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El material didáctico Matemática 2 Proyecto Bicentenario, para Segundo Año de Educación Media, es una obra colectiva, creada y diseñadapor el departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección general de MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA
Coordinación del Proyecto Jefatura de área Edición
Asistentes de edición
Ana María Anwandter Rodríguez Marcia Villena Ramírez María Antonieta Santis Avalos Marcia Villena Ramírez Gerardo Muñoz Díaz Pedro Rupin Gutierrez
Autores
María José Jimenez Robledo
Colaboradores
Daniela Castro Camilo Sebastián Troncoso Naranjo
Corrección de estilo
Documentación
Astrid Fernandez Bravo Isabel Spoerer Varela Paulina Novoa Venturino María Paz Contreras Fuentes
La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de VERÓNICA ROJAS LUNA
Coordinación Gráfica
Carlota Godoy Bustos
Diseño y diagramación
Cecilia Serrano Quevedo Teresa Serrano Quevedo
Ilustraciones
Eduardo Cuevas Romero
Cubierta Producción
La Práctica S.P.A. Germán Urrutia Garín
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.
© 2009, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones. Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile). PRINTED IN CHINA. Impreso en China y producido por Asia Pacific Offset Ltd. ISBN: 978 - 956 - 15 - 1529 - 1 Inscripción N° 184.135 www.santillana.cl
[email protected] R020711 SANTILLANA® es una marca registrada de Grupo Santillana de Ediciones, S.L. Todos los derechos reservados.
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Autores y Ascesores
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Santillana Bicentenario
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Matemática
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Santillana Bicentenario
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7|
Matemática
, U
eros
Srinivasa Aaiyangar Rámánujan matemático
ea es
(1887-1920)
es considerado por muchos como el
más genial que haya existido en nuestro tiempo y uno de los más
sorprendentes de la historia. En 1913, el matemático inglés Godfrey Harold Hardy recibió, en su oficina de la Universidad de Cambridge, una carta proveniente de la India, con el siguiente texto: ..• •
•
l
......
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~
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.:r.rT.
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o POS7:4GE
...... ,_ .. ,.
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Sello postal de la India en conmemoración a Ramanujan.
•
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...~ ~
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Apreciado señdr:
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•
•
•
•
•
Me permito presentarme a usted como un oficinista del departamento de cuentas del Post Trust Office de Madrás con un salario de 20 libras anuales solamente. Tengo cerca de 23 años de edad. No he recibido educación ul1iversitaria, pero he seguido los cursos de la escuela ordinaria. Una vez dejada la escuela he empleado el tielnpo libre de que disponía para trabajar en matemáticas. No he pasado por el proceso regular convencional que se sigue en un curso universitario, pero estoy siguierldo 'una trayectoria propia. He hecho un estudio detallado de las series divergentes en general y los resultados a que he llegado S011calificados como "sorprendentes" por los matemáticos locales. Yo querría pedirle que repasara los trabajos aquí il1cluidos. Si usted se convence de que hay alguna cosa de valor me gustaría publicar mis teoremas, ya que soy pobre. No he presentado los cálculos reales ni las expresiones que he adoptado, pero he indicado el proceso que sigo. Debido a mi poca experiencia tendría. en gran estima cualquier consejo que usted me hiciera. Pido que me excuse por las molestias . que ocaSIono. Quedo, apreciado señor, a su entera disposició1'l. S. Ramanujal1
•
I ,
I
,
.,
¡
Respecto a dichas páginas, Hardy declaró más tarde: Nunca había visto antes nada, ni siquiera parecido a ellas. Una hojeada es supciente para comprender que solamente podían ser escritas por un matemático de la más alta categoría. [Sus fórmulas sin
demostrar] tenían que ser ciertas, porque, si no lo fueran, nadie habría tenido suficiente imaginación para inventarlas. Acerca de Ramanujan y su aprendizaje de las matemáticas se escribió: Ramanujan solía decir que la diosa de Namakkalle
inspiraba las fórmulas en sueños. Es notable el hecho de que, al levantarse de la cama, escribía resultados y los comprobaba, aunque no siempre era capaz de dar una demostración rigurosa. Este proceso se repitió durante toda su vida Oames R. Newmao).
Santillana Bicentenario
181
Era imposible pedir a este hombre que se sometiera a una instrucción matemática, que intentara aprender de nuevo matemáticas desde el principio. Temía además que, si yo insistía indebidamente en materias que Ramanujan consideraba fastidiosas, podía destrozar su confianza o romper el encanto de su inspiración. Por otra parte, había cosas que era necesario que aprendiera. Algunos de sus resultados eran equivocados, en particular los que se referían a la distribución de números primos, a los que daba la mayor importancia ... Así yo tenía que intentar enseñarle y en cierto modo lo logré, aunque, obviamente, yo aprendí de él mucho más de lo que él aprendió de mí (G. H. Hardy). Además, el mismo Hardy, en su libro Apología de un matemático, cuenta la siguiente anécdota: Recuerdo una vez que fui a verle cuando yacía enfermo en Putney. Yo había viajado en el taxi número 1729 y observé que el número me parecía más bien insípido y esperaba que no le fuera de mal agüero. 'No', contestó, 'es un número mu~ interesante. Es el número más pequeño expresable 3 3 3 3 como suma de dos cubos de dos maneras diferentes'. En efecto, 9 + 10 1 + 12 1.729.
=
No hay indicios de que Rárnánujan ese momento.
=
haya estudiado previamente estos números, por lo que, al parecer, constató este hecho en
EN
ESTA UNIDAD APRENDERÉ A ...
Caracterizar
Demostrar la irracionalidad de algunos números.
Determinar el tipo de número obtenido al operar con irracionales.
el conjunto de los Números
Relacionar los números irracionales con las raíces cuadradas.
Reales.
Resolver adiciones, sustracciones y multiplicaciones de raíces cuadradas.
Distinguir tipos de números reales.
Construir geométricamente raíces cuadradas irracionales.
Aproximar raíces cuadradas y ordenar números reales.
En grupos de cinco personas, realicen las siguientes actividades.
1.
Investiguen respecto de algún genio en la historia que haya destacado en su área, pese a no recibir instrucción formal en ella o haberlo hecho de una forma no tradicional.
2.
Respecto a lo afirmado por G. H. Hardy y Newmao en relación con Ramanujan, discutan: ¿pe~udica a la creatividad la instrucción formal?, ¿existen fuentes del conocimiento a las que solo algunas personas acceden?, ¿un genio nace o se forma?
Matemática
1 En relación
6
a los Números Racionales (Q) es falso que:
l. corresponden solo a las fracciones positivas. 11. siempre existe un racional entre otros dos. 111. la expresión decimal para un número siempre es infinita.
A. Solo B. Solo
2
I
c.
11
D. I Y III
E.
I Y II
II Y 111
7
¿Cuál ecuación tiene solución en Q pero no en l?
A. x + 2 = 5 B. 5x - 12 = -7 C. 22 + 5x =-3
D. 2x + 16 = 4 E. 13 - 2x = 20
8
3
· 7 9 1 . SI m = - - n = - y q = - entonces es cierto que: 2'
5
D. E.
4
q < m < n
1 3
C.
B. -1
D. O
13
9 C. -4
E.
3
99
D.
A.
2 3
B.
1 15
C.
D.
11
E.
5
1
3
3 5
Al redondear 0,36 a la milésima resulta:
D. 0,362 E. 0,36
Al aproximar el racional m
= 1,7 es siempre verdadero
13 10
D. al truncarlo a cualquier cifra decimal es menor a m. Ninguna de las anteriores.
1
9
Una torre tiene agua hasta los
En la recta numérica, ¿cuál es la mejor ubicación de 29? 56
2.8 de su capacidad. Si se
le agregaran 1.600 L de agua, se llenaría. ¿Qué capacidad tiene la torre?
A. 600 L B. 960 L
Santíllana Bicentenario
a
C. 1.320 L D. 1.860 L
que:
., . A. su aproxrrnacron es menor a m. ., . B. su aprccomacron es mayor a m. C. al redondearlo a cualquier cifra decimal es menor a m.
10 5
3
1 2 1 7 El resultado de - + - : - - - es: 3 5 2 15
E. B.
E. 3
q < n< m
El racional 1,3 equivale a:
A. -
1
A. 1
A. 0,363 B. 0,364 C. 0,37
2'
A. m < n < q B. m
1El valor de 1 + - - 0,3 es: 3
E. 2.560 L
10
b
I
e
d
e
Números Reales
UNIDAD 1
Para obtener una solución de limpieza, se debe mezclar agua, limpiador y aromatizante en partes proporcionales
al siguiente
esquema:
D
D
agua
D
limpiador
aromatizante
11
Expresa en su forma decimal cada una de las fracciones correspondientes
12
Si en un balde hay 2 L de esa solución y por error se agregan 0,4 L más de agua, ¿qué fracción de la solución corresponde ahora a cada componente
13
a los componentes
de la mezcla.
de la mezcla?
Si otro balde tiene una capacidad de 4! debenan agregar para llenarlo?
L Y tiene solución de limpieza hasta los 5 de capacidad, ¿cuántos litros más se 2
6
P y Q son dos números racionales que se representan en la recta numérica.
14
Expresa el valor de P redondeado
a los centésimos y el valor de
~I o
15
Q truncado
a los décimos.
p
Q
I
I
I .. 2
En la recta numérica, ¿cuál sería la mejor ubicación del resultado de p. Q?
Reviso Revisa tus respuestas en el solucionario y completa la siguiente tabla.
PREGlJNTAS
INDICADOR
1, 2, 3, 4, 11
Caracterizar los números racionales a través de su
RESPUESTAS CORRECTAS
__
/5
expresión como cociente de dos enteros y sus distintas representaci ones.
Resolver problemas aplicando las operaciones aritméticas
S, 6, 7, 12 Y 13
_/5
8, 9, 1O, 14 Y 15
_/5
en el conjunto de los Racionales. Ubicar racionales en la recta numérica y aproximarlos mediante redondeo y truncamiento.
11
Matemática
Números Papiro Rhind
Números Irracionales Desde la antigüedad, el ser humano ha utilizado los números con diferentes grados de complejidad.
Las diversas culturas han ido desarrollando
el concepto
de número
a
partir de la necesidad de contar, expresar la unidad y sus partes, resolver problemas, responder enigmas, etcétera. Luego, surge el anhelo de dar una estructura formal a la matemática. Los egipcios utilizaban fracciones alrededor El papiro Rhind fue escrito por el escriba Ahmes; por ello, se conoce también como papiro Ahmes.
del año 1000 a. C., que les permitían
realizar todos los cálculos necesarios para el funcionamiento
de un gran imperio. El
uso de los números negativos, por el contrario, fue mucho más tardfo, al menos en Occidente. Tuvo que llegar el siglo XVII para que en Europa se comenzara a hablar
Pitágoras
de ellos. Hasta entonces, grandes matemáticos descartaban las soluciones negativas en sus problemas, calificándolas de absurdas. AI-Khowarizmi,
uno de los más destacados matemáticos
árabes de la Edad Media,
declaraba que, en caso de obtener negativos, "la cosa [incógnita] es nada". Curiosamente,
que te propusieron
los indios, cerca del siglo VI d. C., sí utilizaban números
negativos, que eran escritos con tinta roja, para representar cálculos de tipo comercial. Para los griegos, el concepto de número era materia de estudio filosófico. Durante el siglo VI a. C., los miembros Detalle de
La escuela de Atena~ de Rafael.
número"; estudio
de la escuela pitagórica declararon la máxima "todo
es
es decir, todo el'a explicable desde la matemática. Para los pitagóricos, el de la matemática
podía y debía separarse del mundo
tangible, lo que
constituye el primer paso en el estudio de ella como ciencia formal.
Figura 1
Por otro
lado, el estudio
de la geometría
puso a los matemáticos
frente
números curiosos: el que provenía de buscar el cociente entre el perímetro 1t
= P, d
circunferencia "periferia"
y su diámetro
1t:::;
256 = 3 160493827 81 '
pi, como
en griego. Figura 1) Y el que representaba
cuadrado de lado
1. Para el
pero el estudio respecto Egipcios(1800a.C.):
(nombrado
de su naturaleza surgió durante
idea existente hasta el momento
3_!Q < 1t < 3l
números naturales -lo que, modemamente, llama-
el siglo XIX en Europa.
mos número racional positivo-. Sin embargo, no lograban encontrar los números adecuados para
Figura 2
d=~
1
d=
expresar la medida de la diagonal del cuadrado de :::;355 :::;3 1415929 1t 113 '
lado
1
(figura
2).
Luego, con la demostración que
se detalla a continuación, descubrirían que no era posible expresar esta medida como el cociente de dos números naturales.
Santillana Bicentenario
desde la antigüedad,
sobre la naturaleza de los números.
podían ser expresados como el cociente de dos
Chinos(s. V d. C.):
letra de la palabra
Respecto al segundo, fue motivo de crisis en la escuela pitagórica, pOI' escapar de la
Arquímedes(s.IIIa. C.): 7
de una
la medida de la diagonal de un
primero han existido aproximaciones
Los pitagóricos afirmaban que todos los números
71
la primera
a dos
12
1
..Ji
UNIDAD 1
Números Reales
Demostración Para esta demostración,
primero se necesita conocer el siguiente lema:
Lema: teorema que se antepone a otro por ser necesario para la demostración de este último.
Lema: Sea x un número entero. Si x2 es par, necesariamente x es par. Se demostrará el contrarrecíproco
del lema;
es decir, que si x es impar, x2 es impar.
Si x fuera un número impar, puede escribirse como x = 2k
+ 1, siendo k un número
entero. Elevando x al cuadrado, se obtiene:
Demostrar un teorema es equivalente a demostrar su contrarrecíproco.
x2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 ,. es Impar, que es Io que se quena' dE' Luego, x 2 tam b'len emostrar.
ntonces, SIx 2 es par,
necesariamente x también lo es. Ahora se procederá por reducción al absurdo, suponiendo que mediante una fracción
.E., siendo
p
q
yq
.Ji
puede expresarse
números naturales sin factores comunes entre sí.
Para el lema presentado se tiene: ·, . 2 ipotess: x es par. H Tesis: x es par. Demostrar que el contrarrecíproco es equivalente a demostrar lo planteado: Hipótesis: x es impar. . T·esis: x 2 es Impar.
Entonces,
P 2 -- 2 q 2
=2
Es decir, p2 es un número par, por lo que necesariamente p es par, de acuerdo al lema anterior. Escribiendo p como 2k, y remplazando en la expresión anterior, se obtiene:
p2 = (2k)2 = 2q2 4k2 = 2q2
/: 2
2~ = q2 Se tiene, por lo tanto, que q2 es par, pares, lo que es contradictorio
y
con ello q es par. Entonces, p
y
con la hipótesis inicial que planteaba que no tenían
factores comunes; es decir, dichos p y q no pueden existir, y, por tanto, expresarse como fracción
q son números
.Ji
.E.. q
Euclides, al escribir sobre estos números, planteó que eran "inexpresables", para ello la palabra griega "alogos" interpretó
erróneamente
no puede
"legos"
utilizando
(aA.o'Y00). Sin embargo, un matemático medieval como "razón",
conocidos desde entonces como números
por lo que estos números fueron
irracionales.
Este término
es aplicable a
cualquier número que no se pueda escribir como fracción.
13
Matemática
Números
Números Reales La creación de las fracciones y los números enteros se entiende fundamentalmente partir
de necesidades
prácticas;
en cambio,
los números
irracionales
fueron
a un
descubrimiento fruto de la teorización respecto al concepto de número. Es por esto que se crea un conjunto que, por definición, incluye tanto a los irracionales como a los racionales; este conjunto representa
numérico
recibe el nombre
de Números
Reales, y se
por IR.
En el siguiente diagrama se representa
el conjunto
de los Números
Reales.
o representaal conjunto de los Números Racionales, y por tanto, 0* a los Irracionales. Q* E : pertenecea
3: existe 1: tal que
Por definición, en los Números
~: implicaque
y la multiplicación: ley de clausura, propiedad asociativa, propiedad propiedad distributiva, elemento neutro, opuesto e inverso.
--7 f--:
contradicción
Reales se verifican todas las propiedades
Sin embargo, existen algunas particularidades al realizar operaciones e irracionales, las que se presentan a continuación. 1. El opuesto de un irracional es irracional. Demostración:
de la adición conmutativa,
entre racionales
En esta demostración se supone que la afirmación es falsa; es decir, que el opuesto de un irracional no es irracional.
supóngase que no, es decir:
Bx
E
0*, 3y
E
Existe un x perteneciente a los Irracionales, y existe un y perteneciente a los Racionales tal que la suma de ambos es igual a cero.
Q tal que x + y = O =>x =-y =>x EO
Al despejar x se obtiene que x es igual a -y, pero como -y es un número racional, x también debe ser un número racional, lo cual es contradictorio con la afirmación inicial que considera a x como un número irracional, por lo que y debe ser un número irracional.
~ f-
Por lo tanto, y no puede ser racional, con lo que se concluye que el opuesto de un número irracional es un número irracional.
2. El inverso de un irracional es irracional. Demostración:
En esta demostración se supone que la afirmación es falsa; es decir, que el inverso de un irracional no es irracional.
supóngase que no, es decir: 3x
E
0*, 3 y
E
Existe un x perteneciente a los Irracionales, y existe un y perteneciente a los Racionales, tal que el producto entre ellos es igual a 1.
Q tal que x . y = 1 -1
=>x·
y .y
=>x·
1 = Y
=>x=y
-1
= 1 . Y
-1
Se multiplica en ambos lados de la igualdad por el inverso de y, es decir y-1. Al operar se obtiene finalmente que x es igual a y -1. Como y -1 es un número racional, x también debe ser un
-1
=>XEQ ~ f-
número racional, lo cual es contradictorio con la afirmación inicial que considera a x como un número irracional. Por lo tanto, y debe ser un número irracional.
Por lo tanto, y no puede ser racional, con lo que se concluye que el inverso de un número irracional es un número irracional.
Santillana Bicentenario
14
UNIDAD 1
3. La suma entre un racional y un irracional es irracional. Demostración:
:3 x
Números Reales
En esta demostración se supone que la afirmación es falsa; es decir, que la suma entre un racional y un irracional no es irracional.
supóngase que no, es decir. E
O, :3 y
E
0*, :3 Z
O, tal que x + y =
E
Existen un x y un Z pertenecientes a los Racionales, y existe un y perteneciente a los Irracionales, tal que la suma entre x e y es igual a z; es decir, se cumple la igualdad: x + y = z.
Z
=>y=z-x =>y
E
O
---7 f-
Por lo tanto, Z no puede ser racional, con lo que se concluye que la suma entre un racional y un irracional es un irracional.
Al despejar y en la ecuación anterior, se obtiene que y es igual a la resta entre z y x: pero, por la afirmación inicial, z - x es un número racional; por lo tanto, y es un número racional, lo que se contradice con la condición inicial. Por lo tanto, z debe ser un número irracional.
4. El producto entre dos irracionales no se puede definir a priori.
Se debe considerar que existen casos en los cuales el producto
Ejemplo: el producto
entre dos números irracionales entrega como resultado un número racional.
I
.J5
entre irracionales es racional.
I
I
I
Pertenece a Q*
5. El producto irracional Demostración:
:3 x
E
.J5
5 I Pertenece a Q
I
I
Pertenece a Q*
entre un racional distinto es irracional.
de cero y un
En esta demostración se supone que la afirmación es falsa; es decir, que el producto entre un racional distinto de cero y un irracional no es irracional.
supóngase que no, es decir.
0*. :3 y E O, donde y
"* 0, :3 Z E O, tal que
=>x =-
x .y =
Existe un x perteneciente a los Irracionales, un y distinto de cero, perteneciente a los Racionales, y un z perteneciente a los Racionales. tal que el producto entre x e y es igual a z; es decir, se cumple la igualdad: x . y = z:
Z
z
y =>x E O
Al despejar x en la ecuación anterior se obtiene que x es igual al
---7 f-
cociente entre z e y, pero la afirmación inicial indica que estos dos números son racionales, por lo que su cociente es racional; entonces, se tiene que x es racional, lo que se contradice con la condición inicial. Por lo tanto, z debe ser un número irracional.
Por lo tanto, Z no puede ser racional, con lo que se concluye que el producto entre un racional distinto de cero y un irracional es un irracional.
Demuestra,
en cada caso, las afirmaciones.
Determina
para cada número
Justifica, en cada caso, utilizando
1.
Al dividir un número racional por un irracional, se
las propiedades estudiadas
anteriormente.
obtiene un irracional.
3. 2.
si es racional o irracional.
.Ji+.J5 3
Al dividir un número irracional por un racional, se obtiene un irracional.
4.
15
1+
..Ji
.Ji Matemática
1.
Determina
a.
1+
si los siguientes números son racionales o irracionales.
.J16
b.
1
c.
J2 a. Como..J16
Se utiliza la propiedad: "la suma de dos números racionales es un número racional".
=
4, se tiene:
Como 5 pertenece a N, y además N es subconjunto de Q, la expresión 1 +
..fí6
es un número racional.
Se utiliza la proPiedad: "la dwisión de un racional con un irracional es irracional".
b.
Se tiene que
..1
lo tanto, la fracción
c.
2.
(,J';)2
Q
y
...fi pertenece
a
0*; por
es un número irracional.
2
1
T3
Se utilizan las propiedades de las potencias para calcular el valor de la expresión.
Se utiliza la proPiedad
..1
2 pertenece a
Se tiene:
1
I
.J2, donde
= 2 :
o
= a.
Como
(..[j)2
=
3, se tiene que
(..[j)-2 - _1-2
(..[j)
=
_1;por
lo tanto,
(..[j)-2
3
es un número racional.
Demuestra que la diferencia entre un racional y un irracional es irracional.
Se demostrará por contradicción, suponiendo que no es verdad lo afirmado y siguiendo los pasos necesarios hasta obtenerla.
Demostración:
supongamos que la sustracción entre un racional y un irracional no es
irracional, es decir: 3x
E
Q, 3y
E
Q*, 3z
E
Q tal que x - y = z
~-y=z-x ~y=-z+x Como la suma entre dos racionales es racional: y ---7 ~
Como -z es racional y x también lo es, se tiene que la suma de dos racionales es racional.
Santillana Bicentenario
EQ
porque se definió que y E Q*.
Por lo tanto, z no puede ser racional, con lo que se concluye que la sustracción entre un racional y un irracional es un irracional.
16
Preparando la PSU ¿Cuál de las siguientes alternativas entrega una justificación acerca de por qué
lL, b
1.
No se puede escribir como ~ con a y b b
11.
Su expresión decimal es infinita no periódica.
111.
Está acotado entre dos racionales.
A.
Solo II
B. I Y II
C. I Y 111
E
-:f.
rt
es un número irracional?
O.
D. II Y III
E. 1,II Y III
••••• j/:.
Solución:
"
Se reconoce la definición de número irracional como aquel qlie no se puede expresar como fracción.
La proposición I es verdadera, pues su enunciado corresponde a la definición del conjunto de los Números Irracionales, y rt es uno de ellos.
La proposición 11es verdadera, ya que los números racionales tienen un desarrollo decimal finito o infinito con algún tipo de período; de este modo, los irracionales corresponderían a aquellos que no tienen ese patrón; es decir, los infinitos no periódicos como n, ~
Se reconoce la definición de número irradonal como aquel que posee una representación decimal infinita no periódica. ••••
El enunciado de la proposición 111es falso, dado que entrega una característica general de los números reales que no caracteriza a los irracionales. Por ejemplo,
Respuesta:
.l. < 1 < 2
3
- Y1 2
........
EN.
•••
Se diferencian las características generales de los números reales.
la altemativa correcta es B.
Observa los colores correspondientes a la resolución de la pregunta y marca según tus logros. Reconozco que un número irracional no se puede escribir como cociente de dos números enteros.
Reconozco que todo irracional tiene una expresión decimal infinita no periódica.
D Sí. D No.
Entonces, clasifica los siguientes números en racionales o irracionales. 2
1. (J2 - 1)
D Sí. D No.
D Sí. D No.
.J16
Entonces, identifica los números que tienen una expresión decimal infi nita no periódica.
1.
Diferencio características generales de los números reales.
2. .J29 -
2
J5
2.
ffs +.J4
3.
J2,5
4. ~
Entonces, d irígete a la página 16 y acota cada uno de los números d el ejercicio 1 entre dos racionales.
17
Matemática
Números
Raíces cuadradas
y números irracionales
El estudio de la geometría requiere, generalmente, el uso de las raíces cuadradas, por lo que es de gran importancia definir una representación adecuada y determinar si una raíz es irracional o no,
Representación de los números irracionales Primero se verá qué ocurre con las raíces cuadradas de manera general. Se tiene una fracción ~, con b b
'* O Y b '* 1, de modo
que a y b no tienen factores
en común, Siendo así, ~ no puede representar un número entero, ya que no puede b simplificarse,
e 2
De acuerdo al teorema de Pitágoras, la hipotenusa de este triángulo mide exactamente ..[i3, No hay representación decimal exacta para esta medida,
Si a y b no tienen factores comunes, tampoco
2 (~)2 =
2
2
pueden tenerlos a y b . Es decir,
a no puede ser un número entero, Se tiene entonces que el cuadrado de un b b2 número racional no entero no puede ser un número entero, Considerando esta propiedad, se puede establecer que la raíz cuadrada de un número natural, si no es entera, es irracional. Las raíces que representan números irracionales no tienen una representación decimal exacta; su única representación exacta es como raíz. En caso de expresarlos en forma decimal, es preciso utilizar el signo =, que indica aproximación, o utilizar puntos suspensivos para señalar que hay infinitas cifras decimales no periódicas, tal como se , , muestra a conuouaoorr /
J2 ~ 1,4142
o
J2 = 1,4142",
J3 ~ 1,7320
o
J3
= 1,7320",
.J7 ~
o
.J7
= 2,6457",
2,6457
Seguidamente, se revisarán algunas propiedades de la operatoria con raíces cuadradas,
Adición y sustracción de raíces cuadradas Para realizar una adición o sustracción entre raíces cuadradas, no existe una fórmula para reducir, salvo que se trate de una misma raíz, En ese caso, se reducen como términos semejantes, considerando la raíz como si fuera un término literal. Ejemplos
1. 5.J3 + 9J3 2.
Santillana Bicentenario
.J5 - J3; en
factOl"lzaconsiderando -
.J3 como término
.J3(5 + 9) = 14J3
este caso no se puede reducir,
18
común .
UNIDAD 1 I
Números Reales
Multiplicación de raíces cuadradas Sean ~
y ../b. Se llama x a su producto y se aplica la definición de raíz cuadrada.
J;,·Jb=x => (J;, . Jb)2 = x2 =>
Fa . Jb . Fa . Jb = x2
=> (J;. . Fa) . (Jb =>
ab
=>
J;;b
= x
. Jb)
=
Se agrupanlos térrrMnosse~antes.
x2
2
= x
Es decir, se puede resumir este resultado como
..h..
Jb
=
J;;b
Ejemplos
1.
J3. J6 = ~3 . 6 = .J18
2.
2.Ji·
3J8 = 2 . 3~7 . 8 = 6J56
3. .fi .(J7 - .fi) = .fi . .Ji - .fi ..fi
= ~7 . 2 - ~2 . 2 =J14-J4 =J14-2
EN SíNTESIS •
Si las raíces cuadradas de números naturales no son enteras, entonces son números irracionales,
por lo que, para
representarlas en forma exacta deben escribirse como tales. Si se expresan en forma decimal, se indica que se trata de una aproximación
y se utiliza el signo ""', o bien se señala mediante puntos suspensivos ( ... ) que los decimales
son infinitos. Para sumar o restar raíces, se reducen como términos
semejantes: 2..Ja - 7../b
Para multiplicar entre sí dos raíces cuadradas, se utiliza la siguiente regla: ..h. .
Desarrolla
y reduce las siguientes expresiones.
Determina
+ 3..h. +
.Jb =
S..h. -
6.Jb.
.Jb = J;;b.
cada medida en forma exacta.
5.
La altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide 1.
6.
La diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 3 y
7.
El área y el perímetro
2J5.
4. mide
19
4m.
de un cuadrado cuyo lado
Matemática
Números
Aproximación de números irracionales
Sellamaaproximaciónpor defectoa aquellaque esmenorque el número,En casode ser mayor,se denomina , , , aproxlmaclonpor exceso,
Como se mencionó anteriormente, no se puede obtener una representación decimal exacta de un número irracional. Esto hace imprescindible contar con métodos que entreguen buenas aproximaciones para las raíces, a partir de los números racionales, A continuación se presentan dos tipos de aproximación: pitagórica y por acotación sucesiva.
Aproximación pitagórica Los pitagóricos, luego de descubrir que
.Ji es irracional,
crearon una interesante forma
de aproximar determinando sucesivamente números mayores o menores,
s,I -a b
"
,
es una aproxirnaoon
d r a + nb " , e vn , entonces es una aproxlmaclon a+b
exceso
POI-
por defecto, y aún más precisa, A la inversa, si ~ es una aproximación
b
por defecto,
a + nb lo es por exceso, En general, siempre se cumple una de las siguientes desiguala+b dad es, siendo n un número entero no negativo,
Aproximaciónpor defec.to,
~ >
J;..
Aproximaciónpor exceso, a + nb
> a + nb
b
--->
a+b
a+b
Ejemplo Determina una aproximación
para
.J11,
Primero, se determina una fracción :' tal que: : >
a 7 -=->"'11 b 2
m.
r: 29 9
Entonces, por defecto se tiene:
7... >
J1i
2
..
> 7 + 11' 2 = 29 7+2 9
'
Ah ora se aproxima por exceso, con 29 + 11 ,9 _ 128 > 29 + 9 38 Paratruncar un númeroen determinada cifradecimalseeliminanlascifrasdecimales que siguen, ,
J1i
a
-
¡
I
..
29
b = 9'
..
> 29 9
29 9 I
7 2
J11
t 128
I
lO
38
Se puede seguir aplicando el algoritmo cuantas veces se quiera, dependiendo de la precisión deseada y del tipo de aproximación aplicada (por exceso o defecto), Utilizando la calculadora, se obtienen los siguientes valores truncados a la milésima:
.Jli=3,316 128 38
z
3368 '
Se observa que 128 es una buena aproximación 38 Santillana Bicentenario
7 2
de
J11,
UNIDAD 1
Números Reales
Aproximación por acotación sucesiva Este método se basa esencialmente en la definición de raíz cuadrada. Por ejemplo, se quiere encontrar
una aproximación
de
../7, para
esto se calculan los
cuadrados de los primeros números naturales: 2
1 = 1, luego:
.Ji = 1
2
= 4, luego: J4 =
2
2
3
2
= 9, luego:.J9 =
../7
Lo anterior permite deducir que se encuentra entre 2 y 3. Entonces, primero prueba con el promedio de estos números.
El promedio
3 se
Un compu1adorno puedealmacenaren su memoriainfinitosdecimales,por lo que no se puede"guardar"en él un núrero irracional. Por ello,es precisoprogramarloparaque cuenteconmétodoseficientesde aproxrnación Enambasaproximaciones(pitagóricay por acotaciónsucesiva)haycifrasque quedanfijas. Sedice queson "cfras correctas",
entre 2 y 3 es 2,5; ya que:
2+3 2 2
Como 2,5 anterior.
..fi
= 6,25; entonces
5 = - = 25 2 '
...
2
.J7
3
..
.J7
3
..
3
..
t
2,5
se encuentra entre 2,5 y 3. Se repite el proceso
2,5 + 3 2
-
5,5 = 275 , 2
2
...
2,5 I
I
t
2.75
2
Como 2,75 = 7,5625; entonces anterior.
../7 se encuentra
entre 2,5 y 2,75. Se repite el proceso 2
2,5 + 2,75 = 5,25 = 2625 2
...
2'
2.5 I
.J7I 2.75 I
t
2,625
2
=
../7
Como 2,625 6,890625; entonces se encuentra entre 2,625 y 2,75. Se repite el proceso anterior tantas veces como se quiera. Utilizando la calculadora:
.J7
= 2,6457513110645905905016157536393
Por lo que 2,625 es una buena aproximación
de
...
..fi.
Dado que no hay representación decimal exada para un número irracional, se podría seguir con el proceso de aproximación sin terminar jamás. Por ello, suelen utilizarse aproximaciones seleccionando el número de cifras decimales que se desee y redondeando, como se ha visto en cursos anteriores.
Utilizando alguno de los métodos vistos, determina aproximaciones por exceso y por defecto de los siguientes números, que coincidan al menos en la primera cifra decimal. Verifica tus resultados con la calculadora.
1.
2.
JS
3.
J3
Redondea tus resultados para obtener, en cada caso, una aproximación
21
4.
J17
de cuatro cifras decimales.
Matemática
1.
Encuentra el valor aproximado de.J2j utilizando el método de acotación sucesiva 3 veces. Luego, con ayuda de la calculadora, encuentra el error cometido al considerar cada valor extremo de las cotas obtenidas con la aproximación.
--------0 Secalculan los cuadrados de los números natutaes más cercanos a J23 .
-------..,.-~ Se promedia el valor de las cotas
encontradas para realizar una . ., nueva aproxlmaclon.
Como 42 = 16 Y 52 = 25, se tiene la desigualdad 4
<..fij < 5.
El promedio de 4 y 5 es 4,5; donde 4,52 = 20,25; por lo tanto, se tiene la desigualdad 4,5 < < 5. Luego, por defecto la aproximación es 4,5.
.ro
2 El promedio entre 5 es 4,75; donde 4,75 22,5625; por lo tanto, se tiene la desigualdad 4,75 < ~23 < 5. Entonces, por defecto la aproximación es 4,75.
4,i-Y
=
2
'---o El promedio entre 4,75 y 5 es 4,875; donde 4,875
desigualdad 4,75
--------~
Se resto el valor de lo cota con el valor obtenido por la calculadora
para encontrar el error de aproximación.
2.
<..fij
= 23,765625. Se tiene la < 4,875. Luego, por exceso la aproximación es 4,875.
Con la calculadora se tiene que
.ro
= 4,7958315 ... , luego, el error cometido es
aproximadamente 0,045 (4,7958315 - 4,75), Y 0,079 (4,7958315 - 4,875), por defecto y exceso, respectivamente.
Rafael plantea la siguiente proposición: "Para realizar una operación que tiene raíces cuadradas de números impares, necesariamente se tiene que utilizar una aproximación de ellas". ¿Esverdadera su proposición?
Estrategia Buscarun contraejemplo.Sebusca un ejemploquemuestreque una afirmacióno proposiciónno es siempreverdadera.
Para verificar que el enunciado es falso, se buscarán ejemplos que refUten la proposición. Se considerará el número impar 5. Como es irracional, para operar con su valor, necesariamente se realiza una
J5 . .,
aproxi macón Se escogen números que sean impares y se calcula su toiz.
Se considerará el número impar 9. Como es racional, ya que = 3, se ha encontrado un caso en el cual no se cumple la proposición, puesto que se puede obtener el valor exacto de esta raíz.
J9
J9
Así, la proposición es falsa.
a Ahora
tú
Utiliza esta estrategia para resolver el siguiente problema. 3 Demuestra que el siguiente enunciado es falso: "La raíz cuadrada de n con n > 1 Y n
Santillana Bicentenario
22
E
f\J siempre es un número irracional".
Preparando la PSU ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)? 1.
.J2.J8
11.
.J3 + 3.J3 J6
111.
J2.J3
A.
Solo I
B.
Solo II
C.
Solo 111
D.
E.
I Y 111
II Y III
Fuente: Pregunta PSU N° 24, Modelo Oficial Prueba de Matemática, Proceso de Admisión 2007, Serie DEMRE - Universidad de Chile Inscripción N° 147.095, publicado elIde Junio 2006, a través de El Mercurio.
Solución: Se verificará cada proposición. Para la proposición
.#••••••
1:
.Ji . J8 = .J2 . 8 =.J16 = 4. Por lo tanto, Para la proposición
111:
.J6 -;J2=-·-Jir=3 -
.J6 - .J6
Para la proposición
11:
Ji
no es un número irracional.
Se utiliza la.regla de la multiplicadcín de. raíces
¡;..Jb =
abo
/. . I = 1. Por Io tanto, no es un numero rrraoonat.
+
3J3 = 4Ji
#
••••••
Por lo tanto, es un número irracional, ya que es el producto entre un número racional (4) y un número irracional
(Ji).
Se suman raíces cuadradas de igual cantidad subradical, reduciendo términos semejantes.
Respuesta: la altemativa correcta es B.
Observa los colores correspondientes Aplico correctamente
la regla
.ra . .Jb = J;b para multiplicar
a la resolución
de la pregunta y marca según tus logros.
O Sí. O No.
Entonces, dirígete a la página 19 y multiplica el resultado de cada ejemplo por
J3, J5 y J7.
raíces cuadradas. Sumo raíces cuadradas de igual cantidad subradical, reduciendo . términos semejantes. /.
O Sí. O No.
Entonces, dirígete a la página 19 e inventa tres sumas o restas distintas entre sí cuyos resultados sean iguales a los ejemplos 1, 2 Y 3.
23
Matemática
Números
Orden y ubicación de números reales en la recta numérica Para comparar números reales -yen particular números irracionales- estos se pueden representar en forma decimal, tal como se hace con los números racionales.
Ejemplo Ordena, de menor a mayor, los siguientes números:
5 2
2,45
2,42
Usando la calculadora se pueden obtener las representaciones Enel casode númerosnegativos,el cuadrado del número mayorcorrespondeal número menor, por ejemplo:
de
.J6 = 2,449 ... Y 2. = 2,5. Luego,
decimales aproximadas
el orden pedido corresponde
2 2,42 <
J6
a:
5
2'
< 2,45 <
Un procedimiento alternativo, y muy útil si hay raíces cuadradas, se fundamenta al considerar que mientras mayor sea un número, mayor es su expresión al cuadrado.
i: J6 es mayor que -2,s? Seelevanambos números al cuadrado:
(_J6)2 (-2,5)2
=
(-J6)(-J6)
Ejemplo Ordena, de menor a mayor, los siguientes números:
=6
= (-2,5)(-2,5) = 6,25
Como 6,25 > 6, se concluye que efectivamentees mayor a -2,5.
3J2
4,3
-.J6
Al elevar al cuadrado
se obtienen
las siguientes expresiones:
(2JS)2 = 2 . JS . 2 . JS = 2 . 2 . JS
. JS = 4 . 5 = 20
(4,3)2 = 18,49
(J19)2 =
Jl9 .J19
= 19
(3J2)2 = 3 . .Ji . 3 . Ji = 3 . 3 . Ji
.Ji
= 9 ·2 = 18
Por lo tanto, se pueden ordenar fácilmente los cuadrados, y luego aplicar el principio mencionado. 18 < 18,49 < 19 < Engeneral,para ubicarnúmeros racionales en la recta numérica,se siguenlos siguientes pasos. 0
1 Se escribeel número en su representaciónfraccionaria. 2 Se divide cada unidadde la recta numéricaen tantaspartescomo indique el denominador. 3 o Desde el cero, se cuentantantas partes como indique el numerador, para ubicar el número.
3J2
<
4,3
<
Jl9
<
Construcción de raíces en la recta En cursos anteriores se estudiaron métodos para ubicar en la recta numérica números naturales, números enteros y, posteriormente, números racionales.
0
Ejemplo _ _ 23 - 2 21 Ubica en la recta el número 2,3. Escrito como fracción, 2,3 = 9 9 :21 partes ...
I
1
o
1 9 partes
Santillana Bicentenario
24
2
21
-9
...
Números Reales
UNIDAD 1
Como
se ha revisado, un número
irracional no tiene representación
es preciso recurrir a construcciones
geométricas
Una de ellas es la espiral de Teodoro 0
1
de Cirene
que, en el caso de las raíces cuadradas, permiten
(s. VI a. C.). A continuación 0
Se construye un triángulo isósceles rectángulo, con cateto
3
de medida 1 e hipotenusa (h) de medida.J2, ya que:
h2
=
12 + 12
fraccionaria, por lo que para ubicarlo en la recta numérica hacerlo de manera precisa.
se presentan los pasos para construirla.
El procedimiento se repite lasveces que sea necesario, obteniendo que las medidas de las hipotenusas son, sucesivamente,.J2,
Ji, .J4,
¡S, 16, Ji, .J8, etc.
=2 1
0
2
Se utiliza la hipotenusa del triángulo anterior y otro cateto de medida 1, para construir un nuevo triángulo rectángulo. La hipotenusa de este nuevo triángulo mide
Ji, ya que:
2
=
h2 (Ji)2 + 1 = 2 + 1 = 3 h2 = 3 h
= J3 1
1
La idea anterior 0
1
permite
representar
las raíces cuadradas en la recta numérica, desde el cero, a través de los siguientes pasos.
Sobre el 1 en la recta numérica, se dibuja un segmento de medida 1, perpendicular a la recta.
o 0
2
2
1
Se traza un segmento desde O hasta la parte superior del segmento dibujado anteriormente, formando un triángulo rectángulo de catetos de medida 1 e hipotenusa de medida
.J2.
,
,, ,
/ /
Luego, usando el compás se traza el arco de circunferencia correspondiente a la hipotenusa
/
-n /// /
del triángulo, con centro en el punto cero, hasta intersectar la recta numérica. Luego, la distancia entre O y el punto de intersección corresponde a la medida .J2. Para ubicar traza sobre el número.J2,
\ \
/
\
/
Ji, se
un segmento de medida 1, perpendicular a la recta numérica, y se
,
/
/
\
/ / / /
O
1
..ti
2
realizan los mismos pasos descritos anteriormente.
Ordena los siguientes números métodos vistos.
reales, utilizando
los
Ubica, en una misma recta, los siguientes números
3. 1•
.Js2, 2
2../3, 3,60S, 72 I 200
2.
JS - J3, J3 - J2,
2,8
4. 2.Js - 1
5.
J6 + ~
reales.
6. 2~
0,5
25
Matemática
Números
Tipos de irracionales y recta numérica Al principio de la unidad se mencionó su diámetro,
al calcular el cociente
aproximaciones matemático
la relación entre el perímetro entre
certeras a este número,
alemán Johann Heinrich
Ferdinand Lindemann Este hecho confirmó
ellos. Por mucho conocido
como
de la circunferencia y
tiempo
se intentó
11:, hasta que,
Figura 1
dar
en 1761, el
Lambert demostró que era irracional. Años después,
demostró que no es posible construir 11: con regla y compás. la imposibilidad
clásicos de la matemática.
de la cuadratura
del círculo, uno de los problemas
Los griegos habían planteado
cuadrado de igual área que un círculo dado, utilizando
el problema solo regla
y
de construir
un
compás. Al no ser
construible el número 11:, este problema es imposible de resolver. Si se quiere ubicar el número 11: en la recta, existen alternativas que entregan una solución, pero no usando regla y compás. Una forma es a partir de una rueda de diámetro
1: ubicarla sobre el cero y marcar el punto de contacto (figura 2). Al hacer
girar la rueda una vuelta completa, el punto señalado indicará la ubicación de 11:.
Figura 2
o
1
2
3
4
o
1
2
3
4
o
1
2
3
4
o
1
2
4
3
TI:
En este caso, es posible dar una ubicación por medio de la geometría, gracias a su definición. Sin embargo, los números irracionales nos permiten "crear" algunos números, a partir de patrones fijos, con lo que se pueden obtener infinitas cifras decimales sin período y sin relación con la geometría, de modo que su ubicación en la recta solo sea posible mediante aproximaciones. Por ejemplo, observa los siguientes números: 0,1010010001000010000010000001 0,123456789101112131415161718 0,1223334444555556666667777777 Aunque es posible determinar
. . .
cómo se forma cada uno, sus cifras decimales son infinitas
posible expresarlos como fracción, y tampoco
y
no periódicas, por lo que no es
construirlos con regla y compás. Se pueden formar más números con estas
características, agregando infinitas cifras decimales sin período. Estos números irracionales, sin relación con las raíces, se llaman trascendentes.
Santillana Bicentenario
26
Números Reales
UNIDAD 1
Densidad en los Números Reales Entre dos números racionales siempre existe otro número racional, lo que equivale a decir que el conjunto de los Racionales es denso. Por tanto, entre dos racionales cualesquiera pueden intercalarse infinitos números racionales. Ejemplo
2,3 < 2,31 2,3 < 2,305 < 2,31 2,3 < 2,304 < 2,305 < 3,3075 < 2,31
Georg Cantor (1845-1918)
2,3 < 2,301 < 2,304 < 2,3049 < 2,305 < 2,306 < 2,3075 < 2,309 < 2,31 Se pueden agregar números racionales infinitamente, pero por más que se realice esta acción, no contemplan todas las combinaciones decimales posibles. Para logralo, se deben considerar los números irracionales. Se definen, entonces, los números reales como todos aquellos números que corresponden a alguna representación decimal, de modo que, dados dos números distintos cualesquiera, siempre están considerados todos los que están entre ellos, pues están consideradas todas las representaciones posibles.
Matemáticoalemán,creadorde la teoría axiomáticade los conjuntos,y el primero capazde formalizarla nociónde infinito, bajola formade númerostransfinitos.
En cierta forma, se puede decir que los números racionales son infinitos y también lo son los reales; sin embargo, hay más números reales que racionales. Georg Cantor, matemático alemán del siglo XIX, fue el primero en investigar esta aparente paradoja, remeciendo las bases de la matemática hasta ese momento, al afirmar que existen distintos tipos de infinito, algunos mayores que Otl-OS.
Determina y luego escribe el menor conjunto cual pertenece cada número.
1. 2. 3.
J121
4.
3,72727272727272 6,58596061 ...
...
5. 6.
numérico al
Representa, en una misma recta numérica, los siguientes números, de la forma más precisa que sea posible.
1,0011222 ... 16
.J8
.Ji
7. 8.
9.
0,1 S 11 SS 11 155511115555 ... y 0,1 S 11 SS 111555
y
13.
11.
.J7-./3
14 . 2,01010101010101 ...
3 2
15.
3
1,112358132134 ...
Busca, en cada caso, un número irracional con las siguientes condiciones.
3,78 Y 3,79
./3
10.
12.
Intercala un número irracional entre cada par de números.
1t -
2,34567891011121314 ...
31 10
27
16.
Mayor que 1, que no contenga dígitos pares.
17.
Que no tenga dos dígitos seguidos repetidos.
Matemática
1.
rr:
21
Ordena, de menor a mayor, los siguientes números: -,,17,
5'
13
2'
e
3,,2 Y-4,2.
Se reordenan los números dados considerando su signo.
Se agrupan los números negativos
Números
por un lado y los positívos por otro.
1
negativos
Números
1J_
-J17 y - 4,2 Se utíliza el lema: 01 elevar al cuadrado dos números positívos, el cuadrado mayor corresponde al número mayor.
Se elevan al cuadrado los números para ord enarlos.
(_J17)2 Se expresan las fracciones en su desarrollo decimal, y se elevo al
5'
r-----O
(-
1positivos
Jl 3J2 2 y
Se elevan al cuadrado los números para ordenarlos.
1
= 17
(25 )2 = (4,2)2 =17,64 (1~)2 = (6,5)2 = 42,25
4,2)2 = 17,64
cuadrado.
(3../2)2 = (9 ·2) = 18
Por lo tanto, se cumple que:
-4,2 <
En el caso de los números negatívos, el cuadrado mayor corresponde al número menor.
-J17
Por lo tanto, se cumple que:
Se ordenan los números, de menor a mayor, obteniéndose lo siguiente:
_ 42 < ,
Se ordenan los números originales
-.J17 <
21 < 3../2 < _13 5
2
de acuerdo 01 orden dado por los cuadrados de ellos.
2. Ubica en la recta numérica el irracional.J26.
Se recurre a una construcción geométrica paro ubicar la raíz.
Se utiliza el método de los triángulos rectángulos sobre la recta numérica, considerando que (.J26)2 = 52 + 12; luego, se ubica en la recta num érica el cateto de m edida 5.
Se construye un triángulo rectángulo de catetos
.J25
el triángulo rectángulo en lo /
.
recta numenca.
•I I
•
I
I
•
por el
teorema de Pitágoras, y se construye
I I
i• 1
y 1 poro obtener
como hipotenusa ~,
1
I I
o
1
2
3
4
S
Usando un compás, se traza el arco de circunferencia correspondiente a la hipotenusa del triángulo, con centro en el punto cero, hasta intersectar la recta numérica.
, \
1" , I ", I , I
o
Santillana Bicentenario
1
2
3
28
4
S I tr:
,,26
Luego, el punto de la recta que indica la marca del compás corresponde a .J26.
Preparando la PSU Con respecto al número 0,1112131415161718 ... es falso que: A. corresponde a un número irracional. B. no puede ser escrito como cociente de dos enteros. C. posee un período en su representación decimal. D. no puede ubicarse en la recta numérica mediante una construcción geométrica. E.
existen más números reales entre él y el número 0,2223242526272829 ...
Solución: El número 0,1112131415161718 ... corresponde a un número construido méaíante una regularidad que sigue el siguiente patrón de secuencia:
••• •
0,1112131415161718 ...
Se analiza la construcción del número dado para comprender su naturaleza.
De este modo, sí corresponde a un número irracional; por tanto, la alternativa A es verdadera, lo que implica que la alternativa B también es verdadera, ya que un número irracional no puede ser escrito como cociente de dos enteros, y la altemativa e es falsa, ya que un número irracional no posee un período en su representación decimal.
••••• j:.. .
El número 0,1112131415161718 ... , corresponde a una construcción como se describió anteriormente; por lo tanto, corresponde a un número irracional trascendente, por lo cual no puede ser construido con regla y compás; luego, la alternativa D es verdadera. Además, por la característica de la densidad en los números reales, siempre es posible encontrar más números (infinitos) entre dos reales dados; por lo tanto, la alternativa E es verdadera.
, .....
Reconoce un número irracional trascendente y lo caracteriza como aquel que no puede ser construido geométricamente.
Comprende el concepto de densidad en los números reales.
Respuesta: la altemativa correcta es C. Observa los colores correspondientes Analizo la construcción de un número para comprender su naturaleza.
Reconozco un número irracional trascendente, y lo caracterizo como aquel que no puede ser construido , geometncamente. /
Comprendo el concepto de densidad en los números reales.
a la resolución de la pregunta y marca según tus logros.
D Sí. DNo. Entonces, dirígete a la página 26 y describe la regla de formación de los números irracionales presentes; además, escribe tres números irracionales con este mismo método.
D Sí. DNo. Entonces, dirígete a la página 27 y subraya todos
los números irracionales que pueden ubicarse en la recta numérica mediante construcciones geométricas, y ubica dos de ellos en la recta . numenca. /
D Sí. DNo. Entonces, dirígete a la página 27, ejercicios 1 a 6. Escoge tres pares de números e intercala diez números reales que se encuentren entre ellos.
29
Matemática
..
El conjunto de los Números
Reales contiene a los Números
Racionales
notar que la creación de los números irracionales fue producto
(01)
ya los Irracionales
de la teorización
(Q*). Es importante
del concepto de número, no así los
racionales, que surgen más bien por necesidades prácticas.
Contiene a los
_ ...
Contiene a los
Números
Racionales ----
.....
Números
0,445;
12
"'3; -5,1;
etc.
Enteros
----
..... Números
Natu rales
7L
N
-100; -2; -1; O; 1; 32; etc.
6; 8; 10; 1.253; etc.
Q Números
Contiene a los
Reales IR
'-- ...
Números
c..ontiene a los
..
En las operaciones •
Irracionales
Q*
con números
1C; e; -O,123123412345123456 ... ;.J3;
etc .
reales, siempre se cumple que:
el opuesto e inverso de un irracional es irracional.
• la suma entre un racional y un irracional es irracional.
..
• el producto
entre dos irracionales no se puede definir a priori.
• el producto
entre un racional distinto de cero y un irracional es irracional.
Para escribir ejemplo:
Ji,1C
un número
irracional
de manera exacta, solo es posible hacerlo mediante su representación
Y e. Si se expresan en forma decimal, se indica que se trata de una aproximación
bien se señala que los decimales son infinitos utilizando puntos suspensivos ( ... ). Ejemplo
..JS ~ ..
2,23606
o
..JS = 2,23606 ...
Para sumar o restar raíces, estas se reducen como términos semejantes. Ejemplos
2.
..
J3 - 2,SJ3 + 6J7
Para multiplicar entre sí dos raíces cuadradas, se utiliza la regla.J;, .
+ 6J7
= -l,S.[3
..Ib = J":ili.
Ejemplos
1.
J2. J5 = ~2 . S = .J1O
Santillana Bicentenario
2.
J2 . .J8 = ~2
30
.8 =
Jl6 =
4
simbólica, por
utilizando el signo =, o
Números Reales
UNIDAD 1
.... Dado que no es posible encontrar una representación cuadrada, es imprescindible
realizar una aproximación
decimal exacta de los números irracionales expresados como raíz de ellos para realizar operaciones. Se llama aproximación
defecto a aquella que es menor que el número irracional. En caso contrario, se llama aproximación
por
por exceso, o sea,
aquella que es mayor que el número irracional. Aproximación por defecto
Aproximación por exceso
a r: a + nb - > vn > --b a+b
.... Para comparar
números reales -yen
a + nb r: a --> vn > a+b b
particular números irracionales-,
estos se pueden representar en forma decimal tal
como se hace con los números racionales, o se pueden comparar sus cuadrados en el caso de números irracionales expresados en raíz cuadrada .
.... Para ubicar un número irracional expresado como raíz cuadrada en la recta numérica, es preciso recurrir a construcciones
geométricas,
utilizando el teorema de Pitágoras.
Ejemplos 1. Ubicación de
J2 en la recta. , , , , ,
, , ,
.J2/,' ,
2. Ubicación de.J5
,
,
,
,,
,
J5, "",
,
,
1
,, , ,, , ,,
,
, ,,
, ,,
1
O
en la recta.
.J2
2
,,
, ,,
, ,,
,,
,,
"
, ,,'
1
,, ,, ,, ,, •
•I
,
2
1
O
,,
\
JS
.... Existen irracionales que no tienen relación con las raíces y que se forman de acuerdo a patrones fijos en la secuencia decimal del número. De esta manera es posible obtener números decimales infinitos sin período y que tampoco tienen relación con la geometría; por lo tanto, solo se pueden ubicar en la recta numérica mediante una aproximación.
A este
tipo de números se les llama trascendentes. Ejemplo El número 0,13579111315 ... es trascendente, ya que sus decimales siguen la secuencia de los números impares . .... Los números racionales se caracterizan por su densidad; es decir, siempre existe un número racional entre otros dos. Por tanto, entre dos números distintos entre sí hay infinitos números racionales .
• , Mapa conceptual Construye un mapa conceptual utilizando Pide ayuda a tu profesor o profesora. Número
racional - Número
Construcciones
el
software
CMap que relacione
irracional - Densidad - Aproximación
al menos los siguientes conceptos - Raíces - Número
clave.
entero -
geométricas - Propiedades de las operaciones - Números trascendentes
31
Matemática
1 Con
5
respecto a los Números Reales, es siempre verdadero que:
El valor de
J5 - 5../3 + 8../3 - 4J5
JS B. .J2 c. 3J3 - 3JS
D.
A. l.
Q es subconjunto de
IR.
11. el conjunto IR está formado por la unión entre Oy Q*. 111. Q* es subconjunto de Q. A. Solo I
c.
I Y 11
B. Solo
D.
11 Y 111
11
E.
1, 11 Y 111
6
E.
J2( J2 + J7)
Al resolver
¿Cuál de los siguientes números es irracional?
A.
J16
B. C.
D. 0,05
1
B. -
E.
15
J18
7
c. (J6)2
3JS- 3~ J3-JS
se obtiene:
D. 2 + J14
A. 3
2
es:
J13 2 + J7
E.
.J2 + 3
Respecto a ..Jn, ¿qué proposición es siempre verdadera?
A. Si..Jn tiene valor expresable como fracción, entonces es irracional.
3
B. Si..Jn no tiene valor expresable como fracción,
¿Cuál proposición es falsa?
entonces es irracional.
A. El producto de dos irracionales siempre es irracional. B. La suma de dos irracionales puede ser racional. C. El producto de un racional distinto de cero por un
c. ~
D. ~ no es un irracional.
irracional es irracional. La suma de un racional y un irracional es irracional.
D. E. El inverso aditivo de un irracional es irracional.
4
¿A qué conjunto(s)
numérico(s)
E.
8
pertenece el número
IR
11. Q 111. Q* A. Solo I Y 11
C.
11
D.
I Y 111
E.
1, 11 Y 111
La medida de la diagonal de un rectángulo cuyos lados
A.
7J7
B.
s.J3 cm
2J7 cm es:
cm
C. (25 + 4J7) cm
111
B.
Ninguna de las anteriores.
miden 5 cm y
0,2357111317 ...?
l.
es un irracional.
D.
.J53 cm
y 111
Santíllana Bicentenario
E. (5 + 2J7)
32
cm
UNIDAD 1
9
13 4
A.
c.
Con respecto a la representación decimal de un número irracional, es cierto que siempre:
D. 3,25
B. 3,25
10
12
¿Cuál es el mayor de los siguientes números?
Números Reales
E.
l. corresponde al valor exacto del irracional. 11. es una aproximación del irraci onal. 111. su forma es infinita no periódica.
J10
J3
Una aproximación
por defecto de
A. Solo I B. Solo II C. Solo III
50 es:
A. 2J5
D. 4,4722
B. 4,4721
E. 4,473
D. E.
13
C. 4,474
I Y 111 II Y III
Durante la clase de matemática, Juan argumenta que los números racionales son densos, pero no así los irracionales. ¿Escierta esa afirmación? Justifica utilizando
11
¿Qué figura representa la ubicación de
J13 en la
el concepto de densidad.
recta numérica?
A.
I
o
_- _- --- ---
_-- ------- --- ---
2
1
3
4
5
6
14
-- ,, ----_- --- --, 8
9
10
de una
circunferencia siempre es irracional? Justifica.
, 2 ,
7
¿Es cierto que el valor exacto del perímetro
11
15
¿Cuál es el área del siguiente triángulo?
B.
- --, ,
...... ..
I----íO 1
,: 2
C.
O
I 4
~
3
I 5
I 6
I 7
, 8
, 9
, 10
I 11
2
,, - - - ,,
,,--
,
1
2
,
.J7
1
16
,,
2
,,
3
Escribe un número trascendente, explicitando su regla de formación.
4
5
6
7
8
9
10
11
a. ¿Esposible ubicarlo de manera exacta en la recta D.
E.
numérica? Justifica.
Ninguna de las anteriores.
33
Matemática
•
INDICADOR
PREGUNTAS
Caracterizo los números reales, diferenciando racionales e irracionales, reconociendo propiedades de los números y de las operaciones.
1, 2, 3, 4, 13 y 14
Comprendo las raíces cuadradas, su relación con los números irracionales y realizo operaciones con ellas.
S, 6, 7, 8 y 15
Ubico números reales en la recta numérica y comprendo la aproximación que se debe realizar a los irracionales para utilizar su valor.
9, 10, 11, 12 Y 16
PUNTAJE
___
16
lQUÉ DEBO HACER!
• Si obtuviste menos de 6 respuestas correctas, realiza las actividades 1 a 4, 7 y 8, 40 a 42 para
reforzar este contenido. • Si obtuviste 6 respuestas correctas, realiza las actividades 5 y 6, 9 Y 10, 43 a 45 para profundizar tus conocimientos. ___
I5
• Si obtuviste menos de 5 respuestas correctas, realiza las actividades 11 a 14, 17 a 19 para reforzar este contenido. • Si obtuviste 5 respuestas correctas, realiza las actividades 15, 16 Y 20 para profundizar tus conoci m ientos.
I5
• Si obtuviste menos de 5 respuestas correctas, realiza las actividades 21 a 23, 27 a 29 y 32 a 35 para reforzar este contenido. • Si obtuviste 5 respuestas correctas, realiza las actividades 24 a 26, 30 y 31, 36 a 39 para profundizar tus conocimientos.
¿Cuánto he aprendido? Cuenta las respuestas correctas que obtuviste en la evaluación anterior y clasifica tu resultado de acuerdo a los criterios que se muestran a continuación:
• •
Rendimiento bajo: entre O y 10 respuestas correctas. Rendimiento medio: entre 11 y 13 respuestas correctas. Rendimiento alto: entre 14 y 16 respuestas correctas.
Obtuve
respuestas correctas, lo que implica que mi rendimiento en la evaluación fue
Ahora, dirígete a la sección ¡Cómo lo aprendí?, que está al final del texto, y sigue las instrucciones que ahí aparecen.
Santíllana Bicentenario
34
Ejercicios de refuerzo •
Números
rofundización •
Racionales e Irracionales
Aproxlrnación
de números reales
Clasifica los siguientes números en racionales o
Aproxima
irracionales.
en las tres primeras cifras decimales correctas. determina
2.
2(1 +
4.
1.
Ji)
21. ../6
J5
2
6.
3.
ti Propiedades
.J1% --+7
si es una aproximación
hasta que coincidan Además,
por exceso o por
defecto.
JS + 1t 5.
1t
los siguientes números
51
25 .
23. 2.J3
26.
22.
1
24. 3.J5 1
J3
9
de los racionales e irracionales.
ti Orden
Prueba la veracidad o falsedad de los enunciados.
en los reales
Ordena, de menor a mayor, los siguientes grupos de
7.
,
La cuarta potencia de una raíz cuadrada de un
numeroso
racional es racional.
8.
La multiplicación
27. 2.Js
de un irracional por sí mismo es
siempre racional.
9.
28.
M
29.
.J8
Todo racional distinto de cero que se multiplica por 1t da por resultado un irracional.
10. Todas las raíces cúbicas de números naturales son
3.J5 1 3 16 5 -
s.J7
J3
5 2
3Ji
3,89 -
22 5
$S
2J8
31.
2.J3
3 -2
•
Ubicación de los reales
30.
irra cio nales.
Operaciones
3J3
4,08
4,07
-~
1,73
-
-1,5
-
con números reales
Calcula.
11. ../3 + 3../3 12. M(J). 13. J2(1 + 17. 18.
+ J3)
.J3) - J](1 + J2)
Ubica los siguientes números
14. (1+../6)2 15.
'
.
,
.
numerica, geometrtcarnente
reales en la recta
.."
o por aproxirnacron, segun
corresponda.
(JS + J).)(1 - .Ji)
16. (1 + .J7)3
1 .J5
32.
J8i
36.
33.
m
37. 3.J7
La diagonal de un cuadrado de lado 3 cm.
34. 0,12345 ...
38. 0,246810 ...
El área de un triángulo equilátero de lado 2 cm.
19.
El perímetro de un cuadrado de diagonal..J50 cm.
20.
El perímetro y área de un círculo de radio (~
35.
21t
39.
1t
-
2
+ 1) cm.
35
Matemática
•
La perspectiva tridimensionales) profundidad
u ras se considera
como
anas el arte de dibujar volúmenes
en un plano (superficie bidimensional),
(objetos
para representar
la
y la posición relativa de los objetos. En un dibujo, la perspectiva
simula la profundidad
y los efectos de reducción.
Es,también, la ilusión visual que, percibida por el observador, ayuda a determinar la profundidad y la situación de objetos a distintas distancias.
Existen, esencialmente, dos técnicas para crear un efecto de profundidad
en
el dibujo. Una es la perspectiva menguante, que se basa en el uso del color nítido para los objetos más cercanos y difuso para los más lejanos, y de la definición, dibujando con más detalle los objetos más cercanos. La otra es la perspectiva lineal, basada en el uso de puntos de fuga, haciendo converger en un punto todas las rectas paralelas presentes. Con ayuda de la geometría es posible simular en el plano lo que el ojo humano percibe en tres dimensiones, alcanzando gran realismo.
WNW.almendron.com
EN ESTA UNIDAD APRENDERÉ A...
Identificar y caracterizar figuras semejantes.
Aplicar el concepto de escala en la representación de figuras.
Santillana Bicentenario
Identificar y aplicar la proporcionalidad de segmentos en el cálculo de medidas.
Conocer y aplicar los criterios de semejanza de triángulos y figuras planas.
Dividir segmentos en razones dadas.
Construir homotecias de figuras planas.
36
Demostrar y aplicar teoremas de semejanza en triángulos rectángulos.
F
o
El punto de fuga es de gran importancia en la arquitectura, pues, además del efecto visual que genera, permite estimar las medidas y las distancias entre los objetos, si se conoce la medida de uno de ellos. En la figura 1, los postes e e Y se encuentran a la misma distancia d de la línea del horizonte, por lo que la línea que une sus bases es paralela a ella. El poste B se encuentra al doble de distancia del punto de fuga F que el poste A, y el poste D al doble de distancia que el poste B. Dado que la relación entre sus medidas en el dibujo es la misma, podemos concluir que los postes A, B y D tienen la misma altura en la realidad.
Figura 1
Para el dibujo de objetos, pueden usarse dos puntos de fuga, aumentando la irrpresión de volumen del dibujo. En la figura 2, las líneas rojas convergen en un punto de fuga ubicado fuera del dibujo, mientras que la azul representa el horizonte. La parte superior de la estructura se encuentra lejos del horizonte, generando la sensación de estar observándola hacia arriba.
Figura 2
En grupos de tres personas, y observando la figura 1, realicen las siguientes actividades.
1. Utilizando una regla, midan los postes D y Z. ¿Son del mismo tamaño en la realidad? 2. ¿Cuál poste es más grande en la realidad, e o Y? Justifiquen. 3. Si el poste e mide, en realidad, 1,5 m, ¿cuál es, aproximadamente, la altura de la persona de la figura?, ¿cuál
4.
es la altura del poste Y? De acuerdo con lo anterior, ¿son del mismo tamaño en la realidad los postes X, Y y Z?, ¿cuánto miden?
37
Matemática
1 ¿Cuál de las siguientes proporción
6
razones no representa la misma
Si ABCD es un cuadrado, ¿cuál es el valor de x?
que las restantes?
D. 10: 15
A. 30 B. 45
E. 12 : 18
c.
0
A. 6:9 B. 4:7
c.
0
0
60 D. 90 E. 180 0
8: 12
0
68
2
El valor de x en -
15
= - es:
En un rectángulo, sus lados están en la razón 2 : 3. Si el lado mayor del rectángulo mide 18 cm, el otro lado
A. 1:1 B. 1:4 C. 1:7
mide:
A. 12 cm B. 14 cm C. 16 cm
4
Si L, // L2, entonces siempre se cumple que:
D. 60 E. 120
A. 16 B. 17 C. 20
3
7
x
D. 20 E. 24
cm
= k, es cierto
Si dos polígonos son congruentes, entonces:
l. tienen la misma forma. 11. sus ángulos correspondientes son congruentes. 111. sus lados correspondientes son congruentes.
que:
l. b: a =-k 11. 2a: 2 b = k 111. (a + b) : b = k + 1
A. Solo I B. Solo 11 C. I Y 11
D. 1:6 = 1:S E. 1:5 = 1:3
cm
8
Con respecto a la razón a : b
=
A. Solo 1 B. 11 Y 111
D. I Y III E. II Y III
9
E.
C. 1 Y 11
D.
1, 11 Y 111
1 Y 111
Los triángulos ABC y DEF de la figura son congruentes, entonces la medida del segmento DE es:
e
5
¿Cuánto mide cada ángulo interior
E
de un pentágono
regular? 15 cm
A. 90 B. 108 C. 120 0
D
D. 180 E. 540
0
0
A
0
F
0
A. 9 cm B. 60 cm Santíllana Bicentenario
38
C. 15 cm
D. 80
cm
E. 17 cm
UNIDAD 2
10
-
En la figura, L, II L2 II L3, MT es bisectriz del ángulo .(STQ, m( «TQP) 40° Y m( ~STN) 70°.
¿Qué criterio de congruencia de triángulos demuestra
=
que los dos triángulos de la figura son congruentes?
A. B. C. D. E.
LLL ALA LAL LLA Ninguno de los anteriores.
--
¿Escierto que QOII TS? Justifica.
12
Si QP == PO, demuestra que el cuadrilátero QPR T es congruente con el cuadrilátero POSR. ¿Esisósceles el triángulo TMS? Justifica.
Para poder fabricar concreto se debe mezclar cemento, arena y piedras en la proporción
15
=
11
13
14
Semejanza de ñguras planas
1 : 2 : 3 kilogramos, respectivamente.
Si se tienen 10 kilogramos de arena, ¿cuántos kilogramos de cemento y piedras se necesitan para utilizar toda la arena en el concreto? Si se preparan 240 kilogramos de concreto, ¿cuántos kilogramos corresponderían a cada componente
de la mezcla?
Reviso Revisa tus respuestas en el solucionario
y completa la siguiente tabla.
INDICADOR Aplicar los conceptos de razón resolución de problemas.
PREGUNTAS
y proporción en la
1, 2, 3, 4, 14 Y 15
S, 6, 7, 1 1 Y 13
Resolver problemas realizando medidas de ángulos en polígonos y medidas de ángulos entre rectas paralelas cortadas por una secante. Identificar la congruencia de figuras planas y utilizar los criterios de congruencia de triángulos.
8,9,10y12
39
RESPUESTAS CORRECTAS
__
/6
_/5
__
/4
Matemática
Geometría
Semejanza y escalas Los alumnos de 2° Medio crearon una mascota que desean dibujar en un gran cartel para mostrarla en la semana del colegio. Para ello, deciden dibujarla en una hoja con cuadraditos de
5 cm y, luego, la copiarán en un cartel con cuadrados de 40 cm.
~
--
-
/
r
/
.-
"\
/
, ,
Al observar ambos dibujos, se puede notar que las dos figuras A
,
consiste en aumentar el tamaño de una figura conservando su forma,
/
'\..
/
\
multiplicando las medidas de los lados del dibujo original por un
\.
/\
mismo número. En este caso, los alumnos utilizan las cuadrículas de la \.
J
\
/
/ A'
efectuaron los y las estudiantes de este curso se llama ampliación, y
I
""""
/
poseen la misma forma, pero distintos tamaños. El proceso que
/
hoja y del cartel para ampliar el dibujo: la medida de los lados de los
\ ,8
EL
cuadraditos de la hoja se encuentra multiplicada por
\
8 en el cartel.
Las medidas de la mascota, en la hoja, corresponden a un octavo de las medidas del cartel, ya que cada cuadrícula de la hoja mide
/
\
D'
~. :iP'i~
,,7
de lado
y
los cuadrados del cartel miden
5 cm
40 cm de lado.
En general, cuando dos figuras poseen la misma forma, sin importar el tamaño, se dice que están a escala una de otra, lo cual se traduce matemáticamente
diciendo que son semejantes. Ejemplos de figuras semejantes son las generadas en fotocopias,
fotografías, planos, mapas, imágenes de televisión.
Razón de semejanza o escala numérica Dado que el dibujo ampliado se realizó multiplicando
las medidas del modelo, al dividir la medida de cualquier segmento del
dibujo original por la de su segmento correspondiente
en el dibujo ampliado, se obtiene siempre un mismo resultado:
m (AB) m(A'B')
8·5 8 ·40
40
1
m(C'D')
8
m(CD)
- -
320
_ 4 . 40 - 160 - 8 --
4·5
Como se ha visto en años anteriores, cuando dos cantidades varían manteniendo proporcionales
entre sí, siendo el cociente la constante
de proporcionalidad.
20
1
su cociente constante, se dice que son
Cuando se trata de figuras semejantes, se habla
de razón de semejanza (r).
m (AB)
8·5
m (A'B')
8 ·40
m(C'D')
40 - 1 --
320
8
m(CD)
_ 4 . 40
4·5
160 - 8 -1 20
El dibujo original representa al cartel,
El cartel representa al dibujo original,
en escala de 1 : 8
en escala de 8 : 1
1
r = - = O 125
8
1
8
8
esel inversode 1
'
Se puede observar que las razones son inversas entre sí. En ellas, siempre el antecedente corresponde representación,
y
Santillana Bicentenario
el consecuente a una medida de lo que se está representando.
40
8 1
r= - = 8 a una medida de la
UNIDAD 2
Semejanza de figuras planas
Ejemplos 1. En un mapa a escala 1 : 50.000, dos ciudades se encuentran a 2,5 cm. ¿Cuál es la distancia real entre las dos ciudades? Se tiene medida en el mapa _ 1
50.000
medida real
2,5 x
1 50.000
x = 2,5 . 50.000 = 125.000 La distancia real entre las ciudades es de 125.000 cm o 1,25 km. Además, se tiene que el mapa es una reducción con razón 1-=
2.
1 ---50.000
2,5 = 000002 125.000 '
En la foto, la bacteria está a escala 25.000 : 1. Si la medida del segmento a es de 4,5 cm, ¿cuál es la medida real del segmento a en la bacteria?
25.000
4,5 = 000018 ~x= 4,5 25.000 ' x
---= 1
La medida real del segmento a en la bacteria es 0,00018 cm. Además, la imagen es una ampliación con , razon r=
25.000 0,06;18
1
= 25.000
En los ejemplos 1 y 2 se aprecia una reducción y una ampliación, respectivamente. En general: • • •
si r > 1, la escala representa una ampliación de la figura original; si r < 1, la escala representa una reducción de la figura original: si r 1, la escala recibe el nombre de escala natural, y las figuras son congruentes entre sí.
=
En un plano a escala 1 : 200, las medidas de un galpón son de 20 cm y 1S cm de largo y ancho, respectivamente.
1.
2.
Una maquinaria que mide 35 m de largo, ¿se debe instalar a lo largo o ancho del galpón? Justifica.
Si el contorno de un terreno rectangular de 6 hectáreas tiene una longitud de 1 km, ¿cuál es el área del terreno en un mapa a escala 1 : 10.000?
5.
Un terreno tiene forma de trapecio cuyas bases miden 2 200 m y 300 m. Además, su superficie mide 2 cm , en un mapa de escala desconocida. Si la separación de las bases es de 80 m, determina la escala del mapa.
6.
Una fotocopiadora aplica una reducción de 20% del tamaño original de una fotografía, ¿cuál es la escala que corresponde a la reducción?
Si el galpón se amplía 8 m a lo ancho, ¿cuánto mediría el ancho del galpón en el plano?
Responde cada pregunta, haz un dibujo si es necesario.
3.
4.
Tres tramos de una carretera miden 9 km, 6,4 km y 4,3 km. ¿Qué longitudes deberían tener los ti-amos en un mapa a escala 1 : 5.000?
41
Matemática
Geometría
Segmentos proporcionales Al inicio de esta unidad se estudió la relación entre la ampliación y reducción de figuras mediante una escala o razón de semejanza entre ellas. En e$1:aspáginas se buscarán las características generales de la semejanza de figuras a partir de sus elementos rectos; es decir, sus segmentos. Si la razón de semejanza entre dos figuras es 1 : 3, significa que el segmento de la primera figura es la tercera parte del segmento de la segunda figura. E$1:ose expresa de la siguiente manera:
E'
F'
F
G'
E
D'
m(AB) m(A'B')
A
H'
B
-
1
-
3
C'
B'
A'
A partir de esta razón se afirma que la medida del segmento A'B' es tres veces la de AB. Se define así una razón de segmentos, lo que permite afirmar que dos figuras son semejantes si todos los segmentos correspondientes son proporcionales y los ángulos correspondientes son congruentes.
Segmentos conmensurables e inconmensurables La razón entre las longitudes de dos segmentos es un número real; por lo tanto, este puede ser un número racional o irracional, determinando así que los segmentos que forman la razón sean conmensurables o inconmensurables. Cuando se tienen dos segmentos conmensurables, pueden darse dos situaciones:
uno de ellos divide al otro.
es posible encontrar un segmento que los divida a ambos en partes de igual medida.
C
medida
p medida , cornun
B
Q D
m (AB) m(CD)
Santillana Bicentenario
s m(PQ)
1 4
m(RS)
42
-
2 5
Semejanza de ñguras planas
lJNIDAD2
Un ejemplo clásico de inconmensurabilidad
de segmentos corresponde
a la razón
entre la medida del lado de un cuadrado y su diagonal. Si el lado del cuadrado mide una unidad, su diagonal tiene por medida d = ~,
que, como se ha demostrado,
es
un número irracional. Al construir un cuadrado que tenga como lado la diagonal d, la nueva diagonal medirá d'
= 2. Así se tiene que d' y el lado original del cuadrado son d' = 2
conmensurables, pero d' y el nuevo lado no lo son, por lo que no se podría obtener una medida común entre el lado de un cuadrado y su diagonal.
L
Ejemplo
=1
La razón entre dos segmentos es 3 : 7. Si el mayor de ellos mide 35 cm, ¿cuánto mide el menor? Sean AB Y CO dos segmentos en razón 3 : 7, tal que: m (AB)
m(CD)
d' 2 - =- =2 L 1
3
-7
Si el mayor de ellos, CO, mide 35 cm, al remplazar en la expresión anterior se obtiene que AB mide 15 cm, ya que: m (AB)
35
3
-
=- ~
m(AB)
7
3 . 35
= ---
7
=
7.
8.
D
E
L'
.J2
--
--1,......inconmensurable
m(AB)
=
0,6 m, m(CO)
= 14 cm y
m(GH) = 210 mm. Calcula m(EF).
B
e
2
1S
Copia los siguientes segmentos en tu cuaderno y calcula las razones entre los segmentos indicados. A
d'
--l,...... conmensurable
m(AB)
= 15 cm,
m(CO)
= 100 cm y
m(EF)
= 100 cm.
Calcula m(GH).
F
Responde las siguientes preguntas. Justifica tus respuestas.
1.
4. CDyAB
AByCD
9. 2. 3.
CDy
¿Están a escala entre sí todos los cuadrados?
5. EFy CD
EF
-
10. ¿Están a escala entre sítodos los rectángulos?
-
6. EF y AB
AB Y EF
11. Si dos segmentos miden
conmensurables o inconmensurables
Calcula, en cada caso, la medida que falta para que se cumpla la proporción: m(AB)
m (EF)
m(CD)
m(GH)
J40 y.J1O
43
cm, ¿son entre sí?
Matemática
1.
En la sala de ventas de un edificio se encuentra el siguiente plano rectangular de un departamento; cada cuadrícula del plano mide 2 c m de lado.
r---~---r------~-------r------I-------,-------r------~--·----T-------r------~-------1
a.
b.
Si el ancho del departamento es igual a 6,4 m, ¿ cuál es la razón de semejanza entre el plano y el departamento?
¿ Cuál es la longitud real del lado mayor del departamento?
III
I
I
II
III
I
I
I
I
III t III
1111
,,
I
III
.L
,,
I
I
I
I
I
II
I I
_
,, ,, , ~-----,, ,, ,, , r-----,, ,, ,, ~-----,,
--;-,, ---14::=::=tII-------. ,, ,,
....~......_i--¡·-----HI--_______
~
,
J __
.... _... -- ..... --1-------,
"' .... _ .... L
Se utilizan los medidos de los cuadrados poro determinar el ancho del departamento en el plano.
a.
~
J
L
~
J
~
~
!
~
J
El ancho del departamento está representado por 8 cm, ya que: ancho en el plano = número de cuadros'
medida de los cuadros
ancho en el plano = 4 . 2 cm = 8 cm Se calcula la razón de semejanza entre el plano y el departamento calculando el cociente entre el ancho en el plano y el ancho del departamento. ancho en el plano
Se establece la razón entre la longitud real del segmento y lo correspondiente en la figura a escala.
8 cm = 1 = 0,01 25 640 cm 80
ancho del departamento
Por lo tanto, la razón de semejanza entre el plano y el departamento es r = 0,0125.
b.
En el plano, el largo del departamento está representado por 18 cm, ya que: largo en el plano = número de cuadros'
medida de los cuadros
largo en el plano = 9 . 2 cm = 18 cm
Se utiliza la rozón de semejanza encontrada para obtener la longitud del otro lodo de la figuro.
Se calcula el largo del departamento plano y el departamento.
(x) mediante la razón de semejanza entre el
__ I_arg""",---o_e_n_e_l-,-p_la_no __ = 18 cm = 0,0125 largo del departamento x
=> x = ---
18
0,0125
= 1.440 cm
Es decir, el largo del departamento es igual a 14,4 m.
Santillana Bicentenario
44
_
Preparando el Simce
_
A. B.
--
-
¿Cuáles de los rectángulos del siguiente dibujo son semejantes entre sí y los lados de cada figura están en razón 2 : 37
I
.
,¡
I
:
/~
1
1Y2
-¡--
,
1Y3
,
I
•
C. 3 y 4 D.
-
••
•
-
3
!
,
Fuente: www.sirn::e.cl
-
-
-r
I
~
-
- 1-
_!
'J
•
-
-
1-
Todos
~
/
1-
+
-'-
~
'-
Solución: Se calculan las razones entre las medidas de los lados de cada figura . razón entre el ancho y largo del: ~
rectángulo 1
ancho - 4 - 2 - --largo 6 3
/ ancho rectangulo 3 = largo
ancho - 2 -rectángulo 2 = largo 3
.... •
........ •••••••• 2
1
4
2
Se determina la razón entre los
=- =-
lados de cada rectángulo .
/ ancho 1 rectangulo 4 = =largo 2
Son semejantes entre sí los rectángulos
1y2
3y4
.
~
., o'
,--
"S~;Jq~r¡tIfl.c1tfí({q~~l!~m"ªf ¡
. (-;l-, ,~~,.ylél."lrii}:w.. ~~lI'.. :.e:':'n"
~'~'._
....
.
!
o
'. .-,'
En cada par de figuras. la razón entre el largo y el ancho es la misma. Luego, los rectángulos semejantes y cuyos lados están en razón 2 : 3 son el 1 y el 2.
Respuesta:
la alternativa correcta es A.
Observa los colores correspondientes
a la resolución de la pregunta y marca según tus logros.
D Sí. D No.
Determino la razón presente entre los lados de una figura. -"
Identifico figuras que son semejantes.
1'.
D Sí. D No.
Entonces, dirígete a la página 40 y obtén cinco razones distintas entre los lados de las figuras que conforman el dibujo de la mascota.
Entonces, en una cuadrícula de 15 por 15, dibuja dos pares de triángulos distintos que sean semejantes e indica su razón de . sernejanza
45
Matemática
Geometría
Teorema de Thales El concepto de semejanza está basado en las proporciones de segmentos correspondientes entre figuras. En estas páginas se analizará el "teorerna fundamental de la semejanza entre triángulos", más conocido corno "teorema particular de Thales". A partir de él será posible obtener las herramientas para determinar la proporcionalidad entre segmentos.
Esimportanterecordarque: -
• AB
-
Teorema fundamental de la semejanza o teorema particular de Thales A
-
= CD <=> m(AB) = m(CD)
• Engeneral,AB = BA.
Enunciado: "Si en un ángulo cualquiera sus lados son cortados por dos o más paralelas, entonces dos segmentos correspondientes cualesquiera determinados por las paralelas sobre los lados del ángulo son proporcionales entre sí". Es decir: m (AB) m(AD) m (BC)
D
m(DE)
Para mayor comodidad, el dibujo se ha separado en dos al hacer la demostración. (Fig. 1) Parasimplificarla demostración,y en adelante,se utilizarála siguientenotación:
Demostración ~
Afirmación
áreaMBC = (ABC)
Figura1
~
1. (CEB) =
A
<~
BD 11 CE =>h .1 BD, h 1. CE
Hipótesis:
m(AB) = AB
~
2. (CED) =
CE'h
-
2 CE·h
-
2
BC'
h
J ustlficac ión
,
Por construcción.
2 DE·h
2
Por construcción.
2
3. (CEB) = (CED)
B
D
BC'
4.
h
,
2
AB·h 6. (ABE) = A
8.
2 h,
9.
h -2
10.
Santillana Bicentenario
=>-h
= 2
DE BC
Por construcción. 2
Por construcción.
2 -
Por afirmaciones 1, 2 y 3. Por afirmación 3.
2
7. (ADC) =
,
h,
,
AD . h
AB·h
2
2
5. (ABE) = (ADC)
e
Por afirmaciones 1 y 2.
DE·h -
AB AD Tesis: -BC DE
AD'
h2
2
DE - AD BC AB
AB - AD BC DE
h,
AD =>- = h2 AB
Por afirmaciones S, 6 Y 7.
Por afirmaciones 4 y 8.
Intercambiando términos extremos de la expresión 9 (q. e. d.).
46
UNIDAD 2
Semejanza de figuras planas
Además, se pueden extraer otros resultados de esta demostración: Se tiene
AC . h I AE . h2 hl AE (ACE) = 2 = 2 => h = AC
BC' h
(BCE) =
2
2
CE·h
1_
2
Luego, por la afirmación 9 se tiene
h¡ - DE - AE h2 BC AC
-_
AC AE _-_ BC DE
AE AD
AD
(BCD)
AB
=
BC . h3
2
-
BD . h
(BCE) h¡ CE => (BCD) = h; = BD
2
Por otra parte,
AC AB
Por lo tanto,
AB· h¡ AC· h3 hl AC -----::::--- => - - 2 2 h3 - AB
AC _AB
AE -_CE AD BD
Por otro lado, los mismos resultados obtenidos anteriormente se aplican a paralelas que cortan las extensiones de los lados más allá del vértice, como se muestra en la figura 1. Para demostrarlo, se trazan las _<ó->
__
rectas BF // AC // DE Y un segmento CE, como se muestra en la figura 2:
Figura 1
Figura 2
Es posible ahora aplicar el teorema particular de Thales en la figura 2, obteniendo las siguientes proporciones: AB - CF En óACE: BE FE En óDEC:
CB - CF FE BD
AB CB => BE = BD
En MCE: En óDEC:
AC CE BF = FE => BF . CE = AC . FE DE CE => BF . CE = DE . CF BF CF
AC . FE
=
AC DE . CF => DE
=
CF FE
AC - AB - CB DE BE BD
Ejemplo Se necesita calcular el ancho de un río sin cruzarlo. Para ello, dos estudiantes fijaron un punto de referencia (A) al otro lado de él, de modo que BA es perpendicular a la orilla en la que se encuentran. Caminaron por la orilla 48 pasos hasta un punto E, donde fijaron una estaca, y luego caminaron 24 pasos más hasta el punto C. Finalmente, caminaron perpendiculannente a BC hasta que la estaca enterrada en E y el punto A se vieran alineados. Si un paso equivale a 1,5 m, y la distancia de CaD es de 10 pasos, ¿cuál es el ancho del río?
A
Dado que -{ABC == ~DCB, se tiene que BA // CD, lo que permite aplicar el teorema de Thales. CD = CE => ..!.2. = 24 => BA = 20 BA BE BA 48 El ancho del río es de 20 pasos, es decir 30 m.
147
¡
Matemática
Geometría Figura1 A
Teorema general de Thales
B
Enunciado: "Si tres o más rectas paralelas cortan a dos o más rectas cualesquiera, determinan sobre ellas segmentos proporcionales entre sí". (Figura 1) D
AC - CE DF BD
F ~
~
Demostración
- ----
~
AB 11 CD II EF F'Igura2
i
A
eJ E
Tesis: AC: BD = CE: DF
Hipótesis: AB II CD II EF Afirmación
I
Justificación
<-;.
B
1. AB II CDII EF
Por hipótesis.
2. AH II BF
Por construcción. Figura 2.
= BD Y GH = DF
G
D
3. AG
H
F
4. AC : AG
I
5. AC : BD
= CE : GH = CE : DF
~
Para la demostración, se construye la recta ~ ~ AH, paralela a BF.
Utilizando la afirmación 2 y considerando que AGDB y GHFD son paralelogramos. Por teorema particular de Thales. Por afirmaciones 3 y 4, los segmentos son proporcionales (q. e. d.).
Lo demostrado implica, además, las siguientes proporciones: AC =_ BD _ CE
Figura3
DF
AC _AE
BD _ BF
AE CE
BF DF
Ejemplo
e
Dado el trapecio de la figura 3, calcula la medida del segmento DF. Como AD II EF II BC, se aplica el teorema general de Thales, cumpliéndose la . / AE DF proporcon AB = DC'
D
B
63 cm
AD II EFI1 BC
EN ~
. AE DF AE DF 21 DF Setiene = <=> --<=> --<=> 21 AB DC AE + EB DC 21 + 63 88 84
=
DF <=> DF 88
Luego, la medida del segmento DF es 22 cm.
SrNTESIS ~
BD II CE
A
~
~
~
AD II EC
~
~
AD II BE II CF
A
D
D
E
e
E
AB - AD - BD AC AE CE AB - AD BC DE
Santillana Bicentenario
AB - DB - AD CB EB CE
48
F
AB BC
-
DE EF
= 22.
lJNIDAD2
Semejanza de ñguras planas
Teorema recíproco de Thales Enunciado: "Si una recta corta dos lados de un triángulo o sus prolongaciones, proporcionales entre sí, dicha recta es paralela al lado que no intersecta". Es decir:
determinando
sobre ellos segrnentos
A
SO 11 CE
AB = AD ~ BC DE
D
CL-----------------~E <~
Demostración:
.¡.->
~
se construye una recta B'D paralela aliado CE. Se buscará probar entonces que las rectas B'D y BD son la misma
recta, demostrando que los puntos B' y B son, en realidad, el mismo punto. Hipótesis: _A_B- AD BC DE'
PiD 11 CE
~
Tesis: BD 11 CE
AC - AE 1. ~ AB AD ~
AB=
AC'AD AE
Por hipótesis.
-
2. B'D 11 CE AC - AE 3. ~ AB' AD
D
Por hipótesis. AC'AD AB' = AE
Por afirmación 2 y teorema particular de Thales.
4. AB = AB'
Por afirmaciones 1 y 3.
5. B = B'
Por afirmación 4.
~
CL-----------------~E
~
6. B'D = BD <~
A
J ustificació n
Afirmación
Por afirmación S, las rectas son coincidentes.
-
Por afirmaciones 2 y 5 (q. e. d.).
7. BD 11 CE
La demostración realizada se basó en el teorema particular de Thales, pero puede extenderse a los otros dos casos vistos. Aplicación: teorema de la mediana de un triángulo En un triángulo cualquiera, la mediana es paralela al lado que no corta, y mide la mitad de él. Recuerda que la mediana es el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo. -En la figura, DE es la mediana. Como D y E son puntos medios de AB y CA, se tiene:
AD = AE = 1
AD
DB
AB
EC
A
- AE - -1
2
AC
Por teorema recíproco de Thales: BC 11 DE. Luego, por teorema particular de Thales:
AD
AE DE 1 - - = - ~ AB AC BC 2
49
2 . DE = BC.
B~------------~C
Matemática
Geometría
Teorema de Thales y software
A
Con la ayuda del programa GeoGebra se realizará la demostración del teorema de la bisectriz interior de un triángulo, utilizando el teorema particular de Thales. Enunciado: "La bisectriz interior de un ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en dos segmentos proporcionales Es decir; si -
AD es bisectriz
...._-----f,--------~~
B
a los lados que forman el ángulo".
del ángulo
o
e
~
BC y AD, se cumple la proporción. Paso 1 - Con la herramienta dibuja un triángulo ABC.
Ivl
A
- Con la herramienta ~ traza la bisectriz del ángulo BAC, definiendo los ángulos congruentes 1::BAD y 1::DAC. - Con la herrarnienta ~
Paso 3 Con la herramienta
D
e
- Por el teorema particular de Thales se obtiene: AB AE
marca el punto D.
--=-BD
DC
•
AB - Como CA == AE, se cumple que BD
Paso 2 - Con la herramienta ~ traza una recta paralela
1/1 • D
• D
e
- Se marca el punto E con la herramienta ~.
demuestra
DC
• Puedes comprobado con la herrarnienta midiendo los segmentos AB, BD, CA y DC, obteniendo:
a la recta AD por el punto C.
GeoGebra,
=
AC
•
~
Utilizando
que:
-
•
- Con la herramienta [2] traza una recta del punto A al punto B.
I~I comprueba
AB = 3,49 cm 2,34 cm BD
>=
1,49
AC = 3,18 cm DC 2,12 cm
>=
1,49
los siguientes teoremas.
1.
Si la bisectriz exterior correspondiente AE CA -==- = -==EB OC'
2.
En un paralelogramo ABCD, donde E y F son puntos medios de DA y BC, respectivamente, los segmentos EC y AF dividen a la diagonal AC en tres palies de igual longitud.
3.
Sea ABCD un cuadrilátero y E, F, G y H los puntos medios de sus lados, entonces el cuadrilátero EFGH es un paralelogramo.
Santillana Bicentenario
al vértice C de un triángulo ABC corta aliado AB en un punto E, demuestra que:
50
I Semejanza de ñguras planas
lJNIDAD 2 Sea el triángulo QPR y
KJ
<--l>
+->
~
En la figura, AE II BF II CG II DH Calcula x, en cada caso.
II RQ.
Q b J
4. 5. 6. 7.
8.
-
= 6 cm, d = 4 cm y a + b = 12 cm, calcula a y b. Si a = 17 cm, f = 16 cm, b = 11 cm, calcula e. Si e = 26 cm, c + d = 30 cm, f = 7 cm, calcula d. Si d : c = 4 : 9, a = 14 cm y e = 24 cm, calcula b y f.
E
F
A
B
G
H
e
o
Si c
12.
14.
EF = 18 cm, DC = 47 cm, AB = 50 cm, HG = x cm
15.
L1 II L2 II L3 II L4, calcula a, b y c si se sabe que a + b + C = 76 cm.
LS
en cada caso la medida de a.
L4
L1 L2
Ls L1
1 cm
AB = 7 cm, CD = 14 cm, HG = 18 cm, EF = x cm
13. FG = 8 cm, DC = 19 cm, GH = 17 cm, CB = x cm
¿Qué altura tiene el mástil de una bandera que proyecta una sombra de 6 m, cuando una vara de 180 cm proyecta una sombra de 120 cm?
Si L1 II L2 II L3' determina
9.
~
L3
L6
10 cm 12 cm 16 cm
L4
L2 a
2 cm
16. En el rectángulo ABCD, El II FH II GC. Si DI = 4 cm, IH = 2 cm, HC = 6 cm, BC = 4 cm y AE = 1 cm, calcula GC.
L3
D~---r~Hr-----------,C
10.
5 cm
L1
A~~E~~F~----------G~~B
a
Determina, en cada caso, el valor de x para que L1 y L2 sean paralelas.
11. 17.
18.
2cm
8
8cm
12
10 cm
51
Matemática
Geometría
y exterior de un segmento
División interior
División interior de un segmento El punto F divide al segmento AB en la razón m : n si se cumple la proporción:
F
A
AF
m
FB
n
--=-
• punto inicial - punto de división punto de división - punto final
B B
A
Un método para dividir interiormente un segmento AB en la razón m: n es realizar los siguientes pasos:
m n
I
I
D
Paso 1 Se trazan dos semirrectas paralelas, en sentidos opuestos, desde los extremos del segmento AB, donde se copian segmentos de longitudes m y n, respectivamente.
\ \
,, \ \
, \
,, \ \ \
Paso 2 Se traza un segmento entre DE, que intersecta a AB en el punto F. De esta - manera se obtienen los trazos AF y FB que están en razón m : n.
\ \
F\
A
B
\
\
E
AD m -----=AF
Se comprueba la proporción buscada al aplicar el teorema de Thales, obteniéndose:
FB
BE
n
División exterior de un segmento Dividir exteriormente un segmento AB en una razón m: n es encontrar un punto M en la prolongación del segmento, de tal manera
./ que se cump Ia Ia proporoorr
AM m MB = ~
La ubicación del punto M respecto a los puntos A
y B dependerá de los valores relativos de m y n, como se muestra a continuación: n
A
m> n
B"
...
,.
..
I------+---------~
~
m< n
,_----~M
m
...,A
M~--------n
In
Para dividir exteriormente
B
un segmento AB se pueden realizar los siguientes pasos (los dos casos son análogos):
Paso 1 Se trazan dos semirrectas paralelas, en el mismo sentido, desde los extremos del segmento AB, donde se copian los segmentos m y n, respectivamente.
,,
A'-----~B
,,
,
L
",
--------------:~M
// / /
Paso 2 Se traza una semirrecta y una recta AS que se intersectan en el punto M, obteniendo los trazos AM y MB que están en la razón m : n.
/ ///
re
Santillana Bicentenario
52
D ...... "" // //
,
/ /
/ //
M L-:./-------------r------~
Semejanza de ñguras planas
lJNIDAD2
Se comprueba la proporción buscada al aplicar el teorema obtiene la siguiente expresión: AM
AL
__ -m
MB
BD
n
de Thales, donde se
Figura1 o
o
3
o
o
4 o o
o 1
o
o
o
o
Ejemplo Divide geométricamente un segmento LM de 16 cm en razón 3 : 4 : 1. Luego, calcula las longitudes de los trazos obtenidos (figura 1).
L
M
,,
B,',
Figura2
División gráfica del segmento Sea LM el segmento, se traza una semirrecta desde el punto L, se copian sobre ella los segmentos en proporción que determinan los puntos D, A Y B (figura 2). Se trazan los segmentos BM, AO y DP, todos paralelos entre sí, obteniendo la división -de LM en los trazos LP, PO Y OM, tal que: LP : PO : O M = 3 : 4 : 1
o
LP
PO
OM
3
4
1
----
Medida de los trazos obtenidos Como se cumple la proporción LP : PO : OM = 3 : 4 : 1, se considera LP = 3x, PO = 4x y OM = x, con lo que se obtiene la expresión: 3x + 4x + x = 16 cm
=> x = 2
o M
p
L
Por lo tanto, las medidas de los segmentos pedidos corresponden a: LP = 6 cm, ya que LP = 3x =3 . 2 = 6. PO = 8 cm, ya que PO = 4x = 4 . 2 = 8. OM = 2 cm, ya que OM = x = 2.
Divide interiormente
1. 2.
en forma geométrica:
un segmento de 15 cm en la razón 1 : 2 : 4.
Si AP = 63 cm, calcula AB.
7.
Los segmentos AB y CD están en razón 5 : 11. Calcula AB, si CD 44 cm.
=
un segmento de 6 cm en la razón 1 : 2.
Un segmento AB está dividido interiormente en razón 3 : 5. 3.
6.
Los segmentos AB, CD, ., proporcron:
por un punto P,
EF Y GH cumplen la siguiente
AB : CD = EF : GH
Calcula la razón entre los segmentos AP y AB.
4.
Calcula la razón entre PB y AB.
5.
Si PB = 75 cm, calcula AB.
53
8.
Si AB = 60 cm, CD = 14 cm y GH = 210 mm, calcula EF.
9.
Si AB = 15 dm, CD = 100 cm y EF = 1.200 mm, calcula GH.
Matemática
1.
Si L1 // L2 // L3, ¿cuál es la longitud del segmento AB?
A
L1
x
L2
F x+2
B
Se utiliza el teorema de Thales y se establece la proporcionalidad entre los segmentos correspondientes definidos en la f¡gura.
Al ser paralelas las rectas se puede utilizar el teorema general de Thales y establecer de esta forma la proporcionalidad entre los segmentos que se definen. Así: CE _ AF _ x + 1 _
Se resuelve la ecuación formada por la propordonalidad.
Remplazando x = 2 se tiene: AF = x
2.
x
FB x +4 x +2 (x + 1)(x + 2) = x(x + 4) x2 + 3x + 2 = x2 + 4x 3x + 2 = 4x 2=x
ED
Se remplaza el valor de x determinado poro obtener la longitud de los segmentos.
L3
=2
FB = x + 2 = 2 + 2 = 4
Luego, AF + FB = AB = 2 + 4 = 6. Por lo tanto, el segmento AB mide 6 unidades.
e En la figura, ¿cuál es la medida que debe tener el lado AD para que AC // DE?
Se utiliza el teorema recíproco de Thales.
Para que el lado AC sea paralelo a DE, los segmentos definidos sobre los lados AB y CB deben ser proporcionales. Se tiene
CE
AD
EB
DB
Remplazando los valores dados: Se remplazan los valores y se calcula lo proporción obtenida.
CE - AD ~ ~ = AD AD = I S . S = 2S EB DB 3 S ~ 3 Por lo tanto, para que AC // DE, el segmento AD debe medir 25 unidades.
Santillana Bicentenario
54
Preparando la PSU El punto Q divide interiormente
A.
al segmento PR en la razón 2 : 5. Si QR mide 20 cm, entonces, ¿cuánto mide PR?
8
B. 28 C. SO
p
R
Q
D. 70
E.
Ninguno de los valores anteriores.
Fuente Pregunta PSU N° 44, Modelo Oficial Prueba de Matemática, Proceso de Admisión 2008, Serie DEMRE- Universidad de Chile N° S, publicado el 17 de mayo 2007, a través de El Mercurio.
Solución: Como Q divide interiormente
al segmento PR en la razón 2 : 5, se puede
establecer la siguiente proporción:
PQ _ 2 -QR S
Mediante la proporción - PQ_2 _ -
QR
::::::>
S ::::::>
Como PR
~
............. ...
anterior se calcula la medida PQ.
PQ_2_ 20 5
,.(¡icllla la med;do de segmet'lfos'
dada IIna prop(¡rción,
PQ = 20 . 2 = 8 S
= QR
Plantea fa proporción dada en la división interior del segmento.
+ PQ ::::::> 20 + 8
~
• ••
...
= 28
Por lo tanto, el segmento PR mide 28 cm.
Respuesta:
la altemativa correcta es B.
Observa los colores correspondientes Planteo la proporción en que un punto divide a un segmento.
a la resolución
D Sí. D No.
~--------------------------~-I~~ Calculo medidas de segmentos dada . una proporcon /
de la pregunta y marca según tus logros.
D Sí. D No.
Entonces, dirígete a la página 47 y establece las medidas de los segmentos resultantes si se divide el segmento que representa el ancho del río en las razones 3 : 4, 2 : 7 y 5 : 6. Entonces, dirígete a la página 53. En los problemas S y 6, calcula la medida del segmento AB, si PB = 80 cm y AP = 25 cm .
55
Matemática
Geometría Figura 1
Criterios de semejanza
D
Anteriormente se exploró el concepto de semejanza en forma intuitiva, mediante el proceso de ampliación y reducción de figuras representadas a escala o razón de semejanza. De esta manera se estableció, en principio, que dos figuras son semejantes si tienen la misma forma y sus lados correspondientes son proporcionales entre sí. ¿Cómo se puede saber si los polígonos ABCD y A'B'C'D' (figura 1) son semejantes? Un método es manipular las figuras de tal forma que se pueda comprobar la correspondencia entre los vértices, tal como se indica a continuación: D
D
A
A'
B' B D D'
A
e
e
B
e
e'
A
e
e
e'
B
B
B B'
A correspondiente con A'
A
D
A
A'
D'
B correspondiente
con B'
BC B'C'
C correspondiente con C'
-----------
CD C'D'
D correspondiente
con D'
DA D'A'
En general, dos polígonos son semejantes si existe una correspondencia correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos, proporcionales.
entre sus vértices, para lo cual sus ángulos Figura 2
e
En la figura 2, los polígonos ABCD y A'B'C'D' son semejantes, ya que: - existe correspondencia
_..... .. -_
~~
.. - .. _---~... -- '~, B
entre los vértices: A - A', B - B', C - C' y D - D'
- existe congruencia entre los ángulos: 1:CBA == 1:C'B'A', 1:DCB 1:ADC
= 1:A'D'C',
,, ,, \
-
,, \ •,
,
\
= 1:D'C'B'
1:CAD
- los lados homólogos son proporcionales:
D
- ---- .. - .......
- :~,
,
... ' __
I
, e'
, " ,,
= 1:C'A'D' :~,
I
~
\
\
Ejemplos
, \ I
I
,, \
DA D'A'
- ~~,
,, \
I
......... ...
• •,
_ ~~.~-
........... - ......
A A'
¿Todos los polígonos regulares de igual número de lados son semejantes? Si P1 Y P2 son polígonos regulares de n lados, ambos poseen n ángulos congruentes entre sí. Además, P1 posee n lados de igual medida m, y P2 posee n lados de igual medida m', por lo que se puede establecer la razón ~ = k, con k constante, para todos m' los lados homólogos de los polígonos. Luego, todos los polígonos regulares, de igual número de lados, son semejantes entre sí.
