SEMINARIO ESPECIAL DE ALGÉBRA SEMESTRAL UNI
1.
a a a a 1n 11 12 13 a a a a 21 22 23 2n a a a a 3n 31 32 33 a A= = [ i j ] m x n a a a a m1 m2 m3 mn
DEFINICIÓN DE MATRIZ Definimos a una matriz como aquel conjunto de element elementos os (números (números,, vectore vectores, s, funcion funciones, es, etc) dispuestos dispuestos de un modo modo rectangular rectangular en forma forma de filas y columnas. Para representar a una matriz emplearemos una letra mayúscula frente a un paréntesis o corchetes que almacene a sus elementos. Así por ejemplo, los arreglos:
1 2 3 A = 0 0 0 2 π − 1
a b Filas B = c d
Está es una una matriz que contiene contiene m x n elementos elementos dispuestos en “m” filas y “n” columnas. Adem Además ás “ a i j ” se llam llamar aráá “ele “eleme ment nto” o” de la matriz. El primer subíndice subíndice “i” indicará indicará el el lugar lugar de de la fila, fila, mien mientr tras as que que el segu segund ndo o subí subínd ndic icee “j” indicará el lugar de la columna. Para denotar al conjunto de todas las matrices de orden m x n emplearemos M m x n
f ( x ) h (x)
p ( x )
q (x)
columnas 3.
Representan a la matriz A y B respectivamente.
Dos matrices A y B serán iguales si poseen el mismo orden y además si son iguales aquellos eleme elemento ntoss que que ocupe ocupen n el mism mismo o lugar lugar.. Esto Esto implica que, siendo:
Adviértase que una matriz, por ser un arreglo rectang rectangular ular,, jamás jamás será conside considerado rado como como un elemento unidimensional (número). 2.
ORDEN Ó DIMENSIÓN DE UNA MATRIZ Recibirá esta denominación aquel modo indicado de repr repres esen enta tarr al nume numero ro de fila filass por por el de colu column mnas as de las cuáles cuáles esté esté const constit itui uida da una una matriz. En nuestros ejemplos anteriores, diremos que la matriz A es de orden 3 x 3, mientras que el orden de la matriz B es 4 x 2. En gene genera rall a una una matr matriiz de orde orden n m x n la representaremos del modo siguiente:
IGUALDAD DE MATRICES
a11 a12 a1n a a a 2n A = 21 22 a m1 a m2 a mn
b11 b12 b1n b b b 2n B = 21 22 b m1 bm2 bmn
A = B cuando para todo i ε {1; 2; ...; m} y para todo j ε {1; 2 ; ...; n} se cumple que : aij = bij 4.
TIPOS DE MATRICES
4.1 Matriz fila.- Es toda matriz de orden 1 x n. Así por ejemplo la matriz
Humanizando al hombre con la educación
Seminario de Álgebra SEMESTRAL UNI 2002-I A =(
π
2
2
e 1)
−1 2
es una matriz fila de orden 1 x 4
A=
4.2 Matriz Columna.- Es toda matriz de orden
; –A = − 3
0
1
0
1 − 2
0 0
−1 + 3
mx1
B=
2 4 8
; es de orden 3 x 1
4.7 Matriz Transpuesta de A.-
se obtiene a partir de A, cambiando filas por columnas, pero, sin alterar su orden de colocación. La denotaremos como “ At ”.
