2 ESO Santillana Recursos

Matemáticas 2 ESO Biblioteca del profesorado GUÍA Y RECURSOS La guía de Matemáticas para 2.º de ESO es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Enrique Juan Redal. En su realización ha participado el siguiente equipo: M.ª Dolores Álvarez Yolanda González Miguel Marqués Ana Yolanda Miranda Francisco Morillo Susana Parra Manuela Redondo Raquel Redondo M.ª Teresa Sánchez Teresa Santos EDICIÓN

Angélica Escoredo Yolanda González Carlos Pérez DIRECCIÓN DEL PROYECTO

Domingo Sánchez Figueroa

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Índice Presentación del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Números enteros Programación de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lectura inicial: El año cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matemáticas con ordenador: OpenOffice. CALC/Microsoft Office. EXCEL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En la vida cotidiana: Rascacielos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estrategias de resolución de problemas: Buscar regularidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adaptación curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propuestas de evaluación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 18 20 21 22 26 28 29 47

2. Fracciones Programación de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lectura inicial: Alejandro Magno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matemáticas con ordenador: OpenOffice. CALC/Microsoft Office. EXCEL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En la vida cotidiana: El agua de la Tierra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estrategias de resolución de problemas: Hacer un dibujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adaptación curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propuestas de evaluación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54 56 57 58 62 64 65 77

3. Números decimales Programación de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lectura inicial: A lomos del viento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matemáticas con ordenador: OpenOffice. CALC/Microsoft Office. EXCEL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En la vida cotidiana: Marcas olímpicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estrategias de resolución de problemas: Hacer un dibujo a escala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adaptación curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propuestas de evaluación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84 86 87 88 92 94 95 107

4. Sistema sexagesimal Programación de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lectura inicial: El amo de la Luna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matemáticas con ordenador: OpenOffice. CALC/Microsoft Office. EXCEL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En la vida cotidiana: Relojes y ángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estrategias de resolución de problemas: Dibujar ángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adaptación curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propuestas de evaluación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114 116 117 118 122 124 125 135

5. Expresiones algebraicas Programación de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lectura inicial: El templo de Apis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matemáticas con ordenador: WIRIS/DERIVE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En la vida cotidiana: Álgebra y calculadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estrategias de resolución de problemas: Hacer un esquema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adaptación curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propuestas de evaluación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142 144 145 146 150 152 153 167

6. Ecuaciones de primer y segundo grado Programación de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lectura inicial: París bien vale una misa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matemáticas con ordenador: WIRIS/DERIVE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En la vida cotidiana: Resolución de ecuaciones de forma geométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estrategias de resolución de problemas: Expresar relaciones en forma algebraica. . . . . . . . . . . . . . Adaptación curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propuestas de evaluación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

174 176 177 178 182 184 185 197

7. Sistemas de ecuaciones Programación de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lectura inicial: Gabriel & Giovanni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matemáticas con ordenador: OpenOffice. CALC/Microsoft Office. EXCEL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En la vida cotidiana: Los Juegos Olímpicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estrategias de resolución de problemas: Distintos planteamientos mediante ecuaciones . . . . . . . . Adaptación curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propuestas de evaluación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

204 206 207 208 212 214 215 225

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8. Proporcionalidad numérica Programación de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lectura inicial: Cuando el verde es rojo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matemáticas con ordenador: OpenOffice. CALC/Microsoft Office. EXCEL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En la vida cotidiana: Medio ambiente y reciclado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estrategias de resolución de problemas: Empezar por el final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adaptación curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propuestas de evaluación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

232 234 235 236 240 242 243 255

9. Proporcionalidad geométrica Programación de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lectura inicial: La llave de la Ciudad Prohibida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matemáticas con ordenador: Geogebra/CABRI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En la vida cotidiana: Construcciones cúbicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estrategias de resolución de problemas: Imaginar el problema resuelto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adaptación curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propuestas de evaluación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

262 264 265 266 270 272 273 285

10. Figuras planas. Áreas Programación de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lectura inicial: El regalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matemáticas con ordenador: Geogebra/CABRI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En la vida cotidiana: Diseño y movimientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estrategias de resolución de problemas: Hacer o completar un dibujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adaptación curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propuestas de evaluación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

292 294 295 296 300 302 303 317

11. Cuerpos geométricos Programación de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lectura inicial: El centro del universo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matemáticas con ordenador: Geogebra/CABRI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En la vida cotidiana: Tomografías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estrategias de resolución de problemas: Hacer un diagrama de árbol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adaptación curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propuestas de evaluación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

324 326 327 328 332 334 335 347

12. Volumen de cuerpos geométricos Programación de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lectura inicial: El saqueo de Siracusa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matemáticas con ordenador: OpenOffice. CALC/Microsoft Office. EXCEL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En la vida cotidiana: Obras y reformas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estrategias de resolución de problemas: Utilizar tablas, gráficas y ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . Adaptación curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propuestas de evaluación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

354 356 357 358 362 364 365 377

13. Funciones Programación de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lectura inicial: El ingenio y la espada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matemáticas con ordenador: OpenOffice. CALC/Microsoft Office. EXCEL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En la vida cotidiana: Gráficas en las Ciencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estrategias de resolución de problemas: Interpretar gráficas y dibujos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adaptación curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propuestas de evaluación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

384 386 387 388 392 394 395 409

14. Estadística Programación de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lectura inicial: La Pax Augusta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matemáticas con ordenador: OpenOffice. CALC/Microsoft Office. EXCEL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En la vida cotidiana: Encuesta sobre la enseñanza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estrategias de resolución de problemas: Pasar de una tabla a un gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adaptación curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propuestas de evaluación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

416 418 419 420 424 426 427 439

Libromedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 Desarrollo de cuerpos geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 Y ahora... practica (Soluciones) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

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El porqué de... El significado del nombre Hace cuatro años construimos un proyecto editorial, La Casa del Saber, que intentaba hacer frente a los cambios que propiciaba la nueva Ley de Educación, una casa donde los profesionales de la educación y los escolares encontraran rigor, seguridad y confianza curricular y metodológica. Ahora, después de evaluar con minuciosidad todos los materiales editados a lo largo de los últimos años, hemos construido el nuevo proyecto editorial: Los Caminos del Saber. Con su edición buscamos abrir nuevos caminos educativos que nos ayuden a entender que la educación es un devenir, es un cambio permanente, es una mejora continua…

Las claves de nuestro proyecto editorial Abrir caminos es nuestro compromiso Abrir caminos a la enseñanza y el aprendizaje de las diferentes materias que imparten profesores y profesoras con un alto nivel de cualificación es nuestro principal objetivo. Por eso, en nuestro nuevo proyecto editorial incorporamos cuantas novedades conceptuales e innovaciones tecnológicas se han generado en los últimos años.

Hay muchos caminos Consideramos que la educación debe ofrecer el mayor número posible de caminos de aprendizaje. Por eso, en nuestro proyecto editorial hemos cuidado con gran delicadeza las formas de aprender de los alumnos diversificando las experiencias y los materiales. Tenemos un objetivo: que los alumnos adquieran las competencias básicas que hagan posible su realización personal y profesional.

Los caminos significan descubrimiento Los Caminos del Saber nos ayudan a entender que la educación es aprender a descubrir qué hay más allá, a seguir nuevos itinerarios, a crear nuevos caminos… Las nuevas tecnologías facilitan la aventura de conocer nuevos contenidos; por eso, nuestro proyecto editorial proporciona ideas y sugerencias para buscar y ordenar la información al tiempo que ofrece formación para la realidad digital que comenzamos a descubrir y vivir.

Los caminos unen El camino es un espacio para el encuentro con los demás. En cada recodo, en cada refugio hay profesores y profesoras que orientan, que acercan y facilitan al alumno el conocimiento. Por eso, en nuestro proyecto tiene tanta importancia el desarrollo de la materia que el profesor imparte y los muchos recursos que la complementan como la especial programación y secuenciación de los materiales del alumno. A lo largo del camino escolar, los buenos libros y cuadernos nos ayudan a educar y a aprender. Así pues, tenemos mucho gusto en presentar un nuevo proyecto editorial con vocación de apoyo a los alumnos y alumnas, de contribución al éxito escolar, de servicio al profesorado. Los Caminos del Saber están abiertos por editores, por profesores y profesoras, por eruditos e intelectuales, por ilustradores, documentalistas, fotógrafos, maquetistas e informáticos…; todos ellos son conscientes de que el viaje por Los Caminos del Saber no concluye nunca, porque caminar es aprender y aprender es seguir caminando…

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En qué se concreta el proyecto Cuatro principios básicos continúan inspirando el contenido, la orientación y la estructura de Los Caminos del Saber: la adecuación al marco legislativo (la LOE), mejorar la comprensión de los alumnos, prepararles para la sociedad de la información y aportar una gran diversidad de materiales para facilitar la labor del profesorado. LOS LIBROS PARA LOS ALUMNOS Y ALUMNAS Libros con un cuidado especial del texto: lenguaje claro y sencillo, vocabulario acorde con el nivel de los alumnos y una tipografía especialmente seleccionada para mejorar la comprensión. Libros con nuevas y mejoradas ilustraciones inteligibles para los alumnos y alumnas, que no se limitan a confirmar lo redactado, ilustraciones que son instrumentos de gran potencia para desarrollar capacidades como la observación, el análisis, la relación, el planteamiento de interrogantes, la expresión oral… Libros con actividades coherentes con los objetivos, graduadas por su dificultad, orientadas a que los alumnos desarrollen hábitos y destrezas, elaboren y construyan significados, contextualicen y generalicen lo aprendido. Libros divididos en volúmenes para disminuir el peso de los libros de texto. El proyecto Mochila ligera es nuestra aportación responsable a la prevención de las dolencias de espalda entre los escolares. Además, en Los Caminos del Saber hemos continuado dando gran valor a la elegancia de los libros, a su formato, a su diseño, a la belleza de las imágenes, a la textura del papel. Todo ello para ofrecer un trabajo bien hecho y para transmitir la importancia de la educación y la cultura. GUÍAS CON GRAN CANTIDAD DE RECURSOS PARA EL TRABAJO EN EL AULA Guiones didácticos asociados a las unidades de los libros: con programaciones de aula que contienen los objetivos, contenidos, competencias que se trabajan en cada unidad y criterios de evaluación, sugerencias didácticas y soluciones de las actividades. Propuestas para trabajar la diversidad: fichas de ampliación y refuerzo, recursos para las adaptaciones curriculares. Leer noticias de prensa es una nueva propuesta para enseñar y aprender. La prensa, situada en el cruce de caminos donde convergen la lectura, el conocimiento y la actualidad, se presenta como un recurso pedagógico valioso, atractivo e innovador. Además, la utilización de los textos periodísticos contribuye a desarrollar una competencia esencial, la de la lectura comprensiva. Recursos complementarios: bancos de datos, fichas de trabajo práctico, sugerencias de lectura… Cientos de propuestas para facilitar la labor docente. UN COMPLETO MATERIAL MULTIMEDIA Libromedia. Es un material didáctico pensado para introducir las TIC en el aula de una forma sencilla y eficaz. Su principal objetivo es acompañar al profesor paso a paso hacia la integración de los recursos digitales en la práctica docente, convirtiéndolos en una parte natural de la transmisión de conocimientos, la ejercitación y la evaluación. En el Libromedia encontramos una gran cantidad de recursos para utilizar en el aula: vídeos, presentaciones, esquemas interactivos, galerías de imágenes y actividades. Todos ellos, relacionados con los contenidos del libro del alumno, se pueden utilizar en las clases sea cual sea su equipamiento informático: pizarras digitales, ordenadores aislados, etc.

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La adecuación a la LOE: asegurar las competencias básicas 1. PRINCIPIOS DEL CURRÍCULO DE LA EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA La Educación Secundaria Obligatoria pretende asegurar una formación común a todo el alumnado dentro del sistema educativo español. Su finalidad es lograr que los alumnos y las alumnas adquieran los elementos básicos de la cultura; desarrollar y consolidar en ellos hábitos de estudio y de trabajo; prepararlos para su incorporación a estudios posteriores y para su inserción laboral; y formarlos para el ejercicio de sus derechos y obligaciones como ciudadanos.

2. OBJETIVOS DE LA ETAPA La Educación Secundaria Obligatoria debe contribuir a desarrollar en los alumnos y las alumnas capacidades que les permitan: a) Asumir responsablemente sus deberes, conocer y ejercer sus derechos en el respeto a los demás, practicar la tolerancia, la cooperación y la solidaridad entre las personas y grupos, ejercitarse en el diálogo, afianzando los derechos humanos como valores comunes de una sociedad plural, y prepararse para el ejercicio de la ciudadanía democrática. b) Desarrollar y consolidar hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en equipo como condición necesaria para una realización eficaz de las tareas del aprendizaje y como medio de desarrollo personal. c) Valorar y respetar la diferencia de sexos y la igualdad de derechos y oportunidades entre ellos. Rechazar los estereotipos que supongan discriminación entre hombres y mujeres. d) Fortalecer sus capacidades afectivas en todos los ámbitos de la personalidad y en sus relaciones con los demás, así como rechazar la violencia, los prejuicios de cualquier tipo, los comportamientos sexistas y resolver pacíficamente los conflictos. e) Desarrollar destrezas básicas en la utilización de las fuentes de información para, con sentido crítico, adquirir nuevos conocimientos. Adquirir una preparación básica en el campo de las tecnologías, especialmente las de la información y la comunicación. f) Concebir el conocimiento científico como un saber integrado, que se estructura en distintas disciplinas, así como conocer y aplicar los métodos para identificar los problemas en los diversos campos del conocimiento y de la experiencia. g) Desarrollar el espíritu emprendedor y la confianza en sí mismos, la participación, el sentido crítico, la iniciativa personal y la capacidad para aprender a aprender, planificar, tomar decisiones y asumir responsabilidades. h) Comprender y expresar con corrección, oralmente y por escrito, en la lengua castellana y, si la hubiere, en la lengua cooficial de la Comunidad, textos y mensajes complejos, e iniciarse en el conocimiento, la lectura y el estudio de la literatura. i) Comprender y expresarse en una o más lenguas extranjeras de manera apropiada. j) Conocer, valorar y respetar los aspectos básicos de la cultura y la historia propias y de los demás, así como el patrimonio artístico y cultural.

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k) Conocer y aceptar el funcionamiento del propio cuerpo y el de los otros, respetar las diferencias, afianzar los hábitos de cuidado y salud corporales e incorporar la educación física y la práctica del deporte para favorecer el desarrollo personal y social. Conocer y valorar la dimensión humana de la sexualidad en toda su diversidad. Valorar críticamente los hábitos sociales relacionados con la salud, el consumo, el cuidado de los seres vivos y el medio ambiente, contribuyendo a su conservación y mejora. l) Apreciar la creación artística y comprender el lenguaje de las distintas manifestaciones artísticas, utilizando diversos medios de expresión y representación.

3. LAS COMPETENCIAS BÁSICAS COMO NOVEDAD CURRICULAR La nueva Ley de Educación (LOE) presenta una novedad de especial relevancia: la definición de las competencias básicas que se deben alcanzar al finalizar la Educación Secundaria Obligatoria. Esas competencias permiten identificar aquellos aprendizajes que se consideran imprescindibles desde un planteamiento integrador y orientado a la aplicación de los saberes adquiridos. Su logro deberá capacitar a los alumnos y las alumnas para su realización personal, el ejercicio de la ciudadanía activa, la incorporación a la vida adulta y el desarrollo de un aprendizaje permanente a lo largo de la vida. El concepto de competencia básica ha recorrido un largo camino hasta llegar al sistema educativo. En 1995, la Comisión Europea trató por primera vez las competencias básicas o clave en su Libro Blanco sobre la educación y la formación. Y desde ese año, diferentes grupos de expertos de la Unión Europea trabajaron para identificar y definir las competencias, analizar la mejor manera de integrarlas en el currículo y determinar cómo desarrollarlas e incrementarlas a lo largo de la vida en un proceso de aprendizaje continuo. Entre los trabajos más relevantes en el campo de las competencias cabe citar tres: el proyecto de la OCDE, Definición y selección de competencias (DeSeCo), que estableció cuáles debían ser las competencias clave para una vida próspera y el buen funcionamiento de la sociedad; la iniciativa ASEM, que estudió las competencias esenciales en el contexto del aprendizaje a lo largo de la vida y la integración entre las capacidades y los objetivos sociales de un individuo; y el informe EURYDICE, que mostró un gran interés por competencias consideradas vitales para una participación exitosa en la sociedad. También en el marco de los estudios internacionales dirigidos a evaluar el rendimiento del alumnado y la eficiencia de los sistemas educativos se pone el acento en las competencias. Así, el proyecto PISA enfatiza la importancia de la adquisición de competencias para consolidar el aprendizaje. Y el proyecto TUNING, cuyo fin es armonizar el sistema universitario en el entorno de la UE, declara que la educación deberá centrarse en la adquisición de competencias.

4. EL CONCEPTO DE COMPETENCIA BÁSICA Se entiende por competencia la capacidad de poner en práctica de forma integrada, en contextos y situaciones diferentes, los conocimientos, las habilidades y las actitudes personales adquiridos. Las competencias tienen tres componentes: un saber (un contenido), un saber hacer (un procedimiento, una habilidad, una destreza…) y un saber ser o saber estar (una actitud determinada). Las competencias básicas o clave tienen las características siguientes: • Promueven el desarrollo de capacidades más que la asimilación de contenidos, aunque estos siempre están presentes a la hora de concretarse los aprendizajes. • Tienen en cuenta el carácter aplicativo de los aprendizajes, ya que se entiende que una persona «competente» es aquella capaz de resolver los problemas propios de su ámbito de actuación. • Se basan en su carácter dinámico, puesto que se desarrollan de manera progresiva y pueden ser adquiridas en situaciones e instituciones formativas diferentes. • Tienen un carácter interdisciplinar y transversal, puesto que integran aprendizajes procedentes de distintas disciplinas.

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• Son un punto de encuentro entre la calidad y la equidad, por cuanto que pretenden garantizar una educación que dé respuesta a las necesidades reales de nuestra época (calidad) y que sirva de base común a todos los ciudadanos y ciudadanas (equidad). Las competencias clave o básicas, es decir, aquellos conocimientos, destrezas y actitudes que todos los individuos necesitan para su desarrollo personal y su adecuada inserción en la sociedad y en el mundo laboral, deberían haber sido desarrolladas al acabar la enseñanza obligatoria y servir de base para un aprendizaje a lo largo de la vida.

5. LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN EL CURRÍCULO DE SECUNDARIA La inclusión de las competencias básicas en el currículo tiene tres finalidades: • Integrar los diferentes aprendizajes, tanto los formales (correspondientes a las diferentes áreas del currículo) como los informales. • Hacer que los estudiantes pongan sus aprendizajes en relación con distintos tipos de contenidos y los utilicen de manera efectiva en diferentes situaciones y contextos. • O rientar la enseñanza, al permitir identificar los contenidos y los criterios de evaluación imprescindibles, e inspirar las decisiones relativas al proceso de enseñanza y de aprendizaje. Aunque las áreas y materias del currículo contribuyen a la adquisición de las competencias básicas, no hay una relación unívoca entre la enseñanza de determinadas áreas o materias y el desarrollo de ciertas competencias. Cada área contribuye al desarrollo de diferentes competencias y, a su vez, cada competencia se alcanza a través del trabajo en varias áreas o materias.

6. LAS OCHO COMPETENCIAS BÁSICAS La LOE define ocho competencias básicas que se consideran necesarias para todas las personas en la sociedad del conocimiento y que se deben trabajar en todas las materias del currículo: Competencia en comunicación lingüística

Se refiere a la utilización del lenguaje como instrumento de comunicación oral y escrita.

Competencia matemática

Consiste en la habilidad para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de razonamiento matemático.

Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico

Es la habilidad para interactuar con el mundo físico, tanto en sus aspectos naturales como en los generados por la acción humana. También se relaciona con el uso del método científico.

Tratamiento de la información y competencia digital

Comprende las habilidades para buscar, obtener, procesar y comunicar información, y la utilización de las nuevas tecnologías para esta labor.

Competencia social y ciudadana

Hace posible comprender la realidad social en que se vive, cooperar, convivir y ejercer la ciudadanía democrática en una sociedad plural, así como participar en su mejora.

Competencia cultural y artística

Supone comprender, apreciar y valorar críticamente diferentes manifestaciones culturales y artísticas.

Competencia para aprender a aprender

Implica disponer de habilidades para iniciarse en el aprendizaje y ser capaz de continuar aprendiendo de manera cada vez más eficaz y autónoma, de acuerdo a los propios objetivos y necesidades.

Autonomía e iniciativa personal

Supone ser capaz de imaginar, emprender, desarrollar y evaluar acciones o proyectos individuales o colectivos con creatividad, confianza, responsabilidad y sentido crítico.

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7. CONTRIBUCIÓN DE LAS MATEMÁTICAS A LA ADQUISICIÓN DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS Puede entenderse que todo el currículo de la materia contribuye a la adquisición de la competencia matemática, puesto que la capacidad para utilizar distintas formas de pensamiento matemático, con objeto de interpretar y describir la realidad y actuar sobre ella, forma parte del propio objeto de aprendizaje. Todos los bloques de contenidos están orientados a aplicar aquellas destrezas y actitudes que permiten razonar matemáticamente, comprender una argumentación matemática, y expresarse y comunicarse en el lenguaje matemático, utilizando las herramientas adecuadas, e integrando el conocimiento matemático con otros tipos de conocimiento para obtener conclusiones, reducir la incertidumbre y para enfrentarse a situaciones cotidianas de diferente grado de complejidad. La discriminación de formas, relaciones y estructuras geométricas, especialmente con el desarrollo de la visión espacial y la capacidad para transferir formas y representaciones entre el plano y el espacio, contribuye a profundizar la competencia en conocimiento e interacción con el mundo físico. La modelización constituye otro referente en esta dirección. Elaborar modelos exige identificar y seleccionar las características relevantes de una situación real, representarla simbólicamente y determinar pautas de comportamiento, regularidades e invariantes, a partir de las que hacer predicciones sobre la evolución, la precisión y las limitaciones del modelo. Por su parte, la incorporación de herramientas tecnológicas como recurso didáctico para el aprendizaje y para la resolución de problemas contribuye a mejorar la competencia en tratamiento de la información y competencia digital de los estudiantes, del mismo modo que la utilización de los lenguajes gráfico y estadístico ayuda a interpretar mejor la realidad expresada por los medios de comunicación. No menos importante resulta la interacción entre los distintos tipos de lenguaje: natural, numérico, gráfico, geométrico y algebraico, como forma de ligar el tratamiento de la información con la experiencia de los alumnos. Las Matemáticas contribuyen a la competencia en comunicación lingüística, ya que son concebidas como un área de expresión que utiliza continuamente la expresión oral y escrita en la formulación y expresión de las ideas. Por ello, en todas las relaciones de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas y, en particular, en la resolución de problemas, adquiere especial importancia la expresión tanto oral como escrita de los procesos realizados y de los razonamientos seguidos, puesto que ayudan a formalizar el pensamiento. El propio lenguaje matemático es, en sí mismo, un vehículo de comunicación de ideas que destaca por la precisión en sus términos y por su gran capacidad para transmitir conjeturas gracias a un léxico de carácter sintético, simbólico y abstracto. Las Matemáticas contribuyen a la competencia en expresión cultural y artística porque el mismo conocimiento matemático es expresión universal de la cultura, siendo, en particular, la Geometría parte integral de la expresión artística de la humanidad al ofrecer medios para describir y comprender el mundo que nos rodea y apreciar la belleza de las estructuras que ha creado. Cultivar la sensibilidad y la creatividad, el pensamiento divergente, la autonomía y el apasionamiento estético son objetivos de esta materia. Los propios procesos de resolución de problemas contribuyen, de forma especial, a fomentar la autonomía e iniciativa personal porque se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre, controlando al mismo tiempo los procesos de toma de decisiones. También las técnicas heurísticas que desarrolla constituyen modelos generales de tratamiento de la información y de razonamiento, y consolidan la adquisición de destrezas involucradas en la competencia de aprender a aprender, tales como la autonomía, la perseverancia, la sistematización, la reflexión crítica y la habilidad para comunicar los resultados. La aportación a la competencia social y ciudadana desde la consideración de la utilización de las Matemáticas para describir fenómenos sociales. Las Matemáticas, fundamentalmente a través del análisis funcional y de la Estadística, aportan criterios científicos para predecir y tomar decisiones. También se contribuye a esta competencia enfocando los errores cometidos en los procesos de resolución de problemas con espíritu constructivo, lo que permite de paso valorar los puntos de vista ajenos en plano de igualdad con los propios.

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Esquema de la unidad didáctica del libro del alumno La estructura de las unidades didácticas es muy sencilla, ya que se trata de facilitar la localización de los contenidos fundamentales, de los ejemplos resueltos y de los ejercicios propuestos.

Lectura inicial. Muestra la importancia de lo que vas a estudiar a través de episodios relacionados con la historia de las Matemáticas. Se proponen actividades que te invitan a investigar sobre el personaje de la lectura y la importancia de sus aportaciones.

2

Antes de empezar la unidad... Máximo común divisor

CONVIENE QUE… Recuerdes cómo se calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

Fracciones

20 = 22 ? 5 3 " m.c.d. (20, 30) = 2 ? 5 = 10 30 = 2 ? 3 ? 5 Mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de sus múltiplos comunes. 20 = 22 ? 5 3 " m.c.m. (20, 30) = 22 ? 3 ? 5 = 60 30 = 2 ? 3 ? 5

Alejandro Magno

Representación de fracciones

CONVIENE QUE… Sepas representar fracciones con gráficos.

En una ocasión, Roxana, la esposa de Alejandro Magno, le preguntó a su marido: –¿A qué dios le agradeces la conquista del mundo?

Para representar fracciones se suelen utilizar figuras geométricas: Se dividen en tantas partes iguales como indique el denominador, y después, se marcan las partes que señale el numerador.

PORQUE… Nos ayudará a comprender algunas propiedades de las fracciones.

A lo que Alejandro le contestó: –Mi primer agradecimiento va dirigido a mí mismo; y el segundo, al legado de mi padre: su invencible ejército, la falange macedonia.

5 6

Fracciones propias e impropias

CONVIENE QUE… Sepas identificar fracciones propias e impropias.

–Pero los imperios conquistados tenían un ejército, generalmente, más numeroso que el tuyo –replicó Roxana.

DESCUBRE LA HISTORIA...

El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de sus divisores comunes.

PORQUE… Los utilizaremos para hallar fracciones irreducibles y reducir fracciones a común denominador.

Una fracción es propia cuando el numerador es menor que el denominador, y es impropia si tiene el numerador mayor que el denominador.

PORQUE… Lo usaremos para comparar fracciones.

–La fuerza de mi ejército –explicó Alejandro– reside en su organización, no en su número: cada fila de 16 hoplitas es la cuarta parte de una tetrarquia, que a su vez es la cuarta parte de un syntagma, y 64 de estas unidades de infantería forman la falange. Su simple presencia infunde respeto a los ejércitos enemigos.

3 8 10 < 1 = 1 > 1 8 8 8

Numerador < Denominador Numerador = Denominador Numerador > Denominador

PLAN DE TRABAJO

EVALUACIÓN INICIAL

En esta unidad aprenderás a…

1. Busca información sobre Alejandro Magno y la época en que vivió.

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

2. Explica la organización de la falange macedonia utilizando las fracciones.

Representación de fracciones

3. Averigua cómo se han utilizado las fracciones a lo largo de la historia.

Fracciones propias e impropias

• Sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones.

3. Razona si estas fracciones son propias, impropias o iguales a la unidad. 5 19 3 13 b) c) d) a) 7 7 3 5

• Realizar operaciones combinadas con fracciones.

1. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de: a) 24 y 12

b) 45, 14 y 7

c) 6, 24 y 72

2. Representa las siguientes fracciones. 3 2 7 b) c) a) 8 5 2

d)

9 5

• Hallar fracciones equivalentes y calcular la fracción irreducible de una dada. • Reducir fracciones a común denominador.

Antes de empezar la unidad… Aparecen los contenidos pertenecientes a cursos o unidades anteriores, que te van a ser necesarios para comprender lo que vas a estudiar. Además, mediante la evaluación inicial, podrás afianzar los contenidos repasados.

31

Operaciones con fracciones

4

Páginas de contenidos. En ellas encontrarás los contenidos y procedimientos básicos apoyados en gran cantidad de ejemplos resueltos. Al final de cada página se proponen ejercicios clasificados en tres niveles:

4.3 Multiplicación de fracciones

4.1 Suma y resta de fracciones Para sumar (o restar) fracciones con igual denominador se suman (o restan) los numeradores y se mantiene el mismo denominador.

El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores, y por denominador, el producto de los denominadores. a c a?c ? = b d b?d

EJEMPLO EJEMPLO

EJEMPLO 9 Calcula:

1 2 3 7 4 + 12 + 9 - 14 11 = + + = 4 8 12 24 24 6 F

SE ESCRIBE ASÍ

Denominador común: m.c.m. (6, 4, 8, 12) = 24

las escribimos como -

4.2 Fracción opuesta

Son fracciones negativas.

Dos fracciones son opuestas cuando la suma de ambas es cero. a -a Una fracción, , tiene siempre una fracción opuesta del tipo . b b

• Las fracciones del tipo: -a -b a las escribimos como . b -2 2 = -7 7

7 + (-7) -7 7 -7 0 7 = = =0 10 ¿Cuál es la opuesta de ? Es , porque: + 3 3 3 3 3 3

Son fracciones positivas.

EJERCICIOS

Simplificamos: m.c.d. (42, 180) = 6

1 1 1000 1? 1000 1000 ? 1000 = ? = = = 250 1 4 ?1 4 4 4

PRACTICA. Son actividades para que repitas de forma prácticamente exacta el procedimiento que has estudiado.

4.4 División de fracciones Dos fracciones son inversas cuando su producto es la unidad. a b Toda fracción, , distinta de cero tiene una fracción inversa que es . b a Para dividir dos fracciones se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda fracción. a c a d a?d : = ? = b d b c b?c

Para dividir fracciones podemos multiplicar en cruz. a c a?d : = b d b?c F F

APLICA. Son actividades en las que tendrás que aplicar ese procedimiento.

EJEMPLO 12 Calcula. 8 5 8 9 8?9 72 24 : = ? = = = 3?5 15 5 3 5 3 9

5 Inversa de 9

b)

12 12 1 12 ? 1 12 : 7 = ? = = 5?7 35 5 5 7

9 7 Simplificamos Inversa de 5 1

F

F

1 7

REFLEXIONA. Una vez que seas capaz de repetirlo y aplicarlo, te proponemos que hagas una reflexión sobre él.

EJERCICIOS

PRACTICA

APLICA

16 Calcula y simplifica el resultado, si se puede.

17 Realiza estas operaciones.

a)

2 4 1 + + 3 3 3

d)

4 2 1 + 4 2 7

b)

3 1 1 + 2 5 10

e)

9 1 1 - 5 7 2

3 7 1 c) - - 2 3 4

b)

a)

EJEMPLO

3 2 7 3?2?7 42 7 ? ? = = = 5 9 4 180 30 5?9?4

F

Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador se reducen las fracciones a común denominador y, después, se suman (o restan) los numeradores y se mantiene el nuevo denominador.

a . b -2 7 2 = =7 7 -2

a)

4 7 1 13 7 4 + 7 - 1 + 13 - 7 16 8 + - + - = = = 6 6 6 6 6 3 6 6 Simplificamos: m.c.d. (16, 6) = 2

• Las fracciones del tipo: -a a y -b b

11 Calcula. F

8 7 8-7 1 - = = 3 3 3 3

F

c)

b)

F

8 Calcula. 18 19 18 + 19 37 + = = a) 15 15 15 15

F

7 8 9 f) - + 3 10 5

36

2 7 5 a) + + e- o 15 18 12

2 7 5 b) + - e- o 15 18 12

REFLEXIONA

PRACTICA

REFLEXIONA

19 Haz estas operaciones.

21 Los 3/4 del agua de una localidad son

a)

3 2 1 ? ? 5 5 6

b)

4 5 9 ? ? 7 6 5

APLICA

18 Halla el valor de a.

a 1 45 +3- = 7 2 14

2 a) de 60 3

reciclados, y de ese agua reciclada los 2/5 se utilizan para riego. ¿Qué fracción del total de agua se utiliza para riego? 22 Una vela se consume en 1/4 parte cada hora.

20 Calcula.

3 b) de 90 5

Si nos queda 1/2 de vela, ¿cuántas horas la podremos tener encendida?

37

10 277995 _ 0001-0017.indd 10

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4. RestaR en el sistema

unidades de medida de tiempo

equivalencia

Símbolo

equivalencia

°

1° = 60'

Hora

h

1 h = 60 min

Calcula: 6° 24' 28" - 52' 47"

'

1' = 60"

Minuto

min

1 min = 60 s

Primero. Agrupamos las

Segundo

"

1° = 3 600"

Segundo

s

1 h = 3 600 s

? 60

Unidad

: 60

? 60

Minuto Segundo

Minuto Segundo

6° 24' 28" - 52' 47"

F

F

Grado (hora)

? 3 600

sexagesimal

Calcula: (2 h 36 min 49 s) ? 2

6° 24' 28" - 52' 47" medidas por unidades. SeGUNDo. Si el número de segundos del sustraendo es menor que el del minuendo, se transforma un minuto en segundos.

: 60

F

Grado (hora)

: 3 600

24' = 23' + 60"

"

cada unidad de la medida por el número.

en el resultado de la multiplicación los segundos o los minutos sobrepasan 60, los transformamos en la unidad superior.

los resultados.

G

Forma 4 083" = 1° 8' 3" incompleja G

G

60 68'

68' 8'

60 1°

los minutos entre 60: el cociente son grados, y el resto, minutos. Forma incompleja

G

Primero. Dividimos

los grados. El resto lo pasamos a minutos y se lo sumamos a los minutos del dividendo.

TerCero. Dividimos

los sumandos, agrupados por unidades, y realizamos la suma.

6 h 24 min 28 s + 52 min 47 s = 6 h 76 min 75 s 75 s = 1 min + 15 s

6 h 76 min 75 s

77 min = 1 h + 17 min

F

6 h 24 min 28 s 52 min 47 s

73' 1'

27"

12 2° 6' 7"

G

Cociente

1' = 60"

" 60" 87" 3"

G

Resto

Y aHORa… pRactica comprende estas palabras

sumar en el sistema sexagesimal

1. Expresa en la unidad indicada. a) 133 200" en grados. b) 17 h en segundos.

4. Halla la suma de los ángulos 20° 30' 25" y 40° 40' 40".

transformar de forma compleja a incompleja

5. ¿Cuál es el resultado de 7° 25' 30" - 4° 27' 40"?

2. Expresa en segundos el ángulo 40° 40' 40".

multiplicar en el sistema sexagesimal

6 h 77 min 15 s F

F

Y AHORA… PRACTICA. Son actividades que te permitirán comprobar si dominas los contenidos esenciales de esta unidad.

Restar en el sistema sexagesimal

6. Calcula el triple de 10° 26' 20".

F

+

13'

" 60'

el total de segundos.

w

Forma compleja

en el resultado sobrepasan 60: • Los segundos, los transformamos en minutos. • Los minutos, los transformamos en horas.

Primero. Colocamos

1° = 60'

el total de minutos y los restantes minutos los pasamos a segundos.

SeGUNDo. Si

6 h 24 min 28 s + 52 min 47 s

25° 1°

SeGUNDo. Dividimos

3. sumaR en el sistema sexagesimal Calcula:

5 h 13 min 38 s

6. DiviDiR en el sistema sexagesimal efectúa esta operación: (25° 13' 27") : 12

4083" 483 03"

SeGUNDo. Dividimos

4 h 73 min 38 s 73 min = 1 h + 13 min

F

los segundos entre 60: el cociente son minutos, y el resto, segundos.

98 s = 1 min + 38 s

F

Primero. Dividimos

en la unidad que

3° = 3 ? 60 = 180' 45' = 45' 54" = 54 : 60 = 0,9'

HAZLO DE ESTA MANERA. Son los procedimientos básicos de la unidad. Cada procedimiento se introduce mediante la resolución de una actividad en la que se muestra, paso a paso, un método general de resolución.

(2 h 36 min 49 s) ? 2 = 4 h 72 min 98 s

5° 83' 88" 52' 47"

F

expresa 4 083" de forma compleja.

Primero. Transformamos

3° 45' 54" " 180' Forma 45' compleja + 0,9' 225,9'

-

5° 31' 41"

ángulOs Y tiempO expResaDas en fORma incOmpleja a cOmpleja

expresa 3° 45' 54" en minutos.

SeGUNDo. Sumamos

"

2. tRansfORmaR meDiDas De

ángulOs Y tiempO expResaDas en fORma cOmpleja a incOmpleja

se pide.

6° = 5° + 60'

F

1. tRansfORmaR meDiDas De

6° 23' 88" 52' 47"

4 h 72 min 98 s

SeGUNDo. Si

6° 23' 88" - 52' 47"

el número de minutos del sustraendo es menor que el del minuendo, se transforma un grado (u hora) en minutos. -

2 h 36 min 49 s #2

Primero. Multiplicamos

TerCero. Si

HaZlO De esta maneRa

COMPRENDE ESTAS PALABRAS. Es el vocabulario matemático trabajado en esa unidad.

5. multiplicaR en el sistema

sexagesimal

Símbolo

Grado Minuto

Unidad

F

ios lo r. e al,

unidades de medida de ángulos

F

es

cOmpRenDe estas palaBRas

F

r

Lo esencial. Esta doble página es de resumen y autoevaluación.

Lo esencial

7 h 17 min 15 s

transformar de forma incompleja a compleja

Dividir en el sistema sexagesimal

3. ¿Cuál es la expresión compleja de 3 620 s?

7. Halla la mitad del ángulo 9° 20' 8".

80

81

Actividades comparacióN de Números decimales

Números decimales 28. ● Expresa numéricamente las siguientes cantidades.

33. ● Ordena los siguientes números decimales exactos, de menor a mayor.

a) Cuatro centésimas. b) Seis décimas. c) Trece milésimas. d) Ciento ocho unidades cuatro milésimas. e) Mil una unidades siete diezmilésimas. f) Catorce unidades dos centésimas.

a) 0,75; 0,57; 0,507; 0,705 b) 0,102; 0,05; 0,105; 0,501; 0,251 34. ● Copia y completa con un número decimal exacto. a) 14,065 > d > 13,95 b) 14,065 > d > 14,06 c) 14,065 > d > 14,061 d) 14,065 > d > 14,0651

29. ● Escribe cómo se leen estos números. a) 3,24 b) 49,3 c) 0,001 d) 1,03

e) 102,04 f) 1 800,556 g) 2,00005 h) 25,5759

35. ● Escribe tres decimales entre cada par. a) 2,3 y 3,6 b) 2,3 y 2,4

30. ● Copia en tu cuaderno y completa la tabla de descomposición de números. Número

C

12,59

D

U

d

c

1

2

5

9

0

1

0

0

c) 2,31 y 2,32 d) 2,31 y 2,311

36. ● ● Ordena, de menor a mayor, estos números: ! # # # 0,25 0,025 0,25 0,205 0,205

m

HaZlo asÍ

385,075

¿cómo se deTermiNa UN Número decimal 0

0

periódico compreNdido eNTre oTros dos?

0

37. Determina un número decimal periódico ! ! comprendido entre 5,7 y 5,8.

0,0023 0

0

0

1

0

PRIMERO. Se escriben los números con la misma

105,426

cantidad de decimales. ! ! 5,7 " 5,777 5,8 " 5,888

2,359

SEGUNDO. Se añaden al número menor más cifras

31. ● Copia y completa.

decimales que sean mayores que el último decimal. Estas cifras y el período forman el nuevo período. ! ! # # # # 5,7 < 5,780 < 5,781 < 5,782 < 5,783 < … < 5,8

a) Dos unidades son d milésimas. b) Una décima es d centésimas. c) Tres unidades y dos décimas son d milésimas. d) Veinte milésimas son d centésimas.

38. ● ● Copia y completa en tu cuaderno con un número decimal periódico puro. ! ! % % a) 4,375 < d < 4,376 c) 5,6 < d < 5,7 # # # # b) 1,25 < d < 1,26 d) 0,06 < d < 0,07

32. ●● Indica si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. a) 1,05 unidades equivalen a ciento cinco centésimas. b) Cuatro unidades y tres décimas son cuatro unidades y treinta centésimas. c) Entre 2,452 y 2,453 no existe ningún número. d) 3,005 es mayor que 3,05.

Actividades de la unidad. Ejercicios y problemas organizados por contenidos. Todos los enunciados van precedidos por un icono que indica su grado de dificultad.

a) ¿Cuántos barriles podemos llenar con 317 960 ¬ de petróleo? ¿Y con 1 000 000 ¬? b) ¿Cuántos litros son 250 barriles?

101. ● ● ● Encuentra un número decimal comprendido entre: a) 1,9 y 2 b) 2,99 y 3 c) 2,999 y 3

193. ● ● Una tira de papel mide 29 cm de largo. ¿Cuántas tiras necesitamos para obtener una tira de 2,4 m de largo?

d) 2,9999 y 3 e) 2,999999 y 3 f) 2,9999999999 y 3

¿Puedes encontrar un número comprendido ! entre 2,9 = 2,9999… y 3? ¿Qué conclusión obtienes?

194. ● ● Sabiendo que una milla terrestre es 1,6093 km, ¿cuántos metros y kilómetros son 2,35 millas? ¿Y 0,6 millas?

102. ● ● ● Investiga por qué son válidos estos métodos para resolver algunas operaciones.

195. ● ● Un nudo es una milla marina/h y una milla marina es 1,852 km. La velocidad de un barco es de 60 nudos. ¿Cuántos kilómetros recorre en tres horas?

a) Multiplicar por 0,25 es igual que dividir entre 4. b) Multiplicar por 0,75 es lo mismo que multiplicar por 3 y luego dividir entre 4. c) Multiplicar un número por 1,5 es igual que sumar al número su mitad. d) Dividir un número entre 0,5 equivale a calcular el doble del número. e) Dividir un número entre 0,75 es lo mismo que multiplicarlo por 4 y dividirlo entre 3.

196. ● ● Un glaciar retrocede 2,8 cm al año por el deshielo. ¿Cuánto tardará en retroceder 5 m?

Utilizando la calculadora, explica 103. ● ● ● cómo puedes realizar estos cálculos sin utilizar la tecla de la coma decimal. 197. ●● Calcula el peso total, en gramos, de 241 libros si cada uno de ellos pesa 2 hg y 653 mg. 198. ● ● ● El perímetro de un rectángulo es 5,85 m.

a) 1,23 ? 34,567 b) 98,765 : 432

c) 12 : 345,67 d) 9,87 : 65,432

104. ● ● ● Indica cuál de los dos personajes tiene razón, y explica por qué.

Si un lado mide el doble que el otro, ¿cuánto mide cada lado?

La raíz cuadrada de un número positivo siempre es menor que el número.

199. ● ● ● Gastamos 0,75 m de papel para envolver paquetes pequeños y 1,8 m para los paquetes grandes. Disponemos de 25 m de papel. ¿Cuántos paquetes de cada tipo podemos envolver?

Eso no siempre es cierto…

100. ● ● ● En un jardín hay un pozo y un árbol a 27,5 m de distancia. Entre ellos se han colocado 10 macetas a intervalos iguales.

39. ● ● ● Copia y completa en tu cuaderno con un número decimal periódico mixto. ! % % % a) 2,375 < d < 2,376 c) 6,3283 < d < 6,3283 ! ! # # b) 0,12 < d < 1,13 d) 0,061 < d < 0,062

e) Tres unidades con dos décimas equivalen a treinta y dos mil milésimas.

INVESTIGA

192. ● ● Un barril americano contiene 158,98 ¬.

105. ● ● ● Investiga por qué la raíz cuadrada de: 200 720 072 007 200 720 072 no es un número entero. ¿Cuál debe ser la última cifra de un número para que no tenga raíz cuadrada exacta?

a) ¿A qué distancia de cada maceta está el pozo? b) ¿Qué distancia se recorre para regarlas, si cada dos macetas hay que volver al pozo?

40. ● ● ● ¿Existe un número decimal exacto, otro # # periódico puro y otro mixto entre 7,4595 y 7,4596?

62

Pon a prueba tus capacidades. Se analizan situaciones problemáticas reales que te permitirán poner a prueba tus capacidades matemáticas. Estos problemas te mostrarán la utilidad práctica de todo lo aprendido, que te puede ayudar en tu vida cotidiana.

Investiga. Actividades en las que tendrás que aplicar todo tu ingenio para descubrir regularidades y propiedades de los contenidos que acabas de estudiar.

67

Pon a prueba tus capacidades

Matemáticas con ordenador

74. ● ● ● Mariano comienza hoy a trabajar en una fábrica de muebles.

Expresa las siguientes medidas en forma compleja.

75. ● ● ● En mi DVD, grabando con una calidad normal, un CD tiene capacidad para 5 horas de grabación.

En esta fábrica nos dedicamos a hacer sillas y mesas. Aquí tienes las piezas y tu trabajo será montarlas.

Según las condiciones del contrato que ha firmado, trabajará 8 horas diarias, de lunes a viernes. Por ese trabajo recibirá un sueldo fijo mensual de 600 €, al que habrá que añadir: • Por cada silla terminada, 2,75 €. • Por cada mesa, 4,50 €. ErEs capaz dE… comprEndEr a) Si monta 3 sillas en un día, ¿cuánto dinero cobrará por el montaje de las sillas? ¿Y si monta 4 sillas y 1 mesa?

Tengo un CD en el que he grabado dos películas. La primera, Las nueces de primavera, según el menú de grabación dura 93 min 52 s, y la otra, Al caer las nueces, 73 min 39 s. ErEs capaz dE… comprEndEr

a) 52 348 s

b) 2 378 s

c) 126 s

OpenOffice. CALC es.openoffice.org

d) 47 s

1. Escribimos el significado de cada columna en la primera fila.

2. Con la función =COCIENTE() calculamos las horas dividiendo los segundos entre 3 600.

3. Hallamos los minutos dividiendo el resto de la división anterior por 60. Para calcular este resto utilizamos la función RESIDUO().

4. Utilizamos la función =RESIDUO() para determinar los segundos como el resto de dividir los segundos iniciales por 60.

a) ¿Cuánto tiempo duran las dos películas? ¿Cuánto espacio queda libre en el CD? ErEs capaz dE… rEsolvEr b) El espacio que queda libre en el CD lo quiero completar grabando todos los capítulos que pueda de mi serie favorita, Contando nueces.

ErEs capaz dE… rEsolvEr Tardo 1 h 20 min en montar una silla y 2 h 15 min en terminar una mesa.

5. Seleccionamos la primera fila calculada y arrastramos hasta la última cantidad. Así, obtenemos todas las medidas en forma compleja.

Matemáticas con ordenador. La última página de la unidad se dedica a la resolución de actividades con la ayuda de programas informáticos.

Un capítulo dura 35 minutos, a lo que hay que añadir la publicidad, 18 anuncios de 20 segundos cada uno. ¿Cuántos capítulos caben en el CD?

c) ¿Cuánto tiempo de grabación sobra? ErEs capaz dE… dEcidir b) El encargado le ha dicho que puede fabricar mesas o sillas según su elección, pero que no podrá ampliar su horario de trabajo, pues las máquinas de montaje solo funcionan 8 horas. ¿Cuántas sillas como máximo puede fabricar al día? ¿Y mesas? ErEs capaz dE… dEcidir c) ¿Cuántas mesas y sillas deberá terminar diariamente para que su trabajo sea lo más rentable posible, y cuál será su sueldo mensual?

86

d) La serie tiene 14 capítulos, el resto de los capítulos los voy a grabar en CD de 5 horas y DVD, que son más caros, pero tienen una duración de 8 horas. ¿Cuántos tendré que comprar de cada tipo para que el coste sea lo menor posible?

ACTIVIDADES PRACTICA

INVESTIGA

1. Escribe estas medidas en forma compleja. a) 43 256 s b) 12 003 s

c) 2 580 s d) 1 573 s

2. Expresa en forma incompleja las siguientes medidas. a) 2 h 3 min 32 s b) 7 h 52 min 3 s

87

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Los recursos para el profesor Somos conscientes de que cada profesor se encuentra con situaciones distintas en el aula. Y para poder realizar su labor con eficacia, es preciso que cuente con una gran diversidad de recursos entre los que elegir. Con la Guía para el profesor intentamos dotar al profesorado de una variedad de recursos que lo ayudarán en su trabajo en el aula. Pretendemos también que el formato de las distintas secciones y fichas incluidas en la Guía se adecue a los materiales utilizados por los profesores. Estas fichas pueden fotocopiarse, pero, para facilitar su reproducción y consulta, se proporciona la totalidad de la Guía en un CD, por lo que las fichas podrán imprimirse sin dificultad. Nuestra Guía para el profesor está dividida en 14 unidades, correspondientes a cada una de las unidades del libro del alumno, y consta de cuatro grandes secciones: Programación de aula, Recursos para trabajar en el aula, Adaptación curricular y Propuestas de evaluación de cada unidad. Además, hemos añadido una sección dedicada a la utilización de las nuevas tecnologías y otra que permite trabajar de forma manipulativa con los cuerpos geométricos.

DESARROLLO DE LAS UNIDADES 1. PROGRAMACIÓN DE AULA

2 Fracciones

UNIDAD

• Reconocer y calcular el resultado de las operaciones básicas con números naturales, enteros y fracciones, aplicando el modo de cálculo más pertinente (mental, algoritmos de lápiz y papel o calculadora).

• Reconocer y utilizar las distintas interpretaciones de una fracción.

• Sumar y restar fracciones.

• Hallar la fracción de un número.

• Multiplicar fracciones, aplicar la propiedad distributiva y sacar factor común.

• Distinguir si dos fracciones son equivalentes y calcular fracciones equivalentes a una dada.

• Comprobar si dos fracciones son inversas y obtener la fracción inversa de una dada.

• Amplificar fracciones.

• Dividir dos fracciones.

• Simplificar una fracción hasta obtener su fracción irreducible.

• Calcular la potencia y la raíz cuadrada de una fracción.

• Reducir fracciones a común denominador.

• Resolver problemas de la vida cotidiana donde aparezcan fracciones.

• Comparar fracciones.

CONTENIDOS

PROCEDIMIENTOS, DESTREzaS y habIlIDaDES

aCTITUDES

PROGRAMACIÓN DE AULA

• Interpretar críticamente información proveniente de diversos contextos que contenga distintos tipos de números; relacionarlos y utilizarlos, eligiendo la representación adecuada en cada caso.

ObjETIvOS

CONCEPTOS

2

COMPETENCIAS QUE SE TRABAJAN


• Fracción como parte de la unidad, como cociente y como operador. • Fracciones equivalentes. Amplificación y simplificación. • Suma y resta de fracciones. • Multiplicación y división de fracciones. • Potencia y raíz cuadrada de una fracción. • Jerarquía de las operaciones. • Interpretación y utilización de las fracciones en diferentes contextos. • Obtención de fracciones equivalentes y de la fracción irreducible de una fracción. • Reducción de fracciones a común denominador. • Ordenación de fracciones. • Utilización de los algoritmos de suma, resta, multiplicación y división de fracciones en la resolución de problemas de la vida cotidiana. • Cálculo de potencias y raíces cuadradas exactas de fracciones. • Valoración de la precisión y la utilidad del lenguaje numérico para representar, comunicar y resolver situaciones cotidianas.

• Utilizar, de manera autónoma y razonada, estrategias para abordar situaciones-problema y problemas-tipo, planificando el proceso de resolución, desarrollándolo de manera clara y ordenada y mostrando confianza en las propias capacidades.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN • Utilizar, de manera adecuada, las distintas interpretaciones de una fracción. • Determinar si dos fracciones son o no equivalentes. • Amplificar y simplificar fracciones. • Obtener la fracción irreducible de una dada. • Reducir fracciones a común denominador. Ordenar un conjunto de fracciones. • Sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones.

• Calcular la potencia y la raíz cuadrada de una fracción. • Obtener la fracción inversa de una fracción dada. • Aplicar correctamente la propiedad distributiva y sacar factor común. • Realizar operaciones combinadas con fracciones, respetando la jerarquía de las operaciones. • Resolver problemas reales donde aparezcan fracciones.

ESQUEMA DE LA UNIDAD FRACCIONES

a Una fracción es una expresión del tipo , con b ! 0, donde a y b b son números enteros. Fracciones equivalentes a c Dos fracciones y son equivalentes si a ? d = b ? c. b d

Operaciones

Suma y resta Para sumar (o restar) fracciones se reducen a común denominador y se suman (o restan) los numeradores. 2 5 4 15 4 + 15 19 + = + = = 3 2 6 6 6 6

Multiplicación El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores, y por denominador, el producto de los denominadores. a c a ?c = ? b d b ?d

2 5 2?5 10 5 = = ? = 3?4 12 6 3 4

División Para dividir dos fracciones se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda. a c a d a ?d : = ? = b d b c b ?c

54

■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

2 5 2 4 8 : = ? = 3 4 3 5 15


55

Esta sección proporciona guiones orientativos para la elaboración de las programaciones de aula por parte del profesorado. Nuestra intención no es sustituir la labor del profesor, pues la programación del curso debe ser elaborada por el propio educador, en función de las características específicas tanto del centro como del alumnado. Desde Santillana solo intentamos ofrecerles recursos que faciliten esta tarea.

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2. RECURSOS PARA TRABAJAR EN EL AULA Esta sección recoge ideas, consejos y sugerencias para trabajar en el aula, y consta de un conjunto de recursos para cada unidad que se presentan en los siguientes apartados. 2

UNIDAD

El papiro Rhind y las fracciones El papiro Rhind fue escrito por el escriba Ahmes; por ello, se conoce también como papiro Ahmes.

La vida de Alejandro Magno ha sido evocada por escritores y poetas desde la antigüedad hasta nuestros días. Su historia dio paso a la leyenda, y podemos encontrar multitud de biografías, anécdotas, curiosidades… que tienen como hilo conductor la vida de este personaje histórico.

Este papiro mide unos 6 metros de largo y 33 centímetros de ancho. Está escrito en hierático y proporciona información sobre cuestiones aritméticas básicas: fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, regla de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica.

En esta ocasión nos ocuparemos de sus conquistas militares mediante la falange macedonia. La organización de la falange y su estrategia de combate son logros de Filipo II, el padre de Alejandro.

El papiro Rhind muestra que en el antiguo Egipto, en el año 4000 a.C., se trabajaba únicamente con fracciones unitarias, es decir, aquellas con 1 1 1 el numerador 1, por ejemplo, , y . 2 3 4

Filipo, a partir de la falange tebana, organizó la falange macedonia, modificando su estructura: agrupó a los soldados en cuadros independientes de 16 filas y 16 columnas, llamados syntagmas. Estos syntagmas, en número de 64, se disponían en dos alas de 32 syntagmas cada una, que podían llegar a operar de forma independiente.

Los egipcios tenían un método para descomponer una fracción unitaria en suma de dos fracciones unitarias de distinto denominador. El procedimiento se expresa del modo siguiente: 1 1 1 = + n n+1 n (n + 1)

El papiro Rhind es un documento muy antiguo que nos informa de los conocimientos matemáticos de los egipcios. El papiro fue encontrado en las ruinas de un antiguo edificio de Tebas (Egipto) y, posteriormente, lo compró en la ciudad de Luxor el egiptólogo escocés Henry Rhind, cuando viajó a Egipto. A la muerte de Rhind, el papiro fue a parar al Museo Británico, donde se encuentra actualmente.

La falange macedonia presentaba así un frente homogéneo, y apoyada por la caballería, constituyó un cuerpo de ejército casi invencible hasta la aparición de la legión romana.

1 De esta forma, la fracción unitaria , mediante este 2 método, se descompone así: 1 1 1 1 1 = + = + 2 3 2?3 3 6

Galileo Galilei nació en Pisa en 1564, y aunque estudió Medicina en la universidad, decidió inclinarse por las Matemáticas. A los 25 años fue nombrado profesor de Matemáticas en la Universidad de Pisa, donde comenzó a investigar sobre la mecánica y el movimiento de los cuerpos. Su contribución más interesante fue establecer el vínculo entre la Física y las Matemáticas. Murió en 1642, el mismo año del nacimiento de Newton, a quien dejó el camino abierto para la consolidación de la Mecánica.


UNIDAD

Actualmente, los ordenadores nos permiten escribir un texto de una forma fácil y rápida, utilizando el tipo de letra y el tamaño que nos interese en cada momento. El tamaño de las letras se mide en puntos. Un punto equivale a 3/8 de milímetro.

57


UNIDAD

MATEMÁTICAS CON ORDENADOR

OpenOffice. CALC

PASO A PASO

es.openoffice.org

Reduce a común denominador las fracciones

3 5 4 , y . 12 18 15

2


1

2. Utilizamos la función M.C.M() seleccionando todos los denominadores para calcular su mínimo común múltiplo.

3. Escribimos en una fila el nuevo denominador común tantas veces como fracciones tengamos.

4. Calculamos el nuevo numerador de la primera fracción.

Escribimos los rótulos en la columna A. A continuación escribimos las fracciones: anotamos los numeradores en las celdas B1, C1 y D1, y los denominadores en las celdas de la siguiente fila, B2, C2 y D2. De esta forma tenemos las fracciones en las columnas B, C y D.

2

Utilizamos la función M.C.M(Número 1; Número 2; ...) para calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores. En B4 copiamos =M.C.M(B2:D2), que da 180.

3

Copiamos de nuevo los rótulos en la primera columna, en las celdas A6 y A7. A continuación escribimos el nuevo denominador en las celdas B7, C7 y D7, en este caso, 180.

5. Seleccionamos el nuevo numerador y arrastramos para conseguir los nuevos numeradores del resto de fracciones. Así obtenemos las fracciones con denominador común. 4

Hallamos el numerador de la primera fracción equivalente. En la celda B6 copiamos la fórmula =B7/B2*B1 que da como resultado 45.

SUGERENCIAS PARA RESOLVER LAS ACTIVIDADES 1

Para resolver esta actividad basta con seguir, las instrucciones dadas en el ejemplo.

2

Tenemos que encontrar una fracción equivalente 3 4 y con denominador 35, que es el m.c.m. a 7 7

3

de los tres denominadores. Debemos recordar que el numerador de la fracción equivalente que estamos buscando tiene que ser múltiplo de 5.

El común denominador de las tres primeras fracciones es 12, en el segundo caso el común denominador es 18. Podemos probar con más fracciones, por ejemplo se puede buscar el común denominador 1 1 1 1 1 1 y o de , y . de , 5 10 15 4 8 12 Hay que tener en cuenta que el numerador b, no afecta a la hora de buscar el denominador común de las fracciones.

Copiamos la celda B6 y pegamos su contenido en las celdas C6 y D6 donde aparecen los numeradores de las otras dos fracciones, 50 y 48.

59


UNIDAD

2

UNIDAD

MATEMÁTICAS CON ORDENADOR Reduce a común denominador las fracciones

Microsoft Office. EXCEL

3 5 4 . , y 12 18 15

1. Copiamos en una fila todos los numeradores de las fracciones, y en la siguiente fila, los denominadores.




PASO A PASO

2


1


2


3


5. Seleccionamos el nuevo numerador y arrastramos para conseguir los nuevos numeradores del resto de fracciones. Así obtenemos las fracciones con denominador común. 4



INVESTIGA

2. Calcula el número que verifica la siguiente desigualdad: 3 d 4 < < 7 5 7

¿Cuál será el denominador común de

b b b ? , y a 2a 3a

1 1 1 1. Escribe fracciones con el mismo denominador. 3. Reduce a común denominador: , y , 2 4 6 1 1 1 b) 8 , 9 , 10 a) 7 , 18 , 17 y haz lo mismo con: , y . 9 11 13 5 11 15 3 6 9

60


Paso a paso. Desarrollo pormenorizado del proceso a seguir para resolver la actividad propuesta en el libro del alumno mediante la utilización de software libre (WIRIS, OpenOffice y GeoGebra).

5

58

Matemáticas con ordenador. En esta página se muestra la resolución de la actividad propuesta en el libro del alumno utilizando software para el que se necesita licencia (DERIVE, EXCEL y CABRI).

Desde la antigua prensa movida a mano, inventada por Gutenberg aproximadamente en el año 1440, hasta las veloces rotativas de los periódicos, las máquinas de imprimir han sufrido innumerables modificaciones y se perfeccionan constantemente.

2


Curiosidades matemáticas. Presenta aspectos curiosos de las Matemáticas, notas históricas…, que facilitarán la motivación de los alumnos.

Evolución de la imprenta

Galileo

Matemáticas con ordenador. En esta página se muestra la actividad resuelta en el libro del alumno con software libre (WIRIS, OpenOffice y GeoGebra), y se han añadido sugerencias para resolver las actividades propuestas.

RECURSOS PARA EL AULA

Alejandro Magno

56

2

CURIOSIDADES MATEMáTICAS


UNIDAD

LECTURA INICIAL


Lectura inicial. Contexto histórico y matemático en el que se desarrolla el episodio que hemos utilizado para iniciar la unidad en el libro del alumno.

5



Paso a paso. Desarrollo pormenorizado del proceso a seguir para resolver la actividad propuesta en el libro del alumno mediante la utilización de software para el que se necesita licencia (DERIVE, EXCEL y CABRI).

61

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2

UNIDAD

2

El volumen de agua total en el planeta Tierra es de unos 1 400 millones de kilómetros cúbicos.

El agua de la Tierra

97 Los de toda el agua del planeta Tierra es agua 100 salada y el resto es agua dulce.

En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Conocer la superficie y distribución de los océanos y la cantidad de agua disponible, y utilizar estos datos para resolver problemas con fracciones. • Interpretar un texto y extraer de él los datos necesarios para resolver problemas con fracciones.

1

5 La mayor parte del agua dulce, concretamente los , 7 la constituyen el hielo y la nieve de los casquetes polares y los glaciares. El resto está formado por el agua subterránea, el agua de los lagos y ríos y de la atmósfera. Los glaciares y los casquetes polares, que son los mayores almacenes de agua dulce en la Tierra, están alejados de los grandes núcleos de población humana.

Los océanos y los mares en la Tierra

La Tierra tiene forma esférica y está achatada por los polos. Considerando la Tierra como una esfera, la longitud de sus círculos máximos (meridiano cero y ecuador) es aproximadamente de 40 000 kilómetros. Asimismo, la superficie total de la Tierra es de unos 500 millones de kilómetros cuadrados.

Por eso, son los ríos, los lagos y las aguas superficiales los que ha utilizado tradicionalmente el ser humano para proveerse de agua. Pero solo una parte de cada veinte del agua dulce está en los ríos y lagos o son aguas superficiales. Aunque, en términos absolutos, el agua dulce disponible es suficiente para abastecer a los más de 6 000 millones de habitantes de la Tierra, existe el problema de que este agua disponible no está equitativamente distribuida en el planeta. Hoy se calcula que la cantidad mínima de agua para cubrir las necesidades básicas de una persona es de 50 litros diarios. Y se considera la cantidad de 100 litros por persona y día como necesaria para un estándar de vida aceptable.

LEE LA INFORMACIÓN, CALCULA Y CONTESTA.

7 Los océanos y mares ocupan los del total de la su10 perficie del planeta. Por su parte, los mares profundos 13 ocupan los de esa superficie total. 50 La fracción de la superficie total ocupada por los océanos que corresponde a cada uno de ellos es aproximadamente la siguiente:

9

EN LA VIDA COTIDIANA... Construcciones cúbicas En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Recordar el concepto de número de oro. • Construir rectángulos áureos. • Determinar los cuatro puntos significativos en una fotografía.

1

1 4 1 2

Océano Índico ........................................

1 5

En las proporciones ostenta especial relevancia, por su presencia en numerosos contextos, tanto geométricos como artísticos, naturales y reales, la llamada proporción áurea.

a+b a = a b Esto es equivalente a afirmar que el cociente a /b es igual a un determinado número, llamado número de oro y que se representa por F. El número de oro tiene infinitas cifras decimales. a 1+ 5 =U= = 1,618033… b 2

D

A

B

M

E

C

F

b

a-b

b a

b) Dibujaunsegmentodelongitud8cmydivídeloen dospartesqueesténenproporciónáurea.¿Qué longitudtienecadaunadeellasaproximadamente?

A

G

B

HAZ LAS ACTIVIDADES.

Por el extremo B trazamos una perpendicular a AB y, con centro en B y radio AB, marcamos el punto N. Después, con centro en M (punto medio de AB) y radio MN, trazamos un arco que corta a la prolongación de AB en el punto R. Por último, con centro en R y radio BR, cortamos a la perpendicular NB en el punto C, tercer vértice del rectángulo.

b) Determinalospuntossignificativosdeestecuadro conlaleydelostercios.

h) ¿Cuántos metros cúbicos de agua al día gastaría la humanidad si cada persona usara la cantidad necesaria para un estándar de vida aceptable? i) ¿Qué fracción del total de agua dulce disponible en ríos, lagos, aguas subterráneas y aguas superficiales supondría cada uno de ambos casos? ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

a) Dibuja un rectángulo de 15 3 10 cm y halla sus puntos significativos, usando los dos métodos explicados.

C

a) Conlacalculadora,hallaelvalordeU -1 y 1/U. ¿Quéobservas?

c) Sindibujar,¿quélongitudtendránlasdospartessi elsegmentomide16cm?¿Ysimide24cm? d) Dibujaunrectánguloáureo,partiendodeuncuadradodelado10cm.¿Quélongitudtieneelrectánguloqueobtienes? e) Dibuja un rectángulo áureo y construye otro rectángulosemejanteaél.Elrectánguloobtenido,¿es tambiénunrectánguloáureo?Razonaturespuesta.


g) ¿Cuántos metros cúbicos de agua gastaría la humanidad diariamente, si cada persona usara la cantidad mínima recomendada para sus necesidades básicas?

9

h) ¿Qué superficie en kilómetros cuadrados ocupa el océano Índico?

63

N

RESUELVE LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES.

En el extremo B del segmento AB, levantamos un segmento perpendicular al lado y de longitud su mitad, y formamos el triángulo rectángulo ABT. Con centro en T y radio TB, trazamos el arco que corta a AT en V. Luego, con centro en A y radio AV, obtenemos el punto G. Los segmentos A GyG B están en proporción áurea. T

f) ¿Qué fracción del agua total de la Tierra representan los ríos, lagos, aguas subterráneas y aguas superficiales?

f) ¿Qué superficie ocupa el océano Atlántico en kilómetros cuadrados?

Antes de determinar cuáles son dichos puntos, vamos a ver cómo se puede obtener un rectángulo áureo de longitud un segmento AB.

a-b

La proporción áurea ha sido muy utilizada en el arte. Vamos a ver a continuación cómo dividir un segmento AB en dos partes que estén en dicha proporción.

V

e) ¿Qué fracción de la superficie total de la Tierra ocupa cada uno de los océanos indicados en el texto?

F

Los rectángulos áureos tienen la curiosa propiedad de que, si les quitamos el cuadrado cuyo lado es el lado menor del rectángulo, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo.

b

c) ¿Cuántos kilómetros cúbicos de agua dulce representan la nieve y el hielo de los casquetes y los glaciares?

e) ¿Cuántos kilómetros cúbicos de agua dulce contienen los ríos, lagos, aguas subterráneas y aguas superficiales?

d) ¿Qué superficie en kilómetros cuadrados ocupan los continentes?

UNIDAD

b) ¿Cuántos kilómetros cúbicos de agua dulce hay en la Tierra aproximadamente?

d) ¿Qué fracción del total de agua del planeta representa el agua en forma de hielo y nieve que hay en los casquetes y en los glaciares?

c) ¿Qué superficie en kilómetros cuadrados ocupan los océanos y mares profundos?

g) ¿Y el océano Pacífico?

a) ¿Qué fracción del total de agua de la Tierra constituye el agua dulce?

Al fotografiar es muy complejo determinar esos cuatro puntos usando este método. Por ello, los fotógrafos utilizan la llamada leydelostercios.Trazan mentalmente las rectas que dividen el largo y el ancho de la fotografía en tres partes iguales. Los puntos de corte de esas rectas son los significativos. El resultado es similar al obtenido de la otra forma.

Un rectángulo es un rectángulo áureo si su ancho y altura están en proporción áurea. Para construir un rectángulo áureo dibujamos un cuadrado ABCD. Desde el punto medio, M, de BC, y con radio MD, trazamos un arco que corta en E a la prolongación de BC. Luego, levantamos la perpendicular en E y obtenemos el punto F, al cortar a la prolongación de AD. El rectángulo ABEF es un rectángulo áureo.

Dos longitudes están en proporción áurea cuando el cociente entre la suma de ambas y la mayor tiene el mismo valor que el cociente entre la mayor y la menor. Si las denominamos a y b, se cumple que:

b) ¿Qué fracción de la superficie terrestre constituyen los continentes?

i) ¿Y el océano Ártico? 1 3 2 La proporción áurea en el arte Océano Ártico ......................................... j) Se estima que, en el agua de los océanos, las 20 4 Uno dePor losotra contextos aparece el nú-es salapartes de los materiales sólidos disueltos son sal. parte, elartísticos agua de donde los océanos y mares mero áureo es la fotografía. una fotografía ¿Cuántos gramos de materiales disueltos que no son da y contiene alrededor Al de mirar 35 gramos de sal disueltos existenencuatro puntos que atraen nuestra atención. sal hay en cada litro de agua? cada litro de agua. Una fotografía ha de tener en esos cuatro puntos los elementos de mayor interés o que se quieran destacar ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■ 62 especial. de modo

La proporción áurea

Euclides definió razón como la «relación cualitativa entre dos magnitudes homogéneas» y proporción como la «igualdad de dos razones». Las proporciones han tenido a lo largo de la historia una enorme importancia desde el punto de vista estético.

270

Océano Atlántico .................................... Océano Pacífico ......................................

a) ¿Qué fracción de la superficie total de la Tierra ocupan los océanos y mares profundos?



UNIDAD

2

La distribución del agua dulce en la Tierra


UNIDAD

EN LA VIDA COTIDIANA...

A

M

B

En la vida cotidiana... Proyecto matemático relacionado con contextos reales que pretende mostrar la utilidad de los contenidos estudiados en la unidad.

R

Construyeunrectánguloáureode5cmdelongitud. Los cuatro puntos significativos de una fotografía se obtienen así: trazamos con la técnica que acabamos de ver las líneas verticales, de forma que los rectángulos a rayas sean áureos. Los puntos de corte de las diagonales del rectángulo con esas rectas son los cuatro puntos significativos en la fotografía.

271


Estrategias de resolución de problemas. Ofrecen diferentes técnicas de resolución de problemas a través del análisis de problemas resueltos y propuestos.

UNIDAD

2

ESTRATEg

IAS DE RESO LUCIÓ

N DE PROB LEMA

Hacer un dib

ujo

S

Estrategia Una estra tegia

para resolver en él los dato los siguiente s del problema s problema s es hacer un . El dibujo nos ayudará dibujo y mo strar a resolver el problema. PROBLEMA RESUELTO Una locomotora arrastra tres vagones. La longitud del del segundo primer vagó y la longitud n es 1 de la del tercer vagó Si la longitud longitud n es igual a total de los 3 la tres vagones es 56 m, ¿cuá longitud del primero y segundo junto nto mide cada Planteamiento s. vagón? y resolución Longitud del primer vagón

Longitud del segundo vagón

Longitud del tercer vagón

Longitud de los tres vagones 56 m

Longitud del pri

mer vagón: 1 de 56 = 7 m 8 tud de los otros dos vagones y com

Calcula la longi

PROBLEMAS 1

ción.

S

Jorge ha ido en coche desd hasta el pueb e el pueblo A lo C pasando un total de por B. Ha recor 180 km. La rido distancia entre los pueblos B y C es 5 de la distancia 4 que hay entre los pueblos A la distancia entre los pueb y B. ¿Cuál es los A y B? ¿Y entre los pueblos B y C?

Pueblo A

64

prueba la solu

PROPUESTO

Pueblo B

2

Pueblo C

Cristina recib e en su tiend a un total de 90 camisetas de las tallas pequeña, medi y grande. El número de camisetas pequ ana 2 eñas es del número 3 de camisetas medianas, y el número de camisetas grandes es 4 del número de las medi anas. 3 a) ¿Cuántas c amisetas de ca da talla recibe Cristina? b) El precio de una camiseta pequeña m una median ás a y una grande es 36 €. La pequeña cue sta 1/4 menos la mediana, y la que grande, 1/4 m la mediana. ¿Cu ás que ánto cuesta ca da ca 3 Una perso miseta? na paga en dos plazos que cuesta un televisor 540 €. En el segundo los 3/7 del plazo pagó diner ¿Cuánto diner o que abonó en el prim ero. o pagó en cada plazo?

■ MATEM

ÁTICAS 2.° ESO ■ MATER

IAL FOTOC OPIAB

LE © SANTI LLANA

EDUCACIÓN,

S. L. ■

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3. ADAPTACIÓN CURRICULAR La ampliación de la escolarización hasta los 16 años ha incrementado la diversidad del alumnado en nuestras aulas. De ahí que consideremos necesario proporcionar a los profesores distintos recursos para enfrentarse a ella. Nuestro planteamiento es que el refuerzo no debe suponer que aquellos alumnos que presentan dificultades de aprendizaje deban aprender todos los contenidos anteriores. Además del tiempo que exigiría, se ampliarían aún más las diferencias en el aula. Es necesario entonces seleccionar los contenidos esenciales que les permitan seguir el ritmo del grupo escolar. En nuestras Propuestas para la adaptación curricular hemos prestado especial atención a esta máxima, otorgando una gran importancia al desarrollo de las destrezas y estrategias de aprendizaje.

2

AD

UNIDAD N DE LA RESUME

Presentación.

a , del tipo b expresión ción es una ominador. • Una frac UCCIÓN b es el den erador y las que fracción es el num iguales en cepto de donde a de partes de partes enta el con o parte or: número erador: número ad se pres significados: com iente) nad omi unid Num • Den En esta l (coc varios la unidad. de la unidad. r decima ltado de se divide e como resu unidad, como valo cantidad). tomamos como part o iguales que rpretarse ción de una de un todo inte o (frac r de com la rado ción pue imal y iento de y como ope • Una frac ad, como valor dec en conocim y las nos ya tien de las fracciones de la unid d. ellas. Los alum ntes gráfica una cantida izan con ivale ón de real equ e taci se es car) part as que s más represen ner fraccion tiplicamos (amplifi s aritmétic en aspecto y los den obte operacione ahora profundizar • Se pue a: simplemente mul erador e equivalente (fracción a una dad Se pretend car) el num de fracción como el número. plificación s (simplifi la el mismo o dividimo concretos, amplificación y sim mo modo, los as con nador por de a le). Del mis s aritmétic dividir, y el denomi métodos o irreducib fracciones ayudará operacione la car y cilla izar tipli itiva sen real mul intu s de más ica . • Podemo es: sumar, restar, manera más ciones. tación gráf la vida real represen der de una e frac las fraccion lver problemas de orden a compren y la relación entr el reso n alumnos así como en cuenta cación ción, el orde nte tener a, multipli compara Es importa suma, rest ialmente raciones. ones de tean inic de las ope Las operaci fracciones se plan nador, en el caso de omi ión den al divis y s (igu s sencillo con caso as y restas). de las sum

ÓN ADAPTACI

ULAR

CURRIC APTACIÓN

LAR CURRICU

UNIDAD

Introducción. Aspectos metodológicos de los contenidos de la unidad.

INTROD

Resumen de la unidad. Resumen de los conceptos y procedimientos básicos. Programación. La primera columna muestra los objetivos de aprendizaje. Corresponde también a la secuencia de trabajo. En la segunda se recogen los conceptos que se van a trabajar. Y en la tercera se muestran los procedimientos o técnicas básicas que se utilizarán en cada una de las fichas de la unidad.

IMIENTOS

PROCED

los términos ación de • Identific ciones. s: de las frac las fraccione tación de ica • Interpre tación gráf represen numéricos. nificados y sus sig

IDOS

CONTEN

ción. to de frac ciones: • Concep s de las frac nador. Elemento or y denomi numerad ión gráfica. ntac • Represe significado y tura • Lec iones. de las fracc equivalente. • Fracción ciones ión de frac ción • Obtenc : amplifica equivalentes ión. Fracción cac y simplifi le. irreducib ciones. ción de frac para • Com

S

OBJETIVO

cepto der el con 1. Compren ificados y los sign iones. de las fracc

ciones

ar frac 2. Identific . equivalentes

fracciones y resta de or. • Suma denominad con igual fracciones y resta de or. • Suma denominad con distinto división cación y • Multipli s es. operacione de fraccion ión de una 4. Realizar licación divis y ero. es. • Producto de multip por un núm de fraccion fracción y división

es de fraccion cimiento • Recono . ivalentes equivalentes ciones equ ión de frac • Obtenc la amplificación mediante cación. ún y la simplifi ciones: com ción de frac • Compara or y gráficamente. l denominad con igua fracciones y resta de • Suma nador. omi den y distinto binadas. ones com as. • Operaci de problem ión s oluc • Res raccione división de f cación y • Multipli úmero. por un n binadas. ones com as. • Operaci lem ión de prob • Resoluc

s operacione 3. Realizar y resta de de suma fracciones.

65

■ ÓN, S. L.

CACI NA EDU

SANTILLA ABLE ©

COPI ERIAL FOTO

ESO ■ MAT TICAS 2.°

■ MATEMÁ

OBJETIVO 1

COMPRENDER EL CONCEPTO Y LOS SIGNIFICADOS DE LAS FRACCIONES CURSO:

UNIDAD

FECHA:

1

FRACCIÓN

• Cuando queremos expresar cierta cantidad de algo que es incompleto, o partes de un total, y no podemos escribirla con los números y expresiones que hasta ahora conocemos, utilizamos las fracciones.

Numerador Denominador

10 25

2 4 1 , y son ejemplos de fracciones. 3 9 2

3 4

LA FRACCIÓN COMO PARTE DE LA UNIDAD Elena abre una caja de quesitos de 8 porciones y se come 2. Podemos expresar esta situación mediante una fracción:

2

Completa la siguiente tabla: 6 10

FRACCIÓN

F Numerador: número de porciones que se come

2 8

F Denominador: número de porciones de la caja

6

NUMERADOR DENOMINADOR

• Significado del denominador: número de partes iguales en las que se divide la unidad • Significado del numerador: número de partes que tomamos de la unidad • Significado de la raya de fracción: partición, parte de, entre, división o cociente

SE LEE SI EL DENOMINADOR ES

SE LEE

Quince treintavos

Dos quintos

Para dibujar y/o representar gráficamente las fracciones seguimos estos pasos: 2

3

4

5

6

7

8

9

...

Dos

Tres

Cuatro

Cinco

Seis

Siete

Ocho

Nueve

...

2

3

4

5

Tercios Cuartos Quintos

6

7

8

9

11

12

13

Onceavos

Doceavos

Treceavos

14

1.º Elegimos el tipo de dibujo: círculo, rectángulo, cuadrado, triángulo (normalmente es una figura geométrica). 2.º Dividimos la figura en tantas partes iguales como nos indica el denominador. 3.º Coloreamos, marcamos o señalamos las partes que nos indica el numerador.

10

Sextos Séptimos Octavos Novenos Décimos

3

Escribe la fracción que representa la parte sombreada de los gráficos. a) b) c)

Si el denominador es mayor que 10, se lee el número seguido del término -avo. SI EL DENOMINADOR ES

Once sextos

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FRACCIONES

1 Un

Medios

SE LEE

10

SE LEE

¿Cómo se leen las fracciones? SI EL NUMERADOR ES

SE LEE

12 16

En general, si a y b son dos números naturales (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...), una fracción se escribe: a F F b F

DENOMINADOR

7 12

• Una fracción es una expresión matemática en la que se distinguen dos términos: numerador y denominador, separados por una línea horizontal que se denomina raya de fracción.

Raya de fracción

NUMERADOR

4 9

• Ejemplos de frases en las que utilizamos fracciones son: «Dame la mitad de...», «Nos falta la cuarta parte del recorrido...», «Se inundó la habitación de agua en dos quintas partes...», «Los dos tercios del barril están vacíos...», «Me he gastado la tercera parte de la paga...».

2

Completa la siguiente tabla:

ADAPTACIÓN CURRICULAR

NOMBRE:

15

Catorceavos Quinceavos

...

20

...

Veinteavos

Ejemplos 3 se lee «tres octavos». 8

66

6 se lee «seis novenos». 9

12 se lee «doce veintiunavos». 21



67

Páginas de información y práctica. Siguiendo como secuenciación los objetivos de aprendizaje de la presentación de la unidad, se plantean una serie de fichas donde se proponen numerosas actividades, para aplicar y practicar los conceptos y técnicas.

15 277995 _ 0001-0017.indd 15

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4. PROPUESTAS DE EVALUACIÓN Se ofrecen también modelos de pruebas de evaluación inicial y final en todas las unidades del libro del alumno. Asimismo, se incluyen el proceso de resolución y las soluciones de cada una de las actividades propuestas. Las pruebas se han desarrollado según dos criterios: que el alumnado utilice las capacidades que se han trabajado en clase, y que cada actividad se relacione con uno de los contenidos en los que hemos estructurado la unidad. 2

Presentación.

DE EVALUACIÓN PROPUESTAS

UNIDAD

UACIÓN AS DE EVAL PROPUEST d, S nar la unida NTOS PREVIO nos. Al termi de los alum la resolución conocimiento importante mos do el nivel de no siendo tan unidad los pode d comproban fracciones, os para esta zar la unida al operar con cimientos previ Conviene empe rían presentar agilidad los. Los cono debe . de los cálcu los alumnos con fracciones la realización ético como aritm de problemas s del lenguaje s y las regla sigue: las expresione resumir como positivos. los símbolos, de términos ión y uso de • Interpretac s con fracciones ón y operacione • Comparaci

CONOCIMIE

Conocimientos previos. Resumen de los contenidos correspondientes a cursos o unidades anteriores que se consideran imprescindibles para comenzar la unidad. Sugerencias sobre las evaluaciones y su corrección. Justificación metodológica de las actividades propuestas.

N CORRECCIÓ CIONES y SU LAS EVALUA AD AS SObRE DE LA UNID EVALUACION SUgERENCI

todos los objeado trabaja que se ha diseñ niveles de asimi La evaluación d. Según los preguntas para la unida alcanzado, hay En este tivos previstos alumnos hayan licadas. lación que los o menos comp más ar dado que se result son sencillas, que pueden ras preguntas alumnos. prime los las o, por idos sentid nidos ya conoc trata de conte

INICIAL en de los conste en un resum tos: inicial consi estos aspec La evaluación incidiendo en qué curso anterior, ión; averiguar tenidos del te una fracc o; y las opegráficamen de un gráfic representar senta una parte multiplicación y división, , fracción repre ión as: suma, resta la simplificac raciones básic el m.c.d. y el m.c.m. y lar así como calcu . que repade fracciones ales y habrá son fundament observen defiEstos conceptos alumnos en los que se a, el cálculo llos sarlos con aque to a la representación gráfic . cuan ciencias en s con fracciones las operacione del m.c.m. y

EVALUACION

LLANA LE © SANTI

EDUCACIÓN,

77

S. L. ■

OPIAB IAL FOTOC

■ MATEMÁTICAS

2

UNIDAD

EVALUACIÓN INICIAL 1

Indica la fracción que representa la parte sombreada de la forma más simplificada posible.

2

Dibuja un cuadrado de 2 centímetros de lado y construye los tres quintos de este cuadrado.

3

Al comprar se emplean medidas intermedias del gramo o del kilogramo. Si el siguiente rectángulo representa un kilo de carne, representa en cada caso la fracción correspondiente. 1 kg 2

4

1 kg 4

1

2

a)

2 8 3 : n= +d 12 5 5 16 3 : = 3 5

c)

1 1 : = 7 8

78

De los goles conseguidos por un equipo de fútbol, Pedro ha marcado la mitad, Juan ha marcado un tercio y el resto lo han marcado los otros delanteros. ¿Qué fracción de goles han marcado estos últimos?


2 5

1 2

2 5

3 5

Evaluación inicial. Propuesta de evaluación inicial que revisa el conocimiento de los contenidos previos necesarios para comenzar a trabajar la unidad, fijados en la página de presentación.

Dibuja un cuadrado de 2 centímetros de lado y construye los tres quintos de este cuadrado.

3

Al comprar se emplean medidas intermedias del gramo o del kilogramo. Si el siguiente rectángulo representa un kilo de carne, representa en cada caso la fracción correspondiente.

4

Haz las operaciones entre fracciones y simplifica los resultados.

1 kg 2

2 kg 3

5 5

Indica la fracción que representa la parte sombreada de la forma más simplificada posible.

Se divide en cinco rectángulos verticales y se toman tres.

Haz las operaciones entre fracciones y simplifica los resultados.

b)

2

EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES

PROPUESTAS DE EVALUACIÓN

UNIDAD

MATER 2.° ESO ■

1 kg 4

a)

2 8 3 2 10 68 : o= + = +e 5 9 45 12 5 5

b)

16 3 16 5 80 : = ? = 3 5 3 3 9

c)

1 1 1 8 8 : = ? = 7 8 7 1 7

2 kg 3

De los goles conseguidos por un equipo de fútbol, Pedro ha marcado la mitad, Juan ha marcado un tercio y el resto lo han marcado los otros delanteros. ¿Qué fracción de goles han marcado estos últimos? Goles marcados por Pedro y Juan:

1 1 5 5 1 + = " Resto: 1 - 6 = 6 2 3 6

79


2

Z DE… ERES CAPA

EVALUACIÓN

fracciones Comparar dos . cualesquiera

AD DE LA UNID

7

siones. siguientes expre fracción las mediante una 1 Representa nes según iños. de hora. Interpretar fraccio uintos son n en a) Tres cuartos y aplicarlas e, los dos q su significado tos. umnos de la clas 30 al varios contex b) De los 5 . fracción 15 alentes a la equiv ones las fracci 23 2 Señala 18 20 nes si dos fraccio 11 15 7 65 Determinar 6 y buscar 55 60 30 45 son equivalentes lentes a 21 21 nes equiva fraccio

Evaluación de la unidad. Cada una de las actividades propuestas sirven para evaluar el grado de conocimiento que tiene el alumno sobre un determinado contenido de la unidad y el grado de desarrollo de una o varias capacidades.

una fracción

simplificar Amplificar y obtener la fracciones y ible de una fracción irreduc fracción dada.

11 8 c) 15 y 22

3 s a 7.

ón irreducible Calcula la fracci 264 " 90 1 001 " 60

5

ones, siguientes fracci Ordena las

8

fracciones Operar con iones y resolver operac combinadas.

equivalente a las que sean ones y señal siguientes fracci 24 Observa las 18 21 12 15 9 65 6 41 49 28 35 21 21

4

mayor. es la fracción Señala cuál 7 5 a) 9 y 10 22 10 b) 7 y 3

dada.

3

4 2 3 = 11 + 4 - 5 - 15 15 s.

las operacione 10 Efectúa 2o 3 = 2 -e 4 - 5

de:

11 Calcula.

4 e4 : 2 o= ? 5 3 3

fracciones, cible de estas res comunes. fracción irredu diviso Encuentra la nte entre sus sucesivame dividiéndolas

y simplifica. 12 Calcula

2o 4 e 3 - 1 o - e1 - 7 = ? 6 2 5

168 " 126 r.

6

fracciones Reduce las 5 3 a) 8 y 12 7 2 b) 22 y 39

5 . 4 3 , 6 , , menor: 12 10 15 18 de mayor a

Calcula.

9

105 " 360

nes Reducir fraccio inador. a común denom

PROPUESTAS

UNIDAD

2 DE EVALUACIÓN

UNIDAD

Reconocer

inado a común denom

fracciones inversas.

inversa de: e la fracción 13 Escrib 5

" 3 4 " 7 " 2 5

S

ACTIVIDADE

5, 6 ............ 4, .................... .................... S .......... .................... .................... DE CAPACIDADE .................... .................... s .................... ....... .................... según criterio .................... .................... y discriminar .................... • Clasificar etc. .................... ... .................... relaciones, .................... .................... operaciones, .................... .................... .......... etc. • Contrastar ir, .......... resum .................... componer datos, etc. .................... • Combinar, sis, generalizar, formular hipóte • Deducir,

RELACIÓN S

ACTIVIDADE

........... .................... S .................... ........ .................... DE CAPACIDADE .................... .................... 8, 12 .................... 1, 2, 3, 6, 7, elementos .......... nes, etc. .......... e identificar .................... dades, relacio • Enumerar .................... ionar propie nes, etc. .......... ........ etar y selecc datos, relacio 12, 13 .................... • Definir, compl 8, 9, 10, 11, r e interpretar .................... .... 4, 5, 7, .................... distinguir, asocia .................... .................... .......... • Transformar, leyes o .......... reglas .................... deducir e inferir .................... • Extrapolar, r, etc. .......... resolve r, trar, estima S. L. ■ • Aplicar, demos EDUCACIÓN,

RELACIÓN

LANA E © SANTIL

EDUCACIÓN,

S. L. ■

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■ MATEMÁTICAS

MATER 2.° ESO ■

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DESARROLLO DE CUERPOS GEOMÉTRICOS Cuerpos geométricos. Incluimos el desarrollo plano de los cuerpos geométricos más importantes. Su tamaño permite que se puedan recortar y construir.

os geométrROic Cuerpos DE L ORTOED CTO RE OLLO NGULAR DESARR A CUADRA O PRISM

os geométrHEicXAEDRO Cuerpos DE O L CUBO

LO DE DESARROL COS GEOMÉTRI CUERPOS

OLLO DESARR

455 ■ N, S. L.

ACIÓ NA EDUC

SANTILLA ABLE ©

COPI RIAL FOTO

ESO ■ MATE CAS 2.°

■ MATEMÁTI

■ N, S. L.

ACIÓ NA EDUC

SANTILLA ABLE ©

COPI RIAL FOTO

ESO ■ MATE CAS 2.°

■ MATEMÁTI

454

Y ahora... practica (Soluciones) UNIDAD 1 1. a) 74

b) No se puede.

c) 72

2. Múltiplos de 13: 13, 26, 39, 52, ... Div (13) = {1, 13} 3. a) 625 b) 625 4. a) 3

8

c) 125 d) -125 b) No se puede.

5. 12 6. a) 23 ? 11

d) 2 ? 7 ? 11

b) 22 ? 3 ? 7

e) 7 ? 13

c) 25

f) 22 ? 32 ? 7

7. a) m.c.d. (8, 20, 42) = 2 m.c.m. (8, 20, 42) = 23 ? 3 ? 7 ? 5 = 840 b) m.c.d. (18, 20, 42) = 3 m.c.m. (18, 20, 42) = 25 ? 32 ? 5 = 1 440 UNIDAD 2 1. 3 ? 7 ! 5 ? 4. No son equivalentes.

4.

7 2 125 343

5. Respuesta abierta. Por ejemplo: 6 60 12 = = 24 48 240

187 6. 60

4. a) 7x - 2x + 5x + 3x + 8 b) 3x 5 - x 3 - 6x 2 + 12x + 6 c) 5x 4 + 14x - 11 3

3

2

-5

10

-3

15

15

10

-25

50

-15

75

2

5. a) x 7 - 2x 6 - 5x 4 + 11x 3 - 5 b) 2x 4 - 13x 3 + 21x 2 + 14x - 49

1

4

40

160

2

10

5

B

160

40

4

1

80

16

32

2. 56,25 kilogramos de almendras 3. 9 horas

UNIDAD 9

4. La función es continua.

7. a) 3xy ? (3x 2 - 4xy - 6y 2) b) 3xy 2 ? (-1 + 6x + 9x 3y)

1. BC = 4,5 cm OAl = 0,67 cm

5. La función y = 2x - 1 no es de proporcionalidad directa.

2. Respuesta abierta. Por ejemplo: er De 1. grado: 3x + 5 = 2x De 2.° grado completa: 2x 2 - 3x + 7 = 0 De 2.° grado incompleta (b = 0): 5x 2 - 7 = 0 De 2.° grado incompleta (c = 0): 2x 2 - 3x = 0

5. 4,5 cm

19 13

b) x = 6

1 2

1. Población: Todas las viviendas de la ciudad. Muestra: Un número de viviendas elegidas al azar. 2. Respuesta abierta. Por ejemplo: • Cualitativa: color del pelo, comida para desayunar. • Cuantitativa discreta: número de libros en la mochila, número de veces que se va al cine en un mes. • Cuantitativa continua: altura de los alumnos, litros de agua que se beben en un día.

6. 1 : 1 200 000 7. 350 km UNIDAD 10 1. 7,5 cm2 2. 50,24 cm2

3.

3. 20 cm

7. 24 cm2

7 = 0,35 20

4. 4,24 cm

4. Es el gráfico del apartado a).

5. 6,92 cm2

5.

36°

18°

0

3

1

4

90°

90°

8. 8 cm2 126°

9. 3,44 cm2

7. a) x1 y x2 son solución. b) x1 es solución y x2 no es solución.

UNIDAD 11

2

6. La respuesta falsa es la b), y la mediana es 2.

8. Los números son 5, 6 y 7.

1. Tetraedro: 4 + 4 = 6 + 2 Se cumple para los dos.

UNIDAD 7

2. 24 cm

1. a) x e y b) Coeficientes de x: 2, -1 Coeficientes de y: 1, 2 Términos independientes: 10, 5

3.

Cubo: 6 + 8 = 12 + 2

r

2. Respuesta abierta, por ejemplo:

UNIDAD 4 1. a) 37°

UNIDAD 14

3. x = 5 cm 4. Sí, dos cuadrados son siempre semejantes.

1. Primer miembro: -2x 2y + 5xy Segundo miembro: 10 Términos: -2x 2y, 5xy, 10

6. x = 0, x =

Resto: 21

6. No cumple la condición b).

2. x = 3 cm

UNIDAD 6

5. x = 6, x = -2

b) 11,91

3. No pertenece.

6. 6a - 3b + 2

6. 44 cm2

4. Raíz: 11

2. f (-2) = -8

7. 15,75 €

3. a) x = -

5. a) 11,9

5. Radio de la esfera: 3,3 cm Radio de la circunferencia de la base: 5,37 cm

1. (-4, 5) está en el segundo cuadrante y (-5, -8), en el tercero.

5. 20 días 6. 80 %

4. x = 10, x = -10

3. Decimal exacto

4. Volumen de la pirámide: 16 cm3 Volumen del prisma: 48 cm3

UNIDAD 13

4. 64 vacas

2 1 = 28 14

2. 6,1101

2. 2 dam3 = 2 000 000 dm3 420 m3 = 420 000 dm3 3. Caben 25 jeringuillas.

A

15 3 = 2 10

1. Decimal exacto: b) y f) Periódico puro: d) Periódico mixto: a) y c) Decimal no exacto y no periódico: e)

1. 28 cm3

1 5

8.

UNIDAD 3

3x - y = 5 3 2x + 3y = 8

b) 61 200 s

2. 146 440m

3. x = 4, y = 3

3. 1 h 0 min 20 s 4. 61° 11l 5m 5. 2° 57l 50m 6. 31° 19l 0m 7. 4° 40l 4m

462

3. a) 7x 4 + 5x 2 - 3x - 6 b) 3x 5 + x 4 - 8x 2 + 10x - 1 c) 3x 5 - x 4 + 3x 3 - x 2 + 1 4

UNIDAD 12

A B

b) La constante de proporcionalidad inversa es 160.

7.

9. 9

Y ahora… practica (Soluciones) Aquí aparecen las soluciones de todas las actividades propuestas en el apartado Y ahora… practica del libro del alumno.

1. a) La constante de proporcionalidad directa es 0,2.

2. a) x 6 + 14x 4 + 49x 2 b) x 4 - 8x 5 + 16x 6 c) 4x 4 - x 2

8. a) (2x - 5) b) (6 - x) ? (6 + x) 7 7 y9 9

5 2 10 2 4 = = 45 9 18

UNIDAD 8

1. Respuesta abierta. Por ejemplo: Monomios: 2x 2; 3ab Polinomios: 3x 2 - 1; 2ab - b

2

2. 3.

c) 5

4

UNIDAD 5

4. 12 - x = 2x

4. 0,87 cm

5. Sumamos las ecuaciones, porque los coeficientes de la y son opuestos.

5. AL = 63,5 cm2 AT = 105,07 cm2

6. x + y = 25 3 x-y = 5

6. AL = 25,12 cm2 AT = 37,68 cm2



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PROGRAMACIONES Y GUÍA EN FORMATO PDF En el DVD que contiene el Libromedia aparece un apartado dedicado a recursos para el profesor. En este apartado se puede encontrar la Guía en formato PDF, a fin de que se pueda imprimir con facilidad, sin recurrir a la tarea engorrosa de hacer fotocopias. Además, se proporcionan las programaciones de cada una de las unidades.

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1 Números enteros PROGRAMACIÓN DE AULA

objetivos • Reconocer la presencia de los números enteros en distintos contextos. • Calcular el valor absoluto de un número entero. • Ordenar números enteros. • Realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números enteros. • Calcular y operar con potencias de base entera.

• Hallar la raíz entera de un número natural. • Realizar operaciones combinadas de números enteros con y sin paréntesis, respetando la jerarquía de las operaciones. • Hallar todos los divisores de un número entero. • Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números enteros.