Santillana Bicentenario
56
lJNIDAD 2
I Semejanza de ñguras planas
Criterios de semejanza de triángulos Todo polígono se puede descomponer en triángulos, de modo que para determinar la semejanza entre dos polígonos cualesquiera, estos se descomponen y se verifica la semejanza entre los triángulos que los forman. El teorema particular de Thales proporciona Criterio
la justificación de los tres criterios de semejanza entre triángulos:
ángulo-ángulo (AA)
Criterio
lado-ángulo-Iado
(LAL)
Criterio
lado-Iado-Iado (LLL)
e F
Criterio ángulo-ángulo (AA) Enunciado: dos triángulos son semejantes si tienen dos á.ngulos correspondientes congruentes.
E
B
D
En la figura, ilBCA - ilEFD.
A
Se pueden aplicar las transformaciones necesarias al triángulo EFD para superponerlo sobre el triángulo BCA, y hacer que coincidan en el ángulo congruente entre ellos. Demostración Hipótesis: ~BAC ==~EDF ~ACB== ~DFE Tesis: .!lBCA - .!lEFD
Afirmación 1. ~BAC ==~EDF
Por hipótesis.
2.
Por hipótesis.
3.
e
Justificación
=
Por afirrnaciones 2 y 3, y teorema de los ángulos interiores de un triángulo.
4. .!lQCL ==.!lEFD
Por construcción.
5. LQ II AB
Por afirmación 1, tienen ángulos correspondi entes congruentes.
AC - BC - AB 6. LC QC LQ
Por afirmación S y teorema particular de Thales.
B
A
7.
AC - BC - AB DF EF DE
Por afirmaciones 4 y 6. Por afirmaciones 1, 2, 3 Y 7 (q. e. d.).
8. .!lBCA - .!lEFD Ejemplo Demuestra que los triángulos CAB y CED son semejantes, si
=
Afirmación 1. ~EDC ==
= ~CBA.
e
Justificación Por hipótesis. /
2. ~ACB ==~DCE
Angulo común entre .!lCAB y.!lCED.
3. .!lCAB - .!lCED
Por afirmaciones 1 y 2, se verifica criterio AA (q. e. d.).
57
A
B
Matemática
Geometría F
e
Criterio lado-ángulo-Iado (LAL) Enunciado: dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo correspondiente congruente y los lados adyacentes al ángulo son proporcionales. En la figura, ~BCA ~ ~EFD.
B
A
Al igual que en la demostración anterior, se rota y traslada el triángulo CBA para situarlo sobre el triángulo EFD, de modo que coincidan en el ángulo congruente entre ellos. Demostración
Afirmación
Hipótesis: ~BAC == ~EDF Y AB = AC DE DF Tesis: ~BCA - ~EFD
Justificación
1. ~QDP == ~CAB
2.
F
Q
D~--------~p~--E
AB - AC -
DE
Por construcción. Por hipótesis.
DF
DP _ DQ 3. DE DF
Por afirmaciones 1 y 2.
4. EF 11 PQ
Por afirmación 3 y teorema recíproco de Thales.
DP _ DQ _ PQ 5. DE DF EF
Por afirmación 4.
6. ~QPD == ~FED
Por afirmación 4, son ángulos correspondientes.
7. ~DQP=
Por afirmación 4, son ángulos correspondientes.
~DFE
8. ~PDQ == ~EDF
Por construcción.
9. ~QDP - ~FDE
Por afirmaciones S, 6, 7 Y 8.
1O. ~CAB - ~FDE
Por afirmaciones 1 y 9 (q. e. d.).
o Q
Ejemplo Determina si ~ODR y ~PDQ son semejantes. OD RD Se cump Ie Ia proporclon = , ya que: DP DQ ./
OD DP
20
-
12
S 3
Y
RD DQ
30
S
18
3
R
Además, ~ODR = ~PDQ. Luego, se cumple el criterio de semejanza LAL, y por lo tanto ~ODR - ~PDQ.
Santillana Bicentenario
58
lJNIDAD 2
Criterio lado-lado-lado (LLL)
I Semejanza de ñguras planas
F
Enunciado: dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.
e
D
En la figura, ~BCA - ~EFD. A
Para realizar la demostración, sobre el lado DF del triángulo DEF se copia PF = AC y se traza PQ // DE, como se muestra a continuación. E
Demostración .' . AC H ípotesís: DF - BC _ AB PQ // EF DE'
DE FP == CA ,
Afirmación
T esis: ~BCA - ~EFD
Justificación
1. PF == AC 2. PQ // DE AC 3. DF
F D
-
-
BC EF
Por hipótesis. Por hipótesis. AB DE
-
-
Por hipótesis.
4. ~EDF == ~QPF ~FED == ~FQP
Por afirmación 2, son ángulos correspondientes entre paralelas. Por afirmación 4 y teorema de los ángulos interiores de un triángulo.
5. ~PFQ == ~DFE
E
PF _ QF _ PQ 6. DF EF DE 7. QF == BC y PQ == AB 8. ~PQF =MBC
10. MBC - ~DEF
Responde.
Por afirmaciones 8 y 9 (q. e. d.).
2.
Si AB = 5 cm, BC = 12 cm, BE = 2 cm y AC calcula la medida de EF.
=
Por afirmaciones 1, 4 Y S. Por afirmaciones 1 y 7, se verifica criterio de congruencia LLL. Por afirmaciones 3, 4 Y S.
9. ~PQF - ~DEF
1.
Por el teorema de Thales y la afirmación 2.
Calcula la medida de EG del siguiente cuadrado.
D
1 3 cm,
e ~...,....G
10 cm
A
7 cm
AII:----~F..I....-....IB
3.
59
El perímetro de un triángulo isósceles es 64 m y su base mide 14 m. Calcula el área de un triángulo semejante cuyo perímetro es de 96 m. Matemática
Geometría
Homotecia y semejanza B
Una homotecia es una transformación geométrica que permite construir
F
A
segmentos paralelos a los de una figura, sin mantener sus dimensiones;
E' E
de esta forma es posible ampliar o reducir figuras.
C'
Una homotecia se construye a partir del centro de homotecia y la razón de homotecia. En la figura, el centro de homotecia A es el punto en el que concurren las rectas que determinan los puntos de una figura y sus correspondientes homólogos, y la razón de homotecia k es el cociente entre m(AB) y m(AB'), siendo B un punto cualquiera y B' su imagen según la homotecia. m(AB') Se cumple entonces que: _ m(AB)
= k.
Utilizando el programa GeoGebra comprobaremos las relaciones que existen al aplicar una homotecia a un .i1BCD. 1° Dibujar centro de homotecia y triángulo BCD.
3° Aplicar homotecia con la herramienta "Dilatar".
Se dibuja el centro de homotecia mediante la
leA 1 y con
herramienta
la herramienta
11?1 se dibuja
Se aplica la homotecia con la herramienta
1.:"-1 marcando
el triángulo BCD y el centro de homotecia A.
un
triángulo BCD.
En el cuadro de diálogo emergente "Dilata objeto desde punto indicado, según factor", escribe el número 2, que e
corresponde a la razón de homotecia; luego, presiona Aplica.
B
rOilata objeto desde punto fn dica do , segú-n (actoro
rg]
Número A
•
~~----------------------~~ I
Aplica
1I
Cancela
o
2° Trazar rayos. Con la herramienta
4° Medir segmentos.
0 se trazan tres rayos desde el
Con la herramienta
-
centro de homotecia A, hacia los puntos B, C y D.
[21 se miden
-
segmentos AD, AB, AC, CC', BB' y DD'. C'
A
Santillana Bicentenario
las distancias de los
60
lJNIDAD 2
I Semejanza de ñguras planas
50 Relaciones proporcionales en la homotecia. -
Se comprueba que la razón de homotecia es 2, ya que:
m (AD') m (AD)
AC') ( =2ym m (AC)
= 2 m(AB') , m(AB)
=2
- Además, por definición de homotecia, se cumple que CD // C'D', CB // C'B' Y DB // D'B', por lo que se comprueban las siguientes semejanzas: MCD
- MC'D',
ya que:
m(AD') _ m (AC') _ m(D'C') m(AD) m (AC) m(DC)
MCB - MC'B',
ya que:
MDB - MD'B',
m(AB') _ m(AC') _ m(=B'C') m (AB)
m (AC)
ya que:
m(AD') _ m(AB') _ m(D=='B') m (AD) m(AB) m(DB)
m(BC)
Por tanto, los lados de los triángulos CDB y C'D'B' tienen sus lados correspondientes
homólogos, es decir:
L\CDB - L\C'D'B'
EN SíNTESIS --A_- -- ---
Una homotecia es una transformación en el plano que permite obtener un polígono semejante a otro. Una homotecia de centro y razón de homotecia k se escribe (O, k). Una homotecia transforma un segmento AB en otro paralelo A'B', que es k veces el primero. En consecuencia, la razón de homotecia también se obtiene m(A'B') dividiendo la longitud de dos segmentos homólogos, es decir: = k. m(AB)
A'
-0.--,, ,
°
Resuelve.
1.
,, ,,
,
B -, , ,
,,
,, ,
B' -,
L\OBA - L\OB'A'
3.
A un triángulo equilátero de lado 10 cm se le aplica una homotecia (A; 2,5), ¿cuál es el perímetro y área del nuevo triángulo?
4.
En la figura, realiza una traslación según el vector 1= (1, -2), y luego realiza una homotecia según (F, 3).
Encuentra el centro de homotecia y el factor de homotecia de la siguiente figura:
r-
A
F.
B
I
B
e D
2.
A un cuadrado de área 4 cm2 se le aplica una homotecia con un factor k = 3. Calcula el perímetro del nuevo cuadrado.
61
Matemática
Geometría
Teorema de Euclides e
Si se traza la altura de un triángulo rectángulo, respecto a la hipotenusa, se generan tres triángulos rectángulos semejantes entre sí. A partir de ello se extraen relaciones de proporcionalidad que constituyen los teoremas de Euclides: 0
AL-----------~D~--~B '-----q__:__- e ---p'-----------', En la figura anterior. q es la proyección del cateto b sobre la hipotenusa, y p es la proyección de a sobre la hipotenusa.
1 La medida de cada cateto al cuadrado es igual al producto de la medida de la hipotenusa y su proyección sobre la hipotenusa. Se cumple que: b2 = e . q y a 2 = e . p. 2 La altura al cuadrado es igual al producto entre los dos segmentos que se determinan sobre la hipotenusa. Se cumple que: h~= p . q. 0
Demostración del primer teorema de Euclides Hipótesis: sea MCB rectángulo en C; he altura respecto al vértice C Tesis: b2 = e . q Afirmación
Justificación 0
1. m(~CDA) = 90
0
Por hipótesis, he altura respecto al vértice C.
2. m(~ACB) = 90
Por hipótesis, MBC rectángulo en C.
3. ~ACB == ~CDA
Por afirmaciones 1 y 2.
4. ~CAD == ~CAD
Por principio de identidad.
5.MCB-MDC AC AB b e 6. AD = AC => = b
Por 3, 4 y criterio de semejanza AA.
q
7.
b
e
q = b => b
2
= e .q
Por afirmación 5. Por afirmación 6 (q. e. d.).
En forma. análoga se prueba que: a2 = e . p. Figura1
q
Ejemplo
e
= 4 cm
Un triángulo rectángulo tiene un cateto de medida 10 cm y su proyección sobre la hipotenusa mide 4 cm. Calcula el perímetro del triángulo (figura 1).
p
La figura 1 muestra un triángulo ABC rectángulo en C, tal que b = 10 cm y su proyección sobre la hipotenusa es q = 4 cm. Aplicando el primer teorema de Euclides se tiene que p = 21 cm, ya que: 100 b = c . q => 1O = 4 . (4 + p) => = (4 + p) => 25 = (4 + p) => p = 21 4 2
2
Entonces la hipotenusa mide 25 cm, ya que e = p + q = 21 + 4 = 25. Aplicando nuevamente el teorema anterior respecto al otro cateto, se obtiene: a
=:1
22,91; ya que: a2 = e . p = 21 . 25 = 525 => a =
Jlli
=:1
22,91.
Por lo tanto, el perímetro del triángulo queda determinado por la suma de a, b y e, que es igual a 57,91 cm aproximadamente. Santillana Bicentenario
lJNIDAD 2
Demostración
del segundo teorema de Euclides
Hipótesis: sea MCB Tesis: h~ = P . q
rectángulo en C; he altura vértice C
Afirmación
= 90°
2. m(<):DAC) + m«CBD)
= 90°
3. m(~DAC)
>
he = ~, ya que al despejar p y q del e primer teorema de Euclides, se obtienen las
5. .óADC ~ .óCDB
Por 1 y 4, se verifica criterio de semejanza AA.
q
a2 e
q=-yp=e
Angulos complementarios. Por afirmaciones 3 y 4.
6.
2 b
/
4. <):CBD ==<):ACD he
siguientes expresiones:
Por hipótesis, he altura respecto al vértice C. ' Angulos complementarios..
= 90°
+ m«ACD)
SOS MAT
En el triángulo rectángulo, se cumple que
Justificación
1. m(<):CDA) = m(.(BDC)
I Semejanza de ñguras planas
Al remplazar p y q en el segundo teorema de Euclides, se obtiene la siguiente expresión: 2
p 2 => he = p . q = he
2 a2 b a2 . b2 h =p.q=-.-=-----:-e C e e2
Por aflrrnación 5 (q. e. d.).
Luego, en el ejemplo anterior se tiene que h = 9,16 cm aproximadamente,
/.[
ya que:
h~ = P . q => h~ = 21 . 4 = 84
EN SfNTESIS
•
En todo triángulo rectángulo se cumplen los teoremas los catetos ya la altura.
• Referente a los catetos y según la figura: b
2
e
de Euclides referentes a
= e . q ya2 = e . p
•
Referente a la altura y según la figura: h~ = P . q
•
ab Entre la altura, los catetos e hipotenusa se cumple la siguiente relación: he = -
A'---------~~--~B q
e
D
P
e
Considerando el triángulo ABC rectángulo en C y he altura respecto al vértice C. calcula lo pedido en cada caso.
S.
e
del cateto opuesto. Prueba que ~
6. A
~------------~--_'B q p
1.
he' a. b y e si P = 10 cm y q = 4 cm.
2.
he' e, b y P si a
3.
a, b, q Y he si c = 12 Y p = 9.
4.
a, b y e si he = 20 Y q : p = 1 : 3.
La proyección q sobre la hipotenusa de un cateto es igual al doble de la proyección p sobre la hipotenusa
= .J2.
Sea ABCD un rectángulo, .óAED rectángulo en E, EF..l DA, DG..l AC, AE ==AB, AF = 3 cm y FD = 7 cm. Calcula AC y DG. E
G
= 9 Y q = 7.
63
Matemática
Geometría
>
SOS
Teorema de Pitágoras
MAT
El teorema de Pitágoras se encuentra enunciado en los elementos (libro 1, proposición 48) de Euclides.
Figura 1
·· ., ., .. ., ., ., .. .. "~~~f •••• r-•.••,••• -y'" •
I
,
•
-, ••• _, •••• , •••• ,
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,
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•
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~_.__1__._1
1.... 1__ .J
Figura 2 ·
,
-,
,-
,c
·
,
,
En todo triángulo rectángulo se cumple que "el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto". El enunciado anterior corresponde al conocido teorema (particular) de Pitágoras, que usualmente se enuncia como: "En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos".
Figura 3
Demostración del teorema de Pitágoras La siguiente demostración está basada en el tratado astronómico del matemático chino Chou Pei Suan Ching (200 a, C.). 1. Se construye un cuadrado de lado a + b, en el cual se inscribe un cuadrado de lado e (figura 1). 2. Se descompone el cuadrado de lado a + b en triángulos rectángulos de catetos a y b, Y de hipotenusa e, que a la vez es la medida del lado del cuadrado inscrito (figura 2), los cuales se ubican según la figura 3, 3. En el centro del cuadrado de lado e se forma un cuadrado de lado b - a (figura 4). 4. Se observa, en la figura 4, que el área del cuadrado de lado e es equivalente a la suma de las áreas de los triángulos rectángulos de catetos a, b y al área del cuadrado de lado b - a, es decir: c2
Figura 4
:_._l_
l. __ l_ ••
., .., ,
_1__ .1
~---,_._-, .._.,_ •.._, .._- ._ .., . j. ,, ---i--. . -i-.. --k-- -1---·¡·--I-- --1 ,1---'-···_', ',.- --,_._ .. ,
,
,
=
b) + (b _ a)2
2ab + b2 _ 2ab + a2
= b2 + a2
= a2 + b2
~c2
,, ,
_
!. ,__ ._,
= 4 - (a ;
Ejemplo El perímetro del trapecio de la figura 5 es igual a 100 cm. ¿Cuál es su área? Recuerda que el área de un trapecio está determinada por la expresión:
:, .
,.
, ,, , 1,
A =
(b 1 + b2)
.
h
2
,,
¡·-a¡-·..·¡--; :
!,··-f-·-·f·_··¡.. -!!-·: (..... :•• -. , ,
!
.'-.
'-_._, __ -_.'_. __ 1.
l •••• 1_._
Por lo tanto, solo se necesita determinar la medida de la altura, que corresponde a un cateto de un triángulo rectángulo ABC. Para ello se calculará previamente la medida de x, utilizando el perímetro del trapecio: 100 = 2x + 35 + 15 100 = 2x + 50 50 = 2x x = 25
Figura 5 15 cm
h
A~--~--------------~ B 10 cm
'-----
35
cm -------'
Es decir, AC = 25 cm. Por teorema de Pitágoras se cumple la siguiente relación: x2
=
2 2 10 + h ~ 625
=
2 2 100 + h ~ h
= 625
- 100
= 525
~ h
= Jill ~22,9
Entonces, la altura (h) mide aproximadamente 22,9 cm. Remplazando en la fórmula del 2 área del trapecio esta es aproximadamente 572,5 cm , pues A = (15 + 35) - 22,9 = 5725 cm2
2 Santillana Bicentenario
64
'
Semejanza de ñguras planas
lJNIDAD2 El teorema recíproco de Pitágoras, que se desprende del principal, también plantea una interesante proposición: "Si en un triángulo, el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes, el ángulo comprendido por esos dos lados restantes del triángulo es recto".
Figura 6
e
Demostración del teorema recíproco de Pitágoras Esta demostración
se basa en la efectuada por Euclides. Se utilizará la figura 6.
2
2
2
Hipótesis: AB + AC = BC Tesis: m(~BAC) = 90
;
AD ==AS; m(~CAD)
0
= 90
0
Afirmación 1. AD ==AB 2. m(~CAD)
= 90 2 2 2 3. AB + AC = BC 2 2 4. AD = AB 2 2 2 2 5. AD + AC = AB + AC 6. AD2 + AC2 = DC2 0
Se construyó el triángulo ADC, rectángulo en A, tal que AD :: AB.
Justificación Por hipótesis. Por hipótesis. Por hipótesis. Por afirmación 1. Por afirmación 4. Por teorema
de Pitágoras.
7. DC - BC
Por afirmaciones 3 y 6.
8. AC ==AC
Por principio de identidad.
9. ~ADC ==MBC
Por afirmaciones 1, 7 Y 8, se verifica criterio de congruencia LLL.
10. m(~BAC)
= 90
0
Por afirmaciones 2 y 9 (q. e. d.).
La siguiente figura muestra un triángulo ABC rectángulo en C. Calcula, en cada caso, lo pedido. e
Realiza las siguientes actividades. 6.
Demuestra el teorema de Pitágoras utilizando el primer teorema de Euclides.
7.
Calcula el perímetro altura mide 5.
8.
Dos edificios de 40 y 32 m de altura, se encuentran a una distancia de 50 m. Calcula la distancia entre sus azoteas.
de un triángulo equilátero
si su
AL--------q------~D~-p~B
= 10 cm y b = 12 cm.
1.
e, p, he y q, si a
2.
b, a, e y p, si he = 14 cm y q = 13 cm.
3.
a, e, p y q si b = 10 Y he = 9.
4.
a, b, p Y q. si he
s.
,
Area
Prueba, utilizando el teorema de Pitágoras, que en todo triángulo rectángulo se cumplen las siguientes igualdades, siendo D el pie de la altu ra he'
= 6 cm y p - q = 5 cm. del triángulo ADC, si e = 13 cm y q = 5 cm.
9.
65
Matemática
1.
Un alambre verde va desde el fondo del pozo hasta la parte más alta del poste formando una línea recta, como muestra la figura. ¿Cuál es la longitud del alambre que se encuentra dentro del pozo? 8 -m
Se construye un esquema a partir del dibujo.
3
E 8 -m 3
3m
Se realíza un esquema del dibujo.
v
3m
B
A
En la figura se forman dos triángulos rectángulos, que se denotan con las letras del esquema ~ABC y ~CDE.
----------0 Se utilizan los criterios de semejanza para determinar las medidas de los lados de los triángulos que se forman.
----------0
Se establece la proporción entre los lados correspondientes para obtener la profundidad del pozo,
Se considera el fondo del pozo paralelo con el nivel del piso (AB // CD), y que los triángulos son rectángulos en By D. Como {BAC == {DCE, por el criterio AA de semejanza de triángulos, se verifica que ~ABC - ~CDE. AB CD 3 CB = ED => CB
Por lo tanto, se tiene la proporción:
3 8 - ·3 CB =>
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa buscada.
2 8
3
2
8 2
---4 -
Entonces, la longitud del alambre dentro del pozo corresponde a la hipotenusa del triángulo ABC. Luego, por teorema de Pitágoras se tiene: 2
2
2
AC = AB + BC 2 2 2 AC = 3 + 4 = 9 + 16 = 2S AC= S Luego, la longitud del alambre dentro del pozo es 5 m.
2.
Calcula la medida del cateto en un triángulo rectángulo, si su proyección sobre la hipotenusa mide 10 cm, y la hipotenusa mide 24 cm.
Estrategia Hacer el dibujo.Se representa la
situación mediante un dibJjo, asignando las medidas «rresxndertes
Se dibuja el triángulo ~ABC, rectángulo en C, con proyecciones sobre la hipotenusa p y q, de los catetos de medida a y b, respectivamente. Donde: e 24 cm, p 10 cm. .----------c-------,
=
= 2
Utilizando la relación a = pe, se obtiene -S-e-u-tJ-'líz-a-e-l-te-o-re-m-a----o que a ~ 15,5 cm, ya que:
de Euclides de los catetos en un triángulo rectángulo.
Santillana Bicentenario
a2 = 24 . 10 = 240 => a ~ 1S,S
66
Preparando la PSU Según la figura, ¿cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es(son) semejantes? D~ ~C 1. ~ACD y ~CBE 11. ~BEC y ~AEB 111.MCD y ~CAB
A.
Solo I
B. Solo 11
C. Solo III
E. 1,11Y 111
D. I Y 11
Fuente: Pregunta PSU N° 41, Modelo Oficial Prueba de Matemática, Proceso de Admisión 2006, Serie DEMRE - Universidad de Chile N° 21, publicado el 5 de octubre 2005, a través de El Mercurio.
Solución: La proposición I es verdadera, ya que m( ~DCA) = 90° - 55° = 35°, por lo que se
.
cumple que ~DCA =~CBE
•••••••••
~
~ADC == ~BEC
Utiliza los criterios de semejanza de triángulos.
Luego, por el criterio AA, se tiene que MCD - ~CBE. La proposición 111es verdadera, ya que AB - CD y DA - BC, lados opuestos de un paralelogramo, además ~DC
= ~CBA, por
ser ambos rectos.
Luego, por el criterio LAL, se tiene que ~ACD - ~CAB. La proposición II es verdadera, pues se observa que el segmento BE es una altura del triángulo CAB desde el vértice B. Por el teorema de Euclides, se sabe que todos los triángulos que se definen de esta manera son semejantes entre sí, por lo tanto: ~BEC - ~AEB.
• •••••
Respuesta: la altemativa correcta es E. Observa los colores correspondientes Utilizo los criterios de semejanza de triángulos.
Reconozco relaciones de semejanza en un triángulo rectángulo mediante el teorema de Euclides.
a la resolución de la pregunta y marca según tus logros. DSí.
D No. D No.
Entonces, construye tres pares de triángulos que sean semejantes entre sí, cada uno por un criterio distinto. Explicita, en cada caso, los datos utilizados para aplicar el criterio. Entonces, dirígete a la página 63. En el ejercicio 6 escribe todos los pares de triángulos semejantes presentes en la figura.
67
Matemática
... Dos figuras son semejantes si todos los segmentos correspondientes son proporcionales y los ángulos correspondientes son congruentes. La razón de semejanza (r) corresponde a la constante de proporcionalidad presente entre los segmentos de ambas figuras.
... La razón entre las longitudes de dos segmentos es un número real; por lo tanto, este puede ser racional (segmentos conmensurables) o irracional (segmentos inconmensurables) .
... Teorema de Thales: cuando una familia de rectas paralelas se cortan con dos rectas secantes, los segmentos correspondientes que se determinan sobre ellas son proporcionales entre sí. AB BC
í
A'B' B'C'
Al-1..
I
A'
'r'
De ella también se desprenden, por ejemplo: B
AB - A'B' A'C' AC
B'
B'C' A'C'
BC AC
CA
,
v
C'
r
... Como consecuencia del teorema de Thales se tiene que cuando una secante corta dos lados de un triángulo y es paralela al tercero, se definen triángulos semejantes en él. De esta manera: AD DB
AE EC
AB AD
AC
AE
AD DE
AB BC
... El recíproco del teorema de Thales plantea: si una recta corta dos lados de un triángulo o sus prolongaciones, determinando sobre ellos segmentos proporcionales entre sí, dicha recta es paralela al lado que no corta.
Santillana Bicentenario
68
Semejanza de ñguras planas
lJNIDAD2 .... Un segmento A-B se puede dividir interiormente o exteriormente,
si no se encuentra
en la razón m: n, por un punto P, si este se encuentra
entre A y B;
entre A y B.
División interior
División exterior
m
111 I
~
p
Á
..
,..
I
I
I
B
Á
~
---------~
B..
1
n
,..
P 1
n AP - m - n PB
.... Los criterios
de semejanza de triángulos
son:
Criterio ángulo-ángulo (AA)
Dos triángulos
Criterio lado-ángulo-lado (LAL)
son semejantes si
Dos triángulos
Criterio lado-lado-lado (LLL)
son semejantes si
Dos triángulos
son semejantes si
tienen dos ángulos
tienen un ángulo correspondiente
tienen sus tres lados
correspond ientes congruentes.
congruente
respectivamente
y los lados adyacentes
al ángulo son proporcionales
.... En todo triángulo
rectángulo
se cumplen los teoremas
proporcionales.
.
de Euclides referentes
a los catetos y a la altura.
C
h = ab e c
h~ = P . q
p
q
e
.... En todo triángulo rectángulo se cumple el teorema
de Pitágoras: en un triángulo
rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa
es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
D Mapa conceptual Construye
un mapa conceptual
utilizando
el software CMap que relacione
al menos los siguientes conceptos
clave.
/
Proporcionalidad
- Semejanza - Escala - Angulos congruentes
Conmensurabilidad
- Triángulo
rectángulo - Teorema
69
- Teorema
de Thales - División de segmentos -
de Euclides - Teorema
de Pitá.goras
Matemática
1
5
Con respecto a las figuras semejantes, es cierto que:
l. sus ángulos correspondientes son congruentes. 11. sus lados correspondientes son proporcionales. 111. sus formas son distintas.
2
3
A. Solo I
c.
B. Solo II
D. II Y III
E.
I Y II
Si L1
//
L2, entonces x mide:
A.2cm B. 8 cm c. 10 cm D. 15 cm E. 18 cm
1, 11Y 111.
L2
15 cm
6
¿Qué altemativa no representa una semejanza?
En la figura, AC // BD, entonces el ~FCE es semejante a:
A. Un plano a escala de un arquitecto.
A. MBF
B. El reflejo en un espejo normal. C. La fotocopia ampliada de una imagen. D. Distintos marcos cuadrados. E. Ninguna de las anteriores.
B. ~DEB C. ~DEC D. MBC E. Ninguna de las anteriores.
Si los dos rectángulos de la figura son semejantes, ¿cuánto mide x?
7
12 cm
9cm
e D
A
B
Para que dos triángulos isósceles sean semejantes necesario y suficiente que en ambos:
7cm
A. B. C. D.
sus ángulos del vértice sean congruentes entre sí. las alturas basales sean congruentes entre sí. sus bases sean congruentes entre sí. sus áreas sean proporcionales entre sí. E. Ninguna de las anteriores.
4cm
x
A. 9 cm B. 16 cm C. 19 cm
D. 21 cm E. 28 cm
8
¿Cuánto debe medir x para que L1
//
L2// L3?
L1~----~------+-----_"
4
8 cm
L2~----~--------~----·
Si un segmento de 14 cm se divide interiormente y el trazo menor que se define mide 6 cm, entonces la razón de división entre el segmento menor y mayor es:
x
L3~----~------------~--~
A. 3 : 1 B. 4: 1 C. 3:4 D. 7:3 E. 8:4
Santíllana Bicentenario
A. 12 cm B. 13 cm C. 15 cm
70
D. 16 cm E. 18 cm
es
UNIDAD 2
9
12
Si AD es la altura del triángulo ABC, rectángulo en A, entonces es cierto que:
Si AC // DE, es falso que:
C.
= DE : DB AD : DB = CE : EB AB : DB = CB : BE
D.
AD: CE = DB: EB
E.
AC : DE
B.
B
D
10
Semejanza de figuras planas
e
A. AC : AD
A
A. AD = m . n
D. AD2 = m . n
B. AB = m . n
E.
c. AC
I
13
AB2 = m . n
A
= CB : EB
B
Divide geométricamente, interior y exteriormente, un segmento de 12 cm en razón 3 : 1.
=m .n
14
¿Cuál es el área del siguiente triángulo?
~
~
¿Qué condición deben cumplir AB y CD para que los triángulos P y Q sean semejantes? Justifica utilizando los criterios de semejanza.
Sm
A. 12 m2 B. 26
2
m
C. 30 m2
11
Si en la figura MDC cierto que:
- .6BDA, entonces es siempre
15
Un árbol proyecta una sombra de 6 m y, a la misma hora, una persona de 1,5 m proyecta una sombra de 2 m. ¿Qué distancia hay entre el extremo superior del árbol y su correspondiente extremo en la sombra?
A
l. .6ABC es rectángulo. 11. .6ABC es isósceles. 111 • .6ABC es equilátero. A. Solo I B. Solo II C. I Y 11
, , ,, , ,, , , ,,
D. II Y III E. 1, II Y 111
6m
71
2m
Matemática
•
PREGUNTAS
INDICADOR
PUNTAJE
¡QUÉ
DEBO HACER?
Comprendo el concepto de semejanza de figuras planas.
1,2, y 3
___
/3
• Si obtuviste menos de 3 respuestas correctas, realiza las actividades 1 a 3, 6 y 7 para reforzar este contenido. • Si obtuviste 3 respuestas correctas, realiza las actividades 4 y S, 8 y 9 para profundizar tus conocimientos.
Divido segmentos en trazos a una razón dada, tanto interior como exteriormente.
4 Y 13
---
/2
• Si obtuviste menos de 2 respuestas correctas, realiza las actividades lOa 12 para reforzar este contenido. • Si obtuviste 2 respuestas correctas, realiza las actividades 13 y 14 para profundizar tus conocimientos.
S, 6, 8 y 12
---
/4
• Si obtuviste menos de 4 respuestas correctas, realiza las actividades IS a 17 para reforzar este contenido. • Si obtuviste 4 respuestas correctas, realiza la actividad 18 para profundizar tus conocimientos.
7 y 14
---
/2
• Si obtuviste menos de 2 respuestas correctas, realiza las actividades 19 a 21 para reforzar este contenido. • Si obtuviste 2 respuestas correctas, realiza la actividad 22 para profundizar tus conocimientos.
/4
• Si obtuviste menos de 4 respuestas correctas, realiza las actividades 23 y 24 para reforzar este contenido. • Si obtuviste 4 respuestas correctas, realiza la actividad 25 para profundizar tus conocimientos.
Comprendo y aplico el teorema de Thales.
Resuelvo problemas mediante los criterios de semejanza de triángulos.
Utilizo los teoremas de Euclides 9, 10, 11 Y 1S relativos a la proporcionalidad de trazos en el triángulo rectángulo, y el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras.
¿Cuánto he aprendido? Cuenta las respuestas correctas que obtuviste en la evaluación anterior y clasifica tu resultado de acuerdo a los criterios que se muestran a continuación: • • •
Rendimiento bajo: entre O y 10 respuestas correctas. Rendimiento medio: entre 11 y 13 respuestas correctas. Rendimiento alto: entre 14 y 1S respuestas correctas.
Obtuve
respuestas correctas, lo que implica que mi rendimiento en la evaluación fue
Ahora, dirígete a la sección ¿Cómo lo aprendí?, que está al final del texto, y sigue las instrucciones que ahí aparecen.
Santíllana Bicentenario
72
E· ercicios •
de refuerzo
rofundización
Semejanza
Un mapa rectangular de 20 cm por 15 cm está trazado a una escala de 5 : 30. 1.
¿Qué medidas representan realidad?
Si un segmento ocupa 8 cm en el mapa, ¿cuál es su longitud en la realidad?
3.
Si un segmento ocupa 75 cm en la realidad, ¿cuál es su longitud en el mapa?
4.
Si un cuadrado tiene superficie 9 cm2 en el mapa, ¿qué superficie tiene en la realidad?
5.
¿Es posible representar mapa.,7 ¿por que.'7
15.
el valor de x e y en cada caso.
CB // QR // SP
e
B
un segmento de 1,5 m en el
En cada caso, dibuja dos figuras semejantes razón de semejanza.
7.
Determina
los lados del mapa en la
2.
6.
Teorema de Thales y criterios de semejanza
•
8.
e indica su Para cada figura, indica qué triángulos son semejantes entre sí (si los hay), justificando mediante algún criterio.
9.
19.
AC // DF Y BC // EF
20.
e
IJ División
de trazos
Divide interiormente 10. 11.
B
en forma geométrica:
D
22.
= 4 : 5,
CB
= 8 cm.
B
de Euclides
y
de Pitágoras
en cada caso, m, h y n.
23. h
B 7,2
AC: CB = 2: 3, AC = 5 cm. Determina AB.
13. AC: CB 14.
e
Determina,
la medida
E
Demuestra formalmente las semejanzas determinadas en los casos anteriores.
IJ Teoremas
un segmento de 15 cm en razón 1 : 2 : 4.
Considera el segmento AB para determinar que se pide en cada caso.
12.
21.
un segmento de 16 cm en la razón 3 : 1.
A
e
24.
Determina AC.
AC: CD : DB = x : x + 2 : x + 3, AB Determina AC, CD y DB.
= 20
cm.
73
2,3
En un triángulo rectángulo de área 600 cm2, el producto de las proyecciones de los catetos sobre la 2 hipotenusa es 576 cm . ¿Cuánto mide la altura?, ¿cuál es el perímetro del triángulo?
Matemática
•
resiones •
raleas •
•
raccionanas •
•
•
Pese a no desarrollar formalmente
las matemáticas, los egipcios contaban con
interesantes métodos de cálculo adecuados a sus necesidades cotidianas. La crecida anual del Nilo y los consecuentes repartos de tierra, las mediciones necesarias para sus monumentales
construcciones
y los cálculos de impuestos a partir de las
cosechas requerían diversos métodos, que describían detalladamente
en papiros.
Uno de los ejemplares más importantes como fuente de la matemática egipcia es el papiro Rhind, donde se aborda extensamente
la descomposición
de fracciones.
Fue redactado en el año 1650 a. C. por el escriba Ahmes. Su primer dueño fue Henry Rhind, quien antes de morir lo vendió al Museo Británico. Para los egipcios, las fracciones solo tenían sentido en términos de un reparto equitativo, es decir, no consideraban que pudieran representar un número, sino exclusivamente admisibles
un reparto
realizado.
eran las de numerador
fracciones egipcias. Los métodos
Por esta razón, las únicas fracciones igual a uno,
para convertir
llamadas desde
entonces
las fracciones de numerador
distinto de 1 a sumas de fracciones egipcias ha sido un extenso tema de estudio de matemáticos
e historiadores. ;
EN ESTA UNIDAD APRENDERÉ A ... Conocer e interpretar las expresiones algebraicas fraccionarias.
Determinar las restricciones de una expresión algebraica fraccionaria.
Aplicar estrategias para simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas fraccionarias.
+
+
Reconocer y reducir expresiones algebraicas fracionarias compuestas.
Resolver ecuaciones fraccionarias con una incógnita.
Resolver problemas mediante el planteamiento y resolución de ecuaciones algebraicas fraccionarias.
Santillana Bicentenario
Reconocer y aplicar los cambios de signosen el numerador y/o denominador.
74
Reconocer funciones racionales, determinar sus parámetros y gráfica.
Como se mencionó, para los egipcios la idea de fracción se relacionaba exclusivamente con las medidas y los repartos. Por ejemplo, para repartir 3 panes entre 5 personas, seguían el siguiente razonamiento: 10
Se divide cada pan en 2 pedazos iguales, para obtener 6 pedazos. Se da uno a cada persona, y sobra uno. Cada persona recibe ~ de pan.
20
El pedazo que quedó se divide en 5 pedazos iguales y se da uno a cada persona, es decir, 110 de pan, ya que
111
2"'S=
.
115163 10' Cada persona recibe finalmente S de pan, ya que 2" + 10
O
3
O
¿Qué ventaja puede tener este método frente a dar
O
f
=
O
10 + 10
=
10
=5'
O
de pan a cada persona? Observa que, en este reparto, cada persona
obtiene una mitad y un décimo de pan, siendo una mitad de pan el trozo más grande que se le puede dar a todos.
III
I
I
~Q5JGD~~ En grupos de tres personas,
1.
y
observando el ejemplo anterior, realicen las siguientes actividades.
Escriban en forma egipcia (como suma de fracciones de numerador 1) cada fracción, justificando el procedimiento repartos según el ejemplo visto. 4 4 5 3 9 7 5 7
con
2. En el reverso del papiro Rhind existen tablas para transformar fracciones, en particular las de numerador igual a 2 y denominador
2
primo. Una regla para las fracciones de la forma 3 k es:
~ 1 -=-+3k ~k
1 6k
¿Escorrecta la regla? Justifiquen.
3. Determinen un procedimiento algebraico para escribir una fracción propia irreductible como suma de fracciones egipcias. Compruébenlo
5 para la fracción 1 1 .
75
Matemática
1 ¿Cuál es el mínimo A. 1
D. 48
B. 4
E. 192
c.
2
3
B. 4x 4 - 25x~2 + 36xy3 - 36y 4
A. B.
3 10
2" : '5 es: c. D.
2 15
21
c.
21
D. 4x 4 - 6x 3y - 7x 22y E. -10
E.
3 4 + 24xy - 36y 4x 4 - 12x3y - 252-y2 + 48xy3 + 36y 4
27
5 24
23 E. -210
7
¿Cuál es el mayor factor común del trinomio 18a 2x 3 + 3a 3x 3 - 6a 2x?
8
La factorización de 5x2 - 30x + 25 es:
37 D. 84
A. (x-5)(x-l) 8. (x + 5) (x + 1) C. 5(x + 5) (x - 1)
2 La expresión (a + b)(a - 2b) equivale a:
9
A. 3a - 3ab - 4b
5
4x 4 - 12x3y - 7x2y2 + 48xy3 - 36y4
. -2 - -1 se o b'tiene: 5 6'
Al desarrollar 4
27 10
-
B. -1 1
4
c.
3
9
15 2
-
Al multiplicar las expresiones (x2 - 4y2) Y (2x - 3y)2, se obtiene: 4 A. 4x - 7x2y2 + 36xy3 _ 36y4
24
El resultado de
A.
6
común múltiplo entre 16 y 12?
D. 5(x - 5) (x - 1) E. 5(x + 5)(x + 1)
La factorización de (x2 - y2)(x2 + y2) corresponde
a:
B. a 3 - 3ab - 2b 2
A. (x - y)(x + y)3
C. a3 + 2a2b - ab + 2b2 D. 3a - 2a2b + ab - 2b2 E. a3 - 2a2b + ab - 2b2
B. (x - y)2(x + y)2 E. 2(x - y) (x + y)(x + y) C. (x - y) (x _ y)(x2 + y2)
10 Al desarrollar (x + a)2 - (a - 2x)(a + 1) resulta:
D. x4 -y 4
Indica el término que va en el recuadro, para completar la siguiente igualdad: 9m2p 4 - 24p2m + 16 =
A. x2 - 2x + a
(0- 4)2
B. 2- + 2a 2 - 2x + a C. x2 + 2a 2 + 2x - a
D. x2 + 4ax + 2x - a
11
E. 2- + 4ax + 2x + 2a2 - a
La solución de la ecuación ax - 5 + x2 = x(x - 2) es x = 1, entonces, ¿qué número representa a?
A. -7 Santíllana Bicentenario
76
B. 3
C. 5
D.
7
E.
8
Expresiones algebraicas fraccionarias
UNIDAD 3
12
=
El valor de x en la ecuación ax + 2b
c.
A. 2
2)
b(a a+2
15
2x + ab es:
E.
b(a
Las edades de un padre, madre y un hijo están dadas por la expresión
+ 2)
H = ac, donde
a-2
P - M = H. Si P = Sa, M = 7a - b Y a, b y e corresponden a las edades de
los otros 3 hijos. Expresa la edad a en términos
D.
B. b
ab - 2b
y
c. Luego, expresa las edades b
y
de b
e en función de las
otras 2.
13
= 3x -
¿Para qué valor de x la función f(x)
18 es Las siguientes gráficas corresponden
O?
igual a
forma f(x)
A. -18 B. -6 C. 3
D. 6
E.
=
mx + n. Determina
16
9
a funciones de la
dichas funciones.
18
.~
y 4
2
14
funciones: f(x)
=
2x
y
g(x)
= -2x +
o
-2
¿Qué característica(s) es(son) distinta(s) en ambas
2
-2
1?
o
-2
4 X
'2
X
2
-4
-
l. 11. 111. A. B. C.
Sus pendientes. El dominio y recorrido.
17
Sus gráficas asociadas.
D.
11 Y 111
Solo 11
E.
1, 11 Y 111
y
~
2
4
Solo I
I
-6
y
X
-2
111
Reviso Revisa tus respuestas en el solucionario
y
completa
la siguiente tabla.
INDICADOR
PREGUNTAS
Calcular mcm y desarrollar operaciones con fracciones.
1,2 y 3
Multiplicar expresiones algebraicas, reducir términos
4,5 y 6
semejantes
y
utilizar productos
RESPUESTAS CORRECTAS
/3 _/3
notables.
Factorizar expresiones algebraicas.
7, 8,9 Y 10
Plantear y resolver ecuaciones numéricas y literales
11,12y15
/4 _/3
de primer grado. Caracterizar la función lineal
y
13, 14, 16, 17 Y 18
afín.
77
_/5
Matemática
,
Álgebra
Expresiones algebraicas fraccionarias Se llama expresión algebraica fraccionaria expresión algebraica,
a una fracción cuyo denominador
es una
Ejemplos Sellamacoeficienteal númeroque multiplicala parte literalde untérmino algebraico, Ejemplos
3
a 2. -
a+x 1. 3x + 5
3.
b
c
2
8b - 1
Toda expresión algebraica puede escribirse como fracción de denominador
1, como
3s -1 2t . D'e iguaI ferorma, un denomi ' térrrunos /, l'Itera Ies se pue de escnibiIr como enorruna dor sin
5 1. -a b 3 ........___ coeficiente
' ' parte d eI coe fici «rente d e cad a termino:
5y +3 4n = 3 5 + 3 4 n. Y
2
2, -8x ........___coeficiente Si a
En esta unidad se considerarán las expresiones denominador contenga una expresión algebraica,
'* 0, entonces:
•* a
paracualquiervalor de a.
Laexpresión3x + 5 se anulapara
x=
-t,
ya que 3 . (
cuyo
Restricciones de las expresiones algebraicas fraccionarias
no estádefinido,
• .Q = 0,
algebraicas fraccionarias
-t)
+ 5 = O.
De la misma manera que al definir las fracciones en los números racionales se exige que el denominador sea distinto de cero, en el caso de las expresiones algebraicas fraccionarias se exige lo mismo, indicando que se descartan los casos en que la expresión pueda ser cero, Ejemplos a+x 1. ~ Se debe cumplir que 3x + 5 :# 0, es decir, x 3x + 5
2.
a+3 b
1 3. 4b - a
«
-t.
~ Se debe cumplir que b :# O.
~ Se debe cumplir que 4b - a:# 0, por lo tanto, a:# 4b o bien b :#
*
b
.¡.
*
4. ~2~- ~ Se debe cumplir que a2 + 1 0, es decir, a2 -1. Dado que el a +1 cuadrado de una expresión siempre es positivo, no hay restricción para los valores de a. Como se observa, las restricciones pueden referirse directamente a valores específicos que no pueden tomar las letras involucradas (ejemplos 1 y 2), o bien a relaciones que no deben darse entre ellas, para evitar que el denominador sea cero (ejemplos 3 y 4),
Santillana Bicentenario
78
Expresiones algebraicas fraccionarias
UNIDAD 3
Signos de una expresión algebraica fraccionaria Observa, en los siguientes ejemplos, lo que ocurre con el valor de la fracción si se cambian uno, dos o tres signos.
2
S = 2: ..
..
,.
~2 = ((-2) : 5) = -0,4 - ~2 = -«(-2) : 5) = 0,4
5 = 0,4
2
•
2 -- = -(2 : 5) = -0,4 5
...
-2 - = (-2) : (-5) = 0,4 -5
- = 2 : (-5) = -0,4
cambiando un signo
-5
_l
-5
= -(2: (-5)) = 0,4
cambiando dos signos
cambiando tres signos
- 2 = -((-2) : (-5)) = -0,4
-5
Entonces se tiene: Si se cambian uno o tres signos, el valor de la fracción cambia. Si se cambian dos signos, el valor de la fracción no cambia Lo anterior se aplica también en las expresiones algebraicas fraccionarias, permitiendo reducir la cantidad de signos, como se muestra en el ejemplo. Ejemplo
La expresión - a - x + 5 se escribirá sin el signo negativo inicial manteniendo su valor. Para ello, se cambiará el signo de la fracción x-a
cambiando el signo del numerador, como se muestra a continuación: a-x+S x-a
=> Se cambia el signo del numerador
-(a - x + 5) x-a
Se cambian los signos
-a + x-S x-a
_ x-a-S x-a
de los términos del numerador
De la misma manera, podría cambiarse el signo de la fracción cambiando el signo del denominador, obteniendo
Determina
las restricciones
de las siguientes expresiones
5 x
2.
1 3x- 3
3.
x-l x+l
a-x
Encuentra, para cada expresión, otra equivalente cambiando
.
algebraicas fraccionarias.
1.
a - x + 5.
sus signos.
4.
5.
6.
2x + 1 1 - 2x
7.
7
8.
5 2 x -4
9.
79
-a -b
10.
1 -x
-2x-x -x-l
x
11.
-(4 - 2x) 2x + 5
12.
-(a - b) -6b -4
Matemática
,
Álgebra
Expresiones algebraicas fraccionarias irreductibles y simplificación Cuando 2 números no tienen factores comunes (además del 1) se dice que son primos entre sí. Una fracción tal que su numerador
son primos entre sí se llama irreductible.
y denominador
no hay números distintos de
1
que dividan, a la vez, a
Por ejemplo, ~
es una fracción irreductible,
puesto que
15 ya 28.
2 expresiones son primas entre sí cuando no es posible factorizarlas simultáneamente por una misma expresión
Algebraicamente, distinta de 1.
Ejemplo Observa las siguientes expresiones y su correspondiente
2.
xc - ac
factorización.
= c(x - a)
Expresiones
-
1Y2
Se pueden factorizar simultáneamente
por
(x - a).
1 y3
Se pueden factorizar simultáneamente
por
3 y por b2. Por lo tanto, las expresiones no son primas entre sí.
2y3
Por lo tanto, las expresiones no son primas entre sí.
-
-
No tienen factores comunes, por lo tanto estas expresiones son primas entre sí.
Una expresión algebraica fraccionaria cuyo numerador
y denominador
son primos entre sí, se dice irreductible.
Ejemplos 1.
7x
2.
2x
3
Y
+3
+ 5x2 x- 6
3x
3.
6
Simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias Simplificar una fracción es dividir su numerador y su denominador por una misma expresión que sea factor común de ambos términos. El proceso de simplificación para expresiones algebraicas fraccionarias es análogo al que se realiza para las fracciones numéricas. Considera, por ejemplo, la fracción ~~. Puede simplificarse sucesivamente:
Se divide por 2 ..
_§Q 72
2 2
--30 36
2 - 15 -2 18
Luego, se divide por 3 .. ~~
3- 5 -3 6
n'acción irreductible
Otro método para simplificar fracciones consiste en factorizar el numerador y denominador, tal como se muestra a continuación: Se factoriza el numerador
y denominador"
Se simplifican las potencias de igual base"
Observa que la fracción irreductible
60
72
60
72
=
22 . 3 . 5 3 2.3
2
=~,t /s .
- 2·3
5
_ 5 -
6
obtenida es el resultado de simplificar por
12 la fracción original. 12 es el mayor número
que divide, a la vez, a 60 ya 72; lo que se conoce como el máximo común divisor (mcd).
Santillana Bicentenario
80
Expresiones algebraicas fraccionarias
UNIDAD 3
Para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias se utilizará el método que consiste en factorizar el numerador y denominador. Ejemplos
2 6
1. Simplifica la expresión algebraica fraccionaria
12x y e 3 2 3 4 9X Y e s
•
El med entre 12y 9 es 3.
El término s 4 solo se encuentra en el denominador, 2 6
12x y c _ 9x3y2c3s4
por lo que no se simplifica. Luego, se tiene:
4
4y 3xc2s4 3 2
2. Simplifica la expresión algebraica fraccionaria
16a x
3
3 2
+ 32a xy + 16a y S 2
12a x
•
S 2
- 12a y
3 2 3 3 2 3 2 16a x + 32a xy + 16a y _ 16a 3( x 2 + 2xy + Y2) = __ 16_a_C,,_x_+__,__y)'---_ 5 2 5 2 5 2 5 12a (x _ y2) 12a Cx + y)(x _ y) 12a x - 12a y Se simplifica de manera análoga al ejemplo anterior. El fT\C.dentre lb y 12 es 4, obteniendo 4 y 3, en el numerador y denominador, respectivamente.
Y6/~· 1i/ y) •
L ~(x
Luego, se tiene: 3
_1_6_a ___,_( x_+_,_y,"--) _ _ 5
12a (x + y)(x - y)
1.
2.
3.
a 4b z 3 4 7 2pq r 3 2 57 P q r 18st4u1 60p2tBu3
2
aS y a , quedando a en el denominador.
4(x + y) 2
3a (x - y)
Simplíñca las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias hasta obtener una expresión irreductible.
a 2b3 z 5
y (x t y), quedando (x t y) en el numerador.
El término tx - y) s~o ~e encuentra en el denominador, por lo que no se slmphfica.
-
5
2
2
(x t y)
4.
3 27 32a b c 2 5 20a bc
7.
3 2 2 3 lSa b + 20a b 4 2 4Sa b + 60a 3b
8.
2 2 2 3a b + 1Sa b + 12a b 5 2 3 3 3 2 2a b + 2a b _ 4a b
9.
33626 4x y z - 6xy z 322 532 12x y z - 8x y z
4
2
5.
6.
x + 6x + 9 2 x -9 2 x + 4x + 3 2 x + 3x + 2
81
Matemática
,
Álgebra
Simplificación y cambio de signos En ocasiones, al factorizar el numerador y el denominador de una expresión algebraica fraccionaria no se evidencian los factores comunes, pero un adecuado cambio de signos permite encontrarlos. b2 _ a2
Simplifica la siguiente expresión algebraica fraccionaria:
2
+ ab - 3b
2a
Recuerda una estrategia para factorizar. 2
2a + ab - 3b 2
2a + ab - 3b
2
2
Factorizando, se tiene: -----
b
2
2
- a
2a2 + ab _ 3b2
2
(b + a)(b - a)
=
2•
, con a:#. b ya:#.
(a - b)(2a + 3b)
-3b
.
2
2
2 . 2a + 2 . ab - 2 . 3b
= -------
2
2 2
_ (2a) + b(2a) - Eb 2 _ (2a - 2b)(2a + 3b) 2 _ 2(a - b)(2a + 3b) 2 = (a - b)(2a + 3b)
A simple vista no existen factores comunes en el numerador y el denominador, al analizar los binomios (b - a) y (a - b), se observa que: -(b - a) = -b - -a = -b + a = a - b Es decir, -(b - a) = (a - b). Luego, al remplazar en la expresión algebraica fraccionaria, se tiene: (b + a) (b - a) _ (b + a) (b - a) (a - b)(2a + 3b) -(b - a)(2a + 3b) Este cambio permite simplificar por (b - a). (b + a)..(b---á) _ (b + a) -ib-~(2a + 3b) -(2a + 3b) Por lo tanto: 2a
2
+ ab - 3b
2
-
b +a 2a + 3b
(b + a) (2a + 3b)
Ejemplo Simplifica la expresión _3..... (x__ 2..... )(_a _b..t-) , con x:#.2 Y b :#.a. 5(2 - x)(b - a)
En este caso se tienen las siguientes igualdades:
2 - x = -(x - 2) b - a = -(a - b) Al remplazar en la expresión algebraica fraccionaria, se obtiene: 3(x - 2)(a - b) 5(2 - x)(b - a)
3,,__ex_2)L...>.ea_b_L,_) __ 3Vv.?.L}~ 5(-1 )(x - 2)(-1)(a - b) 5~{9.----t5J (-1)(-1) '" 1
3(x - 2)(a - b) 3 Luego, - -• 5(2 - x)(b - a) 5
Santillana Bicentenario
82
pero
UNIDAD 3
I
Expresiones algebraicas fraccionarias
EN SíNTESIS Para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias se factoriza completamente el numerador y el denominador, luego se revisa si existen factores comunes entre ellos, ya sean numéricos y/o algebraicos, y si existen, se dividen por estos, obteniendo una expresión algebraica fraccionaria irreductible, indicando las restricciones para los valores que puedan tomar los factores en el denominador.
Simplifica las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias. x
1.
3
x +x
3.
a - 9 4
11.
2
4
a -81 2
4a
22.
40a + I 00
2
12.
a-2 -3a + 6
4a
100
-
a - 6ab + 9b 23.
2n - 6n + 4 2 13. 3n - 6n + 3
3
24.
2
14. x-50 2 n + 4n + 3n n
+n- 6
15. 3b
3
+ 24b
60b
26.
2
a + 2a - 3 6.
2
a + 4a - 5 X2
7.
16.
+ 4x + 3
x2 + 3x + 2
8.
9.
3
10.
1)(4 + 12x)
12x(1 -9;)
-n
- 2n
2
Observa las siguientes simplificaciones. 5-a -- - a-5 --- ---1 --Método 1... (a - 5)2 (a - 5)2 a - 5
3
+2
222
5-a
6an - 3b n 422
18. b - 4ab
+ 4a
Método 2 ...
(a - 5)
2
-
5- a (5 _ a)2
-
- ---1 5- a
1 1 ------5- a a- 5
2
19.
3a - 3ab bd - ad - bc + ac
27. ¿Cuál de los dos métodos es correcto? Explica cuál es el error cometido en la simplificación incorrecta.
2 2x + 5x + 2
2
25 - x 4x - 20
2
17. n-n
2 2
3x y - 2axy 8a -12xy
-
n-nx-m+mx n+l-n
2
4x + 8x + 3 2x + 1
-3x 2 - 3x 6x2 + 12x + 6
(27x3
2
-
a - 3a~
(3x3 - 4x~ - 3x + 4y)(4x - 3y) 2 - 24xy + 16y2)(x2 + x - 2) (9x 25.
+ 2x - 25x
3
5.
2
3
2
4
ab - 2b - 6 + 3a 2b + 6 - 3a - ab 2
2 2x + 14x + 20
2
+ 4x + 4)
3 (4x x )(2x + 4) 21.
2
+x ax + a
x
2.
2
;(;
20.
3
2
2x + x - 8x - 4
83
Matemática
1. Determina cuál(es) de las condiciones cumple(n) las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias. l. No tener restricciones para los valores de x. 2
x +y
No ser irreductible.
2
2xy - x
A.
11.
B.
2
3
x - y 2 x +y
c.
x y + 3xy 2
x +3
A. Se tiene: x2 + y2 = O, Y dado que x2 e y2 son potencias de exponente par, el único caso en que esta expresión es igual a O es cuando x no cumple la condición 1. Ahora se factoriza hasta obtener la mínima expresión.
Se buscan los valores para los cuales el denominador de la expresión algebraica fraccionaria es igual a O.
2xy - x
x(2y - 1) 2 2 x +y
x2 + y2
Se determina la expresión irreductible equivalente a la dada.
= y = O. Por lo tanto,
Como al factorizar no se puede simplificar, tampoco cumple la condición 11. 1--00 B.
En este caso, x2 + y = O, por lo que existen restricciones para x, ya que si x y O la expresión se indetermina. Luego, no se cumple la condición 1. Además, como la expresión es irreductible, tampoco cumple con la condición 11.
= =
'__ooO
C.
Como x2 es siempre positivo, para cualquier valor distinto de cero, x2 + 3 también lo es para todo x e IR, por lo que sí se cumple la condición 1,ya que el denominador no tiene restricción. Además, se cumple con la condición 11: 3
(2~
x y + 3xy = xy~ Se simplifica la expresión algebraica fraccionaria.
x2+3
+ 3J = xy
~
e cumple
Luego, la expresión algebraica fraccionaria
con las condiciones I y 11.
2
12x - 2x
2. Simplifica
2.
-11x + 2x - 6
Se factoriza el numerador y el denominador de la expresión, respectivamente. 2
12x - 2x = 2x(6 - x) ')
Se cambio el orden de los términos
-11 x + 2:x - 6
y se factoriza. Para eso, la expresión se multiPlica y divide por 2 (coefidente de x2)
= 2x
..
numerador 2 . 2x
2
2
- 2 . 11x - 2 . 6
- 11x - 6 = -------2 2 _ (2x) -11 (2x) -12 (2x - 12)(2x + 1)
2
=
;i(x - 6)(2x + 1)
2
=
(x - 6)(2x + 1)
• denominador
~
Se can1bia de signo para poder simplificar.
Santillana Bicentenario
Ahora, se remplazan las expresiones factorizadas y se simplifican los términos comunes. 2 ¿ 12x - 2x 2x(6 - x) -2x(~ -2x -11 x + 2x2 _ 6
(x - 6)(2x + 1)
84
~(2x
+ 1)
2x + 1
Preparando la PSU ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones al ser simplificada(s) resulta(n) 1? 1.
A.
2a + 3
11.
3 + 2a Solo I
B. I Y 11
a2 - b2
111.
(a _ b)2
a D.
C. I Y 111
(b _ a)2
11
Y 111
E.
2
+b
2
- 2ab
1, 11 Y 111
Fuente: Pregunta N° 10, Modelo Oficial Prueba de Matemática, Proceso de Admisión 2005, Serie DEMRE - Universidad de Chile N° 7, publicado el 9 de junio 2004, a través de El Mercurio.
Solución:
JI.
Se verificará cada expresión.
•• ••••••••
•
. ;Si:
2a + 3 2a + 3 Para la expresión I se tiene: --- --3 + 2a 2a + 3
2
2
_ ~(a . / II . a b Para Ia expresion se tiene: 2 ~(a-b) (a - b)
=
Para la expresión
111
"... - -
. }iafij''tSirr¡pJ/(k;arL>
,
1. Por lo tanto, al simplificar se obtiene 1.
+ b) _ a + b . Por lo tanto, a-b
al simplificar no se obtiene 1. _ (,,__b_-,-) 2 _ se tiene: - a a2 + b2 _ 2ab
",
(,,__b_-,-)2 __ - a b2 _ 2ab + a2
Por lo tanto, al simplificar se obtiene 1.
0¡2
.{!>A2
= 1.
Se factoriza el numerador y denominador y luego se simplifica.
• • • • • •
~. . .. •• •••••••• •
Respuesta: la altemativa correcta es C.
Observa los colores correspondientes Identifico una expresión algebraica fraccionaria y cambio de orden los términos del numerador o denominador para poder simplificarla.
a la resolución de la pregunta y marca según tus logros.
D Sí. D No.
Entonces, dirígete a la página 83 y marca las expresiones algebraicas fraccionarias, que para ser simplificadas, se cambió el orden de los términos del numerador o del denominador.
~--------~====~I~ Factorizo los términos de una expresión algebraica fraccionaria y simplifico hasta que sea irreductible.
D Sí. D No.
Entonces, dirígete a la página 83 y forma 3 expresiones algebraicas fraccionarias reductibles, a partir de los numeradores y denominadores de las expresiones que se encuentran en los ejercicios del 1 al 20.
85
Matemática
,
Algebra
Multiplicación y división de expresiones algebraicas fraccionarias
Multiplicación de fracciones. a b
c_a'c d b· d
_,----
Multiplicación de expresiones algebraicas fraccionarias
con a, b, e, d enteros, b y d distintosde cero.
En cursos anteriores se ha estudiado la multiplicación de dos o más fracciones. Al multiplicar fracciones, se multiplican respectivamente sus numeradores y denominadores entre sí. Por ejemplo: 13 4 13 . ¡( 52 13 20 . '7 1 ~ . 7 140 35
=
=
1
I
11 Y 20
=
se simplifican
En general, se realiza la simplificación antes de multiplicar las fracciones. Para multiplicar expresiones algebraicas fraccionarias se sigue un procedimiento análogo, factorizando previamente para facilitar la simplificación, tal como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo
Desarrolla la expresión
x
2
+ 8x + 12 x
2
x
-1
2
+2x+1 x+2
Primero se factorizan los términos de las fracciones. x
2
2
+ 8x + 12 _ (x + 2)(><+ 6) x2 _ 1 (x + 1)(x - 1)
2
x + 2x + 1 _ (x + 1) x+2 x+2
Se remplazan las factorizaciones, luego se simplifica.
a + 6) . (x + 1) - 1) yri
~ x 2 + 8x + 12 . x 2 + 2x + 1 _ (x + 2)(x + 6) . (x + 1)2 _ ~(x x2 _ 1 x + 2 - (x + 1)(x - 1) x + 2 - ~(x 2
_ ex + 6 )(x + 1) x + 7x + 6 (x - 1) x- 1
División de expresiones algebraicas fraccionarias Para dividir por una expresión algebraica fraccionaria se utiliza el mismo procedimiento estudiado en cursos anteriores para dividir fracciones. Por ejemplo: División de fracciones. a . cad_ -.---'-b d b c
2.2.=1..i=2·4 3'4
a·d _-b·c
3
3·7
Ejemplo 2
con a, b, e, d enteros, b, e y d distintosde cero.
7
8 21
Desarrolla la expresión
4a - 1 --x+2
2a - 1 2
x + 4x + 4
Primero se factorizan los términos de ambas expresiones. 4a 2 - 1 _ (2a + 1)(2a - 1) 2a - 1 x + 2 x + 2 x2 + 4x + 4 Santillana Bicentenario
-
2a - 1 (x
+ 2)
2
UNIDAD 3
I
Expresiones algebraicas fraccionarias
Se remplazan las factorizaciones en la expresión inicial, luego se divide según corresponda. 2
4a - 1 2a -1 = (2a + l)(2a - 1): 2a -1 = (2a + 1)~. x+2 x2 + 4x + 4 x +2 (x + 2)2 ~
~ ~
= (2a + l)(x + 2)
Expresiones algebraicas fraccionarias compuestas Se denomina expresión algebraica fraccionaria compuesta a aquella cuyo numerador, denominador o ambos son expresiones algebraicas fraccionarias. Para reducir una expresión algebraica fraccionaria compuesta, se efectúan las operaciones indicadas, para así obtener una expresión algebraica fraccionaria cuyos términos sean expresiones enteras. (b -4)(b + 5) (a + 2)(a + 1) (2b + 1 )(b + 5) . (a + 2)(a - 2)
Ejemplo 1 Reduce la expresión:
Ejemplo 2 Reduce la expresión:
(2x + 5) (x - 4) (x + 3)(x-l) _ (2x + 5)(x-4) (2x + 5) (x + 3) (x + 3) (x - 1)
(2b + 1)(b + 5) (a + 2) (a - 2)
f
9-~(x - 4) ~ 1 (x + 3)(x - 1) Qx--+.--s}(x + 3)
(b - 4).~F"'S) . (.a.--,r2)éa - 2) _ (b - 4)(a - 2) .(vt/l)(a + 1) (2b + 1~ (a + 1)(2b + 1)
las operaciones,
reduciendo
cada expresión.
6.
2 6 5
9xyp
1.
2
3.
9x + 6x + 1 2 2x + 11x + 5
a
2
-
5a + 6
a + 3a + 2
s.
x
2
2
(x + 3) (x - 1)
5x + 2 . (2x + 1) 2 6x + 7x + 2
Reduce las siguientes expresiones compuestas. 2 2 a -6ax+9x b - 2x 7. 9. 2 2 2a x - 6ax 2ab - 4ax
+ 10x + 25 9x
x2 + 3x - 10 2 2 a + 3ab + 2b 2
4.
(x - 4)
3
20b c
2.
(2x + 5)(x + 3) 1
Al efectuar la división, se obtiene: (2x + 5)(x - 4) . (2x + 5)(x + 3) . , (x + 3) (x - 1) 1
Al efectuar la división, se obtiene: (b - 4)(b + 5) . (2b + l)(b + 5) ,(a+2)(a+1) (a+2)(a-2),
Desarrolla
•
Eldenominador es una expresión entera. Para operar, se la escribe como expresión algebraica fraccionaria de denominador 1, Y se opera como en el ejemplo anterior.
Una expresión algebraica fraccionaria se puede representar como una división. Por lo tanto: (b - 4)(b + 5) (a + 2)(a + 1) _ (b - 4)(b + 5) (2b+ 1)(b+5)(a + 2) (a + 1) (a + 2) (a - 2)
(2x + 5)(x - 4) (x + 3)(x -1) (2x + 5)(x + 3)
2
-1
abx - 2ab 2
2
a + ab - 2b 2a
4- a
8.
6aby + 2ab : (9 2 + 6 + 1) 2x + S y y
87
a - 3a + 2 2ab
2
2
2
2
a + 4ax + 3x
a + 2ax - 3x a - 2x
2 2 1Oax y - 15axy
2
2
algebraicas fraccionarias
10.
2mn - 6pq 2xy - 3
Matemática
,
AIgebra
Adición y sustracción de expresiones algebraicas fraccionarias Mínimo común múltiplo (mcm) Un proceso clave en la adición y sustracción de fracciones es determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores. El procedimiento para determinar el mcm en expresiones algebraicas es similar al que se usa con números, como se muestra a continuación. NÚMEROS
Elmínimocomúnmúltiplo (mcm)de doso másnúmerosesel menorde susmúltiplos comunes.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS 2
Entre 63 Y 27.
Entre 3x
Se factorizan ambos números:
Se factorizan ambas expresiones:
-
12 Y 9x - 18.
2 3x - 12 = 3(x - 2)(x + 2) 9x - 18 = 32(x - 2) Se escribe el producto de todos los factores encontrados. Si hay algún factor que se repite, se elige el de mayor exponente. mcm (63, 27) = 33 . 7 = 189
mcm
(3l-
12, 9x - 18)
= 32 . (x -
2)(x + 2)
Ejemplos 1. Determina el mcm entre las siguientes expresiones algebraicas. 3 2 4 2 6x - 6üx + 1SOx Y 8x - 200x Se factorizan las expresiones y se obtienen los factores . •
3 2 6x - 60x2 + lS0x = 6x(x - 10x + 2S) = 2· 3x(x - S)2 8x
4
-
20üx
2
= 8x2(x2 -
2S)
= 23x2(x
+ 5)(x - S)
Luego, 4 mcm(6x3 - 60x2 + 1SOx, 8x - 200x2) = 23 ·3 . x2(x - S)2(x + S)
= 24x2(x - S)2(x + 5) 2. Determina el mcm entre las siguientes expresiones algebraicas: 2 a + 6a + 9
2 a + Sa + 6
2 a + 3a + 2
2a + 4
Se factorizan las expresiones para obtener los factores . •
2 a + 6a + 9 = (a + 3)(a + 3) = (a + 3)2 2 a + 5a + 6 = (a + 2)(a + 3)
•
2a + 4 = 2(a + 2) 2 a + 3a + 2 = (a + 2)(a + 1)
Por lo tanto, 2 2 2 mcm(a + 6a + 9, a + 5a + 6, 2a + 4, a + 3a + 2) = 2(a + 3)2(a + 2)(a + 1). Santillana Bicentenario
UNIDAD 3
Expresiones algebraicas fraccionarias
I
El cálculo del mcm en la adición y sustracción de expresiones algebraicas fraccionarias es similar al de las fracciones numéricas, tal . . como se muestra a contiouacrón /
FRACCiÓN
i
+
9
EXPRESiÓN ALGEBRAICA FRACCIONARIA X
5 162
--+--,------''----x+y 2x2 + 4xy + 2y2
Se determina el mcm entre los denominadores. 9
=
= 32
x +y (x + y) 2x2 + 4xy + 2y2 = 2(x2 + 2xy + y2) = 2(x + y)2
162 = 2 . 81 = 2 . 34
Luego, el mcm de estas expresiones es 2(x + y)2, ya que: mcm(x + y, 2x2 + 4xy + 2y) = 2(x + y)2
Luego, el mcm de 9 y 162 es 162, ya que: mcm(9, 162)
. 34
=2
=
162
Ahora, se deben encontrar expresiones equivalentes de denominador igual al mcm obtenido anteriormente. .
l_ 72 --
1
+
162
x . 2(x + y) + . .!.. x + Y 2(x + y) 2(x + y)2 1
5 162
=
2x(x + y) + --'--2(x + y)2 2(x + y)2
Se suman o restan los numeradores según corresponda, manteniendo el denominador. 72 + 5 _72+5_ 162 162 162 Luego,
4
"5
EN
2 2x(x + y) + _-'-_ _ 2x + 2xy + Y 2(x + y)2 2(x + y)2 2(x + y)2
77 162
5
77 + 162 - -1 6-2.
x
Luego, X
+ __ --1...___ +Y 2x2 + 4x + 2y2
_ 2x2 + 2xy + y
.
2(x + y)2
SíNTESIS
Para sumar o restar expresiones algebraicas fraccionarias, si sus denominadores son iguales, este se mantiene y se suman o restan sus numeradores. De no ser así, se deben encontrar expresiones equivalentes de denominador igual al mínimo común múltiplo (mcm) obtenido. Finalmente, se suman o restan los numeradores de las expresiones equivalentes obtenidas. Ejemplo 1- x 2x + 3 Desarrolla la siguiente adición: ------+ ---3 6x - 60x2 + 150x 8x 4 - 200x2 . El mcm se calculó anteriormente: mcm(6x3 Se amplifican las expresiones y se suman. 1 -x
6x(x - 5)2
-
60x2 + 150x, 8x 4
-
200x2) = 24x2(x - 5)2(x + 5).
4x(x + 5) + _,-----2_x_+_3.c____ . 3(x - 5) = 4x(1 - x) (x + 5) + 3(2x + 3) (x - 5) 4x(x + 5) 8x2(x + 5) (x - 5) 3(x - 5) 24}(x - 5)2(x + 5) 24}(x - 5)2(x + 5)
20x-16} - 4x3 6} - 21x - 45 +------2 24x (x - 5)2(x + 5) 24x2(x - 5)2(x + 5)
-
20x - 16x2 - 4x3 + 6} - 21 x - 45 24x2(x - 5)2(x + 5)
89
3 2 -4x I üx - x - 45 -
24x2(x - 5)2(x + 5)
Matemática
,
Álgebra
En ocasiones, la búsqueda del mínimo común múltiplo (me m) de los denominadores . . muestra a contmuaoón.
obliga a realizar cambios de signos, como se
/
Ejemplo x
Desarrolla __ 2x _ 2 4x - 4x + 1
1
1 - 4x
2 .
2
1 + 4x + 4x
Se obtienen los factores de cada expresión de los denominadores, 4x2 - 4x + 1 = (2x - 1)2 • 1 - 4x2 = (1 - 2x)(1 + 2x) = -(2x -1)(1 • 1 + 4x + 4x2 = (1 + 2x)2
para luego encontrar el memo
Se observa que (1- 2X) Y (2X - 1) difieren en su signo . Este signo se c.ambiapara obtener factores c.omunes.
+ 2x)
2 - 4x + 1, 1 - 4x 2, 1 + 4x + 4x 2) = (2x - 1)2 (1 + 2x) 2 mcm (4x Luego, se remplazan las factorizaciones obtenidas, se cambia el signo a la expresión que corresponde expresiones equivalentes, según corresponda.
2x (2x _ 1)2
x -(2x - 1)(1 + 2x) I I
1 (1 + 2x)2
(..ambio de s~no -
2x
x + 2 (2x - 1)(1 + 2x) (2x - 1) 2x
___
o
(2x - 1)2
1
(1 + 2x)2
(1 + Ix)2 + x _ (1 + 2x)2 (2x - 1)(1 + 2x)
(2x - 1)(1 + 2x) (2x - 1)(1 + 2x)
2
l(2x-l)
2_x__,_(1_+_2_x)!..,___ + x(2x - 1)(1 + 2x)
__
(2x _1)2(1 + 2x)2
(2x _1)2(1 + 2x)2
2
(2x - 1) (1 + 2x) 233
2x + 8x + 8x + 4x = ----------------
2
1 (1 + 2x)
2
(2x - 1) (1 + 2x)
2
2
x - 4x
2
+ 4x - 1
(2x - 1)2(1 + 2x)2 3
-
12x
2 + 4x + 5x - 1
(2x-l)
2
(2x+1)
Santillana Bicentenario
2
2
90
(2x - 1) 2
2
(2x - 1)
y se amplifican para obtener
Expresiones algebraicas fraccionarias
UNIDAD 3
Expresiones mixtas Se llama expresión mixta a la suma o resta entre una expresión entera y una fraccionaria. Para reducirlas, basta considerar que la expresión entera tiene denominador igual a 1, Y por ello, al igualar los denominadores, la expresión entera se amplifica por el denominador de la expresión algebraicafraccionaria. Ejemplo . . ./ 2 1-x Rd e uce Ia siguiente expreslon: x + x+5
2
.
2 2 222 3 + Sx2 x x2 + _1=_x_ = _x_ + _1=-_x__ x ex + 5) + 1- x -----+-x + 5 1 x + 5 1. ex + 5) x + 5 x+S
1 _ x2 x+S
EN SíNTESIS En general, para reducir una expresión mixta se utiliza la siguiente regla: b ac + b a+-=--c c
Calcula el mínimo común múltiplo de las siguientes . expresiones.
1.
2
3x 2x-a ----+---_ 10. 10ax + 2a 5a 2x - a 2
x - y, 3x - 3y, .)- - ;-
2.
a + 2b
a
11.
2
n2 _ 1, n2 + 4n + 3, n2 + 2n - 3
a - ab - 2b x-2
12. 3
4.
x + 3, x - 1, x2 + x + 1
5.
2 2 x + 3x + 2, x + 4x - S, 4 2
2
13.
14.
6.
a - a - 12 , a + Sa + 6 , a - 2a - 8
7.
2 2 a + lOa + 24, 18 - 3a - a , a + a - 12 2
8.
9.
2 2a b
a
+
x+y
2
2
b a + 3b 4xy 2 2 Y - x
x x-y
x- 1
x 2
x +x- 2
5 6ab
+ 4ab - 3b
x
16.
+
2
x - 2xy + y 2 2 4m - 9 m + 6m + 9 2m + 3 m + 3
15.
Desarrolla.
1
x+4
x-y
2
2
2
x
2
+ 3x + 2
12x 2
x -1
2
Reduce las siguientes expresiones.
x+y
3x +-----2 2 2 6x - 6xy 4x - 8xy + 4y
17. _1 +2+1
x
91
2
x
18.
2x+-
3 x
2
Matemática
1.
Desarrolla la siguiente expresión: 2 2 a _ 4ab + 4b Y + 3b 2 2 2a b _ 4ab 2ay + 6ba
Se escribe la expresión algebraica fraccionaria compuesta para luego factorizar y simplificar. 2 2 a _ 4ab + 4b 2 2 2 2 a _ 4ab + 4b 2a b _ 4ab Y + 3b 2 2 2ay + 6ba Y + 3b 2a b _ 4ab
Se escribe la expresión como una división y luego se divide según corresponda.
2ay + 6ba
(a _ 2b) 2 Y + 3b
Se factorizan los numeradores y denominadores,
2 _ 4ab + 4b2 a _ Y + 3b
2a(y + 3b) =~ 2ab(a _ 2b) ~
para luego simplificar
Luego, el desarrollo de la expresión
2.
Determina
J_ + D
la expresión correspondiente x + 2
_ 4 = -4x
2
al denominador
de una forma más sencilla,
2ay + 6ba 2
2a b _ 4ab
2
_ a _ 2b
.Ar~
Ar~ a -2b resulta b
1
1
_ a _ 2b b b
.-
•
D en la siguiente igualdad.
- 22x - 31
(x + 3)2
x2 + 6x + 9
Se tiene:
----------------~ Se despeja la expresión
iy
se
desarrolla la expresión que resulta.
2
1 D 1 D
----------------~
Se despeja O de la igualdad.
x+2 -----+4 x2 + 6x + 9
1 -4x - 22x - 31 - _D (x + 3)2
_ -
2
-4x
x +2
22x _ 31
_
(x + 3)2 2
-
-4x
(x + 3)2
(x + 3)2
1 x+3 - _ D (x + 3)2 Luego, D =
(X
+ 3)2
= x + 3.
x+3
Por lo tanto, el valor de D es x + 3.
Santillana Bicentenario
+ 4(x + 3)2 (x + 3)2
2 22x - 31 - x - 2 + 4x + 24x + 36
-
92
El mcm es (l( + 3)2, Se amplifica lt por este valor.
Se reducen términos semejantes.
Preparando la PSU ./ xy-x La expresion y
es igual a:
:
A. O a xy
B.
-
C.
ax y
D. xa(y-122 3
E.
E_Y
a
Fuente: Pregunta. N° 20, Modelo Oficial Prueba de Matemática, Proceso de Admisión 2008, Serie DEMRE - Universidad de Chile N° S, publicado el 17 de mayo 2007, a través de El Mercurio.
Solución: Se factorizan xy - x y
los términos
de las expresiones
ay - a _ x(y - 1) 2 y y
a(y - 1)
algebraicas
y
ay - a _ x(y - 1) y
2
.
~
2
Y
Se escribe la división como una multiplicación xy - x
fraccionarias.
y se remplazan
Y
correspondientes.
/[
y
a(y - 1)
Y
las expresiones =E_
2
a
••
•• ••
Respuesta: la altemativa correcta es E.
Observa los colores correspondientes
Factorizo términos de una expresión algebraica fraccionaria.
a la resolución de la pregunta y marca según tus logros.
DSí.
1~================~ll Divido dos expresiones algebraicas fraccionarias multiplicando la primera por el inverso multiplicativo de la segunda.
•••••••••
• •• ••
Aplica el algoritmo de la división entre dos expresiones algebraicas fraccionarias.
D No.
D Sí. D No.
Entonces, inventa 5 expresiones algebraicas fraccionarias distintas entre sí, de tal forma que puedan ser simplificadas al factorizar sus numeradores y/o denominadores. Entonces, dirígete a la página 91 y elige 2 pares de expresiones algebraicas fraccionarias y divídelas entre sí.
93
Matemática
,
Álgebra
Operaciones combinadas con expresiones algebraicas fraccionarias
Todas las expresiones fraccionarias algebraicas compuestas pueden ser expresadas como una expresión algebraica fraccionaria simple, al expresarlas como división.
Se considerará ahora la reducción de expresiones algebraicas fraccionarias que involucran más de una operación ( . , : , + ,-) ylo que contengan expresiones algebraicas fraccionarias compuestas. Ejemplos Reduce las siguientes expresiones.
1. 1 +
Ejemplo
1
2+_!_=1·~=1·1.=1. x y x y
x
1+
1
a
1 =1+ 2 + _1 a
1+
1 2a + 1 a
2a + 1 =1+ ( 1: a 2a + 1 a
Se suma la expresión mi.xta del denoninador.
1) =1+
a 2a + 1 Se escribe la expresión compuesta C.O!JIO
a _ 2a + 1 + a 1 +---2a + 1 2a + 1
división, y se divide.
+ 1 2a + 1
- 3a
-
finalmente, se suma la expresión algebraica Itaccionaria mixta. 12 x-l---x-2 2. 16 x+6+
3 + 2x x+2
x-2
Se suman todas las expresiones algebraicas
Itawonarias mixtas, obteniendo los mcm colTespondientes a cada Itacciól\ para luego ampliftcarlas y encontrar las expresiones algebraicas Itawonarias.
x-1---x+6+ x
2
x(x-2)-(x-2)-12
12
x-2
3 + 2x x +2
16 x-2 -2x-x+2-12
x-2 2
x - 2x + 6x - 12 + 16 x-2
Santillana Bicentenario
x-2 x(x - 2) + 6(x - 2) + 16 x-2
94
x 3x+6+2x x+2
2
X2
- 3x - 10 x-2
+ 4x + 4
x-2
3(x + 2) + 2x x+2
5x + 6 x+2
UNIDAD 3
2
x -3x-l0 x-2
- 5) . __y,.-'-¡:.-X~
x-S x+2 _ x-S
Se escribe la expresión a~ebraica fi-ac.cionaria compuesta como división, y se divide.
x+2
)- + 4x + 4
_ ~x -
Sx + 6
x-2
Sx + 6 x+2
~-
Expresiones algebraicas fraccionarias
I
Se f,¡ctoriza y simplifica.
+ -Sx-6 _
Se suman las expresiones algebraicas fraccionarias.
x+2 - Sx - 6 _ -4x - 11 x+2 x+2
Luego, al desarrollar la expresión resulta -4x - 11 . x+2
Reduce cada expresión, realizando las operaciones respectivas.
8. 1.
_x_+_3,,_y + x +y 2
x - y
2.
y-x
2
4
(2a 3+2 - 4a ~ 4) .
2
x
9. 1-
3.
2
3 a +2
2
Sa x + x
Sa
2
2
3a - Sa - 2
3a
- 6a + 2
5.
6.
(l-a:x)(I+:)
x
2
3
x - 29
+Sx-
4 ----
2
ab+a
2
+ __ 1__
1 3
2
ab-a
x + 34 + 170 - x x-S
x-S
3
x +y
2
1 x+2
2
2
11.
2x + 1 2x -1 1 - 2x + 1 + 2x
1- 2x 1 + 2x 1 + 2x -1 + 2x
b a
b 1+ a-b + 2 a - 3b b 21-a-b 2 a
+2 2
xy a-b+---
7.
+ 2x
+1
10.
4.
1
1+
_ 2
8 - 8a
+2
Sx y-x
+1
x
x 2---y + 2x
12.
1+a +1 a- 1 1 1 a-l a+l
95
2
a +b
a+b 2 2 a + b _ a - lb a-b
2
b+~
_......:a=... _ la a-b
Matemática
,
Algebra
Ecuaciones algebraicas fraccionarias Una ecuación algebraica fraccionaria es aquella en la que alguno de sus términos corresponde a una expresión algebraica fraccionaria. Para resolverla, se multiplican ambos lados de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores, lo que permite transformarla en una ecuación entera. Al obtener la solución en una ecuación con incógnitas en algún denominador, se debe verificar su pertenencia, ya que este valor podría indefinir a alguna de las expresiones algebraicas fraccionarias de la ecuación. Ejemplos
1. Resuelve la ecuación
6 3x -1
3
x +1 --+ =0. 2 3x + 1 9x - 1 2
El mínimo común múltiplo de los denominadores es 9x - 1, pues esta expresión es 2 el producto de los otros dos denominadores, ya que: 9x - 1 = (3x + 1)(3x - 1). Así, multiplicando
i ><-:f.-3
'\
::::}
><-:f.-- 3
6 3x - 1
la ecuación por el mcm se tiene: 3 ---+---=0 3x + 1
x+l 9x2 - 1
/ . (3x + 1)(3x - 1)
6(3x + 1) - 3 (3x - 1) + (x + 1) = O
1 8x + 6 - 9x + 3 + x + 1 = O 10x+10=0
Se redacen términos semejsntes
lOx = -10 Se desp~a la inc.ógnita.
I x = -1 I Se obtiene así la solución de la ecuación x = -1.
Se observa que la solución no corresponde a ningún valor de las restricciones de la ecuación obtenidas en el post it, por lo que se dice que la solución es válida para la ecuación.
Santillana Bicentenario
UNIDAD 3
2. Resuelve la siguiente ecuación
5 x-1
8 x+1
--
10 2 x-1
I Expresiones algebraicas fraccionarias
.
El mcm de los denominadores es x2 - 1, ya que: x2 - 1 = (x + 1)(x - 1). Por lo tanto, al multiplicar las expresiones algebraicas fraccionarias, se tiene: 8 x+1
5 x-1
10 ----2
/'(x+l)(x-l)
x - 1
x-l 8(x - 1) - 5(x + 1)
= -10
8x - 8 - 5x - 5 = -10
3x = 3
Si bien x = 1, se sabe que los valores en los cuales la ecuación se indefine corresponden a -1 y 1. Por lo tanto, el valor obtenido para x en esta ecuación no la satisface, pues es un valor para el cual la ecuación se indefine. Luego, se dice que la ecuación no tiene solución.
3. Resuelve la siguiente ecuación 1 +
1 1
=
~t!!Str:cdoneS de. la. ~adón Je.I fje/l1plo
5.
1 +x
•
Para resolver este tipo de ecuaciones, primero se reducen las expresiones algebraicas fraccionarias compuestas y mixtas, para luego proceder de la misma manera que en los casos anteriores. 1+
1 =1+ 1+_1 XI
L----r¡-....J GOl)
1 x+l
1 X =1+-· =1 + x 1 x + 1 x+l
_x+l+x x+l
3.
i+.l:;tO~)(:;to )(
•
)( + i :;t O ~
)( :;t -i
2x + 1 x+l
x
x:;t o
¡
x:;t -1
Se "~/a2C( ~
2x + 1 Luego, la ecuación a resolver es = 5. x+1 2x + 1 --=5 / . (x + 1) x+1
(0) .0) =
1+
1: -~
3
en
/,
"
C(
eCU40on.
1 1+
1 -4
-'3
5(x + 1) => 2x + 1 = 5x + 5 => L_x_-~_;----,
Es decir, la solución de la ecuación es x =
-1,
que no está dentro de las
restricciones del denominador, por lo tanto, es una solución válida para la ecuación.
Matemática
Álgebra
Ecuaciones fraccionarias literales Una ecuación fraccionaria literal es aquella que contiene expresiones literales que actúan como constantes distintas de la incógnita. Para resolverlas, se debe indicar cuál de las letras es la que se considerará como incógnita. Ejemplo Resuelve, considerando
x como incógnita: ~ + 2bx b a
= .l + b
Se multiplica por el mcm de los denominadores,
3xb _ .l a a en este caso abo
ax 2bx 1 3xb 1 - . ab + . ab = - . ab + . ab - - . ab b a b a a ax(a~) + 2bx(,Áb) = 1 (a)S) + 3xb(ib)
'P
1(~ric.bOMS de la. e(!IJtrJón
fo
15
~
Se obtiene así una ecuación entera, que se resuelve en términos de
X.
del VeA1flo. 5; el ?roduc:to de dos 1'00c:toreS eS ;:Jua/ o. Ce/"O)neCeSo.r;O/YIede Uno de elloS debe ser ;:Jua/ o. Cero. En el 1:jelY/?lo) Se ¿lene:
0.2_ 62 * O ~
(o. + b>(o. -
2 ax-
b2x-a-
b
6) * O
EntonCeS) de6e oCurr;r fue:
0.+6*o~[0.*-61
2
2
Para despejar x, se divide por (a - b ), para lo cual debe suponerse de cero. Por esto, a debe ser distinto de b y de -b.
que es distinto
0.-6*o~B Con estas hipótesis, se tiene:
(a+b~
I
x=-a+b Así, x =
1
a+b
es solución válida de la ecuación, en cuanto cumple con las condiciones
de sus restricciones, es decir, a ~ -b y a ~ b.
Santillana Bicentenario
98
Expresiones algebraicas fraccionarias
UNIDAD 3
EN SíNTESIS
Una ecuación fraccionaria involucra expresiones algebraicas fraccionarias. Para resolverla, es posible transformaría en una ecuación entera equivalente a la original, muttiplicándola por el mínimo común múltiplo de los denominadores presentes en la ecuación. Luego, se verifica que la solución obtenida efectivamente satisfaga la ecuación, y además se debe verificar que ninguna de las expresiones de la ecuación se indefina con el valor de la solución.
Encuentra el valor de x en las siguientes ecuaciones, y verifica tus resultados.
1.
x+2 ---+ 11. x+l
2 1 5 x -x- - + x = - -5 5 4 20 2
4
9
3
10
2x
13.
a 1 -_-_
2b + 3x x-b
---=---+2 3x x
3.
10 7 ------2x + 6 2x + 3
14.
4.
.L,
=0
15.
5.
5 4x - 1
2 4x + 1
16.
6.
2 8 + 4x + 4 (x - 1)2
7.
8.
9.
5
2
2x - 1
-
-
4 2x-2
2 2x + 1 4 x+2 -4 5 6 3
-
2 x-2
1 x-2
-
1 x-2 -5 3
3 2x-2
4x + 2
1 + - =O 5
15x + 7x - 2 10.
x- 1 x+2
-
x-1 x-2
x-2
x+7
x+l
3a - 5x ---=8 x+a
a-x
b-x
a
b
a-b --=0 ab
6(x - a) _ 4(x - b) = 2 b a
18.
x-a x-b
2x-5 2üx
2
-
=0
29x + 5 20.
x+l x-2
x
3 ~+~ 4 m
19.
6x- 12
12x -7x - lO
x-3
_ 3 a a
17.
7
2
=2,-- x-3 x-4
--
n
1 --x x
3 m
x+b + x+a
1 x + 6 4 x - -1 -- 2 2 x
x+l x+2
99
1 4x-x x --2 2
2 8 -x
n
-
5n + 13m 12n
=2
4x--
2x + 3
2
x-2
12.
2.
x-2 x-3
2
-
10x+16 2x - 4
-
18x + 16 2x - 8
Matemática
,
Álgebra
Situaciones que involucran ecuaciones algebraicas fraccionarias Un grupo de amigos planea viajar de Santiago a Puerto Montt, en una camioneta. Según los cálculos realizados, el costo del combustible en el viaje de ida será de $ 115.824. A último momento dos de los amigos no pueden viajar; el resto debe aportar $ 4.826 adicionales. ¿Cuántas personas realizarán el viaje? Para resolver este problema se pueden seguir los pasos que se describen a continuación. 0
1 Se definen:
x: número de amigos que viajarían. x - 2: número de amigos que viajarán. 115.824 ---:
x
d'mero que d e b'la pagar cad a uno para e I com busnibl e.
115.824 : d'mero que d eb e pagar cadaa ami .. , amigo que viajara.
x-2
2
0
Con esta información
se puede plantear la siguiente ecuación:
115.824 + 4.826 = 115.824 x x-2 30 Se calcula el mínimo común múltiplo entre x y (x - 2), que en este caso corresponde a x(x - 2). 40 Se multiplica cada término
de la ecuación por el memo
50 Se desarrolla la ecuación.
115.824 x(x _ 2) + 4.826x(x - 2) = 115.824 x(x - 2) x x-2 115.824(x - 2) + 4.826(x2 = 115.824x
2x)
115.824x - 231 .648 + 4.826x2
-
9.652x = 115.824x
-231.648 + 4.8262- - 9.652x = O 2
4.826x
-
9.652x - 231 .648 = O 2
1: 4.826
= 0)-
x -2x-48
fac.tor~ando
(x - 8)(x + 6) = O x - 8 =O
IX=81
o bien
o
x +6 =O
IX=-61
De ambas soluciones, la que es pertinente para la situación es x = 8, ya que x -6 no tiene sentido, pues la cantidad debe ser positiva.
=
Por lo tanto, 6 personas viajarán, puesto que 8 - 2 = 6.
Santillana Bicentenario
100
UNIDAD 3
Plantea cada ecuación, según corresponda, los siguientes problemas. 1.
para resolver
9.
Manuel salió de la ciudad en su auto. Una hora más tarde, Pablo partió en la misma dirección, una velocidad
.¡
Si Ricardo pierde 28 puntos en un juego, entonces
manteniendo
tendría la tercera parte de lo que le quedaría si ganara
a quien alcanzó luego de recorrer
10 puntos, en el mismo juego. ¿Cuántos puntos tiene?
2.
Expresiones algebraicas fraccionarias
veces la de Manuel, 210
km.
¿A qué
velocidad viajó cada uno?
Un recipiente se llena mediante 2 llaves ubicadas en
10.
sus costados. Se sabe que una llave llena el recipiente
Un campesino cosecha un terreno
en 4 días, mientras
que su ayudante demora 5,2 días. ¿Cuánto tardarían si
en 4,5 horas, y que la otra lo hace en 9 horas. ¿Cuánto
trabajaran juntos?
demora en llenarse el recipiente con ambas llaves abiertas a la vez? 11. 3.
Encuentra una fracción en que el numerador
En 30 kilogramos de agua de mar hay 1,5 kilogramos
al denominador
en 5. Si el denominador
de sulfato. ¿Qué cantidad se debe agregar para que
el valor de la fracción es igual a
30 kilogramos de la nueva mezcla no contengan más
excede
aumenta en 7,
l. 3
de 0,2 kilogramos de sulfato?
Para los siguientes problemas, considera el reloj de la figura. 4.
Si Matías gastara $ 5.000, tendría la cuarta parte del dinero que le quedaría si gastase $ 2.000. ¿Cuánto dinero tiene Matías?
5.
El denominador
de una fracción excede al numerador
en 4. Si el denominador la fracción es
f.
se aumenta en 6, el valor de
¿Cuál es la fracción? 12.
6.
Andrés demora 6 horas en hacer un trabajo, mientras que Marta lo hace en 2,5 horas. ¿En cuánto tiempo
¿A qué hora, entre las cuatro y las cinco, los punteros del reloj estarán en ángulo recto? (dos soluciones)
lo
harían si trabajan juntos?
13.
¿A qué hora, entre las cuatro y las cinco, los punteros del reloj estarán en ángulo extendido?
7.
La suma del dígito de las decenas y el dígito de las unidades de un número de dos dígitos es 7. Si el
14.
número aumentado en 8, se divide por el doble de
del reloj coincidirán?
las decenas, el cociente es 6. ¿Cuál es el número?
8.
¿A qué hora, entre las cuatro y las cinco, los punteros
Una llave puede llenar un estanque en 5 horas; otra lo puede llenar en 15 horas y una tercera llave lo hace en 10 horas. ¿Cuánto demoran en llenar el estanque las tres llaves juntas?
101
Matemática
1.
3 1 Respecto a la ecuación --- ---, 2a - 5 2a -10 a.
¿Cuáles son sus restricciones?
responde. Determina su solución y verifica si es válida.
b.
a.
En la ecuación __ 3_ 1 2a - 5 2a -10
¿
Se buscan las restricciones de la ecuación determinando los valores de a que anulan los denominadores.
se debe cumplir:
A
5
2a - 5
:;t: O ~
a
:;t:
2
2a - 1O :;t: O ~ a
Por lo tanto, el valor de a debe ser distinto de b.
Se determina el mcm de los denominadores y se multiplica la ecuación por él.
t
:;t:
5
y 5.
Se despeja a, en la ecuación, multiplicando por el mcm en ambos lados de la igualdad, y luego se verifica la solución. 3
1
2a - 5
2a - 10
/. 2(a-5)(2a-5)
2a 3_ 5 . 2(a - 5)(2a - 5) = -2(-a1=-5-) . 2(a - 5)(2a - 5)
3 . 2(a - 5) = 1 . (2a - 5) 6a - 30 = 2a - 5 4a = 25
25
a=4
Como la solución no corresponde
a ningún valor en el cual la ecuación se
.Ind eterrnina, . ., va'l'Ida. x = -25 es una so Iuoon 4
3 Se verifica la solución remplazándola en la ecuación.
-
2 . 25 - 5 4
1
2·E-l0 4 1
3 25 _ 5 25 _ 10 2 2 3 - 1 - 15 5 2 2 - 2 -3 . 2 -1 15 5 2 - 2 --5 5
4"
Luego, x = 25 es so l"uoon di" e a ecuacron.
Santillana Bicentenario
102
Preparando la PSU x+y x-y
1- --'Para que la expresión
sea positiva, se debe cumplir necesariamente
que:
1+ x + y
x-y A. xy < O
B. x < O
c.
xy>O
D.
Y< O
E. x> y
Fuente: Pregunta N° 25, Modelo Oficial Prueba de Matemática, Proceso de Admisión 2010, Serie DEMRE - Universidacl de Chile N° 4, publicaclo el17 de mayo 2000, a través de El Mercurio.
Solución: Se reduce la expresión. x - y - ex + y) x-y x - y + ex + y) x-y
1- x + y x-y 1+ x +y
x-y
-2y x-y 2x x-y
-2y x-y
x-y-x-y x-y x-y+x+y x-y - -2y
2x x-y
~
• •••••••••• .. ~... ..
......-:
'1.$G.gú~.'é!P,g.e~,pr~sIQfl o~~t\ra¡q(J rf(i¿ionQr~C7 ~(lrnpue~.tp;.
~--y2x
-
-
x
---
Y x
Analiza las condidones que se deben cumplir para que la expresión sea positiva.
Se estudian las condiciones necesarias. Para que _1. > O, se necesita que L sea un número negativo, por lo tanto, se debe
x
x
cumplir que x e y tengan distinto signo. ~
Luego, en ambos casos, el producto de x con y es un número negativo, es decir, xy < O.
• • • ••
....
Respuesta: la altemativa correcta es A.
Observa los colores correspondientes
a la resolución de la pregunta y marca según tus logros.
Reduzco una expresión algebraica fraccionaria compuesta resolviendo adiciones y sustracciones de expresiones algebraicas fraccionarias mixtas.
DSí.
Determino la condición que deben cumplir las variables involucradas en la expresión algebraica fraccionaria compuesta para que sea positiva.
DSí.
D No.
Entonces, dirígete a la página 95 y divide los resultados de los ejercicios 1, 2 Y 8 por la expresión 1 _
~========================~I~
D No.
1
x -1
.
Entonces, dirígete a la página 95. Para los ejercicios 9 y 10 determina la condición que deben cumplir las variables de las expresiones algebraicas fraccionarias para que sean positivas.
103
Matemática
Álgebra Tabla1 x
f(x)
g(x)
-LOO)
-0,001
-0,005
-100
-0,01
-0,05
-10
-0,1
-0,5
-1
-1
-s
-0,1
-10
-SO
-0,01
-100
-500
-0,001
-100)
-5.000
-0,0001
-10(0)
-50.000
-0,0(0)1
-100(0)
-500.000
-0,0(0)01
-1(0)00)
-5.000.000
---
---
°
0,0(0)01
1.000.(0)
5.000.000
0,0(0)1
100.(0)
500.000
0,0001
10.(0)
50.000
0,001
LOO)
5.000
0,01
100
500
0,1
10
so
1
1
S
10
0,1
0,5
100
0,01
0,05
LOO)
0,001
0,005
Funciones racionales Toda función que está representada por una expresión algebraica fraccionaria se llama función racional. Se analizarán algunos tipos de funciones racionales, su dominio, recorrido, asíntotas y gráfica.
La función f(x)
= i,con a > O
Considera las funciones: f(x)
= ..!..x y g(x) = 2..x
En la siguiente figura se muestra la gráfica de la función f y g. y -+-
6
Recta x = O.Asíntota vertical de las funcione~ f y g. I
I
~
4
~ ~
10
,?
,6
,4
,~
,
O ,-'
10.(0)
0,0001
0,0005
100.(0)
0,0(0)1
0,00005
,
r'z ,4
~-
,13 1
-
,{
S
!
u
X
Recta y O,ASíntota horizontal de las funtiones f y g,
,_
._
+-
--
Se observa: ya que el único valor que no puede tomar x, en ambas funciones, es cero, el dominio de estas corresponde a todos los números reales sin incluir el cero, es decir, Dom f Dom g IR - {O}. Entonces, las curvas de ambas funciones no cortan al eje Y, por lo que la recta x = O (esta recta representa al eje Y) es la asíntota vertical de las funciones,
Lasasíntotassonrectasa lascualeslacurva de la funciónseaproximaindefinidamente pero sin intersectarlas.
de la tabla y ~áfIc-o . ~I',/a ¿las de las l'unC.. onev T...J' í' ' onev~ e~reC-en o dec-reC-en .,.unCJ _ .. _j )( tOlYla va.!oreS c.a.da VeZ c-u~o ~? ' ../. ~/_IO )-<><>, OL..· oreS en el InLel.(AI' 1YIa¡ d \tÍ de izouierda Si loS va/oreS e)( an J n a dereeha, ¿las f'unC..ioneS c-reee o decreC-en¡ c-onSiderClJ?Cioel
=
en el gráfico las funciones no intersectan al eje X, es decir, la variable y puede tomar cualquier valor real menos el cero, por lo tanto, el recorrido de ambas funciones es: Rec f = Rec g = IR - {O}.
A 'paJtir
1
interVa/o
Jo, +coL?
Santillana Bicentenario
=
•
a medida que x va tomando valores cada vez mayores (desde cero hacia el infinito positivo) se observa, en la tabla 1 y gráfico, cómo las funciones se acercan cada vez más a cero, pero sin llegar a tomar este valo r. Es decir, las funciones f y g decrecen para valores de x que pertenecen al intervalo ]0, +00[. Debido a que las curvas de ambas funciones no cortan al eje X, la recta y O (esta ,-ecta representa al eje X) es la asíntota horizontal de las funciones.
=
, 104
Expresiones algebraicas fraccionarias
UNIDAD 3
b'
La función f(x) = x!
con
a> O
Considera la gráfica y tabla (para algunos valores de x) de las funciones: f(x) =
.~
+
+
.¡...
Y
-
x = -1. Asíntota vertical I de la fUnción f. :
41
1
I I I
I
rJ\_
I
It ~-r-
I I
,
-
I I
I
I
.-
-
.-
' --t--
-r- --
--
'-'
t-
1
~
1
I
-.
1 I
I I
I I
I
I
·s I
-2
-1
2
1-
I
I
..
I
_
f(x)
0,1 1
X
I
,, ,. . I , ·6 I 1
-
! ¡,--'?I I
I
.
x
°
lb
::l
~O,~I) punto de corte éA Y de la funOón g.
~
!
,,%
I
, O
1
x-1
-1 -0,1
2:
(O, 1) punto de ro~e en Y ~ la funCi6¡ f.\ .? .., ·4 .~:
--
,
I
,
-- -
r+
I I I
=
¡
I
~
y g(x)
Tabla1
iL'I
I
JO
x+1
.¡.
I
, ¡-
-i-
" I I
I I I
1
-
.-
x+ 1
------
1,1111 ... 1 0,9090 ... 0,5 0,3333 ...
=
g(x)
1 x-1
-0,3333 ... -0,5 -0,9090 ... -1 -1,1111 ... ------
1
-+-
--
-
=
1
-
r-___" ~
Rec¡ta x = 1. Asíntota vertical
I de la función g.
-t-
r--
A partir de este gráfico y tabla 1 se pueden realizar algunas observaciones. Respecto a f •
Respecto a g
Ya que el único valor que no puede tomar x en la función es -1, el dominio de esta corresponde a todos los números reales sin incluir el -1, es decir, Dom f = IR - {-1}. Por lo tanto, la gráfica de la función no corta a la recta x = -1, siendo esta recta la asíntota vertical.
Ya que el único valor que no puede tomar x en la función es 1, el dominio de esta corresponde a todos los números reales sin incluir el 1, es decir, Dom g = IR - {1}. Por lo tanto, la gráfica de la función no corta a la recta x 1, siendo esta recta la asíntota vertical.
