Page 1
Page 2
BAB 1 PENDAHULUAN
A. Latar belakang Mata kuliah statistika bagi mahasiswa sangat diperlukan terutama ketika seorang mahasiswa harus mengumpulkan, mengolah, menganalisis dan menginterprestasikan data untuk pembuatan skripsi, thesis atau disertasi. Dalam hal ini pengetahuan statistik dipakai dalam menyusun metodologi penelitian. Sebagai suatu ilmu, kedudukan statistika merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika terapan. Oleh karena itu untuk memahami statistika pada tingkat yang tinggi, terebih dahulu diperlukan pemahaman ilmu matematika. Di negara maju seperti Amerika, Eropa dan Jepang, ilmu statistika berkembang dengan pesat sejalan dengan berkembangnya ilmu ekonomi dan teknik. Bahkan kemajuan suatu negara sangat ditentukan oleh sejauh mana negara itu menerapkan ilmu statistika dalam memecahkan masalah-masalah pembangunan dan perencanaan pemerintahannya. Jepang sebagai salah satu negara maju, konon telah berhasil memadukan ilmu statistika dengan ilmu ekonomi, desain produk, psikologi dan sosiologi masyarakat. Sejauh itu ilmu statistika digunakan pula untuk memprediksi dan menganalisis perilaku konsumen, sehingga Jepang mampu menguasai perekonomian dunia sampai saat ini. Statistik dan Statistika Statistik adalah kumpulan data dalam bentuk angka maupun bukan angka yang disusun dalam bentuk tabel (daftar) dan atau diagram yang menggambarkan atau berkaitan dengan suatu masalah tertentu. Contoh : o Statistik penduduk adalah kumpulan angka-angka yang berkaitan dengan masalah penduduk. o Statistik ekonomi adalah kumpulan angka-angka yang berkaitan dengan masalah ekonomi. Statistika adalah pengetahuan yang berkaitan dengan metode, teknik atau cara mengumpulkan, mengolah, menganalisis dan menginterprestasikan data untuk disajikan secara lengkap dalam bentuk yang mudah dipahami penggunan. B. Tujuan Tujuan dari pembahasan permasalahan ini adalah untuk memberikan informasi atau pengetahuan kepada pembaca apa pentingnya ilmu statistika dalam kehidupan sehari-hari, dan bagaimana cara pengumpulan, penyajian, analisis, dan penafsiran data dengan benar dan akurat.
C. Sejarah Statistika Penggunaan istilah statistika berakar dari istilah istilah dalam bahasa latin modern statisticum collegium ("dewan negara") dan bahasa Italia statista ("negarawan" atau "politikus"). Gottfried Achenwall (1749) menggunakan Statistik dalam bahasa Jerman untuk pertama kalinya sebagai nama bagi kegiatan analisis data kenegaraan, dengan mengartikannya sebagai "ilmu tentang negara (state)". Pada awal abad ke-19 telah terjadi pergeseran arti menjadi "ilmu mengenai pengumpulan dan klasifikasi data". Sir John Sinclair memperkenalkan nama ( Statistics) Page 3
dan pengertian ini ke dalam bahasa Inggris. Jadi, statistika secara prinsip mula-mula hanya mengurus data yang dipakai lembaga-lembaga administratif dan pemerintahan. Pengumpulan data terus berlanjut, khususnya melalui sensus yang dilakukan secara teratur untuk memberi informasi kependudukan yang berubah setiap saat. Pada abad ke-19 dan awal abad ke-20 statistika mulai banyak menggunakan bidang-bidang dalam matematika, terutama peluang. Cabang statistika yang pada saat ini sangat luas digunakan untuk mendukung metode ilmiah, statistika inferensi, dikembangkan pada paruh kedua abad ke-19 dan awal abad ke-20 oleh Ronald Fisher (peletak dasar statistika inferensi), Karl Pearson (metode regresi linear), dan William Sealey Gosset (meneliti problem sampel berukuran kecil). Penggunaan statistika pada masa sekarang dapat dikatakan telah menyentuh semua bidang ilmu pengetahuan, mulai dari astronomi hingga linguistika. Bidang-bidang ekonomi, biologi dan cabang-cabang terapannya, serta psikologi banyak dipengaruhi oleh statistika dalam metodologinya. Akibatnya lahirlah ilmu-ilmu gabungan seperti ekonometrika, biometrika (atau biostatistika), dan psikometrika. Meskipun ada pihak yang menganggap statistika sebagai cabang dari matematika, tetapi sebagian pihak lainnya menganggap statistika sebagai bidang yang banyak terkait dengan matematika melihat dari sejarah dan aplikasinya. Di Indonesia, kajian statistika sebagian besar masuk dalam fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam, baik di dalam departemen tersendiri maupun tergabung dengan matematika. D. RUMUSAN MASALAH
Page 4
BAB 2 PEMBAHASAN
A.Pengertian Statistika
