Intro Mate

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Quinto Año


Quinto Año

INDICE            

Álgebra

Valor Absoluto ……………………….. Inecuaciones con Valor Absoluto……... Logaritmos ……………………………. Función Exponencial ……………........ Función Logarítmica ………………….. Propiedades Generales: Cologaritmo y Antilogaritmo …………. Relaciones y Funciones……………….. Límites…………………………………. Derivadas ……………………………… Integrales………………………………. Fórmulas ………………………………. Miscelánea ……………………………..

03 11 17 17 29 42 51 57 63 69 75 80

1


Quinto Año

IMPRESIONES Y FOTOCOPIADO V.L.E.P. TELF.:222656 /#951875356

DPTO. DE PUBLICACIONES BELLA.

Álgebra

2


Quinto Año

TEMA: VALOR ABSOLUTO Definición: El valor absoluto de un número real “a” se denota por |a| y se define:

a Si a  0 a   a Si a  0 Ejm: |2| = 2 :



|  5 | ( 5 )  5

1   3x  1 , si 3x  1  0 3x  1 , Si x  3 Si | 3x  1 |    (3x  1), si 3x  1  0 1  3x , si x  1 3 

Interpretación geométrica: -

Geométricamente el valor absoluto de la diferencia de dos números a y b denotado |a – b| es la distancia que hay ente ellos en la recta numérica: |a – b|

|

|

a

b

Teorema: -  valor de a:    

|a|  0 Se cumple:

Si a = 0 entonces |a| = |0| = 0 |a| = |-a| a  |a| -a  |a|

Supóngase: que a  0  b  0 entonces:

a  b  a  b2

Álgebra

3

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 

|a| |b| = |ab|

a |a|  , b0 b |b|





Quinto Año

|an| = |a|n , n entero

Desigualdad Triangular: Dada por: |a + b|  |a| + |b|

Demostración:

i)

a  |a| y b  |b|  |a| + |b|  a + b

ii) -a  |a| y –b  |b|  -(a + b)  |a| + |b| ó |a| + |b|  -(a + b) De donde: |a + b|  |a| + |b| Ecuaciones con Valor Absoluto: El siguiente teorema es utilizado en la solución de ecuaciones con valor absoluto: Teorema: Este teorema establece que el universo U (es decir el campo de valores admisibles) de la ecuación |a| = b esta determinado por la condición b  0; la cual debe ser resuelta previamente una vez hallado este universo U se pasa a resolver las dos ecuaciones a = b y a = -b1 finalmente se comprueba si estas soluciones se hallan dentro del universo U. Ejm: |x| = 4 Como: b = 4  0 entonces el universo U es todo R; dentro del cual se resuelve la ecuación: |x| = 4  x = 4 ó x = -4

Álgebra

4


Quinto Año

Así: El C.S.

= Un {4 , -4} = R n {4 , -4} = {4 , -4}

Teorema: Dados a, b  R Si |a| = |b|  a = b ó a = -b

Ejm:

Resolver la ecuación: |x2 – 4x| = |2x – 8| 

a=b



x2 – 4x = 2x – 8 x2 – 6x + 8 = 0



a = -b



(x – 4) (x – 2) = 0

x  4  x  2

(x – 4) (x + 2) = 0

x  4  x  2

x2 – 4x = -(2x – 8) x2 – 2x -8 = 0

C.S. = {4 , 2 , -2}

Álgebra

5


Quinto Año

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1.

Resolver: |x – 1| = -3x

5.

Rpta.:

2.

3.

Si: A = {x  R / |3x – 1| = 2x + 5}

Resolver la ecuación: |x + 1| + |x – 1| = 6.

B = {x  R / |x + 2| + 6 = 3x}

Rpta.:

Hallar la suma de los elementos de A  B:

Resolver: Rpta.: (x – 3)2 – 8 |x – 3| + 15 = 0 6. Rpta.:

4.

|5x – 3| = 4x + 1

Dados los conjuntos de números reales: S = {P  R / 2P +  6 – P }

Resolver la siguiente ecuación:

Rpta.:

7.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: “x”

T = {q  R / |aq + b|  |a + b – aq|, -2b  a  0}

|x – 3| + |y – 4| = 7

Entonces: S  T es:

|x – 3| - y = 1

Rpta.:

Álgebra

Rpta.:

6


8.

Resolver:

Quinto Año

13. Indicar las soluciones (la cantidad) de la ecuación.

2

|x| - |x| - 42 = 0

2

x - |x| + 0,125 = 0 Rpta.: Rpta.: 9.

Resolver la ecuación siguiente: 14. Resolver: 2

|x + x – 12| = 3 – x ||x2 – 1| - x | = x Rpta.: Rpta.: 10. Las soluciones de la ecuación: 15. Resolver: 3

|x| + x = 0 ||x| - 1| = 2- x Rpta.: Rpta.: 11. El conjunto solución de: |2x – 5| = 4

Rpta.:

12. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto solución de la ecuación |x2 – 2| = 2 – 3x? Rpta.:

Álgebra

7


Quinto Año

PROBLEMAS PARA LA CASA 1.

Indicar la resolver:

mayor

solución

al

4.

Proporcionar el cardinal del conjunto solución de la ecuación: |x + 3| - |x – 1| = x + 1

x2  x  6 1 x2  x  2

a) -2

b) 2

c) 0

d) 3

a) 5

b) 4

c) 3

d) 1

e) 2

e) -3 5. 2.

Calcular:

Resolver:

E

x  5  2x  3

si: x   -3 , -2 

a) -2

b) 8/3

a) -2

b) 1

c) 3/8

d) -1/2

c) 3

d) 2

e) a y b

3.

| 5x  20 |  | 3x  20 | x

e) 5

¿Cuántos elementos tiene el C.S. de:

6.

Indicar la suma de las soluciones:

3x  1 4 x 1

|x2 – 2| = 2 – 3x?

a) 4

b) 3

c) 3

d) 1

e) 0

a) 41 / 7

b) 38 / 7

c) 13 / 7

d) 19 / 5

e) 32 / 5

Álgebra

8


7.

Si: x1 y x2 son las soluciones de: ||15 – 2x| - 4| = 8

Quinto Año 11. ¿Cuántos valores de “x” verifican la ecuación: |x + 3| = |2x – 4| + 5?

Calcular |x1 – x2| a) 1

b) 2 d) 4

a) 8

b) 10

c) 3

c) 11

d) 14

e) Ninguna

e) 12 12. Resolver: 8.

Indicar el producto de las soluciones: ||x| - 1| 2 – x

2

|x – 6| = |x| a) 18

b) -18

a) {3/2}

b) {-3/2}

c) 36

d) -24

c) {1/2}

d) {3/2 ; 1/2}

e) {3/2 ; 1/4}

e) -20

9.

Indicar la suma de las soluciones de:

13. Resolver:

3 |x + 1| + |x – 8| = 19 a) 4/3

b) 9/4

c) 5/7

d) 1/2

e) 11/6

10. Resolver: |x – 2| + |x – 3| = |2x - 5| a) b) c) d) e)

x  - , 2  3 , + x  - , -1  3 , + xR x x  - , 4

Álgebra

||x + 4| +4| -2 = 0 Indicar la suma de todos los valores que asume “x” a) -8

b) -6

c) 3

d) 0

e) No existe tal suma

14. Indicar una raíz al resolver: 2

2x

1 7  | 2x  1 | 6  0 2 2

9


Quinto Año c) 5  x  

a) 1

b) -2

c) 3/2

d) -5/2

d) x = {-1/3 , 1/3}  -  x  5 e) x1 =-1/30 ; x2 =1/3 ; 5  x  

e) Más de una es correcta

18. Después de resolver la ecuación: 15. Las soluciones de la ecuación. ||x – 5 | + 3| = 2, se puede decir que:

2

|18 – 3x – x | = 3 – x son

a) -5 y 3

b) -7 y -5

c) -6 y 2

d) -5; -7 y 3

a) x = 5

b) x = 8

c) x = 0

d) es una indet..

e) es imposible

e) -5 ; -6 y 3 19. Resolver: (x1 + x2)

16. La suma de las valores de y es:

|x + 9| = 16

y – 2 |x| = -3 |y| + x = 3

a) -12

b) -16

c) -4

d) 9

e) 15 a) -2

b) 6

c) 7

d) 10

20. Resolver:

e) 13 2

|x – 4| = 5 17. Las soluciones de la ecuación: 2

x+3

x .3

.+3

|x–5|+ 6

2

=x .3

|x–5|+ 8

+3

x+1

a) {3 , -3}

b) {-3}

c) {1 , -1}

d) {3}

e) R a) x = {-1/3 , 1/3} b) -  x  5

Álgebra

10


Quinto Año

TEMA: INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

a , a  0 | a |   a , a  0

Sabemos:  

La solución de inecuaciones con Valor absoluta se basa en los siguientes teoremas: Sean x a  R entonces: o Si |x|  a  a  0  -a  x  a o Si |x|  a  a  0  -a  x  a o Si |x|  a  a  0  x  -a o Si |x|  a  a  0  x  -a

Teorema: Dados a,b  R: 1. 2. 3.

|a|  |b|  (a + b) (a - b)  0 |a|  |b|  (a + b) (a – b)  0 |a|  |b|  (a + b) (a – b)  0

Ejm: Resolver: |2x – 3|  1 |2x – 3|  1

 1  0  -1  2x – 3  2  1  0  1  x  2 1x2

 C.S.  -1 , 2 

Si |x|  a , donde a  0 De donde viene: a)

Si x  0 entonces |x| = x  x  a

b)

Si x  0 entonces |x| = -x  -x  a ó -a  x |x|  a  se cumple que: -a  x  a se cumple lo mismo para |x|  a , donde a  0

Álgebra

11


Quinto Año

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.

Resolver la siguiente inecuación:

6.

|3x – 5|  7

|x + 1| - |3x + 7|  0 Rpta.:

Rpta.:

2.

Resolver;

7.

Resolver: |4x – 3|  5

Determinar la solución de:

| 2x  3 |  | x  8 | | 2x  1 |  | 7 x  8 |

0

Rpta.:

3.

Rpta.:

Resolver la siguiente inecuación: |x2 – 6x + 8|  4 – x

8.

Rpta.:

4.

Resolver: |3x – 1|  |x|

Resolver:

Rpta.:

|x2 – 2x – 5|  |x2 + 4x – 7| 9. Rpta.:

Si: A = {x  R / 2- |2x + 3|  3} B = {x  R / 2- |x + 2|  0}

5.

Hallar: (B – A)

Resolver: |9 – x2|  7

Rpta.: Rpta.:

Álgebra

12


10. Hallar el conjunto solución: |x + 6|  |x + 9| + |x – 2|

Rpta.:

Quinto Año

13. Hallar el menor de los números M tales que.

x 9  M, si x  2 , 5 x 6 Rpta.:

11. Hallar el C.S. de: ||x – 3| + 3|  -2

14. Hallar el C.S.:

2x  3  x

Rpta.:

12. Si:

 5 1  A  x  R /   12x  1 | x  2 |   Hallar: AC

Rpta.:

15. Hallar el número de elementos del siguiente conjunto: {x  Z / |2x – 3|  |x + 6|} Rpta.:

Rpta.:

Álgebra

13


Quinto Año

PROBLEMAS PARA LA CASA 1.

Si:

2 1   ; 6 ; determinar el x  5 

4.

X2 + 4 |x + 2|  20, es:

menor valor entero de M para que se cumpla:

a) b) c) d) e)

x3 M x6 a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

Hallar los valores de “x”

5.

-  x  4 4x -3  x  4 Ninguna valor Todo valor de x

La solución de la inecuación:

e) 1 |x + 2 – x2|  |x2 – 3x + 4| es: 2.

Resolver: a) b) c) d) e)

|x3 – 1|  x2 + x + 1 es: a) b) c) d) e)

1x2 0x1 0x2 -1  x  0 0x2

6.

1x3 -  x  1 -  x  1 ; 1  x  3 -  x  3 3x

La solución de: |x3 – 7x + 6|  19x – x3 – 18 es:

3.

La solución d la inecuación: a) 2 – 4 b) 2 – 4 c)

2–4

2  x -2 2  x  -2 2 x2 2  x -2 ; -2  x  2

d) 2 – 4 e) -  x  2

Álgebra

a) x  - , -3  -3 , 1 b) x   -3 , 1  3 ,  c) x  - , 1  3  x   d) -  x  1 ; 1  x   e) x  - , 0  3 , 

14


7.