=
En el gráfico las funciones no intersectan al eje X, es decir, la variable y puede tomar cualquier valor real menos cero; por lo tanto, el recorrido de ambas funciones es: Rec f = Rec g = IR - {O}. Las gráficas de las funciones f y g cortan al eje Y en los puntos (O, 1) y (O, -1), respectivamente.
A medida que x va tomando valores cada vez mayores (desde -1 hacia el infinito positivo), la función se acerca cada vez más a cero, pero sin llegar a tomar este valor. Es decir, la función decrece para valores de x que pertenecen al intervalo ]-1, +00[.
A medida que x va tomando valores cada vez mayores (desde 1 hacia el infinito positivo), la función se acerca cada vez más a cero, pero sin llegar a tomar este valor. Es decir, la función decrece para valores de x que pertenecen al intervalo ]1, +00[.
Debido a que las curvas de ambas funciones no cortan al eje X, la recta y = horizontal de las funciones.
105
°
(esta recta representa al eje X) es la asíntota
Matemática
Álgebra
dx + a La función f(x) = cx + b ' con d Considera la función: f(x)
=
*O Y c *O
6x - 1 . 3x + 4
Para graficar y analiza,' la función f, puedes seguir estos pasos:
1° Graficar la función por medio del programa Wiris. fofpli"'''' ¡.. Ji.
Para graficar la función f, se escribe: dibujar (~: : :), y luego se presiona
O'
~ dlbU¡ar(
I.=JI.Se obtiene
una expresión
...
;::!) ...
tablero1
y gráfico como se muestra en la figura.
...
.. 2° Determinar
los puntos de corte en los ejes
X e Y.
Utilizando el programa Wiris, se observa que la gráfica corta al eje X e Y. Para verlo con mayor claridad, utiliza la herramienta Zoom dentro precisión, mueve la gráfica con la herramienta Mover grafico
I~I.
Para mayo,'
I+-!tl. Se debe
0.1
4
-0.3
-G~
01
·0.1
u.::!
03
04
obtener una gráfica similar a la de la figura. En esta figura se observa que la curva intersecta al eje
0\).1
X en un punto ubicado
entre 0,1 y 0,2; Y corta al eje Y en un punto ubicado entre -0,2 y -0,3. Para determinar exactamente el punto de corte con el eje X, se considera que ese punto corresponde a la coordenada (x, O). Por lo tanto, cuando y obtiene el punto de corte en el eje X; al contrario, si x
= 0, se
= 0, se obtiene
el
punto de corte en el eje Y, es decir: Si x = 0, se tiene j- f(O) = 6,0-1 . 3'0+4 Si y
= 0, se tiene
3° Determinar
j-
°=
6x - 1 ~ 3x + 4
dominio y recorrido
-1 es decir, la curva corta al eje Y en el punto ~0, --1) . = -, 4 4
°=
6x - 1 ~ x
= l, es decir, la curva corta al eje X 6
en el punto
(l, O). 6
de la función.
Se determina su dominio y su recorrido, estableciendo algebraicamente los valores de x que hacen que el denominado,' no sea cero, para el dominio; y los valores que no toma la variable dependiente y, para el recorrido.
Santillana Bicentenario
, 106
Expresiones algebraicas fraccionarias
UNIDAD 3
Para determinar el dominio, el denominador cero, por lo tanto: 3x + 4
:;t:
O~
3x
:;t: --4
~ x
:;t:
no debe ser
Para determinar el recorrido, se despeja x en función de y: 6x - 1 f(x) = 3x + 4 = Y ~ 6x - 1 = 3xy + 4y
4
6x - 3xy = 1 + 4y
-"'3
x( 6 - 3y) = 1 + 4y ~ x = Es decir, Dom f(x) = IR x
= -.!3 es asíntota
{-1J, y la recta de ecuación
Donde: 6 - 3y
de la función f.
A medida que x va tomando
valores cada vez mayores (desde
Considera las siguientes funciones. 3 1 5 f(x) = 2x" g(x) = x _ 1 h(x) = 8x - 4
00,
-1
3.
Dominio y recorrido.
4.
Asíntotas.
8.
La función no interseda el punto (~,
6.
d
:;t:
que para toda función f(x) = --,
a
x+b
eon a >
°Y
e
al eje X e interseda
que para toda función f(x) :;t:
al eje Yen
O). =
dx + a ---, con ex + b
0, se cu mple:
J
9.
Dom f = IR - {- ~ y Rec f = IR - { ~
10.
La recta y =
Los intervalos en que crece y/o decrece cada una.
:;t:
°
La recta y = es asíntota horizontal y la recta x = -b es asíntota vertical de la función f.
Demuestra
Los puntos de corte con los ejes coordenados.
indefinidamente.
7. 3x + 1 j(x) = 3x -1
2.
yb
-6 ~ Y :;t: 2
-1[, la función crece
Su gráfica.
Demuestra
:;t:
hacia el infinito positiVO), la función se acerca a la asíntota.
Determina para cada función, con ayuda del programa Wiris, lo pedido.
5.
O ~ - 3y
6 - 3y
Es decir, Rec f(x) = IR - {2}, Y la recta de ecuación y = 2 es asíntota de la función.
Cuando x toma valores cada vez mayores en el intervalo ]
1.
:;t:
1 + 4y
ie es asíntota
J
horizontal y la recta
x = _E.. es asíntota vertical de la función f. e
°
11.
0, se cu mple:
La función interseda
al eje Y en el punto (0, ~) e
intersecta al eje X en el punto (-~,
Dom f = IR - {-b} Y Rec f = IR - {O}.
107
O).
Matemática
Un bloque de aluminio se encuentra en contacto con un bloque de cobre. Sus temperaturas, respectivamente, son TA = 30 "C y Te 10°C. Debido a la diferencia de temperaturas, se intercambia calor entre ambos bloques hasta que alcanzan una temperatura de equilibrio T, que se puede calcular utilizando la expresión: CA . TA + Ce . Te T= e e ' donde CA y Ce corresponden, respectivamente, a la capacidad calorífica de cada bloque.
1.
=
A+
Si CA
= 21,02
e
= 23,86
ca~ y T g : e
"C, ¿cuál es el valor de Ce?
Se remplazan los datos en la fórmula T. T
Se (orma una ecuación algebraica
C .T +C .T 21,02 . 30 + Ce . 10 A CA A + cee e => 23,86 = 21,02 + Ce . Se despeja la incógnita Ce'
=
fraccionaria con una incógníta, al remplazar los datos del problema __
J
e_n_la_e_cu_a_c/_'ón_T. __ .... 23,86
Se escribe la ecuación como una
23,86( 21,02 + Ce)
ecuación entera multiplicando por el mcm de los denominadores. Luego, se despeja la incógnita Cc'
2.
=
630,6 + 10Ce 21,02 + Ce
(o, t). Encuentra
= 630,6 + 10Ce
501,54 + 23,86Ce
13,86Ce = 129,06 => Ce "" 9,31 ... Luego, Ce
Para una función racional f(x) se cumple que: Dom f es
I . 21,02 + Ce
= IR -
{-5}, Rec f
= IR -
= 630,6 + 10Ce $;
9,31 --
cal
s -c
{O} Y el punto de intersección con el eje Y
una función f, que cumpla con la información entregada.
Estrategia Sustituir parámetros. Seremplazan
r--00
valores partiOJlares en datos o fórmulas g:nerales para determinar las incógnitas.
Se utiliza la expresión general de una (undón radonal, su dominio y recorrido, para extraer in(ormadón sobre los parámetros de la (undón
r
Una de las formas de representar una función racional es f(x) = Dom f = IR - {- ~ }
y Rec f = IR - { ~ }.
Luego, relacionando esta información con la del enunciado se tiene: b d -- = -5 Y - = O, por lo que se deduce que d = O. e
e
parámetros de la fUnción racional f, dadas las igualdades anteriores, para obtener
r
(o, ~),
Además, el punto de intersección con el eje Y tiene coordenadas se obtiene la igualdad:
----------0 Se obtíenen los valores para los
dx + a con: ex + b
f = t·
De esta igualdad se tiene que a -~
= 3 Y b = 5. Con
por lo tanto,
este último valor y la ecuación
= -5, se obtiene e = 1. e
Luego, función f pedida corresponde a: f(x) =
3 x+5
.
) Ahora tú
Lo.=..
Utiliza esta estrategia para determinar la función racional cuyas asíntotas corresponden el origen (O, O).
Santillana Bicentenario
108
a las rectas x =
_l
e y = -2, Y pasa por 5 5
Preparando la PSU Respecto a la función racional f(x)
1. 11. 111.
la función se indetermina
A.
Solo I
I
=
3
Y su gráfica, es verdadero
x-2
pal-a el valor x
I
I
L
recorrido
de la función es
B. Solo II
Rec
f
I
6
t
!'
-L.
= -2.
-
,
,~
= IR - {O}.
·h
••
.i¡
~
o
I
-.....,
D. II y III
I y 11
C.
I
Y
que:
si x toma valores cada vez mayores, la función se acerca a cero. el
I
•
x
\ -
E. 1, II y III
·4
·6
Solución: Para la proposición
f(-2) =
, t
,
3
-2 - 2
_
1,si x
= -2,
~
POI-lo tanto, la función no se indetermina para x
Para la PI-oposición 11, observando
= -2.
Luego, la proposición
O
I es falsa.
(ya que f(x) toma valores cada vez
menores en valor absoluto). Es decir, la proposición
.
es verdadera.
11
~
Para la proposición
,
,
Reconoce el dominio de uno (lJnción racional.
la gráfica se verifica que, a medida que x toma
valores cada vez mayores, la función se acerca a
,
.
entonces:
l_ -4
I
Utilizo la gráfica para analizar cómo se comporta lo (unción a medida que x tomo valores cada vez mayores.
= y,
111, se determina el recorrido de f despejando x, ya que f(x)
entonces:
y = _3_
:::::} 3 = xy _ 2y :::::}2y + 3 = xy :::::} x = _2",-y _+_3_
x-2
y
Por lo tanto, y :;:.O; luego, el recorrido
de f es
IR - {O}.
Entonces, la proposición
verdadera.
111
es
...
~ ~
Respuesta:
la alternativa correcta es D.
Observa los colores correspondientes Reconozco el dominio de una función
a la resolución
de la pregunta y marca según tus logros.
D Se. D No.
Entonces, dirígete a la página ejercicios 1, 2, 7 Y 8
racional.
se indetermina
I Utilizo la gráfica para analizar cómo se comporta
D Se. D No.
el recorrido
función racional.
de una
y
83 y considera como función los
reconoce para qué valores de la variable
cada función.
Entonces, inventa
3 funciones
programa Wiris. Determina
la función a medida que x
racionales y grafica con ayuda del
los valores donde la función crece y
decrece.
toma valores cada vez mayores. Determino
Determina el recorrido de una (unción racional.
D Sí. D No.
Entonces, escribe
2
funciones racionales de la forma f(x) =
y 2 funci unciones die e a rorma f()x
=
dx cx
a x+b
+ a ,y d etermna . e I recom ido d e +b
cada una.
109
Matemática
•
Una expresión algebraica fraccionaria
se caracteriza por tener términos literales en su denominador.
Ejemplos
1.
•
x 2x-y
1 2. x+y
3.
x+1
2x2 - x + 3
4.
x
2
5.
2
xb
+ 3c
x +b
x - 1
En una expresión algebraica fraccionaria el denominador
- ax 2
no puede ser O, por tanto existen restricciones
de la o las variables que se encuentran en el denominador.
para los valores
Estas corresponden a valores específicos que no pueden
tomar las letras involucradas. Ejemplos
./ lb' f . . a+x 5 1 . Para Ia expresion a ge rarea racoonana 3x + 5' x ':1:
-3·
2. Para la expresión algebraica fraccionaria ..;;2;;_x;_+ ay'-, x ':1:
ax-y
•
'l. a
Para simplificar una expresión algebraica fraccionaria,
se divide el numerador y el denominador de ella por una
expresión que sea factor común de ambos. Si se divide por el máximo común divisor (mcd) entre el numerador y denominador, se obtiene una expresión •
irreductible.
Cambio de signos: en general, en las expresiones algebraicas fraccionarias se puede reducir la cantidad de signos involucrados. •
Si se cambian uno o tres signos, el valor de la fracción cambia.
Ejemplo
.L :;t: _ .L .l, _(-1 ) 2
•
Si a, b, e y d son expresiones algebraicas, con b algebraicas fraccionarias
:;t:
O, e
-1 --2
-1
-2
O Y d i= O, se define la multiplicación
1
- --
-2
y división de expresiones
como se indica a continuación: '1' Icaclon , , ,... .... -a . -e M u Iup b d
•
:;t:
-2
Ejemplo
Si se cambian dos signos, el valor de la fracción no cambia.
1 -2 •
2' 2
= -ac
bd
' , " .... a e O IVlslon ,... - : b d
= -ba . -de = -ad be
Una expresión algebraica fraccionaria se dice compuesta cuando su denominador y/o numerador es una expresión algebraica fraccionaria, Para simplificar una expresión algebraica fraccionaria compuesta, se expresa como una división entre dos expresiones algebraicas fraccionarias. En general, si a, b, c y d son expresiones algebraicas, con b ':1: O, c ':1: O
Y d ':1: O, se cumple: a b _ a . -_-,-_C _ a d _ ad -_. e b d b c be d
Santillana Bicentenario
110
Expresiones algebraicas fraccionarias
UNIDAD 3 ... Para sumar y/o restar expresiones común múltiplo
algebraicas fraccionarias
(mcm) entre los denominadores,
como denominador
con distinto denominador,
se debe determinar
el mínimo
luego, amplificar las expresiones de manera tal que quede el mcm
de la expresión. Finalmente se suman o restan los numeradores
según corresponda, manteniendo
el denominador . ... Una ecuación fraccionaria
es aquella en la que uno de sus términos, o todos, son expresiones algebraicas fraccionarias.
Para resolverla, se multiplican ambos lados de la ecuación por el mcm de los denominadores, lo que permite transformarla en una ecuación entera . ... Se llama función racional a aquella que se representa mediante una expresión algebraica fraccionaria. Las funciones
..
racionales estudiadas son de la forma f(x)
=
a -,x g(x)
=
a x+b
=
y h(x)
dx+a cx+b
.
Donde: Función
Dominio
Asíntota
Recorrido
Punto de intersección
Vertical
Horizontal
Eje X
Eje coordenado Y, recta x = O.
Eje coordenado X, recta y = O.
No lo intersecta.
-
f(x)
a x
=-
Dom f
a>O
g(x)
=
=~-
{O}
Rec f
= IR -
{O}
-
Eje Y
No lo intersecta.
-
.a
Dom g
x +b
=~ -
{-b}
Rec g
= IR -
{O}
Recta x
= -b.
{ ~}
Recta x
b = --o
Eje coordenado X, recta y = O.
No lo intersecta.
(0, ~)
a>O
h(x)
=
dx + a ex + b
Dom h
= IR -
{- ~ }
Rec h
= IR -
y
e
d
= -.
Recta y
e
(-~,o) (0, ~)
y
f(x)
= -xa
- ~:X+b a
y
a
I
h(x) = dx + a cx + b
b
-ab X
r~
X
¡.."
d
X
a Mapa conceptual Construye
un mapa conceptual
utilizando
el software CMap que relacione al menos los siguientes conceptos
Expresiones algebraicas fraccionarias - Simplificación - Operaciones
clave.
aritméticas -
Expresiones algebraicas fraccionarias compuestas - Expresión mixta - Operaciones
combinadas -
Ecuaciones algebraicas fraccionarias - Funciones racionales
111
Matemática
1
5
2x + a ' SI: , - x - 2b se ind In eterrruna La expresi ón b - 3a a + 5b
l.
a 5
11. b=--
a = 5b
A. Solo I
D. I Y III
B. Solo II
E.
c.
111.
3
3a = b x-
11Y III
X
2 - 8x + 16 (con
x
::f:. -5 Y
6
x + x - 20 x ::f:. 4) resulta:
3
B.
x-4 x+5
C.
1 x-S
La expresión
-
2
2xy-x
D. 2xy2 - ;'y
E.
2xy-x
2
y(x - 2y)
2
C'\ Al' srrnp lif I '/ Z I icar a expresion
A.
2y
B. x(x - 2y)
C.
1 y
x
A. x-2y
Solo III
1 x+5
El mínimo común múltiplo de los denominadores de las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias es:
x-4 x-S
D. E.
No se puede simplificar,
2
Al desarrollar
' 2 es equivalente a:
7
6x + 36 - 2x
x -y
x - 2xy + y
x+y
2:
se obtiene:
(x _ y)2
A. x-y
D.
B. x+y
(x - y)2(x - y) E. x2 _ 2xy + y2
C.
-2x2 + 9x + 18
2
2
2 (x - y)3 2 x -2xy+y
x+y x-y
2
1
5
Al desarrollar - - 2' el numerador de la x x- 3 x expresión obtenida es:
A. -1 B. 1
4
C.
D.
x-6 6-x
E.
2x + 3 2(x + 3)
2x + 3 2(x + 3)
A. x 2 -x-15
D.
2 3x - x - 15
B. x2 - x +15
E.
2 3x + 11x - 15
C. x2-11x+15
8
¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s), respecto a la expresión
La expresión 1+
1__ es equivalente a: 1 1+--1+ 1 x+1
A.
3x + 4 x+1
D.
3x + 4 2x + 1
B.
3x + 5 x+1
E.
3x + 5 2x + 3
C.
3(x + 2) x+1
x+6 + 2 7 x2 + 5x + 4 3x + 12 '
l.
x ::f:. -1
A. Solo II B. I Y II
C.
11. x
::f:.
111.
-4
D. E.
X::f:.4
11Y III 1,
II Y III
I y III
Santíllana Bicentenario
112
UNIDAD 3
9
1 Al desarrollar x + ---3x x+--
12
se obtiene:
2
I
Expresiones algebraicas fraccionarias
1 x-3
La solución de la ecuación
+
1 = Y es 1 x+1
cuando el valor de y es:
x-S
4x2 - 13x A. x+2
A. -2
c. O
1
1
B. ~3X2 - 14x + 1)
B.
-2
D.
c. D.
3x3 - 142 - 5x + 2 3x(x - 5)
A. f(x) = x+ 1
3x4 - 15x3 + 6x2 + x - 5
_ 3 B. g(x) ---
E.
13
A. 2a
-"3
c.
1
D. p(x) = x+ 4 2
E.
x
q(x) = x _ 1
2
2a - 3 7
4a - 9 x
14
D. 14a + 9
E. 14a + 21
B. 2a + 3
IR - {O}?
2x C. h(x) = 5x _ 1
Al despejar x en la ecuación
1
¿Cuál de las siguientes funciones tiene dominio
1
3x(x2 _ Sx + 2)
resulta:
11
2
x-s 3x3 - 15x2 + x + 2 3x(x - 2)
10
E. 2
¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera 6x -1 x- 3 para las funciones f(x) = y g(x) = ? 2x+4 x+2
l.
Tienen igual dominio.
11.
Sus asíntotas verticales son las mismas.
111.
Ambas se indeterminan
7(2a - 3)
./ ax b(x-b) Respecto a Ia ecuaclon - b a
A. x=b
. = a es cierto que:
D. x=
15
A. Solo I
C.
I Y 111
B. I Y 11
D.
11
b-a
1,"
Y 111
Y 111
se aumenta en 2, se obtiene 1. Además,
si se disminuye el denominador
B. x = b(l - a)
E.
Si se disminuye el numerador de una fracción en 3 y su denominador
c. x=
para x = -2.
en 7 y se mantiene el
numerador original, se obtiene 4. ¿Cuál es la fracción?
b(l - b)
16
2
a -b
Pedro demora 4 h en llegar de una ciudad a otra y su amigo Gerardo, 1 h más, pero con una rapidez 20 km/h menor. ¿A qué rapidez se mueve Pedro?
113
Matemática
•
PREGLJNTAS
INDICADOR
Determino las restricciones, simplifico y factorizo expresiones algebraicas fraccionarias.
1, 2, 3 y 4
Desarrollo operaciones de expresiones algebraicas fraccionarias.
S, 6, 7, 8, y 9
Resuelvo ecuaciones y problemas que involucren expresiones algebraicas fraccionarias.
Reconozco funciones racionales y las caracterizo a través de su dominio, recorrido, asíntotas y puntos de intersección con los ejes coordenados.
10, 11, 12, 15 Y 16
PUNTAJE ___
___
13 Y 14
¡QUÉ
DEBO HACER?
14
• Si obtuviste menos de 4 respuestas correctas, realiza las actividades 1 a 9 para reforzar este contenido. • Si obtuviste 4 respuestas correctas, realiza las actividades lOa 16 para profundizar tus conoci m ientos.
15
• Si obtuviste menos de 5 realiza las actividades 17 contenido. • Si obtuviste 5 respuestas actividades 21 y 22 para conoci m ientos.
respuestas correctas, a 20 para reforzar este correctas, realiza las profundizar tus
15
• Si obtuviste menos de 5 respuestas correctas, realiza las actividades 23 a 25, 29 Y 30 para reforzar este contenido. • Si obtuviste 5 respuestas correctas, realiza las actividades 26 a 28 y 31 para profundizar tus conoci m ientos.
12
• Si obtuviste menos de 2 respuestas correctas, realiza las actividades 32 a 34 para reforzar este contenido. • Si obtuviste 2 respuestas correctas, realiza las actividades 35 a 37 para profundizar tus conoci m ientos.
¿Cuánto he aprendido? Cuenta las respuestas correctas que obtuviste en la evaluación anterior y clasifica tu resultado de acuerdo a los criterios que se . . muestran a contmuacon /
Rendimiento bajo: entre O y 10 respuestas correctas. Rendimiento medio: entre 11 y 13 respuestas correctas. Rendimiento alto: entre 14 y 16 respuestas correctas. Obtuve
_
respuestas correctas, lo que implica que mi rendimiento en la evaluación fue
Ahora, dirígete a la sección ¿Cómo lo aprendí?, que está al final del texto, y sigue las instrucciones que en ella aparecen.
Santíllana Bicentenario
114
__
-=Ejercicios de refuerzo y_ rofundización •
Expresiones algebraicas fraccionarias y simplificación
Determina las restricciones fraccionaria.
1.
x+l 1 -x
2.
•
de cada expresión algebraica
2x- 3 1 - 4x
Resuelve las siguientes ecuaciones solución es válida.
5 + 3x
3.
2
x -9
Escribe una expresión algebraica fraccionaria equivalente, cambiando signos.
4.
8 - 3x -x-6
5.
Simplifica hasta obtener una expresión fraccionaria irreductible.
7.
6 2 4 a b c
abc
12.
3
25.
2a 1 6 - - - =x a 2a
13.
2 3 4
6x + 9)(x2 - 16)
29.
2
14.
2
x -1
b + 2x 27. x-b
2 4x - 6
28.
x x-l
3a - 1 --=2 x+a
x
---= 2 x -1
1
El numerador de una fracción es 7 unidades menor la fracción sena
a - 7a + 12 16 - a
- 2x + 1
5x - 1
3x --=-2 x+2
que su denominador. Si el numerador disminuye en 1,
2
30.
2
x 26. x-2
=0
Resuelve los siguientes problemas.
2
2xyz
x
24.
1 x + 3
7
3
para x y verifica si su
algebraica
(Xl _
8X Y z
9.
23.
_1 +
(x - 9)(x - 4)
35
8.
-(2a - 3b) -4b - 7
6.
Ecuaciones algebraicas fraccionarias y problemas
ac - ad + bc - bd 2c + 3bc - 2d - 3bd
1., ¿cuál es la fracción original? 4
Un pintor demora 4 días en realizar su trabajo. Si otro pintor tarda 3 días en lo mismo, ¿cuánto se demorarían juntos?
2
10.
11.
25 - x 5x + 25 x x
2
15. 3b
+ 4x + 4
2
16.
+ 5x + 6
4
3
+ 24b
-
60b
31. Un grupo de compañeros compró un regalo para otra amiga que se retiraba del curso. Para eso acordaron juntar $ 12.000. Si al final el profesor del curso también colaboró, disminuyendo en $ 1.000 la cuota, ¿cuánto dinero aportó cada persona?
2
+ 6x + 9)
X2(X2 2 (3x -
x3 )(2x + 6)
tJ Funciones
Operaciones aritméticas con expresiones algebraicas fraccionarias
Determina el dominio y recorrido de cada función, y esboza sus gráficas, considerando sus asíntotas y puntos de corte en los ejes coordenados.
Desarrolla. 17.
18.
19.
x-2 2x
3x-l + 6x
4a _ a + 5 a + 3
P p+2
+
4p 2 p -p-6
3
20.
x -x X
21.
22.
2
-y
2 2
x - 1 x+y
2 - 2mm . (m + 4)2 . 2 m -m-2 a 1+ b a - 2b + 2 a - 3b 1- b 2a - 2b
racionales
32.
1 f(x) = -
3
115
x
35. f(x) = 2x - 1 x+6
-1 33. f(x) = x
36. f(x) = 8 - 3x 2x + 5
34. f(x) =
37. f(x) =-4x- 5
4 x+3
8x- 2
Matemática
, ralees El diseñador alemán A. E. Bosman publicó en 1957 un fractal construido sobre la base de cuadrados y triángulos rectángulos, que se conoce como árbol pitagórico. La construcción de un árbol pitagórico se resume en los siguientes pasos.
Paso 2 Paso 1 Se dibuja un
Se dibuja un triángulo rectángulo sobre uno de los
cuadrado de
lados del cuadrado, donde la
lado a.
hipotenusa tiene medida a.
Paso 3
Paso 4
Se dibuja un cuadrado
Se repite el paso 2, sobre
sobre cada cateto del
los cuadrados dibujados
triángulo.
en el paso 3.
Al repetir los pasos anteriores, se obtiene el siguiente árbol. '.
EN
-
Relacionar las raíces con potencias de exponente fraccionario .
• •
...
ESTA UNIDAD
APRENDERÉ
A •.• Identificar y aplicar propiedades de las raíces.
Conocer e interpretar el concepto de raíz.
t Analizar la existencia de la raíz
"
enésima en los reales . •
Demostrar propiedades de las raíces.
•
Aplicar propiedades de la operatoria con raíces.
t Resolver ecuaciones
.....---
------
Racionalizar expresiones algebraicas . '-==
exponenciales y radicales.
•
•
Santillana Bicentenario
•
i
116 •
•
....
La similitud del árbol pitagórico con un árbol cualquiera no es solo en apariencia, El biólogo húngaro Aristid Lindenmayer estableció un modelo de crecimiento de plantas siguiendo la idea de los árboles pitagóricos. l.indenrnayer determinó que cuando el tallo de una planta se divide, la suma del área de la sección transversal de las ramas en las cuales se dividió es igual a la sección transver-sal del tallo principal. ,
Arbol pitagórico
Rama de árbol
,
Área sección ¡- ....... .¡2:;;.
,
A =
Área cuadrado A - b2
Área cuadrado
1t
Area sección
2
c
2 -
A , -- e2
••
e a
Área cuadrado
A
Área sección
2
=a
A
Por Pitágoras se tiene:
= 1t a2
Relación de secciones de las ramas y troncos de Lindenmayer: A = A, + A2
a 2 _- e 2 + b2
2
1t . a
= 1t . c2 + 1t . b2
a 2 -_ e2 + b2 De esta forma, un árbol con un tronco de sección con radio a, que se divide en dos ramas de secciones con radio b y e, cumple la relación pitagórica de un triángulo rectángulo.
En grupos de tres integrantes
realicen las siguientes actividades.
1. Determinen la expresión que representa el área de la sección de un tronco, si sus ramas poseen los mismos radios. 2. Si el tronco de la figura anterior tiene un diámetro de 55 cm, y una de las secciones de sus ramas tiene un área de 2
25 cm , ¿cuál debería ser la medida del radio de la otra rama que sale del mismo tronco?
3. ¿Esposible determinar la cantidad de ramas que pueden salir de un tronco de diámetro 100 cm? Justifiquen su respuesta.
-- ..... •
•
1 ¿Cuál es el valor de
32x
+1
si x
A. 9 B. 27
c.
6
= 27
D. 243
x
3
2x --
El producto
-2
es:
3
4
6 -- x 2x A. 9
E. 729
81
5 1 B. 4x --
9
2
A. -61,81 B. -54,56 C. -53,84
3
E. 74,16 E. ( 3)-2.
La expresión
2
S + 4 . (-1)
-4
9 1 5 8x 27
El cociente
X3+43+b2
: --
2
9- b
D. 2 E.
24
6
2
2
2x
Al reducir 3 • (3- + 9 x = 1 se obtiene:
A. -719 B. -647
5
7
es equivalente a:
2 3 4
4x 6 - x 3
D. 4x6 _ x
D. 73,44
A. 2-11 B. 2-10 C. 2-3
4
c.
(-4)3 - (0,6)2 + 5 . (~)-2 es:
El valor de la expresión
-4
C. D.
-1)
1 9
-
-
27
1
+x
E.
x + 5x + 4 B. 27 + 6b2 _ b 4
y evaluar para
9
6
C.
10 9
D.
3
x + 5x + 4 27 + 12b2 _ b 6
Uno de los factores de x3 - (2y)3 es (x - 2y), ¿cuál es el otro factor?
Santíllana Bicentenario
3
3
x + 5x + 4 2
27 + 12b + b
118
4
4
es:
UNIDAD 4
8
El producto
(x
3
a_1)3
- x a + 3b
A. (a - 3b) (x 3 - x a -
a2 _ 9b2 ---equivale a: a-1 3 x - x
D. (3b - a)(x6 _ 2xa
E. (a - 3b)(x6
+
=
x + S con incógnita x se
A. -S
B. S
I
(3b - a)(x6 _ 2xa- 2 + x2a-l)
c.
Al resolver 3xy - 1 Sy
Potencias y raíces
obtiene:
1)2
B. (3b - a) (5x - 2x a-2 + Xa+ll
9
10
I
c.
S(3y + 1) 3y - 1
5(1 - 3y) D. 3y + 1
2 + x2a- 2)
_ 2xa- 2 + x2a - 2)
E.
11
2
Si 3 + x2 = (x + 1)2 - x entonces 2x es igual a:
y+5 3(y - S)
El cuadrado de un número menos un tercio es igual al cuadrado del número más el doble del número menos
A. -8
un noveno. ¿Cuál es el número?
B. -4
2 A. -7 B. --1
C. 4
D. 8 E. 16
9
D.
1 9
E. -1 2
C. --1 24
Reviso Revisa tus respuestas en el solucionarlo
_ y completa la siguiente tabla.
INDICADOR
PREGUNTAS
RESPUESTAS CORRECTAS
Calcular el valor de potencias y realizar operaciones entre ellas.
1, 2, 3 y 4
Efectuar operaciones algebraicas, desarrollar productos notables y factorizar.
S, 6, 7 y 8
_/4
Resolver ecuaciones de primer grado.
9, 10 Y 11
_
119
/4
/3
Matemática
Números
Raíz enésima Considera
2
las siguientes ecuaciones.
•
3 se lee "tres al cuadrado".
Es decir,
Es decir,
•
53 se lee "cinco al cubo".
- x es el número que, multiplicado
- x es el número que, multiplicado
• 1/6 se lee "ra~ cuadradade seis". • V20 se lee "raízcúbicade veinte".
por sí mismo 5 veces, resulta 32.
por sí mismo 3 veces, resulta -64.
En este caso el número
En este caso el número es -4.
es 2.
- Se define que -4 es la raíz cúbica
- Se define que 2 es la raíz quinta de 32, y se escribe 2 =
Lasdemásraícesse leen usandoel ordinal correspondienteal índice.
m.
de -64, y se escribe -4
= ~-64.
En general, si n es un número natural, se define la raíz enésima a partir de la siguiente correspondencia.
Cuando no se indicael índicede la raíZ,este se asumeiguala dos:
Donde: • la raíz enésima de b es a, y b es la enésima potencia •
de a.
en la expresión.cyb, n se llama índice de la raíz y b es la cantidad subradical, mientras que en la expresión a", n se llama orden de la potencia y a es la base.
Ejemplos
1.
1[81 =
2. '}j-125
3, se lee "la raíz cuarta de 81 es 3", pues 81
=
= 34.
-5, se lee "la raíz cúbica de -125 es -5", pues -125
= (_5)3.
3. ,JO,25 = 0,5; se lee "la raíz cuadrada de 0,25 es 0,5", pues 0,25 = (0,5)2. Además, es importante •
se tiene que (_2)2
tener en cuenta las siguientes observaciones:
= 4 Y también
J4 =
Paracalcular la raíz enésimade un número, en algunascalculadorasseescribeprimero
cero. Por lo tanto,
-q. Finalmentese escribela
cantidadsubradicala, y se presiona(=) .
• zy, =
Ejemplo
• !fO
Calcular V127
•
Presiona3, luego SHIFT y
Por lo tanto, podría pensarse que:
.J4 = -2
1, pues 1 n
= 0, pues
.J4 = 2. = 1.
o'' = O.
el valor de una raíz de índice impar conserva el signo de la cantidad subradical.
-q.
Escribe127 y luegopresionala tecla(=].
Santillana Bicentenario
2 Y
= 4.
Es por esto que se define para toda raíz de índice par que su valor es positivo
el índicede la raízn, se presionaSHIFT, y luegola tecla
2
que 2
120
o
UNIDAD 4
Potencias y raíces
Raíces y restricciones En años anteriores se estudiaron las siguientes propiedades de las potencias. Propiedad 1
Propiedad 2
(_5)3 = -125 53 = 125
(_5)4 - 625 54 - 625 Toda potencia de base distinta de cero y exponente par tiene valor positivo. Además, si n es par, (_a)n = ano
Una potencia de base distinta de cero y exponente impar es positiva si su base es un número positivo, y negativo en caso contrario. Además, si n es impar, (_a)n = _ano
Lo anterior permite establecer las siguientes propiedades relativas a las raíces. Una raíz de índice par no está definida en los Números
El valor de una raíz de índice impar es un número positivo
Reales si la cantidad subradical es un número negativo.
si la cantidad subradical es positiva, y un número negativo si la cantidad subradical es negativa.
Ejemplos
1.
H=
x q -9
=
Ejemplos
x2
cuadrado sea -9. Luego,.J=9
=
1. ~
No existe un número x en los Reales que elevado al
x q -8
Donde x
no está definida en el
= -2,
=
3
x
ya que -8
= (_2)3. Luego, <1-8 =
-2.
conjunto de los Números Reales.
2.
2. ~ 16 = x
q
-1 6 = x
4
lf243
= x q 243 = XS
Donde x
= 3, ya que 243 = (3)5. Luego, 'if243 = 3.
No existe un número x en los Reales que elevado a la cuarta sea -16. Luego, ~-16
no está definida en el
conjunto de los Números Reales.
Determina si las siguientes raíces están definidas en el conjunto de los Números Reales.
1.
4.
lJ-6.547
7.
2.
5.
7./-128
8.
~-729
6.
2~-32
9.
V1 +~-27 _2?H
12.
.J121 + .J225
6 __ 7
4
13.
1
-3 2
14. ~-o,008
+ ~-243
15. ~-o,027
+
Calcula el valor de cada raíz y luego, si es posible, reduce la expresión.
10.
-
-343
8 3.
11.
5 _ 32
243
- -JO,0225
jJ81 + ~-216
121
Matemática
Números
Raíz enésima y potencias de exponente fraccionario En cursos anteriores se ha estudiado el concepto de potencia de base racional y exponente entero. En este curso se relacionará una potencia de exponente fraccionario con las raíces enésimas. 1
1
=
Sea 252 x. Elevando al cuadrado:
=
Sea (-64)3
y.
Elevando al cubo: 1
j_
252 =
252
=
((_64)+)3
Por propiedades de potencias.
(25+)2 = x2 j_·2
2
(
X
251 = x2 x = Es decir,
J25 =
= y
(-64)3
X
-64 )
= y3
·3
_1
3
3
= Y
(-64) 1 = y3
¡¡s
Por definición de raíz enésima.
Y = ~-64
.i
1
252•
Es decir, V-64 = (-64)3.
...1
En general, si n :F- 1 es un número natural, se tiene: b n - a. Se eleva a n, en ambos lados de la igualdad:
~
1)n n ( b-;;= a ~
Por definición de raíz enésima: Entonces:
QUE ... ? Enel sigloXIV, el catedráticofrancés Nicole Oresrnes (1323-1382) en suspublicaciones Proportionum Algorismus y Proportionum De Proportionibus incorporael primer usode un exponentefraccionario,aunque,por supuesto,no en notaciónmoderna.
Santillana Bicentenario
-' -n n b" = a ~
1
b = a
n
ib = a .
...1
= bn
~
Por tanto, la raíz enésima de un número corresponde a una potencia de exponente fraccionario cuyo numerador es igual a 1 y su denominador es un número natural n.
,
Ejemplos
1.7J1O=107
1
3. ~622 = 622"4
4.
122
.i,
42 _
2
S
S
4
UNIDAD 4
Potencias y raíces
.a
¿Qué raíz enésima representa la potencia 24?
.a
4
Si 2
=
-43
x, entonces: 2
=
2
X ~
3·-1 4
=
3 ...1. 4
=
(2)
X ~
x ~
(1 4 3 2
=
x.
.a. 4
4~
Luego, \/2-
= 2
•
m
En general, si m y n son números naturales, tal que m :F- 1 Y n :F- 1, se obtiene: b
n
= a.
Por lo tanto:
~
=b~
Es decir, la raíz enésima de b elevada a m, corresponde exponente!!! . n
a la potencia de base b y La interpretaciónde lasraícescomo potenciasde exponentefraccionario permitirá estudiarlasoperacionesentre ellas,utilizandolaspropiedadesya conocidas para laspotencias.
Ejemplos
1. ~=(-;i=7~
Expresando como potencia.
Expresando como , raiz.
Por propiedades de potencias.
,
y como
Escribe como rarz las siguientes potencias, potencias las ralees, según corresponda.
s
Reduce las siguientes expresiones.
14.
.Jl% + ~343
15 .
7)-128 -~-0,00032
16.
J16 + ~1.000
- <1-729
1.
1. 6252
4.
6,252
7.
.z.
2. 1253
5.
..}1.444
8.
1
3. (-216)3
6.
9.
~343
7)128 6~a2nbnc 4 n+
a
n2 +n
- ~-O,216
Calcula las siguientes expresiones.
2
2
10.
83 + 90,S _1
11.
0,252 + 16
12. _.1. 4
.z.
-.83 -2.8 3 _1
13.
_~
0,0013 -1253
18.
3
_1
.z,
+ 3433
(
243 + 3 8 3.125 1 125 25 81
,
Matemática
Números
,
rarees
Propiedades de la operatoria con Cambio de índice de una raíz Ordena de mayor a menor las siguientes raíces.
fa < (b .
Si a < b, se cumple que:
Donde
fa y ~
son números reales.
Para ordenar de mayor a menor lasraíces,se deben igualar los índices.Para ello se representan las raíces como potencias de exponente fraccionario y se amplifican los exponentes para obtener un índice común, en este caso 6, tal como se muestra a continuación. I
Ejemplos
<15=53 =5
1. 4 < 9 <=*
[4 =2
.J4 < .[9,
2
{.,f:;
=56 =~52 =m
ya que
y.[9 =3.
2. -64 < 8 <=* ~ ~
I 2 3'2
<}.[s,
=-4 Y }.[s =2.
ya que
ifii.. > .Ji > V5.
Por lo tanto, el orden es
En general, para amplificar el índice de una raíz: n~
_
va'"
-
Se expresa la ralz como potencia.
m an
m-r a n-r
Se amplifica por r.
Se expresa la potellc.la como ralz.
.r: -rz: Va'" = Va""
Por lo tanto,
Multiplicación y división de raíces La multiplicación y división de raíces se clasificarán en tres casos, considerando cantidades subradicales y los índices de las raíces. Caso 1: multiplicación y división de raíces con igual índice. Se consideran los siguientes ejemplos de multiplicación y división de raíces. Multiplicación Calcula ~
~.if17
.
División
VIl.
Calcula
.L.L
= 53.173
1
=(5·17)3
lfI2 : ~ =
=
Santillana Bicentenario
'J.[s . VIl
1.L
12 s : 2 s
=
= <112 : 2 =
= vas.
1124
V12 : Vi.
I
Luego,
V12 : Vi = V6.
I
(12 : 2)5
<16
las
UNIDAD 4
Potencias y raíces
Los resultados anteriores se pueden generalizar mediante las siguientes igualdades: Multiplicación
~ :~ =
División
~a : c
=
Caso 2: multiplicación y división de raíces con igual cantidad subradical.
Se consideran los siguientes ejemplos de multiplicación y división de raíces. Multiplicación
Calcula ~
.~
.
I
~.
División
I
I
= 54 .53
~
Vi :Vi.
Calcula
~:
~
= 5 (~+ ~) = 5 (~+ i) = Luego, ~
: 78
= 7(~ ~) = 7(~~i)
IR . VS = 1R. 4'~53+4
= 7s
I
=
= Luego,
=
5-~78 5
4(;3
Vi : W7 = 4(1.
Los resultados anteriores se pueden generalizar mediante las siguientes igualdades: ní
Multiplicación
mí _ n-~
va . va -
a
m+n
-r: .«: =
División
va : va
n-~ m n
a
Caso 3: multiplicación y división de raíces con distinto índice y cantidad subradical.
Se consideran los siguientes ejemplos de multiplicación y división de raíces. División
Multiplicación
Calcula
f8 . VS .
Calcula ~
:
V9. I
I
rfi : V9 = 26 : 9s
í
_5_
= 26-5 =
Luego,
4Ín
v~
3'-;: 1~ 3 4 . v 5 =8 .5 .
:
6-0;15
956 6- r:f6
,,2~: \J9-
5
Luego, ~
:
2
V9 = 30 - 6 . 9
Los resultados anteriores se pueden generalizar mediante las siguientes igualdades, considerando que a y c son positivos:
Multiplicación
ní mí _ n-~ m n va . Vc a· c
División
zy; : ~
=
m n_m_a_ n C
125
Matemática
Números
Potencia de una raíz y raíz de una raíz En cursos anteriores se estudió la siguiente propiedad de las potencias:
(63)5 = 63.5 Por lo tanto, al aplicar la propiedad anterior a las raíces, se obtienen las siguientes propiedades:
Potencia de una raíz
Raíz de una raíz
(1)± 1.1 = 6 =6 =6
r:,hF VV6 Se expresa la raíz como potencia.
Potencia de potencias.
Se expresa la potencia como raíz.
3
Se expresa la raíz como potencia.
3 5
_1
3.5
Potencia de potencias.
=
sr:
3.~6
Se expresa la potencia corno raíz.
Los resultados anteriores se pueden generalizar mediante las siguientes igualdades:
(if;.)m
Potencia de una raíz Se c..onS:derCJ.~
=~
Raíz de una raíz
rifa = n.rzy;_
un
Ejemplo
n¿{/YIero real.
Reduce la expresión (lfa)5
+
3~.J:!.
Se tiene:
Se aplica raíz de una raíz.
Se aplica potencia de una raíz,
Luego, la expresión reducida resulta 4 (lfa)5
+ 3~J} =
Se aplica raíz de una raíz.
1
'1{}, ya que:
IV + 3 V = 4 V 1
1
Introducción y extracción de términos en una raíz Considera los siguientes ejemplos.
Introducción
de términos en una raíz
Extracción de términos de una raíz
~ Por lo tanto, 5 .
Vi = Ws.
=
~16 ·3
Por lo tanto,
=
~24 ·3
f48 =
= (l. ~ =
2 .~
2 . fj.
Los resultados anteriores se pueden generalizar mediante la siguiente igualdad:
-r:
-r:=
a ·vo = Va"·b
Observa que esta propiedad se puede utilizar tanto para introducir un coeficiente a la raíz, como para extraer de ella un factor de la cantidad subradical y expresar la raíz de manera más sencilla. Santillana Bicentenario
UNIDAD 4
I Potencias y raíces
Ejemplos
..J81O +.J250.
1. Calcula el valor de
se I'ac.:éor,'za.f'or
Se tiene:
VCl/'IOs
Al remplazar en la adición, se obtiene:
Luego,
..J81O + .J25O = 9.J1O + s.J1O = 14.J1O.
~2)2J2.
~2)2F2=~2 )22 ·2 =~2JJ8 =~2~ = ~24·8
1
l.
1 I
Se introduce el 2 a la raíz.
Luego,~2)2J2
l.
l.
Raíz de Se introduce raíz. el 2 a la raíz.
=~fua=~
I•
1
Raíz de raíz.
=~.
Determina, en cada caso, una expresión equivalente a la dada, donde su cantidad radical sea la menor.
1.
4.
:vJ28
7.
(aV
2.
5.
if324
8.
~12x 4y7 z12
3.
6.
16 _ 324 25
9.
20. 21.
18{"""Da12
s«:
~_64a3bSc7
12. ~a6b3
11. 1Va2b2
13. 10~a20bSO
Expresa en una sola raíz, reduciendo
16.
cuando sea posible.
18.
JJ3
22. )2if5
24. ~bv;.
23. ~~3:ifj
25. a· ~~a~
Reduce en cada caso a su mínima expresión.
Expresa cada raíz como otra equivalente de menor índice.
15.
I?tÍ"'1eroS CUadradoS.
..J81O +.J250 = 14.J1O.
2. Reduce a una raíz la expresión
10.
tino o
sJ2.
19. 3if5
127
V16:
26.
Vi· ~
33.
27.
.J15. 16
34. ~
28.
V·~
35.
~b3c4 : ~b5c2
29.
~a2b3.
36.
¿f3:
30.
42
37.
J3: ~
31.
if3.~
38.
32.
Q.ifX;
39.
~a2b3
.63
5
5
:
Q: ~ v;_:"fa? Matemática
1.
Considera las siguientes raíces: A
= V6, B =.J2
=~.
y C
a.
Ordena las raíces de menor a mayor.
b.
Determina el valor de X en la siguiente igualdad: BCX = A.
---00
a.
Se igualan los índices de las raíces
Para igualar los índices de las raíces,se obtiene el mcm entre ellos, que en este caso es 12. Luego, se multiplica cada expresión por el número que corresponde.
para poder compararlas.
A
= ~ = 3'i64 = 1{j1.296 B =.J2 = 2'*f1 = 1{J64
= ~ = 4'(53 = 1M
C
Se comparan las cantidades subradicales y se obtiene que B < C < A, es decir,
.J2 Se despeja la variable X, luego se remplazan los valores de A, B Y e, y se determina su valor numérico.
--000
b.
Se aPlican las propiedades de raíces paro calcular el valor
= la
<
Vi.
Como se debe cumplir que BCX
x=
----00
< ~
A BC
=
~
=
.J2 .~
81 500
=1 6 3 1{j26 . 17[53 2 .5 I
I
..
'------""TI-____:)
81
I
Se simplinca y se
Se expresa como una sola ralz.
Se expresan todas las ralees con un (ndice común (12).
Por lo tanto, X = 1
BAC.Luego:
1~
~
exoteuo«
= A, entonces X =
multiplican los términos.
.
500
2
Se desarrolla la expresión correspondiente a m , utilizando el valor de m.
Se desarrolla el cuadrado de binomio y se reducen raíces iguales.
--00
m2
=(~2+.J3
+
~2_-13)2 =(~2+-13)2 + 2(~2+-13)(~2--!3) r7
J(
= 2 + )/'3 + 2\j 2 = 4 + 2~(2 +-!3)(2
Se multiplican las raíces.
=4
+.Ji
= 4 + 2/1 ... m = 6 2 Por lo tanto, m = 6.
Santillana Bicentenario
128
\j' 2
--13)
+ 2.J4-3 2
) J(
-.Ji
)
+ (~2_-!3)2
tr'
+ 2 - )/'3
Preparando la PSU Si
.J2 = a, J3 = b Y J5 = e, entonces
l.
2bc
A.
Solo I
B.
¿cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) equivalente a
c.
Solo II
Solo III
111.
~a2bc
D.
I Y II
E.
.J6O?
I Y III
Fuente: Pregunta N° 29, Modelo Oficial Prueba de Matemática, Proceso de admisión 2005, Serie DEMRE - Universidad de Chile N° 7, publicado el 9 de junio 2004, a través de El Mercurio.
Solución: Se remplazan los valores de b yc en la expresión 1. Introduce términos en una raíz, para reducir una expresión.
Luego, la expresión I es equivalente a
~.•• • •••••• ••.
.J6O.
Se remplazan los valores de a, b y e en la expresión 11. .
.
.....: Luego, la expresión
11
es equivalente a.¡¡;o.
Se remplazan los valores de a, b y e en la expresión 111.
Luego, la expresión
111
..4JjUi:''l'ia própléd(J¿¡ ¿fe pl~feflC¡(J,:tÍP.,· , rofZ:l'aro Sil'J{pJlfi<.af' '4I1Cl ~pJ:$ji5h.
Aplica la proPiedad de raíz de raíz, para reducir una expresión.
• .. .
.........
no es equivalente a.J60.
......
Por lo tanto, las expresiones I y II son equivalentes a
..J6Q.
Respuesta: la altemativa correcta es D, a la resolución de la pregunta y marca según tus logros.
Observa los colores correspondientes
D Sí.
Introduzco términos en una raíz, para reducir una expresión,
D No,
Entonces, resuelve los siguientes ejercicios,
1.
Aplico la propiedad de potencia de raíz para simplificar una expresión,
D Sí.
I~==================~I! Aplico la propiedad de raíz de raíz para reducir una expresión,
D No,
D Sí. D No,
J5.J2
2.
¡;_S. J3
Entonces, resuelve los siguientes ejercicios,
1. ("0,25)52. (~)5
3. (2~a 4b2 )4a
Entonces, resuelve los siguientes ejercicios,
1.
1~
129
2.
3.
222
Matemática
Números
Racionalización Racionalizar una fracción consiste en encontrar una expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador. Para ello, se multiplica el numerador y el denominador por una expresión adecuada, de forma que permita expresar el denominador sin raíces. Se estudiarán los siguientes casos de racionalización. Caso 1 Racionalización de expresiones del tipo
.lb.
· l'Iza ..J5' 2 Raciona Por definición de ralz c.uadr'ada, Se amplifica por la ralz presente en el denominador,
.Js . .¡; ~5.
2
.¡;.
..[s
5
En general, para racionalizar una fracción que contiene una raíz cuadrada en el denominador, se amplifica la fracción por dicha raíz, es decir: En general. para racionalizar fracciones del tipo
i
se amplinca por.Jb.
Por tanto,
a .Jb
==
==
luego,
.Jb
-
--
b
Ejemplos
a.Jb a.Jb .Jb . .Jb == .Jb.Jb a.Jb a..Jb a.Jb (.Jb)2 == ir! == b
1. Racionaliza la expresión
)J .
Se amplifica por la raíz que hay en el denominador, es decir
.J3
b
2. ¿Qué número es mayor,
Se racionaliza
Js ó 4.J5 ?
Js amplificando
por .J5.
15 = 15 . .J5 = 15.J5 = 15.J5 = 3 ..[s..[s ..[s . 5
15
Santillana Bicentenario
fj.
1
ar. ~ a.Jb .
vb
a.Jb
a --;;;;;o
15
Luego,
Ys = 3.J5. Entonces ahora se compara
Como
4..[s > 3..[s. se tiene 130
que:
4.J5
>
!s.
·i.J5 = 3.J5 ¡
3.J5 con
4.J5.
UNIDAD 4 Caso 2 Racionalización de expresiones del tipo
I
Potencias y raíces
a
nr::::. ~bm
7
Racionaliza ..r;. 3
'12
La fracción se amplifica por
<{;2, ya que
En general, si el denominador contiene una raíz del tiPO~,
la expresión se amplifica
por ~bn m, tal como se muestra a continuación,
a
-
~
a
WñWñ
_ a.~
Wñ ,~bn
~bn m
_ a .~
_ a,~ ~bm . bn-m
m
_ a . ~bn m b
~
Por lo tanto:
a
Racionaliza.
_a~
~
b
1.
t:
10.
v7
Ejemplos
' l'Iza 1. Raoona
2 7rz.
~4s En este caso, n
z.W, ya que:
Luego,
1
2
= 7, m = 5 Y n-m = 2. Por lo tanto, =
2
2 .?[;2
'{[;S '{[;S?[;2 _Z/16
if1
2
=
2z.W 4 s+2
V
if1
2.
J5
11.
3.
14 tr: v14
12.
4.
2
la fracción se amplifica por
= 2?[;2 =;1'.[;2 = z.W = Z/16.
f
2
2
•
5.
' l' 16 2. Racrona Iza ..ro.
~29 Observa que
(j = ~2s.
8 La fracción es ..'-;'
24
~24 Entonces, n
= (;5 ,<[;4 = 2(;4. 16 _
»Ór:
ya que
Ji _
6.
;2.'12
3J6 .J2 tr:
v10
512 tr:
13.
14.
= 5, m = 4 Y n-m = 1. Por lo tanto,
7.
15.
.J6.J1O
16.
8
9.
131
W81 6..[s + 3.J3
J5
J2~ 2
m
~-.Jb abi?
la fracción se amplifica por ~.
8.
i27 H
v15
12
'12
1
12JTa
8
sra9 _ _/"G4 _ ..G4·
'12
3
17.
18.
x
~x.Jx 1 2
(a +b)b'
Matemática
Números Caso 3 Racionalización de expresiones del tipo
ro-
vb
a
+
r: o
vC
a
r.
b ± Vc
Ejemplos
En cursos anteriores se estudió el siguiente producto notable: (b ± e)(b
+ e) = b
2
2
- e
.J2
' l'Iza r: 1· Racrona h· v5 + v2
5.
En este caso la expresión se amplifica por el factol-.J5 pal-a formar una suma por diferencia en el denominador, luego se obtiene la siguiente expresión,
Si los térrrinos son raíces cuadradas, resulta:
(.[b + [c)(.[b + [c) = (Jb)2 _ ( [c)2
Ji.J2 _ .J2 . 5 - .J2 ·2
_ .J2JS -
- fs2-.Ji -
_
J10 - 2 3
5-2
=b- c
.J2 =..J1O J5+.J2 3
Por lo tanto,
' l'Iza 2 · RaClona
2.
21 r::: .
3 - v2
La expresión se amplifica por el binomio 3
21 _ 21 3 - .J2 - 3 - ..Ji
3 +..Ji . 3 +..Ji
+ .J2 .
21(3 + .J2) (3 + ..Ji)
_ -
Ji)(3
= 21(3 + Ji) = 21(3 + .J2) = 3(3 9-2 7 Por lo tanto,
' l'Iza 3· Raoona
21
t: 3 - v2
=
_ -
+..Ji)
21(3 + ..Ji) 32 -
.Ji
= 9 + 3.J2
r:
9 + 3v 2 .
.J2-Ji r::: r:: . v2+v3
En este caso se amplifica por
..Ji.-.Ji.
.J2- .[3 _ ~ -.[3 ~ - .[3 _ (..[2 - .[3)(.J2 - ¡j)_(.J2 - .[3)2 Ji +13 - Ji +J3' ..[2-13 - (..[2 +J3)(..[2-.J3) - ¡;_2-H _ (Ji)2 -2.Ji ..[3 +(.[3)2 2- 3
= -(5
Santillana Bicentenario
-2.[6)
1132
=
2J6-
+3
_2-2/6 -1
5
UNIDAD 4
Luego,
I
Potencias y raíces
J2-.J3 r: r:: r:: = 2,,6 - 5 . ,,2+,,3
Los easos anteriores se pueden generalizar mediante las siguientes igualdades:
Observa que a puede ser una expresión cualquiera, que tenga o no términos con , races.
Por lo tanto: a
a .
b + "e ~ -
(b + J;_) b2 - e
Racionaliza las siguientes expresiones.
1.
2.
3.
4.
1
J3-J2 3
~+f3 6
.J5-J2 3
7.
5.
6.
.fi-.J5 1
J2-~
13.
JI5 - JI 4
8. 1+
14.
JI 1
9.
15.
J2 - 1 2
10.
1+
J8+J2 4
12
11.
12.
16.
ji
J2 J8-J2
17.
J6
J3+J2 2M
fi-.J5 3 - .f3 3 +.f3 M+~ .J1O -.fi 413 - 3J2 313 - 2J2
18.
19.
2a
.Ja+fi Fa
5+f2;
7a+~ 20. a+~
J2b J2b
21. 2.Ja + a + 22.
a( a + 7) .Ja + 7 - .Ja - 7
J40
J5+.J8 133
Matemática
Números Caso 4 Racionalización de expresiones del tipo 3~
a
'\{b +
31 . '\{c
Ejemplos
' l'Iza 1. RaClona
1
.
~-~ Lafactorizaciónde unasumao diferenciade cuboses:
Si x =
En este caso, el denominador
contiene una diferencia de raíces cúbicas, por tanto,
la expresión se amplifica por
((;i + ~5
s- 2
(b e y = (c, se tiene:
(~)3+ (~)3= ((b" + ~)(ftl b +c =
(Tb + ~)((r1+ ~
+~
+ V)
+ (1)
= (~-
'2 +
;Ji), ya que:
if:2)((s2 +
De esta manera se obtiene en el denominador
3, pues 5 - 2 = 3.
Por lo tanto:
(s2+~+(22 ~ - ~ - ~ - if:2 ' (s2 +
_
1
_
(s2 + ~S ' 2 + (22 - (~ - \5)( (s2 +
_- V25 + ifIO + (4 3
Luego, 1
_m+ifIO+(4
~_~
Santillana Bicentenario
3
134
UNIDAD 4 2. Racionaliza
3
2+
Potencias y raíces
I
.
V3
+
En este caso, se amplifica por (4 - 2'ifj
W), ya que:
Por lo tanto,
4 - 2~ + '(J
3
3
----
2 + T3 . 4 - 2~ +
(1
sr: + 3v3~ 312 3 . 4 - 3 ·2",3 (2 + ~)(4 - 2~ + (1) 12 - 6if3 +
-------
3H
3
2 +3 12 - 6'#3 + 3~ I1 Luego,
3 2+V3
=
12 - 6'ifj + 3V9 . 11
Los resultados anteriores
se pueden generalizar mediante
a
la siguiente igualdad: Observa que a puede ser un polinomio cualquiera,que poseao no términos , con raices,
_a(~+~+(c2)
Vb+~
b±c
Racionaliza las siguientes expresiones.
3
5. 1.
1
Ts-~
3.
ifi+~
7-~
ifi-~
6
6. 2.
3
ifi+T3
4.
8
9 +
~-T2 7.
1+ 1-
135
:if9
rs rs
2
8. ~
9.
-2
8
~-(i 10.
7
®-~ Matemática
Números
Casos especiales de racionalización A continuación
se mostrarán algunas racionalizaciones especiales.
Ejemplos .,-O/>1b;én Se ,Puede
1
a!jru'par co/YIo'
(1 -
J5) + Ji ó 1 -
Racionaliza las siguientes expresiones .
(.[5 - ~)
1.
1+.../3-J5 En este caso se agrupa el denominador fracción por (1 +
(1 + J"J)2
=
12 + 2 . 1J"J + (.[3)2
2.../3+ 3 4 + 2.../3
= 1+ =
como (1 +
fj) - .J5. Así, se amplifica
.Ji) + .JS . Observa.
1 _ 1 (1 + .../3) + J5 (1 + ./3) - J5 (1 + ./3) - J5 . (1 + .../3) + J5 _ 1+.../3+J5 _ 1+J3+J5 (1+.../3)2 _(J5)2 (1+.../3)2_5 _1+.../3+.J5 _1+J3+J5 - 4 + 2.../3 - 5 2J3 - 1 Se obtiene una expresión con raíces en el denominador, Se aplica, por lo tanto, dicho procedimiento,
del tipo visto en el caso 2.
amplificando por
2J3 + 1.
1+ J3 + J5 _ 1+ .../3+ J5 2.../3 + 1 2.../3- 1 - 2.../3 - 1 . 2.../3 + 1 (2J3)2
. 2 . J3 =2·2·J"J·J3
_ (1 + .../3+ .J5)(2.../3 + 1) (2.../3)2 - 1
= 2 . J"J
= 4·3
=12
_ 2.J3 . 1+ 2.J3 . .J3 + 2./3 . .J5 + 1· 1+ 1. ./3 + 1. .J5 12 - 1 2.J3 + 2(.J3)2 + 2 . .J3 ·5 + 1+ .J3 + .J5 11
_ 2.J3 + 6 + 2.J1S + 1+ ./3 + J5 11
_ 3../3 + 7 + 2.J1S + .JS 11 Por lo tanto,
1 1+.J3-J5 Santillana Bicentenario
la
3..j3 + 7 + 2.J15 + .[5 11 136
UNIDAD 4
Se am plif ca prim ero por ~ 4
-.J3
_ ~4-J3
~4-J3
J3 -
4 -
=
para escribir el denom inador sin la raíz cuad rada.
4-
4+J3 _ ~4-J3 42
~(4 - .J3)(4 + .J3)(4 + .J3)
_
=
13
=
j13 . (4 + J3) 13
1.Jb se debe racionalizar como en el a- b caso 2, es decir, se debe ampliflicar por
4-
del caso 3, amplificando por 4 +
J3 . 4 + J3 -
~
_ "4 - J3J3
1
Luego, se aplica el procedimiento una suma por diferencia.
Potencias y raíces
En el caso que la fracción a racionalizar sea
"4-J3_ "4-J3' "4-J3
1
I
.J3 para obtener
.(4+J3) _ J(4-J3)(4+..[3)2 (J3)2 16 - 3 ~(42 - (.[3)2)(4 + .[3)
= ~(16 -
13
= ~52 + 13
3)(4 + .J3) 13
13J3
Por lo tanto,
1
_
~4-J3
~52+13.J3
-
13
Racionaliza las siguientes expresiones.
1.
2.
3.
1
7.
4.
1
5-JS-../2 4+.Js +../2 4-.Js -../2
2
5.
:rs
8.
6.
5
9.
~5-JS
2
../2 + 1 a ~a +
137
10.
1
11.
5
12.
Jb
~JS-1 5
~.¡¡ +1 Matemática
1.
Racionaliza la expresión
5 + 2# 5 - 2./6'
Estrategia
S ti
Analizar la expresión antes de racionalizarla, en busca de resultados que puedan aprovecharse para realizar menos pasos.
e lene 1
5 +
2"J6
5 _ 2./6 =
JS + 2.J6 JS - 2./6 .
Al analizar el denominador la cantidad subradical:
-----o
Se restan los cuadrados de los términos de la cantidad subradical
52 - (2../6)2
de la expresión, se puede observar una particularidad en
=
25 - 22 . (.[6)2
particularidad para amplificar la fracción por
Se amplifica por~5 + 2.[6, para que el denominador no tenga raíz.
~5
JS
J5 -
Se utiliza el resul(tado o)~tenido anteriormente, 52 - 2,[6 = 1.
-
2.J6
5+
Ji = 5+2./6
js
+ 2~ 5- 2 6
=
5+ 2./6.
tú
Utiliza la estrategia anterior y racionaliza las siguientes expresiones. 1
2.
10
3.
7-
Santillana Bicentenario
138
+ 2../6 + 2.J6
(~5 + 2./6)2 ~(5 _ 2.J6)(S + 2.[6) 5 + 2./6
Por lo tanto,
+ 2J6 .
_ J5 + 2../6 ~5 2.J6 - ~5 - 2.J6 . ~5
+ 2../6
----------0
1.
25 - 4,6
=
25 - 24 = 1
El resultado es 1, un número cuya raíz es racional. Por lo tanto, se aprovechará esta
del denominador.
tJ Ahora
=
2M
Preparando la PSU I " Al' sirnp I'fi I icar a expresion
2.Ji.Ji+ ¡.¡¡ resu Ita
A. 2.J3
B. 2 +J14
c.
2
+.J2
D. 2.J7
+.J2
E.
4
Fuente: Pregunta N° 21, Modelo Oficial Prueba de Matemática, Proceso de admisión 2006, Serie DEM RE - Universidad de Chile N° 21, publicado el S de octubre 2005, a través de El Mercurio.
Solución: Se racionaliza la fracción amplificando por
.fi . Racionaliza
+J14 _ 2J7 +J14 J7 _ (2J7 +.J14).J7 _ (2J7 +Ji4) ..J7 .J7 - J7 .J7 (.J7)2 7
2.J7
Se desarrolla el producto
(2J7 + J14)J7
=
(2.J7 + ..[i4).J7 del
(2.J7 . JI +.J14 . .J7)
= 14
~
• .. ...............
••••• •
numerador,
= 2 . (.J7)2
+ ~14
+ .J98 = 14 + .J 49 . 2 = 14 + ~2 ' 7
2
.7 = 2 .7 = 14
1
a .
expresiones del tipo
~
Muftipllca rafte$. oe ,iguc11 ,fndiGe y pl(.uae ,terl1lihoS dE: í¡~a raíl.
+ J98
+ .Ji . Ji
= 14
+ 7J2
Al remplazar en la fracción se tiene:
+ Jl4 _ 14 + 7.Ji
2~
~
la altemativa correcta es
los colores correspondientes
Racionalizo fracciones del tipo ~
.Ji)
=2
+ .Ji
1
7
Respuesta:
Observa
= 1(2 +
.
e,
a la resolución
de la pregunta
D Sí. D No,
y
marca según tus logros.
Entonces, racionaliza las siguientes expresiones:
1
1. ~
2.
2
10
3J5
3. ~
~~-----------------===~I~ Multiplico raíces de igual índice y
D Sí. D
No, Entonces, reduce las siguientes expresiones,
extraigo términos de una raíz,
1.
~,'(4
139
2.
.J5.'¡¡
3.
.Jl35
4. ~224
Matemática
Números
Ecuaciones exponenciales Se llama ecuación
exponencial
a aquella
cuya incógnita
se encuentra
en un
exponente.
Ejemplos
1.3x=81 Para resolver ecuaciones exponenciales, se expresan ambos miembros de la ecuación como potencias de una misma base, lo que permite igualar los exponentes y resolver la ecuación que resulta. Por definición de potencia, se tiene:
n
Si a
= am => n = m, con a::¡:.O Y a ::¡:.1.
En ocasiones, será necesario aplicar algunos procedimientos
para igualar las bases,
como se muestra en los ejemplos.
Ejemplos Determina
Comprobación del ejemplo 1:
37-2
1. 3x - 2
el valor de x en las siguientes ecuaciones exponenciales.
= 243
3x3x-2
= 243
35 - 243 243 - 243
Como las bases son iguales,
2
=
x-2
se igualan los exponentes.
= 243
35
Se expresa 243 corno potencia de base 3.
= 5 x=7
Comprobación del ejemplo 2: 3· -- 4 + 4 a 3
-
a -4 + 4 - I aO - I
= 7.
Por lo tanto, x
2. a
3x + 4
= 1, a
'* O, a '* 1.
3x + 4
a
1 -
a3x
Como las bases son iguales, se igualan los exponentes.
+4
= 1 = aO
3x+4=0
x ---
Por lo tanto, x = --
Santillana Bicentenario
4 . 3
140
4
3
Se expresa Icomo potencia de base a.
Potencias y raíces
UNIDAD 4 3. 2x - 3 . 3x - 2 = 108 x x Observa que 3 - 2 = 3 . 3 - 3, lo que permite obtener, en el primer miembro la ecuación, un producto
de
Comprobación del ejemplo 3:
de potencias de igual exponente.
25 2x - 3 . 3x - 2 = 108
2x Se aplican propiedades de potencias.
3 . 3x
- 3 -
108
3 . (2 . 3)x - 3 -
108
- 3 .
4·27 I :3
6x - 3 - 36 6x - 3 - 62 x-3
1
108 108
=
108 108 - 108
Comprobación del ejemplo 4:
Como las bases son
= 2 x = S
iguales, se igualan los exponentes.
11-1
0,413
1.
Por lo tanto, x = 5.
4. O ,4x -
3 . 35 - 2 22 . 33 -
13
0,4
6.11-5
= 6,25 = 6,25
13
M.-5
13
= 6 , 256x - 5
Para igualar las bases es necesario expresarlas como fracción.
O ,4x-1 Se expresan las bases como fracciones.
(~)X
- 6,256x - 5
(625) 6x - 5 - 100
-1
( ~ )X - 1 - ( 2; ) 6x - 5 (+)X
Se aplican propiedades de potencias.
-
( ~ )X - 1 (+)X
Se invierte la base de una potencia, con exponente -1.
-1
-1
-
' ((;f'r(+)
-
-1 .(x - 1)
( ; )-x + 1
Como las bases son iguales, se igualan los exponentes.
-
((tt (
6x- 5
Se expresa la base como potencia.
5 )2'(6X - 5) 2
S )12X-l0
(2 (
5 )12X-l0 2
Se aplican propiedades de potencias.
S )12X-l0
(2 (
5 )12X-l0 2
- 12x-x + 1 -
10
11 - 13x 11 x = 13
11 Por lo tanto, x = -. 13
141
Matemática
Números
5.
+
sX + 1 = 750 x+2
x+1
..
Observa que 5 = 5 ·5 , lo que permite sola potencia en el primer lado:
Comprobación del ejemplo 5: 52+2+52+1 54 + 53
sX + 2
Se aplican propiedades de potencias.
S . SX + 1 + sX + 1 = 750 SX + 1(S
+ 1) = 750 sX + 1 = 125 SX + 1 = 53
Comprobación del ejemplo 6: 33 + 1 + 33 + 33 - 1 + 33 - 2 4 1 3 + 33 + 32 + 3 81 + 27 + 9 + 3 120
-
al +4bl
- aSb4 +3 = aSb4
aS . b 4 - aSb 4
aSb4 - aSb4
Se igualan exponentes.
x = 2
- 120
- 120
1: 6
x + 1 = 3
- 120 - 120
Comprobación del ejemplo 7: a2'2+4'b2'2+3
y obtener una
SX + 2 + sX + 1 = 750
750 - 750
1
por 5
- 750
- 750 - 750 625 + 125 -
I
factonzar
x+1
Por lo tanto, x
6. 3x +
1
= 2.
+ 3x + 3x -
1
+ 3x -
2
= 120
x En este caso, se escoge la menor de las potencias para factorizar, 3 - 2. Entonces:
+ 3x + 3x - 1 + 3x - 2 = 120 3x - 2(33 + 32 + 31 + 3°) = 120 3x - 2(27 + 9 + 3 + 1) = 120 x -2 = 3 3 Se aplican propiedades de potencias. 3x - 2 = 31 3X
+ 1
X -
1: 40
Se igualan exponentes.
2 = 1
x= 3 Por lo tanto, x
= 3.
Se aplica el mismo procedimiento a :F- O, b '* O, a '* 1 Y b :F- 1.
que en el ejemplo
a2x +
3, considerando:
b2x + 3 = aSb4 a ·(a2x + 3 . b2x + 3) = aSb 4 Se aplican propiedades de potencias.
4 •
a ·(ab)2x + 3 = aSb 4 (ab)2x + 3 = (ab)"
2x + 3 = 4 2x
=
1 1 x=2
Por lo tanto, x =
Santillana Bicentenario
1
'2.
142
I:a Se igualan exponentes.
UNIDAD 4
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. despejando x en cada caso
1.
5 = ~ 2
2. 3. 4. 5.
2x
= 9
+ 2
5x + 3 + 5x +
18.
5· 2x - 2 _ 3 . 2x - 3 = 14
=2
24. 1
25.
8. 9. 10. 11. 12.
(~)3+X
= 16 26.
(0,00001 )2X + 3 = 100
= n
n
, para n
'* 1 Y n '* O.
'* 1 Y a '* O. m 5 = (mx + 2)2 : m2x + 3, para m '* 1 Y m '* O. bX - 2: b5x - 7 = b 4x - 3 . bX + 1, para b '* 1 Y b '* O. z2x + 1 : z = z7, para z '* 1 Y z '* O. 3x-3 3x 2x 2x+3 a .b = a .b , para a '* 1, a '* O, b '* 1 Y b '* O. x +2 X
:a
5x - 7
= a
4x - 3
.a
x+
1
, para a
-
2
x-2
28.
125 ___
2
3x-6
= 54x .53
3
25 1
2x + 3 . 5x + 5 = 25.000
14.
3x +
15.
2x + 2x - 1 = 48
1
4x- 7
27. 32 = --
648x - 5 = (O, 125)3x - 4 16x + 6 = (O,25)2x -
, para e
2
(O,25)3X - 4 = 648x - 5
13.
16.
7x - 5
4x +
= 81 x +
'* 1 Y e '* O.
(aX)3 =a12,paraa,*lya,*0.
23.
7.
1
20.
22. a
=2
2x -
1= e
21.
3x
+ 5x - 1 = 16.275
1
19.
5-2x + 4 = 58 1
Potencias y raíces
y comprueba tus resultados.
x
27x
17.
I
16 81
= 48 . 2x - 4
7x + 2 + 7x + 7x - 2 = 17.157
143
30.
22x+4 + 22x+2 2x+2 _ 2x
31.
6x+2 _ 3x = 287 x 3
-
80 3
Matemática
Números
Ecuaciones radicales Se llama ecuación radical a aquella ecuación cuya incógnita se encuentra en una o mas cantidades subradicales. Ejemplos
1. ~x + 5 = 22
3. 5 - ~x + 3 = ~x + 7
Para resolver ecuaciones radicales, se despeja la incógnita elevando ambos miembros de la ecuación a una potencia adecuada tantas veces como sea necesario, considerando las restricciones definidas para las raíces. En los ejemplos, se muestran distintos tipos de ecuaciones radicales y la forma de resolverlas. Ejemplos Resuelve las siguientes ecuaciones.
1. ~x + 1 = 25 El índice de la raíz que contiene la incógnita es 2, por lo que se elevan al cuadrado ambos miembros de la ecuación.
~x + 1 = 25
Se eleva al cuadrado, para
I ( )2
eliminar la raíz de (ndice 2.
(~ x + 1)2 = 252 x + 1 = 625
x = 624 Se comprueba la solución remplazando x en la ecuación ....~624 + 1
= .J625 =
25.
Luego, x = 624 es solución de la ecuación.
2. ~x + 3 - ~x- 3 = 2 Cuando la incógnita se encuentra en dos raíces, conviene dejar una en cada lado de la ecuación.
~x + 3 - ~x - 3 = 2
=>
~x + 3 = 2 + ~x - 3
(~x+ 3)2
=
Se eleva al cuadrado, para
I ( )2
eliminar las raíces de lndice 2.
(2 + ~x_3)2 2
x + 3 = 2 + 2· 2~x - 3 +
u: _
3)2
x+3=4+~+x-3 Se reducen términos semejantes.
f. + t = Á
+ 4~x - 3 + f
2 = 4~x - 3 1 = 2~x - 3 12 = (2~x _ 3)2
1 = 4x - 12 x=-
Santillana Bicentenario
13 4
144
-t Se eleva al cuadrado nuevamente, para eliminar la ralz de 1ndice 2.
UNIDAD 4 Se comprueba
Luego, x
3.
.Jx -
esta solución en la ecuación:
13 --3 = 4
13 - +34
Potencias y raíces
13 12 -+-4 4
13 4
12 4
1 4
2S 4
S 2
--------
1 - 4 - 2 2 2
13 es so lud = 4" ucon di"e a ecuacron,
S - ~
= O
Al igual que en el caso anterior, se deja una raíz en cada miembro
.Jx -
5 - ~
= O
.Jx - 5 = ~ (.Jx - 5)2 = (/};)2
=>
de la ecuación.
I ( )2
Se eleva al cuadrado. para eliminar las raíces de (ndice 2.
x-S=2x Se reducen términos semejantes.
;I-5=~ -S = x
Se comprueba
esta solución en la ecuación:
.J-5 -
5 - ~2 . (-5) = O
~
-.J
10 = O
Al remplazar la solución en la ecuación, se obtienen cantidades subradicales negativas de raíces de índice par, están definidas en ~. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución en los Números
4.
~2.Jx
(.J-1
O), que no
Reales.
+ 9 = -3
El índice de la raíz que contiene la incógnita es 3, por lo que se eleva al cubo ambos miembros de la ecuación.
~2.Jx + 9 = -3 I ( )3 (~2.Jx + 9 )3 = (_3)3 2.Jx + 9 = -27 .Jx + 9 = _!!...
Se eleva al cubo, para eliminar las raíces de Indice.3.
2
Se tiene una raíz cuadrada igual a un número negativo, que por definición de una raíz de índice par no está definido en ~. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución en los Números
Reales.
145
Matemática
Números
5. ~x + 5 + ~x + 1 - 2~x + 2 = O
~x + 5 + ~x + 1 - 2~x + 2 = O => ~x + 5 + ~x + 1 = 2~x + 2 (~x + 5 + ~x + 1)2 = (2~x + 2)2 (~x + 5)2 + 2~x + S~x + 1 + (~x + 1)2 = 4x + 8
!+f + 2~(x
Se reducen términos semeja nres,
+ S)(x + 1) +
!+1 = ~
i~(x + S)(x
Se aplican propiedades de raices.
1)
+
=
+j
ix + i
Se eleva al cuadrado nuevamente, para eliminar las ralees de lndice 2.
~(x + S)(x + 1) = x + 1 (x + S)(x + 1) = (x + 1)2
Se reducen términos semeja ntes,
;R+¡Ix+~=;!+~+/ 4x =-4 x =-1
Se comprueba esta solución en la ecuación.
~-1 + 5 + ~-1 + 1- 2~-1 + 2 =
.J4 +..JO -
2..[1 = 2 + O - 2 ·1 = 2 + O - 2 = O
Luego, x = -1 es solución de la ecuación.
~9x - 2 + 1 = 3 +2 - 1
6. .Jx
La ecuación es fraccionaria, por lo que se aplica el procedimiento
visto para este tipo de ecuaciones. La verificación de la
solución deberá, por lo mismo, satisfacer la condición que el denominador sea distinto de cero.
1
x - 2 + 1 = 3 =>
x + 2 -1
.J9x -
2 + 1 = 3( .Jx + 2 - 1)
~9x - 2 + 1 = 3~x + 2 - 3 ~9x - 2 = 3~x + 2 - 4
Se eleva al cuadrado, para eliminar las raícee de (ndice 2.
I ( )2
(~9x - 2)2 = (3~x + 2 _ 4)2 9x - 2 = (3~ x + 2)2 - 2 . 3 . 4~ x + 2 + (_4)2 Se reducen términos semejantes.
~-i
=~
+
W-
24~x + 2 +
;t
-36 = -24~x + 2 3 = 2~x + 2 (3)2 = (2~x + 2)2 9 = 4x + 8
1 x= 4 Santillana Bicentenario
146
Se resuelve la ecuación.
UNIDAD 4
I
Potencias y raíces
Se comprueba esta solución en la ecuación original, verificando que el denominador no sea cero.
1 4
9·--2+1 1 - + 2 -1 4
~-.§_+1 4 4 J_+~-1 4 4
IT+1
-
_1+1 3 = 2 = .2 = 3 {9 -1 1-1 1 2 2
V4 V4
1 es so1'/uoon de Ia ecuaoon ./ Luego, x = ¡
Resuelve las siguientes ecuaciones radicales, y comprueba en cada caso tu resultado.
1.
~=10
2.
~x+2 =10
11. ~2x+S =~x+4
13. ~2x2 + x + 2 = ~2x2 + 3 3.
~x-2=S 14. ,J4x-1
4. 5. 6.
~2x+S =7 ~2x-1
= 7,J2x- 29
15.
.Jx + ,Jx + 7 = 7
16.
J4;-.Jx
-7=0
=1
10- ,J3x + 1= O 17. ,Jx + 4 - ,Jx - S = 3
7.
2~3x-2
=16 18. ,Jx - 7 - ,J1 - 2x = O
8.
~ x2 + 8x = 3- x 19. ,Jx - 3 + Jx + 4 - ,J2x - 9 = O 20. ,Jx - 1 + Jx + S
1O. 3~x +2 = 1 8 21.
147
-.J 4x + 3
.¡;- ,Jx + 1 + 2'¡;
= O
= O
Matemática
1.
Resuelve la ecuación 4x + 4 . 2x
-
32 = O.
En la ecuación hay potencias de base 4 y de base 2. Se expresa 4 como potencia de 2 para tener solo una base.
Se expresan las potencias en una misma base.
X x 4 + 4 . 2 - 32 = O (22)X + 4 . 2x - 32 = O
Estrategia Cambio de variable: se cambia la variable de la ecuación, con lo que su tipo cambia, permitiendo resolverla de otra forma.
22x + 4 . 2x
-
32 = O
2 x (2 ) + 4 . 2x - 32 = O
Se hace el cambio de variable
t
= 2x
(2x)2 + 4 . 2x - 32 = O t2 + 4t - 32 = O
---------0
Se obtiene así un trinomio de segundo grado, que puede factorizarse para determinar los posibles valores de t. t2 + 4t - 32 = O (t + 8)(t - 4) = O t=-8ót=4
Se factoriza la expresión, para ocupar la proPiedad: si A . B = O ~ A = O o bien B = O.
Se cambia nuevamente la variable, para resolver la ecuación.
I
x
o Como t = 2 , se tienen dos ecuaciones exponenciales.
Se vuetve a la variable original x.
---------~ Se analiza la factibilidad de los resultados obtenidos, a partir de la definidón de potencias.
x
La ecuación 2 = -8 no tiene solución, pues corresponde positiva y resultado negativo.
a una potencia de base
La ecuación 2x = 4 se resuelve igualando las bases. ...
Se comprueba la solución en la ecuación ..... 4x + 4 . 2x - 32 = O 42 + 4 . 22 - 32 = O 16 + 16 - 32 = O 32 - 32 = O Luego, x = 2 es solución de la ecuación.
BI Ahora tú Utilizando esta estrategia, resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales.
1. 9x + 1 O . 3x + 9
Santillana Bicentenario
=O 148
Preparando la PSU ./ En la ecuacion
~
a
4x + 8
1o - Sx
~
:a
= 1) ¿cuál es el valor de x, si se sabe que a ':#- O?
A. 2 B. -2 C. 1 D. O E. No hay solución en los Números Reales. Solución: Se expresa la raíz
una potencia, para obtener una ecuación exponencial.
COI110
~ a 4x + 8
: ~
4x +8
a
4 4
a
x+2
5x
= 1
~.. .. •••••••••••
10 - 5x
:a
5 5(2 - x)
4(x +2)
a
a 10 -
Utiliza propiedades de potencias y raíces para transformar expresiones~
5
:a
:a
2-x
=1
=
1
Se resuelve la ecuación exponencial, igualando las bases de las potencias.
a (x
+ 2) - (2 - x)
= 1
aX
+ 2- 2 +x
= 1
a
2x _
- a
O
"f{f.'~¡!~iv~ :~tl!ºCi(,1Je#;:f;,'lP(j/!eJ)t<~º!~
se obtiene:
:Ci;J[nprí!~bblº~''''i;~t1nq;U~k;p~i~i,l¡(fi_}~¡
• ••• • ••••••••••• • •
x=O
Se comprueba esta solución en la ecuación: a0+2 : a2'0-1-
a2 -
2 -- 1
0_
a -1
1 = 1
Respuesta: la altemativa correcta es D.
Observa los colores correspondientes
Utilizo propiedades de potencias y raíces para transformar expresiones.
Resuelvo ecuaciones exponenciales y compruebo los resultados obtenidos.
a la resolución de la pregunta y marca según tus logros.
DSí.
D No.
Entonces, resuelve los siguientes ejercicios. 1.
D Sí.
D No.
t
8
(pq) . (pq) . (pq)
x+1
2. (ab) 3 : (-3a)
8
Entonces, resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba tus resultados.
1. 2x + 4 = 4.096
149
2.
10x- 16 : 10-x = 0,000001
Matemática
... Se define la raíz enésima de un número b como el número a, tal que su potencia enésima es b.
Donde b
E ~,
n
E
1\1, n > 1.
Dependiendo
de los valores, pueden darse las siguientes situaciones:
•
si n es un número par, b no puede ser negativo
•
si n es impar, b puede ser positivo o negativo .
y
a se define positivo, es decir,
... Una raíz se puede escribir como potencia con exponente
~ ... Propiedades •
de la operatoria
= a~'
ifb no se define
cuando b
< O.
fraccionario.
con ~
E IR
con raíces.
Cambio de índice de una raíz. Una raíz se puede amplificar o simplificar de manera que su índice cambie de valor. Luego, para todo a E ~~, n E n
>1
Ym E
lL, rE
7l_+, se tiene:
.r: n·r~ va'" = va'''' • Multiplicación Sean a, b
y
y división de raíces. e -:j:. O, n E
N. Se tiene
entonces:
.... III(I{---
ni va,
mi _ 'va -
n,m~
'Va"
...
e
.._--
Ralces de igual cantidad sabradical. ---),.....
Ralces de distintos índices y_----II,...... cantidad scbradica 1.
Santillana Bicentenario
a b
Ralces de igual (ndice, -----J,......
150
n-
r¡;: ~
=
Yl~
n'V a m-n
a
m
n·m--
N,
tJNIDAD4
Potencias y raíces
• Potencia de una raíz.
'V a E IR~,n E N, n > 1 Y m E 71.. • Raíz de una raíz.
'V a E IR~,n • Introducción
'V a E IR~,n .... Racionalización
E
N, n > 1 Y m
y extracción
E
E
71..+
de términos
en una raíz.
N, n > 1
de expresiones
fraccionarias.
Caso 1:
Caso 2:
Caso 3:
Caso 4:
raíz cuadrada en el
Raíz enésima en el
Suma o diferencia de
Suma o diferencia de raíces cúbicas
denominador.
denominador.
raíces cuadradas en el
en el denominador.
denominador.
a
.Jb
a
a~ b
--
a. ~bn
m
b ~
Se amplifica por
.Jb.
Se amplifica por ~bn-m.
a
_a (~ +.Jc)
.Jb±.Jc
b-c
-
Se amplifica por
_ a({Ít} -
+~
+
(c2)
b+c
~+~
.Jb +.Jc.
En algunos casos se puede combinar dos o más de estos procedimientos .... Ecuación exponencial:
a
Se amplifica por (~
+~
+
(c2).
para racionalizar una expresión .
es aquella cuya incógnita se encuentra en un exponente,
x x por ejemplo: 3 + 3 + 1
= 81.
Para resolver una ecuación exponencial se expresan ambos miembros de la ecuación como potencias de una misma base y luego se igualan los exponentes y se resuelve la ecuación respectiva . .... Ecuación radical: es aquella cuya incógnita pertenece a alguna cantidad subradical, por ejemplo:
.J x + 3 = 2.
Para resolver una ecuación radical se despeja la incógnita elevando ambos miembros de la ecuación a una potencia adecuada, tantas veces como sea necesario.
a Mapa conceptual Construye
un mapa conceptual
utilizando
el
Raíz enésima - Potencia de exponente
software CMap que relacione al menos los siguientes conceptos clave. fraccionario - Cambio de índice de una raíz - Potencia de una raíz -
Raíz de una raíz - Racionalización de expresiones fraccionarias - Ecuación exponencial - Ecuación radical
151
Matemática
1 ¿A qué
número hay que elevar
B. 3 C. 4
( ~ )~
x2
.x
(~X2y6)4 .
va
E.
B. x
V V
El valor de la expresión
E.
B. 9../3
D.
E.
(31x 12yl0 )-1
-10
2 mayor(es) que ~?
ill8
l.
J5
11.
1
rn ~Vfj.(..[3)6 es:
C. 27.J3
y
4" 10 X Y
¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son)
111.
4
D.
-6 -10
2
Si x = 2, y = 4 Yz = 16, la expresión ~ x~y'¡'; equivale a:
D.
-10
C. x y
7
C. 16
-1
11
I
c. ~
B. 4
Q
: ..Jx es
equivalente a:
se puede reducir a:
D.
A. 2
Z
1
2
A. ~
3
La expresión
A. y
La expresión
B.
6
para obtener 25?
D. 5 E. 6
A. 2
2
J5
Y x 2y 6 3 t1
JS 3J5 5
A. Solo I B. Solo C. Solo
E.729
8
81
11
D. E.
I Y II I Y 111
111
¿Por qué expresión se debe amplificar para racionalizar 2a? •
5
(.Jñ +.JiñX.Jñ-.Jiñ)
La expresión
n1-----7
m
zy;_ . Iente a: es equiva
A. J;.
49
A.
J7
D.
7.rf-lñ
B.
1
E.
C. rfa.2
~
C.
7
W49
Santíllana Bicentenario
rra
152
D. ~an
E.
n-Ir
va
1
UNIDAD 4
9
1
+~
Al racionalizar la expresión
13
se obtiene
Al resolver 8
5y
I
Potencias y raíces
= 32Y + 4, Y es igual a:
5 - 2 3
A.
23 + 4J1S D. 5
4 - 3J1S 7
A. 3
D. -1
B. 2
E. O
C. 1
B. 13 + 3.J15
E.
7
5
c.
14
16 + sJ1S ----7
Si 4
3x
A.
10
11
La expresión J
Ji..rs
equivale a:
.J5
c. ¿¡s
B.
../53
D. ~
JJ
Al racionalizar.J2
A.
J2-J3+J5
V5
se obtiene:
5
D.
3J2 + 50 - 2J3
Si ]_~2Vx
2
18
B. 6
E.
24
12
16
12
8
1 entonces 3x es igual a:
D.
Al resolver
12
Para racionalizar
=
A. 2
A.
12
3
C. 8
3J2 50 + 2J3 E.
12
E.
1
C. 6
15
3+
2 -
E.
J5
D. 9
1
B. 3
5 -1
A.
= 64 entonces el valor de ~ es:
B.
hay que amplificar por:
.JS
+x +
..¡; =
3 se obtiene x igual a:
2
3
7 3
~2+ Jj 4
A. ~2 + J3 y 2 + J3
C. 9
B. ~2 -.J3 y 2 +
J3
D. -49
~2 + J3 y 2 -
J3
E. 3
c.
9
153
Matemática
•
PREGUNTAS
INDICADOR
Opero con raíces utilizando sus propiedades.
1, 2, 3, 4, 5y6
PUNT AJE
___
I6
l QUÉ
DEBO HACER?
• Si obtuviste menos de 6 respuestas correctas, realiza las actividades 1 a 6 y lOa 13 para reforzar este contenido. • Siobtuviste 6 respuestas correctas, realiza las actividades 7 a 9 y 14 a 17 para profundizar tus conocimientos.
Aplico distintos tipos de racionalización de fracciones.
7, 8, 9, 10, 11 Y 12
___
I6
• Si obtuviste menos de 6 respuestas correctas, realiza las actividades 18 a 22 para reforzar este contenido. • Siobtuviste 6 respuestas correctas, realiza las actividades 23 a 26 para profundizar tus conocimientos.
Resuelvo y evalúo ecuaciones exponenciales y radicales.
13, 14, 15 Y 16
I4
• Si obtuviste menos de 4 respuestas correctas, realiza las actividades 27 a 30 para reforzar este contenido. • Siobtuviste 4 respuestas correctas, realiza las actividades 31 a 34 para profundizar tus conocimientos.
¿Cuánto he aprendido? Cuenta las respuestas correctas que obtuviste en la evaluación anterior y clasifica tu resultado de acuerdo a los criterios que se muestran a continuación: • • •
Rendimiento bajo: entre O y 10 respuestas correctas. Rendimiento medio: entre 11 y 13 respuestas correctas. Rendimiento alto: entre 14 y 16 respuestas correctas ..
Obtuve
respuestas correctas, lo que implica que mi rendimiento en la evaluación fue
Ahora, dirígete a la sección ¿Cómo lo aprendíi, que está al final del texto, y sigue las instrucciones que ahí aparecen.
Santíllana Bicentenario
154
•
Raíces, operatoria
y propiedades
Racionaliza las siguientes fracciones.
21.
Calcula el valor de las siguientes raíces.
1.
J1%
ZY-64
2.
ab
3.
~~a3b2
~a 4b2ca
22. ab
Escribe las siguientes raíces como potencia, y viceversa,
~
según corresponda.
4.
(l
5.
23.
2
J:3
6.
8.
9.
7.
(x + 4y2)7 24.
)i
2 5 1 ( x y Z3
~2.
1
JS-J6 x+2 .Jx - 3 - .Jx + 3
s
25.
Reduce las siguientes expresiones.
10.
~
1
26.
12.
n-I
a
jI +(~t
y
Ecuaciones exponenciales
radicales
Resuelve las siguientes ecuaciones para x.
a Sb3
13.
~ a 2b 5
14.
~.J16. (J23)4
: ~
27. 8x + 5
= 322x -
28. 3x + 3 _ 32 + x 29. JSx-4
15. ~~9
J:}) : .¡;;
= 10
31. J(3x + l)(x - 2) = J3x2
1
-
17.
2
~3X + ~~x6
.rx
32. 2x + 4 = 32 . 23x +
.l~9fx5 4
x
33. a : a
IJ Racionalización Escribe el término
= 54
= 3
30. Jx-6+~x+6
6 . (~x2a 16.
1
34.
2x+l b
=a
3x+2
7
-
1
x-l .a
I
para a
-:t:.
Oya
-:t:.
1.
x+2b
"X + = .Jx+ ab J
--¡===
por el cual hay que amplificar cada
fracción para racionalizarla.
19.
7
1-:
S-v3
20.
2x ~3+x
155
Matemática
Taller de evaluación 1
11 Números
Reales
5
Se tiene que x =
W, con a '# O. ¿Qué proposición(es)
es(son) siempre verdadera(s)?
1 Si a y b son irracionales,
¿en cuál de los siguientes casos, necesariamente, e es un irracional?
A. ab = c
C. a + c = 5
B. a + b = c
D. c: a = b
l. x es un irracional.
11. Si a es entero, x es irracional. 111. Si a es positivo, x es irracional.
E. ac = b
A. Solo II
2
B.
Solo III C. II Y 111 D. Todas. E. Ninguna es siempre verdadera.
¿Cuáles de los siguientes grupos de números están ordenados de menor a mayor?
1
A. .JO,l B.
0,25
.Js
JO:1
0,25
1
Se define el número .Q como:
.Js
0.=1+J5
1
C.
JS
Con esta definición,
0,25 1
D. 0,25
E.
3
.Js
1
1
2
J5
-
0,25
¿Cuál de los siguientes números es una mejor aproximación
4
6
C. 5,91
B. 5,9
D. 5,95
E. 6
7
¿Qué número está representado
2
¿Cuál es el valor de la expresión 0. -
A. B.
-1
C.
1
o. -1?
O
D. JS E. 3+Q
de 55?
A. 5,8
responde las preguntas 6 y 7.
¿Cuál de las siguientes proposiciones
es falsa?
,.. I A • -1 es un numero Irraclona .
por el punto P, si el
.Q
triángulo ABC es equilátero?
e-- _ _
B
n2
.
.
I
~" es Irraclona .
" ,,
,, ,, ,
C. 03 es un número irracional.
,,
,
, A~~~ __ -+B~_'~ r-__ \
o
A. B.
1 +,Ji
2
2 -,Ji 2
Santillana Bicentenario
1
p
C. ,Ji
E. E. 2 -,Ji
D. 1 + ,Ji 2
156
1
íi = o. - íi El número o. puede
D. 0..
2
1
construirse con regla y compás.
Taller de evaluación 1
tJ Semejanza 8
de figuras planas
11
Al ampliar un dibujo, un segmento que medía 9 cm mide 15 cm en la ampliación. ¿Cuánto mide en el dibujo original
A.
B.
9
1,6 cm 3cm
C. S cm
A. 4
D. 9
B.
E.
6 C. 8
un segmento que al ampliarlo aumenta su medida en 2 cm? -
¿Cuál es la medida del segmento FG?
E. 13 cm
12
D. 7 cm
¿Cuál es la medida del segmento AB?
A.
4 3
C. 2
B.
S 3
D. 3
Se tienen los siguientes datos del segmento AE:
I
A
I
I
I
e
B
I
13
Es cierto que:
¿En qué razón divide A al segmento BD?
l.
B. 1: 2
D. S: 2
E. 2: 1
AB DG
E
DG FA
II MCE ~ ~DGE
111. AB - EG DG FA
En la siguiente figura L1 II L2 II L3 II L4. Responde a partir de ella las preguntas 10, 11 Y 12.
14
C.
I Y II
B
D.
11
Solo III
E.
I Y III
Y III
En la figura, OA : AB = 2 : 1. ¿Cuál es la razón entre el área del pentágono amarillo y la del rojo?
1:2
O
A
B
1:4
C. 2:3
L4
12
A. Solo II
A. B.
L3
1{)
16 3
En la siguiente figura, FB tt CE.
E divide al segmento AD en razón 7: 2.
C. 4: 1
E.
E
D
B divide al segmento AC en razón 5 : 3.
A. 5: S
10
D. E.
3:2 4:9
¿Cuál es la medida del segmento GI?
A. 3
D. 7
B. 5 C. 6
E.
13
157
Matemática
Taller de evaluación 1
15
tJ
Dada la siguiente figura, ¿qué información permite afirmar que hay triángulos semejantes entre sí?
1.
1:BAE
= 1:EDC
2.
EC EB
ED EA
18
E
Expresiones algebraicas fraccionarias Al amplificar la fracción x - 2 se obtuvo una fracción x+7
es 3a2x2 + 12a2x
cuyo denominador
D. x2 - Sx + 6
A'------~B
E.
c.
Cada una por sí sola. D. Ambas juntas, (1) Y (2). E. Se requiere información adicional.
16
En el rectángulo ABCD, a: b = 4 : 3, y la diagonal BD mide 10 cm. ¿Cuál es la medida del segmento AE?
I
c.
2
A.
2 a - 1 3a2 + 9a
B.
1 3a + 9
b
4cm
D. 4,8 cm E. S cm
I
/
A
a
2
•
a + 3a + 2
3a + 15a + 18
E
B
x- 3
Al realizar la multiplicación 2a- 2
e
Dr
B. 3,6 cm
17
19
-
A. 2,4 cm
C.
se obtiene:
4a
D.
1 6a2 + 18a
E.
a2 - 1 6a2 + 18a
a- 1
----,2,.----
4a + 12a
En la figura se cumple que aABT ~ aSPT. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es necesariamente verdadera?
2()
Al reducir la expresión
ax + b 2
3a x + 3ab 3ax + c
se obtiene:
A. A. 1:BAT B.
c.
~
= 1:TSP
B
~
AB // SP AT . PT = 8T . ST
c.
D. AB : SP = BT: PT
E. 1:AT8
Santillana Bicentenario
¿cuál es
su numerador?
c/---___..l,
A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola.
2 - 63a ,
= 1:PTS 158
3a 3ax - e (3ax + c)2(3ax-c) 27a3 (3ax + c)2(9a~2 _ c2) 3a(3ax + c)
D.
E.
1
x-c 1 ax + e
Taller de evaluación 1
21
x+1 Al reducir la expresión 2 x +x-6 se obtiene:
3-x + 2 x +2x-3
24
3
2x -x-1
22
E.
4 2x2 + 3x - 9
A. B.
B. C.
D. E
B. x- 2
(2x - 1) (x - 1) 2
x-1
8x 2 - 1 (4x-l)(x-1)
2
18x3 - 2x 2 - 3x - 1 2- -1 2x 2 -3x-1
O
26
2x - 3
x - 2 9 - 5x 1----x2 - 5x + 6
x2 - 1
3x + 2 Resuelve la ecuación x-1
A. x =-4 B. x=l
se obtiene:
1
2
D.
4x 2 - 3x - 1 x2 - 1
E.
-22- - 9x- 1 x2 - 1
1 - 2x C. x+l
x+--
A. x-2
(2x - 1)(x - 1)
B. -
6a
Al reducir la expresión
E.
2(4x-1)2
Al reducir la expresión
A.
13x - 12ax 6a2 - 1
13x - 5 - 12ax C. 6ax2
23
4x - 1 2x -1
3x - 1 _ 3x . 1 + 9x2 . x+1---3x - 2 x -1 se obtiene:
2x-1 se obtiene: 2 x -1
13x - 5 - 12ax - 6a -
(4x-l)2
6x
13x - 5 - 12ax + 6a 6a2- - 6a 6ax2
D.
(4x-1)(x-1)
25
Al reducir la expresión 2 3 ---+--3ax - 3a 2ax + 2a
1) :
2x - 3x + 1
16x2 - 4
A.
Sx-7 C. (x + 3) (x - 2) (x - 1)
D.
+
se obtiene:
2x-S (x + 3)(x-2)(x-1)
2x-S+S (x + 3)(x-2)(x-1)
1
. (2x ----+---2 2
4 A. (x + 3) (x - 2) (x - 1)
B.
Al reducir la expresión
2x + 5 = 1. x+1
D. x = 4 E. No hay solución.
C. x=2 C.
1
x- 3
E.
1
27 D. (x - 3)
3 2 2x-3 Resuelve la ecuación -+ -- 2 . x - 3 x - 2 x - 5x + 6
A. x =-2 B. x = 2 C. x = 3
159
D. x = 4 E. No hay solución.
Matemática
Taller de evaluación 1
28
El estanque de la figura se llena en a horas si se deja abierta la llave A, y se vacía en b horas si se deja abierta la llave B.
¿Cuáles son las asíntotas de la curva correspondiente a la función f(x) = 3x + 4?
x-2
ti Potencias
B
31
Si se comienza con el estanque a la mitad y b > a, ¿cuánto demorará en llenarse si ambas llaves se abren simultáneamente?
A.
B.
c.
29
ab horas 2b - 2a ab horas 2a - 2b
D. E.
2ab horas b-a
32
D.
2
B.
C.
96p + a p 12ap3
23
E.
<0
D. 23~ nm
Al reducir la expresión
A.
x . ~6mX-1
2
nm
5x 3
E.
8p + ap 12a
D. ~m5X
6
E.
r¡;;¡
~m6X
C.
96p + a2p 12a 2
m n -
7x-l
B. ~m7X-l
33
m
La expresión 5~72ab
2
- 3~98ab2 + 2~243ab2
es
equivalente a:
2
8e + ae 12a
A. 4~217ab2
D. 27bJ;
B. 9bJb.
E. No puede reducirse.
C. 868bJ;
Santillana Bicentenario
c.
resulta:
En una obra hay dos cuadrillas de obreros, A y B. La cuadrilla A consta de a obreros, que pueden cavar 8 metros de una zanja en p días. La cuadrilla B consta de 2p obreros, que pueden cavar a metros de zanja en 6 días. ¿Cuántos metros de zanja cavarán juntos un obrero de cada cuadrilla si trabajan durante p2 días?
A.
4 -
B. 2~
2b - 2a ab horas
12a 96p + a2p
¿Cuál de las siguientes expresiones no es equivalente a todas las demás?
A.
1 horas 2ab
y raíces
160
+ 18bEa
Taller de evaluación 1
3..Ji 4../3 -Ii ../3 3 2 + 4 3
Al racionalizar la expresión
11 - 4../6 A. 5
D.
4../6 - 11 B. 5
E.
' se obtiene:
3S
4../6 5
11+4.J6 5
11
C.
39
5
El vaIor d e x en Ia ecuaoon '/ u, 022-4x
1 5
C.
3 10
D. 1
A.
-
B.
-
5 6
A. -1
../2 ../5-../2+../3'
C.
4 9
B. O
D.
1
J6+.Jf5-3 D.
6
B.
40
M+J6-J3
El valor de x en la ecuaoon a
B. O
M-J6-2 C.
E. 2
5x - 3
,/
A. -3
6
-6 5
= 32x - S es:
¿Cuál de las siguientes expresiones no es equivalente a 7
E.
es:
El valor de x en la ecuación 3x - 2 . 3x - 4 . 3x - 1
35
x : 2S = S7x-8
C.
D.
1
14 + 5x
=a
E
8x + 7
.a
es:
3
9
4
4 _ 2.JlO
41 .J1
+m+
1 '\11 - m La expresión -------=--=------=..:..!... es equivalente a: 1+ 1 I
El valor de
x en la ecuación .J;, + .Jx -
5 = 5 es:
A. -9 B. 1
2
~1- m
C. 5
D. 9
A. 1
E. 2
B. ~1+ m
E.
No hay solución,
.J1 + m
42
2
C. ~1-m
El valor de x en la ecuación 'J./x-1 = ~x2 - 3x + 5 es:
37
'/ El va Ior d e x en Ia ecuaclon
A. -2 B. 1
3 4x - 1O
,- 1
3
D.
