L
os hidalguenses planteamos un proyecto de gobierno que emana de la voz y participación ciudadana. Somos un pueblo ávido por continuar por la ruta del progreso y estamos decididos a transformar nuestro entorno por medio de acciones que coadyuven a elevar el nivel de bienestar de nuestra gente. Situados en esta trascendental empresa social, ubicamos a la educación como el pilar del desarrollo, pues estamos convencidos de que al educar edificamos en el presente el mayor patrimonio que podemos ostentar en la entidad.
Lic. Francisco Olvera Ruiz Gobernador Constitucional del Estado de Hidalgo
En ese compromiso, formulamos e implementamos estrategias que permiten ofrecer servicios educativos de calidad, que garantizan en su ejecución la equidad y cobertura total, el respeto a los derechos humanos, el aprovechamiento de las tecnologías de la información y la comunicación y el reconocimiento pleno a la diversidad cultural. Por ello, seguimos trabajando con los jóvenes que aspiran e ingresan a la educación media superior, al evolucionar los procesos de enseñanza–aprendizaje por medio de la colaboración decidida del personal docente, que se esfuerza, se capacita y profesionaliza en el día a día, con el firme compromiso de mantenerse a la vanguardia y ser garantes de la competitividad que exige el servicio educativo del siglo XXI. Es la razón que nos motiva y por la cual al inicio de este gobierno nos propusimos entre otros retos, incrementar la cobertura escolar y a escasos cuatro meses empiezan a surgir los logros, al autorizar la apertura de dos nuevos planteles del Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Hidalgo que se ubican en zonas estrategias de la geografía estatal. Tal es el caso del Plantel San Bartolo Tutotepec que atiende a la población de la región Otomí-Tepehua y el Plantel Mineral del Chico, municipio recién nombrado pueblo mágico, en donde convergen jóvenes que residen en gran parte de la zona metropolitana de Pachuca. Ahí, se imparte educación tecnológica pertinente a las necesidades y recursos propios del entorno, pues trabajamos con ahínco para posicionarlas como detonantes del desarrollo económico y progreso social. Tenemos confianza en el CECyTEH, institución que sabe dar resultados, que se posiciona en el ámbito estatal y nacional por la calidad de su servicio, que diversifica constantemente su oferta educativa al implementar para esta administración gubernamental 32 componentes de formación profesional, pero sobre todo, porque su comunidad demuestra en los hechos, el compromiso que tiene con Hidalgo, tierra de trabajo.
1
Profr. Joel Guerrero Juárez Secretario de Educación Pública de Hidalgo
E
n Hidalgo la educación tiene rumbo y proyecto definido, sabemos nuestros retos y reconocemos nuestras fortalezas. Coincidimos con los preceptos del Lic. José Francisco Olvera Ruiz gobernador constitucional del estado de Hidalgo, de que el capital más prestigiado que poseemos es el personal que con gran convicción presta sus servicios en el sector educativo. Nuestra mayor oportunidad son los jóvenes que desean superarse y que ingresan con entusiasmo a las instituciones educativas. Que tienen sueños y aspiraciones que quieren cumplir y que al expresarlos, detonan el interés y compromiso de los servidores públicos del sector educativo y de la propia sociedad; en ellos, se depositan nuestros más grandes anhelos de progreso y bienestar. Vivimos el bono demográfico más importante en la historia de México, por ello para Hidalgo la educación media superior es tema central en la agenda educativa que impulsa el gobierno del estado. Trabajamos de manera decidida para garantizar el acceso universal de las presentes generaciones y la incorporación de las escuelas de educación pública al Sistema Nacional de Bachillerato. Por tal motivo, la contribución que hace el personal del CECyTEH en beneficio de la juventud hidalguense es de suma importancia, pues su participación se distingue en la construcción armónica del tejido social. Las competencias que posee su personal es reflejo de la diversidad de profesiones que ofertan a la sociedad y el compromiso que tienen con la calidad educativa de la entidad. En ellos, depositamos la confianza de lograr constituir a la educación tecnológica como el eje articulador del desarrollo regional, integral y sustentable. Para el 2012 se vislumbran grandes retos en materia educativa, pero estamos convencidos que con la participación del CECyTEH El rostro joven de la educación media superior, Hidalgo seguirá cosechando triunfos y sumando resultados.
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E
l Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Hidalgo, cosecha triunfos y entrega resultados, gracias al equipo de colaboradores que se distinguen por su amplia vocación de servicio, dominio de su profesión, y sobre todo, la actitud joven y emprendedora que muestran en el ejercicio de sus funciones. Su entrega y sacrificio siempre serán reconocidos por la sociedad hidalguense, pues logran formar profesionistas que en su actuar transforman su entorno, haciéndolo más atractivo y promisorio. La edición de este valioso manual es resultado del encuentro exitoso de académicos que se reúnen para continuar con el consenso colegiado de las ideas, y que se materializan en las iniciativas que posicionan al CECyTEH como una institución vanguardista y emprendedora.
C.D. Alfredo Bejos Nicolás Director General del Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Hidalgo
El recurso didáctico que entregamos a las y los estudiantes, es producto de muchas horas de trabajo esmerado, y disposición permanente del Consejo que formula la Acción estratégica para el fortalecimiento académico en habilidad matemática y comprensión lectora. Con dicha estrategia, aspiramos a consolidar la preparación de los estudiantes próximos a egresar y que a partir del 23 de enero, cursan el sexto semestre; es decir, iniciamos dos semanas antes, pues tenemos el compromiso de hacer de su educación, el medio supremo para alcanzar el éxito. Jóvenes que en próximos días sustentarán pruebas de gran trascendencia en su vida, como es la Evaluación Nacional de Logro Académico, el ingreso a las instituciones de educación superior y el anhelado sector laboral. Por esa razón, con nuestro propio personal diseñamos una plataforma y evaluamos en línea a dichos alumnos el semestre pasado, con la visión de identificar oportunamente sus potencialidades y posibles debilidades. Una vez procesada la información, presentamos el diagnóstico que generó el sistema a este valioso Consejo Académico, el cual lo estudió y con su talento, editaron los manuales de entrenamiento que compartimos con todos los maestros a fin de conocer sus valiosas aportaciones, para posteriormente realizar la edición final. Por ello, durante este semestre entrenaremos a los estudiantes en estas dos áreas de oportunidad; tan cuestionadas por los resultados obtenidos en las diversas evaluaciones que sean aplicado en México por organismos nacionales e internacionales. Pero que en el CECyTEH se han constituido como experiencias de éxito. Por ello, el Lic. Francisco Olvera Ruiz Gobernador Constitucional del Estado de Hidalgo, continúa apoyándonos y asume con nosotros la empresa de superar los resultados obtenidos para consolidar al CECyTEH, como una institución triunfadora. Para lograrlo, el Lic. Olvera destina recursos suficientes para impulsar esta ambiciosa estrategia, en donde su gobierno capacita al personal con el compromiso de entregar los libros de texto gratuito, diseñados y aplicados por los propios docentes del CECyTEH; semillero de talentos y baluarte de este grandioso Colegio. Apreciados docentes, los invito hacer de estos entrenamientos un espacio de diversión, reflexión y aprendizaje significativos de las y los alumnos. Que nunca sean vistas como un par de asignaturas más, y logremos propiciar un momento diferente y emocionante, en donde alentemos las expectativas de vida y superación de los estudiantes. ¡Así trabajamos por Hidalgo, porque Hidalgo, es tierra de trabajo! 3
E
l ser creativo es una condición humana que se adquiere al desarrollar las competencias para transformar lo cotidiano en oportunidades de desarrollo.
Es en las instituciones educativas donde debe estimularse el sentido creativo de las personas para que en la colectividad, se generen proyectos factibles, pertinentes y sustentables, que integren la aplicación de competencias adquiridas en las diversas áreas de formación, a fin de propiciar la transformación del entorno y la evolución de la sociedad.
Ing. Juan Benito Ramírez Romero Director de Academia del CECyTEH
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La edición de este manual de habilidad matemática estuvo a cargo de la Dirección General del Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Hidalgo, la Dirección Académica y el Consejo Técnico.
Coordinadores del Proyecto C.D. Alfredo Bejos Nicolás Director General Ing. Juan Benito Ramírez Romero Director de Academia Lic. Liliana López Reyes Jefe de Departamento de Extensión Educativa Arq. Renán Tlacaélel Mejía Soto Coordinador Editorial
Elaborado por los siguientes docentes del CECyTEH.
Nely De Jesus Chapa Contreras Sauly Argelia Camacho Guerrero Luvianca Melo Vite Araceli De La Cruz Ramirez Devora Escorcia Custodio Rodolfo Hernandez Pelcastre Antonio Torres Martinez
Tizayuca Ixmiquilpan Omitlan Chapuluacan Pachuca Tizayuca Tizayuca
Quinta edición CECyTEH, Enero, 2012. 2012, Quinta edición SEP/CECyTEH. Pachuca, Hidalgo.
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6
Razonamiento Formal
18
Aritmética
23
Álgebra
45
Geometría
49
Geometría Analítica
72
Cálculo
85
Estadística
90
Probabilidad
95
Trigonometría
E
l razonamiento a la facultad que permite resolver problemas, extraer conclusiones y aprender de manera consciente de los hechos, estableciendo conexiones causales y lógicas necesarias entre ellos. El razonamiento lógico matemático permite desarrollar competencias que se refieren a la habilidad de solucionar situaciones nuevas de las que no se conoce de antemano un método mecánico de solución, (Alsina y Canais 2000). TEMAS ? Ordenación y Clasificación ? Acertijos ? Series ? Vistas ? Ubicación Espacial
ORDENACION Y CLASIFICACIÒN ACTIVIDAD UNO Escribe en cinco minutos, todas las cantidades diferentes que puedas formar con los siguientes números, sin repetirlos y contesta. Números formados:
¿Cuál es el número mayor que formaste?
