TECNOLÓGICO NACIONAL DIRECCIÓN GENERAL DE FORMACIÓN PROFESIONAL DIRECCIÓN TÉCNICA DOCENTE DEPARTAMENTO DE CURRÍCULUM MANUAL DEL PROTAGONISTA “Matemática Financiera”
Nie! "e F#rmaci$n%
Técnico Medios
E&'ecia!i"a":
Administración de Empresa Turística Hotelera
Junio, 2016
TECNOLOGICO NACIONAL
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III UNIDAD% ANUALIDADES O()eti# "e !a *ni"a"% Aplicar correctamente las fórmulas de las anualidades de acuerdo a procedimientos estalecidos!
+, De-inici$n . O()eti# "e !a& An*a!i"a"e& "ormalmente las personas #inculadas a la acti#idad financiera recien o pa$an cantidades i$uales de dinero a inter#alos i$uales de tiempo, tiempo, a una tasa de interés interés compuesto compuesto ocasionalm ocasionalmente ente continuo! Tales pa$os o recios los denominamos anualidades o rentas en el mercado financiero! %as anualidades son de frecuente utili&ación en las di#ersas transacciones, 'a sea, comerciales o financieras, tanto dl sector p(lico )$astos del $oierno* como del sector pri#ado, esto se da en función de: depositar, retirar, amorti&ar o aonar i$ual cantidad de dinero+ pa$ar primas de se$uros de #ida, reciir o pa$ar salarios nomina nominales les fios, fios, pa$os pa$os de renta renta de la #i#ienda #i#ienda,, amorti&ac amorti&acion iones es a préstam préstamos os personales e internacionales! El -ec-o de llamarse anualidades no si$nifica si$nifica .ue los pa$os o recios fios se realicen realicen anualmen anualmente! te! %as anuali anualidades dades pueden ocurrir cada .uince días, cada mes, cada trimestre, semestre, anual o cual.uier otro período .ue se escoa en la acti#idad financiera! una anualidad de término constante es un #alor fio de dinero .ue se pa$a o recie recie a inter#al inter#alos os i$uales i$uales de tiempo tiempo a una tasa de interés interés compuesto o continuo! /na anualidad tamién tamién puede ser de términos términos #ariales 'a sea lineal o eponencial!
/, ELEMENTOS DE UNA ANUALIDAD, Pa0# # reci(# 'eri$"ic# A: Es la cantidad constante de cada pa$o, o renta periódica!
Per1#"# "e! -!*)#: Es el inter#alo de tiempo entre dos fluos sucesi#os o períodos de capitali&ación de la tasa de interés! interés! El n(mero total de de períodos lo desi$namos por N,
P!a2# # t3rmin# "e !a an*a!i"a" : Es el inter#alo de tiempo transcurrido desde el comien&o del primer período en .ue se efect(a el primer fluo, -asta el final del (ltimo!
Ta&a "e inter3& "e *na an*a!i"a"% or tratarse las anualidades de TECNOLOGICO NACIONAL
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e.ui#alencias financieras, las tasas de interés se traaarn en sus tasas e.ui#alentes, efecti#as i por períodos de capitali&ación .ue deer coincidir con el período del fluo A,
Per1#"# "e ca'ita!i2aci$n "e *na an*a!i"a"% es el inter#alo de tiempo en el cual los intereses acumulados se con#ierten en capital, CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES, %as anualidades pueden clasificarse se$(n: 1! 3u tiempo o pla&o definido! 2! %a forma en .ue deen reali&arse los fluos fluos de dinero! 4! %as formas de calcular sus #alores!
4, An*a!i"a"e& Sim'!e& a P!a2# 4,+, ANUALIDADES ORDINARIAS 5ENCIDAS, /na sucesión de pa$os i$uales .ue se -acen en periodos se llama Anualid Anualidad! ad! 3i los pa$os pa$os se se -acen -acen al final final del periodo periodo ' si si la la frecue frecuenci ncia a de de los pa$os es la misma .ue la frecuencia de la composición, la anualidad se llama Anualidad 5rdinaria! El tiempo entre un pa$o ' otro es el periodo de pa$o, el tiempo desde el principio del primer periodo de pa$o -asta el final del (ltimo periodo se llama el Término de la Anualidad! %as anualidades ordinarias o #encidas son a.uellas en .ue el pa$o de la renta se -ace al final de cada período de interés, por eemplo, el pa$o mensual de ser#icio de cale, reciir nuestro salario nominal, pa$os de las primas de póli&as de se$uro, las cuotas de una amorti&ación ni#elada etc! %as anualidades ordinarias o #encidas, el tipo ms com(n de anualidad, 'a .ue $eneralmente, los pa$os se -acen al final de período!
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a6 CALCULO DEL 5ALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANU ALIDAD ORDINARIA 5ENCIDA, ara calcular este #alor, utili&aremos el punto cero )-o'* como punto de referencia o fec-a focal en el dia$rama de fluos, fluos, es decir, decir, encontrar el #alor presente dada la serie de fluos fluos A, en " períodos períodos de tiempo tiempo a una tasa de interés i! El #alor presente de una serie de fluos uniformes es la suma de todos los #alores presentes de cada uno de los fluos a interés compuesto!
E7ERCICIO N#, 4+% unto deer in#ertir -o' el se7or 8ran9 ére&, para otener una renta de ;0,000!00 cada a7o durante los próimos 6 a7os, si la tasa de interés en el mercado es del 12
DATOS, A = ;0,000!00 anuales! =>
= 0!12 fluos,
m=1
i= 0!12 anual
n = 6 a7os! " = 6
SOLUCIÓN% Mediante la fórmula 4!1 otenemos ?6 = ;0,000!00 )1?)1!12* *@0!12 = 20;,;0!4 3i .ueremos encontrar el #alor de la ma$nitud A o renta, partiremos del conocimiento del #alor actuali&ado o presente , , el #alor de A, el #alor de " ' tasa de interés i!
%a fórmula para determinar la ma$nitud de #alor A en este caso la otenemos despeando la fórmula )4!1* Así:
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E7ERCICIO N#, 4/% /na persona deposita la cantidad de 260,000!00 en un anco .ue0pa$a el 1;< efecti#o anual con el oeti#o de reali&ar retiros i$uales al final de cada a7o por B a7os! Cul ser el #alor de dic-os retiros>
DATOS% = 260,000!00 i= 1;< anual! " = B fluos i e = 0!1; m =1 n = B a7os " = B)1* = B A = C>
SOLUCIÓN% or la fórmula 4!2 tenemos lo si$uiente: ?B A = 260,000 )0!1;*@ D1?)1!1;* = F1,06F
(6 CALCULO DEL 5ALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ORDINARIA 5ENCIDA El #alor futuro de la anualidad o suma final en depósito se define como la suma de los capitales compuestos de todos los pa$os compuestos al final del término! ara el clculo del #alor futuro 8, utili&aremos la fec-a de #encimiento como fec-a focal o punto de referencia en el dia$rama de fluos es decir+ encontrar el #alor futuro de la serie de fluos A en " período de tiempo a una tasa de interés i!
El monto o #alor futuro de una serie de fluos es la suma de todos los #alores futuros de cada uno de los fluos a interés compuesto+
E7ERCICIO N#, 44% /na empresa deposita en un fondo de amorti&ación al final de cada mes la cantidad de 10,000!00! Cul ser el #alor acumulado en el fondo al término del tercer a7o, si el fondo $ana
una tasa de interés del 12< capitali&ale mensualmente>
DATOS% A = 10,000!00 mensual " = 46 = )12 4* períodos mensuales! = 0!12 m = 12 n = 4 a7os
i = @m = 0!01 tasa efecti#a mensual
8=C>
SOLUCIÓN% or la fórmula 4!4 se tiene: 8 = 10,000!00 D)1!01*
46
G 1@ 0!01 = B40,6!