E.
2x-6
= 1 es:
A.
-4
B. -1
8
C. D. E.
3 Cualquier valor,
2 4 No hay solución,
C. 2
161
Matemática
Cuando
los intervalos de magnitudes físicas son muy amplios, se hace necesario
establecer un método
eficaz que permita establecer comparaciones
entre ellos. Un
ejemplo de lo anterior es la intensidad del sonido. 2 La intensidad del sonido se mide en watts por metro cuadrado (W/m ), 12
ejemplo, 10-
2
W/m
2
el umbral de audición y 1 W/m
siendo, por
el umbral del dolor. Para clasificar
las intensidades se hace necesario presentar estos valores de una forma práctica, como se mostrará a continuación. En la tabla
1-
2
y el gráfico se muestra la intensidad (en W/m
Fuente de sonido Umbral de audición Respiración tranquila Biblioteca Susurro Oficina tranquila Aglomeración de gente Aire acondicionado Aspiradora Tren Tráfico Perforadora eléctrica Concierto Motor de avión en marcha Avión despegando Sirenasantiaéreas
Intensidad
del sonido que producen algunas fuentes.
)
W/m2
10-12 10-11
W/m2
10-10 10-9
100
Intensidad
120
SO
10-8
60
10-7 10-6
40
10-5
20
10-4 10-3 10-2
O
, .~~ p
::,'fj
'" '§'
.~~
10° 1 10 102
~
•
,
,
•
,
•
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{!; .JI l? .iJ .:5 qf'
10-1
EN ESTA UNIDAD
del sonido
Ñ
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~
~
'O
q;
'l;
'J!?"'"
"i'
q_v
'l""
¡;¡
o'
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APRENDERÉ
A •.•
Relacionar exponentes y logaritmos.
Definir e interpretar
Utilizar
los logaritmos. Deducir las propiedades de los logaritmos.
Aplicar la definición y propiedades de los logaritmos en el cálculo de expresiones.
software gráfico en la interpretación de funciones exponenciales, logarítmicas y raíz cuadrada.
Modelar situaciones a través de funciones exponenciales, logarítmicas y raíz cuadrada.
Aplicar el cálculo de logaritmos a la resolución de problemas que impliquen ecuaciones exponenciales y logarftmicas.
Santillana Bicentenario
162
Debido a la gran amplitud de intensidades que son audibles por el oído humano, se hace necesario expresar estos valores en una escala más práctica. En honor a Alexander unidad a utilizar, pese a que en la
práctica
Graham Bell se llamó bel o belio (B) a la
se usa la décima parte del belio, llamada decibelio
(dB).
Pal-a construir una tabla con unidad B, se considera que el umbral de audición corresponde de la escala se tija a partir de los exponentes
2
W/m ,
de las potencias que expresan los
a O B. El resto
mediante la relación
que se indica: Intensidad del sonido en
2
W/m .
Intensidad del sonido en B.
B=a+12
Así, por ejemplo,
10-7 W/m2 corresponden a 5 B, pues: -7 + 12 = S
Aplicando
este cambio de escala, se construye
Fuente de sonido Umbral de audición Respiración tranquila Biblioteca Susurro Oficina tranquila Aglomeración de gente Aire acoodioonado Aspiradora Tren Tráfico Perforadora eléctrica Concierto Motor de avión en marcha Avión despegando Sirenasantiaéreas
Intensidad
W/m
10-12 10-11
2
Cambio
la siguiente tabla, con su gráfico asociado.
de escala
-12+12=0 -11 + 12 = 1
dB
B
O 1
O 10
16
20 30
12
-10+12=2 -9 + 12 = 3
2 3
10-8 10-7
-8+12=4
4
40
8
-7 + 12 = S
S
SO
6
10~ 10-5
-6+ 12=6 -5 + 12 = 7
6 7
60 70
10-4 10-3
-4+ 12=8 -3 + 12 = 9
8
80
O
9
90 100
100 1 10 2 10
lO 11
0+12=12
12
1+12=13 2+12=14
13 14
..., ...,
10
4
-2 + 12 = 10 -1 + 12 = 11
del sonido
14
10-10 10-9
10-2 10-1
Intensidad
B
....,.. .Ar
.'0'"
'9
~'6
'&'
?e'
130 140
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2
110 120
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do
~'"
~
'1>
~
,f
17#
;SO Fuente de sonido
~
En grupos de tres integrantes realicen las siguientes actividades.
1.
El rango de intensidad sonora de un violín es de
40 dB a 100 dB, ¿cuántasveces más intenso es el máximo respecto al mínimo?
2.
Si un bajo eléctrico genera una intensidad de sonido de 60
dB y
un órgano una intensidad de 70 dB, ¿cuál es la intensidad
de ambos sonando juntos? Justifiquen.
3.
¿Cuáles son las ventajas y desventajas que observas al expresar la intensidad de sonido en escala bel (B)?
163
Matemática
1
Si x -3 =
A.
!!..., ¿cuál es el valor 8
1
3
B. 2 3
2
E.
8 9
c.
1
D.
B.
1
O
7
2
1
c.
2 16
5
32
. Al reso lver ver a" a + 1 = a2 - 3x . ax - 1 para x, se o b tiene que
E. -41
A. -2
8
B. O
8
c.
1
D. E.
a Ninguna de las anteriores.
¿A qué exponente hay que elevar 4 para obtener ,J2?
A.
B.
1
1
c.
-
2
1 4
E.
-
8
8
5 -
Una población de bacterias se duplica cada media hora. Si luego de 3 horas hay 12.032 bacterias, ¿cuántas había
2
inicialmente?
3
D.
A. 188 bacterias.
2
B. 376 1
3 .83
c.
2
4
6 10
x es igual a:
23 D. --
1
D. E.
2
3
-
Si 26 - x = 16 . 2x, entonces el valor de 5x es:
A. 1 B. 2
¿Cuál es el valor de 2- + 2 - 2 ?
A.
3
3 2
c.
6
de x?
La expresión
fí8
c.
A. 1
B.
5
D. E.
es equivalente a:
D.
35
E.
bacterias.
1.504 bacterias. 2.005 bacterias. 4.010 bacterias.
18
9
95
¿Cuál es el dominio y recorrido de
y
la función f representada en
4
el gráfico?
5
La expresión
a 2 + x . a bX b1 - x
es equivalente a:
....
o
A.
a3 + x . b2x - 1
B.
a3+x . b
c.
a
l+x l+x
,.,
. b2x - 1
D.
a
E.
a2 + x . b-1
·b
Santillana Bicentenario
164
= IR, Rec f = IR+ + + f = IR , Rec f = IR + f = IR U {O}, Rec f = IR + + f = IR u {O}, Rec f = IR + + f = IR u {O}, Rec f = IR u {O}
A. B.
Dom f
c.
Dom
D. E.
Dom
Dom
Dom
-
x
UNIDAD 5
10
¿Cuál de las siguientes funciones
corresponde
12
al
I Exponentes y logaritmos
= 3x2 es verdadero
Respecto a la función h(x)
que:
gráfico? y
- -_
l· ~
_"
-- .-
-
I
-
---
~
-
....
."
·4
l. su dominio es IR+ U {O}. 11. h(2) = 12. 111. su recorrido es IR+ U {O}.
(
..,
')
x -- -
.--
k--
13 D. g(X) =
x B. g(x) =-
x-4 E. g(x) = 2
4
c.
11
111
Si f(2)
= 1, ¿cuál es el valor
de a en la función
2
A. -1 B. -2
D. -4 E. -5
C. -3
2
14 ¿Cuál de las siguientes expresiones no corresponde una función definida con dominio y recorrido conjunto de los Números
igual al
Reales?
A. 5 B. 4
D. f(x) = x 3
f(x) = x
E.
Determina x en la siguiente ecuación:
3x + 3x - l + 3x - 2 + 3x - 3 + 3x - 4 = 363
a
S
A. f(x) = x
B.
E.I,llylll
Solo
4
x-2
g(x) =
B.
f(x) = x + a?
x-2
A. g(X) = x - 2
D. II Y III
C. I y II
._....
¡-
A. Solo I
D. 2 E. 1
C. 3
f(x) = xII
C. f(x) = x 4
Reviso ------------------------Revisa tus respuestas en el solucionario y completa la siguiente tabla.
INDICADOR
PREGUNTAS
RESPUESTAS CORRECTAS
Calcular potencias y raíces.
1, 2, 3, 4 Y 5
_/5
Resolver ecuaciones exponenciales y problemas de crecimiento exponencial.
6, 7, 8 y 14
_/4
9, 10, 11, 12 y 13
_/5
Compren del- el concepto de función, su representación gráfica y características como el dominio y recorrido.
165
Matemática
Números
>
¿SABíAS QUE ... ?
Definición de logaritmo y restricciones Se define logaritmo como el exponente de una potencia con cierta base, es decir, el número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado. 10g
b
a = e H be = a
En la expresión anterior, b es la base del logaritmo, a es el argumento y e es el logaritmo en base b de a. John Napier
o antilogaritmo
Además, si e es un número natural, se tiene que:
(1550-1617) 10g
JohnNapier --creadorde los logaritmosllamóal exponentede cadapotencia "númeroartificial".Más tarde cambióde opinión y lo llamó logaritmo,que significa "relacióndel número". La nomenclaturamodernade logaritmosfue introducidapor LeonhardEuleren 1728, casiun siglodespuésde que Napier publicarasusprimerastablaslogantrnicas
b
= eH
a
be
=aH
b
= if;
Ejemplos
1. Determina x, si log3 81
= x.
3. Determina x, si logo,s 2
Por definición:
Por definición: x
log3 81 = x H 3 = 81 Dado que 81
= x.
= 34, se tiene x
que:
10~,5 2 = x
H
Se tiene que 0,5 =
4
3 =3
O,Sx = 2
..!_ 2
= 2-1.
Luego:
O,SX = 2
Por lo tanto, x = 4.
. .I 1 2. Determma x, SI og2 "8
(2-1)x=2
= x.
2-x = 21
Por definición:
1
=XH
log -
28
1 2 =x
Por lo tanto, x = -1.
8
3 . Dado que -1 = 2- , se tiene que: 8
Por lo tanto, x
= -3.
Hace algunos siglos, los logaritmos permitieron simplificar muchos cálculos relativos a la astronomía, donde el uso de grandes números hacía muy difícil realizar operaciones. John Napier (conocido también como Neper) se dio cuenta de que si las operaciones se realizaban con logaritmos en lugar de hacerlas con los números originales, se podía trabajar con números mucho más pequeños. En vista de ello, en 1614 escribió el libro Mirif¡ci Logarithmorum Canonis Descriptio, en el cual describe la operatoria con ellos. Su uso fue resistido por algunos matemáticos y físicos, hasta que Johannes Kepler los utilizó para calcular y explicar los movimientos planetarios.
Santillana Bicentenario
1166
UNIDAD 5 Para una definición completa
de los logaritmos, se determinarán
las restricciones
Exponentes y logaritmos
I
y su argumento.
respecto de su base
RESPECTO A SU BASE
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Sea log1 5 = x.
Sea logo 5 = y.
Sea log(_S) 125 = z.
Por definición:
Por definición:
Por definición:
log 1 5
=X H
1x
=5
logo 5
Pero se sabe que, para todo número real x:
= y H aY = 5
10g(_S)I25
= ZH
=
(_5)z
125
Pero se sabe que, para todo número real y :;t: o:
Entonces:
Luego, no existe x tal que 1x = 5.
Por lo tanto, no existe y tal que aY = 5.
Por lo tanto, no existe z tal que (_5)z = 125.
En general, se exige que la base del logaritmo sea distinta de 1.
En general, se exige que la base del logaritmo sea distinta de a.
En general, se exige que la base del logaritmo sea positiva.
1x
(_S)Z (_S)z
=1
= 125 = 53
EN SíNTESIS
RESPECTO A SU ARGUMENTO
Sea log7 a = c. •
Por definición: log7 a
= c H le = a
Se define logaritmo exponente 10g a
Se sabe que, para todo número real e:
b
de una potencia.
=eH
con a > 0, b Por lo tanto, necesariamente debe ser a >
a.
•
Calcula el valor de los logaritmos
1. 2.
log, 16
1
log 3 9
3.
log2781
4.
1 log 7 7
Escribe como logaritmos
7. 8. 9.
2
8 = 64 5
3 = 243
2
10
= 1.024
aplicando
5.
la definición.
16. log10 100 + lo~ 1 -Iog]
log 1 81
.fi
17. log8
lo~ ,01 0,0001
1
-
S
11. S° = 1 2
12. 3- = ~
13.
J49 = 7
en base b de a".
+ log
'.fi
27
.J8
Calcu la las bases de los siguientes logaritmos.
2 14. 273 = 9
15.
se lee "e es
18. log100 0,001 + 10g.j2 8
las siguientes expresiones.
10. 5-1
'* 1 , b > °
Calcula el valor de las siguientes expresiones.
3
6.
=a
be
La expresión anterior el logaritmo
En general, se exige que el argumento del logaritmo sea mayor que O.
como el
19. 10gb 1.000 = 3 20. 10gb 49
..Da = b 167
=
2
21. 10gb 27 = 22. 10gb 9 =
3
4' 1
2 Matemática
Números
>
SOS .
Propiedades de los logaritmos
MAT
'..
El número e es un número irracional, y
°
Se llama logaritmo común a aquel cuya base es 10. Por convención, se expresa log, a como log a, es decir: log,o a = log a
aunque los logaritmos creados por Napier . / tienen como base un numero cercano a -,1
e
se conoce a los logaritmos con base e como
Se llama logaritmo neperiano o logaritmo natu ral a aquel cuya base es e. Por convención, se expresa loge a como In a, es decir:
neperianos, en su honor. e::. 2,718281828459
loge a = In a A continuación, se analizarán algunas propiedades
de los logaritmos y su operatoria.
1. Logaritmo de la unidad.
3. Logaritmo
Observa:
Se tiene para todo número real positivo b 'i' O:
de una potencia de la base.
n
n
b =b Luego, por definición:
= 1~
7°
log7 I
12°
=O = 1~
Luego, por definición:
log12 1
=O
En general, para todo número real positivo b luego: 10gb 1 = O
'* 0, se tiene que bO = 1, Es decir, el logaritmo de una potencia de la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia.
Es decir, el logaritmo de 1, en cualquier base, es igual a O.
2. Logaritmo
de la base.
4. Logaritmo
de una potencia.
Observa:
Se tiene:
Luego, por definición:
Elevando a un número x la segunda igualdad, se obtiene:
1
5
= 5 ~ logs 5 = 1 1
12
=
12 ~
1
= 8 ~ logs 8 = log 12 12 = 1 8
'*
(bc)X = aX
1
En general, para todo número real b O, se tiene que b' por lo tanto: 10gb b = 1
cx
b
= aX
Luego, por definición:
= b,
bcx
=a
X
log bX
~
a
= c .X
Por lo tanto, como c = 10gb a, se tiene que: X
10gb a
Es decir, el logaritmo de la base es igual a 1.
=x
10gb a
Es decir, el logaritmo de una potencia de un número es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo del numero. /
Santillana Bicentenario
168
UNIDAD 5
I
Exponentes y logaritmos
Ejemplo Si log 5 Se tiene:
<=
0,7; calcula log 125 + log 25 - log 1.000. 1.000 = 103
125 = 53 Al remplazar
en la expresión,
En algunascalculadorasexisten lasteclas que indica logaritmo en base 10, Y
= 3 . log 5 + 2 . log 5 -
4.
Si se quiere calcular log 5, existen dos formas, dependiendo de la calculadora:
+ log 52 - log 103
log 125 + log 25 - log 1.000 = log 53
Por propiedad
3
4.
~ 3 . 0,7 + 2 . 0,7 - 3 = 0,5
5. Logaritmo
1. Se presiona
Eo~)'se digita 5 y finalmente
se presiona enter o =.
log 125 + log 25 - log 1.000 ... 0,5.
Por lo tanto,
mJ,
que indica el logaritmo en base e.
se obtiene:
Por propiedad
§~,
2. Se digita 5 y se presiona [og).
de una raíz.
En ambos casos,el resultado es 0,69897 ...
m
Se tiene que ~
Para calcular logaritmos naturales, se utiliza
= a ", por lo tanto, se aplica la propiedad 4. m
= log b a~
log ~ b
nlm
10gb 'la'"
la tecla
= ~ . log a n
Gl
b
m
= - . 10gb a n
Ejemplo Calcula log
log '-'100.000 + log2
.JI 00.000
+ log2
?/64 =
?J64. log
M+
log2l[1
=
2 ....__,,_.. 1
6. Logaritmo
= 7 ....__,,_..
210g 10 + _§_log2 2
7
4
14
1
de un producto. Utilizando las propiedades, solo se necesitan los logaritmos de los números primos para obtener el logaritmo de cualquier número racional, ya que todos los números enteros se pueden descomponer en factores primos.
Sean: Entonces: pq 10gb (pq)
= bXbY = bX + y = 10gb (b + Y) = X + Y
10gb (pq) El logaritmo de un producto
X
= lo~
P + 10gb q
es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
Ejemplos 1. log 38
Ejemplos S
1. Desarrolla
= log (2 . 19) = log 2 + log 19
2. Si In 5 :;;;1,61 Y In 3:;;; 1,01; calcula In 45.
log; (27a ). 5
Por ejemplo, si se tiene el valor de los logaritmos de todos los números primos menores que 100, se pueden obtener los valores de los logaritmos de 1 a 100.
5
log3 (27a ) = log3 27 + log3 a 3 = log3 3 + SIog3 a = 3 + 510g3 a
2 In 45 = In (3 . = In 32 + In 5 = 2 . In 3 + In S "'" 2 . 1,01 + 1,61 = 3,63
5)
169
2. log 49 = log
(72) = 210g 7
Matemática
Números
7. Logaritmo de un cociente.
Sean: Entonces:
.E. q
-7
(*)
10gb
x
= ..!2_ = bX-Y bY
X = 10gb(b -
y) = x -
y
El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el logaritmo del divisor.
Ejemplos
1.
Desarrolla log2 (
3~).
2. Desarrolla log
2 3.
b d h
2 log b 3d = log ( b 2d ) - log ( h3) = log b2 + log d - 310g h
log2 (3 2) = log2 32 - log2 4 4
h
=5-2=3
En efecto,
log2
(3 2) = 4
log2
= 210g b + log d - 310g h
8 = 3.
8. Cambio de base.
Las calculadoras solo permiten calcular logaritmos en base 10 o e. Para calcular logaritmos en otra base, se utiliza la siguiente propiedad. Sea logp a = x. Se tiene:
pX = a 10gb(pX) = 10gba xlogb P = 10gba 10gba x = 10g P b
Entonces, basta tomar b = 10 o b = e para determinar el valor pedido utilizando la calculadora.
Ejemplo Para calcular log, 7, se expresa en función de logaritmos Cambio a base 10 log 7 = log 7 _ 0,845 3 log 3 - 0,477
Santillana Bicentenario
de base 10 o e. Cambio a base e
~ 1 77 '
In 7 1,946 log3 7 = In 3 ~ 1 099 ~ 1,77
,
170
UNIDAD 5
Calcula el valor de las siguientes expresiones.
1.
1 logs 25 +
Aplicando las propiedades de los logaritmos, escribe las siguientes expresiones como un solo logaritmo.
=s, 64 -
log 100
2.
3.
Exponentes y logaritmos
I
1 logs + log7 49 125
4.
21.
log a + log b + log e
22.
1 410g a - 510g b - -Iog 5
23.
1 log (a + 2,5b) - 310g a
24.
log a + 210g b -Iog a - log (a + b)
25.
1 1 1 "llog a - "llog b + g(log c + 510g b)
(10 - 2b)
1 1 26. 910g a - 310g (x - 3d) + 210g (d - 6a + 4b) logSl
1
9 + log
1
3
27.
2 2 log (a - b ) -Iog
28.
"31( log a 2 -
(a + b)
9
5. log.J3
1
9
510g b
2) + 710g 5
(x - b) + log c
3
6.
7G"3
( log2 ~ 8 + log3 <1243
2 3(log a - (5log b +
)IOg100 29.
Si log 2"" 0,301; log 3 "" 0,477; log 5
= 0,698; log 7 = 0,845 Y
7.
log 3,5
12.
log 0,25
9.
log120
13.
log 84
10. log 32 - log 56
desarrolla
las siguientes expresiones.
11. log 12,5
8.
5
Aplicando las propiedades de los logaritmos,
log 17 "" 1,23 calcula las siguientes expresiones.
1 log 25 + log 72
% log c))
30.
I og
6a S
1
31.
n S
Iog
2a7.Jv . ~(a - b)3 4/
5'1c
Realiza, en cada caso, lo pedido.
25 14. log 28
32.
Si log 2 = x y log 7 = z, determina log 175, en función de x y z.
Utilizando cambio de base y los valores anteriores, calcula.
33. 15. log2 100
18. logis 120
16. log325
19. log160 1.000
17. lo~ 18
20. log170 2.000
171
Si logc P de x.
= x, determina
el valor de logp e, en función
34.
Si lo~ b - log4 e = 15, ¿qué valor tiene la expresión
35.
Si a = 100b, calcula el valor de log a - log b.
e
b?
Matemática
1.
Si log x2 + log x
= log 27 Y lo~
32
= 5, ¿cuál es el valor
de xy?
Se determina el valor de x:
-------------------0
log x2 + log x = log 27 210g x + log x = log 33
Se aplican propiedades de los logaritmos poro determinar el valor de x.
310g x = 3 . log 3 log x = log 3 x=3 Se determina el valor de y: lo~ 32 = 5 y5 = 32
Se aplico lo definición de logaritmo para determinar el valor de y.
Y5 --
25
y=2
---------0
Se calcula el valor pedido.
2.
Por lo tanto, xy = 6, ya que, xy = 3 . 2 = 6.
Demuestra si cada proposición es verdadera o da un contraejemplo si es falsa. l. (Ioga b)(logb a) = 1
111. lo~ b = loga c + lo~ (:)
Para la proposición 1,se tiene:
---------------0
Se aplica la proPiedad de cambio de base para luego simplificar
(loga b)(logb a) = ~
log a . a = log, a = 1 ~
Por lo tanto, la proposición I es verdadera. Para la proposición 11,se tiene:
------------------0
Se aPlica lo proPiedad de
logaritmo de una raíz.
10ga.Jb = _1loga b 2 1 Por lo tanto, la proposición afirma que 210ga b ~Ioga b , lo que claramente es
=
falso. Si se toma a = b = 3 se tiene un contraejemplo. ; log3 3 = ;
~log3 3 =
.[1 =
1
Para la proposición 111, se tiene:
--------------0
Se aplica la proPiedad de logaritmo de un cociente.
Santillana Bicentenario
log, c + lo~ (b ) = log, c + log, b -Ioga c = loga b c Por lo tanto, la proposi ción 111es verdad era.
172
Preparando la PSU Si log3 (b + 9) + log3 (b - 9) = log6 36 2
B. 32x
x2
-
log6 6x, entonces b2 equivale a: 2
C.32x - x-3
-x + 3
D.
32x2 -x 3
2 x 2x 3 3
E.
Solución:
Se aplican propiedades
de logaritmos a ambos lados de la igualdad. X2
log3 (b + 9) + log, (b - 9) = log6 36 - log6 6 2 log3 (b + 9)(b - 9) = log6 (6 »<2- X 2 2 2 log3 (b - 9 ) = log6 (6)2x - x
x
Se aplican propiedades de .......
logaritmos para obtener una expresión equivalente a la dada.
• • • • • • • • •
log3 (b2 - 81) = 2x2 - x
Se aplica la definición de logaritmo, para determinar
b2.
2 2 log3 (b - 81) = 2x - x b2
-
81 = 32x2 -
¡' ':gé;Jewfilf~a¡::é! Ya16!'-;db~b~ .:::.'f,~~-r .r.-.;•.;.<, ...... _
. '¡
~
x
-" -"~;
.: ,_'.. -;:.<'7". "_;"•
'\'V .....".~ j..'
".
...... -.~~ '. : -.. _
:~ti.lfz¡lr¿.~~'{q q~t!!)jc;¡§n::.if?i ... '-'",
,. ~
,:',,-,'
_-. ~-',
:e !9gp.rr.r.m()~ ".
b 2 = 32x2 - x + 81 2x2 x - + 34
b2 = 3 2
Por lo tanto, b = 3
2
2x -x
4
+3 .
Respuesta: la altemativa correcta es A.
Observa
los colores correspondientes
Aplico propiedades de logaritmos para obtener una expresión equivalente a otra dada.
a la resolución
de la pregunta y marca según tus logros.
O Sí. O No.
Entonces, escribe como un solo logaritmo las siguientes expresiones: 1. log (a + c2) - log (c2 - a) + log c 2. log (2xz + x2 + z2) - log (x + z)
~IT
Determino el valor de una expresión utilizando la definición de logaritmo.
O Sí. O No.
Entonces, calcula el valor de 1. 210g x = 100
x2
en cada caso.
2. logx 25 = 5
3. log6 21 6 = x
I
173
Matemática
Números
Ecuaciones exponenciales En la Unidad 4 se estudió la resolución de ecuaciones exponenciales con distintos procedimientos, que permitían igualar las bases a ambos lados de la ecuación. Sin embargo, existen ecuaciones exponenciales en las cuales esto no es posible,
y
se
necesita utilizar logaritmos. Ejemplos
Ramón Picarte (1823-1884), es considerado el primer matemático chileno educado e instruido completamente en Chile, que realizó diversas publicaciones hacia el extranjero. Dentro de sus publicaciones destaca Grandes Tablas de Logaritmos a Doce Decimales, esta tabla logarítmica era mucho más exacta que la tabla de j. De Lalande utilizada en esa época por los científicos del mundo y permitía, entre otras aplicaciones, resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas. A Picarte se le perdió la pista en 1884 cuando viajó a Francia. Fuente: www.picarte.d
1. Determina el valor de x en la ecuación 3x = 5. Dado que no es posible igualar las bases, se aplica logaritmo a ambos lados de la . ecuacron; x Se aplica logaritmo. 3 =5 / log x log 3 = log 5 /
Se aplican propiedades de logaritmos.
x . log 3 = log 5 x = log 5 log 3
Con la calculadora, se obtiene que: x = log 5 log 3 Por lo tanto,
X
>::$
:=
0,699 0,477
:=
1 465. '
1,465.
x 2. Resuelve la ecuación 3 . 2 - 1 = 5.
3 . 2x 2 Se aplican propiedades de logaritmos.
log 2
1
x- I
=5
/ :3
5 =-
/Iog
3
x- 1
Se aplica logaritmo.
5
= 10g"3
5
(x - ¡)Iog 2 = log -
3
log
/ : log 2
5
'3
Se aplican propiedades de logariimos.
x-¡log 2
x=
log 5 -Iog
3
+1
log 2 Con la calculadora, se obtiene: x
=
log 5 - log 3 + 1 log 2
Por lo tanto, x
Santillana Bicentenario
:=
=:
1,738.
174
0,699 - 0,477 + 1 0,301
:=
0,222 + 1 := 1,738. 0,301
UNIDAD 5
I
Exponentes y logaritmos
3. Resuelve la ecuación 52x + 3 . 63x - 2 = 150. Se aplica logaritmo a ambos lados de la ecuación, para despejar la incógnita. S2x + 3 . 63x - 2 = 1SO
Se aplic.a logaritmo.
Ilog
log (S2x + 3 . 63x - 2) = log 1SO Se aplican propiedades de logaritmos.
log S2x + 3 + log 63x-2
= log 150
(2x + 3) . log S + (3x - 2) . log 6 = log 1SO 2x . log S + 3 . log 5 + 3x . log 6 - 2 . log 6 = log 150 2x . log 5 + 3x . log 6 = log 1SO - 3 . log 5 + 2 . log 6 x(2 . log S + 3 . log 6) = log 1SO - 3 . log 5 + 2 . log 6 3 x· log (52 . 6 ) = log 150 -Iog
2
Se aplican propiedades de logaritmos.
53 + log 6
6
x . log 5.400 = log (2 ~ )
6)
log (2~ x = _ ____:__.:._ log 5.400 x = log 216 - log 5 log 5.400
Con la calculadora, se obtiene: x
=
log 216 -Iog
5
=
log 5.400
2,334 - 0,699 3,732
=
1,635 3,732'
= 0438.
Por lo tanto, x = 0,438.
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales.
1.
6.
O,2x +
1
11.
= O,25x -
23x - 2 . 7x + 3 = 12
13. SX+
2· 6x + 6x +
3x+-x+l 14. P 2 = q3
1
1 1
2. 3.
( 1)X + 2 2
-
= 48
2x + 1 = 35x - 1
4. 5.
7. 8. 9.
O,1252(x-l)
= 108
4x + 2
= 248 25
_5x-2
12.
= 93x-4
Considerando
1+if5 = 16
In 2
1
=4
$Z
4
0,693 Y 10gb 2 = 1,5; resuelve las
siguientes ecuaciones.
2:if6O
10 15. 2 = --e-X + 1
= 3
1 O. 3x + 2 . 52x +
7
1 6. b7x -
=4
175
8
= 2x
+ 5
17 • x+~b3X-8
= _1 32
18. e2x + 4 = 2x + 5
Matemática
Números
Ecuaciones logarítmicas Una ecuación logarítmica es aquella cuya incógnita está en el argumento logaritmo. Para resolverlas, se pueden utilizar los siguientes métodos. POR DEFINICiÓN
POR IGUALACiÓN DE ARGUMENTOS
Se llega a una ecuación del tipo:
Se llega a una ecuación del tipo: 10gb f(x) = 10gb g(x)
10gb f(x) = e Donde f(x) es una expresión en x, y e es un número real.
Donde f(x) y g(x) son expresiones en x.
Se aplica la definición de logaritmo, para obtener.
De la ecuación se deduce que:
be
de un
= f(x)
f(x)
= g(x)
En ambos casos, es preciso comprobar la solución obtenida, para asegurar que cumpla con las restricciones del argumento del logaritmo, como se muestra en los ejemplos. Ejemplos
1. Resuelve la ecuación log (2 + x) = 1.
=> 101 = 2 + x
log (2 + x) = 1
Se aplicadefinición
1 O - 2 = x ... x = 8
delogaritmo. Se comprueba
el resultado remplazando
el valor de x en la ecuación.
log (2 + 8) = log (10) = 1 Por lo tanto, la solución es x = 8.
2. Resuelve la ecuación logs 5x + logs 30 = 3. logs 5x + logs 30 = 3 logs (5x . 30) = 3
Se aplicadefinición delogaritmo.
Se aplican propiedades delogaritmos.
150x = 53
2
x= 125 ... x = 150 6 Se comprueba
(
logs S'
6"5)
el resultado remplazando
el valor de x en la ecuación.
25 + logs 30 = logs '6 + logs (6 . 5)
52 . 6 ·5 6 Por lo tanto, la solución es x
Santillana Bicentenario
176
= ~. 6
UNIDAD 5
I
Exponentes y logaritmos
3. Resuelve la ecuación log (4x + 6) - 1 = log (2x -1). log (4x + 6) -1
= log (2x-l)
log (4x + 6) -Iog
10 = log (2x - 1) 4x + 6 log 10 = log (2x - 1)
Se aplican propiedades de logaritmos.
4x + 6 ---= 2x-l 10 4x + 6 = 20x - 1O
Se igualan
los argumentos.
16 = 16x x=l Se comprueba el resultado remplazando el valor de x en la ecuación. En el lado derecho: log (4 . 1 + 6) - 1 = log 10 -Iog
10 = O
En el lado izquierdo: log (2 . 1 - 1)
=
log 1
=O
Por lo tanto, la solución es x = 1. 4. Resuelve la ecuación log (4x + 7) = log (2x - 5). log (4x + 7) = log (2x - 5) Se igualan
4x + 7 = 2x - S 2x = -12 x =-6
los argumentos.
Se comprueba el resultado remplazando el valor de x en la ecuación. En el lado derecho: log (4 . -6 + 7) = log (-24 + 7) = log (-17) Se obtiene así un logaritmo de argumento negativo, por lo tanto, la ecuación no tiene solución.
Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.
6.
(6 + x) = O
1.
log x -Iog
2.
log (x +
3.
log (3x + 4) - log x = 1 -Iog
4.
log [(x + 3)(x + S)] = log (x - 2)2
5.
log (x2 + 2x -
El voltaje de circuito eléctrico en un tiempo t se expresa con la siguiente ecuación:
1) - log x = 1
35) -Iog
log (x - 5) - log (x + 3) = log (x + 8) - log (x + 1)
4
(x + 7) = 1
177
7.
Despeja t en función de i.
8.
Calcula el valor de t si i = 1.
Matemática
Álgebra
Función exponencial En cursos anteriores se definió una función como una relación entre dos variables, en que a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente. De esta manera, se define la función exponencial al establecer la relación entre el exponente de una potencia y el valor de la misma mediante la función f, con la siguiente expresión: f(x) = b
X
Para una mejor comprensión del comportamiento de la función exponencial, se distinguirán dos casos: que la base b sea mayor que 1 y que la base b se encuentre en el intervalo ]0, 1[. y
1
Gráfica de una función exponencial con b >
1(1:
Se considera la siguiente familia de funciones exponenciales y f(x) = 2x
=b
X ,
con b > 1.
x g(x) = 4
h(x) = 3x
Para construir el gráfico de las funciones se considerarán algunos valores de x en la siguiente tabla:
x
= 2x
x
-3
-
h(x) = 3 1 -
-2
-
1
-
-1
1 -
-
x
f(x)
1
8
4
2
27 1
9 1
3
O 1
1
1
2
2
4
3 9
3
8
27
g(x)
= 4x
1 64 1 16 -1 4 1 -
4 16 64
A partir del gráfico y la tabla se pueden realizar las siguientes observaciones. •
Si x = 0, y = bO = 1. POI-lo tanto, la curva correspondiente intersecta al eje y en el punto (O, 1). X Si y 0, b • Dado que no existe un valor x que satisfaga la ecuación, se concluye que no hay intersección con el eje X. Las tres curvas intersectan el eje de las ordenadas en el punto (O, 1) y ninguna intersecta el eje de las abscisas. Además, el dominio de las funciones son los Números Reales (IR), y su recorrido son los Números Reales positivos (IR+).
=
°=
•
A medida que la variable independiente toma valores cada vez menores, la curva se acerca cada vez más al eje X sin intersectarlo. En este caso, el eje X corresponde a una asíntota horizontal. Las asíntotas son rectas a las cuales la curva se aproxima indefinidamente pero sin intersectarlas.
•
Las funciones son siempre crecientes, es decir, a mayor valor de x corresponde un mayor valor de y. Para valores de x menores que cero, las funciones de menor base presentan valores mayores. En cambio, si x es mayor que cero, las funciones de mayor base presentan valores mayores.
Santillana Bicentenario
1178
Exponentes y logaritmos
UNIDAD 5
Gráfica de una función exponencial con O < b < 1
=b
X ,
Se considera la siguiente familia de funciones exponenciales y f(x)
=
(~)X
h(x)
=
con
°
,
I
r
< b < 1.
JL_
-
k
(~)X
,
Iy
1
-
-
Para
construir
el gráfico de las funciones se considerarán algunos valores de x en la
siguiente tabla:
f(x)
= (t)X
=
h(x)
(+)X
-3
8
27
-2
4
9
-1
2
3
O
1 1 -
1 1 -
2
1 4
1 9
3
-
1
2
g(x)
1
-
1
27
8
t-
I ,
= (¡)X
,
~
I
f-2-
\
I
I
64 16 4 1 -1 4 1 16 1 64
3
4
r-
I--+-
x
5-J
·z
T
.I
~1
o
X e
T
T
T
A partir del gráfico y la tabla se pueden realizar las siguientes observaciones. •
Si x Si y
= O, y = bO = 1. Por lo tanto, la curva correspondiente a la función f intersecta al eje X = 0, = b • Dado que no existe un valor x que satisfaga la ecuación, se concluye que no
°
Y en el punto (O, 1). hay intersección con el eje X.
Las tres curvas intersectan el eje de las ordenadas en el punto (O, 1) Y ninguna intersecta el eje de las abscisas. Además, el dominio de las funciones son los Números •
A medida que la
variable
independiente
Las funciones son siempre decrecientes,
son los Números Reales positivos
(IR+).
toma valores cada vez mayores, la curva se acerca cada vez más al eje X sin
intersectario, es decir, el eje X corresponde •
Reales (IR), y su recorrido
a una asíntota horizontal.
es decir, a mayor valor de x corresponde
un menor valor de y. Para valores
de x menores que cero, las funciones de menor base presentan valores mayores. En cambio, si x es mayor que cero, las funciones de mayor base presentan valores mayores.
EN
SíNTESIS
Se llama función exponencial
=
IR, Rec (f(x»
a toda función tal que f(x)
=
•
Dom (f(x»
•
f(x) tiene como asíntota al eje X.
•
Dependiendo
IR+.
del valor de la base b:
- si b > 1, la función f(x) es creciente - si
°
= bX, para todo b real positivo distinto de 1.
en todo su dominio.
< b < 1, la función f(x) es decreciente
en todo su dominio.
179
Matemática
Álgebra
Función logarítmica Se define la función logarítmica
al establecer la relación entre la base de la potencia
y el valor de la misma mediante la función f, con la siguiente expresión:
Para una mejor
comprensión
del comportamiento
logantrnica. se
de la función
distinguirán dos casos: que la base b sea mayor que 1 y que la base b se encuentre en el intervalo ] 0, 1[. --<
Y-'
Gráfica de una función logarítmica de base b, con b > 1
~I
.'
-
+
---
?
Se considera la siguiente familia de funciones logarítmicas de base mayor a f(x)
1
l
o -
-
I
1~
J¡
3
I
Para obtener
.I
aproximaciones
.~
el
h(x)
= log x
g(x)
gráfico de las funciones, se considerarán
algunos valores de x y
de sus imágenes en la siguiente tabla: x
+
= log4 x
x
~
-
= log2 x
1.
f(x)
0,2 0,5 1 2 3 4
+
+
·3
=
log2 x
-2,321 -1
h(x)
=
log4 x
-1,160 -05,
°
°
0,5 0,792 1
1 1,584 2
g(x)
=
log x
-0,698 -0,301
°
0,301 0,477 0,602
A partir del gráfico y la tabla se pueden realizar las siguientes observaciones. •
Si x
= 0,
el eje Y. Si y
y
=
°
=s, O. Dado
= 0, = 10gb x
=> x
que no existe un valor x que satisfaga la ecuación, se concluye que no hay intersección con
= 1. Por
lo tanto, la curva correspondiente
intersecta al eje X en el punto (1, O).
Las tres curvas intersectan el eje de las abscisas en el punto (1, O) Y ninguna intersecta el eje de las ordenadas. Además, el dominio de las funciones son los
Números
Reales positivos (IR+), y su recorrido
son los Números
Reales (IR).
y corresponde a una asíntota vertical.
•
El eje
•
Las funciones son siempre crecientes. mayores. En cambio, si x es mayor que
Santillana Bicentenario
Para valores de x menores que
1, las funciones
de mayor base tienen valores
1, las funciones de menor base tienen valores mayores.
180
Exponentes y logaritmos
UNIDAD 5
Gráfica de una función logarítmica de base a, con O < b < 1
'y
;:..101
Se considera la siguiente familia de funciones logarítmicas.
=
f(x)
log 1 x 2
Para obtener el
=
h(x)
log 1 x
03
.-
-- ,_-
f(x) = log1 x
h(x) = log1 x
-
=
g(x)
-
-
log1 x 2
2,321 1
1,160 0,5
0,698 0,301
°
°
°
-05, -0,792 -1
? ~
-
4
-1 -1,584 -2
4
."
- 1
~
o
~
,~
,
4
$
1
1
X
~:~
-
-0,301 -0,477 -0,602
.g
--
.,_
T-
--'
L 1
I "
gráñco y la tabla se pueden realizar las siguientes observaciones.
= O, y =
Si x
log 1 x 10
gráfico de las funciones se considerará la siguiente tabla:
0,2 0,5 1 2 3 4
•
=
g(x)
2
A partir del
8
4
x
-
10gb O, Dado que no existe un valor x que satisfaga la ecuación, se concluye que no hay intersección con
el eje Y. Si y
= O, O =
logbx ~ x
= 1.
Por lo tanto, la curva correspondiente
Las ti-es curvas intersectan el eje de las abscisas en el punto el dominio de las funciones son los Números •
El eje y corresponde
•
Las funciones son siempre decrecientes.
O) y ninguna intersecta el eje de las ordenadas. Además,
Reales positivos (IR+), y su recorrido
Para valores de x menores que
Reales (IR).
1, las funciones
de mayor base tienen valores
1, las funciones de menor base tienen valores mayores.
a toda función tal que f(x)
= IR+, Rec (f(x» = IR.
•
Dom (f(x»
•
f(x) tiene como asíntota al eje Y.
•
=
10g x, para todo b positivo distinto de b
Dependiendo
Los siguientes gráficos corresponden y
.
-1
:
a funciones exponenciales
del valor de la base b:
y
2.
-
~
1, la función f(x) es decreciente en todo su dominio.
y logarítmicas.
3.
+
o
~
--........:...
-1
~
x
..')
·4
_ .,.,
./ o
4
~
4.
Y
x
·4
x
1811
su base.
'3
"
..,
.., ~
Identifica cada una y caracteriza
y
f._
~
\
1.
- si b > 1, la función f(x) es creciente en todo su dominio. - si O < b <
o
son los Números
SíNTESIS
Se llama función logarítmica
1.
(1, O).
a una asíntota vertical.
mayores. En cambio, si x es mayor que
EN
(1,
intersecta al eje X en el punto
\
_..,
o <,
-
~
.¡
~
x Matemática
,
y
1.
Determina
f .-
las funciones representadas en el gráfico, sabiendo que
.-
.~
r-
,-
(-1 6~
una es exponencial y la otra es logarítmica. ___,
..¡
1-
g(x)
"/;,;)
f(x) \:
o
i"--- :
-
03
e
I-
X
.?
-
-
.¡. ~
I
-
r
Del gráfico se desprende que la función f(x):
----------0 Se extrae e interpreto lo información del gráf¡co.
1. Tiene como asíntota horizontal al eje X.
2.
Es decreciente.
3.
Intersecta al eje
Y en
el punto de coordenadas
(O, 1).
4. El punto de coordenadas (-1, 6) pertenece a ella.
1, 2 y 3 permiten afirmar que f(x) corresponde a una función exponencial X de la forma f(x) = b , con < b < 1 puesto que es decreciente. Los puntos
°
(-1, 6) pertenece a su gráfica, se tiene:
Ahora, como el punto de coordenadas
Se determina algebraicamente el
f(l)
valor de la base de lo función. Luego, la función es f(x)
1
= b- =6""b=~
1
6
)x.
= (:
Para la función g(x):
----------0
Se realizo un proceso análogo poro la función logarítmica.
1. 2. 3. 4.
Tiene como asíntota vertical al eje
Y.
Es creciente. Intersecta al eje
X
en el punto
El punto de coordenadas
(1, O).
(4, 2) pertenece a ella.
= 10gb x,
b > 1, por ser creciente. Dado que el punto de coordenadas (4, 2) pelienece a su grafica se tiene: Luego, la función es loganlmica de la forma g(x)
g(4) = 2
2=
10g 4
b2 = 4 b=2 Por lo tanto, la función es g(x)
Santillana Bicentenario
182
=
log2 x.
b
con
Preparando la PSU Si In (5x) + In 4 = 21n x y In 2
A. O
B. 0,693
=:
0,693; ¿cuál es el valor aproximado de x + In 27
D. 20
C. 19,307
E. 20,693
Solución: Resolviendo la ecuación se obtiene:
=
In (5x) + In 4 2 . In x In 5 + In x + In 4 = 2 . In x
~...
••••••••••
• •••
Se aPlican propiedades de logaritmos para resolver la .-
In 5 + In 4 = 2 In x - In x
ecucoon.
In 5 + In 4 = In x In 20 In x
=
Al igualar los argumentos de los logaritmos se obtiene: In 20 = In x
x = 20 :Se !'~~<1e!yeiq ~¡jot¡óh .:guaíODdc)· Qr:gúin~ñto.s t .$~cb,mp·iii~t;i1 Í(1
Se remplaza el valor obtenido en la ecuación, para verificar. En el lado izquierdo:
sojuclon obten/da.
In (5 . 20) + In 4 = In 100 + In 4 = In (100 . 4) = In 400
y en el lado derecho:
~
• • •
.....
2 . In 20 = In (202) = In 400 Por lo tanto, la solución es correcta. Finalmente, x + In 2 = 20 + 0,693
= 20,693.
Respuesta: la altemativa correcta es E.
Observa los colores correspondientes a la resolución de la pregunta y marca según tus logros. Aplico propiedades de logaritmos.
O
Sí.
ON o, Entonces, 1. In 10
Evalúo la veracidad de las soluciones , considerando las características de los logaritmos y remplazando en la ecuación, ,
110 Sí.
si In 5
:=::
1,6 Y In 2
2. In 20 + In 0,4
=:
0,7; calcula: 3. In 2,5 + In.J50
ON o, Entonces,
resuelve las siguientes ecuaciones logarftmicas y comprueba los resultados,
1. 210g x = -10
183
2. log x = 1 + log (22 - x)
Matemática
Álgebra
Función raíz cuadrada y uso de software Jorge quiere comprar una mesa con una cubierta cuadrada. Ha observado que, si fes la medida del lado de la mesa, se obtiene la siguiente expresión para su área:
A = .e2
---7
.e = JA
f, se obtiene la medida del lado de la mesa a partir de su área.
Al despejar
En la siguiente tabla se muestran algunos valores de
Figura 1
figura
f, dado el valor del área A. En la
1 se muestra la gráfica de los puntos obtenidos.
A
O
1
2
3
4
S
e
O
1
12 ;::: 1,41
f3 ;::: 1,73
2
J5 ;::: 2,23
La situación
anterior
se puede
representar mediante una función raíz cuadrada,
definida como: f(x)
=
.Jx
A partir del gráfico de esta función se pueden obtener las siguientes conclusiones: +
+
1. Dom f = IR u {O}, Rec f = IR u {O}. 2. Es creciente en todo su dominio. 3. lntersecta los ejes de las abscisas y de las ordenadas
en el punto
(O, O).
Ejemplo Determina la función que representa el perímetro de un cuadrado en función de su área. Si el lado del cuadrado es perímetro: Remplazando .,
(*)
P
f, se tiene:
= 4.e
área: A
en la expresión del perímetro
= .e2
---7
.e = JA (*)
del cuadrado, se obtiene la siguiente
ecuacion:
Por lo tanto, el
perímetro de un cuadrado en función de su área está representado
por la función f: f(x)
f(x)
=
determina y grafica las siguientes funciones.
.¡¡;
4. 2.
h(x) = ~x + 1
3.
g(x)
=
4.Jx
Siendo x la variable independiente e y la dependiente,
Grafica las siguientes funciones.
1.
=
x: medida de la diagonal del cuadrado.
y: medida del lado del cuadrado.
-.Jx
s.
x: medida de la altura del triángulo equilátero.
y: medida del lado del triángulo equilátero.
Santillana Bicentenario
184
Exponentes y logaritmos
UNIDAD 5
Construcción de gráficos mediante el programa Wiris Para acceder a Wiris, debes ingresar a la siguiente dirección
de internet
www.wiris.netlsantillana.cl
x Para graficar la función s(x) = 3 , se pueden seguir estos pasos. ):J) Illl Il 0
1
Se define la función ingresando s(x) = 3 (el exponente se ingresa usando el ícono
0
2
)lJ D
x
I oob. Luego se presiona
* o. ~ I f.. o" .fO
¡ D rol
11
OQ
I-
lO¡ ....... "
Q
1(bJ1iiiil.ID
.ID u
~ dlbujar($(x),{color=rojo}) ... tablerol
entero
y se presiona
~
IEll. Se obtiene
11S@l E!lI
rI5(X,=3' .. x_3'
•
El
3
Para dibujar la función s(x), se utiliza la función dibujar, ingresando dibujar(s(x),{color=rojo}),
IJ I $1h:J1 lit ¡;) G
,
,.
una expresión y
un gráfico como se muestra en la figura.
Para graficar la función f(x) = log3 x, se pueden seguir estos pasos en una pantalla nueva.
(r3 (p)
(O! D
¡ U
.t Jl
011
... x-0.91024·ln(x)
1 1
~
Para dibujar la función f(x), se utiliza la función dibujar, ingresando dibujar(f(x),{color=rojo}),
o'.fO
1 dlbuJar(l(x),{color=roJo}) ... tabler01
1001). Luego se presiona entero 0
* o. ~
1'(x)=log,(x)
0
1 Se ingresa f(x) = log3(x) (la base se ingresa usando el ícono
2
Il
El
y se presiona 11=,11. Se obtiene una expresión y
un gráfico como se muestra en la figura. Para,graficar las funciones log (x) y In (x), basta escribirlas, sin precisar la base.
Para graficar la función g(x) pantalla nueva.
= .¡;, se pueden
seguir estos pasos en una
* o. ~ o".fO
011
g(X'=V. ....
=
.t
D io1
n
IOJ
x-v.
..
tablero
I I
0
y se presiona
,
1 1 dibujar(g(x,.(color=.zul))
10 Se ingresa g(x) .¡;, luego se presiona entero 2 Para dibujar la función g(x), se utiliza la función dibujar, ingresando dibujar(g(x),{color=azul}),
001 (IlJ Il 001 D
~
IEII.
El I
Se obtiene una expresión y gráfico como se muestra en la figura.
Utilizando
el programa Wiris, grafica las siguientes funciones,
Grafica la función
determina
su dominio y recorrido
lo obtenido:
y estima sus intersecciones
con los ejes.
1.
g(x) = In (x + 4)
5.
q(x) = 3 -
9.
determina
10.
grafica la función g(x)
su dominio
..Ix
2.
h(x) =
.Jx + 6
6.
s(x) = 4 - 2
3.
m(x) = log (x2)
7.
f(x) = 2 - log x
4.
p(x) = 3
8.
n(x) = e
2x
f(x) = In (x2 - 1) - In (x - 1). A partir de
x
funciones
y recorrido.
= In (x + 1). ¿Son equivalentes
las
f(x) y g(x)? Justifica.
x+l
185
Matemática
Álgebra
Traslaciones y reflexiones de gráficas de funciones Se analizará a continuación el efecto que se produce en las gráficas de las funciones que se han estudiado al realizar algunos cambios en ellas. En particular, se analizará la traslación y refiexión de estas funciones.
Traslación vertical Mediante Wiris, se graficarán las siguientes funciones para determinar lo que ocurre con el gráfico de una función al sumar o restar una constante a ella.
f(x) Dom f
= IR,
= 2x Rec f
h(x) = In x
= IR+
Dom h = IR+, Rec h =
g(x) =
IR
fx
Dom g = IR-I- U {O}, Rec g = IR+ U {O}
x
f'(x) = 2 + 1
x f"(x) = 2 - 1
h'(x) = In x + 2
h"(x) = In x - 2
g'(x) =
y
fx + 3
g"(x) =
fx - 3
y
.¡
.,
o
.¡
2
X h
~
o
X
3
Observando los gráficos, se pueden obtener las siguientes conclusiones.
Santillana Bicentenario
•
Si se suma un valor positivo a a cada función, la gráfica correspondiente se desplaza verticalmente hacia aniba. Si se resta dicho valor, el desplazamiento se da verticalmente hacia abajo. En ambos casos, la magnitud del desplazamiento está dada por el valor absoluto del valor que se suma o resta.
•
Si la curva tiene una asíntota vertical, esta se mantiene. Si la asíntota es horizontal, se desplaza verticalmente de la misma forma en que lo hace la curva.
•
El dominio de las funciones no cambia. El recorrido cambia de acuerdo al desplazamiento producido. Así, por ejemplo, Rec g'(x) = [3, +oo[ Y Rec g"(x) = [-3, +00[.
186
Exponentes y logaritmos
UNIDAD 5
Traslación horizontal Se analizará ahora el efecto de sumar o restar una constante a la variable independiente x.
x
f(x) = 2 Dom f
h(x) = In x
= IR, Rec f = IR+
Dom h
f"(x) = 2x - 3
f'(x) = 2x+ 3
y
h'(x)
g(x)
= IR+, Rec h = IR
= In (x + 1)
h"(x)
=
rx
Dom g = IR+ U {O}, Rec g = IR+ U {O}
= In (x -
1)
g'(x)
= .Jx + 2
g"(x) = ~x - 2
y
y 8
11)
x .:2
6
s
x o
x
.-1
.:2
Observando los gráficos, se pueden obtener las siguientes conclusiones. •
Si se suma un valor positivo a la variable independiente de cada función, la gráfica correspondiente se desplaza horizontalmente hacia la izquierda. Si se resta dicho valor, el desplazamiento se da horizontalmente hacia la derecha. En ambos casos, la magnitud del desplazamiento está dada por el valor absoluto del valor que se suma o resta.
•
Si la curva tiene una asíntota vertical, se desplaza horizontalmente de la misma forma en que lo hace la curva. Si la asíntota es horizontal, esta se mantiene.
•
El dominio de las funciones cambia de acuerdo al desplazamiento producido. Así, POt- ejemplo, Dom h'(x) ]-1, +oo[ Y Dom h"(x) [1, +00[. El recorrido de las funciones no cambia.
=
=
187
Matemática
Álgebra
Reflexión respecto a los ejes Se analizará ahora el efecto de cambiar el signo de las variables de una función, a partir de la función exponencial.
En una función, se llama imagen de un número al resultado de evaluar el número en la función f. La preimagen de un número es el valor que se evaluó en la función para obtener dicho número. Ejemplo La función f(x)
f(2)
= 3x Dom f(x) = IR, Rec f(x) = IR+ f(x)
f'(x)
= _3x
1, evaluada en x
= 2 es:
e
= 3.2- 1=5
Observando
t
a
,
= 3x -
~ 1
y
4
por lo tanto: • 5 es la imagen de 2. • 2 es la preimagen de 5.
•
= 3-x
f"(x)
~
\/
.~/' '-..,...
·4
4
O
ll.
X
los gráticos, se pueden obtener las siguientes conclusiones.
En la figura 1 se puede observar que el gráfico de f'(x) es simétrico al de f(x) con respecto al eje X. Pal-a un mismo valor un valor de y, mientras que a f'(x) le corresponde
de x, a f(x) le corresponde
-y.
•
Por la misma razón anterior, el gráfico de f' intersecta el eje Y en el punto (O,-1).
•
El gráfico de f" es simétrico al de f respecto al eje Y. Para un mismo valor de y, la preimagen respecto a f(x) es x, mientras que respecto de f"(x)
es -x.
EN SíNTESIS Traslación
vertical y
Traslación
horizontal
-I
y
(0.1 +c~
(O. 1
(x) + e (- c, 1)
(x)
Reflexión respecto a los ejes
(0,1)
(- c. 1)
(x)
(-x)
l/ X
X
-(x)
x
(x) + e
(O,-1)
(0.1 + e).
Dada la función f(x) , f(x) + e es:
Dada la función f(x) , f(x + e) es:
Dada la función f(x):
• una traslación hacia arriba, si e > O. • una traslación hacia abajo, si e < O.
• una traslación hacia la izquierda, si e > O. • una traslación hacia la derecha, si e < O.
• -f(x) es el reflejo de f(x) respecto del eje X . • fe-x) es el reflejo de f(x) respecto del eje Y.
Santillana Bicentenario
188
Exponentes y logaritmos
UNIDAD 5 Ejemplo 2 Grafica la función s(x) = 3 - 2 - x indicando sus intersecciones con los ejes, dominio
y recorrido.
=
Se aplicarán las transformaciones vistas a la función f(x)
x 2 , como se muestra a
continuación. x
Se refleja respecto al eje Y.
Se grafica f(x) = 2 . y
,
.,
-,
-,
,
o
.,
•
y
y
,
,
.,
x
Se traslada 2 unidades a la derecha.
,
,
x
,.
,.
-a
.,
Se obtiene el gráfico de y = 2 -x.
.,
,
seO) = 3 _ 22 - O =3-4
x
-a
con el eje X
Se obtiene el gráfico de y=3-2 2-x
Dom s(x) = ~ Rec s(x) = {Vy Asíntota: y = 3
3 = 22-x
= -1
X
Dominio y recorrido
22 - x
= O=>O = 3 _
,
•
.,
Se obtiene el gráfico de - 22-x y--
y -- 2-(x - 2) -- 22 - x .
,
-,
.,
..
,
Se obtiene el gráfico de
s(x)
••
-,
.,
Intersección
Intersección con el eje Y
,
,
~ ...
,
•
y
.,
.,
•
Se traslada 3 unidades hacia arriba.
y
. ,.
.,
.•.
Se refleja respecto al eje X.
lag 3 = (2 - x) . lag 2
E ~ /
Y < 3}
lag 3 = 2 _ x lag 2
Por lo tanto, el punto de intersección con el eje Y tiene coordenadas (O,-1 ).
_ lag 3 x - 2 - lag 2
:=::
0,477 2 - 0,301
:=::
0,415
Por lo tanto, el punto de intersección con el eje X tiene coordenadas (0,415; O), aproximadamente.
Grafica las siguientes funciones utilizando el método descrito anteriormente. Luego, comprueba tus resultados mediante el programa Wiris.
1.
f(x) = 3-x + 1
5.
k(x) = 2 -
La siguiente figura muestra y
,
.rx
.'0
.,
..
••
g(x) = log3 (x + 1)
6.
I(x) = 2 -
3.
h(x) = log (x - 3) - 4
7.
I(x) = S - 310g (x + 2)
4.
i (x) =
.,
•o
2
•
.>
•
'o
"x
'.
.r-:;_
2.
el gráfico de una función g(x).
A partir de él, grafica las siguientes funciones.
.J x + 2
9.
189
-g(x)
10.
5- g(x)
11.
-g(x - 4) Matemática
,
Álgebra
Aplicación de funciones exponenciales Las características estudiadas de la función exponencial permiten modelar numerosas situaciones pertenecientes a distintas áreas del conocimiento, como geología, física, biología, economía, música, sociología y otras más. Los modelos matemáticos que tienen las propiedades de la función exponencial se conocen con el nombre de modelos de crecimiento o decrecimiento exponencial. Estos modelos se pueden generalizar a través de la siguiente función:
=
N(t) ~
>I -
_.-•••••
'-.'.
--~
SOS¡MAT¿_I , ...
"...-;.C;;: ••;.
·rJ", ••_ ......
>-:>'">
'
_
Tanto el crecimiento como el decrecimiento exponencial se basan en el mismo modelo de función exponencial. Que se trate de un caso u otro depende del valor de algunos de sus parámetros.
Una de las bases más usadas para la función exponencial es el numero e. Así, la expresión del modelo matemático de crecimiento exponencial se escribe: N(t) = No eloJ:
No A
~
con Dom N
=~
y Rec N
=~
+
Donde No es la cantidad inicial de elementos en el instante cero, A es la razón de crecimiento y ')...es un número real distinto de cero. Además, si ')...> O, la función es un modelo de crecimiento; mientras que si ')...< O, es un modelo de decrecimiento exponencial.
Crecimiento exponencial
(A. > O)
Determina la función exponencial que modela una población de bacterias que se duplica cada un minuto considerando que, al inicio, el cultivo tiene 1.000 bacterias. ¿En cuánto tiempo el cultivo tendrá 100.000 bacterias? La siguiente tabla muestra la cantidad de bacterias hasta el minuto 5. Cantidad de bacterias
1.000
2.000
4.000
8.000
16.000
32.000
O
1
2
3
4
5
Minutos
En este caso:
A
=
2, ')...= 1 y No
=
1.000
Por lo tanto, la función que modela la situación es la siguiente:
N(t)
=
1.000 . 2t con Dom N
=~
y Rec N
=
~+
Habrá 100.000 bacterias luego de 6,645 minutos, aproximadamente,
N(t) = 100.000 = 1.000 . 2 100
= 2t
t
/Iog
log 100 = t . log 2 t = log 100;;::;; 2 log 2 0,301 t "" 6,645
Santíllana Bicentenario
190
ya que:
UNIDAD 5
Exponentes y Iogaritmos
Interés compuesto Si una persona invierte un capital inicial Co a una tasa de interés del i% anual, luego de un año su capital corresponde a C1, que equivale al dinero invertido inicialmente más los intereses ganados, es decir.
Al año siguiente, el interés se aplica sobre lo obtenido en el período 1, resultando la siguiente expresión:
Aplicando sucesivamente los intereses año tras año, se obtiene para t años la siguiente
., expresión
C, : capital final. Co : capital inicial. : interés por período. t
:
período.
Ejemplo Se depositan $ 100.000 en un banco al 5% de interés anual, calcula la cantidad de años necesarios para doblar el capital inicial.
Co = 100.000
Ct = 2 . Co = 200.000
i = 1~0 = 0,05
Para doblar el capital inicial se necesitan 14 años, aproximadamente,
ya que:
200.000 = 1OO.OOO(1 + O,OS)t 2 =
i.os'
/ log
log 2 = t . log 1,05 t
=
log 2 :::::0,301 .... t log 1,OS 0,021
Decrecimiento exponencial
(A
= 14
< O)
La concentración de un medicamento en el organismo en el instante t (horas), responde al siguiente modelo exponencial: N(t)
= 10· (1,2S)-t mg/cm3 3
Donde N(t) es la cantidad de medicamento en mg/cm concentración del medicamento luego de 3 horas. Luego de 3 horas, la concentración
N(3)
=
del medicamento
10 . (1,25)-3
=
en un instante t. Calcula la
3 será de 5,12 mg/cm , ya que:
10 . 0,512
= 5,12 11911
Matemática
,
AIgebra
Aplicaciones de la función logarítmica Escalas logarítmicas Las escalas logarítmicas se utilizan en situaciones en las que la variación de los valores posibles es muy amplia, y su representación no permite comprender adecuadamente el fenómeno que representan. Un ejemplo de ellas es la escala de Richter. La escala de Richter describe la cantidad de energía liberada por un terremoto (o, en 7 general, por un fenómeno similar) en ergios (unidad de energía equivalente a 10- joule), como se muestra en la tabla con algunos ejemplos: Magnitud Richter
!fa7.ón entre loS
de CobtjueCUra
-r:: y l
#cAit en
• e':9loS .
eoÓfueCura ;; 2.2'10·'8{¡,-::f·{¡,!52.-::f{¡,'8 - #a;tt 'lO .i/-::f\ .2'l5!5 .4'81 ~
Equivalencia . en ergios
Referencia
1
1.000
Explosión en un sitio de construcción.
2
15.849
Explosión de un estanque de gas.
3
251.189
5
63.095.734
7
10.471.285.481
Terremoto
de Haití, 12 de enero de 2010.
7,5
63.095.734.448
Terremoto
de Santiago, 3 de marzo de 1985.
7,9
190.546.071.796
Terremoto
de Arica, 13 de junio de 2005.
8,8
2.290.867.652.768
T errernoto de Cobquecura, 27 de febrero de 2010.
9,5
15.848.931.924.611
Terrernoto de Valdivia, 22 de mayo de 1960.
10
63.095.734.448.019
Estimación para el choque de un meteorito de 2 km de diámetro contra la Tierra
Explosión de una planta de gas. Bomba atómica de Hiroshima, 6 de agosto de 1945.
Dado que las cantidades de energía liberada se expresan con números muy grandes, se hacen difíciles de leer. La escala de Richter permite trabajar con números más pequeños, aunque parece distorsionar la percepción. POI" ejemplo, pese a que la diferencia de intensidad entre los terremotos de Haití y Cobquecura es de casi dos grados en la escala de Richter, el de Cobquecura fue casi 219 veces más fuerte. La relación entre energía liberada en ergios (E) y la magnitud en la escala de Richter (R) se expresa mediante la siguiente fórmula:
21'1
log (E) = 1,8 + 1,2R Ejemplos 1. Calcula la magnitud en escala de Richter de un temblor equivale a 5 bombas atómicas de Hiroshima.
cuya energía liberada
En la tabla se indica que la bomba de Hiroshima liberó 63.095.734 E. 5 bombas liberarían 315.478.670 E, pues: 5 . 63.095.734 315.478.670.
=
La magnitud del temblor será, aproximadamente,
5,6 R, ya que:
log (31 5.478.670) = 1,8 + 1,2R 8,5 ~ 1,8 + 1,2R
Rz
Santillana Bicentenario
192
8,5 - 1,8 1,2
z
6,7 1,2
z
S6 '
UNIDAD 5
I
Exponentes y logaritmos
2. El decibelio es una unidad togantmica de medida que compara la intensidad del umbral de audición, lo = 10-
12
W/m2 con la intensidad producida por un medio i
(a 1.000 Hz), a través de la siguiente función: dB(i)
= 10 log
•
.!.. lo 2
Un concierto de rock produce una intensidad de 98 W/m ; por lo tanto, su intensidad de sonido es aproximadamente de 139,9 dB, ya que:
98 dB(98) = 10 log 10-12
::::
139,9
Una colonia de bacterias se incrementa al triple cada hora. Si al comienzo de la propagación había 150 bacterias, determina en cada caso lo que se pide.
1.
El modelo matemático que representa el aumento de la población de bacterias.
2.
La cantidad de bacterias luego de 2 horas.
3.
El tiempo aproximado 10.000 bacterias.
para que la población
Elsonidoesla vibraciónde un medio,esto generaondassonorasque se midenen herzios(Hz). Losherziosque se pueden generarson muyamplios,considerando que lo que el oído humanopuedeoír se encuentraentre los 20 Hz Y 20.000 Hz. Por esto,seestablecencomparacionesentre un patrón basede sonidoy otro generadopor algúnmedio.
Responde. 6.
Un banco ofrece un interés compuesto anual del 5% durante 4 años y luego un interés compuesto anual del 2% durante 5 años. Calcula el monto total al cabo de 9 años si se depositan $ 1.000.000.
El danés Peter Serensen (1868-1939) acuñó el símbolo pH para definir la acidez de una solución, mediante la siguiente fórmula:
sea de
El biólogo Ludwing von Bertalanffy desarrolló un modelo de crecimiento en los peces en función del tiempo de vida, según la función:
Donde [H+] es la concentración
de iones de hidrógeno en
moles por litro. 7.
El rango de pH de la espinaca es de 6,3 a 7,1; ¿cuál es su rango en [H+]?
Donde Lm es la longitud constantes positivas.
máxima a los t años, Lm y k
4.
Determina la edad del pez, para que su longitud sea el 80% de Lm' considerando k = 0,5.
5.
¿Puede un pez alcanzar la longitud máxima Lm?Justifica.
8.
El rango de pH del limón es de 2,3 a 3,1; ¿cuál es su rango en [H+]?
193
Matemática
1.
El carbono-14 permite determinar, aproximadamente, la antigüedad de un organismo fosilizado. El porcentaje de carbono-14 (en relación a la cantidad original) que queda en un resto fósil luego de t años está dado por la fórmula:
p(t) a.
b.
= 100e -O,00012t
¿Qué porcentaje de carbono-14 quedará en el fósil al cabo de 18.000 años? ¿Cuánto tiempo debe pasar para que quede solo el 1% del carbono-14?
Se calcula el porcentaje remplazando la cantidad de años en la fórmula.
a.
Para calcular el porcentaje de carbono-14 este valor en la función.
al cabo de 18.000 años, se remplaza
= 1OOe-0,00012 . 18.000
p(18.000)
p(18.000) = 100· e-2,16 p(18.000) p(18.000)
~ 100 . 0,12 ~ 12
Por lo tanto, luego de 18.000 años quedará aproximadamente carbono-14 origi nal
Se determina el tiempo remplazando el porcentaje en la fórmula y resolviendo la ecuación exponencial.
b.
el 12% del
Se calculará ahora cuántos años deben transcurrir para que el porcentaje se reduzca al 1%. 1 = 1OOe-O,00012t 1
_
-O,00012t
100 - e 100-1 = e-O,00012t
fin
In(l 00-1) = In(e-o,00012t) -ln(100)
= -D,00012t _ In(100) t - 0,00012 ~ 38.376
Por lo tanto, deberán pasar aproximadamente 1% de la cantidad original de carbono-14.
Santillana Bicentenario
194
38.376 años para que quede un
Preparando la PSU Dado el gráfico de f(x) = log4 x, ¿cuál de las siguientes funciones corresponde al gráfico de g(x)?
1
y
-
I
o
·2
,
( -
I
·2
y
I
-
_2
.«:
4
,
g(x)
1-
x
.2
f(x)
o
.?
6
4
x
..;.4
= log4 (x -
A. g(x) = -log4 (x - 2)
D. g(x)
B. g(x) = -log4 (x) - 2
E. g(x) = log4 (x + 2)
2)
C. g(x) = -log4 (x) + 2
Solución: Para obtener la función de g(x) se analizarán los cambios que se aplican a la función f(x) para obtener la gráfica de g(x).
Se aplica una reflexión respecto al eje X al gráfico de una función, y se interpreta algebraicamente.
y
_~
0
1 Si se aplica al gráfico de la función f(x) una reflexión respecto al eje X se obtiene -log4 x, cuya forma se muestra en la figura.
._~
I
-
\ o
_~
.¡
i3
~
8
....••
X
~
,_~ ':
j
Se
tra~IQ,;6n vertical al gra(lc.o de uno ti/tlc;ón, y se interpreto algebra;camcnre.
0
2 El gráfico de -f(x) pasa por el punto de coordenadas (1, O) y el de g(x) por el de coordenadas (1, 2). Luego, a -f(x) se le aplicó una traslación vertical hacia arriba, sumando 2. Así: ~
aplIco una
...
••
g(x) = -Io~ x + 2
Respuesta: la alternativa con-ecta es C. Observa los colores correspondientes Aplico una reflexión respecto al eje X al gráfico de una función y la interpreto algebraicamente. Aplico una traslación vertical al gráfico de una función y la interpreto
a la resolución de la pregunta y marca según tus logros.
D Sí. D No. Entonces,
grafica y compara las siguientes funciones: f(x) = SX
D Sí. D No, Entonces, gráfica
y compara las siguientes funciones: f(x) = Sx
algebraicamente.
195
g(x) = _sx
g(x) = SX + 3
Matemática
... Se define logaritmo
como el exponente
de una potencia con cierta base, es decir, el número al cual se debe elevar una
base dada para obtener un resultado determinado. Luego, dados b > 0, b ~ 1 ya>
0, se define el logaritmo
en base b de a como el número c tal que b elevado a c es
igual a a, es decir: 10g a b
.... Se llama logaritmo
común a aquel cuya base es
= c ~ be = a
10, Y por convención se anota log10 a
= log a.
El logaritmo
neperiano
o natural es aquel cuya base es e, y por convención, loge a = In a. Propiedades Logaritmo
de la unidad
Logaritmo
de los logaritmos
de una potencia
Logaritmo
de una raíz
Logaritmo
= ~ . =s, a
10gb
de un cociente
de la base 10gb 1
Logaritmo
=O
de la base
10gb b
= 1
.... Una ecuación exponencial Una ecuación logarítmica
10g b" b
Logaritmo
10gb a
10gb ~m
=n
de una potencia
n
Logaritmo
= n 10gb a
(7) =
de un producto
10g (x . y) b
10gb X
-
10gb Y
Cambio de base
= 10gb x + 10gb Y
10gb a
=
lo~a I b ogc
se resuelve igualando sus bases o utilizando logaritmos. es aquella que contiene la incógnita en el argumento
del logaritmo. Se resuelve aplicando la
definición de logaritmo o igualando los argumentos de los logaritmos . .... Se llama función exponencial a toda función f: ~ 4 ~+tal que f(x) Si b > 1 la función f es creciente para todo valor de x; si Se llama función logarítmica a toda función f: IR+ ~
° °
A. >
°
,
para todo b real positivo distinto de
1.
< b < 1 es decreciente para todo valor de x.
se generalizan mediante la función:
=
con Dom N
•
Si
•
La función logarítmica se utiliza, fundamentalmente,
1.
< b < 1 es decreciente para todo valor de x .
... Las situaciones modeladas a través de una función exponencial
N(t) = No A
X
IR tal que f(x) = 10gb x; para todo b real positivo distinto de
Si b > 1 la función f es creciente para todo valor de x; si
At
=b
la función representa un modelo de crecimiento
IR, Rec N
exponencial,
=~
+
y si Iv
Y A>
1
< 0, de decrecimiento
exponencial.
para establecer escalas en situaciones en que los valores tienen una
gran amplitud. Por ejemplo, la escala de Ritcher, que describe la cantidad de energía liberada por un sismo. •
La función raíz cuadrada se define como: f(x)
=
..r;., Dom
f
=
~+ u {O}, Rec f
=
IR+ U {O}. El gráfico de esta función
es creciente en todo su dominio, e intersecta el eje de las abscisas y ordenadas en el punto (O, O).
Santillana Bicentenario
196
Exponentes y logaritmos
UNIDAD 5
... Existen ti-es tipos de trasformaciones traslación •
•
vertical, traslación
y
que se pueden aplicar a las funciones exponenciales, logarítmica
horizontal,
raíz cuadrada:
y reflexión respecto a los ejes X e Y.
Si a una función se le suma o resta una constante, su gráfico se desplaza verticalmente
y
tanto como indique la
será hacia arriba si la constante se suma,
Si a la variable independiente
de una función se le suma o resta una constante, su gráfico se desplaza
horizontalmente
tanto como indique la constante. El desplazamiento
hacia abajo si se
resta
constante. El desplazamiento
será hacia la izquierda si la constante se suma, y
hacia la derecha si se resta.
Traslación vertical y
Traslación
horizontal
I
(0.1)
y
(0.1 + e>j/
(0.1)
(0.1
f(x) + e f(x)
Reflexión respecto a los ejes
(-c, 1)
(- e. 1)
f(-x)
(0.1)
X
x
-f(xl
x
f(x) + e
(O.-1)
(0.1 + e)
Dada la función f(x), f(x) + e es:
Dada la función f(x), f(x + e) es:
Dada la función f(x):
• una traslación hacia arriba, si e > O. • una traslación hacia abajo, si e < O.
• una traslación hacia la izquierda, si e > O. • una traslación hacia la derecha, si e < O.
• -f(x) es el reflejo de f(x) respecto del eje X. • f(-x) es el reflejo de f(x) respecto del eje Y.
IJ Mapa conceptual Construye
un mapa conceptual
utilizando
el
software
CMap que relacione al menos los siguientes conceptos
Logaritmo - Base - Propiedades de los logaritmos - Ecuación exponencial
clave.
- Ecuación logan'tmica -
Función exponencial - Función logantrnica - Función raíz cuadrada - Crecimiento
exponencial -
Escala logan'tmica - Traslación - Reflexión
197
Matemática
1 El valor
5
de log 1 64 es: -
log8 18 es equivalente a:
4
A. -6
A.
B. -3
310g 2
210g 2 B. log 9
C. 3
D. 6 E. 16
2
D. 210g 3 + log 2
log 3 log 2
C.
Respecto a los logaritmos log2 x = 3 Y logy 256 valores de x e y son, respectivamente:
= 4, los
6
D. 6 Y 64 E. 8 y 64
A. 6y4 B. 8y4
C. 8 y 16
E.
210g 9 + log 2 310g 2
310g 2 210g 3 + log 2
?,r;
Si log x3 = P y log Vxes igual a:
= q, entonces
8 --6
log x3
A. -5q
D. 2(2q - p)
B. 2q - p
E. 2(2q + p)
C. 2q + P
3
La expresión log3 3 - log
1
-
49 + log 1 es equivalente a:
7
A. -1
D. 3
B. O
E. 6
7
Si x+~
=
2 con x
E
N, entonces x . log 2 es igual a:
A. log 5
C. 2 B. 210g 5
4
1
210g a -Iog (2e - a) + -Iog (b + e) se puede expresar
C. log 2(210g 5 - 1)
2
como:
D. 210g 5
2
A. log a .Jb + e
log 2
2e - a
E. -210g 5· log 2 210g 5 + log 2
2
B. log a (2e - a) .Jb + c
C.
8
Iog a(b + e) 2e - a
E. log 2aCa - 2e).Jb + e
Santíllana Bicentenario
¿Cuál es el valor de x en
eX + 2
= 97
A. -In 3
D. In 2 - 21n 3
B. In 2
E. In 2 + 21n 3
C. In 2 + In 3
198
20
UNIDAD 5
9
Exponentes y logaritmos
Respecto a las funciones exponencial y logarítmica es
Grafica las siguientes funciones utilizando el gráfico de
falso que:
f(x) = log3 x. y
l.
ambas intersectan al eje de las ordenadas en (O, 1).
11.
la función exponencial tiene asíntota horizontal y la logarítmica, vertical.
111.
x
según el valor de sus bases, ambas funciones pueden ser crecientes o decrecientes.
A. Solo I B. Solo 11 C. Solo 111
10
Si f(x) =
D. I Y II E. I Y 111
2.Jx + a, ¿qué valores toman b y e en la
15
g(x) = S - log3 (x)
16
h(x) = log3 (4 - x) - 3
tabla, respectivamente? x
O
1
2
Resuelve las siguientes situaciones. Puedes usar calculadora.
f(x)
b
4
c
17
El riesgo que corre una persona de sufrir un accidente automovilístico si ha bebido alcohol está dado por la kx
A. 13 y $
D. 13 y 2$
B. 213 y 2.Js
E. 2.Js y.J6
fórmula R(x) = 6e , donde R corresponde al porcentaje de riesgo y x corresponde a la concentración de alcohol (en gramos por litro de sangre).
a. ¿Debe ser un modelo de crecimiento
C. 13 y 3
o de
decrecimiento? Justifica.
b. Calcula k, si se sabe que una concentración de
Resuelve.
0,04 gIl corresponde a un 10% (R = 1O) de riesgo.
11 12
log (5x - 1) - log 2 = log x
In
(3 + ~x)
18
de iones de hidrógeno en moles por litro es 0,027.
+ In 7 = 21n x
x Para las funciones f(x) = S + 2x y g(x)= 2- - 3, determina:
13
Determina el pH de una solución cuya concentración
Un auto se deprecia exponencialmente
de tal modo que
pierde el 20% de su valor cada año. dominio y recorrido,
19
Determina el modelo matemático que representa la situación.
14
intersecciones con los ejes y asíntotas.
199
Matemática
•
INDICADOR
PREGUNTAS
Calculo logaritmos y aplico sus propiedades.
1, 2, 3, 4, S y 6
PUNTAJE
---
iQUÉ DEBO HACER?
/6
• Si obtuviste menos de 6 respuestas correctas, realiza las actividades 1 a 7 para reforzar este contenido. • Si obtuviste 6 respuestas correctas, realiza las actividades 8 a 13 para profundizar tus conoci m ientos.
/ 4
• Si obtuviste menos de 4 respuestas correctas, realiza las actividades 14 a 17 para reforzar este contenido. • Si obtuviste 4 respuestas correctas, realiza las actividades 18 a 20 para profundizar tus conoci m ientos.
Resuelvo ecuaciones exponenciales y logarftmicas.
7, 8, 11 Y 12
Conozco las funciones exponencial, raíz cuadrada y logarítmica, y las transformaciones que se pueden aplicar a ellas variando los parámetros.
9, 1O, 13, 14, 15 Y 16
___
/6
• Si obtuviste menos de 6 respuestas correctas, realiza las actividades 21 a 24 para reforzar este contenido. • Si obtuviste 6 respuestas correctas, realiza las actividades 2S a 28 para profundizar tus conoci m ientos.
Aplico las funciones exponencial y logarítmica en la resolución de diversas situaciones.
17, 18 Y 19
___
/ 3
• Si obtuviste menos de 3 respuestas correctas, realiza la actividad 29 para reforzar este contenido. • Si obtuviste 3 respuestas correctas, realiza la actividad 30 para profundizar tus conocimientos.
¿Cuánto he aprendido? Cuenta las respuestas correctas que obtuviste en la evaluación anterior y clasifica tu resultado de acuerdo a los criterios que se muestran a continuación: • • •
Rendimiento bajo: entre O y 10 respuestas correctas. Rendimiento medio: entre 11 y 15 respuestas correctas. Rendimiento alto: entre 16 y 19 respuestas correctas,
Obtuve
respuestas correctas, lo que implica que mi rendimiento en la evaluación fue
Ahora, dirígete a la sección lCómo lo aprendí?, que está al final del texto, y sigue las instrucciones que en ella aparecen,
Santíllana Bicentenario
200
a
.
Logaritmos
19. SI e
Escribe las siguientes potencias
1.
7
como logaritmo.
3.
2.
2 =128
.J12í = 11
20.
a
Calcula el valor de x en cada caso.
log, 625 = x
6.
log x = -3
5.
log 132 = x
7.
=s, 1.024 = 5
2
Desarrolla loga
9.
Expresa como un solo logaritmo:
Calcula x en 3x + 3x
•
+ 3x + 2
=
g(x)
=
y puntos de
23. h(x) = log (x) - 1
1-
i=
24. p(x) = log2 (x + 1)
25. f(x) = log4 (x) + 1 1
las funciones correspondientes
10. Calcula xy si x = log32 8 e y = log27 9.
y
27.
log ~ en
.~
>-
y
28.
-,
~
o
X
4
2
o
a
!
o
función de p y q.
a
, 8
·2
y
•
a los gráficos.
~
1 ·4
~
•
1
11. Si log 3 ~ 0,477 y log 5 ~ 0,698; calcula log 2.025.
= p y log y2 = q, calcula
26. g(x) = 1 - log3 (5 - x)
4
Determina
13.
143.
Grafica las siguientes funciones .
-310g x - log (x + y) + 2 log x
12. Si 10g.J;1
+ 1
Funciones exponencial, logarítmica y raíz cuadrada
21. f(x) = _3x 22.
Resuelve.
8.
X
= 5 Y In (4 - 3y) = 21n y, calcula -. y
Calcula dominio, recorrido, asíntotas intersección para cada función.
4.
;)
x +2
-
~J
o
~
¡
8
X
Aplicaciones de las funciones
Resuelve.
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 29.
Resuelve. x
En un banco se depositó $ 50.000 con un interés compuesto de 5,2% anual. ¿ En cuánto tiempo se triplica esa cantidad?
14. 3 = 729 30. La pérdida o ganancia de potencia de un dispositivo, expresada en decibeles (dB), está dada por la ecuación p PdB = 1Olog donde PdB es la potencia en
15. =s, 256 = 8 16. 17.
t
if48 = 4
e
decibeles, Ps es la potencia de salida en Watts y Pe la de entrada. Si se aumenta la potencia de entrada de 3 Watts con un amplificador de 20 dB, ¿cuál es la potencia de salida?
log x + log (2x - 1) = 1 4-x
18. Despeja x en la expresión (
+)
= 36.
201 I
Matemática
r
•
•
orciona I •
•
en a circun erencla Mientras trabaiaba en la biblioteca
de Alejandra,
Eratóstenes (276-194 a. C.)
~
_".. ~=:tJ'_.
intentaba estimar el perímetro
F=:=:a'~~U (solsticio
de la Tierra. Un día, escuchó que el 21 de junio
de verano), justo a medio día, los objetos en Siena no producían sombra
alguna; sin embargo, a la misma hora en la ciudad de Alejandría, el Sol formaba un ángulo que era
_!_ SO
estimó el perímetro
de un ángulo completo.
Con esta información
de la Tierra considerando
Eratóstenes
que:
""'
o
Los rayos del Sol caen a la Tierra perpendicularmente.
e
Las ciudades de Siena y Alejandría se encuentran en el mismo meridiano.
o EN
ESTA UNIDAD
La distancia entre las ciudades de Siena y Alejandr(a es de aproximadamente 5.000 estadios.
APRENDERÉ A ...
Identificar elementos de la circunferencia.
o Establecer relaciones entre elementos de la circunferencia.
Demostrar relaciones entre medidas de ángulo en la circunferencia.
Demostrar relaciones entre medidas de segmento en la circunferencia.
Calcular medidas de ángulos y segmentos utilizando las relaciones entre ellos.
o
Los ángulos que cortan rectas paralelas son congruentes.
• Alejandría
••
\
• Centro de la Tierra
Tierra
72° ------------ - ----~,----Perímetro Tierra
5.000 estadios
' T'ierra = 360 . 5.000 =.250000 Perímetro 7,2 Es decir, el perímetro de la Tierra es de 250.000 estadios.
De forma individual realiza la siguiente actividad.
1.
Se considera que en la época de Eratóstenes, un estadio tenía aproximadamente
1S9
m de largo. Calcula el perímetro de
la Tierra en kilómetros.
2.
Con la información de la pregunta 1, calcula el radio de la Tierra
3.
Si las ciudades de Alejandría
4.
Considerando que actualmente se estima que el diámetro entre los polos de la Tierra es de aproximadamente
y Siena no estuvieran en el mismo meridiano, ¿seríacorrecta la deducción de Eratóstenes?
¿cuál fue el porcentaje de error en los cálculos de Eratóstenes?
-
y su volumen.
12.713
km,
1 ¿Cuál de los siguientes
5
polígonos es regular?
D.
A.
La figura ABCD es un cuadrado, Entonces es cierto que:
l.
AE - BE
11. Á rea ('ó'DEC) = B.
E.
111. m(1:CED)
Ninguno de los anteriores,
1
2
/ Area (ABCD)
= 450 D....-
,C
c.
2
A. Solo I B. Solo II ¿Cuál es la medida de cada uno de los ángulos interiores en un pentágono regular?
6
E. 500
¿Qué segmento corresponde al diámetro de la circunferencia de centro O en la siguiente figura?
A.
3
E. II Y 111
C. I Y II D. I Y III
CD
B. OE Si el perímetro
es 34 cm, ¿cuál es la
del rectángulo
D. CO
E. AB
CJ-------------fD O
C. OD
longitud del lado mayor? (x + 5) cm
A. 24 cm B. 18 cm
c.
7
xcm
los rayos de la rueda de una bicicleta?
14 cm
D. 11 cm
E.
4
A. Diámetros, B. Cuerdas, C. Tangentes,
6cm
D. E.
Con respecto a la circunferencia es cierto que:
l. es un polígono regular, 11. tiene área y perímetro, 111. todos sus puntos se encuentran a la misma
8
distancia del centro de ella,
A. Solo I B. Solo II
Santíllana Bicentenario
¿A qué elemento de la circunferencia corresponden
c.
Solo III
D. I Y 11
204
Radios,
Si una recta es tangente a una circunferencia, entonces:
A. B. C. D. E.
E.llylll
Arcos,
no la intersecta. la intersecta en solo un punto, la intersecta en dos puntos, la divide en partes iguales, Ninguna de las anteriores,
,
UNIDAD 6
9
en la circunferencia
Ángulos y proporcionalidad
Una plaza de forma circular ha sido delimitada en su borde por arbustos; también en todo su interior se ha plantado pasto y en el centro de ella hay una bandera. ¿Qué altemativa representa mejor lo que correspondería a un círculo?
A. B. C. D. E.
El pasto de la plaza. Los arbustos de la plaza. La bandera de la plaza. Los arbustos y la bandera de la plaza. Ninguna de las anteriores.
Observa la ruleta de la figura y responde las siguientes preguntas.
10
¿Cuántos sectores circulares de colores distintos se reconocen en la ruleta?
11
Si el radio de la ruleta es de 15 cm, ¿cuál es su perímetro?
12
¿Cuál es el área de la ruleta?
2
Una moneda de forma circular se hace rodar por un riel. Se sabe que el área de la moneda es de 75 mm (considerando 1t = 3). Responde.
13
¿Cuánto mide el diámetro de la moneda?
14
¿Cuál es el perímetro de la moneda?
15
Si al rodar por el riel la moneda alcanza a dar exactamente 4 vueltas, ¿cuál es la longitud del riel?
Reviso Revisa tus respuestas en el solucionario
y completa la siguiente tabla.
INDICADOR
PREGUNTAS
Establecer relaciones entre elementos de polígonos y calcular longitudes de lados y ángulos presentes en ellos. Identificar y determinar los elementos de la circunferencia y el círculo, y sus características. Resolver problemas que involucran el cálculo de la longitud de la circunferencia y el área del círculo.
1, 2, 3 y 4
/4
S, 6, 7, 8, 9 Y 1O
/ 6
11, 12, 13, I 4 Y 15
205
RESPUESTAS CORRECTAS
_/5
Matemática
Geometría
La circunferencia Sedefineun lugargeométrico como un conjuntode puntos que cumplenuna condicióndada.
Así, unacircunferenciaes el lugar geométricode los puntosdel planoque se encuentrana unadistanciar (radio) de un punto 0, llamadocentro de la circunferencia.
D
Elementos de una circunferencia En la circunferencia de centro O de la figura, se han trazado algunas rectas y segmentos que se nombran como se indica a continuación.
•
OC es un radio, es decir, un segmento cuyos extremos son el centro y un punto de la circunferencia.
•
AC es una cuerda, es decir, un segmento cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia.
•
AB es un diámetro,
•
BC es una recta secante, es decir, intersecta a la circunferencia en dos puntos.
..,.........
es decir, una cuerda que contiene al centro de la circunferencia .
~
•
BD es una recta tangente, es decir, intersecta a la circunferencia en solo un punto -B, en este caso- llamado punto de tangencia . .---..
•
CA es un arco, es decir, una porción de circunferencia delimitada por dos puntos de ella. Estos puntos se escriben en sentido antihorario . ...--
--
El arco CA está asociado a la cuerda AC y a los ángulos ~COA y ~CBA. Se dice que
GLOSARIO •
esta cuerda y estos ángulos subtienden el arco CA .
Subtender: unir con una línea recta los extremos de un arco de curva
Arcos y medida de ángulos Nuestro sistema de medida de ángulos se basa en dividir una circunferencia en 360 partes iguales (llamadas grados), de manera que al hacer coincidir el centro de la circunferencia con el vértice de un ángulo, la medida de este último queda determinada por la cantidad de partes correspondientes al arco que subtiende.
Ejemplo De esta manera se dice que los ángulos
--
El arco AB corresponde a 75 de las 360 partes en las que se dividió la circunferencia, por lo que el ángulo ex mide 75 grados.
-
Dada la equivalencia anterior, es posible decir que el arco AB mide 75°, pese a que al ser una curva se deberfa utilizar para ella una medida de longitud. Así es posible decir que un arco mide x grados, entendiendo con esto que es subtendido por un ángulo de x grados, cuyo vértice es el centro de la circunferencia. Aunque se puedeutilizarcualquierletra,en
°
lo sucesivo representarásiempreel centro de lacircunferencia.
Santillana Bicentenario
206
,
Angulos y proporcionalidad en la círcunferencía
UNIDAD 6
Longitud de un arco de circunferencia Si un arco de circunferencia
mide x grados, corresponde
x
a
de la circunferencia.
360 longitud del arco a partir de su medida en grados -o la del ángulo correspondiente
y
Con esta relación es posible calcular la
con vértice en el centro de la circunferencia-
la del radio de la circunferencia.
---
Se tiene una circunferencia de centro O, con longitud del arco AB (L), el ángulo
La longitud de un arco de circunferencia se
a
obtiene mediante la siguiente expresión:
o ~_:r¡---1B
con vértice en el centro de la circunferencia
y
a
L= 360 . 2nr ~
el radio r.
anr L = 180
A Ejemplo Calcula la longitud de un arco de circunferencia de radio 3 cm subtendido Remplazando los valores en la fórmula obtenida anteriormente, Por lo tanto, la longitud del arco corresponde
por un ángulo de 70°.
se tiene: L
aproximadamente
=
70 . n 180
.3
7n
= 6"
s::;
3,67.
a 3,67 cm.
,
Area del sector circular Se llama sector circular a una porción del círculo limitada por dos radios y se escribe en sentido antihorario.
De manera análoga
al cálculo de la longitud del arco, es posible calcular el área del sector circular a partir del radio de la circunferencia correspondiente
y al ángulo
con vértice en el centro de la circunferencia asociado al sector.
Se tiene una circunferencia el ángulo
(l
B
de centro O,
El área del sector circular
con vértice en el centro de la
circunferencia
y
el radio r.
de una
circunferencia se obtiene mediante la
o
siguiente expresión:
ex.
a
r
Ao_ = 360
A
2 . rtr
Ejemplo Calcula el área de un sector circular de radio 3 cm determinado por un ángulo de 160°, con vértice en el centro de la circunferencia. 2
i .n . 9 = 4n
Remplazando los valores en la fórmula de Ao:, se tiene: Ao: = 160 . n . 3 = 360 9 2 Por lo tanto, el área del sector circular es aproximadamente 12,57 cm .
Calcula el área
y
el perímetro
1.
de las siguientes figuras
1 cm
s::;
12,57.
2.
1 cm
pintadas. En ambos casos, el lado del cuadrado mide 2 cm.
1 cm 1 cm
207
Matemática
Geometría ,
Angulos en la circunferencia , Figura 1
Angulo del centro
A __ -_
En una circunferencia, se llama ángulo del centro a aquel cuyo vértice correspondiente es el centro de ella. En la figura 1,~AOB es ángulo del centro. Como
ya se mencionó, si su medida es
ex, el arco
..--..
que subtiende (AB) mide también
a.
Existen otros tipos de ángulos que se definen a partir de elementos de la circunferencia. Dado que la medida de los ángulos se relaciona con un ángulo del centro, el estudio de los demás ángulos se remitirá a el o los ángulos del centro que subtienden
---.
m({AOB) = m(AB)
mismos arcos, como se revisará en los siguientes casos.
,
Figura 2 A.__-_
Angulo inscrito Un ángulo formado por dos cuerdas que se intersectan sobre la circunferencia ángulo inscrito.
B
En ........_ la figura 2, ~ACB
es un ángulo inscrito
con vértice
considerando
Caso 1 El centro de la circunferencia se encuentra dentro de la región determinada por el ángulo inscrito.
tres casos que corresponden
que
el mismo arco,
Demostración Para analizar la relación entre los ángulos se traza el diámetro CD.
A Dado que m(BO) = m(CO) = m(AO) (por ser radios), los triángulos ~BCO y MCO son isósceles. Por lo tanto,
o
m( 1::0CB) m( 1::ACO)
e
= m( 1::CBO) = a
= m( 1::0AC) = ~
Como ~DOB y ~AOD son ángulos exteriores de los triángulos ~BCO y MCO respectivamente, se cumple que: ~ACB y ~AOB subtienden el mismo arco AB. Además, m(~AOB) = m(AB).
-
m( 1::DOB) m(1::AOD)
= a + a = 2a = ~ + ~ = 2~
Por lo tanto,
m( 1::ACB)
m( 1::AOB)
=a
- = 2a = m(AB)
+~
+ 2~
= 2(a
+ ~)
-
m(AB) = 2 . m(~ACB)
-
Es decir, el arco AB mide el doble del ángulo inscrito que lo subtiende, ~ACB.
Santillana Bicentenario
e,
a las posiciones relativas que pueden darse.
A
-
se llama
subtiende el arco AB. Se analizará su relación con el ángulo (a) del centro que subtiende
B
el o los
208
UNIDAD 6
,
Angulos y proporcíonalídad
en la círcunferencía
Ejemplo Encuentra los valores de x e y en la siguiente figura. _-_4x • •
O•
3x
Caso 2
=
=
Se observa en la figura que 4x + 2x + 3x 360°, por lo tanto, x 40° . Y es ángulo inscrito que subtiende un arco de medida 2x. Por el resultado anterior, se tiene: 2y = 2x =} y = x = 40°.
Demostración
El centro de la circunferencia se encuentra sobre
Dado que m(CO) = m(AO) (radios), el triángulo
una de las cuerdas que forman el ángulo inscrito.
ACO es isósceles. Como 1:AOB es ángulo exterior del triángulo AOC, se cumple que: ~
= m(AB)
m( 1:AOB)
= a + a = 2a
-
m(AB)= 2 . m( ~ACB) ~ACB
y
.-
Esdecir, el arco AB mide el doble del ángulo
~AOB subtienden el mismo arco, AB . .-
Además, m( ~AOB)
inscrito que lo subtiende, ~ACB.
= m(AB).
Ejemplos
A
2. O~n si BA
1. Obtén el valor de
m.(.iCAB), en la circunferencia de centro 0, CB.
=
~ en la siguiente figura. O
O
•
=
=
•
D
Se observa en la figura que m( ~ABO) 29° Y m(1:0CA) 17°, por ser ángulos opuestos por el vértice a los ángulos de medida dada. Al trazar una recta entre el vértice A y el centro 0, se obtienen dos triángulos isósceles de ángulos basales que miden 17° y 29°.
• •
-= -
=
Si m(1:BOA) 83°, Y m(BA) m(CB), se tiene que m(~COB) = m(~BOA) = 83°. _.-... El ángulo ~CAB es inscrito y subtiende el arco CB. Por el resultado visto anteriormente: 2 . m(
,, ,,
m (
De esta forma a = 46°, ya que 17° + 29° = 46 0. Luego, por el resultado visto anteriormente, ~ = 2a, luego, ~ = 2 . 46° = 92°. Entonces, ~ = 92°.
= 83° -
83° = 41 5°
2
'
m(
209
Matemática
Geometría
Caso 3
Demostración
El centro de la circunferencia se encuentra
Se traza el radio OC.
fuera de la región limitada por el ángulo
Dado que m(OB) m(CO) = m(OA) (radios de la
inscrito.
circunferencia), los triángulos óBCO
A._ ___
Por lo tanto, si m( -(OCA) Se tiene que: m(4:0CB)
=
m(~AOB)
-
= 1800
-
=
a
+ ~
a
2(a + ~) 2a
Luego, se tiene:
C
~ACB y ~OB
=
= m( -(OAC)
Por lo tanto, m( 4:BOC) = 1800 m(4:AOC)
m( -(ACB) = ~
= m(~OBC)
m( -(OCA)
o
ay
y óACO son isósceles.
subtienden el mismo
arco, AB . Además, m( -(AOB)
-
- = m(~AOC) - m(~BOC) = m(AB) = (180° - 2a) - (1800 - 2(a + ~)) = 180° - 2a - 180° + 2(a + ~) = -2a + 2a + 2~ = 2~
-
= m(AB)
m(AB)= 2 . m(4:ACB)
-
Es decir, el arco AB mide el doble del ángulo inscrito que lo subtiende, 4:ACB.
Ejemplo Calcula ~, en la siguiente circunferencia de centro 0, si m(~BAC)
= 28°.
___--..:C •
•O
= 28°, se tiene por el resultado anterior que f3 = 56°, ya que: ~ = 2 . m(1:BAC) = 2 . 28° = 56° Como m(~BAC)
Los resultados anteriores pueden enunciarse, en conjunto, como el teorema
del
ángulo inscrito. Para todo ángulo inscrito, su medida es igual a la mitad de la medida del arco que subtiende.
GLOSARIO •
Corolario: proposid6n que no necesita prueba particular, sino que se deduce fácilmente de lo demostrado antes. Fuente: Red Academia Españolo de lo Lengua.
Corolarios
y teoremas
El teorema del ángulo inscrito, los siguientes corolarios COROLARIO
y la definición del ángulo del centro, tienen asociados
y un teorema.
A
1
Si dos o más ángulos inscritos subtienden
E
un mismo arco, sus medidas son iguales.
a, f3 y "( subtienden al arco
Santillana Bicentenario
210
-
AB. Por lo tanto,
a=
f3
= 'Y
C
UNIDAD6
I
,
Ang1.110S y proporcionalidad
Ejemplo • •
-- =
Figura 1 B
~CBD y ~ subtienden el mismo arco. Por el corolario anterior, ~ = 35°. Por teorema del ángulo inscrito, m(CD) 70°, ya que 2JL- 2 . 35° 70°. Luego, como exes ángulo del centro que subtiende el arco m(CD), ex = 70°.
COROLARIO
en la círcunferencía
=
B
2
Si un ángulo inscrito subtiende una semicircunferenciade centro O, dicho ángulo es recto.
m(~ABC)
= 90°
A
Ejemplo Calcula la medida del ángulo ~FIO, de la figura 2, sabiendo que O es centro de la circunferencia y m(~IHF) = 26°. •
•
OH Y 01 son radios de la circunferencia, por lo tanto, el triángulo L\IOH es isósceles. Luego: m(
m(
Figura 2
El ángulo ~FIH subtiende una semicircunferencia. Por corolario 2, m(~FIH) = 90°, por lo tanto: m(
COROLARIO
o
3
En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia de centro O, los ángulos opuestos son suplementarios. B
e
m(~ABC) m(~DAB)
A
+ m(~CDA) + m(~BCD)
= 180° = 180°
Ejemplo
Figura 3
Determina el valor del ángulo •
p de
----..---... m(ED) = 108° Y m(DC)
la circunferencia de centro O. ..---.
Como = 92°, m(EC) = 108° + 92° = 200°. Luego, utilizando el teorema del ángulo inscrito se tiene que: m(
•
=
2
=
0
200 2
92°
e
---..
m(EC)
D
=
100° => m(
Por colorario 3, se tiene que m(~EFC) + m(~CDE)
= 180°, por lo tanto:
m(
211
Matemática
Geometría
A
Figura1
Teorema
A
Cuerdas congruentes en una circunferencia
o
subtienden arcos congruentes.
•
Hipótesis: CD
B
Demostración:
......--.
= AB
Tesis: CD
1. CD =AB entonces ..--..
..---..
CD =AB
Justificación Por hipótesis. .Radios de la circunferencia.
2. OC =OB 3. AO = DO
Radios de la circunferencia.
4. llCDO
Por afirmaciones 1, 2 y 3, se verifica criterio LLL.
= llBAO
5. 1:COD = 1:AOB ¡-
--.
Por afirmación 4.
............
6. CD =AB
Obtén los valores de
a y ~ en
Por afirmación 5 (q. e. d.).
las siguientes circunferencias
de centro O.
4•
...-..
1.
= AB
(ver figura 1)
Afirmación
Si CD - AB
---..
0
m(DC) = 134
49°
5.
DI_..-_-.
2.
e 84°
6.
D
3. .0
(2x + 20)0
e Santillana Bicentenario
212
e
UNIDAD 6
7.
,
Angulos y proporcíonalídad en la círcunferencía
Resuelve.
12.
°
En la figura, L1 11 L2, AD es diámetro y es el centro. 0 Si m( ~BOC) = 30 , determina el ángulo ~DOB.
8. B
e 13. Calcula el valor de x en la circunferencia de centro 0, si AB es diámetro.
En las siguientes circunferencias de centro 0, determina el valor de x.
9.
D
A
e
10.
14.
Las circunferencias de centro -
-
°y
O' se cortan en los
puntos D y B. Si DA Y DC son diámetros, prueba que los puntos
A, By
C son colineales.
11. B
e
213
Matemática
1.
De un círculo de radio 18 cm se ha extraído un sector circular correspondiente a un ángulo de 50°.
a.
¿Cuál es el perímetro del sector circular que queda?
b.
¿Cuál es la superficie de dicho sector circular?
a. Como se extrajo una porción de 50°, el ángulo del centro del sector que resta es de ex. = 310°, ya que ex = 360° - 50° = 310°.
Se utiliza la fórmula L
=
a .n . r 310 . n . 18 De esta manera, L = 180 = 180 = 311t.
an:r
180 para obtener la longitud del arco
Para obtener el perímetro se suma dos veces la longitud del radio. Luego,
restante en la circunferencia.
P = 31n + 2r = 31n + 2 . 18 = 31n + 36
Se calcula el perímetro de la figura formado por el arco de la circunferencia y dos veces el radio.
Luego, el perímetro del sector circular es (311t + 36) cm.
b. La superficie resultante corresponde a un sector circular de ángulo 310°. De esta manera se calcula el área: A
Se calcula el área del sector circular
=
2
3~0 1t r
resultante.
2
Es decir, el área del sector circular es 2791&cm .
2. ¿Cuál es la medida del ángulo x en la circunferencia de centro O? E Por teorema del ángulo inscrito se tiene lo siguiente: ...-
m(BC) = 2 . 40° = 80° ...m(BC) = 80°
---
m(AC)
= 2x
..--..
Además, por enunciado m(AB) = 30° . ....--.
Se utiliza el teorema del ángulo inscrito para relacionar cada ángulo con el arco que subtiende.
----
Se utiliza la relación 4:AEC que subtiende al arco (AC), por tanto, m(AC) = 2x y m(AC) = m(AB) + m(BC).
