1 CONSELHO REGIONAL DE CONTABIOLIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
C âm âm a r a d e P e s q u i s a e D e s e n v o l v i m e n t o P r o f is is s i o n a l . b r H o m e p a g e : w w w . c r c . o r g .b - E -m - m a i l : c u r s o s @c @c r c r j .o . o r g . b r
M a t e m át i c a F i n a n c e i r a c o m u s o d a H P -1 -1 2 C J o ão B o r g e s E s t r e l l a b . e s t r e l l a @a j a t o . c o m . b r
Rio de J aneiro A t u a l i z a ção : 1 4 / 0 7 / 2 0 0 5
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Introdução. Esta apostila apresenta o resultado do resumo das aulas ministradas em anos de experiência como professor de Matemática Financeira, objetivando atender os currículos de graduação nos cursos de Administração de Empresas, Economia, Ciências Contábeis e também no meio empresarial. Tem por fim o aprendizado da parte teórica, complementada com problemas práticos resolvidos e a resolver, sempre voltados para o atual mercado financeiro, desenvolvidos com a utilização de fórmulas e calculadoras, com destaque para a HP-12C. Como funcionam a capitalização simples e composta, os tipos de taxas do mercado, financiamentos com pagamentos parcelados e formas de restituição do capital e juros, o valor futuro de aplicações de capital em parcelas, bem como alternativas de investimentos são os principais capítulos abordados
J.B.Estrella
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A HP-12C E APLICAÇÕES FINANCEIRAS PROGRAMA
I - A HP-12C: Funcionamento; teclado básico e funções matemáticas; Recursos adicionais de operação; Pilha operacional; Função calendário .......... 04 II - Aplicações financeiras: capitalização simples e composta; Juro simples (exato e ordinário); Desconto bancário ............................................................................... 14 III - Taxas de juros:proporcional, equivalente, nominal e efetiva ................................. 20 IV - Juro composto:cálculo do Valor Futuro e Valor Presente; Convenção Linear e Convenção Exponencial .......................................................................................... 23 V - Problemas financeiros envolvendo série de pagamentos: Anuidades Antecipadas, Postecipadas e Diferidas. Valor Atual e Montante; Sistema Francês de Amortização ............................................................................................ 28 VI - Fluxos de caixa: Valor Presente, Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno ....................................................................................................................... 43 VII - Programação:princípios básicos;Criação e edição de programas ....................... 54
J.B.ESTRELLA- jun/05
4 I -A HP-12C:FUNCIONAMENTO; TECLADO
RECURSOS ADICIONAIS DE CALENDÁRIO.
OPERAÇÃO;
BÀSICO;FUNÇÕES MATEMÁTICAS; PILHA OPERACIONAL. FUNÇÃO
A calculadora 12C propõe-se a cálculos financeiros, possuindo também teclas para cálculos estatísticos. É programável, o que possibilita a solução de problemas que tenham a mesma seqüência de cálculos. Destaca-se entre as calculadoras pela memória contínua (mantém todo o seu estado quando desligada), sua lógica operacional,(notação polonesa reversa RPN, não utiliza parêntesis e sinal de igual),e as funções matemáticas, financeiras e estatísticas. TECLADO: ON - Liga e desliga a máquina.Se esquecida ligada se desligará entre 8 e 17 minutos. Obs.:Um asterisco piscando no canto inferior esquerdo do visor significa necessidade de troca das baterias. TESTES DE FUNCIONAMENTO: 1) Com a máquina desligada, manter apertado o sinal x, ligar a calculadora ON e soltar o sinal x. Todos os circuitos serão testados e se tudo estiver OK, aparecerá no visor -8,8,8,8,8,8,8,8,8,8, com todos os indicadores de estado ativados: USER f g BEGIN GRAD D.MY C PRGM . 2) Com a máquina desligada, manter apertada a tecla ÷ (divisão). Aparecerão alguns traços no visor. Em seguida digitar todas as teclas, uma por uma, em linha, a partir da primeira n até : ; y x até x ; R/S até - , digitando também a tecla ENTER ; e de ON até + , digitando também ENTER. Se após toda essa operação aparecer no visor o número 12 , está tudo OK. Observe-se que a ordem de digitação das teclas tem que ser rigorosa. Formato do número no visor: Com a máquina desligada, manter apertada a tecla . e ligar a calculadora. O formato mudará de xx,xxx,xxx.xx para xx.xxx.xxx,xx ou vice-versa.
f e g - A mesma tecla
pode ser usada em até 3(três) funções funções diferentes: em branco, em azul antecedidas das teclas g, e em amarelo antecedidas da tecla f. Ex.: f NPV -> valor presente de um fluxo de caixa. PV -> principal de uma aplicação. g CFo -> entrada de um fluxo de caixa inicial. ENTER – Entra com o valor digitado para o registrador da máquina. Ela possui quatro registradores temporários (pilha
5 operacional), para guardar dados,chamados que devem ser visualizados como a seguir:
___ |_T_| |_Z_| |_Y_| |_X_| R ↓
T, Z, Y e X,
Um número quando digitado ocupa o registrador X (visor).Acionando ENTER,o número passa para Y; o que estava em Y passa para Z,o que estava em Z passa para T e o que estava em T é perdido.
- (Roll down-girar p/baixo) – cada vez que é acionada passa pelos registradores, um por um, até voltar ao inicial.
X>
os conteúdos dos registradores X e Y, e Y,isto é, pressionada a tecla, o que estiver em X passa para Y e vice-versa.
CHS - Troca o sinal do número que está no visor(registrador X), + para - , ou
CLx
-
para
+.
- Apaga o registrador x (visor)
+, -, x, : - Operações aritméticas.São efetuadas com conteudos de X e Y. Ex.: l6 + 8 Teclado Visor 16 16, ENTER 16,00 8 8, + 24,00
Explicação digita o primeiro número. registra em Y. digita o segundo número. calcula o resultado.
A grande vantagem está na capacidade de operar os registradores X , Y , Z e T , guardar automaticamente os resultados parciais, que serão utilizados quando necessário, permitindo assim a realização de vários cálculos em sequência sem a necessidade de efetuá-los separadamente. Ex.: (3 x 4) + (5 x 6) 7 Teclado Visor Explicação f REG 00,00 limpa todos os registradores 3 3, digita o primeiro número ENTER 3,00 registra em Y. 4 4, digita o segundo número. x 12,00 efetua 3 x 4. 5 5, digita o terceiro número. ENTER 5,00 registra em Y,indo 12 para Z 6 6, digita o quarto número. x 30,00 efetua 5 x 6, indo 12 para Y + 42,00 soma 30+12, soma de X + Y. 7 7, digita o número 7. : 6,00 divide 42 por 7, divisão de Y por X.
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Obs.:Internamente os registradores processa do seguinte modo: ________________________________________________ | | | | | | | | | | | | | | T | O | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |----|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---| | Z | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |12 |12 | 0 | 0 | 0 | 0 | |----|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---| | Y | 0 | 3 | 3 | 0 |12 | 5 | 5 |12 | 0 |42 | 0 | |----|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---| | X | 3 | 3 | 4 |12 | 5 | 5 | 6 |30 |42 | 7 | 6 | |____|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___| 3 ENTER 4 x 5 ENTER 6 x + 7 :
x Y
-
Potenciação. 12 Ex.: 1,08 Teclado 1,08 ENTER x 12 Y
Visor 1,08 1,08
Explicação digita o primeiro número. registra em Y.
2,51
eleva 1,08 a 12a. potência.
Visor 2,38 2,38 5,
Explicação digita o primeiro número. registra em Y. digita o numerador do expoente. registra em Y,subindo 2,38 digita o denominador. divide 5 por 8, resultado no visor (X). resultado de 2,38 a 5/8.
5/8 Ex.: 2,38 Teclado 2,38 ENTER 5 ENTER 8 : x Y
5,00 8, 0,625 1,719335
1/x
- Calcula o inverso de um número. Ex.: 1___ 3,79 Teclado Visor Explicação 3,79 3,79 digita o número. 1/X 0,263852 divide 1 por 3,79.
%
- Calcula a percentagem. Ex.: 18,5% de 628.000,00 Teclado 628000 ENTER 18,5 %
Visor 628.000, 628.000,00 116.180,00
Explicação digita o número. registra o número em Y. calcula o percentual.
7
▲%
- Variação percentual entre dois números. Ex.: Variação percentual entre R$4.554,05 e R$7.827,32. Teclado 4554,05 ENTER 7827,32▲%
%T
EEX
Visor 4.554,05 4.554,05 71,87
Explicação digita o primeiro valor. registra o valor em Y. variação percentual.
- Percentagem sobre o total. Ex.:Calcular a participação percentual de cada um dos valores R$16.200,00, R$46.500,00 e R$80.689,00, sobre a soma deles. Teclado Visor Explicação 16200 16.200, digita o primeiro valor. ENTER 16.200,00 registra em Y. 46500 + 62.700,00 soma dos dois primeiros. 80689 + 143.389,00 total dos tres valores. 16200 %T 11,29 percentual do primeiro valor sobre o total CLx 0,00 limpa o visor. 46500 %T 32,429 percentual do segundo valor sobre o total. CLX 0,00 limpa o visor. 80689 %T 56,273 percentual do 3º valor sobre o total
- O
visor comporta no máximo 10 dígitos, havendo recurso para operar com mais de 10 dígitos. Essa tecla tecla introduz o registro com expoente (potência de 10). Ex.: Para entrar com o número 6.428.535.000.000 desloca-se a virgula 12 casas antes e usa-se EEX. Em seguida pode-se efetuar cálculo normalmente.
Teclado Visor Explicação 6,428535 EEX12 ENTER 6,428535 12 entra o número com 12 decimais equivalendo a 6,428535 x 10 12 5 5, entra com o numero 5. x 3,214267 13 resultado da por 5.Equivale a 3,214267 x 10 13 85269 85.269, entra com um número qualquer. ÷ 376.956.162,3 resultado da divisão; volta a representação normal. Observação: Qualquer número, mesmo com menos de 10 dígitos, pode ser convertido diretamente para a notação científica pressionando-se f . (f ponto). Para voltar a notação normal basta pressionar f 2 ( f dois). Ex.: Mostrar a notação científica do número 8247.
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Teclado 8247 f . f 2
Visor 8,247000 03 8,247,00
Explicação significa 8,247 x 10 3 8,247 x 1.000 volta a notação normal.
__
g \/x
- Calcula a raiz quadrada de um número. _________ Ex.: \/ 546,825 Teclado Visor Explicação 546,825 546,825 digita o número __ g \/x 23,384 calcula a raiz quadrada.
Obs.: A máquina não calcula diretamente a raiz de índice qualquer de um número, mas torna-se simples porque toda raiz é transformável numa potência de expoente fracionário. __________ 5/ 3 Ex: Calcular \/ 2543,826 3/5 O cálculo é o mesmo que 2543,826 Teclado Visor Explicação 2543,826 ENTER 2.543,826 digita e registra em Y 3 ENTER 3,000 numerador da fração 5 : 0,600 resultado da divisão 3 : 5. x Y 110,482 resultado da potência. g INTG - despreza a parte decimal do número que estiver no visor (registrador X), substituindo por zeros sem arredondar. Teclado Visor Explicação 512,689 g INTG 512,000 elimina a parte decimal
g FRAC - despreza a parte inteira do
número que estiver no visor (registrador X), substituindo por zero. Teclado Visor Explicação 512,689 g FRAC 0,689 elimina a parte inteira.
g LN
- Calcula o logaritmo neperiano (base e) de um número podendo, na sequência, ser calculado o logaritmo em qualquer base. Ex.:Calcular log 5 (logaritmo na base 10 do número 5). Teclado Visor Explicação 5 5, digita o numero 5. g LN 1,6094379 log neperiano de 5 Para calcular o logaritmo em outra base(10), prosseguir:
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Teclado 10 g LN :
Visor Explicação 10, digita a base pedida (10). 2,3025851 log neperiano de 10. 0,69897 divide o log neperiano de 5 pelo log neperiano de 10 resultando o log decimal de 5
n!
- Lê-se fatorial de n, e representa o produto dos números inteiros de 1 até n. Ex:- 8! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 40.320
Resolução pela Calculadora: Teclado Visor 8 g n! 40.320,00
Explicação calcula o fatorial de 8.
Observação: Não existe fatorial de números fracionários e números negativos.
g LSTX - Registrador automático que
guarda o último número do divisor antes de executar uma operação, podendo ser recuperado para correção ou uso em outro cálculo. Ex.: Sabendo que o faturamento de 1214 unidades de um material foi R$2.428.100,00,calcular o valor unitário.
Teclado Visor F REG 0,00 2428100 2.428.100, ENTER 2.428.100,00 1241 : 1.956,57
g LSTx x 1214 :
1.241,00 2.428.100,00 2.000,00
Explicação limpa todos os registradores. digita o total do faturamento. registra o valor em y. erro percebido na digitação do número de unidades, acarretando erro no resultado (1241 em lugar de 1214). recupera a entrada errada. retorna ao valor. calcula o valor unitário.
f PREFIX - Mostra
por instantes todo o visor retornando a condição anterior. Se mantida pressionada conserva visível todo o visor até que seja solta.
f (número de 0 a 9) - limita no visor
f RND
o número de casas decimais desejado. É importante saber que as casas decimais além do que foi estabelecido, mesmo não aparecendo no visor continuam ativas,fazendo parte do número em qualquer cálculo. - Arredonda um número obedecendo a quantidade de casas decimais previamente estabelecida, zerando as demais casas decimais.
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Ex.: Efetuar
Teclado 8 ENTER 7 ÷ f 9 f 5
f
RND
f
9
8
÷ 7
= 1,142857143 (9 casas decimais)
Visor 8,00 1,142 1,142857143 1,14286
1,14286
Explicação Resultado com 3 decimais Resultado com 9 decimais. Limita 5 decimais,passa a 6ª casa para 6, porém as 9 casas ativas para cálculo. continuam as 5 casas decimais, porém, veja a seguir
1,142860000
REGISTRADORES(MEMÓRIAS): A memória contÍnua e uma caracterÍstica importante da 12C, porque, mesmo desligada, ela preserva todas as informações armazenadas na memória, inclusive pelo tempo necessário a substituição das baterias.
STO
- Guarda valores nas 20 memórias fixas, indexadas de 0 a 9 e .0 a .9(registradores 0 a 9 e .0 a .9, ou R0 a R9 e R.0 a R.9) Ex.: Guardar 45 na memória 1 e 128 na memória .3 Teclado Visor Explicação 45 STO 1 45,00 guarda 45 no registrador 1 128 STO .3 128,00 guarda 128 no registrador.3
RCL - Recupera os valores guardados em qualquer das 20 memórias,colocando no registrador X. Teclado Visor Explicação RCL 1 45,00 chama 45, antes guardado na memória 1. RCL .3 128,00 chama 128, antes guardado memória .3 IMPORTANTE: As operações +, -, x e :, podem ser efetuadas diretamente nos cinco primeiros registradores R0 a R4, sendo o resultado mantido no registrador utilizado. Ex.: Efetuar no R0: 45 + 25 x 20 : 5 e dar o resultado. Teclado Visor Explicação 25 STO 0 25,00 digita e registra 25 em R0. 20 STO X 0 20,00 multiplica por 20 em R0. 5 STO : 0 5,00 divide por 5 em R0. 45 STO + 0 45,00 soma 45 ao resultado em R0. RCL 0 145,00 resultado chamado de R0.
