LOGIKA MATEMATIKA
1
LOGIKA MATEMATIKA
I. PERNYATAAN DAN NEGASINYA A. Pern Pernya yata taan an.. Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus keduanya. Benar atau salahnya suatu pernyataan dapat ditunjukkan dengan bukti, atau disesuaikan dengan kenyataan yang sesungguhnya, hukum atau aturan tertentu. Suatu pernyataan dinotasikan dengan huruf kecil p, q , r dan lain-lain
Contoh : 1. p : Jakarta Jakarta ibukota ibukota Indonesi Indonesiaa (bernila (bernilaii benar benar atau atau B) 2. q : Presid Presiden en RI yang pertama pertama adalah Abdurrahman Abdurrahman Wahid (bernilai (bernilai salah atau S) S) 3. r : 3 + 2 = 10 (ber (bernil nilai ai sala salah h atau atau S) S) B. Negasi suatu Penyataan Negasi (ingkaran) adalah kalimat yang mengingkari atau menolak tentang suatu pernyataan. Negasi dari pernyataan p dinotasikan dengan –p. Notasi –p dibaca “tidak p” atau “ bukan p”, atau “ tidak benar p” Ketentuan :
Jika pernyataan p bernilai benar, maka negasinya –p bernilai salah, atau sebaliknya. Jadi nilai kebenaran dari negasi (ingkaran) suatu pernyataan selalu berlawanan dengan nilai kebenaran pernyataan semula. Tabel Kebenaran : p -p Keterangan : B S B = benar S B S = salah Contoh soal : 1. p : 3 x 4 = 12 (B) -p : 3 x 4 12 (S) 2. p : Jogjakarta ibukota Indonesia (.......) -p : Jogjakarta bukan ibukota Indonesia (.......) 3. Negasi dari atau ingkaran dari pernyataan “ x lebih besar dari y “ adalah ..... a. x < y b. x = y c. x y d. x y e. x y Jawab :.... C. Kalim Kalimat at Te Terb rbuka uka.. Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum bisa ditentukan nilai benar atau salahnya, karena mengandung variabel. Variabel adalah lambang yang dapat menunjukkan anggota sebarang dari semesta pembicaraan. Kalimat terbuka bisa menjadi suatu pernyataan jika variabelnya diganti suatu konstanta dari semesta pembicaraannya. Konstanta adalah lambang untuk menunjukkan satu dan hanya satu anggota semesta pembicaraan. Anggota semesta pembicaraan yang jika menggantikan variabel dalam suatu kalimat terbuka menjadikan suatu pernyataan yang benar disebut penyelesaian dari kalimat terbuka tersebut. Himpunan yang terdiri dari semua penyelesaian suatu kalimat terbuka disebut himpunan penyelesaian k alimat terbuka tersebut.
2
LOGIKA MATEMATIKA
Contoh : 1. Jika semesta semesta pembicaraan pembicaraan adalah adalah himpunan himpunan bilangan bilangan real R, R, maka himpunan himpunan 2 penyelesaian persamaan x – 1 = 0 adalah adalah {-1, {-1, 1} 2. Jika x dan dan y adalah variabel variabel pada himpunan himpunan bilangan bilangan cacah cacah C, maka maka himpunan himpunan penyelesaian dari persamaan 2x + y = 6 adalah {(0,6), (1,4), (2,2), (3,0)}. II. PERNYA PERNYATAA TAAN N MAJE MAJEMUK MUK
Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang merupakan gabungan dari dua pernyataan atau lebih. Ada empat macam pernyataan majemuk yaitu konjungsi, disjungsi , implikasi dan biimplikasi. A. Konj Konjun ungs gsi. i. Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata gabung “ dan “ yang disimbolkan dengan “ “. Konjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan “ p q “ yang dibaca “ p dan q “. Konjungsi “p q” bernilai bernilai benar , jika p dan q keduanya benar. benar. Dalam Dalam kondisi yang lainnya konjungsi “ p q “ bernilai salah.
