MAT III ECUACIONES DIFERENCIALES.pdf

FACULTAD DE INGENIERÍA – FILIAL CHIMBOTE

Módulo de Aprendizae N! "#

ECUACIONE$ DIFERENCIALE$

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que i nterviene una función desconocida ( %aria&le %aria&le dependien'e ) y una o más de sus derivadas. Si dicha función tiene sólo una variable independiente, las derivadas serán ordinarias y la ecuación se denomina e(ua(ión di)eren(ial ordinaria. Por ejemplo

d 2 y dx

2

+3

dy dx

−

2 y = 0 es una ecuación diferencial ordinaria en la

que y = f ( x ) es una función diferenciable de !. si la función depende de dos o más variables, las derivadas serán parciales, denominándose la ecuación en este caso e(ua(ión en deri%ada* par(iale*.

"demás de por 'ipo (ordinarias o parciales), las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse por orden y por #rado. $l orden de una ecuación diferencial es el de la derivada más alta que fi#ure en la ecuación. Por ejemplo, la ecuación la ecuación diferencial escrita más arriba es de se#undo orden. $l +rado de una ecuación diferencial es la potencia más alta a la que está elevada la derivada de mayor orden (siempre que la ecuación est% escrita en forma polinómica en cuanto a las derivadas y a la variable dependiente). $stas clasificaciones resultan &tiles para decidir que procedimiento utili'ar para resolver una ecuación diferencial dada.

Apli(a(ión N, - lasificar las si#uientes ecuaciones diferenciales se#&n tipo, orden y #rado

E(ua(ión .a/ ( y´´´) + 4 y = 2

Tipo

Orden

Grado

2

.&/

d 2 s dt 2

= − 32

∂ 2u ∂ 2 u .(/ 2 + 2 = 0 ∂ x ∂ y .d/ y´− 2 y( y´)2 + x = 0 .e/ y´− 3 y = e x .)/ y´´− seny = 0 Una función y = f ( x) se denomina solución de una ecuación diferencial dada si la ecuación se satisface cuando y y sus derivadas se sustituyen por f ( x ) y sus derivadas, respectivamente. Por Por ejem ejempl plo, o, y

−

2e − 2 x

+

=

e

− 2 x

+

es solu soluci ción ón de la ecua ecuaci ción ón dife difere renc ncia iall y´ 2 y

=

que y´= 0 ya qu

− 2e − 2 x

y sustituyend sustituyendo o

2( e − 2 x ) = 0 .

Docente: Lic. Ivan Silvano Saavedra Ponte

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FACULTAD DE INGENIERÍA – FILIAL CHIMBOTE Podemos Podemos comprobar comprobar asimismo asimismo que y

=


2e − 2 x , y = 3e − 2 x e y =

=

ecuación diferencial. e hecho, las funciones y

1 2

e

− 2 x

son tambi%n soluciones de la misma

Ce− 2 x donde  es un n&mero real arbitrario, son todas soluciones. Una

solución solución de este tipo, que contiene una o más constantes constantes arbitrarias, arbitrarias, se denomina *olu(ión +eneral de una ecuación diferencial dada. *eamos

solución #eneral s (t ) = s´´(t ) = 32 tiene la solución

− 16t 2 +

C 1t + C 2 que contiene dos constantes arbitrarias. Por lo

com&n, una ecuación diferencial de orden n tiene tiene una solución #eneral en la que fi#uran n constantes constantes arbitrarias. Una *olu(ión par'i(ular de una ecuación ecuación diferencial diferencial es toda solución solución obtenida asi#nando asi#nando valores valores espec+ficos espec+ficos a las constantes que intervienen en la solución #eneral. $n ciertas ocasiones la ecuación diferencial posee otras soluciones, que no posible obtener a partir de la solución #eneral asi#nando valores a las constantes arbitrarias dichas soluciones se denomi denominan nan *olu(ione* *in+ulare* (se encontrará más información relativa a las soluciones sin#ulares en te!tos mas avan'ados de ecuaciones diferenciales). -a solución #eneral de una ecuación de de primer orden dada representa una familia de curvas (curvas solución), solución), una por cada valor asi#nado a la constante arbitraria. Por ejemplo, podemos verificar fácilmente que y = ecuación diferencial

C x

es la solución #eneral de la

xy´+ y = 0

$n la práctica, se obtienen por lo com&n soluciones particulares de una ecuación diferencial a partir de condiciones iniciales o de contorno impuestas a la función desconocida y a sus derivadas. Por ejemplo si en la fi#ura queremos obtener una solución particular cuya correspondiente curva pase por el punto ( / /) tendremos la condición inicial

f ( − 1) = 1

o sea

y 0 /

en

! 0 /

Sustituyendo esta condición en la solución #eneral se obtiene

y =

1=

C x C

−1 − 1 = C

Siendo la solución particular y = −

1

x e forma análo#a, en la ecuación diferencial de se#undo orden s´´(t ) = 32

on condiciones s´(0) = 64 y s (0) = 80 se obtiene inte#rando y sustituyendo s´(t ) = s (t ) =

∫ − 32dt = − 32t + 64

∫ (− 32t + 64)dt = − 16t

2

+ 64t + C 2

1ue queda como resultado la solución particular s(t ) = − 16t 2 + 64t + 80

Apli(a(ión N, "0 *erifique que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada en el intervalo ( − ∞ , ∞ 1 1 a/ dy = xy 2  y = x 4

dx

16

)

&/ y´´− 2 y´+ y = 0  y = xe x


Página 2



Apli(a(ión N, "1

− =

omprobar si las funciones dadas son solución o no de la ecuación diferencial y´´ y

a/ y = senx

&/ y = e x

(/ y = e 2 x

d/ y = 4e − x

e/ y = 0

0 )/ y = Ce x

Apli(a(ión N, "2 *erificar que y

=

Ce x es una familia uniparam%trica de soluciones de la ecuación de primer orden y´ = y . 2allar la

solución particular determinada por las condiciones iniciales y 0 3 cuando ! 0 4 y y 0 5 cuando ! 0 /.

Apli(a(ión N, "3

=

*erificar que y

3 Cx es la solución de la ecuación diferencial xy´− 3 y = 0 . 2allar la solución particular determinada

por las condiciones iniciales y 0 5 cuando ! 0  3

TEOREMA4 E5i*'en(ia de una 6ni(a *olu(ión Sea 6 una re#ión rectan#ular en el plano !y definida por a ≤ x ≤ b , c

≤

y ≤ d que contiene al punto ( x0 ; y0 ) en su

interior. Si f ( x : y ) y ∂ f / ∂ y son continuas en 6, entonces e!iste al#&n intervalo I 0 : ( x0

−

h; x0

+

h) , h 74, contenido

en [ a, b] , y una función &nica y(x), definida en I 0 , que es una solución del problema con valores iniciales

ECUACIONE$ DIFERENCIALE$ DE 7RIMER ORDEN 8ma#inemos por un momento que nos enfrentamos con una ecuación diferencial de primer orden dy/dx= f ( x, y ), y que además no podemos encontrar ni inventar un m%todo para resolverla anal+ticamente. $sto no es tan malo como se podr+a pensar, ya que la ecuación diferencial en s+ misma a veces puede 9decirnos: concretamente cómo se 9comportan: sus soluciones. 8niciaremos nuestro estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden con dos formas cualitativas de anali'ar una $. $stas dos formas nos permiten determinar, de una manera apro!imada, cómo es una curva solución sin resolver realmente la ecuación.