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Observação: É importante apagar todos os registradores antes de iniciar um cálculo.As teclas localizadas no cruzamento da 3ª linha com a 2ª, 3ª, 4ª,5ª e 6ª colunas, são assinaladas com a chave CLEAR, e têm as seguintes funções:
Clx
- Apaga o visor (x)
f
- Apaga os registradores estatísticos (R1 a R6) e a pilha operacional (X Y Z T).
f FIN
- Apaga
f REG
- Apaga
os registradores financeiros (n, i, PV, PMT e FV), não apaga os registradores não financeiros (memórias), nem o visor. todos os registradores financeiros (n, i, PV, PMT e FV), registradores não financeiros (R0 a R.9), operacional (X, Y,Z e T), e o visor.
FUNÇÃO CALENDÁRIO:-
g M.DY
e g D.MY - estabelecem
g
- calcula o número de dias entre duas datas.
▲DYS
o formato de datas: MÊS, DIA, ANO(E.U.A.) ou DIA, MES, ANO (BRASIL). O formato M.DY está normalmente ativado na calculadora.
Ex.: Calcular o número de dias entre 13.02.1988 e 08.10.1988. Teclado Visor Explicação 2,131988 2,131988 digita a 1a. data na forma mm.dd.aa. ENTER 2,131988 registra em Y. 10,081988 g ▲DYS 238,0000 entra a 2a.data e calcula o número de dias entre as datas, considerando o ano civil (365 ou 366 dias). Ou então: g D.MY 13,021988 ENTER 8,101988 g ▲DYS
0,00 13,021988 13,021988 238,00000
Observação:Em ambos os casos, a tecla x >< y, aparecerá no no ano comercial.
muda o formato para dd.mm.aa. digita a 1a. data - forma dd.mm.aa. registra em Y. entra a 2a.data e calcula o número de dias, de acordo com o ano civil. se após o resultado for pressionada visor o número de dias com base
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g DATE
- soma ou subtrai um número
de dias sobre uma data data,calcula a nova data e também o dia da semana que corresponde. Ex.: Sendo hoje, 10.09.1989, que data será daqui a 71 dias? Teclado Visor Explicação g D.MY 0,00 altera o formato para dd/mm/aa. 10,091989 10,09198 digita a data. ENTER 10,091989 registra em Y. 71 g DATE 20.11.1989 1 data resposta. O algarismo após a data, indica ser 2ª feira. Esse número pode ser de 1 a 7, segunda a domingo.
Essa operação permite saber o dia da semana de uma data qualquer. Ex.: Que dia da semana foi o Natal de 1981? Teclado Visor Explicação g D.MY 0,00 prepara o formato dd.mm.aa 25,121981 ENTER 25,121981 registra em Y 0 g DATE 25.12.1981 5 o algarismo 5 indica que foi sexta-feira. Observação: A função calendário opera com as datas entre 15 de outubro de 1582 a 25 de novembro de 4046. Problemas:_ 1 - Calcular \/7 com 4 casas decimais, aumentando em seguida para 6 casas decimais? R. 2,6458 e 2,645751 __ 2 - Calcular \/19 com 6 casas decimais, arredondando? R. 4,358899 3 - Arredondar 14,59986, 5,494366 e 2,695721 com 3 casas decimais? R. 14,600; 5,494; 2,696 4 - Calcular o inverso de 7 com 5 casas decimais? R. 0,14286 5 -Calcular os logaritmos neperiano e decimal de 25 com 5 decimais? R. 3,21888 e 1.39794 6 - Quais os números(antilogaritmos) cujos logaritmos neperiano e decimal, são iguais a 2,35846? R. 10,57465 e 228,27587 7 - Dado o número 4389,15873 , separar a parte inteira,recuperálo e em seguida separar a parte fracionária, recompondo também o número? 8 - Calcular o fatorial de 5? R. 120
13
2 9 - (4 + 8,756) R. 162,7155 2 10- 6,3 + 7,285 - 16,1 - 0,193 R. 43,08 1/12 112,598 R. 1,083 12(6,2 + 3,4).(5,4 - 8,6) - 4 R. 7,68 ______________________________ 13/ /(342,28 - 123,59) 4 x (1,4 + 5) -10 x 0,009096 / ____ -1 \/ (13,4 + 0,51) x \/6,3 R. 0,095376 14- Um comerciante lucra nas suas vendas 24,45%. Por quanto vendeu uma mercadoria que lhe custou R$68,29? R. R$84,99 15- Um eletrodoméstico sofreu um aumento de 18% e está sendo anunciado para venda por R$858,00. Qual era o preço antigo? R. R$727,12 16- Calcular a variação percentual do dolar no cambio paralelo em agosto de 89, sabendo que seus valores no inicio e final do mes foram R$3,48 e R$4,05, respectivamente? R. 16,379% 17- Em determinado mês uma empresa exportou 4,52 milhões de dólares para os Estados Unidos, 2,85 milhões de dólares para a Europa e 1,75 milhões de dólares para outros paises. Qual a percentagem exportada para cada pais sobre o total exportado? R.49,561%; 31,25% e 19,1886% 18- Verifique pela calculadora quantos dias você viveu até hoje e qual o dia da semana do seu nascimento? R. 19- O faturamento mensal de uma empresa nos 4 primeiros meses de 1989 foi: R$7.428,29, R$9.439,18, R$11.003,48 e R$13.128,84. Calcular a evolução mensal de crescimento? R.27,07%;16,57%;19,32% 20- Evitando o vencimento em dia não útil,qual deverá ser o vencimento de uma promissória a ser descontada em 25.08.89, pelo prazo de 86 dia? R. 17.11.89 ou 20.11.89 21-O preço de um carro novo é R$59.520,00. O vendedor ofereceu um desconto de 15%, havendo um imposto de 4,5% sobre o preço de venda. Calcular o valor do desconto e o preço do carro incluindo o imposto? R. R$ 8.928,00 e R$52.868,64
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II – APLICAÇÕES FINANCEIRAS: CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA JURO SIMPLES (EXATO E ORDINÁRIO) E DESCONTO SIMPLES BANCÁRIO. n
- registra o tempo.
i
- registra a taxa na forma percentual.
PV
- (present value - valor presente) - registra o principal ou capital inicial.
PMT FV
- ( periodic
payment-pagamento periódico) - valor prestação de uma série uniforme de pagamentos.
da
-(future value-valor futuro)- valor do montante composto.
STO EEX- se ativado(c), no caso do
tempo ser constituído por uma parte inteira e uma parte fracionária de período condiciona o cálculo pelo regime de capitalização composta, tanto para a parte inteira como para a parte fracionária do período (CONVENÇÃO EXPONENCIAL); se desativado, nas mesmas condições de tempo, mantém o cálculo pelo regime composto só para a parte inteira de períodos, sendo a parte fracionária do do período calculada pelo regime simples (CONVENÇÃO LINEAR).
f RND - despreza as casas
decimais que não aparecem
no visor.
g BEG - condiciona
a calculadora para pagamentos no início de cada período (RENDAS ANTECIPADAS).
g END - condiciona a calculadora para pagamentos no fim de cada período (RENDAS POSTECIPADAS).
f AMORT- calcula as partes do principal e juros das
séries
de
pagamentos (anuidades). REGIME DE CAPITALIZAÇÃO: É
o esquema segundo o qual é calculado o juro de aplicação de um capital. Pode ser: regime de capitalização simples e regime de capitalização composta. JURO SIMPLES (EXATO E ORDINÁRIO):J = P x i/100 x t
15 Ex.: Calcular o juro simples de R$200.000,00 aplicado a 96% a.a., durante 120 dias? 1 - ano comercial (360 dias) - juro simples ordinário. P = 200.000,00 i = 96% a.a. t = 120 dias. j = 200.000,00 x 96/100 x 120/360 j = 64.000,00 2 - ano civil (365 ou 366 dias) - juro simples exato. j = 200.000,00 x 96/100 x 120/365 j = 63.123,00 RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA: Teclado f CLEAR FIN 120
Visor 0,00
n
120,00
96 i 200000 CHS PV
96,00 -200.000,00
f INT
64.000,00
R! x>
63.123,29
Explicação limpa os registradores financeiros. registra o número de dias em n. registra a taxa anual em i. registra o capital com sinal trocado por ser saida de dinheiro. calcula o juro simples ordinário. calcula o juro simples exato
Em ambos os juros, se for necessário o montante (capital + juros), basta após o cálculo dos juros, pressionar a tecla +. Ex.: Calcular o juro simples ordinário, o juro simples exato e os respectivos montantes, do principal R$30.000,00, à taxa de 196% a.a., de 02.02.96 a 30.06.96. P = 30.000,00 i = 196% a.a. Ano comercial: 28 + 30 + 30 + 30 + 30 = 148 dias. Ano civil : 27 + 31 = 30 + 31 + 30 = 149 dias. j = 30.000,00 x 196/100 x 148/360 = R$24.173,33. o
j
e
= 30.000,00 x 196/100 x 149/365 = R$24.003,29.
RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA: Teclado Visor f FIN 0,00 30000 CHS PV 196 i 02.021996 ENTER
30.000,00 196,00 2,02
Explicação limpa os registradores financeiros. registra o principal negativo registra a taxa. entra com a 1ª data.
16 Teclado 30.061996 g σ DYS STO 0 x >< y n f INT + RCL 0 n
Visor 149,00 149,00 148,00 148,00 24.173,33 54.173,33 149,00
f INT
24.336,67
R! x >< y +
24.003,29 54.003,29
Explicação número de dias(ano civil) guarda na memória 0. nº de dias(ano comercial) registra o nºde dias em n calcula o juro ordinário. calcula o montante. chama o número exato de dias e registra em n. juro ordinário para 149 dias (não necessário ao problema). calcula o juro exato. calcula o montante.
Observações importantes: 1 - A HP-12C só calcula corretamente o juro simples se o tempo entrar em DIAS e a taxa em ANOS; 2 - Ao ser calculado o número de dias (g ▲DYS), o visor apresenta o número exato de dias (ano civil); se for pressionado x >< y, aparecerá o número de dias correspondente ao ano comercial; 3 - Em conseqüência, é necessário o maior CUIDADO para ser registrado em n o número de dias correspondente ao juro que se quer calcular, a fim de evitar cálculo indevido . Problemas:Calcular o juros simples ordinário e o montante das seguintes aplicações: 1 - R$35.000,00, a 84% a.a., durante 2m e 15 dias? R. R$6.125,00 e R$41.125,00 2 - R$8.000,00, a 4,5% a.m., durante 1a e 3 meses? R. R$5.400,00 e R$13.400,00 3 - R$600,00, a 108% a.a., durante 90 dias? R. R$162,00 e R$762,00 Calcular o juro simples ordinário e o juro simples exato de: 4 - R$20.000,00, a 12% a.m., de 13.08.93 a 12.11.93? R. R$7.120,00 e R$7.180,27 5 - R$400,00, a 9% a.m., de 02.02.92 a 15.04.92? R. R$87,60 e R$86,40 6 - R$4.500,00, a 96% a.a., de 12.07.93 a 13.09.93? R. R$732,00 e R$745,64 Calcular o juro simples exato e o montante de: 7 - R$12.000,00, a 48% a.a., de 12.06.92 a 31.07.92? R. R$773,26 e R$12.773,26 8 - R$550,00, a 5% a.m., em 4m e 15 dias? R. R$122,05 e R$672,05
17 9 - R$1.200,00, a 240% a.a., de 01.01.92 a 01.03.92? R. R$473,42 e R$1.673,42 ---------xxxxxxx-----------DESCONTO SIMPLES (BANCÁRIO}:Desconto de um título é o abatimento sobre seu valor, obtido pela antecipação do pagamento. O possuidor de um título de crédito(nota promissória, duplicata, etc...), cujo vencimento ocorrerá no fim de um prazo estabelecido, poderá negociá-lo normalmente com um Banco, transferindo a propriedade do título por endosso, recebendo no ato da operação o valor do título diminuido de um ágio. O valor escrito no título, a ser pago no vencimento, é chamado VALOR NOMINAL; a importância recebida pelo proponente, a ser por ele usada, é chamada VALOR ATUAL, e o valor deduzido pelo Banco é o DESCONTO. Assim, VALOR ATUAL = VALOR NOMINAL - DESCONTO. Há dois tipos de desconto simples: desconto bancário, comercial ou por fora, e desconto racional, verdadeiro ou por dentro. DESCONTO BANCÁRIO:É calculado como o juro simples, incidindo sobre o valor nominal do título e cobrado antecipadamente. D = N x i/100 x t Sendo A = N - D' Ex.: Uma promissória de valor nominal R$100.000,00 foi descontada num Banco que cobra 96% a.a. de juros, 90 dias antes do vencimento. Qual o valor líquido (valor atual) recebido? D'= 100.000,00 x 96/100 x 90/360 D'= 24.000,00 A'= 100.000,00 - 24.000,00 A'= 76.000,00 RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA: Teclado f FIN 100000 CHS PV
Visor 0,00 -100.000,00
96 i
96,00
90 n
90,00
Explicação limpa os registradores financeiros registra o valor nominal do título. registra a taxa de desconto ANUAL. registra o tempo em DIAS.
18 Teclado f INT -
Visor 24.000,00 76.000,00
Explicação calcula o desconto bancário. calcula o valor atual.
Observação:- Considerando que o Banco, na realidade, emprestou R$76.000,00, e vai receber em 90 dias R$100.000,00, a taxa de rentabilidade ou taxa efetiva obtida pelo Banco, paga por quem descontou a promissória, será aquela que sendo o cálculo feito sobre R$76.000,00 (valor atual) reproduz o mesmo juro pago ao Banco (taxa do desconto racional correspondente). 100.000,00 : 76.000,00 = 1,315789 índice p/90 dias 1,315789 - 1 = 0,315789 taxa unitária p/90 dias 0,315789 x 100 = 31,5789% taxa percentual p/90 dias. 31,5789 : 3 = 10,5263% taxa efetiva mensal ou taxa de rentabilida RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA: Teclado 100000 ENTER 76000 : 1 100 x 3 :
Visor 100.000,00 1,315789 0,315789 31,5789 10,5263
Explicação valor nominal índice p/90 dia taxa unitária p/90 dias taxa percentual p/90 dias taxa efetiva mensal ou taxa de rentabilidade.
