Mapasment al es T er c erPar c i al
Integrales Múltiples Justificación Geométrica
Magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación y una región en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función
(si
es una región cerrada y
acotada y
está definida en ésta).
La integral de sobre está dada por:
Propiedades Las integrales múltiples comparten muchas de las propiedades de las integrales simples. Si f y g son funciones continuas en una región cerrada y acotada D en un espacio Rn y c una constante con respecto a todas las variables involucradas entonces se puede demostrar que:
Integrales Múltiples Integrales Dobles
Una integral doble, está definida con respecto a un área en el plano xy, existe si y sólo si las dos integrales iteradas existen y son iguales. Es decir, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada, sin importar si el orden de integración es dydx ó dxdy.
A veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales y en este caso no existe la integral doble, ya que se tie ne:
Cambio de variable de una integral doble
A menudo, es útil para reducir la complejidad de la integral cambiar una variable por otra que resulte más cómoda, sin embargo esto exige el cambio de la región de integración, además de añadir un factor de corrección al diferencial conocido como determinante jacobiano. Por otra es en un sentido geométrico, una transformación desde un espacio hasta otro, y es esta transformación la que exige estos ajustes.
Se obtiene una integral múltiple que es igual a la integral original, si es que esta existe.
Integrales Múltiples Aplicaciones de la integral doble
Áreas
Consideramos la región R acotada por ≤ ≤ 1 () ≤ ≤ 2 (). El área plana R está dada por la integral
Volúmenes
Si F en una región cerrada y acotada R del plano xy, entonces la integral doble de f sobre R está dada por:
COORDENADAS CILÍNDRICAS Y EESFÉRICAS
C. Cilíndricas
Cada punto (r, •, z) queda determinado por la interacción de un plano, un semiplano y un cilindro.
Ecuaciones de Transformación de Coordenadas Esféricas a Coordenadas Cartesianas
C. Esféricas
Cada punto ( , •, !) ) queda determinado por la interacción de un semiplano, un cono y una esfera.
Ecuaciones de Transformación de Coordenadas
Propiedades. Se cumplen las mismas propiedades que en la integral doble. 1. Toda función continua es integrable 2. Linealidad, monotonía y aditividad 3. Teorema de Fubini para integrales triples por el cual toda integral triple se puede hallar por integración reiterada.
INTEGRALES Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1 y W
TRIPLES
es una región acotada de entonces
Si f es una función acotada y, existe el no depende de la elección de
y
Los entonces se dice que f es integrable, y al valor de este límite se le llama integral triple sobre R, y se representa
Integrales triples sobre regiones más generales
Las regiones del Tipo I
Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1, entonces volumen.
(paralelepípedo con paredes frontal y posterior
son aquellas en las
Las regiones del tipo II
Las regiones del tipo III
Las regiones del tipo IV
= V representa el
que (paralelepípedos con paredes izquierda y derecha planas).
son aquellas en las que e (paralelepípedos con fondo y tapa planas) son aquellas que se pueden expresar indistintamente como regiones de los tipos I, II o III.
Aplicaciones Integral Triple
Se considera un sólido W que ocupa la posición de una región R en el espacio, siendo d(x,y,z) la densidad de masa en cada punto P(x,y,z).
Volumen de W
Masa de W
Momentos Estaticos
Centros de Masa
Momentos de Inercia
Campos Vectoriales
Sean M, N y P funciones de tres variables x, y, z definidas en una region plana R. La funcion F definida por F(x, y, z)= Mi+Nj+Pk se llama campo vectorial sobre R
Campo Conservativo
Un campo vectorial F se dice que es conservativo si existe alguna función diferenciable F tal que F=•f .
El campo vectorial s conservativo si y solo si rot f(x, y, z)=0.