--- ---
Santillana Bicentenario
---
r-O
.---..
.---..
Y por otro lado, se da la relación: AC = AB + BC. Remplazando, se tiene: ..--. ..--. m(AC) = m(AB) + m(BC) 2x = 30° + 80° 2x = 110°
--
x = 55° Es decir, el ángulo x mide 55°.
214
=
310 360
2
1t
18 = 2791t.
Preparando el SIMCE
_
En la figura el punto O es centro de la circunferencia. Si el ángulo .(AOB
A.
~t
B.
~u
C.
~w
mide 72°, ¿cuál de los siguientes ángulos mide 36°7
D. ~z
Fuente: vvww.sim::e.cl.
Solución: Se sabe que el ángulo .(AOB corresponde a un ángulo del centro (pues su vérti ce es el centro O de la circunferencia). T ambi én se observa que los ángulos z, t y u son inscritos (pues sus respectivos vértices se ubican sobre la circunferencia).
.
~
Se identiftcan los tipos de ángulos presentes en la ftgura .
..---..
Además, el ángulo .(AOB subtiende el arco AB, por lo que todos los ángulos inscritos que subtienden este mismo arco miden la mitad del ángulo .(AOB, es decir, 36°. Se puede observar que m(~z)
. t:e relago/lQn Jos_ (frigutb~:.
---
= 36°, pues subtiende el mismo arco AB.
• •••••• Respuesta:
con el .ángtiJo aei (t:ntro < . ,OB J)arQ ..
'jp$cfir()$ -
,'.
-,'
',~
,
aeierrrlinar su medida:
la altemativa correcta es D.
Observa los colores correspondientes Identifico ángulos del centro y ángulos inscritos en una figura. Relaciono ángulos inscritos y del centro que subtienden el mismo arco de la circunferencia, para determinar sus medidas.
a la resolución
de la pregunta y marca según tus logros.
O Sí. O No. O Sí. O No.
Entonces, dirígete a la página 209 e identifica los ángulos inscritos y del centro del ejemplo 2. Entonces, dirígete a la página 211 y, en la figura 2, establece pares de ángulos inscritos y del centro que subtienden el mismo arco; calcula sus medidas y establece la relación que hay entre ellos.
215
Matemática
Geometría , Figura1
Angulo semi inscrito
/
Angulosemiinscrito A
e
o.
Un ángulo formado por una cuerda y una recta tangente que se intersectan en el punto de tangencia se llama ángulo semiinscrito. .--...En la figura, ~ACB es un ángulo semiinscrito con vértice C, que subtiende el arco CB. Se puede observar que también .--... es un ángulo semiinscrito el ~BCD, que subtiende el arco BC (ver figura 1). Para demostrar
la relación entre el ángulo semiinscrito
y el ángulo del centro
correspondiente al arco que subtiende, se trazan los..,_.,. radios OC y OB, Y se llamará a a la medida del ángulo ~ACB (ver figura 2). Al ser AD tangente a la circunferencia se ..,.......,..
utilizará que AD ..L OC (ver anexo).
-
B AD: rectatangente. Be : cuerdade la circunferencia. e : punto de tangencia. Figura2
o
Hipótesis: m(~ACO) Tesis: m(~COB)
= 90°, m(~ACB) = a
= 2a
Demostrac ión: Afirmación
J ustificación
1. m( ~ACO)
= 90°
Por hipótesis.
2. m(~ACB)
=a
Por hipótesis.
3. m(~BCO)
= 90° - a
Por afirmaciones 1 y 2.
4. CO==BO
Son radios de la circunferencia.
5. ~BCO
Por afirmación 4.
==~OBC
6. m( ~BOC) = 180°- 2(90° - a) Por afirmaciones 3, 4, 5 Y teorema de los = 180° - 180° + 2a = 2a ángulos interiores de un triángulo (q. e. d.). Lo anterior puede enunciarse como el teorema del ángulo semi inscrito.
Figura3
La medida de un ángulo semiinscrito es igual a la mitad de la medida del arco que subtiende. Ejemplos
1. Calcula el valor de a, en la circunferencia de centro O, de la figura 3. Al aplicar el teorema del ángulo semiinscrito, a = 44°, ya que: 880
Figura4
a=
--
m(BC)
2
=
88°
2
= 44°
2. La recta L es tangente a la circunferencia de centro O, (figura 4) en el punto A. Calcula
a. ..---..
Dado que m(AC) = 140°, m(<(ABC) = 70° por teorema del ángulo inscrito. Por lo tanto, m( ~BCA) = 50°, pues m( ~CA) = 180° - (70 + 60) = 180° -130° = 50°. Por teorema del ángulo inscrito, m(BA) = 100°, pues BA es el arco subtendido por el ángulo ~BCA. Por lo tanto, aplicando el teorema del ángulo semiinscrito, a = 50°, pues:
--
0
140
a=
--
m(BA)
2 Santillana Bicentenario
216
=
--
= 50°
UNIDAD 6
,
Angulos y proporcionalidad en la círcunferencía
,
Figura 1
Angulo interior
e
Un ángulo formado por dos cuerdas que se intersectan en un punto dentro de la circunferencia se llama ángulo interior (ver figura 1). En la figura, -tAEB, -tBEC, -tCED y -tDEA son ángulos interiores con vértice E.
-- y
Cada ángulo interior subtiende dos arcos a la vez. Así, los ángulos
--
subtienden los arcos AB
-.
--
CD, respectivamente, mientras que -tBEC
y y
B
subtienden los arcos BC y DA, respectivamente. Para establecer la relación entre la medida del ángulo interior y la de los ángulos del
Figura 2
centro correspondientes a los arcos que subtiende, se traza la cuerda CB, formando los ángulos
a. y (3 (ver
figura 2).
= a y m(-tCBD) = (3.
Sea m(~ACB)
e
.--..
Entonces, por teorema del ángulo inscrito, m(AB) =
2a. y
.--..
m(CD) =
2(3.
B
--
Además, ~AEB es ángulo exterior del triángulo ~BEC, por lo que: .---..
m (1:AE B) =
a. + f3 =
Por lo tanto: m( ~AEB)
=
m (AB)
+
2
rn (CD\ --'-:,.---!-}
2
--m(AB) + m( CD) ...--..
2 El resultado anterior corresponde al teorema del ángulo interior. Para todo ángulo interior se cumple que su medida es igual a
Figura 3
la semisuma de las medidas de los arcos que subtiende. Ejemplo Determina la medida del ángulo x, en la siguiente circunferencia de centro O (figura 3). Al aplicar el teorema del ángulo interior, se tiene: ..----...
...--.
x = m( 1:BEA) = m(BA) ; m(DC) -
Luego, x = 68°.
Calcula en cada caso el valor de x. S __
R
Q
2.
1.
~OT 86 0
1200
Q
R
3. Q
x p
S
x p
217
Matemática
Geometría ,
Figura 1
Angulo exterior E Un ángulo formado por dos secantes que se intersectan en un punto fuera de la circunferencia se llama ángulo exterior. ..--..En la..--.. figura 1, ~BEA es ángulo exterior a la circunferencia, que subtiende los arcos BA y De
B
O. Para establecer la relación entre la medida del ángulo exterior y las medidas de los ángulos del centro correspondientes a los arcos que subtiende, se trazará la cuerda AC, formando los ángulos inscritos ~BCA y ~DAC, a los que se asignan medidas a y ~, respectivamente (ver figura 2) .
A
..--..
..--..
Con ello, m(BA) = 2a y m(DC) = 2~, por ser ángulos inscritos.
Figura 2
Ad emás, m(
E
, , , ,, o. ,' ,,,~
B
(l.
Dada esta medida, se tiene que en el triángulo 8ACE la medida del ángulo ~AEC es
(J, ,
......---
..--..
m(BA) m(DC) 2 2 .
m(~CEA)=1800-{(1800-a)+~}=a-p=
El resultado anterior corresponde al teorema del ángulo exterior.
,, I
..--..
..--.
m(~CEA)
= m(BA) - m(DC)
2 Para todo ángulo exterior se cumple que su medida es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos que subtiende. Se pueden considerar además dos casos particulares de ángulo exterior en una circunferencia con centro en O. Caso 1
Caso 2 La medida del ángulo formado
desde un mismo punto, es igual al suplemento del ángulo del
tangente, trazadas desde un mismo punto, es igual a la
centro determinado por los puntos de tangencia.
semidiferencia de los arcos que subtiende. +-+
+-+
por una secante
y una
La medida del ángulo formado por dos tangentes, trazadas
+-+
El ángulo ~CBA está formado por dos tangentes (CB y AB).
El ángulo 1:CBA está formado por una secante (AB) y una tangente 4-+
...--..
...--..
(CB), y subtiende los arcos CA y DC.
a + ~ = 90 Y+
o = 90
0
0
En el triángulo MBC,
a + ~+y + Ó ~+ o ~+ o
Luego,
= 1 80 = 1 80
=
o 0
I80
a-
-
(a + y)
0
m(~CBA)
que: m( 1:CBA)
+~=a
m( 1:CBA)
= a- ~
y
-
0
se tiene que
ex
es ángulo exterior, por lo
--~~~~----~~ C
-----....;;:a. B
= 180
-....;;;.,...... A....... 0 -
rn(~AOC)
Además, observa que: AO=CO 1:BAO = 1:0CB
Además:
y por lo tanto, AB == BC.
tn(CA) = 2a y m(DC) = 2~ => m( ~CBA)
-
-
...--..
...--..
OB =OB Es decir,
Las tangentes trazadas desde el punto B son congruentes entre sí.
Santillana Bicentenario
-
por criterio LAL, LlBAO == LlBCO,
218
X ) m ( '1-CBA
- -
m(CA) - m(DC) = 2
=
-
m(CA)
m(DC)
2
2
,
UNIDAD 6
Angulos y proporcionalidad en la círcunferencía
Ejemplo
¿Cuál es la medida de ex. y 13, en la siguiente circunferencia De la figura se observa que ex. 22°, ya que:
F
de centro O?
1050
=
105°+ a. + 75° + 158° = 360° a. + 338° = 360° => a. = 22° Al aplicar el teorema
p=
....-..
o.
del ángulo exterior, se tiene: ....-..
..--..
m(CD) - m(EB)
1580
= m(CD) - a. = 75° - 22° =
222 Por lo tanto,
13 = 26,5°.
5.
Responde.
1.
Calcula la medida de ex. en la circunferencia de centro O.
Considera la siguiente figura con tangentes en C y A, para calcular la medida de ex..
ex
.0
2a
5x 2200
o Responde.
Según corresponda, calcula los valores de
2.
6.
En una circunferencia de centro 0, se inscribe un pentágono regular. Calcula la medida de los ángulos x, y y z.
7.
En la circunferencia de centro 0, CBes diámetro y la recta L es tangente en el punto A. Determina la medida del ángulo x, si m(BA) 28°.
ex. y ~.
3.
o· 960
--- =
~
En la figura, AB es tangente. Calcula la medida de ex..
4.
B
A
A L
o
219
Matemática
1. En la circunferencia de centro O, ¿qué medida debe tener el ángulo ~ABC ..,_.. para que DC sea tangente a la circunferencia?
e A
-------00 Se utilizan relaciones de elementos de la circunferencia para determinar la medida de otros ángulos en la f¡gura.
Dado que OA y OB son radios, es decir, tienen igual medida, el triángulo AAOB es isósceles. Al tener sus ángulos basales ~BAO y ~OBA igual medida, se tiene: m(1:BAO)
----------0 Se utiliza la relación de un radio y una tangente en el punto de
= m(1:0BA)
= 180° - 120° = 60° = 300 2 2 es de 30°.
Luego, la medida de los ángulos basales del.óAOB +--+
Para.que DC sea tangente, debe ocurrir que OB .L DC, por lo tanto, m(~OBC)
tangencia para obtener lo pedido.
= m(~OBA) + m(~ABC), 90° = 30° + m (1:ABC) m( 1:ABC) = 90° - 30° = 60°
Además, m(~OBC)
= 90°.
por lo que se tiene:
Por lo tanto, el ángulo ~ABC debe medir 60°.
2. ¿Cuál es la medida del ángulo ~AEC en la circunferencia de centro O de la figura? 3x + 20° ._;_.- ____
...-..
...-..
..---...
Se tiene que AC + CD + DB + BA = 360°, pues corresponde a la circunferencia
x + 40°
A
....---...
completa. D x
,....-00
e Se calcula el valor de x.
5x + x + (x + 40°) + (3x + 20°) 10x + 60° 10x x Luego, x = 30°. Luego,
,..--._
m(1:AEC) = m(AC) + m(DB)
Se utiliza el teorema del
2
ángulo interior. ,..--._
Donde:
-
m(1:AEC) = m(AC) + m(DB) 2
en la expresión.
150° + 70° 2 Por lo tanto, el ángulo ~AEC mide 110°.
Santillana Bicentenario
360° 360° 300° 30°
El ángulo ~AEC es un ángulo interior, por lo que su medida está dada por: ,..--._
---------0 Se remplaza el valor de x,
= = = =
220
_ 5x + x + 40 2
Preparando la PSU
E
En la semicircunferencia de centro O, m(~BOC) = 100°. ¿Cuánto mide el ángulo ~AED en el triángulo isósceles .óAED de base AD? A. B. C. D. E.
70° 50° 40° 20° Ninguno de los valores anteriores.
Pregunta PSU N° 50, Modelo Oficial Prueba de Matemática, Proceso de Admisión 2005, Serie DEMRE - Universidad de Chile N° 7, publicado el 9 de junio de 2004, a través de El Mercurio.
Solución: Se sabe que m(~BOC)
= 100°,
---- = 100°.
entonces m(CB)
__ E
Se completa la circunferencia --.. dibujando la parte faItante, así se define un nuevo arco AD, cuya medida es 180°, pues corresponde a una semicircunferencia.
Ahora, el ángulo ~AED buscado corresponde
.
a un
ángulo exterior, pues su vértice se encuentra fuera de ~
~
m(AD) - m( CB) la circunferencia. Luego, m( ~AED) = 2 . . Remplazando se tiene, m( ~AED) Entonces, m( ~AED)
=
180° - 100° 2
=
80° 2
= 40°.
•••••••••••
'$~;f,ol.ll.!/q (9 p~e4.i(/º d~ qrlgV~). ev-teifor utiJiz,ondo 1!1·fl1edída dejOs grét)s;' que son .,~bte[ldtd9s.'pgrél, ~::-' ,
,
-,
':'
Respuesta: la altemativa correcta es C.
Observa los colores correspondientes Asocio la medida del arco con la medida del ángulo del centro que lo define. Calculo la medida de ángulos exteriores a la circunferencia.
a la resolución de la pregunta y marca según tus logros.
D Sí. D No. D Sí. D No.
Entonces, dirígete a la página 206 y determina la medida del arco ..--.. AB del ejemplo, si el ángulo a. mide 80°. Entonces, dirígete a la página 218 y determina la medida del ángulo ~BEA de la figura 2, si a. = 80° Y ~ = 30°.
221
Matemática
Geometría Figura 1
Proporcionalidad en la circunferencia El estudio de los ángulos en la circunferencia permite establecer relaciones métricas entre sus elementos, basados en la semejanza de triángulos. A continuación se analizarán algunas de ellas.
D
Teorema de las cuerdas Se considera una circunferencia de centro O, y las cuerdas AB y CD (figura 1). Se trazan dos segmentos DA y BC, de manera que se formen los triángulos LlAPD y LlCPB (figura 2).
Figura 2
----
Al aplicar el corolario 1 del teorema del ángulo inscrito (ver pág. 210), se tiene: ~CDA == ~CBA, ángulos inscritos que subtienden al arco CA. ~DAB == -(DCB, ángulos inscritos que subtienden al arco DB. Luego, por criterio AA, los triángulos MPD y LlCPB son semejantes, por lo tanto, se cumple:
B
Figura 3
PC
PB
PA
PD
=>
PC' PD = PA . PB
El resultado anterior corresponde al teorema de las cuerdas. B
e
Teorema de las secantes +-+
Se considera una circunferencia de centro O, y dos secantes AC y EC (figura 3). Se trazan las cuerdas EB y AD, formando los triángulos LlADC y.ó.EBC (figura 4).
D
-- ---
Figura 4
e
Al aplicar el corolario del teorema del ángulo inscrito (ver pág. 210), se tiene: ~DAC == -(CEB, ángulos inscritos que subtienden al arco DB. ~ACD == ~BCE, ángulos exteriores que subtienden a los arcos DB y AE. Por criterio AA, los triángulos MDC y .ó.EBC son semejantes y por ello sus lados correspondientes son proporcionales, luego se cumple: DC BC
AC --
EC
=>
D C . EC = BC . AC
El resultado anterior corresponde al teorema de las secantes. Ejemplo Calcula x, en la siguiente circunferencia de centro O. Oe la figura se tiene: PA = 8, PO = x + 3 PB = 5x + 1 Y PE = 2 Al aplicar el teorema de las cuerdas se tiene: PA . PO = PB . PE
8 . (x + 3) = (5x + 1) . 2 => 8x + 24 = lOx + 2
=> 8x - 10x = 2 - 24 => -2x = - 22 => x = Luego, x = 11.
Santillana Bicentenario
+-+
222
11
---
UNIDAD6
I
Teorema de la secante y la tangente ..,_...
,
Ang1.110S y proporcionalidad en la círcunferencía Figura 1
°
..,_...
A
Se considera la secante CP y la tangente AP, en la circunferencia de centro (figura 1). Se trazan las cuerdas AC y BA, formando los triángulos DoCPA y DoAPB(figura 2). .---.
Se tiene: m( «BCA)
p
.0
= m(BA) , por teorema
del ángulo inscrito.
B
2 .---.
m(<(BAP) = m(BA) , por teorema
del ángulo semiinscrito.
2
Figura 2
Por construcción, «APB == «APC. Luego, por criterio AA, los triángulos DoCPA y DoAPB,son semejantes y por ello sus lados correspondientes son proporcionales. Por lo tanto: AP
BP
CP
AP
-=-
El resultado anterior corresponde
/ \ / /
~
Ap
\
\
/
/ ·0
\\
/
= CP· BP
p
\
/ /
2
\ \
/
B
10:' /
de la secante y la tangente.
al teorema
+-+
En la circunferencia de centro 0, EF Y BC son cuerdas que se intersectan en el punto G. Resuelve.
+-+
En la circunferencia de centro 0, GB Y GE son secantes desde un punto exterior G. Resuelve. G
e
o·
F
e 1. 2. 3.
4.
5.
Si EG Si EG Si EG y GC
= 8 cm, = GF, = (6x
=
GF
GB
= 6 cm
= 13
y GB
cm y GC
+ 16) cm, GF 2GF, calcula EF.
= 11
GB
Si m(<(FGB) = 90°, GB = 8 cm, GF CG = x cm y EG = 3 cm, calcula EF. Si GB = 10 cm, GF = (x + 3) cm, EG GC = (x + 1) cm, calcula GF.
Si EF = 12 cm, GF
7.
Si EF = ~GF, GC
8.
Si GB
cm, calcula BC.
= 5 cm,
= 2x cm,
6.
calcula EG.
= (2x + 18) cm
= 3 cm = 4 cm
= 100 cm, BC:
GC
y GB
y GE
= 25 = 21
cm, calcula GC. cm, calcula GB.
= 1 : 4 y GF = 18 cm, calcula EF.
Resuelve.
=
(10 + x) cm,
= 8 cm
9.
Desde un punto P, exterior a una circunferencia, se traza una secante de 18 cm, que determina una cuerda de 13 cm. Si el punto P está a 12 cm del centro de la circunferencia, calcula la medida del radio de la circunferencia.
°
y
223
Matemática
Geometría Figura 1
Teoremas
B
F
o
L
•
y aplicaciones
los contenidos vistos anteriormente permiten deducir un teorema aplicaciones, que se tratarán a continuación.
y dos importantes
Teorema del cuadrilátero circunscrito En la figura 1, el cuadrilátero ABCO está circunscrito a la circunferencia de centro Todos sus lados son tangentes a ella en los puntos F, L, M Y N, respectivamente. A
x
F
y
x
B
y
o.
N
L
z
w D
z
M
w
e
Un pol~ono está circunscrito a una circunferencia, si todos sus lados son tangentes a la circunferencia.
AF = AN = x BF = Bl = y Cl = CM = z DM = DN = w
D
,-,
e L
_-
/
-,", o /
/
/
,
//
/
~~"-, , ------
~~
\
I
l'
AB + CO = x + y +
W
Z
+
W
BC + DA = Y +
y
Z
+
W
+x
AB + CD = BC + DA
Por lo tanto,
En un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de las medidas de dos lados opuestos es igual a la suma de las medidas de los otros dos. Ejemplo si en el siguiente cuadrilátero
se puede inscribir una circunferencia.
De la figura se obtiene: JI + GH ;é JG + IH 10 + 8 ;é 6 + 8 ~ 18 ;é 14. Por lo tanto, no se puede inscribir una circunferencia en el cuadrilátero JIHG.
__ _:1.'::o;cm~-7
J
8cm
6cm G ....._-~8-c-m----I·H
,
I
\
I
H~/~ M
E
CD = z + W DA = w + x
Con esto, se tiene:
Determina Ejemplo
AB = x + y BC = y + z
,
F
G
El polígono CDEFGH está circunscrito a la circunferencia de centro o.
Fórmula del área del triángulo Al trazar las bisectrices de los ángulos de un triángulo, estas se intersectan en el incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, y cuyo radio se designa por la letra griega p (rho). Por lo tanto: e AB'p Area MBO = 2 z AF = AE = x P/ F /0 CF = CG = z Área M OC = _A_C____J' p,2 p "p BG = BE = Y B I I I y Area ,ó,OBC = CB'p E 2 x A /
I
/
De esta forma, sumando las áreas se obtiene el área del triángulo ,ó,ABC. Area ,ó,ABC = Area MBO + Area MOC + Area ,ó,OBC l'
Santillana Bicentenario
o.
l'
/
224
l'
UNIDAD 6 AB'p
2
,
Angulos y proporcionalidad en la círcunferencía
+ AC' P 2
Por lo tanto:
Área ~ABC
Seutilizala letras parael semipenmetro, es decir,la mitaddel permetro de unafigura. El penrnetro se representa como 2s.
= ps
El área de un triángulo ABC, equivale al producto
y el radio de la circunferencia
entre su semi perímetro inscrita en él.
Figura 1
/1 , I / I
1\
Arco capaz
...
\'.... \....
2°
Sobre un extremo del segmento AB de medida x, se construye el ángulo de 90° - a en este caso, 90° - 44° = 46°.
,/
\
-,,1
I I
1/\
\
I
\
1,/..... 1/ 1/
\ \
I
I I
\
/ y~
\
1°
J...... I~
\4~0'
¿Cuáles son los puntos que permiten visualizar un escenario de longitud x (figura 1) en un ángulo de 44°7 El problema anterior se puede solucionar construyendo mediante los siguientes pasos:
,\ '44°1 ''<4°\ Z '1'1 ' I~ V '-J \
I
\
-,
\
I
I
....,
1/
'"
\ 1/
\
I
el arco capaz del escenario, x ..--..
3°
Se traza la simetral del segmento AB, y se marca la intersección con el segmento AC mediante el punto F. A'---_'_-+--B
Se traza el arco BA con centro en F, Y radio AF. D
A
B
A
B
Dado que el triángulo AAFB es isósceles, m(~AFB) = 88°, pues m(~AFB) = 180°..--..- 2 . 46° = 180° - 92° = 88° . Por lo tanto, m(AB) = 88°, Y cualquier ángulo inscrito que subtienda dicho arco medirá 44°.
En general, dado un segmento AB y un ángulo a, se llama arco capaz del ángulo a respecto al segmento AB al lugar geométrico de los puntos D tales que el ángulo ~ADB mide a. Así, los puntos desde los cuales se observa el escenario según un ángulo de 44°, corresponden al arco capaz del ángulo de 44° sobre este.
1.
Calcula el radio de una circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo de medidas 5, 12 Y 13 cm.
3.
Dibuja el arco capaz de un ángulo de 47°, respecto a un segmento de 5 cm de longitud.
2.
En un cuadrilátero ABCD, de medidas 6, 9 Y 15 cm se inscribe una circunferencia. ¿Cuáles son las posibles medidas del lado faltante7
4.
Dibuja el arco capaz de un ángulo de 150°, respecto a un segmento de 8 cm de longitud.
225
Matemática
1.
¿Cuál es el perímetro de un triángulo cuya área es 30 cm2 y cuyo radio de la circunferencia inscrita en él mide 6 cm?
--------0() Se utiliza la fórmula del órea del trióngulo que se obtiene a partir del semiPerímetro (s) y del radio (p) de la circunferencia inscrita en él.
2
Elárea del triángulo dado es 30 cm . Se utilizará la fórmula del área del triángulo A Como el radio p es 6 cm, se obtiene: 30 30 = 6s ~ - = s ~ s = 5 6 Entonces, el semiperímetro
es 5 cm.
Luego, como s representa el semiperímetro perímetro buscado, es decir, 10 cm.
2.
= P . s.
del triángulo, entonces 2s corresponde
al
El piso de una tienda tiene forma circular, sobre él se han trazado dos líneas rectas que se cortan definiendo, en una de ellas, segmentos de 4 m y 6 m, y en la otra, segmentos que están en razón 1 : 3. ¿Cuál es la longitud de este último segmento?
Estrategia Hacer un dibujo. Se representan los
o En el dibujo se representa la situación planteada:
\ X
A
De esta manera es posible utilizar el teorema de las cuerdas:
, 10
,
•
,6
m
B
AP . PC = DP . PB x'3'x=4'6 3x2 = 24 >1= 8 x=.J8
Se aplica el teorema de las cuerdas para los segmentos que se definen sobre ellas.
Luego, AP
=x=
.J8 y PC
= 3x = 3.J8
Así, la longitud del segmento AC es 4
.
J8 m,
ya que:
AC = AP + PC = 3x + x = 4x =
BI Ahora
3x
4m lP
datos dados a través de un dibujo para representar la situación.
Se representa la circunferencia con las dos cuerdas que se intersectan en un punto.
e
4J8.
tú
Utiliza esta estrategia para resolver el siguiente problema.
En una circunferencia se trazan dos rectas que se intersectan en un punto Q fuera de ella. Si los segmentos exteriores desde Q hacia la circunferencia miden 5 cm y 6 cm respectivamente; y el segmento interior de la primera recta mide 4 cm, ¿cuánto mide el otro segmento interior? Santillana Bicentenario
226
Preparando la PSU En la figura, PT es tangente en T a la circunferencia de centro O. PQ pasa por el centro de la circunferencia y la intersecta en R y Q respectivamente. Se puede calcular el valor del radio si: (1) se conoce la medida de PT. (2) se conoce la medida de PRo
T
o
A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) Y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional.
p
Pregunta PSU N° 68, Modelo Oficial Prueba de Matemática, Proceso de Admisión 2008, Serie DEMRE - Universidad de Chile N° S, publicado el 17 de mayo de 2007, a través de El Mercurio.
Solución:
Se busca la medida del radio, que forma parte de la cuerda QR. La información dada en el problema se refiere a la medida del segmento tangente PT y del segmento exterior de la secante PQ. La relación entre un segmento tangente y los segmentos determinados por una secante está dada por el teorema de la secante y la tangente. Por el teorema
2
de la secante y la tangente, se tiene que PT = PQ . PRo SI'; uuiizcJ'
Luego, si x es la medida del radio, PQ
= 2x
+ PRo Remplazando 2
anterior se obtiene PT2
= (2x
+ PR) . PR, Y así, x
=
en la relación
el
teorp,h:1t¡ de In secantey la tangente .pota coÍ(:;ular rnedidas desc.6nó(;idd§ de: sf!gn~er!tos..
2
P~ .-p~R .
• ••••••••
••
La medida del radio queda en términos de PT y PR, por lo que para calcularlo es necesario conocer ambos valores, y no es posible hacerlo solo con uno.
Respuesta: la alternativa correcta es C. Observa los colores correspondientes a la resolución de la pregunta y marca según tus logros.
Relaciono elementos de la circunferencia y planteo la relación entre ellos.
D Sí. D No. Entonces
determina, en la siguiente figura, qué teorema relaciona las medidas de: i. a, h y g ii. b, c, f h Y g iii. c, d, e y f
~----------------------~~~~
Utilizo el teorema de la secante y la tangente para calcular medidas desconocidas de segmentos.
D Sí. D No.
Entonces, dirígete a la página 223 y, en la figura 1, determina la medida de BC, si PC = 24 Y AP = 350.
227
Matemática
... En una circunferencia de centro O se definen distintos elementos, como se muestra a continuación .
O
Diámetro
O
• O
• O
• O
• O
Radio
Cuerda
Secante
Tangente
Arco
... Se puede calcular la longitud de un arco y el área de un sector circular mediante las siguientes expresiones:
O
anr L=-180
r
2
O
anr A = 360
B
r
a
B
A
c
----
Es posible decir también que el arco AB mide ángulo
a cuyo
a
(grados), entendiendo
con esto que el arco está subtendido
vértice es el centro de la circunferencia .
... Se llama ángulo del centro a aquel cuyo vértice es el centro de la circunferencia. En la figura, ~AOB
es ángulo del centro.
----
=a
m(AB)
... Se llama ángulo inscrito a aquel formado por dos cuerdas que se intersectan sobre la circunferencia.
En la figura, ~ACB
es ángulo inscrito. La medida del ángulo inscrito es
...--...
igual a la mitad de la del ángulo del centro que subtiende el mismo arco (en este caso AB).
m(~ACB)
... Un ángulo semi inscrito
=
m(AB)
2
es aquel formado por una cuerda y una tangente que se
B
intersectan en el punto de tangencia. En él se cumple que: ...--...
m(~ABC)
=
O
•
m(AB)
2
A
... Un ángulo interior está formado por dos cuerdas que se intersectan en el interior de la circunferencia. En este caso, la medida del ángulo es: ..--..
m(~AEB)
Santillana Bicentenario
----c
c
..--..
AB + CD = 2
•
O
228
B
por el
,
Angulos y proporcíonalídad en la círcunferencía
UNIDAD 6 ... Un ángulo exterior
está formado por dos secantes que se intersectan
E
en un punto fuera de la circunferencia. En este caso, la medida del ángulo es:
B ...--..
m(~AEB)
=
D
o·
~
m(BA) - m(DC)
2
... Además de las relaciones angulares en la circunferencia, existen relaciones de proporcionalidad
sintetizadas en tres
teoremas. Teorema de las cuerdas
Teorema de la tangente y la secante
Teorema de las secantes
A
B
e p
•
D
o•
p
o
e
e PA . PC = PB . PD
... Un polígono está circunscrito
o· D
PB . PA = PD . PC
2 PC = PB· PA
a una circunferencia si todos sus lados son tangentes a
ella, como en la figura el polígono ABCD. En un cuadrilátero circunscrito, la suma de las medidas de los lados opuestos es igual a la suma de las medidas de los otros dos.
o· Un polígono está inscrito a una circunferencia si todos sus vértices están sobre ella, como en la figura el polígono EFGH. En un cuadrilátero inscrito, los ángulos opuestos son suplementarios . ... El área de un triángulo puede calcularse mediante la fórmula: Área = ps Donde p corresponde al radio de la circunferencia inscrita en él, y s a su semiperímetro.
a Mapa conceptual Construye un mapa conceptual utilizando el software CMap que relacione al menos los siguientes conceptos clave. Circunferencia - Medición - Arco - Ángulo del centro - Ángulo inscrito - Ángulo semiinscrito - Ángulo exterior /
Angulo interior - Teorema de las cuerdas - Teorema de las secantes - Teorema de la secante
229
y la tangente
Matemática
1 Con
5
respecto a la figura es falso que:
B
-
A. CE es tangente. B. CB es secante.
A. 20° B. 40°
A
c.
-
AB es cuerda.
c.
D. E.
OB es diámetro. OE es radio.
D. E.
-
e
Respecto a un arco de circunferencia es cierto que: se asocia a un ángulo del centro. 11. su longitud se mide en grados. 111. es un segmento.
3
A
E.
Interior. Exterior. Del centro. Semi inscrito. Inscrito.
e
En la figura, m(1::RSQ) = 30°, ¿cuánto mide x?
c. D. E.
45° 60° 150°
Q
D.llylll
E.
7
1, 11 Y 111
En la figura, es cierto que:
¿Qué tipo de ángulo es 13?
A. B. C. D.
4
50° 60° 140°
A. 15° B. 30°
l.
A. Solo I B. Solo II C. I y 11
O
G
6 2
El ángulo ex. mide:
O
1::ADC = 1::CBA 11. m( 1::DCB) = 90° 111. m(1::BAD) + m(1::DCB) = 180° l.
e
Si en la figura de la pregunta anterior el ángulo
A. Solo I B. Solo II C. Solo 111
8
Ji = 40°,
En la figura,
D. I Y E.I,IIylll
DE es tangente,
¿cuánto mide x?
entonces a es:
A. 40° B. 50°
A
O
C. 80° D. 120° E. 140°
A. 18° B. 36°
C. 42° Santíllana Bicentenario
230
111
D. 54° E. 68°
UNIDAD 6
9
13
¿Cuál es el valor de x en la figura? D
A. B. C. D. E.
10
15° 45° 90° 135° 140°
e
¿Cuál de los siguientes cuadriláteros circunscribir a una circunferencia?
se puede
2
A.
o •
4
6
4
B.
E. Ninguno. 3
D
5 6
5
o• x
8
9 12
A
3
c.
4
e
2
(
5 3
4
B
11
Ángulos y proporcionalidad en la circunferencia
50°
¿Cuál es la longitud de BD?
A. B. C. D. E.
,
6
)
En la figura, AB es tangente a la circunferencia, ¿cuál es
14
el valor de x?
Demuestra que en una circunferencia, si una cuerda es perpendicular al diámetro, se definen sobre la cuerda
A. 3 B. 4 C. 6 D. 12
E.
16
dos segmentos congruentes.
o
15
La circunferencia de la figura tiene un radio de 6 cm. Si BC es tangente y su longitud es 16 cm, ¿cuál es la
A
medida de AD?
12
A
En la figura es cierto que:
e
o A~-----¡F~--7,G~--~D E
Si en la figura de la pregunta anterior el punto D divide a BA en dos arcos congruentes. responde.
.....-
l. AB· BC = AF . FD 11. AC2 = AD . AF 111. AG . GD = EG . GC A. Solo I B. Solo II C. Solo III
16
¿Qué tipo de ángulos corresponden a cada uno de los vértices del triángulo?
D. I Y II
E.
Ninguna de las anteriores.
17 231
¿Cuánto mide el ángulo ~ACB?
Matemática
•
INDICADOR
PREGUNTAS
Caracterizo la circunferencia al, través de sus elementos y relaciones con polígonos.
2, 7 y 13
PUNTAjE
___
14
iQUÉ
DEBO HACER?
• Si obtuviste menos de 4 respuestas correctas, realiza las actividades 1 y 2 para reforzar este contenido. • Si obtuviste 4 respuestas correctas, realiza las actividades 3 y 4 para profundizar tus conocimientos.
Identifico tipos de ángulos en la circunferencia y calculo sus medidas.
18
3, 4, S, 6, 8, 9, 16y 17
• Si obtuviste menos de 8 respuestas correctas, realiza las actividades S a 11 para reforzar este contenido. • Si obtuviste 8 respuestas correctas, realiza las actividades 12 a 14 para profundizar tus conocim ientos.
Comprendo y aplico la proporcionalidad en la circunferencia.
10, 11, 12, 14 Y 1S
___
1S
• Si obtuviste menos de S respuestas correctas, realiza las actividades 1S a 18 para reforzar este contenido. • Si obtuviste S respuestas correctas, realiza las actividades 19 y 20 para profundizar tus conocim ientos.
¿Cuánto he aprendido? Cuenta las respuestas correctas que obtuviste en la evaluación anterior y clasifica tu resultado de acuerdo a los criterios que se muestran a
• • •
. corrtmuacrón; .
/
Rendimiento bajo: entre O y 9 respuestas correctas. Rendimiento medio: entre 10 y 14 respuestas correctas. Rendimiento alto: entre 1S y 17 respuestas correctas.
Obtuve
respuestas correctas lo que implica que mi rendimiento en la evaluación fue
Ahora, dirígete a la sección lCómo lo aprendí], que está al final del texto, y sigue las instrucciones que ahí aparecen.
Santíllana Bicentenario
232
rofundización Circunferencia y círculo
•
13.
10. p
1.
Dibuja en una circunferencia: un radio, una cuerda, una secante, una tangente y un diámetro.
2.
Calcula la longitud del arco de circunferencia de r = 8 cm y el área del sector circular que se define por un ángulo de 50°.
3.
Si un arco mide
~
B
.0
Q
11.
14.
en una circunferencia cuyo radio
B
A
mide 2 cm, ¿cuál es la medida del ángulo que lo subtiende? 4.
A
Explica cómo inscribir y circunscribir un polígono regular a una circunferencia.
12.
e
D p
.0
IJ Ángulos
en la circunferencia A ---_---
Calcula
ex y p en cada caso. •
5.
Proporcionalidad
en la circunferencia
8. Encuentra el valor de x e y en cada caso.
15.
O
18. 4 A 1--::-:--_~---,3"----1 B x OyD
x
2 y
E
6.
9. 16.
A A
B
O·
19.
B
N
D
y/
O P
o· 10
o A
M
x
60
T
40 P
Q
17.
7.
20.
I I IX I
M
3 P
3
N
•
O
233
Matemática
•
ecuaciones El modelo
•
Inea es
de oferta y demanda establece que, en condiciones
precio de un bien determina la cantidad de productos
la cantidad de productos
de libre mercado, el
ofrecidos por los productores
requeridos por los consumidores.
y
La ley de la oferta muestra
que, a mayor precio de un bien, mayor será la cantidad que ofrecerán a la venta los productores.
Por el contrario, la ley de la demanda establece que cuanto más alto sea
el precio, los consumidores vendedores y compradores
estarán menos dispuestos a comprar. De esta manera, interactúan determinando el precio final de un bien,
llamado punto de equilibrio
entre la oferta y la demanda.
El punto donde se cruzan las gráficas de los modelos de oferta y demanda corresponde al punto de equilibrio del mercado. Esto significa que la cantidad ofrecida y la cantidad demandada de un bien o producto
es la misma, por lo que el precio correspondiente
a ese punto es llamado precio de equilibrio.
EN ESTA UNIDAD APRENDERÉ A..• Reconocer las propiedades de la ecuación de la recta.
Resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Calcular e interpretar la pendiente de una recta.
Determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
+
Caracterizar un sistema de ecuaciones según sus soluciones.
Relacionar un sistema de ecuaciones con su gráfico. ---1
Modelar situaciones a través de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Representación en el plano cartesiano usando un software gráfico y discusión de la existencia y pertinencia de las soluciones.
Distinguir las diferentes formas de la ecuación de la recta.
Utilizar los métodos de sustitución, igualación, eliminación y regla de Cramer.
Santillana Bicentenario
Resolver problemas utilizando sistemas de ecuaciones.
234
En ocasiones, la oferta y la demanda se pueden modelar a través de una
Precio ($) 450
línea recta, por ejemplo:
I
•
350
La oferta: existen cuatro kioscos, A, B, C y D, que venden una revista de
300
deportes.
El dueño del kiosco A está dispuesto a venderla a un precio
250
mínimo de $ 50, el dueño de B a $150, el de C a $ 250 y el de D a $ 350.
200
- --
• •
150
Con la información
anterior
se
Precio ($)
puede construir la siguiente tabla
so
y gráfico.
150 250 350
Vendedores dispuestos a vender a ese precio A AyB A ByC A, B, C y D
Cantidad de vendedores - 21 3 4
-
-
100
•I
SO
I
1
O
2
3
•
4 Cantidad de vendedores
"" La demanda: Pedro (P) está dispuesto a pagar hasta $ 100 por una revista, Eduardo (E) pagaría hasta $ 200, David (D) hasta $ 300 e Ignacio
(1), como
máximo, $ 400.
Precio ($) 4SÓ
-
300
Con la información
anterior
se
Precio ($) SO 150 250 350
puede construir la siguiente tabla Y gráfico, considerando el precio.
Compradores dispuestos a comprar a ese precio P, E, Del E. Del Del
Cantidad de compradores 4 I~
3 2 1
I
•
250 200
•
-
150 -
•
350
100
•
SO I
O
Al representar los datos anteriores en un solo gráfico, se obtiene el modelo de oferta y demanda.
1
2
450
-~
350
-
300
dispuesto a pagar. Bajo los $ 150, todos los compradores estarían dispuestos a
250
pagar, pero solo vendería el kiosco A.
200
.-
150
se encuentra entre $ 150 y $ 250, es decir,
si los kioscos acordaran vender a $ 150,
habría tres compradores dispuestos a
pagar ese precio (Eduardo, David e Ignacio), y dos kioscos venderían (A y B). Por otro lado, si los kioscos acordaran vender a $ 250,
habría dos personas
dispuestas a comprar, pero más kioscos venderían (A, B Y C).
4 Cantidad de compradores
Precio ($)
Sobre los $ 350 todos los kioscos pueden vender, pero solo existiría un comprador
Por lo tanto, el punto de equilibrio
3
1
...
100
so -
•I
o
1
~
• • • • • 2
3
4
Cantidad de vendedores y compradores
En grupos de tres personas, realicen las siguientes actividades.
1.
Determinen
la función que representa la demanda en el ejemplo planteado.
2.
Determinen
la función que representa la oferta en el ejemplo planteado.
3.
Suponiendo que tanto compradores
y vendedores
están dispuestos a transar un poco en sus expectativas de precio,
¿cuál sería el precio fijado? Justifiquen su elección. 4.
¿Qué factores influyen en la oferta y la demanda? Discutan.
5.
Investiguen respecto a la elasticidad de la demanda. Den ejemplos de demanda elástica e inelástica.
235
Matemática
1 ¿Cuál de los siguientes valores es solución de la ecuación
6
2x - 3 = 4(x -1)?
c.
A. -7 7 B. -2
2
E.
-1
Jorge juntó monedas de $ 5 Y de $ 10 por mucho tiempo. Sitiene el triple de monedas de $ 5 que monedas de $ 10 Y juntó $ 12.300, ¿cuántasmonedas juntó?
1
1
D. 2
A. 492 monedas.
D. 1.968 monedas.
B. 984 monedas.
E. 3.280 monedas.
C. 1.476 monedas.
Al resolver mx - n = 2x + m con incógnita x se obtiene:
A.
m-n m-2
D. 2rn +
B.
m +n m-2
E. (m - n)(m - 2)
7
n
m + 1
En la situación anterior, ¿cuánto dinero, en monedas de $ 5, tenía Jorge?
A.
s 1.476
D.
E. $ 9.225
B. $ 3.075 C.
C. -n
s 7.380
s 4.920
2
3
Si la solución de la ecuación 8 + x2 ¿cuál es el valor de a?
A.-4
4
B. -2
Si 2(x - 1) = 9x + 10 Y
= x(x
C. 1
- 2a) es x
8
= 2,
¿Cuál(es)de lassiguientesfunciones tiene(n) pendiente
l. 0.2
E.4
f(x) = -3x
-x + 2 11 • g ()x = 3
4y -1 2 = 3(y - 6), entonces xy
111. h(x) =
es igual a:
-30 A. 7
B.
5
-12 7
C. -30
E.
35 2
mitad de un lápiz, ¿cuánto le costaron los lápices?
C.
s 840
Santíllana Bicentenario
D. 11 Y I
B. Solo II
E.
1, II Y III
D.
E.
¿Cuál es el punto de intersección del gráfico de la función f(x) = ~ + 5 con el eje Y?
2
doble que la regla y cada goma de borrar le costó la
B.
A. Solo I
D. -6
Claudia compró varios útiles escolares a $ 2.280 en total: 3 lápices pasta, una regla, 2 gomas de borrar y un sacapuntas. Si la regla le costó $ 120, el sacapuntas el
s 240 s 480
x-1 3
C. Solo III
9
A.
~?
A. (-10, O)
D. (O, 5)
B. (-10,5)
E. (S, O)
C. (O, -10)
s 1.440 s 1.920
236
UNIDAD 7
10
¿En cuál de los siguientes gráficos se representa función f(x)
=
4
de la recta de ecuación
y
D.
4
l.
Su coeficiente de posición es 3.
11.
Su pendiente
111.
Su gráfica intersecta al eje X en
A.
Solo
4
B.
Solo 11
2
C.
Solo 111
2
-2
y
E.
y
es
x
x
x
1
_1.. 4
D.
1 Y 111
E.
11 Y 111
(+, o).
2
-2
x
Observa
la siguiente
tabla de valores
y
responde
según
corresponda.
2
c.
respecto
es(son)
y = -4x + 37
4
B.
¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones verdadera(s)
3x - 1?
y
A.
11
la
Sistemas de ecuaciones lineales
I
y
x
1
2
Y
1
-1
.
3
4
-3
-5
5 -7
4
2
-2
4
x
12
Escribeuna función añn que relacione los valores de la tabla.
13
Indica su intersección
con los ejes coordenados,
su
pendiente y coeficiente de posición,
-2
14
Grafica la función,
Reviso
_
Revisa tus respuestas en el solucionario
y
completa
la siguiente tabla.
INDICADOR
PREGUNTAS
Resolver y verificar la solución de ecuaciones de
1, 2, 3 Y 4
RESPUESTAS CORRECTAS
__
/4
primer grado con una incógnita, Resolver situaciones problemáticas
y
determinando
/3
5,6 Y 7
planteando la ecuación
su solución,
8, 12 Y 13
Caracterizar una función afín,
9, 10, 11 Y 14
Graficar una función afín,
237
_/3 __
/4
Matemática
,
Álgebra
Ecuación de la recta
*
En P(2, 3), la coordenada 2 corresponde a la abscisa (x) y la coordenada 3 a la ordenada (y).
Figura 1 y
*
En cursos anteriores se estudiaron funciones de la forma y = mx + n con m O Y n O, llamadas funciones afines, cuya representación gráfica corresponde a una recta, la cual se estudiará en esta unidad. En la figura 1 se muestra. el gráfico de la función y = 2x - 1. Además, se han ubicado los puntos P(2, 3), Q(3, 1) Y R(-3, 2). Elpunto P pertenece a la recta, mientras que Q y R no. Al remplazar x e y en la expresión y = 2x - 1, por la abscisa y la ordenada uno de los puntos, se obtiene lo siguiente.
4
de cada
3 R(-3, 2)
•
2 1
-4 -3
~2-1
Q(3, 1)
P(2, 3)
Q(3, 1)
•
2 . 2 -1 4 -1
X
O -1
-
=
3
-
2 . 3 -1 6 -1
-
5*
2'-3-1 -6 -1 -7 -7 * 2
=
5 1
Se observa que solo para el punto P se obtiene una igualdad, precisamente el punto que pertenece a la recta. Si los puntos no pertenecen a ella, como Q y R, no se obtiene una igualdad.
-4
Punto Q(3, 1) R(-3, 2)
R(-3,2)
x 3 -3
y
1 2
Asimismo, se dice que un punto satisface una ecuación con dos incógnitas si, al remplazar en ella sus variables x e y por los valores de la abscisa y la ordenada del punto, se obtiene una igualdad. En el ejemplo, el punto P satisface la ecuación y = 2x -1, mientras que los puntos Q y R no la satisfacen. De esta manera se relaciona la geometría con el álgebra, estableciendo ecuaciones que permiten modelar objetos geométricos (en este caso, una recta). Esta rama de la matemática es conocida como geometría analítica, y comenzó a desarrollarse a partir del siglo XVII gracias a la obra de dos matemáticos franceses, René Descartes y Pierre de Fermat, revolucionando la forma de abordar la geornetría que existía hasta el momento.
EN
SíNTESIS
Se llama ecuación de una recta a la ecuación asociada a una recta en el plano. Todos los puntos que pertenecen a la recta asociada a dicha función satisfacen su ecuación, es decir, si se remplazan en ella los valores de la abscisa y la ordenada de un punto que pertenece a ella, se obtiene la igualdad.
Santillana Bicentenario
Ejemplo Dados los puntos A(1, -1), B(4, --8) Y C(-2, 8), determina cuáles de ellos pertenecen a la recta de ecuación y = -3x + 2. Para verificar se remplazan las coordenadas de cada punto en la ecuación. A(1, -1) -3 . 1 + 2 -3 + 2 - -1
B(4, -8) -3 . 4 + 2 -12 + 2 - -10 -10
Por lo tanto, solo los puntos A y C pertenecen
238
*
C(-2,8) -3 . -2 + 2 6+2 - 8
--8 a la recta.
UNIDAD 7
Propiedades de la recta
Sistemas de ecuaciones lineales
Figura 1
En la siguiente figura se representa
en un sistema de ejes
la ladera de un cerro, donde se señalan los puntos A, B,
Altura
C, D y E.
70 60
En la figura se observa que la variación de las distancias y
SO
altura de los puntos señalados en la ladera del cerro no es constante, ya que para subir 10m de
A
hacia
40 30
B, se recorren
13 m, y de B a C se recorre una distancia de 7 m. Esto se
Y
I 1
I I I I I I
I I
10
E se constata que
corresponde a un tramo recto, ya que si se suben 10m
e
20
debe a que la inclinación del cerro no es constante. En cambio, entre los puntos C y D, D
O
I I
la
30
43 50
70
90
Distancia
distancia que se recorre es de 20 m. Observa la relación entre la diferencia de altura con la diferencia en distancia, que se obtiene con los puntos C y D y D y E.
Entre D(70, 40) y E(90, 50)
Entre C(50, 30) y D(70, 40) Diferencia de altura: 40 - 30
= 10
Diferencia de distancia: 70 - 50
=
Diferencia de altura: 50 - 40 20
= 10
Diferencia de distancia: 90 - 70
= 20
Por lo tanto, se comprueba para los puntos C, D y E, que la variación entre las alturas es proporcional Esta propiedad
a la variación entre las distancias, fundamental es la que se utilizará para determinar
la ecuación de la
recta en el plano. En general se cumple que en cualquier par de puntos de una recta la diferencia entre la altura (diferencia del valor de las ordenadas) será proporcional
a la diferencia entre
la distancia (diferencia del valor de las abscisas). Es decir; la altura de cada punto está. asociada a su ordenada corresponden B(x2,
Y2)
(y),
mientras que su distancia en el plano al punto inicial
a la abscisa (x). Por lo tanto, para cualquier par de puntos A(x1,
Y1)
Y
que pertenecen a una recta, debe cumplirse lo siguiente:
diferencia de altura diferencia de distancia
y
=m
Y2 --------------
Donde m es una constante de proporcionalidad, que recibe el nombre de pendiente.
x
239
Matemática
,
Álgebra
Ecuación punto - pendiente de la recta Figura 1
En el ejemplo de la página 239 se comprobó
que el cociente entre la diferencia de las
y
ordenadas y la diferencia de las abscisas entre cualquier par de puntos de una recta es
7
constante. Ahora, utilizando esta constante de proporcionalidad (m) se determinará la recta que pasa por dos puntos del plano cartesiano, mediante la ecuación punto - pendiente de la recta
1--
y+--
Sean A(2, 3) Y B(6, 7) puntos de una recta, y P(x, y) un punto cualquiera de la recta (ver figura 1). Se determinará
la ecuación de la recta que pasa por los puntos A, By P.
Como A(2, 3) Y B(6, 7) pertenecen que se da en la constante
o
x
x mAB
=
a la misma recta, estos cumplen
entre A
y B es
Como
se puede determinar indistintamentecon el
proporcionalidad
punto A o el punto B, es decir, la ecuación:
Entonces, se tiene la siguiente relación:
el punto
P(x, y) también
=
4 Y2 - Y, _ 7 - 3 - --1 x2 - x1 6- 2 4
m = 1.
Laecuaciónpunto - pendiente de la recta,
es equivalentea la ecuación:
(m). Es decir:
de proporcionalidad
diferencia entre las ordenadas de los puntos A y B diferencia entre las abscisas de los puntos A Y B
Luego, la pendiente
con la relación
pertenece
a la recta, cumple la misma relación de
con el punto A(2, 3) o con el punto B(6, 7). Se elige el punto A.
_ diferencia entre las ordenadas de los puntos P y A _ Y - Yl _ Y - 3 m- - ---'-PA diferencia entre las ordenadas de los puntos P Y A x - xI X - 2
Luego, como mAs = ffipA' se igualan los valores:
mAs = mM .. 1 = ;
=; ..
y - 3 = 1 . (x - 2) .. y = x + 1
Siendo y = x + 1 la ecuación de la recta que contiene
P(x, y), donde x e y representan
las componentes
En general, dados dos puntos conocidos valor de la pendiente m como:
Considerando un punto establece la relación:
cualquiera
a los puntos A(2, 3), B(6, 7) Y
de cualquier punto en ella.
A(x1, Yl) Y B(x2, Y2)' es posible calcular el
de la recta P(x, y) y el punto
m=
A(x1, y,), se
y -Yl X-XI
Al despejar y - Y" se obtiene:
Y-Y1 = m(x-x1) Expresión que corresponde
Santillana Bicentenario
240
a la ecuación
punto - pendiente
de la recta.
UNIDAD 7
Sistemas de ecuaciones lineales
I
Ejemplos 1. Determina
la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(3, 2) y B(5, 6).
Se calcula primero la pendiente m, tomando los valores Y, = 2, X, = 3, Y2 = 6, x2 = 5.
Se obtiene el mismo resultadoal calcularla pendiente considerandoel siguienteorden de las coordenadas de los puntos,es decir:
m = Y2 - Yl = 6 - 2 = 2 = 2 x2 - xl 5- 3 2 Se remplaza ahora este valor y los de
x, e Y, en la ecuación
punto - pendiente.
m- -
Yl - Y2 2 - 6 ---2 -4 -xl - x2 3-5 -2
y - 2 = 2 (x - 3) ~ y = 2x - 6 + 2 ~ y = 2x - 4 2. Determina la ecuación de la recta cuya pendiente S(-1, -3). Remplazando Y-Yl
en la ecuación punto - pendiente,
= m(x-x1)
y--3
~
= 4(x--l)
De la mismamanera,se pueden remplazar lascoordenadas de cualquierade los puntos (A o B) en la ecuaciónpunto - pendiente, puesto que ambos satisfacenlaecuaciónde la recta.
es igual a 4, y pasa por el punto
se tiene:
RemplazandoA Y- 2 = 2(x - 3)
~ Y + 3 = 4(x + 1)
Remplazando B Y- 6 = 2(x -5)
y=2x-6+2 y = 2x-4
y + 3 = 4x + 4
y=2x-IO+6 y=2x-4
Finalmente se despeja y: y + 3 = 4x + 4 ~ Y = 4x + 1
En cada caso, determina ecuación dada.
si el punto pertenece
a la recta de
Determina
la ecuación de la recta con las condiciones
7.
Pasa por los puntos P(3, -4) Y Q(7, 12).
8.
Pasa por los puntos T(1, O) Y S(2, -1 ).
9.
Pasa por los puntos M(9, -3) y N(O, O). Su pendiente
1.
Y = 3x - 4; P(3, 1).
2.
Y = -2x - 1; Q(-l, 1).
3.
y = 5x + 8; N(2, 18).
10.
4.
y=-x-12;
11. Su pendiente
5.
y = 6x + 2; T(3, 15).
6.
1 Y = SX + 1; M (-2, 3).
K(O,-12).
dadas.
es 7 y pasa por el punto F(5, 5). es -3 y pasa por el punto S(-2, 35).
Determina, en cada caso, la ecuación de una recta que cumple con las condiciones dadas. [Cuántas respuestas posibles hay en cada caso? Justifica. 12. Pasa por el origen. 13. Tiene pendiente
241
-2.
Matemática
,
Álgebra
Pendiente de una recta L4
En la figura 1 se muestran las rectas L, , L2, L3 Y L4, Al comparar L, y L2 se observa que, mirando de izquierda a derecha, ambas "suben", pero L2 lo hace mas rápido que L" es decir, es más inclinada, De la misma manera, al comparar L3 y L4, ambas "bajan", pero L4 es más inclinada que L3,
Figura 1 Y 6
L;3
5 4
3
Estas características se reflejan en las ecuaciones de estas rectas por medio de sus pendientes, que se llamarán m" m2, m3 y m4, respectivamente,
-6 -5-4 D(-4, -3).
1 - -3 4 ... m1 = 3 - -4 = "7
-4
C(-1,-5)
L3: A(-2, 3) y B(3, 1)
L,: B(3, 1) Y D(-4, -3)
-2 -3 5
L2: A(-2, 3) Y D(-4, -3)
3 --3
... m2 = -2 _ -4 =
1-3
-2
... m3 = 3 - -2 =
2
5" = -5
L4: A(-2, 3) Y C(-1, -5)
6
"2 = 3
... m = 4
-5 - 3
-8
=-=-8 -1 - -2 1
Se observa que tanto m, y m2 son positivas, lo que coincide con el hecho de que sus rectas asociadas "suben"; además, el valor de m2 es mayor que m" por esta razón L2 es más inclinada que L" Por otro lado, m3 y m4 son negativas, y están asociadas a rectas que "bajan", Además, al comparar los valores absolutos de m3 y m4 se observa que m4 es mayor que m3, luego la recta L4 es más inclinada que L3, En la figura 2, se muestran dos rectas L5 y L6, donde la recta Ls "no sube ni baja", se dice entonces que esta recta no tiene inclinación, Por otro lado, L6 es una recta paralela al eje Y, que tiene la mayor inclinación,
Figura 2 y 6 5
S(3, 5)
4 3
Se calculan sus pendientes para conocer numéricamente
2
U(-4, 1)
x -6 -5 -4 -3 -2 -1 o -1
1 2
Para Ls: U (-4, 1) Y T(3, 1)
1- 1 O ... ms = 3 _ -4 = 7 = O
4 S 6
-2 -3
sus características,
Para L6: S(3, 5) yT(3, 5 - 1 ... m6 = 3 - 3 =
1) 4
-o
No está definido
Se observa que la pendiente de Ls es ms = O, por lo que se dice que Ls es una recta de pendiente nula, Dado que la división por cero no está definida, no es posible calcular la pendiente de L6', entonces se dice que es una recta vertical ya que su pendiente es no está definida,
EN
SfNTESIS
El signo de la pendiente de una recta indica si ella "sube" o "baja" en el sentido de izquierda a derecha, Su valor absoluto permite saber su grado de inclinación, siendo cero en el caso de una recta horizontal. Mientras que una recta vertical no tiene definida su pendiente,
Santillana Bicentenario
242
UNIDAD 7
Sistemas de ecuaciones lineales
I
Rectas horizontales y verticales Figura 1
Para determinar la ecuación de una recta horizontal o vertical, se considerarán las y
rectas de la figura 1, donde se muestra un conjunto de rectas formadas a partir de un punto variable B(x, y) (es decir, un punto que va tomando distintas coordenadas) y un punto fijo A(6, 2).
Ecuación de la recta horizontal o
Para obtener la ecuación de la recta horizontal, en este caso la recta L" se utilizará la ecuación punto - pendiente para m = O Y el punto de coordenadas (6, 2).
1
2
3
L 1: y - 2 = O(x - 6) => y - 2 = O => I y = 2 I Es decir, pertenecen a esta recta todos los puntos cuya ordenada es igual a 2, tales
m,
2- 2
= 6_ O =
O
6' = O
como: (-4; 2), (--0,5; 2), (10; 2), (120; 2), etc. -
En general, la ecuación de una recta horizontal se representa mediante la siguiente .
/
expresion;
2-1 -- 1 6-0
2-1
y = n
Donde n es la ordenada de todos los puntos que pertenecen a la recta.
m3 = 6 - 1
Ecuación de la recta vertical m4
6
-
1
5
2- 1
1
2- 1
1
2- 1
1
= 6 - 2 = '4
En la figura 1, se observa que al disminuir la diferencia entre las abscisas,también disminuye el denominador de la fracción, y esta aumenta su valor. Si continúa este proceso, el denominador se irá acercando cada vez más a cero, y el valor de la
ms
pendiente aumentará cada vez más, es decir, tiende a infinito. Por tanto, si el denominador es cero, la pendiente de la recta se indeterrnina (pendiente de La)'
m6 = 6-4 =
Por lo anterior, no se puede utilizar la ecuación punto - pendiente para determinar L2, pues su pendiente no tiene valor numérico. Pero se observa que pertenecen a L2 todos los puntos cuya abscisa es igual a 6: (6, -5), (6, 1), (6, 5), etc., por lo que su ecuación se puede escribir como: x
= 6.
En general, la ecuación de una recta horizontal se representa mediante la siguiente .
= 6 - 3 = 3" "2
2-1
m7
= 6_5 = 1
me
2- 1 1 = 6 - 6 = "O [\Jo estádefinida.
/
expresron x = b
Donde b es la abscisa de todos los puntos que pertenecen a la recta.
Ordena de mayor a menor las pendientes de las rectas que
Sea un cuadrilátero
se muestran en el siguiente gráfico.
C(1, 1) Y D(-1, 3). Determina:
Ls
L4
ABCD de vértices A(-3, 3), B(-1, 1),
y
1.
las ecuaciones de las rectas que contienen
a los
segmentos del cuadrilátero.
x 2.
las ecuaciones de las rectas de las diagonales del cuadrilátero.
243
Matemática
,
Algebra
Figura 1
Ecuaciones de una recta
y
Ecuación principal 2 (O.2)
Considera la siguiente ecuación de la recta:
1
-4 -3 -'2 -
O -1
1
2
3
y = 3x + 2
4 X
Escrita de esta manera, se pueden determinar
-2
directamente
los siguientes elementos:
-3 -4
(m), m = 3.
•
su pendiente
•
su coeficiente de posición (n), es decir, la ordenada del punto donde intersecta la recta al eje Y, en este caso el punto de coordenadas
(O, 2) (figura 1). Por lo tanto, n = 2.
En general, la ecuación de la recta representada por la siguiente expresión:
La ecuación princpal de la recta, es posible relacionarla también con la función afín.
y = mx + n recibe el nombre de ecuación principal de la recta, donde m representa el valor de
Figura 2
r r
la pendiente y n, el coeficiente de posición.
y
Ecuación general Considera la siguiente ecuación principal de la recta (ver gráfico en figura 2): -8 --6 -t4 -12 O
-2
!
246
x y =- +5 3
8X
-4 -6
Esta ecuación de la recta también se puede igualar a
-8
recta. Observa cómo hacerlo:
y
= -- x3
+5
/ . 3 .... 3 Y
= -x
O y continuar siendo la misma
+ 15 .... x + 3y - 15
=O
En general, la ecuación de la recta representada por la siguiente expresión:
Ax + By + e = O con A, B
Y
e constantes,
B =1=
O, recibe el nombre de ecuación general de la recta.
Al escribir la ecuación general como la ecuación principal de la recta se tiene:
A e y=--x-B B Don de su pen dilente es m
Santillana Bicentenario
244
= -- A
B
. de poslclon ., y cuyo coe fretente es n
= --.e B
UNIDAD 7
Sistemas de ecuaciones lineales
Ecuación canónica Considera la ecuación general de la recta:
Figura 1 y
2x + 3y-6
=O
Ella puede manipularse algebraicamente para expresarla de otra forma, como se muestra: 2x + 3y - 6 = O
/ +6 /:6
2x + 3y = 6 1 -x
3
1 + -y 2
1
-3 -2 -1
o
-1
S
1
X
-2
= 1
-3
¿Qué ventaja puede tener expresar una recta con esta ecuación? En el gráfico de la figura 1, se puede observar que los puntos de intersección de la recta con los ejes X e Y tienen, respectivamente, coordenadas (3, O) Y (O, 2). Las coordenadas no nulas corresponden a los denominadores de los coeficientes numéricos de x e y respectivamente. En general, si una ecuación de la recta tiene la siguiente forma:
1 1 -x + -y = 1 P q recibe el nombre de ecuación canónica de la recta, donde p y q corresponden a la abscisa y la ordenada de sus puntos de intersección con los ejes X e Y, respectivamente.
EN
SíNTESIS
Es posible expresar la ecuación de una recta de diferentes maneras, dependiendo de la información que se quiera obtener de ella. • Ecuación principal y mx + n, donde m corresponde a la pendiente y n al coeficiente de posición.
=
Ecuación general
•
1 Ecuación canónica ... -x p
Completa la recta.
2. 3.
1 + -y q
= 1, siendo
(p, O) Y (O, q) las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes.
la siguiente tabla, con las distintas ecuaciones de
Forma principal
1.
... Ax + By + C = O, que permite verificar fácilmente si un punto la satisface o no.
•
Forma general
Completa la siguiente tabla, con los elementos para cada ecuación de la recta. Ecuación
Forma canónica
y = -5x + 3 2x - 7y + S = O
1 -x 3 2
1 + -y = 1 S
4.
Y = 2x - S
5.
2x + 6y + 1 = O
6.
245
Pendiente
1 -x 3
1 + -y S
Intersección eje X
pedidos
Intersección eje y
=1
Matemática
1.
En la ecuación
Ax + By + 2 = 0, determina
los valores de
A y B de manera que el punto (O, 3) pertenezca a la recta asociada
-¡-.
Y que su pen dilente sea 1
Se escribe la ecuación general de la recta dada en su forma principal.
Se identifican la pendiente
Ax + By + 2 = O ~
y el
coeficiente de posición con los
Como la expresión
términos de la ecuación general
A, B Y e, en la cual _
A
_
2
n - -8 y n - -8'
_!_,
-*
2
Y = -B"x - B"
a la pendiente de la recta y esta tiene valor
corresponde
se igualan ambos valores:
4
--
A 1 = - ~ B 4
Como la recta debe pasar por el punto Luego, se iguala la expresión
Se remplaza el valor de B en la expresión de la pendiente, obteniendo A,
A
-i
B =--4A
(O, 3), el coeficiente de posición corresponde a 3.
que corresponde
al coeficiente de posición 3.
2 _ _ 2 -- - 3 ~ B--B 3 Por lo tanto
2 1 , B = -4A ~ -- 3 = -4A ~ A = -.6 1
2
y el de B es --o 6 3
Luego, el valor de A es -
2.
Determina
(-1,5) Y(-2, 3).
la ecuación canónica de la recta que pasa por los puntos
----------<1 Se determina la ecuación de la recta a partir de los dos puntos dados, mediante una ecuación punto - pendiente,
La pendiente
de la recta es
2, ya
que: m
Luego, la ecuación principal corresponde
y - Yl = m(x - xl)
~
5-3
=
-1 -(-2)
= 2.
a:
y-s
= 2(x - (-1)) ~
y = 2x + 7
Se despejará la ecuación principal para expresarla en la ecuación canónica,
y=
2x
+ 7 /: 7 ~
Se reescribe la ecuación hasta obtener la ecuación canónica,
Ix + Iy P
Santillana Bicentenario
q
= 1,
2
1 1 1 -x + -y = 1 ~ -x + -y= 1
/
7
7 -2
1 Luego, Ia ecuaclon canonlca es -x »Ór
/,
7 -2
246
1 1 + -y = .
7
7
Preparando la PSU En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones
es(son) verdadera(s)? 10
1.
La pendiente de la recta de la figura es igual a S.
11. La ecuación de la recta es y = Sx - 10. 111. El punto (1, 15) pertenece a la recta. A.
Solo I
B. Solo
C. Solo III
11
D. I Y 11
E.
I Y 111
Fuente: Pregunta PSU, N° 33, Modelo Oficial Prueba de Matemática, Proceso de Admisión 2007, Serie DEMRE - Universidad de Chile N° 147.095, publicado elIde junio de 2006, a través de El
Mercurio.
o
2
x
Solución: Para la proposición 1,se tiene que del gráfico se extraen los puntos A(-2, O) Y B(O, 10), luego la pendiente de la recta es 5, ya que:
.
~
Por lo tanto, la proposición I es verdadera. Para la proposición punto A(-2, O). y-y!
11,
se obtiene la ecuación de la recta utilizando la pendiente m = 5, Y el
= m(x-x¡)
Luego, la proposición Para la proposición
11 111,
Calcula el valor de la pendiente de la recta usando los-.dos puntos que pertenecen a ella.
=> y-O
= S(x-
(-2» =>y = S(x + 2) =>y = Sx + 10
• ••••••
es verdadera.
se remplaza el punto (1, 15) en la ecuación de la recta y = 5x + 10. 15=5'1
Por lo tanto, la proposición
111
15=5+10
+10
15 = 15
.
es verdadera. ~
Determina si el punto dado pertenece a la recta evaluando sus coordenadas en la ecuación.
Respuesta: la altemativa correcta es E. Observa los colores correspondientes
a la resolución de la pregunta y marca según tus logros.
O
Calculo el valor de la pendiente de la recta usando dos puntos que pertenecen a ella.
Sí. ONo.
Entonces, calcula la pendiente de las rectas que pasan por: 1•
(2, 5) Y (3, -1)
2.
1I
Determino la ecuación de la recta utilizando su pendiente y uno de sus puntos, es decir, mediante la ecuación punto - pendiente.
O
Sí. ONo.
(-6, %)
Entonces, determina la ecuación de la recta que pasa p or el punto
1I
(4,3) Y
(f, -5) Ytiene
pendiente 6.
,-
Determino si un punto dado pertenece a la recta evaluando sus coordenadas en la ecuación.
Santillana Bicentenario
O
Sí. ONo.
Entonces, determina cuál de los siguientes puntos p ertenece a la recta y = 4x + 9. 1.
247
(3, -1)
2.
(O,9)
3.
(S, 29)
,
Álgebra
Sistemas de ecuaciones lineales Gran fonda Empanadas $ 800 Anncuchos $ 1.200
La señora Rosita fue a comprar empanadas y anticuchos a la fonda del Colegio, para un almuerzo familiar. En total, gastó $ 21.600. ¿Cuántas empanadas y anticuchos compró? Para modelar esta situación se asignarán las variables x e y, donde:
La empanadaes conocida en casitodo el mundo y hacesiglos;incluso hay indiciosde que fue consumidapor los antiguosgriegos. Los anticuchos,por su parte, parecentener su origen en Perú.Ambas comidashan sido adoptadasen nuestro paíshastahacerse tradicionales.
x: número de empanadas que compró.
y: número de anncucnos que compró. y con ello, se plantea la siguiente ecuación:
I 800x
Cantidad de empanadas
O
3
6
9
12
15
18
21
24
27
Cantidad de anticuchos
18
16
14
12
10
8
6
4
2
O
La señora Rosita compró 22 productos. Con esta información nueva ecuación, con x e y variables ya definidas.
Observa que, si se representanen el plano los valoresde ambastablas,se obtienen dos rectasque se intersectanen el punto de coordenadas (12, 10).
I
se puede plantear una
x + y = 22
En general, una ecuación con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. En cambio, una situación que se modela por una ecuación con dos incógnitas no tiene necesariamente infinitas soluciones, pues se debe comprobar la pertinencia de las soluciones encontradas.
y
Considerando
L1: 800x + 1100y = 11.600
18
I
Solo con esta información, no es posible determinar la cantidad de empanadas y de anticuchos comprados, ya que hay muchos valores de x e y que satisfacen la ecuación anterior, como se muestra en la siguiente tabla.
Los valores x = -1, Y = 23 son solución de la ecuación,pero no tienen sentido en el contexto del problema, puesto que no se puede comprar -1 empanadas.Se dice entonces que estasolución no es pertinente. Engeneral,una ecuacióncon dos incógnitastiene infinitassoluciones, pero no todas ellasson pertinentes.
22
+ 1.200y = 21.600
L2: x + y = 22
x
14
O
1 2
esta ecuación, se construye una tabla con los valores pertinentes
3 4
5
6
7
8
9 10 1 1 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
y 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 lO
10
de x e y:
9
8
7
6 5
4
3 2
1 O
6
2 4
8
12
16
20
24
28
X
Las dos ecuaciones planteadas se complementan, ya que ambas modelan la información dada en la situación inicial para conocer la cantidad de empanadas (x) y anticuchos (y) que compró la señora Rosita. También se complementan pues solo utilizando ambas ecuaciones se puede obtener un valor para x e y que satisfaga a ambas ecuaciones. Luego, este conjunto de ecuaciones de primer grado conforman un sistema de ecuaciones.
800x + 1.200y = 21.600 x + Y = 22
Santillana Bicentenario
248
UNIDAD 7
I
Sistemas de ecuaciones lineales
Ahora, con toda la información entregada, es posible responder la pregunta planteada. Observando
las dos tablas de la página anterior,
se puede ver que hay un par de
valores que se repite en ambas, y que corresponden
a x = 12 e y = 10. Se verifica
que los valores x = 12 e y = 10 satisfacen ambas ecuaciones a la vez. Observa:
800x + 1.200y = 21 .600
800 . 12 + 1.200 . 1O = 21 .600 9.600 + 12.000 = 21.600 21.600 = 21.600
x+y=22
12 + 10 = 22 22 = 22
Por lo tanto, el par (12, 10) es solución del sistema, pues satisface ambas ecuaciones a la vez. Luego, la señora Rosita compró 12 empanadas y 10 anticuchos.
EN
SíNTESIS
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas. Una solución al sistema corresponde
a un valor para cada incógnita, de modo que al
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas,
ax +
by =
c { dx + ey = f Con a, b, c, d, e, f Generalmente,
E
ax + dx +
x
remplazarías e
y, tiene
en las ecuaciones se satisface la igualdad.
las siguientes representaciones:
ax + by = c dx + ey = f
by = c} ey = f
IR.
las soluciones del sistema se expresan como pares ordenados (x,
En cada caso, define las variables, plantea el sistema de ecuaciones correspondiente
Determina,
y resuélvelo mediante una
y).
para cada sistema de ecuaciones, si (-1, 5) es
solución.
tabla de valores. 1.
4.
2x + 5y = 23 3x-2y=-13
6.
6x + y = 1 5x + y = O
5.
-4x + Y = 9 x + 2y = -11
7.
-9x - 2y = 1 2x + 2y = 8
Una bolsa de azúcar tiene 60 gramos más que una bolsa de sal. Si entre ambas bolsas hay 540 gramos, ¿cuánto tiene cada bolsa?
2.
La suma de dos números es 190 y su diferencia es 62. Hallar los números.
3.
En un museo, 2 niños y 2 adultos pagan
$ 10.000, Y si va
un niño y 4 adultos pagan $ 17.000. ¡Cuánto
5 hamburguesas y 3 bebidas cuestan $ 8.400.
cuesta una
entrada de adulto y una de niño?
2 hamburguesas y 5 bebidas cuestan $ 6.400. ¿Cuánto cuesta una hamburguesa? (Considera precios
8.
múltiplos de 100).
Asigna las variables, plantea el sistema y resuélvelo usando tablas de valores.
249
Matemática
,
Álgebra
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Anteriormente se estudiaron sistemas de ecuaciones que se pueden resolver utilizando tablas de valores. Ahora se revisarán algunos métodos que permiten resolver sistemas de ecuaciones de manera eficiente.
Método de sustitución Fernando tiene 20 monedas en total, de $ 100 Yde $ 500. Si con ello tiene $ 7.200, ¿cuántas monedas tiene de cada tipo? En cursos anteriores, este problema se habría planteado de la siguiente manera. Se define la variable x como el número de monedas de $ 500. Como Femando tiene 20 monedas en total, el número de monedas de $ 100 es (20 - x). Por lo tanto: • la cantidad expresión • la cantidad expresión
de dinero que tiene en monedas de $ 500, se representa mediante la 500x.
de dinero que tiene en monedas de $ 100, se representa mediante la 100(20 - x).
Además, se sabe que entre las monedas de $ 500 Y $ 100, tiene un total de $ 7.200, por lo que toda esta información se puede relacionar mediante la siguiente ecuación: SOOx + 100(20 - x) = 7.200
Ecuación con una incógnita
Usando sistemas de ecuaciones, se definen primero las variables x e y: - sea x el número de monedas de $ 500. - sea y el número de monedas de $ 100. Luego: • la cantidad de dinero en monedas de $ 500, se representa mediante la expresión 50Ox, y la cantidad de dinero en monedas de $ 1 00 se representa mediante la expresión 100y. Luego, como tiene $ 7.200, se plantea la igualdad 500x + 100y = 7.200. • tiene 20 monedas, por lo tanto, x + y = 20. Con ello, se plantea el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas. SOOx + 100y = 7.200 x + y = 20
Santillana Bicentenario
250
(1) (2)
UNIDAD 7
Sistemas de ecuaciones lineales
Para resolver el sistema con este método, se despeja y en la segunda ecuación del sistema, obteniéndose la ecuación y = 20 - x. Luego, se remplaza este valor de y en la primera ecuación del sistema por (20 - x), obteniéndose la siguiente ecuación con una incógnita:
500x + 100(20 - x)
= 7.200
Se despeja x:
500x + 100(20 - x) = 7.200 500x + 2.000 - 100x = 7.200 :::::}400x = 5.200 :::::}x =
5.200 = 13 :::::}x = 13 400
x + y = 20 :::::}13 + y = 20 :::::}y = 7
Observaque,si serepresentanen el plano ambasecuaciones,se obtienendos rectas que seintersectanen el punto de coordenadas(13, 7).
Por lo tanto, Femando tiene 13 monedas de $ 500 Y 7 de $ 100. Se puede comprobar que la solución obtenida es solución del sistema:
500 . 13 + 100 . 7 = 6.500 + 700 = 7.200 13 + 7 = 20
y 10
~:_x_+
En general, se utiliza una ecuación del sistema para despejar una de las incógnitas en función de la otra, y remplazar lo obtenido en la otra ecuación. Así, se reduce el problema a la resolución de una ecuación con una incógnita. Esto se conoce como método de sustitución.
y = 10
8 l,: SOOx + 100y
TI
1
~
= 7.200
6 ~
4
I
2
EN SfNTESIS
W
Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de sustitución: 0 1 se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones. 20 se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación. 3 o se resuelve la ecuación resultante, que tiene solo una incógnita. 40 se calcula el valor de la incógnita que falta usando la ecuación despejada.
Resuelve los siguientes sustitución.
1.
2.
x + 5y = 12 2x - 4y = 21 6x + y = 22 9x + 2y = 1
sistemas
4.
5.
por
el método
1O(x - 2) + Y = 1 x + 3(x - y) = 5 x-y
7 2x_y-8
=x
3x + 7y = -2 -x + 5y = 8
6.
-x+y x +y
2
4
6
8
10
12
14
-x
Al resolverel sistema,sebuscael punto de intersecciónde ellaspor métodos algebraicos,esdecir,singraficarlas.
Plantea y resuelve los siguientes problemas.
7.
Manuel ganó el doble de dinero que Patricio, y entre ambos ganaron $ 180.000, ¿cuánto ganó cada uno?
8.
Por el precio de un lápiz más 30 pesos puedo comprar 3 gomas. Si 3 lápices y 2 gomas cuestan $ 361, ¿cuánto cuesta cada artículo?
9.
¿Qué valores deben tomar a y b para que el sistema tenga como solución (1, 3)?
- = 2x - 1
2
3.
de
-~
= a-b = 4(a + b)
2x + ay = 14 bx + y = 5
251 I
Matemática
,
Álgebra
Método de igualación Se considera el siguiente sistema de ecuaciones:
5x - 8y = S 5x - 2y = -25
(1) (2)
Para resolver por sustitución el sistema anterior es preciso dividir y utilizar fracciones. Sin embargo, se observa que en ambas ecuaciones se encuentra el término
Al igualar las expresiones, lo que se hace es sustituir 5x por 2y - 25 en la primera ecuación, o 5x por 5 + By en la segunda
común
5x, por lo que se puede escribir el sistema anterior de la siguiente forma:
5x = 5 + 8y 5x = 2y - 25
.,
ecuaoon
(1) (2)
En ambas ecuaciones, se ha igualado 5x a una expresión en función de y. Dado que el valor de x que se busca como solución es el mismo para ambas ecuaciones, se pueden igualar las expresiones
encontradas, resultando
una ecuación con solo una
incógnita. Al despejar esta ecuación se obtiene que y = -5, ya que:
5 + 8y = 2y - 25 6y = -30 Y = -5 Al graficar las rectas de las ecuaciones 1 y 2 se observa que estas se intersectan en el punto de coordenadas (-7, -5). X
-8
Para obtener el valor de x, se remplaza
Por lo tanto, la solución del sistema es x -4
= -7
ey
segunda ecuación del sistema
= -5.
Para comprobar:
(1) 5 . -7 - 8 . -5 = -35 + 40 = S (2) 5 . -7 - 2 . -5 = -35 + 10 = -25
-6
La característica de este procedimiento ~: 5x -
Igualación de la primera y
5x = 2 . (-5) - 25 5x = -10 - 25 5x = -35 x = -7 -2
L,:Sx-8y=5
en alguna de las ecuaciones del sistema.
En este caso se remplaza y en la ecuación (2):
-2
-6
y = -5
es igualar las expresiones encontradas en el
-8
sistema, para reducir el sistema a una ecuación. Por ello, se conoce como método
y
de igualación.
2y = -25
EN SíNTESIS Para resolver un sistema de ecuaciones por el método
de igualación:
0
se despeja en ambas ecuaciones el término
0
se igualan las expresiones obtenidas.
0
se resuelve la ecuación resultante, que tiene una incógnita.
1 2
3
que tienen en común.
4 o se calcula el valor de la incógnita que falta sustituyendo el valor obtenido
Santillana Bicentenario
en una de las ecuaciones despejadas en el primer paso.
252
UNIDAD 7
I
Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.
3x - 12y = 39 -3x + 8y = -31
(1) (2)
Ambas ecuaciones contienen el término 3x, aunque con distinto signo, por lo que se multiplican ambos lados de la segunda ecuación por -1 para cambiar el signo de -3x. Luego se despeja 3x, en ambas ecuaciones del sistema. 3x - 12y = 39 - 3x + 8y = -31 1,-1
3x - 12y = 39 3x - 8y = 31
4
2
6
8
x
(5, -2)
3x = 12y + 39 (1) 3x = 8y + 31 (2) -6
Al igualar las expresiones obtenidas para 3x, se obtiene la siguiente ecuación: --8
12y + 39 = 8y + 31 4y = -8 y = -2
y
Remplazando y = -2 en la primera ecuación despejada, se obtiene lo siguiente:
L1: 5x - By
=
5
L2: 5x - 2y = -25
Las rectas representadas por las ecuaciones del sistema se intersectan en el punto (5, -2).
3x = 12 . (-2) + 39 3x = -24 + 39 3x = 15 x = S Por lo tanto, la solución del sistema es x = 5 e y = -2. Se comprueba 3 . 5 - 12 . -2 -3'5 +8'-2
=
15 + 24 = 39 = -15-16 = -31
Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación.
1.
2.
3.
2x + 5y = 12 2x - 4y = 21
5.
6x + 3y = 7 9x + 3y = 1
6.
Sx + 3y = -2 -Sx - 2y = -6
7.
.2S_
9.
ax + by = 8 ax - by = 2
11.
mx + ny = m 3mx-y = n
1 O.
-2ax + by = a - b x + by = 4(a + b)
12.
Sx + ay = 6 bx - 2ay = O
+ _r_ = 1
7 5 5x + 2y = 4 1O(x - 2) + 3y = 1 x + 3(x - y) = 5
Plantea y resuelve los siguientes problemas.
2x + 3y = S 4x - 4y = 9
13. Sean dos números tales que el doble del primero más el segundo es igual a 31, mientras que el triple del primero menos el segundo es igual a 14. Hallar los números. 14.
4.
4x + 3y = 10 2x - 3y = 9
8.
la solución:
6x + 3y = 2 12x - y = -3
253
En un juego, 3 fichas blancas y 2 rojas entregan 20 puntos, y 2 rojas más 6 blancas entregan 26 puntos. ¿Cuántos puntos entrega cada ficha?
Matemática
,
Algebra
Método de reducción A continuación
se resolverá el siguiente sistema de ecuaciones:
2x + 7y - 62 8x + 11Y - 112 En este sistema no hay términos
(1) (2)
comunes en las ecuaciones, por lo tanto
no es
inmediato despejar alguna incógnita y luego remplazarla en alguna ecuación del sistema. Sin embargo, si se multiplica por 4 la primera ecuación, se tiene:
2x + 7y = 62 8x + 11Y = 112
4 . 2x + 4 . 7y = 4 . 62
/ .4
8x + 11Y = 112
En lugar de utilizar el método ecuación a los términos
8x + 28y = 248 8x + 11y = 112
de igualación, se restan los miembros
de la primera
reduciendo
términos
de la segunda
semejantes, para así
obtener una ecuación con solo una incógnita:
=
8x + 28y 248 8x + 11y = 112
(3,8)
6
4
t
8x + 28y - (8x + 11y) = 248 - 112 + 28y-y{-11y = 248 - 112 17y = 136
y{
L,: 2x + 7y = 62
Li dx_ + 11y '=-11,..L.-+--+--+-_
I y = 81
2
o 2
4
6
8
x
Para determinar
el valor de x, se remplaza este valor de y en cualquiera de las
ecuaciones originales. En este caso, se escogió la primera ecuación del sistema, por
Las gráficas de las rectas representadas por las ecuaciones del sistema se intersectan en el punto de coordenadas (3, 8).
tener menores coeficientes:
2x + 7 ·8 2x + 56 2x
62 62 6
Ix
31
Por lo tanto, la solución del sistema es x
=
3 ey
= 8.
Se comprueba:
2 . 3 + 7 . 8 = 6 + 56 - 62 8 . 3 + 11 . 8 = 24 + 88 - 112 En este caso, la característica de este método fue restar los términos de las ecuaciones para eliminar los términos conoce como método
Santillana Bicentenario
con x o con
de reducción.
254
y,
según corresponda.
Por este motivo, se
Sistemas de ecuaciones lineales
UNIDAD 7 Ejemplos Resuelve el siguiente sistema.
=
5x + 6y 11 7x - 4y = 3
(1) (2)
Se deben multiplicar ambas ecuaciones por un número que dé como resultado un término común. Multiplicando la primera ecuación del sistema por 2 y la segunda por 3 se obtienen las siguientes expresiones: 5x + 6y = 11 / . 2 ... 7x - 4y = 3 /·3
+
10x + 12y = 22 21x - 12y = 9
10x + 12y = 22 + 21x - 12y = 9
2 . 5x + 2 . 6y = 2 . 11 3 . 7x - 3 . 4y = 3 . 3
lJ1(
... 10x + 21x + 1)'(-
22 + 9 ... 31x = 31
Ix
= 11
>
Se remplaza el valor de x = 1 en la primera ecuación del sistema:
I
5 . 1 + 6y = 11 ... 5 + 6y = 11 ... 6y = 6 ... y = 1 Por lo tanto, la solución del sistema es x Se comprueba: 5,1+6,1=5+6-11 7'1-4'1=7-4
SOS
MAT
I
= 1 e y = 1.
3 + 6y = 11
-4y=b -3 1
EN SINTESIS Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de reducción: 0 1 se multiplica una ecuación o ambas para obtener un término común. 20 se suman o restan las ecuaciones, de manera que se elimine la incógnita del término común. 3 o se resuelve la ecuación resultante, que tiene una incógnita. 4 o se calcula el valor de la incógnita que falta sustituyendo en una de las ecuaciones originaJes.
Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción.
1.
3x + 5y = 5 2x - 4y 2
4.
=
2.
3.
6x + 5y 9x + 2y 10x + 7y 5x + 5y
= = = =
22 1
7.
5x - 2y = 29 2x + 5y 29
=
5.
1
4
3
1 i1
I
_1
_t
x
1 tJ
Las gráficas de las rectas representadas por las ecuaciones del sistema se intersectan en el punto de coordenadas (1, 1).
2x - 3y = a 4x + 5y = b
8.
+y = b -3x + by = a ax
Plantea y resuelve el siguiente problema.
3x + 2y = 2 2x + 3y = 13
9.
Si en una fracción sumamos 1 al numerador y restamos 2 aJdenominador, el resultado es ~. Pero si al numerador le restamos 3 yal denominador le sumamos
-2 8
6.
mx + ny = 1 nx + my = 1
2, el resultado es
t
255
I
f.
Determina la fracción.
:Matemática
,
Álgebra
Regla de Cramer A partir del método de reducción, se puede encontrar una forma general de resolver sistemas de ecuaciones. Para ello, se considera el siguiente sistema: ax + by = c dx + ey = f
(1) (2)
Se despejará x e y por separado, con el método siguientes expresiones:
de reducción, obteniéndose
las
DESPEJANDO X
DESPEJANDO y
Se multiplica la primera ecuación por e y la segunda por b, y se resta para eliminar la incógnita y.
Se multiplica la primera ecuación por -d y la segunda por a, y se suma para eliminar la incógnita x.
=
-
aex + bey ce bdx + bey = bf
-dax + -dby = -dc adx + aey = af
+
aex + bey - (bdx + bey) = ce - bf aex + bdx -yiy = ce - bf aex - bdx = ce - bf
-~
94 -
+ -dby + ~
+ aey = -dc + af -dby + aey = -dc + af
Se despeja y, tal como se indica a continuación: Se despeja x, tal como se indica a continuación:
-dby + aey = -dc + af y(ae - db) = af- dc
aex - bdx = ce - bf x(ae - bd) = ce - bf
af - dc y = ae - bd
ce - bf x= ae - bd
>
Por lo tanto, la solución del sistema está dada por las siguientes expresiones para x e y:
SOS
I
~rAT ce - bf x = --':'""'"'"':' ae - bd
Para despejarlasincógnitasx e y del sistema,es necesarialacondición ae -
bd
;! O.
af - de y = ae - bd
(*)
Para apreciar mejor algunas regularidades presentes en las expresiones anteriores, se muestran en la siguiente tabla los coeficientes del sistema omitiendo las variables.
Primera ecuación del sistema Segunda ecuación del sistema
x a d
y b e
Términos
libres
e f
Se llama determinante principal del sistema a la expresión ae - bd, que se representa con la letra griega ~ (delta mayúscula). Como se puede apreciar, esta expresión se encuentra en el denominador de las fracciones que representan la solución del sistema y se obtiene multiplicando los coeficientes de las incógnitas del mismo. Por lo tanto, el determinante principal de un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas se escribe de la siguiente forma: a b = ae - bd ~= d e
Santillana Bicentenario
256
UNIDAD 7 Al remplazar la columna que corresponde a los coeficientes de x por la que corresponde a los términos libres del sistema, se puede calcular el determinante de x, , b o l'Iza )(J\ DI'e a misma manera, remp Iazand o lid' que se srn a co umna correspon lente a y, con los términos libres, se calcula el determinante de y, que se simboliza fly' b
= ce
e
e
a
- bf
!:"y
=d
f
= af - cd
'*
!:,.
Ejemplo
x
9x - 2y = 1 20x - 5y = 3
Ll x=_x = Ll
y -2 -5
9 20
1 -2 3 -5
9,(-5)-20.(-2)
1
Se puede comprobar que x = - -, S y = -!... es lasolucióndel sistema, S remplazandoestos valores en lasecuaciones
9 . (- ~) - 2 . (- ~) 20 . (- ~) - 5 .
9x - 2y = 1 20x - 5y - 3
=- ~ +
~4 =
; =1
(-f) = - ~O + 3~ = ~ = 3
Término libre
1 3
_ 1.(-5)-3.(-2) _ -5--6
9 -2
¡\ se lee "delta equis" )(
del sistema,
Este método, el más general para resolver sistemas de ecuaciones, es conocido como regla de Cramer.
Resuelve el siguiente sistema por regla de Cramer:
Sistemas de ecuaciones lineales
Para calcularel determinante, se consideran los coeficientescon su signo,
Si !:,. O, remplazando estos valores en (*), se puede escribir la solución del sistema de ecuaciones mediante la siguiente expresión: y=~
I
1
-45--40
5
20 -5 9 Ll
r=i= Ll
1
20 3
-
9 -2 20 -5
9·3- 20·1 27-20 9.(-5) - 20.( -20) -45--40
1 Es decir, la solución al sistema es x = -5' Y =
7 --5
7
-S'
Resuelve los siguientes sistemas utilizando la regla de Crarner. 1.
Sx + 8y = 2 4x + 7y = 5
3.
5.
Sx + 75y = 1 4x + 2y = 9
6.
2.
13x + 17y = 9 10x + 13y = S
4.
2x + 3y = 4 3x + 2y = -3
257
2 3 -=-><:--y=7 3 4 8x - 6y = 5 3 7 -x--y=6 2 S S 2 -x+-y=8 7 3
7.
O,lx - 40y = O O,2Sx + 100y = O
8.
mx + 2my = O bx + Sby = -1
Matemática
1.
Un hombre tiene 24 años, en n años tendrá el cuádruple de la edad que hace m años. Calcula los años que representan n y m si la suma de ambos es la edad actual del hombre.
Estrategia Construir una tabla. Seconstruye una tabla a partir de la cual se establecen las relaciones entre las incógnitas del problema.
Se construye una tabla con los datos del problema. Edad hace m años
Edad actual
Edad dentro de n años
24
24 + n
24 - m
Se establecen las relaciones que existen hace m años y dentro de n años. 4 . (24 - m) = 24 + n => 96 - 4m = 24 + n => n + 4m = 72
Se establecen las relaciones que existen entre las variables del
Como la suma de n y m es la edad del hombre, se tiene: n + m = 24.
problema.
Luego se forma el siguiente sistema de ecuaciones: n + 4m - 72 n + m = 24
Se resuelve el sistema de ecuaciones utHizando el método de reducción.
Finalmente se resuelve el sistema por el método de reducción: n + 4m n+m
72
/,-1
n + 4m - 72
-n - m = -24
24
~ + 4m ~-
+
n + 4m = 72 -n - m = -24
m - 72 - 24
3m - 48 m 16 Remplazando el valor m = 16 en la primera ecuación del sistema, se obtiene: n + 16 - 24
n
=
8
Por lo tanto, n representa 8 años y m representa 16 años.
11 Ahora
tú
Utiliza esta estrategia para resolver el siguiente problema. Andrés tiene x años y Camila y años. Dentro de y años, la edad de Andrés será el cuádruple de la edad de Camila hace 20 años y la edad de Camila será el doble de la edad de Andrés hace 20 años. ¿Cuál es la edad actual de Andrés y Camila?
Santillana Bicentenario
258
Preparando la PSU Un vendedor de planes de intemet tiene dos ofertas de empleo. La compañía VET le ofrece un sueldo de $ 150.000 mensuales rnás $ 3.000 por cada plan de intemet vendido. La compañía GAM le ofrece un sueldo de $ 200.000 mensuales más $ 2.000 por plan de internet vendido. ¿Cuántos planes de intemet debería vender para recibir el mismo sueldo en ambas compañías?
A.
20
B.
35
C.
50
D.
55
E.
90
Solución: Se plantea el sistema de ecuaciones considerando los datos del problema, llamando t a la cantidad de planes de internet vendidos por las compañías VET y GAM Y s al sueldo correspondiente. Luego, se plantea el siguiente sistema de ecuaciones:
150.000 + 3.00Ot = s 200.000 + 2.00Ot = s
~
Resolviendo:
150.000 + 3.00Ot = 200.000 + 2.00Ot 1.00Ot = 50.000 t = 50
~
. Plantea el sistema de ecucdones. considerando los datos del . problemas y asignando las variables correspondientes: -
.
...
.
Se comprueba el resultado remplazando en la ecuación anterior:
150.000 + 3.000 . 50 = 200.000 + 2.000 . 50 150.000 + 150.000 = 200.000 + 1000.000 300.000 = 300.000 Por lo tanto, t = 50 es la solución de la ecuación. Luego, para 50 planes de internet, el sueldo en ambas compañías es el mismo, y corresponde a $ 300.000.
Respuesta:
la altemativa correcta es C.
Observa los colores correspondientes
a la resolución de la pregunta y marca según tus logros.
D No.
Planteo el sistema de ecuaciones considerando los datos del problema y asignando las variables correspondientes.
~----------------~I~ Utilizo el método de igualación para resolver el sistema de ecuaciones.
DSí.
D No.
Entonces, plantea y resuelve el sistema de ecuación en el siguiente problema: el triple de un número más el cuádruple de otro es 10 Y el segundo más el cuádruple del primero es 9. ¿Cuáles son estos números? Entonces, dirígete a la página 255 y resuelve por igualación los ejercicios 1, 2, Y 5.
259
Matemática
,
Álgebra
Sistemas y soluciones Fernando compró
5 camisetas de fútbol y 4 balones por $ 35.000.
En la misma tienda, Ernesto compró ¿Cuánto cuesta cada artículo?
3 camisetas y 2 balones por $ 20.000.
Se definen las siguientes variables: x: precio de cada camiseta
y:
precio de cada balón
Así se forma el siguiente sistema de ecuaciones:
5x + 4y = 35.000 3x + 2y = 20.000 Finalmente, se resuelve mediante ¿Quéocurre si se resuelveel sistemade ecuacionespor sustitución? De la segundaecuaciónse obtiene:
x =
11
_x
=
11
3
Y =
11 _y
11
5x + (40.000 - 6x) = 35.000 -x = -5.000 l· (-1) x = 5.000
4 2
5 4
2y = 20.000 - 3x l· 2 4y = 40.000 - 6x Al remplazaresta expresiónen la primera ecuacióndel sistema,se obtiene:
35.000 20.000
=
-
la regla de Cramer.
35.000 . 2 - 20.000 . 4 5·2-3·4
-10.000 - ---2
.. x = 5.000
2
5 35.000 3 20.000
5 4 3 2
- 5 . 20.000 - 3 . 35.000 5·2-3·4
-5.000
---
-2
.. y = 2.500
Finalmente, cada camiseta tiene un valor de $ 5.000 Y cada balón $ 2.500. Si Ernesto decide comprar 10 camisetas y 8 balones por un valor de $ 70.000, es posible plantear el siguiente sistema:
5x + 4y = 35.000 10x + 8y = 70.000
Santillana Bicentenario
260
UNIDAD 7
En este caso, al calcular
5 4
L1=
10
A, Ax
y
Ay
I
Sistemas de ecuaciones lineales
se obtiene lo siguiente:
= O
8
L1x =
35.000 70.000
L1y =
5 10
4 8
= O
35.000 70.000
= O
Se observa que hay infinitos valores posibles para x e y que son solución del sistema. Cuando esto sucede se dice que el sistema es compatible indeterminado. Si el determinante
principal del sistema es distinto de cero (caso en el que la solución
es única) se trata de un sistema compatible
determinado.
Al analizar los determinantes se puede verificar, sin necesidad de comenzar a resolverlo, el tipo de sistema con el que se está trabajando.
EN SíNTESIS
- A #: O tiene
solución única.
Sistema compatible Sistema de ecuaciones
-¡
determinado.
Ax = Ay = O tiene
í
infinitas soluciones.
Sistema compatible
A=O
indeterminado.
Ax #: O o Ay ~ O no
tiene solución.
Sistema incompatible.
Determina,
5.
en cada caso, de qué tipo es cada sistema de
.
ecuaciones.
1.
+ 9x -
5x
= 2 6y = 17 3y
3.
16x + 8y = -2 12x + 6y = 5
+ 8y = 12 4x + 7y = -4
6.
5x
-10x+15y=32 16x - 24y
= 3
los valores de p y q para que cada sistema sea
Determina compatible
determinado,
compatible
indeterminado
o
incompatible.
2.
+ 5y = 7 + 10y = 14
3x 6x
4.
4x - 6y = 13
-1 2x + 18y = -39
7.
3x+2y= px
261
+
4y
6 = q
8.
+ 2y = P 9x + 6y = 3 3x
9.
qx + y=
q
x+y=q
Matemática
,
Álgebra
Sistemas y gráficos Las ecuaciones de los sistemas que se han revisado se han escrito igualando los términos
que contienen
a las incógnitas a un término
siguiente sistema, reescribiéndolo
libre. Considérese
ahora el
como se indica a continuación.
x + 3y = 5 2x-y = 3
x + 3y - 5 = O 2x -y - 3 = O
Se observa que ambas ecuaciones del sistema corresponden
a ecuaciones de recta,
expresadas en su forma general. Las siguientes tablas muestran algunos valores de x e y para cada ecuación. Además, en un mismo gráfico se representan ambas rectas.
x x y
+ 3y - 5
-4 -1
3
=O 2 1
2
y 4
5 O
3
2x - y - 3 ::;:o
x + 3y -5::;: o 1
2x - y - 3
=O
-5 -4 -3 -2 -1 o
x
O
1
2
3
-1
y
-3 -1
1
3
-2
A partir del gráfico, se observa que el punto dos rectas, es decir, pertenece
x 2
3
4
5
P(2, 1) corresponde a la intersección de las
simultáneamente
a ambas. Por otra parte, se puede
comprobar en la tabla que satisface simultáneamente ambas ecuaciones. Es decir, x e y = 1 es la solución del sistema. Por lo tanto, el punto de intersección corresponde
=
2
de las rectas
a la solución del sistema.
Por otra parte, dos rectas en el plano pueden tener tres posiciones relativas entre ellas, determinadas por sus intersecciones.
Rectas secantes
• Se intersectan en un punto.
Santillana Bicentenario
Rectas paralelas
• No se intersectan .
Rectas coincidentes
• Se intersectan en todos sus puntos.
262
UNIDAD 7
Sistemas de ecuaciones lineales
Se verá ahora cómo estas posiciones relativas de las rectas se relacionan con un sistema de ecuaciones. Para ello, se trabajará con el siguiente sistema escribiendo las ecuaciones de las rectas en su forma principal. Si m" m2, n" n2
E
IR, se tiene
que:
L1:y=m1x+n1 L2: y = m2x + n2 Resumiendo la información
de las rectas, se tiene: Pendiente
L, L2 m1 m2
Coeficiente de posición
n
A partir de ello, se pueden distinguir los tres casos mencionados
n
2
1
anteriormente.
Pendientes iguales
Caso 1 Pendientes distintas
m1 =1= m2 Se pueden definir dos casos a partir de este resultado.
8=1=0
Caso 2 El sistema tiene solución única. Sistema compatible
Caso 3
Igual coeficiente
determinado.
de posición
Distinto
n1 = n2
L\t
L\t = O
El sistema tiene infinitas soluciones.
El sistema no tiene solución.
Sistema compatible
Sistema incompatible.
Rectas secantes
Gráfico 1
2.
indeterminado.
Rectas coincidentes
Asocia cada sistema de ecuaciones a su representación
4x - 2y = 2 2x + 6y = 12
de posición
n 1 =1= n2 8x =1= O o =1= O
8x = O
1.
coeficiente
-x - 3y = -6 3x + 9y = -9
gráfica, determina
3.
3x + 9y 5x + 15y
Gráfico 2
Rectas paralelas
cuántas soluciones tiene e indica su tipo.
18 30
4.
2x + 5y = 10 4x + 15y = 30
Gráfico 3
Gráfico 4
y
y
y 4 3
, -4-3-2-1,-
-4-3-2-;. -1
,_2 3 4X
-2'
-3
-2 -3
-4
-4
263
-4-3-2-1,
'23
4X
-2 -3 -4
Matemática
Álgebra
Uso de software Existen numerosos programas computacionales
que permiten facilitar el análisis de los
sistemas de ecuaciones. En esta ocasión se usará Wiris, al cual se puede acceder gratuitamente
desde la página www.wiris.netJsantillana.cl.
Mediante este
software se podrán resolver los sistemas directamente
rectas correspondientes,
Si tienes dudas respecto
a sus comandos,
y graficar las puedes lee,' el
Anexo de la página 408.
10 Para resolver sistemas de ecuaciones con Wiris se utiliza
20 Para dibujar las rectas, se utiliza el comando dibujar y
el comando resolver.
nuevamente la herramienta
En la ficha operaciones aparece la herramienta
(Ü~}),que
vertical
lista
lista vertical para introducir
las ecuaciones. De esta manera, al presionar
(=J, se obtiene
permite seleccionar un número de
el
gráfico de ambas rectas.
filas, que en este caso son dos, e ingresar en ellas las ecuaciones correspondientes
del sistema.
Para calcular la solución, se hace clic en
~resolver{;~t:::}~ ~dibujar{;~t:::} ..
(=).
En este caso se ingresarán las siguiente ecuaciones:
I
2x + y
3
x- 2y
4
~I
{{x=2.V=-1}} tablero!
