Mate Santillana 9°

Matemática

C o n e p r o o g l n u e v o m á r a am s d a y e 2 e j e 0 0 r c ci c 5 i o s

Matemática 9 , serie Ser competentes , se concibió como

resultado de la investigación del equipo pedagógico de Editorial Santillana y se produjo según sus lineamientos de calidad, bajo la dirección de Elsa María Morales Cordero. Elaboración: Marilyn Alvarado Vargas

Editora Wendy Hernández Gómez

Editora ejecutiva Evaluación de contenidos: XXX

Índice

1

e r t s e m i r T

Números y trigonometría........... ....................... ......................... ......................... ................ 6 Capítulo 1 Tema Te ma 1. Números irracionales ...................................................................... ...................................................................... • Concepto de número irracional ............................................................ • Comparación de irracionales ................................................................ Uso de la tecnología ........................................................................

8 8 12 15

Tema Te ma 2. Números reales .................................... ............................................................................ ........................................... ... • Concepto de número real ................................................................... • Ubicación de números reales en la recta numérica ............................... Uso de la tecnología .................................... ........................................................................ ....................................

16 16 18 21

Tema Te ma 3. Operaciones con radicales .............................................................. .............................................................. • Suma y resta de números reales ........................................................... • Multiplicación y división de números reales .......................................... Estrategias para resolver problemas ...................................... ............................................... .........

22 22 25 29

Evaluación ......................................................................................... 30 Capítulo 2 Capítulo 3 Tema Te ma 4. Prefijos del Sistema Internacional Tema Te ma 7. Grados y radianes ................................... ...................................... ... 46 .................................................. ......... 32 • ............ ............ .......... .... 46 de Unidades I......................................... Medida de ángulos en radianes ...... • Números muy grandes .................................. 32 Tema Te ma 8. Trigonometría I ....................................... .......................................... ... 50 Tema Te ma 5. Prefijos del Sistema Internacional .......... ........... ......... ... 50 • Razones trigonométricas básicas ..... ................................................. ......... 34 • de Unidades II........................................ Aplicaciones de las razones .............................................. .......... 54 • Números muy pequeños ............................... 34 trigonométricas .................................... Estrategias para resolver problemas ... ...... ..... .. 59 Tema Te ma 6. Teorema de Pitágoras ................................ 36 Refuerzo mi competencia matemática .. .... .. 60 • Relación entre los lados de un Síntesis ....................................... ........................................ 36 ........................................................ ................. 61 triángulo rectángulo .................................... Evaluación ......................................... ................................................... .......... 62 • Clasificación de triángulos ............................. 40 ........... ........ .. 42 • Distancia entre 2 puntos en el plano ..... Estrategias para resolver problemas ... ...... ..... .. 45

2

e r t s e m i r T

Geometría, Estadística y Probabilidad ................. .............................. ......................... ........................ ......................... ................... ...... 66 Capítulo 1 Tema 9. Trigonometría II .................................... ............................................................................ .................................................... ............ 68 • Razones trigonométricas de ángulos complementarios................................... 68 ............................................... ............ 72 • Ángulos de elevación y ángulos de depresión ................................... Tema 10. Ley de senos senos ................................................... .......................................................................................... ....................................... 78 ......................................................................... ................................ 78 • Aplicación de la ley de senos .........................................

2

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley de Derechos de Autor n.º 6683.

Tema 11. Pirámide recta ..................................... ......................................... 82

• •

Apotema de una pirámide 82 Área lateral y total de una pirámide ................85

Capítulo 3 Tema 15. Polígono de frecuencias .......................... 106

•

Estrategias para resolver problemas ..........87

de frecuencias frecuencias ............................................... ............................................... 106 Uso de la tecnología ................................. 111

Evaluación ....................................................88

Capítulo 2 Tema 12. Prisma recto .............................................90 .............................................90 • Área de un prisma recto ..................................90 Tema 13. Variables cuantitativas ..............................94 ..............................94 • Clasificación de variables cuantitativas ............94 • Datos agrupados .............................................96

Tema 16. Muestras aleatorias................................. aleatorias................................. 112 ........... ........... ....... .. 112 • El azar en el muestreo estadístico ..... Uso de la tecnología ................................. 115 Tema 17. Probabilidad ..................................... ........................................... ...... 116 • Probabilidad frecuencial ................................ 116 • Ley de los grandes números .......................... 119 Refuerzo mi competencia matemática ...122 Síntesis ................................... ....................................................... .................... 123 Evaluación ..................................... .................................................. ............. 124

Tema 14. Histogram Histograma..................................... a............................................. ........ 102

•

Construcción e interpretación de polígonos

Construcción e interpretación de histogramas ............................................. 102

3

e r t s e m i r T

Relaciones y álgebra ........................... ........................................ ......................... ..................128 ......128 Capítulo 1 Tema 18. Función cuadrática ................................... ........................................................................... ............................................. ..... 130 ................................................ ............ 130 • Representaciones de una función cuadrática .................................... Tema 19. Factorización ............................................................................ ........................................................................................ ............ 134 ........................................................................... ....................................... 134 • Concepto de factorización .................................... .................................................................... ................................ 136 • Factorización por factor común .................................... ....................................................................... ................................ 138 • Factorización por agrupación ....................................... era da .............................................. ............ 140 • Factorización por 1. o 2. fórmula notable .................................. era ........................................................ ................... 141 141 • Factorización por 3. fórmula notable ..................................... ........................................................................ ................................ 143 • Factorización por inspección ........................................ Uso de la tecnología ................................... ........................................................................... ............................................. ..... 147

Evaluación .............................................................................. ................................................................................................. ................... 148 Capítulo 2 Capítulo 3 Tema 20. División de polinomios .............................150 Tema 22. Ecuaciones cuadráticas ............................172 • División de binomios y trinomios • Concepto .......................................................172 entre monomios .................................... .............................................150 .........150 • Métodos de solución ......................................174 • División de binomios y trinomios • Discriminante de una ecuación cuadrática .......178 entre binomios ...................................... ...............................................152 .........152 • Ecuaciones reducibles a ....................................179 .179 • División de trinomios entre trinomios .............155 ecuaciones cuadráticas ................................... Tema 21. Fracciones algebraicas .............................158 • Conceptos .....................................................158 • Simplificaciónn de fracciones algebraicas ..........159 Simplificació • Racionalización ..............................................161 • Fracciones homogéneas y heterogéneas .........163

•

Adición y sustracción de fracciones algebraicas ....................................165

•

Tema 23. Gráfica de la función cuadrática. ..............182

•

Estrategias para graficar funciones cuadráticas .....................................182 Refuerzo mi competencia matemática ....186 Síntesis ........................................................187 Evaluación ...................................................188

Multiplicación y división de fracciones algebraicas ....................................168 Estrategias para resolver problemas ........171

Bibliografía .................................................191


3

Partenón de Atenas

1

e r t s e m i r T

1

• Números y trigonometría

600 a. C

Existen números que no son naturales ni enteros ni racionales; esos números se llaman irracionales. Uno de esos núme-

ros es el llamado número de oro. Convive con la humanidad porque aparece en la naturaleza y desde la antigua Grecia hasta nuestro días, este número real ha sido utilizado por

numerosos artistas: arquitectos, escultores, pintores, para lograr que sus obras tengan las proporciones adecuadas. Por ejemplo, es posible encontrarlo la fachada del Partenón. Por otra parte, el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas tienen numerosas aplicaciones para resolver problemas de diferentes contextos. Por ejemplo, para realizar

mediciones entre puntos de difícil acceso y calcular medidas.

550 a. C

Pitágoras de Samos (580 a. C. - 495 a. C)

Este símbolo era utilizado por los pitagóri-

a quien se le atribuye el teorema de que lleva su nombre, fue considerado el primer

cos para identificarse. El grupo estaba for-

matemático puro.

y astrónomos. Y tenían que cumplir ciertas

mado por matemáticos, músicos, filósofos normas para pertenecer a él.

6


x m 5

m 4

2

3

Actividades de diagnóstico

Habilidades generales • Realizar cálculos usando números reales. • Utilizar diferentes representaciones para identificar y

representar números irracionales. • Comparar números reales.

1

que conoce hasta ahora y un ejemplo de cada uno. 2

Ordene, de menor a mayor, los números que mencionó en la actividad anterior.

3

Señale, en la imagen 2, los triángulos rec tángulos que logre identificar.

4

Averigüe el alto de una escalera eléctrica

• Seleccionar y aplicar métodos y herramientas para

calcular y operar con números reales. • Utilizar la estimación, el cálculo mental, el papel y lápiz o la calculadora, según sea el caso, para el cálculo de operaciones con números reales. • Plantear y resolver problemas en los que se requiera el uso de operaciones y representaciones numéricas. • Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de

diferentes problemas.

como la de la imagen 3. Considere que el valor de x en la igualdad x2 + 42 = 52 representa esa medida. 5

• Aplicar las razones trigonométricas básicas y las

relaciones entre ellas en diferentes contextos.

450 a. C

Hipaso de Metaponto fue un matemático, músico y filósofo griego, además, formó parte de los pitagó-

ricos. Hipaso es considerado como el descubridor de los números irracionales.

Mencione cuáles son los tipos de números

Si uno de los ángulos agudos del triángulo de la imagen 3 mide 36º, ¿cuánto mide el otro?

400 a. C

Los pitagóricos hicieron un pacto de silencio al descubrir que existía un número que no era racional. Pero este silencio fue roto por Hipaso por lo que, según la leyenda, fue ahogado por un grupo de pitagóricos. © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley de Derechos de Autor n.º 6683.

7

Capítulo 1

Números irracionales Habilidades específicas 1. Identificar números

irracionales en diversos contextos. 2. Identificar números con

expansión decimal infinita no periódica. 3. Realizar aproximaciones

decimales de números irracionales. 4. Reconocer números

irracionales en diferentes notaciones. 5. Comparar y ordenar

números irracionales.

Lea la situación problema Xinia compró un lote de forma cuadrada con una superficie total de 128 m2. Ella quiere colocar una tapia en el lado del frente del terreno. Si cada metro de tapia cuesta ¢30 500, ¿cuánto deberá pagar aproximadamente por toda la tapia?

Analice • ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un cuadrado? • ¿Con cuál número se puede expresar la medida de uno de los lados del lote de Xinia?

Resuelva

6. Estimar el valor de la raíz

de un número entero. 7. Determinar números

irracionales radicales entre 2 números enteros consecutivos.

Responda

Recuerde Si en la expansión decimal de un número se colocan puntos suspensivos (…)

significa que la expansión es infinita, es decir, que las cifras continúan.

Concepto de número irracional La medida del frente del lote de Xinia se puede expresar con el número 128 , se puede obtener una aproximación de este número utilizando la calculadora. Por ejemplo, 128 11 , 31 , sin embargo 128 posee una cantidad infinita de cifras decimales no periódica y .

por esa razón se clasifica como un número irracional.

Los números irracionales, a diferencia de los racionales, NO se pueden expresar como el cociente de 2 números enteros. Estas expresiones decimales no periódicas son números irracionales: • 0,10100100010000… Se ha formado con grupos de 1, 2, 3, 4,… ceros después de cada ; de este modo no existe un grupo de cifras decimales que se repita. • 1,27282930313233…, en el cual las cifras decimales son una sucesión de números consecutivos a partir de 27, por lo que no existen cifras decimales que se repitan. 8


Algunos números irracionales pueden representarse en notacio -

nes no decimales. Para algunos se usan símbolos particulares como los siguientes: Notaciones particulares para algunos números irracionales Símbolo

Notación decimal

Nombre

r

3,141592654…

Número Pi

e

2,718281828…

Número de Euler

U

1,618033989…

Número áureo

En la tabla de abajo se presentan algunas expresiones que también corresponden a números irracionales:

Razonar y argumentar Los pitagóricos descubrieron que existían los números irracionales al demostrar que no es posible expresar 2 como la razón de 2 números enteros. – Demuestre, con ayuda de

su profesor y sus compañeros, que 2 no puede ser un número racional. – Supongan primero, que sí lo es, y a partir de eso traten de llegar a una contradicción.

Expresiones que corresponden a números irr acionales Situación

Ejemplos

La raíz cuadrada no exacta de

cualquier número racional.

3 y - 3 son números irracionales porque no hay un racional que, elevado al cuadrado, dé 3.

El resultado de sumar y de restar un número irracional con uno racional. El resultado de multiplicar y de dividir un número irracional por un racional diferente de 0.

r + 2 y

4r ,

2 3

1 –

5

-

2

,

3

y

- 5r – 2e

Ejercicio resuelto 1 Encerrar los números que son irracionales. expansión 4, 325 9,102030405… infinita periódica -3,282882888288882…

expansión infinita no periódica

-0,098

expansión infinita no periódica

expansión finita

Ejercicios resueltos 2 Construir 2 números irracionales con patrones decimales diferentes. 5,121231234... 0,02030405... Anotar 4 números irracionales notación diferente a la decimal. 21

-

15

r

2

3e

Recuerde El período de un número racional se indica con una rayita. Por ejemplo: 4, 325 =

4,325325325…


9

Actividades Desarrolle todas las actividades en su cuaderno y

Explique en las líneas correspondientes por qué

anote las respuestas en el libro.

cada uno de los números dados es racional.

1.

Clasifique la expansión decimal de cada número. • Marque con la casilla correspondiente.

4.

0,2145780

5.

1,2545454

6.

8,1024024024...

7.

e–e

8.

^

Clasificación de la expansión decimal Infinita

Número decimal Finita

No Periódica periódica

0,24252627 -1,01001000102... 2,51111141...

2

5h

1,54545454... -0,987654321

9.

2r

r

6,0202020202... -3,1231231234

Explique en las líneas correspondientes por qué

cada uno de los números dados es irracional.

6,0102030405...

10. 7,021589641...

10,2233445567... Anote los números de la actividad anterior

11.

2,010010001...

12.

2r

en el recuadro correspondiente. 2. Racionales

13. e + 1

3. Irracionales

14.

{ 5

15. 19,52 + 21,343443444...

10


Escriba V si es verdadero o F si es falso.

34. Escriba los siguientes números en el recuadro

al que corresponden: 16. 17.

169 3

es un número irracional.

125

es un número irracional.

2 +3

16 –

36

-3 8

r

1 +

100

- 8r

2

- 3e 2

18. Los números con expresión decimal

periódica son irracionales. 19.

Todo número irracional se puede escribir como el cociente de 2 números enteros.

6

r–r

Subraye los números irracionales que fueron construidos siguiendo una regla de formación.

3

5

r r

32

11 4

Números irracionales

20. 1,202002000200… 21.

9+

3,141592654…

22. 5,112113111411… 23. 1,732050806…

Números racionales

24. 0,911922933… 25. 15,121231234…

Agregue, en la línea, 5 cifras decimales a los

números que subrayó antes.

35. Anote una aproximación decimal de cada

uno de los números del ejercicio anterior. •

Encierre los números irracionales. 26. 27.

-

3 2

4r r

28.

0

29.

-5

30. 31.

Use una calculadora científica.

2

•

3

14

-

Escriba 2 números irracionales tales que, al sumarlos, se obtenga un número racional.

81 2

32.

- 7e – 1

33.

e –

36.

37.

Anote 2 diferencias entre los números racionales y

0

Explique, en la línea correspondiente, por qué los

números que no encerró no son irracionales.

los irracionales. 38. 39. © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley de Derechos de Autor n.º 6683.

11

Comparación de irracionales Dados 2 números irracionales siempre se puede establecer una

El número debe su nombre a un famoso matemático suizo, Leonhard Euler (1710-1783); se llama por

relación de orden entre ellos. Por ejemplo: •

•

2 < r

-

28 = - 2

• 9,121231234... > e

7

la inicial de su apellido. Aparece muchas veces

en contextos reales relacionados con multitud de áreas de conocimiento: en

Economía, para generar

Para comparar números irracionales que no están expresados en

notación decimal puedes estimar el valor de los números dados. Si involucran un radical, se puede aproximar su valor por medio de raíces exactas conocidas. Para eso se establece entre qué números enteros consecutivos se encuentra el valor de la raíz.

modelos de carácter pre-

dictivo; en Biología, para explicar el crecimiento de poblaciones y en la datación de fósiles; en salud, para estudiar y evaluar enfermedades epidémicas.

Ejercicio resuelto 3 Establecer entre cuáles números enteros consecutivos se encuentra •

Se determinan cuál es el número mayor más cercano y el menor más cercano que poseen raíz exacta.

•

Se calculan los valores de la raíces.

•

De esa forma sabemos que

5<

25 y

30 .

36

5y6

30 < 6 .

Determinar 3 números irracionales que se encuentren entre 9 y 10 y que estén expresados en forma radical. •

Se define el índice de la raíz que se va a utilizar. En este caso se definirán raíces de índice 3.

•

Se calculan las potencias de los números enteros dados usando como exponente el índice elegido.

•

De esta forma, las raíces buscadas, es la raíz cúbica de cualquier número

Recursos TIC Para estimar el valor decimal de un número irracional que está expresado como raíz, también se pueden utilizar programas computacionales o la calculadora.

– Estime el valor de

9 3 = 729 y 103 = 1000

3

800 , 3 945 y 3 995

entre 729 y 1000.

23

utilizando una calculado-

ra en línea. – Ingrese en la dirección http://web2.0calc.es/. – Utilice la calculadora cien-

tífica que aparece en esa

Establecer cuál de los números dados es el mayor.

página para estimar la raíz

indicada anteriormente. – Debe recordar que el valor

dado por la calculadora es solo una aproximación y no un valor exacto. 12

Ejercicio resuelto 4 5,11222333444... 25 = 5 y

23

Como

•

De esa manera el numero mayor es 5,11222333444.


23 <

25 ,

entonces 23 < 5.

•

Actividades Desarrolle todas las actividades en su cuaderno y

54.

anote las respuestas en el libro. Anote los números enteros consecutivos entre los que se encuentra el valor de cada raíz indicada. 40.

55

y

.

41.

232

y

.

y

.

42.

3

43.

3

1025

y

.

44.

4

192

y

.

220

55.

-

56.

3

12

40

3

2

-2

2

3

.

3

5

.

.

Resolución de problemas 57.

Un constructor debe colocar una varilla en

la diagonal de un marco de hierro que tiene forma de rectángulo. El hizo un cálculo mate mático y obtuvo que la medida de la diagonal

es de 3 m. Si solo venden metros comple-

Escriba 2 números irracionales, en notación radical, que se encuentre entre los números indicados en cada caso. •

12

tos de varilla, ¿cuál es la cantidad mínima de metros que debe comprar para que le alcance?

Utilice raíces con diferentes índices.

45. Entre 2 y 3.

y

.

46. Entre 5 y 6.

y

.

y

.

hermana lo adivinara, ella le dio las siguientes pistas: el valor de ese número está ubicado entre 7 y 8, y la cifra de las unidades es igual que la cifra de las decenas. ¿Cuál fue el número que escribió Pamela?

47.

Entre 10 y 11.

48. Entre 13 y 14.

y

.

49. Entre 21 y 22.

y

.

58. Pamela escribió un número racional negativo en forma de raíz cuadrada. Para que su

Complete con los símbolos <, > o = según corresponda en cada caso. 5

50. 51.

-

52.

3

53.

2.

21

21

25

11

Para resolver los ejercicios 54 a 56 recuerde que n xy = n x n y . :

.

3

43

.

3

11

.

59.

A Vinicio le gusta mucho la matemática. Un

día se descompuso su carro en la autopista de Caldera y calculó que fue aproximadamente en el kilómetro 230 . Él tuvo que llamar a una grúa para que le llevara el carro hasta su casa y debía indicarle entre cuáles kilómetros se encontraba. ¿Cuáles fueron los datos que Vinicio le debía dar al servicio de grua?

60. Don Ricardo tiene 2 sogas para amarrar su caballo. Una que mide 45 m, y otra de 2 5 m. ¿Cuál de las sogas de don Ricardo es la más larga?


13

Actividades integradoras Desarrolle todas las actividades en su cuaderno y

Escriba 6 números irracionales que estén com -

anote las respuestas en el libro.

puestos por la suma o resta de un racional y de un irracional. • Considere el ejemplo 1 + 2 .

61.

Marque con los recuadros que solo tienen números irracionales.

70. 71. 5

r

5 –3

5r + 3

5 5

r–r 4r

3 3 –

3 2

73.

3 +1

3

5

72.

3 –

74.

4

5

75. 62. Encierre el número mayor de cada recuadro

de la actividad anterior. Estime el valor de los siguientes números irracionales con un redondeo a 2 decimales. •

Utilice la calculadora.

63.

56

64.

-

3

85

65.

-2

2

66.

e+

1

67.

- 2r

68.

{ –

Encierre el número mayor y el número menor de los que anotó en la actividad anterior según lo que se indica. 76. Con rojo, el número mayor. 77.

Con azul, el número menor.

Resolución de problemas 78. En la siguiente tabla se presentan las distan-

cias aproximadas recorridas por un atleta durante 4 días: Distancias recorridas en 4 días

1

Día

9 Para estimar los valores de los números especiales e, r y { , también puede hacerlo como se muestra en la página 15.

Distancia (km)

3

2000

2 148

3 83

4 2

37

a.

¿Cuáles de los 4 días recorrió el atleta la misma distancia?

b.

¿Cuál fue el día que el atleta recorrió la menor distancia?

c.

¿Cuál fue el día que el atleta recorrió la mayor distancia?

69. Ordene los números de la actividad anterior

en forma ascendente.

14

<

<

<

<

<


Uso de la tecnología Aproximaciones de los números especiales r , e y U Existen 3 números irracionales que tienen muchas aplicaciones tanto en matemática como en otras disciplinas. Estos números son r , llamado “número pi”; , llamado “número e”, y U , llamado “número de oro”. A continuación, con ayuda de una hoja de cálculo, vamos a encontrar los valores aproximados de

estos números: Cálculo del número r Paso 1

Introduzca los 12 primeros números naturales mayores que 0 en el rango de celdas B3:B14.

Paso 2

Escriba la fórmula =B3^2 en C3 y la fórmula = 1/C3 en D3. Seleccionadas ambas celdas, arrastre hasta las celdas C24 y D24. Así se obtienen los cuadrados y los inversos de los

12 primeros números naturales mayores que 0. Paso 3

Escriba =D3 en la celda E3 y la fórmula =E3+D4 en E4, y arrastre hasta E24. Finalmente, introduzca la fórmula=RAIZ(6*E3) en F3 y arrastre esta celda hasta F24.

Cálculo del número Paso 1

Usando los números de las celdas B3:B14, escriba = 1/FACT(B3) en G3 y arrastre hasta

G14 para calcular los inversos de los factoriales. Paso 2

Ingrese = G3 en la celda H3 y = H3+G4 en la celda G4, y arrastre hasta la celda G14.

Si arrastramos los números de la columna B hasta la celda B1002 y los números de la columna F hasta la celda F1002, ¿qué ocurre con el número ?

Calcule el número U . Paso 1

Escriba los 21 primeros números en las celdas B3:B23. Luego, en la celda C3, ingrese el valor inicial que elijamos y la fórmula =1 + 1/C3 en la celda C2, y arrastre esta celda hasta C23. Se obtendrán aproximaciones del número de oro.

Paso 2

Introduzca la unidad en D3 y D4, y la fórmula = D3 + D4 en la celda D5. Arrastre esta celda hasta D23.

Paso 3

Finalmente, escriba =D4/D3 en E3 y arrastre hasta E22. ¿Qué se observa? © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley de Derechos de Autor n.º 6683.

15

Números reales Habilidades específicas 1. Identificar números

reales y no reales en cualquiera de sus representaciones y en diversos contextos. 2. Representar números reales en la recta numé-

rica con aproximaciones apropiadas.

Lea la situación problema Carmen y Fabián representaron 2 números en una recta numé rica como la de abajo utilizando figuras. Si Carmen representó el número 11 y Fabián el número 3,5, ¿cuál fue la figura que usó cada uno?

0

1

2

3

4

Analice • ¿Cuál de los 2 representó el número menor? • ¿A qué número pertenece la figura que está ubicada más a la izquierda?

Resuelva

Recuerde En una recta numérica, cual-

quier número que se ubica a la izquierda de otro, es

Responda

menor que este.

Concepto de número real Los números reales es la unión de los números racionales y los irracionales. Por ejemplo, en el problema anterior, tanto el número que representó Carmen, como Reales el de Fabián son números reales. A partir de esto se podrían esquematizar

Razonar y argumentar Algunos grupos de números forman parte de otros gru pos más grandes. – Explique por qué se puede

decir que todos los números naturales son enteros y que todos los números enteros son racionales. 16

Racionales

Enteros Naturales

Irracionales

los números reales así: Al ubicar todos los numeros reales en una recta numérica, a cada

número le corresponde un punto de la recta, de esa manera cubren toda la recta y no dejan huecos. Esta es una característica de los números reales que se conoce como "completitud". es un número que no es real, ya que no existe ningún número real que También existen números que no son reales. Por ejemplo, elevado al cuadrado dé un resultado negativo.


-4

Ejercicios resueltos 1 Escribir "racional" o "irracional" según corresponda. Irracional

a.

-

b.

8r - 1

13

Irracional

7

c.

Irracional

3

El número debe su nombre a un famoso matemático suizo, Leonhard Euler (1710-1783); se llama por la inicial de su apellido.

Racional

d.

-

e.

9, 9 3

f.

-2

5

3

- 27

25

Racional Irracional

Aparece muchas veces en contextos reales relacionados con multitud de áreas de conocimiento: en Economía, para generar modelos de carácter predictivo; en Biología, para explicar el crecimiento de poblaciones y en la datación de fósiles; en salud, para estudiar y evaluar enfermedades epidémicas.

Ejercicio resuelto 2 Encerrar los números que no son reales. - 36

-2

3

4

- 64

Actividades Desarrolle todas las actividades en su cuaderno y anote las respuestas en el libro.

7.

Naturales

9.

Enteros

8.

Racionales

10.

Irracionales

Escriba "racional" o "irracional" según corresponda. 1. 2.

3

2

1+

5

2

3.

- 0, 019

4.

3r 4

5.

-

6.

9e – 3 2

r

25 +

Escriba 6 números que sean reales y 6 que no lo sean.

Anote cada número en el recuadro correspondiente. • Considere que un mismo número puede ubicarse en 2 grupos diferentes. 12

- 11 , 5

r

-2

5

0

11 1 + 3

U

- 13 e 5

2 –

11.

Reales

12. No reales

2

144

-8 3 2

3


17

Marque con 4 las frases verdaderas.

Resolución de problemas

12.

Todos los números naturales son enteros.

13.

Si un número es racional, entonces es natural.

14.

Cualquier número irracional es un número real.

15.

Todos los números reales son también números enteros.

16.

es un número que es entero y también racional.

17.

Al ubicar todos los números racionales en la recta numérica quedan puntos de la recta a los que no les corresponde ningún número.

18.

-

Amanda dice que sí es posible escribir un número entero que no sea real, pero Javier le dice que no es posible. ¿Cuál de los 2 tiene la razón?, ¿por qué?

19.

20. Graciela quiere dibujar un cuadrado que

tenga un área de 130 cm 2. ¿Podría ella dibujar los lados del cuadrado con la medida exacta que deberían de tener?, ¿qué podría hacer para obtener un cuadrado con un área aproximada a la que buscaba?

25

Pablo dice que

es -5 porque - 25 = - 25 = - 5 . ¿Es cierto o falso lo que dice Pablo?, ¿por qué?

21.

- 25

Los números reales son completos.

Ubicación de números reales en la recta numérica Para representar, en la recta numérica, números con expansión decimal infinita, ya sea periódica o no, se obtiene una aproximación del número que se desea representar y se ubica según corresponda.

Representar Existen diferentes formas de representar un mismo número real. Una de ellas es la recta numérica.

– Represente de 3 formas distintas el número 12 . – Compare su trabajo con el realizado por sus compañeros. – Participe de una conversación grupal, en la que cada persona mencione cuál de las representaciones considera que le es más útil. 18

Si el número no está expresado en forma decimal, se puede utilizar la calculadora para obtener una aproximación.

Ejercicios resueltos 3 Ubicar - 7 y - en la recta numérica Primero se calcula una aproximación de ambos números: •

-

•

es aproximadamente -2,65. - es aproximadamente -2,72. 7

Luego se ubican en la recta según corresponda. -

7

-e

-2,72 -2,71 -2,70 -2,69 -2,68 -2,67 -2,66 -2,65 -2,64



30. -

Anote una aproximación, con 2 decimales, de los siguientes números reales. 22. 23. 24.

-2

r

31.

-

y

12

+ 1

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

5 2

+ 2 11

1 – 2

3

-3

24

28 + 3

25. 26.

-4

5

5

10

32.

2 2+

3

-2

3r 5

5

y

-1

0

3 6

729

7

1,1

1,3

1,5

1,7

1,9

2

33. Escriba, en los recuadros, la letra que corres-

Observe las sugerencias dadas en la página 21 respecto al uso de la calculadora para la aproximación de numeros reales.

ponde a cada número irracional, según el lugar que ocupa en la recta numérica. A.

-

C.

5

-

E.

8

2

2

B.

-

3 2

D.

3 –

5

F.

r

- 3r 4

Represente, en la recta numérica, los números irracionales dados en cada caso. 5

27.

-2,5

0

1

2

-2 -1,5

-1

-0,5

0

0,5

3 34. Represente, en la recta numérica dada, una aproximación del número r .

28. - 11 y

-4

29.

-

8

-3

11

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y 8

-2

35. Represente, en la recta numérica dada, una aproximación del número e .

36. Represente, en la recta numérica dada, una aproximación del número { .

-1

0

1

2

3


19

Actividades integradoras Desarrolle todas las actividades en su cuaderno y anote las respuestas en el libro.

43. Busque 2 objetos cilíndricos de diferentes

bases. Luego, mida la longitud de la circunferencia de la base y el diámetro de cada uno de ellos. Tome las medidas lo más precisas posibles y calcule una aproximación al valor de r .

Realice las siguientes actividades: 37.

Anote, en la columna izquierda de la tabla, 3 números irracionales menores que 5, que involucren radicales. Número

a. ¿Cuántos decimales exactos encontró

para

r?

Aproximación

b. Anote 2 números racionales uno menor

que

r y

uno mayor.

c. Represente los 3 números anteriores en

38. Escriba, para cada número de la tabla ante-

una recta numérica.

rior, una aproximación con 2 decimales. 39. Escriba, en la columna izquierda de la tabla,

3 números racionales menores que 5, en forma fraccionaria y que no sean enteros. Número

44. La profesora de Matemática solicitó 7 volun-

Aproximación

tarios para que participen en una competencia. Ganaría la persona que escogiera el mayor número real de entre varios propuestos. Los alumnos y las alumnas participantes eligieron los siguientes números: Gabriel

rior, una aproximación con 2 decimales.

25

20


21

Roberto

Tatiana

- 6, 79

- 6, 25

6


•

Carlos

- 4e 3

Alejandra

divididos en 3 partes. La primera parte era 1 del trayecto y la segunda de 14 del resto. 5 ¿Cuántos kilómetros forman cada etapa? Ilustre la situación en una recta numérica.

2

Mariana

Represente, en una misma recta numérica, los 6 números que anotó en las 2 tablas anteriores.

42. Una joven compitió en una carrera de 10 km

100

- 5r 2

40. Escriba, para cada número de la tabla ante-

41.

Sofía

a.

Represente todos los números en una recta numérica para determinar quién ganó la competencia.

b.

¿Quién eligió un número comprendido entre los números de Gabriel y de Tatiana?

Uso de la tecnología Aproximaciones de número reales con calculadora científica Para aproximar el valor de un número real que posee expansión decimal infinita usando una calculadora científica en línea puede seguir estos pasos: Cálculo del valor del número

-

15

2r

2

.

Ingrese en la siguiente dirección de Internet:

Paso 1

http://www.mycalculadora.com/calculadora-cientifica-online/

Paso 2

Digite la expresión que desea aproximar con el teclado que aparece en la pantalla. Para esto presione las teclas en el orden indicado a continuación.

Paso 3

Para verificar que digitó correctamente la expresión, observe que lo que obtenga en la pantalla de la calculadora en línea tenga la misma forma que el número original dado.

Paso 4

Presione la tecla del igual para obtener una aproximación del número.

Paso 5

Redondee según la cantidad de decimales deseada. Si en este caso deseamos 2 cifras decimales, entonces la aproximación del número sería

- 15 2r

2

.

0 , 20 .

Recuerde que si la cifra

de las centésimas es menor que 5, se redondea a la décima menor y si es mayor o igual a 5, se redondea a la décima mayor. Aproxime los siguientes números reales utilizando la calculadora científica en línea: 1.

3

12 + 5

2.

1 - 2 –

2

3.

9+

11 – r 2

4.

3 + 4 7


21

Operaciones con números reales Habilidad específica 1. Utilizar la calculadora

para resolver operaciones con radicales.

Lea la situación problema Don Eduardo quiere cercar un lote de forma cuadrada que tiene un área de 432 m2. Él desea colocar 3 hileras de alambre al rededor del terreno. Si cada metro de alambre cuesta 750, ¿cuánto dinero le costará, aproximadamente, a Eduardo todo el alambre que necesita?

Analice • • •

¿Cuál número representa la medida de un lado del terreno? ¿Qué operaciones le permiten resolver el problema? ¿Qué instrumento le puede ayudar a resolver las operaciones con más facilidad?

Resuelva

Responda

Suma y resta de números reales La suma y la resta de números reales son operaciones con las cuales se puede dar solución a problemas que involucran diferentes tipos de números. Por ejemplo, en el problema anterior, cada lado del terreno mide 12 3 , entonces se puede calcular el perímetro ( P) así: 12

3

+

12

3

+

12

3

+

12

3 = 48

3

Pero como don Eduardo quiere colocar 3 hileras, la cantidad de alam bre que necesita se puede calcular sumando 3 veces el perímetro: Recuerde La radicación es la operación inversa de la potenciación, por ese motivo si x2 = 432, entonces x = 432 = 12 3 . 22

144 3

.

249 , 4

Luego se multiplica por el precio de cada metro de alambre.


249, 4 : 750 = 187 050

Para obtener el resultado aproximado de sumas o restas que invo lucran números reales en forma radical se puede utilizar la calculadora. Debe recordar que si la calculadora da el resultado en forma fraccionaria o con radicales, entonces es exacto; si lo da en forma decimal es una aproximación.

Recursos TIC Para resolver operaciones con números reales utilizando la calculadora científica fx-570ES es importante que conozca las funciones de las teclas que más utilizará.

– Ingrese a la siguiente dirección de Internet donde encontrará algunas funciones básicas: http://matelidepo.wikispaces.com/file/view/ – Puede consultar también a su profesor o a otros compañeros sobre otras funciones que ellos conozcan y le puedan ser de utilidad.

Ejercicio resuelto 1 Resolver el problema utilizando operaciones con números reales. Verónica confeccionó una tarjeta de cumpleaños con cartulina. La hizo de forma cuadrada, de manera que el área de la tarjeta es de aproximadamente 500 cm2. Si ella quiere colocar cinta al rededor de la tarjeta y en la tienda solo venden metros completos, ¿cuántos metros debe comprar? •

Primero se calcula la medida de cada lado.

•

Luego se calcula el perímetro sumando 4 veces la medida del lado. 10

5 + 10

5 + 10

40 5 •

.

5 + 10

500 = 10

5 = 40

5

5

89 , 44 cm

Como 89,44 cm es menos que un metro, entonces Verónica debe comprar solo un metro de cinta para la tarjeta.


5.

Escriba una aproximación con 3 decimales de los resultados de las siguientes operaciones:

6.

r

7.

-2

8.

5

9.

- 0, 2 –

1.

0, 2 +

2.

r

3.

e –

4.

1 + 3

+

2

3

2

2 3

+ 1

.

.

10.

.

8 1 + 0, 2 + 9 3

.

.

3

5 – ]- 1 g .

2 + 9

2 –

.

b -35 l + 0, 59 b -31 l – 25

1 5

–

b l– -3 8

.

.

2 7

.


23

14. La arista de un recipiente con forma cúbi-


ca mide 23 dm. Si el recipiente contiene 5 aproximadamente 550 L de agua, ¿cuántos litros más le cabe? Recuerde que 1 dm3 = 1 L, además el volumen de un cubo de arista a es a 3.

Antes de iniciar con la solución de los problemas, observe las 4 fases que se detallan en la página 29.

•

15. 11.

Diana salió a correr el sábado y el domingo. El sábado recorrió una distancia de

129 50

km

Vinicio debe averiguar el valor de x según los datos de la figura de abajo. Además, él sabe que el perímetro de esa figura es de 7 3 cm. ¿Cuál es el valor aproximado del dato que necesita averiguar Vinicio?

y el domingo aproximadamente 3 52 . a. ¿Cuál fue la distancia total aproximada que recorrió entre ambos días?

2 2 3

3

3

cm

3 cm

cm

b. ¿Cuál fue la diferencia aproximada de lo

x cm

recorrido entre esos 2 días?

4 3

3

cm

12. Adrián realizó un recorrido como el que se

muestra en la figura de abajo. Primero va desde su casa hasta la casa de Bruno, luego se dirige a la tienda y luego regresa a su casa sin pasar por la de Bruno. ¿Cuál fue la distancia total que recorrió Adrián?

16.

Considere que el sector circular que forma parte de la figura corresponde a la cuarta parte de un círculo con un radio 2 cm.

Tienda 18

3

Elena construyó una figura como la de abajo como tarea para Artes Plásticas. Si ella quiere pegar cinta al rededor de la figura, ¿cuántos centímetros necesitará?

m

21 m Casa de Bruno

531

m

Casa de Adrián A

13.

24

Entre 4 grupos de un colegio recolectaron 200 kg de papel para reciclarlo. El primer grupo recogió 60 14 kg, el segundo, 13 15 kg, y el tercero, 45,93 kg. ¿Cuántos kilogramos de papel recolectó el cuarto grupo?


E

5 2

2 cm

cm F

B

3 cm D

C (3 + 5) cm

Multiplicación y división de números reales

Actitudes y creencias

La multiplicación y la división de números reales son también operaciones con las cuales se puede dar solución a problemas que involucran diferentes tipos de números. Por ejemplo, la situación problema que aparece al inicio de este tema también se puede resolver utilizando la multiplicación. Como el lado del terreno mide 12 3 , se determina el perímetro ( P) así: P =

4

:

12

3 = 48

3

Para calcular el total de alambre ( A) se multiplica el perímetro por 3: A =

3 : 48

3 = 144

3

Por último se multiplica por lo que cuesta cada metro de alambre: 750 : 144 3 = 108 000 3

.

187 061 ,48

El principal sentido de la matemática no es poder resolver largas y complicadas operaciones como algunos piensan. Si no, desarrollar entre otras cosas, el razonamiento, el análisis y la argumentación, lo cual es de gran importancia para muchas áreas de la vida.

– Investigue, en libros o en Internet, acerca de los beneficios en el pensamiento, que genera el estudio de la matemática. – Comente con su docente los resultados encontrados.

Para obtener el resultado aproximado de multiplicaciones o divisiones que involucran números reales también se puede utilizar la calculadora. Cuando se escribe una combinación de operaciones en algunas calculadoras calculadora, se debe tener en cuenta la prioridad de las operaciones y colocar paréntesis para indicar las que se debe resolver primero. Conectar con…

Ejercicio resuelto 2

Física

Resolver el problema utilizando operaciones con números reales.

La velocidad (v) a la que

Se desea llenar con agua un recipiente cúbico cuya arista

se desplaza un satélite en

mide

5 2

dm. Si para llenarlo se va a utilizar otro recipiente

con una capacidad aproximada de

23 L,

¿cuántas veces,

•

•

Primero se calcula el volumen del cubo en dm 3.

•

125 L. 8

Para saber la cantidad de veces que se debe llenar el segundo recipiente se resuelve la división y se obtiene una aproximación: 125 8

•

v = R:

a 52 k3 = 125 8

Como 1 dm3 = 1L, entonces el la capacidad del cubo es

'

23

.

r al rededor de la Tierra está dada por la fórmula

como mínimo, se debe llenar el segundo recipiente? •

una órbita circular de radio

3 , 26

Se calcula cuál es el entero mayor más cercano. En este caso, es 4. De esa manera se sabe que para llenar el cubo se necesita llenar al menos 4 veces el recipiente más pequeño.

g r . Donde R es el

radio de la tierra y es aproximadamente 6, 4 : 10 6 m ; g es la aceleración de la gravedad terrestre y su valor aproximado es 9,8 =

m s

2.

– Calcule, con ayuda de una calculadora científica, la velocidad de un satélite que da vueltas al rededor de la Tierra en una órbita circular de radio 6 6, 7 : 10 m .


25

Actividades

Desarrolle todas las actividades en su cuaderno y anote las respuestas en el libro.

28. Graciela tiene un jardín con forma de rombo

en el frente de su casa que tiene las medidas que se indican en la figura de abajo. Ella quiere dividirlo en 4 sectores iguales para sembrar 4 tipos de flores. ¿Cuál es el área aproximada que quedará para cada tipo de flor?

Escriba una aproximación con 3 decimales de los resultados de las siguientes operaciones: 17.

1 2

18.

0, 2

19.

11 3

3

:

.

-2 9

:

2'2

20. 21.

-

22.

-r '

23.

2

:r :

54

:r

.

6

.

'

13

11

'

r

'

25.

-

3

'

'

` -5 j

3

75 cm

2r

r

un área de 144 r cm2. Si el cilindro tiene una capacidad de aproximadamente 9,05 L, ¿cuál es la altura aproximada del cilindro?

3h.

3z

e

29. Un cilindro circular recto tiene una base con

.

^- 2

-

e

28 cm

.

24.

26.

.

.

.

30. Luis debe comprar un rectángulo de un

.


Un constructor tiene una varilla que mide 640 cm. Él desea partirla en varios trozos de manera que cada uno mida aproximadamen3 te 85 m. ¿Cuántos trozos, como máximo, podrá obtener el constructor de esa varilla?

material aislante para un trabajo eléctrico. Él necesita que tenga las medidas de la figura de abajo. Además, cada metro cuadrado del material cuesta 22 500.

11 +

8

5

7

cm

cm

a. ¿Cuánto le costará a Luis, aproximada-

mente, el rectángulo que necesita? b. Si también va a colocar una cinta espe-

Recuerde que para resolver un problema en el que se involucran 2 o más unidades de medida distintas, primero se deben expresar todas las medidas en una misma unidad. 26


cial al rededor del rectángulo, que cuesta 250 cada metro, ¿cuál será el costo total, aproximado, de lo que debe invertir Luis incluyendo los 2 materiales?


