I° medio Matemática 2010 Santillana Bicentenario Docente

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Guía para el profesor

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El material didáctico Guía para el Profesor, Matemática 1, Proyecto Bicentenario, para Primer Año de Educación Media, es una obra colectiva, creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección general de MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA

Coordinación de proyecto Jefatura de área Edición

Ana María Anwandter Rodríguez Marcia Villena Ramírez María Antonieta Santis Ávalos

Asistente de edición

Pedro Rupin Gutierrez - Gerardo Muñoz Díaz

Autores Guía para el profesor

Jorge Bozt Ortiz - Fernando Mundaca Pacheco

Autores Texto para el alumno

Ángela Baeza Peña - María del Pilar Blanco Casals Jorge Bozt Ortiz - Felipe Calderón Concha María José García Zattera - Marcela Guerra Noguera Pedro Rupin Gutiérrez - Patricia Urzúa Figueroa - Pablo Jorquera Rozbaczylo

Corrección de estilo Documentación

Astrid Fernández Bravo - Isabel Spoerer Varela Paulina Novoa Venturino - María Paz Contreras Fuentes

La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de VERÓNICA ROJAS LUNA Con el siguiente equipo de especialistas: Coordinación Gráfica Diseño y diagramación Cubierta Producción

Carlota Godoy Bustos Ximena Moncada Lomeña - Teresa Serrano Quevedo La Práctica S.P.A. Germán Urrutia Garín

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

SANTILLANA® es una marca registrada de Grupo Santillana de Ediciones, S.L. Todos los derechos reservados.

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Índice Presentación Ejes del proyecto Bicentenario

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Organización de la Guía para el Profesor

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Correspondencia del texto con el Ajuste Curricular Objetivos Fundamentales

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Contenidos Mínimos Obligatorios

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Objetivos Fundamentales Transversales

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Sugerencias metodológicas Unidad 1: Números racionales y potencias

14

Unidad 2: Factores y productos

34

Unidad 3: Transformaciones isométricas en el plano cartesiano

54

Unidad 4: Funciones lineal y afín

76

Unidad 5: Congruencia de figuras planas

94

Unidad 6: Estadística

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Unidad 7: Combinatoria y probabilidades

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Presentación El proyecto Bicentenario, de Editorial Santillana, presenta una propuesta didáctica destinada a cubrir todos los requerimientos del Ministerio de Educación. Bicentenario representa una enriquecedora instancia para evocar nuestro pasado y recoger las experiencias vividas por la nación en doscientos años de vida republicana. A su vez, constituye un espacio abierto de debate y reflexión para crear, innovar y proyectar con liderazgo el futuro que hoy se construye en nuestras aulas. El material didáctico que constituye esta serie busca fomentar en los y las estudiantes la comprensión y valoración del mundo en que viven, a través del modelamiento de situaciones y fenómenos, como también la construcción de conceptos, procedimientos, estrategias de razonamiento y resolución de problemas. También pretende promover una actitud creativa y crítica, y capacidad de resolver problemas, formular conjeturas, verificar la validez de afirmaciones, procedimientos y relaciones, así como lo concerniente a la demostración en matemática y la abstracción y su expresión en el lenguaje simbólico.1 La propuesta editorial contempla el Texto del alumno, el Taller de matemática, la Guía para el profesor y los Recursos digitales. Ejes del proyecto Bicentenario 1. Incorporación de los ajustes curriculares La serie Bicentenario ha sido creada acorde con los Ajustes Curriculares aprobados y publicados en junio de 2009, por tanto aborda los nuevos requerimientos relacionados con los Objetivos Fundamentales, Contenidos Mínimos Obligatorios y Objetivos Fundamentales Transversales. El propósito de esta nueva propuesta para el sector de Matemática es acercar a los y las estudiantes hacia la comprensión del mundo natural y tecnológico, basándose en el conocimiento proporcionado por la matemática. Se pretende que todos los alumnos y alumnas logren, en su formación general, una educación matemática básica que les entregue las herramientas que necesitan para responder y resolver situaciones provenientes de los más variados ámbitos (matemático, ciencias naturales, sociales, del arte y tecnología).2 Esta perspectiva se expresa en los Objetivos Fundamentales y los Contenidos Mínimos Obligatorios, orientados hacia un aprendizaje contextualizado del conocimiento matemático relevante para todos.

1

Mineduc. Fundamentos del Ajuste Curricular en el sector de Matemática. Unidad de Currículum y Evaluación. Marzo, 2009. 2 Ídem.

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En este contexto, el subsector de Matemática ha quedado estructurado en torno a cuatro ejes temáticos fundamentales y un eje transversal, estos son: 1. Números

2. Álgebra

3. Geometría

4. Datos y azar

Razonamiento matemático 2. Evaluación permanente y explícita En los textos del proyecto Bicentenario, la evaluación se ha ido desarrollando en diversos momentos y con distintas intencionalidades a lo largo de cada una de las unidades, con el propósito de obtener información sobre la calidad de los aprendizajes logrados. En este sentido, se incluyen evaluaciones diagnóstica, formativa (Ejercicios resueltos, Preparando la PSU y Preparando el SIMCE) y sumativa. Cada evaluación cuenta con su correspondiente pauta de corrección, con indicadores, criterios y actividades remediales y de profundización, estas últimas permiten atender a la diversidad de estilos y ritmo de aprendizaje de los y las estudiantes. Los tipos de evaluaciones que encontrará en el texto se detallan a continuación. Evaluación diagnóstica. Se presenta al inicio de cada unidad para identificar los conocimientos previos con los cuales los estudiantes se enfrentarán a los nuevos aprendizajes y permite detectar falencias que pudieran entorpecer el logro de aprendizajes más complejos. La intencionalidad de esta evaluación es de carácter formativa. Evaluación de proceso. Este tipo de evaluación se trabaja en las páginas de Ejercicios resueltos, Preparando el SIMCE y Preparando la PSU (incorpora autoevaluación), presentes en cada unidad y, dado su carácter formativo, permitirá al estudiante retroalimentar su desempeño y, al docente, realizar a tiempo las modificaciones necesarias para mejorar el logro de los aprendizajes. Evaluación final. Su carácter es sumativo, pues entrega información acerca del nivel de logro alcanzado respecto de los aprendizajes esperados al término de la unidad, dando la posibilidad de reforzar los aprendizajes más débiles. Además, presenta ejercicios de refuerzo y profundización, atendiendo a las distintas necesidades del grupo curso. 3. Innovación en el diseño La propuesta gráfica pone énfasis en los recursos gráficos, como infografías, ilustraciones, fotografías, esquemas, entre otros; con el propósito de apoyar la labor docente, al favorecer la construcción de aprendizajes a partir de la comprensión visual. 4. Incorporación de las TIC Con el objetivo de responder a la amplia gama de recursos tecnológicos y para atender la cobertura de alfabetización digital, se han introducido nuevos métodos de enseñanza-aprendizaje que contemplan el uso de las TIC como instrumento cognitivo y para la realización de actividades interdisciplinarias y colaborativas. Los recursos digitales que contempla el proyecto son tres discos compactos que contienen: el libro del alumno digital, videos tutoriales que muestran al docente cómo utilizar herramientas digitales y la guía didáctica en formato PDF.

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Organización de la Guía para el Profesor La Guía para el Profesor del texto Matemática 1, proyecto Bicentenario, es un material creado por Editorial Santillana como apoyo al proceso de enseñanza y aprendizaje para el subsector de Matemática. Esta guía incorpora material concreto de apoyo a la labor docente a través de diversos elementos que se desarrollan en sus páginas. A continuación encuentra un esquema de los distintos tipos de páginas y sus contenidos. 1. Páginas de inicio Se incluyen sugerencias para trabajar las páginas de inicio y orientaciones que ayuden al docente a activar los conocimientos previos, motivar el trabajo de la unidad y profundizar en temáticas relevantes para la comprensión de la unidad.

Presentación de la unidad. Describe en un pequeño párrafo el propósito de la unidad.

2. Páginas de orientaciones didácticas Evaluación diagnóstica. Se sugieren actividades de reforzamiento o remediales para los alumnos y alumnas que no lograron el aprendizaje deseado.


Sugerencias metodológicas. Para cada tema de la unidad se plantean sugerencias didácticas para que el docente trabaje con sus alumnos y alumnas. Estas pueden ser orientaciones respecto del contenido, actividades, preconceptos, entre otros.

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Ampliación de contenidos. Esta sección tiene como finalidad complementar algún tema desarrollado en la unidad, a modo de profundización. Como también, tratar algún contenido no revisado en la unidad en el cual el(la) docente sea quien decida, según las necesidades de su grupo curso, revisar con ellos el contenido ampliado.

Sugerencias o remediales. Esta sección tiene como finalidad profundizar en algún tema desarrollado en la unidad o que los complementa. Profundización de contenidos. Contiene ejercicios tipo que permiten profundizar en algún tema desarrollado en la unidad o que los complementa. Cada ejercicio viene con solución.

Fichas de trabajo. Material didáctico con diferentes actividades y recursos de aprendizaje destinados a reforzar y profundizar los contenidos y habilidades trabajados en cada unidad.

Prueba de la unidad. A fin de evaluar los aprendizajes alcanzados por sus alumnos(as), le presentamos una evaluación de término con distintos tipos de ítems y recursos, acordes con las habilidades y contenidos trabajados en la unidad. Además, se incluyen ejercicios PSU relacionados con el tema tratado.

Solucionario. Incluye las respuestas de todas las fichas y evaluación incluidas en la Guía para el profesor.

Bibliografía. Corresponde a un conjunto de sugerencias de libros y sitios webs, relacionados con los contenidos de la unidad y que pueden ser consultados para incorporarlos al trabajo con los(as) estudiantes o profundizar en el conocimiento de determinados temas.

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Correspondencia del texto del alumno con el Ajuste Curricular En las páginas siguientes se exponen los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios propuestos en el Ajuste Curricular, publicado en junio de 2009, correspondiente al subsector Matemática y su correspondencia con las unidades del Texto del estudiante.

OBJETIVOS FUNDAMENTALES UNIDADES TEXTO 1

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1. Comprender que los números racionales constituyen un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen solución en los números enteros y caracterizarlos como aquellos que pueden expresarse como un cuociente de dos números enteros con divisor distinto de cero.

2. Representar números racionales en la recta numérica, usar la representación decimal y de fracción de un racional justificando la transformación de una en otra, aproximar números racionales, aplicar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con números racionales en situaciones diversas y demostrar algunas de sus propiedades.

3. Comprender el significado de potencias que tienen como base un número racional y exponente entero y utilizar sus propiedades.

4. Transformar expresiones algebraicas no fraccionarias utilizando diversas estrategias y utilizar las funciones lineales y afines como modelos de situaciones o fenómenos y representarlas gráficamente en forma manual o usando herramientas tecnológicas. 5. Identificar regularidades en la realización de transformaciones isométricas en el plano cartesiano, formular y verificar conjeturas respecto de los efectos de la aplicación de estas transformaciones sobre figuras geométricas. 6. Comprender los conceptos y propiedades de la composición de funciones y utilizarlos para resolver problemas relacionados con las transformaciones isométricas. 7. Conocer y utilizar conceptos y propiedades asociados al estudio de la congruencia de figuras planas, para resolver problemas y demostrar propiedades.


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8. Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante gráficos que se obtienen desde tablas de frecuencia, cuyos datos están agrupados en intervalos.

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9. Obtener la cardinalidad de espacios muestrales y eventos, en experimentos aleatorios finitos, usando más de una estrategia y aplicarlo al cálculo de probabilidades en diversas situaciones.

10. Comprender la relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño extraídas de dicha población.

11. Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central, aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando.

12. Seleccionar la forma de obtener la probabilidad de un evento, ya sea en forma teórica o experimentalmente, dependiendo de las características del experimento aleatorio. 13. Aplicar modelos lineales que representan la relación entre variables, diferenciar entre verificación y demostración de propiedades y analizar estrategias de resolución de problemas de acuerdo con criterios definidos, para fundamentar opiniones y tomar decisiones.

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CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS UNIDADES TEXTO 1 1. Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar el conjunto de los números enteros al conjunto de los números racionales y caracterización de estos últimos.

2. Representación de números racionales en la recta numérica, verificación de la cerradura de la adición, sustracción, multiplicación y división en los racionales y verificación de la propiedad: “entre dos números racionales siempre existe otro número racional”.

3. Justificación de la transformación de números decimales infinitos periódicos y semiperiódicos a fracción.

4. Sistematización de procedimientos de cálculo escrito y con ayuda de herramientas tecnológicas de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con números racionales y su aplicación en la resolución de problemas.

5. Aproximación de racionales a través del redondeo y truncamiento, y reconocimiento de las limitaciones de la calculadora para aproximar decimales.

6. Extensión de las propiedades de potencias al caso de base racional y exponente entero y aplicación de ellas en diferentes contextos.

7. Resolución de problemas en contextos diversos que involucran números racionales o potencias de base racional y exponente entero, enfatizando el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.

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8. Establecimiento de estrategias para transformar expresiones algebraicas no fraccionarias en otras equivalentes, mediante el uso de productos notables y factorizaciones.

9. Resolución de problemas cuyo modelamiento involucre ecuaciones literales de primer grado.

10. Análisis de las distintas representaciones de la función lineal, su aplicación en la resolución de diversas situaciones problema y su relación con la proporcionalidad directa.

11. Estudio de la composición de funciones, análisis de sus propiedades y aplicación a las transformaciones isométricas.

12. Uso de un software gráfico en la interpretación de la función afín, análisis de las situaciones que modela y estudio de las variaciones que se producen por la modificación de sus parámetros.


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13. Identificación del plano cartesiano y su uso para representar puntos y figuras geométricas manualmente y haciendo uso de un procesador geométrico.

14. Notación y representación gráfica de vectores en el plano cartesiano y aplicación de la suma de vectores para describir traslaciones de figuras geométricas.

15. Formulación de conjeturas respecto de los efectos de la aplicación de traslaciones, reflexiones y rotaciones sobre figuras geométricas en el plano cartesiano y verificación, en casos particulares, de dichas conjeturas mediante el uso de un procesador geométrico o manualmente.

16. Relación del concepto de congruencia de figuras planas con las transformaciones isométricas, formulación y verificación de conjeturas, en casos particulares, acerca de criterios de congruencia en triángulos y utilización de estos criterios en la resolución de problemas y en la demostración de propiedades en polígonos.

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17. Obtención de información a partir del análisis de los datos presentados en histogramas, polígonos de frecuencia y de frecuencias acumuladas, considerando la interpretación de medidas de tendencia central y posición.

18. Organización y representación de datos, extraídos desde diversas fuentes, usando histogramas, polígonos de frecuencia y frecuencias acumuladas, construidos manualmente y con herramientas tecnológicas.

19. Análisis de una muestra de datos agrupados en intervalos, mediante el cálculo de medidas de tendencia central (media, moda y mediana) y medidas de posición (percentiles y cuartiles), en diversos contextos y situaciones.

20. Uso de técnicas combinatorias para resolver diversos problemas que involucren el cálculo de probabilidades.

21. Utilización y establecimiento de estrategias para determinar el número de muestras de un tamaño dado, que se puedan extraer desde una población de tamaño finito, con y sin reemplazo.

22. Formulación y verificación de conjeturas, en casos particulares, acerca de la relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño extraídas de dicha población, con y sin reemplazo.

23. Resolución de problemas en contextos de incerteza, aplicando el cálculo de probabilidades mediante el modelo de Laplace o frecuencias relativas, dependiendo de las condiciones del problema.

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Objetivos Fundamentales Transversales Los Objetivos Fundamentales Transversales tienen un carácter comprensivo y general orientado al desarrollo personal, a la conducta moral y social de los y las estudiantes, y deben ser desarrollados en las diversas actividades a lo largo de todo el período de escolaridad. Estos objetivos tienen por finalidad la formación de valores fundamentales, desarrollar habilidades para manejar el “mundo digital”, para desenvolverse en él en forma competente, y desarrollar en los y las estudiantes una actitud reflexiva y crítica, que les permita comprender y participar activamente, como ciudadanos, en el cuidado y reforzamiento de la identidad nacional y la integración social, y en la solución de los múltiples problemas que enfrenta la sociedad moderna.3

UNIDADES TEXTO

DEL

ALUMNO

En el ámbito del crecimiento y la autoafirmación personal, se debe promover: 1

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• El conocimiento de sí mismo, de las potencialidades y limitaciones de cada uno.

• El interés por conocer la realidad y utilizar el conocimiento.

• Las de investigación, que tienen relación con identificar, procesar y sintetizar información de una diversidad de fuentes; organizar información relevante acerca de un tópico o problema; revisar planteamientos a la luz de nuevas evidencias y perspectivas; suspender los juicios en ausencia de información suficiente.

• Las comunicativas, que se vinculan con exponer ideas, opiniones, convicciones, sentimientos y experiencias de manera coherente y fundamentada, haciendo uso de diversas y variadas formas de expresión.

• Las de resolución de problemas, que se ligan tanto con habilidades que capacitan para el uso de herramientas y procedimientos basados en rutinas, como con la aplicación de principios, leyes generales, conceptos y criterios; estas habilidades deben facilitar el abordar, de manera reflexiva y metódica y con una disposición crítica y autocrítica, tanto situaciones en el ámbito escolar como las vinculadas con la vida cotidiana a nivel familiar, social y laboral;

• Las de análisis, interpretación y síntesis de información y conocimiento, conducentes a que los alumnos y alumnas sean capaces de establecer relaciones entre los distintos sectores de aprendizaje; de comparar similitudes y diferencias; de entender el carácter sistémico de procesos y fenómenos; de diseñar, planificar y realizar proyectos; de pensar, monitorear y evaluar el propio aprendizaje; de manejar la incertidumbre y adaptarse a los cambios en el conocimiento.

En el ámbito del desarrollo del pensamiento, se debe promover habilidades transversales:

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En el ámbito de la formación ética, se debe promover los siguientes aprendizajes: • Valorar el carácter único de cada persona y, por lo tanto, la diversidad de modos de ser.

• Respetar y valorar las ideas y creencias distintas de las propias, en los espacios escolares, familiares y comunitarios, con sus profesores, familia y pares, reconociendo el diálogo como fuente permanente de humanización, de superación de diferencias y de acercamiento a la verdad.

• Reconocer la importancia del trabajo –manual e intelectual– como forma de desarrollo personal, familiar, social y de contribución al bien común. Valorar la dignidad esencial de todo trabajo, y el valor eminente de la persona que lo realiza. Valorar sus procesos y resultados con criterios de satisfacción personal y sentido de vida, calidad, productividad, innovación, responsabilidad social e impacto sobre el medio ambiente;

• Conocer y valorar los actores, la historia, las tradiciones, los símbolos, el patrimonio territorial y cultural de la nación, en el contexto de un mundo crecientemente globalizado e interdependiente, comprendiendo la tensión y la complementariedad que existe entre ambos planos.

• Comprender y valorar la perseverancia, el rigor y el cumplimiento, por un lado, y la flexibilidad, la originalidad, la aceptación de consejos y críticas y el asumir riesgos, por el otro, como aspectos fundamentales en el desarrollo y la consumación exitosa de tareas y trabajos.

• Desarrollar la iniciativa personal, la creatividad, el trabajo en equipo, el espíritu emprendedor y las relaciones basadas en la confianza mutua y responsable.

• Buscar y acceder a información de diversas fuentes virtuales, incluyendo el acceso a la información de las organizaciones públicas.

• Utilizar aplicaciones para representar, analizar y modelar información y situaciones para comprender y/o resolver problemas.

• Hacer un uso consciente y responsable de las tecnologías de la información y la comunicación.

En el ámbito de la persona y su entorno, se deben afianzar los siguientes aprendizajes:

En el ámbito de tecnologías de información y comunicación, se deben promover las siguientes habilidades:

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Páginas de inicio (Páginas 8 y 9)

Presentación de la unidad Históricamente, el estudio de los números nos sorprende por la amplia posibilidad de relacionar sus patrones y regularidades con múltiples situaciones y fenómenos cotidianos. Sin embargo, en determinadas ocasiones es necesario ampliar los límites de cada conjunto numérico para modelar y representar matemáticamente estas situaciones y fenómenos. Así, surge la necesidad de trabajar con el conjunto de los números racionales y sus propiedades. Antes de comenzar la unidad, es importante revisar el fichero que se encuentra al final del texto del alumno, para evaluar si es necesario repasar contenidos previos.

Sugerencias metodológicas Los fractales son figuras que presentan determinadas regularidades a distintas escalas producto de iteraciones de un proceso geométrico elemental. La unidad se inicia con el fractal conocido como la alfombra de Sierpinski, el cual se va formando con la división constante de un cuadrado que se divide en nueve partes iguales, pintando, en cada paso, el cuadrado del centro y, fraccionando los cuadrados “del borde” en nueve partes iguales nuevamente, y así sucesivamente.


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UNIDAD 1 | Números racionales y potencias

Sugerencias para la actividad La actividad propuesta se enfoca en el cálculo del área y el perímetro de las figuras que resultan en cada paso de la formación de este fractal. La idea es determinar la multiplicación sucesiva de la medida del lado de la figura inicial por una potencia cuya base corresponde a un número racional. Si a los alumnos(as) les dificulta poder encontrar la secuencia de formación de este fractal, se sugiere cambiar la medida del lado del cuadrado inicial por un número entero o natural. Luego, una vez encontrada la secuencia de formación, utilizar el número racional de la actividad y generalizar. Un fractal de características similares en su construcción y resultados aritméticos es la curva de Koch, el cual puede trabajarse como una actividad alternativa o complementaria a la ya propuesta. Para más información de este último fractal ingrese a las siguientes páginas web: • www.sectormatematica.cl/fractales.html • http://mosaic.uoc.edu/practicas/MatematicasII/asanchezfo_PAC1/fractales/web/fractales_koch.htm

Evaluación diagnóstica (Páginas 10 y 11) Sugerencias o remediales • Para el indicador Resolver problemas que involucren ordenar y operar con números decimales y fracciones: es posible que en la resolución surjan dificultades de tipo conceptual. Se sugiere al docente trabajar la operatoria con números decimales y fracciones, repasar conceptos de amplificación, simplificación y el cálculo del mínimo común múltiplo. Por otra parte, la recta numérica puede ser utilizada como recurso gráfico para repasar el orden en los números y establecer las comparaciones pertinentes. Si existen dificultades en los ejercicios 7, 14 ó 15, en los cuales se trabaja el concepto parte-todo, se sugiere realizar ejercicios que impliquen calcular “lo que sobra” o “lo que falta” de una cantidad con relación a una fracción. • En el indicador Modelar situaciones a través de potencias y aplicar sus propiedades para el cálculo de ellas: los ejercicios se pueden trabajar de manera alternativa mediante la relación entre el plegado en un papel y las regiones resultantes. Se sugiere también la representación mediante un diagrama de árbol para visualizar la extensión del resultado de una potencia de base natural. En lo que respecta a la operatoria, pueden utilizarse los paréntesis para determinar la prioridad entre las operaciones de multiplicación y de adición. • Para el indicador Comprender el conjunto numérico de los números enteros y aplicarlo en la resolución de problemas: recordar a los(as) alumnos(as) que el conjunto de los números enteros permite resolver ecuaciones que no tenían solución en los números naturales. Los conceptos de orden y valor absoluto pueden ser repasados utilizando la recta numérica. También es necesario repasar la regla de los signos, para esto, se sugiere utilizar regularidades, por ejemplo: 3 · 2; 3 · 1, 3 · 0, 3 · (–1), 3 · (–2), etc.

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Números racionales (Páginas 12 y 13) De acuerdo con el Ajuste Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) comienzan a trabajar con números decimales y fracciones a partir de 4° Básico: lectura y escritura de estos, las cuatro operaciones aritméticas y la resolución de problemas. Así, estas páginas cumplen una doble misión: por un lado, pretenden organizar y esquematizar los distintos conjuntos numéricos que los(as) alumnos(as) han aprendido hasta este nivel; y por otro, entregar una definición formal del conjunto de los números racionales. Además, se hace mención de que existen números que no son racionales, ya que los(as) alumnos(as) han tenido que trabajar con algunos de estos números, llamados irracionales.

Sugerencias metodológicas • Al comenzar esta unidad, así como a lo largo de ella, los conjuntos numéricos y las operaciones básicas entre ellos juegan un rol fundamental. Por lo tanto, se sugiere al docente estar atento a aquellas dificultades que los(as) alumnos(as) puedan presentar respecto a estos contenidos. • Un posible error a considerar es que los(as) alumnos(as) crean que los números racionales solo corresponden a las fracciones, y que, por ejemplo, 0,15 no es un número racional sino un número decimal. Frente a esto se sugiere al docente que, al momento de ejemplificar y en especial cuando realice operaciones con números racionales, utilice variadas representaciones, ya sean con números enteros, fraccionarios o decimales, incluyendo los infinitos periódicos y semiperiódicos. • Otro posible error tiene relación con la inclusión de los conjuntos numéricos. Para un(a) alumno(a) puede resultar obvio, por ejemplo, que si 2 es un número natural, no puede ser un número entero ni mucho menos un número racional. Para aclarar esto, se sugiere al docente realizar una tabla que, contenga, en la primera columna los diferentes conjuntos numéricos y en la primera fila, números a clasificar en los diferentes conjuntos que allí se proponen. Conjuntos numéricos

5;

1 ; –5; 1,58; 3,67; 3; 0,0002; 0 2

Naturales (⺞) Enteros

(⺪)

Racionales (⺡)

• Para un(a) alumno(a) puede resultar complejo entender por qué existen números que no son racionales, ya que los números irracionales siempre se muestran utilizando aproximaciones, por ejemplo: π ≈ 3,14 ó 2 ≈ 1,41. Una propuesta para ayudar a disipar esta dificultad es preguntar a los(as) estudiantes si conocen, o se les ocurre, alguna fracción cuyo cociente resulte 941.664 . La 2 , para luego proponerles que comparen, con la calculadora, 2 con la fracción 665.857 calculadora arrojará, para ambos números, el mismo resultado (hasta su décima cifra decimal). Luego, indicarles que eleven al cuadrado esta fracción, para que verifiquen que el resultado no es 2. Así, con este ejemplo, se evidencian las restricciones de aproximación de la calculadora y, por otra parte, se muestra que la forma exacta de expresar este irracional es simplemente 2 . Santillana Bicentenario

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• Otra posible dificultad es que los(as) alumnos(as) no están acostumbrados a utilizar distintas representaciones para un mismo número. Así, por ejemplo, un(a) alumno(a) puede considerar que

4 僆⺞, que 2

4 僆⺙, o incluso que

4 no es un número racional, pero que sí lo es 4 : 5, 5

ya que está representado como una división y resulta 0,8.

Ampliación de contenidos Historia de los números racionales Los egipcios (2700-2200 a. C.) trabajaban con fracciones, aunque las notaciones que tenían para ellas eran diferentes a las actuales. Los babilónicos utilizaban un sistema similar a la “notación decimal”, el cual empleaban con efecto extraordinario en sus mediciones astrológicas. Esta civilización usaba en vez de la “coma decimal” un “punto y coma (;)” que representaba una “coma sexagesimal”, es decir, los 1, 1 , 1 valores escritos a la derecha de ella eran múltiplos de , etc. Por ejemplo, la lista de 60 602 603 1 1 números 12,59;57,17 equivale a 12 · 601 + 59 · 600 + 57 · + 17 · 2 , que es aprox. 779,955. 60 60 Como ya se mencionó, los babilónicos utilizaron estas notaciones con una gran precisión en la astronomía. Por ejemplo, calcularon que el período orbital de Marte (el tiempo que transcurre entre las apariciones sucesivas del cuerpo celeste en la misma posición del cielo) era 12,59;57,17 días, es decir, en nuestro sistema, aproximadamente 779,955 días. La cifra calculada actualmente corresponde a 779,936 días. Mucho más tarde, en el siglo V a. C., los griegos, en particular los pitagóricos (seguidores de la escuela de Pitágoras), descubrieron que, además de los números racionales, existía otro tipo de números: los números irracionales. Para ellos no fue nada fácil aceptar este hecho, porque contradecía sus más profundas creencias. La siguiente leyenda deja de manifiesto la trascendencia que tuvo para los pitagóricos este acontecimiento. “Los pitagóricos formaban una secta religiosa, en la cual uno de sus pilares más importantes era que todo lo natural podía ser explicado en términos de números enteros o fraccionarios. Sin embargo, uno de sus seguidores, Hipaso de Metaponto, descubrió que este enunciado era falso. En concreto, demostró que la diagonal de un cuadrado de lado una unidad no es un número racional (lo que en tiempos contemporáneos significaría afirmar que 2 es irracional). Cuenta la leyenda que Hipaso cometió el error de divulgar tal hecho justo cuando los pitagóricos atravesaban el Mediterráneo en barco, y sus compañeros de culto quedaron tan irritados que decidieron arrojarlo por la borda y este se ahogó”. Fuente: Stewart, I. Historia de las Matemáticas en los últimos 10.000 años. Barcelona, España, 2007.

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Pitágoras y la música Siguiendo con los números racionales y el mundo griego, Pitágoras realizó el siguiente experimento. Tensó una cuerda musical que produjo un sonido cuyo tono tomó como base. Luego, marcó la cuerda de forma tal que la dividió en doce partes iguales. Al hacer vibrar la cuerda en su mitad, 6, notó que se obtenía un sonido consonante con el anterior, es decir, que la cuerda original y la mitad de esa cuerda producían un sonido armonioso al hacerlas vibrar juntas. Era, precisamente, lo que hoy se conoce con el nombre de octava superior. Luego, tocó en el 9 (o sea, en las 3 partes de 4 la longitud de la cuerda) y dio otro sonido consonante con los anteriores: era la cuarta superior. 2 partes de la cuerda) se obtiene la quinta 3 superior. Así, Pitágoras descubrió que estas fracciones de la cuerda original correspondían a los

De la misma forma, tocando en el 8 (es decir, en las

sonidos consonantes fundamentales: octava, cuarta y quinta. Los intervalos que se forman al dividir la cuerda de acuerdo a las proporciones señaladas reciben el nombre de octava, cuarta y quinta porque corresponden a esas notas en la escala pitagórica diatónica (do, re, mi, fa, sol, la, si, do). Esto quiere decir que la cuerda con su longitud original corresponde a la primera nota (do), al dividir la cuerda en la mitad se obtiene la octava nota (do), al dividirla en las tres cuartas partes se obtiene la cuarta nota (fa), mientras que al dividirla en las dos tercias partes se obtiene la quinta nota (sol). Fuente: www.anarkasis.com/pitagoras

Representación fraccionaria de decimales infinitos periódicos y semiperiódicos (Páginas 14 y 15) De acuerdo al Ajuste Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) en 5º Básico comienzan a trabajar con transformaciones de fracciones a números decimales y recién en 1º Medio se trabaja con la justificación de procedimientos para transformar de decimales infinitos periódicos y semiperiódicos a fracción. Nuestro texto en 6º Básico, trata de forma algorítmica la transformación de decimales infinitos periódicos y semiperiódicos a fracción, pues en 1º Medio se pide por CMO la justificación de estos procedimientos, por tanto, en estas páginas se pretende justificar el algoritmo que se utiliza para estas transformaciones.