¿Qué cantidad es la de menor valor?
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d)
Números formados:
¿Cuál es el número mayor que formaste?
¿Qué cantidad es la de menor valor?
ACTIVIDAD DOS Carolina elaboró una lista con los nombres de sus compañeros y quiere clasificarlos en tres grupos distintos. Ayúdale a clasificarlos según alguna característica.
¿Cuántas cantidades crees que se puedan formar con los cuatro números de cada lista?
Mercedes Leonor Miriam Mónica Lorenzo
Se pueden formar ___________ cantidades. Escribe paso a paso el procedimiento que usaste para formar las distintas cantidades
Janet Lucrecia Lauro Julio Julieta
María Julián Marcos Luis
Lucio Jacinto Javier Lilia
Elabora las tres clasificaciones:
Anota, junto con tres compañeros o compañeras, en una cartulina todos los números que obtuvieron. ¿Qué característica tomaste en cuenta en cada uno de los grupos? Clasifica los dibujos que aparecen en las siguientes series del más sencillo al más complejo anotando en el recuadro de la parte inferior el numero uno para el más sencillo y el cuatro para el más complejo. a) Continúa la secuencia : Lauro, Leonor;
Escribe una lista de diez nombres con las mismas letras iniciales.
b)
c)
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A Jessica, Roxana, Vanesa y Pilar, les dicen: “La Flaca”, “La Chata”, “La Coneja” y “La Negra”. Nota: A ninguna de ellas le corresponde su apodo en ese orden.
ACERTIJOS ACTIVIDAD TRES Encuentra la vinculación de los números que aparecen en la columna d con los de las columnas a, b y c.
Se sabe que: ? “La Coneja” le dice a Pilar que “La Chata” está con gripe. ? Roxana, “La negra”, es amiga de ”La Chata”.
Anota el número que debe sustituir al signo de interrogación.
¿Quién es “La Chata”? ACTIVIDAD CUATRO SERIES Anota entre las comas tres números que sean acordes con la serie: ___ , ___ , ____ , 81, 243 , 729. Completa la siguiente serie : 2, 4, 8, 16, 32, ___, ___ Completa la siguiente serie: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ___, ____, ____ Completa la siguiente serie: 1, 4, 9, ___ , ___ , ___ , 49, 64, 81, 100.
El número es:_____________
Traza el siguiente triángulo y determina cuántos puntos son en la serie y cuántos triángulos se pueden trazar. Los puntos son los vértices. Dibuja el siguiente triángulo de la serie.
El número es:_____________
¿Qué estrategia empleaste para encontrar el número que sustituye al signo de interrogación?
Observa las series y continúalas:
Completa los cuadrados con los números del 1 al 5, de modo que en ninguna hilera, columna o diagonal se utilice el mismo número más de una vez. Escribe el número que debe ir en el lugar del signo de interrogación.
El número es:_____________
El número es:_____________
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ACTIVIDAD CINCO VISTAS De la figura siguiente observa cómo se representan algunas de sus vistas:
¿Que estratégia utilizaste ?
De la figura observa lo que se te muestra y representa lo que se te indica
ACTIVIDAD SEIS UBICACION ESPACIAL Del siguiente plano observa qué desde el punto 1 es posible tomar la siguiente fotografía.
¿Que estratégia encontraste para poder representar las dos vistas? De las siguientes figura representa las vistas que se te solicitan:
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ACTIVIDAD SIETE EJERCICIOS De los siguientes ejercicios subraya la respuesta correcta 1. ¿Qué figura de entre las seis propuestas completa la serie?
¿Qué fotografia se podrà obtener desde el punto No. 2 Dibujala aquí
a)
b)
c)
d)
2. ¿Qué figura de entre las seis propuestas completa la serie?
a)
¿Qué fotografìa se podrà obtener desde el punto No. 3? Dibujala aquí
b)
c)
d)
c)
d)
3. Descubre la carta oculta
¿Qué estrategia utilizaste para poder representar las fotografìas?
a)
11
b)
7. Si la figura gira 90o en el eje vertical y en el eje horizontal alternadamente. ¿Cuál de las opciones representa la siguiente posición de la figura?
4. ¿Cuál es la carta oculta?
a)
5. Complete la serie con la figura correspondiente:
a)
b)
c)
b)
c)
d)
8. Observe el siguiente plano: ¿Desde cuál de los puntos señalados es posible tomar la siguiente fotografía?
d)
6. Si la figura gira 90o en el eje vertical y en el eje horizontal alternadamente. ¿Cuál de las opciones representa la siguiente posición de la figura?
a)
b)
c)
d)
12
a)
b)
c)
d)
1
2
3
4
9. Este es un cuerpo sólido. Obsérvalo muy bien y ahora responde, ¿En qué posición (a, b, c o d ) se encontrará si lo hacemos girar 90° a la derecha?
12. Completa la siguiente serie
A) 6 / 1
B) 0 / 0
C) 1 / 6
D) 1 / 1
13. Los planos que se muestran a continuación constituyen las vistas frontal, superior y laterales de una figura tridimensional.
¿A cuál de las siguientes corresponden? a)
10. Elije la opción que continua con la siguiente sucesión.
a)
b)
c)
b)
c)
d)
d) 14. Los planos que se muestran a continuación constituyen las vistas frontal, superior y laterales de una figura tridimensional.
11. De la siguiente figura determina cual de las opciones corresponde a la parte que falta.
¿A cuál de las siguientes corresponden? a) a)
b)
c)
d)
13
b)
c)
d)
15. Cuál es el cuerpo tridimensional que se forma con la siguiente plantilla.
18. ¿Cuál es el número de caras que tiene el cubo con los cambios efectuados?
A) 15 a)
b)
c)
d)
B) 6
C) 9
D) 12
19. ¿A cuál figura tridimensional corresponden las siguientes vistas, lateral frontal superior e inferior?
16. Seleccione la figura que se puede construir utilizando los fragmentos presentados.
a)
a)
b)
c)
b)
c)
d)
d) 20. Una persona está observando una escultura en la posición que se muestra en la figura. Si dicha escultura se rota 90º en sentido de las manecillas del reloj ¿Cuál será la vista de la figura que tendrá esta persona después del movimiento?
16. Seleccione la figura que se puede construir utilizando los fragmentos presentados.
a)
b)
c)
d)
14
21. A es más joven que B; C es más viejo que A; D es más viejo que C. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
26. En la siguiente figura se muestra la posición inicial de un observador A y la vista del plano que observa de la figura. Si el observador se desplaza en línea recta como indican las flechas de A a B y de B a C , alrededor del objeto, ¿cuál será la nueva vista que tendrá este observador del objeto?
a) C es más viejo que B b) B es más viejo que C c) A es más viejo que D d) D es mas viejo que A 22. Si se sabe que A + B = 13 y A x B = 36 , ¿cuál es el resultado de 2 x (A + B) + 2 x A x B? a) 98 b) 110 c) 132 d) 142
a)
b)
c)
d)
23. A lo largo de una carrera hay cuatro pueblos seguidos: los Rojos viven al lado de los Verdes pero no de los Grises; los Azules no viven al lado de los Grises. ¿Quiénes son entonces los vecinos de los Grises? a) Los Rojos y los Verdes b) Los Verdes c) No puede determinarse d) Los Rojos
27. El último engrane de una serie de 89 gira en sentido de las manecillas del reloj. ¿Cómo es la velocidad y en qué sentido gira el primer engrane de la serie?
24. ¿Cuál de las siguientes palabras hay que descartar? a) Brazo b) Pierna c) Boca d) Mejilla 25. ¿Cuál es la posición de la figura al aplicar una rotación de 90o sobre el eje AB?
a) A la misma velocidad y en el mismo sentido. b) A mayor velocidad y en el mismo sentido. c) A menor velocidad y en el sentido contrario. d) A la misma velocidad y en sentido contrario.
A
28. Un caracol se encuentra sobre una tabla. Si el caracol se moviera hacia delante y al mismo tiempo se moviera la tabla hacia atrás, con igual velocidad, ¿A qué distancia estaría el caracol del punto de partida a los tres minutos?
B
a)
b)
c)
d)
a) 0 b) 8 c) 2 d) 3
15
29. En un pozo, el nivel del agua se encuentra a 8 m. de profundidad y sobre éste descansa un cangrejo, si durante el día, el nivel del agua aumenta dos metros y durante la noche disminuye un metro. ¿A los cuántos días el cangrejo puede salir del pozo?
34. Completa la siguiente serie de figuras:
a) segundo b) sexto c) cuarto d) octavo
a)
30. De la siguiente serie observa y determina ¿Qué números que van en la cuarta figura?
b)
c)
d)
35. ¿Que figura completa la siguiente serie?
a) a) 13 y 52 b) 11 y 44 c) 12 y 48 d) 9 y 36 31. Encuentre los números que faltan en la secuencia: 1, 4, 2, 5, 3, 6, ____, ____, 5, 8 a) 6, 9 b) 4, 10 c) 7, 10 d) 4, 7 32. Encuentre los números que faltan en la secuencia: 0.2, 0.4, 0.8, 1.6, ___, ___ a) 2.3 , 4.8 b) 3.2 , 6.4 c) 1.8 , 3.6 d) 3.8 , 7.2 33. En la siguiente serie un número está equivocado 5, 10, 20, 40, 80, 160, 310, 640 y cuál es el número equivocado y cuál debe ser el siguiente a) 20 debe ser 30 b) 310 debe ser 320 c) 640 debe ser 620 d) 160 debe ser 155
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b)
c)
d)
Es la habilidad para realizar operaciones numéricas fundamentales que conduzcan a la solución de problemas. Permite el manejo de cantidades numéricas expresadas de diferentes maneras (enteros, positivos, negativos, fracciones comunes, decimales, con notación exponencial, etcétera), en operaciones fundamentales para la solución de problemas. TEMAS ? Numeros enteros ? Enteros en la recta numerica ? Operaciones con entero ? Porcentaje ? Regla de tres ? Facciones ? Fracciones en la recta ? Fracciones equivalentes ? Fracciones mixtas ? Operaciones con fracciones
LA MAGIA DE LOS NÚMEROS (Recomendación de libro)
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ACTIVIDAD DOS Ubica los siguientes números naturales sobre la recta; Dibuja puntos rojos en la ubicación correcta: a)- 23 d) 0
b) 29 e) 101
c) - 34 f) - 1
ACTIVIDAD TRES 3. Encuentra los números que completan la torre. La suma de los números de dos bloques inferiores debe ser igual que el número del bloque superior de éstos. Se recomienda empezar por la parte superior, esto es, por el número 90.
