6
Mata Kuliah : Teori Bilangan
MINI RISET
Meneliti Kesulitan Siswa SMP Dalam Menerapkan Konsep-Konsep Keterbagian Bilangan Bulat
Dosen Pengampu : Dr. Asrin Lubis, M.Pd
DISUSUN OLEH :
Nama : ANJEL CHRISTI DAMANIK
NIM : 4173311008
Kelompok : 2 (Dua)
Kelas : DIK E
Jurusan : MATEMATIKA
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
2018
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur saya panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan Rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas makalah ini. Penulis mengucapkan terimakasih kepada bapak/ibu dosen yang sudah memberikan bimbingannya.
Tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk memenuhi salah satu tugas dalam mata kuliah Teori Bilangan. Adapun tugas yang diberikan yakni tentang "MINI RISET".
Dalam tugas mini riset ini mahasiswa diharapkan mampu berfikir kreatif dalam membuat soal, selain itu mahasiswa juga diharapkan menemukan masalah dalam soal dan peserta didik yang tidak dapat menjawab soal. Dengan adanya makalah ini diharapkan dapat membantu dalam proses pembelajaran dan mencapai standar kompetensi yang telah ditetapkan. Selain itu dengan adanya makalah ini mahasiswa mempu membudayakan membaca.
Penulis sangat menyadari bahwa tulisan ini masih sangat jauh dari kesempurnaan yang disebabkan oleh keterbatasan dan kemampuan penulis. Oleh karena penulis meminta maaf jika ada kesalahan dalam penulisan dan penulis juga mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi kesempurnaan makalah ini.
Akhir kata penulis mengucapkan terimakasih semoga makalah ini dapat bermanfaat dan bisa menambah pengetahuan bagi para pembaca.
Medan, April 2018
Penulis
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ii
DAFTAR ISI ........... iii
BAB I PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Rumusan Masalah 1
Tujuan 2
BAB II KONSEP DAN HIPOTESIS 3
Konsep 3
Hipotesis 7
BAB III TEKNIK PENGUMPULAN DATA ...... 8
BAB VI ANALISIS DATA ..... 10
BAB V PENUTUP ..... 12
Kesimpulan .... 12
Saran ..... 12
DAFTAR PUSTAKA ..... 13
LAMPIRAN ..... 14
BAB I
PENDAHLUAN
Latar Belakang
Belajar merupakan proses perubahan perilaku manusia baik itu perubahan kognitif, afektif maupun psikomotorik. Dalam proses kegiatan belajar mengajar kebanyakan siswa bersifat pasif dan kurang aktif, takut atau malu mengemukakan pendapat serta merasa bosan. Pada kali ini akan dibahas tentang keterbagian.
Dalam modul keterbagian bilangan bulat diuraikan tentang sifat-sifat keterbagian, algoritma pembagian, konsep-konsep dasar faktor persekutuan terbesa (FPB) dan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dan penerapannya, algoritma Euclides, serta keprimaan.
Keterbagian (divisibility) merupakan bahan dasar dalam uraian lebih lanjut tentang pembahasan teori bilangan. Setelah pembahasan tentang FPB dan KPK sifat-sifat dasar keterbagian dapat diperluas menjadi lebih lengkap dan mendalam. Demikian pula pembahasan tentang FPB dan KPK beserta sifat-sifatnya dapat lebih dikembangkan dan dikaitkan dengan keterbagian .
Secara keseluruhan materi pokok dalam modul ini meliputi keterbagian, FPB dan KPK dan keprimaan. Keterkaitan antaraketiga materi pokok menjadi lebih jelas setelah berbagai kasus dipaparkan dan diselesaikan melalui contoh, tugas, latihan dan tes formatif.
Pada kali ini penulis akan mengangkat beberapa soal dari keterbagian dan diberikan pada beberapa siswa SMP.
Rumusan Masalah
Seberapa tingkat pemahaman siswa mengenai materi konsep-konsep keterbagian
Apa saja kesulitan yang dialami para siswa dalam menyelesaikan soal keterbagian.
