BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pada dasarnya statistika ialah sebuah konsep dalam bereksperimen, menganalisa data yang bertujuan untuk mengefisiensikan waktu, tenaga dan biaya dengan memperoleh hasil yang optimal. Berdasarkan definisinya Statistika merupakan ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Sedangkan statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Data sendiri merupakan kumpulan fakta atau angka.
Disadari atau tidak, statistika telah banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Bahkan pemerintah menggunakan statistika untuk menilai hasil pembangunan masa lalu dan juga untuk membuat rencana masa datang. Sebagai seorang mahasiswa sudah sewajarnya kita melakukan berbagai kegiatan dan penelitian apalagi sebagai mahasiswa kesehatan masyarakat. Tidak dipungkiri keberadaan statistik sangat penting untuk membantu mengumpulkan dan mengolah data yang didapatkan ketika melakukan penelitian. Perlu diketahui bahwa tidak semua data dapat diolah dengan cara yang sama. Ada berbagai metode dan cara pengolahan data sesuai dengan karakteristik data. Untuk itu statistik memberikan cara-cara pengumpulan, penyusunan data menjadi bentuk yang lebih mudah untuk dianalisis sehingga dapat memberikan informasi yang jelas sebagai petunjuk di dalam pengambilan keputusan dengan metode yang sesuai dengan karakteristik data yaitu dengan adanya tendensi sentral.
Tendensi sentral digunakan untuk menggambarkan suatu nilai yang mewakili nilai pusat atau nilai sentral dari suatu gugus data (himpunan pengamatan). Tendensi sentral sering sekali digunakan untuk mengetahui rata-rata data (mean), nilai yang berada ditengah data (median), nilai yang sering muncul dalam data (mode) dan masih banyak lagi yang dapat dihitung dalam tendensi sentral.
Dengan tendensi sentral, analisis data dalam penelitian dapat dilakukan dengan tepat. Pemahaman dan pengetahuan mengenai tendensi sentral sangat penting sehingga pengetahuan terhadap tendensi sentral sangat penting bagi mahasiswa. Untuk hal tersebutlah dibuat makalah ini.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian latar belakang tersebut di dalam makalah ini kami merumuskan beberapa rumusan masalah:
Apakah pengertian dari tendensi sentral?
Apakah pengertian dari mean, median dan modus?
Bagaimana penghitungan dan penerapan rumus dari tendensi sentral?
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Definisi Tendensi Sentral
Setiap pengukuran aritmatika yang ditujukan untuk menggambarkan suatu nilai yang mewakili nilai pusat atau nilai sentral dari suatu gugus data (himpunan pengamatan) dikenal sebagai ukuran tendensi sentral
Nilai sentral atau tendensi sentral adalah nilai dalam rangkaian data yang mewakili rangkaian data tersebut. Tendensi sentral merupakan suatu ukuran yang digunakan untuk mengetahui kumpulan data mengenai sampel atau populasi yang disajikan dalam tabel atau diagram, yang dapat mewakili sampel atau populasi. Bila ukuran tersebut diambil dari sampel disebut statistik dan jika ukuran itu diambil dari populasi disebut parameter. Tendensi sentral digunakan untuk menggambarkan sifat sekumpulan data dari suatu pengamatan. Sentral Tendensial juga bisa disebut nilai yang representatif dalam suatu kelompok observasi atau studi. Syarat-syaratnya adalah sebagai berikut:
Harus dapat mewakili rangkaian data
Perhitungannya harus didasarkan pada seluruh data
Perhitungannya harus objektif
Perhitungannya harus mudah
Dalam suatu rangkaian hanya ada 1 nilai sentral
Terdapat tiga ukuran tendensi sentral yang sering digunakan, yaitu mean (rata-rata hitung/rata-rata aritmetika), median, modus, kuartil, desi dan presentil.