4.3 Matriz Nula.- Es aquella donde todos sus elementos son ceros. La denotaremos mediante (0) Son matrices nulas:
0 0 0 A= ; B = 0 0 0 0
Si
0 0
En:
4.6 Matriz Opuesta de A.-
↔
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Diagonal Principal
Es aquella que
tienen por elementos los opuestos de los elementos de A. La denotaremos por “–A”. A = (aij)
0
Diagonal Secundaria
A=
4x 2
0
Es toda matriz que tiene el mismo número de filas que columna, es decir m = n. En ellos será factible distinguir: La diagonal principal: que estará constituida por los elementos: a11, a22, a33, ....... ann La diagonal secundaria: quedará identificada por los elementos. a1n, a2(n-1), a3(n-2), ....... an1
c d z w
0
4.8 Matriz Cuadrada.-
4.5 Matriz Horizontal.- Aquella en la que el
A=
2 3 3 5 5
0
Si A = (aij)mxn entonces At = (aij)nxm
1 −7 A = 3 − 4 5 − 8 3x 2
a b x y
0
5 5
En general:
4.4 Matriz Vertical.- Es aquella en la que el
número de filas es menor que el número de columnas (m < n). Como ejemplo tomemos a:
33
Entonces A =
0
número de filas es mayor que el número de columnas (m > n). Como ejemplo tomemos la matriz:
2 A= 1 t
0 0 0
Es aquella que
Nota: Definimos la “traza” de la matriz cuadrada A como la suma de los elementos de la diagonal principal, así:
– A = (– a ij)
Humanizando al hombre con la educación
Seminario de Álgebra SEMESTRAL UNI 2002-I
3
n
traza (A) =
∑
a i i = a11 + a22 + a33 + ... +
elementos que están por la parte superior o inferior de la diagonal principal.
i =1
a. Triangular Superior.- Si son nulos todos los elementos por debajo de la diagonal principal.
ann En el caso de una matriz cuadrada de orden cero, si: A = [a11]
Esto implicará que traza (A) = a11
para todo i > j Ejemplo:
Esto se define puesto que con un elemento no hay suma.
TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
A=
1 0
Diagonal.- Es aquella matriz cuadrada I. caracterizada por estar constituida todos los elementos por ceros excepto los de la diagonal principal, donde por lo menos uno es no nulo. Serán matrices diagonales: 1 A = 0 0
a.
0 0
3
2 0 0
;
B=
2 0
2 0
b.
0 2
;
b.
0
1
;
I3 =
1 0 0
0
0
1
0
0
1
3 0
a12 a13 a 22 a 23 0 a 33
0
0
.. . ..
a1n a 2n a 3n
a nn
nulos todos los elementos por encima de la diagonal principal. Esto implicará que: aij = 0 , para todo i < j
C=
1 − 3
2 0 3 2 1 − 4
Identidad.-
1 0
− 2 7
2
Triangular Inferior.- Si son
− 9 0 0 ; N= 0 −9 0 0 0 − 9
Es una matriz diagonal escalar con el número 1 en todas los lugares de la diagonal principal. Se le denota con In
I2 =
3
a 11 0 0 A= 0
0
Escalar.- es aquella matriz
2
4 B = 0 0 En general:
0
diagonal cuya particularidad es que todos los elementos de su diagonal principal, son iguales.
M=
aij = 0 ,
En general
1
II. Triangulares.- Son aquellas matrices cuadradas en las que son ceros todos los
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0
2
0 1 / 2 0
;
D=
Seminario de Álgebra SEMESTRAL UNI 2002-I b11 b 21 b A = 31 b n1 III.
0 0
0
b 22
0 b nn
b32 b 33
4
b n 2 b n3
0 0
B=
5.
3
5.1. Adición de Matrices Sean A x B dos matrices del mismo orden digamos m x n, definiremos a la matriz suma “C”, como aquélla aplicación que asocia a cada par de matrices, donde cada
∀ i,j.
= At 2
;
1 B = 2 3
2 5 4
3
4 6
elemento cij, es la suma de aquellos elementos correspondientes aij con bij Esto implicará que si:
=
A = ( aij )mxn y
Bt
B = ( bij )mxn ,
entonces: A + B = C = ( cij )mxn
IV. Antisimétrica.- Es aquella matriz A tal que: At = – A , es decir que para todo i; j deberá cumplirse que:
0 −1 − 2
1
2
0
3
Ejemplo: Sean las matrices:
1 1
es antisimétrica
0 1 2
−1 0 3
−2 − 3 0
−2 ; 3
0
A=
0
−3
puesto que: At =
donde cada cij = aij + bij
aij = – a ji
Como ejemplo mostramos a:
A=
S=
OPERACIONES CON MATRICES
Como ejemplos, ilustremos a:
1 A = 3
;
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Nota: El determinante de una matriz singular es igual a “cero”.
