MAKALAH MODEL KRONIG-PENNEY
OLEH : KELOMPOK IV NATALIA NATALIA PRASISKA PRASISK A SITANGGANG
(415312104 (4153 121044) 4)
RIANDA SINAGA
(4151121057)
ROSAY ROSAYANI SIREGAR
(4152121039)
PENDIDIKAN FISIKA FAKULTAS AKULTAS MA M ATEMATIKA DAN ILMU I LMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2017
KATA PENGANTAR Puji dan syukur kami ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, yang mana telah memberikan rahmat-Nya, sehingga kami dapat menyusun makalah Fisika Zat Padat ini yang berjudul “Model Kronig Penney”. Makalah ini kami buat untuk menambah wawasan dan pengetahuan bagi kami dan pembaca .Makalah ini masih jauh dari sempurna.Oleh karena itu kami mengharapkan kritik dan saran untuk menuju kesempurnaan makalah ini. Semoga makalah ini dapat dipahami bagi siapapun yang membacanya. Sebelumnya kami mohon maaf apabila terdapat kesalahan kata-kata yang kurang berkenan .
Medan,18 maret 2017 Penyusun,
Kelompok IV
ii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ..................................................................................................................... ii DAFTAR ISI .................................................................................................................................. iii BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................................... 1 1.1 Latar Belakang ................................................. ..................................................................... 1 1.2 Rumusan Masalah ................................................................................................................ 1 1.3 Tujuan ................................................................................................................................... 1 BAB II PEMBAHASAN ................................................................................................................ 2 2.1 Pita Energi ............................................... .............................................................................. 2 2.2 Model Elektron Bebas Terdekat .................................................. .......................................... 3 2.3 FUNGSI BLOCH.................................................................................................................. 4 2.4 Definisi Model Kronig-Penney ................................................... .......................................... 5 BAB III PENUTUP ...................................................................................................................... 13 3.1 KESIMPULAN ................................................ ................................................................... 13 DAFTAR PUSTAKA ................................................. ................................................................... 14
iii
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Berdasarkan azas larangan Pauli, dalam satu tingkat energi tidak boleh ada lebih dari satu elektron pada keadaan yang sama. Kumpulan garis pada tingkat energi yang sama akan saling berhimpit dan membentuk satu pita, pita inilah yang dinamakan sebagai pita energi.Pita energi terbagi menjadi dua yaitu, pita valensi dan pita konduksi. Model elektron bebas dalam metal memberikan informasi mengenai kapasitas panas, konduktivitas termal, konduktivitas elektrikal, suseptibilitas magnetik dan elektrodinamik dalam metal. Tetapi kegagalan model menimbulkan pertanyaan mengenai perbedaan antara metal, semimetal, semikonduktor dan insulator; peristiwa dalam jumlah positif koefisien Hall Model Kronig-Penney (1930) yang menelaah perilaku elektron dalam kristal linier sederhana, meskipun tidak menyelesaikan masalahnya secara konkret, memberikan ciri-ciri yang pokok tentang perilaku elektron dalam potensial yang periodik.
1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang diatas maka didapatkan rumusan masalah : 1. 2. 3. 4. 5.
Apa itu Pita Energi ? Apa itu model Elektron Bebas ? Apa itu Fungsi Blonch ? Bagaimana model Kronig -Penney itu ? Bagaimana hubungan persamaan Schrodinger dengan Model Konig Penney ?
1.3 Tujuan 1. 2. 3. 4. 5.
Untuk mengetahui apa itu pita energi Untuk mengetahui model elektron bebas Untuk mengetahui fungsi Blonch Untuk memahami model Kronig Penney Untuk mengetahui hubungan persamaan Schrodinger dengan Model Konig Penney ?
