Matakuliah : fisika komputasi
DIFERENSIAL NUMERIK DENGAN METODE
ATURAN BEDA
DISUSUN OLEH KELOMPOK 6 1. AISYAH
(NIM 8176175001)
2. DEWI ARISANTI
(NIM 8176175003)
3. DEWI RATNA RATNA PERTIWI PERTIWI SITEPU (NIM 8176175004)
KELAS
:
DOSEN PENGAMPU :
PEND. FISIKA REG A 2017 Dr. Makmur Sirait, M.Si
PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2017
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmatNya
sehingga
makalah ini dapat tersusun hingga selesai. Tidak lupa kami juga mengucapkan banyak terimakasih atas bantuan dari pihak yang telah berkontribusi dengan memberikan sumbangan baik materi maupun pemikirannya. Dan harapan kami semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca, Untuk kedepannya dapat memperbaiki bentuk maupun menambah isi makalah agar menjadi lebih baik lagi. Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman kami, Kami yakin masih banyak kekurangan dalam makalah ini, Oleh karena itu kami sangat mengharapkan s aran dan kritik yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.
Medan,
Februari 2018
Kelompok VI
i
DAFTAR ISI
Kata pengantar .................................................................................................................... i Daftar isi.............................................................................................................................. ii Bab I
Pendahuluan 1.1 Latar Belakang ................................................................................................. 1 1.2 Rumusan Masalah ............................................................................................ 1 1.3 Tujuan Penulisan ............................................................................................. 1
Bab II
Pembahasan 2.1
Defenisi diferensial numerik ......................................................................... 2
2.2
Aturan beda pusat .......................................................................................... 2
2.3
Aturan beda maju ........................................................................................... 5
2.4
Aturan beda mundur ...................................................................................... 5
2.5
Penyelesaian dengan Matlab ......................................................................... 6
Bab III 3.1
Penutup
Kesimpulan ................................................................................................... 11
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................ 12
ii
i
BAB I PEMBAHASAN
1.1.
Latar Belakang
Permasalahan yang melibatkan diferensiasi numerik jumlahnya lebih sedikit dibandingkan dengan permasalahan integrasi numerik. Dalam pemodelan deterministik biasanya fenomena alam dinyatakan dalam persamaan diferensial, sehingga menghendaki solusi dalam bentuk integrasi. Dalam bidang analitik, suatu fungsi dapat diturunkan atau mempunyai turunan, jika fungsi tersebut bersifat kontinu. Dalam bidang numerik, suatu fungsi, baik bersifat kontinu ataupun diskrit dapat diturunkan, jika tidak menghasilkan pembagian dengan nol ataupun pembagian, padamana penyebutnya kecil sekali, sehingga hasil pembagian akan mempunyai harga yang sangat besar melebihi bilangan yang mampu diakomodir oleh komputer. Pada saat tersebut komputer akan mengalami kesalahan numerik (overflow).
1.2
Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah dalam makalah ini adalah 1. apakah yang dimaksud dengan diferensiasi numerik? 2. Bagaimana cara menyelesaikan diferensiasi numeric dengan aturan beda pusat, aturan beda maju, dan aturan beda mundur? 3. Bagaimana membuat program MATLAB dalam menyelesaikan persamaan diferensiasi numerik?
1.3
Tujuan
Adapun tujuan dalam makalah ini adalah 1.
Untuk mengetahui yang dimaksud dengan diferensiasi numerik
2. Untuk mengetahui cara menyelesaikan diferensiasi numeric dengan aturan beda pusat, aturan beda maju, dan aturan beda mundur 3. Untuk mengetahui membuat program MATLAB dalam menyelesaikan persamaan diferensiasi numerik?
1
BAB II PEMBAHASAN
2.1
Diferensial Numerik
Masalah diferensiasi numerik adalah penentuan nilai pendekatan atau hampiran untuk turunan suatu fungsi f yang umumnya diberikan dalam bentuk tabel. Diferensiasi numerik harus dihindari bilamana mungkin karena umumnya nilai pendekatan diferensial akan kurang teliti dibandingkan nilai fungsi yang merupakan asal nilai-nilai tersebut diturunkan. Sebenarnya, turunan adalah limit dari hasil bagi dan dalam hal ini ada proses pengurangan dua be saran bernilai besar dan membagi dengan besaran kecil. Lebih lanjut jika fungsi f dihampiri menggunakan suatu polinom p, selisih dalam nilai-nilai fungsi boleh jadi kecil tetapi turunan-turunannya mungkin sangat berbeda. Karenanya masuk akal bahwa diferens iasi numerik adalah
runyam, berlawanan dengan integrasi numerik, yang tidak banyak
dipengaruhi oleh ketidaktelitian nilai-nilai fungsi, karena integrasi pada dasarnya adalah suatu proses yang mulus. Hubungan yang erat antara diferensiasi dan integrasi bisa ditinjau pada suatu fungsi y(t) yang merupakan posisi benda sebagai fungsi waktu, bentuk diferensialnya tertuju pada kecepatan, vt
d
yt dt
(2.1)
Sebaliknya, dari konsep kecepatan sebagai fungsi waktu, integrasinya akan menghasilkan suatu besaran posisi, t
y t vt dt
(2.2)
o
Berikut ini akan dibahas beberapa teknik atau metode pendekatan yang penting dan bermanfaat dalam menyelesaikan persamaan- persamaan diferensial secara komputasi numerik.