Problemas: 1-Descontei no Banco A uma duplicata no valor de R$48.000,00, vencível a 75 dias. O Banco cobra 10% a.m. de desconto bancário. Calcular quanto eu recebi no dia da operação e que taxa eu paguei efetivamente no regime simples? R. R$36.000,00 e 13,33% a.m. 2-O possuidor de um título de R$200.000,00 vencível em 3 meses, tem duas opções: vendê-lo a vista por R$160.000,00 ou descontá-lo num Banco a 72% a.a., mais comissão de 1/4% sobre seu valor nominal. Qual a melhor opção? R. A segunda. 3- Um título de R$240.000,00 sofreu um desconto bancário à 78%a.a., 60 dias antes do vencimento, tendo sido cobrada a comissão de 1/8% do seu valor nominal. Calcular o valor líquido pago ao seu portador? R. R$208.500,00 4- Ao se apresentar um título de R$50.000,00 para desconto por fora, 3 meses antes do vencimento, à taxa simples de 3,1% a.m., deseja-se saber o desconto pago e o valor atual do título? R- R$4.650,00 e R$45.350,00 5- Um economista desconta num Banco uma promissória de R$14.048,67, para 90 dias, taxa de 38,4% a.a..Calcular o valor líquido? R. R$12.700,01
19 Exercícios de recapitulação - capítulos I e II: _____________________________________ / ___ / \/ 2 2 -3 -1/5 / (23,54-21,18) X (4,5 - 2 ) 1/ --------------------------------------/ _______________ / / / / 4/5 \/ \/(13,4 - 5,2) - 2 + 6,8 R.0,462459 _____________________ / __ / 3/ _____________ / \/ 2 9/ 4 \/ (342,28 - 123,59) ÷ \/ (0,5 - 48,2) 2- _______________________________________________ X 0,753168 ____ -1 / (4/7 + 0,052) X \/ 6,3 R. 1 3- Se em 06.11.94 eu fizer uma aplicação pelo prazo de 73 dias, qual será a data do vencimento e em que dia da semana cairá. Se o dia do vencimento for dia não útil, prolongar o prazo até o primeiro dia útil seguinte? R. 18.01.95 4a.feira 4- Adquiri um eletrodoméstico cujo preço anunciado era R$3.845,00, com o desconto promocional de 25%, incidindo sobre o valor líquido o imposto de 4,5%. Quanto paguei pelo aparelho? R. R$3.013,52 5- Um título de R$240.000,00 foi descontado num Banco, à 37% a.m., 2 meses antes do vencimento, sendo cobrada uma comissão de 1/8% do seu valor nominal. Calcular o valor líquido pago ao portador? R. R$62.100,00 e 143,24% a.m. 6- Se um produto custava R$18,57 e aumentou para R$27,95, qual o percentual de aumento? R. 50,51% 7- Três pessoas participaram de uma festa, o 1º gastando R$2.500,00, o 2º, R$3.250,00 e o 3º, R$549,00. Calcular o percentual de participação de cada pessoa no total gasto? R. 39,69%; 51,60% e 8,71% 8- Uma promissória descontada em 13.11.94 pelo prazo de 90 dias,não podendo vencer em dia não útil, quando vencerá? R. 10.02.95 ou 13.02.95 9- O meu salário líquido em outubro de 94 foi R$3.248,57 e em novembro de 94 foi R$5.087,28. Qual o meu percentual de aumento? R. 56,60%
20
III- TAXAS EFETIVA.
DE
JUROS;
PROPORCIONAL,
EQUIVALENTE,
NOMINAL
E
Taxas proporcionais:São aquelas que aplicadas ao mesmo capital durante o mesmo prazo, produzem o mesmo montante, no regime de juros simples. Ex.: 24% a.a.; 12% a.s.; 2% a.m. e 8% a.quadr. Assim, o capital R$50.000,00 aplicado a 24% a.a.durante 3 anos, renderá o mesmo juro que o mesmo capital aplicado a 8% ao quadrimestre durante os mesmos 3 anos, ou seja, j = 50.000,00 x 24/100 x 3 anos = R$36.000,00 j = 50.000,00 x 8/100 x 9 quadr. = R$36.000,00. Taxas equivalentes:São aquelas que aplicadas ao mesmo capital durante um mesmo prazo, produzem o mesmo montante, no regime de juro composto. Ex.: 3% a.m. e 42,5761% a.a. Assim, o capital R$50.000,00 aplicado a juros compostos durante 3 anos, a 3% a.m., produzirá o mesmo montante que o mesmo capital aplicado a 42,5761% a.a. durante esse mesmo prazo. n FV = PV(1 + i) 36 FV = 50.000,00 x (1 + 3/100) = R$144.913,92 FV = 50.000,00 x (1 + 42,5761/100) = R$144.913,95 RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA: Teclado Visor f FIN 0,00 50000 CHS PV -50.000,00 42,5761 i 42,5761 3 n 3,00 FV 144.913,95
Explicação limpa os registradores registra em PV o capital registra a taxa em i. número de períodos em n montante composto.
Para calcular uma taxa equivalente conhecida, pode ser usada a seguinte fórmula período que quero período que tenho i’= [(1 + i/100) - 1] x 100
a
uma
O resultado será a taxa percentual procurada. Ex.: Seja calcular a taxa anual equivalente mensal 3% (exemplo citado).
outra
a taxa
21
i i
= =
12_ (eu quero 12 meses) 1 (eu tenho 1 mês) [(1 + 3/100) - 1] x 100 42,5761% a.a.
RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA: Teclado Visor 3 ENTER 3,00 100 ÷ 0,03 1 + 1,03 12 ENTER 12,00 1 ÷ 12,00 x y 1 100
1,425761 x
0,425761 42,5761
Explicação entra a taxa. divide a taxa por 100. soma 1 ao resultado entra o período que eu quero divide o período que eu quero pelo período que tenho calcula o índice da taxa procurada. calcula a taxa unitária. calcula a taxa anual.
RESOLUÇÃO PELAS TECLAS FINANCEIRAS: Teclado f fin l00 CHS PV 103 FV 1 ENTER 12 ÷ n i
Visor 0,00 -100,00 103,00 1,00 0,08333 0,08333 42,5761
Explicação limpa as teclas financeiras registra suposto capital 100 registra o suposto montante entra o período da taxa dada divide o período da taxa dada pelo período da taxa desejada. registra o resultado em n. taxa equivalente anual.
Taxa efetiva ou real:É a taxa cuja unidade de tempo a que se refere é a mesma do período de capitalização. Corresponde exatamente ão custo do dinheiro empregado. Ex.: 15% a.m. capitalizados mensalmente 23% a.trim. capitalizados trimestralmente. 2000% a.a. capitalizados anualmente. Se for dito somente 15% a.m., 23% a.trim. e 2000% a.a. sem mais nada, fica subtendido o período de capitalização como sendo o da taxa. Taxa nominal:É a taxa cuja unidade de referencia de seu tempo não é a mesma do período de capitalização. Ex.: 60% a.a. com capitalização mensal. 96% a.s. com capitalização trimestral.
22
A taxa nominal, embora usada no mercado, não é considerada para efeito de cálculo por não ser taxa efetiva.Para cálculo interessa a taxa efetiva contida na taxa nominal. Ex.: 60 : 12 = 5% a.m. (taxa efetiva mensal). 96 : 2 =48% a.trim. (taxa efetiva trimestral). A taxa anual equivalente a taxa efetiva, será maior que a taxa nominal de origem, porque essa equivalencia é calculada no regime composto. 12/1 i = [(1 + 0,05) - 1] x 100 = 79,5856% a.a. 2/1 i = [(1 + 0,48) - 1] x 100 = 119,04% a.s. Problemas:1-Calcular as taxas efetivas anuais equivalentes a taxa nominal 36% a.a., com os períodos de capitalização mensal, trimestral e semestral? R. 42,5761% a.a.; 41,1582% a.a. e 39,24% a.a. 2- Calcular as taxas mensal e diária proporcionais a 18% a. trim.? R.6% a.m. e 0,2% ao dia. 3- Calcular as taxas efetivas quadrimestral e anual que são equivalentes a 72% a.a., capitalizados bimestralmente? R. 25,44% a.q. e 97,382269% a.a. 4- Determinar a taxa efetiva anual equivalente a 7% a.m.? R. 125,219% a.a. 5- Determinar a taxa efetiva anual equivalente a 48% a.a., capitalizada trimestralmente? R. 57,3519% a.trim. 6- Qual a taxa efetiva trimestral equivalente a 30% a.a.? R. 6,778997% a.trim. 7- Um investidor pretende aplicar R$2.000.000,00 numa instituição financeira durante 3 meses, que lhe oferece juro simples de 6% a.m.. Que valor será resgatado no vencimento e qual a taxa efetiva mensal no regime composto? R. R$2.360.000,00 e 5,6722% a.m. 8- As cadernetas de poupança pagam juros de 6% a.a. com capitalização mensal. Qual a taxa efetiva anual? R. 6,167781% a.a. 9- Calcular a taxa de 61 dias equivalente a 12,4% ao mês? R. 26,83% 10-Qual a taxa de 180 dias equivalente a 17,8% em 58 dias? R. 66,26%
-----------xxxxxx------------
23
IV -JURO COMPOSTO: CÁLCULO DO VALOR FUTURO E CONVENÇÃO LINEAR E CONVENÇÃO EXPONENCIAL.
VALOR PRESENTE.
O movimento financeiro de uma empresa é constituido por uma série de despesas e receitas sucessivas em tempos diferentes. Esse conjunto é denominado FLUXO DE CAIXA e sua representação é: Receitas (+)
Despesas (-)
^ ^ ^ ^ ^ ^ | | | | | | | | | | | | ----!----!----!----!----!----! | 1 2 3 4 5 6 | | v
Na escala horizontal representa-se o tempo, as flechas são as entradas (+) e saidas (-) de dinheiro. Essas convenções de sinais do FLUXO DE CAIXA são obedecidas pela HP-12C. No regime composto podem ser resolvidos problemas financeiros de um só pagamento ou de uma série de pagamentos. JUROS COMPOSTOS:Um capital está aplicado a juros compostos, se no fim de cada período financeiro o juro produzido é somado ão capital que o produziu, constituindo cada montante assim obtido, o capital para o período seguinte. O ato de se juntar o juro produzido ao capital que o produziu chama-se CAPITALIZAÇÃO. A fórmula n FV = PV (1 + i ), calcula o montante composto 100 FV (Valor Futuro), sendo PV (Valor Presente) o principal, i a taxa referente ao período, e n o número de períodos financeiros. n O fator (1 +_i__) chama-se FATOR DE CAPITALIZAÇÃO. 100 Ex.:1)Seja calcular o montante composto de R$10.000,00, aplicado a juros compostos a 5%a.m.,durante 1a e 5m,com capitalização mensal? PV = 10.000,00 i = 5/100 n = 17 meses. 17 FV = 10.000,00 x (1 + 0,05) = 10.000 x 2,292018 FV = R$22.920,18.
24 Obs.: Não se divide a taxa por 100 para o cálculo pelas teclas financeiras. RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA: Teclado Visor Explicação f FIN 0,00 limpa os registradores financeiros. 10000 CHS PV -10.000,00 registra o principal em PV com sinal trocado. 5 i 5,00 taxa percentual em i. 17 n 17,00 número de períodos em n FV 22.920,18 calcula o montante composto . 2) calcular o montante composto do capital R$60.000,00, aplicado a 108% a.a. durante 3a e 9m? PV = R$60.000,00 i = 108/100 n = 3 + 9/12 45/12 FV = 60.000,00 x (1 + 1,08) FV = 60.000 x 15,586102 FV = R$935.166,10 RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA: Teclado f FIN STO EEX 60000 CHS PV 108 i 45 ENTER 12 : n FV
Visor 0,00 0,00 -60.000,00 108,00 45,00 3,75 3,75 935.166,10
Explicação limpa os registradores financeiros. condiciona o cálculo pelo regime composto para a fração de período. entra com o principal em PV. taxa percentual em i numerador do período. divide 45 por 12. número de períodos em n calcula o montante composto.
3) A que taxa trimestral devo aplicar R$285.876,22 para obter o montante composto de R$500.000,00 em 1 ano? Teclado Visor Explicação f FIN 0,00 limpa os registradores financeiros. 500000 FV 500.000,00 montante em FV. 285876,22 CHSPV -285.876,22 capital em PV. 4 n 4,00 número de períodos i 15,00 calcula a taxa. Observações: 1)A ativação de (c) com STO EEX pode ser mantida permanentemente, embora seja dispensável quando n for inteiro.
25 2)Não há ordem para a entrada de PV, FV, n e i. Para o cálculo de qualquer desses elementos o procedimento é o mesmo. Uma vez efetuado o cálculo de PV, FV, n ou i, além de mostrar o resultado no visor, a calculadora guarda o valor encontrado no registrador financeiro correspondente. 3)Quando for pedido n, aparecerá sempre como resposta um número inteiro de períodos, que pode ser o prazo certo ou arredondado para mais, quando a resposta for tempo fracionário. Considerando que o valor de n encontrado fica automáticamente registrado em n, a verificação se n está correto, pode ser feita recalculando imediatamente FV (apertando duas vezes seguidas a tecla FV). Se o resultado (montante) for igual ão anterior, n está correto. Caso contrário não, e será necessário calcular n aplicando a fórmula. Problemas:1- Calcular o montante composto do capital R$15.000,00, a 2% a.m., durante 4 anos e 2 meses, com capitalização trimestral? R. R$39.614,64 2- Qual o juro pago no caso do empréstimo de R$26.000,00, a taxa de 21% ao semestre, prazo de 10 meses, com capitalização bimestral? R. R$10.466,35 3- Qual o tempo necessário para que R$75.000,00 produza o montante de R$155.712,00, a 22% a.a., com capitalização semestral? R. 3a e 6m. 4-Depositei em caderneta de poupança R$250.000,00 no dia 01.01.96. Sabendo que a taxa média de juro e correção monetária é 29%a.m.,quanto terei de saldo em 31.12.96? R$5.309.046,54 5-Tendo aplicado R$25.000,00 na Bolsa de Valores, o investidor esperava ganhar 100% a.a.. Qual seria o lucro recebido por ele ao fim de 1 ano e 8 meses, caso tal rentabilidade ocorresse? R. R$54.370,05 6-A que taxa terei que aplicar R$101.509,84, para receber o montante de R$423.500,00, em 2 anos, 3 meses e 18 dias, com capitalização quadrimestral? R. 23% a.quadrim. 7- R$45.000,00 investidos durante um ano foram resgatados por R$87.245,00. Qual a taxa trimestral da aplicação? R. 18% a.t. 8- R$20.000,00 aplicados durante 96 dias foram resgatados por R$23.384,03.Qual a taxa anual da aplicação considerando a capitalização mista (fração do período capitalizado no regime simples)? R. 63,45% a.a.