ACTIVIDAD UNO ENTEROS Ordena los nombres de los científicos, de acuerdo con los criterios. a)El año de nacimiento, en orden ascendente (de menor a mayor); b)El año de fallecimiento, en orden descendente; c)La edad a la fecha de defunción, en orden descendente. OBSERVA LOS EJEMPLOS CIENTIFICO Isaac Newton
CICLO DE VIDA 1643-1727
Albert Ein stein
1879-1955
Galileo Galilei
1564-1642
Evaris to Galo is
1811-1832
Carl F. Gauss
1777-1855
NACIMIENTO Galileo Galile i
FALLECIMIENTO
EDAD
Carl F. Gauss
Evaristo Galois
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ACTIVIDAD CUATRO
FRACCIONES
Resuelve los siguientes problemas y ejercicios:
ACTIVIDAD UNO ¿Dónde utilizamos fracciones?
1. En la primera quincena de abril, Mariana ganó $ 395 y Julieta $ 30 más que Mariana. ¿Cuánto ganó Julieta?
Al seguir instrucciones de una receta de cocina, fraccionamos los ingredientes.
En esa quincena juntaron su dinero y compartieron gastos. Entre las dos gastaron $420. ¿Cuánto dinero les quedó?
Cuando vamos al supermercado y queremos adquirir algún alimento como: medio litro de jugo (1/2), un cuarto de kilo de café (1/4), tres cuartos de kilo de queso (3/4) estamos utilizando la noción de fracción.
2. Juan Pérez acabó el Bachillerato a los 16 años, se graduó en Química 5 años después, se doctoró 4 años después de graduarse en Química, obtuvo el nombramiento de catedrático 3 años después de doctorarse y ese mismo año se casó. Si Juan Pérez nació en 1955, en qué año se casó?
Al repartir alimentos como pizza, tortas, pan, chocolate, panque…entre otros seguimos fraccionando. También cuando queremos comprar telas la adquirimos utilizando nuestros conocimientos acerca de fracciones.
3. 4(10-7) - 3(5+3) + 7(6-4) = COMPLETA ¿Dónde más se utilizan? 4. (12)(5) – (8)(7) + (16)(9) = 5. Calcula el IVA y el precio final de los siguientes productos:
ACTIVIDAD DOS 6. Con el programa CONSTRUYE-T se pretenden realizar diferentes actividades durante el semestre. Para lo cual se organizó el comité y La coordinadora de dicho programa presento las siguientes propuestas con sus respectivas ponderaciones:
Necesitas estar atento a lo que escuchas, al menos en un día. Graba con tu celular ó escribe en tu cuaderno cuando escuches que menciona la gente alguna palabra como: a) medio b) tercio c) partes e) porción f) cuarto
? ¿Qué población eligió feria gastronómica? ? ¿Qué población eligió clase muestra? ? ¿Qué población eligió empastando la escuela?
¿Cuándo las utilizan?
¿Qué otras palabras escuchaste que se relacionan con las anteriores?
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Identifica la representación gráfica que corresponde a cada fracción y marca con diferentes colores las líneas que las relacionan. Ordénalas de mayor a menor en la siguiente línea
ACTIVIDAD CINCO AÑO 2000, AÑO DE LAS MATEMATICAS
4/8
2/3
¿Cómo se llamó la mujer matemática que contribuyó a la tecnología informática, dando a conocer COBOL, en 1959? Escribe la letra mayúscula sobre la línea del código que tenga la respuesta correcta y lo sabrás.
3/4
Efectúa las siguientes operaciones de fracciones y simplifícalas:
5/12
3/9 ACTIVIDAD CUATRO Analiza los siguientes problemas y resuelve. 1. Observa las figuras.
El área de A = 1/6 del área de D El área de B = 1/9 del área de D El área de C = 1/18 del área de D ¿Qué parte del área del cuadrado D está pintada?
CÓDIGO
1/2
2. Estaba una jarra con leche a la mitad de su capacidad y al agregarle 2 litros de leche llegó hasta 3/4 de su capacidad. ¿Cuál es la capacidad total de la jarra?
-2 1/2
1 5/8
13/72 -11/12
2 2 11/18 2/5
5/24 5/24 -11/12
ANALIZA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS SUBRAYA LA RESPUESTA CORRECTA
3. La sexta parte del número 102 es la tercera parte de otro número. ¿Cuáles son los números que buscamos?
1.- ¿Cuál De las siguientes fracciones es equivalente a 6/8?
4. Daniel tiene un puesto de jugos. Para hacer un jugo de zanahoria grande ocupa 2/4 de 24 zanahorias. ¿Cuántas zanahorias son?
2.- Identifica el resultado de la siguiente operación aritmética
5. Javier y Enrique están compitiendo en una caminata. Javier lleva recorrido 3/5 y Enrique lleva 6/10 del total del recorrido. ¿Cuál de los dos va ganando? ¿Por qué? Representa en la siguiente recta los recorridos en ese momento:
6. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación (4/9) (2/5) (3 2/7)? 20
-2 1/2
21
31.- La temperatura registrada en una ciudad a las 3 a.m. fue de 0.9 °C. si para las 4 a.m. la temperatura se redujo a la mitad, ¿en cuál de las siguientes rectas numéricas se ubica la temperatura registrada a las 4 a.m.
32.- Un ejército al iniciar un combate avanza 6 kilómetros cada noche y en el día retrocede 2 kilómetros. ¿A qué distancia del punto inicial se encuentra al finalizar el quinto día?
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A
través de tu actividad escolar en el Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Hidalgo CECyTEH, te has dado cuenta que muchas de las asignaturas tienen relación directa con las matemáticas y particularmente con el álgebra. Es decir, con el lenguaje que denominamos lenguaje algebraico. Para lograr que ésta forma de expresión alcanzase la categoría de lenguaje, muchas personas, como tú, han observado, investigado, analizado y estudiado su transformación a través del tiempo; por ejemplo: Las reglas geométricas se empleaban para calcular las superficies de terrenos, para estimar la producción agrícola por parcela, los volúmenes de estructuras y la cantidad de ladrillos o piedras necesarios para levantar un templo o una pirámide. La cultura Babilonia empleaba el álgebra en obras de irrigación, en la construcción de sistemas de canales para regar las tierras áridas con las aguas del Tigris y del Éufrates. La aplicaron en la astronomía, para confeccionar el calendario y para la navegación. El primer autor de álgebra es AHMES (c. 1550 a. C.) cuyo trabajo ha llegado a nuestro tiempo mediante el Papiro Rhind, antiguo documento matemático que contiene 85 problemas entre los que figuran algunos relativos a ecuaciones lineales y series, hallado en las ruinas de un pequeño edificio antiguo de Tebas. El papiro fue adquirido por el Brítish Museum, estaba roto en dos pedazos y le faltaban algunos fragmentos. Por una de esas raras casualidades que ocurren a veces en arqueología, varios fragmentos de la parte que faltaba aparecieron, medio siglo más tarde, en los archivos de la Hitoric Society, de Nueva York. Obtenidos junto con otros papiros por el coleccionista EDWIN SMITH. Los fragmentos iluminaron algunos extremos esenciales para comprender el conjunto de la obra. El rollo consistía en un manual práctico de matemáticas egipcias, escrito hacia el 1700 a. J.C. Varios científicos estuvieron de acuerdo en que era una antigüedad de primer orden; nada menos, como dijo posteriormente D'ARCY THOMPSON, que «uno de los antiguos monumentos del saber». Aún hoy sigue siendo nuestra principal fuente de conocimientos acerca de cómo contaban y medían los egipcios.
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Una de las razones para el desarrollo del álgebra alrededor de 2000 a.c., parece haber sido el uso de la antigua escritura sumeria, como de jeroglíficos, colección de ideogramas, en donde cada guarismo o signo denotaba un concepto simple. Actualmente éstos denotan conceptos pronunciados en forma diferente. TRADUCIENDO EXPRESIONES ALGEBRAICAS Palabras Claves
Adición ( + )
Sustracción ( - )
Suma Añadir Más aumentado por más que
Resta Diferencia Menos menor que disminuido por quitado de
Multiplicación ( · )
Multiplicar Producto Veces de
División ( ÷ / )
Dividir dividido por cociente
Una cantidad desconocida se puede representar con alguna letra comúnmente llamada variable. Ejemplos: Traducir cada frase usando símbolos.
Ejercicios: 1. Elabora una tabla con 10 expresiones en lenguaje común, que empleas frecuentemente en tu vida diaria y represéntalas en lenguaje simbólico. 2. Comparte con tus compañeros, las propuestas anotadas en la tabla que realizaste y discute las diferentes formas de expresarlas. Si tienes dudas consulta a tu entrenador.