2.2 Ukuran Tendensi Sentral
1. Mean
Arti dari mean tidak lain adalah "angka rata-rata". Istilah Mean akan tetap dipakai disini oleh karena sudah lazim digunakan dalam statistik. Dari segi aritmetik Mean adalah "Jumlah nilai-nilai dibagi dengan jumlah individu". Istilah mean saja merupakan metode yang paling banyak digunakan untuk menggambarkan ukuran tendensi sentral. Mean (rata-rata) merupakan jumlah seluruh nilai data dibagi dengan seluruh kejadian atau nilai rata-rata dari beberapa buah data.
Untuk keperluan ini, dalam perhitungan ukuran-ukuran statistik akan digunakan simbol-simbol. Nilai-nilai data kuantitatif akan dinyatakan dengan x1, x2, …, xn, apabila dalam kumpulan data itu terdapat n buah nilai. Simbol n juga digunakan untuk menyatakan ukuran sampel, yakni banyaknya objek atau data yang diteliti dalam sampel. Rata-rata untuk data kuantitatif yang terdapat dalam sebuah sampel dihitung dengan jalan membagi jumlah nilai data oleh banyaknya data.
Perhitungan Mean Data Yang Tidak Dikelompokkan (Ungrouped Data)
Penggunaan data tidak dikelompokkan maupun data yang dikelompokkan data yang dikelompokkan umumnya berkaitan dengan jumlah data yang digunakan. Jika jumlah data yang digunakan relatif sedikit, rata-rata data yang tidak dikelompokkan (ungrouped data) menjadi pilihan untuk digunakan. Sebaliknya, jika jumlah data yang digunakan relatif banyak maka penggunaan data kelompok (grouped data) banyak dipilih.
Mean Data Tunggal
Dirumuskan dengan
Mean =ΣXin atau lebih sederhananya ditulis;
Keterangan :
X1: data ke 1
X2: data ke 2
Xn: data ke-n
n: jumlah data Simbol adalah huruf Yunani yang disebut "Sigma" dan mempunyai arti jumlah.
Contoh:
Menghitung rata-rata data tunggal:
Diketahui data : 3, 4, 5, 2, 6, 7, 4, 6, 3, 5. Hitung nilai rata–ratanya!
Mean =ΣXin Jawab:
= 3 + 4 + 5 + 2 + 6 + 7 + 4 + 6 + 3+ 5
9
= 45
9
= 5
Mean Data Kelompok
Untuk data berkelompok rumus rata-ratanya adalah jumlah hasil kali antara frekuensi dengan nilai data dibagi jumlah frekuensi; dimana menyatakan frekuensi untuk nilai yang bersesuaian.
Dirumuskan dengan;
Mean =Σ(fi.xi)Σfi
Atau:
Keterangan :
X1: data ke 1
X2: data ke 2
Xn: data ke n
f1: frekuensi data ke 1
f2: frekuensi data ke 2
fn: frekuensi data ke n
n: jumlah data
xi: nilai tengah
Contoh menghitung rata-rata data kelompok:
Nilai
F
x
1 -5
6 -10
11 – 15
16 – 20
21 – 25
26 – 30
31 – 35
36 – 40
41 – 45
46 - 50
3
7
4
3
7
9
6
7
8
6
3
8
13
18
23
28
33
38
43
48
60
Mean =Σ(fi.xi)Σfi Jawab:
= {(3.3)+(7.8)+(4.13)+(3.18)+(7.23)+(9.28)+(6.33)+(7.38)+(8.43)+(6.48)}
60
={9+56+52+54+161+252+198+266+344+288}
60
= 28
Kelebihan mean:
Nilai rata-rata punyai sifat objektif
Nilai rata-rata mudah dimengerti
Nilai rata-rata mudah dihitung
Perhitungan rata-rata didasarkan pada data keseluruhan sehingga nilai rata-rata dapat mewakili suatu rangakaian data.
