Desenvolvendo Conceitos Matemáticos: Aritmética
- 7
= 1
0 6 3
9
4 +
5
8 x 2
Hellete Martins Castilho Moreno
D esenvolvenDo ConCeitos M ateMátiCos : a ritMétiCa LICENCIATURA PLENA EM CIÊNCIAS NATURAIS E MATEMÁ MATEMÁTICA TICA - UAB - UFMT
Cá, MT 2011
I F A. A. F F C C, C , /º C U C, MT - CEP.: 78060-900 T.: T.: (65) 3615-8737 .../ .../
D esenvolvenDo ConCeitos M ateMátiCos : a ritMétiCa Autores Heliete Martins Castilho Moreno
CoPyRIghT
©
2011 UAB
Corpo Editorial • • • •
Den Denise iseV Vargas rgas Carlos rlos Rin Rinaldi ldi Iram Iramai aiaJ aJorg orgeC eCab abra rald lde ePa Paulo ulo Maria MariaL Luci ucia aCa Caval valli liNe Neder der
Pjt Gáf: PauLo H. Z. Arruda / Eduardo Eduardo H. Z. Z . Arruda / Everton Botan Botan Rã: Denise Vargas Stá(): Neuza Maria Jorge Cabral / Felipe Fortes
FICHA CA C ATALOGRÁFICA ALOGRÁFIC A
M843 M, H M C. D C M: A./ H M C M. C: UFMT/UAB, 2011. 1.M. 1.M. 2.E M. I.T.
CDU 51
vii
suMário
.
o ConheCiMento MateMátiCo
11
2.
ConCeitos aritMétiCos
17
.
as operações aritMétiCas
45
.
o s n úMeros r aCionais n ã o n egativos : F rações e D íziMas
53
.
a M ateMátiCa
Do
na
eDuCação inFantil
e n s i n o Fu n D a M e n t a l reFerênCias BiBliográFiCas
e nos
anos iniCiais 90 10 0
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iX
o ConheCiMento MateMátiCo
uMa reFleXão históriCa
U
“ ?”. ?”. E x ó A XVIII, . A ó , , J Lk (1632-1704), J J R (1712-1778) I I K K (1724-1804). (1724-1804). C , Lk – tabula rasa – x . S , j x . A, Lk x , M, Ló L C. Lk ó . C R x XVIII, j â . R ó , , R R F (17 (1789 89).). E Do Contrato Social, . UAB| UAB| Ciências Naturais e Matemática | Desenvolvendo Conceitos Matemáticos: Matemáticos: Arit mética |
11
S ai ba maiS Sobre : L ocke , r ouSSeau e k an t ..//j_ ..//j_k. k. ..// ..//. . ../_k. ../_k.
C ó K, x , ó XIX . N x, X XIX IX,, , , . A ó , . A ó x XX X X F: A Logicista: A ó ó : T T x ó. T T xõ ó . A Formalista Formal ista: A x1 . . P , ó , à ó, , x2 ó, x x ó. A Intuicionista : A j j õ , à ó . O , ó. S B D, “A à ó , õ ”. •
»
»
•
•
O j T C M. N XIX X IX,, R (187 18722-197 1970) 0) ó j x . A j -, ó. P-, P-, x, . U ó J H (1865-1963) ________________________ 1 O x j x , , õ , . 2 Ax: . Ex: Ex: “O ”.
12 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
S ai ba maiS Sobre : a S trêS criSeS
x, , 2. . ./// . P , 2008//287-1-A-2__. , , , - j x . C ó, H ó j , . P 1908, X X, , õ . E . N ó x . C H (1861-1943) 1910, x, õ3 4, j, ó. D S (1984), “ 1931, K Gö õ” õ”.. O 40 50, ó, j “ , ó ó ”. ”. Co n h e ç a Mais s o B r e A, “ “ ” - m arcaS HiStóricaS da m atemá atemática tica j. moderna no braSiL A - 2. 2. ./ ./ / /x x. ./D /DIAIALOGO? 1=600&99= I Lk (1922-1974) : : . O Lk Lk P P , â â , j, . C j ó- , J P (189 18966-1980 1980)) . E , P à à F â à , x , x, .. A . A N x õ x. x. A. R. R . L L (1903(1903-197 1978) 8) ________________________ 3 D: xõ x . Ex: Â â . 4 T: T: , , , . A - x õ. Ex: Ex: “E â, õ- â ”.
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, - õ S N C. E , ...estuda o desempenho aritmético e a solução de problemas com relação a lesões cerebrais (1974-1977-1981) e constata a necessidade de uma ativação permanente do tônus cerebral, através das conexões ascendentes e descendentes da ormação reticular, para que possam uncionar eetivamente as unidades recebedora e eetora da inormação. (FRAGA, 1988, p.17).
N B, â à x , .
aBorDagens MetoDológiCas ensino De MateMátiCa
no
D , . . C , x õ õ, , ó . A ó , - . A, “ ” , . S õ x , - õ , x . M ó “ “ ?”. ?”. S : : S L: Procuramos mostrar que existe algo mais sério e mais construtivo; um novo ramo de pesquisa que os europeus (ranceses e alemães, segundo as inormações que possuo) denominam Didática da Matemática e que nós denominamos Educação Matemática (1979, p. 5).
A , à à . B - 14 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
ó , , , õ . . P , , x, õ “E M” (1979, .93 -117). L ... a abordagem exclusivamente intelectual da Matemática que im plantamos plantamos nas nossas nossas escolas é, além de um um erro, erro, uma aberração aberração contra o ser humano, porque nosso desempenho não depende tanto de nosso sistema intelectual – como parecemos crer – mas muito mais do sistema límbico – o que não queremos ver. (1984, p.53)
D , j , : 1. D ; 2. O x ( ( ); 3. D , ; 4. I , x, ; 5. A , x, ; 6. O , . A L, 18 , . U . S : 1. R õ, õ õ ; ; 2. R ; ; 3. A õ ; ; 4. Fj (, , , , ) ) õ, õ, ; 5. A, , , , ; ; 6. T õ ; ; 7. D () ; 8. G ; 9. T ó ó (); 10. T T (); ); 11. D ó; 12. I ; 13. Cj (, , ); ); 14. A; 15. I ( ); 16. R (, ); 17. 17. C ; 18. R . UAB| UAB| Ciências Naturais e Matemática | Desenvolvendo Conceitos Matemáticos: Matemáticos: Aritmética |
15
I, , . E 1985, E S F õ : E, D’Aó P. S D’Aó, “O P E , x , , , ó ” (1993, . 8). R , ó, E = Ex, , j
G
I, (),
F
C: ó,
P
S
F
P “”
Iõ
A 1978, 1978, P C U F P x , . E 198 1983, 3, Pj A A P, “ ”. O , . D S L (F E UNICAMP), M A V B (UNESP R C/SP), Có P S (U F P/C), N J M (USP/S P), E R N (U Mk), L R D (UNESP R C/SP), C/SP), L M M I , B. P- P- 16 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
, R P, P, M M, E, Hó M, U C, P AME – A M E M C V R N S L, CECIMIG - C C M G UFMG - U F M G, M C J M. P ó. A , ó E I E F.