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Ejercicios. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes oraciones:
Lenguaje común
Lenguaje algebraico
Dos números cuyo producto es 18 Tres cubos consecutivos Un múlt iplo de 5 más su doble La raíz cuadrada de la diferencia de dos cantidades Los cuadrados de tres números consecutivos Dos números que sumen 34 El doble de un número menos cuatro quintos del mismo número El cociente de un número entero entre su antecesor El recíproco de un número La edad de una persona hace 10 años Los ángulos de un triángulo, si el primero es el doble del segundo Las dos terceras partes de un número, más el triple de su consecutivo, menos su recíproco equivale a 10 El perímetro de un triángulo rectángulo, si se sabe que el cateto mayor mide tres unidades más que el cateto menor, y que la hipotenusa es dos unidades mayor que el cateto mayor. El área de un cuadrado de lado “x” unidades Un número disminuido en tres 1. Dada una expresión algebraica, representa en lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas: Ejemplos:
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Ejercicios:
Escribe usando símbolos y simplifica el resultado: Ejemplos: Lenguaje común
Expresión
La suma de 24 y 19
24 + 19 = 43
19 más que 33
19 + 33 = 52
Dos veces la diferencia de 9 y 4
2(9 - 4) = 10
El producto de 6 y 16
(6)(16) = 96
3 veces la diferencia de 27 y 21
3(27 - 21) = 18
La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al cuadrado
92 - 42 = 81 - 16 = 65
El cociente de 3 al cubo y 9
33? = 27? = 3 9 9
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Estimado alumno, te recomendamos realices la actividad sin presión y sólo por el gusto de aprender y mejorar en la comprensión. Recuerda que la práctica hace al maestro, cada vez que resuelvas uno de los ejercicios y antes de continuar repítelo en voz alta, concentrándote en la forma de su escritura y lectura. Asimismo, recuerda que existen diferentes formas de expresar una misma expresión inténtalo sobre todo en aquellos ejercicios que te hayan causado mayor problema al resolverlo, ánimo y adelante.
Lenguaje común 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.
Lenguaje algebraico
El doble de un número menos su cuarta parte. Años de Ana Belén dentro de 12 años. Años de Isabel hace tres años. La cuarta parte de un número más su siguiente. Perímetro de un cuadrado. Un número par. Un número impar. Un múltiplo de 7. Dos números enteros consecutivos. Dos números que se dif erencian en dos unidades. El doble de un número menos su quinta parte. El quíntuplo de un número más su quinta parte. La edad de una señora es el doble de la de su hijo menos 5 años. Dos números se diferencian en 13 unidades. Dos números suman 13. Un hijo tiene 22 años menos que su padre. Dos números cuya suma es 25.
18. La cuarta parte de la mit ad de un número. 19. Dimensiones de un rectángulo en el que su largo tiene 6 metros más que el ancho. 20. Un tren tarda tres horas menos que otro en ir de Madrid a Barcelona. 21. Repartir una caja de manzanas entre seis personas. 22. Un número es 10 unidades mayor que otro. 23. Un número menos su mitad más su doble. 24. Un número 5 unidades menor que otro. 25. El cuadrado de un número. 26. Un número y su opuesto. 27. Un número y su inverso. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34.
Veinticinco menos el cuadrado de un número. El cuadrado de un número menos su cuarta parte. Dividir 25 en dos partes. La suma de un número al cuadrado con su consecutivo. La suma de un número con su consecutivo al cuadrado. El cociente entre un número y su cuadrado. La diferencia de dos números impares consecutivos.
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Lenguaje común
Lenguaje algebraico
1. El producto de un número con su consecutivo. 2. La diferencia de dos números consecutivos elevados al cuadrado. 3. Triple de un número elevado al cuadrado. 4. Restar 7 al duplo de un número al cuadrado. 5. Roberto es cinco años más joven que Arturo. 6. Antonio tiene 20 euros más que Juan. 7. Carmen supera a Concha en tres años 8. El precio de “m” libros a 49 euros cada uno. 9. Dos múltiplos de tres consecutivos. 10. El número que es la cuarta parte del número “y”. 11. El 25% de un número. 12. Lo que cuestan “c” metros de cuerda si cada metro cuesta 8 euros. 13. El beneficio que se obtiene en la venta de un artículo que cuesta “a” euros y se vende por “b” euros. 14. Lo que cuesta un lápiz si 15 cuestan “p” euros. 15. El número que representa 12 unidades más que el número “x”. 16. La edad de Juan es ocho veces la de Rafael. 17. El número que representa 20 unidades menos que el número “h”. 18. El número que es tres veces mayor que el número “n”. Considerando un rebaño de “x” ovejas: 19. Número de patas del rebaño. 20. Número de patas si se mueren 6 ovejas. 21. Número de ovejas después de nacer 18 corderillos. 22. Número de ovejas después de dos años si el rebaño crece un cuarto al año. Considerando que Ana tiene “x” euros: 23. Enrique tiene 100 euros más que Ana. 24. Susana tiene el doble de Enrique. 25. Charo tiene 400 euros menos que Susana.
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TÉRMINO ALGEBRAICO Es la expresión básica algebraica que combina 4 elementos:
Ejercicio: Elabora la siguiente tabla proponiendo términos algebraicos identificando cada uno de los elementos que los componen.
Término algebraico
signo
coeficiente
29
literales
exponente
VALOR NUMÉRICO Sustituye en las expresiones propuestas el valor indicado y subraya la opción que conteste acertadamente el reactivo: Para:
30
OPERACIONES ALGEBRAICAS ADICIÓN SUSTRACCIÓN PRODUCTO COCIENTE MONOMIO con MONOMIO POLINOMIO con MONOMIO POLINOMIO con POLINOMIO Resuelve las siguientes operaciones y subrayar la opción que indica el resultado correcto:
31
32
33
20) Observe el siguiente plano de distribución de una casa, la cual se proyecta en un terreno rectangular.
a) b) c) d) e)
La superficie de las recámaras El área del baño La superficie de la cocina El área del comedor La superficie que abarca la construcción exceptuando el corredor.
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Ejercicio: Analiza el resultado y escribe el (los) elemento(s) faltante(s) en la operación:
PRODUCTOS NOTABLES - FACTORIZACIÓN Productos notables Los productos notables son expresiones algebraicas tipificadas por sus características y su empleo frecuente en el aprendizaje matemático. Los resultados obtenidos del desarrollo de éstos proporcionan por una parte, una forma de expresar expresiones de uso frecuente y por otra la bien intencionada simplificación de las mismas para facilitar la comprensión y análisis de expresiones con cierta complejidad. Asimismo se obtienen mediante un simple desarrollo sin necesidad de efectuar el producto. Producto notable
Ejemplo
Se obtiene
Ejemplo
Cuadrado de un Binomio
??? ± ??? 2
Trinomio Cuadrado Perfecto
??2 ± 2???? + ??2
Cubo de un Binomio
??? ± ??? 3
Cubo perfecto
??3 ± 3??2 ??+ 3????2 ± ??3
Binomios conjugados
(?? + ??)(?? - ??)
Diferencia de cuadrados
??2 - ??2
Binomios con término común
(?? + ??)(??+ ??)
Trinomio
??2 + ? ?? + ????? + ????
35
Desarrollar el producto notable de las siguientes expresiones
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Factorización Es expresar una suma o diferencia de términos como el producto indicado de sus factores; presentados en la forma más simple. Por lo tanto podemos considerar que la factorización es la operación inversa de los productos notables, es decir al factorizar obtenemos alguna expresión de producto notable. Luego entonces la factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto es el cuadrado de un binomio. Subraya la factorización resultante las siguientes expresiones:
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El arte de plantear ecuaciones. El idioma del álgebra es la ecuación. "Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico», escribió el gran Newton en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal. Isaac Newton mostró con ejemplos cómo debía efectuarse la traducción. He aquí uno de ellos: Nota: lengua vernácula entiéndase como lenguaje común
Solución: Para determinar cuál es el capital inicial del comerciante no queda más que resolver la última ecuación. La solución de una ecuación es, con frecuencia, tarea fácil; en cambio, plantear la ecuación a base de los datos de un problema suele ser más difícil. Hemos visto que el arte de plantear ecuaciones consiste, efectivamente, en traducir "la lengua vernáculo a la algebraica". Pero el idioma del álgebra es lacónico en extremo, por eso no todos los giros del idioma materno son de fácil traducción. Las traducciones pueden ser muy distintas por el grado de su dificultad, como puede convencerse el lector a la vista de los ejemplos de ecuación de primer grado expuestos. Primeras reglas de escritura algebraica Las fórmulas geométricas para calcular el perímetro y el área de figuras sencillas pueden aprovecharse para introducir las primeras reglas de escritura algebraica. Las letras que en la escuela primaria se utilizan sobre todo para etiquetar partes de figuras geométricas, adquieren gradualmente un carácter diferente en la preálgebra: de símbolos que pueden operarse. Para ello se sugiere plantear problemas y actividades donde se solicite a los alumnos expresar de manera breve el perímetro o el área de algunas figuras sencillas. 38
En realidad, es esperable que esto pase porque si uno piensa cómo hace para multiplicar dos números (y lo invito a que lo haga), advierte que multiplica cada dígito del segundo por todos los dígitos del primero, y los corre hacia la izquierda a medida que avanza.
Construye el número que resulte de escribirlo dos veces seguidas. En este caso: 472.472 Divide ahora por 7. Con lo que se obtiene: 67.496
Como los dígitos del segundo son todos números 1, lo que hace es repetir el primer número una y otra vez, aunque corriéndolo a la izquierda en cada oportunidad. Por eso, al sumarlos, en columnas de esa forma, se obtiene el resultado de más arriba:
Divide ese resultado por 11. Se tiene entonces: 6.136
12.345.678.987.654.321
y a éste divídelo por 13.
Lo que sigue sí es una curiosidad, y aunque no hay una explicación para dar, resulta simpático.
El resultado final es… 472
Tome el número 1.741.725
Es decir, el número original, con el que empezó.
Eleve cada dígito a la séptima potencia y sume los resultados.
¿Por qué pasó esto? ¿Pasará lo mismo con cualquier número que uno elija?