Kita sangat akrab dengan kata “statistik” dalam kehidupan sehari -hari, bahkan di negara kita terdapat lembaga negara yang bernama Badan Pusat Statistik (BPS). Kita juga sering mendengar istilah “observasi”, “data”, “sensus”, “sample”, “populasi” dan lain -lain. Mirip dengan kata statistik, terdapat kata “statistika” seperti terlihat pada judul bab ini di atas. Berikut definisi beberapa istilah tersebut: STATISTIKA adalah kumpulan metoda yang digunakan untuk merencanakan eksperimen, mengambil data, dan kemudian menyusun, meringkas, menyajikan, menganalisa, menginterpretasikan dan mengambil kesimpulan yang didasarkan pada data tersebut. DATA adalah hasil observasi atau pengamatan yang telah dikumpulan. Data dapat berupa hasil pengukuran; misalnya data tinggi dan berat badan, hasil pengelompokan; misalnya jenis kelamin, hasil jawaban responden terhadap suatu quesioner; misalnya tingkat kepuasan. POPULASI adalah koleksi lengkap semua elemen yang akan diselidiki. Suatu koleksi dikatakan lengkap jika ia memuat semua subjek yang akan diselidiki. SENSUS adalah koleksi data dari semua anggota dalam populasi. SAMPEL adalah sebagian koleksi anggota yang dipilih dari populasi B. Peranan dan Fungsi Statistik Dalam kehidupan yang modern sekarang ini, dengan ciri utama adalah globalisasi, statistik tidak diragukan lagi peranannya dalam membantu memudahkan kehidupan manusia. Lebih jelasnya, peranan statistik antara lain terlihat dalam kehidupan sehari-hari, dalam kegiatan ilmiah, dan kegiatan proses belajar mengajar, dan dalam kegiatan ilmu pengetahuan. 1. Dalam kehidupan sehari-hari Dalam kehidupan sehari-hari statistik memiliki peranan sebagai penyedia bahan-bahan atau keterangan-keterangan berbagai hal untuk diolah dan ditafsirkan. Contoh: angka kenakalan remaja, tingkat biaya hidup, tingkat kecelakaan lalu lintas, dan tingkat pendapatan. 2. Dalam penelitian ilmiah Dalam penelitian ilmiah, statistik memiliki peranan sebagai penyedia data untuk mengemukakan atau menemukan kembali keterangan-keterangan yang seolah-olah tersembunyi dalam angkaangka statistik 3. Dalam kegiatan proses belajar mengajar Page 5
Dalam kegiatan proses belajar mengajar, statistik banyak membantu dalam menganalisis soal-soal yang diberikan dalam kegiatan pembelajaran. Contoh: perbandingan banyaknya siswa perempuan dan laki-laki di kelas I, rerata prestasi siswa matematika di kelas V, dan besarnya indeks objektivitas sekolah ’PANCA SAKTI’ dalam mengik uti Ujian Nasional Matematika. 4. Dalam kegiatan ilmu pengetahuan Dalam ilmu pengetahuan, statistik memiliki peranan sebagai sarana analisis dan interpretasi dari data kuantitatif ilmu pengetahuan, sehingga diperoleh suatu kesimpulan dari berbagai data tersebut. C.Pembagian Statistik Berdasar Cara Pengolahan Datanya 1. Statistik deskriptif Statistik deskriptif adalah bagian dari statistik yang mempelajari cara pengumpulan dan penyajian data sehingga mudah dipahami. Statistik deskriptif hanya berhubungan dengan hal menguraikan atau memberikan keterangan-keterangan mengenai suatu data atau keadaan atau fenomena. Dengan kata lain, statistik deskriptif hanya berfungsi menerangkan keadaan, gejala, atau persoalan. Beberapa contoh pernyataan yang termasuk dalam cakupan statistik deskriptif, antara lain: a. Sekurang-kurangnya 15 % dari kebakaran yang terjadi di kota “Payakumbuh“, yang dilaporkan tahun lalu diakibatkan oleh tindakan-tindakan sengaja yang tidak bertanggung jawab. b. Sebanyak 25 % di antara semua pasien yang menerima suntikan obat tertentu, ternyata kemudian menderita efek samping obat tersebut. 2. Statistik Inferensial Statistik inferensial adalah serangkaian teknik yang digunakan untuk mengkaji, menaksir dan mengambil kesimpulan sebagaian data (data sampel) yang dipilih secara acak dari seluruh data yang menjadi subyek kajian (populasi). Statistik inferensial berhubungan dengan pendugaan populasi dan pengujian hipotesis dari suatu data atau keadaan atau fenomena. Dengan kata lain, statistik inferensial berfungsi meramalkan dan mengontrol keadaan atau kejadian. Berikut ini beberapa contoh pernyataan yang termasuk dalam cakupan statistik inferensial. a. Akibat penurunan produksi minyak oleh negara-negara penghasil minyak dunia, diramalkan harga minyak akan menjadi dua kali lipat pada tahun-tahun mendatang. b. Dengan mengasumsikan bahwa kerusakan tanaman kopi “Toraja“ kurang dari 30 % akibat musim dingin yang lalu, maka harga kopi jenis tersebut di akhir tahun nanti tidak akan lebih dari 2.500 rupiah per satu kilogramnya.
