’, obteniéndose otra ecuación equivalente que es la solución de la ecuación dada:

]

Es:

x

a)

1

b)

d)

8 e)

2 c)

4

b a

Si este valor de ‘‘x’’ se sustituye en ax + b = 0 obtendremos la igualdad verificada.

16

 b a    b  0  a  b b 0

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Una ecuación que sólo se verifique para ciertos valores de las incógnitas recibe el nombre de ecuación condicional o,

1. Resolver las ecuaciones siguientes: a) x 3  2(6 - 2x) = 2(2x 5)

simplemente, ecuación.

Teorema:

b) 2t  9 3

La ecuación lineal con una incógnita

3t  4 2

c) 2x  3

ax + b = 0 (a 0)

2x  4

Tiene solución única:

x





x 1 x1

d) (2x + 1)2 = (x 1)2 + 3x(x + 2) 2. Despejar la incógnita indicada.

b

a) 2(x - p) = 3(6p - x);

x=

Ecuación Exponencial

b) 2by - 2a = ay - 4b;

y=

Son aquellas ecuaciones no algebraicas o trascendentes en las que la incógnita aparece como exponente.

c)

a

2x  a 2x  b  ; b a

x=

3. Representar las expresiones siguientes por medio de símbolos algebraicos.

Casos: I.

a) Cinco veces un cierto número más dos.

Si: xb  xc  b  c; x  0;1 II.

b) Dos veces un cierto número menos seis.

Si: xb  yb  b  0; x  y III.

c) Dos números cuya diferencia sea 25.

Si: xx  aa  x  a  0; (no siempre se cumple)

d) El exceso del quíntuplo de un cierto número sobre 40.

Ejm:

4. Hallar dos enteros pares consecutivos, sabiendo que el doble del menor excede al mayor en 18.

1. Resolver: 5x+2 = 54-x Solución:

5. Hallar tres números cuya suma es 54 sabiendo que el primero es igual al doble del segundo mas 4 y que el tercero es igual al doble del primero.

x 2 4 x 2x  2 x 1

6. Leticia tiene quince años más que su hermana Begoña. Hace seis años la edad de Leticia era seis veces la de Begoña. Hallar sus edades actuales.

2. Resolver: 273x+2 = 812x+4

7.

La edad actual de Juan es el doble de la de

Fernando. Hace cinco años Juan era tres veces mayor que

Solución:

Fernando. Hallar sus edades actuales. 8.

PRACTIQUEMOS

Hallar un número de dos cifras sabiendo que la

suma de éstas es igual a 10 y que, si se invierten las cifras, el número que resulta es 18 unidades menor que el número original.

MATEMATICA



Hallar un número de dos cifras sabiendo que la de

c) 6(c + 10) + 3(2c - 7) = -45

las decenas es igual a 1/3 de la correspondiente de las

d) (x + 5)(x - 1) = x2 - 7

unidades y que, si se invierten, el número que resulta es igual al doble del primitivo más la suma de las cifras de

e) x(x + 2) + 5 = (x + 7)(x - 3)

este más 2 unidades. 10.

2. Determina el valor de ‘‘x’’ que satisface las ecuaciones

Un muchacho tiene 500 soles en monedas de 25 y

siguientes:

50 soles. Sabiendo que el número de las de 25 es igual al doble de las de 50, hallar el número de monedas de cada

a) x - (8x - 69) + (6x - 50) = 2x - (x - 5)

clase. 11.

b) 4x - (3x + 5) + (x + 7) = 2x - 3(x - 1)

Las entradas de un teatro valen 50 soles para los

adultos y 20 soles para los niños. Sabiendo que asistieron

c) 5x - 6 = 4(x - 1) + x

280 personas y que la recaudación fue de 8000 soles, hallar el número de niños que asistieron a la función.

d) (x + 7)(x - 3) = 2x + (x2 - 5)

12. Un lado de un paralelogramo es 4,3cm más largo que el

e)

lado consecutivo. Si el perímetro de este paralelogramo

2x  7

es 20,6cm, calcula las longitudes de sus lados. 13. Resolver: 2x+1 + 2x+2 + 2x+3 = 112 a) 1 b) 2 d) 4 e) 5

5

a) 1 d) 4

2

 4

3. Halle la solución de las ecuaciones siguientes: c) 3

a) 4a + [-a - (a + 5)] = 3

b) 2 e) 5

c) 6c + [2 - (c - 1) - 3] = c

c) 3

4. Despeja, en cada caso, las variables que se indican:

15. Calcular ‘‘x’’ si:



x  11

b) 2b - [7 - (3b - 2)] = 1

14. Hallar "x" Si: 42x = 256



3

 (52 ) 3  25 4  125x    





a)

23

 625

16. Si: 3a  216 = 3a2 Calcular el valor de: ‘‘a’’ a) 1 b) 2 d) 4 e) 5

F = ma;

a=

v

1 ah 3

h=

A

a c .h 2

b)

c)

c) 3

d) y = mx + n ;

a= m=

e)

s

1 2 gt 2

g= 5. Despeja las variables que se indican en las siguientes ecuaciones y calcula su valor numérico para los valores que se dan, en cada caso: a) t = m + np; n para t = 4,5; m = 3; p = 5 b) ax + by = c; y para c = 7,4; a = 2; x = -3, b = -2 c) a2 = b2 - db; d para a = 2; b = -8

TAREA DOMICILIARIA

1. Resuelve y comprueba las ecuaciones siguientes:

d) A = 2a2 + 4ah; h para A = 24,8 ; a = 2 e) A =g(R + r); r para A = 141,3; g = 5;  = 3,14; R = 6

a) 2x - (1 - 6x) = 15 b) 2a - 8 = 3(a - 2) + a

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 6. La suma de dos números es 20. Si se multiplica uno de los números por 3 y se disminuye el otro en 12, entonces se obtienen números iguales. ¿Cuáles son los números?

Ejm:

 J(x)  x2  3x1  x x2 x3  M(x)   x  2 x6

7. La suma de tres números es 40. El segundo número es 3 unidades mayor que el primero. El tercero es 8 unidades menor que el primero. Halla los tres números.

 Q(x,y)  3-

3

x 219 2 5  4x y  x3y4 y4

IMPORTANTE

8. En un número de dos cifras, la cifra de las unidades excede en 2 a la cifra de las decenas. Si al número se le agrega el triple de la cifra de sus unidades, resulta 36. ¿Cuál es el número?

J ( x )  x  x  x  . . .  ¡ N o e s u n a e x p r e s i ó n a l g e b r a i c a ! P o rq u e tie n e in fin ito s t é r m in o s M (x )  3 x x  4 x x 1 

9. José tiene 11 años y Luis tiene 28 años. ¿Dentro de cuántos años la edad de Luis será el doble de la de José?

¡ N o e s u n a e x p r e s ió n a lg e b r a ic a ! P o rq u e la v a r ia b le " x " a p a r e c e c o m o e x p o n e n te .

10. En un encuentro de béisbol celebrado en el Estadio Latinoamericano asistieron 35000 aficionados. Había 26000 hombres más que mujeres y el número de niños era la mitad de la cantidad de mujeres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños asistieron al encuentro de béisbol?

Término Algebraico Es aquella expresión algebraica que solo productos y cocientes de números y letras. Ejm:

contiene

 A( x)  3x219

11. En un concurso municipal de conocimientos de las asignaturas Física, Química y Matemática se presentaron un total de 450 alumnos. La cantidad de participantes por Matemática es el doble de la cantidad de participantes por Química, mientras que por Física participaron 18 alumnos más que por Química. ¿Cuántos alumnos participaron por cada asignatura?

 B( x, y)  2005x 4 y13  C( x, y) 

16x7 9y8

IMPORTANTE

12. Resolver: 3x+1 + 3x+2 + 3x = 351 13. Calcular ‘‘x’’

 

  3   8  

2

 64 

3

3

x

4  

 102427

14. Hallar "x": 2716x = 819x Partes de un término Algebraico Posee dos partes: 1. Parte numérica • Coeficiente o parte constante (incluye el signo)

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

2. Parte literal • Variable o parte variable. Sea:

Expresión Algebraica Es una expresión matemática en la cual figuran constantes y variables con las que se realizan operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, elevación a exponente natural y extracción de una raíz aritmética, en un número limitado de veces

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 2. Ubique en el recuadro las partes que se indican de cada término algebraico.

Término Algebraico

Coeficient

Parte Variable

e M(x) = 5x2 I.2.Expresión Algebraica Racional Fraccionaria (E.A.R.F.) Una expresión racional se llama fraccionaria con respecto de las variables dadas, si contiene la operación de división por cierta expresión en la que figura la variable, o por la propia variable. Ejm: 2005  J ( x)  2x219  3 x  12  M( x, y)    ex 2 y3 2  x  y xy

A(x, y) = 2005x6y7 T(x, y) = 3ax4y6 T(x, y) 219a2b3x6y7 f(x,

y,

=

z)

=

3e2x6y7z8 S(x, y) =

3p-2

x6

 Q(x, y, z) 

y8

12ab x y



16bc xz



18ac y z

II. Expresión Algebraica Irracional. Una expresion algebraica se denomina irracional, si en ella se prevee la operación de una raíz aritmética respecto de las variables que la integran. Ejm:

Clasificación de las Expresiones Algebraicas Las expresiones algebraicas se pueden clasificar tomando en cuenta la forma o naturaleza de sus exponentes y por su extensión o número de términos. Según la naturaleza del exponente:

 M( x)  219 x  x  3x2  x4  A( x, y) 

x  y  2xy

 P(x, y,z)  2 3x  3 3y  1   4 z  1

I. Expresión Algebraica Racional (E.A.R.).Una expresión algebraica se llama racional, si los exponentes de las variables son números enteros. Ejm:

 J ( x)  4x3  2x2 y  M( x)  3x4  x3  2x5

 Q(x, y)  2ex  3

III.Expresiones No Algebraicas o Trascendentes: 1. Expresión Exponencial: 3x, 2x, ax, (x + y)x

y7  4 3

Las expresiones algebraicas racionales pueden ser:

2. Expresión Logarítmica: log x, ln x

I.1.Expresión Algebraica Racional Entera (E.A.R.E.).Una expresión racional se llama entera respecto de las variables dadas, si no contiene la operación de división por cada variable dada.

3. Expresión Trigonométrica: Sen x, Cos x, Tg x Ctg x, Sec x, Csc x

Ejm:  J ( x) 

3x3  2x2  3 6

 M( x, y)  ex 





7  5 xy  1 6

 Q(x, y,z)  a1x2  b y  c

4. Expresión de infinitos términos: 1 + x + x2 + x3 + x4 +............

y3 2 z  e

5. Expresión Trigonométrica Circular: arcSen x, arcCos x, arcTg x

3 4

6. Expresión Hiperbólica: Sen hx, Cos hx, Tg hx

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 7. Expresión Integral:



Sabiendo que:

dx

x,y a,3b,7c,d

x

8. Expresión Vectorial:

Son variables Son constantes

Polinomio de una Variable

 A  B  xC   Polinomios

Forma General:

Definición: Se denominará polinomio a toda expresión algebraica racional entera respecto de toda variable que figura en dicha expresión.

P(x) = a0 xn + a1xn-1 + a2xn-2 +... + an-1 x + an

Un Polinomio es la suma Algebraica de Monomios

a0 , a1 , a2 , a3 ,......... ., an 

Monomio Se llama así a aquella expresión algebraica en la que se definen solamente dos operaciones respecto de las variables que la integran, a saber, multiplicación y elevación a exponente natural.

x aº  0

 

an



n  Z



Valor numérico de una Expresión Matemática:

Consiste en sustituir las variables por números o constantes efectuando las operaciones indicadas, el valor resultante recibe el nombre de valor numérico de la expresión matemática. Ejemplos:  Sea: P(x) = 2x  3 Para: x = 2 P (2) = 2(2) - 3 = 1

Ejm:

 4x3y5 ; 3x4 y6z7 ; 3a2b3x3y4 Los polinomios pueden clasificarse como aparece en el cuadro: Binomio: es la suma algebraica de dos monomios. Trinomio: es la suma algebraica de tres monomios. Para ‘‘n’’ monomios se llamará polinomio de ‘‘n’’ términos

2

 Sea: P(a,b,c) =

a b−5 c a+1

Ejm: 3x + 2y; 3x7 2xyz4 3 + 4x x2; x3 4xyz + 219

Para: a = -2;

Son binomios. Son trinomios.

b = 1/4;

c = 0,6

Sustituimos las variables por los valores indicados:

Notación de un polinomio Es la representación matemática mediante constantes y variables. Un polinomio de variable ‘‘x’’ e ‘‘y’’ se puede representar así:

P(x,y) = ax12 + 3bx4y7 - 7cx9y9 + dy7 ¡Cuidado! Variables

En el caso anterior, la expresión algebraica dada carece de valor numérico para a = -1 debido a que al sustituir la variable por este valor, el denominador se anula y la división entre cero no esta definida.

Nombre Genérico

Se lee:

"P de x e y" que significa: "P" depende de "x" e "y"

Teoremas

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” F( x, y) 

x y  y x

Calcular: F[P(2) , Q(2)] a) 15/16 d) 2

b) 16/15 e) 16/5

c) 1

5. Cuál es el valor numérico de la expresión

Sea:



  x   1   3  x   3  x     

P( x)  a0 xn  a1 xn2  ......  an1 x  an , a0  0 1. Suma de coeficientes:

P(1)  a0  a1  a2  a3  a4  ......  an

a) 1/4 d) 2

b) 1/2 e) 4

2. Término Independiente:

P(0)  an

1 

99

6. Si: P(x) = 2x

- 64x

94

Sea: P(x) = x2 + x + 2 Indicar:

1

1



Para: x    

1 3

c) 9/2

+x-5

Calcular: E = P(2) + P(1) + P(1) a) -141 b) -143 d) -75 e) - 66

Ejemplo:







c) -72

7.

1. Suma de coeficientes: P(1) = (1)2 + (1) + 2 = 4

 2x  5; Si " x" es par

Si: F(x)  

 x2  2; Si " x" es impar

2. Término independiente: P(0) =

Calcular: F(F(4)) a) 6 b) 9 d) 14 e) 16

(0)2 + (0) + 2 = 2

c) 11

8. Si se tiene que: P( x) 

x 1 x 1

Determine el valor de P(P(P(64))) a) 2 b) 3 c) 2 d) 8 e) 7

PRACTIQUEMOS 9.

1  Si : Q 1    4x 2  2x  5 x  Calcular:

1. Si: P(x) = 3x + 5 Hallar: P(P(0))

 3 Q   2

a) 12 d) 16

2. Siendo: F(x + 1) = 3x + 5

3. Siendo: R(2x - 3) = 4x + 6

N(x + 2) = 1 Calcular: P(Q(M(N(10)))) a) 0 b) 20 d) 8 e) 10

Hallar: R(7) 4. Siendo: x2  1 x

Q(x) 

x2  1 x

c) 14

10. Sean las expresiones: P(x + 1) = x + 3 Q(x - 1) = 2x - 1 3 M(x - 7) = x

Hallar: F(4)

P(x) 

b) 15 e) 13

c) 7

11. Si: F(x3 - 1) = x + 5 F(F(...........F(7)...........)) = F(F(y)+1) Halle: "y"

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” a) 1 d) 2

b) 0 e) 2

12. Si: P(x) = 3x + 8 P(Q(x)) = 6x + 5 Calcular: Q(5) a) 1 b) 3 d) 7 e) 9

c) 1

Es tal que al adicionar la suma de coeficientes y su término independiente se obtiene 125. Calcular el valor de ‘‘n’’ a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

c) 5

5. Dada la expresión: P(x), tal que: P(x) P(x 1) + P(x 2), además: P(1) = 3; P(2) = 4. Calcular: P(P(P(0))) a) 1 b) 3 d) 7 e) 14

13. Si: A(x) = 3x - 1 B(x) = 2 - 5x Calcular: A(B(x))  B(A(x)) a) -2 d) 6

b) 0 e) 8

c) 4

6. Si : P(3x + 2) = 3x + 1 Determinar: P(35x) a) 2 + 5x d) 2 - 5x

2

14. Si: P(x - 1) = x + 2 Determinar: P(x)

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x

a) c) e)

- 2x + 3

b) 2 - 3x

c)

e) 5x - 1

Hallar: F(10)

d)

- 2x - 3

8. Si: P(2x - 3) = 2x + 7 Determinar: P(8 - 3x)

+1

9. Si: P(x) + Q(x) = ax + b P(x) - Q(x) = a + bx P(5) = 4 Calcular: P(Q(1))

TAREA DOMICILIARIA

10. Si: P(x) = ax + b P(P(x)) = 9x + 20 Indicar la suma de soluciones de "a" y "b".

1. Si: F(x) = x

F[P(x) + Q(x)] = x2 + 2x + 4 F[P(x) - Q(x)] = x2 - 2x - 2

Indicar: Q(x) a) 2x + 3 d) x - 3

3x - 1

7. Si: P(x + 2) = 6x + 1 P[F(x)] = 12x - 17

b)

+ 2x - 3 + 2x + 3

c) 4

11. Si: P(x) = ax + b Además: P(2) = 7 ^ P(3) = 12

b) 2x - 3 e) 2x

2. P(x) = ax + b (a < 0) P(P(x)) = 16(x - 1) Calcular: P(a + b) a) 0 b) 7 d) 3 e) 1 3. Si : P(x) = ax + b Además: P(4) = 22 ^ P(3) = 17 Calcular: P(5) a) 5 b) 25 d) 29 e) 27

c) x + 3

Calcular: P(6) 12. La suma de coeficientes del polinomio: P(x) = 4x5 + 5x4 - 6x3 + (7 - n)x + 3n

Es 6. Señalar el término independiente.

13. Si: F(x) = 4x + 7; y además: F(g(x)) = 8x + 19 Calcular: F(g(3))

c) 5

14. Si: F(x) = 2x + 5 g(x) = 3x - 1 Calcular: A = F[g(x)] c) 39

4. Si el polinomio: P(x + 1) = (2x + 1)n + (x + 2)n 18(x  1) + 2

TEORÍA DE GRADOS

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Ubica en el recuadro las partes que se indican de cada término algebraico.

Coeficiente G.R.(x)

G.R.(y)

G.R.(z)

G.A.

M(x, y)  219x13y16

Grado

A(x, y, z)  3x 4 y 7 z 9

Es una característica de los polinomios, depende de los exponentes que afectan a sus variables. Para Polinomios de una variable:

T (x, y, z)  a 2bx 4 y 5 z 2

El grado es el mayor exponente de dicha variable.

T(x, y, z)  13ax3y7

Sea:

(x, y, z)  2005x4y4z4 2 3 4

S(x, y, z)  4x2 y3 z4

P(x) = axn + a1xn1 + a2xn2 +......+ an1x + an Donde: n = grado Ejm: Siendo G: grado

Grados de un Polinomio.

J ( x)  4x2  7x  6  GJ  2 M( x)  5  6x  7x3  6x2  GM  3

a) Grado Relativo (G.R.). Respecto a una variable, esta dado por el mayor exponente de dicha variable en el polinomio.

Puedes decir de qué grado son los siguientes polinomios:

b) Grado Absoluto (G.A.). Esta dado por el mayor grado absoluto que presentan los términos del polinomio. Ejemplo:

M( x)  219  x12  33x 45  3x 4  GM  ________________

* Sea: M(x,y) = 22x4y8  33x2y6 + 44x5y5 G.R. (x) = 5 G.R. (y) = 8

Q( x)  4x6  3x 4  2x5  7x7  2x2  GQ  ______________

Para Polinomios de dos o más variables:

G.A. (M) =

Grados de un monomio:

12

a) Grado Relativo (G.R.). Respecto a una variable es el exponente de dicha variable.

Ejercicio Básico

b) Grado Absoluto (G.A.). Esta dado por la suma de los grados relativos de las variables.

Completa el recuadro:

Ejemplo: * Sea:

M( x, y, z)  3a2b3x4 y9z13 G.R.( x)  4 G.R.( y)  9 G.R.( z)  13 G.A.(M)  26

Ejercicio Básico

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” El grado de Q = 2 Calcular el grado de: a) P + Q = _____________________________ b) P  Q = _____________________________ c) 2P = _______________________________ d) 5P + 2Q = ___________________________ e) P . Q = _____________________________

f)

P =¿ Q

________________________________ g) P3 = _______________________________ h) Q4 = _______________________________ i)

√4 P

= _______________________________

j)

√Q

= ______________________________ Términos Semejantes:

Dos o mas términos son semejantes si poseen las mismas variables afectadas de los mismos exponentes; no importa la naturaleza de los coeficientes. Ejemplo:

En General: Para 2 o más polinomios de 1 o más variables. 1. En las sumas o restas predomina el grado del mayor. 2. En la multiplicación se suman los grados. 3. En la división se restan los grados. 4. En la potenciación el grado queda multiplicado por el exponente. 5. En la radicación el grado queda

2x4y5

y

X4 Y 5

√3

Son términos

semejantes. Más no lo serán con: x5y4 Sean los monomios: 3 M(x, y, z)  x4y6z8 5 A(x, y, z)  2ex6y4z8

dividido por el índice de la raíz.

T(x, y, z)  x8y4z6 (x, y, z)  a2b2c 2 x4 y6z8

Ejemplo:

1. Si: P(x) = x6 - 3x4 + 2x8 + 1 Q(x) = 1 - x + x3 + 2x2 Entonces: (P(x) +_

Q(x))

S(x, y, z) 

es de grado: 8



7  1 x6y4z8 4 6 8

K(x, y, z)  1,6x y z

es de grado: 3 es de grado: 8

Podemos afirmar:

Ejercicio Básico Sea:



M ; K

Son términos semejantes

AyS

Son términos semejantes

MyA

No son términos semejantes

TyK

No son términos semejantes

El grado de P = 8

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Recuerda:

para

sumar

dos

o

más

Calcular: G.R.(y) a) 2 b) 3 d) 5 e) 6

términos

semejantes, se halla la suma algebraica de sus coeficientes y al resultado se le multiplica por la parte variable. Ejemplo: Si: 2x219y2005; 3  y2005x219; 7x219y2005 Son semejantes, se puede reducir a:

c) 4

5. En el siguiente polinomio: P(x,y) = 5xn+3ym-2z6-n + xn+2ym-3zn+m Donde: G.R.( x)  G.R.( y)  3 G.A.(P)  13

(2 3 + 7)x219y2005 = 6x219y2005

Calcular: 2m  n a) 5 b) 9 d) 11 e) 12

Ejercicio Básico Escribe tres términos que sean semejantes a: a) 219x ; ___________________________

c) 7

6.

Si : P( x, y, z)  xmn ypmzn 6  xm2n yp 3nzn 4

b) 4x2005 ; __________________________

 xm 3n yp2mzn2 Contiene término independiente para cada una de sus variables. Halle: G.A.(P) + G.R.(x) + G.R.(y) + G.R.(z) a) 38 b) 36 c) 40 d) 24 e) 28

c) 3x2y5 ; __________________________

7. En el polinomio:

P( x; y)  2xmym 4 


c) 17

R(x) es de 3er grado. Hallar el grado de: (P 4  Q3 ) R P  Q(P  Q) 2

a) 3 d) 6

xa 4  yb1 x7b  y43a b) 2 e) 9

xmym7  xmym5  5x2m6 y3

8. Si: P(x) es de 5to grado. Q(x) es de 4to grado.

2. Si el G.R.(x) es ‘‘a’’ y el G.R.(y) es ‘‘b’’, ¿cuál es el G.A. (M)?

a) 1 d) 4

3

Calcular el G.A.(P) mínimo. a) 15 b) 16 d) 18 e) 19

1. Si el monomio: M(x,y) = 2abx3a+b . yab es de grado 12 y GR(x) = 11 Indicar su coeficiente. a) 2 b) 12 c) 18 d) 250 e) 500

M(x; y) 

1

c) 3

b) 4 e) 2

c) 5

9. Si: G.A.(P) = a ^ G.A.(Q) = b (b > a) Sabiendo: G.A.(P + Q) = 7 G.A.(P . Q) = 10 Siendo "P"  "Q" polinomios de coeficiente principal diferentes Calcular: G.A.(P7  Q3)

3. Si en el polinomio: P(x,y) = 4xm+n2ym-3 + 8xm+n+5ym4 + 7xm+n6ym+2 Se verifica que la relación entre los grados relativos de ‘‘x’’ e ‘‘y’’ es 2 y además que el menor exponente de ‘‘y’’ es 3, hallar su grado absoluto. a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 21

a) 0 d) 21 10.

b) 3 e) 42

c) 7

Dados los polinomios: P(x) y Q(x) de los que se conoce:



4. Si el grado absoluto de: P(x,y) = x2ay3b+1 + 7xay3b1  5xay3b3, es igual a la mitad de la suma de los exponentes de todas sus variables.



G.A. 4 PQ  3





G.A. P3  Q  4 ¿Cuál es el grado de Q(x)?

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” a) 2 b) 4 d) 8 e) 10 11. Si el grado de la expresión: nn

a)

n2

xn

1

es 729;

c) 6

P(x,y) = xm+2yn1 + xm+6yn  xm+4yn+4 Si el G.R.(x) = 20 y el grado absoluto es igual a 40, calcular el G.R.(y).

el valor de "n" es:

b)

d) 6

2 c)

a) 22

b) 20

d) 24

e) 28

c) 18

5. Dados los polinomios: P(x) = (x5 + x + 1)9

3

Q(x) = x9 - 7x12 + 3x18 - 219 Calcular:

e) 9

G.A.(9 P  Q) a) 2 d) 5

TAREA DOMICILIARIA

I. Su grado es 19. II. El término independiente es 4.

• • •

III. El polinomio tiene 4 términos. IV. La suma de coeficientes es 10. V. Su mayor coeficiente es 3.

•

¿Cuántos enunciados verdaderos hay? b) 2

d) 4

e) 5

• •

c) 3

• •

2. Dado el polinomio: P(x,y) = a2x6y4  2b2x5y7 + 219x7y6

•

proposiciones: I. G.R.(x) > G.R.(y) III. La suma de coeficientes es: a 2  2b2 + 219. b) FVV e) FVF

c) VFV

e) 41

b) 2 e) 5

c) 3

e) x5y20

11n

n1

R( x)  x

Calcular: G.R.(y) + coeficiente (M)

d) 35

G.A.(P3 + Q6) = 3

8. Indique el grado de ‘‘R’’, sabiendo que:

Se tiene: G.R.(x) = 7

b) 20

G.A.(P2 + Q4) = 14 G.A.(P2 - Q7) = 0 G.A.(P.Q4) = 19

d) x4y21

3. Dado el monomio: M(x,y) = (n2 1)x2n3y3n+2

a) 17

G.A.3 Q  1

7. Sabiendo que los términos: 5x2a+9yb+3 ; 6xa+16y3b-5 son semejantes, reconocer otro término semejante a los anteriores a) x7y23 b) x23y7 c) x21y4

II. G.A.(P) = 14

d) VVV

G.A.(P + Q) = 7 G.A.(P - Q) = 3 G.A.(P . Q) = 10 G.A.(P3) = 21

a) 1 d) 4

Indicar el valor de verdad de cada una de las

a) FFV

c) 4

6. Dados los polinomios: P(x) y Q(x) en el cual: G.A. (P) = 7 G.A.(Q) = 3 Indicar cuántas de las siguientes proposiciones son falsas:

1. Dado el polinomio: F(x) = 2x15 + 2x19 - x + 4

a) 1

b) 3 e) 6

c) 2

2

 3x

3

 219 es un polinomio.

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

9. Dado el monomio: M(x,y) = (3n + 1)x6n-5y2n+3 Se tiene: G.R.(x) = G.R.(y)

4. Dado el polinomio:

Calcular: G.A.(M) + coeficiente (M)

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Es creciente respecto a ‘‘y’’ a) 28

b) 21

d) 7

e) 1

c) 14 *

M(x) = x2  3x4 + 12x15 + 219x2005 Es creciente respecto a ‘‘x’’

*

Q(x;y) = 3y9  3y7x2 + 12y5x4  7x6y2 Es creciente respecto a ‘‘x’’ Es decreciente respecto a ‘‘y’

10. Dado el monomio: M(x,y) = (n3 8)x2n23yn+7 Se tiene: G.R.(x) = 5 Calcular: coeficiente (M) + n a) 0 d) 16

b) 2 c) 18 e) más de una es correcta.

OJO

11. Sabiendo que los términos:

J (x) = 3 x4 - 2 x + 3 x 7 - 5 x 12 + 7

219x2a 7 y8b ; 2005xa12 yb2

N o e s o rd e n a d o

son semejantes, indicar: ab

Polinomio Completo:

POLINOMIOS ESPECIALES

Un polinomio es completo respecto a alguna de sus variables si esta presenta todos los exponentes, es decir desde el mayor exponente hasta el de menor

Son polinomios que tienen características propias y son:

exponente (exponente cero), que es el término independiente.

Polinomio Homogéneo: Es aquel polinomio de dos o más variables en el cual todos sus monomios presentan el mismo grado absoluto.

Ejm: *

A(x) = 4x3  3x + 2x2  219 El polinomio A(x) es completo respecto a ‘‘x’’

Ejm: 2 3

4

pero desordenado.

3 2

J(x; y)  219x y y) + (2x y)   - (2005x    GA5

GA5

GA5

*

Nótese que todos los monomios son de grado 5, entonces diremos que J(x,y) es homogéneo de grado 5 o el grado de homogeneidad de J(x,y) es 5. 2 4 3

3

6

GA7

GA7

P(x) = x5 + 2x3  3 + 2x + 4x2 7x4 El polinomio P(x) es completo respecto a ‘‘x’’, pero desordenado.

*

5 3 4

M(x; y)  2 y xy + 5 y  x   - 3   x 

Q(x;y) = 2x3 + 3x2y  5y3 219xy2 El polinomio Q(x) es completo respecto a ‘‘x’’ y

GA7

también es completo respecto a ‘‘y’’.

Grado de Homogeneidad de M(x;y) = 7 ¿Qué puedes decir de los polinomios?

Polinomio Ordenado. Un polinomio es ordenado, con respecto a una de sus variables, cuando los exponentes de dicha variable van aumentando o disminuyendo. Ejm: *

*

J(x) = 3x2 + 7x4 - 219 + 2005x5 ________________________________________ M(x;y) = 2x4 - 3xy3 + 4x2y2 - 5x3y + 8y4

J(x) = 219x15 - 2005x4 + 3x  7 Es decreciente respecto a ‘‘x’’

________________________________________ Q(x) = 3x4y - 8xy4 + 4x2y3 - 5x3y5 - 2y2

M(x;y) = 2ex9 - 3x4y2 - 219y5 Es decreciente respecto a ‘‘x’’

_______________________________________

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Polinomio de grado cero: a Polinomio lineal: ax + b Polinomio cuadrático: ax2 + bx + c Polinomio cúbico: ax3 + bx2 + cx + d

Recuerda: En todo polinomio completo de una sola variable se cumple que el número de términos es igual a su grado aumentado en uno. G ra d o

4

. . . . . Polinomio de enésimo grado:

6

J (x) = 2 + x - 3 x - 3 x + 4 x5 - 2 1 9 x2 + 2 0 0 5 x3 # términos = 6 + 1 7 términos

Polinomio Completo y ordenado.

Polinomios Idénticos ()

Un polinomio es completo y ordenado con respecto a alguna

de

sus

variables

cuando

satisfacen

las

Dos polinomios reducidos, del mismo grado con las mismas variables son idénticos cuando los coeficientes que afectan a sus términos semejantes son iguales.

definiciones de polinomio completo; así como la de polinomio ordenado en forma simultánea. Ejm:

Ejemplo: Sea: J(x) = Ax2 + Bx + C M(x) = ax2 + bx + c

J(x) = 2x4  3x3 + 4x2  7x + 219 El polinomio J(x) es completo respecto a "x" y ordenado en forma decreciente.

Si:

J(x)  M(x)

Ax2 + Bx + C  ax2 + bx + c

M(x) = 2005  3x + 24x2 + 19x3 + 17x4  219x5 El polinomio M(x) es completo respecto a ‘‘x’’ y ordenado en forma creciente.

Aa Bb Se cumple sí y sólo Sí: C  c Ejemplo: Sea: P(x;y) = ax2 + 3xy + cy2

Ejercicio Básico Sea: P(x;y) = 219x2  2005xy 2006y2

Q(x;y) = 219x2 + bxy + 2005y2

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I.

Si:

P(x;y) Q(x;y) ax2 + 3xy + cy2  219x2 + bxy + 2005y2  a = 219; 3 = b; c = 2005

El

polinomio

P(x)

es

completo

respecto a "x" II.

y

ordenado (

Polinomio Idénticamente Nulo (0) Un polinomio es idénticamente nulo cuando todos sus coeficientes son ceros, por lo tanto, para cualquier valor que se le asigne a la variable se anula. Sea: P(x) = Ax2 + Bx + C

)

El polinomio P(x) es completo y ordenado

respecto a "y"

(

)

III. La suma de coeficientes del polinomio P(x) es 219 (

Si:

) IV. término independiente es 2006y

2

≡

0

Ax2 + Bx + C

El (

P(x)

≡

0

... A = 0; B = 0; C = 0

)

Polinomio Mónico Un polinomio será Mónico cuando su coeficiente principal es la unidad. Ejm:

Observación: En aquellos polinomios completos y ordenados con respecto a una variable estos se pueden representar en general:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” J(x) = x2 - 5x + 3 M(x) = 4 - 5x + 7x3 + x4

a) 0,8 d) 1,4

b) 1 e) 1,6

6. Hallar "a + b + p" en:

Polinomio Constante. Un polinomio de una o más variables es constante si adopta el mismo valor numérico para cualquier valor asignado a cada una de sus variables. Se representa: P(x;y;.......;z) = C; C IR  {0}

(a

aa

5

 2)x

 (b

b

a) 21 d) 24

Ejemplo:

3

 (p  7)  14 x

b) 22 e) 28

c) 23

 3)x

5

 24 x

3

 10

7. Calcular "A + B + C"

J(x) = 3

Si : ( x  1) A( x  2)  B( x  2)  3x  15x  ( x  2) 3x  C( x  2) 

M(x; y) =  Q(x; y) =

Se verifica para todo ‘‘x’’ a) 20 b) 21 d) 23 e) 24

√ 2−1

P( x  a)  b( x  2)  a( x  3)  2

a) 1 d) 4 1. El siguiente polinomio:

P( x)  5x

3a 9

b) 2 e) 5

 10x

2 4b c a

 20( x )

( a  4) xy2  (20  b) x2 y  ax2 y  0 Determinar:

a) 15 d) 27

a) 4 d) 64

b) 20 e) 29

c) 22

2. Si el polinomio P(x) es completo y ordenado:

P( x)  3x

nm 3

 4x

m 6

 7x

x

b) 22 e) 25

b) 8 e) 72

c) 16

"La ... entre el número de términos y el grado de un polinomio de una sola variable y ... es siempre igual a la unidad".

c) 23

a) b) c) d) e)

3. Si el siguiente polinomio de 14 términos es completo y ordenado:

P( x)  xn 4  ........  xa1  xa2  xa3

Suma – homogéneo. Diferencia – homogéneo. Diferencia – completo. Diferencia – ordenado. Diferencia – suma.

11. Si el polinomio:

Calcular: a + n a) 3 d) 16

√ ab

10. Completar:

2 ( mp) 0

Calcular: (m + n + p) a) 21 d) 24

c) 3

9. Se tiene: ab3

es ordenado en forma creciente y completo. Calcular: ab + bc + ac

pn5

c) 22

8. Si: P(x) es idénticamente nulo, hallar ‘‘a  b’’ en:


b) 9 e) 12

2 2 2 P(x) = (x + x + 3) (a - b) + (x + x + 4) (b - c) + (x + x + 5) (c

c) 4

- a)

4. ¿Cuál es el polinomio de 1er grado ‘‘p’’ tal que: P(2) = 3; P(3) = 2P(4)? a) b) c) d) e)

c) 1,2

es idénticamente nulo, el valor de (b + c)  a es:

P(x) = 2x + 1 P(x) = x + 5 P(x) = x + 4 P(x) = x + 4 P(x) = x + 5

5. Un polinomio cuadrático P(x) cumple las condiciones: P(1) = 2P(3) P(2) + 2 = 3P(4) Calcular: P(5)

a)

1

b)

d)

-2 e)

-1 c)

2

3

12. Si se cumple la identidad:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 4 3 2 4 3 2 ax + 6ax + (bx + 1)  4x + 6ax + 25x - 10x + 1

c) M(y) = 3y7 + 12  9y12  219y20  4y3 d) Q(y) = y2  4y25 + 2y8  17y16  6y5

el valor de (a + b) es: a)

1

b)

d)

-9 e)

-1 c)

4. Ordena polinomios:

9

forma

descendente

los

siguientes

a) J(x) = 23x4 + 13x + 16x2  13x7 b) M(x) = 13x2 4x6 7x3 + 12x8  13x

4

c) M(x) = 2 + 3x3  4x 5x2 d) Q(y) = y33  2y46 13y4 + 25y26

m n 4 2 3 3 13. Si el polinomio: x y (4x y + 5x y ) es completo,

5. Dados los polinomios:

a) J(x) = -3xm + 3x4  5x3 + 4x2  2x + 1

Hallar el valor de (2m - 3n) a)

en

0 b)

1

c)

d) 3

e) 4

b) M(x) = 2xn  3x2 + 7x  12

2

c) M(x) = 2 + x  3x2 + 219x3  4xp d) Q(x) = 219 + 2x + 13x2  27x3 + 2005x4  2xq

Si todos los polinomios son completos y ordenados entonces, ¿cuál es el valor de "m + n + p + q"?


Si : P( x; y)  ax 2  3y2 Q( x; y)  2x2  (b  1) y2

1. Analiza cada uno de los siguientes polinomios, en caso

Sabiendo que: P(x,y)  Q(x,y) Hallar:

que sea homogéneo, indica el grado de homogeneidad.

a  _______ b  _______

a) J(x,y) = 2x5  3x4y + 10x3y2 + 15x2y3  9y5 _______________________________

7. Si el polinomio:

P( x; y)  xa 3y2  5xb5 y  6x8 yc 4  x10 y9

b) T(x,y) = 219x3 + 2005y3 - 7xy2 + 5  33x2y

Es idénticamente nulo. Hallar: a  _______ b  _______ c  _______ 8. Calcular ‘‘a + b + c’’ , si el polinomio:

________________________________ c) A(x,y) = a2xy3 + b3x2y - c4xy - y6 ________________________________

P( x; y)  xa 3y2  5xb5 y  6x8 yc 4  x10 y9

d) R(x,y,z) = 2x6 + 2y6 - 4z6 - 215x2y2z2

Es homogéneo. a) 44 d) 41

________________________________

G.R.(x) = 2;

G.R.(y) = 2

b) G.A.(Q) = 3;

G.R.(x) = 2;

G.R.(y) = 2

c) 42

9. Si el polinomio:

2. Escribe dos polinomios homogéneos con las variables ‘‘x’’ e ‘‘y’’ que tengan los siguientes grados: a) G.A.(P) = 2;

b) 43 e) 40

P( x; y)  ax a 3  abx a1yb 2  2byb 8 es homogéneo, la suma de sus coeficientes es: a) 3 b) 3 c) 11 d) 14 e) 16 10.

3. Ordena en forma ascendente los siguientes polinomios: a) J(x) = 45x3 + 32x2 17 + 13x

Dado el polinomio homogéneo:

P( x; y)  5x3a 2b y 4  x2ayb 7  xa1ya3b Calcular: G.A.(P) + ab a) 5 b) 15

b) M(x) = 4x - 7x5 8x3 + 7x2 5

MATEMATICA

c) 10


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” d) 5

e) 10

*

(a + b )2  (a + b) (a + b)

MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA

a2 + ab + ba + b2  (a + b)2  a2 + 2ab + b2

Multiplicación Algebraica

2 (x  2) (x   2)  x  4   Multiplicación indicada

Producto

OJO E l c u a d r a d o d e l a s u m a e s ig u a l a l c u a d r a d o d e l p r i m e r t é r m in o , m a s e l d u p lo d e l p r o d u c to d e l p r im e r y s e g u n d o t é r m in o , m a s e l c u a d r a d o d e l s e g u n d o té r m in o .

Observación: El símbolo "" indica una identidad. ¿ Q u é e s u n a i d e n t id a d ? E s u n a ig u a ld a d e n t r e d o s e x p r e s i o n e s m a t e m á t ic a s q u e s ie m p r e s e v e r i fi c a .

*

(a - b )2 = (a - b) (a - b ) a2 - ab - ba + b2

Ejemplo:

 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

 75+2  (m + n) (m - n)  m2 - n2  (2x3y2) (-3x2y5) -6x5y7



OJO E l c u a d r a d o d e u n a d if e r e n c i a e s i g u a l a l c u a d r a d o d e l p r im e r t é r m in o m e n o s e l d u p lo d e l p r im e r té r m in o p o r e l s e g u n d o m á s e l c u a d ra d o d e l s e g u n d o t é r m in o .

(2 x 2) (3 x - 5 y)  6 x 3 - 1 0 x 2y

(3x + 2y) (2 x + 5 y)  6x 2 + 1 9xy + 1 0y 2 Ejemplo:



*

Producto notable Es el resultado de una multiplicación algebraica donde

(3x + 2)2  (3x)2 + 2(3x)(2) + 22  (3x + 2)2  9x2 + 12x + 4

no es necesario la aplicación directa de la propiedad distributiva, se reconoce con la forma que adoptan sus

*

factores:

(2m - 5n)2  (2m) 2 - 2(2m)(5n) + (5n)2 (2m - 5n)2  4m2 - 20mn + 25n2

Trinomio cuadrado perfecto:

OJO

(a - b )2  (b - a)2 (2 x - m )2  (m - 2 x)2 (5 - 7n)2  (7n - 5)2

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” • (m + 5) (m + 6)  m2 + 11m + 30 Corolario Identidad de Legendre • (t + 2) (t - 1)  t2 + t - 2

a) (a + b)2 + (a - b )2  2 (a 2 + b2) b ) (a + b)2 - (a - b )2  4ab

• (m + 7) (m - 2)  m2 + 5m - 14

Ejemplo: (2x + 1)2 + (2x  1)2  2 (4x2 + 1)

• (x - 2) (x - 3)  x2 - 5x + 6

(3x + 2)2  (3x  2)2  24x

Diferencia de Cuadrados. (a + b) (a - b)  a2 - ab + ba - b 2

(x + a) (x + b )  x2 + xb + a x + a b

 (a + b) (a - b) = a2 - b 2

 (x + a) (x + b ) = x2 + (a + b)x + ab

OJO

Ejercicios Básicos

E l p r o d u c t o d e la s u m a p o r l a d i f e r e n c ia d e d o s t é r m i n o s , e s ig u a l a la d ife r e n c ia d e c u a d ra d o s .

I. En los siguientes ejercicios, efectuar los siguientes binomios elevados al cuadrado:

Ejemplo: *

(2x + 3y) (2x - 3y)  (2x)2 - (3y)2

a)......................................................................(x + 6)2 ..............................................................

 (2x + 3y) (2x - 3y)  4x2 - 9y2

b).................................................................................(x 5)2 .............................................................................

(3m + 2n) (2n - 3m)  (2n)2 -

* (3m)2

c) .................................................................................(2x + 1)2 .........................................................................

 (2n + 3m) (2n - 3m)  4n2 9m2

d) ................................................................................(2x - 3)2 ........................................................................... e).................................................................................(x

Producto de binomios con un término común

+ 3y)2 ......................................................................

Ejemplo: II.

Efectuar el producto de los binomios

en los siguientes ejercicios:

• (x + 2) (x + 3)  x2 + 5x + 6

a)......................................................................(x + 7) (x - 7) .....................................................

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” IV.

b)...................................................................... (x -

Multiplicar los siguientes binomios los

cuales poseen un término común:

9) (x + 9) .......................................................

a)......................................................................(x

c) ..................................................................... (2x

+ 2) (x + 8) ....................................................

+ 1) (2x - 1) ...................................................

b)......................................................................(x

d) .....................................................................(3x

+ 5) (x + 7) ....................................................

+ 1) (3x - 1) ...................................................

c)......................................................................(x -

e) ..................................................................... (2x

6) (x - 4) .........................................................

+ y) (2x - y) ...................................................

d)......................................................................(x III.

8) (x - 2) .........................................................

Desarrollar los siguientes ejercicios,

aplicando las identidades de Legendre:

e)......................................................................(x + 6) (x - 3) .....................................................

a)..................................................................... (x

f)....................................................................... (x

+ 1)2 - (x - 1)2 ................................................

+ 11) (x - 4) ...................................................

b) .....................................................................(x

g)......................................................................(x -

2

2

+ 4) - (x - 4) ................................................

9) (x + 1) .......................................................

c) ..................................................................... (2x

h)...................................................................... (x -

+ y)2 - (2x - y)2 ..............................................

13) (x + 4) .....................................................

d) .....................................................................(3x

PROBLEMAS PARA LA CLASE.

+ 2y)2 - (3x - 2y)2 .......................................... e) ......................................................................... (4m + n)2 - (4m - n)2 ......................................

1. Reducir:

J = (x + 5)2 - (x - 4)2 - 18x

f) ...................................................................... (x + 2)2 + (x - 2)2 ...............................................

a) 3 d) 12

g) .....................................................................(x + 4)2 + (x - 4)2 ...............................................

b) 7 e) 15

c) 9

2. Calcular:

U = [(x + 4)2 - (x + 3)2 + (x + 1)2 - (x + 2)2]2

h)...................................................................... (2x + 1)2 + (2x - 1)2 .............................................

a) 4 d) 25

b) 9 e) 20

c) 16

i) ...................................................................... (3 3. Efectuar:

+ 2y)2 + (3 - 2y)2 ...........................................

A  ( 5  2)2  ( 5  2) 2

MATEMATICA



b) 14 e) 64

c) 12 11. Si: a2 + 3a = 5 Calcular: Q = a(a + 1) (a + 2) (a + 3)

4. Hallar el resultado de efectuar: N = ( + 2)2 - ( - 2)2

a)



b)

d)

8 e)

2 c)

4

12.

16

5. Efectuar: M = (x + 5) (x - 4) - (x - 6) (x + 7) a) 20

b) 22 d) 42

13. c) 62 e) 82

6. Calcular: A  (x  12)(x  12)  (13  x)(13  x)  (5  x)(x  5)  ( x  3)(x  3)

a) x d) 4

b) 2 e) 8

c) 3

a)

(8a + 8b)

2

b) (3a + 3b)

15.

2 2 a -b

0 e)

16. 8. Realizar:

(x  -1)

2[(x  1)  (x  1) ]  (x  2)  (x  2)2 (x  1)2 2

T a) 1 d) 4

2

b) 2 e) 8

d) 35

e) 210

Efectuar:

V = (x - 5) (x - 3) (x + 1) (x + 3) - (x 2 - 2x - 9)2 + 36 a) 0

b) 1

d) 25

e) 36

c) 4

Efectuar:

E = (x - 4) (x - 3) (x + 2) (x + 3) - (x2 - x + 2) (x - 5) (x + 4)

a) 32

b) 16

d) 18

e) 112

c) 64

a) 1444

b) 1521

d) 1681

e) 1764

c) 1600

Si la suma de dos números es 8 y su producto es 5,

a) 64

b) 10

d) 74

e) 44

Siendo: a > b > 0; Calcule: a - b

c) 54

a  b  17; ab  4

2

a) 0

√2

b) d) 6

c) 3

9. Realizar:

M

c) 30

calcular la suma de sus cuadrados.

2

c) 64ab d)

b) 7

14. Si: a + b = 7; ab = 4 Hallar: V = (a2 + b2)2

7. Reducir:

T = (a + 3b)2 + 2(3a + b) (3b + a) + (b + 3a)2 - (4a - 4b)2

a) 5

c) e)

1

√3

(x  0) 2

2 2

2

[(2x  1)  (2x  1) ]  (8x  2) 2

TAREA DOMICILIARIA

2

16x

a) 1

b) 4

d) 16

e) 32

c) 8

10. Efectuar:

1. Transforma

S = (x + 1) (x + 2) - (x + 5) (x - 2) + (x - 4) (x + 1) - (x - 1) (x -

los

siguientes

productos

en

sumas,

aplicando los productos notables estudiados:

2)

a) 2

b) 4

d) 8

e) 12

c) 6

a) (x + 2) (x  2)

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” b) (a + 4)2

12. Si: a2 - 2a = 7 Calcular: S = (a2 - 16) (a + 2) (a - 6)

c) (6x + y) (6x  y) d) (8 + y)2

13. ¿Cuál de las siguientes operaciones es correcta? a) (x + 5) (x + 6) = x2 + 10x +30 b) (x  4) (x  7) = x2 + 11x  28

e) (3b - 1)2

c) (x + a) (x  2b) = x2 + (a 2b) x  2ab d) (x + 2a) (x  3b) = x2 + (2a  3b) x + 6ab

f) (a + 4) (a + 2)

e) (x + a) (x  3) = x2 + (a + 3) x 3a

g) (x  6) (x + 7)

14. Efectuar: M = (x + 4) (x + 1) - (x + 7) (x - 2) + (x - 5) (x + 2) - (x 3)x

2 2 h) (x + 8) (x - 3) 2. Prueba que las igualdades son válidas:

15. Si: a + b= ab = 3 Hallar: T = a2 + b2

a) (a + 5)2  (25 + a2) = 10a b) (4a + b)(4a  b)  2 (8a2 - b2) = b2

16. Sea: a2 + b2 = 2ab Calcular:

c) (4x  1)2  (16x2 + 1) + 8x = 0

7a b  193 b a

3. Reducir:

17. Si la suma de dos números es 6 y su producto es 10. Calcular la suma de sus cuadrados.

J = (x + 7)2 - (x - 4)2 - 22x 4. Calcular:

18. Si: a - b = 14 ab = -18 Hallar: T = a2 + b2

U = (x - 6)2 - (x + 4)2 + (x + 8)2 - (x - 2)2 5. Efectuar:

19. Si: (a + b)2 = 18; ab = 2; Hallar: = a2  b2

A  ( 13  7) 2  ( 13  7)2 6. Hallar el resultado de efectuar: N = (e + 3)2 - (3 - e)2

a > b >0

20.¿Cuál es el valor que asume: 2 2

S

7. Efectuar: M = (x + 6) (x - 3) - (x + 5) (x - 2)

4x  y 2x  y  xy x ?

Si: (x + y)2 = 4xy  (x, y  0)

8. Calcular: A  ( x  24)( x  24)  (25  x)(25  x)  (7  x)( x  7)  ( x  4)( 4  x)

FACTORIZACIÓN

9. Si: 2x + 3y = 1 Efectuar: T = (3x + 2y)2 + 2(3x + 2y) (y - x) + (y - x)2 10. Reducir:

T = (3x + 1)2 - (1 - 3x)2 + (x - 6)2 - x2 - 36

Métodos de Factorización: Tenemos:

11. Reducir: P = [(x + 3)2 - (x + 2)2] [(x - 3)2 - (x - 2)2]

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” a) Factor común: Consiste en encontrar un factor presente en todos los términos del polinomio.

2 2 Q(a;b)  (a)  2(a)(2b)  (2b)   4 Trinomio Cuadrado Perfecto

Q(a;b) = (a + 2b)2 - 22

Ejemplo: Factorizar: * P(x;y) = x2y + xy2 + xy P(x;y) = xy(x + y + 1)  Posee 3 factores primos *

 Q(a;b) = (a + 2b + 2) (a + 2b - 2)  Posee 2 factores primos. d) Aspa Simple: Generalmente se aplica en polinomios de la forma:

Q(a;b) = a3b3 + a2b4 + 4a2b3 Q(a;b) = a2b3 (a + b + 4)  Posee 3 factores primos: a;b ; a + b + 4

P (x) = ax2n + b xn + c a, b, c: coeficientes; a  0 ; n  Z+

b) Agrupación: Consiste en seleccionar adecuadamente para encontrar un factor común.

Ejemplo: *

Ejemplo: Factorizar:

*

P (x) = 6 x2 + 1 1 x + 3

P (m ;n) = 3m 2 + 3m n + 2m + 2n

3x

1

2x

2x

3

9x 11x

P (m ;n ) = 3m (m + n ) + 2(m + n ) Q(x) = 10x2 - 16x + 6 Q (x) = 2 (5 x2 - 8x + 3 )

*

P(m;n) = (m + n) (3m + 2)  Posee 2 factores primos

5x

-3

-3 x

x

-1

-5 x -8 x

*

Q (a ;b ;x;w ;z) = a x + b x + aw + b w + a z + b z

*

R (x) = x2 + 2ax + a2 - b 2

Q (a;b ;x;w ;z) = x(a + b ) + w (a + b ) + z(a + b )

x

(a + b)

(a + b)x

x

(a - b)

(a - b)x 2ax

 Q(a;b;x;w;z) = (a + b) (x + w + z)  Posee 2 factores primos.

c) Identidades: Aplicación de identidades notables para estructuras conocidas. Ejemplo: *

P(x;y) = (x + y)4 - (x - y)4


Diferencia de cuadrados

P(x;y) = [(x + y)2 + (x - y)2] [(x + y)2 - (x - y)2] P(x;y) = [2(x2 + y2)] [4xy]

1. Si el polinomio: T(x) = x2 + (2m - 1)x + (m - 1)2

Identidades de Legendre

Es factorizable mediante un aspa simple (en los

 P(x;y) = 8xy(x2 + y2)

enteros), además: m  Z ^ m < 13, indique un factor

 Posee tres factores primos. *

primo.

Q(a;b) = a2 + 4ab - 4 + 4b2

a) x + 5

MATEMATICA

b) x + 7

c) x + 9


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” d) x + 11

e) x – 1 10.

2. Factorizar: M(x) = 2x4 - 32 Indicar la suma de coeficientes de un factor primo. a) 2

b) 4

d) 6

e) 7

c) 5

d) 4

e) 5

d) x - 1

b) x2 + 2x + 1 e) x2 + 5x + 6

d) 4

e) 5

c) 3

a) 3

b) 4

d) 12

e) 18

Proporcione la suma algebraica de los factores primos

c) x2 + 3x + 2

obtenidos. a) 2(x  1)

b) x 1

d) 2x + 2

e) 2(x y + z)

d) x  1

c) x + y + 1

Indicando un factor primo.

6. Un factor de: U(x;y) = x2 - y2 + 5x + 5y es: a) x + y + 5

b) x  y + 5

d) x + y + 1

e) x + y  1

d) x + 9

e) x + 12

b) x + 10y

d) x + 16y

e) x + 7y

factores primos. a) 5

b) 2

d) 8

e) 9

de:

c) x + 8

E(x;y;z) = xy(xy + 2) + (z2 + 1) (1 - z2) a) y b) xy c) d) x

e indicar un factor primo lineal.

d) y + 6x

b) 2x + 3y e) 6x + y2

c) 7

15. Indique el término común en los factores obtenidos

8. Factorizar: M(x;y) = 4x4 + 15x2y2 - 54y4

a) x + 6y

c) x + 11y

Indicar la suma de los coeficientes de uno de los

c) x y

Indicando un factor primo. b) x + 7

a) x + 4y

14. Factorizar: T(x;y) = (xy + 1) (xy + 2) (xy + 3) (xy + 4) - 3

7. Factorizar: E(x) = (x + 1)4 - 5(x + 1)2 + 4

a) x

c) x + 1

Factorizar: E(x;y) = (x + 3y)2 (x2 + 6xy + 4y2) + 4y4

13. b) 1  xy e) x2  5x + 6

c) 6

12. Luego de Factorizar: M(x;y;z) = x2 + 1 - 2x - 2yz - y2 - z2

5. Uno de los factores primos de: T(x; y) = (1 + xy)2 (x + y)2; es: a) x + y

c) 3

Indicar el número de factores primos.

4. ¿Cuál de los siguientes polinomios es primo? a) x2 1

b) 2

M(x;y) = 2(x - y) (x + y)2 + x2 - y2 + (x - y) (x + y)3

Indicando el número de factores primos. b) 2

a) 1

11. Factorizar:

3. Factorizar: S(x;y) = (9x2 - 4y2) (x2 - 25y2)

a) 1

Indique el número de factores primos: D(a) = (a + 5)2 + (a + 5) (2a + 5) (3a + 5) + a2 + 5a

2 z

e) Mas de una es

correcta.

c) 3x + 2y

TAREA DOMICILIARIA

9. Al factorizar: A(x) = x2 + 2x + 1 + ax + a 1. Sea: M(x; y) = 3x2y8 (2x + y)4 (x  2y)5

El término independiente de uno de sus factores primos es:

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

a) 1

b) a

c) 1 + a

d) 2

e) hay dos correctas.

I. El número de factores primos es 2.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” II. La suma de los factores primos es 4x

a) x – 5

b) x + 4

III. El factor primo de mayor multiplicidad es (x - 2y)

d) x – 6

e) x – 7

a) VFV

b) FVF

d) FFF

e) FFV

c) VVV

8. Dada la expresión: J(x;y) = 3(x - y)2 - 7(x - y) + 2 Sabiendo que "x - y" es par, proporcione un factor de

2. Factorizar: A(x; y) = x2y2 + xyz + xyw + zw

P(x;y) que puede ser par.

E indicar un término de un factor primo c)

a)

x b)

z

d)

xy e)

Hay dos correctas

xz

c) ab + 1

10.

4. Factorizar: T(x; y) = (m + n)x[(m - n)y - m] - m[m - (m - n)y] Indique un factor primo obtenido a)

m(y + 1) + ny m(y + 1) - ny

e)

d) x + 4

e) x + 5

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

Un factor primo de: A(x) = abx2 + (3a + 4b)x + 12 es: a) ax + 4

b) ax + 3

d) bx + 2

e) ax + 6

c) bx + 4

Indicando un factor primo

m(y + x) - ny

a) x + 1

b) x + 2

m(y - 1) - ny

d) x + 8

e) x + 9

c) x + 3

12. Indicar un factor primo de: M(x) = (2x2 + 5x)2 - (2x2 + 5x) - 6

Indicando un factor primo. b) x + 2

a) 3m + 5

d)

5. Factorizar: P(x) = x3(x + 5) + 3x2(x + 5)

a) x + 1

d) x – y

11. Factorizar: N(x) = x2(x + 7) + 4x(x + 7) + 4x + 28

b)

my - n(y - 1) c)

b) 3x – 3y – 1

c) 3x + 3y – 1

9. Indique el número de factores primos en: U(x; y) = x3m+2y3 + 7x3m+1y4 + 10x3my5 ; (m  Z +)

El factor primo de segundo grado es: b) a + b e) b2 + ab

a) x – y + 2 e) x – y – 2

3. Factorizar: T(a;b) = a3b2 + a2b + a2b3 + ab2

a) ab d) a2 + ab

c) x - 4

c) x - 3

6. Factorizar:

13.

S(a; b) = 1 + ab + m(a + b) + m(ab + 1) + a + b

a) x – 2

b) x – 3

d) 2x + 3

e) 2x – 1

c) x – 1

Factorizar: A(x) = (x2 + 5)2 + 13x(x2 + 5) + 42x2 Indique la suma de coeficientes de un factor

Indicar el número de factores primos.

primo.

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

a) 5

b) 4

d) 2

e) Hay dos respuestas.

c) 3

7. Al factorizar: "J", "M" y "Q" J(x) = x2 + 6x + 8

14.

c) 6

Si la suma de los factores primos de: T(x) = 12x2 - mx - 15 es 7x - 2 Hallar "m"

M(x) = x2 - 9x + 18 Q(x) = x2 - 9x + 20

Señale el factor primo que proporciona el menor valor

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (POR FACTORIZACIÓN)

numérico para x = 2005.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” ab =  [a=] [b=]

Como consecuencia de este Teorema tenemos el

Resolución de una ecuación de segundo grado con una incógnita por factorización Forma general:

siguiente resultado:

Siendo: "a", "b" y "c" constantes: a 0 x Incógnita

TEOREMA: Sean "a" y "b" en R, entonces:

Por ejemplo: * x2 - 1 = 0 *

x2 - 4x + 3 = 0

*

2x2 + x - 6 = 0

*

x2 + x + 1 = 0

a2 = b2 [a=b a=-b]

Demostración:

a2  b2  a2  b2  0  (a  b)(a  b)  0  a b  0 a b  0  a  b  a  b

O jO

Debido a la notación:

U n a e c u a c i ó n c u a d r á t ic a p u r a e s a q u e l la q u e c a r e c e d e t é r m in o " x " .

a  b   (a  b)  (a  b)

E jm .: 2

x - 1 = 0 2 7x - 5 = 0

El teorema previo también se puede enunciar como:

TEOREMA: Sean "a" y "b" en IR, entonces:

a2 = b2 a = ± b

Métodos de Resolución de las Ecuaciones de Segundo Grado.

1º Método: Sea: ax2 + bx + c = 0

La resolución de una ecuación cuadrática puede

a  0, c = 0

realizarse sea por factorización o completando cuadrados, ambos métodos se basan en los siguientes

La ecuación se reduce a:

teoremas.

ax2 + bx = 0 Se puede factorizar así:

TEOREMA: Sean "a" y "b" en R, entonces:

x(ax + b) = 0

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Que equivale a dos ecuaciones lineales: Que equivale a las dos ecuaciones lineales:

x = 0 ; ax + b = 0 Con las soluciones 0 y b/a, que son raíces de las ecuaciones de: ax2 + bx = 0.

x + 2 = 0 x  2 = 0

Ejercicio básico:

*

Con las soluciones 2 y 2, que son raíces de x2  4 = 0.

Completa el siguiente cuadro según la notación pedida:

Ecuación Cuadrática

Menor Solución

Mayor Solución

x2 – 3x = 0

0

3

x2 + 5x = 0

-5

0

OjO

¿Qué opinas si resuelves de esta forma? Siendo: x2 – 4 = 0 Tendremos: x2  4  x  2

2

x – 6x = 0 x2 + 7x = 0

Ejm:

3x2 + 5x = 0

Sea: 2x2  21 = 0

2do Método:

Tendremos: Sea: ax2 + bx + c = 0

x2 

21 2

a  0; b = 0 y las raíces son:

x 

La ecuación se reduce a:

21 42  2 2

Ejm: ax2 + c = 0

Entonces las raíces son:

 

Sea: x2 + 9 = 0

c a

Tendremos: x2 = 9

Ejm: Para este tipo de ecuación necesitas saber que:  1  i (este tipo de número lo estudiaremos el próximo Sea: x2  4 = 0

bimestre). Las raíces son: x    9  3i.

Ejercicio básico

Se puede factorizar así: (x + 2)(x 2) = 0

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Completa el siguiente cuadro, según la notación pedida. Ecuación Cuadrática

Menor Solución

Mayor Solución

-4

4

x2 – 16 = 0

Que equivale a dos ecuaciones lineales: x3=0

 x  2 = 0

x2 – 25 = 0 x2 – 100 = 0 4x2 – 9 = 0 49x2 – 81 = 0

Con las soluciones 3 y 2, que son raíces de la ecuación: x2  5x + 6 = 0

3° Método:


Sea: ax2 + bx + c = 0; a 

1. Resolver las ecuaciones siguientes:

Se puede factorizar así: (mx + n)(px + q) = 0

Siendo: mp = a, nq = c,

2.

mq + np = b

Que equivale a dos ecuaciones lineales:

mx + n = 0

 px + q = 0 3.

Con las soluciones. 

n q y  m p

Que son raíces de la ecuación: ax2 + bx + c = 0

a)

x2  15x = 0

b)

x2 + 6x = 0

c)

3x2 - 5x = 0

Resolver las siguientes:

ecuaciones

cuadráticas

a)

x2 40 = 9

b)

x2 400 = 0

c)

2x2 + 34 = 9 + 3x2

puras

Resolver las ecuaciones siguientes: a)

x2 + x = 6

c)

x2 = 7x + 8

b)

x2 = 5x + 24

4. Resolver las ecuaciones siguientes completando cuadrados. Ejemplo: Resolver: 2

x - 5x + 6 = 0 x

-3

x

-2

(x - 3)(x - 2 ) = 0

5.

MATEMATICA

a)

x2 + 4x  5 = 0

b)

x(x  3) = 4

c)

2x2 = x + 1

Resolver las ecuaciones:



6.

a)

x4  13x2 + 36 = 0

b)

x4  3x2  10 = 0

c)

2x  9 x  4  0

10. Resolver:

3x 9  x x3 x3

Resolver las ecuaciones: a)

x  x2  2

b)

2x  2  x  1

c)

2x  7  x  2

a)

3 b)

3 c)

d)

9 e)

9

11. Resolver:

3

x  2 

a)

1 b)

3 c)

d)

2 e)

2

2 

 x 

3 2 

1

8. Resolver: 

3

2 

Hallar una raíz de: (x + 2)2 + (x + 3)2 = (x + 4)2

7.

3

2

1  1 1   x   3  3 3

3

a)

2 b)

1 c)

d)

3 e)

4

1

12. Si: a)

2/3

b) -2/3

c)

x  6  6  6  ...

+_2/3 d)

1/3

e) _+ 1/3

Entonces "x" es:

9. De la figura:

a) 10

x

-2 b)

0 c)

d) a y c

e) a o c

3

TAREA DOMICILIARIA

x + 10 2

Hallar "x" 1. Resolver las ecuaciones siguientes: a)

5 b)

6 c)

16

d)

10

e) Hay 2 correctas

x2 - 17x = 0

a)

b)

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 10. Indicar la mayor raíz de: (x  5)(x 2) = 18

2

x x  0 5 4

2.

Resolver

las

ecuaciones

cuadráticas

puras

11.

siguientes:

De la figura: x+ 1

a)

x2 24 = 40

b)

3x2  243 = 0

x+ 2

x+ 3

Hallar "x" 3.

Resolver las ecuaciones cuadráticas siguientes: a)

x2  x = 12

b)

x2 = 7x +18

12. Resolver:

4x 8 x x2 x2

4. Resolver las ecuaciones siguientes completando cuadrados: 13. Señale una raíz de: x2 + 5x + 6 = 0 x(x  2) = 3

a) b)

5.

x4  20x2 + 64 = 0 x4  x2  20 = 0

b)

7.

x2  2x  13

2


6.

4x2  3x  5

14. Hallar una raíz de:


x2  x  3  3

b)

5x  5  x  1

1 1 5   x3 x 4 6

15. Resolver:

Hallar una raíz de: (x  4)2 + (x  3)2 = (x  2)2

x 4 x  2x 2

8. Si: xz > 0; 6x2 + 5x = 0



2 x 4 2



1 x  2x 2

5z2 + 6z = 0 16. Resolver:

Hallar el valor de: x  z

x  3

9. Resolver: 

 x  

1  4 

 

 x 

1 1   4 9

10 10 3 10 3 10 3 3 

17. Sea:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” x  2  12  12  12  12  ...

n: índice (n  IN ; n  2) x: radicando o cantidad subradical. r : raíz n-ésima de "x".

Calcular: x2 + 219.

Ejemplos:

18. Si una de las dos raíces positivas de la ecuación: 2x2 - (p2 - 5)x + 3p = 0; es: 4 Hallar la otra raíz.

3



3

27  3  27  3



5

32  2  32  (2)



4

1 1 1  1    81 3 81  3



10

1024  2  1024  2

5

4

10

19. Resolver:

m2  n2 

mn x2



m2  n2 x

O jO 2

n = n S e o m i t e e l ín d ic e

20. Resolver: (x2 - 6x)2 - 2(x2 - 6x) = 35

R ecuerda:

Indicar la mayor solución.

L e y d e s ig n o s .

O jO

RADICACIÓN ALGEBRAICA

2n

# P o s it iv o     

2n 2n1 2n1

IR n ú m e r o i m a g in a r i o

# P o s it iv o  

# N e g a t iv o   

Radicación Teoremas:

Se llama radicación a la operación matemática a través de la cual, dada una variable real "x" y un número natural "n", existe un tercer número "r" llamado raíz, siempre que: rn = x.

Siendo 

Es decir:

{a;b}  R0 ; m,n  IN  {1},

Si :

n

x rxr

Entonces:

n

I. Raíz de un producto

n

ab  n a.n b

Donde:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 3  4

3 4

3 2



Ejemplo: 7

6  7 3.7 2

5

5

III.

Raíz de una raíz m n

5

a 

15  5. 3

m n

a

8  4. 2  2 2 18  9. 2  3 2

Ejemplo:

* II.Raíz de un cociente

n

a  b

n

a

n

b

7 9

2

63

2

*

(b  0)

45

219 

20

219

* 3

Ejemplo:

64 

6

64  2

Extraer un factor de un radical.

*

Para extraer un factor del radical, se descompone el

3

radicando en la multiplicación de otras cantidades, uno de

3 5  5 2 32

los cuales tiene por exponente el mayor múltiplo del índice y se divide este exponente entre el índice de dicha raíz.

*

Ejemplo:

5 3 

7

5 5

*

3

180  22.32.5  22 . 32 . 5  2.3 5  6 5

7 * 3

* 3

270 

3

2.33.5 

* 5 10 15 2

3

4 4 3 4   3 27 3 27

a b c 

3

3

2 . 33

3

5 10 5 15 5 2

5

3

3

3

2.3 5  3 10 5

a . b . c  a2b3 c2

Introducir un factor en un radical. Para introducir un factor en un radical de índice ‘‘n’’, se elevará el factor a la potencia n-ésima y se multiplicará por el radicando.

*

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Ejemplo: *

2 5  (2)2  5  20 * 3

6 2  3 (6)3  2  3 432 *

x2 5 y 

5

( x2)5 y 

5

x10y

C o ro la r io n

a

m

np



a

m p

Radicales Semejantes Son aquellos radicales que además de tener el mismo índice, poseen la misma cantidad subradical. Ejemplo:

Ejemplo: 5

3

6

8

2

25

52 

212 

23

6

6

9  32  8

x 

1 4

22 

10

4

a; b a; m a; 3 a Son semejantes

*

Índice: 2

6

522  54  625

6

4

10

4

x

1 2

1 4

2

3

1 2

3

 3

Homogenización de radicales. Para

2

Cantidad subradical: a

dos

o

más

radicales

heterogéneos

que

quisiéramos expresarlos con un índice común, bastará con

1

 x  x

que encuentres el m.c.m de los índices que será el nuevo índice.

Clasificación de los Radicales

Ejemplo: 3

Radicales Heterogéneos.

2; 5; 6 3

El M.C.M de (3;2;6) = 6 Luego:

Son aquellos radicales tales que sus índices son diferentes. Ejemplo:



3

2, 43



5

xy, 7 a



32 6

3x , 3 2y

22 ; 32 53 ; 6 3

4; 6 125; 6 3

Operaciones con radicales

Radicales Homogéneos.

Adición y Sustracción.

Son aquellos radicales que tienen igual índice.

La suma o sustracción algebraica de radicales semejantes se efectúa como la de términos semejantes, es decir, se multiplica la suma de sus coeficientes por el radical común. Ejemplo: Calcular la suma indicada:

Ejemplo:

M  4 2  2 18  3 32  50 Sol.: Primero simplificaremos los términos, en caso de que sea posible. Así tenemos:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” M  4 2  2 18  3 32  50

3

M  4 2  2 9  2  3 16  2  25  2

b)

3

M  4 2  2 3 2  3 4 2  5 2

3

5

M  4 2  6 2  12 2  5 2

x2

7

c)



x

6

27

6



9

63

35

x14

35

5

x



35

M  (4  6  12  5) 2

x9 No Olvidar

M 5 2

OjO

Multiplica r

3

2 por

x; x  0   x; x  0 

| x|  

Multiplicación y división. Para multiplicar dos radicales primero se reducen al mismo índice, en caso de que sea necesario. Ejemplo:

T e o re m a 2n

x

2n

 |x|

3

Sol.: El M.C.M. de los índices 3 y 2 es 6; por tanto,


convertiremos cada radical al índice 6. Así resulta: 3

1

2

1 2

3 6

1. Calcular:

2  23  26  6 4 3  3  3  6 27

De donde: 3

N

2 3  6 4  6 27



7 2



 



 

7  2  3 2 3 2 





52

52

 3 2 3  6 108 La multiplicación de expresiones de dos o más términos, ya sea que algunos o todos contengan radicales, se efectúa al igual que con expresiones algebraicas ordinarias. Ejemplo:

Multiplica r : 3 x  2 y por 2 x  3 y

a)

10 b)

11 c)

d)

15 e)

17

13

2. Calcular:

Sol.: Se ordenan las expresiones y se procede como en la multiplicación ordinaria, la operación se dispone como

M

sigue:

3 2  22  2 2  32  10

3 x2 y 2 x 3 y 6x  4 xy  9 xy  6y

a)

4 b)

7 c)

d)

6 e)

9

31

6x  5 xy  6y 3.