a n atureza D o C onheCiMento l ógiCo M ateMátiCo : i D e i a s B á s i C a s D a te o r i a D e p iaget para o e n s i n o D e MateMátiCa os estágios
De
DesenvolviMento
A P à . O ó, P, : I - Estágio sensório-motor ( 0 18-24 ): - , , , , . A ó- j ó , , â . II - Estágio pré-operatório ( 2 6-7 ): - õ , õ . E ó, ó, õ . E : ) , , , õ õ ó ; ) , õ , , . E õ , õ, à , , õ . III - Estágio operatório: - 6 - 7 ,
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â. S, õ â, . Q õ, 1111-12 , . E : ) operações concretas, 7 11-12 , j õ x j; ) operações ormais, 11-12 , õ, j. C , P x â à õ õ j. j. O () () . P õ ó ó, . operações lógiCas e inFralógiCas M , P õ ó- õ ó. A õ ó- j 5, õ . P x, j , j, . S descontínuos ou discretos os j j . A õ ó j ó6, j, . S contínuos j , . P - -, x x - , â, , ó. A , x j TANGRA TANGRAM, M, ó. ó . S O, A operações lógico-matemáticas : ) - j , j ; ) x - j; ) j, . operações inralógicas, à A operações õ ó, , , •
•
______________________ 5 Objetos discretos ou descontínuos “”, x, , , . 6 Objetos contínuos ou analógicos “”, x, , , .
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à ó-. ó-. A , , : ) - j x -; ) â â j õ -;) - õ j, j õ ; ) j j , , . ( 2005, 20 05, . 107-108). A õ ó ó ó , E, D L D C, . D , , D D (j (j ) A ó ( j ). ). S , à , j, : A j , “”, “”, ; A j , “”. •
•
P P, ó, , : : Classicar j , , ; ; j (T, 2005). Ex õ : . C j. j. C õ j . C x, j pertence j j . M j incluso j . Seriar , j, . I j , . C x, j . Conservar , . É j j j. M x : ó- ó- ó ai ba maiS Sobre : As características, as õ õ Shabilidades e maneiras de consciência de j . P cada um desses hemisférios cerebrais. http://www.ced.ufsc.br/yoga/hemisferios.html UAB| UAB| Ciências Naturais e Matemática | Desenvolvendo Conceitos Matemáticos: Matemáticos: Aritmética |
19
P, ( ) õ : . Q , j 7 , j , , . E , x:
k amii, 1995.
C K K (1995) (1995),, j . A j , x, , , , , (8º j). j). I , , , , ., -, , - - . A, j oito oitavo . “oito”
k amii, 1995, p. 24
M, j , , “um” “ dois”, “ dois” “três” , x, . A, j ó - - . “oito”
k amii, 1995, p. 24
A - , , , , à x x . O j , . P , , _______________________ 7 N: representação de um número, j , .
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, , ( (),), , , , . A : õ . A P x ó , x , ( ) . ti p o s
De
ConheCiMentos
S P x : , ó . O Conhecimento Físico () , , j x. E x. A j, . U x , , . O Conhecimento Social õ . C x x -: “cinco” “ ve ve ” “ dois” “ deux”, ; - : , . . •
•
•
O Conhecimento Lógico-matemático () õ j. A - “” “ ”.. S , ; , , , , 8. C ó- ó- õ j, j, ó . “A “A ó- à õ x ” (K, 1995). S W (1997), j . O ó- õ j. O ó- ó- : N : j; A , •
•
_______________________ 8 C , 27, “ ”. A A “” x ó- , ó- j ó- .
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21
•
Mas
, ó-. S , , , , x. É , , j .
o q u e i s s o t e M a v e r Co M o e n s i n o?
A , , j . A , , , , , , , , , x , . J , , x, j. A ó , , õ , . O, ó- ó- , , , . S , () () .. S x , P II 1963, ( ( ) ó-, ó-, . P 30 50 . U . A : , . D , , - ó . D . N , . . A , : : A: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 C: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 N , , à : : “Nó , ?”. ?”. U quatro anos, , , : “E ”. O , “ ”. O : “V ó ?”. C , , - ó 22 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
. A - j . N , . S , x . Q , : “S , j, , , ?”. N , : , , ; ; : : “ , ”, “ ”. ”. •
•
O j ( ) ) x , j mais, um, dois, três quatro . O , , ó-, ó-, . . A â x . C ó- . N , ó x , x , , , . A j ó- . U õ . . U 12 17 - 50 100. O . aBstração P õ, P, . O , j j , - “ à .” (K, 2003). A , P, : x. N A E , j , x UAB| UAB| Ciências Naturais e Matemática | Desenvolvendo Conceitos Matemáticos: Matemáticos: Aritmética |
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. A j: j x, , x, , . A j ( , , , ), . N A Rx , j, , õ j , x, “”, “” “” . O x . U x “A B”. O “” x A B. A j . A, x, , K, 2003, Os elementos A, B, C, D juntos, podem ser considerados como “4”, mas “4” não está em A, B, C, D.Se a criança não pudesse estruturar os objetos colocando-os em relação, cada objeto seria para ela uma entidade separada.
U ó , diferença j ? C- x ó- ó-..
at i v i D a D e E x â , ó, õ ó-/j ; õ ó/j ; , ó-; -; x. x .
N óx õ .
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ConCeitos aritMétiCos
o núMero origens históriCas
A
j 9? N j, â. S ? M . . o número (1958) – tribunaL de contaS de LiSboa N “era da pedra lascada ” P, . N P , - , . M , P , : , , , , . P , , õ 10. O à . A A - - - : . .
_______________________ 9 N: é a ideia de quantidade que nos vem à mente quando contamos, ordenamos e medimos. 10 Pictografa .
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O . C “era da pedra polida ” N, x . C , , x. A , . Q , N ó, à , , , j, , õ j . O – x – , , . P- P- ! D P, , , x : . M ?
ContageM A . T . I ó T T D : Número, a linguagem linguagem da ciência: Um azendeiro estava disposto a matar um corvo que ez seu ninho na torre de observação de sua mansão. Por diversas vezes, tentou surpreender o pássaro, mas em vão: à aproximação do homem, o corvo saía do ninho. De uma árvore distante, ele esperava atentamente até que o homem saísse da torre e só então voltava ao ninho. Um dia, o azendeiro tentou um ardil: dois homens entraram na torre, um fcou dentro, e o outro saiu e se aastou. Mas o pássaro não oi enganado: manteve-se aastado até que o outro homem saísse da torre. A experiência oi repetida nos dias subsequentes com dois, três e quatro homens, ainda sem sucesso. Finalmente, cinco homens oram utilizados como anteriormente, todos entraram na torre e um permaneceu lá dentro enquanto os outros quatro saíam e se aastavam. Desta vez o corvo perdeu a conta. Incapaz de distinguir entre quatro e cinco, voltou imediatamente ao ninho. (1970, p. 17).
isto
signiF iCa qu e o Corvo saBia Contar ?
A , , , . N , ó , , x G I Os números: a 26 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
história históri a de uma grande gran de invenção,
. C 20 () () 21 ( ) ? P , -! -!
perCepção nuMériCa T T x. x. D . N !
O , . O , j, . D D & G, 1997, “É , x , , . A ó . O ”. A ó, ó, , x, . M, x, x , . Ex , , , . O , -, j . A, “” , õ B N, “õ ”.
a ContageM
por
CorresponDênCia
O j . I , j : A , x -
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27
, j: . É j “ ” . A , x j () (). D C (1984), L C , . P, P, x, : C () (). P . A A ( () C ( (). P . S , , , recíprocas. U x . U completa. I , . Q : aluno carteira carteira aluno? N : O j prevalente j aluno um-a-um (). A carteira carteira um-a-um. A aluno •
•
•
por
q u ê?
N , à : “ ?” um-a-um () um-a-vários. I , , . A: aluno carteira . aluno . carteira •
•
N biunívoca. A, coleções , equivalentes. V : ? O um - a - um, , “ ” (IFR AH, 1989, 1989, . 27). E -ó, -ó, , . O . O ( ). ). 28 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
A . A, : j ? E ? C ? aFinal,
CoMo os hoMens resolveraM o proBleMa Da neCessiDaDe
Da ContageM
P 1, 2, 3, 4,..., j . N , “1” ( ), um a mais . É , , j, x . A , noção de innito. M õ õ . A õ : x . A j , à . Á C ó , , “” , , . C à õ . F F , dígito, 11 1 9, digitus . A , 10: . Vj, , à . •
•
CarDinaliDaDe
e orDinaliDaDe A cardinalidade . E - à , õ, . A ordinalidade x , . E - j - número ordinal. E _______________________ 11 A: símbolo numérico .
