MAKALAH RISET OPERASI ‘’ PEMROGRAMAN LINEAR INTEGER ‘’
OLEH: HARNAWANTI HASIM
( F1A2 16 024 )
LA NGGASA
( F1A2 16 036 )
SITTI NURYANA DIYASRI
( F1A2 16 050)
PROGRAM STUDI SI STATISTIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HALU OLEO KENDARI 2017
KATA PENGANTAR
Puji syukur, saya haturkan kehadirat Allah SWT, karena berkat rahmat dan hidayah-Nya, Modul Pemrograman Linier ini, dapat selesai tepat pada waktunya,walaupun dengan banyak kekurangan disana sini, karena saya hanyalah manusia biasa yang tidak pernah luput dari kesalahan. Tak lupa Shalawat beriring salam, kita panjatkan kehadirat Nabi Besar Muhammad SAW, yang telah membawa syiar Islam,agama yang paling sempurna di muka bumi ini, dengan seluruh jiwa raga-nya. Makalah ini, saya bagi menjadi 3 bagian, mulai dari defenisi Program Linear sampai beberapa metode yang digunakan dalam penyelesaian masalah, yang berhubungan dengan Pemrograman Linier. Harapannya, target pembelajaran mata kuliah Pemrograman Linier dapat tercapai.Dalam menyelesaikan makalah ini, penyusun sadar bahwa semuanya tidak terlepas dari berbagai pihak yang selama ini selalu mendukung, baik secara material maupun non material, semangat, dan segalanya. Untuk itu, penyusun ingin mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian makalah ini. Dalam menyelesaikan modul ini, penyusun sadar bahwa semuanya tidak terlepas dari berbagai pihak yang selama ini selalu mendukung, baik secara material maupun non material, semangat, dan segalanya. Untuk itu, penyusun ingin mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian modul ini. Akhir kata, disadari bahwa makalah ini, masih memiliki banyak kekurangan. Untuk itu, penyusun berbesar hati menerima segala kritik dan saran. Semoga makalah ini, dapat memberikan banyak manfaat bagi kita semua, terutama bagi kemajuan pendidikan matematika ke depannya.
Kendari, 15 Oktober 2017
Penulis
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ................................................................................... i DAFTAR ISI................................................................................................. ii BAB I PENDAHULUAN ............................................................................. 1
1.1 1.2 1.3 1.4
Latar Belakang ............................................................................ 1 Rumusan Masalah ....................................................................... 1 Tujuan Penulisan ......................................................................... 1 Manfaat Penulisan ....................................................................... 2
BAB II PEMBAHASAN .............................................................................. 3
2.1 Definisi Program Integer .............................................................. 3 2.2 Jenis-jenis Program Integer .......................................................... 3 2.3 Sifat Umum Program Integer ....................................................... 4 2.4 Metode-Metode dalam Program Integer ...................................... 5 2.4.1 Pencabangan dan Pembatasan (Branch and Bound ) ........ 5 2.4.2 Pemotongan Bidang Datar (Cutting Plane) ......................... 9 2.4.3 Metode Pendekatan Pembulatan ....................................... 9 2.4.4 Metode Grafik ................................................................... 12
BAB III PENUTUP .................................................................................... 13 3.1 Kesimpulan ............................................................................... 13 3.2 Saran .......................................................................................... 14 DAFTAR PUSTAKA
BAB I PENDAHULUAN 1.1
Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari banyak dijumpai permasalahan dengan tujuan untuk mendapatkan suatu penyelesaian secara optimal, hal ini dapat dilihat dari usaha untuk memaksimalkan atau meminimalkan sumber-sumber yang terbatas. Sumber-sumber tersebut antara lain mesin, tenaga kerja, bahan baku,peralatan, dan lain sebagainya. Dengan alasan itulah, diperkenalkan riset operasi (operation research) yang pada prinsipnya berisi teknik kuantitatif yang banyak dipakai dalam pengambilan keputusan. Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan atau merumuskan permasalahan sehari-hari ke dalam pemodelan matematika untuk mendapatkan penyelesaian yang optimal (Bustani, 2005). Salah satu alat riset operasi yang efektif untuk menyelesaikan masalah optimalisasi adalah pemrograman linear. Pokok pikiran dalam menggunakan program linear adalah dengan merumuskan masalah dari informasi yang tersedia, kemudian menterjemahkannya ke dalam bentuk model matematika. Sifat linear di sini memberi arti bahwa seluruh fungsi matematis dalam model ini merupakan fungsi linear, sedangkan kata pemrograman merupakan sinonim dari perencanaan. Pemrograman linear dapat digunakan pada berbagai permasalahan dalam berbagai bidang kegiatan. Permasalahan-permasalahan ini dapat dimodelkan menjadi bermacam-macam model, seperti model transportasi, model penugasan, dan lainlain sebagainya. Permasalahan pemrograman linear yang membutuhkan variabel bernilai bulat dapat menggunakan pemrograman bilangan bulat (integer programming . Pemrograman bilangan bulat ini dikatakan linear jika fungsi obyektif dan kendalanya berbentuk linear, sehingga pemrograman ini disebut pemrograman linear bilangan bulat (integer linear programming ).Pada pemrograman linear bilangan bulat, fungsi-fungsinya hampir sama dengan pemrograman linear, hanya ditambahkan syarat bilangan bulat pada kendala nonnegativitas. 1.2
1.3
Rumusan Masalah 1) Apa itu Pemograman Linear Integer 2) Apa saja jenis-jenis program integer 3) Apa saja sifat umum program integer 4) Bagaimana metode-metode mengerjakan program integer Tujuan 1) Untuk mengetahui apa itu program integer 2) Untuk mengetahui jenis-jenis program integer 3) Untuk mengetahui sifat umum program integer 4) Untuk mngetahui metode-metode dalam program integer
1.4
Manfaat Manfaat pembuatan makalah ini adalah untuk mengetahui dan mempelajari lebih dalam tentang mengenai materi pemograan linear integer ( Integer Linear Programing).
BAB II PEMBAHASAN 2.1 Definisi Program Integer Program Integer adalah program linier ( Linear Programming ) di mana variabel-variabelnya bertipe integer (bulat). Program Integer digunakan untuk memodelkan permasalahan yang variabel-variabelnya tidak mungkin berupa bilangan yang tidak bulat (bilangan riil), seperti variabel yang merepresentasikan jumlah orang atau benda,karena jumlah orang atau benda pasti bulat dan tidak mungkin berupa pecahan. Program Integer juga biasanya lebih dipilih untuk memodelkan suatu permasalahan karena program linier dengan variabel berupa bilangan riil kurang baik dalam memodelkan permasalahan yang menuntut solusi berupa bilangan integer , misalnya variabel-variabel keputusannya jumlah cabang Bank di daerah berbeda di suatu Negara. Solusi pecahan tentu tidak dapat diterima dalam keputusan Bank . Program Integer merupakan bentuk khusus atau variasi dari program linier , di mana salah satu atau lebih dalam vektor penyelesaiannya memiliki nilai integer.Program Integer yang membatasi variabel keputusan pada sebagian saja yang dibatasi pada nilai integer disebut Program IntegerCampuran (Susi, Astuti H. 1999). Pokok pikiran utama dalam Program Integer adalah merumuskan masalah dengan jelas dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia. Sesudah masalah terumuskan dengan baik, maka langkah berikut ialah menerjemahkan masalah ke dalam bentuk model matematika. . Pada masalah Program Integer untuk pola memaksimumkan, nilai tujuan dari Program Integer tidak akan pernah melebihi nilai tujuan dari program linier (Wahyujati, Ajie. 2009). 2.2 Jenis-Jenis Program Integer Terdapat tiga jenis Program Integer, yaitu sebagai berikut: 1. Program Integer Murni ( Pure Integer Programming ), yaitu program linier yang menghendaki semua variabel keputusan harus merupakan bilangan bulat non-negatif. 2. Program Integer Campuran ( Mixed Integer Programming ), yaitu program linier yang menghendaki beberapa, tetapi tidak semua variabel keputusan harus merupakan bilangan bulat non-negatif. 3. Program Integer Biner ( Zero One Integer Programming ), yaitu program linier yang menghendaki semua variabel keputusan harus bernilai 0 dan 1.