En otro aspecto, si .ueremos encontrar el #alor de la ma$nitud A o renta, partiremos de la afirmación: conocemos su #alor futuro 8, el #alor de los fluos A, el n(mero de " períodos en el tiempo a una tasa de interés i efecti#a por período de capitali&ación!
ara otener A deseado la despeamos en la fórmula )4!4* ' resulta+ A = 8
8órmula 4!B
E7ERCICIO N#, 44% uando deer in#ertir la ía! A%! 3A al final de cada 4 meses, durante los próimos ; a7os en un fondo .ue pa$a el 16< anual capitali&ale trimestralmente, con el oeto de acumular el #alor del principal de un préstamo de 2;0!000!00>
DATOS% 8 = 2;0!000!00
A => = 0!16 anual M =B
A = ,4F;!BB
i = 0!16@B = 0!0B trimestral n = ; a7os " = 20 trimestres
"6 5a!#r "e! Pa0# Peri$"ic# "a"# A 8 P Di @ 1 G ) 1 I i * G " Eemplo! 1! una persona deposita 260!000 en un anco .ue pa$a el 1;< efecti#o anual con el oeti#o de reali&ar retiros i$uales al final de cada a7o por B a7os! Cul ser el #alor de dic-os retiros> AT53! = 260!000 n= B m= 1 ie= D1 I )0,1; @ 1* 1 G 1 ie= 0,1; "= B 1 = B
A 8 260!000 D0,1; @ 1 G ) 1 I 0,1; * G B A= F1!06,FF
e6 CALCULO DEL TIEMPO DE UNA ANUALIDAD ORDINARIA 5ENCIDA, En muc-os casos se -ace necesario conocer el tiempo en .ue se acumular una cantidad deseada a partir de una serie de pa$os o depósitos! El tiempo lo podemos calcular al despear )n* en la fórmula 4!4, saiendo .ue n = "@ m donde n est definida a7os .ue coincide con los periodos capitali&ados, si m = 1, con la tasa efecti#a, de período i$ual al pa$o, es decir+
PRO9LEMAS RESUELTOS DE ANUALID ADES 5ENCIDAS +, Ca!c*!ar e! a!#r -*t*r# . e! a!#r 're&ente "e !a& &i0*iente& an*a!i"a"e& cierta& #r"inaria&,
:a6 ;/,<<< &eme&tra!e& "*rante = > a?#& a! =@ ca'ita!i2a(!e &eme&tra!mente, 1 8 = 2!000DK )1 I 0, 0B* ?1@0!0B = B!4F;,0 #alor futuro = 2!000DK 1 G )1I 0, 0B*-
1
@ 0!0B =2B!441,4B #alor presente
:(6 ;B,<<< an*a!e& "*rante a?#& a! 4@ ca'ita!i2a(!e an*a!mente, 6 8 = B!000DK )1 I 0, 04* ?1@0!04 =2!40,4; #alor futuro ?6 = B!000DK 1 G )1I 0, 04*
@ 0!04=1!F0,; #alor presente
:c6 ;/<< men&*a!e& "*rante 4 a?#& B me&e& a! =@ c#n ca'ita!i2aci$n men&*a!, 8 = 200DK )1 I 0, 006*
B0
) = 200DK 1 G )1I 0, 006
?1 @ 0!006 =F!144,;0 #alor futuro ?B0
@ 0!006=!001,1 #alor presente
/, Una mina en e'!#taci$n tiene *na 'r#"*cci$n an*a! "e ;=<<<,<<< . &e e&tima *e &e a0#tará en +< a?#&, Ha!!ar e! a!#r 're&ente "e !a 'r#"*cci$n &i e! ren"imient# "e! "iner# e& "e! =@,
P 8 =,<<<,<<<J + K :+ < <=6
+<
<,<=84,=<,++Q re&'*e&ta,
4, En e! e)ercici# B Se e&tima *e a! a0#tar&e !a mina a(rá a c ti#& rec*'era(!e& '#r e! a!#r "e ;+<<,<<<, Enc#ntrar e! a!#r 're&ente inc!*i"a& !a& *ti!i"a"e& &i e&ta& re're&entan e! /@ "e !a 'r#"*cci$n,
1!;00!000)1 I 0,0*
?10
= 6FB!F0, 24
;4!60!6;1,1F L 0,2; =14!B20!162,
QB,Q</4 +4B/<,+/=< 8 +B,++B,Q4<4 Re&'*e&ta , Una 'er&#na "e'#&ita ;+<< a! -ina! "e ca"a me& en *na c*enta *e a(#na e! @ "e inter3& ca'ita!i2a(!e men&*a!mente, Ca!c*!ar &* &a!"# en !a c*enta a! ca(# "e /< a?#&,
0,06 @12 =0,00; tasa mensual 8 = 100DK )1 I 0, 00;*2B0 ?1@ 0!00; =B6!20B,0F espuesta!
PRO9LEMAS PROPUESTOS DE ANUALI D ADES 5ENCIDAS 1* etermine el #alor actual ' final de una serie de depósitos de 1;0,000 al final de cada a7o por a7os, si la tasa de interés es del 22!;< efecti#o!
Re&'*e&ta&% ; 4+Q=,B . ; /+4Q+,= 2* etermine el #alor a pa$ar al final de cada trimestre para cancelar una deuda por ;B,BB4!0 durante 4!; a7os, si la tasa de interés .ue se pa$a es del 1!2< T!
Re&'*e&ta% ; <<<,<< 4* o7a Ana María ía& a-orra al final de cada mes la cantidad 100!00 en una cuenta .ue $ana el F!40606< efecti#o! etermine el #alor acumulado de la cuenta de a-orros al final de 1; a7os! Re&'*e&ta% ; 4=B<,, B* /na empresa desea tener disponile dentro de ;1 meses B,4F;!02 para reponer una ma.uinaria! CNué cantidad deer depositar en un fondo al final de cada trimestre, si el fondo $ana una tasa de interés del 16!42< 3!
Re&'*e&ta% ; /<<<,<< ;* etermine el #alor a pa$ar al final de cada mes durante ; a7os, a una tasa de interés del 21!F0F4< efecti#o para saldar el principal de una deuda por 200,000! "ota! %os intereses se pa$an por separado! Re&'*e&ta ;+Q4,// 6* /n préstamo por 4,04;,;B6!6B se #a cancelar mediante el sistema de cuotas ni#eladas anuales, la primera un a7o después a una tasa de interés del 1;< durante 12 a7os! etermine el #alor de la cuota! Re&'*e&ta ; <,<<< * etermine el #alor actual ' final de una serie de depósito de 420 al fina de cada mes durante B a7os, si la tasa de interés es del 12!120B <T!
Re&'*e&ta ;+/++, . +QQ+,/4 * esde -ace ; a7os una compa7ía deó de pa$ar la cantidad de B,000 al final de cada semestre, se .uiere saer .ué #alor tendrn eso pa$os en la actualidad si la tasa de interés es del 1< ! 3! Re&'*e&ta ;<+,/ F* CNué tiempo deer esperar un anco para acumular F,46B,;6B!02 saiendo .ue puede in#ertir 140,000 al final de cada a7o ' aun interés del 20< efecti#o>
Re&'*e&ta + a?#&, 4,/, ANUALIDADES ORDINARIAS ANTICIPADAS, %as anualidades ordinarias anticipadas son a.uellas en .ue los fluos de dinero se presentan a inicio de cada período de capitali&ación ' el (ltimo se produce un período antes del pla&o de la anualidad! 3upondremos .ue son fluos .ue se reali&an los primeros días de cada período de tiempo!
a6 5ALOR PRESENTE ANTICIPADA,
DE
UNA
ANUALIDAD
ORDINARIA
"ecesitamos encontrar el #alor presente de una serie de fluos uniforme A, el primero a partir del día de -o' ' el (ltimo un período antes del #encimiento! ara deducir la fórmula partimos de los si$uientes aspectos: 1! el #alor presente del fluo A .ue se produce -o' )#alor cero en la escala* es i$ual a A! 2!
