1
LIMIT FUNGSI
1. TUJUAN PEMBELAJARAN
KOMPETENSI DASAR INDIKATOR 1. Menjelaskan limit menjelaskan arti limit fungsi di satu titik dan fungsi di satu titik dan di di tak hingga beserta tak hingga teknis perhitungannya menghitung limit fungsi aljabar di satu titik dan di tak hingga menghitung limit fungsi trigonometri di satu titik menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit 2. Menggunakan sifat menjelaskan arti bentuk limit fungsi untuk tak tentu dari limit menghitung bentuk tak fungsi. tentu fungsi aljabar dan menghitung bentuk tak trigonometri tentu dari limit fungsi aljabar dan trigonometri menghitung limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan bentuk tak tentu limit fungsi
MATERI Limit Fungsi
Limit Fungsi
2
2. PETA KONSEP
LIMIT FUNGSI
MENJELASKAN SECARA INTUINTIF ARTI LIMIT FUNGSI DI SUATU TITIK & DI TAK HINGGA
Arti Limit Fungsi di 1 Titik Melalui Perhitungan Nilai-Nilai di Sekitar Titik
Arti Limit Fungsi Tak Hingga
MENGGUNAKAN SIFAT LIMIT FUNGSI UNTUK BENTUK TAK TENTU FUNGSI ALJABAR DAN
Menghitung Limit Fungsi Aljabar
Menghitung Limit Fungsi Trigonometri
3
A. Pengertian Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga Hingg a 1. Limit Fungsi di Satu Titik Melalui Perhitungan Nilai-Nilai di Sekitar Titik Tersebut
Limit biasa disebut sebagai nilai pendekatan. Pengertian limit fungsi di suatu titik dapat pula dipahami dengan cara menghitung nilai-nilai fungsi disekitar titik yang ditinjau. Sebagai contoh diketahui fungsi
⋅ – – – yang ditentukan oleh
dengan 3, maka
(3) = 2
jika variabel
. Jika variabel
diganti
– 1 = 5. Berapakah nilai yang akan didekati 3 – 1
mendekati 3?. Untuk menjawab persoalan ini
diperlukan tabel sebagai berikut: 1,5
2,5
2,85
2,99
2
4
4,7
4,98
Dari tabel dapat dilihat jika
maka nilai
mendekati 3 dari pihak kurang dari 3,
mendekati 5. Apakah nilai
akan mendekati 5 jika
lebih besar dari 3?. Untuk menjawabnya kita lihat tabel berikut ini: 3,01
3,10
3,50
5,02
5,20
6,00
Dari tabel dapat dilihat jika
maka nilai
mendekati 3 dari pihak lebih dari 3,
mendekati 5, sehingga dikatakan bahwa fungsi
mempunyai limit 5 untuk x mendekati 3 dan ditulis “jika
, maka
1.1. Dari uraian di atas, secara intuitif limit dapat didefinisikan sebagai berikut:
maka berlaku
jika untuk yang dekat dengan dekat dengan L
(tetapi
)
4
1.2. Pengertian Limit Secara Matematis
berarti bahwa untuk setiap bilangan positif
| |
diberikan (betapapun kecilnya), terdapat
sedemikian sehingga
| | | |
jika
, maka berlaku
yang
1.3. Pengertian Limit di tak hingga
Andaikan
untuk suatu bilangan c. Dikatakan
terdefinisi pada
bahwa
Jika untuk setiap
(
bilangan positif M, sedemikian sehingga apabila
terdapat maka
1.4. Bentuk Tak Tentu Suatu Limit
Bentuk di dalam matematika ada 3 macam, yaitu : Bentuk terdefinisi (tertentu) : yaitu bentuk yang nilainya ada dan
tertentu, misalnya :
6 3
, 40 .
Bentuk tak terdefinisi : yaitu bentuk yang tidak mempunyai nilai,
misalnya :
5 0
Bentuk tak tentu : yaitu bentuk yang nilainya sembarang,
misalnya :
0 0
,
, ,1
Penting : Persoalan limit adalah mengubah bentuk mengubah bentuk tak tentuk menjadi
bentuk tertentu. tertentu.
2. Sifat-Sifat Limit
Apabila k suatu konstanta, f dan g merupakan fungsi-fungsi yang x → a, a mempunyai limit untuk x
∈
R maka berlaku:
5
] ] ,untuk
Untuk lebih memahami tentang sifat-sifat limit fungsi, pelajarilah contoh soal berikut.
Contoh 1
] ] ] ] ]
Diketahui 1. 2.
Penyelesaian 1
1.
