Limit Fungsi Aljabar Jarak yang ditempuh sebuah mobil yang bergerak selama t sekon memenuhi persamaan s(t)=(t 2 + 4t) meter. Berapakah Berapakah kecepatan mobil tersebut tepat pada saat t = 3 sekon?
Permasalahan di atas merupakan permasalahan pada bidang Fisika yang pemecahannya menggunakan bantuan konsep limit fungsi. Konsep limit fungsi ini pertama kali didefinisikan dengan sangat jelas oleh Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) yang merupakan seorang matematikawan matematikawan asal Perancis (Purcell, 1994). Limit fungsi merupakan salah satu pokok bahasan yang baru ada di tingkat pendidikan SMA. Pokok bahasan ini merupakan bagian dari pengantar kalkulus. Kalkulus sendiri merupakan salah satu cabang cab ang matematika yang sangat san gat penting, karena kar ena di dalamnya dipelajari tentang hitung differensial dan hitung integral. Hitung differensial dan hitung integral sangat diperlukan pada cabang lain dari matematika seperti statistika maupun bidang-bidang lain lain di luar matematika matematika seperti fisika, fisika, kimia dan teknik
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar kalimat-kalimat seperti : a. Mobil itu nyaris masuk ke jurang. b. Kita hampir memasuki memasuki kota Jakarta. Jakarta. c. Kecantikannya mendekati sempurna. Kata-kata yang dicetak miring pada kalimat-kalimat di atas mempunyai pengertian yang sama dengan kata “limit fungsi” pada matematika. Pengertian Pengertian limit fungsi pada matematika dapat dibagi ke dalam dua bagian, yaitu limit fungsi di satu titik dan limit fungsi di tak hingga. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu. Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah: Diberikan fungsi f(x) fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali
mungkin
pada
p
itu
sendiri.
Kita
mengatakan
bahwa limit limit f(x) f(x) ketika ketika x mendekati p adalah L, dan menuliskan:
jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x:
Aturan Limit
Read more: http://t4f1d.blogspot.com/2012/10/limit-fungsi-aljabar.html#ixzz2meIAxzHb
BAB PEMBAHASAN
A. LIMIT FUNGSI ALJABAR 1. Pengertian Limit Fungsi Secara I ntuitif Limit dapat digunakan untuk menjelaskan pengaruh variabel fungsi yang bergerak mendekati suatu titik terhadap fungsi tersebut. Untuk dapat memahami pengertian limit secara intuitif, perhatikanlah contoh berikut: Fungsi f di definisikan sebagai f (x) = Jika variabel x diganti dengan 2, maka f(x) = (tidak dapat ditemukan) Untuk itu perhatikanlah tabel berikut : x 0 1,1 1,5 1,9 1,999 2.000 2,001 2,01 2,5 2,7 f(x) 1 2,1 2,5 2,9 2,999 ??? 3,001 3,01 3,5 3,7 Dari uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa f (x) = : mendekati 3. jika x mendekati 2, baik didekati dari sebelah kiri (disebut limit kiri) maupun di dekati dari sebelah kanan (disebut limit kanan). Dapat ditulis : Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu. Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) "dekat" pada L ketika x dekat pada p. Dengan kata lain, f(x) menjadi semakin dekat kepada L ketika x juga mendekat menuju p. Lebih jauh lagi, bila f diterapkan pada tiap masukan yangcukup dekat pada p, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan L. Bila masukan yang dekat pada p ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat ber beda, fungsi f dikatakan tidak memiliki limit. Definisi limit dirumuskan secara formal mulai abad ke-19. Sejarah Meskipun termasuk secara implisit dalam pengembangan kalkulus pada abad ke-17 dan 18, gagasan modern limit fungsi baru dibahas oleh Bolzano, yang pada 1817, memperkenalkan dasar-dasar teknikepsilon-delta. [1] Namun karyanya tidak diketahui semasa hidupnya. Cauchy membahas limit dalam karyanya Cours d'analyse (1821) dan tampaknya telah menyatakan intisari gagasan tersebut, tapi tidak secara sistematis. [2] Presentasi yang ke tat terhadap khalayak ramai pertama kali diajukan oleh Weirstrass pada dasawarsa 1850-an dan 1860-an[3], dan sejak itu telah menjadi metode baku untuk menerangkan limit. Notasi tertulis menggunakan singkatan lim dengan anak panah diperkenalkan oleh Hardy dalam bukunya A Course of Pure Mathematicspada tahun 1908 Definisi Berikut beberapa definisi limit fungsi yang umum diterima. Fungsi pada garis
Bila f : R R terdefinisi pada garis bilangan riil, dan p, L R maka kita menyebut limit f ketika x mendekati p adalah L, yang ditulis sebagai: jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga |x - p|< δ mengimplikasikan bahwa |f (x) L | < ε . Di sini, baik ε maupun δmerupakan bilangan riil. Perhatikan bahwa nilai limit tidak tergantung
pada nilai f (p) Limit searah Limit saat: x → x0+ ≠ x → x0-. Maka, limit x → x0 tidak ada. Masukan x dapat mendekati p dari atas (kanan di garis bilangan) atau dari bawah (kiri). Dalam hal ini limit masing-masingnya dapat ditulis sebagai
atau Bila kedua limit ini sama nilainya dengan L, maka L dapat diacu se bagai limit f(x) pada p . Sebaliknya, bila keduanya tidak bernilai sama dengan L, maka limit f(x) pada p tidak ada. Definisi formal adalah sebagai berikut. Limit f(x) saat x m endekati p dari atas adalah L bila, untuk setiap ε
> 0, terdapat sebuah bilangan δ > 0 sedemikian rupa sehingga |f(x) - L| < ε pada saat 0 < x - p < δ. Limit f(x) saat x mendekati p dari bawah adalah L bila, untuk setiap ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 sehingga
|f(x) - L| < ε bilamana 0 < p - x < δ. Bila limitnya tidak ada terdapat osilasi matematis tidak nol. Limit fungsi ini ada pada ketakhinggaan. Bila dua unsur, ketakhinggaan positif dan negatif {- ∞, +∞}, ditambahkan pada garis bilangan riil, kita dapat mendefinisikan limit fungsi pada ketakhinggaan. Dua unsur tambahan ini bukanlah bilangan, namun berguna dalam memerikan k elakuan limit pada kalkulus dan analisis. Bila f(x) adalah fungsi riil, maka limit f saat x mendekati t ak hingga adalah L, dilambangkan sebagai: jika dan hanya jika untuk semua ε > 0 terdapat S > 0 sedemikian rupa sehingga |f (x) - L| < εbilamana x >
S. Dengan cara yang sama, limit f saat x mendekati tak hingga adalah tak hingga, dilambangkan oleh jika dan hanya jika bila untuk semua R > 0 terdapat S > sedemikian sehingga f(x) > R bilamana x > S 2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Nilai Tertentu Menentukan limit dengan cara diatas tidaklah efisien. Untuk mengatasinya, kita dapat menentukan nilai limit suatu fungsi dengan beberapa cara, yaitu:
a. Subtitusi Perhatikanlah contoh berikut!