CAM7O DIRECCIONAL Si evaluamos sistemáticamente a f en una malla rectan#ular de puntos en el plano xy y se dibuja un elemento lineal en cada punto ( x, y ) de la malla con pendiente f ( x, y ), entonces al conjunto de todos estos elementos lineales se le llama (a8po Docente: Lic. Ivan Silvano Saavedra Ponte

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dire((ional o (a8po de pendien'e* de la ecuación diferencial dy/dx=f ( x, y ). *isualmente, la dirección del campo indica el aspecto o forma de una familia de curvas solución de la ecuación diferencial dada y, en consecuencia, se pueden ver a simple vista aspectos cualitativos de la solución, por ejemplo, re#iones en el plano en las que una solución presenta un comportamiento poco com&n. Una sola curva solución que pasa por un campo direccional debe se#uir el patrón de flujo del campo el elemento lineal es tan#ente a la curva cuando intercepta un punto de la malla. -a fi #ura muestra un campo direccional #enerado por computadora de la ecuación diferencial dy/dx=sen( x + y ) en una re#ión del plano xy . ;bserve cómo las tres curvas solución que se muestran a colores si#uen el flujo del campo.

Apli(a(ión N, "# Utilice un campo direccional para dibujar una curva solución apro!imada para el problema con valores iniciales

dy / dx = seny , y(0) =

−

3 2

.

$E7ARACI9N DE :ARIABLE$ He aquí un método que exige sólo una aplicación sencilla de los principios del cálculo diferencial e integral ;o*ep< La+ran+e .-=1# – ->-1/

omen'aremos esta parte de nuestra discusión de diversas t%cnicas especiales para resolver tipos espec+ficos de ecuaciones diferenciales. $mpe'aremos con procedimientos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden cuyas variables puedan separarse. icho m%todo se conoce bajo el nombre de *epara(ión de %aria&le*. Si la ecuación de primer orden

dy dx

= F ( x, y)

Puede escribirse con variables separadas en la forma diferencial

f ( y) dy = g ( x) dx Siendo f y g continuas, entonces la solución #eneral es

∫ f ( y)dy = ∫ g ( x)dx + C Docente: Lic. Ivan Silvano Saavedra Ponte

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Siendo  una constante arbitraria.

Apli(a(ión N, "=

+

6esuelva (1 x)dy

−

ydx = 0 .

Apli(a(ión N, "> dy

6esuelva el problema con valores iniciales

dx

=−

x y

, y ( 4)

= −3.

Apli(a(ión N, "? 2allar la solución #eneral de la ecuación ( x

2

+

4)

dy dx

= xy mediante separación de variables.

Apli(a(ión N, -" 6esolver la ecuación

x 2

ye dx +

2 y − 1

x

dy = 0 con la condición inicial y (0) = 1 .

Apli(a(ión N, -- $n el proceso de conservación de alimentos, el a'&car de ca
y(t ) de a'&car no alterado. Si la concentración es de

1 50

en t 0 4 y de

1 200

despu%s de 3 horas, obtener la concentración

de a'&car no alterado despu%s de = y /5 horas.

Apli(a(ión N, -0 2allar la ecuación de la curva que pasa por el punto (/, 3) y cuya pendiente es

y x 2

.

>o todas las ecuaciones diferenciales de primer orden son separables. Sin embar#o, al#unas que no lo son pueden hacerse

=

separables mediante un cambio de variables. $sto es válido para cuestiones diferenciales de la forma y´ f ( x, y ) , donde

f es una )un(ión
DEFINICI9N DE FUNCI9N HOMOGNEA

=

Se dice que la función dada por z f ( x, y ) es homo#%nea de #rado n si f (tx, ty )

=

t n f ( x, y)

Apli(a(ión N, -0 eterminar qu% funciones de las si#uientes son homo#%neas. Para las que sean, especificar su #rado.

.a/ f ( x, y ) = x 2 y − 4 x 3 + 3xy 2 .d/ f ( x, y) =

x + 3 y

2 xy


.&/ f ( x, y) = xy − 3 x 2 + 2 y .e/

.(/ f ( x, y) = x + ysen

y x

x

f ( x, y) = 3e y Página 5



Apli(a(ión N, -1 2allar la solución #eneral de la ecuación diferencial

dy dx

=

3 x + 2 y

.

x

TEOREMA4 .7a*o de una e(ua(ión di)eren(ial
son separables haciendo v

=

y x

. ?endremos

dy dx

= f ( x, y) puede ser transformada en una ecuación cuyas variables

y = vx

y

dy

= v + x

dx

dv dx

ii. Si tanto @ como > son homo#%neas del mismo #rado, la ecuación diferencial M ( x, y) dx + N ( x, y)dy = 0 puede transformarse en una ecuación cuyas variables son separables, haciendo

v =

y x

. Se tendrá y

=

vx

y

dy = vdx + xdv

Apli(a(ión N, -24 2allar la solución #eneral de la ecuación diferencial ( x 2

− y 2 )dx +

?al como se mencionó previamente, la solución #eneral U ( x, y )

=

3xydy = 0 . c representa una familia de curvas solución, una por

cada valor dado al parámetro . un problema que sur#e a menudo en electrostática, termodinámica e hidrodinámica es el si#uiente. ada una familia uniparam%trica de curvas f ( x, y, C )

=

0 , hallar una se#unda curva g ( x, y, K ) = 0 con la

propiedad de cada miembro de una familia de curvas sea orto#onal (perpendicular) a todos los miembros de la otra familia. os familias de este tipo se llaman 8u'ua8en'e or'o+onale* y cada familia se denomina 'rae('oria or'o+onal de la otra. Por ejemplo, la familia formada por todas las rectas que pasan por el ori#en es una trayectoria orto#onal de la familia de

(ir(un)eren(ia* (on(@n'ri(a* centradas en el ori#en. $n electrostática, las curvas pertenecientes a una de las familias de curvas orto#onales se denomina (ur%a* eCuipo'en(iale* y las otras reciben el nombre de lDnea* de )uerza  en termodinámica, una de las familias está constituida

por lDnea* i*o'er8a* y la otra por lDnea* de )luo de (alor  en hidrodinámica una familia está formada por (ur%a* de po'en(ial de %elo(idade* y la otra por lDnea* de )luo o lDnea* de (orrien'e .

Apli(a(ión N, -3 2allar la trayectoria orto#onal de la familia de hip%rbolas y

=

C x

C ≠ 0

6esumimos los pasos para encontrar una familia de curvas orto#onal a una familia dada

-

espejar la constante arbitraria en la ecuación de la familia dada de curvas.

2.

2allar la pendiente de la familia dada mediante derivación impl+cita y despejar y´

3.

-a pendiente de la familia orto#onal será

dy dx

=−

1 y´

2 -a solución #eneral de la ecuación diferencial del tercer apartado representa las trayectorias orto#onales a la familia dada

ECUACIONE$ EACTA$ Mucas cuestiones que cuando era !o"en me desconcerta#an a causa de la "aguedad de todo lo que se a#ía dico de ellas$ pueden tratarse actualmente mediante una técnica exacta$ que  ace posi#le el tipo de progreso que es corriente en la ciencia% Ber'rand Ru**ell .->=0 – -?="/ Docente: Lic. Ivan Silvano Saavedra Ponte

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$n el presente m%todo introduciremos una forma de solución de la ecuación diferencial de primer orden

M ( x, y)dx + N ( x, y) dy = 0 $n el caso especial en que dicha ecuación representa la diferencia e!acta de una función

Definición de Ecuación Diferencial Exacta La ecuación diferencial

M ( x, y) dx + N ( x, y)dy = 0

es exacta si existe una función U ( x, y) tal que la diferencial total de U está dada por: dU =

∂ U ∂ U dx + dy = M ( x, y ) dx + N ( x, y) dy . ∂ x ∂ y

TEOREMA: (Criterio de Exactitud) La ecuación diferencial: M ( x, y) dx + N ( x, y) dy = 0 es exacta si:

∂ M ∂ N = ∂ y ∂ x

Aplicación Nº 12: Comprobar si as siguientes ecuaciones diferenciales son exactas: (a) 3 x 2 dx − 2 ydy = 0

()

(c) ye x dx + ( 2 y + e x ) dy = 0

(d)

dy dx dy dx

= =

2 xy x

2

y

2

+ y 2

−

cos y

− xseny

Una vez comprobado que una ecuación diferencial es exacta, sabemos que existe una función U tal que:

dU = M ( x, y ) dx + N ( x, y ) dy = 0 Sabemos tambin que la solución general viene dada por: U ( x, y ) = C TEOREMA: (Criterio de Exactitud) Si la ecuación diferencial

M ( x, y ) dx + N ( x, y )dy = 0

es exacta, la solución general viene entonces dada por

U ( x, y ) = C

siendo U ( x , y ) =

∫ M ( x, y ) dx + f ( y )

! N ( x, y ) −

∂ [ M ( x, y)dx] = f ´( y) ∂ y ∫

"#dvirtase que ∫ M ( x, y )dx denota integración parcial con respecto a x$

Aplicación Nº 1!: %emostrar que la ecuación diferencial (2 xy − 3 x 2 ) dx + ( x 2

−

2 y ) dy = 0 es exacta ! &allar su solución general.

Aplicación Nº 1": %emostrar que la ecuación diferencial

y x


2

dx −

1

x

dy = 0 es exacta ! &allar su solución general.

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Aplicación Nº 1#: 'esolver la ecuación diferencial ye xy dx + (3 + xe xy )dy = 0 con la condición inicial !()* + ) .

$ACTORE% &NTE'RANTE% Aplicación Nº 1: btener la solución general de la ecuación diferencial 2 ydx + ( x + y) dy = 0 , ! - ) .

Aplicación Nº 1: btener la solución general de la ecuación diferencial ( y 2 − x)dx + 2 ydy = 0 .

Aplicación Nº 1*: btener la solución general de la ecuación ( x 2 y + y 2 ) dx − x 3 dy = 0 .

Aplicación Nº 1+: allar la solución general de la ecuación (3 y 4

+

4 xy )dx + (5 xy 3

+

2 x 2 ) dy = 0 .

Aplicación Nº 2,: allar la solución general de la ecuación ( x + x 2 + y 2 ) dy − ydx = 0 .

Aplicación Nº 21: 'epresentar el campo de fuerzas dado por: F ( x, y) =

2 y x 2

+ y 2

i−

y 2 − x x 2

+ y 2

j = 0 , mediante la obtención !

representación de la familia de curvas tangentes a /.

EC-AC&ONE% .&NEA.E% La preocupación por el &ombre ! por su destino debe constituir siempre el principal inters de todo empe0o teórico1, de forma que las creaciones de nuestra mente sean un beneficio ! no una maldición para la &umanidad. 2unca olvidis esto en medio de vuestros diagramas ! ecuaciones. Alert Ein/tein (1*+ 0 1+##)

Ecuacione/ diferenciale/ lineale/ de rier Orden Una ecuación de la forma A( x )

dy

+ B( x) y = C ( x)

dx

recibe le nombre de ecuación diferencial lineal de prier orden . La fora noral de esta ecuación es: dy dx

+ P ( x) y = Q( x)

TEOREMA: (%olución 3eneral de una ecuación lineal de prier orden): La solución general de la ecuación diferencial lineal de primer orden dy dx

3iene dada por:

ye ∫ P ( x ) dx

=

+ P ( x) y = Q( x)

∫

Q( x)e ∫ P ( x ) dx dx + C

Aplicación Nº 22: Docente: Lic. Ivan Silvano Saavedra Ponte

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allar la solución general de la ecuación lineal xy´− 2 y = x

2

Aplicación Nº 2!: btener la solución general de la ecuación lineal y´− y tan t = 1

Aplicación Nº 2": Un tanque contiene 4) galones de una solución compuesta por 5)6 de agua ! 7)6 de alco&ol. Se vierte en el tanque a un ritmo de 8gal9min una segunda solución que contiene 4)6 de agua ! 4)6 de alco&ol. #l mismo tiempo se vaca el tanque a una velocidad de 4gal9min. Suponiendo que la solución del tanque se agita constantemente, ;Cuánto alco&ol queda en el tanque despus de 7) min<

Aplicación Nº 2#: btener la solución general de la ecuación de =ernoulli y´+ xy = xy − 3e − x

2

Aplicación Nº 2: allar la solución general de la ecuación lineal ( x 4 + 2 y) dx − xdy = 0

Aplicación Nº 2: btener la solución general de la ecuación lineal ye x dx + ( 2 y + e x ) dy = 0

EC-AC&ONE% .&NEA.E% 4OMO'5NEA% CON COE$&C&ENTE% CON%TANTE% Una matemática verdaderamente realista ha de concebirse, al igual que la física, como una rama de la construcción teórica de un único mundo real. Weyl (1885 – 1955)

asta este momento &emos restringido nuestra discusión de los mtodos de solución a ecuaciones diferenciales de primer orden. >n la presente sección, as como en la próxima, discutiremos la solución de una clase de ecuaciones diferenciales de orden superior. Las ecuaciones lineales con coeficientes constantes.

Ecuación .ineal 4oo36nea/ con Coeficiente/ Con/tante/: La ecuación diferencial:

a n y n

+

an

1

−

y n

1

−

+

an

−

2

y n

−

2

+

... + a1 y ´

+

a0 y

=

F ( x)

'ecibe el nombre de ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes. Si /(x*+), la ecuación es &omognea? en caso contrario es no &omognea. #ntes de considerar la solución general de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes, introducimos el concepto de independencia lineal. Definición de independencia lineal Se dice que las funciones !7? !@? 1? !n son linealmente independientes si la Anica solución de la ecuación: Docente: Lic. Ivan Silvano Saavedra Ponte

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C 1 y1 + C 2 y2

+ ... +

C n yn

=

0

>s: ... = C n = 0 Un conBunto de funciones que no son linealmente independientes se denomina linealente dependiente . C 1

=

=

C 2

SegAn la definición dada, es fácil ver que dos funciones son linealmente dependientes si ! solo si una de la funciones es un mAltiplo constante de la otra. or eBemplo, y1 = x e y2 = 3 x son linealmente dependientes, !a que: C 1 x + C 2 (3 x) = 0

#dmite la solución no nula C 1

= −3

! C 2 = 1 .

uede obtenerse un criterio para comprobar rápidamente la independencia lineal de un conBunto de más de dos funciones, utilizando el DronsEiano de dic&o conBunto de funciones. Se define el DronsEiano D(!7? !@? 1? !n* de un conBunto de n funciones como el determinante:

w(y1 ; y 2 ; … ; y n ) =

y1

y2 …

yn

y´1

y´2 …

y´n







- 2) … y (nn -1) y1(n -1) y (n 2

Criterio del 7ron/8iano para la independencia lineal9 Sean !7? !@? 1? !n, soluciones de una ecuación lineal &omognea de orden n: 1. Si w(y1 ; y 2 ; … ; y n ) ≠ 0 , las funciones !7? !@? 1? !n son linealmente independientes. 2. Si w(y1 ; y 2 ; … ; y n ) = 0 , las funciones !7? !@? 1? !n son linealmente dependientes.

Aplicación Nº 2*: Comprobar si los siguientes conBuntos de soluciones son linealmente independientes: (a) {1; x; x 2 }

() {e x ; xe x }

(c) {1; x;2 x − 3}

Teorea: %olución 3eneral de una ecuación lineal oo36nea Si !7? !@? 1? !n son soluciones independientes de la ecuación diferencial: n n− 1 n− 2 ´ an y + an− 1 y + an− 2 y + ... + a1 y + a0 y = 0 >ntonces la solución general está dada por: y = C 1 y1 + C 2 y2 + ... + C n yn 2 ;...; C n constantes arbitrarias. Siendo C 1 ; C

Aplicación Nº 2+:

btener la solución general de la ecuación diferencial y´´− 4 y = 0 .

