MAT A MATEMATIKA viša razina
KNJIŽICA FORMULA
MAT T A
12
1
Matematika Knjižica formula
FORMULE
•
Standardni zapis kompleksnog broja: z
•
Trigonometrijski zapis kompleksnog broja: z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) , ϕ ∈[0, 2π ,
(
(
)
=
(
z1 ⋅ z2 = r1r2 cos ϕ1 + ϕ 2 + i sin ϕ1 + ϕ 2
z 1 z 2 n
z
m
r 1
=
r 2
a + bi , a , b
(cos(φ1 − φ2 ) + i sin( φ1 − φ2 )), z n
•
a
•
( a ± b) 2
•
a
•
( a + b) n
⋅a
=
m+ n
a
,
a
m
n
:a
=
m−n
a
2
−b
2
2
=
( a ≠ 0),
a
n
−m
=
3
n + ... + a k
−
n k
b
b = −
z
bi ,
=
a
2
+b
2
a
k
m
2
)
n n −1 , + ... + a b + b = k n − 1
n
−b ±
3
n
n!
( − k )!
k! n
2
b − 4ac
2a
c =
a
b 4ac − b2 T − 2a , 4a
•
Tjeme parabole:
•
b
•
log b ( xy ) = logb x + logb y ,
=
a
, x1 ⋅ x2
−
2
2
Vièteove formule: x1 + x2
x
=
2
3
•
⇔
3
a
n
a ± b = ( a ± b)(a ab + b
−1 b
a
= a ± 3a b + 3ab ± b
Kvadratna jednadžba: ax + bx + c = 0, a ≠ 0 ⇒ x1,2 =
a
m
( a ≠ 0),
m
•
=
=
n
1
2
x
1, z
= 0,1,..., n − 1
( a ± b) 3
(a − b)(a + b), n
−
n
k
2ab + b 2 ,
n = a + a 1
=
r (cos n φ + i sin n φ),
=
a
= a ±
2
))
φ + 2k π φ + 2k π , = n r cos + i sin n n n
i
∈ R ,
logb b x
log b a, logb
x y
=
=
x
=
b
log b x
logb x − logb y ,
y
logb x
=
y logb x ,
loga xx =
log b x logb a
MAT T A
99
2
Matematika Knjižica formula
•
a ⋅ va
Površina trokuta: P =
P
2
P
,
ab sin γ =
2
•
Jednakostraničan trokut: P
•
Površina paralelograma: P
•
Površina kruga: P
=
2
r
, P
a
2
=
=
s ⋅ ( s − a) ⋅ ( s − b) ⋅ ( s − c ),
=
3
4
abc =
4r o
,
v
, P
3
a =
2
=
⋅
π
a+b+c
=
2
ru s
,
a v
s
ro
2 =
3
v,
ru
1 =
v
3 a+c
•
Površina trapeza: P =
•
Opseg kruga: O
•
Duljina kružnoga luka: l
=
2
2r π
2
•
Površina kružnoga isječka: P
r π α =
360
B = površina osnovke (baze), P = površina pobočja,
•
Obujam (volumen) prizme i valjka: V
•
Obujam (volumen) piramide i stošca: V
=
B h ⋅
1 =
3
B h ⋅
Obujam (volumen) kugle: V
•
U pravokutnome trokutu:
sinus kuta =
4 =
3
3
duljina nasuprotne katete
tangens kuta =
duljina hipotenuze
180
•
Oplošje prizme i valjka: O
•
Oplošje piramide: O = B + P
•
Oplošje stošca: O = r π + rπ s
•
r π
r πα =
h = duljina visine
=
2 B + P
2
s = duljina izvodnice
r = polumjer osnovke
•
⋅v
Oplošje kugle: O
, kosinus kuta =
=
2
4 r π, r = polumjer kugle
duljina priležeće katete duljina hipotenuze
,
duljina nasuprotne katete duljina priležeće katete
MAT T A
99
3
Matematika Knjižica formula
a
b
c
•
Poučak o sinusima:
•
sin 2 x + cos2 x = 1,
•