Nilai rata-rata mempunyai stabilitas sampel
Nilai rata-rata digunakan untuk perhitungan lebih lanjut
Kelemahan mean:
Nilai rata-rata mudah dipengaruhi oleh nilai ekstrem, baik kecil maupun besar
Pada distribusi yang condong, nilai rata-rata kurang mewakili
2. Median
Median (nilai tengah), adalah suatu nilai yang membatasi 50% dari frekuensi distribusi sebelah atas dan 50% frekuensi distribusi sebelah bawah atau merupakan nilai tengah dari rangkaian data yang telah tersusun secara teratur. Atau sebagai ukuran letak, karena median membagi distribusi menjadi 2 bagian yang sama. Median menentukan letak data setelah data itu disusun menurut urutan nilainya.
Perhitungan Median Data Yang Tidak Dikelompokkan (Ungrouped Data)
Langkah-langkahnya antara lain:
Urutkan data dari terkecil ke terbesar atau dari terbesar ke terkecil. Dalam pembahasan ini, urutan data selalu dimulai dari terkecil ke terbesar.
Tentukan letak median dengan formulasi (n+1)2
Untuk kasus jumlah data ganjil, nilai tengah dari observasi yang sudah di urutkan merupakan nilai median sementara untuk kasus jumlah data genap, nilai median merupakan rata-rata dari dua data yang berada pada letak median untuk data yang sudah diurutkan.
Median Data Tunggal
Jika banyak data ganjil maka median setelah data disusun menurut nilainya merupakan data paling tengah.
Posisi Median = (n+1)2
Keterangan :
n= Jumlah data
Contoh:
Diketahui data :2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7. Hitung median data tersebut!
Posisi Median = (n+1)2
=(10+1)2
=5,5
Data ke-5,5 berada diantara angka 4 dan 5 maka ….
Median= 4+5
2
= 4,5
Median Data Kelompok
Keterangan :
Lm= true lower limit atau batas bawah sesungguhnya dari kelas dengan frekuensi paling tinggi (tepi bawah kelas median)
n= Jumlah Frekuensi
f= Frekuensi kumulatif diatas kelas median
fm= Frekuensi kelas median (frekuensi tertinggi dari kelas interval)
c= interval kelas median
Contoh:
Menghitung Median data kelompok:
Nilai
Fm
F
1 -5
6 -10
11 – 15
16 – 20
21 – 25
26 – 30
31 – 35
36 – 40
41 – 45
46 - 50
3
7
4
3
7
9
6
7
8
6
3
10
14
17
24
33
39
46
54
60
60
Jawab:
Kelas median= 1/2.n
= ½.60
= 30
Berada pada kelas 26-30
Lm= 26 - 0,5 = 25,5
n = 60 f = 24
c = 5 fm = 9
Median = Lm + ( n/2 - f ) . c
fm
= 25,5 + (60/2 – 24) . 5
9
= 25,5 + (30 – 24) . 5
9
= 25,5 + 0,67 . 5
= 25,5 +3,35
= 28,85
Median memiliki kelebihan dan kekurangan antara lain:
Kelebihan:
Cocok untuk data heterogen
Median digunakan bila terdapat data yang ekstrim dalam sekelompok data
Kekurangan:
Tidak mempertimbangkan semua nilai
Kurang dapat menggambarkan mean populasi
Modus
Modus, merupakan nilai data yang memiliki frekuensi terbesar atau dengan kata lain, nilai data yang paling sering terjadi. Ukuran ini juga dalam keadaan tidak disadari sering dipakai untuk menentukan rata-rata data kualitatif. Misalnya banyak kematian di Indonesia disebakan oleh penyakit malaria, pada umumnya kecelakaan lalulintas karena kecerobohan pengemudi, maka tidak lain masing-masing merupakan modus penyebab kematian dan kecelakaan lalu lintas. Cara menentukan modus amat sangat mudah hanya dengan mengamati data yang paling sering muncul. Dalam satu rangkaian data, kadang dijumpai adanya 1 modus, 2 modus atau tidak ada modus.