Efectuar:

Para dividir un radical entre otro, estos deben tener el mismo índice. Ejemplo: Efectuar las divisiones indicadas:

 

10 a)

10   5 2 2

MATEMATICA

2



A

2 3  2 3 

a)

1

b)

d)

6 e)

2 c)

3

8



4/125

e) 2/5

4. Efectuar:



T

4



3 1





9. ¿Cuál de las raíces es menor?

3 1 4 3 1

a)

1

b)

d)

2 e)

0 c)

8 ó

1

3

5. Efectuar:

T  2 83 57 2





72  5 20  2 2  198 b) 40 10

4 10

a)

e) 54 10

6. Efectuar:

2  22 3  1

3 1

18 b)

d)

9 c)

27/4

5 

24



75  50

9/2

e) 27

a)

 1

d)

2 e)

5

c)



a)

2

b) 2 4  x

1/5

2

c) x  4

x2  4

2

e) 2 x  4

[( 3  1)2  ( 3  1) 2]2  [( 5  1) 2  ( 5  1) 2]2  98

3

a)

16  6 4  3 54  4 25  2 5  6 125 

x2 4

2

8. Reducir: 3

1

11. Reducir:

1 b)



4  x2

d)

a)

K

4  x2

2





75  50



x2

3 1

7. Simplificar:

S

6

8  2x2  2 4  x2 1

a)

e)

c)

Y

2  

c)

10. Simplificar:

52 10

  2 3 1

11

6 11

d)

24 10

d)

3

b)

8 3



36

4 a)



4

11 ó

c)

6

d)

b) 1/125

4

3

b)

2

3

2

e)

5

12. Hallar el valor de "x" en:

c)

2/125

MATEMATICA



( 2

6

3. Escribe el símbolo <, = ó > según corresponda en el

256)6x  54

recuadro entre cada par de radicales.

a)

1/2

b) 1/3

d)

2 e)

1/5

c) 1/6 a) b)

3. Efectuar:

c)

( 12  8  3  2)2 ( 27  18  3  2) 2  9 4

4.

Del siguiente grupo de radicales: 3

a)

7 b)

9 c)

d)

12 e)

15

4 x; 5 x;

10

3

3

4

m; 2 x; 7 m;

3

x;

23 x; 9 x 5

encierra en un círculo los que son semejantes a:

43 x 5 5. Efectuar las siguientes sumas:

TAREA DOMICILIARIA 27  48  12

a) 1. Expresar los radicales en su forma más simple.

72

a)

c)

7 2  3 50  7 32

98  2  50  18  32

3 50a2 5

c) 3

d)

5 8  3 18

d)

2 18

b)

b)

a2b6c7

6. Efectúa: 2. Transformar en radicales enteros, es decir, en radicales de coeficiente 1, los siguientes radicales:

(3 5) (2 5)

a)

b)

2 6 12

a)

3 2

b)

4 3

c)

2x x

3

7.

2

3

3

18x

4 3

d)

2

6x

Realiza las siguientes operaciones: a)

( 5  3) ( 5  2)  5 b)

2xy x

d)

3

( 6) ( 12)

c)

(2 3  2) (3 2  3)

MATEMATICA



 ( k  k)

k 1

( 3  2)  ( 6  1) 2

8.

100

( 7  1)2  2 7

c) d) 2

Reducir:

J  48  12  3 

indicar la parte racional



27  75 b) 

 2

a)

 3

a)

c)

3 2

46 c)

d) 48

e) 49

47

e) 2 3

3 2

d)

45 b)

TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLE EN RADICALES SIMPLES. 9. Efectuar:

U 44  2  8  33 6 9 a)

0 b)

1

d)

5

e)

3

c)

Radicales Dobles

2

Son aquellos radicales que se caracterizan porque dentro de un radical, se encuentran contenidos uno o más radicales con otras expresiones a través de operaciones de adición y sustracción.

10. Efectuar:







A  2 3 1 3 3  2  3

Ejemplo: a)

2 3

b) 0 c)

d)

16 e)

16  3

62 3

A B

•

• A B  C  D •

3

A B

11. Reducir: 1 caso. Radicales de la forma: ( 5  3  5  3  11  2)( 5  3  5  3  11  2)

a)

-2 b)

-3 c)

d)

-5 e)

-7

A B

A  B  x  y ; (x > 0  y > 0, x > y)

-4

Elevando al cuadrado: 12. Calcular:

A  B  x  y  2 xy

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 7  40  C  72  40  3 7 3 7 3   5 2 2 2

 7  40 

   

De donde: 

x + y = A

2

x  Ax 

4 xy = B

B 0 4

c)

2

x 

3  5  C  32  5  2

A A B 2

 3 5 

3 2 3 2 5 1    2 2 2 2

Luego:

A B 

A  A2  B  2

A  A2  B 2

Regla Práctica También se puede transformar A  B a radicales simples formando un trinomio cuadrado perfecto para lo cual debemos recordar lo siguiente:

Por lo tanto:

A B 

A C  2



AC 2

a b



2

 a  b  2 ab

Lo aplicaremos de la siguiente manera:

A  B  a  b  2 ab 

Donde:



a b



2

 a b

ab

2

C A B

Ejemplo:

Además: A2 - B es cuadrado perfecto

 5  24  3  2  2 3x2  3  2

Ejemplo:

 7  40  5  2  2 5x2  5  2

Transformar a radicales simples:

 28  5 12  25  3  2 25x3  5  3

a)

11  3 8  Se tiene : 11  8  32


 C  112  8x32  7  11  3 8 

11  7 11  7   3 2 2 2

1. Dado a  60 ; donde a Q , al descomponer en radicales simples, uno de ellos es 5 . ¿Cuál es el otro?

b)

a)

2 2

b) 3 2

c)

12

MATEMATICA



d)

3

e)

2

a) 2. Si:

c)

a  4 b  2  a  2  2b

b)

3 2 1 2 1

d)

3 2

e) 1

Además: a > b; a, b  N 6. Simplificar: descomponer en radicales simples:

 2

3  5  13  48

a  b  2 a  6b 6 2

a) 5 2

a)

3 1

3 1

d)

2 1

d)

e)

3  2 c)

e)

3 1

6 2

3  2 c)

b)

b)

7 2

3. Efectuar: 7. Descomponer en radicales simples:

M

a)

2n

2n

5 2 6.

n

2

3 2

b)

d)

2

n

;nZ;n>2

2

e)

S

4

7  48

c) 1 n

2 3

a)

3 2  2 2

b)

6 3  2 2

d)

6 2  3 2

c)

4. Calcular:

A  ( 13  7  5  7 )

6 2  2 2

3 7

2 3  3 2

e) 8. Proporcionar el valor de:

a)

2 b)

3 c)

d)

5 e)

6

4

4 



a partir de: 5. Reducir:

T

11 2  12 

13  2 40  7  40  11  6 2

4



4

 ;     {; }  IN

33  8 2  3  8  11  72

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” d) n 2  n a)

1

d)

3 2 2

3 2 4

b)

e)

c)

e)

n 1

2 3

TAREA DOMICILIARIA

2 2 3

1. Descomponer los siguientes radicales dobles en radicales sencillos. 9. Simplificar:

a)

14  2 48

=

____________________

1  2 1  ....  2 1  2 3  2 2 Indicando uno de los radicales simples.

b) 15  2 54 = ____________________ a)

2 b)

3

6 e)

d)

c) 5 c)

2 2

____________________

10. Hallar el valor numérico, convirtiendo los radicales

d)

dobles en sencillos de:

3 3  2 2 2 3

a)

1

b)

d)

4 e)

16  2 55 =

17  2 70 =

____________________

2. Descomponer los siguientes radicales dobles en

2  12  18  128

2 c)

radicales sencillos:

3

a)

6  32 =

______________________

5

b)

11. Descomponer en radicales simples la expresión:

7  40 =

______________________

M  1  2  3  4  ...  2n  2n 2n

c)

8  48 =

______________________ a)

n 1

b)

2n  1

c)

n

d)

MATEMATICA

9  80 =


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” ______________________

3 7 =

e)

______________________

3. Descomponer los siguientes radicales dobles en radicales sencillos:

4 3 =

f) a)

______________________

18  6 5 =

_____________________ 5. Resolver: b)

27  10 2 =

____________________

M  6  2 5  11  2 30  1 c)

19  8 3 =

_____________________

d)

6. Efectuar:

21 6 6 =

A  19  8 3  21  12 3  3

_____________________

7. Indique un radical simple de:

4. A continuación se presentan radicales simples, transfórmalos en radical doble.

a)

M  1  2x 1  x2 ;

6 5 =

0 x1

_____________________ 8. Si al resolver: b)

7 2 =

M

_____________________

c)

x  1  x2  2x  3

se obtienen dos radicales simples, calcular el valor

6 1 =

numérico de uno de ellos para x = 7.

______________________

5

d)

9. Si: 2

52 =

______________________

 x 3

el equivalente de:

2x  2 6x  9  2x  1  2 4x  6 es:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Se llama factor racionalizante a aquella expresión algebraica irracional que multiplicada por el numerador y denominador de una fracción permite que uno de estos se transforme en una expresión algebraica racional.

10. Indique: B – A; sabiendo que:

M I

15  2 54  8  2 12  A  B



F.R. M  F.R.  F.R. Racional

expresión irracional

11. Reducir:

2 . 3 5  2

Casos que presentan:

7  45

CASO I 12. Efectuar: N n m

; n  m; m, n  IN; a  IR 

a

27  7 5  7  3 5

El factor racionalizante es:

13. Efectuar:

M

n

5  2.

2n

9 4 5 n n m

a

14. Reducir:

M

4  15  2  3



13  120  5  24

*

N n

am

n



n

an m an m



N

n

an m a

Ejemplo: Racionalizar el denominador de:

RACIONALIZACIÓN

5 3

2

Sol.:

Es el procedimiento por el cual se transforma uno de los componentes de una fracción (numerador o denominador) que se encuentra en forma irracional en otra equivalente racional. Por lo general, se emplea para eliminar la irracionalidad de los denominadores.

5

3

22

3

5 4   3 3 2 2 2 2

FACTOR RACIONALIZANTE (F.R.)

MATEMATICA



Ejemplo: Indicar el denominador, luego de racionalizar:

5  2 7( 5  2)   3 5  2 5  2          7

2 2 5  2

7 3

9 2 *

Ejemplo: Indicar el denominador racionalizado de:

Sol.:

5 5 1 3

7 3

26



3 . 2

3

6

5

3. 2 6

3 . 25

3



6

3

6

7 3 . 32 7 3 . 32  3 2 6

Sol:

5  1 5( 5  1)   4 5  1 5  1        5

2 5 12

 El denominador es 6.

El denominador es 4. CASO II

N f(x)  g(x)

*

; f(x) ,g(x)  IR 

Ejemplo: Racionalizar el denominador de: 219 2

x 1  x

Sol: 219 E x p r e s ió n

F a c to r R a c i o n a l iz a n t e



x2  1  x

2 2  x  1  x  x  1   x

P ro d u c to

 219( x2  1  x)

2 x2 1  x2

f( x ) - g ( x ) f( x ) - g ( x )

PROBLEMAS PARA LA CLASE *

Ejemplo: Racionalizar el denominador de:

7 1. Efectuar:

5 2

T

Sol:

a)

MATEMATICA

1 8 6



1 62

2 b)



1 2 2



1

-2 c)

2

1



-1 e)

0

a)

0 b)

d)

6 e)

1

c)

5

5 1

2. Reducir: 6. Efectuar:

T

1 3 2

1



2 3

1



52

1



6 5

6 2

a)

2

U

3

1 3 ]1 1 3 1 3 3

[

b)

5 1 c) e)

32

0 d) 4



a)

1 3  2 2

c) e)



b)

1 3  2 2



3. Racionalizar:

1 3  2 2

1

2 d) Ninguna anterior



3 2

a  25 a  7 a  10

a)

a  10 a 2

c)

a  10 a 4

7. Racionalizar:

b)

1

a  10 2 a

a)

3

3

2

b)

1

d)

3

a  7 a  10 a 4

4

3

2 1

8. Si se racionaliza el denominador de la expresión:

a  7 a  10 a 4

e)

3

x5



x  4  3x  14

4. Indicar el denominador racionalizado de:

1

S

10  14  15  21

se obtiene una expresión equivalente cuyo valor para: x = 5 es:

a)

1

b)

d)

5 e)

2 c)

14

15

5. Simplificar:

J

a)

-2 b)

-1 c)

d)

1

2

e)

0

9. Racionalizar:

4 5

4



1

1 5

1

 1

1

T

1 5

1 2 3  5

e indicar el denominador

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 1. Racionaliza el denominador de: a)

21 b)

22 c)

d)

24 e)

25

23 2 3

a)

3 2

3

10. Reducir: x  y3 3

b) 3

3

xy

y x

3y

x2

xy 3

c)

a)

7x

3

x2 b)

y2 c)

d) y

e) xy2

x

x5y7

2. Racionaliza el denominador de:

2 3

a)

11. Simplificar: 1

M 1 1 2 1

2

2 6

 2

1

1

3 2

2

2

5 2 6

b)

2

4 b

c)

a3 b

3. Demostrar que: a)

2

b)

d)

2 1

1

c)

e)

0

2 1

a) 2 24x3

12. Indicar el denominador racionalizado de:

3x

 4x 2

(x  0)

4 2 3 5

a)

1

b)

d) 4

b)

2 c)

2 1 3 3 9v  36v2 2 4  16

3

e) 6 4. La expresión:

( 27  3) 1 es equivalente a:

TAREA DOMICILIARIA a)

MATEMATICA

3 6

3

b) 12

c)


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” b)

27 4

x y 13 16

d)

e)

27 6

x y

2 8  18  50  32

luego señale su denominador 2 b)

4 c)

d)

8 e)

12

5 2

d)

d)

 5

2 c)

b)

 2

e)  2 5

2 3 3 2

Se obtiene: 5 + q 6 ; indicar: 5q + 3

219 xy3z11

b) xyz2

xy2z3

e) x2y2z3

a)

3 b)

5 c)

d)

13 e)

22

6

c) 11. Efectuar:



1 

3 5

T 

7. Racionalizar el denominador en: a)

2003 7

125

10. Al racionalizar:

xy4z3 xyz3

N

x2  y

6

e indique su valor a)

2x2  2y

25



5

6. Racionalizar el denominador en:

5



a)

A

A

x y

3

5. Racionalizar:

a)

x y

9. Efectuar:

M

J



a2b4c

5

3 4 6

ab

ab3



10  5  1

1

b)

d) 4

2

2 c)

3

e) 5

e indique su valor. a)

b) a2b2c2

abc

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (POR FÓRMULA CUADRÁTICA)

c)

ab2c2 a3b3c

d)

e) a4b3c2

8. Demostrar que: a)

MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS. a bb a a bb a



Consiste en completar el cuadrado de un binomio y está

a  b  2 ab a b

basado en la aplicación del siguiente teorema.

MATEMATICA



*



b c 2  x  a x  a   a

ax2 + bx + c = 0

a2 = b2  a = b  a = -b Ejemplo:



x2 

0

b c x  0 a a

Sumar y Restar la mitad del coeficiente de "x":

Hallar la solución de: x2 - 2x - 1 = 0

1  b b    2  a 2a Elevado al cuadrado:

Dar como respuesta la menor raíz.

 b    2a 

SOLUCIÓN: Como es difícil de Factorizar, usamos el método de

x2 +

completar cuadrados, los pasos a seguir son: x2 - 2x - 1 = 0

R a íc e s

2

b b x + a 2a

x

b 2a

-

2

+

2

c = 0 a

x +

b b2 c + = 0 2a a 4a2

b 2a



Sumar y restar la mitad del coeficiente de "x":

 x 

1 (2)  1 2

2

b  2a 

2



b2 4a2



c b2  4ac  a 4a2

Si: b2 - 4ac  0, las soluciones son:

elevado al cuadrado: (-1)2 = 1, nos queda 1. 2 x   2x   12  12  1  0  

x

b  2a

b2  4ac 2a

ó

x

b b2  4ac  2a 2ac

x

b b2  4ac  2a 2a

ó

x 

x

b  b2  4ac 2a

(x1)2  2

Aplicando el teorema: a2 = b2  a = b  a = -b (x - 1)2 = 2  x - 1 =

2  x-1=



b b2  4ac  2a 2a

 2 x=1+

2  x = 1 2 

 C.S.{1  2;1  2}

ó

x

 b  b2  4ac 2a

Finalmente; las raíces de la ecuación: ax 2 + bx + c = 0, están dadas por:

x

b  b2  4ac 2a

A la expresión b2 - 4ac la llamaremos discriminante y la

Sea: ax2 + bx + c = 0, donde a

≠

simbolizaremos por  2 Así tenemos:  = b - 4ac Ejemplo:

0.

Para encontrar las soluciones necesitamos seguir los siguientes pasos: Factorizamos el coeficiente de "x2".

Resolver aplicando la fórmula general: a) x2 - 3x + 2 = 0 En este caso: a = 1 , b = -3 , c = 2.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Sabiendo que:

Luego:

x1,2 

x1,2 

 b  b2  4ac 2a

1. Resuelve las ecuaciones siguientes:

 (3)  (3)2  4(1)(2) 2(1)

a)

3 + 1 = 2 2 x 1 ,2 =

b)

;

x2 + 2x = 5

C.S. {

;

C.S. {

;

}

= 2

c)

C.S. {1;2}

1 + x = 3x2 }

b) 4t2 + 12t + 9 = 0 En este caso: a = 4,

b = 12, c = 9. 2. Resuelve las ecuaciones siguientes:

Luego: t1,2 

2

 (12)  (12)  4(4)( 9) 2(4)

a)

-1 2 + 0 3 = 8 2 t 1 ,2

C.S. {

}

3 ± 1 2 3 - 1 2

x2 + 3 + 5x = 0

b)

-1 2 - 0 3 = 8 2   3    2 

C.S. {

;

C.S. {

;

}

-1 2 ± 0 = 8

 C.S.

(x + 2)2 = 15

(x - 3)2 = 20 }

c)

es una raíz doble.

(2x + 1)2 = 8

C.S. {

;

}

c) 9x2 + 18x - 17 = 0 Tenemos: a = 9 , b = 18 , c = -17 Luego: x1,2 


 (18)  (18) 2  4(9)( 17) 2(9)

a)

x1,2 

b)

26 3

x 1 ,2

(x - 1)(x - 4) = 13 C.S. {

;

}

-1 8 ± 6 2 6 = 18 -3 -

;

}

 18  936 18 -3 +

(x + 1)(x + 3) = 2 C.S. {

c)

26 3

(x + 2)(x - 5) = 1 C.S. {

;

}

  3  26  3  26  ;   3 3    C.S. 


PROBLEMAS PARA LA CLASE a)

x(x - 4) = 1

C.S. {

;

}

MATEMATICA



x(x + 8) = 5

C.S. {

;

} c)

x(x - 1) = 3

C.S. {

2 3  2 x1 x

c)

;

C.S. {

;

C.S. {

;

C.S. {

;

}

}

8. Resuelve las ecuaciones siguientes: 5. Resuelve las ecuaciones siguientes: a)

(x + 5) (x - 5) = 4x – 10 C.S. {

;

b)

(x2 - 3)2 = 5

a)

}

} (2x + 3)2 = x2 + 5

C.S. {

;

} c)

(x + 4)2= 2x + 9

C.S. {

(x2 - 7)2 = 2

b)

;

}

}

9. Hallar la menor de las raíces de la ecuación: 6. Resuelve las ecuaciones siguientes:

a)

2 x x5

(x + 1)2 + 2x = 3(x + 1) + 5 C.S. {

;

}

10. Resolver: (x + 3)2 + (x - 3)2 = (x - 2)2 + 12 Indicar una solución.

b)

3x  7 5  4 x

C.S. {

;

}

c)

C.S. {

c)  2  2 e)

1 2

; 11. Halle una raíz de: 3  2 2x    1 x 


2 = x(3 + x)

1 2

d)

4x x2  x2 2

}

a)

b) 2  2

a) 2  2

C.S. {

; a)

}

 1  97 4

b)

 1  97 4

b)

1

2 7  0 x x2

c) C.S. {

 1  97 8

d)

 1  97 8

;

}

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 3. Resuelve las ecuaciones siguientes:

1  97 8

e)

12. Calcular la mayor de las raíces:

(3x  1)2  x 2 8x  1

a)

(x + 2)(x + 3) = 4 C.S. ; }

{

b)

(x - 2)(x - 1) = 5 C.S.

{

;

}

4. Resuelve las ecuaciones siguientes: 11 5 5 2 a)

b)

c)

 11 5 5 2

 11 5 5 2

d)

a)

11 5 5 2

b)

e) Más de una correcta

x2  1  3x  0 x2  2x  3

C.S. {

;

}

C.S. {

;

}


TAREA DOMICILIARIA

a)

(x + 4)(x + 3) = x + 13 C.S. { ; }

b)

(2x + 5)(x - 1) = x2 C.S. { ; }

1. Resuelve las ecuaciones siguientes: 6. a)

b)

x2 + 2 + 7x = 0 C.S. { }

x2 + x = 3 }

;

a)

b) C.S. {

; 7.


a)

b)

Resuelve las ecuaciones siguientes:

(x + 1)2 = 7 }

C.S. {

(x - 3)2 = 18 }

C.S. {

3 x x6

; } 2x  5 4  3 x ;

}

C.S.

{

C.S.

{

Resuelve las ecuaciones siguientes: a)

x(x - 8) = 1 ; }

C.S.

{

b)

x(x - 2) = 5 ; }

C.S.

{

;

8. Resuelve las siguientes ecuaciones.

;

MATEMATICA

a)

(x2 - 9)2 = 2 ; }

C.S.

{

b)

(x2 - 7)2 = 3 ; }

C.S.

{



x  2 

1

1 

1

2  1 

1 2   

9. Hallar la menor de las raíces de la ecuación: (x + 2)2 = 3x + 7

16. Resolver la ecuación:

(x  1)2

10. Resolver:

2

(x  1)



2 1 2 1

(x - 1)2 + (x + 2)2 = (x - 3)2

17. Resolver la ecuación siguiente:

11. Resolver: (x + 2)2 + (x + 1)(x - 1) - 3 = 0

2 x3 x2  6x  5  2  2 3x  9 3x  9 (x  3)(x  3)

indicar una raíz

12. Calcular la menor raíz de: 18. Hallar "k" en la ecuación cuadrática:



1 2 x    1 x 

(k - 1)x2 - 4x + 2 = 0 sabiendo que su discriminante es 8.

13. Calcular la mayor de las raíces: 19. Indicar la mayor solución de la ecuación siguiente:

(4x  3)2  5x  4 3x  2

x2(4x + 5)2 - 6(4x2 + 5x) + 8 = 0

14. Hallar el mayor cateto del triángulo rectángulo,

MANEJO DE FÓRMULAS

comprobar su existencia.

M  3

J

 x + 2

INCÓGNITA O VARIABLES

x + 1

Es una cantidad desconocida que representa un valor o magnitud numérica, la cual es posible determinar en una ecuación o fórmula.

Q

FÓRMULA Una fórmula no es más que una igualdad entre expresiones algebraicas que expresan algún principio, regla o resultado de índole matemático, físico o relativo a cualquier otra ciencia.

15. Hallar "x"

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Desde grados anteriores ya has trabajado con fórmulas, ya sea en matemática o en otras asignaturas, como la física por ejemplo, conoces fórmulas como:

*

a) x + y = z; "y" b) P =

m D v (densidad) V

1

EVALUACIÓN DE FÓRMULAS

uniforme)

Consiste en determinar el valor de una incógnita en una

DESPEJAR UNA VARIABLE

fórmula cuando los valores de otras variables son conocidos.

En la práctica, se presenta muchas veces la necesidad de despejar un elemento particular en una fórmula dada para determinar su valor. Ahora bien, toda fórmula constituye una ecuación. Luego, despejar una variable en una fórmula no es más que resolver una ecuación donde la incógnita es la variable que se va a despejar.

OJO S i d e s e a m o s h a l l a r u n a in c ó g n it a p a r a l o s d iv e r s o s v a l o r e s d e o t r a s i n c ó g n it a s , e s r e c o m e n d a b le d e s p e j a r d i c h a in c ó g n it a y l u e g o r e e m p l a z a r l o s v a lo r e s c o n o c i d o s d e la s d e m á s v a r i a b le s .

Ejemplo.

Ejemplo:

Despeja la variable que se indica en la siguiente fórmula:

*

*

Despejar la variable que se indica en la siguiente ecuación y calcula su valor numérico para los valores

b.h ; " h" 2

que se dan, en cada caso:

Solución:

A

a b 2 ; "a"

c) h = 2 Ec + 3Ep ; "Ec"

d t (velocidad de un móvil en movimiento rectilíneo

A

Despeja las variables que se indican:

b.h 2

a)

m.n x = 2 ; "m" para: x = 20; n = 5

2A = b . h

2A h b

x

R e c u e rd a E n e s t e t i p o d e p r o b le m a s d e b e s a i s l a r e n u n m i e m b r o l a v a r i a b le a d e s p e j a r y p a s a n d o a l o t r o m i e m b r o lo s d e m á s e le m e n t o s c o n l a o p e r a c i ó n i n v e r s a a la q u e e s t a b a n r e a li z a n d o o r i g i n a lm e n t e .

m.n 2x  2x  m.n  m 2 n

Reemplazando: 2(20) 5 =m

*

V = V0 + at; "a" V - V0 = at 

*

m=8 V  V0 t

a

b)

an = a1 + (n - 1) d; "n"

a = b3 - cd ; "b" para: a = 10, c = -1; d

=2

an - a1 = (n - 1) d  an - a1 = nd - d an  a1  d n d an - a1 + d = nd 

a = b3 - cd

Ejercicios básicos

a + cd = b3

MATEMATICA



a  cd  b

3 5=

b)

(x + y)

z; "y" para: x = 4; z = 12

c)

mn + m2 = p2; "n" para: m = 4; p = 8

Reemplazando: 3 10 

(1)( 2)  b b=2

PROBLEMAS `PARA LA CLASE Ejemplo: 1. Despeja en cada inciso las variables que se indican: Para un móvil con aceleración constante igual a 2m/s2,

a)

durante los 4 primeros segundos de iniciado su movimiento desarrolló una velocidad final de 10m/s.

A = r2; “r". Qab

¿Con qué velocidad inició su movimiento?

b)

2 S= t

c)

a2 + b2 = h2 ; "b".

; "a".

Usar: VF = Vi + at 2.

Despeja en cada inciso la variable que

se indica y calcula su valor para los datos dados: Siendo:

VF : velocidad final

Vi : velocidad inicial a : aceleración t : tiempo Solución: Vf = Vi + at Vf - at = Vi 10 - 4(2) = Vi

a)

3V = a2h; "a"

b)

S = 1/2 g t2; "g" si: S = 200, t = 10.

c)

V = 1/3r2h; "h"

si: V = 12, h = 1.

si: V = 24; r = 6.

Despejamos "Vi" Reemplazamos los datos 3. De los siguientes enunciados, despejar "x" determinando su equivalencia.

 Vi = 2m/s

Lo cual nos indica que el movimiento se inició con una velocidad de 2m/s.

a)

3x = 4a + x

b)

xy - 3x + 2 = m

c)

xa2 + xb + xc = 219

Ejercicio básico 4. De los siguientes enunciados, despejar "x" determinando su equivalencia.

Despeja en cada inciso la variable que se indica y calcula su valor para los datos dados:

a)

x - y = z, "z" para: x = 10 ; y = 4

5.

MATEMATICA

a)

x2 - 4 = a(x + 2)

b)

ax2 - 9a = mx + 3m

c)

mx + m2 = n2 + nx

De los siguientes enunciados,


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” despejar "x" determinando su equivalencia. a)

ax - bx = a2 - 2ab + b2

b)

cx - 1 = c2 + 2c - x

c)

bx - b2 = 3x + b - 12

Siendo:

V : volumen

10. Determine la altura de un cilindro de 3cm de radio, si la capacidad volumétrica del cilindro es 27cm3.

6.

Determine el radio de una esfera cuya área es igual a 100cm2. Usar:

A = 4R2

Siendo:

A: área;

7.

Usar:

V = r2h

Siendo:

r : radio de la base h : altura

R: radio

V : volumen

El área de un trapecio es igual a

11. Hallar el número de lados de un polígono, siendo la suma de ángulos internos igual a 1260°.

72m2, la base mayor mide 12 m y la base menor mide 6m. Determine el valor de su altura.

Usar:

a : arista

A = 1/2(B + b) h

Usar:

S = 180°(n - 2)

Siendo:

S : suma de ángulos internos n : número de lados

Siendo:

A : área

12. En cierto lugar un cuerpo de 50kg tiene un peso de 485N, entonces encontrar la aceleración de la gravedad de dicho lugar.

B : base mayor b : base menor h : altura

Se sabe:

P = mg

Donde:

P = peso (N) m = masa

8.

¿Cuál será el radio de una esfera, si

g = aceleración de la

el volumen es

gravedad (m/s2)

36cm3? usar:

V = 1/3r3

Siendo:

r : radio

TAREA DOMICILIARIA

V: volumen

1. Despeja, en cada caso, las variables que se indican:

9.

Se sabe que el volumen de un hexaedro regular es igual a 27 000 cm3, determine el valor de su arista. Usar:

a)

V = a3

MATEMATICA

F = ma;

"m".



A

 a c   = 2 

Siendo: h;

"c".

r

: radio v

2. Despeja las variables que se indican en las siguientes

7.

ecuaciones y calcula su valor numérico para los valores

: volumen

Determine el radio de un sector

circular cuya área es igual a 2m2; siendo:

que se dan, en cada caso:

Sector circular: a)

t = m + np ; "n" para: t = 18; m = 3; p = R

5.

R

b)

a2 = b2 - bd ; "d" para : a = 2; b = 4. 

3. De los siguientes enunciados, despejar "x" determinando su equivalencia.

a)

Usar:

A = 360º R2

Siendo:

R : radio

2x + xy = 3b

A

: área



: ángulo interno

8. Se sabe que el volumen de un cono es igual a 80m3 y

b) xa + xb = a - b

el radio de la base es 4m. Determinar el valor de su altura.

4.


despejar "x" determinando su equivalencia. a)

x2 - 9 = b(x + 3)

b)

bx2 - 4b = 5x - 10

5.

Usar:

R2h V= 3

Siendo:

V : volumen R

: radio

h

: altura


despejar "x" determinando su equivalencia. a)

mx + nx = m2 + 2mn + n2

b)

ax - 4 = a2 + 4a - 2x

6.

9. La suma "S" de los ángulos interiores de un polígono se calcula por la fórmula S = 180° (n - 2) donde "n" es el número de lados del polígono. ¿Cuántos lados tienen un polígono, si se conoce que la suma de sus ángulos interiores es igual a 1080°?

10. El área total de un prisma recto de base rectangular puede calcularse mediante la fórmula A = 2ab+2(a+b)h donde "a" y "b" son las aristas de la base y "h" es la altura del prisma. Si se conoce que el área total es 94u2 y las aristas de la base miden 3u y 4u

¿Cuál será el volumen de una esfera

cuyo radio es de 2 m? Usar:

v = 3/4r3

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” respectivamente, ¿cuál es la altura del prisma?

b  b2  4ac b  b2  4ac 2a 2a Luego: x1 + x2 = + =  2b 2a

11. La cifra de unidades de un número de dos cifras es igual al triple de la cifra de las decenas. Si el número se divide por la cifra de las unidades el cociente es 4 y el resto es 1. Hallar el número.

 x1 + x2 = -b/a Es decir: "La suma de las raíces de una ecuación cuadrática es igual al coeficiente de "x" con signo cambiado entre el coeficiente de x2".

Considera la relación: D = d.q + R Donde:

D : dividendo d

: divisor

q

: cociente

R

: resto

Producto de raíces: x1 . x2 = c/a • Demostración:

Ahora:

 b  b2  4ac      2a   x1 . x2 =



12. Se deja caer un objeto desde la parte más alta del arco de la entrada a la ciudad Mattociex, que es de 196 metros de altura. ¿Cuánto tiempo tardará el objeto en llegar al piso?

Siendo:

 b2  4ac   2 4a

(b)2   x1 . x2 =

2

(b) 2  (b2  4ac)

h = 4,9 t2 + V0t

Usar:

 b  b2  4ac   2a 

2

4a

 x1 . x2 =

h : altura t

: tiempo



4ac 2

4a



c a


V0 : velocidad inicial 1. Halla la suma y el producto de soluciones en las siguientes ecuaciones:

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Sea la ecuación cuadrática:

(x + 2)2 + 5x = 3

calcular la otra solución y el valor de "m".

Demostración:

3. Si una raíz de la ecuación: 

2  x  b  b  4ac  1 2a

De: 1;2

b)

x2 + 5x + m = 0 es 2

Suma de raíces: x1 + x2 = -b/a

b  b2  4ac 2a =

x2 + 5x + 2 = 3x - 4

2. Si una solución de la ecuación:

ax2 + bx + c = 0

a 0 de raíces: "x1" y "x2".

•

a)

  entonces 

 x2 

x2 + mx + 8 = 0 es 4, calcular la otra raíz y el valor de "m".

b  b2  4ac 2a

4.

MATEMATICA

Si una solución de la ecuación de


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” segundo grado: mx2 - (m + 4)x + 6 = 0 es 2, encuentre el valor de "m" y la otra solución.

10.

Calcular el valor de "m" para que las raíces de la ecuación: x2 + mx + 14 = 0 se diferencien en 5.

5. la ecuación

Calcular el valor de "m" y "n" para que

a)

+5 b)

± 5 c)

d)

+9 e)

-9

±9

mx2 + nx + 2 = 0; tenga por raíces a:

x1 

1 2

y x2 

11. Si: {x1; x1 + 2} es conjunto solución de la ecuación en

4 3

"x"; 2x2 - 6x + a + 1 = 0, halle el valor de "a".

12. En la ecuación: x2 - px + 48 = 0; de raíces: {x1; x2}

6.

¿Cuál es el valor de "m", si una raíz es el doble de la otra raíz de la ecuación: x 2 - 9x + m = 0?

determinar "p" tal que: 1 1 219   x1 x2 24

7. En la ecuación: (2n + 1)x2 + 3(n - 1)x + 1 - n = 0 La suma de raíces es 3/4, hallar "n". a)

d)

a)

0,75 0,8

b) 0,5

0,3e)

1

219

b) 438

c)

2

c) d)

2005

e) 2006

13. Dada la ecuación: 2x2 + mx + 30 = 0 y "x1" y "x2" sus 8. Dada la ecuación:

raíces. ¿Para qué valores de "m" se cumple la relación

(m  1) x2  2x  2(m  1)  0

x1

Hallar "m + 1", si el producto de sus raíces es igual a la unidad. a)

-2 b)

0 c)

d)

3 e)

-1

x2

4

9. Halla la diferencia de las raíces en las siguientes ecuaciones:



3 5

?

a)

 16 14

b) 10

d)

 8 e)

4

c)

14. Si: {m; n} es el conjunto solución de la ecuación: x2 + 2x + 5 = 0 y se sabe que: m2 + n2 = p.

a)

indicar el valor de "p".

x2 + 4x + 3 = 2x + 5

b)

(x + 2)2 + 5x = 3

c)

(x + 3)(x - 3) = 3x – 10

a)

-8 b)

-6 c)

d)

-2 e)

2

15. ecuación:

MATEMATICA

-4

Siendo "r" y "s" las raíces de la 2x2 - 4x - 1 = 0


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Halle el valor de:

3. Si una raíz de la ecuación: x2 + nx + 12 = 0 es -6,

.

a)

d)

 5    2

1 1  [(r  1)(s  1)] r s

3

b)  2    5

 2    5

calcular la otra raíz y el valor de "n".

3

4

c)

 5    2

4

e)

 2    5

2

4. Si una solución de la ecuación de segundo grado: nx2 + (n - 3)x - 15 = 0 es 3, encuentre el valor de ''n'' y la otra solución.

5. Calcular el valor de ''m'' y ''n'' para que la ecuación: 16. Si "a" y "b" son raíces de la ecuación:

mx2 + nx + 6 = 0; tenga por raíces a:

x2 - 5x + 3 = 0

x1 

Halle: (a - 4)(b + 2)(b - 4)(a + 2) + 19 a)

4 b)

8 c)

d) 2

e) 9

2 3 x  5y 2 5

5 6. ¿Cuál es el valor de ''m'', si una raíz es el triple de la otra raíz de la ecuación: x2 - 12x + m = 0?

7. La suma de raíces de la ecuación: (m - 1)x2 - (m + 1)x + 4 = 0, es 2 entonces ''m'' es:

TALLER DE APRENDIZAJE 8. En la ecuación: (5m - 3)x2 - 2192005 x + 2(m + 2) = 0 Hallar: m - 1, si el producto de sus raíces es 5/6. 1. Halla la suma y el producto de soluciones en las siguientes ecuaciones:

a)

x2 + 7x + 4 = 5x - 2

b)

(x + 3)2 + 2x = 4

9. ¿Para qué valor de ''a'' la suma y el producto de raíces de: (a - 1)x2 + ax - 2 = 0, tienen el mismo valor?

10. Si "m" y "n" son las dos raíces de la ecuación: x2 - 2x + 2 = 0 calcular:

2. Si una solución de la ecuación: x2 + 7x + n = 0 es 3,

E = mm+n . nmn

calcular la otra solución y el valor de "n".

11. Hallar la diferencia de las raíces en las siguientes

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” ecuaciones: 18. Hallar ''a'' para que las raíces de la ecuación en ''x'': (a2 + 8a)x2 + (7a + 3)x + (a - 12) = 0

x2 + 3x + 7 = 2x + 8

a)

sean recíprocas. (x - 3)2 + 4x = 8

b)

19. Para que valor (es) del parámetro ''k'' las raíces de la ecuación cuadrática en "x": (k - 1)x2 + 2(k2 + k - 2)x + 9(k2 - k) = 0

12. Calcular el valor de "n", para que las raíces de la ecuación: x2 + nx + 15 = 0, se diferencien en 2.

Serán: 13. En la ecuación: 2x2 - (n + 2)x + (n + 4) = 0, hallar ''n'' si las raíces difieren en una unidad.

i)

Simétricas

ii)

Recíprocas 14. En la ecuación: x2 - 2006x + p = 0 de raíces {x1;x2}

20.Calcular ''m + n'', de tal manera que las ecuaciones:

determinar ''p'' tal que:

(n - 1)x2 + 2x + 1 = 0 9x2 + (m + 1)x + 3 = 0

1 1 1003   x1 x2 219

tengan las mismas raíces.

15. Dada la ecuación: 4x2 + mx + 56 = 0 y "x1" y "x2" sus raíces. ¿Para qué valores de ''m'' se cumple la relación: x1 2  x2 7

?

16. Si {m;n} es el conjunto solución de la ecuación: x2 + 3x + 7 = 0 y se sabe que: m2 + n2 = k, indicar el valor de ''k''.

17. La ecuación: 5x2 - 2x + 3 = 0, tiene por raíces: "x1" ; "x2" Calcular: M = (1 + x1)(1 + x2)

DESIGUALDADES

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” a  b a > b ó a = b a  ba < b ó a = b TEOREMAS RELATIVOS A DESIGUALDADES

RELACIÓN DE ORDEN Es una comparación que se establece entre dos elementos de un conjunto que pertenece al campo de los números reales. El campo real es un campo ordenado.

TEOREMA 1: El sentido de una desigualdad no se modifica si se suma, o resta, un mismo número real a sus dos miembros.

SÍMBOLO DE LA RELACIÓN DE ORDEN > : "Mayor que" < : "Menor que"  : "Mayor o igual que" : "Menor o igual que"

Ejemplo: Si: a > b, se tiene: y

a+c>b+c a -c>b-c

Lo mismo se puede decir de los símbolos <,  y . Por consiguiente, para pasar un término de un miembro a otro de una desigualdad no hay más que cambiarle de signo. (a - b > 0)

DESIGUALDAD Se conoce con el nombre de desigualdad a toda proposición donde aparece la relación "<", ">", "" y "". DESIGUALDAD ABSOLUTA Es aquella que se verifica para todos los valores reales de las letras que intervienen en ella. 2 Ejemplo: (a - b) > -1

TEOREMA 2: El sentido de una desigualdad no se altera si se multiplica, o divide, por un mismo número real positivo a sus dos miembros.

Es cierta para todos los valores reales de "a" y "b", ya que el cuadrado de todo número real es un número positivo o cero.

Ejemplo: Si: a > b y k > 0, se tiene: ka > kb y:

DESIGUALDAD CONDICIONAL Es aquella que solo es cierta para determinados valores de las letras. Ejemplo: x-5>3 Solo es verdad para "x" mayor que 8. * Las desigualdades a > b y c > d son del mismo sentido. * Las desigualdades a > b y x < y son de sentido contrario.

a b  k k

Lo mismo se puede decir de los símbolos <,  y . TEOREMA 3: El sentido de una desigualdad se invierte cuando se multiplica, o divide, por un mismo número negativo a sus dos miembros.

LEY DE TRICOTOMIA Si: a  R  b  IR, entonces una y solamente una de las siguientes relaciones se cumple: ab

Ejemplo:

LEY TRANSITIVA Si: a b y b > c , entonces: a > c

Si: a > b y k < 0, se tiene: ka < kb y:

a b  k k Lo mismo se puede decir de los símbolos <,  y  Ojo: Podemos excepto por cero.

DEFINICIONES "a" es positivo  a > 0 "a" es negativoa < 0 a > b a - b > 0 a b y "a", "b", "n" son positivos se tiene: a > b , -n -n pero: a 4; se tiene: 5 > 4 ó 125 > 64

Pero: 5

-3

<4

1

-3

ó 125



1 64

1 1 2 16 > 9, se tiene: 16  9 2 

Pero: 16

1 2



9

1 2

1

ó 4



DEFINICIÓN: Los intervalos son subconjuntos de los números reales, que gráficamente son segmentos de recta o semirrecta y sus elementos satisfacen ciertas desigualdades.

ó 4 > 3 1 3

INTERVALO ACOTADO Se denomina así al intervalo cuyos extremos son números reales, estos a su vez serán:

Ejercicios básicos

En una misma recta, grafica correspondientes a los siguientes números: 2 4 3; -5; 3 ; 5 ;

También podemos afirmar que existen números reales entre "a" y "b" o también que existen números que están antes de "a" y después de "b".

los

*

puntos

Intervalo cerrado Si "a" y "b" son números reales tales que a  b, se denomina intervalo cerrado al conjunto de todos los números reales "x" para los cuales: a  x b.

6

[a; b] = {x  IR / a  x  b}

* Coloca V o F entre los paréntesis según la proposición sea verdadera o falsa:

x

-  a) 0 < -5 )

....................................

(

b

+ 

S i: x  [ a ; b ]  a  x  b

7> 3

....................................

(

c) x < 3,7 <  x < )

....................................

(

b) )

a

+ d) x < -1  (1 + x) R .................................... )

(

e) x > 1  (1 - x)  R .................................... )

(

Nota:

Si: a = b  [a; b] = {a} o {b}

Ejemplo: El intervalo cerrado de extremos -3 y 2 que se denota por [-3; 2], es el conjunto de números reales "x", tales que: -3  x  2. Gráficamente:

- 

[-3;2] -3

+  2

R Vemos que el intervalo [-3; 2], es un segmento de recta de longitud 5 unidades y que incluye a los números -3 y 2.

INTERVALOS Si representamos la desigualdad a < b sobre una recta numérica:

- 

A

B

a

b

*

Intervalo abierto

+ 

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Si "a" y "b" son números reales tales que a < b, se denomina intervalo abierto al conjunto de todos los números reales "x" para los cuales: a < x < b

Vemos que el intervalo <-3; 2] es un segmento de recta de longitud 5 unidades que no incluye al número -3 y sí incluye al número 2.

= {x IR / a < x < b}

x

- 

a

*

+ 

b

Si "a" y "b" son números reales tales que a b, se denomina intervalo semiabierto por la derecha al

x  < a; b>  a < x = {x  IR / a  x < b}

Ejemplo: El intervalo abierto de extremos -3 y 2 que se denota por <-3; 2>, es el conjunto de número reales "x", tal que: -3 < x < 2. Gráficamente: < -3 ;2 > +  -  -3 2 R

x

- 

a

+  b

S i: x  [ a ; b >  a  x es un segmento de recta de longitud 5 unidades y NO incluye a los números -3 y 2.

El intervalo cerrado en -3 y abierto en 2, que se denota por [-3; 2>, es el conjunto de números reales "x" tales que: -3  x < 2.

*

Intervalo semiabierto por la izquierda.

Gráficamente:

Si "a" y "b" son números reales tales que a  b, se

- 

denomina intervalo semiabierto por la izquierda al

[-3 ;2> -3 R

conjunto de todos los números reales "x" para los cuales: a < x  b.

Es un segmento de recta de longitud 5 unidades, que incluye al número -3 y no incluye al número 2.

x

- 

+  2

a

b

NOTA: Un conjunto se dice que es acotado sí y sólo sí es acotado superior e inferiormente a la vez.

+ 

x  < a; b]  a < x  b INTERVALOS NO ACOTADOS Se denomina así, si por lo menos uno de los extremos es + ó -; estos intervalos son de la forma:

Ejemplo: El intervalo abierto en -3 y cerrado en 2 es el

*

conjunto de números reales "x" tales que: -3 < x  2. Gráficamente: < -3;2 ] +  -  -3 2 R

Intervalo acotado inferiormente = {x  IR / x > a}

- 

a [a; +> = {x  IR / x  a}

MATEMATICA

+ 


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” -  Ejemplo *

+ 

a

1. Si: M = <-2;6] y N = [5;7> Hallar:

Números reales mayores que -3, que se denota por <-3; +> es el conjunto de números reales "x" tales que: x > -3.

a) M  N

Hallar:

< -3 ;+  >

- 

+ 

-3

a) M  N

R Números reales mayores o iguales que -3 se denota por [-3; +> es el conjunto de números reales "x" tales que: x  -3.

Q = ;0 [5;9

a) P  Q + 

-3

b) P  Q

Intervalo acotado superiormente

Hallar: A  B  C

<-; a> = {x  IR / x < a}

a) <-2;-1]

b) <0;1>

d) [-1;0>

e) <-1;2>

<-; a] = {x  IR / x  a}

- 

+

a

+

a) (<-2;3]  <0;4>) - [2;6] b) (<-2;3]  <0;4]) - [2;6] 6. Se dan los conjuntos en IR:

*

Números reales menores que -3 Se denota por <-;-3> es el conjunto de números reales "x" tales que: x < -3

C = [6;+ Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

< -  - 3 > +

-3 R

NOTA: La notación  que se lee "infinito" no es un número real, sino un símbolo que se utiliza para indicar que a partir de un número "x" hay números tan grandes como se quiera, por la derecha (+) o por izquierda (-). *

A = <-3;8> B = ;3]

Gráficamente:

- 

c) [-3;2>

5. Simplificar los siguientes conjuntos:

a

Ejemplo:

c) P - Q

4. Siendo: A = <-2;1>; B = [-1;2]; C = [-3;0>

R

- 

c) M - N

Hallar:

[-3 ;+  > - 

b) M  N

3. Si: P = -5;1]  2;8]

Gráficamente:

*

c) M - N

2. Si: M = [-4;5> y N = <-2;+>

Gráficamente:

*

b) M  N

I. (AB) ; 7]

..........

( )

II. (A C)B =  -36; 8>

..........

( )

III.(C - A) = [8;+

..........

( )

IV. A' = ;-3][8;+

..........

( )

7.

Si: -1  x  3 entonces: ¿A qué intervalo pertenece: 3x + 2?

 + = {x  IR / x IR}

R

- 

8. Si: -6  x  2; entonces:

+

¿A qué intervalo pertenece: 5 - 2x ? 9. Si: 2x - 1 [-5; 4>; entonces:


¿A qué intervalo pertenece: 3 - 4x? 10.

MATEMATICA

Si: x <1;5>; entonces:


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” ¿A qué intervalo pertenece:

1. En cada caso, hallar A  B.

2 4x  3 ?

a)

B A

11.

Si: x <-2; 1]; entonces:

-

5 ¿A qué intervalo pertenece: 2  3x?

-3

1

b)

+

5

2

B A -

12. Si: x  [-1;4>, entonces: ¿A qué intervalo pertenece:

-4

c)

2x  1 3x  2 ?

3

-2

+

5

B A -

1 3 x  2  1, entonces: 13. Si: -2  ¿A qué intervalo pertenece "x"?

2

+

4

2. En cada caso, halla AB. a)

B A

3x  8 14. Si: -1  x  5  1, entonces: ¿A qué intervalo pertenece "x"?

-

b)

2

4

3

+

7

B A

15.

-

Dado: -8 < x - 10 < 6; calcular: "ab - 2"

Si: a

3x  4 < 2

c)

0

2

7

8

+

B A

2 16. ¿En qué intervalo se encuentra: x + 6x + 12? Si: x <-5; -2>

-

3. En cada caso, halla: A - B y B - A.

17. Si: 0 < x < 1, entonces: 2 3 a) 0 < x < x < 1 3 6 c) 0 < x < x < 1 e) 0 < < < 1

a)

2 b) 0 < x < x < 1

B A

d) 0 < 2x < 3x < 1 -

b)

18. Sabiendo que: a < b, donde: a; b  IR. ¿Cuál (es) de

-3

0

d) I, II y III

e) Solo II

+

5

A -

I. (a + b) (a - b) < 0 2 2 II. (a - b) (a + ab + b ) < 0 2 2 III. (a - b) (a + b ) < 0 b) I y III

1

B

las siguientes proposiciones se cumple siempre?

a) I y II

+

2

-1

c)

-2

-1

2

3

+

B A -

c) II y III

-7

+

-6

4. En cada caso, halla el complemento de los siguientes intervalos. a)

TAREA DOMICILIARIA

- b)

MATEMATICA

2

6

+


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” -

3

c) -

+

7

INECUACIONES Se denomina inecuación a toda desigualdad condicional que contiene una o más cantidades desconocidas, llamadas incógnitas, y que sólo es verdadera para determinados valores de dichas incógnitas. Forma general de las inecuaciones:

+

2

5. Si: M = <-2; 1] y N = [0; 4> Hallar: MN

a)

b) M  N

P(x) > 0, P(x) < 0, P(x) 0, P(x)  0

c)

M-N SOLUCIÓN PARTICULAR 6. Si: M = [-6;4> y N = <-4;+>

Es aquel valor (o valores) de la incógnita (o incógnitas) que verifica la inecuación.

Hallar: a) M  N

b) M  N

Ejemplo:

c) M - N

* En la inecuación 2x + 3 > x + 5, una solución particular es x = 5 pues 2(5) + 3 > 10 es cierto.

7. Si: P = <-10;4]  <0;6> Q = <-;0>  [2;+> Hallar:

*

a) P  Q

b) P  Q

c) P - Q

También en la inecuación: x + y  2

Para x = 1 e y = 1, la inecuación se verifica, pues: 1 + 1  2 es cierto.

8. Siendo:

Luego (1; 1) es una solución particular.

A = <-5;+>; B = [-3;6>; C = <0;8] Hallar: A  B  C a) <0;+>

b) <-5;+>

d) <0;6>

e) 

CONJUNTO SOLUCIÓN

c) [-3;8>

Es aquel conjunto que agrupa a todas las soluciones particulares (si existen) de una inecuación.

9. Dados los conjuntos: F = <-;-8]  <0;5>

INECUACIÓN LINEAL O DE PRIMER GRADO

G = [-32;-7>  <-1;3] Hallar: (F  G) - (F  G)

Una inecuación lineal o de primer grado en una variable "x", es una desigualdad de la forma:

11. Si: -2 < x < 7, entonces: P(x) = ax + b > 0

¿A qué intervalo pertenece: 4x +1 ?

P(x) = ax + b < 0 12. Si: -2 < x 4, entonces:

P(x) = ax + b  0 P(x) = ax + b  0

¿A qué intervalo pertenece: -2 - x?

Siendo: a y b  IR, a  0

13. Si: 4x - 3 <1; 5], entonces, ¿a qué intervalo pertenece:

La técnica para resolver una

5 - 2x?

inecuación lineal es muy sencilla y análoga a la solución de una ecuación lineal con una incógnita. Se basa en la aplicación de axiomas de orden y de teoremas aplicados en aquellos, en lugar de los postulados de igualdad.

INECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” P(x) = ax + b

;a>0

PROBLEMAS PARA LA CLASE ax + b > 0

ax + b = 0

x > -b/a

x = -b/a 1. Resuelve las inecuaciones siguientes:

x  <-b/a; +> Para los "x" con x > -b/a

La raíz real x = -

el gráfico de la recta

es la intersección de la

P(x) esta por encima

recta P(x) con el eje "x"

a) 2x + 9 > 23

b/a

b) 8 - 3x < -5x + 12 c) 1 - 5x > 12 + 6x 2. Resuelve las inecuaciones siguientes:

de "x"

a) 5x - 2 - 22

Esto significa: P(x) > 0

b) 15 - 4x -6x + 7

Esto significa: P(x) = 0

c) 3x + 16 x 3. ¿De qué inecuación, 3 es un elemento del conjunto

ax + b < 0

solución?

x < -b/a x <-; -b/a>

a) 7 x + 4x < 15 + x b) 12 + 5x  3x + 18 c) 2x + 4 > 17 - x - 1

Para los "x" con x < -b/a

4. Halla las inecuaciones cuyos C.S.: [2; +>

el gráfico de la recta

a) 8x - 9 7x - 11

se encuentra debajo del eje "x"

b) 4x + 50  12x -30 c) 4x - 7  5x -9

Esto significa: P(x) < 0

d) 5x + 6  7x + 2 5. Resolver las inecuaciones siguientes:

Ejemplo: *

a) 2(x - 3) + 3(x - 1) > 11

Hallar el conjunto solución de: 2x + 3 > x + 5

b) 3(x + 2) + 7(x - 4)  3x - 1 c) 4(x - 3) - 5(x - 2)  1

Solución:

6. Halla el conjunto solución de:

Pasando los términos de "x" a la izquierda con signo cambiado, e igualmente los términos independientes a la derecha, con signo cambiado:

a) x +3/2 <5/4 c) x/2 +2/3 

2x - x > 5 - 3

2

x2 7 +x/5

2

7. Conecta con una línea las inecuaciones con sus

Reduciendo términos semejantes: x>2

- 

b)

correspondientes conjuntos solución: 

+

 x <2;

a) (x + 4) (x + 3) < (x + 4) (x - 3) b) (x + 1)2 - 4 > (x - 1)2

I. <-; -3>

c) (x + 3)2 + (x - 3)2 > x(2x + 9) d) (2x + 1)2 + 4(1 - x) (3 + x)>9

III. 1>

e) 3x(x - 2) - 21 > x(3x + 1)

+>

MATEMATICA

II. ; -4> IV.  V. 


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 8. Determine el costo mínimo C (en dólares) dado que

TAREA DOMICILIARIA

5(C - 2,5)  1,75 + 2,5 C. 9. Determine la ganancia máxima P(en dólares) dado que 12(2P - 320)  4(3P + 240).

1. Resuelve las inecuaciones siguientes:

10. Un padre dispone de 320 soles para ir a un evento deportivo con sus hijos. Si toma entradas de 50 soles,

a) 5x + 21 > 2x

le falta dinero y si toma de 40 soles le sobra dinero. El número de hijos es:

2. Resuelve las inecuaciones siguientes:

a) 5

b) 6

d) 8

e) 9

c) 7

a) 4x + 18 2x

solución?

la condición de que la tercera parte del número más 15 sea mayor de su mitad más 1? a) 81

b) 82

d) 84

e) 85

a) 3x + 2 > 11 - x - 3 b) 2x - 11 -3x + 4

c) 83

c) x + 5 < 2x d) 2x - 4 + x  -x + 18

12. Hallar el intervalo solución para "x" en:

4x 

5 3

3

4( 4 

3

a) 5]

b) <-;-5>

d) 

e) <-5; 5>

3) 

3

9



4. Hallar las inecuaciones cuyo conjunto solución es: 3

<-; 3]

3x

a) 3x + 20  7x - 40 b) 4(x+5) >3(x - 4) + 7 c) -1 + 4x + 3 5x + 8 + 2x

c) <-5

d) -8 + 3x + 2  5x - 12 5. Resolver las inecuaciones siguientes:

+ 13. Resuelva en Z . 5x - 3y > 2

a) 3(x + 2) + 2(x - 1) > 14

2x + y < 11

b) 3(x - 1) - 4(x - 3) 3

y>3 2 2 Indique: x + y

6. Conecta con una línea las inecuaciones con sus correspondientes conjuntos solución:

a) 4

b) 16

d) 9

e) 36

c) 25

14. Si: {x; y; z}  IN; resolver: 2y < x

............

(1)

4y > 72

............

(2)

x - 4 < 2z

............

(3)

z < 20

............

(4)

Indicar:

E x a) 52

b) 13 - 2x  48 + 3x

3. ¿De qué inecuación es 5 un elemento del conjunto

11. ¿Cuántos números enteros mayores que 1 cumplen con

3

b) 7 - 4x > 13 + 2x

y z

b) 48 d) 32

c) 41 e) 27

a)

(x + 5) (x + 3) < (x + 5) (x - 2) I. <1; 

b)

(x + 2)2 - 8 > (x - 2)2

c)

(x + 4)2 +(x - 4)2 > x(2x + 8) 

d)

(3x + 1)2 + 9(1 - x) (2 + x)>1 IV. 

e)

4x(x - 3) + 17 > x(4x + 5)

II. ; 6> III.

V. 

7. Resolver:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” triple de lo que hay en la primera aumentado en lo que

a) 2(x + 3) > 3x + 4 b) (x + 3) (x - 4) < (x + 5) (x - 7)

contiene la segunda es más de 40, además el exceso del primero sobre el doble del segundo es más de 4. Calcula el número de preguntas que hay en la primera bolsa, si el

8. Hallar "m" si es el mayor entero que cumple x > m y la balanza esta desequilibrada tal como se muestra en la figura.

triple de estos es menor que 42.

15-2x

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

3 (x+ 3)+ 1

2

9. Resolver: (ax + 1)(bx + 1) < abx + 1 Si: a < b < 0 10. Determina el costo mínimo C (en dólares) dado que: 2(1,5C + 80)  2(2,5 C - 20) 11. Determina la ganancia máxima P (en dólares) dado que:

Son aquellas inecuaciones de la forma:

6(P - 2500)  4(P + 2400)

2 I. ax + bx + c > 0

12. Juan vende 1 000 libros y le quedan más de la mitad de los que tenía. Si luego vende 502 le quedan menos de

2 II. ax + bx + c  0

500. ¿Cuántos libros tenía? 13. Un peluquero atiende en promedio a 120 clientes a la semana

cobrándoles

$4

por

corte,

por

III.

cada

incremento de $ 0,50 en el precio, el peluquero pierde

2 ax + bx + c < 0

2 IV. ax + bx + c 0

8 clientes. ¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos semanales por lo menos de $ 520?

Donde: a  IR - {0} ; b, c IR

14. Resuelve los siguientes sistemas:

Método de Resolución de Inecuaciones de Segundo Grado con una Incógnita.

a) -15 < 2x + 7 < 3 x 1 b) -4 < 3 1

Existen tres métodos:

c) x - 4 < 2x - 6 < x + 2

I. Método de completar cuadrados.

15. En IR definimos la operación binaria * por: a*b=a-b+2 según esto, resolver: -1 2 * x  (2x * 5) * (3 * 1)

II. Método de la ley de signos de la multiplicación. III. Método de los puntos críticos. Método de completar cuadrados

16. Vas a invertir $ 20 000, una parte al 12% y otra al 16%. ¿Cuál es la máxima cantidad que puedes invertir al 12% a fin de que el interés al cabo de un año sea al menos de $ 3 000?

Sea:

2 ax + bx + c 0(>, <, ,  a0

17.Se tienen 2 bolsas llenas de pelotitas de manera que el

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 2 1. El coeficiente de x debe ser 1, si no lo fuese entonces se divide a ambos miembros entre "a". 2 x +(b/a)x + (c/a) >< 0

x -4  x  6 llevando a la recta numérica.

2. El término independiente se pasa al segundo miembro. 2 x + (b/a)x >< -(c/a)

b 2 2a

>< -(c/a) +

*

b 2 2a



b  x  2a   

2 x + (3/2)x – (5/2) < 0

2

de

la

inecuación

2

{El

coeficiente

debe ser uno, entonces dividiendo a todos los

términos entre 2

b  4ac

><

general

cuadrática

de x 2

4a

5. Finalmente:

2 2 2 x + 2(x)(3/4) +(3/4) < (5/2) +(3/4)

TEOREMA

{Para obtener en el primer miembro un trinomio cuadrado perfecto sumamos a ambos miembros la mitad del

2 x m  x  m  x  - m ; m > 0 2 x  m  x m  x  - m ; m > 0

coeficiente de “x” elevado al cuadrado



3  x  4  

Ejemplo *

Resolver:

2 2x + 3x - 5 < 0 {Forma

4. Escribiendo el primer miembro como un binomio al cuadrado y reduciendo el segundo miembro. 2

6

 x <-; -4]  [6; +>

3. Se busca obtener un trinomio cuadrado perfecto, sumando a ambos miembros la mitad del coeficiente de "x" elevado al cuadrado. 2 x + 2(x)(b/2a) +

+

-

2



49 16

 Si: x2  b

Resolver:



2 x - 2x - 24 0

 x  - b  x 

b

x + (3/4) > - (7/4)  x + (3/4) < (7/4)

Resolución:

 x > - (5/2)

 x<1

2 1) x - 2x - 24 0

{El

coeficiente

de

Llevando a la recta numérica:

2 x debe ser 1 2 2) x - 2x 24

{El

-

término

independiente se pasa al segundo miembro.

-

2 3) x - 2x + 1 24 + 1

+

1 C.S. : x <-5/2; 1>

{Se busca obtener un trinomio cuadrado perfecto sumando a ambos miembros la mitad del coeficiente de

Ejercicios básicos

“x” elevado al cuadrado 2

4) (x - 1) 25

{Escribiendo

1. Conecta con una línea las inecuaciones con el término que se debe sumar para formar un trinomio cuadrado perfecto.

el

primer binomio diferencia al cuadrado y reduciendo el segundo miembro

2 a) x + 2x > 0 2 b) x - 6x < 0

2

5) x - 1 -5 x - 1 5 {Si: x  b ; x  - b  x  b

MATEMATICA

I. 9 II. 4


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 2 c) y - 8y  0 2 d) x + 4x  0

III. 16

-

IV. 1

 C.S. : x  <-; 2>  <3; +>

2. Resuelve las inecuaciones completando cuadrados: 2 a) x - 2x < 0

C.S.: ______________

2 b) x - 4x > 0

C.S.: ______________

*

Resolución:

C.S.: ______________

MÉTODO DE LA MULTIPLICACIÓN

LEY

DE

SIGNOS

DE

( f a c t o r iz a n d o )

2x

-1



-x

x

1



2x x

(2x-1)(x+1)  0

2 Sea: ax + bx + c 0 (>, <, , )

TEOREMA

1. Se factoriza el trinomio (factor común, diferencia de cuadrados, aspa simple) 2. Aplica uno de los teoremas siguientes:

ab  0  (a  0  b  0)  (a  0  b  0)

(2x - 1 0 x + 1  0)  (2x - 1  0  x + 1  0)

I. ab > 0 (a > 0  b > 0)  (a < 0  b < 0) II. ab  0 (a  0  b  0)  (a  0  b  0) III. ab < 0 (a > 0  b < 0) (a < 0  b > 0) IV. ab  0 (a  0  b  0)  (a  0  b  0)

(x  x  -1)  (x  x  -1)

+  -

-

Ejemplo: *

2 Resolver: 2x + x - 1 0

2 x 2 + x - 1   0

2 c) x + 6x  0

1 2

-1

2 Resolver: x - 5x + 6 > 0 Resolución: x2 - 5x + 6 > 0

+

3

2

+ 1 2

-1 

x 

( f a c t o r iz a n d o )

x

-3



-3 x

x

-2



-2 x

1   1; 2   x  



1   1; 2    C.S. : x  

-5 x (x - 3) (x - 2) > 0

Ejercicios básicos

TEOREMA

1. Relaciona ambas columnas

ab > 0 (a > 0  b > 0)  (a < 0  b < 0) Para el ejercicio: (x - 3 > 0  x - 2 > 0) (x - 3 < 0  x - 2 < 0)

a) x(x - 2)<0

I.

x<-;-5><0;+>

b) (x + 2)(x - 2)>0

II. x<2; 5>

c) (x - 5)(x - 2)<0 d) (x + 5) x > 0

III. x<0; 2> IV. x<-;-2> <2;+>

(x > 3  x > 2)  (x < 3  x < 2)

-

+  --  2

3

x>3  x<2

2. Resuelve las inecuaciones mediante la ley de signos de la multiplicación.

+ 2

3

2 a) x + 3x > 0

MATEMATICA

C.S.: ______________


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 2 b) x - 9x < 0

C.S.: ______________

-

2 c) x - 7x + 12  0

 Ubicando los puntos   críticos en la recta

+

C.S.: ______________

 numérica. 

-1

-3

MÉTODO DE LOS PUNTOS CRITICOS

D e n o ta n d o zo n a s o r e g io n e s d e t e r m i n a d o s p o r lo s p u n t o s c r í t ic o s , c o lo c a n d o s i g n o s e m p e z a n d o p o r la d e r e c h a c o n s ig n o p o s i t iv o .

Sea: 2 ax     bx   c P( x)

>< 0 (<, >, , )

-

+

CONSIDERACIONES PREVIAS *

*

-1

-3

En la resolución de una inecuación cuadrática es necesario transponer, todos los términos a un sólo miembro de la desigualdad. 2 El coeficiente de x debe tener signo positivo, si fuese negativo, se debe multiplicar por (-1) a la inecuación.

+ +

- +

-

+ + -1

-3

*

2 Resolver: x + x - 1 < 0

Aplicando la fórmula de la ecuación de segundo grado.

3. Ubica los puntos críticos en la recta numérica real.

Recuerda:

4. Denotar las zonas o regiones determinados por los puntos críticos colocando los signos intercalados empezando por la derecha con signo positivo.

2 Si: ax + bx + c = 0

*

unión de

X

unión de

1, 2

 b  b2  4ac 2a =

2 Se tiene: x + x - 1 < 0

intervalo

2 x + x - 1 = 0 {se escribe como una ecuación.

intervalo

a = 1, b = 1, c = -1 Se sustituye en la fórmula de la ecuación de segundo grado.

2 x + 4x + 3  0

Resolver:

 es la unión de intervalos  positivos (cerrados)

Resolución:

2. Hallar los puntos críticos (valor de "x") igualando a cero el factor o los factores.

Ejemplo:



 x  <-;-3]  [-1;+>

1. Factorizar la inecuación cuadrática si es posible; si no se puede factorizar aplicar la fórmula cuadrática.

5. I. Si: P(x) > 0, el conjunto solución es la intervalos positivos (abiertos). II. Si: P(x)  0, el conjunto solución es la intervalos positivos (cerrados). III. Si: P(x) < 0, el conjunto solución es el negativo (abierto). IV. Si: P(x)  0, el conjunto solución es el negativo (cerrado).

 Si: P(x)  0   El conjunto solución

Resolución:

 1  (1) 2  4(1)( 1)

X

x2 + 4x + 3  0 x

3



3x

x

1



x 4x

X

1, 2

1, 2

=

2(1)

1 5 2 =

(x+3)(x+1)  0 {factorizando x + 3 = 0  x = -3 x + 1 = 0  x = -1

{Hallar los puntos críticos

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” No se verifica para ningún valor real "x".

1 5 2

X1 =

Ejemplo: Resuelve la inecuación:

1 5 2

X2 =

2 x - 8x + 16 < 0

+   Ubicando los puntos

- -1 -5 2

- +

+

2 = (-8) - 4(1)(16) = 0

 críticos en la recta  numérica. 

 C.S.: x 

+ +

D e n o ta n d o zo n a s o r e g io n e s d e t e r m in a d o s p o r lo s p u n t o s c r í t ic o s , c o lo c a n d o s ig n o s i n t e r c a la d o s e m p e z a n d o p o r la d e r e c h a c o n s ig n o p o s i t i v o .

-1 + 5 2

-

-1 -5 2



-1 + 5 2

-

-1 -5 2

-

 C.S.: x 

Puntos críticos

TEOREMA 3 2 Sea: ax + bx + c > 0 ; a > 0 2 Si: b - 4ac < 0 Se verifica para todo valor real "x".  C.S.: x IR

 Si : P(x)  0 

+

 El conjunto solución es

+   el intervalo negativo -1 + 5  (abierto) 2

Ejemplo: 2 9x - 11x + 6 > 0 2 = (-11) - 4(9)(6) = -95 < 0

1 5 1 5 ; 2 2

x TEOREMA 1

Como el discriminante es negativo la inecuación siempre será positiva y se verifica para todo x  IR.

2 Sea: ax + bx + c > 0 ; a > 0 2 Si:  = b - 4ac = 0

 C.S.: x IR TEOREMA 4

Se verifica para todo "x" diferente de (-b/2a).

2 Sea: ax + bx + c < 0 ; a > 0 2 Si: b - 4ac < 0

 C.S.: x  IR - {(-b/2a)} Ejemplo:

La inecuación no se verifica para ningún valor real "x".

Resuelve la inecuación:

 C.S.: x 

2 4x - 12x + 9 > 0

Ejemplo: Resuelve la inecuación: 2 x - 3x + 5 < 0 2 = (-3) - 4(1)(5) = -11 < 0 < 0

2  = (-12) - 4(4)(9) = 0  C.S.: x  IR - {3/2} TEOREMA 2

2 El trinomio x - 3x + 5 siempre será positivo y por lo tanto no puede ser menor que cero.

2

Sea: ax + bx + c < 0 ; a > 0 2 Si:  = b - 4ac = 0

C.S.: x 

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Ejercicio básico 7. Resuelve las siguientes inecuaciones: *

Conecta con una línea las inecuaciones con sus correspondientes conjuntos solución: 2 a) x - 4x + 4 > 0 2 b) x - 6x + 9 < 0 2 c) x - 4x + 7 > 0

2 a) x - 9 < 0

8. Resuelve las siguientes inecuaciones:

I. x IR II. x IR - {2}

2 a) x - 16  0

III. x {3}

2 d) x - 6x + 9  0

2 b) 16x - 1 < 0

IV.