Tabel Kebenaran Konjungsi. p q p q B B B B S S S B S S S S Contoh Contoh Soal Soal : Pernyataan di bawah ini bernilai benar atau salah ? 2. 4 + 0 = 4 dan dan 0 + 4 = 0 (... (..... .... ...) .) 3. 5 x 1 = 5 da dan 5 x 0 0 (........) 4. Bung Hatta Hatta lahir lahir di Jakarta Jakarta dan dan meninggal meninggal tidak tidak di Jakarta Jakarta (........) (........) 5. Bung Hatta Hatta lahir lahir di di Medan Medan dan meningga meninggall di Jakarta Jakarta (.........). (.........). B. Disj Disjun ungs gsi. i. Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata gabung “ atau “ yang disimbolkan dengan “ “. Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan “ p q “ yang dibaca “ p atau q “. Disjungsi “p q” bernilai salah, jika p dan q keduanya salah. Dalam kondisi yang lainnya disjungsi “ p q “ bernilai benar. Tabel Kebenaran Disjungsi. p q p q B B B B S B S B B S S S
3
LOGIKA MATEMATIKA
Contoh Soal : Pernyataan di bawah ini bernilai benar atau salah ? 1. 0 adalah adalah bukan bilangan bilangan prima prima atau 0 adalah adalah elemen elemen identitas identitas untuk penjumlahan (......) 2. 4 5 ata atau u 4 – 5 0 (.......) 3. Bung Hatta Hatta lahir lahir di Jakarta Jakarta atau atau meninggal meninggal di Jakarta Jakarta (........) (........) 4. Jogjak Jogjakart artaa ada di pula pulau u Jawa Jawa atau atau 4 + 7 11 (.......) C. Impl Implik ikas asi. i. Implikasi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata gabung “ Jika .... maka ...... “ yang disimbolkan dengan “ “. Implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan “ p q “ yang dibaca “ Jika p maka q “. i. pernya pernyataa taan n p disebut disebut antese anteseden den (seb (sebab) ab) ii. pernya pernyataa taan n q adalah adalah kons konseque equen n (akiba (akibat) t) Implikasi “p q” bernilai salah, jika anteseden benar dan konsequen salah. Dalam kondisi yang lainnya implikasi “ p q “ bernilai benar.
Tabel Kebenaran Implikasi p q p q B B B B S S S B B S S B Contoh Soal : Pernyataan di bawah ini bernilai benar atau salah ? 1. Jika Jika Surabay Surabayaa kota kota Pahlaw Pahlawan an maka maka 2 + 3 = 5 (...... (........) ..) 2. Jika Jakarta Jakarta Ibukota Ibukota Indones Indonesia ia maka maka 2 + 4 = 7 (....... (.......)) 2 3. Jika ika x = 2 maka maka x = 4 (........) 2 4. Jika ika x < 3 maka maka x < 9 (.......) D. Biim Biimpl plik ikas asi. i. Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata gabung “ ..... jika dan hanya jika ...... “ yang disimbolkan dengan “ “. Biimplikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan “ p q “ yang dibaca “p jika dan hanya jika q “, yang berarti “ jika p maka q dan jika q maka p “ Biimplikasi “p q” bernilai bernilai benar, jika jika p dan q kedua-duanya benar benar atau p dan q keduan-duanya salah. Dalam kondisi yang lainnya biimplikasi “ p q “ bernilai salah. Tabel Kebenaran biimplikasi p q p q B B B B S S S B S S S B
4
LOGIKA MATEMATIKA
Contoh Soal : Pernyataan di bawah ini bernilai benar atau salah ? 1. 4 + 2 = 6 jika jika dan dan hany hanyaa jika jika 4 = 6 – 2 (.... (....... ......) ...) 2 2. x = 4 jik jikaa dan dan hany hanyaa jik jikaa x = 16 (..........) 2 3. 3 adalah adalah bilanga bilangan n ganjil ganjil jika jika dan hany hanyaa jika jika 3 = 9 (..........) 4. Himpunan Himpunan kosong kosong jika jika dan hanya hanya jika jika jimpunan jimpunan yang yang mempunyai mempunyai anggota anggota (........) E. Konvers Konvers,, Invers Invers dan dan Kontrap Kontraposis osisi. i. Dari suatu implikasi “ p q” dapat dibentuk implikasi-implikasi baru yaitu : 1. q p yang disebut konvers dari p q. 2. –p -q yang disebut invers dari p q 3. –q -p yang disebut kontraposisi dari p q. Hubungan antara implikasi , konvers , invers dan kontraposisi dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran seperti terlihat di bawah ini.