1
BAB II PEMBAHASAN 2.1 Pita Energi
Model elektron bebas dalam metal memberikan informasi mengenai kapasitas panas, konduktivitas termal, konduktivitas elektrikal, suseptibilitas magnetik dan elektrodinamik dalam metal. Tetapi kegagalan model menimbulkan pertanyaan mengenai perbedaan antara metal, semimetal, semikonduktor dan insulator; peristiwa dalam jumlah positif koefisien Hall; hubungan konduksi elektron di dalam metal untuk elektron valensi atom bebas; dan teori; dan banyak kelengkapan pembawa, khususnya Magnetotransport . Perbedaan antara konduktor yang baik dan isulator yang baik adalah saling menabrak atau membentur. Sebuah resistivitas listrik metal murni bernilai rendah atau setara dengan 10-10 ohm-cm pada temperatur 1 Kelvin, jauh dari kemungkinan superkonduktivity. Resistivitas insulator yang baik sebanding dengan 1022 ohm-cm. Rangkaian ini 1032 lebih lebar dari kebanyakan fisika zat padat. Setiap padatan mengandung elektron. Kristal menjadi insulator jika salah satu pita energinya terisi atau kosong, sehingga tidak ada elektron yang berpindah dalam medan listrik. Sebuah kristal menunjukkan reaksi seperti metal jika salah satu pita terisi sebagian, sekitar 10 dan 90 persen bagian. Kristal adalah semikonduktor jika satu atau dua pita memiliki bagian tipis atau kosong. Untuk memahami perbedaan antara insulator dan konduktor, kita harus memperluas model elektron bebas untuk menghitung periodisitas kisi-kisi padatan. Kita akan menemui hal lain yang sungguh luar biasa yang dimiliki elektron di dalam kristal.
2
2.2 Model Elektron Bebas Terdekat Model elektron bebas memenuhi jumlah distribusi yang pada dasarnya terus menerus berawal dari nol hingga tak terhingga.Telah diketahui bahwa:
∈ = ℏ
[1]
Dimana, untuk kondisi batas periodik sebuah kubus berukuran L,
,, = 0; ± ; ± ;
[2]
Fungsi gelombang elektron bebas, persamaannya sebagai berikut
Ψ =exp.; yang mewakili gelombang berjalan dengan momentum =ℏ
[3]
Struktur pita merupakan sebuah kristal yang seringkali dapat menjelaskan model elektron bebas terdekatkarena pita elektron diperlakukan sebagai pengusik oleh potensial periodik pada inti ion saja. Refleksi Bragg merupakan ciri khas penyebaran gelombang dalam kristal. Refleksi Bragg gelombang elektron dalam kristal adalah penyebab celah energi. Celah energi dapat menentukansecara signifikandalam penentuan apakah zat padat merupakan insulator ataukah konduktor. Kondisi Bragg (k+G)2=k 2 untuk gelombang difraksi gelombang vektor dalam satu dimensi.
= ± = ± ⁄
[4]
= 2 adalah kisi resiprokal vektor dan n adalah bilangan bulat. Refleksi pertama dan celah energi pertama terbentuk pada = ± ⁄. Pada bagian ini k diantara ⁄adalah zona dimana
Brillouin kisi. Celah energi lainnya terjadi untuk nilai bilangan n lainnya.
= ± ⁄ bukanlah gelombang berjalan exp ( ⁄) atau
Fungsi gelombang pada
exp(
⁄)
elektron bebas. Dimana nilai khusus untuk k fungsi gelombang membuat
persamaan bagian perjalanan gelombang untuk bagian kanan dan kiri Pernyataan tidak terikat waktu direpresentasikan oleh gelombang berdiri. Kita dapat 3
menuliskan persamaan dua gelombang berdiri yang berbeda dari gelombang berjalan
expyaitu : = exp( ) + exp( = exp( ) - exp(-
iπx/a)
iπx/a iπx/a
iπx/a)
= 2 cos (πx/a); = 2i sin (πx/a).
2.3 FUNGSI BLOCH Fungsi Bloch membuktikan bahwa solusi untuk persamaan Schrodinger pada potensial periodik harus berbentuk:
= exp.