%olucione/ 3enerale/ de y´´+ ay´+ by = 0

Ca/o & (Ra;ce/ reale/ diferente/): Si m1 solución general es entonces:

y = C 1e Ca/o && (Ra;ce/ reale/ i3uale/): Si m1 solución general es:

y = C 1e

m1 x

+

m1 x

=

C 2 xe

≠

+

m2 son races diferentes de la ecuación caracterstica, la

C 2 e

m 2 x

m 2 son races iguales de la ecuación caracterstica, entonces la m1 x

=

(C 1 + C 2 x)e

Ca/o &&& (Ra;ce/ cople
=

α

−

m1 x

β i son races compleBas de la ecuación

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y

=


C 1eα x cos( β x) + C 2eα x sen( β x)

Aplicación Nº !,: btener la solución general de la ecuación diferencial y´´+ 6 y´+ 12 y = 0 .

Aplicación Nº !1: 'esolver la ecuación diferencial y´´+ 4 y´+ 4 y = 0 , con las condiciones iniciales !()*+@ e !F()*+7.

Aplicación Nº !2: 'esolver la ecuación diferencial y (5)

−

2 y ( 4 )

+

5 y´´´− 8 y´´+ 4 y´= 0 . He dado esta ecuación sólo como solución particular de la fórmula que contiene en general todas las formas curvas que puede adoptar una cuerda en movimiento. Leonhard Euler (1707 – 1783)

Ecuacione/ .ineale/ no 4oo36nea/ con coeficiente/ con/tante/: >l primer paso para obtener la solución general de la ecuación no &omognea: an y

n

+

an− 1 y

n− 1

+

an− 2 y

n− 2

+ ... +

a1 y

´

+

a0 y = F ( x)

>s &allar la solución general de la correspondiente ecuación &omognea (en la que F ( x) = 0 *. %enotaremos dic&a solución por: yh = C 1 y1 + C 2 y2 + ... + C n yn

# continuación intentamos &allar una solución particular, ! p, de la ecuación no &omognea. Si logramos obtener !p, se puede concluir que la solución general de la ecuación no &omognea es: y = yh

+

y p

Teorea: %olución 3eneral de una ecuación lineal no oo36nea: Sea

an y n

+

an− 1 y n− 1 + an− 2 y n− 2

+ ... +

a1 y´ + a0 y = F ( x)

Una ecuación diferencial lineal no &omognea con coeficientes constantes: a n? anG7? 1? a7? a). Si !p es una solución particular de esta ecuación no &omognea ! ! & la solución general de la correspondiente ecuación &omognea, entonces: y = yh

+

y p

>s la /olución 3eneral de la ecuación no &omognea. Docente: Lic. Ivan Silvano Saavedra Ponte

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Aplicación Nº !!: btener la solución general de la ecuación no &omognea y´´− 2 y´− 3 y = 2 senx .

M6todo de lo/ coeficiente/ indeterinado/: an y

n

+

n n an− 1 y − 1 + an− 2 y − 2

+ ... +

a1 y´ + a0 y = F ( x)

(7*. btener !&, solución general de la ecuación &omognea que resulta de &acer F ( x) = 0 . (@*. Utilizar /(x* para determinar la forma de la solución particular !p. 3ase la tabla adBunta. T6rino en $(x)  Cx

T6rino/ corre/pondiente/ en = p  − 1  A0 + A1 x + ... + A − 1 x + A x

Ce mx C cos β x + Csenβ x

Aemx A cos β x + Bsenβ x

(H*. Si un trmino de ! p coincide con un trmino de ! &, multiplicar el trmino en !p por la mnima potencia de x que evita la duplicación. (8*. Sustituir !p ! sus derivadas en la ecuación no &omognea ! despeBar los coeficientes. (4*. /ormar la solución general: y = yh + y p

Aplicación Nº !": %eterminar una elección apropiada de !p en los siguientes casos: $(x)

=

(a*

x 2

C 1 + C 2 x

(b*

4 sen3 x

(c*

e 2 x

C 1e x cos 3 x + C 1e x

+

+ C 2 e x sen3 x

C 2 e 2 x

+ C 3 xe2 x

Aplicación Nº !#: btener la solución general de y´´− 2 y´= x + 2e x

Aplicación Nº !: allar la solución general de y´´´+ 4 y´= 5 xe x

OERADORE% D&$ERENC&A.E% Supongamos que % denota la diferenciación con respecto a x, %@ la segunda diferenciación con respecto a x ! as sucesivamente, es decir, para el entero E positivo. ! y = 

d  y dx 

Luego la expresión: .(D) > a,Dn ? a1Dn@1 ?? an@1D ? an, se llama >'#%' %I/>'>2CI#L %> '%>2 JnK? ! es tal que, al multiplicarse a cualquier función J!K produce el resultado siguiente: {L(D)}(y) = a 0 D n y + a 1D n -1 y +

…+

a n -1Dy + a n y

%onde los coeficientes: a,B a1B B a n pueden ser funciones de x ó constantes. bservación: %os operadores L7 ! L@ son iguales si ! solo si producen el mismo resultado sobre alguna función. >s decir: "1 Docente: Lic. Ivan Silvano Saavedra Ponte

= "2 ⇔

"1 ( y ) = "2 ( y) Página 12



bservación: (L7 . L@ *! + L7 ( L@ (!**, ! si los operadores L7 ! L@ tiene coeficientes constantes se cumple. "1. "2

= "2 ."1

Aplicación Nº !: 'esolver: ( ! 4 − 8 ! 2 + 16)( y) = xe 2 x

Aplicación Nº !*: 'esolver: !( ! − 1) 3 ( y) = ( x 2 + 2 x)e x

Aplicación Nº !+: 'esolver: ( ! − 1) 3 ( ! − 2) 3 y = x 2 e 3 x

Aplicación Nº ",: 'esolver: ( ! 3 − 4 ! 2 + 3 !)( y) = x 2

Aplicación Nº "1: 'esolver: ( ! 2 − 1)( y) = x 2

Aplicación Nº "2: 'esolver: ! 4 ( ! 2 − 1)( y) = x 2

Aplicación Nº "!: 'esolver: ( ! 4 + 10 ! 2 + )( y) = cos( 4 x + 6) + sen( 2 x + 3)

Aplicación Nº "": 'esolver: ( ! 4 + 3 ! 3 − 15 ! 2 − 1 ! + 30)( y) = e 4 x

Aplicación Nº "#: 'esolver: ( ! 8 + 3 ! 6 + 138 ! 4 + 126 ! 2 + 00)( y ) = sen(4 x + 1) + cos( 6 x + 2)

Aplicación Nº ": 'esolver: ( ! 2 + 3 ! + 2)( y) = x cos( 2 x)

Aplicación Nº ": 'esolver: ( ! 4 + 8 ! 2 + )( y) = cos(3 x) + e 2 x


Página 13



Aplicación Nº "*: 'esolver: ( ! 2 − 4 ! + 3)( y) = 100 x 4 e 3 x

+

340e x cos( 2 x)

EC-AC&ONE% D&$ERENC&A.E% DE COE$&C&ENTE% AR&A.E% Aplicación Nº "+: 'esolver: (cos x − senx) y´´+ 2 senxy´− ( senx + cos x) y = e 3 x (cos x − senx) 2 , y1

=

x

e , y2

= senx

Aplicación Nº #,: 2

'esolver: xy´´− y´− 4 x 3 y = 16 x 3 e x , y1

=

2

e x , y2

= e− x

2

Aplicación Nº #1: 'esolver: x

d 2 y dx

2

+

2.

dy dx

+

xy = 0

7RACTICA DIRIGICA N, "# 1.

lasificar las si#uientes ecuaciones diferenciales se#&n tipo, orden y #rado

E(ua(ión .a/

dy

+ 3 xy =

Tipo

Orden

Grado

x2

dx .&/ y´´+ 2 y´+ y = 1 2

.(/ .d/

d x 2

dt

d 2u 2

dt

dx

+

2

+

du

dt

dt

=

−

4 x = e t s!c t

.e/ y 4 + 3( y´)2 − 4 y = 0 .)/ x 2 y´´+ 3 xy´= 0 .+/ ( y´´)2 + 3 y´− 4 y = 0 2 ∂ u 2 ∂ u .