Bentuk umum dari masalah Program Integer Murni adalah sebagai berikut(Susanta, B. 1994):
Menentukan
x j , j
= 1 , 2 , ... , n
Maksimumkan atau Minimumkan: Kendala: ≥
Z =Σ=1 j x j
Σ j x j = b ≤ j≥ 0 dan x j bilangan bulat 2.1 Untuk
j=1,2, … ,n di mana: Z = fungsi sasaran atau fungsi tujuan
x j = variabel keputusan c j= koefisien fungsi tujuan j = koefisien kendala b = nilai ruas kanan Bentuk 2.1 di atas merupakan bentuk umum dari Program Integer Murni. Jika dari bentuk 2.1 di atas x j bilangan bulat, untuk j= 1 ,2 ,...,k dengan k≤n, maka dinamakan bentuk umum dari Program Integer Campuran ( Mixed IntegerProgramming ). Program Integer Campuran merupakan Program Integer tapi variabel keputusannya tidak semua merupakan bilangan bulat ada variabel keputusan yang bernilai pecahan (Yamit, Zulian. 1991). Bentuk umum dari masalah Program Integer Biner adalah sebagai berikut: Maksimum atau Mininimum: Z =Σ = 1 Kendala: Σ = 1 x j ≤=≥ b j= 1, 2, … , n x j≥ 0dan x j{0, 1} 2.3 Sifat Umum Program Integer
Semua persoalan Program Integer mempunyai empat sifat umum yaitu, sebagai berikut (Susanta, B. 1994): 1. Fungsi Tujuan (objective function) Persoalan Program Integer bertujuan untuk memaksimumkan atau meminimumkan pada umumnya berupa laba atau biaya sebagai hasil yang optimal. 2. Adanya kendala atau batasan (constrains) yang membatasi tingkat sampai di mana sasaran dapat dicapai. Oleh karena itu, untuk memaksimumkan atau meminimumkan suatu kuantitas fungsi tujuan bergantung kepada sumber daya yang jumlahnya terbatas.
3. Harus ada beberapa alternatif solusi layak yang dapat dipilih. 4. Tujuan dan batasan dalam permasalahan Program Integer harus dinyatakan dalam hubungan dengan pertidaksamaan atau persamaan linier. 2.4 Metode-Metode dalam Program Integer
Algoritma atau Metode yang cukup baik untuk memberikan solusi dalam Program Integer yaitu: 2.4.1 Pencabangan dan Pembatasan (Branch and Bound ) Cara ini mula-mula dipakai untuk menyelesaikan program bilangan bulat. Ternyata cara ini tidak saja hanya dapat digunakan untuk program bilangan cacah, tetapi juga dapat digunakan untuk program matematika yang lain. Menurut (Taha, H.A.2007),untuk melaksanakan teknikpencabangan dan pembatasan ( Branch and Bound ) ada dua operasi dasar, yaitu: a. Pencabangan ( Branching ) Pencabangan merupakan langkah yang dilakukan pada persoalan yang tidak integer menjadi subpersoalan yang integer . b. Pembatasan ( Bounding ) Pembatasan merupakan pembatasan setiap subpersoalan yang dibuat dengan pencabangan.Batas ini penting untuk tingkatan jawaboptimal dari subpersoalan dan penemuan jawab optimal bilangan bulat. Teknik pencabangan dan pembatasan ( Branch and Bound ) mencari solusi optimal dari suatu persoalan Program Integer dengan menumerasi titiktitik dalam daerah fisibel dari suatu subpersoalan. Keuntungan dari cara pencabangan dan pembatasan adalah cara yang efisien untuk mendapatkan seluruh jawaban layak (fisibel), sedangkan kerugian cara ini adalah akan mencari seluruh jawaban program linier pada setiap titik. Pada persoalan yang besar akan memerlukan waktu yang cukup lama, terutama bila yang dibutuhkan hanya keterangan mengenai nilai objektif yang optimum. Langkah-langkah Metode Branch and Bound : 1. Pembatasan( Bound ) Pada algoritma branch and bound terdapat dua batas yaitu batas atas (upper bound ) dan batas bawah (lower bound ). 2. Pencabangan( Branching ) Pencabangan dilakukan jika masih terdapat variabel keputusan yang harus bernilai bulat namun memiliki solusi yang tidak bulat. Pencabangan dilakukan dengan cara menambahkan pembatas pada masalah asli penambahan pembatas ini ditujukan untuk membuat variabel keputusan yang belum bernilai integer supaya bernilai integer . 3. Penghentian pencabangan( Fathoming )
Pencabangan atau pencarian solusi pada suatu sub masalah dihentikan jika: a. Infeasible atau tidak mempunyai daerah layak. b. Semua variabel keputusan yang harus bernilai bulat sudah bernilai bulat. c. Pada masalah maksimisasi, penghentian pencabangan pada suatu submasalah dilakukan jika batas atas dari submasalah tersebut tidak lebih besar atau sama dengan batas bawah. d. Pada masalah minimisasi penghentian pencabangan pada suatu submasalah dilakukan jika batas bawah tidak lebih lebih kecil atau sama dengan batas atas.