Resolución de problemas 45. Mauricio se propuso recorrer aproximada-

Escriba una aproximación con 3 decimales de los resultados de las siguientes operaciones: 3h .

3 ^ 2 –

31.

^

32.

2 6 5 –

33.

^3

4h

34.

4

7 – ^2

35.

7

36.

8 – 3

37.

2

6

12 + 5

– 3

a

3 h@

.

16

.

2 +

3

3

10

'

4 + 2^ 6

2

2

:

3

2 5

–

a

5

para cercar el parque con malla. Si el parque tiene las medidas aproximadas en metros que se muestran en la figura de abajo y cada metro de malla cuesta 12 350, ¿cuál es el costo total aproximado del proyecto?

2h . 3 8

–

46. Los vecinos de una comunidad se organizaron

5h .

k

: 13 – 2 a 13 – 2 kD

38.

mente 128 km en bicicleta todos los días. Si hoy se desplazó 18 km en la mañana y en la tarde hizo 2 trayectos de 8 km cada uno, ¿cuántos kilómetros, aproximadamente, le faltan por recorrer a Mauricio hoy?

7 + 9

3

.

2

3

18 11

2

k

2^ 2 + 3

.

Resuelva las operaciones indicadas según los valores de cada letra. • Anote una aproximación a la centésima más cercana.

A=

-2

4

B=

48

6

5

39. B (A – C ) 40. (A 41.

D

D=

6

44.

A C

5 3

(C – A)

a CB + D k

5 + 14

4

72

Diana necesita una pieza de cuero con dimensiones aproximadas a las que aparecen en la figura de abajo. Si cada metro cuadrado de cuero cuesta 15 225, ¿cuánto dinero aproximadamente necesita Diana para eso? 2

B )2 – D

A D + B C

5

.

48 dm ^

4

.

6 +

.

42. D (A + B ) + C 43.

5

8

2h

5

47. C=

5

.

2 3

.

h

d m

.

2

75 dm

3

'

aC – DB k

.


27

48. Marcelo va a encargar un rótulo para su

49. Una caja de bombones tiene forma de trape-

negocio. La empresa de diseño que contrató le ofreció 2 opciones, una con forma de rectángulo y otra con forma de trapecio, con las dimensiones aproximadas a las figuras de abajo. Si en el rectangular le cobran 11 200 por el metro cuadrado y por el otro, 11 500 el metro cuadrado, ¿cuál es la opción más económica?

cio isósceles con dimensiones en centímetros aproximadas a las de la imagen. 6

9 1 2

5

b

5 1 + 9 2

l

3

10

13

2

cm

a) Si se colocó cinta verde al rededor de la 2

caja, ¿cuántos centímetros de cinta se usaron aproximadamente?

5 cm

3 cm 2 cm

27 cm

b) Si la caja tiene una altura de 5,5 cm,

¿cuántos centímetros cuadrados de cartón se necesitaron, aproximadamente, para hacer la caja?

Evaluación por proyectos Construya con 2 compañeros, un cartel y un informe sobre la espiral de Durero. 50. Busquen información en libros de texto y

en páginas de internet acerca de los pasos para la construcción de un rectángulo de oro. Por ejemplo, estas páginas: http://aprendematematicas.org.mx/ notas/cg/29.pdf http://www.matematicasvisuales. com/html/geometria/proporcionaurea/aureo.html •

•

51.

Realicen el dibujo de un rectángulo de oro. Luego, dibujen rectángulos de oro sucesivos y cuartos de circunferencias, tal como se indica en las páginas sugeridas. Así, obtendrán la espiral de Durero.

52. Contesten las siguientes preguntas y

presenten las respuestas en un informe: 28


a. ¿Cuál es la longitud del cuadrado inicial

del que partieron para dibujar el rectángulo de oro? ¿Cuál es el ancho del rectángulo que dibujaron? b. Usen la calculadora para hallar la razón entre los lados del rectángulo obtenido. c. ¿El número real

1+

5

es racional o irracional? ¿Cuál es el inverso de este número? 2

d. Describan la sucesión de rectángulos

de oro que han dibujado para obtener la espiral. e. Demuestren que el cociente entre el

lado mayor y el lado menor de todo rectángulo de oro es 1 +2 5 .

Estrategias para resolver problemas Las 4 fases para resolver un problema En una ocasión que Javier salió del país fue a comprar algo para comer a una panadería donde una porción de pastel de manzana y un refresco le costaron 2,50, y una porción de pastel y 2 refrescos, 3,25. ¿Cuánto costaba un refresco? ¿Y una porción de pastel?

Comprenda La primera fase para resolver un problema es comprender el enunciado. Para lograrlo se lee el problema detenidamente. Además, se identifican los datos disponibles y se establece qué hay que averiguar. • Se sabe que: 1 pastel + 1 refresco = 2,50 1 pastel + 2 refrescos = 3,25 • Hay que encontrar el precio de un refresco y, aparte, de una porción de pastel.

Planifique La segunda fase corresponde al planteo de una estrategia. Para este se resuelve una combinación de adiciones y sustracciones que permita averiguar el precio de un producto: 1 pastel + 2 refrescos – (1 pastel + 1 refresco)

Resuelva La tercera fase corresponde a la resolución. Se resuelve la combinación de operaciones planteada. 1 pastel + 2 refrescos – ( 1 pastel + 1 refresco) =

Valor de un refresco: 1,75

1 pastel + 2 refrescos – 1 pastel – 1 refresco = (1 pastel – 1 pastel) + (2 refrescos – 1 refresco) = 0 pastel + 1 refresco =

Como 1 pastel + 1 refresco = 2,50, entonces el precio de una porción de pastel se consigue así:

1 refresco

2,50 – 0,75 = 1,75 3,25 – 2,50 = 0,75

Compruebe Como cuarta y última fase, se comprueban los resultados: 1 pastel + 1 refresco = 1,75 + 0,75 = 2,50 1 pastel + 2 refrescos = 1,75 + (0,75 + 0,75) = 3,25 El precio de una porción de pastel de manzana es 1,75 y el de un refresco, 0,75. © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley de Derechos de Autor n.º 6683.

29

Evaluación Selección única. Lea los enunciados y las alternativas que los acompañan (A, B, C, D). Marque con la alternativa correcta. 1. Observe las siguientes expresiones: I.

2+

II. 3, 14 + 1

r

IV. 2, 72 – e

5. Lea las siguientes afirmaciones:

3 3

III.

El 0 es el menor número real.

I.

V. - 41, 78

II. Entre 2 números reales cualesquiera siem-

pre hay un número entero.

De las expresiones anteriores, ¿cuáles corresponden a números irracionales?

III. Todo número racional es mayor que

A) B) C) D)

IV. El opuesto de cualquier número real negati-

uno irracional.

I, II y III. I, III y IV. II, III y IV. III, IV y V.

vo es mayor que 0.

De las afirmaciones anteriores, ¿cuál es verdadera?

2. El número -2,72 pertenece al conjunto

numérico llamado A) B) C) D)

A) B) C) D)

Enteros . Naturales. Racionales. Irracionales.

6. Un número irracional que se ubica entre los

3. Observe los siguientes números: I.

números 2 y 3 es el siguiente: A) 2 . B) 3 . C) 7 .

II. 2, 7

81

III.

18

IV.

D)

2r

7. El número irracional

se ubica entre los siguientes números naturales. A) B) C) D)

I. II. III. IV.

4. Una aproximación decimal del número

2

26

30

2,6. 5,1. 10,2. 26,2. © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley de Derechos de Autor n.º 6683.

20

2 y 3. 3 y 4. 4 y 5. 5 y 6.

8. Los números 1, 25 ;

es la siguiente: A) B) C) D)

10 .

r

Un número real que NO es racional está identificado con el número A) B) C) D)

I. II. III. IV.

25 ; 0, 3 pertenecen 4

conjunto de los números A) B) C) D)

enteros. naturales. racionales. irracionales.

al

Respuesta corta. Complete según lo indicado en cada caso. 1. Escriba, en los recuadros, la letra que corresponde a cada número real, según el lugar que ocupa en

la recta numérica. A.

- 3r 4

-2,5

B.

-2

-1,5

6

-1

-7 8

C.

-0,5

0

2 5

D.

0,5

1

1,5

2

2,5

2. Escriba una aproximación con 2 decimales para cada operación. 3

a.

27 –

50 +

12 +

8

c.

2

b.

54 –

24

–

45 +

125

d.

10

-5

:

12

3

'

25 – 8 8

3 +

3

8

3

21

Desarrollo.

Exprese, en forma decimal, una aproximación del área de cada figura. • Debe aparecer la operación combinada mediante la cual pudo obtener la respuesta. 1.

2.

2+ 3

2

3. 3

3 8 –

5 –

2 2

6 +

2

3

3 30

2 3 6

2 –

3

2

Ejecute los procedimientos respectivos para resolver el problema. 1. Francisco quiere colocar 3 hileras de alambre eléctrico al rededor de un lote de forma rectangular

que mide aproximadamente 25 3 m de largo y 18 2 m de ancho. Si en el lugar donde comprará el alambre solo venden metros completos, ¿cuál es la menor cantidad de metros que debe comprar?


31

Capítulo 2

Prefijos del Sistema Internacional de Medidas I Habilidades específicas 1. Utilizar los prefijos del

Sistema Internacional de Medidas para representar cantidades muy grandes. 2. Utilizar la calculadora o

software de cálculo simbólico como recurso en la resolución de problemas que involucre las unidades.

Lea la situación problema La distancia de la Tierra a la luna es de aproximadamente 300 000 km y la distancia de la Tierra al Sol es aproximadamente 500 veces la distancia entre la Tierra y la Luna. ¿Cuál es la distancia aproximada, en kilómetros, de la Tierra al Sol?

Analice • •

¿Cuál operación le permite resolver el problema? ¿Cree que el número que obtendrá será muy grande o muy pequeño?

Resuelva

Responda

Números muy grandes Para expresar números muy grandes, como el del problema anterior, se pueden utilizar los prefijos del Sistema Internacional de Medidas. De esa forma, la distancia de la Tierra al Sol sería 150 gigámetros (Gm).

Recursos TIC Para resolver problemas que involucren números muy grandes o muy pequeños puede usar la calculadora o algún software adecuado.

– Compruebe los resultados de la actividad 1 de la siguiente página utilizando un conversor en línea. 32

Los prefijos se escriben seguidos de la unidad de medida que se esté utilizando. En el caso anterior, como se refería a distancia, entonces la unidad es el metro. Los prefijos más utilizados para números muy grandes son los siguientes: Prefijo Símbolo deca da hecto h kilo k mega M giga G


Valor 10 (101) 100 (102) 1000 (103) 106 109

Prefijo Símbolo Valor tera T 1012 peta P 1015 exa E 1018 zetta Z 1021 yotta Y 1024

Conectar con…


Ciencias

Resolver el problema utilizando prefijos del SI. Ricardo debe registrar la masa de los camiones que ingresan a la zona de pesaje en una carretera. Hoy han ingresado 3 camiones con las siguientes masas: 1 000 000 g, 1 500 000 g y 2 000 000 g. Pero el espacio que tiene para anotar la masa es muy pequeño. ¿De qué otra manera podría anotar las masas de esos 3 camiones utilizando menos dígitos? •

Se convierte a una unidad mayor. Para eso se observa la cantidad de ceros de los números y se elige el prefijo más adecuado. En este caso, como tienen entre 5 o 6 ceros utilizamos el prefijo mega. Así:

Los prefijos del SI son muy aplicados en diferentes campos de la ciencia, por ejemplo, para expresar el tamaño de algunas células o para medir distancias entre planetas.

– Exprese la distancia de Plutón al Sol utilizando un prefijo del SI, si se sabe que la distancia en metros es igual a 5 590 000 000 000.

1 000 000 g = 1 Mg 1 500 000 g = 1,5 Mg 2 000 000 g = 2 Mg



Complete la tabla según las medidas dadas. 1.

Equivalencias

La masa aproximada de la Luna es 73,5 Yg y la de Mercurio, 330 000 Zg. ¿Cuál es la diferencia de masa entre esos 2 componentes del sistema solar?

Unidad con prefijo

Unidad simple 8000 m

km

2 000 000 000 000 g

Tg L

Recuerde que debe expresar las medidas en la misma unidad para poder trabajar con ellas.

7 Gl

225 L

hl m

3 Ym

g

11 Pg

3.

652 L

dal

44 000 000 g

Mg m

9 800 000 000 000 000 000 L

5,5 Zm

La velocidad de a la que viaja la luz es aproximadamente 300 000 000 m . Si el Sol está s aproximadamente a 150 Gm de la Tierra, ¿cuál es el tiempo aproximado que tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra?

El


33

Prefijos del Sistema Internacional de Medidas II Habilidades específicas 1. Utilizar los prefijos del Sistema Internacional de Medidas para representar cantidades muy pequeñas. 2. Utilizar la calculadora o software de cálculo simbólico como recurso en la resolución de problemas que involucre las unidades.

Lea la situación problema En un microscopio se observa una bacteria para registrar su longitud aproximada. El resultado obtenido es que la longitud de la bacteria es igual a la millonésina parte de 12 m. ¿Cuál es la medida aproximada de la bacteria en metros?

Analice • •


Resuelva

Responda

Números muy pequeños

Richard Feynman (192181988) es considerado como uno de los pioneros en el estudio de la nanotecnología. La nanotecnología es un área de las ciencias vinculada con la manipulación de la materia en partículas extremadamente pequeñas. Importantes aplicaciones se han ido desarrollando en diferentes campos como la tecnología, la medicina, la ingeniería, entre otros. 34

Para expresar números muy pequeños, como el del problema anterior, se pueden utilizar otros prefijos del Sistema Internacional de Medidas. De esa forma, la longitud de la bacteria sería aproximadamente 1,2 micrómetros ( n m). Los prefijos se escriben seguidos de la unidad de medida que se esté utilizando. En el caso anterior, como se refería a longitud, entonces la unidad es el metro. Los prefijos más utilizados para números muy pequeños son los siguientes: Prefijo Símbolo deci centi mili micro nano

d c m n

n


Valor 10 (10-1) 100 (10-2) 1000 (10-3) 10-6 10-9

Prefijo Símbolo Valor pico femto atto zepto yocto

p f a z y

10-12 10-15 10-18 10-21 10-24

Conectar con…


Biología

Resolver el problema utilizando prefijos del SI. Carlos debía investigar la longitud aproximada de un nucleótido y expresarla utilizando uno de los prefijos del Sistema Internacional de Medidas. Él observó, en un libro, que la longitud aproximada es de 0,00000000034 m. ¿De qué manera puede Carlos expresar esa longitud utilizando menos cifras y uno de los prefijos indicados? •

Se convierte a una unidad menor. Para eso se observa la cantidad de ceros del números y se elige el prefijo más adecuado. En este caso, como tiene 10 ceros utilizamos el prefijo nano. Así: 0,00000000034 m = 0,34 nm

Los elementos de una especie marina llamada Hexastylus triaxonius tienen las siguientes medidas aproximadas: Diámetro de la teca: 92 µm. Longitud de las espinas mayores: 74 µm. Longitud de las espinas menores: 12 µm.

– Exprese, en milímetros, el diámetro de la teca, la longitud de la espina mayor y la longitud de la espina menor.



Complete la tabla según las medidas dadas. 1.

La masa aproximada de un átomo de carbono es de 0,02 yg. ¿Cuántos átomos hay aproximadamente en 1 mg de carbono?

Equivalencias Unidad con prefijo

Unidad simple 0,005 m

mm

0,000000000008 g

pg L

7 nl

0,412 g

cg m

9 ym

g

11 fg

0,96 L

dl

0,0000022 g

ng

m 0,000000000000000098 L

Recuerde que debe expresar las medidas en la misma unidad para poder trabajar con ellas.

0,3 zm

3.

El peso aproximado de un protón es de 0,17 zg, ¿cuál es el peso aproximado de un millón de protones?

4.

La longitud aproximada de un leucocito es de 8 n g y la de un eritrocito, 75 nm, ¿cuál es la diferencia aproximada entre esas longitudes?

ag


35

Teorema de Pitágoras Habilidades específicas 1. Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas en diferentes contextos. 2. Encontrar la distancia entre 2 puntos en el plano cartesiano, aplicando el teorema de Pitágoras.

Lea la situación problema Josué camina 4 kilómetros, en línea recta, hacia el este para ir de su casa a la iglesia y la casa de Adriana está 3 km al sur de la misma iglesia. Si la ubicación de las casas se representa en un diagrama como el de la derecha, ¿cuál es la distancia aproximada entre la casa de Josué y la de Adriana?

3

J

2 1 A -1

-1

1

2

3

4

Analice •

• •

¿Cuál de las líneas punteadas, en la figura de arriba, representa el dato que se desea averiguar? ¿Esa línea es más larga o más corta que las otras? ¿Cuál podría ser la medida aproximada de esa línea?

Resuelva

Responda

Relación entre los lados de un triángulo rectángulo Ángulo recto Mide 90˚.

Recuerde Un triángulo rectángulo es aquel en el que uno de sus ángulos internos es recto, es decir, mide 90º. 36

Catetos Son los 2 lados que forman el ángulo recto.


Hipotenusa Es el lado opuesto al ángulo de 90˚.

Teorema de Pitágoras El teorema de Pitágoras establece que, en todo triángulo rectángulo, se cumple la siguiente relación: La suma de los cuadrados de las medidas de los catetos es igual al cuadrado de la medida de la hipotenusa.

c

a

a2 + b2 = c 2

b

El teorema de Pitágoras se puede usar para hallar la medida de un lado de un triángulo rectángulo si se conocen las de los otros 2 lados. Si c es la medida de la hipotenusa, y a y b las de los catetos, entonces se cumplen las siguientes igualdades: 2

a=

c – b

2

b=

2

c – a

2

c=

2

a +b

Razonar y argumentar El enunciado del teorema de Pitágoras puede ser demostrado por medio de representaciones geométricas.

– Busque, en Internet, una demostración geométrica del Teorema de Pitágoras. – Represente, mediante dibujos o con material concreto, la demostración del teorema.

2

Observe que en los 2 casos para averiguar la medida de un cateto se debe restar la hipotenusa menos el cateto conocido, nunca al revés. Mediante el teorema de Pitágoras se puede dar solución a situaciones de la realidad que representan mediante un triángulo rectángulo. En el problema de la página anterior se puede conocer la distancia (d) entre la casa de Josué y la de Adriana así: d =

4

2

+ 3

2

=

16 + 9 =

25 = 5

Eje transversal Ejercicios resueltos 1 Hallar la medida desconocida en cada triángulo rectángulo. Solución

a. h 6 cm 8 cm Así la medida desconocida es 10 cm. b.

15 mm x 13 mm

2

2

h=

6

h=

36 + 64

h=

100 = 10

+8

Solución 2

2

h=

15 – 13

h=

225 – 169

h=

56

.

7, 48

De esa manera obtenemos que la medida del lado desconocido es de aproximadamente 7,48 mm.

El hacer deporte es un factor de gran importancia para mantener una buena salud. Pequeñas acciones, como caminar cuando vamos a la Iglesia, a la pulpería o al supermercado pueden generar grandes aportes a nuestra salud.

– Comente con sus compañeros cuáles son sus deportes favoritos. – Elabore una lista, en la pizarra, con ayuda de su profesor, en la que registre la cantidad de horas semanales que cada estudiante del aula dedica a hacer deporte. – Proponga, con sus compañeros, ideas de cómo se podría incorporar el deporte en sus vidas.


37

Actividades


10. Los catetos miden 3 cm y 5 cm.

Compruebe que las medidas de los siguientes triángulos satisfacen el teorema de Pitágoras.

h =

1. 4

8 cm

Determine la medida de la hipotenusa h en cada caso.

11. Los catetos miden 4 cm y 4 cm.

13 cm

h = 12 cm

12. Los catetos miden 32 mm y 24 mm. h =

13. Los catetos miden

2. 3 cm

3 cm 2

3

3 2

2

5

dm y 5 dm.

h =

14. Los catetos miden igual y su suma es 2 m. cm

h =

15. Los catetos se diferencian en 2 cm y el menor mide 6 cm. 3.

h =

13 cm

Determine el valor de x en cada figura.

3 cm

2 cm

16. x

3 cm

Marque con las igualdades verdaderas si r , s y t representan las medidas de los lados de un triángulo como el de la figura.

3 cm

17. x

s

r

x =

4 cm x =

6 cm t

18. 1 2

2

2

7.

t=

s

2

2

8.

t=

s – r

4.

r=

s – t

5.

s =

r – t

2

2

2

+ r

2

6

m

x

20 m

6. 38

s =

2

2

t – r

9.

r=

t

2

+ s

2


x =

19.

24.

22 mm

13 mm

x

x

12 mm

5 8

x =

6 mm

6 mm

x =

20. 6

24 cm

65 cm

25. David quiere podar un árbol que tiene un tronco de 7 m de altura. Para ello coloca una escalera a 1 m de distancia del árbol. ¿Cuál es el largo de la escalera?

x

x =

21. 5

1 0

m c

26. Las pulgadas de un televisor corresponden a la medida, en pulgadas, de la diagonal de la pantalla, como se muestra en la figura de la derecha. ¿De cuántas pulgadas es un televisor si su largo mide 16 pulg y su ancho 12 pulg?

26 cm

7

x

x =

27. Una escalera de 3 m se coloca contra una pared. Si la distancia de la base de la escalera a la pared es 1 m, ¿a qué distancia se encuentra la parte más alta de la escalera en relación con el suelo?

A

22. 2


3 cm

x

B

C

x =

28. Tres árboles se encuentran alineados. La distancia entre los árboles B y C es de 30 m. Si la distancia AD mide 87 m y la altura del árbol C es de 39 m, ¿cuál es la distancia entre los árboles A y B? ¿Cuál es la medida de BD? D

23. A

D c m

5

B

2

x

C A

B

C

x = © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley de Derechos de Autor n.º 6683.

39

Recuerde Los triángulos se clasifican según la medida de sus ángulos internos en: acutángulo, rectángulo y obtusángulo. Los acutángulos son los que tienen todos sus ángulos internos agudos, los rectángulos son los que tienen un ángulo interno recto y los obtusángulos son los que tienen un ángulo interno obtuso.

Clasificación de triángulos Mediante el recíproco del teorema de Pitágoras se puede establecer si 3 medidas dadas corresponden, o no, a las medidas de los lados de un triángulo rectángulo. El recíproco del teorema de Pitágoras establece lo siguiente: Si a, b y c son las medidas de un triángulo y c 2 = a2 + b2, entonces el triángulo es rectángulo y su ángulo recto es opuesto al lado de mayor longitud (c ). •

•

•

Plantear y resolver problemas Generar los datos de un problema es de gran ayuda para la comprensión del contenido involucrado.

– Anote, en un trozo de papel, un problema que se resuelva aplicando el teorema de Pitágoras. – Intercambie su problema con el de alguno de sus compañeros y resuélvalo.

Las tripletas de medidas que cumplen la propiedad anterior se llaman ternas pitagóricas. Si a, b y c son las medidas de un triángulo con c mayor que a y b y c 2 a 2 + b2, entonces el triángulo es acutángulo. Si a, b y c son las medidas de un triángulo con c mayor que a y b y c 2 a 2 + b2, entonces el triángulo es obtusángulo.

Ejercicios resueltos 2 Identificar a qué tipo de triángulos corresponden cada grupo de medidas. a. 5 cm, 5 cm y •

2 cm.

5

Como 5 2 cm es la mayor medida, se compara ^5 con 5 2 + 5 2 . ^5 5

•

2

2

2h = 5 + 5

2

2 :

^

2

2h

2

2 h = 25 2 = 50 :

= 25 + 25 = 50

Como ambas expresiones dan 50; entonces, 5 cm, 5 cm y 5 2 cm corresponden a las medidas de los lados de un tr iángulo rectángulo. Además, se puede decir que 5 cm, 5 cm y 5 2 cm es una terna pitagórica.

b. 7 cm, 8 cm y 12 cm. •

Como 12 cm es la mayor medida, se compara 122 con 82 + 72. 2

12 = 144 2

2

6 + 7 = 36 + 49 = 85

•

40

Como 144 > 85, entonces 7 cm, 8 cm y 12 cm corresponden a las medidas de los lados de un triángulo obtusángulo.



39.

Marque con

40.

las ternas pitagóricas

29.

1 cm 3

30.

15 cm 3

31.

3

32.

,

2 cm 3

,

2 cm 5

8

cm

,

3

5 cm

y

5

2 cm

y

6

15

,

3

y

cm

8

cm

y

.

5 cm

3

.

6 cm

5 cm 4

.

•

Anote las medidas en el triángulo,

según corresponda. 33.

3 cm,

34.

2

3

35.

2

3

2

3

cm y

3

3 2

3 2

42.

3 cm, 5 3

3 4

3

3 2

dm,

2 mm y 2 mm. 11

cm y

cm y 5 3

3

3 2

2

7

cm.

cm.

dm y 2 dm.

4,6 cm, 5 5 cm y 8 cm.

Conteste las preguntas según la información del recuadro. Las medidas de los lados de un triángulo deben cumplir la desigualdad triangular. Para verificar la desigualdad triangular, basta con que la suma de las medidas de 2 lados sea mayor que la medida del tercer lado.

cm.

cm, 3 cm y 3 cm. cm,

mm,

13 cm,

44.

Encierre las medidas correspondientes al triángulo de la figura.

1 2

41.

43.

.

2 m, 3 m y 4 m.

cm y 4 cm.

Los 2 lados menores de un triángulo miden 5 cm y 3 cm.

Clasifique las ternas dadas según se indica. • Anote una R si es un triángulo rectángulo, una O si es obtusángulo o una A si es acutángulo.

45. ¿Cuál puede ser la medida del tercer lado si el triángulo es acutángulo?

35.

2 cm, 8 cm y 7 cm.

46. ¿Cuál puede ser la medida del tercer lado si el triángulo es obtusángulo?

36.

10 mm, 6 mm y 8 mm.

37.

30 dm, 21 dm y 15 dm.

38.

2

5

47. ¿Cuál es la medida del tercer lado si el triángulo es rectángulo?

cm, 5 cm y 5 cm.


41

Resolución de problemas 48. Para proteger del viento 2 arbustos del patio de su casa, doña Nuria clavó una estaca en el suelo y los sujetó con cuerdas, como se muestra en la ilustración. De acuerdo con las medidas dadas, ¿qué tipo de triángulo se forma con las cuerdas?

90 cm 5 6 c m

49. Juan quiere dibujar un triángulo en el que la suma de las medidas de los lados sea 12 cm. Si quiere que el lado mayor mida 5 cm y que el triángulo sea acutángulo, ¿cuáles pueden ser las otras 2 medidas de los lados del triángulo?

50. Cecilia quiere construir en su finca un corral para tener sus conejos, que sea de forma cuadrada. Ella quiere utilizar una valla que cuesta 1275 cada metro. Si quiere que la diagonal mida 10 2 m, ¿cuánto le costará comprar el material para el corral?

c m 4 5

Utilice la estrategia de la página 45 para resolver el problema 50.

Distancia entre 2 puntos en el plano Dadas las coordenadas de 2 puntos en el plano se puede calcular la distancia entre ellos utilizando la fórmula que se describe abajo. Sean los puntos A (a1, b1) y B ( a2, b2).

Conectar con…

Números

La distancia (d) entre A y B se calcula así:

El teorema de Pitágoras puede ser aplicado para la representación de números irracionales en la recta numérica. Por ejemplo para representar 2 siga los pasos descritos:

– Trazar sobre la recta un triángulo rectángulo en el que sus catetos midan 1. – Se calcula la medida de la hipotenusa con el teorema de Pitágoras. – Trazar, con un compás, un arco de radio igual a la hipotenusa y centro en 0.

d=

Ejercicio resuelto 3 Calcular la distancia (d) entre los puntos C y D dados. C (2, -1) D (4, 5).

42

2

2

2

d =

(2 – 4 ) + (- 1 – 5)

d =

4 + 36

d =

40

d = 2

1

2

De esta manera, dados 3 puntos en el plano, también se puede saber a qué tipo de triángulo corresponden esos vértices. Ya sea según la clasificación por la medida de sus lados o por la medida de sus ángulos.

2 0

2

(a1 – a2) + (b1 – b 2)

10

Así, la distancia entre C y D es


2

10 .

2

Recuerde

Ejercicio resuelto 4 Clasificar el triángulo que corresponde a los vértices dados (A, B, C), según la medida de sus lados y de sus ángulos. A (2, 3), B (5, 3) y C (5, 0). •

•

Primero se calculan las distancias entre cada par de puntos. 2

2

2

2

2

2

Entre A y B

d 1 =

(2 – 5) + (3 – 3) = 3

Entre B y C

d 2 =

(5 – 5) + (3 – 0 ) = 3

Entre A y C

d 3 =

(2 – 5) + (3 – 0 ) = 3 2

Los triángulos se clasifican según la medida de sus lados en: equilátero, isósceles y escaleno. Los que tienen todos sus lados de igual medida se clasifican como equiláteros, los que tienen 2 lados iguales, son isósceles y los que tienen todos sus lados de diferente medida, se clasifican como escalenos.

Para identificar qué tipo de triángulo es, según la medida de sus lados calculamos lo siguiente: ^3

2

^3 h2 + ^3 h2 = 18

2 h = 18

Como los resultados son iguales, el triángulo es rectángulo. •

Además, como las medidas de 2 lados son iguales y una es diferente, el triángulo es isósceles.


Anote la clasificación de los triángulos que se definen con cada tripleta de vértices dados, según la medida de sus lados y la medida de sus ángulos.

Calcule la distancia entre cada par de puntos dados. 51.

A (5, 37)

y B (22, 33) .

52.

C (-2, 15)

y

53.

E (4, -1)

y F (21, 7) .

54.

G (10, 3)

y

55.

I (3, 1)

y J (3, -13) .

D (6, 15)

H (-8, 0)

.

.

56.

K (-5, -9)

57.

M (-16, 7) y N (-12, 8) .

58.

O (11, -1) y P (7, -15) .

y L (-2, -1) .

59. A (1, 1), B (1, 6) y C (6,1)

60. A (-3, -3), B (-1, -7) y C (-5, -7)

61. A (-4, 2), B (-2, 6) y C (-7, 2)

62. A (0, 0), B (4, 0) y C (2, - 2

3

)

63. A (0, 0), B (0, -11) y C (5, 0)


43


Determine el valor de x, y, z y w según la figura dada. 1m

Compruebe si las siguientes medidas corresponden a ternas pitagóricas. •

1m

1m

Si no es una terna pitagórica, indique a qué

x

tipo de triángulo corresponde.

y

64. 6 dm, 8 dm, 10 dm

1m

z

1m

w

65. 2,4 cm; 3,2 cm; 4 cm

66.

70. x =

72. z =

71. y =

73. w =

Determine la medida del radio r de la circunferencia si el triángulo tiene uno de sus vértices en el centro O de la circunferencia.

3 m, 3 m, 4 m

4

67. 2,9 dm, 2 dm, 3 dm

6 m

6 m

r r

68. 16 dm, 16 dm,

16

2

dm

O

69. 2 2 m, 1 m, 2 m 74. r =

Evaluación por proyectos Prepare, con 4 compañeros, una exposición sobre los triángulos especiales. 75. Investiguen, en libros o en Internet, acerca de las características de los triángulos especiales.

77. Agreguen 3 posibles ventajas que se tienen al conocer los triángulos especiales en la solución de problemas.

76. Utilicen cartulinas o papel periódico para presentar la información más importante sobre cada tipo de triángulo.

78. Presenten su trabajo al resto del grupo.

•

44

Incluyan figuras y ejemplos.

79. Coloquen el material de la exposición en un lugar visible en el aula.


Estrategias para resolver problemas Representar gráficamente los datos de un problema Mónica elaboró una pintura de forma rectangular para regalársela a su hermana. Para decorarla le pegó un cordón de colores alrededor. Si la diagonal de la pintura mide 37 cm y el largo del rectángulo 35 cm, ¿cuántos centímetros de cordón utilizó Mónica en total?

Comprenda La pintura que elaboró Mónica tiene forma de rectángulo. Se conocen 2 datos, la diagonal del rectángulo y su largo. El dato que se debe averiguar es la cantidad de centímetros de cordón que utilizó en el borde de la pintura, es decir, el perímetro.

Planifique Se trazará el rectángulo y su diagonal para colocar los datos que se conocen. Se observan las figuras obtenidas y se busca alguna fórmula que permita hallar los datos desconocidos. Se resuelven las operaciones necesarias.

Resuelva Se representa la situación. Se llama con x al dato desconocido. x

Al trazar la diagonal del rectángulo se forman 2 triángulos rectángulos. Se puede aplicar el teorema de Pitágoras para calcular el valor del ancho del rectángulo. Se calcula el perímetro (P) del rectángulo.

2

x

=

37

x

=

144

x

= 12

–

35

2

3 7 c m

35 cm

P = 35 + 35 + 12 + 12 = 94

Por lo tanto, Mónica utilizó 94 cm de cordón para pegar alrededor de la pintura.

Compruebe Para comprobar que el dato encontrado sea correcto, se verifica que las medidas sean una terna pitagórica. 372 = 1369 y 122 + 35 2 = 1369 Como los resultados obtenidos son iguales, las medidas sí corresponden a una terna pitagórica. Así se comprueba que el perímetro del rectángulo es 35 + 35 + 12 + 12 = 94. © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley de Derechos de Autor n.º 6683.

45

Capítulo 3

Grados y radianes Habilidad específica 1. Convertir medidas angulares de grados a radianes y viceversa.

Lea la situación problema El radio de una piscina de forma circular mide 15 m. Manuel nadó junto al borde de la piscina hasta recorrer la tercera parte de su perímetro. ¿Cuántos metros nadó Manuel en total?

15 m

Analice • •

Recuerde La fórmula para calcular la longitud de una circunferencia de radio r es 2rr .


Resuelva

Responda

Medida de ángulos en radianes La unidad que se ha estudiado hasta ahora para la medición de ángulos es el grado. Sin embargo, existe otra unidad llamada "radián". Su abreviatura es rad. Un radián es la medida de un ángulo central de una circunferencia que subtiende un arco de longitud igual a la del radio de esa circunferencia. Como la medida del radio de la circunferencia de la derecha es r y la longitud del arco que subtiende el AOB es r , entonces m AOB = 1 rad.

r

A

r O 1 rad r

B

En el problema de arriba, el ángulo central subtiende un arco que mide 2r 3 55 cm. Entonces la medida, en radianes, del ángulo central correspondiente a ese arco es a 2r 3: 55 ' 55 k rad = 23r rad . :

Recuerde Un ángulo central es un ángulo determinado por 2 radios de la circunferencia, en el que el vértice es el centro de la circunferencia. 46

Como la longitud de una circunferencia de radio r es 2rr . Esto significa que en la circunferencia se pueden trazar 2 r veces arcos cuya longitud sea la misma que la de su radio. Por lo tanto, el ángulo central completo (de 360°) de una circunferencia mide 2 r rad. Y el ángulo central de una semicircunferencia (de 180º) mide r rad.


Representar

A partir de la igualdad 180º = r rad, se pueden plantear las siguientes fórmulas para realizar conversiones de grados a radianes y viceversa.

Para observar la relación entre la medida de los radios y el arco que subtienden estos, en un ángulo cuya medida es un radian, puede hacer la siguiente construcción:

Conversión de grados a radianes : r

medida en radianes =

180 º

:

medida en grados

Conversión de radianes a grados : medida en grados =

180 º

r

:

– Recorte, en cartulina, 2 círculos de diferente color. – Exprese, en grados, la medida 1 rad. – Recorte, en uno de los círculos, un ángulo central según la medida en grados que obtuvo en el paso anterior. – Pegue ese ángulo sobre la otra circunferencia. – Mida los radios que determinan el ángulo y la longitud aproximada del arco. – Comente a qué conclusión puede llegar con eso.

medida en radianes

Ejercicios resueltos 1 Realizar las siguientes conversiones: a. Expresar 150º en radianes. 150º =

b

r 180 º

:

150 º

l rad

150º = 56r rad b. Expresar

4r 5

4r 5

rad =

4r 5

rad =

rad en grados.

180 °

r

:

4r 5

720 ° = 144 º 5

Actividades Desarrolle todas las actividades en su cuaderno y anote las respuestas en el libro. 1.

3.

Explique el procedimiento para convertir radianes a grados.

Defina, con sus propias palabras, qué es un radián. Complete las siguientes igualdades:

2.

Explique el procedimiento para convertir grados a radianes.

4.

120º =

rad

5.

30º =

rad

6.

°=

7.

°=

r

2

rad

7r rad 3


47

8.

80º =

rad

9.

100º =

rad 3r rad 4

10.

º=

11.

º = 4r rad

Escriba la medida en radianes de los ángulos representados. 12.

2r

Escriba la medida, en radianes, de un ángulo central de una circunferencia para cada uno de los siguientes casos: 15. El ángulo central subtiende un arco que mide 5 veces la medida del radio de la circunferencia.

16. El ángulo central subtiende un arco que mide las 32 partes de la medida del radio de la circunferencia.

Calcule el valor en grados de un radián.

i

r

17. 1 rad = Convierta a radianes las siguientes medidas de ángulos dadas en grados:

m i=

rad

18. 200º 13.

5r 6

r

19. 135º i

20. 1300º

r

21. 310º m i=

rad

22. 50º 14. 5r

23. 1º i

r

24. 210º

m i=

48

rad

25. 160°


37.

26. 15º

27.

98º

38.

4r 9

39.

13 r 15

40.

3r 8

28. 108º 41. 29. 80°

30.

7r 10

rad

31.

5r 4

rad

32.

17 r 12

r

rad

9 rad

una circunferencia. Si cada ángulo central del polígono mide 3r rad, ¿cuántos lados tiene ese polígono?

43. Mariana hizo otro polígono regular inscrito

en una circunferencia. Si cada ángulo central del polígono mide 29r rad, ¿cuántos lados tiene ese polígono?

rad

rad

44. En un triángulo, 2 de sus ángulos internos

miden 9r y 23r . ¿Cuál es la medida, en grados, de los 3 ángulos internos del triángulo?

35. 7 rad 36.

rad

42. Gerardo hizo un polígono regular inscrito en

33. 10 rad 12

rad


Convierta a grados las siguientes medidas de ángulos dadas en radianes:

34.

1 rad

r

6 rad

Evaluación por proyectos Elabore un pequeño cartel en el que incluya las 2 unidades de medida de ángulos estudiadas. 45. Anote, con sus propias palabras, la defini-

47.

ción de grado y la de radián. •

Mencioné en qué casos es más común utilizar cada tipo de medida.

Investigue sobre el grado sexagesimal. 48. Pegue el cartel en una pared del aula para

46. Incluya las fórmulas que se utilizan para

hacer conversiones entre ambas unidades.

formar un mural con los trabajos de los demás compañeros.


49

Trigonometría I Habilidades específicas 1. Aplicar las razones trigo-

nométricas básicas (seno, coseno, tangente) en diversos contextos. 2. Aplicar las relaciones

entre seno, coseno y tangente. 3. Resolver problemas que

involucren las razones trigonométricas y sus propiedades. 4. Aplicar que la suma de

los cuadrados del seno y coseno de un ángulo es 1. 5. Plantear problemas con

textualizados que utilicen razones trigonométricas para su solución.

Lea la situación problema Una escalera se apoya de una pared como se muestra en la imagen de la derecha. ¿Cuál es la altura de la pared a la que se encuentra apoyada la escalera? ¿Cuáles podrían ser los valores de los ángulos a y b ?

b

3m

h a

1,5 m

Analice • •

•

¿Mediante cuál teorema se puede calcular el valor de h? Según la relación entre las medidas del triángulo formado, ¿se puede afirmar que es un triángulo especial? ¿A cuál triángulo especial corresponde?

Resuelva

Responda

Razones trigonométricas básicas Cateto opuesto y adyacente en un triángulo rectángulo

El Canadarm 2 es un brazo robótico que se encuentra en el espacio. Para controlar sus movimientos se requiere el uso de algunos fórmulas y resultados relacionados con la trigonometría. 50


Si a es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, el cateto que está en uno de los lados de a se llama cateto adyacente a a . El cateto que NO está en uno de los lados de a se llama cateto opuesto a a .

El seno de un ángulo agudo a en un triángulo rectángulo se denota por sen a y se define así: cateto opuesto a a sen a = hipotenusa

Seno

Razonar y argumentar Las razones trigonométricas se relacionan entre sí y a través de estas relaciones se establecen algunas identidades llamadas "identidades tri gonométricas". Por ejemplo, una identidad que relaciona el seno y el coseno es la siguiente: sen2 x + cos2 x = 1. Esa identidad puede ser obtenida como un resultado del teorema de Pitágoras.

El coseno de un ángulo agudo a en un triángulo rectángulo se denota por cos a y se define así:

Coseno

cos a =

cateto adyacente a a hipotenusa

La tangente de un ángulo agudo a en un triángulo rectángulo se denota por tan a y se define así: cateto opuesto a a tan a = cateto adyacente

Tangente

Los valores de las razones trigonométricas de un ángulo no varían al cambiar las longitudes de los lados del triángulo. Si A y B son ángulos correspondientes de triángulos semejantes, entonces se cumple lo siguiente: sen A = sen B

cos A = cos B

tan A = tan B

Ejercicios resueltos 1 Determinar las razones trigonométricas básicas de los ángulos a y b según el triángulo dado.

5 cm

3 cm

a. Razones trigonométricas del ángulo a .

sen a =

3 5

cos a =

4 5

4 cm

3 4

tan a =

b. Razones trigonométricas del ángulo b .

sen b =

4 5

cos b =

3 5

tan b =

4 3

– Forme un grupo de 4 personas para comprobar la identidad mencionada. – Dibujen un triángulo rectángulo, en el que sus catetos midan a y b y su hipotenusa, c , y uno de sus ángulos agudos sea i . – Planteen las razones trigonométricas, seno y coseno para el ángulo i . – Despejen, en las razones anteriores, los valores de a y b. – Planteen el teorema de Pitágoras con las medidas del triángulo, pero sustituyendo los valores a y b, por los despejados en el paso anterior. – Simplifiquen la expresión obtenida y observen el resultado.

Ejercicio resuelto 2 Comparar las razones trigonométricas de los ángulos en 2 triángulos semejantes. m 2 4

C 2 6 m

B sen A = sen R =

1 0 m

A

12 13

5 cos A = cos R = 13 tan A = tan R =

12 5

R m 5

S

1 3 m

12 m

T


51

Para el ejercicio 15 utilice el teorema de Pitágoras y las siguientes relaciones métricas: JM2 = LM : KM JK 2 = KL : KM

11.