CONTENIDOS CONCEPTOS

• Números enteros. Ordenación. • Sumas y restas de números enteros. Operaciones combinadas. • Multiplicación de números enteros. División exacta de números enteros. • Potencias de exponente natural. Operaciones con potencias. • Raíz cuadrada exacta de un número entero. Raíz cuadrada entera por defecto y por exceso de un número entero. Restos. • Jerarquía de las operaciones. • Divisibilidad en los números enteros.

PROCEDIMIENTOS, destrezas y habilidades

• Representación y ordenación de números enteros. • Cálculo del valor absoluto y del opuesto de un número entero. • Suma y resta de números enteros. • Multiplicación y división de números enteros, aplicando la regla de los signos. • Utilización de las reglas de las operaciones con potencias. • Cálculo de la raíz cuadrada entera y el resto de un número natural. • Conocimiento y utilización de la jerarquía de las operaciones, los paréntesis y signos en el cálculo de operaciones combinadas con números enteros. • Determinación de todos los divisores de un número entero. • Cálculo del m.c.d. y del m.c.m. de dos números enteros mediante su descomposición en factores primos.

ACTITUDES

• Valoración de la precisión y la utilidad del lenguaje numérico para representar, comunicar y resolver situaciones cotidianas. • Respeto y valoración de las soluciones aportadas por otros compañeros. • Utilización crítica y cuidadosa de la calculadora.

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◾ MATEMÁTICAS 2.° ESO ◾ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ◾

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UNIDAD

COMPETENCIAS QUE SE TRABAJAN • Interpretar críticamente información proveniente de diversos contextos que contiene distintos tipos de números; relacionarlos y utilizarlos, eligiendo la representación adecuada en cada caso. • Reconocer y calcular el resultado de las operaciones básicas con números, decidiendo si es necesaria una respuesta exacta o aproximada, y aplicando el modo de cálculo más pertinente (mental, algoritmos de lápiz y papel o calculadora). • Conocer, valorar y utilizar sistemáticamente conductas asociadas a la actividad matemática, tales como el orden, contraste, precisión y revisión sistemática, y crítica de los resultados.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN • Comparar números enteros y representarlos en la recta numérica. • Obtener el valor absoluto y el opuesto de un número entero. • Sumar y restar números enteros. • Aplicar la regla de los signos en las multiplicaciones y divisiones de números enteros. • Realizar operaciones combinadas, respetando la jerarquía de las operaciones. • Efectuar divisiones exactas de números enteros.

• Calcular potencias de exponente natural. • Utilizar, de manera adecuada, las reglas de las operaciones con potencias, respetando la jerarquía de las operaciones. • Calcular la raíz cuadrada exacta y entera de un número entero. • Hallar el m.c.d. y el m.c.m. de un conjunto de números enteros, mediante descomposición en producto de factores primos.

ESQUEMA DE LA UNIDAD El conjunto Z de los números enteros está formado por: • Los enteros positivos: +1, +2, +3, +4… • El número 0. • Los enteros negativos: -1, -2, -3, -4…

NÚMEROS ENTEROS

Operaciones

Suma • Si los números tienen igual signo, se suman sus valores absolutos y se pone el mismo signo. (+6) + (+7) = +13 (-6) + (-7) = -13 • Si los números tienen distinto signo, se restan sus valores absolutos (el menor del mayor) y se pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. (-7) + (+6) = -1 (-6) + (+7) = +1

Resta • El opuesto de un entero es el mismo número cambiado de signo. Op (+3) = -3 Op (-3) = +3 • Para restar dos números enteros se suma al primer sumando el opuesto del segundo. (-5) - (-2) = (-5) + Op (-2) = -3

Multiplicación y división Para multiplicar (o dividir) números enteros se multiplican (o dividen) sus valores absolutos. El signo del resultado es +, si ambos tienen igual signo, y -, si tienen signos distintos. (+2) ? (-3) = -6 (-4) ? (-2) = +8 (-12) : (+6) = -2 (+15) : (+3) = +5


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UNIDAD

1

LECTURA INICIAL El año cero Dionisio el Exiguo fue un monje que nació a finales del siglo V y murió a mediados del siglo VI. De origen armenio, fue abad en un convento de Roma y destacó intelectualmente en su época, por lo que recibió el encargo, por parte del Papa, de unificar en el calendario la fecha de celebración de la Pascua en el mundo cristiano. Al investigar y fijar las fechas de celebración de las fiestas de Pascua, que es la festividad más importante de la religión cristiana, no tomó como referencia la fecha de la fundación de Roma, sino la del nacimiento de Jesucristo, que él mismo dató en el año 754 a.u.c. (ab urbe condita) de la fundación de Roma. Esta fecha y el nacimiento de la era cristiana recibirían el apoyo definitivo por parte de Carlomagno, más de dos siglos después, al fechar los documentos oficiales contabilizando los años desde entonces. En cuanto a la polémica surgida en torno al año cero, hay autores que afirman que no existe el año cero porque, en esa época, en Europa no se tenía conocimiento del cero. Ciertamente no se conocía el cero a nivel operativo (como elemento neutro para la suma), pero sí se tenía constancia de su significado, y así se recoge en escritos de la época con la palabra latina Nullae, que significa «nada». Por tanto, lo que realmente no existía no es el cero, como acabamos de ver, sino los números negativos; de hecho, no se hablará de años antes de Cristo en el sentido de número negativo hasta el siglo XVII. Así, en el siglo V, el año anterior al año 1 d.C. no era el año -1, sino el año 753 a.u.c. El criterio de la ordinalidad de las fechas es plausible en el sentido de que explica, no solo la inexistencia del año cero en la era cristiana, sino por qué los árabes tampoco tienen año cero, aunque en el siglo VIII ya operaban con el número cero, procedente de la India, y no sería extraño que lo conocieran a finales del siglo VII, cuando se instauró el calendario hegiriano (la Hégira tuvo lugar en el año 622 d.C.).

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UNIDAD

Curiosidades matemáticas Pares e impares La paridad, es decir, el hecho de que un número sea par (divisible por 2) o impar, aparece en numerosos contextos de la vida cotidiana. Uno de ellos es la numeración de las casas en las calles. En una acera están los números impares, y en la opuesta, los pares. En la informática tiene también especial relevancia el concepto de paridad. Los ordenadores trabajan con información en el sistema binario, es decir, utilizan solo las cifras 1 y 0. A la hora de guardar la información en la memoria, y para asegurarse de que lo hacen correctamente, los ordenadores añaden a cada byte (grupo de 8 bits) el llamado bit de paridad, que permite comprobar si ese byte es correcto o no. Si el ordenador usa un método de paridad par, añade un 1 al byte cuando este tiene un número impar de cifras 1. En otro caso, añade un 0. En el método de paridad impar funciona al revés: se añade un 1 al byte, si este tiene un número par de cifras 1, y un 0 en caso contrario. Observa los ejemplos: Método de paridad par:

11100010 Bit añadido: 0 (hay 4 cifras 1) 10001111 Bit añadido: 1 (hay 5 cifras 1)

Método de paridad impar: 11100010 Bit añadido: 1 (hay 4 cifras 1) 10001111 Bit añadido: 0 (hay 5 cifras 1) Otro contexto en el que aparece la noción de paridad es en los juegos. Así, por ejemplo, en la ruleta se puede apostar a que la bola caiga en Par o en Impar. También existe un juego con monedas llamado «Par o impar». El número de jugadores en este juego suele ser de dos, cuatro o seis. Cada jugador coge un número de monedas. Por turno cada uno elige «par» o «impar», indicando la paridad del número total de monedas que ambos jugadores van a sacar. A una señal, los jugadores muestran las monedas que guardan en su mano y se anota un punto el jugador que haya acertado.

Tales de Mileto Tales de Mileto fue uno de los siete sabios de Grecia, además del primer matemático griego que inició el desarrollo de la Geometría. Tuvo que soportar durante años las burlas de quienes pensaban que sus horas de trabajo e investigación eran inútiles. Pero un día decidió sacar rendimiento a sus conocimientos. Sus observaciones meteorológicas, por ejemplo, le sirvieron para saber que la siguiente cosecha de aceitunas sería muy abundante. Así, compró todas las prensas de aceitunas que había en Mileto. La cosecha fue excelente, y los agricultores tuvieron que pagarle por utilizar las prensas.


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Calcula el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los siguientes números. a) 32, 24 y 16 b) 15, 10 y 30 c) 12 y 16 d) 21, 28, 63 y 35 1. Utilizamos para cada apartado una fila. Situamos el cursor en la celda siguiente a una de las filas con mayor cantidad de números.

2. Pulsamos y elegimos la categoría Matemáticas. En esta categoría marcamos la función M.C.M().

3. Nos situamos en el primer número de la fila elegida y arrastramos hasta el último. Aceptamos y nos aparece el resultado.

4. Nos situamos en la siguiente celda y repetimos los pasos anteriores pero eligiendo la función M.C.D().

5. Copiamos el rango y lo pegamos

en las filas del resto de los apartados para obtener el m.c.m. y el m.c.d. en cada caso.

SUGERENCIAS PARA RESOLVER LAS ACTIVIDADES 1 Podemos utilizar la tabla construida en el ejemplo

2 Utilizamos una columna para la multiplicación de

para resolver este ejercicio.

Como todos los apartados tienen la misma cantidad de números, reescribimos en cada celda los datos de cada uno de ellos. Automáticamente se recalculan los valores del máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

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los números y otra para la multiplicación del mínimo común múltiplo y del máximo común divisor. Al cambiar los números iniciales se puede observar la relación existente entre las dos columnas.

Para ver que pasa con tres y cuatro números el proceso es el mismo.


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PASO A PASO

1


UNIDAD


Escribimos los rótulos en las celdas E1 y F1.

1

En la fila 2 escribimos en las tres primeras celdas, A2, B2 y C2, los números del apartado a). Utilizamos las primeras celdas de las filas 3, 4 y 5 para los apartados b), c) y d). Elegimos la fila con más números y nos situamos en la primera celda libre. En este caso la fila 5, y en la celda E5. Vamos a realizar primero el apartado d).

2

Utilizamos la función M.C.M (Número1; Número2; ...) para calcular el mínimo común múltiplo de los números. Y pulsamos el botón Siguiente.

Nos situamos en la celda A5 y manteniendo pulsado el botón izquierdo del ratón, arrastramos hasta la celda D5 para elegir el rango de datos.

3

Otra forma de realizar este proceso es situarnos en la casilla Número 1 y pulsar la celda A5. A continuación, en la casilla Número 2 y pulsar la celda B5, y así sucesivamente. Pulsamos Aceptar y obtenemos en la celda E5 el mínimo común múltiplo de los números del apartado d).

4

Nos situamos en la celda F5 y seguimos las indicaciones del paso 3 utilizando la función M.C.D (Número1; Número2; ...) para calcular el máximo común divisor. Pulsamos Siguiente y elegimos el mismo rango que en el paso 3. Al pulsar de nuevo Aceptar obtenemos en la celda F5 el máximo común divisor de los números del apartado d).

5

Para resolver el resto de apartados, como en el paso 1, elegimos la fila que tiene más números. Ahora podemos copiar las celdas E5 y F5 en el resto de filas. El proceso es elegir el rango E5:F5 y copiarlo en el rango E2:F2 para el apartado a), en el rango E3:F3 para el apartado b) y en el rango E4:F4 para el apartado c).


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Calcula el mínimo común múltiplo y el máximo comun divisor de los siguientes números.

a) 32, 24 y 16 b) 15, 10 y 30 c) 12 y 16 d) 21, 28, 63 y 35 1. Utilizamos para cada apartado una fila. Situamos el cursor en la celda siguiente a una de las filas.

y elegimos la categoría 2. Pulsamos Matemáticas y trigonométricas. En esta categoría marcamos la función M.C.M().

3. Nos situamos en el primer número de la fila

4. Nos situamos en la siguiente celda y

elegida y arrastramos hasta el último. Aceptamos y nos aparece el resultado.

repetimos los pasos anteriores pero eligiendo la función M.C.D().

5. Repetimos el proceso en las filas del resto de los apartados para obtener el m.c.m. y el m.c.d. en cada caso.


INVESTIGA

1. Calcula el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los siguientes grupos de números.

2. Escribe dos números y multiplícalos. Después, calcula su mínimo común múltiplo y su máximo común divisor, y multiplícalos también. ¿Qué observas? ¿Ocurre lo mismo con otros números? ¿Y con tres números? ¿Y con cuatro?

a) 124, 126 y 128

c) 1 100, 260 y 833

b) 342, 624 y 400

d) 3 690, 8 430 y 1 990

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PASO A PASO 1

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UNIDAD


Escribimos los rótulos en las celdas E1 y F1. En la fila 2 escribimos en las tres primeras celdas, A2, B2 y C2, los números del apartado a). Utilizamos las primeras celdas de las filas 3, 4 y 5 para los apartados b), c) y d). Elegimos la fila con más números y nos situamos en la primera celda libre. En este caso la fila 5, y en la celda E5. Vamos a realizar primero el apartado d).

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Utilizamos la función M.C.M (Número1; Número2; ...) para calcular el mínimo común múltiplo de los números. Y pulsamos el botón Aceptar.

Nos situamos en la celda A5 y manteniendo pulsado el botón izquierdo del ratón, arrastramos hasta la celda D5 para elegir el rango de datos.

3

Otra forma de realizar este proceso es situarnos en la casilla Número 1 y pulsar la celda A5. A continuación, en la casilla Número 2 y pulsar la celda B5, y así sucesivamente. Pulsamos Aceptar y obtenemos en la celda E5 el mínimo común múltiplo de los números del apartado d).

4

Nos situamos en la celda F5 y seguimos las indicaciones del paso 3 utilizando la función M.C.D (Número1; Número2; ...) para calcular el máximo común divisor. Pulsamos Siguiente y elegimos el mismo rango que en el paso 3. Al pulsar de nuevo Aceptar obtenemos en la celda F5 el máximo común divisor de los números del apartado d).

5

Para resolver el resto de apartados, volvemos a utilizar las funciones =M.C.M() y =M.C.D() utilizando el rango A2:C2 para el apartado a), A3:C3 para el apartado b) y A4:B4 para el apartado c).


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UNIDAD

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EN LA VIDA COTIDIANA... Rascacielos En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Conocer algunos de los rascacielos más altos del mundo y trabajar las aproximaciones. • Utilizar la divisibilidad y los números enteros en contextos reales.

1

Los diez rascacielos más altos del mundo

Desde los primeros tiempos de la historia, el ser humano ha querido construir edificios tan altos que casi llegasen a tocar el cielo. Los rascacielos, como las demás estructuras arquitectónicas, han tenido un largo período de evolución. Avances tecnológicos como la invención del primer elevador con freno de emergencia por Elisha Otis, hacia 1850, y el uso del acero en las estructuras de las construcciones, hicieron posible que los edificios se elevasen cada vez más. En 1910, el edificio Metropolitan Life llegó a tener 50 pisos de altura, algo insólito hasta entonces. Dos décadas más tarde se levantaba el Empire State con sus 102 pisos.

La acción terrorista contra las Torres Gemelas, que en el momento del atentado ocupaban (con 411 metros de altura) el tercer puesto entre los edificios más altos del mundo, así como otros problemas asociados a estos edificios, han suscitado un movimiento de reflexión sobre su conveniencia. Algunos de los rascacielos más altos del mundo son:

Nombre

País

Altura (m)

Torres Petronas

Malasia

452

Torre Sears

EE UU

436

Jim Mao Building

China

421

Plaza Rakyat

Malasia

382

Empire State Building

EE UU

369

Tuntex & Chein

Taiwan

347

Amoco

EE UU

346

Centro John Hancock

EE UU

343

Shung Hing Square

China

325

Plaza CITIC

China

322


La evolución de las concepciones arquitectónicas y la aplicación de soluciones tecnológicas han ido permitiendo levantar edificios cada vez más altos.

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a) Redondea a las centenas las alturas de todos los rascacielos de la tabla. ¿Qué error cometes en cada uno de los casos? b) Redondea las alturas a las decenas. ¿Qué error cometes ahora con cada aproximación? c) Trunca a las centenas y, después, a las decenas las alturas de todos los rascacielos que muestra la tabla. ¿Qué error cometes en cada uno de los casos? d) Halla la suma de las alturas de los diez rascacielos. Después, obtén el error cometido al estimar esa suma redondeando a las centenas y a las decenas. e) Calcula el error en la estimación de la suma si, en vez de redondear, truncas a las centenas y a las decenas. f) Estima cuántos rascacielos haría falta colocar, uno encima del otro, para conseguir 1 km de altura. Redondea el divisor a las centenas.


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Las Torres Petronas, que puedes ver en la fotografía inferior, tienen 88 pisos sobre el suelo, 5 pisos bajo tierra y cuentan con 76 ascensores, incluyendo 29 de ellos de alta velocidad en cada torre. Cada uno de estos ascensores puede transportar a 26 personas. La Torre Sears, de Chicago, consta de 108 pisos sobre el suelo y 3 pisos bajo tierra, y tiene un total de 104 ascensores.

1


UNIDAD HAZ ESTAS ACTIVIDADES.

a) En una mañana, en las Torres Petronas, todos los ascensores de alta velocidad han subido llenos desde la planta baja. Halla cuántas personas los utilizaron en total, si el número de personas fue mayor de 45 000 y menor de 46 000. b) Si colocásemos, apiladas una encima de otra, copias de las Torres Petronas y de la Torre Sears, hasta obtener dos edificios con la misma altura, ¿cuántas copias de cada una necesitaríamos? c) Partiendo del piso más bajo de cada uno de los dos edificios, subimos 20 pisos, bajamos 23, volvemos a subir 70 y bajamos 48. ¿En qué piso estaremos en cada uno de los casos? d) Supongamos que la velocidad de los ascensores sea de 2 pisos por segundo. ¿Cuánto tardaríamos en subir desde el piso 0 al piso más alto de cada edificio? ¿Y en subir desde el piso más bajo? e) Hemos tardado 30 segundos en llegar al piso 12. ¿De qué planta hemos partido en cada uno de los edificios?

2

Proyectos para el futuro

Existen en la actualidad proyectos para construir edificios aún más altos. Entre los que han tenido mayor publicidad y significación en los últimos años está el Proyecto Torre Biónica, elaborado por Cervera & Pioz and Partners.

Este proyecto, en el que figuran muchos especialistas españoles, pretende dar un salto cualitativo en la construcción, impulsando el uso de técnicas totalmente distintas a las actuales. Las novedosas técnicas, basadas en la imitación de los principios de flexibilidad y adaptabilidad de las estructuras biológicas, permitirían ajustar la altura, capacidad y uso de la torre a las diferentes condiciones económicas, medioambientales y sociales de la ciudad donde se construya. La altura de la Torre Biónica será de 1 228 m (con 300 plantas), tendrá una capacidad máxima para 100 000 personas, y en ella habrá 368 ascensores de desplazamiento vertical y horizontal. REALIZA LAS ACTIVIDADES. a) ¿Cuántos metros de altura tendría cada planta de la Torre Biónica? Haz una estimación redondeando el dividendo. b) ¿Cuántas copias de las Torres Petronas necesitaríamos apilar, una sobre otra, para alcanzar la altura de la Torre Biónica? Calcula el resultado exacto y el resultado redondeando a las centenas, y halla el error cometido.


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UNIDAD

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estrategias de resolución de problemas Buscar regularidades Estrategia La estrategia de buscar regularidades consiste en tratar de averiguar,

dados los primeros elementos de una secuencia, cuál es su regla de formación, y así poder hallar los siguientes elementos de la secuencia.

PROBLEMA RESUELTO Un caminante encuentra en el desierto la serie de montones de piedras que se muestra en la figura. Tras observarlos un rato, se da cuenta de cómo se ha formado la secuencia. ¿Sabrías deducir cuántas piedras tendría el siguiente montón? ¿Y el siguiente a este?

Planteamiento y resolución Comenzamos por hacer un listado del número de piedras de cada montón para intentar hallar algún patrón o regla de formación: Montón Piedras

1.º 1

2.º 1

3.º 2

4.º 3

5.º 5

6.º 8

Si observas la secuencia, te darás cuenta de que el número de piedras de cada montón es igual a la suma de las piedras de los dos montones anteriores a él: 2 = 1 + 1 3 = 1 + 2 5 = 2 + 3 8 = 3 + 5 Por tanto, el siguiente montón tendrá: 5 + 8 = 13 piedras y el siguiente a este tendrá: 8 + 13 = 21 piedras. Esta serie de números, donde cada uno es igual a la suma de los dos anteriores a él, se llama serie de Fibonacci, en honor a un matemático italiano del Renacimiento.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1 En la figura aparecen los cuatro primeros

números triangulares (aquellos que pueden colocarse formando un triángulo). ¿Sabrías decir cuál es el quinto número triangular? ¿Y el sexto? ¿Y el décimo número triangular?

2 Los números del interior de los cuadrados

se forman a partir de los que les rodean siguiendo la misma regla (solo se usan las operaciones básicas). Completa el interior del último cuadrado.

3

-2 5 4 -3 1

3

28

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6

10

6 7 4

1

9 1 -9 8

2 -4


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UNIDAD

ADAPTACIÓN CURRICULAR Introducción

Resumen de la unidad

La representación numérica en la recta de los números enteros nos introduce en el estudio de su ordenación y comparación, el concepto de valor absoluto y la existencia de los signos + o - que les preceden.

• Los números enteros son los números naturales precedidos de los signos + y -, y el número 0. El mayor de dos números naturales se sitúa siempre más a la derecha en la recta numérica. • Los múltiplos de un número contienen al número una cantidad exacta de veces. Los divisores de un número son aquellos que caben exactamente en él una serie de veces. • Descomponer un número en factores primos permite expresar dicho número como producto de distintos números primos elevados a exponentes. • El máximo común divisor (m.c.d.) de dos números es el mayor de los divisores comunes de ambos. • El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos números es el menor de los múltiplos comunes de ambos.

Utilizando conceptos ya adquiridos como: añadir, tener, sobre, más que; reducir, menos que, deber, bajo, junto con las reglas de los signos y el uso de los paréntesis, realizaremos operaciones básicas con los números enteros. El concepto de múltiplo y divisor común de dos números, ligado a su relación de divisibilidad, requiere el dominio de las operaciones básicas de multiplicación y división de números naturales.

OBJETIVOS

CONTENIDOS

PROCEDIMIENTOS

1. Comprender el significado de los números positivos y negativos.

• Números enteros negativos y positivos. • Recta numérica: representación, orden y comparación de números enteros. • Valor absoluto. Opuesto de un número.

• Reconocimiento de números enteros. • Ordenación y comparación de los números enteros. • Cálculo del valor absoluto.

2. Realizar operaciones aritméticas con números enteros.

• Suma y resta de números enteros. • Operaciones combinadas. • Multiplicación y división de números enteros. Regla de los signos.

• Realización de operaciones de suma, resta, multiplicación y división de números enteros. • Uso correcto de paréntesis y signos.

3. Realizar operaciones con potencias.

• Producto y cociente de potencias con la misma base. • Potencias de exponentes cero y uno. • Potencia de una potencia.

• Desarrollo inicial de operaciones con potencias. • Aplicación de las técnicas de cálculo para hallar potencias.

4. Identificar los múltiplos y los divisores de un número.

• Múltiplos y divisores de un número. • Relación de divisibilidad.

• Obtención de los múltiplos y divisores de un número. • Relación entre múltiplo y divisor.

5. Descomponer en factores primos. Calcular el m.c.d. y el m.c.m.

• Números primos y compuestos. • Descomposición en factores primos. • Múltiplos y divisores comunes: el m.c.d y el m.c.m.

• Identificación de números primos y compuestos. • Producto de factores primos. • Cálculo del m.c.d. y el m.c.m. Resolución de problemas.


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OBJETIVO 1

COMPRENDER EL SIGNIFICADO DE LOS NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

NÚMEROS NEGATIVOS • En nuestra vida diaria observamos, leemos y decimos expresiones del siguiente tipo. SE ESCRIBE MATEMÁTICAMENTE

SE LEE

Hemos dejado el coche en el segundo sótano.

-2

Menos dos

El submarino está a cien metros bajo la superficie del mar.

-100

Menos cien

-4

Menos cuatro

-120

Menos ciento veinte

EXPRESIONES COMUNES

Hace una temperatura de cuatro grados bajo cero. Tu cuenta está en números rojos: debes 120 €.

-2, -100, -4, -120 son números negativos. • Expresan cantidades, situaciones o medidas cuyo valor es menor que cero. • Les precede el signo menos (-). • Se asocian a expresiones del tipo: menos que, deber, bajo, disminuir, restar, me he gastado...

1 Completa la siguiente tabla: EXPRESIONES COMUNES

SE ESCRIBE MATEMÁTICAMENTE

SE LEE

La cueva está a cincuenta y cinco metros de profundidad. La sección de juguetes está en el tercer sótano. La temperatura fue de un grado bajo cero. La estación de metro se encuentra a cuarenta y cinco metros por debajo del suelo. He perdido 2 €.

2 Escribe situaciones que representen los siguientes números negativos.

a) -2 �� b) -5 �� c) -10 �� d) -150 ��

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UNIDAD

NÚMEROS POSITIVOS • Por otro lado, también observamos, leemos y decimos expresiones como: SE ESCRIBE MATEMÁTICAMENTE

SE LEE

+3

Más tres

La gaviota está volando a cincuenta metros sobre el nivel del mar.

+50

Más cincuenta

¡Qué calor! Estamos a treinta grados sobre cero.

+30

Más treinta

+195

Más ciento noventa y cinco

EXPRESIONES COMUNES

La ropa vaquera está en la tercera planta.

Tengo en el banco 195 €.

+3, +50, +30, +195 son números positivos. • Expresan cantidades, situaciones o medidas cuyo valor es mayor que cero. • Les precede el signo más (+). • Se asocian a expresiones del tipo: más que, tengo, sobre, aumentar, añadir, sumar…

3 Completa la siguiente tabla: EXPRESIONES COMUNES

SE ESCRIBE MATEMÁTICAMENTE

SE LEE

Estamos a treinta y dos grados sobre cero. El avión vuela a mil quinientos metros sobre el nivel del mar. El monte tiene una altura de ochocientos metros. La cometa es capaz de volar a ochenta metros. Me encontré en el suelo un billete de 5 €. Te espero en la planta baja.

Los números positivos, negativos y el cero forman el conjunto de los números enteros, conjunto representado por la letra Z.

• Positivos: +1, +2, +3, +4, +5, +6… • Negativos: -1, -2, -3, -4, -5, -6… • Cero: 0


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COMPRENDER EL SIGNIFICADO DE LOS NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS 4 Un termómetro ha marcado las siguientes temperaturas en grados centígrados durante siete días.

Exprésalas con números enteros. LUNES

MARTES

MIÉRCOLES

JUEVES

VIERNES

SÁBADO

DOMINGO

Dos sobre cero

Cinco sobre cero

Cero grados

Tres bajo cero

Dos sobre cero

Uno bajo cero

Cinco bajo cero

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. ORDEN EN LA RECTA NUMÉRICA Los números enteros se representan en una recta de esta manera: 1.º Dibujamos una recta y señalamos el cero, 0. 2.º Dividimos la recta en segmentos iguales (unidades), a la derecha y la izquierda del cero. 3.º A la derecha colocamos los números enteros positivos, y a la izquierda colocamos los números enteros negativos. Observa que están ordenados:

-7

-6

-5

-4

-3

-2

0

-1

F

Números enteros negativos

F

+1

+2

F

…

+3

+4

+5

+6

…

+7

Números enteros positivos

F

5 Representa en una recta los siguientes números enteros: +8, -9, +5, 0, -1, +6, -7, +11, -6.

6 Dados los números enteros: -7, +8, +3, -10, +6, +4, -2:

a) Represéntalos en la recta numérica. b) ¿Cuál está más alejado del cero? ¿Y cuál está más cerca del cero? c) Escribe, para cada uno de ellos, otro número situado a igual distancia del cero que él.

COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS En la recta numérica se pueden representar los números enteros ordenados, para compararlos hay que tener en cuenta: 1.º Un número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo. 2.º Entre varios números enteros, siempre es mayor el que está situado más a la derecha sobre la recta. 3.º Para comparar utilizamos los símbolos mayor que (>) y menor que (<). -7

-6

-5

-4

-3

-2

F


0

-1 F

F

…

+1

+2

+3

+4

+5

+6

Números enteros positivos

+7

… F

… -7 < -6 < -5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < +1 < +2 < +3 < +4 < +5 < +6 < +7… … +7 > +6 > +5 > +4 > +3 > +2 > +1 > 0 > -1 > -2 > -3 > -4 > -5 > -6 > -7…

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UNIDAD

7 Ordena. DE MENOR A MAYOR (<)

DE MAYOR A MENOR (>)

-8, -16, +5, -2, +13, +3, -4, -9, +9, 0, +18, -10

+11, -2, +8, 0, -1, +5, -6, +3, -3, +7, -4, -9, +17

8 Escribe el signo que corresponda entre cada par de números enteros: < o >.

a) +5

-2

c) -1

0

e) +11

+15

g) -7

-4

b) +0

+8

d) -4

+1

f) +10

-9

h) +5

-11

Valor absoluto de un número entero • El valor absoluto de un número entero es la distancia, en unidades, que le separa del cero en la recta numérica. • En la práctica se escribe entre dos barras qu y resulta el mismo número sin su signo: Valor absoluto de -5 se escribe q-5u y es 5. Valor absoluto de +5 se escribe q+5u y es 5. • Los números enteros +5 y -5 están a la misma distancia del cero: 5 unidades. Observa que: q+5u = 5u q-5u = 5 F F

-5 -4 -3 -2 -1

0

+1 +2 +3 +4 +5

• Se dice que +5 y -5 son números opuestos y se escribe así: Op (+5) = -5 Op (-5) = +5 • Dos números opuestos tienen el mismo valor absoluto.

9 Completa la siguiente tabla: VALOR ABSOLUTO

RESULTADO

SE LEE

q+10u

10

El valor absoluto de +10 es 10.

q-8u

7 q-9u

El valor absoluto de -15 es 15. 10 Para cada número entero, halla su número opuesto y represéntalos en una recta numérica.

a) -3

b) +9

c) -12

d) +8


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OBJETIVO 2

REALIZAR OPERACIONES ARITMÉTICAS CON NÚMEROS ENTEROS NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suman sus valores absolutos y al resultado se le pone el signo de los sumandos.

ejemplo (+3) + (+2) "

3 (+3) + (+2) = +5

q+3u = 3 q+2u = 2

3 + 2 = 5

+2 F

F

+4

+5

(+3) + (+2) = +5 …

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

+6

…

(-4) + (-1) " q-4u = 4 q-1u = 1 3 (-4) + (-1) = -5 4 + 1 = 5

Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos y al resultado se le pone el signo del sumando con mayor valor absoluto.

ejemplo (+5) + (-1) "

3 (+5) + (-1) = +4

q+5u = 5 q-1u = 1

5 - 1 = 4

-1 F

(+5) + (-1) = +4 …

(-6) + (+5) "

-6

-5

-4

q-6u = 6 q+5u = 5

6 - 5 = 1

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

+4

+5

+6

…

3 (-6) + (+5) = -1

1 Realiza y representa en la recta numérica las siguientes sumas.

a) (-3) + (-1) b) (+4) + (+4) c) (+5) + (-2) d) (-2) + (-5) e) (+4) + (-4)

Para restar dos números enteros se suma al primero el opuesto del segundo. Se aplica a continuación la regla de la suma de números enteros.

ejemplo

ejemplo

(+5) - (+2) = (+5) + (-2) = +3

(-6) - (-1) = (-6) + (+1) = -5

Op (+2) = -2 q+5u = 5 3 5 - 2 = 3 q-2u = 2

Op (-1) = +1 q-6u = 6 3 6 - 1 = 5 q+1u = 1

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UNIDAD

OPERACIONES COMBINADAS DE SUMAS Y RESTAS DE NÚMEROS ENTEROS Los números enteros pueden combinarse mediante sumas y restas. Hay que tener en cuenta una serie de reglas: • Cuando el primer sumando es positivo se escribe sin signo. • Al eliminar los paréntesis, el signo que le precede afecta a todos los números: – El signo + mantiene los signos de todos los números: +(-7 + 2 - 1 + 8) = -7 + 2 - 1 + 8 – El signo - cambia los signos de todos los números: -(-7 + 2 - 1 + 8) = +7 - 2 + 1 - 8 Podemos operar de dos formas: • Sumar por separado los enteros positivos, los enteros negativos y hallar la resta entre ambos. • Realizar las operaciones en el orden en que aparecen.

ejemplo Haz estas operaciones. a) (+7) + (+2) = 7 + 2 = 9 b) (-4) + (-1) = -4 - 1 = -5 c) Primera forma: +(-5 + 3 - 2 + 7) = -5 + 3 - 2 + 7 = -7 + 10 = +3 Segunda forma: +(-5 + 3 - 2 + 7) = -5 + 3 - 2 + 7 = -2 - 2 + 7 = -4 + 7 = +3 d) Primera forma: -(-5 + 3 - 2 + 7) = +5 - 3 + 2 - 7 = 7 - 10 = -3 Segunda forma: -(-5 + 3 - 2 + 7) = +5 - 3 + 2 - 7 = +2 + 2 - 7 = + 4 - 7 = -3

2 Realiza las siguientes operaciones, utilizando las reglas anteriores.

Ejemplo: (+11) + (-2) = 11 - 2 = 9 a) (+7) + (+1) =

d) (+10) - (+2) =

b) (-15) + (-4) =

e) (-11) - (-10) =

c) (+9) - (-5) =

f) (-7) + (+1) =

3 Haz las operaciones.

a) 7 - 5 =

d) -3 + 8 =

b) 11 - 4 + 5 =

e) -1 + 8 + 9 =

c) -9 - 7 =

f) -10 + 3 + 7 =

4 Calcula.

a) 5 - 7 + 19 - 20 + 4 - 3 + 10 = b) -(8 + 9 - 11) = c) 9 - 11 + 13 + 2 - 4 - 5 + 9 = d) -(20 + 17) - 16 + 7 - 15 + 3 = ◾ MATEMÁTICAS 2.° ESO ◾ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ◾

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REALIZAR OPERACIONES ARITMÉTICAS CON NÚMEROS ENTEROS 5 Calcula el resultado de las siguientes operaciones combinadas.

a) 8 - (4 - 7) = b) -4 - (5 - 7) - (4 + 5) = c) -(-1 - 2 - 3) - (5 - 5 + 4 + 6 + 8) = d) (-1 + 2 - 9) - (5 - 5) - 4 + 5 = e) (-1 - 9) - (5 - 4 + 6 + 8) - (8 - 7) = f) -4 - (4 + 5) - (8 - 9) + 1 + 6 =

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para multiplicar dos números enteros se siguen estos pasos: 1.º Multiplicamos sus valores absolutos (en la práctica, los números entre sí). 2.º Al resultado le colocamos el signo + si ambos números son de igual signo, y el signo - si son de signos diferentes.

ejemplo (+5) ? (-3) " 3

1.º 5 ? 3 = 15 3 (+5) ? (-3) = -15 2.º -15, ya que son de distinto signo

(-5) ? (+3) " 3

1.º 5 ? 3 = 15 3 (-5) ? (+3) = -15 2.º -15, ya que son de distinto signo

(-5) ? (-3) " 3

1.º 5 ? 3 = 15 3 (-5) ? (-3) = +15 2.º +15, ya que son de igual signo

(+5) ? (+3) " 3

1.º 5 ? 3 = 15 3 (+5) ? (+3) = +15 2.º +15, ya que son de igual signo

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para dividir dos números enteros se siguen estos pasos: 1.º Dividimos sus valores absolutos (en la práctica, los números entre sí y siempre que la división sea exacta). 2.º Al resultado le colocamos el signo + si ambos números son de igual signo, y el signo - si son de signos diferentes.

ejemplo 1.º 20 : 4 = 5 3 (+20) : (-4) = -5 (+20) : (-4) " 3 2.º -5, ya que son de distinto signo (-20) : (+4) " 3

1.º 20 : 4 = 5 3 (-20) : (+4) = -5 2.º -5, ya que son de distinto signo

(-20) : (-4) " 3

1.º 20 : 4 = 5 3 (-20) : (-4) = +5 2.º +5, ya que son de igual signo

(+20) : (+4) " 3

1.º 20 : 4 = 5 3 (+20) : (+4) = +5 2.º +5, ya que son de igual signo

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UNIDAD

En las operaciones de multiplicación y división de números enteros, se utiliza la regla de los signos. MULTIPLICACIÓN

DIVISIÓN

(+) ? (+) = +

(+) : (+) = +

(-) ? (-) = +

(-) : (-) = +

(+) ? (-) = -

(+) : (-) = -

(-) ? (+) = -

(-) : (+) = -

6 Realiza las siguientes operaciones.

a) (+7) ? (+2) =

d) (-5) ? (+8) =

b) (+12) ? (-3) =

e) (-1) ? (-1) =

c) (-10) ? (+10) =

f) (+5) ? (+20) =

7 Efectúa las divisiones.

a) (+16) : (+2) =

c) (-25) : (+5) =

e) (+12) : (-3) =

b) (-8) : (-1) =

d) (-100) : (+10) =

f) (+45) : (+9) =

8 Calcula las siguientes operaciones, aplicando la regla de los signos.

a) (+12) ? (-3) =

e) (-9) : (-3) =

i) (+10) ? (+4) =

b) (-20) : (-10) =

f) (-100) : (+25) =

j) (-9) ? (+8) =

c) (+6) ? (-6) =

g) (-1) ? (-18) =

k) (+35) : (+5) =

d) (+80) : (-8) =

h) (-77) : (-11) =

l) (-12) ? (+5) =

9 Completa los huecos con los números enteros correspondientes.

a) (+9) ? ........ = -36

d) (-7) ? ........ = +21

g) ........ ? (-8) = -40

b) ........ ? (+10) = -100

e) (-30) ? ........ = +30

h) (+6) ? ........ = 0

c) (+3) ? ........ = -15

f) (-8) ? ........ = +16

i)

........ ? (-5) = +25

10 Completa los huecos con los números enteros correspondientes.

a) (+42) : ........ = -7

d) (-8) : ........ = +1

g) ........ : (-9) = +6

b) (-20) : ........ = -20

e) ........ : (-6) = +5

h) (+9) : ........ = -9

c) (+12) : ........ = -4

f) (-64) : ........ = +8

i) (-8) : ........ = -2


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OBJETIVO 3

REALIZAR OPERACIONES CON POTENCIAS NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE Para multiplicar potencias de la misma base se deja la misma base y se suman los exponentes.

ejemplo 22 ? 23 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 25 En la práctica: 22 ? 23 = 22+3 = 25 1 Expresa con una sola potencia.

a) 22 ? 24 ? 23 = 22+4+3 =

c) 52 ? 53 =

e) 64 ? 6 ? 63 ? 62 =

b) (-4)4 ? (-4)4 =

d) (-5)5 ? (-5)2 =

f) (-10)3 ? (-10)3 ? (-10)4 =

2 Expresa como producto de factores las siguientes potencias. POTENCIA

N.º DE FACTORES

PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE

55

2

52 ? 53

(-6)6

4

29

5

(-10)6

3

49

4

Todo número se puede expresar como potencia de exponente 1.

ejemplo 2 = 21 (-3) = (-3)1 10 = 101 16 = 161 (-20) = (-20)1 3 Coloca los exponentes que faltan de modo que se cumpla la igualdad.

(Puede haber varias soluciones en cada caso.) a) 22 ? 2.... ? 2.... = 26

d) 5.... ? 5.... = 55

g) (-2)4 ? (-2).... ? (-2).... = (-2)8

b) 42 ? 4.... ? 4.... ? 4.... = 47

e) (-7).... ? (-7).... = (-7)5

h) 106 ? 10.... ? 10.... = 109

c) 3.... ? 3.... ? 3.... = 35

f) 10.... ? 10.... = 105

i) 6.... ? 6.... ? 6.... = 66

COCIENTE DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE Para dividir potencias de la misma base se deja la misma base y se restan los exponentes.

ejemplo 25 25 2?2?2?2?2 2?2?2 2?2 23 ? = = = 3 ? 2 ? 2 = 1 ? 22 = 22 En la práctica: 3 = 25-3 = 22 3 2?2?2 2?2?2 1 2 2 2

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UNIDAD

4 Expresa con una sola potencia.

a)

36 = 36-2 = 3 4 32

c)

44 = 43

e)

55 = 53

b)

(- 4) 6 = (- 4) 2

d)

(- 7) 3 = (- 7)

f)

(- 6) 8 = (- 6) 6

POTENCIA DE EXPONENTE CERO Una potencia de exponente cero vale siempre uno. 23 2?2?2 8 = = =1 2?2?2 8 23 23 = 2 3-3 = 2 0 23

4

20 = 1

5 Coloca los exponentes que faltan, de modo que se cumpla la igualdad.

(Puede haber varias soluciones en cada caso.) a)

2�� = 2�� = 25 2��

c)

3.... = 3.... = 3 3 3....

e)

4.... = ......... = 42 4....

b)

10.... = .......... = 10 4 10....

d)

(- 5) .... = .......... = 52 (- 5) ....

f)

6.... = ......... = 1 6....

POTENCIA DE UNA POTENCIA Para elevar una potencia a otra se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes.

ejemplo [(2)3]2 = 23 ? 23 = 23+3 = 26 En la práctica: [(2)3]2 = (2)3?2 = 26 [(-3)4]3 = (-3)4 ? (-3)4 ? (-3)4 = (-3)4+4+4 = (-3)12 En la práctica: [(-3)4]3 = (-3)4?3 = (-3)12

6 Expresa con una sola potencia.

a) [(4)5]2 = (4)5 ? 2 = 4....

d) [(5)2]4 =

b) [(-3)3]3 =

e) [(6)0]2 =

c) [(-8)2]3 =

f) [(10)3]4 =

7 Coloca los exponentes que faltan, de modo que se cumpla la igualdad.

(Puede haber varias soluciones en cada caso.) a) [2....].... = 28

c) [3....].... = 310

e) [(-5)....].... = (-5)6

b) [6....].... = 612

d) [4....].... = 1

f) [10....].... = 102


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OBJETIVO 4

IDENTIFICAR LOS MÚLTIPLOS Y LOS DIVISORES DE UN NÚMERO NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Los múltiplos de un número son aquellos números que se obtienen multiplicando dicho número por 1, 2, 3, 4, 5, ..., es decir, por los números naturales. #

1

2

3

4

5

6

7

8

9

...

5

5

10

15

20

25

30

35

40

45

...

Múltiplos de 5

F 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ...

ejemplo En una tienda las rosquillas se venden en paquetes de 3 unidades. ¿Cuántas puedo comprar si me llevo varios paquetes? 3 ? 1 = 3 rosquillas 13 ? 2 = 6 rosquillas 13 ? 3 = 9 rosquillas 3 ? 4 = 12 rosquillas 3 ? 5 = 15 rosquillas 3 ? 6 = 18 rosquillas • Podemos comprar 3, 6, 9, 12, 15, 18… rosquillas. • 3, 6, 9, 12, 15, 18... son múltiplos de 3. • Los múltiplos de un número contienen a este una cantidad exacta de veces: 1, 2, 3, 4, 5, 6... paquetes de 3 unidades. 1 Lucas va al supermercado y observa que los pañuelos se venden en paquetes de 3 unidades,

los yogures en grupos de 4 unidades y las pelotas de tenis en botes de 5 unidades. ¿Cuántas unidades de cada artículo podríamos comprar?

2 Escribe los números que sean:

a) Múltiplos de 5 y menores que 51. b) Múltiplos de 25 y menores que 105. c) Múltiplos de 30 y que estén comprendidos entre 50 y 280. d) Múltiplos de 1 000 y que estén comprendidos entre 990 y 10 100.

Los divisores de un número son aquellos números enteros que caben en él una cantidad exacta de veces. Para hallarlos: 1.º Realizamos todas las divisiones posibles (entre números menores e igual que él) tomando el número como dividendo. 2.º Buscamos las divisiones que sean exactas (resto = 0). Calculamos los divisores de 8. 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 8 8 1 0 8

0 4

2 2

0 2

3 1

2 1

1 1

0 1

• 1, 2, 4 y 8 ... son divisores de 8. Dividen exactamente a 8. • 3, 5, 6 y 7 no son divisores de 8. No lo dividen exactamente (resto ! 0).

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UNIDAD

3 Realiza todas las divisiones posibles del número 12 entre números menores e igual que él.

4 Completa la tabla con los datos del ejercicio anterior: DIVISORES DE 12 NO DIVISORES DE 12

Cualquier número tiene al menos dos divisores: él mismo y la unidad.

5 Tacha aquellos números que no sean:

a) Divisores de 2 = {1, 2, 3} b) Divisores de 9 = {1, 2, 3, 4, 6, 9} c) Divisores de 11 = {1, 3, 7, 9, 11} d) Divisores de 25 = {1, 3, 5, 10, 15, 20, 25, 30} e) Divisores de 48 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 16, 20, 24, 30, 45, 48} f) Divisores de 100 = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 40, 50, 60, 75, 90, 100} 6 Rellena los huecos con los divisores correspondientes.

36 1

36

36

06 36 0

16 18 0

06 12 0

7 Completa: Los divisores de 36 son

36 0 9

36

36

0 6

0 4

36

36

0 3

0 2

36 0 1

.................................................................................

Múltiplo y divisor son dos conceptos estrechamente ligados. En una división exacta entre dos números existe una relación especial llamada divisibilidad. 49 7 0 7

• 49 es múltiplo de 7. • 7 es divisor de 49.

• El número mayor es múltiplo del menor. • El número menor es divisor del mayor.

De igual forma: 64 4 24 16 0


35 5 0 7


8 Completa los huecos con la palabra adecuada: múltiplo o divisor.

a) 25 es ...................... de 5

c) 16 es ...................... de 8

b) 60 es ...................... de 120

d) 11 es ...................... de 33


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OBJETIVO 5

DESCOMPONER EN FACTORES PRIMOS. cALCULAR EL m.c.d. Y EL m.c.m. NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

• Número primo: es aquel número que solo tiene dos divisores, él mismo y la unidad. • Número compuesto: es aquel número que tiene más de dos divisores. Divisores de 5 = 1 y 5 Divisores de 8 = 1, 2, 4 y 8

5 es un número primo. 8 es un número compuesto.

1 En la siguiente serie de números, tacha los que son compuestos:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 • Los que quedan sin tachar son números .................................... • Solo tienen .............. divisores, que son ......................................................................... 2 En la siguiente serie de números, tacha los que son compuestos:

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 • Los que quedan tachados son números .................................... • Tienen más de .............. divisores.

DESCOMPONER UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS • Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... • Todo número compuesto se puede expresar como producto de otros que sean primos, y expresar sus divisores mediante la combinación de esos números, que llamamos factores primos. • Para realizar la descomposición seguimos estos pasos: 1.º Intentamos dividir el número entre 2, tantas veces como se pueda. 2.º Luego intentamos también dividir el número restante entre 3, tantas veces como se pueda. 3.º Seguimos probando a dividir el número restante entre 5, 7, 11... tantas veces como se pueda, hasta obtener como cociente 1. 4.º Expresamos el número como producto de potencias de factores primos.

ejemplo Realiza la descomposición en producto de factores primos del número 60. En la práctica se hace así:

60 2 30 2

Línea que actúa como «ventana» de división

15 3 F

5 5 1

42

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y se escribe:

60 = 2 ? 2 ? 3 ? 5 Expresado con potencias quedaría: 60 = 22 ? 3 ? 5 Esta es la expresión de 60 como producto de factores primos.


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UNIDAD

3 Descompón los siguientes números en factores primos y exprésalos como producto

de ellos: 24, 30, 45 y 60. 24 2 30 2 45 3 60 2 12 2 6 2 3 3 1 24 = 2 ? 2 ? 2 ? 3 24 = 23 ? 3

4 Descompón los siguientes números en factores primos y exprésalos como producto

de ellos: 25, 33, 75 y 100.

DIVISORES COMUNES A VARIOS NÚMEROS. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m.c.d.) Luis tiene 12 trenes de plástico y Pedro 18 aviones. Quieren hacer grupos con el mismo número de vehículos en cada uno de ellos. ¿Cuál será el grupo más grande y que tenga igual número de ambos juguetes? • Calculamos los divisores de ambos números: – Divisores de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Juan puede hacer grupos iguales de 1, 2, 3, 4, 6 y 12 trenes. – Divisores de 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} Pedro puede hacer grupos iguales de 1, 2, 3, 6, 9 y 18 aviones. • 1, 2, 3 y 6 son divisores comunes de 12 y 18. • 6 es el divisor mayor (máximo) de 12 y 18 y es común a ambos números. • 6 es el máximo común divisor de 12 y 18 y se expresa así: m.c.d. (12, 18) = 6 El grupo más grande y con el mismo número de juguetes de los dos tipos estará formado por 6 trenes y 6 aviones.

5 Halla los divisores comunes de estos números.

a) 20 y 25

b) 16 y 24

c) 8 y 12

d) 8, 10 y 12


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DESCOMPONER EN FACTORES PRIMOS. CALCULAR EL m.c.d. Y EL m.c.m. 6 Calcula el m.c.d. de los números de cada apartado del ejercicio anterior.

Método para el cálculo del máximo común divisor Hasta ahora el proceso empleado para calcular el m.c.d. es adecuado para números sencillos. Vamos a estudiar un método más general. Seguiremos estos pasos: 1.º Descomponemos los números en factores primos. 2.º Expresamos los números como producto de factores primos. 3.º Escogemos en ambos números los factores que sean comunes y que tengan el menor exponente. 4.º El producto de esos factores es el máximo común divisor.

ejemplo Calcula el m.c.d. de 24 y 36. 1.º

24 2 12 2 6 2 3 3 1

2.º 24 = 2 ? 2 ? 2 ? 3 = 23 ? 3 3.º Factores comunes: 2 y 3 2 2 36 = 2 ? 2 ? 3 ? 3 = 2 ? 3 Con menor exponente: 22 y 31

36 2 18 2 9 3 3 3 1

4.º m.c.d. (24, 36) = 22 ? 3 = 4 ? 3 = 12

7 Calcula el m.c.d. de los números:

a) 6 y 15

b) 15 y 20

c) 10 y 35

d) 25 y 50

8 Completa la siguiente tabla:

NÚMEROS

60 y 40

DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS

22 ? 3 ? 5 23 ? 5

PRODUCTO DE FACTORES COMUNES CON MENOR EXPONENTE

m.c.d.

22 ? 5

20

18 y 30 52 22 ? 52

44

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UNIDAD

9 Queremos embalar 40 latas de refresco de cola y 100 latas de refresco de limón en cajas

de igual tamaño, lo más grandes posible y sin mezclarlas. ¿Cuántas latas pondremos en cada caja?

Múltiplos comunes a varios números. Mínimo común múltiplo (m.c.m.) Ana va a nadar al polideportivo cada 3 días y Eva cada 4. ¿Cada cuánto tiempo coincidirán en el polideportivo? F Son los múltiplos de 3. • Ana va los días 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27... F Son los múltiplos de 4. • Eva va los días 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32... • 12, 24 ... son los múltiplos comunes de 3 y 4. • 12 es el múltiplo menor (mínimo) de 3 y 4 y es común a ambos números. • 12 es el mínimo común múltiplo de 3 y 4 y se expresa así: m.c.m. (3, 4) = 12 Ana y Eva coincidirán en el polideportivo cada 12 días.

10 Halla los 3 primeros múltiplos comunes de estos números.

a) 5 y 10

c) 4 y 6

b) 9 y 12

d) 8 y 20

11 Calcula el m.c.m. de los números de cada apartado del ejercicio anterior.


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DESCOMPONER EN FACTORES PRIMOS. CALCULAR EL m.c.d. Y EL m.c.m. MÉTODO PARA EL CÁLCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Hasta ahora el proceso empleado para calcular el m.c.m. es adecuado para números sencillos. Vamos a estudiar un método más general. Seguimos estos pasos: 1.º Descomponemos los números en factores primos. 2.º Expresamos los números como producto de factores primos. 3.º Escogemos en ambos números los factores que sean comunes y no comunes y que tengan el mayor exponente. 4.º El producto de esos factores es el mínimo común múltiplo.

ejemplo Calcula el m.c.m. de 12 y 60. 1.º 12 2

60 2

6 2

30 2

3 3

15 3

1

5 5

2.º 12 = 2 ? 2 ? 3 = 22 ? 3 3.º Factores comunes: 2 y 3 60 = 2 ? 2 ? 3 ? 5 = Factores no comunes: 5 60 = 22 ? 3 ? 5 Con mayor exponente: 22 ? 3 ? 5 4.º m.c.m. (12, 60) = 22 ? 3 ? 5 = 4 ? 3 ? 5 = 60

1

12 Calcula el m.c.m. de los números.

a) 15 y 20

b) 8 y 12

c) 10 y 30

d) 9 y 15


NÚMEROS

60 y 40

DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS

22 ? 3 ? 5 23 ? 5

PRODUCTO DE FACTORES PRIMOS COMUNES Y NO COMUNES CON MAYOR EXPONENTE

m.c.m.

23 ? 3 ? 5

120

18 y 30 22 ? 3 ? 5 23 ? 52

14 Dos aviones de una línea aérea salen siempre del mismo aeropuerto. Uno lo hace cada 10 días

y el otro cada 12. Si han salido hoy, ¿cuándo volverán a coincidir en el aeropuerto?

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1


UNIDAD

PROPUESTAS DE EVALUACIóN CONOCIMIENTOS PREVIOS Esta unidad enlaza directamente con el curso anterior; por tanto, los contenidos y los procedimientos estudiados son fundamentales, sobre todo los conceptos de múltiplo, divisor y número primo, dado que el cálculo del m.c.d. y el m.c.m. se vuelve a repasar. Respecto a los números enteros, los conceptos básicos son la interpretación, la representación y la ordenación de estos números, ya que las operaciones se revisan de nuevo. • Conceptos de múltiplo y divisor. • Concepto de número primo. Conjunto de divisores de un número. Conjunto de múltiplos de un número. • Criterios de divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 y 10n. • Lectura, interpretación y representación de números enteros. • Operaciones sencillas con números enteros.

sugerencias sobre las EVALUACIoNes y su corrección EVALUACIóN inicial

EVALUACIóN de la unidad

Se trata de una serie de actividades respecto a los conocimientos que ya deberían poseer los alumnos. En función de las deficiencias que se perciban en los alumnos, se tendrían que proponer ejercicios de refuerzo: cálculo de múltiplos y divisores, criterios de divisibilidad, interpretación y representación de números enteros.

Los ejercicios 1 y 2 son de cálculo del m.c.d. y el m.c.m. Los ejercicios restantes trabajan la manipulación de los números enteros: valor absoluto, orden en la recta y operaciones. Hay que tener cuidado con las operaciones entre paréntesis y corchetes, siendo necesario revisar el orden jerárquico de las operaciones hasta que este sea asimilado por los alumnos. También requiere especial atención la regla de los signos, que suele provocar muchos errores.


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UNIDAD

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EVALUACIÓN INICIAL 1 Aplica los criterios de divisibilidad y comprueba cuáles de los siguientes números son múltiplos

de 2, 3, 5 y 11. 2

3

5

11

16 760 12 852 112 574 48 762

2 Calcula todos los divisores de los números 72 y 150.

D (72) =

D (150) = 3 Descompón los números 84 y 120 en factores primos y escribe sus divisores comunes.

84

120

Divisores comunes de 84 y 120 " 4 Calcula múltiplos comunes de los números 12 y 18.

5 Desde la planta cuarta de un edificio hemos subido tres plantas en ascensor

y luego hemos bajado ocho. ¿En qué planta nos encontramos?

6 Representa en la siguiente recta los números enteros: -4, +3, -1, +1

0 7 Escribe el símbolo < o >, según corresponda.

+4 b) +3

a) -5

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+5 c) +3

-4 d) -5

-4


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1


UNIDAD

EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Aplica los criterios de divisibilidad y comprueba cuáles de los siguientes números son múltiplos

de 2, 3, 5 y 11. 2

3

5

11

16 760

Sí

No

Sí

No

12 852

Sí

Sí

No

No

112 574

Sí

No

No

Sí

48 762

Sí

Sí

No

No

2 Calcula todos los divisores de los números 72 y 150.

D (72) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72} D (150) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150} 3 Descompón los números 84 y 120 en factores primos y escribe sus divisores comunes.

120 2 84 = 2 2 ? 3 ? 7 60 2 D(84) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84} 30 2 15 3 120 = 2 3 ? 3 ? 5 5 5 D(120) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 1 40, 60, 120}

84 2 42 2 21 3 7 7 1

Divisores comunes de 84 y 120 " {1, 2, 3, 4, 6, 12} 4 Calcula múltiplos comunes de los números 12 y 18.

M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 108, ...} 2 " M(12, 18) = {36, 72, 108, ...} M(18) = {18, 36, 54, 72, 90, 108, ...} 5 Desde la planta cuarta de un edificio hemos subido tres plantas en ascensor

y luego hemos bajado ocho. ¿En qué planta nos encontramos? +3

-8

+4 $ +7 $ -1, es decir, nos encontramos en la planta -1. 6 Representa en la siguiente recta los números enteros: -4, +3, -1, +1

24

21

0

11

13

7 Escribe el símbolo < o >, según corresponda.

a) -5

<

+4 b) +3

<

+5 c) +3

>

-4 d) -5

<

-4


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UNIDAD

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ERES CAPAZ DE...

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD

Calcular el m.c.d. y el m.c.m. de dos números.

1 Encuentra el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes números: 42 y 315.

Comprueba que el producto de ambos números es igual que el producto del m.c.d. por el m.c.m.

2 Dos ciclistas dan vueltas en un velódromo. El primero da una vuelta cada

108 segundos, y el segundo, cada 72 segundos. Si mantienen el mismo ritmo, calcula al cabo de cuánto tiempo vuelven a coincidir y cuántas vueltas ha dado cada uno en ese momento.


Calcular el valor absoluto de un número entero.

a

b

c

-2

4

3

-4

-3

6

a ? qb + cu

qau

qau ? qb + cu

4 Ordena, de mayor a menor, los siguientes números enteros y represéntalos

Ordenar un conjunto de números enteros.

sobre la recta: -2, 3, -1, 2, 0 y -3.

0

Realizar operaciones combinadas de sumas y restas de números enteros con y sin paréntesis.

5 Haz las siguientes operaciones.

a) 3 - 15 - 6 + 12 - 5 - 4 =

b) -2 - (-5) + (3 - 2) - (2 - 4) =

c) 8 - (5 - 3 - 6) + (4 + 3) =

Relación de CAPACIDADES

Actividades

• Enumerar e identificar elementos . ...................................................................................................... 4 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ............................................................. 3, 7 • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos, relaciones, etc. ..................................................... 4 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................... 1 • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................................................................... 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9

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Calcular productos y cocientes exactos de números enteros, aplicando la regla de los signos.

1


UNIDAD

6 Realiza los cálculos.

a) (+5) ? (-3) = b) (+3) ? (-2) ? (-5) = c) (-1 001) : 13 ? (-2) : 7 : (-11) ? 3 = d) 18 ? 4 - (10 - 3) : 7 - (5 ? 2) = 7 Completa la siguiente tabla:

a

b

8

2

12

-4

-15

-5

a ? b

Signo (a ? b)

a : b

Signo (a : b)

qa ? bu

8 Completa los datos que faltan en el extracto bancario:

Resolver problemas en los que aparecen números enteros.

Fecha

Concepto

Pagos

Ingresos

Saldo

7 enero

Saldo

-

-

+53 500

7 enero

Recibo de teléfono

+2 300

-

9 enero

Transferencia

-

+5 000

12 enero

Ingreso

-

+60 000

9 Un barco pesquero ha capturado una gran cantidad de calamares y se dispone

a congelarlos. En el interior de su cámara frigorífica, la temperatura desciende 2 ºC cada diez minutos. Si al principio la cámara se encontraba a 4 ºC:

a) ¿Qué temperatura habrá después de una hora y media de funcionamiento?

b) ¿Cuánto tiempo tardará en encontrarse a -30 ºC?

Relación de CAPACIDADES

Actividades

• Clasificar y discriminar según criterios................................................................................................. • Contrastar operaciones, relaciones, etc. .............................................................................................. 1, 7, 8 • Combinar, componer datos, resumir, etc. ........................................................................................... • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. . .....................................................................................


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UNIDAD

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EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1 Encuentra el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes números: 42 y 315. Comprueba que el producto de

ambos números es igual que el producto del m.c.d. por el m.c.m.

42 = 2 ? 3 ? 7 315 = 32 ? 5 ? 7 m.c.d. (42, 315) = 21 m.c.m. (42, 315) = 630

42 ? 315 = 21 ? 630 = 13 230 2 Dos ciclistas dan vueltas en un velódromo. El primero da una vuelta cada 108 segundos, y el segundo,

cada 72 segundos. Si mantienen el mismo ritmo, calcula al cabo de cuánto tiempo vuelven a coincidir y cuántas vueltas ha dado cada uno en ese momento.

Se calcula el m.c.m. de los números 108 y 72, que es 216. Es decir, coinciden cada 216 segundos y el primer ciclista habrá dado dos vueltas, mientras que el segundo llevará tres. 3 Completa la siguiente tabla:

a

b

c

qau

a ? qb + cu

qau ? qb + cu

-2

4

3

2

-14

14

-4

-3

6

4

-12

12

4 Ordena, de mayor a menor, los siguientes números enteros y represéntalos sobre la recta: -2, 3,

-1, 2, 0 y -3. -3 -2 -1 0 2 3

-3 < -2 < -1 < 0 < 2 < 3 5 Haz las siguientes operaciones.

a) 3 - 15 - 6 + 12 - 5 - 4 = 15 - 30 = -15 b) -2 - (-5) + (3 - 2) - (2 - 4) = - 2 + 5 + 1 + 2 = - 2 + 8 = +6 c) 8 - (5 - 3 - 6) + (4 + 3) = 8 - (-4) + 7 = 8 + 4 + 7 = +19

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UNIDAD

6 Realiza los cálculos.

a) (+5) ? (-3) = = -15 b) (+3) ? (-2) ? (-5) = (-6) ? (-5) = +30 c) (-1 001) : 13 ? (-2) : 7 : (-11) ? 3 = (-77) ? (-2) : 7 : (-11) ? 3 = 154 : 7 : (-11) ? 3 = 22 : (-11) ? 3 = (-2) ? 3 = -6 d) 18 ? 4 - (10 - 3) : 7 - (5 ? 2) = 72 - 7 : 7 - 10 = 72 - 1 - 10 = 61 7 Completa la siguiente tabla:

a

b

a ? b

Signo (a ? b)

a : b

Signo (a : b)

qa ? bu

8

2

16

+

4

+

16

12

-4 -48

-

-3

-

48

-15

-5

+

3

+

75

75

8 Completa los datos que faltan en el extracto bancario:

Fecha

Concepto

Pagos

Ingresos

Saldo

7 enero

Saldo

-

-

+53 500

7 enero

Recibo de teléfono

-2 300

-

+51 200

9 enero

Transferencia

-

+5 000

+56 200

12 enero

Ingreso

-

+3 800

+60 000

9 Un barco pesquero ha capturado una gran cantidad de calamares y se dispone

a congelarlos. En el interior de su cámara frigorífica, la temperatura desciende 2 ºC cada diez minutos. Si al principio la cámara se encontraba a 4 ºC: a) ¿Qué temperatura habrá después de una hora y media de funcionamiento? -14 °C b) ¿Cuánto tiempo tardará en encontrarse a -30 ºC? 2 h 50 min


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2 Fracciones


objetivos • Reconocer y utilizar las distintas interpretaciones de una fracción.

• Sumar y restar fracciones.

• Hallar la fracción de un número.

• Multiplicar fracciones, aplicar la propiedad distributiva y sacar factor común.

• Distinguir si dos fracciones son equivalentes y calcular fracciones equivalentes a una dada.

• Comprobar si dos fracciones son inversas y obtener la fracción inversa de una dada.

• Amplificar fracciones.

• Dividir dos fracciones.

• Simplificar una fracción hasta obtener su fracción irreducible.

• Calcular la potencia y la raíz cuadrada de una fracción.

• Reducir fracciones a común denominador.

• Resolver problemas de la vida cotidiana donde aparezcan fracciones.

• Comparar fracciones.


• Fracción como parte de la unidad, como cociente y como operador. • Fracciones equivalentes. Amplificación y simplificación. • Suma y resta de fracciones. • Multiplicación y división de fracciones. • Potencia y raíz cuadrada de una fracción. • Jerarquía de las operaciones.


• Interpretación y utilización de las fracciones en diferentes contextos. • Obtención de fracciones equivalentes y de la fracción irreducible de una fracción. • Reducción de fracciones a común denominador. • Ordenación de fracciones. • Utilización de los algoritmos de suma, resta, multiplicación y división de fracciones en la resolución de problemas de la vida cotidiana. • Cálculo de potencias y raíces cuadradas exactas de fracciones.

ACTITUDES

• Valoración de la precisión y la utilidad del lenguaje numérico para representar, comunicar y resolver situaciones cotidianas.

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UNIDAD

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COMPETENCIAS QUE SE TRABAJAN PROGRAMACIÓN DE AULA

• Interpretar críticamente información proveniente de diversos contextos que contenga distintos tipos de números; relacionarlos y utilizarlos, eligiendo la representación adecuada en cada caso. • Reconocer y calcular el resultado de las operaciones básicas con números naturales, enteros y fracciones, aplicando el modo de cálculo más pertinente (mental, algoritmos de lápiz y papel o calculadora). • Utilizar, de manera autónoma y razonada, estrategias para abordar situaciones-problema y problemas-tipo, planificando el proceso de resolución, desarrollándolo de manera clara y ordenada y mostrando confianza en las propias capacidades.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN • Utilizar, de manera adecuada, las distintas interpretaciones de una fracción. • Determinar si dos fracciones son o no equivalentes. • Amplificar y simplificar fracciones. • Obtener la fracción irreducible de una dada. • Reducir fracciones a común denominador. Ordenar un conjunto de fracciones. • Sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones.

• Calcular la potencia y la raíz cuadrada de una fracción. • Obtener la fracción inversa de una fracción dada. • Aplicar correctamente la propiedad distributiva y sacar factor común. • Realizar operaciones combinadas con fracciones, respetando la jerarquía de las operaciones. • Resolver problemas reales donde aparezcan fracciones.

ESQUEMA DE LA UNIDAD FRACCIONES

a Una fracción es una expresión del tipo , con b ! 0, donde a y b b son números enteros. Fracciones equivalentes a c y son equivalentes si a ? d = b ? c. Dos fracciones b d

Operaciones

Suma y resta Para sumar (o restar) fracciones se reducen a común denominador y se suman (o restan) los numeradores. 2 5 4 15 4 + 15 19 + = + = = 3 2 6 6 6 6

Multiplicación El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores, y por denominador, el producto de los denominadores. a c a ?c ? = b d b ?d

2 5 2?5 10 5 ? = = = 3 4 3?4 12 6

División Para dividir dos fracciones se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda. a c a d a ?d : = ? = b d b c b ?c

2 5 2 4 8 : = ? = 3 4 3 5 15


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UNIDAD

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LECTURA INICIAL Alejandro Magno La vida de Alejandro Magno ha sido evocada por escritores y poetas desde la antigüedad hasta nuestros días. Su historia dio paso a la leyenda, y podemos encontrar multitud de biografías, anécdotas, curiosidades… que tienen como hilo conductor la vida de este personaje histórico. En esta ocasión nos ocuparemos de sus conquistas militares mediante la falange macedonia. La organización de la falange y su estrategia de combate son logros de Filipo II, el padre de Alejandro. Filipo, a partir de la falange tebana, organizó la falange macedonia, modificando su estructura: agrupó a los soldados en cuadros independientes de 16 filas y 16 columnas, llamados syntagmas. Estos syntagmas, en número de 64, se disponían en dos alas de 32 syntagmas cada una, que podían llegar a operar de forma independiente. La falange macedonia presentaba así un frente homogéneo, y apoyada por la caballería, constituyó un cuerpo de ejército casi invencible hasta la aparición de la legión romana.

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UNIDAD

2 RECURSOS PARA EL AULA

Curiosidades matemáticas El papiro Rhind y las fracciones El papiro Rhind fue escrito por el escriba Ahmes; por ello, se conoce también como papiro Ahmes. Este papiro mide unos 6 metros de largo y 33 centímetros de ancho. Está escrito en hierático y proporciona información sobre cuestiones aritméticas básicas: fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, regla de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica. El papiro Rhind muestra que en el antiguo Egipto, en el año 4000 a.C., se trabajaba únicamente con fracciones unitarias, es decir, aquellas con 1 1 1 el numerador 1, por ejemplo, , y . 2 3 4 Los egipcios tenían un método para descomponer una fracción unitaria en suma de dos fracciones unitarias de distinto denominador. El papiro Rhind es un documento muy antiguo que nos informa de los conocimientos matemáticos de los egipcios. El papiro fue encontrado en las ruinas de un antiguo edificio de Tebas (Egipto) y, posteriormente, lo compró en la ciudad de Luxor el egiptólogo escocés Henry Rhind, cuando viajó a Egipto. A la muerte de Rhind, el papiro fue a parar al Museo Británico, donde se encuentra actualmente.

El procedimiento se expresa del modo siguiente: 1 1 1 = + n n+1 n (n + 1) 1 De esta forma, la fracción unitaria , mediante este 2 método, se descompone así: 1 1 1 1 1 = + = + 2 3 2?3 3 6

Evolución de la imprenta

Galileo Galileo Galilei nació en Pisa en 1564, y aunque estudió Medicina en la universidad, decidió inclinarse por las Matemáticas. A los 25 años fue nombrado profesor de Matemáticas en la Universidad de Pisa, donde comenzó a investigar sobre la mecánica y el movimiento de los cuerpos. Su contribución más interesante fue establecer el vínculo entre la Física y las Matemáticas. Murió en 1642, el mismo año del nacimiento de Newton, a quien dejó el camino abierto para la consolidación de la Mecánica.

Desde la antigua prensa movida a mano, inventada por Gutenberg aproximadamente en el año 1440, hasta las veloces rotativas de los periódicos, las máquinas de imprimir han sufrido innumerables modificaciones y se perfeccionan constantemente. Actualmente, los ordenadores nos permiten escribir un texto de una forma fácil y rápida, utilizando el tipo de letra y el tamaño que nos interese en cada momento. El tamaño de las letras se mide en puntos. Un punto equivale a 3/8 de milímetro.


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UNIDAD

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3 5 4 , y Reduce a común denominador las fracciones . 12 18 15 1. Copiamos en una fila todos los numeradores de las fracciones, y en la siguiente fila, los denominadores.




5. Seleccionamos el nuevo numerador y arrastramos para conseguir los nuevos numeradores del resto de fracciones. Así obtenemos las fracciones con denominador común.

SUGERENCIAS PARA RESOLVER LAS ACTIVIDADES 1 Para resolver esta actividad basta con seguir,

3 El común denominador de las tres primeras

las instrucciones dadas en el ejemplo. 2 Tenemos que encontrar una fracción equivalente

3 4 y con denominador 35, que es el m.c.m. a 7 7 de los tres denominadores. Debemos recordar que el numerador de la fracción equivalente que estamos buscando tiene que ser múltiplo de 5.

fracciones es 12, en el segundo caso el común denominador es 18. Podemos probar con más fracciones, por ejemplo se puede buscar el común denominador 1 1 1 1 1 1 y o de , y . de , 5 10 15 4 8 12 Hay que tener en cuenta que el numerador b, no afecta a la hora de buscar el denominador común de las fracciones.

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UNIDAD

OpenOffice. CALC


PASO A PASO

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es.openoffice.org

1


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3


4


5



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UNIDAD

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MATEMÁTICAS CON ORDENADOR Reduce a común denominador las fracciones


3 5 4 . , y 12 18 15





5. Seleccionamos el nuevo numerador y arrastramos para conseguir los nuevos numeradores del resto de fracciones. Así obtenemos las fracciones con denominador común.


INVESTIGA

1. Escribe fracciones con el mismo denominador. b) 8 , 9 , 10 a) 7 , 18 , 17 9 11 13 5 11 15 2. Calcula el número que verifica la siguiente desigualdad: 3 d 4 < < 7 5 7

3. Reduce a común denominador:

60

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1 1 1 , y , 2 4 6

1 1 1 , y . 3 6 9 ¿Cuál será el denominador común de y haz lo mismo con:

b b b ? , y a 2a 3a


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UNIDAD



PASO A PASO

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1


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UNIDAD

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EN LA VIDA COTIDIANA... El agua de la Tierra En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Conocer la superficie y distribución de los océanos y la cantidad de agua disponible, y utilizar estos datos para resolver problemas con fracciones. • Interpretar un texto y extraer de él los datos necesarios para resolver problemas con fracciones.

1

Los océanos y los mares en la Tierra

La Tierra tiene forma esférica y está achatada por los polos. Considerando la Tierra como una esfera, la longitud de sus círculos máximos (meridiano cero y ecuador) es aproximadamente de 40 000 kilómetros. Asimismo, la superficie total de la Tierra es de unos 500 millones de kilómetros cuadrados.

LEE LA INFORMACIÓN, CALCULA Y CONTESTA.

7 del total de la su10 perficie del planeta. Por su parte, los mares profundos 13 ocupan los de esa superficie total. 50 Los océanos y mares ocupan los

La fracción de la superficie total ocupada por los océanos que corresponde a cada uno de ellos es aproximadamente la siguiente: Océano Atlántico..................................... 1 4 Océano Pacífico....................................... 1 2 Océano Índico......................................... 1 5 Océano Ártico.......................................... 1 20 Por otra parte, el agua de los océanos y mares es salada y contiene alrededor de 35 gramos de sal disueltos en cada litro de agua.

62

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a) ¿Qué fracción de la superficie total de la Tierra ocupan los océanos y mares profundos? b) ¿Qué fracción de la superficie terrestre constituyen los continentes? c) ¿Qué superficie en kilómetros cuadrados ocupan los océanos y mares profundos? d) ¿Qué superficie en kilómetros cuadrados ocupan los continentes? e) ¿Qué fracción de la superficie total de la Tierra ocupa cada uno de los océanos indicados en el texto? f) ¿Qué superficie ocupa el océano Atlántico en kilómetros cuadrados? g) ¿Y el océano Pacífico? h) ¿Qué superficie en kilómetros cuadrados ocupa el océano Índico? i) ¿Y el océano Ártico?

3 4 partes de los materiales sólidos disueltos son sal. ¿Cuántos gramos de materiales disueltos que no son sal hay en cada litro de agua?

j) Se estima que, en el agua de los océanos, las


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UNIDAD

La distribución del agua dulce en la Tierra


2

2

El volumen de agua total en el planeta Tierra es de unos 1 400 millones de kilómetros cúbicos. 97 de toda el agua del planeta Tierra es agua 100 salada y el resto es agua dulce. Los

5 , 7 la constituyen el hielo y la nieve de los casquetes polares y los glaciares. El resto está formado por el agua subterránea, el agua de los lagos y ríos y de la atmósfera. Los glaciares y los casquetes polares, que son los mayores almacenes de agua dulce en la Tierra, están alejados de los grandes núcleos de población humana. La mayor parte del agua dulce, concretamente los

Por eso, son los ríos, los lagos y las aguas superficiales los que ha utilizado tradicionalmente el ser humano para proveerse de agua. Pero solo una parte de cada veinte del agua dulce está en los ríos y lagos o son aguas superficiales. Aunque, en términos absolutos, el agua dulce disponible es suficiente para abastecer a los más de 6 000 millones de habitantes de la Tierra, existe el problema de que este agua disponible no está equitativamente distribuida en el planeta. Hoy se calcula que la cantidad mínima de agua para cubrir las necesidades básicas de una persona es de 50 litros diarios. Y se considera la cantidad de 100 litros por persona y día como necesaria para un estándar de vida aceptable.

RESUELVE LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. a) ¿Qué fracción del total de agua de la Tierra constituye el agua dulce? b) ¿Cuántos kilómetros cúbicos de agua dulce hay en la Tierra aproximadamente? c) ¿Cuántos kilómetros cúbicos de agua dulce representan la nieve y el hielo de los casquetes y los glaciares? d) ¿Qué fracción del total de agua del planeta representa el agua en forma de hielo y nieve que hay en los casquetes y en los glaciares? e) ¿Cuántos kilómetros cúbicos de agua dulce contienen los ríos, lagos, aguas subterráneas y aguas superficiales? f) ¿Qué fracción del agua total de la Tierra representan los ríos, lagos, aguas subterráneas y aguas superficiales? g) ¿Cuántos metros cúbicos de agua gastaría la humanidad diariamente, si cada persona usara la cantidad mínima recomendada para sus necesidades básicas? h) ¿Cuántos metros cúbicos de agua al día gastaría la humanidad si cada persona usara la cantidad necesaria para un estándar de vida aceptable? i) ¿Qué fracción del total de agua dulce disponible en ríos, lagos, aguas subterráneas y aguas superficiales supondría cada uno de ambos casos?


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UNIDAD

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estrategias de resolución de problemas Hacer un dibujo Estrategia Una estrategia para resolver los siguientes problemas es hacer un dibujo y mostrar en él los datos del problema. El dibujo nos ayudará a resolver el problema.

PROBLEMA RESUELTO 1 de la longitud 3 del segundo y la longitud del tercer vagón es igual a la longitud del primero y segundo juntos. Si la longitud total de los tres vagones es 56 m, ¿cuánto mide cada vagón?

Una locomotora arrastra tres vagones. La longitud del primer vagón es

Planteamiento y resolución Longitud del primer vagón

Longitud del segundo vagón

Longitud de los tres vagones

Longitud del tercer vagón

56 m

1 de 56 = 7 m 8 Calcula la longitud de los otros dos vagones y comprueba la solución. Longitud del primer vagón:

PROBLEMAS PROPUESTOS 1 Jorge ha ido en coche desde el pueblo A

hasta el pueblo C pasando por B. Ha recorrido un total de 180 km. La distancia entre 5 los pueblos B y C es de la distancia 4 que hay entre los pueblos A y B. ¿Cuál es la distancia entre los pueblos A y B? ¿Y entre los pueblos B y C ?

Pueblo A

Pueblo B

Pueblo C

2 Cristina recibe en su tienda un total de

90 camisetas de las tallas pequeña, mediana y grande. El número de camisetas pequeñas 2 es del número de camisetas medianas, 3 4 y el número de camisetas grandes es 3 del número de las medianas. a) ¿Cuántas camisetas de cada talla recibe Cristina? b) El precio de una camiseta pequeña más una mediana y una grande es 36 €. La pequeña cuesta 1/4 menos que la mediana, y la grande, 1/4 más que la mediana. ¿Cuánto cuesta cada camiseta? 3 Una persona paga en dos plazos un televisor

que cuesta 540 €. En el segundo plazo pagó los 3/7 del dinero que abonó en el primero. ¿Cuánto dinero pagó en cada plazo?

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UNIDAD

2

Introducción


En esta unidad se presenta el concepto de fracción como resultado de varios significados: como parte de un todo o unidad, como valor decimal (cociente) y como operador (fracción de una cantidad).

• Una fracción es una expresión del tipo

Los alumnos ya tienen conocimiento de la representación gráfica de las fracciones y las operaciones aritméticas que se realizan con ellas. Se pretende ahora profundizar en aspectos más concretos, como el de fracción equivalente y los métodos de amplificación y simplificación (fracción más sencilla o irreducible). Del mismo modo, la representación gráfica de fracciones ayudará a los alumnos a comprender de una manera más intuitiva la comparación, el orden y la relación entre fracciones. Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de fracciones se plantean inicialmente con casos sencillos (igual denominador, en el caso de las sumas y restas).

OBJETIVOS

a , b donde a es el numerador y b es el denominador. • Denominador: número de partes iguales en las que se divide la unidad. Numerador: número de partes iguales que tomamos de la unidad. • Una fracción puede interpretarse como parte de la unidad, como valor decimal y como parte de una cantidad. • Se pueden obtener fracciones equivalentes a una dada: simplemente multiplicamos (amplificar) o dividimos (simplificar) el numerador y el denominador por el mismo número. • Podemos realizar operaciones aritméticas con las fracciones: sumar, restar, multiplicar y dividir, así como resolver problemas de la vida real. Es importante tener en cuenta el orden de las operaciones.

CONTENIDOS

PROCEDIMIENTOS

1. Comprender el concepto y los significados de las fracciones.

• Concepto de fracción. Elementos de las fracciones: numerador y denominador. • Representación gráfica. • Lectura y significado de las fracciones.

• Identificación de los términos de las fracciones. • Interpretación de las fracciones: representación gráfica y sus significados numéricos.

2. Identificar fracciones equivalentes.

• Fracción equivalente. • Obtención de fracciones equivalentes: amplificación y simplificación. Fracción irreducible. • Comparación de fracciones.

3. Realizar operaciones de suma y resta de fracciones.

• Suma y resta de fracciones con igual denominador. • Suma y resta de fracciones con distinto denominador.

• Reconocimiento de fracciones equivalentes. • Obtención de fracciones equivalentes mediante la amplificación y la simplificación. • Comparación de fracciones: común denominador y gráficamente.

4. Realizar operaciones de multiplicación y división de fracciones.

• Multiplicación y división de fracciones. • Producto y división de una fracción por un número.

• Suma y resta de fracciones con igual y distinto denominador. • Operaciones combinadas. • Resolución de problemas. • Multiplicación y división de fracciones por un número. • Operaciones combinadas. • Resolución de problemas.


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OBJETIVO 1

COMPRENDER EL CONCEPTO Y LOS SIGNIFICADOS DE LAS FRACCIONES NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

• Cuando queremos expresar cierta cantidad de algo que es incompleto, o partes de un total, y no podemos escribirla con los números y expresiones que hasta ahora conocemos, utilizamos las fracciones. • Ejemplos de frases en las que utilizamos fracciones son: «Dame la mitad de...», «Nos falta la cuarta parte del recorrido...», «Se inundó la habitación de agua en dos quintas partes...», «Los dos tercios del barril están vacíos...», «Me he gastado la tercera parte de la paga...». • Una fracción es una expresión matemática en la que se distinguen dos términos: numerador y denominador, separados por una línea horizontal que se denomina raya de fracción. En general, si a y b son dos números naturales (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...), una fracción se escribe:

Raya de

fracción

F

a F b F

Numerador Denominador

2 4 1 , y son ejemplos de fracciones. 3 9 2

LA FRACCIÓN COMO PARTE DE LA UNIDAD Elena abre una caja de quesitos de 8 porciones y se come 2. Podemos expresar esta situación mediante una fracción: F Numerador: número de porciones que se come

2 8

F Denominador: número de porciones de la caja

• Significado del denominador: número de partes iguales en las que se divide la unidad • Significado del numerador: número de partes que tomamos de la unidad • Significado de la raya de fracción: partición, parte de, entre, división o cociente

¿Cómo se leen las fracciones? SI EL NUMERADOR ES SE LEE SI EL DENOMINADOR ES

1

2

3

4

5

6

7

8

9

...

Un

Dos

Tres

Cuatro

Cinco

Seis

Siete

Ocho

Nueve

...

2

3

Medios

SE LEE

4

5

Tercios Cuartos Quintos

6

7

8

9

10

Sextos Séptimos Octavos Novenos Décimos

Si el denominador es mayor que 10, se lee el número seguido del término -avo. SI EL DENOMINADOR ES SE LEE

11

12

13

Onceavos

Doceavos

Treceavos

14

15

Catorceavos Quinceavos

...

20

...

Veinteavos

Ejemplos 3 se lee «tres octavos». 8

66

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6 se lee «seis novenos». 9

12 se lee «doce veintiunavos». 21


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UNIDAD

2

FRACCIÓN

NUMERADOR

DENOMINADOR


1 Completa la siguiente tabla: SE LEE

4 9 7 12 12 16 10 25 3 4


6 10

FRACCIÓN

6

NUMERADOR DENOMINADOR

10 Once sextos

SE LEE

Quince treintavos

Dos quintos

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FRACCIONES Para dibujar y/o representar gráficamente las fracciones seguimos estos pasos: 1.º Elegimos el tipo de dibujo: círculo, rectángulo, cuadrado, triángulo (normalmente es una figura geométrica). 2.º Dividimos la figura en tantas partes iguales como nos indica el denominador. 3.º Coloreamos, marcamos o señalamos las partes que nos indica el numerador.

3 Escribe la fracción que representa la parte sombreada de los gráficos.

a) b) c)


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COMPRENDER EL CONCEPTO Y LOS SIGNIFICADOS DE LAS FRACCIONES LA FRACCIÓN COMO VALOR DECIMAL Al dividir el numerador entre el denominador se obtiene un número decimal, que es el valor numérico de la fracción. 7 Si quiero repartir 7 naranjas entre 2 niños d n, ¿cuántas le corresponden a cada uno? 2 2 7 • Le tocarían 3 naranjas completas a cada niño. 10 3,5 • Sobra 1 naranja, por lo que, entre dos niños, tocan a media naranja (0,5) cada uno. 0 7 = 7 : 2 = 3,5 2

4 Halla la expresión decimal de las siguientes fracciones.

a)

4 5

c)

3 15

e)

9 4

b)

10 20

d)

5 10

f)

15 20

5 Expresa en forma de fracción y halla el valor numérico de estos casos.

a) Cuatro kilogramos de peras en ocho bolsas. b) Doce litros de refresco de cola en ocho botellas. c) Cincuenta litros de agua en cien cantimploras. d) Tres salchichas para cuatro perros.

LA FRACCIÓN DE UNA CANTIDAD Un tonel de 20 litros de vino está lleno hasta los dos quintos de su capacidad. ¿Cuántos litros contiene? 2 Tenemos que hallar lo que vale de 20, es decir, una fracción de una cantidad. 5 Se puede hacer de dos maneras:

a) Multiplicamos la cantidad por el numerador y dividimos entre el denominador. b) Dividimos la cantidad entre el denominador y multiplicamos por el numerador.

2 de 20 5

Lo comprobamos:

a) (20 ? 2) : 5 = 40 : 5 = 8 litros contiene el tonel. b) (20 : 5) ? 2 = 4 ? 2 = 8 litros contiene el tonel.

2 de la marcha 3 programada, que es de 6 000 metros de longitud. ¿Qué distancia han recorrido?

6 En una excursión de senderismo los alumnos de 2.º ESO han realizado los

68

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OBJETIVO 2

identificar fracciones equivalentes

UNIDAD

CURSO:

FECHA:


NOMBRE:

2

FRACCIONES EQUIVALENTES • Equivalente es sinónimo de «igual», que tiene el mismo valor, o que representa la misma cantidad. 1 2 Así, y son fracciones equivalentes. 4 8 • Tienen el mismo valor:

2 1 = 1 : 4 = 0,25 = 2 : 8 = 0,25 8 4

• Representan la misma cantidad: 1 2 4 8 • En general, para comprobar si dos fracciones son equivalentes se multiplica en cruz, obteniendo el mismo resultado. 1 F2 F 4 8

1?8=4?2 F

F

8

8

1 Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones, utilizando el criterio del valor numérico.

a)

1 4 y 3 12

b)

3 9 y 6 18

2 Comprueba si son equivalentes las fracciones, utilizando la representación gráfica.

a)

2 4 y 3 6

b)

1 2 y 2 4

3 Halla el término que falta para que sean equivalentes estas fracciones.

a)

b)

2

7

=

8 = 16 12

c)

2 6 = = 5 20

=

3 2 = 21

d)

3 6 = = 8 40


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identificar fracciones equivalentes PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FRACCIONES • Si se multiplica o se divide el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número, obtenemos una fracción equivalente y el valor de la fracción no varía. 2 2?3 6 2 F6 • multiplicamos numerador y denominador por 3: = F F F 2 ? 15 = 5 ? 6 5 5?3 15 5 15 18 18 : 6 3 18 F3 = F F F 18 ? 2 = 12 ? 3 • dividimos numerador y denominador entre 6: 12 12 : 6 2 12 2 – Si multiplicamos, se utiliza el término amplificar. – Si dividimos, se utiliza el término simplificar. Una fracción que no se puede simplificar se llama fracción irreducible. 4 Escribe fracciones equivalentes a la dada mediante amplificación (multiplica el numerador

y el denominador por el mismo número). a)

1 2 3 4 = = = = = 3 6 36

b)

2 = 5

=

=

=

c)

5 = 7

=

=

=

d)

3 = 2

=

=

=

5 Escribe fracciones equivalentes a la dada mediante simplificación (divide el numerador

y el denominador entre el mismo número). a)

20 10 5 = = 40 20

c)

48 24 = = 16

b)

20 = 30

d)

30 = 35

b)

4 10

=

=

6 Escribe 5 fracciones equivalentes a:

a)

7 11

7 Escribe.

a) Una fracción equivalente a

2 y que tenga 6 como numerador. 4

b) Una fracción equivalente a

3 y que tenga 15 como denominador. 5


20 30

FRACCIÓN

1 2

8 4

7 9

¿ES IRREDUCIBLE? FRACCIONES EQUIVALENTES (simplificación)

70

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2 ADAPTACIÓN CURRICULAR

UNIDAD

COMPARACIÓN DE FRACCIONES Jorge, Araceli y Lucas han comprado el mismo número de sobres de cromos. Jorge ha pegado los dos tercios de los cromos, Araceli la mitad y Lucas los tres cuartos. ¿Quién ha pegado más cromos? Para comparar fracciones seguimos estos pasos: 1.º Obtenemos fracciones equivalentes y buscamos aquellas que tengan el mismo denominador. 2.º Comparamos sus numeradores. La fracción que tenga mayor numerador será la mayor. 2 1.º Jorge: 3

Fracciones equivalentes:

2 4 6 8 10 = = = = 3 6 9 12 15

Araceli:

1 2


1 2 3 4 5 6 7 = = = = = = 2 4 6 8 10 12 14

Lucas:

3 4


3 6 9 12 = = = 4 8 12 6

8 6 9 , y tienen el mismo denominador. 12 12 12 2.º Ordenamos las fracciones, de mayor a menor, con el símbolo «mayor que», >. 9 8 6 3 2 1 2 2 " 4 2 3 2 2 12 12 12 Lucas fue el que pegó más cromos, luego Jorge y, por último, Araceli.

9 Ordena, de menor a mayor (<), las siguientes fracciones:

4 8 6 5 1 9 3 10 , , , , , , , . 20 20 20 20 20 20 20 20

10 Una herencia se ha repartido de esta manera entre tres hermanos: Pedro,

Carmen,

1 7 , y Olga, . 6 12

1 ; 4

a) ¿A quién le toca la mayor parte de la herencia? b) ¿Y a quién le toca la menor?


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OBJETIVO 3

REALIZAR OPERACIONES DE SUMA Y RESTA DE FRACCIONES NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR Para sumar o restar fracciones con igual denominador, se suman o se restan los numeradores y se mantiene el mismo denominador. 5 8

5 2 5+2 7 + = = 8 8 8 8

+

=

7 8

7 2 7-2 5 - = = 8 8 8 8

7 8

2 8

5 8

2 8 -

=

1 Calcula.

a)

4 5 + = 15 15

b)

6 3 - = 8 8

c)

6 1 2 + + = 10 10 10

d)

4 1 2 + - = 7 7 7

e)

3 4 9 + + = 13 13 13

f)

4 6 5 + = 11 11 11

2 Haz estas operaciones.

a) e b)

4 2 1 + o + = 9 9 9

17 12 10 o = -e 9 9 9

c) e d)

15 6 5 o= 10 10 10

5 7 4 +e - o = 8 8 8

3 De una tarta de frambuesa, Carmen se come dos octavos, Luis tres octavos

y Clara, un octavo. a) ¿Cuántos octavos se han comido entre los tres? b) Eva llegó tarde a la merienda. ¿Cuánto le dejaron? Expresa el problema numérica y gráficamente.

24 16 de la bolsa son de automóviles, son de aviones 50 50 y el resto son de motos. Calcula.

4 En una bolsa hay 50 cromos:

a) La fracción de cromos de automóviles y aviones. b) La fracción de cromos de motos.

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UNIDAD

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CON DISTINTO DENOMINADOR Para sumar o restar fracciones con distinto denominador: 1.º Buscamos fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador. 2.º Sumamos o restamos los numeradores, dejando el mismo denominador.

*

Equivalentes a

1 2 + = 4 3 Equivalentes a

1 2 3 4 5 = = = = … 4 8 12 16 20 2 4 6 8 10 = = = = … 3 6 9 12 15

4

1 2 3 8 3+8 11 + = + = = 4 3 12 12 12 12

Observa que 12 es el menor múltiplo común de 4 y 3 (m.c.m.).

*

7 3 - = 5 4

Equivalentes a

Equivalentes a

4

7 14 21 28 35 = = = = … 5 10 15 20 25 3 6 9 12 15 = = = = … 4 8 12 16 20

7 3 28 15 28 - 15 13 - = = = 5 4 20 20 20 20

Observa que 20 es el menor múltiplo común de 5 y 4 (m.c.m.).

5 Completa y realiza las siguientes operaciones.

a)

3 2 + = + = 5 4 20 20

c)

7 4 - = = 9 6 18 18

e)

2 3 4 + + = 4 4 3

b)

4 3 - = 6 9

d)

1 2 + = 3 7

f)

2 3 1 + - = 5 7 3

6 Calcula (en operaciones combinadas, primero se efectúan los paréntesis).

a) e b)

2 4 1 + o+ = 3 5 15

c) e

7 12 10 o = -e 3 9 9

d)

4 1 5 o= 5 10 10

5 3 4 +e - o = 8 4 8

7 De un barril de cerveza, David saca dos quintos de su contenido y Amparo, un tercio.

Exprésalo numérica y gráficamente. a) ¿Qué fracción de cerveza sacaron entre los dos? b) ¿Quién sacó más cerveza?


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OBJETIVO 4

REALIZAR OPERACIONES DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores, y el denominador, el producto de los denominadores (producto en paralelo).

ejemplo 2 3 2?3 6 6 6:2 3 ? = = = = Siempre que sea posible, se simplifica el resultado: 5 4 5?4 20 20 20 : 2 10

1 Calcula los siguientes productos de fracciones.

a)

2 3 ? = 6 5

c)

1 3 ? = 3 8

b)

5 4 ? = 3 7

d)

4 6 ? = 5 7

2 Calcula y simplifica el resultado siempre que sea posible.

a)

2 1 2 ?1 ? = = 3 4

c)

4 7 5 ? ? = 7 3 2

b)

2 3 ? = 7 5

d)

2 1 1 ? ? = 5 5 2

2 3 son de color azul y de esos relojes azules son sumergibles. 5 4 ¿Qué fracción del total representan los relojes azules sumergibles?

3 En una caja de relojes,

3 2 3?2 de = = 4 5 4?5

MULTIPLICACIÓN DE UNA FRACCIÓN POR UN NÚMERO Para multiplicar una fracción por un número, se multiplica el número por el numerador de la fracción y se deja el mismo denominador (todo número está dividido por la unidad).

ejemplo 2 2 4 8 ?4 = ? = 5 5 1 5

4 Calcula y simplifica el resultado siempre que sea posible.

a)

2 ? 6 = 3

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b)

2 4 ? ?5 = 3 10


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UNIDAD


5 Calcula la fracción que falta en cada caso para que se cumpla la igualdad y simplifica el resultado,

si se puede. a) b)

5 ? 8

=

?

20 = 56

4 24 = = 10 20

=

=

c)

1 ? 3

d)

=

?

1 9

2 14 = = 7 21

DIVISIÓN DE FRACCIONES La división de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador y denominador es el producto cruzado de los términos de las fracciones dadas (producto en cruz).

ejemplo F

4 2 4?3 12 12 12 : 2 6 : = = = = Siempre que sea posible, se simplifica el resultado: 5 3 5?2 10 10 10 : 2 5 F

6 Calcula y simplifica siempre que se pueda.

a)

3 8 3 ? 12 : = = 6?8 6 12

b) c)

d)

4 2 : = 6 5

7 1 : = 3 2

e)

4 3 : = 6 7

1 3 : = 5 6

f)

5 5 : = 3 3

=

7 Queremos repartir tres cuartas partes de una caja de golosinas entre 5 amigos.

¿Qué parte de fracción le corresponde a cada uno?

3 4

:

5

3 5 dividido entre 4 1

=

F

3 20

3 3 5 3 ?1 3 :5 = : = = 4 4? 4

8 Calcula.

a)

2 8 2 ? 12 : = = 3 12 3?8

b)

3 : 2 = 6

=

c)

3 2 : = 6 7

e)

2 :2 = 5

d)

2 3 : = 7 6

f)

6 :3 = 3


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REALIZAR OPERACIONES DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES 9 Calcula la fracción que falta en cada caso para que se cumpla la igualdad y simplifica el resultado,

si se puede. 5 : 8

a)

=

15 8

d)

4 12 = = 20 3

b)

:

c)

:4 =

4 : 3

e)

10 = 12

f) 5 :

= :

8 = 6

2 36 = = 10 6 =

35 = 7

10 En una fiesta de cumpleaños se han preparado 25 litros de chocolate. ¿Cuántas tazas

de un cuarto de litro se pueden distribuir?

25 litros 1/4 litro

Bidón

Taza

11 Con una botella de refresco de cola, cuya capacidad es de tres cuartos de litro, se llenan 6 vasos.

¿Qué fracción de litro cabe en cada vaso?