2

c) x  169

x 

2 b) 25x - 1  0 x2 1  d) 81 4

9. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x + x - 2 > 0 2 c) x - 4x - 21 > 0


2 b) x - x - 6 > 0 2 d) 6x + x - 2 > 0

10. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x + 2x - 3  0 2 c) x - x - 30  0

1. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x + 4x > 0

2 b) 4x - 3x > 0

2 c) x > 7x

2x2 3x  2 >0 d) 3

11. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x + 3x - 4 < 0 2 c) x - x - 20 < 0

2. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x + 2x  0

2 b) x - 2x - 48  0 2 d) 2x - 5x - 3  0

2 b) 3x  6x

2 b) x - 2x - 35 < 0 2 d) 3x + 5x - 2 < 0


2

2 c) x - 3x > 0

d)

4x 5x  5 4 

2 a) x + 4x - 5  0 2 c) x - 13x + 40  0

0

3. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x + 3x < 0

2 b) 5x - 2x < 0

2 c) x < -12x

3x2 2x  3 <0 d) 4

13. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x + x - 1 > 0 2 c) x + 2x - 4 > 0

4. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x + 5x  0

2 b) x  13x

2 c) 4x - 7x  0

3x2 4x  3  0 d) 4

2 b) 4x - 1 > 0

2 c) 100x > 4

x2 1  4 49 d)

2 a) x  4x - 1 2 c) x - x  4

2 b) 9x  12x

2 c) x  121

x2 1  9 25 d)

2 b) x + 3x - 2  0 2 d) x + 5x  3

15. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x - x - 3 < 0 2 c) x - x < 5

2 b) x + 4x - 3 < 0 2 d) x + 4x < 1


6. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x - 4x  0

2 b) x > 5x - 1 2 d) 2x > x + 3


5. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x - 1 > 0

2 b) x - x - 42  0 2 d) 4x - 11x + 6  0

2 a) x + x - 4  0 2 c) x - x  6

2 b) x + 5x - 4  0 2 d) x + 4x  2


MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 2 a) -x + 4x < 0 2 c) 9 - x < 0

2 b) -5x - 6x  0 2 d) 16 - 25x  0

9. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x + x - 6 > 0

18. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2

a) -x + 5x > 0 2 c) -4x - 8x  0

10. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2

b) 42 - x - x > 0 2 d) 40 - 3x - x  0

2 a) x - 2x - 3  0

2 b) x - 3x - 18  0


19. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x - 2x + 3 > 0 2 c) x - 20x > -100

2 b) x + 8x + 15 > 0

2 b) x + x - 20 < 0

2 b) x + 10x + 26  0 2 d) x  14x - 49

2 b) x + 2x - 35 < 0

12. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x - 4x - 5  0

TAREA DOMICILIARIA

2 b) x +2x - 63  0

13. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x + 4x - 3 > 0

1. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x - 4x > 0


2 b) x > -8x

2 a) x + 5x - 4  0


b) x

2 b) x - x < 5

2 b) x - x  8


2

 -9x

2 a) x + 2x - 4 < 0

2 b) x - x < 3

3. Resuelve las siguientes inecuaciones: 16. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x - 3x < 0

2

b) x < -11x

2 a) x - x  4

2 b) x  4x - 1

4. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x - 5x  0


2

b) x  -13x

2 a) -x + 8x < 0

5. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x - 9 > 0


2

b) 9x - 25 > 0 2 a) -x + 7x > 0


2 a) 25x - 20x + 4  0

b) 36x

2

+ 12x + 1 

0

2 b) x < 196

20.Resuelve las siguientes inecuaciones:

8. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x - 36  0

2 b) 6 - x - x > 0


2 b) x  169

7. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x - 25 < 0

2 b) 20 - x - x < 0

2 a) x - x + 2 < 0

2 b) x + 3x + 4  0

2 b) x  121

MATEMATICA



21. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x - 4x + 4 > 0

2 b) 81x - 18x + 1 > 0

-

+ -5

22. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x - 8x + 16  0

|5|

|-5|

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Para dos números "a" y "b": |a - b| = |b - a| Representa la distancia entre estos puntos, sin importar la dirección; así, la distancia entre a = -4 y b = 3 es:

2 b) 25x - 10x + 1  0


|a - b| = |-4 - 3| = |-7| = 7; a) (x + 3)(4x + 3) > (x + 3)(3x - 1) 2 b) (x + 2)  25

|b - a| = |3 - (-4)| = |7| = 7 Geométricamente se representa: |a - b| = 7

2 24. Resolver: x - 7x + 2  0 Se obtiene como conjunto solución: x  IR -

+

-

Indique: m + n

-5

-4

-3

-2 a

-1

0

1

2

3

4

5

b

VALOR ABSOLUTO Ejercicios básicos •

Completa la siguiente tabla:

*

Completa usando los símbolos: < ó >.

DEFINICIÓN El valor absoluto de un número real "a", denotado por |a|, se define por la regla:  a, si : a  0    a, si : a  0

Se lee: El valor absoluto de "a", es igual al mismo número "a", si "a" es positivo o cero o igual a su opuesto -a, si "a" es negativo. Ejemplo: |5| = 5 Sólo se borran las barras, pues 5 es positivo.

|-3| = - (-3) = 3

Al borrar las barras, se cambia de signo de -3 a 3. Pues -3 es negativo.

Interpretación geométrica del valor absoluto de un número real El valor absoluto de un número real indica gráficamente la distancia del origen al número "a" o la distancia del origen al número -a. |a| |a|

-a

0

_____

0

b) -|-2006|

_____

-2007

c) | 3 - 2 |

_____

1-

d) |2 -

5|

_____

2 5 -3

TEOREMAS SOBRE VALOR ABSOLUTO

+

-

a) |-5|

TEOREMA

a

 a  IR : |a|  0

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” a,b  IR : |ab| = |a| |b| DEMOSTRACIÓN: Si consideramos: DEMOSTRACIÓN:

Si: a < 0 |a| = -a  -|a| = a  -|a|< 0 |a| > 0 Si: a = 0 |a| = a = 0 Si: a > 0 |a| = a |a| > 0

Se sabe: |ab| =

|a|  0

(ab)2

Teorema de potencia: |ab| =

TEOREMA Entonces: |ab| =

2 2 a  IR : |a| = a

a2 .

a2b2

b2 = |a| |b|

TEOREMA

DEMOSTRACIÓN:

2 Por definición de potencia: |a| = |a| |a| 2 2 2 Si: a  0  |a| = a . a |a| = a 2 2 2 Si: a < 0  |a| = (-a)(-a) |a| = a

a,b  IR, b 0, entonces: a a b b Sea: = c

a | a|  b | b|

=|c| ................ (i)

2 2  |a| a TEOREMA a  IR : |a| =

| a| Entonces: a = bc|a|=|bc|=|b||c| | b | =|c| ... (ii) a | a|  b | b| Luego, de (i) y (ii):

2

a

DEMOSTRACIÓN: 2

Se sabe: |a| = a

TEOREMA

2

a,b  IR : |a+b||a|+|b| (desigualdad triangular)

Entonces: |a| =

DEMOSTRACIÓN:

TEOREMA:

Consideremos: |a| |b|  ab 2 |a| |b|  2ab

a  IR : |a| = |-a|

2

2 2 a + b + 2|a| |b|  a + b + 2ab 2 2 2 2 |a| + |b| + 2|a| |b|  a + b + 2ab

DEMOSTRACIÓN: Si:

2 2 (|a| + |b|) (a + b)

a > 0 |a| = a

(| a|  | b |)2  (a  b)2

Por (-1) : -a < 0 |-a| = -(-a) = a  |a| = |-a| Si:

Si:

|a| + |b|  |a+b| |a+b| |a| + |b|

a = 0 |a| = 0

Por (-1) : -a = 0 |-a| = 0

2

|x+y| = |x| + |y|  xy  0 |x+y| < |x| + |y|  xy < 0

 |a| = |-a|

a < 0  |a| = -a

Por (-1) : -a > 0 -a| = -a

 |a| = |-a|

TEOREMA

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

|a| = |b|  a = b v a = -b

Los teoremas que permiten la resolución de ecuaciones con valor absoluto son los siguientes:

DEMOSTRACIÓN

TEOREMA:

Consideremos dos casos: b  0 y b < 0

|a| = b  b  0  (a = b v a = -b)

i) Si: b  0 |b| = b

DEMOSTRACIÓN:

Luego: |a| = |b| |a| = b  a = b v a = -b

Se sabe |a| 0,  a  IR Entonces, si: |a| = b, implica que: b  0

ii) Si: b < 0 |b| = -b > 0 ... (i) Luego: |a| = |b|  |a|= -b  a = -b v a = -(-b)

Por definición: |a| = a v |a| = -a

 a = -b v a = b

Luego, si: |a| = b  b = a v b = -a  a = b v a=-b ...(ii)

Por lo tanto: |a| = |b|  a = b v a = -b

Por lo tanto, de (i)  (ii): |a| = b (b  0)  (a=b v a=-b)

PROBLEMAS PARA LA CLASE Ejemplo: Resolver: *

*

1. Resuelve las siguientes operaciones:

|x| = 5

a) |4+7|

h) |-4| x 2

|x| = 5  5  0  (x = 5 v x = -5)

b) |7-9|

i)

|-2| |-5|

C.S.: x {-5; 5}

c) |-4 - 5|

j)

|10| - |-5|

Resolver:

d) |-4| + |5|

k)

|x + 1| = 8

e) |-7| + |7|

l)

f) |-9| + |-10|

m) | |7| - |-5| |

g) |-3| - |-3|

n) | |-8| - |-9| |

Resolución: |x+1| = 8  8  0  (x + 1 = 8 v x +1 = -8) x = 7 v x = -9

(9) 2  81

2. Hallar el valor de "x", si existe:

C.S.: x  {7; -9}

+ a) |x| = 219; x Z

Resolver: *

(4) 2  | 2 |

b) |x| = 2006; xZ

|3x+2| = 5

c) |x+1| = 4; x  Z

+

d) |x - 2| = 6; x Z

-


Resolución:

a) |x - 3| = 0 b) |x+1| = 0

|3x+2| = 5  5  0  (3x + 2 = 5 v 3x + 2 = -5) 3x = 3 3x = -7 7 x=1 v x=-3

c) |2x + 1| = 0 d) |3x - 2| = 0


C.S.: x  {1; -}

a) |x - 3| = 2 b) |x+1| = 5

TEOREMA

MATEMATICA

c) |4x + 1| = 9 d) |5x - 2| = 8


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” c) 3 - 4x = |4x + 3| d) 5 - 6x = |6x + 5|

5. Resuelve las ecuaciones siguientes: 2 a) |x | = 0 2 b) |x + 2x| = 0


2 c) |3x - 5x| = 0 2 d) |7x - 6x| = 0

a) ||x - 2| - x| = 1 b) ||x - 1| - x| = 2 c) d)

6. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) ||x - 1| -1| = 0 b) ||x + 1| -2| = 0

c) ||3x - 2| - 6| = 0 d) ||5x + 3| - 8| = 0

15. Resolver: 2 4 2 4 2 |7 - x - x + x | - |x - x - 7 + x| + |x - 16| = 0

7. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) ||x - 1| -1| = 1 b) ||x + 1| -2| = 1

Hallar la suma de soluciones.

c) ||4x - 6| - 9| = 3 d) ||3x - 7| - 6| = 2

a) 2 d) -2

8. Resolver las ecuaciones siguientes: a) |x+1| = x b) |x - 2| = x

c) |3x - 2| = x d) |2x + 5| = x

b) 4 e) -4

c) 0

TAREA DOMICILIARIA

9. Resolver las ecuaciones siguientes: a) b) c) d)

1. Realiza las siguientes operaciones:

|x + 2| = -x |x - 3| = -x |3x - 2| = -x |2x + 5| = -x


|x - 4| = 3x |x + 2| = 2x |3x + 2| = -3x |5x + 1| = 7x


|x + 2| = x - 3 |2x + 1| = x + 2 |3x - 2| = x - 1 |4x - 3| = 2x + 1

a) |-8|

|5 + 8| f)

|-10| +

b) |-4|

|6 - 11| g)

|-4|

-

c) 3

|-3 - 4| h)

|-5|

×

d)

|-6| + |3| |-7| |-3|

i)

e)

|-8| + |8| |-9| - |-6|

j)

2. Halla el valor de "x", si existe:

12. Hallar el conjunto solución de: a) b) c) d)

a) |x|=220; x Z

|x + 1| = x + 1 |x - 2| = x - 2 |4x + 3| = 4x + 3 |5x - 2| = 5x - 2

+

b) |x|=2007; x Z

3. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) |x - 2| = 0

13. Hallar el conjunto solución de:

b) |2x + 3| = 0


a) 1 - x = |x + 1| b) 2 - x = |x + 2|

a) |x - 2| = 1

MATEMATICA

b) |5x + 1| = 11


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 17. Resolver las ecuaciones:

5. Resuelve las ecuaciones siguientes: 2

2 b) |x +3x| = 0

a) |x | = 0


2 a) x - 2x + |x - 1| - 1 = 0 2 b) x + 4x - |x+2| - 2 = 0

8. Resuelve las ecuaciones siguientes: b) |2x - 3| = x

20.Resuelve las ecuaciones siguientes:

9. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) |x - 2| = -x

2 b) x - 6 = 5|x|


b) ||x+1| - 3| = 2

a) |x + 2| = x

d) |5x - 2| = |2x+1|

2 a) x - 2|x| + 1 = 0

b) ||x+1|- 3| = 0

a) ||x - 2| - 1| = 1

c) |2x+3| = |x - 4|

b) |3x+1| = |x+3|


6. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) ||x - 2| - 1| = 0

a) |x+4| = |2x+1|

2 a) |x - 49| = x+7

2 b) |9x - 1| = 3x - 1

b) |3x+4| = -x 21. Si: |x| = 2 3 + 2 11

10. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) |x+4| = 3x

|y| = 3 5 +

12

Entonces:

b) |x - 2| = 2x

a) x+|y| < 0


b) -|y| < x d) |y| x

c) |x|-|y|>0 e) Más de una es

correcta a) |x - 2| = x+3

b) |5x+2| = 2x – 3

12. Hallar el conjunto solución de: a) |x - 1| = x - 1

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

b) |4x - 3| = 4x - 3

13. Hallar el conjunto solución de: a) -2 - x = |x+2|

b) -3 - x = |x+3|

14. Resolver las ecuaciones siguientes: a) ||x - 1| - x| = 1 15. Resolver:

3

7

b)

7

3

TEOREMA

x1  x 1 2

b  0 y |a|  b -b  a  b I. Demostraremos que si: b  0 y |a|  b -b  a  b

2

|3 + x - x - 4x | - |4x + x - x -3| + |x - 25| = 0

I.  a  IR : a |a|, por hipótesis: |a|  b II. Por transitividad: a  b III. De(I): -b - |a| IV. Además,  a  IR : -|a|  a V. De (III) y (IV) : -b a (por transitividad) VI. De (II) y (V): -b  a  b

Hallar la suma de soluciones. 16. Resolver las ecuaciones siguientes:

a)

x2 1 x3

b)

x3 1 2x  1

Ejemplo:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Resuelve: |x| < 4, después representa gráficamente el conjunto solución.

La gráfica es la siguiente: -

Solución: Las soluciones de |x| < 4 son aquellos números cuya distancia a partir de 0 es menor que 4. El conjunto solución es: {x/-4 < x < 4} La gráfica es la siguiente:

*

-5

-4

Ejemplo:

Resuelve:

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4

Resuelve:

-3

-2

-1

0

1

5

|3x - 2| < 4 -4 < 3x - 2 < 4 -2 < 3x < 6 . . . sumando 2 2 3 -< x < 2 . . . dividiendo entre 3

2

3

4

5

|4x + 2|  6

4x + 2 -6 v 4x -8 v (sumando -2) x -2 v (multiplicando por 1/4)

+

-

+ -5

4x + 2  6 4x 4 x1

La gráfica es la siguiente: -

+ -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

TEOREMA |a|  b  a  b v a  -b

Se tiene: |a|  b . . . (I)

I

CASO Si: a  0  |a| = a ... (II) Sustituyendo (II) en (I): a  b

II CASO Si: a < 0  |a| = -a . . . (III) Sustituyendo (III) en (I) : -a  b  a  -b


|a|  b  a  b v a  -b Bloque I 1. Representa en la recta numérica los siguientes conjuntos de números.

Ejemplo: * Resuelve: |x| 4. Después, representa gráficamente al conjunto solución. Solución:

a) |x| > 2

b) |x|  3

c) |x| < 4

d) |x|  3

2. Expresa empleando valor absoluto.

Las soluciones de |x|  4 son aquellos números cuya distancia a partir de 0 es mayor o igual a 4; en otras palabras aquellos números "x" tales que x  -4 ó x  4. El conjunto solución es: {x/x -4 v x  4}

MATEMATICA

a) x <-2; 2> +>

c) x<-;-4><4;

b) -3 < x < 3

d) y < -13 ó y > 13


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” b) |x+1|>3  |x| < 3

3. Resuelve:

6

a) |x+5|< 4

c) 3|x+9|< 18

b) |x - 3|+2< 5

| x  6| 2 <6 d)

12.

Si: 1 < x < 2 | 2x  1|  | x  1| E x Calcular: a) 7 b) 9

4. Resuelve:

a) |x+1|  3

c) 3|x+6|  21

b) |x - 2|+4  5

| x  4| 3 d) 1

16 d) x

c) 16x

e) 1

13. Si: x <-2; 5> Determine el valor que toma la expresión:

E

5. Resuelve:

a) |x+7| > 6

c) 5|x-6| > 20

b) |x-4|+2 > 5

| x  1| 2 d) >6

| 2x  7|  | x  6| | 2x  26|

a) -5 d) 4

1 b) 5 e) 7x

1 c) 2

14. Resolver las siguientes inecuaciones:

6. Resuelve:

a) ||x| - 2| < 2 b) ||x+1| - 2|  3

a) 4|x - 8|  12 b) |x+6|  5 c) |x - 3|+4  8

c) ||x - 1| - 2| < 3 d) ||x - 3| + 2|  4


| x  4| 3 d) 1

2 a) |x - 1|<3 2 c) |x - 3| > 6

7. Conecta con una línea las inecuaciones con sus correspondientes conjuntos solución:

I) |x - 1|  0 II) |x - 2|  0 III) |x - 3| < 0 IV)|x - 4| > 0

d) |x+1|2  |x+3| 

a) b) c) d)

2 b) |x + 2|  3 2 d) |2x + 5|55

16. Hallar el conjunto solución de:

x  x IR - {4} x  {2} x  IR

2 a) |x + 5x| < 6 2 c) |2x - 8x - 5|  5

2 b) |x + 2x| > 3 2 d) |3x - 7x + 2|  2

17. Hallar el conjunto solución de: 8. Hallar el conjunto solución de: a) |x+1| > |x+2| b) |x - 1| < |x-3|

2 2 a) |x - 2x - 5| > |x + 4x + 1| 2 2 b) |3x - 2x + 1|  3|x + x - 7| 2 2 c) |6x - 9x - 3| < |2x - 9x + 2| 2 2 d) |2x + x - 1|  |2x - x - 1|

c) |3x+1| > |2x+1| d) |4x-3| < |3x-2|

9. Resuelve las inecuaciones siguientes: a) |x+1| > x

c) |x+3|

>

x

b) |x - 2|  x

d) |x - 4|  x + 2

+

1

10. Resuelve las inecuaciones siguientes: a) |x+2| < x b) |x-3|  x

c) |x+4| < x + 2 d) |x-5|  x + 3

Bloque II 11. Hallar el conjunto solución de: a) |x|>2 |x| < 4

TAREA DOMICILIARIA

c) |x|>1  |x - 3|  4

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” | 5x  20|  | 3x  20| x E=

1. Representa en la recta numérica los siguientes

13. Si: x <-1; 6> Reducir: x(| x  8 |  | x  1|) A = | x  7|  | x  7|

conjuntos de números: a) |x| > 1 b) |x|  4

c) |x| < 6 d) |x|  7

14. Resolver las inecuaciones siguientes:

2. Expresa empleando valor absoluto. a) x <-4;4>

b) -5 < x < 5

c) x<-;-7><7;+>

d) y < -11 ó y > 11

x2 2x  3

15. Resolver: <4 Se obtiene como conjunto solución:

3. Resuelve: a) |x + 3| < 5

b) |x - 2| + 3 < 7 16.

4. Resuelve: a) |x - 1|  4

b) |x + 4| - 2  3

a) n < 4 b) |x + 2| + 3 > 7

d) 1  n

6. Resuelve: a) |x - 6|  3

|x+3|  0 |x+4|  0 |x+5| < 0 |x+6| > 0

b) |x + 4| - 5  2

a) b) c) d)

x x x x

  IR  IR - {-6} {-4}

a)

2 a) |x - 3| > 1

b) |x - 3| < |x - 5|

12.

1 c) < 5 ;1>

2 b) |x +5|  9

19. Hallar el conjunto solución de: 2 a) |x + 6x| < 5

b) |x + 2|  x

2 b) |x + 3x| > 4

20.Resuelve las inecuaciones siguientes:

b) |x + 4|  x

2 2 a) |x - 3x - 6| < |x + 5x + 2| 2 2 b) |4x - 3x + 1| > 4|x + x - 2|

11. Hallar el conjunto solución de: a) |x| > 3  |x| < 5 <4

1 b) < 5 ;1] 1 e) [ 5 ; +>


10. Resuelve las inecuaciones siguientes: a) |x - 3| < x

 1   5 ; 1  

d) 

9. Resuelve las inecuaciones siguientes: a) |x - 1| > x

c) n  1

b x  a  3b

8. Hallar el conjunto solución de: a) |x + 2| > |x + 3|

b) n  4 1 e) n  2

17. Si: |x - a| < 2b Donde: b > 0, a que intervalo pertenece:

7. Relaciona según corresponda: I. II. III. IV.

Si: |x| < 2, entonces: 1 1  n n 4 3 x

Luego, de "n" se puede afirmar:

5. Resuelve: a) |x - 7| > 5

b) ||x+2| -1|  2

a) ||x| - 3| < 1

21. Si: x [10; +>; indicar a que intervalo pertenece "a": |x-1|+|1-x|+|x-2|+|2-x|+ ... + |x-10|+|10-x|=a+50

b) |x + 2| > 4  |x|

a) a <20; +> c) a <-;-400>

Si: x <-3;-2>, calcular:

MATEMATICA

b) a <-400; +> d) a <-20; +>


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” e) a [40; +>

c)

4

g)

 125 = ______________

d)

9

=

______________

=

______________

h)   160 = ______________ *

Los números imaginarios son todos los números de la forma "bi", donde "b" es un número real e "i" es la 2 unidad imaginaria, con la propiedad de que i = -1. Notación de Euler:

1 i =i 2 i = -1 3 i = -i 4 i =1

NÚMEROS IMAGINARIOS En el conjunto de los números reales, los números 2 negativos no tienen raíces cuadradas. Ecuaciones como x = -49 no tienen solución. Los números imaginarios se crearon para que los números negativos tuviesen raíces cuadradas y ciertas ecuaciones tuviesen solución. Estos números se concibieron por medio de una unidad 2 imaginaria llamada "i", con la convención de que i = -1, o

I. La unidad imaginaria elevada a una potencia múltiplo de 4 siempre será igual a la unidad. o

i

Ejemplo:

4

= 1

Ejemplo:

Expresa los siguientes números en términos de i. *

5  1.5   1. 5  5 i

*

i

  7    1.7     1 . 7   7 i

*

i

 99   1.9.11    1

9 11  3 11 i

i

Ejercicios básicos *

9 i =i 10 i = -1 11 i = -i 12 i =1

DEDUCIMOS LO SIGUIENTE:

1 . Por lo demás suponemos que "i" se comporta como un número real. Las raíces cuadradas de todos los números negativos se pueden expresar como un producto de "i" y un número real.

*

5 i =i 6 i = -1 7 i = -i 8 i =1

Del cuadro observamos que las potencias de "i" se repiten cada cuatro veces y pueden tomar uno de estos valores: i, -1, -i ó 1.

i=

*

1

POTENCIA DE LA UNIDAD IMAGINARIA

NÚMEROS COMPLEJOS I

*

i=

8 i =1 12 i =1 20 i =1

 1 i16     i

16

 1 i32     i

32

 

116 i16 132 32

i



1 1 1



1 1 1

Expresa los siguientes números en términos de i. Generalizando:

a)

3

e)

 32 = ______________

b)

 11

f)

= =

i

±4º

=1

______________ ______________

  48 = ______________

MATEMATICA 176

Recuerda: Un número es divisible por 4 cuando sus 2 últimas cifras son ceros o forman3er un Grado número múltiplo de 4.

de Secundaria

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Podemos generalizar diciendo: la suma de 4 potencias consecutivas de la unidad imaginaria es igual a cero, es decir: i

II. La unidad imaginaria elevada a una potencia múltiplo de cuatro más un residuo, siempre será igual a la unidad imaginaria elevada a ese mismo residuo. i

4º+r

=i

+i

n+1

+i

n +2

+i

n+3

=0

Ejercicio básico Completa la siguiente tabla:

r

BASE

¡IMPORTANTE! 4º+1 i =i i 4º+2 = -1 4º+3 i = -i Ejemplo: *

n

EXPONENTE

POTENCIA

15 i = -i

i

15

i i i i

234 9 876 22 222 1 234 567

NÚMEROS COMPLEJOS 21

Calcular: i

Para construir un sistema complejo, deberíamos definir lo que se entiende por la suma de un número real

Solución:

con un número imaginario. A estos los llamamos números complejos.

i

21

=i

20 + 1

=i

4º+1

DEFINICIÓN:

=i

Ejemplo: *

Los números complejos se componen de todas las

Calcular: i

sumas a + bi, donde "a" y "b" son números reales e "i" es

138

la unidad imaginaria. La parte real es "a", y la parte imaginaria es "b". Todo número real "a" es un número complejo, pues a =

Solución:

a + 0i. De este modo, los números complejos son una

138 136 + 2 4º+2 i =i =i = -1

extensión del sistema de los números reales. Todos los números imaginarios son "b", pues bi = 0 + bi.

Ejemplo: *

Calcular: i

4267

NÚMEROS COMPLEJOS

Solución: 4267 4264 + 3 4º+3 i =i =i = -i

NÚMEROS REALES

NÚMEROS IMAGINARIOS

Suponemos que "i" se comporta como un número real,

III. Si sumamos las cuatro primeras potencias su resultado es cero.

respetando las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva. En consecuencia, para sumar o restar

2 3 4 i+i +i +i =0

números complejos, podemos manipular "i" como si se tratase de una variable. Ejemplos:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Suma o resta:

La distancia horizontal corresponde a la parte real de un número complejo. La distancia vertical corresponde a la

*

3i + 4i = (3+4)i = 7i

*

8i - 6i = (8 - 6)i = 2i

*

(-2+5i) + (3-7i) = (-2+3) + (5-7)i = 1 - 2i

*

(3+2i) - (4+2i) = (3-4) + (2-2)i = -1 + 0i = -1

parte imaginaria.

Ejercicio básico

Ejercicio básico

Representa gráficamente: Intenta lo siguiente:

a) b) c) d) e)

a) 2i + 4i + 5i b) 8i - 5i + 7i - 2i c) (2+i) + (5 + 2i)

REPRESENTACIÓN COMPLEJOS

GRÁFICA

DE

LOS

5 - 3i -3 + 4i -5 - 2i -5i -3

I m a g i n a r io

NÚMEROS 7 6

Los números reales se representan gráficamente sobre una recta. Los números complejos a + bi

5 4

se

representan gráficamente de la misma manera que los

3

pares ordenados de números reales (a,b). En el lugar del

2

eje "x" tenemos un eje real y en lugar del eje "y" tenemos

1

un eje imaginario.

-6 -5 -4

-3 -2

-1

-1 1

Ejemplo:

2

3

4

5

6

7

8

-2 -3

REPRESENTA GRÁFICAMENTE

-4

A : 3 + 2i

-5

B : -4 + 5i

-6

C : -5 - 4i

-7

D:i E:5

E je im a g in a r io

IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS La igualdad de números complejos es la misma que para los números reales. Un enunciado como a + bi = c + di dice que a + bi y c + di representan el mismo número. Para que esto sea cierto, "a" y "c" deben ser iguales y "b" y "d" también deben ser iguales entre sí. Por lo tanto

B : -4+ 5 i 5 4 3 2

A :3 + 2 i D :i

1 -6 -5 -4

-3 -2

-1 -1

1

2

3

4

5

E:5 6

E je rea l

a + bi = c + di  a = c  b = d

-2

Ejemplo:

-3 C

-5-4i

-4

Determina "x" "y", en:

-5 -6

3x + yi = 5x + 1 + 2i

MATEMATICA


Real

COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Igualamos las partes reales:

a) El opuesto de 2 + i es - 2 - i.

Igualamos las partes imaginarias

3x = 5x + 1 1 x=- 2

b) El opuesto de -3 + 2i es 3 - 2i. c) El opuesto de 4i es -4i, pues 0 - 4i es el opuesto de 0 + 4i.

yi = 2i

d) El opuesto de -3 es 3 pues 3 - 0i es el opuesto de - 3+0i.

y=2

PROBLEMAS PARA LA CLASE MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS Multiplicamos

números

complejos

como

si

1. Completa la tabla:

multiplicasemos monomios o binomios, tratando las partes imaginarias como términos semejantes.

x

22

2 i

3 i

23

4 i

5 i

3

Multiplica:

2. Simplifica las siguientes expresiones:

*

2 2 (2i) (4i) = (2.4)i = 8i = -8

*

2 2 2 2 (7i) = 7 . i = 49i = -49

10 a) i d) 99 i

= 28 +

8i

+

21i +

6i

2

23 c) i 222 f) i

a) La unidad imaginaria elevada a una potencia múltiplo de cuatro siempre será igual a ___________. b) La unidad imaginaria elevada a una potencia múltiplo de cuatro mas residuo tres siempre será igual a ______________.

= 2 8 + (8 + 21 )i - 6 = 22

16 b) i 158 e) i

3. Completa las siguientes frases para que se conviertan en proposiciones verdaderas:

( 4 + 3 i) ( 7 + 2 i) = 4 ( 7 ) + 4 ( 2 i) + 3 i ( 7 ) + ( 3 i) ( 2 i)

+ 29i

CONJUGADOS DE COMPLEJOS (Z_)


El conjugado de a + bi es a - bi *

3 i

2

Ejemplo:

*

2

i.i.i..........     i.i  i.i.i.........    i.i a) 35 factores 97 factores

Ejemplo:

i.i.i..........     i.i  i.i.i.........    i.i b) 219 factores 2006 factores

Encuentra el conjugado de cada número. a) El conjugado de 3 + 4i es 3 - 4i.

i.i.i..........     i.i 

b) El conjugado de -4 - 7i es -4 + 7i.

c) 1234 factores

c) El conjugado de 5i es -5i, pues 0 - 5i es el conjugado de 0 + 5i. d) El conjugado de 6 es 6 pues 6 - 0i es el conjugado de 6 + 0i.

i.i.i.........    i.i

98765 factores

5. Completa los números complejos que faltan, sabiendo que debajo de cada casilla hay otros dos cuyos números sumados equivalen al número de la casilla de arriba.

OPUESTO DE COMPLEJOS (Z*) El opuesto de a + bi es -a - bi Ejemplo: Encuentra el opuesto de cada número:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 2 3 4 2006 L = i + i + i + i + ....... + i 2 99 E = 1 + i + i + ....... + i 2 666 B = 1 + i + i + ....... + i

5 - 3i -4 + 2 i -2 + 3 i

3 - 4i

14. Demuestra que: ab  a. b no es válido para todos los números reales.

4 - i

2 4 6 8 10 8n 15. Sumar: A = i + 2i + 3i + 4i + 5i + .... + (4n)i

6. Calcular los valores reales de "x" e "y", que satisfacen las ecuaciones:

Siendo: i =

1

a) n d) 2 2n

a) x + yi = 3 + 4i b) x - 4 + (2y -1)i = 7 + 3i c) 3x + y + (3x - 2y - 9)i = 0

b) 2n e) 4n

c) 4n

2

TAREA DOMICILIARIA

7. Representa gráficamente: a) 3+2i , 2 - 5i, -4 - 2i b) -4+2i , -8 - 4i, 2 - 3i 8. Calcular: 2 3 4n M = (1 + i) + (2 + i ) + (3 + i ) + ..... + (4n + i )

1. Completa la tabla: x

i

4

5 i

3 i

32

6 i

1

a) 2n(4n + 1)

b) 2n(4n - 1) 2 e) 8n

d) 2n(4n - 2)

c) 2n(4n + 2)

2 i


9. Determina si los números dados son soluciones de la ecuación: 2

a) i

2

d) i

2

g) i

a) 2i, -2i,

x +4=0

b) 4i, -4i;

x + 16 = 0

c) i 2 , -i 3 ;

x +3=0

d) i 3 , -i 2 ;

x +2=0

2

3

15

9

19

a) La unidad imaginaria elevada a una potencia múltiplo de cuatro más residuo dos siempre será

11. Reducir las siguientes expresiones:

3

16

20

+i

+i

5

7

igual a ________________.

24

+i

b) La unidad imaginaria elevada a una potencia

9

múltiplo de cuatro más residuo uno siempre será

A=i +i +i +i T=i

2005

S=i

101

2006

+i

+i

2002

+i

2007

30003

+i

+ +i

2008 i

igual a ________________.

400004

4.

Simplifica las siguientes expresiones:

12. Siendo: i =  1 , el valor más simplificado de: a)

i  i3  i8  i13  i30 i  i2  i16 K= 13. Reducir las siguientes expresiones: 2

1336

27 c) i 219 f) i

3. Completa las siguientes frases para que se conviertan

J = (1 + 2 i ) (2 + i ) (3 + i ) (3 + i )

12

52

15 b) i 161 e) i 9321 h) i

en proposiciones verdaderas:

10. Calcular:

M=i

8

3

4

A = i + i + i + i + ....... + i

b) c)

219

MATEMATICA

i. i.i. .......  i. i  i. i.i.......   i. i 37 factores

81 factores

i. i. i. ....... i. i  i. i. i.......i. i            201 factores

4536 factores

i. i.i. .......  i. i  i. i.i.......   i. i 9876 factores

12345 factores


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 11. Halla el conjunto solución de: 5. Calcular los valores reales de "x" e "y", que satisfacen

2

las ecuaciones:

2

a) x + 4 = 0

a) x + yi = 7 + 5i

12. Reducir:

b) x - 5 + (2y - 3)i = 9 + 5i

b) x + 49 = 0

7

17

13

15

J = (1 + 2i ) (3 + i ) (2 + i ) (2 - i )

c) 2x + y + (2x - y - 12)i = 0

13. Reducir las siguientes expresiones: 6. Expresar cada uno de los siguientes productos en la forma a + bi, donde "a" y "b" son números reales.

M=i A=i

a) (1 - i) (3 + 2i)

48 11

+i

+i

52

13

+i

+i

56

15

+i

+i

60

17

T=i

b) (4 + i) (2 + i) c) i (5 + 2i)

5001

+i

5002

+i

5003

+i

5004

7. Completa la siguiente tabla:

NÚMEROS COMPLEJOS II

Siendo:

Z = Número complejo

DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS:

Z = Complejo conjugado

Dados dos números complejos:

Z* = Complejo opuesto

Z = a + bi , y 1 Z = c + di , 0 2

8. Representa gráficamente: a)

4 + 3i

d)

-3 - 3i

9. En una prueba un alumno escribió la siguiente cadena

Se define el cociente Z1 -1 Z2 =Z .Z .

de igualdades: 2 -1 = i =

1 .

(I) (II)

 1 = (1)(1) =

(III)

(IV)

1

1

(V)

Z1 Z2

como el número complejo:

2

En la práctica, para calcular el cociente de dos números complejos y expresar el resultado en su forma canónica se siguen los pasos análogos a los del -1 cálculo del inverso multiplicativo Z ; es decir, multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador (Z_ ).

a) La igualdad II es incorrecta. b) La igualdad III es incorrecta. c) La igualdad IV es incorrecta. d) La igualdad V es incorrecta.

2

e) Las igualdades II y IV son correctas.

Si: Z = a + bi y 1

10. Determina si los números dados son soluciones de la ecuación:

Z = c + di  0 2

2

a) i; -i;

x +1=0

b) 3i; -3i;

x +9=0

c) i 5 ; i 7 ;

x +7=0

d) i 2 ; i 5 ;

x +5=0

Z1 a  bi (a  bi) (c  di)   . Z2 c  di (c  di) (c  di)

2 2 2

Z1 ac  adi  bci  bdi2  Z2 c2  d2 i2

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Escribe V ó F entre los paréntesis, según las proposiciones sean verdaderas o falsas:

Z1 ac  bd  (bc  ad) i  Z2 c2  d2

a) Si: a=-2 y b3 entonces Z es imaginario puro. ( ) b) Si: b= 3 y a=2 entonces Z es imaginario puro.( ) c) Si: a2 y b=3 entonces Z es real puro. ( ) d) Si: a=2 y b=3 entonces Z es complejo nulo. ( )

Z1 ac  bd  bc  ad     Z2 c2  d2  c2  d2   i

Ejemplo: *

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Si: Z = 2 + i, Z = 3 - i

Z1 2  i 2  i 3  i 6  5i  i2 5  5i 5 5i 1 i   .       Z2 3  i 3  i 3  i 10 10 10 2 2 32  i2

Para efectuar esta operación se debe tener en cuenta el desarrollo del binomio de Newton, es recomendable aplicarlo para exponentes pequeños.

*

Sea: Z un número complejo, definimos:

Z1 Z2

1

2

Si: Z = 2 - 9i, Z = 1 + i 1



2

2  9i 2  9i 1  i 2  11i  9i2 7  11i 7 11i  .     1 i 1 i 1 i 2 2 2 12  i2

* * *

Ejercicios básicos

*

1. Relaciona ambas columnas: 2 1 i a) 5 b) 2  i

0 Z = 1,  Z  0 1 Z =Z m+n m n Z = Z . Z ,  m, n  ZZ mn mn Z = (Z ) ;  m, n  ZZ

I. 2 + i II. 1 + i

5 c) 1  2i

III. 1 - i

2 d) 1  i

IV. 1 + 2i

Dado el número complejo: Z = a + b i , será: * Número complejo real  Im (Z) = 0  a 0 * Número complejo imaginario puro  Re (Z) = 0  b 0 * Número complejo nulo  a = b = 0 2. Si: Z = a - 2 + (b - 3)i Escribe "V" ó "F" entre los paréntesis, según las proposiciones sean verdaderas o falsas: a) b) c) d)

Si: Si: Si: Si:

a = 2 entonces Z es imaginario puro. ( ) b = 3 y a  2 entonces Z es real puro. ( ) a = 3 y b = 2 entonces Z es complejo nulo. ( ) a  2 y b  3 entonces Z es un complejo nulo.( )

a b 3. Si: Z = a + (b - 27)i - 4

MATEMATICA




1. Efectúa las siguientes divisiones:  5  9i 1 i a) 2  3i b) 3  5i

c)

8  3i  2  7i

 5  10i d)  3  4i

2. Encuentra el recíproco de: a) 5 + 2i

b) 2 - 3i

c) 4 + i

d) 7 - 2i

2 3. Si: Z = (m - mn + 7) + (m - n)i; Donde: m  n  IR, siendo Z un complejo real puro. Obtener "Z". a) 4

b) 5

d) 7

e) 8

c) 6

3 3 3 3 4. Si: Z = (m + n + 219) + (m + n + 2006)i Donde: m  n  IR; siendo Z un complejo imaginario puro. Obtener "Z" a) 219 i

b) 2006 i

d) 2225 i

e) 3210 i

c) 1787 i

2 3 5. Si el complejo: Z = (m - 4) + (n - 27)i es nulo Determine "mn". a) 6

b) 8

d) -6

e) Más de una es correcta.

c) -8

6. Efectúa los siguientes binomios: a)

(2 + i)

2

c) (4 + 3i)

2

b) (3 - 2i) 2 d) (5 - i)

2

7. Relaciona las siguientes expresiones: a) (1 +i)

MATEMATICA

4

I. 8(1+i)


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” b) (i - 1)

5

II. -8i

6

c) (1 + i) 7 d) (1 - i) 8 e) (i + 1) 9 f) (1 - i)

14. ¿Cuál es la relación existente entre "m" y "n" para que

III. 16

el producto: (m + ni) (2 + 3i); sea un número imaginario puro?

IV. -4 V. 16(1 - i)

a) m = n

VI. 4(1 - i)

2n b) m = 3 n d) m = n

n

3n c) m = 2 3 e) m = n

8. Calcula "x" en las ecuaciones siguientes: a) b) c) d)

(3 + i)x + i = 5i 3ix - (1 + i) = -4 + 7i (2 + i)x - i = 5 + i 3 - 4i + 2ix = 3i - (1 - i)x

9. Efectúa las siguientes operaciones: i 2 i 3  1  2i 1  3i a)

b)

i 5 i 7  1  5i 1  7i

TAREA

10. Simplificar: 2 5 13 17 M    i 1  i 2  i 3  2i 4  i a) 5 d) 35

b) 7 e) 40

1. Efectúa las siguientes divisiones: c) 10

3  2i a) 1  i

11. Si: Z = a + bi, donde "a", "b"  IR; Hallar los valores de "a" y "b" que verifican la igualdad:

2. Encuentra el recíproco de:

3Z 3Z 4   1 i i 3 i 2 Señalar: (a + b)

13 a) 4 15 d) 3  

12. Si: 

a) 5 - 2i

b) 3 + 2i 2

2

3. Si: Z = (9m - 4n + 5) + (3m - 2n)i Donde: m  n  IR, siendo Z un complejo real puro.

16 b) 25

Obtener "Z"

c) 28

5

6

5

6

4. Si: Z = (m + n + 2006) + (m + n + 219)i

e) 2 1  1  1   1  1   1   1  ... 1    a  bi i  i  1  i  2  i  99 

Donde: m  n IR, siendo Z un complejo imaginario puro. Obtener "Z"

Calcular: a - b; siendo: a) 101 d) 201

1 = i

b) 102 e) 219

2

Z i

3

5. Si el complejo: Z = (m - 9) + (n - 125)i es nulo c) 103

Determine "mn" 6. Halle: (a - b) si el complejo siguiente:

13. Simplificar:

a) 0 d) 2

5 i b) 2  i

Z = (3a - 4b) + (a + b - 21)i es nulo.

1 i 1 i 1 1 i 1 1 i b) 1 e) -i

7. Efectúa los siguientes binomios: a) (2 - i)

c) i

MATEMATICA

2

b) (2 + 3i)

2


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” n 2  d) m 3

8. Relaciona las siguientes expresiones: a) (1 - i)

4

b) (i + 1) c) (1 - i)

III) 16

7

IV) 16(1 + i)

8

f) (1 + i)

16. Calcular "x", para que el complejo: 2  xi Z = 1  2i ; sea imaginario puro.

II) -4(1 + i)

6

d) (i + 1) e) (1 - i)

I) 8(1 - i)

5

17. ¿Qué valor debe tener "a" para que E sea un número real puro? 5a  2i E 3  2i

V) -4

9

VI) 8 i

9. Resuelve las siguientes ecuaciones: +

i)x

a)

(2

b)

4 ix - (2 + i)x = -3 + 2i

-

i=

2 2 18. Calcular "a +b ", sabiendo que:

3i

2 Z = a + b + 4i 1 2 Z = 3 + a bi 2

10. Efectúa las siguientes operaciones: i  1 1  2i  1 i i  2

a)

n 3 e) m = 4

Son complejos conjugados; {a;b}  IR

b)

i 4 i 6  1  4i 1  6i

19.

Halle un complejo que multiplicado

148 7 por: 1 - i da el número  5i

11. Simplificar: 2 10 25 29    1  i 3  i 4  3 i 5  2i M= 12. Si: Z = a + b i; donde: a, b IR; Hallar los valores de "a" y "b" que verifican la igualdad: 3Z Z 17i   2 i i 4i 13. Si: 1   1   i  

 1  

1   1  i 

 

 1 

FUNCIONES I

1  1    ..... 1    a  bi 2  i  219  i   2

RELACIÓN

Calcular: (a + b)(219 + 1) a) 1

b) 2

d) -2

e) 3

1 1  14. Si: Z = a  bi b  ai 1 i Se sabe que: Z = 2 2

Calcular: (a -1) + (b - 1)

La palabra relación significa una conexión o

c) -1

correspondencia de un determinado ente con otro.

Ejemplo: *

de", "hijo de", designan relaciones entre miembros de

2

una familia. *

15. ¿Cuál es la relación existente entre "m" y "n" para que el producto: (m - ni) (3 + 4i); sea un número real puro?

a) 3m = 2n

b) m = n

Las expresiones "esposo de", "padre de", "hermano

Las expresiones "menor que", "mayor que" denotan relaciones entre números.

m 3  c) n 4

PAR ORDENADO

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Ejemplo: Llamaremos "par ordenado" de números reales a la expresión (a; b) donde "a" es llamada la primera componente y "b" es llamada la segunda componente.

*

Si: (3;b) = (a; 5)  a = 3  b = 5

*

Si: (2x - 1; 3y + 2) = (5; -4)

Ejemplo: Entonces:

Son pares ordenados: (1;3), (2;5), (219; 2006), etc.

2x - 1 = 5

 3y + 2 = - 4 2x = 5 + 1

IGUALDAD DE PARES ORDENADOS

3y = - 4 - 2 2x = 6

Los pares ordenados (a; b) y (c, d) diremos que son

3y = - 6

iguales si sus correspondientes componentes son iguales.

x=3 y=-2

TEOREMA EJERCICIOS BÁSICOS (a;b) = (c;d)  a = c

^

b=d I. Escribe V o F entre los paréntesis según cada proposición sea verdadera o falsa:

¡Cuidado!

a)

(-2; 5) = (5; -2) ....................... ( )

*

Los pares ordenados (3; 2) y (3;1) no son iguales, ya que sus segundas componentes son diferentes.

b)

(5; 9)  (9; 5)

.......................

( ) *

Los pares ordenados (5; 7) y (7; 5) no son iguales pues sus primeras componentes 5 y 7 respectivamente no

c) (42; 24) (24; 42).......................

son iguales, tampoco son iguales sus segundas

(

)

componentes. II. Halla "x" e "y", según sea el caso, para que se cumpla la En conclusión:

igualdad de pares ordenados.

Diremos que dos pares ordenados son diferentes, si

a)

(x;3) = (7;3)

x=

____________

una de sus componentes correspondientes son diferentes.

MATEMATICA



(2; 4) = (x; y - 1) x = ____________,

DEFINICIÓN

y = ____________

Dados dos conjuntos A y B se llama producto cartesiano de A por B al conjunto cuyos elementos son

c)

los pares ordenados cuyo primer elemento es de A y el

(4x; 12) = (8; y/2) x =

segundo es de B y se designa A x B.

____________,y = ____________

A x B = {(a; b) / a  A y b  B} PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS Ejemplo:

Una señora tiene dos plantas: un rosal y un ficus, y tres macetas: una azul, una marrón y una verde. ¿De cuántas formas diferentes puedes colocar las plantas

Sean:

en las macetas?

A = {1; 3; 5}

B = {m; n} Hay tantas posibilidades o formas de colocar las plantas como flechas.

Entonces:

Al conjunto de plantas pondremos P = {r; f} y para el conjunto de macetas pondremos M = {a, m, v}. A x B = {(a; b) / a  A y b  B} Si colocamos el rosal en la maceta marrón lo indicamos

A x B = {(a; b) / a {1; 3; 5} y b  {m;

con el par ordenado (r; m) y si el ficus se coloca en la

n}

maceta azul lo indicamos con (f; a)



A x B = {(1; m), (1; n), (3; m), (3; n),

(5; m), (5; n)} Así, las formas de colocar las plantas se pueden expresar con los siguientes pares ordenados: (r; a), (r; m), (r;v), (f;a), (f;m), (f;v) Recuerda:

Si los conjuntos A y

El conjunto formado por estos pares ordenados se

B son finitos y tienen "m" y "n" elementos, entonces

llama producto cartesiano de P por M y se escribe P x M.

el producto cartesiano A x B tiene "m" . "n" elementos. P x M = {(r; a),

(r; m), (r; v), (f; a), (f; m), (f; v)} Entonces:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” EJERCICIOS BÁSICOS

Considera los siguientes conjuntos:

* A = {Juan; Manuel}

Si: A = {1; 3; 5} y B = {2; 4}

Hallar: a) A x B = ___________________________

B = {Bueno; Brillante; Bello}

b) B x A = ___________________________ c)

A x B = {(Juan; Bueno), (Juan; Brillante), (Juan; Bello),

AxA=

___________________________

(Manuel; Bueno), (Manuel; Brillante), (Manuel; Bello)}

*

B x A = {(Bueno; Juan), (Bueno; Manuel), (Brillante;

Si: A = {x/x  Z ; -4 < x < 0}

Juan), (Brillante; Manuel), (Bello; Juan), (Bello;

B = {y / y  N; y  2}

Manuel)}

C = {z / z Z ; -3 < z < - 1}

En general: Hallar: a) A x B = ___________________________

A x B no da lugar al mismo conjunto de pares ordenados que B x A.

b) A x C = ___________________________

AxBBxA

c) B x C = ___________________________

A menos que: B = A Ejemplo:

REPRESENTACIÓN CARTESIANO

Encuentra el producto cartesiano M x M

GRÁFICA

DEL

PRODUCTO

Existen varias formas de realizar dicha representación, que depende del número de elementos que posee cada conjunto con los que se desea efectuar

Donde: M = {2; 3; 4; 5}

el producto cartesiano.

El producto cartesiano M x M es el siguiente:

Consideremos el producto cartesiano A x B de los conjuntos:

M x M = {(2;2), (2;3), (2;4), (2;5), (3;2) (3;3), (3; 4), (3; 5) (4;2), (4; 3), (4; 4), (4;5), (5;2), (5;3), (5;4),

A = {1; 2; 3} y

(5;5)}

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” B = {a; b} con "a" y "b" positivos REPRESENTACIÓN (FLECHAS)

Este producto esta formado por 3 x 2 = 6 pares ordenados.

EN

EL

DIAGRAMA

SAGITAL

A

B 1

a

2

REPRESENTACIÓN SOBRE EJES CARTESIANOS

b

3

B

b

a

(1 ;b )

(2 ;b )

(3 ;b )

(1 ;a )

(2 ;a )

(3 ;a )

Cada par ordenado viene representado por una flecha.

REPRESENTACIÓN EN EL DIAGRAMA EN ÁRBOL 1

2

A

3

a 1 *

Sobre el eje de abscisas, a la derecha del origen

2

representamos los elementos del primer conjunto. *

b a

Sobre el eje de ordenadas, a partir del origen hacia

b a

3

arriba, representamos los elementos del segundo

b

conjunto.

Cada par ordenado viene representado por un trazo. Los elementos del producto son las intersecciones de las rectas perpendiculares a los ejes, trazadas a partir de los elementos de A y B

REPRESENTACIÓN MATRICIAL

respectivamente.

REPRESENTACIÓN EN LA TABLA CARTESIANA

A

1

2

3

a

x

x

x

b

x

x

x

B

a

b

1

(1; a)

(1; b)

2

(2; a)

(2; b)

3

(3; a)

(3; b)

Observe que en cada par ordenado, la primera componente es un elemento de la izquierda (conjunto A) y la segunda componente tomado de la parte superior (conjunto B).

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Ejercicios básicos

*

Si:

A x B.

A = {2; 4; 6}

R es una relación de A en B  R  A x B

B = {3; 5}

Una relación de A en B es también

Grafica en los ejes cartesianos:

llamada una relación binaria.

a)

AxB

Ejemplo:

b)

BxA Sean:

*

Si:

A = {x/xZ ; -5 < x < -2}

A = {1; 2; 3} B = {4; 5}

B = {y/y N; y3} C = {z/z Z ; -3 < z < 3}

Los siguientes conjuntos de pares ordenados son algunas relaciones de A en B.

Representa en el diagrama sagital: R1 = {(1; 4)} a) A x B

R2 = {(3; 5)}

b) B x C

R3 = {(2; 1), (2; 5), (3; 5)}

c) C x A

R4 = {(1; 4), (1; 5), (2; 4), (2; 5)} R5 = A x B

Representa en el diagrama del árbol:

R6 = {(2; 4), (3; 4), (4; 4)} No lo es pues el par ordenado (4; 4)  A x B ya que 4  A

a) A x C b) B x A

¡IMPORTANTE!

c) C x B Si A x B tiene "n" elementos entonces A x B RELACIONES

tiene 2n subconjuntos; por lo tanto existen 2n relaciones de A en B

Sean A y B dos conjuntos no vacíos, decimos que R es una relación de A en B, si R es un subconjunto cualquiera de

Cuando un elemento (a; b) pertenece a una relación R se

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” A = {Ciudades}

denota a R b. Es decir, a R b  (a; b)  R y se lee "a

B = {países}

está relacionado con b según la relación R".

Ejemplo:

Sea:

R = {(1; 2), (3; 4), (5; 6)}

B a r c e lo n a

España

P a r ís

I t a l ia

Rom a

Cuba

T u r ín

1R2, 3R4, 5R6

F r a n c ia

L o n d re s

Si (a; b)  R también se denota a

R/

b y se dice

que "a no está relacionado con b, según la relación R". R = {(b; e), (p; f), (r; i), (t; i)} Ejemplo: Nótese que esta relación la cumplen cuatro pares del conjunto A x B y se dice:

Se tiene dos conjuntos:

b R e que se lee: "b relacionado

El conjunto A formado por las con e"

ciudades Barcelona, Paris, Roma, Turín y Londres.

p R f que se lee: "p relacionado

El conjunto B formado por los países con f"

España, Italia, Cuba, Francia. El conjunto de ciudades:

r R i que se lee:"r relacionado

A = {b, con i"

p, r, t, l}

t R i que se lee:"t relacionado

El conjunto de países: B = {e, i, c, f}

con i"

Entre los elementos de los conjuntos AyB

En conclusión: Definimos la relación:................

Pertenece

a ......................

La relación definida entre los conjuntos A y B es un subconjunto del producto cartesiano A x B

OBSERVAMOS QUE: OBSERVACIONES: I. Sea R una relación de A en B se simboliza por:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” R A

R

B

R: A  B ó

A m

1

A R B ó

n

2

RA x B

p

D R B= { m , p , q } R R = {1 , 2, 3 , 4 }

3 4

q

5

II. Al conjunto A se le llama

*

conjunto de partida y a B el conjunto de llegada.

Sea los conjuntos:

A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {5, 8, 11, 14, 16} R = {(1;5), (2;8), (3;

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN

11), (4; 14)} DR = {1, 2, 3, 4}

Sea R una relación no vacía de A en B, es decir:

RR = {5, 8, 11, 14} R = {(x,y A x B / x R y} RELACIÓN EN "A" Es frecuente que una relación binaria se establezca

DOMINIO DE LA RELACIÓN

entre los elementos de un mismo conjunto.

El dominio de R es el subconjunto de A formado por todas las primeras componentes de los pares

R: A A, tal que:

ordenados que pertenecen a la relación

R = {(x;y)A x A / xA; y A} Ojo: A x A = A2

DR = {x A / y B; (x; y)  R}

Ejemplo:

RANGO DE LA RELACIÓN

El rango de R es el subconjunto de B formado por

Sea el conjunto A = {1, 2, 3} con el cual:

todas las segundas componentes de los pares

A2 = A x A = {(1;1), (1;2), (1;3), (2;1), (2;2), (2;3), (3;1),

ordenados que pertenecen a la relación.

(3;2), (3;3)}

RR = {y B / x A; (x; y) R}

Son relaciones definidas en A las siguientes:

Ejemplo:

R1 = {(1; 1), (2; 2), (3; 3)}

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” R2 = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1)}

R7 = {(1; 1), (2; 2)}

R15 = {(1; 1), (1;

2), (2; 1), (2; 2)}

R3 = {(1; 3), (2; 3), (3; 3)}

R8 = {(1; 2), (2; 1)}

R16 = 

Ejemplo: En total: 22.2 = 24 = 16 relaciones distintas en A. Sea el conjunto:

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA RELACIÓN EN "A"

A = {1; 2} donde n = 2; con lo cual:

Dado el conjunto A = {1; 2; 3; 4}, la relación ". . . es

A x A = {(1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 2)} resulta n 2 = 4

mayor que . . . " definida en "A" y denotada con la letra

elementos.

R, se puede escribir:

Las relaciones definidas en A son:

R1 = {(1; 1)}

R = {(2;1), (3;1), (3;2), (4; 1), (4; 2), (4; 3)}

R9 = {(1; 2), (2;

Observa el diagrama sagital de la relación R.

2)}

R2 = {(1; 2)}

R10 = {(2; 1),

A

(2; 2)}

R3 = {(2; 1)}

R11 = {(1; 1), (1;

2), (2; 1)}

R4 = {(2; 2)}

A 1

1

2

2

3

3

4

4

R12 = {(1; 1), (1;

2), (2; 2)}

R5 = {(1; 1), (1; 2)}

R13 = {(1; 1), (2;

En este caso el diagrama sagital se puede hacer

1), (2; 2)}

R6 = {(1; 1), (2; 1)}

representando una sola vez el conjunto A.

R14 = {(1; 2), (2;

1), (2; 2)}

MATEMATICA



2

A 1

{(2; 3), (4; 6)} {(1; 2), (3; 6)} {(2; 4); (0; 6)} {(2; 4), (-3; 9)} {(1; 2), (3; -9)}

b)

3

c)

4

d) e)

3. Encuentra los siguientes productos cartesianos:

a) ensalada} y

También se puede representar mediante un diagrama cartesiano.

A x B, donde:

A = {Chile, Pizza,

B = {queso, cebolla, pimienta}

A 4

b)

(4 ;3 )

3

B x C, donde:

B = {x, y, z} y C = {1; 2}

2 (2 ;1 )

1 0

1

2

(3 ;2 )

(4 ;2 )

(3 ;1 )

(4 ;1 )

3

4

c)

A

D x D, donde:

D = {5, 6, 7}

4. Se tiene los conjuntos: A = {j, m, q}


B = {1, 2, 3, 4, 5} C = {g, e, n, i, o} 1. Dada la siguiente igualdad de pares ordenados: (2x ; y + 6) = (x + 4; 3y) indicar "xy"

a)

6 b)

8 c)

d)

12 e)

16

10

a)

Inventa tres relaciones de A en B.

b)

Inventa tres relaciones de B en C.

5. Considera la relación E x E, donde: E = {-7, -3, 1, 2, 5}

Encuentra los siguientes conjuntos de pares ordenados determinado por cada una de las siguientes relaciones:

2. Determinar los pares ordenados (a;b) que verifican la igualdad: (a2; a + b) = (b ; 6)

a)

MATEMATICA

> (mayor que)


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” b) c)

 (menor o igual que) (distinto)

c)

6. Encuentra el dominio y el rango de cada una de las siguientes relaciones:

a)

{(5; 2), (6; 4), (8; 6)}

b)

{(6; 0), (7; 5), (8; 5)}

c)

{(8; 1), (8; 1), (5; 1)}

Encuentra R = {(x,y)  A2 / |x| < |y|}

10. Escribe tres relaciones distintas que tengan el mismo dominio y el mismo rango.

11. Dado: A = {1; 2; 3; 4; 5}

Hallar la suma de elementos del dominio de las siguientes relaciones.

7. Considera la relación A x A, donde A = {2, 3, 4, 5}. Encuentra los conjuntos indicados por cada una de las siguientes descripciones.

a)

M = {(x; y)  A2 / x  2, ^ y  3}

b)

A = {(x; y) A2 / 2  x  3, ^ y = 3}

c)

T = {(x; y)  A2 / x = 3 ^ y = 2}

a)

M = {(x;y)  A x A / x + y  4}

b)

A = {(x;y)  A x A / x + y  3}

c)

T = {(x;y)  A x A / x = y}

12. Dado: A = {-2; -1; 0; 1; 2} Halla la suma de elementos del rango de las siguientes relaciones:

8. Se tiene el conjunto A = {-1, 0, 1, 2} Hallar:

a)

El producto cartesiano A x A. b)

a)

M = {(x;y) A x A / x + y  0}

b)

A = {(x;y)  A x A / x + y > 0}

c)

T = {(x;y)  A x A / x  y}

El conjunto de pares

ordenados que determina la relación . c) R = {(x, y)  A x A / x2 = y2}

13. Si:

A = {2; 5; 7} y B = {3; 6; 8} Siendo R = {(x; y) A x B / x < y}

9. Si tenemos el conjunto A = {-1; 1; 3; 5}

a)

TAREA DOMICILIARIA

Encuentra el producto cartesiano A x

A. b)

Encuentra el conjunto de pares

ordenados

1. Dada la siguiente igualdad de pares ordenados: determinado por la relación .

(3x; 5 - 2y) = (x + 6; y - 4)

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Indicar "xy" 7. Considera la relación A x A, donde A = {1,3,5,7} 2. Calcular "a + b", sabiendo que:

Encuentra los conjuntos indicados por cada una de las siguientes descripciones.

(a - b; ab) = (4; 12)

3. Encuentra los siguientes productos cartesianos:

a)

B x C, donde:

a)

M = {(x; y)  A2 / x  1 ^ y 5}

b)

A = {(x; y) A2 / 2 < x < 4 ^ y = 7}

B = {j, m, q} y 8. Se tiene el conjunto: A = {-1; 3; 7}

C = {2, 1, 9}

Hallar: b)

D x D, donde:

a)

D = {2, 0, 6}

El producto cartesiano A x A. b)

El conjunto de pares

ordenados que determina la relación =. 4. Se tiene los conjuntos: A = {a, l, g, e, b, r, a}

R = {(x,y) A x A / x2 = y2}

c)

B = {m, e, j, o, r} C = {c, u, r, s, o}

a)

Inventa tres relaciones de A en B.

b)

Inventa tres relaciones de B en C.

9. Si tenemos el conjunto: A = {0; 2; 4}

a)

Encuentra el producto cartesiano A x

A. b)

5. Considera la relación D × D, donde:

Encuentra el conjunto

de pares ordenados determinado por la relación >. c) Encuentra R = {(x;y)A2 / |x| > y}

D = {-2, 1, 0, 3, 5} encuentra los siguientes conjuntos de pares ordenados determinado por cada una de las siguientes relaciones:

10. Si: A x B = {(1;-3), (1;-4), (1;-5), (7;-3), (7;-4), (7; -5), (9; -3), (9;-4), (9;-5)}

a)

< (menor que)

b)

(mayor o igual que)

Halla y expresa por extensión:

6. Encuentra el dominio y el rango de cada una de las

a)

siguientes relaciones:

a)

{(1; 3), (2;5), (3;7)}

b)

{(5; 5), (4;5), (3;5), (2;5)}

El conjunto A b) El conjunto B

11. Dado: A = {-3, -1, 0, 1, 3}

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Halle: n(R)

Halla la suma de elementos del dominio de las siguientes relaciones:

a)

M = {(x;y) A x A / x + y 2}

b)

A = {(x;y) A x A / x + y > 3}

c)

T = {(x;y) A x A / x = y}

FUNCIONES II

Concepto de función 12. Dado: A = {1, 2, 3, 4, 5}

En la práctica se presentan situaciones en las que se relacionan o se hacen corresponder cantidades de magnitudes. Por ejemplo, un móvil parte con movimiento rectilíneo uniforme de un punto A hacia un punto B que se encuentra a 180m de distancia de A. Recorre en:

Halla la suma de elementos del rango de las siguientes relaciones:

a)

M = {(x;y) A x A / x - y0}

b)

A = {(x;y) A x A / x + y > 2}

c)

T = {(x;y) A x A / x  y}

13. Sean:

1s 2s 3s 4s 5s 6s

30 m 60 m 90 m 120 m 150 m 180 m

Observa que la situación anterior representa una proporcionalidad directa entre dos magnitudes (tiempo y desplazamiento), donde el factor de proporcionalidad es k = 30 m/s; Luego para un tiempo dado "t" podemos asignar un desplazamiento 30 t en metros, lo que podemos expresar así: t 30 t En esta situación hemos considerado una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos A y B como se muestra a continuación:

A = {2; 3; 4; 5} y B = {3; 6; 7; 10}

Siendo:

     

R = {(x;y) A x B / "x" divide a "y" exactamente}

Halle: n(R)

A 14. Dado el conjunto: A = {x/x es una letra de la palabra MATOSKY} se define la relación: R = {(a;b) A x A/ "a" y "b" son consonantes} xalcule n(R).

B 1 s

30 m

2 s

60 m

3 s

90 m

4 s

120 m

5 s

150 m

6 s

180 m

Esta correspondencia existente entre una magnitud con otra se denomina función.

15. Si R es una relación en:

DEFINICIÓN: Sean A y B dos conjuntos no vacíos y sea f una relación de A en B esto es f A x B

A = {2, 3, 9} tal que: R = {(x,y) A x A / y + 1 x2}

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Entenderemos por función de A en B como aquella correspondencia que asocia a cada elemento "x" del conjunto A un único elemento "y" del conjunto B.

B

A

B

A

x

y

a)

B

A

Para denotar que f es una función de A en B, se escribe: f : A  B.

b)

Y se lee: "f es una función de A en B". Ejemplo:

B

A

Dados dos conjuntos: A  {1; 3; 5; 7; 9} y B  {2; 4; 6; 8} En A x B, se definen: J = {(1;2), (3;4), (5;6), (7;6)} M = {(1;6), (3;8), (5;2), (7;8), (3;6)} Q = {(1;2), (3;2), (5;2), (7;2), (9;2)}

c)

Donde:

B

A

J es una función, pues al tomar dos pares ordenados distintos cualesquiera, estos no tienen la misma primera componente.

d)

M no es una función, porque dos de sus pares ordenados (3; 8) y (3; 6) tienen la misma primera componente.

A

B

Q es una función, porque todas las primeras componentes de sus pares ordenados son distintas entre si. e) Consideremos los siguientes diagramas, que representan relaciones de A en B.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” B

A

d)

*

f)

R4 = {(1;m), (1;n), (1;p)}

Señala los diagramas que representan funciones. Justifica tu respuesta.

R1

Observamos que las relaciones de los ejemplos (a), (b),

B

A

(c), (d), (f) son funciones de A en B, en cambio (e) no es función de A en B, pues a un elemento x  A le corresponde dos elementos de B.

Ejercicio básico

*

R2 B

A

j

2

j

2

m

1

m

1

q

9

q

9

a)

b) R3

¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones?

R4 B

A

M = {(9;1), (-5;-2), (-2;-1),(3;9)}

B

A

j

2

j

2

m

1

m

1

q

9

q

9

A = {(6;a), (8;f), (6;b), (-2;p)} c)

d)

T = {(2;7), (y; -5), (r;7), (z; 7), (z; 0), (k; 0)} DEFINICIÓN 2 *

Si: A = {1; 3; 5} y B = {m,n,p} Sea F un subconjunto de A x B donde existen dos pares ordenados (x; y) y (x; z) que le pertenecen. Este conjunto ¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones de A

F será función sólamente si aquellos pares ordenados son

en B?

iguales, esto es:

a)

F es función  y = z

R1 = {(1;m), (3;p), (5;n)}

b)

R2 = {(1;m), (3;m), (5;m)}

c)

R3 = {(5;p), (3;n), (1;m), (5; m)}

Ejemplo:

O jo T o d a s la s p r im e r a s co m p o n e n te s d e c a d a p a r o rd e n a d o d e b e n s e r d if e r e n t e s .

Calcular "x" para que el siguiente conjunto de pares

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” ordenados sea una función.

Si una línea vertical intercepta una gráfica en más de un punto, entonces la gráfica no representa una función.

f = {(1;3), (-2;x), (3;4), (5;5), (-2;2006)} Ejemplo: Solución: ¿Cuáles de las siguientes gráficas representan funciones?

Como f esta expresado como un conjunto de pares ordenados aplicamos la definición 2, Tenemos: (-2;x)  f  (-2; 2006)f es una función si

y

x = 2006.

Con la cual nos queda: x

a) f = {(1;3), (-2; 2006), (3;4), (5;5), (-2;2006)}

b) y

 f = {(1;3), (-2; 2006), (3;4), (5;5)}

O jo R e c u e r d a : T o d a fu n c ió n e s u n a r e la c i ó n , p e r o n o t o d a r e l a c ió n e s x u n a f u n c ió n .

EJERCICIO BÁSICO

*

Calcular "a" si J, M, Q son funciones:

J = {(1; a), (3; -2), (4;2), (1;3)}

a=

y

y

_______________

M = {(2;4), (4;2), (3;3), (2; a)}

a=

x

_______________ c) Q = {(1;1), (2;1), (2;a), (4; 1), (4;1)}

x

d)

a=

_______________

PRUEBA DE LA LÍNEA VERTICAL

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” y

y 2

y = F(x) que se lee "y igual a f de x" o "y es la imagen de x por f".

1 -1

x

x

y = f(x)  (x;y) f e)

f) Donde la ecuación y = f(x) se llama regla de correspondencia.

Los ejemplos a, e y f son gráficas de funciones, las

Ejemplo:

gráficas b, c y d no pasan la prueba de la línea vertical.

f(2) = 5 2 ; 5) f

NOTACIÓN DE UNA FUNCIÓN

f(-4) = 7 (-4 ; 7) f A menudo las funciones se denotan con letras, puesto

f(0) = 6 0 ; 6) f

que una función es una relación, una función f es un conjunto de pares ordenados.

Ejemplo: Una función se puede denotar de diferentes formas: Considera la función: f:

A

O jo

B / y = f(x)

F = {(-3; 0), (9; 1), (0; -2), (6; 6), R e(0;-2)} g la d e c o r r e s p o n d e n c ia : A lg u n a s fu n c io n e s s e p u e d e n d e fi n i r p o r m e d i o d e f ó r m u la s o e c u a c i o n e s . L o s v a lo r e s d e l a f u n c ió n s e p u e d e n o b t e n e r Encuentra: f(-3), f(9) y f(0) e f e c t u a n d o s u s t it u c io n e s d e v a r ia b l e s .

AB/y= f(x)

Donde:

A : Conjunto de partida B : Conjunto de llegada.

Solución:

x : Pre imagen de "y" o variable

Como tenemos el par ordenado:

(-3; 0)  f(-3) = 0

independiente y : imagen de "x" o variable

Análogamente:

dependiente

(9; 1)  f(9) = 1 (0; -2)  f(0) =

-2 Además:

MATEMATICA



Ejemplo: Sea:

f = {(1; 8), (3; 2), (5; 4), (9; 6)} Dom f = {1; 3; 5; 9}

f(x) = 2x2 - 3

Rf = {8; 2; 4; 6}

f Encuentra los siguientes valores:

f(x)

=

2x2 - 3

 (x, f(x)) f(0)

B

A

=

2(0)2 - 3 = -3

=

2(-3)2 - 3 = 15

=

2(-5)2 - 3 = 47

1

2

3

4

5

6

9

8

 (0; -3) f(-3)  (-3; 15) f(-5)  (-5; 47)

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

TAREA DOMICILIARIA Se llama dominio de una función f al conjunto de todas sus primeras componentes y se denota por: 1. ¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones? Dom f = {x  A / [ y  B / (x;y) f] } A

ó A = {(1;2), (2;3), (3;4), (4;1)}

Dom f = {x  A / [ y  B / y = f(x)] } A

L = {(3; -5), (0;0), (-5; 3), (-3; -5)} G = {(-4; -4), (-1; -6), (-4; 4), (-6; -1)}

RANGO DE UNA FUNCIÓN

E = {(2; -9), (4; 2), (0; 5), (4; -9)}

Se llama rango o recorrido de la función f al conjunto de las imágenes de todos los elementos de A, vía f; y se le

2. ¿Cuáles de las relaciones son funciones?

denota Ran (f) ó RF es decir:

B = {(6; -6), (-2; 2), (0; 0), (2;-2), (-6; 6)}

Rf = {y B / [ x A / y = f(x)]} B ó

R = {(0, a), (1; a), (-1; a), (1; -1), (-1; -1)} Rf = {f(x) B / x  Dom f A } B

I = {(1; 1), (1; 1), (1; 1), (1; 1), (1; 1)}

MATEMATICA



C = {(2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (2; 7)} O = {(5; -2), (-2; 5), (-2; -2)}

x

c)

3. Calcular "a", si el siguiente conjunto representa una

y

función: f = {(1; 2a), (2; 7), (5; 1), (1; 3a - 5), (7; 9)}

x

d) a)

2 b)

3 c)

d)

8 e)

13

y

5

x

e)

4. Si: f = {(2;6), (1;a-b), (1;4), (2; a+b), (3;4}

y

es función, Calcular "ab". x

a)

1

b)

d)

4 e)

2 c)

f)

3

5

6. Encuentra el dominio y el rango de las siguientes funciones.

5. ¿Cuáles de las siguientes gráficas representan funciones? y g

f B

A

x

1

a)

A

1 3

y

2

a) x

5

b)

B 1

2

2

-3

3

0

4

4

7. Sea la función f definida por: f = {(1; 2), (2; 3), (3; 5) (5; 8), (8; 13), (13; 1)} relaciona ambas columnas:

b)

I. f(13) II. f(f(1)) III. f (f (f (3) ) ) IV. f (f (2)) V. f (f (f (8))) VI. f(5)

a) 8 b) 5 c) 2 d) 13 e) 1 f) 3

8. Señale la suma de los elementos del rango de la función:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” f(x) = 2x - 1 siendo: Dom f = {1; 2; 3; 4}


a)

10 b)

13 c)

d)

16 e)

18

15 1. Si "f" es una función cuyo rango es un conjunto unitario, determinar el dominio de f. f = {(a+b; b), (ab; a-b), (a; 1), (3b; a-1)}

9. Sea: A = {1; 3; 5; 7} B = {2; 4; 6; 9; 10; 12} siendo: f ={(x;y) A x B / y = f(x) = x + 3}

a)

indicar la suma de los elementos del rango.

c)

Dom Dom Dom Dom Dom

e) a)

0 b)

4 c)

d)

10 e)

20

f f f f f

= {2; 3} = {1; 10} = {5; 3} = {0} = {1}

b) d)

6 2. De los gráficos siguientes: y 5

10. Si "f" representa a una función dada por:

f

g

2

2 5

4 6

b) 3/2

c)

f = {(2; 3), (3; a-b), (2;a+b), (3; 1)} diga cuál de los conjuntos son también funciones:

3

1

J = {(a; b), (b - a;5), (5; b - a), (a + b; 5)}

Calcular el valor de:

x

f (1)  g(f (1)) f (3)  g(f (3))

M = {(3; b), (b; 3), (3; 8), (9; 2a-b)} Q = {(3; 5), (9; 7), (b; a), (5a; 3b)}

a)

1/4 1/2

d)

11. Sabiendo que:

3/8

e) 9/8

F = {(7; n2), (8; 3), (7; 25), (n; 9), (5; n)} 3. Dado: f = {(0;1), (1;2), (2;3)}

Describe una función indique la suma de los elementos del rango. a)

20 b)

25 c)

d)

45 e)

57

Calcular: f(0)f(1) + f(1)f(2) + f(2)f(0)

32 a)

11 b)

8 c)

d)

12 e)

16

10

12. En la función: f = {(1; a2), (a; b), (2; a +2), (2; 3), (-1; 2)}

4. Si:

Calcule "a + b"

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA”   1; x  0  0; x  0

f = {(1;3), (2;4), (a;b)} y

f ( x)   

g = {(3;3), (2;4), (c;d)}

1; x  0 

si se cumple que para algún x  A

Obtener: M = f (f(1)) + f(f(-1))

f(x) = x; Rf  B y g(1) = 3 a)

-2 b)

-1 c)

d)

1

2

e)

Calcular el valor de: (b - a) + (c - d)

0

a)

2 b)

1

d)

-1 e)

-2

c)

0

5. Se representa la gráfica de la función "g". y

g

41

8. Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4}

5

B = {2, 3, 4, 5, 6}

3 ,5 1

x

6

y las siguientes relaciones definidas de A en B.