[5]
Dimana Uk (r) mempunyai periode kristal lattice dengan Uk (r) = Uk (r +T) dengan T adalah vektor sisi translasi. Persamaan diatas mengungkapkan teorema bloch : Fungsi Eigen dari persamaan gelombang untuk potensial periodik mempunyai hasil dari bidang gelombang eksp. (ik . r) fungsi waktu Uk (r) dengan periodisitas kisi kristal
Fungsi gelombang one-elektron pada persamaan (7) disebut fungsi bloch dan dapat didekomposisikan dalam jumlah gelombang berjalan. Fungsi Bloch dapat dikumpulkan dalam bentuk gelombang paket-paketmewakili elektron – elektron yang menyebar secara bebas melalui medan potensial dari inti ion.
nondegenerasi yaitu ketika tidak ada fungsi gelombang dengan energi yang sama dan vektor gelombangnya . Energi potensial piriodik di a dengan Teorema Bloch valid jika
U(x) =U(x + sa) dimana s adalah bilangan bulat. Untuk mencari solusi persamaan gelombang dapat dibantu oleh garis simetri cincin sehingga:
=
[6]
dimana C konstan, sehingga disekitar cincin adalah
= = Karena harus bernilai tunggal. C adalah satu dari akar dari kesatuan atau =exp ;=0,1,2,…,1 4
[7]
[8]
Kita gunakan persamaan diatas
= exp
[9]
Dalam Telaah Bloch potensial periodiknya merupakan superposisi dua potensial: 1. Potensial berkala dari kisi-kisi gugus-gugus atom atau ion. 2. Potensial yang berasal dari semua elektron terluar atom-atom kristal. Fungsi gelombang Schroedinger ketika ada potensial periodik untuk keberkalaan kisi adalah:
Merupakan fungsi yang memiliki keberkalaan kisi kristal
Gambaran potensial periodik untuk kisi linier monoatomik
2.4 Definisi Model Kronig-Penney Model Kronig – Penney dalam satu dimensi adalah merupakan suatu deretan sumur potensial persegi dengan lebar , dipisahkan oleh penghalang energy yang lebarnya b dan tinggi V0. Luas penghalang bV0, berubah dari tak berhingga sampai nol.Sebagian dari fungsi gelombang bergetar dalam sumur dan meluruh secara eksponensial.Seperti ditunjukkan dalam Gambar 1.
5
Gambar 1.Energi potensial periodik satu dimensi yang digunakan oleh Kronig dan Penney.
Energi potensial dari sebuah elektron dalam sebuah susunan inti-inti atom yang positif dianggap berbentuk seperti sebuah susunan sumur potensial periodik dengan perioda a + b, seperti ditunjukkan dalam Gambar 1.Di dasar sumur, yaitu untuk 0 < x < a, elektron dianggap berada di sekitar sebuah inti atom (atau di antara dua inti atom) dan energi potensialnya dianggap nol sehingga di daerah ini elektron bertingkah sebagai elektron bebas. Sebaliknya, di luar sumur, yaitu untuk – b < x < 0, energi potensial elektron dianggap sama dengan V0. Meskipun model Kronig-Penney ini menggunakan pendekatan yang sangat kasar dibandingkan dengan energi potensial yang ada dalam suatu kisi, tetapi model ini sangat berguna untuk menjelaskan berbagai sifat penting dari tingkah laku elektron secara kuantum mekanik dalam sebuah kisi periodik. Fungsi-fungsi gelombang elektron diperoleh dari persamaan Schrodinger untuk kedua daerah yaitu daerah 0 < x < a, dan daerah – b < x < 0) sebagai berikut:
a. untuk 0 < x < a.
2 = 0 , = 0 ħ b. untuk – b < x < 0. 6
[10]
2 =0 ħ
[11]
Jika kita misalkan bahwa energi elektron lebih kecil dari pada V0, dan kita difinisikan dua
= ħ = ħ
besaran real dan β sebagai berikut:
[12]
maka persamaan-persamaan (1) dan (2) dapat ditulis menjadi
= 0 = 0
[13]&[14]
Karena energi potensial dari model Kronig-Penney itu adalah periodik, maka fungsifungsi gelombang tersebut haruslah berbentuk fungsi Bloch, yaitu:
= ±
[15]
dimana uk (x) sekarang adalah sebuah fungsi periodik dalam x dengan perioda a + b, yaitu
= ( )
[16]
Sekarang marilah kita hitung turunan kedua terhadap x dari persamaan diatas, sebagai berikut:
= 2
[17]
Selanjutnya coba kita substitusikan persamaan (6) dan (8) ini ke dalam persamaan persamaan (4) dan (5) di atas. Hasilnya adalah sebagai berikut: a. untuk 0 < x < a.