26 9- Qual o prazo que, na capitalização composta, devemos aplicar R$20.000,00, à taxa de 25% ao trimestre, para resgatarmos R$23.555,77? (Sugestão: considerando que a calculadora arredonda o nº de períodos para cima,se necessário, calcular a taxa diária) R. 66 dias 10- Qual o prazo que, na capitalização composta, devemos aplicar R$45.000,00, à taxa de 27,4% em 63 dias, para auferirmos juros de R$8.850,22? R. 47 dias. --------XXXXXX--------Exercícios de recapitulação - capítulos I a IV:___________________________________ / __ 1/ 3/ / -2 \/ 4 / (5/12 x 4/7) + (12,45 - 0,03) / -------------------------------------/ _____________ / / / / -2 / \/ (0,8 - 0,03) \/ R. 7,455719 2- Os valores da UFIR em 01.07.96 e 31.07.96 foram, respectivamente 1,5779 e 2,0541. Calcular a inflação de julho de 1993 e quanto custou em 01.08.93 um produto que em 01.07 era comprado por R$428,85? R. 30,1794% e R$558,27 3- Quatro pessoas contribuiram para a realização de uma festa com as seguintes parcelas: A - R$50.000,00; B - R$155.000,00; C R$350.000,00 e D - R$80.000,00. Estabelecer os percentuais de participação de cada pessoa em relação a despesa total? R. 7,87%; 24,41%; 55,12% e 12,6%. 4 - Aplicando R$230.000,00 a juros simples de 13% a.trim., de 06.11.89 a 25.01.90, qual o montante recebido no fim do prazo? R. R$256.245,56 5 - Descontei uma promissória num Banco 75 dias antes do vencimento, à taxa de 336% a.a., recebendo o líquido de R$50.400,00. Calcular o valor nominal do título e a taxa mensal de rentabilidade do Banco, no regime simples? R. R$168.000,00 e 93,33$ a.m.. 6 - A que taxa anual terei que aplicar R$220.000,00, para obter R$135.480,00 de juros, durante 1 ano, 10 meses e 29 dias, com capitalização trimestral? R. 25,87% a.a. 7 - Calcular a taxa semestral equivalente a quadrimestral 52,8%? R. 88,88% a.s.
27 8 - Calcular a taxa efetiva anual equivalente a 930% a.a., capitalizada quadrimestralmente? R. 6792,1% a.a. 9 - Calcular a taxa efetiva trimestral equivalente a 237% a.a., com capitalização quadrimestral? R. 54,75% a.trim. 10-Um Presidente governou o Pais de 01.04.89 a 31.03.94. Quantos dias governou e em que dia da semana passou o governo ao seu sucessor? R. 1825 dias e 5a.feira. 11-Apliquei R$200.000,00 a 18% a.m., em 17.11.95, para receber o capital acrescido dos juros simples em 25.02.96, ou no primeiro dia útil seguinte, caso o vencimento caia em dia não útil. Quanto receberei? R. 318.800,00 12- Sendo 1992 ano bissexto quantos dias terá o período de 04.l0.91 a 28.05.92, considerando o ano civil e o ano comercial, e que dias da semana serão essas duas datas? R. 234,231, 6a.feira e 5ª feira, 13- A que taxa esteve aplicado o capital R$16.200,00 para produzir o juro de R$3.287,90, em 1a 4m e 27 dias, com capitalização trimestral (convenção linear e convenção exponencial)? R. 3,3346% a.t. e 3,3323% a.t. 14- A que taxa um capital triplica de valor em 1 ano e 3 meses, com capitalização quadrimestral? R. 34,04% a.quadrimestre. 15- Calcular o juro composto resultante da aplicação de R$18.000,00, à taxa de 88% a.s.,durante 2 anos, 3 meses e 9 dias, com capitalização quadrimestral? R. R$402.327,10 16- Comprei 10.000 ações de uma empresa a R$2,35 cada. 60 dias depois vendi as ações, apurando R$12.925,00. Calcular a taxa efetiva mensal composta do prejuizo? R. 25,84% a.m. 17-Durante quanto tempo terei que aplicar R$50.000,00 a juros compostos, para receber R$43.047,43 de juros, à taxa de 268% a.a., com capitalização trimestral? R.109 dias ou 3 meses e 19 dias 18-Calcular a taxa quadrimestral equivalente a taxa semestral 96%? R. 56,62% a.q. 19-Calcular a taxa mensal equivalente a semestral 140% no regime composto, e calcular os montantes compostos para o capital R$30.000,00, prazo de 6 meses, com as duas capitalizações? R. 15,709% a.m. e R$72.000,00 ---------XXXXX---------
28
V-PROBLEMAS FINANCEIROS ENVOLVENDO SÉRIE DE PAGAMENTOS.ANUIDADES ANTECIPADAS,POSTECIPADAS E DIFERIDAS: VALOR ATUAL E MONTANTE: SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO. Renda Certa ou Anuidade é uma série de pagamentos efetuados em épocas diversas e determinadas, destinada a liquidar uma dívida (amortização) ou constituir um capital (capitalização). Cada pagamento é chamado TERMO DA RENDA (PMT). Neste estudo serão tratadas as anuidades periódicas, ou seja, aquelas cujos períodos de pagamentos são iguais. As anuidades periódicas podem ser: POSTECIPADAS, ANTECIPADAS E DIFERIDAS. VALOR ATUAL (PV) de uma renda é a soma dos valores atuais (PV) de cada um de seus termos. MONTANTE de uma renda é a soma dos montantes (FV) de seus termos, ou é o montante composto do valor atual da renda. Além das teclas já mencionadas: n, i, PV, PMT e FV, para o estudo de financiamentos e investimentos, usa-se também:
g BEG – condiciona
a calculadora para pagamentos no início de cada período (RENDAS ANTECIPADAS).
g END – condiciona
a calculadora para pagamentos no fim cada período (RENDAS POSTECIPADAS).
f AMORT – calcula as partes do principal
e
juros
das
de
séries
de pagamentos (anuidades). Anuidades postecipadas: São aquelas cujos pagamentos são efetuados no fim de cada período a que se refere a taxa de juros, a partir do primeiro período. PV ^ ^ FV | │ | 0 │___1___2___3___________n 0___1___2___3______|n | | | ..........| | | | .....| | | | | | | | | v v v v v v v v PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT
..................... : n : : PMT = PV x _ i.u : : n : : u – 1 : :...................:
sendo
u=1+ i. 100
29
..................... : n : : FV = PMT x u - 1 : : i : :...................:
sendo u=1+ i 100
Ex.: Um aparelho eletrodoméstico é vendido sem entrada em 10 prestações mensais iguais de R$38.000,00, no fim de cada mês, a taxa de juros compostos de 15% a.m.. Caso eu queira pagar a vista qual o valor equivalente? PMT = 38.000,00 n = 10 i = 15% a.m. PV = ? 10 (1 + 0,15) - 1 PV = 38.000 x __________________ 10 0,15 (1 + 0,15) PV = 38.000 x 5,018769 PV
=
190.713,21
Ex.: A quantia de R$200.000,00 foi financiada em 4 prestações mensais iguais, a taxa de juros compostos de 18% a.m.. Calcular o valor da prestação e mostrar a evolução dos pagamentos? PV = 200.000,00 n = 4 i = 18% a.m. PMT = ? 4 200.000 = PMT x _(1 + 0,18) - 1__ 4 0,18 (1 + 0,18) 200.000 = PMT x 2,690062 PMT = 200.000 : 2,690062 PMT = 74.347,73 O quadro de amortização será: -----------------------------------------------------------| n | PRESTAÇÃO | JURO | AMORTIZAÇÃO | SALDO DEVEDOR | -----------------------------------------------------------| 0 | | | | 200.000,00 | | 1 | 74.347,73 | 36.000,00 | 38.347,73 | 161.652,27 | | 2 | 74.347,73 | 29.097,41 | 45.250,32 | 116.401,95 | | 3 | 74.347,73 | 20.952,35 | 53.395,38 | 63.006,57 | | 4 | 74.347,73 | 11.341,18 | 63.006,55 | - 0,02 | -----------------------------------------------------------| - |297.390,92 | 97.390,94 | 199.999,98 | --| -----------------------------------------------------------RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA:A HP-12C está preparada, também, para o cálculo das parcelas de capital de cada pagamento, juro de cada prestação, saldo devedor após cada pagamento e soma dos juros e das amortizações de duas ou mais prestações consecutivas de um financiamento (método francês de amortização). Teclado Visor Explicação
30 f FIN 200000 CHS PV 18 i 4 n g END PMT 0 1 f AMORT x>
0,00 - 200.000,00 18,00 4,00 4,00 74.347,73 0,00 36.000,00 38.347,73 -161.652,27 29.097,41 45.250,32 -116.401,95 20.952,35 53.395,38 - 63.006,57 11.341,18 63.006,55 -0,02
limpa os registradores financeiros. registra o valor em PV. registra a taxa em i. registra o nº de períodos em n. condiciona p/prestações postecipadas. calcula a prestação. zera o registrador n. calcula o juro da 1ª prestação. parcela de capital da 1ª prestação. apresenta o saldo devedor após após a 1ªprestação. calcula o juro da segunda prestação. parcela de capital da 2ª prestação. saldo devedor após a 2ª prestação. juro da 3ª prestação. parcela de capital da 3ª prestação. saldo devedor após a 3ª prestação. juro da 4a.prestação. parcela de capital da 4ª prestação residuo.
Para saber o total de juros pagos, o total amortizado nas 3 primeiras prestações, por exemplo, e o novo saldo devedor logo após: Teclado Visor Explicacão f FIN 0,00 limpa os registradores financeiros. 200000 CHS PV -200.000,00 registra o capital em PV. 4 n 4,00 número de prestações. 18 i 18,00 registra a taxa em i. g END 18,00 condiciona prestações postecipadas. PMT 74.347,73 calcula a prestação. 3 f AMORT 86.049,76 soma dos juros das três prestações. x>
Visor
Explicação
31 RCL PV
63.006,57
apresenta o saldo devedor após pagar as 3 primeiras prestações.
Observação:Essa operação pode ser continuada para o mesmo cálculo referente a outros grupos seguintes de prestações. Cálculo do Montante: Ex.: Uma pessoa deposita no fim de cada mês, durante 6 meses, a importância de R$30.000,00. Sabendo que o Banco paga a taxa média mensal de 28% a.m., calcular o total acumulado no fim do prazo? PMT = 30.000,00 n = 6 i = 28% a.m. FV = ? 6 FV = 30.000,00 x (1 + 0,28)_- 1 0,28 FV = 30.000,00 x 12,13588 FV
=
364.076,41.
RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA:Teclado Visor f FIN 0,00 30000 CHS PMT -30.000,00 28 i 28,00 g END 28,00 6 n FV
6,00 364.076,41
Explicação limpa os registradores financeiros. depósito periódico em PMT registra a taxa em i. condiciona pagamentos postecipados. registra o número de depósitos. calcula o montante acumulado.
Anuidades Antecipadas:São aquelas cujos pagamentos são efetuados no inicio de cada período a que se referir a taxa de juro, a partir do primeiro período FV PV ^ ^ | | | n-1 n-1 | 0|___1___2___3____ ___n 0___1___2___3____ ____|n | | | |....| | | | |....| | | | | | | | | | | v v v v v v v v v v PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT
32
...................... : n-1: : PMT = PV x i.u __: : n : : u - 1 : :....................:
...................... : n : :FV = PMT x u(u – 1) : sendo u=1+ i. : i : 100 :....................:
Ex.: Um eletrodoméstico cujo preço a vista é R$200.000,00 foi financiado em 4 prestações mensais iguais, à taxa de juros compostos de 18% a.m., a primeira paga no ato da compra. Calcular o valor da prestação e mostrar o quadro de evolução dos pagamentos? PV = 200.000,00 n = 4 i = 18% a.m. PMT = ? 4 200.000 = PMT x (1 + 0,18) – 1 . 4-1 0,18 (1 + 0,18) 200.000
= PMT
x
3,174273
PMT
= 200.000
:
PMT
= 63.006,55.
3,174273
O quadro de amortização será: -----------------------------------------------------------| n | PRESTAÇÃO | JURO | AMORTIZAÇÃO | SALDO DEVEDOR | -----------------------------------------------------------| 1 | 63.006,55 | 0,00 | 63.006,55 | 136.993,45 | | 2 | 63.006,55 | 24.658,82 | 38.347,73 | 98.645,72 | | 3 | 63.006,55 | 17.756,23 | 45.250,32 | 53.395,40 | | 4 | 63.006,55 | 9.611,17 | 53.395,38 | 0,02 | -----------------------------------------------------------| - | 252.026,20 | 52.026,22 | 199.799,98 | --| -----------------------------------------------------------Observação:A mesma solução realizada pela calculadora para a renda postecipada pode ser aplicada para a anuidade antecipada, apenas substituindo-se o comando g END por g BEG . Cálculo do Montante:Ex.: Foram efetuados 10 depósitos numa caderneta de poupança, no valor de R$20.000,00 cada um, a partir da data da abertura. Sabendo que o Banco paga a taxa média de 26,8% a.m. entre juros e correção monetária, qual o saldo da caderneta no fim desse tempo?
33 PMT = 20.000,00
n = 10
FV
=
20.000,00
x
FV FV
= =
20.000,00 x 922.106,30
RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA:Teclado Visor f FIN 0,00 20000 CHS PMT
- 20.000,00
g BEG
- 20.000,00
26,8 i 10 n
26,80 10,00
FV
922.106,30
i = 26,8% a.m.