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, , x , . Ex: Ex: 1. Q , . N , . . Q “ 30 ”, ”, 30, , . . 2. Q : “ 3.785” 3.785”,, : , j , , , . E, à “Q” à “Q”.
at i v i D a D e O x : .
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P , x x , , C D D (1998, (1998, . 51), 51), : E ; M ; E j ó ; C j . •
•
•
•
30 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
sisteMas
De
nuMeração
C , : - ? I-, , S N. M õ ó , j x , , , , â . D I (1989, . 323), “O j ”.
o sisteMa
De
nuMeração inDoaráBiCo
N , , j , õ. A - 0 2 4 6 8 Í E IX. S 5 7 , I, j 1 3 9 P. A S ão utiLizadoS dez diferenteS , j, SímboLoS cHamadoS de aLgariSmoS. . A , õ . quatro ci cinco seis sete oito nove zero A um dois três qu Séc. VI (indiano) . Séc. IX (indiano) A -K -K, , Séc. X (árabe oriental) , Séc. X (europeu) ó M M -K Séc. XI (árabe oriental) - A, A, Séc. XII XI I (europeu) (europeu) A, A Séc. XIII (árabe oriental) , A. O õ Séc. XIII (europeu) . V : Séc. XIV (árabe ocidental) Séc. XV (árabe oriental) Séc. XV (europeu) (europeu)
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31
N j, . Q , , ? Base
Do
sisteMa
P , - 10. A, 10 base do sistema. M . A base dez : V 5 õ Á O, . A malinké A S G, yébu ioruba N, banda Á C, tananá O, esquimós Gâ, aino Sk, maias astecas A C - - . A , . A x -: (12 ) , . A x sumérios babilônios. N , ó, x à 360°. •
•
•
•
A base de um sistema de numeração, x: S 5, , 5 5, j:
Vj 2 “ 5” 4 “”. E, 4 1ª 2, 2ª . A, , 5, : 24 base5 . Vj 3. O 3 :
32 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
Vj : 1 “ ” 3ª ; 1 “” 2ª ; 2 1ª . A, 3 : 112 base3 base 3 . D , .
Saiba mais sobre outras bases de numeração. ://../.
at i v i D a D e 1- C 4, j 10. S 4 j 4 j x, j x? 2- C õ 1, 1, 2314 2314 .Q ? ? M, , , - ? Como Aristóteles observou há muito tempo, o uso hoje diundido do sistema decimal é apenas o resultado do acidente anatômico de que quase todos nós nascemos com dez dedos nas mãos e dez nos pés (BOYER, 1974, p. 3).
A , “ ”, õ x x , , .
at i v i D a D e Refita, analise e anote suas ideias sobre as questões: Q x ? P “” ?
•
•
L 52 71 O : ó , G I, G, G, 1989 1989 . D : ://k../k?=Kj7YPLLAYC&=PA52&=-BR&=__&=4#=&&=
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33
prinCípio
Da
posição
O x , . A â , , , . ó . . V ? A . Em um sistema numérico que tem o princípio posicional, a posição que o sím bolo ocupa no numeral numeral é que determina determi na seu valor. P x: N 437, 437, 4 400 3, 30. N 3.333, 3 , j, .
3.333 3000 300 30 3 O , 2° . o zero
A ó , “”. M ó , . A , õ x õ , . Vj 38. Q “” ? E III .C., x x . O , , “ “ ”. N . O õ x ausência do zero. O , x, VIII .C. E IV .C. VI .C., . P 628, Í, , . prinCípio MultipliCativo
O : . N , . N , x, 837, 8 8x10², 3 3x10¹ 7 7x10 0. I : 34 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
837 = 800 + 30 + 7 = 8x100 + 3x10 + 7 = 8x10² + 3x10¹ + 7x10 0, Ex D . P x ( ) 5 3: 24 base5 = 2x5¹ + 4x5 0 = 2x5 + 4x1 = 10 + 4 = 14 0 112 base3 base 3 = 1x3² + 1x3¹ + 2x3 = 1x9 + 1x3 + 2x1 = 9 + 3 + 2 = 14 . prinCípio aDitivo
A - : 12 . A, 837 = 800 80 0 + 30 + 7.
at i v i D a D e U- , : S 5 à , 248 . Q ?
F , : , xõ. orDens e Classes O , . A (U), (U ), (D) (C) (C).. C . A, 25.376 . A , 376, , , 25, , 025. P , x: cLaSSe doS quatriLHõeS
cLaSSe doS
cLaSSe doS
cLaSSe doS
cLaSSe doS
cLaSSe daS
triLHõeS
biLHõeS
miLHõeS
miLHareS
unidadeS
C
C
D
U
D
U
C
D
U 2
C 0
D 7
U 6
C 1
D 2 8
U 5 0
C 3 0
D 7 6
U 6 0
A 2.076.125.37 2.076.125.3766 80.060 : D õ, õ, •
_______________________ 12 O valor relativo . A, 837, valor relativo 8 800; valor relativo 3 30; valor relativo 7 7 .
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35
•
O O .
at i v i D a D e Analise Anal ise e responda: 1- N a, dezenas de milhar? 2- N b, unidades de milhar? 3- R c = 23.587.028, : ) Q unidades ? ) Q dezenas de milhar ? ) Q centenas ? ) Q unidades de milhão ?
aproXiMações N , B, x, - xõ. E xõ . E , ( à ). P- x x : por faLta: Q à 1, 2, 3 4, - à - . por exceSSo: Q à 5, 6, 7, 8 9, - 1 à - . Ex: Ex: A â â T 149.598.023 k (G Bk, 1996) 199 6).. S xõ: ordem rdem a a arredondar arredondar
numeraL
numeraL arredondado arredondado
tipo de aproximação aproximação
D C U M D M C M U M D M C M
149.598.023 149.598.023 149.598.023 149.598.023 149.598.023 149.598.023 149.598.023 149.598.023
149.598.020 149.598.000 149.598.000 149.600.000 149.600.000 150.000.000 150.000.000 100.000.000
P P P P x P x P x P x P
E 1904 1913 1913 B 1.006.6 1.006. 617 õ. D 36 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
x : ) )
)
) . .
A , , , â , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, . Em uma só palavra, os algarismos constituem hoje a única e verdadeira linguagem universal. Aqueles que consideram os algarismos como algo de inumano deveriam pensar nisto (IFRAH, 1 989, p.323).
A .
o sisteMa
De
nuMeração egípCio
P 3000 .C., . O : Sistema Eg Egípcio
Sistema Indoarábico 1 100 10
101
100
102
1.000
103
10.000
104
100.000
1.000.000
105 106
A ó - à 163, 164 165 G I 13, Os Números: história de uma grande invenção.
P , , . I _______________________ 13 O - G Bk.