Untuk memperoleh gambaran yang lebih jelas tentang metode Branch and Bound, perhatikan contoh masalah berikut: Maksimumkan Z = 3X 1 + 5X2 Dengan syarat 2X1 + 4X2 _ 25 X1 ≤ 8 2X2 ≤ 10 X1; X2 non negatif integer Solusi optimum kontinyu masalah ini adalah X 1 = 8, X2 = 2, 26 dan Z =35, 25. Solusi ini menunjukan batas awal. Batas bawah adalah solusi yang dibulatkan ke bawah X1 = 8, X2 = 2 dan Z = 34. Dalam metode Branch and Bound, masalah itu dibagi ke dalam dua bagian untuk mencari nilai solusi bulat yang mungkin bagi X1 dan X2. Untuk melakukan ini, variabel dengan nilai solusi pecah yang memiliki bagian pecah terbesar dipilih. Karena pada solusi ini hanya X2 yang memiliki bagian pecahan,ia dipilih.Untuk menghilnkan bagian pecah dari nilai X2 = 2, 25, dua kendala baru dbuat. Kendala-kendala ini mewakili dua bagian baru dari masalah itu. Dalam hal ini, dua nilai bulat terdekat terhadap 2,25 adalah 2 dan 3. Sehingga diperoleh dua masalah baru melalui dua kendala mutually exclusive, X2 ≤ 2 dan X2 ≥ 3, yang akan diuraikan berikut ini sebagai bagian dari A dan B.Kendala-kendala ini secara efektif menghilangkan semua nilai pecah yang mungkin bagi X2, antara 2 dan 3. Pengaruhnya mereka mengurangi ruang solusi layak sedemikian rupa sehingga angka solusi bulat yang diealuasi pada masalah ini makin sedikit. Bagian A Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2 Dengan syarat 2X1 + 4X2 ≤ 25 X1 ≤ 8
2X2 ≤ 10 (berlebih) X2 ≤ 2 X1; X2 ≥ 0 Bagian B Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2 Dengan syarat 2X1 + 4X2 ≤ 25 X1 ≤ 8 2X2 ≤ 10 X2 ≤ 3 X1; X2 ≥0 Bagian A dan B diselesaikan tanpa pembatasan bilangan bulat dengan metode simpleks. Solusi grafik kedua bagian itu ditunjukkan pada gambar dibawah ini. Solusi simpleknya adalah: Bagian A : X1 = 8, X2 = 2, dan Z = 34, Bagian B : X1 = 6, 5, X2 = 3, dan Z = 34, 5. Bagian A menghasilkan suatu solusi yang semuanya bulat. Untuk bagian A batas atas dan bawah adalah Z = 34. Solusi pecah bagian B membenarkan pencarian lebih lanjut karena menghasilkan nilai fungsi tujuan yang lebih besardari batas atas bagian A. Sangat mungkin bahwa pencarian lebih lanjut dapat menghasilkan suatu solusi yang semuanya bulat dengan nilai fungsi tujuan melebihi batas atas bagian A = 34.Bagian B dicabangkan ke dalam dua sub bagian, b 1 dan b2, pertama dengan kendala X1 ≤ 6 dan yang lain dengan X 2 ≥7. Kedua sub-masalah dinyatakan sebagai berikut: Sub bagian B 1 Maksimumkan Z = 3X 1 + 5X2 Dengan syarat 2X1 + 4X2 ≤ 25 X1 ≤ 8 (berlebih) 2X2 ≤10 X2 ≤ 3 X1 ≤ 6 X1; X2 ≥ 0 Sub bagian B 2 Maksimumkan Z = 3X 1 + 5X2 Dengan syarat 2X1 + 4X2 ≤ 25 X1 ≤ 8 2X2 ≤ 0 X2 ≤ 3 X1 ≥7 X1; X2 ≥ 0 Solusi simpleksnya adalah : Sub-bagian B1 : X1 = 6, X2 = 3, 25 dan Z = 34, 25, Sub-bagian B2 : tidak layak.