16 cm

8 cm

J

15.

sen a

sen b

cos a

cos b

tan a

6 cm M

tan b L

12.

10 cm

K

8 cm

c m 1 0

sen i

cos i

cos b

tan a sen a

sen a

sen b

sen b

cos a

cos b

tan i

tan a

tan b


16. En un triángulo 3 ABC, que es rectángulo en B, la hipotenusa mide 5 cm y cada cateto

2 cm

mide 4 cm. ¿Cuáles son el seno, el coseno y la tangente de los ángulos A y C ? 3 cm sen a

sen b

cos a

cos b

tan a

tan b

17.

En un triángulo 3 ABC, que es rectángulo en B, la hipotenusa mide 8 cm y el cateto opuesto a C mide 6 cm. ¿Cuáles son el seno, el coseno y la tangente de los ángulos A y C ?

18. El perímetro del rectángulo 4ABCD es

14. 5 5 2

cm

2 2

48 cm. Si uno de los lados del rectángulo mide el triple del otro, ¿cuáles son el seno, el coseno y la tangente del ángulo a ?

cm

A

sen a

sen b

cos a

cos b

tan a

tan b

B

D

a

C


53

Recursos TIC Para obtener los valores de las razones trigonométricas de un ángulo dado se puede utilizar la calculadora científica CASIO fx-570ES. Para esto solo se presiona la tecla de la razón que se desea calcular y se digita el valor del ángulo. También se puede utilizar la calculadora para determinar la medida de un ángulo agudo si se conoce el valor de alguna de sus razones trigonométricas. Para esto se utiliza la tecla shif, seguida de la razón dada y el valor.

– Calcule el valor de tan 60º. Para eso presione la tecla tan y escriba dentro del paréntesis el valor del ángulo dado. Luego presione la tecla =. – Determine el valor de un ángulo agudo a si se sabe que cos a = 0,5. Para eso se presionan las teclas shift y cos, y se coloca dentro del paréntesis el valor de la razón dada. Luego presione la tecla =.

Aplicaciones de las razones trigonométricas Cálculo de la medida de un lado de un triángulo rectángulo

Si se conoce la medida de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo y la medida de uno de los lados del triángulo, se pueden usar las razones trigonométricas para determinar las medidas de los otros lados. Para eso se dan los siguientes pasos: Se identifica cuál razón trigonométrica involucra los datos que se conocen y el que se desea averiguar. Se plantea la razón trigonométrica como una ecuación lineal y se despeja la incógnita. •

•

Cálculo de la medida de un ángulo de un triángulo rectángulo

Las razones trigonométricas seno, coseno y tangente también se pueden usar para calcular la medida de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo si se conoce el valor de una de esas 3 razones trigonométricas. Para hallar ese ángulo se puede usar la calculadora científica, como se detalla en la columna izquierda de esta misma página.

Ejercicio resuelto 3 Determinar la medida del lado identificado con x en la figura de la derecha. •

•

En este caso se tiene: – La medida de un ángulo agudo. – El cateto adyacente a él.

x

Se debe determinar el cateto opuesto a él. La razón trigonométrica que relaciona estos elementos es la tangente:

51º 20 cm

tan 51º = x

20

•

Se despeja la incógnita.

x = 20 tan 51º

•

Se calcula el resultado con la calculadora.

x . 24,6 cm

Ejercicio resuelto 4 Determinar el valor del ángulo i . i •

•

Como se tienen los valores del cateto adyacente al ángulo y el de la hipotenusa, se utiliza el coseno.

Se calcula el valor del ángulo i utilizando la calculadora. cos i =

54

1m


1 2

i =

45º

2 m


24. x

Determine el valor aproximado de x y de y en cada caso.

Puede utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la medida del segundo lado en cada triángulo.

y

60º

5

2 2

x

y

Encuentre la medida del ángulo a en cada caso. a

25.

2m

4m 19.

x

m m 5

a

26.

40º

cm

y 6

x

3

a

c m

9 cm

y

a

20. 27.

7 cm

y

2 cm

3

48º x

a

x

3 cm

y

a

21.

y

63º x

Halle las medidas de las diagonales de los siguientes cuadriláteros:

4 cm

28.

x

K

y

32 cm A

22.

C

6 dm

y 70º

72° F

x

AC

x

y

29. M x

23. y

70°

40º 2

Q

30 cm 3 cm

F x

KF

y

P

MP © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley de Derechos de Autor n.º 6683.

55

Calcule el perímetro aproximado de las siguientes figuras: 30.

35. La distancia ( d) sobre la pista, de un avión

que ha recorrido 500 m en vuelo.

6 cm 32º P.

500 m

31.

32° d

10 m P.

58º


32.

2 2 cm

P.

Ariana está en el equipo de baloncesto del colegio. Durante un partido encestó desde la línea de tiro libre. ¿Cuál es la distancia aproximada del centro del aro a la línea de tiro libre ( d)?

43º 15° 3m

1,75 m

4m

33.

P.

55º 37.

10 m

Halle la medida solicitada en cada caso.

Juliana está volando su papalote. Si el hilo se mantiene recto, ¿a qué altura, con respecto al suelo, se encuentra el extremo del hilo que sostiene el papalote?

34. La longitud de la sombra del edificio de 14 m

de altura.

m 2 1

14 m

52º 28°

56


75 cm

38. Unos trabajadores deben subir unas cajas

41.

a una tarima. Para facilitar el trabajo colocaron una rampa que forma, con el suelo, un ángulo de 32º. ¿Cuál es la altura de la tarima? ¿Cuánto mide el largo de la rampa?

Felipe llevó a su hermanito al parque a volar un papalote. ¿A qué altura está el papalote? c m 2 3 5

18º 80 cm

32º 3,5 m

42. El puente de la figura adjunta tiene una altu-

ra de 10 m. ¿Cuál es el largo del puente? 39. Carolina ayudó a cruzar una calle a don

19º

Claudio. Él usa un bastón para evitar obstáculos. ¿Cuál es la longitud del bastón de don Claudio?

43. Un auto sube por una rampa que forma, con

el suelo, un ángulo de 10º, como se ve en la imagen. ¿Qué distancia debe recorrer el auto para elevarse 1,7 m en relación con el suelo?

88 cm 50º

10º 40. Las márgenes de un río son paralelas. Para

atravesar ese río un bote parte del punto A y llega hasta B, como se muestra en la imagen. ¿Cuál es la distancia que recorre el bote en el río? B

44. El perímetro de un rectángulo es de 130 cm.

Si su largo excede al ancho en 15 cm, ¿cuál es la medida de los ángulos agudos en que la diagonal del rectángulo divide cada ángulo recto del cuadrilátero? x + 15

60 m 67º

x

A


57

Actividades integradoras Desarrolle todas las actividades ac tividades en su cuaderno y anote las respuestas en el libro.

Puede utilizar la estrategia de la página 59 para resolver los problemas del 50 al 52.

Determine el valor indicado según cada figura. 45. Calcule x + y.

33 cm

x

37º y

x + y

50. Una persona se encuentra alejada 210 km

46. Determine el valor de x.

24 m

en dirección dirección N 37° O de un pueblo situado a orillas de un río, cuyas aguas corren en dirección E-O. ¿Cuál es la mínima distancia que deberá recorrer para llegar al río? r ío?

x

60º

45º x

47.

51.

Para calcular el área de un terreno, Javier parte de una roca y camina 1000 m en dirección sur, da vuelta hacia N a E y camina 500 m. Desde ese punto camina 750 m en dirección norte y da vuelta en dirección oeste para volver al punto de partida. ¿Qué área tiene el terreno?

52.

Alberto se encuentra a 240 m de su casa en la dirección sureste y César se encuentra a 180 m de la casa de Alberto en la dirección noreste. ¿A qué distancia está Alberto de César.

Determine el valor de x. 45 cm 45 º

3 7º x

x

48. Calcule el área ( A) del trapecio.

8 cm 20 cm 37º

45º

Plantear y resolver problemas

A

Resolución de problemas 49. Un árbol proyecta una sombra de 8 m

cuando los rayos del sol forman un ángulo de 60º con respecto al suelo. ¿Cuál es la altura del árbol?

58


La trigonometría en triángulos rectángulos es un tema de gran aplicabilidad para la resolución de problemas.

– Escriba, en una hoja, 5 problemas que se resuelvan mediante los contenidos estudiados. – Entregue la hoja a su profesor profesor.. – Pídale que reparta las hojas con problemas, al azar entre todos los estudiantes de la clase. – Resuelva los problemas que le dieron.

Estrategias para resolver problemas Utilizar la rosa de los vientos para elaborar una representación Álvaro se encuentra 150 150 m al norte nor te de Maribel y Sandra se ubica al norte 60º oeste en relación con Maribel. Si Además se sabe que Sandra está exactamente al oeste de Álvaro, ¿a qué distancia de Marible se encuentra Sandra?

Comprenda Este problema trata de distancias y direcciones o rumbos. Se conoce la distancia entre Álvaro y Maribel y la ubicación de Sandra respecto a Álvaro y a Maribel. Lo que se debe averiguar es la distancia entre Maribel y Sandra.

Planifique Se representan los datos del problema y se buscan relaciones que aparentemente no se perciben.

NO

N NE E

O

Se usa la rosa de los vientos que señala las direcciones notables de la brújula.

SO

SE S

Resuelva Identificamos los rumbos considerados en el problema y se representan en un plano. • Se ubica a Maribel en el origen y a partir de eso eso

se localiza a Álvaro.

• Se ubica a Sandra respecto a las ubicaciones ubicaciones de

Maribel y Álvaro. N Álvaro

Álvaro está 150 m al norte de Maribel

150 m

O

Maribel

N

Sandra

E

Sandra está al O de Álvaro, y al N 60º O de Maribel

Álvaro 60º 150 m

O

Maribel

S

E

S

Se averigua la distancia entre Sandra y Maribel utilizando una la razón trigonométrica apropiada. En este caso, coseno:

cos 60 º =

150 x

"

x=

150 = 300 cos 60 º

De esa manera se obtiene que Sandra se encuentra a 300 m de Maribel.

Compruebe Para comprobar el resultado calculamos el valor de cos 60º, el cual debe ser igual a 150 . 300

cos 60º =

1 2

y

150 300

=

1 2

Por lo tanto, el resultado obtenido es correcto. © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley de Derechos de Autor n.º 6683.

59

Refuerzo mi competencia matemática Ejercicio resuelto Máquina para procesar números

Un equipo de matemáticos ha diseñado una máquina que procesa números hasta obtener el número áureo (número irracional designado por { = 1,618033989…).

Ingresa la fracción Contador de veces Le suma 1

La invierte

Si introducimos la fracción 12 , ¿qué número sale la primera vez? ¿Cuántas veces como mínimo se debe procesar dicha fracción para que el número áureo se aproxime a las décimas? 1.a vez: 2.a

1 2

vez: 3

3.a vez:

4 3

1 2

-1

a k

+1

(3)-1 + 1 -1

a 43 k

+ 1

4.a vez:

2+1=3 1 3

+1=

3 4

4 3

= 1,333…

+ 1 =

7 4

= 1,75

7 4

-1

a k 7 4

+ 1 -1

5.a vez: 11 7 1,63636…

a k

6.a vez: 18 11 1,6111…

a 18 k 11

11 7

-1

+ 1

+ 1

4 7

+ 1 = 7 11

11 18

11 7

= 1,57…

+ 1 =

+1=

18 11

29 18

=

=

Vemos que el resultado obtenido en la quinta vez, aproximado a las décimas, es 1,6. Para que el número áureo se aproxime a las décimas, se debe procesar la información como mínimo 5 veces.

1.

60

¿Hay un número de vueltas finito para lograr el número áureo con la máquina? A) Sí lo hay. B) Sí lo hay, pero depende de la fracción que reingrese. C) No, aplicando esas operaciones a números racionales es imposible obtener un número irracional. D) No, los números irracionales solo se obtienen al sacar raíces.

2.

Si procesas el número 3, ¿cuál es, aproximadamente, el porcentaje de diferencia con el número áureo luego de 4 veces? A) 25% B) 10% C) 4% D) 1%

3.

Introduce la fracción 32 en la máquina y comienza a procesarla. ¿En qué vuelta se obtiene una aproximación de { a las centésimas?


Síntesis Números irracionales

Teorema de Pitágoras

Los números irracionales son aquellos que NO se pueden expresar como el cociente de 2 números enteros. Algunos números irracionales especiales son: r , e , U .

Enunciado: En todo triángulo rectángulo, la suma

de los cuadrados de las medidas de los catetos es igual al cuadrado de la medida de la hipotenusa. c

a

Para comparar números irracionales expresados en forma radical, se puede estimar el valor decimal por medio de raíces cercanas conocidas.

a2 + b2 = c 2

b

Además, a partir de este teorema se pueden clasificar triángulos según los siguientes criterios: • Si a, b y c son las medidas de un triángulo y c 2 = a2 + b2, entonces es rectángulo.

Números reales Los números reales son la unión de los números racionales y los irracionales. Para ubicar algunos números reales en la recta numérica se utilizan aproximaciones decimales.

Operaciones con números reales Para obtener el resultado aproximado de operaciones que involucran números irracionales se puede utilizar la calculadora. Cuando se escribe una combinación de operaciones en algunas calculadoras, se debe tener en cuenta la prioridad de las operaciones y colocar paréntesis para indicar las que se debe resolver primero.

• Si a, b y c son las medidas de un triángulo con c mayor que a y b y c 2 a2 + b2, entonces el triángulo es acutángulo. • Si a, b y c son las medidas de un triángulo con c mayor que a y b y c 2 a2 + b2, entonces el triángulo es obtusángulo.

También sirve para calcular la distancia ( d) entre 2 puntos A (a1, b1) y B (a2, b2), así: d=

Para convertir grados a radianes y viceversa se utilizan estas equivalencias. • radianes =

Los prefijos más utilizados para números muy grandes y para números muy pequeños son los siguientes:

• grados =

deca (da) = 101 hecto (h) = 102 kilo (k) = 103 mega (M) = 106 giga (G) = 109

• • • • •

tera (T) = 1012 peta (P) = 1015 exa (E) = 1018 zetta (Z) = 1021 yotta (Y) = 1024

• • • • •

deci (d) = 10-1 centi (c) = 10-2 mili (m) = 10-3 micro ( n ) = 10-6 nano (n) = 10-9

• • • • •

pico (p) = 10-12 femto (f) = 10-15 atto (a) = 10-18 zepto (z) = 10-21 yocto (y) = 10-24

2

Grados y radianes

Prefijos del SI

• • • • •

2

(a1 – a2 ) + (b 1 – b 2)

r 180 º

180 º

r

:

:

grados

radianes

Razones trigonométricas En un triángulo rectángulo se establecen las siguientes razones trigonométricas básicas. •

sen a =

cateto opuesto a a hipotenusa

•

cos a =

cateto adyacente a a hipotenusa

•

tan a =

cateto opuesto a a cateto adyacente a a


61

Evaluación Selección única. Lea los enunciados y las alternativas que los acompañan (A, B, C, D). Marque con la alternativa correcta. 1. La cantidad de gramos a la que equivalen

8. La cantidad de metros a la que equivalen 0,6

5 Mg es la siguiente:

microgramos es la siguiente:

A) B) C) D)

A) B) C) D)

5000. 50 000. 500 000. 5 000 000.

2. El prefijo "tera" tiene el siguiente valor: A) 106. B) 109. C) 1012. D) 1015. 3. El prefijo "femto" tiene el siguiente valor: A) 10-6 . B) 10-9. C) 10-12. D) 10-15.

9. Si los lados de un triángulo miden 4 cm, 8 cm y

6 cm, entonces ese triángulo es A) B) C) D)

diagonal, 8 cm, ¿cuánto mide el largo de ese rectángulo? A) B) C) D)

medida 0,000000025 m es la siguiente: 25. 2,5. 250. 0,25.

isósceles. rectángulo. acutángulo. obtusángulo.

10. Si el ancho de un rectángulo mide 4 cm, y su

4. La cantidad de nanómetros equivalentes a la A) B) C) D)

0,06. 0,0006. 0,0000006. 0,0000000006.

2

3 cm .

4

3 cm .

4

5 cm .

48 cm .

11. De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál es

la altura del edificio del dibujo?

5. La cantidad de metros a la que equivalen 13 Gm

es la siguiente: A) B) C) D)

5

50 000. 500 000. 5 000 000. 5 000 000 000.

6. El prefijo "yotta" tiene el siguiente valor: A) 1015. B) 1018. C) 1021. D) 1024.

5 m

A) 5 m . B) 5 m. C) 10 m. D) 20 m. 12. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden

7. El prefijo "atto" tiene el siguiente valor: A) 10-12. B) 10-15. C) 10-18. D) 10-21.

62

5 m


9 cm y 12 cm, ¿cuál es el perímetro de ese triángulo? A) B) C) D)

15 cm. 21 cm. 27 cm. 36 cm.

13. El perímetro de un rectángulo es de 30 cm. Si su

largo mide 12 cm, ¿cuánto mide su diagonal? A) 3 15 cm . B) 3 17 cm . C) 135 cm. D) 153 cm. 14. De acuerdo con los datos de la figura,

6 cm

-

2 2

, entonces el valor de a es

19. Observe la siguiente figura:

si BC , CD , ¿cuál es el perímetro del trapecio ABDE? A

18. Si sen a = A) 45º. B) 90º. C) 225º. D) 270º.

b

E

a c

10 cm

a b

B

A) B) C) D)

C

D

Según la figura anterior el valor de sen b está dado por la expresión

30 cm. 34 cm. 36 cm. 38 cm.

15. La distancia entre los puntos (1, -1) y (2, -2) es

la siguiente: A) 2 . B) 3 . C) D)

10 .

A)

b a

.

B)

a b

.

C)

b . c

D)

c . b

20. Observe la siguiente figura:

18 .

f

16. La medida en radianes de un ángulo que mide

60º es la siguiente:

d

r

A) 3 .

a

B) r 6.

b

C)

2r 3

.

D)

2r 5

.

17. La medida en grados de un ángulo que mide 11 r 36

A) B) C) D)

rad es la siguiente:

11º. 36º. 55º. 360º.

De acuerdo con la figura anterior, la razón equivalente a cos f es A)

d . b

B)

a b

C)

b . d

D)

a . d

.


63

Respuesta corta. Complete según lo indicado en cada caso. 1. Escriba, en el recuadro, la letra que corresponde al tipo de triángulo que se forma con las

medidas dadas. Triángulo acutángulo

R

a.

4 cm, 4 cm, y 6 cm

d.

12 cm, 7 cm y 7 cm

b.

7 cm, 1 cm y

2 cm

e.

1 cm, 1 cm y

7 cm, 3 cm y 6 cm

f.

5 cm, 10 cm y 6 cm

A

c.

5

Triángulo rectángulo

3 2

cm

O

Triángulo obtusángulo

g.

9 cm, 40 cm y 41 cm

h.

11 cm, 5 cm y 15 cm

2. Anote las medidas en grados o en radianes según corresponda. Medida en grados

Medida en radianes

Medida en grados

0 rad

120°

Medida en radianes

3r 4

30° r

4 rad

rad

150°

Desarrollo. Ejecute los procedimientos respectivos para resolver los problemas. 1. Un niño juega a 28 m de la base de un edificio que mide de 96 m de altura. ¿A qué distancia está el

niño de la parte más alta del edificio?

2. Felipe dibujó la figura de abajo, pero olvidó anotar las medidas de los segmentos identificados con a, con b y con c . ¿Cuáles son esas medidas?

10 cm 4 cm

b a

64


c

2 cm

3. Las medidas de los lados paralelos de un jardín, que tiene forma de trapecio isósceles son 80 m y 140 m, respectivamente. Si los lados no paralelos miden 50 m cada uno, ¿cuál es el área de ese jardín?

4. David conduce todos los días desde el punto R hasta el punto Q en línea recta para llegar a su trabajo. ¿Cuántos kilómetros aproximadamente se desplaza David cada día si utiliza la misma ruta para regresar? R

H

39° 6

k m 6

Q

5. Danilo marcó con flechas el recorrido que realiza diariamente para llegar al colegio como se muestra el diagrama de abajo ¿Cuántos kilómetros aproximadamente se desplaza Danilo para ir al colegio?

8 km 22° Casa de Danilo

1m

45° Colegio

6. Un avión despega formando un ángulo de 25° con la pista. ¿Cuál será la altura sobre la pista cuando el avión haya hecho un recorrido de 500 m?

7. Para sostener un poste se utiliza un cable de 14 m de longitud y se sujeta al piso formando con este un ángulo de 48°. ¿Cuál es la longitud total del poste si está bajo tierra 1,40 m y el cable lo sujeta del extremo superior?


65

Resultados parciales del torneo de clausura Puntos

Goles a favor

Goles en contra

Equipo A

8

5

4

Equipo B

15

11

5

Equipo C

6

5

8

2

e r t s e m i r T

1

• Geometría, Estadística y Probabilidad Estas 3 áreas de la Matemática están presentes en muchas situaciones de la vida cotidiana. Por medio de la geometría y en particular, de la trigonometría, podemos calcular distancias que no son fáciles de medir y también podemos hallar el volumen o área de diferentes objetos que se asemejan a cuerpos geométricos. Por ejemplo, el de un balón de fútbol, que tiene una forma similar a la de la esfera. La estadística y la probabilidad nos permiten registrar y analizar datos a partir de los cuales podemos hacer predicciones. Por ejemplo, a partir de partidos o campeonatos de fútbol surge gran cantidad de datos estadísticos que pueden ser analizados, y con base en ese análisis, realizar predicciones.

200 a. C.

100 d. C.

Hiparco de Nicea (190 a. C. - 120 a. C.) astrónomo, geógrafo y matemático griego es considerado como el padre de la trigonometría.

66


700

Claudio Ptolomeo (100 - 170) astrónomo, astrólogo, químico, geógrafo y matemático, se dice que dio continuidad a los trabajos de Hiparco.

2

3

Habilidades generales


• Aplicar las razones trigonométricas básicas y las relaciones entre ellas en diferentes contextos. • Visualizar y aplicar características y propiedades de figuras geométricas tridimensionales. • Interpretar información generada mediante análisis estadísticos o probabilísticos. • Utilizar diferentes estrategias para resumir grupos de datos en forma gráfica. • Utilizar la definición frecuencial o empírica de probabilidad para resolver problemas vinculados con fenómenos aleatorios. • Utilizar probabilidades para favorecer la toma de decisiones en condición de incertidumbre. • Valorar la importancia de la historia en el desarrollo de la estadística y la probabilidad.

1000

1

Mencione a cuál cuerpo geométrico se asemejan algunos de los objetos de su entorno.

2

Si una cancha de fútbol mide 100 m de largo y 70 de ancho, ¿cuánto mide, aproximadamente, la diagonal de esa cancha?

3

Si el diámetro de un balón de fútbol de forma esférica mide 22 cm, ¿cuánto mide el diámetro y cuánto su circunferencia máxima?

4

Anote 3 conclusiones relacionadas con los datos de la tabla de la página anterior.

5

Según los datos de la tabla, ¿cuál equipo tiene más posibilidades de ganar el torneo?

1450

Johann Müller Regiomontano (1436 - 1476) astrónomo y matemático alemán, se cree que fue el primero registrar mediante tratados matemáticos lo que hoy se conoce como trigonometría.

1900

Leonhard Paul Euler (1707 - 1783) matemático y físico suizo, fue quien dio pie a la trigonometría moderna y quien incorporó la notación que se utiliza actualmente para las funciones trigonométricas.


67

Capítulo 1

Trigonometría II Habilidades específicas 1. Aplicar seno, coseno y tangente de ángulos complementarios. 2. Aplicar los conceptos de ángulos de elevación y depresión en diferentes contextos. 3. Resolver problemas que involucren las razones trigonométricas, sus propiedades y ángulos de elevación y de depresión. 4. Plantear problemas contextualizados que utilicen razones trigonométricas para su solución.

Lea la situación problema Julia dibujó un triángulo rectángulo en el que sus ángulos inter1 nos agudos miden a y b . Si ella sabe que sen a = 2 , ¿cuál es el valor de cos b ?

Analice • ¿Cuáles son los valores de a y b ? • ¿Cuál es el resultado de cos b al resolverlo con la calculadora?

Resuelva

Responda Recuerde

Razones trigonométricas de ángulos complementarios

Dos ángulos son complementarios si al sumar sus medidas se obtiene como resultado 90º. El inverso multiplicativo de un número real es aquel que

Si a y b son los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, entonces se cumplen las siguientes igualdades: El seno de uno de los ángulos agudos es igual al coseno del otro y viceversa. sen a =

a

c

cos b =

a

b

c

al multiplicarlo por el número dado da como resultado 1. Por ejemplo, el inverso multiplicativo de porque

68

3 4

:

3 4 4 3

4

es = 1.

3

c

a

La tangente de uno de los ángulos agudos es igual al inverso multiplicativo del valor de la tangente del otro ángulo agudo. tan a =

a b


tan b =

b a

a

b

Con la propiedad de las razones trigonométricas para ángulos complementarios, se pueden resolver el problemas como el de la página anterior en forma inmediata. Como a y b son complementarios, entonces: 1 sen a = cos b = 2

Razones trigonométricas de triángulos especiales Dados 2 triángulos semejantes, el valor de las razones trigonométricas de sus ángulos correspondientes siempre serán iguales. Por este motivo resulta útil memorizar las razones trigonométricas de algunos triángulos con medidas especiales. sen 45º =


45º

1 cm

2 cm 45º 1 cm

2 1

cos 45º =

45-45-90

1

2

=

2 2

=

2 2

tan 45º = 1 = 1 1 sen 30º = cos 60º = cos 30º = sen 60º =


3 cm

30º

2 cm tan 30º =

30-60-90

60º 1 cm

tan 60º =

1 3 3 1

=

3 3

=

3

1 2

3 2

Actitudes y creencias Al contrario de como se piensa en algunas ocasiones, la Matemática es una ciencia en la que es de gran utilidad la memoria. Recordar algunas fórmulas o resultados le puede ser de gran ayuda para resolver con más facilidad y rapidez un ejercicio. – Elabore fichas con los valores de las razones trigonométricas de los triángulos especiales que aparecen a la izquierda. – Trate de memorizar los valores de las razones trigonométricas de los ángulos involucrados. – Si considera que puede memorizar otros resultados hágalo. Esto le evitará tener que utilizar en la calculadora en algunos casos.

Ejercicio resuelto 1 Calcular el valor de tan W y tan R, en el triángulo en Y, si se sabe que sen W =

•

•

2 3

, rectángulo

9RWY

. R

Se puede usar un triángulo como el de la derecha, ya que las razones trigonométricas de sus ángulos son iguales que las de cualquier triángulo semejante a él.

2 cm

Y

Se calcula el valor del lado que falta con el teorema de Pitágoras. YW =

2

3 – 2 2

3 cm

W

2

Recuerde

•

Así, tan W =

•

Y por una de las propiedades de los ángulos complementarios, de inmediato se sabe que:

5

.

tan R =

5 2

.

El teorema de Pitágoras propone lo siguiente: "El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma del cuadrado de los catetos."


69

Representar

Ejercicio resuelto 2 Calcular la medida de la altura ( h) de un triángulo equilátero que mide 9 dm de lado.

En muchos casos, para resolver un problema matemático resulta de gran utilidad representar la situación planteada mediante un esquema para visualizar mejor los datos. – Comente con sus compañeros sobre qué diferencias creen que hay al intentar resolver un problema sin hacer un esquema o dibujo o haciendo uso de esto.

•

Se representan los datos gráficamente.

9 dm

9 dm

Como es un triángulo equilátero se sabe que todos sus ángulos internos miden 60º.

h

60° 9 dm

•

Se plantea una razón trigonométrica que involucre el dato buscado.

•

Como ya se conoce el valor de sen 60º, se sustituye.

•

sen 60 º =

3 2

Se despeja h.

h=

Por lo tanto, la altura del triángulo es

9

3 2

=

h 9

h 9

9

3 2

dm.

Actividades Desarrolle todas las actividades en su cuaderno y anote las respuestas en el libro. Marque con las afirmaciones correctas de acuerdo con el triángulo 3 ABC. C

A

1.

sen A = cos C

2.

cos C = tan C

3.

70

4.

tan A = (tan C) -1

5.

sen C = tan B

6.

cos A = sen C

7.

tan C = (tan C ) -1

8.

tan C = (tan A) -1

B

Calcule el valor de las razones trigonométricas indicadas de acuerdo con la información del recuadro.

sen C = cos C


El

3 ABC es

cos A =

4

rectángulo en B, 2

41

y tan C =

4

2 3

.

9.

Complete cada expresión con las medidas de los ángulos 30°, 45° o 60°, según corresponda.

sen A

10. cos C 11.

21. cos

=

22. sen

=

23. tan

=

3 2

24. sen

=

25. cos

=

26. tan

=

3 2

sen C

12. tan A

Complete la siguiente tabla con el valor de cada razón trigonométrica, según el triángulo dado:

2

3 3

2 2

3

Determine el valor numérico de cada expresión. • Use los valores de las razones trigonométricas de los triángulos especiales y simplifique los resultados.

a

a

2

c

27.

90 ° – a

b

sen 30° + sen 60º =

28. tan 45° + 2 • cos 45° =

13.

Medida Seno del ángulo

Coseno

Tangente

30. sen 45° + sen (90° – 45°) =

4 5

a

29. tan 30° – 3 • sen 60° =

31. 1 + (tan 30º)2 = 90 ° – a

32. (sen 60º) 2 + (cos 60º) 2 = 14. Calcule el valor de b y de c , según el triángulo anterior, si a = 5. b

c

Marque con

las afirmaciones correctas.

15.

sen 40° = cos 50°

16.

cos 72° = sen 18°

17.

tan 25° = tan 40°

18.

cos 14° – sen 76° = 0

19. 20.

33. (sen 30º)(sen 60º) + 1 = 34. (sen 30º)2 – cos 60º = 2

35.

1 – ]cos 30 ° g

36.

sen 45° – tan 60° :

b

1 tan 70°

1 tan 60 °

l =

Determine las medidas de las diagonales del rombo. • Use razones trigonométricas. 37.

10 cm 30º

sen 35° = sen 55° tan 20° =

=

60º

D = d =


71

Resolución de problemas 38. Después de nadar un rato, Mariana se

detiene a observar el trampolín de la piscina. ¿Cuál es el ángulo con el que Mariana observa el trampolín si

tan

a=

3 3

40. Don Carlos tiene un terreno rectangular que dedica a la siembra de hortalizas. Construyó en el terreno un canal diagonal para la irrigación de los cultivos. Si la propiedad tiene la forma y las dimensiones que se muestran en el siguiente dibujo, ¿cuál es la longitud del canal?

? ¿Cuál

30°

es la altura, en metros, del trampolín? A

canal

a

18 m

z B 3m

39. Un avión levanta vuelo formando un ángulo de 30º con el suelo. ¿A qué altura, con respecto al suelo, se encuentra el avión después de avanzar 1200 m?

41. Sonia observa el punto más alto del edificio desde el punto A y Ricardo hace lo mismo desde el punto B. Según los datos de la imagen, ¿a cuántos metros de la base del edificio se encuentra Ricardo? • Utilice la propiedad de los ángulos complementarios para la tangente.

x

30o 30º

A

60o 20 m

B

y

Ángulos de elevación y ángulos de depresión Ángulo de elevación

El teodolito es un instrumento óptico de precisión que sirve para medir ángulos de distintos planos y es muy utilizado por topógrafos e ingenieros.

72

Si se observa un objeto por arriba de la línea horizontal, la línea horizontal forma un ángulo de elevación con la línea visual. En la imagen a es un ángulo de elevación.


punto de observación

l i s u a v a l ín e

línea horizontal

Ángulo de depresión Si se observa un objeto por debajo de la línea horizontal, la línea horizontal forma un ángulo de depresión con la línea visual. En la imagen b es un ángulo de elevación.

punto de observación

Recursos TIC línea horizontal

l í n e a

v i s u a l

Existen diferentes problemas que, para su solución, involucran ángulos de elevación, ángulos de depresión y razones trigonométricas. Para resolver ese tipo de problemas, es conveniente dar los siguientes pasos:

La calculadora es una importante herramienta para resolver problemas que involucran razones trigonométricas. – Si no posee una calculadora científica puede ingresar en la siguiente dirección, escribir el ángulo del que desea calcular alguna razón trigonométrica y buscar el resultado. http://es.easycalculation. com/trigonometry/trigonometry.php

• Hacer un esquema de la situación planteada, en caso de que no se agregue uno. • Identificar los datos conocidos y los que se deben averiguar. • Elegir la estrategia que se utilizará para resolver el problema. • Escribir la respuesta.

Ejercicios resueltos 3 Describir una situación con la que se forme un ángulo de elevación y otra con la que se forme un ángulo de depresión y realizar una representación gráfica para cada una.

a. Franco mira la parte más alta de un edificio. El ángulo , determinado por la línea horizontal y la línea de visión, es un ángulo de elevación.

b. Laura observa un automóvil desde la ventana más alta de un edificio. El ángulo , determinado por la línea horizontal y la línea de visión, es un ángulo de depresión.

Comunicar Explicar con sus propias palabras un concepto o un procedimiento le puede ser de utilidad para propiciar aprendizaje significativo. – Integre un grupo de 4 personas. – Comenten acerca de los contenidos estudiados en este tema y la utilidad que ven en ellos. – Generen un espacio para que cada uno le explique a los demás, con sus propias palabras, cómo se forma un ángulo de elevación, un ángulo de depresión y los pasos que dan para resolver ese tipo de problemas. – Utilice un lenguaje matemático apropiado durante sus comentarios.


73

Recuerde Los ángulos alternos inter nos entre 2 rectas paralelas y una transversal, son aquellos ángulos internos que están en lados opuestos de la secante y que no son consecutivos. Por ejemplo, en el diagrama de abajo 1 y 4 son ángulos alternos internos. Además, los ángulos alternos internos son congruentes. ( 1 , 4).

Ejercicio resuelto 4 Resolver el problema del recuadro. Desde un faro de 50 m se observa la aleta de un tiburón con un ángulo de depresión de 35º. ¿A qué distancia ( x) está el tiburón del faro?

•

Primero se elabora un esquema de la situación planteada y se colocan en él los datos. m

= 35º

50 m

t m 1 2 3 4 n

y Como son ángulos alternos internos entre paralelas, entonces , por lo que , también mide 35º

x

•

Se elige la razón trigonométrica adecuada según los datos que se tienen y lo que se desea averiguar. Como se tiene el cateto opuesto al ángulo que 50 50 se conoce y se quiere tan 35 º = x = tan 35 º x averiguar el adyacente, entonces se usa tangente.

•

Se calcula el valor de x.

x . 71, 43

El valor obtenido es una aproximación.

Por lo tanto, el tiburón se encuentra aproximadamente a 71,43 m del faro.

Actividades Desarrolle todas las actividades en su cuaderno y anote las respuestas en el libro. Anote, en cada caso, si el ángulo corresponde a un ángulo de elevación o de depresión según el diagrama de la derecha. 42. 43. 44. 74


Haga un diagrama para representar cada situación. 45. Acostado sobre el zacate, Luis mira un pájaro volar a 15 metros del suelo y a 20 metros de él.

49. Una mujer observa desde la parte más alta del edificio A y con un ángulo de 63º, un avión que está volando. Después, la mujer baja la mirada y observa, con un ángulo de 35º, un auto estacionado en la calle.

50. Escriba, en la línea correspondiente de los ejercicios 45 al 49, si el ángulo representado es de elevación, de depresión o ambos.

46. Una gata observa a un perro desde el techo de una casa. El perro está a 5 m de la casa.

Responda las siguientes preguntas de acuerdo a las situaciones de las actividades 47 y 48. 51.

47.

Una persona observa, desde la parte más alta de un edificio y con un ángulo de 18º, un camión que pasa por la calle.

En el ejercicio 47, si el camión se encuentra a 200 m de la base del edificio, ¿a qué altura se encuentra la persona?

52. En el ejercicio 48, si la altura del edificio A es de 19 m, la del B es de 28 m y la de la antena es de 2,4 m, ¿a qué distancia se encuentra el edificio A del B?

Describa 2 situaciones en las que se definan ángulos de elevación. 53. 48. Una persona está acostada en la parte más alta del edificio A. Desde ahí observa, con un ángulo de 52º, una antena que está en la parte superior del edificio B. El edificio B es más alto que el A.

54.

Describa 2 situaciones en las que se definan ángulos de depresión. 55.

56.


75

Marque con la opción que permite resolver cada situación. 57. Un insecto observa la parte más alta de una estaca con un ángulo de elevación de 26º, según el esquema. ¿Qué distancia ( x) hay de la estaca al insecto?


Un gusano observa la parte más alta de una flor con un ángulo de elevación de 40º. Si el gusano está a 20 cm de la base de la flor, ¿cuál es la altura de la flor?

2 1 2 c m

( )

cos 26 º =

x 212

( )

cos 26 º =

212

x

62. Josué observa, con un ángulo de elevación de 32º, un semáforo colocado en lo más alto de un poste de 4 m. ¿A qué distancia se encuentra Josué de la base del poste, si sus ojos están a 1,5 m del suelo?

58. ¿Cuál es la medida del ángulo de depresión de la rampa? 63. María observa, con un ángulo de elevación de 51º, la punta de una torre. Si ella se encuentra a 20 m de la base de la torre y su estatura es de 1,5 m, ¿cuál es la altura de la torre?

2m 7,463 m

( )

tan i =

2 7, 463

( )

tan i =

7, 463 2

59. David observa la cúspide de una torre con un ángulo de elevación de 67º. Si se encuentra a 12,5 m del pie de la torre y sus ojos están a 1,78 m del suelo, ¿cuál es la altura (x) de la torre?

( )

tan 67 º =

1, 78 12 , 5

x –

( )

tan 67 º =

x 12 , 5

60. El piloto de un helicóptero que vuela a 100 m del suelo observa el punto de aterriza je con un ángulo de depresión de 28º. ¿A qué distancia (x) está el helicóptero de ese punto?

x

( ) 76

sen 28 º =

64. Desde lo alto de un faro una persona observa, con un ángulo de depresión de 42º, la base de una choza. Si la persona se encuentra a 40 m de altura con respecto al suelo, ¿cuál es la distancia entre la base de la choza y el faro?

65. Un observador de 1,65 m de estatura mira, desde el suelo, con un ángulo de 55º, la parte más alta de un edificio. Si la distancia entre el observador y el edificio es de 30 2 m, ¿cuál es la altura de ese edificio?

66. Silvia ve 2 barcas desde la parte más alta de un faro de 20 m de altura. El ángulo de depresión para ver una de ellas es de 45º, mientras que, para ver la otra, es de 60 º. ¿Cuál es la distancia entre las 2 barcas? 100

x

( )

cos 28 º =

100

x



69. El ángulo de elevación con que se observa la parte superior de un árbol cambia de 30º a 60º cuando el observador camina 6 m hacia la base del árbol. ¿A qué distancia ( y) está el observador del árbol después de haber avanzado esos 6 m?

Resolución de problemas Para resolver los problemas de esta página recuerde el valor de las razones trigonométricas de los triángulos especiales.

30º

67.

Desde una cabaña, una persona ve la punta de un faro. La línea visual forma con la línea r horizontal un ángulo de elevación de 4 rad. ¿Cuál es la distancia de la cabaña al faro?

•

Convierta los radianes en grados. A

6m

60º

y

70. Desde un punto del terreno se observa un poste con un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, se observa bajo un ángulo de 60°. ¿Cuál es la altura del poste?

4 0 m

D

C

68. Una mujer observa, desde el segundo piso de una casa, a un perro que está acostado en la calle. Si lo mira con un ángulo de depresión de 45º y ella se encuentra a una altura de 4,78 m, ¿a qué distancia está el perro de la base de la casa? 45o m 8 7 , 4

x

71. Una persona observa la parte superior de un edificio con un ángulo de 37°. Se dirige hacia el edificio y cuando ha caminado 8 m, el nuevo ángulo con que lo observa es de 45°. ¿Cuántos metros más debe caminar para que el ángulo de elevación sea 53°?

Plantear y resolver problemas Los ángulos de elevación y los ángulos de depresión se pueden vincular con muchas situaciones reales. – Plantee 2 problemas que involucren ángulos de elevación y 2 que involucren ángulos de depresión. – Forme un grupo de 3 personas y resuelvan los problemas propuestos por todos. – Comparen los resultados obtenidos para verificar que las respuestas sean correctas.


77

Ley de senos Habilidades específicas 1. Aplicar la ley de senos en diversos contextos. 2. Plantear problemas contextualizados que utilicen razones trigonométricas para su solución.

Lea la situación problema La casa de Laura está a 90 m de la casa de Jaime y a 80 m de la casa de Gabriela, como se muestra en el esquema. ¿A qué distancia (z) vive Jaime de Gabriela?

80 m 94º

Laura 9 0 m

Gabriela z Jaime

Analice • ¿Podría utilizar el teorema de Pitágoras para resolver Johann Müller (1436-1476), fue una astrónomo y matemático alemán. Estableció la ley del seno, con la que determinó el área de un triángulo si se sabe la medida de sus lados y el ángulo que lo sustenta.

el problema? • Si el ángulo de 94º fuera recto, ¿cuál sería el valor de z? • Tomando en cuenta el dato anterior, ¿cuál podría ser un valor aproximado a la distancia que se debe averiguar?

Resuelva

Responda

Aplicación de la ley de senos La ley de senos dice que, en todo triángulo, la medida de los lados es directamente proporcional a los senos de los ángulos opuestos respectivos.

a c

En el triángulo de la izquierda, se cumple lo siguiente:

b

Figura: Triángulo para ley de senos.

78

a b c = = sen a sen b sen i

La ley de senos se puede emplear para encontrar las medidas de los lados o de los ángulos de un triángulo, como en el problema anterior.


Recuerde


La suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo siempre es 180º.

Determinar la medida del lado identificado con x.

•

Primero se calcula la medida del tercer ángulo.

x

50º

180º – (50 + 48) = 82º

•

48º 40 cm

Se plantea la ley de senos, de manera que se involucre el dato que se desea calcular. 40 x = sen 82 º sen 50 º

•

Se despeja el dato desconocido y se calcula su valor. x =

Este paso se puede resolver con la calculadora.

40 : sen 50 º . 31 , 1 sen 82 º

Así el valor de x es aproximadamente 31,1 cm.

Ejercicio resuelto 2 Determinar la medida del ángulo interno identificado con a en el triángulo de la derecha.