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37
, , , , , . Vj Vj x:
|||||||
7
||||||||| 1899
13
o sisteMa Eemplos de números Babilônicos 25
||||||
|||
De
20 06
nuMeração BaBilôniCo
E 1792 1750 .C. . A j x II C, Mâ. E : U “” () , . U “” ( õ) , . •
30 59
•
O 1 59 , . O “” “” j “” “” õ . E , Mâ. A 60, . P x, x, 3 : : T T 1ª . . Vj 73 ( “” ), - “13” “1” : •
1x60 2ª •
13 1ª
(1x60 + 13 = 73)
T T “” () () . Vj Vj 195 195:: 3x60 2ª
38 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
15 1ª
(1x60 + 13 = 73)
•
T T “ ” ( ( ) . Vj Vj 11.542: 12x60 2ª
3x602 3ª
22 1ª
(3x602 + 12x60 + 22 = 11.542)
A - - 60, . Vj , , x, 142 142 3.682: +
2x60
22
1x602 + 1x60 +
= 142
22
= 3.682
E , . A õ x : 1x602 + 0x60 + 12 = 3612
1x60 + 12
= 72
A 3.612 3.612 72: Q !
o sisteMa
De
nuMeração Chinês
D , : 1. Sistema Primitivo: II .C. III .C., “” , . E ( ( ). ). A : 2
1
3
4
6
5
7
8
9
O :
10
20
30
40
50
60
70
80
90
E õ . . Ex:
17
72
253
1.999
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39
E : ) 1.930 ) 308 ) 85 O , VIII . C. O 1.405.536 1247 (B, 1974, . 145): 0 O :
x “” 2. Sistema atual: , C J. S 13 :
万 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 100 1.000 10.000
A : E- , x , ; Q , - . Ex: •
•
48
305
1.480
40 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
1.345
Observação: C , : 2.640
2
6
4
“”
万
20.064
2 “ ” 6
264.000
2
6
4
4 “”
A : O â ? Ex õ.
o sisteMa
De
nuMeração Maia
O : S M S I A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
19
19
20
S M S I A
A 359 20 5 x. C 20 , , . Vj Vj x:
27 1 x 20 + 7
53 2 x 20 + 13
125 6 x 20 + 5
256 12 x 20 + 16
256 17 x 20 + 0
A 360, 360 , 20, 18. Ex: Ex:
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41
39 9 1 x 360 + 1 x 20 + 19
360 1 x 360 + 0 + 0
40 0 1 x 360 + 2 x 20 + 0
5ª - 144 000 = 20³ x 18 4ª – 7 200 = 20² x 18 A ordens : 3ª – 360 = 20¹ x 18 2ª – 20 1ª – “”
o sisteMa
De nuMeração roMano A , . O õ . N . O j:
I
V
X
L
C
D
M
1
5
10
50
100
500
1000
S j , , . O : “todo sinal colocado à esquerda de um algarismo de valor superior é dele abatido”. C- . A ó . Ex: I
II
III
IV V VI
VII
VIII
1
2
3
4
5
6
7
8
XIII XIV 13 14
XV 15
XL 40
XLIII XLI II 43
XCIX 99
IX X XI 9
10
CDXXIV CDXX IV 424
11
XII 12
CMXL CMX LV 945
P 4.000 100.000, - . Ex: V: ; IX: ; LX X III: . P 100.00 100.0000 500.000.000, 500.00 0.000, - â 100.000. Ex: 42 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
VIII : (8 (8 x 100.000 100.000 = 800.000) 800.000).. XLV : õ õ (45 x 100.000 = 4.500.000) 4.500.00 0).. CD : õ (400 x 100.000 = 40.000.000). MDCCLXIII MDCCLX III : õ (1.7 (1.763 63 x 100.00 100.0000 = 176.300.000). 176.300.000). O 1 500.000.000. Ex: MMMDLII
LXXXIX DXXV : 3.55 3.552 x 100.000 100.000 + 89 x 1.000 1.000 + 525 525 = 355 355.289 .289.5 .525 25
A õ “ ” “â ” . E , , õ ó .
at i v i D a D e 1. F S N N , , : ) Q ? ) E ? ? ) Q ? ) Q ? ) Q ? 2. N , ? Ex. A , óx õ .
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43
44 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
as operações aritMétiCas
a s o p e r a ç õ e s Fu n D a M e n t a i s
A
x j õ j . C x , - Cj N N, N = {0, 1, 2, 3,...}, . A , . Ar itA õ Aritmética, aritmos número.
V ocê já ocê já penSou no que Significa “operação”?
D M Có (2002), j . D , õ . A, õ õ - . UAB| UAB| Ciências Naturais e Matemática | Desenvolvendo Conceitos Matemáticos: Matemáticos: Aritmét ica |
45
A Oõ A F : , , , j : , . P õ . A õ õ õ à . E õ : grauS
operaçõeS diretaS
operaçõeS inVerSaS
1° 2°
A M
3°
P
S D R L
a aDição
Conceito: Sj a b . D adição a b , , c , : J , ; A à . + Representações: N a + b = c Nomenclatura dos termos: += + •
•
Observação: A : , - parcelas. iDeias BásiCas
Juntar quantidades análogas . P x: . Q Q ? Juntar quantidades que devem ser classicadas classicad as numa categoria mais geral. P x: x: x ? Acrescentar uma quantidade à outra já existente e xistente. P x: . S , ? Somar valores negativos. P x: x: S . G R$ 2,00 R$ 5,00 . Q ? C . A x •
•
•
•
. A : . a suBtração
Conceito: Sj a b , ≥ (a b). D subtração a b, , c , : R b a, ; Q , x, c b a. C a b, . - Representações: N a - b = c Nomenclatura dos termos: -= - •
•
•
iD e i a s Bá s i C a s
Retirar ou ideia subtrativa. P x: x: J J. C ? Completar ou ideia aditiva. P x: N . E j . Q ? Comparar. P x: x: B B . Q Q B B? A õ x , . •
•
•
a MultipliCação
Conceito: Sj a b . D multiplicação a b, , c , : S b, a , + + + +... + , ; a C j a j j b j. P “ ” ”.. Representações: N a x b = c x •
•
•
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47
Nomenclatura dos termos: x =
x
Observação: A : , - atores. iDeias BásiCas
Adição de parcelas iguais iguai s. P x: x: U 5 . E 3 . Q ? Ideia combinatória. P x: U . Q ? “Produto cruzado”. P x: Q 5 6 ? O , , . A : . •
•
•
a Divisão
Conceito: Sj a b , b ≠ 0 . D divisão a b c , : D a, b j , ; Q b a. M x, j, a, b j . A resto da divisão. Observação: A , õ . A . P x: x: 12 ÷ 3. P : 12 - 3 = 9, 9 - 3 = 6, 6 - 3 = 3, 3, 3 - 3 = 0. F 4 õ, 12 ÷ 3 = 4. Representações: N ÷ = + = + : : . Nomenclatura dos termos: •
•
48 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
É õ: D ; d , q r . P P : D = d x x q + r . S = 0, exata. iD e i a s Bá s i C a s
Distribuir. P x: V . Q ? Agrupar Agr upar. P x: x: Q x 96 ? N õ x . A, õ , x õ x , , à õ ó j à . •
•
at i v i D a D e E 1º 5º “”. 1. A A 12 , , ó . 2. E õ, . .
a potenCiação
A . . P x: x: 2 x 2 x 2 = 8. A : 23 = 8. D , : b = a n, a n . A, b = an, a - base n - expoente. Exemplos: 32 = 3 x 3 = 9 (-3)2= (-3) x (-3) = 9 23 = 2 x 2 x 2 = 8 (-2)3 = (-2) x (-2) x (-2) = -8 42 = 4 x 4 = 16 (-4)2 = (-4) x (-4) = 16 A : .
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49
a r aDiCiação
C x, - radiciação b, j, b = an b = a , n índice do radical, b radicando a raiz. n
Exemplos: S 9 = 2, 9 = (-3)x(-3) = (-3)2; S 8 = 3, S -8 = 3, 3
2
9 =a
n
, j, a = 3, 9 = 3 x 3 = 32, a = -3,
, j, a = 2, 8 = 2 x 2 x 2 = 23. - 8 = a, j, a = -2 , -8 = (-2)x(-2)x(-2) = (-2) 3.
