3. É preciso provar que A U B =B⇒A⊂B⇒A⋂B=B 1. (a) Incorreto. A relação de pertinência é usada para associar elemento→conjunto. elemento→conjunto. (b) Correto. Relação Reflexiva, todo conjunto está contido ele mesmo. (c) Incorreto. Inadequado o uso da simbologia de pertence. (d) Correto. Esta representação significa conjunto unitário {ø}. 2. (a) A ⋃ (B ⋃ (B ⋂ C) =(A ⋃ B) ⋂ (A ⋂ (A ⋃ C) Pela definição de interseção { x A x ( B C )}
Pela definição de união { x A ( x B x C )}
Pela propriedade distributiva da lógica {( x A x B) ( x A x C )}
Pela definição de união { x ( A B) x ( A C )}
Pelo significado da notação de construção de conjunto ( A B) ( A C )
(b) A ⋂ (B ⋂ (B ⋃ C) C) = ( A B) ( A C ) Pela definição de interseção { x A x ( B C )}
Pela definição de união { x A ( x B x C )}
Pela propriedade distributiva da lógica {( x A x B) ( x A x C )}
Pela definição de união
i) Observemos que se A=ø ou B= ø, as implicações são verdadeiras. Confira, supondo A= ø : (1) øUB=B⇒ø⊂B øUB=B⇒ø⊂B (verdadeira ( verdadeira)) (2) ø⊂B⇒ø⋂B≠ ø (verdadeira) (3) øUB=B (verdadeira) ii) Suponha A e B ambos vazios: (1) ø U B=B⇒A⊂B; Tome x ∈ A, então x ∈ A U B, com A U B=B, x ∈ B [ x ∈ A, x ∈ B], mostrando A⊂ B. (2) A⊂B⇒A⋂B= A. Para provar que A⋂B= A é preciso mostrar que (A⋂B) ⊂ A é que A⊂( A⋂B). (2.1) (2.2) (2.1) Tome x ∈ (A⋂B), então x∈ A e ma se x ∈ A. (A ⋂ B) ⊂ A
(2.2) (2.2) Tome x ∈ A. Por hipótese A ⊂ B, e assim x ∈ B, mas se x ∈ A e x ∈ B, então x ∈ (A⋂B). A ⊂(A⋂B) (3) A⋂B= A⇒. Para provar que A U B= B é preciso mostrar apenas que (A U B) ⊂ B e B⊂( A U B). (3.1) (3.2) (3.1) Tome x ∈ (AUB), então x∈ A ou x ∈ B. Se x ∈ A, e por hipótese x∈ (A ⋂ B). Então x∈ B, ou mesmo (A U B) ⊂ B (3.2) Óbvio se x ∈ B, então x ∈ (AU B), ou o mesmo que B ⊂(AUB) ⊂(AUB)
{ x ( A B) x ( A C )}
Pelo significado da notação de construção de conjunto ( A B) ( A C )
x ∈ B,
De (1), (2) e (3): A B B A B A B A Inclusão relacionada
e) P ~ Q ~ R 6.a)
Outra Solução
() Seja x B e y A, como B \ A , então x A, ou seja, B A. ( B \ A B A) () Seja x B e y A, como B A, então x A, assim se x A. e x B, com B A, B \ A . ( B A B \ A ). Logo B \ A B A
b) () Seja x B e y A, como B \ A B, x A,
x,
de mesmo mod o que, x y, então A B . ( B \ A B A B )
4. (a) ( A B) C AC B C Seja x ( A B) C , pela definição complementar, x ( A B). Então, x U , mas x A e x B . Assim, x AC e x B C . Logo, x ( AC B C ) .
de
não existe elemento em A que também esteja em B. Então B \ A B ( A B B \ A B). Logo B \ A B A B
c) Vale a igualdade
(b) ( A B) C AC B C Seja x ( A B) C , pela definição complementar, x ( A B). Então, x U , mas x A ou x B . Assim, x AC ou x B C . Logo, x ( AC B C ) . 5.a) P ~ Q R
() Seja A B , então A e B são disjuntos , ou seja,
de
() Se A \ B B | A, então B \ A A \ B e A | B B \ A, log o A B e B A, ou seja A B. ( B \ A A \ B A B)
() Se A B, então B \ A e A | B , ou seja, B A e A B, log o A \ B B \ A e B \ A A \ B, ou seja, B \ A A \ B.
b) ~ P ~ Q R
( A B B \ A A \ B) Então B \ A A \ B A B
c) ~ P Q ~ R d) ~ P ~ Q R
7.
Tem rabo todos os gatos. Contrapositiva: Se alguém não tem rabo, então não é gato. Negação: Existe um gato sem rabo
Recíproca: Eu saio de guarda-chuva ou fico em casa sempre que chove. Contrapositiva: Se eu não sair de guarda-chuva ou se eu não ficar em casa, então não choveu. Negação: Há dia que chove, e eu não saio de guardachuva ou eu não fico em casa
Na substituição do grau do polinômio. O valor válido x= 1 foi substituído no grau ímpar do polinômio. O correto seria no grau par (no caso o grau 2).
São redondas e brancas todas as bolas de ping pong.
Correto x 1 x 2 2 x 1 0
12 2 x 1 0
2 2 x 0 x
2
1 2 Conclusão : x 1 x 1
Contrapositiva: Se não redondas, nem brancas, então não são bolas de ping pong. Negação: Existem bolas brancas e redondas que não são bolas de ping pong.
d)
Recíproca: Se eu fui ao cinema então é uma terça-feira e o dia do mês é número primo. Contrapositiva: Não fui ao cinema, então não é uma terça-feira, nem o dia do mês é número primo. Negação: Há vezes que vou ao cinema, mas não terça-feira, nem dia do mês que é número primo. e) Recíproca: Têm manda comprida, então é camisa amarela ou vermelha. Contrapositiva: As camisas que não tem manga comprida não são amarelas, nem são vermelhas. Negação: Existem camisas que têm manga comprida, mas não são amarelas ou vermelhas. f) Recíproca: Amarelas e vermelhas são as coisas quadradas ou redondas Contrapositiva: Coisas que não são quadradas, nem redondas, não são amarelas, nem vermelhas. Negação: Há coisas amarelas ou vermelhas que não são quadradas, nem são redondas.
Primeiro o cartão "A" para confirmar se tem um numero impar atrás, senão tiver a afirmação é falsa. Se tiver um numero impar terá que abrir o cartão "4" para confirmar que é uma consoante, pois se tiver uma vogal a afirmação é falsa mas se não tiver uma vogal a afirmação é verdadeira