Bagaimana solusi mengatasi kesulitan yang dialami siswa mengenai keterbagian.
1.3 Tujuan
Mengetahui tingkat pemahaman siswa mengenai materi konsep-konsep keterbagian
Menganalisis kesulitan yang dialami para siswa dalam menyelesaikan soal keterbagian.
Memberikan solusi mengenai kesulitan yang dialami siswa mengenai keterbagian.
BAB II
KONSEP DAN HIPOTESIS
2.1 Konsep
Pembagian bilangan bulat merupakan bahan pelajaran matematika yang sudah diberikan di sekolah dasar. Bahan pelajaran ini diperluas penggunaannya sampai pada pemfaktoran prima, faktor persekutuan terbesar (FPB), kelipatan persekutuan terkecil (KPK), dan keterbagian oleh bilangan tertentu (misalnya keterbagian oleh 2,3, atau 9). Untuk memberikan dasar atau landasan yang lebih kuat kepada guru matematika di sekolah, maka mereka perlu belajar lebih mendalam tentang konsep-konsep dasar keterbagian.
Keterbagian (divisibility) merupakan dasar pengembangan teori bilangan, sehingga konsep-konsep keterbagian akan banyak digunakan didalam sebagian besar uraian atau penjelasan matematis tentang pembuktian teorema. Keadaan inilah yang memberikan gagasan tentang perlunya definisi keterbagian. Keterbagian atau divisibility adalah sudut pandang matematika yang mempelajari suatu bilangan yang habis oleh bilangan lain.
Sifat-sifat yang berkaitan dengan keterbagian merupakan dasar pengembangan teori bilangan, sehingga konsep tentang keterbagian akan banyak dijumpai dalam uraian selanjutnya. Konsep keterbagian juga sering muncul dalam buku-buku yang membahas struktur aljabar atau aljabar modern. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) merupakan kosep turunan dari keterbagian bilangan bulat.
Jika suatu bilangan bulat dibagi oleh suatu bilangan bulat yang lain, hasil pembagiannya adalah bilangan bulat atau bukan bilangan bulat.
Sifat-Sifat Keterbagian
Teorema 5.1
Jika diketahui bilangan bulat a dan b dengan a 0 dan ada bilangan bulat k sehingga berlaku b=ak, maka k tunggal.
Bukti:
Andaikan k tidak tunggal, berarti ada bilangan bulat k dan m dengan k m sedemikian sehingga b=ak dan b=am. Karena ak=b dan am=b maka ak=am. Karena a 0 maka k=m. dengan diperolehnya k=m yang bertentangan dengan pengandaian bahwa k m, jadi pengandaian itu harus diingkari, yang berarti k tunggal.
Teorema 5.2
Jika a, b dan c bilangan bulat, a ׀ b dan b ׀ c maka a׀ c. Secara ringkas dapat ditulis dengan simbol: a ׀ b ˄ b ׀ c a׀ c; a,b,c Z
Bukti:
Ambil a, b, dan c di Z.
Berdasarkan definisi 5.1
a ׀ b m Z b=am (1)
b ׀ c n Z c=bn (2)
Substitusi persamaan (1) pada (2) sehingga diperoleh:
C=bn c=(am)n c=a(mn) (sifat asosiatif)
Karena m Z, n Z maka mn Z. hal ini berlaku karena operasi perkalian bilangan bulat bersifat tertutup. Berdasarkan definisi keterbagian, mn Z dan c=a(mn) sehingga dapat disimpulkan bahwa a ׀ c. jadi, a׀ b ˄ b ׀ c a ׀ c.
Teorema 5.3
Jika a, b dan c merupakan bilangan bulat, a ׀ b dan a ׀ c maka a ׀ b+c. Secara ringkas dapat ditulis dengan simbol: a ׀ b ˄ a ׀ c a ׀) b+c); a,b,c Z.
