BAB IV LOGIKA MATEMATIKA
Pernyataan Kalimat tertutup (pernyataan) Kalimat terbuka
Suatu kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Suatu kalimat yang belum dapat ditentukan nilainya benar saja atau salah saja.
Contoh: Nyatakan kalimat-kalimat berikut merupakan pernyataan, kalimat terbuka atau bukan keduanya! a. 1 tahun terdiri dari 12 bulan b. x + 4 = 7 c. Berapa umurmu? d. Suku kelima barisan 1, 3, 5, .... adalah 11 e. Hari ini adalah hari Kamis f. Coklat adalah makanan yang enak
Penyelesaian: a. 1 tahun terdiri dari 12 bulan merupakan pernyataan yang bernilai BENAR b. x + 4 merupakan kalimat terbuka. Untuk x = 3 bernilai benar dan untuk x yang lain bernilai salah. c. Berapa umurmu?, bukan merupakan pernyataan maupun kalimat terbuka. d. Suku kelima barisan 1, 3, 5, .... adalah 11 merupakan pernyataan ang bernilai SALAH. e. Hari ini adalah hari Kamis merupakan pernyataan karena dengan mudah dapat ditentukan apakah hari ini memang hari Kamis atau bukan. f. Coklat adalah makanan yang enak merupakan kalimat terbuka, karena kata “enak” sifatnya subjektif.
Negasi (Ingkaran) Negasi dari pernyataan adalah suatu pernyataan baru yang diperoleh dari pernyataan semula sedemikian sehingga bernilai benar jika pernyataan semula salah dan bernilai salah jika pernyataan semula benar. Contoh: Tuliskan negasi dari pernyataan –pernyataan berikut! a. 2 bilangan prima b. 2 + 3 sama dengan 5 c. Ali lapar d. Ani lulus ujian
Negasi dari suatu pernyataan p dinotasikan dengan ~p
Penyelesaian: a. Misalkan p: 2 bilangan prima maka ~p : 2 bukan bilangan prima b. Misalkan q : 2 + 3 sama dengan 5. maka ~q : 2 + 3 tidak sama dengan 5 c. Misalkan p : Ali lapar. maka ~p : Ali tidak lapar d. Misalkan q : Ani lulus ujian. maka ~q : Ani tidak lulus ujian.
Disjungsi (atau) Dari 2 pernyataan p dan q dapat dibentuk suatu pernyataan majemuk dalam bentuk “p atau q” yang disebut disjungsi dan dinotasikan dengan
" p q"
Tabel kebenaran disjungsi: p
q
pq
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
Ingat!!!!!!!!
p q bernilai benar apabila ada yang benar, dalam hal lainnya p q bernilai salah.
Contoh: Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut! a. 3 bilangan prima atau 5 bilangan genap. b. 5 – 2 = 3 atau 5 + 3 = 8 c. 7 – 2 = 9 atau 7 + 2 = 5
Penyelesaian: a. 3 bilangan prima bernilai BENAR. 5 bilangan genap bernilai SALAH. Karena ada yang bernilai benar, maka pernyataan tersebut bernilai BENAR. b. 5 -2 = 3 bernilai BENAR. 5 + 3 = 8 bernilai BENAR. Karena keduanya bernilai benar, maka pernyataan majemuk tersebut bernilai BENAR. c. 7 – 2 = 9 bernilai SALAH. 7 + 2 bernilai SALAH. Karena tidak ada yang bernilai benar, maka pernyataan majemuk tersebut bernilai SALAH.
Konjungsi (dan) Dari 2 pernyataan p dan q dapat dibentuk suatu pernyataan majemuk dalam bentuk “p dan q” yang disebut konjungsi dan dinotasikan dengan
" p q"
Tabel kebenaran konjungsi: p
q
pq
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
Ingat!!!!!!!!
p q bernilai salah apabila ada diantara p dan q
bernilai salah, dalam hal lainnya p q bernilai benar.
Contoh 1: Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut! a. 6 bilangan prima dan 3 bilangan ganjil b. 2 bilangan prima dan 2 bilangan genap
Penyelesaian: a. 6 bilangan prima bernilai SALAH. 3 bilangan ganjil bernilai BENAR. Karena ada yang bernilai salah, maka pernyataan tersebut bernilai SALAH. b. 2 bilangan prima bernilai BENAR. 2 bilangan genap bernilai BENAR. Karena tidak ada yang bernilai salah, maka pernyataan tersebut bernilai BENAR. p q ~ p ~ pq Contoh 2: B B S S Buatlah tabel kebenaran dari ~p q ! B S S S Penyelesaian: S B B B S
S
B
S
Negasi dariDisjungsi & Konjungsi Rumus:
~ ( p q) ≡ ~ p ~ q ~ ( p q) ≡ ~ p ~ q Contoh: Tentukan negasi dari: a. Ali makan atau Nina menangis b. 2 + 3 = 5 dan 2 × 3 = 6 Penyelesaian: a. Negasi dari “Ali makan atau Nina menangis” adalah “Ali tidak makan dan Nina tidak menangis” b. Negasi dari “2 + 3 = 5 dan 2 × 3 = 6” adalah “2 + 3 ≠ 5 atau 2 × 3 ≠ 6”
Implikasi Dari 2 pernyataan p dan q dapat dibentuk suatu pernyataan majemuk dalam bentuk “jika p maka q” yang disebut implikasi dan dinotasikan dengan " p q"
Tabel kebenaran implikasi: p
q
pq
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
Ingat!!!!!!!!
p q bernilai salah jika p bernilai benar dan q bernilai salah, dalam hal lainnya bernilai benar.