2.2
Aturan Beda Pusat
Tinjau diferensial suatu fungsi f x pada ruang berjarak sama terhadap nilai f n
f x n ; x n
x
x
0, maka f ' 0 . f berada pada kisi-kisi
, dengan generalisasi:
nh dimana
n
0,1 2,....
2
(2.3)
Dengan deret Taylor berusaha dihitung nilai pendekatan dari f ' 0 dalam bentuk f n , dengan cara menguraikan f disekitar sumbu
f x f 0
'
xf
x 2
2!
semua turunan dievaluasi pada
f ' ' x
f 1 f x h f 0
f 2 f x 2h f 0
x 3 3!
x
0,
f ' ' '....
0, didapatkan bentuk persamaan
hf '
h2 2
f ' '
2hf '2h
2
h3 6
f ' '
f ' ' 'O h 4
4h 3
3
f ' ' 'O h 4
(2.4)
(2.5)
merupakan pendekatan kesalahan (error) dalam orde 4
Dimana O h
4
Gambar 2.1 Nilai f pada kisi ruang berjarak sama. Garis putus menunjukkaninterpolasi linear
Subtraksi f 1 dari f 1 pada persamaan (4.4) memberikan bentuk diferensial,
f '
f 1 f 1
2h
h2 6
f ' ' 'O h 4
Bentuk f akan tereduksi ketika h diperkecil dan kesalahan dominan berkaitan dengan '''
estimasi beda batas, sehingga didapatkan bentuk pertama:
f '
f 1
f 1
2h
3
yang merupakan formula beda pusat (central difference) dengan 3 titik, yang lebih dikenal sebagai “3 point” formula atau formula 3 titik. Formula ini menjadi eksak jika f adalah
h h.
polinomial orde dua di dalam interval 3 titik
,
Esensi dari persamaan (4.7) adalah
asumsi bahwa interpolasi polinomial quadratik terhadap f melalui 3 titik valid,
x h,0 dan
merupakan hasil yang alami, karena formula
digunakan sebagai definisi derivatif dalam kalkulus dasar. Kesalahan secara prinsip bisa dibuat sekecil mungkin dengan mengambil nilai h yang lebih kecil. Berdasarkan perbedaan simetri pada
x
0, formula (4.7) ini lebih
akurat (oleh pangkat 1h) dibandingkan dengan formula beda maju ( forward difference) atau beda mundur (backward difference), f ' f '
f 1 f 0
h f 0
f 1
h
Oh
O h
Formula ini dikenal sebagai “2 point” formula atau formula 2 titik , yang didasarkan pada asumsi bahwa f didekati oleh sebuah fungsi linear yang melalui interval antara
x
0
dan x h Berikut disajikan pilihan populer formula beda pusat pada orde kesalahan O h
denagn konvensi fk f x0
Oh
f ' x0
f 1 f 1
f ' ' x0
f 1 2 f 0
f ' ' ' x0
f 2
f ' ' ' ' x0
f 2
2h
f ' ' x0
k 3,2,1,0.
2
; formula 3 titik f 1
h2 2 f 2 f 1 f 2 1
2h
4 f 1
Formula beda pusat orde
f ' x0
hk untuk
:
Formula beda pusat orde
2
3
6 f 0
h
4 f 1
f 2
4
(4.10)
:
Oh
4
f 2 8 f 8 f 1 f 2 1
12h
; formula 5 titik
f 2 16 f 30 f 0 16 f 1 1
12h
f 2
2
4
dan
Oh
4
f 2
f 1 13 f 1 8 f 2
8
13
6h
f ' ' ' ' x0
2.3
f 3
f ' ' ' x0
f 3
f 2
12
f 3
4
f 1 56 f 0
39
6h
39 f 1
f 2
12
4
f 3
(4.11)
Aturan Beda Maju dan beda Mundur
Jika fungsi tidak dapat dihitung pada absis-absis yang terletak pada kedua sisix, maka rumus beda pusat tidak dapat dipakai untuk menghampiri derivatif. Bilamana fungsi dapat dihitung pada absis-absis berjarak sama yang terletak ke kanan ( kiri) dari x, maka dapat digunakan formula beda maju (mundur). Formula tersebut dapat diturunkan memakai metode-metode yang berlainan, pembuktiannya dapat bersandar pada deret Taylor, polinom pengintegralan Lagrangre, atau polinom interpolasi Newton. Beberapa formula beda maju/mundur berorde O(h2), sebagai berikut:
Formula beda maju ( forward difference):
f ' x
f 0
3
4 f 1
f 2
2h 2 f 0
f ' ' x
f 1 4 f 2
5
f 3
h2 f 0
5
f ' ' ' x
f 1 24 f 2
18
2h
f ' ' ' ' x
f 3
14
f 4
3
3
3 f 0 14 f 1 26 f 2 24 f 3 11 f 4 2 f 5
h4
Formula beda mundur (backward difference):
f ' x
3 f 0
f ' ' x
4 f 1
f 2
2h 2 f 0 5 f 1 4 f 2 f 3
f ' ' ' x
f ' ' ' ' x
h2 5 f 0 18 f 1 24 f 2 14 f 3 3 f 4 2h
3
3 f 0 14 f 1 26 f 2 24 f 3 11 f 4 2 f 5
h4
5
2.4.