Bukti :
a ׀ b m Z b=am
a ׀ c n Z c=an
jika kedua persamaan tersebut dijumlahkan,diperoleh b+c=am+an atau b+c=a(m+n) (sifat distribusi). Karena m Z, n Z maka m+n Z (bilanagn bulat bersifat tertutup terhadappenjumlahan). Berdasarkan definisi keterbagian, dapat disimpulkan bahwa b+c=a(m+n) berarti a ׀ b ˄ a ׀ c a ׀) b+c).
Teorema 5.4
Jika a dan b merupakan bilangan bulat dan a ׀ b maka a ׀ bc untuk setiap c bilangan bulat. Secara ringkas dapat ditulis dengan simbol: a,b Z ˄ a ׀ b a׀ bc, c Z.
Bukti:
a,b Z, a ׀ b berarti ada m Z dan b=am. Jika kedua ruas dikalikan dengan sebarang bulat c, diperoleh:
b=am bc=am.c b.c=a(mc) (sifat asosiatif)
Karena m Z, c Z maka m.c Z (bilangan bulat bersifat tertutup terhadap perkalian). Berdasarkan definisi keterbagian, karena bc=a(mc) maka dapat disimpulkan bahwa a ׀ bc. Jadi, a ׀ b a ׀ bc c Z.
Teorema 5.5
Jika a,b dan c bilangan bulat, a ׀ b dan a ׀ c maka a ׀) bm+cn) untuk setiap m dan n bilangan bulat. Secara ringkas dapat ditulis dengan simbol : a ׀ b ˄ a ׀ c a ׀) bm+cn), a,b,c,m,n Z.
Bukti:
Cara I
Ambil a, b, dan c di Z.
a ׀ b ada k Z sedemikian sehingga b=ak (1)
a ׀ c t Z sedemikian sehingga c=at (2)
Perhatikan persamaan (1);
b=ak bm= (ak) m (kedua ruas dikalikan dengan n)
bm=a (km) ( sifat asosiatif perkalian)
Perhatikan persamaan (2);
C=at cn= (at) n (kedua ruas dikalikan dengan m)
cn=a (tn) (sifat asosiatif perkalian)
Apabila persamaan (1) dan (2) dijumlahkan diperoleh:
bm+cn= a(km)+ a(tn) bm + cn= a(km+tn) (sifat distributif)
Misalkan, km+tn=p, dimana p Z, maka bm+cn=ap.
Berdasarkan definisi keterbagian, dapat disimpulkan bahwa bm+cn=ap sehingga
a ׀) bm+cn). Jadi, a ׀ b ˄ a ׀ c a ׀) bm+cn), a,b,c,m,n Z.
Cara II
Berdasarkan Teorema 5.4, diperoleh;
a ׀ b a ׀ bm, m Z
a ׀ c a ׀ cn, n a ׀ bm ˄ a ׀ cn, berdasarkan Teorema 5.3 diperoleh
a ׀) bm+cn).
Jadi, a ׀ b ˄ a ׀ c a ׀) bm+cn), a,b,c,m,n Z.
Catatan:
Jika a=0 dan b 0 maka tidak ada bilangan bulat k sehingga b=ak.
Jika a=0 dan b=0 maka k tidak tunggal agar berlaku b=ak (0/0 biasa didefinisikan tidak tentu, karena bisa sama dengan berapa saja).
Apabila a, b, dan k bilangan bulat dengan a 0 dan b=ak maka k disebut hasil bagi (kosien) b oleh a, k juga disebut faktor dari b yang menjadi komplemen a atau dengan singkat dikatakan k ialah faktor b komplemen a.
Pernyataan a ׀ b sudah mempunyai makna a 0, meski pun a 0 tidak ditulis.
Beberapa sifat dasar adalah:
1 ׀ a, untuk setiap a karena ada (bahkan semua) a Z sedemikian sehingga a=1xa.
a ׀ a untuk setiap a Z dan a 0 karena ada 1 Z sedemikian sehingga a=ax1.
a ׀ 0 untuk setiap a Z dan a 0 karena ada 0 Z sedemikian sehingga 0=ax0.