Page 6
1. DATA TIPE-TIPE DATA
Pada bagian sebelumnya kita telah mendefinisikan sampel dan populasi. Keduanya dibedakan berdasarkan proses melakukan observasi. Untuk membedakan antara data sampel dan data populasi biasanya digunakan istilah statistik dan parameter. PARAMETER adalah suatu ukuran numerik yang menggambarkan karakter suatu populasi. STATISTIK adalah ukuran numerik yang menggambarkan karakter suatu sampel. CONTOH 1. Berdasarkan sensus ekonomi tahun 2010 terdapat 35% rumah tangga di Indonesia tergolong miskin. Nah, angka 35% ini adalah parameter karena ia diperoleh dari populasi yaitu semua rumah tangga di Indonesia. 2. Berdasarkan hasil survey terhadap 50 orang mahasiswa pendidikan matematika UNMUH Ponorogo angkatan 2008/2009 diperolah bahwa rata-rata NEM matematika mereka adalah 6.75. Angka 6.75 ini adalah statistik karena ia diberikan oleh sampel yang terdiri dari 50 orang mahasiswa tersebut. Selain data yang berbentuk angka seperti cpntoh di atas, terdapat pula data dalam bentuk kategori. Kedua bentuk data ini didefinisikan secara formal sebagai berikut : DATA KUANTITATIF adalah data yang menggambarkan hasil perhitungan atau hasil pengukuran. DATA KUALITATIF atau DATA KATEGORI adalah data yang dapat dipisahkan dalam beberapa kategori atau kelompok yang dibedakan oleh karakter bukan numerik. CONTOH 1. Data kuantitatif: tinggi badan, nilai NEM, temperatur dalam derajat celsius, besar penghasilan. 2. Data kualitatif: jenis kelamin, profesi, temperatur dalam rasa (dingin, panas sejuk). Selanjutnya, data kuantitatif dibedakan atas data diskrit dan data kontinu. DATA DISKRIT adalah data yang banyak kemungkinannya berhingga atau terbilang. DATA KONTINU adalah data yang benyak kemungkinannya takterbilang. CONTOH 1. Data diskrit: jam kerja d alam sehari (kemungkinannya: adalah 1, 2, 3, … , 24), banyak telor yang dihasilkan oleh ayam betina, banyak hari libur dalam setiap bulan. 2. Data kontinu: temperatur udara di berbagai tempat (kemungkinannya: semua nilai yang ada pada interval, misalnya dari -20 derajat celsius sampai dengan 50 derajat celsius. PENGGOLONGAN DATA STATISTIK Data statistik dapat dibedakan dalam beberapa golongan, tergantung dari segi mana pembedaan tersebut dilakukan. Page 7
1. Ditinjau dari variabel yang diteliti (segi sifat angkanya), data statistik dapat dibedakan menjadi dua golongan, yaitu: data kontinu dan data diskrit. • Variabel atau data kontinu adalah data statistik yang angka -angkanya merupakan deretan angka yang sambung-menyambung. Dengan kata lain, data kontinu ialah data yang deretan angkanya merupakan suatu kontinum. Contoh: • Data statistik mengenai tinggi badan (dalam ukuran sentimeter): 160 -160,1- 160,2-160,3-160,4160, 5-160,6-160,7 dan seterusnya. • Data statistik mengenai berat badan (dalam ukuran kilogram): 50-50,1-50,2- 50,3-50, 4-50,550,6-50,7-50,8-50,9 dan seterusnya. Variabel atau data diskrit ialah data statistik yang tidak mungkin berbentuk pecahan. Contoh: • Data statistik tentang jumlah anggota keluarga (dalam satuan orang): 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 dan sebagainya. • Data statistik tentang jumlah buku-buku perpustakaan: (dalam satuan eksemplar): 50 – 125 – 307 – 5113 – 12891- dan sebagainya. Dalam hal ini jelas bahwa tidak mungkin jumlah anggota keluarga = 1,25 – 3,50 dan sebagainya; demikian pula tidak mungkin jumlah buku perpustakaan = 50,75 – 125,33 – 209,67 – dan sebagainya. 2. Penggolongan berdasarkan cara menyusun angka Ditinjau dari segi cara menyusun angka, data statistik dapat dibedakan menjadi tiga macam; yaitu data nominal, data ordinal, dan data interval. Data Nominal ialah data statistik yang cara menyusun angkanya didasarkan atas penggolongan atau klasifikasi tertentu. Data nominal juga sering dinyatakan dengan data hitungan. Disebut demikian, karena data tersebut diperoleh dengan cara menghitung (dalam hal ini menghitung jumlah siswa, baik menurut tingkatan studi maupun jenis kelaminnya). Data ordinal juga sering disebut dengan data urutan, yaitu data statistik yang cara menyusun angkanya didasarkan atas urutan kedudukan (ranking). Data interval ialah data statistik yang terdapat jarak sama di antara hal-hal yang sedang diselidiki atau dipersoalkan. 3. Penggolongan Data Berdasarkan Bentuk Angka Ditinjau dari segi bentuk angkanya, data statistik dapat dibedakan menjadi 2 (dua) macam, yaitu data tunggal (un grouped data) dan data kelompok atau data bergolong (grouped data). Data tunggal ialah data statistik yang masing-masing angkanya merupakan satu unit (satu kesatuan). Dengan kata lain, data tunggal ialah data statistik yang masing-masing angkanya merupakan satu unit (satu kesatuan) atau data statistik yang angkaangkanya tidak dikelompokkan. Data kelompok ialah data statistik yang tiap-tiap unitnya terdiri dari sekelompok angka 4. Penggolongan Data Statistik Berdasarkan Sumbernya Ditinjau dari sumber mana data tersebut diperoleh, data statistik dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu: data primer dan data sekunder. Data primer adalah data statistik yang diperoleh atau bersumber dari tangan pertama (first hand data).Sedangkan data sekunder adalah data statistik yang diperoleh dari tangan kedua (second hand data). Data tentang jumlah siswa yang tawuran pada tahun 2006, diperoleh dari surat kabar harian Kompas. 5. Penggolongan Data Statistik Berdasarkan Waktu Pengumpulannya Ditinjau dari segi waktu