R1 = {(x;y)  A x B / x > y} ¿Qué relación es correcta?

a)

R2 = {(1, 2), (2, 3), (3,4), (4,5), (5,6)} R3 = {(x;y)  A x B / y - 1 = x}

g(1) + 2,5 = g(0) b)

R4 = {(4, 5), (3, 4), (2, 6), (1, 3)}

g(6) - 46 = g(0) c)

g(0) + 4g (1) = g(6) d) 8g(0) = g(6) -1

e)

g(6) + g(1) = 10g(1)

a)

Indicar cuáles de las

relaciones son funciones. b)

6. Si se tiene la función:

Halla el dominio y rango

de las funciones anteriores.

f = {(a;b), (3;0), (1;3), (2b;4)} y que f(x) = x - 2a;

c)

Elabora

un

diagrama

sagital y un diagrama cartesiano para aquellas

Halla la intersección del dominio y el rango de dicha

funciones.

función.

9. Sea el conjunto: A = {1; 2; 3; 4} a)

2 b)

3 c)

d)

12 e)

24

6

se define en A las funciones: f = {(1;1), (2;3), (4;2), (3;3), (4; m)} y g(x) = mx2 + bx + c

7. Para: A = {1, 2, 3} y

si: f(1) = g(1) y g(2) = 4

B = {3, 4, 5} Sean "f" y "g" dos funciones de A en B, tales que:

Determine la suma de los elementos del rango de g.

MATEMATICA



26 b)

32 c)

d)

42 e)

56

f(x) = x2 - 5x + 2 Solución:

38

El dominio de f es R, ya que "x" puede ser cualquier número real. *

FUNCIONES III

¿Cuál es el dominio de "g"? x 4 g(x) = x  3

Para encontrar el dominio de g, debemos determinar si hay reemplazos inaceptables. Veamos que pasa cuando x = -3 3  4 7   g(-3) = 3  3 0

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL DEFINICIÓN Cuando los conjuntos de partida y de llegada A y B de una función f son conjuntos de números reales, esta función es llamada función real de variable real.

Como no podemos dividir por 0, el reemplazo -3 no es aceptable. Cuando un reemplazo no es aceptable, el número no pertenece al dominio de la función. Así el dominio de g es: Domg = IR - {-3}

F : IR  IR *

Cualquier función queda totalmente definida mediante su regla de correspondencia y su dominio.

¿Cuál es el dominio de "h"? h(x) =

y = f(x)  x  Domf

x3

Solución:

Cuando en una función sólo se indica la regla de correspondencia, se debe asumir que aquella función es de la forma F: R  R y que su dominio es aquel conjunto de números reales para los cuales está definida la regla de correspondencia.

Para encontrar el dominio de "h" debemos recordar que en R,

a existe si y solo si a  0.

 x  3  existe en R si y solo si x - 3  0 entonces x  3, así el dominio de h: Dom(h) = [3; +>.

Ejemplo: Determinar si f(x) = -3x + 2 es una función.

Ejercicios

Solución: Tenemos que para cada valor real que se le asigne a "x", resulta un único valor real para f(x), por lo tanto es una función. Como la "x" puede tomar cualquier valor real, decimos que el dominio de la función es todo el conjunto de los números reales.

*

Cálculo del dominio de funciones

*

1 Dada la función: f(x) = x

¿Cuál de los valores no pertenece al dominio? a)

El dominio de una función f, se determina encontrando el conjunto de todos los valores posibles que puede tomar la variable "x", salvo en el caso que dicho dominio sea especificado.

-219

Dada la función: f(x) =

b) 0 c)

2006

x

¿Cuál de los valores no pertenece al dominio? a)

Ejemplos: * ¿Cuál es el dominio de f?

*

b) 0 c)

219

Relaciona con flechas ambas columnas. I. f(x) = 7x + 4

MATEMATICA

-2006

a) Domf = R - {0}


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 1 II. f(x) = x

b) Domf = R+0

III.

c) Domf = R

f(x) =

b) f(x) = |x - 3| +1

;

Dom f : ________

c) f(x) = |x + 5| +2

;

Dom f : ________

6. Calcular el rango de las siguientes funciones:


a) f(x) = 4x + 5

Rf: _________

b) f(x) = -219x - 2006

Rf: _________

c) f(x) = 6(x - 3) - 8(x+5)

Rf: _________

1. Calcular el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) = x + 5

Dom f : ________

b) f(x) = 2x - 3

Dom f : ________

c) f(x) = 6x+5 - (2x - 3)

Dom f : ________

7. ¿Cuál es el rango de cada una de las siguientes funciones?

1 a) f(x) = x  1 1 b) f(x) = x  2

2. Calcular el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x) = x2 + 1

Dom f : ________

b) f(x) = 4x2 + 3x

Dom f : ________

c) f(x) = x2 + 5x - 3

Dom f : ________

5 x 3 c) f(x) =

4x  5 5 a) f(x) = x  4  x 4 b) f(x) = x  2 3  2x c) f(x) = x  4

funciones?

Dom f : ________ Dom f : ________

funciones?

;

Dom f : ________

b) f(x) =

3x  4  2 ;

Dom f : ________

c) f(x) =

 5x  2  4 ;

Dom f : ________

;

;

Rf: _________

;

Rf: _________

;

Rf: _________

;

Rf: _________

a) f(x) =

x2

;

Rf: _________

b) f(x) =

2x  3

;

Rf: _________

c) f(x) =

5  4x

;

Rf: _________

10. ¿Cuál es el rango de cada una de las siguientes funciones?

5. Calcular el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x) = |x + 3|

Rf: _________

funciones?

4. ¿Cuál es el dominio de cada una de las siguientes

x4

;

9. ¿Cuál es el rango de cada una de las siguientes

Dom f : ________

a) f(x) =

Rf: _________

8. Calcular el rango de las funciones:


1 a) f(x) = x  3 3x  2 b) f(x) = 4x  3 4x  5 219 x  2409 c) f(x) =

;

a) f(x) = |x + 1|

;

Rf: _________

b) f(x) = |x - 2|

;

Rf: _________

c) f(x) = |2x + 5|

;

Rf: _________

Dom f : ________ 11. Piensa en una función como si fuera una máquina. A

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” ésta se la alimenta con ciertas entradas, dando como

a)

resultado en cada caso cierta salida. Las entradas que son aceptables para la máquina son los elementos del

6.

dominio de la función. Las salidas de la máquina son los elementos de alcance de la función:

Calcular el rango de las siguientes funciones: a)

f(x) = 2x + 7 f(x) = 4x - 9

b)

7. ¿Cuál es el rango de cada una de las siguientes

Encuentra las salidas indicadas:

I.

f(x) = |x + 2| b) f(x) = |x - 5| + 1

funciones?

e n tra d a x 1 f( x ) = x

a) c)

f(2)

1 s a lid a x

b) f(-2)

f(3) d)

a)

f(0)

8.

b)

Calcular el rango de las funciones:

a)

TAREA DOMICILIARIA

1 x f(x) =  2 1 x f(x) =  4

x2 x f(x) =  4 3x  1 4 f(x) = x  3

b)

9. ¿Cuál es el rango de cada una de las siguientes funciones? 1.

Calcular el dominio de las siguientes funciones: a)

2.

f(x) = x + 7 f(x) = 3x - 2

b)

a)

f(x) = x2 + 2 f(x) = -x2 + 4

f(x) = 10. ¿Cuál es el rango de cada una de las siguientes funciones?

b) a)

3. ¿Cuál es el dominio de cada una de las siguientes funciones?

11.

1 f(x) = x  2 1 f(x) = x  7

a)

=

b) f(x) = x  9 12.

Encuentra el dominio de las siguientes funciones:

b)

f(x) =

x2  9

f(x) =

x2  8x

b)


f(x)= 3x  4 -5 5.

f(x)

1 x(x  1)(x  2)

4x

a) f(x) =

b)

2

funciones?

a)

f(x) = |x + 2| f(x) = |x - 3|

Encontrar el dominio de las siguientes funciones:

a)

b)


x5

b)

4x  5


x3

f(x) =

funciones?

Calcular el dominio de las siguientes funciones:

MATEMATICA



14.

a)

f(x)

b)

f(x) =

7 x  x 7

Calcular el dominio de las siguientes funciones:

a)

f(x)

b) 15.

x2 x

=

x

= x5

f(x) =

1 x3

1 x7

Encuentra el dominio de las siguientes funciones:

a)

f(x)

x3

= 1

b)

x2

f(x) =

1 x

 3 x

16. Obtener el número de elementos enteros del dominio de las siguientes funciones:

a)

f(x) =

x  3  3 x x( x  2)

x 7  7 x b) 17.

x2  5x

f(x) =

Encuentre el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) = x2  1  2x  x2

b)

f(x) 2

=

2

x  16  x  4x  5 18.

19.


f(x) = | x | 5

b)

f(x)

=

GEOMETRÍA

| x  2 | 4

Encuentre el rango de las siguientes funciones: f(x) = (x + 1)2 + 2

a)

b)

f(x) =

(x - 2)2 + 3

LÍNEA RECTA, RAYO, SEGMENTOS.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Operaciones con segmentos LÍNEA RECTA

A

Es un conjunto ilimitado de puntos que están en una misma dirección.

B

C

E

AE = AB + BC + CD + DE

Q

P

D

AB = AE - BE

L ín e a r e c t a P Q : P Q RAYO

EJEMPLO Nº 01 1. En el gráfico, calcular “x”.

Es cualquiera de las dos partes de una línea recta que se determina al tener un punto fijo sobre ella. A

O

R ayo O A : O A R ayo O B: O B

B

30

10

O : o r ig e n

A

SEMIRECTA

B

D

C

x

28

Es un rayo sin origen. B

O S e m ire c ta O B : O B

PRACTICANDO EN CLASE

SEGMENTO DE RECTA Es una porción de una línea recta que tiene dos extremos fijos. A

1.

B

Se tienen los puntos consecutivos

“A”, “B”, “C” y “D”. Si: AC = 21 BD = 28y AD = 30, 10

calcular “BC”.

S e g m e n to d e re c ta A B : A B L o n g it u d d e l s e g m e n t o A B : N ú m e r o r e a l p o s i t iv o : A B = 1 0 

2.


“A”, “B”, “C” y “D”. Si: AC = 19 BD = 24y AD =

Segmentos congruentes

27calcular “BC”.

Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud. 3.

8 A

Se tienen los puntos consecutivos “P”,

“Q”, “R”, “S” y “T”. Si: PQ = QR, RS = ST, PR = 12y RT =

B

20calcular “QS”.

8 C

D

4. Calcular “PM”, siendo “M” punto medio de QR .

Punto medio de un segmento 4 A

18

4 O

P

B

Q

R

22

S

30

O : P u n t o m e d io d e A B

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” P

A

5. Calcular “x”, si: AM = MD; AC = 5m y AD = 16m.

B

N

x A

C

M

D 2. Calcular “AP”, si: PB = 3 y AB = 10

6.


“A”, “B”, “C” y “D”. Si: AD = 20 AB = 8y CD = BC,

7.

P

A

calcular “AC”.


3. Si: PR = a y RT = b, calcular “PT” en términos de “a” y

“A”, “B”, “C” y “D”. Si: AB = BC, AC = CD y AD = 48

“b”.

calcular “BC”.

R

P 8.

B

T

Del gráfico mostrado, calcular “MN”,

´ AC

siendo “M” y “N” puntos medios de

´ BD

y

4.

consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Determinar el número

respectivamente.

total de segmentos que se forman.

18

12 A 9.

C

D

´ QT

y

Q

respectivamente.

R

S

y

´ CD

B

A

7.

C 3x+ 1

3x

T

D 4x+ 3

Sobre una recta se toman los puntos

consecutivos “A”, “B” y “C”, de modo que: BC = 2AB.

consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, donde “P” y “Q” son AB

2x

6. Si: AD = 44, calcular “x”.

En una recta se dan los puntos

puntos medios de

C

12

22

P

B

A

Calcular "RS", siendo "R" y "S" puntos

16

10.

5. Según el gráfico: AC = 26 Calcular “x”.

8

B

´ PT

medios de

Sobre una recta se ubican los puntos

Calcular “AB”, si

respectivamente. Si: AC =

AC = 36

26 y BD = 14, calcular “PQ”. 8. Si: AC = 12 cm; BD = 14 cm y BC = 7 cm, calcular “AD”.

TAREA DOMICILIARIA

A

B

C

D

1. Calcular “AN”, si: AP = 2 PB = 3 y BN = 7 9. Si: AB = 6 cm; BC = 8 cm y CD = 10 cm, calcular “MN”.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” x

5 m

M

A

B

b

C

N a

b

10.

D

P

Q

a

R 12 m

Q R = PR - PQ x = 12m - 5m x = 7m


PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Calcular “BC”, si: AD =

Ejemplo: Hallar "x", si "M" es punto medio de AC

10, AC = 8y BD = 6

2x + 10

11. De la figura: AD = 48 Calcular “BC”.

B

A x

C 2x

A

M AM = 2x + 10 = 30 = 10 =

D 3x EJEMPLO 01.

12.

5x - 20


C M C 5x - 20 3x x


consecutivos

consecutivos

“S”, “O”, “L” y “A”. Calcular “SA”, si: SL = 30 y

“A”, “B”, “C” y “D”. Calcular “AD”, si: AC = 10 y

SA + LA = 70.

AD + CD = 30


OPERACIONES CON SEGMENTOS 1. Si: AC =30 m; BD=50 m y AD=70 m, hallar "BC".

A

SUMA DE SEGMENTOS Ejemplo: Calcular: "x"

x 2 m

3 m A

B

B

C

D

5 m C

2.

D

Sobre una recta se dan los puntos

consecutivos “P”, “Q”, “R”, “S”, tal que “Q” es punto medio

AD = AB + BC + CD x = 3m + 2m + 5m x = 10 m

de PR. Si: PR=30 m y RS=10 m, hallar “QS”.

RESTA DE SEGMENTOS

3.

Ejemplo: Hallar "x"

En la figura, hallar "TS + RP", si: SR =

10 m y TP = 37 m.

T

MATEMATICA

S

R

P


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 13. 4.

Si "O" es punto medio de MA y "P" es

Sobre una recta, se ubican los puntos

consecutivos "A", "B", "C" y "D". Se cumple: AB = 3m, AC =

punto medio de BA; hallar "OP", tal que: MA=18 m y

5m y 4AB - BD - 2CD = 4m. Calcular "AD".

AB=20 m.

M

O

A

P

14. En una recta se dan los puntos consecutivos “M”, “A”, “O” y “B”, siendo “O” punto medio 2 de AB. Calcular “MO”, sabiendo que: (MA)(MB) = 32m y AB = 4m.

B

15. 5. Si: PU = 120 m, hallar "ER".

3k P


consecutivos “P”, “Q”, “R” y “S”. Calcular “PR”, sabiendo

5k

2 2 que: QR = RS y (PS) - (PQ) = 12QS.

2k

E

R

U

16.


consecutivos “S”, “O”, “L” y “A”. Calcular “SA”, si: SL = 30y 6.


SA + LA = 70

consecutivos “P”, “Q”, “R” y “S”, tal que: PR = 10 m, QS = 12 m y QR = 4 m. Calcular “MN”, siendo “M” y “N” puntos

17.

medios de PQ y RS.


consecutivos “M”, “A” y “B”, siendo “O” punto medio de AB Calcular “MO”, sabiendo que: MA = 18 y AB = 20

7.

Si: AD - AB = 20 m y "C" es punto

medio de BD, hallar "CD".

18.


consecutivos “A“, “B”, “C” y ”D”. Sabiendo que: AC = 20 y BD = 60calcular la longitud del segmento que une los

A

C

B

10.

puntos medios de AB Y CD

D

19. “A”, “B”, “C”, “D” y “E” son puntos consecutivos

Se tienen cuatro puntos consecutivos

tomados sobre una línea recta, tal que “C” es punto medio

en una línea recta: “A”, “M”, “B” y “C”, de modo que “M” es

de AE, AC = BD y AD + BE = 30. Calcular “BD”

punto medio de AB. Si: AC + BC = 30m, hallar “MC”.



consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”; tal que: AC = 19 y BD = 23. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD. 1.

En la figura, calcular “BC”, si: AD =

10 AC = 8y 12.

BD = 7.

En una recta se ubican los puntos

consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, tal que “B” es punto medio

A

de y AC = 5CD. Calcular:

MATEMATICA

B

C

D


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 9. 2.

Si “B” y “C” son puntos medios de AC

Y AD, calcular “AD”.


consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Calcular “BC”, si: AD = 12 AC = 9 y BD = 8

B

A

C

D

9 cm 3.


consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, de tal manera que: AD =

10. Si: AB = 26 cm y CD = 6 cm, calcular “MN”.

20AC = 18y BD = 15. Calcular “BC”.

4. Si: AC = 12, BD = 15 y AD = 20, calcular “BC”.

A a

A

C

B

C

M

D

N

a

B

b

b

D 11. Si “M” y “N” son puntos medios de AC y CB, calcular “AB”.

5.

Si: PQ = QR, RS = ST, PR = 12 y RT

= 18, calcular “QS”.

a

a

A

P

R

Q

S

b

b

C

N

B

M

8 cm

T

12. En la figura, calcular “MN”, si “M” es punto medio de PQ, “N” es punto medio de QR y PR = 20

6. Si: MN = 5u, NQ = 12 y NP = PQ, calcular “MP”.

M

7.

P

N

P

Q

Q

M

N

R

2 13. En la figura, calcular (MO) , si: MA = 2 y AB =


8Además “O” es punto medio de AB

consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, tal que: AC = 24, BD = 30 y BC = 15 Calcular “AD”.

8.

“A” y “P” son puntos medios de MN Y

A

M

NQ respectivamente, MN = 10y MQ = 30. Calcular

O

B

“AP”. 14. Calcular “x”

M

A

N

P

48 cm

Q Q

P 3x

MATEMATICA

R 9x


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” ELEMENTOS 15. Si “M” es punto medio de AC, calcular “x”. Lados:

8

12

x B

A

M

C

Vértice: O Notación

16. Calcular “x”, si “C” es punto medio de BD

9

Ángulo AOB: AOB ó

2

B

A

´ y OB ´ OA

C

D

x

Medida del ángulo AOB: m

∡

AOB

17. Si: AC + AB = 32 cm, calcular “BC”.

20 cm B

A

∡

m

AOB = 

C x

18. Calcular “PR”, si: RQ - PR = 14 cm. Congruencia de ángulos A

P

30 cm R

P

Q O

 B



Q

 R

Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida.

ÁNGULOS. ∡

AOB

∡



PQR (los ángulos AOB y PQR son congruentes)

DEFINICIÓN m Es aquella figura geométrica formada por la unión de dos rayos que tienen el mismo origen. La medida de un ángulo se expresa en grados sexagesimales.

∡

AOB = m

∡

PQR

Bisectriz de un ángulo

A

R e g ió n in t e r io r d e l á n g u lo A O B

O

Es el rayo cuyo origen es el vértice del ángulo y divide a dicho ángulo en dos medidas iguales.

 B

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” A

O

O R : B is e c t r i z d e l á n g u l o A O B

R

 

m

B

AO R = m AO R =

90° < ° < 180°

ROB



BOR

Ángulo llano Cuando su medida es igual a 180°.



CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS • Según sus medidas

 = 180° - ÁNGULOS CONVEXOS Ángulo agudo

- ÁNGULO NO CONVEXO

Cuando su medida es mayor que 0° y menor que 90°.

Cuando su medida es mayor que 180° y menor que 360°.  180° <  < 360°

0° < ° < 90° 

Ángulo recto

• Según la posición de sus lados

Cuando su medida es igual a 90°. Ángulos adyacentes Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y además están situados a distintos lados de un lado común.

A m

AO B = 90°

B

A

E n e l g r á fi c o , lo s á n g u lo s A O B y B O C s o n a d ya c e n te s O



B

O

Ángulo obtuso

 C

- Ángulos adyacentes suplementarios

Cuando su medida es mayor que 90° y menor que 180°.

Los ángulos AOB y BOC son adyacentes.

MATEMATICA



A B



 O

A



C



 O 

+ = 180°

C ° + ° +  ° + ° = 360°

D Ángulos consecutivos C

B

Ángulos opuestos por el vértice E n e l g r á fi c o , lo s á n g u l o s AOB, BOC, COD y DOE s o n c o n s e c u t iv o s

D

A



E



° = °

- Ángulos consecutivos en un mismo semiplano

Los ángulos AOB, BOC, COD y DOE son consecutivos.

PROBLEMAS PARA LA CLASE C

B

A

D 







O

E

1. Hallar: m ∡ AOB B

 = 180°

C

 + 5 0 °

2. Calcular

MATEMATICA

 + 1 0 °



A

Ángulos coplanares alrededor del vértice

O

D

“”





7. Las medidas de dos ángulos están en relación de 2 a 3. Si suman 70°, calcular la medida del mayor.

 + 3 0 °

 + 5 0 °

 + 4 0 °

8. Hallar el valor de "x".

M

3. Calcular “x°”

x 



O 100°

  N

x° + 10° 9. En la figura, hallar: m

∠ ∡

4. Si: m

∡

AOB = 40° y m

∡

AOC = 110°; hallar: m

(

∠

COM, si: m

∠

BOC - m

AOC = 36°.

´ OM

: Bisectriz del

AOR.

∠

AOB)

M

B B A

C

R



A

O 

10. Sean los ángulos adyacentes AOB y BOC, tales que la

C

O

m

∠

BOC = 4m

Hallar la m 5. Se tiene dos ángulos adyacentes suplementarios.

∠

∠

AOB y la m

∠

AOC = 50°.

BOC.

11. Sean los ángulos adyacentes AOB y BOC, tales que la

Calcular la medida del ángulo que forman sus

m BOC = 4m AOB y la m  AOC = 50°. Hallar la

bisectrices.

m BOC.

12. Se tiene los ángulos consecutivos AOB y BOC. Si los ángulos AOC y BOC son suplementarios y m AOB =

6. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos consecutivos AOB y BOC, si: m

∠

80°, hallar: m AOC.

AOC = 84°.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 13. Se tiene dos ángulos adyacentes. Calcular la medida del ángulo que forman sus bisectrices, si la suma de


14. Se tienen dos ángulos consecutivos AOB y BOC. Si se traza

´ OD

bisectriz del ángulo AOB, hallar: m

COD. Además: mAOC + mBOC = 160°.

15.

4x° - 10°

3x° + 5°

dichos ángulos es 15°.

2x° - 15°

60°

2x° + 15°


Se tiene tres ángulos consecutivos

que forman un ángulo llano y las bisectrices del primer y tercer ángulo forman 140°. Calcular la medida del segundo

3 x° + 1 0°

2x° - 10°

ángulo.


A B 4 x° x° + 10° C

7. Calcular la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos POQ y QOR. Q

R

P

TAREA DOMICILIARIA

60° 0

8. Calcular: m AOB 1. Calcular "x°"

C

B 46° O

A

D

2x° 40°

9. Si: mAOB = 40° y mAOC = 110°; hallar: mAOR.

2. Calcular "x°"

A 3x°

B R

2x°



0

3. Calcular "x°"

MATEMATICA

 C



´ OM

10. Si:

m

B O C = 4 8 ° ; hallar

m

B

BOC y

es bisectriz del

O

.

AOM

C

A D

B M

15. Hallar: m

MOE C

M

C

D 

B 38°

11. Si: m

AO B= 100° y m

B O C = 4 0 ° ; hallar m



O

E

M ON.

A

O  



C



N B

A

M

ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE A ELLAS. (USO DEL COMPLEMENTO Y SUPLEMENTO)

12. Calcular ""

5 - 20°

13. Calcular "x", si: m

4 - 

 + 

A O D = 102° . RECTAS PARALELAS

B A

C x -  x

x + 

O

Veamos algunas nociones de paralelismo de rectas.

D

¿Cuál es la ubicación de las cuerdas en un arpa? ¿Cuál es la disposición de los surcos de un sembrío para su irrigación?

14. Si

OB

y O C son bisectrices de

respectivamente, hallar m

m

AOC y

AOD

B O C , si además

DEFINICIÓN

AO D = 60° .

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Se denomina así a dos rectas ubicadas en un mismo plano y que no se intersecan. L L

III. ÁNGULOS CONJUGADOS INTERNOS (sus medidas suman 180°) L 1

1

2

NOTACIÓN:

L1



Se lee: la recta L es paralela a la recta L 1 2

ÁNGULOS EN DOS RECTAS PARALELAS L 1

L2 Y

2

2 1

      1 8 0 ° L2

L1



UNA RECTA SECANTE L S A AMBAS

2

L1



L2

1

L2

      1 8 0 °



L

2

L 1

1

2

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

L 2

1

L S Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 90°.

I. ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS

EL COMPLEMENTO C

(Sus medidas son iguales)

L1

L2

C

L1

L1

L2

L2

DE UN ÁNGULO "x"

(x)

(x)

= 90° - x

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 180°. II.ÁNGULOS CORRESPONDIENTES EL SUPLEMENTO S (Ambos tienen igual medida) L 1

 

L

1

L

2

L2

(x)

DE UN ÁNGULO "x"

S = 180° - x (x)

 

Ejemplos:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” S (135°)

= 180° - 135°

L1

x°

= 45°

L2 45°


2a°

a°

1. En la figura: L 1 / / L 2 , calcular “x°”. 5. Calcular “x°”, si: L 1 / / L 2 . L1

L2

50°

x° 2 

114°

2

L1



2x°

L2

2. Del gráfico: L 1 / / L 2 y a° + b° = 160°. Calcular “x°”.

a°

x°

L1

6. Calcular “x°”, si: m / / n

L2

b°

y p // q .

m 50°

n  

p

3. Calcular “x°”, si: L 1 / / L 2 .

x°  2 2



L1



L2



q

x°

7. Calcular “°”, si:

L1 // L2 y

4. En la figura, calcular “x°”, si: L 1 / / L 2 .

L3 // L4 . ° 3°

°  ° L3

MATEMATICA

L1

L2 L4


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 8. En la figura: L 1 / / L 2

y

L 3 / / L 4 . Calcular “ - ”. 12. Si: L 1 / / L 2 , calcular “°”.

138° 

L1 L3



L1

L2

4 3

160°

L4

2 

L2

9. En la figura, calcular “x°”, si: BC = CE = BE. 13. En el gráfico: L 1 / / L 2

B

y ° - ° = 130°, calcular “x°”.

C

x°

2x°

L1

°

A



36°



E

D

x°

w°

L2

10. Calcular “°”, si: L 1 / / L 2 .

L1

140°

14. En la figura mostrada: L 1 / / L 2 , calcular “°”.

2° 150°

L2

° °

TAREA DOMICILIARIA

°

L1

L2

11. Si: L 1 / / L 2 , calcular “x°”.

9x° 8 ° ° 2°

15. En la figura:  = 75°, L 3 / / L 4 , L 1 / / L 2 , calcular:

L1

“x°”.

L2

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” x°

L1



 

130°

L1

x° 

 L3

L2

110°



L4

L2

19. Calcular “°”, si: L 1 / / L 2 .

Si: m AOB = 90° y L 1 / / L 2 ,

16.

L1

130° 2°

calcular “°”.

150° 5 + 10°

L2

L1

A O °

B

17. Calcular “x°”, si: L 1 / / L 2

L2

5. Si: L 1 / / L 2 , calcular “x°”.

41° 67° 32° 36°

.

x°

L1 60° 40°

L1

x°

L2

100°

80° L2

TRIÁNGULOS

18. Calcular “x°”, si: L 1 / / L 2 .

DEFINICIÓN.- Es la figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” B - Triángulo obtusángulo.- Es aquel triángulo que tiene un ángulo interior obtuso.

E le m e n t o s : V é r t ic e s : A , B y C Lados: A B, B C y A C

B

N o ta c ió n : T r i á n g u lo A B C :  A B C C

A

90° < ° < 180°

ABC = AB  BC  CA

 A B C : o b t u s á n g u lo , o b t u s o e n " A " ° C A b. Triángulo rectángulo.- Es aquel triángulo que tiene un ángulo recto.

Regiones determinadas respecto al triángulo

B B

c

mABC  90

a

R e g i ó n in t e r i o r

Catetos : AB y BC

R e g ió n e x t e r io r r e la t i v o a A B

A

R e g ió n e x te r io r r e la t i v o a B C A

Hipotenusa: AC C     90

° b

Nota: Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de

C

R e g ió n e x te r io r r e la t i v o a A C

°

la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos. En el ABC se cumple:

• Ángulos determinados respecto al triángulo - Medida de los ángulos internos: "°", "°" y "°" -

Medida de los ángulos externos: "x°", "y°" y "z°"

-

Perímetro de la región triangular ABC: (2p ABC)

2

2

b = a + c

II.SEGÚN LAS LONGITUDES DE SUS LADOS a. Triángulo escaleno.- Es aquel triángulo en el cual sus lados tienen diferente longitud. B

2 p ABC = a + b + c

° -

S i: " a " , " b " y " c " s o n d if e r e n t e s e n t r e s i

a

c

Semiperímetro de la región triangular ABC: (pABC)

 A B C : e s c a le n o

a + b + c 2

p ABC 

2

A

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS

°

° b

 ° ,  ° ,  ° s o n d i fe r e n t e s e n t r e s i

C

b. Triángulo isósceles.- Es aquel triángulo que tiene dos lados de igual longitud.

I. SEGÚN LAS MEDIDAS DE SUS ÁNGULOS

B

a. Triángulo oblicuángulo.- Es aquel que no tiene ángulo recto y puede ser:

B

A

°

0° < °, ° , ° < 90°

°

°



 BASE

C

c. Triángulo equilátero.- Es aquel triángulo cuyos lados son de igual longitud.

 A B C : A c u t á n g u lo A

a

a

- Triángulo acutángulo.- Es aquel triángulo que tiene sus ángulos internos agudos.

C

MATEMATICA




60°

L

L

60°

A

60°

C

L

1. Calcular "x"

TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL TRIÁNGULO TEOREMA 1 En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos interiores es igual a 180°

x 80°

°

E n e l t r iá n g u lo A B C s e c u m p le :

2. Calcular "x"

° + ° + ° = 180° °

A

45°

30°

B

°

C

TEOREMA 2 En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos ángulos interiores no adyacentes a él.

x

100°

70°

B

°

E n e l t r iá n g u lo A B C s e c u m p le :

80°

x° = ° + ° x°

°

A

C

3. Si: BC = 20, calcular el mínimo valor entero de “x”.

TEOREMA 3 En todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos exteriores es igual a 360° B

y°

B

E n e l t r iá n g u lo A B C s e c u m p le : x° + y° + z° = 360°

x° A

A

C

C z°

TEOREMA 4 En todo triángulo al lado de mayor longitud se le opone el ángulo de mayor medida y viceversa. B



c

a



S i :  >   >   

A

4. Calcular "x°"

a > b > c x°

C

b

60° + w ° w°

TEOREMA 5 En todo triángulo la longitud de un lado es mayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos y menor que la suma de los mismos.

x°

B

c A

Sea: a > b > c  a - c < b < a + c

a b

5. Si: a° + b° = 240°, calcular m

¿

ACB.

C

MATEMATICA



a°

B M b°

C

B

C

A

6. Si: AB = BE = EC, hallar m

ABE .

12.

Dos lados de un triángulo miden 8 y

15 u. Determinar el máximo valor entero del tercer lado,

B

si su ángulo interior opuesto es agudo.

40°

A

E

13. En el gráfico, si: AB = BD y AC = BC, calcular:

C

B 7.

Un triángulo isósceles tiene dos lados

mABD mACB A

que miden 13 y 6 u. Hallar el perímetro del triángulo.

8.

C

D

En un triángulo isósceles ABC

(AB=BC) se ubica exteriormente y relativo al lado BC el

TAREA DOMICILIARIA

punto “D” de modo que: AC=AD, mADC  80 y

mBCD  15 . Hallar: mBAD .

9.

En un triángulo ABC, se ubica el punto

"P" en su región interior, tal que: m PCB; m

1. Calcular el menor lado de un triángulo escaleno, si su perímetro es 48 cm y los valores de sus lados son números consecutivos (graficar).

¿

B = 80º y m

¿

¿

BAP = 2 m

2. Calcular el menor ángulo interno de un triángulo

¿

APC = 152º. Calcular m

rectángulo ABC (recto en "B"), si: m

¿

¿

A = 4m

¿

C. (Graficar)

PCB.

3. En el triángulo ABC: m

¿

A = 118º y AC = AB.

Calcular el mayor ángulo externo de dicho triángulo. 10.

4. ¿Cuántos valores enteros puede tomar el lado de un triángulo, si los otros dos miden 7 y 15?

En un triángulo isósceles ABC

(AB=BC), “R” y “S” son puntos que pertenecen a AC y BC respectivamente, tal que: BR=BS. Hallar: mSRC , si: mABR  20 .

11.

5. En la figura, calcular "°". 30°

70°+ °

En el gráfico si: AM = MC = AB y

° + °

mBAM  mACB ,

6. Calcular "x°"

Hallar: mAMC .

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” B 3°

x°-10 °

x°+ 30°

°

A

x°+ 10°

C

7. ¿Cuál es el mayor valor par que puede tomar “x” para que el triángulo exista?

14. Según el gráfico, calcular "° + °", si: ° + ° = 280°

°

9 u

5 u

O

°

x

°

8. Calcular "x°"

°

15. Los lados de un triángulo isósceles miden 5 y 11 u. Calcular su perímetro.

x° 100°

16. En la figura mostrada AB = BC y el triángulo QSC es equilátero. Hallar: m BQS. B

160°

S

9. ¿Cuál es el menor valor entero que puede tomar “x”?

Q

x + 2

7

A

20°

C

10. En la figura, hallar: m HQP; si la m PQR = 120°.

Q

40°

P 11. En la figura, calcular “°”.

H

R

1 1 °

LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS AL TRIÁNGULO I 1 2 °

50° 12. En la figura, calcular "x°".

120° 1. CEVIANA.- Es aquel segmento que une un vértice con un punto del lado opuesto o de su prolongación.

2x°

5x°

13. Calcular "°", para que el ángulo AOC sea recto.

MATEMATICA



- Bisectriz exterior E n e l t r iá n g u lo A B C - B R : C e v ia n a in t e r io r re la t iv a a A C

B

- B Q : C e v ia n a e x t e r io r r e la t iv a a A C A

R



E n e l t r iá n g u lo A B C



B Q : B is e c t r iz e x t e r io r r e la t iv a a A C

Q

C

A

2. ALTURA.- Es la ceviana perpendicular al lado al cual es relativo. - Triángulo acutángulo

Q

C

Nota: En todo triángulo isósceles la bisectriz del ángulo exterior cuyo vértice es opuesto a la base,

B

siempre es paralela a dicha base.

E n e l t r iá n g u lo a c u t á n g u lo A B C B H : A lt u r a r e la t iv a a A C A

° B ° ° °

C

H

L

- Triángulo obtusángulo B A

E n e l t r i á n g u lo o b t u s á n g u l o A B C

°

° base

L

e s b is e c t r iz e x t e r i o r

L

// AC

C

B H : A lt u r a r e la t iv a a A C H

Propiedades

C

A

B

- Triángulo rectángulo B



B H : A lt u r a r e la t iv a a la h ip o t e n u s a A C A

C

H

x = 90° + B 2

I

E n e l t r iá n g u lo r e c t á n g u l o A B C

A

 

x



C

N O T A : " B " : o r t o c e n t ro d e l t r iá n g u lo A B C B

A

3. BISECTRIZ.- Es la ceviana que biseca a un ángulo interior o exterior.







E

 

E n e l t r i á n g u lo A B C B R : B is e c t r iz in t e r io r r e la t iv a a A C

x

C

R

B



C

E

B

- Bisectriz interior

A



B 2

x

B

A

x = 90°

C

 A






  C

x = B 2

B Q : B is e c t r iz e x t e r io r r e la t iv a a A C Q

MATEMATICA



80°

x°

A

° °

° °

C

5. Hallar “x”:


80° x°

1. Si: BE es bisectriz, calcular "x°"

B

A

80°

3 °

x°

30°

3°

°

°

C

E

2. Calcular "x°", si: ° + ° = 80° y BE es bisectriz interior en el triángulo ABC.


B ° °

A

°

E

C

°

°

x°

F x°

°

40°

°

3. Calcular "x°", si CD es bisectriz exterior del triángulo

x°

ABC. Además: ° = 34° y ° = 34°

C

7. Calcular "x°" en la figura mostrada.

B

°

°

x°

A

D

140°

B x°

A

4. Calcular "x°"

MATEMATICA

 





C


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” x°

50° 8. En la figura, calcular “x°”.

° °

°

°

2. Calcular "x°"

° °

42°

x° ° °

x°

° °

° °

3. Calcular "x°"

9.

° °

En un triángulo ABC, se traza la

x°

bisectriz interior BD. Si: AB=BD=DC, hallar: mBCA .

°

48° En un triángulo ABC: mB  68 y

10.

°

4. Calcular "x°"

mC  12 . Hallar la medida del menor ángulo que se

B

forma al prolongar las alturas trazadas de los vértices "B" y "C".

x° 11.

En un triángulo PQR: mQ = 34º; luego

60°

A

C

se trazan la bisectriz interior del P y la bisectriz exterior del R que se cortan en "E". Calcular: mPER.

12.

5. Calcular "x°"

Calcular la medida del ángulo AFB en

el triángulo ABC, si: mACB = 110º y "F" es el punto de intersección de las bisectrices exteriores de los ángulos

°

"A" y "B"

2 °

6. Calcular "x°"

°

B

TAREA DOMICILIARIA Nº 01

20°

A

 

x°

 

C


1. Calcular "x°"

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” °  ° x° 60°

°

°

LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS AL TRIÁNGULO II


° °

x°

°

76°

° 1.

9. Calcular "x°"

MEDIANA.- Es el segmento cuyos

extremos son un vértice del triángulo y el punto medio del

° °

lado opuesto.

x°

° °

64°

B



" M " e s p u n t o m e d io d e A C A

2x°

6x°

° °

° °

b

-

M

b

B M : M e d i a n a r e la t i v a a A C

C

El punto de intersección de las medianas de un triángulo es el BARICENTRO.

11. Calcular “x°” -

°

El Baricentro (G) de una región triangular divide a una cada de las medianas en la razón de 2 a 1 (midiendo

°

desde el vértice)

x° 40°

°


B

°

G : B a r i c e n t r o d e l a r e g ió n t r ia n g u la r A B C N

P

12. Si: AB = BC, calcular "x°". B

A

M

C

P r o p i e d a d d e l B a r ic e n t r o A G = 2 (G N ) B G = 2 (G M ) C G = 2 (G P )

40°

2. A

x°

MEDIATRIZ.- Es aquella recta

perpendicular que divide en dos medidas iguales (biseca) al lado de un triángulo.

C

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” L

B


N

L

B

AC y AM = M C

T

L : m e d i a t r iz d e A C A

b

C

b

M

A B

4. En el gráfico, L 1 y L 2 son mediatrices de respectivamente. Calcular “x°”.

B a

c

L1 c

L2

B

a C

A

L 1 : M e d ia t r iz d e : _ _ _ _ _ _ _ _ _

L1

C

A

C

R

L2

140°

A

L 2 : M e d ia t r i z d e : _ _ _ _ _ _ _ _ _

AB y BC

C

x°

5. Si BH es mediatriz, calcular "x°".

B x°

A


50°

6. En la figura, L es mediatriz de BC . Si: mA = 80° y mC = 72°, hallar: m  BPM.

B

1. En el triángulo ABC, AM y BR son medianas. Calcular:

C

H

AG GM

B

M P L

M

A

G A

7. Si L "x°".

C

R

C

es mediatriz de

BC y BH

B

L

2. Si HM es mediatriz de AC , hallar: m ACB, si: m MHC = 50°.

A

B

es altura, calcular

x°

H

C

H

A

M

8. Si BM es mediana relativa a m ABC.

C

AC y AC = 2BM, hallar:

3. En el triángulo ABC, RT es mediatriz de AC , AR = 4 u y RT = 3 u. Calcular “CT”.

MATEMATICA



B H

A

C

M

9. Si BM es una mediana y el triángulo MDC es equilátero, calcular "x°".

A

B

C

M

3. En el triángulo ABC, RT es mediatriz de AC , AR = 4 u y RT = 3 u. Calcular “CT”. B

A

C

M

T

x° D A

AN y BM

10. En la figura, son medianas. ¿Cuántos valores enteros puede tomar "AB", si: MG = 4 y GN = 5 ?

C

R

4. En el gráfico, L 1 y L 2 son mediatrices de respectivamente. Calcular “x°”. B L2

B

L1

N

AB y BC

140°

G A

A

C

M

C

x°

5. En la figura, L es mediatriz de BC . Si: m A = 80° y m C = 72°, hallar: m  BPM. B

M P

TAREA DOMICILIARIA

L A

C

6. Si L es mediatriz de 1. En el triángulo ABC,

AM y BR

AG GM Calcular:

BC y BH

B

es altura, calcular "x°".

L

son medianas.

B

A

x°

H

C

M G A

R

7. Si BM es mediana relativa a ABC.

C

AC

y AC = 2BM, hallar: m

2. Si HM es mediatriz de AC , hallar: m ACB, si: m MHC = 50°.

MATEMATICA



A

C

M

8. Si BM es una mediana y el triángulo MDC es equilátero, calcular "x°".

I. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS C

B

º

A

x°

A

c

Ejemplos: Hallar “x”

9. En la figura, AN y BM son medianas. ¿Cuántos valores enteros puede tomar "AB", si: MG = 4  y GN = 5 ?

1. 2

3.

2.

x

B

x

5

G

10. Calcular "x°"

x 15

S o l. :

S o l. :

x2 = 22 + 32 x = 13

x2 + 52 = 132 x2 = 132 - 52 x2 = x=

C

M

17

13

3

N

A

90º - º

B

D

2

b

a

C

M

a2 + c2 = b

S o l. :

II.TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

x°

100°

Se denominan así a ciertos triángulos rectángulos en los cuales conociendo las medidas de sus ángulos

 

internos (denominados ángulos notables) se tendrá

 

presente una determinada relación entre las longitudes de sus lados.

a.

notable de 45°

45°

45°

k

k 2

a 2

2a

45°

45°

k

b.

a 2

notable de 30° y 60° 60° 2k

k

30° k 3

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES.

c.

MATEMATICA

notable de 37° y 53°


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 4 u

x

53°

5k

45°

3k

30°

2. Calcular "BC", si: AC = 35 u.

37° 4k

TRIÁNGULOS ADICIONALES

B

RECTÁNGULOS

NOTABLES

A

53°  26°30' notable de 2

a.

45°

37°

C

3. Calcular “BC”, si: AC = 42 u.

B

n

A

53° 2 2n

C

4. Calcular “BP”, si: AC = 8 2 u.

A

37° =18°30' notable de 2

b.

37°

45°

8°

m

B 37° 2

C

2u

5. Calcular “BP”, si: AC = 20

3m

45°

P

A 8°

b.

notable de 16º Y 74º

74º B

25a 7a

P

45°

C

6. Calcular “AE”, si: EC = 10 u. A

16º

15°

24a

B


45°

E

C

7. Calcular “AE”, si: EC = 6 u.

1. Calcular “x”

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” A 15°

1. Calcular “a + b”

60°

45° B

C

E

2 u

a

8. Calcular “BH”, si: AC = 25 u. B

30°

b 2. Calcular “a + b”

37°

A

C

H

10 u

a

9. Calcular “BH”, si: AC = 20 u.

30° b

B 3. Calcular "a + b"

A

30°

H

C

8 u a

10. Calcular “x”

b

4. Calcular “x + y”

x

9 u

7 2 u

x

37°

30°

45°

y

11. Calcular “x” 5. Calcular “x”

x

45° 37°

3 2

x

18 u 12. Calcular “HP”, si: AC = 32 u.

B

6. Calcular "y"

P 7 2

A

H

30°

C

45°

y

TAREA DOMICILIARIA 7. Calcular “BC”, si: AD = 10 u.

MATEMATICA



A

37°

45°

Un triángulo es congruente a otro triángulo si uno de ellos " es la fotocopia del otro triángulo" considerando el orden correcto de sus vértices.

C

DEFINICIÓN: Un triángulo es congruente a otro triángulo si sus lados correspondientes tienen igual longitud y sus ángulos correspondientes tienen igual medida.

D

8. Calcular “x”

B x

5 u A

R

B 

c

53°

30°



C



a 

A

C

b

 P

c

Notación: ABC PQR Se lee "El triángulo ABC es congruente al triángulo PQR"

x

10 u

a



Q

9. Calcular "x".



b

53°

30° CASOS DE CONGRUENCIA Significa que es suficiente reconocer la congruencia de tres de sus elementos correspondientes (Lados ó Ángulos) :


x

15 u 53°

Lado - Ángulo - Lado (LAL) Un triángulo es congruente a otro si tienen ambos dos lados de igual longitud y el ángulo que forman estos lados de igual medida.

30°


P

a

A

45°

45°



C

30°


x



c

6 u

x

c

B

a

N



M

Ángulo - Lado - Ángulo (ALA) Dos triángulos son congruentes si tienen ambos un lado de igual longitud y los 2 ángulos adyacentes a este lado de igual medida.

12 u

P

A

30°

C



 a



a 

 B

N

M

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Lado - Lado - Lado (LLL) Un triángulo es congruente a otro triángulo si en ambos sus lados correspondientes tienen igual longitud.

2. Calcular x/y, si los triángulos mostrados son congruentes. m

P

n

x -y

B

x+ y

7

5 m

n 6



A

Q

C R

Ejemplos: 1.

3. Calcular "x - 20°", si la recta "n" es mediatriz de AC .

n

B

Decir si los siguientes pares de

60°

triángulos son congruentes o no. Si lo son diga por cuál caso.

A

x

35°

C

....................... 4. Hallar el valor de "y + x".

A ……………………….

3x + 2

8  O

………………………….



P 5 5y - 2

B

2 5. Calcula el valor de "x", si: PB=BQ; AP=x -1 y QC= 15.


P

A

B Q

1. Calcular el valor de "x".

C

40° 110° 40°

x

6. Si: ABCD es un cuadrado, AM=5 y CN=1 , calcula "MN".

MATEMATICA



11. Calcular “x°”, si la recta “L” es mediatriz de

A

AC.

B

C M

60°

N

D

L

x°

35°

A

C

12. Calcular "x + 1" 7. Hallar "PQ", si: AB = 8 y AC =17.

x

C Q

 A

3 u

  P



TAREA DOMICILIARIA

B

8. Si t: mediatriz del lado BC y PC=8 cm, hallar "AB". 1. Si: AC = EC, AB = 6 u y ED = 9 u, calcular "BD". E

B

A

t

2

 P

A

B

D

C

2. Si: AB = 4 u y BD = 12 u, calcular "BC"

C

A

B

b C b

9. En un triángulo ABC, se sabe que el ángulo externo en

D

"A" es el triple del ángulo interno "C"; la mediatriz del lado

E

3. Calcular "MN", si ABCD es un cuadrado; AM = 15 u y CN = 11 u. B C

AC corta al lado BC en P. Calcular "BP", si: AB=9

cm y BC=13 cm.

N

A D M

4. Si: AB = BC, PQ = 10 u y AP = 3 u, calcular "CQ"

10. En un triángulo ABC, se traza la mediatriz de BC que

C

interseca al lado AC en "Q", tal que: AB = QC y A

mC=38°. Hallar la medida del ángulo ABQ.

P

B

Q

5. Calcular "°", si: AP = BC y PM es mediatriz de AC.

MATEMATICA



L

70° P 

A

C

M

x°

A

6. Calcular "PQ", si: AB = 17 u y AR = 8 u.

B

12. Calcular "AP", si: BQ = a.

B

P

 

A

A

P

Q

C

R

 

O

b

Q

A

B

x°

B P

H

13. Calcular "x°"

7. En la figura, calcular "PQ", si: BC = 25 u y HC = 7 u.

Q

b

b

 

H

a

C

a

8. Calcular "AB", si: NC = 12 u. B

A

2

N

b

M

APLICACIONES DE LA CONGUENCIA DE TRIÁNGULOS  b

C

9. Calcular "PQ", si: AB = 8 u y BC = 15 u.

C Q  

A

BASE MEDIA DE UN TRIÁNGULO

P

Definición.- Es el segmento que tiene por extremos los puntos medios de dos lados de un triángulo

B

III. Teorema de los puntos medios (Base media)

10. Calcular "x"

P

Si por el punto medio de un lado de un triángulo se traza una recta paralela a uno de los lados, dicha paralela divide

2

x + 1

5 u

al tercer lado del triángulo en dos segmentos congruentes.

A

n

n

B B

11. Calcular "x°", si la recta "L" es mediatriz del segmento

AB.


c M



Si : M N // AC y AM = M B N E n to n c e s:

c A

MATEMATICA



C

BN = NC MN =

AC 2


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” B IV. Teorema de la mediana en el triángulo rectángulo

Q

M

En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana

A

hipotenusa.

L2 L3

P

N

relativa a la hipotenusa, es la mitad de la longitud de la

L1 C

E

5. Calcular “x”

A E n e l t r i á n g u lo A B C

8

B M : M e d ia n a

M

BM =

AC 2

4x

C

B

30°

 

6. Calcular "x"


a x 5 u

 

a

12 u

1. Calcular "x°", si: MC = 2AB.

B 7. Calcular "°"

x° A

a

20°

x

C

M

5 u

 

a

12 u AD

8. En la figura: BC = CD =

2. Calcular “°”, si: BP = PC y PC = 2PQ. Q B

. 2 Calcular "x°".

B

C

P 2 °

A

°

A Q

x°

B

P A

D

9. Calcular "AB", si: AH = 3 u y HC = 7 u.

3. Calcular "°", si: AQ = QC y PB = PQ B

° 30°

40°

A

C

2

C

H



C

10. Si: AC = 12 u, calcular el máximo valor entero que toma

4. En la figura: L 1 / / L 2 / / L 3 , AM = MB y MN = NE.

BH . (AB  BC)

Calcular "NP", si: AC = 12 u.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” B 4. Calcular "x" B a

A

C

H

b

P

11. Calcular "x°", si: RC = 2BR y AM = MC. P

Q

x + 1

a A

b C

8

5. Calcular "x" B

B R

x°

4 u

A C M 12. Calcular “BE”, si: AE = ED, AB = 2BC y BD = 12 u.

3 u

A

M x

b

A

C

b

6. Calcular “x”

E

a

x + 1

B C

5 u

a

D

b

b

7. Del gráfico, calcular “x” B

TAREA DOMICILIARIA

x

1. Calcular "x°"

R

70°

5 u 40° C 8 u

B

A

2x°

M

8 u

8. En la figura: m + n = 12 u, calcular "n". x°

A

M

b

B

C

b

2. Calcular "x°"

P A

M

b

x°

b

A

B

A

a

P

B x

4 u a

Q

C

9. Calcular "x°" C

b 9x°

60°

a n

3. Calcular "x"

x

Q

m

c

B

A

a

c

M

b x°

C

10. Calcular “x” b

C

b

MATEMATICA



P o l íg o n o

a 

P

B

D

R e g i ó n in t e r i o r a l p o l íg o n o

Q

a

8x



A

C

2x + 12

E

A

C F

H

11. Si: AD = DC = 8 u y BD = BQ, calcular “DQ” .

G

B

R e g i ó n e x t e r io r a l p o l íg o n o

Q

Elementos

A

60°

D

Vértices: A, B, C, D, E, F, G y H

C

Lados: AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH y AH

12. Calcular "AC", si: AM = MC, BG = GM y FG = 4u.

Notación:

B Polígono ABCDEFGH

G *

A

M

F

Ángulos determinados en el polígono

C

B  1°

POLÍGONOS

A

°

C °

°  °5

 3° x°

°

D

 4°

E

En la figura se tiene el polígono ABCDE.

POLÍGONO PLANO *

 °2

Definición

Es la figura geométrica cerrada, que se forma al unir consecutivamente tres o más puntos no colineales

Medida de los ángulos interiores

mediante segmentos de recta.

x

Medida de los ángulos exteriores

 1    2   3    4   y    5 *

MATEMATICA

Líneas asociadas al polígono


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” A. Polígono equiángulo

C

B

Es aquel polígono cuyos ángulos internos son de igual medida.

D A E

F

A

B °  ° ° °

Diagonal: Es el segmento de recta que une dos

° ° D

°

°

vértices no consecutivos.

° C °

° ° E

F

En la figura el polígono ABCDEF, es equiángulo. °: medida de sus ángulos interiores °: medida de sus ángulos exteriores B. Polígono equilátero

Ejemplo: Para el polígono ABCDEF, mostrado en el gráfico,

AC y BE son dos de sus diagonales.

Es aquel polígono cuyos lados son de igual longitud. B

*

a

a

Clasificación de polígonos

m

A

a

Q

m P o lí g o n o n o C onvexo

equiláteros.

D





C. Polígono regular Es aquel polígono equiángulo y equilátero a la vez.



x

T r i á n g u lo e q u i lá t e r o

E

0° < x° < 180°

C u a d ra d o L

60°

L

L 60°

B. Polígono no convexo

L

L

60°

L

L

E

D B

m

En la figura los polígonos ABCDE y MNLTQ son

C 

A

M

P o lí g o n o Convexo

A. Polígono convexo B.

B

D

a

E

m L

m

a

I. Por su región interior

T

N

C

F

C

III. Por su número de lados:

H G A II.Por las medidas de sus elementos: lados y ángulos.

MATEMATICA

-

Polígono de 3 lados:

_____________________

-


_____________________

-


_____________________


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” -


_____________________

-


_____________________

-


_____________________

-


_____________________

-

Polígono de 10 lados: _____________________

-


-


-


-


1. Calcular la suma de los ángulos internos de un octógono.

2. Calcular el número total de diagonales de un pentadecágono.

3. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un solo vértice en un endecágono?

Propiedades en todo polígono de "n" lados

4. Calcular: x°

1. La suma de las medidas de los ángulos interiores 130°

S

i = 18 0°(n - 2 )

140°

120°

150°

2. La suma de las medidas de los ángulos exteriores

S

160°

e = 360°

x°

Nota: No se cumple en Polígonos No Convexos. 5. Calcular: 

3. Número máximo de diagonales trazados desde un solo vértice (#D

1vértice

) 

#D

1vértice

=n-3

 

4. El número total de diagonales (D)

D =

n(n - 3) 2

6. ¿Cuántos lados tiene un polígono donde de un vértice se traza como máximo 18 diagonales?

PROBLEMAS PARA LA CLASE 7. ¿Qué polígono tiene nueve diagonales?

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 17. Hallar el número de lados de un polígono sabiendo que la suma de sus ángulos internos y externos es 3 960°. 8. Calcular el número de diagonales del polígono cuya suma de las medidas de ángulos internos es 1 260°. 18. Calcular la suma de las medidas de los ángulos internos del polígono cuyo número de diagonales es el doble del

9. Calcular la suma de ángulos internos de un polígono que tiene en total 35 diagonales.

número de vértices.

10. Calcular el número de vértices del polígono convexo en el cual la suma de ángulos internos más la suma de

19. Calcular el número de lados de aquel polígono en el cual

ángulos externos es 4 320°.

su número de lados más su número de diagonales es 28.

11. Hallar la suma de las medidas de ángulos internos de un polígono cuyo número total de diagonales es el triple del número de lados. 20.Determinar la suma de las medidas de los ángulos internos de aquel polígono en el cual su número de vértices más su número de diagonales es igual a 45.

12. Si se quintuplica el número de lados de un polígono la suma de las medidas de sus ángulos internos se sextuplica, ¿cuántos lados tiene el polígono?

21. ¿Cuántos lados tiene un polígono cuyo número de diagonales excede en ocho al número de diagonales de

13. Al aumentar en tres el número de lados de un polígono su número de diagonales se triplica, ¿cuántos lados tiene el polígono original?

otro polígono que tiene un lado menos?

14. ¿Cuántos lados tiene el polígono en donde al triplicar el número de lados, el número de diagonales aumenta en 52?

22.

En un polígono equiángulo, calcular la

medida de uno de los ángulos internos de dicho ángulo, si éste tiene 6 vértices.

15. Al aumentar en tres el número de lados de un polígono,

TAREA DOMICILIARIA

el número de diagonales aumenta en 30. ¿Cuántos lados tiene el polígono?

16. ¿Qué polígono tiene tantas diagonales como número de lados?

1. Hallar la suma de las medidas de los ángulos internos

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” de un pentadecágono.

x°

x° 2. Calcular la suma de las medidas de los ángulos

x°

interiores de un pentágono.

3. Calcular: x°

100° A

8. ¿Cuántas diagonales tiene un nonágono convexo?

C

B

2x° x°

x°

D

100°

9. Hallar el número de diagonales de un polígono convexo

E

cuya suma de las medidas de los ángulos interiores es 900°.

4. ¿Cuántas diagonales tiene el endecágono? 10. ¿Cuántas diagonales tiene un decágono? 5. Hallar la suma de las medidas de los ángulos internos del polígono mostrado. 11. Calcular el perímetro del polígono equilátero mostrado, si: EF = 7 cm. D

B C

A

E I H

F G

6. ¿Cuántas diagonales faltan trazar en el polígono ABCDEF?

12. Si el polígono mostrado es equiángulo, calcular: °.

B C

A



D F

E

13. Calcular el número de vértices de un polígono en el cual desde un solo vértice se trazan como máximo 19 diagonales.

7. Calcular: "x°" en el polígono convexo mostrado. 14. ¿Cuántos lados tiene un polígono, si la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 3 240°?

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 15. Del gráfico, calcular x°

B

C T r i á n g u lo e q u il á t e r o

A

120° D

x°

L L

60°

L

F

H e x á g o n o r e g u la r

C u a d rad o L

E

L 60°

L

L

*

de un polígono convexo cuyo número total de

120°

L

60°

L

120°

120° 120°

L

L

16. Calcular la suma de las medidas de los ángulos internos

120° 120°

L

L

Propiedades:

diagonales es 20. A.

Medida de un ángulo interior

17. ¿En qué polígono al aumentar en uno el número de lados, su número de diagonales aumenta en dos? i 

180°(n - 2) n

n: número de lados

18. Si al aumentar en tres el número de lados de un polígono su número de diagonales aumenta en 24. Calcular el número de vértices del polígono inicial.

* Ejemplo: Hallar la medida del ángulo interior del polígono regular mostrado.

19. ¿En qué polígono el número de diagonales es el doble del número de lados?

i

Resolución:

20. Calcular el número total de diagonales del polígono equiángulo cuyo ángulo interno mide 160°.

21.

Como el polígono mostrado es un pentágono, entonces: n = 5

Calcular el número de vértices del

polígono que al aumentar en 4 el número de diagonales; la suma de ángulos internos se duplica.



i

180(5  2) 5  Rpta.: i = 108°

POLÍGONOS REGULARES

B.

Medida de un ángulo exterior

e  *Definición.- Es un polígono donde sus ángulos y lados

360° n

n: número de lados.

son congruentes respectivamente.

MATEMATICA



Ejemplo: Hallar la medida del ángulo exterior de un polígono regular de 12 lados.

1. Calcular “ + ” en el polígono regular mostrado.

Resolución: 

360 e  12 Como: n = 12  

Rpta.: e° = 30°

C. Medida del ángulo central

2. La figura muestra un pentágono regular. Calcular “x + y”.

H e x á g o n o r e g u la r

x

O c tó g o n o r e g u la r 

O

O



y

O: centro 3. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores de un polígono regular de 20 lados?  

*

360° n

  M e d i d a d e l á n g u lo c e n t r a l n : n ú m e r o d e la d o s

4. Calcular “x”, si ABCD es un cuadrado y DEF es un

Ejemplo: Calcular la medida del ángulo central de un

triángulo equilátero.

polígono regular de 20 lados.

B

C

E

Resolución:

Como: n = 20 

 

x

360 20

A

Rpta.:  = 18°

D

F

5. Si la medida de un ángulo interno de un polígono regular es 150º, ¿cuántos lados tiene el polígono?


6. Si el ángulo exterior de un polígono equiángulo mide

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 30°, calcular el número total de diagonales.

12. ¿En qué polígono regular la medida del ángulo interior es el triple de la medida del ángulo exterior? 13. Se tiene un polígono regular cuyo lado mide 3 u en el cual su perímetro es numéricamente igual a su número de diagonales. Dar el nombre del polígono.

7. En un polígono regular se cumple que la suma de las medidas de un ángulo central, un ángulo exterior y un ángulo interior es 210°. Calcular el número total de diagonales.

14. Se tiene un octógono regular ABCDEFGH. Hallar la medida del ángulo formado por las diagonales AC y BD .

8. La figura muestra un pentágono regular y un hexágono regular. Calcular: x°

15. Calcular la medida del ángulo formado por las mediatrices de dos lados consecutivos de un nonágono regular. x°

16. Al aumentar en 2 el número de lados de un polígono la medida de su ángulo central disminuye en 9º. ¿Cuántos lados tiene el polígono de menos lados?

9. En un polígono regular la relación entre la medida de un ángulo interior y exterior es como 3 es a 2. Calcular el número de lados del polígono.

17. Si a un polígono regular se le aumenta un lado, su ángulo interior aumenta en 12º. ¿Cuál es el polígono? 18. ¿Cuántas diagonales tiene aquel polígono regular en el cual se cumple que seis veces la medida de su ángulo central es igual a dos ángulos rectos?

10. De la figura, los polígonos ABCD y AED son regulares. Calcular: x°.

B

C

x°

E

19.

Al disminuir en 2 el número de lados

de un polígono, su ángulo central aumenta en 6°. ¿Cuántos lados tiene el polígono inicial?

A

D

TAREA DOMICILIARIA 11. Si ABCDE es un pentágono regular, calcular: x°.

1. Calcular "" en el siguiente polígono regular.

B

A

C x° E

D

2. Calcular la medida del ángulo exterior de un pentágono regular.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 3. En un pentágono regular, ¿cuánto mide el ángulo central y el ángulo interno del polígono?

13. ¿Cómo se llama aquel polígono regular cuya medida de su ángulo interior es cuatro veces la medida de su ángulo exterior?

4. La figura muestra un pentágono regular, calcular: ° +°.

14. Calcular: x°, si en la figura los polígonos son regulares.

C

°

x°

B

D

°

A

E

15. Según el gráfico, los polígonos ABCDEF y HBCQP son equiángulos. Calcular: x°

5. ¿Cuánto mide el ángulo externo de un icoságono regular?

B

6. Calcular: x°, si ABCD es un cuadrado y CDE es un triángulo equilátero. C B

x A

F

x°

19. El ángulo externo de un polígono regular mide 1/5 de un ángulo recto. ¿Cómo se llama el polígono?

C

20.ABCDE... es un polígono regular, calcular su número de vértices.

D

E

E

11. Calcular: x°, si ABCDE es un pentágono regular y AGFE es un cuadrado.

D C

C

G

B

E

18. ¿Cuál es el número de lados de aquel polígono regular cuya medida de su ángulo interior es dos veces la medida de su ángulo exterior?

ACB .

10. En el siguiente pentágono regular, calcular "x°".

A

D

17. El ángulo interior de un polígono regular mide el quíntuplo de la medida de su ángulo exterior. Hallar el número de lados del polígono.

8. Si la medida de un ángulo interno de un polígono regular es 120º, ¿cuántos lados tiene el polígono?

x°

Q

16. ¿Cuántos lados tiene el polígono regular en el cual el ángulo interno mide 8 veces la medida de su ángulo externo?

A D 7. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores de un polígono regular de 15 lados?

B

H P

E

9. Se tiene un exágono regular ABCDEF. Hallar: m

C

36°

F

B

A

D

x°

E

A

CUADRILÁTEROS TRAPEZOIDES Y TRAPECIOS

12. Si ABCDE es un pentágono regular y CDF es un triángulo equilátero, calcular: x°

C B F A

x°

D

Definición

E

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Es aquel polígono de cuatro lados. Puede ser convexo o no convexo.

II.

Trapecio

Es aquel cuadrilátero convexo que sólo tiene un par de lados opuestos paralelos.

A. Cuadrilátero convexo

B

C

C  B



A

D

H

En la figura, si: B C / / A D , entonces ABCD es un 

A



trapecio.

D

                  3 6 0 °

•

Bases: BC y AD .

•

Lados laterales: AB y CD

•

Altura: BH (Distancia entre las bases) B

B. Cuadrilátero no convexo

b

C

m M

B

m A

n N

n D

a

Base media: MN

C A

D

Clasificación de trapecios Los trapecios se clasifican de acuerdo a la longitud de sus lados laterales en:

En la figura, ABCD no convexo

a) Trapecio escaleno.- Es aquel trapecio cuyos lados laterales tienen diferente longitud.

Diagonales AC y BD

•

B

Clasificación de cuadriláteros convexos

C

A

D

Los cuadriláteros convexos se clasifican según el paralelismo de sus lados opuestos, en: En la figura, si: B C / / A D y AB  CD

I. Trapezoide

 ABCD: trapecio escaleno.

Es aquel cuadrilátero convexo que no presenta lados opuestos paralelos. b) Trapecio rectángulo.- Es aquel trapecio donde uno de los lados laterales es perpendicular a las bases y es la

B

altura del trapecio.

C

A

ABCD es un trapezoide cualesquiera.

D

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” b

B

C

En la figura, MN es la base media del trapecio ABCD.

h

Se cumple: A

D

a

x =

M N // BC

a + b 2

ABCD: trapecio rectángulo. Observación: c) Trapecio isósceles.- Es aquel trapecio cuyos lados laterales son de igual longitud.

C

M B

b

B



C





A

A



a

x

b

D

N

D

a

En la figura ABCD: trapecio rectángulo.

En la figura, si: B C / / A D

Si "M" es punto medio de BC y MN  AD .

y AB = CD

 ABCD: trapecio isósceles.

Se cumple:

C

B

x =

a + b 2

2. En todo trapecio el segmento que une los puntos medios de sus diagonales es paralela a sus bases y su

A

longitud es igual a la semidiferencia de las longitudes

D

de dichas bases.

AC=BD b

B

C

Propiedades de los trapecios P A

1. En todo trapecio, la base media es paralela a sus bases

x

Q D

a

y su longitud es igual a la semisuma de las longitudes de sus bases.

En la figura: B C / / A D , "P" y "Q" son los puntos medios de AC y BD respectivamente. B m M m A

b

Se cumple:

C n N

x a

PQ // BC

n D

MATEMATICA

x =

a - b 2



Observación: C

B

En la figura "M" es punto medio de AC y MH  BD . A

b

B

M

x

C

S e c u m p le :

H

D

a

4. Si: BC // AD , calcular la longitud de la mediana del

BH = HD x =

A

D

trapecio mostrado donde: BC=7 u ; CD=10 u.

a - b 2

B

C 140°

70°

A


D

5. Si: BC // AE , BC=1 u y AB=3 u, calcular "AE".

1. Del gráfico, calcular: x° + 20°.

3a°



B

a°

C

A



E

4x°

x°  

b° 3b°

6. ABCE: Trapecio isósceles. Si: BE = 5 u y BC = 3 u, calcular "AE". B

C

2. Del gráfico, calcular: x° + 10°. A

37°

E

B 

C



x° x°

A



2x°



7. En el trapecio ABCD, BC=4 u, CD  8 3 u .

D

Calcular "AD" 3. Si ABCD es un trapecio isósceles, donde: AC=BP=PD, calcular:

m

BPD

.

MATEMATICA



C

12. Siendo ABCD un trapecio, calcular " PQ". 60°

A

30°

D B 

8. Si: m

B - m

D = 5 6 ° , calcular "x°".



10u

A



P

C  

x°



6u

A

B

C



D

Q 20u

 D

9. Si: BC // AD y AD - CD=24 u, calcular "BC".

TAREA DOMICILIARIA B

C 115°

130°

1. ABCD: Trapecio. Calcular "x" D

A

B

3 u

m M

10. Si: AB=CD; BC // AD ; HD=7 u, calcular la longitud del

B

n x - 1

m

segmento que une los puntos medios de AC y BD .

A

C N n

x+ 1

D

C

2. Si: BC=1 u, AB=2 u y AD=3 u, calcular "CD".

A

D

H

B

C

11. Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de MC y AN , si: AC=14 u.

A

D

B c M c A

a N

3. Calcular "x°" en el trapecio isósceles.

a C

MATEMATICA



C

b

B

C

160°

m b + 3u x°+ 5°

A

m A

D

D

11u

9. ABCD es un trapecio de mediana MN .

4. Calcular "x°"

Calcular "x", si: CH=1 u y HD=9 u.

B C

5x° 8x°

B A

4x°

3x°

2 u x

D

C

H

M

N

A

D

8 u

5. En el trapecio ABCD, hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales AC y BD . 10. Calcular “x” 4u

B

C

6x 9x A

3x

D

26u

2x

11. Calcular “x”, en el trapecio isósceles

6. Calcular "x" 5u

x+ 30º

a x a

50º x + 4u

7. En un trapecio una base es cinco veces el valor de la

12. En un trapecio ABCD de bases BC y AC , BC= x + 1 y

otra. Si la mediana mide 10 u, hallar la longitud de la

AD = x + 8. Si su mediana es 12, hallar el valor de “x”.

base menor.

13. En el trapecio mostrado, hallar la longitud del

8. Hallar la longitud de la mediana del trapecio.

segmento que une los puntos medios de las diagonales.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Propiedades

a. En todo paralelogramo, los lados opuestos son congruentes. B

14. Si: AB = 6, BC = 4 y AD = 12, hallar "CD".

C

AB  CD BC  AD

B

A

C

D

b. En todo paralelogramo, los ángulos opuestos son congruentes.

D

A

B

C

B A D     B C D A B C     A D C A

D

c. En todo paralelogramo las diagonales se bisecan.

CUADRILÁTEROS (PARALELOGRAMOS)

B

C

AO = OC BO = OD

O A

D

III. Paralelogramos Es aquel cuadrilátero convexo que tiene sus pares de lados opuestos paralelos.

Clasificación de paralelogramos

C

B O

A

Romboide Es aquel paralelogramo que tiene los lados consecutivos de diferente longitud y sus ángulos interiores tienen medidas distintas de 90°.

D

B

b

C

a

En la figura, si: AB // CD y BC // AD A

 ABCD: paralelogramo

a b

D

En la figura, ABCD: romboide

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” L

B

C

45°

Rombo

45°

45°

m

L

45°

m

L

O m

m

45°

45°

45°

Es aquel paralelogramo que tiene sus lados de igual longitud y sus ángulos interiores tienen medidas distintas de 90°. Es un cuadrilátero equilátero.

A

45° D

L

B   n

L  

A

L

m

 

m n

 

L

En la figura, ABCD: cuadrado

C

"O": centro del cuadrado.

L

D

En la figura, ABCD: rombo

Rectángulo

Es aquel paralelogramo que tiene dos lados consecutivos de diferente longitud y las medidas de sus ángulos interiores son iguales a 90°. Es un cuadrilátero equiángulo.

b

B m a

m

A


C m

O b

1. Calcular “x”, si ABCD es un romboide. m

a

D

B

C 2x+ 70º

En la figura, ABCD: rectángulo

150º D

A

Cuadrado 2. Calcular “x”, si ABCD es un rectángulo. Es aquel paralelogramo que tiene sus lados de igual longitud y las medidas de sus ángulos interiores igual a 90°. Es un cuadrilátero regular.