(1 + 0,268
FV = ? 10 [(1 + 0,268) – 1] 0,268
46,105315
Explicação limpa os registradores financeiros. registra o deposito periódico. condiciona pagamentos antecipados. registra a taxa em i. registra o numero de pagamentos em n. montante acumulado
Rendas Diferidas:São aquelas cujo primeiro pagamento é efetuado após decorridos m periodos, número esse previamente estabelecido. PV ^ | | m+1 m+2 m+3 0|___1___2___3______m___ ___ ___ ________ m+n ...... | | |.......| \__________________/ | | | | m = diferimento v v v v PMT PMT PMT.....PMT Ex.: Um objeto que custa R$200.000,00 foi financiado para pagamento em 4 prestações mensais iguais, com diferimento de 3 meses, a taxa de 18% a.m.. Calcular a prestação e montar o quadro de amortização? PV = 200.000,00 n = 4 m = 3 i = 18%a.m. PMT = ? 3 FV = 200.000(1 + 0,18) = 328.606,40 montante composto durante o diferimento. 4 328.606,40 = PMT x (1 + 0,18) – 1 . 4 0,18 (1 + 0,18) 328.606,40 = PMT x 2,690062 PMT = 122.155,71 O quadro de amortização será: 3
34 S = 200.000,00 (1 + 0,18)
=
328.606,40
-------------------------------------------------------------| n | PRESTAÇÃO | JURO | AMORTIZAÇÃO | SALDO DEVEDOR | ------------------------------------------------------------| 0 | | | | 328.606,40 | | 1 | 122.155,71 | 59.149,15 | 63.006,56 | 265.599,84 | | 2 | 122.155,71 | 47.807,97 | 74.347,74 | 191.252,10 | | 3 | 122.155,71 | 34.425,38 | 87.730,33 | 103.521,77 | | 4 | 122.155,71 | 18.633,92 | 103.521,79 | 0,02 | -------------------------------------------------------------| - | 488.622,84 | 160.016,42 | 328.606,42 | --| -------------------------------------------------------------Correção Monetária: Foi criada em 1964 objetivando corrigir ou pelo menos aliviar as distorções ocasionadas pela inflação na economia. Os juros são calculados sobre o principal corrigido, de acordo com o índice periódico de inflação estabelecido pelo governo. Ex.: Um empréstimo de R$3.000.000,00 a juros compostos de 4% a.m., prazo de 15 meses, será resgatado pelo Sistema Francês de Amortização, em prestações trimestrais. Supondo que ao longo desse tempo as taxas de inflação sejam: 0 1 = 32% ; 1 - 2 =35% ; 2 - 3 = 0% ; 3 - 4 = 38% e 4 - 5 = 36%, calcular a prestação e montar o quadro de amortização? 3 i = (1 + 0,04) - 1 i = 12,4864% a.t. 5 3.000.000,00 = PMT x 1,124864 – 1 . 5 0,124864 x 1,124864 3.000.000,00 = PMT x 3,561759 PMT = 3.000.000,00 : 3,561759 PMT = R$842.280,42. ---------------------------------------------------------------| n | PRESTAÇÃO | JURO | AMORTIZAÇÃO |SALDO DEVEDOR| -------------------------------------------------------------| 0 | | | | 3.000.000,00 | 1 | 1.111.810,15 | 494.461,44 | 617.348,71 | 3.342.651,29 | 2 | 1.500.943,70 | 563.458,69 | 937.485,01 | 3.575.094,23 | 3 | 1.500.943,70 | 446.400,57 | 1.054.543,14 | 2.520.551,10 | 4 | 2.071.302,31 | 434.322,01 | 1.636.980,30 | 1.841.380,22 | 5 | 2.816.971,14 | 312.694,05 | 2.504.277,09 | --------------------------------------------------------------| - | 9.001.971,00 |2.251.336,76 | 6.750.634,25 | --| --------------------------------------------------------------Cálculos:
35 1ª prestação: 3.000.000,00x(1+0,32)=3.960.000,00 842.280,42x(1+0,32)=1.111.810,15
saldo corrigido prest.corrigida.
2ª prestação: 3.342.651,29x(1+0,35)=4.512.579,24 1.111.810,15x(1+0,35)=1.500.943,70
saldo corrigido prest.corrigida.
3ª prestação:
Não há correção por não ter havido inflação.
4ª prestação: 2.520.551,10x(1+0,38)=3.478.360,11 1.501.943,70x(1+0,38)=2.071.302,31
saldo corrigido prest.corrigida.
5ª prestação: 1.841.380,22x(1+0,36)=2.504.277,09 2.071.302,31x(1+0,36)=2.816.971,14
saldo corrigido prest.corrigida.
PERÍODO SINGULAR : O período singular ocorre quando o prazo da primeira prestação for diferente do período das demais prestações. Caso o período singular seja maior que o período das prestações a anuidade é postecipada; se o período singular for menor que o período das prestações a anuidade é antecipada. Durante o período singular o capital financiado rende juros simples ou compostos, e a HP-12C está preparada para resolver direto problemas nos dois casos: se for juros simples o “c” terá que ser desativado e se for juros compostos o “c” terá que ser ativado (a seqüência STO e EEX ativa ou desativa o “c”). Respeitadas as condições acima, a entrada de dados é feita normalmente, alterando somente o valor de “n”, cujo valor é: n = nº de prestações + __nº de dias do período singular__ nº de dias do período da prestação Exemplo: 1) Um imóvel que custa R$90.000,00 será pago em 5 prestações mensais, taxa de 3% a m., vencendo a primeira prestação 10 dias após a compra. Calcular a prestação sabendo que
durante o período singular os juros serão calculados pelo regime simples. Teclado f FIN 90000 CHS PV 3 i 5 ENTER 10 ENTER 30 ÷ + n Teclado
Visor 0,00 -90.000,00 3,00 5,00 10,00 5,3333 Visor
Explicação limpa as teclas financeiras valor financiado em PV. registra a taxa em i (registra em “n” o cálculo: ( 5 + 10÷30 ( Explicação
36 STO EEX
5,3333
desativa o “c”, se estiver ativado g BEG 5,3333 condiciona a calculadora para anuidade antecipada (regime simples) PMT 19.270,32 valor da prestação. Outra resolução seria o cálculo de FV durante os 6 dias, e em seguida a prestação registrando o montante em PV, tratando a anuidade como antecipada. Teclado Visor Explicação F FIN 0,00 limpa as teclas financeiras 90.000,00 CHS PV -90.000,00 registra o valor financiado 3 ENTER 12 x i 36,00 registra a taxa anual em i. 10 n 10,00 registra o nº de dias f INT 900,00 calcula o juros simples. + 90.900,00 calcula o montante simples. F FIN 90.900,00 limpa as teclas financeiras CHS PV -90.900,00 registra o montante, agora 3 i 3,00 capital financiado em PV 5 n 5,00 nº de prestações. g BEG 5,00 condiciona a calculadora para anuidade antecipada STO EEX 5,00 desativa o “c” se estiver ativado (regime simples). PMT 19.270,32 valor da prestação 2) Um empréstimo de R$20.000,00 será pago em 10 prestações mensais, à taxa de 4% a m., vencendo a primeira 43 dias após o empréstimo. Calcular a prestação sabendo que durante o período
singular o capital rende juros compostos. Teclado F FIN 20000 CHS PV 4 i 10 ENTER 13 ENTER 30 ÷ + g END STO EEX PMT
Visor 0,00 -20.000,00 4,00 10,00 13,00 0,433333 10,433333 10,403030 10,403030 2.508,09
Explicação limpa as teclas financeiras registra o principal e PV registra a taxa e i (cálculo de 10+13÷30: (entra co 13 (divide 13 por 30 (soma com 10 condiciona para anuidade postecipada ativa o “c”se preciso. calcula a prestação.
Outra solução seria o cálculo do FV durante os 13 dias, e em seguida registrando o montante em PV, tratando a anuidade como postecipada. Teclado Visor Explicação F FIN 0,00 limpa as teclas financeiras 20000 CHS PV -20.000,00 registra o principal e PV Teclado Visor Explicação
37 4 i 4,00 13 ENTER 30 ÷ n 0,433333 STO EEX 0,433333 FV 20.342,82 CHS PV -20.342,82 10 n 10,00 0 FV 0,00 g END 0,00 PMT
2.508,09
registra a taxa em i fração de período em n ativa o “c”se necessário calcula o montante composto registra o valor e PV nº de prestações em n zera a memória FV condiciona para postecipada, se necessário calcula a prestação
PAGAMENTO–BALÃO: Em muitos casos as prestações são insuficientes para liquidar um financiamento,sendo necessário um pagamento adicional chamado pagamento-balão. Esse pagamento normalmente é efetuado no final do financiamento, junto com a última prestação. Exemplo: 1) Um veículo cujo preço a vista é R$26.500,00, será pago em 15 prestações mensais de R$2.170,63, taxa de 3,5% a m., a primeira no ato da compra. Calcular, se for necessário, o valor de um pagamento adicional junto com a última prestação (pagamento-balão), e também o valor desse pagamento-balão, se efetuado um período após a ultima prestação? Teclado Visor Explicação F FIN 0,00 limpa as teclas financeiras 26500 CHS PV -26.500,00 registra em PV 15 n 15,00 nºde prestações em n 3,5 i 3,50 registra a taxa em i g BEG 3,50 condiciona para anuidade antecipada 2170,63 PMT 2.170,63 registra a prestação em PMT FV 1.047,03 pagamento-balão junto co a última prestação RCL i 3,50 recupera a taxa % 36,65 calcular o juro de um + 1.083,67 pagamento-balão um período após a última prestação Outra forma de resolver seria descapitalizar as prestações, subtrair do valor a vista e calcular o FV do resultado, zerando a memória PMT. Teclado Visor Explicação f FIN 0,00 limpa as teclas financeiras 2170,63 CHS PMT -2.170,63 registra a prestação em PMT 3,5 i 3,50 registra a taxa e i 15 n 15,00 nº de prestações em n PV 25.875,04 capital financiável 26500 x>
38 CHS PV 0 PMT FV
-624,96 0,00 1.047,03
registra a diferença em PV limpa a memória PMT pagamento-balão junto com a última prestação
CÀLCULO DO NÚMERO DE PRESTAÇÕES : Como a HP-12C não calcula n fracionário, arredondando para mais, o resultado encontrado para n tem que ser testado pressionando-se FV ; se o resultado for zero ou aproximadamente n está certo; caso contrário o procedimento zero, o valor de tem que ser como no exemplo abaixo: Exemplo: Desejo comprar um carro cujo preço a vista é R$38.000,00. O meu carro foi avaliado em R$12.000,00. A taxa da concessionária é 2,9 % a m., sendo o saldo restante financiado em prestações de R$850,00, máximo que eu posso pagar mensalmente, taxa de 2,9 % a m.. Preciso saber: 1 – se eu pagar a 1ª prestação no ato da compra, e se necessária uma parcela final no fim do financiamento junto com a última prestação, quantas prestações eu pagarei e qual será o valor dessa parcela? E se essa parcela complementar for paga um mês após a última prestação normal, quanto totalizará? 2 – se eu pagar a 1ª prestação um mês após a entrada e o saldo restante junto com a última, quantas parcelas eu pagarei e quanto pagarei além da última? E se eu pagar essa parcela um mês após a última, em quanto importará? Resolução do item 1: Teclado Visor Explicação F FIN 0,00 limpa as teclas financeiras 26000 CHS PV -26.000,00 valor financiado em PV 850 PMT 850,00 registra a prestação em PMT 2,9 i 2,90 registra a taxa em i g BEG 2,90 condiciona para anuidade antecipada n 70,00 calcula o nº de prestações FV -615,19 calcula FV indicando que nº de prestações não é 70. n 69,00 nº certo de prestações em n FV 252,15 pagamento-balão junto com a última prestação RCL i 2,90 recupera a taxa % 7,31 juro de um período + 259,46 pagamento-balão um período após a última prestação Resolução do item 2: Teclado Visor Explicação F FIN 0,00 limpa as teclas financeiras 26000 CHS PV -26.000,00 valor financiado em PV 850 PMT 850,00 registra a prestação em PMT 2,9 i 2,90 registra a taxa em i Teclado
Visor
Explicação
39 g END n FV 76 n FV RCL PMT + RCL
FV
RCL i % +
2,90 77,00 -602,46 76,00 240,57 1.090,57 240,57 2,90 6,98 247,54
condiciona a calculadora para anuidade postecipada calcula o nºde prestações. calcula FV indicando que o nºde prestações não é 77 nº certo de prestações em n valor do pagamento-balão total a pagar: prestação mais pagamento-balão. recupera pagamento-balão em FV recupera a taxa juro de um período pagamento-balão um período após a última prestação
Problemas: 1- Quanto acumularia um investidor no fim de 12 meses, se depositasse no fim de cada mês, R$50.000,00 em uma instituicão financeira que pagasse juros à taxa de 14% a.m.? R. R$1.363.537,44 2- Um cliente fez um CDC para financiamento de R$35.000,00, a taxa de 22%a.m., em 8 prestações mensais. Quanto pagará por mês? R. R$9.670,46. 3-Um eletrodoméstico que custa a vista R$4.235,00 foi anunciado para pagamento em 5 prestações mensais iguais, a primeira paga no ato da compra,sendo a taxa 8.538,056% a.a. Calcular o valor da prestação e construir o quadro correspondente a evolução dos pagamentos? R. R$1.557,26 4-Para comprar um carro novo que custa R$70.000,00, uma pessoa recebeu R$36.000,00 de crédito pelo seu carro usado. A firma vendedora estabeleceu a prestação mensal de R$4.500,00 em 12 meses, de acordo com a renda do comprador, à juros compostos de 600% a.a.. Houve necessidade de entrada em dinheiro? De quanto? R. Sim. R$12.090,32. 5- Afim de remodelar sua loja, o proprietário consegue um empréstimo de R$2.000.000,00, a juros de 36% a.a., a ser pago em 8 prestações anuais durante 8 anos, o primeiro daqui a 1 ano.Achar: o custo anual da dívida, o saldo devedor após o 6º pagamento e a parcela de capital da 4ª prestação? R. R$787.268,48; R$1.004.516,44; R$169.210,89. 6 -Preciso dispor em 31.12.90 de R$500.000,00. Quanto precisarei depositar em caderneta de poupança em 01.01.90, supondo-se que os juros serão de 6% a.a., as capitalizações trimestrais, sendo a correção monetária média mensal 1,18%? R. R$409.758,56 7 -O preço a vista de um carro é R$30.000,00, com R$15.000,00 de entrada e o restante 6 meses após, a 12% a.a. mais correção