2 =0
[18]
b. untuk – b < x < 0.
2 = 0
[19]
yang mana u1dan u2 masing-masing menyatakan nilai uk (x) dalam interval 0 < x < a dan – b < x 7
<0. Seperti kita ketahui bahwa dari mekanika kuantum atau dari Fisika kuantum, solusi umum untuk persamaan-persamaan (9) dan (10) di atas a dalah:
= − −+
[20]
dan
= − −+
[21]
yang mana A, B, C, dan D adalah tetapan-tetapan yang biasa ditentukan oleh syarat batas berikut:
0 = 0 ∶ = 0 = = 0 = ∶
= = =
[22]
[23]
Syarat batas yang ditunjukkan oleh persamaan (13) sesuai dengan syarat bahwa fungsi gelombang dan turunan pertamanya (d/dx) dan juga u dengan du/dx haruslah kontinyu. Sebaliknya, kondisi yang ditunjukkan oleh persamaan (14) sesuai dengan syarat bahwa uk (x)adalah periodik. Dengan menggunakan syarat-syarat batas ini dan mensubstitusikannya ke dalam persamaan-persamaan (11) dan (12), kita akan memperoleh empat persamaan linier homogen sebagai berikut:
= [24] = [25] − −+ = −− + [26] − −+ = −− +[27] Keempat persamaan linier yang homogen ini biasa digunakan untuk menentukan tetapantetapan A, B, C, dan D. Solusi yang tidak sama dengan nol untuk keempat persamaan linier tersebut ada jika dan hanya jika determinan dari koefisien-koefisien A, B, C, dan D adalahsama dengan nol,yaitu:
8
+ sinhsin cosℎcos cos = 0
[28]
Untuk menyederhanakan persamaan (19) ini, Kronig dan Penney memilih kasus yang mana nilai V0 cenderung menuju tak hingga dan nilai b menuju nol, tetapi hasil kali V0 b tetap terhingga. Dengan demikian, potensial model Kronig dan Penney menjadi potensial penghalang sebuah fungsi delta. Dalam keadaan seperti ini model Kronig-Penney ini dimodifikasi menjadi sebuah deret sumur potensial yang terpisahkan oleh sebuah potensial penghalang yang sangatsangat tipis. Karena itu, hasil kali V0 b (untuk V0
→ω dan b→ 0) disebut kekuatan penghalang
(barrier strength). Pada saat b → 0, sinh (β b) →β b, dan cosh (β b)→1. Di samping itu, dari persamaan sebelumnya jika kita menjumlahkan
dan kemudian membaginya dengan 2 maka kita
akan memperoleh hasil sebagai berikut:
= 2 ħ
[29]
Dengan menggunakan persamaan (20) ini dan kondisi dimana saat b → 0, sinh (β b) →β b, dan cosh (b) →1, kita akan dapat menulis persamaan (19) menjadi
sin cos=cos ħ sin cos =cos ħ
[30]
Jika kita definisikan besaran P sebagai berikut:
= ħ, = ħ Nilai P ini adalah sama dengan luas energi potensial penghalang V0 b. Jadi jika kita
[31] meperbesar
nilai P berarti mengikat sebuah elektron secara kuat pada sebuah sumur tertentu. Nah, sekarang coba kita substitusikan persamaan (22) ini ke dalam persamaan (21) di atas. Hasilnya adalah sebagai berikut: 9
sin cos =cos
[32]
Persamaan (23) ini merupakan syarat agar solusi untuk persamaan gelombang itu ada. Kita ketahui bahwa nilai cos (ka) terletak diantara – 1 dan +1 sehingga ruas kiri dari persamaan (23) itu harus memiliki nilai
a
sedemikian rupa sehingga nilai-nilai ruas kiri persamaan (23) terletak
dalam rentang – 1 dan +1. Nilai-nilai
a
yang menghasilkan nilai (P/a) sin (a) + cos (a)
berada dalam rentang antara – 1 dan +1 ditunjukkan dalam Gambar 2.