Simétrica.- Es aquella matriz A tal que: At
= A , es decir: aij = a ji ;
1 2 0 0
2
−4 − 1
B=
2 1
0
3
Hallar: A + B
Resolución: =–A
1 1
A + B =
Nota: En toda matriz antisimétrica los elementos de la diagonal principal son nulos.
V. Singular.- Es aquella matriz cuadrada que no posee inversa respecto a la multiplicación de matrices. Serán ejemplos de este caso:
−2 −4 + 2 3 − 1 1 + (−4) 0 + 2 = 1 + (−1) 2 + 1 −3 2 −2 = 0 3 6 0
2 1
0
3
−2 + 0 3 + 3
Propiedades: 1.
A + B = B +A
2.
(A+B)+C = A+(B+C)
3.
A + O = A = O +A neutro Aditivo)
Humanizando al hombre con la educación
(Conmutativa) (Asociativa) (Existencia del
Seminario de Álgebra SEMESTRAL UNI 2002-I
5 A = ( a11, a12, a13, .........a1n )1xn
Obs: “O” es la matriz nula. 4.
A + (–A) = O = –A + A
(Existencia
del inverso aditivo). “–A” es la matriz opuesta de A.
5.2. Multiplicación de Matrices Es aquella operación binaria en la cual
entonces:
n, que denominamos multiplicando y otra B
AB = (a11. b11+ a12. b21+a13. b31+ ….. +a1n b1n)1x1
n x 1, llamada
multiplicador , su objetivo será encontrar
una
tercera
matriz
“C”
denominada
producto, que resultará de orden m x n.
5.2.1 ¿Cómo multiplicar un escalar por una matriz? En este caso el elemento unidimensional multiplicará a cada elemento de la matriz.
2 3) y tuviésemos la necesidad de multiplicarla por “–3”, entonces : Ejemplo:
Si
–3A = –3 (1 = =
A
2
=
Ejemplo: Sean las matrices: A = (1
3)
2
3)
( −3.1 −3.2 −3.3) ( −3 −6 −9)
kA = ( k.aij )mxn , donde “k” es un escalar.
Propiedades: 1. k (A + B) = kA + kB ; k es un escalar. 2. k (rA) = (kr)A; {k; r} ⊂ R
¿Cómo multiplicar una matriz fila por una matriz columna?
Esto será factible cuando el número de columnas de la matriz multiplicando (matriz fila) sea igual al número de filas de la matriz multiplicador (matriz columna). Para ello consideramos a las matrices.