Es decir:
Antes de dar las respuestas, observa que en el camino dividimos el número por 7, y dio un resultado exacto. Después lo dividimos por 11, y volvió a dar un número entero, y finalmente, encontramos un número que resultó ser un múltiplo de 13. Más allá de correr a leer por qué pasa esto siempre con cualquier número de tres dígitos que uno elija, te sugiero que piense un poco la solución. Es mucho más gratificante pensar uno sólo, aunque no se llegue al resultado, que buscar cómo lo resolví yo. Si no, ¿qué gracia tiene?
17+ 77+ 47+ 17+ 77+ 27+ 57 ¿Cuánto le dio? Bueno, si tuviste paciencia (o una calculadora) para hacer la cuenta, el resultado es: 1.741.725. Ahora, toma un número de tres dígitos cualquiera. Digamos el: 472
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1 Porque si un número es múltiplo de 3 y de 5, por ejemplo, tiene que ser múltiplo de 15, que es el producto entre 3 y 5. Esto sucede –y le sugiero que lo piense solo también– porque todos los números aquí involucrados son primos. Por ejemplo, el número 12 es múltiplo de 4 y de 6, pero no es múltiplo de 24 (producto de 4 y de 6). En el caso en que los números en cuestión sean primos, entonces sí el resultado será cierto.
SOLUCIÓN: Lo primero que uno tiene es un número de tres dígitos; llamémoslo: abc Luego, había que repetirlo: abcabc
2 Debemos advertir que si uno multiplica un número de tres dígitos por 1.001, obtendrá el mismo número repetido dos veces consecutivas.
El trámite que siguió fue dividir ese número, primero por 7, luego por 11 y finalmente por 13. Y en todos los casos obtuvo un resultado exacto, sin que sobrara nada!
ECUACIÓN
Eso significa que el número abcabc tiene que ser múltiplo de 7, 11 y 13. Es decir que tiene que ser múltiplo del producto de esos tres números.1
DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS
Y justamente, el producto de esos números es: 7 . 11 . 13 = 1.001
(LINEALES) DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA (CUADRÁTICAS)
¿Por qué pasa, entonces, que el número en cuestión es múltiplo de 1.001?
Se define como una igualdad que existe entre dos o más expresiones y como mínimo se desconoce el valor de uno de ellas.
Si uno multiplica el número abc por 1.001, ¿qué obtiene? (Realice la cuenta y después continúe leyendo.)
abc . (1.001) = abcabc Acabas de descubrir por qué pasó lo que pasó. Si a cualquier número de tres dígitos (abc) se le agrega delante el mismo número, el resultado (abcabc) es un múltiplo de 1.001. Y cuando se divide el número abcabc por 1.001, el resultado que se obtiene es abc.2
En cada miembro se podrá considerar los siguientes elementos.
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Ejercicios Ubica en el plano cartesiano, los siguientes puntos:
Analiza los siguientes enunciados, establece la ecuación y contesta lo que se pide: 1. El largo de un rectángulo mide 4 metros menos que el cuádruple de su ancho y su perímetro mide 32 metros. ¿Cuánto mide el largo? 2. El perímetro de un triángulo isósceles es 48 centímetros. Si el lado diferente equivale a los 2/3 de la medida de los lados iguales, ¿cuál es la medida de los lados del triángulo? 3. Sandra pagó $66.00 por una pasta dental, un jabón y un shampoo. Si el costo de la pasta excede en $15.00 al del jabón y en $3.00 al del shampoo, determina el costo de cada uno de los artículos. 4. La empresa de mensajería y paquetería “La Paloma”, le cobró al señor Méndez $1924.00 por un envío que en total pesaba 29 kilogramos. Al revisar notas pide a su secretaria aclarar cuánto le cobraron por paquete. La compañía aclaró que los paquetes que enviaron a Monterrey los cobraron a $92.00 por kilogramo y los que mandaron a Pachuca a $30.00 el kilogramo. ¿Cuántos kilogramos enviaron a cada ciudad? 5. La diferencia de dos números es 30 y 1/5 de su suma es 26. Determina los números.
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PARTICIPA Y DIVIERTETE Lee las instrucciones del siguiente juego y participa activamente con tus compañeros y tu entrenador. TARJETAS ALGEBRAICAS
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REGLAS DEL JUEGO Juego para dos jugadores. Se necesita un tablero numerado del 1 al 64 (como el de la página siguiente), un dado, 10 fichas de distinto color para cada jugador y dos colecciones iguales de 10 tarjetas con expresiones algebraicas sencillas escritas en función de “n” (fotocopiar, ampliadas, las que se dan aquí, pegarlas en cartulina y recortarlas). Para determinar cuál de los dos jugadores empieza, se tira el dado y sale el que mayor puntuación obtiene. Cada jugador coloca delante su colección de 10 tarjetas destapadas. El primer jugador tira el dado. El número obtenido va a ser el valor que se da a la “n” en la expresión que aparece en las tarjetas. Se sustituye la “n” en una de las tarjetas, realizando las operaciones indicadas, y teniendo en cuenta que: El resultado ha de estar incluido en el tablero. Cada casilla puede ser ocupada por un máximo de dos fichas, una de cada color. Realizada la operación, se coloca la ficha en la casilla correspondiente del tablero y se retira la tarjeta utilizada, dándole la vuelta. Esta tarjeta no se podrá volver a utilizar. ? Si el jugador contrario observa que la operación ha sido incorrecta, se anula la tirada y pasa el turno. ? A continuación, el segundo jugador hace lo mismo. ? Gana el que consigue colocar todas sus fichas, después de haber utilizado todas las tarjetas. ? Puede ocurrir que llegue un momento en el que no sea posible colocar más fichas; gana entonces el que se quede con menos tarjetas.
OBSERVACIONES Los objetivos que se quieren conseguir con este juego son: – Practicar la sustitución de variables. – Agilizar el cálculo mental con fracciones sencillas: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 y 3/4. – Trabajar el error, muy frecuente en nuestros alumnos, de asociar multiplicación a aumento y división a disminución (se sorprenden mucho, por ejemplo, al ver que si se divide un número por 0,25, el número aumenta). _El juego, por otro lado, tiene una estrategia ganadora sencilla. A lo largo del juego, los alumnos se van dando cuenta de que no se trata de utilizar sus 10 tarjetas al azar, sino que hay ciertas tarjetas que sólo pueden ser utilizadas con ciertos valores de n. Será entonces necesario reservarse para el final las tarjetas más fácilmente aprovechables y gastar cuanto antes las de uso más restringido. Por ejemplo:
No admiten resultados del tablero más que para valores de n pares (2, 4 y 6). – La expresión sólo se puede utilizar para 3 y 6, únicos múltiplos de 3 del dado.
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TARJETAS ALGEBRAICAS TABLERO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
16
17
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60
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63
64
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¿
En qué se aplica? El mundo que rodea al ser humano le ha servido como modelo para crear y abstraer diversas relaciones deducidas de la realidad mediante la observación, la reflexión y la generalización. Una de las más útiles relaciones estudiadas en matemáticas es la semejanza. En áreas tan diversas como la topografía, la arquitectura, la óptica o el arte, ocupa un papel protagónico. ¿Qué relación existe entre un objeto y su imagen reflejada en un espejo convergente? ¿Qué relación hay entre el mapa de un lugar y dicho lugar? ¿Guardan las mismas proporciones todos los seres humanos, sin que importe su tamaño?. Estas son algunas de las preguntas que tienen respuesta si conocemos la teoría de la semejanza. En las ciencias y en la industria se estudian las propiedades de la semejanza para construir modelos de objetos antes de hacer los objetos verdaderos. El estudio de las figuras geométricas y de sus elementos, de los movimientos y las transformaciones, nos permitirá construir una imagen aproximada del mundo que nos rodea, observar la regularidad y el orden en el universo y admirar su belleza. TEMARIO: ? Rectas paralelas y perpendiculares ? Cálculo de áreas y perímetros ? Teorema de Pitágoras
ACTIVIDADES: I.- Observa las figuras de abajo y de acuerdo con sus características completa la tabla con SI o NO
Figura
Los lados opuestos son paralelos
Los 4 lados miden lo mismo
La figura tiene al menos un ángulo recto
A B C D
II.- ¿Cuál figura tiene mayor área, un rectángulo cuya base es 40 y su altura 20 o un paralelogramo con una base de 40 y un lado inclinado de 20? Explica por qué.
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III.- Halla el valor de x . Utiliza el Teorema de Pitágoras.
VI.- Encuentra el área de cada una de las figuras.
VII.- Desde la antigüedad los babilonios ya diseñaban diversos mosaicos como el de la siguiente figura, observa y contesta las siguientes preguntas.
IV.- Encierra en un óvalo los cuadriláteros cuyas diagonales sean perpendiculares entre sí.
a) ¿Qué teorema hace referencia la composición de mosaicos coloreado? b) ¿Cuántos triángulos forman el área de los dos cuadrados trazados sobre los catetos? c) ¿Cuántos triángulos forman el área del cuadrado trazado sobre la hipotenusa? V.- En las figuras siguientes, calcular las áreas sombreadas. d) Escribe el teorema de Pitágoras: EJERCICIOS 1.- Hallar el área de un rectángulo conociendo su base igual a 4 m y su diagonal de 5 m.
2.- Calcular el área de un trapecio isósceles cuyos ángulos agudos miden 60° y sus bases miden, respectivamente, 36 m y 22 m. 3.- Hallar el área de un triángulo equilátero sabiendo que su lado b, es igual a 0.25 m.
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4.- Calcular el área de un hexágono regular, sabiendo que su apotema es igual a
12.- Escribe el área en metros cuadrados el área de la siguiente figura.
5.- Un terreno rectangular mide 94 m de largo y 78 m de ancho. Encuentra la cantidad de metros de alambre que se requiere para cerrarlo.
6.- El largo de un terreno rectangular es de tres veces el ancho. Si el largo es de 48m. ¿Cuánto mide el perímetro del terreno?