Quinto Año

El intervalo que satisface al siguiente sistema de inecuación: |x2 – 4|  5

… (1)

|x – 5x + 6| 

… (2)

2

9.

Resolver: |x – 4| - |x – 2|  |x – 1| Indique la suma de los valores naturales menores que 15

a) 1  x  3

a) 102

b) 103

b) 1  x  3

c) 104

d) 105

c) 1  x  3

e) N.A.

d) -3  x  3

10. La desigualdad:

e) -3  x  4

-x2 + 3 |x| + 28  0 8.

Resolver: Es equivalente a: |2x + x – 5|  x + 2x – 3 2

2

a) b) c) d) e)

a) x  - , 1 b) x  1 , 2 c)

x  - ; -3 +

d) x  - ,

e)

10 

 3  105  6

 3  105 x  -,  2, 6

Álgebra

x 7 -3  x  3 x  3  x  -3 x  -7  x  7 x  -3  x  7

11. Para cuantos valores enteros se verifica: |5x – 10| + |14 – 7x|  |2x – x<2| a) 23

b) 24

c) 22

d) 21

e) 20

15


12. Indique el valor que no verifica la inecuación:

x 1  1 | x | x

a)

2 3 5

b)

6 1

c)

7 1 2

d)

2

e)

Quinto Año

14.

|x| 2 | x 1 | a) b) c) d)

1 ,  - , 0 - , 1 - , 2/3

e) - ,

2

6  20

8  28 2

13. Resolver:

2   2 ,  3

15. Resolver:

| x  1 |2  || x  1 | 2 | 0 x2  5 a) b) c) d) e)

2 , 3  R 0 , 2 -1 , 3

| x 1| 1 x4 a) b) c) d) e)

Álgebra

- , -4  -5/2 , + - , -4  1 , 2 -4 ,  -5/2 , + N.A.

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Quinto Año

TEMA: LOGARITMOS: FUNCIÓN EXPONENCIAL Logaritmos: Definición: Se llama logaritmo de un número en una base dada, positiva y distinta de la unidad, el exponente a que debe elevarse la base para obtener una potencia igual al número dado. Así, el logaritmo del número “N” en base “b” (b > 0 y b  1) es el exponente “x” a que debe elevarse la base “b” (bx) para obtener “N”. Notación: Número Log N =x b Base

Se lee “Logaritmo del número N en base b es igual a “x” Por definición:

Si

l ogN  x



bx  N

b

Esta relación puede ser en función exponencial o función logarítmica: 1. 2.

logN  x b x

b N





logx  y Funcion Logaritmica. b x

b y

Funcion exp ontencial

Ejemplos:  

Si b x  y Si logx  y

x  5  y  b5 x  5  log y

b

b

FUNCIÓN EXPONENCIAL: Antes de tocar este tema es conveniente recordar la teoría de exponentes, restringir números reales positivos y los exponentes a números racionales. 1) 2)

a x  a y  a xy ax a

3)

y

 a xy

(ab)x  ax . bx

Álgebra

x y

7) (a )

 a xy

8) n ab  n a  n b 9) n

a na  ,b  0 b nb

17


4)

a   b

x

ax



b

x

Quinto Año

, b  0

10)

a 1  a  0

6)

a x 

1 a

x

am  am / n

11) m n a  mn a

0

5)

n

mn n 12) m an b  a b

, a  0

Definición: La función exponencial de base a, se define de la siguiente manera:

f ( x)  a x ,  a  R    1 ;Df  R Observación: ¿Por qué se excluye a, a = 1? También debemos excluir las bases negativas, ya que de lo contrario tendríamos que excluir muchos valores de x del dominio, como x = 1/2; x = 3/8, etc. Recuerda que (-2)1/2, (1) 3/8, etc., no están definidas en el sistema de números reales. Gráfica de Funciones Exponenciales. a)

Cuando la base a  < 0,1>:

y

 En el gráfico se observa:

f( x1)

f( x )  a x

(0 , 1)

f( x 2 )

b)

a x1  a x2 f ( x1  x 2 )  f ( x1 )  f ( x 2 )



D f  R  R f  0,  

x

x2

x1

 

Cuando la base a  < 1, >: y

f( x )  a x

f( x 2 )

 

(0 , 1)



f( x1) x1

Álgebra

 En el gráfico se observa:

x2

a x1  a x2 f ( x1  x 2 )  f ( x1 )  f ( x 2 ) D f  R  R f  0,  

x

18


c)

Quinto Año

Si a > 1:

y

Se observa:

a x

a

x



 x   ,0  ; a x  a  x

 

 x   0,   ; a x  a  x En x = 0 ; ax = a-x = 1

(X = 0) x

Grafica de la función exponencial natural, f(x) = ex:  y

3x

Sus propiedades son las mismas que las de la función f(x) = ax

f( x )  e x

2x x=0 x

Problemitas: 

Graficar: f ( x )  ( 4)

Caso I: f(x)=4x

x

 1  f (x)    3

x

a>1

Localizamos los puntos: x

f ( x)

 3 1 / 64  Para : x  0 0  f (x)  1  Para : x  0 f (x)  1

y

f( x )  4 x

64

 2 1 / 16  1 1/ 4 0

1

1

4

2

16

3

64

16 4 1 -3 -2 -1

1 2 3

x

Se nota que f(x) > 0 para todo valor de x.

Álgebra

19


Quinto Año

Caso II: Localizamos puntos:

 Para : x  0 f (x)  1 

y x

f (x)

3

27

2 1

9 3

0

1 1/ 3

Para : x  0 0  f (x)  1

1 2

1/ 9

3

1 / 27

f( x)   1   3

27

x

9 3 1 -3 -2 -1

1

2 3

x

Se nota que f(x) > 0 para todo valor de x. 

Hallar el valor de x que satisface al siguiente sistema:

x y  y x ........... (1) x a  y b ........... (2) Sin utilizar logaritmos: Como:

x y  y x    (dividiendo) x a  y b  Quedaría: x y –a = y x –b



b x  a y

Sacando x:

y

 ax  x a    b

Álgebra

y x   yx  yb  x y  ax y a x b yb  ax y

ax .............(I) b

ax .............(I) ; reemplazando en (2) b

b

20


Quinto Año

b

a x a     xb b a x a  b    b  I) II)

b

(pasando restar exponentes) b

 a  a b  x    b

Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: Si 0< a < b< 1 entonces ax < bx ,  x > 0 Si 1 < a < b entonces ax < bx ,  x < 0

III) Si 0 < a < 1 entonces a x   1 

a

x

, x  R

Sol: 1) Mediante la exponencial decreciente: Como: 0 < a < b < 1  0x< ax < bx <1x, sólo si x es positivo, como veremos en la siguiente gráfica:

 a x  b x x  0; La propoción es

y

ax bx

bx

Falsa

ax x

2)

Mediante la exponencial creciente: Como: 1 < a < b 1 < ax < bx  todo x positivo, como veremos en la siguiente grafica: y

 a x  b x x  0;

bx

Como habíamos visto anteriormente: x

1 a  b

x

 Cuando x < 0, caso contrario. ax > bx  La proposición es verdadera

Álgebra

bx

ax

ax f( x )  m x x

21


3)

Quinto Año

 ax , 0  a  1 :

x Graficando a ; 1

ax

y ( 1 )x a

x

 1 a x    ;  x  R  a x  0

x

 La proposición es Falsa 

Como resolver una ecuación exponencial con logaritmos:

Ejemplo: Hallar unos de los valores de “x” que satisfagan el sistema:

64 2x  64 2y  40 .......(1) 64 x  y  12 .......(2) En (1): 642x  642y  40 (sacando logaritmo) Log(642x  642y )  Log40 .........(I )  muy complicado

En (2): 64x+y = 12 log 64(x+y) = log 12  (x + y) log 64 = log 12  (x + y) = log12 … ()

(sacando logaritmo)

log 64

Saber: Log12 = 2 Log2 + Log3 ; Log6 = Log2 + Log3 Log64= 6 Log 2 Sabemos: x y 642  642 64 x  64 y ) 2  2(64 x )( 64 y )     (  40

?

 2(64) ( x  y )   12 x

y 2

?  (64  64 )  40  2(12) 

64 x  64 y  8 .......... ( II)

Álgebra

22




Quinto Año

Igualmente: 2x 2y (64x  64y )2  64  64 64)( x  y )    2(   40

(64x  64y )2  40  24  64x  64y  4.......(III) En ( I) y (III) :

12

64 x  64 y  8 .........(II)  (sumando) 64 x  64 y  4 ........(III)  

2(64) x  12 64 x  6 (sacando log aritmos) x Log64  Log6 x  6 log 2  Log2  Log3 Log2  Log3 x  6Log2 

Otro caso:



Una de las raíces de la ecuación:

3  x

 x   x2  8   6    

Sacando Logaritmos:

 x    Log(3 )  8 x  2   Log6     x

x

 Log3 x  Log 8 x  2  Log6    x  xLog3   Log8  Log6 ;  x  2

Pero : log 8  3 log 2  log 6  log 2  log 3

 3x  xLog3    Log2  Log2  Log3  x  2

Álgebra

23


x 1 3x 1 x  12

Quinto Año

  Si cumplepara x  1  x  1  

 3x  x  2

 3x   xLog3   Log2  Log6  x  2 xLog3 3x Log6   Log2 x  2 Log2  xLog2 3 

3x  Log2 6 x2

 ( x  1) Log2 3  1  Log2 3 

2 x2





xLog2 3 

3x  1  Log2 3 x2

( x  1) 3x  2 x2 x2 x  2

2 log2 3

 x  2   2 log3 2 x   2 log3 2  1   2 log3 6 X   2 log3 6

Álgebra

24


Quinto Año

PROBLEMAS PARA LA CLASE x

01) Resolver: a = b

07) Si

a

Rpta:

se

3 x

b

5x

cumple

a

x 5

b

que:

3x

la

a b

equivalencia de: x log   es: 02) Resolver: ab

x

=c

Rpta:

Rpta: 08) El 03) Resolver: 2 5log x ( x 5x 15 )  3log x 25

valor

de

la

expresión:

1  log 0.625 3 10 E  103

Rpta: Rpta: 09) El valor de la expresión: 04) Resolver 3

x



el

siguiente

y

sistema:

.............. (I)

22  log7 5  5log7 14

E 

5log7 2

x 2  3 (3  log3 y )  0 ..............( II)

Rpta: Rpta: 05) Resolver la siguiente ecuación: x+2

3

= 135.

