MAPEO CONFORME Y ECUACIÓN DE POISSON (ENERO 2018) JIMENEZ MENDIETA DANIELA DOLORES
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TERAN SOLANO DOMENICA
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AVILA SARMIENTO ADRIÁN MATEO
[email protected] Abstrac Abstractt. _ The purpose of this research is to delve into topics II. DESARROLLO related to the complex plane, such as conformal mapping and the Poisson equation, whose applications are varied in the area of Recopilación tomada del libro de Matemáticas avanzadas cartography and physical phenomena modeling. The para ingeniería Volumen II, Erwin Kreizig. Kreizig. management of complex analysis is a powerful tool for mathematical problems, where a simple transformation can a) Map Mapeo Con Conform forme e facilitate calculations and solve them more easily.
Palabras claves. _ Función compleja, ecuación de Laplace, transformación en el plano complejo, potencial complejo.
I.
INTRODUCCIÓN
En la física del siglo XIX, se creía que las fuerzas fundamentales de la naturaleza estaban regidas por “potenciales” que satisfacían la ecuación de Laplace. Se
conocía en ese entonces a la Teoría de Potencial como el estudio de las funciones que podían servir como potenciales. Hoy en día se sabe que la naturaleza es aún más complicada, pero sin embargo se sigue utilizando dicha ecuación para la resolución de problemas de campos gravitaciones, campos electrostáticos, conducción de calor de estado estacionario, dinámica de fluidos incomprensibles, etc. El estudio presentado a continuación parte del desarrollo de la ecuación de Poisson, que es una ecuación diferencial parcial la cual establece establece la relación entre el potencial eléctrico (Φ) y la den sidad de carga volumétrica presente en un medio simple que no tiene cargas libres, por lo tanto se reduce a la ecuación de Laplace; además se utiliza como herramienta el mapeo conforme al momento de hallar una solución a la ecuación de Laplace cuando tenemos valores de frontera. Si una función compleja w=f(z) está definida en un dominio D del plano z, entonces a cada punto en D le corresponde un punto en el plano w. De esta manera se tiene un mapeo (aplicación o transformación) de D sobre el rango de valores de f(z) en el plano w. Este enfoque geométrico el análisis complejo ayuda a visualizar la naturaleza de una función compleja, al considerar el modo en que la función transforma ciertas curvas y regiones.
1. Mapeo Conforme función “Una w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y) de
con valores complejos una variable compleja z proporciona un mapeo mapeo de su dominio dominio de definición en el plano complejo z sobre su rango de valores en el plano complejo w. El mapeo se denomina conforme si preserva la magnitud y la dirección de los ángulos entre curvas orientadas. Bajo tales mapeos el ángulo entre dos curvas que se cortan en el plano z es el mismo que el ángulo entre las curvas correspondientes en el plano w. el sentido de ángulo también se preserva. Esto nos indica que si es el angulo entre las curvas 1 y 2 tomadas en sentido contrario a las manecillas del reloj en el plano z entonces tambien es el angulo entre la imagen i magen de la curva 1 y la imagen de la curva 2 en el plano w, y también es tomado en sentido contrario a las manecillas del reloj. En la siguiente figura veremos de forma muy explícita el mapeo conforme.
En los mapeos lineales se tiene que = ≠0 son conformes en todos lados, ya que = y no es cero en ningun punto en el plano z. Los mapeos bilineales dados en ecuaciones anteriores anteriores podemos ver ver que se pueden escribir como: Así:
=
,≠0
=
2.3. Inversión. Mapeo de w=1/z
Este caso es mejor estudiarlo en términos de coordenadas El cual de nuevo nuca es cero para ningún punto en el polares: plano z. de hecho, el único mapeo que hemos considerado hasta ahora que tiene un punto en el que no es conforme es = , que no es conforme en z=0. ∅ = 1 = 1 , ∅ = 1.1. Teorema 1 “El mapeo definido
por una función analítica f(z) es conforme excepto en puntos críticos, es decir, en puntos donde la derivada f´(z) es cero. ” 2.