Rotacional de un Campo Vectorial
Divergencia de un Campo Vectorial
Sea F(x, y, z)= Mi+Nj+Pk, el rotacional de F viene dado por
La divergencia de F(x, y, z)= Mi+Nj+Pk es
I nt egr aldel í nea enc ampos v e c t o r i a l e s c t o r i l
Si endo T elvect or t angent e uni t ari oal a cur va y ds el el ement o del ongi t ud dear co del acur va.Lai nt er pr et aci ón deest ai nt egr aldel í nea,yque es su defini ci ón bási ca,esl a mi sma que una i nt egr al or di nari adel af unci ónescal ar
Consi der emosuncampo v ec t or i alF , yseanP0=( x 0,y 0, z 0 )yP1=( x 1 ,y 1 ,z 1 )dospunt os fij osquedet ermi naneli ni ci oy elfinaldeunacur vaC.
Tr ayect or i adeunapar t í cul aal o l ar godeunacurv adent r odeun campo vect or i al . En l a part e i nf er i or e s t án l os v ec t or es del campo vi st osporl apart í cul aa medi daquevi aj aporl acur va.La sumadel ospr oduct osesc al ar es de esos vect or es con elvect or t angent e de l a cur va en cada punt odel at r ayect ori adacomo r es ul t adol ai nt eg r a ldel í nea.
El pr oduct o punt o de l a f unci ón que se i nt egr a puede desar r ol l ar se de l a si gui ent e maner a. Sea el campovect or i al
T eor emaFundament al
Elt eor emafundament aldelcál cul oest abl ecequel ai nt egralde unafunci ónfeneli nt erval o[ a,b]puedesercal cul adapormedi o deunaant i deri vadaFdef :
Porot r ol ado elt eor ema de Gr een haceal gosi mi l arendosdi mensi ones, r el a ci onal ai nt eg r a lal ol a r g odeuna curvasi mpl econ l ai nt egraldeuna combi naci ón de der i vadas sobr e un áreal i mi t adaporl acur vasi mpl e:
Si mi l arment e el t eor ema de l a di vergenci a r el aci ona l ai nt egralde una f unci ón sobr e una superfici econl ai nt egr aldeunacombi naci ónde deri vadassobr eeli nt eri ordelconj unt o:
T eor emade een eGr SeaCunacur vacer r adasi mpl eposi t i vament eor i ent ada,di f er enci abl eport r ozos,enelpl anoyseaD l ar egi ón l i mi t adaporC.SiP yQ t i enen deri vadasparc i al escont i nuasen unaregi ón abi ert aque cont i eneD,
Lasuper fici eSessi mpl ement el ar egi ón en elpl anoD,conelvect ornor maluni t ari on apunt ando( enl adi r ecci ónposi t i vadez)de t almaner aquecoi nci daconl asdefini ci ones de " or i ent aci ón posi t i va" par a ambos t eor emas( Gr eenySt okes) .Severi fican=k.
TEOREMA DE STOKES
El teorema de Stokes en geometría diferencial es una proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes fechada el 2 de julio de 1850. Stokes puso el teorema como una pregunta en el examen de 1854 del Premio de Smith, lo que dio como resultado que ahora lleve su nombre
El Teorema de Stokes generaliza la fórmula de Green, estableciendo la igualdad entre una integral de línea y una de superficie.
El Teorema de Stokes establece que el cálculo de la integral de línea del campo vectorial F en la dirección tangencial de la curva C, es igual a la integral sobre la superficie S de la circulación del campo F alrededor de la frontera, en la dirección de la componente normal unitaria a la superficie, siendo la curva C es una curva orientada positivamente, de tal manera que es la frontera de la superficie orientada positivamente S.
Teorema. Sea S una superficie orientada, suave a trozos, limitada por la curva simple cerrada C, suave a trozos, con orientación positiva. Sea F (x, y, z) un campo vectorial cuyas componentes tienen primeras derivadas parciales continuas en alguna región abierta que contiene a S.
INTEGRAL DE SUPERFICIE
La integral de superficie es una extensión del concepto de integral doble, de igual modo en que la integral de línea es una extensión del concepto de integral de Riemann clásica. Como el nombre lo dice, es aquella integral cuya función es evaluada sobre una superficie.
DE UN CAMPO ESCALAR
DE UN CAMPO VECTORIAL
SUPERFICIE CERRADA
E