3/4 litro

Refresco de cola

Vaso

12 Realiza las siguientes operaciones combinadas de fracciones y simplifica siempre que sea posible.

(Recuerda el orden de las operaciones: paréntesis, multiplicaciones y/o divisiones, sumas y/o restas.) a) e

5 3 3 2 + o?e - o = 4 4 7 7

b) e

5 3 2 1 ? o:e - o = 4 4 3 3

c) e

7 1 2 1 4 1 : o+e - o-e ? o = 3 5 3 3 3 2

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UNIDAD

2 PROPUESTAS DE EVALUACIÓN

PROPUESTAS DE EVALUACIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS Conviene empezar la unidad comprobando el nivel de conocimiento de los alumnos. Al terminar la unidad, los alumnos deberían presentar agilidad al operar con fracciones, no siendo tan importante la resolución de problemas como la realización de los cálculos. Los conocimientos previos para esta unidad los podemos resumir como sigue: • Interpretación y uso de los símbolos, las expresiones y las reglas del lenguaje aritmético con fracciones. • Comparación y operaciones con fracciones de términos positivos.

sugerencias sobre las EVALUACIONES y su corrección EVALUACION inicial

EVALUACION de la unidad

La evaluación inicial consiste en un resumen de los contenidos del curso anterior, incidiendo en estos aspectos: representar gráficamente una fracción; averiguar qué fracción representa una parte de un gráfico; y las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división, así como calcular el m.c.d. y el m.c.m. y la simplificación de fracciones.

La evaluación que se ha diseñado trabaja todos los objetivos previstos para la unidad. Según los niveles de asimilación que los alumnos hayan alcanzado, hay preguntas que pueden resultar más o menos complicadas. En este sentido, las primeras preguntas son sencillas, dado que se trata de contenidos ya conocidos por los alumnos.

Estos conceptos son fundamentales y habrá que repasarlos con aquellos alumnos en los que se observen deficiencias en cuanto a la representación gráfica, el cálculo del m.c.m. y las operaciones con fracciones.


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UNIDAD

2

EVALUACIÓN INICIAL 1 Indica la fracción que representa la parte sombreada de la forma más simplificada posible.

2 Dibuja un cuadrado de 2 centímetros de lado y construye los tres quintos

de este cuadrado.

3 Al comprar se emplean medidas intermedias del gramo o del kilogramo. Si el siguiente rectángulo

representa un kilo de carne, representa en cada caso la fracción correspondiente.

1 kg 2

1 kg 4

2 kg 3

4 Haz las operaciones entre fracciones y simplifica los resultados.

a)

2 8 3 : n= +d 12 5 5

b)

16 3 : = 3 5

c)

1 1 : = 7 8

5 De los goles conseguidos por un equipo de fútbol, Pedro ha marcado la mitad, Juan ha marcado un tercio

y el resto lo han marcado los otros delanteros. ¿Qué fracción de goles han marcado estos últimos?

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UNIDAD


EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Indica la fracción que representa la parte sombreada de la forma más simplificada posible.

2 5

1 2

2 5

3 5

2 Dibuja un cuadrado de 2 centímetros de lado y construye los tres quintos de este cuadrado.

Se divide en cinco rectángulos verticales y se toman tres.

3 Al comprar se emplean medidas intermedias del gramo o del kilogramo. Si el siguiente rectángulo

representa un kilo de carne, representa en cada caso la fracción correspondiente.

1 kg 2

1 kg 4

2 kg 3

4 Haz las operaciones entre fracciones y simplifica los resultados.

a)

2 8 3 2 10 68 : o= + +e = 5 9 45 5 12 5

b)

16 3 16 5 80 : = ? = 3 5 3 3 9

c)

1 1 1 8 8 : = ? = 7 8 7 1 7

5 De los goles conseguidos por un equipo de fútbol, Pedro ha marcado la mitad, Juan ha marcado un tercio

y el resto lo han marcado los otros delanteros. ¿Qué fracción de goles han marcado estos últimos? Goles marcados por Pedro y Juan:

1 1 5 5 1 + = Resto: 1 = " 2 3 6 6 6


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UNIDAD

2

ERES CAPAZ DE…


Interpretar fracciones según su significado y aplicarlas en varios contextos.

1 Representa mediante una fracción las siguientes expresiones.

a) Tres cuartos de hora. b) De los 30 alumnos de la clase, los dos quintos son niños.

Determinar si dos fracciones son equivalentes y buscar fracciones equivalentes a una fracción dada.

2 Señala las fracciones equivalentes a la fracción

6 21

7 21

11 30

15 45

18 55

5 . 15 20 60

23 65

3 Observa las siguientes fracciones y señala las que sean equivalentes a

6 21

Amplificar y simplificar fracciones y obtener la fracción irreducible de una fracción dada.

9 21

12 28

15 35

18 41

21 49

3 . 7

24 65

4 Calcula la fracción irreducible de:

90 " 60

264 " 1 001

5 Encuentra la fracción irreducible de estas fracciones,

dividiéndolas sucesivamente entre sus divisores comunes. 105 " 360 168 " 126

Reducir fracciones a común denominador.

6 Reduce las fracciones a común denominador.

a)

3 5 y 8 12

b)

2 7 y 22 39

RELACIÓN DE CAPACIDADES

ACTIVIDADES

• Enumerar e identificar elementos . .................................................................................................... • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ........................................................... • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos, relaciones, etc. ................................................... 1, 2, 3, 6, 7, 8, 12 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ......................................................................................... • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................... 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

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Comparar dos fracciones cualesquiera.

7 Señala cuál es la fracción mayor.

a)

5 7 y 9 10

b)

22 10 y 7 3

c)

8 11 y 15 22

8 Ordena las siguientes fracciones, de mayor a menor:

Operar con fracciones y resolver operaciones combinadas.


UNIDAD

4 3 6 5 . , , , 12 10 15 18

9 Calcula.

11 3 2 4 + - = 15 4 5 15

10 Efectúa las operaciones.

2 -e

3 2 - o= 4 5

11 Calcula.

4 4 2 ?e : o = 3 5 3

12 Calcula y simplifica.

2 4 3 1 ? e - o - e1 - o = 7 5 2 6

Reconocer fracciones inversas.

13 Escribe la fracción inversa de:

3 5 4 " 2 " 7 " 5


ACTIVIDADES

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................. 4, 5, 6 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ............................................................................................................... • Combinar, componer datos, resumir, etc. ............................................................................................................ • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .......................................................................................................


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UNIDAD

2

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1 Representa mediante una fracción las siguientes expresiones.

a) Tres cuartos de hora. b) De los 30 alumnos de la clase, los dos quintos son niños. a)

3 2 2 60 b) de 30 = ? 30 = = 12 4 5 5 5

2 Señala las fracciones equivalentes a la fracción

6 21

7 21

11 15 30 45

18 20 55 60

5 . 15

23 65

3 Observa las siguientes fracciones y señala las que sean equivalentes a

6 21

9 21

12 28

15 35

21 49

18 41

3 . 7

24 65

4 Calcula la fracción irreducible de:

90 3 "2 60

264 24 " 91 1 001

5 Encuentra la fracción irreducible de estas fracciones,

dividiéndolas sucesivamente entre sus divisores comunes. 35 ? 3 7 ?5 105 7 = = " 360 24 24 ? 5 120 ? 3 84 ? 2 28 ? 3 4 ?7 4 168 = = = " 126 3 ?7 3 21 ? 3 63 ? 2

6 Reduce las fracciones a común denominador.

a)

3 5 y 8 12

b)

2 7 y 22 39

a) m.c.m. (8, 12) = 24 "

3 9 5 10 = = 8 24 12 24

b) m.c.m. (22, 39) = 858 "

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2 78 7 154 = = 22 858 39 858


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UNIDAD

7 Señala cuál es la fracción mayor.

a)

5 7 y 9 10

b)

22 10 y 7 3

c)

8 11 y 15 22

a)

5 7 1 9 10

b)

22 10 1 7 3

c)

8 11 2 15 22

8 Ordena las siguientes fracciones, de mayor a menor:

4 3 6 5 . , , , 12 10 15 18

5 3 4 6 1 1 1 18 10 12 15

9 Calcula.

11 3 2 4 44 45 24 16 44 + 45 - 24 - 16 49 + - = + = = 15 4 5 15 60 60 60 60 60 60

10 Efectúa las operaciones.

2 -e

3 2 3 2 40 15 8 40 - 15 + 8 33 = + = = - o =2 - + 4 5 20 20 20 20 20 4 5

11 Calcula.

4 4 2 4 4 3 16 8 ? = = ?e : o = ? 3 5 2 10 5 3 5 3

12 Calcula y simplifica.

4 3 1 2 4 8 5 32 5 224 - 150 74 37 = = = = ? e - o - e1 - o = ? 5 6 7 30 7 210 210 105 5 7 2 6

13 Escribe la fracción inversa de:

3 5 2 7 4 5 " 4 2 " 3 7 " 5 5


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3 Números decimales PROGRAMACIÓN DE AULA

objetivos • Clasificar números decimales. • Obtener la expresión decimal de una fracción. • Comparar números decimales. • Reconocer el tipo de decimal que corresponde a una fracción según sea el denominador de su fracción irreducible.

• Sumar, restar, multiplicar y dividir números decimales. • Utilizar el algoritmo de la raíz cuadrada para calcular la raíz de un número. • Redondear y truncar números decimales hasta un nivel de aproximación determinado. • Expresar en notación cientifica números muy grandes.


• Parte entera y parte decimal de un número decimal. • Números decimales exactos y periódicos. • Operaciones con números decimales. • Aproximación de un número decimal por redondeo y/o truncamiento. • Notación cientifica de números muy grandes.


• Interpretación y utilización de los números decimales, así como de sus operaciones, en distintos contextos reales. • Cálculo de la expresión decimal de una fracción cualquiera. • Comparación de números decimales. • Cálculo de la raíz cuadrada de un número. • Redondeo y truncamiento de números decimales.

ACTITUDES

• Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje numérico para representar, comunicar o resolver diferentes situaciones de la vida cotidiana. • Curiosidad e interés por resolver problemas numéricos, realizando cálculos y estimaciones de manera razonada. • Adopción de una actitud crítica ante el uso de la calculadora para hallar el resultado de operaciones con números decimales.

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UNIDAD

3

COMPETENCIAS QUE SE TRABAJAN • Interpretar críticamente información proveniente de diversos contextos que contiene distintos tipos de números; relacionarlos y utilizarlos, eligiendo la representación más adecuada.


• Calcular el resultado de las operaciones básicas con números (naturales, enteros, fraccionarios y decimales), aplicando el modo de cálculo pertinente (mental, algoritmos de lápiz y papel o calculadora). • Aplicar el razonamiento deductivo e inductivo en contextos numéricos.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN • Obtener la expresión decimal exacta o periódica de una fracción. • Reconocer el tipo de decimal que corresponde a una fracción, según sea el denominador de su fracción ineducible. • Comparar y ordenar números decimales.

• Operar correctamente con números decimales. • Calcular la raíz cuadrada de un número. • Redondear y truncar números decimales hasta un nivel de aproximación determinado. • Expresar en notación cientifica números muy grandes.

ESQUEMA DE LA UNIDAD NÚMEROS DECIMALES • Un número decimal exacto tiene un número finito de cifras decimales: 0,3; 0,347 • Un número decimal periódico tiene infinitas cifras decimales y, además, una o varias de ellas se repiten periódicamente. ) " – Si el período empieza después de la coma, es un decimal periódico puro: 0,7 ; 45,7802 – Si el"período' no empieza después de la coma, es un decimal periódico mixto: 0,17 ; 45,20802

Operaciones con números decimales

Suma y resta Los números se colocan de forma que las comas estén alineadas y, después, se opera. 8,95 + 172,357

42,5 - 9,674

181,307

32,826

División Si el divisor es un número entero Se añade la coma en el cociente al bajar la primera cifra decimal. 17,21 7 3,2 2,45 ,41 ,6

17,00 7 3,0 2,42 ,20 ,6

Si el divisor es un número decimal Se suprime la coma del divisor y se desplaza la coma en el dividendo tantos lugares a la derecha como cifras decimales tenga el divisor. Si es necesario, se añaden ceros al dividendo. 17,000,71

Multiplicación Se multiplica como si fueran enteros, y se coloca la coma separando tantas cifras como decimales tengan ambos factores: 3,42 ? 0,7 = 2,394

2 decimales


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1700 71 280 23 67

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UNIDAD

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LECTURA INICIAL A lomos del viento Simon Stevin nació en Brujas (Bélgica) en 1548. En su juventud recorrió buena parte de Europa, lo que era una práctica habitual entre los eruditos e intelectuales de la época. Ingeniero y matemático, fue reconocido en su tiempo por los trabajos de ingeniería militar y fortificación que realizó para su mecenas, el príncipe de Orange, Maurice de Nassau, durante las guerras de Flandes. Ideó sistemas de diques y contradiques que permitían inundar las tierras bajas y detener el avance de los ejércitos enemigos, diseñó molinos y barcos… Uno de los inventos que más llamaron la atención de sus contemporáneos fue un carro que, movido por la fuerza del viento, podía transportar personas y mercancías a gran velocidad. Stevin escribió sus trabajos en lengua vernácula; algunos historiadores afirman que lo hizo porque quería llegar al mayor número de personas, y otros sostienen que utilizaba el holandés porque esa lengua era más precisa para escribir textos científicos. Entre sus aportaciones destaca un manual de Matemática comercial realizado por encargo del Príncipe de Orange, pero su aportación matemática más relevante es la definición y las reglas para operar con fracciones decimales, las cuales derivarían en lo que hoy conocemos como números decimales. Simon Stevin murió en La Haya en 1620.

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UNIDAD

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Curiosidades matemáticas RECURSOS PARA EL AULA

Números decimales especiales Aparte de los números decimales exactos y periódicos, existen números decimales con la particularidad de que tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Es decir, su parte decimal consta de infinitas cifras, pero en ella no hay ningún grupo que se repita indefinidamente. Observa los ejemplos: 0,01001000100001000001... 1,223334444222333344444222233333444444... Algunos de estos números, especialmente importantes, son: • El número de oro Se representa por U y su expresión decimal es: U = 1,6180339887498948482045868343656... Desde la antigüedad ha tenido gran importancia por su aplicación al arte en la famosa proporción áurea. El número áureo está presente en construcciones como el Partenón, las catedrales... También aparece en objetos de la vida cotidiana, como el carné de identidad y las tarjetas de crédito e, incluso, lo podemos encontrar en seres vivos como el nautilus (en la fotografía) y algunas especies vegetales. • El número r Es la razón de la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro. Su expresión decimal es: r = 3,1415926535897932384626433832795... Este número está presente en todas las circunferencias y círculos de la realidad. En las culturas china, egipcia, griega…, se trató de obtener aproximaciones cada vez más precisas de r, por su aplicación en numerosos campos. Nosotros manejamos como valor de r su aproximación a las centésimas, 3,14.

Aryabhata Aryabhata vivió en el siglo V, aunque tenemos pocos datos de su vida, salvo que residía en la actual Patna, ciudad cercana al río Ganges y que fue en el año 499 cuando escribió su obra en verso dedicada a las Matemáticas y conocida con el nombre Aryabhatiya. Dicha obra consta de cuatro partes: armonías celestes, elementos de cálculo, del tiempo y su medición y las esferas. El contenido matemático está constituido por reglas para hallar raíces cuadradas y cúbicas, reglas de medición, fórmulas para el cálculo de los elementos geométricos, identidades algebraicas sencillas…


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UNIDAD

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Clasifica el tipo de expresión decimal de las siguientes fracciones. 643 1 447 1 061 3 212 b) c) d) a) 200 450 330 999 1. Escribimos los numeradores y los denominadores de todas las fracciones.

2. Calculamos el cociente de la primera fracción.

3. Copiamos esta celda en el resto de celdas de esa columna. Así obtenemos la expresión decimal de cada fracción con dos cifras decimales.

4. Seleccionamos el rango con todas las expresiones decimales y pulsamos el botón para aumentar una cifra decimal.

5. Seguimos pulsando el botón hasta que podamos reconocer el tipo de expresión decimal.

SUGERENCIAS PARA RESOLVER LAS ACTIVIDADES 1 Debemos seguir las indicaciones detalladas del

ejemplo y teniendo en cuenta que: • El último número decimal está redondeado. • Tenemos que aumentar el número de decimales hasta estar seguro de cuál es el tipo de expresión decimal.

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2 Primero debemos seguir las indicaciones del

ejemplo para saber cuál es el tipo de expresión decimal de cada apartado. Después realizamos la descomposición factorial y relacionamos la presencia del factor 2 o 5 en esta descomposición con el tipo de expresión decimal.


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UNIDAD

PASO A PASO

3


1

2


Escribimos los rótulos en las celdas A1, B1, C1 y D1. Escribimos cada fracción en una fila, el numerador en la columna A y el denominador en la columna B, es decir, utilizamos la celda A2 para el numerador de la fracción del apartado a) y la celda B2 para el denominador del mismo apartado. De la misma forma utilizamos las filas 3, 4 y 5 para el resto de apartados.

Calculamos la expresión decimal de la fracción del apartado a) utilizando / para dividir los números que contienen dos celdas. En la celda C2 copiamos la fórmula =A2/B2 que da como resultado 3,22. Por defecto la expresión decimal aparece con dos decimales, redondeando el último decimal.

3

Nos situamos sobre la esquina inferior derecha de la celda C2 y con el botón izquierdo pulsado movemos el ratón hasta la celda C5. Al dejar de pulsar el botón tenemos copiada la celda C2 en el rango C2:C5. Otra forma es utilizar los comandos Copiar y Pegar.

4

Volvemos a seleccionar el rango C2:C5 situándonos sobre la celda C2 y con el botón derecho pulsado nos desplazamos hasta la celda C5. Pulsamos sobre

para aumentar una cifra decimal.

En este caso aparece la expresión decimal con tres cifras decimales redondeada la última cifra decimal.

5

Pulsamos sobre

repetidamente para ir aumentando una

cifra decimal. Cada vez que se pulsa aparece una expresión decimal redondeada a 4, 5,... cifras decimales. En la columna D escribimos el tipo de expresión decimal de cada apartado: Apartado a): en D2 escribimos Exacto. Apartados b) y c): en D3 y D4 escribimos Periódico mixto. Y apartado d): en D5 escribimos Periódico puro. ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

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Clasifica el tipo de expresión decimal de las siguientes fracciones. 643 1 447 1 061 3 212 b) c) d) a) 200 450 330 999 1. Escribimos los numeradores y los denominadores de todas las fracciones.

2. Calculamos el cociente de la primera fracción.

3. Copiamos esta celda en el resto de celdas de esa columna. Así obtenemos la expresión decimal de cada fracción con dos cifras decimales.

4. Seleccionamos el rango con todas las expresiones decimales y pulsamos el botón para aumentar una cifra decimal.

5. Seguimos pulsando el botón hasta que podamos reconocer el tipo de expresión decimal.


INVESTIGA

1. Escribe la expresión decimal de las siguientes fracciones.

2. Relaciona la expresión decimal y la descomposición factorial de los denominadores.

a)

87 98 431 145 b) c) d) 200 225 990 333

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a)

1 627 1149 651 b) c) 500 250 125


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UNIDAD

PASO A PASO 1

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2


Escribimos los rótulos en las celdas A1, B1, C1 y D1. Escribimos cada fracción en una fila, el numerador en la columna A y el denominador en la columna B, es decir, utilizamos la celda A2 para el numerador de la fracción del apartado a) y la celda B2 para el denominador del mismo apartado. De la misma forma utilizamos las filas 3, 4 y 5 para el resto de apartados.

Calculamos la expresión decimal de la fracción del apartado a) utilizando / para dividir los números que contienen dos celdas. En la celda C2 copiamos la fórmula =A2/B2 que da como resultado 3,22. Por defecto la expresión decimal aparece con dos decimales, redondeando el último decimal.

3

Nos situamos sobre la esquina inferior derecha de la celda C2 y con el botón izquierdo pulsado movemos el ratón hasta la celda C5. Al dejar de pulsar el botón tenemos copiada la celda C2 en el rango C2:C5. Otra forma es utilizar los comandos Copiar y Pegar.

4

Volvemos a seleccionar el rango C2:C5 situándonos sobre la celda C2 y con el botón derecho pulsado nos desplazamos hasta la celda C5. Pulsamos sobre

para aumentar una cifra decimal.

En este caso aparece la expresión decimal con tres cifras decimales redondeada la última cifra decimal.

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Pulsamos sobre

repetidamente para ir aumentando una

cifra decimal. Cada vez que se pulsa aparece una expresión decimal redondeada a 4, 5,... cifras decimales. En la columna D escribimos el tipo de expresión decimal de cada apartado: Apartado a): en D2 escribimos Exacto. Apartados b) y c): en D3 y D4 escribimos Periódico mixto. Y apartado d): en D5 escribimos Periódico puro. ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

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EN LA VIDA COTIDIANA... Marcas olímpicas En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Conocer algunas marcas olímpicas de atletismo obtenidas por atletas masculinos y femeninas. • Resolver problemas con números decimales y realizar estimaciones usando el redondeo y el truncamiento.

1

Marcas obtenidas por atletas masculinos

Aunque los Juegos Olímpicos se iniciaron en la antigua Grecia, en los tiempos modernos resurgen en el año 1896, en el estadio ateniense de Panathinaikos, con la participación de 13 países, 300 atletas y tan solo 12 periodistas. Más de cien años después, en los Juegos de Sidney 2000, participaron 199 países, 11 116 atletas y 19 596 periodistas para informar de los eventos deportivos. A continuación, trabajaremos con los tiempos conseguidos en ciertas pruebas, dando algunas de las mejores marcas en los Juegos Olímpicos y los nombres de los atletas que las consiguieron. PRUEBA DE LOS 100 METROS Atleta Año Tiempo Donovan Bailey 1996 9,84 s Carl Lewis 1988 9,92 s Jim Hines 1968 9,95 s PRUEBA DE LOS 200 METROS Atleta Año Tiempo Michael Johnson 1996 19,32 s Michael Marsh 1992 19,73 s Joe Deloach 1988 19,75 s

SALTO DE LONGITUD Atleta Año Bob Beamon 1968 Ralph Boston 1968 Ralph Boston 1960 MARATÓN Atleta Año Carlos Lopes 1984 Waldemar Cierpinski 1976 Abebe Bikila 1964

Longitud 8 m 90 cm 8 m 27 cm 8 m 12 cm

Tiempo 2 h 9 min 21 s 2 h 9 min 55 s 2 h 12 min 11 s

HAZ ESTAS ACTIVIDADES. a) ¿Qué crecimiento porcentual experimentó el número de atletas que participaron en los Juegos Olímpicos desde la Olimpiada de 1896 hasta la de Sidney 2000? ¿Qué crecimiento porcentual experimentó el número de países? ¿Y el número de periodistas? b) ¿Cuánto tiempo más tardó Carl Lewis que Donovan Bailey en recorrer los 100 metros? c) ¿Qué atleta fue más rápido en la prueba de los 200 metros? Suponiendo que Michael Johnson mantuviera la misma velocidad en una hora, ¿cuál sería su velocidad en kilómetros por hora? d) Haciendo un redondeo a las décimas de los tiempos de los tres corredores de los 100 metros, haz una estimación de la diferencia de tiempos entre Donovan Bailey y Jim Hines. e) Calcula el error cometido en la estimación del apartado anterior. f) ¿Cuál es la diferencia exacta entre las longitudes alcanzadas por Bob Beamon y Ralph Boston? g) ¿Cuál es la diferencia de las longitudes del apartado anterior si se redondea a las décimas? h) Expresa, en minutos y segundos, la diferencia de los tiempos que tardaron Carlos Lopes y Waldemar Cierpinski en recorrer la maratón. ¿Cuál es la diferencia en segundos?

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UNIDAD

Marcas obtenidas por atletas femeninas

Aunque la mujer fue discriminada en los Juegos Olímpicos de la antigua Grecia, en la actualidad su participación es cada vez mayor. En Sidney 2000, la participación femenina supuso un 40 % del número total de participantes y superó en 800 atletas a las mujeres que participaron en Atlanta 1996.

RESUELVE LAS ACTIVIDADES.

A continuación señalaremos algunas de las mejores marcas femeninas de las Olimpiadas en distintas disciplinas atléticas, las atletas que las consiguieron y el año en que tuvieron lugar.

c) Calcula la estimación de la diferencia de tiempos en la prueba de los 100 metros entre Evelyn Ashford y Florence Griffith, si redondeamos a las décimas.

PRUEBA DE LOS 100 METROS Atleta Año Tiempo Florence Griffith 1988 10,62 s Florence Griffith 1988 10,88 s Evelyn Ashford 1984 10,97 s PRUEBA DE LOS 200 METROS Atleta Año Tiempo Florence Griffith 1988 21,34 s Florence Griffith 1988 21,56 s Florence Griffith 1988 21,76 s

a) ¿Cuántas atletas femeninas participaron en los Juegos de Sidney 2000? ¿Y en Atlanta? b) ¿En qué porcentaje aumentó la participación femenina de Atlanta a la de Sidney?


2

3

d) Halla el error cometido en la estimación realizada en la actividad anterior. e) Calcula la estimación de la diferencia de tiempos en la prueba de los 100 metros, entre las dos marcas obtenidas por Florence Griffith, si redondeamos a las unidades. f) Halla el error cometido en la estimación realizada en la actividad anterior. g) Expresa en forma decimal, tomando como unidad el metro, las longitudes de los saltos de longitud de las tres atletas. ¿Cuántos metros más saltó la atleta J. Joyner-Kersee, en su mejor marca, que Tatiana Kolpakova? h) Haz una estimación de las diferencias de los saltos de J. Joyner-Kersee, y calcula el error cometido si se redondea a las décimas. i) Haz una estimación de la diferencia de las longitudes de los saltos de J. Joyner-Kersee y Tatiana Kolpakova, redondeando a las décimas, y calcula el error cometido. j) Expresa en forma decimal los tiempos que tardaron las dos atletas en recorrer la maratón. Redondea a las décimas y halla la diferencia de ambos tiempos. ¿Qué error cometes?

SALTO DE LONGITUD Atleta Año J. Joyner-Kersee 1988 J. Joyner-Kersee 1988 Tatiana Kolpakova 1980

Atleta Naoko Takahashi Joan Benoit

MARATÓN Año 2000 1984

Longitud 7 m 40 cm 7 m 27 cm 7 m 6 cm

Tiempo 2 h 23 min 14 s 2 h 24 min 52 s


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UNIDAD

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estrategias de resolución de problemas Hacer un dibujo a escala Estrategia Hacer dibujos a escala es la manera de representar la realidad proporcionalmente. Pero, además, un dibujo a escala nos permite resolver en forma aproximada problemas cuya solución exacta exige conocimientos matemáticos de un nivel superior. La resolución de los siguientes problemas exigiría usar conocimientos que el alumno no posee. Utilizando la estrategia mencionada se pueden resolver con una aproximación aceptable.

PROBLEMA RESUELTO Un terreno tiene forma triangular. Midiendo sobre el terreno, los lados son 105 m, 120 m y 150 m. ¿Cuánto se puede obtener por su venta si el precio del metro cuadrado es 90,15 €?

Planteamiento y resolución Dibujamos un triángulo semejante al triángulo real del terreno. Tomando como escala, por ejemplo 1 : 1 500, las dimensiones del triángulo del dibujo serían: 105 m : 1 500 = 0,07 m = 7 cm

A

120 m : 1 500 = 0,08 m = 8 cm 150 m : 1 500 = 0,1 m0 = 10 cm Para calcular el área del terreno medimos con una regla graduada una de las alturas en el triángulo del dibujo, por ejemplo, la altura AH, y calculamos la medida real de esta altura.

8 cm

10 cm

La altura AH, en el triángulo del dibujo, mide 8 cm.

8 cm

Altura real: 8 ? 1 500 = 12 000 cm = 120 m Área del terreno:

B

H

7 cm

C

105 ? 120 = 6 300 m2 2

Precio del terreno: 6 300 ? 90,15 = 567 945 €

Comprueba con un transportador que el valor aproximado de los ángulos es: AV = 44° BV = 83° CV = 53°

PROBLEMA PROPUESTO Para hacer un polideportivo se ha comprado una parcela triangular cuyos lados miden 300 m, 375 m y 362 m. Si el precio de un metro cuadrado es 66,11 €, ¿cuál ha sido el precio de la parcela? Para resolver el problema sigue estos pasos:

2.º Mide una altura en el triángulo del dibujo, y averigua su medida real. 3.º Calcula el área real de la parcela y su precio. Utiliza un transportador y averigua lo que mide cada ángulo.

1.º Dibuja la parcela a escala 1 : 2 500.

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UNIDAD

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Introducción


En esta unidad estudiamos el sistema de numeración decimal, e introducimos las denominaciones de la parte decimal: décima, centésima y milésima, así como su equivalencia con respecto a la unidad y las propias que se establecen entre ellas.

• Podemos representar y ordenar los números decimales en la recta numérica.

También podemos ordenar y colocar los números decimales en la recta numérica, buscar valores intermedios entre varios dados y realizar comparaciones entre ellos. A partir de la relación entre las fracciones y sus valores numéricos, introducimos los conceptos de números decimales exactos, inexactos y periódicos.

OBJETIVOS

• Para comparar dos o más números decimales, primero comparamos la parte entera y luego la parte decimal de manera progresiva. • Podemos aproximar un número decimal a las unidades, a las décimas, a las centésimas... • Para obtener la expresión decimal de una fracción, dividimos el numerador entre el denominador. • Podemos realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división de números decimales.

CONTENIDOS

PROCEDIMIENTOS

1. Comprender el concepto de número decimal.

• Significado de los números decimales. • Representación en la recta numérica. • Orden y comparación. • Aproximación de números decimales.

• Identificación de números decimales. • Comparación y ordenación de números decimales, numérica y gráficamente. • Aproximación de números decimales.

2. Comprender la relación entre fracción y número decimal.

• Tipos de números decimales: exactos y periódicos. • Paso de número decimal exacto a fracción. Fracción irreducible.

• Obtención de números decimales a partir de una fracción. • Conversión de un número decimal a fracción.

3. Realizar operaciones con números decimales.

• Suma y resta de números decimales. • Multiplicación y división de números decimales. • Multiplicación y división de números decimales por la unidad seguida de ceros.

• Resolución de problemas por medio de operaciones aritméticas con números decimales.


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OBJETIVO 1

COMPRENDER EL CONCEPTO DE NÚMERO DECIMAL NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

SIGNIFICADO DE LOS NÚMEROS DECIMALES • En nuestra vida diaria medimos, calculamos, comparamos, etc. Hablamos de cantidades que no son exactas. Para expresar correctamente estas cantidades, utilizamos los números decimales. • Ejemplos: 3,60 €; 2,5 kg de manzanas; 78,9 km de distancia; 0,7 m de altura. • Nuestro sistema de numeración es decimal: cada 10 unidades de un orden forman una unidad del orden superior.

1 unidad 1U

1 décima 0,1 unidades

1 centésima 0,01 unidades

1 milésima 0,001 unidades

1 unidad = 10 décimas = 100 centésimas = 1 000 milésimas 1 U = 10 d = 100 c = 1 000 m 1 décima = 10 centésimas = 100 milésimas 1 d = 10 c = 100 m 1 centésima = 10 milésimas 1 c = 10 m

1 Un número decimal lo podemos descomponer de varias formas y proceder a su lectura.

Fíjate en los ejemplos y completa las siguientes tablas: NÚMERO

DESCOMPOSICIÓN 1

LECTURA 1

3,156

3U+1d+5c+6m

3 unidades, 1 décima, 5 centésimas, 6 milésimas

NÚMERO

DESCOMPOSICIÓN 2

LECTURA 2

3,156

3 U + 156 m

3 unidades y 156 milésimas

0,28 152,72

0,28 152,72 2 Expresa en cada caso la equivalencia que se indica.

0,15 u

a) 15 centésimas

= .................. = .................. milésimas

b) 9 décimas

= .................. = .................. centésimas

c) 200 centésimas = .................. = .................. milésimas d) 300 milésimas

= .................. = .................. décimas

e) 100 centésimas = .................. = .................. unidades

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UNIDAD

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3 Sitúa los siguientes números decimales en la tabla.

a) Veinticuatro unidades treinta y cinco centésimas. ADAPTACIÓN CURRICULAR

b) Diez unidades doscientas doce milésimas. c) Ochenta y dos centésimas. d) Doscientas noventa y una unidades quinientas cincuenta y ocho milésimas. e) Ciento treinta y seis milésimas. f) Cuatrocientas unidades diecinueve milésimas. CENTENAS

DECENAS

UNIDADES

C

D

U

2

4

,

DÉCIMAS d

CENTÉSIMAS c

,

3

5

MILÉSIMAS m

NÚMEROS DECIMALES EN LA RECTA NUMÉRICA • Los números decimales se pueden representar sobre la recta numérica. • El número 2,6 está comprendido entre el 2 y el 3. 2

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3

2,69

2,7

Si dividimos una unidad en 10 partes iguales, cada parte es una décima.

• El número 2,66 está comprendido entre el 2,6 y el 2,7. 2,6

2,61

2,62

2,63

2,64

2,65

2,66

2,67

2,68

Si dividimos una décima en 10 partes iguales, cada parte es una centésima.

• El número 2,663 está comprendido entre el 2,66 y el 2,67. 2,66 2,661 2,662 2,663 2,664 2,665 2,666 2,667 2,668 2,669 2,67

Si dividimos una centésima en 10 partes iguales, cada parte es una milésima.

• Entre dos números decimales, siempre podemos encontrar otros números decimales.

4 Representa en la recta numérica los números decimales.

a) 3,5 b) 3,1 c) 3,8 d) 3,9 e) 3,3 3

4


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COMPRENDER EL CONCEPTO DE NÚMERO DECIMAL 5 Completa las siguientes series de números decimales.

a) 0,5 1 1,5

.......... .......... .......... ..........

b) 4,37 4,40 4,43

.......... .......... .......... ..........

c) 5,15 5,20 5,25

.......... .......... .......... ..........

d) 8,28 8,23 8,18

.......... .......... .......... ..........

6 Halla dos números decimales comprendidos entre los dados y dibújalos en la recta numérica.

a) 5,45 y 5,46

c) 0,13 y 0,14

5,45

5,46

b) 1,8 y 2,5

1,8

0,13

0,14

d) 7,3 y 7,9

2,5

7,3

7,9

ORDEN Y COMPARACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES Para comparar números decimales, se siguen estos pasos: 1.º Comparamos la parte entera. Es mayor el número que tiene mayor parte entera. 2.º Comparamos la parte decimal. Si la parte entera es igual, se comparan las décimas, las centésimas, las milésimas, siendo mayor el número con mayor parte decimal, cifra a cifra. Mayor que > Menor que <

ejemplo 4,56 > 3,7 porque: 4 > 3 (parte entera) 8,37 > 8,34 porque: 8 = 8 (parte entera) 3 = 3 (décimas) 7 > 4 (centésimas) 7 Ordena, de menor a mayor (<), los siguientes números:

5,05 6,01 7,12 0,34 2,61 5,07 1,11

8 La estatura, en m, de 10 alumnos de 2.º ESO es:

1,55 1,59 1,52 1,63 1,60 1,58 1,65 1,61 1,67 1,70

Ordénalo, de mayor a menor (>).

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UNIDAD

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APROXIMACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES


• Aproximar un número decimal es considerar el número más próximo a él. • Para aproximar un número se suprimen las cifras situadas a la derecha. Si la cifra eliminada es mayor que 5, a la última cifra se le suma uno. • Podemos aproximar a las unidades, a las décimas, a las centésimas...

ejemplo Aproxima 5,3 a las unidades. El resultado es 5, ya que 5,3 está más cerca de 5 que de 6. 5

5,1

5,2

5,3

5,4

5,5

5,6

5,7

5,8

5,9

6 F

F3 < 5 5,3 5,3 se aproxima más a 5.

F

Aproxima 1,67 a las décimas. El resultado es 1,7, ya que 1,67 está más cerca de 1,7 que de 1,6. F7 > 5 1,67 1,6 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,7 1,67 se aproxima más a 1,7. F

F

9 Aproxima a las unidades los siguientes números. NÚMERO DECIMAL

NÚMERO APROXIMADO A LAS UNIDADES

34,21 17,81 10,61 13,71 12,52

10 Aproxima a las décimas. NÚMERO DECIMAL

NÚMERO APROXIMADO A LAS DÉCIMAS

10,56 17,24 10,68 13,47 12,92

11 Juan pesa 52,383 kg. Aproxima su peso a:

a) Las unidades b) Las décimas c) Las centésimas


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OBJETIVO 2

COMPRENDER LA RELACIÓN ENTRE FRACCIÓN Y NÚMERO DECIMAL NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

TIPOS DE NÚMEROS DECIMALES En una fracción, al dividir el numerador entre el denominador se obtiene un número decimal. • Si el resto es cero, el número decimal es exacto. 3 9 12 = 0,6 = 4,5 = 1,2 5 2 10 • Si el resto no es cero, obtenemos un número con infinitas cifras decimales. Un número periódico tiene infinitas cifras decimales que se repiten siempre.

Un pequeño arco

"

1 12 = 0,33333... = 1,09090909... 3 11 sobre las cifras decimales indica las cifras que se repiten periódicamente. " $ 0, 3 = 0,33333... 1,09 = 1,09090909...

1 Indica qué tipo de número decimal obtenemos en las siguientes divisiones. FRACCIÓN

RESULTADO

TIPO DE NÚMERO DECIMAL

15 12 11 3 7 14 9 99

2 Expresa los números decimales periódicos de forma abreviada. NÚMERO

NÚMERO ABREVIADO

" 4,5

4,55555...

PARTE ENTERA

PARTE DECIMAL PERIÓDICA

4

5

2,343434... 1,187187... 11,66666... 91,878787... $

3 Rodea con un círculo el número decimal periódico que corresponde a 4,87.

a) 4,807807807...

c) 4,78787878...

b) 4,87878787...

d) 47,87878787...

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UNIDAD

3

Un número decimal exacto se puede expresar como fracción. Para ello, se coloca el número sin la coma en el numerador, y en el denominador se pone la unidad seguida de tantos ceros como cifras hay a la derecha de la coma.

ejemplo 0,4 =

1526 4 15,26 = 100 10

Podemos simplificar las fracciones hasta obtener la fracción más simple posible, llamada fracción irreducible.


PASO DE NÚMERO DECIMAL EXACTO A FRACCIÓN

Para hallar la fracción irreducible dividimos el numerador y el denominador entre el mismo número. 0,4 =

4 4:2 2 1526 1526 : 2 763 = = 15,26 = = = 10 10 : 2 5 100 100 : 2 50

4 Expresa en forma de fracción los siguientes números decimales.

a) 5,6 =

56 10

b) 10,86 =

c) 3,8 =

e) 0,2 =

d) 3,875 =

f) 0,034 =

5 Expresa en forma de fracción estos números decimales y simplifica, si se puede, hasta obtener

la fracción irreducible. Fíjate en el ejemplo. a) 3,16 =

d) 2,8 =

316 316 : 2 158 158 : 2 79 = = = = 100 100 : 2 50 50 : 2 25

b) 0,66 =

e) 11,22 =

c) 9,125 =

f) 0,014 =

6 Escribe las fracciones en forma de número decimal y los números decimales en forma de fracción.

a)

43 = 10

d) 12,84 =

b) 0,006 =

e)

52 = 1 000

c) 3,004 =

f)

7 = 100


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OBJETIVO 3

REALIZAR OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

SUMA Y RESTA DE NÚMEROS DECIMALES Para sumar o restar números decimales procedemos del siguiente modo: 1.º Colocamos todos los sumandos en columna, haciendo coincidir las partes enteras y las partes decimales de cada número: centenas con centenas, decenas con decenas, unidades con unidades, comas con comas, décimas con décimas, centésimas con centésimas, milésimas con milésimas, etc. 2.º Sumamos o restamos como si fueran números naturales, manteniendo la coma en su lugar correspondiente.

ejemplo Calcula. a) 4,7 + 13,56 + 27,03 + 9,2 4,70 13,56 27,03 + 9,20

F Se suelen añadir ceros

para que todas las cifras tengan el mismo F número de decimales.

b) 35,78 - 17,6 35,78 - 17,60 18,18

Se suelen añadir ceros F para que todas las cifras

tengan el mismo número de decimales.

54,49

1 Haz las siguientes operaciones.

a) 12,34 + 4,87 + 55,97 =

d) 1,04 + 0,31 + 51,06 =

b) 109,3 + 81,72 + 66,35 =

e) 77,01 + 44 + 19,58 =

c) (2,46 + 39,55) - (11 + 3,82) =

f) (49,72 - 34,07) + (15 + 23,69) =

2 Efectúa estas operaciones.

a) 78,31 - 45,59 =

c) 11,07 - 9,5 =

b) 123,8 - 77,94 =

d) 76 - 39,25 =

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UNIDAD

3

3 Ana y Luis tienen que pintar la valla de su jardín. Ana pinta 2,45 m y Luis pinta 3,8 m.

Si la valla tiene una longitud total de 10 m, calcula: b) La longitud de valla que les falta por pintar.

4 María sale un sábado de su casa con 15,62 €. Queda con sus amigos en la hamburguesería

y se gasta 3,89 €, luego va al cine, paga su entrada de 4 € y se compra una bolsa de palomitas que le cuesta 1,45 €. Si el trayecto del autobús le cuesta 1,05 €, determina:


a) La longitud de valla que han pintado entre los dos.

a) El dinero total que se ha gastado. b) ¿Le ha sobrado algo de dinero? En caso afirmativo, indica la cantidad. c) María tiene ahorrados 6,75 €. Uniendo sus ahorros con lo que le ha sobrado, ¿podrá comprar un CD que cuesta 12,40 €?

Para multiplicar dos números decimales seguimos estos pasos: 1.º Los multiplicamos como si fueran números naturales. 2.º Colocamos la coma, separando de derecha a izquierda en el resultado tantas posiciones como decimales tengan entre los dos factores.

ejemplo 5,18

23,5

3 2,6

3 81,7

3108

1645

10365

2355

1 3,4 6 8

188055 1 9 1 9,9 5

5 Calcula los siguientes productos.

a) 5,67 ? 2,9 =

c) 13,8 ? 45,73 =

b) 39,412 ? 3,4 =

d) 92 ? 4,68 =


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REALIZAR OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES 6 Pablo va al supermercado a comprar una serie de productos. Tiene 17 € y efectúa

las siguientes compras: • 2,5 kilogramos de naranjas que valen 0,70 €/kg. • 0,9 kilogramos de kiwis que valen 1,50 €/kg. • 4 cartones de leche a 0,65 €/cartón.

• 2 barras de pan a 0,30 €/barra. • 5 latas de refresco de cola a 0,34 €/lata. • 3 paquetes de detergente a 2,13 €/paquete.

Calcula cuánto le ha costado la compra. Al pagar en caja, ¿cuánto dinero le ha sobrado?

7 Sabiendo que 458 ? 69 = 31 602, coloca el separador de miles y la coma decimal en su lugar

correspondiente. a) 45,8 ? 69 = 3 1 6 0 2

d) 4,58 ? 6,9 = 3 1 6 0 2

b) 45,8 ? 0,69 = 3 1 6 0 2

e) 0,458 ? 6,9 = 3 1 6 0 2

c) 4,58 ? 0,69 = 3 1 6 0 2

f) 458 ? 6,9 = 3 1 6 0 2

Un caso especial de la multiplicación de números decimales es multiplicar por la unidad seguida de ceros, es decir, por 10, 100, 1 000... Para hacerlo se desplaza la coma a la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad: 1, 2, 3...

58,042 ?

91,58

100

? 1 0 0 0

= 5 8 0 4 , 2 = 9 1 5 8 0

8 Efectúa las siguientes operaciones.

a) 5,8 ? 10 =

c) 0,46 ? 100 =

e) 59,3 ? 1 000 =

b) 1,4 ? 1 000 =

d) 46,301 ? 100 =

f) 2,73 ? 10 =

9 Indica la unidad seguida de ceros que corresponde a cada operación.

a) 23,2 ? .................. = 23 200

d) 14,85 ? .................... = 148,5

b) 0,51 ? .................. = 51

e) 0,812 ? .................... = 81 200

c) 0,9 ? ................... = 900

f) 8,2946 ? .................. = 8 294,6

10 Realiza las siguientes operaciones combinadas.

a) (12,46 + 3,6) ? (6,7 - 2,8) =

c) (4,76 ? 23,4) + (19,37 - 16,03) =

b) 3,5 ? (45,76 - 38,72) =

d) 3,4 ? (35,92 + 53) =

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UNIDAD

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1.o Si la división es exacta, el resto es cero, r = 0. (Recuerda que D = d ? c + r) 2.o Si la división no es exacta, el resto es distinto de cero y menor que el divisor, r ! 0 y r , d. 3.o Se puede seguir dividiendo, añadiendo un cero al resto y poniendo una coma decimal en el cociente, hasta obtener una división con resto cero o aproximar con una, dos, tres o más cifras decimales.

ejemplo 2773 59 413 47 0

F

265 50 015 5

265

50

0150 1000

5,3


DIVISIÓN DECIMAL DE DOS NÚMEROS NATURALES

DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS DECIMALES Existen tres casos: 1.o Dividendo decimal y divisor natural. Se divide como si fuera una división normal, pero al bajar la primera cifra decimal se pone la coma en el cociente. o 2. Dividendo natural y divisor decimal. Se suprime la coma del divisor y se añaden tantos ceros al dividendo como cifras decimales tenga el divisor. 3.o Dividendo y divisor decimales. Se suprime la coma del divisor y se desplaza la coma del dividendo tantos lugares a la derecha como cifras decimales tiene el divisor. Si es necesario, se añaden ceros al dividendo.

ejemplo Dividendo decimal y divisor natural 2

441

1,6

4,8

3,6 F

9,6

Dividendo natural y divisor decimal

F

0

F

1,28

0,2

F

128

20

1080

6,4

4410

36

081

122,5

0090

F

Dividendo y divisor decimales

00180 00000

F

1000

11 Calcula las siguientes divisiones.

a) 56,4 : 12 =

d) 152 : 2,5 =

b) 7 875 : 63 =

e) 7,14 : 0,6 =

c) 1 158 : 20 =

f) 25,8 : 2,4 =


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REALIZAR OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES 12 Haz las divisiones y aproxima el cociente hasta las centésimas.

a) 10 : 6 =

c) 25 : 3 =

b) 99 : 44 =

d) 17,4 : 3,1 =

Un caso especial de la división de números decimales consiste en dividir entre la unidad seguida de ceros, es decir, entre 10, 100, 1 000... Para hacerlo se desplaza la coma a la izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad: 1, 2, 3...

ejemplo 958,3 : 1000 = 9,583

32,7 : 1000 = 0,0327

1,9 : 1000 = 0,19


a) 45,8 : 10 =

c) 13,45 : 100 =

e) 5 917,36 : 1 000 =

b) 92 345,4 : 1 000 =

d) 0,51 : 10 =

f) 238 : 10 =

14 Indica la unidad seguida de ceros que corresponda a cada operación.

a) 432,64 : .................. = 4,3264

d) 39

: .................. = 0,39

b) 11,46 : .................. = 1,146

e) 100 : .................. = 0,1

c) 34 800 : .................. = 34,8

f) 294,6 : .................. = 2,946

15 He comprado 15 CD por 11,25 €. ¿Cuánto me ha costado cada CD?

16 Luis, Ana y Berta han comprado un juego de ordenador por 46,53 €. Si los tres han aportado

la misma cantidad de dinero, ¿cuál ha sido la aportación de cada uno?

17 Una autopista tiene una longitud total de 560 km. Cada 20 km se han instalado puentes

para el cambio de sentido, y cada 32 km hay una gasolinera. Calcula cuántos puentes y cuántas gasolineras tiene la carretera.

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UNIDAD

3

PROPUESTAS DE EVALUACIÓN PROPUESTAS DE EVALUACIÓN

CONOCIMIENTOS PREVIOS Esta unidad se relaciona con los contenidos del curso anterior. En consecuencia, será necesario repasar los conceptos y procedimientos de las dos unidades precedentes. Además los conocimientos necesarios para empezar a trabajar esta unidad son: • Manejar la equivalencia entre las unidades decimales. • Repasar la descomposición polinómica de un número decimal. • Leer y escribir números decimales. • Calcular raíces cuadradas exactas de un número.

SUGERENCIAS SOBRE LAS EVALUACIONES Y SU CORRECCIÓN EVALUACIÓN INICIAL


En la evaluación inicial se plantean ejercicios que servirán como punto de partida para comprender el estudio de los números decimales que se va a realizar en esta unidad. Los dos primeros están relacionados con la equivalencia entre las unidades decimales, contenido que ya han trabajado en cursos anteriores. En los ejercicios 3 y 4 se trabaja la descomposición polinómica de un número decimal, y la lectura y escritura de números decimales, respectivamente. El último ejercicio plantea el cálculo de raíces cuadradas exactas.

La primera parte de la evaluación (los ejercicios 1 a 5) se refiere a la transformación de fracciones en números decimales. Más adelante se estudiará la suma de términos de una progresión geométrica ilimitada. Así, será necesario reforzar esta idea, respecto al uso de la calculadora y el número de decimales que cada modelo utiliza. Los siguientes ejercicios prosiguen con aspectos de aproximación y, por tanto, será conveniente un trabajo constante y que los alumnos perciban las características de cada modelo.


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UNIDAD

3

EVALUACIÓN INICIAL 1 Escribe, en cada caso, la equivalencia entre estas unidades decimales.

a) 56 décimas = .................. milésimas b) 13 centésimas = .................. unidades c) 9 unidades = .................. centésimas d) 425 milésimas = .................. décimas 2 Expresa en unidades las siguientes unidades decimales.

a) 126 décimas = .................. unidades b) 45 centésimas = .................. unidades c) 9 unidades = .................. unidades d) 756 milésimas = .................. unidades

A partir de la representación, ordénalas de menor a mayor.

>

>

>


Número decimal

Descomposición polinómica

16,245 6 + 3 ? 0,01 0,007 4 + 7 ? 0,1 + 9 ? 0,01 + 3 ? 0,001 7,008 15,003 4 Descompón en sus órdenes de unidades estos números decimales, y escribe cómo se lee cada uno de ellos.

a) 7,57 = b) 0,074 = c) 9,001 = d) 17,9 = 5 Halla las raíces cuadradas de estos cuadrados perfectos.

a) 121 b) 16 c) 81 d) 169

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UNIDAD

3

EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Escribe, en cada caso, la equivalencia entre estas unidades decimales. PROPUESTAS DE EVALUACIÓN

a) 56 décimas = 5 600 milésimas b) 13 centésimas = 0,13 unidades c) 9 unidades = 900 centésimas d) 425 milésimas = 4,25 décimas 2 Expresa en unidades las siguientes unidades decimales.

a) 126 décimas = 12,6 unidades b) 45 centésimas = 0,45 unidades c) 9 unidades = 9 unidades d) 756 milésimas = 0,756 unidades

A partir de la representación, ordénalas de menor a mayor. 12,6

>

9

0,756

>

0,45

>


Número decimal

Descomposición polinómica

16,245

1 ? 10 + 6 + 2 ? 0,1 + 4 ? 0,01 + 5 ? 0,001

6,03

6 + 3 ? 0,01

0,007

7 ? 0,001

4,793

4 + 7 ? 0,1 + 9 ? 0,01 + 3 ? 0,001

7,008

7 + 8 ? 0,001

15,003

1 ? 10 + 5 + 3 ? 0,001

4 Descompón en sus órdenes de unidades estos números decimales, y escribe cómo se lee cada uno de ellos.

a) 7,57 = 7 + 5 ? 0,1 + 7 ? 0,01 7 unidades 57 centésimas b) 0,074 = 7 ? 0,01 + 4 ? 0,001 74 milésimas

c) 9,001 = 9 + 1 ? 0,001 9 unidades 1 milésimas d) 17,9 = 1 ? 10 + 7 + 9 ? 0,1 17 unidades 9 décimas

5 Halla las raíces cuadradas de estos cuadrados perfectos.

a) 121 121 = 11, ya que 112 = 121 b) 16 16 = 4, ya que 42 = 16

c) 81 81 = 9, ya que 9 2 = 81 d) 169 169 = 13, ya que 132 = 169


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UNIDAD

3

ERES CAPAZ DE… Ordenar números decimales.

Reconocer y calcular los tipos de expresión decimal de una fracción (exacta o periódica).

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 1 Ordena los siguientes números decimales, de menor a mayor.

0,3 0,31 0,307 0,305 2 Indica el tipo de número decimal que resulta de estas fracciones y,

con la ayuda de la calculadora, expresa en forma decimal las fracciones. Fracción

Tipo de número decimal

Expresión decimal

4 25 17 6 65 8 43 40 89 30

Sumar y restar números decimales.

Redondear y truncar números decimales hasta un nivel de aproximación determinado.

3 Pedro compra 1,125 kg de peras, 2,05 kg de naranjas y 1,872 kg

de melocotones. Por último, compra un melón de 3 kg y medio. ¿Cuál es el peso total de la fruta?

4 Completa la siguiente tabla, transformando las fracciones en números

decimales, y redondea a las centésimas. Fracción

7 6

74 13

11 3

35 2

Decimal


ACTIVIDADES

• Enumerar e identificar elementos . ....................................................................................................................... • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. 2, 10 • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos, relaciones, etc. ...................................................................... 1, 2 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ............................................................................................................ • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ................................................................................................................... 3, 4, 5, 6, 7, 8

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UNIDAD

5 Calcula y trunca el resultado con tres decimales.

a)

7 ?3 9

b)

23 5 : 10 7

c) 0,16 ?


Estimar el resultado de operaciones con decimales mediante el redondeo en las unidades.

3

7 3

6 Halla el resultado de las siguientes sumas y restas.

a) 324,654 + 126,057 + 32,005

b) 54,904 - 13,047 + 98,218

Luego aproxima cada cifra a las centésimas mediante truncamiento y redondeo, realiza de nuevo las operaciones y calcula el error cometido. 7 Estima estos productos y cocientes redondeando a las unidades,

y halla el error cometido. a) 32,87 ? 10,2

b) 130,24 : 8,945

Calcular raíces cuadradas con decimales.

8 Calcula estas raíces cuadradas con dos decimales.

a) 83 b) 4 325


ACTIVIDADES

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................. • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................ 5, 6, 7 • Combinar, componer datos, resumir, etc. ............................................................................................................. 2 • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ........................................................................................................


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UNIDAD

3

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1 Ordena los siguientes números decimales, de menor a mayor.

0,3 < 0,305 < 0,307 < 0,31 2 Indica el tipo de número decimal que resulta de estas fracciones y, con la ayuda de la calculadora,

expresa en forma decimal las fracciones. Fracción

Tipo de número decimal

Expresión decimal

4 25

Exacto

0,16

17 6

Periódico

" 2,83

65 8

Exacto

8,125

43 40

Exacto

1,075

89 30

Periódico

" 2,96

3 Pedro compra 1,125 kg de peras, 2,05 kg de naranjas y 1,872 kg de melocotones. Por último, compra

un melón de 3 kg y medio. ¿Cuál es el peso total de la fruta?

1,125 + 2,05 + 1,872 + 3,5 = 8,547 kg 4 Completa la siguiente tabla, transformando las fracciones en números decimales, y redondea

a las centésimas.

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Fracción

7 6

74 13

11 3

35 2

Decimal

1,17

5,69

3,67

17,50


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5 Calcula y trunca el resultado con tres decimales.

a)

7 21 ? 3= " 2,333 9 9

b)

23 5 161 : = = 3,220 10 7 50

c) 0,16 ?

7 112 = " 0,373 3 300

3


UNIDAD

6 Halla el resultado de las siguientes sumas y restas.

a) 324,654 + 126,057 + 32,005 Valor exacto: 324,654 + 126,057 + 32,005 = 482,716

Redondeo: 324,65 + 126,06 + 32,01 = 482,72 " Error: 0,004

Truncamiento: 324,65 + 126,05 + 32 = 482,7 " Error: 0,016

b) 54,904 - 13,047 + 98,218 Valor exacto: 54,904 - 13,047 + 98,218 = 140,075

Redondeo: 54,90 - 13,05 + 98,22 = 140,07 " Error: 0,005 Truncamiento: 54,90 - 13,04 + 98,21 = 140,07 " Error: 0,005

7 Estima estos productos y cocientes redondeando a las unidades, y halla el error cometido.

a) 32,87 ? 10,2 33 ? 10 = 330 " Error: 5,274 b) 130,24 : 8,945 130 : 9 = 14,4 " Error: 0,160089 8 Calcula estas raíces cuadradas con dos decimales.

a) 83 = 9,11

b) 4 325 = 65,76


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4 Sistema sexagesimal PROGRAMACIÓN DE AULA

objetivos • Utilizar el sistema sexagesimal para medir amplitudes de ángulos y períodos de tiempo menores que el día. • Distinguir entre expresiones complejas e incomplejas para medir ángulos y tiempos, y pasar de unas a otras.

• Multiplicar una medida de un ángulo o de tiempo por un número entero. • Dividir una medida de un ángulo o de tiempo entre un número entero. • Aplicar el sistema sexagesimal a cuestiones relacionadas con la vida cotidiana.

• Efectuar sumas y restas de medidas de ángulos y de tiempos.


• Medidas de tiempos y ángulos. Sistema sexagesimal. • Formas complejas e incomplejas para medir tiempos y ángulos. • Suma y resta en el sistema sexagesimal. • Multiplicación y división en el sistema sexagesimal.


• Expresión de un ángulo en grados, minutos y segundos. • Expresión de un período de tiempo en horas, minutos y segundos. • Transformación de una medida angular o de tiempo de forma compleja a incompleja, y viceversa. • Suma y resta de medidas angulares o de tiempo en el sistema sexagesimal. • Multiplicación y división de medidas angulares o de tiempo. • Operaciones combinadas de medidas de ángulos.

ACTITUDES

• Hábito de expresar los resultados numéricos de las mediciones, manifestando las unidades de medida utilizadas. • Adopción de una actitud crítica ante el uso de la calculadora científica para resolver problemas.

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UNIDAD

4

COMPETENCIAS QUE SE TRABAJAN • Resolver situaciones-problema, tanto individualmente como en grupo, que requieran el uso de magnitudes de medida de tiempo o ángulos, utilizando las unidades adecuadas. • Utilizar instrumentos, técnicas y fórmulas, individual y grupalmente, para medir tiempos y ángulos.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN • Trabajar con las distintas unidades de medida de ángulos y tiempos. • Expresar medidas de ángulos en grados, minutos y segundos. • Expresar medidas de tiempo en horas, minutos y segundos. • Convertir la medida de un ángulo expresada en forma compleja a forma incompleja, y viceversa.

• Determinar la forma compleja de una medida de tiempo dada en forma incompleja, y viceversa. • Sumar y restar dos medidas de ángulos o de tiempo en el sistema sexagesimal. • Multiplicar y dividir una medida angular o de tiempo por un número. • Resolver problemas reales donde aparezcan medidas de tiempo o angulares.


• Valorar e integrarse en el trabajo en grupo para la realización de actividades de diversos tipos, como base del aprendizaje matemático, de la formación de la autoestima y de valores sociales.

ESQUEMA DE LA UNIDAD ? 60

hora grado

minuto : 60

F

F

Sistema sexagesimal

? 60

F

F

segundo : 60

1 h = 60 min 1 min = 60 s 1° = 60l 1l = 60m

Operaciones

Suma + 2 h 32 min 29 s + 1 h 43 min 34 s

Resta + 13° 37l 14m - 2° 43l 22m

3 h 75 min 63 s

1l = 60m

+ 13° 36l 74m - 2° 43l 22m

+ 3 h 71 min 3 s 3 h 76 min 3 s

1° = 60l

+ 1 h 16 min

+ 12° 96l 74m - 2° 43l 22m

+ 4 h 16 min 3 s

+ 10° 53l 52m

Multiplicación ++ 3 h 42 min 53 s # 3 h 4 2 min 3 ++ 9 h 126 min 159 s 2 min = 120 s

++19 h 128 min 39 s 2 h = 120 min

++11 h 128 min 39 s

División 19° 26l + 1° 60l 86l 26 + 2l


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35m 3 6° 28l 51m

120m 155m 05 2m

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UNIDAD

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LECTURA INICIAL El amo de la Luna

-11

Johan Müller Regiomontanus nació en Königsberg en 1436 y murió en Roma en el año 1476. Fue un niño prodigio y con tan solo 16 años acabó sus estudios en la universidad, si bien no obtuvo su título hasta haber cumplido los 21 años por motivos legales. En la universidad tuvo como maestro a Peuerbach, por cuyo consejo adoptó el uso de los números arábigos, que utilizó en sus tablas trigonométricas. Tras viajar por Italia y estudiar a los autores clásicos, regresó a Alemania e instaló una imprenta de su propiedad con la que quería difundir las teorías de Arquímedes, Apolonio, Herón, Ptolomeo…, pero esta obra se vio truncada por su repentina muerte, a los 40 años de edad. Regiomontanus fue el matemático más influyente del siglo XV, y una de sus aportaciones fue separar la Trigonometría de la Astronomía, y estudiarla como ciencia independiente en su obra De triangulis omnimodis. Se cree que otra de sus obras, Ephemerides, que describía los movimientos planetarios, fue utilizada por Cristóbal Colón en la conquista de América, ya que con ella pudo predecir un eclipse de luna el 29 de febrero de 1504, cuando se encontraba varado en la isla de Jamaica, esperando ayuda de La Española, y que gracias a esa predicción pudo evitar un motín y hacer que los indígenas siguieran aprovisionándoles de comida y agua a él y a su tripulación.

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UNIDAD

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Curiosidades matemáticas

-11 -12+11+10 +9 +8 +7 +6 +5 +4 +3 +2 +1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 + 12

En 1928 se estableció como referencia para los tiempos el GMT (hora en el meridiano de Greenwich), también llamada UTC (hora universal coordinada) y, en el contexto de la aviación, hora zulú. hora bien, esa hora no es A la misma en todos los países del mundo. La Tierra se dividió en una serie de 24 partes o husos horarios, en los cuales la hora legal es diferente a la GMT. Hacia el oeste, la hora legal disminuye, y hacia el este aumenta, como se ve en los relojes del mapa.


La hora zulú

En aviación, para llevar un seguimiento más coordinado de los vuelos se trabaja con la hora zulú; es decir, los pilotos y las torres de control de todo el mundo utilizan la hora universal, GMT o UTC, para operar con una medida de tiempo común y no depender de la hora de cada país. Si en España son las 17 horas, ¿cuál será la hora zulú? Para calcularla bastaM651066T05P022 con mirar el mapa. Vemos que España está situada en la franja marcada como -1. Para hallar la hora zulú sumamos a la hora local el número de la franja a la que pertenece el país; es decir, la hora zulú será: 17 + (-1) = 16 horas

Augusta Ada King Augusta Ada King nació en Londres en 1815, y fue la hija del sexto lord Byron, el famoso poeta, y de Annabella Milbauke Byron. Sus padres se separaron cuando ella tenía dos meses de edad, y lord Byron abandonó definitivamente Gran Bretaña, por lo que su hija nunca llegó a conocerlo. Educada de forma privada, fue sobre todo autodidacta. Esta matemática británica creó un prototipo de ordenador digital que había diseñado Charles Babbage. Debido a esta circunstancia, Ada ha sido considerada la primera programadora de computadoras.


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UNIDAD

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Expresa las siguientes medidas en forma compleja. a) 52 348 s b) 2 378 s c) 126 s d) 47 s 1. Escribimos el significado de cada columna en la primera fila.





SUGERENCIAS PARA RESOLVER LAS ACTIVIDADES 1 Para expresar estas medidas en forma compleja

tenemos que seguir las indicaciones detalladas en el ejemplo resuelto.

No es necesario repetir el proceso cuatro veces, basta con realizarlo una vez y sobrescribir las nuevas cantidades en la misma celda.

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2 Expresamos cada medida en segundos utilizando

las siguientes equivalencias: 1 h " 60 min " 3 600 s 1 min " 60 s Tenemos que multiplicar por 60 o 3 600 e ir sumando los resultados que se van obteniendo.


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UNIDAD

PASO A PASO

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1

Utilizamos las dos primeras filas y las 4 primeras columnas para escribir los rótulos.

2


Reducimos el alto de la fila 3 situándonos sobre la parte superior o inferior de la celda que indica dicha fila. Con el botón izquierdo del ratón pulsado nos movemos para reducir el alto hasta donde queramos. Esta fila la utilizamos como separación entre los rótulos y las cantidades.

Para calcular las horas utilizamos la función =COCIENTE(dividendo; divisor), que calcula el cociente entero al dividir dos números. El dividendo es la medida expresada en forma incompleja y el divisor es 3 600, ya que una hora son 3 600 segundos. En la celda B4 escribimos la fórmula =COCIENTE(A4;3600), que da como resultado 14.

3

Para calcular los minutos necesitamos el cociente de dividir el resto de la operación del paso anterior entre 60. Para esto utilizamos combinamos las funciones =COCIENTE(dividendo; divisor) y RESIDUO(dividendo; divisor), que nos da el resto al dividir dos números. En la celda C4 escribimos la fórmula =COCIENTE(RESIDUO(A4;3600);60), que da como resultado 32.

4

Para calcular los segundos necesitamos conocer el resto de dividir la expresión en forma incompleja entre 60. Utilizamos solo la función =RESIDUO(dividendo; divisor). En la celda D4 escribimos la fórmula =RESIDUO(A4;60), que da como resultado 28.

5

Elegimos el rango B4:C4 situándonos en la celda B4, y con el botón izquierdo del ratón pulsado nos desplazamos hasta la celda D4. Después, nos situamos en la esquina inferior derecha de este rango, con el botón izquierdo pulsado nos desplazamos hasta la celda D7. Al dejar de pulsar el botón tenemos copiadas las fórmulas del rango B4:C4 en el rango B4:D7.


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UNIDAD

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Expresa las siguientes medidas en forma compleja. a) 52 348 s b) 2 378 s c) 126 s d) 47 s 1. Escribimos el significado de cada columna en la primera fila.






INVESTIGA

1. Escribe estas medidas en forma compleja.

2. Expresa en forma incompleja las siguientes medidas.

a) 43 256 s b) 12 003 s

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c) 2 580 s d) 1 573 s

a) 2 h 3 min 32 s b) 7 h 52 min 3 s


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UNIDAD

PASO A PASO 1

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Utilizamos las dos primeras filas y las 4 primeras columnas para escribir los rótulos.

2


Reducimos el alto de la fila 3 situándonos sobre la parte superior o inferior de la celda que indica dicha fila. Con el botón izquierdo del ratón pulsado nos movemos para reducir el alto hasta donde queramos. Esta fila la utilizamos como separación entre los rótulos y las cantidades.

Para calcular las horas utilizamos la función =COCIENTE(dividendo; divisor), que calcula el cociente entero al dividir dos números. El dividendo es la medida expresada en forma incompleja y el divisor es 3 600, ya que una hora son 3 600 segundos. En la celda B4 escribimos la fórmula =COCIENTE(A4;3600), que da como resultado 14.

3

Para calcular los minutos necesitamos el cociente de dividir el resto de la operación del paso anterior entre 60. Para esto utilizamos combinamos las funciones =COCIENTE(dividendo; divisor) y RESIDUO(dividendo; divisor), que nos da el resto al dividir dos números. En la celda C4 escribimos la fórmula =COCIENTE(RESIDUO(A4;3600);60), que da como resultado 32.

4

Para calcular los segundos necesitamos conocer el resto de dividir la expresión en forma incompleja entre 60. Utilizamos solo la función =RESIDUO(dividendo; divisor). En la celda D4 escribimos la fórmula =RESIDUO(A4;60), que da como resultado 28.

5

Elegimos el rango B4:C4 situándonos en la celda B4, y con el botón izquierdo del ratón pulsado nos desplazamos hasta la celda D4. Después, nos situamos en la esquina inferior derecha de este rango, con el botón izquierdo pulsado nos desplazamos hasta la celda D7. Al dejar de pulsar el botón tenemos copiadas las fórmulas del rango B4:C4 en el rango B4:D7.


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UNIDAD

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EN LA VIDA COTIDIANA... Relojes y ángulos En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Calcular la hora cuando las agujas forman un determinado ángulo. • Dada una hora, hallar el ángulo que forman las agujas. • Determinar la hora en la que las agujas están superpuestas o en prolongación.

1

Ángulos a partir de la hora

Aquí tienes la posición de las agujas de un reloj marcando horas exactas. ¿Qué ángulo forman las agujas en cada caso?

Tomando un transportador puedes ver que, en el primer caso, forman un ángulo de 60°; en el segundo, de 90°... Pero esto también se puede obtener de otra manera. La aguja minutero da una vuelta completa cada hora (60 minutos), recorriendo 360°; por tanto, cada minuto recorre un ángulo de amplitud 360° : 60 = 6°.

¿Qué ángulo forman las agujas a las 2 h 28 min?

Hacemos los cálculos desde la posición de las 12 h. La aguja minutero recorre un ángulo de: 6° ? 28 = 168°, mientras que la horaria, desde las 12 h hasta las 2 h, recorre: 2 ? 30° = 60°, y de las 2 a las 2 h 28 min, recorre otro ángulo de: 0,5° ? 28 = 14° El ángulo que forman es: 168° - (60° + 14°) = 94° ¿Qué ángulo forman las agujas a las 7 h 22 min?

La aguja horaria recorre un ángulo de 30° (360°/12) cada hora, luego cada minuto recorre: 30° : 60 = 0,5° En el primer reloj, a las 2 h la aguja minutero está en las 12 y la horaria está en las 2; luego, el ángulo es: 2 ? 30° = 60° A las 3 h, en el segundo reloj, la aguja minutero está en las 12 y la horaria está en las 3, siendo el ángulo: 3 ? 30° = 90° ¿Qué ángulo forman las agujas en este reloj?

La aguja horaria recorre, desde la posición de las 12 h, un ángulo de 7 ? 30° = 210°, al que sumamos el recorrido de las 7 h a las 7 h 22 min: 0,5° ? 22 = 11°. En total, son 221°. La aguja minutero, desde las 7 h hasta las 7 h 28 min, recorre: 6° ? 22 = 132° La diferencia, 221° - 132° = 89°, es el ángulo que forman las agujas del reloj. RESUELVE LAS ACTIVIDADES.

Las agujas marcan las 12 h 20 min. Desde las 12 h, la aguja minutero ha recorrido: 6° ? 20 = 120°, y la aguja horaria ha recorrido: 0,5° ? 20 = 10° La diferencia, 120° - 10° = 110°, es el ángulo que forman las dos agujas.

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a) ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 21 h? ¿Y a las 23 h? Toma como ángulo el mayor de los dos ángulos que se forman. b) ¿Qué ángulo forman a las 5 h 17 min? ¿Y a las 5 h 30 min? ¿Y a las 5 h 50 min? c) ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 20 h 10 min? ¿Y a las 20 h 40 min?


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UNIDAD

2

4

Horas a partir de los ángulos

¿A qué hora exacta, entre las 2 h y las 3 h, las agujas del reloj están superpuestas? 60 + 0,5x

En la aguja minutero, el ángulo recorrido es 6x. Y en la aguja horaria: 60 + 0,5x Se diferencian en 90°: 6x - (60 + 0,5 x) = 90; x = 27,27 min

6x


La hora es: 2 h 27,27 min = 2 h 27 min 16 s

La hora pedida será las 2 h x min. Por tanto, se trata de hallar los minutos. De la posición de las 12 h a la posición x de la aguja minutero, el ángulo será 6x. Desde la posición de las 12 h a las 2 h hay 60°, y de las 2 h a las 2 h x min hay 0,5x; la aguja horaria recorre en total: 60 + 0,5x. El ángulo recorrido por ambas agujas es el mismo: 6x = 60 + 0,5x; x = 10,91 min Si lo expresamos en horas, minutos y segundos: 0,91 ? 60 = 54,6 s 2 h 10,91 min = 2 h 10 min 54,6 s ¿Qué hora es, entre las 2 h y las 3 h, cuando las agujas del reloj están en prolongación? 60 + 0,5x

La clase de Matemáticas empieza entre las 13 h y las 14 h, cuando las agujas están superpuestas, y termina antes de las 14 h, cuando forman un ángulo de 270°. ¿Cuánto tiempo dura la clase de Matemáticas? La clase empieza a las 13 h x min. Las agujas están superpuestas al empezar, luego:

6x

La hora será las 2 h x min. Razonamos igual que en el ejemplo anterior. La aguja minutero habrá recorrido un ángulo de 6x, y la aguja horaria, 60 + 0,5x. En este caso, el ángulo de la aguja minutero es 180° mayor que el de la horaria, es decir:

30 + 0,5x = 6x; x = 5,45 min La clase empieza a las 13 h 5 min 27 s. Al terminar la clase forman un ángulo de 270°: 6x - (30 + 0,5x) = 270°; x = 54,55 min La clase termina a las 13 h 54 min 33 s. Por tanto, la clase dura: 13 h 54 min 33 s - 13 h 5 min 27 s = 49 min 6 s

6x - (60 + 0,5x) = 180; x = 43,64 min Las agujas están en prolongación a las 2 h 43,64 min; es decir, a las 2 h 43 min 38 s. ¿A qué hora próxima a las 2 h las agujas del reloj, entre las 2 h y las 3 h, forman un ángulo de 90°? 60 + 0,5x

6x

REALIZA ESTAS ACTIVIDADES. a) Una reunión de vecinos empieza entre las 17 h y las 18 h, cuando las agujas están superpuestas, y acaba pasadas las 19 h, cuando forman un ángulo de 111°. ¿A qué hora comienza la reunión? ¿Y a qué hora termina? ¿Cuánto tiempo dura? b) Rafael ficha al entrar en la oficina entre las 8 h y las 9 h, cuando las agujas están en prolongación, y ficha la salida entre las 15 h y las 16 h, cuando las agujas están superpuestas. ¿Cuánto tiempo está en la oficina?


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UNIDAD

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estrategias de resolución de problemas Dibujar ángulos Estrategia La estrategia consistente en hacer un dibujo para reflejar las condiciones

del enunciado ayuda a resolver algunos problemas. Esta estrategia es especialmente útil en los problemas geométricos, ya que las relaciones y el razonamiento geométrico se entienden mejor cuando se trabaja sobre figuras construidas de acuerdo con el enunciado del problema.

PROBLEMA RESUELTO Dibuja un ángulo AOB de 45c. Después, traza el ángulo BOC adyacente al ángulo AOB. Traza mediante plegado las bisectrices de los ángulos anteriores. ¿Qué ángulo forman las bisectrices?

Planteamiento y resolución Hacemos el dibujo siguiendo las indicaciones del enunciado. N

B F 135c

C

135c

B 45c

2

2 M

45c

O

A

C

O

A

El ángulo BOC mide: 180° - 45° = 135°, y el ángulo MON que forman las bisectrices 45° 135° 180° = 90° = mide: + 2 2 2 Prueba que las bisectrices de dos ángulos adyacentes cualesquiera, a y 180° - a, son siempre perpendiculares. Para probar que las bisectrices de los ángulos a y 180° - a son perpendiculares, haz un dibujo análogo al anterior y procede como se ha hecho con los ángulos de 45° y 135°.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1 Dibuja un ángulo AOB de 100°.

1.º Señala un punto C A en el lado OA y un punto D en OB. r C Traza la recta r P perpendicular al s 100° lado OA por el punto C, y la recta s O D perpendicular al lado OB por el punto D. 2.º Las rectas r y s se cortan en el punto P. Averigua el valor del ángulo CPD.

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2 Dibuja un ángulo AOB de 45°.

B

1.º Traza mediante plegado la bisectriz OD del ángulo AOB . Señala un punto C en la bisectriz y traza por este punto la recta r perpendicular a la bisectriz. La recta r corta al lado OB en un punto S y al lado OA en el punto R. 2.º Traza por el punto R la recta perpendicular al lado OB. Esta recta corta al lado OB en el punto P. Haz el dibujo y averigua cuál es el valor del ángulo PRS.


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UNIDAD

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Introducción


Se introduce un nuevo sistema de numeración, el sistema sexagesimal. Partiendo de los conocimientos de la medida de los ángulos y, especialmente, de las unidades de tiempo: hora, minuto y segundo, se explica a los alumnos este sistema de medida.

• En el sistema sexagesimal, 60 unidades de un orden forman una unidad de orden superior. Este sistema sirve para medir los ángulos y tiempos.

Además, conocer las equivalencias y convertir las unidades de tiempo en situaciones cotidianas ayudará a la valoración del tiempo en la vida diaria de los alumnos. Mediante la resolución de problemas y la realización de diversas operaciones aritméticas en el sistema sexagesimal, los alumnos aprenderán a estimar el tiempo en cuanto a su cantidad y duración, aplicando los algoritmos necesarios para resolver problemas reales.

OBJETIVOS 1. Utilizar el sistema sexagesimal para medir ángulos y tiempos. 2. Sumar y restar en el sistema sexagesimal. 3. Multiplicar y dividir por un número en el sistema sexagesimal.

• El grado es la unidad principal para medir ángulos. Para medir ángulos con más precisión, se utiliza el grado, el minuto y el segundo. 1° = 60l 1l = 60m 1° = 3 600m • Para medir períodos de tiempo menores que el día utilizamos la hora, el minuto y el segundo. 1 h = 60 min 1 min = 60 s 1 h = 3 600 s • En el sistema sexagesimal podemos realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división, así como resolver problemas de la vida cotidiana. Es importante tener en cuenta el orden de las operaciones, el agrupamiento de cifras y las conversiones necesarias dentro del sistema sexagesimal.

CONTENIDOS

PROCEDIMIENTOS

• Unidades de medida de ángulos: grado, minuto y segundo. • Unidades de medida de tiempo: hora, minuto y segundo. • Expresiones complejas e incomplejas.

• Identificación y aplicación de las equivalencias entre unidades de medida de ángulos y tiempos. • Paso de expresiones complejas a incomplejas, y viceversa. • Resolución de problemas.

• Sumas y restas de medidas de ángulos y tiempos en el sistema sexagesimal.

• Empleo y uso de las técnicas adecuadas para la realización de sumas y restas. • Resolución de problemas.

• Multiplicaciones y divisiones por un número de medidas de ángulos y tiempos en el sistema sexagesimal.

• Empleo y uso de las técnicas adecuadas para la realización de multiplicaciones y divisiones. • Resolución de problemas.


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OBJETIVO 1

UTILIZAR EL SISTEMA SEXAGESIMAL PARA MEDIR ÁNGULOS Y TIEMPOS NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

• Sexagésimo hace referencia a cada una de las 60 partes en las que se divide un total. • Sexagesimal es un término que se aplica al sistema de contar o de subdividir de 60 en 60. n el sistema sexagesimal, 60 unidades de un orden forman una unidad de orden superior. E Este sistema sirve para medir los ángulos y tiempos.

MEDIDA DE ÁNGULOS • El grado es la unidad principal para medir ángulos. • Para medir ángulos con más precisión se utilizan, junto con los grados, el minuto y el segundo.

segundo F

: 60 grado

: 60 F

minuto

segundo

F

15

minuto ? 3 600

F

GRADOS ( ° )

F

grado

1º = 60l 1l = 60m 1º = 3 600m (60 ? 60)

• Los babilonios dividieron el ángulo completo en 360°. • Un ángulo llano mide 180°. Un ángulo recto mide 90°. • Actualmente, para medir los ángulos, utilizamos el transportador.

1 Completa la siguiente tabla.

? 60 F

Un grado se escribe 1º. Un minuto se escribe 1l. Un segundo se escribe 1m.

? 60

: 3 600

MINUTOS (l)

SEGUNDOS (m)

15 ? 60 =

15 ? 3 600 =

MINUTOS (l)

SEGUNDOS (m)

60 100 278 360

2 Completa esta tabla.

GRADOS ( ° )

32 400 600 33 600 61 200 120

126

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UNIDAD

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3 Con la ayuda del transportador, dibuja las siguientes amplitudes de ángulos.

b) 40°

c) 90°

d) 150°


a) 60°

4 Escribe cómo se leen las medidas de estos ángulos. ÁNGULO

SE LEE

18° 39l 43m 31° 9l 22m

MEDIDA DE TIEMPOS • Las unidades para medir el tiempo son: el milenio (1 000 años), siglo (100 años), lustro (5 años), año, mes, semana, día, hora, minuto y segundo. • Para medir períodos de tiempo menores que el día utilizamos: la hora, el minuto y el segundo.

? 3 600 ? 60

? 60 segundo

F

minuto

F

F

• Recuerda también que: – Una semana tiene 7 días. – Un día tiene 24 horas.

F

hora

F

1 h = 60 min 1 min = 60 s 1 h = 3 600 s (60 ? 60)

F

na hora se escribe 1 h. U Un minuto se escribe 1 min. Un segundo se escribe 1 s.

: 60

: 60 : 3 600

5 Completa la siguiente tabla: HORAS (h)

MINUTOS (min)

7

7 ? 60 = 420

SEGUNDOS (s)

7 ? 3 600 =

9 16 24 72 ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

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UTILIZAR EL SISTEMA SEXAGESIMAL PARA MEDIR ÁNGULOS Y TIEMPOS 6 Completa la siguiente tabla: HORAS (h)

MINUTOS (min)

SEGUNDOS (s)

30 10 800 600 43 200 60 120

EXPRESIONES COMPLEJAS E INCOMPLEJAS Una medida de tiempo puede ser expresada de dos maneras: • De forma compleja, utilizando varias unidades. 1 h 35 min 10 s; 50 min 26 s • De forma incompleja, utilizando una sola unidad. 3 790 s; 2 h; 48 min Para pasar una medida de una forma a otra, en el sistema sexagesimal, procedemos así: • De forma compleja a incompleja: formamos grupos iguales de la unidad que nos piden multiplicando por 60. Expresa 2 h 50 min 15 s en segundos. 2 h = 2 ? 60 ? 60 = 7 200 s 50 min = 50 ? 60 = 3 000 s F 15 s 15 s 2 h 50 min 15 s = 10 215 s

10 215 s

• De forma incompleja a compleja: dividimos sucesivamente la medida y los cocientes sucesivos entre 60. Expresa 10 215 segundos en horas, minutos y segundos. 1 0 2 1 5 6 0 10 215 s = 2 h 50 min 15 s 4 2 1 1 7 0 6 0 0 1 5 s 5 0 min 2 h 7 Expresa en segundos.

a) 3 h 45 min

c) 2 h 20 min

b) Un cuarto de hora

d) 1 h 23 min

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UNIDAD

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a) 3 h 19 min 26 s

c) 1 h 42 min 33 s

b) 4 h 58 min 40 s

d) 59 min 59 s

9 Expresa en horas, minutos y segundos.

a) 2 300 s

c) 6 400 s

b) 4 042 s

d) 16 579 s


8 Calcula los segundos que hay en:

10 Expresa en horas y minutos.

a) 150 minutos

c) 240 minutos

b) 300 minutos

d) 1 día, 3 horas y 30 minutos

11 Un grifo llena dos botellas de 1 litro de capacidad en un minuto.

a) ¿Cuántas botellas se pueden llenar en 20 minutos?

b) ¿Y en tres cuartos de hora?

12 Resuelve.

a) ¿Cuántos minutos hay en un día?

b) ¿Y cuántas horas hay en una semana?


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OBJETIVO 2

SUMAR y RESTAr EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Para sumar medidas de ángulos o tiempos se colocan los sumandos agrupados: horas con horas o grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos. Al operar hay que tener en cuenta estos pasos: 1.º Si los segundos sobrepasan 60, los transformamos en minutos. 2.º Si los minutos sobrepasan 60, los transformamos en horas o en grados. 3.º Procedemos a la suma.

ejemplo Efectúa la suma: 4c 25l 45m + 15c 38l 29m F

G

+ 15° 38l 29m

74m = 60m + 14m = 1l + 14m F

4° 25l 45m 19° 63l 74m

19° 4l 14m + 1°

19° 63l 14m

F

+ 1l G

G

64l = 60l + 4l = 1° + 4l

G

G

19° 64l 14m

20° 4l 14m

4° 25l 45m + 15° 38l 29m = 20° 4l 14m


a) 15° 22l 30m + 8° 27l 41m

c) 1° 44l 11m + 5° 16l 9m

b) 50l 43m + 13l 10m

d) 2° 7l + 17° 49l 54m

2 Un ciclista ha empleado, en las dos etapas de contrarreloj, los siguientes tiempos:

• 1.ª etapa: 2 horas, 41 minutos y 44 segundos • 2.ª etapa: 1 hora, 20 minutos y 18 segundos ¿Cuánto tiempo ha empleado en total?

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UNIDAD

4

Para restar medidas de ángulos o tiempos se colocan el minuendo y el sustraendo, haciendo coincidir horas con horas o grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos. Al operar hay que tener en cuenta estos pasos:

ejemplo Efectúa la resta: 3° 23l 10m - 1° 25l 34m

- 1° 25l 34m

3° 22l 70m - 1° 25l 34m

Como 10 es menor que 34, pasamos 1 minuto a la columna de los segundos 23l = 22l + 1l. 1l = 60m, que se lo sumamos a 10m. Como 22 es menor que 25, pasamos 1 grado a la columna de los minutos. 3° = 2° + 1° 1° = 60l, que se lo sumamos a 22l.

3° 22l 70m - 1° 25l 34m

2° 82l 70m - 1° 25l 34m 1° 57l 36m F

3° 23l 10m


1.º Si algún dato del minuendo es menor que el del sustraendo, transformamos una unidad de orden superior en la unidad correspondiente (1 grado o 1 hora es 60 minutos; 1 minuto es 60 segundos). 2.º Procedemos a la resta.

Resta final


a) 4° 11l 17m - 1° 16l 32m

c) 11° 44l 11m - 5° 16l 39m

b) 50l 43m - 3l 50m

d) 12° 7l 55m - 7° 49l 54m

4 Ángel ha estado conectado a Internet 1 h 10 min por la mañana y 2 h 25 min 40 s por la tarde.

a) ¿Cuánto tiempo ha estado conectado en total? b) ¿Y cuánto tiempo ha estado conectado más por la tarde que por la mañana?


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OBJETIVO 3

MULTIPLICAR Y DIVIDIR POR UN NÚMERO EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Para multiplicar medidas de ángulos o de tiempos por un número natural se procede así: 1.º Multiplicamos cada unidad por el número natural. 2.º Se efectúan las conversiones y agrupamientos necesarios (1 grado o 1 hora es 60 minutos; 1 minuto es 60 segundos).

ejemplo Efectúa el producto: (23c 21l 19m) ? 4 23°

21l

19m

# 4°

# 4’

# 4”

92°

84l

76m 16m

F 76m = 60m + 16m = 1l + 16m F

1lG 85l 25l

F 85l = 60l + 25l = 1° + 25l F

1° G 93°

(23° 21l 19m) ? 4 = 93° 25l 16m


a) (14° 21l 7m) ? 5

c) (9° 30l 10m) ? 5

b) (50l 43m) ? 6

d) (2° 7l 55m) ? 12

2 Elena utiliza un bono telefónico para hablar con su hijo Andrés, que está en Inglaterra.

Hablan a diario 25 minutos y 30 segundos. ¿Cuánto tiempo habla por teléfono Elena de lunes a viernes?

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UNIDAD

4

3 Un ordenador ha funcionado durante tres días consecutivos un tiempo diario de 4 h 35 min 20 s.

Para dividir medidas de ángulos o de tiempos entre un número natural se procede así: 1.o Dividimos los grados (u horas) entre el número natural. 2.o El resto de grados (u horas) se pasan a minutos y se añaden a los que hay. Se dividen los minutos entre el número natural. 3.o El resto de minutos se pasan a segundos y se añaden a los que hay. Se dividen los segundos entre el número natural.


¿Cuánto tiempo ha estado en funcionamiento?

• Procura dejar espacio suficiente para que los cocientes de las diferentes unidades se vean claramente. • Recuerda: Dividendo = Divisor ? Cociente + Resto

ejemplo Efectúa la división: (85° 35l 10m) : 3 85°

35l

10m

25

3 28° 31l 43m

1° ? 60 = 60l 95l 05 2l ? 60 = 120m Cociente: 28° 31l 43m Resto: 1m

130m 10” 1m


a) (44° 21l 37m) : 5

b) (39° 3l 40m) : 3


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MULTIPLICAR Y DIVIDIR POR UN NÚMERO EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL 5 Realiza estas operaciones.

a) (50l 43m) : 6

b) (42° 17l 55m) : 12

6 Un atleta ha tardado un total de 50 min 46 s en dar 9 vueltas a una pista de atletismo.

Si ha mantenido el mismo ritmo en cada vuelta, ¿cuánto tiempo ha empleado en cada una?

7 Cristina ha utilizado el ordenador durante 8 h 37 min, de lunes a viernes.

¿Cuánto tiempo ha estado funcionando a diario el ordenador?

8 Antonio realiza durante 10 días un paseo en el que tarda 2 h 15 min 18 s.

Si cada día hace tres paradas para dividir el trayecto en tres tiempos iguales, calcula: a) El tiempo total que pasea en los 10 días. b) El tiempo que tarda diariamente entre parada y parada.

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UNIDAD

4

PROPUESTAS DE EVALUACIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS PROPUESTAS DE EVALUACIÓN

El concepto de ángulo ya es conocido por los alumnos, por lo que las operaciones gráficas con los ángulos no deberían suponer ningún problema, dado su carácter manual. Los conocimientos que tendríamos que revisar son: • Equivalencia entre los órdenes del sistema de numeración decimal. • Descomponer numeración decimal en sus distintos órdenes. • Transformación de unidades complejas en incomplejas y viceversa.

sugerencias sobre las Evaluaciones y su corrección EVALUACIÓN inicial

EVALUACIÓN de la unidad

En la evaluación inicial se plantean ejercicios que servirán como punto de partida para comprender el sistema sexagesimal que se va a realizar en esta unidad. Los dos primeros están relacionados con la equivalencia entre los distintos órdenes del sistema de numeración decimal. En el ejercicio 3 se trabaja la descomposición de un número decimal, contenido que nos ayudará a entender el paso de cantidades de forma compleja a incompleja ya que sigue las mismas reglas. En los dos últimos ejercicios se trabaja la transformación de unidades complejas en incomplejas y viceversa, ya que en el sistema sexagesimal también se pueden expresar las unidades de esta forma.

La evaluación se basa en los contenidos fundamentales de la unidad. Comienza con transformaciones entre las distintas unidades de medida de tiempo y ángulos. Los siguientes ejercicios trabajan la expresión de medidas en forma compleja e incompleja. Los ejercicios 5 y 6 se refieren a las operaciones que se pueden realizar en el sistema sexagesimal. La prueba concluye con algunos problemas en los que es necesario utilizar estas operaciones.


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UNIDAD

4

EVALUACIÓN INICIAL 1 Expresa en centésimas las siguientes unidades decimales.

a) 7,5 décimas = ............... centésimas b) 0,045 unidades = ............... centésimas c) 86,003 centenas = ............... centésimas d) 1 256 milésimas = ............... centésimas 2 Escribe, en cada caso, la equivalencia entre estas unidades decimales.

a) 27 decenas = ............... décimas = ............... milésimas b) 5 713 unidades de millar = ............... unidades = ............... centésimas c) ............... unidades = 24 centésimas = ............... milésimas d) ............... centenas = ............... décimas = 89 milésimas 3 Completa la siguiente tabla:

Descomposición

Número decimal

4 D 7 U 9 d 5 c 7 m 19,003 23 C 56 c 75 U 9 d 89,04 0,004

4 Estas unidades de medida están expresadas en forma compleja. Exprésalas en metros.

a) 7 km 5 dam 3 dm b) 27 dam 96 mm c) 84 hm 7 m 9 cm d) 65 km 8 mm 5 Expresa en forma compleja estas unidades de medida.

a) 3 457 cm b) 0,708 hm c) 821 mm d) 0,438 dam

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UNIDAD

4

EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES

a) 7,5 décimas = 75 centésimas b) 0,045 unidades = 4,5 centésimas c) 86,003 centenas = 860 030 centésimas d) 1 256 milésimas = 125,6 centésimas 2 Escribe, en cada caso, la equivalencia entre estas unidades decimales.

a) 27 decenas = 2 700 décimas = 270 000 milésimas b) 5 713 unidades de millar = 5 713 000 unidades = 571 300 000 centésimas c) 0,24 unidades = 24 centésimas = 240 milésimas d) 0,00089 centenas = 0,89 décimas = 89 milésimas 3 Completa la siguiente tabla:

Descomposición

Número decimal

4 D 7 U 9 d 5 c 7 m

47,957

1D 9U 3m

19,003

23 C 56 c

2 300,56

75 U 9 d

75,9

8D 9U 4c

89,04

4m

0,004


1 Expresa en centésimas las siguientes unidades decimales.

4 Estas unidades de medida están expresadas en forma compleja. Exprésalas en metros.

a) 7 km 5 dam 3 dm 7 km 5 dam 3 dm = (7 · 1 000) m + (5 · 10) m + (3 : 10) m = 7 005,3 m b) 27 dam 96 mm 27 dam 96 mm = (27 · 10) m + (96 : 1 000) m = 270,096 m c) 84 hm 7 m 9 cm 84 hm 7 m 9 cm = (84 · 100) m + 7 m + (9 : 100) m = 8 407,09 m d) 65 km 8 mm 65 km 8 mm = (65 · 1 000) m + (8 : 1 000) m = 65 000,008 m 5 Expresa en forma compleja estas unidades de medida.

a) 3 457 cm 3 457 cm = 3 dam 4 m 5 dm 7 cm b) 0,708 hm 0,708 hm = 7 dam 8 dm c) 821 mm 821 mm = 8 dm 2 cm 1 dm d) 0,438 dam 0,438 dam = 4 m 3 dm 8 cm


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UNIDAD

4

ERES CAPAZ DE… Expresar y transformar, en el sistema sexagesimal, amplitudes de ángulos y medidas de tiempos.

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 1 Completa la siguiente tabla:

Horas (h)

Minutos (min)

Segundos (s)

30 10 800 600 43 200


Grados (°)

Minutos (l)

Segundos (m) 32 400

600 3 600 300

3 Expresa estas medidas de tiempo en segundos.

a) 3 h 19 min 26 s b) 1 h 42 min 33 s

4 Expresa de forma compleja.

Sumar y restar amplitudes de ángulos y medidas de tiempos en el sistema sexagesimal.

a) 2 300 s

c) 17,5 min

b) 4 042 s

d) 4,25 h


a) 15° 22l 30m + 8° 27l 41m

d) 4° 11l 17m - 1° 16l 32m

b) 1° 44l 11m + 5° 16l 9m

e) 50l 43m - 3l 50m

c) 50° 43m + 13° 10m

f) 11° 44l 11m - 5° 16l 39m


ACTIVIDADES

• Enumerar e identificar elementos . ...................................................................................................................... • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc................................................................................ • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos, relaciones, etc. ...................................................................... 1, 2, 3, 4 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ............................................................................................................ • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc.............................................................................................................. 9

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UNIDAD

Resolver problemas de la vida real que impliquen operar con ángulos y tiempos.

6 Calcula el resultado de:

a) (14° 21l 7m) ? 5

c) (44° 21l 35m) : 5

b) (50° 43m) ? 6

d) (39° 3l 39m) : 3


Multiplicar y dividir por un número cualquiera en el sistema sexagesimal.

4

7 Un ciclista ha empleado, en las dos etapas de contrarreloj,

los siguientes tiempos: 1.ª contrarreloj: 2 h 41 min 44 s 2.ª contrarreloj: 1 h 20 min 18 s a) ¿Cuánto tiempo ha empleado en total? b) ¿Cuánto tiempo ha tardado más en la primera etapa?

8 Elena habla por teléfono 25 minutos y 30 segundos cada día.

¿Cuánto tiempo habla por teléfono de lunes a viernes?

9 Luisa ha utilizado el ordenador un total de 8 h 37 min durante 5 días.

Si cada día lo ha mantenido encendido el mismo tiempo, ¿cuánto ha estado funcionando a diario?


ACTIVIDADES

• Clasificar y discriminar según criterios .................................................................................................................... • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 5, 6, 7, 8 • Combinar, componer datos, resumir, etc. ............................................................................................................... 1, 2 • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ..........................................................................................................


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UNIDAD

4

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1 Completa la siguiente tabla:

Horas (h)

Minutos (min)

Segundos (s)

0,5

30

1 800

3

180

10 800

10

600

36 000

12

720

43 200

Grados (°)

Minutos (l)

Segundos (m)

9

540

32 400

10

600

36 000

1

60

3 600

5

300

18 000


3 Expresa estas medidas de tiempo en segundos.

a) 3 h 19 min 26 s 3 ? 3 600 = 10 800 s 1 19 ? 60 = 1140 s 10 800 + 1140 + 26 = 11 996 s b) 1 h 42 min 33 s 1 ? 3 600 = 3 600 s 1 42 ? 60 = 2 520 s 3 600 + 2 520 + 33 = 6 153 s 4 Expresa de forma compleja.

a) 2 300 s " 2 300 : 3 600 = 0,638 = 38 min 20 s b) 4 042 s " 4 042 : 3 600 = 1,1227 = 1 h 7 min 22 s c) 17,5 min 17 min + 0,5 min = 17 min 30 s d) 4,25 h 4 h + 0,25 h = 4 h 15 min

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UNIDAD

4

a) 15° 22l 30m + 8° 27l 41m = 23° 50l 11m b) 1° 44l 11m + 5° 16l 9m = 7° 20m c) 50° 43m + 13° 10m = 63° 53m d) 4° 11l 17m - 1° 16l 32m = 2° 54l 45m e) 50l 43m - 3l 50m = 46l 53 m f) 11° 44l 11m - 5° 16l 39m = 6° 27l 32m 6 Calcula el resultado de:

a) (14° 21l 7m) ? 5 = 70° 105l 35 m= 71° 45l 36m b) (50° 43m) ? 6 = 300° 258 m = 300° 4l 18m c) (44° 21l 35m) : 5 = 8° 52l 19m d) (39° 3l 39m) : 3 = 13° 1l 13 m



7 Un ciclista ha empleado, en las dos etapas de contrarreloj, los siguientes tiempos:

1.ª contrarreloj: 2 h 41 min 44 s 2.ª contrarreloj: 1 h 20 min 18 s a) ¿Cuánto tiempo ha empleado en total? 2 h 41 min 44 s + 1 h 20 min 18 s = 3 h 61 min 62 s = 4 h 2 min 2 s b) ¿Cuánto tiempo ha tardado más en la primera etapa? 2 h 41 min 44 s - 1 h 20 min 18 s = 1 h 21 min 26 s 8 Elena habla por teléfono 25 minutos y 30 segundos cada día. ¿Cuánto tiempo habla por teléfono

de lunes a viernes? (25 min 30 s) · 5 = 2 h 7 min 30 s 9 Luisa ha utilizado el ordenador un total de 8 h 37 min durante 5 días. Si cada día lo ha mantenido

encendido el mismo tiempo, ¿cuánto ha estado funcionando a diario?