Sugerencias metodológicas • Puede ser una dificultad para los(as) estudiantes identificar la cantidad por la que se debe multiplicar a ambos lados de la ecuación correspondiente para eliminar el período del número decimal infinito, ya que depende precisamente de la cantidad de cifras que tenga el período, por lo que se sugiere al docente estar atento y ejercitar bastante en caso de presentar este tipo de errores. • Es muy importante que los(as) alumnos(as) comprendan que la justificación del algoritmo permite afirmar que cualquier decimal infinito periódico o semiperiódico es siempre un número racional.


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Orden y ubicación en la recta numérica (Página 16) De acuerdo al Ajuste Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) en 5º Básico han comparado números decimales y fracciones y los han ubicado en la recta numérica. En estas páginas se pretende que los(as) estudiantes comparen números racionales que no necesariamente están representados de la misma forma (fraccionaria o decimal) y que los ubiquen, indistintamente de su representación, en la recta numérica.

Sugerencias metodológicas • La representación en la recta numérica puede ser una ayuda para establecer relaciones de 1 equivalencia entre algunas representaciones de números racionales, como por ejemplo, 0,25 y . 4 2 • Se sugiere al docente explicar a los(as) estudiantes que, por ejemplo, si bien los números , 5 40 40 y 0,4 son equivalentes, para representar la fracción es mejor utilizar su expresión 100 100 irreductible. • Al comparar números racionales en su representación decimal, a veces los(as) alumnos(as) se equivocan al establecer el orden, debido a errores conceptuales respecto del valor posicional de las cifras. Así, por ejemplo, si se le pide a un(a) alumno(a) que compare los números 0,128 y 0,4, puede llegar a la conclusión de que 0,128 > 0,4, porque 128 > 4.

Clausura y densidad (Página 17) Sugerencias metodológicas • Al momento de trabajar la propiedad de clausura de los números racionales, se sugiere recurrir a los conocimientos previos de los(as) alumnos(as) y mostrar lo que sucede en otros conjuntos numéricos con las cuatro operaciones aritméticas básicas. • Es posible que los(as) estudiantes se confundan con la propiedad de densidad de los números racionales, ya que al aceptar que entre dos números racionales cualesquiera existen infinitos números racionales, concluyan que la recta numérica “se completa”, imposibilitando de esta forma la existencia de los números irracionales. Por lo tanto, se sugiere al docente señalar a los(as) alumnos(as) que la recta numérica no “se completa” solo con los números racionales. • La densidad de los números racionales puede ser utilizada para mostrar a los(as) alumnos(as), que, por ejemplo, 0,9 = 1. En efecto, si estos dos números racionales fuesen distintos, por la propiedad de densidad de los números racionales existirían infinitos números racionales entre ellos, mayores que 0,9 y menores que 1, lo cual es imposible.

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Ampliación de contenidos Cerradura de un conjunto con respecto a una operación Definición: Dada la operación Φ, se dice que un conjunto numérico A es cerrado con respecto a Φ si para todo par de elementos a, b ∈ A se tiene que a Φ b ∈ A. ⺞), enteros (⺪⺪) Para efectos prácticos, se consideraran los conjuntos numéricos de los naturales (⺞⺡). y racionales (⺡ Ejemplos 1. ⺞, ⺪ y ⺡ son conjuntos numéricos cerrados con respecto a la adición, ya que por ejemplo, al sumar dos números naturales su resultado también es un número natural, así como también al sumar dos números enteros o dos números racionales. 2. Solo ⺪ y ⺡ son conjuntos numéricos cerrados con respecto a la sustracción, pues en los naturales, por ejemplo, al sustraer 5 – 8 no resulta un número natural. Ejercicios Determina si ⺞, ⺪ o ⺡ son conjuntos numéricos cerrados con respecto a las siguientes operaciones. 1. La multiplicación. Respuesta: ⺞, ⺪ y ⺡ son conjuntos cerrados con respecto a esta operación. 2. La división. Respuesta: solo ⺡ es cerrado con respecto a esta operación. 3. Se define la operación ∆ como a ∆ b = a · (a + b). Respuesta: ⺞, ⺪ y ⺡ son conjuntos cerrados con respecto a esta operación. 4. Se define la operación Ω, donde a Ω b = π + (a · b). Respuesta: ⺞, ⺪ y ⺡ no son conjuntos cerrados con respecto a esta operación. Paradoja de Zenón En la antigüedad, la civilización griega tenía una especial fascinación e interés por la comprensión científica, no tan solo de las figuras geométricas (en especial triángulos y círculos), sino que de todo el cosmos. Uno de sus mayores representantes fue Zenón, quien se caracterizó por hacer descubrimientos que dejaban perplejos a sus contemporáneos; muchos de ellos se conocen actualmente como paradojas. Zenón estaba fascinado con la idea del infinito, la cual expresa a través de la siguiente paradoja, que guarda estrecha relación con la densidad de los números racionales. Paradoja “Zenón confundió en gran manera a sus colegas pensadores al señalar que el heroico Aquiles, por más aprisa que corriera, no podría alcanzar a una tortuga con una ventaja inicial, puesto que, por ejemplo, si a la tortuga se le da una ventaja inicial de diez metros, cuando Aquiles haya avanzado esa distancia, la tortuga también habrá avanzado una distancia, por ejemplo, un décimo de la distancia recorrida por Aquiles. Luego, cuando Aquiles se desplace hasta llegar al lugar en donde se encontraba la tortuga, esta nuevamente habrá avanzado una distancia, colocándose adelante del héroe griego. Así, por muy pequeña que sea la distancia, siempre se mantendrá la tortuga por delante de Aquiles.


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Por supuesto que en la realidad, Aquiles –o la gran mayoría de las personas– alcanzaría y pasaría a la tortuga en algún momento de la carrera. La respuesta a esta paradoja, y que está fuertemente ligada a la propiedad de densidad de los números racionales, queda resuelta con la pregunta que se hizo Zenón: ¿cómo es posible para un punto en movimiento pasar a través de un número infinito de posiciones en un tiempo finito?”. Fuente: Bergamini, D. Matemáticas. México D. F. México, 1965.

Propiedades de las operaciones con números racionales (Páginas 20 y 21) En este apartado se pretende mostrar a los(as) estudiantes que tanto la adición como la multiplicación cumplen con ciertas propiedades fundamentales, no así la sustracción y la división. Para que los alumnos comprendan el real sentido de las propiedades, puede mostrar como en otras operaciones que no es posible llegar inmediatamente a la conclusión correcta.

Sugerencias metodológicas • Es importante que los(as) alumnos(as) entiendan que la aplicación de las propiedades de la adición y multiplicación constituyen una estrategia para resolver problemas y que no las consideren solo como “propiedades que se cumplen” sin darle un sentido de aplicación en la resolución de problemas. Por lo tanto, es fundamental que los(as) estudiantes comprueben que dichas propiedades no se cumplen con cualquier operación y que es esta la razón por la que merecen una distinción especial. Se sugiere discutir con los(as) alumnos(as) la veracidad de dichas propiedades con las operaciones de sustracción y división. • A modo de motivación, se sugiere comentar a los(as) alumnos(as) que existen estudios matemáticos, en especial en el ámbito del álgebra, en donde se intenta trabajar con conjuntos de elementos que cumplen estas propiedades (cuerpos) o algunas de ellas (anillos o grupos).

Operatoria con números racionales (Páginas 22 y 23) Estas páginas tienen como finalidad que los(as) estudiantes refuercen, sistematicen y potencien sus procedimientos para el cálculo con números racionales. Además, que consideren la operatoria con estos números como una forma de modelar y resolver situaciones contextualizadas, razón por la cual se presentan algunos ejemplos que dan cuenta de ello.

Sugerencias metodológicas • La operatoria con números racionales muchas veces constituye una gran dificultad, tanto en este nivel como en estudios posteriores de álgebra, geometría, cálculo, entre otros. Por esta razón, se sugiere al docente estar atento a los posibles errores que los(as) alumnos(as) puedan presentar en este tema.

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• Al enfocar el contenido desde la resolución de problemas, no solo es importante estar atento a la forma en que los(as) estudiantes efectúan los cálculos sino que también la manera en que se plantean la situación problema. Es probable que algunos(as) logren dar con la respuesta, pero no sepan explicar matemáticamente como llegaron al resultado; también es posible que algunos(as) no logren plantear el problema en cuestión. Frente a esto, se sugiere al docente discutir en conjunto con los(as) alumnos(as) la forma más conveniente de abordar el problema, sistematizando la manera de resolverlo, es decir, identificando el problema, los datos y luego los pasos a seguir en la operatoria. • Respecto al orden de las operaciones, cuando estas son solo multiplicaciones y divisiones o solo adiciones y sustracciones, un posible error de los(as) alumnos(as) es no operar de izquierda a 4 derecha. Así, por ejemplo, al resolver 8 : 2 · 3, pueden realizar (8 : 2) · 3 = 12 ó 8 : (2 · 3) = , 3 llegando a dos resultados diferentes al efectuar la multiplicación y la división en cualquier orden. • Otra posible dificultad se les puede presentar al sumar o restar una fracción con 1 ó 0. Por 2 ejemplo, 1 + , ya que al obtener el mcm de los denominadores no consideran el 1 como un 13 13 número racional equivalente a . 13 • Al operar con números racionales, las fracciones irreductibles son fundamentales para optimizar tiempos y simplificar cálculos; sin embargo, muchas veces esto no es considerado por los(as) alumnos(as). Por esta razón, se sugiere al docente señalar a los(as) estudiantes la importancia de simplificar las fracciones antes de operar con ellas. Además, cuando se opera con números decimales y fracciones, no siempre conviene transformar la fracción a decimal, o viceversa; esto no lo tienen muy claro los(as) alumnos(as), y probablemente tratan de mecanizar un algoritmo que les sirva para todos los ejercicios. Así, la intervención del docente en este punto vuelve a ser crucial, por lo que se sugiere hacer notar estas diferencias con ejemplos que evidencien la conveniencia de una u otra conversión.

Resolución de problemas con números racionales (Páginas 26 y 27) En estas páginas nuevamente se trabajan los números racionales en un contexto de aplicación, enfatizando la interpretación de los resultados obtenidos de acuerdo al contexto. Así, los principales contenidos a tratar corresponden a la aproximación por redondeo y por truncamiento.

Sugerencias metodológicas • Es importante que el(la) alumno(a) comprenda que el tipo de aproximación que se utilice depende del contexto en que esté planteado el problema. Se sugiere al docente que utilice ejemplos en que se apliquen porcentajes o promedios, ya que las aproximaciones variarán en función de dar una solución atingente al problema.


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Potencias de base racional y exponente entero (Páginas 30 y 31) En estas páginas se retoma la definición de potencias, ya conocida por los alumnos(as), ampliandola a potencias de base racional y exponente entero. Se propone abordar este tema a partir de las regularidades y, a través de ello, lograr la generalización.

Sugerencias metodológicas • Como las potencias con exponentes negativos no se pueden interpretar de la misma manera que las de exponente natural, es importante señalar a los(as) alumnos(as) las ventajas de usar esta notación. Por ejemplo: – para trabajar con bases más pequeñas y simples. Ejemplo: 2

–2

en vez de

1 2 . 2

冢冣

– Extender las propiedades de las potencias que antes no tenían sentido. 4 6 –2 Ejemplo: 3 : 3 = 3

– Aplicar propiedades de potencias de igual base, etc. • Un error clásico al trabajar con potencias de exponente negativo es “traspasar” el signo del –3 3 exponente a la base, por ejemplo, (0,27) = (–0,27) . Por lo tanto, es muy importante que el(la) docente enfatice que el signo menos en el exponente de una potencia corresponde a una notación y no tiene relación con el signo de la base. a 0 • Una de las propiedades que los(as) alumnos(as) suelen olvidar es . Para reforzarla se sugiere b proponerles ejercicios que involucren cantidades muy grandes o con muchos decimales o con

冢冣

varias expresiones algebraicas, elevadas a 0, y que puedan constatar lo práctico que es utilizar esta propiedad. • Respecto al punto anterior, es importante recalcar que dicha propiedad es válida para todos los números racionales, excepto para el 0. Se sugiere discutir con los(as) alumnos(as) las consecuencias de que esta propiedad fuese válida también para este racional. Ejemplo Revisar con los(as) alumnos(as) una forma de verificar algebraicamente esta propiedad. 0

1–1

=

4 =1 4

0

1–1

=

0 0

4 =4 0 =0

0

Por tanto, 4 = 1

Esto carece de sentido.

Esta división es equivalente a preguntarse por un número que multiplicado por 0 dé como resultado 0, pregunta que tiene infinitas respuestas.

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Propiedades de las potencias (Páginas 32 y 33) De acuerdo al Ajuste Curricular aprobado, se espera que los(as) alumnos(as) apliquen las propiedades de las potencias de base entera y exponente natural a potencias de base racional y exponente entero. Por lo tanto, en estas páginas se busca reforzar las propiedades de las potencias con base racional, además de extenderlas y generalizarlas para potencias de base racional y exponente entero.

Sugerencias metodológicas • Se sugiere al docente justificar las propiedades de las potencias mediante ejemplos numéricos, para una mejor comprensión de los(as) alumnos(as). Ejemplo Para la propiedad ar · as = ar + s, se puede mostrar que: 2 3 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 7 2 3+4 3 · 3 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3 = 3

冢冣冢冣冢

冣冢

冣冢冣冢冣

• Al simplificar expresiones utilizando propiedades de las potencias, se pueden presentar dificultades, ya que los(as) alumnos(as) tienden a desarrollar las potencias en vez de aplicar las propiedades respectivas, no considerando el tiempo invertido en ello, y que existe mayor probabilidad de cometer errores. Se sugiere al docente señalar la importancia práctica que tiene utilizar las potencias y sus propiedades cuando se trabaja con cantidades grandes o con números con muchas cifras que dificultan el cálculo. A continuación se presentan dos fichas de reforzamiento (ficha n° 1 y ficha n° 2) con el propósito de apoyar a los(as) estudiantes en el aprendizaje de los números racionales, especialmente a aquellos(as) cuyos rendimientos sean insatisfactorios o bien presenten mayores dificultades. Los problemas están basados en las actividades propuestas en el texto del estudiante. Luego, se presentan dos fichas de profundización (ficha n° 3 y ficha n° 4) que buscan ahondar en los aprendizajes y contenidos evaluados en esta unidad. Por esta razón, se recomienda trabajarlas con los(as) alumnos(as) cuyos resultados fueron satisfactorios y lograron obtener todas sus respuestas correctas, sin excluir a aquellos que por interés quieran conocer otras aplicaciones de este contenido.


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Ficha de trabajo nº 1

Reforzamiento Unidad 1

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Objetivos: Reforzar las propiedades de clausura y densidad de los racionales y el cálculo de adiciones y multiplicaciones.

P
} } } } } }

y, que al ubicarlos en la recta numérica la distancia entre cada par sucesivo sea la misma en cualquiera de los casos.

P

A

B

C

D

E

Q

5 7 11 13 Por ejemplo, para P = 1 y Q = 5, se tiene que: A = , B = , C = 3, D = , E = . Para cada par sucesivo de números la 3 3 3 3 2 distancia es . 3 2 3

2 3

2 3

2 3

2 3

2 3

} } } } } }

Unidad 1

Sean P y Q dos números racionales. Encuentra 5 números racionales A, B, C, D y E tales que se cumpla la siguiente condición:

1

5 3

7 3

3

11 3

13 3

5

Encuentra A, B, C, D, y E para los siguientes valores de P y Q. 1. P = 3 y Q = 12


2. P =

4 8 yQ= 3 3

|

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3. P = –

2 7 yQ= 3 3

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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Objetivos: Establecer la relación de orden en potencias de base racional y exponente entero.

A=

{冢冣

1 1 1 –2 1 2 1 –1 1 –2 ; ; ; ; 2 2 3 3 4

冢冣冢冣冢冣冢冣

} {冢冣 yB=

1. Ordena los elementos de cada conjunto de menor a mayor.

2. Ordena los elementos de ambos conjuntos de menor a mayor.

3. Ubica los elementos de ambos conjuntos en una recta numérica.

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27 |

冢冣冢冣冢冣冢冣}

2 0 2 –1 2 1 2 –2 2 2 ; ; ; ; 3 3 3 3 3

Unidad 1

Según los conjuntos A y B, responde.

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Profundización Unidad 1

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Objetivos: Comparar fracciones y analizar las restricciones de la calculadora.

Unidad 1

Lee con atención las siguientes proposiciones y responde. 1. ¿Las fracciones

27.457 84.325 y son iguales? 1.898.875 5.831.760

¿Qué puedes concluir al usar una calculadora para verificar esta condición? Justifica la respuesta.

2. ¿La expresión

941.664 es igual a 2 ? 665.857

Utiliza una calculadora para verificar qué resultados se obtienen en ambos casos. Justifica tu respuesta.


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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Objetivos: Aproximar un número irracional mediante números racionales, utilizando potencias de base racional y exponente entero.

2 es un número irracional, es decir, no puede representarse como fracción. Si este número, 2 ≈ 1,4142135623730950488016887242097 se trunca, por ejemplo, a 3 decimales, se tiene que

2 ≈ 1,414.

Sin utilizar la calculadora, ¿cómo puedes obtener un valor aproximado de 2 ? 2 <2

Por la aproximación anterior se tiene que

1<

Al elevar al cuadrado nos queda que

1<2<4

Si se quiere aproximar esta cifra con un decimal, se consideran valores entre 1 y 2 (con un decimal) y se elevan al cuadrado. (1,1)2 = 1,21

(1,2)2 = 1,44

(1,3)2 = 1,69

(1,4)2 = 1,96

Según estos cálculos, 2 se ubica entre los números 1,4 y 1,5, es decir, 1,4 <

(1,5)2 = 2,25

2 < 1,5.

Para aproximar con 2 cifras de precisión, se consideran los números entre 1,4 y 1,5 con 2 decimales. Así, se tiene que: 2

2

(1,41) = 1,9881

(1,42) = 2,0164

Lo que implica que: (1,41)2 < 2 < (1,42)2, con lo cual, 1,41 <

2 < 1,42.

Si se itera el proceso, se encontrará una aproximación más precisa de este número, pero considerando que el proceso es infinito, ya que 2 es un irracional. Análogamente, para encontrar 3 cifras de exactitud, se consideran los decimales entre 1,41 y 1,42 con 3 decimales, así se tiene que: (1,411)2 = 1,990921

(1,412)2 = 1,993744

(1,413)2 = 1,996569

2 2 Lo que implica que: (1,414) < 2 < (1,415) , con lo cual, 1,414 <

(1,414)2 = 1,999396

(1,415)2 = 2,002225

2 < 1,415.

Siguiendo el mismo procedimiento, aproxima: 1. el valor de 3 con tres decimales de exactitud.

2.

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el valor de 5 con tres decimales de exactitud.

Unidad 1

Lee con atención y, luego, responde.

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Evaluación de la unidad 1 NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Marca la alternativa correcta de cada una de las siguientes preguntas.

Unidad 1

1. ¿Cuál o cuáles de los siguientes números no son racionales? I.

5

II.

III. π

9

A. I y III B. II y IV C. I y IV

2 5. La expresión (0,3) es equivalente a:

A. 0,9 B. 0,9 C. 1

IV. 1,06

D. II y III E. I, III y IV

6. La representación fraccionaria de 1,3426 es:

2. ¿Cuál de las siguientes sucesiones está ordenada de menor a mayor? A. –

2 1 1 ; ; 0,3; 20 3 2

D. –

B.

–

2 1 1 ; 0,3; ; 20 3 2

E.

C.

1 1 2 ; ; 0,3; – 2 3 20

A. –1,23 B. –0,43

2 1 1 ; ; ; 0,3 20 2 3

1 1 2 ; 0,3; ; – 2 3 20

2 5 – corresponde a: 5 6

C. –0,43 D. 1,23

E.

0,43

E.

B.

6.646 2.250

E.

3.323 2.475

C.

6.646 4.995

A. Casi 360 cm. B. 3,2 m C. 2,7 m

3 – 2,412 4 4 6

–0,43 + 5,5 · 2 – (3)3 + π


3.323 2.250

|

D. 1 E. 2

corresponde a 2 del total, la segunda a 2 del total y 9 15 1 la tercera a del total. Si quedan 80 cm, ¿cuál era el 5 largo del cordel?

2 – 8,37 7

D. 6 3 – (3,3)–4 ·

D.

8. Un cordel se corta en cuatro partes. La primera

A. 6 π + 4 : (3,4 – 1,2)

C. (–1,2)5 + 7

3.323 9.900

A. –2 B. –1 C. 0

4. ¿Cuál de las siguientes representaciones corresponde a un número racional?

5 (π) +

A.

7. Si N 䉰 M = NM – N, el valor que falta (x) para que la expresión n 䉰 x = n sea válida es:

3. La representación decimal de

B.

D. 0,1 E. No se puede determinar.

30 |

D. 1,8 m E. Otro valor.

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3 – 0,3 4 es: 2 – 0,25

–1 + 9. El resultado de la expresión

1 13. El resultado de –1 – –1 – 1 1–

1 A. – 3 B.

1 3

C.

2 3

D. –

2 3

E.

A. B. C.

A. 1,1 B. 5,77 C. 4,4

A. B. C. D. E.

冢

冣

4 1 – 3,5 · es: 6 2,5 – 4

D. –0,2 E. 5,7

15 por truncamiento y redondeo a la 16 centésima, respectivamente, resulta: y y y y y

15,630 15,626 15,635 15,625 Ninguna de las anteriores.

15. La expresión

11. Al aproximar

A.

0,94 0,93 0,93 0,94 0,92

B.

C.

12. ¿Qué nota necesito obtener como mínimo en la tercera prueba para que el promedio sea 5,45 si en las dos pruebas anteriores mis notas fueron 3,5 y 7,0? A. B. C. D. E.

D. 1,6 E. 2,5

冢冣

Ninguna de las anteriores.

0,93 0,94 0,93 0,94 0,93

1 2

2 –3 14. Al truncar a la milésima la expresión , el resultado 5 es:

10. El resultado de la expresión 2,7 +

A. B. C. D. E.

1 2 0,5

corresponde a:

冢冣冢冣冢冣冢冣 4 –12 6 –12 3 2 · · 5 8 5

冢冣

冢冣

冢冣

D.

冢冣

3 18 5

E.

Otro valor.

冢冣冢冣

3 2 5

3 –2 5

冢冣

x 4

冢冢(–3) 冣冣 2

A. –1

31 |

equivale a:

3 –18 5

16. El valor de x que cumple con la igualdad

5,0 5,7 5,8 5,9 6,0

|

3 6 2 3 3 2 2 5 · · · 2 5 2 5

B.

1 2

C.

1

= 81 es: D. –2 E.

2

Unidad 1

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Solucionario Ficha de reforzamiento nº 1 1. P = 3; A =

4 14 16 20 22 24 8 2 ;A= ;B= ; C = 2; D = ;E= ;Q= = ; la distancia entre cada par de números es . 3 9 9 9 9 9 3 9

2. P =

Unidad 1

9 15 21 3 ; B = 6; C = ; D = 9; E = ; Q = 12; la distancia entre cada par de números es . 2 2 2 2

2 1 1 5 4 11 7 1 3. P = – ; A = – ; B = ; C = ; D = ; E = ; Q = ; la distancia entre cada par de números es . 3 6 3 6 3 6 3 2

Ficha de reforzamiento nº 2 1. Los conjuntos ordenados de menor a mayor corresponden a: A=

{冢冣

1 2 1 1 1 –1 1 –2 1 –2 ; ; ; ; 3 2 3 2 4


} {冢冣 yB=

2 2 2 1 2 0 2 –1 2 –2 ; ; ; ; 3 3 3 3 3


}

2. Ambos conjuntos ordenados de menor a mayor corresponden a: A艛B=

{冢冣

}

1 2 2 2 1 1 2 1 2 0 2 –1 2 –2 1 –1 1 –2 1 –2 ; ; ; ; ; ; ; ; ; 3 3 2 3 3 3 3 3 2 4

冢冣冢冣冢冣冢冣冢冣冢冣冢冣冢冣冢冣

3. La ubicación de ambos conjuntos en la recta numérica es la siguiente: –1

冢 23 冣

1 1 9 2

0

1

2 0

冢冣

42 2 93 3

3 9 4

4 –1

5

6

7

8

–2

冢冣冢冣 1 3

1 2

9

10

11

12

13

14

15

16

17 –2

冢冣 1 4

Ficha de profundización nº 3 1. Las fracciones no son iguales, pero al resolverlas con la calculadora, se obtienen los mismos resultados, 0,0144596142, debido a la aproximación que la calculadora realiza, ya que no tiene el espacio suficiente para poner más cifras decimales. Para comparar las fracciones sin calcular el cociente que nos induce a error, es conveniente multiplicar cruzado, donde sí se obtiene que los resultados son diferentes: 160.122.634.320 y 160.122.634.375. 2. Nuevamente, las restricciones de la calculadora nos inducen a error, ya que la aproximación que realiza nos entrega resultados iguales. En este caso, para responder la pregunta se debe tener en cuenta que 2 no es un número racional, por lo que no es posible escribirlo como fracción, por lo tanto, ambas representaciones no pueden ser iguales.

Ficha de profundización nº 4 1. 1,732 <

3 < 1,733


2.

2,236 <

5 < 2,237

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Evaluación de la unidad A B B C D E E D

9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

A E A D B D B B

Unidad 1

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Bibliografía • Bergamini, D. Matemáticas. Colección Científica de Life en español, México, 1965. • De Guzmán, M., Cólera, J., Salvador, A. Matemáticas Bachillerato 1. Grupo Anaya, Madrid, 1987. • Hanouch, B., Choquer–Raoult, A., Cocault, M. Maths repères premier S. Hachete Éducation, París, 2005. • Ministerio de Educación, Ajuste Curricular Aprobado, Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios, Matemática, junio 2009. • Stewart, I. Historia de las Matemáticas en los últimos 10.000 años. Barcelona, 2007. Sitios webs • Hachette Education: www.hachette–education.com • Éditions du Kangourou: www.mathkang.org • Ministerio de Educación: www.mineduc.cl • Sector matemática: www.sectormatematica.cl • Educarchile: www.educarchile.cl

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Presentación de la unidad Esta unidad tiene por objetivo que los(as) alumnos(as) modelen y resuelvan, mediante el lenguaje algebraico, situaciones problemas de diversa complejidad, dominen la operatoria algebraica, en particular la multiplicativa, y sus aplicaciones. Antes de comenzar la unidad, es importante revisar el fichero que se encuentra al final del texto del alumno, para evaluar si es necesario repasar contenidos previos.

Sugerencias metodológicas La actividad de inicio tiene el propósito de que los(as) estudiantes reconozcan medidas expresadas en forma algebraica, reduzcan términos semejantes (contenidos trabajados en 7º Año Básico) y asocien el producto de estas expresiones con el área de un rectángulo. Esta actividad tiene también por objetivo facilitar la comprensión de la multiplicación de binomios, apoyándose en representaciones geométricas.


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UNIDAD 2 | Factores y productos

Evaluación diagnóstica (Páginas 44 y 45) Sugerencias o remediales • Para superar algunos errores relacionados con el indicador Traducir del lenguaje natural al lenguaje algebraico: se propone utilizar regularidades numéricas simples, incluyendo primero una operación y luego combinando dos o más. La valorización de expresiones algebraicas también es un recurso para aquellos estudiantes que presentan dificultades al identificar la expresión correspondiente a un enunciado. Por otra parte, al traducir frases del lenguaje natural al lenguaje algebraico se recomienda comenzar con situaciones que involucren una operación, y luego, incluir más operaciones, aumentando la dificultad. • Si los(as) alumnos(as) presentan problemas con el indicador Valorizar expresiones algebraicas: se sugiere realizar ejercicios en donde la valorización sea, en primer lugar, con números naturales, luego con números enteros negativos y, por último, con números racionales. • Para facilitar el aprendizaje del indicador Modelar situaciones utilizando lenguaje algebraico: realizar ejercicios de sucesiones sencillas (números pares, múltiplos de números naturales, etc.) en donde se deba encontrar el término general, para luego abordar progresiones aritméticas y geométricas. • Frecuentemente se presentan dudas relacionadas con el indicador Plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita reduciendo términos semejantes: estas son, esencialmente, de planteamiento y de operatoria algebraica. Para los errores de planteamiento se recomiendan las mismas sugerencias y remediales dados para el primer indicador. En el caso de la resolución de ecuaciones y la correspondiente operatoria algebraica, la justificación de los pasos realizados al resolver una ecuación puede ser de gran ayuda para que los(as) alumnos(as) superen sus errores.

Lenguaje algebraico (Páginas 46 y 47) De acuerdo con el Marco Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) aprenden las primeras nociones algebraicas en 5° y 6° Básico, en donde traducen expresiones del lenguaje natural al lenguaje algebraico, y viceversa, junto con plantear y resolver ecuaciones. Por tanto, estas páginas tienen por objetivo recordar las características de un término algebraico y abordar este lenguaje desde su nomenclatura, trabajando la identificación y clasificación de expresiones algebraicas.

Sugerencias metodológicas • El desarrollo del lenguaje algebraico es bastante actual; por eso, interesa que los(as) estudiantes puedan dimensionar lo difícil que les resultaba a los matemáticos antiguos modelar algunos problemas. Se sugiere al docente compartir con los(as) estudiantes los datos entregados en la sección Ampliación de contenidos. • Para la clasificación de expresiones algebraicas, insista a los(as) estudiantes en que primero reduzcan términos semejantes y luego clasifiquen la expresión.

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Ampliación de contenidos Los babilonios y la ecuación de segundo grado Los babilonios utilizaban, en lugar de papel, bloques de arcilla en los que dibujaban y escribían, desechándolos posteriormente. Sin embargo, debido al calor o la acción del fuego, muy pocas tablillas se han podido conservar hasta hoy. Para fortuna de los investigadores, en algunas de estas se plantean problemas sobre cantidades desconocidas y los métodos para encontrarlas. Un ejemplo interesante es la resolución de lo que hoy se conoce como ecuación de segundo grado. Un problema tomado de la tablilla BM 13901 plantea: “He sumado siete veces el lado de mi cuadrado y once veces el área, obteniendo 6;15” (aquí 6;15 está escrito en notación sexagesimal y significa 6 más 15 , es decir, 6 1 en la notación actual). 60 4 Dado que los babilonios no contaban con un lenguaje algebraico que les permitiera generalizar los resultados que obtenían, solo daban solución al problema planteado señalando los pasos que habían seguido. Para el ejemplo anterior, los babilonios proponían lo siguiente: “Escribe 7 y 11. Multiplica 6;15 por 11, obteniendo 1,8;45. Divide 7 por la mitad, obteniendo 3;30 y 3;30. Multiplica, obteniendo 12;15 (esto es 3,30 · 3,30). Suma esto a 1,8;45, obteniendo resultado 1,21. Esto es el cuadrado de 9. Resta 3;30, que multiplicaste, de 9. Resultado 5;30. El recíproco de 11 no puede encontrarse. ¿Pero, qué debo multiplicar por 11 para obtener 5;30? 0;30, el lado del cuadrado es 0;30”. Por no contar con un lenguaje algebraico formal, era tarea del estudiante generalizar la solución obtenida y aplicarla a otro tipo de ecuación. Fuente: Stewart, I. Historia de las Matemáticas en los últimos 10.000 años. Barcelona, España, 2007.