•

3,3 cm

Se plantea la ley de senos, de manera que se involucre el dato que se desea calcular.

Recursos TIC

75º

3, 3 3 = sen 75 º sen a

•

a

Trabaje en la siguiente dirección electrónica. http://www.santillana.cr/ OD/regla_3M9 – Resuelva las actividades, según las instrucciones dadas, para practicar la regla de tres.

3 cm

Se despeja el dato desconocido y se calcula su valor. 3 : sen 75 º 3, 3

sen a =

sen a . 0 , 88

"

a . 62 º

De esa forma, el valor aproximado del ángulo a es 62º.


36º

Complete la igualdad según las medidas del triángulo de la derecha.

A sen

A

=

A sen

A

=

A sen

A

a c

20º

124º b


79

Marque con las afirmaciones correctas de acuerdo al triángulo dado.

12.

68º 20º

x b

c

10 cm

x

.

13. 60º 100 cm

a

2.

a b = sen i sen b

3.

sen a

c

sen i a

4.

sen

5.

i

a c

6.

sen

i

a

7.

sen

i

b

8.

sen

b

b

9.

sen

b

=

= = =

=

=

=

65º

x

.

14.

b sen b

20 cm

b sen b

x

60º

a

sen

x

c

x

70º

.

a

a

sen

c sen

15.

69º

b sen

80º

i

x

c sen

x

3 cm

a

.

a

Determine el valor aproximado de x en cada caso.

Determine el valor aproximado de x y de y en cada caso. 16.

10. 5 cm

x

x

72º

43º

3 cm

50º

89º y

x

.

x

11.

y

.

y

.

17. x

60º

x 80

.

6 6 cm

60º

45º

.


x

5 cm

38º y

x

.

18.

23. Un pescador sostiene una cuerda de pescar

x

79º

como se muestra en la imagen. ¿Cuál es la distancia (d) que hay del lugar en el que se encuentra el pescador y el punto en el que está el anzuelo?

y

15 cm

60º x

y

.

.

1 0 m

Determine el valor aproximado de a en cada caso. 19.

64º

72º

d

10 cm a

17 cm a

.

20.

24. Erica elaboró un croquis de su comuni-

6 cm 52º a

dad como el de abajo. Según las medidas indicadas en esa representación, ¿cuál es la distancia que hay entre el parque y la biblioteca? y, ¿cuál es la distancia entre la biblioteca y la escuela?

10 cm a

.

21.

a

6 cm 58º

Parque 3

a

2 cm

500 m 30º

78º

Escuela

.


Biblioteca

22. Un navegante divisa desde su bote 2 islas,

como se muestra en la imagen. Si él decide dirigirse a la isla más cercada, ¿a cuál de las 2 islas debe ir? B y

x

Plantear y resolver problemas La ley de senos es un resultado fundamental para la resolución de problemas en triángulos que no son rectángulos.

60º 88º A

– Anote, en un trozo de papel, un problema que se resuelva mediante el uso de la ley de senos. – Pida a su docente que integre los problemas de toda la clase en una sola lista y la entregue una copia a cada alumno para que los resuelva.


81

Pirámide recta

Lea la situación problema

Habilidades específicas 1. Identificar y calcular la

Mariela compró un recipiente con forma de pirámide recta como la de la derecha, con base de triángulo equilátero, para colocar adentro un regalo para su hermana. Si forró las caras laterales del recipiente con papel de regalo, ¿aproximadamente, cuántos centímetros cuadrados de papel utilizó?

apotema de pirámides rectas cuya base sea un cuadrado o un triángulo equilátero. 2. Calcular el área lateral

y el área total de una pirámide recta de base cuadrada, rectangular o triangular.

40 cm 10 cm

Analice • • •

•

•

¿Qué forma tienen las caras laterales? ¿Qué datos necesita para calcular el área de esas caras? ¿De qué manera puede forma un triángulo rectángulo trazando una apotema de la pirámide? Si dibuja un radio de la base de la pirámide, ¿cuánto mide el ángulo que se forma entre el radio y el lado de la base? ¿Cuál razón trigonométrica puede utilizar para averiguar cuánto mide la mitad de un lado de la base?

Resuelva

Responda

El teorema de Pitágoras se aplica en muchas áreas de la geometría. Una área en la que es de gran utilidad es en la resolución de problemas que involucran cuerpos geométricos. 82

Apotema de una pirámide Una pirámide regular recta es un poliedro formado por: • •

Una base que es un polígono regular. Caras laterales que son triángulos isósceles congruentes. La cantidad de caras laterales coincide con el número de lados del polígono de la base.


La apotema de una pirámide regular recta es el segmento que une el vértice de la pirámide con el centro de cualquiera de los lados de la base. Si se conoce la medida del radio y de la altura de una pirámide se puede calcular el valor de la apotema por la siguiente relación que se desprende del teorema de Pitágoras:

Recuerde Algunos de los elementos de una pirámide regular recta son los siguientes: A

a p: apotema de

h: altura

la pirámide

a p2 = ab2 + h 2

ab: apotema de

B

la base

Por medio de esta relación también se puede calcular el apotema de la base o la altura si se tienen los datos necesarios en cada caso.

Ejercicio resuelto 1 Calcular la medida de la apotema de una pirámide regular recta de base cuadrada, en la que cada lado de la base mide 6 dm y la altura mide 4 dm. •

•

•

Se elabora una representación gráfica. Como el lado del cuadrado mide 6 dm, entonces la apotema mide 3 dm.

ab2 + h 2

a p =

3

a p = •

2

+4

E

A: vértice de la pirámide AD : arista lateral 3 ADE: cara lateral 4BDEG: base AC : altura AF : apotema de la pirámide C: centro de la base CD : radio de la base CF : apotema de la base

6 dm

2

5

Así, la apotema de la pirámide mide 5 dm.

Razonar y argumentar

Ejercicio resuelto 2 Determinar la altura de una pirámide regular recta de base triangular si se sabe que la ab = 5 cm y a p = 13 cm. •

F

C

4 dm

Se calcula la medida de la apotema con la fórmula dada anteriormente. a p =

D

G

Se sustituyen los valores en la fórmula anterior. a p2 = ab2 + h 2 13

2

13

=5 2

12 =

2

+

– 5 2

h =

2

h

h

La altura de la pirámide es 12 cm.

También se puede establecer una relación entre la altura, el radio y la arista lateral de una pirámide.

– Dibuje una pirámide en la que represente esos 3 elementos. – Establezca una relación mediante el teorema de Pitágoras en la que involucre esos 3 elementos.


83


Calcule la medida del elemento de la pirámide que se indica en cada caso, según los datos dados.

Marque con el recuadro de los poliedros que son pirámides.

12.

h = 24 cm

y

ab = 7 cm

h = 65 m

y

ab = 72 m

h = 8 cm

y

a p = 17 cm

a p = 85 m

y

ab = 36 m

a p = 61 dm y

ab = 60 dm

a p

1.

4. 13.

2.

a p

5. 14.

3.

ab

6.

Marque con el recuadro de la figura que corresponde al desarrollo de una pirámide.

15. h

7. 16. h


8. 17.

9.

Una tienda de campaña tiene forma de pirámide recta regular con base de forma triangular. Para dar un mayor soporte a la tienda, se desea colocar una varilla que vaya desde el vértice de la pirámide hasta el centro de la base. Si la apotema de la base mide 56 dm y la apotema de la pirámide 65 dm, ¿cuánto debe medir la varilla?

18. Elena construyó una pirámide recta regular

Complete cada frase, según corresponda. 10. En una pirámide que tiene 5 vértices, la

forma de la base es un 11.

En una pirámide que tiene 4 vértices, la forma de la base es un

84

.

.


con cartulina, en la que la altura mide 35 cm. La base de la pirámide es de forma cuadrada y cada lado mide 24 cm. Si ella quiere pegar trozos de cinta que vayan del vértice de la pirámide hasta la mitad de cada lado de la base, ¿cuántos centímetros de cinta necesitará?

Área lateral y total de una pirámide

Conectar con… Estudios Sociales

El área lateral de una pirámide es la medida de la superficie de todas sus caras. El área basal corresponde a la superficie de la base y el área total es la suma de las 2 anteriores. Para calcular estas áreas en una pirámide regular recta se pueden utilizar las siguientes fórmulas:

Área basal (AB)

AB =

Área lateral (AL)

AL =

Área total (AT )

Pb : ab 2

Pb : ap 2

AT = AB + AL

_ b b b b Pb es el perímetro de la base. b b ` ab es la apotema de la base. b b a es la apotema de la pirámide. b p b b a

Ejercicio resuelto 3 Determinar el área total de una pirámide regular recta en la que cada lado de su base cuadrada mide 26 cm y la ap mide 15 cm. •

Primero se calcula el perímetro de la base. Pb = 26 : 4 = 104

•

– Resuelva el problema que se describe abajo relacionado con una de esas pirámides. – La pirámide de Keops es recta y de base cuadrada. Tiene como medidas aproximadas 230,3 m de lado de la base y 146,6 m de altura. Las autoridades egipcias, preocupadas por su deterioro, decidieron aplicarle un impermeabilizante sobre la superficie externa. ¿Cuántos metros cuadrados de impermeabilizante se requieren para protegerla?

Luego se calcula el área basal y el área lateral. AB =

•

Las pirámides egipcias son una gran evidencia del conocimiento geométrico que existía en la antigüedad. Además de su gran valor cultural e histórico, son de asombro por las propiedades matemáticas que pueden ser observadas en ellas.

104 : 13 = 676 2

AL =

104 : 15 = 780 2

Así, el área total es AT = 676 cm2 + 780 cm2 = 1456 cm2.


20. Área lateral de una pirámide:

Defina, con sus propias palabras, cada término. 19.

Área basal de una pirámide:

21.

Área total de una pirámide:


85

Encuentre AB, AL y AT para cada pirámide regular recta. 12 cm

22.

AB =

Resolución de problemas 24. Carolina va a elaborar 25 cajitas de cartuli-

na en forma de pirámide regular recta con base cuadrada, para repartir con confites en la fiesta de su hijo. Si la apotema de la base debe medir 4 cm y la apotema de la pirámide, 17 cm, ¿cuánta cartulina necesitará?

AL = AT =

8 cm

AB =

3 3 cm 23.

25. Jaime pidió que construyeran una pirámide

regular recta de base triangular en su hotel, si cada lado de la base mide 150 cm y la apotema de la pirámide mide 175 cm, ¿cuál es el área lateral de la pirámide?

AL = AT =

6 c m

Actividades integradoras Desarrolle todas las actividades en su cuaderno y anote las respuestas en el libro. Calcule, en su cuaderno, el área total de cada pirámide regular recta.

Resolución de problemas 28. Una carpa de circo tiene forma de pirámide

recta regular de base cuadrada con una altura de 12 m y 60 m de arista basal. ¿Cuál es el área de la carpa de circo, sin tomar en cuenta la base?

26.

10 cm AT =

Puede utilizar la estrategia de la página 87 para resolver el problema 28.

4 cm 29. Viviana quiere forrar una caja con forma de

27.

9 cm AT =

18 cm 86


pirámide recta con papel adhesivo. La caja tiene una altura de 30 cm y la base tiene forma de triángulo equilátero en el que cada lado mide 16 cm. Si el papel adhesivo que va a comprar lo venden en láminas rectangulares de 20 cm x 12 cm, ¿cuántas láminas deberá comprar como mínimo?

Estrategias para resolver problemas Utilizar el desarrollo plano de una pirámide La pirámide del Museo del Louvre en París tiene una altura de 21 m. Su base es un cuadrado de 33 m de lado y sus caras laterales son paneles de vidrio laminado. ¿Cuántos metros cuadrados de vidrio tiene esta pirámide en sus caras laterales?

Comprenda Se debe calcular el área lateral de una pirámide en la que la base es un cuadrado de 33 m de lado y la altura mide 21 m.

Planifique Primero se calcula el valor de la apotema de la pirámide. Luego se dibuja el desarrollo plano y se colocan en él todas las medidas que se tienen, para visualizar mejor la situación. Por último se calcula el área de cada cara lateral y se suman.

Resuelva Se calcula el valor de la apotema de la pirámide ( a p). Como el lado del cuadrado mide 33 m, se sabe que ab = 16,5 m. a p

21 m

2

a p =

21 + (16, 5 )

a p . 26 , 7

33 m

ab = 16,5 m

2

Así se puede observar que las caras laterales son triángulos en los que una base mide 33 m y la altura correspondiente 26,7 m. Entonces se calcula el área (A) de una cara con la fórmula del área del triángulo. A.

Se elabora el desarrollo plano de la pirámide para visualizar mejor la situación.

33 m : 26 , 7 m 2

.

440, 55 m

a p

.

m 3 3

26,7 m

m 3 3

ab = 16,5 m

33 m 2

El área lateral (AL)de la pirámide es aproximadamente: 2

4 : 440 , 55 m = 1762 ,2 m

2

Compruebe Para comprobar el resultado obtenido se puede utilizar la fórmula para calcular el área lateral de la pirámide. AL =

Pb : ap 2

AL .

12 : 26 , 7 2

AL . 1762 , 2

De esta forma se sabe que la pirámide del Museo del Louvre tiene, aproximadamente, 1762,2 m 2 de vidrio laminado en sus caras laterales. © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley de Derechos de Autor n.º 6683.

87

Evaluación Selección única. Lea los enunciados y las alternativas que los acompañan (A, B, C, D). Marque con la alternativa correcta. 1. Si en un triángulo rectángulo las medidas de

los ángulos agudos son a y b y sen b = entonces cos a es igual a A)

a . b

B)

b . a

a b

5. Si el "ángulo de elevación del Sol" es i , ¿cuál

es la expresión que representa la longitud de la sombra de un poste de 10 m de altura?

,

A) B) C) D)

C) 1 . b

6. Si en un triángulo, , y son sus ángulos internos, y m, z y p representan las medidas de

1

D) a .

los lados opuestos respectivos a esos ángulos, entonces, de acuerdo con la ley de senos, una de las proporciones que se puede establecer es

2. Si en un triángulo rectángulo las medidas de

los ángulos agudos son a y b y tan b = entonces tan a es igual a A) B)

10 cos(90º – i ) m. 10 cos i m. 10 tan(90º – i ) m. 10 tan i m.

a b

,

A)

a . b

B)

b . a

C) 1 . b

C)

D) 1 a.

D)

sen p

n

sen =

z

sen

n

m

sen

n

sen m

n

=

=

=

m

t m

sen

~

z

sen

~

sen z

~

. . . .

7. De acuerdo con la figura de abajo, el valor de m es aproximadamente A) 0,524º. B) 31,601º. c m 5 4 C) 49,041º. D) 49,637º. m

3. Carmen observa desde su balcón a su novio

que se encuentra en el suelo, con un ángulo de depresión de 45º. Si el novio está a 3 m de la base de la casa de Carmen, ¿a qué distancia se encuentra Carmen de su novio? A) 2 m. B) 3 m. C) 2 m. D) 3 m.

el lado mayor mide 64 cm, entonces la medida, en centímetros, es aproximadamente A) B) C) D)

41,455. 41,931. 98,865. 163,204.

9. ¿Cuál es el área total, en centímetros cuadra-

B) 3 3 m. C) ^ 3 + 1 , 5 h m. D) ^3 3 + 1 , 5 h m.

88

39º

8. Si 2 ángulos de un triángulo miden 38º y 72º, y

4. David observa un pájaro en un árbol con un

ángulo de elevación de 60º. Si David mide 1,5 m y se encuentra a 3 m de la base del árbol, ¿a qué altura del suelo se encuentra el pájaro? A) 3 m.

4 5 c m


dos, de una pirámide recta de base cuadrada, si todas sus caras son triángulos equiláteros de 6 cm de arista? A) B) C) D)

6

3.

9

3.

27

3.

36

3.

Respuesta corta. Complete los espacios con las medidas aproximadas solicitadas, según la información brindada. 1.

2.

8 0 m

m 0 5

40º

c

. .

c .

m 4 1

35º

b a

.

a

91º

b

. .

Desarrollo. Ejecute los procedimientos respectivos para resolver los problemas. 1. La sombra de un niño de 1,2 m de altura se proyecta sobre la acera. Si los rayos solares forman, con

la horizontal, un ángulo de depresión de 27º, ¿cuál es la longitud aproximada, en metros, de la sombra del niño?

2. En un mapa, al trazar 3 segmentos que unen las ciudades A, B y C, se forma un triángulo que tiene como vértices esas ciudades. Si entre la ciudad A y la B hay 8 km, entre la ciudad B y la C hay 12 km y m CAB = 49º, ¿a qué distancia aproximada está la ciudad A de la C ?

3. Gerardo tiene un terreno con forma rectangular como el de la figura, el cual quiere sembrar con

maíz. Si por cada metro cuadrado puede sembrar 2 plantas, ¿Cuántas podrá sembrar en total?

70º 16 m 4. Un hombre de 1,6 m de altura se encuentra a 15 m de ka base de un edificio. Un observador desde

una ventana del edificio visualiza el extremo superior del hombre, con un ángulo de depresión de 70º. ¿A qué altura se encuentra el observador? •

Redondee al entero más cercano.


89

Capítulo 2

Prisma recto


Habilidad específica 1. Calcular el área lateral y

Un grupo de jóvenes practica skateboarding en una rampa que tiene forma de prisma triangular. Si se desea pintar toda la superficie de la rampa que está visible, ¿cuál es el área que se va a pintar?

el área total de un prisma recto de base cuadrada, rectangular o triangular.

5m 3m 4 m

4m

Analice • • •

¿Qué forma tienen las caras de la rampa? ¿Cuál es el área de cada cara por separado? ¿Cuál es el resultado de sumar las áreas anteriores?

Resuelva

Recursos TIC Trabaje en la siguiente dirección electrónica. http://www.santillana.cr/ OD/prismaM9

– Realice la actividad para repasar el nombre de algunos elementos de un prisma.

Responda

Área de un prisma recto Recuerde Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado solo por superficies planas. Un paralelogramo es el cuadrilátero que tiene 2 pares de lados paralelos, por ejemplo, el cuadrado y el rectángulo. 90

Un prisma recto es un poliedro formado por: • •

Dos bases que son polígonos paralelos y congruentes. Caras laterales que son paralelogramos perpendiculares a las bases. La cantidad de caras laterales coincide con el número de lados de cada polígono de las bases.

Un prisma regular recto tiene polígonos regulares en sus bases. Un paralelepípedo es el prisma recto que tiene como bases 2 paralelogramos.


El área basal de un prisma recto es igual a la suma de las áreas de las 2 bases del prisma. El área lateral es igual a la suma de las áreas de las caras laterales. Y el área total es igual a la suma del área basal y el área lateral. Para calcular estas áreas en un prisma recto se pueden utilizar las siguientes fórmulas: _ b b AB = 2 : Ab b Área basal (AB) b Ab es el área de una base. b b Área lateral (AL) AL = Pb : h ` b Pb es el perímetro de la base. b b h es la altura. b Área total (AT ) AT = AB + AL b a

Recuerde Algunos de los elementos de una prisma recto son los siguientes: D

E

G F A

H

C

B ABC y 9DEF : bases

9

: cara lateral GH : altura AF : apotema de la pirámide H : centro de la base CE : arista lateral FE : arista basal

4ABDF

Ejercicio resuelto 1 Calcular el área total del prisma de la figura. •

8 dm

Primero se puede calcular el área basal. Como las bases son triángulos, se debe calcular la medida de la altura del triángulo.

14 dm

8 dm

x

4 dm

•

x

=

x

= 4

8

2

4

2

3

Se aplica el teorema de Pitágoras. 8:4 3 = 16 2

El área de una base es

Ab =

Entonces el área basal es

AB = 2 : 16

Luego se calcula el área lateral. AL = Pb

•

–

:

h AL = 24 : 14 = 336

3 = 32

3 3

Como cada lado del triángulo mide 8 dm, entonces Pb = 3 : 8 = 24.

Se suma el área basal y el área lateral para obtener el área total. AT = AB + AL

AT = 32 3 + 336

.

391 ,43

Así, el área total del prisma es de aproximadamente 391,43 dm 2.

Actitudes y creencias Todos los datos que se requieren para resolver un problema matemático, pueden no ser dados en el enunciado del problema.

– Comente con sus compañeros acerca de cuál dato era el que faltaba en el ejercicio resuelto 1 para poder calcular el área basal.


91

Actividades Desarrolle todas las actividades en su cuaderno y anote las respuestas en el libro. Complete las siguientes expresiones con el término correspondiente. 1.

2.

Calcule el área lateral de las siguientes figuras compuestas. •

Un es un poliedro con 2 caras congruentes y paralelas llamadas bases, y sus caras laterales son paralelogramos perpendiculares a las bases.

No considere las caras que quedan ocultas.

8.

m c 3

Las caras de un prisma que no son bases se llaman .

3.

Los son prismas cuyas bases son paralelogramos.

4.

Un prisma que posee 4 caras laterales tiene base de forma .

6 cm 4 cm

c m 8 1

4 cm 12 cm AT =

9.

Calcule el área total de los siguientes prismas: 50 mm

5. AT =

8 cm 10.

5 cm

2 cm

m 5 c

2 cm

AT =

4 cm

6.

4 cm

2 cm

AT =

24 cm

1 0 c m

2 cm


AT =

11.

7.

6 c m

En una vidriera deben elaborar una pecera como la de abajo. ¿Cuántos metros cuadrados de vidrio necesitarán?

10 cm 0,8 m 1,5 m AT =

92


1m

12. Se quiere cubrir con losetas cuadradas de

14. Adela necesita pintar el depósito que se

100 cm2 de área la superficie

lateral de un pozo como el de la imagen. El pozo tiene forma de prisma recto de 16 dm de altura y con base cuadrada de 15 2 dm de diagonal ¿Cuántas losetas se necesitarán?

muestra en la figura. Si no va a pintar la base y la pintura rinde 4 m 2 por cada litro, ¿cuántos litros necesita? Ap = 6 m

14 m 8m

8m

15. Efraín quiere construir un almacén de mate-

riales como el de la imagen. Si el techo se hará con láminas de madera y las paredes en cemento prefafricado, ¿cuántos metros cuadrados de madera y de pared se usarán?

13. Minor observó un cubo como el de la ima-

gen que tiene un área total de 294 cm 2. ¿Cuál es el valor de los datos desconocidos d y D del cubo?

2m D

2m

d 3m

3m

Evaluación por proyectos Construya un prisma recto que tenga las siguientes características: Un área basal de 120 cm 2, bases con forma de triángulo rectángulo con medidas correspondientes a una terna pitagórica y una altura de 30 cm. 16. Investigue cuáles deben ser las medidas de

18. Recorte el desarrollo que dibujó en la

los lados de las bases, de manera que sean terna pitagórica y hagan que el área basal sea de 120 cm 2. 17.

Dibuje, en una cartulina, un desarrollo plano que corresponda al prisma que desea construir. Puede buscar en Internet el desarrollo plano de un prisma triangular para que le sirva de base.

cartulina y arme el prisma. Puede pegarlo con goma si es posible. Considere que si deja pequeñas pestañas en el desarrollo plano, le pueden servir para pegar la figura. •

•

19.

Compare la figura que obtuvo con la de algún compañero.


93

Variables cuantitativas Habilidades específicas 1. Establecer diferencias

entre variables cuantitativas: discretas y continuas. 2. Clasificar variables

cuantitativas en discretas o continuas. 3. Agrupar datos cuantitati-

vos en clases o intervalos. 4. Resumir un grupo de

datos cuantitativos por medio de la elaboración de un cuadro de distribuciones de frecuencia absoluta y relativa. 5. Interpretar la informa-

ción que proporciona un cuadro de distribución de frecuencias de un grupo de datos cuantitativos.

Lea la situación problema A Daniel le encargaron que elaborara un informe sobre la cantidad de autos que pasan por una carretera entre las 7 a. m. y las 8 a. m. Él obtuvo los datos de la derecha. ¿De que manera puede resumir esa información en una tabla, si ninguno de los datos se repite?

53 76 81 88 69 97

85 60 65 98 75 77

64 91 54 66 89 72

52 96 78 51 67 90

Analice • •

•

¿Qué tipo de información fue la que recolectó Daniel? Si tuviera que clasificar los datos que obtuvo Daniel en 5 grupos, ¿de qué manera lo haría? ¿Cuántos datos tendría cada grupo?

Resuelva

Responda

Clasificación de variables cuantitativas Una variable es una característica de los individuos de la población que es objeto de estudio. Se clasifica de acuerdo con el tipo de valores que puede tomar en: cuantitativa y cualitativa. Recuerde Si una variable toma valores numéricos se dice que es cuantitativa, si no es numérico, es cualitativa. 94

Una variable cuantitativa puede ser discreta o continua: Variable discreta

Si entre cualesquiera 2 valores que puede tomar la variable, hay al menos un valor que NO puede tomar.


Variable continua

Recursos TIC

Si entre cualesquiera 2 valores que puede tomar la variable, hay otro que también puede tomar.

Trabaje en la siguiente dirección electrónica. http://www.santillana.cr/ OD/variablesM9

El tipo de datos que recolectó Daniel, según el problema de la página anterior, corresponden a variables cuantitativas discretas. Esto porque, por ejemplo, podrían haber pasado 51 o 52 carros, pero no hay ningún otro valor intermedio que pueda tomar la variable. Es decir, no podría haber pasado ni 51,5 carros ni ningún otro valor que esté entre 51 y 52.

Ejercicios resueltos 1 Clasificar las variables dadas en discretas o continuas. a. Número de hermanos.

Discreta, ya que entre 2 valores posibles como 2 y 3, no hay otro valor posible.

b. Estatura en metros.

Continua, ya que entre 2 valores posibles como 1,6 m y 1,7 m podría haber otro valor como 1,65 m.

c. Peso en kilogramos.

Continua.

d. Cantidad de estudiantes por nivel.

– Clasifique las imágenes según el tipo de variable a la que corresponde con respecto a la descripción que aparece en la parte inferior de la imagen. – Busque otras actividades, en Internet, con las cuales pueda practicar la clasificación de variables en cuantitativas discretas y en cuantitativas continuas.

Discreta.


Explique, con sus propias palabras la diferencia entre una variable cuantitativa discreta y una cuantitativa continua.

Escriba "discreta" o "continua" según el tipo de variable cuantitativa descrita. 2.

3.

4.

La cantidad de ventanas por aula que hay en un colegio.

5.

La cantidad de agua que consume cada familia de un barrio.

6.

La estatura de las integrantes de la selección de baloncesto de un colegio.

7.

Las temperaturas mínimas registradas en la provincia de Cartago durante un año.

El peso por unidad de 150 sandías.

El número pupitres por aula.


95

8.

9.

Dinero promedio semanal que gastan los estudiantes de un colegio en la soda.

Encierre las variables que aparecen en cada párrafo según las siguientes indicaciones:

Cantidad de litros de leche que produce por día cada una de las vacas de una granja.

– – –

Con azul las cualitativas. Con negro las cuantitativas discretas. Con rojo las cuantitativas continuas.

15. 10. Cantidad de horas extras que trabajan los

empleados de una empresa, durante un año.

Laura va a realizar un estudio sobre la producción agrícola de una finca ecológica. Ella debe registrar los tipos de productos que se cosechan, la cantidad de productos de cada tipo que se producen por mes y la cantidad de kilogramos de abono que se invierten.

Escriba 2 ejemplos de variables cuantitativas discretas. 11.

16.

12.

Escriba 2 ejemplos de variables cuantitativas discretas. 13. 14.

En una fábrica de refrescos realizan un estudio anual para evaluar el rendimiento. Algunas de las variables presentes en el estudio son: Número de empleados, producción anual en litros, valoración de la calidad por parte del consumidor, ventas en miles de dólares, cantidad de camiones repartidores y gastos en miles de dólares.

Datos agrupados Al organizar datos estadísticos, suele pasar que algunos datos se repiten. La frecuencia absoluta es la cantidad de veces que se repite un determinado valor de la variable. La frecuencia relativa corresponde a la parte del total que representa cada valor de la variable; esta puede expresarse como un número decimal o como porcentaje.

El uso de figuras geométricas como herramienta de comprensión de situaciones abstractas fue una estrategia utilizada por los griegos para demostrar algunas proposiciones algebraicas. Algunas de esas ideas corresponden a los métodos actuales de factorización. 96

Sin embargo, también existen casos en los que los datos son muy variados o no se repiten, esto ocurre con mayor frecuencia con datos cuantitativos. En esos casos es conveniente agruparlos y construir una tabla de distribución de frecuencias con clases. Por ejemplo, para el problema de la página 92, Daniel podría construir una tabla como la de abajo. Cantidad de autos entre

50 y 59

60 y 69

70 y 79

80 y 89

90 y 99

Frecuencia

4

6

5

4

5


Para construir una tabla de distribución de frecuencias con clases se deben dar los siguientes pasos: •

•

•

•

•

Se calcula el rango, que es el valor que se obtiene al restar el dato menor del dato mayor. Se elige la cantidad de grupos o clases que se desean y se divide el rango entre esa cantidad, con lo cual se obtiene la amplitud que tendrá cada clase. Se definen los límites de las clases de manera que todas tengan la misma amplitud. Se realiza el conteo de las frecuencias absolutas y luego se calculan las relativas. Si es necesario se calculan las marcas de clase. Para esto se suma el límite inferior con el superior y se divide entre 2.

Ejercicio resuelto 2 Elaborar una tabla de distribución de frecuencias para representar los datos de la derecha. •

•

•

•

Se calcula el rango: 25 – 2 = 23 Se determina la amplitud de las clases. En este caso se harán 6 clases: 23 ÷ 6 . 3,8

La Caja Costarricense de Seguro Social es una institución del Estado que brinda grandes aportes al bienestar de la salud del pueblo. – Comente, con sus compañeros, sobre la importancia de esta institución. – Pregunte a 50 personas cuántas veces al año visitan al médico. Luego elabore una tabla de distribución de frecuencias de datos agrupados en la que presente los resultados.

Masa, en kilogramos, de los niños atendidos en un Ebais 4 13 15 25 22 12 24 12 10 8 18 12 6 21 14 22 7 22 6 24 15 12 10 20 2 8 10 8 14 17

Se redondea la amplitud al entero mayor más próximo. En este caso sería 4. Se definen los límites de las clases. Para esto se inicia con el menor dato y se suma la amplitud cada vez. [2, 6)

_ b [10, 14) b ` [22, 26] b a

[6, 10)

[14, 18) [18, 22) •

Eje transversal

El paréntesis cuadrado indica que el límite está incluido, el redondo que está excluido. La última clase siempre incluye los 2 límites.

Se calculan las frecuencias absoluta y relativa para completar la tabla. Distribución de frecuencias absolutas y relativas de los niños atendidos en un Ebais según su masa Masa

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Marca de clase

[2, 6)

2

0,07 = 7%

(2 + 6) ÷ 2 = 4

[6, 10)

6

0,20 = 20%

(6 + 10) ÷ 2 = 8

[10, 14)

8

0,26 = 26%

(10 + 14) ÷ 2 = 12

[14, 18)

5

0,17 = 17%

(14 + 18) ÷ 2 = 16

[18, 22)

3

0,10 = 10%

(18 + 22) ÷ 2 = 20

[22, 26]

6

0,20 = 20%

(22 + 26) ÷ 2 = 24

TOTAL

30

1 = 100%

La suma de las frecuencias absolutas es igual al total de datos. La frecuencia relativa se calcula dividiendo cada frecuencia absoluta entre la suma de las frecuencias absolutas. De esta manera se obtiene la frecuencia como número decimal. Si se desea, se puede expresar también como porcentaje. Por ejemplo: 0,20 = 20%. Además, las frecuencias relativas se deben redondear de manera que la suma de ellas dé 1 si están expresadas como decimal o 100% si es en porcentaje.


97


22. Anote cuántas clases tiene la distribución de frecuencias y cuál es la amplitud de cada una.

Defina, con sus propias palabras, cada uno de los siguientes conceptos en relación con un conjunto de datos agrupados: 17.

a. Cantidad de clases: b. Amplitud: 23. Escriba las 2 últimas clases en la tabla de distribución de frecuencias.

Rango:

24.

18. Amplitud:

Escriba 2 posibles valores para la variable consumo de combustible que incluye cada clase. a. Clase 14,5 – 17,5:

19.

Clases: b. Clase 26,5 – 29,5:

20. Límites de una clase:

21.

25. Complete las columnas correspondientes a las frecuencias absolutas y a las frecuencias relativas en la tabla anterior.

Frecuencia absoluta de la clase:

Realice las actividades según la siguiente distribución de frecuencias:

Realice las actividades según la información del recuadro.

Distribución de frecuencias absolutas y relativas de los camiones de una empresa según el consumo de combustible (en litros) Consumo (en litros)

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

[11, 14)

4

0,09

[14, 17)

7

0,16

[17, 20) [20, 23)

4

[23, 26)

6

[26, 29)

5

En un grupo de datos numéricos el mayor valor es 11 y el menor, 3.

26. Calcule el rango para el grupo de datos descrito. 27.

0,18

a.

,

m =

0,09

b.

,

m =

c.

,

m =

d.

,

m =

e.

,

m =

6 5 TOTAL 98

45

Defina 5 clases para el grupo de datos.

1

28. Anote, en la línea correspondiente, la marca de clase (m) de cada una de las clases de la actividad anterior.


Realice las actividades según el siguiente grupo de datos.

33. Complete la distribución de frecuencias. Exprese la frecuencia relativa en números decimales. •

Estatura, en centímetros, de 40 estudiantes de noveno

142

159

155

148

145

148

163

164

156

165

156

170

168

169

159

163

168

155

168

158

164

172

152

152

154

150

160

168

154

165

144

158

152

168

168

158

154

160

170

171

Distribución de frecuencias de 40 estudiantes de noveno según su estatura en centímetros Estatura

Frecuencia absoluta

Frecuencia Marca de relativa clase

29. Calcule el rango. 30. Determine la amplitud de clase si se definen 10 clases.

TOTAL

31. Defina las 10 clases. Anote el límite inferior en el primer recuadro y el límite superior en el segundo. •

a.

,

m =

b.

,

m =

c.

,

m =

d.

,

m =

e.

,

m =

f.

,

m =

g.

,

m =

h.

,

m =

i.

,

m =

j.

,

m =

32. Anote, en la línea correspondiente, la marca de clase (m) de cada una de las clases de la actividad anterior.

Responda las siguientes preguntas con base en la información representada en la tabla anterior: 34. ¿En cuál clase se ubican la menor cantidad de estudiantes?

35. ¿En cuál clase se ubican la mayor cantidad de estudiantes?

36. ¿Qué porcentaje de los estudiantes miden entre 160 cm y 163 cm?

37.

¿Cuántos estudiantes miden menos de 160 cm?

38. ¿Qué porcentaje de los estudiantes miden 160 cm o más?


99

Construya una tabla de distribución de frecuencias para cada grupo de datos. Calcule la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa y responda las preguntas correspondientes en cada caso.

40. Defina 5 clases.

•

Edad, en años, de las madres de 42 estudiantes de noveno

Para los ejercicios 39 y 40 exprese la frecuencia relativa como porcentaje y para el 41, como número decimal. Además, observe que en cada caso se le indica la cantidad de clases que debe definir.

31

44

32

33

43

40

54

55

50

36

35

36

48

55

32

51

52

36

39

50

36

35

36

41

40

44

36

34

34

37

43

32

32

45

48

42

38

30

42

35

38

46

39. Defina 5 clases. Kilómetros recorridos por los vehículos alquilados en una semana

a. ¿Qué porcentaje de estudiantes tienen madres de menores de 40 años?

167 159 168 165 150 170 172 159 158 163 156 151 173 175 164 158 153 158 157 164 169 163 160 174

41.

Defina 12 clases. Masas, en kilogramos, de 30 jóvenes

41,5

45,8

52,3

48,3

54,1

49,2

54,1

54,2

51,6

55,6

53,6

53,1

45,3

44,9

38,7

42,4

43,5

36,4

45,7

52,7

53,4

54,8

53,4

50,3

43,4

51,1

43,5

45,5

55,1

47,7

a. ¿En cuál clase se ubican la menor cantidad de datos?

b. ¿En cuál clase se ubican la mayor cantidad de datos?

c. ¿Qué porcentaje de autos recorrieron 165 km o más?

100


a. ¿Cuántos jóvenes tienen un peso igual o superior a 46 kg?


44. Elabore una distribución de frecuencias con 6 clases para representar los datos sobre la cantidad de proteína.

Realice las actividades con base en la información del recuadro. Una estudiante de nutrición debe hacer un estudio sobre la cantidad aproximada de gramos de proteínas que consume diariamente un grupo de personas para el curso de Estadística. En la recolección de información obtuvo los siguientes datos: 42, 43, 43, 44, 44, 44, 45, 46, 47, 47, 47, 49, 51, 51, 51, 52, 52, 52, 52, 53, 55, 58, 58, 59, 59, 61, 61, 62, 63, 66.

45. Conteste las preguntas con base en la información de la tabla que elaboró. a. ¿En cuál clase se ubican la mayor cantidad de datos?

42. Marque con

el tipo de variable del estudio.

Cuantitativa discreta.

b. ¿Qué porcentaje del grupo de personas consume mas de 58 g de proteína?

Cuantitativa continua. 43. Conteste. Si la estudiante debe incluir también una variable cuantitativa discreta y una cualitativa que sea de utilidad para el estudio, ¿qué datos podría recolectar?

46. Escriba 2 conclusiones con base en la tabla.

Evaluación por proyectos Represente, mediante una distribución de frecuencias de datos agrupados, el índice de masa corporal (IMC) de todos los estudiantes de su sección. 47.

Forme un grupo de 5 personas para realizar este trabajo.

50. Elijan una cantidad de clases adecuada, según los datos obtenidos.

48. Investiguen cuál es la fórmula que se utiliza para calcular el IMC.

51.

Elaboren un informe en el que presenten los resultados obtenidos. Incluyan conclusiones basadas en los valores propuestos por la Organización Mundial de la Salud. •

49. Recolecten los datos necesarios y calculen el IMC de todos sus compañeros.


101

Histograma Habilidad específica 1. Resumir la información proporcionada por una distribución de frecuencias mediante un histograma e interpretar la información que proporcionan estas representaciones gráficas.

Lea la situación problema Un pediatra debe entregar, al jefe del hospital, un informe en el que incluya la estatura de los niños atendidos durante una semana en su consultorio. El organizó los datos en una distribución de frecuencias como la de la derecha, pero también debe representarlos represen tarlos mediante un gráfico. ¿De qué manera puede hacerlo?

Distribución de niños atendidos, según su estatura en centímetros Estatura en centímetros

Cantidad de niños

54,5 – 64,5

1

64,5 – 74,5

3

74,5 – 84,5

7

84,5 – 94,5

5

TOTAL

16

Analice • •

¿Qué tipo de gráficos estadísticos conoce? ¿Cuál de esos tipos de gráficos sería más apropiado utilizar?

Resuelva Florence Nightingale (1820 - 1910) fue una sobresaliente enfermera, escritora y estadística británica. A ella se le atribuyen los primeros informes estadísticos con gráficos. Estos los elaboró para informar al gobierno inglés la situación de salud durante la guerra de Crimea, en la cual desarrolló un importante trabajo como enfermera.

Responda

Construcción e interpretación de histogramas Para representar gráficamente los datos de una distribución de frecuencias sobre una variable continua se puede emplear un histograma.

Recuerde Las variables cuantitativas continuas son aquellas en las que dados 2 valores para la variable, esta puede tomar otro valor entre esos 2.

102

Este tipo de gráfica emplea el área de barra s verticales (rectángulos) (rec tángulos) para representar la frecuencia absoluta o relativa de una clase de una distribución. Las áreas de los rectángulos son respectivamente proporcionales proporcio nales a las frecuencias de las clases que representan. Las barras van juntas, son del mismo ancho si las clases tienen la misma amplitud, y de diferente ancho, si poseen diferente amplitud.


Para construir un histograma que tiene clases de igual amplitud, amplitud, se pueden dar los siguientes pasos: •

•

•

•

•

Trazar los ejes y colocar en el horizontal los límites de cada clase, y en el vertical, vertica l, las frecuencias absolutas o relativas. Rotular los ejes. Cuando se utiliza la frecuencia relativa, es necesario indicar, en el rótulo, que los valores corresponden a porcentajes. Trazar la barra correspondiente correspondiente a cada c ada clase. Como todas las la s clases tienen igual amplitud, entonces las barras son del mismo ancho. Las barras van juntas y sus alturas indican la frecuencia correspondiente correspond iente a cada c ada clase. Si hay valores entre 0 y otro número, que no son tomados por la variable, se debe indicar con un corte en el eje horizontal.

Recursos TIC Trabaje en la Trabaje l a siguiente dirección electrónica: http://www.santillana.cr/ OD/histogramaM9 – Observe la forma cómo se construye e interpreta un histograma. – Busque otros videos, en Internet, en los que detallen paso a paso la construcción de histogramas y compártalos con sus compañeros.

Escribir el título, y si es necesario, la fuente. Los casos en que se debe escribir la fuente son aquellos en que los datos no son de procedencia propia.

Ejercicio resuelto 1 Representar los datos de la tabla mediante un histograma. Distribución de 20 sacos de arroz, según su peso en kilogramos Peso Pe so en ki kilo logr gram amos os

Cant Ca ntid idad ad de sa saco coss

[19,5 – 24,5)

2

[24,5 – 29,5)

5

[29,5 – 34,5)

6

[34,5 – 39,5)

4

[39,5 – 44,5]

3

TOTAL

20

Distribución de 20 sacos de arroz, según su peso en kilogramos

Representar

Título El corte en el eje muestra los valores que no fueron tomados por la variable.

s6 o c a5 s e d4 d3 a d i t 2 n a C1

Límites de cada clase 0

19,5 24,5 29,5 34,5 39,5 44,5 Peso en kilogramos

variable

Las distribuciones de frecuencias y gráficas estadísticas son de gran utilidad en la presentación de información en forma resumida. r esumida. – Participe en una mesa redonda, durante la cual varias personas comenten acerca de los beneficios de los recursos estadísticos para la presentación y análisis de datos. – Piense en las dificultades que se tendrían, para realizar diferentes estudios, si no se contara con estas herramientas. – Exponga sus ideas con claridad y libertad.


103


Complete el histograma de acuerdo con la distribución de frecuencias dada.

7.

Distribución de 58 empleados de una fábrica según salario quincenal recibido

Explique, con sus propias palabras, cuál es Explique, la diferencia entre una gráfica de barras y un histograma.