p
Q
-p
-q
B B S S
B S B S
S S B B
S B S B
Implikasi p q B S B B
Konvers qp B B S B
Invers -p -q B B S B
Kontraposisi -q -p B S B B
Nilai logisnya sama ( ekuivalen logis ) Dari tabel kebenaran di atas dapat kita ketahui bahwa : (i) implikasi implikasi senilai senilai dengan kontraposis kontraposisii dan dinotasikan dinotasikan p q -q -p (ii) (ii) konvers konvers senila senilaii dengan dengan invers invers dan dino dinotas tasikan ikan q p -p -q Contoh soal : 1. Diketahui Diketahui pernyata pernyataan an “ Jika Jika Rini lulus ujian, maka maka Rini akan kawin kawin “, maka maka a. Konversnya :....................................................... :...................................................................................................... ............................................... b. Inversnya Inversnya :............ :................... .............. .............. ............. ............. .............. ............. ............. .............. .............. ............. ............. .............. ............ ..... c. Kontraposis Kontraposisinya: inya:...... ............. .............. .............. ............. ............. .............. .............. ............. ............. .............. ............. ............. .............. ......... .. 2. Yang ekuivale ekuivalen n dengan pernyataan pernyataan “ Jika laut laut pasang, pasang, maka maka tiang tiang dermaga dermaga tenggelam “ adalah ..... (A) Jika Jika laut suru surutt , maka tiang tiang dermag dermagaa tidak tidak tenggel tenggelam. am. (B) Jika Jika laut laut pasang pasang , maka maka tian tiang g dermag dermagaa tidak tidak tampa tampak. k. (C) Jika Jika tidang tidang derma dermaga ga tampa tampak k , maka laut laut tida tidak k pasang. pasang. (D) Jika Jika laut tida tidak k pasang, pasang, maka maka tiang tiang dermag dermagaa tidak tidak tampak. tampak. (E) Jika Jika laut laut tidak tidak pasa pasang, ng, maka maka tian tiang g dermag dermagaa tampak. tampak. 3. Kont Kontra rapo posi sisi si dari dari “ –p q “ adalah ......... (A) p -q (D) q p (B) –q p (E) –p -q (C) q -p
5
LOGIKA MATEMATIKA
III. NEGASI DARI PERNYATAAN MAJEMUK
Seperti halnya negasi dari suatu pernyataan tunggal, pernyataan majemuk juga dapat dibuat negasinya. b. Negasi Negasi dari dari konju konjungs ngsii yait yaitu u –(p –(p q) adalah –p -q c. Negasi Negasi dari dari disj disjungs ungsii yait yaitu u –(p –(p q) adalah –p -q d. Negasi Negasi dari dari impl implika ikasi si yaitu yaitu –(p –(p q) adalah p -q e. Negasi Negasi dari dari biimp biimplik likasi asi yaitu yaitu –(p –(p q) adalah (-p q) dan (p -q) Contoh soal : 1. Negasi asi da dari p -q adalah .............. 2. Nega Negassi dari dari –p q adalah ............. 3. Negasi asi da dari p -q adalah ............. 4. Negasi dari pernyataan” pernyataan” Hidup Hidup dan dan mati mati “ adalah adalah ........ ............... ............. ...... 5. Negasi dari pernyat pernyataan aan “ Surga Surga atau atau neraka neraka “ adalah adalah ............ ................ .... 6. Diketa Diketahui hui pernya pernyataa taan n impli implikas kasii “ p q”, maka a. Negasi dari negasinya negasinya adalah .............. .................... ........... ..... b. Negasi dari konversnya konversnya adalah .............. ..................... ......... .. c. Negasi dari inversnya inversnya adalah .............. ..................... ........... .... d. Negasi dari kontraposis kontraposisinya inya adalah ............. ................... ...... IV. DUA PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN (EKUIVALEN LOGIS)
Dua pernyataan dikatakan ekuivalen (ekuivalen logis) jika untuk semua kemungkinan dari nilai-nilai kebenaran komponen-komponennya, kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama. Untuk menyelidiki ekuivalen atau tidak ekuivalennya dua pernyataan majemuk, kita menggunakan tabel kebenaran. Dua pernyataan majemuk P(p,q,....) dan Q(p,q,....) yang ekuivalen dinyatakan dengan lambang P(p,q,...) Q(p,q,....) Contoh : a. Implik Implikasi asi ekui ekuival valen en dengan dengan kontra kontrapos posisi isi atau atau p q -q -p b. Konver Konverss ekuival ekuivalen en dengan dengan invers invers atau q p -p -q Beberapa pernyataan majeku yang ekuivalen adalah : 1. Huku Hukum m Komu Komuta tati tiff : a. p q q p b. p q q p 2. Huku Hukum m Asso Assosi siat atif if a. (p q) r p (q r) b. (p q) r p (q r) 3. Huku Hukum m Dist Distri ribu buti tif f
6
LOGIKA MATEMATIKA
a. p (q r) (p q) (p r) b. p (q r) (p r) (p r) 4. Huku Hukum m Abs Absor orbs bsii a. p (p q) p b. p (p q) p 5. Huku Hukum m De De Mor Morga gan n a. –(p q) -p -q b. –(p q) -p -q 6. Huku Hukum m Eku Ekuiv ival alen ensi si a. p q -q -p b. –(p q) p -q c. –(p q) -p q V. PERNYATAAN PERNYATAAN BERKUANTOR BERKUANTOR DAN NEGASINYA NEGASINYA A. Pernyataan Berkuantor Pernyataan berkuantor adalah suatu pernyataan yang mengandung kuantor yaitu suatu kata yang bermakna ada, baik dalam jumlah satu, beberapa banyak, maupun semua/setiap.