Página 14

FACULTAD DE INGENIERÍA – FILIAL CHIMBOTE 2.


*erificar que la correspondiente función representa una solución de la ecuación diferencial dada

dy

y = ce ;

b.

x 2 + y 2 = Cy; y´=

c.

y = C 1 cos x + C 2 senx; y´´+ y = 0

4x

dx

=

d.

a.

4y

y = C 1e 2 xy

x 2 − y 2

− x

cos x + C 2 e − x senx; y´´+ + 2 y´+ 2 y = 0

e.

∂ u ∂ 2u = y = e senbx; b ∂ t ∂ x 2

f.

∂ 2 u ∂ 2u = 0 ; 2 + u= 2 2 ∂ y 2 x + y ∂ x

− t

2

y

3. omprobar si las funciones dadas a continuación son solución de la ecuación diferencial

4.

a.

y = 3 cos x

d.

y = 5 "n x

b.

y = 3 cos 2 x

e.

y = C 1e

c.

y = e

2 x

+

C 2 e

y ( 4) − 16 y = 0

− 2x

+

C 3 sen2 x + C 4 cos 2 x

− 2x

$n los si#uientes ejercicios, reprodu'ca el campo direccional dado #enerado por computadora. espu%s dibuje a mano, una curva solución apro!imada que pase por cada uno de los puntos indicados. Utilice lápices de colores diferentes para cada curva solución.

a.

#.

c.

dy dx

dy dx

dy dx

= x 2 − y 2 , i) y(− 2) = 1 , ii) y(3) =

=

e

− 0.01xy 2

= 1 −

−

, i) y ( 6)

=

0 iii) y(0) = 2 iv) y (0) = 0

0 , ii) y(0) = 1 iii) y (0) =

−4

iv) y (8)

xy , i) y(0) = 0 , ii) y (− 1) = 0 iii) y ( 2) = 2 iv) y(0) =


= −4

−4

Página 15


dy

$.

5.

dx

( senx) cos y , i) y(0) = 1 , ii) y(1) = 0 iii) y(3) = 3 iv) y(0) =

−

5 2

$n los si#uientes ejercicios, resolver la ecuación dada por separación de variables

dy

a.

dx dy

b.

dx

= =

x

xy´ = y

d.

y x 2 + 2

3 y

h.

yy ´ = senx

e.

1 − 4 x 2 y´= 1

f.

2

yy´− e x

#.

(2 + x ) y´= 2 y

c.

6.

=


=

0, y(0) = 4

x +

y y´= 0, y (1) = 4

i.

y ( x + 1) + y´= 0, y ( − 2) = 1

j.

xyy´− "n x = 0, y (1) = 0

A.

(1 + x 2 ) y´− (1 + y 2 ) = 0, y (0) =

3

$n los si#uientes ejercicios, determinar si las funciones dadas son o no homo#%neas y, en caso afirmativo, indica su #rado a.

f ( x, y) = x 7.

−

4 xy 2

+

y

3

xy

f ( x, y) = x

2

c.

f ( x, y) = 2 "n xy

+ y 2

6esolver la ecuación diferencial homo#%nea propuesta

a.

b.

c.

3

b.

y´= y´=

y´=

x + y

2 x

d.

y´=

e.

y´=

2 x + y y

x

2

+ y 2

xdy − ( 2 xe

− y / x

+ y)dx =

0,

2 xy xy x

2

− y 2

x − y

f.

x + y

xdy − (3 x + 2 y)dx = 0, y(1) = 2


#.

Página 16

FACULTAD DE INGENIERÍA – FILIAL CHIMBOTE 8.


6esolver las si#uientes ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

a.

b.

c.

+   1   y = dx  x  dy  2  +   y = dx  x  dy

dy dx

=

e

x

dy

3x + 1

e.

y´− y = cos x, y(0) =

f.

y´+ 2 xy = 2 x, y(0) =

− y, y(0) =

3

dx

#.

2

2 5

1 2

−1 (3 y + sen2 x)dx − dy = 0 &( y − 1) senx%dx − dy = 0

$n los si#uientes ejercicios, comprobar si las ecuaciones diferenciales dadas son e!actas y resolver las que lo sean a.

(2 x − 3 y )dx + (2 y − 3 x)dy = 0

b.

ye x dx + e x dy = 0, y(0) = 5

c.

(3 y 2 + 10 xy 2 ) dx + (6 xy − 2 + 10 x 2 y ) dy = 0 2 cos( 2 x − y )dx − cos( 2 x − y )dy = 0, y (π / 4) = 0 e.

2

( 4 x 3 − 6 xy 2 ) dx + ( 4 y 3 − 6 xy) dy = 0

2

f.

2 y 2 e xy dx + 2 xye xy dy = 0

#.

− y dx + x dy = x + y 2 x 2 + y 2 2

&. xe − ( x

d.

10.

2 y = senx, y(π / 2) =

d.

h. 9.

+

3x + 4

2

+ y 2 ) 2

i.

 y     x − y  

dx + ye

0, y (1) = 1

− ( x 2 + y 2 )

dy = 0

2

 x    dx +  x − y  

dy = 0

allar la solución general de la correspondiente ecuación diferencial lineal: (a* y´´− y = 0

(b* y´´+ 2 y´= 0

(c* y´´− y´− 6 y = 0

(d* y´´+ 6 y´+ 5 y = 0

(e* 2 y´´+ 3 y´− 2 y = 0

(f* 16 y´´− 8 y´+ y = 0

(g*  y´´− 12 y´+ 4 y = 0

(&* y´´+ 4 y = 0

(i* y´´−  y = 0

(B* y´´− 2 y´= 0

(E* y´´− 2 y´+ 4 y = 0

(l* y´´− 4 y´+ 21y = 0

7). 'esolver: (a* y´´− 3 y´+ 2 y = 2 x

(b* y´´− 2 y´− 3 y = x 2 − 1

(c* y´´+ y = x 3 , !()*+7, !F()*+)

(d* y´´+ 4 y = 4 , !()*+7, !F()*+

(e* y´´+ 2 y´= 2e x

(f* y´´−  y = 5e 3 x

(g* y´´− 10 y´+ 25 y = 5 + 6e x

(&* 16 y´´− 8 y´+ y = 4( x + e x )

(i* y´´+ y´= 2 senx , !()*+G7, !F)*+GH

(B* y´´+ y´− 2 y = 3 cos 2 x , !()*+G7, !F()*+@

(E* y´´+  y = sen3 x

(l* y´´+ 4 y´+ 5 y = senx + cos x

11. 'esuelva la ecuación y´´+ y = 0 2

12. 'esuelva la ecuación

d y dx

2

− 3 dy + dx

2y = 0

13. 'esuelva la ecuación y´´− 4 y´+ 4 y = 0 14. 'esuelva la ecuación y´´+ y´+ y = 0 Docente: Lic. Ivan Silvano Saavedra Ponte

Página 17



15. 'esuelva la ecuación y´´´− 2 y´´− y´+ 2 y = 0 16. 'esuelva la ecuación y´´´+ 3 y´´+ 3 y´+ y = 0 1'. 'esuelva la ecuación y´´− y = 0 2 18. 'esuelva la ecuación y´´+ y´− 2 y = x 3 x 1. 'esuelva la ecuación y´´+ 4 y = e

20. 'esuelva la ecuación y´´+ y´− 2 y = senx x 21. 'esuelva la ecuación y´´− 4 y = xe

+

cos 2 x

22. 'esuelva la ecuación y´´+ y = senx .