Esta transformación eta dado en una circunferencia unitaria || = 1 Ejemplo: Representación de una línea con el mapeo =1/
Transformaciones fraccionarias lineales
El mapeo conforme posee varias aplicaciones físicas, aunque para usarlo de manera práctica es necesario conocer que función elegir. Las transformaciones fraccionarias lineales, o transformaciones de Mobius son mapeos = + + 1 En donde a, b, c, d son números complejos o reales. Estos mapeos tienen importancia práctica en aplicaciones a problemas con valores de frontera, ya que son necesarios para transformar discos de manera conforme sobre semiplanos o sobre otros discos recíprocamente. La condición ad-bc ≠0 se vuelve evidente si se deriva: = ´ = Se observa que ad-bc ≠0 implica que w´ no es cero en ninguna parte, por lo que el mapeo es conforme en todas partes. Con base en ad-bc=0 es posible obtener el caso sin interés alguno en que w´ es idénticamente cero, que se excluirá de una vez por todas.
2.4. Transformación bilineal
Las bilineales son mapeos en donde a, b c, d son números complejos reales. Donde podemos interpretar como la sucesión de todos los mapeos de la sección anterior. Si de
1 multiplicamos por / y
sumamos
/// y expresamos la ecuación como. = = Entonces el mapeo bilineal se puede expresar como:
= Esta ecuación representa un mapeo bilineal si el determinante de la ecuación no es cero:
= ≠ 0 Si el determinante del mapeo es diferente de cero, podemos despejar el mapeo inverso: 2.1. Teorema 1 (Circunferencias y rectas) “Toda transformación fraccionaria lineal mapea todas las
circunferencias y rectas en el plano z sobre todas las circunferencias y rectas en el plano w.” 2.2. Traslación, rotación, expansión y contracciones
Se da cuando 1 es de la forma = = Es una traslación cuando = Es una rotación cuando || = 1 Es una expansión o dilatación cunado > 1 real. Es una contracción para 0 < < 1 Estos también son casos especiales de la transformación lineal
=
= Esta ecuación representa un mapeo bilineal si el determinante de la ecuación es cero
=≠0 El mapeo bilineal transforma o mapea círculos o rectas en el plano en círculos o rectas en el plano .
2.5. Plano complejo extendido
Se trata del plano complejo junto con el punto ∞ (infinito). Con base en las transformaciones fraccionarias lineales se observa que a cada z para que el que cz+d ≠0 corresponde precisamente un numero complejo w. Suponer que c≠0. Entonces a z=-d/c, para el que cz+d=0, no corresponde ningún numero w. Finalmente, la transformada inversa de (1) se obtiene despejando z de (1); de nuevo se encuentra que se trata de una transformación fraccionaria lineal:
=
Cuando c≠0, entonces cw-a=0 para w=a/c, y se deja que a/c sea la imagen de z= ∞. Con lo anterior, la transformación fraccionaria lineal (1) es ahora un mapeo conforme uno a uno del plano extendido z sobre el plano extendido w. También se dice que toda transformación fraccionaria lineal mapea “el
plano complejo extendido sobre sí mismo de manera uno a uno y conforme”.
3.2. Mapeo de semiplanos sobre discos
Esta es una tarea que reviste interés práctico, por ejemplo en problemas de potencial. Sin pérdida de generalidad, el semiplano superior y≥0 se mapea sobre un disco unitario |w|≤1. La frontera de este semiplano es el eje x; resulta evidente que debe transformarse sobre la circunferencia unitaria |w|=1. Lo anterior proporciona la idea; para encontrar un mapeo, elegir tres puntos sobre el eje x, prescribir sus imágenes sobre tal circulo y aplicar el teorema 1. Es necesario asegurarse de que el semiplano y ≥0 se transforma sobre el interior y no sobre el exterior de tal círculo. 3.3. Mapeos de semiplanos sobre semiplanos
Como un caso típico, es posible mapear el semiplano superior y ≥0 sobre el semiplano superior v ≥0. Así, el eje x debe mapearse sobre el eje u. 3.4. Mapeo de discos sobre discos
2.6. Puntos fijos
Los puntos fijos de una transformación w=f(z) son puntos mapeados sobre ellos mismos; es decir, que se mantienen fijos bajo la transformación. Por tanto, se obtienen a partir de w=f(z)=z El mapeo identidad w=z tiene todo punto como punto fijo. El mapeo w=z´ tiene una infinidad de puntos fijos; w=1/z tiene dos; una rotación tiene uno, y una traslación no tienen ninguno en el plano finito.