El
I SfmbolOS I Análisis I Matrices I unidades I Combinatoria ICeometría.1 Cntgo' Programac representar resolver ecuación ... o· .¡¡j {I} !1 fol resolver sistema al!! o. Vci t. Jl [al
Edición Operaciones
(O) {O) O [O]
n
~
~
dibujar
dlbujar3d
~reSOlver{~~!:::}... {{x=2,y=-1}} ~ I
El Luego, su solución es el punto (2,
-1).
Observa que se trata de dos rectas secantes que se intersectan en el punto de coordenadas solución del sistema.
Santillana Bicentenario
264
(2, -1), precisamente la
Sistemas de ecuaciones lineales
UNIDAD 7
Ejemplo 1 Mediante los pasos anteriores, se graneará el siguiente sistema de ecuaciones:
3x + 2y 6x + 4y
n~ resolver {3X+2Y=4 6x+ 4y= 13 } Y=4 n~ díbmujar . {3X+2 6x+4y=13
~I
El
...
Ejemplo 2 Mediante los pasos anteriores, se graneará el siguiente sistema de ecuaciones:
3x + 2y = 4 6x + 4y = 8
4
13
[ resolver{~:!~~~:}-+ {{x=- ~ . v+ ~ ,v=v}} [ dibUjar{~=!~~~:}-+ tablerol W'"LA!S
{O}
} .....,. _.. ta bl ero 1
t:l
"\NiR!S 1;;)
I a:J1]ID
lo
P> P>
1:1
•
Se puede observar que las rectas asociadas a las ecuaciones del sistema son coincidentes. En este caso se trata de un sistema de ecuaciones compatible indeterminado.
PRACTICA: utilizando Wiris, y determina
Resuelve los siguientes sistemas gráficamente,
1.
St> ~
1:1 ~
Al resolver el sistema, algebraicamente, se obtiene un casillero vacío, lo que indica que el sistema no tiene solución y por ende, la gráfica asociada corresponde a dos rectas paralelas. En este caso se trata de un sistema de ecuaciones incompatible.
>
[bJ!1OO
2x - y 3x + Sy
5 4
2. 4x + Sy x+y
10
2
3.4x+2y=-14 x - 3y = 14
265
si estos son compatibles.
4.
x - 3y 2x - 5y
12 2
Matemática
1.
Determina
un sistema de ecuaciones cuya representación
,.--0
6
Del gráfico se extrae que el sistema de ecuaciones es compatible que tiene solución única, la que corresponde Luego, se determinan
B
.-.C~ 2
X
-2
al punto C de coordenadas (-3, 1).
L" se consideran los puntos C(-3, 1) Y A(O, 7). Para L2, se consideran los puntos C(-3, 1) Y B(-6, O).
L,
y
L2
(m, y m2) son, respectivamente,
7-1 m =---=2 1 0-(-3) Se identifica el tipo de sistema que corresponde a la gráfica, considerando el punto C, común a ambas ecuaciones de la recta.
Se determinan las ecuaciones correspondientes al sistema, considerando C como punto común.
Determina
ya
las ecuaciones de las rectas, considerando dos puntos.
Luego, las pendientes para
2.
determinado,
Para
o
-2
sea el siguiente gráfico:
0-1
las siguientes:
1
-m -2 -6 - (-3) 3
Luego:
L1: y - 7 = 2(x - O) ... Y - 7 = 2x ... 2x - Y = -7 ~: y -
0=
t(X - (-6))
... Y =
±(X + 6)
1·3
... 3y = x + 6 ... x - 3y = -6
Por lo tanto, el sistema de ecuaciones que se encuentra representado corresponde
por el gráfico
a:
2x - Y = -7 x - 3y = -6
el valor de P, en el siguiente sistema de ecuaciones, para que el sistema tenga solución única.
x + Py = 20 2,Sx - Sy = 6
----------0
Se determino la expresión del determinante d, en función de P.
P = -1 . 5 - P . 25 .6= 2,5 -5 ' 1
Se calcula .6.
.6 = -5 - 2,SP Por lo tanto, para que el sistema tenga solución única se debe cumplir que .6 ~ O. Si .6 ~ O, entonces:
Se calcula el valor de P, poro que el sistema sea compatible determinado, considerando d ~ O.
Santillana Bicentenario
.6 = -5 - 2,SP ~ O
P ~ -5 2,5
P ~-2
Por lo tanto, P debe ser distinto de -2, para que el sistema tenga solución única.
266
Preparando la PSU ¿Para qué valores de k el sistema: Sx - ky = 2 , no tiene solución? 3x + 2y = 3
A. 2
10 3
c.
B. -2
D.
4
E. -- 3 2
-3
Fuente: Pregunta PSU N° 13, Modelo Oficial Prueba de Matemática, Proceso de Admisión 2006, Serie DEM RE - Universidad de Chile N o 25, publicado el 16 de noviembre de 2006, a través de El Mercurio.
Solución:
Se calcula ~, ~x y ~y. ~ =
~x =
~=
5 -k 3
2 = 5 . 2 - (-k· 3) = 1O + 3k
2
-k
3
2
5
2
3
3
=2
. 2 - (-k· 3)
=5·3-3·2=
=4
.
~
+ 3k
Calcula los determinantes ó., Óx y
Ó.
y
15-6=9
Para que el sistema no tenga solución se debe cumplir: A.
= O, ~
~ OY~
~ O
Si A. = O, entonces: 10 + 3k
=O
3k
= -10
-10 Luego, ~ = 4 + 3· 3 = 4 - 10 = -6
También se tiene que
I!y =
-10 k=3
~=-6
'.•••••••••••• • • •.
9.
Por lo tanto, se cumple Ax ~ O Y Ay ~ O, cuando A = o.
Respuesta: la altemativa correcta es C. Observa los colores correspondientes
Calculo los determinantes
é, ~
a la resolución de la pregunta y marca según tus logros.
D No.
y ~y.
==~------------------------~-,== Calculo k, a partir de las expresiones de los determinantes y restricciones establecidas para que el sistema no tenga solución.
Entonces, dirígete a la página 255 y calcula los determinantes ~, ~x y ~, en los ejercicios 1 al 4.
D Sí. D No. Entonces,
________________ ~II
dirígete a la página 255 y remplaza por k los coeficientes numéricos de la variable x en la primera ecuación de los ejercicios 1, 2 Y 3. Luego determina, en cada caso, el valor de k para que los sistemas no tengan solución.
267
Matemática
... A la ecuación de una recta, es posible asociar una línea recta en el plano cartesiano. Todos los puntos que pertenecen a la recta satisfacen la ecuación, es decir, si en esta se remplazan la abscisa
y
ordenada de un punto de la recta, se obtiene
una igualdad .
+ n, se llama pendiente de la recta a m y coeficiente de posición a n. La pendiente muestra el grado de inclinación que tiene la recta respecto al eje X, y n indica la ordenada del punto de
... En una ecuación de la forma y
=
mx
intersección con el eje Y. Si m
=
O, la recta es
Si m
horizontal.
> O, la recta "sube"
Si m
de izquierda a derecha.
<
O, la recta "baja"
Si m no está definida,
de izquierda a derecha.
la recta es vertical.
y ---.....L3
L1
~---II---'" ~------1f---~X
~--+--
Donde:
-
~-----"'ilt---~X
........ ~
,
~x
.
m =O
Donde:
m2 = O
no están definidas.
,~
m1, m2, m3
... A partir de dos puntos de una recta se puede obtener el valor de m:
m
Y2 - Y, = x - x, 2
con A(x"
Y,) y
B(x2,
Y2)
puntos de la recta .
... Una ecuación de la recta se puede expresar de las siguientes formas: Ecuación principal
Ecuación general
Ax +
Y = mx + n Donde:
By
+
Ecuación Canónica
e=O
1 -x p
Donde:
m: corresponde
a la pendiente.
n: corresponde
al coeficiente
A m=-B
n
__--e
1
+ -y q
=
1
Donde: (p, O) Y (O, q) corresponden
B
a los
puntos de intersección con los ejes
de posición.
X e Y, respectivamente .
... Para determinar pendiente
y
la ecuación de una recta (no vertical) que pasa por dos puntos A(x"
luego, con ella
y
Y,) y
B(x2,
uno de los puntos dados, se plantea la ecuación punto - pendiente
Y - Y, =
Y2)'
de la recta:
m(x - x,)
.... Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que deben ser satisfechas simultáneamente conjunto de valores, que conforman
Santillana Bicentenario
la solución del sistema.
268
se calcula la
por el mismo
tJNIDAD7
Sistemas de ecuacíones lineales
.... Para resolver un sistema de ecuaciones lineales existen distintos métodos: Método
de sustitución
Método
de igualación
Método
de reducción
Consiste en despejar una
Consiste en despejar, en ambas
Consiste en multiplicar por un término
incógnita, en alguna de las
ecuaciones, el término
una o ambas ecuaciones para obtener un término
ecuaciones, y luego remplazarla
tienen en común, luego se
común para una de las incógnitas. Luego se suman
en la otra ecuación, de esta
igualan las expresiones
o restan las ecuaciones, de manera que se elimine
forma se obtiene una ecuación
obtenidas resultando una
la incógnita del término
lineal con una incógnita a
ecuación con una incógnita
resuelve la ecuación resultante, con una incógnita.
resolver.
a resolver.
que
Regla de Cramer ax + by = c Para el sistema - f dx + ey -
adecuado
común. Finalmente, se
(determinantes)
, se tiene como so luci UClones a x = -~x e y = ~ . ~
~
Donde: a ~=
d
e
b e
= ae - bd
~=
b
f
e
a = ce - bf
t:y=
d
e
f
= af - cd
.... Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas se representa gráficamente mediante dos rectas. De acuerdo a la naturaleza del sistema, las rectas asociadas pueden tener diferentes posiciones relativas, así: Sistema compatible
determinado:
par de rectas
secantes, es decir, tiene solución única.
x Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Sistema compatible
indeterminado:
par de rectas coincidentes, tiene infinitas soluciones.
~x =~y = O ~=O Sistema incompatible:
par de rectas paralelas,
y
no tiene solución.
x
~x~Oot:y~O
•
Mapa conceptual Construye
un mapa conceptual
utilizando
el
software
CMap que relacione al menos los siguientes conceptos
clave.
Ecuación de una recta - Pendiente - Sistema de ecuaciones - Métodos de resolución - Regla de CramerNaturaleza de un sistema de ecuaciones - Posiciones relativas de las rectas
269
Matemática
1 Respecto
a la ecuación de la recta x - 2y - 6
de las siguientes proposiciones
4
= O, ¿cuáles
En la ecuación
'¡x - ty = 1, ¿cuáles son los puntos
es(son) verdadera(s)? intersección con los ejes?
l.
Su pendiente es
-i.
A. B. C. D.
11. El punto (-3, O) pertenece a ella. 111. La gráfica asociada a la ecuación de la recta sube.
E. A. Solo I B. Solo II
c.
Iy
D. II Y
E.
2
5
111
(-S, O) y (O, 4) (-4, O) y (O, -S) (4, O) y (O, -S) (4, O) y (O, S) (S, O) y (O, 4)
-3x + y ¿Cuál es el valor de x en x - 3y
=
10 ? 2
111
1,IIylll
¿Cuál de los siguientes pares de puntos pertenecen
a
una recta horizontal?
A. (-4, S) y (3, -S) B. (-2, O) y (-2, 1)
6
c.
(2, S) y (4, S) D. (O, -3) y (O, 3) E. (4, 9) y (9, 4)
A.
-4
B. C. D. E.
-2 3,2 4
22 2 -x+1=y
Según
9
Al expresar y = -2x + los valores de A, B Y
t
11
como una ecuación general,
B. 7
e son, respectivamente:
C . Jl 7
1 A • -21" 7
22
O. 7
B. -2, -7, 1
44
E. 7
C. -14,7, 1 D. 14,1,-1
E. 14, 7, -1
Santíllana Bicentenario
3
x + 2y = 5
A. 7
3
=
270
el valor de x + y es:
2
de
UNIDAD 7
7
igualdades no corresponde?
D. xy
B. x-y
11 =-2
C. x + y =
8
E.
=_12
x y
2
10
incompatible.
11
compatible determinado.
-_6 5
Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones e indica la naturaleza del sistema.
1
2" x - y = m + 3n
Al resolver el sistema de ecuaciones x+y se obtiene:
=
2
m-n
l2
3x - y - 6 6x - y - 12
13
1 1 -x + -y = -1 2 3 2 x + -y - -2 3
14
5x - 2y 15x - 6y
'
A. x = 3m + 2n; y = -(m + 3n) B. x = 3m + 2n; y = 5m + n C. x=
3m + 2n m -4n ;Y = 2 2
D. x
3m + 2n m 2 ;y =
E.
9
=
Sistemas de ecuaciones lineales
3x + y = 2 Determina el valor de k para que el sistema sea: x-ky =-5
-x + 3 = 6y + 5x Al resolver 2 _ 8 ' ¿cuál de las siguientes x- y -
A. 2y =-5
I
2
- 10 - 13
Resuelve los siguientes problemas.
15
3m + 2n 7m x= 2 ;Y = 2
Cristián es 5 años mayor que Julia. Hace 10 años la edad de Julia era igual a la mitad de la edad actual de Cristián, más 4 años. ¿Cuántos años tiene cada uno en
. ¿Cuál(es) de los siguientes sistemas de ecuaciones
la actualidad?
es(son) compatible(s) indeterminado(s)?
l.
16
2x-y=a-b x-y -- a 2 + b2
En un número de dos cifras, la cifra de las decenas es el doble de la cifra de las unidades. Si a ese número le restamos 18 se obtiene un número con las mismas
11.
111.
cifras, pero en orden inverso. ¿Cuál es el número?
x+y=a-b a x-ay -- a2 - b2
17
x+y= a-b bx + by = ab - b2
En una granja hay ovejas y gallinas. Si se cuentan las patas hay 126, pero si se cuentan las cabezas hay 44. ¿Cuántos animales hay de cada tipo?
A. Solo I B. Solo II
C. Solo D. I Y II
111
E.lylll
271
Matemática
•
PREGUNTAS
INDICADOR
Determino distintos tipos de ecuaciones de una recta y las caracterizo.
1, 2, 3 y 4
PUNT AJE
___
/4
l QUÉ
DEBO HACER?
• Si obtuviste menos de 4 respuestas correctas, realiza las actividades 1 a 4 y 7 para reforzar este contenido. • Si obtuviste 4 respuestas correctas, realiza las actividades S, 6, 8 y 9 para profundizar tus conoci m ientos.
Planteo y resuelvo sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas utilizando distintos métodos algebraicos.
5,6,7,8, 15, 16 Y 17
___
/7
• Si obtuviste menos de 7 respuestas correctas, realiza las actividades lOa 13, 18, 20 Y 21 para reforzar este contenido. • Si obtuviste 7 respuestas correctas, realiza las actividades 1 4 a 17, 19 Y 22 para profundizar tus conoci m ientos.
9, 10, 11,
Determino gráficamente la solución de un sistema de ecuaciones e identifico su naturaleza según la existencia de sus soluciones.
___
/ 6
12, 13 Y 14
• Si obtuviste menos de 6 respuestas correctas, realiza las actividades 23 a 27 para reforzar este contenido. • Si obtuviste 6 respuestas correctas, realiza las actividades 28 a 30 para profundizar tus conoci m ientos.
¿Cuánto he aprendido? Cuenta las respuestas correctas que obtuviste en la evaluación anterior y clasifica tu resultado de acuerdo a los criterios que se muestran a continuación: • • •
Rendimiento bajo: entre O y 11 respuestas correctas. Rendimiento medio: entre 12 y 14 respuestas correctas. Rendimiento alto: entre 15 y 17 respuestas correctas.
Obtuve
respuestas correctas, lo que implica que mi rendimiento en la evaluación fue
Ahora, dirígete a la sección ¿Cómo
Santíllana Bicentenario
lo
aprendí]. que está al final del texto, y sigue las instrucciones que en ella aparecen.
272
E· ercicios •
de refuerzo
ndización Resuelve utilizando la regla de Cramer.
Ecuación de la recta
Determina
la recta que cumple las condiciones dadas.
1.
Pasa por los puntos A(2, 1) Y B(4, 9).
2.
Pasa por los puntos C(-4, 2) y D(3, -5).
x+y = 5 18. 2x -y = 7
20.
-t).
4.
Pasa por el punto P(3, -5) Y tiene pendiente -6.
5.
Su coeficiente de posición es 1 y pasa por el punto
Q(-3, -7).
8.
Ix - y 9
x -
9.
7
¡.
3
v_
_.L
-
4
22.
1
Camilo anduvo 5 km en bicicleta desde su casa al colegio. Si anduvo x km hasta un kiosco e y km hasta el colegio, y el doble de la distancia entre su casa y el kiosco más la distancia entre el kiosco y el colegio son 7 km, ¿cuáles son los valores de x e y7
,
IJI Sistemas de ecuaciones:
lineales con dos
soluciones
tncogrutas
15.
y gráficos
-x + y = 10 23. 2x - 2y = -5
ax + by = 2 14. bx + ay = 3
-3x + 4y = -5 11. 2x - 3y = 8
tipos de
Indica la natu raleza de cada sistema.
Resuelve e indica el método utilizado.
x + 2y = 2 x- y = 1
Escribe un problema que se resuelva con el sistema
x + y = 10 2x + 3y = 26.
+ 1=O
tJ Sistemas de ecuaciones . . 10.
2
manzanas y de naranjas. Al otro día compró el doble de kilogramos de manzanas. Si en total gastó $ 2.996 Y el kilogramo de manzanas le costó el doble que el kilogramo de naranjas, ¿cuánto cuesta cada kilogramo de fruta?
Expresa cada ecuación de la recta en su forma principal, general y canónica, según corresponda.
= 2x -
5
21. María compró cierta cantidad de kilogramos de
Su coeficiente de posición es -2 y tiene pendiente
Y
3 2 27 -x + -y =-
Resuelve los siguientes problemas.
Pasa por los puntos E(-2, O) Y F(O,
7.
19.
2
3.
6.
= 6
~x-y
Determina
mx - ny = m + 2n x + 2y = m-n
x + 3y = 6 x - 2y = 3 24. 25. x 4x - 8y = 6 - +y = 2 3
un sistema de ecuaciones para cada gráfico. y
28.
27.
2
x 12.
1 5
x + Y =-
16.
x - 2y = 6
2
px -y = q x + y = (p - 1)2
1 4x-'3Y
2
'1
= -1
17.
(a + ab)x - (a +b)y = b (b
2
2
-2
2x-8y
1 + -y 1 = -x 6 13. 2
O
+ ab)x + (a +b)y = a
273
Modifica el sistema
29. 30.
= 10
x - 4y =
6
para que sea:
incompatible. compatible indeterminado.
Matemática
Criptografía
viene del griego krypto
(oculto) y
graphos (escritura), y consiste en escribir de modo que solo quien tiene una determinada texto, generalmente
remplazando
clave puede leer el
las letras por símbolos o por
otras letras, siguiendo una regla establecida. La criptografía cobró gran importancia durante la primera y segunda guerra mundial dado que la comunicación por radio era fácilmente interceptable, lo que obligó a transmitir usando claves. Para facilitar la tarea, se desarrollaron máquinas para codifica," y decodifica," mensajes. Las dos más famosas fueron la "Máquina de l.orenz" y "Enigma". En la actualidad, la criptografía
se utiliza para realizar transacciones
bancarias por internet, donde interesa ocultar los datos
personales del cliente. Uno de los primeros
métodos
criptográficos
conocidos
es el "Método
de Julio César", aunque es poco probable
que él
haya sido el creador. Consiste en, dado un texto, remplazar cada letra por la que se encuentra, PO," ejemplo, S lugares más adelante (volviendo
al inicio al llegar a la L). Si se tienen las letras del alfabeto:
-
ABCDEFGHIJKLMNNOPQRSTUVWXYZ la frase SEGUNDO
MEDIO se codifica así:
Original
1 Codificada
-
S
E
G
U
N
D
O
M
E
D
I
O
X
J
L
Z
R
I
T
Q
J
I
N
T
EN ESTA UNIDAD APRENDERÉ A ... Obtener e interpretar la información de una población o de una muestra de ella.
Comprender el concepto de dispersión y calcular sus indicadores para datos agrupados y no agrupados.
Emplear elementos básicos de muestreo aleatorio simple, con y sin reposición.
Comparar características de dos o más conjuntos de datos, interpretando las medidas de tendencia central, posición y dispersión.
Inferir sobre la media de una población finita a partir de muestras extraídas.
Santillana Bicentenario
274
Generalmente
se busca que un método de encriptación
sea fácil de ejecutar, pero que la dificultad esté en descubrir la clave
utilizada, es decir, el número de lugares más adelante por el que se remplaza cada letra (en este caso, la clave es S). En el caso del método
de Julio César, es muy sencillo de realizar y, si se conoce la clave, puede descifrarse con facilidad. Su
debilidad consiste en que, dado que la clave será a lo más 26, basta probar las 26 posibilidades para descifrar, lo que en la práctica la hace muy insegura. Otro
método
de encriptación
clásico consiste en remplazar cada letra por otra, pero sin un número establecido
posiciones. Esto obliga a quien descifra el mensaje conocer las correspondencias
de
de todas las letras. Por ejemplo, con la
siguiente clave: Original
A
B
Remplazar por
E
J
e
-N-
D
E
F
K
R
o e x s
G
H
I
J
L M N
K
P G Z T
F
-N o M
A
p Q R
S
L
Q B
U
I
T
x
y Zl
H W V y
D NI
U V W
el mensaje anterior se codifica así: Original
S
E
G
U
N
D
O
M
E
D
I
O
Codificada
Q
R
e
H
F
K
M
T
R
K
S
M
Este método,
más seguro que el de Julio César, es fácilmente descifrable en la actualidad, utilizando algunos métodos
criptoanálisis
(es decir, el estudio de cómo "romper"
de
claves secretas).
La principal debilidad de este método es que, en un texto en castellano cualquiera, no todas las letras aparecen con la misma frecuencia. Así, por ejemplo, la letra X es poco utilizada en general, por lo que la letra que la remplace en un texto codificado también va a ser poco utilizada. A la inversa. las vocales A y E aparecen con mucha frecuencia, y lo mismo pasará entonces con las letras que las remplacen. Para determinar
con precisión la frecuencia con la que aparece cada letra en cualquier texto en castellano, sena necesario
analizar todos los textos escritos en nuestro idioma, lo que es imposible. Se tomará entonces un texto cualquiera como muestra, lo que permitirá analizar la frecuencia de cada letra en él e inferir lo que ocurre con los demás textos en castellano.
En grupos de tres personas, ingresen el código web M M227SA y realicen las siguientes actividades
(el archivo
incluye
macros, que deben aceptarse).
1.
Copien un texto que no contenga más de 2.000 caracteres y péguenlo en la celda indicada. ¿Qué letras son las que más se repiten? Repitan la operación con varios textos de igual longitud, (limpiando previamente botón "Limpiar")
2.
los datos con el
y observen la frecuencia de cada letra.
Ingresen el código web MM227SB y comparen sus resultados con los que se muestran en la página. ¿En todos los textos en castellano se deberían cumplir estos porcentajes?
3.
El texto que se presenta en la segunda página, de la planilla "decodificar", descrito anteriormente,
ha sido encriptado
es decir, cada letra se ha remplazado por otra. Decodifíquenlo,
utilizando el método
calculando previamente
la
frecuencia de cada letra en este texto e ingresando, en la tabla central, por qué letra remplazarán cada letra del texto codificado.
4.
¿Qué se puede hacer para que la decodificación
anterior pueda hacerse de forma más eficiente? Discutan.
275
Matemática
Evaluación diagnóstica
5
En la siguiente tabla se muestra el resumen de la cantidad diaria de hojas mal copiadas que se han encontrado controles
de calidad de un centro
En una familia se han anotado las edades de todos sus integrantes.
en
de fotocopiado.
61 Hojas mal copiadas
50
42
2
12
9
Frecuencia
1 -5
4 12
6 - 10
1I - I5
40 ' 42
61
18
361
¿Cuál es el percentil 25 de los datos?
16 8
16 - 20
I
de la tabla.
6
1 ¿Cuál es la marca de clase del segundo intervalo?
61
• 50
40
Responde las preguntas 1 a 4 con la información
E.
42
12
En un test, cuyo puntaje máximo es percentil 75 corresponde
50, se sabe que el
a 30 puntos. Entonces es falso
que:
e
4
• 6
8 10
E.
12 la mediana es menor o igual a 30. • el tercer cuartil es 30.
2
e ¿Qué información
un 75% de las veces se obtiene un puntaje menor o igual a 30.
no se puede extraer de la tabla?
el promedio
E.
La cantidad de controles realizados.
debe ser mayor que
50.
entre el dato máximo y el percentil 75 se agrupa el 25% de los datos.
La mediana de las hojas mal copiadas. • El rango de la variable hojas mal copiadas. • La cantidad de máquinas fotocopiadoras.
lE
7
La moda de las hojas mal copiadas.
En un laboratorio
hay 4 tipos distintos de bacterias. Si se
deben anotar todas las muestras de tamaño
2 que se
pueden obtener de ellas, sin reposición, ¿cuántas muestras
3
¿Cuál es el promedio
de las hojas mal copiadas?
A. 15
e
• 13
4
11,5
se deben anotar?
E. 10,5
2 8. 6
D 11
8
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
B.
La mediana es menor que la moda. La moda es menor que la mediana.
Solo II
Santíllana Bicentenario
Para el caso anterior
2 4
La clase modal coincide con la de la mediana.
• Solo I
D.
E
24
12
de las bacterias,
¿cuántas se
obtendrían si se realizan las muestras con reposición?
correcta(s)?
l. 11. III
• 8
c.
Solo III
D.
I Y II
E.
I
Y
III
276
C. 12 D. 16
E
24
Estadística
UNIDAD 8
9
¿En cuál de los siguientes gráficos se cumple que el percentil 50 tiene menor valor?
1.
1.
l'11
•
,. U
14
14
11
l'12
10
11 10
'4 10
10
4
4
4
4
2
2
2
•,
•• 1
1-5
E
6-10
11-'5
16-20
14
••
o
O
••
O
1-5
6-10
11-15
O
1-5
'6-20
6-10
11-15
1-5
'6-20
6-10
16-20
'1 -15
No se puede determinar.
En la siguiente tabla se muestra el tiempo de duración,
Tiempo duración
Frecuencia
[O - 10[ [10-20[ [20 - 30[ [30 - 40[ [40 - SO[
en minutos, de distintos tipos de velas.
l(
l.
U
9 10 13
8
s
Describe la tendencia central de la variable calculando su media, moda y mediana. ¿Cuál de las tres medidas es más adecuada para describir los datos? Comenta.
11
Una vela se considera de buena calidad si dura encendida más de 40 mino ¿A qué percentil de los datos corresponde este valor? Interpreta el resultado.
Un grupo de 6 estudiantes utilizó una nueva técnica para aprender a manejar. Para medir el impacto de la técnica, se seleccionó a 3 de ellos al azar, con reposición, y se les aplicó una prueba de manejo.
12
¿Cuántas muestras de estudiantes se pueden obtener?
1--..
¿Hubiera sido más apropiado utilizar un muestreo sin reposición?, ¿por qué? Justifica.
ReVISO Revisa tus respuestas en el solucionario
y completa la siguiente tabla.
p
N Interpretar tablas de datos agrupados y calcular medidas de tendencia central para describir un conjunto de datos.
NT
1, 2, 3, 4 Y 10
Calcular y utilizar medidas de posición para caracterizar
R
R
T
/5
S, 6, 9 Y 11
_/4
7, 8, 12 Y 13
_/4
la distribución de datos. Determinar las muestras de un tamaño dado que se pueden extraer desde una población de tamaño finito, con
y sin remplazo.
277
Matemática
Datos y azar
Medidas de dispersión Tabla1 r Segundo medio
En la tabla 1 se muestran los resultados de una prueba de nivel realizada al Segundo
Segundo medio
B
A
1,3 4,6 5,2 5,8
3,5 4,7 5,5 6,0 x
3,5 4,8 5.6 6,3 = 49,
Medio A y Segundo Medio B de un colegio.
4~ 5,0 5,6 6,5
1,3 3,6 6,0 6,4
2,0 4,4 6,3 6,4
2,5 5,0 6,3 6,5
x =
49,
3,5 5,4 6,3 6,5
Al cakular el promedio, se busca un dato que "represente" al conjunto de ellos. Dado que los dos promedios son iguales, podría pensarse que los rendimientos de ambos cursos son similares; sin embargo, hay factores que inciden en el promedio y hacen que, en ocasiones, no sea un indicador confiable para los datos. Para comparar dos o más conjuntos de datos será necesario entonces estudiar también su dispersión, es decir, qué tan distintos son los datos entre sí y respecto a las medidas de tendencia central. Para ello, se estudiarán los siguientes indicadores: rango, desviación media, varianza y desviación estándar.
Sedicequeel promedioes un indicador sensiblea valoresextremos,esdecir, puedevariarmocho siexisteun datocuyo valorseamuchomayoro menora la mayon'ade ellos.Porlo mismo,no es convenienteutilizarlocomoúnicoindicador.
Rango Se llama rango a la diferencia entre el mayor y el menor valor de un conjunto de datos, y se designa con la letra R. Para los datos de la situación anterior
Rango Segundo Medio A R = 6,5 - 1,3 = 5,2
Rango Segundo Medio B R=65-13=52 , ,
,
Los rangos de notas de ambos cursos son las mismas, por lo cual podría sugerirse que ambos cursos son igualmente homogéneos; es decir, que su distribución de notas es la misma. Sin embargo, el rango solo considera dos datos del total, por lo que se pueden sacar conclusiones distorsionadas. En el caso del Segundo Medio A, por ejemplo, si se elimina la peor nota (1,3), el rango disminuye 2,2 puntos. Esto hace necesario definir otras medidas de dispersión, que involucren más datos.
Desviación media Se define la desviación media de un conjunto de datos como el promedio de las distancias de los datos a la media de ellos. Considerando el ejemplo anterior, se pueden representar las notas en un segmento cuya longitud es igual al rango de datos, e indicando como eje la media de ellos. Así se puede apreciar mejor la dispersión y las distancias al promedio, como se muestra a continuación.
Santillana Bicentenario
UNIDAD 8
Estadística 1
1
1,4 1
1,3
0,4
0.3
1,3
Llamando x¡ (con i
...
3
2
= 1,2,3,
5
6
6,5
... , n) a cada uno de los datos (16, en este caso), y x al
promedio de ellos, la desviación media de los datos se expresa como: Ladistanciade un dato a la media correspondeal valorabsolutode la diferenciaentreellos.
n
L. x¡ -
x
= _,_¡=_1,__ __
D m
n
Mientras más dispersos se encuentren los datos respecto de la media, mayores serán las distancias de las notas a la media; por lo tanto, el valor de D m será mayor. En el ejemplo anterior, se tiene para cada curso, respectivamente:
om = o
11,3 - 4,91 + 13,5 - 4,9 1+ ...+ 16,5 - 4,9 1 = 1-3,61 + 1- 1,41 + ... + 11,61 _ 3,6 + 1,4 + ... + 1,6 _ 14,8 = 0925 16 ' 16 16 16
= 113-491+
12-491+ 16
m
1-3,61 + 1- 2,61 + ... + 11,61 = 3,6 + 2,6 + ... + 1,6 _ 24,192 = 1 512 16' 16 16
...+165-491_
Se obtiene así un indicador de dispersión que considera todos los valores de cada curso, e indica que un alumno del Segundo Medio A se encuentra, en promedio, más cerca de la media que otro alumno del Segundo Medio B. Mientras menor sea la desviación media, se dice que el promedio es más confiable o representativo, pues los datos son menos dispersos.
1.
Considera los sigu ientes conju ntos de datos. A
2.
B
,
3.
5
1
1
12
6
6
6
6
7
7
7
7
7
8
7
8
8
8
9
11
12
9
10
12
12
1
2 I 2
5
6
6 9
I
I
,
4.
Calcula, para cada conjunto, su rango y desviación media. ¿Cuál conjunto presenta datos más dispersos? Justifica. Si se suma 3 a cada valor del conjunto A, ¿qué ocurre con la desviación media? Si cada valor del conjunto B se multiplica por 4, ¿qué ocurre con la desviación media?
I
279
Matemática
Datos y azar
Varianza y desviación estándar Se define la varianza como el promedio
de las distancias al cuadrado entre los datos
y la media de ellos, lo que se generaliza mediante la siguiente expresión: 2
n
X.: i-ésima observación. I
L(X¡ - x)
=
var
x:
¡=1 s 2 - _,_'------
media de los datos.
n : número de observaciones.
n
La varianza no se expresa en la misma unidad que los datos, sino en la unidad al cuadrado. Para ello, se extrae la raíz de la varianza, obteniendo la desviación estándar, es decir:
En el ejemplo anterior de los cursos, se tiene lo siguiente: Segundo Medio A. 2
s2 = (1,3 - 4,9)
2
+ (3,5 - 4,9)
+ ...+ (6,5 - 4,9)
2
= (-3,6)
2
+ (-1,4)
16
2
+ ...+ (1,6)
2
16
Por lo tanto, la varianza de las notas del Segundo Medio A es de 1,573 puntos/.
= 25,16 = 1 573 16 '
Entonces, s
= ..)1 ,573 ~ 1,254.
La desviación estándar del Segundo Medio A es de 1,254 puntos, aproximadamente.
B.
Segundo Medio
s2 = (1,3 - 4,9)
2
+ (2,0 - 4,9)
2
+ ...+ (6,5 - 4,9)
2
= (-3,6)
2
+ (-2,9)
16
2
+ ...+ (1,6)
2
16
Por lo tanto, la varianza de las notas del Segundo Medio B es de 3 puntos . Entonces, s
= 48 = 3 16 =
.J3 ~ 1,732.
La desviación estándar del Segundo Medio B es de 1,732 puntos, aproximadamente. Los resultados anteriores
confirman
la conclusión
obtenida
anteriormente
con la
desviación media, respecto a que existe una mayor variabilidad en las notas respecto a la media en el Segundo Medio B que en el Segundo Medio A, lo que confirma que el A presenta una distribución
de notas más homogénea, es decir, sus notas están
menos dispersas.
Considera
el siguiente conjunto
de datos:
Se registra
la rapidez, en km/h, de diferentes
vehículos,
entre las 13 y 14 h.
2' 5' 6' 8' 8' 9' 9' 10' 11' 11' 11' 13' 13' 14' 14' 14' 14' 14' 14' 15' 15' 16' 16' 16' 16' 16' 16' 16' 16' 17' 17' 17' 18' 18' 18' 19', 19', 19 IIII1I1
I
1•
I
I
I
I
I
II
I
II
I
I
I
I
I
III
I
III
I
I
I
I
Automóviles:
I
Camiones
: 46; 60; 75; 82; 72; 75; 71; 63; 82; 91; 61; 82; 63.
Buses
: SS; 70; 85; 60; 65; 60; 90; 30.
Calcula el rango.
3. 2.
65; 75; 80; 82; 83; 100; 75; 60; 50; 65; 95; 60.
Calcula la varianza y desviación estándar.
Santillana Bicentenario
¿Qué tipo de vehículo es el que tiene la rapidez más homogénea? Justifica.
280
Estadística
UNIDAD 8
Medidas de dispersión para datos agrupados La varianza para datos agrupados se calcula utilizando la siguiente expresión: x¡: marca de clase del i-ésimo intervalo.
Recuerdaque,la mediaparadatos
x : media de los datos.
agrupadossecalculamediantela fórmula
n : total de datos.
k
"x.. f.
f¡ : frecuencia absoluta del i-ésimo intervalo.
n
x
k: número de intervalos.
=
"'_,_¡
I
I
---,1__
n
Ejemplo Calcula la variabilidad en la estatura de los alumnos entre Quinto y Octavo Básico, de un colegio de la zona sur de Santiago. Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla.
Donde: x. : marcade clasedel i-ésimointervalo. I
f¡ : frecuenciaabsolutadel i-ésimointervalo. Estatura (cm) 120 131 141 151 161
- 130 -140 - 150 -160 - 170
Marca de clase (x¡)
Número de alumnos (f¡)
(x¡ - X)
(x¡ - x)2
125 135,5 145,5 155,5 165,5
20 38 45 65 12
-21,056 -10,556 -0,556 9,444 19,444
443,336 111,420 0,309 89,198 378,086 Suma
--l-
'-
k : númerode intervalos. n : total de datos.
f¡(x¡ - x)2 L8.866,728 4.233,951 r13,889 5.797,839 4.537,037 ...... 23.449,444
-
-
Donde: El rango es 50 cm, ya que: R = 170 - 120 = 50. Es posible que no existan alumnos que midan 120 cm y/o 170 cm, es decir, que existan errores debido al agrupamiento. k
2
La varianza es 131 cm , ya que: var = s
2
If¡ (x¡ - x) =
2
-'-¡::...J1'--n---
=
23.41~~444
La desviación estándar es 11,45 cm aproximadamente, ya que: s =
La siguiente tabla muestra el peso por caja de leche en el llenado en dos fábricas distintas. Peso por caja (gramos) 701 - 750 751 - 800 801 - 850 851 - 900 901 -950 951 - 1.000 1.001 - 1.050 Total
1.
Lechería Sur
40
131.
.J131 cm "'" 11,45.
Demuestra
las siguientes proposiciones.
2.
La varianza es siempre un valor positivo o cero.
3.
Si a todos los valores de la variable se les suma un número, la varianza no se altera.
4.
Si todos los valores de la variable se multiplican por un número, la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número.
Lechería Blanquita
3 2 7 10 5 8 5
z
I I I I
1 2 5 12 12
8 O
40
¿Qué fábrica presenta un llenado más homogéneo? Justifica.
281 I
Matemática
Datos y azar
Uso de software 1 2 3 4
puntaje
e
8
A
I
y
marca de
lenguaje
clase(xi)
comunicaClón(!i
0·199,5 200·249,5 250·299,5
5 300·349,5 6 350-399,5 7 400·449,5 8 450-474,5 9 475·499,5
Considera el siguiente conjunto de datos correspondiente
o
99,75
1) matemática(!i
127 2.902 5.590
224,75 274,75 324,75 374,75
13.929 22.013
424,75 462,25 487,25
m)
2.501 5.513 11.887 26.810 37.203 15.610 26.449 44.632
674,75
36.602 23.433 12.757
33.879 25.099 12.487
14 700·749,5 15 750· 799,5
n4,75 774,75
6.552 2.658,00
16 800·850 17 total
825,00
458,00
4.541 2.540 2.142
251.617,00
251.617
11 550·599,5 12 600·649,5 13 650·699,5
524,75 574,75 624,75
y Comunicación y Matemática del año 2010.
324
33.790 24.550 23.372 42.884
10 500·549,5
PSU de las pruebas de Lenguaje
a la distribución de puntajes
xi
: marca de clase del intervalo i-ésimo.
fi I : frecuencia absoluta de la asignatura de Lenguaje
y Comunicación, para el
i-ésimo intervalo. fi_m: frecuencia absoluta de la asignatura de Matemática. ¿En cuál de las dos asignaturas es más homogéneo
el puntaje?
Mediante una planilla de cálculo, se obtendrán los valores de las medidas de dispersión del conjunto de datos anterior, a través de los siguientes pasos:
10
Calcular la media de los puntajes en ambas asignaturas. En las columnas E y F se calcula el producto entre la marca de clase xi y la frecuencia absoluta fi_1 y fi_m, respectivamente, escribiendo en la celda E2: =B2*C2 y en la celda F2: =B2*D2. Luego, se copian las fórmulas en las columnas correspondientes. La suma de los valores de las columnas E y F se realiza en las celdas E17 y F17, respectivamente, mediante la herramienta sumar. Se calcula el puntaje promedio de Lenguaje y Comunicación escribiendo en la celda E18: =E17/C17, obteniendo el promedio x . Se calcula el puntaje promedio de Matemática escribiendo celda F18: =F17/D17, obteniendo el promedio xm. k
2
0
Obtener
la sumatoria
en la
'L 1 2 3 4
A puntaje
0-199,5 200·249,5 250-299,5
5 300·349,5 6 350·399,5 7 400-449,5 8 450-474,5 9 475·499,5 10 500-549,5 11 12 13 14
550·599,5 600·649,5 650-699,5 700· 749,5
15 750·799,5 16 800-850 17 total 18
8
e
o
marca de
lenguaJe y
clase(xi)
comunicación(tI)
99,75 224,75 274,75 324,75 374,75 424,75 462,25 487,25 524,75 574,75 624,75 674,75 724,75 774,75 825,00
E
matemática(fm)
2.501 5.513
13.929 22.013 33.790
11.887 26.810 37.203
24.550 23.372 42.884
15.610 26.449 44.632
36.602 23.433 12.757
33.879 25.099 12.487 4.541
6.552 2.658,00 458,00 251.617,00
xi· fm
ti
xi'
324
127 2.902 5.590
F
12.668,25 652.224,50
32.319,00 562.099,75
1.535.852,50 4.523.442,75 8.249.371,75
1.514.696,75 3.860.303,25 10.047.047,50
14.352.302,50
15.801.974,25
11.348.237,50 11.388.007,00
7.215.n2,50 12.887.275,25
22.503.379,00 21.036.999,50 14.639.766,75
23.420.642,00 19.471.955,25 15.680.600,25
8.607.785,75 4.748.562,00 2.059.285,50
8.425.603,25 3.291.089,75 1.967.865,00
2.540 2.142
377.850,00 1.767.150,00 251.617 126.035.735,25 125.946.343,75 promedio 500,90 500 55
2
L f¡(x¡ - x) , para cada asignatura.
G
r
H'
¡= 1
En la celda G2 se escribe: =C2*(B2-S00,9)"2, fórmula en la columna, hasta la celda G16. En la celda H2 se escribe: =D2*(B2-S00,SS)"2, fórmula en la columna, hasta la celda H16.
luego se copia la
luego se copia la
En la celda G17 se suman los valores de la columna G. En la celda H17 se suman los valores de la columna H.
ti 1*((xi·xl)"2) 20.437.007,96 221.303.102,90
52.047.567,36 190.240.165,64
285.893.967,78 432.200.468,60 350.310.974,69
281.083.833,32 367.375.342,68 424.285.408,40
195.942.212,28 36.673.342,38
213.755.044,92 22.898.152,90
4.354.729,47 24.393.384,09
4.678.563,61 26.138.284,48
199.620.811,15 359.434.627,64
186.525.577,56 387.168.138,36
385.565.303,63 328.313.005,02
378.926.006,68 228.256.271,24
199.333.580,21 48.108.690,98
190.971.525,60 225.483.632,96 3.179.833.515,71
3.091.885.208,76
Santillana Bicentenario
282
ti m*(xi-xm)"2
Estadística
UNIDAD 8
3°
Calcular la varianza de ambas asignaturas.
y Comunicación se calcula en la celda G19, escribiendo: =G17/C17.
La varianza de los puntajes de Lenguaje
La varianza de los puntajes de Matemática se calcula en la celda H19, escribiendo: =H17/D17. (JI
A
1 puntaje 2 0-199,5 3 200-249,5
e
B
marca de clase(xi)
D
lenguaje y comunicación(ti_l)
I
E
matemática(fi
m) xi "ti I
F
G
xi" fi m
H
ti 1*((xi-xl)1\2)
fi m"(xi-xm)1\2
99,75
127
324
12.668,25
32.319,00
20.437.007,96
52.047.567,36
224,75 274,75
2.902
2.501
5.590 13.929
5.513 11.887
652.224,50 1.535.852,50
562.099,75 1.514.696,75
221.303.102,90 285.893.967,78
190.240.165,64 281.083.833,32
4.523.442,75
3.860.303,25
432.200.468,60
367.375.342,68
374,75 424,75
22.013
26.810
8.249.371,75
350.310.974,69
33.790
37.203
424.285.408,40 213.755.044,92
8 450-474,5 9 475-499,5
462,25
24.550 23.372
15.610 26.449
14.352.302,50 11.348.237,50
10.047.047,50 15.801.974,25
10 500-549,5 11 550-599,5
524,75 574,75
42.884
12 600-649,5
624,75
13 650-699,5
674,75
14 700-749,5 15 750-799,5
724,75 774,75
16 800-850
825,00
4
250-299,5
5 300-349,5 6 350-399,5 7 400-449,5
324,75
7.215.722,50
195.942.212,28 36.673.342,38
11.388.007,00
12.887.275,25
4.354.729,47
4.678.563,61
44.632
22.503.379,00
33.879
23.433 12.757
25.099 12.487
21.036.999,50 14.639.766,75
24.393.384,09 199.620.811,15
26.138.284,48
36.602
23.420.642,00 19.471.955,25 15.680.600,25
359.434.627,64
186.525.577,56 387.168.138,36
8.607.785,75
8.425.603,25
385.565.303,63
378.926.006,68
6.552
4.541
4.748.562,00
328.313.005,02
2.658,00 458,00
2.540 2.142
2.059.285,50 377.850,00
3.291.089,75 1.967.865,00
228.256.271,24 190.971.525,60
487,25
17 total
251.617,00
18
1.767.150,00
199.333.580,21 48.108.690,98
251.617 126.035.735,25 125.946.343,75
3.091.885.208,76
3.179.833.515,71
12.288,06
12.637,59
promedio
500,90
19
Lenguaje y Comunicación
225.483.632,96
500,55 varianza
Estadístico
22.898.152,90
Matemática
Promedio
500,9 puntos
500,55 puntos
Varianza
12.288,06 puntos2
12.637,59 puntos2
Desviación estándar
110,85 puntos
112,417 puntos
La varianza y desviación estándar indican que existe mayor dispersión en los puntajes obtenidos
en la PSU de Matemática que en la de Lenguaje y Comunicación,
que se puede concluir que los puntajes de Lenguaje y Comunicación más homogéneos
POI-
lo
son levemente
que los de Matemática.
En la siguiente tabla se muestran de 1.092 trabajadoras. Salario $ 150.000 - $ 200.000 $ 200.001 - $ 250.000 $ 251.001 - $ 300.000 $ 300.001 - $ 350.000 $ 351.001 - $ 400.000 Total
Marca de clase $ $ $ $ $
Mediante una planilla de cálculo, determina:
los salarios de una fábrica
175.000 225.000,50 275.000,50 325.000,50 375.000,50
1.
el promedio
2.
la varianza y desviación estándar.
3.
Según los resultados obtenidos, ¿puedes asegurar que
de los salarios.
Número de mujeres
250 320 185 144 193
los sueldos
1.092
son
homogéneos?
Discútelo
con
tus
compañeros(as).
283
Matemática
Datos y azar
Coeficiente de variación ,r§)ABIAS QUE .. !
En la siguiente tabla se muestran la media aritmética y la desviación estándar en las calificaciones de dos cursos, uno en Chile y otro de Argentina.
Curso
-1'"
Media aritmética (x)
Chile Argentina
Desviación estándar (s)
4,3 puntos 5,2 puntos
1,2 puntos 1,3 puntos
¿Cuál de los dos cursos es más disperso en sus calificaciones?
Para responder
Karl Pearson (1857-1936) El coeficiente de variación es conocido como coeficiente de Pearson, en honor a su creador, el matemáíico británico Karl Pearson.
la pregunta anterior, se debe considerar que en Chile la escala de
notas es de 1 a 7, mientras que en Argentina es de comparar
directamente
los promedios
°
a 10, por lo tanto no es posible
ni el grado de dispersión,
puesto que las
escalas son distintas para ambos cursos. El rango posible de notas en Argentina, al ser mayor, hace que la desviación estándar tienda a se," mayor que en el curso de Chile, sin que ello implique necesariamente mayor dispersión.
Una solución a este problema corresponde
a la proporción
es el uso del coeficiente
de variación
(CV). El CV
de la media que representa la desviación estándar, y se
calcula mediante la siguiente expresión: CV=
~
x
En el ejemplo, se tiene:
Curso chileno .... CV
=
Curso argentino .... CV
1 ,2 = 4,3'
°
279 .... 27 9%
,
= 1,3 = 0,25 .... 25% 5,2
Es decir, el curso chileno es más disperso que el argentino, pese a que su desviación estándar es menor. Respecto al coeficiente
de variación, se puede afirmar que:
mientras mayor sea su valor, mayor es la dispersión de los datos. puede utilizarse cuando la media de los datos es distinta de cero y, en general, conviene que no sea muy cercana a cero, pues hace que el CV tome valores muy altos sin que esto indique necesariamente mayo," El CV se suele expresar como porcentaje,
Santillana Bicentenario
284
dispersión.
UNIDAD 8
Estadística
Ej6f'l'lllos
En la siguiente tabla se muestra la media y desviación estándar del salario y número de hijos de jefes de hogar. Media
Desviación estándar
Salario
$ 500.000
$ 150.000
N° hijos
2
I
Calcula el CY del salario y número de hijos e interpreta el resultado. El CY del salario es de un 30%, ya que:
cv
= 150.000 = 03 ... 30% 500.000 '
El CY del número de hijos es de un 50%, ya que:
1 CV = - = OS ... 50% 2 ' En este resultado se observa que los salarios de los jefes de hogar tienen una variación de 30% en la muestra y que es menor que la variación con respecto al número de hijos, que es de 50%. Por lo tanto, el número de hijos es más disperso que el salario de los jefes de hogar.
Las dimensiones,
en hectáreas,
de 50
explotaciones
2.
¿En qué colegio el gasto es más homogéneo?
3.
Si el colegio A aumentara su gasto en un 2%, ¿cuál de los dos colegios sena más homogéneo? Explica.
agrícolas de una región son las siguientes:
10; 32; 27; 19; 24; 21; 13; 16; 17; 16; 16; 10; 1S; 16; 1S; 20; 1S' 14' 21' 11' 12' 14' 12' 17' 14' 18' 17' 1S' 25· 13' 19' 17' ti
I
II
I
I
I
I
II
I
III
I
Los trabajadores
18' 16' 16' 17' 16' 18' 20' 11' 26' I l' 13' 12' 1S' 12' 14' 28' 17; 17 ti
I
II
I
I
l'
II
I
I
III
de una fábrica de prendas de ropa se
dividen en 3 categorías: mayores de 35 años, entre 21 y 35 años y menores de 21 años. En la tabla se muestran los
1.
datos de productividad
Calcula la desviación estándar de los datos.
de los trabajadores, considerando
el número de prendas producidas por hora. En la siguiente tabla se muestra el gasto de electricidad, en
GI'UpO
millones de pesos, de 2 colegios. Gasto en millones de pesos
Colegio A
B
Mayor a 35 años. Entre 21 y 35 años. Menor a 21 años.
1SO 160
125 130
128 150
183 201
160 120
186 122
199 170
4.
285
Promedio
8 7
5
Desviación estándar
0.33 0,43 0,64
¿Cuál de los 3 grupos es más homogéneo, información? Justifica.
según la
Matemática
Datos y azar
Comparación de muestras En la siguiente tabla se muestran
las horas de duración
de 160 ampolletas,
tomadas
en 2 fábricas distintas.
LMO: extremo inferior de la clasemodal.
Da : diferenciaentre la frecuenciade la clasemodal y de la claseque la precede.
Db : diferenciaentre la frecuenciade la clasemodal y la claseque la sigue. A
: amplitud de la clasemodal.
¿Cuál de las fábricas produce Una forma de responder tendencia
ampolletas
la pregunta
más duraderas? anterior
es calcular y analizar las medidas de
central y de dispersión.
En la siguiente tabla se muestran las medidas de tendencia central de las fábricas A y B.
La medianaen datos agrupadosse calcula mediantela siguienteexpresión:
Me = LMe +
N _ E 2 Me
·A
Donde: N : número total de datos. LMe: extremo inferior de la clasemediana. FMe: frecuenciaacumuladahastala
Dados los indicadores
anteriores,
se puede asegurar que:
la media es mayor en la fábrica B, por lo que se espera que al escoger, al azar, una ampolleta de la fábrica B, esta dure más tiempo que una ampolleta escogida al azar de la fábrica A. la mediana de la fábrica B es mayor que en la fábrica A, por lo tanto, existe una mayor cantidad de ampolletas que duran más de 5.084 horas en la fábrica B que en la fábrica A, considerando el mismo tamaño de la muestra para ambas fábricas.
clasemediana.
fMe : frecuenciaabsolutade la clasemediana. A : amplitud de la clasemediana.
Santillana Bicentenario
Estos indicadores
permiten
B antes que una ampolleta
286
establecer que conviene elegir una ampolleta de la fábrica A.
de la fábrica
UNIDAD 8 En la tabla 1 se muestran los valores correspondientes
Estadística
Tabla 1
a los percentiles de ambas
fábricas. Se puede afirmar que:
Percentil 10 20 30 40 50 60 70 80 90
a partir del percentil 30, los valores de la fábrica B son mayores que los de la A, por lo que, al extraer al azar una ampolleta de la fábrica B, se puede afirmar con un 70% de certeza que su duración será mayor o igual a 4.760 h, mientras que, con la misma certeza, se puede afirmar que la ampolleta de la fábrica A durará 4.736 h o más.
Fábrica A 4387 4.609 4.736 4.881 5.027 5.129 5.284 5473 5.600
Fábrica B 4340 4.600 4.760 4.934 5.084 5.234 5447 5569 5.734
Nuevamente, la fábrica B se muestra más conveniente según estos indicadores.
Tabla 2 Fábrica
En la tabla 2, se muestran los valores de dispersión para ambas fábricas. Se observa que la dispersión es mayor en la fábrica B. Según estos indicadores, las horas de duración de las ampolletas en la fábrica B son más dispersas que las horas de duración de las ampolletas en la fábrica A; sin embargo, se debe considerar que el promedio de horas de duración de la fábrica B es mayor y que el tamaño de la muestra es igual para ambas fábricas, por lo que la desviación estándar no es significativa en este estudio.
VAR (en h2)
s
CV %
8.97 9.85
A
202652.56
(en h) 450.16
B
249949.37
499.94
Finalmente, se concluye que la fábrica B produce ampolletas más duraderas.
En la tabla se muestran las temperaturas
máximas en los
La siguiente tabla muestra el precio del barril de petróleo
meses de diciembre y enero de 2 años consecutivos.
en dólares, entre los meses de enero y mayo de los años
2004 a 2009. Intervalo [20 - 25[ [25 - 30[ [30 - 35[
Número de días diciembre 2006 enero 2007 10 2 11 12 9 13
[35 - 40[
1.
1
Año 2004 2005 2006 2007 2008 2009
3
Feb
Mar
Abr
34,7 48,0
36,7 54,2
36.7 53,0
May 40,3 49,8
65,5 54,2 93,0 41,7
61,6 59,3 95,4 39,2
62,9 60,6 105,5 48,0
69,5 63,9 112,6 49,8
70,9 63.5 125,4 59,1
Según la información, ¿qué mes fue más caluroso?
En el los últimos 14 días, las acciones de las empresas
3.
¿En qué mes se produjo la mayor variación de precios entre el 2004 y 2009?
4.
¿Qué año es el más homogéneo? Justifica.
5.
¿Qué mes es el más homogéneo? Justifica,
ASE y NOM, tienen los siguientes precios (en dólares). ASE 3,5; 3,4; 3,5; 3,8; 3,8; 3,9; 3,1; 3,5; 3,6; 3,4; 3,6; 3,8; 3,4; 3,7
2.
Ene 34,2 46,8
ID;
NOM
3,2; 3,3; 3,4; 3,5; 3,6; 3,7; 3,8; 3,9; 3,2; 2,0; 2,5; 2,9; 2,0
¿Qué empresa es más estable en la bolsa?
287
Matemática
-=;Ejercicios resueltos 1.
En la siguiente tabla se muestran los datos de los tiempos,
en segundos, que demoran
en correr
100 m planos los
seleccionados de atletismo de 2 colegios. Considera que el tamaño de la muestra es el mismo para ambos colegios. Si se escoge al azar un alumno del colegio A y uno del colegio B, ¿en qué colegio es más probable encontrar al corredor más rápido? Colegio A
Colegio B
18,9 s
18,9 s
Promedio Rango Desviación media
65
105
2,1 s
3,1 s
El rango es mayor en el colegio B, por lo que la diferencia entre la mejor y peor
Se compara el rango y la desviación media buscando las marcas menos dispersos.
marca es menor en el colegio
A; además, la desviación media indica que las marcas
de los atletas del colegio A se encuentran menos dispersas. Las marcas de los estudiantes del colegio A son menos dispersas, pero los
Se an-a-li-za-n-¡-a-s -m-e-d,-'d-as-d-e---O dispersión.
indicadores que se tienen no son suficientes para responder la pregunta. Dada la alta dispersión ele las marcas del colegio B, es posible que tenga muchos estudiantes con marcas bajas y otros tantos con marcas altas; de hecho, su mayor rango podría indicar que tiene mejores marcas que el colegio
2.
En un estudio sobre peso y talla de los chilenos, se publicó que el peso promedio desviación estándar de 10
A.
de la población
es de 70
kg con una
kg, mientras que la estatura promedio es de 160 cm con una deviación estándar de 20 cm. Luego,
en el estudio se afirma que la estatura tiene una mayor dispersión que el peso. ¿Escorrecta esta afirmación?
Se calcula el coeficiente de s variación de CV = para estandarizar la medición.
x
Dado que los datos están en diferentes unidades de medida, la afirmación podría ser incorrecta. Para comprobarlo,
se compararán
utilizando el coeficiente de variación.
Para el peso, se tiene:
CV = _!Q = O 14 => 14%
70
'
Para la altura, se tiene:
CV
=
20 160'
= O 125
El coeficiente
=> 125% ,
de variación del peso es mayor que el de la altura, por lo que es
levemente más disperso. Por lo tanto, la afirmación del estudio es incorrecta.
Santillana Bicentenario
288
Preparando la PSU Se puede obtener la desviación estándar de un coniunto de datos si se conoce: (1) la distancia que hay entre cada dato y la media. (2) el rango de los datos y la cantidad de ellos. A. B. C. D. E.
(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) Y (2). Cada una por sí sola, (1) o (2). Se requiere información adicional.
Solución: Reconoce. la información necesaria para calcular la desviación. estándar.
Conocer (1) implica saber el valor de la diferencia (xi - x), que corresponde a la distancia de cada dato a la media; además, sabiendo la diferencia anterior, se obtiene la cantidad de datos de la muestra, por lo que se puede calcular la expresión s, que corresponde a: ~
n
2
-
-.
.
- -
-
-
-
-
••
.. •••••••••••
I,(x¡ - x) s =
i= 1
n
Conocer (2) implica conocer el rango (Xmax - xmin), y la cantidad de datos de la muestra, pero esta información es insuficiente para obtener la desviación estándar, puesto que no se puede obtener la media de los datos y la diferencia que existe entre cada dato.
'\.
•• •• Respuesta: la altemativa correcta es A.
Observa los colores correspondientes Conozco la desviación estándar y los datos que se requieren para calcular su valor.
••••••
• • ••
a la resolución de la pregunta y marca según tus logros.
D Sí. D No. Entonces, dirígete a la página 277 y determina
si es posible calcular la desviación estándar en el ejercicio 9 altemativa A.
~========================~~ Reconozco los elementos del rango y la información que proporcionan.
Reconoce los elementos del rango y la información que proporciona.
,~~-------===========~--------~================~
D Sí. D No. Entonces, dirígete a la página 277 y calcula el rango del ejercicio 9 alternativa A. ¿Qué datos es posible variar para disminuir el valor del rango?
289
Matemática
Datos y azar
Inferencia estadística: muestreo aleatorio simple
Si los estadísticosque se calculan correspondena la poblaciónse denominan indicadoresestadísticos;en cambio,si correspondena una muestrade la población se lesllamaestimador de la población. Lasimbologíaque se utilizaráparacadacaso se muestraen la siguientetabla: Población
Muestra
Tamaño
n
Media
x S
Varianza
s
Elnivelde confianzaes un porcentajeal cual se le asociaun coeficientede confianzaK. Loscoeficientesde confianzacorrespondientes a losnivelesde confianzaseencuentran estandarizados parapoblacionescon distribuciónde frecuencias simétricas, siendo losvaloresusualesde usolosquesemuestran en lasiguientetabla: Nivel de confianza
Coeficiente de confianza (K)
99% 95%
2,576 1,960 1,645 1,439 1,282
90% 85% 800;6
La inferencia estadística corresponde al conjunto de métodos que permiten extraer muestras de una población, y calcular los indicadores de la muestra, con el objetivo de concluir y tomar decisiones sobre una población, En esta unidad se estudiará un método de extracción de muestras llamado muestreo aleatorio simple (mas), para estimar la media de una población, Para realizar un muestreo aleatorio simple, se deben considerar los siguientes elementos: la distribución
de frecuencia de la población
se considerará simétrica,
todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad
de ser escogidos,
se conoce o se asigna la varianza de la población (S), respecto al dato que se estudia, se debe asignar el coeficiente de confianza (K): ya que en toda muestra existe un error de precisión, debido a que la muestra. es un subconjunto de la población, se debe asignar un nivel de confianza a los resultados obtenidos, el cual consiste en la probabilidad de que la media de la muestra se ajuste a la media de la población, Los coeficientes de confianza se encuentran estandarizados para el nivel de confianza asignado (ver SOS Mat) , se debe asignar el error de estimación o margen de error (E): al estimar la media de una población a partir de una muestra se produce un error de estimación E, por lo que la media de la población estará dada por la expresión:
lJ=x+E En resumen, el mas es un conjunto de técnicas que permiten calcular el tamaño de una muestra, para inferir sobre una población, Se considerará el mas sin reposición y el mas con reposición.
Muestreo aleatorio simple sin reposición para estimar
la media de una población La expresión para determinar de la población es:
Tabla 1
el tamaño de la muestra necesario para estimar la media
S2: varianza de la población. K: coeficiente de confianza. E : error de estimación, N: tamaño de la población, n : tamaño de la muestra,
I 12233]34~56679 I-l = 4 S2 = 5,538
N = 13
Se quiere escoger, de los datos de la tabla 1, una muestra sin reposición con un nivel de confianza de 99% y un error menor que 1,68. ¿Cuál debería ser el tamaño de la muestra?
Santillana Bicentenario
290
UNIDAD 8 K = 2,576 SL.'"' = 5,538 E = 1,68
Se tiene la siguiente información:
L uego, n -
2,576'
2
13 . 5,538
13 . 1,682 + 2,576
2
Estadística
Se aproxima al entero de mayor valor.
65 AS
,
•
. 5,538
Entonces, el tamaño de la muestra es n = 7.
=
Por ejemplo, si se extraen los elementos 6, 3, 2, 2, S, 6 Y 1, donde: x 4,1; entonces, la media de la población debería estar entre 2,42 y 5,78; lo cual es correcto dado que ¡.J = 4. ¿Cuál es el tamaño de la muestra anterior si se considera un error de 1? 2
2,576' 13 . 5,538 n - 13 . 12 + 2,5762 . 5,538
96 L AS
,
•
- 10 uego, n .
Es decir, si se mantiene el nivel de confianza constante, a medida que el error de estimación disminuye, el tamaño de la muestra crece. Esto se debe a que a medida que aumenta el tamaño de una muestra, la media de la muestra se acerca a la media de la población, por lo tanto el error disminuye.
Ejemplo Se desea determinar la estatura promedio de los niños entre 10 Y 12 anos de una ciudad, donde se sabe que viven 5.000 niños entre las edades mencionadas y, además, de estudios 2 anteriores se estima que la varianza de la población es de 0,25 cm . Si se considera un nivel de confianza de 95% y un error de 0,05 cm, ¿cuáldebe ser el tamaño de la muestra? Se tiene la siguiente información: K = 1,960 E = 0,05
S2 = 0,25 L ueg o, n
1,960 2 . 5.000 . 0,25
= -......;.:..;...;...;...._-:::2..;;..;..;...;...;...~2~-5.000 . 0,05
+ 1,960
AS
N = 5.000
3 S 6,7.
. 0,25
Por lo tanto, el tamaño de la muestra es n
= 357.
Otra manera de reducir el error, sin variar el tamaño de la muestra, es escoger muchas muestras de tamaño 7, dado que el promedio de todas las medias muestrales es igual al promedio de la población. Luego, la media muestral se aproxima a la media de la población a medida que el número de muestras crece.
Resuelve.
Responde.
1.
2.
Para una ciudad de 6.000 habitantes, determina el tamaño de una muestra sin reposición para que, con un error de estimación de 0,3 kWh y una confianza de 95%, se estime el consumo promedio de energía eléctrica por habitante, si la varianza de la población corresponde a 6 kWh 2.
12911
¿El tamaño de una muestra aumenta o disminuye si se mantiene constante el error de estimación y se aumenta el nivel de confianza?
Matemática
Datos y azar
Muestreo aleatorio simple con reposición para estimar la media de una población Si al extraer la muestra de la población, un vez pero manteniendo la equiprobabilidad muestreo aleatorio simple con reposición. tamaño de la muestra que permite estimar
En el muestreo aleatorio con reposición n=
no se considera el tamaño de la población.
elemento puede ser escogido más de una que tiene cada elemento, se trata de un En este caso, la expresión para calcular el la media de la población es:
S2: varianza de la población. K: coeficiente de confianza. E : error de estimación. n : tamaño de la muestra.
En el caso de la estatura promedio de los niños de una ciudad, considerando extracción con reposición, el tamaño de la muestra será de 385 niños, pues: Enun mascon reposición,un mismo elemento de la poblaciónpude ser escogido másde unavez,lo que distorsionala muestra.Por lo tanto, paraun mismo nivel de confianza,se necesitaunamuestrade tamaño mayorque la requeridaen un mas . . ." sin reposnon
una
Con: n=
0,25 . 1,96 2
K = 1,96 S2 = 025 , E = 0,05
~ 384,12
2
0,05
Efe'nplo Se realiza un estudio sobre el largo promedio de una clase de salmón. Para el estudio se asigna que el error no debe superar los 0,12 cm, con un nivel de confianza del 99%. 2 Por datos anteriores se sabe que la varianza es de 0,05 cm . ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra bajo estas condiciones? Se tiene:
K = 2,576 S2= 0,5 E = 0,12
Luego, n = 231 , ya que n =
Siel error de estimacióndisminuye,el tamañode la muestraaumenta.
0,5 . 2,576 2 0,12
2
2304 <:$
,.
Si en este estudio se considera aceptable un error de 0,01 cm, ¿cuál debería ser el tamaño de la muestra bajo las condiciones iniciales? Se tiene: n= 0,5' 2,576 2 001 ,
2
::.::33.178,9
Luego, n = 33.179. En la práctica, una muestra de 33.179 personas es demasiado grande y resulta muy costoso tomarla, por lo que al igual que en la extracción sin reposición, si se desea disminuir el error de estimación, manteniendo el nivel de confianza, es conveniente extraer varias muestras aleatorias de tamaño 231, para estimar la media de esta población en particular.
Santillana Bicentenario
292
UNIDAD 8
EN
Estadística
SfNTESIS El muestreo permiten
aleatorio
simple corresponde
a un conjunto de técnicas que
seleccionar una muestra del tamaño adecuado dentro de una
población para estimar la media de ella o la proporción
que presenta una
característica determinada. En el muestreo
aleatorio
simple
sin reposición,
cada elemento
puede ser escogido más de una vez. En el muestreo aleatorio reposición,
sí se admiten
las repeticiones.
elementos tienen la misma probabilidad
En una fábrica textil, se desea estimar el tiempo que necesita un trabajador
para terminar
fábrica tiene 1.000 trabajadores,
no
simple con
En ambos casos, todos
los
de ser escogidos en la muestra.
promedio
Las siguientes notas corresponden de 45.
un producto.
Si la 2 con una varianza de 4 h ,
determina:
1.
-
el tamaño de una muestra con reposición, considerando un error de estimación de 0,5 h
Y
a 12 alumnos de un curso
un nivel de confianza
5,4
3,6
6,8
4,2
5,9
5,5
6,1
6,3
3,6
-
-t-
1-
7,0
5,5
3,3
del 95%.
6.
2.
Estima el promedio de las notas del curso con un error
el tamaño de una muestra sin reposición con las mismas
de 1,2; si se considera que la muestra anterior es con
condiciones anteriores.
reposcon.
Se desea estimar el error máquina industrial
promedio
. .
del ensamblado de una
que posee una desviación
/
En una provincia
de 0,15 mm,
se desea determinar
sueldos. La desviación estándar es de
la media de los
$ 100.000.
en su proceso.
3.
7.
Calcula el tamaño de la muestra si se asigna un nivel de
8.
¿Cuál es el nivel de confianza que se asigna a un estudio
información
3, siendo ahora el error de estimación
0,0168 mm?
$ 15.000.
tamaño
de la muestra
del ejercicio
considerando
la
7?
Vicente prepara la PSU de Biología; realizó 10 ensayos con un tiempo promedio
Una ciudad ganadera con 10.000 establos, posee un número
de 1 hora Vicente sabe que la desviación
estándar es de 20 minutos.
de vacas lecheras con una desviación de 31,6 vacas. S.
para un nivel de
Si la desviación estándar disminuye a la mitad, ¿cuál es el nuevo
anterior, que posee el mismo tamaño muestral que se calculó en
de la muestra
confianza de 99%, con un error de
confianza del 95% con un error de 0,02 mm.
4.
Calcula el tamaño
9.
¿Cuál debe ser el tamaño de una muestra con y sin
¿Cuál es el error máximo de tiempo
el día que rinda la
prueba, si asume un nivel de confianza del 95%7
reposición, para estimar el número promedio de vacas por establo si se considera un error de estimación de 3 vacas, con un nivel de confianza del 95%?
293
Matemática
Datos y azar
Muestreo aleatorio simple para estimar la proporción de una población Se llama proporción
de una población al porcentaje de elementos que cumplen cierta condición.
Ejempios ). La proporción
de días que llueve durante un año en Santiago es del 10%, Y la proporción
2 La proporción
de alumnos que lleva frutas de colación es del 5%.
de días que no llueve es del 90%.
La simbología que se utilizará para el indicador estadístico (población) y estimador de la población (muestra) es: INDICADOR
p: proporción
ESTADfsTICO DE LA PROPORCiÓN
que cumple la condición en la población.
(1 - p): proporción que no cumple la condición en la población.
Para determinar la proporción
ESTIMADOR DE LA POBLACiÓN
Pe: proporción que cumple la condición en la muestra. (1 - Pe): proporción que no cumple la condición en la población.
de una población mediante un mas, se deben tener las siguientes consideraciones:
la distribución de frecuencia de la población se considera simétrica y todos los elementos tienen la misma probabilidad de ser escogidos. se debe asignar el coeficiente
de confianza (K).
se debe asignar la proporción
estimada p que cumple la condición en la población; de no conocer este valor, se asigna 50%.
se debe asignar el error de estimación o margen de error (E): al estimar la proporción de una población a partir de una muestra se produce un error de estimación porcentual E, por lo que la proporción de la población estará dada por la
. expresen /
p = Pe + E Se estudiará el mas sin reposición y mas con reposición para estimar la proporción de una población. La expresión para determinar el tamaño de la muestra sin reposición necesario para estimar la proporción
de una población es:
K 2 . N . p(1 - p)
n = ---::-----'-:'-........... -2 E2(N -1) + K . p(1 - p)
Ejempk> En la siguiente tabla se muestra la cantidad de personas que apoyan (S0 y no apoyan (No) una determinada ley. Para extraer una muestra sin reposición se asigna un error de 25%, con un nivel de confianza del 95%.
Sí
No
Sí
No
Sí
No
Sí
No
Sí
No
No
Sí
No
No
No
Sí
No
Sí
No
No
N = 20 Sí = 8 ~ P =
Entonces:
-ª. 100 = 40 ... 40% 20
No = 12 ~ P = (1 - p) = 60 ... 60%
N = 20 K = 1,96 E = 25% ~
E = 0,25
P = 40% ~ P = 0,4
Santillana Bicentenario
294
UNIDAD 8
Estadística
Por ejemplo, si se escoge al azar la muestra Sí, No, No, Sí, No, No, Sí, No y Sí, se obtienen los siguientes estimadores:
Pe =
4
'9 . 100
--
= 44,4 ... 44,4%
(1 - Pe) =
5
--
'9 . 100
= 55,S ... 55,5%
Dado que el error es del 25%, se puede afirmar entonces, con un 95% de confianza, que la proporción de la población que apoya la leyes:
Pe = 44,4% ± 25%
Al igualqueen el masparala estimaciónde la mediade unapoblación,a medidaque el error de estimacióndisminuye,el tamañode la muestraaumenta.
Es decir, está entre un 69,4% y un 19,4%, lo que es correcto pues se sabe que Pe = 40%. La expresión para determinar el tamaño de la muestra con reposición necesario para estimar la proporción de una población es:
n=
p(1 - p) . k 2
E2
E;e....~ Para estimar la proporción de votantes que prefieren al candidato A como Presidente de la República, ¿de qué tamaño debe ser la muestra si se asigna un nivel de confianza del 95% con un error del 1%? Para determinar el tamaño de la muestra se considera una extracción con reposición, además de asignar una proporción de la población del 50%. Entonces: K = 1,96
E=l%~E=OOl
p = 50% ~ P = 0,5
,
Luego, el tamaño de la muestra es 9.604, ya que: n
=
0,5 . 0,5 . 1,96 2 2
001 ,
= 9.604.
Se requiere estimar la proporción de ventiladores, sin fallas, fabricados por una empresa. El total de ventiladores fabricados es de 1.500 unidades.
2.
encuentra, mediante muestreo aleatorio con reposición, el tamaño de la muestra con un error de estimación de 5% y un coeficiente de confianza de 1,96.
Considerando que en un estudio anterior se obtuvo que la proporción de ventiladores sin fallas es de 0,3:
3.
encuentra, mediante muestreo aleatorio con reposición, el
1.
tamaño de la muestra con un error de estimación de 25%, un coeficiente de confianza de 1,96 Y una proporción estimada
encuentra, mediante muestreo aleatorio sin reposición, el tamaño de la muestra con un error de estimación de 4% y coeficiente de confianza de 1,96.
en una prueba piloto de
..!_ de ventiladores correctos. 3
295
Matemática
-=;Ejercicios resueltos 1.
En una comuna del país con 6.000 habitantes, se ha decidido hacer un muestreo aleatorio simple, sin reposición, para estimar la proporción de menores de 18 años que hay en ella. Con una confianza del 95%, se obtiene una muestra de 300 personas. ¿Cuál es el error de estimación aproximado que se consideró para este muestreo?
---------o() Se identifican los datos dados del enunciado.
Los datos de la situación son los siguientes: para un nivel de confianza del 95% se tiene un coeficiente de confianza de K = 1,96.
N
= 6.000
n = 300
p
= 0,5; pues no se entrega
la información de la proporción
de la variable esperada.
Remplazando los valores en la expresión para calcular el tamaño muestral, se obtiene:
K2 . N . p(l - p) n - --,,--------'-:'------'-'---Se utiliza la ~-ór-m-u-Ia-p-a-ra-e-n-co-n-tra-r--o() - E2(N - 1) + K2 . p(l - p) el tamaño muestral y se remplazan los datos conocidos. 1,96 2 . 6.000 . 0,5 . (1 - 0,5) 300 = ----=----------=--.:..___---'--E2(6.000 - 1) + 1,962. 0,5 . (1 - 0,5)
5762,4 5.999E2 + 0,49
300 . (5.999E2 + 0,49) = 5.762,4 1.799.700E2 = 5.762,4 - 147 2 _
Se despeja la incógnita buscada.
E -
5762,4 _ 1.799.700 ~ E-
5.615,4 ::::0056 1.799.700 '
Luego, el error de estimación es cercano al 5,6%.
2.
Prueba que, si aumenta el error de estimación en un mas con reposición para estimar la media de una población, disminuye el tamaño de la muestra.
Estnt
':t
Particularizar. Se utilizan valores específicos para verificar una relación.
La expresión para estimar una media en un muestreo aleatorio con reposición está dada por: S2 2
K 2 E
n=--
Se toma
----------0 como referencia el doble
Ahora, supongamos que E se duplica, entonces el nuevo tamaño n' es:
del error de estimación. n' =
S2K2
S2K2
(2E)2 -
4E2
1 - - .n
- 4
Así, al duplicar el valor de E, el tamaño muestral se reduce a la cuarta parte. Luego, la afirmación es verdadera.
B Ahora tú Al estimar una proporción mediante un muestreo aleatorio con reposición, ¿es cierto que si disminuye el coeficiente de confianza, disminuye también el tamaño de la muestra?
Santillana Bicentenario
296
Preparando la PSU Con respecto al muestreo aleatorio simple es siempre verdadero
1. 11. 111.
que:
los elementos de la muestra tienen la misma probabilidad de ser elegidos, sus resultados son exactamente iguales a los presentes en la población, la cantidad de muestras que se pueden obtener con reposición es mayor a la cantidad de muestras obtenidas , reposrcon.
sin
'/
A.
Solo I
B. Solo II
D. I Y I11
C. I Y II
E. II Y 111
Solución: Respecto a la proposición (1): es verdadera, ya que por definición en un muestreo aleatorio simple cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser elegido. ~
Respecto a la proposición (11):dado que una muestra es un subconjunto de la población, se asume un error de estimación en ella; luego, los resultados de los estimadores de la muestra no siempre son iguales a los de la población, por lo que la proposición es falsa, ~
Respecto a la proposición (111):en el muestreo con reposición la población no disminuye, por lo cual en el muestreo aleatorio simple con reposición, la cantidad de muestras que se pueden extraer es mayor que la cantidad de muestras que se pueden extraer en un mas sin reposición; luego la proposición es verdadera, ~
Respuesta:
Cornprendo las características de un muestreo aleatorio simple,
Relaciono los conceptos de muestra y población,
Comparo los tamaños muestrales en un muestreo aleatorio simple con y sin '/
reposioon
Establece la relación entre los conceptos de muestra y población. •••••
.....
Compara el muestreo aleatorio simple con reposición y sin reposición.
la altemativa correcta es D,
Observa los colores correspondientes
,
.... •
Comprende la definición de muestreo aleatorio simple.
a la resolución
de la pregunta y marca según tus logros.
D Sí. DNo, Entonces, describe las características del muestreo
aleatorio simple con reposición y sin reposición, indicando sus diferencias y similitudes,
D Sí. DNo, Entonces, escribe 3 ejemplos la muestra correspondiente, cada una,
en los que indiques la población y mencionando las características de
D Sí. DNo, Entonces, dirígete a la página 291 y calcula el tamaño
de la muestra con reposición del ejercicio 1, para compararlo con respecto al sin reposición,
297
Matemática
Síntesis Las medidas de dispersión complementan
las medidas de tendencia central y de posición mostrando cuán concentrados
están los datos de la distribución, es decir, cuantifican la variabilidad. Cuando la dispersión es baja, se dice que los datos son homogéneos. El rango (R) es una medida de dispersión que indica la distancia que existe entre el mayor y menor valor de un conjunto de datos. Luego, como solo considera dos valores del total de datos, su medida puede no ser del todo representativa.
R = X max -X. mm La desviación media (D m) se define como el promedio
de las distancias que existen entre cada dato y la media de
ellos. De esta manera se puede cuantificar de mejor forma la dispersión.
Xi: i-ésimo dato. X :
media de los datos.
n : total de datos.
n
Sin embargo, para modelos estadísticos más avanzados se utiliza la varianza (var) como medida de dispersión. Este indicador sigue la misma lógica que la desviación media, pero consideran las distancias al cuadrado de los datos. 2
n
I,(xi var
=
-
x)
Xi: i-ésimo dato.
x : media de los datos.
i=1 s2 - ~'-----
n : total de datos.
n
La varianza se expresa en la unidad al cuadrado de los datos, por ello se extrae la raíz de la varianza para obtener la desviación estándar (s).
En el caso que se presenten datos agrupados, el cálculo de la varianza es similar pero se debe ponderar la distancia que existe entre la marca de clase de cada intervalo
(xi) y la media, por la frecuencia absoluta de cada intervalo (fi).
x.: marca de clase del i-ésimo intervalo. k
var
=
2 s
_ 2
~f(x.-x) ~ I I i=1
n
I
x: media de los datos. n : total de datos.
fi : frecuencia absoluta del i-ésimo intervalo. k: número de intervalos.
Santillana Bicentenario
298
UNIDAD 8
I
Estadística
Al comparar la dispersión de dos conjuntos de datos se debe considerar que las variables sean de la misma naturaleza
y
que sus rangos posibles de valores sean los mismos, Cuando esto no ocurre, se puede hacer uso del coeficiente
variación (CV), que representa la proporción
CV=
El muestreo
aleatorio
misma probabilidad
de la media que representa la desviación estándar.
= s
s: desviación estándar de los datos.
x
x: media de los datos.
simple (mas) es un método
de selección donde todos los elementos de la muestra poseen la
de ser escogidos.
El mas puede ser sin reposición,
es decir, una vez seleccionado un elemento de la población, este no puede ser
seleccionado nuevamente; o con reposición, Para determinar
de
donde el elemento sí puede ser seleccionado otra vez.
el tamaño de la muestra se utilizan las siguientes expresiones, considerando
la distribución
de
frecuencia de la población simétrica. Sin reposición Estimar la media
Estimar la proporción
K2 . N . S2 n=
Con reposición
n
N . E2 + K2S2
Estimar la media
K2 . N . p(1 - p)
= ~----'-+--'-'--2 E2(N - 1) + K
n
. p(1 - p)
Estimar la proporción
---
=
n=
S2: varianza de la población,
K: coeficiente de confianza,
E: error de estimación.
n: tamaño de la muestra,
N: tamaño de la población.
p: proporción
p(1 - p) .
K2
E2
estimada.
Mapa conceptual Construye
un mapa conceptual
utilizando
el
software CMap que relacione al menos los siguientes conceptos clave.
Dispersión - Tendencia central - Rango - Desviación Media - Varianza - Desviación estándar Coeficiente
de variación - Muestreo aleatorio simple - Población - Reposición - Tamaño muestral
299
Matemática
Evaluación final
1
Para los datos 3; 2; 1; 3; 6 se verifica que:
¿En cuál de las siguientes medidas no influye el valor de la media del conjunto de datos?
l.
su rango es 3.
I su desviación media es 1,2. II . su varianza es 2,8.
8.
2
• La desviación media.
C.
I Y 11
Solo II
D.
11
E.
Solo I
Y
• El rango.
C. La varianza. 1, 11 Y 111
111
6
Las siguientes alternativas muestran la desviación estándar
D.
La desviación estándar.
E.
El coeficiente de variación.
La tabla muestra la longitud media de un león y de un gato.
de las notas de 5 cursos, considerando que el promedio de las notas es el mismo, ¿en qué curso la distribución de notas es más homogénea?
2° A = 1,4
Desviación estándar
3,3
0,7 10
León (en m) - Gato (en cm)~
-601
• 2° D = 1,6 ¿Cuál de ellos presenta mayor variabilidad?
E. 2° E = 1,9
• 2° B = 1,2
C. 2° C = 1,1
• El león. •
3
Media
El gato.
C. Se requiere del rango para saberlo. ¿Qué ocurre con la varianza de un conjunto de datos si
• Ambas son iguales.
se suman 2 unidades al valor de cada uno de los datos?
E.
No se puede saber.
Aumenta en 2 unidades.
C.
Se duplica.
¿Para qué conjunto(s)
Se cuadruplica.
medida de tendencia central?
D Se reduce a la mitad.
E
4
l. 1; 2; 3; 4; S. 1I 1; 3; 5; 7; 9. II I ; 2; 4; 8; I 6.
Se mantiene en el mismo valor.
En un juego, un participante puede obtener de O a 10 puntos por partida. Ursula jugó 5 veces y obtuvo /
R = 7 Y Dm = 1. Entonces, se puede afirmar que:
l. l. I
sus puntajes fueron homogéneos. su puntaje máximo fue de
e
Solo II
D. I Y
Solo
111
C. Solo
• Solo 11
D. I Y
IY
111
11
de la dispersión.
E. I Y
Las medidas de tendencia central son iguales a 1.
11. Las medidas de dispersión son iguales a O.
111
11
• Solo I Solo II
Santíllana Bicentenario
E.
111
dispersión si todos los datos son iguales?
l.
Solo I
• Solo I
¿Qué ocurre con las medidas de tendencia central y de
8 puntos.
el rango no es representativo
de datos la media es fiable como
300
C. I Y
11
Ni I ni 11
E.
No se puede saber.
Estadística
UNIDAD 8
9
En la siguiente tabla se muestra la cantidad de productos, por cliente, que pasan por una caja de supermercado du rante una hora.
¿Cuáles son características del muestreo aleatorio simple?
l.
Se realiza de manera aleatoria.
II
Los elementos de la población tienen probabilidad de ser seleccionados.
la misma Cantidad de productos
III Sus resultados son iguales a los parámetros de la
I
Frecuencia
2-6
7-11
8
12
12-1617-21 22
14
población.
10
Solo I
e
Solo II
D. I Y II
Solo III
E.
Calcula el rango de los datos.
14
Calcula la varianza de los datos.
15
¿Son homogéneos
I Y 111
En un hospital hay 700 pacientes. De ellos se quiere seleccionar una muestra, sin reposición,
13
para. estimar
los días promedio que tardan en recuperarse. Con un error de 0,05 días, una confianza del 95% y estimando
En la tabla se muestra la cantidad de faltas que presentaron 2 tenistas durante sus partidos, en un año.
la desviación estándar de la población en 0,5 días, ¿qué tamaño de muestra se requiere?
11
A.. 35
C. 249
•
O
100
•
12
E.
Faltas en el partido
665
385
Para el caso anterior, ¿cuál es el tamaño de la muestra si fuera un muestreo con reposición?
• 35 100
e D.
665
385
Para estimar una proporción con reposición,
E
249
de partidos
Tenista A
Tenista B
0-4 5-9 10 - 14
8
2
9
7
9 11
15 - 19
1
2
16
Calcula la media y desviación estándar para cada tenista.
17
¿Cuál de los 2 tenistas presenta datos más homogéneos?
lb
en un muestreo aleatorio
¿Cuál de los 2 tenistas es más preciso en su juego? Argumenta.
se ha obtenido un tamaño de muestra
Se quiere tomar una muestra para estimar la cantidad de alumnos que está cursando su primera carrera en una universidad con 3.000 estudiantes.
ocurrirá con el tamaño de la muestra si se exige un menor error de estimación? • Será mayor a 426.
19
Será menor a 426.
Con una confianza del 95% y error de estimación del 10%, ¿cuál es el tamaño de la muestra que se requiere
Se mantendrá en 426.
sin reposición?
• Depende del tamaño de la población.
E
Número
J ustif ca.
de 426 individuos con una confianza del 95%. ¿Qué
e
los datos? Justifica.
21.,
Ninguna de las anteriores.
301
Si de la muestra 31 personas estudian su primera carrera, ¿qué cantidad de la población se estima que lo hace?
Matemática
Reviso N
N
1, 2, 3, 4, S, 13, 14 Y 15
Obtengo e interpreto medidas de dispersión para un conjunto de datos.
PlNT
___
/8
Si obtuviste menos de 8 respuestas correctas, realiza las actividades 1 a 3 para reforzar este contenido. • Si obtuviste 8 respuestas correctas o más, realiza las actividades 4 a 6 para profundizar tus conocimientos.
Relaciono medidas de tendencia central, de posición y de dispersión para concluir acerca de muestras.
Comprendo el muestreo aleatorio simple y determino tamaños muestra les.
6, 7, 8, 16, 17 Y 18
Si obtuviste menos de 6 respuestas correctas, realiza las actividades 7 a 9 para reforzar este contenido.
16
• Si obtuviste 6 respuestas correctas o más, realiza las actividades 10 Y I 1 para profundizar tus conocimientos.
9, 1O, 11, 12, 19 Y 20
___
16
• Si obtuviste menos de 6 respuestas correctas, realiza las actividades 12 y 13 para reforzar este contenido. • Si obtuviste 6 respuestas correctas o más, realiza la actividad 14 para profundizar tus conocimientos.
¿Cuánto he aprendido? Cuenta las respuestas correctas que obtuviste en la evaluación anterior y clasifica tu resultado de acuerdo a los criterios que se muestran a
. . corrtrnuacrón; /
Rendimiento bajo: entre O y 11 respuestas correctas. Rendimiento medio: entre 12 y 16 respuestas correctas. Rendimiento alto: entre 17 y 20 respuestas correctas. Obtuve
respuestas correctas, lo que implica que mi rendimiento
en la evaluación fue
_
Ahora, dirígete a la sección ¿Cómo lo aprendí?, que está al final del texto, y sigue las instrucciones que en ella aparecen.
Santíllana Bicentenario
302
-=Ejerciciosde refuerzo
y profundización
Med4das de mJipersión En una encuesta a 10 familias de 2 ciudades distintas, A y B, se les consultó por la cantidad de hijos que tenían. Los resultados fueron:
8.
¿Cuál barrio presenta una mayor variabilidad?
9.
¿Cómo es la edad de la población de ambos barrios?
La tabla muestra la frecuencia relativa de ocasiones en que se registran niveles determinados de contaminación del aire, en 40 semanas.
A'" B'"
O;6; 1; 2; 3; 1; 4; 3; 6; 4. 3; 4; 1; 4; 2; 3; 1; 5; 4; 3.
1.
Calcula el rango, desviación media, varianza y desviación estándar de los datos para cada ciudad.
2.
~
¿Qué ciudad presenta una mayor variabilidad en sus datos?
Un paciente se debe tomar la temperatura cada hora del día. Lamentablemente, se le borró una medición, pero alcanzó a registrar el promedio de ellas: 37,5
Estación 1
Estación 2
[o - S[ [S - 10[ [10 - 15[
0,25
0,3
0,3
0,2
0,1
0,25
[15 - 20]
0,35
0,25
10. Calcula las medidas de tendencia central y de dispersión de ambas estaciones.
Q
•
11. ¿Qué estación presenta una mayor variabilidad? 136
37
38
38
37,5
37
36
36,5
X
3.
Calcula el valor de X.
4.
Calcula el rango, desviación media, varianza y desviación estándar de las temperaturas. Interpreta.
Comparación 5.
6.
Muestreo En una población de 4.500 habitantes se quiere estimar la edad media y la proporción de personas que poseen un celular.
de muestras Considerando una confianza del 95%, error de 0,1 años en la edad y de un 5% en la proporción, y asumiendo desviación igual a 0,5; responde las siguientes preguntas.
Para la situación de los ejercicios 1 y 2, calcula sus medidas de tendencia central e indica si ellas son fiables en relación a su dispersión, para cada ciudad.
12. ¿Qué tamaño debe tener la muestra para estimar la
¿En qué ciudad es más probable encontrar familias con mayor cantidad de hijos?
media? Indica el tamaño con y sin reposición.
13. ¿Qué tamaño debe tener la muestra para esti mar la
La tabla muestra las edades de la población de dos barrios.
7.
Edades
Cancino
Villápolis
0- 18
25
35
19 - 30 31 - 50
36 45
20 17
51 - 70
32
31
71 - 90
27
39
proporción?
Indica el tamaño con y sin reposición.
14. ¿Qué tipo de muestreo es más conveniente para las situaciones anteriores? Justifica.
Calcula las medidas de tendencia central y de dispersión de ambos barrios.
303
Matemática
••
Se llama paradoja a una idea que contradice la lógica, el sentido común, la intuición o la percepción. En ocasiones, las paradojas contienen situaciones imposibles o que, por ser definidas de manera poco clara, llevan a confusión. Otras veces, una paradoja describe un hecho real, pero que parece muy extraño si no se lo analiza con más detención. Muchos artistas han plasmado en sus obras figuras o situaciones imposibles, como es el caso de M. C. Escher. Descubre al menos tres paradojas en esta imagen.
M. C. Escher's "Cascada" © 20/0 The M. C Escher Company-Holland.
EN ESTA UNIDAD APRENDERÉ A...
Aplicar propiedades de la suma y producto de probabilidades.
Calcular la probabilidad en situaciones con y sin reposición.
Utilizar el diagrama de árbol para el cálculo de probabilidades.
Comprender y aplicar el concepto de variable aleatoria.
Determinar la función probabilidad de una variable aleatoria.
Simular experimentos aleatorios mediante uso de software.
Determinar la función distribución de una variable aleatoria.
Utilizar lenguaje conjuntista y operatoria básica con conjuntos en el cálculo de probabilidades.
Santillana Bicentenario
304
Supongamos que en un concurso hay 2 posibilidades para optar a un premio. La primera es escoger cara o sello al lanzar una moneda. Para la segunda se tienen 5 umas con 12 bolitas cada una, numeradas del 1 al 12. El concursante debe escoger una bolita de cada uma y gana si todas las bolitas tienen números distintos.
En grupos de cuatro integrantes
realicen las siguientes actividades.
1. ¿Qué posibilidad le conviene más al concursante? Discutan. 2.
Ingresen el código web MM2305. En la primera hoja de la planilla podrán simular 50 juegos usando la segunda posibilidad. Estimen la probabilidad de ganar, simulando varias veces los 50 juegos.
Una famosa paradoja en probabilidades es la llamada "Paradoja de los cumpleaños". En ella se pregunta por la cantidad mínima de gente que debe haber en una sala, para que la probabilidad de que al menos dos personas estén de cumpleaños el mismo día sea mayor o igual a 50%.
3. Suponiendo que hay 366 fechas posibles de cumpleaños (considerando
los años bisiestos), ¿cuántas personas debería haber en la sala para que se cumpla lo pedido? Escojan entre las siguientes posibilidades:
a. menos de 50 4.
c.
b. entre 50 y 100
entre 100 y 150
d. entre 150 y 200
En la segunda hoja de la planilla adjunta, se pueden simular 50 salas con un número determinado de personas, seleccionando previamente la cantidad de personas por sala. Comprueben con ella su estimación anterior, e intenten determinar el número de personas para el cual la probabilidad de que dos o más cumpleaños coincidan sea a lo menos 50%.
5. Observa las siguientes regularidades: • si hay 2 personas en una sala, la probabilidad
• si hay 3 personas en una sala, la probabilidad
• si hay 4 personas en una sala, la probabilidad • Si hay 23 personas en una sala, determinen cumpleaños.
de que sus cumpleaños no coincidan es igual a
de que no haya coincidencias es igual a
de que no haya coincidencias es igual a
~:!.
~:!. ~:!.
364 366· 364 366
363 366·
la probabilidad de que no haya coincidencia entre las fechas de sus
305
Matemática
1 Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad
5
de obtener un
múltiplo de 3?
A.
B.
1 6
c.
1
D.
3
1
E.
2
2 para entrada y 4 para plato de fondo, ¿de cuántas maneras se puede armar un menú?
3 4
A. 34 B. 28
2 3
6
2
una roja es
1
"6' entonces
C. 24 D. 18
E.
6
Si se ordenan al azar las letras A, B, L, 0, R, ¿cuál es la probabilidad de leer ARBOL?
Si una urna tiene 12 bolitas y la probabilidad de extraer
.
Si un menú tiene 3 opciones para escoger bebestible,
1
es cierto que:
A. 120
l. la mitad de las bolitas son rojas. 11. hay 10 bolitas de color distinto al rojo. 111. las bolitas rojas tienen mayor probabilidad de salir
B.
1 112
C.
D.
1 90
1
E. 5
1
30
que las de otro color.
A. Solo I B. Solo II
3
C. Solo III
D.
7
E.llylll
una comisión, ¿de cuántas maneras lo pueden hacer?
I Y III
A. 360 B. 64
C. D.
15 12
E. 8
La probabilidad de que un comerciante logre vender un producto
es del 70%. Si un día tiene éxito en 42 de los
8
intentos de venta, ¿en cuántos intentos se espera que haya fallado?
A.
100 intentos.
B. 60 intentos. C. 36 intentos.
4
De un grupo de 6 amigos se deben escoger 2 para hacer
En una muestra
¿Cuál es la probabilidad de que en un número de 3 cifras todas sean distintas?
D. E.
28 intentos.
A.
54 75
B.
31 50
18 intentos.
de 800 personas, 320 dijeron
D.
1 6
E.
1 3
-
ser
9
partidarias del candidato A, 360 del candidato B y el resto aún no está decidido. ¿Cuál es la probabilidad
C.
27 32
de
Al realizar un diagrama de árbol del experimento
3 veces una moneda", ¿en cuántas ramas hay, por lo
escoger una persona al azar y que ella tenga clara su
menos, 2 caras?
opción?
A. 0,95 B. 0,85 C. 0,75
Santíllana Bicentenario
"lanzar
A. 1 B. 2
D. 0,25
E. 0,15
306
C. 3
D.
4
E. 5
Probabilidad
UNIDAD 9
10
¿Cuál(es) de las siguientes situaciones se puede(n) representar mediante un diagrama de árbol?
l. 11. 111.
Los puntos obtenidos al lanzar dos dados. Las extracciones sucesivas de fichas de colores de una urna, entre tipos de marcos y tamaños de fotografías.
Las posibles combinaciones
A. I Y II
B. I Y 111
En un experimento
c.
II Y III
D.
Todas.
E.
Ninguna de las anteriores.
se gira una ruleta y luego, dependiendo del resultado,
se lanza dos veces el dado correspondiente los puntos de la cara superior.
(de 4
Ó
6 caras) y se suman
Dado 4 caras
Dado
, 11
Construye el diagrama de árbol que representa la situación.
12
Explica si es posible o no obtener la probabilidad del evento "obtener
•
• •
6 caras
como suma 4 puntos en los lanzamientos del dado".
En una repisa de un estante hay 5 libros con tapas de distinto color: verde, rojo, azul, blanco y negro.
13
¿De cuántas formas se pueden ordenar los libros en la repisa?
14
Si se escogen 3 libros para llevar, ¿de cuántas formas se pueden elegir?
15
Al ordenar los 5 libros, ¿cuál es la probabilidad
de que el de tapa de color verde y el de tapa de color t-ojo queden juntos?
Reviso -----------Revisa tus respuestas en el solucionario y completa la siguiente tabla.
INDICADOR
PREGUNTAS
Calcular probabilidades experimental
y
mediante asignación
por regla de Laplace.
Utilizar elementos de combinatoria
y
y
1, 2, 3, 4 Y 1S
_/S
S, 6, 7, 8, 13 Y 14
_/6
9, 10, 11 Y 12
_/4
pat-a numerar sucesos
establecer probabilidades.
Resolver
RESPUESTAS CORRECTAS
caracterizar situaciones de probabilidad
utilizando un diagrama de
árbol.
307
Matemática
Datos y azar
Producto de probabilidades Figura 1
Francisca participa en un concurso que consiste en extraer una bolita de dos urnas (figura 1). La primera tiene 3 bolitas rojas y una verde, mientras que la segunda tiene 2 rojas y una verde. Ganará si logra sacar, de cada urna, una bolita roja. La situación anterior Urna 1
Urna 2
considerando
se representa
mediante
que la primera extracción se hace en la uma l.
La probabilidad
de obtener una bolita roja en cada urna, se calcula mediante la regla
de Laplace, donde: .. .. P(bollta roja uma 1 y bolrta roja urna 2)
Figura 2 Si se definen los sucesos anteriores
Diagrama de árbol
el diagrama de árbol de la figura 2,
=
casos favorables I casos tota es
6 -12
=
=
1 -2
como: A: sacar una bolita roja de la urna
B: sacar una bolita roja de la urna 2, la probabilidad
1y
de extraer una bolita roja de
cada uma se escribe como P(A y B), es decir; P(A y B) =
+.
Ahora, si se agregan más bolitas en las umas 1 y 2, quedando la primera con 2S bolitas rojas y 3S verdes, y la urna 2 con 30 bolitas rojas y 6S verdes, ¿cuál es la probabilidad que tiene Francisca de ganar en esta segunda situación?
Resultados posibles al sacar la primera bolita de la urna l.
Al aumentar el número de casos, calcular la probabilidad
mediante el diagrama de
árbol se hace más difícil, siendo necesario contar con un método
Resultados posibles al sacar la primera bolita de la urna Iy la segunda bolita de la urna 2.
numérico eficiente.
Se observa en el primer caso que: •
en la primera uma hay 4 posibilidades y en la segunda 3; luego, por principio multiplicativo,
•
existen 4 ' 3
= 12 casos totales.
en la primera extracción (uma 1) existen 3 casos favorables y en la segunda extracción (urna 2) existen 2 casos favorables. Hay, por lo tanto, 3 ' 2 = 6 casos favorables en total, lo que entrega, aplicando la regla de Laplace, una probabilidad de
•
la probabilidad
+,
de sacar una bolita roja de la uma 1 es ~, y la probabilidad
hacerlo de la urna 2 es
+,
por lo que la probabilidad
de
de P(A y B) se puede
expresar como:
peA y B) ésta re31a Se conoce CoMO ley /J1tllt.i¡?lie.di..¡a,ya ftie ¡e/MI (.e CU/_1" /1/"'''' la ¡roba/;;Iidad de ftie ecurro» doS o MaS eVentoS Mtilt;¡licando la ¡roba/;il;dad de cola tino de elloS. '_J,
-
<...-
,
= ~ =
2
= ~:;
=
(!) .(;) = peA) . P(B)
La expresión anterior es válida para todos aquellos sucesos que son independientes, es decir, que la ocurrencia de un suceso A no influya en la ocurrencia del suceso Entonces, la probabilidad
B,
de ganar que tiene Francisca en la segunda situación, se
calcula de la siguiente forma.
25 5 peA) = 60 = 12
30 6 P(B) = 95 = 19 Santillana Bicentenario
16
peA Y B)
= peA)
. P(B)
= (1
2). (1~)= 3 8
5
5
UNIDAD9 Ahora Franciscaparticipa en un juego que consiste en extraer dos bolitas de una uma con 3 bolitas rojas y 2 verdes; gana si obtiene dos bolitas rojas. Si el juego se realiza con reposición y sin reposición, ¿encuál de lasdos modalidades la posibilidad de ganar es mayor? Se declaran los siguientes sucesos: A: primera extracción
bolita roja y B: segunda extracción
Probabilidad Urna
/
/
/
.c""O
Qo
Diagramade árbol ... de extracción con reposicion
bolita roja.
Extracción con reposición Se busca la probabilidad de que ocurra A y B, por lo tanto, considerando que los sucesos son independientes, P(A y B) = peA)
=
3
5 Y P(B)
=
3
5 ~ peA Y B)
=
;5'
ya que:
peA) . P(B)
=
(3)5 . (3)"5 = 259
Diagramade árbol. de extracción , " sin reposlclon.
Extracción sin reposición En el diagrama de árbol de la extracción sin reposición, se observa que la cantidad de casos totales corresponden a 20, y los casos favorables a 6, por lo tanto, aplicando la regla de Laplace, se obtiene la probabilidad P(A y B) =
fa.
Entonces, la probabilidad
Primera extracción
Segunda extracción
Casos totales = 5 Casos favorables = 3
Casos totales = 4 Casos favorables = 2
de ganar es más alta si la extracción es con reposición. En la extracción sin reposición, se observa que los sucesos A y B no son independientes, ya que la ocurrencia de uno de ellos varía la probabilidad del otro. Por lo tanto, la probabilidad de que ocurra B dado el suceso A, se expresa como P(B/A). Entonces, al aplicar la ley multiplicativa, se tiene: peA Y B) =
EN
3= 10
6 3 . 2 (3)"5 . (2)4" = peA) . P(B/A)
20 = 5 . 4 =
SíNTESIS
Dos sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no varía la probabilidad del otro. En ese caso, la probabilidad de que ambos ocurran es igual al producto de las probabilidades de cada uno. Esto se conoce como la ley multiplicativa, y se expresa: P(A y B) P(A) . P(B). Si dos sucesos A y B son dependientes, la probabilidad de que ocurra A y B se expresa de la forma: P(A y B) = P(A) . P(B/A).
=
•
En una bolsa hay 7 fichas azules y 5 blancas. Si se extraen 2 fichas, sin devolver la primera a la bolsa, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: 1. 2. 3.
Se lanza un dado 3 veces seguidas. Calcula la probabilidad de que: 4.
salgan los números 1, 2 Y 3, respectivamente.
5.
en las 3 tiradas salgan números impares.
6.
en las 3 tiradas salgan números primos.
que las dos fichas sean de color azul. que las dos fichas sean de color blanco. que ninguna ficha sea de color azul.