Responda las preguntas preguntas de abajo con base ba se en la siguiente siguie nte gráfica:

s a n o s r e p e d e j a t n e c r o P

Frec Fr ecue uenc ncia ia abs absol olut utaa

[350,5 – 375,5)

9

[375,5 – 400,5)

6

[400,5 – 425,5)

13

[425,5 – 450,5)

12

[450,5 – 475,5)

10

[475,5 – 500,5]

8

TOTAL

58

Distribución de 25 personas, según su estatura en centímetros

30 25 20 15 10 5 0

2.

Sala Sa lari rio o en dól dólar ares es

14

159,5 16 164, 4,5 5 16 169, 9,5 5 17 174, 4,5 5 17 179, 9,5 5 18 184, 4,5 5 Estatura en centímetros

¿Entre qué alturas se encuentran las personas que representan un 20% del total?

s 12 o d a e10 l p m 8 e e d 6 d a d i t 4 n a C 2

0 350,5

3.

¿Cuál es el rango de estatura est atura más frecuente?

Salario quincenal en dólares

Conteste las preguntas según la gráfica anterior. 4.

¿Cuál es el rango de estatura menos frecuente?

8.

¿Entre cuáles valores se encuentran ubicados los salarios de más personas?

5.

¿Qué porcentaje del total de personas miden más de 174,5 cm?

9.

¿Cuántas personas ganan entre $450,5 y $500,5 por quincena? quincena?

6.

¿Qué porcentaje del total de personas miden menos de 174,5 cm?

10.

¿Qué porcentaje aproximado del total de personas ganan $425 $ 425,5 ,5 o más quincenalmente?

104


11.

Construya un histograma según los datos de la siguiente distribución de frecuencias:

Distribución de 35 bebés según su masa al nacer 20

Distribución de 112 familias según pago mensual en consumo de energía Pago en colones

Frecuencia relativa

[2500 – 4500)

9%

[4500 – 6500)

11%

[6500 – 8500)

16%

[8500 – 10 500)

15%

[10 500 – 12 500)

20%

[12 500 – 14 500)

18%

[14 500 – 16 500)

7%

[16 500 – 18 500]

4%

TOTAL

100%

16. Elabore la distribución de frecuencias absolutas y relativas correspondiente al histograma.

s é b e b e d d a d i t n a C

15 10 5 0

1,5

2,5 3,5 Masa en kilogramos

4,5

Realice las actividades con base en los siguientes datos: Calificaciones obtenidas por un grupo de estudiantes en un examen de Matemática

51 54 55 62 62

Conteste las preguntas según la gráfica anterior. 12. ¿Cuál es el rango de pago menos común?

17.

64 67 68 68 69

69 70 70 70 70

76 77 78 78 78

78 80 86 86 87

87 88 88 88 88

91 92 92 93 94

94 94 96 100 100

Organice los datos anteriores en una distribución de frecuencias de datos agrupados. Realce esta actividad en su cuaderno. •

13. ¿Qué porcentaje del total de las familias pagan 10 500 o más mensualmente?

18. Construya un histograma con base en la distribución de frecuencias anterior.

14. ¿Qué porcentaje del total de las familias pagan menos de 10 500 mensualmente?

15. ¿Cuántas familias, aproximadamente, pagan entre 8500 y 10 500?


105

Capítulo 3

Polígono de frecuencias Habilidades específicas 1. Resumir la información proporcionada por una distribución de frecuencias mediante un polígono de frecuencias e interpretar la información que proporcionan estas representaciones gráficas. 2. Utilizar algún software especializado o una hoja de cálculo para apoyar la construcción de las distribuciones de frecuencia y sus representaciones gráficas.

Lea la situación problema Una nutricionista realiza una investigación sobre la masa corporal de los 57 empleados de una empresa. Ella registró los datos obtenidos en una tabla como la de la derecha. Para presentar los resultados de una manera más fácil de interpretar ella quiere utilizar una gráfica estadística. ¿Qué tipo de gráfica podría utilizar?; ¿cómo quedaría esa gráfica?

Distribución de 57 empleados según su índice de masa corporal (IMC) IMC

Frecuencia absoluta

16,5 – 18,5

2

18,5 – 20,5

6

20,5 – 22,5

13

22,5 – 25,5

18

25,5 – 29,5

10

29,5 – 35,5

8

TOTAL

57

Analice • •

¿Qué tipo de datos son los que debe graficar? ¿Qué gráficas estadísticas conoce que sean de utilidad para graficar ese tipo de datos?

Resuelva

Responda Recuerde Las gráficas estadísticas se utilizan para presentar datos de manera que faciliten el análisis de la información. Existen diversos tipos de gráficas, como la de barras, la circular, el pictograma, entre otras.

106

Construcción e interpretación de polígonos de frecuencias Los datos de una distribución de frecuencias sobre una variable continua también se pueden representar en un polígono de frecuencias. En él se representan las frecuencias por medio de puntos. Es conveniente utilizar un polígono de frecuencias cuando las clases de la distribución de frecuencias tienen diferente amplitud.


Para construir un polígono de frecuencias puede dar los siguientes pasos: •

•

•

•

Agregar una clase anterior a la primera y una posterior a la última, con la misma amplitud de la clase correspondiente. Calcular la marca de cada clase. Trazar y rotular los ejes. En el horizontal se colocan las marcas de clase, y en el vertical, las frecuencias. Cuando se utiliza la frecuencia relativa, es necesario indicar, en el rótulo, que los valores corresponden a porcentajes. Ubicar los puntos según la frecuencia de cada clase y unirlos con segmentos.


Eje transversal La estadística se aplica en muchas áreas de interés social. Por ejemplo, en los análisis de población, en la salud y en la economía, entre otras. – Investigue sobre la relación que existe entre la estadística y la salud. – Busque información acerca del trabajo que realizan los estadísticos en temas de salud.

Representar los datos de la tabla mediante un polígono de frecuencias. •

Se agrega las clases (una antes de la primera de la tabla y otra después de la última) y se calcula la marca de cada clase. Tiempo alcanzado por 35 estudiantes en una prueba de resistencia Tiempo Frecuencia (en minutos) absoluta

•

Marca Frecuencia de clase [4,5 – 5,5) 5 0 Clase

[5,5 – 6,5)

3

[5,5 – 6,5)

6

3

[6,5 – 7,5)

4

[6,5 – 7,5)

7

4

[7,5 – 8,5)

6

[7,5 – 8,5)

8

6

[8,5 – 10,5)

10

[8,5 – 10,5)

9,5

10

[10,5 – 13,5]

12

[10,5 – 13,5)

12

12

TOTAL

35

[13,5 – 16,5]

15

0

Se trazan los ejes, se rotulan, se colocan los puntos correspondientes a las frecuencias y se traza el polígono. Tiempo alcanzado por 35 estudiantes en una prueba de resistencia s e t n a i d u t s E

12 10 8 6 4 2 0 5

6

7

8 9,5 12 Tiempo en minutos

15

Recursos TIC Trabaje en la siguiente dirección electrónica: http://www.santillana.cr/ OD/graficasM9 – Realice las actividades que se proponen en cada caso. – Busque listas adicionales de actividades relacionadas con la construcción de histogramas y polígonos de frecuencias y resuélvalos.


107


Complete el polígono de frecuencias con base en los datos de la tabla.

7.

Conteste las preguntas según el siguiente polígono de frecuencias:

s a n o30 s r e 25 p e d20 e15 j a t n10 e c r 5 o P

Distribución de personas, según el monto pagado en la última factura telefónica

Distribución de 25 personas, según su estatura en centímetros

0 157

162

167

172

177

182

Estatura en centímetros

¿Cuál es la estatura estimada más común?

2.

¿Entre qué estaturas, aproximadamente, se encuentran todas las personas?

3.

4.

5.

6.

108

¿Cuántas personas, aproximadamente, miden 172 cm o más?

Porcentaje de personas

[4,5 – 5,5)

8

[5,5 – 6,5)

22

[6,5 – 7,5)

42

[7,5 – 8,5)

18

[8,5 – 9,5]

10

TOTAL

100

Distribución de personas, según el monto pagado en la última factura telefónica s 50 a

187

1.

Miles de colones

n o s r 40 e p e 30 d e j a 20 t n e c r 10 o P

0 4

5 6 7 8 9 Monto en miles de colones

Conteste las siguientes preguntas con base en la gráfica anterior: 8.

¿Cuál es el valor, en el eje horizontal, que representa la clase [7,5 – 8,5)?

9.

¿Cuál es el valor estimado que pagaron más personas en el último recibo?

¿Cuántas personas, aproximadamente, miden 172 cm o menos?

¿La cantidad de personas que miden más de 177 cm es mayor o menor que la cantidad de personas que miden menos de 177 cm?

¿Se podría afirmar que solo entre los 157 cm y los 177 cm, conforme aumenta la estatura también aumenta la frecuencia?, ¿por qué?

10. ¿Cuántas personas pagaron entre 4500 y 5500 en su último recibo telefónico?

11.


¿Cuántas personas pagaron, aproximadamente, 7000 o más?

12. Construya un polígono de frecuencias según los datos de la siguiente tabla:

17.

Elabore un polígono de frecuencias para representar cada grupo de datos. Antes de elaborar la gráfica, tabule los datos en una distribución de frecuencias de datos agrupados según la cantidad de clases indicada. a. Defina 5 clases. •

Distribución de 20 atletas, según el tiempo que duraron corriendo 10 km Tiempo en minutos

Cantidad de atletas

[39,5 – 49,5)

4

[49,5 – 59,5)

8

[59,5 – 69,5)

12

[69,5 – 79,5)

5

[79,5 – 84,5]

1

TOTAL

30

Cantidad de alumnos por sección

31 28 32

26 37 27

25 40 36

33 30 26

35 29 34

32 25 33

31 39 27

38 29 32

b. Defina 6 clases. Estatura de 24 personas en metros

Conteste las siguientes preguntas con base en el polígono de frecuencias anterior:

1,62 1,83 1,62 1,5 1,96 1,87 1,7

13. ¿Cuál es el valor, en el eje horizontal, que representa la clase [69,5 – 79,5)?

1,76 1,5 2,05 1,76 1,62 1,69 1,8

1,9

2,1 1,93 1,68 1,56 1,53 1,78 1,74 1,75 1,7

14. ¿Cuál es el tiempo estimado que tardó la mayor cantidad de atletas en recorrer los 10 km?

15. ¿Cuál es el porcentaje aproximado de atletas que tardaron 64,5 min o menos en recorrer los 10 km?

16. ¿Cómo describiría, en forma general, el desempeño de los atletas según el comportamiento de la gráfica ?

Puede utilizar el programa Excel para comprobar que las gráficas estén correctas. Observe los pasos para hacer un polígono de frecuencias en la página 111.


109

Actividades

18. Represente los datos que se muestran a continuación, mediante un histograma y un polígono de frecuencias. Primero realice una distribución de frecuencias de datos agrupados.

b. Polígono de frecuencias.

•

Tiempo, en minutos, que tardan 40 personas en almorzar

35 36 26 23 20

22 32 19 37 36

30 31 33 24 26

20 29 21 31 32

23 31 17 30 20

38 23 20 20 16

40 20 22 18 28

27 15 32 15 34

a. Histograma.

19.

Anote 3 conclusiones a partir de los datos representados en las 2 gráficas anteriores. a.

b.

c.

Evaluación por proyectos Desarrolle, en grupos, una investigación sobre las características de los estudiantes de una sección. 20. Integre un grupo de 4 personas. 21.

Tabulen la información utilizando distribuciones de frecuencias. Para las variables peso y estatura, háganlo mediante datos agrupados.

25.

Presenten la información sobre el sexo y la edad con una gráfica de barras y una circular.

Elijan una de las secciones de su colegio en la cual desarrollarán su trabajo.

22. Construyan un cuestionario mediante el cual recolecten información sobre las siguientes variables: sexo, edad, peso y estatura. 23. Apliquen el cuestionario a todos los estudiantes del grupo seleccionado. 110

24.

26. Utilicen un histograma y un polígono de frecuencias para el peso y la estatura. 27.


Elaboren un informe de investigación en el que incluyan 10 conclusiones.

Uso de la tecnología Construcción de un polígono de frecuencias con

Excel

Puede utilizar el programa Excel para construir diferentes tipos de gráficas. Por ejemplo, ejemplo, para construir un polígono de frecuencias puede dar los siguientes pasos:

Paso 1

Ingrese al programa y elabore la distribu distribución ción de frecuencias correspondiente a los datos que desea graficar.

Paso 2

Agregue la la primera y última clase clase como se explicó en la página 105. Luego calcule las marcas de clase y coloque las frecuencias como se muestra en la imagen.

Paso 3

Selecc ione todos los valores de la columna “FreSeleccione cuencia” y haga clic en la pestaña Gráficos del programa Excel.

Paso 4

Haga clic sobre la opción de de gráfico de línea con con marcas, que aparece en un botón como el de la derecha.

Paso 5

Cuando se despliegue el gráfico, haga clic derecho y seleccione la opción Seleccionar datos. Coloque el cursor en la barra correspondiente a Rótulos del . Luego eje de categorías y haga clic en el ícono seleccione los valores de la columna “Marca de clase” y vuelva a hacer clic en . También puede poner el título de la gráfica en la barra Nombre.

Represente los datos de la tabla de la derecha mediante un polígono de frecuencias y un histograma utilizando el software Excel.

Distribución de 72 clientes de una central telefónica según tiempo de espera en segundos Tie iemp mpo o (en (en se segu gund ndos os))

Frec Fr ecue uenc ncia ia ab abso solu luta ta

10, 5 – 2 0, 5

18

20, 5 – 3 0, 5

12

30, 5 – 4 0, 5

11

40, 5 – 5 0, 5

15

50, 5 – 6 0, 5

16


111

Muestras aleatorias Habilidad específica 1. Identificar la importancia del azar en los procesos de muestreo estadístico.

Lea la situación problema Marcela debe realizar un estudio en su colegio relacionado con el uso del reloj de mano. Pero tiene un problema, la población total del colegio es de 2523 estudiantes y ella cuenta con poco tiempo para realizar el estudio. es tudio. Si lo que debe determinar es el porcentaje aproximado de estudiantes que usan reloj, ¿qué técnicas puede utilizar para obtener resultados confiables?

Analice •

•

•

Conectar con…

Estadística La Estadística y la Probabilidad sirven de complemento mutuo para la realización de estudios y análisis de la información. – Investigue sobre otras conexiones existentes entre la Estadística y la probabilidad a parte del muestreo aleatorio.

¿Qué nombre recibe el grupo de datos que se elige, de la población total, para realizar un estudio estadístico? ¿Cuál sería una cantidad apropiada de personas para que Marcela lleve a cabo su estudio? ¿De qué manera podría Marcela seleccionar ese grupo de personas para que los resultados sean confiables?

Resuelva

Responda

El azar en el muestreo estadístico El muestreo es una técnica estadística mediante la cual se selecciona un grupo de total de la población de un estudio. Esta técnica suele utilizarse en casos donde la población es muy grande y realizar el estudio sobre la población completa podría ser muy complicado y costoso. Al seleccionar una muestra siempre se quiere que el resultado obtenido sea un grupo representativo de la población. Existen diferentes métodos para seleccionar una muestra, dentro de ellos est á el muestreo aleatorio a leatorio.. Para que un muestreo sea aleatorio todos los elementos deben tener la misma probabilidad de ser elegidos. Para lograr esto se pueden utilizar listas numerad numeradas, as, programas computacionales y tómbolas, entre otros. 112


En el estudio que debe realizar Marcela, según el problema de la página anterior, para realizar un muestreo aleatorio se podría ser generar una lista en Excel con el nombre de todos los estudiantes y obtener la muestra por medio de una fórmula.

Ejercicios resueltos 1 Proponer un método adecuado para la selección de una muestra en cada situación. a. Una empresa telefónica quiere consultar a 100 usuarios la cantidad aproximada de mensajes que envían por día.

•

Se podría buscar la base de datos con todos los nombres de todos los usuarios y utilizar algún programa computacional para extraer la muestra.

b. Un profesor debe elegir, al azar, a 6 personas de una sección de 35 estudiantes para que colaboren en la recolección de basura en una comunidad.

•

Eje transversal El Instituto Nacional de Estadística y Censo (INEC) es un ente encargado de suministrar al país información confiable sobre estadística nacional relacionada con diferentes aspectos sociales y económicos. – Investigue en la página web del INEC acerca de otras funciones de esta institución. – Comente, en grupos, acerca de las encuestas que realiza el INEC a nivel nacional y su importancia.

Al ser pocos datos se podría anotar el nombre de cada estudiantes en un papelito, echarlos en una bolsa y sacar 6 sin mirar.


4.

En una empacadora de atún un empleado debe verificar la calidad de las latas, para esto toma una de las latas de atún que pasa por la banda transportadora cada 5 minutos.

5.

Una empresa que elabora productos lácteos quiere conocer la calidad de la leche que recibe. Para realizar el estudio eligió a los 3 mayores proveedores de ese producto.

6.

Para desarrollar un proyecto, el MOPT debe elegir un empresa constructora tica. Para esto decide evaluar el trabajo de 3 empresas de la zona de Guanacaste.

7.

Un ganadero con 2000 vacas, revisa cada semana el estado de los aretes de cualesquiera de las 10 reses para evaluar cuando es necesario cambiarlos todos.

Explique, con sus propias palabras, qué es Explique, una muestra aleatoria.

Marque con las situaciones en las que se describe una selección de muestra al azar. a zar. 2.

3.

Para evaluar la calidad de los envases producidos en una fábrica, un empleado somete a prueba los últimos 10 envases producidos cada día.

El INEC realiza, periódicamente, llama das a 10 000 hogares costarricenses. Para esto se eligen 10 números de cada una de las 1000 páginas de una guía telefónica.


113

Describa 3 situaciones en las cuales sea necesario elegir una muestra para realizar un estudio. • Especifique, en cada caso, cuál es la población.

8.

9.

Proponga, para cada situación de la actividad anterior, un método para elegir una muestra aleatoria. a.

a. b.

c.

Población b.

10. Explique por qué en la situación descrita en el recuadro NO es adecuado realizar un muestreo aleatorio. Un estudiante universitario debe redactar un ensayo sobre la historia de su pueblo. Para eso elige, al azar, a 10 personas que viven en el pueblo para entrevistarlas.

Población c.

Población

Evaluación por proyectos Desarrolle, en grupos, una investigación, sobre algún tema de su interés, en la que la población del estudio sean todos los estudiantes de su colegio. 11.

Escriban, brevemente, cuál es el objetivo del estudio que van a llevar a cabo.

12. Decidan qué técnica de recolección de datos es la más adecuada para recopilar la información necesaria (entrevista, observación, encuesta...). 13. Construyan el o los instrumentos en caso de que sean necesarios (cuestionario, guía de observación...).

114

14. Discutan acerca del tamaño adecuado de la muestra sobre la cuál realizarán el estudio. 15. Elijan el método que consideren más apropiado para la selección de la muestra. 16. Representen la información recolectada por medio de tablas o gráficas. 17.


Elaboren un informe escrito en el que incluyan todos los pasos anteriores y los resultados más relevantes.

Uso de la tecnología Seleccionar una muestra de una lista de datos en

Excel

Puede utilizar el programa Excel para seleccionar una muestra a partir de una lista de datos. Por ejemplo, si tiene una lista con los nombres 37 estudiantes de una sección puede dar los siguientes pasos para obtener una muestra aleatoria: Paso 1

Ingrese al programa y copie la lista con los nombres de todos los estudiantes en la columna B, uno por fila. Luego, enumere los nombre en la columna A.

Paso 2

Haga clic sobre una celda vacía e introduzca la fórmula =aleatorio.entre. Luego coloque entre paréntesis el primer número de la lista seguido de punto y coma y el último número de la lista.

Paso 3

Arrastre hacia abajo, desde la esquina inferior derecha, la celda con la fórmula para generar varios números aleatorios. La cantidad de números debe ser mayor que el tamaño de la muestra que se desea. Por ejemplo, si se desea una muestra de 5 se pueden generar unos 10 números. Cuando obtenga los 10 números aleatorios cópielos y péguelos utilizando la opción de pegado especial como valores. Para eliminar los datos repetidos seleccione todos los números, vaya a la pestaña de datos y elija la opción "Quitar duplicados". Posteriormente elimine los datos que sean necesarios para obtener la cantidad deseada.

Paso 4

Seleccione la celda que está a la derecha del primer valor aleatorio e introduzca la fórmula =buscarv. Luego complete la fórmula así: (celda del valor aleatorio (D1); todos los datos de la lista ($A$1:$B$37); 2; 0) Arrastre la fórmula hacia las celdas de abajo correspondientes a los valores aleatorio. Los símbolos $ se utilizan para que los datos no cambien al arrastrar la fórmula. El 2 que se escribe en la fórmula es para indicar que lo que debe aparecer es el dato de la columna 2.

Utilice el programa Excel para elegir aleatoriamente a 10 estudiantes de su sección. © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley de Derechos de Autor n.º 6683.

115

Probabilidad

Habilidades específicas 1. Identificar eventos para los cuales su probabilidad no puede ser determinada empleando el concepto clásico. 2. Utilizar el concepto de frecuencia relativa como una aproximación al concepto de probabilidad, en eventos en los cuales el espacio muestral es infinito o indeterminado. 3. Identificar que las propiedades de las probabilidades que están vinculadas con evento seguro, probable e imposible también son válidas para la definición frecuencial. 4. Identificar que, para un evento particular, su frecuencia relativa de ocurrencia se aproxima hacia la probabilidad clásica conforme el número de observaciones aumenta.

Lea la situación problema Gerardo lanzó una moneda de 50 al aire 20 veces y obtuvo los resultados que se muestran a la derecha. Según el experimento de Gerardo, ¿cuál es la probabilidad de obtener escudo?

20 lanzamientos de una moneda

C E C E

C E C C

C E C E

E C C C

E C C E

E: escudo, C: corona

Analice • ¿Cómo representaría los resultados del experimento mediante una distribución de frecuencias? • ¿Cuántos de esos resultados corresponden a escudo? • ¿Cuál es el cociente al dividir la cantidad de escudos obtenidos entre el total de datos?

Resuelva

5. Resolver problemas vinculados con fenómenos aleatorios dentro del contexto estudiantil.

Responda

Probabilidad frecuencial Para determinar la probabilidad de un evento particular según un expe rimento, se divide la cantidad de resultados favorables entre el total de casos posibles. Esto es lo que se conoce como probabilidad clásica. Sin embargo, existen situaciones en las que no es posible conocer todos los resultados posibles o resulta complicado determinarlos. Para calcular probabilidades en ese tipo de situaciones se puede uti lizar la probabilidad frecuencial. Para calcular probabilidades de esta forma es necesario elegir una muestra, preferiblemente aleatoria y realizar los cálculos sobre esa muestra. 116


En algunos casos es aconsejable elaborar una distribución de fre cuencias para visualizar mejor los datos. Para calcular la probabilidad de un evento A, a partir de una muestra, se divide la frecuencia relativa del evento entre la cantidad de elementos muestreados. Se debe tener en cuenta que, en estos casos, la probabilidad obtenida es una aproximación según la muestra utilizada. Por lo tanto no corresponde al valor exacto que se obtendría si se pudiera aplicar la definición clásica de probabilidad. Por ejemplo, en la situación inicial de la página anterior la probabi lidad frecuencial de obtener escudo, según la muestra obtenida por = 0, 6 , pero en realidad sabemos que en el experi Gerardo, sería 3 5 mento de lanzar una moneda la probabilidad de obtener escudo es

Actitudes y creencias A diferencia de lo que muchas personas creen, la Matemática tiene muchas aplicaciones en diferentes áreas de la vida. La estadística y la probabilidad son 2 áreas de gran utilidad. – Participe de una discusión grupal, dirigida por su docente, en la cual comenten sobre las aplicaciones que cada uno conoce de la estadística y la probabilidad.

de 0,5. Esto porque es un experimento en el que sí se puede aplicar la probabilidad clásica.

Ejercicio resuelto 1 Determinar la probabilidad de que una persona fumadora, mayor de 40 años, tenga problemas cardiacos. •

En este caso no es posible determinar el tamaño del espacio muestral, ni la cantidad de casos favorables, por lo que es conveniente aplicar la probabilidad frecuencial.

•

Primero se debe obtener una muestra, para esto se puede consultar a unas 50 personas fumadoras y mayores de 40 años si tienen o no padecimientos cardiacos.

•

Es conveniente tabular la información obtenida en una distribución de frecuencias. Distribución de 50 personas fumadoras mayores de 40 años según padecimiento cardiaco o no Padecimiento

Frecuencia

Sí presenta

34

No presenta

16

TOTAL

50

•

Se divide el total de casos favorables entre el total de elementos muestreados.

•

De esta forma se puede decir que, según la muestra obtenida, la probabilidad de que una persona fumadora mayor de 40 años tenga problemas cardiacos es de un 68%.

34 17 = = 0, 68 50 25

Eje transversal Las personas fumadoras tienen altas probabilidades de sufrir problemas cardiacos y respiratorios, entre otros. – Investigue, en Internet, sobre qué otros problemas de salud, económicos y sociales puede generar el fumado en su vida. – Comente con amigos o familiares sobre la impor tancia de evitar el fumado.


117


2.

4.

Explique, con sus propias palabras, en qué casos es de utilidad utilizar la probabilidad frecuencial.

5.

Conteste las preguntas según cada tabla. • Considere que los datos dados son una muestra. Clasificación de 200 granos del total de café procesado en una tostadora Tipo de grano

Frecuencia

Rojo

174

Verde

18

Dañado

8

a. ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de que se hayan procesado granos verdes?

b. ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de que se hayan procesado granos rojos?

c. ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de que se hayan procesado granos dañados?

118

Frecuencia

Obrera

42

Zángano

8

b. ¿Cuál es el porcentaje aproximado de zánganos que hay en el panal?

a.

3.

Tipo de abeja

a. ¿Cuál es el porcentaje aproximado de abejas obreras que hay en el panal?

Anote 2 ejemplos de estudios en los que es necesario calcular la probabilidad frecuencial, porque no es posible usar la probabilidad clásica.

b.

Clasificación de 50 abejas extraídas del total que hay en un panal


Peso exacto de 100 bolsas de frijoles del total que hay en un supermercado Peso en gramos

Frecuencia

[885, 890)

14

[890, 895)

26

[895, 900)

52

[900, 905)

8

a. ¿Cuál es la probabilidad de que al com prar una bolsa de frijoles en el supermer cado pese entre 885 g y 890 g?

b. Si las bolsas están etiquetadas con un peso de 900 g, ¿cuál es la probabilidad de comprar una bolsa con un peso menor al indicado?

c. ¿Cuál es la probabilidad de comprar una bolsa con un peso mayor o igual al indicado?

Realice las siguientes actividades: 6.

7.

Pregunte a 30 madres a qué edad tuvieron su primer hijo. • Represente los datos en una distribución de frecuencias de datos agrupados.

Conteste las siguientes preguntas con base en la información recolectada. a. ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que una mujer tenga su primer hijo antes de los 18 años?

b. ¿Considera que la muestra selecciona da es apropiada para hacer un análisis nacional sobre el porcentaje de madres adolescentes?; ¿por qué?

Ley de los grandes números La ley de los grandes números establece que al aumentar las repeticiones de un experimento, la probabilidad de un evento particular se aproxima a una constante.

En el caso de experimentos en los que se puede calcular la probabi lidad de un evento mediante el concepto clásico, se puede compro bar que al realizar muchas repeticiones la frecuencia relativa de un evento se acerca a su probabilidad real.

Ejercicio resuelto 2 Comprobar, por medio de la ley de los grandes números, que la pro1 babilidad de obtener escudo al lanzar una moneda de 50 es de 2 . •

Se podría realizar el experimento duplicando las repeticiones cada vez y registrar la cantidad de casos favorables. Número de veces que se obtiene escudo según la cantidad de lanzamientos Lanzamientos

25

50

100

200

400

Frecuencia

20

36

42

105

202

20 ÷ 25 = 0,8 36 ÷50 = 0,72 2 ÷ 100 = 0,42 105 ÷ 200 = 0,525 202 ÷ 400 = 0,505 •

Al realizar los cocientes observamos que se acercan a 0,5.

Recursos TIC Se pueden utilizar pro gramas computacionales para hacer simulaciones de experimentos en los que se pueden observar que al aumentar el número de repeticiones la frecuencia relativa de un evento se aproxima a su probabilidad. – Ingrese a la siguiente dirección de Internet: http://www.esferatic.com/ wp-content/uploads/ley grandesnum.pdf – Lea la información del documento y realice las actividades para programar el experimento de lanzar un dado en una hoja de cálculo.


119


11.

Explique, con sus propias palabras, en qué consiste la ley de los grandes números.

Responda con base en los datos de cada tabla.

9.

Cantidad de veces que sale el color rojo en una ruleta según la cantidad de repeticiones del experimento Cantidad de repeticiones

Frecuencia

100

12

1000

95

10 000

1050

a. ¿A qué constante se podría decir que se acerca la probabilidad frecuencial de que salga el color rojo?

10.

Un grupo de estudiantes afirma que el presidente A obtendrá cerca de un 60% de los votos en las próximas elecciones. Para probarlo cada uno realizó una encuesta a diferente cantidad de personas para consultar por quién votarían. Luego presentaron los datos en una tabla como la de abajo.

Cantidad de personas que votarán por el presidente A en cada grupo encuestado Tamaño del grupo encuestado

Frecuencia

100

56

150

89

200

123

250

142

300

178

a. ¿Es posible llegar a la conclusión de los estudiantes a partir de la información que recolectaron?, ¿de qué manera?

Cantidad de personas alcohólicas que presentan enfermedades digestivas, según el tamaño de la muestra seleccionada Tamaño de la muestra

Frecuencia

100

55

200

122

300

174

a. ¿A qué constante se podría decir que se acerca la probabilidad frecuencial?

b. Según el dato anterior, ¿cuál es el por centaje aproximado de personas alcohó licas que presentan enfermedades en el sistema digestivo?

120

Conteste las preguntas de abajo con base en la información dada.


Razonar y argumentar Por medio de la ley de los grandes números y la probabilidad frecuencial también se puede com probar que la probabilidad de un evento seguro es 1 y la de un evento imposible es 0. – Defina un experimento en el acerca del cual pueda establecer un evento seguro y uno imposible. – Calcule la probabilidad frecuencial de ambos eventos a partir de una muestra de repeticiones del experimento. – Realice cada vez más repeticiones para comprobar que la probabilidad de cada evento siempre se mantiene.


Para resolver la actividad 14 utilice la herramienta que se sugiere en la página 115.

Describa los pasos que daría para comprobar cada afirmación utilizando la probabilidad frecuencial y la ley de los grandes números. 12. Al girar una ruleta dividida en 4 sectores del mismo tamaño y de diferentes colores uno de los colores tiene una probabilidad de salir 1 de 4 .

Realice las siguientes actividades: 14. Utilice la ley de los grandes números para establecer cuál es la probabilidad aproxima da de obtener un hombre o una mujer si se elige al azar un estudiante de su sección. • Realice el experimento con 3 muestras de diferentes tamaños.

13. La probabilidad de sacar un número par de una tómbola con los números del 1 al 50 es 1 de 2 .

15. Anote a qué número se aproxima la probabilidad frecuencial según las diferentes muestras.

Evaluación por proyectos Realice un estudio para analizar la probabilidad de que una mujer embarazada tenga un niño. 16. Realice una encuesta a 10 mujeres que hayan tenido un parto hace menos de un año para saber cuántas tuvieron un niño. 17.

Investigue en Internet la cantidad de nacimientos total del año anterior de alguno de los cantones de su provincia y cuántos de ellos fueron niños.

18. Averigüe la cantidad de nacimientos total del año anterior en su provincia y cuántos corresponden a varones. 19.

20. Registre los datos recolectados en los 4 pasos anteriores en una tabla.

Indague sobre la cantidad de nacimientos total a nivel nacional del año anterior y cuántos fueron hombres.

21.

Calcule la probabilidad frecuencial de que nazca un niño para cada grupo de datos recolectados.

22. Represente los datos del paso anterior mediante una gráfica lineal, coloque en el eje horizontal el tamaño de cada muestra y el vertical, las probabilidades frecuenciales. 23. Observe hacia qué valor se aproxima la probabilidad frecuencia en la gráfica y genere conclusiones al respecto.


121

Refuerzo mi competencia matemática Ejercicio resuelto Secciones planas El espacio tal como lo percibimos, tiene tres dimensiones que definen el volumen de los cuerpos que lo conforman. Cada plano que interseca un cuerpo geométrico tridimensional, determina secciones planas del cuerpo. ¿Qué secciones se pueden determinar sobre el cilindro que se muestra? Según la inclinación del plano respecto a las bases paralelas del cilindro; los diferentes planos pueden determinar, circunferencias, diferentes elipses o rectángulos.

Imagine la siguiente situación y conteste. En uno de los planos del espacio tridimensional se desarrolla el universo paralelo de Nihm. Construcciones, bichos que las habitan, sus trayectorias, todo hacia delante, atrás o los costados. En Nihm no hay arriba ni abajo.

1.

2.

122

¿Qué bichos no podrían habitar ese universo?

Marque con

la opción o las opciones correctas

3.

Si un cono atravesara un espacio, ¿qué figu ra verían sus habitantes? A) Un tronco de cono. B) Una sección plana del cono. C) Un cono más pequeño. D) El desarrollo del cono en el plano.

4.

Una sección plana tiene forma elíptica. ¿A cuáles de estos cuerpos del espacio tridimensional podría pertenecer esa sección plana? A) B) C) D)

5.

¿Cuáles de las siguiente proposiciones son verdaderas? A) Existen infinitos planos que atraviesan el espacio. B) Si fuera real lo que se dice de Nihm, podría mos observar a sus extraños habitantes. C) Si ellos existieran, más bien nos estarían viendo a nosotros. D) Si existieran planos a través del espacio los veríamos. E) El plano carece de grosor, tiene solo 2 dimensiones. F) La vida en Nihm es poco probable. La materia ocupa espacio, requiere 3 dimensiones.

¿Cuáles de estas figuras podrían servirles como casitas?


Síntesis Razones trigonométricas

Prisma recto

Si a y b son los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, entonces se cumplen las siguientes igualdades:

Para calcular el área basal, lateral y total en un prisma recto se pueden utilizar las siguientes fórmulas:

• sen a = cos b

AB = 2

• tan a = (tan b )-1

AL = Pb

Variables cuantitativas discretas: Entre 2 valores de la variable NO es posible que haya otro. Variables cuantitativas continuas: Siempre es posible que la variable tome un valor entre otros 2 valores dados. Para representar datos cuantitativos continuos conviene hacer tablas de distribuciones de frecuencias con clases.

La ley de senos establece que en cualquier triángulo se cumple lo siguiente: a sen

a

=

b c = sen b sen

h

_ b Ab es el área de una base. ` Pb es el perímetro de la base. b h es la altura. a

Variables cuantitativas

Ley de senos

c

:

AT = AB + AL

Al observar un objeto hacia arriba o hacia abajo de la horizontal se forma un ángulo de elevación o de depresión, respectivamente. Para resolver problemas que involucran estos ángulos se puede elaborar una representación gráfica y resolver mediante trigonometría.

a

Ab

:

i

Histograma y polígono de frecuencias b

Pirámide recta Para calcular el apotema de la base, el apotema de la pirámide o su altura se puede utilizar la siguiente igualdad: h: altura a p: apotema de la pirámide

a p2 = ab2 + h 2

ab: apotema de la base

El histograma y el polígono de frecuencias son gráficas que se utilizan para representar datos de variables continuas. Algunas características son: Del histograma: • El área de las barras verticales representa la frecuencia absoluta o relativa de cada clase. • Las barras van juntas; son del mismo ancho cuando todas las amplitudes son iguales. Del polígono de frecuencias: • Las frecuencias se representan con puntos. • Es conveniente utilizar esta gráfica para datos agrupados con amplitudes diferentes.

Muestras aleatorias y probabilidad

Además, para calcular el área basal, lateral y total:

Un muestreo es aleatorio cuando todos los elementos tienen la misma probabilidad de ser elegidos.

_ P es el perímetro de la base. b b AB = 2 b Pb ap ` ab es la apotema de la base. AL = 2 b AT = AB + AL b a p es la apotema de la pirámide. a

Cuando se elige una muestra para realizar un experimento, las probabilidades obtenidas se llaman frecuenciales. Según la ley de los grandes números, entre más grande sea el tamaño de la muestra, la probabilidad frecuencial se aproxima a la clásica.

Pb ab :

:


123

Evaluación Selección única. Lea los enunciados y las alternativas que los acompañan (A, B, C, D). Marque con

la alternativa correcta.

1. ¿Cuál es el área total, en decímetros cuadrados, de un prisma recto de 5 dm de altura, si sus bases son triángulos equiláteros de 8 dm de lado? A) 152. B) 184. C) 16 3 + 40 . D) 32 3 + 120 . 2. El área total del cubo de la figura es 216 mm 2. ¿Cuál es la medida de AG en milímetros? A) 2 3 . A B) 3 2 . C) 6 2 . D) 6 3 .

6. El área total de un prisma de base cuadrada es de 350 cm2. Si el área lateral es de 300 cm2, entonces la longitud de uno de los lados de la base es la siguiente: A) 5 cm2. B) 25 cm2. C) 50 cm2. D) 100 cm2.

7. Un ejemplo de variable cuantitativa discreta es el siguiente: A) Peso de un grupo de personas. B) Estatura de los estudiantes de una sección. C) Cantidad de personas que asisten a un teatro. D) Consumo de electricidad de las viviendas de una urbanización.

G

3. Si en el cubo de la figura, DB = 8 m, entonces el área total del cubo, en metros cuadrados, es A) 96. B B) 128. C) 192. D) 256. D

8. Un ejemplo de variable cuantitativa continua es el siguiente: A) Número de autos vendidos en una venta. B) Cantidad de hijos de un grupo de personas. C) Cantidad de estudiantes que aprobaron un examen. D) Consumo de agua de las viviendas de una urbanización.

4. El área lateral de un prisma que mide 10 dm de altura y en el que las bases son triángulos isósceles con longitudes de 5 dm, 5 dm y 8 dm es la siguiente: A) 50 dm2. B) 80 dm2. C) 130 dm2. D) 180 dm2.

9. En un grupo de datos agrupados el valor mínimo es 19,5 y el valor máximo 25,5. ¿Cuál es el rango de ese grupo de datos? A) 3. B) 6. C) 12. D) 45.

5. El área total de un prisma de base triangular es de 69 m2. Si el área lateral es de 45 m 2, entonces el área de una de sus bases es la siguiente: A) 8 m2. B) 12 m2. C) 24 m2. D) 114 m2.

10. Si el rango en un grupo de datos agrupados es 55 y la cantidad de clases definidas es 11, ¿cuál es la amplitud de cada clase? A) 5. B) 10. C) 11. D) 55.

124


11. La marca de la clase [1,5-2) es la siguiente: A) 2. B) 1,5. C) 1,25. D) 1,75. 12. Si en una distribución de frecuencias para datos agrupados la amplitud amplitud de las clases cla ses es de 2,5 entonces el valor valor que completa la clase [5, __ ) es el siguiente: A) 5. B) 2,5. C) 7,5. D) 12,5. 13. Si de un grupo de 35 datos 7 se ubican en la clase [1, 5), ¿cuál es la frecuencia relativa de esa clase expresad expresadaa como número decimal? A) 0,2. B) 0,7. C) 0,02. D) 0,07.

15. Observe la siguiente distribución de frecuencias de datos agrupados: Estatura de los compañeros de clase de Raquel en metros

Frecuencia

[1,5-1,6)

2

[1,6-1,7)

13

[1,7-1,8)

11

[1,8-1,9]

5

17. Según la tabla del ejercicio 15, el porcentaje de estudiantes que miden entre 1,5 m y 1,7 m son A) 5. B) 11. C) 16. D) 31 31.. 18. La representación gráfica de datos en la que la altura de cada rectángulo rec tángulo representa representa la frecuencia de una clase y además no se dejan espacios entre esos rectángulos se conoce como A) pictograma. B) histograma. C) gráfica de barras. D) polígono de frecuencias.

14. Si de un grupo de 50 datos 5 se ubican en la clase [0, 9), ¿cuál es la frecuencia relativa de esa clase expresad expresadaa como porcentaje? A) 1%. B) 5%. C) 10%. D) 50%.

Clase

16. Según la tabla del ejercicio 15, la cantidad de compañeros de Raquel que miden entre 1,7 m y 1,9 m son A) 5. B) 11. C) 16. D) 31 31..

19. Un ejemplo de muestreo aleatorio en una sección de noveno año es el siguiente: A) Seleccionar a los 3 estudiantes mayores. B) Elegir a los 3 primeros estudiantes de la lista. C) Colocar todos los nombres en una bolsita y sacar 3 de ellos. D) Organizar una carrera y seleccionar a los 3 estuestu diantes que lleguen de primero. pr imero. 20. Existe una teoría que propone lo siguiente: Al aumentar la cantidad de repeticiones de un experimento, la probabilidad frecuencial de que ocurra un evento específico se acerca más a una determinada constante según se aumenta el número de repeticiones.

Según la tabla anterior, la cantidad de compañe ros de Raquel que miden entre 1,6 m y 1,7 m son A) 2. B) 5. C) 11. D) 13 13..

El nombre con el que se conoce la teoría expuesta en el recuadro anterior es el siguien siguiente: te: A) probabilida probabilidadd clásica. B) ley de la probabilidad. C) probabilida probabilidadd frecuencial. D) ley de los grandes números.


125

Respuesta corta. Complete según lo indicado en cada caso. 1. Anote los datos que faltan en cada c ada distribución de frecuencias para datos agrupados. • Considere que todas las clases tienen la misma amplitud. a.

Peso de los 32 estudiantes de la sección 9-2 en kilogramos

Clase

Frecuencia

[40-45)

2

b.

Salario mensual en miles de colones de los 100 empleados de una empresa

Clase

Frecuencia 12

7 19

43

[550-650]

18

2. Responda las preguntas preguntas de abajo con base en los datos de la tabla. Cantidad de personas con problemas familiares que se vuelven adictas a cierta droga después de probarla la primera vez Cantida dad d de de personas que proba baro ron n la dro rog ga

Cantida dad d de de adictos

10

5

100

64

1000

598

a. ¿A qué constante se podría decir que se acerca la probabilidad frecuencial de que una persona con problemas familiares se vuelva adicta a las drogas después de la primera prueba?

b. Según el dato anterior, ¿cuál es el porcentaje aproximado de personas con problemas familiares que se vuelven adictas después de la primera prueba?

c. ¿Cuáles son 2 conclusiones que podría obtener a partir de los datos dados?

d. ¿Qué recomendación recomendación daría a personas con problemas familiares para evitar c aer en la adicción a alguna droga?