A) 128 m
B) 64 m
C) 128 m2
D) 64 m 2
A) 25 m 2
B) 15 m2
C) 40 m 2
D) 45 m2
13.-Calcula el volumen del pastel sobrante de altura 15cm y diámetro 36cm; si se cortó la cuarta parte.
7.- ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice de un icoságono regular?
A) 15
B) 17
C) 29
D) 13
8.- ¿Cuál es el polígono que tiene 12 diagonales más que lados?
A) 4860 p cm 3
B) 3645 p cm3
A) 17
B) 12
C) 1215 p cm3
D) 1260 p cm 3
C) 8
D) 10 14.-Un recipiente cilíndrico para guardar pelotas de tenis tiene 20cm de largo y el diámetro del orificio de entrada mide 7cm. Si el diámetro de una pelota de tenis es de 6cm, calcula qué porcentaje del volumen del recipiente queda ocupado al introducir tres pelotas de tenis.
9.- ¿Cuántas diagonales en total tiene un polígono de 15 lados?
A) 180
B) 12
C) 70
D) 90
10.- La medida de la pantalla de un televisor se determina por la longitud de sus diagonales. Si la pantalla de un televisor mide 15” x 20”. ¿Cuánto mide su diagonal?
A) 25”
B) 625”
A) 44%
B) 50%
C) 35”
D) 30”
C) 90%
D) 56%
11.- Las dimensiones de una pileta para agua son: 45 m de largo, 30 m de ancho y 2 m de profundidad. Calcula cuántos metros cúbicos de agua contiene si sólo se llena a la mitad. Exprese el resultado en litros.
A)
2700 l3
C) 2 700 000
B) 1 350 000 l3
D)
15.- ¿Cuál es el área de un cuadrado si su perímetro vale 100cm.?
l3
1350 l3 47
A) 125 cm2
B) 1625 cm 2
C) 625 cm 2
D) 25 cm 2
16.- Un carpintero está construyendo soportes de pared como el que se indica en la figura. ¿De qué longitud debe ser la tercera tabla?
A) 226.7cm
B) 2.267 cm
C) 225 cm
D) 22.67 cm
17.- A un carpintero le encargaron cambiar la forma de una mesa, de circular a cuadrada. El radio de la mesa mide 4m y los lados del cuadrado que le encargaron deben medir 4.93 m, como se muestra a continuación:
18.- ¿Cuántos metros cuadrados de área tiene que eliminar para que quede la mesa cuadrada?
A) 30 m 2
B) 25.93 m 2
C) 35 m2
D) 28 m 2
19.-Un señor desea dividir su terreno que tiene forma rectangular en dos partes iguales; una parte será para vivienda y la otra para instalar un negocio. En la diagonal (d) colocara una cerca que divida al terreno. ¿Cuántos metros tendrá que cercar?
A) 22.80 m
B) 35 m
C) 28 m
D) 56 m
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ARQUÍMEDES (287-212 a.C.) Se le considera padre de la ciencia mecánica y el científico y matemático más importante de la edad antigua. Tuvieron que pasar casi dos mil años para que apareciese un científico comparable con él: Isaac Newton. En el campo de las Matemáticas puras su obra más importante fue el descubrimiento de la relación entre la superficie y el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe; por esta razón mandó Arquímedes que sobre su tumba figurase una esfera inscrita en un cilindro. A él le debemos inventos como la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo. También a él se le ocurrió usar grandes espejos para incendiar a distancia los barcos enemigos.(PARABOLAS) ¡ Eureka, eureka ¡ ¡Lo encontré! Eso es lo que dicen que gritó un día el sabio Arquímedes mientras daba saltos desnudo en la bañera. No era para menos. Ayudaría ( a él y a todos nosotros después) a medir el volumen de los cuerpos por irregulares que fueran sus formas. Medir volúmenes de cuerpos regulares (un cubo, por ejemplo) era algo que ya se sabía hacer en la época de Arquímedes, pero con volúmenes de formas irregulares (una corona, una joya, el cuerpo humano) nadie lo había conseguido. Hasta que Arquímedes se dio cuenta de que cuando entraba en una bañera llena de agua hasta el mismo borde, se derramaba una cantidad de agua. Y tuvo la idea: si podía medir el volumen de ese agua derramada habría hallado el volumen de su propio cuerpo. En el año 212 a.C., Siracusa fue conquistada por los romanos. Un grupo de soldados romanos irrumpió en la casa de Arquímedes al que encontraron absorto trazando en la arena complicadas figuras geométricas. "No tangere circulos meos" (No toquéis mis círculos), exclamó Arquímedes en su mal latín cuando uno de los soldados pisó sobre sus figuras. En respuesta, el soldado traspasó con su espada el cuerpo del anciano Arquímedes. En el siglo XVII con la geometría analítica nace la matemática moderna, en el siglo de Descartes, Galileo, Newton, Leibniz y 49
Fermat. El álgebra y la trigonometría adquieren cierta madurez, condiciones particularmente favorables para la ciencia matemática obtenga una fecundidad maravillosa.
Otra expresión empleada es la simétrica x/a + y/b = 1, en la cual se expresan los puntos donde la recta intercepta al eje de las abscisas (a) y al eje de las ordenadas (b), según se indica en la gráfica.
Los resultados de tales condiciones favorables pronto se harán sentir, y en siglo XVII verá en primer lugar una admirable nueva rama de la matemática: la geometría analítica, que produce en esa ciencia verdadera. El advenimiento de la geometría analítica está vinculado con el gran filósofo Rene Descartes (1596-1650). La geometría analítica se conoce también con el nombre de geometría cartesiana. En 1637, en Leyden, Descartes publico el discurso DEL MÉTODO obra celebre formada por tres ensayos: La Dióptrica, Los Meteoros y la Geometría.El concepto de sistema coordenado, que caracteriza a la geometría analítica se encuentra en la obra “geometrie” (1637). Su aportación principal es la unificación de del álgebra con la geometría; su fundamento es la correspondencia entre los números reales y los puntos de una línea. Otro gran matemático fue Fermat (1601-1665) contemporáneo de Descartes, realizo trabajos relacionados con la geometría analítica en el año 1629 y cuya aproximación a la Geometría Analítica es más exacta a la obra de descartes. La obra geométrica de Fermat es importante, pues enseña a interpretar ecuaciones con dos variables, considerando rectas, elipse, parábolas e hipérbolas.
La expresión general se describe como Ax + By + C = 0 , donde cada uno de los coeficientes se expresa como un número entero, comparándose con la ecuación canónica con las siguientes relaciones: m= -A/B y b= -C/B.
RECTA La línea recta es el conjunto de puntos sucesivos alineados en la misma dirección. En el plano cartesiano, una línea recta tiene una inclinación que indica su dirección y una posición con respecto al origen.
Una línea recta se puede definir de acuerdo a las siguientes condiciones:
Existen diferentes tipos de expresiones que indican la relación que tienen los puntos de una recta con los dos ejes del plano cartesiano bidimensional. La expresión analítica más utilizada es la canónica
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CIRCUNFERENCIA La circunferencia es el conjunto de puntos que tienen la misma distancia a otro punto fijo llamado centro. En el plano cartesiano, la circunferencia puede tener su centro en el origen, o bien fuera del origen.
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ELIPSE La elipse es el conjunto de puntos cuya suma a dos puntos fijos (focos) es constante. La siguiente figura en el plano cartesiano expone la relación entre los puntos.
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PARÁBOLA La parábola es el conjunto de puntos cuya distancia a un punto fijo (foco) y una recta (directriz) es constante.
La parábola con vértice en el origen V (0, 0) puede tener cualquiera de las dos posiciones, horizontal y vertical, para las cuales se tiene para cada una su expresión correspondiente.
El sentido de las parábolas puede invertirse si se cambia el signo de las expresiones, tanto para la horizontal como para la vertical. Las formas generales de las parábolas son las siguientes:
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1.- Traza un plano cartesiano donde el origen este ubicado en el centro del escudo de Hidalgo, con escala de un centímetro e indica las coordenadas de: a) b)
La campana La serpiente
2.- ¿En qué cuadrante se localiza el lienzo color rojo de la bandera? 3.- ¿Cómo se le llama al eje de las y? 4.- Demuestra que los siguientes puntos son colineales. A (-1.0) B (3,2) C(-6,5)
ACTIVIDAD DOS
a) gráfica en hoja milimétrica b) distancias c) comprobación
1.- En la parte inferior de cada imagen indica si es una pendiente positiva o negativa. EJEMPLO:
5.- Conociendo los siguientes puntos (-2,1) y (4,7) calcular: a) b) c) d) e) f)
pendiente ángulo de inclinación grafica ecuación punto pendiente ecuación general ecuación simétrica
6.- Localiza la intersección entre las siguientes rectas demostrándolo en forma grafica y analítica: Y los ángulos que se forman. - x + y -6 = 0 Y= 3x – 2 7.-Inventa dos ecuaciones de rectas, una perpendiculares y una paralela a la siguiente ecuación y = 4x - 5 8.-Un servicio básico de televisión por cable cuesta $270 al mes y comprende 40 canales. Deseas contratar un servicio Plus adicional, que amplía canales con un costo mensual de $25 por cada canal solicitado. a) Escribe un modelo lineal para el pago mensual y por x canales. b) ¿Qué significa en este modelo la pendiente de la recta? c) Utiliza este modelo para calcular el pago mensual si tienes acceso a 46 canales. d) Construye la gráfica de tu modelo. ¿Qué representa la intersección de la recta con el eje y?
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ACTIVIDAD TRES Traza tu plano cartesiano e intenta realizar bosquejos de las siguientes rectas (sin tabular).