%os fluos restantes A partir del primer período -asta el pen(ltimo, se pueden tratar como una anualidad ordinaria #encida, así, su #alor presente se calcula mediante la fórmula )4!1* restando un período de capitali&ación!
espués de simplificar una serie $eométrica, se lle$a a la epresión .ue nos permite calcular, el #alor presente de la anualidad ordinaria anticipada!
F$rm*!a 4,=
=AIA
E7ERCICIO N#, 4B% /na empresa desea comprar de contado un compresor .ue se #ende en los si$uientes términos: el #alor de cada cuota es de
4,000pa$adas por adelantado en forma mensual, por 4 a7os de pla&o ' a una tasa por el crédito del 40< con#ertile mensualmente! Cul es el #alor efecti#o e.ui#alente del e.uipo médico>
DATOS% A = 4,000!00 #alor de la cuota mensual anticipada! = 0!40 tasa nominal anual! m = 12 frecuencias de capitali&ar intereses en un a7o! i = 0!40@12 = 0!02; tasa efecti#a mensual! n = 4 a7os de pla&o! " = 46 períodos mensuales de capitali&ación =>
SOLUCIÓN% or la fórmula 4! otenemos el #alor de contado .ue e.ui#ale a calcular el #alor presente o #alor descontado, es decir: = 4,000 I 4,000D1?)1!02;*
?4;
@ 0!02; = 2,B4;!B
(6 5ALOR DEL PAGO PERIODICO DADO se parte del conocimiento del #alor presente , la tasa de interés efecti#a i por período de capitali&ación ' el pla&o o n(meros de fluos "! En este caso, el #alor A se otiene despendola en la fórmula )4!* de la si$uiente forma!
F$rm*!a 4,Q Eemplo /na persona est amorti&ando un préstamo personal de 1!11,2 mediante cuotas ni#eladas semestrales, a una tasa de interés del 16< !3! en un pla&o de ; a7os! Halle el #alor de la cuota! AT53 = 1!11,2
A= 1!11,2 D 0,0 @ D)0!0 I 1* G )1 I 0,0* G 10 I 1
J= 16< = 0,16 m= 2
n=;
A8 /BQQQ
"= 10 i= 0,0 A= >
c6 5ALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ORDINARIA ANTICIPADA ara reali&ar el clculo del #alor futuro en este caso, utili&aremos " como fec-a focal como punto de referencia en el dia$rama de tiempo #alor! Encontrar el #alor futuro de la serie de fluos A anticipados en " período de tiempo a una tasa de interés efecti#o i por período de tiempo!
F$rm*!a 4,+< E7ERCICIO N#, 4% /na familia al.uila una casa uicada en una &ona residencial de Mana$ua en /3 00!00 pa$aderos mensualmente por adelantado! 3i el contrato de al.uiler se firma por un período de ; a7os! Cul ser el monto total .ue reciir el propietario de la casa si los pa$os los deposita en una cuenta .ue pa$a el 6!6 < capitali&ale mensualmente>!
DATOS% A = /3 00 pa$os mensuales anticipados J = 6!6 < = 0!066 i = @m = 0!066@12 = 0!00;;
n = ; a7os
m = 12
" = 60 fluos mensuales
SOLUCION% empla&ando la información en la fórmula 4!10 se tiene:
ara calcular el #alor anticipado de la ma$nitud A conociendo el #alor de las dems #ariales 8, O ' " podemos
F$rm*!a 4,++
8 = C>
PRO9LEMAS RESUELTOS DE ANUALIDADES ANTICIPADAS +,Ca!c*!ar e! a!#r "e C#nta"# "e *na 'r#'ie"a" en"i"a a + a?#& "e '!a2# c#n 'a0#& "e ;4,<<< men&*a!e& '#r me& antici'a"# &i !a ta&a "e inter3& e& "e! +/@ c#nerti(!e men&*a!mente,
P 8 4,<<< J+ :+ K :+ <<+ 6 +
+=< <,<+8 //,BBB )
/,Una 'er&#na reci(e tre& #-erta& 'area !a c#m'ra "e &* 'r#'ie"a"% :a6 ;B<<,<<< "e c#nta"# :(6 ;+Q<,<<< "e c#nta"# . ;<,<<< &eme&tra!e& "*rante / > a?#& :c6 ;/<,<<< '#r trime&tre antici'a"# "*rante 4 a?#& . *n 'a0# "e ;/<,<<< a! -ina!i2ar e! c*art# a?#, *3 #-erta "e(e e&c#0er &i !a ta&a "e inter3& e& "e! =@ an*a!V
5ferta = ;0!000 DK1 I 1 G )1I 0,0B
?B
)
@ 0!0B= 241!BFB,6 I 1F0!000 = B21!BFB,6
5ferta c =20!000 DK1 I 1 G )1I 0,02 *?11 @ 0!02= 21;!46,F6
2;!000)1 I0,0*?B = 14!;,B6 21;!46,F6 I 14!;,B6 = 4FF!BFB,B2
Re&'*e&ta 8 O-erta ( e& !a má& c#neniente,
4,C*á! e& e! a!#r 're&ente "e *na renta "e ;<< "e'#&ita"a a 'rinci'i# "e ca"a me& "*rante + a?#& en *na c*enta "e a#rr#& *e 0ana e! Q@ c#nerti(!e men&*a!menteV
=;00 DK1 I 1 G )1I 0,00; *
?1F
* @0!00;= BF!666,B2 espuesta!
B,*3 &*ma "e(e "e'#&itar&e a 'rinci'i# "e ca"a a?# en *n -#n"# *e a(#na e! @ 'ara 'r#eer !a &*&tit*ci$n "e !#& e*i'#& "e *na c#m'a?1a c*.# c#&t# e& "e ;/,<<<,<<< . c#n *na i"a Wti! "e a?#& &i e! a!#r "e &a!ament# &e e&tima en e! +<@ "e! c#&t#V
2P000!000 L 0!10= 200!000 2P000!000 ? 200!000 = 1P00!000 1Q00!000 = A DK )1 I 0,06 *6 ?1 ? 1@0!06
A 8 4<+,/4Q+ Re&'*e&ta,
1! S*&tit*ir *na &erie "e 'a0#& "e ;=,<<< a! -ina! "e ca"a a?# '#r e!
e*ia!ente en 'a0#& men&*a!e& antici'a"#& c#n *n inter3& "e! Q@ c#nerti(!e men&*a!mente,
!000 = A DK )1 I 0,00; *14 ?1 ? 1@0!00;
A 8 4B= Re&'*e&ta,
, Un em'!ea"# c#n&i0na ;4<< a! 'rinci'i# "e ca"a me& en *na c*enta "e a#rr#& *e 'a0a e! =@ c#nerti(!e men&*a!mente, En c*ánt# tiem'# !#0rará a#rrar ;4<,<<
n 8 BQ me&e& PRO9LEMAS PROPUESTOS DE ANUALIDADES ANTICIPADAS 1* el al.uiler de un lote de terreno es de 1;0!00 dólares mensuales anticipados! /n contratista desea al.uilar el terreno durante 4 a7os, si el interés pactado es de 6< ! M! determine el pa$o por anticipado ' al final durante el período estalecido!