Sabiendo que: log2 = 0.30103 log3 = 0.47712

10) El

valor

de

la

expresión:

log4 3log5 4log6 5 ....... log x ( x 1)

x

es:

Rpta: 11) Sabiendo que el logaritmo de

Rpta:

06) Resolver la desigualdad: 2x

x+1

2x 5 – 5 Rpta:

Álgebra

,

35 9 en base 15 27 , es igual a: 47  4 14  5 29  3 x , el valor log x 8 1

+2<0

de: 3

es:

Rpta:

25


12) Si

x

=

2log3 a

E  3loga

x

el

Quinto Año

valor

18) Al

de:

resolver

la

ecuación:

xlog x ( x  7)  64 , se puede afirmar 2

 7  xloga 3 es:

que:

Rpta:

Rpta:

13) El valor de “x” que satisface la siguiente ecuación: 19) El mayor valor de “x” que satisface la siguiente ecuación:

2 x 5loga x  3 xloga 5  125 es:

2 2 x x log2 x log2 x 4  64

Rpta:

14) Las

raíces

de

log x ( x 2 10 x  25 )

7

la

ecuación: 2 log x

 11

Rpta:

x 1

son: 20) El producto de las raíces de la ecuación: , es:

Rpta:

81log x 3  27x, es:

x

15) Al resolver la ecuación: 5(4 ) + x x 4(10 ) = 25 , el valor obtenido para “x” es:

Rpta:

Rpta:

16) Al

resolver

4log8 3   

la

9 log27 21

ecuación:

 27x  0

Rpta:

17) El número de soluciones reales que presenta la ecuación: x log 2

2 x 2 log ( 2x )  2 2

log

 ( x  5)

( x  5) 2

25

 6

es: Rpta:

Álgebra

26


Quinto Año

PROBLEMAS PARA LA CASA 01) La ecuación : solución a: a) 1 d) 1 y 2

 x x  x

b) 2 e) 1 y 4

x

, tiene por

a b

y

.......(1)



loga b



log b a log b a 1













b) 4 e) 10

c) 6

06) Después de resolver el sistema de ecuaciones:

axlog a  bylog b

log a b log a b 1



c) log ab

3 x  2 y  1728 .........(1) es: Log y  x   2 .........(2), a) 3 d) 9

a) loga b loga b1 b) log ba

c) 8

3

x y  by .......(2)



b) 3 e) 256

05) La suma; ( x + y) se obtiene al resolver el sistema:

c) 4

02) El valor de “x” que satisface al sistema: x

a) 2 d) 64

b

log b a

log x

a

log y

........(1) ........(2)

Se observa que el valor de “x” es:

d) log bb log b a 1 log a b 1

a) a d) 1/b

e) log ab log a b

b) 1/a e) a2

c) b

07) El mayor valor de “y” que satisface el sistema: 03) Uno de los satisfacen

valores al

de

“x” que sistema:

y  log x  1 .........(1) x y  22 log0.5 10 ........ (2) a) -1 d) 100

b) 2 e) 1000

c) 10

x 2  1  log4 y y 2  2 x  y  22x 1 a) 1

b) 2

d) 2 2

e) 4 2

08) Al 04) El valor de “y” que satisface al siguiente sistema:

2x  2

y

x  3(3  log2 y )  0

Álgebra

.........  I ........II

resolver

........ (1) ........ (2) c) 4

el

sistema:

logx 11  5  logx y ......... (1) logxy 11 x2  y  8

......... (2)

el valor (x + y) que se obtiene es:

27


a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

Quinto Año

c) 6

d) La suma de todas sus soluciones es 21. e) El menor valor de x es 15

09) Si: 4x- 4x – 1 = 24, el valor de (2x)x es: a)

5

d) 125

10) Los

b) 5 5

13) Los valores de “x” que satisfacen la

c) 25

ecuación: x producto:

e) 25 5

valores

ecuación: 2

que

x 1

satisfacen

a

la

x

 4  80 , son:

a) 0 d) 1

2 x 1



x

x

tienen como

b) 1 e) 12

c) 4

a x  1 ; a > 1, ax  1 x  [1,>. Hallar el rango de f.

14) Se tiene la función: f ( x ) 

a) 3y 1log 2

b) sólo 3

c) sólo 1log 2 e) sólo -3

d)  3y  1log 2

11) Hallar x, si: 10x + 10 –x = 3

a  1 ,  a  1

a) 

b)  0,

a 1  a 1

(a  1) a  1 ,  d)  0,   a 1 a 1 a  1 e)  ,  a  1 c)  

a) log   3  5  / 2     b) 10 c) log( 5 / 2) d) log (3  5) / 2  log10   e) log(3 

5)

2

12) Si x es un número entero positivo que verifica la relación: 4 (0,8) ( x  3) / 4

 8 (0,64) ( x  2) / 5

15) Hallar la suma de los cuadrados de todos los elementos que cumplen con   y2 x   E  x, y  / 3 x  2y2  77  3 2  2 2  7  

a) 25 d) 32

b) 18 e) 16

c) 36

respecto a la desigualdad podemos afirmar que: a) Hay infinitas soluciones b) El mayor valor de x es 11 c) Solamente la satisfacen los enteros impares menores que 25.

Álgebra

28


Quinto Año

TEMA: FUNCIÓN LOGARÍTMICA Definición: Puesto que la función exponencial f(x) = ax, tal que f: R  R+ es una función inyectiva. Y su función inversa es: (Función Logaritmo) Sea: a > 0, a  1, siendo “a” la base, denotada por:

Y  f ( x)  loga x , x  0  ay = x 

Don f = R = < 0,  >

Ran f = R = <-,  >

+

Ahora veremos las siguientes gráficas: 

Caso I: Si 0


Observamos:    

0 ; logax > logbx  x  < 1,> ; logax < logbx Si x = 1  logax = logbx = 0

y y  loga x

y  logb x

x

(1, 0)

y 

Caso II: Si a >1 ,



Observamos:   

y  logb x

b>1

y  loga x

1 ; logax > logbx  x  < 1,> ; logax < logbx

(1, 0)

y 

Caso III: a>1



Observamos:   

Álgebra

 x  < 0,1> ; logax < log1/ax  x  < 1,> ; logax < log1/ax Existe simetría respecto al eje x.

x

y  loga x

y  log 1 x a

x

29


Quinto Año

Propiedades Generales de los logaritmos 

Sea b: base de f(x) = logbx; b>0  b  1. -

Si b > 1  logb =+  logb0 = - Si 0 < b < 1  logb = -  logb0 = +

 logb b  1

 b1  b

 logb A  B  logb A  logb B

 logb 1  0

 b0  1

 logb ( A / B)  logb A  logb B

 b logb N  N  loge N  ln N

 logb n A   loga b 

1 logb A n

ln b ln a

Nota: Sea : log251 = 2 – 39967 Donde: característica = 2 y la Mantisa = 0.39967 (parte decimal) Ejemplos: 1)

Encontrar el valor de “x” a partir de:

(logx a  logx x 2 ) (loga a2  loga x)  loga a10 Considere: a > 0  a  1 Solución: Sabemos: logbb = 1

 logbbn = n logbb = n (1) = n

Según el enunciado:

(logx a  2) (2  loga x)  10 Además: loga b  logb a  1 Llamaremos: loga x  m

 logx a 

1 m

Poniendo en (I):  2  1  (2  m)  10 m  Resolviendo: (2m  1) (2  m)  10m

 m  1/ 2

Álgebra

 m  2

30


m  1 / 2 Como m = logax    m  2

Quinto Año

 loga x  1 / 2  x  a1/ 2  a  loga x  2

 x  a2

x  a  x  a 2 2)

Reducir:

1  log5 7 1  log7 5  ? 1  log5 7 1  log7 5

Sabemos: loga b  logb a  1 por lo tanto según el problema.

log5 7  log7 5  1

 log5 7 

1 , reemplazando en el enunciado. log7 5

1 log7 5 1  log7 5 log7 5  1 1  log7 5     ? 1 1  log7 5 log7 5  1 1  log7 5 1 log7 5 1

 log7 5  1  1  log7 5      0  1  log7 5  1  log7 5 3)

Resolver: log

x  14 + log x  7 - log 1,2 = 1

Sabemos: log a  log b  log a  b , además

log a  log b  log a / b

En el problema: log x  14  log x  7  log  x  14   x  7 



Como: log x  14  log x  7  1  log 1,2 1  log10

 



...... (I)

En (I) tenemos: log( x  14 ) ( x  7 )  log(10) (1,2)

log( x  14 ) ( x  7 )  log12

 ( x  14) ( x  7 )  12  x7  0  x  14  0

Álgebra

 para que cumpla 

31


Quinto Año

Resolviendo:

x 2  21x  98  144  x 2  21x  46  x 2  21x  46  0  23 x  23 (no cumple)   2  x  2 (si cumple)

x x

Rpta: x = 2 4)

Resolver la ecuación:

log3  log1/ 3 x  log 3 x  log9 x  10 Sabemos: log n Nn  logb N b Primeramente, hacer que todos tengan una misma base.

x 1  log3 x 1  log3 1 / x ... (I)



log1 / 3 x  log



log 3 x  log 2 x 2  log3 x 2  log3 x 2 3



log9 x  log



(de I, II, III); reemplazando en el problema:

(1 / 3)1

9

x  log3

x  log3

log3 x  log3 1 / x  log3 x 2  log3 log3 ( x ) (1/ x )x

2

x

...(II)

x

...... ( III)

x  10  10  log3 310

 log3 310

log3 x 5 / 2  log3 310  x 5 / 2  310 x  3 4  81

5)

Calcular: E  log2 3  log3 2  log3 2  log2 6

Sabemos:

Álgebra

loga b  loga c  loga b  c  a  0  a  1 loga b  c  loga b  loga c 

32


Quinto Año

En el problema: E  log2 3  log3 2  log2 6  log3 6

  (I)

I = log2 6  log3 6  (log2 6) (log3 6) ;

6  2x3

 ojo



log2 6  log2 (2x3)  log2 2  log2 3 ; igualmente.



log3 6  log3 (2x3)  log3 2  log3 3 ; además sabemos :

logb b  1

Reemplazamos:

E  log2 3  log3 2  (1  log2 3) (1  log3 2) E  log2 3  log3 2   1  log3 2  log2 3  log2 3 . log3 2  E   (1  log2 3  log3 2)  Sabemos

:

loga b  logb a  1 Por lo tanto:

6)

Si:

E  (1  1)  2 E  2

log 27  a . Calcular: log616 12

Recordar:

loga b n  n loga b

 log12 27  log12 3 3  3 log12 3 .......(I) Por lo tanto: a  3 log12 3; nos piden: log6 16. Luego: log6 16  log6 4

2

 2 log6 4  nospiden log6 16 ó 4 log6 2

Pero como: a  3 log12 3 ; llamaremoslog6 16  x  4 log6 2

log12 3 

Álgebra

 1 3 3 a   log3 12  log3 4  log3 3 log3 12 log3 12 2 log3 2  1

33


Quinto Año

 1 4 4  x    log2 6  log2 2  log2 3 log2 6 log2 6 log2 3  1 3 1 a  ; además : log3 2  ; . reemplazando : 2 log3 2  1 log2 3 3 log2 3 3 4 a   ; además x  2 2  log2 3 log2 3  1 1 log2 3 3 3 4  x  log2 3  1   log2 3   1 .........(I) log2 3  1 x x log6 2 

Reemplazando en “a”:

Por lo tanto : 4  12 12  3 x 3   1 3 x  x x a    4 4 x 4  1 2    1 x x x  a 

12  3 x 4 x

(sacando x )

  4a  ax  12  3 x   utilizandola ecuaciónde (a  3)x  12  4a primer grado 12  4a   x 3a  Por lo tanto: log6 16 

12  4a ; siendo a  log12 27 3a

PASO DE UN SISTEMA DE LOGARITMO A OTRO El problema consiste en calcular el logaritmo de un número “N” en una base “b” (b > 1  b  1), si se conoce el logaritmo de “N” en base “a”; (a>1  a  0). Dato: loga N ; se pide:

logb N .

Álgebra

34


Quinto Año

Tomando logaritmo en base “a” ambos miembros de la igualdad:  b

logb N

Se obtiene:

 N (sabemos). log a b logb N  log a N

logb N  loga b  loga NPor lo tan to : logb N 

El factor:

loga N loga b



1  loga N loga b

1 se llama Módulo de paso de un sistema de logaritmos de base “a” a otro loga b

de base “b”. Ejemplo: Del ejercicio (6) del anterior:



 log12 27  a ; nos piden log6 16  cambiando de base.

log3 27

3   a .......(I) log3 12 2 log3 2  1 log3 16 4 log3 2 log6 16    ? (ambos tienen log3 2) log3 6 1  log3 2 3 3a Sea log3 2  m   a  3  2ma  a   m 2m  1 2a

log12 27 

3 a 4  Reemplazando: log 16   2a   4(3  a)  12  4a 6 3a 3a 3 a 1   2 a   (Esta forma será más simple que al utilizar el método anterior) 

Indicar la relación de a y b. Si:

1  2 logab a  4 1  2 loga b b

Álgebra

35


Quinto Año

Solución: Cambiando de base:

 loga a   1    (2 logab a)  2    loga ab   loga a  loga   1  (más simple)  2 logab a  2  1  log b a  



Para:



Para el otro caso:

  b 

   log b   loga b a   2  2 loga b  2  log a  log b   a a a   log b  a  b 

 loga b  ;  reemplazamos en el problema.  2 loga b  2   1  loga b  b 1  2 logab a 4 1  2 loga b b

  1  1  2  1  log b a    4  loga b   1  2   1  loga b 

Sea: loga b  x (más fácil)

2 1  x  4  2x 1 1 x 1



x 1 x  12  4  x  1  4  x 1 ( x  1) 2 1 x

x 1 x 1  2   2 x 1 x 1 x  3  x  1 / 3  3  x  3 x  1

Si x  3  loga b  3 Si x 

1

3

 loga b 

1

3

 a3  b  a

1 3

 a  b 1 / 3

 b  a  b3

 Cumple dos relaciones entre a/b, según el problema.