Y= x
Y =40x
Y=-x
Y= -7 x
Y= -4x + 2
Y= 6x -6
Y= -7x - 1
Y= -12x +8
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ACTIVIDAD CUATRO 2
2
1.- Encuentra los siguientes elementos de la ecuación X + Y = 25 A) B) C) D) E)
Centro Radio Formula Tabulación Gráfica 2
2
2.- Encuentra los siguientes datos de la circunferencia X + Y + 8X – 14Y – 56 = 0 A) B) C) D)
Centro Radio Ecuación canónica Grafica
3.- Relaciona ambas columnas
( )Busca una ecuación de recta paralela a la siguiente recta
A
Y= -4x+2 ( )Identifica una recta perpendicular a la siguiente recta y= 5x-2 ( )Busca un bosquejo de la siguiente ecuación y= 3x+2
O
( )Busca un bosquejo de una recta que tenga pendiente negativa ( )Identifica la siguiente gráfica y=10x+4
E
( ) Ecuación de la circunferencia con centro en el origen ( ) Ecuación de la circunferencia fuera del origen
D
( )Localiza la circunferencia que tiene las siguiente ecuación canónica (x-8)2+(y+3)2=36 ( )Localiza la circunferencia cuya ecuación es x2+y2=25
J
X2+y 2 = 81
L
Y = - 1/5 x + 4
R
Y=-4x-10
H
C
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(x-4)2+(y+9)2 = 25
ACTIVIDAD CINCO PARÁBOLAS Y GRAFICADORAS
1.- Es el momento de trabajar con la tecnología, sigue cuidadosamente las indicaciones y realiza tus anotaciones correspondientes para que puedas reconocer y graficar una parábola sin necesidad de tabular. a) b)
Organízate en equipos para la distribución de las graficadoras. La ecuación general de la parábola es la siguiente:
A x2+ B x + C c) d) e) f)
Vamos a estudiar el comportamiento de cada parámetro (A, B y C), por separado. Iniciaremos con el parámetro A. Trabajaras en la parte de Graficación Dinámica de tu graficadora. Ingresa Ax2, con un intervalo de movimiento de -5 a 5. Oprime ENTER y observa cuidadosamente que pasa con la parábola cada vez que cambia el valor de A. Puedes verlo cuantas veces sea necesario para poder contestar lo siguiente.
¿Qué pasa cuando el valor de A es positivo? ¿Qué pasa cuando el valor de A es negativo? ¿Qué le pasa a la parábola cuando el valor es grande? ¿Qué le pasa a la parábola cuando el valor es pequeño? ¿Se movió la parábola del origen?
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g) Ahora intenta realizar un bosquejo de las siguientes parábolas:
Y= 5x 2
Y= 24x2
Y= -3x 2
Y= 7x2
Y= 8x 2
Y= -- x 2
4 3
h) Muy bien, observa las siguientes gráficas y propón una ecuación para cada una de ellas.
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i) Esperamos que te haya queda claro el parámetro A, pues es hora de iniciar con el parámetro B. j) Tendrás que ingresar en tu graficadora Ax2+bx, pero ahora indicar que permanecerá inmóvil el valor de A y el parámetro B se moverá en un intervalo de -5 a 5. k) Oprime ENTER y observa las ramas de la parábola cuidadosamente, si requieres puedes repetir la acción en diferentes ocasiones. l)Contesta las siguientes preguntas ? ¿Qué pasa cuando el valor de B es positivo? ? ¿Qué pasa cuando el valor de B es negativo? ? ¿Qué pasa cuando el valor de B es grande? ? ¿Qué pasa cuando el valor de B es pequeño?
m) Realiza los siguientes bosquejos y corrobora con la graficadora. Y= x 2+5x
Y= x2+9x
Y= x 2-12x
Y= x2-2x
Y= -x 2+2x
Y= -x2-7x
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n) Unamos el parámetro A y B, propón una ecuación para las siguientes parábolas.
o) Para finalizar nuestro trabajo analicemos el comportamiento del parámetro C. p) Ingresa en tu graficadora Ax2 + B x + C, indicando que los parámetros A y B no se moverán, únicamente el parámetro C de -5 a 5. q) Contesta lo siguiente: ? ¿Qué observas en la parábola cuando el valor de C es positivo? ? ¿Qué observas en la parábola cuando el valor de C es negativo?
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r) Estas listo para realizar bosquejos de parábolas, hazlo. Y=-8x2 +4x-5
Y= x2+7x-2
Y= -10x 2-5x-4
Y= 2x2-15x+3
Y= -1/3x 2+2x-6
Y= -x2-7x+4
s) Intenta colocar una ecuación que representen a las siguientes parábolas.
MUY BUEN TRABAJO SUGERENCIA: Si aún te quedan dudas del comportamiento de los parámetros, puedes jugar con un limpia pipas, formando una parábola y realizando los movimientos de cada uno de ellos.
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ACTIVIDAD SEIS 1.- Considerando los siguientes elementos y ecuaciones de la parábola indica hacia donde está ubicada la parábola con centro en el origen (arriba, abajo, derecha e izquierda). Observa los ejemplos: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)
Foco ( -5,0 ) x2=8y Directriz x = - 6 Foco ( 0, -12) y2= - 3x Directriz y = 1 x2= - 4y Foco ( 7,0 ) Directriz y = - 25 y2= 4x Directriz x = 3 Foco (0, -4 )
ACTIVIDAD SIETE 1. Un automovilista se encuentra ubicado en el sitio indicado con la letra A, ¿cuál será la distancia que deberá recorrer para llegar a su destino marcado con la letra B, si las unidades están dadas en Km?
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2. ¿Cuál es la ecuación de la recta que se trazaría en el plano cartesiano, tal que pase por los dos puntos indicados en el ejercicio anterior?
3. ¿Cuál es el ángulo de inclinación con respecto al eje de las abscisas de la recta trazada en el caso anterior?
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5. Para construir un agujero en una placa de lámina se conoce su ecuación, que es
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6. La lámpara de un automóvil tiene forma parabólica según se muestra en la figura, donde el foco se indica con una F; para construirla se necesita su ecuación, ¿cuál es la expresión que la describe?
7. Un arquitecto debe diseñar un túnel de forma elíptica para una carretera que pasará entre una montaña, por lo cual es necesario conocer la ecuación que la describe, a continuación se presenta la forma del túnel, ¿cuál sería su ecuación?
8. A continuación se muestra la trayectoria de un balón de fútbol soccer, teniendo como referencia el plano cartesiano con sus dimensiones. Determinar la ecuación que describe dicha trayectoria.
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12. Las coordenadas del vértice, foco y extremos del lado recto de una parábola, respectivamente son V (2, 3), F (0, 3), LR1 (0, 7) y LR2 (0, - 1), según se muestra en la siguiente figura, ¿cuál es la ecuación con la que se graficó la siguiente figura?
13. Una circunferencia en el plano cartesiano tiene su centro en C (- 4, 3) y un radio de 5 unidades, de acuerdo a la figura que se presenta a continuación, ¿cuál es su ecuación cartesiana?:
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23. ¿Cuál es la ecuación canónica de la circunferencia que se muestra a continuación?
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TEMAS 1.- CONCEPTO DE FUNCIÓN 2.- OPERACIONES CON FUNCIONES 3.- GRAFICA DE FUNCIONES · LINEALES · CUADRATICAS · CUBICAS · TRIGONOMETRICAS · EXPONENCIALES · LOGARITMICAS 1.-De manera individual identifica cuál de las gráficas siguientes son una función, subraya escribiendo tu argumento.
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2.- Determina la regla de correspondencia de los siguientes recuadros.
3.- Resuelve las siguientes operaciones con funciones. Si:
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Funciones lineales 4.-Asígnale los valores a la variable independiente de las siguientes funciones y completa la siguiente tabla, construye las graficas en tu cuaderno
x -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2
y= 5
y= x
y= 5x
5.-En binas bosquejen las siguientes funciones.
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y= x
y= 0 .5 x
6.-Propón una función que corresponda a la grafica:
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Funciones Cuadráticas 7.-Bosqueja y construye la gráfica en tu libreta las siguientes funciones
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8.-Asocia a cada gráfica su función
Funciones Trigonométricas 9.-Construye la gráfica para cada una de las funciones.
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10.-Propón una funcion para las siguientes graficas
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11.-Relacione la grafica con el tipo de función que le corresponde.
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C
uando coloquialmente se habla de estadística, se suele pensar en una relación de datos numéricos presentada de forma ordenada y sistemática. Esta idea es la consecuencia del concepto popular que existe sobre el término y que cada vez está más extendido debido a la influencia de nuestro entorno, ya que hoy día es casi imposible que cualquier medio de difusión, periódico, radio, televisión, no nos aborde diariamente con cualquier tipo de información estadística sobre accidentes de tráfico, índices de crecimiento de población, turismo, tendencias políticas, etcétera. La Estadística se encarga del estudio de los datos que se presentan en una investigación, su presentación mediante tablas y gráficas, su análisis mediante el cálculo de valores característicos que los representen sintéticamente (estadística descriptiva), así como también de inferencias o predicciones que se pueden realizar usando la información presente y generalizaciones acerca de un conjunto de eventos que suceden para tipificarlos y reconocerlos como evidentes (estadística inferencial). ACTIVIDAD 1 Los alumnos del grupo 6º A del plantel CECyTEH de Coacuilco obtuvieron las siguientes calificaciones en la asignatura de Probabilidad y Estadística durante el semestre anterior: 1
7
7
10
13
5
19
6
2
9
8
7
14
8
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10
3
6
9
8
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6
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7
4
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9
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5
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5
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7
18
9
24
9
Realizar una tabla de distribución de frecuencias porcentuales y presentarlas mediante un histograma y el polígono de frecuencias. Indicar el valor modal (moda), la mediana y la media aritmética (promedio) de las calificaciones. ACTIVIDAD 2 1. Indica la moda de los siguientes datos 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12. A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
2. ¿Cuál es la mediana correspondiente al número de hijos de 19 familias de Tepehuacán, según se indica a continuación? 6, 7, 4, 6, 5, 5, 3, 3, 2, 5, 3, 6, 2, 6, 6, 3, 4, 2 y 3 A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
3. ¿Cuál será la media de las siguientes calificaciones: 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10? A) 6.8
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B) 6.9
C) 7.0
D) 7.1
4. Un alumno de Sexto Semestre en el plantel de Santiago de Anaya tiene un promedio de 8.7 en los cinco semestres anteriores y desea aumentarlo a 9.0 al terminar su bachillerato, ¿qué calificación debería obtener en el último semestre para alcanzarlo?