309
Matemática
Datos y azar
Suma de probabilidades Eventos mutuamente excluyentes
Figura1
La urna de la figura 1 tiene 3 bolitas rojas, 2 azules y una verde. Al realizar dos extracciones con reposición, ¿cuál es la probabilidad
de obtener al menos una bolita
azulo verde? La situación se representa sucesos:
mediante
el siguiente esquema, donde
se definen
los
R: extraer una bolita roja, A: extraer una bolita azul y V: extraer una bolita
verde.
Como es unasituaciónequiprobable, cadabolitatiene ser extraída.
1. de probabilidadde 6
P(R) =
l
=
6
J...
peA)
2
=1.6 = J...3
P(V)
=
.l 6
El esquema anterior se puede simplificar de la siguiente forma:
-1
-1
1 6
3
2
de que suceda A o V es la suma de las probabilidades de
Por lo tanto, la probabilidad
cada uno de los sucesos, la cual se expresa de la siguiente forma: peA o
V)
= peA)
+
P(V)
1
1
3
1
= -3 + -6 = -6 = -2
Lo anterior se puede generalizar mediante la siguiente expresión, que representa la suma de probabilidades
de sucesos excluyentes:
P(A o B)
= P(A)
+ P(B)
Ejemplo De una baraja española se extrae una carta, ¿cuál es la probabilidad $on eVent.oS excJayent.eS
ac¡ud IoS
en
c¡ae la oC-ur renei a
de que la carta
sea una figura o un 3? Se definen los sucesos;
A: extraer figura y B: extraer un 3.
de tJ/YIboS al M;SMO t.;eM?O eS
¡ne.O/Ylfaé;ble. fJeM,P/oS
Ganar o ?erder un ?art;do de ten;S. 2. Sacar un número For o • mFr.AJ...,... CAl_1 lanzar un dado.
Entonces se tiene: peA)
l.
=
J1 = 1... 40 10 peA o B)
4
P(B)
1
=
peA)
+
P(B)
=
3
1
4
2
10 + 10 = 10 = '5
= 40 = 10
I
Por lo tanto, la probabilidad español es de ~.
Santillana Bícentenarío
1310
I
de extraer una figura o un tres de un mazo de naipe
UNIDAD 9 Figura1
Eventos no mutuamente excluyentes Al lanzar 2 dados, ¿cuál es la probabilidad de que sus caras sumen un número par o sus caras sumen un número mayor que 97 En la tabla de la figura 1, se muestran los posibles resultados de lanzar 2 dados; se definen los eventos: A: suma número par y B: suma un número mayor que 9. Donde:
peA) =
6 1 P(B) = 36 =
J-ª- = _1 36
6
2
Probabilidad
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
S
6
7
2
3
4
S
6
7
8
3
4
S
6
7
8
9
4
S
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Como no son eventos mutuamente excluyentes, a P(A o B) se debe restar la probabilidad de que la suma de las caras de los dados sea un número par y mayor que 9 (en este caso, estos elementos son 10 Y 12), lo cual es equivalente a determinar la probabilidad P(A y B), que en este caso es:
4 1 peA Y B) = 36 = 9 Por lo tanto:
1 1 1 S peA o B) = - + - - - = -
2
6
9
9 Sidoseventosson mutuamente excluyentes,setiene:
Lo anterior se puede generalizar mediante la siguiente expresión:
P(A Y B)
P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)
Se lanza una moneda y un dado. Calcula la probabilidad de que: 1•
salga cara y un número par.
2.
salga sello y un número menor que 5.
3.
salga cara o sello, y un número mayor que 1.
4.
salga cara y un número que no sea primo.
Se tienen 4 cartas numeradas del 1 al 4, que se extraen una a una, sin reposición. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.
Al lanzar una moneda arreglada, la probabilidad de obtener cara es 0,41. Si se lanza 8 veces seguidas, calcula la probabilidad de los siguientes eventos. 5.
Obtener 5 caras.
6.
Obtener al menos una cara.
7.
Obtener cara en el quinto lanzamiento.
8.
Obtener más caras que sellos.
=O
9.
Que en ninguna de las extracciones coincida el orden de la extracción con el número de la carta.
10.
El orden y el número coincidan para una carta.
11.
El orden yel número coincidan para tres cartas.
Se saca una carta de un mazo de 52 cartas.
311
12.
¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga un as o una carta roja?
13.
¿Cuál es la probabilidad número mayor que 4?
de obtener una figura o un
Matemática
Datos y azar
Diagramas de árbol y probabilidades La resolución de problemas que involucran el cálculo de probabilidades requiere, ante todo, distinguir y representar adecuadamente Para ello, es importante
los casos favorables y los casos totales.
el uso del diagrama de árbol, una herramienta
también del cálculo combinatorio,
gráfica, como
como se verá en los siguientes ejemplos.
Ejemplos 1. Se quiere formar un número de 3 cifras lanzando 3 veces un dado, de modo que el
Diagrama del 1er lanzamiento
número obtenido en cada lanzamiento corresponda a la cifra respectiva del número.
1, 2 ..........,; I
I
s
t 3
fXlo'2)=-+-=-
I
P(l')
¿Cuál es la probabilidad de obtener un número menor que 354?
4,5,6
3 I
=-
I
I
I
I
6
t
6
2
fX40~o!)= -+ - + - =-
s
Previamente a hacer el diagrama, conviene definir algunos "casos límite", es decir, los que separan los casos favorables de los no favorables haciendo que el experimento
Diagrama del 2
do
termine con éxito o fracaso.
lanzamiento 1a tirada:
- Si sale 1 ó 2, todos los casos siguientes son favorables (no importa lo que
3
pase en los otros lanzamientos).
5
1, 2, 3, 4 I
I
I
I
2
6
t
6
6
3
I
fXlo 2o 1 (4) = - + - + - + - = -
- Si sale 3, depende de lo que ocurra en los lanzamientos siguientes.
6
~)= -
6
- Si sale 4,5 ó 6, ningún caso siguiente es favorable (no importa lo que pase I
P(!)= -
en los otros lanzamientos).
t
a
2 tirada:
Diagrama del 3er lanzamiento
- El análisis siguiente solo tiene sentido si en el primer lanzamiento salió 3. - Si sale 1, 2, 3 ó 4, todos los casos siguientes son favorables (no importa lo que pase en el siguiente lanzamiento).
5
- Si sale 5, depende de lo que ocurra en el tercer lanzamiento.
1,2, 3
4,5,6
I
I
I
6
6
6 2
fXl020'3)= -+ -+ - =-
I
I
I
P(40~0!)=-+-+-=-
- Si sale 6, ningún caso siguiente es favorable (no importa lo que pase en I
el siguiente lanzamiento).
I
6 6 6 2
a 3 tirada:
- Si en el primer lanzamiento salió 3 yen la segunda 5, son casos favorables
,
1
Figura 1
2 y 3.
_11"'_1 , 3
1,2
-
4,5,6
6
3 2 3
-
1, 2, 3, 4
,-
Por lo tanto, se obtiene el árbol de la figura 1, donde los casos favorables son los de
2
1
Se puede determinar, entonces, que la probabilidad
6
112111121 P=-+-. -+-. -. -= -+-+3 6 3 6 6 2 3 I8 72
6
1$, 1, 2, 3
buscada es:
-
6
2
color verde.
2
24 8 1 33 =-+-+-=-=72 72 72 72
11 24
4,5,6 2. De una tómbola
que contiene 2 bolitas blancas (B) y una roja (R), se saca una
bolita, se anota su color y se repone en la tómbola. Si se repite 3 veces este experimento, ¿cuál es la probabilidad de extraer exactamente 2 bolitas rojas? Se define el suceso A: extraer
Santillana Bicentenario
312
2 bolitas rojas.
UNIDAD 9
Probabilidad
Figura 1
En la figura 1 se muestra el diagrama de árbol para cada extracción. Entonces, la probabilidad de obtener exactamente 2 bolitas rojas es
%, ya que:
2~1
3
2 1 1 2 P(BRR) = - , - , - = 3
3
3
2
27
1 2 1 2 P(RBR) = - , - , - = 3 3 3 27
3 2 3
1
... peA) = P(BRR) + P(RBR) + P(RRB)
1 1 2 2 P(RRB) = - , - , - = 3 3 3 27
peA) = ~
Se puede observar en el diagrama de árbol de la figura 1, que todas las ramas del árbol que contienen exactamente 2 bolitas rojas tienen la misma probabilidad
(?7). Esdecir,
si se escoge una rama del árbol se puede calcular la probabilidad buscada multiplicando esta por la combinatoria de 2 elementos entre 3, es decir:
31 31 C2 = ---- 1! "2! = 3 (3 - 2)! ' 2! 3
... Luego, existen 3 combinaciones posibles.
Si ahora el experimento anterior se realiza 5 veces, ¿cuál es la probabilidad de extraer exactamente 3 bolitas rojas? Si se considera una rama del árbol (figura 2), se obtiene una probabilidad de 2~3' ya que: 1 3
1 3
P(RRRBB) = - , -,
1 2 - , -, 3 3
Figura 2
2 4 - =3 243
1
Entonces, se determina cuántos resultados hay con 3 bolitas rojas y 2 blancas, Para ello, se calcula la cantidad de combinaciones posibles de 3 bolitas rojas en 5 extracciones, es decir, existen 10 ramas, ya que:
2
2 3
s
S! S! 4 'S C3 = ---- 2! ' 3! = 2 = 10 (S - 3)! ' 3!
1
Por lo tanto, la probabilidad de obtener tres bolitas rojas es 2~03'ya que: P=10,
)3( 2 )2 1 4 (3 3 =10'27'9'=243 1
Rama escogida,
40
Un curso tiene 19 estudiantes, de los cuales 12 son hombres.
Responde.
Construye un diagrama de árbol si se escoge un comité de
4.
3 estudiantes al azar y encuentra la probabilidad de que:
1.
sean los 3 hombres.
2.
sean las 3 mujeres.
3.
sean 2 hombres.
313
En una universidad hay estudiantes que hablan español, inglés o alemán. El 30% habla inglés, el 20% habla alemán y 5% habla ambos idiomas. Mediante un diagrama de árbol determina la probabilidad de escoger al azar a un estudiante que hable inglés o alemán.
Matemática
Datos y azar
Probabilidad y conjuntos Paola ha seleccionado 10 cartas de una baraja de naipe inglés, de las cuales escogerá solo una. A partir de ello, se pueden definir diferentes sucesos, como los que se describen a continuación .
• A: sacar una carta con un número par. B: sacar una carta con un trébol. C: sacar una carta con una figura. Se asociarán los sucesos A, B Y C con los conjuntos correspondientes a los casos favorables de cada uno de ellos, como se muestra en el siguiente diagrama.
r
r
~r
Q
J
4
~
•
3
"
6
4ft
I
•
2
-
K ~
'- C
10
~
~, B
"
•
4ft ~
"
U
5
•
8
~
"'
"
A
.J ~
La probabilidad de ocurrencia de un suceso utilizando conjuntos se puede calcular como el cociente entre la cardinalidad del conjunto asociado a él y la cardinalidad del conjunto universo -en este caso, el espacio rnuestral-, es decir:
_ # (A) _ l_ peA) - # (U) - 1O
A partir de e $1:0, Paola decide determinar •
La probabilidadde que ocurra la intersecciónde dos sucesosA y B se simbolizaP(A n B).
•
Laprobabilidadde launiónde dossucesos A y B serepresentapor P(A U B).
•
Se llamacardinalidadde un conjunto al númerode elementosque pertenecena él.
•
de los siguientes sucesos:
¿Cómo se traduce esto en términos de conjuntos? Los casos favorables al suceso D corresponden a las cartas que son, a la vez, tréboles y números pares, por lo que son elementos que pertenecen simultáneamente a los conjuntos B y A. El suceso E se refiere a los tréboles o números pares, es decir, los elementos de su conjunto asociado pertenecen a los conjuntos A o B; solo a uno de ellos o a ambos a la vez. Es decir, en lenguaje de conjuntos:
Observando
E =Au
B
el diagrama, se tiene: P(D) = #(A
(1
#(U)
Santillana Bicentenario
la probabilidad
D: sacar un trébol con un número par. E: sacar un trébol o un número par.
D=A(lB #(A) se lee"cardinalidadde A".
_ #(C) _ l_ P(C) - # (U) - 10
_ #(B) _]_ P(B) - #(U) - 10
314
B) _
2 10
P(E) = #(A u B) _
#(U)
6 10
UNIDAD 9
I
Probabilidad
Probabilidad de la unión de conjuntos Los sucesos By C, del ejemplo anterior, son mutuamente excluyentes, pues su intersección es vacía. Dado el conjunto universo, no puede ocurrir que la carta extraída sea, a la vez, un trébol y una figura. En este caso se tiene: #(B U C) = #(B) + #(C) P(B u B) = P(B) + P(C) Los sucesos A y B, del ejemplo anterior, no son mutuamente excluyentes, pues su intersección no es vacía. Se observa que, si se unen los elementos de A y B, se repiten los elementos de su intersección.
~
..~. ~ J
2
.
¡J
...... •
.,
A
Por lo tanto, si se suman las cardinalidades de ambos conjuntos, se tiene que es 8, ya que: #(A) + #(B) = 5 + 3 = 8, lo cual es diferente al resultado de #(A v B) = 6. Lo anterior se debe a que A y B tienen elementos repetidos entre sí, por lo que al sumar sus cardinalidades se están considerando dos veces dichos elementos en común; entonces, a la suma de las cardinalidades, se debe restar la cardinalidad de la intersección, es decir: #(A u B) = #(A) + #(B) - #(A n B) P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A n B) Ejemplo De un naipe inglés (52 cartas) se extrae una carta. Calcula la probabilidad de que sea una figura o un trébol. Sea A: conjunto de las figuras y B: conjunto de los tréboles. A u B: conjunto de las cartas que son figuras o tréboles
•
A n B: conjunto de las figuras de trébol
= 12, #(B) = 13, #(A n B) = 3. 12 12 3 21 P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B) = 52 + 52 - 52 = 52'
Se tiene: #(A) Luego,
EN
SrNTESIS Dos sucesos son mutuamente excluyentes si los conjuntos asociados a sus casos favorables son disjuntos, es decir, tienen intersección vacía. Si dos sucesos A y B son mutuamente exduyentes j- P(A o B) = P(A u B) = P(A) + P(B). Si no son mutuamente
exduyentes
j-
P(A o B)
= P(A u B) = P(A) + P(B) -
Sean A Y B dos sucesos asociados a un experimento aleatorio. Si P(A) = 0,25; P(B) = 0,2 YP(A U B) = 0,4, calcula: 1.
la probabilidad de que ocurra A y B.
2.
la probabilidad que no ocurra A ni B.
P(A n B).
Se lanzan dos dados. Determina:
315
3.
la probabilidad de que la suma de sus caras sea mayor a 7 o número primo.
4.
la probabilidad de que sus caras sean iguales y que sumen un número mayor a 6. Matemática
Datos y azar
Probabilidad y complemento Se llama complemento de un conjunto a todo lo que le falta para ser el conjunto universo. Si A es un conjunto, su complemento se escribe Ac. •
El símbolo { } significa conjunto vacío, también se representa como 0.
Entre un conjunto y su complemento c
•
P(U) es la probabilidad del conjunto universo, esta probabilidad es siempre 1, ya que cualquier suceso está representado por un conjunto que pertenece a U.
A uA
se cumple:
= U
AnAC={}
Si se asocian los conjuntos A yAC a sucesos probabilísticos, se tiene que son mutuamente excluyentes (pues su intersección es vacía). Por lo tanto:
peA) + peA c) = peA u Ac) = P(U) c peA) + P(A ) = 1 P(AC) = 1 - P(A)
Luego:
Leyes de De Morgan Observa el siguiente diagrama.
A partir de él se pueden obtener las representaciones de los complementos de A y de B. II I •
I
,
"""'i
"' l\
...
)-.
I ~
•
Si se superponen estos dos diagramas, puede considerarse la zona achurada en alguno de ellos, lo que corresponde a la unión de los conjuntos. Si, en cambio, se considera solo lo que está achurado en ambos a la vez. se trata de la intersección. Así, se obtienen los siguientes resultados:
Lo que permite deducir las leyes de De Morgan
A C u BC
Santillana Bicentenario
316
= (A n B)c
UNIDAD 9
I
Probabilidad
Lo anterior puede también aplicarse al cálculo de probabilidades, como se ve en el ejemplo. Ejemplo De una baraja inglesa (52 Al escoger una de ellas al la probabilidad de que • la probabilidad de que la probabilidad de que
cartas, sin comodines) se han seleccionado algunas cartas. azar, se cumple que: sea un reyes 0,15. sea un trébol es 0,3. no sea un rey ni sea un trébol es 0,6.
¿Estáel rey de trébol entre las cartas? Para determinarlo, se calculará la probabilidad de escoger el rey de trébol. Si es igual a cero, no está entre las cartas. C
Sea: R: escoger un rey R : no escoger un rey T: escoger un trébol TC: no escoger un trébol R n T: escoger el rey de trébol
Si la probabilidad de escoger un rey de trébol es mayor a cero, significa que existe al menos un rey de trébol dentro del mazo.
c
Con ello, se tiene que: P(R) = 0,15; P(T) = 0,3 Y P(R n Te) = 0,6. Por De Morgan: c C P(R n T ) = P((R u T)C) = 0,6 .... P(R u T) = 1 - 0,6 = 0,4 .... P(R u T) = 0,4
Además: P(R u T) = P(R) + P(T) - P(R
(1
T)
0,4 = 0,15 + 0,3 - P(R (1 T) P(R (1 T) = 0,45 - 0,4 = 0,05 .... P(R (1 T) = 0,05 Dado que la probabilidad de escoger el rey de trébol es mayor que cero, esta carta está entre las seleccionadas.
Sean A y B eventos tales que peA)
peA n B) =
1
8.
1
= 2' P(B) = "3 y
¿cuál es la probabilidad de que tenga los ojos café si se sabe que tiene el pelo castaño?
1
'4. Calcula: BC)
5.
peA
6.
peA u BC)
(1
Un estudiante rinde dos pruebas el mismo día. La probabilidad de aprobar la primera es 0,6, la de aprobar la segunda es 0,8 y la probabilidad de aprobar ambas es 0,5. Calcula: 9.
En una ciudad, el 40% de las personas tiene el pelo castaño, el 25% tiene los ojos café y un 15% tiene el pelo castaño y los ojos café. Si se escoge una persona al azar:
la probabilidad de que repruebe al menos una prueba.
10. la probabilidad de que repruebe las dos. 11. la probabilidad de que apruebe la primera o repruebe
7.
¿cuál es la probabilidad de que no tenga el pelo castaño ni los ojos café?
la segunda.
317
Matemática
1.
En un instituto, si se escoge un estudiante al azar, la probabilidad de que sea hombre o use reloj es de 0,6; la de escoger alguien que use reloj es de 0,4 y la de escoger a una mujer es de 0,55. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de escoger un hombre que use reloj?
Estrategia Usar una expresión anexa.
Se definen los sucesos H: ser hombre y R: usar reloj. Para encontrar la probabilidad buscada P(H n R) utilizaremos la expresión:
Se recurre a otra expresión, que contiene la incógnita buscada, para determinar su valor.
P(H v R) = P(H) + P(R) - P(H n R) ,.....---------0
Se sustítuyen los probabilídades conocídas en lo expresíón.
--------00
Se uso el complemento del suceso H que corresponde 01 suceso M: ser mujer.
0,6 = P(H) + 0,4 - P(H n R)
(1)
Por otra parte se sabe que P(H) + P(Hc) = 1, entonces: P(H) = 1 - P(He) = 1 - P(M) = 1 - 0,55 = 0,45 .... P(H) = 0,45 Se remplaza en la expresión (1) y se obtiene:
--------------0
Se despeja lo probabilidad buscado de lo expresión.
0,6 0,6 P(H n R) P(H n R)
= P(H) + 0,4 - P(H n R) = 0,45 + 0,4 - P(H n R) = 0,45 + 0,4 - 0,6 = 0,25
La probabilidad de que sea hombre y use reloj es de 0,25.
I Ahora
tú
Utiliza esta estrategia para resolver el siguiente problema. En una muestra de 500 personas, 320 dijeron tener un celular, 175 tener un MP3 y 395 declararon tener un celular o un MP3. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga ambos aparatos en la muestra? 2.
En una competencia de atletismo, Martín debe pasar dos etapas para clasificar. La probabilidad de que pase la primera es de 0,5 y de que pase la segunda es de 0,8. Además, la probabilidad de que logre clasificar es de 0,6. ¿Cuál es la probabilidad de que falle en ambas etapas?
Sean los sucesos A: pasa la etapa 1 y B: pasa la etapa 2. La probabilidad buscada es fallar en ambas etapas, es decir: Se utilizo lo le-y-de-D-e-M-org-on-p-o-ra--------O peA e n Be) = pecA v B)e) = 1 - peA V 8)
(1)
transformar lo probabilidad dado. Se aPlico lo proPiedad del comPlemento.
---------0 Se aplíca lo probabilídad de eventos que no son m ut uamen te exc Iuyen tes.
Luego,
peA v B) = peA) + P(8) - peA n B) = 0,5 + 0,8 -0,6 .... peA v B)
Se remplaza (A v B) en la expresión (1). peAe n Be) = 1 - peA v B) = 1 - 0,7 = 0,3
peAe V Be) = 0,3
Así, la probabilidad de que falle en ambas etapas es de 0,3.
Santillana Bicentenario
= 0,7
318
Preparando la PSU Se tienen tres cajas A, By C, cada una con fichas del mismo tipo. La caja A contiene 4 fichas blancas y 6 rojas, la caja B contiene 5 fichas blancas y 7 rojas, y la caja C contiene 9 fichas blancas y 6 rojas. Si se saca al azar una ficha de cada caja, la probabilidad de que las tres fichas sean rojas es de:
A. B.
7 50 1
8
C.
1 252
D.
19 12
E.
19
37
Fuente: Pregunta PSU N° 60, Modelo Oficial Prueba de Matemática, Proceso de Admisi6n 2010, Serie DEMRE - Universidad de Chile N° 4, publicado el 7 de mayo 2009, a través de El Mercurio.
Solución: Sea Ar, Br, Y C, el suceso sacar la ficha roja de la caja A, By C, respectivamente. Entonces:
"
~
P(Ar n Br n Cr) = P(Ar) . P(Br) . P(Cr) = Luego, la probablilidad
es
6
10
7
. -
12
.-
6 - 7
15
.
..
.
Se utiliza la regla de Laplace
~.. .. •••••••••• Luego, la probablilidad de que las tres fichas sean rojas es P(Ar n B, n Cr), y como la extracción de la ficha de una uma no afecta el resultado de la extracción en la otra, los eventos son independientes. Así:
-
para calcular las probabilidades individuales. casos favorables P(A) = casos totales
.....
50
fc>.
Respuesta: la altemativa correcta es A.
Observa
los colores
Calculo probabilidades regla de Laplace.
correspondientes utilizando la
Reconozco independencia de sucesos para calcular probabilidades conjuntas.
a la resolución
de la pregunta y marca según tus logros.
D Sí. D No. D Sí. D No.
Entonces, considerando la información del ejemplo anterior, calcula la probabilidad de sacar 3 fichas blancas. Entonces, dirígete a la página 309 y determina la independencia de los sucesos de los ejercicios 2, 4 Y 5.
319
Matemática
Datos y azar
Variable aleatoria Cada vez que se realiza un experimento aleatorio, se relacionan los eventos a un número, con el fin de representar e interpretar los fenómenos que provoca dicho experimento aleatorio. Figura 1
Consideremos el experimento aleatorio: lanzar 4 monedas al aire. El espacio muestral de este experimento es el siguiente:
Gráfico sagital X: número de caras
r
.Q
"
(c,e,e,e)·. "'" (s.s.s.c) " '" ''''', "'. '"'''' , 4 (e,s,s,s) " ......""'' ~ .. ~. (s,e,s,s) ~' , "--'''..-:~-' .. (S s e s) '" __:':::'::::':::,::~~ ~o'"!,, 1 '
,
,
'~"~"""'"
v-,
,~.,
(s.c.s.c) ." (e c s e) ,,' ,
,
,,'
-»
••••
(c,s,c,c) (s,e,e,e) (c,e,e,s) (s.s.s.s)
, ....
"""",,
'_ .... ,:~,':. ,....~ >"
,
~. ,.....
~., ....""
Se establece la relación entre el espacio muestral n y un número mediante la siguiente regla ... X: nú mero de caras.
,~ .. ~.. :,.(t ...
(c,c,s,s)" '. (c.s.c,s) . ,~_'''''''''''''_' (c,s,s,c) .... . ~,',-':'::::::'~:::~~ :2:,~,¡..,2 .._......... " .~,~.".~ ...".~:::>:::!,':i (s,e "e s) ." (s,s,e,c) ." """'~:,:~~'.....'" >'
= {(c,c,c,c), (c,c,c,s), (c,c,s,c), (c.c.s,s), (c.s,c,c), (c.s,c,s), (c.s,s,c), (c.s.s,s), (s.c,c,c), (s.c,c,s), (s.c.s,c), (s.c.s,s), (s.s.c,c), (s.s.c.s), (s.s,s,c), (s.s.s.sj}
3
.,,0"
,,~~'" r'····
.. ' ,// '," ":,,'./'/ .,' .. __.., _.' " .., .
Se observa que el número de caras puede ser: X =O X =1 X = 2 X = 3 X =4
Para Para Para Para Para
(s.s.s.s). (s.s,s,c), (s.s.c,s), (s.c,s.s), (c.s.s,s).
(s.s,c,c), (c.c.s,s), (c.s,c,s), (c.s.s,c), (s,c,c.s), (s.c,s,c). (c.c,c.s), (c.c,s,c), (c.s,c,c), (s.c.c,c), (c,c,c,c).
/~
",
.........
", O
Generalmente, una variable aleatoria se representa por las letras mayúsculas X, Y o Z,
La expresión X(ffi) = xi se representa como:
X = X.I donde i = 1, 2, 3, ... , n, siendo n la cantidad de elementos del recorrido de la función X.
De esta forma se construye el concepto de variable aleatoria (v.a.), el cual corresponde a una "regla" que relaciona elementos de un espacio muestral con un número, En este caso, la regla es "número de caras", que asocia los elementos del espacio muestral ,o, con un número perteneciente al conjunto a, tal como se muestra en el gráfico sagital de la figura 1, Matemáticamente, número se define los elementos del es el conjunto de X:Q~Q ro ~ X( ro) =
xi
Donde: ro En, X(ro) Ea y X(ro) son los valores que toma la v.a X, para cada valor de ro.
En el ejemplo anterior se tiene: X(s,s,s,s) X(s,s,s,c) X(s,s,c,c) X(c,c,c,s) X(c,c,c,c)
Santillana Bicentenario
la regla que relaciona los elementos del espacio muestral con un como una función (que se denota por la letra X), cuyo dominio son espaci o muestral (que se representan por la letra ro) y el recorri do los Números Racionales, es decir.
= O
= X(s,s,c,s) = X(s,c,s,s) = X(c,s,s,s) = 1 = X(c,c,s,s) = X(c,s,c,s) = X(c,s,s,c) = X(s,c,c,s) = X(s,c,s,c) = 2 = X(c,c,s,c) = X(c,s,c,c) = X(s,c,c,c) = 3 =4
320
Probabilidad
UNIDAD 9
En cursos anteriores se hizo la distinción entre variables discretas y continuas. En las variables aleatorias existen las mismas distinciones, considerando lo siguiente: variables aleatorias discretas: son aquellas que tienen como recorrido un conjunto finito o infinito de elementos que se pueden enumerar, en el que hay un primer elemento, segundo, tercero, etcétera. variables aleatorias continuas: son aquellas variables aleatorias que tienen como recorrido un segmento completo de la recta numérica. Ejemplo Considera el experimento aleatorio "lanzar dos dados". Determina
n, X
= xi' el dominio y recorrido de la función X, si se considera
a X como "la suma de los puntos de las caras superiores". En la siguiente tabla se representa el espacio muestra!.
2
1
3
4
5
6
1
2 3 4 5
Al sumar cada par se obtienen 105 elementos de la variable aleatoria X.
6
Luego, se tiene: Dom X n, y el Rec X
=
= {2, 3,4,5,6,7,8,9,10,11,
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7
8 9
10
5 6 7 8 9
6 7
8 9
10 11
10 11 12
12}
EN SrNTESIS La variable aleatoria (v.a.) es una función que relaciona los elementos de un espacio muestral
n con
el conjunto
de los Números Reales. Existen variables aleatorias discretas y continuas. En esta unidad se estudiarán solo las discretas, que se definen como aquellas que tienen como recorrido al conjunto de los Números Racionales, y se representa por X: n ~ Q.
Considera el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Y sea la v.a.
4.
X: longitud de una serpiente.
X: suma de dígitos. 1•
Determina el recorrido de X, si se extraen dos elementos .
2.
. .
Dos centros comerciales tienen 5 y 3 salas de cine respectivamente. Encuentra los posibles valores de las
/
sin reposoon.
siguientes v.a.:
Determina el recorrido de X, si se extraen dos elementos
5.
X: número total de salasen funcionamiento.
6.
Y: valor absoluto de la diferencia entre las salas en
. ., con reposioon
Para cada v.a. discreta definida a continuación, establece el recorrido 3.
funcionamiento de los dos centros comerciales.
de la función X.
X: número de ceros en la cédula de identidad.
321 I
Matemática
Datos y azar
Función de probabilidad de una variable aleatoria caSoS f(}/Orab1eS
,(obtener tres caras) =
caSoS ido/eS
--
---...!..
I{"
La idea principal de obtener una v.a. asociada a un experimento aleatorio es establecer herra-mientas prácticas que permitan el estudio de la probabilidad de los fenómenos que se desean estudiar. Se considera el ejemplo del lanzamiento de 4 monedas, con la v.a. X: número de caras. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras? A continuación se realizará el cálculo de la probabilidad del suceso anterior, a través de la v.a. Se considera el recorrido de la v.a. X: número de caras (tabla 1).
Tabla 1: v.a. del número de caras. X(s,s,s,s) X(s,s,s,c) X(s,s,c,s) X(s,c,s,s) X(c,s,s,s)
=O =1 =1 =1 =1
X( c.c.s.s) X( c.s.c.s) X( c.s.s,c) X( s.c.c.s) X(s,c,s,c) X(s,s,c,c)
=2 =2 =2 =2 =2 =2
X( e.e.es) X( c.c.s.c) X( c.s.c.c) X(s,c,c,c) X(c,c,c,c)
=3 =3 =3 =3 =4
En este caso, interesa calcular la probabilidad cuando X = 3, por lo tanto, la probabilidad de obtener exactamente 3 caras se representa como P(X = 3), cuyo valor es 1 4' ya que: P(X = 3) = P(cccs) + P(ccsc) + P(cscc) + P(sccc) -
-
1 16 4
+ 1
16 = '4 ....P(X
De esta manera se puede obtener se muestra en la siguiente tabla: La función de probabilidad corresponde a la regla de Laplace, donde:
1 16
+
1 16
= 3) =
+
1 16
-
4 16
1
4'
la probabilidad de cualquier valor de X, tal como
X
Frecuencia absoluta
f(x¡) = P(X = Xi)
n° de preimágenes de X = Xi P(X = x.) = ------I n° de elementos del conjunto Q
O 1
1 4
feO) = P(X = O) = 1/1 6 f(l) = P(X = 1) = 4/16
2
6
En el ejemplo se observa que:
3
4
f(2) = P(X = 2) = 6/1 6 f(3) = P(X = 3) = 4/1 6
4
1 16
f( 4) = P(X = 4) = 1/1 6 1
•
El número de preimágenes de X = 3 es 4, puesto que sus preimágeres son: (c,c,c,s), (c.c.s.c), (c,s,c,c) y (s.c.c.c). Además, el número de elementos de n, es 16, entonces, al aplicar la regla de Laplace, se obtiene: 4 1 P(X = 3) = - = 16 4
Total
La probabilidad asociada a cada valor de la v.a. forma lo que se define como función de probabilidad de la v.a. X, o simplemente función de probabilidad, cuyo dominio son los valores que toma la v.a. X, y el recorrido es el intervalo [O, 1]. Cuando la v.a. es discreta, generalmente una tabla o de la siguiente forma:
se escribe la función de probabilidad mediante
4/16 = 1/4
si x = O si x = 1
6/16
si x = 2
4/16 = 1/4
si x = 3
1/16
si x = 4
O
en cualquier otro caso.
1/6
f(Xi) = P(X = Xi) =
Santillana Bicentenario
1 4
322
UNIDAD 9
Probabilidad
Ejemplo Se extraen 4 cartas de un naipe español (40 cartas), sin rem plazo. Si se defi ne la v.a. X como "número de figuras", determina la función de probabilidad de X.
Paragruposde 4 cartascon 40-12
cero figuras:C4
Los posibles valores de X son O,1, 2, 3 ó 4, por lo que para determinar la función de probabilidad, se debe calcular la cantidad de combinaciones posibles para cada valor de X, lo que corresponde a las preimágenes. La función de probabilidad en este caso se obtiene mediante los siguientes cálculos: P(X = O) = 20.475
<:;:
P(X = 1) = 39.312
<:;:
91.390 91.390
P(X = 2) = 24.948
91.390
<:;:
28
unafigura:C1 . C 3 = 39.312
Ci2 . C~8= 24.948
dos figuras:
12 28_ . C - 6.160 3 1 12 cuatro figuras:C4 = 495
tres figuras:C
0224 '
6.160 P(X = 3) = 91.390
<:;:
0,067
0430 '
495 P(X = 4) = 91.390
<:;:
0,005
El númerode elementosdel espacio 40 muestral es C 4 = 91.390.
n
0272 '
Por lo tanto, la función de probabilidad
f(xi) = P(X = xi) =
EN
12
= 20.475
para X es:
0,224
si x = O
0,430
si x = 1
0,272 0,067
=2 si x = 3
0,005
si x = 4
O
en cualquier otro caso.
si x
SfNTESIS Sea una v.a. X discreta, su función de probabilidad se define como f(xi) la función de probabilidad asociada a X, está dada por f: Q ~ [O, 1 l.
= P(X = x.),
de modo que, si X:
n -+ Q,
[O, 1 1 (1).
I
X
f
Una urna contiene 3 bolitas rojas, 2 bolitas azules y 5 bolitas blancas. Se extraen sin remplazo 3 bolitas. Determina la función de probabilidad de las siguientes variables aleatorias asociadas:
Al lanzar 2 dados, se consideran las siguientes variables aleatorias: X: suma de las puntuaciones obtenidas en ambos dados. Y: valor absoluto de la diferencia entre ambos dados.
1.
X: número de bolitas rojas extraídas.
4.
Calcula la función de probabilidad
de X
2.
Y: número de bolitas azules extraídas.
5.
Calcula la función de probabilidad
de Y.
3.
Z: número de bolitas blancas extraídas.
6.
¿Cuál es la probabilidad sea menor que 8?
323
de que la suma de los dados
Matemática
Datos y azar
Función de distribución de probabilidad Se considera el ejemplo de la página 322 y se define la v.a. X: número de caras. La probabilidad de obtener hasta 2 caras es igual a calcular P(X < 2), es decir:
P(X < 2) = P(X = O) + P(X = 1) + P(X = 2) 1 16 Se observa que: P(X s 2) = P(X < 3)
4
+
+
16
11 16
6
16
Es decir, el valor de P(X ~ 2) corresponde a la probabilidad acumulada, para los X ~ 2. Al igual que el caso de la función de probabilidad, los valores acumulados para cada valor de X < xi se resumen en la siguiente tabla: Frecuencia absoluta
f(xi) = P(X = xi)
1
-
1 16
F(O) = P(X < O) =
4
-
4 16
F(l) = P(X < 1) = P(X < O) +
2
6
-
3
4
X O I
4
1
Total
16
6 16 -4 16 1 16
F(Xi) = P(X ~ xi)
T6
T6=-ft
F(2) = P(X < 2) = P(X ~ 1) + 1~ = ~~ F(3) = P(X < 3) = P(X < 2) + 1: = ~~ F(4) = P(X < 4) = P(X < 3) +
1
16
16 = 16 = 1
1
Los valores acumulados de probabilidad de la v.a. X forman lo que se define como la función de distribución de probabilidad (F(xi) = P(X ~ Xi))' cuyo dominio es Q y el recorrido es el intervalo [O, 1]. De modo que: F: Q -7 [O, 1]. La función de distribución de probabilidad se puede escribir de la siguiente forma:
F(x¡) = P(X < xi) =
EN
1/16 5/16 11/16 15/16 I O
si x s O si x < 1 si x < 2 si x < 3 si x ~ 4 en cualquier otro caso.
SíNTESIS
Sea una v.a. discreta X, su función de distribución .Q
de probabilidad
Q
F (1). I
Santillana Bicentenario
X
X = xi
324
~f
se define como F(xi) = P(X ~ x.), de modo que:
P(X
s xi)
_::::===:::::. P(X = xi)
[O, 1] [0,1]
UNIDAD 9
Probabilidad
Tabla 1
Gráficos de función de probabilidad y distribución de probabilidad Otra forma de presentar la función de probabilidad y de distribución de probabilidad es mediante su representación gráfica. El gráfico de la función de probabilidad y distribución de probabilidad permite observar en torno a qué valores se concentran y cómo se distribuyen los valores de probabilidad de una v.a. (distribución simétrica, asimétrica positiva o asimétrica negativa).
x
P(xl)= P(X = xi)
O I 2 3 4
0,224 0,430 0,272 0,067 0,005
F(Xi) = P(X
S; xi)
0,224 0,654 0,926 0,993 I
Gráfico 1 Función de probabilidad
Ejemplo
~+------=---------------OA"¡---
w..¡---
En la tabla 1 se muestran los valores de la función de probabilidad (f(xi)) y distribución de probabilidad (F(xi)) del ejemplo de la página 323.
OJ"¡---
Q,2S..¡---
o~-I~,s-l0•• -1o,os-l-
En el gráfico 1 se observa que el tipo de distribución de probabilidad es asimétrica negativa, es decir, los valores de probabilidad de la v.a. X se concentran a la izquierda de la media del recorrido de la v.a. X.
o..¡-
o
1
1
l
Valore, que 101111 la V.3. X
Gráfico 2
Además, se observa en el gráfico 1 y 2 que es más probable obtener entre O y 2 figuras al extraer 4 cartas, que obtener entre 3 y 4 figuras.
Función distribución de probabilidad
F
1J +---------------------
't---------~===r~~-0.8
+---------------------
0.6
+-----....!:::===------------
OA
+---------------------
OJ
+-...... """""..._--------------
O+---~--~--~--~--~ o 1 1 3 4 Valore, que torra la V.3. X
Una urna tiene 2 monedas de un peso, 2 de 5 pesos y una de 10 pesos. Si se extraen 3 monedas al azar, y se define la v.a. discreta X: cantidad extraída en pesos.
Se extraen 3 cartas sin remplazo de una baraja de naipes españoles (40 cartas). Se definen las siguientes v.a discretas: X: número de ases extraídos. Y: número de figuras extraídas.
1.
2.
3.
4.
Determina los elementos del recorrido de la función de probabilidad y distribución de probabilidad para X e Y. Grafica las funciones de probabilidad y distribución de probabilidad de X e Y. ¿Dónde se concentran los datos? ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente una figura en las extracciones?
5.
Determina la función de distribución de probabilidad de X.
6.
Calcula P(X
7.
Calcula P(X > 5).
8.
Calcula e interpreta P(5
s 10). < x < 20).
La siguiente tabla muestra la distribución de probabilidad de una v.a. X.
¿Cuál es la probabilidad de obtener en las extra.cciones cuatro ases?
9.
325
x
O
1
F(xi)
0,1
0,2
2 0,4
3
0,6
4 1
Determina f(xi)' ¿Qué tipo de distribución tiene f(xi)?
Matemática
Datos y azar
Uso de software Mediante una planilla de cálculo se simulará el lanzamiento de 2 dados, para calcular la función de probabilidad definida como X: valor absoluto de la diferencia de sus caras, en SO, 1.000 y 5.000 lanzamientos. 1° Se crea una hoja de trabajo y se escribe en los casilleros A 1, B1 Y C1, "Dado 1", "Dado 2" y la v.a. X, respectivamente. Además, en las casillas E1 hasta J1 se escriben los posibles valores que puede tomar la v.a. X. L·
S20 A
.i, _1__
~
B
I
e
I
Dado 1 Dado 2
o
I
X:''Wlor absoluto de la diferencia de sus caras"
l
E F G H
de la v.a. X
Para contar la cantidad de O que resultan al restar las caras de los 2 dados, se escribe en la celda E2 la función =CONTAR.SI(C:C;O), donde los argumentos del rango indican la columna C donde se va a contar, y el criterio indica qué número se va a contar (en este caso, O). Luego, se copia esta fórmula en los casilleros correspondientes a 1, 2, 3, 4 Y S, cambiando el criterio correspondiente en cada caso.
4°
I J KILIMI N
O 1 2 34 5
T CONTAR.SI
•
X"¡
A
B
.....;=C;;.;;.ON¡;..:.T;.;;.AR:;.:;..S;,.;;I(C~:C;O"' --.--...."....--,.""","r=-:':'T"':"'1"""""I':'T.":'r-:-:T""--,,--r-! ") e o EfGHIJKLMN o
Dad o 1 Dado 2
X~or
absohlloder.a
dleren.i.
de
012345
sus
caras"
2°
Se generan los lanzamientos mediante la función =ALEA TORIO.ENTRE. Se marca en el argumento superior de la función 6, y en el inferior 1, Y se presiona aceptar. Luego, se copia la función desde A2 hasta A51 y B2 hasta B51, para simular 50 lanzamientos.
6
2
5
4
4
, ,
3
6
6
O
6 3
S° Dado 1
_2
A
Res...hdode$afórfl'UaAyudt sobe!
1
1St" ftl'!d6n
~
5
Argumentos de funci6n 5
CONTAR.SI
1
4
Una vez obtenidos los valores de la v.a. X, se determinan los valores de la función de probabilidad f(xi) escribiendo en el casillero E4 la fórmula =E2/50. Luego, se copia la fórmula en los casilleros F2, G2, H2, 12y J2. F9
u, rL el-
»
4
.-
fi<]
I
B
Dado 1 Dado 2
e
I
caras"
5
4
1
5
4
1
,
3
2
E
F
G
H
1
J
°
1
2
3
4
5
17
10
K
X:"Valor absoluto
de la dWerenciade SU$
1
o
I
O
i
11
I
5
4
3
10,2210,3410,2010,1010,0810,061
I(x)
1
De esta manera se obtiene la función de probabilidad. 3°
En la celda C2 se escribe la función =ABS(A2 - B2). Luego, se copia en toda la columna C. CONTAR.SI
A
1 2
...x « I
fi..l
Dado 1 Dado 2 1
3
6
1
4
2
2
5
1
4
Santillana Bicentenario
para 50 lanzamientos
0,22 e
X:''Valor absoluto de la diferencia de sus caras" =ABS(A2·B2)
I
o
°
J
0,34
si X = si X = 1
O 1 2 3 4 5
0,20
si X = 2
0,10
si X = 3
0,08
si X = 4
0,06
si X = 5
°
en cualquier otro caso.
-ABS(A2·B2~
B
4
Función de probabilidad
E F G H I
f(x¡) = P(X = xi) =
.! .
~
326
Probabilidad
UNIDAD 9
Ahora se realiza la simulación para 1.000 y 5.000 lanzamientos de la misma forma como se efectuó anteriormente. Para 1.000 lanzamientos se obtienen los siguientes resultados: L·
M984 A
.1..
Para 5.000 lanzamientos se obtienen los siguientes resultados: G7
If
B
I
e
I
Dado 1 Dado 2
I
D
X:''valo< .b.okdO del. diferencia de
O
sus caras"
1-
S
3
2
.!..
6
5
1
.!..
1
1
O
5
6
6
O
F
E
H
G
1
2
3
I
4
169 279 237 166 103
J
@
A
5
u,
46
el. ~
5
Función de probabilidad para 1.000 lanzamientos
=
f(xi)
P(X
= Xi) =
I
e
B
D
X:"'Valor ab.olodO del. dWerencl. de sus caras"
5
5
O
2
2
O
S
2
3
2
2
O
E
F
G
H
I
J
O
1
2
3
4
5
829 1398 1064 875 563 271
I
10,171 0,281 0,2110,1810,1110,051
t(x)
Función de probabilidad para 5.000 lanzamientos
°
= = = = = =
0,17 0,28 0,24 0,17 0,10 0,05 O
~]
Dado 1 Dado 2
~
10,1710,2810,2410,1710,1010,051
1 t(x)
l·
si x si x 1 si x 2 si x 3 si x 4 si x S en cualquier otro caso,
f(xi)
=
P(X
= = = = = =
0,17 0,28 0,21 0,18 0,11 0,05
= Xi) =
°
si x si x 1 si x 2 si x 3 si x 4 si x S en cualquier otro caso,
°
En el siguiente gráfico y tabla, se muestran los valores de la función de probabilidad de la v.a. X, para 50, 1.000 Y 5.000 lanzamientos, las cuales se comparan con la función de probabilidad teórica de la v.a X, indicando la diferencia o error, con repecto al valor teórico, f(xi) ..
.... .
.....
••
o ••
...
... .
0,3
........
0,25
.
.
. .................................•............ ...
..~
.
0,2 0,15 I'- .._-.
°
3
50
0,22
0,34
0,20
1.000
0,17
0,28
5,000
0,17
Teórico Error 50 Error 1.000 Error 5.000
-••.......
.......
.
....
.
.....
.
. ..' .
..........................
.. ...
•........•....... -_ ........•
....
.....
-
~50 lanzamientos .... _1.000 lanzamientos __ 5.000 lanzamientos
•••••_._••__•• __ .0"0,,_00 •
-
. .......
..................
..
.. . ... .. .......
'
..
_teórica
~
0,05
2
.. .. "
°
. ...
.... 1
..
2
.
4
S
0,10
0,08
0,06
0,24
0,17
0,10
0,05
0,28
0,21
0,18
0,05
0,16
0,27
0,2
0,16
0,11 0,11
0,05
0,06
0,003
0,007
...........................................
o" o.,
A.
0,1
1
.......•.•••••..•.. __ ...•..•........•...•......•...•...•.•..•....•.•....•....••.•.....•
0,4 • 0,35
O
X
..
..
3
4
.:-.;i_
5
.
X
,
0,003
0,007
-002 ,
-0,06
-
-0,0311
0,017
0,003
-0,011
-0,012
0,013
-
-0,0011
0,05
-
-0,004
-0,004 -0,005
En el gráfico se observa que a medida que aumenta el número de lanzamiento de los dados la probabilidad de cada uno de los valores de la v.a. X tienden a ser los mismos, Lo anterior se observa al comparar la diferencia entre la probabilidad experimental y teórica de X. En la tabla se observa que el error tiende a disminuir a medida que la cantidad de ensayos aumenta, Este principio se conoce como ley de los grandes números, y afirma que al repetir un experimento aleatorio un número muy grande de veces la frecuencia relativa de cada suceso elemental se aproxima a la probabilidad del suceso.
1.
Simula el lanzamiento de dos dados 1.000, 2.000 y 5.000 veces y determina para cada una de ellos la función de probabilidad y de distribución de probabilidad de la v.a, Y, si esta se define como "producto entre las caras de los dados",
2.
Calcula el error para cada una de las simulaciones,
3.
¿Qué observas respecto al error de las probabilidades a medida que aumentan los lanzamientos?
327
Matemática
1.
En una bolsa se han puesto todas las fichas de un dominó, se extrae una al azar y se resta al mayor de los valores de la ficha el otro valor. a.
¿Cuál es la variable aleatoria? Establece el espacio muestral y el recorrido para la variable.
b.
¿Cuál es la función de probabilidad de la variable?
c.
Grafica la distribución de probabilidad de la variable aleatoria.
Se determino lo reglo que relaciono el espacio muestral con el recorrido.
a.
La variable aleatoria es X: resta del mayor de los valores con el menor, así: Espacio muestral
•• •• •• •• •• •• •• • •• •• • •• •• • •• • •
••• ••• ••• •• ••• •• ••
••
••
•• • •
• • • • • • Se establece el recorrido o través de lo variable aleatorio o los elementos del espacio muestral.
•
•• •• •• • • ••• • •• •• • • • • • • •• • • •• •• •• • • • •• • • • • • • • • • •• •• •• •• •• ••• •• • • • ••
•• •• •• • • • •• • •• •
•• •• •• •
RecX = {O, 1,2,3,4,5,
b.
Se obtiene lo probabilidad asociado o codo volar del recorrido de lo variable, utilizando lo reglo de Laplace.
•• •• ••
Resta de 'la lares
•• • • • •
de cada ficha
4
5 6
6}
7 P(X =O) =-
6 P(X = 1) = -
3
2
P(X
= 4) = -28
Así, f(x)
28
P(X = 5) = -
28
= P(X = x)
7-x 28 O
c.
O 1 2 3
Para obtener la función de probabilidad de X, se debe asignar a cada elemento del recorrido su probabilidad:
28
Se represento lo función mediante uno expresión algebraico o enunciando los volares puntuales.
•• •• ••
P(X
4 P(X = 3) =-
5
= 2) = -28
P(X = 6) = -
28
1
28
x = O, 1, .", 6 en cualquier otro caso
Se acumula el valor de la probabilidad hasta cada valor de X: F
Se grarca lo distribución de probabilidad asociado o los volares del eje X acumulando lo fÜnción de probabilidad.
-
-
0.83
-
0,66
-
05 0,33 ~
0,16
Ol2345678X los valores que toma X
Santillana Bicentenario
328
Preparando la PSU Una fábrica tiene 3 máquinas para hacer su producción. La tabla muestra la función de probabilidad f(x) del número de máquinas que puede fallar en un día. 1 x O 2 3 f(x)
0,3
0,2
0,4
0,1
Con respecto a ella es cierto que: 1. la probabilidad de que por lo menos 2 máquinas fallen es de 0,4. 11. es más probable que fallen máquinas a que no fallen. 111. la variable aleatoria corresponde a los días en que fallan las máquinas. A.
Solo I
B. Solo 11
C. Solo III
D. I Y
11
II Y 111
E.
Solución: La probabilidad de que por lo menos 2 máquinas fallen es la siguiente. P(x > 2) = P(x = 2) + P(x = 3) = 0,4 + 0,1 = 0,5 Luego, P(x > 2) = 0,5. Entonces, la proposición I es falsa.
=
Se utiliza la función de probabilidad para obtener la probabilidad asociada a cada valor.
••••••••••
=
La probabilidad de que un día no fallen máquinas es de P(x O) 0,3. Ahora su complemento corresponde a la probabilidad de que alguna(s) de ellas pueda(n) fallar, es decir, 1 - P(x = O) = 1 - 0,3 = 0,7. Luego, como la probabilidad que fallen es 0,7 y la probabilidad que no es 0,3; es más probable que fallen. Luego, la proposición 11 es verdadera. La variable aleatoria del experimento es el número de máquinas que fallan, pues es la regla que relaciona el espacio muestral del experimento con el conjunto Q. De esta manera, III es falso. Luego, la proposición es falsa.
,Se vtí/iza ~r'CO!l1Pk1Jlento de' un e,V'ent:o par,{J t)btt:n.er Jo ,':-
• •
'.• ••••••
probali;{idad de; 5jjce$O~
Se identí~ca la variable aleatoria presente en el experimento.
•
Respuesta: la altemativa correcta es B. Observa los colores correspondientes Calculo probabilidades utilizando la función de probabilidad de la variable aleatoria.
a la resolución de la pregunta y marca según tus logros. O
Utilizo el complemento del suceso para O obtener una probabilidad.
o
Sí.
Sí. O
u
Identifico variables aleatorias presentes en experimentos.
O
Sí. ON
I
No. Entonces, dirígete a la página 323 y utiliza la función de probabilidad dada para calcular P(X < 3) Y P(1 < X < 3), en el ejercicio 1. No. Entonces, dirígete a la página 323 y obtén los sucesos complementarios y su probabilidad, en el ejercicio 6. o. Entonces, dirígete a la página 308 y define 2 variables aleatorias del ejemplo.
329
Matemática
... Para obtener la probabilidad
de los sucesos A y B se utiliza la ley multiplicativa.
Previo al cálculo es necesario evaluar la
independencia de los sucesos, es decir, que el resultado de uno de ellos no incida en el resultado del otro. • •
A Si A Si
Y B son independientes, Y
B son
P(A y B) = P(A) . P(B) . P(A y B) = P(A) . P(B/A) .
entonces
dependientes, entonces
... Se dice que dos eventos son mutuamente En este caso,
P(A
o
excluyentes
si la ocurrencia de ambos no puede suceder al mismo tiempo.
B) = P(A) + P(B).
Si los eventos son no mutuamente
excluyentes:
P(A
... En ocasiones (especialmente cuando el experimento el cálculo de probabilidades
... El lenguaje de conjuntos
o
B) = P(A) + P(B) - P(A
B).
tiene etapas sucesivas) se utiliza el diagrama de árbol para facilitar
o para contabilizar adecuadamente
se emplea para transformar
Y
ciertos sucesos .
y representar probabilidades, de esta manera la unión de dos
sucesos señala la ocurrencia de uno de ellos o de ambos a la vez, mientras que la intersección
alude a la ocurrencia
simultánea de ambos.
P(A o B)
P(A Y B) = P(A n B)
Así, dos eventos serán mutuamente
... Se llama complemento términos
excluyentes si su intersección es vacía, A
de un conjunto,
= P(A u nB
B)
= 0.
a todo lo que le falta a ese conjunto para formar el conjunto universo. En
probabilísticos, dos sucesos son complementarios
si su intersección es vacía y su unión corresponde
al espacio
muestral. Así se cumple que:
... Las leyes de De Morgan permiten
obtener probabilidades
sustituyendo estas expresiones por otras equivalentes:
AC u BC = (A n B)c A C n BC = (A u B)c
Santillana Bicentenario
330
UNIDAD 9
Probabilidad
..... Una variable aleatoria (v.a.) es una función que relaciona los elementos de un espacio muestral (O) con el conjunto de los Números Reales. Las variables aleatorias discretas son aquellas que tienen como recorrido un conjunto de valores que no admiten un valor intermedio entre dos de ellos sucesivos. Las variables aleatorias continuas son aquellas cuyo recorrido corresponde a un intervalo de los Números Reales (o a todo IR). ..... La función de probabilidad f(xi) de una variable aleatoria corresponde a la función que relaciona cada valor que puede tomar la variable con la probabilidad asociada a él. Esta generalmente se expresa mediante una tabla o una expresión algebraica, yen ella se cumple que: Rec f(xi) = [O, 1]
..... La función de distribución
I,f(Xi)=1
i = 1, 2, ..., n n: cardinalidad del recorrido de x
F(xi) corresponde a la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores menores o
iguales a xi' es decir, P(X ~ xi). De esta manera, los valores acumulados de la variable definen la función de distribución. Por ejemplo: x=l
0,4
x
x=2
0,9
x~2
x=3
1
x<3
en cualquier otro caso.
O
en cualquier otro caso.
F(xi) =
Función de probabilidad
f
F
0.6
1.2'
0.5
1
OA
OS
Función de distribución
•
O..
0.2
0.4
0.1
0.1
o
1
2
o
l
VaIOfe! que loma la va X
2
l
Valoret 'Pe toma la v.a X
a Mapa conceptual Construye un mapa conceptual utilizando el software CMap que relacione al menos los siguientes conceptos clave. Probabilidad - Independencia - Sucesos mutuamente excluyentes - Conjuntos - Complemento
-
Función de probabilidad - Función de distribución - Variable aleatoria
331
Matemática
5
1 La probabilidad
de que al lanzar un dado y una moneda se obtenga, respectivamente, un número menor que 3 y
Si dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de que no ocurra A o Bes:
sello, es:
A.
1
"3
1
C. 2
E.
A. 1 - peA) - P(B)
1 6
B. 1 - peA) + P(B)
C. 1 - P(B) + peA) 2
B. 5
5
D. 1 - peA
D. 6
E. peA
2
1
A. 4 13
B. 40
3
6
Si en un mazo de naipes español se extrae una carta al azar, ¿cuál es la probabilidad de extraer un oro o un 5? 1
C. 5
E.
9
D. 20
7
2 de ellas sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean de distinto color?
A. 56
49 C. 56
9
15
B. 49
D. 28
u B)
La probabilidad de que ocurra un accidente en un día de lluvia es de 0,6; la probabilidad de que un día llueva es
23 E. 28
8
A. 0,7
C. 0,1
B. 0,4
D. 0,05
A. 0,9
C. 0,5
B. 0,7
D. 0,3
P((A u BC)C)
11. peA e
l.
la extracción fue con reposición.
A. Solo I
C. Solo 111
11. los eventos eran independientes.
B. Solo II
D. I Y 111
B. I Y 11
D. 11Y 111
Santíllana Bicentenario
(1
Be)
111. 1 - peA u Be)
111. se aplicó la suma de probabilidades. C. I Y 111
E. 0,1
La probabilidad P(A e rt B) es equivalente a:
Si en la urna anterior, la probabilidad de obtener 2 bolitas d 25 . negras es e 64' entonces es cierto que:
A. Solo II
E. 0,01
En la situación anterior, ¿cuál es la probabilidad de que no llueva ni haya un accidente?
l.
4
B)
de 0,4 y la probabilidad de que haya un accidente es de 0,3. ¿Cuál es la probabilidad de que haya un accidente o que llueva?
1 20
En una uma hay 5 bolitas negras y 3 rojas. Si se extraen
15
(1
E. 1,11Y 111
332
E.llylll
UNIDAD 9
9
13
La función de probabilidad de una variable aleatoria es: x
3
4
S
6
P(X = x)
0,1
a
0,2
0,3
I
Probabilidad
Según el siguiente gráfico de distribución, ¿cuál es el valor de P(X = S)?
F
¿Cuál es el valor de a?
1-
•
0,9 -
A. 0,6 B. 0,4
10
c.
0,3
E.
•
0,1 0,6 0,5 0,45 -
D. 0,2
•
0,2
•
•
-
Con respecto a la función anterior, es verdadero que:
l.
o
la variable aleatoria es discreta.
1
,
,
,
2
3
4
5
6
X
11. P(X > S) = P(X = 6) 111. P(X < 4) = P(X ;:::S) A. Solo II
C. I Y 111
B. I Y 11
D. II y III
E. 1, II Y III
A. 1
c.
B. 0,3
D. 0,8
0,5
E. 0,9
Resuelve.
11
En una bolsa hay 5 fichas numeradas del 1 al 5. Se extraen 2 de ellas sin reposición y se define la variable aleatoria X: suma de los números.
14
Determina la función de probabilidad asociada al gráfico de la distribución de la variable del ejercicio 13. Además, construye su gráfico,
Entonces, el recorrido de X es:
A. {2, 3, 4, S, 6, 7, 8, 9, lO}
15
B. {3, 4, S, 6, 7, 8, 9, lO}
Determina la función de distribución y el gráfico asociado a la variable aleatoria del ejercicio 11.
C. {2, 3, 4, S, 6, 7, 8, 9} D. {3, 4, S, 6, 7, 8, 9}
16
E. {3, 4, S, 6, 7, 8}
En un colegio, el 45% de los estudiantes son hombres, el 30% usa lentes y el1 0% es hombre y usa lentes, Si se escoge a una persona al azar, ¿cuáles la probabilidad de
12
que use lentes si se sabe que es hombre? ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par en el experimento anterior? 1
A. S
1
C. 4
17
3
E. S
Al lanzar 4 monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener por lo menos 2 resultados iguales entre los lanzamientos?
1
B. 2
2
D. S
333
Matemática
•
PREGUNTAS
INDICADOR
Determino probabilidades utilizando la ley multiplicativa y/o la suma de probabilidades.
1, 2, 3, 4,
PUNTAJE ___
/6
12 Y 17
¿QUÉ DEBO HACER?
• Si obtuviste menos de 6 respuestas correctas, realiza las actividades 1 a S y 8 a 11 para reforzar este contenido. • Si obtuviste 6 respuestas correctas, realiza las actividades 6 a 8, 12 Y 13 para profundizar tus conoci m ientos.
Resuelvo situaciones de probabilidad empleando nociones básicas y operaciones de los conjuntos.
S, 6, 7, 8 y 16
Caracterizo variables aleatorias a través de su función de probabilidad y de distribución.
9, 1O, 11, 13, 14 Y 1S
___
/ S
• Si obtuviste menos de S respuestas correctas, realiza las actividades 14 a 19 y 24 a 26 para reforzar este contenido. • Si obtuviste S respuestas correctas, realiza las actividades 20 a 25, 29 y 30 para profundizar tus conoci m ientos.
___
/6
• Si obtuviste menos de 6 respuestas correctas, realiza las actividades 31 a 33 y 3S a 38 para reforzar este contenido. • Si obtuviste 6 respuestas correctas, realiza las actividades 34 y 39 para profundizar tus conoci m ientos.
¿Cuánto he aprendido? Cuenta las respuestas correctas que obtuviste en la evaluación anterior y clasifica tu resultado de acuerdo a los criterios que se muestran a continuación:
•
Rendimiento bajo: entre O y 10 respuestas correctas. Rendimiento medio: entre 11 y 1S respuestas correctas. Rendimiento alto: entre 16 y 17 respuestas correctas.
Obtuve
respuestas correctas, lo que implica que mi rendimiento en la evaluación fue
Ahora, dirígete a la sección lCómo lo aprendí?, que está al final del texto, y sigue las instrucciones que en ella aparecen.
Santíllana Bicentenario
334
Ejercicios de refuerzo y orofundización • •
Suma y producto de probabilidades
En un curso hay 2 alumnos que son primos. La probabilidad de que el primo hombre lea un libro es de 0,5; que lo lea la mujer es de 0,3 y la probabilidad de que ambos lo hayan
Resuelve. En una tómbola
hecho es de 0,2. Calcula la probabilidad de que:
hay 10 bolitas numeradas del 1 al 10 en
°
color rojo y otras 1
más en azul. Si se extraen 2 bolitas
al azar (con reposición),
calcula la probabilidad
de:
26.
ningún primo haya leído el libro.
27.
al menos un primo lo haya leído.
28.
que lo haya leído el hombre, pero no la mujer.
1.
obtener 2 rojas.
2.
obtener una roja y una azul.
3.
que sumen un numero par.
29.
que lo haya leído la mujer, pero no el hombre.
4.
que ambas sean números primos.
30.
solo uno de los primos lo haya leído.
5.
que ambas sean azules o sumen 6.
a
/
6.
obtener una de cada color y que sumen 8.
7.
que ambas sean de igual color o que sean primos.
Función de probabilidad y de distribución de una variable aleatoria
Determina, en cada caso, la variable aleatoria, su recorrido, 8.
Repite los ejercicios 1, 2, 3, y 4, pero ahora
su función de probabilidad
considerando que no hay reposición.
ambas funciones.
En una repisa se ordenan al azar 3 libros de tapas verdes y 4 de tapas azules. Calcula la probabilidad 9.
y la de distribución.
Grafica
31.
Lanzar 2 monedas y anotar el número de caras.
32.
Lanzar 2 dados y restar sus valores.
33.
Escoger 2 letras al azar de la palabra ALEATORIA
de que:
queden agrupados por color o intercalados.
10.
el primero sea verde y el último azul.
11.
los dos primeros y el último sean azules.
12.
el último sea verde o el intermedio
y
contar el número de vocales. 34.
En un curso hay 14 mujeres y 16 hombres, se escogen 6 de ellos al azar y se anota el número de
azul.
hombres que aparecen. 13.
estén los 3 verdes juntos. Dada la función de probabilidad:
IJ Probabilidades
y conjunto
x
O
1
2
3
4
P(X = x)
0,3
0,1
0,15
0,2
a
Al considerar el lanzamiento de tres monedas, se define: A: Obtener
por lo menos una cara.
B: Obtener
exactamente
Calcula.
dos sellos.
Calcula.
BC)
peA u B)
22.
P(Ac
19.
peA
23.
P(Ac u BC)
P(Ac)
20.
P(Ac u B)
24.
P(Ac u B)c
c P(B )
21.
peA
25.
PeAe
peA)
18.
15.
P(B)
16. 17.
14.
(1
(1
B)
Be)
(1
(1
35.
El valor de a.
37.
P(l < X < 4)
36.
P(X> 1)
38.
Su función de distribución.
39.
Realiza los ejercicios 33 a 36 para la siguiente función: x
P(X = x)
B)c
335
1 0,15
2
3
0,15
0,4
4 a
5 2a
Matemática
Taller de evaluación 2
11 Exponentes
y logaritmos
4
¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) solución de la ecuación 5x+
1 Sea lo~
y = z, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)?
l. l.
11.
x> O
A. Solo I
111. y> O
1
x:;t:
E. 1, 11 Y 111
C. 1 Y I1 D. Solo 11I
B. Solo 11
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
l. 11.
5
B. Solo 11
E. 1, 11 Y 111
y
16 =-2 Si lo~ 25 = -2, log,
= 53X+
111.
3x-1?
1.
logs 3
111
El valor de x en la expresión log x + log (x + 4) = 210g (x + 3) es:
=-
entonces x
=
2, entonces x
i.
A. -- 9
D. 3
B. -3
E. No hay solución.
2
= 3.
3
C. A. Solo I
D. 1 Y 1I
B. Solo 11
E. 1, 11Y 11I
6
C. Solo 111
La expresión 310g x - i"log y - 510g z + Z es equivalente a:
7
A. log
E. log(3x-
B. log
~y-5z
2
Calcula: (log2 3)(log3 4)(log4 5)(logs 6) ... (log1.023 1.024)
A. 1
C. 6
B. 2
D. 8
Para la función r(x) =
+ z)
(y4'Z4
B Solo 11 C. 1 Y 11 D. 11 Y 111
E.
Santillana Bicentenario
(.J5)-X se
E.
336
1, II Y 11I
10
cumple que:
l. es creciente. 11. tiene como asíntota al eje X. 111. intersecta el eje Y en el punto (O, 1). A. Solo 1
C. log
1
log 3 - log 5
D. 11Y 11I
1
3x+
1
111. Si logF3 x
3
11.
A. Solo 1 C.
2
log 3 log 5
1 .
la
Taller de evaluación 2
8
El crecimiento
Ángulos y proporcionalidad en la circunferencia
de una población de hongos está
representada por la función f(t) = 200
(~)O,8t,donde
t
10
es el tiempo en horas. ¿Cuál de las siguientes altemativas
En una circunferencia de centro 0, se dibujan dos semicircunferencias tal que AB = 2 . OC. ¿Cuál es la
representa el tiempo que demora en duplicarse la
razón entre el área del círculo y la zona coloreada?
cantidad de hongos? 1
5
A.
D.
4(log2 3 - 1)
5
B.
_ 1
5
log25
E.
log23
A. -
log 5 410g 3 - 1
B.
(log2 3 - 1)
5 C. (Iog 3 - 1)
9
.
11
I
I
I
I
I
!
X
~CD=
A. B.
a la
gráfica de la función g = - f(2 + x)?
A.
1- T T
.ttt '
I
I
,
,
1
1'J,
1
D
Calcula la medida del ángulo ~ODB, en la de centro 0, si los arcos
semicircunferencia ..--.
E. Y
«
..--.
.--..
BC , CD y DA son congruentes entre sí.
y~ I
-
X
1-
f1-
1--'-
11
'-
f'"
A. B.
-
\ ,
1
X
I I
I
¡
I
._Y
\ /)
-
j
20°
A
O
B
VX
T ,
15°
C. 25° D. 30° E. 35°
II
c.
- _. f.-
18,75°
~
1\ V \
1- ~.
175° ,
x
X
1-
rt t
y
-
B. ; TTT 1-
°
~DBO?
C. 35° D. 37 ,S° E. 75°
D.
_}:l
¿Cuál es la medida del ángulo ~ACD, si AC es diámetro en la circunferencia de centro
¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde
/f\
32 5
C. 5
'1'\ } LV
-
E.
5
8
La gráfica de la función fes: J Y
y
2 5
D.
16
-
I
r-+-
_i_
337
Matemática
Taller de evaluación 2
13
16
En una circunferencia de centro O, se inscribe un rectángulo ABCD, ¿cuál es el valor de a. + f3?
+--+
~~
~
Sea AC II PB, PA Y PB tangentes a la circunferencia de centro O, y E un punto en la circunferencia
-
.--...
donde se intersectan el segmento PC y el arco AB. Según esta información ¿ cuál de las siguientes alternativas es falsa?
A. 30° B. 45° C. 60°
A. MB2 = MA . ME
D. 90°
B.
E. 180°
ME AE
PE EC
C. PE - ME
14
D. PM· AE = ME . AC
Calcula el valor de x si AC es tangente a la circunferencia de centro O.
E. PA == AC
A. 116°
B.
c.
119°
17
B
.--...
En la circunferencia de centro O, si m(BC) = 150°. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
128°
D. 148° l.
E. 151°
El ángulo
11. ~ADB
15
= ~AEO
e E
111. DE . DA = DC . DB
En la circunferencia de centro O, se cumple que AB ..l OC. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
A. Solo I B. Solo II
es(son) verdadera(s)?
D. I Y 11 E. 1, 11 Y
111
C. Solo III
e
D
o Sistemas de ecuaciones lineales AD
= DB
11. OC
= AD
l.
18
A. (2, 1)
111. OD . AD = BD . DC A. Solo I
D. I Y II
B. Solo II
E.
1,
B.
11Y III
(-~,-6)
C. (a + 1, 2a - 1)
C. Solo III
Santillana Bicentenario
¿Cuál de las siguientes alternativas no representa punto de la recta de ecuación y - 2x + 3 = O?
338
D.
(a2 -
E. (~,
1, 2a - S)
o)
un
Taller de evaluación 2
19
23
Determina la pendiente (m) y coeficiente de posición (n) de la recta que pasa por los puntos A(a, 4) y B(2, 2a), con a ::¡:. 2.
l. ~ + .L. = 1 12 12
A. m = -2 y n = a + 2 B. m = -2 y n = 2a + 4 C.
D.
20
x-y=4
m = 2a + 2 Y n = -2 m =
1
-"2 y n =
11. 2x + y - 13 = O x-11=y
8 +a
2
E. Ninguna de las anteriores.
111. x + y = S y-4=0
Determina la ecuación de la recta que tiene
A. Solo I
D. I Y II
B. Solo II
E.
pendiente m = O Y pasa por el punto A(3, 2).
A. B. C. D.
1,
II Y 111
C. Solo III
y = 3x + 2 x =2 y- 2 =O
94
y =-2
Para la ecuación
Determina el valor para k para que el sistema
3kx + Y = 5
E. Ninguna de las anteriores.
21
¿Cuál(es) de los siguientes sistemas de ecuaciones tiene(n) por solución (8, 4)?
¡-f =
6x - 3y
1) es cierto que:
l. corta al eje x en el punto (4, O). 11 su pendiente es positiva. 111. es equivalente a la expresión 3x - 4y + 12 = O.
A. Solo I B. Solo II
C. Solo 111
A. -9 B. 2
C. S
25
C O
B. --2 3
D. 2
E. 3
3
Determina el valor de k para que el sistema
kx + 6y
D. I Y III
D.
A. -3
x + 2y = 3
E. I Y II
E.
=1
sea incompatible.
=9
no tenga solución única.
9
7
339
Matemática
Taller de evaluación 2
26
Estadística
Determina la gráfica que representa al sistema de ./ ecuaclon
L,: x - y = 1 . L2: 2x - y = 4
28 D.
A.
Si un conjunto de datos se expresa en cm. ¿En qué unidad de medida se expresará la varianza?
A. cm B. cm2 C. cm3
x •
29 E.
B.
E. No se puede determinar.
La desviación media (Dm) y desviación estándar (s) de los números naturales menores a 6 son:
y
s
A.
x
1,2
B. 2 C. 1,2 D. Ji
C.
2 1,2
Ji 1,2
E. Ninguna de las anteriores. ¿Cuál es el dato que falta en la siguiente tabla?
A. -3
B O
27
C. 1 D. 2 E. 3
Hace cinco años la edad de Ismael era el triple de la edad de Pedro, y dentro de un año, la edad de Ismael será el doble de la edad de Pedro. ¿Cuál es la edad de ambos actualmente? Ismael A. 23 años
Pedro 11 años
B.
11 años
23 años
C. 20 años
13 años
D. 15 años E. 26 años
12 años
31
2 5 8 10 15
2 7
Se sabe que dos cursos A y B, con la misma cantidad de alumnos cada uno, tienen igual media en sus calificaciones. Sin embargo, sus desviaciones estándar son 2 y 3, respectivamente. ¿Para qué curso la media es más representativa?
A. Para el curso A.
7 años
B
Para el curso B. C. Es igualmente representativa para ambos cursos. D. Depende del valor de la media. E. Ninguna de las anteriores.
Santillana Bicentenario
340
Taller de evaluación 2
32
Se desea estimar la proporción
35
de personas que
La probabilidad
de que el cuerpo de un tornillo sea
transita por más de dos líneas del Metro de Santiago.
defectuoso es 0,02; y la probabilidad
de que la parte
De estudios anteriores se sabe que aproximadamente
superior esté defectuosa es 0,06. ¿Cuál es la
el 40% de la población transita por más de dos líneas.
probabilidad
¿Qué expresión representa el tamaño de la muestra, si
tenga defectuoso el cuerpo y en buenas condiciones
la población es de 5.000.000 de habitantes, siendo el
la parte superior?
de que al tomar un tomillo al azar, este
error máximo permitido de un 2% y el coeficiente de
A. 0,0012 B. 0,0188
confianza es 2?
A.
2
2 ~5.000.000 . 0,4 . 0,6 (0,02) . 5.000.000 + 0,4 . 0,6
36
B
2 . 5.000.000 . 0,4 . 0,6 • 22. 4.999.999 + 0,4 . 0,6
C.
D.
3'3
D. 0,3333 ...
Se pronostica para mañana una probabilidad de lluvia de 0,3 y de 0,2 que esté contaminado.
Si ambos
sucesos son independientes, ¿cuál es la probabilidad
2
2 . 5.000.000 . O,~. 0,6 (0,02) 2 . 4.999.999 + 2 . 0,4 . 0,6
de que mañana no llueva y no esté contaminado?
2
A. 0,06 B. 0,14 C. 0,24
2 2 . 4.999.999 . 20,4 . 0,6
2 . 5.000.000 + 2 . 0,4 . 0,6
E.
E. 0,96
C. 0,08
Ninguna de las anteriores.
37
¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) falsa(s)?
D. 0,56 E. No se puede calcular.
X es una v.a. con la siguiente función de probabilidad: I
l.
11 111.
En el mas sin reposición, la probabilidad de extracción de cada elemento de la población es la misma para todos los elementos. El valor de la media de una muestra siempre es la misma que la media de la población. Al disminuir el error muestral disminuye el tamaño de la muestra.
A. Solo I B. Solo II
C. I Y II
D.
E.
O
1
2
3
4
P(X = x ¡)
0,1
0,3
0,2
0,25
0,15
Según la tabla, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?
l. F(2) = P(X = O) + P(X = 1) 11. F(3) = 1 - P(X = 4) 111. P(X> 2) = P(X = 3) + P(X = 4)
II Y 111
I Y III
Probabilidad
34
x
A. B.
Solo I
C.
I y II
Solo II
De una tómbola con 20 bolitas numeradas del 1 al 20,
D. II Y III
se saca una. ¿Cuál es la probabilidad de que el número
E.
1, II Y 111
de la bolita extraída sea múltiplo de 2 o de 3?
A. 0,20 B. 0,30
C. 0,60
E. 0,80
D. 0,65
341
Matemática
Solucionario Unidad 1, Números Reales 13. Para llenar el balde se debe agregar
Pág. 10 1. D 2. E 3. B 4. e
5. 6. 7. 8.
9. D 10. c
E A A B
1. ó 0,75 4
14. P = 0,78; Q = 1,6. 15. P . Q
=
35 27
= 1'296 P
Pág. 11 11. Agua
= 0,5; Limpiador = 0,2; Aromatizante = 0,3.
12. Agua
=
7 12
= 0,583:
L de solución.
•
1
I
1
1
I
1
1
1
Q 1
1
1
1·1 1 p. Q
1
1
1
1
I
1
1
1)10
2
Limpiador = _1 = 0,1 6: 6
Aromatizante = ~ = 0,25.
Pág. 15 1. Al dividir un número racional por un irracional, se obtiene un irracional. Demostración: Supóngase que no, es decir: 3x E O, 3y E 0*, 3z E O tal que x : y ~y=x:z ~yEe
Esta demostración supone que la afirmación es falsa;es decir, que al dividir un número racional por un irracional no se obtiene un irracional. Existe un x y z perteneciente a los racionales, y existe un y perteneciente a los irracionales, tal que la división entre x e y es igual a z, es decir se cumple la igualdad x : y = z. Al despejar y en la ecuación anterior se obtiene que y es igual a la división entre x y z, pero por la afirmación inicial, x : z es un número racional, por lo tanto y es un número racional, lo que se contradice con la condición inicial. Por lo tanto, Z debe ser un número irracional.
=z
---7f-
Al dividir un número irracional por un racional, se obtiene un irracional.
2.
Esta demostración supone que la afirmación es falsa;es decir, que al dividir un número irracional por un racional no se obtiene un irracional. Existe un x y z perteneciente a los racionales, y existe un y perteneciente a los irracionales, tal que la división entre y y x es igual a z, es decir se cumple la igualdad y : X = z. Al despejar y en la ecuación anterior se obtiene que y es igual al producto entre x y z, pero por la afirmación inicial, x . z es un número racional, por lo tanto y es un número racional, lo que se contradice con la condición inicial. Por lo tanto, z debe ser un número irracional.
Demostración: Supóngase que no, es decir: 3x E e, 3y E 0*, 3z E o tal que y : x = z ~y=x'z ~yEO ---7f-
Irracional. La suma de dos irracionales es irracional y la división entre un irracional con un racional es irracional.
3.
4.
(../2. - 1)2
2.
.J29 - ~16
Santillana Bicentenario
1+J2
Ji
J2 =.J2+.J2=J2+ 1
1
1
El inverso de un irracional es irracional y la suma de un racional con un irracional es irracional.
Pág. 17 1.
Irracional.
=
2 (../2.)2 - 2 . 1 . .J2 + 1
= .J29 - 4 =
55 =
5
=
2 - 2.J2 + 1
---7
=
3 - 2../2.
Racional
342
---7
Irracional
Solucíonarío
3.
J25
= 5 ~ Racional
3
3
.J2)2 _ 1)2
2
= (2 _ 1)2 = 1 = 1 ~ Racional
4.
((
1.
]s =
2.
J25 +.f4 = 5 + 2 = 7 ~
3.
JiS
4.
~
1.
I+
0,8944271909999158785636694674925
J%
=
= ~
.J16
= ~
= };
I,,,
~ Decimal infinito no periódico
Decimal finito
= 1,5811388300841896659994467722164
= 2,1213203435596425732025330863145
~ Decimal infinito no periódico
..,
..,
~ Decimal infinito no periódico
= 5 ~ Depende del alumno, un ejemplo sería 4 < 5 < 6.
2
2.
T2 ~ Depende
3.
(../3)-2 _
1 3
2
del alumno, un ejemplo sería O <
J2 < 5.
~ Depende del alumno, un ejemplo sería 0,2 < l < 0,4. 3
Pág. 19
Pág. 22 La afirmación es falsa, Considerando n = 4, se tiene que
1.
7 + 2JiO
2. 55
3. 48
3
3
n = 4 = 64
36
y"[;!
=.J64 = 8, Y 8 es un número racional.
4. 5 Pág. 23
5.
La altura de un triángulo equilátero de lado 1 es
..J3.
1.
2
6.
La diagonal del un rectángulo de lados 3 y
7.
El área de un cuadrado de lado 4m
2JS
es.J29.
es 272 y su perímetro
es 16m
J18 a.
../3 . Ji8 =
~3 . 18
= JS4
b.
.J5 . Ji8 =
~5 . 18
= J90
c.
J7 . Fe =
~7 . 18
= .Jlli
Pág. 21 1.
Un ejemplo sería, 4,5647 por defecto y 4,5941 por exceso,
2.
Un ejemplo sería, 2,2308 por defecto y 2,2381 por exceso,
3.
Un ejemplo sería, 1,7273 por defecto y 1,7333 por exceso,
4.
Un ejemplo sería, 4,1059 por defecto y 4,1515 por exceso,
2.
343
6.Js6
a.
.J3 . 6.Js6 =
6~3 . 56
=
6../168
b.
JS . 6.Js6 =
6~5 . 56
=
6mo
Matemática
Solucionario
=
c. .J7 . 6J56
3.
6../7 . 56
=
Pág. 27 6../392 1.
.J121 =
2
3,7272 ... =
11 pertenece a los Naturales.
J14 - 2 a. ../3 (J14 - 2) b. JS (J14 - 2)
c. .J7
.J18
1.
(.J14 -
2)
=
../3 . 14 - 2../3
=
= J42 -
= ../7 . 14 -
2.J7
a los Racionales.
3.
6,58596061 ... pertenece a los Irracionales.
4.
1,0011222 ... pertenece a los Irracionales.
S.
16 pertenece a los Naturales .
6.
.J8 J2
2JS
= .J98 -
2.J7
(depende del alumno)
= 2 pertenece a los Naturales.
a.
../18 = 5../18 - 4../18
7.
Infinitas soluciones, un ejemplo sería 3,78123456789 ...
b.
.J18
8.
Infinitas soluciones, un ejemplo sería
.J18
= 6.J2. -
0,15115511155511105550
../18 = 2.J18 - .J18
c.
9.
6JS6
2.
.il 1 1 pertenece
2../3
= J70 -
../5 . 14 - 2J5
•
...
Infinitas soluciones, un ejemplo sería.J3:Oi.
(depende del alumno)
10. A
= 2,34567891011121314
...
11. B=...n-.J3
= (3JS6
b. 6JS6
+ 3) + (3JS6 - 3) 12.
c=l
2
6JS6 = (-3JS6) + (9JS6)
c.
13.
1t
D=-
3
J14 - 2
3.
(depende del alumno)
a. ../14 - 2
= (-1 + 5.Ji4)
14. E
= 2,0101010101 ...
+ (-1 - 4../14)
b. .J14 - 2 = (-2 + 7.Ji4) + ( -6.Ji4) c. ../14 - 2
=
7..J14 + (-6J14
- 2)
Pág.2S 1.
721 < 2"1/r: j <
2.
../3 -
J52
200
.Ji
<, 3 60S
2
< 0,5 < J5 - ../3
C=J6+.J2.
3. A = 2,8
S.
4. B = 2JS - 1
6. D = 2.J2.
el
°
I
0,2
I
0,4
Santillana Bicentenario
I
0,6
I
0,8
I
1
1,2
I
1,4
I
1,6
I
1,8
I
2
I
2,2
I
2,4
344
I
2,6
.~I
AD
2,8
3
B
I
3,2
l· I
3,4
3,6
e
l· I
3,8
4
)lo
Solucíonarío
15. F
=
.. 1
1,112358132134 ...
0,8
1-
0,9
e
D F
B 1
1
-
+ 1,1
1
1
1
1,2
1,3
1,4
E
+1,5
1
1
1
1
1,6
1,7
1,8
1,9
A
1-
1
2
2,1
1
1
2,2
2,3
-
1
,.
2,4
16. 3,1 13151 7191 1 1131 151 171 1... 17. 1,2345678987654323 ...
Pág. 29 1. a. 0,1010010001000010000010000001 ... -70,1010010001000010000010000001 La cantidad de ceros entre cada par de unos aumenta en uno cada vez.
...
b. 0,123456789101112131415161718 ... -70,123 567 9 11 12131415161718 ... Corresponde a la secuencia creciente de los números naturales.
c. 0,1223334444555556666667777777 ... -7 0,122333 555556666667777777 ... Se escribe el número la cantidad de veces que este indica, en secuencia creciente de números naturales.
2. La respuesta depende de cada alumno. Como ejemplo, se presentan los siguientes números a. 0,1001100111001111001111100 ... -7 El número de unos crece en uno cada vez y el número de ceros se mantiene en dos. b. 0,2468101214161820 ... -7 Secuencia creciente de números pares. c. 0,1333555557777777999999999 ... -7 Se escribe el número la cantidad de veces que este indica en secuencia creciente de números impares. Se pueden construir en la recta numérica.Ji
y
~. .. '.
.J7 - .Ji.
,,
,
I
,
..
_••••
,
I " ..... ~ I ,. •• ~ I ","" ,
....
,,'...
., •" .
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...
1
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'1
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"
,
J f • , ti o I •
I
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J33
•t
I
..
I
..
•
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I
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#
t
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..,
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,
•
~e'
\.
a'
t,
... ,
.,
•
l'
.'
1
1
Ji. .J3
°
2
J7
3
Las respuestas dependen de cada alumno. Se dan como ejemplo las siguientes:
rr:: 23 61 . trr: Entre v 121 y 16 -7 12; 13,5; 15; 14,6; 13,020022000222 ... ; -; 15,3258; -; 11,2121 ; v140
2
Entre 3,7272 ... y 6,585896061 -74; 3,7373 ... ; 5,25;
4
.2.; 4,1223344
... ; 6,1; 5; 6,5858; 5,7788777888 ...
2
~ Entre 1,0011222 ... Y ~
3 -7 1,1; 1,25; 1,999999; 1,0012; -; 1,2; 1,06065966555; 1,4;
2
2
345
;.J14
.J3; J2
Matemática
Solucionario Pág. 32 1.
e
2. 3.
E A
4.
D
5. 6. 7. 8.
Pág. 33 9. D
4../3
12.
2./5
13.
J2 - .J3
14.
7 + 2.J6
1 5.
./5 - Fa + .J2 - 2
1 6.
22 + 10.J7
e D B D
11. e 12. E
10. B
11.
13. No, el conjunto de los Números Irracionales es un subconjunto de los Números Reales que también es denso, puesto que entre dos irracionales puedo intercalar un tercero.
+ 50
17. La diagonal de un cuadrado de lado
3 cm
3.J2
mide
cm. 2
18. El área de un triángulo equilátero de lado 2 cm es.J3 cm .
14. No, depende de si el radio es racional o irracional. 15. El área del triángulo es
19. El perímetro de un cuadrado de diagonal
J399. 8
20. El perímetro de un círculo de radio
16. Un ejemplo sería 0,2469101214161820222426
... que está formado por la secuencia creciente de los números pares.
es
a. No se puede ubicar de manera exacta en la recta numérica ya que es un número trascendente (contiene infinitos decimales no periódicos y no se relaciona con la geometría).
7.
y su área es (3 +
2.J2)'lt
22. Un ejemplo sería 5,56738
por defecto.
23. Un ejemplo sería 3,46484
por exceso.
24. Un ejemplo sería 6,70898
por exceso.
25. Un ejemplo sería 0,57714
por defecto.
Racional.
26. Un ejemplo sería 5,54101
por defecto.
Irracional. Irracional. Racional.
27.
2./5
28.
J...<.J3< 3
Sea a E
4
al, entonces ( .J;.) es racional.
Verdadero, pues (
.fa) = a2 (por
propiedad de potencias
2
E
al, a1'CE 0*.
Verdadero, 1t es irracional y el producto de un racional distinto de cero por un irracional es siempre un irracional.
10. Sea n E t\J, V;; E 0*. Falso, considerando n = 125 se tiene que un número natural.
Santillana Bicentenario
3../3
<
3J5
<
5.J7
'i
.JlS <
4,07 < 4,08 < ~ < 2J8 5 3 h r:::; 31. -1 5 < -- < -v2 < 1 73 < 2v3 '2 ' 30.
Sea a E al*, entonces a es siempre racional. Falso, considerando a = 1t al multiplicar 1'Cpor si mismo se obtiene un irracional.
'í/ a
<
29. J8 < ~ < 3, 89 < 3.J2 5
y
raíces) y el prod ucto de dos racionales es ra.cional.
9.
1)'lt cm
por exceso.
4
8.
+
(..J2 + 1) cm
21. Un ejemplo sería 2,44976
Pág. 35 1. Irracional. 2. Irracional. 3. 4. 5. 6.
2(.J2
32. A
=.J8i
33. B
= J12
34.
e = 0,12345 ...
35. D
V'i25 = 5 Y 5 es
= 21'C
36. E =
346
1
J5
.JSO cm
2
cm .
es 20 cm.
Solucionario
37. F =
3J7
39. H = .::. 2
38. G = 0,246810 ...
-l·· ~ CG E
O
0,5
I
1
l· I
1,5
2
I
I
2,5
3
~
3,5
11
Unidad 2, Semejanza de figuras pla~'as,i
I
4
2.
4,5
I
2: 1
I • I
I
5,5
5
3. 4.
F
6,5
6
4:1 1: 2
I
A
·1
I
7
7,5
5. 6.
1: 2 1: 4
8
I
+9
8,5
l-
9,5
7.
90 cm
8.
666,6 cm
9. Sí, por tener todos sus lados congruentes. 10. No, no necesariamente los lados correspondientes igual escala. 11. Son conmensurables entre sí.
estarán a
Pág. 45
1. La respuesta depende de cada alumno. Como ejemplo se presentan las siguientes:
Pág. 38 B C
I
Pág. 43 1. 2: 1
Pág. 37 1. Los postes D y Z no son del mismo tamaño en la realidad, pese a que tienen el mismo tamaño en el dibujo. 2. Ambos postes son iguales en la realidad, pues son del mismo tamaño en el dibujo. 3. El poste Y mide 1,5 m y la persona mide aproximadamente 1,7 m. 4. Los postes X y Z miden 1,35 m. aproximadamente, e Y mide 1,5 m.
1. 2.
D
B
H
A
5.
B
7. C
4. E
6.
D
8. E
3.
9.
AB - 2 1 CD
A
Pág. 39 10. C ..,._> ...-.. 11. QO // TS pues al intersectarse con las rectas L" L2 YLJ forman ángulos correspondientes congruentes. 12. Tenemos que L" L2 Y LJ son paralelas, entonces los ángulos correspondientes de los cuadriláteros <->QPRT y POSR son <-> congruentes. También sabemos que QO // TS entonces las -medidas de OS, PR Y QT son iguales. Por último sabemos que - QP = PO con lo que TR = RS. Así, los cuadriláteros QPRT y POSR son congruentes. 13. Dos de los ángulos del ¡}.TSM miden 70° y 40° (obtenidos por el paralelismo de las rectas L" L2 Y L3)' Sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°, por lo tanto el tercer ángulo mide 40°. Así, el ¡}.TSM es isósceles. 14. Se necesitan 5 kg de cemento y 15 kg de piedras. 15. Corresponderían 40 kg de cemento, 80 kg de arena y 120 kg de piedras.
FG
CD
-
1 4
CE - 3 CD 2
AB - -4 EC 3
e
2.
FG - -1 CE 6
D
La respuesta depende de cada alumno. Como ejemplo se presentan los siguientes triángulos: e
............-
Pág. 41 1. Elancho y el largo de galpón son 30 y 40 metros respectivamente, por lo que la maquinaria se debe colocar a lo largo de éste. 2. El ancho del galpón en el plano mediría 19 cm. 3. En el mapa, los tramos medirían 180 cm, 128 cm y 86 cm respectivamente. 4. El área del terreno en la escala del mapa es 6 cm2. 5. La escala del mapa es aproximadamente1: 10.000. 6. La reducción está dada por la escala 4 : 5.
F'
S'
Dr--":~_F D'
MBC - !}.A'B'C', con razón de semejanza 2 : 1.
¡}.DEF - ¡}.D'E'F', con razón de semejanza 3 : 5.
347
Matemática
Pág. SO 1.
Se tiene entonces que ~BFC y ~CBF son congruentes, y con ello
-
el triángulo óBFC es isósceles de base BF. Por lo tanto, FC == BC.
Paso 1 Con la herramienta herramienta
--
117'1 dibuja
•
un triángulo ABC. Con la
[2], traza las semirrectas AB yAC.
Con la herramienta herramienta ~
1se define el punto
leA
•
AE Por el teorema particular de Thales se obtiene: AC = FC BE AC AE Como FC BC, se cumple que BC = BE. Puedes
=
O, y con la comprobarlo con la herramienta
traza la bisectriz del ángulo exterior, haciendo clic
midiendo los segmentos
CA, CB, AE y EB, obteniendo:
sobre el vértice B, el vértice C y finalmente sobre la prolongación del lado CA.
AC _ 4,55 cm "" 2 275 BC 2 cm '
Con la herramienta ~,
1;.-1
marca el punto E, intersección de la bisectriz
AE _ 7,85 cm "" 2 275 BE 3,45 cm '
2.
----;>
exterior y la semirrecta AB.
Paso 1 Con la herramienta
leA
1, construye tres puntos A, B Y C. Traza
los segmentos AB y BC con la herramienta herramienta ~
I
traza rectas paralelas a estos segmentos, por los
puntos By C. Con la herramienta ~, E
1/1, y con la
marca el punto O, para
construir el paralelogramo ABCO con la herramienta
117'1.
A
Paso 2 Con la herramienta ~,
traza una recta paralela a la recta
por el punto B. Con la herramienta~,
CE
D
marca el punto F.
s._-------:-----_I. b1
Paso 2 Con la herramienta ~,
segmentos EB, OF Y AC. Con la herramienta ~,
Paso 3 Con la herramienta
141,
puntos G y H.
comprueba que ----;>
•
~ECO y ~BCE son congruentes (CE es bisectriz).
•
~ECO y ~BFC son congruentes (ángulos correspondientes entre paralelas).
•
~BCE y ~CBF son congruentes (ángulos altemos intemos entre paralelas).
Santillana Bicentenario
ubica los puntos E y F, Y luego traza los
348
marca los
Solucionario
Paso 3 Dado que BC DA, Y E Y F son puntos medios, se tiene que AE == FC. Como además AE // FC, el cuadrilátero AECF es paralelogramo, y por lo tanto AF // EC.
=
Por el teorema de Thales se obtiene:
~~ - ~~
BE BA
BF BC
1
= 2' Por
teorema
DG DH 1 - DA = 2' Por teorema DC
recíproco de Thales, EF // AC.
recíproco de Thales, HG // AC.
Por lo tanto, se tiene que EH // FG Y EF // HG, por lo que EFGH es paralelogramo.
= 1, Y
A
~~ - ~~ = 1. Es decir, HD = GH Y BG = GH, con lo que HD = GH = BG.
Puedes comprobarlo con la herramienta segmentos HD, GH Y BG, obteniendo HD = 1,97 cm
GH = 1,97 cm
1/1 midiendo
los
BG = 1,97 cm
Pág. S1 4.
HD = 1.97
a = 7,2 cm y b = 4,8 cm.
S. e= 448 cm 17
cm y d = 285 6. c = 105 13 13 cm.
7. b
3. Paso 1 Con la herramienta herramienta
Ivl, construye
1.··1,ubica los puntos
=
56 cm y f 9
=
21 6 cm. 13
8.
El mástil tiene una altura de 9 m.
9.
a = 6 cm
un cuadrilátero ABCD. Con la
F, G, H e 1, y construye el
cuadrilátero FGHI, con la herramienta ~.
10. a = 72,5 cm 11. a = 3 cm 12. EF = 9 cm
= 152 cm 17 HG = 16,92 cm a = 20 cm, b = 24 cm y c = 32 cm. GC = 5 cm
13. CB
14. 1S. 16.
Paso 2 Con la herramienta
1/1, traza
17. x = las diagonales DB y AC. Se tiene 18. x
entonces que: 1 AE - AH = 2' Por teorema AB AD
recíproco de Thales, EH // BD.
1 CF - CG = 2' Por teorema CB CD
recíproco de Thales, FG // BD.
349
=
1:
= 1,875
10
Matemática
Solucionario Pág. 53 1.
Pág. 61
2.
1.
Centro de homotecia A y factor de homotecia 2.
2.
El perímetro del nuevo cuadrado es 24 cm.
3.
El perímetro del nuevo triángulo es 75 cm y su área es
625.[3
4
o
4.
--
2
cm .
~~
A'
=s, lS:' ,
-
¡
E'
J
c~
:~
D~\¡~"
o
3. 4.
5. 6.
=
.
=
AP: AS 3 : 8 PB: AB = 5 : 8 AS 120 cm AS 168 cm
7. AS 20 cm 8. EF 90 cm 9. GH 80 cm
=
= =
~ \~1"'"'''\/''' """
=
~
E" -
-
I
I
Pág. 55 1.
<,~
b-,
C" .
Los segmentos resultantes medirían 97° m y 1~o m;
I
~~
20
70
"3 mY"3
150 m; 11
my
180 11
\
m.
1"'" <,
o~ 2.
AS
= 128 cm; AS =
200
3
cm.
Pág. 63
Pág. 59 1.
2. 3.
EF EG
=
50 cm 13
1.
he
= 2J1O
2.
h
= 4 "'L,'2 cm c = ~7'
3.
b
e
= 3 cm 2
El área del triángulo es 189 cm .
Santillana Bicentenario
350
cm, a
= 2k
cm, b cm b
= 2J14
= 36~7
cm y c
cm y p
=
= 6 cm, a = 6../3 cm, q = 3 Y he = 3../3 cm.
I
= 14 cm. 32 cm. 7
Solucíonarío
40J]
4.
b = --
5.
2 Tenemos que q = 2p Y sabemos que h = pq (*).
cm. a
3
= 40cm y c =
Remplazando q en 2 h =
6.
p : 2p = 2p2
. a 2 = cp, b2 = cq H·,rpotesis:
6.
80J]
cm.
3
. a2 + b2 = e2 T ests:
e
* nos queda: =? h =~2p2
rr:
AC = ,,13U cm y OG =
= p.{2
10../39 13
=?
~=.J2 (q. e. d.). p
cm.
'------
e -------'
Pág. 65 1.
c =
2.J6i cm, he = 60'¡¡' 61
cm, p
=
sofi y cm
1
q
= 72./6i
Afirmación
cm.
61
I
2.
a = 14..[;65 cm. b =
13
5s cm. c =
I
365 cm y p = 196 cm. 13 13
I
2
= cp 2 b = cq
1. a 2.
Justificación
3. a
2
Por teorema de Euclides. Por teorema de Euclides.
+ b2 = cp + cq = c(p + q)
Por afirmaciones 1 y 2. Por construcción.
3.
a = 90J19 cm, c = 100.J19 cm. p = 81.J19 cm y q =.J19 cm.
4.
a =
5.
El área del triángulo MDC
19
19
Por 3 Y 4 (q. e. d.).
19
.J117 cm. b = 2.J13 cm, p = 9 cm y q = 4 cm. es
s.J1O cm2.
10.J3.
7.
El perímetro del triángulo es
8.
La distancia entre las azoteas de los edificios es 2"¡¡;:;;; In.
9. Y 10. Hipótesis: m(
2
=
= m(4BDC)
2 2 b + c - 2c . AD;
2 b
= 90°
= a2 + c2 -
2c . BD
Afirmación
1. m (-tAOC) = 9(1' 2
e
Justificac ión Por hipótesis.
2 2 = b -A0
2.
C0
3.
m(
= 90°
Por hipótesis.
4.
2 2 a = C0
+ B02
Por afirmación 3
Por afirmación I
S.
BO = c-AO
Por construcción.
6.
AO = c-
Por construcción.
7.
a2 = (b2 _ A02)
BO
+ B02
y teorema
de Pitágoras.
y teorema
de Pitágoras.
Por afirmaciones 2
351
A'---~~D----------~ B '-------
e -----'
y 4.
Matemática
Solucionario Afirmación 8.
a2 a2
Justificación
= (b2 _ AD2) + (e _ AD)2 = b2 _ AD2 + c2 - le' AD
Por afirmaciones S y 7 (q. e. d). . AD2
a2 = b2 + c2 - 2c . AD 2 9. b2 CD2 + AD 10. CD2 a2 _ BD2 11. b2=(a2_BD2) + (c-BD)2
=
Por afirmación 2.
=
b2 2 b
Por afirmación 4. Por afirmaciones S, 9 Y 10 (q. e. d).
= a2 _ BD2 + c2 - 2c . BD + BD2 = a2 + c2 - le . BD
Pág. 61 6. La respuesta depende de cada alumno. Como ejemplo se dan los siguientes:
MDC MEH
~ ~DGC ~ MGD ~ ~DGH
~ ~CBA
C
Pág. 10 1. C 2. E 3. D
6.
AABC - AA'B'C' por criterio LLL, pues
Pág. 11 9. D 10. C
11. A 12. A
AB - AC - BC A'B' A'C' B'C'
13. Interiormente
C' 8cm 6 cm
B
6 cm
=}
A'
4,5
cm
B'
6 - 8 - 10 4 - -- 4,5 7,5 6 3
c'
-_- --_
C
-_
4. C
1.
s.
8.
-- -_
A
B B
-_ --
-
C
A A
B
--
Exteriormente 450 AL--~--~B 12 cm
A'"'----::-::-------IB' 20 cm
/
"",
AABC - AA'B'C' por criterio LAL, pues AB _ AC A'B' A'C'
=}
-_ ... _--
A
~-- ----
Z--
----- -- - -- -- -
B
---
-_
- - - - - -=
- •
C
12 = _12 = l_ ~BAC == ~B'A'C' 20 25 5'Y ~
14. AB Y CD deben ser paralelas, de ese modo se puede usar el criterio de semejanza AA. 1s. La distancia entre el extremo superior del árbol yel correspondiente extremo de la sombra es de 7,5 m.
C C'
Santillana Bicentenario
--_
----"-
~
MBC - M'B'C' ~ABC == ~'B'C'
-_ -_
Pág. 13 1. En la realidad el mapa mide 120 cm por 90 cm. 2. La longitud del segmento en la realidad es 48 cm.
por criterio AA, pues ~BAC == ~B'A'C' y
352
Solucíonarío
3. 4. S.
La longitud del segmento en el mapa es 12,5 cm. 2 El cuadrado en la realidad tiene una superficie de 324 cm . Sí, pues la diagonal del mapa mide 25 cm, igual que el segmento.
11.
e
A
D
B
•
I I I I
I I
I
,
,,
I
I I
I
6.
,,•
I I
,,
-.
I
I
1"\
,
I
I
I
, , I
~.
1-
I
V
I I
•
/
I I
k =
~
,,
..5
I I I I I I
,
I
I
r I
7.
..
• =. 1 .5
8.
.5
k
,
'"
12. 13. 14. 1 s. 16. 17. 18. 19. 20. 21.
111 ...
I
'11 k = 2,2
"
.1
,,v
.1
,...,
/¡
A
MBC MBC
- &DEF por criterio AA. - &DBE por criterio AA .
Justificación
1. AC II DF
Por hipótesis.
2. BC II EF
Por hipótesis.
3. 1:BAC == 1:EDF
Por ser correspondientes entre rectas paralelas.
4. 1:CBA == 1:FED
Por ser correspondientes entre rectas paralelas.
5. MBC - LlDEF
Por afirmaciones 3 y 4 Y criterio AA (q. e. d.).
Afirmación
Justificación
I
..
I
"
A ~.'
x = 7, Y = 4
Afirmación
I I I I
9.
= I 2,5 cm = 6,4 cm = S cm, CD = 7 cm, DB = 8 cm x = 6, Y = 2,5 x = 16, Y = 24 x = y = 12 AB AC AC
1I
I
.... I
lr::
r
2
=_(
,~ 1. 1:ACB - 1:DEB I
10.
I •,
,, ,, ,
Por hipótesis, ambos miden 90°. ,
2. 1:CBA == 1:EBD
Angulo común entre &ABC y MBE.
3. MBC - LlDBE
Por afirmaciones 1 y 2 Y criterio AA (q. e. d.).
I
,
" ,, ,, ,,
,,
A
e'
353
22.
h = 4,8, m = 6,4 Y n = 3,6
23.
h=~16,56;m=~68,4yn=~21,85
24.
La altura del triángulo mide 24 cm y su perímetro es 120 cm.
Matemática
Solucionario Unidad 3, Fxpresiones algebraicas fracclo.n
2.
La regla es correcta, pues:
_1 +_1 =_1 .l+_1 Pág. 75 1.