Álgebra

36


Quinto Año

PROBLEMAS PARA LA CLASE 01) Calcular 3

el

logaritmo

2003 2003

de

en

base:

20033 2003 es:

07) Resolver

log(2x  1)2003  log(x  1)10

log 2003

 2003

Rpta:

Rpta: 02) Luego

de

resolver

el

sistema:

 x 2  y 2  425 ..... (1)   Logx  Logy  2 ...... (2) Calcular: log 2 y

x ; considere x >y

Rpta: 03) Resolver: log2 cos( 2x)  log2 (senx )  1  log2 (cos x) Hallar: Tan (2x).

08) Si consideramos a>1; el valor de “x” que verifica el siguiente sistema:  2 loga 5 a(2  3 )2   1 ....... (1) 2      5  loga a(2  3 )   x .......(2)  Rpta: 09) Reducir: 2

2

3

3

log 2  log 7

 log

2 5

14  2 log5 2 log5 7



Rpta:

Rpta:

04) Calcular: Si log

M

(a2 b)

3

10) Mostrar el equivalente de:

bllog2 25

2

la 

2(a 4  b 2  4)  2

 n log 2  n log 3  .......  n log N     n  n n ln 2  ln 3  ......  ln N  

n

Rpta: Rpta:

05) Resolver: 2

log2 x  log16 x  log4 x  log2 x  7,5

11) El valor de “x” que verifica la ecuación: Si:

Rpta: 06) Indicar

el

 log3 2 4 log2 3 9      Rpta:

Álgebra

valor log6 5

es:

de:

log

4 n

n  n

n

log

n

x

E

sabiendo que:

E  3 log

4

n n

n

37


n  b2

log log b   log2

2  

Quinto Año

17) Hallar

 b  0  b 1

12) Sabiendo que:

loga 3  logb 2 .......(1)  ........(2) ab  10 Calcular “b” Rpta:

el

valor de “n”: 1 1    log2 1    ... log2 1   3 n    2n  20   log2    2 

1 log2 (1 2) 

Rpta:

18) Simplifique:

(e x  e y  e z ) ( x  y  z) eLn( z  y )  eLn( z  x )  eLn( x  y )

13) ¿Cuántas cifras tiene el resultado de efectuar: 5 40  280  ?

sabiendo que: x  ln 3; y  ln 5  ln 15

Rpta:

Rpta:

14) ¿Cuántas soluciones presenta el sistema? 2 2  log ( xy)  log ( x / y )  8 ......(1)  log x   4log y ........(2) 2 Rpta: 15) Calcular el área de la región que describen en el plano Gausseano los números complejos Z. que verifican la desigualdad.  / z / 2  / z /  1 2 log 3   2 /z/    Rpta:

19) Resolver: Log(0,3)(2x  5)   2 Rpta:

20) ¿Cuántos números enteros no positivos verifican la inecuación:

 24  2x  x 2     Lne  25  x2    14   

log

 

16

 

Rpta:

16) Hallar “x” de:

loga log a 2x  log a x  loga x  a a a considere: a> 0  a  1 Rpta:

Álgebra

38


Quinto Año

PROBLEMAS PARA LA CASA 01) Calcular el valor de: 9 8 N  log3    log27   2 3 a) 2/5 c) 4/3 e) 2/3

05) Si:

1  2 logx y

loga bclogb ca  1 loga c logb c 

x logxy    log x  ( xy)   y y

a) 5/2 b) -5/2 c) -2/5 d) 2/5 e) Más de una es correcta. x xx

para: a 

21

b 

2 1

06) Hallar “x” logx ( x )

c  2

a) 1 c) 1/2 e) 2

b) -1 d) -1/2

a) 512 c) 2048 e) 2

a) k  1

b) 1024 d) 4096

K ... log5 2 log5 4 log5 8 2

log5 2k

k d)

2

Álgebra

c) k  1

b) k

e)

k 1

47 

2

el

4

14 

15

5

logaritmo

de

27 es:

29 

3

x

Hallar x:

04) Reducir:

log5

que

3 9 en base de log5 49 log3 8log7 9

 (x 2 )x b) 6 d) 1

5

03) Calcular:

E 

a) 5 c) 3 e) -1/2 07) Sabiendo

 2  log 5  7  5 log7 2 2    5 log 2   7

halle:

 4

y

b) 3/4 d) 5/3

02) Evaluar: R 

1  2 logxy y

a) 729 c) 27 e) 64

b) 8 d) 1

08) Resolver:

log2 x)

1  logx 3 256  1  0

a) x = 1/3 c) x  {1/3, 1/8} e) 1/2

b) x = 1/8 d) x = 1/9

09) A partir del grafico de las curvas logarítmicas:

2

39


y

Quinto Año

c)  1, 2 2 

(x; log(x + 2)) (p ; q)

d)  1, 2  3 2 

(a ; b)

e)  1, 3  2 2  13) Hallar

( x1 log(  x  6) x



5

el

en



d)  1 log 2; log 2   8



 n ( x  1)   f ( x )  e x | x |  2   | x | | x  1 | x  R   0, 1  b)

4 2 1

Z:

4 2

1 c)



4

1

d)

4

2

b) 2 d) 8

 x  3 12) Resolver: log 2   1  x 1

Álgebra



14) Graficar:

 24  2x  x 2     (ln e)log10 log 2 25  x  14      

b)  1, 5  4 2 

6  x ),



a)

a)  1, 3  2 2 

función:

sistema:

b) {(9,2)} d) {(3,4)}

a) 1 c) 3 e) 5/2

la

e)  1 log 2;2

a) {(9,7)} c)  e) {(7,9)}





c) log 2; log 2

log(x 2  y 2 )  1  log13  (x  y)   3 log 2 log  xy

16





a) 4+ log20 b) 3 + log12 c) 6 + log24 d) 8 +l og30 e) 6 + log 24

11) Resolver

de

a) log 1 ; log 2  b) log 1 ; log 2     2 4

Calcular; a + b + p + q + r + s + t + u

10) Resolver

rango

f ( x )  log( x  4   x  4,6

(r ; s) (t ; u)

el

2

1

-1

4

e)

2 -1

15) Señalar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

40


Quinto Año

4 2

 1  log4 5  log 1       25 

I)

a  b2 3 (a  b)2

c)

9 ab

 16 

II) log5 7 log8 3 III) a  R  {0}, si logx (a 2  1)  0  0  x  1 IV) Si log1/ 2 x  log1/ 3 x  0  x  1 a) VFVV c) VFVF e) FVVF

b) VFFF d) FVFV

4 2

d)

e)

a  b2 9 a  b 3

(a  b)2

a2  b 2 3 a  b (a  b)2

16) Resolver:

1

1



log( x 12 ) 10 log( x 2) 10 a) 10 c) 20 e) 24



1 log( x  4) 10

b) 16 d) 22

17) Sabiendo que los logaritmos: logyx; logzy; logxz; logxz, en ese orden, forman una progresión geométrica y además cumple las siguientes igualdades: 2x4= y4 + z4; xyz = 125. El valor de ( x + y + z), es igual a: a) 5 c) 15 e) 25

b) 10 d) 20

19) El valor de “x” que satisface al siguiente sistema: log2 x  log8 y  log8 z  5 ........(1) log3 y  log27 z  log27 x  5 ........(2) log4 z  log64 x  log64 y  5 ........(3)

a) 2

b) 3

2 2 c) 3 4 3 e) 3 20) La

d)

8 3 9

solución

de la ecuación: x log    0 es: 2 x 2 7 x  6  4 

a) 1
a)

a2  b2 3 a  b ab

b) 1  x 

1 ;4  x   5

c) 1  x 

3 ; 3  x  4; 4  x   2

d) 1  x  2; 3  x  4; 5  x  

3 2

b)

a  b2 3 a  b

Álgebra

4 (a  b)2

e) 0  x 

3 7 ;2  x  ;4  x   2 2

41


Quinto Año

TEMA: PROPIEDADES GENERALES COLOGARITMO: Se llama cologaritmo de un número de una base dada al logaritmo de la inversa del número en la misma base. Es equivalente al logaritmo del número en la misma base precedido del signo menos y también al logaritmo del número en una base igual a la inversa de la base del cologaritmo. Por definición:

co logb N  logb

1 N

....(1)

de (1) desarrollando el logaritmo de un cociente, se obtiene:

co logb N  logb 1  logb N co logb N  0  logb N

.......(2)

En (1), elevando a la base y al número al exponente -1, se obtiene:

 1 co logb N  log 1   b  N

1

Co logb N  log1 N ............(3) b

de (1), (2) y (3) tenemos:

co logb N  logb

1  log1 N   logb N N b

Ejem:

1  log 1 15   log3 15 15



co log3 15  log3



1 co logx (3x  5)  logx  log 1 (3x  5)   logx (3x  5) 3x  5

3

x

ANTILOGARITMO Definición: Se llama antilogaritmo en una base dada de logaritmo de un número en la misma base al número el cual pertenece dicho logaritmo. Sea el número 0: N = bx

Álgebra

42


Quinto Año

Por definición de logaritmos, resulta: logb N  x ......(1) Por definición de antilogaritmos, se tiene:

anti logb logb N  N La igualdad anterior nos indica que: cuando a un número se aplican dos funciones contrarias (una directa y otra inversa) logaritmo y antilogaritmo de igual intensidad (la misma base), sus efectos se neutralizan. De otro lado, tomando antilogaritmo en base b ambos miembros de (1), se obtiene:

anti logb logb N  anti logb x N  anti logb x

, pero N  b x

b x  anti logb x o también : anti logb x  bx De la última igualdad resulta que el antilogaritmo en una base dada aplicando al resultado de haber tomado la función logaritmo es igual a la base del antilogaritmo elevado a este resultado. Ejemplos: 1.

anti log3 log3 5  5

2.

anti log4 log2 3 , la base del antilogaritmo y del logaritmo deben será la mismas para que sus efectos se neutralicen, elevando al cuadrado la base y el número de logaritmo, se obtiene: anti log4 log 2 3 2  anti log4 log4 9  9 2

3.

anti log5 log2 2  52  25

4.

anti log1/ 2 3  1  3    2

5. antilog3 ( 2)  3  2 

1 8

6. anti log3 ( 3)  23 

1 9

1 8

Propiedades que Relacionan los logaritmos y antilogaritmos con el cologaritmo: 1)

logaantiloga x  x

; a  0, a  1

, x R

2)

anti loga loga x  x ; a  0, a  1

, x0

3) 4)

co loga anti loga x  x ; a  0, a  1

, x R

antiloga cologa x  1

Álgebra

x

;

a  0, a  1

, x  0

43


Quinto Año

Problemas Resueltos: 1)

Hallar el valor de x si:

antilogx antilog4

2

antilog23 = 81

Solución:

Aplicando la iguladad: anti logb x  b x Se obtiene : anti logx anti log4 2 3  81 2

  anti log 8   4 2  8   42      anti log 4  x 4 x

anti logx conti log4 8  81 2  (igualmente ) 4

8

 anti logx ( 2) anti logx 4 x4 x

2)

 81  81 (igualmentesegun fórmula)  81  3 (de donde, es la solución real positiva)

Resolver: antilogx antilogxx = 16 Solución: Por definición de antilogaritmo resulta: anti logx x x  16 x

x x  16 x

x

2

Dada la formula adecuada al segundo miembro, obtenemos: x x  24  x x  22 De donde se observa: x=2 3)



Hallar el valor de: x  co log 5 antilog 9 log 3 antilog 2 (log 4 3  1)  





 1  11 2  

Solución: Reduciendo los valores de la parte interna hacia fuera, resulta:

log4 3  1  log4 3  log4 4  log4 3  4  log4 12  log

log3

4

12  log2 12

  1  x  co log5 anti log9 log3 anti log2  log2 12     11   2       1  x  co log5 anti log9 log3 12    11 2    1 1 12   log3 12  log3 3  log3 12  log3 3  log3 36  log9 36 2 2

Por lo Tanto:     x  co log5 anti log9 log9 36  11      36

Álgebra

44


Quinto Año

x  co log5 36  11  co log5 35

 Sabemos :  Co log y  log y x x 

x   log5 25   log5 5 2 x  2 log5 5  2 4)

 x  2

Resolver: log3(5x-1) + Colog(3x-5) = 2 Solución: Aplicando la igualdad: co log 3 (3x  5)   log3 (3x  5)

log 3 (5x  1)3  log3 (3x  5)  2 Aplicando la propiedad del logaritmo de un cociente, se tiene:

 5x  1  log3  2  3x  5  Por definición de lo logaritmo, resulta: 5x  1  32 3x  5 5 x  1  9(3 x  5)

44  22x

5)



x2 log4 (log4 x ) log4 x

X

Resolver la siguiente ecuación:

 co log2 3  0

Por la fórmula del cambio de base, se tiene:

log4 log4 x  log4 x

  logx (log4 x) log4 x

Luego: A  X

 logx log4 x  (identidad fundamenta l de los logaritmos )

Nota: Otra forma de simplificar A es haciendo: log4 x  y  x  4

4

b) Reemplazando en la ecuación:

log4 x  co log2 3  0  log4 x  log2 3  0  log4 x  log2 3  log4 9

Álgebra



x 9

45


Quinto Año

PROBLEMAS PARA LA CLASE 01) Resolver:

06) Resolver el sistema:

antilog3 2  co log2 32  x

 co log(x2  y2 )  1  co log13 (x  y)  log  logantilog2 3 xy

Rpta:

Rpta: 02) Si: x  10 3 Calcular

 log M  co logx  3  Rpta:

3

x

 4log2 x  6

log

6

x

 

07) Hallar el producto de las raíces de la siguiente ecuación: antilogx log5 ( x  2)  125 es: Rpta:

08) Los valores de “x” que satisfacen a la ecuación: 03) Simplifique: Antilog(5 x )3  35  x2, son : (co log a) log a  log c   co log b(log b  log c ) (log c )log a  log c  . co log blog a  log b Rpta: b>0  b  1; c>0  c  1

a

Rpta:

cumple

(co loga bc)( co logb ca)  1

la





Rpta:

(loga c ) (log b c )

Para:

10) De las relaciones:

a  2  1; b  2  1; c  2

Antilogax =

Rpta:

logb

05) Resolver: log x logx (3x 5  4)  2 log5 x

y

x

y ……… (1)

x=y

……….. (2)

Donde: a> b>1 Determine:

Indicar: antilogx (log5 x)

K  3 loga b x  3 logb a y

Rpta:

Rpta:

Álgebra

que:

b5x  a x  5 b3x

equivalencia de: x logb  co loga , es:

04) Evaluar:

R 

09) Si 3x

46


Quinto Año

11) Hallar la suma de valores de “y”, luego resolver:

2x  y ......(1) 5  Anti logx 2  4co log4 y .......(2)

17) El valor de “x” que satisface el sistema: antilogxy = yx …… (1) ax = antilogby …… (2) Rpta:

Rpta: 12) El E 

valor

de

la

expresión:

anti log2 (2  log7 5)  antilo5 log7 14 anti log5 log7 2

es: Rpta:

13) El

18) Después de simplificar:

valor

de

la

expresión:

anti logx log4 3  log5 4  log6 5.... logx ( x  1)

log 74 logy 3  log 75  log x 2  logy 4 

     Anti log5   logx 3      

es:

resulta:

Rpta:

Rpta:

14) Si x = 2 log3a el valor de :

E  antilog 3 loga x  7antilog xloga 3

   

19) El valor de “x” que satisface la siguiente igualdad:

es: Rpta: 15) La

raíz de la ecuación: log x A A  logA (antilogx A )  2 es:

Rpta:

16) El producto de las raíces de la ecuación: Anti log 81logx 3  27x es:

log y x  co log 3 Y  2 es Rpta:

20) El producto de lar raíces de la siguiente ecuación: log x antilog5m  log 5 Antilogxn, es

Rpta:

Rpta:

Álgebra

47


Quinto Año

PROBLEMAS PARA LA CASA 01) Calcular:

05) Si: loga (ab) = 2 calcular:

S  3 co log50,04  antilog5 2 a) 2 c) 3 e) 1

b) 4 d) 5

02) Si: R  Ant i log 3 log9 4  Ant i log 8log 2 3

Hallar: co log 5 (R  24) a) 0 c) -2 e) 1

b) 2 d) -1

03) Calcular: antilog64 co log8 (antilog4 (co log2 0,05))

b

E  co log a . b (anti log b(log a (3 a)  ( b) ))  

a) -1/2 c) -11 e) -1/24 06) Sabiendo que: Además: ab = c Calcular:

b) -1/324 d) -1/112

log bC  log aC  1

log5 a 3  log5 b 3  log5 c 3 B3 co log a  co log b  co log c a) 1 c) -1 e) 2

b) 0 d) -2

07) Sabiendo que: a) 8 c) 16 e) 4

b) 1/8 d) 1/16

A  co log 4 2  co log 8 2  co log 16 2 B  anti log 42  anti log 8 2  anti log 16 2

Álgebra

1 , b  0; b  1 6

Calcular: M  log b (co log banti log x b)

04) Calcular: A. B es:

a) -12 c) 322 e) 24

anti log b co log blog b x 

b) -364 d) 18

a) 2 c) 6 e) 10

b) 4 d) 8

10 3  Siendo: log 2 anti log 0.5 log 0.2 J (x) 

08) Hallar: J

 log x 5  9log 3 x  logx 5  

625



x log    

 

48


a) 1/2 c) 1/3 e) 2

Quinto Año

b) 1/6 d) 1/5

a) 2 y 3 c) 3 y 4 e) 4 y 5

b) 4 y 6 d) 6 y 8

12) Después 09) El

valor

simplificado

de:

de

simplificar:

log0.5 anti log2 3

1   co log 3 log1 / 2 3  log9 tag / 6 2  

es: R.

resulta:

co log81 anti log3 log4

2

anti log4

Nos piden: Hallar los valores de x, si la ecuación:

Antilogx 2  Rx  9  6R a) {3, 9} c) {3, -6} e) {3,6} 10) Sea:

E  co log2 log3 4 4 .......4 4 3 es    "n" veces .

y

antiloge ( co loge (loge x )   a) e - 1 c) e e) e + 2

e x

b) e - 2 d) e + 1

14) Sean A y B; números enteros.



A  log Antiloge log16 64Ln100



B  Log3 log6 log6 12  log6 3  co log6 108

3 3

3

........ 2    "2n" veces .

Hallar: antilog16 (E  R) a) 1 c) 2 e) 0

b) 3 d) 6

13) Calcular: el lnxx-2 Sabiendo que:

b) {3, -9} d) {6, 9}

R  log3 co log2

a) 2 c) 8 e) 8

b) 4 d) 16

Hallar: R 

A 3  2B

a) 5 c) 3 e) 6



15) Al resolver:

b) 4 d) 2



log x log(anti logx log x )  27  0 el valor que se obtiene para “x” es:

11) Las

raíces

de

la

ecuación:

anti log7 logx ( x 2  10x  25)  anti log11(2 logx

Álgebra

x  1) son :

a) -3 c) 0,01 e) 0,001

b) 1, 000 d) 0,1

49


Quinto Año

PROBLEMAS 01) El producto de las raíces de la siguiente ecuación: m logx 5  n log5 x a) 0

b) 1

d) n m

e)

c) m n

m

5n

9 X

 1    3

a) 9-1 c) 3 / 27 e)

3

a) 2 d) 3

2

b) 3-1 d) 3 / 3

5

03) Dada la ecuación: 2x  11  5  4  0 acerca de su conjunto solución, podemos afirmar: a) Es vacío b) Es unitario c) Es binario d) Es ternario e) Es cuaternario 04) Calcular:

b) 1024 e) 32

c) 2048

05) Resolver:

(log2 x) 1  logx a) x = 1/3 c) x  {1/3, 1/8} e) 1/2

3

256  1  0 b) x = 1/8 d) x = 1/9

06) Tres números enteros positivos a, b y c con a < b < c; están en progresión geométrica. log2 a; log2 b y log2 c ; están en progresión aritmética, así:

Álgebra

b) 16 e) 4

c) 8

b) 4 e) 9

c) 8

08) Resuelva el sistema:

log2 x  log4 x  log4 z  8  log2 x  log4 x  6 log z  log x 2  4 a) x = 8, y = 16, z = 64 b) x = 2, y = 4, z = 4 c) x = -8, y = 16, z = -64 d) x = 2, y = 8, z = 4 e) N. A. 09) La solución de la ecuación:

49  22 log7 5  5log7 2  log 7 9log 5  3log8 log 7 2   5

a) 512 d) 4096

a) 0,5 d) 2

07) Si: antilog3 x, antilog9 y, antilog27 z están en progresión geométrica, calcular: x – z. Si y – z = 2

02) Hallar la menor raíz:  x2    log3 x  3 

7(log2 a) (log2 b)(log2 c )  6(a  b  c ) hallar el valor de “a”

2 log1 / 4 ( 4  x ) 1   1 , es: log6 (3  x ) log2 (3  x )

a) x = -2 c) x = 2

b) x = 3 d) x = 3 x = -2

e) x = 3 x =+2 10) La solución de la desigualdad: logx 27  logx 27  3

9

log3 x 6

es:

log3 x 3  6

a) 1< x < 3 b) 0 < x < 3 c) 3< x < 9 d) 1
50


Quinto Año

TEMA: RELACIONES Y FUNCIONES RELACIONES EN R: Relación Binaria: Dados dos conjuntos no vacíos “A” y “B”, se denomina Relación R de “A” en “B” a todo subconjunto del producto cartesiano de “A” por “B” ( R  A x B), es decir: R = {(a;b)/a  A  b  B  a R b} Observaciones:  Si “R” es una relación de “A” en “B” entonces al conjunto “A” se le llama conjunto de partida, y el conjunto “B” se le llama conjunto de llegada.  El Dom(R), está dado por el conjunto cuyos elementos son todas las primeras componentes de los pares ordenados de la relación.  El Ran(R), está dado por las segundas componentes. Clases de Relaciones: 1. Relación Reflexiva: Sea “R” una relación en “A”, diremos que “R” es una relación reflexiva, si a  A el par ordenado (a:a)  R. 2. Relación Simétrica: Sea “R” una relación en “A”, diremos que “R” es una relación simétrica, si (a;b)  R implica (b;a)  R. 3. Relación Transitiva: Sea “R” una relación en “A”, diremos que, “R” es una Relación Transitiva, si tenemos: (a;b)  R, (b;c)  R implica (a:c)  R. 4. Relación de Equivalencia: Sea “R” una relación en “A”, diremos que “R” es una relación de equivalencia, si es reflexiva, simétrica y transitiva a la vez. Funciones: Dados los conjuntos no vacíos “A” y “B” y una relación F  A x B se define: F es una función de “A” en “B” si y sólo si para cada X  A, existe a lo más un elemento y  B tal que el par (x ; y)  F, es decir que dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente. Si: F es una función tal que (x;y)  F  (x;z)  F  y = z . Dominio y Rango: Abreviado por Dom(f) y Ran(f) respectivamente se define así: Dominio: Denominado PRE-IMAGEN, conjuntos de los primeros elementos de un par ordenado. Rango: Llamado también IMAGEN, es el conjunto de los segundos elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de llegada B. En conclusión:

Álgebra

Dom(f)  A  Ran(f)  B .

51


Quinto Año

CLASES DE FUNCIONES: F. Inyectiva o Univalente: Cuando cada elemento del Rango le corresponde un único elemento del dominio. F. Sobreyectiva: Cuando el rango o imagen de F coincide con el conjunto de llegada B, es decir: Ran(f) = F(A) = B . Función Biyectiva: Cuando es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Función Par: F(-x) = F(x); x  -x  Dom(f) Función Impar: F(-x) = -F(x); x  - x  Dom(f) Función Periódica: T  0 (T = periodo). Tal que: I. x  Dom(f)  (x + T)  Domf. II. F(x+T) = F(x) ; x  Domf. FUNCIONES MONOTONAS : F. Creciente : X1 < X2  F(x1) < F(x2) F. Decreciente : X1 < X2  F(x1) > F(x2) FUNCIONES ESPECIALES: F. Identidad : F(x) = x F. Constante : F(x) = K; K  R F. Lineal : F(x) = y = mx + b

 x : x  0 :x  0   x : x  0

F. Valor Absoluto:

F(x) = y = | x |  0

F. Signo

F(x) = y = Sgn (x)  0

:

F. Máximo Entero:

 1 : x  0 :x  0  1 : x  0

F(x) = y = [ x ] * y < x < y + 1: y  Z.