2.
dan
. Tentukan:
6
3. Limit Fungsi Tak Berhingga 3.1. Pengertian. x) = Diketahui f ( x
berikut:
. Jika dibuat tabel untuk x bilangan sebagai
1
2
2
1
3
10
100
…
…
x) makin lama makin Apabila nilai x makin besar, ternyata nilai f ( x
kecil. Apabila x besar sekali atau x mendekati tak berhingga, ditulis x → ∞ , maka nilai 2 x akan mendekati nol, dikatakan limit dari 2 x untuk x mendekati tak berhingga adalah nol dan ditulis:
Limit fungsi yang berbentuk
.
dapat diselesaikan dengan
x) dan bagian penyebut g( x x) dengan cara membagi bagian pembilang f ( x xn, n adalah pangkat tertinggi dari f ( x x) atau g( x x) untuk setiap n
bilangan positip dan a bilangan real, maka:
Kesimpulan
dari
adalah
Jika
(kesimpulan 1)
Jika
(kesimpulan 2)
Jika
(kesimpulan 3)
Contoh Soal dan penyelesaian 2. 1. 2. 3.
(kesimpulan 1)
(kesimpulan 2) (kesimpulan 3)
sebagai
berikut :
7
3.2. Menghitung Limit Tak Berhingga. 3.2.1. Membagi dengan Pangkat Tertinggi dari Penyebut
Jika
dan dengan disubtitusikan langsung didapat hasil
(bentuk tak tentu) maka dapat diselesaikan dengan cara
membagi bagian pembilang
dengan
,
dan bagian penyebut
adalah pangkat tertinggi dari
atau
.
Contoh Soal 3 1.
Penyelesaian 3 1. Jika soal di atas disubtitusikan langsung maka hasilnya adalah
. Oleh karena itu, bentuk tersebut dibagi pangkat tertinggi
yaitu
3.2.2. Mengalikan dengan Faktor Lawan/Sekawan (
)
Agar lebih mudah difaktorkan, maka bentuk akar dikalikan dengan akar sekawannya (merasionalkan bentuk akar) Contoh Soal 4 1.
√ √
8
Penyelesaian 4 1.
√ √ √ √ √ √ √ √ √
4. LATIHAN SOAL 1 1. Nilai
A. B. C. D. E.
√
(UAN 2010/2011 PAKET 39 IPS NO.29)
2. Nilai
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E.
√ ) ( √ √
3. Nilai
A. B. C.
(UAN 2003/2004 E3-2 MatematikaTeknik Pertanian Paket 1 no 30)
9
D.
(UAN 2007/2008 IPS no. 27)
E. 4.
A. 7
B. -7 C. 6 D. -6 E. 5
B. Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak Tentu Fungsi Aljabar dan Trigonometri 1. Limit Fungsi Aljabar
Untuk menyelesaikan
maka dapat dilakukan dengan cara
yang lebih cepat dengan menggunakan menggunakan sifat sebagai berikut: Jika f (a) = C , maka nilai
Jika f (a) = , maka nilai Jika f (a) =
Jika f (a) =
,
maka nilai
maka nilai
harus disederhanakan atau
f ( x x) hingga menjadi bentuk (1), (2), ubahlah lebih dahulu bentuk f
atau (3).
2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar yang Berbentuk 2.1. Metode Subtitusi Langsung
Nilai
langsung disubtitusikan ke dalam fungsi
Contoh Soal 5 1. 2.
.
10
Penyelesaian 5. 1.
2.
2.2. Metode Pemfaktoran
Jika
dan dengan subtitusi langsung didapat hasil
bentuk
dan
,
difaktorkan terlebih dahulu sehingga
mempunyai factor yang sama yang dapat disederhanakan sedemikian sehingga
. Selanjutnya perhitungan limit dapat dilakukan
dengan cara subtitusi.
Contoh Soal 6 1. 2.
Penyelesaian 6 1.
Jika soal tersebut disubtitusikan langsung maka hasilnya adalah
maka kita gunakan metode pemfaktoran.
2.
) = 1+1= 2
2.3. Merasionalkan bentuk akar.
Agar lebih mudah difaktorkan, maka bentuk akar dikalikan dengan akar sekawannya (merasionalkan bentuk akar).
11
Contoh Soal 7 1. 2.
√ √
Penyelesaian 7 1.
2.
√ √ √ √ √ √ √
√ √ ) √ (√ )√ √ √ ( ) √ =
3. Teorema Limit dan Limit Fungsi Trigonometri
Dalam menentukan limit suatu fungsi, diperlukan suatu metode yang dapat memudahkan. Pada subbab ini disajikan beberapa teorema yang sangat berguna untuk menyelesaikan masalah menentukan limit suatu fungsi.