8 =a
3
a logaritMação
C , x - log b, j, b = an, , n = log b, b logaritmando logaritma ndo, a base n logaritmo. a
a
Resumindo: E b = an, :
)
n = log a b a=
n
b
( x); ( ).
at i v i D a D e C C : : 2 4 = 2, pois 4 = 2 3
8 = _____, pois 8 = _____
3
- 8 = - 2, pois - 8 = (- 2) 3
5
243 = _____, pois 243 = _____
5
- 243 = _____, pois - 243 = (- 3) 5
log2 8 = 3, pois 8 = 2(3) log5 25 = _____, pois 25 = 5 (
)
log3 243 = _____, pois _____ = ___(
)
C õ ó, õ j .
a eXpansão
Dos
Co n j u n t o s nuMériCos
N Cj N N N, j , õ ? V “ ” 50 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
. . Vj: Vj:
p ara quaiSquer doiS númeroS naturaiS , a Soma deLeS é um número naturaL ?
S , Cj echado à j propriedade de echamento echa mento.. Um conjunto conjunto A é echado em relação à operação “*” “* ” se, e somente se, quaisquer a, b
!
A, a * b
!
A.
O j N à ? P ? O j N à ? ? P P ? O j N à ? P ? C j (2 3, x, ), ), - - “números quebrados” - j : Cj N R N ( ) Q = $ ab , onde a, b ! N, com b ! 0 . . M, x x “ ” ” , j, x x a, b ! N ab j . P x, 2 = 1,4142135 1,4142135... ... x a b ab = 2 = 1,4142135 1,4142135... ... . E I I I+. D , j j , x I. C Cj N N (25, x, ) Cj N N x- Cj N I, : Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Ex- Cj N R N j : a Q = $ , onde a, b ! Z, com b ! 0 . , x õ . b V , - Cj N R, R Cj R I. I . E agora? Q - 25 ? C , - , : i = - 1 . +
UAB| UAB| Ciências Naturais e Matemática | Desenvolvendo Conceitos Matemáticos: Matemáticos: Aritmética |
51
A,
- 25 = 25 # (- 1) = 25
#
- 1 = 5.i
C- j: Cj N Cx, C. D , j : com a, b ! R , : j N Cx; C = " a + bi, co
R = Q , I : Cj N R Q=
$ ab , onde a, b
!
Z, com b ! 0
( ); );
. : Cj N R;
Z = "..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ..., : Cj N I; N = "0, 1, 2, 3, 4, .. ..., :
Cj N N.
C j õ : N 1 Z 1 Q 1 R 1 C , : D e m o
Números Compleos
Números Racionais
Números Reais
Números Irracionais
Números Inteiros
Números Naturais
at i v i D a D e S : 1. ∈ ∉ elemento conjunto; 2. ⊂ ⊄ con junto conjunto, : 12 ____ Q; 3
N ____ Q; Z ____ Q; 0 ____ Q; 8 ____ Q; 0 ____ I; 12 ____ Z; 3
3 ____ R; 0, 5 ____ Z; 4
- 4 ____ R;
3
- 8 ____ R;
R ____ Z; Q ____ R; R ____ C; 2i ____ R
52 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
o s a l g o r i t M o s 14 S I (1989) â C15 (1095 1269) , , “” , , “”, “”, . O “” “” XIII, L P, Fibonacci, à Á , . C , F , Liber Abaci (T ) x , . A , orna a m argarita argarita pHiLoSopHica graVura em madeira que orna a - de gregoriuS reiSH (freiburg, 1503): a aritmética (SimboE. E , Lizada peLa muLHer de pé ao pé ao centro) parece decidir o deba ó ó “”, - te que opõe “ abaciStaS abaciStaS” e “ aLgoriStaS aLgoriStaS”; eLa oLHa na direção do caLcuLador que uSa oS aLgariSmoS oS aLgariSmoS arábicoS arábicoS (com oS . A XVIII, - quaiS Sua roupa eStá enfeitada ) SimboLizando aSSim SimboLizando aSSim o triun , fo do cáLcuLo moderno na europa ocidentaL. (ifraH, 1989, p 319) . E j , , , , . Só ó R F, , õ. N j, j, , j ! O õ “” , , à : “” ? E x õ . O õ “”. S , , _____________________ 14 A j - à . 15 Exõ , , T S.
UAB| UAB| Ciências Naturais e Matemática | Desenvolvendo Conceitos Matemáticos: Matemáticos: Aritmética |
53
. V 26.789 ? E MDC 36 48? C “”, j E S! N , õ , - ó . A x ó . . N , , x, , . O x x j õ . É , , , x: “ ”, “, ”, , , 2º “ ” . C j , , ( ( ) x , õ x . S M (1996 (1996),), x j : Fator Fator de pressão estrutural estrutura l: , , , , , , ó . Fator de pressão histórico: “” õ. Fator de pressão social: x . “ Este Este é o padrão padrão adotado pela maioria maioria e esperado por quase todos, mesmo aqueles que têm o discurso e a refexão sobre aprendizagem com compreensão” (MENDONÇA, 1996, . 72).
I “ ” - , x , ( ) ).. D ! C , x x : ! J õ “ ”, ”, x õ . A , j . P , , .
54 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
o algoritMo
Da
aDiCão
S j õ: 32 + 46; 127 + 35; 276 + 25. 1º passo: colocar uma parcela embaixo da outra, ordem embaixo de ordem. D U C D U C D U 3 2 1 2 7 2 7 6 + 4 6 + 3 5 + 2 5
2º passo: juntar as unidades. D U C D U C D U 1 1 3 2 2 7 6 1 2 7 + 4 6 + 2 5 + 3 5 8 12 11 12 = 10 + 2 12 = 1D + 2U
11 = 10 + 1 11 = 1D + 1U
3º passo: juntar as dezenas. D U C C D U 1 1 3 2 2 1 2 7 + 4 6 + + 3 5 7 8 6 2
D 1 7 2 10
A “” .
U 6 5 1
10 = 10 + 0 10D 10D= 10x10=1 10x10=1C + 0U
4º passo: juntar as centenas. D U C D U C 1 1 3 2 2 1 2 7 + 4 6 + + 3 5 7 8 1 6 2 3
D 1 7 2 0
A “” .
U 6 5 1
S , - . A, “ ”.
at i v i D a D e T T , , , , õ x. O , , . 2 * 7 0 * * * * 1 * 1 2 3 1 * 0 0 * 1 * 0 0 * 3 5 1 4 1 7 8 * 3 2 1 4 1 * 1 0 0 2 2 0 4 5 8 1 * 3 2 3 7 4 2 3 4 5 6 7 6 5 2 0
UAB| UAB| Ciências Naturais e Matemática | Desenvolvendo Conceitos Matemáticos: Matemáticos: Aritmética |
55
o algoritMo
Da
suBtração
S j õ: 356 - 115; 346 - 239; 4.035 - 259. 1º passo: colocar o subtraendo embaixo do minuendo, ordem embaixo de ordem. C D U C D U M C D U 3 4 6 3 5 6 4 0 3 5 -2 3 9 - 1 1 5 - 2 5 9
2º passo: subtrair as unidades. C D U C D U
M C D U
3+11 10 3+
2+11 10 2+
3 5 6 3 4 6 - 1 1 5 -2 3 9 1 7 3º passo: subtrair as dezenas. C D U C D U
4 0 3 5 - 2 5 9 6 M C D U 10
3+11 9+ 3+ 9+11 10
3 5 6 3 4 6 - 1 1 5 - 2 3 9 4 1 0 7 4º passo: subtrair as centenas. C D U C D U 3 5 6 3 3 16 - 1 1 5 -2 3 9 2 4 1 1 0 7
4 0 3 5 - 2 5 9 7 6 M C D U 3 9 12 15 - 2 5 9 3 7 7 6
at i v i D a D e Resolva o problema: O 5 () õ16 : China: 1.345.750.973 1.345.750.973 Índia: 1.198.003.272 Estados Unidos: 314.658.780 Indonésia: 229.964.723 Brasil: Brasil : 193.733.79 193.733.7955 1. Q õ B B I? 2. A õ E U U I I B I? 3. Q õ C, Í E U? U? _________________________ 16 D ://..//-. ://..//-., , 06 . 2011.