y
B=
3 2 1
Entonces: A.B = (1
5 3) 1x3. 2 = [1.3+ 2.2 + 3.1] 1 3x1
2
(1
En general: Si A = ( aij)mxn
5.2.2
b11 b 21 b B = 31 b n1 nx1
conociéndose una matriz “A” de orden m x de orden digamos
;
A.B = [10]1x1
5.2.3 Multiplicación arbitrarias
de
doss
matrices
Aquí cabe indicar que será factible encontrar una matriz producto únicamente cuando el número de columnas de la matriz multiplicando coincida con el número de filas de la matriz multiplicador. Cada elemento de esta nueva matriz surgirá de multiplicar cada fila por cada columna en el lugar correspondiente. Para visualizar esto, tomemos las matrices: A = [aij]2x3
A.B =
a11 a 21
b b 11 11 b b 21 21 b31 b31
y
a
12
a
22
b11
b 21
3x 2
b31
Humanizando al hombre con la educación
B = [bij]3x2
. a 23 2x3
a
13
Seminario de Álgebra SEMESTRAL UNI 2002-I ( a11 = (a 21
a
b 11 a ) b 13 21 b 31 b 11 a ) b 23 21 b 31
12
a
22
6
( a11
a
(a 21
Después de efectuar: C = A.B =
12
a
22
c11 c 21
b 12 a ) b 13 22 b 32 b 12 a ) b 23 22 b 32 c12
Notas:
a)
La multiplicación de matrices no necesariamente es conmutativa. Por lo general AB ≠ BA b) Cuando AB = – BA, la matriz A y B se denominan “anticonmutables”
5.3. Potenciación de Matrices
2x 2
Es aquella operación que se define para una matriz cuadrada “A” del modo siguiente:
c 22
Ejemplo: Hallar los productos de AB y BA, si:
A=
1 2
−1 0
0 1
;
B=
− 2 3 −1
An = A. A. A ...... A ; n
0
2 1
Resolución:
A.B =
A.B =
0 1
1
0 Halle: A100
− 2 −1 . 3 2 1 0 2x3 − 1 −1 −1 − 1 2 2x 2 0
0
2 1 3x 2
B.A =
B.A =
0 1 2 . 2 1 3x 2 0 2 2 − 3 1 1 3x 3
0 1
i) Matriz Idempotente.-
Es
aquella
matriz
2
−1 0 2 x 3
1 0
2 ; − 1 1
0
1
ii) Matriz Involutiva.-
−2 3
−2
4 − 3 4
Es aquella matriz cuadrada
2
A, tal que: A = 1 Serán ejemplos de ellas las matrices:
Propiedades: Sean A, B y C matrices para las cuales estén definidas las operaciones de adición y multiplicación 1. 2.
MATRICES RELACIONADAS CON LA POTENCIACIÓN
cuadrada A en la cual se cumple que: A = A
ii) Obtengamos B.A
− 2 3 −1 − 2 7 1
2
“n” veces Ejemplo: Sea la matriz A =
i) Obtengamos A.B
1
∈ Z+ , n ≥
A (BC) = (AB)C ..........(Asociativa) (A + B)C = AC + BC A(B + C) = AB + AC
−1 0
2
1
1 ; 0 0
0
0
1
0
0
1
iii) Matriz Nilpotente.-Es aquella matriz cuadrada A en la que su potencia, para algún exponente natural, resulta una matriz nula.
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Seminario de Álgebra SEMESTRAL UNI 2002-I Es decir:
7
A = 0 , para algún n ∈ N n
5.
(A ± A t ) t
Así por ejemplo, las matrices:
0 A = 0
0 0 ; B = 0
2 0
1
2
0
2
2
Nota: Toda matriz cuadrada A será factible
0
0
= A t ± (A t ) t = A t ± A
expresarla como la suma indicada de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica.
3
Son idempotentes ya que: A = 0 , B = 0
EJERCICIOS:
iv) Matriz Ortogonal.- Es aquella matriz cuadrada t
1.
A en la que se cumple : A.A = I
Determine el valor de:
k + y+ z + u + v + w Serán ejemplos de estas matrices:
senα A = − cos α
1 ; B = 0 senα 0
cos α
0
0
1
0
0
Sabiendo que AT = B Donde:
1
A=
1 0 − 1 1/ 2 1 − 1
0; 1/ 4 0
B=
v) Matriz Hermitiana.- es aquella matriz cuadrada de elementos complejos, en la cual los elementos de su transpuesta resulten ser los conjugados de la matriz inicial. Es decir:
Rpta: 3/4 2.
Dadas las matrices i
A = [aij ] / aij = 2 – (–1)
x−y 3x − y
, ∀ i, j
A = [aij]nxn es hermitiana si: aij = a ji
B=
Así por ejemplo la matriz:
1 A = 2 + i
2 − i
1 2 − i
2 + i
t
A =
2
2
j
p
q
Halle el valor de: p.q.x.y , si A = B
es hermitiana ya que:
Rpta: – 6
3.
PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRANSPUESTA t
(A ) = A
2.
(A ± B) t
3.
( kA ) t = k .A t (A.B)
=A
t
.B
a b ; 0 c
B=
, donde A + B = I
Rpta: cero
; siendo k t
2 b b c
Siendo “I” la matriz identidad. Entonces el valor de: a + b + 2c es:
= A t ± Bt
un escalar t
Sean las matrices
A=
t
1.
4.
u v w 0 x y 0 0 z
4.
Sabiendo que:
Humanizando al hombre con la educación
Seminario de Álgebra SEMESTRAL UNI 2002-I K 3 1 k= 1 0 9
C=
∑
0 2k2 1
8
− 1 0 − k
Rpta: –2 v 1 8.
A=
Calcule la traza de “C” Rpta:2265 5.
x − 3y x 1 y B=
C=
2 −4 − 8 0
1 3 ; − 2 1
B=
2 0 −1 3 − 1 2
Muestre que A.B ≠ B.A
Sean las matrices.
A=
Siendo las matrices:
9.
2 6− y 1 6 x −
Encuentre la suma de elementos de la matriz A, capaz de verificar la ecuación matricial: A2 – 2A – B = C
Si: A =
a b ; c d
B=
3 0 0 0 ; C = 0 8 0 0
Si A = B, entonces, la suma de elementos de la
10. Determine (A + B) , Si: 2
C matriz “ 3A – ” 2 Rpta: 32
2
2
A =B =
6.
Sea el sistema
Con: A =
2 X + Y = A X + 2Y = B
1 0 ; 0 1
B=
BA =
0 2 2 0
Calcule la suma de los elementos que componen a la matriz “X”
2 − 1
1 0
0 1
; AB =
1 0 Rpta:
11.
0 −1 1 2
4 0 0 4
Sea la matriz:
Rpta: cero
7.
0 1 S= 2 3
En base a las matrices
A=
(1 2 3)
; B=
λ 2 3
Determine el valor de: “λ”, sabiendo que la traza de (A + BT)B es 28.
0 0 1 2 3
− 1 − 1 1 1 2 2 2 2 1 1 3
Determine la suma de sus elementos. Rpta: 96
12. Halle el valor de: α + β + γ + θ + ρ + λ Sabiendo que: AB = C
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Seminario de Álgebra SEMESTRAL UNI 2002-I
Donde:
B=
A=
−1 − 2 3 − 4
5 − 1 3 2 0 −1 3 1 0 1
0 1 ; − 2 2
9
1
8
λ Rpta:
α β γ β ρ 10
C=
9
El arreglo de: C .D ; será:
17. Dada la matriz
A =
73 9
0 1
8 1
1 0
Halle: traza (At)100 Rpta: 45 13. Siendo anticomutables las matrices A y B. Investigue la verdad (V) ó falsedad (F) de cada proposición: I. (A + B) (A – B) = A 2 – B2 II. (A + B)2 = A2 + B2 III. (A + B)3 = A3 – B3 + AB (B – A)
Rpta: 2
18. Si
A=
1 2 0 1
Proporcione la suma de elementos de la matriz S, si: S = 1 + A + A 2 + A3 + ... + An ; n
∈ Ζ +
Rpta: FVV Rpta: (n+1)(n+2)
19. Halle la suma de elementos de −1 2
14. Dada la matriz A = 0 1 A3 2
Cuál será la transpuesta de:
Rpta:
Si P(x) = x2 + 3x + 2; A =
−1 / 2 1
−1 1 0 − 2
Rpta: cero
1 / 2 0
20.
Dada la matriz B=
15.
P(A ) .