sin 2 x
•
sin( x ± y ) = sin x cos y ± sin y cos x
=
sin α
=
sin β
cos( x ± y) = cos x cos
•
sin γ
Poučak o kosinusima: c
2
=
a2 + b2
−
2ab cos γ
sin x
tg x =
2 sin x cos x,
=
cos x
cos 2 x
=
2
2
cos x sin x −
y sin x sin y
tg x ± tg y tg( x ± y ) = 1 tg x ⋅ tg y
•
sin x + sin
2 sin
y=
x + y
cos x + cos y = 2 cos
•
sin x sin
y=
cos x cos y =
sin x cos y =
•
sin
π =
6
1 2
,
1 2
2
cos
x + y
2
x− y
cos
2
,
x− y
2
sin x − sin
,
y=
cos x − cos
2 cos
x + y
2
y = −2sin
x− y
sin
x + y
2
2
sin
x− y
2
[cos( x − y) − cos( x + y) ]
1 2 1 2
[cos( x − y) + cos( x + y) ]
[sin( x − y) + sin( x + y) ]
sin
π =
4
2 2
sin
,
3
π =
3
2
MAT T A
99
4
Matematika Knjižica formula
•
Udaljenost točaka T1 , T2 : d (T1 , T2 )
•
Polovište dužine T1T 2 :
P
•
Vektor T1T 2 : T1T2
=
•
Skalarni umnožak vektora:
•
Jednadžba pravca:
=
a
−
x1 ) 2 + ( y 2
−
y1 ) 2
x1 + x2 , y1 + y2 2 2
( x2 − x1 )i + ( y2 − y1 ) j
y
( x2
=
−
y1
a ⋅b
=
=
k (x
•
Kut α između dvaju pravaca:
•
Udaljenost točke T ( x1 ,y1) i pravca
a
−
=
⋅
b ⋅ cos α ,
x1 ), k
tg α =
p...
k2
a1 i + a2 j
−
=
a ⋅b
y2
−
y1
x2
−
x1
=
a1b1
+ a 2b2
k 1
1 + k1k 2
Ax + By + C
=
0 : d (T , p ) =
Ax1 + By1 + C A
2
+
B
2
MAT T A
99
5
Matematika Knjižica formula
Krivulja drugoga reda
Kružnica središte S ( p, q )
( x − p) 2 + ( y − q) 2
Elipsa
x 2
fokusi F1,2 (± e, 0) 2
Tangenta u točki krivulje ( x1 ,y1)
Jednadžba
2
e = a −b
a
2
+
y 2 b
2
=
2
r
( x1 − p)( x − p ) + ( y1 − q )( y − q ) = r 2
x1 x
=1
a2
+
y1 y b2
=1
2
Hiperbola fokusi F1,2 (± e, 0) 2
2
e = a +b
asimptote y = ±
x 2
2
b a
a2
y 2 −
b2
=
x1 x
1
a2
−
y1 y b2
=
1
x
Parabola
p , 0 2
fokus F
direktrisa x
•
y
2
=
y1 y = p( x + x1 )
2 px
p =
−
2
Uvjet dodira pravca y
=
kx + l i kružnice: r 2 (1 + k 2 ) = (kp − q + l ) 2
MAT T A
99
6
Matematika Knjižica formula
• • •
an
Aritmetički niz:
Geometrijski niz:
=
an
Geometrijski red: S
a1
=
=
+
( n − 1) ⋅ d ,
a1 q ⋅
a1 1 q
,
n 1 −
,
n
Sn =
Sn
=
2 a1
( a1 + an ) qn
−
1
q 1 −
q <1
−
•
Derivacija umnoška: ( f ⋅ g )′ = f ′ ⋅ g + f ⋅ g ′
•
Derivacija kompozicije: ( f g )′ ( x) = f ′ ( g ( x )) ⋅ g ′ ( x )
•
Tangenta na graf funkcije f u T ( x1 , y1 ) : y − y1
•
Derivacije:
c′ = 0
(x )′ = n ⋅ x n
n
−1
,n≠0
•
=
Derivacija kvocijenta:
f ′ f ′ ⋅ g − f ⋅ g ′ = g g 2
f ′ ( x1 ) ⋅ ( x − x1 )
(sin x)′ = cos x
(cos x)′ =
− sin
x
(tg x)′ =
1 cos 2 x
MAT T A
99
7
Matematika
a c i n a r t s a n z a r P
MAT T A
99
8