Программа "Booty Challenge" от Ashy Bines. Introduction.
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Программа "Booty Challenge" от Ashy Bines. Introduction.Descripción completa
O scurta introducere, destinata a umple momente de asteptare, inainte de a incepe prelegerea in cadrul Zilelor Biz- 2016
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EJERCICIOS
Api 2 hermientas matemáticas I- álgebra Aprobado con 80%Descripción completa
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Quinto Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Quinto Año
INDICE
Álgebra
Valor Absoluto ……………………….. Inecuaciones con Valor Absoluto……... Logaritmos ……………………………. Función Exponencial ……………........ Función Logarítmica ………………….. Propiedades Generales: Cologaritmo y Antilogaritmo …………. Relaciones y Funciones……………….. Límites…………………………………. Derivadas ……………………………… Integrales………………………………. Fórmulas ………………………………. Miscelánea ……………………………..
03 11 17 17 29 42 51 57 63 69 75 80
1
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Quinto Año
IMPRESIONES Y FOTOCOPIADO V.L.E.P. TELF.:222656 /#951875356
DPTO. DE PUBLICACIONES BELLA.
Álgebra
2
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Quinto Año
TEMA: VALOR ABSOLUTO Definición: El valor absoluto de un número real “a” se denota por |a| y se define:
a Si a 0 a a Si a 0 Ejm: |2| = 2 :
| 5 | ( 5 ) 5
1 3x 1 , si 3x 1 0 3x 1 , Si x 3 Si | 3x 1 | (3x 1), si 3x 1 0 1 3x , si x 1 3
Interpretación geométrica: -
Geométricamente el valor absoluto de la diferencia de dos números a y b denotado |a – b| es la distancia que hay ente ellos en la recta numérica: |a – b|
|
|
a
b
Teorema: - valor de a:
|a| 0 Se cumple:
Si a = 0 entonces |a| = |0| = 0 |a| = |-a| a |a| -a |a|
ii) -a |a| y –b |b| -(a + b) |a| + |b| ó |a| + |b| -(a + b) De donde: |a + b| |a| + |b| Ecuaciones con Valor Absoluto: El siguiente teorema es utilizado en la solución de ecuaciones con valor absoluto: Teorema: Este teorema establece que el universo U (es decir el campo de valores admisibles) de la ecuación |a| = b esta determinado por la condición b 0; la cual debe ser resuelta previamente una vez hallado este universo U se pasa a resolver las dos ecuaciones a = b y a = -b1 finalmente se comprueba si estas soluciones se hallan dentro del universo U. Ejm: |x| = 4 Como: b = 4 0 entonces el universo U es todo R; dentro del cual se resuelve la ecuación: |x| = 4 x = 4 ó x = -4
Álgebra
4
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Quinto Año
Así: El C.S.
= Un {4 , -4} = R n {4 , -4} = {4 , -4}
Teorema: Dados a, b R Si |a| = |b| a = b ó a = -b
Dados los conjuntos de números reales: S = {P R / 2P + 6 – P }
Resolver la siguiente ecuación:
Rpta.:
7.
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: “x”
T = {q R / |aq + b| |a + b – aq|, -2b a 0}
|x – 3| + |y – 4| = 7
Entonces: S T es:
|x – 3| - y = 1
Rpta.:
Álgebra
Rpta.:
6
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
8.
Resolver:
Quinto Año
13. Indicar las soluciones (la cantidad) de la ecuación.
2
|x| - |x| - 42 = 0
2
x - |x| + 0,125 = 0 Rpta.: Rpta.: 9.
Resolver la ecuación siguiente: 14. Resolver: 2
|x + x – 12| = 3 – x ||x2 – 1| - x | = x Rpta.: Rpta.: 10. Las soluciones de la ecuación: 15. Resolver: 3
|x| + x = 0 ||x| - 1| = 2- x Rpta.: Rpta.: 11. El conjunto solución de: |2x – 5| = 4
Rpta.:
12. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto solución de la ecuación |x2 – 2| = 2 – 3x? Rpta.:
Álgebra
7
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Quinto Año
PROBLEMAS PARA LA CASA 1.
Indicar la resolver:
mayor
solución
al
4.
Proporcionar el cardinal del conjunto solución de la ecuación: |x + 3| - |x – 1| = x + 1
x2 x 6 1 x2 x 2
a) -2
b) 2
c) 0
d) 3
a) 5
b) 4
c) 3
d) 1
e) 2
e) -3 5. 2.
Calcular:
Resolver:
E
x 5 2x 3
si: x -3 , -2
a) -2
b) 8/3
a) -2
b) 1
c) 3/8
d) -1/2
c) 3
d) 2
e) a y b
3.
| 5x 20 | | 3x 20 | x
e) 5
¿Cuántos elementos tiene el C.S. de:
6.
Indicar la suma de las soluciones:
3x 1 4 x 1
|x2 – 2| = 2 – 3x?
a) 4
b) 3
c) 3
d) 1
e) 0
a) 41 / 7
b) 38 / 7
c) 13 / 7
d) 19 / 5
e) 32 / 5
Álgebra
8
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
7.