Jika a ׀ b, a 0, maka kemungkinan hubungan antara a dan b adalah ab.
2.2 Hipotesis
Dari beberapa soal yang di tentukan oleh pembuat makalah didapat hipotesis bahwa:
Persentase kebenaran jawaban adalah 100%
Metode penyelesaian soal dengan menggunakan pohon faktor.
Penyelesaian soal dengan menggunakan pemisalan aljabar.
BAB III
TEKNIK PENGUMPULAN DATA
Penelitian ini bersifat deskriptif. Dimana dalam penelitian ini bertujuan untuk menggambarkan tingkat, jenis, dan faktor-faktor penyebab terjadi kesulitan-kesulitan dalam memahami materi keterbagian dalam bilangan bulat. Sehingga terjadi kesalahan pengerjaan dalam menyelesaikan soal keterbagian.
Subjek penelitian ini adalah para siswa-siswi tingkat SMP atau sekolah menengah pertama diberbagai sekolah yang terdiri dari 10 orang siswa. Intrumen penelitian ini yaitu soal test yang berupa essay test. Test essay ini digunakan untuk mengetahui tingkat dan jenis kesulitan siswa dalam memahami materi keterbagian dalam bilangan bulat. Soal test essay berjumlah 5 butir soal yang valid dan terdiri dari 2 soal tingkat pengerjaan yang mudah, 2 soal dengan tingkat pengerjaan dalam kategori sedang, dan 1 soal dengan tingkat pengerjaan dalam kategori sulit.
Teknik pengumpulan data yang digunakan pada penelitian ini yaitu dengan penyelenggaraan test atau penyebaran soal dalam bentuk essay. Soal test diberikan setelah mendapatkan materi yang akan diteliti. Sedangkan analisis data yang dilakukan meliputi, analisis jawaban dari soal test essay. Jawaban soal test essay dianalisis dengan langkah sebagai berikut :
Jawaban siswa dikoreksi dengan berpedoman pada kunci jawaban.
Diberlakukan kriteria penskoran yang sama untuk seluruh butir soal.
Persentase kesulitan dihitung berdasarkan jawaban yang sudar diberi skor.
Perhitungan persentase kesulitan dilakukan dengan cara membandingkan antara jumlah siswa yang menjawab soal.
Rumus yang digunakan :
P = sn x 100%
Keterangan :
P : persentase kemampuan siswa
S : jumlah siswa yang menjawab soal
N : jumlah keseluruhan siswa
Kriteria tingkat kesulitan siswa dapat dilihat pada tabel 1.1 Kriteria ini digunakan untuk menentukan tingkat kesulitan yang dialami oleh siswa dalam memahami indikator keterbagian dalam bilangan bulat.
Tabel 1.1 Kriteria tingkat kesulitan siswa
Persentase Kesulitan(%)
Kriteria
P : 0%-20%
Kategori kesulitan siswa sangat rendah
P : 21%-40%
Kategori kesulitan siswa rendah
P : 41%-60%
Kategori kesulitan siswa cukup rendah
P : 61%-80%
Kategori kesulitan siswa tinggi
P : 81%-100%
Kategori kesulitan siswa sangat tinggi
BAB VI
ANALISIS DATA
Soal terdiri dari 5 pertanyaan dengan tingkat kesulitan berbeda-beda.
Soal no 1 dan 2 termasuk kategori mudah.
Soal no 3 dan 4 termasuk kategori sedang.
Soal no 5 termasuk kategori sulit.
Nomor Soal
Persentase Benar
Persentase Salah
Persentase Tidak Menjawab
1
80%
10%
10%
2
90%
-
10%
3
60%
-
40%
4
70%
-
30%
5
10%
-
90%
Persentase total
62%
2%
36%
Berdasarkan hasil yang diperoleh bahwa
Persentase benar > persentasi tidak menjawab> persentasi salah.
Pada soal no 1 yang menjawab benar sebesar 80% sedangkan yang lain tidak menjawab dan menjawab dengan salah. Kesulitan yang dialami saat menentukan KPK yaitu dengan menggunakan pohon faktor ditemukan bahwa mereka kesulitan untuk menentukan angka-angka yang ingin dikalikan.