Si ahora se utiliza el lenguaje algebraico actual para describir el problema anterior y su solución, se tiene que: a = 11, b = 7, c = 6;15 = 6 1 , por lo que la ecuación toma la forma: ax2 + bx = c, para aquellos 4 valores de a, b y c. Para deducir el valor de x, la solución babilónica dice lo siguiente: 1° Multiplicar c por a, lo que da ac. 2° Dividir b por 2, lo que da b . 2 2 3° Elevar b al cuadrado, obteniendo b . 2 4 2 4º Sumar lo anterior a ac, obteniendo ac + b . 4 2

5º Tomar su raíz cuadrada, es decir, ac + b . 4 2 6º Restar a lo anterior b , obteniendo ac + b − b . 2 4 2


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b b − 4 2 , que es equivalente a la fórmula que se 7º Dividir en a, obteniendo así que x = a usa en la actualidad para resolver una ecuación de segundo grado. ac +

Tartaglia y la ecuación cúbica En épocas pasadas, los matemáticos recurrían a diversas notaciones y formas de expresarse, para comunicar los resultados obtenidos. Un ejemplo es el propuesto por Tartaglia para resolver ecuaciones de tercer grado. En el siglo XVI, dos matemáticos –Tartaglia y Fiore– se trenzaron en un duelo que consistía en resolver treinta problemas relacionados con la ecuación de tercer grado, ya que el primero aseguraba que tenía un método para resolverlas y el segundo acusaba a Tartaglia de impostor. Ambos apostaron su dinero y el plazo máximo para resolverlos era de cuarenta días. Finalmente, Tartaglia ganó el duelo, resolviéndolos en solo dos horas. Para resumir sus técnicas, Tartaglia redactó los siguientes versos: “Cuando el cubo con la cosa cerca, se iguala a cualquier número discreto, se encuentran dos, diferentes en eso. Después tendrás esto por norma: que su producto sea siempre igual al tercio cubo de la cosa limpia. El resto general de los lados del cubo bien restados será tu cosa principal”. Fuente: Vera, F. 20 Matemáticos Célebres. Buenos Aires, Argentina, 1959.

Se pueden interpretar los versos de Tartaglia de la siguiente manera:

“Cuando el cubo con la cosa cerca, se iguala a cualquier número discreto,

El cubo: x3 La cosa “cerca”: px Igualadas a un número discreto: x3 + px = q

se encuentran dos, diferentes en eso.

Se deben encontrar dos números, a y b, tales que: a – b = q

Después tendrás esto por norma: que su producto sea siempre igual al tercio cubo de la cosa limpia.

El resto general de los lados del cubo bien restados será tu cosa principal”.

El producto de a y b debe ser igual al cubo 3 de un tercio de p: ab = p 3

冢冣

Los lados del cubo son una forma de referirse a la raíz cúbica. Es decir: x =

3

a –

3

b

Pese a las diferencias con los métodos actuales, hay un notorio avance con respecto a los babilonios, pues Tartaglia sí entrega una fórmula de resolución general y no solo un caso particular.

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¿Cuándo y cómo surgió el álgebra? A lo largo de los años se han creado los sistemas de notación para abreviar la escritura matemática, los que han ido complementándose y perfeccionándose hasta llegar al que se usa hoy en día. Diofanto de Alejandría fue uno de los primeros en utilizar símbolos en lugar de números desconocidos. Su Aritmética (escrita alrededor del año 250) se centraba en la solución de ecuaciones algebraicas. No obstante, su notación difiere notoriamente de la que se usa actualmente, y su trabajo se mantuvo desconocido por mucho tiempo, por el abandono que sufrieron las ciencias durante la Edad Media. Los árabes tuvieron el mérito de haber sistematizado el estudio del álgebra, además de ser los únicos que contribuyeron a la matemática en occidente durante gran parte de la Edad Media. La palabra álgebra procede del árabe al-jabr, un término empleado por Muhammad ibn Musa alKhwarizmi que comenzó a popularizarse en el año 820. Su obra Al-Kitab al-jbr w’al-mugabala explicaba métodos generales para resolver ecuaciones manipulando cantidades desconocidas, aunque aún sin utilizar símbolos para las operaciones. Fue recién en el período renacentista cuando la notación simbólica comenzó a acelerarse, utilizando letras del alfabeto para designar algunas cantidades desconocidas y símbolos para representar ciertas operaciones, dándole así forma a lo que hoy se conoce como álgebra. Fuente: Stewart, I. Historia de las Matemáticas en los últimos 10.000 años. Barcelona, España, 2007.

A continuación, se señalan datos históricos de algunos símbolos matemáticos usados en la actualidad. Origen de algunos símbolos matemáticos Signo de igualdad: en 1557, el matemático inglés Robert Recorde inventó el signo = para referirse a una igualdad. Para argumentar su elección señaló “No hay dos cosas que se parezcan más que dos líneas paralelas de una misma longitud”. Cabe destacar que el símbolo original propuesto por Recorde utilizaba líneas más largas que las utilizadas hoy, algo así como . Esta notación tuvo buena aceptación y poco a poco se fue acortando su longitud. Signo de adición y sustracción: en el siglo XV comenzaron a emplearse algunos símbolos para las operaciones elementales. Para la adición y la sustracción se empleaban las letras p y m, respectivamente (plus y minus, en latín). Sin embargo, los símbolos + y – acabaron imponiéndose a estas abreviaturas, los cuales eran utilizados por los mercaderes alemanes para distinguir exceso o defecto en la medida de sus artículos. Signo de multiplicación: William Oughtred introdujo el símbolo x para la multiplicación, el cual fue adoptado y usado por otros matemáticos de la época. No obstante, Oughtred fue rotundamente criticado por otro matemático, Leibniz, ya que dicho símbolo se confundía con la letra x. Así, a menudo Leibniz relacionaba dos cantidades con un punto interpuesto, estableciéndose así la otra notación para la multiplicación. Para mayor información, ingresa a la página: www.epsilones.com.


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Adición y sustracción de expresiones algebraicas (Páginas 48 y 49) En 7º Básico, los(as) alumnos(as) han sumado y restado términos algebraicos cuya parte literal solo estaba compuesta por una letra; por lo tanto, en estas páginas se pretende ampliar esta operatoria con términos semejantes más complejos, por ejemplo: 2a2x3 y –6a2x3.

Sugerencias metodológicas • Un error frecuente que cometen los(as) estudiantes en la reducción de términos semejantes, es no considerar la conmutatividad de la multiplicación, por ejemplo que ab ≠ ba. Posiblemente este error se deba a que les cuesta asumir que se trata de una multiplicación. • Se sugiere al docente estar atento a los siguientes errores: x2 = x + x o x · x = 2x. • La ansiedad de los(as) alumnos(as) es un factor importante al momento de reducir expresiones algebraicas, ya que se requiere de un trabajo paciente y riguroso, especialmente cuando se trata de eliminar paréntesis u operar con signos. Se sugiere al docente comenzar realizando ejercicios paso a paso, para luego agilizar la resolución.

Multiplicación de expresiones algebraicas (Páginas 50 y 51) En este contenido, la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición es fundamental. Aunque esta propiedad ha sido enunciada y ejemplificada, pocas veces se hace necesaria si solo se opera con números; en cambio, al multiplicar expresiones algebraicas surge su verdadera utilidad. En estas páginas se ha optado por una justificación geométrica, para que el procedimiento les resulte más natural a los(as) estudiantes.

Sugerencias metodológicas • Se recomienda al docente estar atento a interpretaciones erróneas de la propiedad distributiva, tales como 2(x · y) = 2x · 2y. • Se sugiere repasar la aplicación de las propiedades de las potencias, utilizando términos algebraicos para los ejemplos y ejercicios, y así evitar errores tales como: a3b2 = (ab)5. • Al multiplicar dos polinomios, es probable que los(as) alumnos(as) olviden multiplicar algunos términos. El profesor(a) puede indicarles que una forma de corroborar si se omitió alguna multiplicación puede ser contar la cantidad de términos que se obtuvieron, antes de reducir términos semejantes. Recordar que si se multiplica una expresión que tiene: – 2 términos algebraicos por una que tiene 3 términos algebraicos, debe resultar –antes de reducir términos semejantes, si los hay–, una expresión con 6 términos algebraicos (2 · 3 = 6). Ejemplo: (x + y)(a + b + c) = xa + xb + xc + ya + yb + yc – Asimismo, si se multiplica una expresión que tiene 4 términos algebraicos por una que tiene 2 términos algebraicos, debe resultar –antes de reducir términos semejantes, si los hay–, una expresión con 8 términos algebraicos (4 · 2 = 8), etc. Ejemplo: (1 + a – b + m2)(m + n) = m + n + am + an – bm – bn + m3 + m2n

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Profundización de contenidos Con los siguientes ejercicios los(as) estudiantes podrán relacionar los conocimientos de geometría con los adquiridos hasta el momento en álgebra, en particular la adición y multiplicación de polinomios. Se sugiere discutir la resolución de los problemas junto con los(as) estudiantes. Desafío 1: En la figura, ABCD es un rectángulo y m(FE) = 2x. D

C

E

F

2x – 1 A

3x + 2

B

a. ¿Cuál es el área del rectángulo ABCD? Respuesta: 6x2 + x – 2. b. ¿Cuál es el área del triángulo BEC? Respuesta: 2x2 – x. c. ¿Cuál es el área de la figura ABECD? Respuesta: 8x2 – 2. Desafío 2: La siguiente figura está formada por tres semicircunferencias, una de color azul, otra de color verde y otra de color rojo. El diámetro de la circunferencia de color azul es 2a + b, el de la circunferencia de color verde es a – b y, el de la circunferencia de color rojo es 3a – 2b.

a. Encuentra una expresión, en términos de a, b y π, para el perímetro de cada una de las semicircunferencias que aparecen en la figura. Respuesta: para la semicircunferencia de color azul: aπ + 1 bπ; para la semicircunferencia de 2 1 1 color verde: aπ – bπ; para la semicircunferencia de color rojo: 3 aπ – bπ. 2 2 2 b. ¿Cuál es el perímetro de la figura en términos de a, b y π? Respuesta: el perímetro de la figura es 3aπ – bπ.


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Productos notables (Páginas 52 a 55) Sugerencias metodológicas • Antes de comenzar con este contenido, se sugiere comprobar si los(as) alumnos(as) dominan la multiplicación de polinomios (incluyendo las propiedades de las potencias), la identificación del grado de un término y de una expresión, y la clasificación de los polinomios según sus términos. • Se recomienda obtener los productos notables a partir de la regularidad que se produce al resolver cada uno de ellos y así evitar que los alumnos(as) lleguen a conclusiones tales como: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a + b)3 = a3 + 3ab + b3, (a + b)4 = a4 + 4ab + b4, etc. • Algunos(as) estudiantes pueden presentar dificultades al desarrollar el cuadrado de un binomio, cuando se trata de una diferencia, y obtener, por ejemplo: (a – 2b)2 = a2 – 4ab – 4b2. • En general, a los(as) estudiantes no les cuesta reconocer una suma por diferencia sencilla; sin embargo, cuando los términos involucrados son más complejos, suelen presentarse mayores dificultades. Frente a esto, es importante que el(la) docente los(as) conduzca al reconocimiento de este producto notable incluso cuando es necesario agregar paréntesis. Por ejemplo, la suma por diferencia: (a + b)2 – c2 = (a + b + c)(a + b – c). • Se sugiere realizar ejercicios, como por ejemplo: (a + b)(b – a), para mostrar que, aunque se trata de una suma por diferencia, podría ser desarrollada erróneamente como a2 – b2. • Se sugiere trabajar, a modo de profundización, expresiones más complejas que puedan ser tratadas como productos notables; por ejemplo: a4 + 2(ab)2 + b4 o ( 2 + 5 + b )( b – 5 – 2 ) .

Profundización de contenidos A continuación se presentan ejercicios que relacionan conceptos geométricos con productos notables. Desafío 1: En la siguiente figura se tienen dos círculos concéntricos. El radio del círculo de color rojo mide R cm, mientras que la diferencia entre los radios de los círculos es de 2 cm.

O

a. Expresa en términos de π y R el área de los círculos. Respuesta: el área del círculo rojo es R2π cm2, mientras que el área del círculo de color verde es (R2 + 4R + 4)π cm2. b. Expresa en términos de π y R el área de la superficie de color verde. Respuesta: el área de la superficie de color verde es (4R + 4)π cm2.

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Desafío 2: Considera un cubo de arista (3a + 2) cm, tal como se muestra en la figura:

3a + 2

a. Expresa, en función de a, el volumen del cubo. Respuesta: el volumen del cubo es (3a + 2)3 cm3, es decir, (27a3 + 54a2 + 36a + 8) cm3. b. Calcula el volumen del cubo para a = 3. Respuesta: 1.331 cm3. c. ¿Es cierto que el área total del cubo, en función de a, es igual a 54a2 + 72a + 24? Demuéstralo. Respuesta: la superficie total del cubo es 6(3a + 2)2, que es igual a 54a2 + 72a + 24.

Factorización (Páginas 58 a 63) Sugerencias metodológicas • En la diferencia de cuadrados, una de las principales dificultades recae en la identificación de los términos que dan origen a los cuadrados que se están restando, ya que, por ejemplo, reconocerlos en la expresión 4 – x2 es relativamente sencillo, pero no lo es al identificarlos en 4t2s6 – 9r10s8 (los términos corresponden a: 2ts3 y 3r5s4). • En la factorización de trinomios de la forma ax2 + px + q (y dado que no se aborda en este nivel la resolución de la ecuación de segundo grado), se debe tener especial cuidado en seleccionar ejemplos que permitan una factorización sencilla.

Profundización de contenidos D

Desafío 1: La siguiente figura consta de dos cuadrados, ABCD y EFGD. Tales que m(AD) = 3 cm y m(ED) = (3x + 1) cm.

E

A

G

C

F

B

a. Encuentra el área de los cuadrados ABCD y EFGD. Respuesta: el área del cuadrado ABCD es igual a 9 cm2, mientras que el área del cuadrado EFGD es igual a (3x + 1)2 cm2.


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b. Expresa en términos de x el área de la superficie de color azul. Entrega su resultado factorizado. Respuesta: el área de la superficie de color azul es igual a (3x + 1)2 – 32, como esto corresponde a una diferencia de cuadrados, se puede factorizar mediante una suma por su diferencia, es decir, (3x + 1 + 3)(3x + 1 – 3) = (3x + 4)(3x – 2). Desafío 2: La siguiente figura está compuesta por dos cuadrados, cuyos lados miden (x + 1) cm y (2x + 3) cm, tal como lo muestra la figura. x+1

2x + 3

a. Expresa el área de la superficie de color naranjo en función de x. Respuesta: el área de la superficie de color naranjo expresada en términos de x es (2x + 3)2 – (x + 1)2. b. Desarrolla y reduce la expresión obtenida para dicha área. Respuesta: al desarrollar y reducir la expresión anterior se obtiene 3x2 + 10x + 8. c. Factoriza la expresión obtenida en la parte a. y en la parte b. ¿Qué puedes concluir? Respuesta: naturalmente, se obtiene el mismo resultado, pero en la parte a. se debe factorizar una diferencia de cuadrados, mientras que en la parte b. se debe factorizar un trinomio de la forma ax2 + px + q. Este ejercicio sirve para mostrar a los(as) estudiantes que conviene analizar si una factorización es posible de realizar antes de resolver las operaciones indicadas. Desafío 3: La siguiente figura representa el plano de una piscina que está cercada a una distancia x de sus bordes. 15 m

x

10 m

a. Expresa, en función de x, el área de la piscina (sector celeste). Respuesta: el área de la piscina es 150 – 50x + 4x2. b. Se desea poner cerámica en el espacio que queda entre la piscina y la cerca. Para ello es necesario determinar la superficie que ocupa dicho espacio. ¿Cuál es esta área en términos de x? Respuesta: el área es 150 – (15 – 2x)(10 – 2x). c. Desarrolla la expresión anterior y factoriza. Respuesta: factorizando se obtiene 2x · (25 – 2x).

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Desafío 4: En la siguiente figura, m(AB) = 2bc + b2 + c2 – a2 y h = 2bc – b2 – c2 + a2. C

h

A

B

c. ¿Es cierto que el área del ⌬ABC es igual a 1 (a + b + c)(a + b – c)(–a + b + c)? 2 Sugerencia: Intenta primero factorizar las expresiones de AB y h. Respuesta: por un lado se tiene que: m(AB) = 2bc + b2 + c2 – a2 = (2bc + b2 + c2) – a2 = (b + c)2 – a2 = (b + c + a)(b + c – a) Por otro lado: h = 2bc – b2 – c2 + a2 = a2 – (b2 – 2bc + c2) = a2 – (b – c)2 = (a + b – c)(a – b + c) Por lo tanto, el área del triángulo ABC es igual a: 1 (m(AB) • h) = 1 (a + b + c)(a + b – c)( –a + b + c) 2 2

Profundización de contenidos A continuación se presentan dos fichas de reforzamiento (ficha n° 1 y ficha n° 2) con el propósito de reforzar el aprendizaje de los productos notables y la factorización, especialmente para los(as) alumnos(as) con rendimiento insatisfactorio. Los problemas están basados en las actividades propuestas en el texto del estudiante. Luego, se presentan dos fichas de profundización (ficha n° 3 y ficha n° 4) que buscan ahondar en los aprendizajes evaluados en esta unidad. Por esta razón, se recomienda trabajarlas con los(as) alumnos(as) cuyos resultados fueron satisfactorios y lograron obtener todas sus respuestas correctas, sin excluir a aquellos que por interés quieran conocer otras aplicaciones de este contenido.


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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Objetivos: Identificar y clasificar una expresión algebraica. Reducir términos semejantes.

Une cada expresión algebraica con su correspondiente clasificación.

Unidad 3

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1. 6ab4c2d9

Monomio

2. a – y + 3 4 3

Binomio 2

3. –4 + 3r – 3r + 5r

3

Trinomio 4. w6 + 4,6w4 – 3w2 + 0,7w – 6 5. 3rs – 3r2 + 5s2

Polinomio

Completa la tabla. Grado respecto a cada variable

6.

n2 + 14nm – 21n2m3 + 0,3m4

7.

2j2 + 14j4k – 2,4j3h3 + 16h5

Reduce las siguientes expresiones algebraicas. 8. 3r – 12r + 0,5r = 9. –4 – 3g + 4f + 5f – 4g + 3 = 10. –a4 + a2 – 2a – 6a2 – a + 3a3 – 5a4 – 3a3 = 11. 5 p + 2 p2 – 5 p – 1 p2 + 1 p = 6 5 2 3 2 12. –0,5n – 14n + 6n = 13. 3j + 7h – 5 + 6h – 4j + 2 = 14. a3 – a2 + a4 + 2a – 5a3 – 4a4 + a + 4a2 = 15. – 1 p + 4 p + 2 p2 + 2 p – 2 p2 = 4 3 5 3 3


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Grado absoluto

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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Objetivos: Multiplicar expresiones algebraicas aplicando productos notables.

Une cada expresión con su desarrollo. 1. (x + 2)2

x2 – 4x + 4

2. (x – 2)2

2x + 4

3. (1 – 2x)2

1 – 4x2 1 – 4x + 4x2

4. (x + 2)(x – 2) 5. (1 – 2x)(1 + 2x)

3x – 3 x2 + 4x + 4

6. (x + 3)(x + 2) – (x + 1)(x + 2)

x2 – 4

7. (x + 3)(x + 2) + 3(x + 1)(x + 3)

1 + 4x + 4x2

8. (x + 3)(x – 2) – (x + 1)(x – 3) 9. (1 + 2x)2

4x2 + 17x + 15

Responde. 10. Calcula el volumen del cuerpo geométrico Ayuda: considera el volumen de una pirámide de base rectangular como un tercio del producto de la superficie de la base por la altura de la pirámide. S

C

D

A

B

3x 6

H

G I

E x+2

3 F

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Unidad 3

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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Objetivos: Sumar expresiones algebraicas y resolver ecuaciones lineales.

Unidad 2

U2

Un cuadrado mágico es una matriz compuesta por números de manera tal que la suma de cada una de sus filas, columnas y diagonales es la misma. 1. ¿El siguiente arreglo es un cuadrado mágico? 2c – 3

3c – 4

–2c + 1

–3c + 2

c–2

5c – 6

4c – 5

–c

–1

2. ¿Qué valor debe tomar la incógnita x para que el siguiente arreglo de números sea un cuadrado mágico? 2x + 2

x

x+1

x–2

x+2

5x – 6

3x – 3

2x + 1

x–1


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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Objetivos: Resolver productos notables y aplicar factorizaciones.

Responde. 1. Desarrolla y compara las multiplicaciones (a + b + c)2 y (a + b + c + d)2. ¿Cómo podrías describir el desarrollo del cuadrado de un polinomio? Exprésalo geométricamente, como se hizo con el cuadrado de binomio.

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas. 2. x3 + 2x2 + x = 3. 3x5 – 48x = 4. 2x4 + 12x3 + 24x2 + 16x = 5. x4 + x2y + x3 + xy + x2 + y = 6. x3 + x2 + x + 1 = 7. x3 + 2x2 – x – 2 =

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Unidad 2

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CURSO:

FECHA:

Marca la alternativa correcta de cada una de las siguientes preguntas. 5. La propiedad que se utiliza en el desarrollo de los productos de la forma A(B + C) = AB + AC se llama:

1. Las expresiones correspondientes a trinomios son: I.

Unidad 2

U2

a2 – bx + 3

A. B. C. D. E.

II.

0,5x + 1 1 III. 2n4 + n3 + 4n 2 A. B. C. D. E.

Solo I Solo III I y II I y III II y III

6. El desarrollo de la expresión (x + y)(y – 3x) corresponde a: A. x2 – 2xy + 3y2 6

3 2

B.

4 2

2. El grado absoluto de n – 5n m + 4n m – 4 es: A. B. C. D. E.

2 3 4 5 6

E.

–3x2 + 2xy – y2

冢

5 31 fg – f–g–6 6 5 5 31 –f 2 – fg + f+g–6 6 5

A. f 2 – B.

5 31 fg – f–g–6 4 6 5 31 D. f 2 + fg + f+g+6 6 5 C. f 2 –

(2x + y) + (–x + y) – (4y + 3x – 2y) (2x – 3y) + (2x + y) – (4y – 3x – 2y) (2x + y) + (–x + 2y) + (–4y + 3x – 2y) –(–2x – y) + (–x + y) + (–4y – 3x + 2y) Ninguna de las anteriores.

E.


8. El resultado de reducir la expresión (2m + 3n)2 + (m – 2n)(2n + m) es: A. 5m2 + 12mn + 5n2 B.

b – 3a 3b – 3a 3a – 3b a – 3b a–b


–3x2 – 2xy + y2

冣冢

1 5 7. Al reducir la expresión 0,6 f + g + 3 –2 – f 2 6 se obtiene:

4. La expresión [(a + b) – (–b + a)] + [(2b – a) – (2a + b)] al ser reducida resulta: A. B. C. D. E.

D. –x2 – 2xy + 3y2

C. 3x2 – 2xy + y2

3. La expresión que al reducirla da como resultado 4x – 3y es: A. B. C. D. E.

distributiva. asociativa. conmutativa. multiplicativa. Ninguna de las anteriores.

m2 + 12mn + 9n2

C. –3n2 + 12mn + 13m2 D. –5n2 + 12mn + 5m2 E.

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n2 + 12mn + 9m2

冣

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9. 9. El área de la figura achurada corresponde a: x+4

A. 4x2 + 21x + 20 B.

13. La factorización de la expresión 20a2 + 13a – 15 corresponde a:

4x2 + 42x + 8

A. B. C. D. E.

2

C. 4x + 28x + 16 D. 6x2 + 24x + 18 E.

2x + 6 x+8

4x2 + 29x + 16

(5a – 5)(4a + 3) (4a – 5) (5a + 3) (20a + 15)(a – 1) (4a + 5)(5a – 3) (5a + 5)(4a – 3)

3x + 3

冢

A. –64t3 + 24pt2 + 3p2t –

14. El valor de x en la ecuación (x + 5)2 + (x + 3)(x – 3) = 2(x – 4)(x – 2) es:

3

冣

1 p – 4t 10. La expresión desarrollada de 2 corresponde a:

A. – 10 12

3

p 8

p 8 p3 C. –64t3 + 24pt2 – 3p2t + 8

B.

64t3 + 24pt2 + 3p2t +

D. –64t3 + 24p2t – 3pt2 + E.

B.

0

C.

10 12

D.

1

E.

12 10

3

p3 8

Ninguna de las anteriores. 15. El valor de n en la ecuación an + 6n = 2a2 + 6a + 3n es:

11. ¿Qué términos faltan en la factorización de n2 + 5n – 24 = (n + A. B. C. D. E.

)(n +

)?

A. B. C. D. E.

8 y –3 6 y –4 12 y –2 4 y –6 3 y –8

= 25x4 – 30x2y + 9y2 se mantenga?

A. B. C. D. E.

A. 5x2 + 3y B.

5x2 – 3y

C. 5x – 3y2 D. 5x + 3y2 E.

= = = = =

6 0 –a a 2a

16. Si la temperatura en grados Fahrenheit (F) y Celsius (C) se relacionan según F = 32 + 1,8C, ¿a cuánto equivalen –40 ºC en grados Fahrenheit?

12. ¿Cuál es el término que falta para que la igualdad (5x2 – 3y) ·

n n n n n

5x2 + 3y2

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–40 ºF –39,8 ºF –24,8 ºF 39,8 ºF Ninguna de las anteriores.

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Solucionario Ficha de reforzamiento nº 1 1. Monomio. 2. Trinomio.

3. Polinomio.

4. Polinomio.

5. Trinomio.

6. El grado con respecto a n es 2; con respecto a m es 4; el grado absoluto es 5. 7. El grado con respecto a h es 5; con respecto a j es 4; con respecto a k es 1; el grado absoluto es 6. 8. –8,5r 11. –

Unidad 2

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1 7 –p+ – p2 15 6

14. –3a4 – 4a3 + 3a2 + 3a

9. 9f – 7g – 1

10. –6a4 – 5a2 – 3a

12. –8,5n

13. 13h – j – 3

15.

4 2 7 p– p 15 4

Ficha de reforzamiento nº 2 1. x2 + 4x + 4

2. x2 – 4x + 4

3. 1 – 4x + 4x2

4. x2 – 4

6. 2x + 4

7. 4x2 + 17x + 15

8. 3x – 3

9. 1 + 4x + 4x2

5. 1 – 4x2

10. Volumen paralelepípedo (x + 2) · 3 · 6 = 18x + 36. Luego, es (18x + 36) unidades cúbicas. 1 Volumen pirámide · 3(x + 2)(3x – 6) = 3x2 – 12. Luego, es (3x2 – 12) unidades cúbicas. 3 Volumen total vol. paralelepípedo + vol. pirámide (3x2 + 18x + 24) unidades cúbicas. Ficha de profundización nº 3 1. Sí. Cada columna, fila y diagonal suman 3c – 6. 2. Sumar alguna de las filas (o columnas); luego, comparar los resultados mediante una ecuación, cuya solución es x = 3. Ficha de profundización nº 4 1. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc. (a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd El cuadrado de un polinomio puede expresarse como la suma de los cuadrados de cada término del polinomio, más el doble de cada uno de los productos de dos términos que puedan formarse. Expresados geométricamente se tiene que:


a

b

c

a

b

c

d

a

a2

ab

ac

a

a2

ab

ac

ad

b

ba

b2

bc

b

ba

b2

bc

bd

c

ca

cb

c2

c

ca

cb

c2

cd

d

da

db

dc

d2

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2. x(x + 1)2 3. 3x(x – 2)(x + 2)(x2 + 4) 4. 2x(x + 2)3 5. (x2 + x + 1)(x2 + y) 6. (x + 1)(x2 + 1) 7. (x2 – 1)(x + 2)

Unidad 2

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Evaluación de la unidad 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

D E C B A B E A

9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

E C A B D B E A

Bibliografía • Hanouch, B., Choquer-Raoult, A., Cocault, M. Maths repères premier S. Hachete Éducation. París, 2005. • Ministerio de Educación, Propuesta Ajuste Curricular, Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios, Matemática. Junio, 2009. • Stewart, I., Historia de las matemáticas en los últimos 10.000 años. España, Barcelona, 2007. • Vera, F. 20 Matemáticos célebres. Argentina, Buenos Aires, 1959. Sitios webs • Éditions du Kangourou: www.mathkang.org • Epsilones: www.epsilones.com • Hachette Education: www.hachette–education.com • Ministerio de Educación: www.mineduc.cl • Sector matemática: www.sectormatematica.cl

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Presentación de la unidad Las transformaciones isométricas son aplicaciones de las transformaciones lineales, que conservan medidas. En esta unidad se pretende reforzar nociones geométricas de la educación básica, como también formalizar los conceptos de vector, composición de transformaciones, a partir de traslaciones, rotaciones y simetrías (axial y central), utilizando como referencia el plano cartesiano. Antes de comenzar la unidad revisar el fichero que se encuentra al final del texto del alumno, para evaluar si es necesario repasar contenidos previos.

Sugerencias metodológicas En las páginas de inicio se expone el tema de la conservación de reliquias arquitectónicas que se ven afectadas por las crecidas del Nilo, y de cómo el hombre se enfrenta a la necesidad de cambiar la ubicación de un templo para protegerlo. El concepto presentado es el de traslación y puede asociarse no solo al movimiento de objetos sino también de personas (migraciones) y, por supuesto, de objetos matemáticos. De este modo, dichas transformaciones, que preservan formas, y sus aplicaciones tanto en la vida diaria como en un contexto abstracto, son el objeto de estudio de esta unidad. Para más información del templo ingrese a la página: www.egiptologia.org/arte/templos


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UNIDAD 3 | Transformaciones isométricas en el plano cartesiano

Sugerencias para la actividad La actividad inicial apunta a repasar nociones de movimiento isométrico asociándolo al concepto de traslación. A partir de esto, se incorpora el concepto de vector como un elemento que establece condiciones para realizar dicho movimiento, posibilitando, por una parte, la comparación de vectores, el paralelismo y también la suma de las distancias recorridas. Para complementar esta actividad, se sugiere como tarea aplicar este concepto en situaciones cotidianas, por ejemplo; la movilización de las personas que viajan de sus casas a sus trabajos o estudios y que utilizan los medios de transporte público, como buses, colectivos, metro, etc. Es decir, medios de transporte que tienen un recorrido con una ruta definida, que involucran dirección y distancia de traslado.

Evaluación diagnóstica (Páginas 80 y 81) Los(as) estudiantes durante la educación básica han trabajado las transformaciones isométricas a través de su construcción con regla y compás y también con softwares geométricos. Para reconocer los contenidos que dominan se propone una evaluación diagnóstica, cuyas sugerencias o remediales para cada indicador se presentan a continuación.