Contoh : 1. Ada bilan bilangan gan genap genap yang yang merupaka merupakan n bilangan bilangan prim prima. a. 2. Ada bebrap bebrapaa x, sehing sehinggan gan tan x = 1 3. Semua Semua bilanga bilangan n real kuadr kuadratn atnya ya ridak ridak negati negatif. f. Ada dua macam kuantor : 1. Kuantor Kuantor universal universal yaitu yaitu kuantor kuantor yang yang menyatakan menyatakan semua semua atau atau setiap setiap yang dilambangkan dengan yang dibaca “ untuk semua “ Contoh : x A dibaca “ Untuk Untuk semua semua x anggota anggota A” - Untuk semua bilangan ganjil ,kuadratnya adalah ganjil. 2. Kuantor eksistensial yaitu kuantor yang menyatakan ada, baik dalam jumlah satu atau beberapa banyak yang dilambangkan dengan yang dibaca “ ada beberapa “ Contoh : x A yang dibaca “ Ada beberapa x anggota A” - Ada beberapa beberapa x dan y sehingga sehingga x + y = x.y x.y B. Negasi Negasi Pern Pernyata yataan an Berku Berkuanto antor. r. 1. Negasi dari kuantor universal. Negasi dari pernyataan x A ( Untuk semua x anggota A) adalah x A (Ada x yang bukan anggota)
Contoh :
7
LOGIKA MATEMATIKA
-
2
Negasi dari pernyataan “ x R, jika x < 1, maka x < 1” adalah “ x 2 R, x < 1 tetapi x 1” 2 2 Negasi dari “ x B , Jika x = 1 , maka x = 1” adalah “ x B, x = 1 tetapi x 1 “
2..Negasi dari kuantor eksistensial. Negasi dari pernyataan x A (Ada x anggota A) adalah x A (Untuk semua x bukan anggota A) Contoh : Negasi dari “ x B, x + 3 = 5 “ adalah “ x , x + 3 5 “ 2 2 Negasi dari “ x R, x < 0 “ adalah “ x R, x 0 “ VI. PENARIKAN PENARIKAN KESIMPULAN
Salah satu tujuan yang penting dari pelajaran logika matematika adalah untuk memperoleh pengetahuan guna menguji argumentasi atau penarikan kesimpulan. Yang dimaksud dengan argumentasi dalam pembahasan ini adalah suatu penegasan bahwa dari beberapa pernyataan benar yang diketahui (disebut premis), melalui langkah-langkah logis, dapat diturunkan suatu pernyataan yang benar (disebut konklusi atau kesimpulan). Suatu argumentasi dikatakan berlaku atau sah jika dan hanya jika konjungsi dari premis-premisnya berimplikasi konklusi, yaitu bilamana semua premisnya benar, maka konklusinya juga benar. Ada 3 macam penarikan kesimpulan , yaitu : 1. Modu Moduss Ponen onenss. Premis 1 : p q (benar) Premis 2 : p (benar) ------------------------------Konklusi : q (benar)
2. Modu Moduss Tol Tolllens ens. Premis 1 : p q (benar) Premis 2 : -q (benar) ---------------------------------Konklusi : -p (benar) 3. Silogisma Premis 1 : p q (benar) Premis 2 : q r (benar) ----------------------------------Konklusi : p r (benar) Contoh : Buatlah kesimpulan dari pernyataan-pernyataan berikut : 1. Semua Semua siswa siswa SMUN SMUN 1 Rantau Rantau panda pandaii dan rajin rajin 8
LOGIKA MATEMATIKA
Ali tidak pandai atau tidak rajin ---------------------------------------------------------............................................................................. 2. Ali minum minum obat obat bila bila akan akan ulan ulangan gan Ali minum obat ---------------------------------------...................................................... 3. Jika Jika adik adik tidak tidak makan makan maka adik adik lapar lapar Jika adik lapar maka adik menangis. --------------------------------------------............................................................ 