Karena sub-bagian B1 menghasilkan nilai fungsi tujuan yang lebih besar dari 34 (batas atas bagian A), maka harus dicabangkan lagi ke dalam dua submasalah, dengan kendala X 2 ≤ 3 dan X2 ≥ 4. Kedua kendala sub masalah diberi nama bagian B 1a dan B1 b. Bagian B1a Maksimumkan Z = 3X 1 + 5X2 Dengan syarat 2X1 + 4X2 _ 25 2X2 _ 10 (berlebih) X2 _ 3 X2 _ 3 X1 _ 6 X1; X2 _ 0 Bagian B1 b Maksimumkan Z = 3X 1 + 5X2 Dengan syarat 2X1 + 4X2 _ 25 2X2 _ 10 X2 _ 3 (berlebih) X2 _ 4 X1 _ 6 X1; X2 _ 0 Solusi optimum dengan metode simpleks adalah : Sub-bagian B1a : X1 = 6, X2 = 3 dan Z = 33, Sub-bagian B1 b : X1 = 4, 25, X2 = 4 dan Z = 33, 5. Kedua solusi itu memiliki batas atas ( Z = 33 dan Z = 33, 5) yang lebih buruk dibanding dengan solusi yang dihasilkan oleh bagian A. Karena itu, solusi bulat optimum adalah X 1 = 8, X2 = 2 dan Z = 34 yang dihasilkan oleh bagianA. Jika pencarian telah diselesaikan, solusi bulat dengan fungsi tujuan tertinggi (dalam masalah maksimasi) dipilih sebagai solusi optimum. Hasil perhitungan diatas dapat digambarkan dengan gambar berikut:
2.4.2
Pemotongan Bidang Datar ( Cutting Plane Algori thm) Pendekatan yang dilakukan dalam teknik pemotongan bidang datar (Cutting Plane) adalah denganmembuat pembatas tambahan yang memotong ruang layak dari program linier sehingga dapat mengeliminasi solusi yang tidak integer . Proses pemotongan akan terus berlangsung sehingga diperoleh jawaban dengan seluruh variabel (yang dikehendaki) berharga bilangan bulat (integer ).
Keberhasilan teknik ini sangat terbatas, bergantung pada struktur persoalan yang dihadapi. Artinya hanya persoalan tertentu yang dapat diselesaikan dengan teknik ini. Karena itu, sekarang teknik ini hampir tidak pernah digunakan lagi. Kelemahan dari algoritma pemotongan bidang datar adalah kesalahan- kesalahan pada pembulatanyang dilakukan dalam perhitungan dapat menghasilkan jawaban bilangan bulat yang salah. Selanjutnya jawaban dari persoalan masih belum fisibel berarti tidak ada jawaban bilangan bulat yang diperoleh sampaijawaban bilangan bulat yang optimal dicapai tadi,dan ini berarti bahwa tidak ada jawaban integer yang baik jika perhitungan dihentikan lebih awal sebelum mencapai hasil jawaban yang optimal. . 2.4.3 Metode Pendekatan Pembulatan Suatu metode yang sederhana dan kadang-kadang praktis untuk menyelesaikan integer progamming adalah dengan membulatkan hasil variabel keputusan yang diperoleh melalui LP. Pendekatan ini mudah dan praktis dalam hal usaha, waktu dan biaya yang diperlukan untuk memperoleh suatu solusi. Bahkan, pendekatan pembulatan dapat merupakan cara yang sangat efektif untuk masalah integer progamming yang besar dimana biaya-biaya hitungan sangat tinggi atau untuk masalah nilai-nilai solusi variabel keputusan sangat besar. Contohnya,pembulatan nilai solusi jumlah pensil yang harus diproduksi dari 14.250,2 menjadi 14.250,0 semestinya dapat diterima. Namun demikian sebab utama kegagalan pendekatan ini adalah bahwa solusi yang diperoleh mungkin bukan solusi integer optimum yang sesungguhnya. Dengan kata lain, solusi pembulatan dapat lebih jelek dibanding solusi inte ger optimum yang sesungguhnya atau mungkin merupakan solusi tak layak. Ini membawa konsekuensi besar jika jumlah produk-produk seperti pesawat angkut komersial atau kapal perang yang harus diproduksi dibulatkan ke bilangan bulat terdekat. Tiga masalah berikut disajikan untuk mengilustrasikan prosedur pembulatan: Masalah 1 Maksimumkan Z = 100X1 + 90X2 Dengan syarat 10X1 + 7X2 ≤ 70 5X1 + 10X2 ≤ 50 X1 + X2 ≥ 0 Masalah 2 Minimumkan Z = 200X1 + 400X2 Dengan syarat 10X1 + 25X2 ≥ 100 3X1 + 2X2 ≥ 12 X1 + X2 ≤ 0 Masalah 3 Maksimumkan Z = 80X1 + 100X2 Dengan syarat 4X1 + 2X2 ≤ 12