Sugerencias o remediales • Para el indicador “Identificar y caracterizar simetrías a partir del eje de simetría”, es posible que los(as) alumnos(as) tengan dificultades para determinar bajo qué parámetro (eje) se realiza la transformación. En caso de que los(as) alumnos(as) no reconozcan la recta, se recomienda realizar ejercicios en donde deban contrastar dos imágenes en el plano, de modo que sea posible encontrar el eje. Otra estrategia es la de plegar un papel, y recortar una figura, y luego, al extender la hoja este presente una imagen simétrica. Esta extensión permitiría trabajar la simetría en dos dimensiones y tres dimensiones. • Para reforzar el objetivo “Identificar y caracterizar traslaciones a partir del vector que las define”, se sugiere utilizar juegos de salón (ludo, dama, etc.) como una manera lúdica de trasladar objetos mediante condiciones dadas. Para el uso de coordenadas, se sugiere la ubicación en un mapamundi, lo cual permitirá hacer la analogía con un plano cartesiano y los movimientos mediante posiciones determinadas con álgebra vectorial. • Con respecto al indicador “Identificar y caracterizar rotaciones a partir del centro de rotación y del ángulo de rotación”, es necesario identificar el centro de rotación en cada caso. Si esto genera un problema para los(as) alumnos(as), se sugiere analizar los puntos de rotación en las ruedas de bicicleta en movimiento (puede ser con un CD y girarlo); también presentar casos donde el centro sea externo a la figura (visualizar con el sistema solar).

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Plano cartesiano (Páginas 82 y 83) Esta es la primera vez que los(as) alumnos(as) se ven enfrentados a este contenido. Sin embargo, durante los años anteriores, han contado con un cuaderno cuadriculado para la asignatura de matemáticas, en el cual probablemente hayan realizado más de algún dibujo o línea. Por lo tanto, la idea intuitiva de plano cartesiano probablemente les resulte bastante familiar, ya que siempre han trabajado, sin saberlo, con él. Así, el apoyarse en el diseño del cuaderno puede acercar bastante a los(as) estudiantes al contenido, en especial a aquellos(as) menos familiarizados con la geometría.

Sugerencias metodológicas • Al momento de construir los ejes coordenados para el plano cartesiano, muchos(as) estudiantes tienden a numerar las abscisas y ordenadas sin fijarse en la necesidad del ejercicio, perdiendo tiempo. Es importante que los(as) alumnos(as) logren comprender que dependiendo de lo que se quiera ubicar en el plano es como se definirán los ejes coordenados. Así, por ejemplo, si se quiere ubicar el punto (1, 2) y el (2, 3), no es necesario construir un plano cartesiano con ejes coordenados en donde se especifique en el eje X y en el eje Y desde el –20 hasta el 20. Para esto se sugiere que primero sean ellos quienes construyan el plano y los ejes y que luego el(la) docente los induzca a cuestionarse sobre lo útil de su construcción. • Se sugiere estar atento a la escala que consideran los(as) alumnos(as) para la construcción de los ejes coordenados, ya que un posible error es considerar magnitudes diferentes, las que distorsionarán el dibujo a ubicar en el plano cartesiano. • También se sugiere que el(la) docente oriente constantemente a los(as) alumnos(as) a establecer la relación entre las figuras en el plano euclidiano y las figuras en el plano cartesiano, de manera que puedan apreciar la utilidad que este último nos presta. • A pesar de ser un CMO de III Medio, para complementar los contenidos revisados aquí y para una ampliación en la ejercitación, se sugiere al docente señalar a los(as) alumnos(as) cómo obtener el punto medio entre dos puntos a partir de sus coordenadas. En el taller de matemática, cuaderno de ejercicios complementario al texto del estudiante, se presentan algunas actividades en las que deberán determinar el punto medio entre dos puntos dados.

Profundización de contenidos Para que los(as) alumnos(as) se ejerciten en el manejo del plano cartesiano, así como también para fomentar en ellos el espíritu crítico–matemático en los mismos, se presenta el siguiente desafío, el cual se sugiere proponerlo y luego discutir su solución. Desafío: Los puntos A(2, 3) y B(5, 3) corresponden a los vértices de la base del triángulo ABC. Si se sabe que el área del triángulo ABC es 6 unidades cuadradas, ¿cuáles deben ser las coordenadas del vértice C? ¿Este problema tiene una o más soluciones? Respuesta: en este caso, el problema tiene infinitas soluciones. La única condición que debe cumplir C es que esté a distancia 4 unidades de la recta AB, es decir, puede ser cualquier punto de la recta y = 7 o y = –1. (Recuerde que los(as) alumnos(as) no manejan el concepto de ecuación de la recta, pero sí es posible presentarles este tipo de rectas como aquellas paralelas al eje X y que pasan por la ordenada 7 y –1, respectivamente).


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Vectores en el plano cartesiano (Páginas 84 y 85) El concepto de vector como CMO en este nivel, aparece por primera vez en el marco curricular oficial de junio 2009, pero en el texto de 8° Básico Bicentenario se trabajó la traslación de figuras a través de vectores. Sin embargo, en este texto se comienza a partir de la idea de vector construida de manera intuitiva, para luego formalizar su concepto analíticamente utilizando el plano cartesiano.

Sugerencias metodológicas • Un error bastante recurrente en los(as) estudiantes es confundir un vector con un punto, debido a la notación que se usa para describirlo. Frente a esto, se sugiere que el docente le señale al alumno(a) la razón por la que se describe un vector a través de las coordenadas de un punto (sus componentes), poniendo especial énfasis en que primero se ubica el punto (de acuerdo a sus coordenadas) y luego se traza el vector. • En general, a los(as) estudiantes les cuesta comprender por qué dos vectores que tienen distintas componentes pueden ser equivalentes. Se sugiere estar atento(a) a esta confusión y aclararla desde la definición de un vector. • Otro error recurrente, cuando se comienza el estudio de vectores, es confundir el vector 0 con el número 0. Si bien esto no presenta demasiados obstáculos en este contenido, debido a su poca aplicación en las transformaciones isométricas, en contenidos futuros y más complejos (en física y posteriormente en el álgebra lineal) sí lo hará, ya que el operar entre vectores y escalares, solo por dar un ejemplo, se requiere la diferenciación entre estos dos conceptos.

Traslaciones en el plano cartesiano (Páginas 88 y 89) De acuerdo al Ajuste Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) trabajan con traslaciones en 8° Básico, pero solo en el plano euclidiano, por lo tanto, les será bastante familiar, aplicarlas en el plano cartesiano. En caso de que los(as) alumnos(as) no hayan trabajado este contenido previamente, el(la) docente deberá considerar, además de ver traslaciones en el plano cartesiano, la idea básica e intuitiva de traslación.

Sugerencias metodológicas • Para abordar este contenido es vital comprender la traslación como un movimiento en el plano a partir de un vector de traslación, por lo que el(la) docente debe estar atento(a) al nivel de compresión que tienen los(as) estudiantes al respecto. • Para clarificar lo que está sucediendo al efectuar una traslación según un determinado vector, se sugiere dibujar con líneas punteadas los vectores que se forman entre los puntos de la figura original y los puntos de la imagen, puesto que allí se ve claramente que el vector que traslada a cada uno de los puntos es siempre el mismo (misma magnitud, dirección y sentido). • Se sugiere, a modo de profundización de contenidos, discutir qué es lo que sucede si en lugar de puntos se traslada, por ejemplo, un segmento en el plano cartesiano según un vector, una recta según un vector, etc.

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Profundización de contenidos Para profundizar en el concepto de traslación y la forma de efectuarla en el plano cartesiano, se propone el siguiente ejercicio a modo de desafío. Se sugiere trabajarlo también con un software geométrico, de manera que los(as) alumnos(as) puedan manipular los objetos geométricos y así logren deducir lo que se propone demostrar. Desafío: En la siguiente figura, ABC es un triángulo y ABED es un rectángulo. Por los vértices C, D y E se han trazado rectas perpendiculares a los lados DE, BC y CA, respectivamente. ¿Es cierto que estas tres rectas concurren en un mismo punto? Para resolver este problema, contesta primero lo siguiente. →

a. ¿Cuáles son las imágenes de estas tres rectas al efectuarles una traslación según el vector EB? b. ¿Puedes concluir algo al respecto? Respuesta: la clave está en darse cuenta de que si se trasladan rectas que son concurrentes, las → nuevas rectas también lo serán. Así, al efectuarles a las rectas una traslación según el vector EB se obtienen tres nuevas rectas, las cuales corresponden a las alturas del triángulo ABC, es decir, estas concurren en un mismo punto (el ortocentro). Por lo tanto, las tres rectas originales, que son las → traslaciones de las alturas del triángulo según el vector BE, sí son concurrentes. Y

C

A

B

D

E

X

Suma de vectores (Página 90) La finalidad de definir la suma entre vectores es justificar la forma de proceder en la composición de traslaciones. Es por esta razón que este contenido se sugiere verlo en este momento y no inmediatamente después de ver el concepto de vector.

Sugerencias metodológicas • Al tratar con vectores, es muy importante que el docente se asegure de que los contenidos revisados anteriormente han sido comprendidos de manera correcta, poniendo especial atención a los posibles errores y confusiones que se señalan en las sugerencias metodológicas correspondientes. Santillana Bicentenario

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• Es necesario que el(la) estudiante logre rescatar las principales ventajas que nos entrega cada uno de los métodos propuestos para sumar vectores, ya que mientras uno es más rápido y sencillo de calcular, el otro nos muestra gráficamente qué es lo que sucede con la suma de vectores.

Profundización de contenidos Para reforzar en los(as) alumnos(as) el concepto de vector, así como la forma de operar con ellos, se presentan los siguientes desafíos. Se sugiere proponerlos y luego discutir su solución. →

→

→

→

→

→

Desafío1: Representa sobre la siguiente figura los vectores u = AB + CD y v = AD + BC Respuesta: Y

Y

B

C

B

A

C

A →

u

→

v

X

D

X D

Desafío 2: a. Ubica los puntos A(2, 1), B(6, 1) y C(4, 3) en el plano cartesiano y forma con ellos el triángulo ABC. b. Llama M1 al punto medio del lado AB, M2 al punto medio del lado BC y M3 al punto medio del lado CA. Determina las coordenadas de los puntos M1, M2 y M3. Respuesta: las coordenadas de los puntos son M1(4, 1), M2(5, 2) y M3(3, 2). →

→

→

c. Determina las componentes de los vectores CM1, AM2 y BM3. → → → Respuesta: CM1 = (0, –2), AM2 = (3, 1) y BM3 = (–3, 1) →

→

→

d. Calcula la suma CM1 + AM2 + BM3. ¿Se obtendrá la misma suma si se cambian las coordenadas de los vértices del triángulo ABC? → Respuesta: la suma de dichos vectores es el vector 0. Se sugiere trabajar en esta última conjetura con la ayuda de algún software matemático, como por ejemplo GeoGebra. Este ejercicio puede ser más interesante y lúdico si se asocia a la idea de que el centro de gravedad de un triángulo es “su punto de equilibrio”. Por ejemplo, se les puede comentar a los(as) estudiantes que si en dicho punto se pusiera una aguja muy fina y se intentara suspender el triángulo en el aire mediante dicha aguja, el triángulo se mantendría en equilibrio, relacionando este hecho físico con que la suma de los vectores correspondientes sea siempre el vector (0, 0).

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Composición de traslaciones (Página 91) Aquí se espera que los(as) alumnos(as) descubran que la composición de traslaciones siempre dará como resultado una nueva traslación, ya que la suma de vectores es siempre un vector.

Sugerencias metodológicas • Se sugiere mostrar a los(as) alumnos(as) que la composición de traslaciones es conmutativa, es decir, que al realizar traslaciones sucesivas, da igual el orden en el que se efectúan.

Profundización de contenidos Para reforzar la composición de traslaciones, así como los conceptos de traslación y vector, se propone el siguiente desafío. Desafío: Observa la figura y luego, realiza las actividades. Y D

B A R

X

S

a. Si se busca un punto C tal que ABCD sea un paralelogramo, ¿cómo podrías determinar su ubicación? → → → → Respuesta: se traslada el punto B según el vector AD, o bien se determina el vector u = AD + AB, donde uno de sus extremos corresponderá al punto C. →

b. Traslada el triángulo SAR según el vector AD. Luego, trasládalo nuevamente según el vector → AB. ¿Qué puedes observar? ¿Existe alguna relación entre el área del triángulo SAR y la del paralelogramo ABCD? ¿Cuál? Respuesta: el área del triángulo SAR es igual a la mitad de la del paralelogramo ABCD, pues al → → → hacer una traslación del triángulo SAR según el vector u = AD + AB se obtiene el triángulo ACD, el cual tiene por área la mitad de dicho paralelogramo.


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Simetría axial (Páginas 94 y 95) Sugerencias metodológicas • Se sugiere, para evitar cualquier tipo de confusión, señalar a los(as) alumnos(as) que cuando se mencionan los ejes de simetría no se refiere exclusivamente a los ejes tradicionales (el eje X y el eje Y), sino a cualquier recta que se use para efectuar la simetría.

Profundización de contenidos Para profundizar en el concepto de simetría axial y en sus aplicaciones, se proponen los siguientes ejercicios a modo de desafío. El primero está pensado para trabajarlo como construcción con la ayuda de un software geométrico, aplicando simetría axial y complementándolo con la puesta en práctica de algunos conocimientos previos de geometría; con el segundo interesa que el(la) alumno(a) deduzca algunos resultados importantes de la simetría axial. Desafío 1: Construye la figura, considerando que m(OI) = m(MI) = 4 cm, y que los puntos I y J son simétricos con respecto a la recta MK. ¿Cuál es la naturaleza del triángulo IJK? ¿Cuál es el perímetro de la figura achurada?

K O

I M J

Respuesta: el triángulo es isósceles, ya que el segmento KJ es el simétrico del segmento KI con respecto a la recta. El perímetro de la figura achurada es 8 + 8π?

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Desafío 2: Observa la figura y realiza las siguientes actividades. Y

C D

A r B

X

a. Construye el triángulo A’B’C’, simétrico del triángulo ABC con respecto al eje r. b. Construye D’, simétrico del punto D con respecto a la recta r. ¿Pertenece este punto al segmento B’C’? Respuesta: sí. c. Si se considera un punto cualquiera perteneciente al segmento BC y se construye su simétrico con respecto a la recta r, ¿pertenecerá también al segmento B’C’? Respuesta: sí. d. Y si se considera cualquier punto perteneciente al segmento AD y se construye su simétrico con respecto a la recta r, ¿pertenecerá al segmento A’D’? Respuesta: sí. e. ¿Qué puedes concluir? Respuesta: si se considera un punto de un segmento, el simétrico de éste pertenecerá al simétrico del segmento original. f. ¿Es cierto que los segmentos B’C’ y A’D’ son perpendiculares? Respuesta: sí. g. ¿Qué puedes concluir? Respuesta: la simetría axial de dos segmentos perpendiculares corresponde a dos nuevos segmentos perpendiculares entre sí.

Simetría central (Páginas 96 y 97) Sugerencias metodológicas • Se sugiere seguir señalando con líneas punteadas las distancias entre los puntos originales y sus simétricos, de manera que el(la) estudiante pueda observar y reforzar constantemente el concepto de simetría en el plano y el tipo de movimiento que esta implica. • Es importante que el(la) docente sea insistente en que el centro de simetría corresponde al punto medio del segmento, cuyos extremos son el punto original y su simétrico con respecto a dicho centro.


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Profundización de contenidos Desafío 1: Considera un triángulo ABC y M el punto medio del segmento AB, tal como lo muestra la figura. ¿Es cierto que los puntos A y B están a igual distancia de la recta r? Para demostrar esto contesta las siguientes preguntas. a. ¿Cuál es el simétrico del punto A con respecto al punto M? Respuesta: B. b. ¿Cuál es el simétrico del punto A’ con respecto al punto M? Respuesta: B’. c. ¿Cuál es el simétrico del segmento AA’ con respecto al punto M? Respuesta: el segmento BB’. d. ¿Qué puedes concluir con respecto a las distancias desde los puntos A y B a la recta r? Respuesta: los puntos A y B se encuentran a igual distancia de la recta. Y

r

A’ A

M B’

B

X

Desafío 2: En la figura, ABDC es un paralelogramo, P y P’ son dos puntos del segmento CB tales que: m(CP) = m(P’B). ¿Es cierto que AP’DP siempre es un paralelogramo, independiente de la elección de P? Para demostrar esto contesta las siguientes preguntas. a. Traza la diagonal AD del paralelogramo ABCD y denomina O a la intersección de sus diagonales. ¿Qué relación se puede establecer entre los puntos P, O y P’? Respuesta: P’ es el simétrico de P con respecto a O. b. ¿Qué relación puedes establecer entre los puntos A, O y D? Respuesta: D es el simétrico de A con respecto a O. c. ¿Cuál es la imagen del segmento AP por una simetría central de centro O? Respuesta: el segmento P’D. d. ¿Cuál es la imagen del segmento PD por una simetría central de centro O? Respuesta: el segmento P’A.

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e. ¿Qué puedes concluir? Respuesta: como P’D y P’A son segmentos simétricos con respecto a O de los segmentos AP y PD, respectivamente, estos son paralelos a sus preimágenes correspondientes. Por lo tanto, AP’DP es un paralelogramo. Se sugiere trabajar este ejercicio con algún software geométrico, de manera que los(as) alumnos(as) puedan hacer variar la posición del punto P, construir la figura del problema y conjeturar posibles hipótesis a partir de la manipulación de los objetos en juego.

Y D C

P

P’ B A

X

Rotaciones (Páginas 100 a 103) De acuerdo al Ajuste Curricular Aprobado, corresponde trabajar este contenido en 8° Básico, por lo que el concepto de rotación como movimiento en torno a un punto en un cierto ángulo se espera que les resulte bastante familiar. Se sugiere que, en caso de no haber sido cubierto este contenido previamente, el(la) docente ponga especial atención en la idea intuitiva de rotación antes de contextualizarla en el plano cartesiano.

Sugerencias metodológicas • Al hablar de rotación, es elemental considerar el ángulo, en especial su relación con la circunferencia. Este es un contenido correspondiente a 8° Básico, por lo que se espera que los(as) estudiantes lo recuerden y lo puedan aplicar en una rotación. Se sugiere al docente estar atento al manejo de estos conceptos por parte de los(as) alumnos(as), aclarándolos en caso de ser necesario. • Es probable que algunos(as) alumnos(as) cometan errores al rotar figuras a favor de las manecillas del reloj. En este caso, es importante que el(la) docente les señale cómo se miden los ángulos (en sentido antihorario) y que es esta la razón por la que se rota así. Además, puede resultar una muy buena experiencia para los(as) alumnos(as) encontrar el ángulo que permite obtener la figura imagen bajo una rotación en sentido horario.


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Profundización de contenidos Para profundizar el concepto de rotación, trabajar la demostración y aplicar los contenidos revisados en esta unidad con la ayuda de un software geométrico (se sugiere GeoGebra). Se proponen los siguientes desafíos. Desafío 1: En la figura, ABCD y CEFG son dos cuadrados tales que m(CD) = m(CE). ¿Qué relación hay entre las medidas de los segmentos DE y BG? Para resolver este problema, responde primero las siguientes preguntas. Y

G

D

F

C

E A

B

X

a. ¿Qué rotación (con qué centro y qué ángulo) permite obtener el segmento CB a partir del segmento CD? Respuesta: una rotación con centro en C y ángulo 90º. b. ¿Qué rotación (con qué centro y qué ángulo) permite obtener el segmento CG a partir del segmento CE? Respuesta: la misma que la anterior, es decir, una rotación con centro en C y ángulo 90º. c. ¿Qué se obtiene si se aplica alguna de las rotaciones obtenidas en a. al segmento DE? Respuesta: la rotación transforma al segmento DE en el segmento BG. d. ¿Qué puedes concluir respecto a los segmentos DE y BG? Respuesta: como la rotación no modifica medidas, los segmentos DE y BG miden lo mismo. En este caso, el cuadrado CEFG corresponde a la rotación del cuadrado ABCD con centro C y ángulo 135º. Por esta razón, resulta interesante ver que independiente del ángulo en el que se rote el cuadrado ABCD para formar la figura que se muestra, siempre se tendrá que m(DE) = m(BG).

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Desafío 2: En la figura, ABC es un triángulo cualquiera. Al exterior de él se han construido tres triángulos equiláteros: BCA’, CAB’ y ABC’. Y A’ B’ C

B

A

X

C’

a. ¿Existe alguna relación entre el área de los triángulos BCB’ y A’CA? Sugerencia: Observa qué sucede si el triángulo A’CA se rota en torno al punto C en un ángulo de 60º. Respuesta: al rotar el triángulo A’CA en torno a C en un ángulo de 60º se obtiene el triángulo BCB’; es decir, los triángulos A’CA y BCB’ tienen la misma área (de hecho, son congruentes, por lo que este ejercicio puede ser propuesto en esta unidad o luego de ver congruencia de triángulos, contenido que corresponde, de acuerdo al nuevo marco curricular, a I Medio). b. ¿Qué se puede decir sobre los triángulos C’BC y ABA’? Sugerencia: Observa qué sucede si se le efectúa una rotación al triángulo ABA’ con centro en B y ángulo 60º en sentido contrario. Respuesta: al rotar el triángulo ABA’ en torno al vértice B en un ángulo de 60º se obtiene el triángulo C’BC; es decir, los triángulos ABA’ y C’BC son congruentes. Por las características de este problema, se sugiere trabajarlo con la ayuda de un software geométrico, de manera que el(la) estudiante pueda manipular los objetos y conjeturar al respecto, logrando apreciar que este resultado es independiente de la elección del triángulo ABC. Desafío 3: En la figura, ABC es un triángulo cualquiera y A’B’C’ es la rotación del triángulo ABC en torno a un determinado punto O. ¿Puedes determinar dicho centro de rotación? Para encontrarlo, se te sugiere que analices lo siguiente. a. Determina las simetrales de los segmentos BB’, AA’, y al punto de intersección denomínalo P. b. ¿Cómo deben ser las longitudes de los segmentos PB y PB’? Respuesta: deben medir lo mismo. c. Según la respuesta anterior, ¿qué tipo de triángulo se forma con los puntos B, B’ y P? Respuesta: el triángulo BB’P es isósceles. d. Analiza lo mismo que en la parte b., pero esta vez con los segmentos PA y PA’. e. Haz una rotación del triángulo ABC en torno al punto P con respecto al ángulo BPB’. ¿Qué relación hay entre P y el centro de rotación O? Respuesta: son el mismo punto. Santillana Bicentenario

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f. Conjetura una forma de obtener el centro de esta rotación. Respuesta: la intersección de las simetrales de los segmentos AA’, BB’ y CC’ corresponde al centro de rotación O.

Y C

A

B B’

C’

X

A’

A continuación se presentan dos fichas de reforzamiento (n° 1 y n° 2) con el propósito de apoyar el aprendizaje de los(las) alumnos(as) en relación a las transformaciones isométricas, especialmente en aquellos(as) cuyos rendimientos sean insatisfactorios o bien presenten mayores dificultades. Los problemas están basados en las actividades propuestas en el texto del estudiante. Luego, se presentan dos fichas de profundización (n° 3 y n° 4) que buscan ahondar en los aprendizajes y contenidos evaluados en esta unidad. Por esta razón, se recomienda trabajarlas con aquellos alumnos(as) cuyos resultados fueron satisfactorios y lograron obtener todas sus respuestas correctas, sin excluir a aquellos que por interés quieran conocer otras aplicaciones de este contenido.

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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Objetivos: Identificar y analizar qué tipo de transformación isométrica está presente en el diseño de cada uno de los naipes.

Unidad 3

Indica qué tipo de transformación isométrica está presente en cada una de las siguientes cartas del naipe inglés.


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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Objetivos: Trabajar el concepto y la aplicación de la traslación.

La búsqueda del tesoro En las últimas vacaciones en Coquimbo, Jorge encontró una botella abandonada que contenía un papel enrollado en su interior. Al leer el mensaje que estaba escrito, reconoció que se trataba del mapa de un tesoro oculto por un pirata no muy conocido. Intrigado por la situación, Jorge decidió seguir las instrucciones, sin embargo, aparecían trazadas dos rutas, como se indican a continuación. • Desde el cañón (ubicado en (0, 0)), diríjase 2 m al poniente, desde ese punto avance 5 m hacia el norte, luego 6 m hacia el oriente y 4 m hacia el norte. Después, diríjase 3 m al poniente y luego 8 m al sur, para continuar 3 m hacia el oriente. Por último, caminar 1 m hacia el poniente y 5 m hacia el sur. Ahí se encuentra el tesoro. • Desde el cañón de hierro, camine 3 m hacia el norte, desde ese punto dirigirse 7 m hacia el oriente, continúe 6 m hacia el norte, para luego caminar 4 m al poniente. Ubicado en ese sitio, 5 m al sur y luego 3 m al oriente. Dicha ubicación es el lugar donde está enterrado el cofre repleto de grandes tesoros. Si se tiene como referencia el siguiente mapa del sector, ¿qué camino es el que efectivamente eligió el pirata para ocultar su tesoro y el que debe recorrer Jorge en su aventura?

8 calabozo 6 4 2 cañón –4

–2

2 –2

mar –4

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4

6

8

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Unidad 3

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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Objetivos:

Unidad 3

Utilizar la simetría central como método de resolución de una demostración geométrica en un paralelogramo.

Lee y resuelve. Sea un paralelogramo ABCD y el punto O la intersección de sus diagonales. Demuestra que la medida del segmento EO es igual a la medida del segmento OF.

D

E

C

O

A

B F

Sugerencia: Determina el centro de simetría del paralelogramo.


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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Objetivos: Aplicar las transformaciones isométricas, en especial la traslación, como un método de estudio de las propiedades de las figuras geométricas planas.

Lee y resuelve. Sea el paralelogramo ABCD cuyo vértice C está fuera de los márgenes de la hoja. Trazar la parte visible del segmento , sabiendo que las coordenadas de los vértices conocidos son A(7, 2) ; B(1, 3) y D(2, –2).

B (1, 3)

A (7, 2)

D (2, –2)

Justifica el procedimiento que permite resolver esta tarea. ¿Es posible utilizar otra técnica que permita resolver de manera alternativa este problema? Justifica.

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Unidad 3

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CURSO:

FECHA:


Unidad 3

1. ¿Cuáles son las componentes del vector cuyo origen es el punto (5, 1) y su extremo el punto (6, –4)? A. (11, –3) B. (11, –5) C. (1, –5)

6. ¿Cuál de las imágenes representa una rotación de la figura 1 en 90º en torno al punto P?

D. (–1, 5) E. (1, 3)

→

I.

→

P

2. Si u = (–9, 7) y v = (12, –13), el resultado de → → u + v es : A. (21, 20) B. (–21, –20) C. (3, –20)

A. B. C. D. E.

3. ¿Cuál es el vector que, al trasladar el punto P(2, –1), forma un cuadrado con los puntos A(3, 2), B(3, –3) y C(–2, –3)?

D. (–2, –1) E. (–2, 3)

A. H, J, P son colineales. B.


y y y y y

HJ es bisectriz del ángulo formado por los ejes coordenados.

D. El segmento HJ pasa por (0, 0).

B’(1, 3) B’(–3, 3) B’(3, –3) B’(1, –3) B’(3, –7)

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↔

C. El segmento HJ es paralelo al eje X.

E. A’(–1, 5) A’(–1, 5) A’(1, –5) A’(3, –3) A’(3, –3)

D. P’(–1, –9) E. P’(1, 9)

8. Sea P un punto del primer cuadrante. H y J los simétricos de P con respecto al eje X e Y, siempre ocurre que:

5. Si se rota un segmento de extremos A(5, 1) y B(3, 3) en torno a O(0, 0), con un ángulo de 90º, las nuevas coordenadas son: A. B. C. D. E.

Solo I Solo II I y II Ninguna. No se puede determinar.

A. P’(9, –1) B. P’(–9, 1) C. P’(–9, –1)

4. Un punto P(4, 3) se traslada hasta el punto P’(2, –2). ¿Cuál es el vector de traslación correspondiente?

Figura 1

7. Al rotar P(9, –1) respecto al origen, en un ángulo de 270º, las coordenadas de la imagen son:

D. (–3, 4) E. (–4, 3)

A. (–2, –5) B. (–2, 5) C. (–2, 1)

P Figura 1

D. (3, 6) E. (3, –6)

A. (–2, 2) B. (5, 0) C. (3, –4)

II.

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P es centro de rotación entre H y J.

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9. Las coordenadas de los puntos A(1, 3) y B(6, 4) después de aplicar las simetrías con respecto a L1, L2 y L3 son: L3

12. ¿Cuáles son las coordenadas del punto que establece una simetría central en la figura?

L1

C

D

B A

A

C

B

L2

A. B. C. D. E.

A. (4, 2) B. (5, 2) C. (4, 1)

A(–3, –5) y B(2, –4) A(–5, –5) y B(2, –4) A(–3, –5) y B(–2, –6) A(1, 3) y B(6, 4) A(–3, –5) y B(2, –6)

13. Una simetría central siempre es equivalente a: A. B. C. D. E.

10. En la imagen, ¿qué puntos son simétricos? B C

D

D. (3, 2) E. No existen.

una traslación. una rotación en 270º. una simetría axial. una rotación en 180º. No tiene equivalencia.

C’ A A’

D’

14. Al realizar una simetría central a P(11, –4) respecto al origen, las coordenadas de la imagen son:

B’

A. A y A’ B. B y B’ C. C y C’

A. P’(–4, 11) B. P’(–11, 4) C. P’(–11, –4)

D. D y D’ E. Ninguno

15. Sea un triángulo de vértices A(0, 1), B(6, 2) y C(5, 4). Si se aplica una simetría central, con centro O(0, 1), ¿cuáles son las coordenadas del triángulo imagen?

11. En un triángulo equilátero, ¿cuál de estas rectas corresponden a un eje de simetría? I. Altura A. B. C. D. E.

II. Bisectriz

D. P’(11, 4) E. P’(4, –11)

A. B. C. D. E.

III. Simetral

Solo I I y II I y III II y III I, II y III

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A’(0, A’(2, A’(0, A’(0, A’(2,

1); 3); 1); 1); 3);

B’(–6, B’(–6, B’(–4, B’(–6, B’(–4,

2); 0); 2); 0); 2);

C’(–5, 4) C’(–5, 2) C’(–3, 0) C’(–5, 2) C’(5, 2)

Unidad 3

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Solucionario Ficha de reforzamiento nº 1 Rotación en torno al centro de la carta, con un ángulo de 180º.

Simetría axial, cuyo eje se representa con una línea roja sobre la carta.

Unidad 3

Simetría central con centro el centro de la rotación anterior.

Simetría axial en torno a los ejes señalados.

Rotación en torno al centro de la carta, con un ángulo de 180º.

Simetría central respecto del centro de la carta.

Simetría central con centro el centro de la rotación anterior.