MATEMATICA

B

C

A

D


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 8. En el interior de un cuadrado ABCD se dibuja el triángulo equilátero AED. Hallar: m

3. Si ABCD es un paralelogramo, hallar “x”.

B

BEA.

9. Si ABCD es un rombo y ADEF es un romboide, calcular

C

x

¿

"x".

55º

C

A

D

40º

D B

E

x

4. Si ABCD es un cuadrado, hallar “x”. F

A

C

B x

10. Si ABCD es un cuadrado y ABPQ es un romboide,

20º

calcular "x°".

D

A

P 5a

5. Si ABCD es un romboide, hallar “PC”.

C

B

4a

Q

B

P

x°

C A

 A

D

8 

D

11. Si ABCD es un cuadrado y PBCQ es un paralelogramo, calcular "PM", si: AB=10 u y PB=6 u. 6. Las diagonales de un rombo miden 20 u y 48 u. Calcular el perímetro del rombo.

B

P

 

M

C

Q

7. En un romboide ABCD, la bisectriz del ángulo "B" corta a AD en "F". Si CD y FD miden 8u y 4u respectiva-

A

D

mente, calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de FB y CD . 12. En el gráfico ABCD es un romboide, PC=3(AP) y BP=6 u, calcular "BH".

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 3. Calcular "BD", si ABCD es un paralelogramo.

B

B

C

C 15

2

x - 1

P

A

x

A

D

H

O

D

4. Calcular "BD", si ABCD es un paralelogramo. 13. Si ABCD es un cuadrado de perímetro 40 u y CP=PD, calcular "BH". B

C x

B

C

8

x + 4

O

D

A

P

A

H D

5. Hallar el perímetro del cuadrado ABCD.

B

C 8u

TAREA DOMICILIARIA

1. Calcular "x°"

6. Si ABCD es un romboide, calcular "BP". C B

A

D

A

80°

2x°

P

B

7x° x°

C

8u

D



A

17u

 D

2. Calcular "x°", en el paralelogramo ABCD. 7. Calcular "BD", si ABCD es un paralelogramo, AO=8; B

OC=x + 2; OD = x - 1.

C x°+ 20°

A

B

C O

40° D

A

MATEMATICA

D



B

2

8. En el rectángulo ABCD, hallar su perímetro, si: OB=8,5

C

u y CD=8 u. A

B

C



D

13. El perímetro de un paralelogramo mide 64 u y cada lado mayor excede al menor en 4 u. ¿Cuánto mide el

O

lado mayor?

A

D

14. Hallar el perímetro de un rombo ABCD sabiendo que 9. Siendo ABCD un romboide, calcular "x".

B 

8u

12u

C



A

B A D = 6 0 ° y la diagonal mayor mide 4 3u .

15. Si la longitud de la diagonal de un cuadrado es "L", calcular la longitud del lado del cuadrado.

D

x

H

m

CIRCUNFERENCIA 10. Si ABCD es un rectángulo, calcular "°". DEFINICIÓN B

C

Es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto de dicho plano denominado centro. A la distancia constante de estos puntos al centro se denomina radio de la circunferencia.

32°

 A

D

11. Si ABCD es un cuadrado y AP=CD, calcular "°".

B

O

C



R

P

A

En la figura, se muestra una circunferencia de centro "O" y radio "R".

D

Líneas asociadas a la circunferencia

12. Si ABCD es un paralelogramo, PC=6 u y CD=9 u, calcular "AD".

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” E F

C

D R

A

B

O P

L

1. La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado en el punto de

T

tangencia. T

LT

Q T

O

En la figura, se tiene la circunferencia de centro "O" y radio "R". En la figura

L

T : recta tangente a la circunferencia

en "T".

•

Cuerda: CD

•

Diámetro: AB

•

Flecha o sagita: EF

•

Recta secante:

se cumple:

OT

LT

PQ 2. Todo diámetro perpendicular a una cuerda biseca a

L

dicha cuerda y a los arcos que subtiende.

•

Recta tangente:

•

Arco: Es una porción cualquiera de la circunferencia

T

A

determinada por dos puntos de la misma, denominados extremos del arco, en la figura, por ejemplo el arco

M

PQ se denota: P Q .

H O

N

B

*

Observación: En la figura, MN : diámetro, si: MN  AB

El círculo, es la porción de plano que comprende la circunferencia y su región interior. El perímetro del círculo es igual a la longitud de la circunferencia, entonces se cumple:

se cumple:

AH = HB

además: R

L

= 2 . R

m AN = m NB y m AM = m M B

3. En una misma circunferencia o circunferencias

: Longitud de la circunferencia

congruentes, si dos arcos son de igual medida sus

R: Radio de la circunferencia

cuerdas correspondientes son de igual longitud, además dichas cuerdas equidistan del centro.

Propiedades fundamentales en toda circunferencia

MATEMATICA



D

B M

H O

O

r

A

C

P

A

En la figura, P A y P B son tangentes a la circunferencia.

En la figura, si: m A B = m C D se cumple:

AB = CD

y

Se cumple:

OM = OH

PA = PB

Polígono circunscrito a una circunferencia

4. En una circunferencia los arcos comprendidos entre dos cuerdas paralelas son de igual medida. I. T

LT

R e c ta ta n g e n te

A

B

C

D

B

C

A

-

Triángulo ABC, circunscrito a la

circunferencia. -

Circunferencia inscrita al triángulo

ABC.

En la figura, si: AB // CD

II. Se cumple:

m AC = m BD B

También, si: L

T

// A B A

se cumple:

C

m AT = m T B

D

Cuadrilátero ABCD, circunscrito a la

circunferencia. -

Circunferencia inscrita en el

cuadrilátero ABCD. 5. Los segmentos tangentes a una circunferencia trazados desde un punto exterior, son de igual longitud.

Teorema de Poncelet.- En todo triángulo rectángulo se cumple que la suma de las longitudes de sus catetos es igual a la suma de la longitud de su hipotenusa y el doble

MATEMATICA



de la longitud del radio de la circunferencia inscrita al triángulo. A

O

A

r

I

AB + BC = AC + 2r r

r : I n r a d io C

B

5. Calcular “°”, si “T” es punto de tangencia. T

PROBLEMAS PARA LA CLASE A

2



B

O

1. Calcular “PA”, si “A” y “B” son puntos de tangencia. 6. En la figura, calcular “x + y + z”, si: AB = 5, BC = 6 y

A

AC = 7. P

B y

B

Q

P z A

2. En el gráfico, si: PT = 4 y AB = 6, calcular “x°”.

C

R

x

(“T”: punto de tangencia) T

P

x°

A

O

7. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 y

B

15, calcular la longitud de su inradio.

3. Calcular “r”, si: AB = 3 y BC = 4. 8. Calcular “BC”, si: AE=3; AB=4 y EC=7

A

O B

C

r C

B

4. Calcular la longitud de la flecha correspondiente a AB , E

si: AB = 6 y r = 5

A

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 9. Calcular “x°”, si: QN = 7 y R = 3. (“P” y “T” son puntos de tangencia)

TAREA DOMICILIARIA

Q x° O

R

1. Calcular "°" ("T": Punto de tangencia)

P

T

N

T

2

O r

2. Calcular la longitud del inradio del triángulo

10. Calcular “x°”, si: TQ = QP.

rectángulo, si: AB=48 u y BC=64 u.

(“T” es punto de tangencia) B

O Q T

x°

C

A

P

3. En la figura PT es tangente, "O" centro de la 11.

En un triángulo rectángulo las

circunferencia. Calcular la longitud del radio de la

longitudes de la hipotenusa y el inradio suman 21.

circunferencia, si: PT=12 u y PO=13 u.

Calcular el semiperímetro del triángulo rectángulo.

T

P

12.

Calcular la longitud del radio de la

O

circunferencia inscrita a un triángulo rectángulo, si la diferencia entre el semiperímetro y la longitud de la hipotenusa es 4.

13.

4. Calcular la longitud de la flecha correspondiente a AB

Dado un trapecio isósceles

si: AB=8 u, R=5 u.

circunscrito a una circunferencia si un lado no paralelo mide 13 calcular la longitud de la mediana del trapecio.

B A O

14.

R

Un trapecio rectángulo está

circunscrito a una circunferencia. Si el radio de la circunferencia mide 2 y uno de los lados no paralelos mide 5, calcular la longitud de la base menor.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 5. Si: AQ=9 u y CT=13 u, calcular "AC".

Q

T

B

T

A

r

A

O

P

C

R

10. Si: AB=8 u, BC=7u y AC=5u, calcular "AM". 6. Calcular: x + 8 u

A

M 8u O x

B

C C

15u

11. Calcular "AM"; si: AB=13 u, BC=14 u y AC=15 u.

B

7. Si: AB=7 u y BC=24 u, calcular: r + 5u.

A

A

O

M

C

12. Calcular la longitud del inradio de un triángulo

r

rectángulo de catetos 2 u y 1,5 u.

C

B

8. Calcular la longitud de la flecha de la cuerda; AB

13. Calcular "BC", si: AE=5 u ; AB=6 u y EC=8 u.

si: R=13 u y AB=24 u.

C

A

B O

R

B

A

9. Si: PA = 8u y r = 5u, calcular "PT"

E

ÁNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 1. Ángulo central 4. Ángulo interior

A



x°

O

M

B x°



B



P N

A

En la figura,

A O B : ángulo central

En la figura, se cumple: x° = °

Se cumple:

A P B : ángulo interior

x 

   2

2. Ángulo inscrito A P



x°

5. Ángulo exterior B

a. Formado por dos rectas secantes En la figura,

Se cumple:

A P B : ángulo inscrito x 

B

 2



D

 x° A

3. Ángulo seminscrito

En la figura,

P

A P B : ángulo exterior

A

se cumple:

C

x 

   2

 x° P

En la figura,

Se cumple:


B

b. Formado por una recta secante y una tangente

A P B : ángulo seminscrito x 

 2

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” C

A

C irc u n f e r e n c ia c i r c u n s c r it a a l ABCD

B



B




D

A

x°

P

T

En la figura, "A", "B", "C" y "D", son puntos de la circunferencia entonces: En la figura,

Se cumple:

T P A : ángulo exterior

x 

A B C D i n s c r it o e n la c ir c u n f e r e n c ia

Observaciones:

   2

1. En todo cuadrilátero inscrito los ángulos interiores opuestos son suplementarios.

c. Formado por dos tangentes

C



B

B

  x° A

En la figura,

Se cumple:

D

P

A P B : ángulo exterior

x 



A

En la figura, ABCD: inscrito

   2

Se cumple: +  = 180°

Además: x° + = 180° 2. En todo cuadrilátero inscrito, sus diagonales determinan con los lados opuestos ángulos de igual medida. C

CUADRILÁTERO INSCRITO B





Definición

D

A

Es aquel cuadrilátero cuyos vértices pertenecen a una misma circunferencia. En la figura ABCD: inscrito Se cumple: 

MATEMATICA



PROBLEMAS PARA LA CLASE x B

1. En el gráfico “O” es centro y m

¿

5. Calcular “x°”.

AOB = 36º,

calcular “x”.

B 100°

A

P

x° O

A

x O

C

x B

6. En el gráfico mostrado, “P” y “T” son puntos de tangencia, calcular “x°”.   2. Si: m AC = 3x y m BD = 7x, hallar el valor de”x” x°

P

C

A 80º x B

T D

7. Si "P" y "Q" son puntos de tangencia, calcular "x°".  3. Hallar “x”, si: m CD = 80º B 70°

A C x

6x

Q

P x

P A

C

D B

8. En la figura "A" y "B" son puntos de tangencia. Calcular "x°".

4. Si “A” y “B” son puntos de tangencia, hallar el valor de  “x”, si m AB = 240º.

x°

B

140° A

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 9. En la figura, calcular "x°", si "O" es centro de la

x°

circunferencia. 40°

80° x°

O

2. Calcular " x°".

130°

10. En la figura, calcular "x°".

x°

120°

x°

3. Calcular " x°".

140°

B

11. Siendo ABCD un paralelogramo, hallar " m

A B C ", si:

A

m BCD = 150° .

E B

x°

74°

C

A

B D

4. Calcular " m Q S ", si OPQR es un cuadrado. 12. En la figura, la recta “L” es tangente a la circunferencia de centro “O” en “A”. Calcular: m B C , si: m N A B = 5 0 ° .

S Q

P

N

R A

B

R

O

O L C

5. Calcular " x°". ("P" y "T" son puntos de tangencia)

TAREA DOMICILIARIA

P

x°

1. Calcular " x°".

40°

T

MATEMATICA



6. Calcular "x°", si BC=CD.

C B

P

R

x° A

110°

Q

C

D

A

11. Calcular " x°".

90°

x°

7. Calcular "x°", si m P Q = 6 0 ° .

O

Q

12. Calcular “x°”.

P x°

B O

R

O

8. En una circunferencia se traza el diámetro PQ y la cuerda PA . Hallar: m

9. Hallar: m

R

PAQ .

A P D , si: m B C = 6 0 ° .

PROPORCIONALIDAD C P

A

B

D

RAZÓN GEOMÉTRICA DE SEGMENTOS Es la comparación mediante el cociente de las longitudes

10. Hallar: m

P Q R , si: m

de dos segmentos expresados en la misma unidad de

ABC= 20° .

medida.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” El resultado de dicho cociente es el valor de la razón

Si: L / / A C

geométrica. Ejemplo:

BP BQ = PA QC

se cumple: 6 cm

8 cm

A

B

C

L // AC

Si:

QR PR = RC RA

se cumple:

Teorema de la bisectriz interior.- En todo triángulo al trazar la bisectriz interior relativa a un lado, sobre dicho lado se determinan segmentos proporcionales a los otros dos lados.

D

Sean AB=6cm y CD=8cm; la razón geométrica de AB y CD

c = a

Se cumple:

AB 6 cm 3   CD 8 cm 4 es

m n

c = m

ó

a n

B   a

c

TEOREMA DE THALES Tres o más rectas paralelas determinan en dos rectas secantes a ellas, segmentos cuyas longitudes son proporcionales. L4

L

A

m

D

C

n

5

A

M

B

L1 N

C

L2 Q


L3

En el gráfico: 1. En el gráfico: AB=10 u , BC=5 u y AC=12 u. Calcular: Si: L 1 / / L 2 / / L 3 , L

4

y L

AR - RC

son secantes a dichas

5

rectas. Se

B

cumple:

AB MN = NQ BC

AB MN = MQ AC

T a m b ié n :

BC NQ = MQ AC

 

Corolario del teorema de Thales.- Si una recta paralela a un lado de un triángulo intersecta a los otros dos lados o a la prolongación de dichos lados; se cumple que sobre ellos se determinan segmentos proporcionales.

A

C

R

B

P

Q

P

L

L

Q

A

BE 7  2. Si: AE 2 ; hallar "x".

C

B 28

R

E



F x

A

A

C



C

En el gráfico:

MATEMATICA



L1

3. Si: EF // AC , calcular "x".

B

L2 L3

D E

C

F H

B 6

2k

E

F

7. Calcular "x°".

x 3k

B 45°

C

A

A

4. Si: 2BE = 7AE, calcular "FC".

B

A

4u

R

3u

C

8. Dado el triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD y la mediana BM.

28 

E

x°

F



Calcular:

C

 DM    AC

AB 7  ; si: BC 11

9. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz AD y la mediana BM que son perpendiculares. Calcular "BD", si:

5. Calcular "AR", si: AB=24 u, BC=32 u y AC=21 u.

BC=9 u. B  

10. En un triángulo ABC: AB = 8 u , BC = 6 u y AC = 12 u. Si A

R

se trazan la bisectriz interior BR y la mediana BM,

C

calcular "RM".

11. En un triángulo ABC, se trazan la mediana AM y la

6. Si: AB = 8 u, BC = 6 u, CD // EH ; calcular "CH",

bisectriz interior BD las cuales se cortan en "P". Si: AP 

Además: HF = 4,5 u y L 1 / / L 2 / / L 3

PM 3 y AB=4 u; calcular "MC".

12. En la figura: CB // DE , AC // BD ; AE=9 u, OA=3 u. Calcular "OB".

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” D

B

C

O

M

A

C

A

E

B

N

13. Calcular "CR", si: AP=9 u, PB=3 u y AC=8 u. (BQ=QC) 3. Si: a / / b / / c

BE//L

, hallar "y".

B

L P

a y

Q R

A

5

b 20

16

E

C

2

c

4. Si:

L1 // L2 // L

3 , calcular "x".

L1

3x - 2

TAREA DOMICILIARIA

2u L2

4x + 3

14u L3

1. Si: L

1

// L2 // L

3

, calcular: x + 2. 5. En la figura: L 1 / / L 2 / / L

3

; BC = 2(AB), DF = 30 u.

Calcular "DE"

L1 7

21

L2 x

42

A

L1

L3

B

L2 L3

C

D E F

2. Calcular "MA", MN// AC , si: MB=4u, BN=7 u, BC=12 u.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” L1

6. Hallar "PQ", si: PM =10.

8 - 2x

4

L2

Q

6

9



L3

M 

R

N

12

P

30

11. En un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "C", se traza la bisectriz exterior BE, de tal manera que: 7. En el gráfico: AB=10 u, BC=5 u y AC=12 u.

EC - AC = 4 u. Calcular "AC", si: AB = 15 u y BC = 9 u.

Calcular: (AR)(RC) B 

12.



En un triángulo ABC se ubica el

incentro "I" sobre la bisectriz BM; de tal manera que: 3IB = 2BM. Calcular "AC", si: AB + BC = 24 u.

A

C

R

8. Hallar "BC" B a

F 18 

C



E

15

A

10

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

9. Si: BD es bisectriz, hallar el valor de "x". Definición B

15

A

x

Son dos triángulos que tienen sus ángulos respectivamente de igual medida y además las longitudes de sus lados homólogos proporcionales.

13

D 14

B

C

N



A

10. Calcular "x", si: L

1

// L2 // L 3 .

MATEMATICA



a

c 

p 

b

C

M

m 

 n

P


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” En el gráfico, ABC ~ MNP

c b  k y: m n

Se cumple: ABC ~ MNL

Se cumple: •

Caso III Dos triángulos son semejantes si las longitudes de sus lados son respectivamente proporcionales.

Las medidas de sus ángulos son respectivamente iguales.

•

B

N

Sus lados homólogos son proporcionales. a

c

A

a b c = = m n p

Es decir:

l C

b

M

n

L

a b c   k m n l En el gráfico, si:

Se cumple: ABC ~ MNL

Criterios de semejanza en triángulos

Observación: 1.

Una recta secante a un triángulo

paralela a uno de sus lados determina un triángulo parcial

Caso I

semejante al triángulo dado.

Dos triángulos son semejantes si tienen al menos dos ángulos respectivamente de igual medida. B

B

F

Q

P 

A

m





E

C



G

C

A

En el gráfico, si: mBAC  mFEG y mACB  mEGF Se cumple:

En el gráfico, si: P Q / / A C

ABC ~ EFG

Se cumple: PBQ ~ ABC

Caso II Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo de igual medida y la longitud de los lados que determinan a dichos ángulos son respectivamente proporcionales.


B N c

m 

A

b

C

M

1. Se tienen dos triángulos semejantes. En el primero,  n

sus lados miden 5, 6 y 7, y en el segundo, su

L

perímetro es 60 Calcular el lado mayor del segundo triángulo.

En el gráfico, si: mBAC  mNML

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 6. En un triángulo rectángulo ABC, se toma el punto "P" de BC , tal que: AB = 15; AC = 39 y PC = 13. Calcular

2. Calcular “AB”, si: BE = 2 y EC = 6

la distancia de "P" a AC .

B E 



A

7. En el gráfico, BC // AD . Calcular “BD”, si: BC = 2 y AD

C

= 8. B

C

3. En el paralelogramo ABCD: BE = 6 y EC = 9, BO Calcular: OD

E

B

C

A





D

O

A

8. Las longitudes de las bases de un trapecio están en la

D

relación de 2 a 3. Calcular la distancia del punto de intersección de las diagonales a la base mayor, si la altura del trapecio mide 15. 4. Calcular el lado del cuadrado PQRS, si: AP = 8 y SC = 18.

9. En un triángulo ABC se trazan las alturas AQ y CH, de

B

A

Q

R

P

S

tal manera que: BH = 4 AH = 8 y BC = 10. Calcular “BQ”.

C

10. En un triángulo rectángulo ABC recto en “B”, la distancia del baricentro a la hipotenusa mide 12. 5. Si: EF // AC ; EF = 6 AC = 15y BH = 10, calcular la

Calcular la longitud de la altura BH.

distancia del vértice "B" a EF . B

E

A

11. En un triángulo ABC se traza la altura BH. Calcular la longitud del lado del cuadrado inscrito en el triángulo, si uno de los lados del cuadrado pertenece al lado AC, y además: BH=6 u, AC=4 u.

F

H

C

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 12. En un romboide ABCD, se cumple que: 3(AB) = 7(BC) y la distancia entre los lados mayores es 24 u. Calcular la distancia entre los lados menores.

x

x 

2u



3u

13. En el triángulo ABC, se cumple que: mB  mC  90 . Si se traza la altura AH y además: HC=36 u y BC=27 u, calcular "AH".

3. Calcular "PQ"; si: AB=12 u, AC=8 u, AP=3 u. (PQ // AC)

B

14. En un triángulo rectángulo ABC recto en "B" se traza la bisectriz interior BD. Por "D" se traza la

Q

P

perpendicular a AC que interseca en "E" a BC . Si: AB=12 u y BC=16 u, calcular " ED ".

4. Calcular "x + y"

En un triángulo ABC mABC  120 ,

15.

C

A

se traza la bisectriz interior "BF". Calcular "BF", si: AB=4

y



uy 12

BC=6 u.





18

6

x

 15

TAREA DOMICILIARIA

5. Calcular "x", si: PQ // AC 1. Calcular "x"

B x - 2

12 u



x



6 Q

P 4

3u



x - 4

x - 3

 A

C

6. Calcular "x"

2. Calcular "x"

9u

x 

MATEMATICA

x

16u 


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 11. Calcular "x"

7. Calcular: "x + 1"

x x 9u

4u

 9u

x

4u

12. En la figura MN// BC . Calcular "x", si: MN = x - 1 y



BC=x+1.

x

B M

L1

8. Calcular "x", si:

L2 . A

6u

C

4u

N

2 L

1

x

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

6 L

2

12

9. Calcular "x"

PROYECCIÓN ORTOGONAL

2u x

La proyección ortogonal de un punto sobre una recta, es el pie de la perpendicular trazada por dicho punto a la recta. Esta perpendicular se denomina proyectante y la recta eje de proyección. La proyección ortogonal de un segmento sobre una recta o eje de proyección es la parte del eje de proyección comprendida entre las proyecciones de los extremos de dicho segmento. B N

6u





10. En la figura mostrada, calcular "x".

P

B 4  2 A

A

a

x 8



L

 P'

En el gráfico, si: P P '

A'

B'

M

l

N'

L ( P '  L ) , entonces:

C

MATEMATICA

P'

:

Proyección ortogonal de "P" sobre la recta L

PP'

:

Proyectante de P sobre

L

:

Eje de proyección

L


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” En todo triángulo rectángulo, el producto de las longitudes de sus catetos es igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la altura relativa a dicha hipotenusa. Del gráfico, se cumple: c.a = b.h

A'B' : Proyección ortogonal de AB sobre L MN'

L

: Proyección ortogonal de MN sobre

Relaciones métricas en triángulos rectángulos B 

c



a

h



A

m

 H

n

PROBLEMAS PARA LA CLASE C

b

Según el gráfico, en el ABC

AB y BC

:

Catetos

AC

:

Hipotenusa

BH

:

Altura relativa a la hipotenusa

AH y CH

:

Proyecciones de AB y BC sobre AC Respectivamente.

1. En una semicircunferencia de diámetro AB , se traza la cuerda AC . Si: AC = 20 y AB = 29, calcular "BC".

En el gráfico:

ˆ = mB ˆ = 90º; 2. En un trapecio rectángulo ABCD: m A

ABC ~ AH B ~ BH C

AB=60; BC = 9 y AD = 20, calcular "CD".

Teorema 1 En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de un cateto es igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa. 2 2 Del gráfico: c = bma = bn 2

c

Además:

2

a



3. Calcular: PB, si: AP = 1 y PQ = 4.

m n

Q

Teorema 2 En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de su hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos. Este teorema lleva el nombre de teorema de Pitágoras, en honor a que demostró esta propiedad del triángulo rectángulo. Del gráfico, se cumple: b2 2 2 =a +c

A

P

B

O

4. Si: PH = 1 y R = 4,5, calcular "AP"

Teorema 3 En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de su altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las longitudes de las proyecciones de los catetos sobre dicha hipotenusa. Del gráfico, se cumple:

A

R P

H

O

Q

2 h = m.n 5. Calcular el radio "x" de la circunferencia, si "O" es

Teorema 4

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” centro y "T" es punto de tangencia.

11.

En un triángulo rectángulo ABC, recto

en "B" se traza la altura BH . Calcular la longitud de la proyección de BH sobre BC , si: AB=15 u y BC=20 u. x O

12. Calcular "x", si "O" y "O " son centros de las 1 circunferencias y "T" es punto de tangencia.

8

A

2

T

B

x O

6. Calcular "x", si ABCD es un rectángulo.

1

5 O

B

4 ,5

8

9

T

C

x

A

D

13. Calcular "x" 9 4

7. Calcular el valor de "x".

3

20

x

15 x

14.

24

8.

El perímetro de un triángulo

rectángulo es 56u y la suma de los cuadrados de sus lados 2 es 1250 u . Calcular la longitud del menor lado.

La suma de los cuadrados de los lados

2 de un triángulo rectángulo es 200 m . Calcular la hipotenusa.

15.

El punto de tangencia de la

circunferencia inscrita en un trapecio rectángulo divide al 9.

mayor de los lados no paralelos en dos segmentos que

Calcular el valor de "x", si "P" y "Q"

miden 4m y 9m respectivamente. Luego la base mayor

son puntos de tangencia y "O" es centro de la

mide:

semicircunferencia.

P

10

10.

TAREA DOMICILIARIA

k

6 O

Q

Calcular el menor ángulo interno de un

triángulo rectángulo cuyos lados se encuentran en

1. Calcular "AC", si: AB=7 u y BC=24 u.

progresión aritmética.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” A B

B

C A

C

2. Calcular "AB", si: AH=3 u y HC=9 u. 7. Calcular "AB", si: AH=3 u y AC=12 u. B

B

A

C

H

A

H

C

3. Calcular "BH", si: AB=9 u y BC=40 u. 8. Calcular "BH", si: AH = 1 u y HC = 4 u. B

B

A

C

H

A

H

C

4. Calcular "a" 9. Calcular "AH", si: AB = 2 u y AC = 5 u.

a

7

B

16

A

H

C

10. Calcular "HC", si: AB = 15 u y BC = 20 u.

5. Calcular la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, si el perímetro es igual a 40u y la diferencia de las longitudes de sus catetos es 7u.

B

A

6. Calcular "AC", si: AB=20 u y BC=21 u.

MATEMATICA

H

C


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 11. Calcular "BH", si: AH=3 u y HC=12 u.

ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES

B

A

C

H

I. ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES 12. Calcular "BH", si: AB=3 u y BC=4 u.

1. Área de la región de un triángulo cualquiera (S)

B

A

C

H

B

B

13. Calcular "h" h

S

A 6 u

14.

h

A

C

H b

8 u

h

S

S =

b

C

H

b . h 2

La altura de un triángulo rectángulo

determina en la hipotenusa segmentos que miden 16 u y 36 u. Calcular la longitud de los catetos. 2. Área de la región de un triángulo rectángulo (S)

B c

a

S

A

C

S =

MATEMATICA

a . c 2


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” c.

Rombo B

S A

S =

C

3. Área de la región de un triángulo equilátero (S)

(A C )(B D ) 2

D

d.

60° L

Cuadrado L

B

L

S

S

L

60°

C

S = L2

L

60° A

L

S =

L2

3

D

L

2. TRAPECIOS

4

b

B

h II.ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES

C S =

S

A

a+ b h 2

D a

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. PARALELOGRAMOS a.

Romboide B

S

h A

S = b . h D

b

b.

1. Calcular el área de la región del triángulo ABC, si: AB=8 u, BC=12 u y m A B C = 1 5 0 ° .

C

A

Rectángulo

B h

C S = b . h

S A

C

B

b

2. El perímetro de un triángulo equilátero es 36 u.

D

Calcular el área de su región.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 9. Si: OA = OB = 3 u y MN = 1 u. Calcular el área de la región sombreada.

3. Los catetos de un triángulo rectángulo son entre sí 2 como 3 es a 4. Si el área de su región es 54 u , ¿cuánto mide su hipotenusa?

A N

M

O

2

B

4. Calcular "a", si el área del triángulo PQT es 24 u .

Q

a

10. Los catetos de un triángulo rectángulo están en relación de 1 es a 2. Calcular la longitud del cateto

P

T

3a

2 mayor, si el área del triángulo es 16 u .

11. Según la figura, AC = 12; BH = 9, además BE = 2EH.

5. La base de un rectángulo mide el doble de su altura y

Calcular el área de la región ABCE.

2 su área es 18 u . Calcular la longitud de su base.

B

E

6. Las bases de un trapecio miden 4 u y 10 u y el área de 2 dicho trapecio mide 63 u . Calcular su altura.

A

C

H

12. Hallar el área de la región triángular ABD; si: BF = 3 u y AC = 10 u. 7. El lado del cuadrado ABCD mide 6 u. Calcular el área de la región sombreada.

B

B

C

M

A

A

D

F

D

E

C

13. Hallar el área de la región del trapecio ABCD, si: BC=1 u y AD=9 u.

8. Las diagonales de un rombo son entre sí como 2 es a 3 2 y el área de su región es 108 u . Calcular la suma de sus diagonales.

MATEMATICA



C

60°

D

A

14.

60°

Se tiene un trapecio rectángulo ABCD

en "A" y "B". En AB se ubica el punto "P". Si: mAPD  2

4. En la figura, calcular el área de la región del triángulo

; mBCP   ; BC=4 u y PD=6 u; calcular el área de la

equilátero BDC, si: AB=3 u y AC=5 u.

región triangular PCD.

D

TAREA DOMICILIARIA B

1. En la figura el área de la región del triángulo ABC es 2 24 u . Si: BH=3(AC), calcular "AC".

A

C

B 5. Calcular el área de la región del triángulo mostrado.

A

C

H

6 u 30°

2 2. El área de la región triangular es 24 cm . Calcular "a"

12 u

2 6. Si el área de la región del triángulo ABC es 24 u ,

8

calcular "a".

2 45° a

B a A

3. El perímetro del triángulo mostrado mide 12u. Calcular

C

H 3a

el área de la región triangular mostrada.

7. Calcular el área de la región del triángulo ACD.

MATEMATICA



30°

8 u C

A

 

D 9 u

2 8. Calcular la altura, si: S = 30 cm . ( BC// AD ),

3 cm

B

C

S

A

D

9 cm

2

9. El área de la región sombreada es 4 3 u . Hallar su perímetro.

60°

60°

TRIGONOMETRÍA

10. En la figura, calcular el área de la región triangular ABC.

B

15 u

SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR A

53° 14 u

C

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Y SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR Ángulo trigonométrico.- Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo alrededor de su origen: desde una posición inicial hasta una posición final. La amplitud

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” de la rotación es la medida del ángulo trigonométrico, la posición inicial del rayo se llama lado inicial; la posición final se llama lado terminal y el origen del rayo es el vértice del ángulo.

Si bien la rotación puede ser en sentido horario o antihorario: consideramos al ángulo positivo cuando hablemos del ángulo de un a vuelta.

A’

o

A’

Ángulo de una vuelta (1).

2. Para sumar o comparar ángulos trigonométricos: estos deben tener el mismo sentido.



A

O

A

Elementos: O : vértice del ángulo

3. Al cambiarle de sentido a un ángulo trigonométrico: este cambia el signo de su valor.

q

SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR Los más conocidos son: . Sistema sexagesimal. También llamado sistema inglés; su unidad es el grado sexagesimal que representa al ángulo de una vuelta dividido en 360 partes iguales.

    OA : Lado inicial      OA' : Lado terminal

: medida del ángulo trigonométrico.

Características 1. Sentido.- De acuerdo al sentido de rotación del rayo el ángulo trigonométrico puede ser:

1º 1º

a. Positivo.- Cuando el sentido de rotación es contrario al movimiento de las manecillas de un reloj (antihorario).

360 p a r te s ig u a le s

A

m1v  1º 360 m1v  360º



O

Unidad: (1º): grado sexagesimal Subunidades. (1’) : minuto sexagesimal (1”) : segundo sexagesimal

A

b. Negativo.- Cuando el sentido de rotación es horario. O

A 

EQUIVALENCIAS: < > Equivale a: 1º < > 60’

A

2. Magnitud.- Un ángulo trigonométrico puede adoptar cualquier magnitud, dependerá de la rotación que se genere.

1º = 60’

 O

1 ’ < > 6 0 ’’

Nota: Pero por comodidad en lugar del símbolo (< >) se suele utilizar el símbolo (=), esto es lo que utiliza.

A

A’ a: medida de un ángulo trigonométrico. OBSERVACIÓN

1 ’ = 6 0 ’’

Ejm.: 1. R 2. C

= =

4º + 6º = 10º xº + 3º = (x+3)º

3.

M

=

4º  2º 2

4.

L

=

6º  3 2

5.

F

=

32º–17º=15º

1. El ángulo generado al coincidir por primera vez al lado inicial y el lado terminal se denomina ángulo de una vuelta.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” R e g la D e C o n vers ió n



x 3600

G ra d o s

DONDE: S : Número de grados sexagesimales R : Número de radianes

x 60

x 60

S egu n d o s

M in u to s 60

S R S R    360 2 180 

• Cada uno de los números anteriores es para un mismo ángulo, conocido también como números convencionales. Método Práctico: 1. Para convertir grados sexagesimales a radianes; multiplicamos por:     rad  180

60 3600

Ejemplo (1) Convertir 3º a minutos RESOLUCIÓN: Recordar: 1º=

Ejemplo: Convertir 45º a radianes.

Ejemplo (2) convertir a segundos RESOLUCIÓN: Recordar:

   45.  rad  rad 4  180 2. Para convertir radianes a grados sexagesimales,

1º  3600'' 1'  60'

multiplicamos por

3600''  18000'' 1º 60'' 30'   1800'' 1' 5º 30'  18000'' 1800''  19800''

 5º 

( 180π )

Ejemplo: Convertir:  rad a grados sexagesimales 5   180    36 5 

NOTACIÓN:

AºB'C ''  Aº B' C''


Donde: B,C < 60 3. Sistema Radial.- También llamado sistema circular o internacional su unidad es el radian: que representa el ángulo de una vuelta dividido en 2 partes iguales:

m1v  1rad 2

Unidad:

(rad)

:

1.

Calcular:

m1v  2 rad

E

5º 30' 10'

E

2º 20' 5'

K

3º15' 15'

radián;  3,1416 2.

Calcular:

N O T A . - E n e s te s is te m a n o e x is te s u b u n id a d e s s o lo h a y r a d ia n e s.

3.

CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS Los sistemas sexagesimal y radial están relacionados mediante una fórmula de conversión m1vuelta  360  2 rad Sea “S” la medida de un ángulo “ sexagesimales Sea “R” la medida de un ángulo “

θ

θ

”

en

” en radianes.

MATEMATICA

Calcular:

4.

Convertir 10º a radianes.

5.


6.




8.

Convertir

Convertir

π 3

rad a grados sexagesimales.

π 6


LONGITUD DE ARCO La longitud del arco AB es igual a:

r O

9.

Convertir

π 18

l

 r


10. Calcular:

A

B



 r

r

 

  . r

 rad  10º H 2 20º

r: radio de la circunferencia q: ángulo central medido en radianes:

11. Calcular:

 rad  14º 5 M 10º

Nota: 1.

12. Calcular:

 rad  12º 10 K 30º

la



lb

lc


 rad 9

(3x  5)º  14. Calcular "x", si:

(2x  1)º 

 rad 36



   a  b c a b c


(7x  4)º 

 rad 4

2.


l

40º  x rad

2l

3l


100º  x rad

3.

LONGITUD DE ARCO



MATEMATICA

l1

l2





2   1 d

l 5m



PRACTICANDO EN CLASE 7.

Calcular l a si:

3m

2m 1.

Calcular l, si:

l

a

2m 45º

2.

l 8.

Calcular l b si:

2m

3m

Calcular l, si:

2m l 30º

l 9.

3.

b

Calcular "x", si:

2m

Calcular l, si:

(x -2 )m xm

60º

4.


l cm 4m

xm

Calcular si:



6.

8m

Calcular  si:



5.

l

TAREA DOMICILIARIA

l cm

Calcular si:

1. Calcular "".

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 8l 4l

3m

2 m





8. 2.

Calcular "", si:

Calcular "".

3l 2l

 m





m

2

9.

Calcular: l1 + l2

l1

20º 30º

3. Calcular "", si:

18m

5m

2m



l2

10. Calcular: l1 + l2 4. Calcular: l1 + l2

l1 2m

l

1

20º a 10º

l2

2a

l2

24m 5.

Calcular:

E

 1 2 3  2

l1

6.

Calcular:

E

l3

l2

l3

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS I

 1 2 3 3  1

l1

7.

l2

TEOREMA DE PITÁGORAS

B c

a

Calcular "", si:

C

MATEMATICA

b

A


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Pero por el teorema de Pitágoras:

a,b: catetos c: hipotenusa

c2  a2  b2

 sen2A  cos2A 

a2  b2  c2 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

1.

 c  90º 

 c  90º 

Se cumple:

tgA  tgB 

c

a

1 senA . senB

Resolución:



b

a: cateto opuesto al

1

Demostrar que en un triángulo rectángulo ABC,

B

∡

c2

Problema por desarrollar

Sea el triángulo ABC.

C

c2

A




∡

b: cateto adyacente al

. 1. Calcular tg:

 Seno:

sen  

Cat. Opuesto a  hipotenusa c

9

Coseno:

cos 

2.

Cat. Adyacente b  hipotenusa c

4

Calcular:

E  13sen2  1 Si:

Tangente:

tg  

Cat. Opuesto a  Cat. Adyacente b

3 ; 13

cos 

 : agudo

3. Calcular:

Problema Desarrollado 1.

E  10 cos  2tg

Demostrar que en un triángulo rectángulo ABC,



c  90º

Si:



3 ;  : agudo 10

sen 

Se cumple:

sen2A  cos2A  1

4. Calcular:

Resolución:

E

B c

a C

senA 

A

b

x+ 2

8 x

a b ; cosA  c c

5.

Luego:

sen2A  cos2A 

1 sen  cos 4



Calcular:

E  5(sen  cos)

a b a b   c2 c2 c2 2

2

2

2

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 4 x 6.

E  sen2  cos2

x+ 2 

2 

Calcular:

M

3

tg tg

2.

Calcular:

E



7.



3



1

5

Calcular:

K  tg . tg



3. Sea el triángulo rectángulo cuyos catetos son a=3cm y b=4cm. Calcular el coseno del menor ángulo agudo.

2

4. Sea el triángulo rectángulo cuyos catetos están en la relación de 3 a 2; calcule el seno del mayor ángulo agudo.

3

5.

Calcular "x", si:

Calcular:

E  sen  sen

M  tg . tg

Si:

 9.



3



8.

sen . tg  tg cos

a b = 5 3





a

Calcular:

K  tg  tg

b 6.

Si:

sen  



1 3

Calcular: tg



Donde "" es agudo. 10. Calcular:

K  tg . tg

a

7.

a

cos 

2a 

Si:

3 4

Calcular: sen



Donde "" es agudo. 8.

TAREA DOMICILIARIA

Calcular tg:



4 1.

Calcular:

1

10. Calcular tg:

MATEMATICA



9

1

c tg  =

C a te to A d y a c e n te = c C a t e t o o p u e s to a

se c  =

H ip o te n u s a = b C a te to a d y a c e n te c



csc  =

H ip o te n u s a C a t e t o o p u e s to

= b a

1. En los vértices de los triángulos siempre se colocan letras mayúsculas y a los lados que se oponen se colocan sus respectivas letras minúsculas.

N

r

a

m

M

A

n

R

2. Una razón trigonométrica indica la proporción en que se encuentran los lados. 2 2 2 3. (sen a) = sen a sena • sena + senb sen (a + b) 

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS II

sen   sen  (Lo mismo sucede con las otras razones trigonométricas). Problema desarrollado 1.

I. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO

C

Resolución:

b

a B

Demostrar que la cotangente del menor ángulo agudo de un triángulo rectángulo es si la hipotenusa es el triple de un cateto.

3a

a

 c

A

b2  a2  b2 Sea a el menor ángulo:

x



Para el ángulo a. b : a : c :

x  9a2  a2  x  2a 2

Hipotenusa Cateto Opuesto Cateto Adyacente

x  2a 2  a ctg 

  menor ángulo

2a 2 2 2 a


Luego podemos definir

MATEMATICA



11. Dado: sen  0,6 . Calcular:

En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º). Reducir: E = senA . secC

2.

R  sec2   tg2 Donde  es agudo.

En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º). Reducir: K=cosC . secC + 2tgA . tgC

3.

Si sen=

3 5 ;

Siendo: tg =

= 0,8, calcular:

M =3csc +4sec

donde "" es un ángulo agudo de un

Donde  es agudo.

2 triángulo rectángulo, calcular: M  1  ctg 

4.

α

12. Si: Cos

13. Calcular: ctg. Si

8 15

´ AM

es bisectriz.

,  es agudo.



2

Calcular: P  1  tg 

C 3

5. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º), se sabe que: b = 13 y a = 5. Calcular: E = secC + ctgA

M 2 B

A

6. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º), se sabe que: a + b = 3c. Calcular: R = secA + ctgC 7. En un triángulo rectángulo un cateto es el doble del otro. Calcular la secante del mayor ángulo agudo.

TAREA DOMICILIARIA

8. En un triángulo rectángulo, su hipotenusa es el doble de uno de los catetos. Determinar la cotangente de su menor ángulo agudo. 1. 9.

Calcular: tgx. Si:

Del gráfico, calcular: E = ctg  ctg

1 2

sen=

Si: MNPQ es un cuadrado.



M

N

x



Q

Rpta.: .............................................................



a

P

2a

2.

10. Calcular:

E  ctg.sec



6

Si BCDE es un cuadrado; calcular: E = ctg - tg D C 

A



E

B

Rpta.: ............................................................. 

3.

8

MATEMATICA

En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, reducir: M = c (senA – senB) + a . tgB


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Rpta.: ............................................................. 4.

9.

En un triángulo ABC, recto en B, se sabe:

12 5

tgA=

A 1

. Calcular: E = cscC+ctgC

3 4

Si: tg  =

R

Q

Rpta.: ..........................................................

5.

Calcular: tgA. Si PQRS es un cuadrado.

P

. Calcular:

10

M  2csc   ctg

S

B

Sea un triángulo ABC (recto en B). Si:

1 2 .

senA . senC=

Donde es agudo.

4

Calcular: E = ctgC + ctgA

Rpta.: ............................................................. 6.

Del gráfico, calcular:

tg . tg 11. Si: ctg =

C

1 3

; donde a: ángulo agudo.



Calcule: seca . csca 

A

2

D

B

1

12. Si: ctg = 4. Calcular:

Rpta.: .............................................................

E 

sen   cos csc 

Donde a es ángulo agudo.

7

Del gráfico, calcular: tg

B

α

R.T DE ANGULOS AGUDOS NOTABLES I 30º- 60º, 45º, 37º- 53º, 16º - 74º

C



D

A

Rpta.: .............................................................

8.

TRIÁNGULOS RECTÁNGULO NOTABLES Son aquellos triángulos rectángulos; donde conociendo las


medidas de sus ángulos agudos, se puede saber la

E = tg . tg

proporción de sus lados. Los triángulos conocidos son:





MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 60º k

45º

2k 30º

k

3 k

53º

k 2

k

5k

3k

Rpta.: .......................................................... 37º

45º 4k

9.

Calcular: A = (csc30º)tg45º – (ctg45º)sec60º

74º 25k

7k

Rpta.: ..........................................................

16º 24k


1.

10. Calcular: E = (sec 60º + csc30º) . sen 37º

Rpta.: ..........................................................

Calcular: E = 8sen45º + 4cos45º

11. Calcular: M = 32sen53º + 9sen30º

Rpta.: .......................................................... Rpta.: .......................................................... 2.

Calcular:

12. Si: tg = Cos 30º. Calcular: sen;  es agudo.

3. tg 30º  4cos60º Rpta.: ..........................................................

3.

Rpta.: ..........................................................

Calcular: R = cos260º . tg245º . sen230º

13. Si: sen = sen30º . tg37º . sec60º. Calcular: cos; es agudo.

Rpta.:.......................................................... Rpta.: .......................................................... 4.

Resolver: A = sen53º . cos60º + sen37º . sen30º 14. Calcular: E = Rpta.: ..........................................................

5.

Rpta.: ..........................................................

1  cos2 60º

Rpta.: ..........................................................

6.

15. Calcule: E = sen16º . cos 16º

Calcular: E = cos37º. ctg53º.sec60º

Rpta.: .......................................................... 16. Calcule: S = tg74º + ctg16º

Rpta.: ..........................................................

7.

Rpta.: ..........................................................

Calcular:

A  3.tg2 60º. 8sen30º

17. Calcule: R = tg53º . sec16º

Rpta.: ..........................................................

8.

; si: a = sen30º + tg37º

b = sec60º + cos230º

Calcular:

R

√ a+b

Rpta.: ..........................................................

Calcular: E = 16Cos60º + 32Sen37º

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Problema desarrollado

18. Calcule: P = cos53º . tg74º

1.

Rpta.: ..........................................................

Demostrar que:

ctg37º  csc  ctg

19. Calcule:

R  1  tg216



37º

Resolución:



24

25 

37º

7

R.T DE ANGULOS AGUDOS NOTABLES II (APLICACIONES GRÁFICAS) 30º- 60º, 45º, 37º- 53º, 16º - 74º

25

En el gráfico: b = 37º Luego: a = 74º

ctg37º 

4 3

csc  ctg 

25 7 32 4    24 24 24 3

 ctg37º  csc  ctg Problema por desarrollar 1.

Demostrar que:

tg37º  csc  ctg

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

60º 2K

45º K 2

K

K 

45º

30º

K

K 3

37º

Resolución:

TRIÁNGULOS APROXIMADOS


53º 5K 37º

25K

3K

4K

7K

16º 24K

1.

Del gráfico, calcular: tg.

Es cierto que estos tres triángulos no son los únicos, pues existen muchos más que los iremos descubriendo o demostrando poco a poco.

MATEMATICA



 B D 2 1 Rpta.: ............................................................. 45º

A

2.

x

B

C

53º

A

D

Rpta.: .............................................................

Calcular x del gráfico.

7.

Calcular: tg.

P

N 

8 53º

45º x

Calcular: x.

8.

Calcular: tgx.

A

x 13

30º

37º

C

B

Rpta.: ............................................................. 4.

D

B 5

A

Q

Rpta.: .............................................................

Rpta.: ............................................................. 3.

37º

M

C

20

Rpta.: ............................................................. En el gráfico, calcular: x.

9.

Del gráfico, calcular: ctgx.

x

A

C x

16 C A

37º

A

D H Rpta.: .............................................................

B

Rpta.: ............................................................. 5.

10.

En el gráfico mostrado, calcular: ctg x. Si: B

3

x

30°

Calcular: DB, si: AC  2 6

C 45º

60º

M

D

2

A

60º

x

60º

C

A

B

Rpta.: ............................................................. 6.

Calcular: x si el área del cuadrado es 64m2

TAREA DOMICILIARIA

MATEMATICA



A

De la figura, calcular: BH. Si: AC = 17.

B

16º

A

C



C

45º

16º

H 7.

B

D

Del gráfico, calcular: tgx.

C 2.

Calcular: BC.

100 5 3 x

B

3. Calcular: tg. Si: AB = BC.

8.

A 53º

74º

D

A

4

Calcular: tg.

B

45º

D 9 2



B

4.



A

C 9.

Del gráfico, calcular: ctg.

45º 21

Del gráfico, hallar: tg.

C

B

A



B

5.

2

D

6

16º

A D



C

E

cunferencia.

B 50

6.

16º

10. Del gráfico; calcular: sen. O: Centro de la semicir-

Calcular: tgx.

A

C

x

74º 26

 C

16º O

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

Calcular: tg.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Si : tg3x  ctg3x  3x  3x  90 6x  90 x  15 2. Si: sec(4x–20°) = csc7x Þ 4x – 20°+7x = 90° 11x = 110°

Razones Trigonométricas Recíprocas Si q es un ángulo agudo se cumple:

x = 10° Problema desarrollado Demostrar que:

1  sen   csc   1 sen  1 sec    cos  sec   1 cos 1 ctg    tg  ctg  1 tg  csc  

=

3 8

Si:

 sen(  sen )  csc(  cos)  tg45 8 Demostración:

Ejemplo: Determinar x en cada uno de los casos: 1.

  s e n    s e n   c s c   c o s    1 8  

á n g u l o s i g u a le s seno y cosecante son razones trigonométricas recíprocas. Luego:

S i : c o s ( 6 0 °  5 x ) . se c x = 1  6 0 °  5 x = x 6 0°= 6 x x = 10°

  sen sen

2.

á n g u lo s i g u a l e s

    cos 8

  co s  8

seno y coseno son co-razones luego:

   8 2     2 8

S i : t g 3 x . c tg ( 8 0 °  5 x ) = 1  3 x = 8 0 °  5 x 8 x = 80° x = 10° Razones Trigonométricas de ángulos complementarios



+ = 90°

c

a



b

sen  cos  tg  ctg  sec  csc  



4  3   8 8 8


b a ; cos  sen   c c

b a ; ctg  tg  a b

1.

c c ; csc  sec   a b

Calcular x, si: Rpta.:...........................................................

seno y coseno

2.

tangente y cotangente secante y cosecante.

Calcule x, si: cos3x.sec12°=1 Rpta.:...........................................................

Se denominan co-razones trigonométricas una de la otra respectivamente.

3.

Ejemplo: Determinar x.

Calcule x, si: tg4x.ctg(2x+30°)=1 Rpta.:...........................................................

1.

MATEMATICA



Calcule x, si: sec(2x–50°) . csc(x+20°)=1

14. Calcule m del gráfico:

A Rpta.:...........................................................

m 5.

Calcule x, si: tg2x=ctg60°

B

Rpta.:........................................................... 6.

7.

C

tg75  ctg  0 Rpta.:...........................................................

Simplifique:

15. Si:

sen 20 tg35  cos70 ctg55

    90 Calcule: E  ctg . ctg 

Rpta.:........................................................... 8.

4

Además:

Calcule x, si: sec(x+20°)=csc(x–20°) Rpta.:...........................................................

E



D

Reduce:

sen cos

Rpta.:...........................................................

sec20º ctg10º cos31º   csc70º tg80º sen59º

16. Calcule x, si:

tg 2x  40   ctg x  10   1

Rpta.:...........................................................

Rpta.:........................................................... 9.

Calcule:

E  sen10  csc10  3sec80 

17. Simplifique:

E Rpta.:...........................................................

cos8 sec16 tg25   sen72 csc74 ctg65

Rpta.:...........................................................

10. Reduce M = cos22º (sec22º – 8csc68º)

18. Calcule:

Rpta.:...........................................................

E  9  sen40  csc40

11. Sabiendo que: cos(60°–x).sec2x=1 sen3x=cos3y Determine (2y–x) .

TAREA DOMICILIARIA Rpta.:........................................................... 12. Determine: (3y–x), si: cos2x.secy=1

1.

tg40°.ctg2y=1

Reduce:

E  tg1  tg2  tg3... tg89

Rpta.: ...........................................................

Rpta.:...........................................................

13. Determine x.

16x tg15  8ctg75 2.

Calcule x, del gráfico:

Rpta.:...........................................................

MATEMATICA



Es el procedimiento mediante el cual se calculan los lados desconocidos de un triángulo rectángulo, en función de un lado y un ángulo agudo, también conocido. El criterio a emplear es el siguiente:

8 B



D

lado desconocido =R.T  ángulo conocido lado conocido

C

x

Además:

Despejándose de esta expresión, el lado incógnita. La R.T. a colocar; responde directamente a la posición de los lados que se dividen respecto al ángulo conocido.

tg 2  45   ctg  0

Es decir:

Rpta.:........................................................... 3.

4.

5.

6.

Se tienen los siguientes casos: I.

Calcule x, si: senx.csc 10° = 1 A)

10°

B)

20°

D)

5°

E)

15°

C)

Conocido el ángulo agudo y el cateto L adyacente a dicho ángulo.

30°

C

Calcule y, si: cos 2y.sec 20° = 1 A)

5º

B)

20°

D)

30º

E)

15°

y C)

4

B)

1

A

D)

3

E)

2

C)



B

L

Es decir: 5

C

C L se c

Simplifique: E = (sen 40° + 2 cos 50°).csc 40°

7.

x

10°

Calcule tgx, si: tg(x+10°)=ctg(x–10º) A)

Aplicando: x  tg   x  L tg L y  sec   y  L sec  L

A)

1

B)

2

D)

4

E)

5

C)

A

3



B

L

A



L tg  B

L

II. Conocido el ángulo agudo y el cateto L opuesto a dicho ángulo.

Simplifique: E = tg 10°.tg 20°.tg 30° ... tg 80° A)

1

B)

D)

2

2 √3

√3

C)

E)

C

√3 3

y 

A

Aplicando: x  ctg  x  L ctg L y  csc   y  L csc  L

L

x

B

C

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTANGULOS

C L c sc

L A

CÁLCULO DE LADOS

MATEMATICA 305



B

A



L c tg 

L B

III. Conocido el ángulo agudo y la hipotenusa L del triángulo. Aplicando : x  sen  x  Lsen L 3er Grado y de Secundaria  cos  y  L cos L


ÁNGULOS VERTICALES L

x

DEFINICIÓN



A

y

Los ángulos verticales son aquellos que están ubicados en un plano vertical. Esto es, los ángulos verticales formados por una línea visual y una línea horizontal.

B

Es decir:

C

C

L

L



A

B

A



Línea Visual: Es la línea recta que une el ojo de un observador con un objeto que se observa.

L se n 

L c o s

B

Línea Horizontal: Es la línea recta paralela a la superficie horizontal referencial, que pasa por el ojo del observador.

ÁREA DE UN TRIÁNGULO El área de un triángulo cualquiera es igual al semiproducto de dos de sus lados multiplicado por el seno del ángulo que forman dichos lados. En el gráfico; S área del triángulo ABC.

En el gráfico:

a

h

c

H

A

 

p la n o h o r iz o n ta l

B

S

b.h 2

y 

: Ángulos verticales por su ubicación, se clasifican en:

C

b

Pero: h =asenC

α

b.asen C ab S  .sen C 2 2

θ

:ángulo de elevación :ángulo de depresión

Los problemas en este capítulo, son básicamente para dibujar correctamente el enunciado, reconociendo los ángulos de elevación y depresión para su correcto trazo.

Es decir:

S

ab ac bc senC  senB  senA 2 2 2

Por ejemplo: 1.

Un niño de estatura h observa lo alto de un poste con un ángulo de elevación

Por ejemplo; en el triángulo ABC: B

α

.

7 A

37°



S

h

10 C

7.10 S sen37 2 3 pero : sen37  5 7.10 3 luego : S  . 2 5  S  21

2.

37º

Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación

53º 5

h o r iz o n ta l

β.

3

4

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” PROBLEMAS PARA LA CLASE p u n to e n tie r r a



h o r i z o n ta l 1.

3.

Calcule BC en el gráfico:

B

Desde lo alto de una torre se divisa un objeto en el

α

suelo con un ángulo de depresión



.

h o r iz o n ta l



C

10

A

Rpta.:........................................................... o b je to

2. 4.

Un niño de estatura h divisa una hormiga en el suelo con un ángulo de depresión

α

h o r iz o n ta l

.

8



60° x

h

Rpta.:...........................................................

h o r m ig a 3. 5.

Determine el perímetro del triángulo dado:

Desde lo alto de un poste se ve lo alto de un edifico con un ángulo de elevación y desde lo alto del edificio se ve la base del poste con un ángulo de depresión

β

m

.

 Rpta.:...........................................................

 

6.

Determine x; en el triángulo

4.

Calcule el perímetro del triángulo dado:

Un niño observa los ojos y pies de su padre, con ángulos de elevación y depresión

α

y

β

,



respectivamente



a

Rpta.:........................................................... 5.



Calcule sen , si ABCD es un rectángulo.

B

2

2

C

 3

A

Rpta.:...........................................................

6.

MATEMATICA

D

Calcule, sen , si ABCD es un rectángulo.



C

12  A

9 16 Rpta.:...........................................................

7.

D

TAREA DOMICILIARIA

Una persona de 2m de estatura divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 45°. Si la altura del poste es de 20m. ¿A qué distancia de él se halla la persona?.

1.

Calcule el perímetro del triángulo ABC.

C

4

Rpta.:........................................................... 8.

Desde lo alto de un edificio de 8 pisos, se ve un punto en tierra con un ángulo de depresión de 45°. ¿Cuánto mide cada piso del edificio?, si el punto observado se halla a 24m del mismo.

2.

Rpta.:........................................................... 9.

3.

Desde lo alto de un árbol se ve un pajarito en tierra ctg 



B

1

3 ). ¿A qué con un ángulo de depresión “  ” ( distancia de la base del árbol se halla el pajarito; si el árbol mide 9m?

4.

Rpta.:...........................................................

A

Un niño de 1,5m de estatura; está ubicado a 6m de una torre y observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 53°. ¿Cuál es la altura de la torre? Rpta.:........................................................... Desde un punto en tierra se divisa una antena que se halla sobre una casa bajo un ángulo de 60°. La parte superior de la casa de elevación de 30°. Si la antena mide 8m, ¿cuál es la altura de la casa? Rpta.:........................................................... Determine x, del gráfico.

B

10. Una colina está inclinada un ángulo “  ” respecto a la horizontal. A una distancia d del inicio de la colina y sobre ella se encuentra un objeto. ¿A qué altura se encuentra éste respecto a la horizontal? Rpta.:...........................................................

A

11. Desde la parte más alta de un edificio situado a una distancia d de una torre se le ve la parte más alta con un ángulo de elevación  y la más baja con un ángulo de depresión . Calcule la altura de la torre. Rpta.:........................................................... 12. Calcule BC en el gráfico:

5.

45°

 n

D

x

C

Calcule tgx, del gráfico.

B

x

C

A x

D

2



C

m 

B

3

6. Desde un punto ubicado a 24m de una torre, se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación de 53º. ¿Cuál es la altura de la torre?

A

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Llamado también sistema de coordenadas rectangulares, es aquel sistema de referencia formado por el corte perpendicular de dos rectas numéricas en un punto denominado origen del sistema.

7. Una persona de 2m de estatura, ubicada a 32m de una torre de 34m de altura; divisa la parte más alta con un ángulo de elevación de: 8. Desde lo alto de un edificio de altura h se divisa una piedra en el suelo con un ángulo de depresión . ¿A qué distancia de la base del edificio, se halla la piedra?

Y

IIC

9. Desde un punto en Tierra se divisa lo alto de una torre con un ángulo de elevación a. Si el observador se acerca 20m el ángulo de elevación sería b. Calcule la altura de la torre, si además se sabe que:

(+ )

IC

(+ )

X

()

ctg  ctg  0,25

IIIC

10. Desde lo alto de un faro se observa a un mismo lado, dos barcos con ángulos de depresión  y ( <). Si la altura del faro es de 15m, calcule la distancia de separación de los barcos, si: ctg  – ctg  = 0,8

En el gráfico adjunto se puede apreciar la división del plano en cuatro regiones, cada una de las cuales se va a denominar cuadrante y tienen la numeración que se indica. Las rectas numéricas se llaman:

11. Calcule AC en el gráfico.

B

eje X: eje de abscisas. eje Y: eje de ordenadas.



Nota: Los cuadrantes no consideran a punto sobre el eje X e Y.

H

A

IV C

()

Sobre este plano cartesiano, René Descartes dio origen a su Geometría Analítica y a representar geométricamente

 D

ecuaciones algebraicas que relacionaban dos variables ( x e

C

y); tal es el caso de las rectas, las cónicas (parábola, elipse, hipérbola), la circunferencia y otras curvas

12. Desde un punto de tierra ubicado a 10 m de una torre, se observa la parte más alta con un ángulo de elevación . Calcule la altura de la torre; si: tg  = 2/5. A) 2m B) 3m C) 4m D) 1m E) 5m

maravillosas

(lemniscatas,

cicloides,

espirales

de

Arquímedes, etc.); que son materia de análisis en un curso más completo de Geometría Analítica que el que aquí presentamos.

PAR ORDENADO (X;Y)

13. Un niño de 1,5m de estatura divisa una piedra en el suelo con un ángulo de depresión de 37º. ¿A qué distancia del niño se encuentra la piedra? A) 1m B) 3m C) 5m D) 4m E) 2m

Es un conjunto formado por dos elementos que tienen un orden establecido, el primer elemento pertenece al eje de las abscisas, el segundo elemento pertenece al eje de las ordenadas.

x: ubicación del punto respecto del eje de abscisas y: ubicación del punto respecto del eje de ordenadas.

GEOMETRÍA ANALÍTICA

UBICACIÓN DE UN PUNTO Un punto queda localizado en el plano cartesiano; cuando se conocen los valores que le corresponden a la proyección del punto sobre cada uno de los ejes. En el gráfico:

PLANO CARTESIANO

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Y

A(1; 5) y B(–2; 2)

P ( x ;y )

2

d(A;B)   1   2

  5  2

2

d(A;B)  9  9  18  d(A;B)  3 2

y

y

DISTANCIA HORIZONTAL (DH)

X

0

Dado los puntos P(x1; y) y Q(x2; y), entonces la distancia horizontal (DH), se calcula restando las abcisas de P y Q.

x



x e y: componentes de P.

D x x H

2

1

, donde x  x 2

1

El punto es: P(x; y)

Ejemplos:

x: abscisa de P.

1. Hallar la distancia horizontal entre P(–4; 3) y Q(5; 3)

y: ordenada de P.

 DH  5  (4)

OP : radio vector

 DH  9

Se cumple:

r 2  x2  y2

DISTANCIA VERTICAL (DV) Dado los puntos P(x; y1) y Q(x; y2), entonces la distancia vertical (DV), se calcula restando las ordenadas de P y Q.

;r>0

 D  y  y , donde y  y

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Dados los puntos



A x ;y 1

1







y B x ;y 2

V

2 ; la distancia

2

1

2

1

1. Hallar la distancia vertical entre A(–4; 5) y B(–4; –3).

entre ellos se calculada así:

 D  5  (3)

 D 8

V

V

2. Hallar la distancia vertical entre R(2; 16) y S(2; 4).

A ( x 1 ; y 1)

 DV  16  4

Problema desarrollado Demostrar que la distancia entre los puntos P (x ; y ) y 1 1 1 P (x ; y ) es: 2 2 2

B (x 2 ; y 2)



d(A,B) 

x x 2

1

  2

 y y 2

1



 DV  12

d  (x  x )  (y  y ) 2

2

1

2

1

Demostración:

Y P2 (x 2; y 2 )

Ejemplo:

Y

B (-2 ;2 ) -2

d

A (1 ;5 )

5

P1 (x 1; y 1) x 2– x 1

2 1

X

y2– y1 X

Por el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo tenemos:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 

2

 y 2

d2  x  x

1

2

y

1

2



2

Rpta.:...........................................................

2

d  (x  x )  (y  y ) 2

1

2

1

5.

Rpta.:...........................................................

Problema por desarrollar 1.

Demostrar que el área del triángulo mostrado es:

S

x

2

¿Cuál es la distancia entre P(1;-2) y Q(4;2)?

 

 y2  x1  y1  x2  y1  x1  y2

6.



Rpta.:...........................................................

2 7.

Y

¿Cuál es la distancia entre A(3;5) y B(3;-4)?

P 2(x 2; y 2)

¿Cuál es la distancia entre M(-2;6) y N(4;-2)? Rpta.:...........................................................

8.

Dado los puntos P(-6;2), Q(4;2); R(1;5) y T(1;-5). Calcule:

P 1( x 1; y 1)

E

X Demostración:

PQ RT

Rpta.:...........................................................

PROBLEMAS PARA LA CLASE 9. 1.

En el gráfico. Calcule PQ.

Y

Indicar las coordenadas de cada punto.

P ( - 4 ;3 )

Q (5 ;3 )

Y A

7 4 -8

F

C

Rpta.:...........................................................

1

-3 -1

-1

G

X

B D

1 3

5

6

X

10. En el gráfico. Calcule DC.

Y

-9

E

X

Rpta.:...........................................................

D ( - 5 ;- 4 )

C (6 ;-4 )

Rpta.:........................................................... 2.

¿En qué cuadrante se ubica P(-3;2)?

11. En el gráfico. Calcule EF.

Rpta.:...........................................................

Y E (2 ;2 )

3.

¿El punto P(4;0) se ubica en el IC?

X

Rpta.:........................................................... 4.

F (2 ;- 3 )

¿Cuál es la distancia del punto P(3;6) al eje X?

12. En el gráfico. Calcule MN.

MATEMATICA



M (- 4 ;1 )

Y

(1 0 ;8 )

X

X 

N ( - 4 ;7 )

(- 2 ;-2 ) 13. Determine el perímetro de la figura:

(1 0 ;- 2 )

Rpta.:...........................................................

Y (6 ;5 )

5.

Calcule el área del rectángulo cuyos vértices están en los puntos: A(-2; 7), B(– 2, 2), C(6; 2) y D(6; 7)

X

Rpta.:...........................................................

(- 5 ;-2 )


1.

Y

Calcule tg  , si:

(-3 ; 7 )

Calcule el área del triángulo ABC.

(7 ;9 ) B

Y

C (1 5 ;1 )

A (3 ;1 ) X

 (- 3 ;-2 )

Rpta.:...........................................................

(9 ;- 2 ) 7.

Rpta.:........................................................... 2.

Y

8.

¿Cuál es la distancia del punto P(3; 4) al eje X?

9.

¿Cuál es la distancia entre los puntos A(-1; 3) y B (2; 5)?

( 1 0 ;6 ) B (7 ;4 )

10. Calcule la distancia horizontal:

X D

Q(2a-b; a+2b)

Rpta.:...........................................................

Calcule la suma de distancias de los segmentos AB y CD.

C

y

2 2 Si: a +b =8

Si dos vértices de un triángulo equilátero son A(3;1) y B(7;4). Calcular su perímetro.

(-4 ;6 ) A

Calcule la distancia entre: P(3a-2b; 2a+3b)

Rpta.:.......................................................... 3.

(-4 ; 4 )

(7 ;- 4 )

Y D

H

Rpta.:........................................................... 4.

X

(6 ; 4 ) X

11. Calcule la distancia vertical:

Calcule ctg  .

MATEMATICA



1. Demostrar que las coordenadas del punto medio de un segmento de extremos P1(x1 ; y1) y P2(x2 ; y2) son .

(3 ; 4 ) D

V

 x1  x2 y1  y2 ;   2 2   

M

X

Resolución:

(3 ; -2 )

y

y2

12. Calcule: (x + y ). 0 0

y2- y

Y

A

(-3 ; 3 )

a

y

y - y1

B ( 4 ;y 0 )

P 2( x 2 ; y 2) M (x ; y )

a

y1

P 1(x 1 ; y 1)

X C

(x 0 ;-4 )

x1

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

b x -x 1

x

b

x

x2

x 2-x

En el gráfico por el teorema de Thales:

x x

 b1 x x b 1

2

x  x  x  x  2x  x  x 1

x

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

2

1

2

x x 1

2

2

De forma análoga:

y y

y

1

y y

P 2(x 2 ; y 2)

2

y  y1  y2  y  2y  y1  y2

M (x0 ; y 0) P 1(x 1 ; y 1)

 a 1 a

y

x

y y 1

2

 x1  x2 y1  y2 ;   2 2   

 M

Las coordenadas del punto medio M(x ; y ) de un 0 0 segmento cuyos extremos son:

P2  x2;y2 

x0 

y0 

P1  x1;y1 

y

2

son:

Problema por desarrollar: 2. En el siguiente gráfico coordenadas del punto M son:

x1  x2 2

x

y1  y2 2

y

Problema desarrollado:

MATEMATICA

demostrar

que

x  2.x 1

2

3 y1  2.y2 3


las


E

P 2( x 2 ; y 2)

b a

Y M (x ; y)

(a ;b )

( – 4 ;7 )

(6 ;3 ) P 1(x 1 ; y 1)

X x

Rpta.:...........................................................


7.

Calcule las coordenadas del punto “P”

Q (8 ;1 2 ) 1.

Calcule

las

coordenadas

del

punto

medio

M (6 ;9 )

del

segmento AB cuyos extremos son: A(3;2) y B(9;10)

P (x ; y ) Rpta.:........................................................... 2.

Rpta.:...........................................................

Calcule las coordenadas del punto medio de un segmento cuyos extremos son: P(8;2) y Q(-2;6)

8.

Calcule las coordenadas del punto “N”

N (x ; y )

Rpta.:...........................................................

Q (4 ;3 ) (6 ;2 )

3.

Calcule las coordenadas del punto “M”

Rpta.:...........................................................

B (9 ;8 ) 9.

M

B (4 ;1 0 )

A (1 ;0 )

P (1 0 ;7 )

M

Rpta.:........................................................... 4.

Calcule las coordenadas del punto “N”

N

A (- 4 ;-4 )

Calcule la suma de coordenadas del punto “M”

Rpta.:...........................................................

Q (1 0 ;7 ) M

10. Calcule las coordenadas del punto medio “M”

P (2 ;5 )

(5 ;1 0 )

Rpta.:........................................................... 5.

(1 0 ; 8 )

Del gráfico, calcule “y0 - x0”:

Y

M

B (1 ;8 )

(-3 ; 0 ) (1 6 ; -2 )

(x 0;y 0 )

Rpta.:...........................................................

A ( – 5 ;2 ) X

11. Calcule las coordenadas circunferencia.

Rpta.:........................................................... 6.

del

centro

de

Calcule:

MATEMATICA


la


Y

(4 ;3 )

B (8 ;4 )

C

A (- 2 ;2 )

X

( x 0 ;y 0)

X (1 ;– 3 )

Rpta.:........................................................... 6.

Halle:

TAREA DOMICILIARIA

R

b a

Y (– 2 ;1 0 )

1.

(a ;b )

Calcule la distancia vertical:

(8 ;2 )

M (– 3 ;7 )

X

(7 ;7 ) D

Rpta.:........................................................... 7.

V

Calcule las coordenadas del punto “R”

R (x ; y )

(x ;– 2 ) 2.

Calcule el área del triángulo:

M (4 ;2 )

B (6 ;6 )

Q (– 4 ,– 2 ) Rpta.:........................................................... 8.

A (4 ;2 )

Calcule las coordenadas del punto A(x ; y)

C (8 ;2 )

B (9 ;8 )

Rpta.:........................................................... 3.

Calcule la distancia horizontal:

M (5 ;4 ) (6 ;1 2 )

A (x ; y ) Rpta.:...........................................................

(2 ;7 ) D

9.

H

Calcule las coordenadas del punto A(x ; y).

(– 8 ;2 ) Rpta.:........................................................... 4.

(5 ;1 1 )

Calcule la distancia vertical:

A (x ; y )

M (– 6 ;5 )

(1 4 ;- 1 )

(2 ;5 ) D

(- 5 ;- 5 )

V

Rpta.:...........................................................

(x ;– 3 ) Rpta.:........................................................... 5.

10. Calcule la distancia vertical:

Del gráfico, calcule: “y0 - x0”

MATEMATICA



M ( – 5 ;4 )

(1 5 ;4 ) D

L 30° o

V

X

m  tg30

(x ;– 3 )

m Y

L

ECUACIÓN DE LA RECTA

3 3

X

m  tg120 m  3

ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA La dirección de una recta “L” se indica por el ángulo “” que forma con el eje “x”. El ángulo de inclinación “” se mide en sentido antihorario desde el eje “x” hasta la recta “L”.

