EJERCICIOS I: 1. Encontramos dos curvas curvas que pasen por por el punto punto (4,4), que satisfaga satisfaga a la la ecuación ecuación diferencial. diferencial. 2
2
dy = 36 xy dx
R.
y
32 = 4 x − 7
2
,
y
32 = 4 x − 9
2. Encontrar Encontrar una una curva curva que pase pase por el el origen origen y cuya cuya pendient pendiente e esté dada dada por por dy y + 2 = R. xy + 2( x + y ) = 0 dx x + 2 !. "all "allar ar la curva que pasa pasa por el punto punto (#,$2) (#,$2) de modo modo que la pendien pendiente te de la recta recta tangent tangente e en 3x cualquiera de sus puntos sea igual al triple de la ordenada del mismo punto. R. y = − 2e 4. %ete %eterm rmin inar ar el cami camino no S recorrido por un cuerpo durante el tiempo t tiempo t,, si su velocidad es proporcional proporcional al traye trayecto cto,, sa&ien sa&iendo do que en 1#seg 1#seg.. El cuerpo cuerpo recor recorre re 1##m. 1##m. y en 1'seg 1'seg.. Recor Recorre re 2##m. 2##m. 1
t
R. S = ( 25) 2 5 '. "allar "allar la curva que tiene tiene la propieda propiedad d de que el segmento de la tangente tangente a la curva compren comprendida dida entre los ees de coordenadas se divide por la mitad en el punto de contacto. to. R. xy = C , C ≠ 0
. "allar la curva que pasa por el punto (#,$2) (#,$2) de modo modo que la la pendiente pendiente de la tangente en cualquiera cualquiera x R. y = 2e − 4 de sus puntos sea igual a la ordenada del punto aumentada en 4 unidades. *. "allar "allar una curva que posea posea la propiedad propiedad de que la magnitud magnitud de la perpendicu perpendicular lar &aada &aada del origen origen 2 2 R. x + y = Cx de coordenadas a la tangente sea igual a la a&scisa del punto de contacto. +. En todo todo punto punto de un curva curva la la proyecc proyección ión de la la normal normal al ee ee X tiene una longitud k. Encontrar la R. y 2
familia de curvas q poseen esta propiedad. propiedad.
=
+ 2 kx + C −
. Encontrar Encontrar las las curvas para para las cuales cuales la longitu longitud d de cualquier cualquier arco arco sea igual igual al -rea &ao &ao el arco y R. y = cosh ( x + C ) so&re el ee x. 1#. Encontrar Encontrar la familia familia de curvas, curvas, caracteri caracteriada adas s por la propiedad propiedad de que en todo punto punto la recta R. x + y = C tangente es perpendicular a la que une al punto con el origen. EJERCICIOS II: 1) /n peso peso de 4'0g. 4'0g. e mueve mueve en una una trayect trayectori oria a orion oriontal tal,, &ao la acció acción n conun conunta ta de una fuer fuera a constante de '.40g en la dirección del movimiento, y una fuera resistente, cuya magnitud en 3g. Es igual a seis veces la velocidad en mseg. i el cuerpo parte del reposo, allar a. u velo velocid cidad ad al al fina finall de 1 seg. seg. R. 0.392 m. &. 5a dista distancia ncia recorrid recorrida a despué después s de 1 seg. seg. 2) e dispara una &ala contra una masa de arena. uponiendo que la resistencia sea igual a la ra6 cuadrada de la velocidad de la &ala. 7alcular el tiempo que tardar- en detenerse la &ala, si su velocidad al R. 14 seg . penetrar en la arena, es de 4mseg. !) /n cuer cuerpo po con con una una masa masa de ' slugs slugs se se suel suelta ta de de una una altur altura a de 1## pies pies con con una una velo velocid cidad ad de de cero. cero. 8sumiendo que que no ay resistencia resistencia del aire. "allar "allar a. /na e9pres e9presión ión para para la veloci velocidad dad del del cuerpo cuerpo en un un momento momento t. &. /na e9pres e9presión ión para para la posici posición ón del cuerp cuerpo o en un momen momento to t. c. El tiempo tiempo reque requerido rido por por el cuerp cuerpo o para llegar llegar a la la tierra. tierra. 2
R.
4)
a ) v = 32t , b ) x = 16t 2 ,
2
2
c ) t = 2.5 seg .
una &ala &ala se introduce introduce en una ta&la de : 1## cm. %e espesor espesor con la la velocidad velocidad v 0 = 200
m seg
.
m . upon uponien iendo do que que la resist resisten encia cia de la ta&la ta&la al seg movimiento de la &ala es proporcional l cuadrado de la velocidad, allar el tiempo del movimientote la
;ras ;raspas pas-nd -ndola ola con la veloci velocida dad d de v1
R. m &ala por la ta&la.
dv dt
= 80
= kv
2
, t =
h( v1 − v0 ) v0
3
seg . = v 40 Ln 2.5 v Ln v 1
1
0
') /n cuerpo con una masa masa de 1# slugs se suelta suelta de una una altura de 1### pies sin velocidad velocidad inicial. inicial. El cuerpo encuentra una resistencia del aire proporcional a su velocidad. i la velocidad l6mite de&e ser de !2#piesseg., encontrar a. /na e9pres e9presión ión para para la veloci velocidad dad del del cuerpo cuerpo en un un momento momento t. &. /na e9pres e9presión ión para para la posici posición ón del cuerp cuerpo o en un moment momento o t. c. El tiempo tiempo que necesita necesita el cuerpo cuerpo para para alcanarl alcanarla a velocidad velocidad de 1# 1# piesseg. piesseg.
R. a. v = − 320 e −0.1t
+ 320,
b. x = 3200e −0.1t
+ 320 t − 3200
, c. 6.9 seg .
) /n cuerpo de masa 1 slugs se suelta con una velocidad inicial de 1 pieseg. < encuentra una resistencia del aire dada e9actamente por − 8v 2 . "allar la velocidad para cualquier momento t.
R. v =
2( 3e 32 t
− 1) 3e 32 t + 1
EJERCICIOS III: Lic. Macarini Ponce Avalos o 1. /n cuerpo a una temperatura de 0 F se coloca en un cuarto cuya temperatura se mantiene a 100 0 F . i después de 1#min. 5a temperatura del cuerpo es de 25 o F = encontrar a. El tiempo requerido por el cuerpo para llegar a la temperatura de 50 o F . &. 5a temperatura de cuerpo después de 2#min.
R. 23.9 min . R. 44 o F
2. 8l sacar un lecón del orno, su temperatura es de 300 o F . ;res minutos después, su temperatura es de 200 O F . >7u-nto tiempo demorar- en enfriarse, asta una temperatura am&iente de 70 o F ? R. despues de media hora ≅ 32.3 min .
!. /n termómetro que est- en el interior de una a&itación se lleva al e9terior, en donde la temperatura del aire es de 5 o F . %espués de 1 min. El termómetro marca 55 o F < después de 'min. @arca 30 o F . ¿7u-l es la temperatura inicial de la a&itación ? 4. /n termómetro se saca de una a&itación, en donde la temperatura del aire es de 70 o F , al e9terior en donde la temperatura es 10 o F . %espués de A min. El termómetro marca 50 o F . >7u-nto marca el termómetro cuando t = 1 min . ? >7u-nto tiempo demorar- el termómetro en alcanar los R. T = 36 .37 o F , t = 3.06 min . aprox . 15 o F ? '. i la temperatura del aire circundante es de 40 o C y la temperatura de un o&eto desciende de 170 o C a 105 o C en 4' min. >7u-l ser- la temperatura del cuerpo después de 2 oras y 1' min.? R.
T = 57 .03 o C
) upóngase que se saca un termómetro de un cuarto en el que la temperatura es de 24 o C , al e9terior, donde la temperatura es de 2 o C . < que al final de A min. 5a lectura es de 18 .5 o C . a. >7u-nto tiempo después ser- la lectura de 10 o C ? &. >7u-nto tiempo tomar- para &aar de 13 o C a 4.5 o C ? c. >7u-l es la ca6da de temperatura durante los primeros ! min. %espués de sacarla? R. 1.70 min ., 2.41 min ., 18.6 o C
*) 7uando un o&eto a&sor&e calor del medio que lo rodea se o&tiene tam&ién la fórmula (1). /na pequeBa &arra de metal, cuya temperatura inicial es de 20 o C , se dea caer en un recipiente con agua irviendo. 7alcular el tiempo que dica &arrera demorar- en alcanar los 90 o C si se sa&e que su temperatura aumentó 2 o C en 1 seg. >7u-nto demorar- la &arra en alcanar los 98 o C ? Si cuando la tempeatua del aie es de 20 ! ", se en#$a una sustancia desde 100 ! " hasta 60 ! " 8) en 10 minutos, halla la tempeatua despu%s de 40 minutos. 9) Sa&iendo 'ue un cuepo en el aie a 10 ! " se en#$a desde 200! " a 100 ! " en 40 minutos, d$(ase en cuento tiempo se en#ia desde 100 ! " a 10 ! " en el aie a 25 ! ". 10) Sup*n(ase 'ue la tempeatua de una ta+a de ca#% es de 200 ! inmediatamente 'ue ha sido se-ida. n minuto despu%s se ha en#iado a 190 ! en un cuato a 70 ! . ¿ "undo esta a 150 ! / 120 ! ? 11) Si la tempeatua del aie es de 20 ! " el cuepo se en#$a en 20 minutos desde 100 ! " hasta 60 ! " ¿ ento de cunto tiempo su tempeatua descende hasta 30 ! " ?. 12) n cuepo a una tempeatua desconocida se coloca en un cuato 'ue se mantiene a una tempeatua constante de 30 ! . Si despu%s de 10 minutos la tempeatua del cuepo es de 0 ! despu%s de 20 minutos la tempeatua del cuepo es de 15 ! , halla la tempeatua inicial desconocida del cuepo. 13) na &aa metlica a una tempeatua de 100 ! se pone en un cuato a una tempeatua constante de 0 ! . Si despu%s de 20 minutos la tempeatua de la &aa es de 50 ! . alla a) l tiempo 'ue necesita la &aa paa lle(a a una tempeatua de 25 ! &) a tempeatua de la &aa despu%s de 10 minutos. 14) n cuepo a una tempeatua de 50 ! se pone en un hono cua tempeatua se mantiene a 150 ! . Si despu%s de 10 minutos la tempeatua del cuepo es de 75 ! / halla el tiempo e'ueido po el cuepo paa lle(a a una tempeatua de 100 ! .
15) n tao de cema inicialmente a 25 ! ", se -a a en#ia colocndola en el p*tico donde la tempeatua es de 0 ! ". Supon(a 'ue la tempeatua de la cema ha descendido a 15 ! " despu%s de 20 minutos ¿ "undo esta a 5 ! " / 3 ! "?. 9) ento de cunto tiempo la tempeatua de un cuepo calentado hasta 100 ! " descende hasta 30 ! ". Si la tempeatua del local es de 20 ! " duante los pimeos 20 minutos el cuepo en cuesti*n se en#$a hasta 60 ! ". 10) Se calienta a(ua hasta el punto de e&ullici*n. l a(ua se emue-e lue(o del calo se (uada en un cuato el cual est a una tempeatua de 60 ! ". espu%s de 3 minutos la tempeatua del a(ua es de 90 ! " a) ncuente la tempeatua del a(ua despu%s de 6 minutos. &) ¿ "undo la tempeatua del a(ua se 75 ! "?. 11) a tempeatua mima 'ue puede leese en cieto tem*meto es de 110 ! . "uando el tem*meto maca 36 ! se coloca en un hono. espu%s de 1 2 minutos, especti-amente, maca 60 ! 82 ! ¿ "ul es la tempeatua del hono? 12) Supon(amos 'ue la a+*n a 'ue se en#$a un cuepo es popocional a la di#eencia ente la tempeatua del cuepo la tempeatua del aie 'ue lo odea un cuepo oi(inalmente a 120 ! se en#$a hasta 100 ! en 10 minutos en aie a 60 ! . nconta una epesi*n paa la tempeatua del cuepo en un instante cual'uiea t. 13) n 'u$mico desea en#ia desde 80 ! " hasta 60 ! " una sustancia contenido en un mata+ se coloca el dispositi-o en un ecipiente amplio po el 'ue cicula a(ua a 15 ! ". Se o&se-a 'ue despu%s de 2 minutos la tempeatua ha descendido a 70 ! ". stima el tiempo total de en#iamiento. 14) Se desea en#ia una soluci*n contenida en un mata+ 'ue est a 90 ! ". Se coloca el dispositi-o en un ecipiente amplio po el 'ue cicula a(ua a 18 ! " se o&se-a 'ue despu%s de 2 minutos la tempeatua desciende 10 ! ". alle el tiempo total de en#iamiento. 15) n tem*meto 'ue maca 75 ! se lle-a #uea donde la tempeatua es de 20 ! cuato minutos despu%s el tem*meto maca 30 ! . nconta a) a lectua del tem*meto 7 minutos despu%s de 'ue este ha sido lle-ado al eteio &) l tiempo 'ue le toma el tem*meto cae desde 75 ! hasta ms o menos medio (ado con especto a la tempeatua del aie. Lic. Macarini Ponce Avalos 16)
nconta una cu-a 'ue pase po el oi(en cua pendiente est% dada po
d d
=
+2 . +2
17) alla la cu-a 'ue pasa po el punto 0, 2 ) de modo 'ue la pendiente de la tan(ente en sus puntos sea i(ual a la odenada del punto aumentada en 4 unidades. 18) nconta dos cu-as 'ue pasen po el punto 4, 4) 'ue satis#a(a a la ecuaci*n di#eencial 8
d d
)
2
=
cual'uiea de
36 .
19) alla la ecuaci*n de la cu-a 'ue pasa po el punto 1, 2 ) tal 'ue la tan(ente en un punto cual'uiea : la ecta 'ue une este punto con el oi(en deteminan el n(ulo complementaio con el e;e de las <. 20) as nomales en todo punto de una cu-a pasan po un punto #i;o. alla la ecuaci*n de la cu-a. 21) a tan(ente a una cu-a en cual'uie punto, #oma con los e;es de coodenadas un tin(ulo de ea 2 =. alla la ecuaci*n de tal cu-a. 22) nconta la #amilia de cu-as, caactei+adas po la popiedad de 'ue en todo punto la ecta tan(ente es pependicula a la 'ue une al punto con el oi(en. 23) alla la cu-a 'ue pasa po el punto 0, 2 ) de modo 'ue la pendiente de la tan(ente en cual'uiea de sus puntos sea i(ual al tiple de la odenada del mismo punto. 24) etemina el camino S ecoido po un cuepo duante el tiempo t, si su -elocidad es popocional al taecto, sa&iendo 'ue en 10 se(undos el cuepo ecoe 100 metos en 15 se(undos ecoe 200 metos 25) a ecuaci*n di#eencial de un cicuito 'ue contiene una esistencia , capacidad " #.e.m. t) =
0
cos ω t es
d> dt
+
> "
=
d , suponiendo constantes , ", / halla la dt
coiente >
en el tiempo t. Lic. Macarini Ponce Avalos 26) n cicuito @ " @ , con A 6 ohms, " A 0, 0 2 #aadios, A 0, 1 henios, tiene un -olta;e aplicado de t ) A 6 -oltios. Suponiendo 'ue no ha coiente inicial no ha ca(a inicial paa t A 0 cuando se aplica el -olta;e po pimea -e+/ halla la ca(a esultante en el condensado la coiente en el cicuito. 16) n cicuito el%ctico consta de un condensado de capacidad " #aadios en seie con una esistencia de ohms, teniendo una ca(a de ' 0 en el instante t 0. etemine ' en #unci*n de t. 17)
n cicuito @ " @ tiene A 180 ohms., " A
1 280
#aadios, A 20 henios un -olta;e
aplicado de
t) A 10 sen t. Suponiendo 'ue no ha ca(a inicial en el condensado sino una coiente inicial de 1 ampee paa t A 0 cuando se aplica el -olta;e po pimea -e+, halla la ca(a esultante en el condensado.
1 #aadios, A 8 ohms, una #.e.m t) A 6 10 sen 120 π t -oltios. etem$nese la intensidad en cual'uie instante adems paa t A 2 se(undos. 19) alle la coiente de estado estacionaio, si se conecta en seie una esistencia de 2000 ohms una capacitancia de 3 10 6 #aadios con un altenado de 120 cos 2 t. -oltios. 20) n inducto de 3 henios est en seie con una esistencia de 30 ohms una #.e.m de 150 sen 2 0 t -oltios. Suponiendo 'ue en t A 0 la coiente es nula, halla la coiente en cual'uie tiempo t B 0. 21) Se conecta en seie una inductancia de 1 henio una esistencia de 2 ohms, con una &ate$a de 0 , 000 1 t 6e -oltios inicialmente no #lue nin(una coiente ¿ "undo lle(a la coiente a 0,5 ampeios?. 22) na esistencia de 10 ohms., se conecta en seie con una inductancia de henios. l cicuito est conectado po medio de un inteupto a una #uente constante de -oltios si la coiente alcan+a las 3C 4 pates de su -alo de estado pemanente en 0,1 se(undos, nconta . 18)
n un cicuito en seie " si se tiene 'ue " A
−
−
23) n cicuito @ @ " en seie contiene A 1 C 2 henios, A 10 ohms., "A 1 C 100 #aadios A 150 -oltios. etemine la ca(a instantnea 't) en el capacito paa t B 0, Si '0) A 1 >0) A 0. ¿ "ul es la ca(a en el condensado despu%s de un tiempo la(o?. 24) na cieta sustancia adiacti-a tiene una -ida media de 38 hoas. nconta 'ue tanto tiempo toma el 90 D de la adiati-idad paa disipase. 25) Si el 45 D de una sustancia adiacti-a se desinte(a en 200 aEos ¿ "ul es su -ida media?. n cunto tiempo se desinte(a 60 D de la cantidad oi(inal?. 26) n cieto mateial adiacti-o tiene una -ida media de dos hoas. ncuente el tiempo e'ueido paa 'ue una cantidad dada de este mateial decai(a hasta un d%cimo de su masa oi(inal. 27) Supon(a 'ue una (ota de llu-ia es#%ico se e-apoa a una -elocidad popocional a su ea supe#icial. Si oi(inalmente el adio es de 3 mm., una hoa despu%s se ha educido a 2 mm. . nconta una epesi*n paa el adio de la (ota de llu-ia como #unci*n del tiempo. 28) l a+Fca se disuel-e en el a(ua con una apide+ popocional a la cantidad 'ue 'ueda sin dilui. Si 30 li&as de a+Fca se educe a 10 li&as en 4 hoas. ¿ n cunto tiempo se ha& diluido el 95 D del a+Fca?. 29) l adiacti-o tiene una -ida pomedio de 5600 aEos apoimadamente en cuntos aEos desciende el 20 D de su cantidad oi(inal?. ¿ Gl 10 D?. 30) n culti-o tiene inicialmente una cantidad : o de &acteias. :aa t A 1 hoa el nFmeo de &acteias 3 : o . Si la apide+ de multiplicaci*n es popocional al nFmeo de medido es &acteias pesentes. 2 etemine el tiempo necesaio paa 'ue el nFmeo de &acteias se tipli'ue. 31) Se sa&e 'ue un mateial adiacti-o se desinte(a a una apide+ popocional a la cantidad pesente. Si despu%s de una hoa se o&se-a 'ue el 10 D del mateial se ha desinte(ado. alla la -ida media del mateial. 32) ncuente la -ida media de una sustancia adiacti-a, si el 25 D de %sta desapaece en 10 aEos. 33) Se ha descu&ieto 'ue una &ola de na#talina 'ue ten$a oi(inalmente un adio de 1C 4 de pul(adas, tiene un adio de 1 C 8 de pul(ada al ca&o de un mes. Suponiendo 'ue se e-apoe a un $ndice popocional a su supe#icie. ncu%ntese el adio en #unci*n del tiempo/ despu%s de ¿cuntos meses ms desapaece po completo?. 34) >nicialmente ha&$a 100 mili(amos de una sustancia adiacti-a despu%s de 6 hoas la masa disminu* en 3 D. Si la apide+ de desinte(aci*n es en un instante cual'uiea, popocional a la cantidad de sustancia en dicho instante, halle la cantidad 'ue 'ueda despu%s de 24 hoas. 35) a po&laci*n de una pe'ueEa ciudad cece, en un instante cual'uiea, con una apide+ popocional a la cantidad de ha&itantes en dicho instante. Su po&laci*n inicial de 500 aumenta 15 D en 10 aEos ¿"ul se la po&laci*n dento de 30 aEos? 36) Supon(amos 'ue un elemento adiacti-o dado G, se descompone en un se(undo elemento H 'ue, a su -e+ H se descompone en un tece elemento, ". Si la cantidad de G pesente inicialmente es de o , si las cantidades de G H pesentes en un momento posteio son < I especti-amente si J 1 , J 2 son las constantes de apide+ de esas dos eacciones. ncu%ntese I en #unci*n de t. 37) Se sa&e 'ue la po&laci*n de cieto pa$s aumenta a una apide+ popocional al nFmeo de ha&itantes actuales del pa$s. Si despu%s de 2 aEos la po&laci*n se ha duplicado despu%s de 3 aEos la po&laci*n es de 20, 000 ha&itantes/ halla el nFmeo de ha&itantes 'ue ha&$a inicialmente en el pa$s. 38) n o&;eto de masa m se de;a cae desde el eposo en un medio 'ue o#ece una esistencia popocional a la ma(nitud de la -elocidad. ncu%ntese el tiempo 'ue tanscue antes de 'ue la -elocidad del o&;eto alcance el 90 D de su -alo l$mite. 50) n hom&e tiene 100, 000 nue-os soles en un &anco 'ue pa(a inteeses a 128 D anual en #oma compuesta continua. Si saca dineo a a+*n de 20, 000 nue-os soles anuales,¿ "unto tiempo le dua su dineo?. 51) ¿"ul es la tasa anual de inte%s 'ue se pa(a a una cuenta en donde el inte%s se -a aceditando continuamente a la tasa del 5 D? 52) Si el 20 D de una sustancia adiacti-a se desinte(a en 50 aEos, halla la -ida media de la sustancia. Lic. Macarini Ponce Avalos
53) a -ida media de una sustancia adiacti-a se de#ine como la lon(itud de tiempo e'ueida paa 'ue se desinte(en la mitad de los tomos de cual'uie muesta de la susta ncia a) a -ida media del ca&ono adiacti-o 14 es de 5600. alla la cantidad de ca&ono 14 'ue 'ueda en una muesta o al #inal de t aEos. Supone 'ue la tasa de desinte(aci*n es popocional a la cantidad eistente en el momento). &) Si se ha desinte(ado el 90 D del ca&*n 14 en una muesta dada deca&ono, halla la edad de la muesta. 54) n un culti-o de le-adua, la cantidad de #emento acti-o cece a una -elocidad popocional a la cantidad pesente. Si se duplica la cantidad en 1 hoa.¿ "untas -eces puede espease 'ue ten(a la 3 hoas ?. cantidad oi(inal al ca&o de 2 4 55) Si un culti-o de &acteias cece en #oma eponencial a la cantidad pesente, se tiene inicialmente 100 &acteias despu%s de 20 hoas ha 500 &acteias. Se desea conoce la cantidad de &acteias 'ue ha& al ca&o de 2 d$as? Se sa&e 'ue la -elocidad de cecimiento de una cieta po&laci*n < est dada po d dt
=
= 8 16 − ) millones C aEo , donde = A constante, = B 0. Si en el aEo de 1972 la
po&laci*n
ea
de 4 millones si en el aEo de 1980 ea de 8 millones. ¿ "ul se la po&laci*n en el 2005? 56) Supon(a 'ue la po&laci*n de la tiea cam&ia con una apide+ popocional a la po&laci*n pesente. Sup*n(ase adems 'ue en el aEo 1650 la po&laci*n #ue de 250 millones 'ue en el aEo 1950 la po&laci*n #ue de 500 millones. etemina una epesi*n paa la po&laci*n de la tiea en #unci*n del tiempo, suponiendo 'ue la mao po&laci*n 'ue puede sopota la tiea es de 15 &illones. ¿"undo alcan+a el l$mite? 57) n hom&e pesta K 1000 su;eto a la condici*n de 'ue el inte%s se computa continuamente. Si la tasa de inte%s es de 4 D al aEo. ¿"unto tend 'ue pa(a en 10 aEos?, ¿ "ul es la tasa de inte%s simple e'ui-alente? 58) alla el tiempo necesaio paa 'ue una cantidad de dineo aumente al do&le, al 5 D po aEo, de inte%s compuesto continuo.