126


Desarrollo. Realice las actividades según los datos en la siguiente tabla: Cantidad de personas que asistieron diariamente a una función de circo en un mes

125 134 16 164 126 170 157 144 171 171 12 128 8 130

165 175 169 147 145 142 158 158 16 160 0 150 128 131 136 136 14 149 9 151 176 155 175 175 16 166 6 143 147

1. Elabore una tabla de distribución de frecuencias para represen representar tar los datos agrupados. • Defina 5 clases.

2. Represente los datos de la distribución de frecuencias mediante un histograma.

3. Represente los datos de la distribución de frecuencias mediante un polígono de frecuencias.


127

R r

h

ZR: radio del CD . ]] [ r : radio de la abertura. ] \ h: espesor del CD.

3

e r t s e m i r T

1

• Relaciones y álgebra Las expresiones algebraicas se utilizan para representar situa ciones reales o para plantear algunas fórmulas. Por ejemplo, para calcular el volumen (V ) de un disco compacto, como el de la figura de arriba, se puede considerar como la resta de los volúmenes de 2 cilindros, y de esa manera la fórmu la sería V = rR2 h – rr 2 h . Utilizando un proceso llamado “factorización”, esa fórmula se puede escribir de una manera más simple: V = rh (R2 – r 2) . Otras expresiones algebraicas se utilizan para representar el movimiento de ciertos cuerpos. Por ejemplo, la trayectoria de algunos cometas puede describirse por medio de fracciones algebraicas o de fracciones cuadráticas.

1490 1490

En la época del Renacimiento se produjo un gran desarrollo en las ciencias. Particularmente se lograron avances importantes en la Matemática; por ejemplo, en el desarrollo moderno de la factorización. 128


Nicolo Fontana (1499 - 1557) fue uno de los principales matemáticos del siglo XVI. Era llamado también “Tartaglia” debido a su tartamudez. Él descubrió un método para resolver ecuaciones de tercer grado.

2 x 2 y – a2 b 2

Trayectoria

2


Habilidades generales •

•

•

•

•

•

• •

Identificar situaciones que corresponden a funciones cuadráticas. Utilizar diferentes métodos para la factorización de polinomios. Efectuar operaciones con expresiones algebraicas. Utilizar distintas representaciones para las funciones cuadráticas. Utilizar ecuaciones de segundo grado para resolver problemas. Plantear problemas a partir de una situación dada. Analizar la gráfica de una función cuadrática. Identificar modelos matemáticos que se adaptan mejor a una situación dada.

1

Obtenga las medidas del radio menor, del radio mayor y del espesor de algún disco compacto.

2

Calcule la cantidad de policarbonato que se necesitó para elaborar el disco que midió en la actividad anterior, si se sabe que por cada centímetro cúbico se requieren 6,9 g de ese material.

3

Calcule el valor numérico de la expresión algebraica que define la trayectoria del cometa de arriba, con los siguientes valores: x = 3, y = 2, a = 2, b = 4.

4

Resuelva las siguientes operaciones: -7ab + 3ab -5 xy – 8 xy 5n 2nm 4 p2 p :

5

1530

1570

Gerolamo Cardano (1501 - 1576) fue un matemático italiano del Renacimiento. Publicó en su libro Ars magna las soluciones a las ecuaciones de tercer y cuarto grado. Incluyó también los resultados de Tartaglia, aun cuando le había jurado que no lo haría.

:

Escriba un trinomio que sea de grado 2 y de una variable

1600

Francisco Vieta (1540 - 1603) fue un matemático francés a quien se le atribuye el haber marcado una división entre la aritmética y el álgebra. Además, fue uno de los primeros en utilizar letras para representar constantes y variables.


129

Capítulo 1

Función cuadrática Habilidades específicas 1. Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas algebraicamente en la forma y = ax 2 + bx + c . 2. Representar tabular, algebraica y gráficamente una función cuadrática.

Lea la situación problema x

Elena quiere recortar un rectángulo de cartulina, como el de la derecha, en el que el largo mida el doble que el ancho. Si además necesita que el área del rectángulo sea de 288 cm2, ¿cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo?

2x

Analice • •

¿Cuál es el área del rectángulo expresada en términos de x? ¿Cuál de los siguientes valores para x hace que el área sea igual a 288 cm2 (x = 5, x = 6, x = 12)?

Resuelva

Responda

Representaciones de una función cuadrática Una función cuadrática es una relación entre 2 variables que cumple con ciertas condiciones. La forma algebraica de una función cuadrática es la siguiente, también se conoce como criterio de la función: y = ax 2 + bx + c

Recuerde En una expresión algebraica los valores numéricos se conocen como constantes y las letras como variables. En una relación entre 2 variables, se llama variable dependiente a aquella cuyo valor depende del valor que tome la variable independiente.

130

Donde y es la variable dependiente, x la independiente y a, b, c son números reales con a ! 0. Y

La representación gráfica de una función

5 4 3 2 1

cuadrática es una curva llamada parábola. Por ejemplo, la gráfica de la derecha corresponde a la gráfica de la función

x

2

2

– x

+ 1

.


-3 -2 -1

-11 2 3 4 5

X

Para obtener la gráfica de una función cuadrática dado su criterio, se puede hacer una tabla a partir de la forma algebraica de la función. Se evalúan ciertos valores en x para obtener los valores correspondientes de y, se ubican los pares ordenados en un plano de coordenadas y por último se unen con una línea curva para obtener una parábola.

Conectar con…

Física Muchas fórmulas relacionadas con fenómenos físicos se expresan en forma algebraica mediante el criterio de una función cuadrática. El movimiento de un cuerpo en caída libre se representa mediante una función de este tipo. – Investigue cuál es la fórmula para calcular la altura en una situación de caída libre. – Utilice la fórmula anterior para resolver el siguiente problema: "Luis lanzó un objeto desde la parte más alta de un edificio con una velom cidad inicial de 25 s . Si tarda 3 s en caer, ¿cuál es la altura del edificio?".

Las funciones cuadráticas se pueden utilizar para modelar algunas situaciones matemáticas o del entorno. Por ejemplo: • Si x representa la medida del ancho de un rectángulo y se sabe que el largo excede en 5 m al ancho, se puede expresar el área a del rectángulo por medio de la función: A ( x) = x ( x + 5) = x 2 + 5 x. • La altura h alcanzada por un proyectil lanzado desde tierra depende de la distancia x, en kilómetros, que recorre el proyectil. La relación entre la distancia y la altura se representa así: h ( x) = -4 x 2 + 8 x. La situación del problema de la página anterior puede ser modelado con la ecuación 2 x 2 = 288, que corresponde a la función cuadrática y = 2 x 2. Para resolver la ecuación basta con hallar un valor para x que al evaluarlo en la función haga que y = 288.

Ejercicio resuelto 1 Encerrar las expresiones que no corresponden a funciones cuadráticas. 2

y = x – 3 x – x

2

y=

- x 5

2

–

x 3

+ 3

2

y=

y = 3 x – x + 1

3

x

2

+ x – 1

No se puede expresar en la forma y = ax 2 + bx + c.

No es cuadrática porque a = 0.

Ejercicios resueltos 2 .

Graficar la función cuadrática y = x 2 – 4 x + 3.

.

•

Se construye una tabla a partir de la relación establecida entre x y y. .

x y

0 3

1 0

2 -1

3 0

4

.

.

.

.

.

.

3

.

•

Se colocan ubican los pares ordenados en un plano de coordenadas y se traza la gráfica. Y .

Si los puntos obtenidos no brindan una guía adecuada, es mejor calcular más puntos antes de trazar la gráfica.

Se debe recordar que la gráfica es una línea curva y en los extremos siempre se deben colocar flechas.

3 2 2 -1

1

3 4

X

.

El concepto de función matemática como tal aparece, relativamente, hasta hace pocos años. Se empieza a hablar de función aproximadamente en el siglo XVII. Gottfried Leibniz (1646-1716) propuso algunos términos relacionados con funciones que se usan actualmente, como lo son: "función", "variable", "constante" y "parámetro".


131


15. y = 7 x – 4 + 2 x 2 – x a:

Marque con los criterios que corresponden a funciones cuadráticas. 1.

y = ( x + 1) x

2.

y = x ( x + 2)( x – 1)

3.

y =

x

4.

y =

x

5.

y =

x

+ 5

7

– x

6.

y = x + x 2 – 5

7.

y =

2

+ 5x 2

17.

5

7

x 2

( x + 6 ) (x – 6 ) 3

y =

9.

y = 2 x 2 + 9 – 2 x 2

12.

2 x y =

Un automóvil que compite en una pista circular de carreras de autos.

19.

Una bola de golf que es golpeada con una técnica de péndulo.

20.

Una bola de voleibol que es lanzada desde un lado de la red hacia el otro lado.

21.

c :

b:

c :

13. y = 1 – x 2 + x + 1 a:

b:

c :

b:

c :

14. y = 16 – 4 x 2

132

Si x representa la medida de una de las diagonales de un rombo, y 2x, la medida de la otra, entonces el área A de ese rombo en términos de x es la siguiente:

22. El área (a) de una piscina de forma rectangular en la que el largo es el doble que el ancho aumentado en 1. La función que representa el área es la siguiente:

+ 6x + 4 2

a:

a:

c :

c :

y = 3x(2x + 1) – 5 b:

b:

18.

10. y = – 5 + x 2 + 2 x +10

a:

c :

Anote la función cuadrática que representa cada situación.

Complete con los valores correspondientes según el criterio de cada función.

11.

b:

Marque con los movimientos que describen una trayectoria en forma de parábola.

+ x + 7

b:

+ 1 2 + 3 3

y = (3 x + 1)(3 x + 2) – 6 x ( x – 2) a:

1

8.

a:

2

c :

2

2 –

16. y = x a:

– x

b:

23. La fórmula para calcular la aceleración centrípeta ac de un objeto que se mueve circu2 larmente a una rapidez v, es ac = v . r La función ac que expresa la aceleración centrípeta de un objeto, en términos de v, si r = 5 m, es la siguiente:


29. y = - x 2 – 2 x + 3

24. Las ganancias ( g ) mensuales aproximadas de una empresa se calculan restando 150 000 del cuadrado de la inversión realizada. La función que representa las ganancias es la siguiente:

-3

x

-1

0

1

y Y

4

25. La base de un triángulo mide el doble de lo que mide la altura sobre esa base. El criterio de la función A, que expresa el área de ese triángulo en términos de su altura h, es el siguiente:

3 2 1 -4 -3

26. La altura (h) de un balón que es pateado hacia arriba se puede calcular obteniendo 5 veces el cuadrado de la distancia recorrida en forma horizontal. La función que representa la altura es la siguiente:

27.

-2 -1 -1

-2

x

-1

0

x

-1

1

1

2

4 3 2 1

31.

y=

1

2 3

-5 2 x + 10x – 15 4

2

x

0

X

y

-3 -2 -1 -1

28. y = x 2 – 2 x – 3

2

30. y = x 2 – 1

El resultado ( r ) de aumentar en 2 el producto de 2 números enteros consecutivos. La función que representa el resultado es la siguiente:

Elabore la representación gráfica de cada función cuadrática dada. • Complete cada tabla según los valores dados para x y ubique los puntos en el plano.

1

3

4

5

6

y

3

y Y Y

5 4 3 2 1

1 X

-2

-1 -1

1

2

3

4

-2 -3

-1

1 2 3 4 5 6 7

X

-4


133

Factorización Habilidad específica 1. Factorizar y simplificar expresiones algebraicas.

Lea la situación problema Daniel expresó el volumen del prisma formado por los bloques M y N de una manera distinta de como lo hizo y Vera. ¿Cuáles pueden ser M N las expresiones propuestas por cada uno? z x

y

Analice •

Representar El volumen de la figura que aparece en la situación problema se puede repre sentar algebraicamente de diferentes formas. – Compare su respuesta a la situación problema con la de otros compañeros. – Calcule cuál sería el volumen de la figura si los valores de x, y y z fueran 10 cm, 7 cm y 6 cm respectivamente.

•

¿De qué manera calcularía el volumen de cada bloque por separado? ¿Cuál es el largo de la base del prisma completo?

Resuelva

Responda

Concepto de factorización Factorizar un polinomio es expresarlo como el producto de 2 o más polinomios distintos de 1 y – 1. Cada uno de esos polinomios es factor del polinomio original. Un polinomio que no se puede factorizar se llama irreducible o irreductible.

Recursos TIC Trabaje en la siguiente dirección electrónica: http://www.santillana.com/ OD/concepto_factM9 – Observe el valor asignado a cada figura y dé clic donde dice “Inicio”. – Coloque cada representación gráfica sobre la factorización que representa, según los valores de cada figura.

134

Factorizar completamente un polinomio consiste en expresarlo como el producto de 2 o más polinomios irreductibles.

Ejercicios resueltos 1 Factorizar el polinomio 10m4n2 – 50 n2 de 2 formas distintas. a. 10m4n2 – 50n2 = 5(2m4n2 – 10n2) b. 10m4n2 – 50n2 = 10n2(m4 – 5)

Marcar con

la factorización completa de 10m4n2 – 50 n2.

5(2m4n2 – 10 n2)


10n2(m4 – 5)

Ejercicio resuelto 2 Encerrar los polinomios irreducibles. 8n2 + 2 m

7y – 2

3w 3 – w

5

a2 + 3b2


5.

2mn (5m + 3n)

6.

(3a + b)(3 a – b)

Marque con los círculos de las expresiones que son factorizaciones de cada expresión dada.

7.

(1 – t )(2t + 4)

8.

8yz 2(y 2 – 5w + 3 z)

9.

Relacione cada polinomio con su factorización.

1.

2

24 x y

4

2

+ 10x y + 100 x

2 4 2 24 _ x y + 10x y + 100 x i

_

2

2 12 x y

_

x 24xy

4

_

xy 24xy

2.

3

36 a b

4

4

2

+ 5x y + 50x

+ 10 xy + 100 3

+ 10 x + 100 3

+ 18 a b 3

18 a b 3

3

36 a b

4

i

- 21 wy z

2

3

+ 3yz

2

2

2

2

2

+ 9a b

h

2 2 3y ^ - 7 wy z +

4.

z

2

^ - 7wy 3 z 2 +

1)

4 x2 + x

4( x2 + 1)

x2 + 4 x

4(3 x2 + 1)

4 x2 + 4

4( x2 + 3)

4 x2 + 4 x

4 x( x + 1)

12 x2 + 4

x( x + 4)

(k + 5)

11.

h yz

2

h

Anote el polinomio correspondiente a cada factorización. x (2 x 2 +

x(4 x + 1)

10. k 2 + 10k + 25

2

3yz (- 7wy + 1)

2

4 x2 + 12

Coloree la factorización completa de cada polinomio.

3yz (- 7wy )

3yz

Use líneas de diferentes colores.

2

^1 + 2 a 3 b 2h 2

3

i

^2 b 2 + 1 h

2ab ^ 18 a b

3.

i

^36b 2 + 18 h

2

a b

2

•

(k + 5)(k + 5)

3w 2 – 15w + 12 (w – 4)(w – 1)

3(w – 1)(w – 4)

12. 6m2 – 12mn – 18n2 6(m + n)(m – 3 n)

(m + n)(m – 3 n)


135

Factorización por factor común Un factor común de un polinomio es una expresión que es factor de cada término del polinomio. El máximo factor común de un polinomio está formado por: El máximo común divisor (m.c.d.) de los coeficientes numéricos. Las variables que están en todos los términos, con el menor exponente con que aparecen. • •

El surgimiento de la factorización se atribuye a la necesidad de resolver ecuaciones. Por medio de la factorización se podían ir transformando algunas expresiones algebraicas o ecuaciones en otras que resultaban más fáciles de resolver o de las cuales ya se conocía algún método de solución.

Para factorizar completamente un polinomio por el método de factor común se dan los siguientes pasos: Se divide cada término del polinomio entre el máximo factor común. Se escribe la multiplicación del máximo factor común y la suma de los cocientes obtenidos. • •

El factor común de un polinomio puede ser un monomio u otro polinomio de 2 o más términos.

Ejercicios resueltos 3 Anotar 3 factores comunes del polinomio 8yx 2 z 3 + 4 xz 2. z2

x

4 x

Determinar el máximo factor común del polinomio anterior. Se calcula el m.c.d de los coeficientes numéricos. m.c.d.(8, 4) = 4 •

•

•

Se identifican las variables que aparecen en todos los términos y su menor exponente.

xz 2

4 xz 2

Se anota el máximo factor común.

Ejercicio resuelto 4 Factorizar el polinomio 18 x 2y 3 + 12 x 3y + 6 x 2y 2, donde el máximo factor común es un monomio. Se determina el máximo factor común del polinomio. 6 x 2y •

•

Recuerde

2

Según las leyes de potencias, al dividir potencias con la misma base se conserva la base y se restan los exponentes. Por ejemplo: x 5 x 3

136

= x

Se divide cada término del polinomio entre el máximo factor común.

5 –3

=

x

2

18 x y

3

2

6 x y

•

3

= 3y

2

12 x y 2

6 x y

2

= 2 x

6 x y

2

2

= y

6 x y

Se escribe la factorización del polinomio original, que es el producto del máximo factor común por la suma de los cocientes obtenidos. 18 x2y3 + 12 x3y + 6 x2y2 = 6 x2y(3y2 + 2 x + y)




Factorizar el polinomio 2x(x + 1) – 3y(x + 1), donde el máximo factor común es un polinomio. Se determina el máximo factor común del polinomio. x + 1

Existen diferentes técnicas de estudio que le pueden ayudar a mejorar su rendimiento académico. Por ejemplo, repetir en voz alta una fórmula o concepto. – Busque, en Internet, sobre algunas técnicas de estudio que se adapten a su estilo de aprendizaje y póngalas en práctica.

•

•

Se divide cada término del polinomio entre el máximo factor común. 2 x (x + 1)

x + 1 •

= 2 x

3y (x + 1) x + 1

= 3y

Se escribe la factorización del polinomio original, que es el producto del máximo factor común por la suma de los cocientes obtenidos. 2 x( x + 1) – 3y( x + 1) = ( x + 1)(2x – 3y)


2

3

5

23.

4a b – 22 a b

24.

10 x + 25x

25.

- 46m

Determine el máximo factor común de cada polinomio.

26.

15 p

17.

27.

m

28.

25 x y – 35 x y

29.

6 g

30.

p ]x – z g – ]x – z g

Anote 2 factores comunes de cada polinomio.

2

30 x

w –

3

w

2

13. x 2y + xy 14. a 2b2 – a2bc 15. 4m2n – 2mn2

3

–

20 w

2

+ 10 w

16. ts 3 – 7ts – s 3t

m + mn

3

4

+ 5 p – 20

+

m

5

4

2

n

+

mn

2

18. w 2y – wy 3 19.

25k 3 + 5k – 10k 2

20.

x 3y 2 +

2ax 2y +

4bx2y

2

3

3

– 10y x

3

21. -a 3c 2 – ab 2c 5 + a3b4 c 3

Factorice los siguientes polinomios por el método de factor común. 22.

8 x

3

+ 6x

8

3

– 12 h 2

+ 15


137

31.

]a – 3 g – ]3

– a

g + ]a

–

3


3g

37. 32.

4 ]a + bg + 3 x]b + ag

Karla dibujó 2 figuras como las de abajo. ¿Cuál expresión algebraica representa el área sombreada (A) de esas figuras? a.

33.

p – 1 + 2 ^ p – 1 h + y ^p – 1 h

34.

4 x

2

]2w – 3 g – 5 ]2 w

–

2 x

A =

3g

b. 35.

3 ]m

–

1 g – 2 x ]m

–

1g

x

2x

36.

p ^q – 1 h – 2 ^1 – q h + ^q – 1 h

A =

Factorización por agrupación El método de factorización por agrupación se puede usar, por ejemplo, cuando no todos los términos de un polinomio tienen factor común. Consiste en agrupar los términos de un polinomio que sí tengan factor común o agrupar de una manera conveniente para usar otra combinación de métodos.

Ejercicio resuelto 6 Factorizar el polinomio 2 xy + xz – 6y – 3 z por el método de agrupación. •

Recursos TIC – Busque, en Internet, listas de polinomios que sean factorizables mediante factor común y agrupamiento e imprímalas. – Intercambie la lista de ejercicios con algún compañero y resuélvalos.

138

•

•

Se agrupan los términos del polinomio que tengan factor común. Cada grupo debe tener la misma cantidad de términos.

2 xy + xz – 6 y – 3 z

^2 xy – 6yh + ]xz

– 3z g

Se factoriza, por el método de factor común monomio, cada uno de los grupos hechos en el paso anterior.

2y ]x – 3 g + z ]x – 3 g

Se factoriza nuevamente por el método de factor común polinomio.

] x – 3 g^2 y


+ z

h

Actividades 47. xy + yz + xz + z 2

Desarrolle todas las actividades en su cuaderno y anote las respuestas en el libro. Factorice completamente cada expresión. • Observe que los términos ya están agrupados.

48. 10wy + 5w + 1 + 2y

38. (10wz + 5w) + (2 z + 1) 49. 12m2 + 20b + 16m + 15bm 39. (2 p2 – 3 pq) – (4 p – 6q) 50. 2 x – 3 xy – 4y + 6y 2 40. (8 m3 – m2) – (1 – 8 m) 51. 41.

7b – a – 49ba 2 + 7a3

(ax – bx) + (ay – by) 52. a2b3 + a 2b3 x 2 – n4 – n4 x 2

42. (3k – 2n) – (2nm4 – 3km 4) 53. a2 x + 5m2x – a 2y 2 – 5m2y 2 43. (w 2 + w 2y2 + w 3) + (w + 1 + y 2)

Resolución de problemas 44. ^ w – 1 h^w

+ 1 h –

^w

–

1 h^w + 2 h

54. Daniel debe expresar el perímetro ( P) de las figuras de abajo como un polinomio factorizado. ¿De qué manera puede hacerlo? a.

2 x2 + 3 x 4 xy + 6 y

En el ejercicio 45, considere que el factor común numérico de 2 o más términos que tienen coeficientes fraccionarios se determina calculando el m.c.d. de los numeradores y de los denominadores de las fracciones.

45.

c

3 5

rst 2 x –

2 5

m ^ rst

y 2 x –

3

2

– 2y 2

h

P =

b.

3xy + 9y

2 x + 6

Factorice completamente cada polinomio mediante el método de agrupación. 46. w 2 + wz + wy + zy P =


139

Factorización por 1. era o 2. da fórmula notable Un trinomio cuadrado perfecto se puede factorizar empleando la primera o segunda fórmula notable. El uso de figuras geométricas como herramienta de comprensión de situaciones abstractas fue una estrategia utilizada por los griegos para demostrar algunas proposiciones algebraicas. Algunas de esas ideas corresponden a los métodos actuales de factorización.

•

Primera fórmula notable: a2 + 2 ab + b2 = ( a + b)2

Factorización Trinomio cuadrado perfecto

•

Segunda fórmula notable: a2 – 2 ab + b2 = ( a – b)2

Factorización Trinomio cuadrado perfecto

Ejercicio resuelto 7 Factorizar el trinomio y 2 + 10 y + 25. Se calcula la raíz cuadrada del primer y último términos del trinomio ordenado respecto a y.

y2 + 10 y + 25

•

Recuerde

•

Para calcular la raíz cuadrada de un monomio, se calcula la raíz cuadrada del coeficiente numérico y la raíz cuadrada del coeficiente literal. Por ejemplo, 49k

2

=

49

:

k

2

•

y

Se verifica que el doble producto de las raíces obtenidas sea igual al término central del trinomio. 10y = 2( y 5) Se escribe la factorización que es el cuadrado de la suma de las raíces obtenidas en el paso 1 (si el término central fuera negativo, entonces sería el cuadrado de la diferencia de las raíces). y2 + 10 y + 25 = (y + 5) 2

= 7 k


57.

t 2 – 4 x 2t + 4 x4

58. 2mnx + x 2 + m2n2

Ordene, en forma descendente, los siguientes trinomios respecto a la variable x.

Factorice completamente cada polinomio.

55. 144 – 48 x + 4 x 2

59. k 2 – 2k + 1

56. 4y 2 + x4 + 4y 2 x 2

60. x 2 + 12 x + 36

140

5


61.

16 x 2 – 40 xy + 25y 2

74.

62. 64 x 2 – 48 xy 2 + 9y4 63. 16 x 2 + 48 xy 2 + 36y4 64. 36 xy 3 + 81y4 + 4y 2 x 2 65. 4m2 – 20m + 25

75. Un zapatero tenía una pieza de cuero de 25t 2 m2 y durante un día utilizó 40 t m2 para hacer reparaciones. Si luego compró 16 m 2 más de cuero, ¿cuál polinomio factorizado representa la cantidad actual de cuero que posee el zapatero?

66. 9k 2 – 6k + 1 67.

Patricia quiere colocar cerámica en los 3 cuartos de su casa. El cuarto principal tiene un área de 9a2 m2, el de su hijo 24 a m2 y el de visitas, 16 m2. ¿Cómo se expresa, en forma factorizada, el total de metros cuadrados de cerámica que debe comprar Patricia?

-4 m2 + 1 + 4m4

68. 25 + 110 p3 + 121 p6 69. 4m2 – 28m + 49 70. 1 – 8t 5 + 16t 10 72.

25 4

76.

A Fernando le encargaron que pintara una pared que tiene un área de 4k 2 m2. Hoy pintó 12k m2 de la pared, pero le pidieron que pintara otra pared con un área de 9 m2. ¿Cuál polinomio factorizado representa la cantidad de metros cuadrados que le falta pintar a Fernando?

77.

Lucía, Rebeca y David recortaron una cartulina cuadrada de 45 cm de lado, de manera que obtuvieron un nuevo cuadrado. Ellos hicieron cortes de p cm en 2 lados consecutivos. Si cada uno expresó el área del nuevo cuadrado de una manera diferente, ¿cuáles pueden haber sido esas expresiones?

m2 – 20m + 16

72. t 2 – 2t (1 + t ) + (1 + t )2

Resolución de problemas 73. Don Alfonso dividió su finca en 3 parcelas, para cambiar su ganado de potrero cada semana. Si las áreas de las parcelas son 196 x 2 metros cuadrados (m2), 2240 x m2 y 6400 m2, ¿cómo se expresa, en forma factorizada, el área del terreno completo?

Comunicar

Factorización por 3. era fórmula notable La diferencia de los cuadrados de 2 monomios se puede factorizar utilizando la tercera fórmula notable.

2

a – b

2

= ]a + b g]a – b g

La factorización es el producto de la suma por la diferencia de las raíces de los monomios.

Generar discusiones gru pales acerca de los nuevos contenidos estudiados puede facilitarle la adquisición de esos contenidos. – Participe, junto con sus compañeros, en una conversación sobre los métodos de factorización por medio de fórmulas notables. Asegúrese de utilizar el lenguaje matemático adecuado.


141

Ejercicios resueltos 8 Factorizar los siguientes polinomios: a. 4 – 25 x 2 2

5 x

4 – 25 x 2 = (2 + 5 x)(2 – 5 x)

3a

Los términos semejantes son aquellos en los que los coeficientes literales son iguales. Por ejemplo: 5a 2b y 3 a 2b. Para sumar o restar términos semejantes se opera solo con los coeficientes numéricos y se mantienen los literales. Por ejemplo: 3a 2b – 5 a 2b = -2 a 2b.

Escribimos la factorización. Calculamos la raíz cuadrada de los términos.

b. 9a 2 – (a + b )2

Recuerde

Calculamos la raíz cuadrada de los términos.

Escribimos la factorización.

(a + b )

9a 2 – (a + b )2 = (3a + a + b )[3 a – (a + b )] = (4 a + b)(2 a – b) 2 2 c. m4 – n4 = ^m 2 h ^n 2h

3a

(a + b )

m4 – n4 = (m2 + n2)( m2 – n2)

= (m2 + n2)( m + n)( m + n)

Reducimos términos semejantes.

Escribimos de la forma a2 – b2. Calculamos la raíz cuadrada de los términos. Escribimos la factorización. Factorizamos de nuevo el segundo factor.


Factorice completamente cada diferencia de cuadrados.

78. Relacione cada diferencia de cuadrados con su factorización completa.

79. b2 – 1

4a2 – 1

(2a2 + 1)(2a2 – 1)

a2 – 4

(a + 2)(a – 2)

80. 1 – 25 z 2 81. x 2 z 2 – 100 82. 36 – 49 z 8 83. m10 – 81n12

a4 – 4

(1 + 2a)(1 – 2a)

84. 16 x 2y4 – 1 85. 1 – 16m2

142

1 – 4 a2

(a2 + 2)(a2 – 2)

4a4 – 1

(2a + 1)(2a – 1)

86. 4a2b2 – 9 x 2y4 87.


16 9

a 2 – 1

88. (1 + x)2 – 25

96. Un tablero cuadrado para un juego de mesa está dividido en cuadrados más pequeños como en la figura. ¿Cuál expresión algebraica representa el área que abarcan los cuadrados grises?

89. 1 – (1 + x)2 90. 9 – (2y – 3)2 91. 4 – ( x – 2y)2

m2

92. t 4 – 1 93. 81 – x8 b8 94.

25 4

x2

m2 – 16n2

Resolución de problemas 95. Daniela dibujó un cuadrado dentro de otro como se muestra en la imagen. ¿Cuál expresión algebraica representa el área rosada?

97.

Eladio tenía un terreno de 625 x4 m2. Si le dio a cada uno de sus 2 hijos 128 m 2 de su propiedad, ¿cuál expresión algebraica factorizada representa la cantidad de terreno que le quedó a Eladio?

4 x

98. Laura quiere pegar papel decorativo en la superficie de una mesa de 4 w 2 cm2 de área y tiene un trozo de papel, con forma cuadrada, de 35 cm de lado. ¿Cuál expresión algebraica factorizada representa la cantidad de papel que le hace falta a Laura?

Factorización por inspección Para factorizar un trinomio de la forma a x 2 + bx + c por inspección, se dan los siguientes pasos: 12k 2 + 20 k + 3

1. Descomponer los extremos en 2 factores. 2. Multiplicar en cruz los factores encontrados.

6k

3. Sumar los productos obtenidos y comprobar que el total sea igual que el segundo término. Si no es así, se deben buscar valores diferentes en el paso 1 u ordenar los factores de forma distinta.

2k

4. Anotar los 2 factores, los cuales se forman al sumar horizontalmente los valores en que se factorizaron los extremos.

· ·

1

2k

3

18k

+

20k 12k 2 + 20k + 3 = (6k + 1)(2k + 3) Diagrama del método de inspección


143

Ejercicios resueltos 9 Factorizar los siguientes trinomios: Descomponemos en factores.

a. 4 x 2 + 3 x – 22

4 x

· 11 · -2

x

Recuerde

Multiplicamos en cruz.

11 x

Sumamos los productos obtenidos y comprobamos que sea igual al segundo término.

+

-8 x 3 x

La ley de signos de la multiplicación es la siguiente:

4 x 2 + 3 x – 22 = (4 x + 11)( x – 2)

Signos iguales


b. 5y 2 – 23 y + 12

+•+=+

5y

–•–=+

· -3 · -4

y

Signos distintos

-3y

+

-20y -23 x

+•–=– 5y 2 – 23y + 12 = (5y – 3)(y – 4)

–•+=–


Actividades Desarrolle todas las actividades en su cuaderno y anote las respuestas en el libro. 99. Relacione cada trinomio con su respectiva factorización. Trinomios 3 x

5 x

2

2

11 x

2

23x + 12

–

8x

–

100. 10 x 2 + 8 x – 2

Factorización

+ 19 x + 6

–

Complete los procedimientos para factorizar cada trinomio. • Anote la factorización en la línea correspondiente.

3

· ·

]4 x – 3 g]3x + 5 g

]5 x – 3 g]x

–

+

4g

Factorización:

]3 x + 1 g]x + 6 g

101. 3y 2 – 17 x + 20 12 x

12 x

5 x

144

2

2

2

+ 11 x – 15

+ 29 x + 15

+ 17x – 12

]11 x + 3 g]x – 1 g

· ·

]5 x – 3 g]x + 4 g

]4 x + 3 g]3 x + 5 g


Factorización:

+

Anote la factorización de cada trinomio. 2

102.

9 z

103.

15 x

104.

4a

105.

18 p – 13 p – 5

106.

5w

107.

- 2y – 15 + y

108.

21 z

109.

8 x

110.

3 – 5 x + 2x

111.

8 – 14 t + 3 t

112.

y + 15 y – 6

113.

20 a

114.

6 x

115.

17 z + 18 z

2

+ 3z 2

–

+

–

2

11 x

a –

12

–

116.

7m + 4 m

117.

30 c

2

2

–

15

+ 17 c – 21

Factorice primero por factor común en los casos donde sea posible.

5

2

2

2

–

2

–

7w

6

–

22 z

2

–

63

+ 26x – 7 2

118. 9k 2 + 30k + 25

2

119. 12w 2 – 30w + 12

2

2

2

120. 16a2 – 52a + 40

+ 12 a + 1

121. 18n2 + 168n – 58

+ 5 x – 21 2

–

122. 25w 2 – 12w – 40 – 18w

15

Actividades integradoras 125. 3a2 – 3ab + a – b


(3a2 + a) – (3ab + b)

Anote el método de factorización que se empleó en cada paso. • Utilice nombres abreviados para cada método.

a (3a + 1) – b (3a + 1)

123. 2 x5 + 4 x4 + 2 x 3

(3a + 1)(a – b)

2 x 3 (x2 + 2x + 1) 2 x 3 (x + 1)2

126. x 2 – 64 – 6 x + 9

( x 2 – 6 x + 9) – 64 124. w 3 z – 4wz wz (w 2 – 4)

( x – 3)2 – 64

wz (w + 2)(w – 2)

( x + 5)( x – 11) © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley de Derechos de Autor n.º 6683.

145

Anote la factorización de cada polinomio. • Use cualquiera de los métodos estudiados o la combinación de ellos. 127.

4 x 3 –

b.

A = 4z

36 xy 2

2

+ 9z + 5

128. t 4 – 8t 2 + 16 129. 3n3 – 3n2 – 18n

B =

h =

130. 4a4 – 8a 2 + 4 c.

131. 2 s 3t 3 – 6 s 2t 3 – 8 st 3 132. 5 x 3y – 45 xy 3 133. 12 x 2y – 12y

A = 2y 2 – 2 y – 4

134. x4 – ( x + 2)2 135. 2 x4 – 6 x3 – 56 x 2 136.

n5 –

40n3 +

B =

h =

144n

137. 2 x 2y – 4 xyz + 2yz 2 138.

1 2

a5 + a3 –

3 2

a3b – 3ab

d.

139. w 3 – wy 2 + y 3 – yw 2 140. 16a4 – 8a 2b2 + b4 141.

1 2

x 2 + 4 x +

1 64

x3

2

A = 4t – 12 t + 9

142. 3m3 – m2n – 3mn2 + n3 143. 98t 3 + 84t 2 + 18t

Resolución de problemas 144. Cuatro estudiantes de noveno año dibujaron 4 figuras como las que se muestran a continuación en las que A representa su área. ¿Cuáles expresiones algebraicas podrían representar la base ( B) y la altura de cada figura (h)? a.

A = 4x

B = 146

2

+ 25 x + 25

h =


B =

Utilice la estrategia de factorización sugerida en la página 147 para comprobar los resultados de las factorizaciones de trinomios de la forma ax2 + bx + c .

h =

Uso de la tecnología Factorización de trinomios de la forma ax 2 + bx + c utilizando calculadora científica Ingrese en la dirección de Internet que aparece abajo, en la cual encontrará una calculadora científica en línea. http://web2.0calc.es/ Ejemplo Paso 1

Escriba, dentro del recuadro blanco de la calculadora, el comando “solve()”.

Paso 2

Digite dentro del paréntesis el trinomio que desea factorizar. Debe asegurarse de que el trinomio no sea factorizable por factor común, pues en este caso, primero debe sacar el factor común y luego seguir con el procedimiento.

solve()

Puede utilizar el teclado de la calculadora o el de su computadora. Por ejemplo, digite 2y^2 – 5y – 3. Y luego presione la tecla del igual de la calculadora. Paso 3

solve(2 X y2 – 5 X y – 3) "

y

solve(2 X y2 – 5 X y – 3 = 0 ) "

Anote la factorización del trinomio. Para eso se escriben dentro de paréntesis la variable del trinomio más el opuesto de cada uno de los valores obtenidos en la calculadora. En el caso de que uno de los valores obtenidos sea una fracción, debe pasar el denominador a multiplicar con la variable.

&

y

2

^

2y – 5 y – 3 = y – 3

hc

*

y= y=

y+

1 2

3 -1 2

m

2

2 y – 5y – 3 = ^ y – 3 h^2 y + 1 h

Factorice los siguientes trinomios utilizando la calculadora científica en línea. 1.

x 2 + 10 x + 25

10. 10a 2 + a – 3

2.

z 2 – 5 z – 50

11.

3.

y 2 + 15y – 16

12. 4w 2 + 12w + 9

4.

a2 + 12a + 20

13.

5.

4k 2 + 14k + 12

14. 3m2 + m – 4

6.

9w 2 + 12w – 5

15. 11n + 3 + 10n2

7.

18 x 2 + 19 x – 12

16. 1 + t 2 – 2t

8.

50 z 2 + 45 z + 9

17.

9.

4y 2 + 2y – 2

18. 8 x + 6 + 2 x 2

6k2 – 13k – 5

-19 x – 10 + 2 x 2

-6 + 15k 2 + k


147

Evaluación Selección única. Lea los enunciados y las alternativas que los acompañan (A, B, C, D). Marque con

la alternativa correcta.

1. Observe los siguientes criterios de funciones: I. f ( x) = 3x ]x – 1 g

5. La factorización completa de 2 2 16a + 24 ab + 9 b es la siguiente:

II. f ( x) = x ]x + 3 g – x 2

A) B) C) D)

2

III. f ( x) = ]2x – 3 g

¿Cuáles corresponden a criterios de funciones cuadráticas? A) Solo el I y el II. B) El I, el II y el III. C) Solo el I y el III. D) Solo el II y el III.

2. En la función cuadrática g, dada por 2

g ( x) = 8x –

3 + 5x los valores de a, b y c , 3

6. La factorización completa de corresponde a: A) B) C) D)

A) B)

5 3

, 8 y – 1. -5 3

D) 8, – 1 y

5 3

.

.

3. La factorización completa de z (1 – y) + x (y – 1 ) corresponde a A) B) C) D)

(1 – y) (x + z ) . (1 – y) (x – z ) . (y – 1 ) (x + z ) . (y – 1) (x – z ) .

4. La factorización completa de 2 a – 3 ab – 5 a + 15 b es la siguiente: A) B) C) D) 148

A) B) C) D)

, 8 y – 1.

C) 8, – 1 y

2

k – 10 k + 25

(k – 5 ) . 2 (k – 5 ) . 2 (k + 5) . (k + 5) (k – 5) .

7. La factorización completa de (2 x + t) 2 – 4t 2 es la siguiente:

respectivamente, son -5 3

(4a + 3b) . 2 (4a + 3b) . 2 (4a – 3b) . (4a + 3b) (4a – 3b ) .

(2 x – (3t + (2 x – (2 x –

t )

2

. 2

2x ) . t) (2x – 3t ) . t ) (2 x + 3t ) .

8. Al factorizar completamente se obtiene A) ]5 x + 9 g]- x – 9 g. B) ]5 x – 9 g]- x + 9 g. C) ]13 x – 27 g]- 5 x + 27 g. D) ]11 x – 27 g]- 7 x + 27 g. 9. Un factor del polinomio el siguiente: A) B) C) D)


A) B) C) D)

2

–

9 ]x

–

2

11 t + 5 t + 2 es

(a – 5) . (a – 4) . (a + 8) . (a + 5) .

- 3a +

a

2

–

2

3g

(t – 2 ) . (2 – t ) . (t + 2 ) . (1 – 5t ) .

10. Un factor del polinomio el siguiente:

]a – 3b g]a + 5 g. ]3b – ag]a + 5 g. ]a – 5 g]a – 3b g. ]a + 3b g]a – 5 g.

4 x

40 es

11. Un factor del polinomio el siguiente: A) B) C) D)

- 4 a + 16 a

2

–

6 es

12. Al simplificar la expresión resultado es el siguiente:

(4a – 2) .

A) B) C) D)

(4a + 3) . (4a + 2) . (16 a – 2 ) .

- 2 x + 6 2 x + 6

, el

-1. 0. 1. - x + 3 . x + 3

Respuesta corta. Escriba, en la línea de la derecha, la expresión que completa correctamente cada enunciado. 1. La factorización completa del polinomio - 16 n 4 + m 4 es la siguiente.............................................................................. 2. La factorización completa del polinomio b 2 (y – x) + a 2 (x – y) es la siguiente.......................................................................... 3. La factorización completa del polinomio 2^ 2 2 h w w – 1 – 1 + w es la siguiente...................................... 2+ 3

x

4. Al racionalizar el denominador de la fracción 3 – 5 x se obtiene ..............................................................................

Desarrollo. Ejecute los procedimientos respectivos para resolver los problemas. 1. El área de un rectángulo se puede representar mediante el trinomio 6 x 2 + 19 x + 10. ¿Cuáles expresiones algebraicas representan el largo y el ancho de ese rectángulo?

2. El volumen de un prisma de base cuadrada se puede representar con el trinomio 80 x3 – 40 x2 + 5 x. ¿Cuál expresión algebraica representa la medida de un lado de la base del prisma y cuál la medida de la altura?


149

Capítulo 2

División de polinomios Habilidad específica


1. Efectuar división de polinomios.

El área de un rectángulo está expresada por el polinomio 16y 3 – 8y 2 + 12y. Si la altura mide 4y, ¿qué expresión algebraica representa la medida de la base?

A = 16 y3 – 8 y2 + 12 y

4y

base

Analice • •

¿Cuál es el área del rectángulo expresada en términos de x? ¿Cuál de los siguientes valores para x hace que el área sea igual a 288 cm2 ( x = 5, x = 6, x = 12)?

Actitudes y creencias Para resolver correctamente operaciones con expresiones algebraicas es necesario estar concentrado y trabajar de forma ordenada. – Identifique cuáles factores en el aula son los que le producen mayores distracciones. – Comente con su profesor acerca de los factores que identificó y juntos busquen estrategias para contra restarlos.