Y

Y

+

m =

L

L 30°

Si una recta “L” pasa por los puntos y la pendiente “m” se calcula como sigue:

90°

X

L

y2 - y1 x2 - x1

P 2( x 2; y 2)

X

P 1( x 1; y 1) Ejemplo: Calcule la pendiente de la recta “L” que pasa por los puntos

Y

L

Resolución:

X

m

6   3 9   3 5 2 3

ECUACIÓN DE UNA RECTA

Y L

Si P(x;y) es un punto cualquiera de una recta “L” y P(x ;y ) 1 1 es un punto conocido de ella, entonces la recta “L” queda determinada mediante la ecuación:

180°

y  y0  m x  x0 

X

forma punto-pendiente

Esta ecuación la convertimos a una expresión lineal y resulta:

Ax  By  C  0

PENDIENTE DE UNA RECTA La pendiente de una recta “L” se denota por «m» y se define como la tangente de su ángulo de inclinación “”. Es decir:

forma general

Ejemplo: Calcule la ecuación de una recta que pasa por los puntos A(4 ; -3) y B(7 ; 9).

m  tg

Resolución Primero; calculamos la pendiente con los puntos A(4;– 3) y B(7 ; 9).

Ejemplos:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” m

2.

9  (3) 12  4 7 4 3

puntos (1;3) y (7;15).

Segundo; reemplazamos la pendiente “m” y el punto conocido A(4 ; -3) en la ecuación punto pendiente, así: y =– (–3) = 4 . (x - 4)

y + 3 = 4x - 16

0 = 4x - 16 - y - 3

0 = 4x - y - 19

4x  y  19  0

Calcule la pendiente de la recta que pasa por los

3.

Si el ángulo de inclinación de la recta con la

horizontal es 45º. Calcule la pendiente de dicha recta.

4.

forma general

Determine el ángulo de inclinación de una recta que

pasa por los puntos (-1;3) y (7;9).

Si reemplazamos como el punto conocido a B(7; 9) la ecuación resulta la misma.

4x  y  19  0

5.

Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente es 3 y

pasa por el punto (3;4). PROPIEDADES I.

Dada la ecuación de una recta: Ax + By + C=, su pendiente “m” se calcula como sigue:

m 

6.

Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente es – 3

y pasa por el punto (5;8).

A B

7.

Ejemplo:

Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente es y

pasa por el punto (2;5).

Calcule la pendiente de la recta cuya ecuación es: 3x - 4y -12 =0

Resolución:

8.

3 3x  4y  12  0  m   ( 4) 3 m 4

Calcule

la ecuación de la recta que pasa por los

puntos (3;4) y (4;7). 9.

Calcule

la ecuación de la recta que pasa por los

puntos (2;7) y (6;13) 10. La pendiente de una recta es 6 y pasa por los puntos

II. Si un punto (a;b) pertenece a una recta “L” de

Ax+By+C=0

ecuación: su ecuación, es decir:

(6 ; b) y (8 ; 9)“b”. Calcule “b”. 11. La pendiente de una recta es y pasa por los puntos (a

, entonces debe satisfacer

; 4) y (-3;2). Calcule “a”

(a;b)  L: Ax+By+C=0  Aa + Bb + C=0

12. Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2;4) y (6;12).

Ejemplo:

13. Calcule la pendiente de la recta que pasa por los

El punto (a;5) pertenece a la recta de ecuación:

puntos (-5;1) y (7;3).

2x - 3y - 12 =0. Calcule el valor de “a”.

14. Si el ángulo de inclinación de la recta con la

Resolución:

horizontal es 60º. Halle la pendiente de dicha recta.

(a;5) L: 2x – 3y – 12 = 0 2a – 3(5) – 12=0

15.

 a=

pendiente es 5 y pasa por el punto (2;5)

27 2

TAREA DOMICILIARIA


1. 1.

Calcule la ecuación de la recta cuya

Calcule la pendiente de la recta que pasa por los

Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente es y

pasa por el punto (3;3).

puntos (3;2) y (7;5)

2. Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1;3) y (3;7).

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 3. La pendiente de la recta es 2 y pasa por los puntos (10;a) y (a;4). Calcula “a”. 4.

11. Demostrar que el área del triángulo que forma la

Calcule la ecuación de la recta

recta: ax + by + c = 0; “x” e “y” es:

Y 6

con los ejes

2

S  1. c 2 a.b

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD

X

5 5.

a  0;b 0 y c  0

Calcule la ecuación de la recta: y 3

-2

ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

x

6. Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2;5) y (4;11). A)

1

B)

2

D)

4

E)

5

C)

Llamada también en posición canónica o standar; es aquel ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema cartesiano, su lado inicial coincide con el semieje positivo de abscisas y su lado final se ubica en cualquier región del plano, siendo el que indica a que cuadrante pertenece el ángulo.

3

7. Si el ángulo de inclinación de la recta con la horizontal es de 37º. Calcule la pendiente de dicha recta. A)

4/3

B)

5/3

D)

3/4

E)

5/3

C)

4/5

Y 

8. Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (6;9). A)

x-y-9=0

B)

3x-y-9=0 C)

D)

3x-y+9=0

E)

x-3y-9=0



3x+y-9=0

9. Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2;7) y (6;13) A) 2x – 3y+8 = 0 B) 3x – 2y +8=0 C) 3x– y – 8 = 0 D) 3x – 2y – 8=0 E) 2x – 3y – 8 =0

X

PROPIEDAD Si  es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta, entonces se cumple que:

Y

Si   IC

X

–3 A) 3x - 4y + 12 = 0 C) 3x - 4y - 12 = 0 E) 3x - 4y + 4 = 0



En el gráfico, por ejemplo b no es un ángulo canónico (note donde se inicia). Como  y  son ángulos canónicos; decimos: IIC, IIIC;  IVC.

10. Calcule la ecuación de la recta.

4



B) 3x + 4y - 12 = 0 D) 3x + 4y - 4 = 0

MATEMATICA



0    90

Si   IIC 

90    180

Si   IIIC 

180    270

Si   IVC 

270    360



Ejemplo: 2 Si: IIIC, ¿en qué cuadrante está 3 ? Resolución: Si: IIIC  180°<<270°

P (– 4 ; – 3 )

2 2 2  180     270 3 3 3 120 

Se observa del gráfico: 2 2 2 x = –4; y = –3 r = (-4) + (-3) r=5 sen   3 cos   4 tg  3  3 5 ; 5; 4 4 Luego:

2  180 3

2 Como 3 está entre 120° y 180° entonces:

X

2  IIC 3


DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD

Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo canónico, tomamos un punto que pertenezca a su lado final. Luego:

Y 

X

Y

(– 6 ; – 8 )

P (x ; y ) r

Rpta.:...........................................................

 X

Calcular: E = ctg – csc

y r

csc  r y

Y

cos  x r

sec  r x



sen 

tg  Donde: X: abscisa

7.

y x

Y: ordenada

X

(1 5 ; – 8 )

ct g  x y

Rpta.:...........................................................

r: radio vector

2 2 2 Además: r = x + y

8.

Hallar:

M  5  cos  sen 

Y

Ejemplo:

3



X

–6 Rpta.:...........................................................

MATEMATICA



Rpta.:...........................................................

Del gráfico, calcular: E = 8(sec – tg) 2.

Y X



Hallar: C = 5cos+ 6tg

Y

(8 ; – 1 5 )

6



X

Rpta.:...........................................................

10. Calcular:

E

–8

sen 1  cos

Y Rpta.:...........................................................

(– 3 ; 4 ) 3.



Calcular: E = sen + 2cos

X

Y 4

Rpta.:...........................................................

 –3

11. Calcular m, si ctg = –2

X

Rpta.:...........................................................

Y (m – 5 ; m – 2 ) 4.



Del gráfico, calcular tg

Y

3 7º

X



TAREA DOMICILIARIA

X

Rpta.:...........................................................

1.

5.

Calcular tg

Calcular: E = sen + cos

Y

Y

( 7; 2)

(– a , 2 a) 



X

X

MATEMATICA



Rpta.:........................................................... 6.

Hallar: P = csc + ctg

- x

x

r

r

y



Y –y

y

r

r

–x

x

X

–y

X (– 3 ; – 4 )

7.

Rpta.:...........................................................

Primer Cuadrante

Calcular: E = tg + ctg

En el primer cuadrante todas las razones trigonométricas son positivas porque la abscisa (x) y la ordenada (y) y el radio vector (r) son positivos. Segundo Cuadrante

Y P (– 2 ; 4 )



En el segundo cuadrante el seno y la cosecante son positivas porque la ordenada (y) y el radio vector (r) son positivos. Las demás razones trigonométricas son negativas. Tercer Cuadrante

Q (8 ; 2 )

X

En el tercer cuadrante la tangente y la cotangente son positivas porque el radio vector (r) es positivo. Las demás razones trigonométricas son negativas.

Rpta.:........................................................... 8.

Del gráfico, calcular tg

(– 2 ; 4 )

Cuarto Cuadrante En el cuarto cuadrante el coseno y la secante son positivas porque la abcisa (x) y el radio vector (r) son positivos. Las demás razones trigonométricas son negativas. Complete usted: tenemos: x = 12

Y

 –6

X

y = –5

Rpta.:...........................................................

r = 13

RAZ. TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD II

r = 13

Y 

sen 

X 13 P (1 2 ; – 5 )

y  r

cos  x  r tg 

y  x

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN CADA CUADRANTE

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” SIGNOS DE LAS R.T.

6.

En los ejemplos anteriores algunas razones trigonométricas resultaron positivas y otras negativas. Esto dependerá del cuadrante en el que se ubique el ángulo considerado, en el cuadro adjunto se aprecia un criterio para recordar los signos; entendiéndose que están indicadas las que son positivas y sobreentendiendo que las no mencionadas en cada cuadrante, son negativas.

Si el punto M(–3; 4) es un punto que pertenece al lado final del ángulo a en posición normal. Calcular:

E  sen  cos  tg

Rpta.:...........................................................

7.

Si:

sen 

1 3 y   IIIC , calcular el valor de:

R  8  sec  tg 

Y se n (+ ) csc

P o s itiv a s to d a s

tg (+ ) c tg

co s (+ ) se c

Rpta.:........................................................... 8.

X

Si: tg = 2,4 y   IIIC . Calcular cos Rpta.:...........................................................

9.


cos 

1 2 ;   IIC .

Si: Calcular tg

Rpta.:........................................................... 10. Si: sen  cos  0 ;

1.

¿En qué cuadrante podría estar ubicado ?

Determinar el signo de: E = sen100º×cos220º

Rpta.:...........................................................

Rpta.:...........................................................

2.

Calcular el signo de:

11. Si: 5sen – 3 = 0    IIC

tg230º sen205º E tg320º

Calcular: E  sec  tg

Rpta.:.......................................................... . 12. Si el lado final de un ángulo canónico q pasa por P(1; –

Rpta.:........................................................... 3.

Si: sen>0 pertenece a

3); calcular: K  sec  csc

cos<0, determinar a que cuadrante

3 5 y  pertenecen al tercer cuadrante. 13. Si: Calcular: E  sec  tg sen 

Rpta.:........................................................... 4.

Determinar a que cuadrante pertenece , si sen>0 tg<0.

14. Si:

Rpta.:........................................................... 5.

8tg   sec45º 

2tg 3

Calcular: E  Sec  Tg

Si q es un ángulo en posición normal cuyo lado final pasa por el punto P(1; 3). Calcular:

y   IV ,

Rpta.:...........................................................

E  10sen  tg

tg1

 125 y   IIIC . Calcular: M  sec  csc

15. Si: 5

Rpta.:...........................................................

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Rpta.:........................................................... tg 16. Si: 2  8 ;   IIIC .

Calcular: P  10sen  cos Rpta.:........................................................... 5.

17. Si: tg = 3, calcular 

A)

5

D)

5 3

B)

5 2

E)

5 4

3 4

C)

Del gráfico determine: M  12tg  5sen

Y

(4 ; 3 )



Y

X 

X

(a – 1 ; 4 a – 1 ) A) D)

Rpta.:...........................................................

–6 –20

B) E)

–10 –15

C)

–12

TAREA DOMICILIARIA

1.

Señale el signo de: P = sen124ºcos110º A) D)

(+) +ó–

B) E)

6. (–) N.A.

C)

Si:

tg 

4 3 , calcular n



Y  X

2.

Determine a qué cuadrante pertenece a, si: tg <0 cos >0

(2 n – 2 ; 3 n – 2 )

Rpta.:........................................................... A) D)

IC IVC

B) E)

IIC Ninguno

C)

IIIC 7.

3.

1 cos  ;   IVC 3 Si:

Calcular: tg

Y  X

Calcular tg A)

 2

D)

3 2

B)

 3

E)

2 3

C)

2 2

(4 , – 3 ) Rpta.:...........................................................

4.

tg1  27 y   IIIC , calcular: E  csc  sec Si: 3

8.

MATEMATICA

Del gráfico mostrado, halla:

P  5ctg  34 cos



Y

 X

180° –180°

M (3 ; – 5 )

90° –90°

X

Rpta.:........................................................... 9.

Demuestre que la suma de los valores que toma la expresión, en cada uno de los cuadrantes, es igual a cero.

medida de un ángulo  90º n, n   cuadrantal

R.T. DE LOS ÁNGULOS CUADRANTALES

sen cos tg E   sen cos tg

 sen cos tg ctg sec csc

10. Demuestre que la suma de los valores que toma la expresión, en cada uno de los cuadrantes, es igual a cero.

E

ctg sec csc   ctg sec csc

0;360 90; 180; 270; 2 /2  3 / 2 0 1 0 1 1 0 1 0 0 N.D. 0 N.D. N.D. 0 N.D 0 1 N.D. 1 N.D. N.D. 1 N.D. 1

N.D.: no determinado

RAZ. TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES Y COTERMINALES

CÁLCULO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES: Por ejemplo; para hallar las R.T. de 90°, tomamos al punto P(0; 1)

Y P (0 ; 1 )

ÁNGULOS CUADRANTALES Son aquellos ángulos canónicos, cuyo lado final coincide con cualquiera de los semi-ejes cartesianos. Su medida es siempre múltiplo de 90° y no pertenecen a ningun cuadrante.

90° X Reconocemos:

x  0  r 1 y  1  Luego:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” sen90 

y 1  1 r 1

cos90  x  0  0 r 1 y 1   N.D. x 0 ÁNGULOS COTERMINALES Son aquellos ángulos trigonométricos no necesariamente canónicos que tienen el mismo lado inicial y final; motivo por el cual también se les llama ángulos cofinales. Las medidas de estos ángulos se diferencian siempre en un número entero de vueltas; o dicho de otra manera, la diferencia de sus medidas es siempre un múltiplo de 360°.

5.

Simplificar: M = 8cos0° – 6sen270°

6.

Reducir:

tg90 

E  18cos0  7sen90 7.

E  7sen90  9cos0 8.

 O





Simplificar:

E

Y



Simplificar:

2

sen 90  tg0 cos0  tg180

9. Los ángulos coterminales?

X

que

miden

120°

y

480°.

¿Son

10. Los ángulos que miden 50º y 770º. ¿Son coterminales?

 y  : n o c a n ó n ic o s y c o te r m in a le s

 y  : c a n ó n ic o s y c o te r m in a le s

11. Reducir la expresión

S i  y  : c o te r m i n a le s 

M

 –  = 3 6 0 °. n ; n 

PROPIEDAD Las razones trigonométricas de los ángulos coterminales son respectivamente iguales.

 a  b 2 sen90  4abcos180 asen90  bcos180

12. Reducir:

E



 a  b 2 sen90   a  b 2 cos180 csc90  sec0

13. Simplificar la expresión:

P

 R .T .(  ) = R . T .(  )

sen270  cos90  tg0 1  sen180  cos90

14. Calcular x

cos2 360  sen270  3  x  cos180


15. Si: f(x) = sen2x – cos4x – sec8x Calcular: f(45°) 16. Si los ángulos ‘‘a’’ y ‘‘q’’ son coterminales, calcular: 1.

Calcular: cos0° + sen0°

2.

Simplificar: 3sen90° + 2cos0°

3.

sen  cos  sen  cos

TAREA DOMICILIARIA

Reducir:

E 4.

E

7cos0  5sen90 4tg45

Calcular:

1.

E = 2sen90° + 3cos360°

Reducir: 2 2 E = 2sen 90º + cos 360º

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” A) D)

2.

1 4

2 5

C)

3 9.


Y

Simplificar:

3sen90º 4cos0º

M A) D)

3.

B) E)

2

2cos 180º 1,5 3,5

B) E)

2,5 2

C)



3




X

10. Demostrar de la expresión:

sen ctg P  sen ctg

    sen   2  ; y : cuadrantales

Y

Que la suma de valores [0,2] es igual a cero.



 X

A) D)

4.

1 4

B)

2

E)

1 2

C)

3

    cos   3   y :

11. Demostrar de la expresión; cuadrantales. Que la suma de valores [0; 2] es igual a cero.

Calcular:

R   a  b sen4 90º   a  b cos3 180º 2

A) D) 5.

2

2 2 a +b 2 2 a –b

B)

2ab

E)

4ab

C)

2 2 b –a

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

Del gráfico calcular tg

Y

37°

 A) D) 6.

3/4 –4/3

B) E)

Es el procedimiento mediante el cual se calcula las razones trigonométricas de ángulos que no son agudos, en términos de un ángulo que si lo sea.

X 4/3 3/5z

C)

–3/4

Para ello, vamos a analizar los siguientes casos:

Si los ángulos ‘‘’ y ‘‘’’ son coterminales, calcular:

1er caso: Ángulos Negativos

1  sen M sen  1 7.

cos(–x) = cosx

Si los ángulos  y  son coterminales, calcular:

E 8.

sen(–x) = –senx

tg sen  tg sen

tg(–x) = –tgx ctg(–x) = – ctgx sec(–x) = secx

Si los ángulos ‘‘’’ y ‘‘’’ son coterminales, calcular:

E

csc(–x) = –cscx

cos  1  tg cos  1  tg

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” FORMA PRÁCTICA

NOTA: En el IIC; IIIC; IVC las demás presentan signo

Nótese que el signo se ‘‘anula’’ para el coseno y secante; y para las otras cuatro, el signo ‘‘sale’’

negativo.

Ejemplos: 

•

sen(–30º) = – sen30º =

•

2 cos(–45º) = cos45º = 2

1 2


2do Caso: Ángulos menores que 360º 1.

En este caso se descompone el ángulo original como la suma o resta de un ángulo cuadrantal con un ángulo agudo. 1.

P

De la forma: (180º  x) y (360º  x); donde x es agudo ( 1 8 0 °– x )

2.

+ x

180°

Calcular:

K

360° + x ( 3 6 0 °– x )

3.

Calcular: M = sen(–30º)×cos(–45º)

R.T  180º  x  R.T  x R.T  360º  x  R.T  x

2.

Rpta.:...........................................................

De la forma: (90º  x) y (270º  x); donde x es agudo + x

90°

4.

Rpta.:...........................................................

( 9 0 °– x )

5. ( 2 7 0 °– x )

Calcular: S = sen(–30º) + tg(–53º) Rpta.:...........................................................

( 2 7 0 °+ x )

–x

Calcular: E = cos(–60º) + tg(–37º)

–x

( 9 0 °+ x )

tg 60º cos 45º

Rpta.:...........................................................

–x ( 1 8 0 °+ x )

sen  x cos  x  senx cosx

Rpta.:...........................................................

( 3 6 0 °+ x )

–x

Reducir:

+ x 270°

6.

R.T  90º  x  CO  R.T  x

Reducir:

N

R.T  270º  x   CO–R.T  x

sen    tg   sen  tg

Rpta.:...........................................................

El signo  de las R.T resultante depende del cuadrante al cual pertenece el ángulo a reducir.

7.

Calcular: sen150º

RECORDAR:

Rpta.:...........................................................

S ig n o d e la s R a z o n e s T rig o n o m é tric a s

IIC se n (+ ) c sc (+ ) tg ( + ) c tg ( + ) IIIC

IC T o d a s la s R .T . so n (+ )

8.

c o s (+ ) se c (+ ) IV C

Calcular el valor de:

E

sen135º tg315º

Rpta.:...........................................................

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” P = cos330º + sen240º Rpta.:...........................................................

9.

Calcular: tg 225º

4.

Rpta.:...........................................................

Si a es un ángulo agudo que cumple: Calcular: 1  cos    tg    cos  tg

Rpta.:........................................................... 10. Calcular: 5. M = sen120º 11.

x

Calcular: E = cos(–37º) + tg(–45º)

cos225º

Simplificar: E = tg(90º + x)

x

Rpta.:...........................................................

cos(270º – x)

12. Simplificar:

6.

sen  90º  x tg 270º  x R  sen  270º  x tg  90º  x

Reducir: P

sen 180º  x cos 90º  x

Rpta.:...........................................................

13. Simplificar: V

tg 90º  x ctg 270º  x

7.

Reducir: L

14. Simplificar: E

sen   ctg  sen  ctg

Rpta.:...........................................................

sen  270º  x cos 180º  x

8.

Calcular: S = 2sen240º + tg120º

15. Reducir: U

sen  90º  x cos 180º  x

Rpta.:........................................................... 9.

16. Simplificar: sen 270º  x  tg 180º  x H cos 180º  x

Si a es un ángulo agudo que cumple:

sen  cos    1  sen     cos

Calcular: R  cos  ctg

Rpta.:...........................................................

TAREA DOMICILIARIA

10. Calcular: 1.

L = sen(-3030°).cos(-1200°)

Calcular: E = tg(360º – x) . tg(270º – x) Rpta.:...........................................................

2.

Rpta.:...........................................................

Calcular: R = sen150º . cos240º

11. Calcular el valor de:

Rpta.:........................................................... 3.

E = sec135° . csc150°

Calcular:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Rpta.:........................................................... 18. Calcular el valor de: 12. Calcular el valor de:

E

tan(-225) cot(-330)

E  sen300 tan315

19. Calcular el valor de: Rpta.:...........................................................

E

sen(-37) csc(-30)  cos(-60) sec(-53)

Rpta.:...........................................................

13. Si: cos10° = a, ¿a qué es igual “E”?

20.Calcular el valor de:

E = sen100° . cos190° Rpta.:...........................................................

E = cos150° - sen240° + tan300° 14. Simplificar: Rpta.:........................................................... E = (k - 1) sen450° + (k + 1) cos900° Rpta.:...........................................................

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I

15. Calcular el valor de: E

sen(-120) tan(-135) Conceptos Previos

Rpta.:...........................................................

1.

Arco orientado Es la trayectoria descrita por un punto al desplazarse sobre una curva, en un determinado sentido. Estos arcos poseen un origen y un extremo.

16. Calcular el valor de:

A

E = sen150° + cos240° - tan315° Rpta.:...........................................................



 Q

17. Calcular el valor de: E

B

P

2cos300 - sen2120 2tan3 135

Para : B ® origen

Rpta.:...........................................................

MATEMATICA

Para : P ®


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” origen

A: Origen de arcos

extremo

2.

A ® extremo

Q®

M  N: Extremos de arco   :     :  

Circunferencia canónica Es aquella circunferencia cuyo centro es el origen del sistema cartesiano. Estas circunferencias, en la geometría analítica, poseen una ecuación de la forma:

B: Origen de mentos de arcos A:Origen de suplementos de arcos

x2  y2  r2 Donde r es el radio de la circunferencia.

Además; se cumple que:

  numéricamente AOM  en rad  AM

Por ejemplo:

3

( – 3 ;0 )

R.T. rad  R.T.  

    rad  sen 3  3 

(3 ;0 )

sen 

X 2

tg(2rad) = tg2

2

x + y = 9 (0 ;– 3 )

Es decir, con esta propiedad fundamental es posible calcular las razones trigonométricas de cualquier número real, siempre y cuando ésta se encuentre definida.

Y (;) 2

(;)

; y debido a esta

observación se cumple:

Y (0 ;3 )

•

(;)

Líneas trigonométricas

X 2

Son segmentos de medida positiva o negativa que van a representar el valor numérico de una razón trigonométrica de un ángulo o un número cualquiera.

2

x + y = 4 (;)

I. 3.

Es el segmento determinado por la perpendicular trazada desde el extremo del arco considerado hacia el eje de abscisas. En el gráfico, tenemos entonces que:

Arco en posición normal Son arcos orientados y determinados en una circunferencia canónica; con origen en el punto A, mostrado en el gráfico adjunto; los cuales pueden ser generados en sentido antihorario (positivos) o en sentido horario (negativos), por ejemplo: Y B 

M

 (x 2 ;y2 ) N

T

A r

•



•   son arcos en posición normal •: positivo X : negativo •M y N: extremos de arco

N

Y Es aquella circunferencia canónica cuyo radio es igual ( 0 ; 1 ) sistema. Se pueden notar las Ca . T la . unidad Bdel M siguientes características:

O

 ra d

A

MATEMATICA  N B ’( 0 ;– 1 )

B’

P ( x 3 ;y3 )

y = sena(+) 1 y = senb(+) 2

Debe notarse además que la L.T.Seno puede ser trazada para cualquier arco q, verificándose además:

 A’

C .T .

O

M ( x 1 ;y1 )  S A R X 

y = senq(–) 3

Circunferencia trigonométrica

( – 1 ;0 )

Y B

A’

A’

B’

L.T. SENO

1  sen  1

( 1 ;0 )

X


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA”  sen máx  1  sen mín  1

Y B ( 4 n + 1 ) 2

Ubicados en: "n"  A : 2n

(2 n + 1 )

A’

 B ’ (4 n + 3 ) 2

En el gráfico, tenemos entonces que:

(x 2 ;y 2 ) N

S

cumple: senq = 0; tendríamos que decir:

R

M (x 1 ;y 1 )  A X

A’ O C .T . P

Por ejemplo; si nos preguntasen para que valor de q se

Y B



 n

   B :  4n  1  2 2n  1   n     2  2 B' :  4n  3    2

II. L.T. COSENO Es el segmento determinado por la perpendicular trazada desde el extremo del arco considerado hacia el eje de ordenadas.



A' :  2n  1 

A 2n X


T

(x 3 ;y 3 ) 

B’

1.

x = cosa(+) 1

x = cosb(–) 2

Si: 110º      160º . Indicar verdadero (V) o falso (F). I.

x = cosq(–) 3

II.

sen  sen

cos  cos

(

)

(

)

Rpta.:........................................................... Debe notarse además que la L.T. Coseno puede ser trazada para cualquier arco q, verificándose además:

2.

1  cos  1

II.

 cos máx  1  cos mín  1

En algunos casos habrá necesidad de ubicar arcos cuya casos, tener en cuenta la siguiente C.T.:

2 1 ,5 7 1

4.

1 ra d 1 ra d

4

0 6 ,2 8

X

6 4 ,7 1

(

)

Rpta.:...........................................................

Y

1 ra d

 4 . Indicar verdadero (V) o falso (F) Si: I. senx > senx ( ) 2 1 0  x1  x2 

II. cosx < cosx 1 2

medida es un número entero y se recomienda, en esos

3

cos  cos

Rpta.:...........................................................

3.

3 ,1 4

Si: 100º      170º . Indicar verdadero (V) o falso (F) sen  sen I.

5

5.

  x1  x2   Si: 2 . Señale verdadero (V) o falso (F) I. senx < senx ( ) 1 2 II. cosx < cosx ( ) 2 1 Del gráfico, hallar x 1

También, si queremos representar de manera genérica los arcos que se ubican en A, B, A’ o B’ tendremos:

MATEMATICA



Y C .T .

 3

x1

O

X

X 6

6.

5

4

C .T.

Del gráfico, calcular 

10. Indicar el menor valor sen1; sen2; sen3; sen4; sen5

Y

TAREA DOMICILIARIA O



C .T .

X M ( 12 ; b ) 1.

7.

Del gráfico, hallar .

Trazar las líneas trigonométricas seno y coseno para los arcos mostrados. Y

Y

45°



P ( 12 ; a ) O

O

X

X

230°

C .T .

2.

C .T .

En la C.T. mostrada indicar la alternativa correcta: Y

Rpta.:........................................................... 8.

50°

En la C.T. mostrada indicar la expresión de mayor valor. sen1; sen2; sen3

160° O

X

Y 2

C .T . I) sen50º > sen160º II) cos50º < cos160º III) sen50º = sen160º IV) sen50º < 0 V) cos160º > 0

1

3 O

X C .T .

3.

I.

Rpta.:........................................................... 9.

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: sen20º > sen70º

II. sen200º > sen250º

En la C.T. mostrada indicar la expresión del menor valor. cos4; cos5; cos6

MATEMATICA

4.

En la C.T. ordenar de mayor a menor: (a) (b) (c) sen10º ; sen80º ; sen125º

5.

Ordenar de mayor a menor: sen20º; sen75º; sen135º



Ordenar en forma decreciente: cos30º; cos80º; cos130º

7.

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I.

cos10º > cos50º

II. cos230º < cos260º 8.

Ordenar en forma decreciente: (a) (b) (c) cos80º ; cos130º ; cos290º

9.

En la C.T. hallar las coordenadas de «P»

Y  P O

En general:

X

Si  recorre de 0º a 360º entonces el seno de  se extiende de –1 hasta 1. Es decir:

C .T .

10. En la C.T. Calcular:

E

Y 1

a  b sen cos

Si : 0º    360º  1  sen  1

Y

( b ;y )

X 

 O

min  sen  1

–1

( x ;a )

max  sen  1

X C .T .

Ejemplos: 1

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA II

Hallar el máximo valor de k para que la siguiente igualdad exista: sen = 2k – 3

Resolución: Sabemos que Reemplazamos 1  2k  3  1

1  sen   1

3  1  2k  1  3(3) VARIACIÓN DEL SENO DE UN ARCO “

2  2k  4

A continuación analizaremos la

 1     2

2 4 k 2 2

variación del Seno cuando «q» está en cada uno de los cuadrantales.

1 k  2  máx Luego el máximo valor de k es 2

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Si  recorre de 0º a 360º entonces el coseno de  se extiende de –1 hasta 1. Es decir: Y 2

Si:   III C, hallar todos los valores enteros de k para que la siguiente igualdad exista:

sen  2k  7 3

–1

1

X

Resolución: Si:   III C

 1  sen   0

Si : 0º    360º  1  cos  1

2k  7  1 0 3

max  cos  1

 3  2k  7  0   3

min cos  1

7  3  2k  0  7   7 4  2k  7 4 7 k 2 2

 1     2

Ejemplos: 1

2  k  3,5 El único valor entero que toma k es 3

Hallar el mínimo valor de k para que la siguiente igualdad exista: cos= 4k – 5

Resolución: Sabemos que: Luego el mínimo valor de k es: 1

 1  cos   1

VARIACIÓN DEL COSENO DE UN ARCO 

 1  4k  5  1

A continuación analizaremos la

5  1  4k  1  5  5

variación del Coseno cuando  está en cada uno de los cuadrantes.

4  4k  6

 1     4

4 6 k 4 4 1 k 

2

3 2

Si:   II C, hallar todos los valores enteros de k para que la siguiente igualdad exista: 3k  5 cos  7 Resolución: Si:

  II

En general:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” La circunferencia es trigonométrica, calcular el área (S) del triángulo sombreado.

 1  cos   0 3k  5 0 7  7  3k  5  0   7  1

– co s 

Y



5  7  3k  5   5

 1  12  3k  5      3 12 5 k 3 3 5 4k  3

S

S 1

Los únicos valores enteros que toma k son: –3

 base  altura

2 1  cos    X S 2 cos C .T . S   2


y –2

Propiedad para problemas geométricos - longitudes La longitud de un segmento dirigido es un número real positivo, cuando querramos calcular la longitud de un segmento dirigido indicaremos mediante una llave así:

1.

Señale la variación de: C = 2senx ;

x  

Rpta.:........................................................... L o n g i tu d s e g m e n to d i r i g i d o

A

2.

B

M = 2senx + 3

Y co s

C .T :

x  

Rpta.:...........................................................



se n  0

se n 

Señale la variación de:

3.

Calcular el máximo valor de: M = 2senx + 1;

X

x  

Rpta.:...........................................................



co s

4.

– co s  

E = 3senx + 1

Y se n  5.

co s  sen 

0

sen  Y

x  

Rpta.:...........................................................

sen  co s 

Calcular el máximo valor de:

Si:   IIC ; señale la variación de:

P  3sen  1

X Rpta.:...........................................................

 6.

co s 



Si:   IIC ; señale la variación de:

C  3cos  1

Rpta.:........................................................... X

S

Ejemplo:

7.

Sume el máximo y el mínimo valor de: C = 3senx – 2 ;

C .T.

MATEMATICA

x 



Rpta.:........................................................... 8.

Calcular la suma del máximo y mínimo valor de:

Y  cos  2

X

 8 



Si:   IIC ; calcular la variación de:

9.

C .T .

E  3cos  1

2.

Rpta.:...........................................................

Calcular el área de la región sombreada. Y 

10. Si: x  IVC , calcular la variación de:

R  2cos  3

Rpta.:........................................................... 11.

X

Si:   IIIC ; calcular la variación de:

C .T .

E  3  2sen

Rpta.:...........................................................

3.

Calcular el área de la región sombreada. Y

12. Sume el máximo y mínimo valor de:



K  3sen  2cos ; si  y son independientes.

Rpta.:........................................................... 13. Calcular el mínimo valor de m para que la igualdad exista: cos  1  3m 4 Rpta.:...........................................................

X C .T .

4. En la C.T. mostrada; calcular la longitud del segmento

 sen

2

14. Hallar el mínimo valor de k para que la siguiente igualdad exista:

PD



  cos2   1 Y

cos  4k  5 Rpta.:...........................................................

P

15. Calcular el área de la región sombreada en función de .

B



A

A

X

Y

C .T .

 X

5.

B

En la C.T. mostrada, calcular la longitud del segmento PA

C .T .

Y

Rpta.:...........................................................

M  A P

X

TAREA C .T.

1.

Calcular el área de la región sombreada. 6.

MATEMATICA

A)

1  cos

B)

1  cos

D)

2  cos

E)

2  cos

C)

1  2cos

Determinar la variación de


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” E  3sen  2 A) D) 7.

 5;5

 4;3

E)

 3;2

C)

Son aquellas igualdades entre las razones trigonométricas de una cierta variable, las cuales se verifican para todo valor admitido por la variable.

M  2sen  1;   IIC

D)

Si: A) D)

9.

 3;3

B)

Determine la variación de

A)

8.

 5;1

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

1;2

 1;3 cosx 

1;3

B)

 1;3

E)

Ejemplo:

igualdad para todo valor de “  ” diferente a 180ºn: (0º, 180º, 360º, ......) Probamos para:

1 n 6 . Calcular el máximo valor de “n”

4 3

B) E)

6 7

C)

csc30º 

5

•

En la C.T. mostrada; calcular el área de la región sombreada.

csc53º 

•

Y

•



C .T .

1 1  2 1 sen30º 2 1 5 1   sen53º 4 4 5

csc270º 

 2 2



5 5  4 4

1 1  1   1  1 sen270º 1

Ahora estudiaremos:

10. En la C.T. mostrada; calcular: E = PM + NR

Identidades Recíprocas

1 sen  1 cos  sec  1 ;   (2n  1) , n    sec  2 cos  1 tg  ctg  1 ;   n , n    ctg  2 tg

Y

sen  csc  1 ;   n , n  

P



N X 

 = 30º, 53º y 270º

Así podemos seguir dándole valores a “  ” y siempre se va a verificar la igualdad pero no para: 0º, 180º, 360º, ......

X

M

1 sen

Es una identidad trigonométrica, porque se verifica la

1;3

C)

csc 

 csc 

R

Identidades de División A) C)

sen – cos B) sen + cos cos – sen D) cos + cos E) – cos – sen

tg 

sen cos

ctg 

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS I

;   (2n  1)

 ; n  2

cos ;   n ; n   sen

Los ejercicios en este capítulo son de tipo demostración, simplificación. Para resolverlos se requiere un manejo eficiente de las identidades ya mencionadas.

MATEMATICA



Demostrar que: 2 sen  . csc . sec . = t

En una identidad trigonométrica la variable angular es la misma para todas las razones trigonométricas.

Rpta.: ........................................................ 3.

El equivalente de la expresión:



Ejemplos: •

sen20º × csc20º = 1

•

tg3x × ctg3x = 1

•

ctg18º 



P  sec  ctg csc Rpta.: ........................................................ 4.

La expresión:

E  1  sen x  tg x cosx

cos18º sen18º

Es igual a:

Rpta.: ........................................................ Problema desarrollado 1.

5.

Simplificar: 2 M = tgx . cosx + sen x . cscx

Demostrar que:

 sec x  cosx 2   sen x  csc x 2  tg2 x  ctg2 x  7

Rpta.: ........................................................ 6.

Resolución:

Simplificar:

E

Resolviendo el primer miembro:

Rpta.: ........................................................

sec2 x  cos2 x  2sec x  cosx  sen2 x  csc2 x  2sen x  cscx   1

Como:

2

1

2

2

7.

2

sec x  1  tg x  csc x  1  ctg x

es igual a:

Rpta.: ........................................................

2

 tg x  ctg x  7 8.

La expresión: R = tgx (1 + ctgx) – tgx(1 – ctgx)

Problema por desarrollar 1.

La expresión: 2 2 H = tg. cos – ct . sen 

2 2  1  tg2 x  cos x  2  sen x  1  ctg2 x  2  

2

1  tg x  sen x sec x

Demostrar que:

es igual a:

 tg  sen 2   1  cos 2   sec  1 2

Rpta.: ........................................................

Resolución:


9. 1.

Simplificar:

E  sen x  1 tg x sec x

Demostrar que:

Rpta.: ........................................................

cos . t – sen = 0

10. Si la expresión es una identidad:

Rpta.: ........................................................

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 1  cos x  A  ctg x sen x Dar el valor de “A” 2.

Rpta.: ........................................................

Simplificar:

11. Simplificar:

E  sen  cos csc  sec

2 2 E = ct. sen  + t. cos 

Rpta.: ........................................................ 12. Simplificar:

Rpta.: ........................................................

1  tg E 1  ctg Rpta.: ........................................................ 3.

Simplificar:

13. Simplificar: M = (secx – 1)ctgx – cscx

K

Rpta.: ........................................................

1  tg x csc x  sec x

Rpta.: ........................................................

14. Simplificar

E

sen2   ctg cos2   tg

4.

Simplificar:

Rpta.: ........................................................

M = (cscx + 1)tgx – secx

15. Simplificar: E = ctgx . senx + cosx

Rpta.: ........................................................

Rpta.: ........................................................ 5.

16. Simplificar:

E = sen

1  ctg x E  cosx csc x Rpta.: ........................................................

2

. csc  + cos

2

. sec 

A) 2sen 

B) sen  cos 

C) 2

D) 2cos 

E) sen  +cos 

TAREA DOMICILIARIA

6. 1.

El equivalente de la expresión:

La expresión:

Simplificar:

H = tg  . ctg 3 2 P = cos  sec  + sen . ctg

2

. sen 

Es igual a:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” A) 1 D) csc

7.



B)

cos 

E)

tg

C)

sec 

C)

0

2

Simplificar:

K  ctg x  csc x sec x

8.

A) 2senx

B)

2tgx

D) 2cosx

E)

2ctgx

Reducir:

P  cos x  1 ctg x csc x

9.

A) 1

B)

2senx

D) 2

E)

2cosx

C)

senx

Simplificar:

E

A) sen

1  ctg sec  csc

B) cos D) sec

C) tg E)

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

csc

HABILIDAD OPERATIVA MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” III. Multiplicación por 11. Observar: Multiplicaciones abreviadas.

2 4 5 x 1 1

I. Multiplicación por 10, 100 y 1000

2 4 5

Ia. Multiplicación por 10. Para multiplicar un número por 10, hay que agregar un cero al final del número. * Ejm:

34 x 10 = 340

2 4 5 2 6 9 5

Luego:

se a g re g a u n ce ro

Paso 1

623 x 10 = 6230

2 4 5 x 1 1 = 2 6 9 5 + +

Ib. Multiplicación por 100. Para multiplicar un número por 100, hay que agregar dos ceros al final del número. * Ejm: s e a g re g a d o s c e ro s

87 x 100 = 8700 519 x 100 = 51900

Ic. Multiplicación por 1000. Para multiplicar un número por 1000, hay que agregar tres ceros al final del número. * Ejm:

42 x 1000 = 42000

Paso 1:

La cifra de las unidades del resultado es la misma que del multiplicando.

Paso 2:

La cifra de las decenas del resultado es la suma de las unidades y decenas del multiplicando.

Paso 3:

La cifra de las centenas del resultado es la suma de las decenas y centenas del multiplicando.

Paso 4:

La cifra de los millares del resultado es la misma cifra de las centenas del multiplicando.

s e a g re g a tre s ce ro s

245 x 1000 = 245000

II. Multiplicación por 5.

Paso 2 Paso 3 Paso 4

Se sabe que: Entonces multiplicar por 5 es lo mismo que multiplicar por 10 y luego dividir entre 2.

Nota: Cuando la suma de dos cifras del multiplicando,

De manera práctica se multiplica por 5, agregando un

en un determinado paso, sea de dos cifras, se coloca la

cero a la derecha del número y luego se va sacando

cifra de las unidades y se "lleva" la otra cifra para

mitad a las cifras del número, de izquierda a derecha.

sumarla con el resultado del siguiente paso. *

*

Ejm:

Ejm: 48 x 5

Paso 1

6 4 8 3 x 1 1 = 7 1 3 1 3 1 º . S e ag re g a u n ce ro al n ú m e ro :

+ + +

Paso 2 Paso 3 + 1 Paso 4 + 1 Paso 5 + 1

4 8 0 2 2 2

2 º . S e s a c a m i t a d a la s c i f r a s , d e iz q u ie r d a a d e re c h a : 2 4 0

*

Ejm: 624 x 5

1 º . S e a g re g a u n c e ro a l n ú m e ro :

Paso 1: Paso 2: Paso 3:

6 2 4 0

Paso 4:

2 2 2 2

2 º . S e s a c a m it a d a l a s c if r a s , d e iz q u ie r d a a d e r e c h a : 3 1 2 0

Paso 5:

MATEMATICA

3=3 3 + 8 = 11; se coloca 1 y se "lleva" 1 8 + 4 = 12 + 1 = 13; se coloca 3 y se "lleva" 1 4 + 6 = 10 + 1 = 11; se coloca 1 y se "lleva" 1 6+1=7


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” V. Multiplicación de dos números de dos cifras cada IV.

uno.

Multiplicación por 9, 99 y 999

*

IVa. Multiplicación por 9

Observa el siguiente ejemplo:

Se sabe que: 9 = 10 - 1 Entonces:

3 4 x 2 6

N x 9 = N x (10 - 1) = N x 10 - N Paso 1:Se multiplican las unidades: 6 x 4 = 24 (se coloca 4 y se lleva 2).

De manera práctica se multiplica por 9, agregando un cero al número y restando luego el número original. * Ejms:

37 x 9 =

3 7 0 3 7 3 3 3

453 x 9 =

3 4 x 2 6 ... 4

4 5 3 0 4 5 3 4 0 7 7

Paso 2:

Se multiplica en aspa y los resultados se suman, agregando lo que se llevaba. 3 4 x 2 6 ... 8 4

IVb. Multiplicación por 99 Se sabe que: 99 = 100 -

1

Entonces:

3 x 6 + 4 x 2 = 18 + 8 = 26 + 2 = 28 ( s e c o l o c a 8 y s e ll e v a 2 )

N x 99 = N x (100 - 1) = N x 100 - N De manera práctica se multiplica por 99, agregando dos ceros al número y restando luego el número original. * Ejms:

82 x 99 =

765 x 99 =

Paso 3:

3 4 x 2 6 8 8 4

8 2 0 0 8 2 8 1 1 8

VI.

7 6 5 0 0 7 6 5 7 5 7 3 5

Cuadrado de un número de dos cifras. Observar el siguiente ejemplo: 322 =

Paso 1:Se eleva al cuadrado la cifra de las unidades: 22 = 4

IVc. Multiplicación por 999 Se sabe que: 999 =

1000 - 1

322 = ... 4

Entonces:

Paso 2:

Se multiplican las cifras y el resultado se duplica: 3 x 2 = 6 x 2 = 12 (se coloca 2 y se lleva 1) 322 = ... 24

Paso 3:

Se eleva al cuadrado las decenas y se agrega lo que se llevaba: 3 2 = 9 + 1 = 10 322 = 1024

N x 999 = N x (1000 - 1) = N x 1000 - N De manera práctica se multiplica por 999, agregando tres ceros al número y restando luego el número original. * Ejms:

74 x 999 =

237 x 999 =

Se multiplica las decenas: 3 x 2 = 6 y se agrega lo que se llevaba: 6 + 2 = 8.

7 4 0 0 0 7 4 7 3 9 2 6

*

Ejm:

2 3 7 0 0 0 2 3 7 2 3 6 7 6 3

MATEMATICA



5 6 = 31 3 6 2

6 = 36

2

5 + 6 = 31

a)

35200 3500

b) 35750

d)

4900

e) 5500

c)

5 x 6 x 2 = 6 0 + 3 6 3

*

5. Efectuar: 3521 x 999 - 102

Ejm: 2

8 7 = 7 5 6 9 72= 49 8 x 7 x 2 + 4 = 116 2

8 + 11 = 75

VII. Cuadrado de un número que termina en 5. El resultado de elevar al cuadrado un número que termina en 5, siempre termina en 25 y las otras cifras del resultado se obtienen multiplicando el número que está a la izquierda del cinco, por su consecutivo.


d)

3852

b) 4830

d)

381691

e) 3517479

a)

8691 8642

b) 8619

d)

8519

e) 7439

c)

a)

10163 10631

b) 12523

d)

10316

e) 10613

c)

c) 8. Efectuar: 437 x 999 - 365 x 99

e) 4856

a)

2350 2380

b) 2357

d)

4250

e) 3251

c)

690 580

b) 595

482

e) 495

a)

397431 400428

b) 425645

d)

379431

e) 427632

c)

9. Efectuar: 9992 - 345 x 99 + 38 x 42

3. Efectuar: 212 + 14 x 11

d)

b) 3517879 c)

7. Efectuar: 54 x 28 + 34 x 26 + 83 x 99

2. Efectuar: 352 + 38 x 11 + 21 x 34

a)

3517379 3517769

6. Efectuar: 48 x 62 + 57 x 99

* Ejm:

1. Efectuar: 652 + 57 x 11 a) 3845 4852

a)

a)

965442 965662

b) 825346

d)

956442

e) 912568

c)

10. Efectuar: 54 x 999 + 652 - 252 + 372

c)

a)

57825 62724

b) 57715

d)

57751

e) 58915

c)

4. Efectuar: 82 x 11 + 352 x 99

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 11. Hallar "A + B", si:

´ 2 AB

= 1225

a)

13 b)

11 c)

d)

12 e)

8

12. Si:

8´N 2

=

1. 845 x 10

9

2. 6347 x 10

MP´ 24

3. 63 x 100

Hallar: M + NP a)

33 b)

24 c)

d)

20 e)

26

13. Si:

´ 2 AA

=

18

PRACTICANDO EN CASA

´ A B 35 I.

Hallar: A + B

Efectuar de manera abreviada cada

una de las siguientes operaciones:

a)

10 b)

8 c)

d)

12 e)

15

9

1. 422 + 252

2. 65 x 34 + 232 14. Si:

8 q 4´ nm

x 11 =

9 r 0´p 41 3. 472 x 11 + 45 x 22

Hallar: p + q a)

13 b)

16 c)

d)

10 e)

9

8 4. 342 x 100 + 52 x 1000

5. 81 x 99 - 372

15. Si:

´ JORGE

x 99999 = ...12346

6. 372 x 99

Hallar: J + O + R + G + E 7. 482 x 999 a)

30 b)

36 c)

d)

42 e)

32

31 8. 35 x 24 + 81 x 25

Efectuar las siguientes operaciones de manera abreviada:

9. 111 x 384 - 722

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 5. Calcular: (1 × 2 × 3 × 4)2 + (5 × 6)2 10.

666 x 11 - 66 x 11

6. Si: 555...555 x 11 = II.

´ 61 … ABCD 5

Relacionar cada elemento de la

columna “A” con un elemento de la columna “B”, sabiendo

Hallar: (A + B + C + D)2

que tienen el mismo resultado. Columna “A”

Columna “B”

7. Calcular: 37432183 × 11 A.

4381 x 99 1. 572 + 92 + 22 + 2

´ 8. Si: X 5

2

=

´ 5 7 YY ; hallar: x + y

52 + 182 + 122 + 242 2. 999 x 4711 x 1

B.

´ 9. Si: Si: X 8

2

C.

48 x 32 + 75 x 24 3. 132 + 302

D.

427844 x 11 + 5 x 1 4. 39429 x 11

E.

=

23´YX hallar: x + y

10. Calcular: 3754928 × 999 IV. Efectuar las siguientes operaciones de manera abreviada:

31563 x 11 x 10 + 70 5. 3472 x 1000

III.Resolver de manera abreviada:

1. 3174 × 999 × 2 - 18336 × 2

1.

934 x 100

2.

86 x 1000

3.

477 x 1000

4.

48 x 5

SUCESIONES, ANALOGÍAS Y DISTRIBUCIONES

2. 34 × 48 + 532 + 528 × 11

3. Si: 9AOB41 8C4DE

 11

 Sucesión. Es un conjunto ordenado de elementos (números y/o letras) que se disponen de acuerdo a una relación

Hallar: C + E + B

determinada. Ejm 1: 3; 5; 8; 12;... Ejm 2: F; H; J; L;... Ejm 3: B4; E9; H16; K25;...

4. Hallar: 9 × 99 × 999

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 3 4 12 6 3 18 4 5 x Resolución: La relación se obtiene entre los números de las filas: 1ra fila: 3 x 4 = 12 2da fila: 6 x 3 = 18 3ra fila: 4 x 5 = x = 20

Nota: En una sucesión debe haber por lo menos 3 elementos. El ejm1 es una sucesión numérica. En estos casos hay que tener en cuenta las sucesiones básicas: -

enteros positivos: 1; 2; 3; 4; 5; ... números pares: 2; 4; 6; 8; ... números impares: 1; 3; 5; 7; 9; ... números cuadrados: 1; 4; 9; 16; ...

*

Ejm 2: Hallar "x":

El ejm2 es una sucesión literal. En estos casos hay que tener en cuenta el alfabeto de 27 letras.

1 2 3

A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 17 1819 20 2122 2324 25 26 27

2 2 4

2 1 x

Resolución:

O b s e r v a r q u e n o s e c o n s id e r a n l a s le t r a s d o b l e s : C H ; L L

El ejm3 es una combinación de los casos anteriores. 

2 0 2

La relación es entre los números de las columnas: 1 r a c o lu m n a 2 d a c o lu m n a 3 r a c o lu m n a

Analogías numéricas Es una disposición de 3 filas de tres números cada una,

1

+

donde el número del centro va entre paréntesis y

2

=

resulta de relacionar los otros dos números.

2

+

0

=

3

+ =

2

4 t a c o lu m n a

2

+

2

2 1

=

4

x = 3 R p ta .

Generalmente en la tercera fila falta el número central.

Distribuciones en gráficos *

*

Ejm1: Hallar el número que falta

12 (26) 40 8 (13) 18 15 ( ) 23 Resolución: En la 1ra fila: En la 2da fila:

4

5

6

10

18 2

8

8

5

4

1

Resolución: 1er gráfico: 5 x (4 - 2) = 5 x 2 = 10 2do gráfico: 6 x (8 - 5) = 6 x 3 = 18 3er gráfico: 8 x (4 - 1) = 8 x 3 = 24 Rpta.

12 + 40 = 26 2 8 + 18 2

Ejm 1: ¿Qué número falta?

PRACTIQUEMOS EN CLASE.

= 13

Luego, en la 3ra fila:

15 + 23 38 = = 1 9 R p ta . 2 2 1. Indicar el número que sigue: 5; 8; 12; 17; 23;... a) 30 b) 31 c)

 Distribuciones numéricas

28

Son disposiciones de números en filas (horizontales) y columnas (verticales), estableciéndose relaciones

d)

entre los números de una fila o columna.

*

32 e)

29

2. Indicar el número que sigue:

Ejm 1: Hallar el valor de "x".

7; 11; 17; 25; 35;...

MATEMATICA



52 b)

37 c)

d)

47 e)

51

39

9. Indicar la letra que sigue: C; E; H; L; ...

3. Indicar el número que sigue: 10; 25; 38; 49;... a)

52 b)

37 c)

d)

47 e)

51

58

3 c)

d)

4 e)

1

9

37 c)

d)

47 e)

61

Ñ e)

N

D b)

K c)

d)

P

V

e)

a)

5 b)

3 c)

d)

6 e)

9

12. Indicar el número que falta:

12 (15) 18 20 (29) 38 36 ( ) 12

30 c)

d)

24 e)

48

4

45


22 b)

O

a)

1 2 (9 ) 20 (19) 36 ( )

a)

Q

1122233334444...

3; 6; 9; 18; 21; 42;... 50 b)

d)

c)



a)

P

L; M; M; J; ...

32; 16; 8; 4;... 2 b)

O b)

10. Indicar la letra que sigue:


a)

a)

26

3 9 2

a)

22 b)

30 c)

d)

26 e)

25

20


7. Indicar el número que sigue: 64; 49; 36; 25; ... a)

16 b)

14 c)

d)

9 e)

10

5

25

2

2

8

3

4

3

12


a)

36 b)

72 c)

d)

80 e)

64

81

8; 12; 18; 26; 36; ... a)

52 b)

47 c)

d)

56 e)

48

14. Indicar la letra que sigue:

39

D; N; O; S; S; ...

MATEMATICA



a) T

b) C c)

Y e)

U

26 (25) 30 56 (9) 26 43 (x) 20

Q

a)

16 b)

49 c)

d)

36 e)

4

25

TAREA DOMICILIARIA 7. ¿Qué número falta? 1. ¿Qué número continúa: 8; 4; 12; 6; 18; ...? a) 36 b) 9 c) d)

16 e)

8 6 2

18

8

2. ¿Qué letra sigue: B; E; J; P; ...? a)

Z b)

X c)

d)

W e)

V

R b)

P

d)

Q e)

S

6 b)

12 c)

d)

14 e)

11

8. Hallar "x":

c)

a)

B b)

A c)

d)

X e)

Z

8 9 10

O

C

4

5

2

5 4

25 15 x

12 b)

8 c)

d)

10 e)

24

20

9. Indicar qué número falta: 2

3

3

6

3

4

1

8

2

4

2

1

5

3

3 6 8

a)

5. Hallar "x":

12

10

Y

4. ¿Qué letra continúa: C; G; K; Ñ; R; V; ...?

2

5 11 ?

a)

3. ¿Qué letra continúa: A; D; H; K; Ñ; ...? a)

7 3 7

12

x 4

5

3

2

2

4

a)

5 b)

10 c)

d)

8 e)

7

11

a)

15 b)

10 c)

d)

13 e)

23

8

10. Calcular "x + y"

6. Hallar "x":

MATEMATICA



6 6

5 3

20 3

5

4 4

y 1

9

x

I. Ordenamiento Lineal * Ejm1: Del puerto del Callao parten al puerto de Chimbote, 4

4

buques llevando diferente peso. El "Andrea" lleva más a)

20 b)

25 c)

d)

23 e)

24

28

carga que el "Concorde"; el "Bandolero" lleva más carga que el "Dragón". El peso del "Andrea" solo es superado por el peso del "Bandolero"; el "Dragón" no es el que lleva el menor peso. Responder:

11. Hallar el número que sigue:

a) ¿Quién lleva el menor peso? b) ¿Cuántos buques llevan más peso que el "Dragón"? Resolución: 1. Se traza una recta vertical, indicando arriba "Mayor peso" y abajo "Menor peso".

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; ... a)

20 b)

21 c)

d)

23 e)

24

22

M ayo r p eso

M enor peso

12. Hallar el número que sigue: 1; 3; 16; 125; ... a)

1024

b) 2160

c) M a yo r p eso

720 d)

1296

2. Se ordena los datos, escogiendo primero los que indiquen una posición fija, que se toma como referencia para ordenar a los demás: "Andrea" sólo es superado por el peso del "Bandolero".

e) 3160

13. Indicar que número sigue:

B a n d o le ro A n d rea

M eno r p eso

-30; 2; 19; 19; 0; ... a)

17 b)

-41 c)

d)

-39

e) -40

19 M ayo r p eso

3.

"Andrea" lleva

B a n d o le ro

más carga que el "Concorde" (Todavía 14.

Indicar que número sigue:

"Concorde" con el "Dragón")

0; 0; 1; 3; 8; 28; ... a)

25 b)

58 c)

d)

56 e)

60

A n d re a

no se determina la relación del

C o n co rd e

M eno r p eso

53

ORDEN DE INFORMACIÓN I 4. El "Dragón" no es el que lleva el menor peso.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” M ayor peso

Entonces el "Concorde" es el que lleva menor peso.

B a n d o le r o

III. Ordenamiento Circular

A n d re a

Luego, se puede responder las preguntas: a)

Luego, Miguel está junto y a la izquierda de Nuria.

Tener presente:  En una disposición circular y simétrica de 4 elementos:

D ra g ó n

El que lleva menor peso es el "Concorde"

C

C o n co rd e

b) Son dos los buques que llevan mayor peso que el "Dragón".

M enor peso

B

-

II. Ordenamiento Lateral *

D

Ejm1:

"B" está a la izquierda de "A".

A

-

"D" está a la izquierda de "C".



En una disposición circular y simétrica de 5 elementos: A la C derecha de "A" están "D" y "E". A la izquierda de "A" están "B" y "C". B "E" está junto y a la derecha de "A". "B" está junto y a la izquierda de "A".

necesariamente en ese orden. Pedro se sienta a la derecha de Miguel; Nuria a la izquierda de Quique y Pedro se sienta adyacente a Nuria y Quique. ¿Quién está a la izquierda y junto a Nuria? Resolución: *

Tener presente:

Ejm1:

E

D

sujetos sobre la recta.

1. Nuria está a la izquierda de Quique.

Q u iq u e

y "F", de la siguiente manera.

D e re ch a

junto del que

c) ¿Quién está a la izquierda de frente a "A"?

"B",

*

D e re ch a

¿Quién está a la derecha de "E"

b) ¿Quién está a la izquierda y está frente a "E"?

Solución: a)

2. Pedro está adyacente a Nuria y Quique. P e d ro

simétricamente "A", "B", "C", "D", "E"

a) y junto a "B"?

Luego, se ordenan los datos y se van ubicando los

N u r ia

A

B C

I z q u ie rd a

E

Responder:

D e re ch a

F

I z q u ie r d a

D

En una mesa circular se disponen

A

Q u iq u e

"D" está a la derecha de

"B" está a la derecha de "C".

Quique, Miguel y Nuria, aunque no

N u r ia

"A".

-

En una fila de sillas, se sientan sucesivamente, Pedro,

I z q u ie r d a

"A" está frente a "C".

C b)

C c)

pero

no

F

Ejm2: Se sientan alrededor de una mesa circular, 6 amigos para jugar casino. Se observa que: Lucio no está

3. derecha de Miguel.

sentado al lado de Lotario ni de Juan. Mariano no está

Pedro se sienta a la

al lado de César ni de Juan. Lotario no está al lado de César ni de Mariano. Ignacio está junto y a la derecha

I z q u ie r d a

M ig u e l

N u r ia

P e d ro

Q u iq u e

de Lotario.

D e re ch a

Responder:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” a) ¿Quién está junto y a la izquierda de Mariano? b) ¿Quién está a la derecha de Lotario, pero a la izquierda de Mariano?

8. ¿Quién vive a la izquierda de los demás? 9. ¿Quién vive junto y a la derecha de Wanda? Enunciado IV Cinco amigas viven en una misma avenida. Se sabe que:

Resolución

- Carla vive al oeste de Luisa. - Vanessa vive al este de Luisa. La casa de Tania está adyacente a las casas de Luisa y Sofía. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones:


10. Sofía vive al este de Carla...........................

(Wi)

11.

(Wi)

Vanessa vive junto a Sofía...........................

12. Sofía no vive al oeste de Luisa........................ (Wi) 13. Tania no vive al oeste de Carla........................ (Wi) 14. Vanessa no vive al este de Luisa...................... (Wi)

Enunciado I La ciudad "A" tiene más habitantes que la ciudad "B". La ciudad "B" tiene menos habitantes que la ciudad "C", pero

Enunciado V

más que la ciudad "D". La ciudad "A" tiene menos

Se disponen 6 amigos alrededor de una mesa hexagonal,

habitantes que "C".

de la siguiente manera:

Responder: 1. ¿Quién tiene más habitantes? 2. ¿Quién tiene menos habitantes?

E lm e r

Enunciado II Javier es mayor que Elena y Peter, pero Peter es mayor

B ru n o

que José y Miguel. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes

Responder: 15. ¿Quién(es) está(n) a la derecha de Elmer? 16. ¿Quién está junto y a la izquierda de César? 17. ¿Quién(es) no está(n) junto ni a la derecha de Fausto? Enunciado VI

afirmaciones: 3. 4. 5. 6. 7.

Miguel es menor que Peter........................... (Wi) José es menor que Javier.............................. (Wi) Javier es mayor que Manuel.......................... (Wi) Peter es menor que Elena............................. (Wi) Elena es menor que Javier............................ (Wi)

Carlitos tiene 6 libros colocados uno al lado del otro, en un estante. Se sabe que:

Enunciado III

El libro de Aritmética está junto y a la izquierda del libro de Álgebra. El libro de Física está junto y a la izquierda del libro de RM. El libro de Geometría está a la izquierda del libro de Álgebra. El libro de Trigonometría está a la derecha del de Aritmética y a la izquierda del libro de Física.

Cuatro amigos viven en una misma cuadra. Se sabe que: Dina vive a la izquierda de Glenda y ésta vive junto y a la derecha de la casa de Wanda. Además, Wanda vive a la izquierda de Mirella. Responder:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Indicar en un gráfico, la disposición de los 6 libros en el estante y responder: 18. ¿Cuántos libros están a la derecha del libro de Álgebra? 19. Entre el libro de Trigonometría y el de RM, ¿qué libro está? 20. Si se cuentan 2 lugares a la derecha del libro de Aritmética, ¿qué libro está? 21. Se tiene un castillo de 4 pisos y en

Pancho es menor que Anacleto.

e)

Lucho no es mayor que Zoila. Sabiendo que: Dora tiene más dinero

mismo que Betty, quien tiene menos que María. Si Rocío no tiene más que Ana, podemos afirmar:

habita más arriba que la familia Mónster, y los Drácula viven más abajo que los Mónster. ¿En qué piso viven los Drácula? c)

tercero d) cuarto

d)

que Sandra pero menos que Ana, quien a su vez tiene lo

más arriba que la familia Frankestein, la familia Rasputín

b) segundo

Zoila es la menor.

4.

cada piso vive una familia. La familia Drácula vive un piso

a) Primero

c)

I.

María tiene más que Dora.

II.

Sandra tiene menos que Betty.

III.

Sandra es la que tiene menos.

a)

I y II

b) II y III c)

I y III e) sótano

d)

5.

Todas

e) Sólo I

En una carrera intervienen siete

participantes. Los jueces determinan que no puede haber empates. Sabiendo que:

TAREA DOMICILIARIA

2. Cuatro amigas viven en la misma calle: -

Dora vive a la izquierda de Ula.

La casa de Ula queda junto y a la derecha de la de Vanessa. - Vanessa vive a la izquierda de Martha.

Vanessa

b) Ula

c)

Martha d)

Dora

3.

"L" llegó un puesto detrás de "M".

-

"N" llegó dos puestos detrás de "K".

-

"P" llegó cinco puestos detrás de "M".

-

"Q" llegó un puesto detrás de "P".

Luego, "R" llegó:

¿Quién vive a la izquierda de las demás? a)

-

e) F. D.

a)

entre "M" y "K".

b)

entre "N" y "K".

c)

dos puestos detrás de "N".

d)

después de "P".

e)

antes de "M".

Pancho es mayor que Lucho, Anacleto

es menor que Antonio, Zoila es menor que Anacleto y

6.

Lucho es más viejo que Antonio.

personas. Se sabe que "A" no llegó en un lugar impar, "C" llegó equidistante a "F" y "B" que llegó último, "E" no ganó

Entonces:

la competencia. ¿En qué lugares llegaron "D" y "F"?

a) Lucho es el menor. b)

En una carrera participan seis

a)

2º y 3º

b) 1º y 2º

c)

3º y 2º

Antonio es el menor.

MATEMATICA



1º y 4º

e) 3º y 4º 9. Cinco autos numerados del 1 al 5 participan en una

7.

carrera. Si se sabe que:

Se asume que medio tono es el menor

intervalo entre notas y se sabe que: -

-

La nota "T" es medio tono mayor que

la nota "V". -

La diferencia en la numeración de los dos últimos autos en llegar fue igual a 2. La numeración de los autos no coincidió con su orden de llegada. Podemos afirmar: I. No es cierto que el auto 2 llegó en último lugar. II. El auto 3 ganó la carrera. III. El auto 4 llegó después del auto 2. a) Sólo I b) I y II c)

La nota "W" es medio tono menor que

la nota "X". -

La nota "X" es un tono menor que la

nota "T". -

El auto 1 llegó en tercer lugar.

La nota "Y" es un tono menor que la

nota "W". ¿Cuál de las siguientes representa el orden de menor a mayor?

II y III

a)

XYWVT

b) YWXVT

c)

d)

WVTYX d)

YWVTX

I y III

e) Todas

e) YXWVT

8. Sobre una mesa hay tres naipes en hilera: -

A la izquierda del rey hay un as.

-

A la derecha de la jota hay uno de

diamantes. -

A la izquierda del de diamantes hay

uno de tréboles. -

A la derecha del de corazones hay

una jota.

¿Cuál es el naipe del medio?

a)

Rey de tréboles.

b)

As de tréboles.

c)

Jota de diamantes.

d)

As de diamantes.

e)

Jota de tréboles.

ORDEN DE INFORMACIÓN II

Cuadro de decisiones

En las diferentes situaciones que se presentan a

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” continuación, se busca establecer una correspondencia

1. Si "Miluska quiere cambiar su turno con la del viernes",

entre un determinado conjunto de sujetos y una o más

entonces el turno de Miluska no es el viernes. En el

características que se le pueden asociar. Por ejemplo, hay

cuadro se hace la indicación respectiva:

que buscar determinar que color de auto o marca, tienen un grupo de personas. T u rn o N om b.

También se puede buscar determinar la profesión, domicilio y color de camisa de un grupo de personas, etc.

M ié r c o le s V ie r n e s

M i lu s k a

En cada situación la información brindada se debe ordenar

C o n s u e lo

y sacar conclusiones, relacionando una y otra vez los datos

J é s s ic a

dados. *

Lunes

Ejm1: Miluska, Consuelo y Jéssica son tres enfermeras que tienen el turno de lunes, miércoles y viernes por la 2. "Jéssica se siente cómoda en su turno pues está a

noche (no necesariamente en ese orden). Se sabe que:

mitad de semana".

Miluska quiere cambiar de turno con la del viernes. Jéssica se siente cómoda con su turno pues está a mitad de semana. Consuelo siempre se queda dormida en su turno.

Luego, el turno de Jéssica es miércoles y en el cuadro se hace la indicación respectiva, señalando también que las demás no tienen turno ese día y Jéssica no tiene turno otro día.

Determinar: 1.

¿Qué día es el turno de Consuelo?

2.

¿Con quién quiere cambiar su turno

T u rn o N om b.

Lunes


M i lu s k a C o n s u e lo

Miluska?

J é s s ic a

Resolución: Se usa un cuadro de doble entrada como el siguiente, donde se vacía la información:

3. "Consuelo siempre se queda dormida en su turno", no aporta mayor información, además que, con la información anterior, ya se puede completar el cuadro.

T u rn o N om b.

Lunes

En efecto, observando el cuadro, Miluska no tiene


turno ni miércoles ni viernes, luego, por descarte, el turno de ella será el lunes y de Consuelo el viernes.

M i lu s k a C o n s u e lo J é s s ic a

T u rn o N om b.

Lunes

M ié r c o le s V ie rn e s

M i lu s k a En cada casillero del cuadro se debe decidir si se coloca Si ó No, de acuerdo a los datos.

C o n s u e lo J é s s ic a

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” prefirió otro tipo de carne. La que pidió pollo, tomó jugo de papaya. Una de ellas pidió jugo de melón.

Luego, contestando las preguntas:

Responder: 7. ¿Quién pidió jugo de papaya? 8. ¿Qué tipo de carne pidió Carmen? 9. La que pidió un plato con carne de res, ¿qué jugo pidió?

1. El turno de Consuelo es viernes. 2. Miluska quiere cambiar su turno con Consuelo.


Enunciado IV Cuatro amigos: "A", "B", "C" y "D" tienen distintas profesiones: arquitecto, mecánico, contador e ingeniero y viven en distritos diferentes: Pueblo Libre, Barranco, San Borja y Miraflores.

Enunciado I Tres muchachos llamados: Coco, Willy y Carlos, gustan ver TV los sábados por la tarde, uno gusta de programas deportivos, otro policiales y el otro culturales. Se sabe

Se sabe que el arquitecto vive en Miraflores, "D" es contador, el ingeniero no conoce Barranco, ni "C" ni "D" viven en San Borja y "A" vive en Barranco.

que Willy disfruta cuando ve jugar a Ronaldinho por la TV, Carlos le ha dicho a Coco que alquile una película con mucha acción y disparos.

Responder:

Responder:

10. ¿Quién es el ingeniero y dónde vive? 11. ¿Quién es el arquitecto?

1. ¿Quién gusta de ver programas culturales? 2. Un sábado pasaron la película "Duro de Matar", ¿quién de los tres la disfrutó más?

Enunciado V

En una oficina trabajan tres chicas cuyas edades son: 18; 21 y 24 años, después del trabajo gustan ver TV, viendo cada una un programa diferente. Maritza es mayor que la menor, pero menor que la mayor. A la mayor de todas le gusta los noticieros. Mercedes para cantando todo el día en la oficina. Gladys ha engordado ahora último. Una de ellas siempre llega cuando su telenovela favorita ha comenzado y la que usa cabellos largos ve musicales.

Enunciado II Tres personas viven en tres ciudades distintas y tienen ocupaciones diversas. Se sabe que: - José no vive en Lima. - Luis no vive en Piura. - El que vive en Lima no es religioso. - El que vive en Piura es político. - Luis no es profesor. - Uno de ellos se llama Fernando. - Uno de ellos vive en Huancayo. Responder: 3. ¿Quién es el religioso?

Responder: 12. La que tiene 24 años, ¿qué programa gusta ver? 13. ¿Cuál es la edad de Gladys? 14. La que gusta de telenovelas, ¿qué edad tiene? 15. La que ha engordado, ahora último, ¿qué programa de TV gusta ver?

4. ¿Dónde vive Fernando? 5. ¿Cuál es la ocupación del que vive en Huancayo? 6. ¿Cuál es la ocupación de Luis?

Enunciado VI

Enunciado III

Tres parejas de esposos asisten al matrimonio de un amigo. Ellos son: Jorge, Herbert y Oswaldo y ellas son Rosa, Maribel y Lourdes (no en ese orden). Una de ellas fue con un vestido negro, otra con azul y la otra con rojo. La esposa de Jorge fue de negro; Rosa y la del vestido azul fueron al matrimonio de Maribel. Jorge y el esposo de Lourdes siempre se reúnen con el hermano de Herbert.

La Sra. Dina y sus hijas Teresa y Carmen, fueron a almorzar a un conocido restaurante. Cada una pidió un plato y un refresco. Los platos estaban preparados a base de carne de res, pescado y pollo. La mayor de ellas pidió "cebiche" y jugo de naranja. Teresa no aceptó la sugerencia del mozo que le ofrecía "lomo saltado" y

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Responder: 16. ¿Quién es la esposa de Jorge? 17. La del vestido rojo, es esposa de: 18. ¿Con quién fue Rosa al matrimonio de Maribel? 19. Jorge y el hermano de Herbert se reúnen siempre con: 20.Indicar el esposo de la del vestido

a la meta más de uno a la vez. Además se sabe que Expreso llegó después de Jet y Galaxia; Trueno llegó entre los 3 primeros puestos. El favorito no defraudó. Galaxia llegó a la meta antes que Trueno, por una nariz. Los últimos tres lugares los ocuparon respectivamente:

negro.

TAREA DOMICILIARIA

Enunciado I

a)

Trueno - Galaxia - Expreso

b)

Jet - Expreso - Galaxia

c)

Trueno - Jet - Expreso

d)

Expreso - Jet - Trueno

e)

Galaxia - Trueno - Expreso

Tres luchadores practicaban las artes marciales en gimnasios diferentes, uno practicaba Judo, otro Karate y

5.

otro Kung Fu, además uno de ellos es cinturón naranja. Sus nombres son Wen Li, Chin Lau, Pio Kiu. Se sabe que

coordinación, en la docencia y en la biblioteca. El tiempo

Wen Li y Chin Lau practicaban antes Karate, pero ya no. El

de servicio de cada uno de ellos es 30 años, 10 años y 2

yudoka es cinturón naranja, Pio Kiu y el de cinturón

años, no necesariamente en ese orden. El coordinador le

marrón no se conocen. Wen Li es amigo de los otros dos.

ha dicho a Pepe que sus alumnos hacen mucha bulla.