Re&'*e&ta ; BQ,4< . ;Q/Q,Q/, 2* /na persona esta amorti&ando un préstamo personal de 1,11!2 mediante cuotas ni#eladas una tasa de interés del 16< ! 3! En un pla&o de ; a7os! Halle un sistema de pa$o e.ui#alente mediante cuotas ni#eladas semestrales anticipadas! Re&'*e&ta ;/<,<<, 4* %a compa7ía H -ace una donación de 40,000 a la ru& oa para .ue sea retirada dentro de 16 meses! etermine la cantidad .ue deer in#ertir la compa7ía en el ne$ocio de taretas de créditos mensualmente, comen&ando -o' para entre$ar la cantidad prometida, si la tasa de interés .ue cora a sus clientes es del ;< mensual acumulati#a! Re&'*e&ta ;+,/<,+, B* /na casa se #ende a tra#és de tres opciones )1* cuota inicial 6,;00 ' pa$os
anticipados anuales durante 4 a7os de ;,F2F!2 a un interés del 2!11;F ! T! )2* mediante pa$os mensuales de 66!1, el primero el día de -o' en un pla&o de B a7os ' ana tasa de interés del 40!1F644;< efecti#o, )4* cuota inicial de 10,000 ' pa$os trimestrales #encidos por 2,4B4!BF durante a7o ' medio a un interés del 40< ! T!
Re&'*e&ta !a Me)#r #'ci$n e& !a nWmer# /, ;* %os pa$os mensuales anticipados para estudiar una maestría por2 a7os en la /ni#ersidad de Tula, es de 400 dólares! %a matrícula al inicio ;00!00 derec-o de $raduación 1,000!00 a los 2 a7os! 3i se le car$a un interés del 6!6< ! M! determine el costo de los aranceles de la maestría al final del período ' pa$ando por anticipado! Re&'*e&ta ;Q=/<,= . ;=
Re&'*e&ta C; /==,+, * %a reposición de un acti#o fio de la empresa E"EA dentro de 2!; a7os es de ;00,000! Nué cantidad deer depositar mensualmente la empresa )comen&ando -o'* en fondo de amorti&ación .ue $ana el 1< ! M! para acumular la cantidad deseada> Re&'*e&ta% ;+4+//, * ul es el #alor actual de una serie de pa$os anticipados trimestrales de #alor 11,402!41 durante a7os a una tasa 6!;< trimestral! Re&'*e&ta
;+<<<,
F* etermine el #alor actual de una serie de pa$os anticipados trimestrales de #alor 14,402!41 durante a7os a una tasa de interés del 12!B;616< ! M!
Re&'*e&ta ;+==Q<+,/B 10* /na planta $eneradora de electricidad es #endida en 6000 de una cuota inicial ' 1 pa$os de B,000 al final de cada mes! 3i después de -aer pa$ado las 6 primeras cuotas ' ustamente antes d efectuar el pa$o la séptimo cuota decide cancelar de un solo contado el saldo de la deuda, cunto deer cancelar con intereses al 6!120< efecti#o trimestralC> Re&'*e&ta ;B4+B,4Q, 11* /n comerciante compró una mercancía mediante pa$os mensuales al principio de cada mes de 4,000 ' un pa$o final de 10,000 al final dl a7o! 3i los interese fueron del 4!B4< anual! CNué cantidad -uiese pa$ado de contado>
Re&'*e&ta ;/Q<=Q, 12* El arre$lo de pa$o entre un cliente ' un anco sore una deuda #encida estipula, 1 pa$os mensuales de 2,000 al principio de cada mes! 3e
efectuaron cumplidamente los primeros B pa$os ' lue$o se deó de pa$ar los si$uientes ;, Cunto tendr .ue pa$ar el cliente al #encimiento del si$uiente para cancelar la totalidad de la deuda sí el interés es del 4< efecti#o mensual>
Re&'*e&ta ;/Q,/< 14* El estado desea capitali&ar 1,000,000!00 dentro de ; a7os para indemni&ar una propiedad inter#enida para la construcción de un estudio! 3e tiene planeado capitali&ar dic-a cantidad mediante la creación de un fondo en cual se depositarn cuotas mensuales ordinarias de #alor A ' cuotas etraordinarias semestrales, de #alor 4A! %a primera a los 6 meses, la se$unda a los 12 meses ' así sucesi#amente! uando se deposita cuota etraordinaria no -ar cuota ordinaria! %a tasa de interés es del 40< ! M!, -allar: )a* el #alor de las cuotas ordinarias )* el #alor de las cuotas etraordinarias!
Re&'*e&ta :a6 ;<<,<4 . :(6 ;+=<<,
4,4, ANUALIDADES DIFERIDAS 5ENCIDAS, %as anualidades diferidas, son las .ue contienen períodos de $racias, los cuales constitu'en elementos usuales en muc-as transacciones financieras! El período de $racia se fundamenta en .ue se da la cancelación o se capitali&an los intereses de un préstamo, sin afectar el principal, para el caso d e la actuali&ación de los pa$os! En otras palaras, es el período #ariale entre la lieración de al$(n dinero prestado ' el comien&o de las amorti&aciones!
La& An*a!i"a"e& Di-eri"a& son a.uellas cu'os fluos comien&an después de transcurrido #arios inter#alos o períodos de capitali&ación .ue forman parte del período de $racia!
5ALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD DIFERIDA 5ENCIDA, %as características de estas anualidades es .ue: Adems de estipular el período de $racia el (ltimo fluo A coincide con el #encimiento de la anualidad! ara el clculo de #alor presente utili&aremos como en casos anteriores, el concepto de anualidades ordinaria #encida! 4! 3e otiene el #alor R .ue representa el n(mero de períodos de capitali&aciones correspondientes al período de $racia donde no se produce nin$(n pa$o o fluo A!
B! en los períodos comprendidos entre el #alor R ' ", la anualidad en referencia es #encida! or tanto, su #alor presente -asta el #alor R de acuerdo a la fórmula )4!1* es:
F$rm*!a 4,+/ ;! El #alor PX encontrado en la fórmula anterior no resuel#e el prolema, 'a .ue realmente estamos interesados en calcular el #alor presente en el #alor )0* cero! ara encontrar dic-o #alor actuali&amos PX a tra#és de la fórmula )2!B* de interés compuesto, de la si$uiente manera:
X P 8 PX :+i6
-$rm*!a 4,+4
E7ERCICIO N#, 4% /n a$ricultor a tra#és de un anco, compró un camión el primero de enero del 2010 para utili&arlo en su finca, comprendiendo .ue -aría pa$os mensuales B,;00!00 por 2B meses, el primero con #encimiento el primero de ulio 2010! si el interés de financiamiento del anco es del 2B< anual, capitali&ale mensualmente! Cul es el contado del camión>!
DATOS% el primero de enero al primero de ulio -a' 6 meses lo .ue si$nifica .ue se da un período de $racia de ; meses, dado .ue al final del mes 6 se pa$ar la primera cuota! A = B,;00 pa$os mensuales R = ; meses correspondientes al período de $racia J = 2B< = 0!2B
m = 12
i = 0!2B@12 = 0!02
" = 2L 12 = 2B meses de pla&o
" = 2BI; = 2F tiempo total inclu'endo el período de $racia!
=>
SOLUCION%
E7ERCICIO N#, 4% /n pro'ecto en la &ona norte del país, relacionado con el culti#o del café, -a estimado )se$(n del fluo neto* .ue al término del a7o ; $enera in$resos anuales por la cantidad de B00,000 ' se espera .ue ese rendimiento se manten$a por espacio de 10 a7os! 3i la tasa de interés de oportunidad s del 40< efecti#o! Hallar el #alor actuali&ado de los rendimientos!
DATOS% A = B00,000!00 #alor de los in$resos anuales! 1B a7os! R = B a7os )período diferido* " G 9 = 10 fluos anuales de in$resos!
SOLUCIÓN%
i = 40< = 0!40 anual! n =
" = 1B a7os de capitali&aciones! =C
PARA EL CYLCULO DE LA MAGNITUD DEL 5ALOR A de la anualidad, partimos del conocimiento de las dems #ariales de la fórmula )4,1B*+
Así, al despear A de la fórmula mencionada, otenemos
F$rm*!a 4,+
%a fórmula anterior tamién se utili&a para calcular el #alor de la cuota ni#elada , cuando a un préstamo se le concede períodos de $racia ' no se cancelan intereses de forma periódica, sino .ue se capitali&an para lue$o pa$arlos en las cuotas .ue se pro'ectan!