Contoh 1: Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut! a. Jika 2 + 3 = 5, maka 4 + 5 = 7 b. Jika 2 + 2 = 6, maka 2 + 2 = 5
Penyelesaian: a. 2 + 3 = 5 4 + 5 = 7. B S . Karena berbentuk B S, maka pernyataan tersebut bernilai SALAH. b. 2 + 2 = 6 2 + 2 = 5 . S S Karena tidak berbentuk B S, maka pernyataan tersebut bernilai BENAR.
Buatlah tabel kebenaran dari ~ p ~ q
B B
S
~q ~ p ~ q S B
B
S
S
B
B
Penyelesaian:
S
B
B
S
S
S
S
B
B
B
Contoh 2:
p
q
~p
Biimplikasi Dari 2 pernyataan p dan q dapat dibentuk suatu pernyataan majemuk dalam bentuk “p jika dan hanya jika q” yang disebut biimplikasi dan dinotasikan dengan " p q"
Tabel kebenaran biimplikasi: p
q
pq
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
Ingat!!!!!!!!
p q bernilai benar jika p dan q bernilai sama, dalam hal lainnya bernilai salah.
Contoh 1: Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut! a. Jika 2 + 2 = 4, 3 + 4 = 8 b. Jika 2 + 3 = 6, 2 + 4 = 8
Penyelesaian: a. 2 + 2 = 4 3 + 4 = 8. B S . Karena tidak bernilai sama, maka pernyataan tersebut bernilai SALAH. b. 2 + 2 = 6 2 + 2 = 5 S S . Karena bernilai sama, maka pernyataan tersebut bernilai BENAR.
Negasi dari Implikasi & Biimplikasi Rumus:
~( p q) ≡ p ~ q ~( p q) ≡ ( p ~ q) (q ~p ) Contoh: Tentukan negasi dari: a. 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 b. 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 c. Jika Ali pergi maka Ani menangis Penyelesaian: a. Negasi dari “2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 “ adalah 2 + 3 = 5 3 + 4 ≠ 7 b. Negasi dari “2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 ” adalah (2 + 2 = 4 3 + 3 ≠ 6) (3 + 3 = 6 2 + 2 ≠ 4) c. Negasi dari “Jika Ali pergi maka Ani menangis” adalah “Jika Ali pergi maka Ani tidak menangis”
Konvers, Invers, & Kontraposisi Konvers
~
p ~q
q p Invers
Invers
pq
Konvers
Contoh: Tuliskan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan “Jika saya makan, maka saya kenyang”!
~ q ~p
Penyelesaian: Pernyataan asal: Jika saya makan, maka saya kenyang. Maka: Konvers : Jika saya kenyang, maka saya makan. Invers : Jika saya tidak makan, maka saya tidak kenyang. Kontraposisi : Jika saya tidak kenyang, maka saya tidak makan
Penarikan Kesimpulan 1. Modus Ponens pq p q
Premis 1 : Jika p maka q (benar) Premis 2 : p (benar)
Konklusi : q
(benar)
Contoh: Tentukan kesimpulan dari pernyataan-pernyataan berikut! Jika x bilangan prima maka x mempunyai dua faktor, 7 bilangan prima Penyelesaian: Premis 1 : Jika x bilangan prima, x mempunyai dua faktor. Premis 2 : 7 bilangan prima Konklusi : 7 mempunyai dua faktor
2. Modus Tollens pq ~q ~p
Premis 1 : Jika p maka q (benar) Premis 2 : ~ q (benar) Konklusi : ~ p
(benar)
Contoh: Tentukan kesimpulan dari pernyataan-pernyataan berikut! Jika x bilangan prima maka x mempunyai dua faktor, 4 tidak mempunyai dua faktor Penyelesaian: Premis 1 : Jika x bilangan prima, x mempunyai dua faktor. Premis 2 : 4 tidak mempunyai dua faktor Konklusi : 4 bukan bilangan prima
3. Silogisme pq qr pr
Premis 1 : Jika p maka q Premis 2 : Jika q maka r Konklusi :
pr
(benar) (benar) (benar)
Contoh: Tentukan kesimpulan dari pernyataan-pernyataan berikut! Jika x 2 4 0 maka ( x 2)(x 2) 0 Jika ( x 2)(x 2) 0 maka x 2 atau x 2 Penyelesaian: Premis 1 : Jika x 2 4 0 maka ( x 2)(x 2) Premis 2 : Jika ( x 2)(x 2) 0 maka x = 2 atau x = -2 Konklusi : Jika x 2 4 0 , maka x = 2 atau x = -2