40 monetária. Sabendo que as correções dos dois trimestres foram 28% e 32% respectivamente, calcular o valor a pagar da 2ª parcela? R. R$26.821,57. 8 -O preço a vista de um imóvel é R$170.000,00. A revendedora exige 30% como entrada, financiando o saldo em 18 prestações, a primeira paga no fim do sétimo mês. Sabendo-se que a taxa de juros da agência é 36% a.m., qual o valor de cada prestação? R. R$272.145,15 9 – Se eu investir R$1.500,00 no início de cada mês durante 2 anos, à taxa de 3,5% a.m., quanto receberei de montante no fim do prazo? R.: R$56.924,79 10 – Um empréstimo de R$1.000.000,00 deverá ser saldado em 4 prestações semestrais, vencendo-se a primeira 180 dias após a sua concessão. Sabendo-se que a taxa de juros contratada foi de 12% a a., calcular o valor da prestação? R. R$287.469,25 11 – Calcular o valor da prestação para aquisição de um equipamento cujo preço a vista é de R$50.000,00, a ser pago em 6 prestações mensais consecutivas, vencendo-se a primeira 36 dias após a compra. A taxa é de 7% a m. e durante o período singular o capital rende juros compostos. Obs. Período singular é quando o vencimento da primeira prestação ocorre num período diferente do período da prestação. R. R$10.632,70 12 – Na aquisição de móveis no valor de R$130.000,00, a loja cobrou 6 prestações de R$ 28.759,29, vencendo a primeira 50 dias após a compra. Sabendo que durante o período singular foram cobrados juros simples, calcular a taxa da operação? R. 7,2% a m. 13 – Qual o valor do empréstimo a ser amortizado em 10 prestações mensais de R$27.966,03, vencendo-se a primeira cinco dias após a assinatura do contrato? Considere a taxa de 8 % ao mês e durante o período singular o capital rendendo juros simples? R. R$200.000,02 14 – Um veículo no valor de R$35.000,00 foi adquirido, sem entrada, em cinco prestações mensais, vencendo-se a primeira sete dias após a compra.Sendo a taxa 101,2196% a a. e o capital rendendo juros compostos durante o período singular, calcular o valor da prestação? R.7.945,86 15 – Mercadorias no valor de R$50.000,00 deverão ser pagas em 8 prestações mensais de R$6.833,50, sendo a primeira de entrada. Considerando a taxa de 6% a m., calcular o valor do pagamentobalão no final do oitavo mês? R. R$8.000,00 16 – Calcular o valor de cada termo de uma renda postecipada, cujo montante é R$2.000.000,00à taxa periódica de 5,5% ao mês, constituída de 15 termos? R. R$89.251,20
41 17 – Um executivo prevendo sua aposentadoria, resolve efetuar durante 2 anos, depósitos mensais iguais, no início de cada mês, à taxa de 4% ao mês. Esse pecúlio deverá permitir 10 retiradas semestrais de R$800.000,00, ocorrendo a primeira retirada 2 anos após o último depósito. De quanto devem ser os depósitos mensais? R. R$33.137,40 18 – Deve-se acumular R$500.000,00 num fundo, por meio de depósitos de R$40.000,00, no início de cada trimestre. Se o fundo rende 4% ao mês, compostos trimestralmente, calcular o número de depósitos e o depósito final que será necessário, se for o caso? R. 7 e R$48.012,27 19 – Um empréstimo de R$250.000,00 será quitado em 12 prestações mensais, vencendo-se a primeira um mês após a concessão. Considerando a taxa de juros de 125,2192% a a. e o pagamentobalão de R$25.000,00, juntamente com a última prestação, calcular o valor da prestação? R. R$30.077,95 20 – Quantas prestações mensais de R$6.633,39 são necessárias para amortizar um empréstimo de R$50.000,00, à taxa de 5,5% a m., sendo a primeira paga 30 dias após o contrato? Calcular também o valor da última prestação, se for diferente das demais? R. 10. 21 – Um empréstimo de R$150.000,00, negociado à taxa de 6,5% a m. será pago em promissórias mensais de R$20.000,00 cada uma, vencendo-se a primeira no ato da assinatura do contrato. Calcular o número de promissórias iguais, bem como o valor do pagamentobalão? R. n = 9 e FV = R$14.497,11 22 – Iniciei uma caderneta de poupança depositando R$5.000,00 e comprometendo-me a efetuar mais 24 depósitos mensais de R$1.500,00, o primeiro da série efetuado 6 meses da abertura da conta. Sabendo que a taxa média mensal é 8%, qual será o saldo da minha caderneta de poupança se eu não fizer nenhuma retirada passados 5 anos? R$1.594.651,32
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Exercícios de recapitulação - capítulo I ao V: Efetuar: 1- x=4,35x[(42,6x3,14)–18,32]–121,34 R. 380,84 ___ 87 (360/ ) 2- x=5x( \/ 250) R. 18,99
42 3- Converter à notação científica: 3.956.879.677 9 R. 3,956879 09 que corresponde a 3,956879x10 12 24 4- Efetuar: (3,76x10 )x(4,26x10 ) R. 1,601760 37 5- Um empregado recebe R$2.500,00 de salário base mais 15% de horas extras. Do total é descontado 7,2% de INSS. Pergunta-se: a) Qual o seu salário bruto? b) Quanto recebe de horas extras? c) Quanto desconta de INSS? d) Qual o seu salário líquido? R. R$2.875,00; R$375,00; R$207,00; R$2.668,00 6- Uma determinada mercadoria que custava R$247,85 sofreu aumento, passando a custar R$301,28. Qual foi o percentual de aumento? R. 21,56% 7- Uma carteira é constituída de títulos, sendo: R$10.000,00 da empresa A, R$18.000,00 da empresa B, 11.500,00 da empresa C e R$3.200,00 da empresa D. Qual o percentual aplicado em cada empresa em relação ao total? R. 23,419%; 42,155%; 26,932% e 7,494% 8- Uma pessoa aplicou em poupança durante três meses, obtendo as seguintes taxas mensais de juros: 0,97%, 1,26% e 1,01%. Calcular a taxa total do período? R. 3,275% 9- Um construtor obteve um empréstimo para pagamento em 25 prestações mensais de R$20.000,00, sendo 1% a.m. a taxa de juros. Calcular que amortização extraordinária deverá ele fazer juntamente com a 6ª prestação, se desejar abreviar de 1 ano o prazo de pagamento do empréstimo? R. R$209.956,27. 10- Quantos dias decorreram, no ano civil e no comercial, entre 02.11.1998 e 31.03.2001, e que dia da semana foi o dia 31.03.2001? R. 880 dias; 869 dias; sábado 11- Uma pessoa propões comprar um eletrodoméstico com a seguinte forma de pagamento: 5 prestações mensais iguais de R$550,00, a primeira vencendo daqui a 90 dias, e mais um pagamento-balão junto com a última prestação, de R$700,00. Qual seria o preço a vista desse eletrodoméstico, se a taxa de juros da loja é 6,5% ao mês? R. R$2.465,60 12- Uma dívida de R$10.000,00 será paga em 100 prestações mensais sucessivas.O vencimento da primeira prestação será um mês após a dívida ter sido contraída, e os juros serão de 3% a.m.. Se a amortização é pelo Sistema francês, qual será o valor da 25ª prestação? R. R$316,47
43 13- Se depositarmos no prazo de 18 meses, sempre no fim de cada mês, R$1.000,00 durante os 6 primeiros meses, R$2.000,00 durante os 6 meses seguintes, e R$3.000,00 durante os últimos 6 meses, qual o montante a ser obtido no fim do prazo, considerando que os depósitos rendem 3% a.m.? R.R$44.074,00 --------xxxxxxxxx---------
VI - FLUXOS DE CAIXA: VALOR PRESENTE, VALOR PRESENTE LIQUIDO E TAXA INTERNA DE RETORNO. Descontar um FLUXO DE CAIXA é determinar seu valor atual ou valor presente. Consiste no cálculo dos valores na data de hoje, a uma taxa de desconto, das importâncias futuras do FLUXO DE CAIXA. Ex.: Calcular o valor presente do fluxo de caixa abaixo, a taxa de desconto de 18% a.m.? 0________1________2________3 | | | | | | 3.000,00 v | | | v 3.500,00 4.000,00 v PV
=
3.000
+
1 (1 + 0,18)
PV
=
4.000, 2 (1 + 0,18)
+
3.500
. 3 (1 + 0,18)
R$ 7.545,32
Observação:Se os valores futuros do FLUXO DE CAIXA forem iguais, o seu valor atual também pode ser calculado como sendo uma anuidade. APLICAÇÃO DA CALCULADORA:O cálculo do valor presente e da taxa de retorno, que será estudada adiante, envolve as seguintes funções:
NPV CFo CFj Nj
- função amarela, calcula o valor presente de até 20 20 fluxos de caixa distintos. Seu valor é guardado em PV (automaticamente). - função azul, registra o fluxo de caixa inicial em R0 - função azul, registra os fluxos em R1 a R9, R.0 a R.9 e FV (caso haja o vigésimo fluxo de caixa). - função azul, permite resolver problemas com fluxos
44
IRR
de caixa iguais armazenando em registradores especiais, até 99 repetições para cada um dos 20. - calcula a taxa interna de retorno (rendimento) para um investimento inicial e até 20 fluxos de caixa distintos, registrados em CFo , CFj e Nj. A taxa interna de retorno é automaticamente guardada em i.
Observações:1- Quando os intervalos não forem iguais, deve-se entrar com zero em CFj para os períodos intermediários, tantas vezes quantas necessárias para tornar os períodos iguais; 2- Os sinais dos fluxos de caixa devem ser respeitados. Exemplos: 1) Uma pessoa abre uma conta em uma instituição financeira que paga juros compostos de 2% a.m. sobre o saldo credor, depositando R$15.000,00. Após 6 meses, necessitando de dinheiro, retira R$7.000,00. Nos dois meses seguintes deposita, sendo R$1.000,00 no primeiro e R$2.000,00 no segundo. 30 dias após o último depósito o correntista efetua um saque de R$5.000,00. Qual o saldo da conta um ano após a abertura? Teclado Visor Explicação f REG 0,00 limpa todos os registradores 15000 g CFo 15.000,00 valor do 1ºdepósito 0 g CFj 0,00 zero para respeitar a seqüência. 5 g Nj 5,00 número de repetições sem pagamento. 7000 CHS g CFj -7.000,00 registra um saque. 1000 g CFj 1.000,00 registra um depósito. 2000 g CFj 2.000,00 registra outro deposito. 5000 CHS g CFj -5.000,00 registra outo saque. 2 i 2,00 registra a taxa. f NPV 7.177,96 valor atual do fluxo ou valor presente. CHS PV -7.177,96 entra o valor atual em PV. 12 n 12,00 entra o número de periodos. FV 9.103,40 saldo da conta um ano depois. 2) Um apartamento foi colocado a venda por R$50.000,00 a vista ou em 2 anos de prazo, com R$30.000,00 de entrada, 12 prestações mensais de R$1.200,00,e mais 12 também mensais de R$1.500,00. Supondo-se que um pretendente queira adquirí-lo e tenha recursos para comprá-lo até mesmo a vista, qual deveria ser a sua opção, se ele aplicasse em um Fundo de Renda Fixa ou Caderneta de Poupança, a uma taxa de 2% a.m.?
45 E T T´ PV
= 30.000,00 = 1.200,00 = 1.500,00 = 50.000,00
____1____2......11____12_____13_____14.......23_____24 0| | | | | | | | | | | | | | | | | | | v v v v | | | | v E PMT PMT PMT PMT | | | | | v v v v v PV PMT´ PMT´ PMT´ PMT´
30.000 1.200 12 1.500 12 2
Teclado f REG g CFo g CFj g Nj g CFj g Nj i f NPV
Visor 0,00 30.000,00 1.200,00 12,00 1.500,00 12,00 2,00 55.198,29
Explicacão limpa os registradores. registra a entrada. registra o 1ºfluxo repete o nºde fluxos iguais. registra 2º fluxo repete o nºde fluxos iguais. taxa periódica. calcula o valor presente.
Comparando os valores a vista (50.000,00) e o valor presente (55.198,29), conclui-se que o apartamento deve ser comprado a vista. Observações:1- Se a taxa fosse 4% a.m.: Teclado Visor Explicação 4 i 4,00 registra a taxa. f NPV 50.054,92 valor presente. Nesse caso conclui-se ser indiferente comprar a vista ou a prazo. 2- Se a taxa fosse 6% a.m. : Teclado Visor Explicação 6 i 6,00 registra a taxa. f NPV 46.310,38 valor presente. Nesse caso a melhor opção seria a compra a prazo. CÁLCULO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO: É a soma algébrica dos valores atuais dos diversos valores futuros de um fluxo de caixa, deduzindo da soma o valor existente na data zero. A TAXA INTERNA DE RETORNO é a taxa que torna igual a zero o VALOR PRESENTE LÍQUIDO.
46 Ao se fazer um investimento é comum compararmos a Taxa de Retorno com a taxa que escolhemos como mínima. Essa taxa desejada como mínima é chamada TAXA DE ATRATIVIDADE. Se o NPV (Valor Presente Líquido) for zero, a Taxa de Retorno é igual a taxa desejada para o investimento, satisfazendo assim ao investidor; se NPV for positivo, a Taxa de Retorno é maior que a taxa de atratividade, superando a taxa desejada pelo investidor; se NPV for negativo, a Taxa de Retorno é menor que a taxa de atratividade, não sendo o investimento interessante. Conclui-se que o melhor investimento é o que apresentar maior NPV. Exemplo: Um empréstimo de R$25.000,00 foi contraído para ser pago em 3 parcelas. A 1ª, de R$10.000,00, vencível 4 meses; a 2ª, de R$15.000,00, a ser paga 2 meses após a primeira; e a 3ª de R$12.000,00, vencível no fim de 9 meses de contraído o empréstimo. Considerando a taxa de atratividade 4,5% a m., calcular o NPV? ^ 25.000,00 | | | |__1__2__3__4__5__6__7__8__9 0 | | | | | | | | v 12.000,00 10.000,00 v | v 15.000,00
25.000 0 3 10.000 0 15.000 0 2 12.000 4,5
Teclado f REG CHS g CF 0 g CFj g Nj g CF j g CFj g CF j g CFj g Nj g CF j i f NPV
Visor 0,00 -25.000,00 0,00 0,00 10.000,00 0,00 15.000,00 0,00 0,00 12.000,00 4,50 2.978,90
Explicação limpa as memórias. registra o fluxo inicial registra zero 3 repetições registra o 2º fluxo. registra zero registra o 3º fluxo. registra zero 2 repetições. registra o 4º fluxo. registra a taxa.
TAXA INTERNA DE RETORNO DE UM FLUXO DE CAIXA:É a taxa que iguala o valor atual dos pagamentos com o valor atual dos recebimentos, ou seja, e a taxa que zera o valor presente do FLUXO DE CAIXA (PV = 0), respeitados os sinais convencionados. A TAXA DE RETORNO é normalmente obtida pelo processo das tentativas, isto é, arbitra-se uma taxa de desconto e calcula-se o valor atual do fluxo para essa taxa. Se PV = 0 ,
47 a taxa utilizada para desconto e a TAXA DE RETORNO; se PV =/= 0 , tenta-se outra taxa, repetindo-se o processo. Considerando que, na medida que se aumenta a taxa de desconto os valores atuais calculados vão diminuindo de valor, e sendo o problema chegar a uma taxa que faça PV = 0 , e possivel achar esse resultado aproximado, fazendo-se uma interpolação entre duas taxas que delimitam o valor procurado. Ex.: Um empréstimo de R$1.800.00 será liquidado em 4 prestações trimestrais: 1 de R$450,00, 2 de R$600,00 e 1 de R$800,00. Calcular a taxa interna de retorno? 1.800,00 ^ | | | | 0|_______1________2________3________4 | | | | | | | | 450,00 v | | | 600,0 v 600,00 v | 800,00 v RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA:Teclado Visor f REG 0,00 1800 CHS g CFo - 1.800,00 450 g CFj 450,00 600 g CFj 600,00 2 g Nj 800 g CFj f IRR
2,00 800,00 12,38
Explicação limpa os registradores valor do empréstimo. primeiro pagamento segundo e terceiro pagamentos repetições quarto pagamento taxa interna de retorno trimestral
Exercício resolvido:Um equipamento foi colocado a venda por R$60.000,00 a vista ou R$30.000,00 de entrada e 19 prestações, sendo 15 mensais de R$7.500,00 intercaladas com 3 semestrais de R$10.000,00, no sexto,décimo segundo e décimo oitavo mês, mais uma parcela complementar de R$15.000,00 a ser paga 60 dias após a última. Sabendo-se que um pretendente tem recursos para comprar o equipamento mesmo a vista, qual será a melhor opção, se o seu dinheiro está aplicado a taxa média de 246,28260% a.s.?