El cinturón negro es campeón intergimnasios. Responder: 1. ¿Qué práctica Wen Li? a) Judo

Felipe es más antiguo que el profesor, pero no tanto como el coordinador. Entonces, es cierto que:

b) Karate

c)

a)

Kung Fu d)

Vale todo

Judo

Pepe es profesor del colegio hace 30

años. e) Danza

2. El cinturón marrón, ¿qué arte marcial práctica? a)

En el colegio REGINA han trabajado

Oswaldo, Felipe y Pepe. Tienen diferentes puestos: en la

b) Karate

c)

b)

Felipe trabaja en la coordinación.

c)

Oswaldo es bibliotecario.

d)

El más antiguo es Felipe.

e)

Oswaldo es coordinador hace 30 años.

Kung Fu d)

Mae Datsu

e) Jit Sumi

Enunciado II Cinco amigas, Ana, Pilar, Carla, Diana y Elena, estudian

3. El amigo de los otros dos, ¿qué color de cinturón tiene? a) marrón b) naranja c)

cada una un idioma diferente entre inglés, portugués, francés, ruso y alemán. Ana quisiera estudiar inglés en lugar de francés. Pilar le ha pedido a Carla el teléfono de

negro d)

amarillo

su profesor de ruso. Diana no estudia alemán y se ha disgustado con la que estudia portugués.

e) verde

Responder: 4.

6. ¿Qué idioma estudia Diana y quién estudia inglés,

En una carrera de caballos participan

respectivamente?

5 de estos veloces animales: Jet, Trueno, Galaxia, Expreso y el gran favorito Láser. Se sabe que no llegaron

MATEMATICA



Alemán - Diana b) Inglés - Diana Alemán - Pilar d) Inglés - Pilar Ninguna de

c) e) anteriores

10. Pablo es el mejor amigo de: a)

las

c)

7. Marcar la relación imposible: a)

Pilar - alemán b) Pilar - portugués Elena - alemán d) Elena - portugués Pilar - ruso

c) e)

Enrique b) Francisco José Luis Rubén e) No se puede determinar

d)

OPERACIONES COMBINADAS

Enunciado III Cinco personas ejercen diferentes profesiones:

Son incontables los problemas que hay en la matemática, unos más fáciles de resolver que otros, incluso algunos problemas se pueden resolver de varias maneras. En unos casos recurriendo a instrumentos matemáticos muy elaborados y en otros casos a la matemática elemental. Estos últimos son los que conoceremos en el presente capítulo.

veterinario, médico, ingeniero, abogado y matemático, y viven en ciudades distintas, Iquitos, Ayacucho, Juliaca, Lima y Huancayo. * Francisco viajará a Iquitos, ciudad que no conoce, para participar en un congreso de veterinarios. * Pablo es el mejor amigo del médico y viajará a Ayacucho para visitar al ingeniero. * El matemático no vive en Juliaca y a Enrique no le gustan los animales. * José Luis no vive en Lima y Rubén tampoco. * El que vive en Lima es médico y el abogado vive en Huancayo. * Rubén desearía ser ingeniero y quisiera vivir en Huancayo. Responder:

Ejemplo 1: En un restaurante los comensales estaban sentados 9 en cada mesa; para descongestionarlos se colocaron 2 mesas más y entonces ahora hay 8 en cada mesa. ¿Cuántos comensales hay? Resolución 1 (Utilizando el Álgebra): Es conocido el proceso de solución de este tipo de problema, usando ecuaciones; en efecto, si a la cantidad inicial de mesas la representamos por "x", sabiendo que en cada mesa se sentaban inicialmente 9 personas entonces en total hay "9x" personas. Como luego se colocaron 2 mesas más entonces hay ahora "x + 2" mesas y como en

8. ¿Quién vive en Juliaca? a)

Rubén

cada mesa se sientan ahora 8 personas, entonces hay en b) Pablo

total "8 (x + 2)" personas. Como el número de personas es

c)

el mismo en cada caso, se plantea la siguiente ecuación: 9x

Francisco d)

Enrique

= 8 (x + 2), de donde se obtiene: x = 16 mesas.

e) José Luis

Como el número de personas es "9x" entonces hay: 9 (16) = 144 personas.

9. ¿Qué profesión ejerce Rubén? a)

Veterinario

b) Médico

Resolución 2 (Utilizando la Aritmética): Otra forma de resolver este tipo de problema consiste en

c)

emplear SOLO las cuatro operaciones fundamentales y

Ingeniero d)

Matemático

sobre todo RAZONAR, pues es tan fácil que para

e) Abogado

resolverlo no merece la pena servirse del Álgebra.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” En efecto, la breve solución razonada es la siguiente:


Si inicialmente estaban sentados 9 en cada mesa y luego quedaron 8, entonces se pasaron: 9 - 8 = 1 persona a las mesas que se colocaron después; si en cada una de estas 2 mesas se sentaron 8 personas, entonces hay: 2 x 8 = 16

1. César y Miguel tienen juntos 186 soles y César tiene 24 soles más que Miguel. ¿Cuánto tiene cada uno?

personas que se pasaron, de cada una de las mesas que habían inicialmente, luego habían inicialmente 16 mesas y como en cada una se sentaron 9 personas, entonces

a)

habían: 9 x 16 = 144 personas.

S/.80 y S/.106 b) 83 y 107 82 y 106 d) 81 y 105 82 y 104

c) Ejemplo 2: Ana y Betty tienen juntas 120 soles. Ana tiene 20 soles

e)

más que Betty. ¿Cuánto tiene cada una? 2. Mercedes gastó 42 soles en una blusa; luego gastó 10 soles más que en la blusa, en comprarse un pantalón. Si tenía 150 soles, ¿cuánto le queda?

Resolución 1 (Empleando el Álgebra): "Ana y Betty tienen juntas 120 soles" A + B = 120 "Ana tiene 20 soles más que Betty" A = 20 + B A - B = 20 Luego: A + B = 120 A - B = 20

a)

S/.54 56

b) 55

d)

57 e)

58

c)

2 A = 140 A = 7 0 s o le s

3. Se reparten 240 galletas entre 6 familias compuestas de 8 personas cada una. ¿Cuántas galletas recibe cada persona?

Resolución 2 (Empleando la Aritmética): Si Ana no tuviera 20 soles más que Betty tendría igual que Betty y entre ambas tendrían: 120 - 20 = 100. Luego, cada una tendría: 100 2 = 50 soles. Pero como en realidad Ana

a)

4 b)

5 c)

d)

7 e)

8

6

tiene 20 soles más, entonces: Ana = 50 + 20 = 70 soles Betty = 50 soles

4. Una frutera adquiere 500 manzanas a 2 soles cada una y luego 6 docenas de naranjas a 60 soles cada docena. Luego vende todo por 1932 soles. ¿Cuánto gana?

Ejemplo 3: En una fábrica de ropa venden cada pantalón en 40 soles y cada camisa en 25 soles. Un comerciante compró 50 pantalones y luego las vendió ganando 10 soles en cada uno. Si con el dinero que obtiene de la venta quiere comprar camisas, ¿cuántos podrá comprar?

a)

S/.562 576

b) 584

d)

590

e) 572

c)

Resolución: 5. Vendí en 445 soles los libros que había comprado en 885 soles, perdiendo de esta manera 4 soles en cada libro. ¿Cuántos libros tenía?

Al vender los 50 pantalones en: 40 + 10 = 50 soles cada uno, obtiene: 50 x 50 = 2500 soles Entonces el número de camisas que puede adquirir es:

a)

110b)

115c)

d)

112e)

120

108

2500  25 = 100

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 6. Si ganara 2 500 soles en la Tinka, me compraría un auto que cuesta 8 000 soles y todavía me quedaría 600 soles. ¿Cuánto tengo? a)

S/.11100 7800

b) 9900

d)

6100

e) 8600

intervienen 8 equipos. Si todos juegan entre si un partido, indicar cuántos partidos deben programarse.

c)

69 b)

72 c)

d)

70 e)

68

73

8. Las edades de un padre y su hijo suman 90 años. Si el hijo nació cuando el padre tenía 36 años, ¿cuál es la edad actual del padre? a)

49 años 58

b) 54

d)

62 e)

63

57 b)

63 c)

d)

59 e)

65

c)

63 b)

58 c)

d)

65 e)

59

d)

22 e)

18

28

a)

5 b)

6 c)

d)

8 e)

9

7

a)

16 b)

14 c)

d)

15 e)

13

12

15. Aurora gana 20 soles diarios y Bertha gana 15 soles diarios. ¿Cuántos días deben transcurrir para que entre ambas hayan ganado 700 soles?

61

16.

10. En una fiesta hay 100 personas y en determinado momento todas bailaron, excepto 26 mujeres. ¿Cuántas mujeres hay en total? a)

32 c)

14.Sandra gana 30 soles por día y Martha 18 soles por día. ¿Luego de cuántos días Sandra habrá ganado 156 soles más que Martha?

9. ¿Cuál es el número que excede a 48 en la diferencia de 65 y 52? a)

34 b)

13. Una lata de leche alcanza para 3 niños o 2 adultos. Si se tenía 8 latas y ya se alimentaron 12 niños, ¿cuántos adultos se pueden alimentar con las latas que quedan?

7. ¿Por qué número se multiplica 815 cuando se convierte en 58680? a)

a)

a)

15 b)

20 c)

d)

30 e)

35

25

Un comerciante compró una docena

de pantalones en S/.240. ¿En cuánto debe vender cada pantalón, para que su ganancia sea de 5 soles en cada uno?

70

TAREA DOMICILIARIA 11. Carlos gana 250 soles más que Dina y Dina gana 50 soles más que Ricardo. Si Ricardo gana 800 soles, ¿cuánto gana Carlos? a)

S/.1050 1150

b) 1100

d)

1200

e) 1250

Dos caños tienen que llenar un depósito de 300 litros, cada uno. Uno de ellos vierte 15 litros por hora y el otro 10 litros por hora. Responder:

c)

1. ¿Cuánto demora cada uno en llenar el depósito respectivo? (en horas). 12.

En un campeonato de fulbito,

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 6. Se compraron 80 papayas a 2 soles cada una. Se a)

20 y 30

b) 10 y 20

venden 20 papayas ganando 1 sol en cada una y luego se

c)

votan 30 de ellas por estar malogradas. ¿En cuánto

15 y 20 d)

15 y 30

debe venderse cada una de las restantes si se quiere ganar 20 soles?

e) 10 y 30

a)

2. Cuando el primero terminó de llenar su depósito,

d) 150

b) 50

100

c)

4,50

e) 5

c)

200 d)

b) 3,50

4

¿cuánto le faltaba al otro? (en litros).

a)

S/. 3

7. En el problema anterior, ¿a cuánto se debe vender cada papaya, si se desea ganar 80 soles?

e) 120

En un matrimonio masivo, participaron 268 personas entre contrayentes y testigos (2 por pareja). Si entre los testigos había 68 mujeres:

a)

S/. 5,50

b) 6 c)

d)

7 e)

7,50

6,50

3. ¿Cuántos matrimonios se realizaron? a)

67 b)

66 c)

d)

70 e)

72

Un comerciante compró 40 jarrones a 70 soles cada uno. Después de haber vendido 12 con una ganancia de 20 soles por jarrón, se le rompieron 5. Luego vende el resto de los jarrones ganando en total 810 soles en las dos ventas. Responder:

68

8. ¿Cuánto recibió en la venta total?

4. ¿Cuántos hombres participaron en dicha reunión?

a)

S/. 3160

b) 3520

c)

3610 a)

134

b) 100

c)

d)

133 d)

67 e)

2800

e) 2810

9. ¿Cuánto ganó en la primera venta?

66

a)

S/. 360

b) 120

c)

220 5. Para abastecer una ciudad de 50000 habitantes se

d)

purifica 50 litros de agua por segundo. El número de

180

e) 240

litros por día que corresponde a cada habitante es: 10. ¿En cuánto vende cada jarrón restante? a)

86,4

b) 24,2

c)

100 d)

43,2

a)

e) 68

S/. 70

b) 110

c)

42 d)

MATEMATICA

72 e)

65


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” OPERACIONES INVERSAS

En el asentamiento humano "Kenyi", a cada familia le corresponde 60 litros de agua diarios. Si llegan 40 nuevas familias al asentamiento, entonces ahora ya son 100 familias las que viven en el asentamiento. Responder:

Las siguientes situaciones presentan una o más cantidades y una secuencia de operaciones que conducen a un resultado, que en unos casos es conocido y en otros no. El objetivo es hallar la cantidad inicial, cuando se da como dato la cantidad final ó hallar la cantidad final, teniendo como dato la cantidad inicial. Las operaciones que se usan y sus respectivas inversas son:

11. ¿Cuántos litros de agua consumen todas las familias? (en litros). a)

2600

b) 2400

c)

1800 d)

1500

e) 3600

O p e r a c ió n

I n v e rsa

A d i c ió n

S u s t r a c c ió n

S u s t r a c c ió n

A d i c ió n

M u l t ip l i c a c ió n

D i v is ió n

D i v is ió n

M u l t ip l i c a c ió n

12. ¿En cuántos litros se reduce la ración de agua, de las primeras familias? a)

24 b)

18 c)

d)

36 e)

12

30

P o t e n c i a c ió n

R a d ic a c ió n

R a d ic a c ió n

P o t e n c i a c ió n

Además tener presente los siguientes esquemas:

13. En una empresa con motivo de aniversario se reparte una cierta cantidad de dinero entre un grupo de socios y cada uno recibe S/.50000, pero se habían contado

+

x

-



dos demás por lo que ahora cada uno recibe S/.55000. Calcular la cantidad de socios.

a)

20 b)

21 c)

d)

23 e)

24

22

(

)

( )

14. Un comerciante compra por S/.4800 dos cajas de galletas conteniendo cada una de ellas 150 paquetes. *

Si la primera costó S/.600 más que la segunda y el comerciante vende 70 y 30 paquetes de la primera y

Ejemplo 1: Hallar el valor de la incógnita en cada caso:

segunda respectivamente recibiendo 2000 soles, ¿cuánto ganó en esa venta?

a)

S/.120

b) 220

c)

320 d) 420

e) 640

MATEMATICA

8

45  5 =

x 5 =

40 + 5 =

2. 12 + 4 =

x 2 =

- 4 =

 7 =

3. 20 x 4 =

 5 =

- 6 =

+ 10 =

4. 68 - 4 =

=

5. 32 - 22 =

x 6 =

1.

x 5 =  5 =

9

- 5 =

 8 =

4 ? ? - 5 =

?

?


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” d) *

90 e)

120

Ejemplo 2:

Hallar el valor de la incógnita en cada caso:

6. 24 + 6 =

30

- 6

7.

?

+ 7 =

8.

?

x 5 =

9.

?

+ 8 =

10.

?

+ 10 =

x 4 = 120 - 80 =  4

+ 80

 2 =

x 4 =

+ 4 =

40

? - 8 =

 2 =

=

x 5 =

4. Hallar el valor de la incógnita.

x 4 =

5 2

- 20 =

x 4 =

: 5 =

20

32 4

 2 =

=

+ 2 =

a)

23 b)

100 c)

d)

25 e)

64

50

= 1600 5. Hallar el valor de la incógnita.


?


18 + 2 =

x 5 =

- 48 =

a)

42 b)

64 c)

d)

52 e)

48

?

=

a)

10 b)

8 c)

d)

100

e) 20

7

x 17 = 34

=

a)

36 b)

46 c)

d)

77 e)

63

53


? + 10 =

x 2 =

+ 2 =

62


20 + 12 =

x 2 =

- 8 =

?

x 2 =

=

+ 5 =

a)

15 b)

20 c)

d)

10 e)

0

- 5 = 0

2

0 7. Un número es aumentado en 4, el resultado se multiplica por 3; al resultado se le disminuye 2 y por último, a este nuevo resultado, se le extrae la raíz cuadrada obteniéndose 8. Hallar el número.


15

a)

x 3 =

- 32 = [

160

]

2

=

b) 180

+ 11 =

c)

a)

18 b)

22 c)

d)

16 e)

4

66

8. Se triplica un número; el resultado se incrementa en 4;

150

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” el resultado se disminuye en 15 y se eleva al cuadrado

12. ¿Cuánto tenía Bartola, luego del primer juego?

la diferencia obtenida resultando 100. Hallar el número. a)

S/. 100

b) 60

c)

80 a)

12 b)

15 c)

d)

17 e)

9

7

d)

70 e)

65

13. ¿Cuánto perdió en total Abel? 9. Un número se aumenta en 20; el resultado se divide entre 3, el cociente obtenido se aumenta en 3; al resultado se le extrae la raíz cuadrada, el resultado se

a)

multiplica por 15 y luego al producto obtenido se le

d) 32 b)

42 c)

d)

81 e)

46

b) 80

c)

20

divide entre 25 resultando 3. Hallar el número.

a)

S/. 100

40 e)

60

56 14. ¿Cuánto más tenía Abel que Bartola, luego del segundo juego?

10. Un número se cuadruplica, el resultado se incrementa

a)

en 4, luego se extrae la raíz cuadrada, ésta raíz se

S/. 20

b) 80

c)

60

disminuye en 2, luego la diferencia se eleva al cuadrado y por último el resultado se divide entre 3

d) 40

e) 10

obteniéndose 12 de cociente. Hallar el número.

a)

15 b)

18 c)

d)

21 e)

27

TAREA DOMICILIARIA

23

1. Cada vez que Valverde se encuentra con Medrano, éste Abel y Bartola se ponen a jugar casino. Primero pierde Abel y le duplica el dinero a Bartola. Luego pierde Bartola y le paga 20 soles a Abel y por último vuelve a perder Abel y le duplica el dinero a Bartola. Si quedaron con 20 y 120 soles respectivamente.

último le entrega S/. 20 y Valverde en agradecimiento

Responder:

encuentro con Medrano?

duplica la cantidad que tiene Medrano. Si en un determinado día se encuentran dos veces luego de las cuales Valverde tiene S/. 25 y Medrano S/. 20, ¿cuánto dinero tenía Valverde antes del primer

11. ¿Cuánto tenía Abel inicialmente? a) a)

S/. 120

b) 20

c)

60 e)

b) 20

c)

25

100 d)

S/. 10

d)

30 e)

35

80

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 2. Según el problema anterior, ¿cuánto dinero más que

d)

360

e) 420

Valverde tenía Medrano inmediatamente después del primer encuentro? 6. Según el problema anterior, ¿cuánto dinero tenía luego de la segunda partida? a)

S/. 10

b) 15

c)

20 d)

25 e)

a)

5

S/. 300

b) 600

c)

520 d)

460

e) 480

3. Carmen le da S/.20 a Gabriela; luego ésta le duplica el dinero a Carmen y por último ésta le da S/.10 a Gabriela. Si ahora tienen S/.46 y S/.62 respectivamente, ¿cuánto tenía cada una inicialmente (en soles)?

7. De un recipiente lleno con agua, se extrae 2 litros, luego se derrama la mitad del líquido, enseguida se le

a)

56 y 52

b) 80 y 28

adiciona 4 litros, finalmente se consume la mitad del

c)

agua, quedando 8 litros en el recipiente. Calcular la

40 y 68 d)

48 y 60

capacidad del recipiente. e) 58 y 50

a)

18 L

b) 26

c)

24 d)

4. Cada vez que Mariano va a la casa de su tío, éste le

30 e)

16

duplica el dinero que tiene y Mariano en agradecimiento le compra una torta de S/. 20. Si en un día Mariano visitó a su tío tres veces y al final

8. Tres personas "A", "B" y "C" se pusieron a jugar con la

terminó con S/. 4, ¿cuánto dinero tenía antes de la

condición de que el perdedor de cada partida, debería

primera visita?

duplicar el dinero de los otros dos. Se sabe que perdieron en orden alfabético, uno cada vez, quedándose cada uno con $32 al final; ¿cuánto tenía el

a)

S/.40

b) 28

jugador "B" al inicio?

c)

18 d)

17 e)

a)

$ 54,5

b) 27,5

c)

22,5

15 d)

28 e)

52

5. Doña Lucha acude al casino "Admiral". En la primera partida logra duplicar su dinero, en la segunda partida

9. Ricardo sale de casa con "n" soles. Primero gasta S/.

pierde S/. 140, en la tercera nuevamente duplica su

30 en un reloj "K-cio", posteriormente gasta la mitad

dinero y en la cuarta pierde S/. 920. Si luego de esta

del dinero que le queda en un CD de "Nirvana" y

última partida sale deprimida porque se quedó sin un

finalmente gasta S/. 50 en "Pizza Hut". Si al final le

sol, ¿con cuánto dinero fue al casino?

quedan S/. 25, ¿cuánto vale "n"? a)

a)

S/. 240

b) 280

180

b) 160

c)

150

c)

300

d)

MATEMATICA

120

e) 200


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Ejemplo 1: En una granja se crian 12 animales entre gallinas y

10. Según la pregunta anterior, ¿cuánto dinero gastó en el

conejos. Si se cuentan 32 patas, indicar:

CD de "Nirvana"? a)

S/. 60

b) 70

1. ¿Cuántas gallinas hay? 2. ¿Cuántas patas corresponden a los conejos?

c)

75 d)

45 e)

Resolución:

80

Los elementos del problema son los animales y la característica que los hace diferentes es el número de 11. El agua contenida en un pozo se agota en tres horas.

patas.

En cada hora, baja el nivel del agua la mitad de la altura, más un metro. Determinar la altura inicial del

Paso 1:(Falsa suposición) Se supone que los 12 animales tienen 4 patas cada uno, entonces el número de patas sería: 12 x 4 = 48 patas

agua que había en el pozo. a)

12m

b) 13

c)

15 d)

14 e)

11

12. Cada día, de un reservorio con agua, se consume la

Paso 2:

(Error total) Como el número real de patas es 32, se calcula el error: 48 - 32 = 16 patas más

Paso 3:

(Error unitario) En cada gallina se comete un error de: 4 - 2 = 2 patas más

Paso 4:

Al considerar que todos los animales tenían 4 patas, el error que se comete es en las gallinas que sólo tienen 2 patas. Luego: 16  2 = 8 gallinas

mitad del contenido más 20 litros. Si después de tres días consecutivos quedan 10 litros en el reservorio, ¿cuántos litros de agua se consumieron? a)

350 L

b) 360

c)

370 d)

200

Respondiendo: 1. En la granja hay 8 gallinas. 2. En la granja hay 12 - 8 = 4 conejos que les corresponde: 4 x 4 = 16 patas

e) 400

13. Tres jugadores: Hugo, Paco y Luis convienen en que el que pierda la partida, triplicará el dinero de los otros

*

dos. Pierde una partida cada uno en el orden antes mencionado y quedan con 36; 57 y 55 soles

En un zoológico hay 60 animales entre felinos y aves.

respectivamente. Dar como respuesta la suma de las

En total se cuentan 168 patas.

cifras con que empezó Luis. a)

1

b)

d) 6

5 c)

Ejemplo 2:

8

Responder:

e) 4

1. Si consideramos que todos los animales tienen 2 patas, ¿cuál sería el error total cometido en las patas? 2. ¿Cuántos felinos hay en el zoológico?

FALSA SUPOSICIÓN

Resolución:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Paso 1 :

Paso 2:

Paso 3:

Paso 4:

*

(Falsa suposición) Suponemos animales tienen 2 patas. 60 x 2 = 120 patas.

que

los

60 Responder:

(Error total) Como hay 168 patas el error cometido será: 168 - 120 = 48 patas menos.

3. Si consideramos que todos los vehículos son triciclos, ¿cuál sería el error total en el número de ruedas?

(Error unitario) Al suponer que todos los animales tienen 2 patas, se comete el error en los felinos: 4 - 2 = 2 patas menos en cada felino. El número de felinos es: 48  2 = 24

Ejemplo 3:

a)

56

b)

52

d)

44

e)

50

4.

A un paseo asistieron 60 personas

c)

48

¿Cuántos triciclos hay?

entre adultos y niños. Cada adulto pagó 10 soles y cada niño 3 soles. Se pagó en total 285 soles.


*

a)

252

c)

245

d)

271

Un comerciante empleó 1910 soles en comprar 50

5.

pantalones de 40 y 35 soles.

bicicletas?

b) 236

e) 269

¿Cuántas ruedas corresponden a las

Responder: 1. Si suponemos que todos los pantalones costaron 40 soles, cada uno, ¿cuál será el error total? a)

S/.120

b) 110

c)

a)

100

c)

104

d)

106

b) 102

e) 108

100 d)

95

e)

*

90

En un salón hay 36 carpetas, unas son bipersonales y otras para 4 alumnos. En total se acomodan 96 alumnos en todas las carpetas. Responder:

2. Si suponemos que todos los pantalones costaron 35 soles, cada uno, ¿cuál será el error total?

*

a)

S/.140

c)

155

d)

160

6. Si consideramos que todas las carpetas son bipersonales, ¿cuál sería el error total?

b) 150

e) 165

a)

27

b)

26

d)

24

e)

23

c)

25

En una juguetería venden triciclos y bicicletas. En total se cuentan 860 ruedas y 304 vehículos.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 7. 4 alumnos hay?

¿Cuántas carpetas para

a)

14

b)

13

d)

11

e)

10

c)

12

a)

170

c)

154

d)

162

b) 158

e) 166

12.

¿Cuántas patas

corresponden a los pavos? *

Me pagaron 920 soles en 28 billetes, unos de 50 soles y otros de 10 soles.

Responder:

a)

34

b)

26

d)

42

e)

64

c)

68

8. Si suponemos que todos los billetes son de 10 soles, ¿cuál será el error total? a)

S/.610

c)

630

d)

640

b) 620

*

En un camión cargaron 900 gallinas, con un peso de 2300 kg. Unas gallinas pesaban 2 kg cada una y otras pesaban 3kg cada una.

e) 650

Responder: 9. ¿Cuál es el unitario cometido en la falsa suposición?

a)

S/.30

b) 40

error

13. Suponiendo que todas las gallinas pesan 2 kg, ¿cuál sería el error total?

c)

35 d)

10

e)

a)

480 kg

c)

510

b) 500

d)

50

520

e)

525

10. ¿Cuántos billetes más de 50 soles que de 10 soles hay?

*

a)

3

b)

4

d)

5

e)

8

c)

6

TAREA DOMICILIARIA

Perico cría pavos y vacas. Él afirma que cuenta con 117

1. En un salón hay 36 carpetas, unas bipersonales y otras

cabezas y 400 patas.

para 4 alumnos. Si en total hay 96 alumnos ocupando estas 36 carpetas, ¿cuántas carpetas son bipersonales?

Responder: 11. Si suponemos que todos los animales son pavos, ¿cuál sería el error total?

a)

MATEMATICA

12 b)

24 c)

6



18 e)

30

a)

72 b)

74 c)

d)

68 e)

86

76

2. Con S/. 101000 se han comprado carneros y ovejas, adquiriendo un total de 25 animales. Si cada carnero

7. Joaquin rinde un examen de 30 preguntas. Si por cada

cuesta S/. 3000 y cada oveja S/. 5000, ¿cuántos

respuesta acertada obtiene 4 puntos y por cada

carneros se han comprado?

equivocación pierde un punto; ¿cuántas preguntas contestó bien, si obtuvo un puntaje de 80 puntos y

a)

12 b)

13 c)

d)

9 e)

6

contestó todas las preguntas?

15

3. Para tener S/. 12,30 en 150 monedas que son de cinco

a)

18 b)

16 c)

d)

20 e)

22

12

y diez céntimos, ¿cuántas deben ser de a cinco? 8. Cada día que un alumno sabe sus lecciones, el profesor a)

54 b)

96 c)

d)

48 e)

66

le da 5 vales, y cada día que no las sabe, el alumno

82

tiene que darle al profesor 3 vales. Al cabo de 18 días el alumno ha recibido 34 vales. ¿Cuántos días supo sus lecciones el alumno?

4. En un taller encontramos 80 vehículos entre autos y motocicletas, contando 176 llantas. ¿Cuántas motocicletas encontramos?

a)

8 b)

6 c)

d)

66 e)

52

a)

12 b)

11 c)

d)

6 e)

10

5

72 9. Un padre le propone 9 problemas a su hijo, ofreciéndole cinco soles por cada problema que resuelva, pero por cada problema que no resuelva el muchacho perderá dos soles. Después de trabajar en

5. Con 30 monedas de S/. 2 y S/. 5 colocados en

los 9 problemas, el muchacho recibe 31 soles. ¿Cuántos

contacto, unas a continuación de otras, se ha formado

problemas no resolvió bien?

la longitud de 1 metro, se sabe que los diámetros de estas monedas son 28 mm y 36 mm respectivamente. ¿Cuántas monedas de S/. 5 hay en el grupo?

a)

15 b)

17 c)

d)

19 e)

20

a)

7 b)

5 c)

d)

2 e)

3

4

18

10. En un examen, un alumno gana 4 puntos por respuesta

6. En una combi viajan 150 pasajeros. El pasaje adulto

correcta, pero pierde un punto por cada equivocación.

cuesta 1,50 soles y el pasaje universitario 1 sol. Si la

Si después de haber contestado 50 preguntas obtiene

recaudación fue 187 soles, ¿cuántos pagaron pasaje

180 puntos, ¿cuántas preguntas respondió

adulto?

correctamente?

MATEMATICA



46 b)

40 c)

d)

2 e)

32

36 I. Contar figuras Ia.Contar triángulos *

11. Una canasta contiene 80 frutas entre plátanos y manzanas. Cada plátano pesa 300 g y cada manzana 220 g. Si la canasta pesa en total (con frutas) 24 kg y además las frutas pesan 16 kg más que la canasta, luego son ciertas:

Ejemplo 1: ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

I. El peso de los plátanos es de 5000 g más que el de la canasta vacía. II. Hay 20 manzanas más que plátanos III.Si por todos los plátanos me dan S/.60, cada plátano costará S/.2.

Resolución: El procedimiento consiste en colocar una letra en cada una de las regiones en que está dividida la figura y

a)

Solo I

luego proceder a contar cuántos triángulos se

b) Solo III c)

determinan con una letra, dos letras, etc.

Todas d)

I y II

e) II y III b

12. Un comerciante pagó 45900 soles por 128 trajes de lana y de gabardina. Por cada traje de lana pagó

a

d

h

e g

S/.300 y por cada traje de gabardina S/.400. ¿Cuántos trajes de lana compró?

Con 1 letra:

a)

75 b)

62 c)

d)

48 e)

86

53

c

f

a - b - c - d - e - f - g - h...

8

Con 2 letras: bc - de - fg - ah...

4

Con 3 letras: ninguno...

0

Con 4 letras: abch - defg - bcde - fgha...

4

Total de triángulos: 8 + 4 + 0 + 4 = 16 *

Ejemplo 2: En la siguiente figura: M = número de triángulos con 1 letra. N = número de triángulos con 2 letras. P = número de triángulos con 5 letras. Hallar:

M + N - 1 P + 1

CONTEO DE FIGURAS b a d c

MATEMATICA

e


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” ¿Cuántos triángulos en la siguiente figura, tienen sólo Resolución:

un asterisco?

con 1 letra: a - b - c - d - e... 5 = M con 2 letras: ab - cd.. 2 = N con 3 letras: cde... 1 con 4 letras: ninguno... 0 con 5 letras: abcde... 1 = P Luego:

*

M + N - 1 P + 1

5 + 2 - 1 1 + 1

=

Ejemplo 3:

* *

=

6 2

*

Resolución:

= 3

d *

c

En la siguiente figura, trazar una recta y determinar el mayor número de triángulos.

b

a Con 1 letra:

*

e f

*

g

h

a-b-c-e f - g - h... 2 triángulos con un asterisco

Con 2 letras: ninguno Con 3 letras: cde.. 1 triángulo con un asterisco

Resolución:

1 le t r a : a - c . . . 2 2 le t r a s : b c . . . 1 3 le t r a s : a b c . . . 1 T o t a l: 4 t r iá n g u lo s

b

a

c

Con 4 letras: abcf - efgh... 2 triángulos con un asterisco. Total: 2 + 1 + 2 = 5 triángulos con un asterisco Ib.Contar cuadrados

1 le t r a : a - b - c . . . 3 2 le t r a s : b c . . . 1 3 le t r a s : a b c . . . 1 T o t a l: 5 t r iá n g u lo s

b a

c

a c

Ejemplo 1: ¿Cuántos cuadrados hay en la figura dibujada en el cuadriculado?

1 le t r a : a - b . . . 2 2 le t r a s : a b - a c - b d . . . 3 4 le t r a s : a b c d . . . 1 T o t a l: 6 t r iá n g u lo s

b d

b a d

c

*

1 le t r a : a - b - c . . . 3 2 le t r a s : a b - a c - b d - c d . . . 4 4 le t r a s : a b c d . . . 1 T o t a l: 8 t r iá n g u lo s

Resolución: a

c

Como se observa, hay que intentarlo varias veces hasta lograr determinar el mayor número de triángulos. *

i

b d

e

f

g

k h

j

con 1 letra: d - e - f - g - i - j... 6 cuadrados con 2 letras: ninguno

Ejemplo 4:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” con 3 letras: cdf - egh - ijk - bde... 4 cuadrados con 4 letras: defg... 1 cuadrado con 8 letras: abcdefgh... 1 cuadrado

Total: 8 maneras.


Total cuadrados: 6 + 4 + 1 + 1 = 12 II. Contar caminos *

Ejemplo 1:

1. En la siguiente figura:

¿De cuántas maneras se podrá viajar de "A" hacia "B", M : t r iá n g u lo s d e 1 l e t r a N : t r iá n g u lo s d e 2 l e t r a s P : t r iá n g u lo s d e 3 l e t r a s

usando los caminos trazados, sin pasar 2 veces por un mismo punto en cada viaje? D

C

H

1.

a

B

A

Resolución:

E

G

F

ACDB

4. AB

b

c

d

a)

6 b)

10 c)

d)

9 e)

12

ACDEFB

5. AHGB

3.

ACDEFGB

6. AHGFB

5


7.

AHGFEDB 2.

H a l la r : M + N - P

Total:

c

d

b

e

M : t r iá n g u lo s d e 1 l e t r a N : t r iá n g u lo s d e 2 l e t r a s P : t r iá n g u lo s d e 3 l e t r a s

a


f

7 maneras

*

Ejemplo 2:

a)

12 b)

10 c)

d)

8 e)

13


Un parque tiene sus jardines distribuidos de la manera

M : t r iá n g u l o s d e 1 l e t r a N : t r iá n g u l o s d e 2 le t r a s P : t r iá n g u lo s d e 5 l e t r a s

indicada en el gráfico. ¿De cuántas maneras una persona podrá entrar por "A" y salir por "B", sin pasar 2 veces por un mismo punto en cada viaje?

a

b

e d

c

A

C

E

D

9

B

f g


a)

11 b)

10 c)

d)

12 e)

9

13


F

Resolución: 1.

AB 5.

ACEFB

2.

ACDB

6. AFB

3.

ACEDB

7. AFEDB

4.

ACDEFB

8. AFECDB

b

M : t r iá n g u lo s d e 1 l e t r a N : t r iá n g u l o s d e 2 l e t r a s P : t r iá n g u lo s d e 3 l e t r a s

c

a

d f

a)

MATEMATICA

e

4 b)

H a l la r :

M + N P

c)



1

e)

2


M : t r iá n g u lo s d e 1 l e t r a N : t r iá n g u l o s d e 2 l e t r a s P : t r iá n g u lo s d e 5 l e t r a s

b a

c

d g

l

H a l la r : M - P + 2 N

a)

25 b)

24 c)

d)

13 e)

15

f

e j

i

h

a)

14 b)

12 c)

d)

16 e)

15

13

9. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

k

23

13 b)

14 c)

d)

11 e)

17

13 b)

10 c)

d)

11 e)

15

12

10. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura dibujada en el


a)

a)

cuadrilátero?

15

TAREA DOMICILIARIA

7. ¿De cuántas maneras se puede desplazar una persona del punto "A" hasta "D", sin pasar dos veces por un

1. ¿De cuántas maneras se podrá viajar de "A" hasta "B",

mismo punto?

si en cada viaje no se debe pasar 2 veces por un mismo punto?

B

B

A

G

D

E F

A

C

a)

9 b)

10 c)

d)

11 e)

13

12


a)

26 b)

25 c)

d)

28 e)

29

27

2. ¿Cuántos cuadrados hay en la siguiente figura?

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Rpta.: ______ 3. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura que tienen solo un asterisco?

* *

Rpta.: ______ *

*

7. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura dibujada en el cuadriculado, que tengan por lo menos una región sombreada?

Rpta.: ______

4. ¿Cuántos triángulos en la siguiente figura tienen solo un asterisco?

* *

* *

*

Rpta.: ______

* *

8. ¿De cuántas maneras puede ir un alumno de su casa al colegio? (Sin pasar dos veces por un mismo punto en cada viaje) Rpta.: ______

C o le g io

5. ¿De cuántas maneras se podrá viajar de "A" a "B", si en cada viaje no se puede pasar 2 veces por un mismo punto?

C asa

Rpta.: ______ 9. ¿De cuántas maneras se puede viajar de "A" a "F", sin pasar dos veces por un mismo punto en cada viaje? A

B B

Rpta.: ______

E

A

F

C

6. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura dibujada en el cuadriculado?

D

Rpta.: ______

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 10. ¿Cuántos triángulos hay en la figura, que tengan sólo

E l r e s u lt a d o e s t á f o r m a d o p o r n ú m e r o s c o n s e c u t i v o s e n o r d e n a s c e n d e n t e , d e s d e e l 1 h a s t a la c a n tid a d d e “ u n o s ” y lu e g o e n o r d e n d e s c e n d e n t e .

una región sombreada?

Luego: 2

(1 11 1 111) = 1 23 45 67 654 3 21 s ie t e u n o s

*

Ejm 3: Hallar el resultado de: E = 3333333333333342

MÉTODO INDUCTIVO I

Resolución: Observar: 2

2

334 =

4 = 16

*

2

Ejm 1: Hallar el resultado de: 5-5+5-5+5-5+5-5+5-5+5-5+5-5+5 Resolución: Observar: 1 “ c in c o ” :

2 “ c in c o s ” : 3 “ c in c o s ” : 4 “ c in c o s ” :

5 5 - 5 5 - 5 + 5 5 - 5 + 5 - 5

= = = =

34 =

3 3 1 3 1 0 2 1 1 5

*

Ejm 2: Hallar el resultado de: E = (1111111)2

2

111 =

1 x 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3

1

Ejm 4: Calcular:

Resolución:

Resolución: Observar:

1 1 1 1 1 1 2

5 5 6

E = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +... + n

1 5 c in c o s

2

6

3 4 x 3 4 3 6 2

1 5 c ifr a s

5 - 5 + 5 - 5 + 5 - 5 + 5 - 5 + 5 - 5 + 5 - 5 + 5 - 5 + 5 = 5

11 =

5 6

1 0 0 0 1

3 3 3 0 2

Luego: 2 333333333333334 = 111111111111111555555555555556

Luego:

2

1 1 0 1 0 0 1 1 1

3 3 3 0 0 2 5

E l r e s u lt a d o e s t á f o r m a d o p o r t a n t o s “ u n o s ” c o m o c if r a s t ie n e e l n ú m e r o , s e g u i d o d e t a n t o s “ c i n c o s ” c o m o l a c a n t i d a d d e c if r a s m e n o s 1 , t e r m i n a n d o s i e m p r e e n 6 .

C u a n d o e s u n n ú m e r o p a r d e “ c in c o s ” e l re s u lt a d o e s c e r o ( 0 ) y c u a n d o e s u n n ú m e r o im p a r d e “ c i n c o s ” e l r e s u lt a d o e s c i n c o ( 5 ) .

1 = 1

1 1 0 1 0 0 1 1 1

3334 =

3 4 x 3 4 3 6 2

Conclusión:

5 0 5 0

Conclusión:

*

4 x 4 6

2

3 3 3 0 2 5

2

1 1 x 1 1 1 1 1 2 1

1111 =

1 1 1 1 1 1 1 2 3

1 1 1 1 1 1 4

1 1 1 1 1

1 1 x 1 1 1 1 1

3 2 1

Un término



2 términos



3 términos



1

1 2 2

1 2  3 

2 3 2

1 2 3  6 

3 4 2

Entonces para sumar los "n" elementos:

Conclusión:

MATEMATICA



Ejm 5: Calcular:

Resolución:

1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2 n - 1 )

Un término 

12  1 

1 (1  1)  2(1)  1 6

“n ” e le m e n to s

Resolución: 2 términos  Un término



1 = 12 3 términos 

2 términos



12  22  5 

2 (2  1)  2(2)  1 6

12  22  32  14 

3 (3  1)  2(3)  1 6

1 + 3 = 4 = 22 Entonces, para sumar los "n" primeros términos:

3 términos



1 + 3 + 5 = 9 = 32 2

2

2

2

1 + 2 + 3 + ... + n =

n (n + 1 ) (2n + 1)

Entonces, para sumar los "n" primeros elementos: *

1 + 3 + 5 + ... + ( 2 n - 1 ) = n

2

6

Ejm 8: ¿En qué cifra termina el resultado de calcular: E= 423 + 546?

*

Ejm 6: Calcular:

Resolución:

2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2 n “ n ” e le m e n t o s

Resolución:

Un término

Primero analizamos la potencia del 4: 

2=1x2 Si la potencia es 1: 41 termina en cifra 4 (4)

2 términos



Si la potencia es 2: 42 termina en cifra 6 (16)

2 + 4 = 6= 2 x 3

Si la potencia es 3: 43 termina en cifra 4 (64) 3 términos




2 + 4 + 6 = 12 = 3 x 4

Entonces, para sumar los "n" primeros elementos:

En general: Si la potencia es impar termina en 4 y si es par termina en 6

2 + 4 + 6 + ... + 2 n = n ( n + 1 ) *

Ejm 7: Calcular: 2

2

2

2

1 + 2 + 3 + 4 + ... + n

2

“ n ” e le m e n t o s

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” En el problema se tiene 423, al ser la potencia impar

3. Sabiendo que:

debe terminar en 4.

2

1

= 2 x 3 = 12

2

= 3 x 4 = 36

3

= 4 x 5 = 80

2 2

Ahora analizamos la potencia del 5: Hallar:


15

a)


4352

b) 4300

c)

256 d)

4353

e) 4800

En general: Para cualquier potencia terminará en cifra 5

4. Sabiendo que: 1 = 2 + 1 2 =3+4 3 =4+9 Por lo tanto: E= 423 + 546 = ... 4 + ...

Hallar: 10

5 = ... 9 termina en cifra 9.

a)

111 b)

110c)

d)

132

e) 140

121

PROBLEMAS PARA LA CLASE 5. Sabiendo que: 1. Sabiendo que:

1

= 1 x 2 + 4 = 6

2

= 2 x 3 + 9 = 15

3

= 3 x 4 + 16 = 28

1

= 1 (1 + 1 ) = 2

2

= 2 (2 + 1 ) = 6

Hallar:

3

= 3 (3 + 1 ) = 1 2

a)

Hallar:

111 c)

d)

114e)

115

d)

112

c)

250

e) 249

6. Si:

1x2x3x4+1  5

2. Sabiendo que: 2

2 x 3 x 4 x 5 + 1  11

2

3 x 4 x 5 x 6 + 1  19

1

= 1 + 1 = 2

2

= 2 + 2 = 6

3

= 3 + 3 = 12

2

Hallar:

10 x 11 x 12 x 13 + 1

12

a) 144

b) 156

158

142

b) 132

c)

140

c)

150 d)

b) 230

231 110b)

a)

240

10

a)

Hallar:

10

d)

141e)

131

e) 160 7. Si: 152 = 225

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 252 = 625 352 = 1225 452 = 2025

1. Hallar: E = 2 + 4 + 6 + 8 +... + 46

Hallar: 852

a)

a)

7680

b) 2040

7200

b) 552

c)

550

c)

2025 d)

460

d)

558

e) 560

e) 7225 2. Calcular: E = 1 + 3 + 5 + 7 +... + 35

8. Si:

a)

1

= 1 x 2 + 3

2

= 2 + 3 x 4

3

= 3 x 4 + 5

4

= 4 + 5 x 6

Hallar: a)

22

b) 330

c)

350 d)

378

e) 390

3. Calcular:

+

E = 12 + 22 + 32 + 42 + ... +152

15

a) 830

b) 831

834

1240

b) 1250

c)

1225

c)

833 d)

324

d)

1280

e) 1300

e) 835 4. ¿En qué cifra termina el resultado de la operación? E = 2 x 4 x 512 + 6 x 8 x 421

9. Sabiendo que: Fila 1: 1 x 19 = 19 Fila 2: 2 x 18 = 36 Fila 3: 3 x 17 = 51

a)

8 b)

4 c)

d)

2 e)

9

6

Hallar el resultado de la fila 12. a)

144

b) 90

5. ¿En qué cifra termina el resultado de la operación? 4 x 624 + 8 x 912 - 2 x 1015

c)

96 d)

120

e) 140

a)

1

b)

d)

4 e)

2 c)

3

5

10. Hallar: E = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +... + 19 + 20 a)

280

b) 240

6. Hallar el resultado en la fila 10. c)

Fila 1

250 d)

260

Fila 2 e) 210

TAREA DOMICILIARIA

MATEMATICA

32 = 9 332 = 1089

Fila 3

3332 = 110889

Fila 4

33332 = 11108889


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Fila 10

Rpta.:____

12. Hallar el resultado de:

7. Hallar el resultado en la fila 10. Fila 1

62 = 36

Fila 2

662 = 4356

Fila 3

6662 = 443556

(9999999995)2 Rpta.:____

13. En el problema anterior, hallar la suma de las cifras del resultado.

Fila 10

Rpta.:____

a)

88 b)

90 c)

d)

91 e)

93

92

8. Hallar el resultado de:

7 7 7 ... 7 7 2 0 c ifr a s

x

9 9 9 ... 9 9

14. Hallar la suma de los números que forman la fila 12.

2 0 c if r a s

Rpta.:____ F il a F il a F il a F il a

9. En el problema anterior, hallar la suma de las cifras

a)

1 1 1 1

1 2

3

1 3

1

. . .

del resultado.

1 2 3 4

180

b) 200

F il a 1 2 . . .

c)

140 d)

220

e) 250 a)

1024

b) 2048

c)

1000 10. Hallar el resultado de:

d)

120

e) 1150

15. Calcular la suma de los términos de las 20 primeras

(77777777 + 2222225)2

filas, en el triángulo numérico siguiente. Rpta.:____ F il a F il a F il a F il a

11. En el problema anterior, hallar la suma de las cifras del resultado.

1 2 3 4

1 4 9

4 9

9 16 16 16 16

. . . F il a 2 0 . . . a)

19 b)

18 c)

d)

20 e)

21

17 a)

44100

b) 44000

c)

45000

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” d) 46000

e) 47000

5. puntos: C

R

M

A

4 +

C R ; R E ; E M ; M A ...

MÉTODO INDUCTIVO II

E

C E ; R M ; E A ...

3

C M ; R A ...

2 1

C A ...

T o t a l: 1 0 s e g m e n t o s

En general, si sobre una recta hay "n" puntos, estos determinan:

El método inductivo desarrollado en la clase anterior, permitirá entender la solución de los problemas que se presentan en el presente capítulo, usando los mismos principios. Una figura parecerá demasiado compleja, pero si la

A

analizamos desde su forma más elemental, seguro que se

B

C

encontrará en ella un patrón que nos permita usar la

D

E ...

N º S e g m e n to s =

inducción de tal manera que al generalizar se podrá hallar

n (n - 1) 2

el número de segmentos, de triángulos, cuadrados, palabras, etc que se busca en una determinada situación.

Nota: Si consideramos los "espacios" entre las letras, entonces hay:

*

C

Ejemplo 1:

Nº segmentos =

R

E

M

n (n + 1) 2

A Donde "n" es el número de espacios

¿Cuántos segmentos hay en la figura?

*

Resolución:


2 puntos: C

R

1 segmento

3 puntos: C C R ; R E ... C E ... T o t a l:

R

E

2 + 1 3 s e g m e n to s

Resolución: Observar que cada segmento que hay en la base, determina un triángulo.

4 puntos: C

R

E

M Luego, como hay 11 puntos, habrá:

C R ; R E ; E M ... 3 + C E ; R M ... C M ... T o t a l:

2

N º tr iá n g u lo s =

1 6 se g m e n to s

*

11 (11 - 1) = 55 2

Ejemplo 3: ¿Cuántas esferas hay en la figura 15?

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” T E L

... F ig . 1

F ig . 2

F ig . 3

E

E

V

F ig . 4

V

I


S O R

S O

R

R

V

I S

O

E V

I

S

R

L E

V

I

O

E L

I S

O R

I S

S

O R

O

O

R

R

R

Resolución: F ig . 1 1 e s fe ra

F ig . 3

F ig . 4

1 + 2 + 3 = 6 e s fe ra s

1 + 2 + 3 + 4 = 10 e s fe ra s

F ig . 2 1 + 2 = 3 e s fe ra s

3 le t r a s : 1 le t r a :

Luego: El número de esferas en la figura 15 es:

15 (15 + 1)

1 + 2 + 3 + 4 +... + 15 = *

2

T

2 le t r a s : E

T E

T

1

1

1

+

L

E

1

1 =2

= 120

+

1

L

2

E

1

+

L

1 = 4

m a n e ra s d e le e r T E L : 2 4 (= 2 )

m a n e ra s d e le e r T E : 1 2 (= 2 )

m a n e ra s d e 0 le e r T : 1 ( = 2 )

1

4 le t r a s : T


E L E

1

1

+

1

E

3

1

L

2

+

E

1

E

3

L

1

+

E

1 = 8

m a n e ra s d e le e r T E L E : 3 8 (= 2 )

Luego:

En esta distribución de letras se observa que el

número de maneras de leer una palabra es 2n - 1, donde


"n" es el número de letras de la palabra:

T E LEV ISO R

2 t r iá n g u lo s (1 x 2 = 2)

6 t r iá n g u lo s (2 x 3 = 6)

1 2 t r i á n g u lo s (3 x 4 = 12)

2 0 t r i á n g u lo s (4 x 5 = 20)

F ig . 1

F ig . 2

F ig . 3

F ig . 4

n = 9 le t r a s

2

9 - 1

8 = 2 = 2 5 6 m a n e ra s d e le e r T E L E V I S O R .


Luego, en la figura 8 hay:

1. ¿Cuántos puntos de intersección se determinan cuando se intersectan 6 circunferencias?

8 x 9 = 72 triángulos *

Ejemplo 5: ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra

a)

12 b)

27 c)

36

“TELEVISOR”? d) 42

e) 30


MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 6. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra AUTOMOVIL? A U T

1

2

3

4

5 . ..

19

20

O M

a)

19 b)

38 c)

V I

d)

42 e)

L

45

3. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 30?

L

L

O V

I L

a)

O

V

I L

M

O V

I

O M

O V

I

O M

O V

T

O M

O

40

U T

I

V I

L

L

I L

125

L

b) 255

c)

128 d)

F ig . 2

e) 256

7. ¿Cuántas regiones sombreadas "

... F ig . 1

127

" hay en la figura?

F ig . 3

a)

59 b)

60 c)

d)

63 e)

64

61 .... .... 1

2

3

a)


4 ....

38

2550

39

40

b) 1640

c)

2700 d)

2450

e) 1560

8. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura 20? 1

2

a)

3

4 ...

1305

29

30

b) 1300

c)

400 d)

900

e) 1350

F ig . 1

5. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 20?

F ig . 2

...

F ig . 3

a)

21 b)

22 c)

d)

25 e)

26

24

... F ig . 1

F ig . 2

F ig . 3

a)

85 b)

101c)

d)

89 e)

77

9. ¿Cuántos palitos de fósforo se emplearon en la siguiente figura?

81

1

MATEMATICA

2

3

4

5

98

99

100



196

b) 197

c)

198 d)

199

e) 200

10. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra EDUARDO?

E E D E D U E D U A

a)

E D U A R

E D U A R D

E D U A R D O

E D U A R D

E D U A R

64 c)

d) 255

e) 125

70 b)

36 c)

d)

73 e)

74

72


E D E U D E A U D E

63 b)

a)

127 a)

13 b)

12 c)

d)

15 e)

16

14


TAREA DOMICILIARIA


a)

21 b)

22 c)

d)

24 e)

25

a)

12 b)

13 c)

d)

15 e)

16

14

5. ¿Cuántos cuadrados hay en la siguiente figura?

23

a)

205

b) 204

c)

208

2. ¿Cuántos triángulos hay en la figura? d)

209

e) 220

6. ¿Cuántas esferas hay en la figura 15?

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 10. ¿Cuántos palitos de fósforos son necesarios para

... F ig . 1

F ig . 2

a)

formar la figura 20?

F ig . 3

138

b) 137

c)

136 d)

139

e) 140

F ig . 1

F ig . 2

F ig . 3

440

b) 450

...

7. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 20? a) F ig . 1

F ig . 2

a)

210

400

...

F ig . 3

d) 380

b) 220

c)

e) 500

c)

230 d)

240

e) 250

FRACCIONES I

8. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra SEBASTIAN? S E B

A S T I A N

T I A N

A

A S

T I

A N

B

S T

I A

N

A S

1. Representar gráficamente: Resolución:

E B

S T

I A

N

A N

*

T I A N

A N

Se escoge una figura geométrica elemental y se divide en tantas partes iguales como lo indica el denominador.

I N

*

Se sombrean tantas partes iguales como lo indica el numerador.

a)

127

b) 255

c)

128 1/8

d)

256

9. ¿De cuántas maneras se ROMINA? R R O R R O M O R O M I M R O M I N I R O M I N A N

1/8

1/8

1/8

1/8

1/8

1/8

1/8

e) 512

puede leer la palabra

2. En la siguiente figura, representar: 4/9

R O R M O R I M O R

Resolución:

a)

64 b)

63 c)

d)

66 e)

128

65 3. ¿Qué fracción del cuadrado está sombreado?

MATEMATICA



a)

Resolución:

5/16

b) 3/8

c)

5/12

Se divide la figura en partes iguales, efectuando para ello trazos auxiliares (prolongando líneas, uniendo puntos, etc)

d)

1/3

e) 5/24

2. ¿Qué parte de la figura, está sombreada?

P a rte s s o m b re a d a s T o ta l d e p a rte s

8 = 16

1 2

4. Efectuar:

a) 3 4 2 + 1 -

Resolución:

3 4 2 +

d)

1 2

1 x 2 - 1 x 1 = 1 x 2

1 1 1 2

2 +

=

1 1 2

2

7 20 4 1

=

c)

9/13

e) 27/32

3. Efectuar:

1 2

Reemplazando: 7 20

b) 3/4

5/8

2 5 1

3 x 5 - 4 x 2 7 = 4 x 5 20

2 5 1

1/2

7 80

3

1 5

+ 8

2 3

+ 7

3 4

8

3 4

+ 7

1 5

+ 3

2 3

a)

1

b)

d)

3/4

1/2c)

5/8

e) 1/3

4. Efectuar:

5. Efectuar: 3 4 3 5 x + 5 2 2 3 5  8 2

3

1 +

4

2 + 1 -

a)

1

1 4

7 22

b)

PROBLEMAS PARA LA CLASE d)

1. ¿Qué parte de la figura, está sombreada?

2

13 22

2

9 22

1

c) e)

3

9 22 13 22

5. Efectuar:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 1 -

1 2

1 -

1 3

1 -

1 4

1 -

1 5

1 -

1 6

1 -

1 7 10. Efectuar:

a)

2/3

b) 1/7

3 1  4 25 1 4 2 8

c)

5/42 d)

1/120

e) 1/2 11. Efectuar: 2 3 4 1 5 1 3

6. Efectuar las siguientes operaciones:

5

12. Efectuar:

2 1 1 1  4 3 3 3 1 1 1 3 2



1   1  2  

1  3

3 1  4 21 2 2 5 3

1 1

 1 1   4

13. Efectuar:

7. Efectuar las siguientes operaciones:

2

 1 1    3

1 2

14. Efectuar:

8. ¿Qué parte de la figura está sombreada?

5 1  4 28 1 3 3 8

TAREA DOMICILIARIA

* Efectuar cada una de las siguientes operaciones: 9. ¿Qué parte de la figura está sombreada? 1.

1 5  2 4 1 2 4 2.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 2 3 4

1 2 3 1 4 2 4 4

2 4 1

1 2

3. 1 25 3 3 5


4. 4 1  5 2 1 1 1 1 2

5. 1 3 1  4 2 2 5 3


6. 3 4 1

1 1 2

1

7.

13. ¿Qué parte de la figura está sombreada? 2 3 1   5 4 2 1 3 5   5 2 2

8. 2

2 2

2 2

1 2


9. 1 1 1 2 4 1 1 2 3 3 2 3

10.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Resolución: 15. ¿Qué parte de la figura está sombreada?

-

Para efectuar una comparación, restamos; la pregunta nos sugiere que 7/3 es mayor que 5/8.

 2

1 5  3 8



7 5 41 17   1 3 8 24 24

3. ¿En cuánto es excedido 3/7 por 5/3? Resolución:

5 3 26 5   1 3 7 21 21 Situación 2 16. ¿Qué parte de la figura está sombreada?

Para hallar lo que le sobra a una fracción respecto a una cantidad. Ejemplos: 1. ¿Cuánto le sobra a 3/5 respecto a 1/3? Resolución:

3 1 4   5 3 15 2. ¿Cuánto le sobra a 13/3 respecto a 8/5? Resolución:

4

FRACCIONES II

1 3 13 8 65  24 41 11 1     2 3 5 3 5 15 15 15

3. ¿En cuánto excede 8/5 a 3/7? Resolución: ¿Cómo debe resolverse?

Aspectos elementales

8 3 3 8  ó  5 7 7 5

8 3 56  15 41 6    1 5 7 35 35 35 pues:

En esta clase dedicaremos nuestro estudio a la aplicación de fracciones a situaciones cotidianas, y serán resueltas de manera elemental.

Situación 3 Para hallar la fracción de una cantidad.

Situación 1

Ejemplos:

Para hallar lo que le falta a una fracción respecto a una cantidad.

1. Hallar los 5/8 de 48. Resolución:

5 8

Ejemplos: 1. ¿Cuánto le falta a 3/5 para ser igual a 4? Resolución:

4

6

x 48 = 30

2. Hallar3/5 los 15/6 de los de 4. Resolución: - Para resolver estas situaciones, tengamos en cuenta que la palabra "de" indica una multiplicación. Así:

3 17 2  3 5 5 5

2. ¿Cuánto le falta a 5/8 para ser igual a 7/3?

MATEMATICA



3

3 5

d)

2

15 x 4 = 6 6

x

1

1000

e) 900

2 1

3. Un atleta entrena diariamente los 3/8 del día.

3. En un salón de 32 alumnos, faltaron los 3/16. ¿Cuántos

¿Cuántas horas entrena al día?

alumnos asistieron?

Resolución:

3  24  9 8 Entrena 9 horas diarias.

Situación 4

Para hallar qué fracción es una cantidad de otra. Esta comparación la haremos de acuerdo al esquema: Ejemplos: 1.

28 b)

30 c)

d)

9 e)

32

Lima, 6 de Cienciano y 4 de Cristal. ¿Qué parte del total de amigos, son hinchas de Alianza Lima?

32 2  48 3

a)

ES lo que no gasté?

d)



 

No gasté : S/. 12 

3/8

b) 4/9

c)

3/9

2. Tenía S/.30 y gasté S/.18. ¿Qué parte DE lo que gasté

Resolución: Gasté : S/. 18

26

4. En una reunión de amigos, 8 son hinchas de Alianza

Hallar qué parte de 48 es 32. Resolución: ES  DE

a)

ES 12 2 :  DE 18 3

5.

2/9

e) 3/5

Ricardo le pregunta a Carmela la hora

y ella le responde: "Han transcurrido los 5/8 del día". ¿Qué hora es en ese momento?


a)

5:00 p.m.

b) 6:00

c)

3:00 d)

1. El contenido de una botella de 5/2 litros de gaseosa,

4:00

e) 7:00

se vacía en otra botella vacía de 5/4 litros. ¿Cuántos litros quedan en la primera botella? 6.

Un cliente de un banco recibe como

interés por su dinero, 1/16 del dinero que tenía ahorrado. a)

5/3

b) 3/2

¿Qué fracción del dinero que tenía es lo que tiene ahora?

c)

5/4 d)

7/3

a)

1/17

b) 1/16

c)

16/17

e) 2/3 d)

17/16

e) 17/2

2. Julián gana los 3/8 de 1600 soles y Raúl gana los 2/9 de 5400 soles. ¿Cuánto le falta a Julián para ganar

7.

como Raúl?

Cirilo tenía 120 soles y gastó 80 soles

en una camisa. ¿Qué parte de lo que gastó, es lo que le queda?

a)

S/.1200

b) 600

a)

c)

1/2

b) 2/9

c)

3/5

800

MATEMATICA



1/4

8.

e) 3/4

d)

En el problema anterior, ¿qué parte

2/3

a) b) 2/5

c)

2/9

9.

d)

14.

5/8. ¿Cuántos litros quedan en el depósito?

180

b) 60

c) d)

c)

780

e) 800

Julián tiene S/. 360 y gastó los 3/8

quedó.

queda todavía?

¿Cuánto tiene ahora? 3/5

b) 8/3

c)

a)

5/8

11.

b) 802

en comida. Luego le pagaron los 4/3 del dinero que le

En un concurso de "Salsa" fueron

d)

760

e) 15

eliminados los 3/8 de los participantes. ¿Qué fracción

a)

e) 500

790

15. 10.

600

Se quiere almacenar 401/2 kg de

a)

185 d)

c)

arroz en bolsas de 1/4 kg. ¿Cuántas bolsas se necesitan?

La primera hora se consume los 3/10 y la segunda hora los

125 l

b) 400

e) 3/4

Un depósito tiene 200 litros de agua.

a)

380 375

1/3 d)

60

13. Hallar los 2/9 de 3/4 de 5/8 de 3600.

de lo que tenía, es lo que no gastó? a)

57e)

8/5

S/. 625

b) 450

c)

525 e) 2/9

d)

425

e) 225

TAREA DOMICILIARIA

Carlos compró en la ferretería un

tornillo de 13/4 de pulgada, pero en realidad sólo necesitaba de 5/2 pulgada. ¿Cuál es la diferencia de longitud de los tornillos? a)

2/5

b) 1/4

1. De una finca de 4200 hectáreas se venden los 2/3 de 1/7 y se alquilan los 3/4 de los 4/5 de la finca. ¿Cuántas hectáreas quedan? a) 1300 ha b) 1600 c) 1500 d) 1400 e) 1280

c)

1/5 d)

3/4

e) 1/2

2. Si vendo una casa por los 3/8 de los 5/9 de $ 7200 y un caballo por 1/2 de 1/3 de 1/4 de $ 2400, ¿cuánto recibiré en total? a) $ 1600 b) 2700 c)

1 Ricardo pesa 62 2 kg y el doctor le

12.

ha dicho que debe bajar por lo menos 21/4kg. ¿Cuál es el

2900

peso que debe tener Ricardo?

a)

61b)

58c)

57

d)

1 4

MATEMATICA

2800

e) 2600



Con los $ 65 que tenía compré libros

a)

por $ 15 y gasté en un traje los 7/10 del resto. ¿Cuánto d) $ 28

b) 16

20 e)

c)

140

e) 134

c)

30 d)

b) 130

128

me queda? a)

132

9. Si gastara $ 65 me quedaría con los 2/15 de lo que tengo. ¿Cuánto tengo? a) $ 80 b) 105 c)

15

100 4.

d)

Un muchacho tiene que hacer 30

problemas. Un día resuelve los 3/10 y al día siguiente los

9 b)

24 c)

d)

12 e)

18

5.

21

d)

cantidad compré libros y con los 3/8 de lo que me quedó compré un traje. ¿Cuánto me queda? $ 35

b) 20

6.

60 e)

d)

b) 30

c)

29 d)

7.

31 e)

28 13. Si 2/5 de las gallinas de un campesino son blancas, 1/3 son negras y las 20 restantes pintadas. ¿Cuántas gallinas tiene en total, cuántas blancas y cuántas negras? a) (80 - 20 - 60) b) (75 - 30 - 25 c) (100 - 30 - 70) d) (120 - 60 - 60) e) (90 - 50 - 40)

Vendí 1/5 de 1/7 de mi finca y me

quedaron 680 hectáreas. ¿Cuál era la extensión de mi finca? a)

700 Ha

e) 150

12. Ayer perdí los 3/7 de mi dinero y hoy presté 5/8 del resto. Si me quedan $ 33, ¿cuánto tenía y cuánto perdí? a) ($ 190 - 70) b) (180 - 42) c) (160 - 32) d) (180 - 30) e) (154 - 66)

Si tuviera 1/4 menos de la edad que

32 años

144

70

tengo, tendría 21 años. ¿Qué edad tengo? a)

45

180

c)

30 d)

30 e)

11. Los 2/9 de una finca están sembrados de caña, los 5/8 de café y las 22 hectáreas restantes, de tabaco. ¿Cuál es la extensión de la finca? a) 160 Ha b) 148 c)

Tenía $ 96, con los 5/12 de esta

a)

75

10. Los 2/5 de mis lápices son blancos, 1/3 son azules y los 12 restantes, verdes. ¿Cuántos lápices tengo? a) 70 b) 40 c) 60

4/7 del resto. ¿Cuántos problemas le faltan resolver aún? a)

90 e)

b) 600

c)

595 d)

900

14. De una finca de 6300 hectáreas se venden primero los 5/3 de los 2/3 y más tarde los 2/9 de los 5/7 de los 9/5. ¿Cuánto me queda? a) 2800 Ha b) 5300 c)

e) 680

8. Habiendo salido 80 alumnos de un colegio, permanecen en el mismo los 3/8 del total de alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en el colegio?

1800 d)

MATEMATICA

2900

e) 1000


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Ejm: 15. ¿Cuánto pierdo, cuando vendo por los 2/5 de los 9/10 del costo, lo que me ha costado S/. 5000? a) S/. 4000 b) 3200 c) 3400 d) 1800

20

1

*

20% de 85 = 1 0 0 x 85 = 5 x 85 = 17

*

65% de 700 = 1 0 0 x 700 = 455

65

e) 6800 *

TANTO POR CIENTO I

*

3 4 1 0 0 x 800 =

3 % 4 de 800 = 20

20% de 25N = 1 0 0 x 25N =

3 4 x8=6

1 5 x 25N = 5N

II.Operaciones con porcentajes. Ejm: 20% M + 50%M - 10% M = (20 + 50 - 10)% M = 60% M TANTO POR CIENTO

40% X + X - 20% X = 40% X + 100% X - 20% X = 120% X

Es una o más de las partes de una cantidad dividida en 100 partes iguales. Por ejemplo, si tomamos 1 de las 100 1

M M M M + + 2 4 25% M = 2 x 100% + 4

partes, se representa como 1 0 0 y se lee "un centésimo". 3 Si tomamos 3 de las 100 partes, se representa como 1 0 0

x 100% + 25% M = 50% M + 25% M +

25% M = 100% M

y se lee "tres centésimos".

20

El tanto por ciento se representa con el símbolo: % Luego:

3 4

1 = 1 % ( s e le e 1 p o r c ie n t o ) o t a m b ié n 100 3 = 3 % ( s e l e e 3 p o r c ie n t o ) 100

X 10% Y =

3 4

1

Y

30X

A2 15X

X  1 0 Y = 4  1 0  4 Y  2 Y 

a 100

a% de b% de N = Ejm: Calcular: 20% de 30% de 600 =

Fracciones equivalentes a: 10 = 100

1 10

20 20% = = 100

1 5

100 100% = = 1 100

25 = 100

1 4

200% = 200 = 2 100

25% =

3X

4 25

de una cantidad.

a% =

50% =

16

III.Calcular el tanto por ciento del tanto por ciento

Por lo tanto:

10% =

80

(20% A) (80%A) = 1 0 0 A . 1 0 0 A = 1 0 0 A2 =

50 = 100

20 100

a b x x N 100 100

30

x 1 0 0 x 600 = 36

IV. Calcular el tanto por ciento de una cantidad,

1 2

respecto a otra. ¿Qué % de "A" es "B"? =

B A

x

100%

I. Aplicar el tanto por ciento a una cantidad.

Ejm.: *

a a% de N = 100 x N

¿Qué % de 240 es 60?... Rpta:

60 2 4 0 x 100% = 25%

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” x % y de

PROBLEMAS PARA LA CLASE 11.

Rigoberto ganó el premio de la

Tinka que es de S/. 2 000 000 pero le descontaron el 1. Calcular el 25 % de 800. a) 300

30 % en impuestos. ¿Cuánto cobrará? b) 200

c)

a)

400 d)

500

2. Calcular el 62 % de 1200. a) 800

e) 600

b) 750

c)

780

e)

160 000

12.

760 d)

c)

S/. 14 000 1 400 000 1 400 d)

b) 14 500

Sandalio va a comprar un TV en S/. 1

200, pero le descontaron el 10 %. ¿Cuánto pagó? e) 744

a)

S/. 1 080

b) 1 100

c)

1 200 3. Calcular el 30 % de 400 más el 20 % de 60. a) 142 b) 140

d)

c)

1 300

e) 1 400

132 d)

144

e) 160

13. ¿Qué % de 640 es 64? a)

4. Calcular el 40 % de 850 menos el 10 % de 500. a) 290 b) 300 c)

340

d)

80 e)

14. 90

60

En un salón de 36 alumnos, 9 son

a)

48 %

b) 30

d)

32 e)

25

c) 40

c)

320 340

50 e)

mujeres. ¿Qué % del salón son mujeres?

100

6. Calcular el 25 % del 75 % de 1600. a) 300 b) 400

d)

c)

e) 350

5. Calcular el 20 % del 40 % de 1000. a) 60 b) 70 c) d)

b) 20

10

310 d)

32 %

15.

En el problema anterior, ¿qué % del

salón son hombres?

e) 380

a)

60 %

b) 50

c)

75

7. Efectuar: (30% X) (20% Y)

d)

80 e)

90

8. Efectuar: 25% M  20% M 16.

9. Calcular:

Fátima pagó el 20 % de una deuda de

300 soles. ¿Cuánto pagó Fátima?

1 % a + b de a2 - b2

a)

10. Calcular:

S/.60

b) 70

c)

80

MATEMATICA



90 e)

100

a)

$ 18 000

b) 19 000

c)

20 000 17.

d)

Una secretaria gana 600 soles

12 800

e) 12 000

mensuales y le van a aumentar el 15 %. ¿Cuánto ganará? a)

S/.90

b) 690

c)

2.

700 d)

100

18.

Se pagó $ 413 por una casaca de

cuero, luego de aumentarle el 18 % de IGV. ¿En cuánto se vendía dicha casaca (sin IGV)?

e) 80

a)

En un salón de 36 alumnos, fueron

50 %

b) 30

b) 300

c)

200

desaprobados 9 alumnos. ¿Qué % del salón desaprobó? a)

$ 350

d)

c)

400

e) 380

40 d)

25 e)

60

3.

En un Instituto hay 125 alumnos de

los cuales el 36 % son varones. ¿Cuántas mujeres hay en dicho Instituto? 19.

Carmelo compró una casa en $ 20 000

pagando el 50 % al contado y el resto en 5 partes. ¿Cuánto debe abonar por cada una de las partes? a)

$ 2 500

b) 3 000

6 000

45 b)

80 c)

d)

25 e)

60

100

c)

5 000 d)

a)

4. e) 2 000

Después de descontarle el 20% al

precio de una lancha, se pagó $80000. ¿En cuánto se vendía inicialmente la lancha?

20.

a)

Después de descontarle a una

cobraría la persona sin el descuento? $ 1 100

d) b) 1 200

c)

140000

e) 150000

c)

1 000 d) 900

b) 120000

130000

persona el 18 % de su sueldo, ésta cobró $ 820. ¿Cuánto

a)

$100000

5. e) 890

Tres socios se reparten $ 48000. El

primero recibe el 40% y el segundo el 35%. ¿Cuánto recibirá el tercer socio? a)

b) 15 000

c)

16 000

TAREA DOMICILIARIA d)

1.

$ 12 000

Una casa es de dos hermanos; la

18 000

e) 20 000

6. ¿8 % de 36 es 72 % de qué número? a) 2,06 b) 2,88

parte de uno de ellos es el 40 % y está valorizada en $ 12 000. ¿Cuál es el valor de la parte que corresponde al otro

c)

3,24

hermano?