4. Jika bilangan bilangan itu itu ganjil ganjil , maka kuadrat kuadratnya nya juga juga ganjil. ganjil. 3 bilangan ganjil. -------------------------------------------------------------.................................................................................... 5. Jika saya saya diterim diterimaa di SMAN SMAN 1 Rantau Rantau maka saya saya akan akan rajin belajar. belajar. Saya tidak rajin belajar. Kesimpulan yang sah adalah ....... (B) Saya sakit (C) Saya tidak beruntung (D) Saya diterima di SMAN 1 Rantau (E) Saya tidak diterima di SMAN 1 Rantau (F) Saya malas dan diterima di SMAN 1 Rantau. VII. PEMBUK PEMBUKTIA TIAN N SIFAT MATEMA MATEMATIK TIKA A
Suatu bukti dalam matematika adalah suatu argumentasi yang menunjukkan bahwa suatu pernyataan p q selalu benar (logis benar atau tautologi). Misalnya p adalah konjungsi premis-premis, dan q adalah konklusi suatu argumentasi. Dalam hal demikian p maupun q meungkin menyangkut beberapa pernyataan tunggal. Jadi harus ditunjukkan (dibuktikan) bahwa p q selalu benar bagaimanapun nilai kebenaran pernyataan komponen-komponennya. Ada beberapa cara untuk membuktikan atau menunjukkan kebenaran suatu argumentasi, diantaranya adalah bukti langsung, bukti tidak langsung dan induksi matematika. 1. Bukti Langsung. Diantara argumentasi aratu penarikan kesimpulan yang sudah kata bahas di atas , modus ponens dan silogisma adalah termasuk contoh bukti langsung.
Contoh : 2 Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat n, jika n ganjil, maka n juga ganjil !.
9
LOGIKA MATEMATIKA
Penyelesaian : 2 Misalkan p : n bilangan bulat ganjil, dan q : n bilangan bulat ganjil. Harus dibuktikan bahwa p q bernilai benar. Bukti : Oleh karena n ganjil (p), maka dapat dimisalkan n = 2a + 1, dengan a bilangan bulat. Dengan demikian maka : 2 2 n = (2a + 1) 2 = 4a + 4a + 1 = bilangan bulat ganjil (q) Terbuktilah apa yang harus dibuktikan , jadi p q bernilai benar. 2..Bukti Tidak Langsung. Ada dua macam bukti tidak langsung, yaitu bukti tidak langsung kontradiski dan bukti tidak langsung dengan kontraposisi. a.
Bukti Tidak Langsung dengan Kontradiksi. Bukti tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan bahwa yang harus dibuktikan adalah salah. Melalui langkah-langkah logis diturunkan suatu kontradiksi (sesuatu yang dianggap benar dan salah sekaligus). Karena kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar, sehingga benarlah apa yang harus dibuktikan. Contoh : 2 Buktikanlah bahwa untuk semua bilangan bulat n, jika n ganjil, maka n ganjil. Penyelesaian: 2 Misalkan p : n bilangan bulat ganjil. Dan q : n bilangan bulat ganjil. Harus dibuktikan bahwa p q bernilai benar. Bukti : Andaikan bahwa q salah, atau –q benar, yaitu n bukan bilangan bulat ganjil, maka n bilangan bulat genap. Dapat dimisalkan n = 2a, dengan a bilangan bulat. Dengan demikian , maka : 2 2 n = (2a) 2 = 4a = bilangan bulat genap (-p) Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui p benar, sedang dari langkahlangkah logis diturunkan –p benar. Oleh karena kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar, yang berarti –q salah atau q benar. Terbuktilah apa yang harus dibuktikan.