E7ERCICIO N#, 4=% /n or$anismo internacional otor$a al Soierno de "icara$ua un préstamo por la cantidad de /3 10 millones de dólares! El Soierno li.uidar el préstamo con interese del 4!;< efecti#o ' en pa$os anuales i$uales! El primer pa$o se deer efectuar a los 4 a7os de reali&ada la transacción! Hallar el #alor de cada pa$o anual!
DATOS% = /3 10,000,000 #alor del préstamo!
i = 4!;< = 0!04; anual!
R = 2 a7os )período de $racia* " = 10 períodos anuales capitali&ados! " G 9 = cuotas anuales i$uales! A = = #alor de la cuota anual!
SOLUCIÓN% or medio de la fórmula 4!1; ' reempla&ando la información, calculamos el #alor de la cuota anual!
2 ? A = 10,000,000 )1!04;* )0!04;* @ D1 G )1!04;* A = 10,000,000 )1!0122;* )0!04;* @ )0!2B0;B* = 10,000,000 )0!1;;4* = /3 1,;;,42!21!
5ALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD DIFERIDA 5ENCIDA, /tili&aremos la fec-a de #encimiento como fec-a focal o punto de referencia, para encontrar el #alor futuro 8 de la serie de fluos A diferidos en 9 períodos de tiempo, con )" G 9* períodos capitali&ados a una tasa de interés i!
F$rm*!a 4,+ E7ERCICIO N#, 4Q% /na industria camaronera estima .ue la utilidad anual .ue $enerar un pro'ecto es de /3 1;,000 dólares a partir del a7o B! la tasa de interés a la .ue rein#ierten los fondos lierados es del 1B< anual! El pro'ecto se a$otar a los 20 a7os continuos de eplotación! alcular el monto de las rei#indicaciones en el a7o 20!
DATOS% A = 1;,000 anuales a partir del a7o B R = 4 a7os! " = 20 a7os tiempo total!
i = 1B < = 0!1B anual!
" G 9 = 1 fluos diferidos!
8 =>
SOLUCIÓN% 3ustitu'endo los datos en la fórmula anterior, otenemos: 8 = 1;,000 D)1!1B*
1
8 = 10, F46, ;6!26
? 1 @ 0!1B = 1;,000 );F!11601B*
PARA EL CYLCULO DE LA MAGNITUD DEL 5ALOR A de la anualidad, partimos del conocimiento de las dems #ariales de la fórmula )4,16*+
En este caso la fórmula es
F$rm*!a 4,+ E7ERCICIO N#, B<% /na empresa deer cancelar un préstamo cu'o monto ser de 200,120!B; al término de 6 a7os! 3i la empresa acuerda reali&ar pa$os i$uales semestrales, al 16< capitali&ale semestralmente! Cul ser el #alor de los pa$os, si efect(a el primero a los 1 meses de reali&ada la operación>
DATOS% 8 = 200,120!B;
= 16< = 0!16
R = 2 período de $racia!
m=2
i = 0!16@2 = 0!0 semestral!
" = 12 total período semestrales!
" G R = 10 fluos semestrales!
A =C>
SOLUCIÓN% 3ustitu'endo en la fórmula anterior, -allamos A = 200,120!B;)0!0* @ D)1!0* A = 14,1B!21
10
? 1 = 200,120!B; )0!06F02F*
PRO9LEMAS RESUELTOS DE ANUALIDADES DIFERIDAS 8órmulas para anualidades diferidas 3on las mismas .ue las anualidades #encidas ' anticipadas sal#o .ue estas tienen un periodo de $racia!
+,Una c#m'a?1a a"*iere *n#& .acimient#& "e minera! !#& e&t*"i#& "e in0enier1a m*e&tran *e !#& tra(a)#& 're'arat#ri#& . 1a& "e acce&# "em#raran a?#&, Se e&tima *e !#& .acimient#& en e'!#taci$n ren"irán *na 0anancia an*a! "e ;/,B<<,<<<, &*'#nien"# *e !a ta&a c#mercia! e& "e! =@ . *e !#& .acimient#& &e a0#tarán "e&'*3& "e + a?#& c#ntin*#& "e e'!#taci$n á!!e&e e! a!#r -*t*r# "e !a renta *e e&'era #(tener&e,
8 = 2!B00!000 D)1 I 0,0*
1;
? 1@0,0
5F 8 ,+,<4B4 Re&'*e&ta
/,En e! 'r#(!ema anteri#r á!!e&e e! a!#r "e *ti!i"a" *e e&'era #(tener en e! m#ment# "e !a a"*i&ici$n "e !#& .acimient#&,
= 2!B00!000 D1 ? )1 I 0,0*
?1;
@0,0
= 20!;B2!B,;
/<,B/,B== :+ <<=6 8 +/,QB,B+ Re&'*e&ta,
4, Una c#m'a?1a -r*tera &em(r$ c1tric#& *e em'e2aran a 'r#"*cir "entr# "e a?#&, La 'r#"*cci$n an*a! &e e&tima en ;B<<,<<< . e&e ren"imient# &e manten"rá '#r e&'aci# "e /< a?#&, Ha!!ar c#n !a ta&a& "e! @ e! a!#r 're&ente "e !a 'r#"*cci$n, = B00!000 D1 ? )1 I 0,06*?20 @0,06
5P 8 B=Q=B= :+ <<6 8 4B/=4QQ<
B, A!0*ien "e'#&ita ;+<<,<<< en *n (anc# c#n !a intenci$n "e *e "entr# "e +< a?#& &e 'a0*e a 3! # a &*& ere"er#& *na renta "e ;/,<< a 'rinci'i# "e ca"a me&, D*rante c*ánt#& a?#& &e 'a0ará e&ta renta &i e! (anc# a(#na e! @ c#nerti(!e men&*a!menteV
8 = 100!000 )1 I 0,00;*120 = 11!F4F,6 11F4F,6 = 2!;00 D 1 I 1? )1 I 0,00;*?n I1 @0,00; n = F0,14 meses
Re&'*e&ta 8 a?#& . me&e& ,Una "e*"a c#ntra1"a a! =@ n#mina! "e(e cance!ar&e c#n = c*#ta& &eme&tra!e& "e ;/<,<<< c* c#n !a 'rimera #(!i0aci$n '#r 'a0ar "entr# "e / a?#&, S*&tit*ir!a '#r *na #(!i0aci$n e*ia!ente 'a0a"era c#n /B c*#ta& trime&tra!e& 'a0án"#&e !a 'rimera "e inme"iat# !
20!000 D1 I 1 ? )1 I 0,0B*
?
@0!0B*)1I0,0B*?B = 11F!0,146
11F!0,1 = A D1 I 1 ? )1 I 0,02*? 24@0,02
A 8 ,/
PRO9LEMAS PROPUESTOS ANUALIDADES DIFERIDAS
DE
1* /n auto se #ende mediante un pa$o inicial de 4,000 ' 16 pa$os de 4;0!00 mensuales, el primero dentro de ; meses! 3i la tasa de interés sore saldo es del 1;!F14< ! M! determine )a* el #alor del auto al contado, )* al término del (ltimo pa$o mensual! Re&'*e&ta&, :a6 ;B,4 . :(6 ;+<<=B,B 2*El costo de ad.uisición de una m.uina es de 40,000! %os costos de operación ' mantenimiento se estiman en ;00!00 mensuales, comen&ando en el mes 6 ' después de iniciar operaciones! 3i la tasa .ue se le car$a es del 1< mensual, determine: )a* el costo anual e.ui#alente semestral, )* costo uniforme e.ui#alente semestral, amos clculos -asta el a7o 4! Re&'*e&ta&% :a6
;+Q,/B . :(6 ;=+<,/B 4* etermine el #alor actual ' final de los depósitos de 4;0!0 trimestrales, reali&ados para el fondo de in#ersiones de una empresa consultora, el primer depósito se efectuar al final del primer a7os ' durante B a7os a una tasa de interés del 16< ! T!