Page 8
pengumpulannya, data statistik dapat dibedakan menjadi dua golongan, yaitu: data seketika (cross section data) dan data urutan waktu (time series data). Data seketika adalah data statistik yang mencerminkan keadaan pada satu waktu saja (at a point time). Contoh, data statistik tentang jumlah guru di “SD Karawaci” dalam tahun ajaran 2006/2007 (hanya satu tahun ajaran saja). Data urutan waktu ialah data statistik yang mencerminkan keadaan atau perkembangan mengenai sesuatu hal, dari satu alokasi waktu ke waktu yang lain secara berurutan. Data urutan waktu sering juga dikenal dengan istilah historical data. Contoh: data statistik tentang jumlah guru di “SD Karawaci” tahun ajaran 2002/2003 sampai dengan tahun 2006/2007. 1.1 PENGUMPULAN DATA
Data statistik dapat dikumpulkan dengan menggunakan prosedur yang sistematis. Pengumpulan data dimaksudkan sebagai pencatatan peristiwa atau karakteristik dari sebagian atau seluruh elemen populasi. Pengumpulan data dibedakan atas beberapa jenis berdasarkan karakteristiknya, yaitu: (1) berdasarkan jenis cara pengumpulannya; dan (2) berdasarkan banyaknya data yang diambil. Berdasarkan jenis cara pengumpulannya, dibagi atas beberapa cara, yakni: (a) pengamatan (observasi), (b) penelusuran literatur, (c) penggunaan kuesioner, dan (d) wawancara (interviu). Berdasarkan banyaknya data yang diambil, dibedakan atas dua cara, yakni: (a) sensus dan (b) sampling. Sehubungan dengan hal tersebut, maka untuk memperoleh kesimpulan yang tepat dan benar, maka data yang dikumpulkan dalam pengamatan harus nyata dan benar. Syarat data yang baik adalah (a) Data harus objektif ( sesuai dengan keadaan sebenarnya), (b) Data harus representative, (c) Data harus up to date, dan (d) Data harus relevan dengan masalah yang akan dipecahkan. Statistika Pendidikan 1 23 – 1.2 PENGOLAHAN DATA Data yang telah dikumpulkan (raw score) kemudian diolah. Pengolahan data dimaksudkan sebagai proses untuk memperoleh data ringkasan dari data mentah dengan menggunakan cara atau rumus tertentu. Data ringkasan yang diperoleh dari pengolahan data itu dapat berupa jumlah (total), ratarata, persentase, dan sebagainya. 1.3 PENYAJIAN DATA Data yang sudah diolah, agar mudah dibaca dan dimengerti oleh orang lain atau pengambil keputusan, perlu disajikan ke dalam bentuk-bentuk tertentu. Penyajian data memiliki fungsi antara lain: (1) menunjukkan perkembangan suatu keadaan, dan (2) mengadakan perbandingan pada suatu waktu. Selanjutnya penyajian data dapat dilakukan melalui tabel dan grafik.
Page 9
2. STATISTIK DESKRIPTIF
Distribusi Frekuensi adalah pengelompokkan data ke dalam beberapa kategori yang menunjukkan banyaknya data dalam setiap kategori, dan setiap data tidak dapat dimasukkan ke dalam dua atau lebih kategori. Distribusi frekuensi adalah susunan data dalam bentuk tunggal atau kelompok menurut kelas-kelas tertentu dalam sebuah daftar. a.Distribusi Frekuensi relatif Distribusi frekuensi relatif yaitu distribusi frekuensi yang angka-angka frekuensinya tidak dinyatakan dalam angka-angka absolut tetapi an gka-angka relatif atau persentase. Contohnya yaitu:
b. Distribusi Frekuensi Komulatif Distribusi frekuensi komulatif terdiri dari dua jenis yaitu : 1) Distribusi frekuensi “kurang dari” Distribusi frekuensi “kurang dari” yaitu distribusi frekuensi yang memasukkan frekuensi kelaskelas sebelumnya. Contohnya yaitu:
Page 10
Contoh Soal Data berikut ini merupakan nilai ujian Matakuliah Statistik I dari 25 mahasiswa:
Berdasarkan data tersebut: 1. Buatlah tabel distribusi frekuensi. 2. Tentukan batas kelas, tepi kelas, dan titik tengah. 3. Buatlah distribusi frekuensi relative. 4. Buatlah distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. 5. Buatlah distribusi frekuensi kumulatif atau lebih. Penyelesaian: 1. Tabel distribusi frekuensi Langkah-langkah pembentukan distribusi frekuensi: a. Menentukan banyaknya kelas Menentukan banyaknya kelas dapat menggunakan kriterium Sturges: K = 1 + 3,322 log n K = 1+ 3,322 log 25 K = 1+ 3,322 (1,398) K = 5,644 K = 6 (dibulatkan) b. Menentukan besarnya interval kelas (i) i = r/k r = Jarak atau range k = Banyak kelas Range = angka terbesar – angka terkecil Angka terkecil = 27 Angka terbesar = 94 Range = 94 – 27 = 67 Banyaknya kelas = 6
Page 11
i = 67/6 = 11,17 = 12 (dibulatkan) c. Membuat tabel distribusi frekuensi
Penyajian distribusi frekuensi
2. Tentukan batas kelas, tepi kelas, dan titik tengah
Page 12
3. Distribusi frekuensi relatif
Frekuensi kelas 1 = 1/25 x 100 = 0,08 = 4 % Frekuensi kelas 2 = 3/25 x 100 = 0,08 = 12 % Frekuensi kelas 3 = 5/25 x 100 = 0,20 = 20 % Frekuensi kelas 4 = 8/25 x 100 = 0,32 = 32 % Frekuensi kelas 5 = 5/25 x 100 = 0,20 = 20 % Frekuensi kelas 6 = 3/25 x 100 = 0,12 = 12 % 4. Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari
5. Distribusi frekuensi kumulatif atau lebih
Page 13
Ada empat tipe pengukuran atau skala pengukuran yang digunakan, yakni: nominal, ordinal, interval, dan rasio. Berikut penjelasan lebih lanjut tentang keempat skala pengukuran tersebut:
1. Skala nominal
Merupakan skala yang paling lemah/rendah di antara keempat skala pengukuran. Sesuai dengan nama atau sebutannya, skala nominal hanya bisa membedakan benda atau peristiwa yang satu dengan yang lainnya berdasarkan nama (predikat). Sebagai contoh, klasifikasi barang yang dihasilkan pada suatu proses produksi dengan predikat cacat atau tidak cacat. Atau, bayi yang baru lahir bisa laki-laki atau perempuan. Tidak jarang digunakan nomor-nomor yang dipilih sekehendak ahti sebagai pengganti nama-nama atau sebutan-sebutan, untuk membedakan benda-benda atau peristiwa-peristiwa berdasarkan beberapa karakteristik. Sebagai contoh, dapat digunakan nomor 1 untuk menyebut kelompok barang yang cacat dari suatu proses produksi dan nomor 0 untuk menyebut kelompok barang yang tidak cacat dari suatu proses produksi. Skala nominal biasanya juga digunakan bila peneliti berminat terhadap jumlah benda atau peristiwa yang termasuk ke dalam masing-masing kategori nominal. Data semacam ini sering disebut data hitung (count data) atau data frekuensi. Contoh lainnya yaitu misalnya jawaban dikotomi (ya, tidak); jenis kelamin (pria, wanita); warna lampu lalu lintas (merah, kuning, hijau); nomor urut parpol Pemilu 2004 (1, 2, ..., 44); dan lain-lain. 2.
Skala Ordinal
Skala Ordinal ini lebih tinggi daripada skala nominal, dan sering juga disebut dengan skala peringkat. Hal ini karena dalam skala ordinal, lambang-lambang bilangan hasil pengukuran selain menunjukkan pembedaan juga menunjukkan urutan atau tingkatan obyek yang diukur menurut karakteristik tertentu. Misalnya tingkat kepuasan seseorang terhadap produk. Bisa kita beri angka dengan 5=sangat puas, 4=puas, 3=kurang puas, 2=tidak puas dan 1=sangat tidak puas. Atau misalnya dalam suatu lomba, pemenangnya diberi peringkat 1,2,3 dstnya. Dalam skala ordinal, tidak seperti skala nominal, ketika kita ingin mengganti angka-angkanya, harus dilakukan secara berurut dari besar ke kecil atau dari kecil ke besar. Jadi, tidak boleh kita buat 1=sangat puas, 2=tidak puas, 3=puas dstnya. Yang boleh adalah 1=sangat puas, 2=puas, Page 14
3=kurang puas dan seterusnya. Selain itu, yang perlu diperhatikan dari karakteristik skala ordinal adalah meskipun nilainya sudah memiliki batas yang jelas tetapi belum memiliki jarak (selisih). Kita tidak tahu berapa jarak kepuasan dari tidak puas ke kurang puas. Dengan kata lain juga, walaupun sangat puas kita beri angka 5 dan sangat tidak puas kita beri angka 1, kita tidak bisa mengatakan bahwa kepuasan yang sangat puas lima kali lebih tinggi dibandingkan yang sangat tidak puas. Sebagaimana halnya pada skala nominal, pada skala ordinal kita juga tidak dapat menerapkan operasi matematika standar (aritmatik) seperti pengurangan, penjumlahan, perkalian, dan lainnya. Peralatan statistik yang sesuai dengan skala ordinal juga adalah peralatan statistik yang berbasiskan (berdasarkan) jumlah dan proporsi seperti modus, distribusi frekuensi, Chi Square dan beberapa peralatan statistik non-parametrik lainnya. 3. Skala Interval
Skala interval mempunyai karakteristik seperti yang dimiliki oleh skala nominal dan ordinal dengan ditambah karakteristik lain, yaitu berupa adanya interval yang tetap. Dengan demikian, skala interval sudah memiliki nilai intrinsik, sudah memiliki jarak, tetapi jarak tersebut belum merupakan kelipatan. Pengertian “jarak belum merupakan kelipatan” ini kadang -kadang diartikan bahwa skala interval tidak memiliki nilai nol mutlak. Misalnya pada pengukuran suhu. Kalau ada tiga daerah dengan suhu daerah A = 10oC, daerah B = 15 oC dan daerah C=20oC. Kita bisa mengatakan bahwa selisih suhu daerah B, 5oC lebih panas dibandingkan daerah A, dan selisih suhu daerah C dengan daerah B adalah 5oC (Ini menunjukkan pengukuran interval sudah memiliki jarak yang tetap). Tetapi, kita tidak bisa mengatakan bahwa suhu daerah C dua kali lebih panas dibandingkan daerah A (artinya tidak bisa jadi kelipatan). Kenapa? Karena dengan pengukuran yang lain, misalnya dengan Fahrenheit, di daerah A suhunya adalah 50oF, di daerah B = 59oF dan daerah C=68oF. Artinya, dengan pengukuran Fahrenheit, daerah C tidak dua kali lebih panas dibandingkan daerah A, dan ini terjadi karena dalam derajat Fahrenheit titik nolnya pada 32, sedangkan dalam derajat Celcius titik nolnya pada 0. Skala interval ini sudah benar-benar angka dan, kita sudah dapat menerapkan semua operasi matematika serta peralatan statistik kecuali yang berdasarkan pada rasio seperti koefisien variasi. 4. Skala rasio Skala rasio adalah skala data dengan kualitas paling tinggi. Pada skala rasio, terdapat semua karakteristik skala nominal,ordinal dan skala interval ditambah dengan sifat adanya nilai nol yang bersifat mutlak. Nilai nol mutlak ini artinya adalah nilai dasar yang tidak bisa diubah meskipun menggunakan skala yang lain. Oleh karenanya, pada skala ratio, pengukuran sudah mempunyai nilai perbandingan/rasio. Pengukuran-pengukuran dalam skala rasio yang sering digunakan adalah pengukuran tinggi dan berat. Misalnya berat benda A adalah 30 kg, sedangkan benda B adalah 60 kg. Maka dapat dikatakan bahwa benda B dua kali lebih berat dibandingkan benda A.