12
3.1. Beberapa Rumus Limit Fungsi Trigonometri
dinamakan limit fungsi trigonometri jika fungsi
limit tersebut merupakan fungsi trigonometri.
atau
atau
Contoh soal 8 1.
Penyelesaian 8 1.
4. Limit Fungsi ke Konsep Turunan.
Turunan fungsi
di titik
Contoh Soal 9
1. Tentukan Laju perubahan
Penyelesaian 9
dinyatakan dalam bentuk:
di
pada
13
5. LATIHAN SOAL 2 1. Nilai
A. 4
B. 2 C.
D. -2 E. -4 2. Nilai
A. 5
(UAN 2010/2011 paket 25 IPS no.28)
B. -3 C. D. E.
(UAN 2007/2008 IPS no.26)
3. Nilai
A. B. C. D.
E. 1
(UAN 2010/2011 IPA paket 12 no.11)
14
4. Nilai
A. 1 B. C. D. E.
(UAN 2009/2010 Matematika D10 P12 IPA no. 29)
C. Kontinuitas dan Diskontinuitas Fungsi 1. Pengertian.
Suatu fungsi
dikatakan kontinu di titik
syarat berikut:
terdefinisi atau
ada
ada
Jika satu atau lebih syarat di atas tidak dipenuhi, kontinu di titik
(diskontinu). (diskontinu). Fungsi
kontinu. disebut fungsi disebut fungsi kontinu.
Perhatikan gambar berikut : y
1.
, jika dipenuhi syarat-
f (x)
kontinu di x = a,
sebab lim f ( x) x a
f (a ) f (x)
x a
f (a)
dikatakan tidak
yang kontinu di setiap titik
15
y 2.
f (x)
sebab
f (x)
diskontinu di x = a,
lim f ( x ) tidak ada
x a
f (a )
x a
y
3.
f (x)
diskontinu di x = a,
sebab
lim f ( x )
x a
f (a )
f (x) f (a )
x a
Contoh Soal 10
1.
Diketahui fungsi
Apakah
kontinu pada
Penyelesaian 10
Syarat-syarat kontinuitas fungsi
pada
diperiksa sebagai
berikut: 1. 2.
,
ada
,
3. Berdasarkan perhitungan di atas jelas bahwa Jadi, fungsi
kontinu pada
2. Latihan Soal 3. 1.
Selidiki apakah fungsi
xx24 , untuk x 2 f ( x) 4, untuk x 2 2
kontinu di x = 2
ada
16
DAFTAR PUSTAKA
Soal Ujian Nasional Tahun 2003/2004 E3-2 Matematika Teknik Pertanian Paket 1 Soal Ujian Nasional Tahun 2004/2005 IPA P1. Soal Ujian Nasional Tahun 2007/2008 IPS. Soal Ujian Nasional Tahun 2009/2010 P12 IPA. Soal Ujian Nasional Tahun 2010/2011 Paket 12 IPA. Soal Ujian Nasional Tahun 2010/2011 paket 39 IPS. Tim Penyusun. 2004. Matematika 2b Kelas 2 SMA Semester 2. Klaten: PT Intan Pariwara. Waluyo, Slamet., dkk. 2008. Matematika 2 SMA/MA Program Ilmu Pengetahuan Alam. Jakarta: Bumi Aksara.
Wirodikromo, Sartono. 2004. Matematika untuk SMA Kelas XI Semester 2 Program IPA. Jakarta: PT Erlangga.
17
LAMPIRAN/KUNCI JAWABAN
Kunci Jawaban Latihan Soal 1. (halaman7)
1.
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ ) ) ( ) √ () = √ √ = = = =
=
√ √ √ =
2.
√ ) (√ √ (√ √ ) √ ) (√ √ ) (√ √ √ √ ) ) ) ) ( ) ((√ ) √ √ ) ) (√ √ √ ) ) √ =
3.
(Jawaban E)
= =
ingat =
√ √
=
(Jawaban D)
(Jawaban A)
18
4.
=
(Jawaban B)
Kunci Jawaban Latihan 2. (halaman 13)
1.
=
2.
3.
(Jawaban B)
(Jawaban D)
=
4.