Resuelva

Responda

División de binomios y trinomios entre monomios Para dividir un binomio o un trinomio entre un monomio se aplica la propiedad distributiva de la división respecto a la suma. Esa propiedad se puede representar así: (a + b + c ) ÷ d = a ÷ d + b ÷ d + c ÷ d

Ejercicio resuelto 1 Resolver la división (36 x 2y + 12 x 3y – 4 x) ÷ (4 xy).

Recuerde

2

En la división de monomios se aplica la siguiente propiedad: a a

150

•

(36 x 2y +

12 x 3y –

=

n

m

=

a

n – m

4 x) ÷ (4 xy) =

, con a

0.


36 x y 4 xy

3

+ 2

12 x y

9 x + 3 x –

4 xy 1

y

–

4 x 4 xy

Actividades Desarrolle todas las actividades en su cuaderno y anote las respuestas en el libro. Resuelva las siguientes divisiones de binomios entre monomios: 1.

(24a 2b3 – 8a3b) ÷ (4a2b)

13. (5x2n – 20xn) ÷ (5xn)

Determine la expresión algebraica que representa la altura de cada figura. 14. A = 24 x2y + 20 x3y2

2.

altura

(2a2b – a3) ÷ (a2bc ) 24 x2y

3.

(27m4n2 + 15mn3) ÷ (3mn2)

4.

(-54 a 3b +

5.

(4 xy 2 – y 3) ÷ (y 2)

6.

(144c 3d 4 –

Altura del rectángulo

15.

12ac 3)

÷

12c 3dx)

(-2a2b)

A = 8 a3 – 2 a2b

altura

2a2b Altura del triángulo

÷ (12cx )

7.

(21 x3 + 14 x 2) ÷ (7 x)

Resuelva las siguientes divisiones de trinomios entre monomios: 16. (30 m3n4 p2 + 15m2n3 + 45m3n2) ÷ (15m2n)

8.

(5m3n – 10mn) ÷ (5mn)

17.

9.

(-6 a8 b8 – 3a5b6) ÷ (3a6 b6)

18. (90 a6 b4 – 54 a5b5 + 72a4 b6 ) ÷ (-9a4b3)

10. (10t 4w5 – 8t 3w 3) ÷ (12t 2w 2)

11.

(-42 p7q4 – 7 p8 q6 ) ÷ (-6 p4 q3)

12. (10 x 3a – 15 x 2a) ÷ (5 xa)

19.

(36m4n2 – 48m2n4 + 12m2n2) ÷ (-6m2n2)

(-22 x 3w + 110 x 2 – 99 xw) ÷ (-11 x)

20. (24m2n + 14mn – 2m3n2) ÷ (4m2n)

21. (-56 a3b4 + 24a4b2 – 12) ÷ (-2a 2b3)


151

22. (3a5bc 3 – 15a4b5 – 1) ÷ (3a 2b)

23. (-2m6 n4 + 8m3n7 – 6n4m6) ÷ (-6m3n2)

Determine la expresión algebraica que representa la altura del cilindro. • Considere que el volumen del cilindro se calcula multiplicando el área de una base por la altura. 2 xy2

28. 24. (72 a3b2 – 36ab + 12b3) ÷ (-2a3)

25. ( x 2y 3 – 5 x 3y + 1) ÷ (5 xy)

26. (2 x 2a – 4 x5a – 6 xa) ÷ (2 xa) Volumen:

27.

( xn + 1y2n – 3 xn + 2yn + xn + 3yn + 1) ÷ ( xny)

3

20r x y

2

2

4

3

3

+ 40 rx y – 16 r x y

Altura del cilindro

Recuerde En una división, al primer término de la operación se le llama dividendo y al segundo, divisor . Por ejemplo, en a ÷ b, a es el dividendo y b el divisor.

División de binomios y trinomios entre binomios Para dividir un binomio o un trinomio entre un binomio se puede realizar un procedimiento similar al utilizado para dividir números. También se puede utilizar un método llamado división sintética en algunos casos particulares. Para utilizar ambos métodos es necesario que el polinomio correspondiente al dividendo esté ordenado y completo.

Ejercicio resuelto 2 Resolver (2 + 16 x 2) ÷ ( x + 2). •

•

•

Paolo Ruffini (1765-1822), fue un matemático, profesor y médico italiano. La división sintética también es conocida como "método de Ruffini", por ser él quien lo descubrió.

152

•

Se ordena y se completa el dividendo.

16 x 2 + 0 x + 2

Se busca una expresión que al multiplicarla por el divisor dé como resultado el primer término del dividendo y se anota en el cociente. Se multiplica la expresión anterior por el divisor y se anota el resultado opuesto debajo del dividendo. Luego se suma.

+

Se repite el procedimiento hasta obtener un residuo con un grado menor que del divisor.


16 x2 + 0 x + 2 x + 2 -16 x2 – 32 x 16 x – 32 0 32 x + 2 32 x + 64 cociente 0 + 66 residuo

Razonar y argumentar

Ejercicio resuelto 3 Resolver (2 + 16 x 2) ÷ ( x + 2) mediante división sintética. •

•

•

•

•

•

•

Para aplicar el método de división sintética, el dividendo y el divisor deben cumplir lo siguiente: – El dividendo y el divisor deben tener una única variable y debe ser la misma para los 2. – El divisor debe ser un binomio de la forma x + a o x – a, donde a es un número real y x corresponde a la variable. Se ordena y se completa el dividendo. Se escriben los coeficientes numéricos del dividendo a la izquierda de una línea y del otro lado, el opuesto de la constante del divisor. Se baja el primer coeficiente. Luego este número se multiplica por el divisor. El resultado se anota debajo del segundo coeficiente.

16

Se suman el segundo coeficiente y el producto obtenido en el paso anterior. Se repite el procedimiento anterior las veces que sea necesario.

16

0

2

–2

0

2

–2

-32

64

-32

66

-32 16

16

El residuo es el último número de la tercera fila (66).

El teorema del residuo establece que si se divide un polinomio P(x) entre (x – a), donde C(x) es el cociente y r el residuo, se tiene que: P(x) = C(x) : (x – a) + r. Un resultado que se obtiene de este teorema es que P(a) = r. – Compruebe, por medio del teorema del residuo, que el valor numérico de P ( x) cuando x = a es igual al residuo de la división. – Use el resultado anterior para determinar cuáles de las siguientes divisiones son exactas. ( x4 – x) ÷ ( x + 1) ( x 2 + 5 x – 14) ÷ ( x – 2) ( x 2 – 8 x + 12) ÷ ( x – 1) (x 2 – 10 x – 16) ÷ ( x + 2) (3 x 2 – 4 x – 15) ÷ ( x – 3) (5 x2 + 9 x – 116) ÷ ( x – 4) (8 x 2 + 5 x + 24) ÷ ( x + 3)

El cociente es el polinomio de un grado menos que el dividendo y cuyos coeficientes numéricos son los otros números de la tercera fila (16 x – 32).


31.

(10 x 2 – 1 – 2 x) ÷ ( x + 2) Cociente:

Resuelva las divisiones entre polinomios. • Anote el cociente y el residuo de cada división en las líneas correspondientes. 29. (4 x 2 + 6 x + 1) ÷ ( x + 1)

Cociente:

Residuo:

30. (6 x 2 – 2 x + 3) ÷ ( x + 3)

Cociente:

Residuo:

Residuo:

32. (8 x – 4 x 2 + 1) ÷ ( x – 1)

Cociente:

Residuo:

33. (16 x 2 + 3) ÷ ( x + 2)

Cociente:

Residuo:

34. (5 – 24 x 2) ÷ (2 x + 1)

Cociente:

Residuo:


153

35. (36 x 2 – x) ÷ (3 x + 2)

Cociente:

43. (6 x + 10 x 2) ÷ ( x + 4)

Residuo: 10

36. (20 x 2 – 1) ÷ (5 x – 1)

Cociente: 37.

10

Residuo:

(8 x3 + 3 x + 2) ÷ ( x + 2) Cociente:

6

0

-40

136

-34

136

-4

Residuo: 136 Cociente: 10 x – 34

Residuo:

38. (2 x – 15 x3) ÷ ( x + 1) 10

Cociente:

Residuo:

-4

-40 10

39. (24 x 3 – 9 x) ÷ (3 x – 2)

Cociente:

6 -34

Residuo: -34 Cociente: 10 x

Residuo:

40. ( x 3 – 1) ÷ ( x + 1)

Cociente: 41.

Residuo:

(9 x 2 + 14 x – 11) ÷ ( x – 4) Cociente:

Residuo:

Resuelva las divisiones entre polinomios aplicando la división sintética. • Anote el cociente y el residuo de cada división en las líneas correspondientes. 44. (m2 – 10m + 25) ÷ ( m – 5)

Marque con el procedimiento correcto para resolver cada división por el método de división sintética.

Cociente: 45. ( x 2 – 5 x + 1) ÷ ( x – 1)

42. (2 x + 8 + 12 x 2) ÷ ( x – 2)

Cociente: 12

2

8

24

72

144

36

74

152

2

47.

12

8

24

52

26

60

Residuo: 60 Cociente: 12 x + 26

154

2

Residuo:

(8 m2 – 2m + 6) ÷ (m + 3) Cociente:

2

Residuo:

46. (3 x 2 – 2 x + 5) ÷ ( x + 2)

Cociente:

Residuo: 152 Cociente: 36 x + 74

12

Residuo:

Residuo:

48. (3 x 2 – 3 x + 2) ÷ ( x – 4)

Cociente:

Residuo:

49. ( x 2 + 4 x + 3) ÷ ( x + 3)


Cociente:

Residuo:

Explique el error cometido en los primeros pasos de cada operación. 50.

2 x 2 x

4 x

2

+ 4 x – 8

2

2

–

54. Pinte del mismo color los recuadros con divisiones que tienen igual cociente. 3

2 x

4x

4

(6 m + 3m ) ÷ 3m

2

x –

(- 16 m

+ 0 – 8

6

–

2

4m ) ÷

-m 4

2

2

2

(m + 1 ) ÷ (m + 1 )

51.

2 x - 2 x

4 4

+ 4x +

2

3

–

8

2

(3m + 2m – 7) ÷

– x

x 4

x5

m

8

4

(128m + 32m ) ÷ 2m 2

3

4

4

2

(4m + 4m + m ) ÷ (2m + m )

^9m 4 + 6m 2 – 21m h ÷ 3m 2

Anote el cociente que se obtiene al resolver correctamente las divisiones anteriores. 3

52.

2

2

(4m + 7 m + 3 m) ÷ (4 m + 3 m )

53.

División de trinomios entre trinomios Para dividir un trinomio entre otro trinomio se realiza el procedimiento usual de división. Siempre se debe verificar que tanto el dividendo como el divisor estén completos y ordenados antes de iniciar el procedimiento.

Ejercicio resuelto 4 Resolver la operación (5 + 2y 3 – y) ÷ (3y + y 2 – 1). •

Se completan y se ordenan los términos. (2y3 +

•

0 y2 –

y + 5) ÷

Conectar con…

(y2 +

3 y – 1)

Física

Se colocan los términos en forma vertical y se resuelve la división de la manera usual. 2y3 + 0y2 – y – 2y3 – 6y2 + 2y 0 – 6y2 + y 6y2 + 18y 0 19y residuo

+5 +5 –6 –1

y2 2y

+ 3y –6

cociente

–1

Con las divisiones entre polinomios se puede ver una relación entre 2 áreas distintas de la Matemática. – Comente con un compañero cuáles son esas 2 áreas que se relacionan. – Explique cuál es la relación que se puede apreciar con la división de polinomios entre esas 2 áreas.


155


59. (-10 w 3 + 2 – 6w 2) ÷ (3 + 2w 2 + 3w)

Cociente: Resuelva las divisiones entre trinomios. • Anote el cociente y el residuo de cada división en las líneas correspondientes.

Residuo:

60. (-21a3 – 4a – 3) ÷ (-7a2 – 3a – 1)

Cociente:

Residuo:

55. (5 x 3 + 3 x 2 + 2) ÷ ( x 2 + x + 3)

Cociente:

61.

56. (6y 3 + y – 4) ÷ (2y 2 + y + 3)

Cociente: 57.


Residuo:

Residuo:

(15m3 – 3m2 – 10) ÷ (3m2+ 1 + 2m ) Cociente:

Residuo:

58. (22n3 + 2n + 2) ÷ (-n – 1 + 11n2)

Cociente:

Armando dice que al dividir 9 x – 18 – 15 x 2 entre 5 x 2 – 3 x + 6 obtiene una expresión algebraica de grado 1, y Vanessa dice que se obtiene una expresión algebraica de grado 0. ¿Cuál de los 2 tiene la razón?

62. Daniel dividió un trinomio de grado 3 entre 2 x 2 – 3 x + 1 y obtuvo 2 x + 3 como cociente y 5 x + 3 como residuo. ¿Cuál era el dividendo?

Residuo:

Actividades integradoras Desarrolle todas las actividades en su cuaderno y anote las respuestas en el libro. Resuelva las operaciones propuestas de acuerdo a los polinomios dados.

A = x2 + 1

C = x + 1

64. El cociente de E ÷ D se multiplica por 2.

65. El cociente de A ÷ D se divide por 2.

66. El residuo de A ÷ C se suma con el residuo de B ÷ D.

E = x3 + 2 x + 1

B = x3 – 1

D = x – 1

63. El cociente de B ÷ C se divide por D.

156

Anote el cociente de las siguientes divisiones. • Utilice el método que considere más conveniente. 67.


`18y6 – 12y 4 j `2y 3 j '

68. ^- 3 x 2 + 2 xh ' ]x + 1 g

76- ^w 2 – 2w 4 h ' ^w 2 + 1 h

69.

^5m + 3m 2 + 2 m 3 h ' ]3 + 2 m g

77.

`16 p 3 y – 4p 4 + py j

70.

^45m 7 – 9m 3 + 81m 5h ' ^9m 3h

78.

`16 p 3 – 4p 4 + p j

71.

`9y2 + 4y – 11 j

'

^y – 4 h

72. ^14m 3 – 2 h ' ]- 2m

75.

`24k 2 p 3 – 2kp 3 j

'

^- 1 + p h

79. El área de un rectángulo está dada por la expresión algebraica 10 x3 – 32 x 2 + 6 x. Si el ancho del rectángulo se representa con la expresión 5 x – 1, ¿cuál es el largo del rectángulo?

73. ^- 15 z 2 + 20 z h ' ^- 5 z 3 h

^ x 5 – 9x 2 + 8x 3h ' x 4

^py h


+ 4g

74.

'

'

80. Fernando tiene 20 x 2y – 6x2y litros de agua y quiere distribuir todo ese líquido en recipientes con una capacidad de 2 x 2y litros cada uno. Si llena todos los recipientes hasta su máxima capacidad, ¿cuántos podrá llenar en total?

^2pk h

Evaluación por proyectos Elabore un esquema en el que incluya los 3 métodos para resolver divisiones con expresiones algebraicas que estudió en este tema. 81. Forme un grupo de 5 personas para realizar el trabajo.

83. Agreguen un ejemplo para cada tipo de división.

82. Describan, en forma breve, los pasos para resolver cada división. •

•

•

84. Elaboren el esquema en una cartulina o en un pliego de papel periódico.

División entre monomios. División entre binomios (método usual y división sintética).

85. Expongan el trabajo a los demás compañeros del aula.

División entre trinomios.


157

Fracciones algebraicas Habilidad específica 1. Efectuar operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias.

Lea la situación problema Un arquitecto diseña una fuente de base cuadrada, como la de la derecha. En el borde de la fuente se colocará una valla para evitar que las personas ingresen a ella. ¿Cuál expresión algebraica representa la cantidad de metros de valla que se necesitarán?

2

c aa m + 5

m

Analice Razonar y argumentar Si se tiene una función con

• •

¿Con cuáles operaciones se podría solucionar el problema? ¿De qué manera puede aplicar lo que sabe acerca de operaciones con fracciones homogéneas para resolver la situación?

un criterio de la forma y=

1

, se puede calcular x 2 el valor al que se aproxima

Resuelva

y cuando x se aproxima a 0. Para esto se utiliza un concepto matemático llamado límite. Por ejemplo, en la función anterior, se dice que

Responda

cuando x tiende a 0, el valor de y tiende a infinito. – Averigüe con su profesor o con un estudiante avanzado, de qué manera se puede expresar el concepto anterior utilizando lenguaje matemático.

Conceptos Una fracción algebraica se define como el cociente de 2 expresiones algebraicas. Si

P(x) es una fracción algebraica, donde P(x) y Q(x) Q(x)

son polinomios, con

Q (x) ! 0 ,

la fracción algebraica es racional. Si el

numerador, el denominador o ambos NO son polinomios, entonces la fracción es irracional. En el problema anterior, la medida del lado de la base es una fracción algebraica racional.

Recuerde Una expresión algebraica NO es un polinomio cuando alguna variable: • Está en el denominador. • Es afectada por una raíz.

158

Ejercicio resuelto 1 Encerrar la fracción algebraica que es racional. 2x – 5 3x + 6

x – 9 7x – 1


Es irracional porque NO es un polinomio.

x –

9

Actividades Desarrolle todas las actividades en su cuaderno y anote las respuestas en el libro. Marque con

las fracciones algebraicas racionales.

2 xy + y

1.

x + 2x

2

4x

6.

8x

2

a – b

2.

2

a – b m

3.

2

x x

2

7. 1 –

2

5t

8. –

–

4

n

2

3

+ 1

9

15

1 – z

5

12. Tres ejemplos de fracciones algebraicas irracionales.

13. Justifique por qué la afirmación del recuadro es falsa.

t – 1

– 9p

9.

3

2

p +

z

5.

– 4 n

2

b

4.

Anote los tipos de fracciones indicados. 11. Tres ejemplos de fracciones algebraicas racionales.

t

10.

2

– s

La fracción

4

y – 1 y

5

2

es irracional.

+ 1

2

25

Simplificación de fracciones algebraicas La simplificación de fracciones algebraicas es un proceso mediante el cual se obtiene una fracción que es equivalente a una fracción dada. Las fracciones decir, si

P (x) R (x) y son Q (x) T (x)

equivalentes si

P (x) R ( x) = ; Q (x) T ( x)

es

P (x) : T (x) = Q (x) : R (x) .

Si 2 polinomios P ( x) y Q ( x) tienen por lo menos un factor común, P (x) distinto de 1 o – 1, entonces la expresión algebraica se puede Q (x) simplificar y se dice que es reducible o reductible. Una fracción algebraica está simplificada al máximo (es irreducible) cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes diferentes de 1 o – 1. •

•

Para simplificar una fracción en la que tanto el numerador como el denominador son monomios, se simplifican los coeficientes numéricos entre sí y los coeficientes literales entre sí. Para esto se aplica la propiedad del cociente de potencias de bases iguales. Para simplificar una fracción en la que alguno de los términos es un polinomio, primero se factoriza completamente y se dividen entre sí los factores que tengan en común el numerador y el denominador.

Recuerde La propiedad del cociente de potencias de igual base dice lo siguiente: a a

n

m

=

a

n

–

m

,

a

!0

Cuando en una fracción el numerador y el denominador tienen factores iguales, estos se pueden simplificar por la ley de la cancelación como se muestra en el ejemplo: (a + b) (c + d ) 2

(a + b) (c + d )

=

1 a+ b


159

Recuerde

Ejercicios resueltos 2

Según la propiedad de las potencias con exponente negativo se tiene lo siguiente: a

–n

=

Simplificar las siguientes fracciones con monomios: a.

^5

5

14 x

1 a

7 x

1x

=

3

– 3h

=

2

Se simplifican los coeficientes numéricos y se restan los exponentes de las bases iguales.

x2 2

n

b.

18 a 2 bc 7 5

3a (2 – 5) b ( 1 – 1) c (7 – 3 ) 2 Al restar exponentes de bases

=

3

12 a bc

=

3a

-3

iguales el resultado siempre se coloca en el término de la fracción donde estaba el mayor exponente. Esto se da por la propiedad de las potencias con exponente negativo.

0 4

b c

2 4

=

3 c

2a3

Ejercicios resueltos 3 Actitudes y creencias Dominar todos los métodos de factorización estudiados le puede dar seguridad en sí mismo para la simplificación de fracciones. – Elabore fichas en las que incluya los diferentes métodos de factorización. – Mantenga a mano las fichas que elaboró para factorizar los polinomios involucrados en las simplificaciones.

Simplificar las siguientes fracciones utilizando la factorización: a.

2m

2

m

b.

4a

2

4

– –

–

4m

2m (m – 2) (m – 2 ) (m + 2 )

=

2m (m + 2 )

4

4a

2

=

Se factoriza y se cancelan los factores que se repiten en ambos términos.

=

4a 2 (a 2 – 1) 2a (a + 1)

=

4a (a + 1) (a – 1 ) 2a (a + 1)

2

2 a + 2a

2

= 2a (a – 1)


17.

Simplifique al máximo las fracciones algebraicas con monomios.

18.

14. 15. 16.

160

3

6a

2

18 ab mn

3m

20.

4

2

38 m

5 2

21.


3

3

5

n p

48 a b

10

5

12

c

5

2

3

4

2

5

3

3

96 a b c 10 ab

2

3

15 a b 16 m n p 40 m n p 5

n

6

n p

7

19.

x xy

19 m

75 a b 2

6

2

4

100 a b c

Se simplifican los coeficientes numéricos, se cancelan factores y se restan exponentes.

Simplifique al máximo las fracciones algebraicas con polinomios. 22. 23.

16 a 12a

3

2

– 7a

2

– 10 a

3 + 2a – 8a

2

4 + 5a – 6a

2

36.

2

24. 25.

2

20 x yz – 60 x yz 2

2

2w

2

w

+ 2

w

30 x y

38.

–3

– 18xy 2

12 x y

–

1

2

–

2

39.

3

ax + by ax 2 + bxy x

3

–

3

–

6x

2

2

3

3

x – y

a an

2

9

– m

x – y

–1 3

x

9m

x

2

4

+

m

37.

9 x y z – 27x y z

2

26.

2

3

x x

35.

– 25 m

m

34.

2 2

n

2

+

9x 2

–

+ 9x

36 a

an –

2

30 a

3

27. 28. 29.

24 s t 3 2

36 s t 27 p 27 p

3

31. 32. 33.

2

+ 81 p

3

– 2 k – 4

2

+ 3k + 1

2

30.

+ 9p

2

2k 2k

3


4

+ 48 s t

2

2

4 x y z – 16x yz

40. El área de la base de una piscina rectangular está dada por la expresión x 2 + 10 x + 21. Si la longitud del largo del rectángulo es x + 7, ¿cuál expresión corresponde a la medida de otro lado del rectángulo?

2

8 x yz x x

3

3

–1

+ x

2

+ x

3a – 4 6a

2

– 23 a + 20

5 x

2

– 19 x + 12

- x

2

41.

El área de una alfombra con forma de romboide está dada por 3m2 + 4m – 15. Si la medida de la altura es m + 3, ¿cuál expresión representa la medida de la base?

– 2x + 15

Racionalización Una fracción algebraica irracional se puede racionalizar para eliminar la raíz de uno de sus términos, ya sea del numerador o del denominador. Si es un monomio que contiene una raíz cuadrada se multiplica el numerador y el denominador por esa misma raíz. Si el índice de la raíz es mayor que 2 se multiplican por un radical que tiene el mismo índice y cuya cantidad subradical tiene la misma base. Los exponentes de este subradical son las cantidades que les falta a los exponentes de la cantidad subradical de la fracción original para ser igual al índice del radical o al múltiplo más cercano a este. Si es un binomio que contiene raíces cuadradas, se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del binomio. En la fórmula notable a2 – b2 = (a + b)( a – b), al factor (a – b) se le llama conjugado de ( a + b) y viceversa. •

•

•

5

5 5

2

x y

3

:

5

3

2

3

2

x y x y

=

5

5

3

x y xy

2

Ejemplo de racionalización con índice mayor que 2.


161

Ejercicios resueltos 4 Racionalizar el denominador de las siguientes expresiones algebraicas: 2

a.

b.

Registros históricos señalan que los egipcios fueron quienes utilizaron por primera vez las fracciones. Pero solamente aquellas de la 1 forma . n

c.

d.

2 xy

x + y x - y 1 –

x

1 +

2

=

x

2 xy

=

=

2 3

4

a+ b

2 xy

:

2 xy

x + y :

x- y

x - y :

x- y

^1 – ^1 +

h^1 x h^1 x

2

= 3

4

4

2

=

_

2 xy 2 xy

h xh

x

–

i

4

2 xy 2 xy

^1 –

=

1

2

â + b h3

a+b .

2

2

^ x + yh^x - yh _ x - y i2

=

–

=

2

^

–

2

=

â + b h3

x

3

h2

x

4 4

=

2

h

=

x - y

2

x - y 1 – 2

â + b h3 â + b h4

x

+

x

1 – x

=

2

4

â + b h3 3 â + b h

Actividades Desarrolle todas las actividades en su cuaderno y anote las respuestas en el libro. Racionalice el denominador de las siguientes expresiones algebraicas. -2

42.

45. 46.

5

x y 3 z 2 b

48.

3

50. 51.

162

4

6

a b c 5 6

3

16 a b

11

2 x 2

n

57.

n

1

x – y x

+

58.

y

a4 b x 5

6

b 7 y4

3n + –

5

+ 1

a

+ 3 +

3

a

+ 3

3

–


+

x –

x –

+ 1 + 1

–

a – a

a 9 x 2

3

62.

x

a2

61.

x

+ 1

a –

3

x

x

x

a

5

60.

–

1

x

59.

2

1

+ 1

2 ab

56.

2 x y

49.

x

mn

5

x

a

–

1

Racionalice el numerador de las siguientes expresiones algebraicas.

2

2

x –

1 4

2

4 ab

1

x –

55.

3 xy

a

47.

54.

10 a

43. 44.

53.

+ 1 +

x

52.

x 2 y 3 z 3 b 4ab

1

+ 1

Fracciones homogéneas y heterogéneas

Recuerde

Dos o más fracciones algebraicas son homogéneas si tienen igual denominador. Las fracciones algebraicas que tienen distinto denominador se llaman heterogéneas.

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) es el menor múltiplo común, distinto de 0, que tienen 2 o más números.

Dos o más fracciones que son heterogéneas se pueden homogeneizar encontrando fracciones que sean equivalentes a las dadas, pero con igual denominador. Para homogeneizar 2 o más fracciones se calcula el m.c.m. de sus denominadores, se coloca como el nuevo denominador y luego se calcula el nuevo numerador de cada fracción.

Para calcular el m.c.m. de 2 o más números, como 9, 6 y 12, se procede así:

Para calcular el m.c.m. de 2 o más monomios se calcula el m.c.m. de los coeficientes numéricos y se multiplica por todas las variables que aparezcan en los monomios, con el mayor exponente que tengan. En el caso de los polinomios, se factorizan completamente y el m.c.m. estará formado por todos los fac tores que aparezcan con el mayor exponente que tengan.

9 9 9 3 1

6 12 3 6 3 3 1 1 1 1

3 2 3 3

m.c.m.(9, 6, 12) = 2 2 3 3 = 36

Ejercicios resueltos 5 Calcular el m.c.m. de cada grupo de monomios. a. 9a 2, 6 ab 4, 12a5bc

m.c.m.(9a 2, 6 ab 4, 12a 5bc ) = 36 a5b 4c m.c.m.(9, 6, 12) = 36

b. 5 x 3, 2 x, 3 xy

m.c.m.(5 x 3, 2 x, 3 xy) = 30 x 3y m.c.m.(5, 2, 3) = 30

Eje transversal

Ejercicio resuelto 6 Calcular el m.c.m. de los siguientes polinomios a. k 3 + 3k2 + 3k + 1, k3 + 1, k 2 – 2k – 3 k 3 + 3k 2 + 3k + 1 = (k + 1)3

_ b k 3 + 1 = (k + 1)(k 2 – k + 1) b ` 2 k – 2k – 3 = (k – 3)(k + 1) b a

Se factorizan los polinomios.

m.c.m.(k 3 – 3k 2 + 3k – 1, k 3 + 1, k 2 – 2k – 3) = (k +

1)3 (k –

3)

( k 2 –

k + 1)

Se escriben todos los factores que aparecen, con el mayor exponente.

Es necesario aprender a fomentar las buenas relaciones en los grupos de los que se forma parte. Generar conversaciones que sean de interés para ambas personas puede ayudarnos a mejorar las relaciones con los demás. – Identifique las personas de su sección con las que se relaciona menos. – Investigue acerca de qué intereses tienen en común y propicie conversaciones en relación con esos temas.


163

Ejercicio resuelto 7 m

Expresar las fracciones n

3m

3

n

3

– 5m

m

Eje transversal

n

2

4

y

2

(m – 2)

2

m n

3

– 2m n

=

mn

mn

2

2

(m

2

m

•

2

– 4m

3

+ 4m

2

n

2

y

Se factoriza y se simplifica.

m

(3m + 1) (m – 2)

(3m + 1)(m

m

–

2 )h

Se calcula el m.c.m. de los denominadores.

2) 2 (3m + 1)

2

2

2

n

como fracciones homogéneas.

3

(m – 2) (3m + 1) n

mn

–

n

n

m.c.m. ^n 2 (m – 2) 2,

El término “homogéneo” también es utilizado en otros contextos diferentes a la Matemática. Algunos personajes a través de la historia han pretendido formar sociedades homogéneas en las cuales no existan diferencias de pensamiento, creencia, raza, entre otras. – Investigue, en Internet, un poco sobre el holocausto que fue promovido por Adolf Hitler, y sus principales causas. – Comente con amigos o familiares sobre la importancia de respetar la diversidad en la sociedad.

4

3

(m – 2)

=

: m

2

m

2

(m – 2) (3m + 1)

: n

(3m + 1) (m – 2)

=

n

3

2

(3m + 1)

(m – 2)

Para obtener los nuevos numeradores se divide el m.c.m. entre el denominador original y se multiplica por el numerador.

Se escriben las fracciones homogéneas.

m mn

2

2

(m

(3 m + 1 )

–

n

y

2

2 ) (3m + 1)

mn

2

(m

3

Numeradores del paso anterior (m – 2 )

–

2

2 ) (3m + 1)

m.c.m.

Actividades Desarrolle todas las actividades en su cuaderno y anote las respuestas en el libro. Marque con las parejas de fracciones que son homogéneas al factorizar uno de los denominadores. 63.

5 7–a y 2 2a (a + 1) 2a + 2 a

Anote 2 fracciones homogéneas a la dada en cada caso. • Escriba los denominadores con polinomios factorizados completamente. 67. 68.

9w

64. w

x

164

–

9

y

x –

65.

66.

2

2

(w – 3 )

5

+ 10 x + 25

3y 3

2w

y – 27

y

2

69.

y 10 x + 25 2 ( x – 5 )

70.

2w

71.

2

(y – 3 ) (y + 3y + 9 )


a

9a

2

–

16

2 t + 1

t2

+ 14 t + 49 - k + 2

4k

2

– 4 k + 1

5m 64 +

2

m3

1 n

6

–

1

Convierta cada pareja de fracciones dada en fracciones homogéneas. 72.

75.

4k + 1 5k 3 y 36 k 2 – 60 k + 25 6k 2 + 13k – 15

76.

4 z y 4 2 2 7w – 7 w z 2w 3 –

5 8 y 2 2 x + 2x 3 x – 3 x 2

73.

x 2 x y 2 2 2 x + 2 x + 1 x – 1

74.

20 15 a y 2 a – 25 a a + 2a – 15

77.

3

12 t

3

z w

2 2

z

–

wz

2

t + 2 8t y 2 2 4 + 12 t s + 3 ts 4t – s 2 t 2

Adición y sustracción de fracciones algebraicas Fracciones homogéneas

Para sumar o restar 2 o más fracciones algebraicas homogéneas : • • •

Se suman o se restan los numeradores según corresponda. Se conserva el mismo denominador de las fracciones. Se simplifica, si es posible.

Fracciones heterogéneas

Para sumar o restar 2 o más fracciones algebraicas heterogéneas : •

• •

Se convierten las fracciones heterogéneas en fracciones homogéneas. Para eso se utiliza el m.c.m. Se suman o se restan las fracciones homogéneas obtenidas. Se simplifica, si es posible.

Ejercicios resueltos 8 Resolver las siguientes operaciones de fracciones homogéneas: a.

2 x x + 1

+

5 x x + 1

= =

b.

2

2 x + 5 x x + 1

Se suman los numeradores y se conserva el denominador.

7 x x + 1

2

2

Se reducen los términos semejantes.

2

k – 1 – ^ - 3k - 3 k k – 1 – = 2k + 1 2 k + 1 2 k + 1 2

=

4 k – 1 2k + 1

= 2k – 1

h

Se restan los numeradores y se conserva el denominador. Se reducen los términos semejantes. Se simplifica.

Algunos espejos distorsionan la forma y el tamaño de los objetos y las personas. Esto se debe a que la superficie de estos espejos no es plana sino esférica; de ahí el nombre que reciben de “espejos esféricos”. La relación que hay entre el tamaño del objeto que se refleja en el espejo y la imagen que este produce se representa mediante fracciones algebraicas.


165

Conectar con…


Física

Resolver las siguientes operaciones de fracciones heterogéneas:

Los espejos esféricos pueden ser cóncavos o convexos. En los espejos cóncavos la superficie reflectora es interna, mientras que en los convexos es externa. – Investigue, en Internet, cuáles son las expresiones algebraicas para cada tipo de espejo (cóncavo y convexo) que relacionan el tamaño del objeto real con la imagen proyectada.

x

a.

xy – y

2

–

1

x – y

x

=

y^ x – yh

3 x – 3

+

3 x – 1 x

2

–

1

y

+

1

Se restan las fracciones homogéneas.

y ^ x – yh

=

5

Se homogeneizan las fracciones.

y^ x – yh

x – y

=

b.

y

–

1

Se homogeneizan las fracciones.

2 x + 2

=

10 ( x + 1) 6 (3 x – 1) 3 ( x – 1) + + 6 ( x – 1) (x + 1 ) 6 ( x – 1) (x + 1 ) 6 (x – 1 ) (x + 1 )

=

10 ( x + 1) + 6 (3x – 1) + 3 (x 6 ( x – 1) (x + 1 )

=

31 x + 1 6 ( x – 1) (x + 1 )

–

1)

Se suman las fracciones homogéneas. Se reducen los términos semejantes.

Actividades Desarrolle todas las actividades en su cuaderno y anote las respuestas en el libro. Resuelva las siguientes operaciones de fracciones homogéneas. • Escriba los resultados de las operaciones simplificados al máximo. 78. 79. 80. 81. 82.

9 x

15 x

+

y

y

6 x + 1 2

+

8a

a+ 2

b

6a

a+

–

=

15 a

a+

3

x 2

– 25

87.

83.

166

4m

2

n

–

ab

2

–9

m m

=

90. 2

2

k +

n

=

7

=

2

2 – 2 t + 3t

–

(t + 1)

91.


2

x 2 + 2 2 6 x

+ 2

ab + b

+

3

2

a b

+ 1 –

2

x

+

+ 1

3

4

3

–

2 x

2

+ 2

x x

x

2

+ 1

+

+

– x

x –

m

m

x –

2

2

+

3 x – 12

89. x

– 2n

4m

+ 3 + 5t

b – a

x m

k + 7

(t + 1)

=

– 25

3a a – = b b

3m + 2 n

2

k

–

2

=

Anote el resultado, simplificado al máximo, de las siguientes operaciones que involucran 2 términos:

88.

6 x – 3 x

+

-t

7

2

+

3

– 3x – 1

x 2 7a

2

k +

4k

–

86. x + 2 2 x

3 x y +

3

7 x + 8

85.

7 k

=

y

3 x y

4 x

18 x

+

84.

2

–

+ 2 8

1

103.

Cualquier expresión algebraica o cualquier número se puede expresar como fracción colocando un 1 como denominador. Por ejemplo, x – 3 = x – 3 .

a

2

+

a 6a +

5

1

92. 93. 94. 95.

a

x

+ ( x – 3)

2

x –

2

a

1 –

25 a

a

1 –

1 3

3

nm – m

97.

y y – x

–

9


2

a

2

104. Un camión debe realizar un recorrido total de

1

–

n

96.

–

2

–

a – b

2

]a – b g3

5w 2w

1

–

+

99.

100.

101.

3 x

a+ b

a – b

w –

5

w

+ 5

a

+ 4

3a – 2

–

x

+

11 x + 6

–

1

–

w –

3

km,

cia que le falta por recorrer?

2 x 2

6

1

y

Escriba el resultado, simplificado al máximo, de las siguientes operaciones que involucran 3 términos: 98. a + b + b – a + ab 2 2 a – b

–

km. Si ya ha recorrido

¿cuál expresión algebraica representa la distan-

n – m

x x

–1

P =

1 – 85 a

+

5a – 3

a

2

–

x

+ 3

2

–

+

9

1 3 x

–

2

7w w

3 a – 2

–

recipiente que está vacía?

Resuelva los problemas 104 y 105 utilizando la estrategia que se propone en la página 171.

+ 5

5a + 3

105. La capacidad de un recipiente está dada por la expresión 2 3 x . Si la parte del reci x – 3 x piente que contiene líquido es 6 , ¿qué x – 3 expresión algebraica representa la par te del

1

Anote la expresión algebraica simplificada que corresponde al perímetro ( P) de cada figura. 102. 5

w

+ 1

106. El costo de mano de obra en la elaboración

de un producto está dado por la expresión $ 2t . Si los gastos en materia prima para t + 3 elaborar cada uno de esos productos son t $ 2 , ¿cuál es el costo total de t + 5t + 6 producción de cada artículo?

P = © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley de Derechos de Autor n.º 6683.

167

Multiplicación y división de fracciones algebraicas

Recuerde Si a ! 0 y b ! 0, el inverso multiplicativo de ya que

a b

:

b a

a b

es

b a

,

= 1.

Multiplicación

Para multiplicar 2 o más fracciones algebraicas: • •

Se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Se factoriza y se simplifica, si es posible.

División

Para dividir 2 fracciones algebraicas: •

•

Se multiplica la primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda fracción. Se factoriza y se simplifica, si es posible.

Ejercicios resueltos 10 Resolver las operaciones con fracciones. a.

x

2

–

5 x –

4 10

:

x

2

+ 6x + 9

x

2

=

] x + 3 g2

=

n

2

n

–

1

+ 1

÷

n

3

– n

]n + 1 g2

n

=

–

1

+ 1

(n

2

–

n

3

– n

2

1 )] n + 1 g

(n + 1 ) (n 3 –

n

) 2

]n + 1 g

=

Resuelva las multiplicaciones de fracciones.

2 109. 2 x + x

7a 6m

2

:

3m 10 n

6

107.

168

3

25 m p

:

3

3

2n p

110.


m

+

n

m n – n

2

2

8

:

Se factoriza. Se simplifica.

n

108.

5 p

Se multiplica por el inverso multiplicativo.

(n + 1) (n – 1) (n + 1) n (n + 1 ) (n + 1 ) (n – 1 )

=


2

Se factoriza.

]n + 1 g2

:

Actividades

24 m n

Se multiplican numeradores y denominadores.

Se simplifica.

5 x

2

n

=

2

4) (x + 6x + 9)

–

] x + 2 g]x – 2 g]x + 3 g2 5 x ]x – 2 g]x + 2 g

=

b.

2

(5 x – 10) (x 2 + 2x )

+ 2x

Actitudes y creencias La forma de resolver un ejercicio matemático no es única; diferentes personas pueden usar diferentes métodos y obtener el mismo resultado. – Intercambie el trabajo de la página 167 con un compañero para comparar la forma como resolvieron las operaciones. – Ponga en práctica las estrategias que le parezcan de más utilidad.

( x

4 x + 2 n

: m

2

2

– n

2

111. 112. 113. 114.

a

y

x 2

2

a b + a

+

:

2

2 x

+ 5x 2

2

4 x – 4 xy + y

– x

8 x y

b+ 1 x + 1

:

a

:

2

a –

x

2

1 2

2

2

2

a

6 x – 3 xy

x + 2 y

2

115.

2

36

10

2

2

–

3 x y

– x

a x – a

2

4y (x + 2 y) 2

3x

+ 3 x – 2

25 2

:

a

126.

+ 5

a

:

+ 10 a 2y

:

2 x

81

–

2

2a 5

2

2

2

2

+ 16 xy

3

V=

+ 5a + 6 7

127.

9 x

Resuelva las divisiones de fracciones. 116.

35 a

3

18 ab

3

'

14 ab 9b

2

–

6 x

2

1

2

6 – 18 x

3

3 x

2

+ 4x + 1

2

117. 118.

19 ax x

3

x

119.

2

15 m

–

2

'

38 a x

–

3

'

49 2x

'

x

x y

122.

a a

4

2

'

2

–

1

+ 3

124.

x

2

x

2

'

a a

3 3

+

+ y

2

La aceleración de un cuerpo se expresa así: a vf v0 t (a: aceleración, vf: velocidad final, v0: velocidad inicial, t : tiempo)

2

4x + 4

a

–

=

2

2

+ 3a 2

a – 2b

'

3

+ 3x + 2 –

2

2

yz – z

a – ab – 2b a


+ x y

y – z

2

123.

3

2

+ yz

z

+ 7

2

–

x

121.

V=

11 x

–

x

3

2

2

2

(1 – 3 x)

4

6

120. ^ xy + 1 h ' y

12 x + 12x

2

3

121 x

1

x –

3

20 y

'

a

x x

2

2

+

–

128. Si un automóvil parte del reposo y alcanza

2

x –

6 x

una velocidad de

2

3 x

3x + 2

Determine el volumen ( V) de los siguientes prismas. • Considere que V = largo • ancho • altura. 125.

2

–

2 x

2

20x + 32 – x –

3

2

– x –

4 x

2

40

+ 4x

en un tiempo

, ¿cuál expresión algebraica

representa su aceleración?

129. La aceleración de un avión que parte del 2 x – 10 2 x

2

–

50

reposo es

2n n

2

2

+

n –

3

+ 8n + 16

. ¿Cuál expresión

algebraica representa la velocidad de ese avión en un tiempo n + 4 ? 2n + 3 V= © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley de Derechos de Autor n.º 6683.

169


Resolución de problemas 134. Una granja está separada en 3 zonas: de ani-

Resuelva las siguientes combinaciones de operaciones con fracciones algebraicas.

males, de cultivo y de vivienda. El área total de la granja se expresa por 22 x . El área x – 4 1 de cultivo es de y la zona de vivienda x – 2 2 ocupa . ¿Qué expresión algebraica x + 2 representa el área dedicada a los animales?