Page 15
3. UKURAN PEMUSATAN DATA
A. DATA Adalah kumpulan bilangan-bilangan yang di dapat dari survey,jika data itu di lukis dalam gambar di sebut diagram. Macam-macam Data : 1. Data Tunggal 1.1. Data Tunggal Contoh : 3,3,4,6,7,7,8 2. Data Kelompok (distribusi frekuensi) 2.1 Data kelompok
B. DATA TUNGGAL 1. Rata-rata (Mean)
2. Median Data yang di tengah setelah data diurutkan.
3. Modus Adalah data yang mempunyai frekuensi terbesar 4. Quartil Setelah data diurutkan,maka : ● Quartil Bawah :
●
Quartil Atas : Page 16
5. Simpangan Range (jangkauan) : dua paling besar – data paling kecil. Simpangan rata-rata :
Simpangan baku/standart :
Contoh : Diketahui data :
Tentukan rata-rata,median,modus,quartil bawah,quartil atas,simpangan quartil,simpangan rata-rata dan simpangan baku. Jawab : ● Rata-rata :
Median : Letak median (Nimed) = ½ (n + 1) = ½ (10 + 1) = 5,5 Median = 5 ● Modus = 4 (data dengan frekuensi terbesar) ● Quartil (n = genap) Letak Q1 = ¼ (n + 2) = ¼ (10 + 2) = 3 Q1 = 4 Letak Q3 = ¼ (3n + 2) = ¼ (30 +2) = 8 Q3 = 6 ● Simpangan Quartil : ●
Page 17
Qd = ½ (Q3 – Q1) = (6 – 4) = 1 ● Simpangan rata-rata dan simpangan baku :
C. DATA KELOMPOK
2. Median
Lmd = tepi bawah interval median F = jumlah frekuensi-frekuensi sebelum interval median f = frekuensi interval meddian c = lebar interval 3. Modus
Lmod = tepi bawah interval modus a = selisih frekuensi interval modus dengan frekuensi interval sebelumnya b = selisih frekuensi interval modus dengan frekuensi interval sesudahnya Interval modus = interval yang frekuensinya terbesar Page 18
4. Quartil
Keterangan notasi dapat dianalogikan pada keterangan notasi sebelumnya. 5. Simpangan Simpangan pada data kelompok cara menghitungnya sama dengan data tunggal. Disini titiktitik tengah dianggap sebagai data tunggal. Contoh : Diketahui data kelompok :
Tentukan : rata-rata median,modus,quartil. Jawab :
●
●
Rata-rata sementara = x s = 25 (bisa ditetapkan lain dari salah satu titik tengah)
Median : Letak median (N med) = ½ (20 + 1) = 10,5 Interval kelas median = 20 – 30
Page 19
Modus Interval kelas modus : 20 – 30 a = 6 – 4 = 2 ; b = 6 – 5 = 1
●
●
Quartil ( n = genap) Letak Q1 = ¼ (n + 2) = ¼ (20 + 2) = 5,5 Interval Q1 = 10 – 20
Letak Q3 = ¼ (3n + 2) = ¼ (60 + 2) = 15,5 Interval Q3 = 30 – 40
5. DESIL DAN PERENTIL Desil Desil ialah titik atau skor atau nilai yang membagi seluruh distribusi frekuensi dari data yang kita selidiki ke dalam 10 bagian yang sama besar, yang masing-masing sebesar 1/10 N. jadi disini kita jumpai sebanyak 9 buah titik desil, dimana kesembilan buah titik desil itu membagi seluruh distribusi frekuensi ke dalam 10 bagian yang sama besar. Lambing dari desil adalah D. jadi 9 buah titik desil dimaksud diatas adalah titik-titik: D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, dan D9. Perhatikanlah kurva dibawah ini: Untuk mencari desil, digunakan rumus sebagai berikut: Dn= 1 +(n/10N – fkb) Fi Untuk data kelompok: Dn= 1+ (n/10N- fkb) xi Fi Dn= desil yang ke-n (disini n dapat diisi dengan bilangan:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, atau 9. 1= lower limit( batas bawah nyata dari skor atau interval yang mengandung desil ke-n). N= number of cases. Fkb= frekuensi kumulatif yang terletak dibawah skor atau interval yang mengandung desil ke-n. Fi= frekuensi dari skor atau interval yang mengandung desil ke-n, atau frekuensi aslinya. Page 20
i=interval class atau kelas interval. 1). Contoh perhitungan desil untuk data tunggal Misalkan kita ingin mencari desil ke-1, ke-5, dan ke-9 atau D1, D5, dan D9 dari data yang tertera pada table yang telah dihitung Q1, Q2, dan Q3-nya itu. Mencari D1: Titik D1= 1/10N= 1/10X60= 6 (terletak pada skor 37). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 5,50; fi= 4, dan fkb= 3. D1= 1 + (1/10N-fkb) ---D1=36,50 (6-3) Fi 4 = 36,25 Mencari D5: Titik D5= 5/10N= 5/10X60= 30 (terletak pada skor 40). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 39,50; fi= 12, dan fkb= 18. D1= 1 + (5/10N-fkb) ---D1=39,50 (30-18) Fi 12 = 40,50 Mencari D9: Titik D9= 9/10N= 9/10X60= 54 (terletak pada skor 44). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 43,50; fi= 3, dan fkb= 53. D1= 1 + (9/10N-fkb) ---D1= 43,50 (54-53) Fi 3 = 43,17 Tabel 3.13. Perhitungan desil ke-1, desil ke-5 dan desil ke-9 dari data yang tertera pada table (diatas) kuartil. Nilai (x)