Rotación en 180º respecto del centro del naipe.

No hay ninguna transformación isométrica.

Rotación en torno al centro de la carta, con un ángulo de 180º. Simetría central con centro el centro de la rotación anterior.

Ficha de reforzamiento nº 2 Seguir ambos caminos determina puntos diferentes, en el primer caso el punto de coordenadas (3, –4) y el segundo (6, 4). Sin embargo, el modo de discriminación sería por la factibilidad de enterrar el cofre en tierra firme o bajo el agua. Ficha de profundización nº 3 Como las diagonales de un paralelogramo se dimidian, se determina que O es el punto medio de los segmentos DB y AC, respectivamente. Por lo tanto, el punto B es el simétrico del punto D con respecto a O; análogamente, A es el simétrico de C con respecto a O, y viceversa. Luego, el segmento AB es simétrico del segmento DC, también con respecto a O. Como E es un punto perteneciente al segmento DC, el simétrico de E (el punto F), con respecto a O, debe pertenecer al segmento AB. Por lo tanto, por definición de simetría, O es el punto medio del segmento EF, es decir, la medida del segmento EO es igual a la medida del segmento OF. Ficha de profundización nº 4 Una posible solución es trasladar el paralelogramo de modo que los cuatro vértices estén totalmente contenidos en el papel, por ejemplo, considerando el vector (2, 0) u otro que sea pertinente. Luego, se traza el segmento A’C’ y se concluye trasladando este último en el sentido contrario (dirección opuesta) al vector inicial. Una segunda solución es la rotación del paralelogramo en torno a un punto específico (podría ser un vértice), de modo que la imagen de la rotación esté contenida totalmente en la hoja. Luego, se construye el segmento A’C’’ para luego hacer la rotación inversa, en torno al mismo centro escogido. De modo similar, es posible utilizar una simetría axial en torno a los segmentos AB y AD. La dificultad pasa por establecer la imagen de los segmentos inconclusos, pero es posible utilizar puntos auxiliares que estén en los segmentos correspondientes y luego hacer las proyecciones correspondientes para encontrar su intersección. Por último, se construye el simétrico del segmento A’C’’ con respecto al eje inicialmente determinado.


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Evaluación de la unidad 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

C E E A B B D D

9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

E B E A D B D

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Bibliografía • Carral, Michel, Géométrie. Ediciones Ellipses, París, 1995. • Hanouch, B., Choquer–Raoult, A., Cocault, M, Maths repères premier S, Hachete Éducation, París, 2005. • Manual esencial Santillana: Geometría. Editorial Santillana, Santiago de Chile, 2007. • Ministerio de Educación, Propuesta ajuste curricular, Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios, Matemática, junio 2009. Sitios webs • Cabrilog: www.cabri.com/es • Éditions du Kangourou: www.mathkang.org • Educarchile: www.educarchile.cl • Geometría dinámica: www.geometriadinamica.cl • Hachette Education: www.hachette–education.com • Ministerio de Educación: www.mineduc.cl • Sector matemática: www.sectormatematica.cl

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Presentación de la unidad El estudio de las funciones lineal y afín permite relacionar el álgebra con la geometría analítica (contenido que será revisado en profundidad en 2º y 3º Medio), asociando la pertenencia de un punto a una recta con el cumplimiento de una relación algebraica. Esta unidad tiene por objetivo que los(as) alumnos(as) aprendan a modelar situaciones cotidianas y matemáticas a través de estas funciones, que conozcan sus parámetros y puedan manejar algún software, para observar las posibles consecuencias de sus variaciones. Antes de comenzar la unidad revisar, es importante el fichero que se encuentra al final del texto del alumno, para evaluar si es necesario repasar contenidos previos.

Sugerencias metodológicas Para la actividad inicial propuesta es importante tener en cuenta la existencia de planes telefónicos que mantienen tarifas constantes por determinados minutos de llamado y cobros extras por minuto adicional hablado. Este tipo de situaciones se modela con una función ramificada, la cual no se aborda en este nivel.


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UNIDAD 4 | Funciones lineal y afín

Evaluación diagnóstica (Páginas 114 y 115) Con el Marco Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) de 8° Básico comienzan a trabajar con los conceptos de función, dominio, recorrido, y su representación gráfica; es por ello que se evalúan al inicio de la unidad.

Sugerencias o remediales • Para el indicador Utilizar funciones para modelar situaciones: se sugiere ordenar los datos en una tabla, para que puedan relacionar las variables dependiente e independiente y, a partir de esto, distinguir la función correspondiente. • Como remedial para el indicador Identificar funciones, sus elementos y su gráfica: se sugiere construir el gráfico de la función dada y compararlo con los propuestos. O bien, se les puede pedir que escojan un punto de la recta cuyas coordenadas sean fácilmente identificables, y verifiquen si la expresión algebraica de la función modela la relación entre la ordenada y la abscisa, remplazando los valores correspondientes. Si los(as) estudiantes tienen dificultades para relacionar las variables, se recomienda no asignar en primera instancia las letras x e y, sino letras más cercanas al contexto del problema. • Para el indicador Analizar situaciones de proporcionalidad directa mediante sus distintas representaciones: se sugiere, en caso de dificultades, ejercitar la comparación de fracciones, ya sea igualando denominadores o mediante la multiplicación cruzada.

Concepto de función (Páginas 116 y 117) Como se mencionó anteriormente, los(as) alumnos(as) comienzan el estudio de las funciones en 8° Básico, definiendo variables (dependiente e independiente), su notación algebraica, dominio y recorrido y, abordando la representación gráfica de una función utilizando las relaciones de proporcionalidad. Se sugiere repasar estos contenidos, pues seguramente los(as) alumnos(as) que cursan actualmente 1° Medio no los habrán trabajado con la misma profundidad. Recordar que al final del texto del alumno encontrará un fichero, en el cual podrá trabajar este contenido en forma particular.

Sugerencias metodológicas • Es importante que los(as) alumnos(as) comprendan que una función permite describir el comportamiento de una variable según la variación de otra. Para esto, se requiere que puedan explicar el procedimiento para obtener sus resultados, y logren comprender la relación que se establece en la función o “fórmula” obtenida. • Para modelar una situación mediante una función, se recomienda la utilización de tablas, para que así relacionen directamente la información y aprendan a manejarla de manera ordenada.

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• En el texto del estudiante se define función como: “una relación entre dos variables x e y, de modo que a cada valor de x le corresponde un único valor de y”. Esta definición se basa en que una relación matemática entre dos variables es una función solo cuando para cada pre-imagen existe una única imagen. Si bien en el texto del alumno no se trabajan las funciones como una relación que cumple ciertas condiciones (ya que no es CMO del nivel), sí se trabaja con él en la presente guía didáctica en la sección Ampliación de contenidos, para que el docente pueda explicar este contenido según las necesidades de su grupo curso. • De acuerdo con el Marco Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) estudiarán el conjunto de los números reales en 2° Medio, por tanto, en esta unidad, los ejemplos o ejercicios referidos al dominio y recorrido de alguna función corresponderán al conjunto numérico que los(as) estudiantes conocen, es decir, al de los números racionales (⺡).

Ampliación de contenidos Relaciones y funciones Definición: sean A y B dos conjuntos. Se denomina producto cartesiano entre A y B (y se anota A x B) al conjunto de todos los pares ordenados de la forma (a, b), siendo a un elemento de A y b uno de B, es decir: A x B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B} Ejemplo: si A = {4, 5, 6} y B = {1, 2, 3, 4}, entonces: A x B = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4)} Definición: sean A y B dos conjuntos. Se denomina relación entre A y B (y se anota R: A → B) a cualquier subconjunto del producto cartesiano entre A y B, es decir: R es una relación si R 傶 A x B Definición: una función es una relación f: A → B, en la que a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B. Ejemplo 1 Sean los conjuntos M = {1, 2, 3, 4} y N = {2, 4, 6, 8}. Se establece la condición “que el elemento de N sea el doble del elemento de M”. Así, la relación R1: M → N corresponde al conjunto de pares ordenados: R1 = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)} Como se puede observar, este conjunto es un subconjunto de M x N. Además, se puede destacar que a cada elemento de M se le asocia un único elemento de N. Por tanto, la relación R1 es una función.


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Ejemplo 2 Sean los conjuntos P = {a, b, c, d, e} y Q = {f, g, h, i}. Se establece la condición “que el elemento de P sea vocal y que el elemento de Q sea consonante”. Así, la relación R2: P → Q corresponde al conjunto de pares ordenados: R2 = {(a, f), (a, g), (a, h), (e, f), (e, g), (e, h)} Como se observa, este conjunto es un subconjunto de P x Q. Además, se puede aclarar que solo algunos elementos de A forman parte de esta relación, y a estos se les asigna más de un elemento de Q. Por tanto, la relación R2 no es una función. Cabe señalar que una relación no necesariamente se puede describir a través de una expresión; por ejemplo, en los conjuntos A = {a, b, c, d, e} y B = {f, g, h, i} se puede establecer la relación R3 = {(a, i), (a, g), (b, h), (c, f), (d, h), (d, i)} y en ella no existe una forma determinada de expresar los pares ordenados. En una relación, el conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados se denomina dominio, y el conjunto formado por las segundas componentes se llama recorrido. Considerando los ejemplos de R1 y R2, se tiene: Dom R1 = {1, 2, 3, 4} = M

Dom R2 = {a, e}

Rec R1 = {2, 4, 6, 8} = N

Rec R2 = {f, g, h}

Profundización de contenidos Dados los conjuntos A = {1, 3, 5, 7}, B = {1, 4, 6, 9} y C = {2, 6, 10, 14}, escribe las siguientes relaciones e identifica el dominio y el recorrido en cada una de ellas. 1. R: A → B, tal que el elemento de A sea menor que el elemento de B. Respuesta: R = {(1, 4), (1, 6), (1, 9), (3, 4), (3, 6), (3, 9), (5, 6), (5, 9), (7, 9)}; Dom R = A; Rec R = {4, 6, 9} 2. R: A → C, tal que el elemento de A sea mayor que el elemento de C. Respuesta: R = {(3, 2), (5, 2), (7, 2), (7, 6)}; Dom R = {3, 5, 7}; Rec R = {2, 6} 3. R: C → A, tal que el elemento de C sea el doble que el elemento de A. Respuesta: R = {(2, 1), (6, 3), (10, 5), (14, 7)}; Dom R = C; Rec R = A 4. R: B → C, tal que el elemento de B sea el antecesor del elemento de C. Respuesta: R = {(1, 2), (9, 10)}; Dom R = {1, 9}; Rec R = {2, 10} 5. Determina cuál o cuáles de las relaciones de los ejercicios 1 a 4 son funciones. Respuesta: la relación establecida en el ejercicio 3 es una función. |

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Proporcionalidad directa y función lineal (Páginas 118 a 121) Según el Marco Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) de 8° Básico modelan situaciones de proporcionalidad directa mediante una función. En estas páginas, a partir de estos conocimientos se define la función lineal, en la cual se relaciona el coeficiente de dirección (valor de la pendiente en una ecuación de la recta) con la constante de proporcionalidad y se representa gráficamente.

Sugerencias metodológicas • Los(as) estudiantes reconocen que dos variables son directamente proporcionales si el cociente y entre sus valores correspondientes es constante = k . Sin embargo, este cociente no está x definido cuando x = y = 0. Por ello, se sugiere hacer notar la diferencia entre modelar una y situación de proporcionalidad directa como = k y como y = kx. x

• Asimismo, se establece que en 2° Medio se estudia el conjunto de los números reales. Por esta razón, si bien el gráfico de la función se efectúa sobre ejes coordenados reales, en esta unidad se traza la recta para visualizar el comportamiento de la función correspondiente; pero, en rigor, no es correcto hacerlo, pues se está trabajando con el conjunto numérico de los racionales.

Pendiente de una recta (Páginas 126 y 127) En las páginas anteriores se identificó la pendiente como el coeficiente que acompaña a la variable independiente en una función lineal. A partir de la proporcionalidad ya estudiada, es posible presentarla como la razón entre los incrementos de las ordenadas y las abscisas de dos puntos cualesquiera de la recta, permitiendo calcularla e interpretarla en cada caso.

Sugerencias metodológicas • Una posible dificultad para los(as) estudiantes es determinar la pendiente de una recta a partir de dos puntos cuyas coordenadas involucren números negativos (por errores derivados del manejo de los signos). Por ello, se sugiere al docente indicarles que deben apoyarse con la gráfica de la recta, ya que en ella será más fácil determinar la distancia que hay entre las abscisas y las ordenadas de los puntos. • Por otro lado, no siempre la gráfica y la cuadrícula son de ayuda para determinar la pendiente; por 2 1 1 4 y B , . Por lo tanto, se sugiere generalizar, en conjunto con ejemplo, para los puntos A , 3 5 6 7 los(as) alumnos(as), y obtener la expresión algebraica para el cálculo de la pendiente de una recta.

• Para facilitar la interpretación de la pendiente de una recta y comprender las consecuencias que tiene su valor en la gráfica, se recomienda discutir diferentes casos.


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Función afín (Páginas 128 y 129) Sugerencias metodológicas • Antes de establecer la expresión algebraica de la función afín, al igual que en el caso de la función lineal, se sugiere apoyarse con tablas para modelar las situaciones propuestas como ejemplos o ejercicios. • En ocasiones se considera que la función lineal es exclusivamente la función de la forma y = mx, siendo un caso particular de la función afín (con n = 0), la que, de acuerdo a esta definición, no sería lineal. Sin embargo, el término “lineal” también se asocia de manera general a las expresiones de primer grado, por lo que suele considerarse que la función y = mx + n es lineal, por tener asociada una expresión de primer grado. Por otro lado, algunos plantean que es inadecuado decir que una función afín es lineal, por aspectos propios del álgebra lineal. Para lo que nos interesa aquí, se mantendrá esta distinción, advirtiendo a los(as) estudiantes sobre estas diferencias.

Aplicaciones de la función afín (Páginas 130 y 131) Sugerencias metodológicas Se sugiere presentar a los(as) estudiantes situaciones que no correspondan a funciones lineales o afines, de modo que no se asuma inmediatamente que toda función que modela una situación debe ser de este tipo.

Ampliación de contenidos A continuación, a modo de ampliación de los contenidos, se presentan otras funciones que pueden ser revisadas y estudiadas en esta unidad. Función valor absoluto Se define la función valor absoluto como aquella que a cada número le asigna el mismo número o su inverso aditivo, según sea positivo o negativo, respectivamente. Es decir: f(x) = x = cuyo gráfico es:

x, x ⱖ 0

–x, x ⬍ 0

Y

X

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+

Además, se tiene que Dom f = ⺢ y Rec f = ⺢ U {0}. Se observa que para dos pre-imágenes distintas se tiene la misma imagen. Recuerde que si trabaja esta función con los alumnos, ellos no conocen el conjunto numérico de los números reales (⺢). (Para aclarar este punto, leer las sugerencias metodológicas de las páginas 116 y 117). Ejemplo El 10 y el –10 (pre-imágenes) tienen como imagen al 10.

Profundización de contenidos Ejercicio Analizar y discutir las funciones f(x) = x + a y f(x) = x + a, para distintos valores de a. Se sugiere utilizar algún software, como por ejemplo Wiris. A modo de ejemplo, se grafican algunas funciones para su análisis y discusión. Gráfico de funciones: f(x) = x ; g(x) = x + 1 ; h(x) = x – 1 ; g(x) = x + 2 ; h(x) = x – 2

Y

X

Gráfico de funciones: f(x) = x ; g(x) = x + 1; h(x) = x – 1; g(x) = x + 2; h(x) = x – 2 Y

X


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Función parte entera La función parte entera, f(x) = [x], asocia a cada número el mayor entero que sea menor o igual a dicho número. Ejemplos 1. [2,3] = 2

2. [–1,45] = –2

3. [1] = 1

Su gráfica es:

Se observa que a cada pre-imagen se le asigna una única imagen. Es necesario hacer notar a los(as) estudiantes que el gráfico de esta función es considerablemente distinto a los de las funciones que hasta ahora han sido estudiadas, ya que no presenta continuidad. Además, para esta función se tiene que: Dom f = ⺢ y Rec f = ⺪. En esta función, un error común es considerar, por ejemplo, [–0,5] = 0, en lugar de [–0,5] = –1. Se sugiere al docente mostrar a los(as) alumnos(as) lo que sucede con la parte entera de los números positivos y de los números negativos. Ejercicio Analizar y discutir las funciones f(x) = [x + a], f(x) = [x] + a, f(x) = x + [x] y f(x) = x – [x] para distintos valores de a. Propóngales utilizar algún software, por ejemplo Wiris.

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Uso de un software (Páginas 132 a 135) Sugerencias metodológicas • Motivar a los(as) estudiantes a aprender a utilizar Wiris; así podrán ejercitarse de manera autónoma cada vez que lo necesiten. • Se recomienda utilizar este software, también para las funciones valor absoluto y parte entera, con las variaciones correspondientes de sus parámetros.

Composición de funciones (Páginas 140 a 143) En estas páginas se pretende definir la composición de funciones y estudiar sus principales propiedades. Se espera que el(la) alumno(a) logre componer funciones lineales y afines y, en general, cualquier tipo de función relativamente sencilla. Además, que aplique la composición de funciones en las transformaciones isométricas.

Sugerencias metodológicas • Un error que pueden cometer los(as) alumnos(as) al componer funciones se relaciona con la notación usada, ya que se asemeja a la multiplicación. Así, por ejemplo, al componer f(x) = x + 1 2 y g(x) = 2x, pueden realizar lo siguiente: (f o g)(x) = (x + 1)(2x) obteniendo 2x + 2x, en lugar de 2x + 1, que es lo correcto, ya que (f o g)(x) = f(g(x)) = f(2x) = 2x + 1 = 2x + 1. Por lo tanto, destaque la diferencia entre componer y multiplicar funciones. • Una dificultad común en el aprendizaje de funciones, y en su composición, es comprender que x es el argumento de la función, es decir, “lo que entra” (considerando la función como una máquina transformadora), y que es independiente de la letra o expresión que se utilice para ella.

Transformaciones isométricas y composición de funciones (Páginas 144 y 145) Continuando con el estudio de la composición de funciones, en estas páginas se presenta una aplicación de este contenido: composición de transformaciones isométricas cuyo resultado es una nueva transformación. Para este ejercicio, es vital la comprensión del concepto de función, ya que 2 2 se trabajará con funciones de R en R , es decir, con más de una variable.

Sugerencias metodológicas • Una de las principales dificultades consiste en la representación algebraica de una transformación isométrica. Se propone trabajar con los(as) estudiantes la notación de una transformación isométrica como una abreviación y elaborar, en conjunto, las expresiones algebraicas que permiten realizar dicha transformación, cuidando de indicar siempre sus parámetros en la forma adecuada.


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A continuación se presentan dos fichas de reforzamiento (n° 1 y n° 2), con el propósito de reforzar el aprendizaje de las funciones lineal y afín, especialmente para los(as) alumnos(as) con rendimiento insatisfactorio. Los problemas están basados en las actividades propuestas en el texto del estudiante. Luego, se presentan dos fichas de profundización (n° 3 y n° 4), que buscan ahondar en los aprendizajes evaluados en esta unidad. Por esta razón, se recomienda trabajarlas con los(as) alumnos(as) cuyos resultados fueron satisfactorios y lograron obtener todas sus respuestas correctas, sin excluir a aquellos que por interés quieran conocer otras aplicaciones de este contenido.

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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Objetivos: Determinar funciones afines y compararlas mediante su representación gráfica.

Unidad 4

ABCD y CEFG son dos rectángulos, cuyas medidas están expresadas en centímetros. E D

F 1

x

2 A

G

C m(DG) = 5 cm B

1. Escribe, en función de x, el perímetro P(x) del rectángulo ABCD.

2. Escribe, en función de x, el perímetro P’(x) del rectángulo CEFG.


3.

Representa en un mismo gráfico ambas funciones P(x) y P’(x). Observando el gráfico, determina el valor de x para el cual ambos perímetros tienen igual medida.

4. Determina algebraicamente el resultado anterior.

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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Objetivos: Identificar una proporcionalidad directa, considerando como referencia el cambio de unidades de medida. Utilizar la regla de tres para determinar el valor desconocido y establecer la función lineal correspondiente.

Un tren tiene una longitud de 125 m y avanza con una rapidez media de 136 km/h. Desde el momento en que ingresa a un túnel hasta el momento en que sale completamente, transcurren 27 segundos.

1. ¿Cuál es la longitud del túnel?

2. Determina una función que relacione la variable tiempo en horas y su equivalencia en segundos.

3. Determina una función que relacione la variable distancia en kilómetros y su equivalencia en metros.

Considera un cuadrado, cuyo lado mide x centímetros. 4. Completa la siguiente tabla. x (cm)

1

2

3

Perímetro Área

5. ¿El perímetro es proporcional a la longitud del lado del cuadrado? De ser cierto, determina la función que relaciona esta variable con la longitud del lado del cuadrado.

4. ¿El área es proporcional a la longitud del lado del cuadrado? Si es cierto, determina la función que relaciona esta variable con la longitud del lado del cuadrado.

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4

5

6

Unidad 4

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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Objetivos: Determinar funciones lineales y afines a partir de su gráfica.

Unidad 4

Determina la función correspondiente a cada recta. 1. f1(x) =

Y 8 f1

6 f4

4

f3

2. f2(x) =

f2

3. f3(x) =

2

–8

–6

–4

–2

0

4. f4(x) = 2

4

6

8

X

–2 –4 –6 –8

Considera un rectángulo, cuyas medidas de sus lados corresponde a 2,5 cm y x cm. 5. Completa la siguiente tabla. x (cm)

1

2

3

4

5

6

Perímetro Área

6. ¿El perímetro es proporcional a x? ¿El área es proporcional a x.


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7. Construye el gráfico correspondiente. ¿Qué conclusiones puedes obtener?

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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Objetivos: Utilizar el concepto de pendiente para mostrar que tres puntos son colineales.

Sean los puntos M y G en el plano cartesiano, cuyas coordenadas son M(150, 70) y G(–60, –28). Muestra que los puntos M, G y el origen O son colineales.

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Unidad 4

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CURSO:

FECHA:


Unidad 4

1. Si el precio de las naranjas es $ 350 por kilogramo, ¿cuánto debo pagar si compro 3,2 kilogramos? A. B. C. D. E.

$ $ $ $ $

5. ¿Cuál es la pendiente de la función que contiene los puntos A(3, 5) y B (6, 11)? A. 2 B. 0,5 C. –2

1.137 1.138 1.120 1.121 1.225

1 6. La pendiente de la función f(x) = x + 7 corresponde a: 2 A. 7 B. 2 C. 1,5

2. Si un vehículo rinde 16 km (d) por cada litro de bencina (B), ¿cuál es la función que representa tal relación? A. B. C. D. E.

B = 16d B = d · 16 16 = B · d d = 16B d = 16 + B

f(x) f(x) f(x) f(x) f(x)

= = = = =

1 funciones f(x) = 3x y g(x) = – x + 2 ? 3

2x –0,5x x 0,5x –2x

A. Representan rectas paralelas. B. Ambos representan relaciones de proporcionalidad directa. C. Representan rectas perpendiculares. D. Representan rectas que se intersectan en dos puntos. E. Ninguna de las anteriores.

Y 3 2 1 0

–1

1

2

3

4

5

X

–1

8. ¿Cuál o cuáles de las siguientes funciones tienen coeficiente de posición igual a –3? A. B. C. D. E.

4. Al completar la tabla de proporcionalidad directa, los valores que corresponden a J y K son: A. B. C. D. E.

18 y 10,5 63 y 7,5 7,5 y 63 10,5 y 63 10,5 y 18


D. 1 E. 0,5

7. ¿Qué puedes decir de los gráficos que representan las

3. El siguiente gráfico corresponde a la función: A. B. C. D. E.

D. 8 E. 0,125

27

45

K

J

17,5

7

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f(x) f(x) f(x) f(x) f(x)

= = = = =

4x – 3 y g(x) = –2 + 3x 3x + 3 y g(x) = 3x 5x – 3 y g(x) = x – 3 –3x + 3 y g(x) = –3x + 7 5x + 3 y g(x) = 2x + 3

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13. Considerando las funciones f(x) = 0,5x + 2, 2 g(x) = x – 3,5 y h(x) = x , determina el valor de (h o f o g)(6,5).

9. Determina el parámetro t de la función afín: h(x) = tx + 1, de manera que se cumpla h(–3) = 7. A. B. C. D. E.

–2 3 2 0 1

A. 6,5 B. 21,375 C. 3,0625

10. Si se considera como dominio de la función f(x) = 4,1x + 2 el conjunto ⺡, ¿cuál es el recorrido correspondiente? A. B. C. D. E.

A. B. C. D. E.

A. B. V. D. E.

(g (g (g (g (g

o o o o o

f)(x) f)(x) f)(x) f)(x) f)(x)

= = = = =

(f o f)(x) (f o g)(x) (g o f)(x) (g o g)(x) Ninguna de las anteriores.

7 5 3 1 0

1

2

3

X

15. Si f(x) = 5x + t y g(x) = x – t, ¿cuál es el valor de t para que f(g(3)) = 7? A. 3 4 3 3 C. 4 B.

A, pues es más económica después del 8º día. A, pues es más económica después del 9º día. Da lo mismo, el valor es el mismo. B, pues es más económica después del 9º día. B, pues es más económica después del 8º día.

D. 2 A. No se puede determinar.

12. Dadas las funciones f(x) = –2x + 5 y g(x) = 3x – 8, ¿cuánto resulta la composición (g o f)(x)? A. B. C. D. E.

14. Sean f(x) = 3x – 2 y g(x) = x + 1. El siguiente gráfico representa: Y

Los racionales mayores que 2. Los racionales mayores o iguales que 2. Los racionales menores que 2. Los racionales menores o iguales que 2. Ninguna de las anteriores.

11. Una empresa A cobra $ 22.000 diarios por el arriendo de un vehículo, más una garantía de $ 50.000. La empresa B cobra $ 25.000 diarios más una garantía de $ 20.000. ¿Qué empresa conviene contratar durante 10 días de uso del vehículo?

D. 12,25 E. 19,625

16. La transformación isométrica equivalente a realizar la simetría axial con respecto al eje→ Y del punto P(x, y) y, luego, trasladarlo según el vector v = (0, b) corresponde a:

x–3 –6x – 40 9x – 32 –6x + 21 –6x + 7

→

A. una traslación según el vector v = (–2x, b). B.

→

una traslación según el vector v = (2x, b). →

C. una traslación según el vector v = (2x, –b).

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→

D

una traslación según el vector v = (–2x, –b).

E.

una traslación según el vector v = (2x, –b + x).

→

Unidad 4

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Solucionario Ficha de reforzamiento nº 1

14

Y

12

1. P(x) = 4 + 2x 2. P’(x) = 12 – 2x 3. y 4.

10 8 6

Unidad 4

4 2 0

1

2

3

4

5

6

X

El valor de x, para el cual ambos perímetros tienen igual medida, es 2. Lo obtenemos igualando las expresiones de ambas funciones. 4 + 2x = 12 – 2x 4 + 4x = 12 4x = 8 x=2

/ + (2x) / + (–4) /:4

Ficha de reforzamiento nº 2 1. Desde que un tren ingresa al túnel hasta que su parte posterior sale de él, transcurren 27 segundos. Si la longitud del túnel 125 + x m/s . son x metros, el tren recorrió entonces (125 + x) metros en 27 segundos. Es decir, su rapidez es 27 340 Para comparar, se expresa la velocidad del tren (136 km/h) en metros por segundo, es decir, m/s, ya que, 136 kilómetros 9 equivalen a 136.000 metros y, 1 hora a 3.600 segundos. Luego, 136.000 = 340 3.600 9 Por último, igualando los resultados obtenidos, se tiene que:

125 + x 340 1020 = = 27 9 27 125 + x = 1.020 x = 895

Luego, la longitud del túnel es de 895 metros. 2. Sea s la variable tiempo en horas de la función h(s) = 3.600 s; transforma el tiempo en horas a segundos. 3. Sea m la variable distancia en kilómetros de la función k(m) = 1.000 m, transforma la distancia de kilómetros a metros. 4.

x (cm)

1

2

3

4

5

6

Perímetro

4

8

12

16

20

24

Área

1

4

9

16

25

36


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5. El perímetro es proporcional al lado del cuadrado y su función lineal correspondiente es P(x) = 4x. 6. El área no es proporcional al lado del cuadrado, por lo tanto, la función que los relaciona no es lineal. Ficha de profundización nº 3 1. f1(x) = 2.

3 x 2 1 x; f2(x) = ; f3(x) = x + 2; f4(x) = – x + 2 2 2 3 2

x (cm)

1

2

3

4

5

6

Perímetro

7

9

11

13

15

17

2,5

5

7,5

10

12,5

15

Área

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Y 10

3. Solo el área es proporcional a la medida de x. 4. Al graficar, se verifica que el área es proporcional a la medida de x, y se relacionan mediante la función lineal A(x) = 2,5x.

8 6 4 2 0

Ficha de profundización nº 4

2

4

6

8

10

X

Se determina la pendiente de la recta que pasa por los puntos M y O, y se verifica que es la misma pendiente de la recta que pasa por G y O, y M y G. 70 – 0 –28 – 0 70 – –28 = = = 0,46 150 – 0 –60 – 0 150 – –60 Luego, cada par de puntos determina una única recta cuya pendiente es la misma en todos los casos. Por lo tanto, los tres puntos pertenecen a una misma recta, lo que muestra que son colineales. Otra estrategia para resolver este problema es determinar la función lineal que contiene los puntos M y G, para luego comprobar que también el origen pertenece a dicha función.

Evaluación de la unidad 1. 2. 3. 4.

C D D E

5. 6. 7. 8.

A E C C

9. 10. 11. 12.

A E C E

13. 14. 15. 16.

D B D A

Bibliografía • Ministerio de Educación, Propuesta Ajuste Curricular, Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios, Matemática, junio, 2009. Sitios webs • Éditions du Kangourou: www.mathkang.org • Educarchile: www.educarchile.cl

• Ministerio de Educación: www.mineduc.cl • Sector matemática: www.sectormatematica.cl

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Presentación de la unidad En esta unidad se estudiará el concepto de congruencia de figuras planas y las condiciones mínimas que permiten establecerla. Se presenta una nueva herramienta matemática: la demostración. Junto con los criterios de congruencia, se profundiza en el estudio de algunas propiedades de las figuras geométricas. Antes de comenzar la unidad, es importante revisar el fichero que se encuentra al final del texto del alumno, para evaluar si es necesario repasar contenidos previos.

Sugerencias metodológicas • Para reproducir figuras idénticas a una original, el hombre ha creado diversos mecanismos y tecnologías: desde el calcado en papel, el estarcido o las fotocopias, entre otras; al aplicar estas técnicas se crea una isometría entre las figuras. Puesto que esta es la manera preliminar de comparar objetos en el espacio, en el plano se necesitarán criterios que permitan establecer una relación de congruencia; es ahí en donde las transformaciones isométricas tienen protagonismo, ya que dadas dos figuras, determinar si efectivamente una es la transformación de la otra entregará una primera aproximación a los criterios de congruencia.