(8 h 37 min) : 5 = 1 h 43 min 24 s


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5 Expresiones algebraicas PROGRAMACIÓN DE AULA

objetivos • Operar con monomios.

• Dividir un polinomio entre un monomio.

• Reconocer los polinomios como suma de monomios.

• Desarrollar las igualdades notables: cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia y suma por diferencia.

• Determinar el grado de un polinomio. • Obtener el valor numérico de un polinomio. • Sumar, restar y multiplicar polinomios.


• Monomios: grado. • Polinomios: grado y valor numérico. • Operaciones con monomios y polinomios. • Igualdades notables.


• Obtención del valor numérico de un polinomio. • Suma, resta y multiplicación de polinomios. • División de un polinomio entre un monomio. • Desarrollo de las igualdades notables. • Utilización de las igualdades notables para simplificar distintas expresiones.

ACTITUDES

• Valoración del lenguaje algebraico como un lenguaje conciso y útil para expresar situaciones cotidianas. • Respeto por las soluciones y planteamientos de otros compañeros. • Realización de los cálculos y operaciones con polinomios de forma precisa y cuidadosa.

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UNIDAD

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COMPETENCIAS QUE SE TRABAJAN • Representar relaciones y patrones numéricos, proponiendo, utilizando y manipulando con destreza expresiones algebraicas sencillas. • Utilizar, de manera comprensiva, el lenguaje algebraico para expresar situaciones, y relacionar esta forma de expresión con otras: tabular, gráfica, descriptiva...

CRITERIOS DE EVALUACIÓN • Distinguir entre coeficiente, parte literal y grado de un monomio. • Identificar el grado, el término independiente y los coeficientes de un polinomio. • Sumar y restar polinomios. • Multiplicar polinomios.

• Calcular el grado del polinomio producto de dos polinomios sin necesidad de operar. • Dividir polinomios entre monomios. • Identificar y desarrollar las igualdades notables. • Simplificar expresiones utilizando las igualdades notables.


• Conocer, valorar y utilizar sistemáticamente conductas asociadas a la actividad matemática, tales como el orden, contraste, precisión y revisión sistemática, y crítica de los resultados.

ESQUEMA DE LA UNIDAD expresiones algebraicas

Monomios Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de números y letras.

Polinomios

Monomio

36 x 2y 3z Coeficiente Parte literal

Grado = 2 + 3 + 1 = 6

Términos " Monomios

Polinomio: P (x) = 5x 3 + 7x 2 - 4 Grado = 3 Término independiente

Valor numérico de P(x), para x = 2: P(2) = 5 ? 23 + 7 ? 22 - 4 = 64

Igualdades notables

Cuadrado de una suma (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2

Cuadrado de una diferencia (a - b)2 = a 2 - 2ab + b 2

Suma por diferencia (a + b) ? (a - b) = a 2 - b 2


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UNIDAD

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LECTURA INICIAL El templo de Apis La acción nos traslada al antiguo Egipto, que es la cuna, junto con Mesopotamia, del nacimiento de la cultura occidental. Los legados matemáticos de las dos civilizaciones que han llegado a nuestros días han sido más bien escasos, en especial en el caso de los egipcios que escribían sobre papiro, ya que este se degrada con el paso del tiempo más que lastablillas de arcilla que utilizaban en Mesopotamia para escribir. El papiro egipcio más importante del que tenemos noticia dedicado a las Matemáticas es, sin duda, el papiro de Rhind, llamado así porque fue comprado por el escocés Henry Rhind en el año 1858 y actualmente se encuentra en el Museo Británico. También se le conoce como el papiro de Ahmés por ser este el escriba que lo copió. El papiro fue escrito hacia el año 1650 a.C. y su propio autor reconoce que lo copió, de un escrito unos 200 años anterior, es decir, el escrito original habría sido redactado hace 4 000 años. Contiene 87 problemas matemáticos concretos, sin generalizaciones de ningún tipo, sobre cuestiones aritméticas, fracciones, áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica. El juego de símbolos que proponemos se basa en el sistema de numeración egipcio, es un sistema aditivo (no posicional) en el que cada símbolo recibe un valor, por ejemplo:

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F

1 unidad

F

10 unidades


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UNIDAD

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Curiosidades matemáticas El primer simbolista

Su notable aportación a esta ciencia es debida a que llevó el Álgebra a su fase simbólica tal y como hoy se utiliza. Viète introdujo la primera anotación algebraica sistemática en su libro Introducción al arte analítico, publicado en 1571. En él demostró el valor y la utilidad de los símbolos, abandonó el uso de palabras en el Álgebra y utilizó, en sus cálculos, las letras minúsculas latinas: las vocales representaban magnitudes desconocidas, y las consonantes, magnitudes conocidas. Fue también el primero en reducir expresiones matemáticas a «fórmulas» en el verdadero sentido del término. La palabra «coeficiente» deriva de su vocabulario y aparece en uno de sus problemas geométricos.


François Viète (1540-1603) era un abogado y jurista francés, miembro del Parlamento y hombre de confianza del rey Enrique IV de Francia, cuya verdadera vocación era las Matemáticas.

Viète mejoró la teoría de ecuaciones y presentó métodos para resolver ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado. Sin embargo, no las resolvía tal como se hace en la actualidad, sino que las asociaba a problemas geométricos, aplicando lo que él llamaba el principio de homogeneidad. Así, la ecuación x 2 + x = 6, según ese principio, no se podía resolver tal cual porque los sumandos x 2 y x no eran homogéneos, es decir, tenían distinta dimensión, ya que él asociaba el término x 2 con áreas y x con líneas. Viète intentaba siempre resolver ecuaciones en las que las dimensiones de cada sumando o término (es decir, su grado) fueran iguales.

Poesía matemática EL BURRO EN LA ESCUELA Una y una, dos. Dos y una, seis. El pobre burrito contaba al revés. ¡No se lo sabe! –¡Sí me lo sé! –¡Usted nunca estudia! Dígame, ¿por qué? –Cuando voy a casa no puedo estudiar, mi amo es muy pobre, hay que trabajar. Trabajo en la noria todo el santo día. ¡No me llame burro, profesora mía! GLORIA FUERTES


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UNIDAD

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WIRIS www.wiris.net

Halla un polinomio que multiplicado por el polinomio 2x 2 + x - 3 dé como resultado el polinomio 2x 4 + x 3 - 5x 2 - x + 3. 1. Utilizamos las herramientas y de la pestaña Operaciones para introducir los paréntesis y las potencias del primer polinomio.

que aparece detrás de 2. Pulsamos el botón la expresión, y obtenemos el polinomio simplificado.

3. Seleccionamos la función resolver ecuación de la pestaña Operaciones para escribir la ecuación que se va a resolver.

4. Introducimos los miembros de la ecuación y añadimos ,a para que se tome como incógnita la variable a.

5. Pulsamos el botón que aparece detrás de la expresión, y obtenemos el polinomio solución.

SUGERENCIAS PARA RESOLVER LAS ACTIVIDADES 1 Para resolver esta actividad basta con seguir

2 Antes de utilizar la función resolver ( = )

las instrucciones del ejemplo resuelto.

dentro del primer Utilizando la herramienta miembro de la ecuación podemos empezar la resolución en el paso 3.

146

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podemos realizar las operaciones del primer miembro de la ecuación.

Otra posibilidad es introducir la ecuación tal y . como está utilizando adecuadamente


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UNIDAD

PASO A PASO

5

WIRIS www.wiris.net

1

Llamamos a al polinomio que estamos buscando. Escribimos la expresión (2x2 + x - 3) ? a. Para ello, primero hay que utilizar la herramienta

para introducir cada potencia.


los paréntesis y después

para introducir

2

para obtener el resultado de la Pulsamos sobre el icono multiplicación de los dos polinomios. En la pantalla aparece como resultado 2ax2 + ax - 3a.

3

En la pestaña Operaciones pulsamos sobre la función resolver ecuación, en la pantalla aparece resolver ( = ). Esta función calcula la solución de la ecuación que hay escrita entre paréntesis.

Introducimos la ecuación que queremos resolver. Como primer miembro escribimos el resultado de la multiplicación de los polinomios del paso 2, es decir, 2ax2 + ax - 3a, y como segundo miembro escribimos el polinomio 2x4 + x3 - 5x2 - x + 3.

4

Dentro del paréntesis, separado por una coma, tenemos que escribir a para indicar que esa es la incógnita que queremos calcular. Así, escribimos: resolver(2ax2 + ax - 3a = 2x4 + x3 - 5x2 - x + 3, a) 5

Pulsamos sobre el icono para obtener el resultado de la ecuación, en la pantalla aparece x2 - 1.


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UNIDAD

5


DERIVE

Halla un polinomio que multiplicado por el polinomio 2x 2 + x - 3 dé como resultado el polinomio 2x 4 + x 3 - 5x 2 - x + 3. 1. Escribimos el polinomio en el área de escritura utilizando los paréntesis y para introducir las potencias, y pulsamos el botón Introducir.

2. Desplegamos el menú Simplificar, elegimos la opción Expandir y pulsamos el botón Expandir.

3. Introducimos la ecuación que queremos resolver utilizando para introducir las potencias, y pulsamos el botón Introducir.

, como variable elegimos a, 4. Pulsamos como método Algebraico y como dominio Real.

5. Pulsamos el botón Resolver y obtenemos el polinomio solución.


INVESTIGA

1. Halla a y b para que se cumplan las igualdades. 2. Determina el valor de a para que se cumpla la siguiente igualdad: a) (3x - 1) ? a = 6x3 - 2x2 + 3x - 1 b) (x2 - 2x - 1) ? b = 2x3 - 7x2 + 4x + 3

148

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(x2 + 3x - 1) ? a - (x2 + 2x - 3) = 2x2 + 7x


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UNIDAD

PASO A PASO

5

DERIVE

1

Para escribir la expresión (2x 2 + x - 3)*a en el área de escritura tecleamos la secuencia: (2x^2 + x - 3)*a .

2

En el menú Simplificar seleccionamos la opción Expandir. Y en la pantalla Expandir expresión pulsamos el botón Expandir.


y pulsamos Introducir,

3

Escribimos la ecuación que queremos resolver. En el área de escritura tecleamos la secuencia: 2ax^2 + ax - 3a = 2x^4 + x^3 - 5x^2 - x + 3 y pulsamos Introducir,

.

4

Mientras está resaltada la línea 3 pulsamos el icono correspondiente a Resolver o despejar . En la ventana Resolver expresión elegimos la variable a, el método Algebraico y el dominio Real, y pulsamos el botón Resolver.

5

Pulsamos Resolver y en la pantalla aparece el polinomio x2 - 1 como solución del ejercicio.


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UNIDAD

5

EN LA VIDA COTIDIANA... Álgebra y calculadora En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Usar de forma eficiente la calculadora científica para validar y realizar cálculos algebraicos. • Resolver ecuaciones de primer grado por métodos numéricos mediante la calculadora.

1

Valor numérico de una expresión algebraica

Para realizar cálculos numéricos largos, normalmente se van escribiendo los resultados parciales en el cuaderno, hasta llegar al resultado final. Por ejemplo, para averiguar el valor numérico de la expresión algebraica 3x 3 - 2x 2 + 5x - 1, para x = -2, hacemos: 3 ? (-2)3 - 2 ? (-2)2 + 5 ? (-2) - 1 = = 3 ? (-8) - 2 ? 4 - 10 - 1 = = -24 - 8 - 10 - 1 = -43

Las calculadoras científicas permiten realizar los cálculos de una forma más eficaz sin necesidad de efectuar cálculos parciales, ni de ir anotándolos.

Las teclas usadas en este caso serían: 3

#

[(---

2

2

#

[(---

2

5

#

2

xy

3

---)]

-

xy

2

---)]

+

! -

1

=

! !

Observa que solamente se han utilizado las funciones (o teclas) siguientes:

# tecla de multiplicar [(--xy

teclas de paréntesis

---)]

tecla de elevar a una potencia

! tecla de cambio de signo DETERMINA CON LA CALCULADORA EL VALOR NUMÉRICO DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES, PARA LOS VALORES INDICADOS. a) 3x2 - 5 x + 8

para x = -1

b) 6(x + 8) - 5x + 4x - 3 3

c) (x - 5) 3 -

2

4 (x - 3) 3

+ 4x

d) 4x3 + 3x2 - 2x + 5

2

para x = 4

2

para x = 4 para x =

1 2

Validación de resultados en cálculos algebraicos

La calculadora científica no efectúa cálculos simbólicos, pero permite comprobarlos. Así, para ver si está bien hecho el cálculo algebraico: (3x - 5) ? (4x 2 + 5x - 2) = 12x3 - 5x 2 - 30x + 10 damos a x un valor cualquiera y hallamos con la calculadora cuánto vale cada miembro. Tomamos el valor x = 10, y en el miembro izquierdo obtenemos: (3 ? 10 - 5) ? (4 ? 10 2 + 5 ? 10 - 2) = 25 ? 448 = 11 200 Y en el derecho: 12 ? 10 3 - 5 ? 10 2 - 30 ? 10 + 10 = 11 210 La multiplicación algebraica no está bien realizada.

150

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Ten en cuenta que obtener el mismo resultado no significa que la operación esté bien realizada. El método nos sirve únicamente para saber si está mal hecha. HAZ ESTAS OPERACIONES CON LA CALCULADORA. a) Comprueba si el siguiente producto está mal realizado, dando a x el valor 1: (2 x2 + 3x - 5) ? (3x2 - 5) = = 6x 4 + 9x3 - 25x2 - 15x + 25 b) Realiza el siguiente producto y comprueba el resultado con la calculadora, dando a x el valor 2: (2 x2 + 3x - 1) ? (3x + 7)


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UNIDAD

Resolver ecuaciones de primer grado por métodos numéricos mediante la calculadora

La calculadora permite también resolver ecuaciones. Vamos a verlo con un ejemplo. Dos amigos, Pedro y Ana, juegan con sus calculadoras. Pedro tiene en la pantalla de su calculadora el número 8 y Ana el número 118. Pedro suma a su número 3 unidades y Ana le resta al suyo 5 unidades de forma simultánea. Obtienen como resultados 11 y 113, respectivamente. Se plantean el siguiente problema: si realizan este proceso repetidas veces, ¿llegarán a tener el mismo resultado en la pantalla? ¿Cuántas veces serán necesarias? Y si no es así, ¿cuándo estarán más cerca de lograrlo?

Ambos pueden anotar los resultados sucesivos en una tabla, en la que x es el número de veces que cada uno tendrá que apretar la tecla . x Pedro Ana

0 8 118

1 11 113

2 14 108

3 17 103

4 20 98

… … …

Como ves, con la calculadora podemos resolver ecuaciones usando métodos de resolución numéricos en vez de algebraicos. REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. a) ¿Crees que llegarán a ser iguales los números de Pedro y Ana? b) ¿Para qué valor de x opinas que los números serán más parecidos?


3

5

c) R esuelve el problema con la calculadora y comprueba tus anteriores hipótesis. d) Resuelve algebraicamente la ecuación y contesta de nuevo a las preguntas de los apartados a) y b). e) Si partimos de los números 10 y 200, y aumentamos el primero de 6 en 6 y disminuimos el segundo de 3 en 3, ¿se obtendrá el mismo número? ¿Después de cuántas veces? Plantea la ecuación y resuélvela algebraicamente.

Una suma repetida con la calculadora, con sumando constante 3, se puede hacer así:

+

3

=

=

8

g) De la misma manera que con la suma y la resta, se actúa con el producto. Así, si tecleamos la secuencia:

y obtenemos en la pantalla:

11. A partir de entonces, bastará con pulsar = repetidamente y obtendremos: 14, 17, 20… Lo mismo podrá hacer Ana. En este caso, es una resta repetida con sustraendo constante 5. Pulsando: 5

-

- 1

1

f) Ahora partimos de los números -5 y 255. El primero aumenta de 8 en 8 y el segundo disminuye de 5 en 5. ¿Se obtendrá el mismo número? ¿Después de cuántas veces? ¿Qué secuencias de teclas usarías? Plantea la ecuación y resuélvela algebraicamente.

8

3

#

#

4

=

resulta 12 y, cada vez que volvamos a pulsar = , obtendremos el producto por 3: 36, 108… ¿Cuántas veces hemos de pulsar para obtener el número 2 916? ¿Sabrías plantear la ecuación?

se obtiene 113. Luego, pulsando repetidamente la tecla = , se obtendrá: 108, 103, 98… La traducción algebraica del problema de Pedro y Ana es la ecuación: 8 + 3x = 118 - 5x ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

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UNIDAD

5

estrategias de resolución de problemas Hacer un esquema Estrategia En problemas de tipo algebraico, un esquema nos puede ayudar a traducir

e interpretar el enunciado de un problema. A continuación, vamos a comprobarlo en problemas de móviles, en los que: espacio = velocidad ? tiempo

PROBLEMA RESUELTO Dos móviles están a una distancia d = 50 km en un instante dado. Si ambos circulan por el mismo camino y sus velocidades son v1 = 120 km/h y v2 = 80 km/h, ¿al cabo de cuánto tiempo y en qué punto se encontrarán?

Planteamiento y resolución Distinguiremos dos posibles casos: • Que vayan en sentido opuesto v1 = 120 km/h A

x

6

C

5 6

v2 = 80 km/h 50 - x

5

B

Los dos móviles se encuentran en un punto C, situado entre A y B. Si x es la distancia entre A y C, 50 - x será la distancia entre B y C. El tiempo que tardan en encontrarse es el mismo, t. Así, resultan las siguientes ecuaciones: Móvil 1: x = v1t = 120t Móvil 2: d - x = v2t = 180t d 50 1 = = hora Sumando ambas ecuaciones: d = (v1 + v2)t = 200t " t = 200 200 4 1 Conocido el valor de t, se obtiene: x = v1t = 120 ? = 30 km 4 Se encuentran al cabo de 15 minutos, a 30 km del punto A. • Que vayan en el mismo sentido v1 = 120 km/h A

6

d = 50 km

v2 = 80 km/h B

5 6

x

C

5

Los dos móviles se encontrarán en el punto C, habiendo recorrido el primero una distancia 50 + x, y el segundo, x. Móvil 1: d + x = v1t " 50 + x = 120t Móvil 2: x = v2t " x = 80t Restando: d = (v1 - v2)t " t =

50 5 d = = hora v1 - v2 120 - 80 4

Conocido el valor de t, se obtiene: x = v2 ?

d 5 = 80 ? = 100 km v1 - v2 4

Se encuentran al cabo de 1 hora y cuarto, a 100 km del punto B.

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UNIDAD

5

Introducción


El lenguaje algebraico sirve para expresar situaciones relacionadas con la vida cotidiana, utilizando letras y números de forma combinada.

• El lenguaje algebraico utiliza letras en combinación con números y signos. La parte de las Matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos se llama Álgebra.

La realización de estas operaciones ha de hacerse al principio paso a paso, pero después se agilizarán y simplificarán las distintas fases en la resolución de ecuaciones. El estudio de las expresiones algebraicas fomentará en los alumnos la agilidad en las operaciones aritméticas con números naturales y enteros, así como el empleo de técnicas de resolución por tanteo, ensayo-error y específicas, como la transposición y reducción de términos.

• Una expresión algebraica es el conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones matemáticas. • Podemos hallar el valor numérico de una expresión algebraica, sustituyendo las letras por números y realizando las operaciones. • Los monomios son las expresiones algebraicas más sencillas. Están formados por números (coeficientes) y letras (parte literal). • Un polinomio es una expresión algebraica formada por dos o más monomios. Podemos sumar, restar, multiplicar y dividir monomios.

OBJETIVOS

CONTENIDOS

PROCEDIMIENTOS

1. Expresar de forma algebraica ciertas situaciones.

• Lenguaje numérico y algebraico. • Expresión algebraica. • Valor numérico.

• Traducción al lenguaje algebraico de ciertas situaciones. • Obtención del valor numérico de una expresión.

2. Distinguir y operar con monomios.

• Monomios semejantes. • Operaciones con monomios: suma, resta, multiplicación y división.

• Resolución de operaciones de suma y resta de monomios semejantes. • Multiplicación y división de dos monomios.

3. Identificar y operar con polinomios.

• Operaciones con polinomios: suma, resta y multiplicación. • Sacar factor común.

• R esolución de operaciones de suma, resta y multiplicación de polinomios. • Extracción de factor común de un polinomio.

4. Aplicar las igualdades notables.

• Cuadrado de una suma. • Cuadrado de una diferencia. • Suma por diferencia.

• Aplicación de las igualdades notables para simplificar la expresión de algunos polinomios.


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OBJETIVO 1

EXPRESAR DE FORMA ALGEBRAICA CIERTAS SITUACIONES NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

LENGUAJE NUMÉRICO Y LENGUAJE ALGEBRAICO • El lenguaje en el que intervienen números y signos de operaciones se denomina lenguaje numérico. • El lenguaje que combina letras con números y signos de operaciones aritméticas se llama lenguaje algebraico.

ejemplo

Lenguaje usual

Lenguaje numérico

Catorce dividido entre siete

14 : 7

Dos elevado al cuadrado

22

La tercera parte de 18

18 3

Lenguaje usual

Lenguaje algebraico

La suma de dos números

a+b

Un número menos 3 unidades

y-3

El cuadrado de un número

b2

La mitad de un número

x 2

1 Expresa con lenguaje numérico o lenguaje usual. LENGUAJE USUAL

LENGUAJE NUMÉRICO

La suma de once más nueve es veinte Cien dividido entre veinte La cuarta parte de veinte es cinco Dos elevado al cubo es ocho 32 : 8 3?4

2 Une cada enunciado con su equivalente en lenguaje algebraico.

a) La mitad de un número. b) El triple de un número menos cinco unidades.

(m + n)2 n - 1

c) El número anterior a un número entero.

2 ? (a + b + c)

d) El número posterior a un número entero.

x + 1

e) El cuadrado de la suma de dos números. f) El doble de la suma de tres números.

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m 2 3?b-5


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UNIDAD

5

EXPRESIÓN ALGEBRAICA na expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos con los signos de las operaciones maU temáticas.

ejemplo Expresión escrita

Expresión algebraica

La suma de dos números menos dos

x+y-2

El triple de un número más cinco

3?x+5

El cuadrado de un número más una unidad

x2 + 1

3 Escribe estos enunciados como expresión algebraica.

a) El doble de un número b. b) El doble de la suma de dos números m y n. c) El cuadrado de un número x más 4 unidades.


d) El producto de tres números a, b y c. e) El doble de un número y más 3 unidades.

4 Relaciona cada enunciado con su expresión algebraica.

a) El doble de un número más dos unidades.

x-5

b) Un número disminuido en cinco unidades.

x 3

c) La tercera parte de un número.

2?x+2

d) El cubo de un número.

x + 10

e) El doble de un número.

2x

f) Un número aumentado en diez unidades.

x3

g) La diferencia de dos números.

x+1

h) El número siguiente a un número entero.

x-y

5 Si x es la edad de Juan, expresa en lenguaje algebraico. LENGUAJE USUAL

LENGUAJE ALGEBRAICO

Los años que tenía el año pasado Los años que tendrá dentro de un año La edad que tenía hace 5 años La edad que tendrá dentro de 5 años Los años que faltan para que cumpla 70 años ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

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EXPRESAR DE FORMA ALGEBRAICA CIERTAS SITUACIONES 6 Inventa un enunciado para estas expresiones algebraicas.

a) n + 1

"

b) a + b

"

b 2

"

c)

d) 2 ? (m - n) " e) x 3 - 1

"

f) 2 ? x + 1

"

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA l valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por números E y realizar las operaciones que se indican.

ejemplo Halla el valor numérico de la expresión algebraica 3x + 2 para x = 1. Sustituimos x por 1 en la expresión algebraica y realizamos las operaciones: x = 1 " 3 ? 1 + 2 = 3 + 2 = 5 El valor numérico de 3x + 2, para x = 1, es 5.

7 Halla el valor numérico de la expresión algebraica 2x + 1 para estos valores: VALOR

x=0

SUSTITUCIÓN

OPERACIÓN

VALOR NUMÉRICO

2?0+1

2?0+1=0+1

1

x=2 x = -1 x = -2

8 Calcula el valor numérico de estas expresiones para los valores que se indican. VALORES

x = 1

y=0

x+y

2x - 3y

(x + y)2

1+0=1

2?1-3?0=

(1 + 0)2 = 12 =

x = -1 y = 2 x = 1

y = -2

x = -2 y = 3 x = -1 y = -1

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OBJETIVO 2

DISTINGUIR Y OPERAR CON MONOMIOS

UNIDAD

5

MONOMIOS n monomio es una expresión algebraica formada por productos de números y letras. A los números U se les denomina coeficientes, y a las letras con sus exponentes, parte literal.

Monomio

3x

-5ab

-5x 3

3 x 5

Coeficiente

3

-5

-5

3 5

Parte literal

x

ab

x3

x


ejemplo

1 Completa las tablas. MONOMIO

COEFICIENTE

PARTE LITERAL

MONOMIO

x

1

x

2 2 a b 3

-3xy

-3

COEFICIENTE

PARTE LITERAL

-2xyz

-5xy 2

-3b 2c

1 2 x y 3

-

5 xyz 2 7

GRADO DE UN MONOMIO El grado de un monomio es el número que resulta de sumar todos los exponentes de su parte literal.

ejemplo MONOMIO

GRADO

EXPLICACIÓN

-3x

1

El exponente de x es 1 (x 1)

4a 2y

3

La suma de los exponentes de a 2y 1 es 2 + 1 = 3

-5x 2y 3

5

La suma de los exponentes de x 2y 3 es 2 + 3 = 5

2 Calcula el grado de los siguientes monomios.

a) -5x 2 " Grado =

d) zx 2 " Grado =

b) 7x 2y " Grado =

e) -yx " Grado =

2 5 a b " Grado = 3

f) -x " Grado =

c)


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DISTINGUIR Y OPERAR CON MONOMIOS 3 Completa la siguiente tabla: MONOMIO

COEFICIENTE

PARTE LITERAL

GRADO

-3x

-3

x

1

-2a 3b -2ab xyz 7ab 2c 3 6y 2z

MONOMIOS SEMEJANTES Dos o más monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

ejemplo 5x; 2x son monomios semejantes, porque tienen la misma parte literal (x). 3xy 2; -xy 2 son monomios semejantes, porque tienen la misma parte literal (xy 2). x 2y 3; xy 2 no son monomios semejantes. 4 Escribe dos monomios semejantes para cada monomio. MONOMIO

MONOMIOS SEMEJANTES

-5x -ab -2yx 3 -3y 2z 3 2 2 a b 3 5xy

SUMA Y RESTA DE MONOMIOS • La suma y resta de monomios solo se puede realizar cuando los monomios son semejantes. • Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal.

ejemplo 2x + x = (2 + 1)x = 3x 2x + y " La suma se deja indicada, porque no son monomios semejantes.

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UNIDAD

5

5 Realiza las siguientes operaciones.

a) a + a + a + a =

d) 5x - 3x - x =

b) 2x 2 + x 2 + x 2 =

e) -5x 3 - 3x 3 =

c) 5mn - mn - 4mn =

f) p - 2p + 5p =

6 Completa los huecos con monomios semejantes y calcula.

b)

+

=

c) 2x 3 +

+ 5p +

=

d)

= + 2xy +

=

7 Escribe un monomio semejante al que se indica y calcula.

a) 7x -

c) 5pq -

= - x 2 =

b)

= - 4x 2y =

d)


a) 2x +

8 Reduce las siguientes expresiones algebraicas.

6x 2 - 2x 2 + 4x - x

"

"

a) 6x 2 + 4x - 2x 2 - x Sumamos y restamos los monomios semejantes y calculamos el resultado:

4x 2 + 3x b) 5x 2 - 2x + 3x 2 - x = c) ab - ab + 7ab + 4ab - 2ab = d) 3ab 3 - 2ab + 5ab 3 - ab + 4ab = e) -10xy - 5xy + 2xy + 4x - 8y + 2y + 2x =

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS El producto de dos o más monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes y cuya parte literal es el producto de las partes literales.

ejemplo 3x ? 2x = (3 ? 2) ? x ? x = 6x 2 4x ? (-2x 2) = [4 ? (-2)] ? x ? x 2 = -8x 3

9 Realiza estas multiplicaciones.

a) 4a ? 3a =

c) -2x ? (-5x) =

e) m ? m 2 =

b) 3x 2 ? 3x 2 =

d) 3x 2 ? (-3x 2 ) =

f)

2 3 x ? x2 = 3 5


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DISTINGUIR Y OPERAR CON MONOMIOS 10 Calcula y reduce.

a) 4x ? (2x - 5) = 4x ? 2x - 4x ? 5 = 4 ? 2 ? x ? x - 4 ? 5 ? x = 8x 2 - 20x b) 3 ? (2x + 3x 2) = c) 2a ? (4a 3 - 3a 2) = d) (3 - ab + ab 2) ? 2a = e) 2 ? (x 2 + 3x) - 2x = f) -3x ? (x 3 - 2x + 4) - 12x = g) -x 3 ? (-5x + 4 - 3x 2 - 10x) = 1 h) - x ? (-x 4 + 3x - 2x) + x 2 = 3

DIVISIÓN DE MONOMIOS l cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente de los coeficientes E y cuya parte literal es el cociente de las partes literales.

ejemplo 6x : 2x =

10 x 3 6x 6 x 2 = ? = 3 ? 1 = 3 10x 3 : (-5x) = - 5 ? x = - 2x 2x 2 x

11 Resuelve estas divisiones de monomios.

a) 8x 3 : 2x =

d) a 4 : a 2 =

b) (-12x 5) : (-12x 4) =

e) (-14y 4) : (-2y 2) =

c) 20m 4 : 15m 3 =

f) (-20z 5) : 4z 4 =


a) (7x 5 : 2x) + x = b) (6x 7 : x 3) - (5x : x) = c) (8a 2b : 4ab) + b 2 = d) 3x (x + 1) - (4x 2 : x) = e) (12a 3b 2 : 3a 2b) - b = f) 3 ? (4xy 2 : 2xy ) - 2y = g) 2x ? [(-2y 2x 3) : (-x 2y)] + x (x - 1) =

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OBJETIVO 3

IDENTIFICAR Y OPERAR CON POLINOMIOS

UNIDAD

NOMBRE:

CURSO:

5

FECHA:

POLINOMIOS Un polinomio es la suma o resta de varios monomios no semejantes. • Cada uno de los sumandos se llama término del polinomio. • Los términos que no tienen parte literal se denominan términos independientes.

ejemplo POLINOMIO

TÉRMINOS

TÉRMINO INDEPENDIENTE

GRADO DEL POLINOMIO

2x 3 - 3x - 1

2x 3; -3x; -1

-1

3, que es el grado de 2x 3

-2xy + 9

-2xy; 9

9

2, que es el grado de -2xy

-5x

-5x

No tiene

1, que es el grado de -5x


• El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.

1 Completa esta tabla:

POLINOMIO

TÉRMINOS

TÉRMINO INDEPENDIENTE

GRADO DEL POLINOMIO

-2x 3 + 3x - 5 5ab - 5ax 2b x 3 - 2x 2 - x - 3 6x - 7 5xy - 2y 2 2 a b+1 3 3xy + 5xy 2 2 Escribe un polinomio de grado 3 que tenga un término, otro con dos términos y un tercero

con tres términos.

3 Indica el grado de los siguientes polinomios.

a) -x + 3x 2 " Grado = 2

b) x y - 3x " Grado =

c) 2x 5 - x 4

" Grado = 3

d) -5x - x - 8 " Grado =


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IDENTIFICAR Y OPERAR CON POLINOMIOS 4 Halla el valor numérico del polinomio x 2 - 2x + 1 para los valores que se indican. VALOR

VALOR NUMÉRICO DEL POLINOMIO

x =0

0 2 - 2 ? 0 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1

x =1 x = -2

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS ara sumar polinomios se suman los monomios semejantes. Para restarla se suma al primero el polinomio P opuesto del segundo.

ejemplo A (x) = 2x 2 + 5 B(x) = x 3 - 5x 2 - 2x + 3 A(x) + B(x) = (2x 2 + 5) + (x 3 - 5x 2 - 2x + 3) =

x3 - 2x 2 - 2x + 5 + 3 x - 5x 2 - 2x + 3 x 3 - 3x 2 - 2x + 8

= x 3 - 3x 2 - 2x + 8

A(x) - B (x) = (2x 2 + 5) - (x 3 - 5x 2 - 2x + 3) =

= 2x 2 + 5 - x 3 + 5x 2 + 2x - 3 =

= -x 3 + 7x 2 + 2x + 2

x3 - 2x 2 - 2x + 5 + 3 Opuesto " -x + 5x 2 + 2x - 3 -x 3 + 7x 2 + 2x + 2

5 Dados los polinomios A (x) = 6x 2 - 8x + 1 y B (x) = -9x 2 - 2x + 7, calcula.

a) A (x) + B (x)

b) A (x) - B(x)

c) B(x) - A(x)

6 Dados los polinomios A (x ) = x 3 - 3x + 2, B (x) = -2x 2 + 7x y C(x) = -x 3 - 2, calcula.

a) A(x) + B (x) + C (x)

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b) A(x) + B (x) - C (x)

c) A(x) - B(x) - C (x)


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UNIDAD

5

7 Escribe los siguientes polinomios de forma reducida.

P (x ) = 3x 3 + 2x 2 - 5x 3 + 4x 2 - 7x + 2x 3 Q(x ) = -4x 2 - 5x 3 + 2x 2 - 6x + 2x 2 + 5x 3 - 1 R(x ) = 2x 4 - 6x 3 + 4x + 2x 2 - 3x 3 + 8x - 2 P (x) = 3x 3 + 2x 2 - 5x 3 + 4x 2 - 7x + 2x 3 = 3x 3 - 5x 3 + 2x 3 + 2x 2 + 4x 2 - 7x = 6x 2 - 7x

8 Con los polinomios reducidos del ejercicio anterior, calcula. ADAPTACIÓN CURRICULAR

a) P(x ) + Q (x) b) Q(x) + R(x) c) Q (x) - R (x) d) P(x) - Q(x)

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS ara calcular el producto de dos polinomios se multiplica cada monomio del primer polinomio por cada P monomio del segundo. A continuación, se reducen los monomios semejantes.

ejemplo

A(x) = x 3 - 5x 2 - 2x + 1

B(x) = 2x 2 + 3x

x 3 - 5x 2 - 2x + 1 # 2x 2 + 3x 3x 4 - 15x 3 - 6x 2 + 3x 2x 5 - 10x 4 - 24x 3 + 2x 2 + 3

A (x) ? B (x) " 2x 5 - 27x 4 - 19x 3 - 4x 2 + 3x

9 Dados los polinomios A (x ) = -4x 3 + 6x 2 - 8x + 1 y B(x ) = 2x 2 - 7, calcula.

a) A(x ) ? B (x ) b) B(x) ? 3x c) A(x) ? x d) B(x) ? (-3x )


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IDENTIFICAR Y OPERAR CON POLINOMIOS SACAR FACTOR COMÚN na aplicación de la propiedad distributiva es sacar factor común. Esta operación consiste en extraer como U factor común el monomio que se repite en todos los términos.

ejemplo EXPRESIÓN

FACTOR COMÚN

SACAR FACTOR COMÚN

5x + 5y

5

5 ? (x + y)

7x - 3x

x

x ? (7x - 3)

5x 2 - 5x

5x

5 ? x (x - 1)

3x 2 - 12x + 15x 3

3x

3x ? (x - 4 + 5x 2)

2

10 Extrae factor común en las siguientes expresiones.

a) 3b + 4b

c) 15x 4 - 5x 2 + 10x

e) 12x 2 - 3x 2 + 9x 3

b) 3a + 6b + 12

d) 6x 2y + 4xy 2

f) 10xy 2 - 20xy + 10x 2y

11 Simplifica las fracciones, sacando factor común en el numerador y en el denominador.

a)

2 ? 5x (x 2 + 1) 10x 3 + 10x 10x ? (x 2 + 1) 2 ? (x 2 + 1) = = = = 2 ? (x 2 + 1) 5x 5x 1 5x

b)

6x 4 y 2 = - 3x 3 y 2

c)

a3 b3 = a3 b

d)

12m 3 = 12m

e)

4 - 6a = 6a2 - 9a 3

f)

x 2y2 - x 3y 2 = x 2y 2

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OBJETIVO 4

APLICAR LAS IGUALDADES NOTABLES NOMBRE:

UNIDAD

CURSO:

5

FECHA:

IGUALDADES NOTABLES Las igualdades notables son ciertas igualdades cuya aplicación resulta muy útil para abreviar cálculos con expresiones algebraicas. Las principales igualdades notables son:

CUADRADO DE UNA SUMA El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer sumando más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

a+b # a + b ba + b 2 a2 +

(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2


• Cuadrado de una suma: (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 • Cuadrado de una diferencia: (a - b)2 = a 2 - 2ab + b 2 • Suma por diferencia: (a + b) ? (a - b) = a 2 - b 2

ab

2

a + 2ab + b 2

1 Calcula.

a) (x + 5)2 =

c) (2 + x)2 =

b) (a + 2b)2 =

d) (xy + 1)2 =

CUADRADO DE UNA DIFERENCIA El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer sumando menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

a-b # a - b - ba + b 2 a 2 - ab

(a - b)2 = a 2 - 2ab + b 2

a 2 - 2ab + b 2

2 Calcula.

a) (x - 1)2 =

c) (2a - 3b)2 =

b) (a - 6b)2 =

d) (5 - 3x)2 =


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APLICAR LAS IGUALDADES NOTABLES

SUMA POR DIFERENCIA a+b

El producto de una suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados.

#

a-b - ba - b 2

(a + b) ? (a - b) = a 2 - b 2

a 2 + ab + b2 a2 + 0 - b2

3 Calcula.

a) (x + 5) ? (x - 5) =

c) (7 + x) ? (7 - x) =

b) (2a + b) ? (2a - b) =

d) (5a + 1) ? (5a - 1) =

4 Expresa en forma de igualdad notable.

a) x 2 + 2x + 1 =

d) 4x 2 - 4x + 1 =

b) x 2 + 10x + 25 =

e) 9a 2 - 30ab + 25b 2 =

c) x 2 - 16 =

f) 4x 2 - 36 =

5 Simplifica las fracciones, utilizando las igualdades notables.

a)

x2- 4 = x 2 - 4x + 4

b)

x 2 - 10x + 52 = x 2 - 25

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UNIDAD

5

PROPUESTAS DE EVALUACIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS En el curso anterior se inició a los alumnos en el manejo de las expresiones algebraicas, que en esta unidad deberán repasar. Los aspectos que se tendrían que revisar son:


• Planteamiento, manejo y cálculo de expresiones algebraicas. • Cálculo de valores numéricos en expresiones algebraicas.

sugerencias sobre las EVALUACIONES y su corrección EVALUACIÓN inicial


Los primeros ejercicios de la evaluación tratan sobre los diferentes tipos de transformaciones del lenguaje usual en lenguaje algebraico. En el ejercicio 1 se tiene que relacionar el enunciado con la solución, mientras que los dos siguientes ejercicios presentan ejemplos cercanos a los alumnos: preguntas sobre edades y geométricas. Los últimos ejercicios se refieren al cálculo del valor numérico de una expresión y a una ecuación que los alumnos pueden resolver atribuyendo valores a x.

Los primeros ejercicios resaltan la importancia de la traducción del lenguaje usual al algebraico y las operaciones con expresiones algebraicas. La segunda parte consiste en una serie de operaciones con monomios y polinomios que en el curso siguiente tendrán un tratamiento más profundo. Es importante que los alumnos vean, de forma algebraica o de forma geométrica, las igualdades notables para que en el futuro no exista posibilidad de errores. Los errores más frecuentes son: no elevar al cuadrado los coeficientes de los monomios, confundir los signos en el cuadrado de la diferencia y no saber qué hacer con el producto de la suma por la diferencia.


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UNIDAD

5

EVALUACIÓN INICIAL 1 Relaciona las siguientes expresiones con los enunciados de la otra columna.

Expresión

Enunciado

2 ? (a + 7)

A un número le sumamos siete y multiplicamos el resultado por dos.

2a + 7

A la mitad de un número le restamos siete.

a - 7 2

A siete le restamos el doble de un número.

7 - 2a

Multiplicamos un número por dos y le sumamos siete.

2 Si la edad de mi amigo Pablo es x años, expresa en lenguaje algebraico:

a) La edad que tenía hace 5 años " b) La edad que tendrá dentro de 7 años " c) Los años que le faltan para jubilarse a los 65 años " d) Los años que tendrá cuando tenga el doble de los años que tiene ahora " 3 Averigua la expresión algebraica para los siguientes enunciados.

a) El área de un triángulo de base b y altura h " b) El perímetro de un hexágono regular de lado x cm " c) El coste de z bolsas de chicles que cuestan 30 céntimos cada una " d) El área de un rectángulo de base b y altura 3 cm más que la base " e) El resto de la división entre 18 y 5 si el cociente es x " 4 Calcula el valor de las siguientes expresiones, según el valor de x.

e(x) = 4x + 3, si x = 3 " e(3) = f(x) = -3x + 3x 2, si x = 2 " f (2) = g (x) = (x 2 - 4 )2, si x = -2 " g(-2) = 5 Si la expresión algebraica del área de un rectángulo de base x es A = x ? (x - 2) y sabemos

que el área mide 24 m2, ¿cuánto mide la base del rectángulo? ¿Y su altura?

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UNIDAD

5

EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Relaciona las siguientes expresiones con los enunciados de la otra columna.

Expresión

Enunciado

2 ? (a + 7)

F

A un número le sumamos siete y multiplicamos el resultado por dos.

2a + 7

F

A la mitad de un número le restamos siete.

a - 7 2

F

A siete le restamos el doble de un número.

7 - 2a

Multiplicamos un número por dos y le sumamos siete.

2 Si la edad de mi amigo Pablo es x años, expresa en lenguaje algebraico:

a) La edad que tenía hace 5 años " x - 5 b) La edad que tendrá dentro de 7 años " x + 7 c) Los años que le faltan para jubilarse a los 65 años " 65 - x


F

d) Los años que tendrá cuando tenga el doble de los años que tiene ahora " 2x 3 Averigua la expresión algebraica para los siguientes enunciados.

a) El área de un triángulo de base b y altura h " A =

b?h 2

b) El perímetro de un hexágono regular de lado x cm " P = 6 ? x c) El coste de z bolsas de chicles que cuestan 30 céntimos cada una " C = 30 ? z d) El área de un rectángulo de base b y altura 3 cm más que la base " A = b ? (b + 3) e) El resto de la división entre 18 y 5 si el cociente es x " r = 18 - 5x 4 Calcula el valor de las siguientes expresiones, según el valor de x.

e(x) = 4x + 3, si x = 3 " e(3) =4 ? 3 + 3 = 15 f(x) = -3x + 3x 2, si x = 2 " f(2) = -3 ? 2 + 3 ? 2 2 = 6 g (x) = (x 2 - 4 )2, si x = -2 " g(-2) = ((-2) 2 - 4) 2 = 0 5 Si la expresión algebraica del área de un rectángulo de base x es A = x ? (x - 2) y sabemos

que el área mide 24 m2, ¿cuánto mide la base del rectángulo? ¿Y su altura?

A = x ? (x - 2) = 24 " x = 6 cm Altura: 6 - 2 = 4 cm


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UNIDAD

5

ERES CAPAZ DE… Expresar en lenguaje algebraico enunciados dados en lenguaje usual.

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 1 En una granja hay 200 pollos y 300 conejos.

a) ¿Cuántas patas hay en total? b) Si fueran 300 pollos y 400 conejos, ¿cuántas patas habría? c) Y si el número de pollos fuese a y el de conejos fuese b, ¿cuántas patas habría? 2 Expresa mediante lenguaje algebraico.

a) Un conjunto de múltiplos de 7 " b) Un conjunto de cuadrados " c) Un conjunto de múltiplos comunes de 3 y 5 "

Operar con números desconocidos mediante el lenguaje algebraico.

3 Opera y simplifica las siguientes expresiones algebraicas.

a) n ? (n + 3) - (2n + 1) = b) z ? (3 - z) + 3z 2 - 5 ? (z + 4) = x x-1 2 ? (x + 4) = c) 2 + 3 4 4 Calcula el área del recinto de la figura si sabemos que a = 3 cm.

a 4a a


ACTIVIDADES

• Enumerar e identificar elementos . ....................................................................................................................... 6 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc................................................................................ • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos, relaciones, etc. ...................................................................... 1, 2 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ............................................................................................................ • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc.............................................................................................................. 3, 4, 5 7, 8, 9

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UNIDAD

Distinguir entre coeficiente, parte literal y grado de un monomio.

5 Sabiendo que la base de un triángulo mide el doble que su altura,

halla el área si la base mide 6 cm.

6 Determina el coeficiente, la parte literal y el grado de cada uno de estos monomios.

Monomio -5xz

Coeficiente

2

-5

Parte literal xz

Grado

2


Determinar el valor numérico de una expresión algebraica.

5

2 4

8x y

17x 9 -10a 3b 4 Calcular sumas, restas y productos de monomios.

7 Dados los siguientes monomios:

a (x) = -3x 2 b (x) = 4x c(x) = 5x 2 d (x) = 7 e(x) = -6x calcula. a) a (x) + c(x) = b) b(x) - e(x) = c) a(x) + d(x) = d) a(x) · e(x) =

Calcular sumas y restas de polinomios, y producto de un monomio por un binomio.

8 Dados los siguientes polinomios:

a(x) = -3x 2 + 5x 3 + 2 b(x) = 4x - 3 c(x) = 5x 3 + 4x - 1 d(x) = -4x 2 calcula. a) a(x) + c(x) = b) c(x) - b(x) = c) b(x) · d (x) =

Trabajar con las igualdades notables.

9 Opera.

a) (2a + b)2 = b) (3x - 4y) ? (3x + 4y) = c) (1 - 2z)2 = d) (3c - 2d )2 =


ACTIVIDADES

• Clasificar y discriminar según criterios .................................................................................................................... • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 5, 9 • Combinar, componer datos, resumir, etc. ............................................................................................................... 6 • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ..........................................................................................................


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UNIDAD

5

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1 En una granja hay 200 pollos y 300 conejos.

a) ¿Cuántas patas hay en total? 200 ? 2 + 300 ? 4 = 400 + 1 200 = 1 600 patas b) Si fueran 300 pollos y 400 conejos, ¿cuántas patas habría? 300 ? 2 + 400 ? 4 = 600 + 1 600 = 2 200 patas c) Y si el número de pollos fuese a y el de conejos fuese b, ¿cuántas patas habría? Patas = 2a + 4b

2 Expresa mediante lenguaje algebraico.

a) Un conjunto de múltiplos de 7 " 7n b) Un conjunto de cuadrados " n2 c) Un conjunto de múltiplos comunes de 3 y 5 " 15n

3 Opera y simplifica las siguientes expresiones algebraicas.

a) n ? (n + 3) - (2n + 1) = n2 + 3 n - 2 n - 1 = n2 + n - 1 b) z ? (3 - z) + 3z 2 - 5 ? (z + 4) = 3z - z2 + 3z2 - 5z - 20 = 2z2 - 2z - 20 6x + 4 ? (x - 1) - 6 ? (x + 4) 4x - 28 x-7 x x-1 2 ? (x + 4) = = c) 2 + 3 = 12 12 3 4

4 Calcula el área del recinto de la figura si sabemos que a = 3 cm.

Dividimos el recinto en 5 partes, calculamos el área de cada una de las partes y las sumamos: 2

A1 = 4a ? 2a = 8a 1 A2 = r a2 2

A3 = A4 = A5 = 2a2

4

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A3 A1

r A = d14 + n a2 2

Por tanto, si a = 3 cm " A = d126 +

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A2

9 r n cm 2 2

4a A4

a

A5


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UNIDAD

5

5 Sabiendo que la base de un triángulo mide el doble que su altura, halla el área si la base mide 6 cm.

base " 6 cm; base = 2 ? altura " altura = A=

base ? altura 6 ?3 = 9 cm 2 = 2 2

base = 3 cm 2

6 Determina el coeficiente, la parte literal y el grado de cada uno de estos monomios.

-5xz

2

8

8x y

9 3 4

-10a b

Parte literal

-5

2 4

17x

Coeficiente

xz

Grado

2

2

4

x y

3 2+4=6

9

17

x

-10

3

a b

9 4

3+4=7

7 Dados los siguientes monomios:


Monomio

a(x) = -3x 2 b(x) = 4x c(x) = 5x 2 d (x) = 7 e(x) = -6x calcula.

a) a(x) + c(x) = -3x2 + 5x2 = 2x2

b) b (x) - e(x) = 4x - (-6x) = 10x

c) a(x) + d(x) = -3x2 + 7

d) a (x) ? e(x) = (-3x2) ? (-6x) = 18x3

8 Dados los siguientes polinomios:

a(x) = -3x 2 + 5x 3 + 2 b(x) = 4x - 3 c(x) = 5x 3 + 4x - 1 d(x) = -4x 2 calcula. a) a (x) + c (x) = -3x2 + 5x3 + 2 + 5x3 + 4x - 1 = 10x3 - 3x2 + 4x + 1 b) c(x) - b (x) = 5x3 + 4x - 1 - (4x - 3) = 5x3 + 2 c) b(x) ? d (x) = (4x - 3) ? (-4x2 ) = -16x3 + 12x2 9 Opera.

a) (2a + b)2 = 4a2 + 4ab + b2 b) (3x - 4y) ? (3x + 4y) = (3x) 2 - (4y) 2 = 9x2 - 16y2 c) (1 - 2z)2 = 1 - 4z + 4z2 d) (3c - 2d) 2 = 9c2 - 12cd + 4d2


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6 Ecuaciones de primer y segundo grado

PROGRAMACIÓN DE AULA objetivos • Distinguir entre identidades y ecuaciones.

• Identificar y resolver ecuaciones de segundo grado.

• Comprobar si un número es o no solución de una ecuación.

• Resolver problemas mediante ecuaciones de primer y segundo grado.

• Obtener ecuaciones equivalentes a una dada. • Resolver ecuaciones de primer grado.


• Igualdad, identidad y ecuación. • Ecuaciones de primer grado. • Ecuaciones equivalentes. • Métodos de resolución de ecuaciones de primer grado. • Ecuaciones de segundo grado.


• Resolución de ecuaciones de primer grado. • Resolución de ecuaciones de segundo grado. • Identificación y resolución de problemas de la vida cotidiana, planteando y resolviendo ecuaciones de primer y segundo grado, y comprobando la validez de las soluciones obtenidas.

ACTITUDES

• Confianza en las propias capacidades para afrontar y resolver problemas algebraicos. • Perseverancia y flexibilidad a la hora de resolver problemas, valorando las opiniones aportadas por los demás. • Gusto por la presentación ordenada de las soluciones de las ecuaciones.

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UNIDAD

6

COMPETENCIAS QUE SE TRABAJAN • Representar relaciones y patrones numéricos, proponiendo y utilizando expresiones algebraicas. • Utilizar, de manera razonada, el método analítico de resolución de problemas mediante ecuaciones, y aplicar los algoritmos de resolución de ecuaciones de primer y segundo grado. • Conocer, valorar y utilizar sistemáticamente conductas asociadas a la actividad matemática, tales como el orden, contraste, precisión y revisión sistemática, y crítica de los resultados.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN • Resolver ecuaciones de segundo grado. • Hallar la solución de problemas reales mediante ecuaciones de primer y segundo grado.

ESQUEMA DE LA UNIDAD Identidades Una identidad es una igualdad algebraica que se verifica para cualquiera de los valores que tomen las letras que aparecen en ella. 2x + x = 3x (x + 1)2 = x 2 + 2x + 1

Igualdades algebraicas


• Diferenciar entre identidades y ecuaciones. • Obtener la solución de una ecuación de primer grado con una incógnita. • Resolver ecuaciones de primer grado con paréntesis y denominadores.

Ecuaciones Una ecuación es una igualdad algebraica que se verifica solo para ciertos valores de las letras que aparecen en ella. 3x 3 + (x - 1)2 = 2x - (x - 1) " Grado = 3

Ecuaciones de primer grado

Ecuaciones de segundo grado

2 (x - 1) x+3 3-x =3 4 2 PRIMERO. Eliminamos los denominadores. m.c.m. (3, 4, 2) = 12 2 (x - 1) x+3 3-x o o = 12 e12 e 3 4 2 " 4 ? 2(x - 1) - 3(x + 3) = -6(3 - x) Segundo. Quitamos los paréntesis y reducir términos semejantes " 5x - 17 = -18 + 6x TERCERO. Agrupamos los términos con x en uno de los miembros, y los números, en el otro. -17 + 18 = 6x - 5x Cuarto. Despejamos la incógnita " 1 = x Quinto. Comprobamos la solución. 2 (1 - 1) 1+3 3-1 =" -1 = -1 3 4 2

Caso 1. Si b = 0. Ecuaciones del tipo ax 2 + c = 0.

• Si -

c es positivo, hay dos soluciones: a

x1 = + • Si -

-

c y x2 = a

-

c es negativo, no tiene solución. a

Caso 2. Si c = 0. Ecuaciones del tipo ax 2 + bx = 0.

b a Caso 3. Si b ! 0 y c ! 0. Ecuaciones del tipo ax 2 + bx + c = 0. Las soluciones se obtienen aplicando la fórmula: Tienen dos soluciones: x1 = 0 y x2 = -

- b ! b 2 - 4ac 2a Pueden tener dos soluciones, una o ninguna. x=


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c a

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UNIDAD

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LECTURA INICIAL París bien vale una misa François Viète nació en Fontenay-le-Comte en 1540 y murió en París en 1603. Estudió Derecho en Poitiers y ejerció como abogado en el Parlamento de París, siendo posteriormente consejero en el Parlamento de Rennes, y años más tarde pasó al servicio exclusivo del rey en el Parlamento de París. Dedicado a la política, las Matemáticas constituyeron un pasatiempo para él. Como consejero privado del rey Enrique III y, después, de su primo Enrique IV, se encargó de descifrar los códigos secretos enemigos. De hecho, se cuenta que Felipe II, rey de España, pidió que fuera acusado de brujería, pues creía que solo de esa manera podría haber descifrado sus claves secretas. Esta teoría fue refutada por sus propios inquisidores, concluyendo que de lo único que podía acusarse a Viète era de poseer una capacidad de trabajo y una inteligencia fuera de lo común. Al final de su vida, en 1603, redactó un trabajo sobre criptografía que dejó anticuados los sistemas de cifrado que existían en la época. Viète pasó a la posteridad por sus contribuciones matemáticas, siendo el matemático más importante de su tiempo, y entre sus aportaciones destaca, en el plano numérico, la utilización y defensa de las fracciones decimales, es decir, de los números decimales, en lugar de las fracciones sexagesimales. Además, es considerado el padre del Álgebra, y fue el primero en escribir una ecuación en forma general, utilizando las vocales para las incógnitas y las consonantes para los parámetros conocidos. Así, la ecuación general de segundo grado la escribió como: B in A quadratus + C in A + D ae 0 (ae como abreviatura de aequalis), que la escribiríamos como ba 2 + ca + d = 0.

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UNIDAD

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Curiosidades matemáticas Álgebra no simbólica Los árabes destacaron en el estudio del Álgebra, pero su forma de plantear y resolver problemas era, sin embargo, muy distinta de la nuestra. El siguiente ejemplo proviene del Álgebra de Abenbéder (siglo XIII). Observa su manera peculiar de razonar y la dificultad que supone no usar símbolos, como la letra x, a la hora de resolver estos problemas. Dos hombres se encuentran, teniendo cada uno de ellos en su mano cierto dinero. Le dice uno de los dos al compañero: «Si me das de lo que tú tienes tres unidades, las añado a lo que tengo y tendré lo mismo que lo que te queda». El segundo le responde: «Si tú me das de lo que tienes seis unidades, las añado a lo que tengo y tendré dos veces lo que te queda». ¿Cuánto tiene cada uno? Solución 1.º Hay que suponer que lo que tiene el primero es una incógnita menos tres unidades, y que lo que tiene el segundo es una incógnita más tres unidades. Cuando toma el primero tres unidades del segundo, teniendo el primero en su mano una incógnita menos tres, el primero tendrá en su mano una incógnita y quedará en la mano del segundo una incógnita.


Problema

2.º Le dijo el segundo al primero: «Si me das de lo que tienes seis unidades, tendré dos veces lo que te quede»; por lo que el segundo tendrá una incógnita más nueve y queda en la mano del primero una incógnita menos nueve. Además, la cantidad del segundo: una incógnita más nueve, es el doble de la del primero: una incógnita menos nueve, o sea, dos incógnitas menos dieciocho. 3.º Aplicamos el al-jabr (transposición) y el mucábala (reducción) y tenemos que una incógnita más veintisiete es igual a dos incógnitas. Por tanto, una incógnita es 27. 4.º Como el primero tenía una incógnita menos tres, y el segundo, una incógnita más tres, el primero tendrá 24 monedas y el segundo tendrá 30 monedas.

Mohamed ibn Musa Al-Khwarizmi Los datos biográficos de este matemático son escasos, pero sus contribuciones científicas, que están contenidas en media docena de libros, resultan notables. La palabra «álgebra», con la que hoy conocemos a una de las ramas de las matemáticas, aparece en el título de su obra más importante. En dicha obra Al-Khwarizmi resuelve seis tipos de ecuaciones de segundo grado con una incógnita. A lo largo de los seis capítulos aparecen catorce ecuaciones, junto con las estrategias que se deben aplicar en cada caso para resolverlas y obtener sus respectivas soluciones.


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UNIDAD

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WIRIS www.wiris.net

Decide si estas igualdades algebraicas son ecuaciones o identidades, y determina la solución de las ecuaciones. 3x - 2 1 - 3x 3x x+5 - 2x = 1 + a) b) 2x + 1 = 4 + 3(x - 1) - x c) x + -3= +1 2 4 2 2 1. Para resolver ecuaciones seleccionamos la función resolver ecuación de la pestaña Operaciones.

2. Introducimos los dos miembros de la ecuación para escribir usando la herramienta los denominadores.

y aparece la solución 3. Pulsamos el signo de la primera ecuación, en este caso x = 9. Por tanto, se trata de una ecuación.

4. Repetimos el proceso para la segunda igualdad. Al aparece , y esto significa pulsar que se trata de una identidad.

5. Repetimos el proceso para la última igualdad. Ahora al pulsar el aparece signo . Esto indica que no se trata de una ecuación ni de una identidad.

SUGERENCIAS PARA RESOLVER LAS ACTIVIDADES 1 Para resolver las cuatro ecuaciones solo es

necesario seguir las instrucciones del ejemplo resuelto. Es necesario tener cuidado a la hora

de utilizar las herramientas

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y

.

2 Empezamos por el caso c). Averiguamos para

qué valor de a desaparece la incógnita x para que la expresión no sea igualdad ni ecuación. A partir de este valor investigamos qué ocurre para el resto de valores de a.


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UNIDAD

PASO A PASO

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WIRIS www.wiris.net

1

Utilizamos la función resolver(ecuación) para hallar las soluciones de la primera ecuación. Pulsamos sobre la función resolver ecuación de la pestaña Operaciones. En la pantalla aparecerá resolver ( = ).

2

Nos situamos sobre el primer miembro de la ecuación, en el cuadro de la izquierda, escribimos la expresión 3x - 2 - 2x. 2 RECURSOS PARA EL AULA

Sobre el segundo miembro la expresión, en el cuadro de 1 - 3x . la derecha, escribimos la expresión 1 + 4 En ambos casos utilizamos la herramienta para escribir los denominadores. 3

Pulsamos

y aparece en la pantalla el resultado {{x=9}}.

Esto significa que la igualdad que hemos resuelto es una ecuación que tiene por solución x = 9.

4

Para resolver el apartado b), repetimos los pasos 1 y 2 introduciendo la ecuación 2x + 1 = 4 + 3(x - 1) - x. Al pulsar

, en la pantalla aparece {{x=x}}. Esto significa

que se trata de una identidad, cualquier valor de x cumple la igualdad.

5

Volvemos a repetir los pasos 1 y 2 para la ecuación x+5 3x x+ -3 = + 1 del apartado c). 2 2 Al pulsar , en la pantalla aparece { }. Esto indica que la igualdad no es una identidad, ni una ecuación valor de x cumple la igualdad.


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UNIDAD

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DERIVE

Resuelve estas ecuaciones con una incógnita. 3x - 2 1 - 3x 3x x+5 - 2x = 1 + a) b) 2x + 1 = 4 + 3(x - 1) - x c) x + -3= +1 2 4 2 2 1. Escribimos la ecuación en el área de escritura utilizando los paréntesis y para las potencias. Al finaliza pulsamos Introducir.

2. Pulsamos Resolver o despejar . Elegimos como variable x, método Algebraico y dominio Real.

3. Pulsamos Resolver y aparece la solución de la 4. Repetimos el proceso para la segunda igualdad. Al primera ecuación, en este caso x = 9. Por tanto, se pulsar Resolver aparece true, y esto significa que trata de una ecuación. se trata de una identidad.

5. Repetimos el proceso para la última igualdad. Al pulsar el botón Resolver aparece false. Esto indica que no se trata de una ecuación ni de una identidad.


INVESTIGA

1. Decide si estas igualdades algebraicas son ecuaciones o identidades, y determina la solución de las ecuaciones. 5 + 2x 5 x-3 = x - c) 2 (x - 3) - 5 = a) 2x 2 3 3 2x - 3 6 4-x b) -1+ - = x - 4 d) 2 (2 - 4x) + 2 = 4 2 5

2. Halla el valor de a para que la expresión: 2(x - 5) - a(3 - 2x) = 1

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a) Sea una identidad. b) Sea una ecuación. c) No sea ninguna de ambas.


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UNIDAD

PASO A PASO

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DERIVE

1

Escribimos la igualdad algebraica del apartado a) al en el área de escritura: (3x - 2)/2 - 2x = 1 + (1 - 3x)/4 y . pulsamos En la ventana de resultados aparece la igualdad algebraica.

2

despejar

y en la ventana Resolver expresión elegimos la

variable x, método Algebraico y dominio Real.

3


Con la primera igualdad marcada pulsamos Resolver o

Pulsamos Resolver y aparece en la ventana: x=9 Esto significa que la igualdad algebraica es una ecuación y tiene como solución x = 9.

4

Escribimos la siguiente igualdad algebraica en el área de escritura: 2x + 1 = 4 + 3(x - 1) - x Con la igualdad marcada, pulsamos Resolver o despejar y elegimos las mismas opciones que en el paso 2. Al pulsar el botón Resolver aparece en la ventana true, esto significa que la igualdad algebraica es una identidad.

5

Escribimos la última igualdad algebraica en el área de escritura: x + (x + 5)/2 - 3 = (3x)/2 + 1 Con la igualdad marcada pulsamos sobre el icono Resolver o y elegimos las mismas opciones que en el paso 2. despejar Al pulsar el botón Resolver aparece en la ventana false, esto significa que la igualdad algebraica no es una ecuación ni una identidad. ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

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UNIDAD

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EN LA VIDA COTIDIANA... Resolución de ecuaciones de forma geométrica En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Practicar la resolución geométrica de ecuaciones de primer y segundo grado. • Comparar los métodos algebraico y geométrico de Al-Khwarizmi. • Obtener de manera geométrica una fórmula general de resolución.

1

Resolución geométrica de ecuaciones de primer y segundo grado

Al-Khwarizmi, un famoso matemático árabe, distinguió seis tipos de ecuaciones en función de los elementos que aparecían en cada una. A la incógnita la llamaba raíz; a las constantes, números, y a los cuadrados, mal. Los seis tipos son los siguientes (a, b y c son números enteros positivos). 1.º Raíces igual a números: bx = c 2.º Mal igual a raíces: ax 2 = bx 3.º Mal igual a números: ax 2 = c 4.º Mal y raíces igual a números: ax 2 + bx = c 5.º Mal y números igual a raíces: ax 2 + c = bx 6.º Mal igual a raíces y números: ax 2 = bx + c

c) Resolver mal igual a 25.

Al-Khwarizmi dio reglas para resolver cada uno de estos tipos de ecuaciones. Vamos a ver cómo resolvía los cuatro primeros casos.

G

En la notación actual, sería resolver x 2 = 25, es decir, el área del cuadrado ABCD es 25, por lo que el lado será la raíz cuadrada de ese valor: AD = x = … D x A

a) Resolver 4 raíces igual a 12. En la notación actual, esto equivaldría a resolver 4x = 12, es decir, el área de un rectángulo de base 4 es 12; por tanto, la altura es el número que multiplicado por 4 da 12: AD = x = … D

C

En la notación actual sería x 2 + 6x = 16. La resolución geométrica es:

B

4

b) Resolver mal igual a 8 raíces. En la notación actual equivaldría resolver x 2 = 8x, es decir, el área de un rectángulo de base x y altura 8 es igual al área de un cuadrado de lado x, por lo que x = … (la solución x = 0 no se consideraba). 8 x

182 277995 _ 0174-0203.indd 182

x

= x

F 3x

H

9 D

E x2

A

K

3x B

x

3

C

1.º ABEH es un cuadrado de lado x. 2.º AB y AH se amplían hasta C y G, de manera que BC y HG miden 3 cada uno. 3.º Completamos la figura anterior con el cuadrado DEFK, de área 3 ? 3 = 9, y el cuadrado ACKG queda completo.

x A

B

x

d) Resolver mal y 6 raíces igual a 16.

Completa los resultados donde aparezcan los puntos suspensivos (…). PROBLEMAS

C

4.º En el dibujo se ve que su área es x 2 + 6x + 9, o, lo que es lo mismo, (x + 3)2. 5.º Sabemos que x 2 + 6x = 16, y sumando 9: (x + 3)2 = 16 + 9 = 25. Sacando la raíz cuadrada de ambos términos hallamos el lado del cuadrado ACKG y, a partir de él, el lado del cuadrado ABEH. El valor de x es… La técnica de resolución de Al-Khwarizmi es sencilla y utiliza la Geometría en su razonamiento.


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UNIDAD

Comparación de los métodos algebraico y geométrico de Al-Khwarizmi

El método utilizado por Al-Khwarizmi para resolver de forma algebraica la ecuación x 2 + 6x = 16 constaba de estos pasos: 1.º Dividimos entre 2 el número de raíces: 6 : 2 = 3 2.º Multiplicamos este resultado por sí mismo: 32 = 9 3.º Sumamos el resultado anterior a 16: 16 + 9 = 25 4.º Extraemos la raíz cuadrada positiva de este último 4.º resultado: 25 = 5 5.º Restamos el resultado del paso 1.º: 5 - 3 = 2 Resuelve la ecuación de segundo grado x2 + 4x = 21 de manera algebraica y geométrica, como lo hacía Al‑Khwarizmi.

MÉTODO GEOMÉTRICO 1.º Dibuja un cuadrado de lado x. ¿Cuál es su área? 2.º Dibuja un rectángulo de lado 2 sobre dos lados contiguos del cuadrado. ¿Cuánto vale la suma de las áreas de los dos rectángulos? 3.º Completa la figura, de forma que se obtenga un cuadrado. ¿Qué figura has añadido? ¿Cuánto vale su lado? ¿Y su área? 4.º Expresa el valor del área de la figura total, en función de x. ¿Cuál es el valor numérico del área? 5.º Compara las expresiones anteriores y calcula el valor del lado x. F

G

MÉTODO ALGEBRAICO 1.º Divide entre 2 el coeficiente de la x. 2.º Elévalo al cuadrado. 3.º Suma el resultado anterior a 21. 4.º Extrae la raíz cuadrada positiva del resultado del paso anterior. 5.º Resta el resultado del paso 1.º.

H

D

E

B

A

x

¿Qué resultado has obtenido? ¿Coincide con el que obtendrías al resolver con la fórmula general?

3

K RECURSOS PARA EL AULA

2

6

C 2

Obtención de una fórmula general de resolución de manera geométrica

Resuelve la ecuación x2 + bx = c. Vamos a obtener de manera geométrica una fórmula general para este tipo de ecuación.

3.º Operamos: x 2 + bx + e ex +

Observa la figura: CE

B

G

6

2

6

A I

D F J

K

x

H

2

2.º Si cambiamos EFGH por ADJI y sumamos el cuadrab do DFKJ, cuyo lado mide , obtenemos un nuevo 2

x1 = -

b + 2

c+

b2 b ; x2 = - 4 2

c+

b2 4

2

b o. 2

a) Comprueba que este resultado es cierto con la ecuación x2 + 4x = 21. b) Resuelve la ecuación x2 + 5x = 6 mediante esta fórmula. c) Comprueba que, al aplicar la fórmula general que hemos visto en la unidad, a la ecuación x2 + bx = c, el resultado que se obtiene es el mismo que con este método.


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2

b b o = c +e o 2 2

REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES.

1.º Geométricamente, el área del cuadrado ABCD más la del rectángulo CGHD es igual a c.

cuadrado cuya área es e x +

2

4.º Sacamos la raíz positiva y despejamos la x: b

x2

2

b b o = e x + o y, sustitu2 2 yendo en la ecuación inicial, nos queda:

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UNIDAD

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estrategias de resolución de problemas Expresar relaciones en forma algebraica Estrategia Para resolver problemas de Álgebra hay que relacionar los datos y las condiciones

del enunciado por medio de expresiones algebraicas. Después de nombrar con una letra cada uno de los números desconocidos, se expresan las condiciones del enunciado mediante operaciones que conducen a la expresión algebraica buscada.

PROBLEMA RESUELTO En el metro viajan hombres y mujeres. En las cuatro paradas que hay antes de la estación final del trayecto suben y bajan las personas que se indican a continuación: 1.ª parada: suben 5 mujeres y bajan 4 hombres. 2.ª parada: se duplica el número de mujeres y bajan 6 hombres. 3.ª parada: bajan 6 mujeres y se duplica el número de hombres. 4.ª parada: se bajan la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres. Expresa cada una de las situaciones y expresa algebraicamente el número de personas que llegan a la estación final del trayecto.

Planteamiento y resolución La siguiente tabla es la expresión algebraica del número de mujeres, del número de hombres y del total de personas después de los sucesivos cambios. Inicio 1.ª parada 2.ª parada 3.ª parada 4.ª parada

N.o de mujeres

N.o de hombres

N.º total de personas

x x+5 2(x + 5) = 2x + 10 2x + 10 - 6 = 2x + 4 2x + 4 = x+2 2

y y-4 y - 4 - 6 = y - 10 2(y - 10) = 2y - 20 2y - 20 = y - 10 2

x+y (x + 5) + (y - 4) = x + y + 1 2x + 10 + y - 10 = 2x + y 2x + 4 + 2y - 20 = 2x + 2y - 16 x + 2 + y - 10 = x + y - 8

PROBLEMA PROPUESTO Un alumno tiene cromos de animales y de plantas. En cuatro días consecutivos, sucede que: Día 1: compra 6 cromos de animales y regala 2 cromos de plantas. Día 2: regala 4 cromos de animales y duplica los cromos de plantas. Día 3: duplica los cromos de animales y regala 4 cromos de plantas. Día 4: triplica los cromos de animales y los de plantas. Completa la siguiente tabla y expresa algebraicamente los cambios:

Inicio Día 1 Día 2 Día 3 Día 4

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Cromos de animales x

Cromos de plantas y

Total de cromos x+y


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UNIDAD

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Introducción


La unidad comienza diferenciando entre ecuaciones e identidades, para pasar luego a la exposición de los conceptos asociados al de ecuación: miembros, términos, grado, coeficientes, solución…, que son fundamentales para comprender el resto de la unidad.

• Una ecuación es una igualdad algebraica que solo es cierta para algunos valores. • La incógnita de una ecuación es la letra de valor desconocido. • El grado de una ecuación es el mayor exponente de la incógnita. • La solución o soluciones de una ecuación son los valores de la incógnita que hacen cierta la igualdad. • Para resolver ecuaciones se debe tener en cuenta que: – Si sumamos o restamos a los dos miembros de una ecuación un mismo número o expresión algebraica, se obtiene una ecuación equivalente. – Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una ecuación por un número distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente. • Ecuación de primer grado: ax = b • Ecuación de segundo grado: ax 2 + bx + c = 0, siendo a, b y c números conocidos y a ! 0.

Para resolver ecuaciones de primer grado, los alumnos aprenderán a transponer términos. Es importante que comprendan que las reglas de la suma y el producto son transformaciones que permiten pasar de una ecuación inicial, compleja en su expresión, a otra más sencilla pero con la misma solución, es decir, equivalente a ella. A continuación se trabajará con ecuaciones en las que hay paréntesis y denominadores. Aunque no es el objetivo de este curso, los alumnos deben aprender a identificar una ecuación de segundo grado. Por ello conviene mostrar la utilidad de la fórmula general para hallar las soluciones de cualquier ecuación de segundo grado, utilizando solo sus coeficientes.

OBJETIVOS

CONTENIDOS

PROCEDIMIENTOS

1. Distinguir e identificar ecuaciones e identidades.

• Elementos de una ecuación. Solución. • Ecuaciones equivalentes.

• Comprobación de si un valor es solución o no de una ecuación. • Identificación y obtención de ecuaciones equivalentes.

2. Resolver ecuaciones de primer grado.

• Ecuaciones con denominadores. • M étodo general de resolución de ecuaciones.

• Utilización de técnicas para resolver ecuaciones con denominadores.

3. Resolver ecuaciones de segundo grado.

• Ecuaciones de segundo grado completas. • Ecuaciones de segundo grado incompletas.

• Aplicación de la fórmula general para resolver ecuaciones completas de segundo grado. • Resolución de ecuaciones incompletas de segundo grado.

4. Resolver problemas mediante ecuaciones de primer grado.

• Traducción al lenguaje algebraico del enunciado de un problema. • Comprobación de la solución de un problema.

• Seguimiento de los pasos necesarios para resolver problemas mediante ecuaciones de primer grado.


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OBJETIVO 1

DISTINGUIR E IDENTIFICAR ECUACIONES E IDENTIDADES NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

IDENTIDADES Y ECUACIONES Una igualdad algebraica está formada por dos expresiones algebraicas separadas por el signo igual (=). • Una identidad es una igualdad algebraica que se verifica para cualquier valor de las letras. • Una ecuación es una igualdad algebraica que no se cumple para todos los valores de las letras.

ejemplo x + x = 2x es una identidad. Se cumple la igualdad para cualquier valor numérico que tome x: Para x = 1 " 1 + 1 = 2 ? 1 " 2 = 2 Para x = -2 " (-2) + (-2) = 2 ? (-2) " -4 = -4 x + 4 = 10 es una ecuación. Solo se cumple cuando x = 6 " 6 + 4 = 10.

1 Indica si las igualdades son identidades o ecuaciones.

a) x + 8 = 2x - 15

d) x 2 ? x 3 = x 5

b) 2(x + 2y) = 2x + 4y

e) 2x + 1 = 11

c) x + x + x = 3x

f)

x = 12 2

2 Indica el valor de x para que se cumpla la igualdad. ECUACIÓN

PREGUNTA

VALOR DE x

15 - x = 12

¿Qué número restado a 15 da 12?

x=

10 + x = 14 11 - x = 10 2+x=9 16 - x = 4

3 Calcula mentalmente el valor de x para que se cumpla la igualdad.

a) x - 1 = 2

d) -x + 10 = 5

b) x + 7 = 15

e) x + 4 = 12

c) x - 3 = 6

f) -x - 6 = -10

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UNIDAD

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soluciÓn. ECUACIONES EQUIVALENTES Las soluciones de una ecuación son los valores numéricos de la incógnita que hacen que la igualad sea cierta. Resolver una ecuación es encontrar su solución. • Dos o más ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. x + 4 = 10 y 2x = 12 son ecuaciones equivalentes, ya que ambas tienen como solución x = 6. 6 + 4 = 10 2 ? 6 = 12

4 Para cada una de estas ecuaciones, escribe una ecuación equivalente y halla su solución. ECUACIóN

Ecuación equivalente

Solución

7 + x = 13

2x = 14 x-4=4 11 = 9 + x

5 La ecuación 3x + 4 = 10 tiene como solución x = 2. Averigua cuáles de las ecuaciones

son equivalentes a la ecuación 3x + 4 = 10.

2 x + 2x - 5 = 6x 7 1 f) 2x + 8 - x = x + 9 2

a) 3x + 10 = 20 b)

e)

3 x - 8 = -5 2

c) 4x + 12 - x = 21 d)


x+2=9

g) 12x - 3x + 10 = 5x + 18

4 x + 12x - 8 = 18 9

h)

1 3 x + 3x = x + 4 2 2

6 Tantea y halla la solución de las siguientes ecuaciones.

a) x - 2 = 2

e) x - 4 = 1

i) 2x - 1 = 3

b) 4 + x = -2

f) -1 + x = -3

j) 3x = -15

c) x - 1 = -5

g) -2 - x = -4

k) -2x - 4 = 10

d)

x = 4 2

h)

x = -6 18

l)

2x =2 5


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OBJETIVO 2

RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

• Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta un mismo número o expresión algebraica, se obtiene otra ecuación equivalente. • Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o divide por un mismo número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente.

ejemplo Resuelve la ecuación x - 4 = 10. Sumamos 4 en ambos miembros

" x - 4 + 4 = 10 + 4 x = 14

Resuelve la ecuación x + 2x = 4 + 2x + 5. Restamos 2x en ambos miembros " x + 2x - 2x = 4 + 2x - 2x + 5 x + 2x - 2x = 4 + 5 x + 2x - 2x = 9 Resuelve la ecuación 3x = 12. Dividimos ambos miembros entre 3 Resuelve la ecuación

5x = 10. 4

3x

12

" 3 = 3 " x = 4 5x

Multiplicamos por 4 ambos miembros

" 4 ? 4 = 10 ? 4 " 5 x = 40

Dividimos ambos miembros entre 5

" 5 = 5 " x = 8

5x

40

1 Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 3x = 15

d) 2x + 6 = 20 + 6 + x

b) x + 6 = 14

e) 2x + 4 = 16

c) -10 = -x + 3

f) -4x - 4 = -20 - x

188 277995 _ 0174-0203.indd 188


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UNIDAD

6


a) 2x - 5 = 3

d) -x - 4 = 10

b) x = -15 - 4x

e) 2x + 7 = x + 14

c) x - 10 = 2x - 4

f) 3x + 8 = 12 - x

Resuelve la ecuación 2(x - 4) - (6 + x) = 3x - 4. Para resolver una ecuación es conveniente seguir estos pasos: 1.º Eliminamos paréntesis.

2x - 8 - 6 - x = 3x - 4

2.º Agrupamos términos.

• Agrupamos los términos con

- 8 - 6 = 3x - 4 -2x + x

x en el segundo miembro.

• Agrupamos los términos numéricos


RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON PARéNTESIS

- 8 - 6 + 4 = 3x - 2x + x

en el primer miembro.

3.º Reducimos términos semejantes. 4.º Despejamos x y hallamos la solución.

-10 = 2x - 10 2x = " -5 = x 2 2

3 Resuelve estas ecuaciones.

a) 4 - x = 2x + 3x - 5x

d) 3x + 8 - 5(x + 1) = 2(x + 6) - 7x

b) -10 - x + 3x = 2x + 4x + 2

e) 5(x - 1) - 6x = 3x - 9

c) 2x - 9 = 3x - 17

f) 3(3x + 1) - (x - 1) = 6(x + 10)


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189 11/07/11 13:41

RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO 4 Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 2(x - 5) = 3(x + 1) - 3

d) 3(x + 2) + 4(2x + 1) = 11x - 2(x + 6)

b) 4(x - 2) + 1 = 5(x + 1) - 3x

e) 5(x - 4) + 30 = 4(x + 6)

c) 3(x - 3) = 5(x - 1) - 6x

f) 5(2 - x) + 3(x + 6) = 10 - 4(6 + 2x)

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON DENOMINADORES Resuelve la ecuación

2x - 1 x-3 3x - 7 = + . 3 2 4

Para resolver una ecuación con denominadores es conveniente seguir estos pasos: m.c.m. (3, 2, 4) = 3 ? 22 = 12

1.º Eliminamos denominadores.

12 ?

2.º Eliminamos paréntesis. 3.º Agrupamos términos. • Agrupamos los términos con x en el segundo miembro. • Agrupamos los términos numéricos en el primer miembro. 4.º Reducimos términos semejantes. 5.º Despejamos x y hallamos la solución.

190 277995 _ 0174-0203.indd 190

x-3 3x - 7 2x - 1 = 12 ? + 12 ? 2 4 3

4(2x - 1) = 6(x - 3) + 3(3x - 7) 8x - 4 = 6x - 18 + 9x - 21

-4 = 6x - 18 + 9x + 18 + 21 = 6x + 9x - 8x -4

35 = 7x 7x 35 = " x = 5 7 7


11/07/11 13:41

UNIDAD

6

a)

x-1 12 - 2x x-2 = 4 5 5

f)

x-2 x-3 x-4 + + = 10 2 3 4

b)

3x - 7 2x - 3 x-1 = 12 6 8

g)

x-4 x+3 x-6 x-7 + = 1+ 5 6 3 2

c)

x+4 x-4 3x - 1 = 2+ 3 5 15

h) 2 e

d) 5 -

e)

x-2 x-3 = 4+ 4 2

x x x x + + + = 30 2 3 4 6

x 2x + 5o = +4 3 4

i)

x-3 5 (x + 3) = 26 12

j)

- 7 (x + 3) 3 (x + 5) + =4 4 10


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5 Halla la solución de estas ecuaciones.

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OBJETIVO 3

RESOLVER ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Una ecuación de segundo grado es una igualdad algebraica del tipo ax 2 + bx + c = 0, donde: • a, b y c son los coeficientes de la ecuación, siendo a fi 0. • ax 2 " término cuadrático bx " término lineal c " término independiente • x es la incógnita.

1 Escribe la expresión general de estas ecuaciones de segundo grado.

a) (x - 1)(x + 4) = 1 " x 2 + 4x - x - 4 = 1 " x 2 + 3x - 4 - 1 = 0 " x 2 + 3x - 5 = 0 b) 2x(3x + 5) = -1 + 4x c) x - 5x 2 + 8 = -3x 2 - x - 3 2 Identifica los coeficientes de las ecuaciones de segundo grado del ejercicio anterior.

a) x 2 + 3x - 5 = 0 " a = 1, b = 3, c = -5

c)

b)

d)

FÓRMULA GENERAL PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Una ecuación de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solución. Para obtener las soluciones de una ecuación de segundo grado se aplica la siguiente fórmula:

ax 2 + bx + c = 0 " x =

-b !

b 2 - 4ac 2a

x1 =

x2 =

-b +

b 2 - 4ac 2a

-b -

b 2 - 4ac 2a

ejemplo Resuelve la ecuación de segundo grado x 2 + 5x + 6 = 0. - 5 ! 52 - 4 ? 1 ? 6 - 5 ! 25 - 24 -5 ! x= = = 2 ?1 2 2

1

-5 + 1 -4 = =-2 2 2 -5 - 1 -6 x2 = = =-3 2 2 x1 =

Sustituyendo los valores -2 y -3 en la ecuación x 2 + 5x + 6 = 0, se comprueba que la cumplen: (-2)2 + 5 ? (-2) + 6 = 0 " 4 - 10 + 6 = 0 " 10 - 10 = 0 " 0 = 0 (-3)2 + 5 ? (-3) + 6 = 0 " 9 - 15 + 6 = 0 " 15 - 15 = 0 " 0 = 0

192 277995 _ 0174-0203.indd 192


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UNIDAD

6

a) x 2 + 4x + 3 = 0

d) 7x 2 + 21x = 28

b) x 2 - 6x + 8 = 0

e) 3x 2 + 6 = -9x

c) 2x 2 - 5x - 7 = 0

f) (2x - 4)(x - 1) = 2


3 Resuelve estas ecuaciones de segundo grado.

4 Resuelve las ecuaciones y comprueba que las soluciones verifican la ecuación.

a) x 2 + 2x - 8 = 0

b) 3x 2 - 6x - 9 = 0

c) 2x 2 - 7x + 3 = 0


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RESOLVER ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO ECUACIONES DEL TIPO ax 2 + c = 0 Las ecuaciones de la forma ax 2 + c = 0 se consideran ecuaciones de segundo grado. Son ecuaciones del tipo ax 2 + bx + c = 0, donde b = 0. Para resolverlas se sigue este proceso: ax 2 + c = 0 " ax 2 = -c " x 2 =

-c " x =! a

• Si el radicando es positivo, hay dos soluciones opuestas: x 1 = +

-c a

-c a y x2 =-

-c a

• Si el radicando es negativo, no hay solución.

ejemplo 2x 2 - 32 = 0 " 2x 2 = 32 " x 2 =

x1 = 4 32 " x 2 = 16 " x = ! 16 " ) x = -4 2 2

3x 2 + 75 = 0 " 3x 2 = -75 " x 2 =

- 75 " x 2 = -25 " x = ! - 25 " No tiene solución 3


a) 7x 2 - 28 = 0

c) 5x 2 = 45

b) 5x 2 - 180 = 0

d) 18x 2 - 72 = 0

6 Indica por qué no tienen solución estas ecuaciones.

a) x 2 + 4 = 0

d) 3(x 2 + x) = 3x - 12

b) 2x 2 = -18

e)

1 2 3 x + =0 2 4

c) 9x 2 - 5x + 18 = -18 - 5x

f)

x2 + 7 =2 3

194 277995 _ 0174-0203.indd 194


11/07/11 13:42

UNIDAD

6

ECUACIONES DEL TIPO ax 2 + bx = 0 Las ecuaciones de la forma ax 2 + bx = 0 se consideran ecuaciones de segundo grado. Son ecuaciones del tipo ax 2 + bx + c = 0, donde c = 0. Para resolverlas se sigue este proceso:

Z ]] x1 = 0 -b [ ax 2 + bx = 0 x (ax + b) = 0 " " ] ax + b = 0 " x2 = a \ Estas ecuaciones tienen siempre dos soluciones, siendo cero una de ellas. Factor común x

ejemplo x1 = 0 x - 12 = 0 " x2 = 12

Z ]] x1 = 0 2x + 5x = 0 " x (2x + 5) = 0 " [ -5 ] 2x + 5 = 0 " 2x = -5 " x2 = 2 \ 2


a) 5x 2 + 5x = 0

c) 6x 2 = 30x

b) 2x 2 - 8x = 0

d) -5x 2 + 20x = 0


x 2 - 12x = 0 " x (x - 12) = 0 " )

8 Halla la solución de estas ecuaciones.

a) 25x 2 - 100x = 0

d) -4x 2 + 16x = 0

b) 5x - 4x 2 = 0

e) x (x - 3) + 8 = 4(x + 2)

c) x - x 2 = 0

f)

x (x - 1) 2x 2 + 3 = 2 3


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OBJETIVO 4

RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES DE PRIMER GRADO NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Para resolver un problema utilizando ecuaciones de primer grado es conveniente seguir estos pasos: 1.º Identificamos la incógnita. Es necesario distinguir los datos conocidos y el dato desconocido, es decir, la incógnita. 2.º Planteamos la ecuación. Hay que expresar las condiciones del enunciado en forma de ecuación: la correspondencia entre los datos y la incógnita. 3.º Resolvemos de la ecuación. Se obtiene el valor de la incógnita resolviendo la ecuación. 4.º Comprobamos e interpretamos la solución. Se debe comprobar si la solución verifica el enunciado e interpretar la solución en el contexto del problema.

ejemplo Ana tiene 2 € más que Berta, Berta tiene 2 € más que Eva y Eva tiene 2 € más que Luisa. Entre las cuatro amigas tienen 48 €. Calcula la cantidad de dinero que tiene cada una. 1.º Identificamos la incógnita. Tomamos como dato desconocido el dinero que tiene Luisa. 2.º Planteamos la ecuación. Dinero de Luisa " x Las restantes cantidades de dinero las escribimos en función de x: Dinero de Eva " 2 € más que Luisa " x + 2 Dinero de Berta " 2 € más que Eva " (x + 2) + 2 = x + 4 2 € más que Berta Dinero de Ana " " (x + 4) + 2 = x + 6 Escribimos la condición de que la suma de las cantidades es 48 €. x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) = 48 3.º Resolvemos la ecuación. x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) = 48 " 4x + 12 = 48 " 4x = 48 - 12 36 " 4x = 36 " x = 4 = 9 " Luisa tiene 9 €.

Eva tiene: 9 + 2 = 11 € Berta tiene: 9 + 4 = 13 € Ana tiene: 9 + 6 = 15 €

4.º Comprobamos e interpretamos la solución. Las cantidades que tienen las amigas: 9, 11, 13 y 15 € cumplen las condiciones del enunciado. 9 + 11 + 13 + 15 = 48

1 La suma de tres números consecutivos es 30. Hállalos.

2 La suma de un número, su doble y su triple es 66. ¿Cuál es el número?

196 277995 _ 0174-0203.indd 196


11/07/11 13:42

UNIDAD

6

PROPUESTAS DE EVALUACIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS Será necesario repasar los conceptos estudiados en 1.º ESO, así como las cuestiones básicas sobre la resolución de problemas.


• Distinción entre lo que se conoce (datos) y lo que se desconoce (incógnitas), y asignación de los símbolos adecuados a estas últimas. • Realización de diagramas, figuras descriptivas, o esquemas, según el problema que se deba resolver. • Cálculo del resultado de un problema por tanteo, mediante algoritmos, métodos o fórmulas por suposiciones razonadas de valores concretos, etc. • Capacidad para contrastar el resultado obtenido con la situación planteada. • Cálculo con expresiones algebraicas.

SUGERENCIAS SOBRE LAS EVALUACIONES Y SU CORRECCIÓN EVALUACIÓN inicial


Los ejercicios que se plantean en la evaluación se dirigen a comprobar hasta qué punto los alumnos han asimilado los conceptos básicos de expresiones algebraicas y ecuaciones. Así, en el ejercicio 1 el alumno debe determinar el valor numérico de expresiones algebraicas. Los ejercicios 2, 3 y 4 proponen problemas que se pueden resolver sin plantear una ecuación. Sería conveniente que el método para resolver las sea: prever el resultado, ordenar los datos de forma correcta, explicar los pasos que se tienen que seguir, comprobar la solución, etc.

La evaluación contiene todos los tipos de ejercicios que se proponen en los objetivos: distinguir entre una identidad y una ecuación (ejercicio 1) y operar con los elementos propios del lenguaje algebraico (ejercicios 2, 3 y 4). Se prosigue con varias formas de resolver una ecuación: transposición, ensayo y error (ejercicio 5), y con la resolución de ecuaciones de primer grado y de segundo grado incompletas por los métodos generales. Hay un par de problemas de tipo numérico, aunque la elección puede ser más amplia: de mezclas, geométricos, de edades, etcétera.


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UNIDAD

6

EVALUACIÓN INICIAL 1 Calcula el valor numérico de estas expresiones algebraicas si x = 0 y si x = 3.

a) 2x + 4 • Si x = 0 " • Si x = 3 " b) 3(3x + 4) • Si x = 0 " • Si x = 3 " c)

x-1 2 • Si x = 0 " • Si x = 3 "

2 Andrés tiene varias monedas de 20 céntimos, que hacen un total de 3,40 €. ¿Qué pregunta

le plantearías a Andrés, cuánto vale cada moneda o cuántas monedas tiene? En cualquier caso, ¿cuál sería la respuesta?

3 Unos amigos preparan una fiesta y quieren confeccionar banderolas de 20 # 25 cm. Cada palo

de la banderola cuesta 20 céntimos y cada metro cuadrado del tejido para hacer las banderolas cuesta 9 €. Si entre todos tienen 22,75 €, ¿cuántas banderolas pueden fabricar? Resuelve el problema ayudándote de un diagrama o un esquema, y explícalo.

4 Si un coche consume 8 litros de gasolina cada 100 kilómetros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer

con 1 litro? Efectúa varias pruebas hasta obtener el resultado.

5 Un amigo plantea a Enrique la siguiente cuestión: «Mi madre tiene el triple de edad que yo, mi padre

tiene 3 años más que mi madre, y entre los tres tenemos 101 años». ¿Cuál de las siguientes expresiones dará como resultado la edad del amigo? • x + (x + 3) + [(x + 3) + 3] = 101 • x + (x ? 3) + [(x ? 3) ? 3] = 101 • x + (x ? 3) + [(x ? 3) + 3] = 101

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UNIDAD

6

EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Calcula el valor numérico de estas expresiones algebraicas si x = 0 y si x = 3.

a) 2x + 4 • Si x = 0 "2 ? 0 + 4 = 4 • Si x = 3 "2 ? 3 + 4 = 10 b) 3(3x + 4) • Si x = 0 "3 ? (3 ? 0 + 4) = 12 • Si x = 3 "3 ? (3 ? 3 + 4) = 39

x-1 2 0-1 1 • Si x = 0 " =2 2 3-1 • Si x = 3 " =1 2 PROPUESTAS DE EVALUACIÓN

c)

2 Andrés tiene varias monedas de 20 céntimos, que hacen un total de 3,40 €. ¿Qué pregunta

le plantearías a Andrés, cuánto vale cada moneda o cuántas monedas tiene? En cualquier caso, ¿cuál sería la respuesta? Le plantearíamos la segunda pregunta: ¿Cuántas monedas tiene? Para calcularlo tendremos que dividir la cantidad total entre el valor de cada moneda:

340 = 17 monedas 20

3 Unos amigos preparan una fiesta y quieren confeccionar banderolas de 20 # 25 cm. Cada palo

de la banderola cuesta 20 céntimos y cada metro cuadrado del tejido para hacer las banderolas cuesta 9 €. Si entre todos tienen 22,75 €, ¿cuántas banderolas pueden fabricar? Resuelve el problema ayudándote de un diagrama o un esquema, y explícalo. • Área de cada banderola: 20 ? 25 = 500 cm 2 " 0,05 m 2 • Precio del tejido de una banderola: 0,05 m 2 ? 900 = 45 céntimos • Precio total de la banderola: 45 + 20 = 65 céntimos • Número de banderolas: 2 275 : 65 = 35 4 Si un coche consume 8 litros de gasolina cada 100 kilómetros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer

con 1 litro? Efectúa varias pruebas hasta obtener el resultado. • Podemos anticipar el resultado aproximado: 10 kilómetros. Si esta fuera la solución, con 1 litro podríamos recorrer 10 kilómetros, y con 8 litros podríamos recorrer: 8 ? 10 = 80 km; por tanto, podremos recorrer más de 10 km. • Aproximamos 15 km con 1 litro; así, con 8 litros serían: 8 ? 15 = 120 km • La aproximación tiene que estar entre 10 y 15 km: 12,5 km, ya que 12,5 ? 8 = 100 km. 5 Un amigo plantea a Enrique la siguiente cuestión: «Mi madre tiene el triple de edad que yo, mi padre

tiene 3 años más que mi madre, y entre los tres tenemos 101 años». ¿Cuál de las siguientes expresiones dará como resultado la edad del amigo? 98 • x + (x ? 3) + [(x ? 3) + 3] = 101 " x + 3x + 3x + 3 = 101 " 7x = 101 - 3 " x = = 14 7 Amigo: 14 años Madre: 14 ? 3 = 42 años Padre: 42 + 3 = 45 años Comprobamos el resultado: 14 + 42 + 45 = 101 ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

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UNIDAD

6

ERES CAPAZ DE…

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 1 Comprueba si la siguiente expresión es una identidad.

Distinguir si una igualdad es una identidad o una ecuación.

7(4 - 2x) - 4(5 - 3x) = 2(5 - x) - 2

2 Di si las afirmaciones son verdaderas o falsas. En caso de que sean falsas,

Identificar los elementos del lenguaje algebraico: miembros, términos, coeficientes, grado, incógnitas y soluciones.

Comprobar si un número es o no solución de una ecuación.

indica por qué. a) Una ecuación siempre tiene dos términos. b) La ecuación 2x 3 + 3x - 2 = 0 es una ecuación de segundo grado. c) La ecuación 2x + 3y = 0 es una ecuación de segundo grado. d) La incógnita de la ecuación 2x = -8 es 2.

3 Relaciona las ecuaciones de la izquierda con las soluciones de la derecha

(puede ocurrir que algún valor sea solución de más de una ecuación).

Ecuación

Solución

x + 2 = 0

-2

2x - 8 = 6

2

2

x - 4 = 0 2(x - 3) =

Obtener ecuaciones equivalentes a una ecuación dada.

x 2

4 7

4 En estas columnas hay ecuaciones que son equivalentes. Relaciona cada

ecuación de la columna izquierda con su ecuación equivalente de la derecha.