Es posible aplicar el disco unitario en el plano z sobre el disco unitario en el plano w. Con facilidad puede comprobarse que la función
= 0 1
c=z´0 |z0|<1 Es del tipo deseado y que mapea el punto z0 sobre el centro w=0.
2.7. Teorema 2 (puntos fijos) “Una transformación fraccionaria lineal, no la identidad,
tiene cuando mucho dos puntos fijos. Si se sabe que una transformación fraccionaria lineal tiene tres o más puntos fijos, entonces debe ser el mapeo identidad w=z”. 3.
Transformaciones fraccionarias lineales especiales
= 1
Cuatro números dados a, b, c, d determinan un mapeo único (1), aunque es posible eliminar o introducir un factor común sin alterar la transformación dada (1); es decir, (1) depende de tres constantes esenciales; a saber, las razones de tres cualesquiera de las cuatro a, b, c, d. Entonces, si se imponen tres condiciones debe obtenerse un mapeo único (1). 3.1. Teorema 1 (Tres puntos y sus imágenes dadas) “Tres puntos distintos dados, z1, z2, z3 siempre pueden
transformarse sobre tres puntos distintos prescritos w1, w2, w3 mediante una y solo una transformación fraccionaria lineal w=f(z). Este mapeo está definido implícitamente por la ecuación
1 ∗ 23 = 1 ∗ 23 3 21 3 21
(Si uno de esto puntos es el punto ∞, entonces el cociente de las dos diferencias que contienen a este punto deben sustituirse por 1)”.
3.5. Mapeo de regiones angulares sobre el disco unitario
Es posible obtenerlos combinando transformaciones fraccionarias lineales y transformaciones de la forma = , en donde n es un entero mayor que 1. 4.
Superficies de Riemann
Las superficies de Riemann son superficies sobre las cuales las relaciones con valores múltiples como = √ o =ln se vuelven en un solo valor; es decir, funciones en el sentido usual. Se empezara considerando el mapeo definido por
= = Que es conforme, excepto en le punto critico
=0
donde ´ = 2 = 0 . En = 0 los ángulos se duplican bajo transformación. La mitad del plano derecho del plano es mapeado sobre w completo, cortado a lo largo de la mitad negativa del eje u; el mapeo es uno a uno. De manera
semejante, la mitad izquierda del plano z es mapeado sobre todo el plano w cortado, de manera uno a uno.
´ = 1 1 = 11
Resulta evidente que el mapeo del plano z completo no es uno a uno, porque cada punto w≠0 corresponde precisamente a dos puntos z . De hecho si z , uno de estos puntos entonces el otro es – z . Por lo tanto, el plano w es “cubierto dos veces” por la imagen del plano z . se dice que el plano z completo es mapeado sobre el plano w “doblemente
Entonces el mapeo es conforme excepto en los puntos = 1 = 1; estos puntos corresponden a = 2 = 2, respectivamente. De donde:
cubierto”.
Los dos orígenes se unen entre si. La configuración así obtenida se denomina superficies de Riemann. Sobre ella todo punto ≠ 0 aparece dos veces, en posiciones superpuestas, y el origen aparece exactamente una vez. Ahora, la función = mapea el plano completosobre esta superficie de Riemann de manera uno a uno y el mapeo
= 2 ± 12 2 2 Posteriormente pasando obtenemos la siguiente gráfica.
a
coordenadas
polares
conforme, excepto por el “punto de giro” o punto de
bifurcación en = 0 . Se dice que un punto de bifurcación que conecta que conecta dos hojas es de primer orden.
5. Mapeo mediante otras funciones 5.1. Función exponencial
4.1. Superficie de Riemann
√
En el caso de la relación = √ se requiere una superficie de Riemann que conste de n hojas y que tenga un punto de bifurcación de orden n-1 en = 0 . Una de estas hojas corresponde al valor principal y las otras n-1 hojas, a los otros n-1 valores.