Recuerde que, en combinaciones de operaciones, primero se debe resolver lo que esté entre paréntesis, luego multiplicaciones y divisiones y por último sumas y restas.

135. La fracción 3

130.

3a b

4

:

6

7c

21 c 5

2

+

5 ab c

3

÷

14

6a b

3

6

representa la cantidad de n –1 dinero que tenía Saúl en el banco. Si retiró

8

5a c

3

2

2

y luego hizo un depósito de

3

, n+1 n –n ¿qué expresión algebraica representa la can-

7b

tidad de dinero que tiene Saúl en el banco? 131.

132.

133.

5m

–

8n

2n – 3m

c

z z

c

+ 4

x –

7 m + 9n

+

2 n – 3 m

6 z + 6

+ z

2 3 x – 1

2

+ 3z

m c ÷

–

1 –

4

–

m

:

5m

–

15n

2 n – 3 m

z z

2 2

2 3 x – 1

+ 3z

–

4

136. La fracción

3 x

representa el x + 6x + 8 perímetro de un triángulo escaleno. Si 2 3 x 2 x de sus lados miden y , ¿qué x + 4 x + 2 expresión algebraica representa la medida

+ 4z + 3

m

2

del otro lado?

Evaluación por proyectos Elabore un portafolio en el que incluya todos los contenidos relacionados con fracciones algebraicas que estudió en este tema. 137. Diseñe una portada que represente el contenido del portafolio. •

170

Incluya imágenes y datos sobre alguna aplicación de las fracciones algebraicas en un contexto real.

138. Coloque en cada página una descripción de cada uno de los conceptos o procedimientos vistos.


•

Agregue 1 o 2 ejemplos que acompañen cada concepto o procedimiento.

Estrategias para resolver problemas Visualizar la situación planteada mediante un dibujo. Justo antes de subir la rampa, un joven skater se desliza en su patineta del punto A al punto C, en línea x

recta. La distancia del punto A al punto C está dada por la fracción x

1

B al punto C está definida como x

2

+ 4x – 5

2

–

2x + 1

y la distancia del punto

. Si el punto B está entre A y C, ¿cuál expresión algebraica

representa la distancia entre A y B?

Comprenda Se conoce la distancia entre el punto A y el punto C y entre B y C. Los puntos A, B y C son colineales; es decir, están en línea recta.

Planifique Se plantea el problema mediante un dibujo para visualizar los datos que se tienen y lo que se debe averiguar. En el dibujo se observa que, para determinar la distancia entre los puntos A y B, se debe realizar una resta de fracciones.

1

A

B

x

2

+ 4x – 5

C

x x

2

–

2x + 1

Resuelva x x

2

–

1

–

2x + 1

x

2

( + 5 ) – (x

x x

=

+ 4x – 5

(x

=

x

–

2

–

1)

2

1 ) (x + 5 )

+ 4x + 1 2

( x – 1 ) (x + 5 )

Compruebe Si se suma la distancia que hay entre A y B, con la distancia entre B y C, debe dar la distancia entre A y C. x

2

+ 4x + 1

( x – 1 ) 2 (x + 5 )

1

+ x

2

+ 4x

= –

5

( x 2 + 4x + 1) + (x – 1 ) (x

=

–

1) 2 (x + 5)

( x 2 + 5x) 2

( x – 1 ) (x + 5 )

x

= ( x

–

1)

2

x

= x

2

–

2x + 1

De esta manera se comprueba que la distancia entre A y B está representada por

x

2

+ 4x + 1 2

( x – 1 ) (x + 5 )


171

Capítulo 3

Ecuaciones cuadráticas Habilidades específicas 1. Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado con una incógnita. 2. Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

Lea la situación problema Gabriel tiene un terreno cuadrado. Si comprara el terreno vecino cuya área es 100 m 2, tendría un terreno rectangular de 500 m 2. ¿Cuánto mide el lado del terreno cuadrado?

2

m 0 0 1

x

x

Analice •

• •

Si x representa la medida del lado del cuadrado, ¿cuál expresión representa el área? ¿Cuál es el área del terreno de Gabriel? ¿Cuál número multiplicado por sí mismo da como resultado el área del terreno de Gabriel?

Resuelva

Responda

Concepto Una ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0, con a, b, c números reales, a ! 0 y donde x es la incógnita, recibe el nombre de ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. Solucionar una ecuación cuadrática significa encontrar el valor o los valores de las incógnitas que hacen verdadera la igualdad.

El Matemático francés Francisco Viète (1540-1603) conocido también por la forma latina de su nombre, Vieta, introdujo un nuevo nivel de tracción en el álgebra, utilizando letras para denotar las cantidades conocidas de una ecuación.

172

Gráficamente, la solución de una ecuación cuadrática corresponde a los puntos de corte, si los hay, de la parábola con el eje x.

Ejercicio resuelto 1 Encerrar la ecuación que NO es cuadrática. 3y

2

=9

3x

2

– x

5


=

x

2

+ 7x 2

2 (3 +

m

) – m

2

= (- m + 10) (1 + m )

Ejercicio resuelto 2 Verificar si x = 0 es o NO solución de la ecuación •

2

–

2x = 7x + 2 .

Para eso sustituimos el valor de x en la ecuación dada. 5 : 0 – 2 : 0 = 7 : 0 + 2 0= 2

•

5 x

Se llega a una contradicción, pues 2 ! 0.

Como se obtiene una igualdad incorrecta, se llega a la conclusión de que 0 NO es solución de la ecuación.


Escriba, en cada caso, 2 ecuaciones cuadráticas diferentes que cumplan con las características dadas.

Exprese cada ecuación cuadrática en su forma general.

6.

1.

y

x (1 – 3 x) = 2 x – 1

7. a =

2.

El valor de a es el doble del valor de c . El valor de b es igual a 0.

b =

.

Si se suman el valor de b y el valor de c , se obtiene el valor de a.

c =

y

7 x 2 + 3 = -18

8.

.

El valor de a y b es igual. El valor de c es 0. y

a =

3.

c =

9.

3 x 2 = -24 x

a =

4.

b =

b =

Pinte del mismo color el recuadro de la ecuación cuadrática y el recuadro que contiene soluciones de la ecuación cuadrática. x 2 +

c =

1 2 x = 9 3

8 x + 4 = 22 x – 6 x

b =

c = x

5.

& -31 , 13 0

(3 x – 1)2 + 2 = 2( x + 3)

a =

Anote los valores de las constantes a, b y c de las ecuaciones de la actividad anterior. •

Utilice los espacios correspondientes en cada ecuación.

.

x

2

–

1 = 0 9

(4 x – 6) =

- 14 9

2

& 13 , 76 0 & 13 , 2 0 & 0 1 3


173

Recuerde Estas son algunas propiedades que se deben tener en cuenta para resolver ecuaciones cuadráticas:

Métodos de solución Para resolver ecuaciones de la forma ax 2 + c = 0, se despeja la variable así: x

• Si x2 = k , k $ 0, entonces x = ! k . • Si c es un número real, entonces c 2 = c .

-

!

=

c

a

Si son de la forma ax2 + bx = 0, se factoriza por factor común y se aplica la tercera propiedad del "Recuerda": x (ax + b) = 0, entonces x = 0 o ( ax + b) = 0

• ab = 0 si y solo si a = 0 o b = 0.

Si (ax + b) = 0, x

b a

=

.

Así las soluciones son: x = 0 y x

=

b a

-

.

Para ecuaciones de la forma ax 2 + bx + c = 0, se factoriza el trinomio ax 2 + bx + c , si es posible. Luego se aplica la misma propiedad que en el caso anterior y se despeja x en cada factor. Si el trinomio ax 2 + bx + c NO es factorizable se recurre a la completación de cuadrados, para su solución. El método de completación de cuadrados consiste en transformar un trinomio, en un trinomio cuadrado perfecto. Para esto se suma y se resta un mismo término de manera que una parte del polinomio corresponda a un trinomio cuadrado perfecto. Para resolver ecuaciones cuadráticas mediante esta técnica se dan estos pasos: Se dividen todos los coeficientes entre el valor de a: •

2

ax + bx + c = 0

Recursos TIC Trabaje en la siguiente dirección electrónica: http://www.santillana.cr/ OD/cuadraticasM9 – Resuelva cada una de las actividades propuestas. – Compare, con un compañero, las respuestas que obtuvo en cada ejercicio. – Busque otros sitios de Internet con más ejercicios relacionados con la solución de ecuaciones cuadráticas y resuélvalos.

174

•

•

Como a

2

•

entonces

Se suma y se resta x +

•

! 0,

b

a x

2

4a

2

2

+

"

k

k

2

+

b c =0 x+ a a

para completar cuadrados.

2

a x

2

b c = 0. x + a a

b b c b + = 0 x + – 2 2 a a 4a 4a

Así se tiene que

a

a x +

b 2a

2

k

2

=

2

2

"

a x + 2ba k

b – 4 ac 4a

2

+

c b = 0 – 2 a 4a

.

Sacando raíz cuadrada a ambos lados y despejando la x se obtiene la fórmula general para las soluciones: b = x + 2a


!

2

b – 4ac 2a

"

x =

-b !

2

b – 4ac 2a

En el conjunto de los números reales, una ecuación cuadrática puede tener 2 soluciones, solo una o puede no tener solución. Por medio de ecuaciones cuadráticas se pueden resolver problemas como el de la página 170; en ese caso las soluciones que se deben obtener son las de la ecuación x 2 + 100 = 500.

Ejercicios resueltos 3 Determinar las soluciones de cada ecuación. a.

36 x

2

9 = 0.

–

2

•

36 x

•

x = !

=9

"

x2 =

9 1 = 4 36

Se despeja la variable.

1 1 =! 4 2

Se aplica la propiedad.

Las soluciones de la ecuación son

-1 2

-1 2

y

.

b. 2 x 2 + 5x = 0 . •

2 x

•

2

+ 5x = 0

x = 0

"

x ^2 x + 5 h = 0

2x + 5 = 0

"

x=

Se factoriza.

-5 2

Se aplica la propiedad y se despeja la variable.

Las soluciones de la ecuación son 0 y

c.

2 x

2

• •

-5 2

Recursos TIC Existe un grupo de números más amplio que el de los números reales, se conocen como números complejos. Esos números están formados por una parte real y una ima ginaria. En ese conjunto de números, las ecuaciones cuadráticas siempre poseen solución. Ingrese en la siguiente dirección de Internet para conocer un poco más acerca de esos números: http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/ numeros-complejos.html – Investigue en otros sitios de Internet acerca de los números imaginarios. – Resuelvan, en grupos y con ayuda de su docente, la ecuación cuadrática x 2 + 1 = 0 y expresen la solución utilizando números complejos.

.

13 x – 24 = 0 . ^2 x + 3 h(x – 8) = 0

–

2 x + 3 = 0 x –

8=0

Se factoriza. -3 2

"

x

=

"

x

= 8

Se aplica la propiedad y se despejan las variables.

Las soluciones de la ecuación son

-3 2

y 8.

Conectar con…

Física

Ejercicio resuelto 4 Determinar las soluciones de la ecuación la fórmula general.

6 x

2

–

11x

–

2 = 0 mediante

La presión p (en libras por pie cuadrado) que ejerce sobre una superficie un viento que sopla a v millas por hora está dada por: p = 0,003v2

•

•

x =

-b !

x = 2

2

b – 4ac 2a

x=

"

x =

11 !

121 + 48 12

-1 6

Las soluciones de la ecuación son 2 y

-1 6

.

– Encuentre la velocidad del viento cuando el medidor de presión del viento registra una presión de 60 libras por pie cuadrado.


175

Actividades Desarrolle todas las actividades en su cuaderno y anote las respuestas en el libro. Resuelva cada ecuación utilizando los métodos indicados. 10. 5 x 2 – 298 – 2 x 2 = 65

15. x 2 – 4 = 0 16. 17.

1 2 5 x = 4 4

9 x 2 – 1 = 0

18. 4 x 2 – 1 = 0

Despejando la variable

19.

7 + x 2 = 11

20. 9 – x 2 = 0 21. Fórmula general

a3

x –

1 4

2

k

=

9 25

22. ( x – 4) 2 = 16 2

23.

a2 x + 12 k

=

1 36

24. 2 x 2 + 98 = 0 11.

4 x 2 = 405 – x 2

25. 3( x 2 – 1) = 6

Despejando la variable

Fórmula general

2

26.

a

27.

(4 x + 1)2 = 12

x –

1 3

k

=

16 9

Determine la solución o las soluciones de cada ecuación utilizando la factorización. 28. x 2 + 2 x + 1 = 0 29. x 2 – 18 x + 81 = 0 30. 9 x 2 – 12 x + 4 = 0

12. Escriba una conclusión a partir de los resultados obtenidos en las actividades anteriores.

Escriba la solución o soluciones de cada ecuación. • Si la ecuación no tiene solución, indíquelo de esa manera. 13. 3 x 2 = 0 14. x 2 = 81 176

31. x 2 + 2 x = 15 32. 16 x 2 – 24 x + 9 = 0 33. x 2 – 13 x + 42 = 0 34. x 2 – 2 x – 24 = 0 35. - x 2 + 4 x + 32 = 0


36. 4x 2 + 12x – 16 = 0 37.

48.

6x 2 – 11x + 3 = 0 3x + 6

Encuentre la solución o las soluciones de cada ecuación utilizando fórmula general. 38.

x 2 +

39.

x 2 +

A = 30 cm2

9x + 18 = 0

2

2x + 2 = 0 x

40. x 2 + 8x + 18 = 0 41.

x+ 1

3x 2 – 2x + 3 = 0

49.

x –

5

42. 2x 2 – 7x – 4 = 0 43. 8x = 24x 2 – 3

x A = 75 cm2

44. 3x 2 – 10x + 8 = 0 45. 2x 2 – x – 3 = 0

3 x – 20

46. 16x 2 + 8x – 3 = 0

x

Calcule el valor de x según cada figura. •

Considere que todas las medidas están dadas en centímetros y que A es el área.

50.

A = 216 3 cm2

Cuando se resuelven

4

ecuaciones cuadráticas en las que la incógnita

representa una distancia, se deben elegir, como respuestas, solo las soluciones positivas.

3x

4x + 6

x

51. 47.

A = 49 r cm2 A = 225 cm2

x + 3

2x + 5

x

x © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley de Derechos de Autor n.º 6683.

177

Discriminante de una ecuación cuadrática

Recuerde No es posible calcular la raíz cuadrada de un número negativo en el conjunto de los números reales. Además 0 = 0 .

A partir de la fórmula general para la solución de ecuaciones cuadráticas se puede obtener una fórmula para ca lcular la cantidad de soluciones que posee la ecuación. Como las soluciones están dadas por la fórmula x =

-b !

2

b – 4ac , 2a

entonces el valor de b 2 – 4ac es el que define la cantidad de solucio nes de la ecuación, ese valor se conoce como el discriminante ( ). Si > 0, la ecuación tiene 2 soluciones reales diferentes. Si = 0, la ecuación tiene una única solución real. Si < 0, la ecuación NO tiene solución en el conjunto de los números reales. • • •



Determinar la cantidad de soluciones de cada ecuación.

La letra que mas se usa para identificar la incógnita en una ecuación es la x , sin embargo se puede utili zar cualquier otra letra. La forma de resolver una ecuación es la misma independientemente de la letra que se utilice. – Anote 3 ecuaciones

Ecuación

Discriminante

= (-1)2 – 4(3)(-2) La ecuación tiene 2 soluciones reales, pues = 1 + 24 > 0. = 25

9m2 + 4 = -12m

= (12)2 – 4(9)(4) = 144 – 144 = 0

La ecuación tiene una única solución real, pues = 0.

= (1)2 – 4(1)(1) =1–4 = -3

La ecuación no tiene soluciones reales, pues < 0.

9m2 + 12m + 4 = 0

cuadráticas utilizando

3 letras diferentes para

w + 1 + w 2 = 0

las incógnitas. Además

elija los coeficientes de

w2 + w + 1 = 0

manera que una tenga 2

Cantidad de soluciones

3y2 – y – 2 = 0

soluciones, otra solo una y la otra no posea.

Actividades Exprese siempre la ecuación en la forma ax 2 + bx + c = 0.

Desarrolle todas las actividades en su cuaderno y anote las respuestas en el libro. Calcule el discriminante de las siguientes ecuaciones: 52. 9x 2 + 1 = 6x

=

56. -1 – y 2 = y 2 – 3y

53. 2k – 2k 2 = -6

=

57.

6n2 = -12n – 3 – 6 n2

=

=

58.

1 –

2 2 r 5

=

=

59. 21 – a2 = a2 + 11

54.

t 2 = - t – 2

55. 7w = 5w 2

178

1 8


r=

=

=

Anote la cantidad de soluciones de cada ecuación. 60. 16 = p2 – 6 p

Marque con el valor de la constante que hace que se cumpla la condición dada. 68. Un valor de a para que la ecuación

61.

a + 6a2 = 1

62.

6 x

63.

x

64.

4x +

2

2

ay 2 – 4y + 1 = 0 tenga 2 soluciones reales es

5.

+ 3x – 5 = 0

–

6x

2 -x 3

= -9

w 2 + 2w + c = 0 NO tenga solución en los números reales es

2

+ 1= 0

65.

7 x = - 6x

66.

9x 4

67.

2

+ 2= 0

– x

2

–

-1.

1.

+ 1

2

2

4.

69. Un valor de c para que la ecuación

2.

7 x

3.

70. Un valor de b para que la ecuación

3x 2 + bx + 3 = 0 tenga una única solución es 12.

10 = 0

36.

6.

Ecuaciones reducibles a ecuaciones cuadráticas Existen dos tipos de ecuaciones que aparentemente, no son ecua ciones cuadráticas, ya que no tienen la forma ax 2 + bx + c = 0. En

estos casos se transforman utilizando procesos algebraicos. Estas son las ecuaciones con radicales y las ecuaciones bicuadráticas. Ecuaciones con radicales de índice 2 Una ecuación radical es aquella ecuación que tiene una variable en

un radicando. Para resolver ecuaciones con radicales de índice 2 se utiliza el siguiente procedimiento: •

Primero, se deja en uno de los miembros de la ecuación, un solo radical. Si hay varios radicales, se escoge uno de ellos.

Se cree que en el libro "Los elementos" de Euclides es

donde aparece el primer

•

Segundo, se reducen términos semejantes. Tercero, se elevan al cuadrado los dos miembros de la ecuación.

•

Este paso se repite hasta obtener una ecuación sin radical. Cuarto, se resuelve la ecuación cuadrática obtenida.

la solución positiva de la

•

•

Finalmente, se verifican los resultados obtenidos en la ecuación original para descartar soluciones inconsistentes.

ecuación cuadrática

x 2 – x – 1 = 0

Esa solución corresponde al número irracional

Ecuaciones bicuadráticas

Una ecuación de la forma ax4 + bx2 + c = 0 recibe el nombre de ecuación bicuadrática y para su solución se hace necesario un

cambio de variable.

registro histórico del número áureo. Se muestra como

1+

5

2


179

En la ecuación ax4 + bx 2 + c = 0, se remplaza x2 por u, es decir: Eje transversal La población de nuestro país creció aproximadamente en 3 millones desde el año 1960 hasta el año 2009. Además se prevé que seguirá creciendo y que la población de adultos mayores será cada vez más grande; esto debido al mejoramiento en los niveles de salud. Un modelo cuadrático para la población aproximada de Costa Rica es: P(t) = 11 418t 2 + 225 697t + 1 317 503 Donde t es el tiempo en años, con t = 0 que corres ponde al año 1960. – Promueva, junto con su docente, una discusión grupal acerca de las consecuencias ambientales y socieles que genera el

aumento poblacional.

a x4 + bx 2 + c = 0 au 2 + bu + c = 0 Al final, cuando se tienen las soluciones de la ecuación cuadrática en la variable u, se realiza el cambio de la variable y así, se obtienen las soluciones o raíces de la ecuación bicuadrática.

Ejercicio resuelto 6 Resolver la ecuación =

x

^ x x x

•

•

x

= 2

x –

x – x

+ 2 = 0.

Se deja el radical a un lado.

2

h2 = ^x – 2 h2 x

–

2

–

Se elevan ambos lados al cuadrado.

4x + 4

Se resuelven las operaciones y se iguala a cero.

5x + 4 = 0

= 4

x

= 1

Se resuelve la ecuación.

Al verificar las soluciones en la ecuación original se tiene que: – Si x = 4, entonces 0 = 0. – Si x = 1, entonces 2 = 0.

Por lo tanto, la única solución de la ecuación es x = 4.

Ejercicio resuelto 7 Resolver la ecuación 4 x4 – 13 x 2 + 9 = 0. •

Se hace un cambio de variable x 2 = u.

4u 2 – 13u + 9 = 0

•

Se resuelve la ecuación cuadrática.

u=

Como x 2 = u se hace la sustitución y se calculan los valores para x.

x2 =

•

•

Así las soluciones son

-3 -3 , ,-1 2 2

y 1.


72.

Determine la solución de las siguientes ecuaciones:

74.

71.

180

x = 81

73. 75.


x + 2 = 11 8+ 4

x=9

x+5 =8 x –

5=

4x + 1

9 4

x=!

u=1

9 4

x2 = 1

3 ,x=!1 2

4

76.

= 5

–

82. x 2(x 2 – 1) – 5(x 2 – 2) = 2

x

x

77.

x –

3 + 5=

83. x 2(3x 2 + 2) = 4(x 2 – 3) + 13

x

78. x4 + 3x 2 – 4 = 0

84. 25x4 + 9x 2 – 16 = 0

79. x4 – 10x 2 + 9 = 0

85. 4x4 + 9 = 37x 2

80. x4 – 225 = -16x 2

86. 40x 2 = 9x4 + 16

81. 9 + 4x4 = 37x 2

87.

x4 + 3x – 4 = 0


92. Gabriel necesita construir una pila para agua

en forma de prisma rectangular de 5 dm de alto. Si el largo de la base debe ser 5 dm


mayor que el ancho y la pila debe tener un volumen de 1500 dm 3, ¿cuáles deben ser las

dimensiones de la base?

88. La suma de los cuadrados de las edades de

Adriana y Lupita es igual a 356. Si Adriana es 6 años mayor que Lupita, ¿cuántos años

tiene Adriana?

93. Las medidas de los lados de un triángulo rectángulo están expresadas por 3x, 4x y 5x. Si el área del triángulo es 24 cm 2, ¿cuáles son las medidas de los lados del triángulo?

89. Dos números naturales se diferencian en

2 unidades. Si la suma de los cuadrados de esos números es igual a 580, ¿cuáles son

esos números? 94. Un objeto se lanza al aire directamente hacia 90. Para cercar con una hilera una finca rectan gular de 750 m 2, se han utilizado 110 m de cerca. ¿Cuánto miden el ancho y el largo de

la finca?

91.

El largo de un terreno excede en 5 m al ancho. Si se aumenta en 5 m tanto al ancho como al largo, el área del terreno se duplica. ¿Cuáles

son las dimensiones originales del terreno?

arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de 85 pies/s. Si la altura del objeto es 5 pies después de t segundos, s = 85t – 16t 2, ¿cuál es la altura máxima que alcanzará el objeto y cuántos segundos habían transcurri do al llegar a esa altura máxima?

95. El área de un cuadrado es 24 m 2. ¿Cuál es la medida del lado de otro cuadrado que tiene

por lado la diagonal del primer cuadrado?


181

Gráfica de la función cuadrática

Habilidades específicas


1. Trazar la gráfica de una función cuadrática

Pedro tiene 20 m de malla metálica con los que va a construir un corral

cuyo criterio es y = ax 2 + bx + c .

de forma rectangular para sus cone jos. Si aún no ha decidido las dimen-

2. Analizar la influencia de los parámetros a, b, c en la gráfica de

10 – x

x

siones y quiere aprovechar toda la malla de manera que el corral tenga la mayor área posible, ¿cuáles deben

y = ax 2 + bx + c , utilizando software.

ser las dimensiones del corral?

Analice •

Si se utiliza x para el ancho, ¿cuál expresión representa el

•

área del corral? Si se grafica la función correspondiente al área, ¿cuál valor debe tomar x para que y alcance el valor máximo?

Resuelva

Representar El criterio de una función, en la que x representa la variable independiente y y la dependiente, puede repre sentarse utilizando ambas variables o solo una. Por ejemplo, y = x2 o f(x) = x2. En el segundo caso, se lee así: "f de x es igual a x al cuadrado". Esta notación se utiliza también cuando se evalúan valores específicos para la variable inde pendiente, por ejemplo, f(6) = 36, esto quiere decir que cuando x vale 6 el valor de y es 36. – Represente la siguiente relación utilizando la notación para funciones: y = 2 x 2 + 5. – Calcule f (1) según el criterio de la función definido en el paso anterior.

182

Responda

Estrategias para graficar funciones cuadráticas Para construir la gráfica de cualquier función cuadrática es útil partir de la gráfica de la función f (x) = x 2 y conocer algunas de

sus características: •

f (x) = f (-x); es decir, la gráfica de la función f es simétrica al eje y (x = 0).

Y

6 •

•

x2

Como $ 0 para todo x real, el valor mínimo de la función es en x = 0. Es una parábola que abre hacia

arriba y su vértice es el origen.


4 2 -4 -2 0 -2

2 4

X

Variaciones de las gráficas de ecuaciones cuadráticas – La función f (x) = ax 2 es una homotecia de la función f (x) = x 2 . Si a > 0 la parábola abre hacia arriba, si a < 0 abre hacia abajo. 2 – La función f (x) = ax 2 + c es una traslación vertical de f (x) = ax , c unidades hacia arriba si c > 0 y c unidades hacia abajo si c < 0.

Razonar y argumentar El vértice de cualquier función cuadrática se puede calcular mediante las siguientes expresiones:

` -2ba , -43a j

– En el caso de funciones del tipo f (x) = ax 2 + bx + c que corres-

ponden a trinomios cuadrados perfectos, primero se expresan de la forma f (x) = a (x – h ) 2 . Así la gráfica de esta función es una traslación horizontal de f (x) = ax 2 , h unidades a la derecha si h > 0 y h unidades a la izquierda si h < 0. Además x = h es su eje de simetría y su vértice es el punto (h, 0).

– Compruebe, con ayuda de su docente y en forma grupal, que

` -2ba j = -43a . Para

f

– Si f (x) = ax2 + bx + c no es un trinomio cuadrado perfecto, se completan cuadrados, con lo cual se obtiene que el vértice es el

punto a -2ba , -43a k y eje de simetría es la recta x =

-b 2a

.

esto realicen un procedimiento de completación de cuadrados en la forma básica de una función cuadrática.

Ejercicios resueltos 1 Graficar las funciones dadas a partir de la gráfica de f (x) = x 2 . a.

f (x) = - 2x

2

b.

g ( x) =

x

2

4

Y

-3 -2 -1

-21 2 3 -4 -6 -8

f

c.

Y X

3 2 1

2

d.

Se traslada la gráfica de 2 f (x) = - 2 x 6 unidades hacia arriba.

p ( x) =

x


1 2 3 X

-3 -2 -1

h (x) = - 2x + 6

g

2

– 1

4

Se traslada la gráfica de g ( x) =

x

2

4

una unidad

a los cuales haya tenido que dedicar bastante

hacia abajo.

Y h

-3 -2 -1

Y

6 4 2 -21 2 3 -4

p

X

-3 -2 -1

Para resolver algunos ejercicios matemáticos o para realizar algunas comprobaciones es necesario tener una actitud positiva y perseverante. – Comente con sus compañeros sobre algunos ejercicios o procedimientos

2 1 -11 2 3 -2

X

tiempo para poder resolverlos o comprenderlos. – Discuta, en forma grupal, sobre la importancia de aprender a ser positivo y perseverante, tanto en lo académico como en la vida diaria.


183


Recursos TIC

Trabaje en la siguiente dirección electrónica: http://www.santillana.cr/ OD/graficaM9 – Resuelva las actividades propuestas en cada caso. – Investigue en otras páginas de Internet acerca del comportamiento

Graficar las funciones dadas a partir de otra gráfica conocida. 2

a.

f (x) = - 2x – 12x – 18

= - 2 ( x + 3)

2

Se traslada la gráfica de f (x) = 3 unidades hacia la izquierda.

de la gráfica de las funciones cuadráticas.

b.

- 2x

g (x) =

f

2.

184

g ( x) = 3x

X

3 2 1

-2 -4 -6 -8

-1

2

3.

g (x) = 3x – 1

4.

g (x) = 3 ^x + 5 h

2


2

Y

2

-x g (x) = 2

1 2 (x – 2 ) 4

x

Trace las gráficas de las siguientes funciones a par tir de la gráfica de f (x) = x 2 . 1.

– x + 1 =

4

Se traslada la gráfica de g ( x) = 4 2 unidades hacia la derecha.


2

2

Y

-5 -4 -3 -2 -1

x

2

g

1 2 3 4 5

X

Trace las gráficas de las siguientes funciones. • Calcule el vértice y el eje de simetría a partir

Una exportadora de mineral refinado modeló su ingreso por ventas mediante una función cuadrática. Si vende x toneladas de mineral, el precio en miles de dólares de cada tonelada es 21 – x. ¿Cuántas toneladas de mineral se deben vender para obtener el

8.

de las fórmulas y las intersecciones con el eje x con las soluciones de la ecuación. 5.

2

f ( x) = x – x – 2

ingreso máximo? ¿Cuál es el ingreso máximo

por las ventas del mineral?

Un futbolista patea la pelota definiendo en el aire una trayectoria parabólica correspondiente a la función f (x) = -0,05x2 + 0,7x; donde f (x) es la altura (en metros) de la pelota cuando se encuentra a x metros de distancia hori-

9.

6.

2

f (x) = - x – 4x – 1

zontal desde el punto de lanzamiento. ¿Cuál

fue el alcance del tiro libre sobre el campo? ¿Qué altura máxima alcanzó la pelota?

10.

Un pequeño pueblo fue invadido por una plaga de mosquitos. Al cabo de un tiempo,

los técnicos de control de plagas encontraron que la cantidad de mosquitos en el pueblo


podía describirse, en forma aproximada, a través de la función N (t ) = -2t 2 + 20t + 2 000, donde t es la cantidad de días transcurridos

En una función cuadrática que abre hacia arriba, el

vértice representa el punto mínimo, en una que abre hacia abajo el vértice representa el punto máximo.

desde su arribo al pueblo. ¿Es cierto que la plaga de mosquitos de este pueblo se extin guirá pasado algún tiempo?, ¿por qué?

Recursos TIC

La gráfica de una función cuadrática varía dependiendo de los valores de los coeficientes. Ingrese a una aplicación del programa Geogebra en la siguiente dirección de Internet: www.geogebratube.org/student/m42801 – Cambie los valores de los coeficientes y obser7.

La resistencia de una bacteria a cierto antibiótico está dada por R(x) = x2 – 200x + 10 125, donde x es la dosis en miligramos de antibiótico. ¿Cuál debe ser la dosis de antibiótico para hacer mínima la resistencia de la bacteria?

ve de qué manera se modifica la gráfica según

cambian los valores. – Escriba algunas conclusiones que pueda obtener sobre la forma en que influye cada parámetro (a, b, c ) en la forma de la gráfica.

– Compare sus conclusiones con las obtenidas por los demás compañeros.


185

Refuerzo mi competencia matemática

Ejercicio resuelto Vamos de pesca Para pescar con caña es aconsejable elegir el hilo más fino que resista el peso de los peces que se quiere cap turar. Para facilitar esta elección, en los carretes de hilo de pescar se informa tres datos: la longitud del hilo, que

normalmente es de 50 m; el grosor expresado en milímetros y acompañado del símbolo Q , y el peso máximo de soporte expresado en kilogramos. En una tienda de artículos de pesca nos enseñan hilos de pescar de 0,1; 0,2; 0,5 y 0,7 mm de grosor, que corresponden a unos pesos máximos soportados de 0,5; 2; 12,5 y 24,5 kg, respectivamente. Dibuje una gráfica que relacione el grosor del hilo con el peso máximo soportado. ¿Qué grosor de hilo debe comprarse si se estima que

el peso de los peces en una laguna no excede de 5 kg? Construimos una tabla de valores para las dos varia•

bles; y a partir de ella, elaboramos la gráfica. Grosor del hilo (mm) Peso máximo (kg) •

0,1 0,5

0,2 2

0,5 0,7 12,5 24,5

Observamos la tabla y la gráfica y vemos que, para un peso máximo de 5 kg, es suficiente comprar hilo

de 0,5 mm de grosor.

Resuelva las actividades de la 1 a la 3 según el problema anterior. 1.

Calcule de forma aproximada el grosor mínimo necesario para capturar un pez de 30 kg.

2.

Calcule de forma aproximada el peso máximo de un pez que pueda ser capturado con un hilo de 1 mm de grosor.

3.

Si sabemos que la gráfica representa la mitad de una parábola, halle su criterio.

Resuelva los siguientes problemas: 4.

5.

40 ) g k (

30 o 24,5 s e 20 P 12,5 2 0,2

0,5

0,7

0,9 1 Grosor (mm)

Unos amigos se encuentran de vacaciones. Desean alquilar un auto, para lo cual tienen

dos opciones: a) $70 por día. b) $30 por día más $0,4 por kilómetro recorrido. Si piensan quedarse de vacaciones por 8 días y estiman recorrer 400 km, ¿qué opción es más conveniente? Determine a partir de qué recorrido es más conveniente la opción a en el caso que se queden 10 días. 6.

Supongamos que un jugador de fútbol patea un tiro libre de modo tal que la trayectoria

Un automóvil comprado hoy en $8700

de la pelota, mientras se encuentra en el aire,

disminuye su valor linealmente a lo largo del tiempo transcurrido a partir de su compra.

es la parábola correspondiente a la función y = -0,05x 2 + 0,7x; donde y es la altura en metros de la pelota cuando se encuentra a x metros de distancia horizontal desde el punto en el que fue lanzada. ¿Cuál será el alcance

Si al cabo de 3 años de uso su precio será de $6200, halle la fórmula que expresa el precio p en función del tiempo t . ¿A cuánto podrá

venderse luego de 4 años de uso? 186

50


del tiro libre?

Síntesis Función cuadrática

Fracciones algebraicas

Una función cuadrática es una relación entre 2

Simplificación: 1. Factorizar completamente ambos términos. 2. Eliminar los factores que tienen en común.

variables que tiene la siguiente forma algebraica:

f (x) = ax 2 + bx + c , con

a, b, c ! R , a ! 0 .

Racionalización:

Factorización de polinomios Por factor común: Se calcula el máximo factor común del polino-

mio. Se dividen todos los términos del polinomio entre el máximo factor común y se escribe el producto del máximo factor común por la

suma de los cocientes obtenidos. Por agrupación: Se agrupan los términos que tengan factor

común y se aplica el método de factor común las veces que sea necesario.

Segunda Tercera

a2 + 2ab + b2 a2 – 2ab + b2 a2 – b2

Homogeneización: 1. Factorizar y simplificar las fracciones. 2. Calcular el m.c.m. de los denominadores. 3. Calcular los numeradores de las nuevas frac-

ciones así: Dividir el m.c.m. obtenido entre el denominador original de cada fracción y multiplicar por el numerador. Suma y resta de fracciones: • Si son homogéneas, se suman o se restan los

numeradores y se conserva el denominador. • Si NO son homogéneas, primero se homoge-

neizan y luego se suman o se restan.

Por fórmulas notables: Primera

Consiste en eliminar la raíz, ya sea del numerador o del denominador de una fracción algebraica.

(a + b)2 (a – b)2 (a + b)(a – b)

Multiplicación y división de fracciones: • Multiplicación. Se multiplican los numerado-

res entre sí y los denominadores entre sí. • División. Se multiplica la primera fracción por

el inverso multiplicativo de la segunda.

Por inspección:

Se descomponen los extremos en 2 factores. Se comprueba que al multiplicar en cruz los factores y sumarlos, se obtiene el término central y se escribe la factorización.

División de polinomios • Para dividir un polinomio entre un monomio

se divide cada término del polinomio entre el monomio. • Para dividir un polinomio entre un binomio,

se ordena y se completa el polinomio. Luego se sigue un procedimiento similar al que se

usa para dividir naturales. • Para dividir un polinomio entre un binomio

también se puede utilizar la división sintética, la cual consiste en trabajar con los coeficientes numéricos del polinomio ordenado y completo.

Ecuaciones cuadráticas Son la ecuaciones de la forma ax 2 + bx + c = 0, con a, b, c ! R , a ! 0 . Para determinar la solución: • Si b = 0, se puede resolver por despeje. • Si b ! 0 , se puede resolver por factorización, fórmula general o calculadora.

Gráfica de la función cuadrática La representación gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola. A partir de la gráfica de f (x) = x 2 se pueden graficar funciones

de la forma ax 2 + bx + c = 0. Se debe tener en cuenta que el valor de a modifica la concavidad y el ancho de la parábola. Los valores de b y c modifican su ubicación en el plano.


187

Evaluación Selección única. Lea los enunciados y las alternativas que los acompañan (A, B, C, D). Marque con la alternativa correcta. x – a

1. La expresión

ax

A) 1. B) C) D)

a

]

x

2

x

+

a

es equivalente a

+ xg

-a

]

x a + x

g

•

2

9 h – 12 h + 4

9h – 4 3h – 2

equivalente a A) 1.

.

B) .

C)

x

2. La expresión

2

3h + 2

5. La expresión

1.

x – a –

x a

+

1

–

x

+y

+

D)

y x – y

es equivalente a

3h + 2 3h – 2

.

]3h + 2 g2 3 h – 2

]3h + 2 g2 ]3 h – 2 g2

. .

A) 1. B) C) D)

x

+y

x – y

e

. 2

o

x + y x – y

x

2

+ y

2

x – y

.

6. Una expresión equivalente a

c

2

2

.

2 x –

A)

–

1

x

x –

B) x + 3. El resultado de

n

2

–

4

2

÷

n

+ 2 n

es el siguiente:

C)

2n . n – 2 ] g B) n n + 2 . A)

D)

1

2 x 2

2

x

1

2

x+

1

]

x x –

m

4

÷ x

2

–

1

es

. . . 2

1g

]x + 1 g

8

.

2

C)

]

n n –

2

2g .

D) 2n ]n – 2 g. 7. El resultado de

el siguiente: 4. El resultado de

6

k

+ 3

÷

6 3 k + 9

corresponde a

A) 1.

B) 2.

B) 3.

4 C) a .

2

C) 12. D)

188

A) 1.

3 ]k + 9 g

k +

3

6

.


D)

12 b a 4

c

2

.

2ab 2

c

3 •

ac

2

2b

3

÷

a

2

2

es

es

m

8. La expresión

m –

3

÷

c

3

+ 1

m

9. Para completar cuadrados en el polinomio a2 + 10a + 2, el término que se debe sumar y

m es

restar es el siguiente:

equivalente a A) B)

-1 9 m

+ 3

m m

D)

.

3

m –

C)

A) B) C) D)

2

.

10. Al completar cuadrados en el polinomio

2

.

m

4 ]m

x 2 – 6x + 9 se obtiene la expresión A) (x – 3) 2 – 8. B) (x – 3) 2 + 8. C) (x + 3) 2 – 8. D) (x + 3) 2 + 8.

9

–

2 –

5. 10. 23. 25.

3g

.

Respuesta breve. Escriba, en la línea de la derecha, la expresión que completa correctamente cada enunciado. 1. El resultado de ^- 12m 6 n 4 + 4m 3 n 6 – 9m 2 n 8h ÷ (- 3m 2 n 6) equivale a ..........................................................................

2. El cociente de ^ x 3 – 8 h ÷ (x 2 + 2x) corresponde a .............

3. El residuo de ^- x 2 – 2x + 3 h ÷ (x + 5) corresponde a ..........

4. El polinomio que completa correctamente la igualdad 4

(4 x + 5x

6

–

6

3) :

= 8x + 10x

8

–

6x

2

es ......................

5. El polinomio que completa correctamente la igualdad ( x + 1) • = x 2 – 4x – 5 es....................................

6. Una solución de x 2 –

7. Una solución de

1 ]x + 3 g = 0 2

es .................................

2 ] x + 1 g]x – 3 g = 0

es ...............................

8. El producto de las soluciones de x 2 + 2x = 15 es ................ © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley de Derechos de Autor n.º 6683.

189

Desarrollo. Ejecute los procedimientos respectivos para resolver los problemas. 1. El producto de 2 números pares consecutivos es igual a 20 aumentado en el cuadrado del número menor. ¿Cuáles son esos 2 números?

2. El perímetro de un rectángulo es 44 cm y su área, 105 cm 2. ¿Cuánto mide el ancho del rectángulo?

3. Jorge posee más bolinchas que Daniel. Entre ambos tienen 82. Si el producto de la cantidad de bolinchas de Jorge por la cantidad de las de Daniel es 1281, ¿cuántas posee Daniel?

4. Ana es 7 años mayor que Ester. Dentro de 3 años, el producto de sus edades será 44. ¿Cuántos años

tiene Ana actualmente?

Grafique las siguientes funciones cuadráticas: 1. f (x) = x 2 + 2x – 3

190

2. f (x) = -3x 2 + 8


Bibliografía Ávila, Juan F. Matemática 9. Ejercicios. Costa Rica: Santillana, 2003

Baldor, Aurelio. Álgebra. México: Publicaciones Cultural, 1997.

Editorial Santillana (2010). Hipertexto Matemática 8. Serie Hipertextos Santillana. Colombia: Autor.

Editorial Santillana (2010). Hipertexto Matemática 9. Serie Hipertextos Santillana. Colombia: Autor.

Editorial Santillana (2006). Jaque Mate 9. Serie Aprender a aprender. Costa Rica: Autor.



Editorial Santillana (2011). Matemática 2 . Serie Santillana Hipervínculos. Perú: Autor.

Editorial Santillana (2011). Matemática 3 . Serie Santillana Hipervínculos. Perú: Autor.

Editorial Santillana (2012). Matemática 9, 2.ª edición. Panamá: Autor.

Editorial Santillana (2007). Nuevas Matemáticas 8. Colombia: Autor.

Editorial Santillana (2007). Nuevas Matemáticas 9. Colombia: Autor.

Editorial Santillana (2012). Trabajar en… Matemática 9. Costa Rica: Autor.

Editorial Santillana (2012). Trabajar en… Matemática 10. Costa Rica: Autor.

Gómez Barrantes, Miguel. Elementos de Estadística Descriptiva. Costa Rica: EUNED, 2004. © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley de Derechos de Autor n.º 6683.

191

Mate Santillana 9°

Recommend Documents