Re&'*e&ta&% 4/,< . 4=,=, B* /n préstamo de 4;0,000 se amorti&ar mediante cuotas ni#eladas i$uales, la primera al término del a7o 4 después de -aer otenido el préstamo! A una tasa de interés del 1;< efecti#o anual ' un tiempo total de 12 a7os, calcule )a* el #alor de la cuota anual, )* un sistema de pa$o e.ui#alente mediante cuotas de pa$os ni#eladas #encidas mensuales comen&ando un mes después! Re&'*e&ta&% :a6
;Q///=,=< . :(6
* /na empresa desea reunir 4,000,000 en ; a7os, -aciendo depósitos trimestrales en una cuenta de a-orros .ue pa$a el 12< !T! por períodos #encidos ' completos! espués de 2 a7os el anco ele#ó la tasa de interés en sus cuentas de a-orro al 1< ! T! 3i continuó -aciendo depósitos de i$ual cantidad cul ser el capital reunido al finadle ; a7os! Re&'*e&ta% ;4B+<+Q/, F* /na persona compra un automó#il #alorado de contado en 1,000! si le ei$en una cuota inicial del 2;< ' el saldo lo #a a cancelar en 46 cuotas i$uales mensuales, la primera a los 4 meses de iniciada la transacción, a cunto ascendería la cuota, sí los intereses son del 2B< efecti#o anuales, cunto pa$aría si deseara cancelar el saldo insoluto después de la cuota 2! Re&'*e&ta%
C*#ta ;4/,/ &a!"# ;B4=B,4 10* /na institución desea reunir 4,000,000 mediante 6 depósitos semestrales i$uales #encidos con interés del ;< efecti#o semestral! )a* cul dee ser el #alor de la cuota! )*Elaorar una tala de capitali&ación, )c* sin elaorar la tala de capitali&ación, calcular .ue tanto del incremento al fondo es deido a intereses en el período B! Re&'*e&ta :a6 ;BB+<,/B :c6 ;Q/,
;BQ<,4 ;<<,4, 12* ual es el #alor actual ' final de una oli$ación financiera .ue inicia a los B meses mediante pa$os de B;;!4 ' tiene una duración total de B2 meses e intereses del 2B< efecti#o! Re&'*e&ta% ;+/<<< ;/B,/! 14* on Marcelino are una cuenta de a-orro en un anco pri#ado con 200!00 ' deposita ;0 al final de cada mes durante 1 meses! En el mes 1F retira ;00!00 ' no deposita! el mes 20 al 44 deposita 60! en el mes 4B retira ;0!00 ' no deposita! 8inalmente del mes 4; al B2 deposita B0!00 mensuales! etermine el #alor actual )mes cero* ' al final de los B4 meses de la cuenta de a-orro de on Marcelino, si el interés es del 6< ! M!
Re&'*e&ta&% ;Q+,< ;+/<4,4,
I5 UNIDAD% AMORTIZACION
[ FONDOS DE AMORTIZA CION O()eti# "e !a *ni"a"% Aplicar correctamente las fórmulas de amorti&ación de
acuerdo a procedimientos estalecidos! +, De-inici$n . O()eti# "e !a Am#rti2aci$n
En el mercado financiero la epresión amorti&ación se utili&a para denominar el proceso mediante el cual se etin$ue $radualmente una deuda por medio de pa$os o aonos periódicos .ue pueden ser i$uales o diferentes en inter#alos de tiempos i$uales o diferentes! Estos pa$os son -ec-os para li.uidar tanto el capital o principal, así como los intereses ' dems conceptos .ue $enera determinada deuda! %a parte principal no cuierta por las amorti&aciones en una fec-a dada se conoce como &a!"# in&#!*t# # 'rinci'a! in&#!*t# en la fec-a! El principal insoluto al inicio del pla&o es la deuda ori$inal! El principal .ue resultar al final de la cuota o pa$o al término del pla&o es cero, ' de esta manera la deuda .ueda pa$ada! El proceso de amorti&ación de una deuda es un elemento importante para el financiamiento 'a sea interno o eterno, de una in#ersión, deido a .ue el in#ersionista necesita conocer el proceso de clculo .ue es necesario se$uir para estimar el monto del ser#icio de la deuda, así como tamién el período de reemolso ' el factor de recuperación de capital! /, E!ement#& "e !a Am#rti2aci$n,
Toda cuota o pa$o en el proceso de amorti&ación est dada por la si$uiente fórmula estndar:
C\ 8 A\ I\ onde R: alor de la cuota ni#elada o proporcional AR: principal de la cuota, es una cantidad .ue es aplicale directamente a la deuda ' la disminu'e OR: intereses de la cuota, es una cantidad de dinero .ue de#en$a el saldo del préstamo o principal adeudado! TECNOLÓGICO NACIONAL
10
R: n(mero de periodo o pa$o .ue .ueremos cancelas, 9 es un contador de cuotas con 1 U 9 U "
TECNOLÓGICO NACIONAL
10
2!1omponentes de la cuota!
La c*#ta "e *n 'r3&tam# e& e! m#nt# *e &e "e(e 'a0ar 'eri$"icamente !*e0# "e ad.uirir uno, con el fin de ir de#ol#iendo parte de éste ', a la #e&, ir pa$ando los intereses .ue se -an corado por ad.uirirlo! omponentes de la cuota son: 1! alor de la cuota 2! rincipal de la cuota 4! Onterés pactado B! "umero de a$os )R* Adems del monto del préstamo, la tasa de interés ' el pla&o otor$ado, para determinar la cuota a pa$ar se dee tomar en cuenta el método o sistema de amorti&ación .ue utilice el anco o entidad financiera .ue otor$a el crédito+ los cuales sicamente utili&an dos métodos: el método alemn ' el método francés Método alemán
El método alemn -o' en día no es mu' utili&ado+ en este método las cuotas son decrecientes, es decir, al principio se pa$an cuotas altas, pero lue$o #an disminu'endo! ara entender este método, #eamos un eemplo: 3upon$amos .ue -emos ad.uirido un préstamo de /31 000, a una tasa de interés mensual de de B<, por un periodo de ; meses! ara -allar la cuota utili&ando el método alemn, en primer lu$ar, deido a .ue en este método las amorti&aciones son constantes, -allamos las amorti&aciones di#idiendo el préstamo )1000* entre el n(mero de periodos );*, ' lue$o, -allamos los saldos .ue #an .uedado de la deuda al ir deduciéndole las amorti&aciones: n
3aldo
0
1000
1
00
200
2
600
200
4
B00
200
B
200
200
TECNOLÓGICO NACIONAL
Amorti&ación
Onterés
uota
10
;
0
Total
200 1000
%ue$o, para determinar los intereses a pa$ar, para el primer periodo, aplicamos la tasa de interés )B<* sore el préstamo )1000*, ' lue$o sore los saldos de la deuda .ue #an .uedando: n
3aldo
Amorti&ación
Onterés
0
1000
1
00
200
B0
2
600
200
42
4
B00
200
2B
B
200
200
16
;
0
200
1000
120
Total
uota
V, finalmente, para -allar las cuotas a pa$ar, sumamos las amorti&aciones ms los intereses: n
3aldo
Amorti&ación
Onterés
uota
0
1000
1
00
200
B0
2B0
2
600
200
42
242
4
B00
200
2B
22B
B
200
200
16
216
;
0
200
20
1000
120
1120
Total
En el primer periodo )primer mes*, pa$aremos una cuota de /32B0, en el se$undo mes pa$aremos una cuota de /3242, ' así sucesi#amente -asta cancelar el monto total de la deuda!!