(Jawaban D)
=
(Jawaban B)
Kunci Jawaban Latihan 3 (halaman 15)
1. Syarat Kontinu ada 3. 1) f (1) (1) = 4 (terdefinisi) 2)
3
lim li m f (x) lim li m xx 11
x 1
x 1
(x 1)(x2 x 1) x 1 x 1
lim li m
lim li m x2
x 1
x 1
12 1 1 3
3) lim f ( x) f (1) , berarti f (x) (x) diskontinu di x = 1 x 1
(terdefinisi)
19
"LIMIT FUNGSI”
TELAAH KURIKULUM SEKOLAH MENENGAH
Dosen Pembimbing : Drs. Pancahadi Siswasusila, M.Si Nama Kelompok: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Dedi Hariyanto Reski Dwi A Melda Verdiana Siti Ruqoiyah Ayu Rosida Andik Koswanto
(105.532) (105.481) (105.579) (105.579) (105.599) (105.695) (105.707)
Pendidikan Matematika 2010/E SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA JOMBANG 2012/2013
ii 20
KATA PENGANTAR Alhamdulillah puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan petunjuk, kasih, dan karuniaNya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas makalah ini. Sholawat dan salam penulis lantunkan kepada Baginda Rasulullah Muhammad SAW beserta keluarga, sahabat, dan para pengikut syariatnya. s yariatnya. , Ini disusun sebagai syarat Makalah yang berjudul "Limit Fungsi” untuk menyelesaikan mata kuliah Telaah Kurikulum Sekolah Menengah serta sebagai sumber belajar siswa Sekolah Menengah Atas dan Madrasah Aliyah khususnyadalam khususnyadalam bidang Kalkulus: Limit Fungsi. Banyak pihak telah membantu dan membimbing penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini. Pada kesempatan yang baik ini penulis ingin menyampaikan menyampaikan rasa terima kasih yang tak terhingga kepada : 1. Drs. Pancahadi Siswasusila, M.Si. Selaku dosen pembimbing mata kuliah Telaah Kurikulum Sekolah Menengah, Menengah, 2. Kedua orang tua yang senantiasa memberi semangat kepada kami, 3. Serta teman-teman yang telah mendukung kami, dan 4. Serta semua pihak yang telah t elah membantu terselesainya makalah ini. Penulis sadar bahwa makalah ini sangatlah jauh dari sempurna. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun, sehingga makalah ini dapat mendekati sempurna. Tidak lupa penulis mohon maaf atas semua kekeliruan dan kekhilafan selama penulis menyelesaikan makalah ini. Semoga makalah ini bisa memberi kebaikan dan kemanfaatan bagi kita semua.
Jombang, 26 April 2012,
Penulis.
iii 21
DAFTAR ISI
Kata Pengantar
…………………………………………………………..
Daftar Isi …………………………………………………………………
ii iii
……………………………………………………
1
Peta Konsep ………………………………………………………………
2
A. Pengertian Limit Fungsi Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga Hingga ………..
3
Tujuan Pembelajaran
1. Limit Fungsi di Satu titik
…........................................................
3
1.1. Pengertian Limit di Satu Titik ……………………………..
3
……………………….
4
1.3. Pengertian Limit di Tak Hingga ……………………………
4
1.4. Bentuk Tak Tentu Suatu Limit
…………………………….
4
2. Sifat-Sifat Limit …………………………….……………………
4
……..……………………………..
6
3.1. Pengertian ………………………………………………… .
6
………………………. ..
7
3.2.1. Membagi Dengan pangkat Tertinggi ……………..…
7
3.2.2. Mengalikan Faktor Lawan ………………………..…
7
4. Latihan Soal 1 ………………………………………………..….
8
B. Menghitung Bentuk Tentu Fungsi Aljabar dan Trigonometri ………
9
1. Limit Fungsi Aljabar …………………………….………………
9
2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bentuk Berhingga ……….….
9
2.1. Metode Subtitusi Langsung ………………………………
9
1.2. Pengertian Limit Secara Matematis
3. Limit Fungsi Tak Berhingga
3.2. Menghitung Limit Tak Berhingga
……………………………..………
10
2.3. Merasionalkan Bentuk Akar …………………….………..
10
3. Teorema Limit dan Limit fungsi Trigonometri ………….……….
11
………………..
12
4. Limit Fungsi Ke Konsep Turunan ……….………………………
12
5. Latihan Soal 2 …………….……………….……………………..
13
………….……………………
14
1. Pengertian ………………………………………………………
14
2. Latihan Soal 3 …………………………………………………..
15
…………………………….……………………………..
16
2.2. Metode Pemfaktoran
3.1. Berapa Rumus Limit Fungsi Trigonometri
C. Kekontinuan dan Diskontinu Fungsi
Daftar Pustaka
Lampiran/Kunci Jawaban
...................................................................... .......................................... ............................
17