56 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
o algoritMo
Da
MultipliCação
C E ó XIII, x- õ . O gelosia grade . Vj, x, 25 13 : 1º passo: P - - , 25 13 , à , ; 2º passo: T- T- ; ; 3º passo: F- F- õ - ; 4º passo: P - . ( “ “ ”). 5º passo: A . 2 5 S ai ba maiS Sobre : outraS maneiraS 01 intereSSanteS de efetuar muLtipLicaçõeS. 0 1 ://...//31../ . 2 5 0 1
0
3 6
3
5
2
5
O resultado obtido oi 325. O j, “ ” . Vj : 1°) 6 x 15 P õ : 6 x 15 = 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 90, : : 15 x 6 30 + 60 90
6x5 6 x 10
6
10
5
60
30
UAB| UAB| Ciências Naturais e Matemática | Desenvolvendo Conceitos Matemáticos: Matemáticos: Aritmética |
57
2°) 13 x 25 2 x 1 7 +2 5 3 2
5 3 5 0 5
x (3 x 5). x (3 x 20). x (10 x 20). x (10 x 5).
75 = 15 + 60 250 = 50 + 200
60
15
60 + 15 = 75
200
50
200 + 50 = 75
20
5
13
at i v i D a D e 1. N A 3 B 4 . O . Q ? )
)
)
)
2. N x, x, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 9, 12, 18 18 36 , , j 216 216 . 216 216 216 216
58 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
216 216
216 216
216 216
216 216 216 216
o algoritMo Da Divisão P õ . Vj : 90 ' 15 . P A! 90 15 C “15” 90, - 15 (1) “6”, “6”, 15 6 90, , 90 ' 15 = 6 75 - 15 (1) P õ “ ”, 60 15 , x: x: - 15 (1) 45 90 15 - 15 (1) - 30 (2) (2) 30 60 - 15 (1) - 30 (2) 15 30 - 15 (1) - 30 (2) 0 0
O õ, j, , , : 90 15 ó). - 90 (6) (6) (6 x 15 = 90, 15 ó). 0 Observação: P , “ Processo Longo” “ Processo Curto ”. O P C , - - : 90 15 F : “seis vezes quinze é 90, - 90 (6) (6) subtraído subtraído de 90 9 0 dá zero ”. 0 F õ: 1°) 869 ' 5 C D U 8 6 9 5 -5 0 0 1 7 3 3 6 9 C D U -3 5 0 1 9 -1 5 4 N , “” . N , . C x , . A : 1º passo: “A “A 8 5 , ?” “S ?” ?”.. C 1C, 5 5C 500U, 869 869.. S 3C, 6D 9U. UAB| UAB| Ciências Naturais e Matemática | Desenvolvendo Conceitos Matemáticos: Matemáticos: Aritmética |
59
2º passo: T- T- 3C 30D, j x 36 5 . 3º passo: “A 36 5 , ?” “S ?” C 7D, 5 35D 350U 369. S 1D 9U. 4º passo: T- T- 1D 10U 10U,, j x x 19 5 . 5º passo: “A 19 5 , ?” “S ?” C 3U, 5 15U 19. 19. S 4U. A, 869 = 5 x 173 + 4. O : O zero no último algarismo do quociente. D U C D U 6 Dm ' 23 = 0 6 3 0 4 2 2 3 -4 6 0 0 0 0 2 7 4 0 63Um ' 23 = 2Um sobram 17Um Um 1 7 0 4 2 D U C D U 170C ' 23 = 7C e sobram 9C -1 6 1 0 0 94 D ' 23 = 4D e sobram 2D 9 4 2 -9 2 0 22U ' 23 = 0U e sobram as 22U 2 2 P P : 63.042 = 23 x 2.740 + 22 . O zero no meio do numeral que representa o quociente. D U C D U 7 0 1 7 2 3 7Um ' 23 = 0 -6 9 0 0 0 3 0 5 70C ' 23 = 3C sobra 1C 1 1 7 U C D U 11C ' 23 = 0C e sobram 11D -0 0 0 1 1 7 117U ' 23 = 5U e sobram a 2U -1 1 5 2 P P : 7.017 = 5 x 305 + 2. •
•
at i v i D a D e U , , . A : 1. Q 0 ' 5 ? Q ? 2. Q 3 ' 4 ? Q ? 3. C: ' 23 ' 10 '3 3.450 4. Q 40 745 745 ?
60 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
os n ú M e r o s r aCionais não n egativos: Fr a ç õ e s e D í z i M a s
a s Fr a ç õ e s: Co n C e i t o , e q u i v a l ê n C i a
e
operações
C
j , j , numerador Q += $ .. N , , x , denominador. a , onde a, b e M e b ! 0 b
D L V (2003), P / , ≠ 0 : T T a b . . P x: x:
•
A j “”: 6 18 6/18; 6/18; 2 6 2/6; 1 3 1/3; 1/3; : .
UAB| UAB| Ciências Naturais e Matemática | Desenvolvendo Conceitos Matemáticos: Matemáticos: Aritmét ica |
61
•
•
•
•
C a b. P x: S 3 5 , 3/5 . C : 0 1/4 1/ 1/3 1/2 2/3 3/2 1 P x õ: M 2 12 2/12. P , x: U 3x = 2, j , j , : x = 2/3.
equivalênCia C C D ( ) . 1/2
E 2 (), “” : , um meio.
2/4 2/4
E, 4 (), (), “” : , dois quartos.
3/6
E, 6 (x), “” : , três sextos.
4/8
E, 8 () (),, “” : , quatro oitavos.
5/10
E, 10 (), “” 5: , cinco décimos.
6/12
E, 12 (12 ), “” : , seis doze avos avos17.
P P , , , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 2 4 6 8 10 12 . D, , õ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 equivalentes, j, 2 4 6 8 10 12
. I õ
“”. “”. P : 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 . 2 4 6 8 10 12 I , , j: 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = 0, 5 . 2
4
6
8
10
12
_________________________ 17 A , () . É õ 10. D ( )
62 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
at i v i D a D e 1. C:
2 4 6 8 = = = = 5 10 15 20
2 4 6 8 = = = = 3 6 9 12
.
2. D õ : . J : ) õ 1/2 4/8 . ) õ 2/5 6/15 6/15 . ) õ 2/3 8/12 . ) õ 2/4 2/4 6/12 . A j ( ): 1 2
4 8
2 5
6 15
2 3
8 12
2 4
6 12
Os resultados das multiplicações são iguais. T- õ : A õ
a b
c d
(a ≠ 0
e
b ≠ 0)
a × d = b × c
P , j à ? B . C õ j à j , , , õ . O j Classe de Equivalência . Ex: Ex: 1º) 1º) O C E E 2 : ` 2 j = 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , f 3
2º) O C E
3 4
:`
3 3 6 9 12 15 3 6 9 , 12 , 15 , 18 , f = , 4 8 12 16 20 24
j
O x õ õ.
UAB| UAB| Ciências Naturais e Matemática | Desenvolvendo Conceitos Matemáticos: Matemáticos: Aritmética |
63
oBservações:
T T 1. O . 4 = 4 ; 35 = 35 ; 0 = 0 ; 0 = 0 ; 0 = 0 1 1 1 5 123
Fr a ç õ e s i r r e D u t í v e i s D , õ , , , -. A à . F õ , - . E Fração Irredutível Ir redutível . Ex: T 24/18 24 24 ' 2 12 12 ' 3 4 . = = = = 18 18 ' 2 9 9'3 3
:
A õ
24 12 e 4 ; 18 9 3
.
aDição
e
suBtração
De
Fr a ç õ e s
A j. A,
2 5
1
+ , j5
j j. O, j “” “” ( ( ),), ? ? E j () () , . . Vj Vj : +
2/5
=
1/5
1/5 + 2/5 = 3/5
Q j ( ( ), ), . Vj : 2 3
+
1 2
=?