Si: x1 y x2 son las soluciones de: ||15 – 2x| - 4| = 8
Quinto Año 11. ¿Cuántos valores de “x” verifican la ecuación: |x + 3| = |2x – 4| + 5?
Calcular |x1 – x2| a) 1
b) 2 d) 4
a) 8
b) 10
c) 3
c) 11
d) 14
e) Ninguna
e) 12 12. Resolver: 8.
Indicar el producto de las soluciones: ||x| - 1| 2 – x
2
|x – 6| = |x| a) 18
b) -18
a) {3/2}
b) {-3/2}
c) 36
d) -24
c) {1/2}
d) {3/2 ; 1/2}
e) {3/2 ; 1/4}
e) -20
9.
Indicar la suma de las soluciones de:
13. Resolver:
3 |x + 1| + |x – 8| = 19 a) 4/3
b) 9/4
c) 5/7
d) 1/2
e) 11/6
10. Resolver: |x – 2| + |x – 3| = |2x - 5| a) b) c) d) e)
x - , 2 3 , + x - , -1 3 , + xR x x - , 4
Álgebra
||x + 4| +4| -2 = 0 Indicar la suma de todos los valores que asume “x” a) -8
b) -6
c) 3
d) 0
e) No existe tal suma
14. Indicar una raíz al resolver: 2
2x
1 7 | 2x 1 | 6 0 2 2
9
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Quinto Año c) 5 x
a) 1
b) -2
c) 3/2
d) -5/2
d) x = {-1/3 , 1/3} - x 5 e) x1 =-1/30 ; x2 =1/3 ; 5 x
e) Más de una es correcta
18. Después de resolver la ecuación: 15. Las soluciones de la ecuación. ||x – 5 | + 3| = 2, se puede decir que:
2
|18 – 3x – x | = 3 – x son
a) -5 y 3
b) -7 y -5
c) -6 y 2
d) -5; -7 y 3
a) x = 5
b) x = 8
c) x = 0
d) es una indet..
e) es imposible
e) -5 ; -6 y 3 19. Resolver: (x1 + x2)
16. La suma de las valores de y es:
|x + 9| = 16
y – 2 |x| = -3 |y| + x = 3
a) -12
b) -16
c) -4
d) 9
e) 15 a) -2
b) 6
c) 7
d) 10
20. Resolver:
e) 13 2
|x – 4| = 5 17. Las soluciones de la ecuación: 2
x+3
x .3
.+3
|x–5|+ 6
2
=x .3
|x–5|+ 8
+3
x+1
a) {3 , -3}
b) {-3}
c) {1 , -1}
d) {3}
e) R a) x = {-1/3 , 1/3} b) - x 5
Álgebra
10
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Quinto Año
TEMA: INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
a , a 0 | a | a , a 0
Sabemos:
La solución de inecuaciones con Valor absoluta se basa en los siguientes teoremas: Sean x a R entonces: o Si |x| a a 0 -a x a o Si |x| a a 0 -a x a o Si |x| a a 0 x -a o Si |x| a a 0 x -a
Teorema: Dados a,b R: 1. 2. 3.
|a| |b| (a + b) (a - b) 0 |a| |b| (a + b) (a – b) 0 |a| |b| (a + b) (a – b) 0
TEMA: LOGARITMOS: FUNCIÓN EXPONENCIAL Logaritmos: Definición: Se llama logaritmo de un número en una base dada, positiva y distinta de la unidad, el exponente a que debe elevarse la base para obtener una potencia igual al número dado. Así, el logaritmo del número “N” en base “b” (b > 0 y b 1) es el exponente “x” a que debe elevarse la base “b” (bx) para obtener “N”. Notación: Número Log N =x b Base
Se lee “Logaritmo del número N en base b es igual a “x” Por definición:
Si
l ogN x
bx N
b
Esta relación puede ser en función exponencial o función logarítmica: 1. 2.