X1 + 5X2 ≤ 15 X1 + X2 ≤ 0 Perbandingan antara solusi dengan metode simpleks tanpa pembatasan bilangan bulat, pembulatan ke bilangan bulat terdekat dan solusi integer optimum yang sesungguhnya untuk ketiga masalah tersebut adalah:
Masalah pertama adalah masalah maksimasi, dimana solusi pembulatan menghasilkan keuntungan 680, hanya lebih kecil 20 dibanding yang dihasilkan solusi bulat optimum 700. Masalah kedua adalah masalah minimasi dimana solusi pembulatan adalah tak layak. Ini menunjukan bahwa meskipun pendekatan adalah sederhana, namun kadang-kadang menyebabkan solusi tak layak. Untuk mencegah ketidaklayakan, nilai solusi simpleks dalam masalah minimasi harus dibulatkan ke atas. Misalnya, pada masalah kedua jika solusi dibulatkan keatas diperoleh X1 = 2 dan X2 = 4 dan merupakan solusi layak. Sebaliknya,pada masalah maksimasi nilai solusi simpleks semestinya dibulatkan ke bawah.Pada msalah ketiga, solusi pembulatan juga tak layak. Namun, seperti dalam masalah minimasi, jika solusi simpleknya X1 = 2,14 dan X2 = 1,71 dibulatkan ke bawah menjadi X1 = 2 dan X2 = 1, maka solusinya menjadi layak. Ini dapat dibuktikan dengan meneliti masing-masing kendala model dengan nilai variabel keputusan yang telah dibulatkan kebawah. Suatu metode yang serupa dengan pendekatan pembulatan adalah prosedur cobacoba (trial and eror). Dengan menggunakan cara ini, pengambil keputusan mengamati solusi integer dan memilih solusi yang mengoptimumkan nilai fungsi tujuan. Metode ini sangat tidak efektif jika masalahnya melibatkan sejumlah besar kendala dan variabel.
Terlebih lagi, memeriksa kelayakan setiap solusi yang dibulatkan banyak memakan waktu.
2.4.4 Metode Grafik
Masalah Integer Progamming yang melibatkan hanya dua variabel dapat diselesaikan secara grafik. Pendekatan ini identik dengan metode grafik LP dalam semua aspek, kecuali bahwa solusi optimum harus memenuhi persyaratan bilangan bulat. Mungkin pendekatan termdah untuk menyelesaikan masalah integer progamming dua dimensi adalah menggunakan kertas grafik dan mengambarkan sekumpulan titik-titik integer dalam ruang solusi layak. Masalah berikut akan diselesaikan dengan pendekatan grafik. Maksimumkan Dengan syarat
Z = 100X1 + 90X2 10X1 + 7X2 ≤ 70 5X1 + 10X2 ≤50 X1 ; X2 ≥ non negatif integer Model ini serupa dengan model LP biasa.Perbedaannya hanya pada kendala terakhir yang mengharapkan bahwa variabel terjadi pada nilai non negatif integer. Solusi grafik masalah ini ditunjukkan pada gambar di bawah ini:
Ruang solusi layak adalah OABC. Solusi optimum masalah LP ditunjukkanpada titik B, dengan X 1 = 5, 38 dan X 2 = 2, 31 serta Z = 746, 15. Untukmencari solusi integer optimum masalah ini, garis Z ( slope = -9/10) digesersecara sejajar dari titik B menuju titik asal. Solusi integer optimum adalahtitik integer pertama yang bersinggungan dengan garis Z. Titik itu adalah A,dengan X 1 = 7 dan X2 = 0 serta Z = 700.