T T os terços os meios “”, “”, õ, , õ à , . P , : 2/3 1/2 4/6
64 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
3/6 3/6
A ó () :
2 3
+
1 2
=
4 6
+
3 6
=
7 6
.
4
M ? É :
+
2 1 + x 3 2
3
4
3
7
6 6 +6 = 6
&
A . A + – õ, . 4 3 D à , õ: − . Vj 5 5 : -
=
4/5 3/5 4/5 - 3/5 = 1/5 Q ( ( ), ), j, õ , 2
1
3
2
. . Vj Vj : − = ? T T os terços os meios “”, “”, õ, , õ à , . P , : 2/3 1/2 4/6 3/6 A ó : 2 3
−
1 2
=
4 6
−
3 6
=
1 6
.
4
M ? É : Sj a, b, c d , b ≠ 0 õ:
e
a c ad + bc + = b d bd
+
2 1 x 3 2
3
4 3 1 = 6 6 6 6
&
d ≠ 0 .Vj a c ad - bc = b d bd
C õ, x .
MultipliCação
De
Fr a ç õ e s
V 57 â õ . P 1
3
2
4
õ. Vj x, ×
(
3 4
)
UAB| UAB| Ciências Naturais e Matemática | Desenvolvendo Conceitos Matemáticos: Matemáticos: Aritmética |
65
3
R
:
4
E , 1 3 3 de = 2 4 8
3 4
:
: ,
3
1
8
2
4
2
1
, ,
×
3
=
3 8
.
F × ( ). R
3 4 1
:
4
E , . P , . 2 1 2 de = 3 4 12 2 12
: dois terços um quarto,
, ,
2 1 2 x = 3 4 12
.
S , õ: Para multiplicar duas rações, multiplicamos numerador por numerador para obter o novo numerador e denominador por denominador para pa ra obter o novo denominador. E ? Vj: Vj: 1 3 3 x = 2 4 8
2 1 2 x = 3 4 12
Sj a, b, c d , b ≠ 0 õ:
Divisão
De
a b
×
c d
=
e
Vj d ≠ 0 . Vj
a×c b × d
Fr a ç õ e s
O a ÷ b : “Q b a?” N õ, õ, . . Vj Vj x:
Exemplo 1.
1 2
÷
1 6
=?
A : “Q sextos meio?”. ?”. C C
66 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
1 2
e
1 6
:
P- “ 3 sextos ( ) meio ( )”, ,
1/2
1
1/6
2
Exemplo 2.
1 6
÷
1 2
1
÷
6
=3=
3 1
.
1/6
=?
1/6 1/2 1/2
A : “Q meios um sexto?”. T , : O meio um sexto? C ? Q ? •
•
•
V x: 1 1 ( ) ( ) . 3 2
O pedaço verde
C , terça parte meio uma vez x, :
1 6
÷
1 2
=
1 3
=
2 6
. 1
Exemplo 3. 3 ÷ = ? A : “ meios 3 inteiros? 2
1 1/2
1 1/ 1/2
1/2
1 1/ 1/2
1/2
1/ 1/2
P cada inteiro 2 meios, 3 inteiros 6 meios, : 3 ÷
1 2
=
3 1
2
4
3
5
÷
1 2
=6=
6 1
.
Exemplo 4. ÷ = ? A : “Q quatro quintos dois ter ços” ços” ?
2/3
4/5
UAB| UAB| Ciências Naturais e Matemática | Desenvolvendo Conceitos Matemáticos: Matemáticos: Aritmética |
67
A : O quatro quintos dois terços? C ? Q ( ) ?
•
•
•
P quatro quintos dois terços, , õ , j, -: 2 10 = 3 15 4 12 = 5 15
A
2 10 = 3 15
parte pe-
daço quatro quintos, 10/12. 10/12. A,
2 4 10 5 ' = = 3 5 12 6
.
O , õ, : 6
2
1 1 3 6 ' =3= = 2 6 1 2
6
2
1 1 1 2 ' = = 6 2 3 6
6
1
1 3 1 6 3' ' = =6 = 2 1 2 1
Sj a, b, c d , b ≠ 0 õ:
a b
÷
c
=
d
e
10
12
2 4 10 5 ' = = 3 5 12 6
Vj d ≠ 0 . Vj
a×d b × c
at i v i D a D e ) R R õ : :
3 4 3 5 , ; ; 5 2 9 3
) O õ: ) R: 3 + 2 ; 5
7
1 3
−
3 9
;
2 5
×5;
2 3
×
5 8
;
2 5
1 5
÷ 3;
3
.
8 5 4 2 5÷ ; ÷ 3 5 3
A A .
a s D í z i M a s: ConCeito
e
operações
C j , ( ) a , a b b . E b
68 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
: DÍZIMAS. N , à parte inteira à parte não inteira. A, 25,378 25 378 . A , . Vj DÍZIMAS LIMITADAS ou FINITAS ( ) 1 5 1 25 1 125 1 625 = = 0, 5; = = 0, 25; = = 0, 125; = = 0, 0625 2 10 4 100 8 1000 16 10000 1 2 1 4 1 8 1 16 b) = = 0, 2; = = 0, 4; = = 0, 008; = = 0, 0016 5 10 25 100 125 1000 625 10000 1 5 1 25 1 4 1 125 c) = = 0, 05; = = 0, 025; = = 0, 004; = = 0, 0125 20 100 40 1000 250 1000 80 10000 a)
C 2ª 1ª? V V õ? B , 25 . N 14 = 100 , 2ª , 1 4 25.
Analise Anal ise os atores dos denominadores das 1as rações: E ) : ___________ E ) : ___________ E ) : ___________ CONCLUSÃO: U dízima nita 2, 5 2 5, j, 10 (10, 102, 103, 104, ...). a P , com b ≠ 0 , , -
k k
b
,
k ≠ 0
, k x b = 10,
. E , - , - . T , . S . V , . S j , j - : 0, 5 = 5 = 1 ; 0, 25 = 25 = 1 ; 0, 125 = 125 = 1 ; 0, 0625 = 625 = 1 10 2 100 4 1000 8 10000 16 2 1 4 1 ; 0, 008 8 1 ; 0, 0016 16 1 b) 0, 2 = = ; 0, 4 = = = = = = 10 5 100 25 1000 125 10000 625 5 1 ; 0, 025 25 1 ; 0, 004 4 1 ; 0, 0 1 2 5 125 1 c) 0, 05 = = = = = = = = 100 20 1000 40 1000 250 10000 80
a)
UAB| UAB| Ciências Naturais e Matemática | Desenvolvendo Conceitos Matemáticos: Matemáticos: Aritmética |
69
leitura
Das
DíziMas liMitaDas
Como ler 0,7? O, j 0,7 = 7/10. E “” - “ ”. Como ler 2,27? C 2,7 = 227/100, , “ ” 2,27 2, 27 = 2 + 0,27 = 2 + 27/100 27/100 “ ”. A : •
•
décimos centésimos 3 10
0,3
milésimos
3 100
0,03
3 1.000
3 10.000
milionésimos 3 100.000
3 1.000.000
3 10.000 .000
3 100.000.000
0,003 0,0003 0,00003 0,000003 0,0000003 0,00000003
algoritMos
Das
operações
A õ j , , . aDição e suBtração C 5,23 + 2,34? E 85,57 - 10,24? A : 1º passo: x , x : 5,23 85,57 + 2,34
10 , 2 4
2º passo: , x x . 5 , 2 3 85,57 + 2,34
10,2 4
7,57
75,33
Vj : 35,7 + 2,106 27,284 - 4,13 +
35,700 2 ,1 0 6 33,594
70 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
-
27,284 4 ,13 0 2 3 ,15 4
P x ? N 1ª ó , ? E 3ª ? E ? MultipliCação Vj 2,35 x 1,2; 8,4 x 1,5 820 x 0,5. 1º passo: A . 2,35
x
1, 2
8,4
x
1, 5
470
420
2350
840
2820
12 6 0
820
x
0,5 410 0
2º passo: C . A . 2,35 x 1,2 = 2,820
8,4 x 1,5 = 12,60
820 x 0,5 = 410 410
S õ , x x 2º , j, x x . Divisão A x , j, . . S j , x 0,1 (); S j , x 0,01 (); S j , x 0,001 (); (); . Vj : 0,58 ÷ 0,4 , x 0,01 ( ). ). 1º passo: C : 0, 5 8 0, 4 0 •
•
•
2º passo: D ( ).