Dada la matriz:
0 −α ; donde “α” es un real α 0
El valor de B1003 en términos de B, será: M =
2cos2 θ sen2θ 2 , θ θ sen 2 2 sen
entonces M3 , en
Rpta: -α1002.B
términos de M, será: 21.
Rpta: 4M 16.
Dadas las matrices:
C=
1 1
0 ; 1
DT =
1 1
0 1
Un vendedor de computadotas al menudeo dispone de tres tipos de computadoras. La Personal (PC), la de negocios (CN) y la industrial (CI). Su mercadería la tiene distribuida en dos tiendas del modo siguiente:
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P. C. Tiend aA Tiend aB
4 12
10
C . N .
C .I .
1 6 2 0
1 0 3 0
24. Una matriz S = α.I , siendo “I” la matriz identidad de n-enésimo orden mientras que “α” e s u n escalar, recibe el nombre de matriz escalar. Luego demuestre que la matriz S es conmutable con toda matriz de orden n. 25.
Este vendedor desea realizar una promoción especial. A fin de tener un suficiente stock, ordena un pedido del 100% más de la cantidad actual. Averigüe cuántas computadoras posee de cada tipo, empleando la multiplicación por un escalar. 22.
Una compañía tiene 4 fábricas, donde en cada uno emplea administradores, supervisores y técnicos calificados en la forma siguiente:
Ad mi n Su per v. Té cni cos
F á b r i c a 0 1
F á b r i c a 0 2
F á b r i c a 0 3
Fábrica 04
1
2
1
1
8 0
6
9 6
3
6 7
1 0
A =
1
0
0
1 A = O
0
0
Nota: “O” representa a la matriz nula.
26. Si {a, b, c} ⊂ R. A qué conclusión arribaremos al resolver la ecuación (en x)
a−x
b
b
c−x
=
1 + senx
− cos x 1 − senx
− cos x
a) Sus raíces serán reales diferentes siempre. b) Sus raíces serán únicamente reales. c) Sus raíces serán siempre no reales. Resuelva la ecuación
4
3−λ
1
1
−1
5−λ
1
1
−1
3− λ
7
Si semanalmente cada administrador gana S/.350, cada supervisor S/. 275 mientras que cada técnico S/.200. ¿Cuál será la nómina de cada fábrica?
23. Si
0 0 0
27. 4
Halle la forma general de la matriz A de tercer orden, para la cual
Rpta: ..................... 28.
Calcule el determinante de la matriz:
0
0
es suna matriz diagonal de
segundo orden, halle todas aquellas matrices “X” que serán conmutables con A.
a − b − c 2 b 2c
Humanizando al hombre con la educación
2a b − c − a 2c
2 b c − a − b 2a
=0
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11
Rpta: .....................
29.
x x ∆ = x x x
Para qué valor del parámetro “n” será verídica la igualdad:
b + c
a − b
a
c+a
b − c
b
a + b
c−a
c
= n.abc − a n − b n − c n
Rpta: .....................
1
3
0
0
0
0
0
−5
4 2 − 11 4
1 1 B= 1 1
b c d
Rpta: .....................
31.
0 0 0 1
a c + d
d + a a + b b + c
c b
x
x
a
x
x
x
x
x
x
b a x d c
Conozca el determinante de la matriz de n– enésimo orden
Calcule el determinante del as matrices:
1 1 A= 3 0
b a
Rpta: x ( x − a ) 4 33.
30.
a x
0 0 0 0
0 0 1 0 1 0
0 0
1 0 0
0 0
0 1
Rpta: 34.
1
−
n (n − 1) 2
Cuál será el valor de:
1
2
3
.....
n
−1 −1
0
0
.....
n
−2
0
.....
n
−1
−2
−3
.....
0
Halle el determinante del a matriz: Lima, 11 de noviembre de 2001
1 2 C= 2 2 2
2 2 5
2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 4 2 2 2
Rpta: .....................
32. Averigüe el valor de “∆”, si:
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