Forma cartesiana = + = Aplicando la identidad de Euler = (cosy i seny) = cosy i seny ux, y = cosy , = seny 5.2. Función seno
− Conocemos que: = Aplicando el mapeo = tenemos: + −+ − −
= =
2 − = − 2 = = 2
Aplicando la identidad de Euler Grafica de √ 4.2. Superficie de Riemann del logaritmo natural
Para toda ≠ 0 la relación = ln = 2 tiene una infinidad de valores. Por tanto esta función define sobre una superficie de Riemann que consta de una infinidad de hojas. La función = l n mapea todas las hojas de la superficie de Riemann correspondiente sobre el plano w completo, siendo uno a uno la correspondencia entre los puntos ≠ 0 de la superficie de Riemann y los del plano . 4.3. Mapeo
= − . Hojas aerodinámicas
Se considera este mapeo importante en aerodinámica. Como la derivada de esta función es
− = cos 2 cos − cos − sin = 2 Además tenemos que: − − cosh = 2 ℎ = 2 Sustituyendo: = = cosℎ sin ℎ Entonces: , = cosh , = cos x sinh 5.3. Función coseno
El mapeo del cos z puede analizarse de manera independiente pero debido a que:
= cos = 2
Se observa que este es el mismo mapeo que sen z precedido por una traslación hacia la derecha a lo largo de unidades. Por lo tanto el análisis va a ser análogo al del seno, entonces:
, = cosh
Por otro lado, dividiendo las dos ecuaciones se obtiene
v =tany u
, = sen x sinh
Ahora podemos abordar las preguntas. 5.4. Función tangente
Ya conocemos los mapeos de seno y coseno por lo cual la deducción se facilita debido a que la tangente es una combinación de estos dos anteriormente mencionados:
(a) Como u v = e , haciendo x=constante se prueba que las rectas paralelas al eje imaginario en el plano z corresponden a círculos centrados en el origen en el plano w. La ecuación:
= t a n = cos v =tany u − Prueba que rectas paralelas al eje real en el plano z = − corresponden a rectas que pasan por el origen en el plano 1 wv = u tanα si y = α,una constante. Ver figura. = 1 (b) Como u v = e , si x=0 entonces u v = 1, Por tanto si se hace Z = y se usa 1/i = -i vamos así el eje imaginario en el plano z corresponde al circulo a obtener: ∗ unitario en el plano w. si x < 0 e < 1, y = tan = conforme x → ∞ , e → 0, entonces la mitad izquierda del ∗ = 11 plano z corresponde al interior del circulo unitario en el plano w como se ve en la figura. ” [1] =
NOTA: la tan z es una transformada fraccionaria lineal precedida por un mapeo exponencial y seguida por una rotación en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj a través de un ángulo . 6. Ejemplos y aplicaciones del mapeo conforme
Examine el mapeo =
b) Ecuación dePoisson “En
el estudio de la electrostática se analizan técnicas para determinar la intensidad del campo eléctrico y potencial eléctrico debido a distribuciones de carga, generalmente distribuidas sobre superficies conductoras planas o cilíndricas, como así también para distribuciones puntuales. Sin embargo en muchos problemas prácticos no se conoce la distribución de carga exacta en todos los puntos, por lo que resulta bastante difícil encontrar una expresión para el campo y potencial. Se plantean entonces problemas con “condiciones de frontera”, es decir, se especifican las
condiciones en la frontera conductor-espacio libre. Se parte de la ecuación de Poisson, la cual establece la relación entre el potencial eléctrico (Φ) y la densidad de carga volumétrica ( pv) presente en un medio simple (de permisividad constante, €=cte).
(a)Encuentre las imágenes en el plano w de las rectas x=constante y y=constante en el plano z, y (b) Encuentre las imágenes en el plano w del semiplano x<0 en el plano z. Solución: al iv para w = e tenemos:
u = e cosy
z = x iy y w = u
tomar
y
v=e seny
Elevando al cuadrado y sumando estas dos ecuaciones, tenemos:
u v = e
En aquellos puntos del medio simple donde no hay cargas libres, es decir donde pv=0, (1) se reduce a lo que se conoce como la ecuación de Laplace.
1. Potencial Complejo
La ecuación de Laplace puede ser expresada en cualquier coordenada, dependiendo del problema en que se requiera resolverla. Particularmente para coordenadas cartesianas, considerando el caso bidimensional, obtenemos.