Ecuación (1)

Ecuación (2)

a) 2(2 -x) = 8 + 2x

1) 6 - 3 = 3x - 2x

b) 4(2x + 2) = 14 - (2 - 6x)

2) 8x - 6x = 12 - 8

c) 2(x + 3) = 3 + 3x x-2 = x - 3 d) 2

3) x - 2 = 2x - 6

4) 4x = -4


ACTIVIDADES

• Enumerar e identificar elementos . ....................................................................................................................... 2 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc................................................................................ • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ............................................................................ 1, 3, 4 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ............................................................................................................ • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc.............................................................................................................. 5, 6, 7, 8

200 277995 _ 0174-0203.indd 200


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UNIDAD

Resolver ecuaciones de primer grado con paréntesis y denominadores.

5 Resuelve la ecuación 2x + 8 = 18.


a)

x-1 12 - 2x x-2 = 4 5 5

b) 4(x - 2) +

Resolver problemas reales, planteando y resolviendo ecuaciones de primer grado.

Resolver ecuaciones de segundo grado completas e incompletas.


Resolver ecuaciones de primer grado sencillas.

6

x+7 = 8(1 - x) 2

7 Encuentra dos números consecutivos cuya suma sea 77.

8 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.

a) 4x 2 + 9 = 25

b) 2x 2 - 32x = 0


ACTIVIDADES

• Clasificar y discriminar según criterios .................................................................................................................... 7 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. .................................................................................................................. 5 • Combinar, componer datos, resumir, etc. ............................................................................................................... • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ..........................................................................................................


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UNIDAD

6

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1 Comprueba si la siguiente expresión es una identidad.

7(4 - 2x) - 4(5 - 3x) = 2(5 - x) - 2

Es una identidad. 7(4 - 2x) - 4(5 - 3x) = 28 - 14 x - 20 + 12x = 8 - 2x 2(5 - x) - 2 = 10 - 2 x - 2 = 8 - 2x

2 Di si las afirmaciones son verdaderas o falsas. En caso de que sean falsas, indica por qué.

a) Una ecuación siempre tiene dos términos. Falsa: Siempre tiene dos miembros. b) La ecuación 2x 3 + 3x - 2 = 0 es una ecuación de segundo grado. Falsa: Es de tercer grado. c) La ecuación 2x + 3y = 0 es una ecuación de segundo grado. Falsa: Es una ecuación de primer grado con dos incógnitas. d) La incógnita de la ecuación 2x = -8 es 2. Falsa. La incógnita es x y el coeficiente es 2.

3 Relaciona las ecuaciones de la izquierda con las soluciones de la derecha (puede ocurrir que algún valor

sea solución de más de una ecuación).

Ecuación

x + 2 = 0

2x - 8 = 6

Solución F

F

2

x - 4 = 0

x 2

2(x - 3) =

-2

F

2

F

4

F

7

4 En estas columnas hay ecuaciones que son equivalentes. Relaciona cada ecuación de la columna

izquierda con su ecuación equivalente de la derecha.

Ecuación (1)

Ecuación (2)

a) 2(2 -x) = 8 + 2x

1) 6 - 3 = 3x - 2x

b) 4(2x + 2) = 14 - (2 - 6x)

2) 8x - 6x = 12 - 8

c) 2(x + 3) = 3 + 3x x-2 = x - 3 d) 2

3) x - 2 = 2x - 6

202 277995 _ 0174-0203.indd 202

4) 4x = -4

Ecuación (1)

a)

b)

c)

d)

Ecuación (2)

4

2

1

3


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UNIDAD

6

5 Resuelve la ecuación 2x + 8 = 18. 28

?2

2x + 8 = 18 $ 2x + 8 - 8 = 18 - 8 $ 2x = 10 $

2x 10 = $ x=5 2 2


a)

x-1 12 - 2x x-2 = 4 5 5 m.c.m. (4, 5) = 20 5 (x - 1) 4 (12 - 2x) 4 (x - 2) = 20 20 20

5x - 5 - 48 + 8x = 4x - 8 9x = 45 x=5 x+7 = 8(1 - x) 2 8x - 16 + x + 7 = 8 - 8x 17x = 17

b) 4(x - 2) +

x=1


7 Encuentra dos números consecutivos cuya suma sea 77.

x + (x + 1) = 77

2x + 1 = 77

x = 38 La solución es 38 y 39.

8 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.

a) 4x 2 + 9 = 25 4x 2 = 16 x2 = 4 x = ! 4 = !2 b) 2x 2 - 32x = 0 x(2x - 32) = 0

x =0 2x - 32 = 0 " x = 16

x = 0 y x = 16


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7 Sistemas de ecuaciones PROGRAMACIÓN DE AULA

objetivos • Reconocer sistemas de ecuaciones lineales con dos ecuaciones y dos incógnitas. • Resolver sistemas de ecuaciones lineales con ayuda de tablas.

• Resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, aplicando los métodos de reducción, sustitución e igualación. • Plantear y resolver problemas reales utilizando sistemas de ecuaciones.


• Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. • Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. • Resolución de sistemas con ayuda de tablas. • Métodos de sustitución, igualación y reducción.


• Reconocimiento de si dos sistemas de ecuaciones son o no equivalentes. • Resolución de un sistema de ecuaciones mediante el uso de tablas. • Resolución de sistemas de ecuaciones, utilizando los métodos de reducción, sustitución e igualación. • Planteamiento y resolución de problemas mediante la aplicación de expresiones algebraicas y sistemas de ecuaciones, comprobando la validez de la solución.

ACTITUDES

• Confianza en las propias capacidades para afrontar y resolver problemas que requieran planteamientos algebraicos. • Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad de los sistemas de ecuaciones para resolver situaciones de la vida cotidiana.

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COMPETENCIAS QUE SE TRABAJAN • Utilizar razonadamente el método analítico de resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones, y aplicar con destreza los algoritmos de resolución. • Emplear, de manera autónoma y razonada, estrategias para abordar situaciones-problema y problemastipo, planificando adecuadamente el proceso de resolución, desarrollándolo ordenadamente y mostrando seguridad y confianza en las propias capacidades. • Conocer, valorar y utilizar sistemáticamente conductas asociadas a la actividad matemática, tales como el orden, contraste, precisión y revisión sistemática, y crítica de los resultados.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN • Resolver un sistema de ecuaciones utilizando los métodos de sustitución, igualación y reducción. • Determinar el método más adecuado para resolver un sistema de ecuaciones. • Resolver problemas reales mediante sistemas de ecuaciones.

ESQUEMA DE LA UNIDAD SistemaS de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas ax + by = c • Dos ecuaciones lineales de las que se busca una solución común: alx + bly = cl3


• Determinar si un par de números es o no solución de un sistema de ecuaciones. • Comprobar si dos sistemas de ecuaciones con dos incógnitas son equivalentes o no. • Obtener sistemas equivalentes a uno dado por distintos procedimientos. • Resolver un sistema de ecuaciones mediante tablas.

• Una solución del sistema es todo par de números que verifican las dos ecuaciones a la vez.

resolución de un sistema Método de sustitución

Método de igualación

Se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en la otra. x+y = 5 " y = 5-x 3 3 2x - y = 4 2x - y = 4

Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan las expresiones obtenidas. x+y = 5 y = 5x - x 3 3 2x - y = 4 " y = 2 x - 4

2x - (5 - x) = 4 " 3x = 9 " x = 3 x=3

y=5-x$y=5-3=2 Solución: x = 3 e y = 2

5 - x = 2x - 4 " 9 = 3x " x = 3 x=3

y=5-x$y=2 Solución: x = 3 e y = 2

Método de reducción Se busca un sistema equivalente en el que los coeficientes de una misma incógnita sean iguales y opuestos. 2x + 2y = 10 2x + 2y = 10 x+y = 5 3 ?2 3 (-1) + 4 2x - y = 4 " 2x - y = 4 ?$ - 2x + y = - 4

y=2

x+y=5$x+2=5"x=3 Solución: x = 3 e y = 2 3y = 6 " y = 2 ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

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LECTURA INICIAL Gabriel & Giovanni Gabriel Cramer nació en Ginebra (Suiza) en 1704 y murió en Bagnols-sur-Cèze (Francia) en 1752. Se crió en el seno de una familia burguesa, su padre era médico y les procuró estudios universitarios a él y a sus hermanos. Gabriel fue un estudiante brillante y con tan solo 18 años obtuvo el doctorado, presentando una tesis sobre la teoría del sonido. Dos años después de su doctorado se presentó para lograr la cátedra de Filosofía, compitiendo con otros dos aspirantes: Amédée de la Rive, que sería el ganador, y Giovanni Ludovico Calandrini, de procedencia italiana y también conocido como Jean Louis Calandrini. Los trabajos presentados por Cramer y Calandrini tenían tal categoría que se les propuso compartir una cátedra de Matemáticas que crearon específicamente para ellos, donde compartían el sueldo y las obligaciones, comprometiéndose a que cuando uno de ellos asumiera toda la docencia, le correspondería también la totalidad del sueldo, mientras que el otro estaría obligado a visitar universidades adquiriendo nuevos conocimientos. Una de las novedades de Cramer fue que impartió sus clases en francés en lugar de hacerlo en latín, asegurando con ello que los conocimientos llegarían a más gente. En 1734, Calandrini pasó a ocupar la cátedra de Filosofía y Cramer asumió de forma única la de Matemáticas. Aparte de sus aportaciones matemáticas, Cramer destacó por editar las obras de Johann y Jacob Bernoulli, y también la correspondencia que el primero había mantenido con Leibniz. Su principal obra matemática es Introduction à l’analyse des lignes courbes algébraiques, en la que desarrolla la teoría de curvas algebraicas según los principios de Newton; sin embargo, es conocido por la regla de Cramer, que es un método para resolver sistemas de ecuaciones y que, paradójicamente, no lo descubrió él, sino el matemático escocés Colin MacLaurin.

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Curiosidades matemáticas Último teorema de Fermat Pierre de Fermat nació en el siglo XVII. Aunque trabajaba como abogado, era muy aficionado a las Matemáticas y demostró importantes teoremas propuestos en la antigüedad, demostraciones que acostumbraba a escribir en el margen del libro que estaba leyendo en cada momento. El más famoso de todos sus resultados es el que se conoce como último teorema de Fermat, relacionado con el teorema de Pitágoras, de la siguiente forma. • El teorema de Pitágoras afirma que si los números x , y, z son las tres medidas de un triángulo rectángulo, se cumple que: x2 + y2 = z2 2 2 Por ejemplo, si 3 + 4 = 52, observamos que los números enteros 3, 4 y 5 cumplen el teorema de Pitágoras.

x3 + y3 = z3 • De hecho, se preguntó si para cualquier exponente natural, n, distinto de 2, existirían tres números enteros que cumpliesen que: xn + yn = zn Fermat postuló que esto no ocurría así, pero, según él mismo indicó, la demostración que encontró no le cabía en el margen de su libro, así que no la escribió.


• Lo que Fermat se cuestionó es si, igualmente, habría tres números enteros (distintos de cero) que cumpliesen que:

Cientos de brillantes matemáticos intentaron hallar sin éxito esta demostración durante los siglos posteriores y no se logró hasta que, en 1995, el matemático británico Andrew Wiles demostró que Fermat tenía razón con métodos totalmente desconocidos en el siglo XVII.

Evariste Galois Evariste Galois nació el 25 de octubre de 1811. Realizó importantes aportaciones en Álgebra, Teoría de números y Teoría de grupos. A partir de sus trabajos, se descubrió posteriormente la imposibilidad de resolver la ecuación general de quinto grado utilizando métodos algebraicos. Galois murió en un duelo el 31 de mayo de 1832.


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3x + 2y = -1 2 los siguientes valores. Determina si son solución del sistema x - 3y = 7 a) x = 1, y = -2 b) x = -2, y = -3 c) x = 5, y = 1 d) x = -1, y = 1 1. Escribimos el sistema y el valor de las incógnitas que queremos comprobar.

2. Hallamos el valor del primer miembro de la primera ecuación.

3. Calculamos el valor del primer miembro de la segunda ecuación.

4. Con las funciones SI() e Y() comprobamos si los valores calculados son solución.

5. Seleccionamos el rango con los resultados del primer par de valores y arrastramos para el resto de valores. De esta forma, obtenemos para cada valor si es solución del sistema.

SUGERENCIAS PARA RESOLVER LAS ACTIVIDADES 1 Para realizar el ejercicio podemos seguir todas

las instrucciones que se dan en el ejemplo resuelto. No es necesario que escribamos los cuatro pares de valores, podemos comprobar si es solución el apartado a) y después, sobre las celdas que tienen los valores de x e y, ir cambiando los valores del resto de apartados.

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2 Para conocer las ecuaciones que hay que

resolver calculamos el valor numérico del primer miembro de cada ecuación para los valores: x = 1 y = -2

Después comprobamos distintos valores de a y b que resuelvan cada una de las ecuaciones.


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PASO A PASO

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1

Escribimos el sistema utilizando la fila 3 para la primera ecuación y la fila 4 para la segunda ecuación. Escribimos cada coeficiente, cada signo y cada variable en una celda. El sistema se escribe de la siguiente forma: 3 3x + 2y = - 1 3 x - 3y = 7 " 1

x

+

2

y

=

-1

x

+

-3

y

=

7

2

Calculamos el valor numérico de la expresión 3 ? x + 2 ? y para el primer par de valores. En la celda A9 escribimos el rótulo y en la celda B9 tecleamos =$B3*B6+$E3*B7 que da como resultado -1.


El símbolo $ que precede a la B y a la E en la fórmula, fija el número de columna al copiar y pegar dicha fórmula.

3

Ahora tenemos que calcular el valor numérico de la expresión 1 ? x + (-3) ? y para el segundo par de valores. En la celda A10 escribimos el rótulo y en la celda B10 tecleamos =$B4*B6+$E4*B7 que da como resultado 7.

Utilizamos la función SI (prueba lógica; valor si verdadero; valor si falso), que devuelve el primer valor si la prueba lógica es cierta y el segundo si es falsa. Además en la prueba lógica utilizamos Y(valor lógico1; valor lógico2) que devuelve verdadero si los dos valores lógicos son verdaderos y falso en caso contrario. En B11 escribimos:

4

=SI(Y(B9=$H3; B10=$H4);”SÍ”; “NO”) Como la prueba lógica es verdadera, el resultado es SÍ. Como en las fórmulas de las celdas B9, B10 y B11 aparecía el símbolo $, este símbolo fija la referencia de la letra de la columna, de esta manera cuando se copien las celdas las columnas permanecen invariantes.

5

Nos situamos en la celda B9 y con el botón izquierdo pulsado nos desplazamos hasta la celda B11 para marcar el rango B9:B11. Con el rango marcado nos situamos en la esquina inferior derecha y con el botón izquierdo pulsado nos desplazamos hasta la columna E. Al soltar el botón nos aparecen todos los resultados. ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

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3x + 2y = -1 2 los siguientes valores. x - 3y = 7 a) x = 1, y = -2 b) x = -2, y = -3 c) x = 5, y = 1 d) x = -1, y = 1

Determina si son solución del sistema

1. Escribimos el sistema y el valor de las incógnitas que queremos comprobar.

2. Hallamos el valor del primer miembro de la primera ecuación.

3. Calculamos el valor del primer miembro de la segunda ecuación.

4. Con las funciones SI() e Y() comprobamos si los valores calculados son solución.

5. Seleccionamos el rango con los resultados del primer par de valores y arrastramos para el resto de valores. De esta forma, obtenemos para cada valor si es solución del sistema.


INVESTIGA

1. Determina si son solución del sistema: 3x - y = 3 3 - x - 3y =- 11

2. Halla los valores de a y b, sabiendo que x = 1 e y = -2 son solución del sistema. ax + 3y =-3 3 2x - by =-2

los siguientes valores. a) x = 3, y = 2

c) x = -2, y = 0

b) x = 2, y = 3

d) x = 0, y = 3

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Para ello, sustituye las incógnitas por los valores de la solución, y obtendrás otras dos ecuaciones que tendrás que resolver.


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PASO A PASO 1

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Escribimos el sistema utilizando la fila 3 para la primera ecuación y la fila 4 para la segunda ecuación. Escribimos cada coeficiente, cada signo y cada variable en una celda. El sistema se escribe de la siguiente forma: 3 3x + 2y = - 1 3 x - 3y = 7 " 1

x

+

2

y

=

-1

x

+

-3

y

=

7

2

Calculamos el valor numérico de la expresión 3 ? x + 2 ? y para el primer par de valores. En la celda A9 escribimos el rótulo y en la celda B9 tecleamos =$B3*B6+$E3*B7 que da como resultado -1.


El símbolo $ que precede a la B y a la E en la fórmula, fija el número de columna al copiar y pegar dicha fórmula.

3

Ahora tenemos que calcular el valor numérico de la expresión 1 ? x + (-3) ? y para el segundo par de valores. En la celda A10 escribimos el rótulo y en la celda B10 tecleamos =$B4*B6+$E4*B7 que da como resultado 7.

Utilizamos la función SI (prueba lógica; valor si verdadero; valor si falso), que devuelve el primer valor si la prueba lógica es cierta y el segundo si es falsa. Además en la prueba lógica utilizamos Y(valor lógico1; valor lógico2) que devuelve verdadero si los dos valores lógicos son verdaderos y falso en caso contrario. En B11 escribimos:

4

=SI(Y(B9=$H3; B10=$H4);”SÍ”; “NO”) Como la prueba lógica es verdadera, el resultado es SÍ. Como en las fórmulas de las celdas B9, B10 y B11 aparecía el símbolo $, este símbolo fija la referencia de la letra de la columna, de esta manera cuando se copien las celdas las columnas permanecen invariantes.

5

Nos situamos en la celda B9 y con el botón izquierdo pulsado nos desplazamos hasta la celda B11 para marcar el rango B9:B11. Con el rango marcado nos situamos en la esquina inferior derecha y con el botón izquierdo pulsado nos desplazamos hasta la columna E. Al soltar el botón nos aparecen todos los resultados. ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

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EN LA VIDA COTIDIANA... Los Juegos Olímpicos En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Conocer la actuación española en los Juegos Olímpicos. • Relacionar las medallas con el número de habitantes de cada país. • Analizar los resultados de algunos países de la Unión Europea en tres Olimpiadas consecutivas. • Plantear ecuaciones y sistemas, conocidas sus soluciones.

1

Actuación española en los Juegos Olímpicos

Los Juegos Olímpicos de la era moderna nacieron en Atenas en 1896, y desde entonces se han celebrado cada cuatro años, exceptuando 1916, 1940 y 1944, en que se suspendieron. En las 11 Olimpiadas en que España compitió hasta 1972 obtuvo tan solo 9 medallas: París 1900 (1 de plata), Amberes 1920 (2 de plata), Amsterdam 1928 (1 de oro), Los Ángeles 1932 (1 de bronce), Londres 1948 (1 de plata), Helsinki 1952 (1 de plata), Roma 1960 (1 de bronce) y Munich 1972 (1 de bronce).

Edición

Oro (o ) Plata (p ) Bronce (b ) Total

Montreal 1976

10

2

0

12

Moscú 1980

11

3

2

16

Los Ángeles 1984

11

2

2

15

Seúl 1988

11

1

2

14

Barcelona 1992

13

7

2

22

Atlanta 1996

15

6

6

17

Sidney 2000

13

3

5

11

En la tabla y el gráfico siguientes resumimos el medallero español obtenido en algunas Olimpiadas.

N.º de medallas

14 12 10 8 6 4 2

Plata Bronce 7 5

0

2

3 0

Montreal

2

Oro

13

1

2

Moscú

1

2

2

Los Ángeles

1

1 Seúl

6

6

2

2

Barcelona

5 3

Atlanta

3

Sidney

Relación de las medallas con el número de habitantes

En esta tabla aparecen algunos países participantes con su baremo (en millones de habitantes por medalla) en la Olimpiada de Sidney 2000. País

Medallas

Habitantes (mill.)

Baremo

Francia

38

158,5

1,5

Rusia

88

147,7

1,7

R. Unido

28

158,2

2,1

Canadá

14

129,9

2,1

Ucrania

23

151,4

2,2

Polonia

14

138,6

2,8

EE UU

97

271,6

2,8

España

11

139,7

3,6

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CON LOS DATOS DE LA TABLA, RESUELVE LAS ACTIVIDADES. a) De haber repetido España los resultados de Atlanta 1996, ¿en qué lugar de la tabla estaría? ¿Y si hubiera repetido los resultados de Barcelona 1992? b) Un país con 28 medallas y 45,7 millones de habitantes, ¿qué baremo obtuvo en Sidney 2000? c) Un país con 7 medallas y un baremo de 2,4, ¿cuántos millones de habitantes tenía en el año 2000? d) Un país con 8,8 millones de habitantes y un baremo de 0,8, ¿cuántas medallas obtuvo en Sidney 2000?


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3

Análisis de los resultados de algunos países de la Unión Europea

País Barcelona 92 Atlanta 96 Sidney 2000

Alemania

33-21-28

20-8-27

14-17-26

Austria

0-2-0

0-1-2

2-1-0

Bélgica

0-1-2

2-2-2

0-2-3

Dinamarca

1-1-4

4-1-1

2-3-1

España

13-7-2

5-6-6

3-3-5

Finlandia

1-2-2

1-2-1

2-1-1

Francia

8-5-16

15-7-15

13-14-11

Grecia

2-0-0

4-4-0

4-6-3

Holanda

2-6-7

4-5-10

12-9-4

Irlanda

1-1-0

3-0-1

0-1-0

Italia

6-5-8

13-10-12

13-8-13

Luxemburgo

0-0-0

0-0-0

0-0-0

Portugal

0-0-0

1-0-1

0-0-2

R. Unido

5-3-12

1-8-6

11-10-7

Suecia

1-7-4

2-4-2

4-5-3

4

Para realizar un análisis de los resultados y comprender mejor su evolución, son de utilidad las siguientes actividades, que debes realizar usando los datos de la tabla. a) ¿Cuántas medallas obtuvo en total cada país de la Unión Europea en cada Olimpiada? b) Establece el orden de los países según las medallas conseguidas en cada Olimpiada. c) Obtén el número total de medallas de cada país en estos tres Juegos Olímpicos. d) Establece los porcentajes de variación del total de medallas de cada país en Atlanta y Sidney respecto de la Olimpiada anterior. e) Teniendo en cuenta la respuesta a la pregunta anterior, ¿qué país ha tenido una mejor evolución en sus resultados? f) ¿Qué país de la tabla no ha obtenido ninguna medalla?

Planteamiento de ecuaciones y sistemas, conocidas sus soluciones

Vamos a partir de las tablas anteriores para establecer condiciones que nos permitan formar sistemas de ecuaciones y llegar a su solución. Considerando las medallas conseguidas por España en Sidney 2000 (3 oros, 3 platas y 5 bronces), formula un enunciado que permita obtener estos valores resolviendo un sistema de ecuaciones. España obtuvo en total 11 medallas. Consiguió los mismos oros que platas y obtuvo dos medallas más de bronce que de plata. ¿Cuántas medallas obtuvo de cada tipo?

RESUELVE LAS ACTIVIDADES. a) Los países de la tabla obtuvieron entre Sidney y Atlanta 468 medallas, siendo diez más las de Atlanta que las de Sidney. ¿Cuántas obtuvieron en cada Olimpiada?


Los resultados (o-p-b) de algunos países de la Unión Europea en tres Olimpiadas consecutivas fueron:

7

b) Italia obtuvo en Sidney 34 medallas, siendo el mismo número de medallas de oro que de bronce y cinco medallas más de oro que de plata. ¿Cuántas medallas obtuvo de cada tipo?

Hay tres incógnitas: o = oro, p = plata, b = bronce 1.ª ecuación: o + p + b = 11 2.ª ecuación: o = p 3.ª ecuación: b = p + 2 El sistema de ecuaciones es: o + p + b = 11 o = p b = p + 2

4

Se resuelve por sustitución, sustituyendo o y b en la primera ecuación: p + p + (p + 2) = 11, de donde p = 3 Por tanto obtuvo: oro = 3, plata = 3 y bronce = 5. ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

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estrategias de resolución de problemas Distintos planteamientos mediante ecuaciones Estrategia Un problema se puede resolver planteando diferentes ecuaciones cuya solución

nos puede dar un resultado distinto. Sin embargo, su interpretación final conduce a la misma solución del problema.

PROBLEMAS RESUELTOS La suma de tres números consecutivos es 48. ¿Cuáles son estos números?

Planteamiento y resolución Llamamos x al número central, (x - 1) al anterior y (x + 1) al posterior. Z ]] x - 1 = 15 (x - 1) + x + (x + 1) = 48 " x + x + x = 48 " x = 16 " [ x = 16 ] x + 1 = 17 \ En una granja hay conejos y gallinas. Si contamos las cabezas son 30 y si contamos las patas son 80. ¿Cuántos conejos y gallinas hay?

Planteamiento y resolución Llamamos x = n.o de conejos; y = n.o de gallinas. Planteamos las ecuaciones: x + 2y = 30 3 4x + 2y = 80 Resolvemos el sistema: 2 ? 1.a

Restamos 2.a - 1.a

2x + 2y = 60 3 4x + 2y = 80 2x = 20 De donde: x = 10

4x + 4y = 30 3 $ 2x + 2y = 60 3 4x + 2y = 80 4x + 2y = 80

"

Si x = 10, entonces: 10 + y = 30 " y = 20 Hay 10 conejos y 20 gallinas.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1 El dinero que tiene Pedro es el triple del que tiene Antonio. Si Pedro tuviese 0,18 € menos y Antonio

0,48 € más, los dos tendrían igual cantidad de dinero. ¿Cuánto tiene cada uno? 2 Halla dos números cuya suma es 100 y la diferencia de los cocientes que se obtienen al dividir

el mayor entre 4 y el menor entre 6 es 10.

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Introducción


Aunque no es el objetivo de este curso, los alumnos deben ser capaces de reconocer ecuaciones con dos incógnitas y obtener algunas soluciones de ellas. La obtención de sistemas equivalentes a uno dado es fundamental, ya que permite hallar la solución del sistema dado, de forma más sencilla. Se exponen a lo largo del tema los métodos de resolución de sistemas: método de sustitución, método de igualación y método de reducción. Se deben dejar claro los pasos que se seguirán para resolver un sistema por cada uno de los métodos mencionados, así como señalar sus similitudes y diferencias con los otros métodos. Asimismo, se explicará a los alumnos que la mayor o menor idoneidad de cada uno de ellos depende de los coeficientes de las incógnitas.

• Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, x e y, se expresa de la forma: }} ax + by = k 3 alx + bly = kl

OBJETIVOS 1. Identificar sistemas de ecuaciones y sus elementos.

• Resolver un sistema es encontrar dos números que, al reemplazarlos en las dos ecuaciones, las verifiquen. Un sistema es compatible si tiene solución. • Dos sistemas son equivalentes si tienen la misma solución. • Método de sustitución: despejar una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra. • Método de igualación: despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones, e igualar las expresiones obtenidas. • Método de reducción: buscar un sistema equivalente donde los coeficientes de una misma incógnita sean iguales y opuestos; restar o sumar las ecuaciones, eliminando así una incógnita, y resolver la ecuación.

CONTENIDOS

PROCEDIMIENTOS

• Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. • Coeficientes y términos independientes. • Solución de un sistema.

• Identificación de los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.

2. Resolver sistemas mediante el método de sustitución.

• Método de sustitución.

• Resolución de un sistema por el método de sustitución.

3. Resolver sistemas mediante el método de igualación.

• Método de igualación.

• Resolución de un sistema por el método de igualación.

4. Resolver sistemas mediante el método de reducción.

• Método de reducción. • Sistemas equivalentes.

• Resolución de un sistema por el método de reducción. • Obtención de sistemas equivalentes.


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OBJETIVO 1

Identificar SISTEMAS DE ECUACIONES y sus elementos NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones de las que se busca una solución común. Coeficientes de las incógnitas: a, al, b, bl ax + by = k 3"3 alx + bly = kl Términos independientes: k, kl

ejemplo Z ]] Incógnitas: x, y x+ y=5 3 " [ Coeficientes de las incógnitas: 1, 1, 1, -2 x - 2y = 2 ] \ Términos independientes: 5, 2

1 Determina las incógnitas, los coeficientes y los términos independientes de estos sistemas.

a) x - 2y = 7 3 3x - 4y = 2

b) -2x + y = -1 3 x - y = 0-

• Una solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de números que verifica ambas ecuaciones. • Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es encontrar sus soluciones.

ejemplo Comprueba si el siguiente sistema de ecuaciones tiene como solución x = 4 e y = 1. x+ y=5 3 x - 2y = 2 Veamos si la solución del enunciado verifica las dos ecuaciones del sistema. x+ y=5 3 x - 2y = 2

x = 4, y = 1

" 4 - 2 ? 1 = 2 3 " Cumple la ecuación. " Cumple la ecuación. 4+1?1=5

Por tanto, x = 4 e y = 1 es una solución del sistema. El sistema es compatible.

2 Determina si x = 0 e y = -1 es solución de estos sistemas.

a) 3x - 4y = 1 3 x + 4y = 2

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b) x + 4y = -2 3 3y = -3

c) x - 4y = -1 3 2x + 4y = -4


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OBJETIVO 2

Resolver sistemas mediante el MÉTODO DE SUSTITUCIÓN NOMBRE:

CURSO:

UNIDAD

7

FECHA:

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución: • Despejamos la incógnita en una de las dos ecuaciones. • Sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación. • Resolvemos la ecuación con una incógnita que resulta. • Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones para obtener la otra incógnita. • Comprobamos que la solución obtenida verifica ambas ecuaciones.

ejemplo Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de sustitución:

• Despejamos la incógnita x de la segunda ecuación. x = 10 + y • Sustituimos esta incógnita en la primera ecuación. x = 10 + y

" (10 + y) + y = 30 F

x + y = 30

• Resolvemos la ecuación obtenida. (10 + y) + y = 30 10 + y + y = 30 10 + 2y = 30 2y = 30 - 10 20 y= 2


x + y = 30 3 x - y = 10

y = 10

• Sustituimos el valor y = 10 en la primera ecuación. x + y = 30 x + 10 = 30 x = 20 • Comprobamos la solución obtenida. Para ello hay que sustituir el par de valores (20, 10) en las dos ecuaciones. x + y = 30 3 x - y = 10

Cumple la ecuación. " 20 + 10 = 30 3 " 20 - 10 = 10 " Cumple la ecuación.

x = 20, y = 10

La solución del sistema es el par de valores x = 20 e y = 10. Por tanto, el sistema de ecuaciones tiene solución.


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Resolver sistemas mediante el MÉTODO DE SUSTITUCIÓN 1 Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución.

x + 2y = 5 3 x - 2y = 2 • Elegimos para despejar la incógnita y en la primera ecuación. x + 2y = 5 3 " y = 5 - x x - 2y = 2 • Sustituimos esta incógnita en la segunda ecuación. y=5-x

" x - 2(5 - x) = 2 F

x - 2y = 2

• Resolvemos la ecuación obtenida.

x= • Sustituimos el valor de x obtenido en una de las ecuaciones, por ejemplo, en la primera. x+y=5 +y =2 y= x=

y =

• Comprobamos la solución del sistema. x + 2y = 5 3 " x - 2y = 2

+ -2 ?

=5

Z ]] [ ] \

Solución del sistema:

" 5 = 5 3 " Si obtenemos este resultado, los valores de x e y son correctos. 2 = 2 =2

2 Resuelve los sistemas mediante el método de sustitución y comprueba los resultados.

a) x + 3y = 8 3 2x - 2y = 9

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b) -x + y = 7 3 3x - y = 4


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UNIDAD

7

3 Resuelve mediante el método de sustitución y comprueba la solución del siguiente sistema:

3x - 1 + 2y = 1 5 3x y+ =2 2

4

• Hallamos el común denominador.

5 ? 2y 3x - 1 5 ?1 + = 5 5 5 2? y 3x 2?2 + = 2 2 2

4

• Quitamos los denominadores. 10y 3x - 1 5 + = 5 5 5 2y 3x 4 + = 2 2 2

4

De esta manera obtenemos: 3x - 1 + 10y = 5 3 2y + 3x = 4


Ahora resuélvelo tal y como has hecho en ejercicios anteriores. Comprueba la solución.

4 Resuelve mediante el método de sustitución y comprueba la solución del siguiente sistema:

x-2 + y=4 3 y x+ =6 3

4


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OBJETIVO 3

Resolver sistemas mediante el MÉTODO DE IGUALACIÓN NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de igualación: • Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. • Igualamos las expresiones obtenidas. • Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta. • Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones para obtener la otra incógnita. • Comprobamos la solución obtenida.

ejemplo Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de igualación: 2x - y = -1 3 3x + y = 11 • Despejamos la incógnita y de las dos ecuaciones. 2x + 1 = y0 3 11 - 3x = y • Igualamos las expresiones obtenidas. 2x + 1 = 11 - 3x • Resolvemos la ecuación obtenida. 2x + 1 = 11 - 3x 2x + 3x = 11 - 1 5x = 10 x=2 • Sustituimos el valor x = 2 en cualquiera de las ecuaciones. En este caso, elegimos la segunda. 3x + y = 11 3 ? 2 + y = 11 6 + y = 11

y=5

• Comprobamos la solución obtenida. Para ello hay que sustituir el par de valores (2, 5) en las dos ecuaciones. 2x - y = -1 3 3x + y = 11

x = 2, y = 5

Cumple la ecuación. " 3 ? 2 + 5 = 11 3 " " Cumple la ecuación. 2 ? 2 - 5 = -1


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UNIDAD

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1 Resuelve el sistema mediante el método de igualación y comprueba la solución:

x + y = 77 3 x-y=2 • Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. x + y = 77 " 3 x-y= 2 " • Igualamos las ecuaciones obtenidas.

• Resolvemos la ecuación de una incógnita obtenida.


• Sustituimos el valor de una de las incógnitas en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema.

• Comprobamos la solución.

2 Resuelve los siguientes sistemas mediante el método de igualación y comprueba

los resultados. a) x + 2y = 4 3 2x - 4y = 0

b) 2x + 15y = 10 3 4x + 10y = 20


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Resolver sistemas mediante el MÉTODO DE IGUALACIÓN 3 Resuelve mediante el método de igualación y comprueba la solución del siguiente sistema

de ecuaciones con denominadores. y x + =4 2 3 4 x + y = 10

a) Hallamos el común denominador.

2y 3x 24 + = 6 6 4 6 x + y = 10

b) Quitamos los denominadores. 3x + 2y = 24 3 x + 2y = 10

Ahora resuélvelo tal y como has hecho en ejercicios anteriores. Comprueba la solución.

4 Resuelve mediante el método de igualación y comprueba la solución del sistema:

y x + =6 2 3 2y x + =6 3 9

4

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OBJETIVO 4

Resolver sistemas mediante el MÉTODO DE REDUCCIÓN NOMBRE:

CURSO:

UNIDAD

7

FECHA:

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de reducción: • Buscamos un sistema equivalente donde los coeficientes de una misma incógnita sean iguales u opuestos. • Restamos o sumamos las dos ecuaciones obtenidas, eliminando así una incógnita. • Resolvemos la ecuación que resulta. • Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones para obtener la otra incógnita. • Comprobamos la solución obtenida.

ejemplo Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de reducción: x + 2y = 25 3 2x + 3y = 40 Elegimos una incógnita en las dos ecuaciones, en este caso x. Multiplicamos la primera ecuación por 2. 2(x + 2y = 25) 3 2x + 3y = 40 Ahora el sistema equivalente es: 2x + 4y = 50 3 2x + 3y = 40


• Obtenemos un sistema equivalente.

• Restamos las dos ecuaciones del sistema para eliminar la x. 2x + 4y = 50 2x + 4y = -50 3 3 - (2x + 3y = 40) " -2x - 3y = -40 -2x ++y = + 10 +-2x • Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta. y = 10 • Sustituimos el valor obtenido en una de las dos ecuaciones del sistema, en este caso en la primera ecuación. x + 2y = 25 x + 2 ? 10 = 25 x=5 • Comprobamos el resultado. x + 2y = 25 3 2x + 3y = 40

x = 5, y = 10

"

5 + 2 ? 10 = 25 3 " 25 = 25 3 2 ? 5 + 3 ? 10 = 40 40 = 40



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Resolver sistemas mediante el MÉTODO DE REDUCCIÓN 1 Resuelve el siguiente sistema por el método de reducción y comprueba el resultado:

3x - 2y = -10 3 4x + 5y = 140

• Obtenemos un sistema equivalente. Elegimos una incógnita, por ejemplo la y. Multiplicamos la primera ecuación por 5 y la segunda ecuación por 2. Z Z 5(3x - 2y = -10) ]] 15x - 10y = -50 ]] [ " [ 8x + 10y = 280 ] 2(4x + 5y = 140) ] \ \

F F

• Sumamos las dos ecuaciones para eliminar la y. 15x - 10y = -50 3 + 8x + 10y = 280 23x + 10y = 230 • Resolvemos la ecuación obtenida.

x= • Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones del sistema y obtenemos el valor de y.

• Comprobamos la solución.

2 Resuelve por el método de reducción el sistema y comprueba el resultado:

3x + 2y = 26 3 2x - 3y = -13

Elegimos una incógnita: ¿Por qué número tenemos que multiplicar las ecuaciones para que esa incógnita desaparezca al sumarlas?

(2x - 3y = -13)

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Z ]] [ ] \

(3x + 2y = 26)

"


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UNIDAD

7

PROPUESTAS DE EVALUACIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS Se pueden considerar básicos los conceptos estudiados en la unidad anterior y todos los aspectos trabajados en otros cursos sobre la resolución de problemas. • Distinción entre lo que se conoce (dato) y lo que se desconoce (incógnita). • Realización de diagramas, figuras o esquemas, según el problema planteado. • Cálculo con expresiones algebraicas. • Resolución de ecuaciones de primer grado.

EVALUACIÓN INICIAL


Las cuestiones planteadas en la evaluación están dirigidas a comprobar que los alumnos tienen asimilados los conceptos básicos sobre la resolución de ecuaciones:

La evaluación que se ha diseñado contiene actividades de procedimientos estudiados en la unidad: resolución de sistemas de ecuaciones por diferentes métodos y un par de problemas para resolver con sistemas.

Los dos primeros ejercicios están relacionados con la traducción de expresiones al lenguaje algebraico. Y los dos siguientes con el valor numérico de una expresión algebraica y la resolución de ecuaciones de primer grado, respectivamente.


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SUGERENCIAS SOBRE LAS EVALUACIONES Y SU CORRECCIÓN

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UNIDAD

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EVALUACIÓN INICIAL 1 Expresa las siguientes frases con lenguaje numérico.

Lenguaje usual

Lenguaje numérico

a) El triple de dos es seis. b) Veinte dividido entre cinco da cuatro. c) Quince menos ocho es siete. d) El cubo de dos es ocho. e) La cuarta parte de doce es tres. 2 Utiliza expresiones algebraicas para expresar estos enunciados.

Expresión escrita


El doble de la suma de dos números. El cuadrado de un número más cuatro unidades. El perímetro de un pentágono regular de lado l. La suma de tres números consecutivos. La mitad de un número. El perímetro de un triángulo equilátero de lado x. 3 Halla el valor numérico de la expresión algebraica

x + 1 cuando x toma el valor: 2

a) x = 6

c) x = 0

b) x = -8

d) x = -2

4 Calcula mentalmente el valor x en las siguientes ecuaciones:

Ecuación

Valor de x

4 + x = 10 20 - x = 6 1=9-x -x + 5 = 10 1=x+1 10 - 2x = 4

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UNIDAD

7

EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Expresa las siguientes frases con lenguaje numérico.

Lenguaje usual

Lenguaje numérico

a) El triple de dos es seis.

3?2=6

b) Veinte dividido entre cinco da cuatro.

20 : 5 = 4

c) Quince menos ocho es siete.

15 - 8 = 7

d) El cubo de dos es ocho.

23 = 8

e) La cuarta parte de doce es tres.

12 =3 4

2 Utiliza expresiones algebraicas para expresar estos enunciados.

Expresión escrita


El doble de la suma de dos números. El cuadrado de un número más cuatro unidades.

x2 + 4

El perímetro de un pentágono regular de lado l.

5l

La suma de tres números consecutivos.

x + (x + 1) + (x + 2)

La mitad de un número.

x 2

El perímetro de un triángulo equilátero de lado x.

3x

3 Halla el valor numérico de la expresión algebraica

a) x = 6 "

x +1 2

b) x = -8 "

x=6

"

6 + 1 = 4 2

x = -8 - 8 x " +1 + 1 = - 3 2 2


2(x + y)

x + 1 cuando x toma el valor: 2 c) x = 0 "

x +1 2

d) x = -2 "

x=0

"

0 +1 = 1 2

x = -2 - 2 x " +1 +1 = 0 2 2

4 Calcula mentalmente el valor x en las siguientes ecuaciones:

Ecuación

Valor de x

4 + x = 10

6

20 - x = 6

14

1=9-x

8

-x + 5 = 10

-5

1=x+1

0

10 - 2x = 4

3


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UNIDAD

7

ERES CAPAZ DE…

Comprobar si un par de valores es solución de un sistema de ecuaciones.


1 En el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

2x + 3y = 12 3 x + 3y = 5 3

comprueba si son o no solución los pares de valores. a) x = 0, y = 5 b) x = 2, y = 3 c) x = 3, y = 2

Comprobar si dos sistemas son equivalentes.

Buscar la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por los métodos de sustitución, igualación y reducción.

2 Comprueba que los dos sistemas son equivalentes y resuélvelos.

x - 2y = - 6 3 3x + 6y = - 6

2x - 4y = 12 3 5x + 2y = 66

3 Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución:

2x - 2y = - 6 3 3x + 6 y = - 6

4 Resuelve el sistema por el método de igualación:

2x + 3y = - 8 3 2x - 2y = + 5


ACTIVIDADES

• Enumerar e identificar elementos . ....................................................................................................................... 1 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc................................................................................ • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ............................................................................ 1, 2, 3 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ............................................................................................................ • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc.............................................................................................................. 4, 5, 6, 7, 8

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UNIDAD

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5 Resuelve el sistema por el método de reducción:

2x + 4 y = 3 3 3x - 4y = 8

6 Resuelve el sistema por el método que consideres más adecuado:

3x + 4y = - 41 3 6x - 9y = - 32

7 La suma de dos números es 24, y el triple del primero menos la mitad

del segundo da como resultado 23. ¿De qué números se trata?


Resolver problemas reales, planteando y resolviendo sistemas de ecuaciones lineales.

8 Las edades de un padre y un hijo suman 48 años, y dentro de 8 años,

la edad del padre triplicará a la del hijo. ¿Cuáles son sus respectivas edades?


ACTIVIDADES

• Clasificar y discriminar según criterios .................................................................................................................... • Contrastar operaciones, relaciones, etc. .................................................................................................................. 6 • Combinar, componer datos, resumir, etc. ............................................................................................................... 5 • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ..........................................................................................................


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UNIDAD

7

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1 En el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

de valores.

2x + 3y = 12 3 comprueba si son o no solución los pares x + 3y = 5 3

a) x = 0, y = 5 2 x + 3 y = 12 x = 0, y = 5 2 " 2 ? 0 + 3 ? 5 fi 12 " No es solución. 2 x + 2y = 15 b) x = 2, y = 3 2 x + 3 y = 12 x = 2, y = 3 3 " 2 ? 2 + 3 ? 3 fi 12 " No es solución. 2 x + 2y = 15 c) x = 3, y = 2 x = 3, y = 3 2 ? 3 + 3 ? 2 = 12 3 2 x + 3 y = 12 " Es solución. 2 x = 3, y = " 3 2 x + 2 y = 15 "3+2=5 2 Comprueba que los dos sistemas son equivalentes y resuélvelos.

x - 2y = - 6 3 3x + 6y = - 6

2x - 4y = 12 3 5x + 2y = 66

La solución de los dos sistemas es: x = 2, y = -2 Por tanto, los sistemas son equivalentes. El segundo sistema tiene: 1.ª ecuación = (1.ª ecuación) ? 2 2.ª ecuación = 2.ª ecuación - 2 ? (1.ª ecuación) 3 Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución:

3 x - 2y = - 6 2 3x + 6 y = - 6

Sustitución 1.ª

" x = 6 + 2 y " 3 (6 + 2 y) + 6 y = - 6 " y = - 2, x = 2

4 Resuelve el sistema por el método de igualación:

3 x - 3y = - 8 2 2x + y = 5

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Igualación

" - 8 - 3 y =

5+y " y = - 3, x = 1 2


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UNIDAD

7

5 Resuelve el sistema por el método de reducción:

2x + 4y = 3 3 3x - 4y = 8

Reducción 2.ª ec ? 4

12 x + 4 y = 33

" + 12 x - 4 y = 32 2 " x = = , y =14 2 2 35

5

1

(+) 14 x - 4y = 35

6 Resuelve el sistema por el método que consideres más adecuado:

3x + 4y = - 41 3 6x - 9y = - 32

Reducción 2.ª ec ? 9

27 x +39 y = - 39

2 " + 36 x - 39 y = - 32 " x = 33 , y = 11

- 23

34

33 x - 39 y = -23

7 La suma de dos números es 24, y el triple del primero menos la mitad del segundo da como resultado 23.

¿De qué números se trata? x " primer número y " segundo número

x + y = 24 y 4 " y = 24 - x " 3x - 24 - x = 23 " 6 x - 24 + x = 46 " 7 x = 70 " 3x = 23 2 2 " x = 10, y = 14

8 Las edades de un padre y un hijo suman 48 años, y dentro de 8 años, la edad del padre triplicará

a la del hijo. ¿Cuáles son sus respectivas edades?

x " edad del padre y " edad del hijo

x + y = 48 2 " x = 48 - y " 48 - y + 8 = 3 (y + 8) " 56 - y = 3 y + 24 " 32 = 4 y " x + 8 = 3 (y + 8)

" x = 40, y = 18


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8 Proporcionalidad numérica PROGRAMACIÓN DE AULA

objetivos • Determinar si dos razones forman proporción. • Distinguir si dos magnitudes son directamente proporcionales. • Resolver problemas reales que impliquen el uso de una regla de tres simple directa o de la reducción a la unidad.

• Resolver problemas reales que impliquen el uso de una regla de tres simple inversa o de la reducción a la unidad. • Hallar el tanto por ciento de una cantidad. • Resolver problemas con porcentajes. • Calcular aumentos y disminuciones porcentuales.

• Determinar si dos magnitudes son inversamente proporcionales.


• Razón y proporción. • Magnitudes directamente proporcionales. • Regla de tres simple directa y reducción a la unidad. • Magnitudes inversamente proporcionales. • Regla de tres simple inversa y reducción a la unidad. • Tanto por ciento de una cantidad. • Aumentos y disminuciones porcentuales.


• Distinción entre magnitudes directa o inversamente proporcionales. • Construcción de tablas de proporcionalidad directa e inversa. • Resolución de problemas mediante reglas de tres simples (directas e inversas) y por reducción a la unidad. • Resolución de problemas de cálculos de porcentajes.

ACTITUDES

• Incorporación al lenguaje cotidiano de términos relacionados con la proporcionalidad numérica, directa e inversa. • Orden en la resolución y la presentación de los cálculos y soluciones en problemas de proporcionalidad.

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UNIDAD

8

COMPETENCIAS QUE SE TRABAJAN • Identificar relaciones de proporcionalidad numérica (directa e inversa), y resolver problemas en los que se usan estas relaciones, haciendo hincapié en los problemas-tipo asociados a estas relaciones. • Aplicar el razonamiento deductivo e inductivo en contextos numéricos y alfanuméricos. • Valorar e integrarse en el trabajo en grupo para la realización de actividades de diversos tipos, como base del aprendizaje matemático, de la formación de la autoestima y de valores sociales.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN • Distinguir si dos razones forman proporción. • Aplicar la propiedad fundamental de las proporciones en la resolución de diferentes problemas. • Completar tablas de proporcionalidad y series de razones iguales.

• Distinguir si dos magnitudes son directa o inversamente proporcionales. • Aplicar la regla de tres simple, tanto directa como inversa, en la resolución de problemas, estableciendo cuál debe aplicarse en cada caso. • Utilizar los porcentajes para resolver distintos problemas.


ESQUEMA DE LA UNIDAD PROPORCIONALIDAD

Magnitudes directamente proporcionales ?3

Magnitudes inversamente proporcionales ?4

:3

6

120 160 200 240

?2

…

Velocidad (km/h)

30

60

120

240

…

…

Tiempo (h)

20

10

5

2,5

…

F

:2

:3

a al = … = k (constante de proporcionalidad) = b bl

a ? b = al ? bl = … = k (constante de proporcionalidad)

Porcentajes

Si de C Si de 100

hay habrá

de donde: t =

A t

A ? 100 C

Cálculo de la parte Si de 100 Si de C

?2

:4

?3

Cálculo del porcentaje

hay habrá

de donde: A =

14 % de 150 = 150 ?

14 = 150 ? 0,14 100

Cálculo del total t A

t ?C 100

Si de 100 Si de C

hay habrá

de donde: C =


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F

5

F

F

80 F

40

4

F

F

Precio (€)

3

F

2

F

1

F

F

F

Peso (kg)

:2

?2

?2

t A A ? 100 t

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UNIDAD

8

LECTURA INICIAL Cuando el verde es rojo John Dalton nació en Eaglesfield (Reino Unido) en 1766 y murió en Manchester en 1844. Aunque provenía de una familia humilde, tanto él como sus hermanos pudieron estudiar en una escuela cuáquera, destacando de tal modo que un miembro de la comunidad, Elihu Robinson, se convirtió en su mecenas y le dio la oportunidad de continuar sus estudios. John Dalton y su hermano padecían una enfermedad llamada «ceguera de los colores», enfermedad que fue estudiada y descrita por el propio Dalton y, a partir de entonces, se conoce como daltonismo. Varias son las anécdotas referidas a esta enfermedad: una de ellas relata el enfado de su madre cuando le regaló una prenda que él creía que era de color azul pero en realidad era roja, color inapropiado para una mujer cuáquera; otra de estas anécdotas ocurrió en 1832, cuando fue a conocer al rey Guillermo IV con un traje académico de color escarlata, aunque él pensaba que era de color grisáceo. Entre sus aportaciones científicas cabe destacar sus trabajos metereológicos de 1793, donde entre otras aportaciones apuntó que la lluvia es producida por un descenso de la temperatura y no de la presión. En 1794 publicó su ensayo sobre el daltonismo, enfermedad que él mismo denominó así. Entre 1800 y 1810 publicó sus investigaciones sobre la ley de las presiones parciales, la ley de las proporciones múltiples y la teoría atómica, donde sentó las bases de la Física moderna.

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Curiosidades matemáticas ¿Son proporcionales? Hay que tener cuidado al analizar si dos magnitudes son directamente proporcionales. No basta con comprobar que si crece la primera magnitud, también lo hace la segunda, o que si decrece la primera, decrece la segunda, sino que este crecimiento o decrecimiento ha de ser proporcional: a doble cantidad de una le corresponde el doble de la otra; a la mitad de la primera le corresponde la mitad de la segunda…

B A

A continuación, vamos a ver un ejemplo de ello. Sabemos que, en una circunferencia, a los arcos iguales (menores de 180º) les corresponden & & cuerdas iguales. Podemos observar en la primera figura que AB = CD y AB = CD y que, por tanto, cuanto mayor sea la amplitud de arco, mayor será la cuerda. D C

C B

A

¿Podemos entonces afirmar que, en una circunferencia, las cuerdas son proporcionales a los arcos? No es suficiente, y vamos a dar un contraejemplo. Observa la segunda figura. Es un hexágono regular inscrito en una circunferencia. Se cumple que: & & & & AB = BC , por lo que: AC = 2AB ¿Qué relación hay entre las cuerdas AC y AB? Las cuerdas AB, AC y BC forman un triángulo y, como en todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos, resulta que la longitud del lado AC es menor que AB & + BC = 2AB. Es decir, el lado&AC no mide el doble que AB, mientras que el arco AC sí que es el doble del arco AB .


O

Por tanto, las magnitudes amplitud de arco y longitud de la cuerda no son directamente proporcionales.

Nicolas Tartaglia Nicolas Tartaglia nació en la ciudad de Brescia (Italia) en 1499. Durante el saqueo de los franceses en 1512 resultó herido en el rostro, lo que le causó una tartamudez de por vida, y por eso se le conoce como Tartaglia o Tartamudo. Su obra más importante es General trattato di numeri et misure (1556‑1560). En ella se desarrollan contenidos de Álgebra, Geometría práctica y Aritmética. Enseñó en las Universidades de Verona, Brescia y Venecia, donde murió en 1557.


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Calcula las cantidades desconocidas. 250

3 000

c

Cantidad total

175

450

c

Tanto por ciento

3

b

5

Tanto por ciento

20

b

7

Parte

a

210

45

Parte

a

9

21

Cantidad total

1. Para determinar a copiamos los datos de la primera columna, y construimos la fórmula para calcular la parte del total.

2. Pulsamos Intro y obtenemos el resultado. Introducimos los datos de la segunda columna, y construimos la fórmula del porcentaje.

3. Obtenemos el resultado con Intro, copiamos los datos de la tercera columna y construimos la fórmula para calcular la cantidad total.

4. Pulsamos Intro y obtenemos el resultado. Con estas fórmulas podemos hallar cualquier término desconocido de un porcentaje.

5. Así, si escribimos encima de las celdas los datos conocidos de la segunda tabla, obtenemos los nuevos resultados.

SUGERENCIAS PARA RESOLVER LAS ACTIVIDADES 1 Para resolver este ejercicio tenemos que prestar

especial atención en los siguientes pasos: • Paso 1 para resolver el apartado a). • Paso 2 para resolver el apartado b).

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2 Para resolver el apartado a) de este ejercicio solo

tenemos que prestar atención al paso 3. Para resolver el apartado b) hay que tener en cuenta que aumentar un 10 % a una cantidad es equivalente a calcular su 110 %.


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UNIDAD

PASO A PASO

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1

Escribimos los rótulos en la columna A. A continuación rellenamos las celdas B2 y B3 con los datos de la primera columna de la tabla del ejercicio. Escribimos en la celda B4 la fórmula para calcular una parte conocida la cantidad total y el tanto por ciento: =B2*B3/100

2

Al pulsar INTRO aparece el resultado de la celda B4, que es 7,5. En las celdas C2 y C4 escribimos los datos de la segunda columna de la tabla del ejercicio.

3

Al pulsar INTRO aparece el resultado de la celda C3, que es 7. En las celdas D3 y D4 escribimos los datos de la tercera columna de la tabla del ejercicio. Escribimos en la celda D3 la fórmula para calcular la cantidad total conocido el tanto por ciento y la parte: =100*D4/D3


Escribimos en la celda C3 la fórmula para calcular el tanto por ciento conocida la cantidad total y la parte: =100*C4/C2

4

Al pulsar INTRO aparece el resultado de la celda B4, que es 900. En esta pantalla tenemos completa la primera tabla del ejercicio.

5

Escribimos sobre las columnas B, C y D los nuevos datos de la segunda tabla del ejercicio. Según se van rellenando las celdas, automáticamente, se actualizan los valores de las celdas B4, C3 y D2. Obtenemos los nuevos valores de a, b y c : 35, 2 y 7, respectivamente.


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Calcula las cantidades desconocidas. 250

3 000

c

Cantidad total

175

450

c

Tanto por ciento

3

b

5

Tanto por ciento

20

b

7

Parte

a

210

45

Parte

a

9

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Cantidad total

1. Para determinar a copiamos los datos de la primera columna, y construimos la fórmula para calcular la parte del total.

2. Pulsamos Intro y obtenemos el resultado. Introducimos los datos de la segunda columna, y construimos la fórmula del porcentaje.

3. Obtenemos el resultado con Intro, copiamos los datos de la tercera columna y construimos la fórmula para calcular la cantidad total.

4. Pulsamos Intro y obtenemos el resultado. Con estas fórmulas podemos hallar cualquier término desconocido de un porcentaje.

5. Así, si escribimos encima de las celdas los datos conocidos de la segunda tabla, obtenemos los nuevos resultados.


INVESTIGA

1. Calcula. 2. Calcula. a) La parte del total si la cantidad total es 4 507 a) El porcentaje en el que se ha aumentado si la y el porcentaje es 12. cantidad total es 250 y la parte del total es 300. b) El porcentaje si la cantidad total es 1 325 y la b) La cantidad total si la parte del total es 45 y parte del total es 318. se ha aumentado un 10 %.

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PASO A PASO

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1

Escribimos los rótulos en la columna A. A continuación rellenamos las celdas B2 y B3 con los datos de la primera columna de la tabla del ejercicio. Escribimos en la celda B4 la fórmula para calcular una parte conocida la cantidad total y el tanto por ciento: =B2*B3/100

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Al pulsar INTRO aparece el resultado de la celda B4, que es 7,5. En las celdas C2 y C4 escribimos los datos de la segunda columna de la tabla del ejercicio.

3

Al pulsar INTRO aparece el resultado de la celda C3, que es 7. En las celdas D3 y D4 escribimos los datos de la tercera columna de la tabla del ejercicio. Escribimos en la celda D3 la fórmula para calcular la cantidad total conocido el tanto por ciento y la parte: =100*D4/D3


Escribimos en la celda C3 la fórmula para calcular el tanto por ciento conocida la cantidad total y la parte: =100*C4/C2

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Al pulsar INTRO aparece el resultado de la celda B4, que es 900. En esta pantalla tenemos completa la primera tabla del ejercicio.

5

Escribimos sobre las columnas B, C y D los nuevos datos de la segunda tabla del ejercicio. Según se van rellenando las celdas, automáticamente, se actualizan los valores de las celdas B4, C3 y D2. Obtenemos los nuevos valores de a, b y c : 35, 2 y 7, respectivamente.


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EN LA VIDA COTIDIANA... Medio ambiente y reciclado En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Aplicar la proporcionalidad en contextos reales para resolver problemas. • Desarrollar actitudes responsables relacionadas con los recursos y la energía en la mejora del medio ambiente.

1

El reciclado del vidrio

El reciclado es un proceso que tiene por objeto la recuperación, de forma directa o indirecta, de los componentes y sustancias que se encuentran en los residuos industriales y domésticos. Los países industrializados son grandes productores de desechos con un alto coste de eliminación, lo que obliga a tomar medidas que tiendan a minimizar esos residuos y, también, a reducir la dependencia de las materias primas. El reciclado doméstico se basa en la selección de materiales que pueden ser recuperables: papel, cartón, vidrio, plásticos, etc. Con ello se consiguen los siguientes objetivos. • Conservación o ahorro de energía. • Conservación o ahorro de recursos naturales. • Disminución del volumen de residuos que hay que eliminar. • Protección del medio ambiente. Respecto a los residuos, el vidrio es un material fácilmente recuperable. Su reciclado produce una serie de beneficios como, por ejemplo: • No extracción de materias primas. Por cada tonelada de envases de vidrio usado que se recicla, se ahorran 1,2 toneladas de materias primas. • Menor consumo de energía. Se calcula un ahorro de 130 kg de gasoil por cada tonelada de vidrio recogido. • Disminución del volumen de residuos. El coste de recogida y eliminación de una tonelada de basura puede estimarse en una media de unos 30 €. Los datos de la recogida de vidrio realizada en el año 1993 fueron: Vidrio industrial " 190 290 536 kg Vidrio doméstico " 137 841 639 kg La producción total de vidrio en España en ese año fue de unos 1 200 millones de toneladas.

240 277995 _ 0232-0261.indd 240

HAZ ESTAS ACTIVIDADES. a) ¿Qué porcentaje del total de vidrio producido en España se recogió para reciclar en el año 1993? b) ¿Qué porcentaje sobre el total de vidrio recogido supuso el vidrio doméstico? c) ¿Y sobre el total de vidrio producido? d) Calcula el ahorro en extracción de materias primas que supuso en 1993 la recogida de vidrio industrial. e) Calcula el ahorro en dinero y energía que supuso la recogida de vidrio doméstico. Trece años después, en 2006, la recogida total de vidrio fue de 840 131 toneladas, lo que supuso un 54 % de la tasa general de reciclado. REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. a) ¿Cuántas toneladas de residuos se recogieron en el año 2006? b) ¿Qué incremento porcentual de recogida hubo en esos trece años? c) ¿Cuál fue el porcentaje de incremento anual? d) Suponiendo que ese incremento es constante de año en año, haz una estimación de cuántas toneladas de vidrio se recogieron en los años 2004 y 2005.


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UNIDAD

2

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El reciclado del papel

Según los últimos estudios, una persona genera unos residuos de papel de 150 kg al año. La recogida selectiva de papel, además de ahorro económico, aporta una serie de beneficios: • Conservación de recursos forestales. Alrededor de 21 millones de toneladas de papel y cartón usados se han recuperado en los últimos 19 años, y se ha evitado cortar unos 300 millones de árboles, que ocuparían medio millón de hectáreas de monte.

HAZ LAS ACTIVIDADES. a) En una ciudad se han recogido 1 200 toneladas de papel para reciclar. Calcula cuántos metros cúbicos de madera se ahorran por realizar esa recogida selectiva. b) Calcula el ahorro energético y en agua que se produce.

• Ahorro energético. El proceso de fabricación de papel y cartón, a partir de fibras celulósicas recuperables, supone un ahorro de energía del 70 % al año. Por tanto, si hacemos una selección previa de papel, esta materia prima será aprovechada por la industria papelera al tiempo que los ayuntamientos, al tener que recoger y eliminar menor cantidad de basura, reducirían los costes de este servicio, que son de unos 30 € por tonelada.

3


Para la producción de una tonelada de papel son necesarios 3,8 m3 de madera, 100 000 litros de agua y 5 000 kWh de energía. Ahora bien, si reciclamos el papel usado, las cantidades se reducen a 2 000 litros de agua, 2 500 kWh y nada de madera.

El reciclado de otras materias

Hay otras materias que son susceptibles de ser recicladas y reutilizadas. Entre ellas, y debido a su toxicidad, están las pilas de diferentes tipos, el tóner y los cartuchos de las impresoras, las baterías de aparatos y coches, etc.

En junio de 1990, el Consejo de Ministros de Medio Ambiente de la UE aprobó una directiva en la que se reguló que aquellas pilas y acumuladores que contuvieran más del 0,025 % de su peso en mercurio o cadmio, debían someterse a tres acciones principales: la recogida selectiva, su reciclado y la reducción del contenido de metales pesados. El compostaje es otra técnica muy importante de reciclado, que consiste en un proceso de descomposición biológica de la materia orgánica contenida en los residuos sólidos urbanos en condiciones controladas. Con ello se recupera la fracción orgánica para su empleo en la agricultura, lo que implica una vuelta a la naturaleza de las sustancias extraídas de ella. Busca datos sobre qué tipo de residuos se reciclan en tu localidad, cuántos puntos de recogida hay en la población, cuáles son los datos de recogida del último año, cómo se procesan los residuos recogidos y qué ahorro se ha producido.


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UNIDAD

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ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Empezar por el final Estrategia Normalmente, cuando resolvemos un problema, vamos utilizando los datos en el

orden en que aparecen en el enunciado. Pero hay otros tipos de problemas que se resuelven con más facilidad si empezamos por el dato del final, y vamos aplicando a este dato las operaciones correspondientes, hasta utilizar los datos iniciales.

PROBLEMA RESUELTO El encargado de una tienda de muebles añade 40 € de transporte al precio de fábrica de un sofá; a esta suma le añade un incremento del 25 % que se queda la tienda y, por último, el 18 % de IVA. Si el sofá se vendió por un total de 590 €, ¿cuál fue su precio de fábrica?

Planteamiento y resolución En el siguiente esquema se resume el enunciado del problema; las flechas inferiores indican los pasos que hay que seguir para obtener el precio de fábrica del sofá, empezando por el dato del final. + 40 Precio de fábrica (P ) - 40

Segundo precio (Pl)

? 1,25 : 1,25

Tercer precio (P m)

? 1,18

590 € : 1,18

Según el esquema, 590 se obtiene multiplicando 1,18 por el precio P m: 1,18 ? Pm = 590 " Pm = 590 : 1,18 = 500 € Conociendo el precio P m (500 €), el precio Pl se obtiene diviendo 500 entre 1,25: Pl = 500 : 1,25 = 400 € Conociendo el precio Pl (400 €), el precio inicial P se obtiene restando 40: P = 400 - 40 = 360 € El precio de fábrica del sofá es 360 €. Comprobación Empezando a resolver por el principio: 360 + 40 = 400 " 400 + 25 % de 400 = 500 500 + 18 % de 500 = 590 €

PROBLEMAS PROPUESTOS 1 Rosana compró un ordenador, una impresora

y una tarjeta de sonido. La impresora le costó 354 € y la tarjeta de sonido 180 €. Al importe total le aplicaron un descuento del 15 %. ¿Cuál fue el precio del ordenador si Rosana pagó 1 091,40 €?

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2 En una ciudad, el número de habitantes

se triplicó entre 1990 y 2000. De 2000 a 2005, el número de habitantes se duplicó, y entre 2005 y 2010, aumentó en un 5 %. ¿Cuál era la población de esta ciudad en 1990, si en 2010 tenía 1 575 000 habitantes?


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UNIDAD

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Comenzamos recordando la importancia del significado de las fracciones equivalentes. Objetos y situaciones de la vida real nos ayudan a introducir las relaciones entre magnitudes. Mediante la construcción de tablas de valores y la obtención de valores relacionados entre sí establecemos las relaciones de proporcionalidad.

• Una magnitud es cualquier cualidad o característica de un objeto que podemos medir. Cuando las magnitudes se relacionan entre sí se establece una relación de proporcionalidad. • Una razón es el cociente entre dos números a y b a que se pueden comparar: b

Planteados los conceptos de magnitud y proporción, se resuelven situaciones problemáticas de la vida cotidiana mediante la aplicación de la regla de tres (conocidos tres de los valores) y el método de reducción a la unidad, en magnitudes directamente proporcionales.

• Si igualamos dos razones obtenemos una proporción. De una serie de razones iguales se obtiene un valor constante llamado constante de proporcionalidad.

También presentamos la resolución de problemas con porcentajes, relacionada con el concepto de regla de tres. Los aumentos y las disminuciones porcentuales ayudarán a los alumnos en la resolución de las actividades.

OBJETIVOS

• Mediante la regla de tres simple directa calculamos el valor desconocido de una proporción en la que los valores son directamente proporcionales. • Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar o disminuir una, disminuye o aumenta la otra en la misma cantidad. • Mediante la regla de tres simple inversa calculamos el valor desconocido de una proporción en la que los valores son inversamente proporcionales.

CONTENIDOS

PROCEDIMIENTOS

1. Identificar la relación de proporcionalidad entre dos magnitudes.

• Concepto de magnitud y proporcionalidad. • Serie de razones iguales. Constante de proporcionalidad. • Proporciones. Propiedades.

• Identificación de las relaciones de proporcionalidad. • Construcción de tablas de valores de dos magnitudes. • Aplicación de las propiedades de las proporciones.

2. Reconocer magnitudes directamente proporcionales.

• Magnitudes directamente proporcionales. • Regla de tres simple directa. • Método de reducción a la unidad.

• Identificación de magnitudes directamente proporcionales. • Resolución de problemas: utilización de la regla de tres simple directa y reducción a la unidad.

3. Reconocer magnitudes inversamente proporcionales.

• Magnitudes inversamente proporcionales. • Regla de tres simple inversa. • Método de reducción a la unidad.

• Identificación de magnitudes inversamente proporcionales. • Resolución de problemas: utilización de la regla de tres simple inversa y reducción a la unidad.

4. Resolver problemas de porcentajes.

• Regla de tres y porcentaje.

• Resolución de problemas mediante el uso del tanto por ciento.


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Las relaciones entre magnitudes inversamente proporcionales plantean un mayor grado de dificultad, y se ofrecen desde el mismo punto de vista que las anteriores, mediante las relaciones entre proporciones y la reducción a la unidad.

• Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar o disminuir una, también aumenta o disminuye la otra en la misma cantidad.

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OBJETIVO 1

IDENTIFICAR LA RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD ENTRE DOS MAGNITUDES NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

FRACCIONES EQUIVALENTES Para comprobar si dos fracciones son equivalentes se multiplican en cruz sus términos, obteniéndose, en el caso de que sí lo sean, el mismo resultado.

F

F

2 F6 = 2 ? 15 = 5 ? 6 5 F 15 30 30

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FRACCIONES Si se multiplican o se dividen el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número distinto de cero, obtenemos una fracción equivalente y el valor de la fracción no varía. • Multiplicamos numerador y denominador de

Si multiplicamos, decimos que amplificamos la fracción.

30

F

F

2 2?3 6 2 F6 = por 3: F =F F 2 ? 15 = 5 ? 6 5 5?3 15 5 15 30

18 18 : 6 3 18 F3 = F entre 6: =F F 18 ? 2 = 12 ? 3 12 12 : 6 2 12 2 Si dividimos, decimos que simplificamos la fracción. 36 36 • Dividimos numerador y denominador de

F

F

1 Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones.

a)

3 6 y 5 10

c)

1 3 y 3 2

b)

4 10 y 6 15

d)

3 5 y 7 12

2 Halla el término que falta para que sean equivalentes las fracciones.

a)

2 4 = 3 x

c)

6 4 = x 8

b)

3 x = 5 10

d)

x 6 = 3 9

3 Escribe 4 fracciones equivalentes a las dadas mediante amplificación.

a)

2 = 5

=

=

=

c)

3 = 4

b)

1 = 2

=

=

=

d)

7 = 10

=

=

=

=

=

=

4 Escribe 3 fracciones equivalentes a las dadas mediante simplificación.

a)

40 = 60

b)

132 = 88

244 277995 _ 0232-0261.indd 244

= =

= =

c)

60 = 144

=

=

d)

90 = 120

=

=


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Concepto de magnitud. Proporcionalidad • Una magnitud es cualquier característica de un objeto que podemos medir. Ejemplo: la longitud, la masa, el número de alumnos, la capacidad, la velocidad, el precio, etc. • Las magnitudes se expresan en unidades de medida: metros, kilómetros, kilogramos, gramos, número de personas, litros, kilómetros por hora, metros por segundo, euros, dólares, etc. • En ocasiones las magnitudes se relacionan entre sí. Esta relación se denomina de proporcionalidad, y nos ayuda a solucionar problemas de la vida cotidiana.

ejemplo Un saco de harina pesa 10 kilogramos, 2 sacos de harina pesan 20 kilogramos y 3 sacos pesan 30 kilogramos. ¿Cuánto pesan 4 sacos? ¿Y 5 sacos? ¿Y 6 sacos? ¿Y 10 sacos? Tenemos dos magnitudes: número de sacos de harina y peso de los sacos. Entre ambas existe una relación de proporcionalidad: cuantos más sacos sean, más pesarán. Este ejemplo lo podemos expresar mediante una tabla, llamada tabla de proporcionalidad:

PESO (kg)

10

G

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

20

30

40

50

60

70

80

90 100 G

? 10 : 10


N.o DE SACOS

L as series de números de ambas magnitudes, número de sacos y peso, son proporcionales entre sí; por tanto, podemos pasar de una serie a otra, multiplicando o dividiendo por 10.

5 Referido al ejemplo anterior:

a) Indica el peso, en kg, de 15, 17, 18, 20 y 50 sacos, y elabora una tabla de proporcionalidad. b) ¿Cuántos sacos suponen 700 kg de harina? ¿Y 1 000 kg?

6 En una cafetería cada menú formado por bebida, bocadillo y patatas, cuesta 3 €.

Elabora una tabla de proporcionalidad con las magnitudes que se relacionan y expresa la relación entre los 10 primeros menús que se compran.

7 En las siguientes tablas de proporcionalidad, averigua el número por el que hay que multiplicar

y/o dividir para pasar de una serie a otra, y completa las tablas.

a)

2

3

8

12

5

7

9

11 44

b)

1

2

5

10

3

4


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5

6

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IDENTIFICAR LA RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD ENTRE DOS MAGNITUDES Razón entre dos números o cantidades a Una razón es el cociente indicado entre dos números, a y b, que se pueden comparar: b 2,5 4 10 ; , ; mientras que en una fracción En una razón, los números pueden ser cualesquiera: 5 3,5 25 2 4 10 los números son enteros: , , 5 3 25

Proporción Si igualamos dos razones, obtenemos una proporción. a c = es una proporción. b d Términos de una proporción

a, d se llaman extremos b, c se llaman medios

Lectura de las proporciones a c = se lee: La proporción b d

a es a b como c es a d

La proporción

3 9 = se lee: 4 12

3 es a 4 como 9 es a 12

Ejemplo N.º DE Sacos Peso (kg)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10

20

30

40

50

60

70

80

90 100

Formamos las siguientes razones y observamos que: 1 2 3 4 5 10 = 0,1 = 0,1 = 0,1 = 0,1 = 0,1 = 0,1 10 20 30 40 50 100 Son una serie de razones iguales. Su valor es el mismo: 0,1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = = = = = = = = = = 0,1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 • Este valor es constante y es el mismo en todas las proporciones. • Se llama constante de proporcionalidad.

8 Indica los extremos y los medios de estas proporciones. Proporción

Se lee

Extremos

Medios

4 16 = 7 28 1 3 = 8 24 3 6 = 10 20

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UNIDAD

9 Observa la siguiente tabla de valores.

3

9

18

27

36

45

54

1

3

6

9

12

15

18

8

a) Comprueba si forman una serie de razones iguales. b) Halla el valor de cada proporción. c) ¿Es el mismo en todas las proporciones? ¿Cómo se llama ese valor?

10 Dadas estas series de razones iguales, añade tres razones e indica la constante

de proporcionalidad. a)

3 6 = = 5 10

b)

6 12 = = 15 30

= =

=

=

c)

10 20 = = 8 16

d)

5 15 = = 8 24

= =

= =

11 Un quiosco vende las gominolas solo de una forma: 3 bolsas que cuestan 2 € ADAPTACIÓN CURRICULAR

a) Forma una tabla de proporcionalidad para 6, 9, 12, 15 y 18 bolsas de gominolas. b) Escribe tres parejas de razones iguales. c) Indica la constante de proporcionalidad.

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES • La suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a la constante de proporcionalidad. a c e a+c+e 1 2 3 4 1+2+3+4 10 = = = =k = = = = = = 0,5 2 b d f b+d+f 4 6 8 2+4+6+8 20 • En una proporción, el producto de extremos es igual al producto de medios. (Recuerda el concepto de fracciones equivalentes y los productos cruzados.) a c = b d

F a ? d = b ? c

1 2 = 2 4

F 1 ? 4 = 2 ? 2

3 4 = 6 8

F3?8 = 6?4

12 En las siguientes series de razones iguales, comprueba que la suma de los antecedentes dividida

entre la suma de los consecuentes es igual a la constante de proporcionalidad. a)

1 2 3 4 5 = = = = 4 8 12 16 20

Constante de proporcionalidad =

b)

.................

8 16 32 48 80 = = = = 2 24 8 12 20 Constante de proporcionalidad =


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................. 247 11/07/11 13:44

OBJETIVO 2

RECONOCER MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES • Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando: – Al aumentar una cantidad el doble, el triple..., la otra también aumenta el doble, el triple... – Al disminuir una cantidad la mitad, la tercera parte..., la otra también disminuye la mitad, la tercera parte... • La razón entre dos cantidades es siempre la misma y se llama constante de proporcionalidad.

ejemplo Un cupón de lotería cuesta 2 €, dos cupones 4 €, 3 cupones 6 €... • Distinguimos dos magnitudes: número de cupones y precio. – Al aumentar el número de cupones, aumenta su precio. – Al disminuir el número de cupones, también disminuye su precio. – Son magnitudes directamente proporcionales: N.º de cupones

1

2

3

4

5

6

Precio (€)

2

4

6

8

10

12

• Observamos las razones de las proporciones: 1 2 3 5 4 6 = = 0,5 = = 0,5 = = 0,5 2 4 6 10 8 12

G

? 2

:2

G

1 2 3 4 5 6 = = = = = = 0,5 2 4 6 8 10 12

La constante de proporcionalidad es siempre la misma: 0,5. Son series de razones iguales y forman fracciones equivalentes. • Multiplicando o dividiendo por el mismo número obtenemos valores equivalentes: :3

? 4

:5

1 " 4 6 " 2 5 " 1 ? 4 :3 :5 " 8 " 4 " 2 2 12 10

1 Indica si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales.

a) El peso de unos bombones y el dinero que valen. b) La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en recorrer una distancia. c) El número de hojas de un libro y su peso. d) El precio de una tela y los metros comprados. e) La edad de un alumno y su altura. 2 En una fábrica de ladrillos, 5 ladrillos apilados miden 1 metro de altura. Completa la tabla

con los valores correspondientes. a) Indica si son magnitudes directamente proporcionales. b) Forma proporciones y halla la constante de proporcionalidad. c) ¿Qué altura medirían 100 ladrillos? ¿Y 500 ladrillos?

248 277995 _ 0232-0261.indd 248

N.º de ladrillos

5

altura (m)

1

10

15

20

25

30

50


11/07/11 13:44

UNIDAD

8

3 Luisa y Ana tienen que pintar durante el verano la valla de la casa de sus abuelos.

La valla tiene una longitud de 30 metros y su abuelo les ha dicho que por cada 6 metros que pinten les dará 5 €. a) Forma la tabla de valores con las magnitudes correspondientes.

b) Forma proporciones y halla la constante de proporcionalidad. c) Si la valla tuviera 42 metros, ¿cuánto dinero ganarían Luisa y Ana?

ejemplo Tres cajas de latas de refrescos pesan 15 kg. ¿Cuánto pesarán 4 cajas? Si 3 cajas

pesan

" 15 kg

pesarán

4 cajas x " kg

3"

3x 60 3 15 = " 3 ? x = 4 ? 15 " 3x = 60 " 3 = 3 " x = 20 4 x

Las 4 cajas pesarán 20 kg.


REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA • La regla de tres simple directa nos permite calcular el valor desconocido de una proporción en la que las magnitudes son directamente proporcionales. • Conocemos tres de los cuatro valores de la proporción, y el término desconocido lo nombramos con la letra x, y o z.

4 Si 4 pasteles cuestan 12 €, ¿cuánto costarán 6 pasteles? ¿Y 15 pasteles?

5 Tres obreros realizan una zanja de 6 metros en un día. Si mantienen el mismo ritmo de trabajo,

¿cuántos metros de zanja abrirán en un día, si se incorporan 5 obreros más?

6 El precio de 12 fotocopias es 0,50 €. ¿Cuánto costará hacer 30 fotocopias?


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249 11/07/11 13:44

RECONOCER MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES 7 Un excursionista recorre 10 km en 2,5 horas. Si mantiene el mismo ritmo ¿cuántos kilómetros

recorrerá en 5 horas? ¿Y en 7 horas?

Podemos resolver los problemas mediante la regla de tres directa utilizando el método de reducción a la unidad, es decir, hallando el valor desconocido para el valor 1, y luego multiplicándolo por los restantes valores.

Resuelve los siguientes problemas, utilizando el método de reducción a la unidad. 8 En un túnel de lavado se limpian 10 coches en una hora. ¿En cuánto tiempo se lavarán 25 coches?

¿Y 50 coches? _ bb ` 60 1 coche se lavará en " 10 = 6 minutos b a Después de calcular el tiempo que se tarda en lavar un coche, hallamos el tiempo empleado para lavar 25 y 50 coches. 25 coches se lavan en: 25 ? 6 = Si 10 coches se lavan en

" 60 minutos

9 Ignacio cobra 120 € por cada 5 días de trabajo. ¿Cuánto cobrará por 15 días?

¿Y por 20 días?

10 Si 3 cafés cuestan 2,70 €, ¿cuánto costarán 5 cafés? ¿Y 10 cafés?

11 Un bono de autobús con diez viajes cuesta 6 €. ¿Cuánto cuesta cada viaje? ¿Y cuánto costarán 3 bonos?

12 Si 4 yogures valen 1,20 €, ¿cuánto cuestan 12 yogures? ¿Y 30 yogures?

250 277995 _ 0232-0261.indd 250


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OBJETIVO 3

RECONOCER MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES NOMBRE:

CURSO:

UNIDAD

8

FECHA:

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES • Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando: – Al aumentar una el doble, el triple..., la otra disminuye la mitad, la tercera parte... – Al disminuir una la mitad, la tercera parte..., la otra aumenta el doble, el triple... • Al multiplicar (o dividir) uno de los valores de una magnitud por un número, el valor correspondiente de la otra magnitud queda dividido (o multiplicado) por el mismo número.

ejemplo Un grifo vierte 3 litros de agua cada minuto, tardando 15 minutos en llenar un tonel. Si aumentamos el caudal a 6 litros por minuto, tarda 7,5 minutos en llenarlo. Si lo aumentamos a 9 litros por minuto, lo llenará en 5 minutos. Si lo aumentamos a 12 litros por minuto, tardará 3,75 minutos, etc.

Caudal (¬ /min) Tiempo (min)

3

6

9

12

15

7,5

5

3,75


• Distinguimos dos magnitudes: caudal de agua (en litros por minuto) y tiempo en llenar el tonel. – Al aumentar el número de litros por minuto, disminuye el tiempo en que se llenaría el tonel. – Si disminuye el caudal, aumenta el tiempo. – Son magnitudes inversamente proporcionales:

• Vemos que en las razones de las proporciones se invierte el orden de los valores: 3 7,5 = = 0,5 6 15

3 5 = = 0,3 9 15

12 7,5 = =2 6 3,75

• Al multiplicar (o dividir) uno de los valores, el valor correspondiente queda dividido (o multiplicado) por el mismo número. ? 3

? 4

? 2

F

F

F

3

12

3

9

15

7,5

15

3,75

15

5

:2

F

F

6 F

3

:4

:3

1 Indica si las siguientes magnitudes son o no inversamente proporcionales.

a) La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en recorrer una distancia. b) El número de operarios de una obra y el tiempo que tardan en terminarla. c) El número de hojas de un libro y su peso. d) El peso de la fruta y el dinero que cuesta. e) La velocidad de un excursionista y la distancia que recorre. f) El número de grifos de un depósito y el tiempo que tarda en llenarse. ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

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RECONOCER MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES 2 Completa estas tablas de valores inversamente proporcionales.

a)

5

10

60

30

1

2

b)

36

20

c)

4 25

5 d)

4 12

8

6

4

3

3

12

4

6

3

21

1

7

7

6

1 1

Regla de tres simple inversa • La regla de tres simple inversa nos permite calcular el valor desconocido de una proporción en la que las magnitudes son inversamente proporcionales. • Conocemos tres de los cuatro valores de la proporción, y el valor desconocido lo nombramos con la letra x, y o z.

ejemplo Diez albañiles tardan 45 días en construir un muro. Si deben terminar la obra en 15 días, ¿cuántos albañiles hacen falta? Las magnitudes son número de albañiles y días de trabajo. on inversamente proporcionales: si queremos que se realice la obra en menos tiempo, tendremos S que aumentar el número de trabajadores. Lo resolvemos de la siguiente manera: Si 10 albañiles

tardan

" 45 días 10 15 = 3" " 10 ? 45 = x ? 15 " 450 = 15x x 45 x albañiles tardarán 15 días " 450

15x

" 15 = 15 " x = 30 Hacen falta 30 albañiles para terminar la obra en 15 días.

3 En el ejemplo anterior, averigua el número de albañiles necesario para terminar el trabajo si quisiéramos

que lo acabasen en 5 días.

4 Un depósito de agua se llena en 18 horas si un grifo vierte 360 litros de agua cada minuto.

a) ¿Cuánto tardaría en llenarse si vertiera 270 litros por minuto? b) ¿Y si salieran 630 litros por minuto?

252 277995 _ 0232-0261.indd 252


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UNIDAD

8

5 Un ganadero tiene 36 vacas y pienso suficiente para alimentarlas durante 24 días.

Si decide comprar 18 vacas más, ¿para cuántos días tendría pienso?

6 Se está construyendo una autopista y hay que realizar un túnel en la montaña.

Podemos resolver los problemas mediante la regla de tres inversa utilizando el método de reducción a la unidad, es decir, hallando el valor desconocido para el valor 1, y luego dividiendo entre los valores correspondientes.

Resuelve los siguientes ejercicios, mediante el método de reducción a la unidad. 7 Tres pintores tardan 2 horas en pintar una valla. Si se incorpora un pintor más,

¿cuánto tiempo tardarán?


Está planificado que dos máquinas realicen la obra en 90 días. Para reducir ese tiempo a la tercera parte, ¿cuántas máquinas harían falta?

8 Si 20 obreros levantan un muro de ladrillos en 6 días, ¿cuántos días tardarían 12 obreros?

9 Un camión tarda 4 horas en recorrer una distancia a una velocidad constante de 65 km/h.

a) ¿Qué velocidad llevará un automóvil que recorre la misma distancia en la mitad de tiempo? b) ¿Y una avioneta que emplease 45 minutos?


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253 11/07/11 13:44

OBJETIVO 4

RESOLVER PROBLEMAS DE PORCENTAJES NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

1 En una clase de 2.º ESO el 60 % de los alumnos son chicas. Si en total hay 30 alumnos, calcula el número

de chicas, de chicos y el porcentaje de estos últimos.

Si 30 alumnos

son

x alumnos

serán

" el 100 % " el 60 %

3"

30 100 = " 30 ? 60 = 100x x 60

2 Una fábrica produce 1 500 automóviles al mes. El 25 % son furgonetas, el 60 % turismos

y el resto monovolúmenes. Halla las unidades producidas de cada tipo de automóvil.

3 Unas zapatillas que antes costaban 60 € tienen un descuento del 15 %. Calcula cuánto valen ahora.

4 En un instituto de 1 200 alumnos se han publicado los resultados de una encuesta

sobre música moderna: el 30 % de los alumnos prefieren música tecno, el 25 % pop, un 40 % rock, y el resto, música melódica. Calcula los alumnos que prefieren cada modalidad musical y el porcentaje de los que eligen la música melódica.

5 De un colegio con 600 alumnos, el 50 % son de Educación Primaria, el 35 % de ESO

y el 15 % de Bachillerato. Halla el número de alumnos de cada nivel educativo.

6 Un pantano tiene una capacidad total de 5 millones de metros cúbicos de agua.

Actualmente está lleno al 75 % de su capacidad. Calcula los metros cúbicos de agua que contiene.

254 277995 _ 0232-0261.indd 254


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UNIDAD

8

PROPUESTAS DE EVALUACIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS

SUGERENCIAS SOBRE LAS EVALUACIONES Y SU CORRECCIÓN EVALUACIÓN INICIAL


La evaluación consiste en una serie de ejercicios sobre proporcionalidad ya vistos en el curso anterior: averiguar si dos razones se encuentran o no en proporción, calcular el medio y el cuarto proporcional, ejercicios de porcentajes, etc. Esta unidad es extensa y abarca aspectos numéricos y geométricos, por lo que será importante que las cuestiones básicas sean dominadas por los alumnos.

Se trata de una unidad que contiene conceptos muy diferentes. En el ejercicio 2, los alumnos tendrán que distinguir si dos magnitudes son directamente proporcionales. Los ejercicios 3, 4, 5 y 6 son ejemplos de la vida cotidiana para calcular un determinado valor que hace que cuatro valores se encuentren en proporción de dos maneras diferentes; además, conviene que los alumnos entiendan el concepto de reducción a la unidad, que luego volverán a utilizar. Los últimos ejercicios trabajan la proporcionalidad inversa y resultan más difíciles para los alumnos. Por ello, se tendrá que prestar especial cuidado al concepto.


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Los contenidos de esta unidad se trabajaron en el curso anterior; por tanto, conviene repasarlos. Dado que la mayor parte de los conceptos se vuelven a estudiar, insistiremos en estos aspectos básicos: • Análisis de si dos razones forman proporción. • Elaboración de tablas de proporcionalidad y series de razones iguales. • Cálculo del cuarto y el medio proporcional. • Uso de las razones entre cantidades en contextos reales, para resolver problemas.

255 11/07/11 13:44

UNIDAD

8

EVALUACIÓN INICIAL 1 Averigua si las razones

3 35 forman proporción. y 8 96

2 Averigua qué números faltan para completar las siguientes proporciones.

a) Medio proporcional:

8 2 6 = = 16 4 8 3

b) Cuarto proporcional:

=

12

3 Completa con el número apropiado en cada caso.

a) El

% de 45 es 36.

b) El 25 % de

es 225.

c) El 37 % de 65 es

.

4 En rebajas se hace el 15 % de descuento. ¿Cuál era el precio de venta de un artículo

por el que se han pagado 24,65 €?

5 En la tabla se muestra la receta de un pastel para 8 personas. Calcula los ingredientes necesarios

para hacer el pastel para 10 personas. Bizcocho

8 personas

10 personas

Crema Leche

8 personas

10 personas

375 cm3

Huevos

4

Harina

125 g

Yemas de huevo

Azúcar

150 g

Azúcar

200 g

Levadura

10 g

Fécula

30 g

3

6 Durante un partido de baloncesto, un jugador ha obtenido los siguientes resultados.

Calcula y escribe los porcentajes de cada resultado. a) De 20 intentos ha anotado 13 canastas de 2 puntos " b) De 8 tiros de 3 puntos ha encestado 3 " c) De 11 tiros libres ha encestado 9 " d) De 20 rebotes en su canasta ha cogido 18 "

256 277995 _ 0232-0261.indd 256


11/07/11 13:44

UNIDAD

8

EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Averigua si las razones

Las razones


3 35 no forman proporción, puesto que: 3 ? 96 ! 8 ? 35 y 8 96

2 Averigua qué números faltan para completar las siguientes proporciones.


6 3 3 8 2 6 = = = b) Cuarto proporcional: 12 16 8 4 4 6

3 Completa con el número apropiado en cada caso.

a) Se divide

36 = 0,8 y se multiplica por 100 45

" El 80 % de 45 es 36.

b) Se divide

225 = 9 y se multiplica por 100 25

" El 25 % de 900 es 225.

c) Se multiplica 37 ? 65 = 2 405 y se divide entre 100

4 En rebajas se hace el 15 % de descuento. ¿Cuál era el precio de venta de un artículo

por el que se han pagado 24,65 €? Hemos pagado el 85 % del artículo y cuesta 24,65 €. Por tanto, dividimos esta cantidad entre 85 y multiplicamos por 100, obteniendo como resultado 29 €. 5 En la tabla se muestra la receta de un pastel para 8 personas. Calcula los ingredientes necesarios

para hacer el pastel para 10 personas. Bizcocho

8 personas

10 personas

Huevos

4

5

Harina

125 g

156,25 g

Azúcar

150 g

187,5 g

Levadura

10 g

12,5 g

Crema

8 personas

10 personas

375 cm3

468,75 cm 3

3

3,75

Azúcar

200 g

250 g

Fécula

30 g

37,5 g

Leche Yemas de huevo


" El 37 % de 65 es 24,05 .

6 Durante un partido de baloncesto, un jugador ha obtenido los siguientes resultados.

Calcula y escribe los porcentajes de cada resultado. a) De 20 intentos ha anotado 13 canastas de 2 puntos " b) De 8 tiros de 3 puntos ha encestado 3 " c) De 11 tiros libres ha encestado 9 "

13 ? 100 = 65 % 20

3 ? 100 = 37,5 % 8

9 ? 100 = 81,8 % 11

d) De 20 rebotes en su canasta ha cogido 18 "

18 ? 100 = 90 % 20


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UNIDAD

8

ERES CAPAZ DE… Determinar si dos razones forman proporción.

Distinguir si dos magnitudes son directamente proporcionales.

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 1 En un examen, Enrique ha contestado correctamente 6 de 10 preguntas y,

en otro, de 25 preguntas ha respondido bien a 14. ¿Obtendrá en ambos exámenes la misma calificación?

2 Silvia observa en un periódico americano las temperaturas en la escala

centígrada y en la escala Farenheit. Un día ve que 10 ºC coincide con 50 ºF y otro día observa que 15 ºC equivalen a 59 ºF. ¿Son las escalas proporcionales? Si la equivalencia de las escalas es: 0 ºC = 32 ºF y 100 ºC = 212 ºF, ¿qué se podría hacer para que fueran proporcionales? Si tenemos una temperatura de 20 ºC, ¿a qué temperatura en la escala Farenheit equivale?

Resolver problemas reales que impliquen el uso de la regla de tres simple.

3 Si por 3 kilos de manzanas he pagado 4,32 €, ¿cuánto me costarán 8 kilos?

Resolver problemas reales utilizando la regla de tres simple y el método de reducción a la unidad.

4 Un tarro de yogur de 125 gramos tiene los siguientes componentes:

proteínas: 3,5 gramos; hidratos de carbono: 16,25 gramos; grasas: 2,25 gramos, y calcio: 140 miligramos. Si el tarro pesara 1 gramo, ¿qué cantidades de cada componente habría? ¿Y si fuera de 100 gramos?


ACTIVIDADES

• Enumerar e identificar elementos . ....................................................................................................................... • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc................................................................................ 2 • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ............................................................................ 1, 2, 7 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ............................................................................................................ 2 • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc.............................................................................................................. 3, 4, 5, 6, 8, 9

258 277995 _ 0232-0261.indd 258


11/07/11 13:44

UNIDAD

8

5 Si una caja con 22 rosquillas cuesta 12,50 €, ¿cuánto costará una caja

de 12 rosquillas?

Determinar si dos magnitudes son inversamente proporcionales.

6 Si como 3 yogures diarios, en 8 días habré acabado todos los que tengo.

¿Cuánto me durarán si como 4 yogures diarios?

7 Indica si existe o no proporcionalidad entre estos pares de magnitudes.

En caso afirmativo, señala si son directa o inversamente proporcionales. a) El lado de un cuadrado y su área " PROPUESTAS DE EVALUACIÓN

b) El número de obreros de una empresa de construcción y el número de edificios que pueden realizar en un año " c) La edad de una persona y la de su padre " Utilizar la regla de tres inversa para resolver problemas de la vida cotidiana.

8 La velocidad que lleva un coche y el tiempo que tarda en hacer un determinado

trayecto son magnitudes inversamente proporcionales. Completa la tabla. ¿Qué espacio recorre el coche en cada caso? Velocidad (km/h)

60

Tiempo (h)

5

100

120

150

Espacio ( ) 9 Laura ha empezado a leer una novela de 600 páginas y cada día lee 10 páginas.

¿Cuántos días tardará en acabarla? ¿Y si leyera 15 páginas cada día?


ACTIVIDADES

• Clasificar y discriminar según criterios .................................................................................................................... 7 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. .................................................................................................................. 8 • Combinar, componer datos, resumir, etc. ............................................................................................................... 8 • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ..........................................................................................................


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259 11/07/11 13:44

UNIDAD

8

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1 En un examen, Enrique ha contestado correctamente 6 de 10 preguntas y, en otro, de 25 preguntas

ha respondido bien a 14. ¿Obtendrá en ambos exámenes la misma calificación?

0,6 "

6 14 ! " 0,56. No forman proporción. 10 25

2 Silvia observa en un periódico americano las temperaturas en la escala centígrada y en la escala Farenheit.

Un día ve que 10 ºC coincide con 50 ºF y otro día observa que 15 ºC equivalen a 59 ºF. ¿Son las escalas proporcionales? Si la equivalencia de las escalas es: 0 ºC = 32 ºF y 100 ºC = 212 ºF, ¿qué se podría hacer para que fueran proporcionales? Si tenemos una temperatura de 20 ºC, ¿a qué temperatura en la escala Farenheit equivale?

Estas escalas no son proporcionales. Sabiendo que los principios de la escala son diferentes, podemos afirmar que si (100 - 0) = 100 ºC equivalen a (212 - 32) = 180 ºF, 180 entonces 1 ºC equivale a x " x = = 1,8 ºF. Por tanto, 20 ºC equivaldrán a 20 ? 1,8 = 36 ºF, 100 siendo la solución 68 ºF.

3 Si por 3 kilos de manzanas he pagado 4,32 €, ¿cuánto me costarán 8 kilos?

8 kg ? 4,32 € 8 kg 3 kg = 11,52 € = "x= 3 kg x€ 4,32 €

4 Un tarro de yogur de 125 gramos tiene los siguientes componentes: proteínas: 3,5 gramos; hidratos

de carbono: 16,25 gramos; grasas: 2,25 gramos, y calcio: 140 miligramos. Si el tarro pesara 1 gramo, ¿qué cantidades de cada componente habría? ¿Y si fuera de 100 gramos? 125 3,5 = 1 x

" x = 0,028 g de proteínas/1 g de yogur

" 2,8 g de proteínas/100 g de yogur

125 16,25 = 1 x

" x = 0,13 g de hidratos/1 g de yogur

" 13 g de hidratos/100 g de yogur

125 2,25 = 1 x

" x = 0,018 g de grasas/1 g de yogur

" 1,8 g de grasas/100 g de yogur

125 0,14 = 1 x

" x = 0,00112 g de calcio/1 g de yogur

" 0,112 g de calcio/100 g de yogur

260 277995 _ 0232-0261.indd 260


11/07/11 13:44

UNIDAD

8

5 Si una caja con 22 rosquillas cuesta 12,50 €, ¿cuánto costará una caja de 12 rosquillas?

Si 22 rosquillas 12 rosquillas

cuestan " 12,50 € costarán

" x

2"

€

22 12,50 12 ? 12,50 = = 6,82 € "x= 12 x 22

6 Si como 3 yogures diarios, en 8 días habré acabado todos los que tengo. ¿Cuánto me durarán si como

4 yogures diarios? Yogures

3

6

12

4

Días

8

4

2

6

Tendré yogures para 6 días.