b. Bukti Bukti Tidak Tidak Langs Langsung ung dengan dengan Kont Kontrap raposi osisi si.. Bukti tidak langsung dengan kontraposisi dilakukan sebagai berikut :
10
LOGIKA MATEMATIKA
Misalkan kita hasrus membuktikan p q benar. Kita andaikan bahwa –q benar. Kemudian melalui langkah-langkah logis diturunkan diturunkan –p benar. Jadi -q -q -p Oleh karena p q -q -p, maka jika –q -p benar, p q juga benar. Dengan demikian terbuktilah bahwa p q benar. Sebagai contoh kita mengambil bukti pada contoh a di atas, dengan menguraikannya menurut langkah-langkah sebagai berikut : 2 Diketahui : n bilangan bulat ganjil :p Haru Haruss dib dibukt uktik ikan an : n bila bilanga ngan n bula bulatt gan ganji jill : q Anda Andaik ikan an : n buka bukan n bil bilan anga gan n bul bulat at ganj ganjil il : -q -q 2 Maka : n bukan bilangan bulat ganjil : -p Langkah yang kita tempuh adalah –q -p , kontraposisi dari p q. Oleh karena kedua pernyataan itu ekuivalen (ekuivalen logis), maka terbuktilah apa yang harus kita buktikan. Dengan demikian sebenarnya kedua cara itu ( cara dengan kontradiksi dan dengan kontraposisi) pada dasarnya sama. 3..Induksi Matematika. Salah satu cara pembuktian yang penting dalam matematika adalah dengan induksi matematika. Istilah “ induksi” biasanya berarti rumusan umum yang disimpulkan dari sejumlah hal yang khusus. Induksi matematika, walaupun namanya demikian, sebenarnya merupakan cara penalaran deduktif, bukan induktif. Induksi matematika berkenaan dengan pernyataan-pernyataan yang mencakup bilangan asli. Prinsip Induksi Matematika. Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n. Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar. Maka P(n) benar untuk semua n. Berdasarkan prinsip di atas. Dengan mengetahui mengetahui bahwa bahwa P(1) benar, benar, sekarang sekarang kita buktikan buktikan bahwa P(2) pasti pasti benar (dengan mengambil k = 1), dan bahwa P(3) pasti benar (dengan mengambil k = 2), dan bahwa P(4) pasti benar (dengan mengambil k = 3) dan seterusnya. Jelaslah bahwa bilangan asli manapun cepat atau lambat akan tercapai, sehingga kita dapat mengatakan bahwa P(n) berlaku untuk semua bilangan asli n. Secara skematik, langkah pembuktian dengan induksi matematika adalah sebagai berikut : Langkah 1 (basisi induksi) : P(1) Lang Langka kah h 2 (lan (langk gkah ah induk nduksi si)) : P(k) (k) P(k+1) Langkah 3 (kesimpulan) : Untuk semua n, P(n).
Contoh : 2 1. Bukt Buktik ikan an bah bahwa wa 1 + 3 + 5 + 7 + .... .... + (2n (2n – 1) = n , untuk semua bilangan asli n.
11
LOGIKA MATEMATIKA
Penyelesaian: 2 Misalkan P(n) adalah “ 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) = n “ 2 Langkah 1 : P(1) benar, sebab 1 = 1 Langkah 2 : Apabila P(k) benar, yaitu apabila : 2 1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2k-1) = k maka P(k+1) yaitu : 2 1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2k-1) + {2(k+1)-1} = (k+1) 2
2
k + {2(k+1)-1} = (k+1) 2 2 k + 2k + 2 – 1 = (k+1) 2 2 k + 2k + 1 = (k+1) sehingga P(k+1) benar Langkah 3 : Dengan demikian terbuktilah bahwa P(n) benar untuk semua n. 3
2. Bukt Buktik ikan an bahw bahwaa n + 5n habis dibagi oleh 6, untuk semua n. Penyelesaian : 3 Misalkan P(n) adalah “ n + 5n habis dibagi oleh 6 “ 3 Langkah 1 : P(1) benar, sebab 1 + 5.1 = 6 habis dibagi 6. Langkah 2 : Apabila P(k) benar yaitu : 3 k + 5k habis dibagi oleh 6, maka P(k+1) P(k+1) yaitu yaitu : 3 3 2 (k+1) + 5(k+1) = (k + 3k + 3k + 1) 5k + 5 3 2 = (k + 5k) + (3k + 3k) + 6 3 = (k + 5k) + 3k(k+1) + 6 3 Karena k + 5k habis dibagi 6 yaitu P(k) dan 3k(k+1) juga habis dibagi 6 3 dan 6 habis dibagi 6, maka P(k+1) = (k + 5k) + 3k(k+1) + 6 habis dibagi oleh 6. 3 Lanhkah 3 : Dengan demikian terbuktilah P(n) benar untuk semua n, yaitu yaitu n + 5n habis dibagi oleh 6.