5 4 1
8 0 8
4 1,
0
3º passo: C j x 0,01 (=0,01), 2 () . UAB| UAB| Ciências Naturais e Matemática | Desenvolvendo Conceitos Matemáticos: Matemáticos: Aritmética |
71
5 4 1 1
8 0 8 6 2 2
0 0 0 0 0 0
0
4 1,
0 4
5
0 0
O “ ”? Vj DÍZIMAS ILIMITADAS ILIMITADAS DÍZIMAS PERIÓDICAS ( ). A . N Dízima Periódica Simples, . O - PERÍODO. N Dízima Periódica Composta, AN TEPERÍO ( ANTEPERÍODO) ( PERÍODO). E , - “” :
Resolva: ) 1,66 + 1,066 + 1,666 ) 7,71 - 5,208 5,2 08 ) 168,7 x 0,01 ) 0,74 0,74 x 1,8 ) 12,85 ÷ 1,4
0,3333... = 0,3; 0,535353... 0,535353... = 0,53; 25,34787878... = 25,3478; 7,1238888... = 7,128 7,128 O (... (...)) . . 25, 34 78 78 78... 78... = 25,3478 parte ante período inteira período
E , : 1. P õ x, j , : 1/3; 1/6; 2/5. 2. C .
LIMITADAS DÍZIMAS ILIMITADAS PERIÓDICAS SIMPLES PERIÓDICAS COMPOSTAS
D , , - , ? C C : 1º) 1º) d = 0,666... C ó (1) (0) , - , 101+0 10 0 - - 72 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
, , :
)
10d = 0, 66 666...
&
10d - d = 6
&
d =
d = 0,666...
6 9
2º) d = 2,353535... C (2) (0) , - 10 2 + 0 100 - - , : 100: d = 235, 253253... 233
)
&
100d - d = 233
&
d =
d = 2, 253253...
99
3º) d = 8,453333 ... C (1) (2) , , - , 101 + 2 = 103 102 - - , : : 1000d = 8453,333... 7.608 ⇒ 900d = 8.453 − 845 ⇒ 900d = 7.608 ⇒ d = 900 100d = 845,333...
4º) d = 0,124535353... C (2) (3) , - , 105 = 2 + 3 103 - - , , : :
)
100 100.000 000d = 1245 12453 3, 53535 35353 3...
&
100.000d - 1.000d = 12. 329 & d =
1.000d = 124, 535353...
12.329 99.000
Vj x : : 1,4142135 ... 2 = 1,4142135
π = 3,1415927 3,1415927... ...
3 = 1,7320508...
E ? P - - ? E, ?
at i v i D a D e A ! R , : ) 0,15; ) 103,2; ) 2,4444...; ) 4,15267; ) 5; ) 15/99; ) 327/90; ) 122/495 UAB| UAB| Ciências Naturais e Matemática | Desenvolvendo Conceitos Matemáticos: Matemáticos: Aritmética |
73
74 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
a MateMátiCa na eDuCação inFantil e nos anos iniCiais D o e n s i n o Fu n D a M e n t a l
D
(1992, D’Aó, 1993), . S , , , j õ. A â : . O â , . A ! C , , , , ó , ! O UAB| UAB| Ciências Naturais e Matemática | Desenvolvendo Conceitos Matemáticos: Matemáticos: Aritmét ica |
75
õ, x õ () õ (j ). ). A, õ , P: ó , - - . S- j x, j ó , , . C, , (), (), . N õ , j- â “ ”, ”, “ ” ” “ “ ”. S j ? C ! C & S S (1988) (1988),, , , “ j j , õ ó- ”. I , “ j, j j “” j x , , x ”. A, j , , x j ó. S C (1973), “” “x ” , , j , . O E M , j, , - . . O, ? O à . U , , x, M D18 , õ , õ xõ . A , ____________________ 18 O M D M M . I, M D “M C D”, , Lk L, M, , .
76 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
õ. O, , , j . A õ , , , , , , , ., õ , x. À E I õ x, . N 1º 5º à : ... a ormação de capacidades intelectuais, na estruturação do pensamento, na agilização do raciocínio dedutivo do aluno, na sua aplicação a problemas, problemas, situações situações da vida cotidiana cotidiana e atividades atividades do mundo mundo do trabalh trabalhoo e no apoio à construção de conhecimentos em outras áreas de conhecimento. (PCNs: matemática, 2001, p. 29).
C j , õ ó j, x. P , E F, ó , , . .
a e DuCação inFantil A õ ó: . A , - . . O XVIII XIX - , . S , , x x , ó . A , , , . Fë (1782-1852) “j â”, , à ó , . A : , , , , j, , , . O x XX, M M (1870-1952) j “” j j . N , j, , , , UAB| UAB| Ciências Naturais e Matemática | Desenvolvendo Conceitos Matemáticos: Matemáticos: Aritmética |
77
, , , , . O à . O - J D (1859-1952) , , , . A , â x , . M M D (1871-1932), D, P (1746-1827) Fë j j . P J P (1896-1980) . S . P P, , x xó: , , , j . P j ó, , , õ ó, . N , , , , , , , - , C C S: A maternal , ; A , , õ , , . A , ó . . É , j . G, â, , ó , . E a matemática, como ca neste cenário? E R C N E I I (RCNEI) 2002, ? S ó , j RCNEI x . Põ x à j : “O à , , , , , , .;” “O , x, , , ;” ;” •
•
•
•
•
78 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
“O , à x, à , à , , à à ;” “A , ;” “O à (RCNEI, 2002, . 1, . .)”. )”. N , õ . S , , , . A, •
•
•
“Aprender matemática é um processo contínuo de abstração no qual as crianças atribuem signifcados e estabelecem relações com base nas observações, experiências e ações que azem, desde cedo, sobre elementos do seu ambiente ísico e sociocultural;” “A construção de competências matemáticas pela criança ocorre simultaneamente ao desenvolvimento de inúmeras outras de naturezas dierentes e igualmente importantes, tais como: comunicar-se oralmente, desenhar, ler, escrever, movimentar-se, mov imentar-se, cantar etc.” ” (RCNEI, 2002, vol.3, p. 217).
P , ó RCNEI19 x j j x x . A j j. D , , x? A , õ , , , j , x . À , j -. P, , j . À - j “” “ ”, ”, , x, x, . U O Cesto de Tesouros 20 . A j , - j . C x õ ; õ , j , , . ____________________ 19 ://...//// ://...////3. 3. 20 GOLDSCHMIED, 2006, pp. 113; http://www.youtu http://www.youtube.com/watch?v=_ be.com/watch?v=_aavCuKmMvc aavCuKmMvc
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CONTRACAPA COLO CO LORI RIDA DA
MINISTÉRIO MINIST ÉRIO DA
EDUCAÇÃO