Entonces tomamos como la función conjugada de y de este modo encontramos el potencial complejo correspondiente a una recta. Una de las leyes de la electrostática indica que la fuerza eléctrica es perpendicular a las superficies (5) equipotenciales (superficies de potencial constante, es decir Φ Aplicamos (5) al problema planteado para encontrar los =cte), cuya dirección viene dada en un punto de la superficie como el gradiente del potencial eléctrico Φ. Para el caso potenciales complejos de las rectas. bidimensional, las superficies se consideran como curvas Donde la constante K mide la intensidad de carga, una equipotenciales en el plano XY. Si para un caso dado encontrásemos una solución adecuada a la ecuación de opuesta de la otra. El potencial complejo de la combinación Laplace sobre algún dominio D entonces podemos decir que de las dos rectas fuetes viene dado por la suma de los la solución Φ (x,y) es una función armónica, es decir una potenciales complejos. función de clase que satisface la ecuación de Laplace sobre el dominio D. Del cual podemos extraer casi directamente las expresiones de las líneas equipotenciales, como así también de las líneas de fuerza. 1.1. Teorema 1 Líneas equipotenciales: “Si una función f(z)=u(x,y)+iv(x,y) es analítica en un dominio D, sus funciones componentes u y v son armónicas en D. Dichas funciones se llaman armónicas conjugadas. ” Líneas de fuerza eléctrica: Del teorema anterior, si tomamos a la solución Φ (x,y) como la parte real de una función compleja analítica, entonces existe una única función real de dos variables, la cual es la conjugada armónica de Φ y notamos .
Esta función F(z) se denomina Potencial Complejo la cual presenta dos ventajas a la hora de emplearla. Una ventaja técnica en relación con la aplicación de métodos de análisis complejo ya que resulta más fácil manipular una función compleja, que sus partes real e imaginaria por separado; también una ventaja física ya que las curvas de se intersectan con las líneas equipotenciales formando un ángulo recto, lo que nos da la información directa de la dirección de las líneas de fuerza eléctrica. Un ejemplo simple de la aplicación del Potencial Complejo es determinar el potencial de un par de rectas que consideramos infinitas, con cargas opuestas de la misma intensidad en los puntos z=c y z=-c, sobre el eje real.
Primeramente encontramos el potencial para una recta ubicada en el origen, la cual consideramos que se extiende hasta el infinito por ambos extremos y que se mantiene a un potencial constante. Resolviendo la ecuación de Laplace usando coordenadas cilíndricas obtenemos la siguiente expresión. Donde los valores de a y b vienen determinados por el valor del potencial al que se mantiene la recta.
2. Aplicación del potencial complejo en otras áreas
Tal como se indicó en la introducción, el potencial complejo es de mucha ayuda en la resolución de problemas de conducción de calor y dinámica de fluidos, donde la ecuación de Laplace se hace presente. En problemas de flujo térmico se parte de la ecuación de calor, la cual expresa una relación diferencial entre la temperatura de cuerpo de algún material y el tiempo. Para casos estacionarios (es decir casos independientes del tiempo) bidimensionales, la ecuación de calor se reduce a la ecuación de Laplace.
En problemas de flujo bidimensional de fluidos ocurre lo mismo que el potencial eléctrico, donde las líneas de fuerza eléctrica se denominan líneas de corriente y como particularidad se establece la velocidad del fluido como el conjugado de la derivada del potencial complejo. ”[2]
III.
CONCLUSIÓN
Al termino del presente trabajo se pudo comprender de una manera clara el concepto de mapeo el cual nos resultó
conocido en cierta manera ya que en ciclos anteriores hemos utilizado este concepto para la explicación del jacobiano por ejemplo, pero mediante este trabajo pudimos comprender de mejor manera la utilización de estos procesos con las variables complejas. Se concluye también que la aplicación de métodos de análisis complejo desempeña un papel muy importante en la resolución de problemas de potenciales. Si bien en este informe no se incluyen cálculos que van más allá de encontrar una conjugada armónica o realizar una transformación de una región a otra, existen otros procedimientos y cálculos relacionados con el potencial que implican el uso de integrales o series de potencias que derivan en un menor número de cuentas, considerando el potencial complejo.
IV. [1]
REFERENCIAS
E. Kreizig. Matemáticas avanzadas para ingenieros volumen 2. Tercera edición. [2] M. W. Arce. (Marzo 2013). Análisis complejo aplicado a la Teoría del Potencial Eléctrico. Available: http://lcr.uns.edu.ar/fvc/NotasDeAplicacion/FVCMauricioArce.pdf