Perhitungan Modus Data Yang Tidak Dikelompokkan (Ungrouped Data)
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
Urutkan data dari terkecil ke terbesar atau dari terbesar ke terkecil
Cari modus dengan cara mencari nilai observasi yang paling banyak muncul. Bisa terjadi dalam satu kumpulan data tidak terdapat modus atau bahkan memiliki modus lebih dari satu. Untuk kasus dimana ada 2 modus dikenal dengan sebutan bimodus atau untuk yang lebih dari 3 modus dikenal dengan multimodus.
Modus Data Tunggal
Dalam data tunggal, modus dapat dibatasi sebagai nilai variabel yang mempunyai frekuensi tertinggi dalam distribusi. Cara menentukan modus data tunggal yakni dengan mengamati data yang paling sering muncul.
Contoh modus data tunggal:
Berapakah modus dari data berikut : 1, 2, 2, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Jawab:
Modus= 4 , karena angka 4 muncul paling banyak yaitu 3 kali.
Modus Data Kelompok
Untuk data kualitatif yang telah disusun dalam tabel distribusi frekuensi (data berkelompok), modusnya dapat ditentukan dengan rumus:
Modus =Lmo+ d1(d1+d2) . c
dengan:
Lmo = Tepi bawah kelas modus
d1 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelum modus
d2 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudah modus
c = interval kelas modus
Contoh menghitung Modus data kelompok:
Nilai
Fmo
F
1 -5
6 -10
11 – 15
16 – 20
21 – 25
26 – 30
31 – 35
36 – 40
41 – 45
46 - 50
3
7
4
3
7
9
6
7
8
6
3
10
14
17
24
33
39
46
54
60
60
Jawab:
Diketahui: Kelas modus 26–30 (karena memiliki frekuensi terbanyak = 9)
Lmo = 26 – 0,5 = 25,5
d1 = 9 – 7 = 2
d2 = 9 – 6 = 3
c = 5
Ditanyakan: nilai Modus
Jawab:
Mo = Lmo + d1 . c
d1 + d2
= 25,5 + 2 . 5
2 + 3
= 25,5 + 0,4 . 5
= 25,5 + 2
= 27,5
Modus dibandingkan ukuran lainnya, tidak tunggal adanya. Yang berarti sekumpulan data biasanya mempunyai lebih dari sebuah modus.
Kelebihan:
Tidak peka atau tidak terpengaruh pada nilai ekstrem
Cocok untuk data homogen maupun heterogen (dapat digunakan untuk semua jenis data)
Kekurangan:
Kurang menggambarkan mean populasi
Modus bisa lebih dari satu, atau tidak ada satu pun
Teknik perhitungan ukuran ini kurang memiliki ketelitian
2.3 Kuartil, Desil dan Presentil
Kuartil
Jika sekumpulan data dibagi menjadi empat bagian yang sama banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya, maka bilangan pembaginya disebut kuartil. Ada tiga buah kuartil, yakni kuatil pertama, kuartil kedua, dan kuartil ketiga yang masing-masing disingkat dengan Q1, Q2, dan Q3. Pemberian nama ini dimulai dari nilai kuartil paling kecil. Untuk menentukan nilai kuartilnya adalah:
Susun data menurut urutan nilainya
Tentukan letak kuartil
Tentukan nilai kuartil
Letak kuartil ke-i, diberi lambang Qi, ditentukan oleh rumus:
Q1= Kuartil bawah= x( n+14 )
Q2= Median= Kuartil Tengah= x ( 2n+14 )
Q3= Kuartil atas= x ( 3n+14 )
Kuartil Data Tunggal
Contoh Kuartil data tunggal :
Sampel dengan data 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9.
Q1= 1(13+1)
4
= 1.14
4
= 14 : 4
= 3,5
Data ke-3.5 berada antara angka 4 dan 5 sehingga:
4+5 = 4.5
2
Q2= 2(13+1)
4
= 2(14)
4
= 7
Data ke-7 adalah 6
Q3= 3(13+1)
4
= 3(14)
4
= 10.5
Data ke-10.5 berada diantara angka 7 dan 7, sehingga:
7+7 = 7
2
Kuartil Data Berkelompok
Qi = Tb + p { ( i/4.n )- F }
f
Keterangan:
i/4.n = letak Qi
Tb = Tepi bawah interval kelas Qi (Tb= batas bawah - 0,5)
p = Panjang kelas interval
n = Banyak data
F = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Qi
f = Frekuensi pada kelas Qi
Contoh Kuartil data berkelompok:
Hitunglah kuartil Dari data pada tabel dibawah ini !