48
0 1 2.....5 6 7....11 12 13....17 18...20 .___.___._____.___.___.____.____.____._____.____.____. | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | v v v | v v | v v | | | PMT PMT PMT ! PMT PMT | PMT PMT | | | v v v | | PMT´ PMT´ PMT´ v v PMT´´ E E = 30.000,00; PMT = 7.500,00; PMT’= 10.000,00; PMT’’= 15.000,00. RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA:1- Cálculo do valor presente:Teclado Visor f REG 0,00 30000 g CFo 7500 g CFj 5 g Nj 10000 g CFj 7500 g CFj 5 g Nj 10000 g CFj 7500 g CFj 5 g Nj 10000 g CFj 0 g CFj 15000 g CFj 246,2826 ENTER 100 ÷ 1 + 6 1/x x y 1 100 x i f NPV
15.000,00 246,2826 2,462826 3,462826 0,166667
Explicacão limpa as memórias e o visor registra a entrada em R0. registra a 1a. série em R1. nº de repetições parcela sem. em R2. registra a 2a.série em R3. número de repetições. parcela sem. em R4 registra a 3a. série em R5. número de repetições. parcela semestral em R6 registra 0 em R7 para respeitar a sequência mensal de períodos. última parcela em R8. taxa semestral taxa unitária semestral. calcula 1 + i calcula o inverso de 6.
1,23 0,23 23,00 23,00 63.052,81
1 + i da taxa mensal taxa unitária mensal taxa percentual mensal. taxa mensal em i. valor presente.
30.000,00 7.500,00 5,00 10.000,00 7.500,00 5,00 10.000,00 7.500,00 5,00 10.000,00 0,00
Conclusão:A comparação dos valores faz optar pela compra a vista. 2- Cálculo do valor presente liquido:Basta, em continuação, efetuar:
49
Teclado 60000 ENTER 30000 CHS STO 0 f NPV
Visor 60.000,00 30.000,00 -30.000,00 3.052,81
Explicação entra com o valor a vista. subtrai a entrada. altera o valor em R0, de acordo com o sinal do fluxo de caixa. valor presente líquido
Conclusão:Como R$3.052,81 > 0, ou seja, NPV > 0, observa-se que se fosse investimento para receber as parcelas citadas, o investimento seria atraente porque a taxa de atratividade seria superior a taxa do problema (23% a.m.),considerada taxa minima de atratividade a taxa oferecida pelo mercado para uma aplicacão de capital. Observação importante:O valor presente ou valor atual também poderia ser calculado pelas anuidades, considerando o desdobramento de cada parcela semestral de R$10.000,00 em uma normal mensal de R$7.500,00 e uma semestral do complemento de R$2.500,00. Teclado Visor Explicação f FIN 0,00 limpa os registradores financeiros 7500 CHS PMT -7.500,00 registra a prestação. 18 n 18,00 registra nºde prestações 23 i 23,00 registra a taxa mensal. g END 23,00 condiciona para pagamentos postecipados. PV 31.823,39 valor atual das 18 parcelas R$7.500,00. f FIN 31.823,39 limpa os registradores financeiros 2500 CHS PMT -2.500,00 complemento da parcela sem. de R$10.000,00 246,2826 i 246,2826 taxa semestral em i. 3 n 3,00 número de prestações. PV 990,65 valor atual das três parcelas de R$2.500,00 + 32.814,03 soma o valor atual das parcelas de R$7.500,00 com as 3 parcelas de R$2.500,00. f FIN 32.814,03 limpa os registradores financeiros. 15000 FV 15.000,00 registra a ultima parcela 3 i 23,00 registra a taxa em i. Teclado 20 n
Visor 20,00
Explicação registra o número de
50
PV
-238,78
CHS +
33.052,81
30000
+
63.052,81
períodos (meses). valor atual da parcela de R$15.000,00 soma R$32.814,03 com R$238,78. soma com a entrada, resultando no valor presente desejado.
2- Cálculo da taxa interna de retorno:Teclado Visor Explicação f REG 0,00 limpa os registradores e o visor 60000 ENTER 60.000,00 entra com o valor a vista. 30000 30.000,00 subtrai a entrada. CHS g CFo -30.000,00 registra em R0 o valor financiado c/sinal trocado 7500 g CFj 7.500,00 primeira série em R1. 5 g Nj 5,00 número de repetições. 10000 g CFj 10.000,00 registra a primeira parcela semestral em R2. 7500 g CFj 7.500,00 segunda série igual em 5 g Nj 5,00 número de repetições 10000 g CFj 10.000,00 registra a segunda parcela semestral em R4 7500 g CFj 7.500,00 registra a terceira série igual em R5. 5 g Nj 5,00 registra o número de repetições. 10000 g CFj 10.000,00 registra a terceira parcela semestral em R6. 0 g CFj 0,00 0 em R7 para respeitar a seqüência de períodos 15000 g CFj 15.000,00 última parcela em R8 f IRR 25,43 taxa interna de retorno Conclusão:A taxa que iguala o valor atual dos recebimentos ao valor atual dos pagamentos é 25,43% a.m., ou seja, a essa taxa seria indiferente comprar a vista ou a prazo. Como a taxa mínima de atratividade do nosso problema é 23% a.m.,a compra a vista e a alternativa vantajosa porque a taxa de retorno e maior que essa taxa mínima. Verificações e alterações:1- Cada memória registra o valor de um fluxo, na ordem R0 a R9, R.0 a R.9 e FV; 2- Para conferir as entradas dos fluxos de caixa, pressionar RCL seguido do número do registrador (memoria) que contem o fluxo desejado; outra maneira de acessar o fluxo, é digitar o numero do
51 registrador, fixa-lo em n , pressionando em seguida RCL g CFj; Ex.: RCL 0 ---> 30.000,00 ou 0 n RCL g CFJ ---> 30.000,00 RCL 3 ---> 7.500,00 ou 3 n RCL g CFJ ---> 7.500,00 RCL 7 ---> 0,00 ou 7 n RCL g CFJ ---> 0,00 RCL 8 ---> 15.000,00 ou 8 n RCL g CFJ ---> 15.000,00 3-Para conferir os valores dos fluxos, estando em n o número de fluxos sem considerar as repetições (8) pressionar RCL g CFj seguidamente. Eles aparecerão na ordem inversa, do último até o primeiro; Ex.: RCL g CFj -----> 15.000,00 RCL g CFj -----> 0,00 RCL g CFj -----> 10.000,00 RCL g CFj -----> 7.500,00 RCL g CFj -----> 10.000,00 RCL g CFj -----> 7.500,00 RCL g CFj -----> 10.000,00 RCL g CFj -----> 7.500,00 RCL g CFj -----> 30.000,00 4- Para conferir o número de repetições de um fluxo de caixa, digitar e fixar em n o número do registrador onde está o valor do fluxo, e pressionar RCL g Nj; Ex.: 0 n RCl g Nj -----> 1 1 n RCL g Nj -----> 5 4 n RCL g Nj -----> 1 7 n RCL g Nj -----> 1 5-Para conferir o número de repetições e os valores dos fluxos (Nj e CFj), estando em n o número de fluxos sem considerar as repetições (8) ,pressionar repetidamente RCL g Nj , RCL g CFj. A apresentação no visor aparecerá também na ordem inversa, do último até o primeiro; Ex.: RCL g Nj -----> 1 , RCL g CFj -----> 15.000,00 RCL g Nj -----> 1 , RCL g CFj -----> 0,00 RCL g Nj -----> 1 , RCL g CFj -----> 10.000,00 RCL g Nj -----> 5 , RCL g CFj -----> 7.500,00 RCL g Nj -----> 1 , RCL g CFj -----> 10.000,00 RCL g Nj -----> 5 , RCL g CFj -----> 7.500,00 RCL g Nj -----> 1 , RCL g CFj -----> 10.000,00 RCL g Nj -----> 5 , RCL g CFj -----> 7.500,00 RCL g Nj -----> 1 , RCL g CFj -----> 30.000,00 6- Para alterar o valor de um fluxo, digitar o seu novo valor, e após, STO seguido do número do registrador. A alteração se fará por superposição; Ex.:Teclado Visor Explicação 2800 STO 1 2.800,00 substitui o valor R$ 7.500,00 pelo digitado, mantendo a quantidade 5. 12500 STO 8 12.500,00 substitui o valor R$15.000,00 pelo digitado.
52 7- Para alterar o número de repetições de um fluxo, digitar em n o número do registrador (memória) do fluxo, digitar o novo número de vezes do fluxo, e pressionar g Nj; Ex.: 2 n 15 g Nj ----->altera o número de repetições do fluxo R$10.000,00, de 1 para 15. 8 n 16 g Nj ----->altera o número de repetições do fluxo R$15.000,00, de 1 para 11. Atenção:Sempre que n for alterado, recomponha-o após, com o número original de fluxos, sem contar o CFo. Caso não seja feito, os cálculos de NPV e IRR resultarão errado. Problemas:1- Um automóvel foi comprado com R$35.000,00 de entrada, 18 prestações mensais de R$3.000,00, e uma prestação complementar 1 mês após a última, de R$18.000,00. Sabendo que a taxa de financiamento foi 20% a.m., calcular o valor a vista desse automóvel? R. R$50.000,00 2- Uma pessoa está interessada em adquirir um terreno anunciado com as seguintes condições: R$120.000,00 a vista ou R$70.000,00 de entrada, mais 12 prestações de R$5.000,00 e 13 prestações de R$8.000,00, todas mensais. Qual a melhor opção: comprar a vista ou comprar a prazo aplicando o dinheiro a 1,5% a.m.? R. Comprar a vista. 3- Um empréstimo de R$22.000,00 será liquidado em 3 prestações mensais e sucessivas de R$12.000,00, R$5.000,00 e R$8.000,00. Calcular o valor presente liquido, sendo a taxa de juros de 7% a.m.? R$112,53. 4- Um automóvel foi financiado em 18 prestações mensais iguais e sucessivas de R$5.000,00, com 3 prestações semestrais de R$65.000,00, R$85.000,00 e R$105.000,00. Calcular o valor financiado, sabendo que a taxa da Financeira é 12% a.m.? R. R$104.650,91 PMT= 5.000,00; PMT’= 65.000,00; PMT’’= 85.000,00; PMT’’’ = 105.000,00 ____1____2______5____6____7_____11____12____13______17_____18 0| | |......| | |......| | |.......| | | | | | | | | | | | | | v v v v v v v v v v | PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT | | | | | v v v PV v PMT´ PMT´´ PMT´´´
53
5-Um equipamento que custa R$15.000,00 foi financiado para pagamento em 8 prestações mensais: as 3 primeiras de R$2.000,00, as 3 seguintes de R$800,00, a 7a. de R$3.000,00 e a 8a. de R$5.000,00. Determinar a taxa interna de retorno dessa operação? R. 1,757733% a.m. 6- Uma pessoa levantou um empréstimo de R$300.000,00 para ser pago em duas parcelas: a primeira de R$200.000,00 vencível em 140 dias e a segunda de R$250.000,00 a ser paga em 220 dias. Qual a taxa mensal de juros da operação? R. R$480.000,00 7- Um empréstimo foi levantado para ser pago, sem entrada, em 1 ano, sendo 12 prestações mensais de R$15.000,00 e mais 4 pagamentos trimestrais de R$25.000,00 cada um. Considerando a taxa de juros de 9% a.m., qual o valor do inicial do empréstimo? R. R$162.021,21 8– Um empréstimo foi conseguido para ser pago, sem entrada, em 10 prestações mensais de R$8.000,00. Junto com as prestações serão feitos 3 pagamentos trimestrais de R$30.000,00, o primeiro 90 dias após a assinatura do contrato. Calcular o valor do empréstimo sendo a taxa de juros 4%a.m.? R. R$136.344,09 9- Uma empresa para adquirir uma determinada máquina investirá R$48.000,00. Esse investimento gerará receitas anuais de R$18.000,00 durante os próximos 4 anos, e gastos de manutenção de R$3.000,00. Admitindo o custo de oportunidade anual de 6,5%, calcular o valor presente líquido desse investimento. R.: VPL = R$3.386,98 10- Calcular o valor presente líquido de um investimento de R$35.000,00 que gerará receitas nos valores de R$18.000,00 e R$26.000,00, nos prazos de 25 dias e 60 dias, respectivamente, sendo a taxa de atratividade 4,5% a.m.,. R.: VPL = R$6.160,69 11- Um empresário estuda um investimento de R$32.000,00, com receitas mensais sucessivas de R$10.000,00, R$12.000,00 e R$14.000,00, sendo a taxa 5% a.m.. O empresário deve fazer esse investimento? R.: Sim, porque a taxa de retorno é 5,79% a.m. > 5,00% a.m. 12– Uma pessoa tem as seguintes alternativas para um investimento de R$800.000,00: a)receber o retorno de R$1.000.000,00 no fim de 2 anos; b)receber dois pagamentos anuais no valor de R$475.000,00 cada; c)receber quatro pagamentos semestrais de R$230.000,00 cada; d)receber 24 pagamentos mensais de R$38.000,00 cada. Calcular a melhor alternativa, sabendo que a taxa mínima de atratividade é de 12% a.a. R. Alternativa “d” porque apresenta o maior valor atual. 13– Um empresário dispõe de duas propostas para a compra de uma determinada máquina que lhe dará uma receita anual de R$750.000,00. A primeira de custo inicial de R$960.000,00, custos
54 operacionais anuais de R$435.000,00, valor residual nulo e vida útil de 4 anos. A segunda de custo inicial R$1.597.893,85, valor residual de R$300.000,00, vida útil de 6 anos e receitas operacionais de R$315.000,00 no primeiro ano, crescendo R$15.000,00 anualmente até o 6º ano. Determinar a melhor alternativa, sendo a taxa de atratividade mínima de 10% a.a.. R.: A segunda alternativa. R. 1ª proposta: líquido de R$82.772,92; 2ª proposta: ;íquido de R$138.640,58; logo a melhor proposta é a a 2ª por apresentar o maior valor líquido. 14-Uma conta corrente que rende juros compostos de 2% a.m., foi aberta com o depósito no ato da abertura de R$4.000,00. Em seguida teve o seguinte movimento: depósito de R$1.500,00, 3 meses depois; três retiradas de R$2.000,00, R$4.000,00 e R$10.000,00 respectivamente 2, 5 e 6 meses após o ultimo depósito; dois depósitos mensais de R$6.000.00 e R$10.000,00 nos dois meses subsequentes. Qual o saldo da conta 2 anos após a abertura? R. R$7.696,74. 15- Minha conta corrente tem hoje o saldo de R$20.000,00. Nos 5 meses seguintes efetuarei depósitos iguais mensais e no 7º, 8º e 9º meses retirarei R$1.000,00 em cada mês. Sabendo que a taxa de retorno é 8% a.m., calcular o valor de cada um dos 5 depósitos? R. R$5.415,87
VII - PROGRAMAÇÃO:Quando se efetua uma sequência qualquer de cálculos, e essa mesma sequência terá que ser repetida constantemente, como por exemplo, um cálculo completo de uma aplicação em CDB, essa série de operações pode ser gravada na HP-12C do mesmo modo que é executada, chamando-se isso de PROGRAMAR A CALCULADORA. O primeiro passo e passar a calculadora do MODO RUN (normal de cálculo) para o MODO DE PROGRAMACÃO, pressionando f PR , o que ocasiona a o aparecimento no visor de PRGM , indicação que a máquina está em MODO DE PROGRAMAÇÃO. Em seguida pode ser introduzida na memória de programação a sequência de teclas, da mesma maneira como se estivesse calculando no MODO RUN.