ÁLGEBRA DE FUNCIONES - Suma : Dom (f + G) = Dom(F) g Dom(g) - Resta : Dom (f - G) = Dom(f) g Dom(G) - Producto : Dom (f.G) = Dom(f) g Dom(g) - División : Dom (f/G) = Dom(F) g Dom(g), G(x)  0

Álgebra

52


Quinto Año

PROBLEMAS PARA LA CLASE 01. Hallar verdadero (V) o falso (F) según convenga: - Toda función es una relación. - Toda relación es una función. - Toda recta es una función. - Toda parábola es una función.

06. Si: F(x+1) = F(x) + x; y F(2) = 5. Calcular:

F( 4) F(0)

Rpta.: 02. Sabiendo que: F(2x) + 2F(x) + 1 = 2(1+Cosx) (Senx+Cosx). Donde F(x) es una función que depende de x. Evaluar: F(2x)/F(x) para x = 30.

07. Hallar el rango de: F(x) = 2+(-1)[x] Rpta.: 08. Dada la función:

1

F(x) =

x

2

1

Rpta.: 03. Calcular “P” si:

Entonces ¿se puede afirmar que es creciente en  ,1 ?.

P = F(2) + F(4) . F(-3) +(F-1). Rpta.: Si:

3 x  1 ; x  3  2 F(x) = x  1;  2  x  3 2x  3 ; x  2  Rpta.: 04. Hallar el mínimo:

09. Si: F(x) =

x2  4 x 2  5x  6

A = Dominio de F(x) B = Rango de F(x). Hallar “A - B” Rpta.:

F(x) =

x2  x  1

10. Encontrar el valor mínimo de la función:

Rpta.: F(x) = 05. Es función: F = [(8;2),(2;a),(a2-1;b)(2;2a-3), (3:5)]



1  x2 ; x  0;  1 x

Rpta.:

Hallar; “a + b”

Álgebra

53


Quinto Año

Calcular: f(1)+f(2)

11. Hallar el dominio de:

1

F(x) =

Rpta.:

1  x2

16. Hallar la suma de los elementos del rango de la siguiente función:

Rpta.: 12. Cuántas proposiciones de las siguientes:  fx  R; 0 < x – [x] < 1  F = {x;y)  R2/|y| = |x| -1} es una función.  F(x) =

9 x ;x

0; 9

es

una función inyectiva.  F(x) = x x función impar.

2

 4 . Es una

Son verdaderos:

F(x) = Sgn (x2-1) + Sgn

 x  1

Rpta.: 17. Determinar si la función: F(x) = |Senx| + |Cosx|. Es periódica; si lo es hallar su periodo. Rpta.: 18. Graficar aproximadamente: F(x) = (3x2 - |x|) Rpta.:

Rpta.: 13. Para la función: F(x) =

x3 1  ; x  1,2 x  1 ( x  1)2

Se puede afirmar: I) Es inyectiva. II) Es creciente III) Posee inversa.

19. La función polinomial: y = F(x) de grado mínimo tiene una gráfica aproximada.

y y  f( x )

14. Hallar el rango de:

| x| x  x | x|

Rpta.: 15. La función ´f, con dominio: Domf = {0,1,2,3,5} está definida mediante: f(a) = resto de dividir el polinomio [x3 + (a+1)x2+x] entre (x+a).

Álgebra

x -1

Rpta.:

F(x) =

3

-1 -2

Si: (-4;b)  F. Encuentre el valor de “b”. Rpta.: 20. Si la función F es periódica de periodo “T”, la función definida por: Y = F(ax+b): ab. Es también periódica con periodo: Rpta.:

54


Quinto Año

PROBLEMAS PARA LA CASA



01. Si el rango de: F(x) =

x2 x2  1

a) No creciente en 0, 2



b) No creciente en 2,5

, es a; b . Luego el

c) No decreciente en 2,5

valor e “a+b” es: a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2 02. Calcular la suma de los elementos en el rango de la siguiente función:



d) Constante en 1,3 e) No decreciente en 3 / 2 ; 5 / 2 05. Si Dom f y Ran f representan el dominio y el rango de la función real:

f(n) = 0, 00 n 9  ... 0 

f(x) = x  x  6 , determinar Dom f g Ranf. 2

n 1 ceros

para: n = 1,2,3,4,5,6. a) 0,023456 c) 0,223456 e) 0,234567



c) 1;   e)

03. La ecuación: (x2/a2) – (y2/b2) = 1 Donde a y b son constantes tales que. a > 1; b > 1. ¿Es y una función de x? a) Si b) Solo si x > a ó x < -a c) Sólo si x > a d) Sólo si x < a e) No



0;  

06. Si [x] designa el máximo entero de x; además (x1, x2) es el conjunto solución de: x2 – 2x  1 Calcular: [x1] + [x2] a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 07. ¿Cuál de los siguientes gráficos puede ser la gráfica de una función polinomial:

04. Sea la función:

0, x  0,1 1, x  1, 2  4,5 f(x) =  2, x  2 3, x  2,3

 d)  0; 

b) 3;  

a) 0, 

b) 10,034567 d) 0,223467

P(x) = x3 + ax + 0, a  0 b)

a) y

y

x

x

entonces “f” es:

Álgebra

55


c)

d)

y

Quinto Año

12. En la función real:

y

x

x

h(x) = - x 2  4 , determinar su dominio y rango, proporcionando luego Dom h – Ran h.

e) y

a)

 2;  

c)  2; 2 e) 08. Resolver [x] + [2x] + [3x] = 14; donde la notación [ ] indica el máximo entero. a) 2; 3 b) 2; 7

2



3



09. Dado f: R  R/f(x) = x3 – 29x + 1,

 2  3 .

b) 52 d) 50

10. Sea la función real definida por g(x) = x2



– 2x – 1, si: x   2; 5 . Hallar Rang. a)  1; 7



c)  1; 7 e)  2 ; 7

b)  2; 14

2

11. Si: f: R  0,49 , definida por f(x) = x . Hallar “Dom f” a) 0, 7

b)

c)  7, 7

d)  7, 7

e)

 0; 7

  7, 7 

13. ¿Cuáles de las siguientes funciones son aplicaciones? I) R  R/y = x/(x-1) II) g: 0; 1  R/y = 1/ x1  x 

IV) e: R  R/y =

3

a) f y h c) h y e e) f, h y e.

b) g y e d) f y e

x.

14. Determinar el área máxima de un rectángulo que tiene un lado en el eje “x” y los dos vértices del lado opuesto sobre la parábola: f(x) = 12 – x2 a) 45 c) 32 e) 36

d) 7; 14



  2; 2 

III) h: R  2; 6 / y = 2x+3

e) 5 ; 8 2 3

encontrar: f a) 48 c) 43 e) 49

d)



d) 5 ; 3

c) 8 ; 3 3

  2; 0 



b)  ;  2

b) 54 d) 48

15. Determinar el rango de la función f definida por: 2x  f ( x ) ,x  1 f(x) =  xf ( x )  x  1 , x  1  a)  , 



c)  2; 

 d)  1; 

b)  1, 

e) 0; 

Álgebra

56


Quinto Año

TEMA: LIMITES Limite: significa valor más próximo. Notación: lim f ( x ) xa

Limite de f(x) cuando; “x” tiende a “a” OBS: tiende < > se acerca. < > se aproxima.

Por la Derecha

Por la Izquierda a

lim f ( x )  lim f ( x)

xa

Ejemplo: lim

x 2

x  1,9 x  2,1



xa

x2  4 x2

lim f ( x )  3.9   lim  lim  4  lim f ( x )  4,1  x 2 x 2 x 2,1  x 1,9

 lim

x 2

x2  4 4 x2

1 ? x 1 lim  ? x 0 x 1 lim   x 0 x

Ejemplo: lim

x 0

1   x 0 x

 lim

Álgebra

57


Quinto Año

Operaciones: “K  R”

1)

Lim (K) = R;

2)

Lim (F(x)  G(x)) = lim (F(x))  lim G(f)

3)

Lim K (F(x) = K lim f(x)

4)

limF( x)  G( x)  (limF( x))(limG( x)

5)

lim

6)

limF( x) G( x )  (limF( x)) lim G( x )

7)

limF(G( x))  F(limG( x))

F( x ) limF( x )   limG( x )  0 G( x ) limG( x )





Formas Determinadas: 1)

lim

K  x 0 x

(K  0)

2)

K 0 x  x

(K  0)

3)

 , K  1 lim K x   (K  0) x  0 , K  1

lim

Formas Indeterminadas: 1)

0 0

2)

 

3)

 - ; 0 . 

4)

1, 1-

5)

00; 0; 0

Álgebra

58


Quinto Año

PROBLEMAS PARA LA CLASE 01) Calcular:

6x

lim

x 3

07) Calcular: lim f ( x ) 2

2x 2  11x  12

2

Rpta:

2  3x  2x, si : x  1

Si: f ( x )  

  x  1  5; si x  1

Rpta:

02) Calcular:

08) Encontrar

x 3  3x 2  4

lim

x 2

x1

 7x  3

x

3

 7x

2

 16  12

el 3

lim . x 8

A 

Rpta:

valor

de

A:

x 2  43 x  4 ( x  8) 2

Rpta: 03) Calcular: lim

x 2

3x  6 1  4x  7

09) Hallar:

Rpta:

3

04) Calcular: lim

x 4

3 5x 1 5  x

Rpta: y f ( x)  2x 2  3 g( x)  x  1  a . Hallar los valores de “a” si: lim f (g( x ))  5

05) Si:

x 0

06) Indicar verdadero (v) o falso (F) según corresponda:

x0

( ) lim

x 3

( ) lim

x 1

x x

x 2

19  x 3  x 2  5 x2

Rpta: 10) Si: lim

x  2

lim

f ( x  2)  2x  2

g( x  2)

x2  4 f (h) lim h 0 g(h) x 2

Rpta:

( ) lim

L  lim

no existe.

x3  3  27 x3 x 2  3x  2 x 2  4x  3

 8y

.3

Hallar:

Rpta:



11) Calcular: lim  x 2

12

8  x

 1/ 2

3



1   2  x 

Rpta:

Rpta:

Álgebra

59


12) Calcular: lim

x p

x a  pa x b  pb

Rpta:

Quinto Año

17) Si sabemos que:

 2 3 A  lim   2 x 1  x  1 1  x 3 B  lim

3

x3

P( x ) ; si Q( x )

P( x )  2x 3  5x 2  2x  3 3

3

x  2  1 x  x 2

x 1

13) Calcular: lim

  

Determinar:

1 x 2 A B A B

Rpta:

2

Q( x )  4x  13x  4x  3

(1  m)1 / m

18) Calcular: lim

y 0

Rpta:

siendo: m = Y/2

14) Calcular: lim

x a

x 2  a2 2x 2  ax  a 2

Rpta: 19) Si: M  lim

x 2

Rpta:

3

15) Calcular: lim

x 1

x 1 4 x

1

Rpta:

N  lim

x 

1  2x  3 2  3 9  2x  3

1  2 2  3 2  ....  n 2 n3

Me piden Calcular: M . N Rpta:

n

16) Calcular: lim

x a

x na ;a  0 xa

20) Calcular:

lim

x n

Rpta:

x 2  (a  1)x .  a x 2  (a  2)x  2a

Rpta:

Álgebra

60


Quinto Año

PROBLEMAS PARA LA CASA 01) Calcular: 2

b x  b a xa

lim

x a

a)

04) Calcular: lim

2

1 2 b2  a

x 1

a)

1

b)

b2  a

2

c) 2 b  a

c)

1

d)

2

2 b a

1

e)

2 b2  a

mn n 1 m

1  ax2

y a 1. a) 1

 a  x 2 b) 1

c) 1

d) 1 a

a2

a) 15 c) 2 e) 1/2

x a

e)

7 4 a 4

3 3 a 7

Álgebra

x  3x  2

3 3 lim  n3  an2  n3  an3   

2

n

2

03) Calcular: lim

3 4 c) a 7

 3x  1

b) 3/15 d) 2/15

a) 3 a 2

a)

n 1

06) Calcular:

1 a 2

a 1 2

e) 1 a

3 5x  3

x 1

a>0

mn

mn d) mn

05) Calcular: lim

1  x2

x 1

xn  1 b)

n mn e) mn

02) Calcular:

lim

xm  1

x 7  a7 x3  a

c) 2a

3

b)

e)

7 4 a 5

7 4 d) a 3

b)

2 3

a

d) 3a

3a 2

07) Hallar a y b, constantes para que:

 x2  1  lim   ax  b   0 dar  x   x  1   como respuesta: (ab + a+b) a) 1 c) -1 e) 4

b) 2 d) 3

61


08) Calcular: lim

x 

a) 5/13 c) 13/24 e) 13/48

Quinto Año

23y 3y 4 y8 b) 13/8 d) 5/48

12) Calcular:

lim

a x 1  b x 1

x 

ax  bx

a) b c)  e) N.A

b) a d) -

09) Calcular:

lim f ( x ); si

x a

 x 3  2x 2  5 x  6 ; x  3   x 3 f (x)    x  1  2;x  3   x 3 a) 1/4 c) 6 e) 

b) 1/3 d) 5

a) 2 c) 1 e) 0

b) -2 d) -1

A  lim

x b

B  lim

x 0 3

a) 1 c) -7/2 e) 0

x 1

a) e4 c) e6 e) e2

b) e5 d) e3

lim g( x ) , si : x  32

g( x ) 

3 x 3 7 x 1 x2

y

2x 2  x  1 2x  3

a) 2 c) -7/2 e) 

b) 1 d) 7/2

1  x3  1  x2 b) 2 d) 7/2

x2  x 2 x 1 x   x

11) Hallar: lim

Álgebra

x 7 lim   x   x  1 

14) Calcular el limite:

10) Se tiene:

a) 1 c) -7/2 e) 

13) Calcular:

b) 2 d) 7/2

15) Calcular:  x 2  3 x 10   

 2x  1   x 2  2x  3  lim   x 3  x  2  a) e2 c) e6 e) N.A

b) e4 d) e8

62


Quinto Año

TEMA: DERIVADAS f ( x)

d f ( x) dx

* Se define: Sea: f (x) = y; como una regla de correspondencia.  f´(x)  Se llama derivada de esta función. Ejemplo: Sea: f(x) = 3x2 + 6x

; f(x)= 4x + 2

 f(x) = 6x + 6.

f(x) = 4

En General: Sea: f(x) = axm + bxn + cxp Hallando su derivada:

f ( x )  amx

m1

 bnx

n1

 cpx

P1

Se observa; que:

Se restan xm

mx

m 1

Su derivada

Baja  

El exponente se resta 1. El otro baja como coeficiente multiplicando.

Casos: (de derivada)  X2+ 4x  2x + 4  2  (2da Derivada)  4 0  xn  nxn-1  x-3  -3 x-4  x-2 -2x-3 Forma trigonométrica:  Senx  Cosx  Cos(x)  -Sen (x)  Tan (x)  Sec2 (x)  Cot (x)  -Csc2 (x)

Álgebra

63


   

Quinto Año

Sec (x)  Tan xSecx Csc (x)  -Cotx Cosx Sen (mx)  mCos (mx) Cos (mx)  -mSen (mx)

Aplicaciones de la derivada: (de una función) Sea una función con regla de correspondencia: Y = f(x), luego la ecuación f´(x) = 0. Tiene por Raíces: x1,x2,x3, …., xn: los cuales forman los puntos (x1, f(x1); (x2, f(x2)); (x3, f(x3)), … (xn, f(xn)). Llamados extremos relativos: Ahora si: da

2 derivada f ( x 1 )  0 : Máximo Relativo f ( x 2 )  0 : Mínimo Relativo Así mismo; la ecuación: f´ (x) = 0 Tiene por raíces: (1; 2; 3; 4;…..) Los cuales forman los puntos de inflexión o de cambio de con cavidad. Ejemplo: f ( x)  x

3

 x2  x  1

f ( x)  3x 2  2x  1

La ecuación:

3 x 2  2x  1  0 (3x  1)( x  1)  0 

x  1 / 3 x 1

 Los extremos relativos son:  13 ;



32  ; (1; 0) 27 

Luego: f´´ (x) = 6x – 2 f´´ (-1/3) = -4 (máximo Relativo) f´´(1) = 4 (mínimo Relativo) Se tiene: f´´ (1/3) <0 F´´(1) > 0

Álgebra

64


Quinto Año

PROBLEMAS PARA LA CLASE 06) Calcular: a2 +b2, si la función:

01) Si: F( x)  1  9x Calcular: F’(7)

F( x)  2x 3  ax 2  b

presenta

un extremo relativo en (1; 2) Rpta: Rpta:

1  x  x2 02) Si F( x )  x Calcular: F (-3)

ab

si

la

función:

2

F( x)  4x  ax  b presenta un electo mínimo relativo en el punto (-1, 4)

Rpta: 03) Si: F( x ) 

07) Calcular

ax 

a

Rpta:

ax Calcular: F’(1)

08) Calcular F(-1) en la función F(x), que verifica:

Rpta:

F( x)  4x  3 ; F(1)  10

Rpta:

04) Dado la función:

F( x ) 

1 11 5  11x

09) Dada la función F(x) que verifica:

F( x )  6x  4; F(1)  10.

Si: F’ (a) = 

1 . Calcular “a”. 128

Rpta:

Rpta: 05) Calcular “n” Si F (n)  5 / 4 Siendo: F( x )  Rpta:

Álgebra

F(o)  4 Calcular: F(-1)

x2  9

10) Si la suma de dos números es 18, encontrara los números tales que la suma de sus cuadrados sea mínimo. Indicar como respuesta la diferencia de dichos números. Rpta:

65


11) Si la suma de la base y la altura de un triángulo es igual a 38 m. ¿Qué dimensión debe tener dicho triángulo para que su área sea máxima? Rpta: 12) Hallar el área máxima de un rectángulo que tiene su base inferior en el eje “x” y dos de sus vértices en la curva: Y = 6 – 2x2 Rpta: 13) Un punto, móvil P describe la curva:

Y

4 ; ( x  0) x

Determinar la distancia mínima de P al origen.

16) Encontrar las dimensiones del cilindro recto circular de volumen máximo que puede inscribirse en un cono circular recto de altura “H” y radio “R”. Dar como respuesta su altura. Rpta:

17) Hallar el área del mayor rectángulo con lados paralelos a los ejes de coordenadas, que pueden inscribirse en la región limitada por las parábolas. 3y= 12 – x2 ; 6y = x2 - 12 Rpta:

18) Encontrar las coordenadas del punto o puntos de la curva; Y2 = 2x + 3; que están mas cerca al origen. Rpta:

Rpta:

14) Encuentre el punto sobre la grafica de: y  x punto (3; 1)

Quinto Año

2

 1mas cercano al

19) Si la función: f(x) = x3 + ax2 + bx +c, tiene un máximo relativo en x = -1 y un mínimo relativo en x = 3. Calcular “ab” Rpta:

Rpta:

15) Un punto esta en movimiento según la ley: x(T )  2T 

T3 3

Donde “x” se mide en metros y “T” en segundos. Hallar su velocidad después de 6seg. Del comienzo del movimiento.

20) Un paralelogramo y un triángulo tiene un vértice común y los otros vértices del paralelogramo están sobre los lados del triángulo dado. Calcular el área máxima del paralelogramo que se puede inscribir de esta forma. Base del triángulo = 10; Altura del triángulo = 6. Rpta:

Rpta:

Álgebra

66


Quinto Año

PROBLEMAS PARA LA CASA

01) Dada la función:

f ( x) 

x2  3

Calcular: f ( 3 )  f ( 6) a)

3

b)

d) 3 3

3

derivada es: f ( x )  c)

3

05) Dada la función: f ( x ) 

6

a) 128 d) -128

2

e) 2 3

06) Calcular;

a

02) Sea la función: f ( x)  ax si f(0) = 3  f(1) = 1



2

 bx  1 ;



Calcular el valor de: R  a) 0 d) ¼

b) 1/3 e) 1/2

ac c b

a) 1 d) 5

la

función:

c) 5

¿para que el valor de

b) 3 e) 4

f ( x )  x 5  x  G( x ) 

f (1) calcular: G(2)

2 x2

;

c) 2

08) ¿Cuál es el producto mínimo de dos números cuya diferencia es 4? a) 5 d) -3

c) 1

04) Si:

Álgebra

x xa

b) 12 e) -4

09) Sea las funciones:

b) -2.5 e) -56

si

c) 4

f ( x)  3x  2 calcular: f(-1); si f(0)=1

a) -15 d) 25

b, 2

“a” se cumple: f (a)  1 2 ; a  0 ? a

2

b) -1 e) -2

c) 64

+

b) 4 e) 9

07) Siendo: f ( x )

03) Se tiene la derivada de una función:

a) 0 d) 2

calcular: “ab”

2x

F( x)  x  ax  bx  1 Presenta punto de inflexión en el punto (-2, 11) a) 8 d) 13

Además: f  1/ 2  f (1/ 2)

, si su

4x

( 4  x )3 / 2

b) -64 e) 32 3

ax  b

c) 0

f ( x )  Senx  g( x )  Tanx

Donde: x pertenece en primer cuadrante. Además se tiene que:

(f ( x))( g( x))  2

Hallar:

 1   Q( x ) ; si :Q( x ) f ( x ) 2    g( x )  c) 3 a) 1 d) 0

b) 2x e) 2

c) x +1

67


Quinto Año

10) Si se tiene el siguiente triángulo rectángulo:

5

3

b) 10 cm. e) 7,5 cm.

Nos piden hallar:

Senα  (Cosα) Cosα  Senα

c) 8,25 cm.

14) Las graficas adjuntos corresponden a las funciones:

f ( x )  2 x 2  2x 

4

F(α) 

a) 5cm. d) 6 cm.

1  G( x)  3x  3 2

Determinar la máxima longitud vertical “d”. Si:

con respecto al a) 5 d) 3

b) 7 e) 6

c) 4

d

11) Indicar el área máxima de un rectángulo de lados (3 – 2x) y (x + 1). a) 25 / 4 u d) 5/2

2

b) 25/2 e) 35/4

c) 25/8

12) Si el propietario de un teatro cobra S/. 10, 00 por cada boleta de admisión, la asistencia promedio será de 100 personas. Si por S/. 1, 00 de incremento en el precio del boleto, la asistencia promedio desciende en dos personas ¿A cuánto debe vender cada entrada para obtener una ganancia máxima? a) S/. 10 d) S/. 30

b) S/. 15 e) S/. 21

c) S/. 20

13) Una pieza larga y rectangular de lámina de 30 cm. De ancho la convirtiese en un canal para agua doblando hacia arriba dos de sus lados hasta formar ángulos rectos con la base. ¿Cuál debe ser el ancho de las partes dobladas, si se desea que tenga la mayor capacidad posible?

