Mat Fin 2009

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Fernando Palazolli Marco Aurélio Vallim Reis da Silva Paulo Quintairos

MENSAGEM DOS AUTORES O livro é fruto da mistura das experiências e vivências dos autores, envolvendo a Matemática Financeira e suas diversas aplicações. A soma das trajetórias profissionais dos autores resultou no conhecimento de como a Matemática Financeira é usada no mercado financeiro e de capitais, na administração de empresas, bem como na atividade de consultoria financeira. Por outro lado, a vivência dos autores como professores dos cursos, de graduação e pós-graduação, nas áreas de administração e de finanças, permitiu um profundo conhecimento das dificuldades encontradas pelos estudantes no estudo do assunto. A experiência mercadológica dos autores guiou a escolha dos tópicos abordados, bem como do grau de aprofundamento de cada um deles. A experiência acadêmica foi fundamental para a escolha da forma de apresentação dos assuntos. Ao longo de toda a obra, a ênfase foi a de focar as aplicações práticas, envolvendo o uso da calculadora financeira. Os exercícios são todos contextualizados e adaptados à realidade atual do Brasil. Todos os assuntos apresentados no livro são ilustrados com exemplos e exercícios resolvidos. Ao final de cada tópico há uma grande variedade de exercícios propostos, todos com respostas. A escolha dos tópicos abordados permite que o livro seja usado como texto básico dos cursos de Matemática Financeira, com o uso opcional da calculadora HP12C, ou como um curso introdutório de Análise de Investimentos e de Mercado Financeiro e de Capitais.

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INTRODUÇÃO Segundo Eduardo Giannetti (2005) “a vida é um intervalo finito de duração indefinida” o que acarreta uma série de “implicações e possibilidades”, dentre as quais “que peso atribuir ao futuro próximo e remoto diante dos apelos, acenos e premências do momento?”. O que pode levar alguém a abdicar de desfrutar do dinheiro que dispõe hoje? A resposta é, simplesmente, ser recompensado, financeiramente, no futuro. Contrariamente, toda vez que alguém deseja desfrutar de uma quantia que somente terá no futuro, haverá de pagar mais caro por isso. Assim sendo, o valor do dinheiro é variável no tempo e dependente das necessidades que alguém, ou uma empresa, tenham dele ao longo do tempo. De acordo com Castelo Branco (2002), o objetivo da Matemática Financeira é “estudar o valor do dinheiro em função do tempo”, ou seja, é uma ferramenta que serve para avaliar o custo de antecipar o desfrute de um capital que não se tem ou, por outro lado, quanto se pode ganhar por adiar o desfrute do capital que se possui. A partir dos comentários acima, é possível chegar a duas conclusões importantes para nosso estudo: • É possível atribuir valor ao tempo (Leite, 1993, p.242) na medida em que um indivíduo exige uma remuneração para postergar seu consumo (poupar seus recursos financeiros); e, • Tal remuneração exigida pelo indivíduo que dispõe de recursos financeiros ociosos será uma função do tempo, mas também dos riscos envolvidos nessa decisão. A Matemática Financeira é uma ferramenta útil nos processos de escolhas como: qual o melhor plano de financiamento, comprar ou alugar, substituição de equipamentos, melhores alternativas de aplicações financeiras, dentre outras. Desde sua origem, a Matemática Financeira foi sendo desenvolvida do simples cálculo de juros até a criação de ferramentas sofisticadas de análise de investimentos, formando o conjunto que hoje é usualmente referido como Engenharia Econômica.Por todas estas características, é uma ferramenta fundamental e indispensável para administrar empresas. Administrar uma empresa implica tomar decisões que afetarão os destinos da organização. O processo de tomada de decisão gerencial envolve, necessariamente, o problema da escassez ou fartura de recursos, tornando necessário que o administrador tenha de comparar várias alternativas existentes para a aplicação ou a obtenção dos recursos financeiros. A importância da análise financeira permeia, de forma mais ou menos direta, todos os setores de uma empresa. Na Diretoria Industrial, por exemplo, devem ser tomadas decisões que dizem respeito a novas tecnologias, matérias-primas, estoques, plantas industriais, compra de novos equipamentos, pessoal especializado etc. Na Diretoria Comercial, que envolve Marketing e Vendas, devem ser tomadas decisões a respeito do lançamento de novos produtos, propaganda, publicidade, participação de mercado etc. Na Diretoria de Recursos Humanos (Gestão de Pessoas), são tomadas decisões referentes ao recrutamento e seleção, treinamento, relações sindicais, cargos e salários etc. Na Diretoria Financeira, as preocupações estão voltadas para os resultados, custos, despesas, capital de giro, alocação correta dos recursos financeiros etc. Uma análise superficial da estrutura de uma empresa pode levar a conclusão precipitada de que somente a área financeira da empresa deve se ocupar do dinheiro. Porém, uma análise mais cuidadosa mostra que todas as áreas de uma empresa são responsáveis pela demanda ou geração de recursos financeiros. Em outras palavras, a função

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financeira de uma empresa não fica restrita ao departamento financeiro, mas permeia toda a estrutura organizacional. Assim sendo, para administrar uma empresa do ponto de vista financeiro, isto é, de acordo com a Administração Financeira, é imprescindível dominar as técnicas da Matemática Financeira, que é a base fundamental da área de Finanças.

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SUMÁRIO CAPÍTULO 1 – NTRODUÇÃO AO MERCADO FINANCEIRO E DE CAPITAIS........................................................................................................................5

CAPÍTULO 2- A UTLIZAÇÃO DA HP 12C ................................................................5

CAPÍTULO 3- CAPITALIZAÇÃO SIMPLES...............................................................7

CAPÍTULO 4- DESCONTO ........................................................................................14

CAPÍTULO 5- CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA........................................................20

CAPÍTULO 6- SÉRIES PERIÓDICAS UNIFORMES.................................................32

CAPÍTULO 7- SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO.......................................................43

CAPÍTULO 8- TÉCNICAS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS...........................53

CAPÍTULO 9- PRINCIPAIS OPERAÇÕES REALIZADAS NO MERCADO FINANCEIRO................................................................................................................60

BIBLIOGRAFIA.................................................................................................78

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CAPÍTULO 1- INTRODUÇÃO AO MERCADO FINANCEIRO Este primeiro capítulo contém um breve resumo dos princípios do funcionamento do mercado financeiro e de capitais. Sendo assim, o objetivo deste capítulo é tão somente permitir que os estudantes vislumbrem a importância dos conceitos e técnicas da Matemática Financeira para compreender e trabalhar no mercado financeiro e de capitais. Para compreender e perceber a relevância dos mercados é necessário analisar uma sociedade sob a ótica sistêmica. Em um sistema econômico — um país, por exemplo —, as unidades familiares, as empresas, o governo e o setor externo interagem através dos fluxos reais (fatores de produção, produtos e serviços) e dos fluxos monetários (pagamentos pelos produtos e serviços adquiridos, pagamento de impostos e remuneração dos fatores de produção). Dentro desse sistema, o mercado financeiro desempenha um papel fundamental, uma vez que promove a intermediação de recursos entre os agentes superavitários e os agentes deficitários. Os agentes deficitários de uma sociedade são aqueles cujos gastos (consumo) superam a renda. Na condição de deficitários, tais agentes se dispõem a pagar juros pelo capital obtém sob a forma de empréstimos. Em outras palavras, pagam o preço por usufruir antecipadamente suas receitas. Os agentes superavitários estão numa condição oposta àquela dos deficitários. Agentes superavitários são aqueles cujos gastos são inferiores à própria renda. Tais elementos recebem juros pelo capital emprestado, ou seja, são remunerados por adiar consumo. 1.1- Estrutura do Sistema Financeiro Nacional O papel do Estado moderno é o de garantir o funcionamento dos mercados, garantindo a livre concorrência e a lisura das operações. A função do governo é criar e manter um ambiente propício e saudável para o florescimento e desenvolvimento de negócios. No Brasil os mercados são regulados e fiscalizados pelo Sistema Financeiro Nacional. O SFN é constituído por um subsistema normativo e por outro operativo. Subsistema Normativo O subsistema normativo tem as funções de regular e controlar o subsistema operativo. A regulação e o controle são exercidos por meio de normas legais, as quais são expedidas pelas autoridades monetárias ou pela oferta seletiva de crédito pelos agentes financeiros do governo. O subsistema normativo é composto pelos seguintes órgãos: • Conselho Monetário Nacional (CMN): É o órgão deliberativo de cúpula do Sistema Financeiro Nacional. Devido à condição de órgão normativo, não lhe cabem funções executivas, sendo responsável pela fixação das diretrizes das políticas monetárias, creditícia e cambial do país. •

Banco Central do Brasil (BACEN): Atua como órgão executivo central do sistema financeiro, cabendo-lhe a responsabilidade de cumprir e fazer cumprir as disposições que regulam o funcionamento e as normas expedidas pelo CMN.

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Comissão de Valores Mobiliários (CVM): Funciona como órgão especificamente voltado ao desenvolvimento, à disciplina e a fiscalização do mercado mobiliário, principalmente ações e debêntures.

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Conselho Nacional de Seguros Privados (CNSP): É responsável por fixar as diretrizes e normas da política de seguros privados. Sua principal função é regular a constituição, organização, funcionamento e fiscalização das sociedades seguradoras, sociedades de capitalização e entidades de previdência privada aberta.

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Banco do Brasil (BB): É uma sociedade anônima de capital misto, cujo controle é exercido pela União. Exerce ao mesmo tempo, as funções de banco comercial e agente financeiro do Governo Federal, sendo o principal executor das políticas de crédito rural e industrial.

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Caixa Econômica Federal (CEF): É a instituição financeira responsável pela operacionalização das políticas do Governo Federal para habitação popular e saneamento básico. Também cabe à CEF a administração de loterias, de fundos e de programas, entre os quais se destacam: o Fundo de Garantia por Tempo de Serviço (FGTS), o Fundo de Compensação de Variações Salariais (FCVS), o Programa de Integração Social (PIS), o Fundo de Apoio ao Desenvolvimento Social (FAS) e o Fundo de Desenvolvimento Social (FDS).

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Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico Social (BNDES): É o principal órgão de execução da política de investimentos do Governo Federal. Exerce a tarefa de apoiar investimentos estratégicos, necessários ao desenvolvimento do país e, particularmente ao fortalecimento da empresa privada nacional.

Subsistema Operativo O subsistema operativo é constituído pelas instituições financeiras públicas ou privado, atuantes no mercado financeiro. De acordo com a Lei de Reforma Bancária (Lei nº. 4.595, de 31 de dezembro de 1964), as instituições financeiras são pessoas jurídicas, públicas ou privadas, cuja atividade principal, ou acessória, seja a coleta, intermediação e/ou aplicação de recursos financeiros. Tais recursos podem ser próprios ou de terceiros, em moeda nacional ou estrangeira, sendo a custódia de valor de propriedade de terceiros. Para os efeitos dessa lei, equiparam-se às instituições financeiras as pessoas físicas que exerçam quaisquer das atividades referidas de forma permanente ou eventual. O subsistema operativo é formado pelas seguintes instituições:

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Bancos Múltiplos: São bancos que, mediante autorização do Banco Central, podem operar, simultaneamente, carteiras de banco comercial, de desenvolvimento, de crédito imobiliário, de crédito, financiamento e investimento, de arrendamento mercantil, e de desenvolvimento. Constituem, assim, uma só Instituição Financeira de Carteiras Múltiplas.

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Bancos Comerciais: Os bancos comerciais são classificados como instituições monetárias por terem o poder de criação de moeda escritural 1. Trata-se de instituições financeiras que recebem depósitos à vista em contas de movimento e efe-

Depósitos bancários à vista. Também chamada de moeda bancária.

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tuam empréstimos a curto prazo. Financiam especialmente capital de giro para as empresas. •

Bancos de Investimento: São entidades privadas, especializadas em operações de participação ou financiamento, a médio e longo prazo. Visam suprir necessidades de capital fixo e de giro.

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Bancos e Companhias de Desenvolvimento: Podem ser regionais ou estaduais, com funções semelhantes às do BNDES. Têm área de atuação restrita à esfera à sua localização.

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Caixas econômicas: Essas instituições podem receber depósitos à vista do público em geral, além de depósitos em caderneta de poupança. Sua atuação visa basicamente o financiamento habitacional e empréstimos em geral.

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Companhias de Crédito, Financiamento, e Investimento (Financeiras): São instituições privadas, constituídas na forma de sociedade anônima. Têm por objetivo o financiamento do consumo.

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Companhias de Crédito Imobiliário (CCI) e Associações de Poupança e Empréstimo (APE): São instituições participantes do Sistema Brasileiro de Poupança e Empréstimos (SBPE). Estão sujeitas, enquanto instituições financeiras, às normas e fiscalização do Banco Central.

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Leasing, Factoring, Consórcios: São empresas ou atividades típicas de concessão de créditos empresarial geral, ou operações com consumidores.

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Bolsas de Valores: Associações civis cujo principal objetivo social é manter um local adequado ao encontro de seus membros e à realização, entre eles, de transações de compra e venda de títulos e valores mobiliários, em mercado livres e abertos. São supervisionadas pela Comissão de Valores Mobiliários.

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Sociedades Corretoras: São sociedades anônimas ou sociedades por quotas de responsabilidade limitada. A principal função dessas sociedades é a de promover, de forma eficiente, a aproximação entre compradores e vendedores de títulos e valores mobiliários. Tal aproximação visa promover a negociabilidade dos títulos e valores por meio de operações realizadas em recinto próprio (pregão das Bolsas de Valores).

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Sociedades Distribuidoras: Empresas constituídas como sociedades anônimas, sociedades por quotas de responsabilidade limitada, ou ainda como firmas individuais, cuja autorização para o funcionamento é dada pelo BACEN.

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Agentes Autônomos de Investimento: Pessoas físicas credenciadas por bancos de investimento, sociedades de crédito, financiamento e investimentos, sociedade de crédito mobiliário, sociedades corretoras e sociedades distribuidoras, que desempenham, exclusivamente por conta e ordem das entidades credenciadas, atividades como colocação ou venda de títulos e valores mobiliários registrados na CVM ou de emissão ou de co-obrigação de instituições financeiras, entre outras.

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Companhias de Seguros: Constituídas como sociedade anônima, são empresas administradoras de riscos, com obrigação de pagar indenizações por ocasião de perdas e danos dos bens segurados.

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1.2- Segmentos do mercado financeiro O mercado financeiro é formado, essencialmente, por quatro segmentos. São eles o Mercado Monetário, o Mercado de Crédito, o Mercado de Capitais e o Mercado Cambial. A seguir, serão brevemente apresentados cada um deles. •

Mercado Monetário: Neste segmento são realizadas operações de curto e curtíssimo prazo, as quais servem para controlar a liquidez do sistema financeiro. Os papéis negociados nesse mercado são usualmente tomados como parâmetro para a formação da taxa de juros básica da economia. Os papéis mais negociados são aqueles emitidos pelo Banco Central do Brasil, os quais são voltados à execução da política monetária do Governo Federal, e pelo Tesouro Nacional, cujo objetivo é o financiamento do orçamento público. Além desses, são negociados, no mercado monetário, os certificados de depósitos interfinanceiros (CDI), exclusivamente entre instituições financeiras, e os títulos de emissão privada, como o certificado de depósito bancário (CDB) e debêntures.

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Mercado de Crédito: Atende os agentes econômicos quanto às suas necessidades de crédito de curto e médio prazo, principalmente, as solicitações de crédito para financiamento de bens duráveis pelos consumidores e do capital de giro das empresas.

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Mercado Cambial: Realiza operações de compra e venda de moedas estrangeiras conversíveis. Atuam nesse mercado, principalmente, os agentes voltados ao comércio internacional. As operações nesse segmento de mercado são feitas sob a intermediação de instituições financeiras autorizadas, bancárias e não bancárias.

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Mercado de Capitais: Atende os agentes econômicos quanto às suas necessidades de crédito de médio e longo prazo, essencialmente aquelas relacionadas com investimentos em ativo imobilizado. São operações realizadas, principalmente, com ações e debêntures.

Mercado Acionário Ações são títulos nominativos, de renda variável, emitidos por sociedades anônimas que representam uma fração de seu capital social. Ao adquirir ações, o investidor torna-se um co-proprietário da empresa. As ações podem ser de dois tipos: •

Ordinárias, que concedem àqueles que as possuem o direito de voto nas assembléias deliberativas da empresa, permitindo votar par eleger diretores, aprovar demonstrações financeiras, modificar estatutos sociais etc. Na distribuição de dividendos da empresa seus proprietários só recebem sua parcela correspondente depois dos proprietários das ações preferenciais.

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Preferenciais, garantem àqueles que as possuem a prioridade no recebimento de dividendos e no reembolso do capital em caso de dissolução da sociedade. Esse tipo de ação restringe ou não concede o direito a voto nas assembléias deliberativas da empresa.

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Após o seu lançamento no mercado primário, as ações passam a ser negociada no mercado secundário, compreendendo os mercados de balcão 2 e a bolsa de valores. As negociações de ações no mercado secundário não impacta diretamente o fluxo de caixa das empresas, isto é, não há repasse de recursos para as empresas uma vez que a troca de propriedade das ações ocorre entre investidores, e, não mais com a empresa. O funcionamento do mercado secundário de ações ocorre principalmente nas bolsas de valores. Atualmente, as negociações são feitas eletronicamente (o pregão de viva voz somente ocorre na BM&F 3 e não mais na BOVESPA) por intermédio de uma Sociedade Corretora 4. Os ganhos dos investidores no mercado acionário decorrem, basicamente, da valorização das ações possuídas e do recebimento de dividendos distribuídos pelas respectivas sociedades anônimas das quais seja acionista. Além das taxas e emolumentos, o investidor quando decide negociar suas ações, está sujeito ao pagamento do Imposto de Renda com alíquota, atualmente, de 15% sobre ganho de capital (diferença entre valor de aquisição e valor de venda da ação). Já, o ganho líquido com as operações de day trade 5 é tributado em 20%. É importante ressaltar que, atualmente, vendas iguais ou inferiores a R$ 20.000,00 no total e dentro do mesmo mês (01 a 30), estão isentos de Imposto de Renda. Na Bolsa de Valores são realizadas três modalidades de operações: •

No mercado a vista: compram-se e vendem-se ações cuja liquidação física acontece no segundo dia útil após a realização do negócio e a liquidação financeira, ocorre no terceiro dia útil.

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No mercado a termo: compram-se e vendem-se certas quantidades de uma ação, por um preço fixado entre comprador e vendedor, cuja liquidação ocorre em data futura, em geral 30, 60, 90, 120, 150 ou 180 dias depois da data da realização da operação.

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Mercado de opções: nesse segmento, não se negociam ações, e sim direitos de compra e venda sobre elas. Uma opção de compra confere ao seu titular (comprador) o direito de comprar uma certa quantidade de ativo por um preço prédeterminado até uma determinada data. Para ter esse direito de comprar o ativoobjeto 6 por um determinado preço, o titular paga um prêmio ao vendedor da a-

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Mercados de balcão: O mercado de balcão é um segmento do mercado de capitais brasileiro. O mercado de balcão é um mercado de títulos sem local físico definido para a realização das transações que são feitas por telefone entre as instituições financeiras. 3 BM&F – Bolsa de Mercadorias e Futuros. 4 Sociedade Corretora: Instituição que opera como intermediária entre os investidores nas transações em bolsas de valores. 5 Day trade: corresponde a compra e venda de uma mesma ação no mesmo dia. 6 Ativo-objeto: ativo sobre o qual lança-se a opção, podendo ser ações, índices ou commodities (commodities é um termo utilizado para designar um tipo de mercadoria em estado bruto ou produto primário que tenha importância comercial. São exemplos de commodities: minérios, algodão, café, algodão, soja e carnes).

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ção. A opção de venda detém as mesmas características da anterior, porém, o titular desta opção tem o direito de vendê-la até uma determinada data. Geralmente as Bolsas de Valores calculam um ou mais índices que refletem o comportamento dos principais papéis ali negociados. O índice mais relevante no mercado brasileiro é o IBOVESPA - Índice Bovespa. O IBOVESPA é formado por uma carteira teórica das ações negociadas no mercado à vista, a partir de uma aplicação hipotética. As ações que integram o índice, respondem por mais de 80% do número de negócios e do volume financeiro verificado nos 12 meses anteriores à formação da carteira. Esta carteira é refeita a cada quatro meses com a finalidade de atualizar a representatividade das ações. Modelos de avaliação de ações Um dos maiores problemas que os investidores encontram no mercado acionário, por se tratar de operações de renda variável, é a grande variedade de alternativas de investimentos e de métodos de avaliação disponíveis. Dentre as diferentes formas de avaliação, destacam-se três abordagens metodológicas, as quais buscam explicar as oscilações das cotações das ações no mercado acionário. As metodologias são usualmente referidas como escolas, sendo as mais usadas: a análise técnica, a análise da trajetória aleatória e a análise fundamentalista. A seguir os fundamentos de cada uma dessas escolas serão sucintamente apresentados. Escola técnica Os fundamentos da escola técnica são baseados na crença de que as variações de preços movimentam-se em tendência, existindo uma dependência entre as oscilações que se sucedem. Os adeptos da escola técnica estudam os movimentos passados dos preços e dos volumes negociados com a finalidade de prever o desempenho futuro das oscilações dos títulos. Eles consideram que os preços apresentam padrões indentificáveis e previsíveis de comportamento. Os analistas adeptos da análise técnica utilizam gráficos para estudar comportamento histórico dos preços dos ativos. Por essa razão, esta abordagem também é conhecida como análise gráfica. Assim, no âmbito desta abordagem, cabe ao analista gráfico (grafista) identificar as tendências de alta e de queda dos preços das ações, por meio de observações passadas. O objetivo é fazer previsões sobre os preços futuros, auxiliando as decisões de compra e venda de determinado título. De acordo com abordagem grafista, os preços dos ativos são determinados em função da oferta e demanda. No âmbito da escola técnica, os fatores relacionados com a empresa (lucro líquido, dividendo, participação de mercado, grau de endividamento e outros) ou com a economia (política monetária e fiscal, fatores políticos, perspectivas de crescimento e etc.) não são importantes para a tomada de decisão. Os grafistas adotam o princípio de que os preços já refletem todas essas informações. Teoria da trajetória aleatória A teoria da trajetória aleatória, “Randon Walk” ou “randômica”, é baseada na suposição que os preços dos títulos variam aleatoriamente em torno de seu valor intrínseco. Tal variação é função das informações que chegam aos investidores. Os ajustes de preços ocorrem, de acordo com a teoria randômica, de forma instantânea. Assim sendo, não há possibilidades dos investidores auferirem ganhos anormais, isto é, não seria pos-

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sível obter um desempenho melhor que uma estratégia simples de comprar e manter aleatoriamente uma ação. Assim sendo, a teoria da trajetória aleatória implica na eficiência dos mercados. Não é considerado, como na abordagem técnica, que os preços passados das ações possam ser utilizados para prever o desempenho futuro dos títulos. Abordagem fundamentalista A análise fundamentalista parte da premissa que o valor de uma ação é determinado pelo desempenho econômico-financeiro futuro de uma empresa, ou seja, o retorno que o investidor poderá obter caso adquira a ação. Entretanto, como nem sempre o valor potencial, ou valor intrínseco, assemelha-se ao valor de mercado (preço atual da ação no mercado multiplicado pela quantidade de ação), o objetivo da análise fundamentalista é determinar qual título está sendo negociado acima ou abaixo desse valor. Um investidor que utiliza dessa abordagem procurará comprar as ações cujos preços estejam abaixo desse valor potencial, esperando a valorização do título, isto é, um ganho de capital. Analogamente, o investidor venderá as ações cujos preços estejam acima do valor intrínseco. Na análise fundamentalista, o valor intrínseco das ações é obtido através do desconto do fluxo de rendimentos futuros de uma empresa, considerando a uma determinada taxa de desconto. Essa taxa varia em função do risco, isto é, do grau de incerteza futuro dos títulos. A determinação da taxa de desconto de uma ação implica prever a capacidade futura da lucratividade da empresa, haja vista ser este um dos fatores determinantes das variações dos dividendos. O cálculo da taxa de desconto envolve, portanto, a análise de uma série de fatores internos e externos à empresa. Sendo assim, se faz necessária uma análise inicial das perspectivas futuras da economia, da política e dos próprios aspectos sociais, uma vez que estes irão afetar de forma diferenciada os lucros dos diversos setores industriais e das empresas. Depois de traçar as perspectivas econômicas, relevantes para a avaliação de uma ação, os analistas precisam analisar como as variáveis analisadas afetarão a empresa objeto do estudo. Para isto, deverão ser feitas projeções futuras dos dados econômicos e financeiros para, posteriormente, determinar o valor da companhia. Este valor poderá estar abaixo ou acima do valor potencial. Isso irá determinar se o ativo está sub ou super avaliado. O processo de análise fundamentalista, que foi apresentado acima de forma simples e sucinta, implica um grande tempo de análise, envolvendo elevada complexidade. A complexidade decorre de variáveis incertas, as quais mudam com grande freqüência. As constantes e rápidas mudanças de cenários exigem que as premissas das projeções sejam refeitas, para que sejam determinados novos valores potenciais das companhias. A determinação do valor de uma empresa é feita, principalmente, pelo desconto de fluxos futuros de rendimentos de cada título. Uma outra técnica também empregada é a análise comparativa (múltiplos).

Exercícios propostos 1. 2. 3. 4.

Que papel o mercado financeiro desempenha na economia do país? Quem são os agentes deficitários e agentes superavitários? Quais sãos as principais funções do Conselho Monetário Nacional Quais sãos as principais funções da Comissão de Valores Mobiliários

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5. Quais sãos as principais funções da Banco Central 6. Explique os principais participantes do subsistema operativo 7. O que é o mercado monetário? 8. O que é o mercado de crédito? 9. O que é o mercado de capitais? 10. O que é o mercado cambial? 11. O administrador financeiro deve estar familiarizado com o funcionamento desses mercados? Explique. 12. Quais as formas que uma empresa pode se utilizar para financiar seus projetos de investimentos? 13. Explique o funcionamento da Bolsa de Valores 14. Explique como funciona e quais são as fontes de retorno de um investimento no mercado acionário. 15. O que é abertura de capital? 16. O que são ações, e quais seus tipos? 17. Quais as modalidades de operações realizadas na bolsa de valores? 18. Como é formado o Índice Bovespa? 19. Quais são as principais diferenças entre a análise técnica e fundamentalista. 20. Quais são as principais tipos de financiamento disponíveis no mercado financeiro.

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CAPÍTULO 2 – AS PRINCIPAIS FUNÇÕES DA HP 12C 2.1- O uso da calculadora financeira HP-12C O propósito deste capítulo não é fornecer ao leitor um curso completo sobre calculadoras financeiras, nem mesmo um curso específico sobre a HP 12-C. O aprendizado de todas as funções existentes numa máquina deste tipo engloba variadas operações, sendo a quantidade de funções depende da marca e modelo da calculadora. Entretanto, algumas das operações tratadas ao longo deste livro podem ser feitas com maior facilidade usando-se uma calculadora financeira. Por isso, será apresentada neste capítulo, uma breve introdução das funções mais importantes da HP 12-C. A HP 12-C é uma calculadora de tecnologia norte-americana e, por isso, suas teclas contém letras que sintetizam, em inglês, as funções que representam. A HP foi projetada para fazer muitos tipos de cálculos. Uma conseqüência de tamanha funcionalidade, é que algumas teclas abrigam mais de uma função, as quais são identificadas por caracteres impressos em cores diferentes (amarelo, branco e azul).

Funções Financeiras

Ligar e desligar

Função Função Amarela Azul

Acesso à Memória

Entrada

Operações básicas

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Adequando a máquina A seguir, serão apresentados alguns procedimentos, os quais visam adaptar a HP 12-C ao uso deste livro. Primeiro procedimento: “Reset” geral da HP 12-C a) desligue a máquina – tecle ON para desligá-la; b) pressione a tecla ON , mantendo-a pressionada; c) pressione a tecla - , mantendo-a também pressionada; d) solte ON ; e) solte - . No visor da máquina deve aparecer a mensagem Pr Error. Repita os passos caso não tenha encontrado esta mensagem. Desligando e ligando novamente a máquina, aparecerá no visor 0.00. Toda essa operação deixou a HP como saiu de fábrica.

O Teclado As teclas em destaque na figura servem para ligar e desligar a máquina ON A maioria das teclas da HP-12C realiza duas ou até três funções. Assim, para utilizar a função impressa em branco numa determinada tecla, basta pressioná-la diretamente; para utilizar qualquer função impressa em amarelo, é necessário apertar a tecla f antes de pressionar a tecla com a função desejada. Analogamente, antes de acionar qualquer função impressa em azul, é preciso digitar a tecla g . Ponto ou vírgula? Quando a máquina estiver usando a notação americana, a parte fracionária do número é separada por um ponto, por exemplo 2,732.23. Neste curso será adotada a notação brasileira, na qual a vírgula é utiliza para separar a parte fracionária da parte inteira do número. Para configurar a calculadora de acordo como padrão brasileiro, os seguintes passos devem ser seguidos: a) desligue a máquina; b) pressione a tecla ON , mantendo-a pressionada; c) pressione a tecla . , mantendo-a também pressionada; d) solte ON ; e) solte . .

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Casas decimais no visor O número de casas decimais, apresentados no visor da calculadora, pode ser determinado pelo usuário. Para as necessidades deste curso, duas casas decimais devem ser adotadas. Para isso basta pressionar f e a tecla correspondente ao número de casas decimais depois da vírgula que necessitamos, neste caso 2. Exemplo 1,55786452 ENTER

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Teclado f 8 f 2 f 4

Visor 1,55786452 1,56 1,5679

Limpando os dados: as teclas em destaque são as que permitem a limpeza dos dados da máquina. CLX

Limpa o visor.

f

REG

Limpa TODAS as memórias da calculadora.

f

FIN

Limpa as memórias financeiras (n, i, PV, PMT e FV).

f

Σ

Limpa as memórias da pilha operacional e as memórias estatísticas. Estas não serão abordadas neste curso.

f

PRGM

Limpa as linhas de programação.

f

PREFIX

Limpa os prefixos f, g, STO, RCL e GTO.Também não serão abordadas neste curso.

Elaborando cálculos aritméticos simples Após a introdução do primeiro número, apertar ENTER em seguida o segundo número. Depois disso, apertar a operação desejada (+ , - , x ou /) . O resultado aparecerá no visor. Exemplo Teclado 15 ENTER 5 x

Visor 15 75

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Cálculos em cadeia Exemplos a)

18 = (12 − 3)

Teclado 18 ENTER 12 ENTER 3 /

Visor 18 22 9 2

b) (1 + 0,04) x (1+0,08) =

Teclado 1 ENTER 0,04 + 1 ENTER 0,08 + x

Visor 1 1,04 1 1,08 1,1232

c) (1 + 0,04)2 = Teclado 1 ENTER 0,04 + 2 yx

Visor 1 1,0400 1,0816

d) (1 + 0,30 )

1 12

Teclado 1 ENTER 0,30 + 1 ENTER 12 / yx 1 -

−1 =

Visor 1,00 1,30 1,00 0,0833 1,02810 0,02210

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Porcentagem Para calcular o valor correspondente à porcentagem de um número, primeiro introduza a base do número, depois aperte ENTER , introduza a porcentagem e em seguida % Exemplo: 14 % de 500,00 Teclado 500 ENTER 14 %

Visor 500,00 70,00

Variação percentual Para calcular a variação percentual entre dois números, primeiro coloque o valor mais antigo da operação, depois aperte ENTER , introduza o segundo número e aperte ∆%

Exemplo: O preço de uma mercadoria subiu de R$ 5,20 para R$ 6,30. Qual foi a variação percentual de preços? Teclado 5,20 ENTER 6,30 ∆ %

Visor 5,200 21,15%

Percentual de um total Para calcular o percentual de um valor em relação ao seu total, introduza o valor total, digite o valor do número que você quer saber a porcentagem em relação ao total e depois digite %T Exemplo: A despesa total desse mês foi assim distribuída: Escola Almoço Condução Outros

= = = =

700,00 300,00 100,00 500,00

Total

= 1.600,00

Qual foi o percentual que a escola representa no total de despesa?

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Teclado 1.600,00 ENTER 700,00 %T

Visor 1.600,00 43,75%

Troca de sinais A tecla CHS troca o sinal do número que estiver no visor, isto é, se tiver positivo ele passa a ser negativo e vice-versa.

Calendário

nar g

Para adequar o calendário à formatação brasileira (dia, mês e ano) basta pressioe D.MY . No visor deverá aparecer a mensagem D.MY.

Para saber uma data futura, aperte a data atual, separando o dia do mês e ano pela tecla • pressione a tecla ENTER .Digite o número de dias correspondente que você quer ver à frente e tecle g DATE . Exemplo: Qual é a data de vencimento de uma compra realizada na dia 08/05/2008 cujo pagamento será feito em 50 dias? Teclado 08.52008 ENTER 50 g DATE

Visor 08.052008 27.062008

5

O vencimento será no dia 27/06/2008. O número no final do visor refere-se ao dia da semana em que a data ocorrerá. No caso seria na sexta-feira. Dias da semana 1- segunda-feira 2- terça-feira 3- quarta-feira 4- quinta-feira 5- sexta-feira 6- sábado 7- domingo

Para saber uma data passada, aperte a data atual, separando o dia do mês e ano pela tecla • , pressione a tecla ENTER .Digite o número de dias correspondente que você quer ver para trás, tecle CHS e g DATE . Exemplo: Utilizando o exemplo anterior, qual foi o dia que eu fiz a compra, sabendo-se comprei a 50 dias atrás e que hoje 27/06/2008 estou pagando a fatura?

18

Teclado 27.062008 ENTER 50 CHS g DATE

Visor 27.062008 08.052008

4

Fiz a compra no dia 08/05/2008, uma quarta-feira.

Para saber a variação entre datas, aperte a mais antiga, separando o dia do mês e ano pela tecla • , pressione a tecla ENTER .Digite a data mais recente e tecle g ∆DYS .

Exemplo: Utilizando o exemplo anterior, qual foi a variação em dias , sabendo-se que comprei uma mercadoria no dia 08/05/2008 e que paguei no dia 27/06/2008? Teclado 27.062008 ENTER 08.052008 g ∆DYS

Visor 27.062008 50

A quantidade de dias entre a compra e o pagamento foi de 50 dias.

Usando a memória A HP12C possuí 20 memórias, que vão de 0 a 9 e de • 0 • 9. Para armazenar na memória, basta digitar o número e apertar STO, e o número da memória desejada. Para chamar a memória, tecle RCL e o número da memória desejada. Exemplo: Armazenar o número 12 na memória 1.

15 STO 1. Quando precisar desse número novamente ,basta apertar RCL 1 que aparecerá no visor o número 15. Vale lembrar que caso for apertado apertada a tecla f REG o número 15 não estará mais na memória, pois essa função, como já comentado, limpa todas as memórias da máquina.

19

Setor financeiro O grupo de funções (n, i, PV, PMT e FV) é utilizado para os cálculos financeiros envolvendo juros compostos, séries uniformes de pagamentos/desembolsos, etc.

PV = capital inicial ou valor presente; FV = montante ou valor futuro;

PMT = parcelas;

n

= número de períodos de tempo;

i

= taxa de juros, expressa em percentagem;

Existem várias outras teclas, funções ou setores que poderiam ser mencionados. Entretanto, tais funções serão apresentadas à medida que se mostrarem necessários ao andamento da disciplina.

Exercícios 21. Calcule: a) (1 + 0,05)2 = b)

(18 + 2) x5 = (15 − 3)

c)

(17 + 2) x(1 + 5) = (12 − 9)

d) 20 % de 1.200,00 = e) ((1 + 0,30 )

1 12

x(1 + 0,03)) − 1 =

22. O total de despesa desse mês foi assim distribuída: Salários

= 8.700,00

20

Marketing = 4.300,00 Manutenção = 1.000,00 Outros = 5 500,00 Total

= 19.500,00

Qual foi o percentual que os salários representam no total de despesas? Qual foi o percentual que a manutenção representa no total de despesas?

23. O preço de uma ação subiu de R$ 7,50 para R$ 9,50. Qual foi a variação percentual de preço? 24. O preço de um produto caiu de R$ 19,50 para R$ 16,50. Qual foi a variação percentual de preço? 25. Qual é a data de vencimento de uma compra feita no dia 18/10/2008 cujo pagamento será feito em 180 dias? 26. Sabendo-se que comprei uma mercadoria no dia 28/01/2005 e que paguei no dia 27/06/2005, pergunta-se: qual foi a variação em dias? 27. Até hoje, quantos dias você já viveu? 28. Em que dia da semana você nasceu?

21

CAPÍTULO 3- CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 2.1- Conceitos básicos Antes de estudarmos os regimes de capitalização de juros, vamos definir alguns conceitos elementares da Matemática Financeira. Lembremos que, como já foi mencionado, o principal objetivo dessa disciplina é estudar o valor do dinheiro no tempo (Castelo Branco, 2002:1; Assaf Neto, 2002:15; Hazzan e Pompeo, 2004:1). Juros (J): A noção de juro, normalmente, está associada à idéia de um empréstimo ou remuneração de uma determinada aplicação financeira. Sob esta ótica, o juro é a remuneração do capital (dinheiro, capital financeiro) empregado pelo indivíduo que empresta (doador) ou pelo aplicador do recurso. Concomitantemente, o juro é o custo do capital imposto ao indivíduo que toma emprestado (tomador) ou pelo indivíduo/instituição que capta o recurso. Em síntese, o juro pode ser considerado o custo da “mercadoria” chamada dinheiro. Todo indivíduo, ou empresa, tem necessidades de consumo. A preferência temporal dos agentes econômicos em postergar consumo (poupar) exige uma recompensa, a qual é definida na forma de juro. De outro lado, antecipar o consumo implica pagar um custo por isso; esse custo é, também, juro. O juro é, portanto, o custo de postergar ou antecipar consumo. Em uma abordagem pouco usual, a expressão “juro” pode representar a expectativa de remuneração do capital empregado pelas empresas (capital investido) quando fazem aplicações de recursos em ativos visando um fluxo de benefícios monetários no futuro. Observa-se que todas as afirmações anteriores podem ser resumidas no princípio básico de que o dinheiro tem valor no tempo. Em conseqüência, todas as transações que envolvem recursos monetários ao longo do tempo são realizadas considerando uma determinada taxa de troca, a qual representa o valor do dinheiro no tempo: a taxa de juros. Risco: é a probabilidade de que em evento ocorra, sendo uma medida objetiva, ao contrário da incerteza que é uma medida subjetiva. Existe risco quando é possível estimar as probabilidades de ocorrência de diferentes resultados; existe a incerteza quando não havendo essa possibilidade, toma-se uma decisão com base na sensibilidade pessoal. Usualmente o risco é medido pelo desvio padrão (σ) dos resultados possíveis de um investimento. Capital (C), Principal (P), Valor Presente (VP) ou Present Value (PV): é o recurso financeiro que servirá de base para o cálculo dos juros; refere-se ao recurso financeiro transacionado na data de início de uma operação financeira qualquer. De uma forma simples, é o valor – normalmente uma quantia em dinheiro – que se quer aplicar ou emprestar; é também chamado de Capital Inicial ou Principal, Valor Presente (VP) ou, ainda, o correspondente em inglês, Present Value (PV). Esta última forma é a adotada como utilizado nas calculadoras HP12C.

22

Taxa de Juros (i): “é o coeficiente obtido da relação dos juros (J) com o Capital (PV), que pode ser representado em forma percentual ou unitária. A terminologia ‘i’ é do inglês interest, que significa juro.” (Castelo Branco, 2002:11). i=

J PV

Prazo, tempo ou períodos (n): é o tempo necessário para que um determinado capital (PV), aplicado a uma taxa de juros (i), produza um montante (FV). O período pode ser inteiro ou fracionário: um dia, um mês comercial (30 dias) e um ano comercial (360 dias) são considerados períodos inteiros, ao passo que 3,5 meses, 5 anos e 3 meses, 17,2 dias são considerados períodos fracionários. Montante (M), Valor Futuro (VF) ou Future Value (FV): é a quantia (valor monetário) acumulada após certo período de tempo (n), resultante da aplicação de um determinado capital (FV) a uma taxa de juros (i). É, portanto, a soma do capital (PV) mais ou juros (J). FV = PV + J Segundo Samanez (2002), “se aplicarmos um capital durante um determinado período de tempo, ao fim do prazo o capital se transformará em um valor (montante) que será igual ao capital aplicado, acrescido da remuneração obtida durante o período de aplicação”. Diagrama de Fluxo de Caixa: entende-se por Fluxo de Caixa a movimentação de recursos financeiros, entradas e saídas de caixa, ao longo de determinado período de tempo. O Fluxo de Caixa diz respeito às entradas e saídas de dinheiro, não se confundindo com o conceito contábil da competência. O Diagrama de Fluxo de Caixa nada mais é do que uma representação gráfica das entradas e saídas de dinheiro durante um período de tempo. Uma linha horizontal, dividida em tantos quantos forem os períodos considerados para a análise, representa o tempo. As entradas, recebimentos ou encaixes são representados por setas voltadas para cima e, por convenção, são considerados valores positivos; as saídas, pagamentos ou desembolsos são representados por setas voltadas para baixo e, por convenção, são considerados valores negativos. (+)

(-) Diagrama de Fluxo de Caixa simplificado

23

2.2- Capitalização Simples No regime de capitalização simples ou linear, a taxa de juros (i) incide apenas sobre o capital inicial (PV). Ou seja, no Regime de Juros Simples não existe capitalização de juros, pois não há incorporação dos juros de um determinado período ao capital para calcular os juros no período seguinte. “Conseqüentemente, o capital crescerá a uma taxa linear e a taxa de juros terá um comportamento linear em relação ao tempo” (Samanez, 2002, p.2). Exemplo: para elucidar o regime de capitalização simples, consideremos a aplicação de R$100,00, por três anos, à taxa anual de 10%. n PV J (i = 10%) 1 R$100,00 R$10,00 2 R$100,00 R$10,00 3 R$100,00 R$10,00 Total dos juros auferidos em 03 períodos = 30 Ao fim do 1o período, temos que J1 = PV x i; Ao final do 2o período, temos que os juros acumulados são dados pela fórmula J2 = PV x i + PV x i, ou seja, J2 = (PV x i) x 2; Findo o 3o período, temos que os juros acumulados são dados pela fórmula J3 = PV x i + PV x i + PV x i, ou seja, J3 = (PV x i) x 3; Generalizando, se a aplicação fosse feita por n períodos de tempo (sendo n > para o enésimo período, temos, enfim, que os juros acumulados são dados pela fórmula genérica de Jn = (PV x i) x n. No exemplo acima, temos uma aplicação de $ 100 à taxa de juros simples de 10% ao período, durante três períodos inteiros de tempo. Como os juros não são incorporados ao principal para servirem de base para o cálculo dos juros do período seguinte, percebe-se que o total de juros recebidos/pagos são àqueles de cada período multiplicados pelo número de períodos da aplicação. Genericamente, temos: J = PV × i × n

(1)

Lembrando que: FV = PV + J ⇒ J = FV − PV

(2)

Igualando as equações (1) e (2), teremos que: FV − PV = PV × i × n ⇒ FV = PV + PV × i × n

Finalmente

FV = PV (1 + i × n )

(3)

24

Deve-se ressaltar que, no regime de juros simples, os juros de cada período são calculados sempre sobre o investimento/capital inicial.

Taxa proporcional de juros Duas taxas de juros são proporcionais se houver igualdade de quociente das taxas com o quociente dos respectivos períodos, isto é,

i1 n2 = ⇔ i1 × n1 = i2 × n2 . i 2 n1 Períodos não-inteiros Há diversas situações práticas em que o período de investimento é somente uma fração do período expresso na taxa de juros. Nesses casos, em que as unidades de tempo da taxa de juros e do período de investimento são diferentes, é necessário homogeneizálas por meio de um ajuste na taxa. Tal problema pode ser resolvido adotando os conceitos de juro comercial e juro exato. Estes conceitos serão apresentados nos exemplos a seguir. a) Taxa de juros mensal e prazo diário de aplicação: J = PV ×

i ×n 30

b) Taxa de juros anual e prazo mensal de aplicação: J = PV ×

i ×n 12

c) Taxa de juros anual e prazo diário de aplicação: J = PV ×

i ×n 360

J = PV ×

i ×n 365

(juro comercial)

(juro exato)

Os conceitos de juros comercial e exato podem ser especificados da seguinte forma:

Juro exato: é aquele obtido quando o período (n) está expresso em dias e é adotada a convenção do ano civil (365 dias); e Juro comercial: é aquele obtido quando o período (n) está expresso em dias e é adotado o ano comercial (360 dias) como base de cálculo. 25

A equação (3) nos mostra como é calculado o Montante no regime de juros simples:

FV = PV × (1 + i × n ) .

Observa-se que o montante, ou valor de resgate de uma aplicação, é o capital inicialmente investido (principal), acrescido dos juros ganhos no período. Inversamente, para calcular o principal (capital investido) a partir de um montante conhecido, temos: PV =

FV . (1 + i × n )

Juros simples na HP-12C Para calcular juros simples utilizando as teclas financeiras da máquina, as seguintes funções devem ser usadas: PV = capital inicial ou valor presente; n

= número de períodos de tempo;

i

= taxa de juros, expressa em percentagem;

f

i

= valor dos juros simples (aciona a função INT).

Observa-se, entretanto, que existem duas condições essenciais para o cálculo dos juros simples na HP: a taxa deve ser sempre anual e tempo (n) sempre em dias. Não se pode esquecer que o valor a ser armazenado em PV deve ser impostado com sinal negativo, a fim de se obter os juros com sinal positivo. Para isso utiliza-se a tecla CHS. De acordo com o Manual do Proprietário da HP-12C, a máquina calcula os juros simples na base de 360 dias e na base de 365 dias, simultaneamente. É possível obter qualquer um dos resultados, como indicado em seguida. Além disso, se o valor dos juros acumulados estiver no visor, é possível calcular a quantia total (o valor do principal somado aos juros acumulados), bastando pressionar a tecla + . Exercícios de fixação Exercícios resolvidos 29. Quanto ganhou de juros um aplicador que depositou $ 3.000,00 por um ano à taxa de juros simples de 25% a.a.? Solução: PV = 3.000, i = 25% a.a. e queremos saber J. Pela equação (2) temos que J = PV x i, logo:

26

J = 3.000 x 0,25 = $ 7507 30. Qual o valor de resgate (montante) de uma aplicação de $ 1.600 feita por um ano à taxa de juros simples de 50% a.a.? Solução: PV = 1.600, i = 50% a.a. e queremos saber FV. Pela equação (2) temos que J = PV x i, logo: J = 1.600 x 0,50 = $ 800 E pela equação (1), sabemos que FV = PV + J, então: FV = 1.600 + 800 = $ 2.400 Poderíamos resolver o problema, ainda, através da variante da equação (1), FV = PV x (1 + i). Desta forma, teríamos: FV = 1.600 x (1 + 0,50) = $ 2.400 31. Quanto renderia um capital de $ 10.000 aplicado por dois meses à taxa simples de 36% a.a.? Solução: PV = 10.000, n = 2 meses, i = 36% a.a. e queremos saber J. Pela equação do juro comercial (1.2.2, item b) temos: J = PV x i x n = 10.000 x (0,36/12) x 2 = $ 600 32. Quanto resgatará uma pessoa que aplicou $ 500 por 16 meses à taxa de juros simples de 12% a.t.? Solução: PV = 500, n = 16 meses, i = 12% a.t. queremos saber FV. Pela equação (4) temos que FV = PV x (1 + i x n), logo FV = 500 x (1 + 0,12/3 x 16) = $ 820 Exercícios propostos Você resolveu aplicar R$ 25.000,00, pelo prazo de 9 meses no Banco Sá Cana S.A. que está pagando 3,5% ao mês na operação. Determinar o valor dos juros recebidos após o término do período, sabendo-se que o banco utiliza o regime de capitalização simples. Resposta: R$ 7.875,00.

33.

34. Quanto renderá de juros o capital de R$ 6.000,00 aplicado pelo prazo de cinco meses a uma taxa de 5% ao mês, considerando-se o regime de juros simples? Resposta: R$ 1.500,00 35. Determinar a taxa de juros aplicada a um capital de R$ 15.000,00, durante 4 meses, sabendo-se que o rendimento de juros da aplicação foi de R$ 2.000,00 no regime de juros simples. Resposta: 3,33% a.m.

7

Lembremos que a taxa de juros (i) geralmente é dada na forma percentual, mas para trabalharmos devemos convertê-la para a forma fracionária.

27

36. Um capital de R$ 250.000,00, que é aplicado durante oito meses, rende de juros R$23.000,00. Determinar a taxa mensal e anual correspondente, considerando o regime de capitalização simples. Resposta: 1,15% a.m.; 13,80% a.a. 37. Um capital de R$ 90.000,00 aplicado pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 3.250,00. Indaga-se: qual a taxa mensal, semestral e anual desta aplicação, sob o regime de juros simples? Resposta: 0,6% a.m.; 3,61 a.s.; 7,22% a.a. Sabendo que os juros de R$2.150,00 foram obtidos com a aplicação de R$16.740,00, à taxa de 9% ao trimestre, calcule o prazo dessa aplicação feita no regime de capitalização simples. Resposta: 4,28 meses.

38.

39. Determinar a taxa anual proporcional das seguintes taxas: (a) 3% ao mês; (b) 9% ao bimestre; (c) 15% ao trimestre; (d) 30% ao semestre. Respostas: 36%;54%;60%60%. 40. Qual o juro exato de um capital de R$ 11.200,00 que é aplicado, no regime de capitalização simples, por 42 dias à taxa de 34% a.a.? Resposta: R$438,18. 41. Calcular o juro comercial correspondente ao exercício anterior. Resposta: R$444,27. 42. Determinar a taxa mensal proporcional das seguintes taxas abaixo: (a) 20% ao ano; (b) 12% ao bimestre; (c) 20% ao trimestre; (d) 40% ao semestre. Respostas: 1,67%; 6%;6,67% e 6,67. 43. Calcular o valor do juro referente a um capital de R$ 1.000,00 aplicado nas seguintes hipóteses abaixo: a. 20% ao ano pelo prazo de cinco anos. Resposta: R$ 1.000,00; b. 30% ao ano pelo prazo de sete meses. Resposta: R$ 175,00; c. 20% ao semestre pelo prazo de quatro anos. Resposta: R$ 1.600,00; d. 5% ao mês pelo prazo de dois anos. Resposta: R$ 1.200,00; e. 10% ao bimestre pelo prazo de cinco meses. Resposta: R$ 250,00. 44. Determinar o prazo para um capital de R$ 6.500,00 render de juros R$ 260,00, sabendo que a taxa de aplicação foi de 1% ao mês. Resposta: 4 meses. 45. Qual o capital que à taxa de 2,5% ao mês, rende de juros R$ 1350,00 em 5 anos. Resposta: R$ 900,00 46. Calcule o montante da aplicação de um capital de R$ 55.800,00, pelo prazo de 18 meses, à taxa de 3% ao mês, sob o regime de capitalização simples. Resposta: R$ 85.932,00. 47. Determine o montante das seguintes aplicações abaixo:

A B

Capital Inicial R$ 3.800,00 R$ 1.480,00

Taxa de Juros 9% a.t. 18% a.a.

Prazo Cinco meses Sete meses

28

C D

R$ 9.700,00 R$ 17.300,00

3,5% a.m. 15% a.s.

Dois anos Dois meses

Respostas: a) R$ 4.370,00; b) R$ 1.635,40; c) R$ 17.848,00; d) R$ 18.165,00. 48. Determinar o valor presente de um título cujo valor de resgate é de R$ 18.000,00, sabendo que a taxa de juros (simples) é de 4,5% ao mês e que faltam 7 meses para o seu vencimento. Resposta: R$ 13.688,21. 49. Determinar o valor presente dos títulos abaixo que tem os seguintes valores e prazos de resgate.

A B C D

Montante R$ 12.000,00 R$ 26.000,00 R$ 69.000,00 R$ 87.000,00

Taxa de Juros 22% a.t. 5% a.a. 13% a.m. 7% a.b.

Prazo Cinco meses Sete meses Um semestre Dois anos

Respostas: a) R$ 8.780,48; b) R$ 25.263,15; c) R$ 38.764,04; d) R$ 47.282,60. Um determinado capital, aplicado durante oito meses, à taxa de 19% ao ano, no regime de juros simples, rende R$ 1.600,00 de juros. Calcule o montante ao final dos oito meses. Resposta: R$ 14.231,58

50.

29

51. Uma pessoa obtém um empréstimo de R$ 9.000,00 com um amigo e se compromete a pagar um montante R$ 17.000,00 após três anos. Determinar as taxas mensal, semestral e anual de juros cobrada. Resposta: 2,47% a.m, 14,82% a.s. e 29,63% a.a. 52. Uma loja ofereceu um carro por R$ 18.000,00 à vista, ou 25% de entrada e mais um pagamento de R$ 30.000,00 após dois anos. Qual foi a taxa anual de juros cobrada nessa operação, sabendo que foi adotado o regime de juros simples? Resposta: 61,11% a.a. 53. Determinar quanto renderá de juros um capital de R$ 2.500,00 aplicado à taxa de 14% ao ano, durante nove meses, no regime de juros simples. Resposta: R$ 262,50 54. Um capital de R$ 12.780,00, aplicado durante 19 meses, rendeu de juros R$1.160,35. Determinar a taxa anual considerando que a aplicação foi feita em regime de capitalização simples. Resposta: 5,73% a.a. 55. Calcule o prazo de vencimento de uma operação de empréstimo cujo principal foi de R$ 2.500,00, sabendo-se que a taxa de juros contratada foi de 1,3% a.m.e que o valor a ser pago foi de R$ 3.735,00. Considere que a operação está sendo realizada hoje. Resposta: 38 meses. 56. Em quantos dias um capital de R$ 25.000,00 produzirá juros de R$ 2.700,00 a uma taxa de 3% ao mês, sendo simples o regime de capitalização. Resposta: 100 dias. 57. Calcule o montante que resulta da aplicação de um capital de R$ 1.450,00, pelo prazo de 64 dias, à taxa de juros de 3,7% ao mês, considerando o regime de juros simples. Resposta: R$ 1.564,45. 58. Uma loja faz uma promoção com o intuito de aumentar as vendas de um determinado produto que normalmente custa R$ 630,00. As opções promocionais de compra oferecidas são as seguintes: (a) Desconto de 5% para a compra à vista; (b) Entrada de R$ 100,00 e mais um pagamento de R$ 650,00 após um ano; (c) Um único pagamento de R$ 680,00 dois meses após a data de aquisição. Considerando que seja possível obter uma taxa de juros simples de 20% ao ano para aplicações, determine, do ponto de vista do comprador, qual é a melhor das opções oferecidas pela loja? Resposta: alternativa A; o valor presente em cada uma das opções é R$598,50; R$641,67; R$ 658,00. 59. Quanto tempo deve permanecer aplicado um capital para que o juro seja igual a 5 vezes o capital, se a taxa de juros simples for de 16% a.a.? Resposta: 31 anos e três meses. 60. Um fazendeiro possui um estoque de 1.500 sacas de café e, na expectativa de alta de preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de R$ 310,00 por saca. Quatro meses mais tarde, forçado pelas circunstâncias, vende o estoque por um valor 15% menor do que àquele que recusara anteriormente. Con-

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siderando que a taxa de juros de mercado é de 4% a.m., calcule o prejuízo real do fazendeiro na data da venda da mercadoria, utilizando o regime de capitalização simples. Resposta: R$ 144.150,00. 61. Um determinado capital, acrescido dos seus juros simples de nove meses, resulta em R$ 24.590,50. O mesmo capital, acrescido dos seus juros simples de 15 meses, resulta em R$ 28.517,50. Calcule o capital e a taxa de juros simples mensal.. Resposta: R$ 18.700,00 e i = 3,5% a.m. 62. Dois amigos de trabalho resolveram aplicar suas economias em um banco. João aplicou R$ 13.400,00, ao passo que Batista aplicou apenas R$ 9.500,00, ambos mantiveram os valores aplicados a juros simples por um período de três meses. Qual a taxa obtida por João se Batista, conseguiu a 2,5%¨a.m., e seus rendimentos foram de R$533,70 menos que obtido por João? Resposta: 3,1% a.m. 63. Uma empresa liquidou, com atraso de 18 dias, uma duplicata cujo valor nominal é de R$ 20.000,00. Sabendo que a taxa de juros de mora cobrada pelo banco (também conhecida por comissão de permanência) é de 8% a.m., calcule o montante necessário para a liquidação da duplicata. Resposta: R$ 20.960,00. 64. Calcule a remuneração obtida sobre um capital de R$7.300, aplicado durante 19 meses, à taxa de juros simples de 62% a.a. Resposta: R$7.166,17. 65. Um capital de R$5.000 foi dividido em três parcelas, as quais foram todas aplicadas pelo prazo de um ano. A primeira parcela foi aplicada a juros simples de 4% a.t., a segunda a juros simples de 6% a.t. e a terceira a juros simples de 10% a.t. Se o rendimento da primeira parcela for de R$192,00 e o rendimento das três parcelas totalizar R$1.472,00 calcule o valor de cada parcela. Resposta: R$1.200, $ 1.500 e $ 2.300. 66. Calcule o prazo necessário para quadruplicar um capital aplicado a juros simples e mensais de 7%. Resposta: 42,86 meses. 67. O valor de resgate de um título é 140% maior que o valor da aplicação. Considerando de 30% ao ano a taxa de juros simples, calcule o prazo da aplicação. Resposta: 16 meses.

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CAPÍTULO 4- DESCONTO De uma maneira geral, desconto pode ser definido como a diferença entre o valor futuro de um título (valor de face) e o seu valor na data da operação (valor atual). Desconto é, portanto, o abatimento concedido quando ocorre o resgate antecipado de um título de crédito, isto é, resgate antes do vencimento do título. Matematicamente tem-se que: D = FV − PV onde D é o valor do desconto, FV o valor nominal (ou futuro) do título ou valor de resgate e PV o valor presente na data da operação. Desconto comercial ou “por fora” De acordo com a definição de Mathias & Gomes (1996, p.62), o desconto comercial ou “por fora” é obtido pelo cálculo dos juros simples, sobre o valor nominal do compromisso, o qual será saldado n períodos antes de seu vencimento. Partindo da definição, o cálculo do desconto comercial (Dc) é feito da seguinte forma: Dc = FV × i × n . O cálculo do valor descontado (PV) pode ser feito da seguinte forma: PV = VF − Dc ⇒ PV = FV × (1 − i × n ) Desconto bancário Os bancos praticam o desconto comercial, mas, devido às despesas e custos envolvidos na operação (despesas administrativas), acrescem uma taxa prefixada a ser cobrada sobre o valor nominal. Assim, de acordo com a definição anterior, para calcular o desconto bancário (Db) é necessário conhecer, também, a taxa de despesas administrativas (h) cobrada pelo banco, além, é claro, da fórmula do desconto comercial (Dc). Db = Dc + ( FV × h) ⇒ Db = FV × i × n + FV × h , Ou, ainda, Db = VF × (i × n + h) sendo o valor descontado bancário (PV)

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PV = VF − Db ⇒ PV = VF × (1 − i × n + h) Exercícios de fixação

Exercícios resolvidos

68. Qual o valor do desconto comercial de um título de R$ 2.000,00, com vencimento para 30 dias, à taxa de 2,5% ao mês? Solução: FV = 3600,00; n = 30 dias = 1 mês; i = 2,5% ao mês Dc = FV × i × n ⇒ Dc = 3600 × 0,025 × 1 = 90,00 69. Um título de R$7.800 foi descontado no Banco Xis, cuja taxa referente às despesas administrativas é de 2%. Sabendo que o título foi descontado 4 meses antes de seu vencimento e que a taxa corrente em desconto comercial é de 45% a.a., qual o desconto bancário? Quanto recebeu o proprietário do titulo? Solução: Db = FV × (i × n + h) ⇒ Db = 7800 × (0,45 ÷ 12 × 4 + 0,02) = 1.326,00 Vb = FV − Db = 7.800,00 − 1.320,00 = 6.474,00 Exercícios propostos

70. Qual o valor do desconto bancário de um título de R$ 2.000,00, com vencimento para 30 dias, à taxa de 2,5% ao mês? R: 50,00 71. Calcule a taxa mensal de desconto comercial utilizada numa operação de 38 dias cujo valor de resgate é de R$ 1.150,00, sendo o valor atual de R$ 1.120,87. Resposta: 2% a.m. 72. Uma duplicata no valor de R$ 6.800,00 é descontada por um banco (desconto comercial), gerando um crédito de R$ 6.256,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é de 2,0% ao mês, determinar o prazo do vencimento da duplicata? Resposta: 4 meses. 73. Um título de R$ 7.340,00 é descontado à taxa de 5,3% ao mês, 13 dias antes do seu vencimento. Calcule o valor do desconto comercial e o valor depositado na conta do cliente. Respostas: R$ 168,58 e R$7.171,42,00. 74. Uma duplicata de R$ 8.240,00 com 23 dias a decorrer até o seu vencimento, foi descontada por um banco (desconto comercial) à taxa de 3,4% ao mês. Calcule o valor líquido entregue ao cliente. Resposta: R$ 8.025,21.

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75. O desconto de uma duplicata no valor de R$ 3.500,00, com nove dias a vencer, gerou um crédito de R$ 3.468,50 na conta do cliente. Determine a taxa mensal de desconto, de acordo com o desconto comercial. Resposta: 3% a.m.

76. Calcule o valor líquido, referente à duplicata cujo valor nominal é de R$4.360,00, e que foi descontada (pelo método do desconto comercial) 22 dias antes do seu vencimento, junto a uma instituição financeira, cuja taxa de desconto simples é de 6% ao mês. Resposta: R$4.168,16 77. Calcule o valor líquido, referente à duplicata cujo valor nominal é de R$8.760,00, e que foi descontada 25 dias antes do vencimento. A instituição financeira adota o desconto comercial e cobrou uma taxa de juros simples de 15% ao bimestre. Resposta: R$ 8.212,50 78. Calcule o valor do desconto bancário numa operação onde o valor nominal é de $ 27.000 e o prazo de antecipação é de 116 dias. Considere juros correntes de 25,6% a.a. e taxa administrativa de 1,8%. Resposta: R$ 2.713,20. 79. O Sr. Daniel deseja comprar um carro e solicitou a uma instituição bancária um empréstimo a ser pago em 2 meses, totalizando R$47.000,00. Sabendo que o Banco Arapuka S.A. cobra 3,5% de taxa de administração e que a taxa de juros de mercado é de 29,4% a.a., determine o preço do carro sabendo que o valor recebido era exatamente igual ao valor creditado pelo banco. Resposta: R$43.052,00 80. Um banco anuncia que sua taxa de juros é a menor do mercado, cobrando apenas 2,5% de taxa de administração. No comercial de televisão diz que se o cliente solicitar $ 15.000 para pagamento seis meses após, terá um desconto de apenas R$3.500,00. Qual é a taxa de juros comercial considerada? Resposta: 3,47% a.m. 81. João pediu um empréstimo de R$5.000 para pagamento em quatro meses, recebeu líquido $ 4.291,67. Ao indagar o gerente do banco sobre a taxa de juros praticada pela instituição, recebeu a explicação de que o banco utilizou a taxa de 24,5% a.a., acrescida de uma taxa de serviço. Calcule o valor da taxa de serviço que o banco aplicou na operação. Resposta: 6% a.m. 82. Um título que vence daqui a 60 dias, no valor de R$20.000, foi descontado por R$18.753,00 (valor atual comercial). Qual a taxa de desconto aplicada na operação? Resposta: 3,12% a.m. 83. Uma empresa, passando por um problema financeiro momentâneo, decidiu descontar uma duplicata de $ 7.200 no Banco Traça S.A.. A duplicata tinha vencimento para daqui a cinco meses. Se a taxa de juros for de 25% a.a. e a taxa de serviço de 2,5%, qual será o valor líquido a ser recebido pela empresa? Resposta: R$ 6.270,00. 84. O Banco Falência S.A. oferece empréstimos pessoais a uma taxa de 5% a.m. de desconto comercial e 2% de despesas administrativas. Se uma pessoa necessita de

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R$7.000,00 agora, para pagar daqui a três meses, qual deve ser o valor do compromisso assumido? Resposta: R$ 8.433,73. 85. Uma duplicata cujo valor nominal é de R$285.000,00 é descontada cinco meses antes de seu vencimento. Considerando uma taxa simples de 8% ao semestre, calcular o valor do desconto e o valor liberado desse comercial. Resposta: DC = R$19.000,00; PV = $ 266.000,00. 86. O Sr, Roberval possui um título cujo valor nominal é de R$20.000,00 com vencimento para três meses. Para obter esse dinheiro imediatamente a partir do título, ele pode vender o papel por $ 19.500 a um particular ou descontá-lo, comercialmente, em um banco, o qual aplica uma taxa mensal de desconto de 1% a.m.. Qual transação é mais vantajosa para o proprietário? Resposta: venda para o particular. 87. Uma duplicata cujo valor nominal é de R$20.000,00 foi descontada comercialmente 120 dias antes do vencimento. Considerando que o valor líquido liberado foi de $ 18.000 e sabendo que foi cobrada uma comissão de 2% sobre o valor nominal do título, calcule a taxa mensal de desconto da operação. Resposta: 2% a.m. 88. Uma duplicata, cujo valor nominal é de $ 65.300, foi descontada num banco dois meses antes de seu vencimento. Sendo de 2,65% ao mês a taxa de desconto, usada na operação, calcular o valor do desconto e o valor descontado (líquido). Considere que o banco cobra 1,3% sobre o valor nominal do título, descontados integralmente no momento da liberação dos recursos, como despesa administrativa. Resposta: R$4.309,80 e R$60.990,20. 89. O valor líquido de R$44.200,00 foi creditado na conta do cliente que descontou um título de R$53.500,00. Sabendo-se que foi adotada a taxa de desconto comercial de 2,7% ao mês, determine o prazo de antecipação do título. Resposta: 6,44 meses. 90. Um banco desconta um título de valor nominal de $ 36.000,00, 80 dias antes de seu vencimento. Nesta operação, o banco cobra 35% ao ano de taxa de desconto bancário e 2,3% de despesa administrativa. Calcule o valor líquido liberado ao cliente. Resposta: R$32.372,00

91. Calcule o valor do desconto bancário para um título de R$69.000,00, cujo prazo de antecipação é de 40 dias, sendo 70% a.a. a taxa de desconto comercial e 1,9% a taxa de despesas administrativas. Resposta: R$6.677,67.

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CAPÍTULO 5- CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Neste capítulo será abordado o conceito de juros compostos, bem como o regime de capitalização que dele resulta. Os conceitos básicos relativos ao Regime de Juros Compostos ou Regime de Capitalização Composta serão apresentados de forma simples e didática. Na seqüência serão apresentadas várias aplicações práticas onde tal regime é usado, sempre considerando a HP-12C como ferramenta de trabalho. As aplicações a serem abordados são: taxas equivalentes, valor nominal e valor atual, taxa nominal e taxa efetiva. Definições Básicas O regime de juros compostos é o mais comum e amplamente adotado no sistema financeiro e no cálculo econômico. A capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Desse modo, o juro gerado pela aplicação será incorporado ao principal, passando a integrar o capital a ser remunerado pelos juros do período seguinte. Nota-se que neste regime de capitalização a taxa varia exponencialmente em função do tempo. Como o regime composto é o padrão adotado pelo mercado, é fundamental compreender seu funcionamento para compreender as operações realizadas no mercado financeiro nacional. Para introduzir o conceito de capitalização composta, podemos começar com um exemplo de cunho prático. Suponhamos que um capital (PV)) é aplicado a juros compostos (taxa i) por um período de três meses (n).
Na data do investimento o valor aplicado é simplesmente PV;
Ao final do primeiro mês, os juros da aplicação são calculados como J1 = i x PV
Ao final do segundo mês, os juros da aplicação são calculados como J2 = i x (PV + J1) , ou seja, J2 = i x (1 + i) x PV;
Ao final do terceiro mês, os juros da aplicação são calculados como J3 = i x (PV + J1+ J2) = i x [PV + i x PV + i x (1 + i) x PV] , ou ainda, J3 = i x [(1 + i) + i x (1 + i)] x PV = i x (1 + i)2 x PV
Ao final do terceiro mês de aplicação, o valor a ser recebido (FV) será tal que FV = PV + JTotal = PV + i x PV + i x (1 + i) x PV + i x (1 + i)2 x PV ou FV = { (1 + i) + i x (1 + i) + i x(1 + i)2 } x PV FV = { (1 + i) x (1 + i) + i x (1 + i)2} x PV = {(1+i) x (1 + i)2 } x PV FV = PV(1+i)3 Para ilustrar melhor o exemplo, consideremos o montante inicial de R$1.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 3 meses. n 1 2 3

Capitalização Simples Juros por período 1.000,00 x 0,04 = 40,00 1.000,00 x 0,04 = 40,00 1.000,00 x 0,04 = 40,00

Montante 1.040,00 1.080,00 1.120,00

Capitalização Composta Juros por período 1.000,00 x 0,04= 40,00 1.040,00 x 0,04= 41,60 1.081,60 x 0,04= 43,26

Montante 1.040,00 1.081.60 1.124.86

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PV = 1.000,00 FV1 = 1.000,00 + (0,04 x 1.000,00) = 1.000,00 (1+ 0,04) FV2 = FV1 (1 + 0,04)  FV2 = 1.000,00 (1 + 0,04) (1 + 0,04)  FV2 = 1.000,00 (1 + 0,04)2 FV3 = FV2 (1 + 0,04)  FV3 = 1.000,00 (1 + 0,04)2 (1 + 0,04)  FV3 = 1.000,00 (1 + 0,04)3 Observa-se que o montante produzido nesta aplicação foi de R$ 1.124,86. O raciocínio apresentado para a aplicação de três períodos pode ser generalizado para um número n de períodos de capitalização. O resultado encontrado pode ser escrito da seguinte forma: n FV = PV × (1 + i ) . Na equação acima, VF é o montante ou valor futuro — o valor que será sacado ao final da aplicação — PV é o valor presente ou inicial, n representa o número de períodos de capitalização e i é a taxa de juros.

Valor atual Para calcular o valor atual basta que isolemos o capital, isto é,

VP =

VF

(1 + i )n

É importante enfatizar que o valor atual pode ser calculado em qualquer data focal inferior à do montante. Não precisa ser, necessariamente, a data zero.

Diagrama de Fluxo de Caixa O regime de capitalização composta pode ser mais facilmente compreendido com o uso do diagrama de fluxo de caixa. Conforme foi dito no capítulo 1 desse livro, a natureza dos problemas financeiros está sempre associada à idéia de troca temporal de fluxos financeiros. É bastante usual expressar esta troca utilizando uma forma simples de representação gráfica, a qual é denominada diagrama de capital no tempo ou fluxo de caixa.

2 0

1

3 n-1

n

Evolução Temporal

Os diagramas são formados pelos seguintes elementos, conforme a figura acima: uma linha hori-

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zontal representando o tempo, setas indicando a entrada (setas voltadas para cima) ou saídas (setas voltadas para baixo) de recursos. Apesar de simples o diagrama pode ser muito útil da resolução de problemas envolvendo séries de pagamentos. O fluxo de caixa do aplicador do exemplo anteriormente apresentado é Usando a HP-12C As teclas abaixo são pré-programadas na HP-12C para resolver a equação n FV = PV × (1 + i ) . Tecla

Nome

n

Número de períodos

i

Taxa de juros

PV

Valor Presente

V

FV

V

Valor Futuro

O exemplo da aplicação inicial de R$1.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 3 meses pode ser resolvido via HP-12C utilizando a seguinte seqüência: 1. 2.

3.

4.

Ligue a calculadora pressionando a tecla ON e limpe a memória financeira pressionando f e, em seguida, FIN ; Deixar sempre ativado no visor o C. Esta função serve para calcular quando o prazo não é inteiro. Para isso, basta pressionar STO e EEX . No visor deverá aparecer o C. Digite 1000, pressione CHS e pressione PV ; digite 3 e pressione n ; digite 4 e pressione i ; Agora pressione FV e o visor indicará 1.124,86 como resposta.

Períodos fracionários de tempo na HP -12C Para que a HP trabalhe com períodos fracionários de tempo (n), deverão ser pressionadas as teclas STO e EEX . No visor aparecerá a letra “C” que deverá ser conservada. Quando “C” não estiver visível no visor da máquina, a HP fará os cálculos como base na convenção linear, isto é, os juros serão calculados de acordo com o regime de

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capitalização composta para períodos inteiros e de acordo com o regime de capitalização simples para períodos fracionários.

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Taxa efetiva e Taxa Nominal Os conceitos de taxa efetiva e taxa nominal decorrem da situação em que o período de capitalização não coincide com o período a que a taxa se refere. A taxa nominal é uma taxa declarada ou taxa cotada; não incorpora capitalizações. A taxa efetiva equivalente é a resultante das capitalizações feitas com a taxa nominal. Os conceitos de taxa nominal e efetiva podem ser mais bem esclarecidos com um exemplo. Considerando uma aplicação que paga juros nominais de 6% ao ano; a taxa mensal proporcional será de 6%/12 = 0,5%. Uma aplicação de R$1.000,00 ao final de um ano, considerando a capitalização mensal, renderá o montante de 1068,60 − 1000 12 = 0,0687 ou 1.000 × (1 + .005) = 1.061,68 . Logo a taxa efetiva será de 1000 6,87%. No exemplo dado, 6% a.a. é a taxa nominal, 0,5% a.m. é a taxa proporcional e 6,78% é a taxa efetiva.

Exercícios de fixação Exercícios resolvidos 92. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 1.000,00 pelo prazo de 9 meses à uma taxa de 4% ao mês, no regime de juros compostos. Solução: FV = (1 + 0,04 ) × 1000 = 1.423,31 ou f FIN 1000 CHS PV 4 i 9 n FV 9

93. Determine a taxa anual equivalente a 2% ao mês Solução: (1 + 0,02 ) − 1 = 0,2682 ou 26,82% a.a. ou 1,02 Enter 12 yx 1 12

94. Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado por 3 anos, à taxa nominal de 10% a.a. com capitalização semestral. Calcular a taxa efetiva anual e o montante resgatado. 6

2

 0,10   0,10  Solução: FV = 1000 × 1 +  = 1.340,10 e ia = 1 +  − 1 = 0,1025 ou 2  2    1.340,10 − 1.000,00 10,25% ao ano. A taxa efetiva da operação é = 0,3401 ou 1.000,00 34,10% em três anos.

40

Exercícios propostos 95. Determine o montante (valor futuro) das seguintes aplicações abaixo, considerando o regime de juros compostos. Capital Inicial Taxa de juros Prazo A R$ 15.000,00 12% a.a. 3 anos B R$ 11.000,00 5% a.m. 7 meses C R$ 19.000,00 10% a.t. 3 trimestres D R$ 27.000,00 15% a.s. 4 semestres Respostas: R$21.073,92; R$15.478,10; R$25.289,00; R$47.223,17 96. Dona Maria tem um empréstimo que vencerá em um prazo de dois anos. Na data do vencimento ela terá de desembolsar o valor de R$ 5.000,00, referente ao valor que tomou emprestado hoje, acrescido dos juros devidos. A taxa contratada foi de 4,5% ao mês, no regime de juros compostos. Calcule o valor que Dona Maria tomou emprestado. Resposta: R$1.738,52. 97. Determine o valor presente dos seguintes títulos abaixo, no regime de juros compostos: Montante Taxa de juros Prazo A R$ 10.000,00 15% a.a. 5 anos B R$ 91.000,00 4% a.m. 8 meses C R$ 15.000,00 12% a.t. 9 trimestres D R$ 58.000,00 20% a.s. 15 semestres Respostas: R$4.971,77; R$66.492,81; R$5.409,15; R$3.764,52. 98. Uma loja financia uma geladeira cujo valor (à vista) é de R$ 700,00 nas seguintes condições: sem entrada e pagamento em uma única prestação de R$ 900,00 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal, semestral e anual equivalente cobrada pela loja? Resposta: 4,28% a.m.; 28,57% a.s e 65,31% a.a. 99. Determine o montante, no final de 3 anos, resultante da aplicação de um capital de R$ 10.000,00 à taxa de 4% ao mês. Resposta: R$41.039,33. 100. Carlos aplicou parte de suas economias em um fundo bancário. O dinheiro permaneceu aplicado por três anos. Ao verificar o saldo da aplicação, Carlos viu que tinha R$7.200,00. Sabendo que a taxa do fundo foi fixa de 2% ao mês, calcule o total de juros que Carlos ganhou com a operação. Resposta: R$3.670,39. 101. A Imobiliária Fim da Linha está oferecendo aos seus clientes um imóvel pelo valor de R$185.000,00 à vista. Uma outra possibilidade oferecida para o mesmo bem é R$85.000,00 de entrada e mais uma parcela de R$110.000,00 no final de 4 meses. Sabendo que no mercado financeiro a taxa de juros (composta) das aplicações financeira gira em torno 1% ao mês, determine a melhor opção para um interessado que possua recursos disponíveis para comprar o imóvel. Resposta: aplicando R$100.000,00, após 4 meses serão obtidos R$104.060,40; portanto é mais vantajoso comprar o imóvel à vista.

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102. D. Joaquina planeja comprar um carro daqui a dois anos. Quanto ela deve aplicar hoje para que possa comprar um carro no valor de R$ 25.000,00 no prazo desejado? Considere a taxa de juros (composta) obtida no mercado financeiro de 1,5% ao mês. Resposta: R$17.488,60. 103. O Sr. Luis Otávio aplicou R$ 5.000,00 em um fundo bancário. Ao final de 3 meses ele verificou que seu saldo do fundo era de R$5.788,13. Calcule o rendimento mensal médio obtido pelo fundo. Resposta: 5% a m. 104. Determine a taxa de juros obtida por um aplicador que investiu a quantia de R$1.000,00 e resgata os montantes nas seguintes hipóteses: (a) R$ 1.104,08 no prazo de 7 meses; (b) R$ 2.073,60 no final de 7 anos; (c) R$ 1.355,13 no final de 3 trimestres. Respostas: (a) 1,42% a.m.; (b) 10,98% a.a.; (c) 10,66% a.t. 105. Calcule o prazo de um empréstimo de R$ 55.000,00 para ser liquidado, em um único pagamento, de R$ 110.624,65. A taxa contratada é de 15% ao semestre. Resposta: 5 semestres. 106. Um empréstimo de R$ 3.000,00 pode ser liquidado em um único pagamento nas seguintes hipóteses abaixo: (a) R$ 3.374,59 com a taxa de 4% ao mês; (b) R$ R$5.184,00 com a taxa de 20% ao ano; (c) R$ 4.831,53 com a taxa de 10% ao semestre. Calcule o prazo de cada uma das operações acima descritas. Respostas: (a) 3 meses; (b) 3 anos; (c) 5 semestres. 107. Calcule a taxa mensal de uma aplicação capaz de dobrar o capital investido após nove meses de aplicação. Resposta: 8,01% a.m. Taxas equivalentes No regime de capitalização composta, a taxa equivalente tem de ser obtida pela equivalência das taxas. Duas taxas de juros são equivalentes quando, considerando o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, as duas taxa promovam rendimentos iguais. Por exemplo, a taxa anual de 10% é equivalente à taxa mensal de 0,7974%. Um capital de R$1.000,00 aplicado por um ano à taxa de 10% a.a. resultará em um valor futuro de R$1.100,00. Da mesma forma, R$1.000,00 aplicado por doze meses a 0,7974% a.m. resultará em um valor futuro de R$1.100,00. De acordo com a definição acima, uma taxa mensal im é equivalente à anual ia se: 12 12 PV × (1 + ia ) = PV × (1 + im ) ⇒ (1 + ia ) = (1 + im ) Assim sendo, é possível obter a taxa anual a partir da mensal utilizando a seguinte equação: 12 ia = (1 + im ) − 1 . Para obter a taxa mensal a partir da anual tem-se:

im = (1 + ia )

1 12

− 1.

É possível generalizar os resultados acima com a seguinte equação:

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iQ = (1 + iT )

Q T

− 1;

Onde iQ e Q são, respectivamente, a taxa que se deseja calcular e o período de tempo ao qual ela se aplica; já iT e T são, respectivamente, o a taxa conhecida e o prazo para o qual a taxa se aplica.

OBSERVÇÃO IMPORTANTE : Algumas operações realizadas no mercado financeiro utilizam dias corridos e outras dias úteis. No caso de dias corridos, por convenção, utilizamos o ano com 360 dias (mês de 30 dias) . No caso de dias úteis, utilizanos o ano de 252 dias (mês de 21 dias úteis). Somente utilizar dias úteis quando estiver especificado no exercício. Programando a HP-12C para o cálculo de taxas equivalentes A tabela abaixo apresenta todos os passos necessários para inserir em uma calculadora financeira HP-12C um programa para calcular taxas equivalentes de juros.. Outras marcas de calculadoras, notadamente a Aurora Fn1000, podem ser programadas com pequenas adaptações nas teclas utilizadas. Note-se que podem existir várias formas de se impostar o mesmo programa na calculadora. Assim, caso você já tenha um programa instalado para o mesmo fim, não há necessidade de inserir o que agora se apresenta. Para o cálculo de taxas equivalentes, a calculadora HP-12C deverá estar ajustada para trabalhar com períodos fracionários de tempo: no visor deverá aparecer a letra “c”. Programa para cálculo de taxas equivalentes HP-12C f R/S (P/R) f PRGM 1 Enter Enter RCL i % + RCL PV RCL FV / (dividir) Yx ∆% g GTO 00 f R/S (P/R)

Comentário Entra no módulo de programação Limpa os programas existentes 1 Introduz ENTER Introduz ENTER Recupera o conteúdo do registro i Extrai a porcentagem Adiciona o conteúdo do registro y ao registro x Recupera o conteúdo de PV Recupera o conteúdo de FV Divide o conteúdo do registro y pelo conteúdo do registro x, no caso PV por FV Eleva o conteúdo do registro y pelo conteúdo x Encontra a variação percentual Vai para a linha zero (00) da programação Volta ao módulo de operação

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Exercícios de fixação Determine a taxa anual equivalente a 2% ao mês 2 i – Note que não usamos a forma fracionária para entrar com o valor da taxa de juros 1 FV 12 PV R/S  26,82 Exercícios propostos

108. Determine as seguintes taxas equivalentes: (a) taxa anual equivalente a 5% ao mês; (b) mensal equivalente a 25% ao ano; (c) bimestral equivalente a 3% ao mês; (d) anual equivalente a 0,062% ao dia; (e) diária equivalente a 30% ao ano; (f) taxa para 150 dias úteis, equivalente a 35% ao ano (252 dias úteis); (g) taxa para 691 dias úteis, equivalente a 2,0% ao mês (21 dias úteis); (h) taxa para 25 dias úteis, equivalente a 15% ao trimestre (63 dias úteis). Respostas: (a) 79,59% a a ;(b) 1,88% a m ;(c) 6,09% a b ;(d) 25% a a ;(e) 0,07% a d; (f) 19,56% p / 150 dias úteis;(g) 91,86% p/ 691 dias úteis;(h) 5,70% p/ 25 dias úteis. 109. Calcule o valor de resgate de uma aplicação de R$ 24.000,00, considerando 9 meses de prazo e uma taxa efetiva de 25% ao ano. Resposta: R$28.372,25. 110. Uma aplicação, cujo prazo de vencimento é de 3 meses, deverá ser resgatada por R$ 5.000,00. Sabendo que a taxa efetiva para tal aplicação é de 30% ao ano, determine o valor aplicado. Resposta: R$4.682,57. 111. A financeira Fim de Festa emprestou ao Sr. Manoel R$ 80.000,00 hoje. Ao final 6 meses a empresa receberá R$ 95.000,00. Calcule as taxas mensal, semestral e anual equivalentes desse empréstimo. Respostas: 2,91% a.m.; 18,75% a.s.; 41,02% a.a. 112. Determinar o montante produzido pela aplicação de R$ 7.000,00, à taxa efetiva de 90% ao ano (252 dias úteis), pelo prazo de 300 dias úteis. Resposta: R$ 15.029,60 113. Dona Maria possui um título que vencerá no prazo de um ano, sendo que o valor de resgate do papel é de R$ 2.000,00. Foi oferecida a ela uma proposta para trocar aquele título por outro, com vencimento daqui a 7 meses, sendo o valor de resgate de R$ 1.600,00. Considerando que a taxa composta no mercado financeiro gira ao redor de 35% ao ano, a troca seria vantajosa para Dona Maria? Resposta: a proposta não é financeiramente vantajosa. 114. O Sr. Guilherme aplicou a quantia de R$ 2.000,00, pelo prazo de 193 dias úteis, à taxa de 25% ao ano (252 dias úteis). Calcule o saldo que ele deve ter no fundo. Resposta: R$ 2.372,74.

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115. O Sr. Jacob deseja aplicar parte de suas economias e analisa três propostas: (a) aplicar em um CDB pré-fixado de 30 dias com taxa de 30,00% ao ano; (b) aplicar em uma caderneta de poupança com rendimento de 2,5% ao mês; (c) aplicar em um CDB pré-fixado de 60 dias com taxa de 10% ao semestre. Qual das alternativas é a melhor opção de investimento? Resposta: a poupança é a melhor alternativa. 116. Severina fez aplicação de R$ 150.000,00 que rendeu de juros R$ 32.325,94. Sabendo que a taxa de juros foi de 79,5856% ao ano, determine o período mensal que durou a aplicação. Resposta: 4 meses. 117. Seu Zuzu aplicou R$ 2.500,00 em um fundo de investimentos e resgatou R$ 3.000,00 após de 120 dias. Determinar as taxas diária, mensal e anual desta aplicação. Resposta: 0,15% a.d.; 4,66% a.m.; 72,80% a.a. 118. O gerente de um banco apresentou a um cliente duas aplicações financeiras. A primeira tem rentabilidade de 35% ao ano, ao passo que a segunda oferece 8% ao trimestre. Qual é a melhor alternativa para o cliente? Resposta: a segunda, pois paga 36,05% ao ano. 119. Uma geladeira é vendida nas Lojas Arapukã nas seguintes condições: R$ 600,00 podendo ser paga em até 2 meses, ou seja, o comprador tem 2 meses como limite para efetuar o pagamento. Entretanto, para pagamento à vista, a loja oferece um desconto de 10%. Sabendo que a taxa do mercado financeiro é 70% ao ano, vale a pena comprar à prazo? Resposta: ao optar por pagar à prazo, o cliente poderá aplicar R$600,00 por dois meses e obterá R$655,48; ficando com R$55,48. Pagando à vista, o cliente aplicará o desconto de R$60,00 e ao final de 2 meses terá R$65,55. Logo a opção à vista é mais interessante. 120. Dona Nilza aplicou R$ 1.300,00 em um fundo de investimentos. Como conseqüência, após 3 anos ela resgatou de R$ 6.386,90 do referido fundo. Determine a taxa (composta) equivalente mensal, anual e semestral obtida por Dona Nilza. Resposta: 4,52% a.m.; 70,00%a.a.; 30,38% a.s. 121. Camila deseja comprar um automóvel cujo valor é R$ 60.000,00. Quanto ela deve aplicar hoje para comprar o carro em dois anos? Observe que o banco ofereceu a ela uma aplicação cuja taxa mensal é de 2,5%. Resposta: R$33.172,52. 122. Quanto um investidor deve aplicar hoje para obter R$10.000,00, de juros, ao final de cinco anos? Considere uma taxa de juros compostos de 30% a.a. Resposta: R$3.686.05. 123. Dona Celina aplicou R$1.000,00 em um fundo de investimentos e resgatou R$1.076,89 após três meses. Calcule a taxa mensal de juros de tal aplicação. Resposta: 2,5%. a. m 124. Uma aplicação oferece taxa nominal de 12% a.a., mas é capitalizada trimestralmente. Calcule a taxa efetiva anual da aplicação. Resposta: 12,55% a a

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125. Marcos aplicou R$ 25.000,00 em um fundo de investimentos que paga juros efetivo de 3% a.m. Após certo período de tempo, ele resgatou R$ 36.713,34, estando neste valor incluídos os juros creditados e o capital investido. Calcule por quanto tempo ficou o dinheiro aplicado. Resposta: 13 meses. 126. Um corretor de títulos propõe a seu cliente uma aplicação cuja rentabilidade é de 40% a.a. Um outro corretor de títulos propõe ao mesmo investidor outra alternativa onde ele poderá ganhar 9% a.t. Qual das opções é mais rentável? Resposta: a segunda alternativa, pois renderá 41,16% a.a. 127. A taxa de juros efetiva de empréstimos cobrada pelo Banco Sete Dedos S.A. é de 30% a.a.. O Banco Larapio S.A., numa campanha promocional, informa que sua taxa nominal é de 27% a.a., tendo como algo a diferenciá-la apenas o fato de sua capitalização ser mensal. Qual é a melhor taxa para os cliente? Resposta: a taxa efetiva do segundo banco é de 30,60% a.a., portanto maior que a do primeiro. 128. Uma empresa toma um empréstimo de R$ 500.000 junto a um banco cuja taxa de juros nominal é de 21% a.a., com capitalizações quadrimestrais. Quanto deverá devolver ao fim de dois anos? Resposta: R$750.365,18. 129. Qual o montante auferido em um investimento de R$ 10.000, efetuado por quatro anos e nove meses à taxa efetiva de 10% a.a., no regime de juros compostos? Resposta: R$15.725,89. 130. Um capital de R$1.700,00 é aplicado a juros compostos, pelo período de um ano e oito meses, à taxa efetiva de 2,5% a.m. Calcule os juros auferidos no período. Resposta: R$1.085,65. 131. O Fundo Cascadura remunera aplicações, a juros compostos, com a taxa de 3% a.m. Marikota pretende aplicar hoje R$85.000,00 mais R$100.000,00 daqui a três meses. Calcule qual será o montante atingido por ela daqui a 6 meses. Resposta: R$210.767,15. 132. Calcule o capital que, aplicado durante nove anos, à taxa efetiva de 10% a.a., produzirá um montante de R$375.000,00. Resposta: R$159.036,61. 133. Guilherme aplicou seu capital, a juros compostos durante 10 meses. O rendimento obtido por ele foi igual ao valor inicialmente aplicado. Determine, a taxa mensal da aplicação. Resposta: 7,18%.a m 134. Gislaynne aplicou toda a sua economia no mercado financeiro. Uma parte ela aplicou no banco Alpha, à taxa efetiva de 5,5% a.m. e outra no banco Betha, à taxa efetiva de 4,3% a.m. O prazo de aplicação foi de seis meses em ambas as instituições. Determine os percentuais do capital aplicado em cada um dos bancos, sabendo que os saldos finais foram iguais em ambas as instituições. Considere o regime de capitalização composta. Resposta: 48,28% no banco Alpha e 51,72% no Betha.

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135. Godofredo descobriu uma aplicação que pagava juros nominal de 8% ao trimestre. Fez a aplicação em 25 de abril de 2007 e sacou todo o saldo credor em 05 de agosto de 2007. Sabendo que o depósito inicial foi de R$20.000,00 e nenhum depósito a mais foi efetuado, calcule quanto Godofredo sacou no final do prazo, sabendo que a aplicação tem capitalização mensal. Resposta: R$21.872,08. 136. Um investidor depositou 1/4 de seu capital a taxa de juros compostos de 24% a.a., capitalizados trimestralmente, e o restante a 30% a.a. capitalizados semestralmente. Ao final de três anos retirou o montante de R$ 391.791,13. Calcule o capital investido. Resposta: R$ 184.423,84. 137. Bruno conseguiu um empréstimo de R$23.800,00 para ser devolvido em 2 anos. Sabendo que a financiadora cobra uma taxa nominal de 27% a.a., com capitalização quadrimestral, calcule o montante a ser devolvido no final da operação.Resposta: R$ 39.914,98. 138. Calcule o valor que deve ser aplicado hoje para se obter um montante de R$500.000,00, considerando dois anos de prazo e taxa semestral de 15%, no regime de juros compostos. Resposta: R$285.876,62. 139. Calcule o valor futuro que será obtido, daqui a 26 trimestres, como resultado da aplicação de R$150.000,00 (hoje), a uma taxa de 2,75% a.m., no regime de juros compostos. Resposta: R$1.244.726,80. 140. Luna deseja fazer uma aplicação financeira, a juros compostos de 2% ao mês. O objetivo a ser alcançado é obter R$13.000,00 ao final do sexto mês ou R$27.000 no final do 12o mês. Quanto deve ser aplicado para atingir cada um dos objetivos. Resposta: R$11.543,63 e R$21.289,32. 141. O Banco Taubaté emprestou a importância de R$13.130,00 pelo prazo de um ano. Sabendo que o banco cobra uma taxa nominal de 12% a.a. com capitalização mensal, calcule a taxa efetiva anual e qual o montante a ser devolvido na liquidação do empréstimo. Resposta: 12,68% e R$14.795,21. 142. Agnaldo deseja comprar um carro cujo valor é R$60.000,00. Quanto ele deve aplicar hoje para ter o valor daqui a 2 anos. Considere a taxa de aplicação de 10% a.s. Resposta: R$40.980,81. 143. D. Eunice aplicou R$15.000,00 em um banco. Após um ano ela recebeu R$782,87 de juros. Qual foi a taxa de juros mensal paga pela banco onde o dinheiro foi aplicado? Resposta: 0,42% a.m. 144. Calcule a taxa de juros mensal paga por uma instituição onde o aplicador recebeu, após 3 anos, o montante de $ 45.666,57, sendo $ 25.666,57 referente a juros. Resposta: 2,32% a.m.

145. Um apartamento é vendido, a vista, por $ 245.000. Caso o comprador opte por pagar em uma única parcela após certo período de tempo, o vendedor exige

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R$ 74.461,23 como juros, oriundos de uma taxa de 2,5% a.m. Qual é o prazo do pagamento nessa hipótese? Resposta: 11 meses. 146. Ao resgatar um título, após 6 meses da aplicação, o investidor recebeu R$24.185,73. Tendo sido informado de que este montante incluía R$4.783,86 referentes aos juros creditados. Calcule a taxa anual de juros ganhos. Resposta: 55,39% a.a. 147. Em quanto tempo dobra um capital que cresce 2,82% a.a.? Resposta: 25 anos. 148. Dona Santinha necessitará de $ 12.000 daqui a 7 meses. Quanto ela deverá depositar hoje, num fundo de investimentos, para resgatar o valor desejado no prazo? Admita uma taxa de juros de 3,5% a.m.Resposta: R$9.431,89. 149. Uma pessoa deve a um banco dois títulos cujos valores de resgate são R$4.000,00 e R$9.000,00 vencíveis, respectivamente, em 5 e 7 meses. Desejando antecipar a liquidação de toda a dívida para o momento atual, calcule qual o valor a pagar considerando uma taxa de juros de 1,9% ao mês. Resposta: R$3.640,74 e R$7.889,02. 150. Considere uma taxa de 7% a.m.; qual das duas alternativas de pagamento apresenta menor custo para o devedor: (a) pagamento integral de $ 140.000 à vista; (b) $ 30.000 de entrada, $ 40.000 em 60 dias e $ 104.368,56 em 120 dias? Resposta: a opção (b) equivale a pagar R$144.559,82 à vista. Logo a opção (a) é a melhor. 151. Um financiamento está sendo negociado a uma taxa nominal de 72% ao ano. Qual o custo efetivo da operação se os juros forem capitalizados trimestralmente? Resposta: 93,88% a.a. 152. Um investidor comprou um título cujo vencimento se dará daqui a 4 meses, sendo o montante de R$39.640,00. O banco procura o aplicador e oferece trocar este título por outro vencível daqui a 10 meses, cujo valor de resgate de R$45.300,00. Sendo de 2,2% ao mês a taxa corrente de juros de mercado, é interessante para o investidor a troca de títulos? Qual a rentabilidade da nova aplicação proposta pelo banco? Resposta: a rentabilidade obtida com a operação será de 2,25%; logo a troca é interessante para o investidor.

153. Uma empresa pretende comprar um equipamento cujo valor é de R$120.000 daqui a quatro anos, com o montante de uma aplicação financeira. Qual o valor da aplicação, que deve ser feita hoje, considerando juros efetivos de 13% a.a.? Resposta: R$73.598,25.

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CAPÍTULO 6- SÉRIES PERIÓDICAS UNIFORMES Nos capítulos anteriores foram analisadas operações financeiras cujos fluxos de caixa eram compostos por uma entrada (saída) e, posteriormente, uma saída (entrada). Como foi mostrado nos exemplos e exercícios, há uma grande variedade de operações financeiras com tais características. São exemplos: o desconto de notas promissórias, aplicações financeiras com um único depósito e saque integral ao fim de determinado período de tempo etc. Entretanto, há uma enorme variedade de operações financeiras cujos fluxos de caixa são mais complexos que os apresentados até aqui. Tais operações implicam várias entradas e/ou saídas de caixa. Ao longo deste capítulo serão estudadas operações cujos fluxos de caixa são compostos de entradas e/ou saídas periódicas no tempo. São exemplos de tais operações os financiamentos com pagamentos mensais, bem como as aplicações que envolvem depósitos periódicos, como os títulos de capitalização, fundos de aposentadoria, poupança programada etc. Neste capítulo serão tratadas, especificamente, as séries que envolvem pagamentos/recebimentos a períodos fixos, as quais são usualmente referidas na literatura como séries periódicas uniformes ou, ainda, séries de renda certa. Observa-se que todo o estudo será feito no regime de juros compostos. A idéia fundamental que permeia o mecanismo das séries é que ao se efetuar aplicações financeiras ou na tomada de um empréstimo, o capital (PV) pode ser pago (ou recebido) de uma só vez ou em parcelas sucessivas de pagamentos (ou recebimentos). No caso de aplicações financeiras, pode-se obter um montante, numa data futura, usando um processo conhecido como capitalização. Já no caso de empréstimos, ou seja, pagamento uma dívida, o processo é conhecido como amortização. Existe ainda o caso de pagamentos apenas pelo uso do bem, sem que haja qualquer amortização: é o caso do leasing ou aluguéis. 49

Definições e classificação A sigla PMT será utilizada para representar uma série de pagamentos ou recebimentos, referenciados por uma taxa de juros (i), caracterizando uma série, uma anuidade ou renda certa (sinônimos). Os termos são os valores que constituem a renda (PMT); sendo que o intervalo de tempo entre dois termos é chamado de período (n). A soma de todos os períodos fornece a duração da série. As séries podem ser classificadas das seguintes formas: a) Quanto ao prazo: a. Temporárias: têm duração limitada. b. Perpétuas: têm duração ilimitada. b) Quanto ao valor dos termos: a. Uniformes: todos os termos são iguais; b. Variáveis: os termos não são iguais; c) Quanto à forma de pagamento ou recebimento: a. Imediatas: os termos são exigíveis a partir do primeiro período: i. Postecipadas ou vencidas: os termos são exigíveis no final de cada período; ii. Antecipadas: os termos são exigíveis no início de cada período; b. Diferidas: os termos são exigíveis a partir de uma data diferente do primeiro período (carência): i. Postecipadas ou vencidas. ii. Antecipadas. d) Quanto à periodicidade: a. Periódicas: todos os períodos são iguais b. Não-periódicas: os períodos não são iguais entre si. 5.1 - Série de Pagamento postecipada ou vencida As séries postecipadas são aquelas em que os pagamentos (ou recebimentos) são exigidos no final de cada período, isto é, as prestações são postecipadas.

Cálculo do valor futuro de uma série de pagamentos iguais com termos vencidos No âmbito das séries de pagamentos, o montante é o valor futuro (FV) da série de pagamentos (ou recebimentos) uniformes. Quando os pagamentos (ou recebimentos) forem postecipados, o valor futuro (FV) da série uniforme será igual a soma dos montantes de cada prestação (PMT) em uma data futura (qualquer). Os transportes temporais de valores são feitos via mesma taxa de juros adotada para a série. Para calcular o montante (FV) de uma série de pagamentos, usando a calculadora financeira, é necessário conhecer o valor dos termos (PMT), da taxa de juros (i) e o número de períodos de duração da série.

50

Exemplo: Determinar o valor do futuro, no final do 5º mês, de uma série de 5 aplicações mensais, iguais e consecutivas, em um fundo de renda fixa, no valor de R$ 1.00.,00 cada uma, a uma taxa de 1% ao mês, sabendo-se que a primeira parcela é aplicada no final do primeiro mês. FV

0

1

1.000,00

2

1.000,00

3

4

5

1.000,00 1.000,00 1.000,00

FV1 = 1000 × (1 + 0,1) = 1.040,60 4

FV2 = 1000 × (1 + 0,1) = 1.030,30 3

FV3 = 1000 × (1 + 0,1) = 1.020,10 2

FV4 = 1000 × (1 + 0,1) = 1.010,00 1

FV5 = 1000 × (1 + 0,1) = 1.000,00 0

FVTOTAL = 5.101,01 colocando o R$ 1.000,00 em evidencia temos:

[

]

FVTOTAL = 1000 × (1 + 0,1) + (1 + 0,1) + (1 + 0,1) + (1 + 0,1) + (1 + 0,1) = 1.010,00 0

1

2

3

4

A soma dos n termos de uma Progessão Geométrica é dada por:  q n − 1 S n = A1    q −1 

1 × (1 + 0,1) − 1 FV = 1.000,00 ×   = 5.101,01 ( ) 1 + 0 , 1 − 1   5

Assim temos:

FV

n ( 1 + i) − 1 = PMT ×

i

Usando a HP-12C: PMT = R$1.000,00; i = 1% a.m.; n = 5 ; FV = ?

51

f FIN g END 1.000 CHS PV 1 i 5 n FV  FV= 5.101,01

Cálculo do valor presente de uma série de pagamentos iguais com termos vencidos O valor presente (PV) de uma série periódica é a soma de todas as parcelas (termos) do fluxo de caixa da série, sendo cada uma delas deslocadas para a data inicial do fluxo (data 0). O deslocamento temporal dos termos é feito via taxa de juros (i), utilizando as regras da capitalização composta Exemplo: Calcular o valor à vista de um bem vendido em 5 parcelas de R$ 100,00 sabendo-se que se trata de uma série vencida e que a taxa contratada foi de 4% ao mês.

100,00

100,00

100,00

100,00

100,00

saída

PV =?

PV1 = 100,00 ×

PV2 = 100,00 ×

PV3 = 100,00 ×

1

= 100,00 × 0,96614 = 96,15

1

= 100,00 × 0,9256 = 92,46

1

= 100,00 × 0,8890 = 88,90

(1 + 0,04)1 (1 + 0,04)2 (1 + 0,04)3

52

PV4 = 100,00 ×

PV5 = 100,00 ×

1

= 100,00 × 0,8548 = 85,48

1

= 100,00 × 0,82193 = 82,19

(1 + 0,04)4 (1 + 0,04)5

PVTOTAL = R$445,18

Concluindo, temos: PV = PMT ×

(1 + i ) − 1 (1 + i )n × i

Usando a HP-12C: PMT = R$100,00;

i = 4% a.m.; n = 5 ; PV = ?

f FIN g END 100 CHS PV 4 i 5 n PV  FV= 445,18 A seguir será apresentado um outro exemplo da compra do televisor, onde iremos calcular o valor das parcelas de uma série postecipada. Exemplo: um televisor foi vendido por R$4.000,00, nas seguintes condições: uma entrada de 20% mais oito prestações iguais, sendo a primeira com vencimento para 30 dias (um mês). Considerando que o juro composto cobrado é de 5% a.m., qual o valor das prestações. PV = R$4.000,00;

i = 5% a.m.; n = 8 ; Entrada = R$800,00; PMT = ?

Usando a HP-12C: f FIN g END 3200 CHS PV 5 i 8 n g PMT  495,11

53

A taxa de juros de uma série periódica pode ser calculada, utilizando uma calculadora financeira. Para isso, é preciso conhecer a PMT, o período de duração da série (n) e o valou futuro FV ou o valor presente (PV). Vejamos um exemplo: Exemplo: Um financiamento deverá ser pago em 18 prestações mensais, consecutivas e iguais, de R$ 100.000,00. Sabendo-se que o valor do financiamento foi de R$ 875.563, qual a taxa de juros efetiva cobrada? Usando a calculadora financeira, temos: f FIN g END 18 n 875563 PV 100000 CHS PMT i  9,00 5.2 - Série de Pagamento antecipada Uma série é dita antecipada quando os pagamentos (ou recebimentos) são exigidos no início de cada período de tempo. Assim, a primeira prestação é sempre paga ou recebida no momentos ZERO, ou seja, na data do contrato do empréstimo, do financiamento ou qualquer outra operação que implique pagamentos ou recebimentos de prestações.

Cálculo do valor presente de uma série de pagamentos iguais com termos antecipados

PMT

PMT 0

1

PMT 2

PMT 3

PMT 4

PMT (n –1)

PMT n

Valor Presente de séries uniformes

54

PV = PMT +

n PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT + + + + .... + + = ∑ n −1 n 2 3 4 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) j =o (1 + i ) j

Fórmula do Valor Presente de uma série uniforme antecipada  (1 + i )n − 1 PV = PMT ×   x(1 + 1) n  (1 + i ) × i 

Exemplo: um televisor foi vendido por R$4.000,00 nas seguintes condições: uma entrada de 20% juntamente com a primeira das oito prestações (prestações antecipadas). Considerando que o juro composto cobrado é de 5% a.m., qual o valor das prestações. PV = R$4.000,00;

i = 5% a.m.; n = 8 ; Entrada = R$800,00; PMT = ?

Usando a HP-12C: f FIN g BEG 3200 CHS PV 5 i 8 n PMT  471,53 Note-se que, como as prestações são antecipadas, a calculadora deve ser colocada no modo antecipado, pressionando as teclas g BEG . Deverá aparece no visor a palavra “BEGIN”. Para desativar e voltar ao modo postecipado, basta pressionar as teclas g END . Observa-se, ainda, que PV tem sinal negativo por se tratar de uma saída de caixa.

Cálculo do valor futuro de uma série de pagamentos iguais com termos antecipados

FV = PMT

(1 + i )n − 1 × (1 + i ) i

55

Exemplo: Maricota depositou, a partir de hoje, R$500,00 em uma aplicação que paga juros efetivos de 0,5% a.m. Quanto ela terá acumulado ao final de 15 meses? PMT = 500;

n = 15 meses;

i = 0,5% a.m.;

FV = ?

f FIN g BEG 15 n 0,5 i 500 CHS PMT FV  7.807,12

5.3- Séries diferidas As séries diferidas são caracterizadas pela existência de um período de carência para efetuar o pagamento (ou recebimento) da primeira prestação (termo). Em outras palavras, o primeiro pagamento (ou recebimento) é efetuado em data posterior àquela do primeiro período. Observa-se, ainda, que durante o período de carência, embora não haja pagamento (ou recebimento) do principal, há o cálculo dos juros compensatórios do período. Em termos práticos, tudo se passa como se as prestações começassem a ser pagas após o período de carência, sendo o capital (principal) corrigido pela respectiva taxa de juros. Exemplo: uma empresa conseguiu um financiamento no valor de R$ 50.000,00. O empréstimo deverá ser pago em 12 parcelas mensais, à taxa de juros efetivos de 8% a.m. Foi concedido pelo banco um prazo de carência de três meses para o pagamento da primeira parcela. Calcule o valor das prestações, sabendo-se que a série é do tipo postecipada. PV = 50.000 n = 12 meses i = 8% a.m.

c = 3 meses (carência)

PMT = ?

Correção do período de carência: f FIN g END 8 i 3 n 50000 CHS PV FV  62.985,60

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É como se o período de amortização fosse iniciado com uma dívida de R$62.985,60 (PV), uma taxa de juros (i) de 8% a.m. e 12 meses (n) de prazo. Prosseguindo...

f FIN CHS PV 8 i 12 n PMT  8.357,88 A seguir o mesmo financiamento será analisado, porém a série será antecipada. Assim sendo, a primeira parcela deve ser paga no início do primeiro período após o término da carência. Tudo se passa como se o capital fosse corrigido até o final do segundo período e, no início do terceiro período, fosse paga a primeira parcela (final do segundo período). Com o auxílio da calculadora financeira, tem-se: f FIN g BEG 8 i 3 n 50000 CHS PV FV f FIN CHS PV 8 i 12 n PMT  $ 7.738,77

Exercícios de fixação

Exercícios resolvidos 154. Seu Inácio deseja comprar um veículo novo, cujo valor à vista é de R$48.500,00. A loja aceita o veículo usado dele, avaliado em R$17.000,00, como parte do pagamento da entrada. O restante do valor será pago com uma entrada (além do valor do carro usado) mais 18 prestações mensais, postecipadas, de R$1.300,00. Considerando que foram aplicados juros anuais de 56%, calcule o valor da entrada, adicional ao carro usado. 1

Solução: A taxa de juros efetiva mensal é i = (1 + 0,56) 12 − 1 = 0,378 → i = 3,78% Usando a HP-12C:

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f FIN g END 18 n 1300 CHS PMT 3,78 i PV  16.755,31 17000 +  33.755,31 CHS 48500 +  14.744,69 155. O Sr. Carlos deseja saber quanto ele deve aplicar a partir de hoje, para daqui a vinte anos, ele poder sacar R$2.500,00 por mês, ao longo de dez anos. A taxa de juros efetiva de 1% a.m. Solução: Utilizando a calculadora financeira, tem-se: f FIN g BEG 120 n 2500 CHS PMT 1 i PV  175.993,81 f FIN FV 240 n 1 i PMT -176,14 156. Dona Maria tomou um empréstimo para ser liquidado em oito prestações de R$4.860,00, pagas ao final de cada mês. Calcule o valor do empréstimo, considerando que a taxa de juros efetiva no mercado é de 3% a.m. Solução: f FIN g END 8 n 4860 CHS PMT 3 i PV  35.139,17 157. Mariazinha necessita de um empréstimo de R$2.225,91. Para saldar a dívida, ela somente pode disponibilizar, mensalmente, o valor de R$500,00. Sabendo que a instituição financeira procurada por ela adota a taxa de 4% a.m., para empréstimos de tal vulto, calcule em quantas prestações (postecipadas) o empréstimo será pago. Solução: f FIN

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g END 2.225,91 PV 500 CHS PMT 4 i n 5 158. Joaquim deverá pagar, por um financiamento, seis prestações mensais antecipadas de R$1.350,00 cada uma. Sabendo que a taxa de juros (efetiva) cobrada foi de 12% a.m., calcule o valor (real) do financiamento. Solução: f FIN g BEG 1350 CHS PMT 12 i 6 n PV 1350 -  4.886,45 159. Viviane fez uma poupança programada de R$1200,00 por trimestre. O gerente da instituição financeira escolhida por ela a informou que a taxa praticada naquela operação seria de 24,72% a.a., capitalizados semestralmente. Em quanto tempo Viviane acumulará um capital de R$502.586,82? Solução: 1 0,2472 2 A taxa de juros efetiva trimestral é i = (1 + ) − 1 = 0,060 → i = 6,0% 2 Usando a HP-12C: f FIN g END 1200 CHS PMT 6 i 500000 FV n  56 trimestres ou 14 anos. 160. Após 18 depósitos mensais, consecutivos e iguais, de R$400,00, Sílvia acumulou um capital de R$7.711,13. Determinar a taxa de juros efetiva mensal ganha nessa aplicação.

Solução: f FIN g END 400 CHS PMT 18 n 7711,13 FV

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i 0,8% a.m. 161. Uma empresa de comunicação enviou aos assinantes de um de seus jornais uma proposta de assinatura com três opções de pagamento: pagamentos mensais, pagamentos semestrais e pagamentos anuais. Na primeira opção, o assinante pagará mensalmente parcelas fixas de R$49,00, sendo a primeira no dia da assinatura. Na segunda opção, o assinante fará dois pagamentos semestrais de R$275, sendo a primeira no ato da assinatura. Finalmente, na terceira opção, o assinante fará um único pagamento de R$539,00 à vista. A empresa alega que, além de evitar idas e vindas ao banco, o assinante que optar pelos planos semestral ou anual estará sendo beneficiado por um desconto promocional no valor da mensalidade. Determine a taxa de juros embutida nas alternativas de pagamento semestral e mensal. Solução: Pagamento mensal: f FIN g END 539 ENTER 49 - PV 49 CHS PMT 11 n i 1,96% a.m. Pagamento semestral: f FIN f REG g BEG 539 ENTER PV 275 CHS PMT 2 n i 4,17% a.s. ou 0,68% a.m. 162. Um empréstimo de R$4.000,00, será liquidado em 14 parcelas antecipadas de R$452,95 cada. Considerando que há um período de carência de três meses antes do primeiro pagamento, calcule a taxa de juros efetiva cobrada no financiamento. Solução: usando a ferramenta fluxo de caixa da HP-12C: f FIN g BEG 400000 g CF0 0 g CFj 0 g CFj 42000 CHS g CFj 13 g Nj f IRR 3,62% a.m.

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Exercícios propostos Atenção: na resolução dos exercícios, salvo menção em contrário, serão considerados anos comerciais de 360 dias e fluxos postecipados (termos vencidos) de pagamentos.

163. Qual o montante, no final do 5º mês, resultante da aplicação de 5 prestações iguais, mensais e consecutivas de R$ 100,00, à taxa de 4% ao mês, sabendose que a primeira aplicação é feita hoje (data do contrato)Resposta: R$ 563,30 164. Quanto terei que aplicar mensalmente, a partir de hoje, para acumular no final de 36 meses um montante de R$ 300.000,00 sabendo-se que a taxa efetiva foi de 34,34% ao ano, e que as prestações são iguais e consecutivas, e em número de 36? Resposta: R$ 5.117,75

165. Marco Aurélio financiou integralmente um apartamento, cujo valor é de R$432.000,00. O financiamento será liquidado em 36 prestações mensais e iguais. Considerando uma taxa de juros efetiva de 3% a.m., calcule o valor das prestações a serem pagas. Resposta: R$19.787,24. 166. Fernandez tem o hábito de depositar R$1.300,00 todo fim de mês em um fundo de investimento. O referido fundo oferece juros nominais de 40% a.a., capitalizados mensalmente. Calcule o montante da aplicação ao fim do 60o mês. Resposta: R$239.927,26 167. Quantas aplicações de R$ 1.000,00 serão necessárias para a obtenção de um montante de R$ 33.426,47, sabendo-se que a taxa é de 3% ao mês, e que a primeira aplicação é feita no ato da assinatura do contrato e que a última 30 dias antes do resgate daquele valor? Resposta: 23 prestações mensais 168. Uma máquina é vendida a uma empresa em 12 prestações mensais de R$3.750,00. Considerando que a financeira que facilita a venda dessas máquinas pratica uma taxa de juros efetivos de 10% a.m., calcule o valor da máquina para pagamento à vista. Resposta: R$25.551,34. 169. A agência de automóveis Kalhambeke oferece um automóvel, cujo valor à vista é de R$18.000,00, nas seguintes condições de pagamento: entrada de 20% do valor do veículo mais 24 prestações mensais e iguais. Sabendo que a taxa de juros será de 25% a.a., calcule o valor das prestações. Resposta: R$750,77. 170. Durante 16 meses Dona Celina aplicou, mensalmente, R$490,00 em um fundo de investimentos. Ao final do 16o mês, o saldo disponível para saque era de R$9.133,25. Calcule a taxa de juros (líquido) obtida pelos aplicadores do fundo. Resposta: 2% a.m. 171. Um relógio, cujo valor à vista é de R$3.500,00, pode ser pago por meio de uma entrada mais quatro prestações mensais de R$900. Considerando juros efetivos de 5% a.m., calcule o valor da entrada. Resposta: R$308,64

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172. Um computador, cujo valor à vista é de R$4.300,00, foi financiado em 12 prestações mensais de R$393,26. Calcule a taxa de juros efetiva mensal cobrada pelo financiamento. Resposta: 1,46% a.m. 173. Uma geladeira, cujo valor à vista é de R$2.350,00, pode ser financiada a juros (efetivos) de 5,56% a.m., com prestações mensais de R$225,56. Calcule o número de prestações a serem pagas. Resposta: 16 prestações. 174. Um eletrodoméstico, cujo valor à vista é de R$830,00 será pago por meio de uma entrada de 15% mais oito prestações mensais. Considerando juros efetivos de 5% a.m., calcular o valor das prestações. Resposta: R$109,16. 175. Uma televisão no valor de R$3.755,00 foi paga em 12 prestações mensais antecipadas (a primeira no ato da compra). Considerando juros efetivos de 8% a.m., calcular o valor da prestação. Resposta: R$461,36. 176. Um empréstimo de R$1.680.000 será pago em 11 prestações anuais de R$320.995,89 cada. Calcule a taxa de juros efetiva cobrada pelo financiador. Resposta: 15% a.a. 177. Um laboratório de análises clínicas pagará por um espectrômetro, cujo valor à vista é de R$65.000, uma entrada e seis prestações mensais de $ 11.159,57. Considerando juros efetivos de 4% a.m., calcule o valor da entrada. Resposta: R$6.500,00. 178. Dona Deuszdete deseja comprar um carro, cujo preço à vista é de R$74.000. O carro usado da possível compradora foi avaliado em R$16.000,00 e poderá ser aceito como entrada. O saldo restante poderá ser pago em 20 parcelas mensais iguais, a juros efetivos de 6% a.m. Calcule o valor das prestações. Resposta: R$5.056,70. 179. Durante 13 meses Marikitta depositou mensalmente R$130,00 em um aplicação que rende juros efetivos de 3% a.m. Considerando que ela pretenda resgatar o capital por meio de três saques mensais iguais e consecutivos (o primeiro um mês depois do último depósito), calcular o valor de cada saque. Resposta: R$717,78. 180. As Lojas Arapukanas adotam como política de crédito, nas vendas à prazo, aumentar em 25% o valor dos produtos em relação ao preço à vista. Do valor aumentado, 20% é pago como entrada e o saldo restante é dividido em 6 parcelas mensais iguais. Determine a taxa de juros efetiva mensal cobrada no financiamento da loja. Resposta: 7,11% a.m. 181. Uma loja de departamentos vende eletrodomésticos em uma entrada mais 10 prestações mensais, iguais e consecutivas. Cada prestação é igual a 13% do valor à vista dos produtos. Considerando uma taxa de juros efetiva de 6% a.m., calcular o percentual sobre o valor à vista que deve ser pago como entrada. Resposta: 4,32%.

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182. O seguro de um automóvel pode ser pago à vista por R$800, ou em oito prestações mensais de R$128, 83. Calcule o valor da taxa de juros da operação. Resposta: 6% a.m. ou 101,22% a.a. 183. Um poupador deposita mensalmente R$350,00 em um fundo de investimento que paga juros efetivos de 1% a.m. O poupador pretende, futuramente, resgatar o investimento por meio de cinco saques mensais de R$18.692,89, sendo que o primeiro saque ocorrerá um ano após o último depósito. Quantos depósitos serão necessários? Resposta: 120 meses. 184. Um terrreno é vendido nas seguintes condições: R$10.000,00 à vista ou uma entrada de 10% mais um determinado número de prestações mensais de R$500,00. Além das prestações mensais, há três parcelas intermediárias, semestrais, de R$632,82. Considerando juros efetivos de 2% a.m., determinar o número de prestações mensais necessárias para quitar o financiamento do terreno. Resposta: 18 meses. 185. O Sr. Joaquim quitará o financiamento de um imóvel por meio de 60 prestações mensais de R$2.000,00 cada. Desejando abreviar em um ano o prazo de quitação, o mutuário propõe efetuar um pagamento extraordinário juntamente com a quadragésima oitava prestação. Considerando juros efetivos de 1,99% a.m., determinar o valor do pagamento extra. Resposta: R$21.163,68. 186. D. Marlene deverá quitar uma dívida nas seguintes condições: um período inicial de cinco meses de carência, seguidos de cinco prestações mensais de R$2.900,00 e, a seguir, mais quatro parcelas mensais de R$1.400,00. Considerando juros efetivos de 4% a.m., calcular o valor da dívida. Resposta: R$14.606,21. 187. Donattello decidiu melhorar seus rendimentos durante sua aposentadoria. Ele decide efetuar, pelos próximos vinte anos, depósitos mensais e iguais a R$160,00 em um fundo de pecúlio. O primeiro depósito é efetuado ao término do primeiro mês. A totalidade do capital acumulado será resgatada por meio de quarenta retiradas semestrais, ocorrendo a primeira dois anos após o último depósito. Considerando um rendimento efetivo do fundo de 2% a.m., determinar o valor dos saques semestrais. Resposta: R$392.261,25. 188. Um investidor comprou um prédio de apartamentos nas seguintes condições: R$1.850.000,00 de entrada e mais R$150.000,00 a cada três meses, durante cinco anos. Considerando uma taxa de juros efetiva aplicada de 4,5% ao trimestre, (a) calcule o valor à vista do prédio; (b) determine quanto deverá pagar o investidor caso deseje quitar a dívida junto com o oitavo pagamento. Resposta: (a) R$3.801.190,47; (b) R$1.517.787,12. 189. Carol aplicou mensalmente R$1.200, durante 36 meses em um fundo de renda fixa. Se na data da última aplicação (após a aplicação) o extrato do fundo mostra um saldo total de R$49.834,48, calcule a taxa mensal (média) ganha na aplicação. Resposta: 0,8% a.m.

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190. Henrique deverá pagar 22 parcelas trimestrais (postecipadas) de R$450,00 cada. Se no vencimento da 15a parcela ele decidir liquidar a dívida, qual o valor a ser pago, considerando a taxa efetiva de 9% a.t.? Resposta: R$ 2.714,83. 191. Um terreno é colocado à venda por R$ 180.000,00 à vista ou 10 prestações bimestrais, sendo a primeira prestação na data do contrato. Determinar o valor de cada parcela, sabendo-se que o proprietário está cobrando uma taxa efetiva de 5% ao mês pelo financiamento. Resposta: R$ 26.856,70 192. Calcular o montante, no final do 8º mês, resultante da aplicação de 8 parcelas mensais e consecutivas, à taxa efetiva de 7% ao mês , sendo as 4 primeiras prestações de R$ 12.000,00 cada uma e as 4 restantes de R$ 18.000,00 cada uma, sabendo-se que se trata de uma série de pagamentos com termos antecipados. Resposta: R$ 160.240,30 193. Quanto um aplicador poderá resgatar no final de 2 anos, se aplicar mensalmente durante os cinco primeiros meses o valor de R$ 10.000,00, sabendo-se que o rendimento efetivo do título é de 3% ao mês e que a primeira aplicação é feita na data zero. Resposta: R$ 95.888,90 194. Sabendo-se que um empréstimo pode ser liquidado em 12 parcelas mensais de R$ 2.500,00 cada uma, e que a taxa efetiva cobrada pela instituição financeira é de 4% ao mês, calcular o valor líquido a ser entregue ao financiado, de acordo com o conceito de termos antecipados. Resposta: 24.401,19 195. Uma TV, no valor de R$500,00 é financiada por uma loja para ser paga em 5 parcelas mensais e iguais, sendo a primeira paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa efetiva cobrada pela loja é de 5% ao mês , calcular o valor das parcelas. Resposta: R$ 109,99 196. Determinar o valor futuro, no décimo primeiro bimestre da série de pagamentos abaixo, sabendo-se que os períodos são bimestrais e que a taxa efetiva é de 60% ao semestre. Resposta: R$ 360.537,55

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

R$ 60.000,00 R$ 90.000,00

64

197. Quanto deverá ser aplicado mensalmente, a partir de hoje ,em um fundo de renda fixa, à taxa efetiva de 1% ao mês, durante quinze meses, para se obter no final 25 meses, um montante de R$ 150.000,00? Resposta: R$ 8.352,45

198. Uma pessoa adquiriu um carro para ser pago em 15 prestações iguais de R$ 1.000,00. Sabendo-se que o primeiro pagamento será feito 120 dias após a data do contrato, que as demais tem vencimentos mensais e que a taxa efeiva cobrada é de 20% ao ano, calcular o valor financiado pelo pessoa? Resposta: R$ 12.718,73 199. Determinar qual é a melhor forma de adquirir uma geladeira: a- à vista pagando R$ 600,00; b- em 3 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de R$ 250,00, sabendo-se que a primeira parcela é feita no ato da compra; c- em 6 pagamentos mensais, sendo os 3 primeiras de R$ 130,00 cada uma e a três restantes de R$ 150,00 cada uma ( série antecipada). d- em quatro parcelas iguais, mensais e consecutivas de R$ 100 cada uma, sendo o primeiro pagamento feito no ato da aquisição e mais uma parcela de R$ 350,00 após 35 dias da data de aquisição. Obs: a taxa composta no mercado financeiro é de 30% ao ano. Resposta: melhor comprar à vista

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CAPÍTULO 7- SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO A palavra amortização significa, literalmente, extinguir dívidas aos poucos. O presente capítulo é dedicado ao estudo dos sistemas mais usados, no mercado, para amortizar dívidas. Os conceitos abordados nos capítulos anteriores serão usados, pois são ferramentas dos sistemas de amortização. As aplicações dos sistemas de amortização são vastas. Incluem-se nas aplicações as operações de financeiras denominadas empréstimos e financiamentos que podem ser amortizadas através de diferentes sistemas ou metodologias. Antes de iniciar o estudo das metodologias de amortização, é necessário apresentar as definições gerais dos termos usualmente adotados no jargão destas operações. Conceitos e definições Empréstimo: é uma modalidade de operação onde a instituição financeira não exige a comprovação da aplicação dos recursos por ela fornecidos. Trata-se, portanto, de um recurso financeiro que, em tese, não necessita ser justificado quanto à sua finalidade. São exemplos de empréstimo o cheque especial e CDC (Crédito Direto ao Consumidor) e o crédito consignado. Financiamento: é uma modalidade de operação onde a instituição financeira exige a comprovação da aplicação dos recursos obtidos. Neste caso o recurso financeiro tem, necessariamente, de ser justificado quanto à sua finalidade. São exemplos os financiamentos de automóveis e imóveis. Observa-se que em caso de inadimplência nos financiamentos a instituição financeira pode tomar posse do ativo financiado e assim reduzir seu prejuízo. Em síntese, nas operações de financiamento, sempre existe a compra de um bem ou serviço atrelado à liberação dos recursos. Por outro lado, nas operações de empréstimos, a instituição exige apenas uma garantia do pagamento sem a comprovação da aplicação dos recursos. Prestações e Amortização: nos sistemas de amortização, as parcelas (prestações) pagas compreendem a parcela de amortização e a remuneração do capital. A amortização será usada para reduzir o saldo devedor (montante da dívida). A parcela de amortização se refere exclusivamente ao pagamento do capital emprestado. Encargos Financeiros: são os juros da operação, isto é, a parcela de remuneração do capital emprestado, que é usualmente parte das prestações. Os encargos podem ser prefixados ou pós-fixados. Quando a dívida é corrigida (indexada) com base em expectativas, diz-se que os encargos são prefixados. Por outro lado, quando se corrige a dívida com base numa verificação do comportamento do indexador, feita posteriormente, os encargos são ditos pós-fixados. Saldo Devedor: é o valor do principal, da dívida propriamente dita, em determinado momento. É obtido a partir do valor inicialmente emprestado, devidamente deduzido das parcelas de amortização pagas. É o valor nominal do empréstimo ou financiamento, ou simplesmente o valor presente (PV) na data focal 0 (zero), subtraído da parcela de amortização a cada período (n). Sistema Francês de Amortização (SFA) ou Tabela Price 66

O Sistema Francês de Amortização (SFA) foi elaborado na França, no século XVIII, por um matemático inglês chamado Richard Price. Sendo assim, o sistema é também conhecido como Sistema Price de Amortização. Este é, provavelmente, o mais popular dentre os sistemas de amortização. É amplamente adotado por instituições financeiras e pelo comércio de modo geral. A base do sistema consiste em amortizar dívidas, sejam elas oriundas de empréstimos ou financiamentos, pelo pagamento de prestações iguais e com periodicidade constante. Assim como nos demais sistemas de amortização, as parcelas ou prestações (PMT) são compostas pela parcela de amortização e pela remuneração do capital. No SFA, a parcela de amortização aumenta em cada período, ao passo que os juros diminuem; e o valor da prestação será constante ao longo do tempo. Os juros, que representam a remuneração do capital, são calculados como uma porcentagem (taxa) do saldo devedor do período anterior. O valor das prestações (PMT) pode ser calculado a partir do montante da operação (PV), da taxa de juros (i) e do número de períodos de amortização da seguinte forma: i × PV PMT = 1 1− (1 + i )n O valor das prestações (PMT) também pode ser calculado a partir do valor futuro do montante da operação (FV), da taxa de juros (i) e do número de períodos de amortização da seguinte forma: PMT =

i × FV

(1 + i )n − 1

A seguir será apresentada a Tabela do SFA para um empréstimo de R$100.000,00, à taxa mensal de 1%, a ser pago em 5 meses. Período 0 1 2 3 4 5

Saldo Devedor R$ R$ R$ R$ R$ R$

100.000,00 80.396,02 60.596,00 40.597,98 20.399,98 0,00

Amortização R$ R$ 19.603,98 R$ 19.800,02 R$ 19.998,02 R$ 20.198,00 R$ 20.399,98

Juros R$ R$ 1.000,00 R$ 803,96 R$ 605,96 R$ 405,98 R$ 204,00

Prestação R$ R$ 20.603,98 R$ 20.603,98 R$ 20.603,98 R$ 20.603,98 R$ 20.603,98

Na data focal zero, ou seja, no dia da tomada do financiamento, o tomador incorporou ao seu patrimônio próprio o valor de R$100.000,00. Trinta dias depois, o tomador paga à instituição financeira a primeira PMT, no valor de R$20.603,98. A primeira PMT é formada pela remuneração do capital que ficou com o tomador no primeiro período, ou seja, J 1 = 0,01 × 100.000 = 1.000,00 ; o valor restante da PMT é a parcela de amortização: PA1 = PMT − J 1 = 20.603,98 − 1.000,00 = 19.603,98 . Após o pagamento da primeira PMT, o saldo devedor é recalculado da seguinte forma: SD1 = 100.000,00 − 19.603,98 = 80.396,02 . Sessenta dias depois da data focal, o tomador paga à instituição financeira a segunda PMT, no valor de R$20.603,98. A segunda PMT é formada pela remuneração do capital que ficou como tomador no segundo período, ou seja, 67

J 2 = 0,01 × 80.396,02 = 803,96 ; o valor restante da PMT é a parcela de amortização: PA2 = PMT − J 2 = 20.603,98 − 803,96 = 19.800,02 . Após o pagamento da segunda PMT, o saldo devedor é recalculado da seguinte forma: SD2 = 80.396,02 − 19.800,02 = 60.596,00 . Aos valores referentes aos demais períodos, três a cinco, é aplicada a mesma metodologia. É possível obter todos os valores mostrados na tabela anterior usando a HP-12C. Basta seguir os seguintes passos: f FIN g END 100000 CHS PV 1 i 5 n PMT  20.603,98 1 f AMORT 1.000,00 1 f AMORT 803,96 1 f AMORT 605,96 1 f AMORT 405,98 1 f AMORT 204,00

x >< y 19.603,98 x >< y 19.800,02 x >< y 19.998,02 x >< y 20.198,00 x >< y 20.399,98

RCL PV -80.390,02 RCL PV -60.596,00 RCL PV -40.597,98 RCL PV -20.399,98 RCL PV 0,00

Uma observação importante é que ao contratar um financiamento, a ser pago mediante prestações periódicas, o mutuário (ou tomador do financiamento) precisa identificar, a cada prestação paga, qual a parcela destinada ao pagamento de juros e qual à amortização do capital. Tal necessidade é particularmente relevante para pessoas jurídicas, haja vista que os juros e as variações monetárias apuradas em contratos indexados são contabilizados como despesas na apuração do imposto de renda; o mesmo não se dá com o valor das amortizações. Exemplo 1: Um banco empresta o valor de R$10.000,00, com taxa de 2% a.m., para ser pago em 5 pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculados pelo SFA. A planilha de financiamento fica assim: Período

0 1 2 3 4 5

Prestação

R$ R$ R$ R$ R$ R$

2.121,58 2.121,58 2.121,58 2.121,58 2.121,58

Amortização

R$ R$ R$ R$ R$ R$

1.921,58 1.960,02 1.999,22 2.039,20 2.079,98

Juros

R$ R$ R$ R$ R$ R$

200,00 161,57 122,37 82,38 41,60

Saldo Devedor

R$ 10.000,00 R$ 8.078,42 R$ 6.118,40 R$ 4.119,18 R$ 2.079,98 R$ -

Exemplo 2: Um banco de investimento oferece um financiamento de R$ 1.000.000,00, com taxa de juros de 7% ao semestre, nas seguintes condições: prazo de 14 parcelas semestrais, sendo 4 semestres de carência; pagamento integral dos juros devidos durante o período de carência. A planilha referente a tal operação é a seguinte: Período

Prestação

Amortização

Juros

Saldo Devedor 68

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$

70.000,00 70.000,00 70.000,00 70.000,00 142.377,50 142.377,50 142.377,50 142.377,50 142.377,50 142.377,50 142.377,50 142.377,50 142.377,50 142.377,50

R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$

72.377,50 77.443,93 82.865,00 88.665,55 94.872,14 101.513,19 108.619,12 116.222,45 124.358,02 133.063,09

R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$

70.000,00 70.000,00 70.000,00 70.000,00 70.000,00 64.933,57 59.512,50 53.711,95 47.505,36 40.864,31 33.758,39 26.155,05 18.019,48 9.314,42

R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$

1.000.000,00 1.000.000,00 1.000.000,00 1.000.000,00 1.000.000,00 927.622,50 850.178,57 767.313,57 678.648,01 583.775,87 482.262,68 373.643,56 257.421,11 133.063,09 0,00

Exemplo 3: Um banco de investimento oferece um financiamento de R$ 50.000,00, com taxa de juros de 1,5% ao mês, nas seguintes condições: prazo de dezoito meses, sendo três meses de carência; capitalização dos juros devidos durante o período de carência. A planilha referente a tal operação é a seguinte: Período

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Prestação

R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$

3.918,38 3.918,38 3.918,38 3.918,38 3.918,38 3.918,38 3.918,38 3.918,38 3.918,38 3.918,38 3.918,38 3.918,38 3.918,38 3.918,38 3.918,38

Amortização

R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$

3.134,13 3.181,14 3.228,85 3.277,29 3.326,45 3.376,34 3.426,99 3.478,39 3.530,57 3.583,53 3.637,28 3.691,84 3.747,22 3.803,43 3.860,48

Juros

R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$

750,00 761,25 772,67 784,26 737,25 689,53 641,10 591,94 542,04 491,40 439,99 387,82 334,86 281,10 226,54 171,17 114,96 57,91

Saldo Devedor

R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$

50.000,00 50.750,00 51.511,25 52.283,92 49.149,79 45.968,66 42.739,80 39.462,51 36.136,07 32.759,72 29.332,73 25.854,34 22.323,77 18.740,24 15.102,96 11.411,12 7.663,90 3.860,48 (0,00)

Sistema de Amortização Constante (SAC) No Sistema de Amortização Constante, assim como o SFA, o financiamento (ou empréstimo) é liquidado via pagamento de prestações (PMT). As prestações são compostas da parcela de amortização da dívida mais a parcela de remuneração do capital (os juros). O SAC é caracterizado por serem constantes, em todas as prestações, as parcelas

69

de amortização. O valor das parcelas de amortização (PA) é obtido pela divisão do valor do capital emprestado pelo número de prestações. A remuneração do capital, isto é, os juros são calculados a cada prestação a partir do valor do saldo devedor. Como no SAC o saldo devedor decresce continuamente, em virtude da constância da PA, as parcelas dos juros serão decrescentes ao longo da operação. Uma característica do SAC, que é conseqüência das PA´s constantes e das parcela de juros variáveis, é que o valor das prestações (PMT´s) é variável; sendo decrescentes ao longo da operação. A seguir será apresentada a planilha de um empréstimo de R$ 15.000,00, sendo a taxa de juros de 1,99 % ao mês, para pagamento em 6 meses, sendo as prestações mensais. Não há período de carência e o sistema de amortização é o SAC. A parcela de amortização (PA) é calculada da seguinte forma: PA =

Período

0 1 2 3 4 5

R$15.000,00 = R$3.000,00 5

Saldo Devedor

R$ R$ R$ R$ R$ R$

15.000,00 12.000,00 9.000,00 6.000,00 3.000,00 -

Amortização

R$ R$ R$ R$ R$ R$

3.000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00

Juros

Prestação

R$ R$ 298,50 R$ 238,80 R$ 179,10 R$ 119,40 R$ 59,70

R$ R$ 3.298,50 R$ 3.238,80 R$ 3.179,10 R$ 3.119,40 R$ 3.059,70

Na data focal zero, ou seja, no dia da tomada do financiamento, o tomador incorporou ao seu patrimônio próprio o valo de R$15.000,00. Trinta dias depois, o tomador paga à instituição financeira a primeira PMT, no valor de R$3.298,50. A primeira PMT é formada pela remuneração do capital que ficou com o tomador no primeiro período, ou seja, J1 = 0,0199 × 15.000 = 298,50 ; o valor restante da PMT é a parcela de amortização: PA1 = R$3.000,00 . Após o pagamento da primeira PMT, o saldo devedor é recalculado da seguinte forma: SD1 = 15.000,00 − 3.000,00 = 12.000,00 . Sessenta dias depois da data focal, o tomador paga à instituição financeira a segunda PMT, no valor de R$3.238, 80. A segunda PMT é formada pela remuneração do capital que ficou com o tomador no segundo período, ou seja, J 2 = 0,0199 × 12.000,00 = 238,80 ; o valor restante da PMT é a parcela de amortização: PA2 = R$3.000,00 . Após o pagamento da segunda PMT, o saldo devedor é recalculado da seguinte forma: SD2 = 12.000,00 − 3.000,00 = 9.000,00 . Aos valores referentes aos demais períodos, três a cinco, é aplicada a mesma metodologia. Assim como os demais sistemas de amortização, o SAC admite períodos de carência, com ou sem capitalização dos juros, com ou sem o pagamento dos juros no período de carência.

Exercícios propostos

70

200. Um microcomputador é vendido, à vista, por R$ 2.000,00, mas pode ser financiado integralmente a uma taxa de juros de 36% ao ano (nominal), pelo Sistema Price. Sabendo que o financiamento deve ser amortizado integralmente em 5 meses, calcule o valor das parcelas. Resposta: R$436,71. 201. Um notebook é vendido, à vista, por R$ 3.500,00, mas pode ser financiado nas seguintes condições: 20% do valor de entrada e o restante do saldo devedor financiado em cinco meses à taxa de juros de 36% ao ano (nominal), pelo Sistema Francês de Amortização ou Sistema Price. Calcule o valor das prestações feitas pelo comprador. Resposta: PMT = R$611,39 . 202. Dona Clotilde financiou, integralmente, um terreno em um condomínio fechado, cujo valor à vista é de R$ 120.000,00. O financiamento foi feito nas seguintes condições: taxa de juros de 2% ao mês, sendo o pagamento feito em 10 parcelas iguais. Calcule o valor dos juros pagos na 8a prestação. Resposta: R$770,53. 203. A fim de expandir seus negócios, um empresário obteve um empréstimo de R$ 300.000, nas seguintes condições: taxa de juros de 4% ao semestre; pagamentos semestrais; utilização do SAC; prazo de três anos. Calcule a parcela de juros paga junto com a quinta prestação. Resposta: R$4.000,00. 204. O Sr. Jacob obteve um financiamento para capital de giro no valor de R$ 200.000,00. A operação deve ser finalizada no prazo de 6 semestres, sendo a taxa de juros contratada de 9% ao semestre. Foi adotado o sistema de amortização constante para amortização da dívida. Observa-se, ainda, que foi concedido um prazo de carência de 1 semestres, durante os quais haverá pagamento dos juros compensatórios. Elabore a planilha desta operação. Resposta: Período 0 1 2 3 4 5 6

Saldo Devedor R$ 200.000,00 R$ 200.000,00 R$ 160.000,00 R$ 120.000,00 R$ 80.000,00 R$ 40.000,00 R$ -

Amortização

Juros

Prestação

R$ R$ R$ 40.000,00 R$ 40.000,00 R$ 40.000,00 R$ 40.000,00 R$ 40.000,00

R$ R$ 18.000,00 R$ 18.000,00 R$ 14.400,00 R$ 10.800,00 R$ 7.200,00 R$ 3.600,00

R$ R$ 18.000,00 R$ 58.000,00 R$ 54.400,00 R$ 50.800,00 R$ 47.200,00 R$ 43.600,00

205. A construtora Bemorar financia apartamentos populares cujo valor à vista é de R$80.000,00. O plano de financiamento oferecido pela empresa é o seguinte: 10% de entrada mais 36 prestações mensais, a serem calculadas via sistema de amortização constante. A taxa de juros contratada para a operação é de 4% ao mês. Determine: (a) o valor das parcelas de amortização; (b) o valor dos juros e da prestação referentes ao 22o pagamento; (c) o valor da última prestação e (d) o valor do saldo devedor imediatamente após o pagamento da 10a prestação. Respostas: (a) R$2.000,00; (b) R$1.200,00 e R$ 3.200,00; (c) R$2.080,00; (d) R$52.000,00.

71

206. Um imóvel é colocado à venda por R$600.000,00 de entrada mais seis prestações trimestrais de R$100.000,00 cada. Sabendo que a taxa de juros mensal adotada no financiamento foi de 2,5%, determine o valor do imóvel para pagamento à vista. R$1.066.681,20. 207. Um empréstimo no valor de R$25.000,00 deve ser saldado em 30 prestações mensais pelo sistema SAC, sendo a taxa de juros contratada de 3% ao mês. Determine o saldo devedor, os juros e a prestação referentes ao 19o mês. Resposta: R$9.166,67; R$300,00; R$1.133,33. 208. A empresa Foto Estúdio Italiano obtém um financiamento de R$400.000,00, sem prazo de carência, a ser amortizado em 5 anos pelo SFA. Os pagamentos serão efetuados mensalmente e a taxa de juros contratada é de 3% ao mês. Determine: (a) o valor de cada prestação; (b) o valor da amortização e dos juros referentes à 15a prestação; (c) o saldo devedor no 7o mês (logo após o pagamento da prestação). Respostas: (a) R$14.453,18; (b) R$10.742,52 e R$3.710,66; (c) R$381.202,58. 209. Um financiamento no valor de R$2.000.000,00 é concedido para ser amortizado em 24 pagamentos mensais pela tabela Price. A taxa de juros (linear) contratada é de 24% ao ano. Com base nestas informações, determine: (a) valor de cada prestação mensal; (b) saldo devedor ao final do 18o mês; (c) os valores das parcelas de juros e amortização referentes ao 10o mês. Respostas: (a) R$105.742,19; (b) R$592.307,72; (c) Amortização = R$78.568,01 e Juros = R$ 27.174,19. 210. Dona Celina toma um empréstimo no valor de R$7.500,00, à taxa de juros de 4% ao mês. A dívida será paga em cinco prestações mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Francês de Amortização (SFA). Elabore a planilha de financiamento. Resposta: Período Prestação Amortização Juros Saldo Devedor 0 1 2 3 4 5

R$ R$ R$ R$ R$ R$

1.684,70 1.684,70 1.684,70 1.684,70 1.684,70

R$ R$ R$ R$ R$ R$

1.384,70 1.440,09 1.497,70 1.557,60 1.619,91

R$ R$ R$ R$ R$ R$

300,00 244,61 187,01 127,10 64,80

R$ R$ R$ R$ R$ R$

7.500,00 6.115,30 4.675,21 3.177,51 1.619,91 0,00

211. Dona Nilza toma um empréstimo no valor de R$8.800,00, à taxa de juros efetiva de 3% ao mês. A dívida será paga em seis prestações mensais, com um mês de prazo de carência, calculado pelo Sistema Francês de Amortização (SFA). Durante o período de carência haverá pagamento de juros compensatórios. Elabore a planilha de financiamento. Resposta: Período 0 1 2 3 4 5

Prestação R$ R$ R$ R$ R$ R$

264,00 1.624,46 1.624,46 1.624,46 1.624,46

Amortização R$ R$ R$ R$ R$ R$

1.360,46 1.401,27 1.443,31 1.486,61

Juros R$ R$ R$ R$ R$ R$

264,00 264,00 223,19 181,15 137,85

Saldo Devedor R$ R$ R$ R$ R$ R$

8.800,00 8.800,00 7.439,54 6.038,27 4.594,96 3.108,35

72

6 7

R$ R$

1.624,46 1.624,46

R$ R$

1.531,21 1.577,14

R$ R$

93,25 47,31

R$ R$

1.577,14 (0,00)

212. Viviane toma um empréstimo no valor de R$18.400,00, à taxa de juros efetiva de 2,5% ao mês. A dívida será paga em oito prestações mensais, com um mês de prazo de carência, calculado pelo Sistema Francês de Amortização (SFA). Durante o período de carência não haverá pagamento de juros compensatórios e os juros serão capitalizados. Elabore a planilha de financiamento. Resposta: Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Prestação R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$

Amortização

2.630,35 2.630,35 2.630,35 2.630,35 2.630,35 2.630,35 2.630,35 2.630,35

R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$

2.158,85 2.212,83 2.268,15 2.324,85 2.382,97 2.442,55 2.503,61 2.566,20

Juros R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$

Saldo Devedor

460,00 471,50 417,53 362,21 305,50 247,38 187,81 126,75 64,15

R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$

18.400,00 18.860,00 16.701,15 14.488,32 12.220,17 9.895,32 7.512,35 5.069,81 2.566,20 (0,00)

213. A Vidraçaria Transparente Ltda. obteve junto a um banco um empréstimo, para capital de giro, no valor de R$60.000,00. A taxa de juros efetiva contratada foi de 5% ao mês, sendo que a dívida será completamente amortizada em 15 pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Elabore a planilha de financiamento. Resposta: Período Prestação Amortização Juros Saldo Devedor 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$

7.000,00 6.800,00 6.600,00 6.400,00 6.200,00 6.000,00 5.800,00 5.600,00 5.400,00 5.200,00 5.000,00 4.800,00 4.600,00 4.400,00 4.200,00

R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$

4.000,00 4.000,00 4.000,00 4.000,00 4.000,00 4.000,00 4.000,00 4.000,00 4.000,00 4.000,00 4.000,00 4.000,00 4.000,00 4.000,00 4.000,00

R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$

3.000,00 2.800,00 2.600,00 2.400,00 2.200,00 2.000,00 1.800,00 1.600,00 1.400,00 1.200,00 1.000,00 800,00 600,00 400,00 200,00

R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$

60.000,00 56.000,00 52.000,00 48.000,00 44.000,00 40.000,00 36.000,00 32.000,00 28.000,00 24.000,00 20.000,00 16.000,00 12.000,00 8.000,00 4.000,00 -

214. Dona Eunice toma um empréstimo no valor de R$6.500,00, à taxa de juros efetiva de 2% ao mês. A dívida será paga em quatro prestações mensais, com um mês de prazo de carência, calculado pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Durante o período de carência haverá pagamento de juros compensatórios. Elabore a planilha de financiamento. Resposta: Prestação Amortização Juros Saldo Devedor Período 0

R$

-

R$

-

R$

-

R$

6.500,00

73

1 2 3 4 5

R$ R$ R$ R$ R$

130,00 1.755,00 1.722,50 1.690,00 1.657,50

R$ R$ R$ R$ R$

1.625,00 1.625,00 1.625,00 1.625,00

R$ R$ R$ R$ R$

130,00 130,00 97,50 65,00 32,50

R$ R$ R$ R$ R$

6.500,00 4.875,00 3.250,00 1.625,00 -

215. Bruno tomou um empréstimo no valor de R$26.700,00, à taxa de juros de efetiva 3,5% ao mês. A dívida será paga em quatro prestações mensais, com um mês de prazo de carência, calculado pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Durante o período de carência os juros serão capitalizados. Elabore a planilha de financiamento. Resposta: Período Prestação Amortização Juros Saldo Devedor 0 1 2 3 4 5

R$ R$ R$ R$ R$ R$

7.875,83 7.634,03 7.392,23 7.150,43

R$ R$ R$ R$ R$ R$

6.908,63 6.908,63 6.908,63 6.908,63

R$ R$ R$ R$ R$ R$

934,50 967,21 725,41 483,60 241,80

R$ R$ R$ R$ R$ R$

26.700,00 27.634,50 20.725,88 13.817,25 6.908,63 -

216. Um banco de desenvolvimento oferece empréstimos sob as seguintes condições: taxa nominal de juros de 6% a.a. com capitalização semestral; prestações semestrais; amortização via SAC ou SFA. Considere um empréstimo no valor de R$1.200.000,00. Calcule o valor da primeira prestação pelo SAC, sabendo que pelo SFA as prestações são iguais a R$322.832,45? Resposta: R$336.000,00. 217. Uma dívida, no valor de R$5.417,20, vai ser amortizada pelo SFA, sem entrada, com pagamento em 6 prestações mensais consecutivas, sendo a primeira delas vencendo ao completar 30 dias da data do empréstimo. A taxa de juros efetiva acertada foi de 3% ao mês. Calcule a parcela de amortização referente a primeira prestação? Resposta: R$837,49. 218. O financiamento de um apartamento, cujo valor é de R$90.000,00, deverá ser pago em 15 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira 30 dias após a compra do imóvel, sem carência. Sabendo que o financiamento foi feito pelo SAC, sendo a uma taxa de juros composta mensal de 3%, calcule o saldo devedor após o pagamento da décima quarta prestação? Resposta: R$6.000,00. 219. Uma indústria tomou um empréstimo de R$2.500.000,00. A dívida será quitada via oito pagamentos semestrais (postecipados) a juros efetivos de 24% a.a. pelo SFA. Calcule: (a) a prestação semestral; (b) o saldo devedor logo após o sexto pagamento; (c) a parcela de amortização contida no quarto pagamento. Respostas: (a) R$491.974,34; (b) R$838.559,47; e (c) R$287.334,81. 220. Um financiamento de R$75.000,00 será pago pelo SAC em cinco parcelas mensais a juros efetivos de 4% a.m. Calcule: (a) a parcela de amortização do 4o mês; (b) os juros pagos na segunda parcela; c) o saldo devedor logo após o pagamento da terceira prestação. Respostas : a) R$15.000,00; b) R$ 2.400,00; e c) R$30.000,00

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221. Um banco libera para uma empresa um crédito de R$120.000,00. A dívida deverá ser quitada pelo SAC em 6 parcelas trimestrais. Sendo a taxa de juros efetiva de 5% a.t., elabore a planilha de financiamento. Resposta: Período 0 1 2 3 4 5 6

Prestação R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$

26.000,00 25.000,00 24.000,00 23.000,00 22.000,00 21.000,00

Amortização R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$

20.000,00 20.000,00 20.000,00 20.000,00 20.000,00 20.000,00

Juros R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$

6.000,00 5.000,00 4.000,00 3.000,00 2.000,00 1.000,00

Saldo Devedor R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$

120.000,00 100.000,00 80.000,00 60.000,00 40.000,00 20.000,00 -

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CAPÍTULO 8- TÉCNICAS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS Nos capítulos anteriores deste livro foram apresentadas as técnicas básicas da Matemática Financeira e como elas podem ser aplicadas a situações-problema específicos. Neste capítulo será mostrado como o ferramental da Matemática Financeira é usado para tratar de um problema consideravelmente mais complexo: a tomada de decisão em análise de investimentos. Antes de iniciar a discussão acerca da análise de investimentos propriamente dita, cabe uma questão importante: O que se entende por ‘investimento’? Essa é a primeira questão cuja resposta deve-se ter clara para que se possa partir para a análise de investimento de uma empresa. É, também, um importante elo de ligação entre as disciplinas de Matemática Financeira e Contabilidade. Como já mencionado, o Administrador Financeiro deve tomar decisões básicas que dizem respeito aos Investimentos a serem efetuados numa empresa e a forma de Financiamento mais apropriada. Isto é, o Administrador Financeiro deve tomar decisões de Investimento e de Financiamento. A decisão de Financiamento é aquela que influencia, que modifica a estrutura de Passivos de uma empresa: a composição das dívidas de uma empresa, oscilando entre dívidas para com terceiros e para com os sócios, se modifica a cada decisão de Financiamento tomada pelo administrador financeiro. A decisão de Investimento é aquela que diz respeito à composição dos Ativos da empresa: é a decisão de quais ativos comprar para manter a empresa operando e obtendo o máximo de retorno possível (otimização do retorno financeiro obtido com as aplicações em ativos). Assim, pode-se dizer que Investimento é uma aplicação de recursos em Ativos. É importante notar que a decisão de investir, sempre terá uma componente de risco. Por isso mesmo, a decisão de investir não é tomada sem que seja precedida de estudos que têm por finalidade simular situações as mais diversas possíveis e verificar seus impactos. Vale lembrar que as condições de risco nunca serão eliminadas (não existe risco zero); porém com a elaboração de um projeto de investimento pode-se reduzir sobremaneira os riscos envolvidos. Um projeto de investimento inicia quando se tem uma idéia que exige a alocação de recursos financeiros para que seja implementada. Ou seja, o início de um projeto de investimento é uma idéia do investimento. Partindo-se dessa idéia, serão realizados estudos envolvendo as variantes concorrentes (determinação de todas as alternativas possíveis para o investimento) e, no nível dos setores, divisões ou departamentos da empresa, será elaborado um projeto de investimento. De posse de todos os projetos de investimento da organização, um ‘comitê de seleção’ se encarregará do exame e seleção, cancelando aqueles considerados inviáveis (ou que não se coadunem com a estratégia corporativa) e dando a configuração final àqueles considerados viáveis (ou importantes para a estratégia estabelecida). Após a elaboração final do projeto de investimento da organização, serão determinadas as saídas de caixa associadas ao projeto, bem como as entradas de caixa associadas ao projeto. Os investimentos podem ser classificados de várias maneiras. Para os objetivos a que se propõe, este trabalho se utilizará apenas duas classificações: classificação dos investimentos segundo sua natureza e classificação dos investimentos segundo a natureza de suas relações recíprocas em um programa de investimento. Do ponto de vista da natureza do investimento, pode-se classificá-lo quanto ao objetivo do mesmo (o que se buscou ao propor o investimento), quanto à forma física

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que o investimento tomará, e, finalmente, quanto ao impacto potencial na empresa. Vejamos cada uma delas: Quanto ao objetivo – o investimento pode ser proposto visando uma substituição ou reposição de um equipamento usado ou obsoleto; pode, também, ter como objetivo a modernização do parque industrial da empresa (melhoria e racionalização do modo de produção atual); pode, ainda, ter como objetivo a expansão da capacidade de produção da empresa; Quanto à forma física – o investimento pode ser distinguido entre investimentos materiais ou investimentos imateriais. Os primeiros (investimentos materiais) são representados por projetos que pretendem aquisição de máquinas e equipamentos, pela construção de edificações destinadas à produção, etc. Os investimentos imateriais são aqueles dispêndios de longo prazo que não se referem a ativos fixos e que a empresa faz visando manter ou melhorar seus resultados. Pesquisa e desenvolvimento, treinamento, informação, organização da produção, etc são exemplos de investimentos imateriais; Quanto ao impacto potencial – o investimento, sob o ponto de vista do impacto potencial para a empresa, pode ser classificado em investimentos correntes que têm risco normal para o negócio (aqui estão considerados a maioria dos investimentos realizados para substituição, modernização ou expansão relacionados à operação atual da empresa – produtos atuais). Os investimentos correntes podem ter riscos mais elevados se relacionados a um produto novo ou a uma nova linha de produtos. Outros projetos, entretanto, exigem volume de recursos elevado e representam algo de excepcional para o futuro da empresa: esses investimentos são considerados como investimentos estratégicos (podem, inclusive, ameaçar a sobrevivência da empresa em caso de fracasso do projeto). Quanto à natureza das relações recíprocas dos projetos em um programa de investimento, temos que os projetos podem ser independentes – quando um projeto não interfere na realização e/ou rentabilidade de outros projetos do programa de investimentos, mutuamente exclusivos – quando a realização de um dos projetos impossibilita a realização dos outros, e contingentes – quando a realização de um projeto pressupõe a realização prévia de um outro. Finalmente, segue algumas observações acerca da determinação dos fluxos de caixa associados a um projeto. Para as saídas líquidas de caixa associadas a um projeto, deve-se atentar para os seguintes detalhes, dentre outros: # verificar se existem impostos pagos na aquisição dos equipamentos e se esses impostos podem ser recuperados por meio de algum mecanismo fiscal; # verificar se o equipamento a ser porventura substituído, tem valor residual ou não; # verificar se existem linhas de crédito que beneficiem a substituição / aquisição do equipamento pretendido; # verificar qual o impacto nas necessidades líquidas de capital de giro. Para as entradas líquidas de caixa associadas a um projeto, deve-se dar importância aos fluxos correspondentes às operações em cada ano de vida útil do projeto.

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Diagrama de Capital no Tempo: fluxo de caixa (CF) Como a natureza dos problemas financeiros está sempre associada à idéia de troca temporal de fluxos financeiros, é bastante usual expressar esta troca por meio de uma representação gráfica, denominada diagrama de capital no tempo ou fluxo de caixa.

Esse diagrama, como já mencionado anteriormente, é representado por uma linha horizontal do tempo e setas indicando entradas (setas voltadas para cima) e saídas (setas voltadas para baixo) de recursos do caixa. Para ilustrar o uso do fluxo de caixa, será analisado o fluxo de caixa do financiamento de um notebook. O valor à vista do objeto era de R$3.000,00, mas o financiamento é feito integralmente, em cinco prestações fixas, considerando uma taxa de juros mensal de 3%. O diagrama do fluxo de caixa deste financiamento, sob a ótica do caixa do comprador é o seguinte: R$3.000,00

1

2

3

4

5

0 R$655,06

No dia da compra, o consumidor agregou ao seu patrimônio pessoal (caixa) um bem cujo valor era de R$ 3.000,00. Como conseqüência, ele teve cinco saídas de caixa, mensais e iguais, de R$ 655,06 cada uma. Do ponto de vista do vendedor, o fluxo de caixa é o inverso, ou seja, R$ 3.000,00 representa uma saída de caixa, ao passo que as PMT´s representam entradas de caixa.

Ferramentas e Técnicas de Análise de Investimento

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A análise de investimentos trata da comparação dos fluxos de caixa e dos montantes de investimentos iniciais de cada proposta de investimento considerada por uma empresa, ou organização, em determinado momento. A opção por um investimento, em detrimento dos demais, é uma decisão tomada a partir de previsões dos fluxos de caixa futuros e da taxa de desconto utilizada. Tais produtos serão gerados a partir dos ativos cuja aquisição é objeto do exame. Observa-se, então, que a qualidade e a confiabilidade das informações disponíveis sobre um projeto são fundamentais para a eficácia do processo de tomada de decisão. Obviamente, mesmo considerando de boa qualidade todas as informações disponíveis, restará sempre alguma subjetividade nas decisões. Tal imprecisão é fruto do cenário considerado nas previsões efetuadas. A seguir serão apresentadas algumas das principais ferramentas utilizadas para guiar o processo decisório da análise de investimentos.

Compra a prazo ou à vista? Esta é uma técnica extremamente simples de tomada de decisão. Simplesmente compara o valor atual do pagamento do bem a prazo com seu valor à vista. A melhor alternativa, obviamente, é a que produz o menor valor presente ou o maior montante, entre as opções oferecidas. Vejamos um exemplo: Um imóvel está a venda por $ 35.000 nas seguintes condições: pagamento único para daqui um mês e meio ou 2% de desconto para pagamento à vista. Qual a melhor alternativa para um comprador que tem o dinheiro aplicado a juros compostos de 1,5% a.m.? Resposta: O valor à vista do imóvel é de $ 34.300 ($ 35.000 x 98%). O valor presente de $ 35.000 resgatáveis daqui a um mês e meio, à taxa de 1,5% a.m., é $ 34.227,01. Se aplicarmos o valor à vista do imóvel, à taxa de 1,5% a.m. por um mês e meio, obteremos $ 35.074,64. Percebe-se que o Valor Presente do preço do imóvel a prazo é menor que o preço à vista; ou, que o valor do imóvel à vista, aplicado, gera um montante maior do que o valor devido na mesma data. Assim, é melhor comprar a prazo.

Método do Pay Back

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O Pay back é o numero de anos ou meses necessários para se recuperar o investimento inicial, ou seja, o projeto se pagar. Normalmente o investidor estabelece o número máximo de anos (ou meses) para a recuperação do capital investido. Utilizando-se o método do pay back, será aceito o projeto que tiver o menor período de retorno do capital investido ou que tenha pay back menor que o período máximo aceitável. O seguinte exemplo serve a ilustrar o cálculo do pay back: um projeto implica investimento inicial de R$ 120.000,00, gerando entradas anuais de caixa de R$ 25.000,00. O projeto tem duração de nos próximos 10 anos, sendo que a cada ano será necessário um gasto de R$ 5.000,00 para manutenção. A tabela a seguir mostra o caixa do projeto:

Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Entrada R$ R$ 25.000,00 R$ 25.000,00 R$ 25.000,00 R$ 25.000,00 R$ 25.000,00 R$ 25.000,00 R$ 25.000,00 R$ 25.000,00 R$ 25.000,00 R$ 25.000,00

R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$

Saída (120.000,00) (5.000,00) (5.000,00) (5.000,00) (5.000,00) (5.000,00) (5.000,00) (5.000,00) (5.000,00) (5.000,00) (5.000,00)

R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$

Líquido (120.000,00) (100.000,00) (80.000,00) (60.000,00) (40.000,00) (20.000,00) 20.000,00 40.000,00 60.000,00 80.000,00

Observa-se que, seguindo os critérios do pay back, o retorno do capital aplicado ocorrerá em seis anos. Trata-se de um método simples e, por isso mesmo, muito popular. Apesar de ser muito usado pelas empresas, há críticas muito sérias ao uso do pay back. Um fator que desqualifica o pay back, sob a ótica dos princípios da Matemática Financeira, é o fato do método desconsiderar o valor do dinheiro no tempo e não considerar o valor dos fluxos de caixa após o período de recuperação do investimento.

Valor Presente Líquido (VPL) Valor Presente Líquido é a diferença entre o valor presente das entradas e os das saídas de um fluxo de caixa, medidos a uma determinada taxa de desconto. Essa técnica de análise oferece maiores possibilidades ao administrador financeiro, pois trata-se de uma técnica mais precisa. Ela permite que se conheça as necessidades de caixa, ou os ganhos de determinado projeto, em termos de valores de hoje. Assim, ao deslocarmos os fluxos de caixa para uma data zero, deveremos lançar mão de uma taxa de juros que, no jargão do mercado, é chamada de Taxa Mínima de Atratividade (TMA). A TMA pode ser entendida como o ganho mínimo exigido por uma empresa, ou uma pessoa física, para investir em um projeto. Ao se analisar um projeto por esse método (ou se compararmos dois projetos utilizando-se desse método). Assim, serão consideradas interessantes alternativas de investimentos que apresentem valores atuais positivos ou nulos.

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Para ilustrar o método do VPL, considera-se o seguinte exemplo: Uma pessoa está pensando em abrir uma loja franqueada no segmento de roupa masculina. E que para este fim existam duas oportunidades de franquias. Supondo que a Taxa Mínima de atratividade (TMA) seja 3% a.m e que as variáveis envolvidas com cada uma das franquias estão expressos conforme tabela abaixo, vamos calcular o VPL de cada uma das alternativas Itens Investimentos inicial Tempo de Utilização Receitas mensais Custos mensais

Franquia A 250.000 5 anos 30.000 20.000

Franquia B 350.000 5 anos 50.000 35.000

Franquia A f FIN 250.000 CHS g CFo 10.000 CFj 60 g NJ 3 i f NPV 26.755,64

Franquia B f FIN 350.000 CHS g CFo 15.000 CFj 60 g NJ 3 i f NPV 65.133,45 Como se pode perceber, a Franquia B deverá ser a opção escolhida, pois à taxa mínima de atratividade exigida, é a que oferece maior remuneração.

Taxa Interna de Retorno (TIR) Taxa Interna de Retorno (TIR) é o percentual exato (em termos de taxa de juros) de remuneração que o investimento oferece. É definida como a taxa de desconto que tornaria o valor presente das séries de anuidades, geradas pelos retornos previstos, exatamente igual ao seu preço de oferta (valor presente). Ou seja, é a taxa de juros que iguala as receitas e despesas no momento zero. Do ponto de vista prático, um projeto é considerado viável quando sua TIR supera o custo de oportunidade, ou seja, TIR > TMA.

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É considerada, desde há muito tempo, como o método fundamental para a seleção de propostas de alternativas de investimentos. Entretanto, pode-se apontar algumas desvantagens na utilização deste método: a) A sua aplicação requer a utilização de máquinas financeiras ou planilhas eletrônicas; b) O método somente poderá ser aplicado a fluxos de caixa que tenham apenas uma inversão de sinal na seqüência; c) O cálculo supõe que as entradas de caixa são reaplicadas à taxa igual a TIR. Vamos calcular a TIR, para o exemplo anterior:

Franquia A f FIN 250.000 CHS g CFo 10.000 CFj 60 g NJ f IRR 3,49%

Franquia B f FIN 350.000 CHS g CFo 15.000 CFj 60 g NJ f IRR 3,84% Podemos observar que tanto a Franquia A como a B apresentam uma Taxa Interna de Retorno acima da TMA de 3%. Entretanto, do mesmo modo que no VPL, a opção a ser escolhida é a Franquia B pois oferece a maior Taxa Interna de Retorno.

Exercícios propostos

222. Sabendo-se que você é o Diretor Financeiro de uma empresa e tem que decidir entre o investimento em um novo segmento de mercado, que geram os fluxo de caixa abaixo estimados, pergunta-se: Calcular a TIR e o VPL dos dois projetos A. Os dois investimentos seriam viáveis levando-se em consideração que o custo oportunidade seja de 10,35% a a para a empresa? B. Qual dos dois projetos de investimento você escolheria? C. Explique os motivos de sua escolha.

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Projeto A -42.000,00 Investimento Inicial 6.000,00 Ano 1 8.500,00 Ano 2 15.500,00 Ano 3 15.500,00 Ano 4 29.000,00 Ano 5 5.000,00 Ano 6 Respostas a) Projeto A TIR= 18,90% VPL= 12,897,54 Projeto B TIR = 15,09% VPL= 21,567,98

Projeto B -142.000,00 22.000,00 43.500,00 40.500,00 40.500,00 59.000,00 26.000,00

b) Sim c) B d) maior VPL 223. Um projeto de investimento, cujo aporte de capital inicial de R$370.000,00, deverá gerar entradas anuais de caixa de R$77.000,00 pelos próximos 20 anos. A cada ano será necessário um gasto de R$2.000,00 para manutenção. Considerando uma TMA de 12% a.a., determinar o VPL da operação. Resposta: R$190.208,27.

224. Uma pessoa está negociando a compra de um imóvel. As condições de pagamento propostas são as seguintes: 1o mês - $ 70.000; 2o mês - $ 50.000; 3o mês - $ 80.000; 4o mês - $ 60.000; 5o mês - $ 90.000. Sendo de 2,5% ao mês a taxa corrente de juros, determinar o valor presente do valor desse imóvel.. Resposta: PV= R$ 324.075,28 225. Um projeto de investimento inicial de $ 70.000 gera entradas de caixa de $ 25.000 nos próximos 5 anos; em cada ano será necessário um gasto de $ 5.000 para manutenção, considerando um custo de oportunidade de 8% a.a. Determinar o VPL desta operação. Calcular a Taxa Interna de Retorno desse empreendimento. Resposta: VPL= R$ 9.854,20 e TIR= 13,20% 226. Dois projetos A e B envolvem o mesmo aporte inicial de capital, correspondente a R$45.000,00. Ambos os projetos têm 10 entradas de caixa, todas com a mesma periodicidade. As entradas referentes ao projeto A são seguintes: R$4.500,00; R$5.500,00; R$6.500,00; R$7.500,00; R$8.500,00; R$9.500,00; R$10.500,00; $ 11.500,00; $ 12.500,00 e $ 13.500,00. Para o projeto B, o fluxo é exatamente o inverso do projeto A. Considerando um custo de oportunidade de 14% ao ano, calcule o VPL de cada um dos projetos. Resposta: VPLA = -R$3.536,93 e VPLB = +R$7.427,01 227. Calcule a TIR para os projetos A e B do exercício anterior. Resposta: TIRA = 12,30% e TIRB = 18,99%. 228. Um projeto de automação, cujo investimento inicial é de R$30.000,00, reduzirá em R$5.000,00 as despesas anuais com pagamento de pessoal de uma empresa. A vida econômica, estimada, para o projeto é de 15 anos. Sabendo que não há valor residual ao final do tempo de vida e que a empresa tem uma Taxa 83

Mínima de Atratividade de 15% ao ano, avalie se a emprese deverá ou não implementar o projeto. Resposta: TIR = 14,47%; VPL = -R$763,15. O projeto não é viável. 229. Uma indústria estuda a viabilidade econômica de um projeto de investimento orçado em R$1.250.000,00 de aporte inicial. Considerando que o projeto tem uma duração prevista de 20 anos e o estudo de viabilidade econômicofinanceiro projetou fluxos de caixa de R$180.000,00 por ano, calcule a TIR do projeto de investimento. Resposta: TIR = 13,19%. 230. Um empresário analisa o projeto de criação de uma pequena fábrica. O custo inicial com instalações e equipamentos é de US$215.000,00. As vendas da empresa deverão proporcionar receitas líquidas de US$ 38.500,00 no primeiro ano, US$ 48.000,00 no segundo, US$57.200,00 nos 3o, 4o e 5o anos, e US$55.500,00 no sexto. O valor de revenda dos equipamentos no final do sexto ano é estimado em US$7.000,00. Calcule: (a) a TIR do projeto; (b) o VPL do projeto, considerando uma TMA de 8% a.a. Resposta: TIR = 11,82% a.a. e VPL = US$27.566,28. 231. Um empréstimo de R$5.200,00 deverá ser liquidado em seis prestações mensais e consecutivas de R$1.000,00. Determinar a taxa mensal de juros (TIR) cobrada nessa operação. Resposta: 4,25%. 232. Um apartamento está sendo oferecido nas seguintes condições de pagamento: R$350.000,00 à vista ou 10% de entrada mais trinta prestações mensais, e consecutivas, de R$18.000,00. Determine a taxa de juros (TIR) implícita nesse plano. Resposta: TIR = 3,90% a.m.

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CAPÍTULO 9- PRINCIPAIS APLICAÇÕES DO MERCADO FINANCEIRO O mercado financeiro oferece diferentes modalidades de aplicações: CDB, RDB, Títulos Públicos, fundos de investimentos etc. Cada uma das formas de aplicação apresenta particularidades. Assim sendo, cabe ao gestor financeiro analisar as melhores alternativas de retorno oferecidas no mercado financeiro, levando em consideração o risco e a liquidez envolvidos em cada operação. Assim sendo, o objetivo desse capítulo é o de apresentar as principais aplicações à disposição das empresas para aplicarem os seus recursos. Antes disso, entretanto cabem algumas observações sobre a taxa de juros e tributação das aplicações financeiras. Taxas de juros, tributação e aplicações de renda fixa A decisão de aplicar recursos em uma instituição financeira, ou mesmo de emprestar recursos a alguém, implica em abdicar de um consumo presente em prol de receber um “prêmio” financeiro no futuro. A remuneração ou recompensa pela decisão de postergar o consumo é o juro; que é a remuneração do capital emprestado. Existem diversas conceitos de taxas de juros que são utilizadas no mercado financeiro. Entre elas, destacam-se: Taxa Efetiva: é a taxa de fato recebida (ou paga) numa operação. É obtida pelo cálculo da razão entre os juros recebidos (ou pagos) no final de um período de tempo e o capital inicialmente emprestado (PV). i=

Juros Capital Inicial (PV)

A taxa efetiva é composta por duas partes. Uma é a manutenção do poder de compra do investidor, impedindo a corrosão do capital pela inflação. A outra parte é o ganho acima da inflação, isto é, o ganho real. Observa-se que: 1 + Taxa Efetiva = (1 + Taxa de inflação ) x ( 1 + Taxa real) ⇒ Taxa Efetiva = [(1 + Taxa de inflação ) x ( 1 + Taxa real] - 1 ) Por exemplo; considere que um investidor tenha recebido de remuneração uma taxa de juros real de 8% ao ano, mais a taxa de inflação que foi de 4% no ano. A taxa de juros efetiva da operação seria: Taxa efetiva = [(1 + 0,04 ) × ( 1 + 0,08] - 1 ) = 12,32% no ano

Taxa Real: é calculada a partir da taxa efetiva, considerando-se os efeitos inflacionários do período. 1 + Taxa efetiva Taxa real = -1 1 + Taxa de inflação

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Por exemplo, supondo que uma aplicação tenha proporcionado uma taxa efetiva de 15% ao semestre e sendo a taxa de inflação no período de 2%, a taxa de juros real é: Taxa real =

1 + Taxa efetiva 1 + 0,15 -1 = − 1 = 0,13 1 + Taxa de inflação 1 + 0,02

Taxa Bruta: Uma taxa é bruta quando ainda não foi descontada dela algum valor, usualmente os impostos incidentes na operação.

Taxa Líquida: Quando todos os descontos da operação foram retirados da taxa; é o valor efetivo da operação. Taxa SELIC over: É calculada diariamente; representa a taxa média ponderada pelo volume das operações de financiamento por um dia, lastreadas em títulos públicos federais, registrados no Sistema Especial de Liquidação e Custódia (SELIC). Expressa na forma anual para 252 dias úteis, é a taxa efetivamente praticada no mercado, que irá remunerar os títulos indexados à taxa SELIC. Taxa DI: É a taxa média ponderada dentre as taxas utilizadas entre instituições financeiras pelo prazo de um dia, com lastro em emissão de Certificado de Depósito Interfinanceiro (CDI), que é um título privado. É o benchmark utilizado na análise de retorno da maioria dos investimentos de renda fixa. Taxa Referencial de juros (TR): É calculada a partir da taxa média mensal ponderada dos CDB´s dos bancos. Após a ponderação é aplicado um redutor pelo Banco Central (Bacen). É divulgada diariamente e divulgada em D+1. Taxa de juros de longo prazo (TJLP): Taxa utilizada para corrigir financiamentos feitos pelo Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico e Social (BNDES). Tributação A remuneração obtida em aplicações financeiras está sujeita ao pagamento do Imposto de Renda 8. O quadro abaixo apresenta a alíquota do Imposto de Renda9 conforme o prazo de aplicação. Alíquota do Imposto de Renda Prazo de permanência

Alíquota

Até 180 dias

22,5%

De 181 dias a 360 dias

20,0%

De 361 dias a 720 dias

17,5%

Acima de 721 dias

15,0%

Quadro 1: Alíquotas do Imposto de Renda 8

Somente as cadernetas de poupança, para pessoas físicas, são isentas do pagamento do Imposto de Renda. 9 Lei 11.033/04.

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Caso o resgate da aplicação seja inferior a 30 dias, haverá incidência de Imposto sobre Operações Financeiras (IOF). A alíquota será cobrada sobre o valor do resgate, limitada a um determinado percentual do rendimento da operação em função do prazo. Principais aplicações de renda fixa disponíveis no mercado financeiro nacional Quando existem recursos temporariamente excedentes no caixa, geralmente as empresas os aplicam no mercado financeiro. As aplicações feitas em renda fixa pagam, em períodos definidos, certa remuneração. Tal remuneração que pode ser determinada no momento da aplicação (pré-fixado) ou no momento do resgate da aplicação (pósfixado).. Caderneta de Poupança É a aplicação mais simples e tradicional aplicações do mercado financeiro brasileiro. Permite a aplicação de pequenas quantias e dá liquidez imediata, apesar da perda de rentabilidade para saques fora da data de aniversário da aplicação. A caderneta de poupança é remunerada com 0,5% ao mês de juros reais (ganho acima da inflação) mais a variação da Taxa Referencial (TR) 10, no período de um mês. Um detalhe importante é que os ganhos auferidos em aplicações de poupança são isentos de IR. Exemplo: uma empresa aplicou o valor de R$1.700,00 no dia 15/09/AA. O valor de resgate no dia 15/10/AA, sabendo que variação da TR da data de 15/09/AA à 15/10/AA foi de 0,4% pode ser calculado da seguinte forma:

FV = 1.700,00 × (1 + 0,005) × (1 + 0,004) = R$1.715,33 FV= PV x (1 + i)n Certificado de Depósito Bancário (CDB) e Recibo de Depósito Bancário (RDB) Os CDB´s são títulos nominativos, transferíveis por endosso, emitidos pelos bancos comerciais e de investimentos. Estes títulos têm como lastro os depósitos bancários e são emitidos com o objetivo de captar recursos para as instituições financeiras. Além do Imposto de Renda que incide sobre o ganho nominal, nesta modalidade de investimento há incidência de IOF para os casos de resgates efetuados até o 29º dia corrido a partir da aplicação. Os CDB´s são negociados por dias úteis e dividem-se em pré-fixados e pós-fixados. No CDB pré-fixado a taxa é pactuada entre o investidor e o banco na data da aplicação. È uma boa opção em cenários econômicos de queda da taxa de juros, haja vista que a taxa de remuneração é pré-fixada e não se altera pelas modificações do mercado.

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A taxa referencial de juros (TR) é calculada a partir da taxa média ponderada dos CDB´s dos bancos. Após a ponderação é aplicado um redutor pelo Banco Central (BC). Ela é divulgada diariamente e divulgada em D+1.

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Exemplo: uma empresa deseja conhecer o valor líquido que será resgatado para uma aplicação de R$ 2.000.000,00 em um CDB pré-fixado por 360 dias (252 dias úteis) à uma taxa bruta de 20% ao ano. O IR é de 20% sobre o ganho nominal, sendo que o ano tem 252 dias úteis. Qual será a taxa real obtida, supondo que a inflação no ano tenha sido de 4%. Valor de Resgate Bruto: FV = 2.000.000,00 × (1 + 0,20 ) = R$2.400.000,00 Imposto de Renda: IR = (2.400.000 − 2.000.000) × 0,20 = R$80.000,00 Valor de Resgate Líquido: Líquido = R$2.400.000,00 − R$80.000,00 = R$2.320.000,00 Taxa Líquida: i Líquido = Taxa Real: iRe al =

320.000,00 = 0,16 ou 16% a.a. 2.000.000,00

1 + 0,16 − 1 = 0,1154 ou 11,54% a.a. 1 + 0,04

Em se tratando de CDB pós-fixado, o valor total resgatado só é conhecido no vencimento da aplicação, uma vez que a remuneração está vinculada a algum indexador. Exemplo: uma empresa deseja estimar o valor líquido que irá resgatar para uma aplicação de R$ 2.000.000,00 em um CDB, pós-fixado por 360 dias (252 dias úteis), cuja remuneração é composta de uma taxa real bruta de 10% ao ano mais a variação da Taxa Referencial no período. O IR é de 20% sobre o ganho nominal. A expectativa da empresa é que a TR varie 10% durante o período de aplicação: Taxa Efetiva Bruta no período: i Bruta = (1 + 0,10 ) × (1 + 0,10 ) − 1 = 0,21 ou 21% Valor de Resgate Bruto: FV = (1 + 0,21) × 2.000.000,00 = 2.420.000,00 Imposto de Renda: IR = (2.420.000,00 − 2.000.000,00) × 0,20 = R$84.000,00 Resgate Líquido: Líquido = 2.420.000,00 − 84.000,00 = 2.336.000,00 Um outro exemplo de produto pós-fixado é o CDB- DI. Nesta operação, o CDB é trocado por intermédio de um contrato de SWAP por um percentual da remuneração do Certificado de Depósito Interbancário (CDI). Os CDI’s são títulos semelhantes aos CDB’s, porém de negociação restrita ao setor bancário. Nesse mercado as instituições trocam reservas entre si. Assim sendo, este investimento acompanha a evolução das taxas de juros básica, se protegendo das flutuações das taxas de juros de mercado. Exemplo: a variação do CDI no período de seis meses foi de 18%. Um banco negociou com uma empresa que o CDB seria remunerado em 95% da variação do CDI. Nesse caso, a taxa bruta (antes do pagamento do Imposto de Renda) foi de 17,10% (95% de 18%). Existe também o CDB – US$. Nesta operação a remuneração do CBD é trocada por intermédio de um contrato de SWAP por uma taxa de juros mais a variação cambial do dólar americano. Os RDB`s apresentam as mesmas características dos CDB’s, porém não são endossáveis. Desta forma, o RDB somente pode ser resgatado pelo próprio aplicador.

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Títulos Públicos: São títulos emitidos pelo governo para financiar a dívida pública e, também, para controlar a liquidez do sistema financeiro nacional (política monetária). São exemplos de títulos públicos: Letras Financeiras do Tesouro (LFT), Letras do Tesouro Nacional (LTN), Letras do Banco Central (LBC), Bônus do Banco Central (BBC). Os títulos podem ter a remuneração pré-fixada, sendo geralmente, negociados com um valor de deságio sobre o “valor de face”. Os títulos públicos pós-fixados pagam juros e são corrigidos por um indexador (como a variação cambial ou algum índice de inflação). Exemplo: Estão sendo negociados $ 10.000.000,00 de Letras do Tesouro Nacional (LTN) com resgate ao final de 252 dias úteis, remunerados a juros de 10% ao ano. Calcular o Preço Unitário (P.U.) desse título, o Valor Presente, o Imposto de Renda, o Valor Líquido Resgatado e a Taxa Efetiva. Valor do Preço Unitário (P.U.)

 1 P. U. =  n  (1 + taxa juros)  1 P. U. =  n  (1 + 0,10)

  

  

P.U. = 0,9090909 O P.U. de 0,9090909 significa que o Valor Presente, nesta situação, representando o valor de compra desse título é de R$ 0,90909 para cada R$ 1,00 de valor nominal. Valor Presente Valor Presente = Valor Bruto dos Títulos x P.U. Valor Presente = R$ 10.0000.000,00 x 0,9090909 Valor Presente = R$ 9.090.909,00 Imposto de Renda IR = (Valor Bruto dos Títulos – Valor Presente) x Alíquota do Imposto de Renda IR= (R$ 10.000.000,00 – R$ 9.090.909,00) x 0,20 IR = R$ 181.818,20 Valor Líquido Resgatado Valor Líquido = Valor Bruto dos Títulos – Imposto de Renda Valor Líquido = R$ 10.000.000,00 – R$ 181.818,20 89

Valor Líquido = R$ 9.818.181,80 Taxa efetiva Líquida  Valor Líquido Resgatado   Taxa Efetiva Líquida =   − 1 × 100 Valor Presente     $ 9.818.181,80   Taxa Efetiva Líquida =   − 1 × 100  $ 9.090.909,00   Taxa Efetiva Líquida = 8% a. a.

Fundos de Investimentos em Renda Fixa •

Fundos de Investimentos em Renda Fixa:

Os fundos de investimentos são constituídos sob a forma de condomínio reunindo recursos de pessoas físicas e/ou jurídicas que possuem objetivos comuns. Esses recursos são aplicados em carteiras diversificadas de títulos e valores mobiliários, em quotas de fundos, bem como, em outros títulos específicos. Genericamente, os fundos de investimentos podem ser divididos em dois grandes grupos: renda variável e renda fixa. Nos fundos de investimentos de renda variável, a carteira é composta por ações e outros títulos, cujo rendimento é variável. Nos fundos de investimentos de renda fixa, a carteira é composta principalmente, de CDB’s, títulos públicos e debêntures, cujo rendimento é baseado em juros pré ou pósfixados. Os fundos de investimentos são administrados por instituições especializadas as quais cobram, para isso, uma taxa de administração. Esta taxa varia, principalmente, em função do montante da aplicação inicial, de novas aplicações, dos títulos que compõem o fundo, no tempo de permanência dos recursos e na estratégia da instituição. Os principais tipos de fundos são: •

Fundos Referenciados: sua rentabilidade acompanha um determinado referencial (benchmark), como os fundos cambiais e os DI’s. Para isso, o administrador deve atender, cumulativamente as seguintes condições: ter 80%, de seu patrimônio líquido aplicado em títulos públicos federais ou papéis privados classificados de baixo risco e, que tenha pelo menos 95% da carteira do fundo composta por ativos financeiros que possam resultar em rentabilidade próxima do indicador de desempenho escolhido.

•

Fundos Não-Referenciados: sua rentabilidade não precisa acompanhar determinado referencial (benchmark). Na composição da carteira, até 80% devem ser

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aplicados em títulos públicos federais ou em papéis privados classificados de baixo risco. Os 20% restantes podem ser livremente aplicados pelo administrador. Para exemplificar, consideremos que uma empresa tenha aplicado R$ 100.000,00 em um fundo de renda fixa no dia 12/12/20x1. Nesta data, o valor das cotas era R$ 1,514782. Assim, esta empresa possuía 66.016,10 cotas nesta data. Quantidade de Cotas

Valor Aplicado Valor da Cota R$ 100.000,00 Quantidade de Cotas = R$ 1,514782 Quantidade de Cotas = 66.016,10 cotas Quantidade de Cotas =

Supondo que em 12/06/20x2 cada cota estava avaliada em $ 1,5905211, calculamos a rentabilidade nesse período e o valor em $ nessa data: Rentabilidade no período  Valor Atual da Cota   Rentabilidade =   − 1 × 100  Valor Anterior da Cota    R$ 1,5905211   Rentabilidade =   − 1 × 100  R$ 1,514782   Rentabilidade = 5% Valor Atualizado da Aplicação Valor Atualizado = (quantidade de cotas x Valor Atual da Cota Valor Atualizado = 66.016,10 x R$ 1,5905211 Valor Atualizado = R$ 105.000,00 Exercícios propostos 233. Sabendo-se que a inflação no ano 20x1 foi de 7%, no ano 20x2, de 8% e, no ano 20x3, de 5%, pergunta-se: qual foi a inflação composta acumulado nos três anos. 234. Qual foi a taxa de juros composta real de uma aplicação, sabendo-se que a taxa efetiva líquida foi de 16 % e a taxa de inflação foi 5,45%. 235. Qual foi a taxa de juros real composta no período de uma aplicação, sabendo-se que a taxa efetiva líquida foi de 22% no primeiro ano e 25% no segundo ano e, a taxa de inflação foi 12% no primeiro ano e 15% no segundo ano.

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236. Sabendo-se que uma empresa irá aplicar $ 1.000.000,00 em um CDB pré-fixado por 21 dias úteis à uma taxa bruta de 15% ao ano (IR de 22,5% sobre o ganho nominal e o ano tem 252 dias úteis), pergunta-se: qual foi o valor líquido resgatado? 237. Sabendo-se que uma empresa aplicou certa importância em um CDB pós-fixado por 63 dias úteis a uma taxa real bruta de 10% ao ano mais a variação da TR que foi no período de 3%, que o Imposto de Renda cobrado foi de 22,5% sobre o ganho nominal e o ano tem 252 dias úteis, pergunta-se: qual foi o taxa bruta e a taxa líquida obtida no período por essa aplicação? 238. Sabendo-se que uma empresa aplicou $ 100.000,00 em um CDB com swap em CDI por 252 dias úteis, que o Imposto de Renda foi de 20% sobre o ganho nominal, que o ano tem 252 dias úteis, que a taxa do CDI nesse período foi de 11% e que o banco remunerou à 95% dessa variação do CDI, pergunta-se: a taxa bruta composta de remuneração e o resgate bruto desse operação, respectivamente? 239.

O que são títulos públicos?

240. Estão sendo negociados $ 80.000.000,00 de Letras do Tesouro Nacional (LTN) com resgate ao final de 252 dias úteis, remunerados a juros de 12% ao ano. Pede-se: calcular o Preço Unitário (P.U.) desse título, o Valor Presente, o Imposto de Renda, o Valor Líquido Resgatado e a Taxa Efetiva. 241.

O que são debêntures?

242.

Quais são os principais tipos de fundos de investimentos?

243. Sabendo-se que foram aplicados $ 100.000, 00 em fundo de renda fixa no dia 12/12/20x6 e o valor da cota nesta data era de $ 1,75782, pergunta-se: qual seria a quantidade de cotas resgatas e o valor total em $ disponível no fundo, respectivamente, sabendo-se que foi resgatado $ 20.000,00 em 05/05/20x7 e a cota nesse dada era $ 1,86329?

Bibliografia ASSAF NETO, A. Mercado financeiro. 6. ed. São Paulo: Atlas, 2005. ASSAF Neto, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. São Paulo: Atlas. ASSAF Neto, Alexandre. Finanças Corporativas e Valor. 2a Edição. São Paulo: Atlas, 2006. CASTELO BRANCO, Anísio Costa. Matemática Financeira Aplicada. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002.

92

COSTA, R. T. DA. Mercado de capitais: uma trajetória de 50 anos. São Paulo: Imprensa Oficial do Estado de São Paulo, 2006. DAMODARAN, A. Investment valuation: tools and techniques for determining the value of any asset. New York: Editora Wiley, 2002.

DUTRA, José Vieira Sobrinho. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas. GIANNETTI, Eduardo. O Valor do Amanhã: Ensaio sobre a Natureza dos Juros, São Paulo: Companhia das Letras, 2005. HAZZAN, Samuel & POMPEO, José Nicolau. Matemática Financeira. São Paulo: Sa raiva. LAPONI, Juan Carlos. Matemática Financeira, uma abordagem moderna. São Paulo: J.C. Laponi Treinamento, Consultoria e Editora. MATHIAS, Washington Franco & GOMES, José Maria. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas. PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo: Saraiva. RANCEL, Armênio; SANTOS, José Carlos de Souza; BUENO, Rodrigo De Losso da Silveira. Matemática dos Mercados Financeiros. São Paulo: Atlas. SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira, aplicações à análise de investimentos. São Paulo: Prentice Hall. SHINODA, Carlos. Matemática Financeira para Usuários do Excel. São Paulo: Atlas. SILVA, M. A. V. R., QUINTAIROS, P. e GUARNIERI, O.C., Diferentes abordagens para a utilização do Capital Asset Precing Model (CAPM) no Mercado Acionário Brasileiro, Rev. Bras. de Gestão e Desenvolvimento Regional, p.150-166 Taubaté, 2007.

VAN HORNE, J. C. Financial management and policy. 10 ed. Englewood Cliffs, Jersey: Prentice Hall, 1995.

93