Contoh: Tentukan nilai ! Penyelesaian : Nilai limit dari fungsi f(x) = x2 – 8 dapat kita ketahui secara langsung, yaitu dengan cara mensubtitusikan x =3 ke f(x)
Artinya bilamana x dekat 3 maka x2 – 8 dekat pada 32 – 8 =9 – 8 = 1 Dengan ketentuan sebagai berikut: a) Jika f (a) = c, maka b) Jika f (a) = , maka c) Jika f (a) = , maka b. Pemfaktoran Cara ini digunakan ketika fungsi-fungsi tersebut bisa difaktorkan sehingga tidak menghasilkan nilai tak terdefinisi. Perhatikanlah contoh berikut! Contoh: Tentukan nilai ! Jika x = 3 kita subtitusikan maka f (3) = . Kita telah mengetahui bahwa semua bilangan yang dibagi dengan 0 tidak te rdefinisi. Ini berarti untuk menentukan nilai , kita harus mencari fungsi yang baru sehingga tidak terjadi pembagian dengan nol. Untuk menentukan fungsi yang baru itu, kita tinggal menfaktorkan fungsi f (x) sehingga me njadi:
Jadi, = = =3+3=6 c. Merasionalkan Penyebut Cara yang ke-tiga ini digunakan apanila penyebutnya berbentuk akar yang perlu dirasionalkan, sehingga tidak terjadi pembagian angka 0 dengan 0. Perhatikanlah contoh berikut! Contoh: Tentukan nilai ! Penyelesaian: = = = = = =1.0 B. Penerapan konsep limit dalam kehidupan sehari-hari
Motor yang di tumpangi doni nyaris bertabrakan dengan motor lain
Demonstrasi yang dilakukan mahasiswa nyaris bentrok dengan aparat kepolisian
Kemampuan terbang pesawat itu mendekati batas maxsimal
Karena lupa belajar Sri nyaris mendapat nilai merah
Karena salah sangka mereka hamper berkelahi
Pada suatu acara seorang polisi nyaris menangka maling yang lari
Kecepatan motor itu mendekati batas kemampuan
Karena kurang hati-hati mobil yanti hampir tabrakan
Mobil itu melaju hamper mendekati kecepatan penuh
Suatu rapat nyaris terjadi keributan
C. MANFAAT LIMIT Bidang Teknik Informatika ======================================…
kalau di bidang informatika itu untuk membuat kecerdasan buatan, kakakku suka bikin hasilnya dari perhitungan limit kronologisnya begini, misal yahoo nich..jika kita menjawab kita langsung dapat dua point, trus jika jika kita dapat best answers otomatis dapat 10 point, trus ada perhitungan sampai jawabannya 7 bulan yang lalu, dua menit yang lalu, gak mungkinkan manusia yang menhitungnya didalam source code dan database suatu website terdapat salah satunya yang bernama limit ======================================…
Bidang Kedokteran ======================================…
misalnya untuk menghitung kerusakan dari jantung, yang hasilnya ditampilkan oleh USG, ritme ritme detak jantung pada kasus cardiac carest ( cari aja digoogle artinya ) detak jantuk tidak berirama, maka seorang dokter harus menganalisa..dimana sich posisi letak kerusakan pada jantung sedangkan hanya melihat dari hasil USG tadi data datanya..padahal sel-sel dijantung kan banyak, nah fungsi limit ini dibutuhkan untuk menebak dimana luas area yang rusak contoh lain adalah populasi bakteri atau virus dan kemungkinan berapa persen virus itu menular dengan melalui udara, area kontribusi dan kecepatan angin dihitung grafiknya melalui limit ======================================…
Bidang Fisika ================================ menghitung rotasi bumi dan benda benda lain yang berbentuk elips kaya komet rotasinya kan elips, menghitung kekuatan aus besi apabila bergesekan dengan air asin pada teknologi perkapalan, apakah kapal laut tahan gak apabila berlayar selama 6 bulan berurut turut, sedangkan besi apabila bergesekan
dengan garam bersifat korosif ada ribuan manfaatnya disinu ======================================… Bidang Planologi & Lain Lain ======================================…
menentukan areal kerusakan pada saluran air, padahal kan saluran air kan didalam tanah tuh, nah darimana PDAM tahu ?? apakah semua area saluran air digali, gak kan, itu diketahui dengan menggunakan kalkulus, limit temasuk didalamnya ======================================…
adhel bisa menceritakan sekitar 1000 lebih manfaat limit dalam bidang kehidupan, karena disini terbatas untuk mengetiknya ditambah cape juga mengetik panjang panjang, tapi kalau bercerita, adhel bisa menceritakan 1001 macam manfaat limit bagi dunia kehidupan
D. KALKULUS Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematikayang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takter hingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidangsains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer. Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.