@H. 'esuelva la ecuación diferencial o el problema inicial, usando los mtodos estudiados en clase:

a*

d 2 y dx 2 2

b* c* d* e*

d y dx

2

d 2 y dx

2

d 2 y dx

2

d 2 y dx 2

−3

dy

−

dy

4

dx dx

+ y= +

dy

+

2

dx

+

2y = 0

+

4y = 0

0

+ y=

dy

+

dx

0

2y = 0

f*

y´´´− 2 y´´− y´+ 2 y = 0

g*

y´´´+ 3 y´´− 3 y´+ y = 0

&*

y´´´− y´´+ y´− y = 0

i*

y´´+ 3 y´+ 2 y = x

B*

y´´+  y = e 3

E*

y´´− 2 y´= sen4 x

l*

y´´+ 6 y´+  y = 1 + x

2

x

m* y´´− 4 y´+ 5 y = e − x 2

n* o* p*

d y dx

2

d 2 y dx

2

d 4 y dx

4

+ 3 dy = dx

−

2

−3

dy

− 15 y = − (15 x 2 +

dx

d 2 y dx

3

2

−

4 y =

− 4 x 5 +

4 x + 13)

30 x

q*

y´´+ 3 y´= e x

r*

y´´− 4 y´= xe 4

s*

y´´+ y = senx − cos x

t*

y´´− 4 y´+ 8 y = e 2 x ( sen2 x − cos 2 x)

x


Página 18



@8. Se define una curva con la condición de que cada uno de los puntos (x, !* su pendiente d!9dx es igual al doble de la suma de las coordenadas del punto. >xprese la condición mediante una ecuación diferencial. @4. Una curva esta definida por la condición de que la suma de los segmentos x e ! interceptados por sus tangentes en los eBes coordenados es siempre igual a @. >xpresar la condición por medio de una ecuación diferencial. @. Cien gramos de azAcar de ca0a que están en agua se convierten en dextrosa a una velocidad que es proporcional a la cantidad que aAn no se &a convertido. állese la ecuación diferencial que exprese la velocidad de conversión despus de t minutos. @M. Una partcula de masa m se mueve a lo largo de una lnea recta (eBe x* estando suBeta a 7* una fuerza proporcional a su desplazamiento x desde un punto fiBo  en su tra!ectoria ! dirigida &acia  ! @* una fuerza resistente proporcional a su velocidad. >xpresar la fuerza total como una ecuación diferencial. 28. allar una solución de la ecuación diferencial y´=

1 2

( y 2 − 1) que satisface la condición inicial y(0) = 2 .

−1 2. Nuestre que y´= x − x es una solución de la ecuación diferencial xy´+ y = 2 x .

dy

30. 'esuelva la ecuación diferencial

dx

=

x 2 y 2

, ! encuentre la solución de esta ecuación que satisface la condición inicial

!()* + @. 31. 'esuelva la ecuación diferencial

dy dx

=

6 x 2 2 y + cos y

.

2 32. 'esuelva la ecuación y´= x y .

HH. Un recipiente contiene @)Eg de sal disuelta en 4)))L de agua. Salmuera que contiene ),)HEg de sal por litro de agua entra al recipiente con una relación de @4L9min. La solución se mantiene mezclada por completo ! sale del recipiente con la misma proporción. ;Cuánta sal queda en el recipiente despus de media &ora< 34. 'esuelva la ecuación diferencial

dy dx

+ 3 x 2 y =

6x2 .

2 35. >ncuentre la solución del problema de valor inicial: x y´+ xy = 1 , x - ) !(7* + @.

H. 'esolver las siguientes ecuaciones diferenciales: 7. x 3 dx + ( y + 1) 2 dy = 0 @. x 2 ( y + 1) dx + y 2 ( x − 1)dy = 0 H. 8.

4 xdy − ydx = x 2 dy dy dx

=

4 y x( y − 3)

3 2 5. allar la solución particular de (1 + x )dy − x ydx = 0 que satisfaga las condiciones iniciales x + 7, ! + @.

.

( x 3 + y 3 )dx − 3 xy 2 dy = 0

M. xdy − ydx − x 2 − y 2 dx = 0 O.

(2 x + 3 y )dx + ( y − x )dy = 0


Página 19


5.

(1 + 2e x / y )dx + 2e x / y (1 −

x y


)dy = 0

7). ( x + y )dx + (3 x + 3 y − 4)dy = 0 77. (2 x − 5 y + 3)dx − (2 x + 4 y − 6)dy = 0 7@. ( x − y − 1)dx + (4 y + x − 1)dy = 0 7H. (4 x 3 y 3 − 2 xy )dx + (3 x 4 y 2 − x 2 )dy = 0 78. (3e 3 x y − 2 x)dx + e 3 x dy = 0 74. (cos y + y cos x)dx + ( senx − xseny)dy = 0 2

2

7. 2 x( ye x − 1) dx + e x dy = 0 7M. (6 x 5 y 3 + 4 x 3 y 5 )dx + (3 x 6 y 2 7O.

+ 5 x 4 y 4 )dy = (2 x 3 + 3 y )dx + (3 x + y − 1) dy = 0 2

0

2

75. ( y 2 e xy + 4 x 3 )dx + (2 xye xy − 3 y 2 )dy = 0 @). ( x 2

+ y 2 + x )dx +

@7. ( 2 xy 4 e y @@.

dy dx

@H. x

+

dy dx

= y + x 3 + 3 x 2 −

25. 'esolver

@M.

dy dx

dy dx

−

2 xy 3 + y) dx + ( x 2 y 4 e y − x 2 y 2 − 3 x) dy = 0

2 xy = 4 x

@8. ( x − 2)

@. x 3

+

xydy = 0

+

dy dx dy dx

= y +

2x

2( x − 2) 3

+ yctgx =

5e cos x . allar la solución particular, dadas las condiciones iniciales: x =

1 2

π , !+G8

(2 − 3 x 3 ) y = x 3

2 yctg 2 x = 1 − 2 xctg 2 x − 2 cos ec2 x

@O. y "n ydx + ( x − "n y)dy = 0 @5. Si la población de un pas se duplica en 4) a0os, ;en cuántos a0os será el triple suponiendo que la velocidad de aumento sea proporcional al nAmero de &abitantes< H). SegAn la le! de 2eDton de enfriamiento, la velocidad a que se enfra una sustancia al aire libre es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la sustancia ! la del aire. Si la temperatura del aire es H)P ! la sustancia se enfra de 7)) a M)P en 74 minutos, ;Cuándo será 8)P la temperatura de la sustancia< 31. allar el tiempo que se necesita para vaciar un tanque de radio Odm ! altura 7)dm a travs de un orificio redondo de radio 797@ dm situado en el fondo del tanque, sabiendo que por un orificio de ese tipo sale agua a una velocidad aproximada v+8,OQ& dm9seg, donde & es la altura del agua en el tanque. 32. Se está remolcando una barca a una velocidad de 7@millas por &ora. >n el momento (t+)* que se suelta la cuerda de remolque, un &ombre, que está en la barca, comienza a remar siguiendo la dirección del movimiento ! eBerciendo una