logN x b x
b N
logx y Funcion Logaritmica. b x
b y
Funcion exp ontencial
Ejemplos:
Si b x y Si logx y
x 5 y b5 x 5 log y
b
b
FUNCIÓN EXPONENCIAL: Antes de tocar este tema es conveniente recordar la teoría de exponentes, restringir números reales positivos y los exponentes a números racionales. 1) 2)
a x a y a xy ax a
3)
y
a xy
(ab)x ax . bx
Álgebra
x y
7) (a )
a xy
8) n ab n a n b 9) n
a na ,b 0 b nb
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
4)
a b
x
ax
b
x
Quinto Año
, b 0
10)
a 1 a 0
6)
a x
1 a
x
am am / n
11) m n a mn a
0
5)
n
mn n 12) m an b a b
, a 0
Definición: La función exponencial de base a, se define de la siguiente manera:
f ( x) a x , a R 1 ;Df R Observación: ¿Por qué se excluye a, a = 1? También debemos excluir las bases negativas, ya que de lo contrario tendríamos que excluir muchos valores de x del dominio, como x = 1/2; x = 3/8, etc. Recuerda que (-2)1/2, (1) 3/8, etc., no están definidas en el sistema de números reales. Gráfica de Funciones Exponenciales. a)
Cuando la base a < 0,1>:
y
En el gráfico se observa:
f( x1)
f( x ) a x
(0 , 1)
f( x 2 )
b)
a x1 a x2 f ( x1 x 2 ) f ( x1 ) f ( x 2 )
D f R R f 0,
x
x2
x1
Cuando la base a < 1, >: y
f( x ) a x
f( x 2 )
(0 , 1)
f( x1) x1
Álgebra
En el gráfico se observa:
x2
a x1 a x2 f ( x1 x 2 ) f ( x1 ) f ( x 2 ) D f R R f 0,
x
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
c)
Quinto Año
Si a > 1:
y
Se observa:
a x
a
x
x ,0 ; a x a x
x 0, ; a x a x En x = 0 ; ax = a-x = 1
(X = 0) x
Grafica de la función exponencial natural, f(x) = ex: y
3x
Sus propiedades son las mismas que las de la función f(x) = ax
f( x ) e x
2x x=0 x
Problemitas:
Graficar: f ( x ) ( 4)
Caso I: f(x)=4x
x
1 f (x) 3
x
a>1
Localizamos los puntos: x
f ( x)
3 1 / 64 Para : x 0 0 f (x) 1 Para : x 0 f (x) 1
y
f( x ) 4 x
64
2 1 / 16 1 1/ 4 0
1
1
4
2
16
3
64
16 4 1 -3 -2 -1
1 2 3
x
Se nota que f(x) > 0 para todo valor de x.
Álgebra
19
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Quinto Año
Caso II: Localizamos puntos:
Para : x 0 f (x) 1
y x
f (x)
3
27
2 1
9 3
0
1 1/ 3
Para : x 0 0 f (x) 1
1 2
1/ 9
3
1 / 27
f( x) 1 3
27
x
9 3 1 -3 -2 -1
1
2 3
x
Se nota que f(x) > 0 para todo valor de x.
Hallar el valor de x que satisface al siguiente sistema:
x y y x ........... (1) x a y b ........... (2) Sin utilizar logaritmos: Como:
x y y x (dividiendo) x a y b Quedaría: x y –a = y x –b
b x a y
Sacando x:
y
ax x a b
Álgebra
y x yx yb x y ax y a x b yb ax y
ax .............(I) b
ax .............(I) ; reemplazando en (2) b
b
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Quinto Año
b
a x a xb b a x a b b I) II)
b
(pasando restar exponentes) b
a a b x b
Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: Si 0< a < b< 1 entonces ax < bx , x > 0 Si 1 < a < b entonces ax < bx , x < 0
III) Si 0 < a < 1 entonces a x 1
a
x
, x R
Sol: 1) Mediante la exponencial decreciente: Como: 0 < a < b < 1 0x< ax < bx <1x, sólo si x es positivo, como veremos en la siguiente gráfica:
a x b x x 0; La propoción es
y
ax bx
bx
Falsa
ax x
2)
Mediante la exponencial creciente: Como: 1 < a < b 1 < ax < bx todo x positivo, como veremos en la siguiente grafica: y
a x b x x 0;
bx
Como habíamos visto anteriormente: x
1 a b
x
Cuando x < 0, caso contrario. ax > bx La proposición es verdadera
Álgebra
bx
ax
ax f( x ) m x x
21
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
3)
Quinto Año
ax , 0 a 1 :
x Graficando a ; 1
ax
y ( 1 )x a
x
1 a x ; x R a x 0
x
La proposición es Falsa
Como resolver una ecuación exponencial con logaritmos:
Ejemplo: Hallar unos de los valores de “x” que satisfagan el sistema:
64 2x 64 2y 40 .......(1) 64 x y 12 .......(2) En (1): 642x 642y 40 (sacando logaritmo) Log(642x 642y ) Log40 .........(I ) muy complicado
12) Si x es un número entero positivo que verifica la relación: 4 (0,8) ( x 3) / 4
8 (0,64) ( x 2) / 5
15) Hallar la suma de los cuadrados de todos los elementos que cumplen con y2 x E x, y / 3 x 2y2 77 3 2 2 2 7
a) 25 d) 32
b) 18 e) 16
c) 36
respecto a la desigualdad podemos afirmar que: a) Hay infinitas soluciones b) El mayor valor de x es 11 c) Solamente la satisfacen los enteros impares menores que 25.
Álgebra
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Quinto Año
TEMA: FUNCIÓN LOGARÍTMICA Definición: Puesto que la función exponencial f(x) = ax, tal que f: R R+ es una función inyectiva. Y su función inversa es: (Función Logaritmo) Sea: a > 0, a 1, siendo “a” la base, denotada por: