Funções de Primeiro Grau Definição: Toda Definição: Toda função polinomial representada pela fórmula matemática f(x) = m.x + n ou y = m.x + n, com m, n e m 0, definida para todo x real, é denominada função de primeiro grau. O valor "m" é chamado de coeficiente angular e o valor "n" de coeficiente linear. (0, n) é o ponto de intersecção da reta com o eixo OY. Zeros da função: Denomina-se função: Denomina-se zero ou raiz da função f(x) = m.x + n o valor que anula a função, isto é, f(x) = 0. Coeficiente Angular ou Declividade: Denomina-se Declividade: Denomina-se coeficiente angular ou declividade da reta r o número real m que expressa a tangente trigonométrica de sua inclinação , ou seja, m = tan
Se = 0o então tan = 0, logo m = 0.
Se 90o < < 180o então tan < 0, logo m < 0.
Se 0o < < 90o então tan > 0, logo m > 0.
Se = 90o então tan não é definida, logo m não é definido.
Estudo dos sinais/ comportamento: Uma comportamento: Uma função f(x) = m.x + n é: Crescente, se m > 0; Decrescente, se m < 0. Exemplo 1: Construa o gráfico das seguintes funções: (a) f(x) = x + 3 (b) f(x) = -2x + 4 (c) f(x) = 5
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Exemplo 2: Utilizando as funções acima, determine os valores reais de x os quais: (i) f(x) = 0 (ii) f(x) > 0 (ii) f(x) < 0
Aplicações
Exemplo 3: Num modelo linear de oferta e procura, as quantidades ofertadas e demandadas são, respectivamente, funções lineares do preço: q d = 24 – p e q s = - 20 + 10p Pede-se o preço e a quantidade de equilíbrio. Esboce o gráfico da situação.
Lista de Exercícios – Função linear 1) Determine o ponto de intersecção dos gráficos das funções f(x) = 3x + 2 e g(x) = x + 8. 2) Faça o gráfico das funções abaixo. (a) f(x) = -x/2 +4 (b) y = 3 – 2 3) Classifique as seguintes funções em crescente/decrescente: (a) f(x) = 2x – 1 (b) g(x) = -4 + x (c) h(x) = -2x + 1 4) Dada a função f(x) = 2x – k, determine o valor de k, de modo que f(1) = 4. 5) Sendo a função f(x) = ax + b com a, b modo que f(3) = 4 e f(-1) =2.
e
a 0, determine os valores de a e b de
6) A equação de demanda de um certo bem é q d = 14 – 2p e a equação de oferta e q o = - 10 + 6p. Determine o ponto de equilíbrio. 7) Suponha que o faturamento f (em milhares de reais) de uma empresa é descrita pela função f = 10 + 2p, onde p (em milhares de reais) é a quantia gasta em propaganda. (a) Determine o domínio da função de acordo com o contexto do problema. (b) Qual será o faturamento quando nada é gasto em propaganda? (c) Qual será o faturamento quando forem gastos R$ 5 000,00 em propaganda? (d) Quanto foi gasto em propaganda se o faturamento foi de R$ 18 000,00? (e) Desenhe o gráfico de f e descreva o comportamento do faturamento na medida que o gasto com propaganda aumenta. 8) Alex é vendedor em uma loja de programas de computado, e seu salário é composto de um valor fixo de R$ 900,00 mais uma comissão de R$ 10,00 por programa vendido. Bruno é vendedor na loja concorrente, e recebe um fixo de R$ 440,00 mais R$ 30,00 por programa vendido. (a) Escreva uma expressão para o salário recebido, em função do número de programas vendidos, para cada vendedor. (b) Desenhe o gráfico das duas funções encontradas na letra (a). 2
(c) No mês de agosto, Alex venceu 19 programas. Quanto recebeu de salário? (d) No mesmo mês, Bruno recebeu salário de R$ 1220,00. Quantos programas ele vendeu? (e) Em setembro Alex e Bruno venderam a mesma quantidade de programas, mas Bruno recebeu salário maior que Alex. Quantos programas cada um vendeu? 9) Uma empresa de aluguel de automóveis cobra uma taxa de aluguel de R$ 40,00 mais R$ 0,15 por quilometro rodado. A empresa concorrente cobra R$ 50,00 mais R$ 0,10 por quilômetro rodado. (a) Para cada empresa, obtenha uma expressão para o custo do aluguel do carro em função da distância percorrida. (b) Num mesmo plano cartesiano, desenhe o gráfico de cada uma das funções. (c) Ao planejar o aluguel de um automóvel, como decidir qual empresa é mais adequada?
Funções de Segundo Grau Definição: Chama-se função de segundo grau ou função quadrática toda função definida de em por: f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c e a 0 Zeros da função: Denominam-se zeros ou raízes da função f(x) = ax² + bx + c os valores que anulam a função, isto é, f(x) = 0. Tais valores são obtidos utilizando a fórmula de Báskara. Para fazer referência a essas raízes, costumamos utilizar os símbolos x'e x". Na forma fatorada a função é escrita assim: f(x) = a(x – x')(x – x"). Vértice da parábola: As coordenadas do vértice de f(x) = ax² + bx + c são: x v y v
b
2a
e
. Outra forma da calcular as coordenadas do vértice (sem a necessidade de 4a decorar fórmulas) é achar suas raízes x'e x" e calcular o ponto médio, pois xV = (x'+ x")/2. Para encontrar yV basta substituir xV na função f. Estudo de sinais/ Comportamento: O comportamento da função quadrática f(x) = ax² + bx + c (a, b, c e a 0) é estudado através da análise do coeficiente "a": a > 0, concavidade voltada para cima. A função é decrescente no intervalo ]-, xV] e crescente no intervalo [xV, +[
a < 0, concavidade voltada para baixo. A função é crescente no intervalo ]-, xV] e decrescente no intervalo [xV, +[
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Os valores onde f(x) > 0 (f é positiva), f(x) < 0 (f é negativa) dependem da concavidade e das raízes da função e alguns casos serão analisados no exemplo a seguir. Na lista de exercícios IV há outros casos. Exemplo 4: O gráfico de uma função f do 2º grau corta o eixo das abcissas para x = 1 e x = 5. O ponto de máximo de f coincide com o ponto de mínimo da função g, de em , 2 2 4 definida por g ( x ) x x 6 . A função f pode ser definida por: 9 3 (ii) y = -x² + 6x + 5 (iii)y = -x² - 6x + 5 (iv)y = -x² - 6x - 5 (v) y = -x² + 6x - 5 (vi)y = x² - 6x + 5
Lista de Exercícios – Função quadrática 1) Esboçar os gráficos das funções f(x) = x² – 6x + 8, g(x) = – x² – 2x + 3, h(x) = x² x + 1, m(x) = -2x² + 7x – 3, determinando: (a) as raízes; as coordenadas do vértice; (b) a forma fatorada de cada função; (c) se a concavidade é para cima ou para baixo. (d) a classificação de yv (valor mínimo ou máximo da função); (e) o intervalo onde a função é crescente e decrescente; (f) intersecção da curva com o eixo y; (g) os intervalos onde a função é positiva, negativa ou nula. 2) Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado, pela fórmula L = R – C, em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Numa empresa que produziu x unidades, verificou-se que R(x) = 6000x – x² e C(x) = x² - 2000x. Nessas condições, qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo? 3) Construa os gráficos de cada par de funções num mesmo plano de coordenadas. Determine as coordenadas dos pontos de intersecção das duas curvas. (a) y = x² - 6x + 8 e y = x + 2 (b) y = x² - x + 2 e y = -x² + 3x + 2 4) O lucro L com as vendas de um certo produto é dado pela função L(x) = -200x2 + 2000x – 3800, onde x é o preço de venda, L e x são dados em reais. (a) Determine os zeros da função. Qual o seu significado? (b) Determine o preço da venda que resulta em um lucro de R$ 1100,00. (c) Determine o preço da venda que resulta no maior lucro. 5) A função demanda por uma certa marca de DVD é dada por p = d(x) = – 0,01x² – 0,2x + 8 e a correspondente função de oferta é dada por p = s(x) = 0,01x² + 0,1x + 3, onde p é expresso em dólares e x é medido em unidades de milhar. 4
(a) Determine a quantidade e o preço de equilíbrio. (b) Para qual valor de s(x) a função oferta tem valor mínimo? 6) Considere as parábolas de equações y x ² 3x 2 e y x² 4 (gráfico abaixo). Determine a lei da função do primeiro grau cujo gráfico passa pelos pontos de interseção dessas parábolas.
7) Esboce o gráfico da função f(x) = x2. A partir dela, na mesma janela gráfica, esboce os gráficos das funções abaixo, citando as transformações efetuadas: g(x) = x2 – 2 ; h(x) = (x – 1)2; l(x) = -2(x – 1)2 + 1.
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