/, M3t#"# -ranc3& El método francés es el ms utili&ado+ en este método las cuotas son fias, es decir, todos los periodos se pa$an la misma cuota! TECNOLÓGICO NACIONAL
10
ara -allar la cuota utili&ando el método francés, usamos la si$uiente fórmula:
= D)i )1 I i* n* @ ))1 I i* n G 1* ónde: = renta )cuota* = principal )préstamo ad.uirido* i = tasa de interés n = n(mero de periodos eamos un eemplo: 3upon$amos .ue -emos ad.uirido un préstamo de /3 1 000, a una tasa de interés mensual de de B<, por un periodo de ; meses )similar al eemplo anterior*! Aplicando la fórmula: = D)i )1 I i* n* @ ))1 I i* n G 1* = 1000 D)0!0B )1 I 0!0B* ;* @ ))1 I 0!0B* ; G 1* = 22B!64 "os da una cuota de /322B!64: n 0 1 2 4 B ; Total
uota
Onterés
Amorti&ación
3aldo 1000
22B!64 22B!64 22B!64 22B!64 22B!64 1124!1B
ara -allar los intereses, para el primer periodo, aplicamos la tasa de interés )B<* sore el préstamo, ' lue$o sore los saldos .ue #an .uedando+ para -allar las amorti&aciones restamos los intereses a las cuotas+ ' para -allar los saldos de la deuda restamos las amorti&aciones a los saldos anteriores: TECNOLÓGICO NACIONAL
10
n
uota
Onterés
Amorti&ación
0
3aldo 1000
1
22B!64
B0
1B!64
1;!4
2
22B!64
44
1F2!01
624!46
4
22B!64
2;
1FF!6F
B24!6
B
22B!64
1
20!6
21;!FF
;
22B!64
F
21;!FF
0
Total
1124!1B
124!1B
1000
N#ta& -ina!e& ara -allar la cuota utili&ando el método francés, antes .ue utili&ar la fórmula descrita anteriormente, lo ms sencillo es utili&ar Ecel! ara ello deemos utili&ar la fórmula Wpa$oX, en donde al usarla deemos se7alar: •
Tasa: tasa de interés
•
"per: n(mero de periodos
•
a: #alor actual )#alor del préstamo*
5tro apunte importante .ue resaltar es .ue antes de efectuar el clculo de una cuota, deemos ase$urarnos .ue tanto la tasa de interés como el periodo de los pa$os, concuerden en el mismo periodo de tiempo+ por eemplo, si se trata de una tasa anual, los pa$os tamién deerían reali&arse anualmente+ en caso de no ser así, deemos con#ertir el periodo de la tasa al mismo periodo de tiempo en .ue estén pro$ramados los pa$os! ara ello, utili&amos la si$uiente fórmula: Te. = D)1 I i* 1@n G 1 100 onde: Te. = tasa e.ui#alente n = n(mero de periodos .ue comprende la tasa .ue se .uiere -allar con respecto al n(mero de periodos .ue comprende la tasa ori$inal! %o ms com(n es .ue se se7ale una tasa anual, ' .ue los pa$os sean mensuales, por lo .ue en ese caso, deemos -allar una tasa mensual e.ui#alente a la anual+ por TECNOLÓGICO NACIONAL
10
eemplo, si se trata de una tasa efecti#a anual )TEA* de 4<, para -allar la tasa efecti#a mensual )TEM* e.ui#alente, aplicamos la fórmula: Te. = D)1 I i* 1@n G 1 100 Te. = D)1 I 0!4*1@12 G 1 100 Te. = 2!2< %o .ue nos da una tasa e.ui#alente de 2!2<, es decir, la TEA de 4< e.ui#ale a una TEM de 2!2
# "e c*#ta -i)a re0re&ia c#n '#rcenta)e c#n&tante '#r &*ma "e "10it#& '#r 'r#0re&i$n aritm3tica "ecreciente aria(!e ace!era"a !i(re . #tra& a!ternatia&,
4!1 AMORTIZACIÓN MEDIANTE LA CUOTA NI5ELADA TECNOLÓGICO NACIONAL
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Este es un sistema $radual de amorti&ación con intereses sore saldos, donde los pa$os son i$uales ' periódicos! Esta forma de amorti&ación fue creada en Europa ' es la ms usada en el campo de las finan&as! ara el clculo de la cuota recurrimos a las anualidades 'a estudiadas anteriormente! entro de este sistema pueden presentarse #arias #ariantes tales como: cuota ni#eladas anticipada, #encidas ' diferidas a como 'a las -emos calculado! uando se acuerda cancelar un préstamo mediante cuotas ni#eladas #encidas, cada cuota a pa$ar es de i$ual #alor, -ec-a al final en períodos de tiempos i$uales! 9 es el #alor de dic-a cuota, la cual contiene la amorti&ación al principal A9 ' los intereses O9 de#en$ados en el pa$o R con 1 U 9 U "! El proceso .ue se si$ue de la forma de pa$o se muestra en el $rfico B!1 donde 9 = ' .ue representa una serie de fluos )* )anualidad ordinaria #encida*! Así, reempla&ando )* por )A* en la fórmula 4!2
F$rm*!a 4,/
5tenemos el #alor de la cuota ni#elada, entonces:
F$rm*!a B,/ onde: = uota ni#elada a pa$ar durante la #ida del préstamo i = Tasa efecti#a de interés corriente por período de cuota! " = "(mero de cuotas acordadas! = euda ori$inal o principal!
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4,/ AMORTIZACIÓN MEDIANTE CUOTA PROPORCIONAL, Este es un sistema de amorti&ación constante A9 ' el #alor de la cuota 9 es proporcional decreciente deido a .ue los intereses O9 decrecen por .ue se calculan sore saldos! Este sistema es usual en los préstamos personales, pe.ue7a empresa )industria, ser#icio ' comercio*, empresas indi#iduales, sociedades, cooperati#as entre otras!
a6 Ca!c*!# "e !a c*#ta, %a cuota proporcional se calcula de la si$uiente manera:
Am#rti2aci$n AX% F$rm*!a B,4
Intere&e& IX% O9 = )39?1* )i* = )3aldo período anterior* )Tasa periódica*
IX 8 :SX+6 :i6 Así el #alor de la cuota en el período 9 ser:
C X 8 AX I X Es importante tener presente .ue el saldo 3 9 es reducido (nicamente por la cantidad correspondiente a la amorti&ación A9!
E7ERCICIO N#, B+% /n anco otor$a un préstamo de 22;,000 a la empresa comerciali&adora de camarones W3an MateoX! %a tasa de interés es del 40< M! sore saldo! El pla&o de la deuda es de 12 meses ' la forma de pa$o es mediante cuotas mensuales #encidas con amorti&ación ni#elada constante! a* etermine el #alor de las cuotas! * Elaore tala de amorti&ación!
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DATOS = 22;,000 rincipal
J = 40< = 0!40 anual
m = 12 frecuencia de cap! Ontereses en el a7o! i = @m = 0!40@12 = 0!02;< mensual " = 12 n(mero de pa$o pactados!