Página 20



fuerza de @)lb. Si el peso conBunto del &ombre ! la barca es de 8O)lb ! la resistencia (lb* es igual a 7,M4v, donde v está medido en pies9segundo, &allar la velocidad de la barca despus de H) segundos. 33. Un paracaidista está ca!endo con una velocidad de 7M pies9segundo cuando se abre su paracadas. Si la resistencia del aire es Rv@9@4lb, donde R es el peso total del &ombre ! del paracadas, &allar su velocidad como una función del tiempo t despus de abierto el paracadas. 2

H8. H4. H.

d y dx 2 d 3 y dx3 d 3 y dx

3

+ − +

dy dx

−

d 2 y dx 2

2

6y = 0

− 12

d 2 y dx

2

dy

−5

dx

=

0

−

6y = 0

dy dx

3'. %emostrar en los siguientes eBercicios que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones indicadas: −x − 2 senx) ? y´´+ 2 y´+ 2 y = 0 a) y = e (e cos x 2x #) y = e (c1 cos 2 x − c2 sen2 x) ? y´´− 4 y´+ 8 y = 0

x + senx) c) y = x( senx − cos x) ? y´´+ y = 2(cos − 3x $) y = (c1 + c2 x)e ? y´´+ 6 y´+  y = 0 2 !) y = x "n x ? xy´´´= 2 2 () x = y

+

y ? y´ y´´´= 3 y´´2

2 ) x + c = e − y ? y´´= y´ 3 2 *) x = y + "n y ? yy´´+ y´ − y´ = 0

i)

y = c1 + c2

∫

+

!t

1

t

dt ? xy´´+ (1 − x) y´= 0

HO. 'esuelva la ecuación diferencial o el problema inicial, usando el mtodo de coeficientes indeterminados a*

d 3 y dx

3

2

b*

d y dx 2

= xe x +

ay = 0

d*

 y´   x   xy´( yy´´− ( y´)2 − y( y´)2 ) = x 4 y 3

e*

y y´´´− 3 yy´ y´´+ 2( y´)

c* xy´´= y´"n

f* )

2

3

d 2 y 2

dt

d 2 y dx

2

=

+

y x

( yy´´− ( y´) ) = 2

y 3 x 2

2

t

= xe− x ? !()* + 7, !F()* + )


Página 21


*)

d 4 y dx

4

=

cos 2 x ? !()* + 79H@ , !F()* + )? !FF()* + 79O? !FFF()* + )

=

xsenx ? !()* + ) , !F()* + )

i)

d 3 y dx3

B*

y´´= 2 senx cos x

2


− sen3 x

3. 'esuelva y´+ 2 xy = 1 40. 'esuelva la ecuación y´´+ y´− 6 y = 0 41. 'esuelva 3

d 2 y dx

2

+

dy dx

− y=

0

42. 'esuelva la ecuación 4 y´´+ 12 y´+  y = 0 43. 'esuelva la ecuación y´´− 6 y´+ 13 y = 0 44. 'esuelva el problema inicial y´´+ y´− 6 y = 0 , !()* + 7 !F()* + ) 45. 'esuelva el problema inicial y´´+ y = 0 , !()* + @ !F()* + H 46. 'esuelva el problema de contorno y´´+ 2 y´+ y = 0 , !()* + 7 !(7* + H. 4'. 'esuelva la ecuación diferencial:

a*

y´´− 6 y´+ 8 y = 0

d*

2 y´´− y´− y = 0

b*

y´´− 4 y´+ 8 y = 0

e*

y´´− 2 y´+ y = 0

c*

y´´+ 8 y´+ 41 y = 0

8O. 'esuelva el problema inicial: a) 2 y´´+ 5 y´+ 3 y = 0 , !()* + H, !F()* + G 8

$) y´´+ 4 y´+ 6 y = 0 , !()* + @, !F()* + 8

#) y´´− 4 y = 0 , !()* + 7, !F()* + )

!) y´´− 2 y´− 3 y = 0 , !(7* + H, !F(7* + 7

c) y´´− 2 y´+ 2 y = 0 , !()* + 7, !F()* + @

85. >ncuentre la solución particular de: a.

( ! + 2) 2 ( y) = 12 xe − 2 x

e.

( ! 2 − ! − 2)( y) = 18 xe− x

b.

( ! − 2) 3 ( y) = 6 xe2 x

f.

( ! − 2) 2 ( y) = 20 − 3 xe 2 x

c.

( ! + 3) 3 ( y) = 15 x 2 e − 3 x

g.

( ! + 1) 2 ( y) = e − x

d. ! 2 ( ! − 2) 2 ( y) = 16e 2 x

&.

( ! 2

i.

− ( ! 2 −

+

3x

4)( y) = 16 xe − 2 x

+ 8 x +

4

4 ! + 4)( y) = 6 x 2 e 2 x

50. De/inte3ración radiactia:

Suponer que 7)gramos de isótopo u  @H5 se liberaron en el incidente nuclear de C&ernob!l. ;Cuánto tiempo tomará a los 7) gramos disminuir a 7 gramo< 51. Creciiento de polación:


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Suponer que una población experimental de moscas se incremente a la le! de crecimiento exponencial. aban 7)) moscas antes del segundo da del experimento ! H)) moscas despus del cuarto da. ;Cuántas moscas, aproximadamente, &aba en la población original<

#29 enta/ decreciente/:

Cuatro meses despus de que se detuviera la publicidad, una compa0a fabricante notifica que sus ventas &an cado de 7)) ))) unidades por mes a O) ))). Si las ventas siguen un patrón de decrecimiento exponencial, ;Tu unidades &abrá despus de los siguientes dos meses< 53. .e= de enfriaiento de NeFton:

Sea ! la temperatura (en /P* de un obBeto en una &abitación cu!a temperatura se conserva constante a )P. Si la temperatura del obBeto baBa de 7))P a 5)P en 7) minutos, ;Cuánto tiempo se requerirá para baBar la temperatura a O)P< 54. -n prolea de eGcla:

Un tanque contiene 4) galones de una solución compuesta por 5)6 agua ! 7)6 alco&ol. Una segunda disolución que contiene 4)6 agua ! 4)6 alco&ol, se agrega al tanque a una tasa de 8 galones por minuto. Conforme se a0ade la segunda, el tanque empieza a drenar a una tasa de 4 galones por minuto. Si se supone que la disolución en el tanque se agita constantemente, ;Cuánto alco&ol permanecerá en el tanque despus de 7) minutos< 55. -n o
Un obBeto de masa m cae desde un &elicóptero. >ncontrar su velocidad en función del tiempo t, si se supone que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del obBeto. 56. -n prolea de circuito/ el6ctrico/ :

>ncontrar la corriente I como función del tiempo t (en segundos*, dado que I satisface la ecuación diferencial

 dI  + #I = sen2t ,   dt 

"

4M. SegAn la Le! de 2eDton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la diferencia en la temperatura  del cuerpo ! la temperatura m del aire. Si la temperatura del aire es de @)P C ! el cuerpo se enfra en @) minutos desde 7))PC a )P C ;>n cuánto tiempo su temperatura descenderá &asta H)P C< 4O. Una cierta sustancia radiactiva tiene una vida de HO &oras. >ncontrar que tanto tiempo toma el 5)6 de la radiactividad para dispersarse. 5. =aBo ciertas condiciones la cantidad constante T caloras9segundo de calor que pasa a travs de una pared está dada

por: Q =

− A

dt dx

, donde E es la conductividad del material, #(cm@* es la superficie de una cara de la pared

perpendicular a la dirección del fluBo !  es la temperatura a x(cm* de esa cara, de forma que  disminu!e cuando x aumenta. allar el nAmero de caloras por &ora del calor que pasa a travs de 7m@ de la pared de una &abitación frigorfica de 7@4cm de espesor ! E+),))@4, si la temperatura de la cara interior es de G4PC ! la de la cara exterior es de M4PC. 60. allar el tiempo que se necesita para vaciar un tanque cilndrico de radio Odm ! altura 7)dm a travs de un orificio Docente: Lic. Ivan Silvano Saavedra Ponte