E. SEJARAH KALKUS S ejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volumedan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa
Mesir (c. 1800 SM). Pada papirus tersebut, orang Mesir telah mampu menghitung volumepiramida terpancung.[1] Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakanheuristik yang menyerupai kalkulus integral.[2] Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil tak te rhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar.[3] Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal
turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle".[4] Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral.[5] Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan darifungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. [6] Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor[7], yang dituliskan dalam teksYuktibhasa.[8][9][10] Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668. Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang. Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerj a mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society. Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secar a terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions". Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus. Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern. Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus.
F. PENGARUH PENTING KALKUS
Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika. Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat danderet Fourier. Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut. G. SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI Proses penentuan limit tidak perlu selalu dg mengevaluasi f(x) pd suatu seri titik di dua sisi (kiri/kanan) dari x = a Sifat2 limit, berguna utk menentukan nilai limit suatu fungsi. 1. Jika f(x) = c, c = bil.ril, maka lim (c) = c x ->a Contoh: lim 30 = 30 x->9 2. Jika f(x) = xn, n = bil. bulat positif, maka lim xn = an, x ->a Contoh: lim x3 = (-2)3= -8 x-> -2 3. Jika f(x) mempunyai limit utk x ->a, dan c = bil. ril, maka lim c.f(x) = c.lim f(x) x ->a
x ->a
4. Jika lim f(x) & lim g(x) ada, maka x ->a
x ->a
lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) + lim g(x) x ->a
x ->a
x ->a
Contoh: lim (x5-10) = lim (x5) - lim10 x-> -1
x -> -1
x -> -1
=( -1)5 – 10 = -11 5. Jika lim f(x) & lim g(x) ada, maka x ->a
x ->a
lim [f(x).g(x)] = lim f(x). lim g(x)
x ->a
x ->a
x ->a
Contoh lim[(x2-5)(x + 1)] = lim(x2-5).lim(x + 1) =(42-5)(4+1)=55 x->4
x->4
x->4
Jika lim f(x) & lim g(x) ada, maka x ->a
x ->a lim f(x)
f(x)
x ->a
lim ---- = -------- dg syarat lim g(x) ≠ 0 x ->a g(x)
lim g(x)
x->a
Sifat2 limit tsb., memudahkan proses penentuan limit utk kelompok fungsi tertentu, yaitu polinomial. Limit fungsi tsb. diperoleh dg substitusi, yaitu: lim f(x) = f(a) x
a
Contoh: 1. lim (3x2 -4x + 10) = f(-2) = 3(-2)2 -4(-2) +10 = 30 x -> -2 x2 - 9
(x + 3)( x – 3)
l i m -------- = l I m ------------------ = l i m (x+3) = 6 x->3 x - 3
x ->3
(x – 3)
x -> 3
Walau fungsi ini tidak terdefinisi utk x = 3, nilai f(x) mendekati 6 bila x mendekati 3. Ini juga contoh fungsi yg dapat disederhanakan dg faktorisasi. H. Aplikasi Kalkus
Pola spiral logaritma cangkang Nautilus adalah contoh klasik untuk menggambarkan perkembangan dan perubahan yang berkaitan dengan kalkulus. Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik, teknik, ekonomi,bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya. Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda de ngan massa jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari suatu objek, dan total ener gi dari sebuah objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus. Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total fluks dari
sebuah medan elektromagnetik . Contoh historis lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton, dinyatakan sebagai laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju perubahanmomentum dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja pada benda tersebut dengan arah yang sama. Bahkan rumus umum dari hukum kedua Newton: Gaya = Massa × Percepatan, menggunakan per umusan kalkulus diferensial karena percepatan bisa dinyatakan sebagai turunan dari kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas Einstein juga dirumuskan menggunakan kalkulus diferensial
