Modelo Kronig-Penney Apresentado por Polyanna Oliveira Mecânica Quântica Aplicada Junho de 2013
Conteúdo
O artigo de Kronig-Penney;
O método
Exercício
Conclusões
O artigo de Kronig e Penney
Introdução
5 Seções
Conclusão
Introdução
''Através do trabalho de Bloch, nossa compreensão sobre o comportamento dos elétrons em uma rede cristalina avançou muito. (...) Com este modelo, interpretações do calor específico, das condutividades térmica e elétrica, da susceptibilidade magnética, do efeito Hall e das propriedades óticas do metal podem ser obtidas”. “Para formular uma ideia mais clara dos detalhes deste comportamento,
(...) parece valer a pena investigar a mecânica dos elétrons em um campo de potencial periódico, razoavelmente parecido com aqueles encontrados na prática e com tal natureza que os valores de energia W e autofunções possam ser efetivamente calculados. O propósito deste artigo é discutir quais condições essa integração é possível''.
Seção I – Valores de Energia
Figura 1. Potencial Periódico
Barreira de largura e altura finitas; Largura levada a 0 e Potencial levado a infinito; “Os valores possíveis de energia com
que um elétron se move através da rede, formam um espectro constituído de partes contínuas separadas por finitos”
Figura 2. Função Transcendental B. A linha tracejada
Outras seções
Seção II – Funções de onda: Identificação do comportamento do elétron como livre ou confinado; Seção III - Momento linear: partindo dos momentos lineares relacionados a elétrons pertencentes a dois estados estacionários, e expandindo tal consideração a todo um período. Cálculo da probabilidade de transição. Seção IV – Expansão para o caso tridimensional. Seção V – Aplicação à reflexão de elétrons do vácuo para a rede. Reflexão total mais provável com parâmetros de rede da ordem do comprimento de onda de de Broglie do feixe incidente.
OS RESULTADOS EXIBEM CARACTERÍSTICAS QUANTO ÀS MUDANÇAS DE COMPORTAMENTO DO ELÉTRON AO LONGO DA REDE.
Conclusões (do artigo)
Foi visto que a equação de onda que representa o movimento de um elétron em um potencial periódico pode ser integrada em termos de funções elementares onde o potencial assume a forma de uma série de barreiras retangulares equidistantes. Quando a largura b dessas barreiras é feita infinitamente pequena, e sua altura infinitamente grande, os resultados se tornam particularmente simples e a influência das barreiras depende apenas bV0. Em um problema unidimensional para este caso limite o espectro admissível de valores de energia encontrado é constituído de regiões contínuas separadas por intervalos finitos. Variando a quantidade bV0 de 0 a infinito, passamos pelo caso do elétron livre até o elétron ligado, podendo estão estudar as mudanças nos intervalos permitidos e proibidos de energia, bem como as funções de onda durante essas transições. Uma investigação dos elementos de matriz do momento linear, mostra que os elétrons podem passar através da rede para um outro estado estacionário, através da emissão ou absorção de radiação, possuindo, ao mesmo tempo, características de elétrons livres e ligados. Uma investigação da reflexão de elétrons por um cristal representado pelo campo de potencial considerado levam a resultados que concordam qualitativamente com os fatos experimentais. (São apontadas possíveis explicações para os problemas).
O método modelo Kronig-Penney é um modelo simples resolvível analiticamente que visualiza o efeito do potencial periódico na relação de dispersão dos elétrons, isto é a formação da estrutura de banda” [Grundmann, Física dos Semicondutores] “O
A equação de Schroedinger é dada por: − ℏ² ² + ²
()(x)=E (x)
Soluções
As soluções são conhecidas e da forma:
A primeira equação se refere ao poço (potencial nulo)
A segunda equação se refere à barreira (energia da partícula menor do que o potencial)
Soluções
Condições de contorno Teorema de Bloch – depois de um período, a função de onda deve ser a mesma, exceto por um fator de fase (largura da barreira b, do poço a. O período P = a+b)
A solução, faz referência ao vetor de onda plana da função de Bloch, e deve ser devidamente distinguido:
Soluções
K e κ são números reais e as condições de contorno do problema levam ao seguinte conjunto de equações:
A solução é não trivial apenas se o determinante da matriz dos coeficientes é zero, o que leva à expressão.
Soluções
A solução é significativamente simplificada quando diminuímos a largura da barreira e levamos o potencial ao infinito (P a). O limite é tomado de modo que a “força” da barreira permaneça constante e finita:
Figura 2. Função Transcendental B. A l inha tracejada
Resultados
A dispersão é diferente dos elétrons livres e possui algumas bandas separadas.
Figura 3. Gap de energia entre a primeira e a segunda subbanda em função de β. Fonte: Grundmann, Física dos Semicondutores, pg.
Figura 4. O resultado da energia de dispersão em função do vetor de onda para diferentes valores de β. As linhas pontilhadas representam a dispersão para o elétron livre,
Perturbação
É possível também escrever as funções de Bloch com correções relativísticas [BASTARD, Wave Mechanics Applied to Semiconducture Heterostructures]. O hamiltoniano do sistema pode ser escrito na forma H(k=0)+W(k) , onde W é responsável pelas correções. Tomando k muito pequeno, conclui-se que as relações de dispersão da banda não degenerada é parabólica nas vizinhanças do ponto analisado (centro da primeira zona de Brillouin).
Perturbação
Se os níveis de energia exatos de uma zona de Brillouin são conhecidos em um ponto, é possível, através da teoria de perturbação, calcular a estrutura de banda nas vizinhanças deste ponto. [O’REILLY, Quantum Theory of Solids]
Exemplo
Simulador
http://lamp.tu-graz.ac.at/~hadley/ss1/KronigPenney/KronigPenney.php
http://demonstrations.wolfram.com/TheKroni gPenneyModel/
Exercício
Mostrar que o método k.p pode ser generalizado para encontrar a estrutura de banda nas vizinhanças de um vetor de onda arbitrário (e não apenas no centro da primeira zona de Brillouin). RESOLUÇÃO: Introduzir um vetor q=k-k 0 e reorganizar a equação de Schroedinger de modo que o Hamiltoniano dependa do vetor q e atue sobre autofunções independentes de q (dependentes de k 0 e r).
Conclusões
O método aplica o Teorema de Bloch na resolução de uma combinação de problemas usuais da mecânica quântica: o poço e a barreira de potencial, arranjados em sequência periódica. As conclusões obtidas são consequência dos resultados conhecidos do comportamento desses sistemas sob o ponto de vista quântico, combinados de modo a transformar um problema de muitos corpos em um problema de dois corpos com hamiltoniana perturbada.
Referências
Física Quântica - Átomos, sólidos e Moléculas: Eisberg e Resnick
Física do Estado Sólido: Ashcroft e Mermin
Quantum Theory of Solids: Eoin O'Reilly
Artigo, Proc. R. Soc. Lond. A-1931-de L. Kronig-499-513: Kronig e Penney
Tese, Processos de localização e transporte anômalo no modelo kronig-penney: Júlio César Herrejón
Site: University of Buffalo, NY: http://www.acsu.buffalo.edu/
Wave Mechanics Applied To Semiconductor Heterostructures: Bastard
Fundamentals of Semiconductors - Physics and Materials Properties: Cardona
The physics of semiconductors - an introduction including devices and nanophysics: Grundmann
Obrigada!