SOAL-SOAL ULANGAN 1. Yang dimaksud dengan pernyataan adalah ..... a. Kalimat yang tidak mempunyai nilai benar atau salah. b. Kalimat yang mempunyai nilai benar saja. c. Kalimat yang mempunyai nilai salah saja. d. Kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah. e. Kalimat yang mengandung suatu variabel yang mempunyai nilai benar atau salah. 2. Di antara kalimat-kalimat berikut yang merupakan kalimat terbuka adalah..... a. Suatu bilangan yang dapat dibagi 8 juga dapat dibagi 4. 2 b. Carilah jumlah akar-akar persamaan kuadrat x – 8x – 12 = 0. 0.
12
LOGIKA MATEMATIKA
c. Sebutkan siapa Perdana Menteri India sekarang. d. x adalah bilangan yang lebih besar dari bilangan prima genap. e. Bunga mawar selalu berwarna merah. 3..Negasi dari pernyataan “ Ada siswa baru yang tidak ditatar P-4 “. a. Semua siswa baru tidak ditatar P-4 b. Semua siswa baru ditatar P-4 c. Tidak ada siswa baru yang ditatar P-4 d. Beberapa siswa baru ditatar P-4 e. Ada siswa baru yang ditatar P-4
4.
p B B S S
q B S B S
...... B B B S
Tabel logika di samping ini adalah tabel kebenaran dari.... a. konjungsi d. biimplikasi b. disjungsi e. negasi c. implikasi
5..Jika turun hujan maka air sungai meluap. Pernyataan majemuk di atas adalah suatu ...... a. konjungsi b. disjungsi c. implikasi d. biimplikasi e. negasi. 6..Pernyataan yang ekuivalen dengan “ Ani tidak malas atau pandai “ adalah ..... a. Ani malas dan tidak pandai. b. Ani malas dan pandai c. Jika Ani malas maka Ani pandai d. Jika Ani tidak malas maka Ani pandai. e. Jika Ani pandai maka Ani tidak malas. 7..Negasi dari pernyataan “ Jika tidak minum obat maka ia mabuk “ adalah .... a. Ia Ia ti tidak mi minum oba obatt da dan ma mabuk buk. d. Ia Ia mi minum oba obat at atau ma mabuk buk b. Ia minu minum m obat obat dan dan tida tidak k mabu mabuk. k. e. Jika Jika ia minu minum m obat obat maka maka ia tida tidak k mabu mabuk. k. c. Ia Ia tidak tidak minum obat dan tidak tidak mabuk. 8.. Kontraposisi dari –p -q adalah ..... a. p q b. -p q c. -q p d. q p e. -q -p 9..Jika saya diterima di SMAN 1 Rantau maka saya akan rajin belajar. Saya tidak rajin belajar. Kesimpulan yang sah dari premis-premis di atas adalah ...... a. Saya sakit d. Saya tidak diterima di SMAN 1 Rantau b. Saya tidak beruntung e. Saya malas. c. Saya diterima di SMAN 1 Rantau 10..Menurut prinsip modus tollens penarikan kesimpulan adalah sebagai berikut ......
13
LOGIKA MATEMATIKA
a. p q b. p q c. p q d. p q e. p q p qr -p -q q r -------------------------------------q r -q -p p r 11. Negasi dari pernyataan “ Ada bilangan bulat x sehingga x + 5 > 0 “ adalah ... a. Tidak semua bilangan bulat x sehingga x + 5 > 0 b. Tidak ada satupun bilangan bulat x sehingga x + 5 > 0. c. Untuk semua bilangan bulat x sehingga x + 5 > 0 d. Ada bilangan bulat x sehingga x + 5 < 0 e. Untuk semua bilangan bulat x sehingga x + 5 0
12..Pernyataan p q ekuivalen dengan ..... a. –p -q b. q p c. –q -p
d. q -p
e. –p q
13..Diantara pernyataan-pernyataan berikut yang bernilai benar adalah ..... a. Jika 3 x 5 = 15 maka 7 : 2 = 3 b. Jika A B = A maka B A. c. Jika 5 < 3 maka -3 < -5 d. Jika suatu bilangan adalah bilangan cacah, maka ia adalah bilangan asli. e. Jika A B = , maka A B = 14.
p B B S S
q B S B S
(-p q) (p q) Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk di samping adalah .... ... a. B B S S d. B S S B ... b. B S B S e. S B B S ... c. S S S B ...