Penyelesaian dengan Matlab
Koding Program disp('====================Metode Aturan Beda======================') disp(' KELOMPOK V ') disp(' 1. ARIVATUSAQDYAH 2. EMELIA ROSA PURBA 3. HERVIN LAIA' ) disp('------------------------------------------------------------') h =input ('nilai interval ='); n =input ('jumlah titik ='); %data = xlsread('data1'); %t =data(:,1); %y =data(:,2); y(1)=0; y(2)=164; y(3)=316; y(4)=425; y(5)=492; for i=1:(n-1) v(i+1)=(y(i+1)-y(i))/h; a(i) =(v(i+1)-v(i))/h; end for i = 1:(n-1); v(i) =(y(i+1)-y(i))/h; a(i+1) =(v(i+1)-v(i))/h; end for i = 1:n; v(i+1) = (y(i+1)-y(i))/h; a(i+2) = (y(i+2)-2*y(i+1)+y(i))/(h^2); end disp ('y v a'); disp (['y v a']); figure(1); plot(v,'-'); xlabel('Variabel t'); ylabel('Kecepatan'); hold on; figure (2); plot (a,'-'); xlabel ('Variabel t'); ylabel ('percepatan'); hold on;
6
Buka Program Matlab Pilih Menu File, Kemudian Pilih M-file
Kemudian akan muncul Command Window seperti tampak pada gambar berikut:
Masukkan Coding Program dalam Command Window
7
Pilih Menu Debug kemudian Save and Run, Seperti gambar dibawah:
Maka akan tampil seperti dialog dibawah. Kemudian Save Catatan: Dalam melakukan penyimpanan jangan menggunakan spasi ataupun tanda baca.
8
Maka akan muncul dialog seperti dibawah
Grafik Turunan Posisi terhadap kecepatan
9
Grafik Fungsi Posisi terhadap percepatan
Koding 2
%Diferensial Numerik Aturan Mundur clear clc [t h]=ode45(@tangki2,[0 10],[5]); plot(t,h) grid on xlabel('waktu (t)min') ylabel('level (h) ft')
10
BAB III PENUTUP
3.1 Kesimpulan
1. diferensiasi numerik adalah penentuan nilai pendekatan atau hampiran untuk turunan suatu fungsi f yang umumnya diberikan dalam bentuk tabel. Diferensiasi numerik harus dihindari bilamana mungkin karena umumnya nilai pendekatan diferensial akan kurang teliti dibandingkan nilai fungsi yang merupakan asal nilai-nilai tersebut diturunkan.
2. aturan beda pusat dengan ditiinjau diferensial suatu fungsi f x pada f berada pada kisi-kisi ruang berjarak sama terhadap nilai
f n
f x n ;
xn
nh dimana n 0,1 2,....
3. Formula beda maju ( forward difference):
f ' x
f 0
3
4 f 1
f 2
2h 2 f 0
f ' ' x
f 1 4 f 2
5
f 3
h2 f 0
5
f ' ' ' x
f 1 24 f 2
18
2h
f ' ' ' ' x
3 f 0
f 3
14
f 4
3
3
f 1 26 f 2
14
24 f 3
f 4
11
2 f 5
h4
4. Formula beda mundur (backward difference):
f ' x
3 f 0
f ' ' x
4 f 1
f 2
2h 2 f 0
f ' ' ' x f ' ' ' ' x
f 1 4 f 2
5
h 5 f 0
f 1 24 f 2
18
f 3
14
f 4
3
3
f 1 26 f 2
14
2
2h 3 f 0
f 3
24 f 3
f 4
11
h4
11
2 f 5
x
x
0, maka f ' 0 .
, dengan generalisasi:
DAFTAR PUSTAKA
Alatas,Husin.Buku Pelengkap Fisika Matematika .Derpartemen Fisika FMIPA Institut Pertanian Bogor Munir, R. 2003. Metode Numerik . Informatika. Bandung. Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. Andi. Yogyakarta. Sahyar.2014.Komputasi Sains Fisika.Medan: Unimed Press. Suparno, Supriyanto.2014.
Komputasi
untuk
Sains
Matlab.Depok: Departemen Fisika FMIPA Univ
12
dan
Teknik
Menggunakan