CONTOH SOAL Sebuah perusahaan manufaktur elektronik “The Flash” memproduksi 2 buah produk kipas angin dan lampu gantung. Tiap ‐tiap produk tersebut membutuhkan 2 tahapan produksi, yaitu penyolderan (perakitan komponen elektronik) dan assembling (perakitan komponen non ‐elektronik) penyolderan membutuhkan waktu 2 jam untuk lampu dan 3 jam untuk kipas angin, sedangkan assembling membutuhkan waktu 6 jam untuk lampu dan 5 jam untuk kipas angin. Perusahaan tersebut hanya mempunyai waktu untuk penyolderan 12 jam dan assembling 30 jam kerja per minggu ‐nya. Bila lampu gantung memberikan keuntungan sebanyak Rp. 7000 dan Kipas angin memberikan keuntungan Rp. 6000 per unit, formulasi keputusan produksi perusahaan The Flash adalah sebagai berikut:
Dari kasus “The Flash” diatas, kita dapatkan: Maksimisasi profit = 7X1 + 6X2 Ditujukan pada: 2X1 + 3X2 ≤ 12 6X1 + 5X2 ≤ 30 X1, X2 ≥ integer 0 Dengan Linear Programming sederhana didapatkan: 2X1 + 3X2 = 12 x3 6X1 + 9X2 = 36 2X1 + 3X2 = 12 6X1 + 5X2 = 30 x1 6X1 + 5X2 = 30 2X1 + 3(1.5) = 12 4X2 = 6 2X1 = 7.5 X2 = 1.5 X1 = 3.75 Profit = 7(3.75) + 6(1.5) = 35.25 Karena X1 dan X2 bukan bilangan bulat, maka solusi ini tidak valid, nilai keuntungan 35.25 dijadikan batas atas awal. Dengan metode pembulatan k ebawah, kita dapatkan X1=3 dan X2 = 1, dengan keuntungan = 27, hasil ini feasible karena kedua variabel merupakan bilangan bulat, jadi nilai keuntungan dijadikan batas bawah. Iterasi 1 Permasalahan diatas kemudian dibagi menjadi 2 sub problem, A dan B. kita dapat melakukan pencabangan (branch) pada hasil dengan variabel tidak bulat (integer)
A Maksimisasi : 7X1 + 6X2 Ditujukan pada : 2X1 + 3X2 ≤ 12 6X1 + 5X2 ≤ 30 X1 ≥ 4 B Maksimisasi : 7X1 + 6X2 Ditujukan pada : 2X1 + 3X2 ≤ 12 6X1 + 5X2 ≤ 30 X1 ≤ 3 Dengan metode LP sederhana didapatkan solusi: Solusi optimal subproblem A: X1 = 4, X2 = 1.2, profit = 35.2 ,Solusi optimal subproblem B: X1 = 3, X2 = 2, profit = 33.0 . Karena solusi subproblem B kedua variabelnya merupakan bilangan bulat, maka kita anggap sudah feasible, maka kita hentikan cabang tersebut dan nilai profitnya menjadi batas bawah baru. Subproblem A masih mempunyai variabel bukan bilangan bulat, maka masih diteruskan dan nilai profitnya (35.2) menjadi batas atas baru Iterasi 2 Sub problem A kita cabangkan menjadi 2, menjadi subproblem C dan D dengan batasan tambahan untuk subproblem C adalah X2 ≥ 2 dan untuk subproblem D adalah X2 ≤ 1. Logika dari pengembangan subproblem ini adalah karena solusi optimal dari subproblem A X2 = 1.2 tidak feasible, maka solusi integer haruslah berada dalam wilayah X2 ≥ 2 atau X2 ≤ 1
C Maksimisasi : 7X1 + 6X2 Ditujukan pada: 2X1 + 3X2 ≤ 12 6X1 + 5X2 ≤ 30 X1 ≥ 4 X2 ≥ 2 D Maksimisasi : 7X1 + 6X2 Ditujukan pada: 2X1 + 3X2 ≤ 12 6X1 + 5X2 ≤ 30 X1 ≤ 3 X2 ≤ 1 Subproblem C tidak mempunyai solusi karena dua batasan awal tidak terpenuhi bila ada batasan tambahan X1 ≥ 4 dan X2 ≥ 2 , jadi cabang ini tk digunakan. Solusi optimal dari cabang D adalah X1 = 4 dan X2 = 1, profit 35.16, jadi batas atas berubah menjadi 35.16.
Iterasi 3 Kita buat cabang baru E dengan batasan tambahan batasan X1 ≤ 4 dan F dengan batasan tambahan X1 ≥ 5 E Maksimisasi : 7X1 + 6X2 Ditujukan pada: 2X1 + 3X2 ≤ 12 6X1 + 5X2 ≤ 30 X1 ≥ 4 X1 ≤ 4 X2 ≤ 1 Solusi optimal E adalah X1 = 4 dan X2 = 1 dengan profit 34 F Maksimisasi : 7X1 + 6X2 Ditujukan pada: 2X1 + 3X2 ≤ 12 6X1 + 5X2 ≤ 30 X1 ≥ 4 X1 ≥ 5 X2 ≤ 1 Solusi optimal F adalah X1 = 5 dan X2 = 0 dengan profit 35 Jadi solusi optimal untuk pemrograman bulat ini adalah X1 = 5 dan X2 = 0 dengan profit 35 .