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UNIDAD 5 | Congruencia de figuras planas

• Para complementar la actividad propuesta en el libro, pueden considerar otras transformaciones aparte de la simetría axial. La regla y el compás pueden facilitar el trabajo de los(as) estudiantes, para confirmar o descartar la congruencia entre las figuras. Por otra parte, esta misma actividad puede ser apoyada mediante un software de geometría dinámica, como por ejemplo Cabrí II ó GeoGebra, que permita mover una figura para hacerla coincidir (si es que es posible) con otra. También puede realizarse un trabajo conjunto con el subsector de artes visuales en relación con distintas técnicas de calcado o copiado de imágenes.

Evaluación diagnóstica (Páginas 158 y 159) Sugerencias o remediales • Para el indicador Caracterizar y clasificar triángulos según las medidas de sus lados y ángulos: si observa errores en el concepto de desigualdad triangular, pueden realizar construcciones de triángulos con regla y compás, y considerar medidas en las cuales la construcción no sea posible de realizar. • Para el indicador Reconocer los elementos secundarios de un triángulo y calcular áreas, perímetros u otras medidas: se propone estudiar los triángulos y sus diferentes elementos secundarios desde las construcciones con regla y compás. El uso de softwares de geometría dinámica permite mostrar una serie de propiedades de una manera interactiva (en particular, para resolver problemas como el de la pregunta 6). • Para el indicador Reconocer y aplicar transformaciones isométricas: las transformaciones isométricas involucradas en un mosaico pueden determinarse con instrumentos de medición. Para reforzar este contenido, se sugiere realizar una serie de ejercicios, comenzando con mosaicos de polígonos regulares, para luego aumentar la dificultad con polígonos irregulares. Es muy útil utilizar material concreto para mostrar la posibilidad de construcciones mediante distintas transformaciones isométricas. • Para el indicador Calcular medidas de lados, ángulos, áreas o perímetros en cuadriláteros y figuras compuestas: considere la triangulación de los polígonos para trabajar con propiedades pertinentes a los triángulos y, a partir de esto, la extensión a la figura original.

Congruencia (Páginas 160 y 161) Sugerencias metodológicas • Antes de explicar el concepto de congruencia es conveniente hacer una pequeña recapitulación de las transformaciones isométricas. • El concepto de congruencia puede resultar de fácil comprensión para los(as) alumnos(as), ya que tiene mucha relación con el concepto de igualdad. Por esta razón, se sugiere al docente comenzar la unidad desde las ideas previas que tengan y, si no es posible utilizar un software geométrico (como el que se señala en el texto), presentar a los estudiantes diferentes figuras,

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algunas congruentes y otras no, y pedirles que intenten superponerlas, para luego formalizar la definición de congruencia y determinar su relación con las transformaciones isométricas. • El movimiento de traslación, para establecer si dos figuras son congruentes, suele entenderse intuitivamente, porque no implica un giro o una inversión de la figura. Sin embargo, los movimientos de simetría y rotación pueden presentar mayores dificultades para los(as) alumnos(as). Por esta razón, hay que estar atentos a este hecho, ya que algunos(as) estudiantes pueden conformarse solo con trasladar la figura y decidir que no son congruentes, cuando sí lo son. • Una dificultad común para los(as) estudiantes es la determinación de los lados correspondientes u homólogos entre dos triángulos. Frente a esto, apóyelos(as) con material concreto, para que luego realicen de manera abstracta la correspondencia. Además, se sugiere recurrir a lo práctico, o sea, escribir la congruencia respetando la correspondencia de los lados, ya que de esta notación se puede deducir fácilmente, de las letras, aquellos lados que son congruentes. • Muchos(as) alumnos(as) confunden los conceptos de igualdad y congruencia, suelen concluir que si dos triángulos son congruentes, entonces, “son iguales”. Es importante que comprendan que, al tener dos triángulos congruentes, sus lados y ángulos correspondientes tienen igual medida, pero los triángulos siguen siendo dos figuras totalmente independientes. Aclare, entonces, que lo correcto es hablar de medidas iguales, y no de elementos geométricos iguales, sino congruentes. Se sugiere, por lo mismo, ser riguroso en la notación.

Construcción de triángulos y congruencia (Páginas 162 y 163) De acuerdo con el Marco Curricular aprobado, los(as) estudiantes construyen ángulos en 6º Básico y los elementos de un triángulo (bisectrices, transversales, etc.), los revisan en 7º Básico. En este mismo curso se estudia construcción de triángulos a partir de las medidas de sus lados y ángulos. En estas páginas se aplican criterios de congruencia a partir de las condiciones necesarias y suficientes para construir un triángulo utilizando regla y compás.

Sugerencias o remediales • Para que los alumnos y alumnas adquieran mayor dominio en la construcción de triángulos, discuta con ellos acerca de las condiciones o datos necesarios y suficientes para ello. Pregúnteles: - ¿siempre es posible construir un triángulo dadas tres condiciones? - ¿qué sucede si solo se dan dos condiciones?, - ¿qué sucede si se dan más de tres condiciones?, ¿se puede construir? • Alternativo a la construcción con regla y compás se sugiere al docente utilizar algún software geométrico.


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Criterios de congruencia (Páginas 164 y 165) Sugerencias o remediales • Es importante que los(as) alumnos(as) comprendan la importancia de la argumentación antes de concluir la congruencia de dos triángulos; es decir, especificar las condiciones que nos permiten obtener el criterio que verifica la congruencia.

Aplicaciones de la congruencia (Páginas 168 a 171) A través de estas páginas se pretende acercar a los(as) alumnos(as) a la demostración formal matemática. Para ello se propone una tabla de dos columnas, en la primera está escrita la afirmación en notación geométrica, y en la segunda, la argumentación o justificación de la afirmación. Se espera que, con apoyo del docente, puedan dominar esta nueva forma de demostrar propiedades geométricas. Además, al final del texto del estudiante se presentan dos páginas dedicadas a la demostración matemática utilizando diversos contextos para ejemplificar.

Sugerencias o remediales • Para presentar el tema, comente a los(as) alumnos(as) que desde la antigüedad el hombre ha manifestado la necesidad de mostrar (y demostrar) algún enunciado a través de un conjunto de pasos lógicos. • Generalmente, la primera confusión que se les crea a los(as) estudiantes es cuando se les pide demostrar verificando para un caso particular. Por lo tanto, se sugiere aclararles en la diferencia entre demostrar formalmente y solo verificar un enunciado. • Se recomienda al docente, dar inicialmente, mayor importancia a la comprensión de una demostración, tanto en lo que se demuestra como en la forma que se procede para ello. Luego, puede invitar a los(as) estudiantes a demostrar enunciados que involucren congruencia de triángulos. • Un paso clave en la demostración es la correcta identificación de las hipótesis, ya que se puede incurrir en el error de considerar solo casos particulares. • En estos ejercicios es bastante común que los(as) alumnos(as) se guíen por el dibujo de la situación e ignoren los datos propios del enunciado, incurriendo así en errores. Para corregir esta práctica, se sugiere realizar ejercicios con y sin ilustraciones, y enfatizar que, independiente del dibujo, lo que importa son las condiciones que se dan en el enunciado del problema. • Recalque la necesidad de usar del lenguaje algebraico para la demostración, pues se busca sintetizar lo que se escribe. • A modo de estrategia, realice primero una demostración informal del enunciado, para luego estructurarla formalmente.

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Profundización de contenidos Como actividades complementarias se proponen los siguientes ejercicios de aplicación de la congruencia de triángulos, y sus respectivas soluciones. Una alternativa didáctica es modelar la situación planteada con algún software geométrico y, a partir de ello, conjeturar junto con los(as) estudiantes. Desafío 1 Sea ABC un triángulo y A’ el punto medio de BC. tal como se muestra en la figura.

A

E B

A’ F

C

Demuestra que las distancias de B y C al segmento AA’ son iguales. (Nota: La distancia de un punto a un recta es el segmento perpendicular a la recta que pasa por el punto. Revisar página 169 del texto). Respuesta Hipótesis: BA’ ≅ CA’, BE ⊥ AA’, CF ⊥ AA’ Tesis: BE ≅ CF Para demostrar esta tesis se verificará si los ⌬A’EB y ⌬A’FC son congruentes. Si se demuestra que ⌬A’EB ≅ ⌬A’FC, se verifica que BE ≅ CF. Demostración: Afirmación


Justificación

ⱔBEA) = m(ⱔ ⱔCFA’) = 90º 1. m(ⱔ

Por la definición de distancia de un punto a un segmento o recta.

2. BA’ ≅ CA’

Por hipótesis.

3. ⱔEA’B ≅ ⱔFA’C

Por ser ángulos opuestos por el vértice.

4. ⌬A’EB ≅ ⌬A’FC

Por las afirmaciones 1, 2 y 3, se verifica el criterio ALA.

5. BE ≅ CF

Por la afirmación 4. (q.e.d.)

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Desafío 2 Sea ABC un triángulo cualquiera. Al exterior de este triángulo se construyen tres triángulos equiláteros CBA’, ACB’ y BAC’, tal como lo indica la figura: A’ C

B’

B

A

C’

Demuestra que AA’, BB’ y CC’ son congruentes. Respuesta Hipótesis: ⌬CBA’, ⌬ACB’ y ⌬BAC’ son equiláteros. Tesis: AA’ ≅ BB’ ≅ CC’ Se demostrará que ⌬BCB’ ≅ ⌬A’CA. De aquí es inmediato que AA’ ≅ BB’. De manera similar, se puede demostrar que ⌬BAB’ ≅ ⌬C’AC, de donde es inmediato que BB’ ≅ CC’. Demostración: Afirmación

Justificación

ⱔB’CA) = m(ⱔ ⱔBCA’) = 60º 1. m(ⱔ

Ya que ⌬ACB’ y ⌬CBA’ son equiláteros.

ⱔB’CB) = m(ⱔ ⱔB’CA) + m(ⱔ ⱔACB) 2. m(ⱔ

Por construcción.

ⱔACA’) = m(ⱔ ⱔACB) + m(ⱔ ⱔBCA’) Por construcción. 3. m(ⱔ 4. ⱔB’CB ≅ ⱔACA’

Por las afirmaciones 1, 2 y 3.

5. AC ≅ CB’

Por ser el ⌬ACB’ equilátero.

6. A’C ≅ CB

Por ser el ⌬CBA’ equilátero.

7. ⌬BCB’ ≅ ⌬A’CA

Por las afirmaciones 4, 5 y 6 se verifica el criterio LAL.

8. AA’ ≅ BB’


* De manera similar, se demuestra que BB’ ≅ CC’.

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Desafío 3 En la figura se muestra una cuadrado ABCD, en el cual los puntos I y J se ubican en los segmentos AB y BC, respectivamente, tal que AI ≅ BJ, y K es el punto de intersección de los segmentos IC y JD.

C

D

K J

Demostrar que ⱔJKC es un ángulo recto. A

I

B

Respuesta Hipótesis: ABCD es un cuadrado; AI ≅ BJ; IC ∩ JD = {K} ⱔJKC) = 90º Tesis: m(ⱔ Se demostrará que ⌬IBC ≅ ⌬JCD. Esto nos permitirá afirmar que ⱔICB ≅ ⱔJDC y que ⱔBIC ≅ ⱔCJD. Con esta congruencia de ángulos, y relacionándolos con los ángulos del ⌬KJC, se podrá concluir que la suma de las medidas de los ⱔKCJ y ⱔCJK debe ser igual a 90º, y que el ángulo JCK es recto (quedando entonces demostrada nuestra tesis). Demostración: Afirmación

Justificación

1. AB ≅ BC

Por hipótesis.

2. AI ≅ BJ

Por hipótesis.

3. IB ≅ JC

Por las afirmaciones 1 y 2.

4. BC ≅ CD

Por hipótesis.

ⱔCBI) = m(ⱔ ⱔDCJ) = 90º 5. m(ⱔ

Por ser ABCD un cuadrado.

6. ⌬IBC ≅ ⌬JCD

Por las afirmaciones 3, 4 y 5, se verifica el criterio LAL.

7. ⱔICB ≅ ⱔJDC

Por la afirmación 6.

8. ⱔBIC ≅ ⱔCJD


ⱔICB) + m(ⱔ ⱔBIC) = 90º 9. m(ⱔ

Por teorema de los ángulos interiores de un triángulo y por la afirmación 5.

ⱔKCJ) + m(ⱔ ⱔCJK) = 90º 10. m(ⱔ

Por las afirmaciones 7, 8 y 9.

ⱔJKC) = 90º 11. m(ⱔ

Por teorema de los ángulos interiores de un triángulo y por la afirmación 10. (q.e.d.)

En el texto del estudiante se demuestra que la transversal de gravedad respecto a la base de un triángulo isósceles corresponde también a la altura de dicho triángulo. Luego, es posible demostrar que la simetral con respecto a la base de dicho triángulo coincide con la altura respectiva. Este resultado permite demostrar, entre otras cosas, que las simetrales de un triángulo concurren en un punto, resultado que se propone como profundización de contenidos y que más adelante es utilizado en esta guía para otra ampliación de los mismos.


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Desafío 4 Demostrar que las simetrales de un triángulo concurren en un punto. S3

S2

A

S B

C S1

Respuesta Hipótesis: S1, S2 y S3 simetrales del triángulo ABC. Tesis: S1 ∩ S2 ∩ S3 = {S} Demostración: Afirmación

Justificación

1. S1 ∩ S2 = {S}

Por ser dos rectas que se cortan.

2. ⌬ASC es isósceles de base AC.

Por ser S2 simetral del ⌬ASC, también es altura del triángulo y, por tanto, dimidia a la base AC.

3. SA ≅ SC


4. ⌬ASB es isósceles de base AB.

Por ser S1 simetral del ⌬ASB, también es altura del triángulo, y por tanto dimidia a la base AB.

5. SB ≅ SA


6. SB ≅ SC


7. ⌬BSC es isósceles.


8. La simetral del ⌬BSC que pasa por S dimidia al segmento BC.


9. S3 coincide con la altura del ⌬BSC que pasa por S.


10. S3 pasa por S.


11. S1, S2 y S3 concurren en un mismo punto S.

Por las afirmaciones 1 a 10. (q.e.d.)

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Congruencia y construcciones con regla y compás (Páginas 172 y 173) En estas páginas se enfatiza en la justificación de una construcción con regla y compás a través de los criterios de congruencia.

Sugerencias metodológicas • Una de las inquietudes que pueden manifestar los estudiantes es por qué construir con regla y compás, y no utilizar otras herramientas (escuadra, transportador, softwares, etc.). Se sugiere al docente argumentar, por ejemplo, que en la construcción de viviendas se deben utilizar diversas estrategias, dada la imposibilidad de ocupar escuadras gigantes. • Es importante precisar en que los criterios de congruencia de triángulos nos garantizan la posibilidad de la construcción.

Propiedades de los cuadriláteros y congruencias (Páginas 174 y 175) Sugerencias metodológicas • Para ilustrar los diferentes tipos de cuadriláteros, en particular los paralelogramos, se sugiere diversificar los dibujos, para que los(as) estudiantes no se centren en un solo tipo de representación; por ejemplo, un romboide para un paralelogramo.

Profundización de contenidos Utilizando las propiedades de los paralelogramos y las demostraciones revisadas anteriormente en esta unidad, se propone, a modo de profundización de contenidos, la siguiente demostración. Desafío 1 Demostrar que en un triángulo cualquiera ABC, las alturas se intersectan en un mismo punto. Respuesta Hipótesis: ABC es un triángulo cualquiera; Ha, Hb y Hc corresponden a las alturas, respectivamente. Tesis: Ha, Hb y Hc concurren en un punto (H: ortocentro). Para demostrar este teorema, se trazarán rectas, por cada uno de los vértices del ⌬ABC, paralelas a los lados opuestos de dichos vértices. La intersección de estas rectas permite obtener un nuevo ⌬EDF. Se demostrará que las alturas Ha, Hb y Hc del ⌬ABC corresponden a las simetrales del ⌬EDF, y, por la demostración anterior (las simetrales de un triángulo concurren en un punto), se obtendrá finalmente la demostración de la tesis. Demostración: Para demostrar este enunciado, se considera un ⌬ABC. Sus alturas Ha, Hb y Hc. Además, se han construido las rectas L1, L2 y L3, paralelas a BC, AC y AB, respectivamente, tal como lo indica la siguiente figura.


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Hb

Hc E

L3 D

A

B

L1

C

Ha

F

L2

Afirmación

Justificación

1. L1 // BC 2. EA // BC y AD // BC

Por hipótesis.

3. L2 // AC 4. EB // AC y BF // AC

Por hipótesis.

5. L3 // BA 6. FC // BA y CD // BA

Por hipótesis.

7. BCAE es un paralelogramo.


8. BCDA es un paralelogramo.


9. EA ≅ BC

Por la afirmación 7 y por propiedad de los paralelogramos.

10. AD ≅ BC

Por la afirmación 8 y por propiedad de los paralelogramos.

11. EA ≅ AD


12. A es punto medio de ED.


13. Ha ⊥ L1

Por la afirmación 1, y por ser Ha la altura desde el vértice A.

14. Ha es simetral del segmento ED en el ⌬EDF.





* De manera similar, se demuestra que Hb es simetral del segmento EF en el ⌬EDF, y que Hc es simetral del segmento FD. * Como se probó anteriormente, las simetrales de un triángulo concurren en un mismo punto. Por lo tanto, la demostración concluye así: 15. Ha, Hb y Hc son las simetrales del ⌬EDF.

Por verificaciones anteriores.

16. Ha, Hb y Hc concurren en un mismo punto.

Por la afirmación 14, y porque las simetrales de un triángulo concurren en un punto. (q.e.d.)

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Uso de GeoGebra (Páginas 178 y 179) Al trabajar con elementos geométricos, el apoyo en un software es de gran ayuda. Además, es útil para que los(as) alumnos(as) se atrevan a conjeturar antes de demostrar algún enunciado o alguna propiedad.

Sugerencias metodológicas • GeoGebra es una poderosa herramienta, la cual no solo permite construir y conjeturar, sino también comprobar los resultados para un gran conjunto de casos, al hacer variar las figuras. Sin embargo, esto puede transformarse en un obstáculo para la comprensión de la demostración, ya que los(as) estudiantes pueden creer que con la comprobación es suficiente. Por lo tanto, aclararles que un software geométrico permite verificar, pero además, se necesita la demostración formal que garantice que se cumplirá para todos los casos. A continuación se presentan dos fichas de reforzamiento (n° 1 y n° 2), con el propósito de reforzar el aprendizaje de la congruencia de figuras planas, especialmente para los(as) alumnos(as) con rendimiento insatisfactorio. Los problemas están basados en las actividades propuestas en el texto del estudiante. Luego, se presentan dos fichas de profundización (n° 3 y n° 4) que buscan ahondar en los aprendizajes evaluados en esta unidad. Por esta razón, se recomienda trabajarlas con los(as) alumnos(as) cuyos resultados fueron satisfactorios y lograron obtener todas sus respuestas correctas, sin excluir a aquellos que por interés quieran conocer otras aplicaciones de este contenido.


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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Objetivos: Demostrar propiedades de polígonos utilizando los criterios de congruencia de triángulos.

Unidad 5

U5

Realiza las siguientes demostraciones utilizando el formato de dos columnas (formato trabajado en el texto). Indicando, de manera ordenada, las afirmaciones que la componen y sus respectivas justificaciones. 1. De acuerdo con las siguientes hipótesis: AB ≅ CB, EF ≅ ED, ⱔABE ≅ ⱔCBE, ⱔAED ≅ ⱔCEF, demostrar que AD ≅ CF. Afirmación

Justificación

B

E

A

D

C

F

2. En el hexágono ABCDEF de la figura, las diagonales AD y FC se dimidian (m(AO) = m(OD) y m(FO) = m(OC)). Demostrar que AF // CD.

A

Afirmación

B

C F

O

E


D

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Justificación

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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Objetivos: Demostrar propiedades de polígonos regulares utilizando los criterios de congruencia de triángulos.

Realiza las siguientes demostraciones utilizando el formato de dos columnas (formato trabajado en el texto). Indicando, de manera ordenada, las afirmaciones que la componen y sus respectivas justificaciones. 1. Se sabe que ABCDEF es un hexágono regular. Demostrar que ⱔ1 ≅ ⱔ2. (Ayuda: primero demuestra que AE ≅ DB). A

B

2 C

F 1

E

D

Afirmación

Justificación

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Unidad 5

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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Objetivos: Relacionar algebraicamente el concepto de desigualdad triangular con el de perímetro de figuras.

Demuestra lo pedido.

Unidad 5

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1. Sea ABCD un cuadrilátero. Demuestra que la medida de cada una de sus diagonales es menor que la mitad de su perímetro.

冢Por ejemplo, m(AC) < m(AB) + m(BC) +2 m(CD) + m(DA) 冣.

2. Demuestra que en todo cuadrilátero el perímetro es mayor que la suma de las longitudes de las diagonales.


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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Objetivos: Demostrar teoremas de triángulos utilizando los criterios de congruencia.

Demuestra las siguientes propiedades de los triángulos. 1. Sea el triángulo ABC. Considera un punto P en su interior, tal que CP ≅ CB. Demostrar que m(AP) es menor que m(AB).

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Unidad 5

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CURSO:

FECHA:

Marca la alternativa correcta de cada una de las siguientes preguntas. 1. Sean A(4, 1), B(7, 5) y C(7, 1) las coordenadas de un triángulo. ¿Con cuál de las siguientes coordenadas del punto C’ se tiene que ⌬ABC ≅ ⌬BAC’?

Unidad 5

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A. C’(4, 4) B. C’(5, 4) C. C’(4, 3)

5. Si ⌬ABC ≅ ⌬DEF, entonces la medida de EF es: E 137°

D. C’(3, 4) E. C’(4, 5)

A. B. C. D. E.

2. Si el polígono ABCDE es congruente al polígono A’B’C’D’E’, entonces es verdadero que: I. II.

F

17°

6 D 9 14 A 9 26 No puede determinarse.

C 14 137°

26° 6

B

6. Sea el triángulo ABC. ¿Cuántos triángulos congruentes al original pueden obtenerse mediante transformaciones isométricas que lleven A a B y B a A?

BC ≅ B’C’ ⱔDEA ≅ ⱔD’E’A’

III. CD proporcional a C’D’. A. Solo I B. Solo II C. I y II

A. 1 B. 2 C. 3

D. II y III E. I, II y III

7. Para demostrar el teorema: “si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos que opuestos a dichos lados son congruentes”, la hipótesis correspondería a:

3. ¿Cuál de las siguientes siglas no corresponde a un criterio de congruencia de triángulos? A. B. C. D. E.

LLL ALA LAL AAA LLA

A. B. C. D. E.

4. ¿Qué criterio es el que permite determinar la congruencia de los siguientes triángulos? A. B. C. D. E.

LLL LAA LAL AAA LLA


D. 4 E. Ninguna de las anteriores.

8. Para demostrar el teorema: “los ángulos interiores de un hexágono regular miden todos 120º”, la tesis correspondería a: A. B. C. D. E.

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un triángulo con sus lados congruentes. dos lados congruentes. ángulos opuestos congruentes. un triángulo con dos lados congruentes. un triángulo con ángulos opuestos congruentes.

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un hexágono. un hexágono regular. los ángulos interiores de un hexágono regular. miden 120º en todo hexágono. la medida de todos los ángulos es 120º.

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13. En el paralelogramo SRTQ, se divide en tres partes iguales la diagonal ST y se unen los puntos como muestra la figura. Se afirma siempre que:

9. En la siguiente figura es cierto que: E

A. ⌬CDE es escaleno. B. AC ≅ CB C. EB ≅ ED D. ⌬CDE ≅ ⌬BDE E.

C

B. D

Todas las anteriores.

D. Todas las anteriores. E.

10. Prueba TIMSS, 2003. En el paralelogramo WXYZ, ¿cuál de estas afirmaciones no es falsa? A. B. C. D. E.

⌬WOX ≅ ⌬WOZ ⌬YZO ≅ ⌬YZX ⌬WXZ ≅ ⌬WYZ ⌬WOX ≅ ⌬YOZ ⌬WYX ≅ ⌬ZXY

Z

W

A. B. C. D. E.

X

II. ES ≅ EQ

III. ⱔSPR ≅ ⱔQPR

Solo I G II y III I y III P I, II y III Ninguna de las anteriores.

R


E

B. F

isósceles. equilátero. escaleno. obtusángulo. No se forma un triángulo con esas medidas.

A. ⱔEAF ≅ ⱔEBF

D E

⌬ABD ≅ ⌬BAC

C. AD ≅ BC

Q

D. Todas las anteriores.

12. Prueba TIMSS, 2003. ABCD es un trapecio. Otro trapecio, GHIJ, es congruente con ABCD. El ángulo cuyo vértice es G y el ángulo cuyo vértice es J miden 70º cada uno. ¿Cuál de estas afirmaciones podría ser verdadera?

E.

R

15. EF es simetral de AB; AD ⊥ AB; BC ⊥ AB. Con esta información es cierto que: C

E.

A. B. C. D.

S

O

S

A. B. C. D. E.

V

14. Dado un triángulo cuyas medidas de sus lados son 7 cm, 15 cm y 7 cm, se puede decir que el triángulo es:

Y

11. Al trazar la diagonal PR en el rombo PQRS, se cumple: I. EG ≅ EF

M

RMQV es rombo.

C. SRMQ ≅ TQVR

A

T

Q

A. VRMQ ≅ QMRT

B

Unidad 5

U5

F

B


16. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? A. Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus ángulos agudos respectivos son congruentes. B. Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes miden lo mismo. C. Dos triángulos son congruentes si sus ángulos respectivos son iguales. D. Para demostrar que dos triángulos son congruentes, se puede utilizar el criterio AAL. E. Todos los triángulos equiláteros son congruentes.

GH ≅ AB El ángulo cuyo vértice es H es un ángulo recto. Todos los lados de GHIJ tienen la misma longitud. El perímetro de GHIJ es tres veces el perímetro de ABCD. El área de GHIJ es menor que el área de ABCD.

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A

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Solucionario Ficha de reforzamiento nº 1 1. Hipótesis: AB ≅ CB, EF ≅ ED, ⱔABE ≅ ⱔCBE; ⱔAED ≅ ⱔCEF Tesis: AD ≅ CF Demostración: Afirmación

Unidad 5

U5

Justificación

1. AB ≅ CB

Por hipótesis.

2. ⱔABE ≅ ⱔCBE

Por hipótesis.

3. BE ≅ BE

Por el principio de identidad.

4. ⌬ABE ≅ ⌬CBE


5. EA ≅ EC

Por afirmación 4.

6. ⱔAED ≅ ⱔCEF

Por hipótesis.

7. EF ≅ ED

Por hipótesis.

8. ⌬AED ≅ ⌬CEF


9. AD ≅ CF


2. Hipótesis: AO ≅ OD, FO ≅ OC Tesis: AF // CD Demostración: Afirmación

Justificación

1. AO ≅ OD

Por hipótesis.

2. FO ≅ OC

Por hipótesis.

3. ⱔAOF ≅ ⱔDOC

Por ser ángulos opuestos por el vértice.

4. ⌬AOF ≅ ⌬DOC


5. ⱔAFO ≅ ⱔOCD

Por afirmación 4.

6. ⱔAFO ≅ ⱔOCD

Son ángulos alternos internos de la transversal FC .

7. AF // CD

Por la afirmación 6. (q.e.d)


↔

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Ficha de profundización nº 2 Para demostrar que AE ≅ DB, se demuestra que ⌬AFE ≅ ⌬DCB. Luego, usando AE ≅ DB se demuestra que: ⌬AEB ≅ ⌬DBE, de donde se desprende la congruencia de los ángulos ⱔAEB y ⱔDBE, que es lo que se desea. Hipótesis: ABCDEF hexágono regular. Tesis: ⱔAEB ≅ ⱔDBE Demostración: Afirmación

Justificación

Unidad 5

U5

1. ABCDEF hexágono regular

Por hipótesis.

2. AF ≅ CD

Por afirmación 1.

3. FE ≅ BC

Por afirmación 1.

4. ⱔAFE ≅ ⱔDCB

Por afirmación 1.

5. ⌬AFE ≅ ⌬DCB

Por afirmaciones 2, 3 y 4 se verifica el criterio LAL.

6. AE ≅ DB

Por afirmación 5.

7. AB ≅ DE

Por afirmación 1.

8. BE ≅ EB

Por principio de identidad.

9. ⌬AEB ≅ ⌬DBE

Por afirmaciones 6, 7 y 8 se verifica el criterio LLL.

10. ⱔAEB ≅ ⱔDBE


Ficha de profundización nº 3 1. Hipótesis: ABCD cuadrilátero. Tesis: m(AC) <

m(AB) + m(BC) + m(CD) + m(DA) m(AB) + m(BC) + m(CD) + m(DA) y m(BD) < 2 2

Demostración: Afirmación

Justificación

1. ABCD cuadrilátero.

Por hipótesis.

2. Entre A, B, C, D no hay tres puntos colineales.

Por afirmación 1.

3. ABC es un triángulo.

Por afirmación 2.

4. m(AC) < m(AB) + m(BC)

Por la desigualdad triangular.

5. ACD es un triángulo.

Por afirmación 2.

6. m(AC) < m(DA) + m(CD)

Por la desigualdad triangular.

7. 2m(AC) < m(AB) + m(BC) + m(DA) + m(CD)

Por afirmaciones 4 y 6.

8. m(AC) <

m(AB) + m(BC) + m(CD) + m(DA) 2

La demostración de que m(BD) <

Dividiendo a ambos lados por 2 en 7. (q.e.d.)

m(AB) + m(BC) + m(CD) + m(DA) es análoga. 2

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Solucionario 2. Hipótesis: ABCD cuadrilátero. Tesis: m(AC) + m(BD) < m(AB) + m(BC) + m(CD) + m(DA) Demostración: Afirmación

Justificación

1. ABCD cuadrilátero.

Unidad 5

U5

Por hipótesis.

2. m(AC) <

m(AB) + m(BC) + m(CD) + m(DA) 2

Por demostración anterior.

3. m(BD) <

m(AB) + m(BC) + m(CD) + m(DA) 2

Por demostración anterior.

4. m(AC) + m(BD) < m(AB) + m(BC) + m(CD) + m(DA)

Por afirmaciones 2 y 3. (q.e.d.)

Ficha de profundización nº 4 Hipótesis: ABC triángulo y P un punto interior, CP ≅ CB. Tesis: m(AP) < m(AB) Demostración: Afirmación

Justificación

1. ABC triángulo

Por hipótesis.

2. P un punto interior del ⌬ABC.

Por hipótesis.

3. CP ≅ CB

Por hipótesis.

4. L bisectriz de ⱔPCB.

Construcción de la bisectriz de un ángulo.

5. L ∩ AB = {M}

La intersección de un segmento con una recta es un punto.

6. MC es bisectriz de ⱔPCB.

Segmento contenido en la recta L.

7. ⱔPCM ≅ ⱔBCM

Por afirmación 6.

8. CM ≅ CM

Por principio de identidad.