7 Indica si existe o no proporcionalidad entre estos pares de magnitudes. En caso afirmativo, señala si son

a) El lado de un cuadrado y su área " No No son proporcionales. b) El número de obreros de una empresa de construcción y el número de edificios que pueden realizar en un año " Sí Son directamente proporcionales. c) La edad de una persona y la de su padre " No No son proporcionales.


directa o inversamente proporcionales.

8 La velocidad que lleva un coche y el tiempo que tarda en hacer un determinado trayecto son magnitudes

inversamente proporcionales. Completa la tabla. ¿Qué espacio recorre el coche en cada caso? Velocidad (km/h)

60

100

120

150

Tiempo (h)

5

3

2,5

2

300

300

300

300

Espacio (km)

9 Laura ha empezado a leer una novela de 600 páginas y cada día lee 10 páginas. ¿Cuántos días tardará

en acabarla? ¿Y si leyera 15 páginas cada día?

600 = 10 x " x = 60 días 600 = 15x " x = 40 días


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261 11/07/11 13:44

9 Proporcionalidad geométrica PROGRAMACIÓN DE AULA

objetivos • Calcular la razón de dos segmentos y distinguir si son proporcionales o no.

• Reconocer triángulos en posición de Tales, como paso previo a la semejanza de triángulos.

• Reconocer segmentos iguales comprendidos entre líneas paralelas, y aplicar el teorema de Tales en distintos contextos.

• Distinguir y aplicar los criterios de semejanza de triángulos.

• Dividir un segmento en partes iguales, obtener el segmento cuarto proporcional y dividir un segmento en partes proporcionales a otros segmentos dados.

• Aplicar las semejanzas en mapas y planos, trabajando con escalas.

• Construir polígonos y figuras semejantes.


• Razón de dos segmentos. • Segmentos proporcionales. • Teorema de Tales. Aplicaciones. • Triángulos en posición de Tales. • Criterios de semejanza de triángulos. • Polígonos semejantes. • Figuras semejantes. • Escalas.


• Obtención de la relación de proporcionalidad entre segmentos. • Aplicación del teorema de Tales en la resolución de distintos problemas geométricos y de la vida cotidiana. • Cálculo del segmento cuarto proporcional a otros segmentos dados. • División de un segmento en partes iguales y en partes proporcionales a otros dados. • Utilización de los criterios de semejanza de triángulos en distintos contextos para resolver problemas. • Determinación de la semejanza entre dos polígonos y obtención de su razón de semejanza. • Construcción de una figura semejante a una figura dada. • Interpretación de mapas hechos a escala, calculando longitudes reales a partir de longitudes en el plano, y viceversa. • Obtención de la escala gráfica correspondiente a una escala numérica dada, y viceversa.

ACTITUDES

• Cuidado y precisión en el uso de los instrumentos de dibujo para realizar construcciones geométricas. • Sentido crítico ante las representaciones a escala para transmitir distintos mensajes.

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COMPETENCIAS QUE SE TRABAJAN • Identificar, analizar, describir y construir, con precisión y destreza, la semejanza de figuras planas presentes tanto en el medio social como natural, y utilizar las propiedades geométricas asociadas a las mismas. • Distinguir relaciones de proporcionalidad geométrica, y resolver problemas en los que se usan estas relaciones, haciendo hincapié en los problemas-tipo asociados a dichas relaciones. • Aplicar el razonamiento deductivo e inductivo en contextos geométricos.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN • Calcular la razón de semejanza entre dos segmentos. • Aplicar el teorema de Tales en la resolución de distintos problemas geométricos y de la vida cotidiana. • Dividir un segmento en partes proporcionales a otros dados. • Distinguir si dos triángulos están en posición de Tales o no.

• Utilizar los criterios de semejanza de triángulos en distintos contextos para resolver problemas. • Determinar si dos polígonos son o no semejantes, y obtener su razón de semejanza. • Construir una figura semejante a otra dada. • Utilizar las escalas de manera adecuada en el cálculo de longitudes sobre planos o mapas a partir de longitudes reales, y viceversa.

Dos figuras A y B son semejantes cuando son iguales o tienen la misma forma y sus dimensiones son proporcionales.

Figuras semejantes

A

La razón de semejanza de dos figuras es el cociente obtenido al dividir una longitud de una figura y su correspondiente de la otra.

B


ESQUEMA DE LA UNIDAD

Teorema de Tales A B C r

Al

a

Bl

b

Cl

c

Si tres rectas paralelas a, b y c cortan a dos rectas r y s, los segmentos que determinan son proporcionales. AB BC AC = = AlBl BlCl AlCl

s

Semejanza de triángulos Dos triángulos son semejantes si tienen todos sus ángulos iguales y sus lados son proporcionales. Criterios

Al A

de semejanza

Dos triángulos son semejantes si:

C

B

Cl

Bl

AB BC AC = = AlBl BlCl AlCl V = AVl BV = BVl SEGUNDO CRITERIO. Tienen dos ángulos iguales: A PRIMER CRITERIO. Tienen sus lados proporcionales:

TERCER CRITERIO. Tienen un ángulo igual y los lados

AC AB que lo forman son proporcionales: AV = AVl = AlCl AlBl


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LECTURA INICIAL La llave de la Ciudad Prohibida Matteo Ricci nació en Macerata, en los entonces Estados Pontificios, en 1552 y murió en Pekín en 1610. En 1571 ingresó en la Compañía de Jesús, en el Colegio Romano, donde tuvo como maestro al jesuita Christopher Clavius, eminente matemático de su época. En 1578, su vocación misionera le hizo embarcarse rumbo a Goa, en el este de la India, y en 1582 viajó a China, asentándose en Macao. Para poder ejercer su labor misionera en China aprendió el idioma utilizado por la clase culta: el chino mandarín. Desde ese momento, se le consideró un hombre sabio, atendiendo al dominio del idioma y también a sus conocimientos geográficos y matemáticos; además, la visión del mapamundi que llevaba consigo causó sensación entre los notables chinos, que contaban con escasos conocimientos de Europa, África y América. El apoyo definitivo a su labor se produjo en 1601 cuando fue autorizado a entrar en la Ciudad Prohibida, mandado llamar por el emperador, y desde ese momento y hasta su muerte se estableció en Pekín. Ricci introdujo en China los conocimientos matemáticos y geográficos de Europa, participando en la traducción al chino mandarín de la obra de Euclides, Los elementos.

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Curiosidades matemáticas Proporción geométrica y televisores Un contexto real en el que tiene especial importancia la proporcionalidad geométrica es la fabricación de televisores y sus dimensiones. El tamaño de los televisores se expresa en pulgadas (1 pulgada equivale a 25,4 mm, aproximadamente). Así, cuando afirmamos que un televisor tiene un tamaño de 28 pulgadas, lo que queremos decir es que su diagonal tiene esa longitud, es decir, que la diagonal de la pantalla mide 71 cm. Ahora bien, la relación entre la altura y el ancho de la pantalla de los televisores sigue una regla fija. Esto es, de todas las pantallas posibles con 28 pulgadas de diagonal, se produce industrialmente aquella en la que se verifica la siguiente relación: Altura de la pantalla 3 = Ancho de la pantalla 4 En los últimos años se ha popularizado un nuevo tipo de televisores; es lo que se ha venido a llamar «cine en casa». Estos nuevos aparatos, ideados para simular la sensación visual de las proyecciones en salas de cine, tienen un formato diferente al anterior. Este formato 16 : 9 es más alargado y tiene la ventaja de ser similar al de las pantallas cinematográficas. Por tanto, resulta adecuado si la mayor parte del uso del televisor se dedica a la visualización de películas. En estos televisores, los programas de televisión que no son películas sufren ligeras modificaciones al visualizarlos.


Se dice entonces que la pantalla tiene un formato 4 : 3.

Pedro Puig Adam Pedro Puig Adam nació en el año 1900 y fue uno de los grandes matemáticos españoles que más trabajaron en la didáctica de las Matemáticas. Su preocupación por los problemas de la enseñanza le llevó a ser un destacado miembro de la Comisión Internacional para la Enseñanza de las Matemáticas. También fue catedrático del Instituto San Isidro de Madrid y de Metodología de las Matemáticas en la universidad de dicha ciudad. Murió en 1960.


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GeoGebra www.geogebra.org

Dibuja un segmento y divídelo en 5 partes iguales. 1. Utilizamos la herramienta para dibujar un dibujamos segmento. Y con la herramienta un punto cercano a dicho segmento.

2. Con construimos una semirrecta con origen en uno de los extremos del segmento y que pase por el punto dibujado.

3. Con y marcando el origen y el punto, dibujamos 4. Utilizamos la herramienta para construir otro a la misma distancia que los anteriores. una recta que pase por el otro extremo Repetimos el proceso con los dos últimos puntos del segmento y el último punto dibujado dibujados hasta obtener los 5. en la semirrecta.

5. Utilizamos la herramienta para construir rectas paralelas a la anterior. Las intersecciones con el segmento lo dividen en 5 partes iguales.

SUGERENCIAS PARA RESOLVER LAS ACTIVIDADES 1 Para realizar el ejercicio debemos seguir todas

las instrucciones que se dan en el ejemplo resuelto. Al tener que dividir el segmento en menos partes necesitamos dibujar menos segmentos iguales sobre la recta auxiliar.

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2 A la hora de hacer este ejercicio tenemos que

dibujar en la recta auxiliar 4 segmentos iguales. Para dibujar la primera parte tenemos que dibujar la recta paralela por el extremo del segundo segmento.


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PASO A PASO

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1

Seleccionamos la herramienta . Marcamos el extremo de un segmento y nos desplazamos hasta el otro extremo, y lo marcamos. y marcamos un punto Seleccionamos la herramienta cercano a uno de los extremos del segmento.

2

3

. Marcamos primero Seleccionamos la herramienta el origen del segmento y después el punto. De esta forma tenemos dibujado sobre la semirrecta otro punto a la misma distancia que los anteriores. sigue activada, marcamos los dos Como la herramienta últimos puntos construidos sobre la semirrecta y obtenemos otro a la misma distancia que los anteriores. Repetimos este proceso hasta tener dibujados sobre la semirrecta 5 puntos.


. Marcamos primero Seleccionamos la herramienta el extremo del segmento más cercano al punto que hemos dibujado, y después marcamos el punto.

4

. Marcamos Seleccionamos la herramienta el extremo del segmento y el último punto dibujado en la semirrecta para dibujar una recta que pasa por estos puntos.

5

. Marcamos la recta Seleccionamos la herramienta construida en el paso anterior y un punto de la semirrecta. Repetimos este proceso con el resto de puntos de la para dibujar semirrecta. Utilizamos la herramienta los puntos de intersección de las rectas paralelas con el segmento. Estos puntos dividen al segmento en 5 partes iguales.


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Cabri

Dibuja un segmento y divídelo en 5 partes iguales. 1. Utilizamos la herramienta para dibujar un dibujamos segmento. Y con la herramienta un punto cercano a dicho segmento.

2. Con construimos una semirrecta con origen en uno de los extremos del segmento y que pase por el punto dibujado.

3. Con y marcando el origen y el punto, dibujamos otro a la misma distancia que los anteriores. Repetimos el proceso con los dos últimos puntos dibujados hasta obtener los 5.

4. Utilizamos la herramienta para construir una recta que pase por el extremo del segmento y el último punto dibujado en la semirrecta.

5. Utilizamos la herramienta para construir rectas paralelas a la anterior. Las intersecciones con el segmento lo dividen en 5 partes iguales.


INVESTIGA

1. Dibuja un segmento.

2. Divide un segmento en 4 partes iguales, de forma que la primera sea el doble que las tres restantes.

a) Divide el segmento en 3 partes iguales. b) Divídelo ahora en 4 partes iguales.

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PASO A PASO

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Cabri

1

Seleccionamos la herramienta . Marcamos el extremo de un segmento y nos desplazamos hasta el otro extremo, y lo marcamos. y marcamos un punto Seleccionamos la herramienta cercano a uno de los extremos del segmento.

2

3

. Marcamos primero Seleccionamos la herramienta el origen del segmento y después el punto. De esta forma tenemos dibujado sobre la semirrecta otro punto a la misma distancia que los anteriores. sigue activada, marcamos los dos Como la herramienta últimos puntos construidos sobre la semirrecta y obtenemos otro a la misma distancia que los anteriores. Repetimos este proceso hasta tener dibujados sobre la semirrecta 5 puntos.


. Marcamos primero Seleccionamos la herramienta el extremo del segmento más cercano al punto que hemos dibujado, y después marcamos el punto.

4

. Marcamos Seleccionamos la herramienta el extremo del segmento y el último punto dibujado en la semirrecta para dibujar una recta que pasa por estos puntos.

5

. Marcamos la recta Seleccionamos la herramienta construida en el paso anterior y un punto de la semirrecta. Repetimos este proceso con el resto de puntos de la para dibujar semirrecta. Utilizamos la herramienta los puntos de intersección de las rectas paralelas con el segmento. Estos puntos dividen al segmento en 5 partes iguales.


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EN LA VIDA COTIDIANA... Construcciones cúbicas En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Recordar el concepto de número de oro. • Construir rectángulos áureos. • Determinar los cuatro puntos significativos en una fotografía.

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La proporción áurea

Euclides definió razón como la «relación cualitativa entre dos magnitudes homogéneas» y proporción como la «igualdad de dos razones». Las proporciones han tenido a lo largo de la historia una enorme importancia desde el punto de vista estético. En las proporciones ostenta especial relevancia, por su presencia en numerosos contextos, tanto geométricos como artísticos, naturales y reales, la llamada proporción áurea.

Un rectángulo es un rectángulo áureo si su ancho y altura están en proporción áurea. Para construir un rectángulo áureo dibujamos un cuadrado ABCD. Desde el punto medio, M, de BC, y con radio MD, trazamos un arco que corta en E a la prolongación de BC. Luego, levantamos la perpendicular en E y obtenemos el punto F, al cortar a la prolongación de AD. El rectángulo ABEF es un rectángulo áureo.

Dos longitudes están en proporción áurea cuando el cociente entre la suma de ambas y la mayor tiene el mismo valor que el cociente entre la mayor y la menor. Si las denominamos a y b, se cumple que: a+b a = a b Esto es equivalente a afirmar que el cociente a /b es igual a un determinado número, llamado número de oro y que se representa por F. El número de oro tiene infinitas cifras decimales. a 1+ 5 =U= = 1,618033… b 2

D

A

B

M

F

E

C

Los rectángulos áureos tienen la curiosa propiedad de que, si les quitamos el cuadrado cuyo lado es el lado menor del rectángulo, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo. F

b

b

a-b

b a

a-b

La proporción áurea ha sido muy utilizada en el arte. Vamos a ver a continuación cómo dividir un segmento AB en dos partes que estén en dicha proporción.


En el extremo B del segmento AB, levantamos un segmento perpendicular al lado y de longitud su mitad, y formamos el triángulo rectángulo ABT. Con centro en T y radio TB, trazamos el arco que corta a AT en V. Luego, con centro en A y radio AV, obtenemos el punto G. Los segmentos AG y GB están en proporción áurea.

b) Dibuja un segmento de longitud 8 cm y divídelo en dos partes que estén en proporción áurea. ¿Qué longitud tiene cada una de ellas aproximadamente?

T V

A

G

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B

a) Con la calculadora, halla el valor de U - 1 y 1/U. ¿Qué observas?

c) Sin dibujar, ¿qué longitud tendrán las dos partes si el segmento mide 16 cm? ¿Y si mide 24 cm? d) Dibuja un rectángulo áureo, partiendo de un cuadrado de lado 10 cm. ¿Qué longitud tiene el rectángulo que obtienes? e) Dibuja un rectángulo áureo y construye otro rectángulo semejante a él. El rectángulo obtenido, ¿es también un rectángulo áureo? Razona tu respuesta.


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La proporción áurea en el arte

Uno de los contextos artísticos donde aparece el número áureo es la fotografía. Al mirar una fotografía existen cuatro puntos que atraen nuestra atención. Una fotografía ha de tener en esos cuatro puntos los elementos de mayor interés o que se quieran destacar de modo especial.

Antes de determinar cuáles son dichos puntos, vamos a ver cómo se puede obtener un rectángulo áureo de longitud un segmento AB.

HAZ LAS ACTIVIDADES.

Por el extremo B trazamos una perpendicular a AB y, con centro en B y radio AB, marcamos el punto N. Después, con centro en M (punto medio de AB) y radio MN, trazamos un arco que corta a la prolongación de AB en el punto R. Por último, con centro en R y radio BR, cortamos a la perpendicular NB en el punto C, tercer vértice del rectángulo.

b) Determina los puntos significativos de este cuadro con la ley de los tercios.

a) Dibuja un rectángulo de 15 3 10 cm y halla sus puntos significativos, usando los dos métodos explicados.


Al fotografiar es muy complejo determinar esos cuatro puntos usando este método. Por ello, los fotógrafos utilizan la llamada ley de los tercios. Trazan mentalmente las rectas que dividen el largo y el ancho de la fotografía en tres partes iguales. Los puntos de corte de esas rectas son los significativos. El resultado es similar al obtenido de la otra forma.

N C

A

M

B

R

Construye un rectángulo áureo de 5 cm de longitud. Los cuatro puntos significativos de una fotografía se obtienen así: trazamos con la técnica que acabamos de ver las líneas verticales, de forma que los rectángulos a rayas sean áureos. Los puntos de corte de las diagonales del rectángulo con esas rectas son los cuatro puntos significativos en la fotografía. ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

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estrategias de resolución de problemas Imaginar el problema resuelto Estrategia En muchos problemas de Geometría, sobre todo en los problemas de construcciones geométricas, es útil imaginar el problema resuelto. Para ello trazamos una figura aproximada a la que queremos hallar. De las relaciones de esta figura se obtendrá el procedimiento para realizar su construcción.

PROBLEMA RESUELTO Con una recta r y un punto P exterior a ella, construye mediante la regla y el compás el punto Pl simétrico de P respecto de la recta r.

P r

Planteamiento y resolución Imaginemos el problema resuelto en la primera figura. Si Pl fuera el simétrico de P, la recta r sería la mediatriz del segmento PPl. Por tanto, el modo de proceder para hallar el punto Pl es el que se indica en la figura de la derecha. P

P N r

F M

r

H Pl

Pl

1.° Se traza un arco de centro P que corte a la recta r en dos puntos, M y N. 2.° Con el mismo radio se trazan un arco de centro M y otro de centro N, que se cortarán en el punto Pl. Hemos trazado la mediatriz del segmento MN; por tanto, la recta r es perpendicular al segmento PPl y, como MP = MPl y NP = NPl, por la construcción realizada, la recta r es la mediatriz del segmento PPl, luego el punto Pl es simétrico de P respecto de r.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1 Dado el segmento AB, construye

un cuadrado en el que una de sus diagonales sea dicho segmento.

A

2 Con las rectas r y rl y un segmento AB como el de la figura,

construye un paralelogramo ABNM, de modo que el punto M esté en la recta r y el punto N esté en la recta rl. (En la figura de la derecha se supone el problema resuelto.) r

B r

A

F

M

B

A B

N rl

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rl


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UNIDAD

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Introducción


El estudio de la proporcionalidad geométrica y la semejanza de figuras es algo complejo para los alumnos de este nivel educativo.

• Una recta está formada por infinitos puntos; no tiene ni principio ni final. Por dos puntos siempre pasa una recta. • Una semirrecta es una recta que tiene principio, pero no tiene final. • Un segmento es una parte de una recta delimitada por dos puntos. • Un polígono es una figura formada por una línea poligonal cerrada. Está compuesto por varios elementos: diagonales, ángulos, lados y vértices. • La suma de los ángulos de un polígono de n lados es: 180° ? (n - 2) • El cociente entre la medida de dos segmentos es su razón. Dos segmentos son proporcionales si tienen la misma razón. • Varias rectas paralelas cortadas por rectas secantes forman segmentos proporcionales entre sí. • Dos triángulos son semejantes si tienen los tres ángulos iguales, los tres lados proporcionales, o si tienen dos lados proporcionales y el ángulo que forman igual. • Mediante la escala numérica y gráfica podemos calcular distancias de planos y mapas. La medida que calculamos en el mapa (cm) equivale a una distancia real (km).

Comenzamos la unidad recordando y diferenciando los conceptos básicos de las aplicaciones lineales (recta, segmento y polígono), que son el paso previo al estudio de la proporcionalidad de segmentos y a la aplicación de los criterios de semejanza de figuras, en particular de los triángulos. Se proponen problemas sencillos de segmentos iguales y proporcionales que se originan a partir de rectas paralelas, para continuar resolviendo problemas de semejanza de figuras. Será más conveniente incidir en los criterios de semejanza de triángulos que enunciar directamente el teorema de Tales y sus aplicaciones. Destacamos la importancia de saber interpretar una escala en un mapa o en un plano, subrayando la relación entre la distancia que medimos en centímetros o milímetros y estableciendo la distancia real.

OBJETIVOS

CONTENIDOS

PROCEDIMIENTOS

1. Calcular la razón de dos segmentos.

• Recta, semirrecta y segmento. • El polígono y sus elementos. Suma de los ángulos de un polígono. • Razón de dos segmentos. Segmentos proporcionales.

• Trazado de rectas, semirrectas y segmentos. • Identificación de polígonos y sus elementos. Triangulación de polígonos. • Cálculo de la razón de dos segmentos. Construcción de segmentos proporcionales.

2. Aplicar los criterios de semejanza de segmentos y triángulos.

• Segmentos iguales y proporcionales de rectas paralelas. • División de un segmento en partes iguales. • Semejanza de triángulos.

• Identificación de segmentos proporcionales en rectas paralelas. • Expresión gráfica de la división de un segmento en partes iguales. • Aplicación de los criterios de semejanza de triángulos. Resolución de problemas.

3. Leer e interpretar escalas en planos y mapas.

• Concepto de escala.

• Interpretación del significado de la escala. • Cálculo de distancias. Resolución de problemas.

• Escala numérica y escala gráfica.


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OBJETIVO 1

CALCULAR LA RAZÓN DE DOS SEGMENTOS NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

RECTA, SEMIRRECTA Y SEGMENTO • Una recta es una línea continua formada por infinitos puntos, que no tiene ni principio ni final. – Dos puntos definen una recta. G F Recta r A B – Por un punto pasan infinitas rectas. • Una semirrecta es una recta que tiene principio, pero no tiene final. Un punto cualquiera forma dos semirrectas • B sobre cada línea o dirección.

F Semirrecta s

• Un segmento es una parte de una recta delimitada por dos puntos. Los puntos M y N forman el segmento MN. N

M

Segmento MN

1 Indica debajo de cada figura su nombre: recta, semirrecta o segmento.

a) G

•

c) G

F

b) •

F

d) •

•

2 Dibuja dos puntos cualesquiera, P y T, y traza una recta m que pase por ellos.

3 Dibuja un punto A, traza varias rectas que pasen por él y nómbralas con letras diferentes (r, s, t...).

4 Considera un punto F y traza dos semirrectas, m y n, que tengan su origen en él.

5 Dibuja cuatro segmentos, AB, MN, PT y XY, de medidas 3, 6, 8 y 10 cm, respectivamente.

a) AB

c) PT

b) MN

d) XY

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UNIDAD

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Polígonos • Varios segmentos unidos entre sí forman una línea poligonal. • Un polígono es una figura plana delimitada por una línea poligonal cerrada.

Línea poligonal abierta

Línea poligonal cerrada

Elementos de un polígono A

Los vértices son los puntos donde se cortan los lados. Se nombran con una letra mayúscula.

B

Las diagonales son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

F

Los lados son los segmentos que limitan el polígono. La suma de las longitudes de los lados se llama perímetro.

E F

F

Los ángulos son las regiones que forman los lados al cortarse. Se escriben así: EW

D F

C

y otra cerrada. a) Línea poligonal abierta

b) Línea poligonal cerrada


6 Con segmentos de medidas 1, 2, 3 y 4 cm, respectivamente, dibuja una línea poligonal abierta

7 Piensa en cuatro objetos con forma de polígono y dibújalos.

a) Pizarra

c)

b)

d)

8 Señala y nombra los vértices y lados de los polígonos, y dibuja los ángulos y las diagonales.


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CALCULAR LA RAZÓN DE DOS SEGMENTOS Suma de los ángulos de un polígono • Sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo es 180°. Por eso, para hallar la suma de los ángulos de un polígono debemos proceder a su triangulación, mediante el trazado de diagonales desde uno de los vértices del polígono. • La suma de los ángulos de un polígono se calcula sumando 180° tantas veces como triángulos tenga el polígono. T1 T1 T1

T2

T3 T2

T3

T2

T1 = 180°

T4 T1

T 1 + T2 = = 180° + 180° = 360°

T1 + T2 + T3 = T1 + T2 + T3 + T4 = = 180° + 180° + 180° = 540° = 180° + 180° + 180° + 180° = 720°

– Polígono de 3 lados: 180° ? (3 - 2) = 180° ? 1 = 180° – Polígono de 4 lados: 180° ? (4 - 2) = 180° ? 2 = 360° – Polígono de 5 lados: 180° ? (5 - 2) = 180° ? 3 = 540° – Polígono de 6 lados: 180° ? (6 - 2) = 180° ? 4 = 720° – Polígono de 7 lados: 180° ? (7 - 2) = 180° ? 5 = 900° – Polígono de n lados: 180° ? (n - 2)

9 Realiza la triangulación de estos polígonos, coloréalos y señala los triángulos que se forman.

a) Cuadrado

b) Rectángulo

c) Hexágono

10 Calcula el valor de cada uno de los ángulos de un pentágono regular.

11 Halla el valor del ángulo que falta en cada caso.

a)

68°

119°

b)

110°

? 125°

135° 74°

85° ?

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123°


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Razón de dos segmentos La razón de dos segmentos es el número que resulta de dividir sus longitudes.

ejemplo Sean los segmentos a y b, de longitudes 3 cm y 5 cm. Halla su razón.

•

a

• •

b

•

a 3 = 0,6 La razón de a y b es: = b 5

12 Dibuja dos segmentos, m y n, de longitudes 3 cm y 4 cm, respectivamente. Halla su razón.

13 La razón de dos segmentos, a y b, es 0,5. Si a mide 2 cm, calcula el valor de b. Dibuja los segmentos.

2 = 0,5 b

14 La razón de dos segmentos, m y n, es 0,75. Si n mide 4 cm, calcula el valor de m. Dibuja los segmentos.

m = 0,75 n


a = 0,5 b

SEGMENTOS PROPORCIONALES Si la razón de dos segmentos, a y b, es la misma que la de otros dos segmentos, c y d, se dice que a c los segmentos son proporcionales, se escribe = y se cumple que: a ? d = b ? c b d

15 Los segmentos a y b miden 3 cm y 4 cm, y los segmentos c y d, 6 cm y 8 cm.

Dibújalos y comprueba que son proporcionales.

16 Dos segmentos, a y b, miden 4 cm y 5 cm y son proporcionales a otros dos segmentos c y d.

Si el segmento c mide 8 cm, calcula el valor del segmento d.


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OBJETIVO 2

APLICAR LOS CRITERIOS DE SEMEJANZA DE SEGMENTOS Y TRIÁNGULOS NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

SEGMENTOS IGUALES DE RECTAS PARALELAS • Dibujamos cuatro rectas paralelas que estén a la misma distancia entre sí: a, b, c y d. • Las cortamos por dos rectas secantes, r y s, que forman segmentos en ambos lados. • Los segmentos que se originan en la recta r son iguales entre sí y los segmentos que se originan en la recta s también lo son.

ejemplo r

a

s A

b

F

B

c

G

C

d

Segmentos de la recta r: AB = BC = CD Segmentos de la recta s: FG = GH = HI

H

D

I

1 Fíjate en el siguiente dibujo: r

a b

a) Nombra los segmentos que se originan al trazar la recta s. b) Determina si AB = BC = CD.

B

c d

s A

c) Comprueba lo mismo para los segmentos de la recta s.

C D

2 Sobre las rectas, f y g, traza cuatro rectas paralelas que estén a una distancia de 1,5 cm entre sí. f

a) Nombra los segmentos que se originan al cortar las paralelas en f y g.

g

b) Comprueba que los segmentos que se forman en cada recta son iguales.

SEGMENTOS PROPORCIONALES DE RECTAS PARALELAS • Dibujamos varias rectas paralelas: a, b y c • Las cortamos por dos rectas secantes, r y s, que forman segmentos en ambos lados. • Los segmentos que originan las rectas r y s son proporcionales entre sí.

ejemplo a b

c

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r

s

A

F

B

G

AB es a BC como FG es a GH: AB BC

C

=

FG GH

H


278

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14:28

UNIDAD

9

3 Fíjate en el dibujo y halla el valor del segmento GH. r A

a b

s F

B

c

C

AB = 2 cm FG = 2,5 cm

G

BC = 4 cm GH = ?

H

4 Nombra los segmentos con letras mayúsculas y las rectas con minúsculas,

y calcula el valor del segmento x.

x

2,7 cm

1,3 cm

1,8 cm

5 Calcula el valor del segmento que falta. Nombra los segmentos y las rectas. x

2 cm


2,5 cm

3,6 cm

Dividir un segmento AB en partes iguales Seguimos estos pasos: • Trazamos una semirrecta (s) con origen en A y señalamos en ella tantos segmentos iguales y consecutivos (de la medida que mejor nos parezca) como partes sean. • Unimos el último segmento con el extremo B. • Trazamos paralelas a este, y quedan señaladas las partes iguales en AB.

ejemplo Divide el segmento AB en 5 partes iguales.

A

B 1 2 3

Semirrecta s

4 5


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279

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APLICAR LOS CRITERIOS DE SEMEJANZA DE SEGMENTOS Y TRIÁNGULOS 6 Divide el segmento MN en 7 partes iguales. N

M

7 Divide un segmento de 6 cm en ocho partes iguales.

Semejanza de triángulos Dos triángulos son semejantes si se cumple cualquiera de estas condiciones: • Tener los tres lados proporcionales. • Tener los tres ángulos iguales. • Tener dos lados proporcionales y el ángulo que forman igual.

ejemplo Primer criterio Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales.

Segundo criterio Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

C

C

b B

c

A

Cl

Al

a b c = = al bl cl

280

B

a’

b’

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C

a

b A

Tercer criterio Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.

c’

A

Cl

c

B

Cl b’

Bl

Al

Wl BW = B Wl AW = A W-B W = CWl CW = 180° - A

Bl

Al

c’

Bl

W = AWl a = b = c A al bl cl


280

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UNIDAD

9

8 La medida de los lados de los siguientes triángulos es:

a) Nombra los lados de cada triángulo. 8 cm

10 cm

4 cm

5 cm

b) Comprueba que son semejantes. c) ¿Qué criterio has aplicado?

3 cm 6 cm

9 En un triángulo conocemos los siguientes datos:

W = 60° AG = 4 cm GC = 6 cm G

Y en otro triángulo conocemos:

DE = 8 cm EF = 12 cm EW = 60°

a) Comprueba si son semejantes. b) Indica el criterio aplicado.

10 Dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo común que mide 40°.

a) ¿Son semejantes? ¿Por qué? b) Realiza un dibujo representativo.


c) Realiza un dibujo representativo.

11 Los lados de un triángulo miden 3 cm, 5 cm y 9 cm. Indica las medidas de un triángulo

semejante al primero. Razona tu respuesta y realiza un dibujo representativo.

12 El ángulo de un triángulo mide 75°, y los lados que lo forman, AC = 4 y CD = 6 cm.

¿Cuál de las siguientes opciones correspondería a un triángulo semejante al dado? Razona tu respuesta y realiza un dibujo representativo. a) Ángulo = 65°; MH = 8 cm y HN = 10 cm. b) Ángulo = 75°; MH = 8 cm y HN = 10 cm. c) Ángulo = 75°; MH = 8 cm y HN = 12 cm. d) Ángulo = 90°; MH = 8 cm y HN = 12 cm.


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OBJETIVO 3

leer e interpretar escalas en planos y mapas NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

ESCALA DE UN PLANO O MAPA • Las distancias y tamaños de los planos y mapas están reducidos, de manera que se pueden observar fácilmente. • Los valores son proporcionales a la distancia o tamaño real. • Mediante la escala relacionamos la distancia o el tamaño que hay en un plano o mapa con la distancia o tamaño real. Distancia o tamaño sobre el plano o mapa }} Escala = }}} Distancia o tamaño en la realidad

ejemplo Escala numérica 1:300 1 cm del dibujo, plano o mapa equivale a 300 cm de la realidad (300 cm = 3 m). 0

Escala gráfica

2

4

6

8

G F G F G F G F 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm

10 m G F 1 cm

Según esta escala: cm del dibujo, plano o mapa equivalen a 10 m de la realidad. 5 1 cm del dibujo, plano o mapa equivale a 2 m de la realidad.

1 Completa la siguiente tabla. Distancia en el mapa o plano

Escala

Distancia real (cm)

Distancia real (m)

1 : 100 1 : 2 000 1 : 20 000 1 : 350 000 1 : 2 000 000

2 Expresa, mediante una escala numérica y una escala gráfica.

a) 1 cm en el plano equivale a 2 km en la realidad.

Escala numérica

Escala gráfica

b) 1 cm en el plano equivale a 25 km en la realidad.

Escala numérica

282

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Escala gráfica


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UNIDAD

9

3 Según las siguientes escalas, completa las equivalencias.

a) 0

2

4

G F G F 1 cm 1 cm

6

8

G F G F 1 cm 1 cm

10

12

G F G F 1 cm 1 cm

14 m

escala gráfica

G F 1 cm

realidad (m)

1 cm 2 cm 5 cm 10 cm

b) 0

3 G F 1 cm

6

9

12

escala gráfica

15 m

realidad (km)

1 cm

G F G F G F G F 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm

3 cm 5 cm 12 cm

4 Un mapa de carreteras está elaborado a escala 1:200 000.

b) Una distancia de 4 cm en el mapa, ¿cuántos metros y kilómetros son en la realidad?


a) ¿Qué significa esto?

5 El plano de una casa está dibujado a escala 1:100. Si una habitación en el plano mide 3 # 4 cm,

¿cuánto medirá en la realidad? mide

Si en el plano 1 cm F 100 cm reales 3 medirá Si en el plano 3 cm F x cm reales

6 Considera la distancia en línea recta entre las siguientes ciudades en un plano.

Halla la distancia real en kilómetros entre: a) Sevilla-Cádiz b) Sevilla-Málaga c) Cádiz-Málaga 0

50

100 km

G F G F 1 cm 1 cm

Sevilla

2,5 cm

Cádiz

4 cm

3,5 cm

Málaga


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283

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leer e interpretar escalas en planos y mapas 7 La planta baja del instituto viene representada por el siguiente plano:

Sala de profesores

Aseos

F F

F

Cafetería

F

Delegación de alumnos

Secretaría

Conserjería

Dirección

Calcula las medidas reales de cada dependencia, sabiendo que la escala es 1 : 400. Dependencia

Medidas en PLANO (cm)

Medidas reales (m)

Secretaría Sala de profesores Conserjería Dirección Cafetería Delegación de alumnos Aseos

8 Halla la distancia que recorre Luisa para ir al instituto, si el plano está hecho a escala 1 : 4 000.

Instituto

Luisa

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UNIDAD

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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS Esta unidad enlaza con aspectos ya estudiados de la proporcionalidad o, al menos, con algunos contenidos del curso anterior, así como con cuestiones referidas a las construcciones geométricas. Se trata de revisar estos puntos, que se pueden resumir como sigue:

sugerencias sobre las EVALUACIONES y su corrección EVALUACIÓN inicial


Se trata de ejercicios que tienen como base averiguar qué significa que dos razones se encuentren o no en proporción, ya sea numéricamente (ejercicio 1) o geométricamente (ejercicio 3); hallar qué números faltan para completar una proporción (ejercicio 2), y determinar qué magnitudes son directa o inversamente proporcionales. Conviene que estos conceptos sean dominados por los alumnos, ya que constituyen la base de la unidad, tanto a nivel analítico como gráfico.

Se incide en la aplicación del teorema de Tales (ejercicios 1, 2 y 3) para calcular o construir. Estos ejercicios llevan al concepto de semejanza, ya que los alumnos deben conocer los criterios de semejanza entre dos triángulos y entre dos polígonos (ejercicios 4 y 5). El ejercicio 6 puede ayudar a los alumnos a superar errores al confundir la razón de semejanza de dos polígonos y la razón de sus áreas. Se termina con tres ejercicios de semejanza y escalas, que se tendrían que hacer también con otros ejemplos diferentes.


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285


• Realización de construcciones geométricas: rectas paralelas a una recta dada, perpendicular a una recta dada por un punto exterior, etc. • Determinación de si dos razones forman proporción. • Comprobación de si dos magnitudes dependen entre sí y si son directamente proporcionales. • Aplicación de la regla de tres simple directa, obtención del cuarto y el medio proporcional, repartos proporcionales y uso de los porcentajes en distintas situaciones.

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UNIDAD

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EVALUACIÓN INICIAL 1 Averigua si las dos razones


2 Averigua qué números faltan para completar estas proporciones.


9 18 = 16

b) Cuarto proporcional:

4

=

5 = 6 24

25

3 Observa los siguientes pares de segmentos y calcula la razón entre ellos. ¿Forman proporción?

a)

b)

6 cm

4 cm

8 cm

c)

8 cm

12 cm

6 cm

4 Determina si las magnitudes son o no directamente proporcionales.

a) El lado de un cuadrado y su perímetro " b) El lado de un cuadrado y su área " c) La longitud de una circunferencia y su radio " d) La longitud de un arco de circunferencia y la amplitud del ángulo " 5 Tenemos una fotografía que mide 15 cm de largo por 10 cm de ancho. Deseamos hacer una ampliación

de esta fotografía, de manera que el ancho sea 24 cm. ¿Cuánto tiene que medir de largo?

6 En la siguiente figura, traza con la regla y la escuadra una recta paralela a BC, que pase por el punto D,

y traza la altura desde el punto A al lado BC. A

D

B

286

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C


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UNIDAD

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EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 6 12 forman proporción. y 5 8 No forman proporción, ya que: 6 ? 8 5 ? 12

1 Averigua si las razones

2 Averigua qué números faltan para completar estas proporciones.


9 5 18 = = 20 16 6 24 32

b) Cuarto proporcional: 4 = 10 25 10

3 Observa los siguientes pares de segmentos y calcula la razón entre ellos. ¿Forman proporción?

a)

b)

6 cm 8 cm

c)

4 cm

12 cm

6 cm

8 12

4 6

6 8

8 cm

Los segmentos de los apartados b) y c) forman proporción.

a) El lado de un cuadrado y su perímetro " Sí b) El lado de un cuadrado y su área " No. A doble lado le corresponde un área cuatro veces mayor. c) La longitud de una circunferencia y su radio " Sí d) La longitud de un arco de circunferencia y la amplitud del ángulo " Sí 5 Tenemos una fotografía que mide 15 cm de largo por 10 cm de ancho. Deseamos hacer una ampliación

de esta fotografía, de manera que el ancho sea 24 cm. ¿Cuánto tiene que medir de largo? Se tiene que cumplir que:

15 10 24 ? 15 = " x = 10 = 36 cm x 24


4 Determina si las magnitudes son o no directamente proporcionales.

6 En la siguiente figura, traza con la regla y la escuadra una recta paralela a BC, que pase por el punto D,

y traza la altura desde el punto A al lado BC.

En el primer caso, colocamos la regla y la escuadra perpendiculares hasta que la escuadra coincide con el lado BC (1), y luego trasladamos la escuadra hasta el punto D (2) y trazamos la paralela. En el segundo caso, con la regla coincidiendo con el lado BC, colocamos la escuadra hasta que coincida con el punto A, y trazamos la altura. A A

D (2)

D

B (1)

C B


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287

C

287

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UNIDAD

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ERES CAPAZ DE…

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD C

1 Observa la siguiente figura y calcula.

Aplicar el teorema de Tales para resolver problemas en contextos geométricos y situaciones reales.

4 cm

a) ¿Qué triángulos se encuentran en posición de Tales? b) ¿Cuánto mide el lado CN? c) ¿Y cuánto mide el lado CM? A

N

M

10 cm

12 cm

8 cm

B

2 Divide el segmento OA en cuatro partes iguales, considerando que

Dividir un segmento en partes iguales y en partes proporcionales a otros segmentos dados.

la semirrecta Or te servirá de ayuda. Explica cómo lo has hecho. r

A

O

3 Observa la siguiente figura y calcula la medida de los segmentos AB, BC y CD.

G

m

F

3,5

cm

H

cm 2,5

3c

A

B

12 cm

D

C

4 Dibuja un triángulo rectángulo ABC (A = 90º) cuyos lados sean 3 cm,

Determinar si dos triángulos son semejantes, aplicando los tres criterios de semejanza.

4 cm y 5 cm, y después traza la altura correspondiente a la hipotenusa (AM), obteniendo dos nuevos triángulos, AMB y AMC. a) ¿Cómo son los triángulos? b) ¿Son semejantes ABC y AMB? Di el criterio utilizado. c) ¿Son semejantes ABC y AMC? Di el criterio utilizado. d) ¿Son semejantes AMB y AMC? Di el criterio utilizado.

Distinguir si dos polígonos son semejantes y construir un polígono semejante a un polígono dado.

5 Dado este polígono, construye otro de manera

que la razón de semejanza sea

1 . 3


ACTIVIDADES

• Enumerar e identificar elementos . ....................................................................................................................... • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc................................................................................ 4 • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ............................................................................ • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ............................................................................................................ 4 • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc.............................................................................................................. 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9

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UNIDAD

6 Estos polígonos son semejantes y

4 . Si 7 B el área del hexágono menor es 12,5 cm2, calcula el área del hexágono mayor.

C

la razón de semejanza es

B' A

D

C' D' F'

E'

E

F

7 Silvia mide 1,68 m y produce una sombra de 1,45 m. ¿Cuánto mide

la sombra de Miguel en ese mismo instante, si su altura es 1,72 m?

Trabajar con planos y mapas a escala y calcular distancias a partir de distancias reales, y viceversa.

Interpretar escalas gráficas y obtener la escala gráfica equivalente a una escala numérica dada.

8 El plano de la figura representa el salón de una casa. La escala a la que está re-

presentado es 1 : 150. ¿Cuáles son las dimensiones reales? PROPUESTAS DE EVALUACIÓN

cm

Resolver problemas geométricos y reales que impliquen el uso de la razón de semejanza.

9

9 Ayudándote de la escala gráfica

del siguiente mapa, calcula la distancia en línea recta entre los puntos señalados: B-Z, B-BI, B-V.

BI

Z

B

V

0

150


300

450 km

ACTIVIDADES

• Clasificar y discriminar según criterios .................................................................................................................... 4 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. .................................................................................................................. 3, 8, 9 • Combinar, componer datos, resumir, etc. ............................................................................................................... • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ..........................................................................................................


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UNIDAD

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EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES C

1 Observa la siguiente figura y calcula.

a) ¿Qué triángulos se encuentran en posición de Tales?

b) ¿Cuánto mide el lado CN? Se cumple que: AB = BC " CN = BC ? MN = 8 ? 4 = 8 cm 12 3 AB MN CN

A

N

M

10 cm

Los triángulos ABC y MNC (los ángulos son iguales y los lados proporcionales).

4 cm

8 cm

B

12 cm

c) ¿Y cuánto mide el lado CM ? 10 ? 4 10 AB AC AC ? MN = = = cm " CM = 12 3 MN AB CM

onsiderando que la semirrecta Or te servirá de ayuda. 2 Divide el segmento OA en cuatro partes iguales, c Explica cómo lo has hecho.

B'''

Desde el punto O, y con la punta del compás, trazamos un arco OB, y desde B, y con el mismo arco, obtenemos Bl, Bm y Bn. Unimos este punto y el punto A, trazamos paralelas a la recta ABn por Bm, Bl y B, y obtenemos los puntos E, D y C.

B' B O

C

D

AD 12 4 = = La razón entre los segmentos es: 9 3 AH 4 4 10 AB = ? 3 = 4 cm BC = ? 2,5 = cm 3 3 3 4 14 ? 3,5 = cm 3 3

A

E

3 Observa la siguiente figura y calcula la medida de los segmentos AB, BC y CD.

CD =

r

B''

H m 5c

F

2,5

cm

3,

G

m

3c

A

4 cm

B

10 cm 3

14 cm 3

C

D

12 cm

4 Dibuja un triángulo rectángulo ABC (A = 90º) cuyos lados sean 3 cm, 4 cm y 5 cm, y después traza

la altura correspondiente a la hipotenusa (AM), obteniendo dos nuevos triángulos, AMB y AMC. a) ¿Cómo son los triángulos? Son triángulos rectángulos.

B M

b) ¿Son semejantes ABC y AMB? Di el criterio utilizado. Sí, son semejantes. Tienen los ángulos iguales. c) ¿Son semejantes ABC y AMC ? Di el criterio utilizado. Sí, son semejantes. Tienen los ángulos iguales.

A

C

d) ¿Son semejantes AMB y AMC ? Di el criterio utilizado. Sí, ya que dos triángulos semejantes a un tercero son semejantes entre sí.

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UNIDAD

5 Dado este polígono, construye otro de manera que la razón de

C

1 semejanza sea . 3 Tomamos un vértice como referencia, por ejemplo A, y trazamos las diagonales. Luego dividimos los segmentos AB, AC, AD y AE en tres partes iguales, y obtenemos los puntos Bl, Cl, Dl y El, que forman los vértices del nuevo polígono.

D

B

C'

D' E

B'

6 Estos polígonos son semejantes y la razón de semejanza es 2

Si el área del hexágono menor es 12,5 cm ,calcula el área del hexágono mayor.

E'

A

4 . 7

9

C B

A

D

C' D' F'

E'

E

F

7 Silvia mide 1,68 m y produce una sombra de 1,45 m. ¿Cuánto mide la sombra de Miguel en ese mismo

instante, si su altura es 1,72 m?

Las alturas son semejantes a las sombras:

1,68 1,72 = " x = 1,48 m 1,45 x

8 El plano de la figura representa el salón de una

casa. La escala a la que está representado es 1 : 150. ¿Cuáles son las dimensiones reales?


A A 4 2 16 49 ? 12,5 = K2 " =d n = = 38,28 cm 2 " Al = 7 49 16 Al Al B'

Las medidas son, en el plano: 3,3 cm de ancho y 7,3 cm de largo; por tanto, las medidas reales son: 3,3 7,3

? 150

" 495 cm = 4,95 m

? 150

" 1 095 cm = 10,95 m

9 Ayudándote de la escala gráfica del siguiente mapa,

BI

calcula la distancia en línea recta entre los puntos señalados: B-Z, B-BI, B-V. Las medidas aproximadas llevadas a la escala gráfica son: B-Z " 260 km, B-BI " 420 km y B-V " 310 km.

Z

V

0


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B

150

300

450 km

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10 Figuras planas. Áreas PROGRAMACIÓN DE AULA

objetivos

• Calcular el área de cualquier polígono.

• Hallar la suma de los ángulos interiores de un polígono, y si el polígono es regular, la medida de cada ángulo y la de su ángulo central.

• Obtener el área de figuras circulares.

• Definir las clases de ángulos en la circunferencia.

• Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas geométricos y de la vida real.


• Teorema de Pitágoras. Aplicaciones. • Área de un polígono. • Área de figuras circulares. • Ángulos en los polígonos. • Ángulos en la circunferencia.


• Aplicación del teorema de Pitágoras en el cálculo de longitudes desconocidas en distintos contextos. • Cálculo de áreas de polígonos. • Obtención del área de figuras circulares. • Aplicación de las fórmulas para calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono y, en el caso de polígonos regulares, la medida de un ángulo interior y de su ángulo central. • Descripción de diferentes tipos de ángulos en una circunferencia.

ACTITUDES

• Valoración del razonamiento deductivo en las demostraciones geométricas. • Hábito de expresar los resultados numéricos de las mediciones y operaciones, manifestando las unidades de medida utilizadas. • Valoración de la importancia del cálculo de perímetros y áreas para resolver problemas de la vida cotidiana.

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UNIDAD

10

COMPETENCIAS QUE SE TRABAJAN • Identificar, analizar, describir y construir, con precisión y destreza, figuras planas presentes tanto en el medio social como natural, y utilizar las propiedades geométricas asociadas a las mismas. • Utilizar instrumentos, técnicas y fórmulas, individual y grupalmente, para medir longitudes, ángulos y áreas de figuras planas. • Aplicar el razonamiento deductivo e inductivo en contextos geométricos.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN • Aplicar el teorema de Pitágoras para calcular longitudes desconocidas en distintos contextos. • Hallar el área de un polígono cualquiera. • Obtener el área de figuras circulares.

• Calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono. • Determinar la medida de un ángulo interior de un polígono regular y de su ángulo central. • Identificar los distintos tipos de ángulos de una circunferencia.

ESQUEMA DE LA UNIDAD Área de polígonos

ÁREAS

Área del triángulo

Áreas de paralelogramos A=a?b

a

h

A=

b ?h 2

A=

(B + b) ? h 2

l

D d

A = l ? l = l2

Área del trapecio b

A=


b

b

h

D ?d 2

B

Área de un polígono regular l

A=b?h

h

A=

a

b

P ?a 2

Área de figuras circulares Círculo

Sector circular

R

a r

r

A = rr

2

A=

r ?r2 ? a 360


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Corona circular r

A = (R 2 - r 2) ? r

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UNIDAD

10

LECTURA INICIAL El regalo No se sabe casi nada de la vida de Apolonio de Perga, si bien se cree que nació en Perga (actual Turquía) en torno al año 262 a.C. y murió en Alejandría alrededor del 190 a.C., ciudad en la que estudió e impartió clases. Los detalles que se conocen de su vida derivan de anotaciones que él mismo hizo en su obra de Las cónicas. Por ejemplo, la lectura que proponemos en la unidad muestra a Eudemo y a Apolonio en Éfeso, situación que recoge el propio Apolonio en una copia de Las cónicas que envía a su amigo Eudemo, en Pérgamo. Asimismo, el acertijo que Apolonio propone en el texto es, en realidad, la variante más difícil de un problema geométrico que recibe el nombre de Problema de Apolonio y que consiste en encontrar una circunferencia tangente a tres elementos dados (punto, recta o circunferencia), siendo el caso más sencillo hallar la circunferencia que pasa por tres puntos, es decir, la circunferencia circunscrita a un triángulo.

294 277995 _ 0292-0323.indd 294


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UNIDAD

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Curiosidades matemáticas Fórmula de Pick George Alexander Pick (1859-1943) fue un matemático austríaco que estableció la relación que existe entre los nudos de una malla y el área de un polígono dibujado sobre ella. Cada punto de intersección de una recta horizontal y otra vertical se denomina nudo, y cada segmento que une dos nudos consecutivos se llama lado. Así, un cuadrado de dicha malla será la unidad de superficie. Hay que considerar, para cada figura, el número de puntos de la malla que tiene y su número de lados.

➀

➂

5

Nudo

5

➃

➄

Figura 1 2 3 4 5

Nudos de la malla 17 15 20 19 21

Lados 8 12 8 9 17

Área 12 8 15 13,5 11,5

L En general, el área de una figura es: A = N - - 1, siendo N los puntos de la malla que tiene la figura 2 y L su número de lados.


Lado

➁

Poesía matemática 2 3 2 son 4. 2 3 3 son 6. ¡Ay, qué corta vida la que nos hacéis! 3 3 3 son 9. 2 3 5, 10. ¿Volverá a la rueda la que fue niñez?

6 3 3, 18. 10 3 10 son 100. ¡Dios! ¡No dura nada nuestro pobre bien! Infinito y cero. ¡La fuente y el mar! ¡Cantemos la tabla de multiplicar! MIGUEL DE UNAMUNO


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UNIDAD

10



Dibuja un ángulo inscrito en una circunferencia de 60°, y comprueba que mide la mitad del arco que abarca. 1. Utilizamos la herramienta para dibujar una circunferencia en la que aparecen marcados el centro y un punto de ella.

para construir 2. Utilizamos la herramienta una semirrecta, que corte a la circunferencia, con origen en el punto marcado en ella.

3. Con , marcando primero la semirrecta y después el vértice, construimos otra semirrecta que forme un ángulo de 60° con la anterior.

4. Con construimos los puntos de intersección de cada semirrecta con la circunferencia, y con trazamos el ángulo central.

5. Utilizamos la herramienta para medir el ángulo inscrito y el ángulo central, y comprobamos que el ángulo inscrito mide la mitad del arco que abarca.

SUGERENCIAS PARA RESOLVER LAS ACTIVIDADES 1 Para realizar este ejercicio basta con seguir las

instrucciones que se dan en el ejemplo resuelto, solo tenemos que cambiar el ángulo con el que rota la semirrecta de la figura.

296 277995 _ 0292-0323.indd 296

2 Para poder mover el vértice nos resultará más

cómodo no utilizar el punto que se crea al dibujar la circunferencia. Utilizamos la herramienta para dibujar el vértice sobre la circunferencia.


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UNIDAD

PASO A PASO

10


1

Seleccionamos la herramienta , marcamos primero el centro y después, según desplazamos el ratón va aumentando el radio de la circunferencia. Cuando volvemos a marcar se fija el radio y un punto sobre la circunferencia.

2

Con la herramienta , marcamos primero sobre el punto que hemos dibujado en la circunferencia y después desplazamos el ratón. Así, aparece una semirrecta cuyo origen es el punto marcado. Esta se mueve según desplazamos el ratón, y cuando volvemos a marcar se fija dicha semirrecta.

Seleccionamos la herramienta , marcamos primero la semirrecta, y después el punto que está sobre la circunferencia. Se abre una ventana donde introducimos los grados que abarca el ángulo que queremos dibujar, 60º. Al pulsar OK aparece una semirrecta que forma un ángulo de 60º con la que había ya dibujada.

4

Utilizamos la herramienta dos veces. La primera vez señalamos sobre la circunferencia y sobre una de las dos semirrectas. Cuando volvemos a activar la misma herramienta, señalamos sobre la circunferencia y la otra semirrecta.


3

Con la herramienta , marcamos uno de los puntos de intersección y el centro de la circunferencia. Después, volvemos a activar la herramienta y marcamos el otro punto de intersección y el centro de la circunferencia. 5

Seleccionamos la herramienta , marcamos sobre los tres puntos que determinan el ángulo central, y después volvemos a utilizar la misma herramienta marcando los tres puntos que determinan el ángulo inscrito. Obtenemos así la medida del ángulo central y del inscrito, y comprobamos que el ángulo inscrito mide la mitad que el ángulo central. ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

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UNIDAD

10


CABRI

Dibuja un ángulo inscrito en una circunferencia de 60º y comprueba que mide la mitad del arco que abarca. 1. Utilizamos la herramienta para dibujar una circunferencia. Y con la herramienta dibujamos un punto sobre ella.

2. Utilizamos la herramienta para construir una semirrecta, que corte a la circunferencia con origen en el punto marcado en ella.

3. Con escribimos 60, y utilizamos para rotar la semirrecta 60º, señalamos la semirrecta, el vértice y el número 60.

4. Con construimos los puntos de intersección de cada semirrecta con la circunferencia, y con trazamos el ángulo central.

5. Utilizamos la herramienta para medir el ángulo inscrito y el ángulo central, y comprobamos que el ángulo inscrito mide la mitad del arco que abarca.


INVESTIGA

1. Dibuja ángulos inscritos con las siguientes medidas.

2. Dibuja en una circunferencia un ángulo central, y después un ángulo inscrito, de forma que abarque el mismo arco.

a) 50° b) 100° c) 150° Comprueba en cada uno que el ángulo central que abarca mide el doble que el inscrito.

298 277995 _ 0292-0323.indd 298

Comprueba que moviendo el vértice del ángulo inscrito su medida no varía.


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UNIDAD

PASO A PASO

10

CABRI

1

Seleccionamos la herramienta , marcamos primero el centro y después, según desplazamos el ratón va aumentando el radio de la circunferencia. Cuando volvemos a marcar se fija el radio. Seleccionamos la herramienta , nos situamos sobre un punto de la circunferencia y lo marcamos.

2

Con la herramienta , marcamos primero sobre el punto que hemos dibujado en la circunferencia y después desplazamos el ratón. Así, aparece una semirrecta cuyo origen es el punto marcado. Esta se mueve según desplazamos el ratón, y cuando volvemos a marcar se fija dicha semirrecta.

Seleccionamos la herramienta , nos situamos sobre un punto y marcamos. Así se abre una ventana donde escribimos 60. Con la herramienta , marcamos primero la semirrecta, el punto que está sobre la circunferencia y por último sobre el número 60. De este modo, aparece una semirrecta que forma un ángulo de 60º con la que había ya dibujada.

4

Utilizamos la herramienta dos veces. La primera vez señalamos sobre la circunferencia y sobre una de las dos semirrectas. Cuando volvemos a activar la misma herramienta, señalamos sobre la circunferencia y la otra semirrecta.


3

Con la herramienta , marcamos uno de los puntos de intersección y el centro de la circunferencia. Después, volvemos a activar la herramienta y marcamos el otro punto de intersección y el centro de la circunferencia. 5

Seleccionamos la herramienta , marcamos sobre los tres puntos que determinan el ángulo central, y después volvemos a utilizar la misma herramienta marcando los tres puntos que determinan el ángulo inscrito. Obtenemos así la medida del ángulo central y del inscrito, y comprobamos que el ángulo inscrito mide la mitad que el ángulo central. ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

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UNIDAD

10

EN LA VIDA COTIDIANA... Diseño y movimientos En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Utilizar distintos tipos de mosaicos para recubrir el plano y decorarlo. • Calcular perímetros y áreas de baldosas con diferentes formas que recubren el plano.

1

Mosaicos regulares REALIZA LAS ACTIVIDADES.

Luisa tiene una empresa de fabricación de baldosas y ha recibido de un Ayuntamiento el encargo de realizar unos diseños para pavimentar y decorar las calles.

a) Estos tres polígonos regulares, ¿son los únicos que forman mosaicos regulares? Trabaja con los divisores de 360° y recuerda que el ángulo interior de un polígono regular de n lados mide: 180° ? (n - 2) / n

Para resolver el problema, Luisa debe realizar diseños de mosaicos. Un mosaico se forma con la yuxtaposición de figuras planas, de forma que recubren o teselan todo el plano, es decir, no dejan huecos ni se solapan entre ellas.

b) Todas las baldosas que ha diseñado Luisa tienen de lado 30 cm. Calcula cuántas baldosas necesitará el Ayuntamiento para embaldosar 10 000 m 2 si utiliza triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares.

Luisa ha decidido inicialmente trabajar con mosaicos regulares, aquellos que se forman usando solo polígonos regulares iguales, pero enseguida se ha dado cuenta de que es más sencillo formar mosaicos con triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos. Por tanto, decide proponer los tres diseños que se muestran, con baldosas en forma de triángulo equilátero, cuadrado y hexágono regular, respectivamente. Observa que, para que se forme un mosaico, la suma de todos los ángulos coincidentes en cada vértice del mosaico debe ser igual a 360°.

2

Mosaicos semirregulares

Luisa decide incluir también algunos diseños de baldosas basados en los mosaicos semirregulares, aquellos que utilizan dos o más tipos de polígonos regulares, de modo que alrededor de cada vértice se encuentren siempre los mismos polígonos y en idéntico orden.

4

Al igual que en los mosaicos anteriores, la suma de los ángulos coincidentes en cada vértice ha de ser de 360°. Existen ocho mosaicos semirregulares, que son los que se muestran a continuación.

5

7 6

2

8 1

300 277995 _ 0292-0323.indd 300

3


11/07/11 13:46

UNIDAD

HAZ ESTAS ACTIVIDADES. a) Comprueba que todos los mosaicos semirregulares cumplen la relación numérica que les corresponde, siendo m, n, p, q, r y s, el número de lados de los polígonos que coinciden en cada vértice del mosaico.

10

b) Luisa decide presentar como diseños semirregulares los siguientes, y toma como pieza base de cada mosaico: • Mosaico ➃: un hexágono más los 6 cuadrados y los 6 triángulos que lo rodean.

Para tres polígonos, tenemos que:

• Mosaico ➄: un cuadrado más los 4 triángulos que lo rodean.

1 1 1 1 + + = m n p 2

• Mosaico ➅: un hexágono más los 6 triángulos que lo rodean.

Y para cuatro, cinco y seis polígonos:

• Mosaico ➆: un hexágono más los 18 triángulos que lo rodean.

1 1 1 1 + + + =1 m n p q

• Mosaico ➇: un cuadrado más los 2 triángulos de sus lados opuestos.

1 1 1 1 1 3 + + + + = m n p q r 2

Calcula el perímetro y el área de cada pieza base, sabiendo que todos los triángulos que aparecen son equiláteros y miden 10 cm de lado.

1 1 1 1 1 1 + + + + + =2 m n p q r s

Mosaicos pararregulares

Luisa decide proponer también al Ayuntamiento algunos diseños de mosaicos que no estén basados en polígonos regulares. Cuando utilizamos polígonos no regulares que permiten recubrir correctamente el plano, el mosaico formado se llama pararregular. Podemos conseguir mosaicos pararregulares uniendo teselas o piezas iguales, obtenidas a partir de la deformación de polígonos regulares. Observa el ejemplo en el que se deforma un cuadrado: 2 1

1

b) Halla el perímetro de esta pieza, sabiendo que los triángulos rectángulos ➀ que aparecen en la deformación poseen catetos de 6 cm y 8 cm, respectivamente, y los equiláteros ➁ tienen 5 cm de lado. c) Construye dos mosaicos a partir de piezas obtenidas deformando un polígono regular. ¿Qué área tiene cada una de esas piezas? Investigando, Luisa observa también que con cualquier triángulo es posible conseguir mosaicos que recubran todo el plano.


3

F

2

HAZ LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. a) Explica cómo se puede formar un mosaico a partir de un triángulo cualquiera. REALIZA LAS ACTIVIDADES.

b) ¿Ocurre lo mismo con un cuadrilátero cualquiera? Razona tu respuesta.

a) Si el cuadrado que deforma Luisa para obtener la pieza mide 10 cm de lado, ¿qué área tiene dicha pieza?

c) Existe un pentágono cuyos lados son de la misma longitud y con el que se puede formar mosaicos. Dibújalo.


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301 11/07/11 13:46

UNIDAD

10

estrategias de resolución de problemas Hacer o completar un dibujo Estrategia La estrategia de hacer un dibujo de acuerdo con el enunciado ya ha sido utilizada

en problemas de tipo numérico. En Geometría, esta estrategia es imprescindible para los problemas en los que no se proporciona la figura. En los problemas geométricos en los que se parte de una figura, a veces conviene completarla trazando algún elemento (una paralela, una altura, etc.) para que el problema sea más fácil.

PROBLEMA RESUELTO Una parcela tiene forma de trapecio isósceles. El plano de la parcela a escala 1 : 1 000 es el que aparece a la izquierda. ¿Cuál es la superficie de la parcela en metros cuadrados? A

B

3,9

3,9

6,9 cm

C

D

B

3,9 cm h

M

cm

cm

D

3,9 cm

3,9

F

3,9

cm

3,9 cm

cm

A

1,5

C

6,9 cm

Planteamiento y resolución Podemos completar el dibujo (véase la figura de la derecha) trazando la paralela al lado AD por el vértice B. Al trazar esta paralela se puede apreciar en la figura que BM = 3,9 cm, M C = 6,9 - 3,9 = 3 cm y, por tanto, el triángulo BMC es isósceles. De este modo se tiene:

h = 3,92 - 1,52 = 15,21 - 2,25 = 12,96 = 3,6 cm Para calcular el área de la parcela debemos obtener las bases y la altura del trapecio en la realidad. Así, la base menor es: 3,9 cm ? 1 000 = 3 900 cm; es decir, 39 m. Halla la base mayor, la altura y el área real de la parcela.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1 Una finca tiene la forma de un trapecio

isósceles con las dimensiones que se indican en la figura. Calcula el área de la finca en hectáreas.

2 El siguiente plano está hecho a una escala

1 : 2 000 y representa el plano de una parcela. ¿Cuál es el área de la parcela en metros cuadrados?

4 km

60° 8 km

302

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302

14/07/11

13:47

UNIDAD

10



Por el teorema de Pitágoras, podemos calcular cualquiera de los lados de un triángulo rectángulo en función de los otros. Se plantean problemas relacionados con dicho teorema en los que la interpretación gráfica de los mismos nos ayuda en su resolución.

• Teorema de Pitágoras: en un triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Continuamos esta unidad recordando las unidades de longitud y superficie, y las conversiones entre ellas. Se hace también mención a las diferentes unidades para medir superficies agrarias. Los conceptos de perímetro de un polígono y área de una figura se introducen previamente al cálculo de las áreas de los principales paralelogramos y polígonos regulares: triángulo, cuadrado, rectángulo, rombo, romboide, y polígonos de lados iguales.

• El metro cuadrado es la unidad principal de superficie. Para transformar las unidades de superficie se multiplica o se divide por 100. El área y la hectárea son unidades de superficie agrarias.

OBJETIVOS

• El perímetro de un polígono es la medida de su contorno. Para calcularlo sumamos todos sus lados. • El área de una figura es la medida de su superficie. Calculamos las áreas de los principales polígonos: triángulo, cuadrado, rectángulo, rombo, romboide y polígonos regulares. • La longitud o perímetro de la circunferencia es igual al diámetro (dos veces el radio) multiplicado por el número r. • El círculo es la superficie que ocupa una circunferencia. El área de un círculo es igual a r multiplicado por el radio al cuadrado.

CONTENIDOS

PROCEDIMIENTOS

1. Comprender el teorema de Pitágoras.

• Triángulo rectángulo. • Área de los cuadrados sobre los lados. • Teorema de Pitágoras: enunciado.

• Reconocimiento de los lados de un triángulo rectángulo. • Aplicación del teorema de Pitágoras. • Resolución de problemas.

2. Conocer las unidades de longitud y superficie. Calcular perímetros.

• Unidades de longitud y superficie. • Múltiplos y submúltiplos. Unidades agrarias. • Perímetro de un polígono.

• Identificación de magnitudes. Conversión de unidades de longitud y superficie. • Resolución de problemas. • Cálculo de perímetros.

3. Calcular el área de los principales polígonos.

• Área de una figura. • Área de polígonos: rectángulo, cuadrado, rombo, romboide y triángulo. • Área de polígonos regulares.

• Estimación de áreas. • Cálculo del área de los principales paralelogramos y polígonos regulares. • Resolución de problemas.

4. Calcular el perímetro y el área de figuras circulares.

• Circunferencia y círculo. • Relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Número r. • Área del círculo.

• Relación de la longitud de la circunferencia y su diámetro. • Cálculo de la superficie del círculo. • Resolución de problemas.


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Siendo conocida ya por los alumnos la relación entre el perímetro o la longitud de la circunferencia y su diámetro, procedemos a calcular el área de la superficie que delimita, es decir, la superficie del círculo, que se introduce como un polígono de muchos lados iguales, por lo que su área se halla en función del perímetro y el radio. Los ejemplos gráficos y relacionados con la vida real nos ayudarán en la resolución de problemas.

• El metro es la unidad principal de longitud. El paso entre las unidades de longitud se efectúa multiplicando o dividiendo por 10.

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OBJETIVO 1

COMPRENDER EL TEOREMA DE PITÁGORAS NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Triángulo rectángulo • Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90°). • Los lados que forman el ángulo recto se denominan catetos, b y c. El lado mayor se llama hipotenusa, a. • Ejemplos de triángulos rectángulos son la escuadra y el cartabón.

a

b

c

Cuadrados sobre los lados de un triángulo rectángulo A

• Sobre los lados de un triángulo rectángulo construimos cuadrados, como se ve en la figura.

• La suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los dos catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.

B

+

C

=

1 Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 cm y 4 cm.

a) Forma el ángulo recto con ambos catetos y comprueba que mide 90º. b) Mide la longitud del lado mayor: hipotenusa. c) Nombra sus elementos: ángulo recto y lados.

2 Traza una diagonal sobre el siguiente rectángulo e indica.

a) ¿Qué polígonos se han formado?

304 277995 _ 0292-0323.indd 304

b) Nombra sus elementos.


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UNIDAD

10

Teorema de Pitágoras • Pitágoras fue un científico de la época griega, que enunció el teorema que lleva su nombre y que afirma: «En un triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos».

a

b

a2 = b2 + c2

Despejando F a = b2 + c2

c

• Se pueden hallar los valores de los catetos en función de los otros valores: b 2 = a 2 - c 2 Despejando Fb =

a2 - c 2

c 2 = a 2 - b 2 Despejando Fc =

a2 - b 2

3 Calcula el valor de la hipotenusa en los siguientes triángulos rectángulos.

a)

b) a

4 cm

a

10 cm

15 cm

8 cm

a)

b) 13 cm

6 cm 10 cm

12 cm

5 Una escalera que mide 6 m se apoya en una pared. Desde la base de la escalera a la pared hay

una distancia de 2 m. Halla la altura marcada en la pared por la escalera. (En la figura, la distancia AC.)


4 Obtén el valor de los catetos que faltan en cada triángulo rectángulo.

6m

A

B

2m

C

6 Pedro y Elisa quieren sujetar con una cuerda un poste de 2 m de altura a una estaca que está

situada a 3,5 m de la base del poste. Calcula la longitud de la cuerda que necesitan.

l

2m

3,5 m ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

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305 11/07/11 13:46

OBJETIVO 2

CONOCER LAS UNIDADES DE LONGITUD Y SUPERFICIE. CALCULAR PERÍMETROs NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Unidades de longitud • El metro es la unidad principal de longitud. Abreviadamente se escribe m. • Los múltiplos (unidades mayores) y submúltiplos (unidades menores) del metro son: Unidad principal

Múltiplos del metro

10 000 m miriámetro mam

1 000 m kilómetro km

100 m 10 m hectómetro decámetro hm dam

metro m

Submúltiplos del metro

0,1 m decímetro dm

0,01 m centímetro cm

0,001 m milímetro mm

• Cada unidad es 10 veces mayor que la inmediata inferior y 10 veces menor que la inmediata superior.

: 10

: 10

cm

: 10

mm

F

dm F

F

F

F

: 10

m

F

dam

? 10 F

hm

? 10 F

km

? 10 F

F

F

? 10

F

: 10

? 10

F

mam

? 10

F

? 10

: 10

: 10

1 Expresa cada longitud en la unidad indicada.

a) 34 km = 34 ? 1 000 = .................. m

d) 7 cm = 7 : 10 = .................. dm

b) 348 m = .................. = .................. hm

e) 4,3 hm = .................. = .................. m

c) 0,8 hm = .................. = .................. km

f) 7,5 dm = .................. = .................. cm

2 Ordena, de mayor a menor (>), las siguientes medidas. Toma como referencia el metro y transforma

todas las medidas en esa unidad.

0,34 km 45 dm 5 m 678 cm 12 m 0,25 km 9,5 dam 5 500 mm 0,01 km 2,83 dam

3 Dibuja con tu regla cuatro segmentos de longitudes 5, 7, 12 y 14 cm, respectivamente.

Nómbralos y completa la tabla. Segmento

306 277995 _ 0292-0323.indd 306

Longitud del segmento (cm)

Equivalencia (m)

Equivalencia (dm)


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UNIDAD

10

4 Completa la siguiente tabla: km

hm

m

dm

cm

5m 2,3 km 153 dm 6,5 hm 2 000 cm

5 Completa esta tabla: Longitud (km)

Longitud (hm)

Longitud (m)

2 850 000 11 200 9 270 913 743 000 680

3 410 336 UNIDADES DE SUPERFICIE

1m

• El metro cuadrado es la unidad principal de superficie. Se escribe m2. • Un metro cuadrado es la superficie de un cuadrado que tiene 1 metro de lado.

1m • Los múltiplos (unidades mayores) y submúltiplos (unidades menores) del metro cuadrado son: Múltiplos del metro cuadrado

1 000 000 m2 kilómetro cuadrado km2

10 000 m2 hectómetro cuadrado hm2

100 m2 decámetro cuadrado dam2

1 m2

Unidad principal

Submúltiplos del metro cuadrado

metro cuadrado m2

0,01 m2 0,0001 m2 0,000001 m2 decímetro centímetro milímetro cuadrado cuadrado cuadrado dm2 cm2 mm2


535 000

• Cada unidad es 100 veces mayor que la inmediata inferior y 100 veces menor que la inmediata superior.

cm2

: 100

mm2

F

F

F

F

: 100

dm2

F

: 100

? 100 F

: 100

m2

dam2

? 100 F

hm2

? 100 F

F

F

km2

? 100

F

? 100

F

? 100

: 100

: 100


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307 11/07/11 13:46

CONOCER LAS UNIDADES DE LONGITUD Y SUPERFICIE. CALCULAR PERÍMETROs 6 Completa las siguientes igualdades.

a) 90 m2 = 950 ? 100 = ............... dm2

d) 54 dm2 = 54 : 100 = ............... m2

b) 43,2 cm2 = ............... = ............... dm2

e) 0,463 km2 = ............... = ............... hm2

c) 0,67 m2 = ............... = ............... cm2

f) 82 dam2 = ............... = ............... m2

7 Si 1 m2 es la superficie de un cuadrado de 1 m de lado, expresa lo que sería:

a) 1 cm2

c) 1 km2

b) 1 mm2

d) 1 dam2

8 Ordena, de menor a mayor (< ), las siguientes medidas. Toma como referencia el metro

cuadrado y transforma todas las medidas en esta unidad.

0,024 dm2 32 m2 8 400 dm2 0,75 hm2 0,0024 km2 12 dam2 865 271 mm2 50 m2

Para medir extensiones de campo, fincas, bosques, etc., se utilizan otras unidades: Símbolo

Equivalencia

Equivalencia en m2

Hectárea

ha

1 hm2

10 000 m2

Área

a

1 dam2

100 m2

Centiárea

ca

1 m2

1 m2

Unidades

? 100

? 100 F

F

a

ca

F

F

ha : 100

: 100

9 Expresa las siguientes unidades de superficie en su correspondiente equivalencia.

Expresión (ha)

Equivalencia (a)

Equivalencia (m2)

Un campo de girasoles de 3 hectáreas Un bosque de 250 hectáreas Una finca de 10 hectáreas Un terreno de cultivo de 2,4 hectáreas

308 277995 _ 0292-0323.indd 308


11/07/11 13:46

UNIDAD

10

Perímetro de un polígono El perímetro de un polígono es la medida de su contorno. Para calcularlo sumamos sus lados. Lo expresamos con la letra P.

ejemplo Halla el perímetro de un campo de fútbol de lados 100 m y 70 m. 100 m

P = 100 + 70 + 100 + 70 = 340 m 70 m

70 m

El perímetro es una medida de longitud. 100 m

10 Calcula el perímetro del tablero de tu pupitre y de una baldosa del suelo de tu aula.

Realiza un dibujo representativo. Baldosa

11 Halla el perímetro de los siguientes polígonos regulares. Realiza un dibujo de cada figura.

a) Pentágono, de 5 cm de lado.

c) Hexágono, de 7 cm de lado.

b) Triángulo equilátero, de 3 cm de lado.

d) Cuadrado, de 10 cm de lado.


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Tablero del pupitre

309 11/07/11 13:46

OBJETIVO 3

CALCULAR EL ÁREA DE LOS PRINCIPALES POLÍGONOS NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Área de una figura • El área de una figura es la medida de su superficie, e indica el número de veces que contiene la unidad de superficie. • El valor del área depende de la unidad de medida que tomemos. • Lo expresamos con la letra A.

ejemplo Tomando como unidad de superficie un cuadradito

, calcula el área de la siguiente figura:

• La figura contiene 15

.

1 cm

G

• Si cada cuadradito tuviera 1 cm de lado, su área sería 1 cm2. • Y el área de la figura sería 15 cm2.

F

• Su área es: A = 15 unidades de superficie

1 Tomando como unidad de medida un cuadrado, expresa el área de cada figura

a)

c)

b)

d)

Área del rectángulo • El rectángulo de la figura realizada a escala tiene 28 cuadrados de 1 cm2 cada uno. • Son 7 columnas y 4 filas. • Para hallar el área del rectángulo se multiplica la longitud de la base por la longitud de la altura. Área rectángulo = base ? altura

Altura = 4 cm

Base = 7 cm

" A = b ? h = 7 cm ? 4 cm = 28 cm2

Área del cuadrado • El cuadrado de la figura realizada a escala tiene 25 cuadrados de 1 cm2. • Son 5 columnas y 5 filas. • Para hallar el área del cuadrado se multiplica la longitud de un lado por la longitud del otro lado. Área cuadrado = lado ? lado

310 277995 _ 0292-0323.indd 310

" A = l ? l = 5 cm ? 5 cm = 25 cm2

Lado = 5 cm

Lado = 5 cm


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UNIDAD

10

2 Obtén el área de estos rectángulos y realiza un dibujo representativo.

a) Base = 10 cm Altura = 4 cm

b) Base = 12 cm Altura = 6 cm

3 Determina el área de los cuadrados y realiza un dibujo representativo.

a) Lado = 4 cm

b) Lado = 8 cm

a) La altura del rectángulo. b) El perímetro del rectángulo.


4 Un rectángulo tiene 36 cm2 de área y 12 cm de base. Calcula.

5 Si un cuadrado tiene 64 cm2 de área, halla.

a) El lado del cuadrado. b) El perímetro del cuadrado.


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311 11/07/11 13:46

CALCULAR EL ÁREA DE LOS PRINCIPALES POLÍGONOS 6 Halla el área de esta figura, compuesta por dos cuadrados iguales y un rectángulo.

14 cm F F

G

F

G

8 cm

G

4 cm

d

Área del rombo l área del rectángulo es el producto de la base por la altura. E D El rombo ocupa la mitad de la superficie del rectángulo. Área rombo =

diagonal mayor ? diagonal menor D ?d = 2 2

Área del romboide El romboide lo podemos transformar en rectángulo. El área de un romboide es el área de un rectángulo de igual base y altura.

a

a b

b

Área romboide = base ? altura = b ? h

7 Obtén el área de los siguientes rombos y realiza un dibujo representativo.

a) Diagonal mayor = 7 cm b) Diagonal mayor = 10 cm Diagonal menor = 3 cm Diagonal menor = 5 cm

8 Calcula el área de estos romboides y haz un dibujo representativo.

a) Base = 8 cm b) Base = 12 cm Altura = 2 cm Altura = 5 cm

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UNIDAD

10

Área del triángulo • Al trazar la diagonal del romboide, este queda dividido en dos triángulos. • El triángulo gris y el triángulo blanco ocupan la misma superficie. a

G

G

• Área triángulo =

área de romboide b ?h = 2 2

Área triángulo =

F

b

b ?h 2

9 Calcula el área y el perímetro de los triángulos.

a)

b) Triángulo equilátero

Lado = 6 cm

6 cm

Altura = 5,2 cm

10 cm

8 cm

10 Obtén el área de la siguiente figura: 5 cm

FG

15 cm

F F

G

G


15 cm

Área del polígono regular El siguiente hexágono regular se descompone en 6 triángulos iguales cuya altura es la apotema, a. l

• Área de cada triángulo =

lado ? apotema base ? altura l?a = = 2 2 2

a a l

a

a

l

l

• Área de los 6 triángulos = 6 ?

a l

a l

a l

perímetro ? apotema P ?a l?a = = 2 2 2

Perímetro del hexágono = 6 ? l Área polígono regular =

perímetro ? apotema 2


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CALCULAR EL ÁREA DE LOS PRINCIPALES POLÍGONOS 11 Calcula el perímetro y el área de los siguientes polígonos.

a) Pentágono regular

Lado = 5 cm Apotema = 3,44 cm

b) Hexágono regular

Área del triángulo = 15,6 cm2 Lado = 6 cm

12 Determina el perímetro y el área de las figuras.

a) Octógono regular

Apotema = 2,41 cm Lado = 2 cm

b) Cuadrado

Lado = 10 cm Área del triángulo = 25 cm2

13 Halla lo que mide el lado de estos polígonos.

a) Octógono regular

Área del octógono = 1 920 cm2 Apotema = 24 cm

b) Hexágono regular

Área del hexágono = 345 cm2 Apotema = 10 cm

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OBJETIVO 4

CALCULAR EL perímetro y el ÁREA DE FIGURAS CIRCULARES NOMBRE:

CURSO:

UNIDAD

10

FECHA:

Conceptos de circunferencia y círculo Circunferencia La circunferencia es una línea curva cerrada y plana cuyos puntos están situados a la misma distancia del centro. Círculo El círculo es la figura plana formada por la circunferencia y su interior.

Relación entre la circunferencia y su diámetro • Imagina que extendemos el contorno completo de la circunferencia y lo comparamos con el diámetro. L

La longitud de la circunferencia es un poco mayor que el triple de la longitud de su diámetro.

d d

d

d

• Al dividir la longitud de la circunferencia entre el diámetro se obtiene siempre el mismo número, que se representa por la letra griega r, y se lee pi.

L = r, de donde se obtiene la expresión d de la longitud de una circunferencia L = d ? r = 2 ? r ? r

d r

r

1 Comprueba la obtención de r con los siguientes ejemplos: Longitud circunferencia

Diámetro

Reloj

78,5 cm

25 cm

Aro de gimnasia

226,1 cm

72 cm

Rueda coche

168 cm

53,5 cm

Papelera

157 cm

50 cm


Longitud circunferencia • El número siempre es el mismo valor: r = }}} c 3,14 Diámetro

Longitud dividida entre diámetro

2 Dibuja una circunferencia de diámetro 4 cm y calcula su longitud.

(Utiliza el compás con un radio de 2 cm.)


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CALCULAR EL perímetro y el ÁREA DE FIGURAS CIRCULARES 3 La rueda de una bicicleta tiene un radio de 29 cm.

a) ¿Qué distancia recorre la bicicleta cada vez que la rueda da una vuelta? b) ¿Y si da tres vueltas?

Área Y PERÍMETRO del círculo • El círculo es un polígono regular con muchos lados. Área =

perímetro ? apotema P ?a = 2 2

El perímetro del círculo es igual a la longitud de la circunferencia. P = 2rr Perímetro •G

El perímetro es 2rr 3 La apotema es el radio r

Círculo

2r ? r ? r P ?a Área círculo = = = rr 2 2 2

4 Realiza un dibujo y calcula el área de estos círculos.

a) Radio = 3 cm

b) Radio = 5 cm

5 Quiero sembrar un terreno circular que tiene un diámetro de 140 dm.

¿Cuántos metros cuadrados son?

6 Halla la superficie de las zonas sombreadas.

a) Lado del cuadrado: 4 cm b) Radio del círculo mayor: 5 cm Radio del círculo: 1,3 cm Radio del círculo menor: 3 cm

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UNIDAD

10

PROPUESTAS DE EVALUACIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS Se inicia esta unidad con el estudio del teorema de Pitágoras. Como ya hemos explicado, se trata de una revisión ampliada de contenidos de otras unidades. Por tanto, conviene hacer una selección de los contenidos más importantes que aparecen:

SUGERENCIAS SOBRE LAS EVALUACIONES Y SU CORRECCIÓN EVALUACIÓN inicial


La evaluación consiste en una serie de preguntas sobre el teorema de Pitágoras (ejercicios 1 y 2) y sobre perímetros y áreas de los polígonos básicos: cuadrado, triángulo, rectángulo, circunferencia y círculo. Se supone que estas cuestiones son ya conocidas por los alumnos, aunque en algunos casos se han efectuado algunas variaciones: averiguar primero la longitud del cuadrado (ejercicio 4), determinar la relación entre los lados (ejercicio 5), etc.

Esta unidad se basa sobre todo en aspectos de aplicación del teorema de Pitágoras (ejercicios 2 y 3), antes de calcular el área de un determinado polígono; en el trabajo con formas más o menos irregulares, que se pueden realizar de maneras diferentes y que, por ello, interesarán a los alumnos (en el ejercicio 7 hay figuras con cierta simetría), y en el trabajo con ángulos en figuras realizadas a partir de las figuras circulares.


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• Conocimiento del teorema de Pitágoras y aplicación del mismo en la resolución de determinados problemas geométricos. • Cálculo de las áreas de los polígonos regulares más sencillos: cuadrado, rectángulo y rombo.

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UNIDAD

10

EVALUACIÓN INICIAL 1 Tenemos una caja rectangular de 1,1 m de largo y 0,8 m de ancho, así como un bastón que tiene

una longitud de 1 m y 40 cm. ¿Es posible introducir el bastón en el fondo de la caja?

2 Calcula la altura del triángulo isósceles de la figura.

13 cm

10 cm

3 Dibuja dos circunferencias de 2 cm y 4 cm de radio y calcula sus respectivas longitudes.

Si el radio de la segunda circunferencia es el doble que el de la primera, ¿cómo son entre sí las longitudes de ambas circunferencias?

4 Dibuja un cuadrado de 6 cm de perímetro y halla su área.

5 Se ha delimitado una parcela de forma rectangular mediante un alambre de 600 m

de longitud. Si la parcela mide el doble de largo que de ancho, di cuál es su área.

6 Calcula el área de un rombo, sabiendo que sus diagonales miden 4 cm y 5 cm.

7 Determina el área de un octágono regular, si su lado mide 4 m y su apotema 4,83 m.

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UNIDAD

10

EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Tenemos una caja rectangular de 1,1 m de largo y 0,8 m de ancho, así como un bastón que tiene

una longitud de 1 m y 40 cm. ¿Es posible introducir el bastón en el fondo de la caja? D

0,8 m

2 2 D = 1,1 + 0,8 = 1,3601 m L (bastón) > D (caja) No se puede introducir el bastón en la caja.

1,1 m

2 Calcula la altura del triángulo isósceles de la figura.

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

13 cm

h = 132 - 52 = 12 cm 10 cm

3 Dibuja dos circunferencias de 2 cm y 4 cm de radio y calcula sus respectivas longitudes.

Si el radio de la segunda circunferencia es el doble que el de la primera, ¿cómo son entre sí las longitudes de ambas circunferencias?

Cl

l(C) = 2r r = 2 ? 3,14 ? 2 = 12,56 cm 2 " L(Cl) = 2l(C) L(Cl) = 2r R = 2 ? 3,14 ? 4 = 25,12 cm

4 Dibuja un cuadrado de 6 cm de perímetro y halla su área.

P = 6 cm " l =

6 = 1,5 cm " A = l2 = 1,52 = 2,25 cm 2 4


R= 4

r=2 C

5 Se ha delimitado una parcela de forma rectangular mediante un alambre de 600 m

de longitud. Si la parcela mide el doble de largo que de ancho, di cuál es su área. 2x

x

P = 2(x + 2x) = 6x = 600 " x = 100 m " A = 100 ? 200 = 20 000 m2

6 Calcula el área de un rombo, sabiendo que sus diagonales miden 4 cm y 5 cm.

A=

D?d 4 ?5 = = 10 cm 2 2 2

7 Determina el área de un octágono regular, si su lado mide 4 m y su apotema 4,83 m.

A=

P?a 4 ? 8 ? 4,83 = = 77,28 m 2 2 2 ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

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UNIDAD

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ERES CAPAZ DE… Conocer el teorema de Pitágoras y aplicarlo en la resolución de problemas reales.

Calcular la longitud de segmentos desconocidos en contextos matemáticos.

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 1 Completa la siguiente tabla, sabiendo que son los valores de los lados

de varios triángulos rectángulos. Cateto (1)

3

Cateto (2)

4

Hipotenusa

5

6

5 12

10

15 17

2 Dibuja un triángulo rectángulo e isósceles inscrito en una circunferencia

de radio 3 cm, y calcula cuánto miden sus catetos.

3 Dibuja un hexágono regular de 3 cm de lado, y halla su apotema y su área.

Distinguir los conceptos de área y superficie.

Hallar el área de rectángulos, cuadrados, rombos, romboides, triángulos y trapecios.

4 Con cinco cuadrados de 1 cm de lado, dibuja dos superficies diferentes

que tengan 5 cm2 de área y midan 10 cm y 12 cm de perímetro.

5 Calcula el área de un triángulo equilátero cuyo lado es 4 cm. C

h A

D 4 cm

B


ACTIVIDADES

• Enumerar e identificar elementos . ....................................................................................................................... 1 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc................................................................................ 1 • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ............................................................................ 2, 3, 4 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ............................................................................................................ • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc.............................................................................................................. 1, 5, 6, 7, 8, 9

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UNIDAD

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6 Dibuja un rombo cuyas semidiagonales midan 3 cm y 4 cm, y calcula su área

y su perímetro.

Calcular el área de polígonos irregulares descomponiéndolos en otros más sencillos.

7 Determina el área de la siguiente figura: 4 cm

(1)

(2)

(5)

(3)

(6)

(4)

3,6 cm

1,8 cm

4 cm

8 Halla la longitud del arco ABCD, sabiendo que el lado del cuadrado

mide 16 cm.

C PROPUESTAS DE EVALUACIÓN

Determinar la longitud de una circunferencia y de un arco de circunferencia.

B

D

Determinar el área de círculos y coronas circulares.

l = 16 cm

A

9 Obtén el área sombreada si los radios de las circunferencias

son R = 8 cm y Rl = 6 cm. S' 45∞

S


ACTIVIDADES

• Clasificar y discriminar según criterios .................................................................................................................... • Contrastar operaciones, relaciones, etc. .................................................................................................................. 7, 8 • Combinar, componer datos, resumir, etc. ............................................................................................................... • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ..........................................................................................................


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UNIDAD

10

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1 Completa la siguiente tabla, sabiendo que son los valores de los lados de varios triángulos rectángulos.

Cateto (1)

3

6

5

8

Cateto (2)

4

8

12

15

Hipotenusa

5

10

13

17

2 Dibuja un triángulo rectángulo e isósceles inscrito en una circunferencia de radio 3 cm, y calcula cuánto

miden sus catetos. x

x 6 cm

x2 + x2 = 62 2x2 = 36 " x2 = 18 x = 4,24 cm

3 Dibuja un hexágono regular de 3 cm de lado, y halla su apotema y su área. A h

B

C

h2 = 3 2 - 1,52 = 9 - 2,25 = 6,75 " h = Perímetro = 6 ? l = 6 ? 3 = 18 cm

O

A=

3 cm

6,75 = 2,6 cm

P?a 18 ? 2,6 = = 23,4 cm 2 2 2

4 Con cinco cuadrados de 1 cm de lado, dibuja dos superficies diferentes que tengan 5 cm2 de área y midan

10 cm y 12 cm de perímetro.

Una posible solución sería:

A = 5 cm 2

Al = 5 cm 2

P = 10 cm

Pl = 12 cm

5 Calcula el área de un triángulo equilátero cuyo lado es 4 cm.

En el triángulo rectángulo ACD, la hipotenusa es AC = 4 cm y los catetos son AD = 2 cm y CD = h.

C

Aplicamos el teorema de Pitágoras: h2 = 42 - 2 2 = 12 " h = 12 = 3,46 cm

h A

D 4 cm

322 277995 _ 0292-0323.indd 322

B

Por tanto, el área del triángulo es: b?h AB ? h 4 ? 3,46 A= = = = 6,92 cm 2 2 2 2


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UNIDAD

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6 Dibuja un rombo cuyas semidiagonales midan 3 cm y 4 cm, y calcula su área y su perímetro.

D = 4 cm d = 3 cm

x

32 + 42 = 5 cm

x=

D

P = 4 ? 5 = 20 cm

d

Y el área es: A =

6 ?8 = 24 cm2 2

7 Determina el área de la siguiente figura:

Las superficies (1), (2), (3) y (4) son iguales: A1 = b ? h = 4 ? 3,6 = 14,4 cm 2

4 cm

(1)

(2)

(5)

(3)

(4)

(6) 4 cm

3,6 cm

1,8 cm

La superficie (5) es un triángulo: 4 ? 1,8 = 3,6 cm 2 A5 = 2 La superficie (6) es un rectángulo cuya área es: A6 = b ? h = 4 ? 1,8 = 7,2 cm 2 El área total de la figura será la suma de las áreas, que es 68,4 cm 2.

8 Halla la longitud del arco ABCD, sabiendo que el lado del cuadrado mide 16 cm. PROPUESTAS DE EVALUACIÓN

C

1 1 ? (2 ? r ? r) = ? (2 ? 3,14 ? 8) = 25,12 cm 2 2 1 1 B LCD = ? (2 ? r ? r) = ? (2 ? 3,14 ? 16) = 25,12 cm 4 4 LABCD = 50,24 cm LABC =

D

A

l = 16 cm

9 Obtén el área sombreada si los radios de las circunferencias son R = 8 cm y Rl = 6 cm.

S'

Establecemos que S es la octava parte de una corona circular, y Sles la diferencia entre dos triángulos: r $ 82 r ? 62 ? 45 ? 45 = 25,13 - 14,13 = 11 cm 2 360 360 8 ?8 6 ?6 Sl = = 32 - 18 = 14 cm 2 2 2 S=

45∞

S

El área total es: A = S + Sl = 25 cm 2


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11 Cuerpos geométricos PROGRAMACIÓN DE AULA

CONTENIDOS • Determinar posiciones de rectas y planos en el espacio.

• Reconocer los tipos de cuerpos de revolución más sencillos.

• Distinguir los poliedros regulares, prismas y pirámides y sus elementos.

• Distinguir los elementos de los cuerpos de revolución.

• Calcular el área de prismas y pirámides, y aplicar las fórmulas en la resolución de problemas geométricos y de la vida cotidiana.

• Calcular el área de cilindros, conos y esferas, y aplicar las fórmulas en la resolución de problemas geométricos y de la vida cotidiana. • Identificar figuras esféricas y calcular sus áreas.


• Posiciones de rectas y planos en el espacio. • Elementos de los poliedros. • Poliedros regulares. • Prismas y pirámides. Áreas. • Cuerpos de revolución. Áreas.

PROCEDIMIENTOS, DESTREZAS Y HABILIDADES

• Utilización de la terminología adecuada para describir cuerpos geométricos, sus elementos y propiedades • Cálculo del área de prismas y pirámides, aplicando las fórmulas en la resolución de problemas geométricos de la vida cotidiana. • Cálculo del área de cilindros, conos y esferas, aplicando las fórmulas en la resolución de problemas geométricos de la vida cotidiana. • Resolución de problemas de cálculo de áreas de cuerpos geométricos, formados a partir de otros cuerpos más sencillos.

ACTITUDES

• Confianza en las propias capacidades para percibir el espacio, y afrontar y resolver problemas geométricos. • Curiosidad e interés por investigar sobre formas, configuraciones y relaciones geométricas. • Gusto por la presentación cuidadosa de los trabajos geométricos.

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UNIDAD

COMPETENCIAS QUE SE TRABAJAN • Identificar, analizar, describir y construir, con precisión y destreza, figuras planas y cuerpos geométricos presentes tanto en el medio social como natural. • Visualizar y representar objetos geométricos tridimensionales sencillos, actuando con destreza y creatividad. • Valorar e integrarse en el trabajo en grupo para la realización de actividades de diversos tipos, como base del aprendizaje matemático, de la formación de la autoestima y de valores sociales.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN • Distinguir los tipos de poliedros y sus elementos. • Identificar prismas y pirámides, así como sus elementos. • Obtener el desarrollo de prismas y pirámides. • Reconocer los cuerpos de revolución y sus elementos.

• Dibujar el desarrollo plano de cuerpos de revolución. • Resolver problemas que impliquen el cálculo de áreas de prismas, pirámides y cuerpos de revolución.

ESQUEMA DE LA UNIDAD POLIEDROS

Pirámides

h

Son poliedros con una cara poligonal llamada base y el resto de caras laterales son triángulos.

h

PB

a

a al

AL = n ? ATRIÁNGULO AT = AL + AB

CUERPOS DE REVOLUCIÓN

Cilindro

Cono

Esfera

Son cuerpos geométricos que se obtienen a partir de una figura plana que gira alrededor de un eje. Se obtiene al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. AL = 2rrhg AT = AL + 2 ? rr 2 Se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. AL = rrg AT = AL + rr 2

h

r

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2r

r

r

Se obtiene al girar un semicírculo alrededor de uno de sus diámetros. AT = 4rr 2

h

2rr

h g


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Prismas

Son poliedros que tienen dos caras paralelas e iguales, llamadas bases, y el resto de caras son paralelogramos. AL = PB ? h AT = AL + 2 ? AB

g

r

r

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UNIDAD

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LECTURA INICIAL El centro del universo Aristarco de Samos fue un astrónomo y matemático griego que nació en el año 310 a.C. y murió en el 230 a.C. Es el primer científico en proponer un modelo heliocéntrico del universo, es decir, donde el Sol (y no la Tierra) es el centro del universo. Aristarco fue atraído por la Biblioteca de Alejandría, donde se reunían los sabios más brillantes de su tiempo. Allí presentó su teoría, pero fue rechazada, ya que por entonces la teoría más aceptada era la de Aristóteles, que afirmaba que el centro del universo era la Tierra y, alrededor de ella, se movían los demás astros, describiendo esferas perfectas. Su teoría cayó en el olvido y no fue aceptada hasta casi 2 000 años más tarde con los estudios de Copérnico (1473-1543).

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UNIDAD

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Curiosidades matemáticas Las medidas de las pirámides de Egipto Todos hemos visto fotografías o imágenes de las pirámides de Egipto. La gran mayoría de estas pirámides tienen una base casi cuadrada. Los antiguos egipcios utilizaban como medida de longitud el codo. Un codo equivale aproximadamente a 0,523 metros. Es lógico pensar que la longitud de las aristas de la pirámide era seleccionada de modo que fuera un número entero de codos, y, por ello, la mayoría de las medidas encontradas para estas bases son múltiplos de 5.