15.. Pernyataan yang setara dengan “ Jika Ali merokok, maka Ali sakit jantung atau sakit paru-paru “ adalah . a. Jika Ali Ali sakit sakit jantung jantung atau sakit sakit paru-pa paru-paru, ru, maka maka Ali merokok. merokok. b. Jika Ali Ali tidak sakit sakit jantung jantung dan tidak tidak sakit sakit paru-paru, paru-paru, maka maka Ali tidak tidak merokok. merokok. c. Jika Ali Ali tidak merokok, merokok, maka Ali Ali tidak tidak sakit sakit jantung jantung dan dan sakit paru-paru. paru-paru. d. Jika Ali Ali tidak sakit sakit jantung jantung atau tidak tidak sakit sakit paru-paru, paru-paru, maka maka Ali tidak tidak merokok. merokok. e. Jika Ali Ali tidak merokok, merokok, maka Ali Ali tidak tidak sakit sakit jantung jantung atau atau sakit sakit paru-paru. paru-paru. 16.. Tentukan Tentukan nilai x agar “ 3x – 3 = x – 9 dan 2 bilangan prima” prima” menjadi menjadi konjungsi konjungsi yang bernilai benar !. 17. Lengkapilah tabel kebenaran di bawah ini : p Q -p -q p -q q -p B B ... ... ... ... B S ... ... ... ... S B ... ... ... ... S S ... ... ... ...
14
LOGIKA MATEMATIKA
18. Diketahui implikasi “ Jika Inem Inem tidak datang ,maka saya kecewa “ Tentukan : c. Konvers ersnya. d. Inversnya e. Kont Kontra rapo posi sisi siny nya. a. 19. Tulislah kesimpulan dari premis-premis berikut sebagai penarikan kesimpulan yang sah . a. Jika Jika memakan memakan bijibiji-bij bijian ian maka maka termas termasuk uk unggas unggas.. Manusia makan biji-bijian. ---------------------------------------------------------Kesimpulan :........................................................ b. Jika Jika hem hemat at mak makaa akan akan kay kaya. a. John melarat --------------------------------------------------------Kesimpulan :....................................................... 20. Tunjukkan ekuivalensi di bawah ini dengan tabel kebenaran ! -(p -q) -p q 21. Buktikan dengan tabel kebenaran bahwa : p q {(-p q) (-q p)} ! 2
2
2
22. Buatlah negasi dari (x)(y){(x+y) = x – 2xy 2xy + y } dan tuliskan cara membacanya beserta nilai kebenarannya. 23. Sah atau tidak penarikan kesimpulan di bawah ini ! Jelaskan !. Premis 1 : Saya akan berlayar hari Rabu atau kamis yang akan datang. Premis 2 : Ternyata saya saya tidak jadi berlayar berlayar hari Rabu. -----------------------------------------------------------------------------------Kesimpulan : Saya berlayar hari Kamis. 24. Buktikan dengan bukti tidak langsung bahwa “ Untuk setiap bilangan real a dan b, jika ab = 0, maka a = 0 atau b = 0 “ 25. Buktikan dengan induksi matematika bahwa : 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n(n+1) berlaku untuk semua bilangan asli n.
15
LOGIKA MATEMATIKA
DAFTAR PUSTAKA
1. Setrategi Setrategi Memahami Memahami Matematika Matematika SMTA Seri B, 1991, 1991, Fata Fata Asyari, Asyari, dkk, dkk, Epsilon Epsilon Group Bandung. 2. Matematika Matematika SMA SMA Program Program ilmu-ilmu ilmu-ilmu Fisik Fisik dan Ilmu-i Ilmu-ilmu lmu Biologi, Biologi, 1991, 1991, Al Krismanto, Intan Pariwara 3. Matematika Matematika SMA SMA 1, Wilson Wilson Simangunson Simangunsong, g, Sukino, Sukino, Drs. I Nyoman Nyoman Susila Susila,, MSc, Erlangga, 1991 4. Matematik Matematik 1a, 2003, Tim Penyusun, Penyusun, Intan Pariwara. Pariwara. 5. Matema Matematik tikaa 1a, 2005, 2005, Kartini Kartini dkk, dkk, Intan Intan Pariwa Pariwara ra 6. Matematika Matematika SMU SMU Kelas 3 Progra Program m IPA, 2000, 2000, BK Noormandir Noormandiri, i, Endar Sucipto Sucipto,, Erlangga.
16