Álgebra

a) 25/8 d) 17/4

b) 15/2 e) 1

c) 21/8

15) Un torpedero esta anclado a 9Km del punto más próximo a la orilla. Se necesita enviar un mensajero al campamento situado en la orilla. La distancia entre el campamento y el punto mas próximo referido es de 15 Km.: teniendo en cuenta que el mensajero recorre a pie 5 Km. /h y en un bote remando 4 Km. /h. Indicar en que pinto de la orilla debe desembarcar para llegar al campamento lo mas pronto posible. a) A 3 Km. Del campamento b) A 5 Km. Del campamento c) A 2 Km. Del campamento d) A 8 Km. Del campamento e) A 4 Km. Del campamento

68


Quinto Año

TEMA: INTEGRALES Se define una integral como:

 f (x)dx  g(x)  C

Siendo: g( x )  f ( x )

C  Cons tan te. Ejemplo:









2  ( x 2  2x  1)dx  x )dx    2xdx  dx  C





 x2  x3 xC  2  2  3  



x3  x2  x  C 3

Debemos tener en cuenta:

  (f ( x)  g( x))dx    (f ( x)  g( x))dx 

 f ( x)dx   g( x)dx  f ( x)dx   g( x)dx

  ( f ( x )  g( x ))dx  Q( x )  C Donde el exponente : Q( x )  ( f ( x )  g( x ))



 a f ( x)dx b

 g(b)  g(a)

 n      x n dx  Si n es par  20 x dx  Si n es impar  0   es una cos tan te

Álgebra

69




Se tiene algunas integrantes:



 odx  C  1dx  X  C



Quinto Año

Recuerda: Nunca Olvidarse de la Consonante

x2 C 2



 xdx 



n  x dx 



n  x dx 





 x dx  Ln(x)  C  Kdx  Kx  C 3 1 3 1  ( x  x )dx   x dx   x dx  C 



Aplicado a funciones trigonométricas:

xn1 n 1

x n  1 n1

 C (caso general)

C

1



x4  Ln  C 4

 Sendx  Cosx  C -  Cosdx  Senx  C -  Tanxdx   ln(cos x )  C -  Cotxdx  Ln(senx )  C -

-

-



dx

 arcSenx  C

1  x2

dx

 x  1  Ln( x  1)  C

Álgebra

70


Quinto Año

PROBLEMAS PARA LA CLASE

01) Se tiene la siguiente integral:

 (ax  b)dx  2x  4x  5 2

06) Hallar: G(2)

 (x

5

 x3  x  2)dx  G( x)  5

Rpta:

Hallar: a x b Rpta:

07) Sabemos que: 02) Si:

 ( x  1)dx

 g( x)

además

entonces:

3dx

Hallar: G(e – 9)

Rpta:

Rpta: 08) Hallar:

2

3

0 ( x  2)dx   x

2

dx

dx  Ln( x )  C x

 x  9  G( x)  C

g(2) = 6 Hallar la constante de la integración:

03) Hallar la suma de las integrales: Si:



2 3

2 x

dx

Rpta:

0

09) Si: F( x)  ax  b y su integral de dicha función es. 4x2 + 3x +1.

Rpta:

Hallar: 04) Si:

 (mx

2

 nx  p)dx  6x 3  4x 2  7x  10

 (bx  a

2

)dx

Rpta:

Hallar: m- (n + p) Rpta: 05) Sea la función: f ( x)  6x  4 Al hallar su integral, sus coeficientes suman 14. Hallar la constante. Rpta:

10) Calcular:



x

Rpta:

11) Resolver: 1

0

3

x dx   ( x 2 5x)dx 2

Rpta:

Álgebra

71


12) Resolver:

Quinto Año

1 5 2 x dx  2x 2 dx 1 0





Nos piden hallar: “M” SI:

A . (C  B ) D

M

Rpta: 13) Hallar:

Rpta:

 (Senx  4)dx

Rpta:

 (cx  d)dx

18) Resolver: sabe que:

14) Resolver: 3

2

; si se

1

(3x  2)dx   ( x  1)dx

c

0

d

Rpta: 15) Sea las integrales:

4

0 ( x π

0

4

2

 3)

y

cos xdx

Rpta:

A   (7 x  9)dx

Hallar  A  B

dx  ln(x )  C x Adx entonces:   G( x )  C x B

Rpta:

siendo: A 

19) Se sabe que:

B   (6 x  5)dx

B 

16) Resolver:



π

π

(senx )dx 

2

4



π

π

4

cos xdx



 1 dx

20) Resolver:

2



A  x 2dx ; B 

Álgebra

2

y

Rpta:

3

0 e dx

x

;D 

π

0

4

1

0

2

0 2x

Senxdx dx 1 x

1

 (3x  2)dx  0 ( x  1)dx E 2

17) Sea las siguientes integrales:

0

3

2

0 xdx

6

Rpta:

B

0  x



2

1

dx   x 5 dx 1

Rpta: 2

72


Quinto Año

PROBLEMAS PARA LA CASA 01) Sea la siguiente integral:

 (mx  n)dx  4x

2

 9x  10

 m 

  n x

mn

Hallar: a) 2 d) ½

b) 1 e) 1/4

c) 3

 (3x

 5)dx  G( x)  10

a) 5 d) 9

2

  5dx 

a) x 3  5x  C

b) 2x 3  5x  C

3

02) Hallar: G(2)  G(3) Si: 10 2

06) Sea la siguiente función: F( x)  mx  n y su integral de dicha función es: 6x2 + 4x + 7

b) 7 e) 2

c) 6

03) Si la siguiente integral se encuentra en 10 y 15. Además: C =

2

0 2xdx  1

c)

x  6x  C 3

e)

x3  5x  C 4

d)

x3  5x  C 3


 (2x  1)dx  g( x)  C1 2  (3x  4x)dx  H( x)  C 2 Hallar:

H(2)  g(3) Además: C1 = C2

Sea la integral:

2 ( x  1)dx  g( x)

Hallar el valor entero de “x”

a) 3 d) 3/2

b) 2 e) 3/4

c) 4

2

a) 1/2 d) 2 04) Si:

 (5x

b) -2 e) 3 4

c) 1

3

Además: G (2) = 48; nos pide Calcular la constante de integración.

05) Resolver:

b) 5 e) 6



π

π

c) 9

Cosxdx 

3

6

a) 1 3 2

b) 1

d)  3 2

e)

Álgebra

2 0  2x  3 dx

 3x 2 )dx  g( x)

a) 8 d) 7

3

0 (5x  2)dx

08) Resolver:

1

0 xdx

c) 2 2

a) 4 y -4 d) 3 y -3 09) Calcular:

b) 2 e) 2 y -2



x dx  

5 2/5 x  x1/ 2 2 2 2/5 c) x 3 a)

e)

 E2  7

c) 4/3

 x 3 dx

b) x

1/ 2

2/3 d) 2 x 5 / 2  5 x 3 3

2 5/2 2 3/2 x  x 5 3

73


Quinto Año


 B   (12x  8)dx

x3 x2  C 2 2 3 2 d) x  x  C 2 2

x2 c) x  C 2 e) x

3

2

2

 2x  C x  2x  C

14) Sabemos que:



dx

x



 x 5 )dx

2 d) x  C 2

b)

3

3

e)

3

2 b) x  C 3

x3 C 2 x2  4x  C 3

c)

Siendo las constantes de integración: cero a) x 3  2x 2  C

x3 C 3

a)

 (B  A )dx

8

 8 ( x

y d

1

A  (9x  7)dx

Hallar

1

m   x 2dx

dx



x

 Ln( x )  C y

2 23 x C 3

Nos piden hallar: “M” si: 11) Resolver:



π

π

e dx

(senx )dx 

2

4



x



0 1

b) 2 e) 2/3

xdx

5

a) 1/3 c) 2 e) 1

2 a) 1/4 d) 1

M

4 3 x dx 4

1

b) 2/3 d) 3/2

c) ½ 15) Resolver:

12) Hallar el valor de M. 3

M

 3

a) 1/2 d) 1/6 13) Resolver:

x 5 dx 

1

dx 1 x2

 1

x 2 dx

y N

2

0 xdx

nos piden hallar: “M x N”

2

0 xdx b) 2 e) 1/3

1

0

M 

c) 1

 (mx  d)dx , si se sabe

a) d) 



2

b)  4

c)

2

e) 3 / 2

que:

Álgebra

74


Quinto Año

FÓRMULAS 

Logaritmos:

logb N  x  b x  N 

.

Función Exponencial:

f ( x)  a x

 a  R   { 1} : Donf  R



a x1  a x2  a  0, 1  Si: f ( x1  x 2 )  f ( x1 )  f ( x 2 ) Domf  R  Ranf  0,  



x x Si: a 1  a 2



Si: a  1



 a  1,   f ( x1  x 2 )  f ( x1 )  f ( x 2 ) Domf  R  Ranf  0,  

 x  , 0 ; a x  a  x x   0,  ; a x  a  x En x  0 ; ax  a x  1 e  2.7... Además: 2  e  3

Hay que saber reglas de exponentes. 

Función Logarítmica:

Y  f ( x)  loga x ,  x  0

Álgebra

75


Quinto Año

Sea: a: base de f ( x)  loga x  ; b  0  b  1 - Si b  1  loga     -

loga 0   Si b  1  loga     loga 0   logb b  1 logb 1  0 b logb N  N

Lnb Lna - logb A  B  logb A  logb B - loge N  LnN  loga b 

- logb ( A / B)  logb A  logb B

1 - logb n A  logb A n

Si: logN  a, bc ....... m

a  característica 0.bc...m  mantisa

PROPIEDADES GENERALES Cologaritmo y Antilogaritmo. Cologaritmo: 

Co logb N  logb

1  log1 N   logN N b

S e ;in v ie r t e 1 c o lo g N lo g b b N

Álgebra

76


Quinto Año

Antilogaritmo: Sea:

x  logb N

 antilogb logb N  N  antilogb x  b

x

Propiedades: 1) 2) 3) 4)

loga antiloga x  x antiloga loga x  x co loga loga x  x antiloga co loga x  1/ x

Relaciones – Funciones: Relación:

R  {(a; b) / a  A  b  B  aRb}  Reflexiva: (a; a)  R  Simétrica: (a; b)  R  (b, a)  R  Transitiva: (a; b)  R  (b; c )  R  (a; c )  R Funciones: F es función tal que (x; y)  F  (x, z)  F

 y=z

 Dom (f)  A  Ran(f)  B   partida llegada Álgebra de Funciones: 

Suma: Dom (f  g)  Domf  Domg



Resta: Dom (f  g)  Domf  Domg



Producto: Dom (f  g)  Domf  Domg



Division: Dom (f / g)  domf  Domg ; G( x)  0

Limites: 

lim f ( x ) xa

Álgebra

77


Quinto Año

lim f ( x)  lim f ( x) :  E lim f ( x)

xa

xa

xa

Operaciones:

4)

lim(K)  K; " K"  R lim(F( x)  G( x)  limf ( x)  limG( x) lim (Kf( x))  K limf ( x) limF( x)  G( x)  (limf ( x)) (limG( x))

5)

lim

6)

limF( x)G( x )  (limF( x))(lim G( x )) limF(G( x))  F(limG( x)) lim 1 / x  no existe límite

1) 2) 3)

7) 8)

F( x ) limF( x )   limG( x )  0 G( x ) limG( x )





x 0

Derivadas:  f ( x)    

df( x ) dx

Y= f(x)  f´(x) = 0 f’’ (x1) < 0 : Máximo Relativo f’’ (x2) > 0 : Mínimo Relativo

Siendo: f’’ ( )  la 2da Derivada 

d(Senx)   Cosxdx d(Cosx )    Senxdx



d(tan x)   sec 2 xdx





d(Cotx)    Csc 2 xdx d(sec x)   tan xSecxdx d(csc x)    CotxCscdx d(Senmx)   m cos( mx)dx d(Cosmx )    msen(mx)dx



d( Xn )   nxn1dx



d( x 2 )   2x 3 dx



d( x 2  4x)  (2x  4)dx



  

Álgebra

78


Quinto Año

Integrales:

 (f (x))dx  g(x)  C



g( x)  f ( x)

constante



 0dx  C

 Cotxdx  Ln(Senx)  C



 1dx  x  C



2

x C 2

dx 1 x

dx

 x  1  Ln(x  1)  C



 xdx 



 senxdx  Cosx  C

x

1



 Cosxdx  Senx  C

x

n



 Tanxdx  Ln(Cosx )  C

Álgebra

 arcSenx  C 2

dx  Lnx  C dx 

x n1 C n 1

79


Quinto Año

MISCELÁNEAS

01) Efectuar:

 27

( 27)6

2n  2  2n  4  2n  6

4

2n  2  2n  4  2n  6

03) Reducir: a  3b

x9

4

x9 9

24a b  18a b 36a  2b

04) Hallar “x” en: 3

a

x9  7, 9



09) Si: x – y = 8. Hallar: (x – 3y)2 – 4y(2y – x) + 8

10) Si:

2x x 

a

x9 hallar la expresión:

02) Efectuar:

P

08) Sabiendo que:

2 3

3  6 326 326 32.....

M

1 1 4 ,   x y xy

calcular:

x 2  y 2 x  2y 2y   xy 2x x  3y

05) Resolver:

1632

x 2

x 2  22

06) Resolver: 2x+2x – 1+2x – 2+2x – 3+2x – 4 =248 07) Calcular M, sabiendo que: a + b + c = 2p

b2  c 2  a2 Si: 2M  1  2bc

Álgebra

11) Determinar el valor de: (2b)2x – (2b)–2x, si se sabe que: 1 (2b)8x + (2b)–8x = 7 y 0 < b < 2 12) Si:

H  ( x  5)( x  6)( x  1)( x  2)  196 Hallar: R  H  16,25

80

Intro Mate

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