Pirámide Senuseret II Amenemhat III Menkaura Jufu (Keops) Jafra (Kefren) Isesi Teti Userkaf Amenemhat I Unas

Lado (codos) 200 200 200 440 410 150 150 150 160 110

Altura (codos) 90,32 112 121,7 280 273,3 100 100 100 112 81

Lado (metros) 104,6 104,6 104,6 230,12 214,43 78,45 78,45 78,45 83,68 57,53

Herón de Alejandría Herón de Alejandría nació aproximadamente hacia el año 126 a.C. y murió en el 50 a.C. De origen humilde, fue zapatero en su juventud, lo cual no le impidió inventar máquinas como el odómetro (sistema de engranajes combinados para contar las vueltas de una rueda) o la eolipila, precursora de la turbina de vapor.

Altura (metros) 47,24 58,58 63,67 146,44 142,953 52,3 52,3 52,3 58,576 42,39


En la siguiente tabla puedes ver algunas de las pirámides y el valor aproximado del lado de la base y la altura en codos y metros.

Una de sus obras más importantes sobre Matemáticas fue Métrica, dividida en tres libros: • Libro I: dedicado al estudio de áreas y polígonos regulares. • Libro II: dedicado al estudio de volúmenes. • Libro III: dedicado a la división de figuras en partes proporcionales.


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UNIDAD

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Dibuja el desarrollo plano, y calcula el área de las bases y el área lateral de un prisma, cuya base es un pentágono regular de lado 2 unidades y altura 5 unidades. 1. Utilizamos la herramienta para dibujar un segmento de longitud 2 unidades. Con este dibujamos segmento y la herramienta un pentágono regular.

2. Con trazamos una recta perpendicular a uno dibujamos de los lados por un vértice, y con una circunferencia con centro en ese vértice y radio 5 unidades.

para trazar 3. Utilizamos la herramienta para determinar los vértices de los lados, y una de las caras laterales del prisma. construimos dicha cara. Con

4. Con , marcando primero la cara y luego un lado, reflejamos esta cara para construir formamos el resto de caras laterales. Con el rectángulo que determina todas las caras.

5. Con construimos el pentágono regular, que es la otra base. Y utilizamos para calcular las áreas de las bases y el área lateral.

SUGERENCIAS PARA RESOLVER LAS ACTIVIDADES 1 Para resolver este ejercicio seguimos las

instrucciones que se dan en el ejemplo resuelto. La diferencia es que en este ejercicio la base es un hexágono regular, luego tenemos que escribir en la ventana el número de lados del polígono y reflejar seis veces el rectángulo que forma una de las caras laterales.

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2 En este ejercicio las caras laterales son triángulos

de altura 10 unidades que tenemos que dibujar sobre uno de los lados de la base y después para dibujar la recta reflejarlos. Utilizamos para que contiene la altura, y después construir un segmento de 10 unidades sobre esta recta.


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UNIDAD

PASO A PASO

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1

Seleccionamos la herramienta , y pulsamos en un punto del plano. Se abre una ventana donde introducimos la longitud del segmento, en este caso 2, y pulsamos OK. , pulsamos los dos puntos del segmento, primero Con el de la izquierda y después el de la derecha. Así, se abre una ventana para introducir el número de vértices del polígono regular, en este caso 5, y pulsamos OK.

2

construimos un lado de una de Con la herramienta las caras laterales. Pulsamos sobre uno de los vértices del polígono y uno de los lados a los que pertenece ese vértice. , y pulsamos sobre Seleccionamos la herramienta el vértice del polígono elegido. Se abre una ventana para introducir el radio de la circunferencia, en este caso 5, y pulsamos OK.

3

construimos el resto de lados de las caras laterales. Con para dibujar los cuatro vértices Utilizamos la herramienta de la cara lateral.

4

construimos la siguiente cara lateral, pulsando Con sobre el interior del rectángulo y sobre el segmento que forma el lado derecho del rectángulo. Repetimos este proceso hasta formar todas las caras laterales del prisma. , y señalamos de forma Seleccionamos la herramienta consecutiva los vértices del rectángulo que forma las cinco caras laterales. Finalmente, volvemos a elegir el primero de los vértices marcados.

5


, y señalamos cada uno Seleccionamos la herramienta de los cuatro puntos de forma consecutiva para formar un rectángulo. Finalmente, volvemos a elegir el primero de los vértices marcados.

, y pulsamos los dos Seleccionamos la herramienta puntos del segmento paralelo a la base del prisma, primero el de la derecha y después el de la izquierda. Así se abre una ventana para introducir el número de vértices del polígono regular, en este caso 5, y pulsamos OK. calculamos el área de las bases y el área lateral. Con Para ello, pulsamos sobre el interior de cada una de las bases y sobre el rectángulo que forma la superficie lateral. De esta manera aparecerá su área.


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CABRI

Dibuja el desarrollo plano, y calcula el área de las bases y el área lateral de un prisma, cuya base es un pentágono regular de lado 2 unidades y altura 5 unidades. 1. Utilizamos para mostrar los ejes. Con dibujamos un segmento de longitud 2 unidades. para girar 108º el segmento, y lo Utilizamos repetimos hasta completar un pentágono.

para señalar 2. Utilizamos la herramienta los vértices y formar un pentágono. Utilizamos para dibujar un segmento la herramienta de 5 unidades.

para trazar los 3. Utilizamos la herramienta lados de una de las caras laterales del prisma. formamos el rectángulo que determina Con dicha cara.

4. Con , marcando primero la cara y luego un lado, reflejamos esta cara para construir formamos el resto de caras laterales. Con el rectángulo que determina todas las caras.

5. De la misma forma que en el paso 1 construimos el pentágono regular, que es la otra base. Y utilizamos para calcular las áreas de las bases y el área lateral.


INVESTIGA

1. Dibuja el desarrollo plano, y calcula el área de las bases y el área lateral de un prisma, cuya base es un hexágono regular de lado 3 unidades y altura 7 unidades.

2. Dibuja el desarrollo plano, y calcula el área lateral y de la base de una pirámide, cuya base es un pentágono regular de lado 4 unidades y altura 10 unidades.

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UNIDAD

PASO A PASO 1

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CABRI

Para ver los ejes de coordenadas seleccionamos la opción . Con , marcamos los puntos (0, 0) y Mostrar ejes, (2, 0) para construir un segmento de 2 unidades. escribimos el ángulo interior de un pentágono, 108. Con , y pulsamos sobre el extremo izquierdo Seleccionamos del segmento, y por último sobre 108. Lo repetimos hasta completar los lados del pentágono regular.

2

Utilizamos la herramienta , señalando cada uno de los cinco puntos de forma consecutiva, para formar el pentágono regular. Finalmente, volvemos a elegir el primero de los vértices marcados. , y marcando los puntos (0, 0) y (0, 5), construimos Con un segmento de 5 unidades.

3

Seleccionamos la herramienta de lados de la cara lateral.

para construir el resto

4

Para construir la siguiente cara lateral seleccionamos , pulsando sobre un lado del rectángulo, y sobre el segmento que forma el lado derecho del rectángulo. Repetimos este proceso hasta formar todas las caras laterales del prisma. , y señalamos de forma Seleccionamos la herramienta consecutiva los vértices del rectángulo que forman las cinco caras laterales. Finalmente, volvemos a elegir el primero de los vértices marcados.

5


, señalando cada uno de Utilizamos la herramienta los cuatro puntos de forma consecutiva, para formar un rectángulo. Finalmente, volvemos a elegir el primero de los vértices marcados.

Para construir la otra base, elegimos el segmento paralelo a la , pulsamos sobre el extremo base ya construida. Con derecho del segmento, y por último sobre 108. Lo repetimos hasta completar los lados del pentágono regular. , calculamos el área de las bases y el área lateral. Con Para ello, pulsamos sobre un lado de cada una de las bases y sobre el rectángulo que forma la superficie lateral. De esta manera aparecerá su área. ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

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EN LA VIDA COTIDIANA... Tomografías En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Reconocer y determinar diferentes secciones planas de un cubo. • Truncar un cubo. • Conocer la técnica tomográfica y aplicarla en distintos cuerpos geométricos.

1

Secciones planas de un cubo

Considera un cubo. Si lo cortamos con un plano, la intersección de ambos, formada por los puntos del espacio comunes, crea una figura plana, que será distinta según el plano que corte el cubo. Las diferentes formas que toma ese plano son las secciones planas del cubo.

REALIZA LAS ACTIVIDADES. a) Observa las siguientes figuras, e indica en cada caso cómo es la sección que se obtiene y si el plano que corta al cubo es de simetría. Señala también qué tipos de poliedros resultan del corte.

Una de las secciones, que además es un plano de simetría, es la obtenida al cortar el cubo con un plano paralelo a dos caras opuestas y que pasa por los puntos medios de las aristas. b) ¿Cuántas formas existen de cortar el cubo con un plano y que la sección resultante sea un cuadrado? ¿Cuál es el área de dicho cuadrado? Observa que la sección es un cuadrado de lado igual a la arista del cubo. Las dos partes o poliedros que resultan al cortar el cubo son ortoedros. Hay otro tipo de planos de simetría que cortan el cubo por las diagonales de las caras y por los puntos medios de cada par de aristas opuestas.

2

c) ¿Y para obtener un rectángulo? De las secciones que son rectángulos, ¿cuál es la de área máxima? Calcula dicha área. d) Si tratamos de obtener un triángulo equilátero, ¿cómo habría que hacer el corte? ¿Cuál es el área del mayor triángulo posible?

Cubo truncado

Imagina que cortamos, en todas las esquinas de un cubo, una pequeña porción de forma que la sección resultante en cada una sea un triángulo equilátero.

El poliedro resultante es el cubo truncado, que tiene 14 caras: 8 caras son los triángulos equiláteros que resultan de los vértices, y las otras 6 caras son octógonos que resultan de las caras del cubo, a las que se han quitado los triángulos de las esquinas.

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Cuando los cortes llegan hasta el centro de cada arista, el poliedro que obtenemos es distinto de los demás: sigue teniendo triángulos, pero los octógonos se convierten en cuadrados.

Los cortes podrían llegar hasta el centro de las caras. En ese momento obtendríamos otro sólido platónico: el octaedro.


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UNIDAD

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Tomografías en figuras geométricas

Ya hemos visto cómo se pueden obtener secciones planas de un cuerpo geométrico, cortándolo con planos. Pero también se puede determinar a qué cuerpo geométrico pertenecen unas secciones planas dadas, es decir, reconstruirlo a partir de ellas.

HAZ ESTAS ACTIVIDADES. a) Indica a qué cuerpo corresponden las siguientes series tomográficas.

La tomografía es una de las técnicas más modernas en Medicina. Mediante complejos aparatos y programas informáticos se obtiene una serie de cortes planos del cuerpo humano (similares a las radiografías) y, a partir de ellos, se logra una imagen tridimensional del órgano en cuestión.

b) Dibuja la serie tomográfica de: • Un prisma hexagonal regular. • Un octaedro. • Una pirámide pentagonal regular. • Dos conos unidos por sus bases. • Dos tetraedros unidos por una de sus caras.

En figuras geométricas también podemos hacerlo, y de forma más sencilla. Por ejemplo, si tenemos un cono y hacemos cortes horizontales y paralelos a la base, y entre sí, se consigue la serie tomográfica de la derecha.

d) Si seccionas el cubo truncado (obtenido al cortar en todas las esquinas una pequeña porción) por planos paralelos al plano coloreado, ¿qué serie obtienes?


c) Si seccionas el cubo por planos paralelos al plano coloreado, ¿qué serie obtienes?

Hacemos lo mismo con un cilindro y obtenemos:


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estrategias de resolución de problemas Hacer un diagrama de árbol Estrategia En algunos problemas, para hallar las soluciones, hay que organizarse y realizar un esquema adecuado.

Una de las técnicas más útiles para hacerlo es construir un diagrama de árbol, donde podemos ver las posibles soluciones del problema, o las formas de llegar desde un punto inicial a uno final.

PROBLEMA RESUELTO ¿Cuántos caminos distintos de tres aristas existen en este cubo por los que ir de A a G sin pasar dos veces por la misma arista?

A D

B C

E

Planteamiento y resolución H

En el diagrama podemos ver los posibles caminos: B A D E

G

Caminos

G G G G G G

C F C H H F

F

A B C G A B F G A D C G A D H G A E H G A E F G

Estando en A podemos pasar a B, D o E. De cada uno de estos vértices podemos pasar a otros dos (no es posible tomar la misma arista dos veces), y de ellos pasamos al vértice G, ya que no se pueden usar más de tres aristas en cada camino. ¿Cuántos caminos distintos de cinco aristas llevan de A a G?

PROBLEMAS PROPUESTOS 1 Observa el siguiente octaedro.

a) ¿Cuál es el número mínimo de aristas que puede tener un camino que lleve de A a B ? ¿Y el número máximo? b) Halla todos los caminos distintos de tres y cuatro aristas que llevan del vértice A al vértice B.

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2 Ayudándote de un diagrama de árbol,

calcula todos los ortoedros que cumplen estas condiciones.

A

B

a) Su ancho, a, es un número primo divisor de 6. b) Su largo, b, es un número primo mayor que a y menor que 2 ? a. c) Su altura, c, es un número primo mayor que b y menor que 2 ? b.

c

b a


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UNIDAD

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Los poliedros, sus elementos y tipos ya son conocidos por los alumnos del curso anterior. Descubrimos y reconocemos de nuevo los prismas, las pirámides y los cuerpos de revolución, y calculamos las superficies de los principales poliedros, sin profundizar en algoritmos más difíciles (proyecciones, problemas complejos, simetrías en el espacio, etc.).

• Los poliedros son cuerpos geométricos limitados por caras poligonales. Las caras, aristas y vértices son los principales elementos de los poliedros.

Tampoco se exige a los alumnos el dibujo perfecto de las figuras; simplemente se pide, en algunas actividades, la colocación de las caras en un orden correcto desde el punto de vista gráfico. Como complemento a la unidad se recomienda el uso de diversos materiales de Geometría, como el montaje y construcción de poliedros mediante varillas y figuras planas de unión por caras y aristas.

OBJETIVOS

• El tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro son los principales poliedros regulares. En ellos se cumple que la suma de caras y vértices es igual al número de aristas aumentado en 2 unidades. • Los prismas son poliedros formados por dos bases iguales y paralelas, y sus caras laterales son paralelogramos. Según sea el polígono de las bases, los prismas serán triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales, etc. • Las pirámides son poliedros cuya base es un polígono regular y sus caras laterales son triángulos que concurren en un vértice común. En función de la base, las pirámides serán triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc. • El cilindro, el cono y la esfera son cuerpos de revolución cuyas superficies laterales son curvas.

CONTENIDOS

PROCEDIMIENTOS

1. Conocer los poliedros y diferenciar los poliedros regulares.

• Poliedros. Definición y elementos. • Poliedros regulares y características. Clasificación.

• Identificación de los principales elementos de los poliedros. • Reconocimiento de los poliedros regulares por sus elementos y desarrollo.

2. Reconocer prismas y pirámides. Calcular sus áreas.

• Prismas y pirámides: elementos característicos, tipos y desarrollo. • Área de prismas y pirámides.

• Reconocimiento de prismas y pirámides por sus elementos y desarrollo. • Cálculo del área total de prismas y pirámides.

3. Reconocer los cuerpos de revolución. Calcular sus áreas.

• Cilindro, cono y esfera: elementos característicos y desarrollo. • Área del cilindro, del cono y de la esfera.

• Desarrollo del cilindro y el cono. • Identificación de figuras con forma de cuerpos redondos. • Cálculo del área de un cilindro. • Distinción de algunos elementos de la esfera.


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A partir del desarrollo de las figuras se intenta realizar el cálculo de las distintas áreas. No pretendemos conseguir el aprendizaje memorístico de fórmulas, sino que mediante el dibujo del poliedro «extendido» hallamos el área del rectángulo o triángulo que se forma y las superficies de las bases del poliedro, ya sean polígonos regulares o circunferencias.

• Poliedros regulares son aquellos cuyas caras están formadas por polígonos regulares.

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OBJETIVO 1

CONOCER LOS POLIEDROS Y DIFERENCIAR LOS POLIEDROS REGULARES NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

CONCEPTO DE POLIEDRO • Un poliedro es un cuerpo geométrico cuyas caras son polígonos.

Vértice

F

F

F

• Los elementos del poliedro son: Caras: polígonos que limitan al poliedro (6 en la figura). Aristas: lados comunes a dos caras (12 en la figura). Vértices: puntos donde se unen más de dos caras (8 en la figura).

Cara Arista

• La superficie del poliedro se puede extender sobre un plano, y se denomina desarrollo plano del poliedro.

F

1 Indica en los siguientes poliedros el número de caras, aristas y vértices. A

B

Número de caras

Poliedro

Número de aristas

C

Número de vértices

Tipos de polígonos de las caras

A B C 2 En estos poliedros marca con un punto rojo los vértices y nómbralos con letras mayúsculas.

a)

b)

c)

3 Fíjate en el poliedro y completa. A

B

D

E

C

F

H

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A, B, Los vértices son: ................................................................ AB, BC, Las aristas son: ..................................................................

G

ABCD, Las caras son: ....................................................................


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UNIDAD

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4 Completa el desarrollo plano de los siguientes poliedros.

a) F

b) F

5 Dibuja el desarrollo plano de estos cuerpos geométricos. B

C

Poliedros regulares • Son aquellos poliedros cuyas caras son polígonos regulares (caras y ángulos iguales). En cada vértice del poliedro concurre el mismo número de caras. • Existen 5 poliedros regulares, que son: Tetraedro

4 caras. Triángulos equiláteros

Hexaedro o cubo

6 caras. Cuadrados

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro


12 caras. Pentágonos regulares



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A

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conocer los poliedros y diferenciar los poliedros regulares 6 Completa la siguiente tabla: Poliedro

Tetraedro

Caras

Vértices

Aristas

Caras + vértices

Aristas + 2

4

4

6

4+4=8

6+2=8

Hexaedro o cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro Observa que la suma de Caras + Vértices es igual que Aristas + 2. 7 Fíjate en estos poliedros. Señala y nombra sus vértices con mayúsculas y completa. Poliedro

Número de caras


Número de caras en cada vértice

8 Indica si son verdaderas o falsas (V o F) las siguientes afirmaciones.

a) La suma de las caras y los vértices del cubo es 12. b) El menor número de caras de un poliedro es 4. c) El dodecaedro tiene 12 caras, que son triángulos equiláteros. d) En un poliedro regular, todas las caras son iguales. e) El número de aristas del cubo y del octaedro es el mismo. 9 Indica con qué desarrollo plano se podría construir un

a)

b)

10 Indica con qué desarrollo plano se podría construir un

a)

b)

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............................... c)

............................... c)


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OBJETIVO 2

RECONOCER PRISMAS Y PIRÁMIDES. CALCULAR SUS ÁREAS NOMBRE:

UNIDAD

CURSO:

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FECHA:

Concepto de prisma Un prisma es un poliedro formado por dos bases iguales y paralelas, y cuyas caras laterales son paralelogramos. Elementos del prisma

Las caras laterales son paralelogramos.

Base Caras laterales

Arista lateral Base

F

F

F

F

Vértice

F

F

F

F

Base con forma pentagonal

F

Las dos bases son iguales y paralelas entre sí.

Desarrollo plano del prisma F

Arista básica

Tipos de prismas Los prismas se nombran según el número de lados de sus bases.

Prisma triangular

Prisma cuadrangular

Prisma pentagonal

Prisma hexagonal

1 Nombra, en estos prismas, sus elementos: bases, vértices, caras y aristas.

b) Prisma hexagonal

Área de un prisma RECTO A partir del desarrollo plano del prisma recto podemos calcular su área. Área lateral • Es la suma de las áreas de sus caras. • Su desarrollo es siempre un rectángulo. Uno de los lados del rectángulo coincide con el perímetro de la base, y el otro, con la altura del prisma.

Área de las bases • Las bases del prisma son polígonos regulares. • El prisma tiene 2 bases iguales. • El área de un polígono es: Área polígono =

AL = PB ? h

+


a) Prisma triangular

perímetro ? apotema P ?a = 2 2 AB =

P ?a 2

Área total del prisma AT = AL + AB + AB = AL + 2 ? AB


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RECONOCER PRISMAS Y PIRÁMIDES. CALCULAR SUS ÁREAS ejemplo Calcula el área total de un prisma de base pentagonal, sabiendo que su altura es 7 dm, el lado de la base mide 3 dm y la apotema del polígono de las bases mide 2 dm. A Lateral = PB ? h = (3 ? 5) ? 7 = 15 ? 7 = 105 dm2

A Base =

perímetro ? apotema (3 ? 5) ? 2 30 = = = 15 dm2 2 2 2

AT = AL + 2 ? AB = 105 dm2 + 2 ? 15 dm2 = 135 dm2

2 Halla el área total de un prisma hexagonal, sabiendo que:

• Su altura es 10 dm.

• El lado de la base hexagonal mide 4 dm.

• La apotema del polígono de la base mide 3,5 dm.

Realiza el dibujo del prisma y su desarrollo.

3 Obtén el área total de un prisma cuadrangular cuya altura es de 8 dm y el lado del cuadrado

de la base mide 4 dm. Realiza el dibujo del prisma y su desarrollo.

4 Calcula el área de un cubo que tiene 7 cm de lado.

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UNIDAD

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Concepto de pirámide Una pirámide es un poliedro cuya base es un polígono y sus caras laterales son triángulos que concurren en un vértice común, llamado vértice de la pirámide. Elementos de la pirámide

F

Arista lateral Vértice

Caras laterales

F

F F

F

F

Base

F

Arista básica

La cúspide es el vértice donde se unen las caras laterales.

F

Base con forma hexagonal

Desarrollo plano de la pirámide

F

Las caras laterales son triángulos

F

Tipos de pirámides Las pirámides se nombran según el número de lados de su base.

Pirámide triangular

Pirámide cuadrangular

Pirámide pentagonal

Pirámide hexagonal

5 Dibuja el desarrollo de las siguientes pirámides y completa la tabla.

B


A

Nombre de la pirámide

Polígonos de la base

Número de caras


Número de aristas

A B


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RECONOCER PRISMAS Y PIRÁMIDES. CALCULAR SUS ÁREAS 6 Señala y nombra, en las siguientes pirámides, sus elementos: bases, vértices, caras y aristas.

a) Pirámide triangular

b) Pirámide hexagonal

Área de una pirámide regular A partir del desarrollo plano de la pirámide recta podemos calcular su área. Área lateral

Área de la base

• Es la suma de las áreas de las caras. • Sus caras son triángulos isósceles iguales, por lo que el área lateral es la suma de las áreas de los triángulos.

• Es el área de un polígono regular. • El área de un polígono es:

Área triángulo =

b ?h 2

Área polígono = AB =

P ?a 2

perímetro ? apotema P ?a = 2 2

AL = n · ATriángulo Siendo n el número de triángulos de la pirámide. Área total de la pirámide

AT = AL + AB

ejemplo Calcula el área total de una pirámide de base pentagonal, si la apotema de la base mide 4,13 cm, el lado de la base es 6 cm y la altura de cada uno de los triángulos de las caras es 9 cm. A L = 5 ?

base ? altura 6?9 54 = 5? = 5? = 135 cm2 2 2 2

ÁreaPolígono =

perímetro ? apotema (5 ? 6) ? 4,13 123,9 = = = 61,95 cm2 2 2 2

AT = AL + AB = 135 cm2 + 61,95 cm2 = 196,95 cm2

7 Halla el área total de una pirámide de base cuadrangular, si el lado de la base mide 3 dm

y la apotema de la pirámide (altura del triángulo) mide 6 dm.

6 dm

3 dm

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UNIDAD

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8 Obtén el área total de una pirámide de base hexagonal, si la apotema de la base mide 5,2 dm,

el lado de la base es 6 dm y la altura de cada uno de los triángulos de las caras es 10 dm. Realiza el dibujo de la pirámide y su desarrollo.

9 Halla el área total de una pirámide de base pentagonal cuya apotema de la base mide 4 dm,

10 La base de una pirámide es un cuadrado de 6 cm de lado. Si la altura de cada triángulo mide 1 dm,

calcula el área total de la pirámide. Realiza el dibujo de la pirámide y su desarrollo.


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la altura de cada triángulo mide 9 dm y el área de cada uno de los triángulos es 26,1 dm2. Realiza el dibujo de la pirámide y su desarrollo.

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OBJETIVO 3

RECONOCER LOS CUERPOS DE REVOLUCIÓN. calcular sus Áreas NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

cilindros y conos Los cuerpos de revolución son aquellos cuyas superficies laterales son curvas: cilindros, conos y esferas. Cilindro • Tiene 2 bases iguales que son círculos. • Tiene 1 superficie lateral curva. • Se obtiene al girar un rectángulo sobre un eje.

Eje de giro

Base Superficie lateral

Superficie lateral

F F

Eje de giro

Cono • Tiene 1 base que es un círculo. • Tiene 1 superficie lateral curva. • Se obtiene al girar un triángulo sobre un eje.

Base

F

F F

Desarrollo plano de un cilindro

Base

Desarrollo plano de un cono

Base

Superficie lateral

F

F

Superficie lateral F

F

Base

Base

F

1 Dibuja la figura que se origina al girar sobre el eje.

a)

b)

2 Asocia cada figura de giro con el objeto que se origina.

A

C

E

1

3

5

B

D

F

2

4

6

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ÁREA DE UN CILINDRO A partir del desarrollo plano del cilindro podemos calcular su área. Área lateral • Es el área de un rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia de la base, 2rr, y la altura, h, es la altura del cilindro.

Área de las bases • Las bases del cilindro son círculos. • El cilindro tiene 2 bases iguales. • El área de un círculo es:

AL = Área rectángulo = 2rr ? h

Área círculo = rr 2

Área total del cilindro AT = AL + 2 ? AB = 2rr ? h + 2rr 2

AB = Área círculo = rr 2

3 Calcula el área total del siguiente cilindro. 3 dm

Área lateral = 2rr ? h = 2 ? r ? 3 ? 5 =

5 dm

F

Área bases = 2rr 2 = 2 ? r ? 32 =

Área total = 4 Una bobina de papel de forma cilíndrica tiene una altura de 1,5 m y un radio en la base

ÁREA DE UN CONO A partir del desarrollo plano del cono podemos calcular su área. Área lateral • Es el área de un sector circular con longitud 2rr y radio g. AL = rrg

Área de la base • La base del cono es un círculo. AB = rr 2

Área total del cono


circular de 0,4 m. Obtén el área total de la bobina.

AT = AL + AB = rr g + rr 2

5 Halla el área total de un cono que tiene un radio de la base de 4 cm y una altura de 7 cm.

Realiza un dibujo del cono y su desarrollo.


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RECONOCER LOS CUERPOS DE REVOLUCIÓN. calcular sus Áreas NOMBRE:

CURSO:

ESFERA

FECHA:

• La esfera es un cuerpo de revolución que no tiene caras, ya que está formado por una única superficie curva. Tampoco tiene desarrollo como el cilindro y el cono. • Se obtiene al girar un semicírculo sobre un eje que es su diámetro. Eje de giro

Radio

F F

F

F

F

F F

Centro

F F

F

Radio

Superficie curva

Circunferencia máxima

Centro Diámetro

Circunferencia máxima

6 ¿Cuál de los siguientes objetos genera una esfera al girar en torno al eje?

ÁREA DE UNA ESFERA La esfera no tiene desarrollo plano. Su área es: Área total de la esfera

AT = 4rr 2

7 Calcula el área de estas esferas.

a) Esfera cuyo radio mide 9 cm.

b) Esfera cuyo diámetro mide 16 cm.

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UNIDAD

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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS Esta unidad revisa y completa los conceptos, elementos y organización del espacio, ya estudiados en 1.o ESO. Convendrá efectuar un repaso en sus aspectos más básicos. Aunque todos los contenidos se vuelven a revisar, esta prueba permite advertir qué aspectos deben ser revisados con más cuidado. También se trabaja el teorema de Pitágoras en el espacio. Estos aspectos se pueden resumir en: • Representación de elementos en el espacio y diferenciación de sus posiciones. • Trabajo con los poliedros regulares: dibujo, distinción de sus elementos y reconocimiento de los tipos de poliedros. • Trabajo con los cuerpos de revolución: dibujo y distinción de sus elementos. • Conocimiento del teorema de Pitágoras y aplicación del mismo en la resolución de problemas geométricos.

EVALUACIÓN INICIAL


Las cuestiones que se plantean como evaluación inicial corresponden a aspectos que se consideran básicos: clasificación de un prisma, distinción de elementos de una pirámide, dibujo de un cono y repaso del teorema de Pitágoras. Estos aspectos se vuelven a revisar, pero la corrección de la prueba nos puede dar una idea de qué puntos se tendrán que trabajar con mayor detenimiento.

Se empieza la evaluación con preguntas sobre la posición de rectas y planos en el espacio (es conveniente hacer ejercicios similares al ejercicio 1). Los primeros ejercicios proporcionan una visión fundamental del espacio y de los desarrollos planos de poliedros y cuerpos de revolución. El resto son ejercicios de cálculo de áreas de determinados cuerpos, en alguno de los cuales debe aplicarse el teorema de Pitágoras.


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SUGERENCIAS SOBRE LAS EVALUACIONES Y SU CORRECCIÓN

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UNIDAD

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EVALUACIÓN INICIAL 1 Clasifica el prisma según el tipo de base y la relación entre las aristas laterales y básicas.

Señala con letras los siguientes elementos: base inferior y cara anterior. B

A

C D

E

G F

Tipo de prisma (según la base)

F

Tipo de prisma (según la relación entre las aristas)

F

Base inferior

F

Cara anterior

F

H I

J

2 Averigua el polígono de la base de una pirámide en los siguientes casos, y dibújalo.

a) 8 aristas y 5 vértices b) 6 caras triangulares y 7 vértices c) 4 caras triangulares

3 Dibuja un cono y señala su vértice, generatriz y altura.

4 Calcula el valor del lado del triángulo rectángulo isósceles de la figura.

4 cm

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UNIDAD

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EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Clasifica el prisma según el tipo de base y la relación entre las aristas laterales y básicas.

Señala con letras los siguientes elementos: base inferior y cara anterior. B

A

C D

E

Tipo de prisma (según la base)

F

Pentagonal

F

Recto

F

FGHIJ

Cara anterior

F

EDIJ

Tipo de prisma (según la relación entre las aristas)

G

Base inferior

F

H J

I

2 Averigua el polígono de la base de una pirámide en los siguientes casos, y dibújalo.

a) 8 aristas y 5 vértices b) 6 caras triangulares y 7 vértices c) 4 caras triangulares

Pirámide cuadrangular Pirámide hexagonal Pirámide triangular

3 Dibuja un cono y señala su vértice, generatriz y altura. V (vértice) h (altura) g (generatriz)


4 Calcula el valor del lado del triángulo rectángulo isósceles de la figura.

Aplicamos el teorema de Pitágoras: 4 cm

x

x2 + x2 = 42 = 16 " x2 = 8 " x = 8 . 2,83 cm

x ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

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UNIDAD

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ERES CAPAZ DE… Distinguir los elementos rincipales de poliedros p regulares, prismas, pirámides y cuerpos de revolución.

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 1 ¿Cuál es el polígono de la base de una pirámide con 12 aristas? Dibújala.

¿Cuántas caras tiene? ¿Y vértices?

2 Observa el prisma de la figura y responde. Dl Bl

Al

C A

B

Cl

a) ¿Qué tipo de polígono hay en la base? b) ¿Qué polígonos forman las caras laterales? c) ¿Cuál es el vértice opuesto a A? d) ¿Cuál es la arista opuesta a CD?

3 Indica si son verdaderas o falsas (V o F) las siguientes afirmaciones.

a) La suma de las caras y los vértices del octaedro es 16. b) El menor número de caras de un poliedro es 4. c) El dodecaedro tiene 12 caras, que son triángulos equiláteros. d) En un poliedro regular, todas las caras son iguales. e) El número de aristas del cubo y del octaedro es el mismo. f) En un icosaedro se cumple que: C + V = A + 2 " 20 + 12 = 30 + 2 4 Rodea las figuras que sean el desarrollo de un cilindro.

5 Señala con qué desarrollo es posible construir un tetraedro.

a) b)

c)


ACTIVIDADES

• Enumerar e identificar elementos . ....................................................................................................................... 1 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc................................................................................ 2, 3 • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ............................................................................ 1, 2, 4, 5 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ............................................................................................................ • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc.............................................................................................................. 6, 7

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UNIDAD

Calcular el área de prismas, pirámides, cilindros y conos, y aplicarlo en la resolución de problemas geométricos y de la vida cotidiana.

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6 El radio y la altura de un cilindro miden 4 cm y 7 cm. Calcula el área

del cilindro y el área de un cono con las mismas medidas. Dibújalos.

7 La pirámide de Keops tiene la base cuadrada, 233 m de lado y 148 m

de altura. Determina el área lateral y el área total de esta pirámide.

8 Juan quiere guardar una caña de pescar de 1,8 m en una caja en forma

de ortoedro de dimensiones 1 # 1,5 # 0,5 m. ¿Es posible hacerlo?


Resolver problemas, empleando el teorema de Pitágoras en el espacio.


ACTIVIDADES

• Clasificar y discriminar según criterios .................................................................................................................... 4, 5 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. .................................................................................................................. 5, 8 • Combinar, componer datos, resumir, etc. ............................................................................................................... • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ..........................................................................................................


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UNIDAD

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EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1 ¿Cuál es el polígono de la base de una pirámide con 12 aristas? Dibújala. ¿Cuántas caras tiene?

¿Y vértices? • Polígono: hexágono

• Caras: 7 • Vértices: 7 2 Observa el prisma de la figura y responde. Dl Bl

Al

C

a) ¿Qué tipo de polígono hay en la base? b) ¿Qué polígonos forman las caras laterales? c) ¿Cuál es el vértice opuesto a A? d) ¿Cuál es la arista opuesta a CD?

B

A

Cl

a) Un rectángulo. b) Romboides. c) Cl d) AlBl 3 Indica si son verdaderas o falsas (V o F) las siguientes afirmaciones.

a) La suma de las caras y los vértices del octaedro es 16. Falsa b) El menor número de caras de un poliedro es 4. Falsa c) El dodecaedro tiene 12 caras, que son triángulos equiláteros. Falsa d) En un poliedro regular, todas las caras son iguales. Verdadera e) El número de aristas del cubo y del octaedro es el mismo. Verdadera f) En un icosaedro: C + V = A + 2 " 20 + 12 = 30 + 2. Verdadera 4 Rodea las figuras que sean el desarrollo de un cilindro.

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UNIDAD

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5 Señala con qué desarrollo es posible construir un tetraedro.

a) b)

c)

Es posible construirlo con los desarrollos de los apartados a) y c). 6 El radio y la altura de un cilindro miden 4 cm y 7 cm. Calcula el área del cilindro y el área de un cono con

h = 7 cm F

R = 4 cm

g = 8,06 cm

F

hl = 7 cm

las mismas medidas. Dibújalos.

Rl = 4 cm

a) Cilindro: A = 2 r (R2 + R h) = 2 ? r ? (16 + 28) = 276,46 cm 2 b) Cono: g =

42 + 72 = 8,062 cm; A = r ? (16 + 4 ? 8,06) = 151,58 cm 2

7 La pirámide de Keops tiene la base cuadrada, 233 m de lado y 148 m de altura. Determina el área lateral

Primero calculamos la apotema: a = 1482 + 116,52 = 35 476,25 = 188,35 m 233 $188,35 = 87 771,7 m 2 AL = 4 ? 2 A = AB + AL = 233 2 + 87 771,7 = 142 060,7 m 2 8 Juan quiere guardar una caña de pescar de 1,8 m en una caja en forma de ortoedro de dimensiones


y el área total de esta pirámide.

1 # 1,5 # 0,5 m. ¿Es posible hacerlo?

La diagonal de la caja mide:

D = 12 + 1,52 + 0,52 = 1,87 m Por tanto, podrá hacerlo si coloca la caña siguiendo la diagonal del octaedro.


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12 Volumen de cuerpos geométricos

PROGRAMACIÓN DE AULA OBJETIVOS • Medir el volumen de un cuerpo utilizando distintas unidades de medida. • Pasar de unas unidades de volumen a otras.

• Resolver problemas donde aparezcan unidades de volumen y de masa de sustancias con distintas densidades.

• Expresar el volumen en la unidad adecuada al contexto en el que se trabaja.

• Calcular el volumen de los poliedros.

• Relacionar las unidades de volumen, capacidad y masa para el agua destilada.

• Plantear y resolver problemas reales mediante el cálculo de volúmenes.

• Hallar el volumen de los cuerpos de revolución.

• Definir el concepto de densidad.


• Volumen de un cuerpo. Unidades de volumen. • Relación entre las unidades de volumen, capacidad y masa. • Relación entre volumen y densidad. • Volumen del ortoedro, cubo, prisma, pirámide, cilindro, cono y esfera.

PROCEDIMIENTOS, DESTREZAS Y HABILIDADES

• Utilización de distintas unidades de medida para medir el volumen de un cuerpo. Paso de unas unidades de volumen a otras. • Relación de las unidades de volumen, masa y capacidad para el agua destilada. • Cálculo de las densidades de diferentes sustancias. • Obtención del volumen de prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas, aplicándolo en la resolución de problemas reales. • Obtención del volumen de cuerpos complejos, mediante la suma o diferencia de los volúmenes de cuerpos geométricos más sencillos.

ACTITUDES

• Disposición favorable para realizar mediciones, mediante fórmulas, del volumen de cuerpos geométricos. • Confianza en las propias capacidades para percibir el espacio y resolver problemas geométricos.

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UNIDAD

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COMPETENCIAS QUE SE TRABAJAN • Identificar, analizar, describir y construir, con precisión y destreza, figuras planas y cuerpos geométricos presentes tanto en el medio social como natural. • Visualizar y representar objetos geométricos tridimensionales, obteniendo distintas representaciones planas. • Utilizar instrumentos, técnicas y fórmulas, individual y grupalmente, para medir longitudes, ángulos, áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN • Utilizar diferentes unidades de medida para medir el volumen de un cuerpo. • Reconocer la relación entre las medidas de volumen y capacidad, y las de volumen y masa para el agua destilada. • Expresar el volumen en la unidad adecuada al contexto en el que se trabaja.

• Resolver correctamente problemas donde aparezcan unidades de volumen y de masa de sustancias con distintas densidades. • Calcular el volumen del ortoedro, cubo, prisma, pirámide, cilindro, cono y esfera. • Resolver problemas que impliquen el cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos.

ESQUEMA DE LA UNIDAD VOLUMEN Ortoedro

Cubo

c

VORTOEDRO = a ? b ? c

b

VCUBO = a3

a

a r

Cilindro VPRISMA = AB ? h

h

VCILINDRO = rr 2h

h

Pirámide

Cono h

VPIRÁMIDE =

AB ? h 3

h

VCONO = r

rr 2 h 3


Prisma

Esfera r

VESFERA =

4r r 3 3


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UNIDAD

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LECTURA INICIAL El saqueo de Siracusa Arquímedes de Siracusa es uno de los sabios más conocidos de la antigüedad. Nació en Siracusa (Sicilia) alrededor del año 287 a.C. y murió en el 212 a.C., en el asedio a la ciudad por el ejército romano al mando de Marcelo, a pesar de que este ordenó respetar la vida del sabio. Se dice que en su juventud viajó a Alejandría (Egipto), donde conoció a Eratóstenes, sabio con el que mantuvo correspondencia, haciéndole partícipe de sus descubrimientos, sobre todo de los matemáticos. Es universalmente recordado por formular el principio general de la hidrostática, aunque también son notables sus estudios sobre las máquinas simples: la palanca, el plano inclinado, la polea, la cuña o el tornillo. Sus aportaciones matemáticas han quedado eclipsadas por estas aportaciones físico-técnicas; sin embargo, son notables sus estudios geométricos al margen de Los elementos de Euclides. De hecho, su tumba fue redescubierta por Cicerón en el año 75 a.C., quien la reconoció por tener un grabado geométrico consistente en una esfera inscrita en un cilindro. Esta historia nos transmite la idea de que Arquímedes tenía en gran consideración sus estudios teóricos, por encima de los prácticos, que son por los que es mundialmente conocido.

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UNIDAD

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Curiosidades matemáticas Arquímedes y la corona de oro En el siglo III a.C., en la ciudad de Siracusa gobernaba el rey Hierón II. Este rey encargó una nueva corona de oro a un orfebre, al que le dio un lingote de oro puro para realizarla. Cuando el orfebre terminó el trabajo y entregó la corona, al rey comenzó a asaltarle una duda. El orfebre pudo haber sustituido parte del oro por una cantidad de cobre, de forma que el peso de la corona fuese el mismo que el del lingote. El rey encargó a Arquímedes, un famoso sabio y matemático de la época, que estudiase el caso. El problema era complejo y Arquímedes estuvo un tiempo pensándolo. Un día, cuando estaba en los baños, se dio cuenta de que al introducirse en una bañera rebosante de agua, esta se vertía al suelo. Ese hecho le dio la clave para resolver el problema y, dice la leyenda, que lleno de alegría salió a la calle desnudo, gritando: «¡Eureka!», que en griego significa: «¡Lo encontré!» o «¡Lo resolví!». Arquímedes se dio cuenta de que si un cuerpo se sumerge en un líquido, desplaza un volumen igual al suyo. Aplicando este principio, Arquímedes sumergió la corona y comprobó que el agua que se vertía al introducirla en una cuba de agua no era la misma que al introducir un lingote de oro idéntico al que el rey le dio al orfebre. Eso significaba que no toda la corona era de oro, ya que si hubiese sido de oro, el volumen de agua desalojado habría sido igual al del lingote, independientemente de la forma de la corona.

Sophie Germain Sophie Germain nació en el año 1776 y su pasión por las matemáticas era tal que su padre, para impedirle que estudiase por las noches, le escondía las velas que la iluminaban. Sophie, por su condición de mujer, no pudo ingresar en la École Polytechnique, por lo que asumió la identidad de un antiguo alumno (Antoine-August Le Blanch). A pesar de estudiar por correo, al cabo de unos meses, el encargado del curso, Lagrange, solicitó una entrevista con ella debido a la brillantez de sus respuestas, lo que la obligó a descubrir su identidad.


El oro es más denso que el cobre. Por tanto, el volumen utilizado para elaborar la corona de oro debe ser menor que el que se necesita si se sustituye parte de ese oro por cobre.

Sophie murió de cáncer de mama y, pese a su capacidad, no se la reconoció entre los 72 sabios franceses que se inscribieron en la Torre Eiffel, cuando se erigió en 1889.


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Calcula los datos que faltan, sabiendo que el volumen del cono es 175 cm3. a) El radio de la base, si la altura es 10 cm. b) La altura, cuando el radio de la base es 12 cm. c) El radio de la base, si la altura es 15 cm. Si el volumen es ahora de 250 cm3, ¿cómo varían los datos? 1. Elaboramos una tabla donde anotamos todos los datos conocidos que nos da el enunciado de los apartados a) y b).

2. Construimos la fórmula para calcular el radio de la base que nos piden en el apartado a), y pulsamos Intro para obtener el resultado.

3. Construimos la fórmula para calcular la altura pedida en el apartado b), y pulsamos Intro para obtener el resultado.

4. Escribimos la altura del apartado c) en la celda correspondiente. Al pulsar Intro obtenemos el nuevo radio de la base.

5. En la celda del volumen escribimos el nuevo valor. Al pulsar INTRO obtenemos los nuevos valores para la altura y el radio de la base.

SUGERENCIAS PARA RESOLVER LAS ACTIVIDADES 1 Para resolver este ejercicio basta con seguir las

instrucciones que se dan en el ejemplo resuelto. Escribimos el nuevo dato sobre la celda del volumen y elegimos para cada apartado la fila que calcula el valor que necesitamos.

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2 Modificamos la fórmula que calcula la altura,

conocidos el volumen y el radio de la base, teniendo en cuenta que el volumen del cono es un tercio del volumen de un cilindro con la misma base.


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UNIDAD

PASO A PASO

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1

Escribimos los rótulos, Volumen del cono, Altura y Radio de la base en las celdas B2, B4 y C4, respectivamente. Escribimos 175 en la celda C2, que es el volumen del cono, 100 en la celda B5, que es la altura conocida del apartado a) y 12 en la celda C6, que es el radio de la base conocido del apartado b).

2

En la celda C5 calculamos el radio de la base, conocidos el volumen y la altura. En la celda C5 escribimos la fórmula: =RAIZ((C2*3)/(B5*PI()) Esta fórmula utiliza la función RAIZ() que calcula la raíz de un número, y la función PI() que proporciona el valor del número r.

3

En la celda B6 calculamos la altura, conocidos el volumen y el radio de la base. En la celda B6 escribimos la fórmula: =(3*C2)/(PI()*C6^2) En esta fórmula se vuelve a utilizar la función PI().

Nos situamos en la celda B5 y escribimos 15. Al pulsar INTRO aparecerá el nuevo valor del radio de la base. Así, en la celda C5 aparece 3,34 como valor del radio de la base.

5


4

Nos situamos sobre la celda C2 y escribimos 250, que es el nuevo valor del volumen. Al pulsar INTRO, aparecerán los nuevos valores en las celdas C5 y B6. Así, en la celda C5 aparece 3,99, que es el radio de la base de un cono con volumen 250 cm3 y altura 15 cm. Y en la celda B6 aparece 1,66, que es la altura de un cono con volumen 250 cm3 y radio de la base 12 cm.


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Calcula los datos que faltan, sabiendo que el volumen del cono es 175 cm3. a) El radio de la base, si la altura es 10 cm. b) La altura, cuando el radio de la base es 12 cm. c) El radio de la base, si la altura es 15 cm. Si el volumen es ahora de 250 cm3, ¿cómo varían los datos? 1. Elaboramos una tabla donde anotamos todos 2. Construimos la fórmula para calcular el radio de la los datos conocidos que nos da el enunciado de los base que nos piden en el apartado a), y pulsamos apartados a) y b). Intro para obtener el resultado.

3. Construimos la fórmula para calcular la altura pedida en el apartado b), y pulsamos Intro para obtener el resultado.

4. Escribimos la altura del apartado c) en la celda correspondiente. Al pulsar Intro obtenemos el nuevo radio de la base.

5. En la celda del volumen escribimos el nuevo valor. Al pulsar INTRO obtenemos los nuevos valores para la altura y el radio de la base.


INVESTIGA

1. Calcula los datos que faltan en un cilindro si: 3

a) Su volumen es 100 cm y el radio de la base es 5 cm. b) Su volumen es 230 cm3 y la altura es 10 cm. c) Su volumen es 100 cm3 y la altura es 10 cm.

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2. Un cilindro y un cono tienen por base un círculo de radio 5 cm. Calcula la altura de cada uno de ellos si su volumen es de 75 cm3. ¿Qué relación hay entre las alturas del cilindro y del cono?


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PASO A PASO

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1

Escribimos los rótulos, Volumen del cono, Altura y Radio de la base en las celdas B2, B4 y C4, respectivamente. Escribimos 175 en la celda C2, que es el volumen del cono, 100 en la celda B5, que es la altura conocida del apartado a) y 12 en la celda C6, que es el radio de la base conocido del apartado b).

2

En la celda C5 calculamos el radio de la base, conocidos el volumen y la altura. En la celda C5 escribimos la fórmula: =RAIZ((C2*3)/(B5*PI()) Esta fórmula utiliza la función RAIZ() que calcula la raíz de un número, y la función PI() que proporciona el valor del número r.

3

En la celda B6 calculamos la altura, conocidos el volumen y el radio de la base. En la celda B6 escribimos la fórmula: =(3*C2)/(PI()*C6^2) En esta fórmula se vuelve a utilizar la función PI().

Nos situamos en la celda B5 y escribimos 15. Al pulsar INTRO aparecerá el nuevo valor del radio de la base. Así, en la celda C5 aparece 3,34 como valor del radio de la base.

5


4

Nos situamos sobre la celda C2 y escribimos 250, que es el nuevo valor del volumen. Al pulsar INTRO, aparecerán los nuevos valores en las celdas C5 y B6. Así, en la celda C5 aparece 3,99, que es el radio de la base de un cono con volumen 250 cm3 y altura 15 cm. Y en la celda B6 aparece 1,66, que es la altura de un cono con volumen 250 cm3 y radio de la base 12 cm.


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UNIDAD

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EN LA VIDA COTIDIANA... Obras y reformas En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Reconocer la presencia de cuerpos geométricos en la vida diaria. • Aplicar el cálculo de áreas y volúmenes en distintos contextos.

1

La reforma del suelo de un piso

Belén se ha comprado un piso de segunda mano. Como tiene que hacer algunas reformas, ha realizado un plano a escala 1 : 200 para hacerse una idea de los gastos. (Recuerda que 1 : 200 significa que 1 cm del plano corresponde a 200 cm de la realidad.) La altura de los techos del piso es 2,7 m.

Cocina

Dormitorio

Pasillo Baño Salón

REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. a) Halla el área de cada una de las habitaciones del piso y el área total.

Una de las reformas que quiere hacer es cambiar el suelo del piso y poner parqué y cerámica en distintas habitaciones. El parqué cuesta 30,21 €/m2, y la cerámica, 23,43 €/m2. También quiere instalar aire acondicionado en algunas de las habitaciones.

2

b) ¿Cuánto costará poner suelo de parqué al dormitorio, el salón y el pasillo? c) ¿Cuánto costará poner suelo de cerámica al baño y la cocina? d) El número de frigorías necesarias para enfriar una habitación se obtiene multiplicando su área (en metros cuadrados) por 120. Halla las frigorías necesarias para enfriar cada habitación del piso.

Botes de pintura

Belén quiere pintar las paredes de la casa. En la tienda de pinturas le dan las siguientes opciones, relativas a dimensiones de botes, precio y rendimiento. • Bote cilíndrico de radio 10 cm y altura 12 cm, precio de 5 € y rendimiento de 2 m2/l. • Bote cilíndrico de radio 15 cm y altura 10 cm, precio de 6,50 € y rendimiento de 3 m2/l. • Bote cilíndrico de radio 20 cm y altura 15 cm, precio de 9 € y rendimiento de 4 m2/l.

362

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HAZ ESTAS ACTIVIDADES. a) C alcula el área que tiene que pintar (incluyendo el techo del piso). b) Dibuja el desarrollo plano de los botes. c) ¿Qué bote tiene mayor volumen? ¿Cuántos metros cuadrados se pintan con un bote de cada tipo? d) ¿Cuántos botes de cada tipo se necesitan para pintar el piso? e) ¿Cuál es la opción más económica?


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UNIDAD

3

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La reforma de un trastero

En la compra del piso va incluido un trastero que tiene forma de ortoedro, con dimensiones 60 dm, 48 dm y 26 dm. Belén ha decidido pintarlo y poner el suelo de cerámica.

La mitad del trastero lo quiere ocupar con cajas cúbicas, iguales y del mayor tamaño posible, sin que queden huecos.

REALIZA LAS ACTIVIDADES. a) ¿Cuántos botes de cada tipo necesita para pintar el trastero? b) ¿Cuál es la opción más económica? c) ¿Cuánto le cuesta arreglar el trastero? HAZ ESTAS ACTIVIDADES. a) Calcula el volumen total del trastero. b) El valor de la arista de las cajas tiene que dividir a la mitad del largo, el ancho y el alto del ortoedro. Además, su valor debe de ser el máximo posible. ¿Cuánto mide dicha arista? c) Calcula el volumen de cada caja. d) ¿Cuántas cajas caben exactamente en la mitad del trastero? e) ¿Y en todo el trastero?

El mantenimiento de la piscina

El piso tiene acceso a dos piscinas comunitarias. Una de las piscinas está destinada a niños pequeños y la otra a mayores de 12 años. El presidente de la comunidad ha informado a los 100 vecinos que este año hay que pintar las piscinas. Las dimensiones de la piscina infantil son las indicadas en el dibujo. 0,5 m

La forma y dimensiones de la piscina de adultos son las indicadas en el dibujo. 25 m 10 m

2m


4

5m

0,5 m

1m 1,5 m

HAZ LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. 3m

REALIZA LAS ACTIVIDADES. a) S i con un bote de 1 kg se pintan 4 m 2, ¿cuántos botes se necesitan para pintar la piscina? b) Si cada bote cuesta 6,12 €, ¿cuánto tiene que pagar cada vecino por la pintura? c) Calcula el volumen de la piscina.

a) Calcula el volumen de la piscina. b) Halla el tiempo que tarda en llenarse con un grifo que vierte 300 litros por minuto. c) P ara tener el agua de las piscinas en óptimas condiciones se añaden 20 g de cloro por 15 m 3 de agua cada 5 días. ¿Cuántos gramos de cloro se necesitarán para el mantenimiento de ambas piscinas durante 60 días?


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ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Utilizar tablas, gráficas y ecuaciones Estrategia El método de ensayo y error consiste en aplicar las condiciones del enunciado

a un posible resultado, operación o propiedad, hasta encontrar el objetivo o comprobar que este no es posible. Aunque en estos problemas se suele empezar eligiendo los valores al azar, después de los primeros ensayos los valores no se eligen así, sino que se tienen en cuenta los ensayos realizados.

PROBLEMA RESUELTO 4

Observa la siguiente secuencia de policubos. Dibuja en tu cuaderno los dos policubos que siguen en esta secuencia. Después, escribe el volumen que tiene el policubo de lugar n, tomando como unidad uno de los cubos.

3 2 1

Planteamiento y resolución El número de cubos de la secuencia anterior se expresa por la serie de números impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, …, 2n - 1 Por tanto, estos números indican el volumen de los policubos de la secuencia. El volumen del policubo de lugar n es: 2n - 1

PROBLEMAS PROPUESTOS 1 Observa la secuencia anterior y fíjate

2 Observa la secuencia de cubos. ¿Qué regularidad

en el área de cada policubo, tomando como unidad el área de una cara.

o regla general observas en la medida de las aristas? ¿Cuál es el valor de la suma de las aristas del cubo de lugar n 2?

a) Completa la siguiente tabla con las áreas de cada policubo. Policubos Área

1 6

2 14

3

4

5

6

b) ¿Qué regularidad observas al pasar de un policubo de la secuencia al siguiente?

c) Expresa esta regularidad (no es necesario escribirla en función de n).

1

3

2

Completa la tabla y escribe el volumen del cubo que ocupa el lugar n. Lugar del cubo en la secuencia

1

2

3

4

5

6 … n

Volumen

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UNIDAD

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ADAPTACIÓN CURRICULAR INTRODUCCIÓN

RESUMEN DE LA UNIDAD

Como complemento al estudio del Sistema Métrico Decimal, iniciamos esta unidad con el concepto de volumen y sus respectivas unidades de medida. De igual manera, y recordando las unidades de capacidad y masa, establecemos las relaciones entre estas unidades y las de volumen.

• El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa.

Partiendo del estudio de los cuerpos geométricos realizado en unidades anteriores, se introduce el concepto de volumen de los diferentes poliedros como el producto del área de la base por la altura. Iniciamos este estudio con el ortoedro y el cubo (caso particular del primero), siendo suficiente para los alumnos de este nivel conocer y calcular el volumen del cilindro y la pirámide.

• El litro es la unidad principal de capacidad, y el kilogramo la de masa.

También en esta unidad se recomienda el uso de diversos materiales específicos en Geometría, en concreto los cuerpos geométricos transparentes, dotados de orificios para llenarlos de arena o agua y efectuar las relaciones entre volúmenes de los diferentes poliedros. Será útil la construcción del metro cúbico mediante varillas de PVC y vértices de unión, así como la manipulación del decímetro cúbico descomponible.

• El volumen total de cuerpos geométricos, como el ortoedro y el cubo, se halla multiplicando sus tres dimensiones: largo, ancho y alto.

• El metro cúbico (m3) es la unidad principal de volumen. El paso de una unidad de volumen a otra se efectúa multiplicando o dividiendo por 1 000.

• La conversión de estas unidades de capacidad y masa se efectúa multiplicando o dividiendo por 10. • Mediante equivalencias establecemos relaciones entre las diferentes unidades de volumen, capacidad y masa.

• De igual manera, el volumen del prisma y el cilindro se halla multiplicando el área de las bases por su altura. • El volumen de la pirámide y el cono se halla dividiendo por 3 el área de la base por la altura.

OBJETIVOS

CONTENIDOS

1. C omprender el concepto de volumen de los cuerpos.

• C oncepto de volumen. • Unidades de volumen: múltiplos y submúltiplos.

• Identificación de unidades cúbicas. • Conversión de unidades de volumen aplicando las equivalencias.

2. Relacionar las unidades de volumen, capacidad y masa.

• Unidades de masa y capacidad: múltiplos y submúltiplos. • Equivalencias entre las unidades de volumen, capacidad y masa.

• Conversión de unidades de capacidad y masa mediante equivalencias. • Identificación de las relaciones entre unidades de volumen, capacidad y masa.

3. Calcular el volumen de cuerpos geométricos.

• Volumen del ortoedro. • Volumen del cubo. • Volumen del prisma y el cilindro. • Volumen de la pirámide y el cono. • Volumen de la esfera.

• Cálculo del volumen del ortoedro y el cubo. • Cálculo del volumen del prisma y el cilindro. • C álculo del volumen de la pirámide y el cono. • Cálculo del volumen de la esfera. • Resolución de problemas.


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PROCEDIMIENTOS

365

11/07/11 13:49

OBJETIVO 1

COMPRENDER EL CONCEPTO DE VOLUMEN DE LOS CUERPOS NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

concepto de volumen El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa. Para medir el volumen de un cuerpo, lo comparamos con el volumen de otro cuerpo elegido como unidad, y determinamos el número de unidades que contiene.

ejemplo Si tomamos como unidad el cubo (unidad cúbica), podemos afirmar que la figura tiene como volumen 5 unidades cúbicas.

1 Tomando como unidad el cubo , calcula el volumen de las figuras.

a)

b)

c)

d)

2 Haz lo mismo que en el ejercicio anterior con estas figuras.

a)

b)

3 Calcula los cubos que caben en cada una de las siguientes figuras.

a)

b)

4 Continúa y dibuja la serie de figuras en función de las unidades cúbicas que forman.

Figura

N.º DE cubos

366

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1

2

4

8


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UNIDAD

12

Unidades de volumen • El metro cúbico es la unidad principal de volumen. Se escribe m3. Es el volumen de un cubo que tiene 1 metro de arista.

1 m3

3

F

• Los múltiplos del m son cubos que tienen de arista múltiplos del metro: 1 decámetro cúbico (dam3) es un cubo que tiene 1 dam de arista. 1 hectómetro cúbico (hm3) es un cubo que tiene 1 hm de arista. 1 kilómetro cúbico (km3) es un cubo que tiene 1 km de arista.

G

1m 1m

• Los submúltiplos del m3 son cubos que tienen de arista submúltiplos del metro: 1 decímetro cúbico (dm3) es un cubo que tiene 1 dm de arista. 1 centímetro cúbico (cm3) es un cubo que tiene 1 cm de arista. 1 milímetro cúbico (mm3) es un cubo que tiene 1 mm de arista. 1 dm3

F

G

F

G

1m

1 cm3

1 m3

• Cada unidad es 1 000 veces mayor que la inmediata inferior y 1 000 veces menor que la inmediata superior.

cm3

: 1 000

F

mm3

: 1 000

: 1 000

: 1 000

tiene un volumen de 1 cm3, calcula el volumen de las figuras. b)

c)

d)

e)

6 Completa.

a) 69 m3 = ............ dm3

e) 53 dam3 = ............ m3

i) 0,38 km3 = ............ hm3

b) 7 209 mm3 = ............ cm3

f) 0,34 cm3 = ............ mm3

j) 901 dm3 = ............ m3

c) 1 hm3 = 1 000 ............

g) 1 m3 = 1 000 ............

k) ............ = 1 000 000 m3

d) 1 dm3 = 1 000 ............

h) 1 000 000 mm3 = 1 ............

l) 1 000 ............ = ............ m3


a)

F

F

F

dm3

F

5 Si cada cubo

: 1 000

F

: 1 000

m3

dam3

? 1 000

? 1 000 F

hm3

? 1 000 F

F

F

km3

? 1 000

F

? 1 000

F

? 1 000

7 Ordena, de menor a mayor (<), las siguientes unidades. Toma como referencia el metro cúbico (m3)

y transforma todas las unidades de medida en esta. 5 400 m3

39 291 476 mm3

34 m3

0,23 hm3

0,5 dam3

1 590 dm3

2,01 hm3


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6 120 000 cm3

367

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OBJETIVO 2

RELACIONAR LAS UNIDADES DE VOLUMEN, CAPACIDAD Y MASA NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Unidades de capacidad • El litro es la unidad principal de capacidad. Abreviadamente se escribe ¬. • Los múltiplos (unidades mayores) y submúltiplos (unidades menores) del litro son: Unidad principal

Múltiplos del litro

10 000 ¬ mirialitro mal

1 000 ¬ kilolitro kl

100 ¬ hectolitro hl

10 ¬ decalitro dal

litro

¬

Submúltiplos del litro

0,1 ¬ decilitro dl

0,01 ¬ centilitro cl

0,001 ¬ mililitro ml

Unidades de masa • El kilogramo y el gramo son las unidades principales de masa. Abreviadamente se escriben kg y g. • Los múltiplos (unidades mayores) y submúltiplos (unidades menores) del gramo son: Unidad principal

Múltiplos del gramo

10 000 g miriagramo mag

1 000 g kilogramo kg

100 g 10 g hectogramo decagramo hg dag

gramo g

Submúltiplos del gramo

0,1 g decigramo dg

0,01 g centigramo cg

0,001 g miligramo mg

• Para medir masas de grandes objetos se utilizan estas unidades. Unidades

Símbolo

Equivalencia (kg)

Equivalencia (g)

Tonelada métrica

t

1 000 kg

1 000 000 g

Quintal métrico

q

100 kg

100 000 g

1 Completa la tabla de equivalencias de valores de capacidad. kl

hl

¬

dal

dl

cl

ml

1,5 50 0,5 5 600 14 2 Completa las siguientes tablas de equivalencias de valores de masa.

a) b) t

q

kg

g

2

kg

g

60 75

325

0,5

368

277995 _ 0354-0383.indd 368

mg

20 000


11/07/11 13:49

UNIDAD

12

3 Un depósito contiene 29 kl 30 hl de agua y otro depósito contiene 31 kl 450 dal.

¿Cuál de ellos contiene más litros de agua?

4 Observa los valores de la masa de estos vehículos. Expresa las unidades en kilogramos,

y ordénalas de mayor a menor cantidad de masa. a) Bicicleta: 7 500 g b) Coche: 1 150 kg c) Camioneta: 46 q d) Furgoneta: 2,3 t e) Camión: 25,4 t • Vertemos una botella de agua de 1 ¬ de capacidad en 1 dm3, y observamos que cabe exactamente. 1 litro es el volumen de un cubo que tiene 1 dm de arista, es decir, la capacidad de 1 dm3. 1¬

1 ¬ = 1 dm3 G

1 dm F

• Vertemos una cucharilla de agua de 1 ml de capacidad en 1 cm3, y observamos que cabe exactamente. 1 mililitro es el volumen de un cubo que tiene 1 cm de arista, es decir, la capacidad de 1 cm3.

l

m


1

1 ml = 1 cm3

1 cm3 G

F

1 cm

5 Expresa en litros.

a) 345 dm3 = ............... ¬

c) 950 cm3 = ............... ¬

e) 23 000 cm3 = ............... ¬

b) 200 dal = ............... ¬

d) 0,35 m3 = ............... ¬

f) 0,5 dm3 = ............... ¬

a) 23 ¬ = .............. dm3

c) 5 dal = .............. dm3

e) 0,255 kl = .............. dm3

b) 20 dl = .............. dm3

d) 0,35 m3 = .............. dm3

f) 53 780 ml = .............. dm3

6 Expresa en dm3.


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369

11/07/11 13:49

RELACIONAR LAS UNIDADES DE VOLUMEN, CAPACIDAD Y MASA 7 Una lata de refresco tiene una capacidad de 33 cl; una botella de aceite, una capacidad de 750 ml;

y un frasco de jarabe, un volumen de 150 cm3. Ordena, de menor a mayor capacidad, los objetos anteriores.

8 El embalse A tiene un volumen de 0,35 hm3 y el embalse B tiene una capacidad de 129 000 kl

de agua. Expresa ambas unidades en litros y compara la capacidad de los embalses.

• Un recipiente con 1 ¬ de agua destilada (ocupa 1 dm3), al pesarlo en una balanza, se equilibra exactamente con una pesa de 1 kg. 1 kg es la masa que tiene 1 dm3 de agua destilada.

1 dm3 de agua destilada

Para el agua destilada:

1 kg = 1

¬

1 kg

• Un recipiente con 1 ml de agua destilada (ocupa 1 cm3), al pesarlo en una balanza, se equilibra exactamente con una pesa de 1 g. 1 g es la masa que tiene 1 cm3 de agua destilada.

1 cm3 de agua destilada


1 g = 1 cm3

1g

Tabla resumen de equivalencias Unidades de volumen

m3

–

–

dm3

–

–

cm3

Unidades de capacidad

kl

hl

dal

¬

dl

cl

ml

Unidades de masa

t

q

mag

kg

hg

dag

g


370

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1 ¬ = 1 dm3 = 1 kg


11/07/11 13:49

UNIDAD

12

9 Responde a las siguientes cuestiones.

a) ¿Cuántas pesas de 1 kg hacen falta para equilibrar un recipiente con 3 ¬ de agua? ............... b) ¿Cuántas pesas de 1 g hacen falta para equilibrar un recipiente de 9 cm3? ............... c) ¿Cuántas pesas de 1 g hacen falta para equilibrar un recipiente de 0,006 dm3? ............... d) ¿Cuántas pesas de 1 kg hacen falta para equilibrar un recipiente de 0,2 dal? ...............

10 Expresa en kilogramos estas cantidades de agua destilada.

a) 345 ¬ = ............... kg

c) 0,5 kl = ............... kg

e) 3 000 cm3 = ............... kg

b) 20 dm3 = ............... kg

d) 3,5 kl = ............... kg

f) 0,5 m3 = ............... kg

11 Expresa en gramos los siguientes volúmenes y capacidades de agua destilada.

a) 43 ¬ = ............... g

c) 0,001 kl = ............... g

e) 0,25 cl = ............... g

b) 7 cm3 = ............... g

d) 205 dm3 = ............... g

f) 450 ml = ............... g

12 Un depósito de agua contiene 10 000 000 de ¬. Calcula.

a) Su capacidad en metros cúbicos. b) Su capacidad en hectolitros.

13 Dos recipientes contienen una cantidad total de 15 hl de agua. Si uno de ellos contiene 72 dal, halla.

a) La capacidad de cada recipiente en litros. b) La masa en kilogramos de cada uno de ellos. c) El volumen que ocupan en metros cúbicos.


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c) Si fuera agua destilada, ¿cuál sería su masa en toneladas y en kilogramos?

371

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OBJETIVO 3

CALCULAR EL VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

VOLUMEN DE UN ORTOEDRO

F

• El ortoedro es un prisma cuyas caras son rectángulos. Una caja de cerillas, una caja de zapatos, una piscina, un aula, desde un punto de vista geométrico, son ortoedros.

5 cm G

G

8c

F

m

F

G

4

cm

Para llenar la caja hay que colocar 5 filas más de 32 cubitos de 1 cm3 cada uno F (8 ? 4) ? 5 = 160 cm3

En el fondo de la caja caben 32 cubitos de 1 cm3 cada uno F 8 ? 4 = 32 cm3

El volumen de la caja es 160 cm3, y contiene 160 cubitos de 1 cm3 cada uno. • El volumen del ortoedro es el producto del largo, el ancho y la altura.

F

V=c?b?a • Como el producto c ? b es el área de la base (AB), podemos afirmar que el volumen del ortoedro se puede expresar como el producto del área de la base por la altura (a en el dibujo y h en las fórmulas generales).

a G

G

F

c F

G

b

V = AB ? h

1 Indica el volumen de los ortoedros en función del número de cubitos de 1 cm3 que contengan.

a)

b)

b)

GF

1 cm

G

372

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6 cm

F

2 dm

G

G

4

3

F

cm

a)

F G d m F

2 Halla el volumen de los siguientes ortoedros.

G

5 dm

F


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UNIDAD

12

3 Obtén el volumen de los ortoedros. Expresa los resultados en cm3 y en dm3.

b)

c)

F

F

a)

2 cm

G

G

2 cm

3c

m

F

G

F

G

m 2c

2c

F

m

F

G

F

G

cm

4

G

3 cm G

4c

m F

F

G

1,5

cm

4 Calcula el volumen de una piscina de dimensiones:

• Largo: 15 m F

• Ancho: 7 m • Profundidad: 1,5 m

G

G

1,5 m 15

F

m F G

7m

5 Halla el volumen de un aula cuya área de la base es 40 m2 y su altura es 2,5 m.

F

F

VOLUMEN DE UN CUBO El cubo es un ortoedro que tiene iguales sus tres aristas, largo-ancho-alto.

a

a

F

a

G

G

o

F

ch

F

G

Largo

An

G

V = a ? a ? a = a3

F

G

G

Altura


Realiza un dibujo representativo.

6 Calcula el volumen de los siguientes cubos según su arista. Realiza un dibujo representativo

y expresa el resultado en dm3 y m3. a) Arista = 5 cm

b) Arista = 70 dm


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373

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VOLUMEN DE PRISMAS Y CILINDROS • El volumen de un prisma es el mismo que el de un ortoedro con la misma altura e igual área de la base.

h G

VPrisma = VOrtoedro = AB ? h

F

CALCULAR EL VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

h G

VCilindro = VPrisma = AB ? h

AB

F

• El volumen del cilindro es el mismo que el de un prisma con la misma altura e igual área de la base.

AB

7 Obtén el volumen de un prisma, si la base tiene un área de 30 cm2 y mide 12 cm de altura.

F

8 Calcula el volumen de un cilindro que tiene de radio de la base 5 cm y una altura de 8 cm.

G

h r

9 Determina el volumen de un cilindro cuya base es un círculo de 8 cm de diámetro

y tiene una altura de 15 cm.

10 Un depósito de agua tiene forma cilíndrica. El diámetro de la base es 1,8 m y su altura 4,5 m.

Calcula el volumen total del depósito y la cantidad de litros que caben en él.

374

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11/07/11 13:49

UNIDAD

12

F

Volumen de PIRÁMIDES Y CONOS • El volumen de una pirámide es la tercera parte del volumen del prisma con la misma altura e igual área de la base, es decir, un tercio del área de la base por la altura.

VPrisma AB ? h = 3 3

h G

VPirámide =

AB

F

• El volumen del cono es la tercera parte del volumen del cilindro con la misma altura e idénticas bases. rr 2 h 3

h G

VCono =

AB

11 Calcula el volumen de una pirámide de 12 cm de altura, si la base es un cuadrado de 4 cm de lado.

12 Obtén el volumen de una pirámide de 9 cm de altura cuya base es un rectángulo de 4 cm

13 La pirámide de Keops, en Egipto, es de base cuadrangular. El lado de la base mide 230 m

y su altura 160 m. Calcula su volumen total.


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de largo y 2,5 cm de ancho.

375

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CALCULAR EL VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

F

14 Calcula el volumen de un cono cuya altura mide 7 cm, si el radio de su base mide 3 cm.

r

G

h

15 Determina el volumen de un cono sabiendo que su altura mide 14 cm y el diámetro de su base, 18 cm.

VOLUMEN DE UNA ESFERA • El volumen de una esfera se determina a partir de un cilindro. • El volumen de una esfera es dos tercios el volumen del cilindro que tiene la altura y el diámetro de la base iguales que el diámetro de la esfera.

VEsfera =

4 3 rr 3

r

16 Calcula el volumen de estas esferas.

a) Esfera cuyo radio mide 9 cm.

b) Esfera cuyo diámetro mide 16 cm.

17 Halla el volumen de una pelota sabiendo que su radio mide 4 cm y el de un balón cuyo diámetro mide

20 cm.

376

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UNIDAD

12

PROPUESTAS DE EVALUACIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS Esta unidad se relaciona con el Sistema Métrico Decimal y con la unidad donde se tratan los cuerpos geométricos. Considerando que muchos de estos aspectos se volverán a revisar, los contenidos necesarios para el desarrollo de esta unidad son: • Trabajo con volúmenes y cálculo del volumen de un cuerpo mediante diferentes procedimientos: contando directamente, indirectamente o de forma experimental. • Relación entre las unidades de volumen, capacidad y masa. • Reconocimiento de los poliedros y los cuerpos de revolución, sus elementos y propiedades.

SUGERENCIAS SOBRE LAS EVALUACIONES Y SU CORRECCIÓN EVALUACIÓN DE LA UNIDAD

La evaluación consiste en una serie de preguntas referidas al concepto de volumen y a la relación del volumen con la capacidad y la masa. La geometría espacial resulta complicada para los alumnos, por lo que convendrá hacer ejercicios sobre desarrollos planos de cuerpos geométricos a medida que se avanza en el estudio de la unidad.

Los cinco primeros ejercicios se refieren a la primera parte de la unidad: el volumen como unidad de medida y su relación con la masa y la capacidad. La segunda parte de la evaluación consiste en ejercicios sobre el cálculo de volumen de prismas, pirámides y cuerpos de revolución. También se trabaja el volumen de una semiesfera y el de una pieza que consta de dos cilindros.


EVALUACIÓN INICIAL


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377

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UNIDAD

12

EVALUACIÓN INICIAL 1 Calcula el volumen del siguiente cuerpo tomando el cubo U como unidad.

U

2 Sabiendo que a = 2 ? U, di cuál de los siguientes cuerpos tiene mayor volumen.

U

a

3 Tenemos un depósito de 1,5 m3 de agua. ¿Cuántas botellas de un litro y medio podemos llenar?

4 Dibuja una pirámide regular recta de base cuadrada y su desarrollo plano. Obtén el número de vértices,

aristas y caras.

5 Dibuja un cilindro y su desarrollo plano.

378

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11/07/11 13:49

UNIDAD

12

EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Calcula el volumen del siguiente cuerpo tomando el cubo U como unidad.

Si consideramos la base tenemos: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 cubos; en la segunda capa de cubos, tenemos: 1 + 2 + 3 = 6 cubos; en la tercera capa, tenemos: 1 + 2 = 3 cubos, y en la última, hay 1 cubo. Por tanto, habrá: 10 + 6 + 3 + 1 = 20 cubos.

U

2 Sabiendo que a = 2 ? U, di cuál de los siguientes cuerpos tiene mayor volumen.

a

U

El volumen del primer cuerpo es: V1 = (3U) 3 = 27 · U3 y el del segundo es: V2 = 4 · a3 = 4 · (2U) 3 = 32 · U3. Por tanto, el volumen del segundo cuerpo es mayor. 3 Tenemos un depósito de 1,5 m3 de agua. ¿Cuántas botellas de un litro y medio podemos llenar?

1,5 ?

1 000 1 ? = 1 000 botellas 1 1, 5

4 Dibuja una pirámide regular recta de base cuadrada y su desarrollo plano. Obtén el número de vértices,

Aristas: 8 Vértices: 5 Caras: 5

F

5 Dibuja un cilindro y su desarrollo plano.


aristas y caras.

F


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379

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UNIDAD

12

ERES CAPAZ DE… Pasar de unas unidades de volumen a otras.

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 1 Completa la tabla de equivalencias entre unidades de volumen:

1 mm3

1 cm3

103

1 cm3

1 dm3

1 dm3

1 m 3

1

1 m3 1 dam

Expresar el volumen en la unidad adecuada al contexto en el que se trabaja.

1 dam3

0,001

3

2 Ordena, de mayor a menor, los siguientes volúmenes:

213,97 dm3 20 000 cm3 0,021 dam3 0,0000022 hm3

Transformar unidades de volumen en unidades de capacidad, y viceversa.

3 Transforma en volumen estas medidas de capacidad, y viceversa.

Resolver problemas en los que aparezcan unidades de volumen y masa con sustancias de diferentes densidades.

4 Tenemos un pequeño cubo de arista 22 mm de un material

a) 210 dm3 b) 2 000 cm3 c) 150 dl d) 450 000 kl

que pesa 58,6 g. Calcula la densidad de este material.

5 ¿Qué volumen ocupa un líquido cuya densidad es 13,6 g/cm3

y que pesa 34 kg?


ACTIVIDADES

• Enumerar e identificar elementos . .................................................................................................................... • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc............................................................................. 1 • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ......................................................................... 1, 3 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ......................................................................................................... • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc........................................................................................................... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

380

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11/07/11 13:49

UNIDAD

Calcular el volumen de ortoedros, cubos, prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas, planteando y resolviendo problemas reales.

12

6 Calcula el volumen del siguiente prisma: 5 cm

5 cm 10 cm

5 cm

7 Obtén el volumen de una pirámide hexagonal que tiene 5 cm de arista

de la base y 12 cm de altura.

8 Determina el volumen

de este cuerpo geométrico.

4 cm 10 cm

3 cm 3 cm

10 cm

9 Esta pieza industrial está formada por


dos cilindros. El cilindro mayor tiene un radio de 8 cm y 10 cm de altura, mientras que el menor tiene 2 cm de radio y una altura de 4 cm. Calcula su volumen total.

10 Halla el volumen de una semiesfera de 4 cm de radio, y dibújala.


ACTIVIDADES

• Clasificar y discriminar según criterios .................................................................................................................... 2 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. .................................................................................................................. • Combinar, componer datos, resumir, etc. ............................................................................................................... 9 • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ..........................................................................................................


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381

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UNIDAD

12

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1 Completa la tabla de equivalencias entre unidades de volumen:

1 mm3

1 cm3

1 dm3

1 m 3

1 dam3

1 cm3

103

1

0,001

0,000001

0,000000001

3

10

6

1

0,001

0,000001

10

9

1

0,001

1 dm 1m

3

1 dam

3

10

12

10

3

10

6

10

9

10

3

10

6

10

3

1

2 Ordena, de mayor a menor, los siguientes volúmenes:

213,97 dm 3 " 213 970 cm 3 20 000 cm 3 0,021 dam 3 " 21 000 000 cm 3 0,0000022 hm 3 " 2 200 000 cm 3 0,021 dam 3 > 0,0000022 hm 3 > 213,97 dm 3 > 20 000 cm 3 3 Transforma en volumen estas medidas de capacidad, y viceversa.

a) 210 dm 3 " 210

¬

b) 2 000 cm 3 " 2 000 ml " 2

¬

c) 150 dl " 15 ¬ " 15 dm 3 d) 450 000 kl " 4,5 ? 10 5 dam 3 " 0,45 km 3 4 Tenemos un pequeño cubo de arista 22 mm de un material que pesa 58,6 g. Calcula la densidad

de este material.

d=

58,6 m = = 5,50 g/cm 3 V 2,2 3

5 ¿Qué volumen ocupa un líquido cuya densidad es 13,6 g/cm3 y que pesa 34 kg?

d=

m m 3 400 3 " V = d = 13,6 = 250 cm V

6 Calcula el volumen del siguiente prisma:

Se trata de un prisma de base un triángulo equilátero, de 5 cm de lado y 10 cm de altura. Primero hay que calcular, con el teorema de Pitágoras, la altura del triángulo, que es 4,33 cm. V = AB · hPrisma =

5 ? hTriángulo 5 ? 4,33 ? 10 = 108,25 cm 3 ? hPrisma = 2 2

5 cm

5 cm 10 cm

5 cm

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UNIDAD

12

7 Obtén el volumen de una pirámide hexagonal que tiene 5 cm de arista

de la base y 12 cm de altura.

V=

1 1 P?a 1 30 $ 4,33 A ?h= ? 12 = 259,8 cm 3 ? ?h = ? 3 B 3 2 3 2

8 Determina el volumen de este cuerpo geométrico.

4 cm 10 cm

3 cm 3 cm

10 cm

e trata de un ortoedro de dimensiones 13 # 3 # 10 cm, más un prisma triangular de altura 10 cm, S que tiene como base un triángulo rectángulo, cuya base mide 4 cm y altura de 3 cm. V = (10 ? 3 ? 13) +

3 ?4 ? 10 = 390 + 60 = 450 cm 3 2

9 Esta pieza industrial está formada por dos cilindros. El cilindro mayor tiene un radio de 8 cm y 10 cm de

V = r ? r2 ? h + r ? R2 ? H = r · (2 2 ? 4 + 8 2 ? 10) = 2 059,84 cm 3

10 Halla el volumen de una semiesfera de 4 cm de radio, y dibújala.


altura, mientras que el menor tiene 2 cm de radio y una altura de 4 cm. Calcula su volumen total.

El volumen es la mitad del volumen de la esfera: R

V=

2 2 r ? R3 = r · 43 = 133,97 cm 3 3 3 ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

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13 Funciones


objetivos • Localizar puntos en el plano y representarlos utilizando coordenadas cartesianas.

• Representar y reconocer funciones de proporcionalidad directa e inversa.

• Trabajar con la expresión algebraica, la tabla y la gráfica de una función, y pasar de unas a otras.

• Interpretar relaciones funcionales sencillas, distinguiendo las variables que intervienen en ellas.

• Determinar las características de las gráficas: dominio, puntos de corte con los ejes, continuidad, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos...

• Reconocer y valorar la utilidad de los lenguajes gráficos para representar y resolver problemas de la vida cotidiana y del ámbito científico.


• Coordenadas cartesianas. • Concepto de función. • Representación de una función mediante una tabla de valores y mediante su expresión algebraica. • Estudio de funciones. • Funciones de proporcionalidad directa e inversa.


• Representación en un sistema de coordenadas cartesianas. • Construcción e interpretación de gráficas a partir de tablas, expresiones algebraicas y enunciados de un problema. • Análisis de las características de una gráfica, señalando su dominio, puntos de corte con los ejes, crecimiento y decrecimiento y sus puntos máximos y mínimos. • Representación, reconocimiento y utilización de funciones de proporcionalidad directa e inversa.

ACTITUDES

• Reconocimiento y valoración de las relaciones entre el lenguaje gráfico, algebraico y numérico. • Confianza en las propias capacidades para resolver problemas y realizar cálculos. • Incorporación al lenguaje cotidiano de términos relacionados con las gráficas.

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COMPETENCIAS QUE SE TRABAJAN • Identificar e interpretar relaciones funcionales expresadas verbal, tabular, gráfica y algebraicamente. • Emplear, de manera comprensiva, el lenguaje algebraico para expresar situaciones problemáticas, y relacionar esta forma de expresión con otras: tabular, gráfica, descriptiva... • Conocer, valorar y utilizar sistemáticamente conductas asociadas a la actividad matemática, tales como el orden, contraste, precisión y revisión sistemática, y crítica de los resultados.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN • Utilizar las coordenadas cartesianas. • Expresar una función mediante enunciados, tablas, expresiones algebraicas y gráficas. • Analizar la información de una gráfica, e interpretar relaciones entre magnitudes. • Reconocer las variables dependientes e independientes en una relación funcional.

• Distinguir en una gráfica los puntos de corte con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento, y máximos y mínimos. • Representar y reconocer funciones de proporcionalidad directa e inversa. • Resolver problemas reales que impliquen la utilización y representación de funciones.

ESQUEMA DE LA UNIDAD Una función es una relación entre dos magnitudes a las que llamamos variables, x e y, que asocia a cada valor de x un único valor de y. Se puede representar mediante: Gráfica Enunciado Y El precio del jamón es 14 €/kg. Precio (€)

F

funciones

Tabla de valores Peso (kg)

0

1

2

3

…

Precio (€)

0

14

28

42

…

40 30

y = 14 ? x

20 10 0

1

Peso (kg)

Expresión algebraica y = 14 ? x

Variable independiente (peso)

funciones de proporcionalidad Función de proporcionalidad inversa y = mx m>0 F

X

y = mx m<0

Son funciones k del tipo y = , x con k ! 0. Su representación es una curva que se llama hipérbola.

Y

F

Son las funciones de la forma y = mx. Su representación es una recta, con pendiente m, que pasa por el origen de coordenadas.

Y

F

Función de proporcionalidad directa


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y=

k x

k>0


Variable dependiente (precio)

F

3 X

2

F

X

y=

k x

k<0

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LECTURA INICIAL El ingenio y la espada René Descartes nació en La Haye, cerca de Poitiers (Francia) en 1596 y murió en Estocolmo (Suecia) en 1650. Comenzó sus estudios en la Escuela de los Jesuitas de la Flèche, que le proporcionaron una sólida base de cultura clásica, aprendiendo Latín, Griego y Matemáticas puras y aplicadas, que habían sido supervisadas por Christopher Clavius. Posteriormente se graduó en Derecho en la Universidad de Poitiers, aunque esos estudios no fueron totalmente de su agrado. El episodio que se desarrolla en el libro de texto corresponde a 1619, año en el que Descartes conoció a Isaac Beeckman, con el que posteriormente mantendría una profunda amistad. Este viaje tuvo lugar en su época de juventud, en la que Descartes recorrió Europa, unas veces por su cuenta y otras veces enrolado en algún ejército como soldado de fortuna. En estos viajes conoció a algunos de los más afamados pensadores de la época. Se le considera el padre de la Filosofía moderna y su obra más conocida es El discurso del método, siendo su principal aportación matemática la invención de la Geometría analítica que desarrolló en su obra La Geometría.

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Curiosidades matemáticas Cuidado con los promedios En ocasiones, tenemos varios pares de valores de dos magnitudes relacionadas y queremos calcular otros valores intermedios. ¿Cómo podemos obtener estos nuevos pares si no sabemos la expresión algebraica de la función? Para ello hacemos un ajuste gráfico y una interpolación. Interpolar es obtener, a partir de los datos ya conocidos, un nuevo par de valores comprendido entre ellos. Teresa se ha comprado un ordenador por 1 500 €. En una revista lee cuál es el valor de dicho ordenador al año, a los 2 años y a los 4 años de comprarlo, como se ve en la tabla. 0

Año

2

1

1 500 1 200

Valor (€)

3

4

960

615

¿Cómo puede Teresa calcular el valor a los tres años? Representamos los pares conocidos en un gráfico.

Vamos a calcular su valor de forma numérica: En 2 años (4 - 2)

se depreciará

"

se depreciará

En 1 año

"

960 - 615 = 345 € x

3

1 500 1 200 Valor (€)

Unimos con un segmento los puntos correspondientes a 2 y 4 años. Levantando una vertical desde el valor 3 y, luego, desde el punto de corte, una paralela que corte al eje vertical, vemos que el valor del ordenador estará alrededor de 800 €.

900 600 300

345 = 172,50 €, el valor del ordenador al tercer año será: 2 960 - 172,50 = 787,50 €

Como x =

1

2

3

4

5

Años

Gauss nació en Brunswick en 1777. Destacó como matemático, físico y astrónomo. Cuando tenía 10 años, su profesor propuso el problema consistente en sumar los 100 primeros números naturales, y mientras sus compañeros hacían sumas interminables, Gauss escribió rápidamente el resultado en la pizarra. El profesor le regaló un libro de Aritmética, que Gauss leyó y corrigió de forma inmediata.


Gauss

Gauss estudió Matemáticas y fue catedrático de esta disciplina en Kazán y de Astronomía en Göttingen. Falleció en Göttingen en 1855.


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UNIDAD

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Comprueba si las magnitudes X e Y de la tabla son inversamente proporcionales, y representa la función que las relaciona.

X

1

5

0,1

20

0,4

2

50

Y

10

2

100

0,5

25

5

0,2

1. Escribimos la información en las dos primeras columnas, y construimos la fórmula que nos da la constante de proporcionalidad inversa.

2. Seleccionamos la fórmula y la arrastramos al resto de filas. Como los resultados son iguales, las magnitudes son inversamente proporcionales.

3. Seleccionamos las dos primeras columnas y pulsamos sobre . Como tipo de gráfico seleccionamos XY(dispersión).

4. Elegimos el gráfico Puntos y líneas y marcamos las casillas Líneas suaves y Ordenar por valores de X.

5. Pulsamos sobre el botón Finalizar y tendremos la función dibujada; en este caso, es una función de proporcionalidad inversa.

SUGERENCIAS PARA RESOLVER LAS ACTIVIDADES 1 Para resolver este ejercicio basta con seguir las

instrucciones que se dan en el ejemplo resuelto. Hay que copiar la formula que nos da la constante de proporcionalidad solo cuatro veces.

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2 Resolvemos este ejercicio siguiendo las mismas

instrucciones que se dan en el ejemplo resuelto. Comparamos las constantes de proporcionalidad y la simetría de las gráficas resultantes.


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UNIDAD

PASO A PASO

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1

En la celda A1 escribimos X y en la columna A, todos los valores de la magnitud X. En la celda A2 escribimos Y y en la columna B, todos los valores de la magnitud Y. En la celda C2 escribimos la fórmula para obtener la constante de proporcionalidad inversa, =A2/B2, que da 10.

2

Pulsamos sobre la celda C2, y nos situamos en la esquina inferior izquierda. Con el botón izquierdo del ratón pulsado nos desplazamos sobre la misma columna hasta la fila 8. Cuando dejamos de pulsar el botón, la fórmula se copia sobre el rango C2:C8. En todas las celdas aparece el mismo valor, 10, luego las dos magnitudes son directamente proporcionales porque tienen la misma constante de proporcionalidad.

3

Pulsamos sobre la celda A2, y nos situamos en la esquina inferior izquierda. Con el botón izquierdo del ratón pulsado nos desplazamos sobre la misma columna hasta la fila 8 para activar el rango A2:B8. para activar el Asistente de Pulsamos sobre el icono gráficos. Como tipo de gráfico seleccionamos .

4

Sobre la misma ventana pulsamos sobre

para elegir

5

Pulsamos sobre el botón Finalizar y tendremos la gráfica de la función asociada a la tabla. En este caso, se trata de una función de proporcionalidad inversa.


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un gráfico de Puntos y líneas, y activamos las casillas Líneas suaves y Ordenar por valores de X.

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UNIDAD

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MATEMÁTICAS CON ORDENADOR Comprueba si las magnitudes X e Y de la tabla son inversamente proporcionales, y representa la función que las relaciona.


X

1

5

0,1

20

0,4

2

50

Y

10

2

100

0,5

25

5

0,2

1. Escribimos la información en las dos primeras columnas, y construimos la fórmula que nos da la constante de proporcionalidad inversa.

2. Seleccionamos la fórmula y la arrastramos al resto de filas. Como los resultados son iguales, las magnitudes son inversamente proporcionales.

3. Seleccionamos las dos primeras columnas y pulsamos sobre el icono para ordenar los datos.

4. Pulsamos sobre . Como tipo de gráfico seleccionamos XY (Dispersión) y como subtipo con puntos de datos conectados por líneas.

5. Pulsamos sobre el botón Finalizar y tendremos la función dibujada; en este caso, es una función de proporcionalidad inversa.


INVESTIGA

1. Comprueba si las magnitudes X e Y de la tabla 2. Representa las siguientes magnitudes: son inversamente proporcionales, y representa X 12 -3 4 1 la función que las relaciona. X

1

8

4

2

Y

24

3

6

12

390

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Y

-2

8

-6

24

¿Qué relación tiene esta gráfica con la del ejercicio 1?


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UNIDAD

PASO A PASO 1

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En la celda A1 escribimos X y en la columna A, todos los valores de la magnitud X. En la celda A2 escribimos Y y en la columna B, todos los valores de la magnitud Y. En la celda C2 escribimos la fórmula para obtener la constante de proporcionalidad inversa, =A2/B2, que da 10.

2

Pulsamos sobre la celda C2, y nos situamos en la esquina inferior izquierda. Con el botón izquierdo del ratón pulsado nos desplazamos sobre la misma columna hasta la fila 8. Cuando dejamos de pulsar el botón, la fórmula se copia sobre el rango C2:C8. En todas las celdas aparece el mismo valor, 10, luego las dos magnitudes son directamente proporcionales porque tienen la misma constante de proporcionalidad.

3

Pulsamos sobre la celda A2, y nos situamos en la esquina inferior izquierda. Con el botón izquierdo del ratón pulsado nos desplazamos sobre la misma columna hasta la fila 8 para activar el rango A2:B8. Seleccionamos las dos primeras columnas y pulsamos sobre para ordenar la tabla según los datos. el icono

4

para activar el Asistente de Pulsamos sobre el icono gráficos. Como tipo de gráfico seleccionamos . para elegir

un gráfico con puntos de datos conectados por líneas suavizadas.

5

Pulsamos sobre el botón Finalizar y tendremos la gráfica de la función asociada a la tabla. En este caso, se trata de una función de proporcionalidad inversa.


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Sobre la misma ventana pulsamos sobre

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UNIDAD

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EN LA VIDA COTIDIANA... Gráficas en las Ciencias En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Analizar diferentes funciones extraídas de situaciones reales a partir de su gráfica. • Representar gráficamente una relación funcional, a partir de una tabla de valores, y obtener la expresión algebraica de la función. • Obtener la representación gráfica de una relación funcional, a partir de su expresión algebraica. • Elaborar tablas de relaciones funcionales con valores obtenidos de forma empírica.

1

Las gráficas calor-temperatura en los cambios de estado

El calor es una forma de energía y, cuando aportamos calor a un cuerpo, esta energía se utiliza para aumentar el nivel de calor de dicho cuerpo. A ese nivel de calor se le denomina temperatura. Al llegar a unas determinadas temperaturas (diferentes para cada sustancia), llamadas punto de fusión y punto de ebullición, un mayor aporte de energía (calor) no significa una elevación de la temperatura, sino un cambio de estado de la sustancia. • Punto de fusión: paso de sólido a líquido. • Punto de ebullición: paso de líquido a gas. La gráfica muestra este proceso en el caso del agua. Y b

III II I

a

REALIZA LAS ACTIVIDADES. a) ¿Qué se representa en el eje X? ¿Y en el eje Y? b) ¿Qué temperaturas corresponden a las letras a y b? c) ¿Qué interpretación le das a cada uno de los tramos de la gráfica señalados como I, II y III? d) Representa una gráfica como la anterior para el hierro, con un punto de fusión de 1 536 °C y un punto de ebullición de 3 000 °C.

X

2

El crecimiento de una población

El crecimiento de determinadas poblaciones de seres vivos puede ser muy rápido. Observa la siguiente tabla, que señala el número de bacterias presentes en un cultivo realizado en el laboratorio. Tiempo (h) 0 1 2 3 4 5

Bacterias (miles) 100 165 272 448 739 1 218

HAZ LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. a) Representa los datos en una gráfica. b) Une los puntos mediante trozos de rectas. ¿Tienen todos la misma inclinación? c) ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 6 horas? ¿Y al cabo de 10 horas? d) Determina gráficamente el tiempo que tardan las bacterias en duplicarse, por ejemplo, en pasar de 100 a 200. e) Obtén gráficamente el tiempo aproximado que ha de transcurrir para que haya 5 000 bacterias. f) Obtén una expresión algebraica que exprese la población de bacterias en función del tiempo.

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UNIDAD

3

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Los sistemas elásticos

Un sistema elástico, por ejemplo un muelle, ejerce una fuerza directamente proporcional al estiramiento o longitud alcanzada respecto a su posición de equilibrio. La expresión algebraica de esta ley: la ley de Hooke, es F = k ? x, donde k es la constante del sistema, x es el alargamiento y F es la fuerza. Es, por tanto, una función lineal. Supón un muelle cuya constante sea 2,5 y su longitud límite 10 cm.

b) ¿Qué fuerza corresponde a un alargamiento de 5,5 cm? ¿Y a un alargamiento de 11 cm? c) Cuando la fuerza es de 10 N, ¿qué alargamiento ha sufrido el muelle? Si es de 20 N, ¿le corresponderá el doble de alargamiento? d) Considera otro muelle cuya constante sea 5 y su límite de elasticidad sea 20 cm, y representa gráficamente la relación Alargamiento-Fuerza. ¿Qué característica tiene la función?

HAZ LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES.

Fuerza (N)

a) Representa la gráfica de la función que relaciona el alargamiento, en cm, y la fuerza, en newtons. 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Alargamiento (cm)

El CO2 y el calentamiento global

Los gases, como el dióxido de carbono (CO2) y el metano (CH4), crean un efecto invernadero natural, sin el cual la vida en este planeta no existiría. Ahora bien, desde la era industrial, la actividad humana ha añadido un exceso de esos gases a la atmósfera, sobre todo al quemar combustibles como el petróleo, el carbón o el gas. Este exceso de CO2 provoca, entre otros fenómenos, un calentamiento excesivo de la atmósfera. La cantidad de CO2 atmosférico había permanecido estable, aparentemente durante siglos, pero desde el comienzo de la industrialización se ha incrementado en un 30 % aproximadamente. El Panel Intergubernamental sobre el Cambio Climático (IPCC), un foro internacional de científicos expertos en climatología, editó un informe en 1990 y otro a finales de 1995.

En dichos informes se afirmaba que si continúa el índice actual de emisiones, la concentración atmosférica de CO2 hacia mediados del siglo XXI será el doble de la anterior a la revolución industrial. Esta concentración se mide en ppb (partículas de CO2 por cada mil millones de partículas), y, en la época preindustrial, la concentración en la atmósfera era de 0,28 ppb. REALIZA LAS ACTIVIDADES. a) ¿Qué concentración de CO2 (en ppb) hay actualmente? b) Suponiendo que la concentración de CO2 crece cada diez años un 12 %, realiza una tabla donde se expresen las concentraciones de CO2 hasta final de siglo. c) Representa los datos de la tabla en una gráfica.


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4

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UNIDAD

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estrategias de resolución de problemas Interpretar gráficas y dibujos Estrategia La interpretación de gráficas ocasiona errores al confundirse la gráfica y el dibujo que acompañan al enunciado. Las gráficas son representaciones abstractas de relaciones entre dos variables.