F
Fkb
46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35
2 2 3 5 8 10 12 6 5 4 2 1
60= N 58 56 53 48 40 30 18 12 7 3 1
2). Contoh perhitungan desil untuk data kelompok Misalkan kita ingin mencari D3 dan D7 dari data yang tercantum pada table 3.12, proses perhitungannya adalah sebagai berikut: Page 21
Table 3.14. Perhitungan desil ke-3 dan desil ke-7 dari data yang tertera pada table 3.12. Nilai (x)
F
Fkb
70-74 65-69 60-64 55-59 50-54 45-49 40-44 35-39 30-34 25-29 20-24
3 5 6 7 7 17 15 7 6 5 2
80 77 72 66 59 52 35 20 13 7 2
Total
80= N
-
Mencari D3: Titik D3= 3/10N= 3/10X80= 24 (terletak pada interval 40-44). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 39,50; fi= 15, dan fkb= 20. D3= 1 + (3/10N-fkb) xi=39,50 (24-20) x 5 Fi 15 = 39,50+ 20= 39,50 + 1,33= 40,83 15 Mencari D7: Titik D7= 7/10N= 7/10X80= 56 (terletak pada interval 50-54). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 49,50; fi= 7, dan fkb= 52. D7= 1 + (7/10N-fkb) xi=49,50 (50-54) x 5 Fi 7 = 49,50+ 20= 49,50 + 2,86= 40,83 7 Diantara kegunaan desil ialah untuk menggolongkan-golongkan suatu distribusi data ke dalam sepuluh bagian yang sama besar, kemudian menempatkan subjek-subjek penelitian ke dalam sepuluh golongan tersebut. 3. Persentil Persentil yang biasa dilambangkan P, adalah titik atau nilai yang membagi suatu distribusi data menjadi seratus bagian yang sama besar. Karena itu persentil sering disebut ukuran perseratusan. Titik yang membagi distribusi data ke dalam seratus bagian yang sama besar itu ialah titik-titik: P1, P2, P3, P4, P5, P6, … dan seterusnya, sampai dengan P99. jadi disini kita dapati sebanyak 99 titik persentil yang membagi seluruh distribusi data ke dalam seratus bagian yang sama besar, masingmasing sebesar 1/ 100N atau 1%, seperti terlihat pada kurva dibawah ini:
Page 22
Untuk mencari persentil digunakan rumus sebagai berikut: Untuk data tunggal: Pn= 1 +(n/10N – fkb) Fi Untuk data kelompok: Pn= 1+ (n/10N- fkb) xi Fi Pn= persentil yang ke-n (disini n dapat diisi dengan bilangan-bilangan:1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya sampai dengan 99. 1= lower limit( batas bawah nyata dari skor atau interval yang mengandung persentil ke-n). N= number of cases. Fkb= frekuensi kumulatif yang terletak dibawah skor atau interval yang mengandung persentil ken. Fi= frekuensi dari skor atau interval yang mengandung persentil ke-n, atau frekuensi aslinya. i= interval class atau kelas interval.
Tabel. 3.15. Perhitungan persentil ke-5, persentil ke-20 dan persentil ke-75 dari data yang tertera pada tabel 3.13. Nilai (x)
F
Fkb
70-74 65-69 60-64 55-59 50-54 45-49 40-44 35-39 30-34 25-29 20-24
3 5 6 7 7 17 15 7 6 5 2
80 77 72 66 59 52 35 20 13 7 2
Total
80= N
-
1). Contoh perhitungan desil untuk data tunggal Misalkan kita ingin mencari persentil ke-5 (P5), persentil ke-20 (P20), dan ke-75 (P75),dari data yang disajikan pada tabel 3.13 yang telah dihitung desilnya itu. Cara menghitungnya adalah sebagai berikut: Mencari persentil ke-5 (P5): Titik P5= 5/10N= 5/10X60= 3 (terletak pada skor 36). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 35,50; fi= 2, dan fkb= 1. Page 23
P5= 1 + (5/10N-fkb) =36,50 +(3-1) Fi 2 = 36,50 Mencari persentil ke-75 (P75): Titik P75= 75/10N= 75/10X60= 45 (terletak pada skor 42). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 41,50; fi= 8, dan fkb= 40 P75= 1 + (75/10N-fkb) =41,50 +(45-40) Fi 8 = 42,125 2). Cara mencari persentil untuk data kelompok Misalkan kembali ingin kita cari P35 dan P95 dari data yang disajikan pada tabel 3.14. Mencari persentil ke-35 (P35): Titik P35= 35/100N= 35/100X80= 28 (terletak pada interval 40-44). Dengan d emikian dapat kita ketahui: 1= 39,50; fi= 15, dan fkb= 20, i=5 P35= 1 + (35/100N-fkb) Xi =39,50 +(45-40) X 5 Fi 8 = 39,50+2,67 = 42,17 Mencari persentil ke-95 (P95): Titik P95= 95/100N= 95/100X80= 76 (terletak pada interval 65-69). Dengan d emikian dapat kita ketahui: 1= 64,50; fi= 5, dan fkb= 72, i=5 P95= 1 + (95/100N-fkb) Xi =64,50 +(65-69) X 5 Fi 5 = 64,50+4 = 68,50
Tabel 3.16. Perhitungan persentil ke-35 dan persentil ke-95 dari data yang tertera pada tabel 3.14. Nilai (x)
F
Fkb
70-74 65-69 60-64 55-59 50-54 45-49 40-44 35-39 30-34 25-29 20-24
3 5 6 7 7 17 15 7 6 5 2
80 77 72 66 59 52 35 20 13 7 2
Total
80= N
-
Page 24
Kegunaan persentil dalam dunia pendidikan adalah: a.