MATEMATICA



4 e)

40 12.

7.

De un tonel de vino se extraen,

embargo, el primer día solo leyó el 60% de lo que debió

primero el 20% y luego el 25% de lo que queda. ¿Qué

leer. ¿Qué tanto por ciento de lo que debió leer leyó el

porcentaje del total se extrajo? a)

45 %

tercer día, si en total ha leído el 65% del libro? b) 40

c)

a)

38 d)

35 e)

8.

30

d)

13.

costo se ha ganado cuando se vende en 120 soles lo que ha

c)

55%

e) 70%

Un jugador de fútbol está

eficiencia es del 80%. Si a continuación realiza 10 15 %

b) 18

disparos al arco y los acierta todos, su eficiencia se

c)

incrementa a 90%. ¿Cuántos disparos ha realizado en

20 24 e)

9.

b) 60%

practicando disparos al arco y hasta el momento su

costado 96 soles?

d)

50% 75%

¿Qué tanto por ciento respecto al

a)

Ángel se propuso leer una novela en 3

días, leyendo cada día la misma cantidad de páginas. Sin

total? 25

a)

15b)

20c)

d)

30e)

35

25

Tengo 2 000 soles. Si gastara el 20%

de lo que tengo y ganara el 20% de lo que me quedaría, ¿cuánto tendría? a)

14. S/. 200

b) 2 100

c)

15y) respecto de (12y - 3x)?

1 980 d)

1 900

El 20% de (x + y) es igual al 40% de

(2x - y). ¿Qué tanto por ciento más representa (12x +

a)

e) 1 920

b) 150%

c)

120% d)

10.

100%

200%

e) 125%

De un granero, el 40% es arroz. Si se

ha vendido el 15% de arroz, ¿en qué porcentaje disminuye el granero? a)

15. 55 %

b) 15

hubiera gastado el 60% de lo que no hubiera gastado,

c)

tendría entonces 50 soles menos de lo que tengo. ¿Cuánto

25 d)

6 e)

Gasté el 20% de lo que no gasté. Si

gasté? 5

a)

S/. 50

b) 40

c)

60 11.

d) 30

Ana y Bertha hacen un trabajo en 12

e) 35

y 20 días respectivamente. Si la primera aumenta su rendimiento en un 20% y la segunda disminuye en un 50% y trabajan juntas, ¿en cuántos días harían el trabajo? a)

7 b)

9 c)

d)

6 e)

10

TANTO POR CIENTO II

8

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” ganando el 10% de la venta. ¿En cuánto vendió el VHS?

Aplicaciones comerciales

Resolución:

Cuando se colocan precios a los artículos para venderlos al público, se tienen presente muchas variables: FOB (precio de factura), FLETE (marítimo, terrestre o aéreo), SEGURO, Ad Valorem (Impuesto arancelario), Comisión Agencia Aduana, Gastos financieros, Gastos operativos (desaduanaje), margen de utilidad, descuento al precio de lista, IGV, entre otros.

Costo:

C = S/.270

Venta:

V=x

Ganancia:

x 1 g = 10% (venta) = 10% (x) = 0

Luego:

V=C+g

Los elementos básicos a considerar en el presente capítulo son únicamente: V: precio de venta C: precio de costo

x

g: ganancia

x = 270 + 1 0

p: pérdida Estos elementos están relacionados de la siguiente manera: V=C+g

x x - 1 0 = 270

V=C-p

9x 1 0 = 270 x = S/.300

P r o b le m a s r e s u e lt o s 3. Hermenegildo vendió un DVD en $ 420, ganando el 5% del costo. ¿Cuánto costó el DVD? 1. Un comerciante compró un TV en $400 y luego lo vendió ganando el 10% del costo. ¿En cuánto vendió el

Resolución:

TV?

V=C+g 420 = x + 5% (x)

Resolución: Costo:

x 2 420 = x + 0

C = $400

21x 420 = 2 0

Ganancia:

x = $400

4. Casimiro vendió una filmadora en $ 400, ganando el

10

g = 10% (costo) = 10% (400) = 1 0 0

15% de la venta. ¿Cuánto costó la filmadora?

(400) = $40

Resolución: Venta:

V=C+g V = 400 + 40 = $440

V

2. Un comerciante compró un VHS en S/.270 y lo vendió

MATEMATICA

=

C

+

g

400 =

x

+

15% (4 0 0)

400 =

x

+

60

x = $340


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 5. Telémaco iba a comprar un auto y le hicieron

4. Cuto vendió un buzo "WATON" en S/. 320, ganando S/. 80. ¿Cuánto le costó?

sucesivamente dos descuentos del 20% y luego del 30%. ¿Cuál fue el descuento único?

a)

S/. 400 350

b) 240

d)

280

e) 260

Resolución: 1 e r D s c to . 20% Q ueda:

80%

2 d o D sc to . 30% x

70%

=

80 x 70 % = 56% 100

5. Loyaga vendió un DVD en $ 320, perdiendo $ 30. ¿Cuánto le costó?

Luego: El descuento único = 100 - 56 = 44%


S/. 5 200. ¿Cuánto se ganó?

S/. 800

b) 500

c)

600 d)

700

b) 60

c)

70 d)

80 e)

d)

d)

310

e) 280

c)

a)

$ 640 630

b) 620

d)

616

e) 650

c)

a)

$ 2300 2000

b) 3000

d)

2200

e) 2400

c)

90 8. Plenitud compró una bicicleta en S/. 800 y la vendió en S/. 1000. ¿Qué porcentaje del costo ganó?

3. Paolo compró un par de chimpunes "ADEDOS" en $ 180 y los vendió en $ 120. ¿Cuánto perdió?

a)

b) 350

7. Rosauro compró una moto en $ 2500, pero luego de un accidente tuvo que venderla perdiendo el 20% del costo. ¿En cuánto se vendió la moto?

360 y la vendió en $ 410. ¿Cuánto ganó?

$50

$300 290

e) 400

2. Messi compró una cámara fotográfica digital en $

a)

a)

6. Teléforo compró una lavadora en $ 560 y la vendió ganando el 10% del costo. ¿En cuánto se vendió la lavadora?

1. Se compró un auto en S/. 4 800 y se vendió en

a)

c)

Nada 300

b) $ 40

160

e) 60

a)

25% 30

b) 20

d)

40 e)

45

c)

MATEMATICA

c)


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” d) 9.

300

e) 260

En el problema anterior, ¿qué % de la venta ganó? 14. Una casa está valorizada en $ 60000. Se le hacen dos a)

32 % 40

b) 30

d)

25 e)

20

descuentos sucesivos del 5 % y 10 %. ¿En cuánto se

c)

vendió?

a)

10. Nikita compró un TV en $ 600 y lo vendió ganando $

d)

a)

b) 30

c)

25

25 e) 3

c)

53 100

e) 40 000

15. En el problema anterior, ¿cuál fue el descuento único?

40

d)

b) 53 000

51 300

50. ¿Qué % del costo ganó?

50 3 %

$52 000

%

a)

S/. 8 700

b) 8 000

c)

9 000

11. Cristiano CR7. Pone a la venta un lote de 100 camisas, luego de un tiempo, como no se vendía el lote, se hacen

d)

dos descuentos sucesivos de 10% y 20%. ¿Cuál fue el

6 000

e) 5 000

descuento único? 16. Un artículo se vendió ganando el 20% del precio de a)

28 %

b) 72

costo y el 20% del precio de venta, ¿en cuánto se

c)

vendió, si dicho artículo costó S/. 1 200?

38 d)

20 e)

30 a)

S/. 1 800

b) 2 000

c)

3 600 12. Un equipo de sonido AIGUA se pone a la venta en

d)

S/.1000. Pasado algún tiempo, se le hicieron dos

5 400

e) 6 300

descuentos sucesivos de 20% y 10%. ¿En cuánto se vendió el equipo?

17. Un comerciante recarga el precio del artículo en un 25% de su costo. Si al vender hace un descuento del

a)

S/. 800

b) 720

12%, ¿cuál es el porcentaje de su utilidad?

c)

900 d)

500

e) 660

a)

18%

b) 13%

c)

32% d) 8%

13. En el problema anterior, ¿cuál fue el descuento único?

a)

S/. 280

b) 380

c)

e) 10%

TAREA DOMICILIARIA

800

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” $ 150. ¿Cuál fue su ganancia en porcentaje? 1. Un TV se compró en $300 y se vendió en $360. ¿Qué porcentaje del costo se ganó?

a)

30 %

b) 25

c)

40 d)

45 e)

32

2. Cándido vendió un auto en $ 6 000 ganando el 20% del costo. ¿Cuánto se ganó por el auto?

7. Un equipo SONIER es vendido en $ 800 con una pérdida del 10 % de su precio de venta. ¿Cuál fue su

a)

$ 1000

b) 2 000

costo?

c)

3 000 d)

1 500

a)

e) 1 800

$ 6 120

b) 4 000

d)

5 800

c)

890

e) 880

8. Se compró un reloj en S/. 240 y se vendió perdiendo el

c)

30 %. ¿Cuál fue su precio de venta?

5 200 d)

b) 720

800

3. En el problema anterior, ¿en cuánto se compró el auto?

a)

$ 820

e) 5 000 a)

S/. 170

b) 210

c)

72 4. ¿Cuánto se pierde al vender en S/. 340 lo que costó

d)

S/. 400?

a)

S/. 160

b) 40

200

hacerle algunas mejoras, se vendió en 4200 dólares. ¿Cuál fue el % de ganancia respecto al costo?

e) 100

a) 5. En el problema anterior, ¿cuánto se pierde (%)

a)

d)

d)

b) 30

c)

60 e)

16

10. En el problema anterior, ¿cuál fue el % de ganancia

200 b) 7

respecto al precio de venta?

c) 40 300 17

20% 40

respecto a la venta?

300 7 %

e) 180

9. Un auto se compró en 3600 dólares; después de

c)

60 d)

168

a)

40 %

b) 30

c)

100 7

e) 70 d)

60 e)

80

6. Sofía compró una tabla en $ 120 y luego la vendió en

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 11. Una camisa que costó S/. 140 se vende ganando el 20% del precio de venta. ¿En cuánto se vendió?

a)

S/. 200 150

b) 175

d)

108

e) 160

24% del 0,01% de 1000. Hallar dicho número.

17.Dos aumentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un

c)

aumento único del:

18. Un televisor cuesta $300. Si al venderlo se hace un descuento del 10%, ¿en cuánto se vendió?

12. Se vende un vestido en 4200 pesos ganando el 14 % del costo más el 5 % de la venta. ¿Cuánto costó el vestido en pesos?

19. El 20% del 30% de 500 es: a)

d)

3685 3800

b) 3475

4000

e) 3500

c) 20.

En un salón de 45 alumnos el 20%

salió desaprobado en un examen y el 50% del resto no asistió. ¿Cuántos aprobaron el examen?

13. Se venden dos objetos en S/. 1200 cada uno. En uno ganó el 20 % del costo y en el otro perdió el 100/7 % del costo. ¿Cuánto se gana o se pierde?

a)

S/. 100 200

b) 400

d)

300

e) 0

CRIPTARITMOS

c)

Criptaritmos (Cripto = Oculto) Un criptaritmo es una operación matemática donde algunas o todas sus cifras se han reemplazado (ocultadas) con una letra, un asterisco o cualquier otro símbolo.

14. ¿Qué precio se debe fijar a un artículo cuyo costo es 75 soles, sabiendo que se va a hacer una rebaja del 20 % y aún así se ganará el 60 % del costo?

a)

d)

S/. 150 120

b) 90

160

e) 180

Tener presente: -

c)

Dos letras iguales en un criptaritmo, ocultan a cifras iguales, mientras que dos letras diferentes ocultan a dos cifras diferentes (a menos que se indique otra cosa).

-

numeración decimal: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

15. Un comerciante vendió un lote de tela por 9 600 soles ganando el 20% del costo. Si por cada metro ganó 20 soles, ¿cuántos metros negoció? a)

64 b)

80 c)

d)

72 e)

96

Las cifras a considerar son las del sistema de

-

El mayor valor de una suma de dos cifras es 18. En este caso las cifras son iguales a 9.

120

-

El mayor valor de una suma de tres cifras es 27. En este caso las cifras son iguales a 9.

16. El 30% del 20% de los 2/5 de un número equivalen al

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” En la columna de las centenas: 5 + 3 + 1 = C; o sea que:

P r o b le m a s r e s u e lt o s

C=9

En la columna de los millares: 1 + 4 = D; por lo tanto: D

ADICIÓN

=5

M N P + N 4 7 9 6 2

En la pregunta anterior hemos utilizado la comprobación de la sustracción, o sea:

Resolución:

En la columna de unidades: P + 7 = 2 (imposible)

P+

S u s t r a e n d o + D i f e r e n c i a = M in u e n d o

7 = 12; ó sea: P = 5

En la columna de las decenas: N + 4 + 1 = 6, por lo

M in u e n d o

tanto: N = 1

S u s tra e n d o D i f e r e n c ia

MULTIPLICACIÓN

En la columna de las centenas: M + N = 9, de lo que se concluye que: M = 8

Si:

1 E D C B A x 3 E D C B A 1

Hallar " A + B + C + D + E " Resolución: • Al observar la primera columna: SUSTRACCIÓN

1 E D C B A x 3 E D C B A 1

Determinar las letras "A", "B", "C" y "D", en: •

D C 3 2 4 3 6 A 1 5 B 5

Debo buscar: 3 x ¿A? que termine en 1. -

Sencillo no? claro! 3 x 7 = ..1 Es decir: A = 7

Resolución: •

Quedaría así: 2

1 E D C B 7 x 3 E D C B 7 1

En la columna de las unidades: 5 + A = 2 (imposible) ó 5 + A = 12; ó sea que: A = 7

•Ahora debo buscar: 3 x ¿B? + 2 que termine en 7. Pero muchas veces esta búsqueda demora, así que usaremos una regla práctica:

En la columna de las decenas: B + 6 + 1 = 3 (imposible) ó B + 6 + 1 = 13; ó sea que: B = 6

* que llevo"

MATEMATICA

Restaremos: "lo de abajo" - "lo


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Así:

7 - 2 = 5

Entonces lo que debo buscar es: 3 x ¿B? que termine en 5. ¿más fácil no? claro!: B = 5 •

*

4

6

-

4

Quedaría así:

*

En la cuarta columna, aplicando la regla práctica, tendríamos que: D = 2 Quedaría así: 1

2

1 E 2 8 5 7 x 3 E 2 8 5 7 1 Observo que en la quinta columna "no se está llevando nada", es decir debo buscar directamente: 3 x ¿E ? que termine en 2. * •

Es decir: E = 4

*

8

*

* -

* -

* -

2

D IVISO R

1

CO CIEN T E

5

0

*

4

6

-

4

*

2

3

* *

8 8

-

-

4

2

3 2 1 *

4 4 -

• De la zona marcada (segunda resta parcial) se nota que los números deben ser: 41 - 23 = 18 • Ya se podría hallar la cifra de las unidades del cociente, ya que 184  23 = 8. Finalmente quedaría:

Reconstruyendo la operación: 1

*

• Como se conoce las centenas del cociente se puede hallar las unidades del divisor ya que por lo tanto el divisor es 23. • Se puede determinar la cifra de las decenas del cociente ya que al ser multiplicado por 23 se debe obtener un número que empiece con 2; por lo tanto, esa cifra debe ser 1. Hasta este punto se tendría:

2

1 E D 8 5 7 x 3 E D 8 5 7 1

2

*

*

RESIDU O

Es decir: C = 8

Quedaría así:

•

2

D IVID EN D O

1

*

Recordar:

Entonces: 5 - 1 = 4  3 x ¿C? que termine

2

2

Resolución:

en 4 *

4

*

2 *

En la tercera columna, aplico la regla práctica:

•

*

2

1 4 2 8 5 7 x 3 4 2 8 5 7 1

- Me piden: A + B + C + D + E = 7 + 5 + 8 + 2 + 4 = 26

5 0 1 4 4 6

2 3 2 1 8

- 4 1 2 3

DIVISIÓN

1 8 4 1 8 4 - - -

Indicar la suma de las cifras del cociente:

Por lo tanto, la suma de cifras del cociente es: 2 + 1 + 8 = 11

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 3 2 1 0 C 0 8 0

11.

A x B 5 5

A 4 B 3 B E 1 B 9 A 1 A B C

8 x 5 C C


Reconstruir las siguientes operaciones: 12.

1.

A B 4 + 5 3 A 2 6 C

C

2.

3.

A B A + B 3 5 C A A 7

5.

6.

8.

9.

A 8 5 2 3 6

3 6 B 3 A

B 2 5 B 0 8 B 7 2 B A A - 2 8

14. ABC  1001 = * * * 345 15.

8 3 __ __ + 3 __ 1 7 __ __ 7 9 3 4

4 * * 4 *

1 * 3 *

- 6 * * *

3 B B x 8 4 B A 7 6 A

2

6 3

13.

5 __ 1 __ 2 + 8 0 7 __ __ 0 1 9 1

7.

1 5

1 0

4 A 7 + B C D 3 2 9

2 C

4.

A B 5 - - - -

16. Si:

1 0 A 5 7 6 1

B

4 A 2 x 7 8 8 B

Hallar: 3 A 6 B x 8 C D 5 5 2

6 3 C C

B + C A B

A + B C

a)

1

b)

d)

6 e)

2 c)

4

8

7 A 3 B x 6 4 A B 8 6

17. Si:

10.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 1 C A B L E x 3 C A B L E 1

1 4 A 3 A 5 B 5 3 6

3.

A B x 3 C 4 1

4.

Hallar: C x A + B x L x E

3

+

2 2 6

a)

286

b) 270

5.

c)

x

9 1 1 5

288 d)

312

6.

e) 144

x

7 1 8 7

7. 18. Si:

4 1

2 3

O

D

O

C

H

S x 4 O

S S 1 D

E E O

I I C

S + S E

2 1

8. A

B

5

4 2

5

C D

Hallar "I".

a)

6 b)

4 c)

d) 7

e) 8

9. Si:

9

A 9 8 - -

A B C C

- - 3

Hallar: A x B x C

a)

10 b)

15 c)

d)

25 e)

30

20

10. Hallar: ABCABC  ABC

TAREA DOMICILIARIA

• 1.

2.

Reconstruir las siguientes operaciones:

5 M N + N N 7 M 9 9

a)

11 b)

101c)

d)

110e)

1100

1001

11. Reconstruir la siguiente operación e indicar el mayor valor de AMOR :

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” DAME + MAS = AMOR

a)

9 108

b) 9 107

4 b)

2 c)

d)

5 e)

6

8

c)

9 106 d)

a)

3. Si:

9 105

e) 9 104

A O B C B C - 8 B D A

12. Si: TOC x TOC = ENTRE ; O = cero

B C E C D 0 : C e ro

E G C E G C - - -

Hallar: E + N + T + R + E

Hallar: (B + C) (A + E) a)

21 b)

17 c)

d)

16 e)

20

19 a)

20 b)

25 c)

d)

36 e)

28

40

13. Si: ABCDE x 4 = EDCBA Hallar: A + B + C + D + E

4. Si: ABC + CBA = 888 ; A - C = 4 Hallar: A + B x C

a)

30 b)

27 c)

d)

29 e)

26

32 a)

20 b)

24 c)

d)

26 e)

14

16

14. Hallar la suma de las cifras del producto total:

__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 6 __ __ __ 6

5. Si: MM + AA + SS = MAS

__ __ x 3 __ __ __ 7 2

Hallar: M x A x S

3

a)

a)

23 b)

15 c)

d)

20 e)

16

18 b)

81 c)

d) 76

e) 72

45

21

SERIES NOTABLES I

15. Si: ABC + ACBA = 433D ; hallar: D

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” SUCESIÓN: Es un conjunto de números dispuestos en un orden definido de acuerdo a una ley de formación. Cada número de la sucesión se llama término. En general, una sucesión se representa así:

S1 = 2 = 1 x 2

S2 = 2 + 4 = 6 = 2 x 3

S3 = 2 + 4 + 6 = 12 = 3 x 4

a1; a2; a3; a4, ...; a12

S n  2  4  6  ...  2 n  n ( n  1 )

Ejemplo: 5; 8; 11; 14; ...

Ejemplo:

SERIE: Es la suma indicada de los términos de una sucesión. En general, una serie se representa:

S 1 5  2  4  6  ...  3 0 ; n = 1 5 2n Luego: S15 = 15(15 + 1) = 240

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an donde "Sn" es la suma de los términos de la serie.

III. Serie de los primeros números impares Sn = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)

Ejemplo: S6 = 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 (Serie)

El valor de "Sn" se calcula por INDUCCIÓN:

S6 = 75 (Valor de la serie)

S1 = 1 = 1 2

SERIES NOTABLES

S2 = 1 + 3 = 4 = 2 2

I. Serie de los primeros números enteros positivos

S3 = 1 + 3 + 5 = 9 = 3 2

Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n S n  1  3  5  ...  ( 2 n - 1 )  n


Ejemplo:

1 2 S1 = 1 = 2

S 1 5  1  3  5  ...  2 9 ; n = 1 5

2 3 S2 = 1 + 2 = 3 = 2 3 4 S3 = 1 + 2 + 3 = 6 = 2

Sn

2n - 1

Luego: S15 = 152 = 225

IV. Serie de los cuadrados de los primeros números

n(n  1)  1  2  3  ...  n  2

enteros positivos

Ejemplo:

Sn = 12 + 22 + 32 + ... + n2

S 1 5  1  2  3  ...  1 5 ; n = 1 5

Luego:

S15

2


n 15  16   120 2

S1 = 12 = 1 =

II.Serie de los primeros números pares positivos

1  2  (1  2) 6

S2 = 12 + 22 = 1 + 4 = 5 =

Sn = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n

2  3  (2  3) 6

S3 = 12 + 22 + 32 = 1 + 4 + 9 = 14 =


2

2

2

S n  1  2  3  ...  n

MATEMATICA

2



3  4  (3  4) 6

n (n  1 )(2 n 1) 6


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” V. Serie de los cubos de los primeros números enteros positivos

Sn = 13 + 23 + 33 + ... + n3 El valor de "Sn" se calcula por INDUCCIÓN:  1  2   2

3

2

S1  1  1  

3

 2  3   2

3

2

3

3

Ejemplo:

3

3

3

n(n  1) 2



3

S 15 = 1 + 2 + 3 + ... 1 5 n

S = 2 + 4 + 6 + ... + 52

6.

S = 2 + 4 + 6 + ... + 64

7.

S = 1 + 3 + 5 + ... + 35

8.

S = 1 + 3 + 5 + ... + 41

9.

S = 1 + 3 + 5 + ... + 57

3

12. S = 1 + 4 + 9 + ... + 625 13. S = 1 + 8 + 27 + ... + 512

2

14. S = 1 + 8 + 27 + ... + 3375 15. S = 1 + 8 + 27 + ... + 8000

; n = 15

Bloque II

3

Calcular el valor de las siguientes sumas:

Luego:  15  16 2  

5.

11. S = 1 + 4 + 9 + ... + 121

2

 3  4 3 3 3 S3  1  2  3  1  8  27  36     2 3

S = 2 + 4 + 6 + ... + 46

10. S = 1 + 4 + 9 + ... + 64

S2  1  2  1  8  9  

S n  1  2  3  ...  n

4.

2

S15  

 14 400


Bloque I

1.

S = 25 + 26 + 27 + ... + 86

2.

S = 81 + 82 + 83 + ... + 230

3.

S = 32 + 34 + 36 + ... + 100

4.

S = 44 + 46 + 48 + ... + 164

5.

S = 27 + 29 + 31 + ... + 79

6.

S = 51 + 53 + 55 + ... + 111

7.

S = 81 + 100 + 121 + ... + 400

8.

S = 256 + 289 + 324 + ... + 900

9.

S = 1 000 + 1 331 + 1 728 + ... + 27 000

10. S = 203 + 213 + 223 + ... + 64 000

Bloque III

Calcular el valor de las siguientes sumas: 1.

S = 1 + 2 + 3 + ... + 45

2.

S = 1 + 2 + 3 + ... + 60

3.

S = 1 + 2 + 3 + ... + 72

Hallar "x" en: 1.

1 + 2 + 3 + ... + x = 1 035 a)

MATEMATICA

35 b)

50 c)

45



60 e)

25

a)

465

b) 545

c)

455 2.

d)

214 + 216 + 218 + ... + x = 56 518 a)

520

b) 610

c)

3.

510

e) 490 A continuación, hallar las sumas de las siguientes series:

69 + 71 + 73 + ... + x = 1 053 a)

103

b) 101

c)

89 d)

4.

93 e)

91

1 + 4 + 9 + 16 + ... + x = 819 a)

400

b) 169

c)

144 d)

5.

225

e) 475

TAREA DOMISILIARIA

480 d)

565

e) 256

13 + 23 + 33 + ... + x3 = 44 100

a)

21 b)

10 c)20

d)

24 e)

22

6. Efectuar:

1.

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 120

2.

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 180

3.

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 273

4.

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 600

5.

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 711

6.

S = 47 + 48 + 49 + 50 + ... + 79

7.

S = 63 + 64 + 65 + 66 + ... + 96

8.

S = 121 + 122 + 123 + ... + 150

9.

S = 138 + 139 + 140 + ... + 240

S = 1 + 2 + 3 + ... + 20 a)

200

b) 205

10. S = 205 + 206 + 207 + ... + 500

c)

210 d)

220

11.

e) 215

S = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 70

12. S = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 86 7. Si: Sn = n 13. S = 2 + 4 + 6 + 8 + ... +102

Calcular: S = S1 + S2 + S3 + ... + S(p+4)

14. S = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 200

Si se sabe que: 15. S = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 360

0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + ... + 2 = p - 5

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 16. S = 26 + 28 + 30 + ... + 64

1 + 22 + 32 + 42 + ... + 102 22 + 32 + 42 + ... + 102

17. S = 54 + 56 + 58 + ... + 166

32 + 42 + ... + 102 18. S = 72 + 74 + 76 + ... + 198

42 + ... + 102 .

19. S = 108 + 110 + ... + 260

102

20. S = 214 + 216 + 218 + ... + 520

a)

2 125

b) 3 125

c)

3 025 21. S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 61

d) 2 025

e) N.A.

22. S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 99

SERIES NOTABLES II

23. S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 107

24. S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 205

•

25. S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 503

Recordar las siguientes respectivas sumas:

series

notables

y

sus

26. S = 27 + 29 + 31 + ... + 81 I.

27. S = 69 + 71 + 73 + ... + 93

II.

28. S = 99 + 101 + 103 + ... + 131

III.

29. S = 123 + 125 + 127 + ... + 249

S n  1  2  3  ...  n 

S n  1  3  5  ...  ( 2 n - 1 )  n

IV.

3

2

3

3

S n  1  2  3  ...  n

E = 0,02 + 0,04 + 0,06 + ... + 1 26,5

2

S n  1  2  3  ...  n

b) 25

2



n (n  1 )(2 n 1) 6

V.

31. Hallar el resultado de la expresión "E".

a)

2

S n  2  4  6  ...  2 n  n ( n  1 )

2

30. S = 249 + 251 + 253 + ... + 317

n(n  1) 2

3



n(n  1) 2

2

c)

24 d)

24,5

PROBLEMAS RESUELTOS

e) 25,5

1. Hallar la suma de los múltiplos de 3 menores que 134.

32. Hallar la suma total:

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 3. La suma de 500 números consecutivos es igual a 999 veces el menor de ellos. Hallar el mayor número.

Resolución:

Resolución:

Los múltiplos de 3 menores que 134 son: 3 ; 6 ; 9; ... ; 132. La suma es:

La suma se representa:

S = 3 + 6 + 9 + ... + 132

( x + 1 ) + ( x + 2 ) + ( x + 3 ) + ...+ ( x + 5 0 0 ) = 9 9 9 ( x + 1 )

Luego: S = 3(1 + 2 + 3 + ... + 44)

M enor

44  45  990 2 pero: 1 + 2 + 3 + ... + 44 =

Luego:

Por lo tanto:

M ayor

500x  (1  2  3  ...  500)    999x  999

500x 

S = 3(990) = 2970

500  501 2

 999x  999

124 251  499x 2. Un niño recibe un chocolate y luego cada día que pasa recibe un chocolate más que el día anterior. Si en total

x  249

recibió 2 016 chocolates, ¿cuántos días estuvo

Por lo tanto el mayor es:

recibiendo chocolates?

249 + 500 = 749 Resolución: 4. Calcular: S = 1x2 + 2x3 + 3x4 + ... + 99x100

Total de chocolates recibidos: 2 016 Número de días: x

Resolución: Luego: S = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + ... + 99 x 100 S = 1(1+1) + 2(2+1) + 3(3+1) + ... + 99(99 + 1)

1  2   3  ...  x  2016  " x" días

S = 12 + 1 + 22 + 2 + 32 + 3 + ... + 992 + 99 S = (1 + 2 + 3 + ... + 99) + (12 + 22 + 32 + ... + 992)

x(x  1)  2016  x  63 días 2 S

MATEMATICA

99  100 99  100  199 + 2 6


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” S = 4 950 + 328 350 = 333 300

Carolina entre sus nietos.


9. Calcular la suma de todos los números de tres cifras iguales.

10. Una persona entrena para una maratón. El primer día

Bloque I

corre 1 cuadra, el segundo día 2 cuadras, el tercer día 3 cuadras y así sucesivamente. Si recorrió 210 cuadras en total, ¿cuántos días corrió?

1. Calcular el exceso de la suma de los 100 primeros números pares sobre la suma de los 100 primeros números impares.

Bloque II 2. Calcular el exceso de la suma de los 20 primeros cubos, sobre los 20 primeros cuadrados.

1. Hallar la suma de todos los números pares positivos menores que 100.

3. Calcular la suma de todos los números impares de dos cifras.

a)

2 550

b) 2 450

c)

4 900 d)

4. ¿Cuántas campanadas da un reloj en un día, si señala

5 100

e) 5 250

cada hora con igual número de campanadas? 2. ¿Cuál es la suma de todos los números impares de dos cifras?

5. Un caño deja caer una gota y a continuación en cada minuto siguiente deja caer una gota más que el anterior. ¿Cuántas gotas cayeron en una hora?

a)

5 100

b) 2 750

c)

2 475 6. Un boxeador da 3 golpes a una pera de entrenamiento

d)

2 525

e) 2 550

y luego 5 golpes y luego 7 golpes y así sucesivamente hasta que al final dio 47 golpes. ¿Cuántos golpes dio en total?

3. ¿Cuántas campanadas da un reloj en un día si señala cada hora con igual número de campanadas y cada media hora con una campanada?

7. Carolina es una tierna abuelita que tiene 12 nietos. Al primero le dio 6 soles y a cada uno de los demás les dió 2 soles más que al anterior. ¿Cuánto recibió el último

a)

nieto?

156

b) 180

c)

190 d)

200

e) 144

8. En el problema anterior, indicar cuántos soles repartió

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 4. Hallar el valor de "u" en:

1 + 3 + 5 + 7 + ... + u = 9 801

a)

131 747 505 137 174 205 134 717 225 133 417 215 134 717 235

b)

2 b)

22 c)

32

d) 42

e) 50

c) a)

199

b) 197

c)

e)

179 d)

d)

8. Sabiendo que:

99 e)

183

A = 1 + 2 + 3 + ... + 50 B = 1 + 3 + 5 + ... + 69

5. Dadas las sumas:

Hallar: A - B A = 1 + 4 + 9 + 16 + ... + 576 B = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 69

a)

C = 3 + 7 + 11 + 15 + ... + u

¿Para qué valor de "u" se cumple: A = B + C?

TAREA DOMICILIARIA a)

99 b)

39 c)

d)

144

e) 135

139

•

Hallar el valor de "x" en cada una de las siguientes series:

6. ¿Cuál es la suma de los 40 primeros múltiplos de 5?

a)

4 100

b) 4 095

c)

3 100 d)

2 200

e) 4 090

7. Hallar el valor exacto de la suma mostrada:

1.

S = 1 + 2 + 3 + ... + x = 820

2.

S = 2 + 4 + 6 + ... + x = 5256

3. 4.

S = 1 + 3 + 5 + ... + x = 784 S = 1 + 4 + 9 + ... + x2 = 285

5.

S = 13 + 14 + 15 + ... + x = 957

6.

S = 26 + 28 + 30 + ... + x = 1650

7.

S = 37 + 38 + 39 + ... + x = 3799

8.

S = 19 + 21 + 23 + ... + x = 544

9.

S = 64 + 66 + 68 + ... + x = 414

10. S = 7 + 9 + 11 + ... + x = 391 11. Un tendero compra el día de hoy 21 cajas de tomates y

1 + 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3

ordena que cada día que transcurre, se compre una caja más que el día anterior. Si el penúltimo día se compran 39 cajas, ¿cuántas compró en total?

9

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 12. Un niño recibe un chocolate un día y cada día que pasa

sucesivamente. ¿Cuántos días estuvo comprando

un chocolate más que el día anterior. Si en total

naranjas el comerciante, si en total compró 820

recibió 2016 chocolates, ¿cuántos días estuvo

naranjas?

recibiendo chocolates? 20.Un mendigo recibe limosna; el primer día un sol, el segundo día tres soles; el tercer día cinco soles y así

13. Un chofer de taxi trabaja "N" días y lleva a su casa un

sucesivamente. Si en total llegó a recibir un millón de

haber de la siguiente manera: El primer día lleva 42

soles, responder si es posible o no.

soles, el segundo día 44 soles, el tercer día 46 soles y así sucesivamente. Si el último día llevó 108 soles, hallar el valor de .

21. Hallar la suma de los 38 primeros múltiplos positivos de 13. 14. Se reparten 4 044 caramelos de tal manera que al primer niño le tocan 2; al segundo 4; al tercero 6 y así sucesivamente. Si al final sobran 12 caramelos,

22.Hallar la suma de los 40 primeros números positivos

¿cuántos niños recibieron caramelos?

que sean múltiplos de 2; 3 y 7 a la vez.

15. Una tina se encuentra en reparación, el primer día da

23.La suma de 30 números enteros consecutivos es 1 665.

63 goteadas, y cada día que transcurre da dos gotas

Hallar el primero de dichos números.

menos que el día anterior, ¿cuántos días goteará la tina y cuántas goteadas en total dará?

24.Entre 30 asistentes a una reunión de una promoción, ¿cuántos apretones de mano se originaron?

16. En un orfanato se reparten chocolates, de tal manera que al primero le toca uno, al segundo dos, al tercero tres, y así sucesivamente. Si en total se repartieron

25.Un vendedor principiante en su primera venta logra un

1830 chocolates, ¿cuántos chocolates le tocó al

libro; en su segunda venta 8 libros; en la tercera vez

penúltimo?

vende 27; en la cuarta 64 libros y así sucesivamente hasta que luego de un tiempo, haciendo una estadística, descubre que en total vendió 14 400

17. En una caja coloco 2 corchos, en la siguiente caja 4

libros. Indicar cuántas ventas hizo.

corchos, en la que sigue 6 corchos y así sucesivamente. Si tengo 380 corchos, ¿cuántas cajas tendré al final, si no sobran ni faltan corchos?

26.La suma de los cubos de los primeros "n" números naturales es 216 225. Hallar "n".

18. Un tren lleva siete pasajeros y en cada estación suben dos pasajeros más que en la estación anterior. Si al

27.¿Cuántos términos tiene la siguiente serie?

llegar a la última estación existen en el tren 616 pasajeros, ¿en cuántas estaciones paró el tren?

1 + 3 + 6 + 10 + ... + 120 19. Un comerciante compra naranjas de tal manera que el primer día compra una naranja, el segundo día dos naranjas, el tercer día tres naranjas y así

28.¿Cuántos términos tiene esta serie?

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 9 + 12 + 15 + 16 + 21 + 20 + ... + 64

29. ¿Cuántos términos deben considerarse para que la suma: 208 + 210 + 212 + ...

sea igual a 5038?

PLANTEO DE ECUACIONES

PROBLEMAS RESUELTOS

El idioma del álgebra es la ecuación. "Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua, al idioma algebraico", escribió el gran Isaac Newton en su manual de álgebra titulado "Aritmética Universal". Una vez planteada la ecuación, la solución es generalmente fácil, con la ayuda de las computadoras y el software apropiado, la solución se puede hacer en segundos. A continuación se presentan algunos enunciados

1. A un alambre de 24 m se le da un corte de tal manera que una parte es el triple de la otra. ¿Cuánto mide la parte mayor?

Resolución:

elementales, típicos de los problemas, que con frecuencia se encuentran, así como también su respectiva traducción en una expresión simbólica.

24 m 3x

x

Del gráfico: 3x + x = 24 4x = 24 x = 6 m Luego, la parte mayor mide: 3(6) = 18 m

2. La suma de dos números impares consecutivos es igual

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 4. Hallar la edad de Juan, si sabemos que al multiplicarla por 5 y añadirle 14, para luego a dicha suma dividirla entre 4, obtendremos finalmente 21 años.

13 a los 7 del par siguiente. Hallar el menor impar.

a) 12 años d) 10

Resolución:

x x2

2x  2 

im p a r

im p a r

par

x

x + 2

x + 3

a) 40 d) 80

a) 14 d) 17

7(2x + 2) = 13x + 39

a) 24 d) 27

a) 17 y 18 d) 20 y 21


a) 240 d) 252

c) 16

b) 25 e) 28

c) 26

b) 18 y 19 e) 21 y 22

c) 19 y 20

b) 234 e) 249

c) 246

10. Hallar la suma de cuatro números consecutivos, tales que si al triple de la suma de los dos mayores le disminuimos el doble de la suma de los dos menores resultaría 53.

2. ¿Cuál es el número, cuyo doble menos 200 nos da el mismo número aumentado en 300? c) 500

a) 94 d) 82

3. Hallar la longitud de un puente, si sabemos que el cuádruple de dicha longitud, disminuida en 80 metros es equivalente al triple de dicha longitud, disminuida en 70 metros. b) 12 e) 8

c) 16

9. Hallar la suma de tres números consecutivos, tales que si al séxtuplo del menor le disminuimos el cuádruplo del intermedio y le agregamos el mayor obtendremos 241.

1. Hallar la edad de Katia, si sabemos que al restarle 12 años obtenemos el triple de dicha edad, disminuido en 48 años.

a) 10 m d) 5

b) 15 e) 18

8. Hallar dos números consecutivos, tales que el cuádruple del mayor disminuido en el triple del menor nos da 23.

x = 25 (menor impar)

b) 450 e) 600

c) 50

7. Se tiene cuatro números consecutivos cuya suma es igual a 102. Hallar el mayor de ellos.

14x + 14 = 13x + 39

a) 400 d) 550

b) 60 e) 70

6. La suma de dos números consecutivos es 31. Hallar el menor de ellos.

13x  39 7

b) 15 e) 20

c) 11

5. Hallar un número, tal que ocho veces el mismo, menos 20, equivale a su séxtuplo, aumentado en 140.

13 (x  3) 7

a) 12 años d) 18

b) 13 e) 14

b) 90 e) 86

c) 78

11. Hallar el número de hojas de un libro sabiendo que si arrancamos 25 quedaría la mitad de hojas que si el libro tuviera 50 hojas más.

c) 15

a) 70 d) 100

MATEMATICA

b) 90 e) 120

c) 75


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 12. Si ganara S/. 300 tendría el triple de lo que me quedaría si hubiera perdido S/. 300. ¿Cuánto tengo? a) S/. 500 d) 450

b) 600 e) 550

5. Hallar "x" en: x - (2x + 1) = 8 - (3x + 3)

c) 400

6. Hallar "x" en: 2(3x + 3) - 4(5x - 3) = -8x

13. La edad de Michell dentro de 20 años sumada con la edad que tuvo hace 12 años es el cuádruplo de la edad que tuvo hace 6 años, aumentada en 2. ¿Cuál es su edad? a) 12 años d) 16

b) 15 e) 11

7. La suma de tres números consecutivos es 129. Hallar el número intermedio.

c) 14

14. Si Ever ganara $ 600 tendría entonces el triple de lo que le quedaría si hubiera perdido $ 50, más $ 350. ¿Cuánto tiene Ever? a) $ 150 d) 175

b) 100 e) 250

8. Ana tiene S/. 12 más que el doble de lo que tiene Betty. Si entre ambas tienen S/. 48, ¿cuánto tiene Ana?

c) 200

9. En el problema anterior, ¿cuánto tiene Betty?

15. Si se matricularan 20 alumnos más en el salón del 3°B de Miraflores habría entonces el triple de los que quedaría si se hubieran ido 4 alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en el salón del 3ro B de Miraflores?

N ú m ero d e a lu m n o s = a) 15

10. Un número aumentado en su triple es 120. Hallar el número.

S i s e m a t r i c u la r a n 20 m ás: S i s e r e t ira ra n 4 :

b) 16 d) 20

c) 18 e) 21

11. Un número excede a 20 tanto como 110 excede a dicho número. Hallar el número.

TAREA DOMICILIARIA 12. Hallar dos números consecutivos cuya suma es igual a la cuarta parte del primero, más los cinco tercios del

1. En una granja hay 20 animales entre conejos y gallinas.

segundo. Dar como respuesta el mayor.

Si en total hay 56 patas, ¿cuántos conejos hay?

13. En una prueba de examen un alumno gana dos puntos

2. En el problema anterior, ¿cuántas gallinas hay?

por respuesta correcta pero pierde un punto por cada equivocación. Si después de haber contestado 50 preguntas obtiene 64 puntos, ¿cuántas preguntas respondió correctamente?

3. Un número se aumenta en 6; al resultado se le duplica; al resultado se divide entre 4 obteniéndose 9. Hallar la suma de las cifras del número.

14. Dos estantes contienen en total 40 libros. Al traspasar 5 libros de un estante a otro, resulta que uno queda con el triple del otro. ¿Cuántos libros habría

4. Un número se multiplica por 3, al resultado se le

más en uno que en el otro?

agrega 3; al resultado se le divide entre 3 y al resultado se le resta 3. Si se obtiene 13, ¿cuál es el número?

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 15. La suma de tres números es 27. Si el tercero de ellos

más el triple del intermedio es igual al menor

se divide entre 5 se obtiene el primero, y si el primero

aumentado en 67. Hallar el mayor.

se multiplica por 3 se obtiene el segundo. Halle la suma de las cifras del mayor de los números. 24.El triple de un número es mayor que 26 en la misma medida que el número es menor que 54, ¿cuál es el 16. Dos piezas de paño miden uno 120 m y el otro 46 m de

número?

largo, se corta de cada pieza el mismo número de metros y la primera pieza es entonces dos veces más que la segunda. ¿Cuántos metros se han cortado de

25."10x" excede a 50 tanto como 200 excede a "15x".

cada pieza?

Hallar "x".

17. La suma de tres números consecutivos es el triple del

26.Sean dos enteros consecutivos, tales que la quinta

número medio. ¿Qué valor podría tomar el menor?

parte del mayor excede en tres a la séptima parte del menor. Hallar el mayor.

18. El exceso de lo que excede un número a otro, sobre el primero es 12. Uno de los números es:

27.

Hallar dos números consecutivos, si

sabemos que los 5/3 del menor al ser sumados con los 7/2 del mayor, nos da 81 de resultado. Dar el menor de ellos. 19. Si Rosa recibe 12 soles, tendría el doble que si hubiera recibido 2 soles. ¿Cuánto tiene Rosa?

20. Caperucita Roja va por el bosque llevando una cesta con manzanas para su abuelita, si en el camino la detiene el lobo y le pregunta:

EDADES

¿Cuántas manzanas llevas en tu cesta? Caperucita le responde: Llevo tantas decenas como el número de docenas más uno. ¿Cuántas manzanas llevaba Caperucita en su cesta? Como se sabe, son incontables los problemas que se resuelven planteando una ecuación y luego resolviéndola. Algunos de estos problemas tienen características similares y se puede agrupar y luego de analizarlos, buscar una solución o método que sirva de modelo para resolverlos. Tal es el caso de los "problemas sobre edades" pues presentan características similares.

21. Un sapo recorrió 20 m dando 4 saltos y en cada salto avanzó 2 m menos que en el salto anterior. ¿Cuántos metros avanzó en el tercer salto?

En efecto, en estos problemas se 22. Un muchacho sube una escalera dando saltos de 2 en 2

hace referencia a las edades de uno o más sujetos (que

y una vez arriba baja por la misma escalera dando

pueden ser personas, animales o cosas) en tiempos

saltos de 3 en 3. Si en total dio 120 saltos, ¿cuántos

diferentes. El método a seguir consiste en elaborar en

peldaños tiene la escalera?

cuadro de doble entrada (sujetos vs tiempos) y luego representan de manera simbólica las edades en el cuadro, para luego plantear la ecuación y resolverla.

23. Dado tres números consecutivos, el doble del mayor

MATEMATICA



relación de 8 a 5. ¿Cuál es la edad actual de Gabriel?

Dentro de 2 años, Julio tendrá el doble de la edad que tenía hace 8 años. ¿Cuál es la edad de Julio?

Resolución: PASADO

PRESEN TE

FUTURO

x - 4

x

x + 8

GABRIEL

Resolución:

x 8 8  x Luego:  4 5

5(x + 8) = 8(x - 4) 5x + 40 = 8x - 32 72 = 3x 24 = x La edad actual de Gabriel es 24 años.

1. Se elabora un cuadro: PASADO

PRESENTE

FUTURO

JU LIO

PROBLEMAS PARA LA CLASE 2. Se colocan las edades respectivas en un determinado tiempo, empleando la representación simbólica (variable)

1. En el siguiente cuadro de edades: PASADO

PRESENTE

FUTURO

x - 8

x

x + 2

JU LIO

h ace 8 añ o s

d e n tro d e 2 a ñ o s

Iris

n

36

D ia n a

14

4n

Calcular la edad de Iris hace 7 años. 3. Se plantea la ecuación, de acuerdo a la relación que

a) 5 años d) 6

hay entre las edades en distintos tiempos. x + 2 = 2(x - 8) x + 2 = 2x - 16 18 = x Julio tiene 18 años

c) 2

2. María dice: "Dentro de 16 años mi edad será tres veces la edad que tenía hace dos años". ¿Qué edad tengo?

Luego:

a) 9 años d) 15

I. CON UN SUJETO 1. Le preguntaron por su edad a Rita y ella contestó: "Dentro de 12 años mi edad será la suma de la edad la edad de Rita? Resolución: PASADO

PRESENTE

FUTURO

x - 6

x

x + 12

b) 12 e) 11

c) 14

3. Hallar la edad de Rosa, si al duplicar su edad para luego aumentarla en 28 años obtenemos el cuádruple de ella disminuida en 16 años.

que tengo con la edad que tenía hace 6 años". ¿Cuál es

R ITA

b) 4 e) 3

a) 20 años d) 23

b) 21 e) 24

c) 22

4. Natalie dice: "Si al doble de la edad que tendré dentro de 4 años le restamos el doble de la edad que tenía hace 4 años, resultaría la edad que tuve hace 2 años". ¿Cuántos años tiene Natalie?

Luego: x + 12 = x + x - 6 x + 12 = 2x - 6 18 = x La edad actual de Rita es 18 años

a) 12 d) 18

b) 15 e) 20

c) 16

2. Gabriel manifiesta que la edad que tendrá dentro de 8 años y la edad que tuvo hace 4 años, están en la

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 5. Scarlet le plantea a una de sus hermanas el siguiente problema: "Hace 10 años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de 8 años". ¿Qué edad tiene Scarlet? a) 28 años d) 23

b) 30 e) 32

a) 20 d) 26

6. Dado el siguiente esquema:

a) 30 años d) 32

28

5m

R u b én

3m

36

b) 4 e) 7

a) 40 años

c) 5

b) 17 e) 20

a) 28 d) 35

b) 36 e) 35

c) 30

a) 8 d) 11

b) 26 e) 32

c) 32

b) 9 e) 12

c) 10

3. La edad de José es el cuádruplo de la edad de Rocío y dentro de 13 años ambas edades sumarán 56. Hallar la edad de José.

c) 34

a) 6 años d) 24

11. Si Felix tenía 14 años cuando nació María y si ahora María tiene la mitad de la edad de Felix, ¿cuántos años tiene ahora Felix? a) 40 años d) 24

b) 30 e) 36

2. La edad de Ericka es el triple de la edad de Liliana y hace 9 años la suma de sus edades era 22. ¿Cuántos años tiene actualmente Liliana?

10. Actualmente tengo el triple de tu edad, pero dentro de 12 años tendré sólo el doble. ¿Qué edad tengo? a) 32 años d) 33

c) 36 e) 42

1. Cuando se le pregunta por su edad a Nancy ella responde: "Dentro de 5 años tendré los 3/2 de lo que tuve hace 6 años". ¿Cuántos años tendrá Nancy dentro de 8 años?

9. La suma de las edades de Juan y Pedro es de 48 años; al acercarse María, Juan dice:"Cuando tú naciste, yo tenía cuatro años; pero cuando Pedro nació tenías 2 años". ¿Cuál es la edad de María? b) 23 e) 35

b) 34 d) 38

c) 18

8. Ricardo hace 10 años tenía la tercera parte de la edad que tendrá dentro de 12 años. ¿Cuál es la edad de Ricardo? a) 22 años b) 24 c) 21 d) 26 e) 28

a) 21 años d) 17

c) 24

TAREA DOMICILIARIA

7. Laura dice: "Dentro de tres años tendré el doble de la edad que tenía hace 7 años". ¿Qué edad tiene Laura? a) 16 años d) 19

b) 26 e) 36

14. Dentro de 5 años la edad de "A" será el triple de la edad de "B", 15 años después la edad de "A" será el doble de la edad de "B". La edad actual de "A" es:

¿Cuántos años tenía Merly cuando Rubén nació? a) 3 d) 6

c) 24

13. Carlos tiene 36 años y su edad es el doble de la que tenía Juan cuando Carlos tenía la edad que actualmente tiene Juan. ¿Qué edad tendrá Juan dentro de 5 años?

c) 25

M erly

b) 22 e) 28

b) 10 e) 32

c) 18

4. La edad de Patty es el doble de la edad que Eduardo tenía hace 4 años. Si la edad actual de Eduardo y la que tendrá Patty dentro de 5 años suman 39 años, ¿cuántos años tuvo Patty cuando Eduardo nació?

c) 28

12. La edad de "A" es el triple de la edad de "B" pero dentro de 12 años su edad será los 5/3 de la edad de "B". Hallar la suma de las edades actuales.

a) 5 d) 8

MATEMATICA

b) 6 e) 9

c) 7


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 5. La edad de Paola es el triple de la edad de Alberto. Hace 4 años la suma de sus edades era la mitad de la edad que tendrá Paola dentro de 14 años. Halle usted la edad actual de Paola. a) 6 años

b) 12

d) 18

e) 20

12. Cuando tenías 10 años yo tenía la mitad de la edad que tú tendrás cuando yo tenga el doble de la edad que tienes. Si nuestras edades suman 28 años, ¿qué edad tengo? a) 11 años b) 13 c) 15 d) 17 e) 19

c) 16

13. Yo tengo el doble de tu edad, pero él tiene el triple de la mía. Si dentro de 6 años él va a tener el cuádruple de tu edad, ¿dentro de cuántos años tendré 30 años?

6. Yo tengo 24 años, mi edad es la mitad de la que tendrás, cuando yo tenga la edad que tú tienes ahora. Entonces tú tienes: a) 18 años d) 32

b) 24 e) 36

a) 9 años d) 10

b) 35 e) 24

14. Él tiene la edad que ella tenía, cuando él tenía la tercera parte de la edad que ella tiene. Si ella tiene 16 años más que él, ¿cuántos años tiene ella? a) 24

b) 8 e) 4

b) 23 e) 36

c) 10 Los juegos lógicos son situaciones verbales que requieren de la habilidad de manejar en forma simultánea datos de distinta naturaleza, para clasificarlos y ordenarlos y sacar luego conclusiones a partir de ellos. La característica principal de los juegos lógicos es que tienen un conjunto de condiciones que hacen que inicialmente la solución sea "abierta", es decir tienen varias posibilidades de respuesta. Pero hay además condiciones o restricciones adicionales que conducen a hallar solamente una solución o, en todo caso un número pequeño de soluciones.

c) 8

10. Dentro de ocho años la edad de Pedro será la que Juan tiene ahora. Dentro de 15 años Pedro tendrá 4/5 de la edad que entonces tendrá Juan. ¿Cuál era la suma de las edades de Juan y Pedro cuando Juan tenía el doble de la edad de Pedro? a) 26 años d) 24

b) 28 e) 30

c) 48 e) 40

JUEGOS LÓGICOS

9. En la actualidad, la edad de Armando es el doble de la edad de María, más dos años. Hace tres años, la relación de sus edades era como 3 es a 1. Dentro de 5 años, la edad de Armando será: a) 13 años d) 24

b) 32 d) 52

c) 28

8. La edad de Pilar es el triple de la edad de Fabiola y hace 4 años ambas edades sumaban tantos años como la edad de Fabiola dentro de 16 años. Luego la edad de Fabiola es: a) 6 años d) 12

c) 13

c) 27

7. José Antonio tiene 30 años, su edad es el séxtuplo de la edad que tenía Carlos cuando José Antonio tenía la cuarta parte de la edad que tiene Carlos. ¿Qué edad tiene Carlos? a) 14 años d) 7

b) 12 e) 15

Juego lógico I

c) 18 Seis amigos se van a una excursión al pueblo de Obrajillo y acampan junto al río. Sus nombres son: Ángel, Beto, César, Darío, Ernesto y Fausto. Por la noche hacen una fogata y se sientan alrededor, de manera simétrica. Se sabe que Ángel se sentó junto y a la derecha de Beto y frente a César. Ernesto no se sentó junto a César. Responder:

11. Las dos terceras partes de la edad de Alfredo excede en 6 años a la edad de Bertha y hace 6 años la edad de Bertha era los 2/9 de la de Alfredo. ¿Qué edad tiene Alfredo? a) 22 años b) 24 c) 25 d) 26 e) 28

1. ¿Cuántos posibles ordenamientos hay?

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” 2. Si Darío no se sentó junto a Beto, ¿junto a quiénes se sentó Fausto?

César

D a r ío

3. Si Fausto está a la derecha de Ángel, ¿junto a quiénes está Beto?

F a u s to

Se obser ju n to a C

E rn e sto

4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre B e to

cierta? César

D a r ío

a u s t o a Darío y César se sientaF junto

I.

Ángel

S e o b s e rva q u e Fa u sto e stá ju n to a C é sa r y B e to .

E rn e sto

Fausto B e to

II.

Ángel

Darío se sentó frente a Beto

3. "Fausto está a la derecha de Ángel", corresponde al ORDENAMIENTO 1.

III. Fausto se sentó frente a Ernesto.

C ésar

F a u s to

Resolución: E rn e sto

D a r ío

B e to

1. De acuerdo a los datos hay dos posibles

S e o b s e rv a q u e B e to e stá j u n t o a D a r io y Á n g e l.

Ángel

ordenamientos:

4. La afirmación que siempre es verdadera es:

O R D EN AM IEN TO 1

O R D EN AM IEN TO 2

C ésar

C ésar

F a u s to

D a r ío

I............................................................................................................................. D a r ío

E rn e sto

F a u s to

n e s t o y Fausto", en ambos "César se sentó junto aE rDarío

ordenamientos se cumple B e to

B e to

Ángel

(V)

Ángel

II........................................................................................................................... "Darío se sentó frente a Beto" sólo se cumple en el ORDENAMIENTO 2,

1

O RD EN AM IEN TO 2

u s to

C ésar

luego no siempre es verdadero.

(F)

III. "Fausto se sentó frente a Ernesto", sólo cumple en el

gel

E rn e sto

ORDENAMIENTO 2, luego no siempre es verdadero. (F)

D a r ío

F a u s to

E rn e sto

B e to

Juego lógico II

Ángel

En el Centro Cultural "Brisas del Titicaca" trabajan como danzantes: Jorge, Fernando, Julio y Robin. Cada uno se ha especializado en dos danzas pero sólo bailan un género por noche. Jorge baila marinera y saya, Fernando baila vals y saya, Julio baila marinera y huayno, Robin baila vals y huayno.

2. Si "Darío no se sentó junto a Beto", entonces corresponde al ORDENAMIENTO 2.

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” Las presentaciones son los sábados y domingos por la noche. Responder:

Este cuadro se va completando de acuerdo a la información adicional que se brinda en cada pregunta: 1. "Si Jorge baila marinera el sábado ¿qué baila Robin?".

1. Si Jorge baila marinera el sábado, ¿qué baila Robin?

En este caso, la información adicional que completa el cuadro, sólo para esta pregunta, es: Jorge baila

2. El domingo Fernando baila vals. ¿Qué baila Julio?

marinera el sábado. El cuadro anterior quedaría como sigue:

3. Cuando Julio baila huayno los sábados, ¿quién baila saya los domingos? 4. Si Jorge no baila marinera el domingo, entonces ¿qué baila Fernando ese día? Resolución:

M AR IN E R A

VALS

HUAYNO

SAYA

JORGE FERNANDO

1. Se ordena los datos en un cuadro de doble entrada

JU LIO

(cuadro de decisiones)

R O BIN M AR IN ER A

VA LS

HUAYNO

SAYA

JO RGE FERNANDO JU LIO

Robin baila vals.

R O B IN

2. "El domingo Fernando baila vals"

Cierta noche: Jorge baila marinera o saya, entonces no baila vals ni huayno.

M ARIN ERA

VALS

HUAYNO

SAYA

JO RGE

Fernando baila vals o saya, entonces no baila marinera

FERNANDO

ni huayno.

JU LIO R O B IN

Julio baila marinera o huayno, entonces no baila vals ni

Julio baila marinera

saya. Robin baila vals o huayno, entonces no baila marinera ni

3. "Julio baila huayno los sábados" entonces el domingo baila marinera.

saya.

M AR IN ER A

VALS

HUAYNO

SAYA

JO RGE

En cada caso se coloca no

FERNANDO

en los dos casilleros

JU LIO

respectivos y se deja en blanco los otros dos casilleros pues hay dos posibilidades para el sí

R O BIN

.

El domingo quien baila saya es Jorge. 4. Si Jorge no baila marinera el domingo, entonces baila saya.

El cuadro quedaría como sigue: M AR IN ER A

VALS

HUAYNO

SAYA

M AR IN E R A

JORGE

VALS

HUAYNO

SAYA

JO RGE

FERNAN DO

FERNANDO

JU LIO

JU LIO

R O BIN

R O B IN

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” extremos, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es

Fernando baila vals ese día.

siempre cierta?


I.

Rosa se sienta entre Jorge y Dina

II.

Fabián queda a la izquierda de Rosa.

III. Hay cuatro ordenamientos posibles. Juego lógico I Cuatro autos se estacionan juntos y en una fila: VW, TOYOTA, NISSAN, FORD (no necesariamente en ese orden). Se sabe que el TOYOTA y el NISSAN no están juntos.

6. Si Jorge quiere estar en un extremo, pero siempre junto a Rosa, ¿qué afirmación será siempre verdadera?

1. Si a la izquierda del VW no se estacionó ningún auto, ¿de cuántas maneras puede ser el ordenamiento de los

I. Dina siempre se sienta en un lugar entre Jorge y Fabián. II. Rosa siempre estará al lado de Dina. III. Hay seis ordenamientos posibles.

autos?

2. Si el VW se estacionó junto y a la derecha del TOYOTA ¿de cuántas maneras puede ser el

7. Si las parejas de esposos se sientan juntos pero las

ordenamiento de los autos?

damas siempre a la derecha de sus cónyuges, ¿cuántos ordenamientos serían posibles?

3. Si entre el TOYOTA y el NISSAN sólo se estacionó el FORD, ¿qué afirmación será siempre cierta?

I.

Juego lógico III Cinco canciones son elegidas como las mejores de todos los tiempos, por una emisora radial. Estas son, aunque no en orden:

A la izquierda del TOYOTA está el

FORD. II.

SAMBA PA' TI - Santana ANGIE - Rolling Stone HOTEL CALIFORNIA - The Eagles LET IT BE - The Beatles ESCALERA AL CIELO - Led Zepelin

El VW está a la derecha de los

demás. III. Hay cuatro ordenamientos posibles.

Se sabe que: - No hay dos canciones que hayan ocupado un mismo

Juego lógico II

lugar.

Dos parejas de 2 esposos: JORGE - ROSA y FABIÁN DINA van juntos al cine y se sientan en lugares consecutivos.

-

ANGIE quedó en mejor lugar que LET IT BE.

-

HOTEL CALIFORNIA quedó en mejor lugar que ESCALERA AL CIELO.

4. ¿Cuántos ordenamientos son posibles, si las parejas de

-

esposos siempre están juntos?

LET IT BE quedó entre SAMBA PA'TI y ESCALERA AL CIELO.

8. ¿Cuál de los siguientes ordenamientos no puede ser el

5. Si las damas se sientan juntas y los caballeros en los

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” orden de las canciones?

Juego lógico IV

a) Samba pa'ti, Angie, Let it be, Hotel California, Escalera al Cielo. b) Angie, Hotel California, Escalera al Cielo, Let it be, Samba pa' ti. c) Hotel California, Angie, Samba pa'ti, Escalera al cielo, Let it be. d) Samba pa'ti, Angie, Hotel California, Let it be, Escalera al Cielo. e) Angie, Samba pa'ti, Hotel California, Let it be, Escalera al Cielo.

Sandra, Blanca, Jorge, Rocío, Víctor y Omar se sientan alrededor de una mesa circular con asientos distribuidos simétricamente. Se sabe que: -

Sandra se sentó frente a Blanca. Rocío no se sentó frente a Jorge ni a Víctor. Jorge se sentó junto y a la izquierda de Sandra.

1. ¿Cuáles de verdaderas?

las

siguientes

afirmaciones

son

I. Rocío se sienta frente a Omar II. Víctor se sienta junto a Blanca III. Blanca se sienta junto a Rocío y Víctor

9. Si Hotel California quedó en tercer lugar, ¿cuántos posibles ordenamientos hay?

2. Si Blanca se sienta a la derecha de Omar, ¿cuáles de a)

1

b)

d)

4 e)

2 c)

las siguientes afirmaciones son verdaderas?

3

5

I. Víctor se sienta junto a Blanca y Omar II. Rocío se sienta junto a Blanca y Jorge. III. Sandra se sienta junto a Omar y Jorge.

10. Si Hotel California quedó en tercer lugar, ¿qué afirmación debe ser verdadera?

3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones, no puede ser posible? a) Si Let it be queda en lugar, Escalera al Cielo en 5° lugar b) Si Samba pa'ti está 1° lugar, Angie queda en 5° lugar. c) Si Angie queda en lugar, Let it be queda en 5° lugar. d) Si Angie queda en lugar, Escalera al cielo queda en 5° lugar. e) Si Let it be queda en lugar, Escalera al cielo queda en 4° lugar.

2° a) b) c) d) e)

en 2° 2°

4. Si Rocío está junto a Sandra, ¿qué afirmación es

2°

verdadera?

11. Si entre Samba pa'ti y Escalera al cielo hay tres

I. Omar no está frente a Rocío. II. Blanca no está a la derecha de Víctor. III. Víctor no está a la derecha de Blanca.

canciones, ¿cuántos ordenamientos son posibles?

a)

1

b)

d) 4

2 c)

Blanca se sienta junto a Rocío Víctor se sienta junto a Omar Rocío se sienta junto a Sandra Jorge se sienta junto a Víctor Omar se sienta junto a Sandra

Juego lógico V

3

Cuatro amigos, Antonio, Juan, Clara y Silvia, se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Se sabe que hay dos asientos vacíos y uno de ellos está junto a Antonio y Juan y el otro, junto a Clara y Silvia.

e) 5

TAREA DOMICILIARIA

5. Si Silvia se sienta junto a Antonio, ¿cuáles de las afirmaciones son verdaderas?

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” I.

Clara está junto a Juan.

II.

Antonio está frente a Clara.

y Razonamiento Matemático; Pascual enseña Álgebra y Física; Ricardo enseña Aritmética, Física y Geometría. 9. Si Fernando no está enseñando Aritmética, ¿quién

III. Silvia está frente a Juan.

podrá estar enseñando dicho curso?

6. Si Silvia no se sienta junto a Antonio, ¿qué afirmación

10. Si Fernando está enseñando Física, ¿cuáles de las

es verdadera?

siguientes afirmaciones debe ser verdadera?

a)

Silvia no está junto a Juan

b)

Clara está junto a Juan

c)

Antonio está frente Clara

d)

Juan está frente a Clara

e)

Frente a Clara hay un asiento vacío.

I. Raúl está enseñando Trigonometría II. Jorge está enseñando Geometría. III. Miguel está enseñando Álgebra 11. Si Raúl está enseñando Razonamiento Matemático, entonces no puede ser que:

7. ¿Qué afirmaciones son verdaderas?

I.

Fernando esté enseñando Aritmética.

II.

Pascual esté enseñando Álgebra.

III. Ricardo esté enseñando Geometría.

Los asientos vacíos están uno frente

12. Si Miguel está enseñando Razonamiento Matemático,

a otro. II.

I.

entonces no puede ser que: Clara está a la derecha de Antonio.

III. A la derecha de Clara hay un asiento vacío.

8. ¿Qué afirmaciones son imposibles?

I.

Antonio está frente a Juan

II.

Clara está a la derecha de Antonio.

I.

Fernando esté enseñando Física.

II.

Jorge esté enseñando Geometría

III.

Ricardo esté enseñando Geometría.

0PERACIONES ARBITRARIAS

III. Silvia está dos asientos a la izquierda de Clara.

Juego lógico VI Un grupo de seis profesores del Colegio Regina: Fernando, Raúl, Jorge, Miguel, Pascual y Ricardo dictan simultáneamente en seis salones del Colegio. Se sabe que: Fernando enseña Aritmética, Física y Trigonometría; Raúl enseña Razonamiento Matemático y Trigonometría; Jorge enseña Geometría y Trigonometría; Miguel enseña Álgebra

LOS SIGNOS MATEMÁTICOS Los símbolos que usamos en la actualidad para indicar operaciones matemáticas no siempre han tenido la misma forma. Es posible que hayan surgido de la

MATEMATICA


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” evolución de otros símbolos, debido a la escritura rápida y abreviada. He aquí algunos de ellos:

ADICIÓN DIVISIÓN

+ 

RADICACIÓN

r a ix

 

se lee "más" se lee "entre"



se lee "raíz"

Las operaciones matemáticas pueden ser:

p lu s m in u s

-

Operaciones universales

-

Operaciones arbitrarias

%

c ie n t o

•

Las operaciones universales son las conocidas por todos y de mayor aplicación en la práctica. Algunas de ellas son:

OPERACIÓN MATEMÁTICA Es un procedimiento que transforma una o más cantidades en otra cantidad (llamada resultado), considerando ciertas reglas establecidas.

la adición la división la sustracción la potenciación la multiplicación la radicación

-

Ejemplo: •

Las operaciones arbitrarias son aquellas que se determinan usando las operaciones universales. Se

-

La operación ADICIÓN transforma a:

aplican sólo a una determinada situación particular. Tienen un operador también arbitrario.

5 + 3 (dos cantidades) en otra cantidad: 8 (llamada suma, que es el resultado)

Ejemplo: -

La operación MULTIPLICACIÓN transforma a: 5 x 3 (dos cantidades) en otra cantidad: 15 (llamada

a * b = 2 a  +  b

producto, que es el resultado)

OPERADOR OPERADOR MATEMÁTICO

R EG LA - D E FIN IC IÓ N Otros ejemplos de operaciones

arbitrarias: Es un símbolo que indica una determinada operación. •

OPERADOR

•

MATEMATICA

a b a b 2

= x + 1

•

Ejemplo:

OPERACIÓN

ab 

M

N

P

= (M + N )(N - P )


COLEGIO PRIVADO “INGENIERIA” d) 20

e) 17

4. Si: a # b = (a + b) (a - b); calcular "7 # 2" a) 46 d) 45

b) 44 e) 49

c) 42

5. Si: m * n = (m + n)(m2 - mn + n2); calcular "2 * 1" 1. Si: p

q = p(p + q), hallar: 5

3

a) 6 d) 3

Resolución:

6. Si: x

b) 5 e) 9 = 5x + 1; calcular " 2 "

a) 8 d) 11

Hacemos: p = 5 ; q = 3 y reemplazamos

c) 18

b) 3 e) 17

c) 15

7. Sabiendo que: m = 2m + 3; hallar " 5 " 5

a) 11 d) 15

3 = 5(5 + 3) = 5(8) = 40

b) 13 e) 19

c) 16

8. Si se conoce que: m @ n = 5m2 - 2n3 Calcular el valor de "1 @ 0" 2. Si: m  n = mn - 1; hallar: 3 2

a) 6 d) 1

b) 5 e) 0

c) 10

9. Si: a * c = 3a2 + 2c3 Calcular el valor de "(2 * 1) * (1 * 0)"

Resolución:

a) 542 d) 480


b) 510 e) 417

c) 642

10. Sabiendo que: a = 2a + 5 Hallar el valor de " 3 + 1 "

1. Si: a * b = 4a + 5b; calcular "2 * 3" a) 21 d) 25

b) 23 e) 26

a) 13 d) 16

c) 19

b) 18 e) 15

c) 12

5

6

5

6

5

6

5

6

Calcular "(5 # 6) # (6 # 6)"

3. Si "" es un operador, de tal modo que:

a) 6 d) 65

xy = x2 + 5y

b) 5 e) 56

c) 11

12. Se define:

Calcular "2 5" a) 21

c) 15

11. Si:

2. Si: m # n = m2 + n2; calcular "1 # 5" a) 21 d) 26

b) 18 e) 11

b) 29

c) 27

MATEMATICA



Calcular:

E

*

2

3

4

2

4

3

2

3

2

4

3

4

3

2

4

d) 1

3. Si: m # n = mn - nm Hallar: 3 # 2

(3* 4) * (2* 4) (2* 3) * (3* 4)

a) 1 d) 3

e) -2

a) -1 d) 2

b) 0,5 e) 1/3

c) 4

b) 0 e) 1

4. Sabiendo que:

13. Se define:

Calcular:

E =

a) 2 d) 4

1

2

*

3

4

1

2

1

3

4

3

2

1

2

4

3

4

Hallar: (3

b) 7

d)

c) 3

Hallar: ( 3 * 2 ) a) 10 d) 11

c) 8

e) 6

b) 5 e) 3

b) 17 e) 15

c) 19

p * q = 4p - 5q r t = 7r - 3t (4*3) b) 9 e) 6

c) 15

6. Si:

15. Siendo: x* = x2 - 3 Hallar: (2*)*+ 3 a) 4 d) 2

12

5. Se define:

a  b 14. Si: a  b = Calcular "( 4  1 ) . ( 9  81 )"

5

4)

a) 13 d) 12

(2 * 1) + (4 3) (4 4) . (1 * 2)

b) 1 e)

a) 5

2 2 b = a b

a *

c) 3

Hallar: 15

3

a) 36 d) 35

c) 1

7. Si: x Hallar:

TAREA DOMICILIARIA

q 2

3p

= p + pq

b) 40 e) 38

c) 32

b) 19 e) 17

c) 16

=x+3

7

a) 15 d) 18

8. Se sabe que: x + 1 = x 

1. Si: 4a  5b 6 a*b=

b) 5 e) 8

a) 5 d) 9

c) 6

K

2. Si: Hallar: 25  9

Hallar "x", en: b) 2

b) 4 e) 8

c) 6

9. Se define:

x y 2 x  3 y

a) -1

x

Hallar: 6 5

Hallar: 10 * 2 a) 4 d) 7

3

H

K  H 8 2 = x

c) 3

MATEMATICA

9

= 13



b) 10 e) 12



a) 5 d) 6

b) 2 e) 3

a) 2/7 d) 1/4

x = 19

c) 4

=

a) 9 d) 8

8

-

1)

7 b) 3/7 e) 4/9

c) 1/3

1 1 2 3 4

2 2 3 4 1

3 3 4 1 2

4 4 1 2 3

Hallar: (3 * 4) * (2 * 1)

9

b) -8 e) -9

; si : " a  b"

3

* 1 2 3 4

 2a  1 ; si : " a " es par.   3a  1 ; si : " a " es impar.

Hallar:

; si : " a  b"

13. Si:

11. Definimos: a

b = 

Hallar: ( 5

n =2m + 3n 5

4 2a  b 

a

10. Sabiendo que: m Hallar "x", en:

3a  b 





c) 8

a) 1 d) 4

c) -7

b) 2 e) 2 ó 3

c) 3

12. Si:

MATEMATICA

Matemática 2016 - 3ero Secundaria

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