Pada soal no 2 yang menjawab benar sebesar 90% sedangkan yang lain tidak menjawab dan menjawab dengan salah. Kesulitan yang dialami saat memahami pertanyaan, pada soal tersebut siswa bebas untuk memasukkan nilai A.
Pada soal no 3 yang menjawab benar sebesar 60% sedangkan yang lain tidak menjawab dan menjawab dengan salah. Kesulitan yang dialami saat menentukan pemisalan dan menentukan KPK.
Pada soal no 4 yang menjawab benar sebesar 60% sedangkan yang lain tidak menjawab dan menjawab dengan salah. Kesulitan yang dialami saat memahami pertanyaan dan menentukan pemisalan.
Pada soal no 5 yang menjawab benar sebesar 10% sedangkan yang lain tidak menjawab dan menjawab dengan salah. Kesulitan yang dialami saat memahami pertanyaan.
Kesimpulan yang dapat diambil bahwa pemahaman siswa terhadap soal keterbagian dengan tingkat mudah dan sedang cukup baik. Namun, pada tingkat soal sulit banyak siswa yang mengalami kendala dan tidak dapat menjawab soal.Hal ini di karenakan kurangnya tingkat pemahaman siswa menegnai konsep keterbagian bilangan bulat.
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Dari hasil data di atas dapat diambil bahwa pemahaman siswa terhadap soal keterbagian dengan tingkat mudah dan sedang cukup baik. Namun, pada tingkat soal sulit banyak siswa yang mengalami kendala dan tidak dapat menjawab soal. Hal ini di karenakan kurangnya tingkat pemahaman siswa mengenai konsep keterbagian bilangan bulat.
Kesulitan rata-rata yang dialami para siswa dalam menyelesaikan soal keterbagian adalah saat memahami pertanyaan dan memasukkan ke dalam pemisalan.
5.2 Saran
Sebaiknya bagi para guru mampu menyampaikan soal keterbagian kepada siswa-siswi nya dalam menyampaikan konsep keterbagian bilangan bulat dan siswa seharusnya lebih banyak lagi berlatih dalam menjawab soal-soal yang dibagikan oleh guru.
DAFTAR PUSTAKA
SN, Fadhila. 2014. "Konsep Dasar Keterbagian" (http://fadhilasn.blogspot.co.id/2014/11/konsep-dasar-keterbagian.html) diakses pada 13 April 2018
Sukyati. (1997). Keterbagian Suatu Bilangan Oleh Bilangan Yang Kurang dari 10 (Paket Pembinaan Penataran). Yogyakarta : PPPG Matematika.
Supinah. (00). Bilangan Asli, Cacah dan Bulat (Paket Pembinaan Penataran). Yogyakarta : PPPG Matematika.
LAMPIRAN
Tentukan FPB dan KPK dari 54 dan 24?
Misalkan A adalahbilangan bulat positif berapa FPB dari A dan 2A?
Adi berkunjung ke perpustakaan 3 hari sekali, Rina 5 hari sekali dan Riko 6 hari sekali. Jika mereka terakhir kali bersama-sama berkunjung pada tanggal 12 April 2017. Maka mereka akan berkunjung bersama-sama lagi pada tanggal
Pak Guru telah membeli 60 buku pelajaran, 50 buku cerita dan 80 buku bergambar. Buku itu ingin dibuatkan ke rak buku. Pak guru nanti ingin meletakkan buku itu sama rata jumlahnya pada setiap rak.
Berapa rak buku yang dibutuhkan Pak Guru?
Berapa jumlah masing-masing buku dalam setiap rak?
Ada bilangan 3 digit dengan sifat berikut: jika dikurangi 7 selisihnya dapat dibagi 7, jika dibagi 8 selisihnya dapat dibagi 8, dan jika dibagi 9 selisihnya dapat dibagi 9. Bilangan apakah itu?