Cada dígito ou tecla de função e chamada INSTRUÇÃO, e completada constitui um PASSO ou LINHA DE PROGRAMAÇÃO. Terminada a entrada do programa, pressiona-se IMEDIATAMENTE f PR para voltar a calculadora ao MODO RUN. Observação importante:Nunca deixe a calculadora no MODO DE PROGRAMAÇÃO além do tempo necessário à introdução ou alteração de um programa, porque uma tecla pressionada involuntariamente pode alterar o programa gravado.
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Memória de Programação:Contém inicialmente 8 linhas de programa; a partir da 9a.instrução a 12C automaticamente converte o registrador R.9 em 7 linhas de programa, ou seja, da 9a. até a 15a. linha; ao se introduzir normalmente a 16a. linha, o registrador R.8 será também convertido em mais 7 linhas de programa, e assim por diante até o registrador R7. Desse modo, 13 registradores ( de R.9 ate R7) serão convertidos em linhas de programação, que somadas as 8 linhas iniciais totalizarão 99 linhas de programa, máximo da calculadora. Os registradores R0 a R6 são utilizados para armazenar dados. Na linha 00 nenhuma instrução é gravada. Se o programa terminar até a linha 07 a máquina automaticamente grava na 8a. linha a instrução GTO 00 que significa volta a linha 00. A partir da 9ª linha até a 15ª , da 16ª até a 22ª , da 23ª até a 29ª, resultado da conversão dos registradores R.9, R.8, etc., na linha que terminar o programa, a calculadora completa as demais linhas do registrador correspondente com GTO 00.A linha 00 contém uma instrução que interrompe a execução do programa. Construção e introdução de um programa:Criar um programa consiste em definir, escrever a sequência de teclas, destinando as posições dos dados fixos e variáveis a serem armazenados, introduzir na calculadora e testar para checar os resultados desejados. Quando se introduz um programa na calculadora, cada instrução digitada aparece em código no visor, no seguinte formato: dois algarismos que indicam a linha de programação, dois algarismos que indicam a linha e a coluna da posição da tecla da calculadora, correspondendo o 0 a 10ª linha da máquina. De acordo com a instrução, podem aparecer mais algarismos e também os dígitos numéricos que aparecem nos seus valores. Ex.: 05- 23 linha 05 tecla %T (2ª linha, 3ª coluna); 08- 10 linha 08 tecla – (1ª linha, 10ª coluna); 12- 44 2 linha 12 teclas STO 2 (4ª linha,4ª coluna, 2) 16- 44 40 3 linha 16 teclas STO + 3 (4ª linha,4ª coluna, 4ª linha décima coluna, 3). Teclas importantes na programação:
f P/R f PRGM
- condiciona a calculadora ao modo de programação; - no modo de PROGRAMAÇÃO limpa toda a memória de programação; no modo RUN (de cálculo), calculadora na calculadora na linha 00.
posiciona a
56
g MEM
- mostra no visor o número de linhas utilizadas nos programas e o número de registradores disponíveis. SST - no modo de programação faz a calculadora avançar linha por linha de programação; mantida pressionada avança continuamente. No modo RUN possibilita o acompanhamento,passo a passo,da execução do programa. Mantida pressionada, aparece no visor a linha codificada,e quando liberada, a instrução dessa linha é executada, surgindo no visor o resultado. g BST - no modo de programação, cada vez que for pressionada, a calculadora passa à linha anterior do programa; mantida pressionada, recua continuamente. - inicia a execução de um programa. Como instrução R/S interrompe a execução, só prosseguindo quando for novamente pressionada. Se durante a execução qualquer tecla for pressionada, o programa pára, e só continua se essa tecla for ativada. - no modo de programação faz a calculadora parar cerca g PSE de 1 segundo, continuando após. g GTO.xx- no modo de PROGRAMAÇÃO posiciona a calculadora na linha xx desejada. É importante para introduzir um outro programa ou para modificar um programa já gravado. g GTO xx- no modo RUN posiciona a máquina na linha xx desejada. O visor não se altera, só posicionando internamente. Quando for executado, o programa começará na linha referida. No modo de PROGRAMAÇÃO transfere a continuação para uma linha xx qualquer. Ex.:se na linha 18 a instrução for g GTO 05, toda vez que o programa executar a linha 17 voltará à linha 05. Um desvio pode também ser condicionado a uma situação determinada. Há duas instruções usadas para esses desvios: g x ≤y - um desvio pode ser condicionado a uma situação. Essa instrução compara o conteudo do registrador x com o conteudo do registrador y. g x=0 - compara o conteúdo do registrador x com 0 (zero). Os resultados possíveis das comparações são: 1 – se a comparação for verdadeira, ou seja, se x ≤y (x for menor ou igual a y), ou x=0 (x igual a zero), o programa prosseguirá na linha seguinte; 2 – se a comparação não for verdadeira, ou seja, se x>y (x maior que y), ou x≠y (x diferente de zero), o programa pulará a linha seguinte, prosseguindo na linha subseqüente. Após a linha de comparação pode aparecer uma instrução qualquer, entretanto a mais comum é g GTO xx , como na sequência a seguir:
57
|---------------------| | 01 | ( |---------------------| ) | 02 | Condição ( |---------------------| )Condição verdadeira | 03 g x \< y | ____ falsa ( |---------------------| ) ____ | 04 g GTO 08 | ) ( |---------------------| ) ( | 05 | ____) ( |---------------------| ) ( | 06 | ( |---------------------| ) ( | 07 | ( |---------------------| ) (____ | 08 | (|---------------------| ) | 09 | |---------------------| Ex.: Um comerciante quer aumentar todos os seus produtos em 15%. Criar um programa que calcule os novos preços de venda? Como 15 é um dado fixo deverá ser previamente guardado (STO 0). Teclado Visor Explicação f P/R 00 entra no modo de programação RCL 0 02 - 45 0 chama o dado fixo (15). % 03 - 25 calcula o aumento. + 04 - 40 soma o valor anterior com 15% para calcular o novo preço. Observações: 1-o programa ocupou 4 linhas; 2-grava automaticamente nas linhas 05 a 08, a instrução g GTO 00, provocando o retorno direto à linha 00. Execução do programa:Digitar: 15 STO 0 200 R/S resulta 230,00 (200 + 15% s/200) Outros cálculos: Digitar: 50 R/S resulta 57,50 800 R/S resulta 920,00 Observação importante: O exemplo acima é de um programa simples. Normalmente o programador deve montar um fluxograma antes de escrever o programa, para sua orientação no roteiro dos diversos passos que devem ser seguidos, cujos principais símbolos são:
58
-
inicio ou fim de programa.
-
operação ou definição de função.
-
decisão.
-
entrada de dados.
-
ligação entre segmentos.
Exemplo: Uma empresa vai aumentar os salários de seus empregados do seguinte modo: salário até R$3.000,00 - 95% de aumento; salário entre R$3.001,00 e R$4.500,00 - 70% de aumento; e salário superior a R$4.500,00 - 50% de aumento. Elaborar o programa que calcula os novos salários, respeitando as faixas estabelecidas. Fluxograma:
59
Programa: Teclado f P/R
Visor 00-
RCl 0 x>
01- 45 02- 34 03- 43
0 34
(sim)g GTO 13 (não) RCL 1 x>
04050607-
43.33 13 45 1 34 43 34
(sim)g GTO 17 (não) RCL 4 % + g GTO 00 RCL 2 % + g GTO 00 RCL 3 % + g GTO 00
08091011121314151617181920-
43.33 45 4 25 40 43.33 45 2 25 40 43.33 45 3 25 40 43.33
Execução: 1-
3.000,00.......STO 4.500,00.......STO 95.......STO 70.......STO 50.......STO
0 1 2 3 4
17
00
00
00
Explicação entra no modo de programação chama 3000,00 troca de posição x e y. salário menor ou igual e R$3.000,00. vá a linha 13. chama 4.500,00. troca de posição x e y. salário menor ou igual a R$4.500,00 vá a linha 17. chama 50. calcula 50% do salário. soma salário com aumento. fim. Volte a linha 00. chama 95 calcula 95% do salário. soma salário com aumento. fim. Volta a linha 00. chama 70. calcula 70% do salário. soma salário com aumento. fim. Volte a linha 00. 2-
Salário.......R/S
Acréscimo de instruções num programa, sem refazê-lo totalmente:Supondo que o programa termine na linha 16 e seja necessário introduzir 4 instruções após a linha 07 . O procedimento será: 12-
f P/R g GTO . 07
3-
g GTO
18
entra no modo de programação; posiciona na linha 07, última instrução antes do acréscimo das novas 4 ; linha a partir da qual entrarão as novas instruções.Se o programa termina na linha 16, a linha 17 terá a instrução g GTO 00 para retorno à linha 0 e interrupção da execução. Desse modo as novas
60 instruções começam na linha 18. A instrução contida antes na linha 08, perdida com g GTO 18 entrará logo após as 4 novas. 08 -
g
GTO 18 -----------> __ <---}---------------| } | } | } | } | } | } programa | } normal | } |--> } } } } } } } g GTO 00 __}
09 10 11 12 13 14 15 16 17 -
18 19 20 21 -
) ) ) ) ) ) )
instruções adicionais.
22 - instr. antes na linha 23 -
g
08.
GTO 09
Problemas:1- Uma empresa quer aumentar seus empregados com o seguinte critério: salários menores ou iguais a R$600,00, aumento de 60%; salários maiores que R$600,00, aumento de 40%. Montar o programa que calcula os novos salários? Teclado f P/R f PRGM RCL 0 x >< y g x ≤ y g
GTO 09 RCL 1 % +
g
GTO 00
Visor 00 00 01 02 03 04 05 06 07 08 -
Explicação entra no modo de programação limpa a memória de programação. 45 0 chama o dado fixo 600 34 troca conteúdos de x e y. 43 34 compara x e y (x menor ou igual a y). 43.33 09 vai a linha 09 (se a resposta for sim). 45 1 chama o dado fixo 40. 25 calcula o aumento. 40 soma salário e aumento, resultando o novo salário. 43.33 00 vai a linha 00 e para.
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Teclado RCL 2 % +
Visor 09 - 45 10 - 25 11 - 40
2
Explicação chama o dado fixo 60. calcula o aumento. soma salário com aumento, resultando o novo salário
Execução:Digitar:1-
600,00 STO 0 40 STO 1 60 STO 2 2- Valor do Salário
R/S
2- Uma firma deseja criar uma Caixa de Previdência para seus empregados. Para tanto seus empregados contribuirão mensalmente com os seguintes descontos em folha: salário ate R$1.500,00 isento; salário entre R$1.501,00 e R$2.500,00 - 4% ; salário superior a R$2.500,00 - 7%. Sabendo que o teto de desconto e R$250,00, elaborar um programa que efetue o calculo dos descontos, exemplificando para os seguintes salários: R$1.300,00; R$2.000,00; R$3.000,00 e R$5.000,00. 3- Uma empresa vai pagar aos seus empregados o salário acrescido das horas extras trabalhadas, deduzidos os descontos de previdência e seguro, de acordo com a tabela abaixo: Salário Seguro Previdência Até R$2.000,00 3,0 % 8,5 % De R$2.001,00 a R$4.000,00 2,0 % 9,0 % De R$4.001,00 a R$6.000,00 1,0 % 10,0 % Acima de R$6.000,00 0,25% 10,0 % Sabendo-se que os descontos incidem sobre salário + horas extras, e que uma hora extra é igual a 8% do salário, elaborar o programa que efetua os cálculos, mostrando o salário bruto, o total de descontos e o salário líquido de cada empregado. --------xxxxxxx-----------
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PROGRAMA PARA MONTAR PLANILHA DE FINANCIAMENTO 1-Montagem da planilha completa a partir do financiamento 2-Cálculo da posição de um financiamento em qualquer época. TECLAS VISOR 1 2 3 4 LINHA CÓDIGO EXPLICAÇÃO f PRGM 00Abre no modo de programação CHS 0116 Troca o sinal do valor financiado PV 0213 Registra o valor financiado PMT 0314 Calcula a prestação f RND 0442 14 Arredonda a prestação com duas casas PMT 0514 Guarda a prestação arredondada em PMT R/S 0631 Para e mostra a prestação RCL 1 0745 1 Recupera o nº de prestações na memória 1 g X=0 0843 35 Pergunta se o valor na memória 1 é 0 g GTO 16 0943 33 16 Vai para a linha 16 RCL PMT 1045 14 Recupera a prestação RCL 1 1145 1 Recupera o nº de prestações na memória 1 X 1220 Multiplica o nº de prestações pela prestação R/S 1331 Mostra o total pago entre capital e juros RCL 1 1445 1 Recupara o nº de prestações na memória 1 g GTO 19 1543 33 19 Vai para a linha 19 0 160 Zero n 1711 Registra zero em n 1 181 Inicia o cálculo do juro da prestação f AMORT 1942 11 Calcula o juro, amortização e o novo saldo. R/S 2031 Para e mostra o valor do juro X>
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Execução: Digitar: f REG para limpar o visor, as memórias e teclas financeiras. Nº de prestações para a montagem da planilha......................... .n Nº de prestações para o cálculo da posição em qualquer época ... STO 0 Nº de prestações até a qual se deseja saber a situação da dívida ....STO 1 Obs.: Caso esse cálculo não seja desejado, essa parte é desnecessária. Valor financiado.......................................R/S A cada parada pressionar R/S para prosseguir. O programa terminará quando o saldo final for zero ou resíduo (R$0,01, R$0,02. etc...), ou ainda quanto aparecer no visor o nº total de prestações do financiamento.
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
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Conclusões e Comentários. Procuramos neste resumo de aulas, de modo simples e objetivo, a solução de questões práticas, aproximando, sempre que possível do atual mercado financeiro. A bibliografia citada em muito contribuiu com a exposição teórica, permitindo compactássemos o trabalho, possibilitando aos alunos maior facilidade no entendimento, associando ao dia-a-dia do dinâmico movimento financeiro. Os problemas apresentados em todos os capítulos, alguns selecionados de concursos, parte deles resolvidos com aplicação de fórmulas e também com a utilização dos recursos da calculadora financeira HP-12C, que com a sua lógica operacional baseada em uma lógica matemática que não utiliza parênteses e sinal de igual, conhecida como Notação Polonesa Reversa (RPN), se propõe a solução rápida de questões mais complexas, estimulando os alunos e despertando interesse no sentido de querer sempre saber mais. A sua programação simples e prática favorece sobremaneira na solução de seqüências de cálculos que se repetem constantemente. Contém também uma série de problemas a resolver, todos com respostas. Concluímos esperando com esse trabalho transmitir aos participantes os conhecimentos básicos aplicáveis na vida profissional de cada um.