SOLUCIÓN %a amorti&ación constante es: A 9 = 22;,000@12 = 1,;0 30 = = 22;,000 principal inicial, período 0 O1 = 39?1 )i* = 30 )i* = 22;,000 )0!02;* = ;,62; 1 = A1 I O1 = 1,;0 I ;,62; = 2B,4;!00 cuota 1 31 = 22;,000 G 1,;0 = 206,2;0 saldo en período 1 O2 = 31 )i* = 206,2;0 )0!02;* = ;,1;6!2; 2 = A2 I O2 = 1,;0 I;,1;6!2; = 24,F06!2; cuota 2 32 = 206,2;0 G 1,;0 = 1,;00 saldo en período 2 O4 = 32 )i* = 1,;00 )0!02;* = B,6!;0 4 = A4 I O4 = 1,;0 I B,6!;0 = 24!B4!;0 cuota 4
,
,
,
,
,
,
,
,
,
311 = 4,;00 G 1,;0 = 1,;0 saldo en período 11 O12 = 311 )i* = 1,;0 )0!02;* = B6!; 12 = A12 I O12 = 1,;0 I B6!; = 1F,21!; cuota 12
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(6 E! ca!en"ari# "e 'a0# &e 're&enta en &i0*iente ta(!a PERIODO Y FECHA
AMORTIZACIÓN
INTERESES
CUOTA
SALDO INSOLUTO
AL PRINCIPAL
DEVENGADOS
PROPORCIONAL
0
0000000
0000000
0000000
22;,000!00
1
1,;0!00
;,62;!00
2B,4;!00
206,2;0!00
2
1,;0!00
;,1;6!2;
24,F06!2;
1,;00!00
4
1,;0!00
B,6!;0
24,B4!;0
16,;0!00
B
1,;0!00
B,21!;
22,F6!;
1;0,000!00
;
1,;0!00
4,;0!00
22,;00!00
141,2;0!00
6
1,;0!00
4,21!2;
22,041!2;
112,;00!00
1,;0!00
2,12!;0
21,;62!;0
F4,;0!00
1,;0!00
2,4B4!;
21,0F4!;
;,000!00
F
1,;0!00
1,;!00
20,62!00
;6,2;0!00
10
1,;0!00
1,B06!;0
20,1;6!2;
4,;00!00
11
1,;0!00
F4!;0
1F,6!;0
1,;0!00
12
1,;0!00
B6!;
1F,21!;
0000000
46,;62!2
261,;62!2;
T5TA%
22;,000
SALDO PAGADO
Mediante la fórmula B!B de la suma n?ésima de una sucesión decreciente a un #alor constante, podemos determinar la cantidad total .ue se pa$a por concepto de intereses del préstamo!
Sn 8 N/ /a :N K +6" TECNOLÓGICO NACIONAL
F$rm*!a B,B
onde: " = "(mero de pa$os o términos a = Ontereses $anados en el primer mes )primer término* d = iferencia com(n de intereses en cada pa$o 3" = Total de intereses pa$ados )suma de la sucesión*
e acuerdo al eemplo anterior tenemos: " = 12 pa$os a = ;,62;!00 d = B6!;, entonces: 3" = 12@2 D2);,62;* G )12 G 1* B6!; = 46,;62!;0
O9SE5ACIÓN% Es un error calcular la tasa de interés .ue realmente act(a sore el préstamo, de la si$uiente forma: i = 46,;62!;0@22;,000 = 0!162; = 16!2;< 'a .ue toma en cuenta el #alor del dinero en el tiempo!
B 8ondo de amorti&ación! En términos $enerales, amorti&ación es cual.uier modalidad de pa$o o etinción de una deuda! A.uí -aremos referencia a la ms com(n de estas modalidades! %a etinción de una deuda mediante un conunto de pa$os de i$ual #alor en inter#alos re$ulares de tiempo! En otras palaras, este método de etin$uir una deuda tiene la misma naturale&a financiera .ue las anualidades! %os prolemas de amorti&ación de deudas representan la aplicación prctica del concepto de anualidad! Y8ondo de Amorti&aciónY! 3e7alamos .ue las amorti&aciones son utili&adas en el mito de las finan&as ' el comercio para calcular el pa$o $radual de una deuda, 'a .ue saemos .ue en la acti#idad financiera es com(n .ue las empresas ' las personas us.uen financiamiento o crédito, sea para capitali&arse o para la ad.uisición de ienes )acti#os*! A-ora el punto podría ser a la in#ersa, es decir, cuando tenemos una oli$ación en el corto o lar$o pla&o, podemos empe&ar a-orrando $radualmente -asta reunir el importe deseado, claro est, con sus respecti#os rendimientos! Es a.uí cuando la fi$ura del Y8ondo de Amorti&aciónY se -ace necesaria! ara calcular el monto .ue se desea otener en el tiempoYnY a una tasa YiY es necesario conocer el importe de los depósitos o aonos periódicos, por lo .ue TECNOLÓGICO NACIONAL
deemos utili&ar la fórmula del monto de la anualidad ordinaria si los depósitos los -acemos al final de mes: 3u monto: ó En su caso si los depósitos se -acen a principio de mes, se utili&a la fórmula del monto de la anualidad anticipada: 3u monto: ó ecordemos .ue la epresión i@m la utili&amos para el caso en .ue se ten$a .ue calcular la tasa .ue -ar de capitali&arse, esto es, cuando se tiene una tasa nominal )anual* del 12< ' su capitali&ación es mensual, entonces se dee tomar )12@12*! Tala de amorti&ación %a tala de amorti&ación es un desplie$ue completo de los pa$os .ue deen -acerse -asta la etinción de la deuda! /na #e& .ue conocemos todos los datos del prolema de amorti&ación )saldo de la deuda, #alor del pa$o re$ular, tasa de interés ' n(mero de periodos*, construimos la tala con el saldo inicial de la deuda, des$losamos el pa$o re$ular en intereses ' pa$o del principal, deducimos este (ltimo del saldo de la deuda en el período anterior, repitiéndose esta mecnica -asta el (ltimo período de pa$o! 3i los clculos son correctos, #eremos .ue al principio el pa$o corresponde en ma'or medida a intereses, mientras .ue al final el $rueso del pa$o re$ular es aplicale a la disminución del principal! En el (ltimo período, el principal de la deuda deer ser cero! Estructura $eneral de una tala de amorti&ación:
B!1uota periódica para el fondo! ara el clculo de la cuota 9 al final de cada período, partimos del conocimiento del #alor o monto 8 .ue deseamos acumular, la tasa periódica de interés i .ue de#en$a el fondo ' la cantidad de períodos de capitali&ación "! e esta manera mediante la si$uiente fórmula calculamos el pa$o, o sea+
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B!2Omporte del fondo en la R?ésima cuota! uando se -an #enido -aciendo pa$os a un fondo de amorti&ación por espacio de al$unos a7os o períodos, resulta (til calcular rpidamente el monto total acumulado 39, ustamente después del 9?ésimo pa$o 9, donde 1 ≤ 9 ≤ "! ara reali&ar este clculo, usamos la fórmula 4 )de la unidad autoformati#a OO* intercamiando la A por ' " por 9, de esta forma resulta
B!4Tala de capitali&ación! %a tala de capitali&ación del fondo de amorti&ación, sir#e para mostrar el crecimiento período a período del capital ' contiene de forma estndar ; columnas, a como se muestra en la tala A
Fin de período Anual 1 2 4 B ; 6 A H F 10
To!al
B
C
D
E
In!er"# #o$re el ondo
In%re&en!o al ondo
;B,626!24 ;B,626!24 ;B,626!24
0000000 ;,1HF,BF 10,HA1!FH
;B,626!24 ;F,H1;!A2 6;,BFH!22
;B,626!24 11B,BB1!F; 1AF,FB0!16
;B,;26!24 ;B,626!24
1A,0FB!42 24,F0A!AA
A1,A20!;; AH,;4B!00
2;1,660!A0 440,1FB!A0
;B,626!24 ;B,626!24 ;B,626!24
41,46H!;0 4F,;4H!00 BH,BH4!;F
H;,FFB!A4 FB,16B!24 104,10F!H4
B16,1HF!B2 ;10,4;4!6B 614,B64!BA
;B,626!24 ;B,626!24
;H,2AF!04 6F,00;!0B
112,F0;!26 124,641!2A
A26,46H!A4 H;0,000!00
'(4)*2)2+3,
'3,3*-3-+-,
' .(,*,,,+,,
Pago
del
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Capi!al en el ondo
/on!o de#eado