2k
4
1
6k
2k 6k
14
pan se parte por la mitad. obteniendo cada persona una mitad (~)
7 partes
2
8 mitades. Se da a
y sobra un pedazo, que se
(_!_ . _!_ = 7
2 3k
_1_). 14 3.
4 b. 5
Para reducir la fracción ~, se utiliza la igualdad
1 1 1 +- +2 4 20
-a = -1
=-
b
cada persona una mitad (~)
an - b nb
,
, donde n es el menor numero natural
8 mitades. Se da a
.!_ + an - b
En efecto,
n
2
n nb
obteniendo
6 pedazos.
4
5
20
--
).
nb
_ a -
5
1
1
9
2
18
c. -=-+-
an - b nb
_ b + an - b nb _ an
Se da un pedazo de estos a cada persona y sobra un pedazo,
= _1
b
nb
= .J2.. +
4
que se divide en 5 partes (_!_ . _!_
= .!_ + an -
nb
y sobran tres pedazos, que se
dividen en mitades (_!_ . _!_ = _!_)
2
n
+
tal que an ~ b.
Se tienen 4 panes que se reparten entre 5 personas. Cada pan se parte por la mitad. obteniendo
6k
4 6k 2·2 2· 3k
Se tienen 4 panes que se reparten entre 7 personas. Cada
divide en
6k
=l+_1
1
a. -=-+7 2
3
b
tiene mayor denominad enornma or que -,a por Io que nb b se sigue descomponiendo utilizando sucesivamente la igualdad .,an-b. Lfa racoon
Se tienen 5 panes que se reparten entre 9 personas. Cada pan se parte por la mitad. obteniendo
10 mitades. Se da a planteada. hasta llegar a una fracción de numerador
cada persona una mitad (~)
y sobra un pedazo, que se
1. n
7
1
= -3
+-
1
12
= 3, pues
+-
84
=
10, 5 . 3
= 1 5. Por
1
4
3
33
=-+-
Se tienen 3 panes que se reparten entre 7 personas. Cada
lo tanto,
9 tercios. Se da a cada
2. Se repite el proceso para la fracción _i_. Ahora n = 9, pues
persona un tercio (~ ) y sobran dos pedazos, que se dividen
1) . Se da un '3' '41 = 12
en cuatro partes (1
5 .2
2_=_1 + 5,3-11 11 3 3·11
1
pan se parte en tres, obteniendo
5 1 1:
Por ejemplo, para la fracción
1 = 18 1) . d·IVIíden en nueve partes (1'2' '9 3 d. -
1.
4 . 9
= 36.
Se tiene entonces que:
514 -=-+-
pedazo a cada
11
persona y sobra uno, que se divide en 7 partes (_1 . 12
L = _1 ). 7
3
33
33
= .!_ + (.!_ + 4 . 9 -
84
3
9
33) 9 . 33 continúa
Santillana Bicentenario
354
Solucíonarío
Pág. 81
= ~ + (~ + 9 .333) = ~ + (~ + 9 .111 ) 1 1 =-+-+3 9
1.
2 2 b z 2 a
6.
x+3 x+2
2.
2 3pq
7.
b 3a
3.
3su4 4 10p2t
8.
3(a2 + Sb + 4) 2ab(a2 + b -2)
4.
8abc2 S
9.
-z 4 2 2x
5.
x+3 x-3
1 99
La última fracción obtenida tiene numerador igual a 1, por lo que el proceso concluye.
Pág. 76 1. D 2. A 3. A 4. E 5. D 6. e
7. e 8. D 9. e 10. D 11. B
Pág. 83
Pág. 77 12. B
1.
1 x + x2
10. -
2.
x -
11.
3.
1 -3
12.
a-S a+S
21. -
4.
b b-2
2(n - 2) 13. 3(n - 1)
22. -1
5.
n(n + 1) n-2
14.
2 x-S
23.
6.
a+3 a+S
15.
1 b + 10
24. -
7.
x+3 x+2
16.
x+2 m-n
25.
17.
n+l 2-n
2 + 3x + 1 9x 26. 3x
13. D 14.
e
b - 2a b . b = a(c + 2)" c = c + 2' , a 16. f(x) = x + 6 15. a=
17. f(x)
= -x21
18. f(x) = -4x - S
Pág. 79 1. 2.
3.
x:;t:O x:;t:l
x:;t:-l
7. 8.
9.
a b
x-I 3x
4.
5.
No tiene restricción.
11. 12.
8.
x+l x
x2 10. x-l
x :;t:2 Yx :;t:-2
1 a2 + 9
19.
3a c-d
20.
1 x-2 x 2x -4
Ca- 3b) 2 a x 2(x + 1)
-
x:;t: -I 2
6.
a
S+x 4
-
9.
4 - 2x 2x + S
2x + 3
-xy
18.
4
(x + 1)(4x - 3y) (x + 2)(3x - 4y)
3n2 2a - b2
27. El correcto es a. En b, el error es suponer que 2_
a-b 6b + 4
2
2_
2
(a - 5) - -(5 - a) . Lo correcto es (a - 5) - (5 - a) .
355
Matemática
Solucionario Pág. 85 10. El ejercicio 22 se simplifica cambiando el orden de los términos. La respuesta depende de cada alumno. Algunos ejemplos son:
x2 + x
-3ab - 4b 2
11.
(a + b)(a - 2b)(a + 2b)
2n2 - 6n + 4 n2 + n - 6
X2
ISax2 - 3ax + 20x2 + 4x - 1Oa2x - 2a2 2a2(5x + 1)(5x - 1)
12.
x 2 - xy - 3x + 2y - 4 (x _ y)2
2x2 + Sx + 2 3
(4x - x )(2x + 4)
x3 - SO + 2}
- 25x
12x2 + 21x + 1 16. (1 - x)(x + 1 )(x + 2)
13. m - 6
Pág. 87 1.
6ac4p5y4
6.
3 3
5bn x
2.
(x + 5)(3x + 1) (2x + 1)(3x - 1)
3.
(a - b¿(x + S) ab(a + b)
4.
(3 - alea - 2¿2 2a(a + 1)
5.
2ab (2x + 5)(3y + 1)
14.
5x + 2 3x + 2
15.
a
17. ( x:
a - 3b 2 2x + 4xy
(a - 3x) x
8.
2 ab (2 - a) 4xy
9.
(x + a)(2x - a) x-a
Las respuestas dependen de cada alumno. Como ejemplo. se presentan las siguientes:
10.
5axy 2(mn - 3pq)
ax2 - axy _ ax x2 _y2 x+y
Pág. 93
2.
(n + 1 )(n - 1)(n + 3)
3.
15(1 Sx - y)(x
9; _ x - 3y
2
(x + 3)(x - 1)(x
5.
4(x - 1)(x + 1)(x + 2)(x + S)
x2 - 1 x . 12x x + y . x2 _ I 12x+ 12y
+ x + 1)
6.
-(a + 2)(a + 3)(a - 4)
7.
(a - 3)(a + 4)(a + 6)
x-y
4xy 22' Y -x
5a + 3b 2 2 6a b 11x2 _ 2y2 12x(x _ y)2
Santillana Bicentenario
- -
x2 -x
x
a+ 3 a+ 2
Las respuestas dependen de cada alumno. Como ejemplo. se presentan las siguientes:
x-2
9.
4xy
a2 + Sa + 6 a2 + 4a + 4
ax - a _ a
+ y2)(x + y)(x - y)
4.
8.
ab2e3 _ a3b2e - e2 _ a2 (abe)2 ae
4x2y _ I2xy2
3(x - y)(x + y)
x2
(x + y)(x - y)
X2 - 6xy +
1.
2x3 + 3
7.
Pág. 91
2
18.
I )2
356
12x x2 - 1
x x+y
4xy _ (2 - x)(x + y) 2 2 4xy Y -x
•
x-2 x-y
--
4xy (2 - x)(x + y)
_ 12(x + y) x2 - 1
Solucionario
Pág. 95 1.
x(x
6. Tardarían ~~ de hora. 2
2
+ x¡ - 5y )
7. a(a + 1)
2
7. El número es 52.
(x + y)(x - y) 2.
(5a - 7)(3 - 4a2) 2 2 8(a - 1) 2
3.
8. 3
y-x 2x + y
9a - 15a - 6 - 3a x + I Oax - 4x (a + 2)(a - 2)(3a + 1)
9.
1
4x + 1 10. 4x
x+I x
5.
a 11. (a + b)(a - b) 2
6.
2b(x + y)
12.
2
a (a + b)(b - a)x¡
2a(1 - b) b
2.
Manuel viajó a 42 km/h y Pablo a 52,5 km/h.
..2....
-4 12. Aproximadamente,
a las 4:05:27 y a las 4:38:11.
13. Aproximadamente,
a las 4:54:33.
14. Aproximadamente,
a las 4:21 :49.
Pág. 103
~x2 + ~ - 5¿:2){x- 1~ {5a - !J.(3 - 4a2){x - 1~ {Z: - x¿{x - I¿ (2x + y)(x - 2) (x + y)(x - y)2(x - 2) 8(a2 - 1)(x - 2)
Pág. 99
1.
9.
11. La fracción es
2
49 - 29x 29x
Demoran ~~ horas las 3 juntas.
52 dílas SI. tra bai . 10. T ar darí anan 23 ajaran Juntos.
2
4.
8.
x = 1
_ 55 x--87
3. x=2
9.
5 8. x=-4
15. x = I
3 9. x=14
16. x = a + b
10. x = O
17. x = m
x> O
Ó
x <-1
10. x> O
Pág. 107
1.
f(x) •
4.
9 x =-2
7 11. x= 3
5.
_ 7 x ---
12. x=-
6.
x=3
13. x=-
12
13 8 a2 4
7.
x=-1
14. x=
18. x=
,
b-a 2
19. x =--
1 4
20. x =--
1 4
--
13ab 8a - 5b
g(x)
Pág. 101 1. Ricardo tiene 47 puntos.
2.
3 horas.
3.
Se deben agregar 195 kg de agua dulce.
4.
Matías tiene $ 6.000. c. ., -30 . La IraCClones -26
s.
..
357
..a
.~
Matemática
h(x)
6.
Dado que b '# 0, la única posibilidad de que la expresión se indetermine es que x = -b. Por lo tanto, Dom f(x) = ~ - {-b}. Sea p un elemento del recorrido de f(x). Se tiene que, si x es un elemento del dominio de f(x):
:
_ a P-x+b
• .:
xp + bp = a xp = a - bp
•
,
x = a - bp p La expresión para x se indetermina para p = 0, por lo tanto, no puede ser parte del recorrido. Luego Ree f(x) = ~ - {O}.
°
j(x)
7. Si x toma valores cada vez mayores en valor absoluto, el valor de
, ., .,
••
f(x) no corta los ejes coordenados. 8.
g(x) corta el eje Y en (O,-1), y no corta el eje X. h(x) corta el eje Yen
(0, - !), y no corta
el eje
X.
La función no intersecta al eje X pues y no puede ser igual a O. Para determinar su intersección con el eje Y, se toma el valor x = 0, con lo que se tiene: a
j(x) corta el eje Y en (O, -1), y el eje X en (-~, O). 3.
=~-
{1}, Rec g(x)
Dom h(x) = ~ - {;
=~-
a
feO) = 0+ b =
{O}
9.
l
Rec h(x) = ~ - {O}
Dom j(x) = ~ - { ; }, Rec j(x) = ~ - {1}
./ expresión
cx+b:;t:O
5.
Asíntotas f(x): x = O, Y = O
1 h(x): x = -, y = O 2
g(x): x = 1, Y = O
j(x): x
= ~, y =
x :;t:--
Las funciones son decrecientes en todo su dominio.
Santillana Bicentenario
b
c
Por lo tanto, Dom f(x) = IR- {- ~ }.
1
358
(0, ~).
dx + a se .Ind e fiIne cuan d o su d enorruna - d or ex + b es cero, es decir, cuando ex + b = O. Se tiene entonces que, si x pertenece al dominio de la función, debe cumplirse que: La
ex :;t:-b 4.
b
Es decir, la función intersecta el eje Y en
Dom f(x) = ~ - {O}, Rec f(x) = ~ - {O} Dom g(x)
° es asíntota
Por otra parte, si x toma valores cercanos a -b el denominador de la expresión se acerca a 0, por lo que el valor de la expresión crece cada vez más. x no puede ser igual a -b (pues -b no pertenece al recorrido), por lo tanto x = -b es asíntota vertical.
-e
2.
se acerca indefinidamente a 0, sin tomar ese valor
x+b (pues no está en el recorrido). Por lo tanto, y = horizontal .
, -,
a
Solucíonarío
Sea p un elemento del recorrido de f(x). Entonces, para algún x del dominio, se tiene que:
igual a -; tanto x
dx + a cx+b=P dx + a = (ex + b)p
(pues -;
no pertenece al recorrido),
' I, = -- b, es asíntota vertica
e
11. Se tiene: feO)
dx + a = cxp + bp
=
b
x( d - cp) = bp - a bp-
d· O + a eO +b
a
dx -cxp = bp - a
x=
por lo
a
Por lo tanto, la función intersecta el eje Y en el punto ( 0, ~).
d - cp
La expresión para
x se indetermina
que ocurre si p =
i. Por lo tanto, i no pertenece e e
Por otra parte, si se iguala a cero la expresión se tiene:
cuando d - ep = 0, lo
de la función, y se tiene que Ree f(x) = IR -
0= dx + a ex + b
al recorrido
{7}'
0= dx + a
-a
_
a x --d
10. Si x toma valores cada vez mayores en valor absoluto, el valor
°'
d e dx + a se acerca ,Ind efiInIidamente a ,Sin tomar ese va Ior
ex + b (pues no está en el recorrido), Por lo tanto, y = horizontal. Se tiene: dx + a : x f(x) = --ex+b:x
°
= dx
Por lo tanto, la función intersecta el eje
es asíntota
X en el punto
(-~,
O).
Pág. 108 f(x) =
-2x Sx + 3
dx + ~
x
x cx + ~ x x
Pág. 109
d +~
1. x
= O, x = -1
2. x
= -1 o
x
d
c +x
bien a
=°
7. x=-1,x=-2 Por lo tanto, si x toma valores cada vez mayores en valor
1 8. x =-2
a b y - se acercan a O. Con ello, el numerador se x x
absoluto, -
acerca a d y el denominador
a e, por lo que el valor de la
. / dx + a se acerca cadaa vez vez ma expresión mas a -.d ex + b
este valor no pertenece al recorrido, y =
D ad o que
e
i es una asíntota e
horizontal. Por otra parte, si x toma valores cercanos a _2., el
e
denominador
de la expresión se acerca a 0, por lo que el
valor de la expresión crece cada vez más, x no puede ser
359
Matemática
Las respuestas dependen de cada alumno. Como ejemplo, se presentan las siguientes: 1.
Las respuestas dependen de cada alumno. Como ejemplo, se presentan las siguientes:
f(x) = x + 2 x-S
f(x) • •
=
4 -x -+-3
2
g(x) = x _ 7
= IR -
Rec f(x) = IR- {O}
Rec g(x)
h(x) = 5x - 7 x+2
(x) = 2x + I J 4x + 6
= IR-
Rec h(x)
{S}
Rec j(x)
= IR-
{O}
{~ }
.,
.. Pág. 112
2.
g(x) = 3x - 1 2x- 4 • •
1.
E
5.
D
2.
B
6.
A
3.
D
7.
C
4.
B
8.
E
Pág 113 z
.,
.,
,
,
9.
• •
D
13. B
10. E
14. E 16 15. 1I 16. Pedro se mueve a 100 km/h.
11. A 12. C
Pág. 115 3.
h(x) =
1.
2x x+1
Santillana Bicentenario
360
8.
-z
4x
2.
x =f.:4
9.
x-l x+1
3.
x =f.:{-3, 3}
10.
S-x 5
4.
3x - 8 x+6
x+2 11. x+3
5.
Las funciones f(x) y g(x) son decrecientes y la función h(x) es creciente.
x=f.:1 1
y2
y-S
12.
(x - 3)(x + 4) x+3
6.
2a - 3b 4b + 7
13.
3-a a+4
7.
aSbc
14.
a+b 3b + 2
Solucionario
p(p + 1) 19. ) (p - 3)(p + 2
26. x
20.
6ab - b 27. x= 3a - 3b - 1
=
•, , •
1
->1
(m - 2)(m + 4)2 21. (m _ 3)
"..
28. No hay solución.
36. Dom f = ~ - {- ~}, Rec f = ~ - {- ~} 11 3
"
29. La fracción es -. 32 3 ,12 30 • D ernoranan
T
• •
-.
dflas Jun . t os.
_"
31. Cada persona aportó $ 3.000. 32. Dom f = ~ - {O},Rec f = ~ - {O}
3 7. Dom f =
~-{
•
• •
!l
Rec f
=~-
{2}
" "
•
I
l
)
•
..
• \------1
-r
->1
_"
33. Dom f = ~ - {O},Rec f = ~ - {O}
, ,
,
-. -,
-.
361
I
Matemática
Solucionario .1
11
Unidad 4, Potencias y rafees
7.
8.
2 sentada por 21tr .
El radio de la otra rama mide /3.0251t (Aproximadamente
3.
V
- 100 cm.
41t
27,355 cm).
No es posible, pues no se conoce la medida mínima que puede tener una rama.
( a 2n . bn . c 4)6n
16.14,6
10. 7
17. Y - 16x
11. 0,625
18. 9 S 19. x - x2 + 1
12.
.!l 6
362
1 S. -1,8
9.
13. 44,1
Santillana Bicentenario
14.30 1
Pág. 117 1. Siendo r el radio, el área de la sección del tronco está repre-
2.
1287
Solucíonarío
35. ~
38.
36. 1~2;3
39.
~
1
35-
a
2.J5 + 2J7
14.
-----
6.
-
..fi+J7 5
15.
2 --/3
7.
../3 + J1S
16.
8.
2-/3 - 2
17.
9.
..fi + 1
18.
2a.Ja - 2..fia a-2
10. 2J2 - 2
19.
J3 -
11.
20.
7a - 6J7a - 7
8
37. ~
------='_
Pág. 129 1. 1.
J10
2. 1.
0,03125
2.
2.
J%
3.
510
.J138.240
3 • a8b 4
I
2.J70 + 17 3 24-~ 19
..fi
2
2
a - 7
8JS_ - __:_:.=. 10..fi 12. ___:_
3. 1.
10.fi + 4.J5 3
5.
21.
2aJa - 2.J2ab + a.J2b - 2b 2
3
6~
13. 3..fi -
a - 2b
2.J3
22.
a(a + 7) 14
(.Ja + 7 + .Ja -
7)
Pág. 131 1.
J7
10.
6~ 5
7
2. 3. 4.
3..[5
11.
2..fi
12.
lf8
J14 ~
13.
J5
14.
2.
-
3<19 - 3:if2i + 3ffl
15.
3.
-3lfii - ~
4.
4:if4 + 8<12 + 16 3
9.
~3a+l
+7~ 111
10.
5.
30 + 3J1S
~
3 7.
9.
- 8
8.
+49
-ifi - :if4 ~
- 2
+1642 +64 31
7
2J1s Pág. 137
S
8.
2
~
3
9<19 + 81 123
m+Ts+3
7.
10
12
50
T8i -
3
4
5 6.
6.
5
9 5.
Pág. 135
2
17.
Vt44
18.
JX
1.
~(a+ b)b-2
6
a+b
Pág. 133
1.
-/3+..fi
3.
2.
3J7 - 3../3
4.
4
2..fi + 2.J5 ..fi 2
..fi-.J6+2 4
2.
s..fi + 2..[5 + J70 20
3.
IS2..fi + 104../5 + 64J1O + 247 41
4.
1 0-/3 - 7.J5 - 3J1s + 1 6 11
5.
~2S.000 5
363
Matemática
Solucionario
Santillana Bicentenario
364
Solucíonarío
Pág. 152 1. 2. 3. 4.
e
15. 5. 6. 7. 8.
A A
e
2V
B
16. a x x
D E
17.
D
18. ~ 13. 14. 15. 16.
B E E
19.5+J3
e
20 .
14
2.
-4
../3 + x
21. ~a3b4
Pág. 155 1.
3ifiX 4
Pág. 153
9. e 10. E 11. D 12. e
W90
23. -..[5 -
.J6
(x + 2)(../x -
24. -~--~--------~
3 + ../X + 3)
6 25. 5.
-5(1 - .J2)~1 +.J2
(m - ~).Jm +.rn
~
26. -'----------'-----2 m -n 20 27. x = 7 28. x
=1
13 29. x =5
30. x 10.
1(}1
634 25
31. No hay solución.
11. 1
32. x =-1
12. 7 6-
13.
=
2 33. x =--
5
b 11
4b -ab 34. x= a-3
a
14. 128
365
Matemática
Solucionario Unidad 5, Exponentes y logaritmosll
11
Pág. 165 10. D 11. C 12. D
Pág. 163 1.
8
2
40 dB equivalen a 10- W/m , mientras que 100 dB equiv-2 2 alen a 10 W/m. Por lo tanto,
Pág. 167 1. 2
_10-2W/m2
100dB
10-8 W/m2
40 dB
= 106
=
1.000.000
La mayor intensidad corresponde menor intensidad.
a 1.000.000 de veces la
60 dB equivalen a 10-6 W/m2, mientras que 70 dB equivalen a 10-5 W/m2. Por lo tanto, si ambos instrumentos suenan juntos,
12. log3
-2
3.
4 3
4.
-1
15. log3a b =
5.
-4
16. -1
6.
2
17.
7.
log8 64 = 2
18.2. 2
8.
log3 243 = 5
19. 10
9.
log2 1.024
13.log49
= 10-6 W/m2 + 10-5 W/m2 = 10-6 W/m2 + 10, 10-6 W/m2 = 11 . 10-6 W/m2 = 0,000011 W/m2
Se observa que 0,000011 corresponde -5 1O . Por lo tanto,
aproximadamente
a
60 dB + 70 dB z 10-5 W/m2 ;::;70 dB Es decir, si suenan juntos, su intensidad corresponde poco más de 70 dB.
3.
a un
Como ventaja, se aprecia que es posible trabajar con números más pequeños. La mayor desventaja es que la escala parece distorsionar la percepción: que una intensidad sea el doble
Pág. 164 1. B 2. D 3. B 4. C 5. A
Santillana Bicentenario
6. 7. 8. 9.
C B A
366
=
10
2
'3 1
'2
20. 7
11. logs 1 = O
22.81
Pág 171 1. -1
9. 2,079
2.
10. -0,243
3 --
11.1,095
4 4 33
5.
1 4
6.
(~)2
7
E
2."
6
21. 81
4.
1
.!2.
1 10. 10gS'5 =-1
3.
que la otra, por ejemplo, no implica que una corresponda al doble de decibeles que la otra, por ejemplo. Tampoco es posible sumar las intensidades expresadas en dB.
7=
1 4. log27 9 =
su intensidad es: 60 dB + 70 dB
'91 =-2
2.
= 10-2 --8
2.
13.C 14. A
12. -0,602
O
bien -0,604
13. 1,924
= 256 49
14. -0,051
7.
0,461
15. 6,644518272
8.
0,544
16. 2,926624738
Solucíonarío
17. 2,0847176079734219269102990033223
Pág. 173
18. 1,769361702
1.
log
+e
ae
3
2. log (x + z)
2
e - a 19.1,361161525 2.
20. 1,4639 21. log (abe) a
4
x =
(a +'$.2,Sb)
2.
x = _logl92
2
3
bS'/JIO - 2b
26. log
x =
• 4.
25. log (~a4cb) 9
-7,58
<::<
log2
b a+b
a
x = V2S-
Icg3 "" 0, 792 log4
1.
24. log
c,G
Pág. 175
22. log
23. Iog
2
log6 "" 0,373 log243 - log2
x = log3 ".. 1,585 log2
Jd -
6a + 4b
=
5.
x
6
x = log20 ".. -13425
log16 - log27 log64
<::<
-0,126
~x- 3d 27. log (a - b)
·
4 log-
'
5
28. log
•
b3~
29. log
S
a
x =
7
3
1 1 1 30. Slog 6 + Slog a + 25 log n 1 3 1 31. log 2 + log a + 710g v + Slog (a - b) - log 5 - 410g e
8.
x = log5 - I log16
9.
x = log60 log9
10 x •
=
32. 2 + z - 2x
11. x = 33.
41og18 "" 2,22 31og9 - log4 -0,42
1,863
<::<
IOg(
<::<
4
)
703.125 Icg75
<::<
-2 8 '
Iog( 3~3)~ -0.489 logS6
1
x
(1)
34. 4-15
log 12. x = 2 Icg6
35. 2
13. x = log2 ".. 0,43 log5
367
<::<
-O 387 '
Matemática
3. log 2,5 + In J50
14.
= In (~)
= In 5 -In
= In 5 - In 2 + lln 2 + In 5 2
31 16. x = - = 281 11 '
1 = 21n 5 - -In 2 2
17. x::::: 2,095
l 2 ·07' :::::2· 16,
18. x:::::-O,41
= 3 ,2 Pág. 177 1. No hay solución
5.
x = 15 1.
6. No hay solución. 3.
No hay solución.
4.
11 x =-_
4.
O35 ,
= 2,85
1
x = 100.000. Se comprueba que: 1 210g 100.000 = 2· (-5) = -10
i
7. t=3·2 ,cont;t:0. 2.
x = 20. Se comprueba que:
8. t = 6
12
log 20
Pág. 181 1. Función logarítmica de base menor que 1.
3.
2 + ; (In (2 . 52))
1 = In 5 - In 2 + "2(ln 2 + 21n 5)
15. x = -2 . In 2 ::::: -1,386
2.
+ ; In 50
= log (10
. 2)
= log
10 + log 2
Pág 184
Función exponencial de base mayor que 1.
1.
y 6
Función logarítmica de base mayor que 1.
,¡
Función exponencial de base menor que 1.
-
Pág 183 8
1.
In 10
X
= In (5 . 2) = In 5 + In 2 :::::1,6 + 0,7
2.
y
= 2,3
t ~
2
2.
.:
In 20 + In 0,4 = In (20 . 0,4)
V-:1
= In
·2
(2
= 31n 2
3•
J
~
X
= In 8 3)
01
1 1
~ 1
+
y 2..
:::::3 . 0,7 = 2,1
8
10
X
·01
Santillana Bicentenario
368
=
1 + log (22 - 20)
Solucionario
4.
y =
J2 x
y
3.
2
Dom m(x) = ~ - {O},Rec m(x) = ~_ Intersecta el eje X en (-1, O) Y (1, O) Y no intersecta el eje Y. y
•
..2
.$
10
.~
..¡ ~ I
I
2
.¡
~
~
I
(
\
6
'1>
X
-2-
x 5. y=
2J3 x
..¡
y
-
·6
I
I
3
4. ..¡
Dom p(x) = ~, Rec p(x) = ~+.No intersecta el eje X, e intersecta el eje Y en (O, 1). y
10
2 _8
2
..¡
x
-
6
-
Pág. 185 2
.-
1.
Dom g(x) = ]-4, +00[. Rec g(x) = ~. Intersecta el eje X en (-3, O) Y al eje Yen, aproximadamente, (O; 1,39).
110
-s
.~
.,1
-2
./
I
5.
Dom q(x) = ~+u {O},Rec q(x) = ]-00, 3[. Intersecta el eje X en (9, O), Y el eje Y en (O, 3). y
x
IX
_4
·2 ~
..¡
:1
,
t:¡
~
-fI
i'l
1
X
--
-2.
-+·8
6. 2.
Dom s{x) = ~, Rec s{x) = ~+.No intersecta el eje X, e intersecta el eje Y en
Dom h(x) = [-6, +00(, Rec g(x) = ~+u {O}.Intersecta el eje X en (-6, O) Y el eje Yen, aproximadamente, (O; 2,45).
(O,
11 ), 6 y
8
y 6
2.
.1,
..¡
x
-t X
369
Matemática
7.
Las funciones no son equivalentes. En f(x), se tiene que:
Dom f(x) = IR+, Rec f(x) = IR. Intersecta el eje X en (100, O) Y no intersecta el eje Y. '~1Y
Y-
-
.-.
,.
f(x)
= In (x2 = In
-
.-
8 f --
- ~-
I
1) -
-
In (x - 1)
(x2x-l- 1)
= In (x + 1)
-
e
..-
r--- ._:I .
- --
-
Sin embargo, esta simplificación modifica el dominio y recorrido de f(x), e impone restricciones que g(x) no tiene .
-, Pág. 189 -1
:!
6
8
I
10
I
X
,
y
1.
I
8.
e .-
Dom n(x) = IR, Rec n(x) = IR+. No intersecta el eje X, e intersecta el eje Yen, aproximadamente,
-
e
(O; 2,71828). (..±
Y
1-
\K
1.0
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f-
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¡
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2.
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X
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9.
y
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12
X
3.
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y
A..
•
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Dom f(x)
= ] 1, +00[, y
10. >-
7
Rec f(x)
= ]In 2 ,., 0,693,
,,2
+oo[
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X
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10
X
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I
Santillana Bicentenario
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370
i
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Solucionario
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4.
9.
-g(x) y
,
...
-1
x ·2
5.
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11. -g(x - 4) ·2
y& r-.-I 4
7.
y.
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2
4
6
8
10
·2
12
'~
.-
Pág. 193
1)
1.
B(h) = 150 . 3h, donde h está en horas.
2.
Habrá 1.350 bacterias luego de 2 horas, pues:
a X
.
8.
.- -
O
;2
:l
·2
._ f--4-
B(2) = 150 . 32 = 150 . 9 = 1.350
y X .?
·10
3711
Matemática
3.
Habrá 10.000 bacterias luego de, aproximadamente, 3,82 horas, pues: 10.000
7.
Si el pH de la espinaca está entre 6,3 y 7,1; se tiene que: 6,3 = -Iog [H+ ]
= 150 . 3h
-6,3
10.000 = 3h 150
[H+]
10-6,3 = H+
200 = 3h
7,1
3 200 = 3h + 1
= -Iog
[H+]
-7,1 = -Iog [H+] 10-7,1 = H+
log 200 = (h + 1)log 3 log 200
= -Iog
= hlog 3 + log 3
-71
+,
Por lo tanto, su rango en H esta entre 10 ' Y 10
log 200 - log 3 = hlog 3
8.
log (2~0) = hlog 3
Su rango en H
esta entre 10
-31
. Y 10
f(x)
y
.'
-
h "" 1,824 "" 3 82 0,477 '
'.
Ui
e
-
-e
--
-
~
-
La longitud del pez será un 80% de la longitud máxima cuando su edad sea de, aproximadamente, 3,22 años, pues:
,¡_
1
O8 . Lm = L In (1 _ e -O,5t) , ?
O,8 = 1 - e -O,5t 02, = e-O,5t In (0,2)
-23
Pág 195
log (2~0) h=--log 3
4.
+,
g(x)
.1
·e
..j
.~
,¡
-X
./ y
.~
·01
,
= -O,5t
·2
I
~
""
X
-
~~
t = In (0,2) "" 3 22 -0,5 '
.
-
-f-,Jl
5.
Para que la longitud sea máxima, debe ocurrir que: 1 - e
-
-kt
e-kt
=1 =O
J
Esto no es posible, por lo que la longitud máxima no puede alcanzarse.
6.
·8
f(x) 8
Luego de los 9 años se tendrán $ 1.342.017, pues: ..¡
Cf = (1.000.000(1,05)4)(1,02)5 = (1.000.000 . 1,21550625) (1,1040808032) .~
"" 1.342.01 7
Santillana Bicentenario
. ..¡
.Í!
X
372
-63
'.
Solucionario
16. h(x) = log3 (4 - x) - 3 y 10
g(x)
'(
x
?
·s
.~
.2
.,1
·6 ~
·s
Pág 198 1.
2. 3. 4.
17. a. Debe ser de crecimiento, pues a mayor concentración alcohol debe haber un mayor riesgo.
5. D 6. AoD
B B D A
7. B 8. D
b. k = In 5 - In 3 ",; 1277 004 ' ,
Pág 199 9.
18. El pH se calcula mediante 10. B
A
de
la fórmula:
pH = -Iog [H+]
1 11. x= 3
luego:
=
pH -Iog [0,027] pH ",; 1,57
12. x = 7 (x = -3 se descarta). 13. Dom f(x)
= IR, Rec
f(x)
Dom g(x)
= IR, Rec
g(x)
19. V(t) =Vo· (0,8)t
= ]5, +oo[
= ]-3,
Pág 201
+oo[
14. f(x): No intersecta el eje X, intersecta asíntota es y = s.
1.
el eje y en (O, 6). Su
2. g(x): Intersecta el eje X en, aproximadamente, eje y en (O,-2). Su asíntota es y = -3.
(-1,6; O), Y al
4.
=7
1
log6 36 =-2
3. log 121 11
15. 5 - log3 (x) y
log2 128
-
-1 2
4
o
5. -5 8
6. 7.
1 1.000
4
8. 210ga b - 310ga c - loga (a + b)
2
9. log
x
373
1) (x(x + y)
Matemática
25. f(x)= lo~ (x) + 1 2 10 . xy = -5
11. 2.025
y
= 34 . 52. Por
lo tanto: ·4
.")
x
. log (2.025) = log (43 . 5 2\) = 410g 3 + 210g 5 "" 4 . 0,477 + 2 . 0,699 = 3,306
12.
1E._1g_ 3
2
1 3 13. In 2 + -In a - -In 2 10
1 b + -In c 3
26. g(x)= 1 - log3 (5 - x) ~
J
J y__jj)1
I
14. x = 6 .-
15. x = 2
e e
-
16. x = log 48 "" 2 ,7925 log 4
- 1-
-l.
.,
-
5 17. x = -. Se descarta x = -2. 2
o
.
.
-2
.¡l
,
2~
X
-
-~-..,
18. x = 21n 2 + 6 "" 7 262 In 3 ' 27. Y =
x In 5 - 2 19. - = = In 5 - 2 "" -O 39 Y
1
'
29. La cantidad se triplica luego de 21,7 años aproximadamente, pues: 150.000 = 50.000(1,052)t
21. Dom f(x) = IR, Rec f(x) = IR-, asíntota y = O. No intersecta el eje X, intersecta el eje Y en (O, -1 ).
= ]-00,
1[, asíntota y
3 = (1,052)t log 3 = t . log (1,052)
= 1. Intersecta
t =
23. Dom h(x) = IR+, Rec h(x) = IR, asíntota x eje X en (10, O). No intersecta el eje Y. 24. Dom p(x) = ]-1, +00[, Rec p(x) Intersecta ambos ejes en (O, O).
x
28. Y = 3 - log (x + 1)
20. x = log 1 1 "" 2 18 log 3 '
22. Dom g(x) = IR, Rec g(x) ambos ejes en (O, O).
.J5 -
~l .~-
-2
= O. Intersecta
= IR, asíntota
x
el
log 3 "" 21 ,7 log 1,052
30. La potencia de salida será de 300 watts, pues: 20 = 1010g(~)
= -1.
2 = log Ps - log 3 2 + log 3 = log Ps log 100 + log 3 = log Ps log 300 = log Ps Ps = 300
Santillana Bicentenario
374
Solucíonarío
Unidad 6, Ángulos y proporcionalidad en la circunferencia
•
2.
Pág. 203 1. El perímetro de la Tierra es 39.750 km. 2. El radio de la Tierra es de, aproximadamente, 6.329,6 km (1&= 3,14), y su volumen es de, aproximadamente, 1.061.688.666.807 km 3 . 3. Suponiendo que la Tierra fuese perfectamente esférica, sí. 4. El error fue de, aproximadamente, 0,4%. Pág. 204 1. 8 2. C
3.
D
5. 8
7. E
4.
C
6.
8.
A
2
El área de la figura pintada es 1 cm y el perímetro es aproximadamente 5,363 cm.
Pág. 212 1. ex = 67°; ~ = I 34° 2. ex = 24,5°; ~ = 42° 3. ex = 15°; ~ = 105°
4. ex = 11,25°; ~ = 22,5° 5. ex = 45°; ~ = 90° 6. ex = 41 0; ~ = 152°
Pág. 213 7. ex = 700; ~ 8. ex = 65°; ~ 9. x = 22° 10. x = 50°
11. x 134° 12. m( 1::80D) 13. x 30°
= 50° = 35°
= =
= 3300
8 14. Hipótesis: DA y CD diámetros. Tesis: A, 8, C colineales. Para demostrar, se trazan los radios OB y O'B, las cuerdas AB y BC y el segmento 00'. Se logrará demostrar la tesis si se demuestra que el ángulo 4:ABC es extendido.
Pág. 205 9. A 10. En la ruleta se definen 8 sectores circulares. 11. El perímetro de la ruleta es 30n cm. 12. El área de la ruleta es 2251&cm2. 13. El diámetro de la moneda es 10 mm. 14. El perímetro de la moneda es 30 mm. 15. La longitud del riel es 120 mm.
D
o
Pág. 207 1. El área de la figura pintada es aproximadamente 1,818 cm2 y el perímetro; 14,423 cm. Demostración: Afirmación
Justificación
1.
DO=BO
Por ser radios.
2.
CO' = O'B
Por ser radios.
3.
00'
Por principio de identidad.
4.
,6,OO'D - ,6,OO'B
Por afirmaciones 1, 2, 3 y criterio LLL.
5.
1::0DO' = 1::0'BO
Por afirmación 4.
-
=00'
6. AO-BO
-
Por ser radios.
7. 1::BAO = 1::0BA 8.
Por ser ángulos basales del triángulo isósceles MOB,
CO' = O'B
Por ser radios.
9. 1::CBO' = 1::0'CB 10. m( 1::DCA) + m( 1::CAD) + m( 1::ADC) 11. m( 1::ADC) 12. m( 1::ADC)
por afirmación 6.
Por ser ángulos basales del triángulo isósceles MOB,
= 180°
= m( 1::0DO') = m( 1::0'BO)
13. m( 1::DCA) + m( 1::CAD) + m( 1::0BO')
por lafirmación 8.
/
Angulos interiores del triángulo ..1DCA. Por construcción. Por afirmaciones 5 y 1 I .
= 180°
Por afirmaciones 1O Y 12 (q. e. d.).
375
Matemática
Solucionario Pág. 215 /
1.
Angulo de centro: ~OB. Ángulos inscritos: ~DC,
~DCA,
8.
EF
9.
El radio de la circunferencia mide 3
~CAB y ~DAB.
~CAD,
2. ,
=
3.838 cm 9
J6 cm.
,
Angulo de centro
Angulo inscrito
R.elación
iFOH iFIH m( 1:FOH) m( iFOH) = 180° m( 1:FIH) = 90° 1:IOF m( 1:IOF) = 52°
1:IHF m( 1:IHF) = 26°
m( iIOF)
iHOI iHFI m( iHOI) m( iHOI) = 128° m( 1:HFI) = 64°
Pág. 217 1. x = 70°
2. x = 52°
Pág. 219 1. a. = 40° 2. a. = 64°; ~ = 32° 3. a. = 98°; ~ = 40° 4. a. = 20° 5. a. = 36° 6. x = 36°, Y = 108°, Z 7. x = 76°
Pág. 225
= 2 . m( iFIH) = 2 . m( iIHF)
1.
La medida del radio de la circunferencia es 2 cm.
2.
El lado faltante puede medir 12 Ó 18 cm.
3.
d
= 2 . m( iHFI)
3. x = 180° AB
=S
a
4. B' d
= 36° AB = 8 a
Pág. 221
B
..--..
1.
2.
= 80° m( iBEA) = 50° m(AB)
Pág. 223 1.
Be =
Pág. 226 1.
169 11
La medida del otro segmento interior es 1,5 cm.
cm
Pág. 227 2.
EG
= J6S cm
EF
4.
EF = 19 cm
5.
GF
7.
Ge = -
iii. Teorema de las cuerdas.
=
147 2
Be = 16,5.
2.
Pág. 230 1. 2. 3. 4.
cm
5
y la tangente.
ii. Ningún teorema relaciona dichas medidas.
= 10 cm 9
GB
i. Teorema de la secante
= 96 cm
3.
6.
1.
cm
Santillana Bicentenario
376
D
A
E e
5. 6. 7. 8.
B B e A
Solucíonarío
Pág. 231 9. D 10. e 11. e 12. E 13. B
2.
La longitud del arco es 2~1t cm y el área del sector circular es
=
14. Hipótesis: ~DAO ~OAE Tesis: DA ==EA Para demostrar, se trazan los radios OD y OE.
80n 2 cm . 9
3.
El ángulo que subtiende al arco mide 45° si es interior y 90° si es del centro.
4.
Para inscribir un polígono regular a una circunferencia, basta '1 de medid , ' construir" sucesivamente un anguo I a 360° con véruce n
en el centro de la circunferencia siendo n el número de lados del polígono. A continuación, se muestra un polígono de 9 lados, 360° donde a = 9 = 40°.
D
A
B
o
E
Afirmación
F
Justificación
1. OD=EO
Por construcción, son radios.
2.
OA==OA
Por principio de identidad.
3.
1:DAO = 1:0AE
Por hipótesis.
Para circunscribirlo, se trazan tangentes a la circunferencia en cada vértice del polígono inscrito.
s
4. 1:AEO = 1:ODA
Por ser MOD isósceles de base ED.
s.
1:EOA ==1:AOD
Por ser 180° la suma de los ángulos interiores de un triángulo.
6.
tlDAO
Por afirmaciones 1, 2, 5 y criterio LAL.
= tlOAE
DA=AE
Q
K
--i
7.
F
F
Por afirmación 6 (q. e. d.).
M
N
1S. La medida de AD es 7,2 cm. 16. El ángulo ~BAe es inscrito, el ángulo ~AeB es exterior y el ángulo ~eBA es semiinscrito. 17. La medida del ángulo ~AeB es 45°.
Pág. 233 < > ...... 1. OA radio, Be cuerda, DE secante, FItangente, GH diámetro. H
E
S.
a = 1000; ~ = 50°
13. a = 92°; ~ = 85°
6.
a = 20°; ~ = 40°
14. a = 64°; ~ = 104°
7.
a = 1I 2°; ~ = 67°
1 S. x = 18; Y = 4../3
8.
a = 25°; ~ = 125°
16. x = 7; y = 12
9.
a = 25 0;
17. x = 13; y = 4
~
= 40°
10. a = 65°; ~ = 100° 11. a = 44°; ~
~--_'A O
= 140°
12. a = 18°; ~ = 84°
ó
9
25
7 18. x = 6; y =6 19. x
= 25; Y = 50
20. x = 3../3; y =
6J3
F
377
Matemática
Solucionario 12. Hay infinitas soluciones, por lo que la respuesta depende de cada alumno. Un ejemplo es y = Sx. 13. Hay infinitas soluciones, por lo que la respuesta depende de cada alumno. Un ejemplo es y = -2x + 7.
Unidad 7, Sistemas de ecuaciones linealesll Sea p el precio, e la cantidad de compradores y v la de vendedores, 1. p = -1 OOc + 450 2. P 1 OOc + SO 3. El precio fijado sería $ 200, pues eventualmente podría permitir que 3 kioscos vendieran y 3 consumidores compraran, cediendo un poco en sus intenciones iniciales, 4. La respuesta depende de cada alumno, Se puede mencionar: la naturalezadel bien (si es de primera necesidado no), la época del año, lavaloración social del bien (si está de moda, por ejemplo), etc. 5. La elasticidad de la demanda corresponde al cambio que puede provocar en ella un cambio en el precio. Por ejemplo, la demanda del agua potable es poco elástica (o inelástica), pues si el precio del agua aumenta la gente no variará demasiado su consumo. En cambio, la demanda de un alimento de lujo (camarones, por ejemplo) es más elástica, pues si su precio sube la gente lo consumirá menos.
=
Pág. 243 1. mS > m3 > m1 > m2 > m6 > m4 2.
L1: y = -x Donde L1 contiene al lado AB, L2 contiene al lado BC, L3 contiene al lado CD, L4 contiene aliado AD,
3.
_
1
3
D 1 : y - --x +22
Donde D1 corresponde a la diagonal AC y D2 corresponde a BD.
Forma general
5x + y - 3
Forma canónica
1 1 - x + -y = I 3 3
=O
5
Pág. 237 10. e
2.
11. D 12. y -2x + 3 13. Intersecta el eje X en
=
3
(2' o), y el eje Y en (O, 3).
3.
I
2 5 y= -x +-
7
2x - 7y + S = O
7 1Ox + 3y - 1S
Su pendiente es -2, y su coeficiente de posición es 3. Ecuación
4.
5.
-4 -3 -2 -1
o
Pendiente
y=2x-5
2x + 6y +1
=O
6.
1
1 -x + -y
3
5
=
=O
7
1 I - x + -y 3 S 2
Intersección eje X
(O, -S)
1
(o, -i)
3 5
I
(3, O)
3
(0,5)
Pág. 247
2.
Sí.
5.
No.
6. No.
3.
Sí.
7. Y = 4x - 16
4.
Sí.
8. Y = -x + 1
Santillana Bicentenario
9. y= --
x
1.
3 10. y = 7x - 30
m =-6
2.
13
-
50
y = 6x - 9
11. Y = -3x + 29
1.
378
No.
2.
Sí.
1
Intersección eje Y
-4
Pág. 241 1. No.
=
2
--
-1
-2 -3
_-
2
- 10 + S y---x 3
14.
1 5 x + sy = 1
2.
Sí.
Solucíonarío
Pág. 249 1.
4. Variables
Sistema
A: gramos que contiene la bolsa de azúcar. S: gramos que contiene la bolsa de sal.
A-S=60 A+S=540
Sí.
5.
200 140
200 340
250 290
No.
7.
Sistema
N: valor entrada de niño. A: valor entrada de adulto.
Solución
2N + 2A = 10.000 N = 1.000 N + 4A = 17.000 A = 4.000
2N + 2A = 10.000 500 440
1.000 4.000
500 4.500
N A
600 540
A + S = 540 A S
No.
Variables
A = 300 S = 240
400 340
300 240
6.
8.
Solución
A- S = 60 A S
No.
N + 4A 350 190
300 240
=
1.000 4.000
500 4.125
N A
400 140
1.500 3.500
2.000 3.000
2.500 2.500
2.000 3.750
2.500 3.625
17.000 1.500 3.875
La bolsa de azúcar contiene 300 gramos y la de sal 240 gramos.
La entrada de niño cuesta $ 1.000 Y la de adulto $ 4.000.
2.
Pág. 251 Variables .
Sistema
,
x + y = 190 x - y = 62
x: pnrner numero. y: segundo número.
Solución
x + Y = 190 x Y
124 66
125 65
1.
x-
_ 3 : y-14 14
4.
x
2.
x = 43 ; Y = -64
5.
x - --,
x = 126 Y = 64
_ 153
= 2: y =
1
_
_118
3 127 63
126 64
128 62
3. x
= -3; y =
l.
15
1
6.
3a + 5b
x = ---:
x- y = 62 x Y
124 62
125 63
127 65
126 64
128 66
3. Sistema
H: precio de una hamburguesa. B: precio de una bebida.
300 2.300
600 1.800
5H + 3B = 8.400 2H + 5B = 6.400
2H + 5B H B
300 1.160
600 1.040
900 1.300
=
1.200 800
5a + 3b
y = ---
2
Variables
Sistema
Solución
m: dinero que ganó Manuel. p: dinero que ganó Patricio.
m = 2p m + p = 180.000
m = 120.000 p = 60.000
Solución Manuel ganó $ 120.000 Y Patricio $ 60.000.
H = 1.200 B = 800
Variables 1:precio de un lápiz. g: precio de una goma.
5H + 3B = 8.400 H B
2
15
7.
Los números son 126 y 64.
Variables
y - --
1.500 300
Sistema
Solución
1+ 30 = 3g 31 + 2g = 361
1=93 g = 41
Un lápiz cuesta $ 93 Y una goma $ 41 .
6.400 900 920
1.200 800
9.
1.500 680
a
= 4: b = 2
Una hamburguesa cuesta $ 1.200 Y una bebida $ 800.
379
Matemática
Solucionario Pág. 253 1.
2.
3.
17 x=-'y=-1 2'
x -
5.
- 2 ; y--_19 x -3
4.
x - 19 ,. y6
9.
_ S. x - -,y-a
31
25
S
,
_ 13 x - -;y-7
6.
22 x =-; y =-8 5
42 . y-
7.
x -
47
8.
9
8.
2 b2 - a a + 3b x= ab + 3 ; y = ab + 3
La firacclon . , es -39 . 52
9.
11
Pág. 257
21
x -
1.
1
20 8
x=
22
;y =
b - 2a
7.
_ 17
,'y-
Sa + 3b
_ 3
17
3
3
,
10
1 x = --; y = 1 6
26 . y-
2.
x = -32; y = 2S
3.
x=
4.
_ 17. x---,y-
673 290; y =
41 290
b 2
8a + a + 8ab - b 10. x = 3a + Sb; Y = 2a + 1 b(2a + 1)
5
_ 18 -
5
153 . y , 8
x=-
5.
79 3
38 . Y - 27 , - -7 5
6.
x=
7.
x = O; Y = O
8.
x- -,y---
_ 2.
_
3b
1 3b
Pág. 258 2 3(m + n ) m + n2 11. x = ;y = -n 1 + 3n m(1 + 3n)
Variables x: edad de Andrés.
y: edad de Camila. 12. x =
12 10+b
;y =
6b a(10+b)
Sistema
Solución
x + y = 4(y - 20) 2y = 2(x - 20)
x = 70 Y = 50
Andrés tiene 70 años y Camila 50.
13.
Pág. 259 Variables .
Sistema
,
x: primer numero.
y: segundo número.
Solución
2x+y=31 3x-y=14
Variables
x=9 y = 13
.
Sistema
,
x: pnmer numero.
3x + 4y = 10 4x + y = 9
y: segundo número.
Los números son 9 y 13.
Solución x=2 y=1
Los números son 2 y 1 respectivamente.
14. Variables
Sistema
R: valor de la ficha roja. B: valor de la ficha verde.
Solución
3B + 2R = 20 68 + 2R = 26
R=7 8=2
1.
Pág. 255 x=~;y= 11
2.
X -
3.
x
2
4.
x = 7; Y = 3
5.
x
6.
x=
11
13 . y, 11
64
= __22 y = 6 o
5'
Santillana Bicentenario
11
= -4; Y = 7 1 m+n
2
= 11;y = 11
2. x =
13
64
-11; y = 11
5.
x = -4; Y = 7
Pág. 261 1. Sistema compatible determinado. 2. Sistema compatible indeterminado. 3. Sistema incompatible. 4. Sistema compatible indeterminado. 5. Sistema compatible determinado. 6. Sistema incompatible. 7. Sistema compatible determinado: p 6. Sistema compatible indeterminado: p = 6 Y q = 12. Sistema incompatible: p = 6 Y q 12.
Una ficha roja entrega 7 puntos y una blanca 2.
1.
x
1S
'*
'*
;y=-m+n
380
Solucionario
Sistema compatible indeterminado:
9.
Sistema incompatible: p 1. Sistema compatible determinado: q 1. Sistema compatible indeterminado: q = 1.
'*
y
4.
p = 1.
8.
'*
• I
"
Pág. 263 1.
2. 3.
4.
Gráfico 2, sistema compatible determinado, tiene solución única. Grá.fico 3, sistema incompatible, no tiene solución. Gráfico 1, sistema compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. Gráfico 4, sistema compatible determinado, tiene solución única.
y su solución es x = -54; Y = -22.
El sistema es compatible,
Pág. 265 1.
Pág. 267
y
j.
1.
2. 3. 4.
l. • •
x
L\ = -30; Lly = -4 Ll = -33; L\ = 39; Lly = -192 Ll = 15; L\ = -66; Lly = 90 Ll = 29; L\ = 203; ~ = 87 Ll = -22;
5 1. k =-2
' " es x = -; 29 El sistema es cornpati ibl e, y su so Iucron
13
2. k
Pág. 270 1. e 2. e
7 y = --o
13
=
45 2
3. E
3.
k= 7
4.
e
5. 6.
A B
9.
e
11. k::¡:.--
2. Pág. 271 7.
8.
B
1
3
1 10. k =-3
e
12. Sistema compatible determinado.
~I
Y=6 } ~ dibujar{3X6x-y=12 ... tablero1
WiR!S
El sistema es compatible, y su solución es x = O; Y = 2.
3.
r:J
lbl(iID., ~ ,,,
[J
O lb] &'1 S'. C.
16@) 8
t
y
•
.
'
.
..
-.....
El sistema es compatible,
'. .. y su solución es x
.-
..
::
;
:.
= -1 ; Y = -5. 381
I
Matemática
Solucionario 13. Sistema compatible indeterminado. 1
8 5. Y = -x + 1
1
-x+-y=-1 dibui icujar 2 2 3 x+-y=-2 3
3
.... tablero1
1
6. Y = -x - 2 4 W"o.R!.S t:J
~0iID ¡; ¡; 1:1
(1
é ~ 61 &:
c. lB ID ~ 7.
General: 2x - y - 7 = O; Canónica: ~ x - ~y = 1
2
, .-
~
2 x + 1C ,. 8. P"nnclpa:I y = '9 ; anoruca: -91 x + y = 1
-•
-2
9.
Principal: y
10. x
=
4 x - 4; General: 4x - 3y - 12
3
= i; y = ~, 3
=O
el método depende del alumno.
3
14. Sistema incompatible. 11. x = -17; Y = -14, el método depende del alumno. ~dibUjar{~~;~~y 1~3} .... tablero1
~I
EJ
W"o.R!.S t:J [QI]ID ¡; ¡; 1:1 11 é lbJ ¡;: &',
12. x
c. lB ID ~
= -;
13 . x =
-
32
15
1
y
29
= --,
15
, el metodo depende del alumno.
27
5"; y = 5' el método
depende del alumno.
•
2a - 3b 3a - 2b , 14. x = 2 2; Y = 2 2 ' el metodo depende del alumno. a-b a-b
1
15. x = 15. Cristián tiene 38 años y Juliatiene 33 años. 16. El número es 42. 17. Hay 19 ovejas y 25 gallinas.
;y =
2
m2 - nm - m - 2n 2m + n
2
16. x = 9 + (p - 1) ; y = (p _ 1)2 _ 9 + (p - 1) ,el p+1 p+1 método depende del alumno.
2. y = -x - 2 17. x =
x 1 3. Y = -- -4 2 Y = -6x + 13
Santillana Bicentenario
2m + n
2
el método depende del alumno.
Pág. 273 1. Y = 4x - 7
4.
2m + 4n + nm - n
382
1 a+b
;y =
a- b a+b
, el método depende del alumno.
Solucíonarío
= 4; y = 1 x = 9; y = O x = 2 km; y = 3 km
Unidad 8, Estadística
18. x 19. 20.
Pág. 275 1. Depende de cada alumno. 2. Depende de cada alumno. 3. El texto corresponde a la versión completa del Himno
21. El kilograll'lo de naranjas cuesta $ 428 yel de manzanas $ 856. 22. La respuesta depende de cada alumno. 23. Sistema incompatible. 24. Sistema incompatible.
4.
25. Sistema compatible indeterminado. 26. La respuesta depende de cada alumno. x - 2y - 3 Un ejemplo es x +
2..y
- 3'
6
Pág. 276 1. C 2. D 3. C 4. D 5. A 6. D 7. B 8. D
27. La respuesta depende de cada alumno.
01
x-
2y - 4 = Un ejemplo es x _ 2y _ 3 = O'
28. La respuesta depende de cada alumno. Un ejemplo es
=
3x - y 5 6x - 2y - 10
Pág 277 9. B 10. El promedio de duración es 22,7 minutos. La moda es, aproximadamente, 23,75 minutos, y la mediana es, aproximadamente, 22,7 minutos. Las tres medidas son cercanas, por lo que cualquiera es adecuada. 11. Corresponde aproximadamente al 89%, y significa que el 89% de las velas, aproximadamente, duran 40 minutos o menos encendidas. 12. Se pueden extraer 21 6 muestras. 13. Sí, pues sin reposición se garantiza haber controlado al 50% de los alumnos, mientras que con reposición puede darse el caso de controlar a sólo un alumno.
29. La respuesta depende de cada alumno. 2x - By Un ejemplo es 4x- y
Nacional de Chile. Depende de cada alumno. Algunas pistas para realizar de manera. más eficiente la decodificación pasan por analizar lo que sucede luego de algunos remplazos. Si se observan palabras de dos letras, por ejemplo, es claro que una de ellas es vocal. Si aparecen palabras de una letra, sólo pueden ser a, e, o, u o y. Si aparecen letras iguales juntas, probablemente sean rol.
10 6 .
30. La respuesta depende de cada alumno. 2x - 8y - 10 Un ejemplo es 4x- y - 5 .
Pág. 279 1. Rango A = 11, Rango B = 11, DMA = 2,29 Y DMB = 2,33. 2. El corj unto B. 3. La desviación media no varía. 4. La desviación media aumenta.
383
Matemática
Solucionario Pág. 280
4.
= 17
1.
Rango
2.
s "" 16,74; s ""4,1.
3.
Sean X" Xl' ..., Xn los valores de una variable. y sea Yi = a . Xi' para todo i. El promedio de los valores de y es:
2
Yl + Y2 + ...+ y n n _ a . XI + a . x2 + ...+ a . xn
-
Los camiones presentan velocidad más homogénea, rango y desviación estándar son menores.
y =
pues su
n
Pág. 281 1.
2.
3.
_ a (xl + X2 + ...+ Xn) n
La lechería blanquita presenta un llenado más homogéneo, pues tiene menor rango y desviación estándar.
= ax
La varianza es el resultado de dividir por un número positivo sumas de cuadrados de números. Como el cuadrado de un número es siempre positivo o cero, la varianza es siempre positiva o cero. Sean x1' Xl, de ellos es:
... , xn los
Luego. la varianza de los valores de y es:
valores de una variable. El promedio
f.,(a i=l
x = Xl + Xl + ...+ xn n
. Xi - a . x)2 n
Si a todos ellos se les suma un número a, Y1 = x1 + a, Y2 = x2 + a, ... , Yn = xn + a, el promedio los valores de y es:
I(a(Xi i=l
de
- x))2 n
2
Ia i=l
y = Yl + Y2 + ...+ Yn n
(Xi - x)2
n
+ a + X2 + a + ...+ Xn + a
Xl
y)2
f.,(Yi i=1 n
a 2 ( Xl
n
-)2
- X
+ a 2(-)2 X2 - X
n
2
=a
n Xl + X2 + ...+ ......!.._--=-
=
X
+
n
- x)2
+ ...+ (Xn
-
x)2
Pág. 283
n
-
I.(Xi
+ a - (X + a))
2
n
+ a - X - a)2 n -
-
=
estándar aumenta pero también su media, manteniendo constante el coeficiente de variación.
i-l n
El promedio de los salarios es $ 261.721,9973. s2 4.942.751.878; s"" 70.304,70736 No son homogéneos, pues la desviación estándar es muy alta.
Pág.28S 1. s ""4,7 2. El gasto es más homogéneo en el colegio A. 3. Se mantendría igualmente homogéneo, pues su desviación
i=l
2
X)
i=l n 2
= Sx
Santillana Bicentenario
+ (X2
a
1. 2. 3.
I.(Xi
x)2
= a 2 . s2x
Luego, la varianza de los valores de y es:
f.,(Xi
(Xl -
n
X.w.. na n + _
n
-)2
- X
n
+ X2 + ...+ Xn + a + a + ...+ a
Xl
+ ...+ a 2 ( Xn
384
Solucíonarío
4.
El grupo de los mayores de 35 años es más homogéneo. pues presenta menor desviación y coeficiente de variación.
Se tiene una expresión fraccionaria compuesta cuyo numerador es fijo, y cuyo denominador varia según el valor
NE
./ de Ia expreslon
Pág. 287 1. El mes de enero fue más caluroso. 2. La empresa ASE es más estable. pues presenta menor rango y menor desviación estándar. 3. En mayo. con una variación de 85,1 dólares. 4. El año más homogéneo fue el 2004, pues tuvo menor rango y desviación estándar. 5. El mes más homogéneo es enero, pues presenta menor rango y desviación estándar.
2
2 2 .
K S Dado que N, E Y S2 se mantienen constantes, la expresión sólo varía de acuerdo a la variación de K. Mientras mayor es K, mayor es el denominador de la expresión, y menor es, por lo tanto, el valor de la fracción. Luego, mientras mayor sea K, menor es el denominador de ./ Ia expresen
2N
y. por Io tanto, mayor es su va Ioro
NE + 1 K2S2
Pág. 289 Es posible calcularla. y es igual a 4,5.
Pág. 293 1. n 62 2. n 58 3. n 217 4. El nivel de confianza es de un 90%, aproximadamente. 5. Con reposición, n = 409. Sin reposición, n = 427. 6. El promedio está entre 4,1 y 6,4; aproximadamente. 7. n 295 8. n 74 9. e ",. 12,4 minutos.
= = =
El rango de los datos es 19, y podría variar si cambian los valores máximo y mínimo.
Pág. 291 1. N = 6.000, K = 1,96; S2 = 6, E = 0,3. Luego, la muestra debe ser de 246 personas, pues:
= =
2
1.96 ·6.000 ·6 n = -__:_-----2 2 6.000 . 0,3 + 1,96 . 6 3,841 6 . 6.000 . 6 = -~------6.000 . 0,09 + 3,8416 . 6 138297,6 563,30496 "" 245,6
2.
Pág. 295 1.
2.
n
= 323
3.
n
=
14
Ahora tú Es cierto, pues al disminuir el coeficiente disminuye el nivel de confianza exigido, por lo que de necesita una muestra más pequena.
2
K NS 2 2 NE + K S2 2 2 2S2 : K K NS 2 2 NE + K S2 : K2S2
n=
Pág. 297 En el muestreo aleatorio simple sin reposición, un elemento cualquiera no puede ser escogido más de una vez. Si es con reposición, si se puede.
"N' -
= 378
Pág. 296
El tamaño de la muestra aumenta, pues 2
n
"1
2 NE + '" 2 K S2 '" N 2 NE +1 K2S2
1. Población: promedio de notas de los alumnos de un colegio. Muestra: promedio de notas de 5 alumnos por curso. 2. Población: estatura de los Jugadores del fútbol chileno. Muestra: estatura de 6 Jugadores por equipo. 3. Población: tiempo de duración de las películas estrenadas en un mes. Muestra: tiempo de duración de dos películas por semana.
385
Matemática
Solucionario Sin reposición, n
= 246.
Con reposición, n
Pág. 300 1. D 2. C 3. E 4. C
S. 6. 7. 8.
= 257.
Desviación
»
Desviación
»
3,8
s "" 27,9
CV"" 55%
CV""61%
=
s "" 6,02
Estación 2 Media 9,75 Mediana 1O t-toda » 3,75 Desviación media s2 "" 33,69 s :::;5,8
CV"" 59%
CV "" 59%
12. Y13. Sin reposición
Ciudad B Rango 4 Desviación media 1 Varianza 1,6 Desviación estándar> 1,26
2. 3. 4.
La ciudad A presenta mayor variabilidad. x=41,5 Rango = 5,5; Desviación media = 1,1; s2 = 2,5; s "" 1,58
S.
Ciudad A Promedio 3 Moda 6 Mediana 3
=
=
=
Ciudad B Promedio 3 Moda 3 Mediana 3
=
=
=
En el caso de la ciudad S, los datos son muy representativos puesto que coinciden, y el rango es bajo. En el caso de la ciudad A, son menos representativos al tener como moda un valor extremo y una mayor dispersión, en general.
Santillana Bicentenario
=
= 5,525
=
= 5,25
Media
Proporción
= 95 n = 97
n = 355
n
n = 385
14. En el caso de estimar la media, los dos métodos son prácticamente iguales, pues las muestras son muy similares. Para.estimar la proporción, conviene más realizar el muestreo sin reposición, para utilizar una muestra más pequeña,
=
=
25,44
El barrio Villápolis presenta mayor variabilidad. En el barrio Cancino, las edades de la población se concentran más en el centro, con una distribución relativamente simétrica. En el barrio Villápolis, en cambio, se produce una mayor concentración en los valores extremos.
Con reposición
=
«
11. La estación 1 presenta, levemente, mayor variabilidad.
Pág. 303
=
19,3
=
=
Ciudad A Rango 6 Desviación media 1,6 Varianza = 3,8 Desviación estandar » 1,95
»
Barrio Villápolis Media"" 45,83 r-tediana » 48,9 t-toda » 74,23 Desviación rnedia s2 "" 778,93
s ""23,26
10. Estación 1 Media 10,25 Mediana"" 9,16 t-toda » 17,08 Desviación media s2 "" 36,1 9
17. El tenista S presenta datos más homogéneos, pues su coeficiente de variación y su desviación es menor. 18. El tenista A es más preciso, pues presenta un promedio de errores menor y presenta más partidos con menos errores. 19. n 94 20. Se estima que entre 970 y 1.030 personas estudian su primera carrera.
1.
Barrio Cancino r-tedía » 42,66 t-tedlana » 40,07 t-toda » 38,77 Desviación medía s2 "" 540,92
8. 9.
Tenista B Media"" 9,71 4,35
7.
B
=
=
En la ciudad A.
A A D
Pág. 301 9. D 10. C 11. D 12. A 13. Rango 19 14. s2 "" 24,33 1 S. Podría decirse que los datos son homogéneos, pues se concentran bastante cercanos a la media. 16. Tenista A Media 7,2
6.
386
Solucíonarío
Unidad 9, Probabilidad
11 11
Pág. 309
Pág. 305 1. La posibilidad que más le conviene es el lanzamiento de la moneda. 2. La probabilidad estimada depende de cada alumno y alumna. 3. Se necesitan menos de 50 personas, con 23 personas se obtiene una probabilidad mayor al 50%. 4. Depende de la simulación que realice cada alumno y alumna. S. Si hay 23 personas en una sala la probabilidad que no haya coincidencia entre las fechas de cumpleaños es de aproximadamente 0,49. Pág. 306 1. B 2. B 3. E 4. B S. C 6. A 7. C 8. A 9. D
1.
7 P(2 azules) = 22
2.
P(2 blancas) = 33
3.
P(ninguna azul) = pedos blancas) = :3
5
1
4.
P(ly2y3)=216
S.
P(impar y impar y impar) = ~
6.
La probabilidad que en 3 tiradas salgan números primos es de
.l. a
Pág. 311
Pág. 307 10. D 11.
Dado 6 caras
1
1.
P(C y número par) = ~
2.
peS y número menor que S) = ;
3.
P(C o S y número mayor que 1) =
4.
P(C y número que no sea primo) = _1 4
S.
P(obtener cinco caras) = 0,00237
6.
P(obtener al menos una cara) = 0,9853
7.
P(obtener cara en el quinto lanzamiento) = 0,0102
8.
P(obtener más caras que sellos) = 0,00518
9.
P(extracciones no coincida el orden) = ~
i
10. P(orden y el número coincidan para una carta) = ;
12. Si es posible, ya que ambos dados tienen las combinaciones necesarias para que la suma sea 4. 1 3. De 120 formas diferentes. 1 4. De 60 formas distintas. 1 S. La probabilidad de que los libros con tapa de color verde y roja queden juntas es de 0,4.
11. P(orden y el número coincidan para tres cartas) = 12. Peaso carta roja) =
T3
13. P(figura o número mayor que 4) =
387
°
.!.2. 13
Matemática
Solucionario Pág. 313
Pág. 315
-11 18
HH 17
H 12 19
-7
18
HM 17
I HHH I I HHM I I HMH I I HMM I
11
7 19
12 18
-
-
1MH 1<;::1 _§_ 17
M -6
18
1. 2.
P(3 niños) P(3 niñas)
MM
MHH
1
peA Y B)
2.
P(que no ocurra A ni B)
3.
P(mayor a 7 o número primo)
4.
1 P(sus caras sean igualesy que sumen un número mayor a 6) = 1 2
I MHM I I MMH I I MMM I
1.
peA c) =
L
2.
P(Bc) =
1.
3.
3 P(A u B) = 4
4.
1 c P(A n B) =12
4.
P(2 niños)
=
=
!
2
3
c
:~9 5.
3.
= 0.6
Pág. 317
= ~~~ =
= 0,05
1.
154 323
)
1 =4
)
11 = 12
C
peA n B
C
6.
peA u B
7.
Peno tenga el pelo castaño ni los ojos café)
8.
P(tenga los oios café si se sabe que tiene el pelo castaño) = 0,375
9.
P(repruebe al menos una prueba) = 0,48
Diagrama de árbol
0,95
No habla alemán.
Inglés 0,3
0,05
0,95
0,2
Habla alemán.
10. P(repruebe las dos)
= 0,1
11. P(apruebe la primera o repruebe la segunda)
No habla inglés.
= 0,68
Pág. 319
Alemán 0,05
P(sacar 3 fichas blancas) =
Habla inglés.
1
10
Los sucesos del ejercicio 2 son dependientes y los de los ejercicios 4 y S son independientes.
peA o 1) = peA) + P(I) - peA y 1) = 0.2 + 0.3 - 0.05 = 0,45
Santillana Bicentenario
= 0.5
388
Solucíonarío
Pág. 321 1.
Rec X
= {3, 4, S, 6, 7, 8, 9,
2.
Rec X
= {2, 3, 4, S, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
3.
Rec X
= {O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
4.
Rec X
= ~+- {O}
s.
X = {O, 1, 2, 3, 4, S, 6, 7, 8}
6.
Y
10, 11}
= {O, 1, 2, 3, 4, S}
Pág. 323
3. 0,083 f(z¡)
=
=
°
0,416
si z si z = 1
0,416
si z
0,083
°
=2 si z = 3 en cualquier otro caso.
389
Matemática
Pág. 325 1. Rec f(x) = {0,7226; 0,255; 0,0218; 0,0004} Rec f(y) = {O,331; 0,459; 0,187; O,022} Rec F(x) = {O,7226; 0,9776; 0,9994; I}
Función distribución probabilidad de Y
F,~,------------------------------------
1~t---------------------~========: •• ----
Rec F(y) = {0,331; 0,79; 0,977; 1}
.~. j------------.
...... ~~~~-------------
0.60 ~-----------------------------------
2. f
Función de probabilidad de X
0,.0
t----;::::========-----------------------
o.•
~~----------------------------------0.7
-~----------------~--------~------~ , , e 1
0,6
Valores que toma Y O.S
La concentración encuentra en X La concentración encuentra en Y
O••
O.'
0.2
de los datos en la variable aleatoria X, se = O. de los datos en la variable aleatoria Y, se = 1.
0.1
O 1
O
3.
2
4.
Valores que toma X
=
1) = 0,331 P(X = 4) = 0,0004 P(Y
5. f
Función de probabilidad de Y O.S 0,45
F(x¡)
O••
=
<7
3/18
si
4/10
si x::; 11
5/10
si x < 12
9/10
si x < 16
1
si x
O
en cualquier otro caso.
X
0,35
O., 0.25
s 20
0.2 0,15
6. P(x < 10) = P(x > 7) =
2
10
0.1
7. P(x > S) = 1
0,05 O O
1
8.
•
2
Valores que toma Y
P(5 < x < 20) = 1, pues no hay valores menores o iguales a 5, y todos son menores o iguales que 20.
Función distribución probabilidad de X
F'~,------------------------------------
1~t------------,~======~.======~.----
.... .... 0,"0
~~----------------------------------e.00
La distribución es asimétrica positiva . ~------~--------~--------~------~
•
1
2
,
Pág. 327
Valores que toma X
1. 2. 3.
Santillana Bicentenario
390
Depende Depende Depende
de la simulación que realice cada alumno y alumna. de la simulación que realice cada alumno y alumna. de la simulación que realice cada alumno y alumna.
Solucionario
1 5.
Pág. 329
= 0,9916
P(X < 3) 2. peA C
(l
BC)
= peA u B)c =
P( 1 < X < 3)
= 0,175
1 - peA u B)
=
1 - 0,4
= 0,6
1/10
F(x¡) =
_
28 _ 8 _ 2 3. P - 1 - - - - - 36 36 9 La respuesta depende de cada alumno, Una posibilidad es: X: número de bolitas rojas extraídas, Y: número de bolitas verdes extraídas,
F
3.
4. 5. 6. 7. 8.
2/10 4/10 6/10 8/10
si x <6 si x <7
9/10 1
si X :s; 8 si X :s; 9
°
en cualquier otro caso
Función distribución de probabilidad de X 1,20
1,00
Pág. 332 1. E 2. B
si x <3 si x <4 si x <5
r-----------------
I.--
.... .,60
.... r----------O¡------------
D B A
0.20
o;
e
,
.,00
•
•
A A
•
,
•
•
Valores que toma X
16. La probabilidad es
Pág. 333 9. B 10. E 11. D 12. D
17. La probabilidad es 1,
Pág. 335
13. A
1.
14.
f(x¡) =
°
= =1 =2 si x = 3 si x = 4
0,2 0,25 0,05
si x si x si x
0,1 0,3 0,1
si x = 5
2.
en cualquier otro caso,
° f
Ts'
1 4 1
4
3.
1 2
8.
P(2 rojas) =
4.
16 100
5.
23 80
6.
7 100
-lB
P(una roja y una azul)
Función de probabilidad de X
7.
66 100
=~
O,J5
P(suma par) =
o.•
4
'9
0.25
P(ambos primos)
0.1
= ~~
O.l~ 0,1 O,"
o o
1
,
•
•
s
Valores que toma X
391
I
Matemática
9.
10.
-4 35
5 17. 8
2 7
4 35
11. -
25. 1
F(x¡)=
7
18.
-
26. 0,4
19.
3 8
27. 0,6
8
1/4 3/4 1
x
°
en cualquier otro caso.
Función distribución
F
de probabilidad
1.20
•
1.00
12.
13.
1 20. -
5 7
1
1 21. 2
7
.... ....
28. 0,3
2
0,.0
29. 0,1 O,lO
e.00
1 22. 8
7
14. -
8
1 S.
3 8
23.
1 16. 8
30. 0,4
Valores que toma X
5 8
32. X: valor obtenido.
f(xi) = 31. X: número de caras.
f
,
o
1 24. 2
f(xi) =
de X
1/4 1/2 1/4
x=O x=1 x=2
°
en cualquier otro caso.
Función de probabilidad ..• .,-------------------
f
6/36 10/36 8/36 6/36 4/36 2/36
x=O x=1 x=2 x=3 x=4 x=5
°
en cualquier otro caso.
Función de probabilidad
de X
de X 0,15
0.10
0,05
0,00
o
1
2
•
Valores que toma X
•
1
2
Valores que toma X
Santillana Bicentenario
392
•
s
Solucionario
F(xi) =
x
6/36 16/36 24/36
x<1 x<2
30/36 34/36
x<3 x:S;4
1
x<5
O
en cualquier otro caso.
F(xi)
=
F
x
6/72 42/72 1
x<2
O
en cualquier otro caso.
Función distribución
de probabilidad de X
1.20,-1.00
+------------------------.1----
0.80 t--
Función distribución de probabilidad de X
F I~.r------------------------------------•
I.OOt---
0.60
t-
0.40
1--
0.20 -1------------------------------
....t--
0.00
L--===::::==---~---o
.... j_--~==------
1
2
Valores que toma X
j_------~===:_------------------·~·I---;;:===--------------------------0.40
.po ,__
•
•
•
•
34.
,
Valores que toma X
f(xi) =
33. X: número de vocales.
f(xi) =
3.003/593.775 32.032/593.775
x=O x=1
120.120/593.775 203.840/593.775
x=2 x=3 x=4 x=5
165.620/593.775 61.152/593.775 8.008/593.775
6/72 36172
x=O x=1
30172
x=2
O
en cualquier otro caso.
O f
x=6 en cualquier otro caso.
Función de probabilidad de X
0.-100000
o.~so.. o
Función de probabilidad de X
f
0.300000 O,jO 0.250000 0,60
0.200000 0.50 0,150000 0,40
0,1000-00 0.30
0,0$0000
0.20
O.Oo)O~O
o
,
2
,
0.10
s
•
Valores que toma X 0.00
•
,
2
Valores que toma X
393
Matemática
x
3.003/593.775 35.035/593.775 155.155/593.775 358.995/593.775
F(x¡) =
524.615/593.775 585.767/593.775
x:S:4 x<5 x<6
1
° F
Pág. 156
x<2 x<3
en cualquier otro caso.
1.
e
2. 3. 4. 5. 6.
D A
7.
D
e A
E
Función distribución de probabilidad de X
1,20 1,00
Pág. 157
•
!!
a
8. 9.
0,80
10. e 11. A 12. E 13. D
0,60 0,40
•
0,20
...
...
0,00
o
,
1
3
2
4
6
5
B B
14. E
Valores que toma X
Pág. 158
35. 0,25 36. 0,6 37. 0,35
15. e 16. D
38.
17. B 18. e
x F(X = X)
°
0,3
1
2
3
4
0,4
0,55
0,75
1
19. E 20. A
°
39. a = , 1 P(x> 1) = 0,85 P(l < X < 4) 0,55
Pág. 159
=
x F(X = x)
°
0,15
1 0,3
2
3
4
0,7
0,8
1
21.
e
22. 23. 24. 25.
A
D
E E
26. A 27. E
Pág. 160 28. A 29. 30. 31. 32. 33.
Santillana Bicentenario
394
D
e D B B
Solucíonarío
Pág. 161
Pág. 339
34. B 35. B 36. E 37. e
19. B 20. e 21. E
E E
A
38. 39. 40. 41. 42.
22. 23. 24. 25.
A
D D
6. 7.
28. B 29. e 30. B 31. A
E D D E
Pág. 341 32. e 33. 34. 35. 36.
E E D
E D B D
37. D
Pág. 337 8.
B E
Pág. 340 26. B 27. A
Pág. 336 1. 2. 3. 4. 5.
E
A
9. B 10. E 11. B 12. D Pág. 338 13. D 14. D 15. A 16. e 17. e 18. D
395
Matemática
Anexo Lógica y demostraciones Valeria, Pamela y David siguen atentamente un programa de cocina por televisión para preparar una crema pastelera. Durante el programa, el chef permanentemente repitió: "Si deja de batir la crema, se cortará" Daniela quiso preparar la misma crema, por lo que pidió a cada uno cuál era la clave de la preparación. Obtuvo las siguientes respuestas: Valeria: Si no dejas de batir la crema, no se cortará. Pamela: Si no se cortó, entonces no dejaste de batirla. David: Si se cortó, entonces dejaste de batirla. ¿Son correctas las respuestas de los personajes? Para analizarlas,se utilizarán algunas definiciones y símbolos de la lógica matemática. La oración que repite el chef se puede separar en dos partes, que pueden ocurrir o no (o ser verdaderas o falsas): que se deje de batir la crema y que se corte la crema. A una afirmación que puede ser verdadera o falsa se le llama proposición. Las proposiciones se simbolizan con letras minúsculas (p, q, r, s, t, etc.), en nuestro caso se define: p: se deja de batir la crema. q: la crema se corta. A partir de la afirmación del chef, se pueden interpretar otras situaciones, dependiendo de que se cumplan o no las proposiciones p y q, Se utiliza el símbolo -, (negación) para indicar que una proposición no ocurre o es falsa, es decir: -,p: no se deja de batir la crema. -,q: la crema no se corta. Las proposiciones anteriores se pueden escribir a través de un conector lógico llamado condicional, el cual se representa mediante el símbolo -7. De esta forma se pueden crear diferentes tipos de proposiciones, en nuestro caso: Tipo de proposición
Escrito en lenguaje natural
Proposición directa.
Chef: Si deja de batir la crema, entonces se cortará.
Proposición inversa.
Valeria: Si no dejas de batir la crema, entonces no se cortará.
Proposición recíproca.
David: Si se cortó, entonces dejaste de batirla.
Proposición contrarre cípro ca.
Pamela: Si no se cortó, entonces no dejaste de batirla.
Escrito en lenguaje lógico p-7q
q-7p
Una crema puede cortarse porque la leche estaba en malas condiciones, o por la temperatura. Por lo tanto, lo que dicen Valeria y David no es equivalente a lo que dijo el chef Pamela sí está en lo correcto, pues dice algo equivalente a lo expresado por el chef. En general, si tenemos una proposición condicional (directa), solo su contrarrecíproca es equivalente.
Santillana Bicentenario
396
La afirmación del chef puede expresarse también de otra manera: no es posible que se deje de batir la crema La conjunción y se representa en lógica con el símbolo
A ,
por lo que la afirmación del chef puede expresarse como:
-, (p
A -,
q)
Es decir, no es cierto, que se deja de batir la crema y la crema no se corta p
y ésta no se corte.
No pueden ser ciertas, a la vez, las afirmaciones
y q. En un lenguaje más cotidiano, diríamos que no puede ser que se deje de batir la crema sin que se corte.
Aplicaciones
en matemática
Demostración
por contrarrecíproco
Como hemos visto, dada una implicación p -4 q, su contrarrecíproca -,q -4 -,p es equivalente a ella, por lo que demostrarla es equivalente a demostrar la proposición original. Para demostrar por contrarrecíproco, la negación de la tesis se convierte en hipótesis, y la negación de la hipótesis se convierte en la tesis, como se muestra en el ejemplo. Ejemplo Demostrar que, si z = xy es un número par, entonces x o y (o ambos) es un número par. Sea: /
p: xy es un numero par. q: x es par o y es par (o ambos). Se tiene que: ...' . ...-.. •• •• ••
··
. . .. ... .... .
..
..... •.•......•...•..•.. ~
Proposición directa
.. ... . ..
x
...
. '" '.
'"
"
"
•• •
•• • • • •
•
;
oo••••
...
•· ·••• •• • ·•• • •• •• ••
· • •· •• ·••
Demostración Hipótesis: x
·
• ••
•
por contrarrecíproco
· ·•••.... . . . o.... .....
Se ha demostrado que, si x e y son números impares,
.• .. .•.• ••••
,
• •••••••••••.
o'. ••••
••
(q. e. d.). .. ....... .....
. ..
·· ·· ·· •• •· • ·
xy = 2p + 1
• • ••
y son impares.
. ...
·· ·• ··• • • ··• • • ··•
• •• •• •• • • • •
k Y n son números enteros, por lo que 2kn + k + n es un número entero, al que se puede llamar p. Luego,
·
:
• • •
·• •• ·•
= 4kn + 2k + 2n + 1 = 2(2kn + k + n) + 1
• •• • •• ••
00
·• ·••
xy = (2k + 1)(2n + 1)
·•••
..
.t... ..... ......•
Demostración:
•• •• •
. ., .. . . .
es un número impar.
'"
Tesis: xy = 2p + 1, con p e 71..
·•• ·
z = xy
= 2k + 1, Y = 2n + 1, con k, n e 71..
•• ••
•• • • •• • ••
Tesis:
... .
·• •........•..• ,
,.
-,q -4 -,p
•
•
.. '. .....
Proposición contrarrecí proca
~ Hipótesis: x e
·• •••
..,
,
•
I •• t.o
.....~.....
·•
•
es par o y es par (o ambos). '.
..
· • ·•
p-4q Hipótesis: z = xy es un número par. Tesis:
~
'" oo....
.•••
'"
· •· • • •· ·• ••· ·•• •
xy es un número impar, lo que es equivalente a afirmar que, si xy es un
número par, x o y (o ambos) son números pares.
397
Matemática
Anexo Demostración
por reducción al absurdo
Esta estrategia utiliza la segunda equivalencia vista: si se tiene una proposición p ~ q, es equivalente a afirmar ....,(p A ....,q). Si p es la hipótesis (o el conjunto de ellas) y q es la tesis, se está afirmando que no pueden ser ciertas, simultáneamente, la hipótesis y la negación de la tesis. La demostración por reducción al absurdo consiste en suponer que las hipótesis y la negación de la tesis sí pueden ser ciertas simultáneamente, es decir, suponer cierta la proposición p A ....,q.Al hacerlo se llegará a algo contradictorio, lo que demuestra que p A ....,q es falsa, es decir, que ....,(p A ....,q) necesariamente es verdadera. En ocasiones, al demostrar por reducción al absurdo las hipótesis no está.n explícitas, por lo que se asume que ellas son todas las afirmaciones ciertas en matemática que tienen que ver con lo que se está demostrando. Ejemplos 2 2 1. Sean a y b números enteros cualesquiera, con a:F- b. Demuestra que a + b > 2ab. En este caso, no hay hipótesis explícitas. Se asumirán las siguientes: Hipótesis:
• a, b E 7l., a '* b • el cuadrado de un número distinto de cero es siempre positivo.
2 2 2 2 La tesis, en este caso, es que a + b > 2ab. Se supondrá que es falsa, es decir, que a + b ~ 2ab. Por lo tanto, se 2 2 agrega como hipótesis: a + b ~ 2ab.
Demostración: Si a un número cualquiera se le resta otro mayor o igual que él, el resultado es un número negativo o cero. En este 2 2 caso, si a a + b se le resta 2ab, el resultado debe ser menor o igual a cero. Por lo tanto: a2 + b2 ~ 2ab ~ a 2 + b2 - 2ab < O 2
2
a - 2ab + b < O
(a - b)2 < O Dado que a:F- b, necesariamente a - b :F-o. Se tiene entonces que (a - b)2 es negativo ó O, es decir, existe un número entero distinto de O tal que, al elevarlo al cuadrado, resulta un número negativo ó O. Esto contradice la hipótesis propuesta, respecto a que el cuadrado de un número distinto de cero es siempre positivo. 2 2 Por lo tanto, la afirmación a + b s 2ab no puede ser cierta. 2 2 Por lo tanto, a + b > 2ab (q. e. d.).
Santillana Bicentenario
398
2. Teorema: si una recta es tangente a una circunferencia, entonces es perpendicular al radio trazado desde el punto de tangencia. Para demostrar este teorema es necesario definir la tangente a una circunferencia haciendo mención a su propiedad esencial: su intersección con la circunferencia es solo un punto (observa que una recta puede intersectar una circunferencia en, a lo más, dos puntos). Por lo anterior, cualquier otro punto que pertenezca a la recta tangente debe estar fuera de la circunferencia. En la figura, el punto C será el punto de tangencia, mientras que OC será el radio correspondiente. Con ello se tiene:
Hipótesis:
A
~
AB intersecta a la circunferencia en solo un punto, C. Todo punto de la tangente, distinto de C, está fuera de la circunferencia. ~
La tesis en este caso es que OC .1 AB. Para demostrar por reducción al ~
o
B
o
B
absurdo, se agrega como hipótesis que OC y AB no son perpendiculares.
Demostrac ión: ~
~
Dado que OC y AB no son perpendiculares, se puede trazar una recta OD
A
~
perpendicular a la recta AB, que la intersecta en un punto D, distinto del punto C. Dado que el ángulo ~CDO
es recto, el .dCDO es triángulo rectángulo en
D. Por teorema de Pitágoras, se tiene:
2
OC
es la suma de dos números positivos; por lo tanto, es mayor que ellos.
Luego:
D02 < OC2 DO
cia. Es decir, no puede ser cierto que OC y AB no son perpendiculares. ~
Por lo tanto, OC ..l AB (q. e. d.).
399
Matemática
Uso de Wiris Wiris es una plataforma de álgebra computacional que funciona a través de internet, permitiendo la realización de cálculos matemáticos sin la necesidad de instalar ningún programa. Para acceder a Wiris , ingl-esa a la dil-ección de internet www.wiris.netJsantillana.cl
Interfaz de Wiris ,...
~
Operaciones
(o) {O)
11011
[O] 101
.
r--
Símbolos Análisis Matrices Unidades Combinatoria Geometría Griego Programación Formato
..
L
-.:. n
rol
dibujar
lOJ
dibujar3d
representar
I resolver ecuación I
-
...
resolver sistema
La Barra de herramientas está compuesta por 11 carpetas que contienen diversas herramientas. Edición: se encuentran las acciones relativas al documento
del trabajo, por ejemplo: guardar,
imprimir, copiar, deshacer, etc. Operaciones: operaciones aritméticas, uso de paréntesis, fracciones, exponentes, raíz cuadrada,
raíz, etc. Símbolos: simbología asociada a algunas operaciones o conceptos matemáticos,
=. >, <, N,
POI-
ejemplo:
etc.
Análisis: cálculos de límites, integrales y derivadas. Matrices: manipulación de matrices y vectores. Unidades: unidades de medidas. Combinatoria:
calculo de permutaciones y combinatoria.
elementos de geometría, paralelas, etc. Geometría:
POI-
ejemplo: punto, recta, segmento, circunferencia,
Griego: uso de letras del alfabeto griego en expresiones algebraicas. Programación: permite la creación de algoritmos pal-a realizar ciertas acciones. Formato: cambios de fuente, colores, etc.
Santillana Bicentenario
400
Para ingresar un número, expresión, función, cálculo, etc., se debe presionar el botón "calcular" o bien la combinación de las teclas [CTRL + ENTER]. Cuando el cálculo ha terminado, el resultado se muestra en la pantalla precedido por el símbolo ... Los cálculos en Wiris se ubican en bloques, los que corresponden a conjuntos independientes, cuyos resultados no son calculados hasta presionar
1=1.
Ejemplo
12+3 .... 5 1a+b+2a-3b 12+43 ...
1 2 --4 3
...
.... 3·a-2·b
66 --
En esta imagen se encuentran 3 expresiones agrupadas en un bloque y un segundo bloque donde aparece
47 3
1- 42. 3
Ambos bloques son independientes entre sí.
Operaciones con expresiones algebraicas y resolución de ecuaciones Todas las operaciones con expresiones algebraicas se expresan en Wiris con los símbolos habituales, estas operaciones se encuentran en la carpeta Operaciones, de la barra de herramientas. Ejemplos Operación
Icono
Ejemplo Para sumar
Fracción
o
O
a
b + a, se marca el ícono
a y b numerador y denominador
+ y a, finalmente se marca
t
Pantalla Fracción, y se escribe
a
respectivamente, luego
-+a b
...
a·b+a b
1-1.
3 + x) (3 + x)-2 Para calcular ( 5 . 10 ' se marca el ícono 20
Paréntesis (O), y se escriben las expresiones algebraicas
Potencia
fraccionarias correspondientes,
x+3
luego se marca el ícono
=
Potencia y se escribe -2, finalmente se marca 1 l.
Para calcular
.J356, se marca el ícono Raíz cuadrada, se 6
Raíz cuadrada
Para calcular
Vx .612,
se mal-ca el ícono Raíz, se escribe el
x· 6 Y el exponente
índice radical 3 y la cantidad subradical
Ra(z
~f356 .... 42875
1=1.
escribe la expresión 35 y se presiona
12, finalmente se presiona
1=1.
l
1
401
I
Matemática
Anexo Wiris incorpora algunos comandos que permiten realizar algunas funciones especiales. Ejemplos Comando
Función
factorizar( expresión)
Factoriza números o expresiones algebraicas.
Ejemplo
Simplifica expresiones algebraicas
simplificar( expresión)
fraccionarias.
~ factorizar(16x3·y+16x2.y2)
simplificar (
a2-2a.b+b2)
s-a-s-e
...
-+
16·y·x2.
(x+y)
.1 1 -. a- -. b 5 5
t log(a, b)
Calcula logaritmo de a en base b.
Racionaliza expresiones fraccionarias con denominador irracional
racional iza(expresión)
media({lista de datos})
~ log(25,3)
raCionaliza(
...
2.9299
J2 +
fi J5) +
-+
J2.¡3.¡30 4
+
Calcular la cantidad de elementos de una lista de n elementos con r selecciones combinatorias.
I CS,2 -+ 10 I C10,6 -+ 210 I C100,3 -+ 161700
El comando permutación entrega el número de permutaciones de n elementos
I P7 -+ 5040 I P 9 -+ 362880 I P 15 + P 12 -+ 1308153369600
Este comando calcula la media de una lista de datos.
~ media ({2,5,6,4,3.2,8,0,0,6}) -+ 3.8 ~ media ({-2,-3,-6,1,2,133,5654,89,2})
Este comando calcula la mediana de una lista de datos.
~ mediana ({6,9,3,4,1, - 6, - 5,1,0,0,6,6,6,1})
Este comando calcula la desviación estándar de una lista de datos.
~ desviación_estándar({2,9,~,
6
-
12
-+ 652.22
t mediana({lista de datos})
-+ 2.
I
desviación estándar ({lista de datos})
Santillana Bicentenario
402
- 2,0,3, -2.5,9})
-+ 4.5704:
Para resolver ecuaciones con una incógnita mediante Wiris, se ingresa el comando: "resolver(expresión,
variable a despejar)".
Ejemplos
I resolver(4x+3=22,x)
~
{{x=-2.}}
resolver(2x+a=5x-b+3a,x) resolver(y'5-2x=2x+1,x)
~ ~
{{x=-~.a+~.b}} {{x=~}}
~ resolver(log(5x,10)+log(4,10)=3,x) ~ resolver(log(128,x)=7)
~
Ecuaciones exponenciales.
~
)Iiooo
Ecuaciones literales.
Ecuaciones radicales.
{{x=50.}}
,.... Ecuaciones logarítmicas.
j
{{x=2.}}
Gráfica de funciones con Wiris Para dibujar una o varias funciones en Wiris
se utiliza el comando:
dibujar(expresión),
el cual se encuentra
en la carpeta
Operaciones. Graficaremos la función f(x) se presiona
1=1. Surgirá
= 2x -
3, ingresando el comando: dibujar(2x - 3), luego
fll tablero1 EDUCAMADRID
el tablero de dibujo donde se muestra la gráfica de la función.
~ dibujar(2x-3)
...
tablero1
.~
Para graficar más de una función dentro de un mismo tablero, se debe ingresar el comando: dibujar({expresión1, 2
- 1, x }),
2, expresión
= 2x, g(x) = Sx luego se presiona El.
para graficar las funciones f(x) dibujar({2x,Sx
expresión
1 Y h(x)
3}). Por ejemplo,
2
=x,
o
·0
tablero1
(2¡ [DUCAMADRID
< l:J
1a:J1]i] ~ ~
I O [éJ1 ~)
1:1 [)
1>
se ingresa:
~ dibujare {2x,5x-1 ,x2})
....
tablero1
3
403
o
Matemática
Anexo Para identificar las funciones que se encuentran en el gráfico se utiliza la herramienta: "Definición"
@,
que se encuentra en
la parte superior del tablero de dibujo junto a otras herramientas que permiten manipular los gráficos, tales como:
1:1
[Ü (]
[üJ
Guardar (la imagen).
+.!t
Mover gráfico.
Nombre,
S
Refrescar (actualizar).
valor o definición.
stJ
Mostral- ejes.
Zoom.
Blanco o negro.
~
Mover puntos del gráfico.
Mostral- malla (cuadrícula).
[8J
Nombre.
Permite mantener los cambios realizados.
@
Muestra las coordenadas de un punto.
-&" ••..
e¡ ~.
~
~"'. e¡¡ Devuelve el gráfico a la situación inicial.
Color de la gráfica de una función. Para definir el color de la gráfica de una función se utiliza el siguiente comando: dibujar(expresión, {color = color deseado}). Para dibujar la
gráfica
función f de color rojo, se ingresa: dibujar(2x - 3, {color=rojo}), se presiona
de la
luego
¡= 1.
o tablero1
[<
EDUCA MADRID
c:J
1a:J[i) ~
f>
I ~ ~I~';1>
1:1 [)
I I~
dibujare{2x,5x-1 ,x2})
~
tablero1
.g
Santillana Bicentenario
404
·e
3
Para dibujar diversas funciones en un solo tablero de dibujo, basta realizar el procedimiento anterior en un mismo bloque. Ejemplo
.
Grafiquemos las funciones f(x) = 2x + 10, g(x) =
x +1
El! tablerol
x-
w-tR!S
3Y
t;)
I
h(x) = 32x, de color verde, azul y rojo, respectivamente.
I dibujar(2x+ Se ingresa en el mismo bloque: dibujar(2x + 10, {color=verde}),
1a:J(iI P>
~
1:1 [)
y dibujar( 32x, {color=rojoj l, finalmente se presiona
g'j S 1[8@
~
10 curva3
10,{color=verde})
I
dibUjar( ~:~ ,{COlor=aZUI})
dibUjar(x + 1,{Color=aZUI}) x-3
lo IlJI ¡!;'j 8
o
I dibujar (32x , {color=rojo})
1=1.
•
8
·s -'0
Definir dominio de un función lB tablero1
En ocasiones es conveniente graficar parte de una función,
EDUCAMADRID para esto se restringe el dominio, mediante el comando: dibujar(expresión,variable,valor
iniciaL. valor final).
x2 + 3 Craficarernos la función f(x) = x + 2 ' para el intervalo [-1, 4]. x2 + 3 . Se escribe: dibujar x + 2 .x, -1 ..4 y se presiona
1=1.
o
tI: ~
405
2+3 (X Ujar x+2
)
,X,~1 ..4 ... tablero1
Matemática
jCómo
lo aRrendí?
Completa la tabla escribiendo Sí o No, dependiendo si utilizaste o no cada estrategia en la unidad correspondiente. Los últimos espacios están en blanco, para que puedas agregar otras que hayas aplicado y no estén nombradas en la lista. s
U1
Técnica o estrategia
U2
U3
U4
I
U5
U6
I
s
U7
U8
U9
Hice un resumen de la unidad. Hice esquemas o mapas conceptuales con los contenidos de la unidad. Expliqué los contenidos a un compañero o compañera. Estudié los ejemplos y ejercicios resueltos del libro. Hice un listado de preguntas sobre temas de la unidad. Resolví los ejercicios propuestos del libro. Busqué información adicional en internet, enciclopedias u otras fuentes de información.
A continuación
marca con un V' el rendimiento
U1
obtenido en la evaluación final de cada unidad.
U2
U3
U4
U5
U6
U7
U8
U9
Rendimiento bajo. Rendimiento medio. Rendimiento alto.
Observa las dos tablas y relaciona las estrategias utilizadas con el rendimiento
obtenido en cada unidad. Luego, responde en
tu cuaderno. • ¿Qué estrategias te dieron mejores resultados? • ¿Cómo podrías mejorar tus resultados en aquellas unidades en que obtuviste rendimiento bajo?
Santillana Bicentenario
406
Bibliog_rafia Textos • Baldor, Aurelio. Geometría plana y del espacio: con una introducción a la trigonometría. México: CCEDT A, 1995. • Blanco, Santiago. De las Heras, Rodrigo. Fuenzalida, Gabriel. Riveros, José Antonio. Matemática I medio. Editorial Santillana, Santiago, Chile, 1994.
Educación Media, plan común
• Blanco, Santiago. De las Heras, Rodrigo. Fuenzalida, Gabriel. Riveros, José Antonio. Matemática 1/medio. Editorial Santillana, Santiago, Chile, 1994.
Educación Media, plan común
• Blanco, Santiago. De las Heras, Rodrigo. Fuenzalida, Gabriel. Riveros, José Antonio. Matemática 1/1medio. Editorial Santillana, Santiago, Chile, 1994.
Educación Media, plan común
• Blanco, Santiago. De las Heras, Rodrigo. Fuenzalida, Gabriel. Riveros, José Antonio. Matemática IV medio. Editorial Santillana, Santiago, Chile, 1994.
Educación Media, plan común
• Blanco, Santiago. De las Heras, Rodrigo. Fuenzalida, Gabriel. Riveros, José Antonio. Matemática 1/1y IV medio. Editorial Santillana, Santiago, Chile, 1995.
Educación Media, plan electivo
• Corbalán, Fernando. La matemática aplicada a la vida cotidiana. Graó, Barcelona, 1995. • Emest, Bruno. El espejo mágico de M. C Escher. T aschen, Berlín, Alemania, 1990. • Enzensberg, Hans Magnus. El diablo de los números. Ediciones Siruela, España, 1998. • Guerra, Marcela. Urzua, Patricia. Velásquez, Jaime. Educación matemática I medio. Editorial Santillana, Santiago, Chile, 2005. • Baeza, Angela. García, María José. Villena, Marcia. Educación matemática 1/medio. Editorial Santillana, Santiago, Chile, 2005. • Guerra, Marcela. Urzua, Patricia. Hernández, Rodrigo. Educación matemática 1/1medio. Editorial Santillana, Santiago, Chile, 2005. • Pedreros, Alejandro. Baeza, Angela. Villena, Marcia, Jorquera, Pablo. Moreno, Gabriel. Educación matemática IV medio. Editorial Santillana, Santiago, Chile, 2005. • Guedj, Denis. El imperio de las cifras y los números. Ediciones B S.A., Barcelona, 2000. • Julios, Edgard. Matemáticas
rápidas. Norma, Bogotá, 2002.
• La enciclopedia de estudiante: tomo 15, Matemáticas
l. Editorial Santillana, Buenos Aires, Argentina, 2006.
• La enciclopedia de estudiante: tomo 16, Matemáticas
1/. Editorial Santillana, Buenos Aires, Argentina, 2006.
• Manual esencial Santillana: Álgebra. Editorial Santillana, Santiago, Chile, 2007. • Manual esencial Santillana: Estadística, probabilidad y precálculo. Editorial Santillana, Santiago, Chile, 2007. • Manual esencial Santillana: Geometría. Editorial Santillana, Santiago, Chile, 2007.
• De la Haza, Cristina. Marqués, Miguel. Nortes, Andrés. Matemática
1o de ESO. Editorial Santillana, Madrid, España, 2002.
• De la Haza, Cristina. Marqués, Miguel. Nortes, Andrés. Matemática
2° de ESO. Editorial Santillana, Madrid, España, 2002.
• Ministerio de Educación, Propuesta ajuste curricular, objetivos fundamentales y contenidos mínimos obligatorios. Matemática, junio 2009. • Paenza, Adrián. Matemática ... ¿Estás ahí? Siglo XXI Editores Argentina S.A., Buenos Aires, Argentina, 2005. • Perelman, Yakov. Matemáticas
recreativas. Ediciones Martínez Roca S.A., Barcelona, 2000.
• Perero, Mariano. Historia e historias de matemáticas. Grupo Editorial Iberoamericano, México, 1994. • Pérez, Carlos (edición). Matemáticas
3° de ESO, Proyecto la Casa del Saber. Editorial Santillana, Madrid, España, 2002.
407
Matemática
Bibliografía • Pérez, Carlos. Escoredo, Angélica. Escoredo, José Miguel. De Lucas (edición). Matemóticas Editorial Santillana, Madrid, España, 2002. • Pérez, Carlos. Escoredo, Angélica. Escoredo, José Miguel. De Lucas (edición). Matemáticos Saber. Editorial Santillana, Madrid, España, 2008. • Rencoret, María del Carmen. Iniciación matemótica Chile, 2002.
3° de ESO, Proyecto lo Cosa del Saber.
1 bachillerato, Proyecto la Coso del
- Un modelo de jerarquía de enseñanza. Editorial Andrés Bello, Santiago,
• Sierra Vásquez, Modesto. Divisibilidad. Síntesis, Madrid, 1997. Sitios webs • Calculadora electrónica WIRIS: www.wiris.net/santillana.cl • Carabineros de Chile: www.carabineros.cl • Comisión Nacional del Medio Ambiente: \MNW.conama.cl • DEM RE:www.demre.cl • Dirección Meteorológica de Chile: \MNW.meteochile.cl • Dirección y Coordinación General: Instituto Superior de Formación y Recursos en Red para el Profesorado del Ministerio de Educación España: http://descartes.cnice.mec.es/Descartesl/experiencias/mvi/construcciontriangulos.htm • Educación: www.educarchile.cl • Egiptología: http://www.egiptologia.
org/arte/tem plos/abu-sim bel-ram ses/
• El paraíso de las matemáticas: \MNW.matematicas.net • El portal de las matemáticas: www.sectormatematica.cl • Geometría: \MNW.geometriadinamica.cl • lcarito: www.icarito.cl • Instituto Nacional de Estadísticas: \MNW.ine.cl • Ministerio de Educación: \MNW.mineduc.cl • Ministerio de Salud: www.minsal.cl • OCDE - Pisa:\MNW.oecd.or~ • Página sobre Historia de la Ciencia en Chile: www.picarte.cl • Programa Explora Conicyt: www.explora.cl • Real Academia Española de la Lengua: www.rae.es • Servicio Nacional del Consumidor: www.semac.cl • Simce: www.simce.cl • Sitio cultural artístico y político: \MNW.almendron.com • Sitio de tutorías matemáticas: http://www.vitutor.com • TIMSS: http://timss.bc.edu
Santillana Bicentenario
408