Tabel Nilai Praktikum Komputer Mahasiswa
Nilai
F
F
51 – 55
56 – 60
61 – 65
66 – 70
71 – 75
76 – 80
81 – 85
86 – 90
91 – 95
96 – 100
4
20
24
56
19
16
10
7
3
1
4
24
48
104
123
139
149
156
159
160
160
Letak Q1 = ¼. n
= ¼.160
= 40
Data ke-40 berada pada kelas 61-65
(Tb = 61 – 0,5 = 60,5)
Jadi :
Q1 = Tb + p { (1/4.n –F)}
f
= 60,5 + 5 { (1/4.160 – 24 )}
24
= 60,5 + 5 {0,67}
= 60,5 + 3,35 = 63,85
Letak Q2 = 2 /4. n
= 2/4 . 160
= 80
Data ke-80 berada pada kelas 66-70
(Tb = 66 – 0,5 = 65,5)
Jadi :
Q2 = Tb + p { (2/4.n – F)}
f
= 65,5 + 5 { (2/4.160 – 48 )}
56
= 65,5 + 5 {0,57}
= 65,5 + 2,85 = 68,35
Letak Q3 = 3/4 . n
= ¾ . 160
= 120
Data ke-120 berada pada kelas 71-75
(Tb = 71 – 0,5 = 70,5)
Jadi :
Q3 = Tb + p { (3/4.n –F)}
f
= 70,5 + 5 { (3/4.160 – 104 )}
19
= 70,5 + 5 {0,84}
= 70,5 + 4,2 = 74,7
Desil
Jika sekumpulan data dibagi menjadi 10 bagian yang sama, maka didapat sembilan pembagi dan tiap pembagi dinamakan desil. Karenanya ada sembilan buah desil, ialah desil pertama, desil ke-dua, …, desil ke-sembilan, yang disingkat D1, D2, …, D9. Desil-desil ini dapat ditentukan dengan jalan:
Susun data menurut urutan nilainya
Tentukan letak desil
Tentukan nilai desil
Letak desil ke-i, diberi lambang Di
Desil Data Tunggal
Contoh Desil data tunggal:
Tentukan D1, D3 dan D7 dari data : 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9(n=14)!
Jawab:
Di = i ( n + 1 )
10
D1 = 1(14+1)
10
= 15
10
= 1,5
Data ke 1,5 berada diantara angka 3 dan 4 jadi :
3+4 = 3,5
2
D3 = 3(14+1)
10
= 45
10
= 4,5
Data ke 4,5 berada diantara angka 5 dan 5 jadi :
5+5 = 5
2
D7 = 7(14+1)
10
= 105
10
= 10,5
Desil Data Kelompok
Untuk data berkelompok yang telah disusun dalam tabel distribusi frekuensi, desil ke-i
Di (i= 1, 2, …, 9) dihitung dengan rumus:
dengan:
i = 1, 2, …, 9.
Tb= batas bawah kelas Di , ialah kelas interval dimana Di akan terletak.
p = panjang kelas Di.
F = jumlah frekuenasi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Di.
f = frekuensi kelas Di.