9. ⌬CPM ≅ ⌬CBM

Con las afirmaciones 3, 7 y 8 se verifica el criterio LAL.

10. PM ≅ BM

Por afirmación 9.

11. m(AP) < m(AM) + m(PM)

Por la desigualdad triangular en ⌬APM.

12. m(AM) + m(PM) = m(AM) + m(MB) Por afirmación 11. 13. m(AM) + m(MB) = m(AB)

Puesto que A, M y B son colineales.

14. m(AP) < m(AB)

Por las afirmaciones 11, 12 y 13. (q.e.d.)


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Solucionario Evaluación de la unidad 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

E C D E A B D E

9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

B D C A C E D B

Unidad 5

U5

Bibliografía • Carral, M., Géométrie, Ellipses, París, 1995. • Mercado, C., Test de matemática, Editorial Universitaria, Santiago, 1978. • Ministerio de Educación, Propuesta Ajuste Curricular, Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios, Matemática, junio, 2009. • Omer, C., Geometría, Chile, 1965. Sitios webs • Sector matemática: www.sectormatematica.cl • International Association for the Evaluation of Educational Achievement: http://timss.bc.edu/

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Presentación de la unidad Desde su origen, la Estadística se ha extendido por varias disciplinas del conocimiento. Su constante aplicación para el registro, ordenación y análisis de datos, en diversos ámbitos, ya sea en el mundo de la ciencia, académico, comercial, social, educacional, etc., como en la vida cotidiana hace necesario su estudio. Antes de comenzar la unidad, es importante revisar el fichero que se encuentra al final del texto del alumno, para evaluar si es necesario repasar contenidos previos.

Sugerencias metodológicas El análisis estadístico consiste en observar la realidad para interpretarla por medio de datos o de información, y así obtener conclusiones que permitan describir ciertos fenómenos de esa realidad. Para organizar la información se utilizan tablas y gráficos, con los cuales es posible inferir relaciones entre variables como determinadas conclusiones. Para realizar esto se propone la actividad de inicio de la unidad, la cual entrega información acerca de los resultados obtenidos por algunos países de Sudamérica, incluyendo el nuestro, en la prueba internacional PISA.


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UNIDAD 6 | Estadística

Para complementar este inicio de unidad, se propone una actividad previa que considera una menor cantidad de datos. El siguiente histograma presenta la información de algunos colegios de Santiago que participaron de un proyecto para mejorar la actividad física, combatir el sedentarismo y el sobrepeso de los adolescentes. 14 12 10 8 6 4

Maipú

Conchalí

Recoleta

San Miguel

El Bosque

Pudahuel

San Ramón

La Reina

Nuñoa

Renca

0

Las Condes

2 La Florida

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Macul

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Cantidad de colegios

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Comunas de Santiago

1. Determina el porcentaje de colegios por comuna que participó en el proyecto. Comuna

Porcentaje (%)

Comuna

Porcentaje (%)

Macul

13,79

Pudahuel

12,64

La Florida

13,79

El Bosque

2,30

Las Condes

11,49

San Miguel

2,30

Renca

6,90

Recoleta

3,45

Ñuñoa

9,20

Conchalí

5,75

La Reina

4,60

Maipú

8,05

San Ramón

5,75

2. ¿Cuál es el porcentaje de participación de los colegios de las zonas Oriente, Norte y Sur? Zona

Porcentaje (%)

Oriente

39,08

Norte

9,20

Sur

24,14

3. ¿Cuál es el promedio de colegios por comuna participante? Respuesta: 6,69 colegios. 4. ¿Qué comunas están por sobre dicho promedio? Respuesta: Macul, La Florida, Las Condes, Ñuñoa, Pudahuel y Maipú.

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Evaluación diagnóstica (Páginas 188 y 189) Sugerencias o remediales • Para el indicador Leer y analizar información presentada a través de gráficos: se sugiere que primero se trabaje con gráficos de barra relacionando solo dos variables y, posterior a esto, tres variables. Luego, realizar el trabajo de gráficos combinados (como el de la pregunta 1). Este mismo remedial se propone para la construcción de histogramas. • Para el indicador Organizar e interpretar datos en tablas de frecuencias: se recomienda al docente recordar los conceptos de frecuencia absoluta y relativa y sus distintas representaciones (expresión decimal y fraccionaria). Al momento de agrupar datos, es conveniente comenzar con cantidades pequeñas, que tengan dos o tres categorías, para luego aumentar la complejidad. • En los ejercicios tipo de la pregunta 8, correspondientes al indicador Calcular y relacionar medidas de tendencia central en datos no agrupados: si los(as) alumnos(as) no logran obtener la ecuación, sugerirles que utilicen la estrategia ensayo y error, con valores similares al de los dados. En los ejercicios tipo de la pregunta 9, se recomienda resolverlos junto con los(as) estudiantes, y discutir acerca de las posibles conclusiones que se pueden obtener del enunciado. Por ejemplo, que si la moda es 17, este dato puede estar repetido 2 ó 3 veces o que en los dos casos anteriores es posible obtener la mediana, pero que solo en el segundo caso es posible calcular la media.

Tablas con datos agrupados (Página 190) De acuerdo con el Marco Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) en 7º Básico analizan tablas de frecuencias y en 8º Básico construyen tablas con datos agrupados. Para Iº Medio se propone continuar con datos agrupados, pero desde la interpretación y análisis de gráficos, medidas de tendencia central y de posición.

Sugerencias metodológicas • En la tabla del texto, la amplitud de cada intervalo no siempre es la misma, por lo que se sugiere señalar a los(as) alumnos(as) que en una tabla se pueden presentar los intervalos de esta forma, lo cual determinará el tipo de análisis que se hará de ella. La elección de la amplitud de los intervalos dependerá del objeto de análisis, así, por ejemplo, si se quiere comparar entre grupos de edades homogéneas, lo más adecuado serán intervalos de igual amplitud, mientras que si se quiere comparar entre niños, jóvenes y adultos, los intervalos por edad serán en función de dichas etapas de la vida, por lo que no todos tendrán la misma amplitud. • Se sugiere trabajar con tablas de datos agrupados usando información relevante para los(as) estudiantes, tanto para su formación personal, como para acercarlos(as) a la realidad nacional; por ejemplo: las consecuencias del tabaco, las drogas o la pobreza.


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Construcción de tablas (Página 191) Para los(as) alumnos(as) que estudiaron bajo el currículum antiguo, se presenta esta página con el objetivo de reforzar los conocimientos previos necesarios para el posterior análisis de la información.

Sugerencias metodológicas • Antes de construir la tabla, se sugiere identificar claramente las variables involucradas en el estudio. • Al calcular la amplitud, para definir los intervalos, es posible que este valor no pertenezca al ámbito numérico de los datos (por ejemplo, se está trabajando con números enteros y la amplitud resulta un número decimal), por esto, sugerir a los(as) alumnos(as) estar atentos al tipo de variable con la que se trabaja, antes de realizar los cálculos, para luego tomar la mejor decisión (leer SOS Mat de esta página en el texto del alumno). • Aclarar a los(as) estudiantes que cuando la variable estudiada es continua, se utiliza para sus intervalos la notación [ - [, lo que implica que el extremo inferior no se considera. En el caso de variables no continuas, se debe sumar un delta al extremo inferior para obtener el extremo superior del siguiente intervalo, este delta dependerá de los valores que tomen los datos (valor que tenga la misma cantidad de cifras decimales que la variable estudiada). • Comentar con los(as) estudiantes las ventajas y desventajas que tiene trabajar con tablas de datos agrupados. Por ejemplo, son muy útiles para organizar y analizar los datos como conjunto, pero se pierde la información que entrega cada uno de ellos por separado, es decir, ya no se trabaja con el dato directamente, sino que con un grupo o con un representante del intervalo. • Es importante señalar a los(as) alumnos(as) que las frecuencias relativas son útiles cuando la cantidad de datos agrupados “son muchos”, ya que nos permiten comparar entre los distintos grupos a través de los porcentajes. Sin embargo, cuando los datos son pocos (por ejemplo, diez datos), las frecuencias absolutas permiten establecer comparaciones, sin necesidad de recurrir al cálculo de las frecuencias relativas. • Proponer a los(as) alumnos(as) que para comprobar los cálculos realizados, para obtener los distintos tipos de frecuencias, verifiquen la suma de ellas (por ejemplo, que la suma de las frecuencias relativas debe ser 1, y la porcentual debe sumar 100, etc.). • Señalar que el cálculo de las frecuencias acumuladas dependerá del tipo de variable que se esté analizando.

Construcción de gráficos: Histogramas (Página 192) De acuerdo con el Marco Curricular aprobado (junio 2009), los(as) alumnos(as) desde 5º Básico comienzan a construir y analizar gráficos (de barra, de líneas, circulares, etc.). El enfoque en Iº Medio es construir gráficos a partir de tablas con datos agrupados, y analizar la tendencia que muestran para inferir acerca de la distribución de los datos.

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Sugerencias metodológicas • Explicar a los(as) estudiantes que el gráfico que se utilice dependerá del tipo de datos o de cómo estos se presenten. Por ejemplo, un histograma es útil cuando los datos están agrupados y se conoce la frecuencia absoluta; en cambio, si los datos no están agrupados y se tiene la frecuencia relativa porcentual, el gráfico más adecuado sería uno circular o de torta. • A pesar de que el enfoque de estas páginas es la interpretación de los gráficos, es importante que los(as) alumnos(as) los construyan manualmente para una mejor comprensión.

Construcción de gráficos: Polígono de frecuencias (Página 194) Sugerencias metodológicas • El polígono de frecuencias es un gráfico muy utilizado en los medios de comunicación, principalmente en el área de la economía, por lo que se puede comentar en torno a estos y otros ejemplos. Una de las utilidades de este gráfico es visualizar la tendencia que presentan los datos, estableciendo posibles predicciones de lo que pueda acontecer con otros valores para la variable analizada.

Construcción de gráficos: Polígono de frecuencias acumuladas (Página 195) Sugerencias metodológicas • Se sugiere comparar las interpretaciones que se puedan hacer de este gráfico y del polígono de frecuencias, y enfatizar que, mientras este último muestra la frecuencia de cada uno de los intervalos, el polígono de frecuencias acumuladas permite obtener información relativa de un conjunto de dichos intervalos.

Construcción de gráficos con un software (Páginas 196 a 199) Sugerencias metodológicas • Comentar con los(as) alumnos(as) las ventajas que tiene construir tablas con un software, ya que este posee diferentes herramientas que les facilitarán el trabajo, por ejemplo: ordenar los datos, contar aquellos que posean cierta característica, etc. • En el texto del estudiante se propone construir los gráficos con una planilla de cálculo. Sin embargo, estas planillas de cálculo varían de acuerdo al año del software, por lo que se debe considerar esto antes de realizar la actividad. De todas maneras, cabe señalar que mientras más actual sea el software, más adecuadas son las herramientas para graficar y más fácil resulta realizar los pasos descritos en el texto.


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• Es importante comentar con los(as) estudiantes que el uso de un software, para realizar los gráficos, permite optimizar tiempo en la construcción y dedicar más tiempo a la interpretación.

Medidas de tendencia central: Media aritmética y moda (Páginas 202 y 203) De acuerdo con el Marco Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) en 8º Básico interpretan información utilizando las medidas de tendencia central y calculan la media y la moda para datos agrupados. En Iº Medio se incorpora el cálculo de la mediana para datos agrupados; enfocando su estudio en la interpretación de estas medidas para caracterizar la tendencia de un conjunto de datos.

Sugerencias metodológicas • Utilizar el termino “media aritmética”, alternativo a promedio, y aclarar que existen otras medias, como la media geométrica, la media armónica, la media cuadrática, las cuales son usadas en otros contextos. • El cálculo de las medidas de tendencia central (MTC), a partir de una tabla con datos agrupados, dependerá de la construcción en que se realizaron los intervalos (ya que estos se determinan según la cantidad de intervalos que se quieran tener). Es decir, si se tienen dos tablas en las cuales los intervalos son distintos, y se quiere calcular las MTC, estás serán distintas, ya que sus marcas de clase, sus los límites inferiores y superiores de los intervalos de la clase modal, clase mediana, las frecuencia correspondientes a cada intervalo, etc., también lo serán. • Se sugiere señalar a los(as) estudiantes que las fórmulas, aparte de “ahorrar espacio” de escritura, simplifican los cálculos. • Se sugiere discutir casos extremos en relación a la moda, como por ejemplo: la existencia de más de una moda o qué sucede si todas las frecuencias de los intervalos son iguales. La idea es enfatizar acerca de la necesidad de la interpretación en estos casos y la importancia que tiene el contexto al que pertenecen los datos. • Comentar a los(as) alumnos(as) que en algunas ocasiones, los datos extremos (valores que difieren demasiado del resto de los datos) se excluyen para calcular los indicadores de tendencia central, y así el resultado sea un valor representativo de los datos.

Medidas de tendencia central: Mediana (Páginas 204 y 205) Sugerencias metodológicas • Un error frecuente es determinar la mediana en datos que no están ordenados previamente. Para evitar este error, se sugiere insistir en que este indicador solo se puede obtener en datos ordenados, ya sea de menor a mayor (forma creciente) o viceversa (forma decreciente). • Es importante mencionar que la media y la mediana son aplicables solo a datos cuantitativos, en tanto la moda es posible utilizarla como indicador en datos cuantitativos y cualitativos.

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Ampliación de contenidos A continuación se presenta la justificación de la fórmula para el cálculo de la mediana en datos agrupados, basándose en el área que encierra cada barra de un histograma. Ejemplo: fMe f1 f2 f3 a Me

b

En este histograma se representan los siguientes datos: a : límite inferior de la clase mediana. b : límite superior de la clase mediana. Me : mediana. fi : frecuencia absoluta del intervalo i. El área de la superficie determinada por el histograma está dada por la expresión: n

Área = (b – a)f1 + (b – a)f2 + (b – a)f3 + … + (b – a)fn = (b – a) · Σ fi i=1 n

Si N corresponde al total de datos, se tiene:

fi = N Σ i=1

Además, como la mediana corresponde al dato central (considerando los datos ordenados de menor a mayor, o viceversa), el área de la superficie determinada por el histograma hasta Me debe n 1 1 N ser la mitad del área total, es decir: (b – a) · Σ fi = (b – a) · N = (b – a) i=1 2 2 2 Luego, se tiene la siguiente igualdad para la mitad del área del histograma: N (b – a)f1 + (b – a)f2 + (b – a)f3 + (Me – a)fMe = (b – a) 2 N (b – a)[f1 + f2 + f3] + (Me – a)fMe = (b – a) 2 La frecuencia acumulada de la clase que precede a la mediana corresponde a f1 + f2 + f3, denominándola FMe – 1. Remplazándola en la igualdad se obtiene: N (b – a)FMe – 1 + (Me – a)fMe = (b – a) 2 Despejando (Me – a)fMe, se obtiene: N (Me – a)fMe = (b – a) – (b – a)FMe – 1 2


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Factorizando: (Me – a)fMe = (b – a)

N2 – FMe – 1

Se divide a ambos lados de la igualdad por fMe:

N – FMe – 1 2 ·A (Me _ a) = (b _ a) fMe Finalmente, se remplaza b – a por A, ya que corresponde a la amplitud de cada intervalo, obteniendo la siguiente fórmula:

N – FMe – 1 2 ·A Me = a + fMe

Interpretación de medidas de tendencia central a partir de tablas y gráficos (Páginas 206 y 207) Sugerencias metodológicas • Para ayudar a los(as) estudiantes a establecer las posibles relaciones entre gráficos y medidas de tendencia central, se propone trabajar con un software, variando los datos de las tablas, y así obtener los diferentes gráficos que se especifican en el texto. • Un ejercicio alternativo puede ser identificar gráficos dadas las medidas de tendencia central.

Medidas de posición: Percentiles (Páginas 210 y 211) Sugerencias metodológicas • Se sugiere repasar el cálculo de porcentajes, ya que este procedimiento es fundamental para comprender e interpretar percentiles. • Se sugiere señalar a los(as) alumnos(as) que el valor de la mediana, en el caso de datos agrupados, es el mismo que el del percentil 50. Sin embargo, en datos no agrupados no es así, ya que corresponde al dato central, mientras que en datos agrupados corresponderá al valor situado en el 50%. Además, mientras la mediana es un indicador que sirve para conocer la tendencia de los datos, el percentil correspondiente sirve para analizar cuáles son los valores que se encuentran dentro de cierto intervalo. • La deducción de la fórmula para calcular percentiles es esencialmente la misma que se mostró anteriormente para el caso de la mediana.

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Medidas de posición: Cuartiles (Páginas 212 y 213) Sugerencias metodológicas • El(la) docente debe aclarar que las medidas de posición son valores de los datos y no intervalos, como muchas veces se considera para interpretarlos. • Los cuartiles dividen los datos en cuatro partes iguales, las cuales permiten obtener una idea general de las características de estos. Una de las aplicaciones importantes que tienen es el gráfico “Blox-Plot”, el cual se detalla a continuación.

Profundización de contenidos Un tipo de gráfico que se utiliza tanto en la estadística descriptiva como en la representación de las medidas de posición para visualizar la distribución de los datos es el Box-Plot o gráfico de caja. Este gráfico fue introducido por John Tukey, en el año 1977, y su nombre original era Box and whisker plot, es decir, diagrama de caja y bigotes. El gráfico consiste en un rectángulo (caja) del cual se desprenden dos segmentos (bigotes). A continuación se presenta un esquema que muestra su construcción y la descripción de cada una de sus partes.

A Máximo

Q3

Unidad de medida

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Q2

Q1

B

Máximo Q3 Q2 Q1 Mínimo AyB

Corresponde al máximo de los datos (bigote). Corresponde al valor del tercer cuartil. Corresponde al valor de la mediana. Corresponde al valor del primer cuartil. Corresponde al mínimo de los datos (bigote). Corresponde a aquellos valores extremos dentro de la muestra de datos, es decir, aquellos que difieren demasiado en comparación con el resto y que se les aísla para que las medidas de tendencia central y de posición no arrojen resultados engañosos o poco representativos de la situación.

Mínimo

Algunas interpretaciones • Mientras más larga sea la caja y los bigotes, más dispersos son los datos entre sí. • La línea que representa la mediana (en el gráfico Q2) indica la simetría existente entre los datos. Así, si la línea es más próxima a la del primer cuartil se podrá hablar de una simetría positiva, mientras que en el caso de que se aproxime más a la del tercer cuartil se podrá inferir una simetría negativa respecto de los datos. • La mediana puede incluso coincidir con alguno de los cuartiles. Esto sucede cuando muchos de los datos se concentran en un mismo valor.


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Interpretación de medidas de posición a partir de tablas y gráficos (Páginas 214 y 215) Sugerencias metodológicas • Para ayudar a los(as) estudiantes a establecer las posibles relaciones entre gráficos y medidas de posición, se propone trabajar con un software, variando los datos de las tablas, y así obtener los diferentes gráficos que se especifican en el texto. • El concepto de simetría que los(as) alumnos(as) conocen es el de las trasformaciones isométricas; por lo tanto, se sugiere al docente aclarar que la simetría buscada en un histograma no es cualquiera, sino una semejante a la forma de una campana. A continuación se presentan dos fichas de reforzamiento (n° 1 y n° 2) con el propósito de reforzar el aprendizaje de la unidad, especialmente para los(as) alumnos(as) con rendimiento insatisfactorio. Los problemas están basados en las actividades propuestas en el texto del estudiante. Luego, se presentan dos fichas de profundización (n° 3 y n° 4) que buscan ahondar en los aprendizajes evaluados en esta unidad. Por esta razón, se recomienda trabajarlas con los(as) alumnos(as) cuyos resultados fueron satisfactorios y lograron obtener todas sus respuestas correctas, sin excluir a aquellos que por interés quieran conocer otras aplicaciones de este contenido.

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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Objetivos:

Unidad 6

Calcular e interpretar la mediana en tablas con datos agrupados.

En un hospital, el último registro, en relación a las atenciones efectuadas durante las últimas Fiestas Patrias, producto de accidentes vehiculares en la carretera, es el siguiente:

Edad de los pacientes atendidos

Número de personas atendidas

[10 - 20[

8

[20 - 30[

20

[30 - 40[

14

[40 - 50[

8

[50 - 60[

2

[60 - 70[

2

[70 - 80[

1

Total

55

Determina la mediana correspondiente a los datos y, luego, interprétela.


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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Objetivos:

Durante la preparación del campeonato de natación, los competidores pertenecientes a un mismo equipo tienen un ranking de carreras ganadas en el entrenamiento, como se muestra en el siguiente histograma. El eje horizontal representa los triunfos obtenidos y el eje vertical, la cantidad de competidores.

5 4 3 2 1 0 5

6

7

8

9

10

11

12

13

Triunfos

1. Determina las frecuencias absolutas y relativas correspondientes al gráfico.

2. Calcula las medidas de tendencia central de los triunfos obtenidos por los competidores.

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3. Determina la cantidad de carreras que ha realizado el competidor que está por sobre Q2 y Q3.

Unidad 6

Construir una tabla de frecuencias y calcular las medidas de tendencia central y de posición, a partir de un histograma.

Cantidad de competidores

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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Objetivos:

Unidad 6

Calcular la mediana en datos agrupados. Interpretar las diferencias producidas en el valor de la mediana al agrupar los datos de distintas maneras.

La tabla que se presenta a continuación representa la cantidad de inasistencia de un curso de 45 alumnos durante 20 días.

Día n°

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Ausentes

0

1

1

2

1

0

1

2

2

3

2

3

3

1

1

2

1

1

3

3

1. Construye una tabla de frecuencias con datos agrupados para las siguientes amplitudes de clase: a.

5

b. 4

c.

2. Determina e interpreta la mediana para cada uno de los casos anteriores.


2

3. Al comparar la mediana obtenida en cada uno de los tres casos, ¿qué puedes concluir al respecto?

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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Objetivos: Calcular percentiles en datos agrupados.

La siguiente tabla de datos entrega información del tiempo en que distintas personas reaccionan al veneno de una araña de rincón. 2:47

3:48

5:26

5:24

6:18

4:06

4:58

6:17

3:35

3:31

4:34

6:40

5:18

3:16

6:29

2:37

5:17

4:46

6:54

5:13

2:37

6:11

6:55

4:28

5:32

3:00

6:48

4:34

6:48

6:19

6:48

5:25

5:28

4:42

6:52

1. Con amplitud 1 minuto, clasifica los datos y construye una tabla de frecuencias absolutas y otra de frecuencias acumuladas.

2. Calcula los percentiles 10, 25, 40, y 80.

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Unidad 6

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CURSO:

FECHA:


18 20 30 40 60 A. B. C. D. E.

2. Según la siguiente tabla, ¿en qué clase la frecuencia relativa no corresponde?

V

57

0,285

A. B. C. D. E.

3. En la tabla se muestra el tiempo de traslado al colegio de los estudiantes. La clase mediana corresponde a: Tiempo de traslado

Cantidad de alumnos

[1 - 15[

21

[15 - 30[

37

[30 - 45[

39

[45 - 60[

3

4. Para los datos del problema anterior, ¿cuál es la moda aproximada? A. B. C. D. E.

70 60 50 40 30 20 10 0 5

1 a 15 15 a 30 30 a 45 45 a 60 No puede determinarse.

a

A. B. C. D. E.

7. El puntaje promedio obtenido, considerando todos los disparos de tiro al blanco es, aproximadamente: A. B. C. D. E.

31 33 35 38 39


la frecuencia absoluta. la mediana. la moda. la frecuencia acumulada. Todas las anteriores.

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35

0,126

a

31

30

IV

31

0,225

a

45

25

III

6. A partir del siguiente polígono de frecuencias es posible calcular:

a

0,110

Enero a marzo. Abril a junio. Junio a septiembre. Octubre a diciembre. Mayo.

26

22

9

20

II

Octubre a diciembre

21

0,225

7

a

45

Julio a septiembre

15

I

6

a

Frecuencia relativa

Abril a junio

16

Frecuencia absoluta

6

10

Clase

Enero a marzo

11

I II III IV V

Partidos jugados

a

A. B. C. D. E.

Mes del año

6

A. B. C. D. E.

5. Según la tabla, ¿en qué intervalo se concentra el 40% de los partidos jugados?

1

Unidad 6

1. En una tabla de frecuencias, el intervalo [20 - 40[ tiene frecuencia 18, la marca de clase corresponde a:

130 |

14,57 puntos. 14,5 puntos. 14 puntos. 14,28 puntos. 14,2 puntos.

xx x

x x xx x x x x x x x x x x x x x x xx x x x xx

50 puntos 30 puntos 10 puntos 0 puntos

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7 y 10 7 y 14 10 y 14 7 y 11 11 y 14

10

13

4

7

8

11

10

3

6

9

9

4

13

20

17

10

16

14

8

18

12

18

5

16

7

59 a

49 50

a

39 40

a

29

a 10

13. El percentil 25, de la siguiente tabla de frecuencias, corresponde a: A. B. C. D. E.

cuartil 1. cuartil 2. cuartil 3. cuartil 4. No tiene equivalencia.

17,25 19,42 21,59 23,76 25,93

Clase

Frecuencia absoluta

Frecuencia acumulada

[10 - 15[

3

3

[15 - 20[

5

8

[20 - 25[

7

15

[25 - 30[

4

19

[30 - 35[

2

21

Total

21

14. Si luego de calcular los cuartiles de un conjunto de datos se obtiene que Q3 – Q2 > Q2 – Q1, entonces es posible concluir que la distribución de frecuencia es:

11. Los cuartiles Q2 y Q3 de los datos corresponden, respectivamente, a: A. B. C. D. E.

8 6 4 2 0

Tiempo de espera (min)

10. El valor equivalente al percentil 50, corresponde al: A. B. C. D. E.

10

0

A. Con la moda de las estaturas se determina la estatura promedio del curso. B. Con la mediana del color de ojos se determina el color de ojos que predomina. C. Con el promedio de las estaturas se determina la estatura más frecuente. D. Con la mediana de las estaturas se determina la estatura más frecuente. E. Con la moda del color de ojos se determina el color que predomina.

16 14 12

9

9. Ensayo PSU, DEMRE, 2005. Si se tabulan las frecuencias de las estaturas y color de ojos de los alumnos de un curso, ¿cuál de las opciones siguientes es siempre verdadera?

Solo I Solo II I y II II y III I, II y III

30

A. B. C. D. E.

A. B. C. D. E.

10

|

131 |

asimétrica positiva. simétrica positiva. asimétrica negativa. simétrica negativa. simétrica.

Unidad 6

I. Para ser atendidas, la mayoría de las personas espera 23,4 min aproximadamente. II. La mitad de las personas son atendidas antes de los 27,8 min. III. El promedio de tiempo de espera es de 9 min.

a

A. tiene una tendencia decreciente. B. el último punto corresponde a la cantidad total de datos analizados. C. las barras representan las categorías. D. cada punto representa la frecuencia absoluta. E. Todas las anteriores.

12. El siguiente histograma representa el tiempo de espera en la atención de un consultorio. ¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?

19

8. En un polígono de frecuencias acumuladas es cierto que:

20

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a

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Cantidad de personas

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Solucionario Ficha de reforzamiento nº 1 1. La tabla de frecuencias queda determinada de la siguiente manera. Número de personas atendidas


[10 - 20[

8

8

[20 - 30[

20

28

[30 - 40[

14

42

[40 - 50[

8

50

[50 - 60[

2

52

[60 - 70[

2

54

[70 - 80[

1

55

Total

55

Unidad 6

Edad de los pacientes atendidos

Considerando que la clase mediana corresponde a [20 - 30[, se tiene entonces que la mediana corresponde a:

55 –8 2 Me = 20 + · 10 = 29,75 20 Esto significa que el 50% de las personas atendidas por accidentes de tránsito, en las últimas Fiestas Patrias, tienen una edad inferior o igual a los 29 años con 9 meses.

Ficha de reforzamiento nº 2 1. Las frecuencias absolutas pueden obtenerse del gráfico anterior. Trinfos

5

6

7

8

9

10

11

12

13

F. absoluta

4

1

1

2

2

2

4

3

2

F. relativa *

0,19

0,05

0,05

0,10

0,10

0,10

0,19

0,14

0,10

F. relativa %

19,05

4,76

4,76

9,52

9,52

9,52

19,05

14,29

9,52

* Los resultados de frecuencia relativa han sido aproximados.

2. Promedio de triunfos Mediana de triunfos Moda de triunfos

9,19 10 5 y 11

3. Puesto que la cantidad de deportistas corresponde a 21 personas, los cuartiles correspondientes son: Q1 = 25% · 21 = 5,25 Q2 = 50% · 21 = 10,5 Q3 = 75% · 21 = 15,75 Santillana Bicentenario

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De acuerdo con esto, el competidor 11 es aquel que está inmediatamente por sobre Q2 (Q2 = 10,5 ≈ 11), y ha ganado 10 carreras. Por otra parte, el competidor 16 está inmediatamente por sobre Q3 (Q3 = 15,75 ≈ 16) y, a su vez, ha ganado 11 carreras. Ficha de profundización nº 3 a.

b.

Clase

Frecuencia absoluta


5

[1 - 5[

4

8

13

[5 - 9[

[11 - 16[

10

23

[16 - 20]

10

33

Clase

Frecuencia absoluta


[1 - 6[

5

[6 - 11[

c.

Clase

Frecuencia absoluta


4

[1 - 3[

1

1

4

8

[3 - 5[

3

4

[9 - 13[

10

18

[5 - 7[

1

5

[13 - 17[

7

25

[7 - 9[

3

8

[17 - 20]

8

33

[9 - 11[

5

13

[11 - 13[

5

18

[13 - 15[

4

22

[15 - 17[

3

25

[17 - 19[

2

27

[19 - 20]

6

33

2. La mediana para cada uno de los casos anteriores corresponde, respectivamente, a: 12,75; 12,4 y 12,4. 3. Al comparar los valores obtenidos se puede concluir que, independiente de la agrupación de datos, la mediana es la misma, es decir, el 50% de las ausencias registradas se concretaron en el 12º día de clases.

Ficha de profundización nº 4 1. Para construir la tabla, se transformaron los tiempos a segundos y se obtuvo lo siguiente:

Tiempo de reacción al veneno Intervalos de tiempo (segundos)

Frecuencia absoluta


120 a 179

3

3

180 a 239

5

8

240 a 299

7

15

300 a 359

8

23

360 a 419

12

35

Total

35

10 · 35 –3 2. P10 = 180 + 100 · 59 = 185,9 ≈ 186 segundos. 5

40 · 35 –8 P40 = 240 + 100 · 59 = 290,57 ≈ 291 segundos. 7

25 · 35 –8 P25 = 240 + 100 · 59 = 246,32 ≈ 246 segundos. 7

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133 |

80 · 35 – 23 P80 = 360 + 100 · 59 = 384,58 ≈ 385 segundos. 12

Unidad 6

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Evaluación de la unidad C D B A B E D

8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

B E B C C A A

Unidad 6

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Bibliografía • Batanero, C., Grupo de Educación Estadística, Universidad de Granada, Didáctica de la Estadística, 2001. • Beltramone, J. P., Déclic 1ºs, Mathématiques, Hachette Education, París, 2005. • Ministerio de Educación, Propuesta Ajuste Curricular, Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios, Matemática, junio 2009. Sitios webs • www.cesma.usb.ve/~npena • Ministerio de Educación: www.mineduc.cl • Sector matemática: www.sectormatematica.cl • www.demre.cl/text/publicaciones2009/octubre/publicacion25(021008)a.pdf • Instituto Nacional de Estadísticas: www.ine.cl • www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/d_7.html


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Unidad 6

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Presentación de la unidad En esta unidad se formalizan y generalizan estrategias de conteo para el cálculo de probabilidades, tales como permutaciones y variaciones, a partir de contextos cercanos y diversos, para facilitar la comprensión de estos nuevos conceptos. Estos contenidos, según el currículum antiguo, corresponderían a 3º Medio. Antes de comenzar la unidad, es importante revisar el fichero que se encuentra al final del texto del alumno, para evaluar si es necesario repasar contenidos previos.