Hay casos en los que la relación entre dos variables es sencilla de interpretar, y la gráfica se deduce directamente del dibujo que acompaña al texto, manteniendo incluso cierta similitud. Sin embargo, en otros casos, la relación entre las dos variables da lugar a gráficas que no tienen relación con el dibujo representado, como ocurre en estos problemas.

PROBLEMA RESUELTO Domingo, 5 de junio. 195 km GPM

10

20

40

50

60

70

80

90

100

Contrarreloj individual

110 GPM

120

130

140

150

160

Aprica 1 181 m 170

Gran Premio de la Montaña

Valico di S. Cristina 1 427 m APRICA 1 181 m

Edolo 699 m

Grosotto 843 m

Bormio 1 225 m

Passo dello Stelvio 2 758 m

Trafoi 1 543 m

Lasa 869 m 30

Passo del Mortirolo 1 582 m

GPM

CIMA COPPI

Castelbello 587 m

3 000 2 800 2 600 2 400 2 200 2 000 1 800 1 600 1 400 1 200 1 000 800 600 400 200 m0 km 0

Rabia 520 m

¿Cuál es la gráfica correspondiente a la velocidad de un corredor a lo largo de la etapa?

15.a MERANO-APRICA

MERANO 365 m

El perfil de la etapa reina del Giro está representado en este dibujo.

GPM

180

190

Avituallamiento

Planteamiento y resolución

Velocidad

El corredor parte de cero y alcanza cierta velocidad. Conforme asciende, irá reduciéndola hasta la cima. Al descender, aumentará cada vez más la velocidad hasta el pie de la montaña. Luego vuelve a ascender, baja la velocidad hasta la cima, y así hasta el final del trayecto.

Distancia

PROBLEMA PROPUESTO Este es el perfil de una etapa de la Vuelta Ciclista a España.

17.a

Puerto de Cotefablo (1 410 m) 1 Broto Biescas (900 m) (850 m)

¿Cuál es la gráfica correspondiente a la velocidad de un corredor a lo largo de la etapa?

Ainsa (550 m)

0

394

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166 km

Sabiñánigo

20

40

60

80

100

Cerler

Puerto de la Foradada (1 020 m) 2

120

Alto de Ampriu E (1 930 m) Cerler (1 520 m)

140

160


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UNIDAD

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Partiendo de la representación de los números enteros en la recta numérica, introducimos la representación de puntos en el plano mediante la asignación de pares de coordenadas y la construcción de sistemas de ejes cartesianos.

• Para representar puntos en el plano utilizamos un sistema de dos rectas perpendiculares, llamado sistema de coordenadas cartesianas.

Habiendo tratado ya la proporcionalidad numérica, continuamos en esta unidad el estudio de la relación entre dos magnitudes por medio de las funciones, los conceptos básicos del lenguaje gráfico de las expresiones algebraicas, sus elementos y significado como paso previo al análisis del mundo de la información y expresión visual. Mediante la interpretación gráfica, los alumnos van a reconocer la función representada, las variables que intervienen, la unidad de medida elegida en cada eje y su trazado en el plano. También aprenderán a interpretar funciones que cumplen relaciones de proporcionalidad directa e inversa.

OBJETIVOS

• A la recta vertical (Y ), se le llama eje de ordenadas. • El punto donde se cruzan los ejes se llama origen y es el valor cero de cada eje. • Cada punto en el plano tiene dos referencias numéricas llamadas coordenadas (a, b). El primer número corresponde al valor en el eje X, y el segundo número corresponde al valor en el eje Y. • Los pares de valores se representan en tablas de valores y corresponden a puntos en el plano. • Mediante una tabla de valores podemos relacionar cantidades de dos magnitudes y representarlas gráficamente sobre los ejes. • Una función es la expresión algebraica que relaciona dos magnitudes. La función asocia a cada valor de una magnitud (variable independiente) un valor de la otra magnitud (variable dependiente). • Las funciones se representan gráficamente para estudiar las características que las definen.

CONTENIDOS

PROCEDIMIENTOS

1. Representar puntos en un sistema de coordenadas cartesianas.

• Pares de coordenadas. • Puntos en el sistema de coordenadas cartesianas.

• Representación de puntos en la recta y en el plano. • Identificación de puntos a partir de sus coordenadas. • Obtención de figuras simétricas respecto de los ejes.

2. Interpretar y representar tablas de valores.

• Tablas de valores. • Relación entre magnitudes. • Información de las gráficas.

• Formación de tablas de valores. • Representación en el plano de pares de valores ordenados de dos magnitudes. • Interpretación de magnitudes en el plano.

3. Interpretar gráficas. Reconocer características de funciones.

• Variable independiente y dependiente. • Concepto de función. Gráfica de una función. • Características de algunas funciones.

• Identificación de las variables: independiente y dependiente. • Representación gráfica de funciones. • Identificación de funciones de proporcionalidad directa e inversa.


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Es importante que los alumnos asimilen el modo ordenado de colocar los pares de números para indicar que el primero de ellos representa el valor sobre el eje horizontal (X), y el segundo, el valor sobre el eje vertical (Y), así como su expresión mediante tablas de valores y el significado gráfico en el plano.

• A la recta horizontal (X), se le llama eje de abscisas.

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OBJETIVO 1

REPRESENTAR PUNTOS EN UN SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

representación de números enteros en La recta numérica • Sobre una recta r señalamos el origen O, que es el valor cero, 0. • A la derecha del cero, y equidistantes, colocamos ordenados los números enteros positivos, y a la izquierda, colocamos los números enteros negativos. …

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 3

0


+1

+2

+3

+4

+5

+6

+7

…

1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 3 Números enteros positivos

1 Dados los números -2, +2, -5, +5, -8, +8, -10, +10:

a) Represéntalos en la recta numérica. b) ¿Cuál está más cerca y cuál está más lejos del origen?

SISTEMA DE COORDENADAS cartesianAs en el plano • Para representar puntos en el plano, utilizamos un sistema formado por dos rectas perpendiculares llamado sistema de coordenadas cartesianas. – En la recta X o eje de abscisas se representan los números enteros de forma horizontal. – En la recta Y o eje de ordenadas se representan los números enteros de forma vertical. – El punto donde se cruzan se llama origen y es el valor cero, 0, en cada recta. • Cada punto en el plano tiene dos referencias numéricas llamadas coordenadas. – El primer número corresponde a la coordenada x. – El segundo número corresponde a la coordenada y. Y 6 Eje de ordenadas

F

5 A

4

Punto Coordenadas

3 D

Origen

2

-6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3

C

1

2

3

4

5

6 X

Eje de abscisas

-4 -5

A

(+2, +4)

+2

+4

B

(+3, -5)

+3

-5

C

(-4, -3)

-4

-3

D

(-5, +2)

-5

+2

F

O

Eje Y

F

1

Eje X

B

-6

396

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396

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14:32

UNIDAD

13

2 Completa la tabla y representa los puntos que se indican en un sistema de coordenadas cartesianas. Y 6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

6 X

-2 -3 -4

Punto

Coordenadas

A

(-2, -4)

B

(+3, +6)

C

(+5, -3)

D

(-1, +7)

E

(+4, 0)

F

(-4, 0)

Eje x

Eje y

Eje x

Eje y

-5 -6

3 Observa los puntos del sistema de coordenadas cartesianas y completa la tabla. Y 6 5

Punto

Coordenadas

4

A

(+2, -6)

3

D

B

2

G

1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 C

B

1

2

3

6

X

D E F

-3

G

-4

-6

5

H

-2

-5

4

C

A

H


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397


E

F

397

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14:32

REPRESENTAR PUNTOS EN UN SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS 4 Representa los siguientes puntos en un sistema de coordenadas cartesianas: A (0, +3); B (+2, -2);

C (+6, -1); D (-4, -4); E (-5, 0); F (-3, +5).

5 Observa la figura.

a) Indica las coordenadas de los vértices A, B, C y D.

Y 6

b) Indica las coordenadas de los vértices de la figura simétrica: Al, Bl, Cl y Dl.

5

A

B

D

C

4 3 2

Punto

Coordenadas

Punto

Coordenadas

1

A

Al

B

Bl

C

Cl

-3

D

Dl

-4

-6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

6 X

-2

-5 -6

6 Respecto al ejercicio anterior, dibuja en un sistema de coordenadas cartesianas las figuras simétricas

que se originarían en los otros dos cuadrantes, indicando las coordenadas en el plano de sus vértices.

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OBJETIVO 2

INTERPRETAR Y REPRESENTAR TABLAS DE VALORES NOMBRE:

UNIDAD

CURSO:

13

FECHA:

TablaS de valores y puntos en el SISTEMA DE COORDENADAS cartesianAS • Podemos expresar parejas de valores de números mediante pares de valores utilizando tablas horizontales o verticales. Cada par de valores de una tabla representa un punto del plano, y viceversa. • A cada punto del plano le corresponde un par de valores ordenados: a) La primera fila o columna corresponde al valor numérico del eje horizontal, X. b) La segunda fila o columna corresponde al valor numérico del eje vertical, Y.

ejemplo Forma la tabla y representa los pares de valores. (-2, -3), (2, -5), (-3, 6), (1, 5), (0, -4)

Y 6 5 4

EJE X

EJE Y

-2

-3

2

-5

-3

6

1

5

0

-4

3 2 1 1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

2

3

4

5

6 X

-2 -3 -4 -5

1 Forma los pares de valores que se indican en la tabla y represéntalos en un sistema

de coordenadas cartesianas. Pares de valores: .......................................................................................................

EJE Y

4

7

2

-1

-1

6

4

0

-1

-3

-2

5

Y 6


EJE X

5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

-2 -3


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6 X

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INTERPRETAR Y REPRESENTAR TABLAS DE VALORES 2 Forma la tabla de valores de los siguientes pares ordenados y represéntalos en un sistema

de coordenadas cartesianas. (0, -4), (-5, 5), (2, -2), (-3, 6), (7, 0), (-4, 0), (6, 6)

Mediante una tabla de valores podemos relacionar cantidades de dos magnitudes.

ejemplo Un saco de azúcar pesa 2 kilogramos, 2 sacos de azúcar pesan 4 kilogramos, 3 sacos de azúcar pesan 6 kilogramos... Formamos la tabla de valores con las dos magnitudes. N.º DE Sacos

1

2

3

4

5

6

…

Peso (kg)

2

4

6

8

10

12

…

También podemos reflejar esta información en un sistema de ejes.

Y 13

3 Representa en el sistema de coordenadas

los valores del ejemplo anterior.

12

• En el eje X se representan los valores de la magnitud número de sacos.

11 10

• En el eje Y se representan los valores de la magnitud peso, en kg. Peso (kg)

9 8 7 6 5 4 3 2 1 1

400

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2

3

4 5 6 N.º de sacos

7

8

9

10 X


400

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14:32

UNIDAD

13

4 Las alturas, en cm, de un grupo de alumnos son Antonio: 150 cm, Ana: 160 cm, Juan: 170 cm,

María: 140 cm, Pedro: 120 cm, Eva: 130 cm y Elena: 160 cm. Forma una tabla con los pares de valores y represéntalos en un sistema de coordenadas. Inicia los valores de altura en 100 y luego auméntalo de 10 en 10. a) ¿Qué alumno es el más alto? b) ¿Qué alumno es el más bajo? c) ¿Hay alumnos con la misma altura?

Las gráficas nos pueden proporcionar informaciones acerca de las magnitudes y sus valores en el plano.

5 Las temperaturas medias, en °C, de los meses del año han sido: enero: 6 °C, febrero: 8 °C, marzo: 10 °C,

abril: 16 °C, mayo: 18 °C, junio: 22 °C, julio: 30 °C, agosto: 36 °C, septiembre: 26 °C, octubre: 16 °C, noviembre: 12 °C y diciembre: 8 °C. a) Forma una tabla de valores con las magnitudes correspondientes. b) Representa los pares de valores en un sistema de coordenadas cartesianas.


c) Realiza una interpretación de los datos: mes más frío, mes más cálido, meses con igual temperatura, diferencias de temperatura más acusadas entre meses, etc.


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401

401

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OBJETIVO 3

INTERPRETAR GRÁFICAS. RECONOCER caracterÍsticas DE FUNCIoNes NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Variables y gráficas • En las tablas de valores se relacionan dos magnitudes.Dichas magnitudes se llaman variables, porque toman distintos valores, es decir, varían. • En los pares de valores (a, b), (c, d), (e, f ) y (g, h), el segundo valor depende del primero: – a, c, e, g son la variable independiente; su valor se fija previamente y se designan con la letra x. – b, d, f, h son la variable dependiente; su valor depende del valor de x y se designan con la letra y. • Si representamos los valores en un sistema de ejes y unimos sus puntos, obtenemos una gráfica: – La variable independiente (x) se sitúa en el eje de abscisas u horizontal. – La variable dependiente (y) se sitúa en el eje de ordenadas o vertical.

x

y

a

b

c

d

e

f

g

h

ejemplo Un kilo de fresas cuesta 3 €. • Magnitudes: peso (kg) y precio (€). • Variable independiente: peso (kg) (se fija previamente). • Variable dependiente: precio (€) (depende del número de kilos). • Tabla de valores: Peso (kg) 1 2 3 4 Precio (€)

1 Respecto al ejemplo anterior:

3

6

9

12

5 15

Y

a) Representa los pares de valores en el sistema de coordenadas.

Precio (€)

b) Une los puntos. ¿Qué obtienes?

O

402

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Peso (kg)

X


402

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UNIDAD

2 En una tienda 1 metro de tela cuesta 4 €.

13

Y

¿Cuánto costarán 2, 3, 4, 5 y 6 metros de tela? a) Forma la tabla de valores con las magnitudes que intervienen. b) Indica la variable independiente y la dependiente. c) Representa los valores en un sistema de coordenadas y traza la gráfica correspondiente.

X

O

3 La clasificación de un equipo en un campeonato de fútbol ha sido: JORNADA

1.ª

2.ª

3.ª

4.ª

5.ª

6.ª

7.ª

8.ª

9.ª

10.ª 11.ª 12.ª

clasificación

4.º

5.º

3.º

7.º

8.º

5.º

9.º

10.º

8.º

6.º

4.º

2.º

a) Representa los valores en un sistema de coordenadas. b) ¿Cuál fue la jornada con mejor clasificación? c) ¿Y la jornada con peor clasificación? Y 10.º ADAPTACIÓN CURRICULAR

9.º 8.º Clasificación

7.º 6.º 5.º 4.º 3.º 2.º 1.º 1.ª

2.ª

3.ª

4.ª

5.ª

6.ª 7.ª Jornada

8.ª

9.ª

10.ª

11.ª


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403

12.ª

X

403

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INTERPRETAR GRÁFICAS. RECONOCER caracterÍsticas DE FUNCIoNes 4 La temperatura media durante el año pasado en un lugar viene determinada por la siguiente

tabla de valores. Enero Febrero Marzo

Mes

4

Temperatura (°C)

8

12

Abril

Mayo

Junio

Julio

Agosto

18

22

26

32

34

Sep. Octubre Nov. 26

14

10

Dic. 2

a) Representa los valores en un sistema de coordenadas y traza la gráfica correspondiente. b) Indica las variables dependiente e independiente. c) ¿Cuál fue el mes con menor temperatura media? d) ¿Y el mes con mayor temperatura?

Concepto de función • En los ejercicios anteriores, los valores obtenidos en cada puesto de clasificación del equipo de fútbol y en cada temperatura media están en función de los valores de cada jornada jugada y de cada mes del año. • El valor de y está en función del valor que toma x. La relación entre dos magnitudes la podemos escribir con una expresión algebraica, es decir, combinando letras, números y signos aritméticos. • A cada valor de la variable independiente (x) le corresponde un único valor de la variable dependiente (y). • Así, en la expresión algebraica 3x + 1, cada vez que se asignen valores numéricos a la variable x se obtendrán otros valores numéricos que están en función de ellos: multiplicamos por tres y sumamos uno. Se expresa: y = 3x + 1 En 3x + 1: Valor de x

Valor obtenido

x (valor)

y (valor)

0

3 ? 0 + 1 = 0 + 1 = 1

0

1

1

3 ? 1 + 1 = 3 + 1 = 4

1

4

2

3 ? 2 + 1 = 6 + 1 = 7

2

7

-1

3 ? (-1) + 1 = -3 +1 = -2

-1

-2

-2

3 ? (-2) + 1 = -6 + 1 = -5

-2

-5

404

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F


404

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UNIDAD

13

5 Elabora la tabla de valores de cada una de las siguientes funciones.

a) y = x + 2 x

c) y = 2x - 1

y

x

y

x

y

1

3

0

0 1

e) y = 2x + 1

3

-1

-1

-3

2 -2 Ejemplo: x = 1 y = 1 + 2 = 3 b) y = -3x x

y

Ejemplo: x = -1 y = 2 ? (-1) - 1 = -2 - 1 = -3

d) y = 2 - x x

Ejemplo: x = 1 y=2?1+1=2+1=3

f) y = x - 5

y

x

y

6 Representa gráficamente las funciones: calcula los pares de valores mediante una tabla

y une los puntos obtenidos en los sistemas de coordenadas cartesianas. a) y = x - 1 y

0

Y 6 5

1

4

-1

3

2

2 1

2

-6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

6 X


x

-2 -3 -4


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INTERPRETAR GRÁFICAS. RECONOCER caracterÍsticas DE FUNCIoNes b) y = 2x - 2 x

y

Y 6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

6 X

1

2

3

4

5

6 X

1

2

3

4

5

6 X

-2 -3 -4

c) y = 2x + 2 x

Y 6

y

5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4

d) y = -3x + 5 x

y

Y 6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4

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UNIDAD

13

Características de las funciones Cuando representamos funciones mediante gráficas podemos observar las siguientes características: • Pueden ser crecientes: si al aumentar la variable independiente también aumenta la variable dependiente, la gráfica crece. • Pueden ser decrecientes: si al aumentar la variable independiente, disminuye la variable dependiente, la gráfica decrece. • La gráfica de funciones de proporcionalidad directa, que relaciona dos magnitudes directamente proporcionales, es una línea recta que pasa por el origen, es decir, por el punto (0, 0). • La gráfica de funciones de proporcionalidad inversa, que relaciona dos magnitudes inversamente proporcionales, es una línea curva que no pasa por el origen.

7 Un kilogramo de pescado cuesta 2 €, y su función viene definida por la expresión y = 2x.

a) Elabora una tabla de valores para el precio de 2, 3, 4, 5 y 6 kg de pescado. b) Representa los valores en un sistema de coordenadas y dibuja la gráfica obtenida. c) Describe alguna característica de la gráfica.

8 Un camión recorre una distancia de 120 km, de modo que si aumenta la velocidad,

hasta un límite de 80 km/h, tardará menos tiempo en recorrer dicha distancia. La función que relaciona el tiempo que tarda (y) con la velocidad (x) viene definida 120 . por la expresión y = x a) Elabora una tabla de valores para estas velocidades, en km/h: 40, 65, 70 y 80. c) Describe alguna característica de la gráfica.


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b) Representa los valores en un sistema de coordenadas y dibuja la gráfica obtenida.

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INTERPRETAR GRÁFICAS. RECONOCER caracterÍsticas DE FUNCIoNes 9 Un rectángulo tiene de base 5 m y altura x.

a) La expresión de la función que expresa el área del rectángulo es: ......................... b) Elabora una tabla de valores para estas alturas, en metros: 2, 3, 4, 5 y 6. c) Representa los valores en un sistema de coordenadas y une los puntos. d) Describe alguna característica de la gráfica.

10 La siguiente tabla de valores muestra la evolución de la temperatura de un vaso de leche

a medida que pasa el tiempo. Tiempo (min)

Temperatura (°C)

0

90

3

80

6

70

9

60

12

50

15

40

a) Representa la función en un sistema de coordenadas. b) Halla el valor de la temperatura a los 18 minutos. c) Describe alguna característica de la función.

18

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UNIDAD

13

PROPUESTAS DE EVALUACIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS Antes de comenzar la unidad hay que revisar las coordenadas en el plano, los conceptos de proporcionalidad directa e inversa, y la traducción del lenguaje cotidiano o algebraico al lenguaje gráfico. • Localización de puntos y representación de puntos en unos ejes de coordenadas. • Determinación de si dos magnitudes dependen entre sí y si son directamente proporcionales. • Expresión de relaciones aritméticas o geométricas empleando el lenguaje algebraico.


Esta evaluación consta de ejercicios sobre coordenadas y simetrías en el plano, expresiones numéricas y expresiones algebraicas y proporcionalidad. Todos estos aspectos son básicos para entender el concepto de función.

La parte más importante de la unidad corresponde a los últimos ejercicios; así, en los ejercicios 4 y 7 aparece un gráfico de proporcionalidad directa, y aunque se podrían efectuar también mediante gráficas de proporcionalidad inversa, estos resultan difíciles para los alumnos. Lo mismo sucede con el ejercicio 6, que permite comparar dos gráficas.


EVALUACIÓN INICIAL


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UNIDAD

13

EVALUACIÓN INICIAL 1 Escribe las coordenadas del pentágono de la figura. Y B

4

C

2

A -4

2

-2

4

X

-2

D

-4

E

2 En un sistema de coordenadas, dibuja un hexágono cuyos vértices sean los puntos A(2, 3), B(5, -1)

y C (1, -5) y que sea simétrico respecto del eje Y.

3 Escribe algebraicamente las siguientes afirmaciones, y calcula su valor.

a) El doble de 15 menos 3 " b) El triple de la diferencia de 8 y 5, menos el triple de la suma de 4 y 3 " c) La tercera parte de la suma de los números 5 y 4, más la cuarta parte de la suma del doble de 6, 7 y 5 " 4 Escribe una expresión algebraica que represente estos enunciados.

a) El precio de la camisa A es el triple del precio de la camisa B " b) Juan tiene tres años más que Enrique " c) El área del triángulo es la mitad de la base por la altura " 5 Indica si existe o no proporcionalidad entre los pares de magnitudes. En caso afirmativo,

señala si son directa o inversamente proporcionales. a) El lado de un rombo y su área " b) El número de pintores de una cuadrilla y el tiempo que tardan en pintar una casa " c) La edad de dos hermanos " 6 Esta tabla relaciona directamente el peso, en kg, de melocotones y su precio, en €.

Determina los valores que faltan. Peso (kg)

1,5

Precio (€)

3

410

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2,8

12 4,20


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UNIDAD

13

EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Escribe las coordenadas del pentágono

Y

de la figura.

B

4

C

2

A -4

2

-2

4

X

-2

D

-4

A(3, 0) B(2, 4) C(-3, 3) D(-5, -2) E(2, -4)

E

Y

2 En un sistema de coordenadas, dibuja

un hexágono cuyos vértices sean los puntos A (2, 3), B(5, -1) y C(1, -5) y que sea simétrico respecto del eje Y.

4

Al

A

2

X Bl

-4

2

-2 -2

4

A(2, 3) " Al(-2, 3) B(5, -1) " Bl(-5, -1) C(1, -4) " Cl(-1, -4)

B

-4

Cl

C

3 Escribe algebraicamente las siguientes afirmaciones, y calcula su valor.

a) El doble de 15 menos 3 " 2 ? 15 - 3 = 30 - 3 = 27 b) El triple de la diferencia de 8 y 5, menos el triple de la suma de 4 y 3 " 3 ? (8 - 5) - 3 ? (4 + 3) = -12 c) La tercera parte de la suma de los números 5 y 4, más la cuarta parte de la suma del doble 1 1 1 ? (5 + 4) + ? (2 ? 6 + 7 + 5) = 3 + ? 24 = 3 + 6 = 9 de 6, 7 y 5 " 3 4 4 4 Escribe una expresión algebraica que represente estos enunciados.

b) Juan tiene tres años más que Enrique " y = x + 3, donde y es la edad de Juan y x es la edad de Enrique. b?h c) El área del triángulo es la mitad de la base por la altura " A = 2 5 Indica si existe o no proporcionalidad entre los pares de magnitudes. En caso afirmativo,

señala si son directa o inversamente proporcionales. a) El lado de un rombo y su área " No son proporcionales. b) El número de pintores de una cuadrilla y el tiempo que tardan en pintar una casa " Son inversamente proporcionales. c) La edad de dos hermanos " No son proporcionales.


a) El precio de la camisa A es el triple del precio de la camisa B " y = 3x, donde y es el precio de la camisa A y x es el precio de la camisa B.

6 Esta tabla relaciona directamente

el peso, en kg, de melocotones y su precio, en €. Determina los valores que faltan.

Peso (kg)

1,5

2,8

2,1

12

Precio (€)

3

5,60

4,20

24


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ERES CAPAZ DE… Localizar y representar puntos en el plano, utilizando las coordenadas cartesianas.

Determinar las coordenadas de los puntos simétricos de un punto dado respecto de los ejes y respecto del origen.

Interpretar gráficos de puntos y líneas, analizando la información que contienen.

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 1 Dibuja un sistema de coordenadas y representa los puntos A(4, 0), B (3, 3),

C (0, 5), D(-3, 3), E(-4, 0), F (-4, -4) y G (4, -4), y únelos entre sí en orden alfabético. ¿Qué figura se obtiene?

2 Escribe las coordenadas de los puntos de la gráfica y responde.

a) ¿Qué punto hay en el cuarto cuadrante? b) ¿Cuál es el punto simétrico de A respecto del eje X ? c) ¿Cuál es el punto simétrico de C respecto del origen? d) ¿Y el punto simétrico de D respecto del eje Y?

4

A

2

E -4

2

-2

4

X

-2

C

B

-4

3 En la gráfica se representan los perímetros y las áreas de las siguientes figuras:

(1) Un cuadrado de 1 cm de lado. (2) Un círculo de 1 cm de radio. (3) Un triángulo equilátero de 1 cm de lado. (4) Un rombo de 2 cm y 1 cm de diagonales. (5) Un hexágono de 1 cm de lado. Señala a qué figura corresponde cada punto.

Trabajar con la expresión algebraica, la tabla y la gráfica de una función, y paso de unas a otras.

Y D

Y Área

UNIDAD

A B

3 2 1 0

D E

C

1 2 3 4 5 6

X

Perímetro

4 Disponemos de 60 cm de alambre y queremos construir un rectángulo

de diferentes dimensiones, sabiendo que si es muy largo tendrá que ser muy estrecho, y viceversa. Haz una tabla en la que se indique la base, la altura y el perímetro en cada caso, y representa estos datos en una gráfica.


ACTIVIDADES

• Enumerar e identificar elementos . ....................................................................................................................... • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc................................................................................ • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ............................................................................ 1, 2, 3 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ............................................................................................................ 4 • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc.............................................................................................................. 3

412

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412

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UNIDAD

5 En una estación meteorológica se registran las diferentes temperaturas

a lo largo de un día. Se representan en la siguiente gráfica: 6 °C

Temperatura

Reconocer los tramos crecientes y decrecientes y los máximos y mínimos de una gráfica.

13

4 °C 2 °C 3

6

9

12

-2 °C

15

18

21

24

Horas

-4 °C

a) ¿Cuántas horas ha estado la temperatura por debajo de 0 ºC? b) ¿A qué hora se registró la temperatura máxima? ¿Cuál es esa temperatura? c) ¿En qué tramo decrece la temperatura? Comparar gráficas representadas sobre el mismo sistema de coordenadas cartesianas y contrastar su información.

6 En la siguiente tabla se reproduce la temperatura, en °C, de un enfermo

a lo largo de la mañana de dos días consecutivos.

Horas

6

7

8

9

10

11

12

Día 1

37,6

37,8

38,5

38,8

38,9

39,5

38,4

Día 2

37,5

37,8

38,6

38,4

38,3

38

37,6

a) Haz una gráfica que recoja las temperaturas de ambos días. b) ¿Cuál es el máximo de cada día? c) ¿En qué momento mantiene la misma temperatura? 7 El precio de un billete de tren desde la estación A hasta la estación B es de 3 €

por persona. Si consideramos las variables x = número de personas e y = coste de los billetes, haz una gráfica de esta función y escribe su expresión algebraica.


ACTIVIDADES

• Clasificar y discriminar según criterios ....................................................................................................................


Representar, reconocer y trabajar con funciones de proporcionalidad.

• Contrastar operaciones, relaciones, etc. .................................................................................................................. 4, 5 • Combinar, componer datos, resumir, etc. ............................................................................................................... 6, 7 • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .......................................................................................................... 7


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UNIDAD

13

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1 Dibuja un sistema de coordenadas y representa los puntos A (4, 0), B(3, 3), C(0, 5), D(-3, 3),

E(-4, 0), F(-4, -4) y G(4, -4), y únelos entre sí en orden alfabético. ¿Qué figura se obtiene? Y C B

D

E

1

A X

1

F

G

Se trata de un heptágono.

2 Escribe las coordenadas de los puntos de la gráfica y responde.

Y D

a) ¿Qué punto hay en el cuarto cuadrante? B(1, -3)

4

A

2

b) ¿Cuál es el punto simétrico de A respecto del eje X ? A(3, 2) " Al(3, -2)

E -4

c) ¿Cuál es el punto simétrico de C respecto del origen? C(-4, -2) " Cl(4, 2)

2

-2

X

4

-2

C

d) ¿Y el punto simétrico de D respecto del eje Y ? D(-2, 4) " Dl(2, 4)

B

-4

3 En la gráfica se representan los perímetros y las áreas de las siguientes figuras:

(1) Un cuadrado de 1 cm de lado. (2) Un círculo de 1 cm de radio. (3) Un triángulo equilátero de 1 cm de lado. (4) Un rombo de 2 cm y 1 cm de diagonales. (5) Un hexágono de 1 cm de lado.

Señala a qué figura corresponde cada punto.

(1) " D (2) " A (3) " E (4) " C (5) " B

Área

Y

A B

3 2 1 0

D E

C

1 2 3 4 5 6

X

Perímetro

4 Disponemos de 60 cm de alambre y queremos construir un rectángulo de diferentes dimensiones,

sabiendo que si es muy largo tendrá que ser muy estrecho, y viceversa. Haz una tabla en la que se indique la base, la altura y el perímetro en cada caso, y representa estos datos en una gráfica. Base (x)

Altura (y)

Perímetro

1 2 3 5 10 15 20 25 28

29 28 27 25 20 15 10 5 2

60 60 60 60 60 60 60 60 60

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Y 25 20 15 10 5 5

10

15

20

25

X


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UNIDAD

13

5 En una estación meteorológica se registran las diferentes temperaturas a lo largo de un día.

Se representan en la siguiente gráfica:

Temperatura

6 °C a) ¿Cuántas horas ha estado la temperatura por debajo de 0 ºC? 4 °C De 0 a 2 horas y de 22 a 24 horas 2 °C hay 4 horas. b) ¿A qué hora se registró la 3 temperatura máxima? ¿Cuál es esa -2 °C temperatura? Máxima: a las 13 horas, cuando -4 °C la temperatura es de 6 °C. c) ¿En qué tramo decrece la temperatura? La temperatura decrece desde las 13 hasta las 24 horas.

6

9

12

15

18

21

24

Horas

6 En la siguiente tabla se reproduce la temperatura, en °C, de un enfermo a lo largo de la mañana de dos

días consecutivos.

Horas

6

7

8

9

10

11

12

Día 1

37,6

37,8

38,5

38,8

38,9

39,5

38,4

Día 2

37,5

37,8

38,6

38,4

38,3

38

37,6

a) Haz una gráfica que recoja las temperaturas de ambos días. b) ¿Cuál es el máximo de cada día? c) ¿En qué momento mantiene la misma temperatura? a)

Día 1

Y

Día 2

Máximo día 1

b) Máximo del 1.er día

" 39,5 °C

Máximo del 2.o día

" 38,6 °C

39

Máximo Día 2

38,5

c) Igual temperatura

38

" A las 7 h y a las

8 h 15 min (aprox.)

37,5 7

8

9

10

X

11

7 El precio de un billete de tren desde la estación A hasta la estación B es de 3 € por persona. Si conside-

ramos las variables x = número de personas e y = coste de los billetes, haz una gráfica de esta función y escribe su expresión algebraica. Y

Función: y = 3x Coste (€)

15


6

3 1

5 N.º de personas

X


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14 Estadística


objetivos • Obtener el recuento de una serie de datos para formar una tabla y estudiar sus propiedades. • Distinguir entre frecuencia absoluta y relativa de un dato, y calcular ambas frecuencias. • Representar gráficamente un conjunto de datos.

• Interpretar gráficos estadísticos. • Determinar la media aritmética de un conjunto de datos. • Calcular la mediana y la moda de un conjunto de datos.


• Recuento de datos y construcción de tablas. • Frecuencias absolutas y frecuencias relativas. • Frecuencias acumuladas. • Gráficos estadísticos. • Media, mediana y moda.


• Realización del recuento de una serie de datos para formar una tabla. • Cálculo de las frecuencias absolutas y relativas de un conjunto de datos. • Representación gráfica de un conjunto de datos. • Cálculo de la media aritmética, la mediana y la moda.

ACTITUDES

• Reconocimiento y valoración de la utilidad de los lenguajes gráfico y estadístico para representar y resolver problemas de la vida cotidiana. • Gusto por la precisión, el orden y la claridad en el tratamiento y representación de datos.

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UNIDAD

14

COMPETENCIAS QUE SE TRABAJAN • Interpretar y presentar la información estadística a partir de tablas, gráficos y medidas estadísticos, y calcular las medidas estadísticas básicas, utilizando los medios más adecuados en cada caso (lápiz y papel, calculadora u ordenador). • Reconocer y calcular el resultado de las operaciones básicas con números, decidiendo si es necesario dar una respuesta exacta o aproximada, y aplicando el modo de cálculo más pertinente (mental, algoritmos de lápiz y papel o calculadora). • Conocer, valorar y utilizar sistemáticamente conductas asociadas a la actividad matemática, tales como el orden, contraste, precisión y revisión sistemática, y crítica de los resultados.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN • Obtener el recuento de una serie de datos. • Elaborar tablas para resumir la información sobre los datos obtenidos. • Distinguir entre frecuencia absoluta y frecuencia relativa, y calcular ambas frecuencias. • Determinar las frecuencias acumuladas.

• Representar gráficamente un conjunto de datos. • Comparar los diferentes gráficos, pasar de uno a otro y observar en cuál de ellos aparece más clara la información. • Determinar la media aritmética, la mediana y la moda de un conjunto de datos.

ESQUEMA DE LA UNIDAD estadística

Es la ciencia que se encarga de recopilar y ordenar los datos referidos a diversos fenómenos para su posterior análisis e interpretación.

Frecuencia absoluta fi Las veces que se repite un valor o una modalidad.

Tablas de frecuencias fi N Es la frecuencia absoluta dividido entre el total de datos. Frecuencia relativa hi =

Acumulada Fi Suma de las frecuencias absolutas de todos los datos menores o igual que xi. Acumulada Hi Es la frecuencia absoluta acumulada dividida entre el número total de datos.

Moda Mo Es la modalidad o valor de mayor frecuencia, es decir, el que más se repite.

Mediana Me Es el valor que ocupa la posición central de la serie ordenada de datos, es decir, el que tiene tantos valores a su izquierda como a su derecha.

Media aritmética x =

Es la cantidad que resulta de dividir la suma de todos los valores entre el número total de ellos.


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/fi ? xi N


Medidas de centralización

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UNIDAD

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LECTURA INICIAL La Pax Augusta

L

Cayo Julio César Octavio Augusto, más conocido como César Augusto, nació en el año 63 a.C. y murió en el 27 d.C. Aunque él mismo nunca se dio el título de emperador, sino que se proclamó Princeps Civium, es decir, el principal ciudadano, se le considera el primer y más importante emperador romano. A los largos años de guerra civil en Roma, tras la victoria de Augusto llega un período de paz, conocido como la Pax Augusta, que se aprovecha para organizar el sistema político, militar y económico del Imperio. Gobernar un imperio tan extenso como el romano y organizar los recursos que generaba era una difícil tarea. Una de las acciones que Augusto mandó realizar fue un censo, es decir, un inventario de personas y bienes que le ayudaría a conocer la situación real del imperio.

H

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UNIDAD

14

Curiosidades matemáticas Las ONG y las encuestas Las ONG (Organizaciones No Gubernamentales) son asociaciones que se encargan de ayudar a los países más desfavorecidos. Para ello cuentan con la ayuda de voluntarios, de suscripciones particulares y de entidades colaboradoras que las sustentan económicamente. En España, en 1999, había censadas 260 ONG, siendo algunas de las más conocidas: Manos Unidas, Médicos sin Fronteras, Fundesco, Cáritas Española, Cruz Roja Española, Unicef, etc. La Oficina de Ayuda Humanitaria de la Comunidad Europea (ECHO), creada en 1992, ha canalizado unos 5 000 millones de euros a través de estas organizaciones, sobre todo europeas. Es el mayor donante humanitario mundial junto a Estados Unidos, responsabilizándose de la financiación de la ayuda internacional en un 50 %. Por dicho motivo, con frecuencia se realizan encuestas para conocer la opinión de los ciudadanos acerca de las ONG. En una de dichas encuestas había una serie de preguntas relacionadas con este tema, algunas de las cuales reproducimos a continuación. 1.o Centrándonos en las ONG, es decir, las Organizaciones No Gubernamentales que se caracterizan por ser asociaciones de iniciativa privada, no lucrativas y dedicadas a la solidaridad internacional y al desarrollo de países pobres, ¿conoce usted o ha oído hablar de la existencia de este tipo de organizaciones? Sí No NS/NC

2.o Con independencia de que usted las conozca o no, ¿cómo valora las actividades y el trabajo que desarrollan este tipo de ONG?

" 88,1 % " 11,7 % " 0,2 %

Total respuestas: 2 493

Muy bien Bien Regular Mal Muy mal NS NC

" 30,7 % " 48,0 % " 10,9 % " 1,0 % " 0,3 % " 8,4 % " 0,6 %

Total respuestas: 2 493

Historia de la Estadística • En la Biblia hay referencias de censos del pueblo hebreo. • Los griegos hacían censos demográficos y de la propiedad.

• En las Cortes de Alcalá en 1348 se habla de padrones, empadronamientos y notas de rebaños, y en Cataluña se hizo un recuento de hogares en 1553. • Los Reyes Católicos ordenaron efectuar un empadronamiento general de los habitantes de sus dominios. Paralelamente al desarrollo de la Estadística, pero de forma independiente, se desarrolló en el siglo xvii el cálculo de probabilidades. A partir de Laplace se fusiona el cálculo de probabilidades y la Estadística, constituyendo la primera disciplina el andamiaje matemático de la segunda.


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• Carlomagno y Guillermo el Conquistador ordenaron realizar trabajos de Estadística en la Edad Media.

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UNIDAD

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Hemos preguntado a los alumnos de una clase de 2.º ESO sobre el número de libros leídos en el último trimestre. Estos son los resultados: ningún libro, 2 alumnos; un libro, 7 alumnos; dos libros, 6 alumnos; tres libros, 4 alumnos, y cuatro libros, 1 alumno. Ordena la información en una tabla y realiza un diagrama de barras. . 1. Escribimos la información y pulsamos En el paso Tipo de gráfico del Asistente de gráficos seleccionamos Línea y columna.

2. En el paso Rango de datos, pulsando sobre seleccionamos los datos de la segunda columna.

3. En Series de datos y Categorías, pulsando seleccionamos los datos de la primera columna.

4. En Elementos de gráficos introducimos el título del gráfico y las leyendas del eje X y del eje Y.

,

5. Pulsamos el botón Finalizar y obtendremos el gráfico terminado.

SUGERENCIAS PARA RESOLVER LAS ACTIVIDADES 1 Para resolver este ejercicio basta con seguir

las instrucciones que se dan en el ejemplo resuelto.

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2 Para realizar este ejercicio tan solo tenemos que

elegir como tipo de gráficos Líneas y la opción Solo líneas.


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UNIDAD

PASO A PASO

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1

Escribimos los títulos de las columnas: N.º de libros en A1 y N.º de alumnos en B1. En la primera columna escribimos los posibles valores de la variable Número de libros leídos y en la segunda, el número de alumnos correspondiente. para abrir el Asistente de gráficos, y en Pulsamos sobre el paso 1, Tipo de gráficos, seleccionamos Línea y columna.

2

Pulsamos sobre el botón Siguiente. En el paso 2, Rango de datos, pulsamos sobre el icono nos situamos en la celda B2 y con el botón izquierdo del ratón pulsado nos desplazamos hasta la celda B6.

,

En las distintas casillas de Opciones, solo tiene que estar activada la casilla Serie de datos en columnas.

3

Pulsamos sobre el botón Siguiente. , En el paso 3, Serie de datos, pulsamos sobre el icono que está situado en la casilla de Categorías. Nos situamos sobre la celda A2 y con el botón izquierdo del ratón pulsado nos desplazamos hasta la celda A6.

4

Pulsamos sobre el botón Siguiente.

5

Pulsamos sobre el botón Finalizar y obtenemos el gráfico asociado a la tabla.


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En el paso 4, Elementos de los gráficos, pulsamos sobre la casilla Título y escribimos LECTURAS EN CLASE. A continuación, nos colocamos en Eje X y escribimos N.º de libros. Y nos colocamos en Eje Y y escribimos N.º de alumnos.

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UNIDAD

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Hemos preguntado a los alumnos de una clase de 2.º de ESO sobre el número de libros leídos en el últimos trimestre. Esos son los resultado: ningún libro, 2 alumnos; un libro, 7 alumnos; dos libros, 6 alumnos; tres libros, 4 alumnos, y cuatro libros, 1 alumno. Ordena la información en una tabla y realiza un diagrama de barras. . En el 1. Escribimos la información y pulsamos paso Tipo de gráfico del Asistente de gráficos seleccionamos Columnas.

2. En el paso Rango de datos, pulsando sobre seleccionamos los datos de la segunda columna.

3. En Serie y Rótulos del eje de categorías (X), seleccionamos la primera columna. pulsando

4. En Opciones de gráfico introducimos los títulos del gráfico, del eje X y del eje Y.

,

5. Pulsamos el botón Finalizar y obtendremos el gráfico terminado.


INVESTIGA

1. Construye un diagrama de barras con los datos de la tabla.

2. Realiza un polígono de frecuencias con los datos de la tabla del ejercicio de Practica. a) ¿Qué relación hay entre los dos gráficos? b) ¿Cuál tiene que ser la moda para que el polígono de frecuencias sea una recta horizontal?

N.º de días

0

1

2

3

4

5

6

7

N.º de alumnos

3

5

7

10

8

3

4

1

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UNIDAD

PASO A PASO 1

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Microsoft Office. EXCEL Escribimos los títulos de las columnas: N.º de libros en A1 y N.º de alumnos en B1. En la primera columna escribimos los posibles valores de la variable Número de libros leídos y en la segunda, el número de alumnos correspondiente. para abrir el Asistente de gráficos, y en Pulsamos sobre el paso 1, Tipo de gráficos, pulsamos sobre la opción Columnas.

2

Pulsamos sobre el botón Siguiente. En el paso 2, Rango de datos, pulsamos sobre el icono nos situamos en la celda B2 y con el botón izquierdo del ratón pulsado nos desplazamos hasta la celda B6, . y volvemos a pulsar sobre

,

3

A continuación, seleccionamos la pestaña Serie del paso 2. que está situado en la casilla Pulsamos sobre el icono de Rótulos el eje de categorías (X). Nos situamos sobre la celda A2 y con el botón izquierdo del ratón pulsado nos desplazamos hasta la celda A6, y volvemos a pulsar . sobre

4

Pulsamos sobre el botón Siguiente.

5

Pulsamos sobre el botón Finalizar y obtenemos el gráfico asociado a la tabla.


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En el paso 3, Opciones de gráfico, pulsamos sobre la casilla Título del gráfico y escribimos LECTURAS EN CLASE. A continuación, nos colocamos en Eje de categorías (X) y escribimos N.º de libros. Y nos colocamos en Eje de categorías (Y) y escribimos N.º de alumnos.

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UNIDAD

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EN LA VIDA COTIDIANA... Encuesta sobre la enseñanza En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Leer una encuesta. • Utilizar los datos de una encuesta para ampliar la información. • Codificar los datos de una encuesta y obtener nuevos resultados numéricos. • Efectuar una crítica constructiva de las encuestas.

1

Lectura de la encuesta

El CIS (Centro de Investigaciones Sociológicas) en su estudio estadístico del Barómetro, de marzo de 2002, realizaba entre otras una serie de preguntas sobre la docencia y la educación en España. La encuesta fue realizada a 2 498 personas de ambos sexos, de 18 años y más, en todo el ámbito nacional, de las que el 48,2 % eran hombres y el 51,8 % mujeres, con estas edades: Edad 18-25 25-35 35-45 45-55 55-65 65 o más

Porcentaje 12,8 20,7 18,3 14,9 12,7 20,6

Los 2 498 ciudadanos contestaron así: 1. ¿Cómo calificaría usted la situación de la enseñanza en colegios? Muy buena " 1,4 % Buena " 24,8 % Regular " 41,8 % Mala " 15,9 % Muy mala " 6,5 % NS/NC " 9,6 % 2. ¿Cómo valora usted la calidad de la enseñanza que reciben los alumnos en los colegios e institutos? Muy buena " 1,8 % Buena " 32,9 % Regular " 40,3 % Mala " 13,3 % Muy mala " 2,8 % NS/NC " 8,9 % 3. ¿Considera usted que los profesores deben tener la facultad de imponer sanciones a los alumnos? Sí " 69,0 % No " 29,1 % NS/NC " 1,8 % (Los que contestan Sí pasan a 3. bis)

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3. bis. ¿Qué tipo de sanción considera más adecuada? Suprimir un recreo " 27,1 % Imponer tarea extra " 44,8 % Expulsar de clase " 14,0 % Otras respuestas " 5,6 % NS/NC " 8,4 % (N.º de respuestas: 1 724) 4. ¿Cree usted que los contenidos de las materias que se imparten en los colegios e institutos son suficientes o habría que mejorarlos? Son suficientes " 22,9 % Habría que mejorarlos " 59,0 % NS/NC " 18,0 % 5. ¿Cree usted que, en la actualidad, los estudiantes de los colegios e institutos se esfuerzan mucho, bastante, poco o muy poco por estudiar y aprender? Mucho " 1,7 % Bastante " 21,5 % Poco " 52,8 % Muy poco " 13,1 % NS/NC " 10,9 % 6. ¿Y cree usted que, en la actualidad, en los colegios e institutos se les exige a los alumnos…? Mucho " 5,8 % Bastante " 32,3 % Poco " 42,5 % Muy poco " 5,7 % NS/NC " 13,6 %


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UNIDAD 7. ¿Qué calificación de 0 a 10 daría usted a los actuales jóvenes españoles que estudian en colegios e institutos en las siguientes cuestiones?

Conocimientos Esfuerzo Modales Disciplina Ganas de aprender Responsabilidad

M 5,79 4,88 3,87 3,86 4,86 4,39

DT 1,63 1,85 2,02 2,01 1,98 2,07

N 2 145 2 199 2 292 2 270 2 204 2 222

14

8. ¿Cómo cree usted que valora la sociedad a los profesores de los colegios e institutos? ¿Y cómo los valoran los padres? ¿Y los alumnos?

Muy bien Bien Regular Mal Muy mal NS/NC

Sociedad 4,8 % 46,9 % 32,5 % 8,1 % 0,9 % 6,8 %

Padres 13,6 % 47,9 % 32,1 % 8,2 % 1,2 % 7,0 %

Alumnos 2,0 % 25,2 % 34,1 % 2,4 % 7,2 % 9,0 %

M: media; DT: desviación típica; N: número de respuestas.

2

Cálculo de medidas de centralización y dispersión

REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES.

h) Haz lo mismo para la pregunta 6.

a) ¿Cuántos hombres y mujeres contestaron a la encuesta?

i) ¿Qué comentario te merece la pregunta 7? Formad grupos en clase y discutidlo, haciendo una puesta en común.

b) Obtén las frecuencias absolutas, formando una tabla con las edades de los encuestados, y contesta: • ¿Cuántas personas tenían menos de 45 años? ¿Y entre 35 y 55 años? • ¿Cuántas tenían 65 años o más? c) La primera pregunta de cómo calificaría la situación de la enseñanza se puede codificar dando los valores: Muy bien = 5, Bien = 4, Regular = 3, Mal = 2, Muy mal = 1, NS/NC = 0. Forma una tabla y calcula: • Las frecuencias absolutas y relativas. • La calificación media, mediana y moda.

j) Para la pregunta 8 elabora, una vez codificadas las respuestas como en la cuestión 3, tres tablas: una para Sociedad, otra para Padres y otra para Alumnos, y obtén: • La frecuencia absoluta. • La media aritmética. • La moda. Compara los resultados de las tablas y coméntalos con tus compañeros.

d) Haz lo mismo para la pregunta 4 sobre la calidad de la enseñanza.

f) Representa, en otro gráfico de sectores, los tipos de sanción, teniendo en cuenta que 1 724 personas han contestado diciendo sí a la aplicación de sanciones. ¿Cuántas personas contestan a cada modalidad en la pregunta 4? g) En la pregunta 5 codifica las respuestas de esta forma: Mucho = 4, Bastante = 3, Poco = 2, Muy poco = 1 y NS/NC = 0. • Representa el diagrama de barras y el polígono de frecuencias asociado. • Obtén la puntuación media, la mediana y la moda. ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

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e) Elabora un gráfico de sectores correspondiente a la pregunta sobre las sanciones.

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UNIDAD

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estrategias de resolución de problemas Pasar de una tabla a un gráfico Estrategia La comprensión de datos estadísticos es un proceso que se inicia obteniendo

unos datos que se organizan en una tabla, y que nos permitirán elaborar una gráfica en la que también podremos leer dichos datos.

PROBLEMA RESUELTO Se ha realizado una encuesta sobre el número de hijos entre 400 familias, con los siguientes resultados.

N.º de hijos 0 1 N.º de familias 131 127

2 57

3 61

4 12

5 9

6 3

Calcula la media aritmética y la moda.

Planteamiento y resolución Debemos observar los datos que se presentan en la tabla para responder que la moda es no tener hijos, aunque también hay un alto número de familias con tres hijos. Para calcular la media aritmética hay que sumar todos los datos: Media aritmética =

0 ? 131 + 1 ? 127 + 2 ? 57 + 3 ? 61 + 4 ? 12 + 5 ? 9 + 6 ? 3 535 = = 1,34 400 400

¿Se puede tener 1,34 hijos? Ten en cuenta que a veces la media aritmética no proporciona un dato que se corresponda con la realidad.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1 Se ha preguntado a 40 personas por el número de libros leídos en un año, y hemos obtenido

la siguiente tabla de resultados.

Libros leídos 0-5 N.º de personas 11

6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40 3 7 5 4 4 2 4

Haz un diagrama de barras para estos datos. 2 La estatura, en m, de 40 alumnos de 2.º ESO es:

1,87 1,72 1,57 1,78 1,89 1,69 1,64 1,81 1,86 1,65 1,64 1,57 1,94 1,86 1,81 1,53 1,55 1,56 1,87 1,48 1,91 1,55 1,77 1,57 1,88 1,63 1,93 1,83 1,89 1,79 1,58 1,56 1,82 1,55 1,67 1,95 1,49 1,56 1,89 1,64 Agrupa los datos en ocho intervalos de clase. Construye la tabla de frecuencias absolutas y frecuencias relativas, calculando la moda y la media aritmética. Haz un diagrama de barras.

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UNIDAD

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El objetivo de esta unidad es acercar a los alumnos a las interpretaciones de datos que ellos mismos pueden elaborar mediante encuestas y preguntas sencillas, dirigidas principalmente a sus compañeros.

• Mediante la Estadística, recopilamos, agrupamos e interpretamos el significado de una serie de datos.

Planteamos actividades ya estructuradas y descritas, pero es aconsejable exponer a los alumnos situaciones semejantes para hacerlos partícipes del proceso completo: desde el recuento de datos, agrupación, elaboración de tablas y gráficos, cálculo de las principales medidas de centralización, hasta la interpretación final.

• Frecuencia absoluta de un dato es el número de veces que se repite. La suma de todas las frecuencias absolutas es el número total de datos.

Recomendamos el uso de recursos próximos a la realidad de los conceptos tratados: desde recortes de prensa con gráficos estadísticos sencillos (población, ventas…).

• Los datos se representan gráficamente, siendo los gráficos más usuales el diagrama de barras, el polígono de frecuencias y el diagrama de sectores.

• Los datos se organizan en tablas, donde se reflejan las frecuencias con que aparecen.

• Frecuencia relativa de un dato es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos. La suma de todas las frecuencias relativas es 1.

• De una serie de datos se calculan medidas estadísticas que ayudan a interpretarlos. Las principales son la media, la mediana y la moda.

CONTENIDOS

PROCEDIMIENTOS

1. Interpretar y elaborar tablas de frecuencias.

• Datos estadísticos. • Tablas de frecuencias. Frecuencia absoluta y relativa.

• Recuento de datos estadísticos. • Formación de tablas de frecuencias.

2. Elaborar gráficos para representar un conjunto de datos.

• Gráficos estadísticos: diagrama de barras, polígono de frecuencias y diagrama de sectores.

• Construcción de gráficos a partir de tablas de frecuencias. • Interpretación de gráficos.

3. Calcular las principales medidas de centralización.

• Media, mediana y moda de un conjunto de datos.

• Obtención de las medidas estadísticas a partir de una serie de datos. • Resolución de problemas.


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OBJETIVOS

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OBJETIVO 1

INTERPRETAR Y ELABORAR TABLAS DE FRECUENCIAS NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Cuando recogemos una serie de datos tras realizar una encuesta, organizamos esos datos en tablas de frecuencias para analizarlos e interpretarlos. La ciencia que se ocupa de realizar estas investigaciones es la Estadística.

ejemplo En una clase de 25 alumnos de 2.º ESO el número de hermanos que tiene cada uno es: 0 1 3 4 2 2 1 4 5 2 0 1 1 3 2 2 4 3 2 6 0 1 2 3 2 DATO

Recuento

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frecuencia absoluta Es el número de veces que se repite el dato.

0

III

3

3/25

1

IIII

5

5/25

2

IIII III

8

8/25

3

IIII

4

4/25

Frecuencia relativa Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos, e indica la relación del dato con respecto al total de datos.

4

III

3

3/25

5

I

1

1/25

6

I

1

1/25

25

1

• La suma de frecuencias absolutas es el número total de datos: 3 + 5 + 8 + 4 + 3 + 1 + 1 = 25 • La suma de las frecuencias relativas es la unidad. 3 5 8 4 3 1 1 = + + + + + + 25 25 25 25 25 25 25 25 = =1 25

1 Se ha lanzado un dado de parchís 40 veces, y se han obtenido estos resultados.

6 1 5 3 4 1 2 3 5 4 6 4 3 4 1 2 3 5 4 6 1 4 3 5 2 1 2 4 6 3 5 4 1 2 3 5 4 6 2 3 a) Forma una tabla de datos con el recuento, y halla la frecuencia absoluta, la frecuencia relativa y los totales. b) ¿Cuál es valor que más veces ha salido?

DATO

Recuento

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

1 2 3 4 5 6

428

277995 _ 0416-0445.indd 428

Total


11/07/11 13:51

UNIDAD

14

2 Las edades de 24 alumnos de ESO que participan en las competiciones deportivas del instituto son:

12 13 12 14 13 15 13 12 14 15 13 12 14 15 13 12 16 14 15 13 14 15 12 16

Forma una tabla de datos con el recuento, la frecuencia absoluta, la frecuencia relativa y los totales.

3 El número de calzado de los anteriores alumnos es:

38 37 39 40 42 39 38 37 39 40 42 38 41 38 37 40 38 39 37 36 41 39 40 38


4 La altura en centímetros de ese mismo grupo de alumnos es:

160 168 164 170 162 166 172 168 164 162 160 168

170 160 162 164 160 170 160 164 168 162 160 160




277995 _ 0416-0445.indd 429

429

11/07/11 13:51

INTERPRETAR Y ELABORAR TABLAS DE FRECUENCIAS En ocasiones, los datos que recogemos no son numéricos, sino que responden a variables cualitativas, es decir, a características o valores que no son números, sino cualidades.

5 Natalia ha preguntado en los cursos de 2.º ESO sobre el tipo de libros que prefieren leer

sus compañeros. Los datos los ha reflejado en la tabla. Completa los valores que faltan.

Tipo de música

Frecuencia absoluta

Terror

Frecuencia relativa

8 26 80

Histórica Aventuras Romántica

15 12 80

Ciencia ficción Total

80

6 Se ha realizado una encuesta a los 44 alumnos de 2.º ESO sobre la estación del año

en la que han nacido. Asignamos a la primavera la letra P, al verano V, al otoño O y al invierno I, y se anotan los siguientes resultados: P I V I O P V O V O I V I O P V O V O I V P V O O I P P V V O I P V O I I P V O V O I P Completa la tabla.

DATO

Recuento

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Primavera (P) Verano (V) Otoño (O) Invierno (I)

430

277995 _ 0416-0445.indd 430

Total


11/07/11 13:51

OBJETIVO 2

ELABORAR GRÁFICOS PARA REPRESENTAR UN CONJUNTO DE DATOS NOMBRE:

CURSO:

UNIDAD

14

FECHA:

Los datos estadísticos se representan mediante gráficos, que nos ayudan a visualizar e interpretar la información recogida. Los gráficos más importantes son: el diagrama de barras, el polígono de frecuencias y el diagrama de sectores. Diagrama de barras • Para hacerlo utilizamos un sistema de ejes. En el eje horizontal representamos los datos, y en el vertical, las frecuencias absolutas. • La frecuencia que corresponde a cada dato se representa por una barra, teniendo en cuenta que las alturas de las barras son proporcionales a las correspondientes frecuencias. En ocasiones se puede mostrar la frecuencia sobre la barra.

ejemplo En una clase de 2.º ESO los refrescos preferidos por sus alumnos son: tipos de refresco

Cola

Naranja

Piña

Limón

Manzana

10

4

3

6

2

Frecuencia Absoluta

Realíza el diagrama de barras correspondiente.

Frecuencias absolutas

Refrescos preferidos 2º ESO 12 10

10

8

6

6

4

4

3

2

2 0 Cola

Naranja

Limón

Piña

Manzana

Tipos de refresco

1 Entre los alumnos de 2.º ESO se ha realizado una encuesta sobre el deporte favorito, y se han obtenido

Deporte Frecuencia absoluta

Fútbol

Balonmano

Baloncesto

Atletismo

Voleibol

15

12

6

3

6


277995 _ 0416-0445.indd 431


los resultados de la tabla. Represéntalos en un diagrama de barras.

431

11/07/11 13:51

ELABORAR GRÁFICOS PARA REPRESENTAR UN CONJUNTO DE DATOS 2 Las edades de 24 alumnos de ESO que participan en las competiciones deportivas del instituto son:

12 13 12 14 13 15 13 12 14 15 13 12 14 15 13 12 16 14 15 13 14 15 12 16

Con la tabla de frecuencias ya realizada anteriormente representa los datos en un diagrama de barras.

3 La música que más gusta entre varios cursos de 1.º y 2.º ESO viene reflejada por los datos obtenidos

en una encuesta. Represéntalos en un diagrama de barras. Rock

Pop

Bacalao

Tecno

Dance

18

12

24

10

6

4 Según el siguiente diagrama de barras, describe una situación que cumpla los datos que se muestran.

Completa la descripción con un título general para el gráfico y para los ejes horizontal y vertical. 20 16 15 10

12

10

8

4

5 0 12 años

432

277995 _ 0416-0445.indd 432

13 años

14 años

15 años

16 años


11/07/11 13:51

UNIDAD

14

Polígono de frecuencias • Se elabora a partir del diagrama de barras de variables cuantitativas. • Formamos un diagrama de barras, unimos los extremos superiores de las barras y obtenemos una línea poligonal llamada polígono de frecuencias.

ejemplo En 2.º ESO el tipo de refresco preferido por sus alumnos es: tipo de refresco Frecuencia

Cola

Naranja

Piña

Limón

Manzana

10

4

3

6

2

Realiza el polígono de frecuencias correspondiente.

Frecuencias absolutas

Refresco preferido 12 10 8 6 4 2 0

Cola

Naranja

Limón

Piña

Manzana

Tipos de refresco

5 En una tienda de equipos de sonido las ventas del mes vienen reflejadas por la siguiente tabla: Dato Frecuencia absoluta

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

5

15

10

20

25

30


Representa los datos mediante un polígono de frecuencias. ¿Qué observas?


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433

11/07/11 13:51

ELABORAR GRÁFICOS PARA REPRESENTAR UN CONJUNTO DE DATOS 6 Las ventas de un concesionario de coches en el último mes son: Turismos

Deportivos

TodoterrenoS

Familiares

Industriales

Otros modelos

60

8

10

35

40

4

Representa los datos mediante un polígono de frecuencias.

Si eliminamos las barras del polígono, obtenemos un gráfico de líneas, en el que se resaltan las frecuencias con un punto grueso.

ejemplo Las ventas de un concesionario de coches a lo largo del año 2010 vienen indicadas por la siguiente tabla. Vamos a representarlas mediante un gráfico de líneas: Ene.

Feb.

Mar.

Abr.

May.

Jun.

Jul.

Ago.

Sep.

Oct.

Nov.

Dic.

20

20

30

40

60

80

70

20

50

30

20

30

Ventas del concesionario

90 Frecuencias absolutas

80 70 60 50 40 30 20 10 0

Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic. Meses

7 Carmen y Eva han anotado las temperaturas medias, en °C, registradas en el colegio durante todo

el curso escolar. Han obtenido los siguientes resultados: Sep.

OctUBRE

Nov.

Dic.

EneRO

FebRERO

MarZO

AbrIL

MayO

JunIO

20

14

12

10

8

10

14

18

20

24

Realiza un gráfico de líneas correspondiente a los datos de la tabla.

434

277995 _ 0416-0445.indd 434


11/07/11 13:51

UNIDAD

14

8 Los puestos en la tabla de clasificación de un equipo de baloncesto durante 12 jornadas han sido:

3.º 5.º 2.º 1.º 3.º 4.º 2.º 5.º 3.º 2.º 4.º 2.º a) Realiza una tabla de frecuencias según los datos anteriores.

5

Puesto

N.º de veces

1.º

1

2.º

N.º de veces

b) Haz un gráfico de líneas.

4 3 2 1

3.º 4.º

1.º

5.º

2.º

3.º

4.º

5.º

Puesto

2

DIAGRAMA DE SECTORES Los datos se representan en un círculo, dividido en sectores. Cada sector representa un valor de la variable. El ángulo de cada sector circular es proporcional a la frecuencia absoluta de cada dato.

ejemplo X

El tipo de refresco preferido por 40 alumnos es: Tipos de refresco preferido

Frecuencia

8

Cola

12

Piña

6

Naranja

10

Uva

4

Total

40

Uva Limón

F

Naranja

F

F

Limón

F

tipo de refresco

Cola

F

Piña

9 Para hallar el ángulo de cada sector utilizamos el siguiente procedimiento.

Limón

8

9 ? 8 = 72°

Cola

12

9 ? 12 = ......

A cada parte le corresponden 360° : 40 = 9°.

Piña

6

9 ? ...... = ......

Completa la tabla.

Naranja

10

9 ? ...... = ......

Uva

4

Total

40

........ = 360°

FRECUENCIA SECTOR CIRCULAR (°)


277995 _ 0416-0445.indd 435

9 ? 4 = 36°


TIPO DE REFRESCO

ividimos el círculo completo, 360º, en tantas D partes como frecuencias absolutas hay, 40. multiplicamos el resultado por cada frecuencia absoluta y con el transportador se halla cada sector circular.

435

11/07/11 13:51

ELABORAR GRÁFICOS PARA REPRESENTAR UN CONJUNTO DE DATOS 10 Los 15 alumnos de una clase que almuerzan en el comedor escolar tienen las siguientes preferencias

respecto a las comidas. Represéntalas en el gráfico. Observa que se ha dividido el círculo en 15 partes. Halla las frecuencias relativas y completa el ejercicio. Comidas

Fr. absoluta

Macarrones

6

Pollo

1

Filete

3

Lentejas

2

Arroz

3

Totales

Fr. relativa

15

11 Se ha realizado una encuesta a 360 hogares sobre los canales de televisión preferidos. Las respuestas

han sido las reflejadas en la tabla. Represéntalas en un diagrama de sectores. Frecuencia absoluta

Destino

TVE7

120

La 3

20

Autonómicas

45

Antena 4

35

Tele 2

80

La Quinta

60

Total

360

Sector circular

360° : 360 = .......

360°

12 El número de hermanos de los 24 alumnos de 2.º ESO se indica en la tabla.

Representa los datos en un diagrama de sectores. NÚMERO DE hermanos

Frecuencia absoluta

1

5

2

8

3

6

4

4

5 o más

1

Total

24

436

277995 _ 0416-0445.indd 436

Sector circular

360° : 24 = .......

360°


11/07/11 13:51

OBJETIVO 3

CALCULAR LAS PRINCIPALES MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN NOMBRE:

CURSO:

UNIDAD

14

FECHA:

Media aritmética • La media aritmética de un conjunto de datos es el valor medio que los representa. Es un valor numérico que está comprendido entre el menor valor y el mayor de un conjunto de datos. Puede no coincidir con alguno de los datos, y también puede ser un número decimal. • Solo se obtiene con datos cuantitativos (números). Se suele representar con el símbolo x–. Cálculo de la media aritmética • Se obtiene dividiendo la suma de todos los datos entre el número total de ellos. • Si los datos vienen en una tabla con sus frecuencias absolutas, se multiplica cada dato por su frecuencia, se suman todos los productos obtenidos y se divide entre el número total de ellos.

ejemplo La altura, en cm, de 24 alumnos de ESO es: 160 168 164 170 162 166 172 168 164 162 160 168 170 160 162 164 160 170 160 164 168 162 160 160 ¿Cuál es la altura media del grupo? x=

1 120 + 648 + 656 + 166 + 672 + 510 + 172 3 944 = = 164,33 cm 24 24

ALTURA

FrECUENCIA absoluta

DatoS POR FrEC. absoluta

160

7

1 120

162

4

1.648

164

4

1.656

• Está comprendida entre el valor menor y mayor: 160 cm y 172 cm.

166

1

1.166

• No ha coincidido con ningún valor y es un número decimal.

168

4

1.672

170

3

1.510

172

1

1.172

Total

24

3 944

164,33 cm es la media aritmética. • La media representa la altura media del grupo.

Halla el peso medio.

54 + 58 + ..................................... x– = }}}} = 5

2 Marta ha obtenido estas notas en cuatro exámenes de Historia: 6,5; 5,75; 7,25 y 7.

Calcula su nota media.


277995 _ 0416-0445.indd 437


1 Los pesos, en kg, de cinco jugadores de baloncesto son: 54, 58, 62, 60 y 56.

437

11/07/11 13:51

CALCULAR LAS PRINCIPALES MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN 3 Las temperaturas, en °C, registradas durante el mes de septiembre han sido:

18 19 22 16 21 20 19 18 17 22 21 23 25 19 20 22 21 20 24 23 21 19 4 23 19 18 19 20 21 19 Halla la temperatura media del mes.

Mediana y moda • La mediana de un conjunto de datos es el valor central de ellos. • Si el número de datos es impar, se ordenan y la mediana será el valor central. • Si el número de datos es par, se ordenan y la mediana será la semisuma de los dos valores centrales. • La moda de un conjunto de datos es el valor que más se repite, es decir, el que tiene mayor frecuencia absoluta. Puede haber una, varias o ninguna moda.

ejemplo Las notas de un grupo de 7 alumnos en Matemáticas son: 6 7 5 8 7 4 3 Calcula la mediana y la moda. Mediana: 3 4 5 6 7 7 8 El valor central es 6 y es la mediana. Moda: El valor con mayor frecuencia es 7 (2 veces) y es la moda.

Dato

FrEC. absoluta

3

1

4

1

5

1

6

1

7

2

8

1

4 Respecto a los datos del ejemplo anterior, si añadimos la nota de un 9 referida a un alumno más,

calcula la mediana y la moda de las calificaciones.

5 Las edades, en años, de un grupo de amigas son: 16, 15, 17, 15, 17, 14, 15 y 16.

Halla la mediana y la moda.

6 Calcula la mediana y la moda de los datos del ejercicio 3.

438

277995 _ 0416-0445.indd 438


11/07/11 13:51

UNIDAD

14

PROPUESTAS DE EVALUACIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS Los contenidos de la unidad han sido tratados en el curso anterior salvo el cálculo de medidas estadísticas. De todos modos, pese a ser en su mayoría contenidos conocidos por los alumnos conviene recordarlos y volver a trabajarlos. Así, los conocimientos previos necesarios para comenzar a trabajar la unidad son: • Calcular porcentajes en diferentes situaciones. • Recoger en tablas los datos obtenidos de una encuesta. • Realizar el recuento de datos de una encuesta. • Interpretar algunos gráficos estadísticos.


La evaluación inicial consiste en una serie de preguntas que sirven de introducción a la Estadística. En la evaluación inicial se plantean ejercicios que servirán como punto de partida para comprender los contenidos que se van a trabajar en esta unidad. El primero de ellos está relacionado con el cálculo de porcentajes. En los dos siguientes se trabaja la construcción de una tabla para agrupar datos y realizar el recuento de los mismos. Y en el último ejercicio se presenta un diagrama de barras para interpretar la información que recoge.

El ejercicio 1 podría trabajarse sobre una encuesta realizada por los alumnos. Los ejercicios 2 y 3 utilizan datos cualitativos y cuantitativos, y la elaboración de gráficos. También sería interesante trabajar con gráficos obtenidos de la prensa. En el ejercicio 4 se rea lizan cálculos con datos de carácter discreto.


EVALUACIÓN INICIAL


277995 _ 0416-0445.indd 439

439

11/07/11 13:51

UNIDAD

14

EVALUACIÓN INICIAL 1 Calcula los siguientes porcentajes.

a) 23 % de 2 500 b) 83 % de 6 300 c) 4,5 % de 250 d) 13,5 % de 420

2 Jorge celebra una fiesta a la que asisten 35 amigos. Se les pregunta por su edad, en años,

y se anotan los siguientes datos: 13 15 12 16 12 15 12 16 12 12 13 13 15 13 16 16 13 12 14 15 12 14 15 12 14 16 17 16 16 15 14 16 15 12 13 Haz un recuento de los datos y recógelos en una tabla.

3 El profesor de Matemáticas ha puesto una prueba a sus alumnos y las calificaciones que estos

han obtenido han sido: 5 6 7 6 4 5 7 8 9 2 4 5 6 7 8 9 7 5 4 5 5 4 4 6 8 Elabora una tabla con las calificaciones y realiza el recuento.

4 En este diagrama de barras se muestra la edad de un grupo de jóvenes que asisten a una excursión:

a) ¿Qué edad tienen el mayor número de jóvenes? b) ¿Asisten más jóvenes con 14 años o con 17 años?

9 8

c) ¿Qué edad tienen el menor número de jóvenes?

6

d) ¿Cuántos jóvenes tienen menos de 16 años?

4

440

277995 _ 0416-0445.indd 440

os añ

añ

os 17

añ

os 16

os 15

añ

añ

os 14

13

12

añ

os

2


11/07/11 13:51

UNIDAD

14

EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Calcula los siguientes porcentajes.

a) 23 % de 2 500 b) 83 % de 6 300

c) 4,5 % de 250 d) 13,5 % de 420

23 23 $ 2500 $ 2500 = = 575 100 100 83 83 $ 6 300 b) 83 % de 6 300 = $ 6 300 = = 5 229 100 100 a) 23 % de 2 500 =

4,5 $ 250 4, 5 $ 250 = = 11,25 100 100 13,5 $ 450 13,5 $ 450 = = 60,75 d) 23 % de 2 500 = 100 100 c) 4,5 % de 250 =

2 Jorge celebra una fiesta a la que asisten 35 amigos. Se les pregunta por su edad, en años,

y se anotan los siguientes datos: 13 15 12 16 12 15 12 16 12 12 13 13 15 13 16 16 13 12 14 15 12 14 15 12 14 16 17 16 16 15 14 16 15 12 13 Haz un recuento de los datos y recógelos en una tabla.

Edad

Recuento

12

IIII IIII

13

IIII I

14

IIII

15

IIII II

16

IIII III

17

I

3 El profesor de Matemáticas ha puesto una prueba a sus alumnos y las calificaciones que estos

han obtenido han sido: 5 6 7 6 4 5 7 8 9 2 4 5 6 7 8 9 7 5 4 5 5 4 4 6 8 Elabora una tabla con las calificaciones y realiza el recuento. Dato

2

4

5

6

7

8

9

Recuento

I

IIII

IIII I

IIII

IIII

III

II

6 4

os añ

os 17

os


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añ

añ

16

añ

os 15

os 14

añ

añ

os

2

13

a) El mayor número de jóvenes tiene 12 años. b) Asisten más jóvenes con 14 años. c) El menor número de jóvenes tiene 17 años. d) Tienen menos de 16 años 26 jóvenes.

9 8

12

a) ¿Qué edad tienen el mayor número de jóvenes? b) ¿Asisten más jóvenes con 14 años o con 17 años? c) ¿Qué edad tienen el menor número de jóvenes? d) ¿Cuántos jóvenes tienen menos de 16 años?


4 En este diagrama de barras se muestra la edad de un grupo de jóvenes que asisten a una excursión:

441

11/07/11 13:51

UNIDAD

14

ERES CAPAZ DE…

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 1 Se van a realizar varias encuestas y necesitamos conocer cuál es

Realizar encuestas sencillas decidiendo si se puede estudiar la población o es necesario elegir una muestra.

Interpretar y elaborar tablas de frecuencias. Elaborar gráficos estadísticos (diagrama de barras, pictograma y diagrama de sectores) para representar un conjunto de datos.

la población y si es necesario escoger una muestra o no. a) El deporte preferido por los alumnos de la clase de 2.º A. b) La canción preferida por los jóvenes de 13 años de una ciudad. c) El tipo de fruta que prefieren los alumnos de 2.º ESO de España. d) Las marcas de los pantalones más vendidos en una provincia.

2 Se lanza un dado 20 veces, siendo los resultados:

6 1 2 3 4 1 2 3 5 4 6 2 1 4 3 5 5 1 2 4

Completa esta tabla con las frecuencias absolutas y relativas. Dato

Recuento

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

1 2 3 4 5 6 Totales


ACTIVIDADES

• Enumerar e identificar elementos . ....................................................................................................................... 1 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc................................................................................ • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ............................................................................ 2, 4 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ............................................................................................................ 2, 3 • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc.............................................................................................................. 4

442

277995 _ 0416-0445.indd 442


11/07/11 13:51

UNIDAD

14

3 Según los datos de un organismo internacional, la población mundial

en el año 2010, en millones de personas, es: Continente

África

América

Asia

Europa

Oceanía

Población

728

775

3 458

727

28

Total

a) ¿Qué porcentaje de la población corresponde a Europa?

b) ¿Cuál es la frecuencia relativa de la población de Asia?

c) Elabora un diagrama de sectores.

Comprender el significado y calcular la media, la mediana y la moda de un conjunto de datos.

4 El profesor de Matemáticas da a los alumnos los resultados del último examen.

Dato

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Frecuencia

1

3

5

5

7

4

3

0

1

1

a) Calcula qué porcentaje de alumnos ha aprobado.

b) Halla la media aritmética de este conjunto de datos.


ACTIVIDADES

• Clasificar y discriminar según criterios .................................................................................................................... • Contrastar operaciones, relaciones, etc. .................................................................................................................. 3, 4 • Combinar, componer datos, resumir, etc. ............................................................................................................... 2 • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ..........................................................................................................


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c) ¿Cuál es la mediana y la moda?

443

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UNIDAD

14

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1 Se van a realizar varias encuestas y necesitamos conocer cuál es la población y si es necesario

escoger una muestra o no. a) El deporte preferido por los alumnos de la clase de 2.º A. Población: los alumnos de 2.º A. No es necesario escoger ninguna muestra. b) La canción preferida por los jóvenes de 13 años de una ciudad. Población: todos los jóvenes de 13 años la ciudad. Se tendrá que realizar el estudio sobre una muestra. c) El tipo de fruta que prefieren los alumnos de 2.º ESO de España. Población: los alumnos de 2.º ESO. Se tendría que escoger una muestra. d) Las marcas de los pantalones más vendidos en una provincia. Población: todos los pantalones de esa provincia. Se tendría que escoger una muestra. 2 Se lanza un dado 20 veces, siendo los resultados:

6 1 2 3 4 1 2 3 5 4 6 2 1 4 3 5 5 1 2 4

Completa esta tabla con las frecuencias absolutas y relativas. Dato

Recuento

Frecuencia absoluta

1

||||

4

2

||||

4

3

|||

3

4

||||

4

5

|||

3

6

||

2

Totales

20

20

444

277995 _ 0416-0445.indd 444

Frecuencia relativa 4 20 4 20 3 20 4 20 3 20 2 20

= 0, 2 = 0, 2 = 0,15 = 0, 2 = 0,15 = 0, 1 1


11/07/11 13:51

UNIDAD

14

3 Según los datos de un organismo internacional, la población mundial

en el año 2010, en millones de personas, es: Continente

África

América

Asia

Europa

Oceanía

Población

728

775

3 458

727

28

Total

a) ¿Qué porcentaje de la población corresponde a Europa? 12,72% b) ¿Cuál es la frecuencia relativa de la población de Asia? La suma del total de habitantes es 5 716 millones.

La frecuencia relativa de Asia es:

3 458 = 0,605 5 716

c) Elabora un diagrama de sectores. Europa 12,72 %

Oceanía 0,49 %

África 12,74 %

América 13,56 % Asia 60,5 %

4 El profesor de Matemáticas da a los alumnos los resultados del último examen.

Dato

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Frecuencia

1

3

5

5

7

4

3

0

1

1

a) Calcula qué porcentaje de alumnos ha aprobado. Alumnos que han aprobado: 16 de 30 alumnos " 53,33% b) Halla la media aritmética de este conjunto de datos. Media aritmética: x=

1 ? 1 + 2 ? 3 + 3 ? 5 + 4 ? 5 + 5 ? 7 + 6 ? 4 + 7 ? 3 + 9 ? 1 + 10 ? 1 141 = 4,7 = 30 30

c) ¿Cuál es la mediana y la moda? Mediana = 5 Moda = 5


277995 _ 0416-0445.indd 445


445

11/07/11 13:51

El Libromedia Santillana El Libromedia Santillana es un producto pensado para introducir las TIC en el aula de una forma sencilla y eficaz. Su principal objetivo es acompañar al profesor paso a paso hacia la integración de los recursos digitales en la práctica docente, convirtiéndolos en una parte natural de la transmisión de conocimientos, la ejercitación y la evaluación. Este material se ha desarrollado teniendo en cuenta una premisa básica: que su manejo sea extraordinariamente sencillo, para que el profesor no tenga que concentrarse en el funcionamiento de los programas informáticos, sino que pueda centrar toda su atención en la marcha de la clase y en el trabajo de los alumnos. En el Libromedia encontrará una gran cantidad de recursos para utilizar en el aula: vídeos, presentaciones, esquemas interactivos, actividades… Todos ellos están íntimamente relacionados con los contenidos del libro del alumno y se pueden utilizar en las clases, sea cual sea su equipamiento informático:

ordenadores aislados, cañón de proyección, pizarras digitales, etc. El Libromedia está publicado en DVD y contiene una reproducción del libro del alumno, en la que podrá «navegar» por cada una de sus páginas. Dispone de: • Una barra de navegación que permite desplazarse por las páginas de las unidades y visualizar el producto de diferentes formas. Además, ofrece un sistema de ayuda. • Una barra de recursos mediante la que podrá seleccionar la unidad con la que desea trabajar, acceder a los diferentes recursos, tener acceso a páginas web, ampliar la cantidad de recursos digitales disponibles, etc. • Una barra de herramientas que permite adjuntar notas, subrayar textos, incluir archivos…, todo ello para personalizar el libro. Ofrece, además, unas herramientas específicas de cada área.

Tipos de recursos digitales El Libromedia Santillana pone a su disposición una gran variedad de elementos digitales entre los que destacan los siguientes tipos de recursos: • Vídeos. Se emplean, en unos casos, para dramatizar la lectura inicial de cada unidad, y en otros, para mostrar, simulando la explicación de un profesor sobre la pizarra, procedimientos y ejemplos que consideramos básicos en la unidad. • Actividades interactivas. Hay diversos tipos que se pueden emplear para repasar o para ampliar los contenidos. Cada actividad incluye su solución, lo que permite la autoevaluación y una retroalimentación inmediata. Algunas se presentan agrupadas, a fin de repasar de un modo más sistemático.

446 277995 _ 0446-0464.indd 446

• Animaciones. En ellas se expone información de modo visual. Se pueden emplear para apoyar las explicaciones del libro o, en ocasiones, para reemplazarlas. Algunas de ellas son ampliaciones de los contenidos, mientras que otras tienen un carácter más motivador, explicando algunos procesos relacionados con los contenidos de la unidad. • Esquemas de la unidad. Este recurso muestra, de un modo muy sintético, los principales contenidos de la unidad a partir de un esquema. • Vínculos en la web. Abren páginas web útiles para el trabajo en el aula o fuera de ella. En ocasiones están en inglés, lo que supone un apoyo para que los alumnos se familiaricen con el empleo de este idioma.


11/07/11 13:53

Relación de recursos digitales disponibles Unidad 1. Números enteros Título

Página asociada del libro del alumno

El año cero

6

Actividad interactiva

Comparación de números enteros

9


Operaciones con números enteros

13


Raíz cuadrada de números enteros

15

Vídeo

Resolver operaciones combinadas

16 y 20

Vídeo

Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo

19 y 21

Vídeo

Actividad interactiva Animación

Los números triangulares

27


29

LIBROMEDIA

Tipo de recurso

Unidad 2. Fracciones Tipo de recurso

Título

Vídeo Actividad interactiva


30

Fracciones equivalentes

33

Operaciones con fracciones Realizar operaciones combinadas con fracciones

Vídeo Actividad interactiva Animación

Alejandro Magno

Reducir fracciones a común denominador

Vídeo


34 y 40 37 39 y 41

Fracciones

47


49


277995 _ 0446-0464.indd 447

447 11/07/11 13:53

Unidad 3. Números decimales Tipo de recurso

Título

Vídeo

A lomos del viento

Vídeo

Determinar el tipo de número decimal que expresa una fracción

Actividad interactiva Vídeo

Página asociada del libro del alumno 50 53 y 60

Operaciones con números decimales

55

Calcular la raíz cuadrada de un número entero

56 y 61


Notación científica para números grandes

59


Construcción geométrica de la raíz cuadrada

67


69

Animación

Unidad 4. Sistema sexagesimal Tipo de recurso

Título


El amo de la Luna

70


Unidades de medida de ángulos y de tiempo

73

Vídeo

Transformar medidas de ángulos y tiempo expresadas en forma incompleja a compleja

75 y 80

Vídeo

Restar en el sistema sexagesimal

77 y 81

Vídeo


Operaciones en el sistema sexagesimal

79


Sistema sexagesimal

85


87

Animación

448 277995 _ 0446-0464.indd 448


14/07/11 13:40

Unidad 5. Expresiones algebraicas Título


El templo de Apis

88


Lenguaje algebraico

90


Monomios

93


Valor numérico de un polinomio

95

Vídeo

Vídeo

Multiplicar polinomios

97 y 102

Vídeo

Sacar factor común

99 y 103

Actividad interactiva Animación

Descubriendo fórmulas matemáticas

107


109

LIBROMEDIA

Tipo de recurso

Unidad 6. Ecuaciones de primer y segundo grado Tipo de recurso

Título


París bien vale una misa

110


Identidad y ecuación

112


Resolución de ecuaciones de primer grado

115

Vídeo

Resolver un problema mediante una ecuación de primer grado


Resolver ecuaciones de segundo grado


Ecuaciones de segundo grado

117 y 123 119 121 y 122

Buscando el error

129


131


277995 _ 0446-0464.indd 449

449 11/07/11 13:53

Unidad 7. Sistemas de ecuaciones Tipo de recurso

Título


Vídeo

Gabriel & Giovanni

132


Ecuaciones lineales

135


Sistemas de ecuaciones lineales

137

Vídeo Actividad interactiva Vídeo Actividad interactiva Animación

Resolver un sistema de ecuaciones por el método de sustitución

138 y 144

Resolución de sistemas de ecuaciones

141

Resolver problemas con sistemas

143 y 145

Buscando el error

149


151

Unidad 8. Proporcionalidad numérica Tipo de recurso

Vídeo Actividad interactiva Vídeo

Título


Cuando el verde es rojo

152

Término desconocido de una proporción

155

Resolver problemas mediante reglas de tres simples directas

157 y 164


Problemas de proporcionalidad inversa

159


Porcentajes

160

Vídeo

Hallar el término desconocido en un problema de porcentaje

162 y 165


La velocidad y el tiempo, magnitudes inversas

171


173

Animación

450 277995 _ 0446-0464.indd 450


11/07/11 13:53

Unidad 9. Proporcionalidad geométrica Título

Vídeo

La llave de la Ciudad Prohibida

Vídeo

Calcular la longitud de un segmento utilizando el teorema de Tales



Aplicaciones del teorema de Tales

178


Criterios de semejanza de triángulos

180


Polígonos semejantes

182

Determinar una longitud en un mapa conociendo la escala

Vídeo

185 y 187


Proporcionalidad geométrica

193

Animación


195

LIBROMEDIA

Tipo de recurso

Unidad 10. Figuras planas. Áreas Tipo de recurso

Título


El regalo

196

Teorema de Pitágoras

198

Utilizar el teorema de Pitágoras para calcular el lado de un polígono

Vídeo


200 y 210


Área de polígonos

203


Longitud de la circunferencia

205

Calcular el área de una figura plana


206 y 211

Visualización del teorema de Pitágoras

217


219


277995 _ 0446-0464.indd 451

451 11/07/11 13:53

Unidad 11. Cuerpos geométricos Tipo de recurso

Título


El centro del universo

220


Rectas y planos en el espacio

222

Vídeo

Calcular el área de un poliedro

225 y 235

Vídeo

Actividad interactiva Vídeo

Área de poliedros

227

Obtener el desarrollo plano de cuerpos de revolución

229 y 234


Área de cuerpos de revolución

233


Cuerpos geométricos

241


243

Animación

Unidad 12. Volumen de cuerpos geométricos Tipo de recurso

Título

Vídeo

El saqueo de Siracusa

Vídeo

Transformar unidades de volumen



Relación entre las unidades de volumen, capacidad y masa

248


Volumen de prismas y conos

251


452 277995 _ 0446-0464.indd 452

Calcular el volumen de un cuerpo geométrico

252 y 255

Volumen de cuerpos geométricos

259


261


11/07/11 13:53

Unidad 13. Funciones Título


Vídeo

El genio y la espada

262


Concepto de función

265

Determinar las coordenadas de un punto que pertenece a una función

Vídeo

267 y 274


Puntos de corte con los ejes

269


Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos

271

Representar gráficamente una función de proporcionalidad directa


272 y 275

Explorando la proporcionalidad

281


283

LIBROMEDIA

Tipo de recurso

Unidad 14. Estadística Tipo de recurso

Título


La Pax Augusta

284

Tipos de variables

286

Construir tablas de frecuencias

Vídeo


289 y 296


Diagramas de barras

290


Diagramas de sectores

292

Calcular las medidas de centralización


295 y 297

¿A qué número apostar?

301


303


277995 _ 0446-0464.indd 453

453 11/07/11 13:53

Cuerpos geométricos DESARROLLO DEL CUBO O HEXAEDRO

454 277995 _ 0446-0464.indd 454


11/07/11 13:53


DESARROLLO DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

DESARROLLO DEL ORTOEDRO O PRISMA CUADRANGULAR RECTO


277995 _ 0446-0464.indd 455

455 11/07/11 13:53

Cuerpos geométricos DESARROLLO DEL PRISMA HEXAGONAL RECTO

456 277995 _ 0446-0464.indd 456


11/07/11 13:53



DESARROLLO DE LA PIRÁMIDE CUADRANGULAR RECTA


277995 _ 0446-0464.indd 457

457 11/07/11 13:53

Cuerpos geométricos DESARROLLO DE LA PIRÁMIDE HEXAGONAL RECTA

458 277995 _ 0446-0464.indd 458


11/07/11 13:53



DESARROLLO DEL CILINDRO


277995 _ 0446-0464.indd 459

459 11/07/11 13:53

Cuerpos geométricos DESARROLLO DEL CONO

460 277995 _ 0446-0464.indd 460


11/07/11 13:53



DESARROLLO DEL DODECAEDRO


277995 _ 0446-0464.indd 461

461 11/07/11 13:53

Y ahora... practica (Soluciones) UNIDAD 1 1. a) 74

UNIDAD 5 b) No se puede.

c) 72

2. Múltiplos de 13: 13, 26, 39, 52, ... Div (13) = {1, 13} 3. a) 625 b) 625 4. a) 38

c) 125 d) -125 b) No se puede.

5. 12 6. a) 2 ? 11 3

b) 22 ? 3 ? 7 5

c) 2

d) 2 ? 7 ? 11 e) 7 ? 13 f) 22 ? 32 ? 7

7. a) m.c.d. (8, 20, 42) = 2 m.c.m. (8, 20, 42) = 23 ? 3 ? 7 ? 5 = 840 b) m.c.d. (18, 20, 42) = 3 m.c.m. (18, 20, 42) = 25 ? 32 ? 5 = 1 440 UNIDAD 2 1. 3 ? 7 ! 5 ? 4. No son equivalentes. 7 2 125 3. 343

7 7 y9 9

5 2

5. Respuesta abierta. Por ejemplo:

10 2 4 = = 45 9 18

6.

187 60

7.

2 1 = 28 14

6 60 12 = = 24 48 240

2. 6,1101 3. Decimal exacto 4. Raíz: 11

Resto: 21

b) 11,91

5. 2° 57l 50m 6. 31° 19l 0m 7. 4° 40l 4m

462 277995 _ 0446-0464.indd 462

7. a) 3xy ? (3x 2 - 4xy - 6y 2) b) 3xy 2 ? (-1 + 6x + 9x 3y)

UNIDAD 6 1. Primer miembro: -2x 2y + 5xy Segundo miembro: 10 Términos: -2x 2y, 5xy, 10 2. Respuesta abierta. Por ejemplo: er De 1. grado: 3x + 5 = 2x De 2.° grado completa: 2x 2 - 3x + 7 = 0 De 2.° grado incompleta (b = 0): 5x 2 - 7 = 0 De 2.° grado incompleta (c = 0): 2x 2 - 3x = 0 19 13

b) x = 6

1 2

7. a) x1 y x2 son solución. b) x1 es solución y x2 no es solución. 8. Los números son 5, 6 y 7. UNIDAD 7 1. a) x e y b) Coeficientes de x: 2, -1 Coeficientes de y: 1, 2 Términos independientes: 10, 5 2. Respuesta abierta, por ejemplo:

UNIDAD 4

4. 61° 11l 5m

6. 6a - 3b + 2

6. x = 0, x =

1. Decimal exacto: b) y f) Periódico puro: d) Periódico mixto: a) y c) Decimal no exacto y no periódico: e)

3. 1 h 0 min 20 s

5. a) x 7 - 2x 6 - 5x 4 + 11x 3 - 5 b) 2x 4 - 13x 3 + 21x 2 + 14x - 49

5. x = 6, x = -2

UNIDAD 3

2. 146 440m

4. a) 7x 4 - 2x 3 + 5x 2 + 3x + 8 b) 3x 5 - x 3 - 6x 2 + 12x + 6 c) 5x 4 + 14x - 11

4. x = 10, x = -10

9. 9

1. a) 37°

3. a) 7x 4 + 5x 2 - 3x - 6 b) 3x 5 + x 4 - 8x 2 + 10x - 1 c) 3x 5 - x 4 + 3x 3 - x 2 + 1

3. a) x = -

15 3 = 8. 2 10

5. a) 11,9

2. a) x 6 + 14x 4 + 49x 2 b) x 4 - 8x 5 + 16x 6 c) 4x 4 - x 2

8. a) (2x - 5)2 b) (6 - x) ? (6 + x)

2. -

4.

c) 54

1. Respuesta abierta. Por ejemplo: Monomios: 2x 2; 3ab Polinomios: 3x 2 - 1; 2ab - b

3x - y = 5 3 2x + 3y = 8

b) 61 200 s 3. x = 4, y = 3 4. 12 - x = 2x

5. Sumamos las ecuaciones, porque los coeficientes de la y son opuestos. 6. x + y = 25 3 x-y = 5 ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

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UNIDAD 8

UNIDAD 12

1. a) La constante de proporcionalidad directa es 0,2.

1. 28 cm3

A

1

3

2

-5

10

-3

15

B

5

15

10

-25

50

-15

75

2. 2 dam3 = 2 000 000 dm3 420 m3 = 420 000 dm3 3. Caben 25 jeringuillas.

b) La constante de proporcionalidad inversa es 160. A

1

4

40

160

2

10

5

B

160

40

4

1

80

16

32

2. 56,25 kilogramos de almendras 3. 9 horas

4. Volumen de la pirámide: 16 cm3 Volumen del prisma: 48 cm3 5. Radio de la esfera: 3,3 cm Radio de la circunferencia de la base: 5,37 cm UNIDAD 13

4. 64 vacas

1. (-4, 5) está en el segundo cuadrante y (-5, -8), en el tercero.

5. 20 días 6. 80 %

2. f (-2) = -8

7. 15,75 €

3. No pertenece.

UNIDAD 9

4. La función es continua.

1. BC = 4,5 cm OAl = 0,67 cm

5. La función y = 2x - 1 no es de proporcionalidad directa. 6. No cumple la condición b).

2. x = 3 cm

UNIDAD 14

3. x = 5 cm 4. Sí, dos cuadrados son siempre semejantes. 5. 4,5 cm

1. Población: Todas las viviendas de la ciudad. Muestra: Un número de viviendas elegidas al azar. 2. Respuesta abierta. Por ejemplo: • Cualitativa: color del pelo, comida para desayunar. • Cuantitativa discreta: número de libros en la mochila, número de veces que se va al cine en un mes. • Cuantitativa continua: altura de los alumnos, litros de agua que se beben en un día.

6. 1 : 1 200 000 7. 350 km UNIDAD 10 1. 7,5 cm2 2. 50,24 cm2

3.

3. 20 cm

7 = 0,35 20

4. 4,24 cm

4. Es el gráfico del apartado a).

5. 6,92 cm2

5.

6. 44 cm

36°

18°

2

7. 24 cm2

0

3

1

4

90°

90°

8. 8 cm2 126°

9. 3,44 cm2 UNIDAD 11

2

6. La respuesta falsa es la b), y la mediana es 2.

1. Tetraedro: 4 + 4 = 6 + 2 Se cumple para los dos.

Cubo: 6 + 8 = 12 + 2

2. 24 cm 3. r

4. 0,87 cm 5. AL = 63,5 cm2 AT = 105,07 cm2 6. AL = 25,12 cm2 AT = 37,68 cm2 ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

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Dirección de arte: José Crespo Proyecto gráfico: Portada: Pep Carrió Ilustración: José María Valera Fotografía de cubierta: Antonio Fernández Jefa de proyecto: Rosa Marín Coordinación de ilustración: Carlos Aguilera Jefe de desarrollo de proyecto: Javier Tejeda Desarrollo gráfico: Rosa María Barriga, José Luis García, Raúl de Andrés Dirección técnica: Ángel García Encinar Coordinación técnica: Lourdes Román Confección y montaje: Fernando Calonge, Luis González, Marisa Valbuena Corrección: Livia Villaluenga, Nuria del Peso Documentación y selección fotográfica: Nieves Marinas Fotografías: C. Jiménez/photoAlquimia; D. Serra; GARCÍA-PELAYO/Juancho; GOYENECHEA; J. C. Muñoz; J. Jaime; J. Lucas; J. M.ª Escudero; J. Soler; J. V. Resino; KAIBIDE DE CARLOS FOTÓGRAFOS; Krauel; Michele di Piccione; P. Esgueva; Prats i Camps; R. F. Verdejo; COMSTOCK; CONTIFOTO/SYGMA/F. Soltan; DIGITALVISION; EFE/David de la Paz, ERL/SIPA ICONO; EFE/SIPA-PRESS/SIPA SPORT/SPLIT SECOND; ESTOP FOTOS AÉREAS; GETTY IMAGES SALES SPAIN/Photos.com Plus; HIGHRES PRESS STOCK/AbleStock.com; I. Preysler; J. M.ª Barres; JOHN FOXX IMAGES; MUSEUM ICONOGRAFÍA/J. Martin; ROGER-VIOLLET; IOC/R. Juilliart; BIBLIOTECA NACIONAL DE ESPAÑA/Laboratorio Biblioteca Nacional; J. Gómez; J. L. Ferrer; MATTON-BILD; PHILIPS; SERIDEC PHOTOIMAGENES CD; Sociedad Madrileña de Profesores de Matemáticas; THE BRITISH MUSEUM, LONDON; ARCHIVO SANTILLANA

© 2011 by Santillana Educación, S. L. Torrelaguna, 60. 28043 Madrid PRINTED IN SPAIN Impreso en España por

ISBN: 978-84-680-0020-6 CP: 277995 Depósito legal:

La presente obra está protegida por las leyes de derechos de autor y su propiedad intelectual le corresponde a Santillana. A los legítimos usuarios de la misma solo les está permitido realizar fotocopias para su uso como material de aula. Queda prohibida cualquier utilización fuera de los usos permitidos, especialmente aquella que tenga fines comerciales.

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2 ESO Santillana Recursos

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