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redondo de radio 797@dm situado en el fondo del tanque, sabiendo que por el orificio de ese tipo sale agua a una velocidad aproximada v+8,OQ&dm9seg, donde & es la altura del agua en el tanque. 7. Un barco que pesa 8O))) toneladas parte del reposo baBo el impulso de una fuerza propulsora constante de @)))))lb, a) allar su velocidad como una función del tiempo t, sabiendo que la resistencia en libras es 7))))v, estando v+velocidad medida en pies9segundo. #) alla la velocidad erminal (esto es, v cuando t →

∞

* en millas por &ora. (ómese g = 32 pies / seg 2 *

@. Una masa es arrastrada por el &ielo sobre un trineo? incluido el trineo, el peso total es de O)lb. Suponiendo que es despreciable la resistencia del &ielo a los corredores ! que el aire opone una resistencia en libras igual a 4 veces la velocidad (v pies9seg* del trineo, &állese: a* La fuerza constante eBercida sobre el trineo para obtener una velocidad erminal de 7)millas por &ora. #) La velocidad ! la distancia recorrida al cabo de 8O segundos9 63. Un cuerpo de masa m unidades tcnicas de masa partiendo del reposo cae en un medio para el que la resistencia (lb* es proporcional al cuadrado de la velocidad (pies9seg*. Si la velocidad erminal es 74) pies9seg + 84,M@m9seg, &allar : a) La velocidad al cabo de @ segundos9 #) >l tiempo necesario para que la velocidad sea 7)) pies9seg + H)m9seg9 64. >n el movimiento de un obBeto a travs de un cierto medio (aire a ciertas presiones es un ejemplo * el medio efectAa una fuerza de resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad del obBeto móvil, supóngase que el cuerpo cae por acción de la gravedad, a travs de tal medio. Si t representa el tiempo ! v la velocidad positiva &acia abaBo, ! g es la aceleración de la gravedad constante usual, ! D el peso del cuerpo, usando la le! de 2eDton, fuerza es igual a masa por

aceleración, concluir que la ecuación diferencial del movimiento es:

$ dv g dt

=

$ − v 2 , donde v 2 es la magnitud de

la fuerza de resistencia efectuada por el medio. 65. 'esulvase la ecuación diferencial del eBercicio anterior con la condición inicial que v = v0 cuando t + ) introducir la

constante a 2

=

$ 

para simplificar las fórmulas.

66. a! medios que oponen una fuerza de resistencia al paso de los cuerpos que los atraviesa proporcional a la primera potencia de la velocidad. ara tales medios plantear ! resolver problemas similares a los eBercicios (H* ! (8*, excepto

que, por conveniencia, debe escogerse una constante b =

$ 

para reemplazar a la constante a@ del eBercicio (8*.

Nostrar que b tiene las dimensiones de una velocidad. M. %os corrientes están conectados mediante una ca0era, tal como se muestra en la figura adBunta. Cada uno contiene 4)lts, de solución, con 7)gr de soluto al tanque 2P 7 ! 4grs al tanque 2P @. Se abren las tres ca0eras, &acindose entrar agua a travs de #. or #, = ! C circula lquido a razón de @litros9min. >ncontrar la cantidad de soluto de ambos recipiente despus de H) minutos (las soluciones se mantienen &omogneas mediante agitadores* 68. La relación entre el peso  ! la cantidad demandada V es tal que la tasa de disminución en la demanda a medida que el precio aumenta, es proporcional a la cantidad demanda e inversamente proporcional a la suma del precio más una constante. >ncontrar la función de demanda si:  + ) cuando V + V). Docente: Lic. Ivan Silvano Saavedra Ponte

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6. La tasa de incremento del costo total !, a medida que crece el nAmero V de unidades fabricadas, es proporcional a la suma de las unidades fabricadas más una constante e inversamente proporcional el costo total. allar la función de costo si ! + !), cuando x + ), graficar la relación &allada. '0. Supóngase que una suma de dinero está colocado a un inters que se acumula continuamente. Si la cantidad es S ). ;Cuándo el capital alcanzará la suma S + @S) si el grado de inters anual es H6, 86, 46<

M7. Un cierto &ombre tiene una fortuna que aumenta a una velocidad proporcional al cuadrado de su riqueza presente. Si tena un millón de soles &ace un a0o, ! a&ora tiene dos millones. ;Cuánto tendrá dentro de seis meses< ;%entro de dos a0os< '2. Consideremos un pro!ectil de peso lanzado con un ángulo α sobre el plano vertical. >xplique la tra!ectoria, despreciando la resistencia del aire.

MH. Un peso p es atrado por un punto fiBo # proporcionalmente a la distancia. Cuando este peso se coloca en JK a una distancia # + a ! debaBo del punto #, la atracción de # sobre el peso p es igual ! opuesto al peso p. allar la ecuación del movimiento del peso p. M8. >n el extremo del muelle espiral suBeto al tec&o, se coloca un peso de O libras. >l peso queda en reposo en su posición de equilibrio, en la que el muelle se &a alargado  pulgadas. # continuación, el peso se desplaza H pulgadas por debaBo de la posición de equilibrio ! se abandona en t + ) con una velocidad inicial de 7pie9seg, dirigida &acia abaBo. %espreciando la resistencia del medio ! suponiendo que no existen fuerzas exteriores, determinar la amplitud, periodo ! frecuencia del movimiento resultante. M4. Un tanque contiene 7)))L de agua pura. La salmuera que contiene ),)4Eg de sal por litro de agua entre al tanque en una proporción de 4L9min. Salmuera que contiene ),)8Eg de sal por litro de agua entra al tanque en una proporción de 7)L9min. La solución se mantiene totalmente mezclada ! sale del tanque con una proporción de 74L9min. ;Cuánta sal está en el tanque (a* despus de t minutos ! (b* despus de una &ora< '6. Un obBeto de masa m se mueve &orizontalmente a travs de un medio que resistente el movimiento con una fuerza que

es una función de la velocidad? es decir,

m

d 2 s 2

dt

=

m

dv dt

= f (v) donde v =

v(t ) ! s = s(t ) representan la

velocidad ! la posición del obBeto en el tiempo t, respectivamente. or eBemplo, considere un bote que se mueve en el agua. c) Suponga que la fuerza de resistencia es proporcional a la velocidad, es decir, f (v) =

− v , E es una constante

positiva. (>ste modelo es apropiado para valores peque0os de v* Sean v()* + v) ! s()* + s) los valores iniciales de v ! s. %etermine v ! s en cualquier tiempo t. ;Cuál es la distancia total que recorre el obBeto desde el tiempo t + )< $) ara lo valores más grandes de v un meBor modelo se obtiene suponiendo que la fuerza de resistencia es

proporcional al cuadrado de la velocidad, es decir, f (v) =

− v 2 , E - ). (2eDton fue el primero en proponer este

modelo*. Sean v) ! s) los valores iniciales de v ! s. %etermine v ! s en cualquier tiempo t. ;Cuál es la distancia total que viaBa el obBeto en este caso<


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''. 'esolver el sistema de resortes acoplados

m1 = 1 , m2 = 1 !


 d 2 x1  m1 dt 2 = −  1 x1 +  2 ( x2 − x1 ) suponiendo  2  m d x2 = −  ( x − x ) 2 2 1  2 dt 2

que

 1 = 6 ,  2 = 4 ,

que las masas parten de sus posiciones de equilibrio con velocidades unitarias de direcciones

opuestas.


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MAT III ECUACIONES DIFERENCIALES.pdf

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