Sugerencias para la actividad • Uno de los requisitos para tomar decisiones es saber cuáles son las opciones que se tienen. Sin embargo, muchas de estas están sujetas a la incertidumbre, ya sea por sus consecuencias o resultados. Pues bien, la actividad propuesta apunta a conocer las posibilidades de elección, a través de las técnicas de conteo. Por otra parte, es interesante la asignación de la probabilidad para las apuestas.


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UNIDAD 7 | Combinatoria y probabilidades

Evaluación diagnóstica (Páginas 226 y 227) Sugerencias o remediales • Para el indicador Comprendo e interpreto el concepto de probabilidad: se sugiere trabajar el concepto de experimento aleatorio con ejemplos concretos. Una posibilidad es comparar experimentos determinísticos (doblar una rama seca, quemar un papel, etc.) con otros cuyo resultado sea incierto (determinar la hora en que caerá la próxima lluvia, el próximo resultado de un partido de fútbol, etc.). Entre los experimentos aleatorios, considerar otros en que los resultados sean excluyentes pero complementarios a la vez (lanzar una moneda solo tiene dos posibilidades, obviando que pueda caer de forma perpendicular). • Para el indicador Identifico el espacio muestral de un experimento y los sucesos pertenecientes a él: realizar un experimento en el cual sus sucesos sean equiprobables y observar sus resultados. A partir de esto, comparar diferentes sucesos versus el espacio muestral. Un experimento que considere dos posibles resultados puede ser útil para mostrar la variabilidad de la probabilidad. Por ejemplo, calcular la probabilidad de elegir un varón en un curso mixto, al cual se incorporan mujeres para variar la proporción entre los estudiantes. • Para el indicador Calculo probabilidades de manera experimental o teórica: analizar en cada pregunta si es posible establecer una probabilidad experimental o teórica. En el segundo caso, puesto que las probabilidades se representan mediante un número decimal, se sugiere hacer el traspaso de dicha cifra a fracción, para determinar la relación entre casos favorables y casos totales.

Probabilidad experimental y teórica (Páginas 228 y 229) Sugerencias metodológicas De acuerdo al Marco Curricular aprobado (junio 2009), los(as) estudiantes comienzan a determinar experimentalmente probabilidades desde 6º Básico. En 8º Básico se formaliza el cálculo de probabilidad de forma teórica mediante la regla de Laplace. En 1º Medio el enfoque se amplía al análisis de experimentos aleatorios para que los(as) alumnos(as) identifiquen si es posible calcular una probabilidad teórica o experimental. • Se recomienda al docente comenzar esta unidad, rescatando las ideas que los(as) estudiantes tienen de los conceptos de probabilidad, azar, aleatorio, etc. • Es importante que los(as) alumnos(as) comprendan que el azar es un concepto ajeno a las matemáticas, sin embargo, se utiliza para modelar situaciones en las que se desee determinar probabilidades. Si se dobla una vara hasta romperla, se puede decir que es un experimento determinístico –se sabe el resultado de antemano– pero también se podría decir que es un experimento aleatorio con un único resultado, que tiene probabilidad uno. En otros casos, se conocen todos los resultados posibles de antemano, pero no cuál de ellos, específicamente, será el que “salga”. A esto es lo que generalmente se denomina experimento aleatorio. También hay ocasiones en que no es posible predecir, por lo que se deben realizar experimentos repetidas

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veces y utilizar la estadística para obtener conclusiones. En otras, intuitivamente se dice que la probabilidad “es baja”, pero no hay forma de asignarle un número (¿basados en qué se dice que la probabilidad de encontrarse con un amigo en el estadio es baja?). Todas estas consideraciones pueden ayudar a aclarar a los alumnos(as) que la probabilidad se estudia seleccionando situaciones y obviando otras, de manera que puedan ser modeladas matemáticamente. • Se sugiere explicar a los(as) estudiantes que los casos extremos en el cálculo de probabilidades, como por ejemplo, lanzar una moneda y que esta caiga de canto, se descartan para poder modelar matemáticamente la probabilidad, de hecho, la probabilidad de que esto ocurra no es cero, pero es tan despreciable que no se considera entre los posibles resultados, por lo tanto, se asume matemáticamente que es cero, pero no significa que nunca ocurra. • Un error bastante común en los(as) estudiantes es confundir el concepto de probabilidad como algo determinístico, en lugar de comprenderlo como una predicción de lo que puede acontecer. Así, por ejemplo, al experimentar lanzando un dado, si la probabilidad de obtener un 3 resulta 0,2, puede creer que eso significa que de cada 10 lanzamientos, exactamente 2 de ellos corresponderán a un 3. Se sugiere, entonces, enfatizar que la probabilidad se refiere a la posibilidad de que ocurra un suceso. • Se propone repasar los contenidos de porcentajes y frecuencia relativa, ya que son fundamentales para calcular e interpretar la probabilidad experimental.

Comparación entre probabilidad experimental y teórica (Páginas 230 y 231) Sugerencias metodológicas • Se sugiere al docente subrayar las ventajas y desventajas que tiene cada uno de los métodos aquí presentados, por ejemplo, el método experimental se ajusta mejor a la realidad y siempre es posible aplicarlo en cualquier tipo de experimento; el método teórico permite adelantarnos a los hechos y predecir lo que sucederá, pero no es posible aplicarlo en cualquier experimento. • Mencionar a los(as) alumnos(as) que la Ley de los Grandes Números es la que afirma que mientras mayor sea el número de experimentos, la probabilidad experimental tenderá a la teórica. Comentarles también, que a pesar de que no es posible demostrar matemáticamente esta ley, sí la pueden comprobar a través de la experimentación. • Para trabajar la ley de los grandes números se sugiere utilizar un software, por ejemplo, una planilla de cálculo, la cual no solo permite simular experimentos aleatorios (a través de la función ALEATORIO) sino que también da la posibilidad de realizar muchas repeticiones de ellos. • Como al determinar probabilidades experimentales se utilizan las frecuencias relativas, que, en ocasiones, se aproximan, resultando que la suma de estas frecuencias no sea igual a uno. Esto puede producir confusiones en los(as) alumnos(as), ya que pueden inferir que, por ejemplo, la probabilidad de un evento puede ser mayor que uno o que hay eventos que no han sido considerados. Para evitar estas confusiones se sugiere insistir en las diferencias entre probabilidad experimental y teórica.


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Técnicas de conteo y probabilidades: Principio multiplicativo (Páginas 234 y 235) La estrategia gráfica de conteo empleada en estas páginas (diagrama de árbol) está estrechamente ligada, en una primera instancia, a la idea de potencia, contenido que, de acuerdo al Marco Curricular aprobado, los(as) alumnos(as) tratan desde 6º Básico. Sin embargo, esta se puede extender a un proceso multiplicativo, ya que permite hacer variadas combinaciones.

Sugerencias metodológicas • Destacar la generalización del principio multiplicativo a partir de un diagrama de árbol, de manera que los(as) estudiantes recurran al principio más que al diagrama cuando necesiten determinar la cantidad de casos posibles. • El uso de diagramas de árbol, para determinar el total de casos posibles, es una herramienta muy útil, pero a la vez requiere de mucho tiempo en su construcción, cuando son muchas las combinaciones. Se sugiere discutir con los(as) estudiantes las ventajas y desventajas que presenta esta estrategia, proponiendo construcciones de diferentes tamaños y números de casos.

Técnicas de conteo y probabilidades: Permutaciones (Páginas 236 y 237) Sugerencias metodológicas • Como es la primera vez que los(as) alumnos(as) trabajarán con el factorial de un número, la definición de 0! (cero factorial) puede producir conflictos, ya que, según la regularidad que se presenta, 0! debiese ser igual a 0. Por esta razón, se sugiere recalcar que 0! = 1.

Técnicas de conteo y probabilidades: Permutaciones con elementos repetidos (Páginas 238 y 239) Sugerencias metodológicas • En estas páginas se amplía el contenido visto anteriormente, por lo que es esencial que los(as) alumnos(as) comprendan el concepto de permutación y la aplicación del número factorial. • Se sugiere justificar el por qué dividir por las permutaciones de los elementos repetidos presentando diversos ejemplos en los que los(as) estudiantes constaten que es necesario dividir por esa cantidad, ya que de lo contrario estarían considerando los casos repetidos. La diagramación del ejemplo y la agrupación de los casos repetidos puede ser útil también. • Una posible dificultad para los(as) alumnos(as) es identificar, en el enunciado, cuándo se trata de una permutación con elementos repetidos y cuando no. Se sugiere realizar ejercicios, como por ejemplo, con 2 mujeres y 1 hombre, y otro con nombres para cada uno, así los(as) estudiantes verán que en el primer caso no se distingue entre las mujeres, por lo que se trata

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de una permutación con repetición. Sin embargo, en el segundo caso, si se identifica a cada una de las mujeres Pamela y Anita, no será lo mismo que estén en el orden A-P-H o P-A-H, por lo que se trata de una permutación sin repetición. • Se sugiere al docente mostrar a los(as) alumnos(as) lo práctico que resulta simplificar 9! expresiones tales como , en las que conviene simplificar 9! y 5!, quedando en el nume3! · 5! · 2! rador el producto 6 · 7 · 8 · 9 lo cual es mucho más simple de calcular. • Un argumento a favor de la notación empleada para las técnicas de conteo (permutaciones, variaciones y combinaciones), es que permiten ordenar los datos, indicar el cálculo que se debe hacer y comunicar a otros lo que se está realizando. • Es necesario que los(as) alumnos(as) entiendan la importancia del orden en las permutaciones, porque es crucial a la hora de calcular probabilidades, ya que si no lo tienen claro pueden considerar menos sucesos de los que realmente son. Por ejemplo, en el ejercicio del texto, se tienen dos bolas de color azul y una de color rojo, se debe hacer la distinción entre los eventos A1-A2-R y A2-A1-R (donde A1 es una bola de color azul, A2 es la otra bola de color azul y R es la bola de color rojo), si no se podría considerar el caso A-A-R como un solo evento.

Técnicas de conteo y probabilidades: Variaciones (Páginas 240 y 241) Las variaciones corresponden a una profundización y ampliación del concepto de permutación. Nuevamente el principio multiplicativo y el cálculo de factoriales son piezas clave para la comprensión de estos contenidos.

Sugerencias metodológicas • Se sugiere destacar el uso de la calculadora como herramienta de apoyo para el cálculo de factoriales, pero insistir en que la calculadora por sí sola no resolverá los problemas.

Técnicas de conteo y probabilidades: Combinaciones (Páginas 242 y 243) Las combinaciones representan una profundización y ampliación de la idea de variación, por lo que también está fuertemente ligada a las otras estrategias de conteo revisadas. Esta corresponde a la última estrategia de conteo presentada en la unidad.

Sugerencias metodológicas • Una posible dificultad en los(as) alumnos(as) es identificar cuándo una situación representa una variación y cuándo una combinación. Para esto, sugerirles que analicen la importancia del orden, y resumirles que en el caso de la variación sí importa y en la combinación no importa.


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UNIDAD 7 | Combinatoria y probabilidades n

n

• Las combinaciones de r objetos entre n presentan simetría, es decir: C r = C n – r . Una forma de justificar esto es desarrollar la fórmula y mostrar que se obtiene el mismo resultado. Sin embargo, más enriquecedor puede resultar resolver una situación como la siguiente: “Mostrar que ordenar 3 elementos entre 10 es lo mismo que ordenar 7 entre 10. Es decir, de los 10 elementos se seleccionan las posibles combinaciones de 3 y se registran. Luego, de los 10 elementos se seleccionan las posibles combinaciones de 7 elementos, pero se registran solo los 3 elementos que no fueron considerados en la selección. Así, al seleccionar todas las posibles combinaciones de 7 elementos, se habrán registrado todas las posibles combinaciones de 3 elementos, por lo que la cantidad de combinaciones de 7 entre 10 es la misma que de 3 entre 10”. • Volver a revisar la situación planteada en las páginas de inicio, ya que las actividades están relacionadas con la simetría de las combinaciones. • A modo de profundización de contenidos, se propone calcular la probabilidad de ganar el pozo máximo en un juego de azar nacional, como por ejemplo el Loto o el Kino. En el caso del Loto, se deben calcular las posibles combinaciones que se pueden hacer de 7 elementos entre 1 36 36 (C = 8.347.680), siendo entonces la probabilidad de acertar igual a . Del mismo 8.347.680 7 modo, en el caso del Kino, se deben calcular las posibles combinaciones de 14 elementos entre 25. Cabe destacar que ahora la cantidad de aciertos para obtener el pozo máximo es menor que antes (15 aciertos), sin embargo, la probabilidad de ganar también es menor.

Ampliación de contenidos Reparticiones “Un padre le hereda a sus tres hijos 11 caballos. ¿De cuántas maneras pueden ser repartidos estos caballos?” Este problema plantea una repartición de la herencia, para lo cual se propone la siguiente idea: Se agregarán 2 “caballos virtuales”, es decir, que no existen pero que se considerarán para la repartición, de manera de particionar el conjunto de 13 caballos en 3 subconjuntos (pues son 3 hijos). Representando por C a los caballos y por V a los “caballos virtuales”, se tienen las siguientes reparticiones de los caballos entre los 3 hijos: CCCVCCCCVCCCC

Aquí, el primer hijo recibe 3 caballos, el segundo 4 y el tercero 4.

CCCCCCVCCVCCC


CCCCCCCCCCCVV


Luego, el problema se resume a las posibles combinaciones que se pueden obtener de 2 elementos 13

(que en el ejemplo corresponden a los “caballos virtuales” V) entre 13, C . Es decir, al querer repartir entre 3 hijos, se tuvieron que agregar 2 “caballos virtuales” para particionar el conjunto en 2 3 subconjuntos. Generalizando Si se quiere repartir n objetos entre r, se agregan r – 1 “objetos virtuales”, para particionar el conjunto. n+r–1

Luego, se obtiene las posibles combinaciones de r – 1 objetos entre n + r – 1, es decir, C

r–1

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Ejercicios 1. Un hombre debe repartir su herencia entre 5 personas. Si la herencia consiste en 50 prendas de vestir, ¿de cuántas maneras diferentes podría repartir la herencia este hombre? Respuesta: 54 Si quiere repartir 50 prendas entre 5 personas, debe calcular C4 , lo que da 316.251 maneras en que puede repartir la herencia. 2. La señora Ana María fue al almacén a comprar unas galletas surtidas para sus hijos, pero aún no decide cuántas les dará a cada uno. Si Ana María tiene 4 hijos y en total compró 90 galletas, a. ¿de cuántas maneras diferentes puede repartirlas? b. Si la mamá decide repartirlas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al mayor le toquen 40, al que sigue 15, al siguiente 15 y al menor 20? c. ¿Cuál es la probabilidad de que a alguno de ellos le toquen 40, a otro 15, a otro 15 y al otro 20? d. ¿Cuál es la probabilidad de que a alguno de ellos le toquen 34 galletas? Respuesta: 93 a. Si se quiere repartir 90 galletas entre 4 hijos, se calcula C 3 = 129.766. b. Se tiene un caso favorable, aquel que se especifica en el enunciado, por lo tanto, la probabilidad 1 de que esta repartición se realice es . 129.766 c. Existen 4! casos favorables, pues son todas las permutaciones posibles que se pueden hacer 24 12 entre 4 personas, por lo tanto, la probabilidad de que esto suceda es: = . 129.766 64.883 d. En este caso, las 34 galletas les pueden corresponder a cualquiera de los cuatro hijos, por lo que se tienen 4 casos. Para cada uno de ellos se considera que ya se entregaron 34 galletas a uno de ellos y quedan 56 galletas por repartir entre los otros tres. Luego, el número de posibles 58

reparticiones que se pueden hacer de las 56 galletas viene dado por C2 = 1.653. Como son 4 los posibles casos en los que se hará esta repartición, en total se tiene 4 · 1.653 casos 6.612 ≈ 0,051. favorables, es decir, 6.612. Por lo tanto, la probabilidad, en este caso, es 129.766

Relación entre la media de una población y las medias de muestras extraídas con y sin reemplazo (Páginas 248 a 251) En estas páginas se estudia una de las muchas relaciones existentes entre las probabilidades y la estadística. Introducir este tema comentando con los(as) estudiantes que ambos conceptos asumen ciertos supuestos a favor de la matemática; por ejemplo, la estadística asume la “distribución uniforme” de los datos, mientras que la probabilidad asume la Ley de los Grandes Números.

Sugerencias metodológicas • Se recomienda repasar los conceptos de población y muestra, y comentar con los(as) alumnos(as), a partir de sus intuiciones, qué condiciones debiera cumplir una muestra para que sea representativa de una población.


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• Se sugiere enfatizar que una muestra representativa, a pesar de que no corresponde a toda la población, nos permite obtener la tendencia de esta. Como ejemplo, se puede analizar la forma en que se realizan las encuestas para los pronósticos de elecciones presidenciales, en donde se considera una muestra representativa de 1.000 personas, y se generalizan los resultados obtenidos para millones de personas. • Se sugiere destacar la utilidad de los elementos combinatorios en este contenido, ya que nos permite obtener el número total de muestras de un tamaño determinado. • Se recomienda analizar con los(as) estudiantes la suma de los errores muestrales. El resultado es bastante intuitivo, pues al considerar muestras de un tamaño determinado se toman en cuenta todos los datos (los que quedan distribuidos en las distintas muestras), por lo que al promediar todas las medias muestrales se obtendrá la media poblacional, es decir, las diferencias entre la media poblacional y cada una de las medias muestrales se van compensando, razón por la cual la suma de los errores muestrales siempre será igual a 0.

A continuación se presentan dos fichas de reforzamiento (n° 1 y n° 2) con el propósito de reforzar el aprendizaje de la unidad, especialmente para los(as) alumnos(as) con rendimiento insatisfactorio. Los problemas están basados en las actividades propuestas en el texto del estudiante. Luego, se presentan dos fichas de profundización (n° 3 y n° 4) que buscan ahondar en los aprendizajes evaluados en esta unidad. Por esta razón, se recomienda trabajarlas con los(as) alumnos(as) cuyos resultados fueron satisfactorios y lograron obtener todas sus respuestas correctas, sin excluir a aquellos que por interés quieran conocer otras aplicaciones de este contenido.

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Ficha de trabajo nº 1 NOMBRE:

Reforzamiento Unidad 7 CURSO:

FECHA:

Objetivos: Utilizar una planilla de cálculo para comprobar la convergencia de la frecuencia relativa a la probabilidad teórica de un experimento.

Unidad 7

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En una planilla de cálculo, trabajar la relación entre la frecuencia relativa y la probabilidad teórica en el lanzamiento de un dado no cargado. Antes de comenzar, tener en cuenta lo siguiente: La función “=ALEATORIO()”, entrega un número entre 0 y 1. La función “=ENTERO(n)”, entrega la parte entera de un número decimal n. La función “=TRUNCAR(n; k)”, entrega el número n truncado con k decimales. La función “=CONTAR.SI(j; k)”, entrega la cantidad de veces que se repite el número k en el rango descrito por j. 1. Considerando que estas funciones pueden sumarse y/o multiplicarse por un número, encuentra la fórmula para obtener un número entero entre 1 y 6. Luego, sigue los pasos: 1º Copia la fórmula obtenida desde la celda A1 hasta la celda A10, arrastrando la esquina inferior derecha de la celda A1. 2º En otra columna, escribe los posibles sucesos de lanzar un dado. 3º Con la función =CONTAR.SI(), obtén la frecuencia absoluta para cada suceso en la columna A; por ejemplo, para contar la cantidad de veces que aparece el número 2, se escribe en una celda =CONTAR.SI(A1:A10;2). 4º Luego, en otra columna, obtén la frecuencia relativa para cada suceso.

2. A partir de estos resultados, presiona la tecla F9, ¿qué sucede? 3. Construye un gráfico de las frecuencias relativas, utilizando el gráfico XY (dispersión) y escogiendo Dispersión de puntos, sin rectas de conexión. 4. Presiona nuevamente F9. ¿Qué sucede con el gráfico? 5. Ahora, extiende la cantidad de datos de la columna A, hasta 20, 50, 100, 200 datos y presiona F9. ¿Qué sucede con el gráfico?, ¿qué sucede con la frecuencia acumulada?, ¿a qué valor tiende esta última?


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FECHA:

Objetivos: Calcular probabilidades.

Responde. En las fondas de fiestas patrias, Pedro se entretuvo en un puesto jugando con un tablero como el que se muestra en la figura. El juego consiste en dejar caer una ficha (representada con el color rojo) por el interior del tablero, la cual rebotará en cada una de las barreras (representadas con el color negro) para luego caer en alguna de las casillas señaladas en la parte inferior.

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º

1. ¿Cuál es la probabilidad de que la ficha caiga en la 3ª casilla?, ¿y en la 6ª casilla?

2. Si el tablero se extendiese hasta tener 7 filas de obstáculos, ¿cuál será la probabilidad de que la ficha caiga en la 3ª casilla?

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U7

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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Objetivos: Calcular probabilidades utilizando técnicas de conteo.

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Una urna, de la cual no se ve su interior, contiene 3 bolitas de color blanco y 2 de color negro. Todas ellas indistinguibles al tacto. Se sacan 2 bolitas sucesivamente. Si la primera de ellas es de color negro se devuelve a la urna; si es blanca, no se devuelve. 1. Al extraer 2 bolitas de la urna, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 bolitas de color blanco?, ¿y 2 bolitas de color negro?

2. Al extraer 2 bolitas de la urna, ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente 1 bolita de color blanco?


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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Objetivos: Demostrar utilizando combinatoria.

Demuestra en cada caso lo pedido. n

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n

1. C0 = Cn

n

2. Cl = n

n

n

n

n

3. Ck = Cn – k

n+1

4. Ck + Ck + 1 = C k + 1

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CURSO:

FECHA:

Marca la alternativa correcta de cada una de las siguientes preguntas. 1. Se tira una moneda equilibrada 4 veces seguidas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras y luego 2 sellos?

Unidad 7

U7

A. B. C. D. E.

4. Se lanza una moneda equilibrada 100 veces seguidas. Salió “cara” 52 veces y “sello” 48 veces. Se propone lanzar una vez más, entonces se espera que:

0,005 0,0125 0,0625 0,25 0,50

A. salga “cara”, porque tiene mayor frecuencia. B. salga “sello”, porque el experimento es equiprobable. C. ambos tienen la misma probabilidad de salir. D. salga “sello”, porque debe superar la cantidad de “caras”. E. salga “sello”, porque tiene menor frecuencia.

2. ¿De cuántas maneras 3 atletas podrán llegar a la meta? (Considera que pueden o no, llegar simultáneamente a la meta). A. B. C. D. E.

5. Una urna contiene N bolitas indistinguibles. Se extraen 40 bolitas y a cada una se le hace una marca. Se devuelven a la urna y en un segundo turno se sacan 40 bolitas más, de las cuales 8 tienen una marca. ¿Qué puedes decir de N?

Si llegan los 3 juntos, hay 1 posibilidad. Si llegan 2 juntos, hay 3 posibilidades. Si llegan los 3 por separado, hay 6 posibilidades. Alternativas A, B y C son correctas. Ninguna de las anteriores.

A. B. C. D. E.

3. En una urna se tiene 1 bolita de color rojo, y 2 de color azul y, por otra parte, 1 moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que, al tirar la moneda y extraer una bolita, se obtenga sello y una bolita de color azul? – A. 0,16 – B. 0,3

6. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado cargado se obtenga el número 2, sabiendo que la probabilidad de que salga 6 es el tripe que cualquier otro número? (Asumir equiprobabilidad en los otros casos).

C. 0,5 – D. 0,6 E.

N = 40 N = 80 N = 72 N> – 72 No se puede determinar.

– 0,83

A. 0,125 – B. 0,16 C. 0,2 – D. 0,3 E.


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No se puede calcular.

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7. Un alumno que rinde un examen debe elegir para contestar, 9 de las 12 preguntas de la prueba. ¿De cuántas maneras puede elegirlas si las 4 primeras son obligatorias? A. B. C. D. E.

11. En la palabra CINEMA, ¿cuál es la probabilidad de que al permutar el orden de dichas letras, la segunda y la última sean vocales? A. B. C. D. E.

495 220 70 56 8

– 0,00694 0,2 – 0,00138 0,5 0,6 n

12. La expresión C2 equivale a: 8. ¿Cuántas permutaciones existen de la palabra CUADERNO, si fijamos las letras C y O en la primera y última ubicación, respectivamente?

A. B.

A. B. C. D. E.

720 5.040 10.080 20.160 40.320

C. D.

(n – 1) 2

E.

(n + 1) 2

9. ¿Cuántas letras de 5 signos con 3 rayas y 2 puntos podría tener el alfabeto Morse? A. B. C. D. E.

13. El promedio de edad de los jugadores de las selecciones de fútbol de Chile, Uruguay y Colombia es 24, 29 y 28, respectivamente. Entonces, la media de población corresponde a:

24 12 20 6 10

A. B. C. D. E.

10. Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ¿cuántos números de 3 cifras se pueden construir? A. B. C. D. E.

n(n + 1) 2 n(n – 1)(n – 2) 2 n(n – 1) 2

28 números 35 números 210 números 999 números 1.000 números

24 25 27 28 29

14. La suma de todos los errores muestrales es: A. B. C. D. E.

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igual al promedio muestral. un valor que depende de la cantidad de datos. cero. siempre positiva. siempre negativa.

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Solucionario Ficha de reforzamiento nº 1 1. La fórmula que entrega un número entero, entre 1 y 6, es “=TRUNCAR(6*ALEATORIO()+1;0)”, con esto se obtiene el experimento del lanzamiento de un dado. Un ejemplo se ilustra a continuación.

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2. Al presionar la tecla F9, los valores del resultado del experimento varían, cambiando también las frecuencias absolutas y relativas. 3. El gráfico dependerá de los datos de cada alumno. A continuación se muestra un ejemplo.

4. Al presionar F9 sucesivamente, se aprecia la movilidad de los datos de acuerdo con el resultado del experimento de lanzar 10 veces un dado. 5. Luego, al extender el experimento a 20, 50, 100 y 200 lanzamientos, la frecuencia relativa se aproxima a la probabilidad teórica correspondiente a 0,16666…


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Ficha de reforzamiento nº 2 Cada vez que la ficha roja entra en juego esta se verá obligada a chocar ante alguna barrera, dando la posibilidad de tomar 2 caminos para seguir cayendo (izquierda o derecha). Así, para llegar a caer en la tercera casilla del tablero habrá chocado con 6 barreras, teniendo 1 de 64 opciones (26). Sin embargo, para llegar de forma particular a la tercera casilla, es posible recorrer 15 caminos. Por lo tanto, la probabilidad de que la ficha de color rojo caiga en la tercera casilla es de 15 · 6

C2 ·

6

1 , o bien de 64

冢冣

1 . 2

La probabilidad de caer en la sexta casilla es de

6 C5

6

冢冣

1 · . 2 7

冢冣

1 7 . Para el caso de tener un tablero con 7 filas de obstáculos, la probabilidad de caer en la tercera casilla es de C2 · 2 Ficha de profundización nº 3 Este es un tipo de probabilidad en que la elección está considerada con reposición. Para su desarrollo debe precisarse que el orden de extracción es fundamental, puesto que determina la probabilidad de la segunda extracción, según si la primera bolita escogida al azar resulta blanca o negra. Se distinguirán por N y B los colores negro y blanco de las bolitas. 1. Los casos posibles son Ω = {NN, BN, NB, BB} y los favorables aquellos en que solo aparecen bolitas del mismo color. Usaremos el diagrama de árbol para ilustrar esta situación.

2 5

N

NN

3 5

B

NB

2 4

N

BN

2 4

B

BB

N

Ω 3 5

2 5

Luego, se tiene que la probabilidad de cada uno de los eventos se obtiene mediante el principio multiplicativo y corresponde a: 4 6 P(NN) = ; P(BB) = . 25 20

B

2. El cálculo de la probabilidad pedida es equivalente a calcular el complemento de la probabilidad de tener el mismo color en ambas extracciones, es decir, 1 – {P(NN) + P(BB)}. Por lo tanto, la probabilidad de obtener exactamente una bolita blanca 6 6 27 corresponde a: P(NB ∨ BN) = + = . 25 20 50

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Solucionario Ficha de profundización nº 4 n n n n! n! 1. Para el caso de C = Cn = 1 se utilliza la definición: C0 = = = 1. 0! · (n – 0)! I · n! n

Análogamente, Cn = n

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2. Para C l = n

n! n! n! = = =1 n! · (n – n)! n! · 0! n! · 1

n! n · (n – 1)! n = = =1 l! · (n – 1)! l! · (n – 1)! l!

n n! n! n! n! = = = = Cn – k k! · (n – k)! (n – k)! · k! (n – k)! · (n – n + k)! (n – k)! · (n – (n – k))!

3.

Ck =

4.

n n n! n! n! n! Ck + Ck + 1 = + = + k! · (n – k)! (k + 1)! · (n – k – l)! k! · (n – k) · (n – k – l)! (k + 1) · k! · (n – k – l)!

冢

冣 = k! ·(n – k – l)! · 冢 (n – k)(k + l) 冣

=

n! 1 1 + · k! · (n – k – l)! n–k k+l

n!

n+l

=

n+l n! · (n + l) (n + l)! (n + l)! = = = Ck + 1 k! · (n – (k + l))! · (n – k) · (k + l) (k + l)(n – k)! (k + l)!(n + l – (k + l))!

Evaluación de la unidad 1. 2. 3. 4. 5.

C D B C D

6. 7. 8. 9. 10.

A D A E C

11. 12. 13. 14.

B C C C

Bibliografía • Batanero, C., Grupo de Educación Estadística, Universidad de Granada, Didáctica de la Estadística, 2001. • Ministerio de Educación, Propuesta Ajuste Curricular, Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios, Matemática, junio, 2009. • Serradó A., Cardeñoso M. J., Azcárate P., Los obstáculos en el aprendizaje del conocimiento probabilístico: su incidencia desde los libros de texto, España, 2003. Sitios webs • Ministerio de Educación: www.mineduc.cl • Sector matemática: www.sectormatematica.cl


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I° medio Matemática 2010 Santillana Bicentenario Docente

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