Contoh Desil pada data berkelompok :
Hitunglah D5 dan D9 dari data pada tabel berikut ini:
Tabel Nilai Praktikum Komputer Mahasiswa
Nilai
f
F
51 – 55
56 – 60
61 – 65
66 – 70
71 – 75
76 – 80
81 – 85
86 – 90
91 – 95
96 – 100
4
20
24
56
19
16
10
7
3
1
4
24
48
104
123
139
149
156
159
160
160
Jawab:
Di = Tb + p { ( i/10.n )-F }
f
Letak D5 = 5/10 . n
= 5/10.160
= 80
Data ke-80 berada pada kelas 66-70
(Tb = 66 – 0,5 = 65,5)
Jadi:
D5 = Tb + p { (5/10.n –F)}
f
= 65,5+ 5 {(5/10.160 – 48 )}
56
= 65,5 + 5 {0,57}
= 65,5 + 2,85 = 68,35
Persentil
Sekumpulan data yang dibagi menjadi 100 bagian yang sama, akan menghasilkan 99 pembagi berturut-turut yang dinamakan persentil pertama, persentil kedua, …, persentil ke-99. Simbol yang digunakan berturut-turut P1, P2, …, P99. Persentil ini dapat ditentukan dengan cara:
Susun data menurut urutan nilainya.
Tentukan letak presentil
Tentukan nilai presentil
Letak presentil ke-i, diberi lambang P.
Persentil Data Tunggal
Rumus Persensil ke-i = X ( 1n+1100 )
Contoh Persentil Data Tunggal:
Diketahui data sebagai berikut : 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9 (n=14). Hitung P90!
Jawab:
Pi = i ( n + 1 )
100
P90 = 90 (14+1)
100
= 1350
100
= 13,5
Data ke-13,5 berada diantara angka 8 dan 9 jadi:
8+9 = 8,5
2
Persentil Data Kelompok
Untuk data berkelompok yang telah disusun dalam tabel distribusi frekuensi, persentil ke-i Pi (i = 1, 2, …, 99) dihitung dengan rumus:
dengan:
i = 1, 2, …, 99.
Tb = batas bawah kelas Pi , ialah kelas interval dimana Pi akan terletak.
p = panjang kelas Pi.
F = jumlah frekuenasi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Pi.
f = frekuensi kelas Pi.
Contoh Persentil Pada Data Berkelompok :
Hitung P10 dari data di bawah ini!
Tabel Nilai Praktikum Komputer Mahasiswa
Nilai
F
F
51 – 55
56 – 60
61 – 65
66 – 70
71 – 75
76 – 80
81 – 85
86 – 90
91 – 95
96 – 100
4
20
24
56
19
16
10
7
3
1
4
24
48
104
123
139
149
156
159
160
160
Jawab:
Pi = Tb + p {( i/100.n )-F }
f
Letak P10 = 10/100 . n
= 10/100.160
= 16
Data ke-16 berada pada kelas 56-60
(Tb = 56 – 0,5 = 55,5)
Sehingga:
P10 = Tb + p { (10/100.n –F)}
f
= 55,5+ 5 { (10/100.160 – 4 )}
20
= 55,5 + 5 {0,6}
= 55,5 + 3 = 58,5
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Nilai sentral atau tendensi sentral adalah nilai dalam rangkaian data yang mewakili rangkaian data tersebut. Disebut juga sebagai ukuran letak/lokasi karena menunjukkan letak dari pusat atau sekumpulan data. Terdapat tiga ukuran tendensi sentral yang sering digunakan, yaitu mean (rata-rata hitung/rata-rata aritmetika), median, modus, kuartil, desi dan presentil.
Data sangat bervariasi, baik data tunggal maupun berkelompok. Mean berarti rata-rata hitung, yaitu jumlah semua data dibagi dengan banyaknya data. Median merupakan nilai tengah dari pengamatan setelah data dari terkecil ke terbesar atau dari terbesar ke terkecil. Sedangkan, modus adalah nilai dari pengamatan yang paling banyak muncul.
Ada pula, kuartil yang merupakan hasil pembagian sekumpulan data menjadi empat kelompok dengan batas-batas antar satu kuartil dengan kuartil lainnya. Selanjutnya, desil berupa sekumpulan data yang dibagi menjadi sepuluh kelompok setelah data diurutkan dari terkecil ke terbesar. Begitu pun dengan presentil yang dibagi menjadi seratus kelompok setelah data diurutkan.
3.2 Saran