Untuk mengubah rawa score (raw data) menjadi standard score (nilai standar).
Dalam dunia pendidikan, salah satu standard score yang sering digunakan adalah eleven points scale ( skala sebelas nilai) atau dikenal pula dengan nama standard of eleven (nilai standard sebelas) yang lazim disingkat dengan stanel. Pengubahan dari raw score menjadi stanel itu dilakukan dengan jalan menghitung: P1- P3P8- P21- P39- P61- P79- P92- P97- dan P99. Jika data yang kita hadapi berbentuk kurva normal (ingat: norma atau standar selalu didasarkan pada kurva normal itu), maka dengan 10 titik persentil tersebut diatas akan diperoleh nilai-nilai standar sebanyak 11 buah, yaitu nilai-nilai 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 10. b. Persentil dapat digunakan untuk menentukan kedudukan seorang anak didik, yaitu: pada persentil keberapakah anak didik itu memperoleh kedudukan ditengah-tengah kelompoknya. c. Persentil juga dapat digunakan sebagai alat untuk menetapkan nilai batas lulus pada tes atau seleksi. Misalkan sejumlah 80 orang individu seperti yang tertera pada tabel 3.16. itu hanya akan diluluskan 4 orang saja (=4/ 80 X 100%= 5%) dan yang tidak akan diluluskan adalah 76 orang (= 76X80 X 100%=95%), hal ini berarti bahwa P95 adalah batas nilai kelulusan. Mereka yang nilainilainya berada pada P95 kebawah, dinyatakan tidak lulus, sedangkan diatas P95 dinyatakan lulus. Dalam perhitungan diatas telah kita peroleh P95= 68,50; berarti yang dapat diluluskan adalah mereka yang nilainya diatas 68,50 yaitu nilai 69 ke atas .
6. HISTOGRAM,POLIGON,OGIF
Histogram Dari suatu data yang diperoleh dapat disusun dalam tabel distribusi frekuensi dan disajikan dalam bentuk diagram yang disebut histogram. Jika pada diagram batang, gambar batang-batangnya terpisah maka pada histogram gambar batang-batangnya berimpit. Histogram dapat disajikan dari distribusi frekuensi tunggal maupun distribusi frekuensi bergolong. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini. Data banyaknya siswa kelas XI IPA yang tidak masuk sekolah dalam 8 hari berurutan sebagai berikut.
Page 25
Poligon Frekuensi Apabila pada titik-titik tengah dari histogram dihubungkan dengan garis dan batangbatangnya dihapus, maka akan diperoleh poligon frekuensi. Berdasarkan contoh di atas dapat dibuat poligon frekuensinya seperti gambar berikut ini.
contoh soal: Hasil pengukuran berat badan terhadap 100 siswa SMP X digambarkan dalam distribusi bergolong seperti di bawah ini. Sajikan data tersebut dalam histogram dan poligon frekuensi.
Page 26
Penyelesaian Histogram dan poligon frekuensi dari tabel di atas dapat ditunjukkan sebagai berikut.
Poligon Frekuensi Kumulatif Dari distribusi frekuensi kumulatif dapat dibuat grafik garis yang disebut poligon frekuensi kumulatif. Jika poligon frekuensi kumulatif dihaluskan, diperoleh kurva yang disebut kurva ogive. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini. Hasil tes ulangan Matematika terhadap 40 siswa kelas XI IPA digambarkan dalam tabel di samping. a. Buatlah daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari. b. Gambarlah ogive naik dan ogive turun.
Page 27
b. Ogive naik dan ogive turun Daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari dapat disajikan dalam bidang Cartesius. Tepi atas (67,5; 70,5; …; 82,5) atau tepi bawah (64,5; 67,5; …; 79,5) diletakkan pada sumbu X sedangkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi kumulatif lebih dari diletakkan pada sumbu Y. Apabila titik-titik yang diperlukan dihubungkan, maka terbentuk kurva yang disebut ogive. Ada dua macam ogive, yaitu ogive naik dan ogive turun. Ogive naik apabila grafik disusun berdasarkan distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Sedangkan ogive turun apabila berdasarkan distribusi frekuensi kumulatif lebih dari. Ogive naik dan ogive turun data di atas adalah sebagai berikut.
Page 28
DAFTAR PUSTAKA
Page 29