Kelemahan dasar dari metode ini adalah bahwa diperlukan pemecahan masalah LP untuk setiap pencabangan. Dalam masalah yang besar dapat memakan banyak waktu. Karena itu dalam prosedur pencabangan dan pencarian, analisa selanjutnya dihentikan jika :
1. Hasil dari sub-problem lebih jelek dibanding dengan batas atas yang sudah diidentifikasi 2. Pencabangan selanjutnya menghasilkan solusi tak layak.
Dengan metode grafik Maksimisasi profit = 7X1 + 6X2 Ditujukan pada : 2X1 + 3X2 ≤ 12 6X1 + 5X2 ≤ 30 X1, X2 ≥ 0 X1 = Lampu X2 = Kipas Angin
Dengan metode linear programming dapat kita hitung bahwa solusi optimal dari The Flash adalah memproduksi 3 Lampu dan 1 Kipas Angin. Kita menyadari bahwa perusahaan tidak bisa membuat dan menjual barang dalam bentuk pecahan, jadi kita memutuskan bahwa kita menghadapi permasalahan integer programming / pemrograman bulat.
Dengan metode pembulatan
Pendekatan ini mudah dan praktis dalam hal usaha, waktu dan biaya. Pendekatan pembulatan dapat merupakan cara yang sangat efektif untuk masalah integer programming yang besar dimana biaya-biaya hitungan sangat tinggi atau untuk masalah nilai-nilai solusi variabel keputusan sangat besar. Sebab utama kegagalan pendekatan ini adalah bahwa solusi yang diperoleh mungkin bukan solusi integer optimum yang sesungguhnya. Solusi pembulatan dapat lebih jelek dibanding solusi integer optimum yang sesungguhnya atau mungkin merupakan solusi tak layak.
BAB III PENUTUP 3.1
Kesimpulan
1)
Program Integer merupakan pengembangan dari Program Linear di mana beberapa atau semua variabel keputusannya harus berupa integer. Jika hanya sebagian variabel keputusannya merupakan integer maka disebut Program Integer campuran (mixed Integer Progamming ). Jika semua variabel keputusannya bernilai integer disebut Program Integer murni ( pure Integer Progamming ). 2) Terdapat tiga jenis Program Integer, yaitu sebagai berikut: a. Program Integer Murni ( Pure Integer Programming ), yaitu program linier yang menghendaki semua variabel keputusan harus merupakan bilangan bulat non-negatif. b. Program Integer Campuran ( Mixed Integer Programming ), yaitu program linier yang menghendaki beberapa, tetapi tidak semua variabel keputusan harus merupakan bilangan bulat nonnegatif. c. Program Integer Biner ( Zero One Integer Programming ), yaitu program linier yang menghendaki semua variabel keputusan harus bernilai 0 dan 1. 3)
4)
Semua persoalan Program Integer mempunyai empat sifat umum yaitu, sebagai berikut (Susanta, B. 1994): 1. Fungsi Tujuan (objective function) Persoalan Program Integer bertujuan untuk memaksimumkan atau meminimumkan pada umumnya berupa laba atau biaya sebagai hasil yang optimal. 2. Adanya kendala atau batasan (constrains) yang membatasi tingkat sampai di mana sasaran dapat dicapai. Oleh karena itu, untuk memaksimumkan atau meminimumkan suatu kuantitas fungsi tujuan bergantung kepada sumber daya yang jumlahnya terbatas. 3. Harus ada beberapa alternatif solusi layak yang dapat dipilih. 4. Tujuan dan batasan dalam permasalahan Program Integer harus dinyatakan dalam hubungan dengan pertidaksamaan atau persamaan linier. Metode-Metode dalam Program Integer,yaitu : a) Metode Barch and Bound b) Metode Cutting Plan Algorithm c) Metode Balas d) Metode Grafik
3.2
Saran
Menyadari bahwa penulis masih jauh dari ata sempurna,kedepannya penulis akan lebih fokus dan detail dalam menjelaskan tentang makalah diatas dengan sumber-sumber yang lebih banyak yang tentunya dapat dipertanggung jawabkan.
DAFTAR PUSTAKA
A Taha,Hamdy,1996, Riset Operasi Jilid 1 , Jakarta : Binarupa Aksara. http://bab-vi-_program-linear-bilangan-bulat.pdf http://Pemograman+Bulat.pdf http://Penyelesaian_Masalah_Pemrograman_Bilangan_Bulat.Pdf