A) 10.0
B ) 9.7
C) 9.5
D) NO SE PUEDE
5. El peso de cuatro cargas de una camioneta que transporta cebada es de 235, 273, 323 y 294 Kg, ¿cuánto debe pesar la siguiente carga para que el peso promedio sea de 300 Kg?
A) 355
B) 365
C) 375
D) 385
A continuación se indica la tabulación de las edades del personal de una empresa:
Fábrica de Jabón “La Corona” Edad de los Empleados Nov. 2005 Edad Trabajadores (años) (50) 25 – 30 23 31 – 40 17 41 – 50 8 51 – 68 2 Fuente: Nómina del Depto. Personal 6. ¿Cuál es la clase moda de los datos agrupados?
A) 25 – 30
B ) 31 – 40
C) 41 – 50
D) 51 – 58
B ) 31 – 40
C) 41 – 50
D) 51 – 58
B ) 68
C) 43
D) 21
7. ¿Cuál es la clase mediana de los datos agrupados?
A) 25 – 30 8. ¿Qué rango tienen los datos?
A) 25
La siguiente gráfica circular representa la distribución de los municipios donde radican 36 alumnos de un grupo de Quinto Semestre del plantel Tizayuca, el cual es que tiene la mayor población: 9. ¿Qué ángulo abarcará el municipio de Tizayuca en el gráfico? A) 120 0
B) 128 0
C ) 160 0
D) 170 0
10. ¿Qué porcentaje aproximado de alumnos viven en el municipio de Zumpango (con 4 alumnos)? A) 10 %
B) 11 %
C ) 12 %
D) 13 %
11. ¿Cuál es la frecuencia relativa de los alumnos que viven fuera del municipio de Tizayuca? A) 0.555…
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B) 0.444…
C ) 0.6
D) 0.40
En la siguiente gráfica se muestra el histograma de frecuencias absolutas del tiempo (de 5 a 10 horas) que laboran 50 comerciantes ambulantes del municipio de Zempoala.
12. ¿Cuál es la mediana del número de horas que laboran los comerciantes?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
13. ¿Cuál es el promedio de horas de trabajo de los comerciantes?
A) 7.9
B) 8.1
C ) 8.3
D) 8.5
C ) 24 %
D) 25 %
14. ¿Qué porcentaje de los datos ocupa la moda de los datos?
A) 20 %
B) 22 %
15. ¿Cuál es la venta promedio mensual de la tlapalería “El Martillo” en la ciudad de Huejutla, si tiene un ingreso promedio diario de $ 573.24?
A) $ 16 087.50
B) $ 16 123.95
C ) $ 17 197.20
D) $ 17 436.05
16. Determina ¿cuál grupo obtuvo el mejor promedio de los quintos semestres del CECyTEH, Huautla?
A) Grupo A
B) Grupo B
C ) Grupo C
D) Grupos A y C
17. Selecciona el inciso que corresponde a la media, moda y mediana de las siguientes edades de los niños de un kinder: 4, 5, 5, 4, 5, 6, 5, 5, 6, 6, 4, 5. A) B) C) D)
Media 4.9, moda 6, mediana 4.5 Media 4.9, moda 5, mediana 5.0 Media 5.0, moda 5, mediana 5.0 Media 5.0, moda 6, mediana 4.5
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18. Observa la siguiente gráfica que representa el número de horas que trabajan 60 madres solteras en la ciudad de Pachuca y conteste las siguientes preguntas:
19. ¿Cuál es el valor modal?
A) 5
B) 6
C) 9
D) 11
B) 6
C) 9
D) 30.5
B) 5.9
C) 6.0
D) 6.1
20. ¿Cuál es el valor de la mediana?
A) 5 21. ¿Cuál es el valor de la media?
A) 5.8
La siguiente tabla de distribución de frecuencias representa el número de integrantes de las familias del grupo 5º H del plantel de Santiago, analízalo y responde a las preguntas que se proponen a continuación:
22. ¿Cuál es el valor modal?
A) 5
B) 6
C) 8
D) 9
23. Calcula el promedio de familiares que tienen los alumnos del grupo 5º H.
A) 5.4
B) 5.3
C) 5.2
D) 5.1
C) 8
D ) 20
24. ¿Cuál es el valor de la mediana de todos los datos?
A) 5
B) 5.5 88
25. ¿Qué frecuencia porcentual se tiene para el valor de 6 familiares?
A)
15 %
B)
20 %
C)
25 %
D) 30 %
26 ¿Cuál es la frecuencia acumulada para el valor de 5 familiares?
A)
12
B)
22
C)
23
D)
30
La siguiente gráfica circular representa en municipio donde radican los 45 alumnos del grupo 5º A del CECyTEH de Tizayuca:
Contesta a los siguientes enunciados: 27. ¿Qué porcentaje de alumnos viven fuera de Tizayuca?
A) 42 %
B) 48 %
C) 52 %
D) 58 %
C) 21
D) 22
28. ¿Cuántos alumnos radican en Tizayuca?
A) 19
B) 20
29 Los municipios del estado de México son Tecámac, Zumpango Hueypoxtla y Temascalapa, ¿cuántos alumnos provienen de ese estado?
A) 20
B) 21
C) 22
D) 23
C ) 22
D) 23
30. ¿Cuántos alumnos son del estado de Hidalgo?
A)
20
B)
21
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L
a probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos. Dos aplicaciones principales de la teoría de la probabilidad en el día a día son en el análisis de riesgo y en el comercio de los mercados de materias primas. Los gobiernos normalmente aplican métodos probabilísticos en regulación ambiental donde se les llama "análisis de vías de dispersión", y a menudo miden el bienestar usando métodos que son estocásticos por naturaleza, y escogen qué proyectos emprender basándose en análisis estadísticos de su probable efecto en la población como un conjunto. No es correcto decir que la estadística está incluida en el propio modelado, ya que típicamente los análisis de riesgo son para una única vez y por lo tanto requieren más modelos de probabilidad fundamentales, por ej. "la probabilidad de otro 11-S". Una ley de números pequeños tiende a aplicarse a todas aquellas elecciones y percepciones del efecto de estas elecciones, lo que hace de las medidas probabilísticas un tema político. Un buen ejemplo es el efecto de la probabilidad percibida de cualquier conflicto generalizado sobre los precios del petróleo en Oriente Medio - que producen un efecto dominó en la economía en conjunto. Un cálculo por un mercado de materias primas en que la guerra es más probable en contra de menos probable probablemente envía los precios hacia arriba o hacia abajo e indica a otros comerciantes esa opinión. Por consiguiente, las probabilidades no se calculan independientemente y tampoco son necesariamente muy racionales. La teoría de las finanzas conductuales surgió para describir el efecto de este pensamiento de grupo en el precio, en la política, y en la paz y en los conflictos.
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¿Cómo surgió? La palabra trigonometría, de acuerdo con su etimología, se compone de tres vocablos griegos: tri= tres, gonos = ángulo y metrón = medida, que quiere decir medida de tres ángulos del triángulo. En efecto, la trigonometría es la parte de la geometría que tiene por objeto determinar los elementos de un triángulo. La trigonometría nació de los estudios relacionados con la astronomía. Los primeros rudimentos de esta rama de la geometría se deben a los indios. En las construcción de las pirámides los egipcios ya utilizaban una relación equivalente a lo que hoy conocemos como la función cotangente. Tanto los egipcios como los babilonios inventaron métodos para medir los ángulos determinados por algunas estrellas del firmamento. Las relaciones trigonométricas aparecen por primera vez en una obra de Aristarco de Samos, en el siglo III a.n.e., pero el verdadero propulsor de la ciencia trigonométrica fue Hiparco, astrónomo romano del siglo II a.n.e. , a quien los griegos llamaron el padre de la Astronomía. Fue el primero en elaborar tablas de las longitudes de las cuerdas en una circunferencia. El nombre de trigonometría fue propuesto por Bartolomé Pitiscus, matemático italiano del siglo XVII. Las seis funciones trigonométricas aparecen por primera vez en el Canon de Rhaeticus. Francisco Vieta creó el método general para el cálculo de triángulos planos y esféricos, utilizando las seis funciones. Semejanza Dos figuras son semejantes cuando: ? Los ángulos correspondientes son iguales ? Las longitudes de los lados correspondientes son proporcionales
Semejanza en los triángulos ? Dos triángulos son semejantes si los ángulos correspondientes son iguales y los lados correspondientes son proporcionales. El Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:
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Ley de Cosenos El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de dichos lados por el coseno del ángulo que forman.
Funciones Trigonométricas Una razón trigonométrica es el cociente entre las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo. En todo triángulo rectángulo cada ángulo agudo tiene un cateto opuesto y un cateto adyacente, es decir, dependiendo del ángulo agudo que se considere el cateto será opuesto o adyacente. En relación con el ángulo A el lado a se llama cateto opuesto y el lado b cateto adyacente. El lado opuesto del ángulo recto (90°) se llama hipotenusa y siempre es el lado mayor del triángulo rectángulo.
Seno: Función trigonométrica que es la razón como cociente del cateto opuesto entre la hipotenusa. Coseno: Función trigonométrica que es la razón como cociente del cateto adyacente entre la hipotenusa. Tangente: Función trigonométrica que es la razón como cociente del cateto opuesto entre el cateto adyacente.
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