Gambar 2. Grafik (P/a) sin (a) + cos (a) sebagai fungsi
a
untuk P = 3/2. Nilai-nilaia
yang menghasilkan nilai (P/a) sin (a) + cos (a) berada dalam rentang – 1 dan +1ditunjukkan oleh potongan (segmen) garis-garis tebal dalam sumbu a.
Karena
2
sebanding dengan energi, maka sumbu horizontal juga secara tidak langsung
menyatakan sumbu energi.Jadi panjang potongan-potangan garis tebal itu menyatakan rentang energi yang diizinkan untuk elektron. Dari Gambar 2 kita dapat melihat bahwa ternyata dengan menggunakan model Kronig-Penney itu sumbu energi (sumbu a) dibagi menjadi daerah-daerah yang diizinkan dan daerah terlarang bagi elektron. Daerah yang diizinkan untuk elektron adalah sepanjang garis tebal, sedangkan daerah terlarang adalah daerah di antara ujung dua garis tebal 10
yang berdekatan.Panjang segmen garis tebal (yang berarti sebanding dengan rentang energi) itu sebanding dengan nilai
a.
Artinya, makin besar nilai
a
makin panjang rentang energi yang
diizinkan. Jadi, dengan mengacu pada Gambar 2 di atas kita dapat menarik 3 kesimpulan berikut: 1. Spektrum energi elektron terdiri atas pita-pita energi yang diizinkan dan pita-pita energi yang terlarang. 2. Lebar pita energi yang diizinkan sebanding dengan nilai a, artinya makin besar nilai
a
makin besar pula lebar pita energi. 3. Lebar suatu pita energi yang diizinkan berbanding terbalik dengan nilai P, yaitu dengan energi ikat elektron. Makin besar P makin kecil lebar pita energi yang diizinkan. Jika P →, pita-pita energi yang diizinkan dipersempit sedemikian rupa sehingga menjadi berbentuk garis-garis dan membentuk sebuah spektrum garis. Dalam kasus seperti itu, persamaan (23) akan memiliki solusi hanya jika sin (a) = 0 (sebab jika sin ( a) tidak sama dengan nol, persamaan (23) menjadi tak hingga, karena P→). Jadi agar persamaan (23) memiliki solusi maka
sin = 0 = ±
[33]
dimana n = bilangan bulat. Karena itu, dengan menggunakan persamaan (3) dan (24) energi dapat ditulis sebagai berikut:
ħ ħ = 2 = 2
[34]
Persamaan (25) ini menyatakan tingkat energi sebuah partikel dalam sebuah energi potensial yang tetap. Sebaliknya, jika P→0, persamaan (34) menjadi:
=cos =
11
[35]
sehingga dengan menggunakan persamaan (3) dan (26) di atas, energi partikel menjadi:
ħ = 2 Persamaan (27) ini menyatakan energi dari elektron bebas. Hal ini memang sesuai dengan harapan kita bahwa jika P → 0, memang elektron menjadi bebas.
12
[36]
BAB III PENUTUP
3.1 KESIMPULAN 1. Spektrum energi elektron terdiri dari beberapa pita energi (daerah energi) yang diperkenankan dan beberapa yang terlarang. 2. Lebar pita energi yang diperkenankan bertambah lebar dengan meningkatnya harga α a, jadi dengan energi yang meningkat. 3. Lebar pita energi tertentu yang diperkenankan mengecil apabila P bertambah artinya mengecil apabila energi ikatan makin naik.
13
DAFTAR PUSTAKA Kittel, Charles.1996. Introduction To Solid State Physics 7th.ed .New York : Jhon Wiley and Sons Ashcroft and Mermin.1976. Solid Sate Physics. Philadelphia : Saunders College
14
